Обсуждение:Динамическая система

message: Моя правка данной статьи основана на тексте, подготовленном мною для «бумажной» школьной энциклопедии по математике, планируемой к выпуску в одном из российских издательств. Авторский договор с издательством неэксклюзивный, так что я имею право опубликовать этот текст в Википедии. Во избежание возможных недоразумений прошу не удалять это уведомление со страницы обсуждения даже в целях архивирования.
thread_title:  Legal info 

message: К сожалению, я был вынужден отменить правку , поскольку она во многом дублирует содержание следующей секции (Динамическая система#Основные понятия), где говорится и о детерменированности, и о переменных (фазовом пространстве). С другой стороны, то, что сейчас написано в "Основных понятиях", тоже не совсем правда (рассматриваются также недетерминированные, стохастические динамические системы), а также бесконечномерные динамические системы, и об этом тоже когда-то будет написано, поэтому выносить факты, заведомо сужающие предметную область статьи, в самое введение, мне кажется неправильным. Впрочем, возможно, я в чем-то не прав -- буду готов обсудить возможные дальнейшие правки. Ilya Voyager 16:49, 13 июня 2008 (UTC)
thread_title:  Дополнение во вступлении 

message: Очень хочется добавить сюда раздел либо про историю, либо с минимальным обзором направлений ДС:
* Одномерные обратимые ДС (окружность): классификация Пуанкаре, пример Данжуа, теорема Данжуа, языки Арнольда
* Одномерные необратимые ДС: tent map, удвоение окружности.
* Комплексно-одномерная динамика: множества Фату и Жюлиа, множество Мандельброта.
* Векторные поля на плоскости: теорема Пуанкаре-Бендиксона, 16-я проблема Гильберта.  (Может быть, и на поверхностях -- ячейка Черри, как гладкий аналог примера Данжуа?) 
* Отображения в размерности два и больше -- возможность хаотического поведения: преобразование пекаря, подкова Смейла, диффеоморфизм Аносова, соленоид Смейла-Вильямса. Гиперболическая динамика и структурная устойчивость.
* Эргодическая теория: теорема Крылова-Боголюбова, эргодические теоремы Неймана и Биркгофа-Хинчина.
Но у меня к этому наброску пока не получилось написать слова (а без этого, например, статьи одномерной динамики "висят в воздухе" -- РобоСтася ругается :) ). Кто-нибудь?   --Burivykh 23:53, 20 апреля 2009 (UTC)
thread_title:  История+направления развития? 

message: На мой взгляд, нужен довольно подробный план статьи. И не одной, поскольку необходимо грамотно распределить материал. Следует помнить о предельно допустимом размере статьи. Главный вопрос: о чём должна быть написана статья? Понятийный аппарат можно раскрыть в другом месте. А здесь дать общее введение, не так ли? И что означает добавка в конце названия: «... (раздел)»? --OZH 10:17, 17 сентября 2009 (UTC)
Итак, хотелось бы знать:
*для чего пишется статья (для первоначального введения в предмет и, главное, в какой);
*для кого пишется статья (для общего развития, для новичков, желающих изучить предмет, или для специалистов, желающих узнать современное состояние сеории динамических систем);
*как быть с множеством сопутствующих статей (вроде механической системы, которая, на самом деле, является перенаправлением на статью Механика, что кажется более чем странным).
В принципе, необходимо и то, и другое и третье. Но как это реализовать? Попробуем набросать некоторый план, но это только набросок, который являет собой схему, а не точное руководство к действию: утверждения требуют проверки, слова требуется причесать к единому стилю, сказанное кратко должно быть раскрыто и расшифровано. ;-) --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC) 
=== Преамбула (сжатое изложение вопросов, описываемых в статье) ===
Динамическая система — математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени. Динамическая система представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или явления. Динамическая система может быть представлена в виде «чёрного ящика» с «входами» и «выходами»: «входы» представляют собой внешние (например, управляющие) воздействия на систему, а «выходы» — ответную реакцию системы (её поведение). При таком подходе, основная задача — это поиск управляющих воздействий, обеспечивающих требуемое поведение системы. Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику — процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы — совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояние в другое. Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем. В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что тоже самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике соответственно (не уверен!). Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) является по существу синонимом автономной системы дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям. Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репелеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятие теории динамических систем — это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы)... Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории  динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой... Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф. --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)
=== Основные понятия ===
[Здесь необходимо дать сводку основных понятий (на словах, без формул) с перенаправлениями на другие статьи с более подробным описанием каждого понятия и с формальным определением.] --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)
=== Примеры ===
[Здесь необходимо на примере одномерных и двумерных динамических систем показать что такое положение равновесия, цикл, предельное поведение, устойчивость и т.п. --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)
=== История вопроса ===
[Здесь должно быть краткое изложение истории изучения динамических систем от истоков до наших дней.] --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)
=== Ссылки  ===
[Здесь должны быть ссылки на различные научные школы и сайты, посвященные изучению динамических систем.] --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)
=== Источники ===
[Здесь должны быть указаны основные учебники и руководства по теории динамических систем. Думаю, что будет достаточно 10 самых важных.] --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)
thread_title:  План статьи 

message: Динамическая система — математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени. Динамическая система представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или явления. Динамическая система может быть представлена в виде «чёрного ящика» с «входами» и «выходами»: «входы» представляют собой внешние (например, управляющие) воздействия на систему, а «выходы» — ответную реакцию системы (её поведение). При таком подходе, основная задача — это поиск управляющих воздействий, обеспечивающих требуемое поведение системы. Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику — процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы — совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояние в другое. Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем. В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что тоже самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике соответственно (не уверен!). Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) является по существу синонимом автономной системы дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям. Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репелеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятие теории динамических систем — это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы)... Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории  динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой... Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф. --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)
thread_title:  Преамбула (сжатое изложение вопросов, описываемых в статье) 

message: [Здесь необходимо дать сводку основных понятий (на словах, без формул) с перенаправлениями на другие статьи с более подробным описанием каждого понятия и с формальным определением.] --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)
thread_title:  Основные понятия 

message: [Здесь необходимо на примере одномерных и двумерных динамических систем показать что такое положение равновесия, цикл, предельное поведение, устойчивость и т.п. --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)
thread_title:  Примеры 

message: [Здесь должно быть краткое изложение истории изучения динамических систем от истоков до наших дней.] --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)
thread_title:  История вопроса 

message: [Здесь должны быть ссылки на различные научные школы и сайты, посвященные изучению динамических систем.] --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)
thread_title:  Ссылки  

message: [Здесь должны быть указаны основные учебники и руководства по теории динамических систем. Думаю, что будет достаточно 10 самых важных.] --OZH 16:03, 19 сентября 2009 (UTC)
thread_title:  Источники 

message: === От 17-09-2009 ===
Раздел «Основные понятия» выглядит буреломом слов. Начало и вовсе вызывающее: свойство „приписывается“! Есть реальные объекты, описываемые в виде вербальных моделей как системы с учётом взаимосвязей элементов, а есть математические модели, которым изначально присущи те или иные свойства. Детерминированные модели — лишь частный случай таких моделей. Потом идёт разговор о фазовом пространстве, приводится пример, а последняя фраза добивает окончательно: «Важно отметить, что каждая точка фазового пространства задает состояние всей системы»! --OZH 10:53, 17 сентября 2009 (UTC)
replies: text: Из описанного, я понял пока только одну претензию — что не все динамические системы детерминистичны, с чем я согласен. Это надо исправить. Насчет остального, честно говоря, не понял — попробуйте предложить свои правки (можно править смело), чтобы исправить недочеты, какими Вы их видите. Ilya Voyager 18:54, 17 сентября 2009 (UTC)
Раздел «Способы задания динамических систем», вроде бы, по делу, однако тут возникает математический язык: начали без него, а закончили им? К тому же, точки фазового пространства, по-моему, никуда не двигаются. Есть понятие «изображающей точки». Разделение систем на системы с непрерывным и с дискретным временем важно, однако такое разделение  следовало бы вынести в отдельную статью, где подробнее описать различия и указать взаимосвязи. Во-первых, мы всегда можем задать оператор сдвига на определённое время и рассмотреть соответствующий каскад. Тогда нужно указать непосредственную связь с теоремой о неподвижной точке и, более широко, с соответствующим разделом функционального анализа. Во-вторых, рассматривая итерации отображения и предельные множества, аттракторы, можно "аппроксимировать" и непрерывную динамику... --OZH 10:53, 17 сентября 2009 (UTC)

text: Математический язык рано или поздно в любом случае появится. Сделать можно многое. Правьте смело. :) Ilya Voyager 18:54, 17 сентября 2009 (UTC)
В таком виде раздел «Вопросы теории динамических систем» выглядит возникающим из ниоткуда. Одним словом: для улучшения статьи её надо полностью переписать, сконцентрируясь на геометрических образах и на основных задачах, причём так, чтобы задачи и проблемы естественным образом вытекали из общего геометрического рассмотрения. А математику можно изложить в отдельных специализированных статьях. В общем виде, вводная статья должна быть совсем без математики и быть путеводителем по специализированным статьям. --OZH 10:53, 17 сентября 2009 (UTC)

text: Нет, совсем без математики, мне представляется, мы не обойдемся. Но можете попробовать. Ilya Voyager 18:54, 17 сентября 2009 (UTC)
thread_title:  Замечания к тексту статьи 

message: Раздел «Основные понятия» выглядит буреломом слов. Начало и вовсе вызывающее: свойство „приписывается“! Есть реальные объекты, описываемые в виде вербальных моделей как системы с учётом взаимосвязей элементов, а есть математические модели, которым изначально присущи те или иные свойства. Детерминированные модели — лишь частный случай таких моделей. Потом идёт разговор о фазовом пространстве, приводится пример, а последняя фраза добивает окончательно: «Важно отметить, что каждая точка фазового пространства задает состояние всей системы»! --OZH 10:53, 17 сентября 2009 (UTC)
replies: text: Из описанного, я понял пока только одну претензию — что не все динамические системы детерминистичны, с чем я согласен. Это надо исправить. Насчет остального, честно говоря, не понял — попробуйте предложить свои правки (можно править смело), чтобы исправить недочеты, какими Вы их видите. Ilya Voyager 18:54, 17 сентября 2009 (UTC)
Раздел «Способы задания динамических систем», вроде бы, по делу, однако тут возникает математический язык: начали без него, а закончили им? К тому же, точки фазового пространства, по-моему, никуда не двигаются. Есть понятие «изображающей точки». Разделение систем на системы с непрерывным и с дискретным временем важно, однако такое разделение  следовало бы вынести в отдельную статью, где подробнее описать различия и указать взаимосвязи. Во-первых, мы всегда можем задать оператор сдвига на определённое время и рассмотреть соответствующий каскад. Тогда нужно указать непосредственную связь с теоремой о неподвижной точке и, более широко, с соответствующим разделом функционального анализа. Во-вторых, рассматривая итерации отображения и предельные множества, аттракторы, можно "аппроксимировать" и непрерывную динамику... --OZH 10:53, 17 сентября 2009 (UTC)

text: Математический язык рано или поздно в любом случае появится. Сделать можно многое. Правьте смело. :) Ilya Voyager 18:54, 17 сентября 2009 (UTC)
В таком виде раздел «Вопросы теории динамических систем» выглядит возникающим из ниоткуда. Одним словом: для улучшения статьи её надо полностью переписать, сконцентрируясь на геометрических образах и на основных задачах, причём так, чтобы задачи и проблемы естественным образом вытекали из общего геометрического рассмотрения. А математику можно изложить в отдельных специализированных статьях. В общем виде, вводная статья должна быть совсем без математики и быть путеводителем по специализированным статьям. --OZH 10:53, 17 сентября 2009 (UTC)

text: Нет, совсем без математики, мне представляется, мы не обойдемся. Но можете попробовать. Ilya Voyager 18:54, 17 сентября 2009 (UTC)
thread_title:  От 17-09-2009 

message: Автор: User:OZH
thread_title:  Планируемое дополнение 

message: Динамической системой, заданной в топологическом пространстве X, называется отображение g\colon R\times X\to X вида g(t,x)=g^{t}x (t\in R и x\in X), которое является дифференцируемым отображением, причём \{g^{t}\} образует группу преобразований топологического пространства X. Последнее означает, что g^{0} — тождественное отображение пространства X и для любых s, t\in R выполняется тождество g^{t}\circ g^{s}=g^{t+s}.
Из дифференцируемости отображения g следует, что график функции g(t,x_{0}) (при t\in R) является дифференцируемой функцией времени и называется интегральной траекторией (кривой) динамической системы. Её проекция на пространство X, которое в таком случае носит название фазового пространства, называется фазовой траекторией (кривой) динамической системы. 
Задание динамической системы, таким образом, эквивалентно разбиению фазового пространства на траектории.
Мне кажется, подобного рода добавления можно сразу делать в статью Динамические системы. Правда, я не согласен с тем, чтобы предложенное здесь определение было вынесено в преамбулу как основное. Я все-таки считаю, что преамбула должна быть а) максимально общей (чтобы охватывать все случаи); б) максимально понятной для неспециалиста (то есть никаких формул). Но создать дополнительный раздел, в котором всё это написать с таким уровнем формализма, думаю, вполне можно и даже нужно. В текущий момент статья дублирует мою же статью в энциклопедии Росмэн по информатике и математике для школьников, и написана в общем на соответствующем уровне — так что надо, конечно, серьезно дорабатывать. Ilya Voyager 21:31, 14 января 2009 (UTC)
thread_title:  Определение 

message: выполняется тождество g^{t}\circ g^{s}=g^{t+s}
Насколько я понимаю, такое возможно лишь для стационарных систем, нестационарные образуют что-то вроде полугруппы Брандта. mclaudt 22:25, 3 марта 2012 (UTC)
Не понял, при чём здесь полугруппа Брандта, больше похоже на группоид в категорном смысле, но это не обязательно вносить в статью. Скорее, лучше написать, что иногда под динамическими системами понимаются в том числе нестационарные (дать другое определение), но они легко сводятся к стационарным. Mburyakov (обс.) 17:46, 23 января 2017 (UTC)
thread_title: Уточнить, какую алгебраическую структуру образуют преобразования системы