Обсуждение:Процесс Грама ― Шмидта

message: Правками от 19 мая 2010 я заменил статью на значительно дополненный вариант. Дополнения в основном делались на основе английской статьи (творческий перевод) и собственного понимания (объяснения «на пальцах»). Я надеюсь, что эти правки сделают описание доступным гораздо более широкому кругу читателей.
sergey_feo 18:20, 19 мая 2010 (UTC)
* да, спасибо за векторную геометрическую интерпретацию, с ней процесс прост и понятен. Но формульное описание метода можно еще упростить, и не писать пугающего вектора под названием Proj(a,b), по мне, лучше явно писать (a, e_b)\cdot \overrightarrow{e_b}, чем возвращаться и вспоминать что такое "прожектор". И сам "прожектор" писать по другому \mathbf{proj}_{\mathbf{b}}\,\mathbf{a} = \langle \mathbf{a}, \mathbf{e_b} \rangle \cdot \overrightarrow{e_b} - что означает проекцию, \mathbf{a} на \mathbf{b}, записанную в виде скалярного произведения \mathbf{a} к \mathbf{b}, вдоль нормированного_вектора(\mathbf{b}) = \overrightarrow{e_b} --СтаниславС 07:19, 20 августа 2014 (UTC)
thread_title: Замена

message: Чтоб вам всем пусто было. У вас в алгоритме Шмидта принципиальная ошибка!!!!109.252.139.11 19:35, 28 февраля 2012 (UTC)
replies: text: Если так, то надо поправить. Где конкретно ошибка? Основная формула, приведённая в статье на 14 августа 2012, выглядит так:

text: \mathbf{b}_N  =  \mathbf{a}_N-\displaystyle\sum_{j=1}^{N-1}\mathbf{proj}_{\mathbf{b}_j}\,\mathbf{a}_N 
,

text: где

text: \mathbf{proj}_{\mathbf{b}}\,\mathbf{a} = 
{\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle
\over
\langle \mathbf{b}, \mathbf{b}\rangle}
\mathbf{b} ,

text: В книге А.И. Кострикина, Ю.И. Манина «Линейная алгебра и геометрия» (номер издания, к сожалению, не знаю) на странице 112 есть формула

text: e_{i}  =  e'_{i}-\displaystyle\sum_{j=1}^{i-1} y_{j} e_{j}, 
y_j \in  \mathcal{K}
,

text: где

text: y_j = \frac{g(e'_i, e_j)} {g(e_j, e_j)} ,

text: e' — исходный базис, e — ортогональный базис, g — скалярное произведение.

text: Вроде похоже. Хотя по-хорошему надо проверить на чём-нибудь вроде Scilab'а. sergey_feo 16:27, 14 августа 2012 (UTC)

text: * Согласен с 109.252.139.11, определение "прожектора" неочевидно и будет постоянно приводить к появлению ошибок.  СтаниславС 07:19, 20 августа 2014 (UTC)
thread_title: Ошибка?

message: Про вопросительные знаки при словах «перпендикуляр» и «гиперплоскость».
Слово перпендикуляр используется в статье там, где хотелось написать «ортогональ», но такого термина нет :-). Термин «перпендикуляр» относится к понятию перпендикулярности, а в статье речь идёт об ортогональности. Насколько я понимаю, в большинстве случаев это одно и то же, поэтому большой ошибки в путании этих понятий нет. Но всё же в общем случае перпендикулярность и ортогональность вроде бы не одно и то же. Перпендикулярность векторов — это, как я понимаю, когда угол 90 градусов. А ортогональность векторов — когда скалярное произведение равно нулю. В обычном случае скалярное произведение векторов при угле между ними 90 градусов равно нулю и перпендикулярность означает то же, что ортогональность. Однако вроде бы теоретически возможны необычные варианты скалярного произведения, и тогда перпендикулярность и ортогональность различаются.
Термин «перпендикуляр» знаком нам со школы и при чтении не вызывает проблем. Если заменить его на фразы вроде «ортогональная проекция» — это будет загромождать текст и тем самым затруднять чтение.
Может быть, подойдёт термин «нормаль»? Но он может путаться у читающего с термином «ортонормирование»: корни одинаковые, а смысл абсолютно разный. И не совсем ясно: нормаль — это перпендикуляр или «ортогональ» (в русскоязычной статье о нормали оба варианта, в англоязычной — перпендикуляр).
Так что не знаю, что делать с перпендикуляром: нарушает он математическую строгость изложения или нет? И если да, то чем его заменить?
Про гиперплоскость. Там, где в англоязычном разделе говорят об ортогональной проекции на подпространство, я использую фразы об ортогональной проекции на гиперплоскость или перпендикуляре к гиперплоскости. На мой взгляд, это должно облегчить чтение. Когда я (не очень разбирающийся в математике человек) прочитываю фразу «ортогональная проекция на подпространство», то воображение сначала рисует мне подпространство кубом. Потому что когда речь о пространстве — первые возникающие образы связаны с нашим обычным трёхмерным пространством.
Дальше ортогональная проекция на это подпространство. Воображение хочет нарисовать перпендикуляр к кубу — но как это сделать? Перпендикуляр к одной из граней — вроде бы не то, нужна перпендикулярность сразу ко всему кубу. Поэтому в воображении получается куб и прямая, входящая под углом куда-то внутрь куба. И возникает ощущение «возникшая картинка — ерунда, не понял». Надо тратить время и пытаться как-то переосмыслить, перестроить то, что поначалу возникло в воображении.
С фразой «перпендикуляр к гиперплоскости» текст получается имхо понятнее. Сначала в воображении читателя возникает не гипер, а просто плоскость, и перпендикуляр к ней. Всё просто и понятно. А приставка «гипер» оставляет в уме след, который можно выразить словами «ну а в более многомерном варианте — по аналогии».
Вопрос к специалистам: корректно заменять в контексте статьи термин «подпространство» на «гиперплоскость» или нет?
Я не уверен, поэтому оставил в тексте статьи знак вопроса.
Про то, что «матрица перехода от \mathbf{a}_1,\;\ldots,\;\mathbf{a}_j к \mathbf{e}_1,\;\ldots,\;\mathbf{e}_j и множество векторов \mathbf{e}_1,\;\ldots,\;\mathbf{e}_j определяются однозначно, если принять, что диагональные элементы матрицы перехода положительны». Эта фраза — переформулировка фразы из старого варианта статьи. Раньше это звучало так:
«Процесс Грама ― Шмидта ― наиболее известный алгоритм ортогонализации, при котором по линейно независимой системе a_1,\;a_2,\;\ldots,\;a_k строится ортогональная система b_1,\;b_2,\;\ldots,\;b_k такая, что каждый вектор b_i линейно выражается через a_1,\;a_2,\;\ldots,\;a_i, то есть матрица перехода от \{a_i\} к \{b_i\} ― верхнетреугольная матрица.
При этом можно добиться того, чтобы система \{b_i\} была ортонормированной и чтобы диагональные элементы матрицы перехода были положительны; этими условиями система \{b_i\} и матрица перехода определяются однозначно». Я не уверен, что при перефразировании не исказил математический смысл.
Про то, что «количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди входных векторов». В англоязычном разделе этому соответствует фраза «the number of vectors output by the algorithm will then be the dimension of the space spanned by the original inputs». Здесь я тоже не уверен, что при перефразировании не исказил математический смысл.
sergey_feo 13:38, 30 мая 2010 (UTC)
thread_title:  Вопросы