Обсуждение:Логика высказываний

message: Почему в пропозициональные связки в статье не входит эквиваленция? У Роберта Р.Столла в труде "Множества, логика, аксиоматические теории", например эквиваленция входит в набор сентенциональных связок. 79.174.35.190 12:15, 20 января 2010 (UTC)
* Эквиваленцию наряду с отрицанием, конъюнкцией и дизъюнкцией и импликацией вводят в язык Логики высказываний многие классические труды. Однако легче определить язык ЛВ, используя только отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию и импликацию, а эквиваленцию определить через эти связки, потому что так мы, во-первых, сократим доказательства, в которых используется индукция по построению формулы, во-вторых, сократим доказательства некоторых теорем.  Zaku12 (обс.) 18:54, 17 июня 2022 (UTC)
Ничего, что тавтологии с исчислением перепутаны? А то я смотрю всех всё устраивает.

message: Кое-как основное содержание в статье присутствует (хотя его надо бы ещё улучшить). Среди возможных добавлений видятся:
* расширить понятие оценки (означивание) и добавить соответствующие термины, чтобы была чётче видна связь между «формулами» и «возможными мирами» (Крипке) - без этого статья является поверхностной. Другими словами, дополнить семантическую сторону вопроса.
* может быть, ввести метаязык, чтобы не было путаницы между высказываниями и «высказываниями о высказываниях»
* метод таблиц истинности
* связь с понятиями ДНФ, КНФ, булева логика
* может быть, что-то сказать о модальных логиках и связь с интуиционистской логикой?
РоманСузи 15:49, 5 октября 2012 (UTC)
replies: text: На этой логике вчерашние школьники впервые знакомятся вообще с формальностью в логике. Не стоит вносить сюда что-то такое, что они не поймут полностью.85.26.233.1
* В английской версии есть название "zero order logic", оно хорошо характеризует логику высказываний и ставит её в ряд других. 
* Импликацию часто понимают как вывод, хотя это обычная связка как и-или, не отличают импликацию от горизонтальной строки в modus ponens. 
Я внес правки, но они были отменены с комментарием "требуется источник". Сам это изучал 30 лет назад и много полезного мог бы добавить. Просто исправил что совсем сразу бросается в глаза. Источник назвать не могу. Просто если нарисовали длинную горизональную линию в modus ponens то стот как-нибудь объяснить что это такое и чем отличается от импликации. Zero order logic название куда вразумительнее, чем "логика высказываний", в выражения вроде (A->B) не видно никаких высказываний ни от кого ни про что. Да и от логики тут почти ничего, это типичное алгебраическое выражение из переменных и связок по правилам грамматики, хоть и над булевыми переменными. NOwiking (обс.) 09:49, 28 января 2017 (UTC)
** Статьи в Википедии пишутся по источникам. Информация должна быт проверяема. — Алексей Копылов 10:19, 28 января 2017 (UTC)
thread_title:  Содержание статьи 

message: В связи с этой правкой возник вопрос: как быть с горизонтальной чертой, отделяющей посылки от вывода, если она не входит в алфавит логики высказываний даже в качестве технического знака? На каком основании она в таком случае в ней используется? Такой же вопрос по поводу используемой в записях логических построений запятой. --Humanitarian& 21:22, 9 февраля 2014 (UTC)
*Алфавит ЛВ используется для построения формул. Все формулы, построенные по правилам описанной грамматики, являются правильно построенными формулами. Горизонтальная черта не используется для построения формул ЛВ, а поэтому не входит в алфавит символов. Запятая как технический символ в ЛВ не используется, информацию о запятой убрал (была ссылка на Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М., Наука, 1979. с. 24, этот источник я не смог найти, но возможно, что тот, кто его реферировал, мог перепутать язык ЛВ с языком первого порядка, в котором используется символ запятой для построения формул)  Zaku12 (обс.) 19:31, 17 июня 2022 (UTC)
thread_title:  Язык логики высказываний 

message: Сначала объявляются маленькие буквы и знаки операций, веско заявляется "Других знаков в алфавите языка логики высказываний нет.", а потом, через раздельчик, ни с того ни с сего начинают использоваться большие буквы для обозначения функций. Что за беда? --Nashev 11:12, 13 февраля 2014 (UTC)
* Да ведь сказано же: Заглавные латинские буквы A, B и др., которые употребляются в определении формулы, принадлежат не языку логики высказываний, а его метаязыку, т.е. языку, который используется для описания самого языка логики высказываний. Содержащие метабуквы выражения \neg A, (A\to B) и др. — не пропозициональные формулы, а схемы формул. Например, выражение (A\wedge B) есть схема формул (p\wedge q), (p\wedge (r\vee s)) и др. --Humanitarian& 17:20, 13 февраля 2014 (UTC)
replies: text: * Ок, спасибо. Переставил этот кусочек в более адекватное место. --Nashev 00:29, 17 февраля 2014 (UTC)

text: ** Пояснение о заглавных буквах перенес после определений формул, уточнив, что они принадлежат множеству формул Fm. Zaku12 (обс.) 20:25, 17 июня 2022 (UTC)

text: * А где полное описание этого метаязыка увидеть? про двоеточия, дроби и т.п? --Nashev 15:06, 2 ноября 2017 (UTC)

text: ** Полное описание метаязыка в основном не дается и не нужно для целей определения формул ЛВ. Zaku12 (обс.) 20:25, 17 июня 2022 (UTC)
thread_title:  Большие буквы в языке логики высказываний 

message: Добрый день. Я прошел по предоставленным ссылкам, где описан алфавит языка логики высказываний и не нашел там штриха Шеффера и стрелки Пирса. В других книгах они также не указаны как логические операции языка ЛВ. Если у вас есть источник, то добавьте ссылку. А иначе получается, что читателя вводят в заблуждение: даются ссылки на то, чего там нет.
Как я понимаю, есть различие между булевыми функциями и операциями языка логики высказываний: не все булевы функции входят в алфавит языка ЛВ. В противном случае пришлось бы добавить 4 булевы функции одного аргумента и 16 бинарных булевых функций. Поэтому я удаляю штрих Шеффера и стрелку Пирса из списка логических операций. 178.120.46.180 20:02, 10 января 2019 (UTC)
* Не существует единого определения языка ЛВ. Разные учебники по разному определяют список базовых операций. Считаю, что мы должны следовать одному определению, указав, что возможны другие. Предлагаю  убрать и знак эквивалентности, и исключающее ИЛИ. Ни в "Соглашении о скобках", ни в Аксиоматике этих операций нет. Но у меня сейчас нет источников под рукой. Может вы напишите, какой источник у вас и какие там связки? — Алексей Копылов 01:05, 11 января 2019 (UTC)
** Сильная дизъюнкция в разных источниках то есть, то нет. А эквивалентность, как правило, есть. Я бы эквивалентность оставил. Тем более там есть законы де Моргана, теорема о равносильных высказываниях и т.д. 178.120.44.244 17:25, 11 января 2019 (UTC)
*** Можно сказать, что  a \leftrightarrow  это просто сокращение для  (a  \rightarrow b)  \wedge  (b  \rightarrow a) . Иначе нужно писать аксиомы с эквивалентностью. — Алексей Копылов 21:06, 11 января 2019 (UTC)
** Не совсем согласен, что нужно следовать только одному определению. Определений языка логики высказывания может быть сколько угодно: достаточно взять любой набор логических связок, удовлетворяющий критерию Поста. Мне кажется нужно показать именно этот факт, поскольку ни одна система не лучше другой. Здесь в обсуждении было сказано, что стоит привести наиболее простую аксиоматику, чтобы вчерашним школьникам было это понятно. У меня есть большие сомнения, что система с 11-ю аксиомами будет понятна человеку, который ещё не изучал логику. В общем я предлагаю пока что за основную аксиоматику взять систему P_2 Чёрча, где есть две связки — импликация и отрицание, и 3 аксиомы:
replies: text: :B \to (A \to B)
replies: text: :(A \to (B \to C)) \to ((A \to B) \to (A \to C))

text: :(\lnot A \to \lnot B) \to (A \to B)

text: :Такая система выглядит куда проще системы с 11-ю аксиомами и будет более понятна новичкам, к тому же, она очень часто используется на практике. Arami Mira (обс.) 21:22, 10 мая 2022 (UTC)
thread_title:  Штрих Шеффера и стрелка Пирса как логические операции 

message: «Некоторые авторы вместо строгой дизъюнкции и эквивалентности используют знак выводимости {\displaystyle \vdash }» (со ссылкой на Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. — М., Наука, 1979. — с. 24) проверить не могу, однако удаляю, потому что в изданиях 1987 (с. 22) года и 2011 (с. 19) знак выводимости использует в его обычном употреблении. Обращаю внимание, что авторы используют его в алфавите Исчисления высказываний Zaku12 (обс.) 19:32, 17 июня 2022 (UTC)
thread_title:  Знак выводимости 

message: В математике используются левоассоциативные и правоассоциативные операции.
replies: text: Операция \circ называется левоассоциативной, если скобки расставляются слева направо, то есть
replies: text: :A \circ B \circ C \circ D \Leftrightarrow (A \circ B) \circ C \circ D \Leftrightarrow ((A \circ B) \circ C) \circ D \Leftrightarrow (((A \circ B) \circ C) \circ D)
replies: text: ::Примеры левоассоциативных операций, которые могут использоваться в логике.

text: :: A \land B \land C \Leftrightarrow ((A \land B) \land C)

text: :: A \lor B \lor C \Leftrightarrow ((A \lor B) \lor C)

text: :: A \oplus B \oplus C \Leftrightarrow ((A \oplus B) \oplus C)

text: :: A \lrarr B \lrarr C \Leftrightarrow ((A \lrarr B) \lrarr C)

text: :: A \darr B \darr C \Leftrightarrow ((A \darr B) \darr C)

text: :: A \uarr B \uarr C \Leftrightarrow ((A \uarr B) \uarr C)

text: :: A ° B ° C \Leftrightarrow ((A ° B) ° C)

text: Операция \bull называется правоассоциативной, если скобки расставляются справа налево, то есть
replies: text: :A \bull B \bull C \bull D \Leftrightarrow A \bull B \bull (C \bull D) \Leftrightarrow A \bull (B \bull (C \bull D)) \Leftrightarrow (A \bull (B \bull (C \bull D)))
replies: text: ::Примеры правоассоциативных операций, которые могут использоваться в логике.

text: :: A \rarr B \rarr C \Leftrightarrow (A \rarr (B \rarr C))

text: :: \neg \neg A \Leftrightarrow (\neg (\neg p))
Чтобы сократить число скобок, математики договариваются:

text: 1) о приоритетах операций.
replies: text: :A_6 \lrarr A_5 \rarr A_4 \lor A_3 \oplus A_2 \land \neg A_1  \Leftrightarrow (A_6 \lrarr (A_5 \rarr (A_4 \lor (A_3 \oplus (A_2 \land (\neg A_1))))))

text: 2) об опускании внешних скобок,
replies: text: :A \bull B \Leftrightarrow (A \bull B)

text: : \neg A \Leftrightarrow (\neg A)
С учётом сказанного, аксиомы логики высказываний, приведённые в статье "Логика высказываний", можно записать в виде:

text: A \rightarrow B \rightarrow A \Leftrightarrow (A \rightarrow (B \rightarrow A))

text: (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow A \rightarrow C \Leftrightarrow ((A \rightarrow (B \rightarrow C)) \rightarrow ((A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)))

text: A \land B \rightarrow A \Leftrightarrow ((A \land B) \rightarrow A)

text: A \land B \rightarrow B \Leftrightarrow ((A \land B) \rightarrow B)

text: A \rightarrow B \rightarrow A \land B \Leftrightarrow (A \rightarrow (B \rightarrow (A \land B)))

text: A \rightarrow A \lor B \Leftrightarrow (A \rightarrow (A \lor B))

text: B \rightarrow A \lor B \Leftrightarrow (B \rightarrow (A \lor B))

text: (A \rightarrow C) \rightarrow (B \rightarrow C) \rightarrow A \lor B \rightarrow C \Leftrightarrow ((A \rightarrow C) \rightarrow ((B \rightarrow C) \rightarrow ((A \lor B) \rightarrow C)))

text: \neg A \rightarrow A \rightarrow B \Leftrightarrow ((\neg A) \rightarrow (A \rightarrow B))

text: (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow \neg B) \rightarrow \neg A \Leftrightarrow ((A \rightarrow B) \rightarrow ((A \rightarrow (\neg B)) \rightarrow (\neg A)))

text: A \lor \neg A \Leftrightarrow (A \lor (\neg A))
NB. Длина второй аксиомы (без учёта пробелов) равна 25 символов.
Левоассоциативные операции могут быть ассоциативными операциями. Таковы операции \land, \lor, \oplus и \leftrightarrow.

text: Если  |A|, |B|, |C| \in \{0, 1\}, тогда |A \land B \land C| = |(A \land B) \land C| = |A \land (B \land C)|

text: Если  |A|, |B|, |C| \in \{0, 1\}, тогда |A \lor B \lor C| = |(A \lor B) \lor C| = |A \lor (B \lor C)|

text: Если  |A|, |B|, |C| \in \{0, 1\}, тогда |A \oplus B \oplus C| = |(A \oplus B) \oplus C| = |A \oplus (B \oplus C)|

text: Если  |A|, |B|, |C| \in \{0, 1\}, тогда |A \lrarr B \lrarr C| = |(A \lrarr B) \lrarr C| = |A \lrarr (B \lrarr C)|
Левоассоциативные операции могут не быть ассоциативными операциями. Таковы операции \darr и \uarr.

text: Если  |A| = 1 , a  |B| = |C| = 0, тогда |A \darr B \darr C| = |(A \darr B) \darr C| = 1, в то время как  |A \darr (B \darr C)| = 0

text: Если  |A| = 1 , a  |B| = |C| = 0, тогда |A \uarr B \uarr C| = |(A \uarr B)| \uarr C| = 1, в то время как  |A \uarr (B \uarr C)| = 0
Правоассоциативные операции могут не быть ассоциативными операциями. Такова операция \rarr

text: Если  |A| = |B| = |C| = 0, тогда |A \rarr B \rarr C| = |A \rarr (B \rarr C)| = 1, в то время как  |(A \rarr B) \rarr C| = 0
Справочные материалы.

text: Если |A| \in \{0, 1\}, \ |O| = 0 и |I| = 1, тогда
replies: text: :0 = |O| = |A \oplus A| = |A \land \neg A| = |A \land O|

text: :1 = |I| = |A \oplus \neg A| = |A \lor \neg A| = |A \lrarr A| = |A \rarr A| = |A \lor I|

text: :|A| = |A \land A| = |A \lor A| = |A \land I| = |A \oplus O| = |A \lor O| = |A \lrarr I|

text: :|\neg A| = |A \darr A| = |A \uarr A| = |A \oplus 1| = |A \rarr O| = |A \lrarr O|
Справочные материалы.

text: Если \circ \in \{ \land, \lor, \oplus, \lrarr, \darr, \uarr \}, тогда A \circ B \Leftrightarrow B \circ A

text: Если \bull \in \{ \oplus, \lrarr, \rarr \}, тогда A \bull B \Leftrightarrow \neg B \bull \neg A
Некоторые бинарные операции могут быть не коммутативными операциями, зато контрапозиционными операциями Такова операция \rarr

text: Если  |A| = 0 , a  |B| = 1, тогда |A \rarr B| = 1, в то время как |B \rarr A| = 0
Некоторые бинарные операции могут быть и не коммутативными, и не контрапозиционными операциями. Такова операция A ° B ("Даже если A, то B.", "B, несмотря на A.")

text: Если  |A| = 0 , a  |B| = 1, тогда |A ° B| = 1, в то время как |B ° A| = 0

text: Если  |A| = 0 , a  |B| = 0, тогда |A ° B| = 0, в то время как |\neg B ° \neg A| = 1
Справочные материалы по дистрибутивности

text: A \circ (B \bull C) \Leftrightarrow (A \circ B) \bull (A \circ C)
replies: text: :A \land (B \oplus C) \Leftrightarrow (A \land B) \oplus (A \land C) \Leftrightarrow A \land B \oplus A \land C

text: :A \land (B \lor C) \Leftrightarrow (A \land B) \lor (A \land C) \Leftrightarrow A \land B \lor A \land C

text: :A \lor (B \land C) \Leftrightarrow (A \lor B) \land (A \lor C)

text: :A \lor (B \lrarr C) \Leftrightarrow (A \lor B) \lrarr (A \lor C) \Leftrightarrow A \lor B \lrarr A \lor C

text: :A \rarr (B \lrarr C) \Leftrightarrow (A \rarr B) \lrarr (A \rarr C)
Справочные материалы (законы де Моргана и аналоги)

text: \neg (A \land B) \Leftrightarrow \neg A \lor \neg B

text: \neg (A \lor B) \Leftrightarrow \neg A \land \neg B

text: \neg (A \oplus B) \Leftrightarrow A \lrarr B \Leftrightarrow \neg A \oplus B \Leftrightarrow A \oplus \neg B

text: \neg (A \lrarr B) \Leftrightarrow A \oplus B \Leftrightarrow \neg A \lrarr B \Leftrightarrow A \lrarr \neg B

text: \neg (A \darr B) \Leftrightarrow A \lor B

text: \neg (A \uarr B) \Leftrightarrow A \land B

text: \neg (A ° B) \Leftrightarrow A ° \neg B

text: \neg (A \rarr B) \Leftrightarrow A \land \neg B
Справочные материалы (законы поглощения и аналоги)

text: A \Leftrightarrow B ° A \Leftrightarrow A \land (A \lor B) \Leftrightarrow A \lor A \land B \Leftrightarrow A \land (B \rarr A)
thread_title:  Дополнение к содержанию статьи 

message: В данной стать и в книгах, что я видел в качестве "разделительного знака" используются скобки. Однако на практике в других разделах математики для формальных записей используют двоеточие. Например, тот же раздел Википедии "Предел последовательности" имеет определение  с двоеточием. Не следует ли информацию о таком синтаксисе занести в статью. 87.241.189.180 09:01, 16 октября 2023 (UTC)
thread_title:  Двоеточие