Обсуждение:Натуральный логарифм

message: Не совсем уверена в необходимости подсчитывать через x/(x-1). На мой взгляд, при x>1 гораздо проще перейти к значению от 0 до 1 при помощи преобразования \ln{x}=-\ln{\frac{1}{x}}. Азалия Смарагдова (обс.) 15:48, 19 апреля 2017 (UTC)
* Собственно, я тоже не вижу такой необходимости. Вообще, не особо вчитывался, но нынешний текст в своей основе — почти наверняка перевод с английского (что заметно по многим признакам). Качество подобного перевода, увы, под вопросом. С уважением,  NN21 (обс.) 17:10, 19 апреля 2017 (UTC)
* А вот если немного подумать, то станет ясно, что при больших иксах формула \ln{x}=-\ln{\frac{1}{x}} помогает мало, поскольку обратная величина, {\frac{1}{x}}, будет близка к нулю. Поскольку логарифм раскладывается по Тейлору не в нуле, а в единице, сходимость ряда будет очень медленной. С уважением,  NN21 (обс.) 20:23, 19 апреля 2017 (UTC)
thread_title:  Натуральный логарифм значений, больших 1, через ряд Тейлора 

message: В статье сейчас сказано, что нижеприведенная формула, разложения в ряд Тейлора, справедлива для любого x.
Это не так, что легко проверить, взяв любое значение x больше 1.
\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right)
Причина данной грубой ошибки заключается в том, что пропущена подстановка, f=\frac{x}{x+2}.
Тогда имеем:
\ln \left({1+x}\right)=\ln \left(\frac{1+f}{1-f}\right)=2\left(f+\frac{f^3}{3}+\frac{f^5}{5}+\frac{f^7}{7}+\dots\right),
Формулу выше теперь действительно можно обобщить для любых целых положительных значений x, для которых определён логарифм.
* Поправьте сами. MBH 12:18, 18 сентября 2020 (UTC)
replies: text: Никакой ошибки тут нет. В статье не сказано, что «формула разложения в ряд Тейлора справедлива для любого x». Сказано совершенно другое: «левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа». То есть имеется в виду указанная вами элементарная подстановка, которая позволяет слева под логарифмом получить произвольное положительное число. То же самое сказано в Истории математики Юшкевича, том 2, стр. 162:. 
В том же 1668 г. Грегори в «Геометрических этюдах» предложил вывод ряда Меркатора в античной манере и разложение

text: \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right),
пригодное для вычисления логарифма любого положительного числа z = — (1 + х)/(1 — х), ибо тогда х = (z — l)/(z + 1) по абсолютной величине меньше единицы.

text: Во избежание дальнейших недоразумений я внёс фразу из Юшкевича в текст статьи. Leonid G. Bunich / обс. 12:24, 18 сентября 2020 (UTC)
То есть имеется в виду указанная вами элементарная подстановка которая позволяет слева под логарифмом получить произвольное положительное число.
И тем не менее, без явного уточнения этой детали, исходная формулировка может запутать новичков и вызвать недоумение при беглом чтении, что и произошло в моём случае.
Twizzell (обс.) 13:08, 18 сентября 2020 (UTC)
Leonid G. Bunich / обс., т.е. подстановка неявно подразумевается, но в этом разделе статьи используется только одна переменная x, что вводит в заблуждение. 
Пусть негрубая, но все же ошибка.
Спасибо за оперативное устранение. Twizzell (обс.) 13:46, 18 сентября 2020 (UTC)

text: Сделал аналогичное пояснение в статьях Логарифм и Ряд Меркатора. Leonid G. Bunich / обс. 14:12, 18 сентября 2020 (UTC)
Leonid G. Bunich, Благодарю! Twizzell (обс.) 14:25, 18 сентября 2020 (UTC)

text: Пожалуйста, не забывайте подписывать свои реплики: ~~~~. Leonid G. Bunich / обс. 14:49, 18 сентября 2020 (UTC)
Хорошо.
Twizzell (обс.) 15:07, 18 сентября 2020 (UTC)
thread_title:  Грубая ошибка при разложении в ряд Тейлора