Обсуждение:Символ Леви-Чивиты

message: Мне кажется, по-русски все же надо Леви-Чивиту склонять. Вроде это, с одной стороны, достаточно часто делается практически, с другой, иначе напоминает родительный падеж от "Чивит". Может быть, правда, я ошибаюсь, и несколько отстал от моды...
Т.е. предложение изменить название статьи на "Символ Леви-Чивиты".
Сергей Сашов91.122.83.208 23:40, 15 января 2008 (UTC)
replies: text: Ещё бы узнать, на какую гласную падает ударение (в итальянском произношении) ... Если на последнюю - то склонять точно не надо. Мы произносили со склонением, но в то же время произносили и "метод Рунге-Кутта", так что надо ещё исследовать этот вопрос... infovarius 14:12, 16 января 2008 (UTC)
replies: text: : Верно. Я-то понадеялся поначалу на то, что ударение обычное для итальянского (как произносили люди вживую - как следует не помню, да и полагаться на это трудно). Пришлось тогда теперь лезть в бумажный словарь. Но всё так и есть: ударение на предпоследнем слоге, и в "Леви" и в "Чивита". Так что, если словарь не ошибается ...

text: : С другой стороны, вижу, что в интернете, похоже, в 2-3 раза преобладает несклоняемый вариант. Хочется думать, что это всё же не стало абсолютной нормой, а просто неосознанное влияние английского итд... Как Ньютон на последнем слоге из-за французкого, наверное, в свое время : )
А с методом "Рунге-Кутта" - да, однако. У нас тоже никогда не склоняли. Но именно из-за этого я до сего дня даже мысли не имел, что он "Кутта", а не "Кутт". Интересно. Тенденция, похоже... 91.122.20.66 05:57, 17 января 2008 (UTC)
Кстати, в бумажном словаре - действительно "Кутты" написано. Может быть, он уже устарел... : )
*В итальянском ударение на предпоследний слог, если оно не проставлено специально над гласной последнего слога. Так что нужно склонять. AndyVolykhov ↔ 22:52, 19 января 2008 (UTC)
thread_title:  Склонение 

message: Э{}_{ijk}
- я не встречался с обозначением Э, оно действительно применяется?
Что касается начертания епсилона как на картинке, я его вставил выше...
Сергей Сашов
replies: text: Вроде у нас встречалось... Попробую найти в книгах. infovarius 14:12, 16 января 2008 (UTC)
replies: text: : ну, тогда можно бы и восстановить. Разве только это что-то вроде шутки было в узком кругу, тогда, наверное, в википедии бы не стоило. По сети Э вроде не ищется, на первый взгляд, по крайней мере. Может быть, еще, это при переписке по эл.почте вместо \epsilon русское э пишут для краткости и читаемости... 91.122.20.66 05:56, 17 января 2008 (UTC)
thread_title:  Обозначение 

message: Всё же очевидно какие угодно векторы для определения \epsilon_{ijk} через смешанное произведение брать нельзя, иначе придется не равенство, а пропорциональность писать, или на объем делить, даже если он и не ноль. Я там расширил в более-менее разумных пределах, раз уж только ортонормированного базиса кажется для этого опредления мало.
Сергей Сашов 78.37.225.138 18:03, 17 января 2008 (UTC)
=== Сюда же ===
В случае линейных преобразований координат с неединичным детерминантом в принципе есть две возможности обозначений : 1) сохранить обозначение \varepsilon_{ijk} для представления тензора (при этом значения его компонент перестают иметь единичный модуль) или 2) сохранить за символом \varepsilon_{ijk} смысл величины, компоненты которой имеют именно единичное по абсолютной величине значение (как в определении выше), но тогда она уже не будет тензором относительно этих преобразований, и для тензора придется выбрать полностью другое обозначение или добавить к \varepsilon_{ijk} множитель, равный объему параллелепипеда, построенного на базисных векторах (для ортонормированных базисов и базисов, полученных из первых преобразованием с единичным детерминантом, этот множитель равен единице). 
Автору этого абзаца выше, какой из путей более принят (кажется, все же второй? - ради сохранения первого определения), и это хотелось бы уточнить. — Это неподписанное сообщение было добавлено 91.122.121.221 (обс · вклад) 
replies: text: В общем, пока не заглядывая в книги, я вспоминаю, что единичный детерминант вообще слабо связан с сабжем (точнее говоря, только в ортонормированных координатах), а общее определение как раз через смешанное произведение координатных векторов. Надо взяться, и написать в этом духе... infovarius 16:41, 19 января 2008 (UTC)
replies: text: : Т.е. всё же кажется, что определение 2 более хорошее? ну, по крайней мере оно точно встречается, а встречается ли альтернативное (1), т.е. где компоненты ε всегда +1,0,-1, я за пределами базисов с \ \sqrt{g} = 1 не могу поручиться.
replies: text: :: В смысле первое. Когда это тензор, но без сохранения единиц. infovarius 20:48, 19 января 2008 (UTC)
Тогда новое простое определение \ \epsilon_{ijk...} = \sqrt{g}\ \varepsilon_{ijk...}\ , где \ \epsilon - это новое определение, а \ \varepsilon - это старое определение начала статьи со значениями +1,0,-1 (компоненты нового \epsilon тогда принимают значения 0,±\sqrt{g}, а тогда кстати с верхними индексами новое \ \epsilon^{ijk...} = 1/\sqrt{g} \varepsilon_{ijk...}\  .
И тогда символ эпсилон - (псевдо-)тензор для любых преобразований базиса.
Если так, то все формулы для (гипер-)площадей и объемов, что там в статье ниже, через свертку с эпсилон, будут совсем правильными без оговорок и поправок, а со старым - либо ограничивать случаем \sqrt{g} = 1 надо, либо этот  \sqrt{g} туда явно вносить.
Что касается связи детерминанта с эпсилон, то там подразумевается стандартный базис, и определение тут совпадает со старым... Хотя, наверное, оговорка нужна про то, что подразумевается (что метрика единичная).
Тогда выходит, можно переписывать первое определение не через +1,0,-1, а через 
\sqrt{g}, 0, -\sqrt{g} ? Или всё же кто-то видел употребление символа всегда с +1,0,-1, независимо от того, равен ли \sqrt{g} единице или нет?
Сергей Сашов91.122.121.221 20:12, 19 января 2008 (UTC)
Хотя можно, как в английской версии статьи, сначала подробно всё расписать для ортонормированных базисов, а в конце (чего там, вроде, нет) - уже с общим видом метрики?
Честно говоря, не знаю, как лучше: если сначала через ортонормированный, то вроде начинающим более понятно и постепеннее всё, зато сразу общий случай - компактнее, очевидно, повторов, наверное, многих можно избежать...
Сергей Сашов 91.122.121.221 20:19, 19 января 2008 (UTC)

text: Я думаю, что лучше ввести общее определение (причём я бы ввёл просто как \varepsilon_{ijk}=\vec{R}_i\cdot(\vec{R}_j\times\vec R_k) - нас так учили), а потом упомянуть в частных случаях - ПДСК, может ещё цилиндрическую и сферическую... infovarius 20:48, 19 января 2008 (UTC)
replies: text: : Если \vec R_i,\vec R_j,\vec R_k - базисные векторы того базиса, представление в котором тензора Л-Ч мы хотим иметь, то всё в порядке, вроде всё согласуется.

text: : Я уже переписал параграф с определениями так, чтобы всё это согласовалось, и поправил дальше, где заметил. (На порядке и стиле не настаиваю).

text: : Но всё же у меня остаются сомнения по поводу такого определения символа. Ведь старое (для ортонормированных итп базисов) обладало тем замечательным преимуществом, что символ был совершенно универсальным и никак от базиса не зависел! А хороший настоящий (псевдо-)тензор тогда записывался бы через этот старый единичный символ очень просто: домножением его на скаляр корень из g, в котором сосредоточена вся зависимость от базиса!

text: : Вот \ \delta_{ij} - тоже ведь тензор относительно вообще ничего, кроме ортогональных преобразований, но символ простой, хороший, а если надо обобщить - то уже другая буква берется: \ g_{ij}.

text: : Впрочем, раз \ \varepsilon называется тензором, так пусть действительно будет тензор - относительно всего. А уж "единичность" его пусть можно глазами увидеть только в подходящем выделенном классе базисов. Наверное, действительно, так корректнее; да и примеров противоположной трактовки (для произвольных базисов, конечно) мне так и не удалось припомнить. Вполне возможно, что действительно, в отличие от дельты, так никто с эпсилоном не делает. Серг.Сашов91.122.121.221 21:38, 19 января 2008 (UTC)

text: : По-моему, следует четко разделить понятия "тензор Леви-Чивиты" и "символ Леви-Чивиты". Символом \ \varepsilon_{ijk} назван именно потому, что он не тензор и всегда принимает значения +1,0,-1 независимо от базиса. Вспомните, что символы Кристоффеля тоже тензорами не являются. Сейчас в статье наблюдается путаница именно из-за отсутствия такого четкого разделения. Кстати, в работе http://rdt45m.narod.ru "символ Леви-Чивиты" именуется "символом Веблена", чтобы отличить его от тензора. И, кстати, в ссылке на Hermann R. указано, что на стр. 31 дано определение символа, а в тексте самой работы речь идет о тензоре. (195.182.154.82 14:48, 16 февраля 2010 (UTC))
replies: text: :: Упомянутая выше работа http://rdt45m.narod.ru издана в виде книги: Речкалов В.Г.
Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников: учеб. пособие для вузов / В.Г. Речкалов. – Челябинск: ИИУМЦ "Образование", 2008. – 140 с., ISBN 978-5-98314-303-6
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Rechkalov2008ru.pdf (195.182.154.82 09:01, 17 февраля 2010 (UTC)))
thread_title:  Определение через смешанное произведение 

message: В случае линейных преобразований координат с неединичным детерминантом в принципе есть две возможности обозначений : 1) сохранить обозначение \varepsilon_{ijk} для представления тензора (при этом значения его компонент перестают иметь единичный модуль) или 2) сохранить за символом \varepsilon_{ijk} смысл величины, компоненты которой имеют именно единичное по абсолютной величине значение (как в определении выше), но тогда она уже не будет тензором относительно этих преобразований, и для тензора придется выбрать полностью другое обозначение или добавить к \varepsilon_{ijk} множитель, равный объему параллелепипеда, построенного на базисных векторах (для ортонормированных базисов и базисов, полученных из первых преобразованием с единичным детерминантом, этот множитель равен единице). 
Автору этого абзаца выше, какой из путей более принят (кажется, все же второй? - ради сохранения первого определения), и это хотелось бы уточнить. — Это неподписанное сообщение было добавлено 91.122.121.221 (обс · вклад) 
replies: text: В общем, пока не заглядывая в книги, я вспоминаю, что единичный детерминант вообще слабо связан с сабжем (точнее говоря, только в ортонормированных координатах), а общее определение как раз через смешанное произведение координатных векторов. Надо взяться, и написать в этом духе... infovarius 16:41, 19 января 2008 (UTC)
replies: text: : Т.е. всё же кажется, что определение 2 более хорошее? ну, по крайней мере оно точно встречается, а встречается ли альтернативное (1), т.е. где компоненты ε всегда +1,0,-1, я за пределами базисов с \ \sqrt{g} = 1 не могу поручиться.
replies: text: :: В смысле первое. Когда это тензор, но без сохранения единиц. infovarius 20:48, 19 января 2008 (UTC)
Тогда новое простое определение \ \epsilon_{ijk...} = \sqrt{g}\ \varepsilon_{ijk...}\ , где \ \epsilon - это новое определение, а \ \varepsilon - это старое определение начала статьи со значениями +1,0,-1 (компоненты нового \epsilon тогда принимают значения 0,±\sqrt{g}, а тогда кстати с верхними индексами новое \ \epsilon^{ijk...} = 1/\sqrt{g} \varepsilon_{ijk...}\  .
И тогда символ эпсилон - (псевдо-)тензор для любых преобразований базиса.
Если так, то все формулы для (гипер-)площадей и объемов, что там в статье ниже, через свертку с эпсилон, будут совсем правильными без оговорок и поправок, а со старым - либо ограничивать случаем \sqrt{g} = 1 надо, либо этот  \sqrt{g} туда явно вносить.
Что касается связи детерминанта с эпсилон, то там подразумевается стандартный базис, и определение тут совпадает со старым... Хотя, наверное, оговорка нужна про то, что подразумевается (что метрика единичная).
Тогда выходит, можно переписывать первое определение не через +1,0,-1, а через 
\sqrt{g}, 0, -\sqrt{g} ? Или всё же кто-то видел употребление символа всегда с +1,0,-1, независимо от того, равен ли \sqrt{g} единице или нет?
Сергей Сашов91.122.121.221 20:12, 19 января 2008 (UTC)
Хотя можно, как в английской версии статьи, сначала подробно всё расписать для ортонормированных базисов, а в конце (чего там, вроде, нет) - уже с общим видом метрики?
Честно говоря, не знаю, как лучше: если сначала через ортонормированный, то вроде начинающим более понятно и постепеннее всё, зато сразу общий случай - компактнее, очевидно, повторов, наверное, многих можно избежать...
Сергей Сашов 91.122.121.221 20:19, 19 января 2008 (UTC)

text: Я думаю, что лучше ввести общее определение (причём я бы ввёл просто как \varepsilon_{ijk}=\vec{R}_i\cdot(\vec{R}_j\times\vec R_k) - нас так учили), а потом упомянуть в частных случаях - ПДСК, может ещё цилиндрическую и сферическую... infovarius 20:48, 19 января 2008 (UTC)
replies: text: : Если \vec R_i,\vec R_j,\vec R_k - базисные векторы того базиса, представление в котором тензора Л-Ч мы хотим иметь, то всё в порядке, вроде всё согласуется.

text: : Я уже переписал параграф с определениями так, чтобы всё это согласовалось, и поправил дальше, где заметил. (На порядке и стиле не настаиваю).

text: : Но всё же у меня остаются сомнения по поводу такого определения символа. Ведь старое (для ортонормированных итп базисов) обладало тем замечательным преимуществом, что символ был совершенно универсальным и никак от базиса не зависел! А хороший настоящий (псевдо-)тензор тогда записывался бы через этот старый единичный символ очень просто: домножением его на скаляр корень из g, в котором сосредоточена вся зависимость от базиса!

text: : Вот \ \delta_{ij} - тоже ведь тензор относительно вообще ничего, кроме ортогональных преобразований, но символ простой, хороший, а если надо обобщить - то уже другая буква берется: \ g_{ij}.

text: : Впрочем, раз \ \varepsilon называется тензором, так пусть действительно будет тензор - относительно всего. А уж "единичность" его пусть можно глазами увидеть только в подходящем выделенном классе базисов. Наверное, действительно, так корректнее; да и примеров противоположной трактовки (для произвольных базисов, конечно) мне так и не удалось припомнить. Вполне возможно, что действительно, в отличие от дельты, так никто с эпсилоном не делает. Серг.Сашов91.122.121.221 21:38, 19 января 2008 (UTC)

text: : По-моему, следует четко разделить понятия "тензор Леви-Чивиты" и "символ Леви-Чивиты". Символом \ \varepsilon_{ijk} назван именно потому, что он не тензор и всегда принимает значения +1,0,-1 независимо от базиса. Вспомните, что символы Кристоффеля тоже тензорами не являются. Сейчас в статье наблюдается путаница именно из-за отсутствия такого четкого разделения. Кстати, в работе http://rdt45m.narod.ru "символ Леви-Чивиты" именуется "символом Веблена", чтобы отличить его от тензора. И, кстати, в ссылке на Hermann R. указано, что на стр. 31 дано определение символа, а в тексте самой работы речь идет о тензоре. (195.182.154.82 14:48, 16 февраля 2010 (UTC))
replies: text: :: Упомянутая выше работа http://rdt45m.narod.ru издана в виде книги: Речкалов В.Г.
Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников: учеб. пособие для вузов / В.Г. Речкалов. – Челябинск: ИИУМЦ "Образование", 2008. – 140 с., ISBN 978-5-98314-303-6
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Rechkalov2008ru.pdf (195.182.154.82 09:01, 17 февраля 2010 (UTC)))
thread_title:  Сюда же 

message: Надо бы эти обозначения как-то упорядочить. А то и вовсе одно что-то выбрать в пределах статьи.
Сейчас как-то совсем беспорядочно то и другое перемешано, даже в соседних строках!
Вопросы - 
1) что лучше?
2) делать ли различие в этих обозначениях для трехмерного и общего случаев?
91.122.121.221 22:02, 19 января 2008 (UTC)
replies: text: У меня предпочтений нет. Встречал поровну и так и так. Но конечно надо привести к одному виду. Наверное, нагляднее стрелочки (да и ТеХ-команда короче :) ). infovarius 22:43, 19 января 2008 (UTC)
thread_title:  Жирный шрифт vs стрелочки для векторов 

message: А не будет ли правильнее писать \vec e_i как вектора базиса вместо \vec e^i? Ну и компоненты получившегося вектора писать как S^i вместо S_i?
Prijutme4ty 19:34, 16 ноября 2008 (UTC)
thread_title:  Векторное произведение. 

message: Если система координат подвергается преобразованию четности, то координаты истинных векторов a_j и b_k заменяются на -a_j и -b_k. Если при этом, как сказано в статье, в левом базисе компоненты \epsilon_{ijk} будут противоположны тем, что в правом, то формула для компонент векторного произведения [a \times  b]_i = \sum_{j,k} \epsilon_{ijk} даст значения, противоположные тем, что были в правом базисе. Этого быть не должно -- по определению псевдовектора (каковым является векторное произведение) значения не должны менять знак при таком преобразовании. Насколько я понимаю, переопределение \epsilon_{ijk} должно сопровождаться введением знака минус перед правой частью формулы векторного произведения, либо \epsilon_{ijk} не надо переопределять.
Автор сообщения:  85.140.21.180 13:18, 7 июля 2011 (UTC)
формулы подправлены мной 212.92.187.84 08:54, 8 июля 2011 (UTC)
thread_title:  С [[ВП:СО#Символ Леви-Чивиты]]