Обсуждение:Рациональное число

message: #\mathbb{Q} \ne \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N} \right\} (\mathbb{Q} — мн-во классов эквивалентности правой части.)
#Буквы a и b разных размеров в одном предложении выглядят отвратительно.
Jedal 19:21, 12 Окт 2004 (UTC)

message: :Нет, запись дроби предполагает что это вещественное число, так что ошибки нет (конечно нехорошо определять рациональные числа через вещественные, но для вводного параграфа вполне нормально). Tosha 19:39, 12 Окт 2004 (UTC)
thread_title: Untitled

message: Я не понял, в чём проблема с моей правкой про дробное число. --Тоша 17:14, 16 ноября 2008 (UTC)
replies: text: Замечание Термин дробное число иногда (некорректно) используется как синоним к термину рациональное число не имеет смысла без определения, что же все-таки такое дробное число. Если это не синоним рационального числа, то что? Maxal 18:44, 16 ноября 2008 (UTC)
replies: text: :Я не думаю, что дробное число это термин (может я не прав). Т.е. по-моему ни в какой книге он не определяется... но тем не менее говорят что три вторых это дробное число... --Тоша 00:34, 17 ноября 2008 (UTC)

text: Я думаю, термин дробное число используется в школьной математике и означает рациональное число, не являющееся целым, то есть элемент \mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}. Maxal 01:50, 17 ноября 2008 (UTC)

text: Я тоже сомневаюсь, что есть определение "дробного числа" вообще. По-моему, это синоним дроби (рациональной или десятичной), возможно именно нецелого числа. Ладно, пока не найдём АИ, напишу более обтекаемо. infovarius`
replies: text: : ИМХО, дробное число=дробь, и используется исключительно в школьной математике. Нужно искать АИ. Alexsmail 18:09, 17 ноября 2008 (UTC)
=== Счетность? ===
А правда ли, что рациональных чисел счетное число? Тут есть некоторый парадоксы, которые мне еще никто не разъяснил
* Формальный парадокс - Для любого x, принадлежащего N, верно что он принадлежит Q, но существуют y, который принадлежит Q, но не принадлежит N, следовательно существует множество E=Q\N, и при этом Q является объединением E и N, то есть Q однозначно больше, чем множество E
* В статье написано, что алгоритм нумерования рациональных чисел дает следующую нумерацию: дробь 1/1 сопоставлена 1, дробь 2/1 сопоставлена 2, дробь 3/1 сопоставлена 3, и так далее. Назовите натуральное число, отличное от бесконечности, которое можно сопоставить дроби 1/2
* Допустим, что все рациональные числа пронумерованы. Но мы знаем, что множество рациональных числе всюду плотно, а значит между любыми двумя рациональыми числами надется третье, которое окажется еще не пронумеровано, а мы предположили что все числа пронумернова, а значит получили противорение 
* Самый простой парадокс, но тоже требует объяснения: Для того, чтобы доказать счетность рациональный чисел, нужно установить биекцию между ними и натуральными числами. Установим в качестве биекции фукнцию y=1/x, в которой x индуктивно принимат все возможные натуральные числа. Какому натуральному числу будет тогда соответствовать дробь 2/3 ?
* Можно доказать, что число рациональных чисел равно числу иррациональному, а значит и докадать их несчетность??? Вообще и здесь есть парадокс: Пускай у нас есть рациональное число с m знаком после плавающей точки, прибавим к нему еще одно десятичное число к самый конец десятичной дроби, в результате у нас m+1 знак после плавающей точки, и так будем продолжать процедуру до бесконечности. В какой момент число перестанет быть рациональым и станет иррациональым   212.12.27.157 08:32, 21 сентября 2009 (UTC)
Во-первых, подписывайтесь, джентльмены. Во-вторых, счётность множества рациональных чисел — факт, известный с древнего мира. Поверьте, здесь и сейчас Вам его не опровергнуть. Готов ответить на все ваши «парадоксы» :)
# Всё верно написано, кроме последней фразы. \Q не больше, чем \mathbb{E} = \Q \backslash \N. И в том, и в другом множестве бесконечное число элементов. Таким образом счётность не опровергается.
# Нет. В статье написано иначе. 1/1 действительно соответствует 1, 2/1 — 2, но тройке соответствует не 3/1, а как раз таки 1/2. Дальше идёт 1/3. а 3/1 соответствует пятёрке, т.к. 2/2 пропускается. Это наглядно проиллюстрировано на картинке.
# Пусть все рациональные числа занумерованы. Берём рациональные числа с номерами n и n+1. Между ними тоже существует рациональное число. Но утверждать, что у него нет номера, — безосновательное занятие, ибо мы только что сказали, что все числа занумерованы. У него есть номер, отличный от n и n+1, благо натуральных чисел ещё много.
# В Вашем примере дроби 2/3 действительно не соответствует никакого натурального числа. И это наглядно свидетельствует, что приведённое Вами отношение биекцией не является. Увы. Это вовсе не значит, что настоящих биекций не существует.
# Тут вообще не понял, о чём речь. Число рациональных чисел не есть иррациональное число. Это вообще не число. Это бесконечность. Бесконечность — это абстракция, а не число.
Вот так, друзья. Математика — точная наука. Её не сломаешь такими парадоксами. Shlakoblock 15:47, 20 сентября 2009 (UTC)
Уважаемый Shlakoblock, спасибо Вам большое за ответ!
В принципе, мне частично стало яснее, но не могли бы Вы привести пример той самой загадочной биекции, которая переводит все рациональные числа в натуральные? Это наверное будет какая-то специальная функция типа Гамма-функции, или я вновь ошибаюсь?
Заранее спасибо Вам за ответ :-)
P.S. А что касается подписи то я впринципе подписался, оставив сслыку на свою страницу обсуждения    212.12.27.157 08:32, 21 сентября 2009 (UTC)

text: Пример биекции явно приведён в статье в разделе Счётность. Просто само отношение биекции задано не строгой формулой, а алгоритмом нумерования. Ничего криминального в этом нет, ибо само отображение есть по определению множество, так что в качестве закона, по которому натуральным числам сопоставляются рациональные и обратно, мы можем задать не формулу, а просто формальный алгоритм. См. пункт 2 моего предыдущего комментария. Там написаны первые значения этой загадочной функции. Тут правда есть нюанс: для простоты понимания в статье устанавливается биекция не со всеми рациональными числами, а только с положительными. Но дальше по свойству мощностей множеств выводы легко обобщаются, и всё окончательно доказывается. К слову, можно привести алгоритм и для нумерации всех рациональных чисел сразу. Shlakoblock 17:25, 21 сентября 2009 (UTC)
Уважаемый Shlakoblock, спасибо Вам еще раз за ответ!
В принципе я уже почти готов согласиться с такой трактовкой, то есть то что мощность рациональных чисел равна алеф-нулю. Но хотелось бы еще тогда пояснения следующего факта
Возьмем к примеру множество алгебраических (Нетрансцендентных) иррациональных чисел, фактически каждое из таких чисел представляет упорядоченную четверку (A1,A2,B1,B2), которые можно записать как [math]{\frac{A1}{A2}}^{\frac{B1}{B2}}[/math], и по сути такая четверка представляет собой декартовое произведение QxQ, а раз Q счетно, то и QxQ тоже счетно
В итоге мы доказали, что мнодества алгебраических иррациональных чисел счетно, и я даже могу по аналогии привести алгоритм, только если для рациональных чисел был квадрат, то здесь четерехмерный куб  212.12.27.157 18:32, 21 сентября 2009 (UTC)

text: Абсолютно верно подмечено. Множество алгебраических чисел счётно. Это доказывает, если мне не изменяет память, теорема Кантора. Факт бесспорный и очень интересный, но опять же никак не опровергающий счётности самого множества рациональных чисел. Дело в том, что далеко не все иррациональные числа являются алгебраическими, а лишь их ничтожно малая часть. Shlakoblock 17:30, 22 сентября 2009 (UTC)
Вот это большое спасибо, господин Shlakoblock!
Теперь-то я на самом деле понял всю соль вопроса. Просто до этого некоторые нехорошие люди сказали мне, что множество рациональных счетно, а алгебраических нет, вот я и находился в стопоре, так как их очевидно равное число! Ну а теперь мне четко ясно, что если трансцедентные числа обозначить T, то все числа R\T будут счетны!
Еще раз спасибо за то, что помогли разобраться с теорией множеств!  212.12.27.157 07:13, 23 сентября 2009 (UTC)
thread_title:  Дробное число 

message: А правда ли, что рациональных чисел счетное число? Тут есть некоторый парадоксы, которые мне еще никто не разъяснил
* Формальный парадокс - Для любого x, принадлежащего N, верно что он принадлежит Q, но существуют y, который принадлежит Q, но не принадлежит N, следовательно существует множество E=Q\N, и при этом Q является объединением E и N, то есть Q однозначно больше, чем множество E
* В статье написано, что алгоритм нумерования рациональных чисел дает следующую нумерацию: дробь 1/1 сопоставлена 1, дробь 2/1 сопоставлена 2, дробь 3/1 сопоставлена 3, и так далее. Назовите натуральное число, отличное от бесконечности, которое можно сопоставить дроби 1/2
* Допустим, что все рациональные числа пронумерованы. Но мы знаем, что множество рациональных числе всюду плотно, а значит между любыми двумя рациональыми числами надется третье, которое окажется еще не пронумеровано, а мы предположили что все числа пронумернова, а значит получили противорение 
* Самый простой парадокс, но тоже требует объяснения: Для того, чтобы доказать счетность рациональный чисел, нужно установить биекцию между ними и натуральными числами. Установим в качестве биекции фукнцию y=1/x, в которой x индуктивно принимат все возможные натуральные числа. Какому натуральному числу будет тогда соответствовать дробь 2/3 ?
* Можно доказать, что число рациональных чисел равно числу иррациональному, а значит и докадать их несчетность??? Вообще и здесь есть парадокс: Пускай у нас есть рациональное число с m знаком после плавающей точки, прибавим к нему еще одно десятичное число к самый конец десятичной дроби, в результате у нас m+1 знак после плавающей точки, и так будем продолжать процедуру до бесконечности. В какой момент число перестанет быть рациональым и станет иррациональым   212.12.27.157 08:32, 21 сентября 2009 (UTC)
Во-первых, подписывайтесь, джентльмены. Во-вторых, счётность множества рациональных чисел — факт, известный с древнего мира. Поверьте, здесь и сейчас Вам его не опровергнуть. Готов ответить на все ваши «парадоксы» :)
# Всё верно написано, кроме последней фразы. \Q не больше, чем \mathbb{E} = \Q \backslash \N. И в том, и в другом множестве бесконечное число элементов. Таким образом счётность не опровергается.
# Нет. В статье написано иначе. 1/1 действительно соответствует 1, 2/1 — 2, но тройке соответствует не 3/1, а как раз таки 1/2. Дальше идёт 1/3. а 3/1 соответствует пятёрке, т.к. 2/2 пропускается. Это наглядно проиллюстрировано на картинке.
# Пусть все рациональные числа занумерованы. Берём рациональные числа с номерами n и n+1. Между ними тоже существует рациональное число. Но утверждать, что у него нет номера, — безосновательное занятие, ибо мы только что сказали, что все числа занумерованы. У него есть номер, отличный от n и n+1, благо натуральных чисел ещё много.
# В Вашем примере дроби 2/3 действительно не соответствует никакого натурального числа. И это наглядно свидетельствует, что приведённое Вами отношение биекцией не является. Увы. Это вовсе не значит, что настоящих биекций не существует.
# Тут вообще не понял, о чём речь. Число рациональных чисел не есть иррациональное число. Это вообще не число. Это бесконечность. Бесконечность — это абстракция, а не число.
Вот так, друзья. Математика — точная наука. Её не сломаешь такими парадоксами. Shlakoblock 15:47, 20 сентября 2009 (UTC)
Уважаемый Shlakoblock, спасибо Вам большое за ответ!
В принципе, мне частично стало яснее, но не могли бы Вы привести пример той самой загадочной биекции, которая переводит все рациональные числа в натуральные? Это наверное будет какая-то специальная функция типа Гамма-функции, или я вновь ошибаюсь?
Заранее спасибо Вам за ответ :-)
P.S. А что касается подписи то я впринципе подписался, оставив сслыку на свою страницу обсуждения    212.12.27.157 08:32, 21 сентября 2009 (UTC)
replies: text: Пример биекции явно приведён в статье в разделе Счётность. Просто само отношение биекции задано не строгой формулой, а алгоритмом нумерования. Ничего криминального в этом нет, ибо само отображение есть по определению множество, так что в качестве закона, по которому натуральным числам сопоставляются рациональные и обратно, мы можем задать не формулу, а просто формальный алгоритм. См. пункт 2 моего предыдущего комментария. Там написаны первые значения этой загадочной функции. Тут правда есть нюанс: для простоты понимания в статье устанавливается биекция не со всеми рациональными числами, а только с положительными. Но дальше по свойству мощностей множеств выводы легко обобщаются, и всё окончательно доказывается. К слову, можно привести алгоритм и для нумерации всех рациональных чисел сразу. Shlakoblock 17:25, 21 сентября 2009 (UTC)
Уважаемый Shlakoblock, спасибо Вам еще раз за ответ!
В принципе я уже почти готов согласиться с такой трактовкой, то есть то что мощность рациональных чисел равна алеф-нулю. Но хотелось бы еще тогда пояснения следующего факта
Возьмем к примеру множество алгебраических (Нетрансцендентных) иррациональных чисел, фактически каждое из таких чисел представляет упорядоченную четверку (A1,A2,B1,B2), которые можно записать как [math]{\frac{A1}{A2}}^{\frac{B1}{B2}}[/math], и по сути такая четверка представляет собой декартовое произведение QxQ, а раз Q счетно, то и QxQ тоже счетно
В итоге мы доказали, что мнодества алгебраических иррациональных чисел счетно, и я даже могу по аналогии привести алгоритм, только если для рациональных чисел был квадрат, то здесь четерехмерный куб  212.12.27.157 18:32, 21 сентября 2009 (UTC)

text: Абсолютно верно подмечено. Множество алгебраических чисел счётно. Это доказывает, если мне не изменяет память, теорема Кантора. Факт бесспорный и очень интересный, но опять же никак не опровергающий счётности самого множества рациональных чисел. Дело в том, что далеко не все иррациональные числа являются алгебраическими, а лишь их ничтожно малая часть. Shlakoblock 17:30, 22 сентября 2009 (UTC)
Вот это большое спасибо, господин Shlakoblock!
Теперь-то я на самом деле понял всю соль вопроса. Просто до этого некоторые нехорошие люди сказали мне, что множество рациональных счетно, а алгебраических нет, вот я и находился в стопоре, так как их очевидно равное число! Ну а теперь мне четко ясно, что если трансцедентные числа обозначить T, то все числа R\T будут счетны!
Еще раз спасибо за то, что помогли разобраться с теорией множеств!  212.12.27.157 07:13, 23 сентября 2009 (UTC)
thread_title:  Счетность? 

message: ratio означает "счет, расчет, разум", но точно не "отношение, деление, дробь"
81.25.53.29 11:12, 3 декабря 2011 (UTC)Андрей
*ratio. Если есть ВП:АИ, ВП:Правьте смело. Fractaler 14:07, 5 декабря 2011 (UTC)
thread_title:  ratio 

message: Начало статьи следует изменить - во-первых, деление пирога - не главная причина введения понятия рационального числа, а во-вторых. фраза "грубая оценка пространственных
отношений протяжённых объектов' - абсолютная бессмыслица.Далее, в первой главе говорится о численно равных дробях, но при этом не говорится, какие дроби считаются равными.
Понятие высоты дроби - не самое важное, и его можно  бы и опустить, но уж если давать определение, то правильное: не модуль суммы числителя и знаменателя, а сумма модуля числителя 
и знаменателя ( в вашем примере числитель равен -15, знаменатель равен 9 и модуль суммы равен 6, а не 24).
Непонятно почему вы не упоминаете о делении дробей, а ведь возможность деления любых рациональных чисел и явилась одной из главных причин возникновения этого понятия.
Ниже вы, правда, говорите о существовании обратных чисел, но не указываете его вид для данного числа.
Не очевидно, что нужно приводить подробное доказательство счётности множества рациональных чисел (тем более, что некоторые читатели вам всё равно не верят - Это, конечно, их проблемы, но это говорит о том, что многие не готовы к понятиям теории множеств и лучше их просто отослать туда). Gnivic 22:20, 8 января 2012 (UTC)
thread_title:  некоторые замечания 

message: википедия - не форум, ну да ладно (впринципе это не плохо было бы отразить в статье). Чего такого рационального в этих дробных числах, почему их называют рациональными?
FeelUs 18:20, 25 января 2012 (UTC)
thread_title:  название чисел 

message: В статье верно сказано что 3/4 равно 9/12, и оба эти числа относятся к множеству рациональных
чисел, и это полностью согласуется с определением. Но число 0.003/0.009, например, которое
равно этим обоим числам по определению не принадлежит множеству рациональных чисел, т.к. числитель
 и знаменатель не целые и не натуральные. А как равные числа могут не принадлежать
одному множеству. Я  помню другое определение рационального числа. А именно,
любая десятичная дробь, имеющая любое конечное число значимых цифр после дес.точки, а также
любая простая дробь, числителем и знаменателем которой есть такие дроби, а не только целые или
натуральные, будет числом рациональным. Путём несложных преобразований можно из таких чисел получить
равные им дроби удовлетворяющие определению в статье. К статье нет никаких претензий, с точки
зрения математической правильности, но вот с точки зрения полноты изложения, я бы добавил
несколько пояснений. Рациональные числа не только представленные в виде m/n , но и те, которые
могут быть приведены к такому виду.
       95.158.60.174 17:50, 12 февраля 2013 (UTC) С ув.Валерий.
thread_title:  Дополнительное пояснение 

message: # при делении на весь ряд целых кроме нуля множества целых мы получаем те же ограничения множества рациональных чисел => ограничение только натуральными числами избыточно
# согласно ссылке в статье на определение натуральных чисел, для избежания неоднозначного толкования требуется уточнение что оно не равно нулю
Предлагаю заменить на определение аналогичное английской вики --46.163.180.112 06:57, 9 августа 2016 (UTC)
* Согласен. Так как иногда 0 считается натуральным числом, а для знаменателя важно, только то, что он не равен 0, то замена в определении условия, что знаменатель - натуральное число, на условие, что знаменатель - ненулевое целое число, мне кажется разумным. — Алексей Копылов ✍ 🐾 20:38, 10 августа 2016 (UTC)
thread_title:  Натуральные числа - избыточное ограничение, требующее уточнения