Обсуждение:Кольцо (математика)

message: Вообще-то, кольцо это алгебраическая структура, и потому естественнее было бы видеть не Кольцо (множетсво), а кольцо (алгебра) или что-то типа того. Лучше наверно с математиками посоветоваться. Igorivanov 12:20, 15 Сен 2004 (UTC)
replies: text: Да, лучше всего так и сделать.Dodonov 12:23, 15 Сен 2004 (UTC)
thread_title:  disambig 

message: Случаем никто не знает почему в Англии (и, видимо, некоторых других странах) в кольцо входит единица? (см. Ring). Впервые наткнулся на это, изучая одну из лучших мат. систем Axiom... -- AL 
replies: text: То есть каждое кольцо считается кольцом с единицей? LoKi 20:40, 4 мая 2006 (UTC)
replies: text: : Да, точнее оно является еще и моноидом - (R, ·) is a monoid with identity element 1  -- AL
replies: text: :: Мне кажется, Вы немного неправильно понимаете этот пункт. Мне кажется, что (R, ·) — это кольцо, в котором введена лишь 1 бинарная операция («умножение»), а не 2, как собственно в кольце. Таким образом, множество (которые было бы кольцом, будь у него 2 бинарные операции, удовлетворяющие аксиомам) R с умножением является моноидом и содержит единицу. LoKi 09:38, 6 мая 2006 (UTC)
replies: text: ::: Да, возможно. Причем Воеводин определяет кольцо как множество с ассоциативным сложением и умножением, а Винберг это требование опускает, благодаря чему пространство векторов трехмерного евклидова пространства у него является кольцом. В общем у всех своя алгебра ;-)  -- AL

text: Такая вот англоязычная традиция... Просто в большинстве литературы нужно именно ассоциативное кольцо с единицей. Замечу, что, например, И. Херстейн, М. Атья, О. Зарисский под кольцом понимают кольцо без единицы, а Р. Блок различает понятия ассоциативного и неассоциативного кольца. Что касается русскоязычной литературы, А.И. Кострикин, также как и Винберг, не требует от кольца ни ассоциативности, ни наличия единицы, хотя некоторые авторы под термином кольцо понимают ассоциативное кольцо (А.Г. Курош). --laddassm 09:00, 17 октября 2007 (UTC)
Это никакая не традиция, а глупость и невежество авторов Википедии.
Хамы. --Gavroche
thread_title:  Единица в кольце 

message: Я могу быть не прав, но разве ассоциативность умножения не является аксиомой для кольца?  Не просто свойством, которое может выполняться или нет, а именно аксиомой?  (Более того, по запросу "ассоциативное кольцо" google возвращает около 700 результатов) gribozavr 23:19, 30 декабря 2007 (UTC)
thread_title:  Ассоциативность умножения 

message: Они только мешают восприятию сути свойств. Их надр в начало поставить, как во всех книгах делается. --A_Devyatkov 11:24, 4 августа 2008 (UTC)
Ну некоторые авторы вводят понятие кольца с меньшим количеством свойств, например, кольцо с свойством ассоциативности называют ассоциативным кольцом, с свойством коммутативности комутативным, с единицей - кольцо с единицей.
thread_title:  Кванторы в описании свойств 

message: Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра \left(R, +, \times \right), такая что алгебра \left(R, + \right) — абелева группа, алгебра \left(R, \times \right) — полугруппа и операция + дистрибутивна слева и справа относительно \times. Кольцо ассоциативно, если мультипликативный группоид является полугруппой.
нет добавочного  смысла во втором предложении: получается, что любое кольцо ассоциативно, тк в первом предложении сказано что мультипликативный группоид - полугруппа, что естественно верно при приведённом в статье определении кольца. Предлагаю удалить либо второе предложение, либо удвлить из определения аксиому ассоциативности (и поэтому из первого предложения исключить кусок "\left(R, \times \right) — полугруппа") 195.98.165.2 00:03, 10 октября 2010 (UTC)Григорий 195.98.165.2 00:14, 10 октября 2010 (UTC)Григорий
thread_title:  Повтор 

message: Почему в разделе "Простейшие свойства" операция умножения обозначена \cdot, а не \times, как в предыдущих разделах? 195.243.59.150 07:24, 10 октября 2011 (UTC)
replies: text: Для упрощения обозначений. В принципе всё равно как обозначать операцию, лишь бы путаницы не было. Крест, точка и просто пропуск символа являются стандартными обозначениями умножения. У меня просто рука не поднялась на определения из первой части, хотя по-хорошему их тоже нужно переписать проще. --Мышонок 14:18, 10 октября 2011 (UTC)
replies: text: : Понятно, спасибо. Хотя упрощением все же использование разных символов однозначно не является (ИМХО). В контексте этой статьи, быть может, и не трагично. Но я представил себе на секунду, что подобное упрощение встретилось в статье, где упоминались бы скалярное и векторное произведение... 195.243.59.150 14:28, 10 октября 2011 (UTC)
thread_title:  Обозначение операции умножения 

message: Что за бред? Что мне мешает в рамках целых чисел делить 20 на 4? --Nashev 11:47, 9 апреля 2013 (UTC)
replies: text: Исправил.  Danneks 09:55, 26 июля 2013 (UTC)
thread_title:  " (операция деления определена не на целых числах, а на рациональных)." 

message: Откуда взялось название "Кольцо" - кто и когда ввёл, и что имел ввиду? Кто какой вклад внёс в развитие понятия? --Nashev 11:49, 9 апреля 2013 (UTC)
thread_title:  Этимология и история? 

message: Говорят (в то числе и в статье:)), что в отличие от чисел в кольцах не всегда есть 1. Первая фраза преамбулы противоречит содержанию статьи.  МетаСкептик12 08:57, 9 июня 2014 (UTC)
* Так давайте же спроектируем новую преамбулу) bezik 09:00, 9 июня 2014 (UTC)
* В БЭС сформулировано так: «Кольцо — совокупность элементов, для которых определены операции сложения, вычитания и умножения, обладающие обычными свойствами операций над числами», можно примерно также и начать: «Кольцо — алгебраическая структура, в которой определены операции обратимого сложения и умножения, по свойствам близкие к соответствующим операциям над числами», bezik 09:06, 9 июня 2014 (UTC)
replies: text: : Сослепу прочитал "обладающие" вместо "обобщающие", но и "обобщающие" как в английском разделе не здорово. Немцы пишут "похожие" и это точнее.  Цитирую математический энциклопедический словарь: "КОЛЬЦО-- одно из основных понятий современной алгебры. В различных областях математики часто приходится иметь дело с разнообразными множествами, над элементами которых можно производить две операции, весьма похожие по своим свойствам на сложение и умножение обычных чисел. Предметом теории колец является изучение свойств обширного класса таких множеств." МетаСкептик12 09:35, 9 июня 2014 (UTC)
replies: text: :: По МЭС похоже на то, что у нас в преамбуле статьи Теория колец. Здесь тоже уточнил (по предложенной выше схеме), впрочем, можно как-нибудь ещё усовершенствовать, первое предложение — дело особой важности, bezik 09:57, 9 июня 2014 (UTC)
thread_title:  Свойства чисел? 

message: GPT-4, в ответ на просьбу объяснить простыми словами, что такое кольцо в математике, написал следующее:
Кольцо в математике - это как игра, в которой есть определённые правила, что ты можешь делать с числами. Это как специальный клуб, где все числа учатся играть по этим правилам. 
Вот основные правила этой игры:
1. Вы можете складывать любые два числа в клубе, и результат всегда будет также числом из этого клуба. Это называется замкнутостью по сложению.
2. Вы можете умножить любые два числа в клубе, и результат также будет числом из этого клуба. Это называется замкнутостью по умножению.
3. Есть такое особенное число, которое называется "нейтральным элементом сложения". Если вы сложите это число с любым другим числом в клубе, результат будет тем же самым числом. В настоящих числах, это число - ноль.
4. Каждое число в клубе имеет "противоположное" число. Если вы сложите число и его противоположное, вы получите нейтральный элемент сложения. Например, в настоящих числах, противоположное для 3 это -3, потому что если вы сложите их, получите ноль.
5. Есть также особое число, которое называется "нейтральным элементом умножения". Если вы умножите это число на любое другое число в клубе, результат будет тем же самым числом. В настоящих числах, это число - один.
6. И последнее правило - это когда вы умножаете числа, не важно, в каком порядке вы их умножаете или складываете, результат будет одинаковым. Например, если у вас есть три числа и вы хотите сложить или умножить их все вместе, вы можете сначала сложить или умножить первые два, а потом результат сложить или умножить с третьим, или сначала сложить или умножить последние два, а потом результат сложить или умножить с первым, и результат будет одинаковым. Это называется ассоциативностью.
Это, в общем-то, и есть все основные правила игры! Если все числа в клубе следуют этим правилам, то этот клуб называется кольцом в математике.
Ян Альбертович Дененберг (обс.) 13:18, 21 июня 2023 (UTC)
thread_title:  Объяснение простыми словами