Обсуждение:Теоремы Гёделя о неполноте

message: То есть континуум-гипотезу и аксиому выбора можно без нарушения непротиворечивости добавить даже к аксиоматикам, содержащим отрицания континуум-гипотезы и аксиомы выбора? Красота! :)
replies: text: Нет, нельзя, поскольку в аксиоматике, содержащей отрицание континуум-гипотезы, ложность континуум-гипотезы доказывается элементарно. А речь шла о тех формулах, которые нельзя в данной конкретной аксиоматике ни доказать, ни опровергнуть.Termar 08:11, 14 сентября 2005 (UTC)
Не о математике тут должна идти речь, а о ZF - и то в предположении её изначальной непротиворечивости, каковая (в отличие от формальной арифметики) отнюдь пока не доказана!
Да и вообще не очень ясно, зачем к тексту об арифметической теореме приплетена континуум-гипотеза.
Гастрит

text: Поправил это утверждение в статье на корректное. halyavin 15:29, 8 сентября 2005 (UTC)
replies: text: : Увы, нет. Цитата: Примерами таких утверждений для теории множеств с аксиоматикой Цермело-Френкеля (ZF) могут служить континуум-гипотеза и аксиома выбора. Но ведь эта фраза автоматически означает, что ZF непротиворечива! Кто это доказал? Когда? Где?

text: : И наконец: теорема Гёделя утверждает общий факт: в любом достаточно "жирном" непротиворечивом логическом исчислении найдётся замкнутая формула, невыводимая вместе со своим отрицанием. Почему же в качестве иллюстрации к этой теореме приводится ссылка на то, что в некотором конкретном исчислении невыводима (причём это ещё бабушка надвое сказала - непротиворечивость ZF не доказана!) конкретная формула?! Да добавить эту формулу к числу аксиом - и всего делов! С тем же успехом можно ссылаться на невыводимость пятого постулата в абсолютной геометрии (каковая была обнаружена задолго до теоремы Гёделя и уж точно не имеет к ней ни малейшего касательства).

text: : Гастрит 11:25, 9 сентября 2005 (UTC)

text: Возможно я ошибаюсь, но непротиворечивость ZF не может быть доказана (да и на основе чего ее доказывать, на основе ZF?), а потому принимается как данное (иначе вообще нельзя ничего вывести).На счет того, имеют ли подобные примеры отношение к теореме Геделя — сложный вопрос. Может стоит создать отдельную статью "Не доказуемые утверждения" с подобными примерами? (кого-нибудь с каферды логики бы сюда...) halyavin 13:52, 9 сентября 2005 (UTC)
replies: text: : Простите, глубокоуважаемый представитель кафедры дискретной математики (не ошибся? ;)), но это нисколько не влияет на то обстоятельство, что в случае противоречивости ZF и континуум-гипотеза, и аксиома выбора, и вообще всё, что душе угодно, выводятся в ZF. Поэтому в утверждениях, аналогичных обсуждаемому, предположение о непротиворечивости ZF всегда следует специально оговаривать. Тем более, если текст пишется для неспециалистов - нечего устраивать фальшивый парад благополучия! Это раз.

text: : Затем: уж Вам-то, насколько я понимаю, должно быть известно, что ZF - это самое обычное исчисление, не лучше и не хуже других, и вопрос о непротиворечивости ZF - это просто-напросто вопрос о том, выводится ли в оном исчислении некое конкретное слово (стандартное противоречие). Для рассмотрения этого вопроса никакая апелляция к теоретико-множественным представлениям не требуется (как, собственно, она не требуется в любом имеющем реальное содержание математическом вопросе). Кстати, утверждение, будто ZF (или NBG, или NF, или другая аналогичная чертовщина) есть основа всей математики - это вообще полная чушь: окажись любая из этих аксиоматик противоречивой, ЭВМ работать не перестанут, и 2\times 2 не превратится в 5.

text: :Теперь про отношение континуум-гипотезы к теореме Гёделя. Вероятно (если уж народ так желает упомянуть в связи с этой теоремой непришейкобылехвостную ZF), следовало бы сказать нечто в таком духе: "если ZF непротиворечива, то применительно к ней - а также к любому расширяющему её непротиворечивому исчислению - обязательно должны найтись формулы, невыводимые вместе со своими отрицаниями. В частности, для ZF таковыми (в случае предположения о непротиворечивости) являются континуум-гипотеза etc.". Гастрит 15:21, 9 сентября 2005 (UTC)

text: Вроде бы математику можно строить так: ZF(C) -> натуральные числа (в частности аксиоматика Пеано) -> понятие языка и исчисления (слово это множество букв, у предиката натуральное число аргументов). Поэтому цикл неизбежно получается. Другое дело, что можно начинать с разных мест (т.е. в качестве основы можно брать натуральные числа или понятие языка и исчисления) и если начинать с другого места, то непротиворечивость ZF может стать доказуемой. (могу все-таки ошибаться: дискра - не логика ;) )

text: Последняя фраза, действительно, корректнее. Без доказательства больше сказать не о чем ;). Или, действительно, лучше все такие примеры в отдельную статью вынести... halyavin 13:02, 11 сентября 2005 (UTC)
Непонимаю, что в математике, точной науке, в определении (!) значит "достаточно богатой". Сам вообще не разбираюсь в теме, так что поверьте - это "достаточно" сильно запутывает. См. английский вариант: "For any consistent formal theory that proves basic arithmetical truths..." — AL
А если применить оную теорему к ней самой? Не получится ли, что она пилит сук, на котором сидит? То есть, почему-то себя любимую применяемая логика считает абсолютно истинной, эдакий Господь Бог, отделяющей агнцев от козлищ! Быть может проблема не в теории, обвиняемой в неполноте, а в теории, выдвигающей таковое заключение? Проблема не в объекте измерения, а в инструменте измерения?

text: Эту теорму нельзя применить к ней самой, так как  в ней идет речь о формальных теориях, а не о теорамах.
thread_title: Untitled

message: Вот я как раз неспециалист, и о ZF ничего не знаю. Поэтому я приведу пример попроще.
Пусть есть теория первого порядка. Пусть, для определенности, это будет система с конечным числом аксиом и правилом замены (например, система Гильберта-Аккермана из книги "Основы теоретической логики"). Легко проверить, что формула X (т.е. пропозициональная буква X) в этой теории невыводима, как и ее отрицание. Однако, добавив эту формулу к числу аксиом, мы сразу получим противоречие (применив правило замены).
Наверное, не всякую невыводимую формулу можно добавлять к числу аксиом. Текущая же формулировка ("Например, такое утверждение можно добавить к системе аксиом, оставив её непротиворечивой") требует пересмотра.
 Михаил Сабуров 16:09, 18 апреля 2008 (UTC)
Что за бред? Помоему с младших классов известно всем, что если принять что-то за истину, а потом получить противоречие, то значит что исходное предположение не верно, а значит оно опровергается в рамках исходной аксиоматики - метод доказательства от противного был известен ещё грекам.
Если предположение действительно нельзя ни доказать, ни опровергнуть то оно никак не может испортить непротиворечивую теорию, а наоборот только усиляет её.
86.110.178.202 18:56, 29 сентября 2008 (UTC)Денис
thread_title:  О новых аксиомах 

message: Многие не знают, что собственно за доказательство у первой теоремы Гёделя о неполноте. Ход доказательства можно видеть, например, в популярной книжке Р. Пенроуза "Новый ум короля". Оно основано на нумерации формальных записей, в том числе записей, содержащих слово "доказывает" (такая-то запись доказывает то-то). Соответственно, оно дано для алгебры, допускающей высказывания о самой себе. Оно НЕ дано для формальной арифметики Пеано (см. en:Peano axioms#Consistency: «Gödel himself pointed out the possibility of giving a finitistic consistency proof of Peano arithmetic or stronger systems by using finitistic methods that are not formalizable in Peano arithmetic, and in 1958 Gödel published a method for proving the consistency of arithmetic using type theory.»). Оно НЕ дано для какой-либо формальной арифметики конечного порядка. Дано только для такой вот рекурсивной формальной арифметики. Например, у англичан есть вот такая формулировка: «Gödel's incompleteness theorems show that theories capable of expressing their own provability relation and of carrying out a diagonal argument are capable of proving their own consistency only if they are inconsistent.» (en:Consistency proof). Нам надо придумать свою похожую формулировку. Кстати, есть класс алгебр, доказывающих собственную полноту (en:Self-verifying theories). Alone Coder 17:38, 8 января 2009 (UTC)
Недавно, в 1997 г. (Зенкин А. А., ДАН, т. 356), опубликовано доказательство некорректности диагонального метода Кантора, на оснвоании которого доказывались теоремы Гёделя. Возникает потребность в переобосновании этих теорем.
replies: text: : И кто хотя бы из российских логиков признал это доказательсво некорректности?
replies: text: : Снесите эту ремарку, куда нибудь из основной статьи.
В доказательстве использовался диагональный метод Кантора и оно было весьма объёмным (более сотни станиц в изложении Клини), однако в 1996 году Зенкиным была показана некорректность диагонального метода Кантора, в связи с чем потребовалось иное обоснование этой теоремы, которое было найдено в начале XXI века российским математиком Чечулиным.

text: : Рецензент?
replies: text: :: я Чечулина сейчас посмотрел, как-то не очень аккуратно, он например запросто раскрывает скобки a={a}=, то есть одетая или голая девушка ему разницы нет. Или пишет у пустого множества есть свойство, что оно само себе принадлежит ф e ф. В общем не математика. Как и тут, "набросок доказательства" ёмаё. Если что не выводимо по-простому, то есть формула лежит отдельно от остальных, то к ней всё же можно добраться с помощью некоего "логического броска" :) Цирк да и только. NOwiking 03:54, 18 августа 2012 (UTC)
replies: text: ::: Слово "набросок" мне тоже кажется неудачным. Есть предложения? Например, я подумываю исправить на "схема доказательства". --Kuzmaka 10:09, 19 августа 2012 (UTC)
thread_title:  Надо бы уточнить 

message: Что означает "достаточно богатой" или "достаточно сложной"?
В данном контексте это означает, что средствами формализма можно построить арифметику. DmitryGmyrak 10:59, 14 февраля 2012 (UTC)
thread_title:  "достаточно богатой" 

message: Первая теорема Гёделя (как, впрочем, скорее всего и вторая) говорит не про логику первого порядка, а вообще про любое исчесление, на которое наложены определённые ограничения. То есть не обязательно в этой логике факты записываются так: \forall\,x\,\exists\,y\,\,x+y=0. Они могут быть такие: srhigner\forall sdgiorfg?jio.,!. Safinaskar 04:46, 8 июня 2009 (UTC)
thread_title:  Переписать 

message: Господа, давайте не будем свои домыслы вписывать в Вики-статью! Создавайте свои сайты и там пишите всё, что вашей душе угодно. А в Вики-статью надо вписывать только то, что общепризнанно, даже, если вам это непонятно. Например, если вам лично непонятно, что означает "истинно" и одновременно "недоказуемо", то это не повод для того, чтобы править статью. Вот, например, цитата из книги Успенского "Теорема Гёделя о неполноте": при определённых условиях в языке существует недоказуемое истинное утверждения. Обратите внимание на слово "истинное" и на то, что автор является доктором физмат наук с 64-го года, учеником Колмогорова. Поэтому, очень большая просьба, если вы сами не являетесь таким же солидным учёным и при этом не понимаете данного предложения, то просто поверьте профессионалу! На этом я считаю, что предмет для войны правок исчерпан: правило об отсутствии оригинальных исследований в Вики весьма чёткое, а приведённая мною цитата так же весьма чёткая. Если есть желание разобраться, то можете обратиться к книге или к обсуждению, но статью оставьте такой, какой я её сейчас сделаю! Dims 08:34, 14 июля 2009 (UTC)
replies: text: Хорошо, пусть это правильно. Может, тогда поясните это слово в тексте? А то статья от его употребления, мне кажется, становится менее понятной. --infovarius 19:09, 14 июля 2009 (UTC)
replies: text: : В этом слове суть понятия неполноты: теория не может охватить предмета своего исследования, то есть, в предмете исследования есть истины, которые невыводимы в теории. То есть, теория "меньше" своего предмета и вечно нуждается в дополнении, она неполна.

text: :А простая возможность добавления новых аксиом в теорию (как это было представлено до моих правок) ничего особенного собой не представляет.

text: :Допустим, мы рассматриваем людей. Бац -- добавили аксиому, что все являются женщинами -- и всё, просто сузили область рассмотрения и оставили в ней только женщин. То же самое относится к пятому постулату Евклида -- это просто новая аксиома, сужающая область рассмотрения. Теория с 5-м постулатом -- это геометрия плоского пространства, теория с постулатом Лобачевского -- это геометрия пространства постоянной отрицательной кривизны, а теория без пятого постулата -- это геометрия в пространстве произвольной кривизны. То есть, 5-й постулат просто сужает предмет рассмотрения до пространств с определённой кривизной. Иными словами, невозможность доказать 5-й постулат иллюстрирует совсем не то, о чём говорит теорема Гёделя.

text: :Собственно говоря, мои правки очевидны даже из самой данной статьи. Смотрите: вторая теорема говорит, что примером невыводимого утверждения является утверждение о непротиворечивости данной теории. Но это же не значит, что непротиворечивость произвольна! Допустим, арифметика непротиворечива. По 2-й теореме это невыводимо. Но это же не значит, что мы можем произвольно добавить аксиому, что арифметика противоречива! Dims 08:41, 16 июля 2009 (UTC)
replies: text: :: А почему "арифметика непротиворечива" - это истина? Может, это ложь, но так же недоказуемая? infovarius 21:48, 16 июля 2009 (UTC)
replies: text: ::: Может, и ложь, совершенно верно. В этом и заключается суть теорем о неполноте: вы не можете знать, противоречива ваша система, или нет, и вы точно знаете, что есть истины, которые ваша система не покрывает. То есть, эти теоремы обескураживающие, они говорят, что невыполнима одна из самых претенциозных задач Гилберта! Dims 12:34, 17 июля 2009 (UTC)
replies: text: :::: "Истины"! блин! Так у Вас истина=утверждение, а я-то грешным образом полагал, что истина=правда! infovarius 23:26, 17 июля 2009 (UTC)
replies: text: ::::: Нет, "истина" -- это правда. А "утверждение" -- это формула, которая может быть истинной или ложной. Например, "Волга впадает в Чёрное море" -- это утверждение, ложное. Dims 08:16, 18 июля 2009 (UTC)
replies: text: :::::: Тогда "арифметика непротиворечива" по-вашему не может быть добавлена к аксиомам, ибо это не истина, а недоказуемое утверждение. И вообще, недоказуемая истина - это плеоназм, противоречие, вот против чего я борюсь. Недоказуемым может быть только утверждение. infovarius 03:55, 19 июля 2009 (UTC)
replies: text: ::::::: Но в статье нет словосочетания "истина", там есть "истинная формула" и "истинное утверждение". Утверждение может быть: истинным+недоказуемым, истинным+доказуемым, ложным+недоказуемым, ложным+доказуемым (имеется в виду, конечно, доказуемость отрицания рассматриваемого утверждения), и, наконец, независимым. Dims 06:28, 19 июля 2009 (UTC)

text: ::::::: Обсуждение на Астрофоруме: http://www.astronomy.ru/forum/index.php/topic,58629.0.html Dims 06:31, 19 июля 2009 (UTC)

text: сколько можно обсуждать НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНУЮ (куцую) формулировку,
и делать из неё далеко идущие выводы?
 83.167.112.63 19:32, 29 сентября 2009 (UTC)
thread_title:  Статья неправильная и не надо устраивать войны правок 

message: В примечании „В англоязычной математической литературе называется «второй теоремой Гёделя о неполноте» (англ. Gödel's second incompleteness theorem); в русскоязычной литературе называется просто «второй теоремой Гёделя»“ содержится неточность. Английское "incompleteness theorem" означает "теорема, имеющая отношение к неполноте", а русское "теорема о неполноте" означает "теорема, объектом которой является неполнота". Поэтому убираю примечание, вводящее путаницу. Подробности об иноязычных названиях можно узнать по интервики.--Kuzmaka 21:14, 5 января 2010 (UTC)
* Во-первых, как человек, проживший в англоязычных странах более 15 лет, говорю вам, что не вижу существенной разницы между фразами «теорема о неполноте» и "incompleteness theorem". Во-вторых, термин «вторая теорема Гёделя о неполноте» встречается в интернете и в научных работах, и хотя он не очень распространен, его имеет смысл упомянуть хотя бы в примечании. В-третьих, считать, что читатели обязаны читать интервики значит не уважать свой языковой раздел и своих читателей. В-четвертых, английский язык является основным языком международной науки в целом и логики в частности, поэтому упоминание английской терминологии (если она заметно отличается от русской) несомненно имеет смысл. В-пятых, не исключено, что без этого примечания упоминание о второй теореме какой-нибудь участник удалит либо из первого абзаца, либо вообще из статьи. По этим причинам отменяю вашу правку и возвращаю примечание. — Tetromino 22:11, 5 января 2010 (UTC)
replies: text: : Как минимум стоит убрать ваш перевод, противоречащий АИ. Оставляю примечание, но без перевода.--Kuzmaka 01:58, 6 января 2010 (UTC)
replies: text: :: Каким АИ противоречит дословный перевод слов "incompleteness theorem" как «теорема о неполноте»? Я с вами согласен, что в АИ теорему называют второй теоремой Гёделя — но это только показывает, что устоявшимся русским термином является «вторая теорема Гёделя» и не имеет никакого отношения к точности перевода английского термина. Если бы перевод английского термина совпадал с термином в русскоязычных АИ, то обсуждаемое примечание изначально было бы ненужно. — Tetromino 03:09, 6 января 2010 (UTC)
replies: text: ::: „Дословный перевод слов "incompleteness theorem" как «теорема о неполноте»“. Это не так. Дословный перевод фраз incompleteness theorem и theorem about incompleteness не совпадает. Ср.: main theorem и theorem about the main (или theorem on the main), arithmetic theorem и theorem about arithmetic. Incompleteness theorem можно дословно перевести как теорема неполноты или неполнотная теорема, что по-русски выглядит неуклюже. Поэтому и нужны АИ, подтверждающие ваш вариант перевода.--Kuzmaka 10:13, 6 января 2010 (UTC)
replies: text: :::: Фраза "theorem about the main", ровно как и "theorem on the main", грамматически неправильна и не используется. Тот факт, что вы предложили как пример конструкцию "about N" где N никак не может быть noun phrase-ом заставляет меня усомниться в вашем понимании английского языка. Английские конструкции "N theorem" и "theorem on N" (где N — noun phrase, описывающее тему теоремы) значат одно и то же, переводятся одинаково и отличаются только тем, что "theorem on N" можно использовать как описание теоремы (а не только как название). Типичный пример: Dirichlet's approximation theorem = Dirichlet's theorem on Diophantine approximation. Перевод "N theorem" как "теорема о N" используется всюду. Немного примеров: :en:Chinese remainder theorem = китайская теорема об остатках; :en:edge-of-the-wedge theorem = теорема Боголюбова «об острие клина»; :en:Brouwer fixed point theorem = Теорема Брауэра о неподвижной точке; :en:Hilbert's basis theorem = Теорема Гильберта о базисе; Cauchy's mean value theorem = Теорема Коши о среднем значении; :en:Lagrange's four-square theorem = Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов. Продолжить? — Tetromino 15:20, 6 января 2010 (UTC)
replies: text: ::::: Просто предоставьте надежный источник, где second incompleteness theorem переводится как вторая теорема о неполноте, и вопрос будет решен.--Kuzmaka 15:25, 6 января 2010 (UTC)
replies: text: :::::: Например, чл.-корр. РАН Лев Дмитриевич Беклемишев в «Введении в математическую логику» называет «второй теоремой Гёделя о неполноте» именно ту теорему, которую англичане и американцы называют "second incompleteness theorem" и которую в русскоязычной литературе обычно называют второй теоремой Гёделя. По pdf-файлам Беклимешева учатся студенты МГУ. Источник достаточно надежный? — Tetromino 15:39, 6 января 2010 (UTC)
replies: text: ::::::: Хороший источник, но это всего лишь неопубликованный конспект лекций, а значит без внешней корректуры/рецензии. Нужно что-то более весомое.--Kuzmaka 16:05, 6 января 2010 (UTC)
replies: text: :::::::: У меня нет доступа к русскоязычной университетской библиотеке, поэтому могу только привести отрывки, которые нашел через books.google.ru. На четвертой странице результатов: Толковый словарь по вычислительным системам‎ - Page 205: «Вторая теорема о неполноте связана с программой Гильберта в области …» На пятой странице результатов: Доклады Академии наук СССР, Volume 262‎ - Page 799 (1982): «В силу второй теоремы Гёделя о неполноте каждое доказатель-». На шестой странице результатов: Известия Академии наук СССР, Volume 50‎ - Page 1140 (1986): «… строится при помощи второй теоремы Гёделя о неполноте арифметики …». — Tetromino 16:38, 6 января 2010 (UTC)
Поскольку нашлись русскоязычные, но не переводные, источники, которые упоминают "вторую теорему Гёделя о неполноте", предлагаю такую редакцию примечания, наиболее точно отражающую информацию, которую можно получить из АИ:

text: Иногда упоминается как вторая теорема Гёделя "о доказательствах непротиворечивости" (ссылка на источник), "о неполноте" (ссылка на источник), "о неполноте арифметики" (ссылка на источник).
Думаю, этого будет вполне достаточно.--Kuzmaka 12:03, 7 января 2010 (UTC)

text: Разумно. — Tetromino 14:31, 7 января 2010 (UTC)
thread_title:  "Вторая теорема Гёделя" vs "Second incompleteness theorem" 

message: Существование просто недоказуемых формул НЕ ЯВЛЯЕТСЯ УТВЕРЖДЕНИЕМ теоремы Гёделя. Пример просто недоказуемой формулы -- это пятый постулат Евклида. Вы где-нибудь читали (в авторитетных источниках), что пятый постулат Евклида -- это пример неполноты геометрии? Нет. А знаете, почему? Потому что этот постулат НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ТАКИМ ПРИМЕРОМ. СУТЬЮ теоремы Гёделя является существование в системе ОДНОВРЕМЕННО истинных и недоказуемых формул! Это очень важно! Есть формулы, которые истинные, но это нельзя установить за конечное время (только за бесконечное). Примером такой формулы может служить утверждение о НЕ существовании числа с какими-либо свойствами. Такое утверждение может быть истинным (числа нет), но проверить это может быть можно только перебрав весь бесконечный массив чисел. Dims 08:22, 24 апреля 2011 (UTC)
replies: text: Существование просто недоказуемых формул НЕ ЯВЛЯЕТСЯ УТВЕРЖДЕНИЕМ теоремы Гёделя. А что является? Приведите формулировку теоремы из авторитетного источника, которая согласуется с Вашим утверждением. --Kuzmaka 09:23, 24 апреля 2011 (UTC)
replies: text: : Вот ссылка: https://docs.google.com/drawings/d/1_24Af1rvO-KGuZgBzmkGYsdRZUqTKSOr59dL7bV1Ooc/edit?hl=ru . Утверждением теоремы является наличие формулы, которая обладает двумя свойствам. Она (1) недоказуема и (2) истинна. Наличие просто недоказуемых утверждений является банальностью. Например, пятый постулат Евклида -- недоказуем. Но мы можем добавить в систему аксиом либо его, либо его отрицание, либо вообще его не добавлять. Получатся просто разные геометрии, только и всего. Более того, независимость, а, значит, и недоказуемость пятого постулата ДОКАЗАНА в 19 м веке. В то время как в теореме Гёделя говорится о том, что недоказуемость той формулы сама по себе тоже недоказуема! Dims 10:20, 24 апреля 2011 (UTC)
replies: text: ::Мне затруднительно обнаружить формулировку теоремы по ссылке, которую Вы привели. Вы не могли бы дословно процитировать утверждение теоремы из источника? --Kuzmaka 11:14, 24 апреля 2011 (UTC)
replies: text: :::Теорема записана математическими значками двумя страницами ранее. Если Вы пытаетесь представить, что там написано что-то другое, то я привожу ссылку и на этот отрывок: https://docs.google.com/drawings/d/1qzR9WsaV_bpqo6OMZd0oFumfexua1uTGOL6IcVeeQnE/edit?hl=ru. Утверждение про истинность обведено красным квадратиком. Dims 11:41, 24 апреля 2011 (UTC)
replies: text: ::::Да, действительно, в этом издании сформулировано так. Это отличается и от того, что писали Вы, поскольку содержит полностью утверждение о неразрешимости, и от того, что приводится в других изданиях (Мендельсон, более ранний Клини, собственно Гёдель). Почему Вы считаете необходимым ввести дополнительно упоминание об истинности? На мой взгляд, формулировка во введении от этого только потеряет ясность, станет перегруженной. --Kuzmaka 13:54, 24 апреля 2011 (UTC)
Упоминание об "истинности" - это совершенно необходимый элемент теоремы Гёделя, можно сказать, ее суть, и ни в коем случае не надо его исключать "для ясности". DmitryGmyrak 12:10, 14 февраля 2012 (UTC)

text: Приведите авторитетный источник, подтверждающий Ваше мнение. --Kuzmaka 12:25, 16 февраля 2012 (UTC)
Д.Гильберт  П.Бернайс  Основания математики. Теория доказательств. // Москва "Наука" 1982
стр. 341
Теорема.  
Для любого непротиворечивого дедуктивного формализма F, удовлетворяющего условиям а1) и б1), можно указать такую одноместную рекурсивную функцию f, что формула  f(x) = 0 невыводима в F, хотя она и является верифицируемой, так что для каждой цифры n в F выводимо равенство:
f(n)=0
Эту теорему, которую Гёдель получил указанным здесь способом, мы будем называть первой теоремой Гёделя о неполноте. 
В гёделевской формулировке фигурирует не сама эта теорема, а некоторое извлекаемое из нее следствие, которое говорит о существовании таких арифметических предложений, которые в рассматриваемом формализме F являются формально неразрешимыми. При этом под формально неразрешимым в F предложением понимается такое предложение, которое изображается 
в F некоторой формулой без свободных переменных, причем ни сама эта формула, ни ее отрицание невыводимы в F). 
В.А. Успенский Теорема Гёделя о неполноте. (Популярные лекции по математике)  // Москва "Наука" 1982
стр. 7
Формулировка теоремы о неполноте, которую мы будем уточнять и доказывать, такова:
при определенных условиях в языке существует недоказуемое истинное утверждение.
DmitryGmyrak 22:09, 16 февраля 2012 (UTC)
Существование неразрешимых формул не составляет еще утверждение теоремы Гёделя, но лишь является некоторым из нее следствием. Обыкновенная неразрешимость - для большинства формализмов это тривиальное свойство, тогда как теорема Гёделя утверждает нечто более сильное. Желательно вернуть правильную формулировку DmitryGmyrak 22:18, 16 февраля 2012 (UTC)
///Существование просто недоказуемых формул НЕ ЯВЛЯЕТСЯ УТВЕРЖДЕНИЕМ теоремы Гёделя. А что является?/// 
Является именно утверждение о существовании истинных недоказуемых формул. В терминологии Д.Гильберта - верифицируемых (см. выше)DmitryGmyrak 22:26, 16 февраля 2012 (UTC)
Текущая же формулировка:  существует невыводимая и неопровержимая формула. вообще тривиальна до безобразия и не выражает даже того (более слабого) утверждения, которое пытается выразить. Например, формула x=1 в арифметике невыводима, также как и неопровержима. Чтобы формулировка имела содержательный смысл надо говорить о замкнутых формулах (без свободных переменных). Впрочем, эти технические уточнения будут излишни, если сразу привести полную формулировку, где  речь идет об истинных формулах  12:51, 17 февраля 2012 (UTC)

text: В первой цитате (Гильберт, Бернайс) истинность не фигурирует. Одного Успенского мало против Гёделя, Мендельсона, того же приведённого Вами Гильберта и Бернайса.

text: С поправкой о замкнутости формулы согласен. Возможно, стоит заменить "формула" на "предложение" или уточнить каким-либо другим способом. --Kuzmaka 14:02, 22 февраля 2012 (UTC)

text: Уточнение: Из цитаты "верифицируемой, так что для каждой цифры n в F выводимо равенство: f(n)=0" следует, что верифицируемая не значит истинная, а значит, что выводима каждая формула из ряда f(1)=0, f(2)=0, .... --Kuzmaka 14:05, 22 февраля 2012 (UTC)
replies: text: : В терминологии Гильберта "верифицируемость" - это и есть истинность. Если для всякой цифры n выводимо f(n) - это и значит, что f(x) - истинно, при любом разумном понимании "истинности". Понятие истинности неформализуемо в полном объеме (что понимает Гильберт), но это не мешает делать некоторые о нем утверждения (как теорема Геделя). DmitryGmyrak 20:48, 29 февраля 2012 (UTC)
thread_title:  Ещё раз про "истинность" 

message: Плашка «Позитивизм» выглядит не очень лепо в этой статье. С таким же успехом можно на каждую статью по математической логике её ставить. --Kuzmaka 10:46, 3 июля 2012 (UTC)
thread_title:  Позитивизм 

message: А разве природа - формальная система?
По моим представлениям, максимум, что мы можем сказать, что мы не можем помыслить существование Бога.
81.1.142.4 09:56, 8 ноября 2012 (UTC) Иван
thread_title:  Применение к доказательству несуществования Бога в природе 

message: Теорема Левенгейма — Сколема должна быть как-то очень сильно упомянута как здесь, так и в статье аксиома. Ибо:
--Nashev 15:10, 29 апреля 2013 (UTC)
* Ну тут можно к очень многим утверждениям прикопаться. "Любая система аксиом не может доказать все утверждения той области математики, для которой она предназначалась" — нет. Аксиомы исчисления высказываний доказывают любое утверждение теории булевых функций. Тут надо уточнять. "Теорема Лёвенгельма-Скулема докащывает, что есть больше интерпретаций, чем мы предполагали", а если мы изначально в счётной модели? Или тут имеется в виду теорема о повышении мощности? Ну и в конце совсем странная вещь, что если бы система была полной, то неизоморфные интерпретации были бы возможны. ... Возьмите классическое доказательство существования нестандартных моделей арифметики и примените его к любой полной непротиворичевой теории в арифметическом языке. Неожиданно увидите, что оно прекрасно работает и для полных теорий. В общем написано тут всё не очень хорошо, ощущение, что автор сам досконально не разбирался в предмете обсуждения. Ну либо это просто устаревший взгляд. Не считаю, что по этому источнику имеет смысл делать правки в статье. Arami Mira (обс.) 10:53, 20 апреля 2024 (UTC)
В статье по адресу https://snob.ru/profile/25137/blog/102090 приводится вот такое очень неплохое описание:
взял некоторую формальную систему математических постулатов (аксиом), и пронумеровал (каталогизировал) все-все-все следствия, которые можно сделать из нее логическим путем. А потом воспользовался «диагональным методом» и доказал, что какого-то утверждения (истинного, заметьте, утверждения!) в этом списке точно не будет. Его можно потом приписать к списку аксиом, опять выполнить всю работу... но опять что-то окажется упущенным. И так до бесконечности
--Nashev 21:43, 13 декабря 2015 (UTC)
thread_title:  Теорема Левенгейма — Сколема 

message: Было бы интересно коснуться теоремы Гёделя в ракурсе формальной логики. Поскольку с точки зрения логики теорема Гёделя обладает спорным условием. Если в системе S (претендующей на полноту) не доказывается (не выводится) ложная формула - эту систему нельзя называть неполной. Гёдель иллюстрирует свою теорему на примере натуральных чисел в арифметике и показывает ряд натуральных чисел, для которых выполнимо "А(0), А(1), А(2), … A(N)". С логической точки зрения возникает вопрос: как в системе S может быть выполнима формула "∃x ¬A(x)", если выполним весь ряд формул "А(0), А(1), А(2), … A(N)"? Иными словами, если условие А свойственно всем натуральным числам без исключения, откуда вообще появляется некое "¬A(x)"? При условии выполнимости "А(0), А(1), А(2), … A(N)" формула "∃x ¬A(x)" представляет собой пустое множество, или другими словами, формулу, для которой не существует модели. 
Гёдель был не только великим математиком, но и, вероятно, очень остроумным человеком. В логике широко известно его правило модальной логики "A→□A", которое можно прочесть так: "Если имеет место событие "А", но оно имеет место по необходимости". Учитывая, что в модальной логике существует правило первого рода (прямое правило) "□A→A" ("Если событие "А" имеет место по необходимости, но оно имеет место и без необходимости"), Гёдель своим правилом поставил под сомнение целесообразность (как практическую, так и теоретическую) использования знака необходимости "□" вообще. Дым222 (обс.) 13:21, 8 апреля 2018 (UTC)
* Если под "выполнимостью" подразумевать выполнимость в стандартной модели, то такого быть действительно не может. Но теорема Гёделя говорит, что даже если формула  "∃x ¬A(x)" невыполнима , все равно не существует доказательства того, что  "¬∃x ¬A(x)".Модальные логики бывают разными, вы видимо имеете в виду :en:Provability logic. Там правило "A→□A", говорит, что если А выводимо, то выводимо и "□A". Из этого действительно следует, что A выводима тогда и только тогда, когда "□A" выводима. Но это не значит, что это то же самое. Вы не можете доказать импликацию "A => □A".  — Алексей Копылов 17:19, 8 апреля 2018 (UTC)
Спасибо! Теперь многое стало ясно.
А почему нельзя доказать импликацию "A⊃□A"?  1. + A  2. □A из 1 по правилу Гёделя   3. A⊃□A из 1 и 2 по правилу дедукции.   Извините меня за назойливость и непрофессионализм (я не математик, и теорема Гёделя меня интересует только касательно формальной логики). Разве исчисления в логики предикатов не позволяют доказать невыводимость "∃x¬A(x)"? Означает ли это что логика предикатов как система полна? Дым222 (обс.) 20:06, 8 апреля 2018 (UTC)
* Правило о дедукции не выполняется для логики доказательств (:en:Provability logic). — Алексей Копылов 20:18, 8 апреля 2018 (UTC)
Исчисление высказываний является непротиворечивой, полной, разрешимой теорией (Википедия, . https://ru.wikipedia.org/wiki/Формальная_система)
Теоре́ма Гёделя о полноте́ исчисле́ния предика́тов является одной из фундаментальных теорем математической логики: она устанавливает однозначную связь между логической истинностью высказывания и его выводимостью в логике первого порядка. (https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Гёделя_о_полноте) Дым222 (обс.) 12:16, 9 апреля 2018 (UTC)
thread_title:  Теорема Гёделя о неполноте в формальной логике