Обсуждение:Квантор существования

message: На мой взгляд, статья "Квантор существования" в её нынешнем виде удовлетворяет:
replies: text: 1) духовным потребностям советских людей, то есть лиц, которые принадлежат к множеству "советский народ", упоминаемому в последней конституции СССР,

text: 2) духовным потребностям россиян, то есть лиц, которые принадлежат к множеству "многонациональный народ Российской Федерации", упоминаемому в конституции РФ.
thread_title:  О качестве статьи "Квантор существования" 

message: С моей точки зрения, школьнику можно разъяснить, что такое квантор существования, с помощью примеров.
Сначала школьнику следует сообщить, что существуют равносильные предложения. Например, русское предложение "Он любит свою мать." и английское предложение "He loves his mother." являются равносильными.
Если предложение A равносильно предложению B, то этот факт записывают в виде: A \Leftrightarrow B
replies: text: Примеры равносильных предложений
replies: text: : Он любит свою мать.  \ \Leftrightarrow \  He loves his mother.

text: : Какая-то девочка любит комплименты.  \ \Leftrightarrow \ x \in \{Девочки\} \land x  любит комплименты.
replies: text: :: Девочка Саша любит комплименты.  \ \Leftrightarrow \  Саша  \in \{Девочки\} \land \ Саша любит комплименты.

text: :: Эта девочка любит комплименты.  \ \Leftrightarrow \ x_0 \in \{Девочки\} \land \ x_0  любит комплименты.

text: : Иванов знает какую-то женщину.  \ \Leftrightarrow \ x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.
replies: text: :: Иванов знает женщину по фамилии Корейко.  \ \Leftrightarrow \  Корейко  \in \{Женщины\} \ \land \  Иванов знает Корейко.

text: :: Иванов знает эту женщину.  \ \Leftrightarrow \ x_0 \in \{Женщины\} \ \land \  Иванов знает x_0.

text: : Какое-то натуральное число делится на два.  \ \Leftrightarrow \ x \in \{Натуральные числа\} \land x делится на два.
replies: text: :: Натуральное число 8 делится на два.  \ \Leftrightarrow \ 8 \in \{Натуральные числа\} 
 \ \land \  8 делится на два.

text: :: Это натуральное число делится на два.  \ \Leftrightarrow \ x_0 \in \{Натуральные числа\} \ \land \ x_0 \ делится на два.
  
Далее школьнику следует научиться употреблять вспомогательный квантор \exist^{\geqslant 1}.

text: Примеры со вспомогательным квантором \exist^{\geqslant 1}

text: 1.1 Предложение "По меньшей мере одна девочка любит комплименты." можно записать в виде
replies: text: : \exist^{\geqslant 1} x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.)

text: 1.2 Предложение "Иванов знает хотя бы одну женщину." можно записать в виде
replies: text: : \exist^{\geqslant 1} x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.)

text: 1.3 Предложение "По крайней мере одно натуральное число делится на два." можно записать в виде
replies: text: : \exist^{\geqslant 1} x(x \in \{Натуральные числа\} \land x делится на два.)

text: 1.4 Предложение "Как минимум один кит питается планктоном." можно записать в виде
replies: text: : \exist^{\geqslant 1} x(x \in \{Киты\} \land x питается планктоном.)
Далее школьнику следует научиться употреблять квантор существования \exist

text: Примеры с квантором \exist

text: 2.1 Каждое из равносильных предложений "Есть девочка, которая любит комплименты." и "Некая девочка любит комплименты." можно записать в виде
replies: text: : \exist x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.)

text: 2.2 Каждое из равносильных предложений "Есть женщина, которую знает Иванов." и "Иванов знает некую женщину."  можно записать в виде
replies: text: : \exist x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.)

text: 2.3 Каждое из равносильных предложений "Есть натуральное число, которое делится на два." и "Некое натуральное число делится на два." можно записать в виде
replies: text: : \exist x(x \in \{Натуральные числа\} \land x делится на два.)

text: 2.4 Каждое из равносильных предложений "Есть кит, который питается планктоном." и "Некий кит питается планктоном." можно записать в виде
replies: text: : \exist x(x \in \{Киты\} \land x питается планктоном.)
Далее школьнику нужно сообщить, что высказывание \exist^{\geqslant 1} x(P[x]) и высказывание \exist x(P[x]) имеют одинаковый смысл, хотя произносятся по-разному.

text: Примеры

text: 3.1 \exist^{\geqslant 1} x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.) \ \Leftrightarrow \ \exist x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.)

text: 3.2 \exist^{\geqslant 1} x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.) \ \Leftrightarrow \ \exist x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.)
Далее школьнику нужно сообщить, что на письме употребляются более лаконичные высказывания типа \exist x(P[x]), которые могут произноситься так же, как менее лаконичные высказывания типа \exist^{\geqslant 1} x(P[x])
Далее школьнику нужно сообщить, что высказывания типа \exist x(x \in X \land P[x]) сокращённо записывают либо в виде \exist x \in X (P[x]), либо в виде (\exist x \in X) P[x], либо в виде \exist x \in X: P[x]

text: Примеры

text: 4.1 \exist x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.) \ \Leftrightarrow \ \exist x \in \{Девочки\} : x любит комплименты.

text: 4.2 \exist^{\geqslant 1} x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.) \ \Leftrightarrow \ \exist x \in \{Женщины\} : Иванов знает x.
Далее школьнику следует сообщить, что высказывание \exist x(P[x]) и \exist y(P[y]) имеют одинаковый смысл, при условии, что в первом из этих высказываний не фигурирует символ y, а во втором высказывании не фигурирует символ x.

text: Примеры

text: 5.1 \exist x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.) \ \Leftrightarrow \ \exist y(y \in \{Девочки\} \land y любит комплименты.)

text: 5.2 \exist x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.) \ \Leftrightarrow \ \exist y(y \in \{Женщины\} \land  Иванов знает y.)
Далее школьнику следует сообщить, что символы, которые не влияют на произношение высказывания называются немыми.

text: Примеры

text: 6.1 Высказывание "\exist x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.)" включает немой символ x, который не произносится в предложениях "Есть девочка, которая любит комплименты.", "По меньшей мере одна девочка любит комплименты.", "Некая девочка любит комплименты."

text: 6.2 Высказывание "\exist y(y \in \{Женщины\} \land  Иванов знает y.)" включает немой символ y, который не произносится в предложениях "Есть женщина, которую знает Иванов.", "Иванов знает хотя бы одну женщину.", "Иванов знает некую женщину.".

text: 6.3 Высказывание "\exist z(z \in \{Натуральные числа\} \land z делится на два.)" включает немой символ z, который не произносится в предложениях "Есть натуральное число, которое делится на два.", "Хотя бы одно натуральное число делится на два.", "Некоторое натуральное число делится на два."
Далее, школьника следует проинформировать о том, что начинающие стремятся буквально переводить высказывания с квантором существования.

text: Пример

text: Начинающие могут переводить высказывание "\exist x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.)" так:
replies: text: :"Cуществует x такой, что он принадлежит девочкам и любит комплименты.",

text: :"Cуществует элемент x из множества {Девочки}, и этот x любит комплименты.",

text: :"Cуществует элемент множества {Девочки}, и этот элемент любит комплименты.".

text: Такие буквальные переводы похожи на буквальные переводы английских высказываний типа "I have been writing an article for two hours.".
Научившись использовать кванторы с предложениями типа "По меньшей мере одна девочка любит комплименты.", школьник должен научиться использовать кванторы с предложениями типа "По меньшей мере две девочки любят комплименты.".

text: Примеры со вспомогательным квантором \exist^{\geqslant 2} и сдвоенными кванторами существования \exist \exist

text: 7.1 Предложение "По меньшей мере двум девочкам нравятся комплименты." равносильно как предложению "Некоторым девочкам нравятся комплименты.", так и предложению "Есть девочки, которым нравятся комплименты." Каждое из этих трёх предложений можно записать двумя способами, а именно:
replies: text: : \exist^{\geqslant 2} x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.)

text: : \exist x_1 \exist x_2(x_1 \neq x_2 \land x_1 \in \{Девочки\} \land x_2 \in \{Девочки\} \ \land \ x_1 любит комплименты. \ \land \ x_2 любит комплименты.)

text: 7.2 Предложение "Иванов знает хотя бы двух женщин." равносильно как предложению "Иванов знает некоторых женщин.", так и предложению "Есть женщины, которых знает Иванов." Каждое из этих трёх предложений можно записать двумя способами, а именно:
replies: text: : \exist^{\geqslant 2} x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.)

text: : \exist x_1 \exist x_2(x_1 \neq x_2 \land x_1 \in \{Женщины\} \land x_2 \in \{Женщины\} \ \land \ Иванов знает \ x_1. \ \land \ Иванов знает \ x_2.)

text: 7.3 Предложение "По крайней мере два натуральных числа делятся на два." равносильно как предложению "Некоторые натуральные числа делятся на два.", так и предложению "Есть натуральные числа, которые делятся на два.". Каждое из этих трёх предложений можно записать двумя способами, а именно:
replies: text: : \exist^{\geqslant 2} x(x \in {\mathbb N} \land x делится на два.)

text: : \exist x_1 \exist x_2(x_1 \neq x_2 \land x_1 \in {\mathbb N} \land x_2 \in {\mathbb N} \ \land \ x_1 делится на два. \ \land \ x_2 делится на два.)
Далее школьнику следует осознать, что он может не пользоваться вспомогательным квантором \exist^{\geqslant 2}, пользуясь двумя кванторами существования \exist и знаком \neq.
Научившись использовать кванторы с предложениями типа "По меньшей мере одна девочка любит комплименты." и  предложениями типа "По меньшей мере две девочки любят комплименты.", школьник должен научиться использовать кванторы с предложениями типа "Разве что одна девочка любит комплименты.".

text: Примеры со вспомогательным квантором \exist^{\leqslant 1} и сдвоенными кванторами существования \exist \exist

text: 8.1 Предложение "Разве что одной девочке нравятся комплименты." можно записать тремя способами, а именно:
replies: text: : \exist^{\leqslant 1} x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.)

text: : \neg(\exist^{\geqslant 2} x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.))

text: : \neg(\exist x_1 \exist x_2(x_1 \neq x_2 \land x_1 \in \{Девочки\} \land x_2 \in \{Девочки\} \ \land \ x_1 любит комплименты. \ \land \ x_2 любит комплименты.))

text: 8.2 Предложение "Иванов знает разве что одну женщину." можно записать тремя способами, а именно:
replies: text: : \exist^{\leqslant 1} x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.)

text: : \neg(\exist^{\geqslant 2} x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.))

text: : \neg(\exist x_1 \exist x_2(x_1 \neq x_2 \land x_1 \in \{Женщины\} \land x_2 \in \{Женщины\} \ \land \ Иванов знает \ x_1. \ \land \ Иванов знает \ x_2.))

text: 8.3 Предложение "Разве что одно натуральное число делится на два." можно записать тремя способами, а именно:
replies: text: : \exist^{\leqslant 1} x(x \in {\mathbb N} \land x делится на два.)

text: : \neg(\exist^{\geqslant 2} x(x \in {\mathbb N} \land x делится на два.))

text: : \neg(\exist x_1 \exist x_2(x_1 \neq x_2 \land x_1 \in {\mathbb N} \land x_2 \in {\mathbb N} \ \land \ x_1 делится на два. \ \land \ x_2 делится на два.))
Далее школьнику следует осознать, что он может не пользоваться вспомогательным квантором \exist^{\leqslant 1}, пользуясь двумя кванторами существования \exist, знаком \neq и знаком \neg.
Далее школьник должен научиться использовать кванторы с предложениями типа "Только одна девочка любит комплименты.".

text: Примеры со вспомогательным квантором \exist^{= 1} и квантором \exist !

text: 9.1 Равносильные предложения "Только одной девочке нравятся комплименты." и "Есть лишь одна девочка, которой нравятся комплименты." можно записать следующими способами:
replies: text: : \exist^{= 1} x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.)

text: : \exist^{\geqslant 1} x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.) \ \land \ \exist^{\leqslant 1} x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.)

text: : \exist x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.)) \ \land \ \neg(\exist x_1 \exist x_2(x_1 \neq x_2 \land x_1 \in \{Девочки\} \land x_2 \in \{Девочки\} \ \land \ x_1 любит комплименты. \ \land \ x_2 любит комплименты.))

text: : \exist ! x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.)

text: 9.2 Равносильные предложения "Иванов знает только одну женщину." и "Есть лишь одна женщина, которую знает Иванов." можно записать следующими способами:
replies: text: : \exist^{= 1} x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.)

text: : \exist^{\geqslant 1} x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.) \ \land \ \exist^{\leqslant 1} x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.)

text: : \exist x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.) \ \land \ \neg(\exist x_1 \exist x_2(x_1 \neq x_2 \land x_1 \in \{Женщины\} \land x_2 \in \{Женщины\} \ \land \ Иванов знает \ x_1. \ \land \ Иванов знает \ x_2.))

text: : \exist ! x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.)

text: 9.3 Равносильные предложения "Только одно натуральное число делится на два." и "Есть лишь одно натуральное число, которое делится на два." можно записать следующими способам:
replies: text: : \exist^{= 1} x(x \in {\mathbb N} \land x \ mod \ 2 = 0)

text: : \exist^{\geqslant 1} x(x \in {\mathbb N} \land x \ mod \ 2 = 0) \ \land \ \exist^{\leqslant 1} x(x \in {\mathbb N} \land x \ mod \ 2 = 0)

text: : \exist x(x \in {\mathbb N} \land x \ mod \ 2 = 0) \ \land \ \neg(\exist x_1 \exist x_2(x_1 \neq x_2 \land x_1 \in {\mathbb N} \land x_2 \in {\mathbb N} \ \land \ x_1 \ mod \ 2 = 0 \ \land \ x_2 \ mod \ 2 = 0))

text: : \exist ! x(x \in {\mathbb N} \land x \ mod \ 2 = 0)
Далее школьник должен научиться использовать кванторы с предложениями типа "Ни одна девочка не любит комплименты.".

text: Примеры со вспомогательными кванторами \exist^{= 0} и \nexists и квантором существования \exist

text: 10.1 Равносильные предложения "Ни одной девочке не нравятся комплименты." и "Нет ни одной девочки, которой нравятся комплименты." можно записать следующими способами:
replies: text: : \exist^{= 0} x(x \in \{Девочки\} \land x нравятся комплименты.)

text: : \nexists x(x \in \{Девочки\} \land x нравятся комплименты.)

text: : \neg(\exist x(x \in \{Девочки\} \land x любит комплименты.))

text: 10.2 Равносильные предложения "Иванов не знает ни одну женщину." и "Нет ни одной женщины, которую знает Иванов." можно записать следующими способами:
replies: text: : \exist^{= 0} x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.)

text: : \nexists x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.)

text: : \neg(\exist x(x \in \{Женщины\} \land  Иванов знает x.))

text: 10.3 Равносильные предложения "Ни одно натуральное число не делится на два." и "Нет ни одного натурального числа, которое делится на два." можно записать следующими способам:
replies: text: : \exist^{= 0} x(x \in {\mathbb N} \land x \ mod \ 2 = 0)

text: : \nexists x(x \in {\mathbb N} \land x \ mod \ 2 = 0)

text: : \neg(\exist x(x \in {\mathbb N} \land x \ mod \ 2 = 0))
СВОДКА ФОРМУЛ

text: P[x] (например, "Какая-то девочка изучает логику.")

text: P[x_0] (например, "Эта девочка изучает логику.")

text: P[x_1] (например, "Та девочка изучает логику.")

text: \exist x(P[x]) (например, "Есть девочка, которая изучает логику.")

text: \nexists x(P[x]) \ \Leftrightarrow \ \neg(\exist x(P[x])) (например, "Нет ни одной девочки, которая изучает логику.")

text: \exist^{= 0} x(P[x]) \ \Leftrightarrow \ \neg(\exist x(P[x])) (например, "Нет ни одной девочки, которая изучает логику.")

text: \exist^{\geqslant 1} x(P[x]) \ \Leftrightarrow \ \exist x(P[x]) (например, "Есть хотя бы одна девочка, которая изучает логику.)

text: \exist^{\leqslant 1} x(P[x]) \ \Leftrightarrow \ \neg(\exist x_1 \exist x_2(x_1 \neq x_2 \land P[x_1] \land P[x_2])) (например, "Есть разве что одна девочка, которая изучает логику.")

text: \exist^{= 1} x(P[x]) \ \Leftrightarrow \ \exist^{\geqslant 1} x(P[x]) \land \exist^{\leqslant 1} x(P[x]) (например, "Есть только одна девочка, которая изучает логику.")

text: \exist^{= 1} x(P[x]) \ \Leftrightarrow \ \exist x(P[x]) \land \neg(\exist y(y \neq x \land P[y]))) (например, "Есть только одна девочка, которая изучает логику.")

text: \exist ! x(P[x]) \ \Leftrightarrow \ \exist^{= 1} x(P[x]) (например, "Есть единственная девочка, которая изучает логику.)

text: \exist^{\geqslant 2} x(P[x]) \ \Leftrightarrow \ \exist x_1 \exist x_2(x_1 \neq x_2 \land P[x_1] \land P[x_2]) (например, "Есть хотя бы две девочки, которые изучают логику.")
Школьник должен осознать, что все кванторы можно выразить с помощью квантора существования \exist.
NB Квантор всеобщности \forall можно выразить с помощью квантора существования \exist и знака \neg по формуле \forall x(P[x]) \Leftrightarrow \neg(\exist x(\neg P[x]))
ВЗАИМОСВЯЗИ МЕЖДУ ФОРМУЛАМИ

text: P[x] \Rightarrow \exist x(P[x]) (например, "Если какая-то девочка изучает логику, тогда некая девочка изучает логику.")

text: P[x_0] \Rightarrow \exist x(P[x]) (например, "Если данная девочка изучает логику, тогда некая девочка изучает логику.")

text: \exist^{= 0} x(P[x]) \ \Rightarrow \ \exist^{\leqslant 1} x(P[x])) (например, "Если ни одна  девочка не изучает логику, тогда разве что одна девочка изучает логику.")

text: \exist^{= 1} x(P[x]) \ \Rightarrow \ \exist^{\leqslant 1} x(P[x])) (например, "Если только одна  девочка изучает логику, тогда разве что одна девочка изучает логику.")

text: \exist^{= 1} x(P[x]) \ \Rightarrow \ \exist^{\geqslant 1} x(P[x])) (например, "Если только одна  девочка изучает логику, тогда хотя бы одна девочка изучает логику.")

text: \exist^{\geqslant 2} x(P[x]) \ \Rightarrow \ \exist^{\geqslant 1} x(P[x])) (например, "Если некие девочки изучают логику, тогда некая девочка изучает логику.")
94.26.145.33 19:02, 17 февраля 2023 (UTC)
* ВП:ОРИСС. Приведите АИ, откуда вы это  взяли. Yɨ1NEPOXOZHE (обс.) 13:26, 1 марта 2024 (UTC)
thread_title:  Как разъяснить школьнику, что такое квантор существования