Обсуждение:Гильбертово пространство

message: По-моему, в определение гильбертова пространства входит требование бесконечномерности (по крайней мере, в литературе по функциональному анализу). Конечномерные пространства с положительно определённым скалярным произведением называются евклидовыми.
replies: text: В Федерере, Геометрическая теория меры, бесконечномерность не требуется (Определение в 1.7.13). --Тоша 22:00, 30 мая 2007 (UTC)

text: Вообще-то, бесконечномерность - это правда, т.к. гильбертово пространство является обобщением евклидового пространства на бесконечномерный случай. См. любую книгу по матфизике.  Евгений 17:57, 18 января 2008 (UTC)
*Вы уж меня извините (за источник), но, скажем, в «Школьной энциклопедии по математике» в разделе 6 приводится следующее: «Гильбертово пространство есть обобщение евклидова пространства на БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЙ случай. Кроме того, например, первоначальное понятие гильбертова пр-ва как l_2 подразумевает БЕСКОНЕЧНЫЕ последовательности (ряд суммы квадратов членов последовательности сходится). А в пространстве L_2 на [a,b] тоже может быть бесконечное количество функций, так?
* -Готфрид Вильгельм Лейбниц (обс.) 08:48, 6 января 2024 (UTC)
Вот вам «любая книга»: Федерер, Геометрическая теория меры, там конечномерный случай включается...--Тоша 23:02, 18 января 2008 (UTC)

text: Давайте рассматривать разумную литературу. Например, Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Шаббат Введение в теорию функции комплексной переменной. Чтобы упростить задачу и не вызывать споры, прошу привести пример конечномерного гильбертова пространства.  Евгений 02:39, 19 января 2008 (UTC)
Конечномерные гильберовы пространства это просто евклидовы пространства. И не надо обижать Федерера, он вполне разумный. --Тоша 02:53, 19 января 2008 (UTC)

text: PS Кстати, в Халмоше тоже бесконечномерность НЕ предполагается...
replies: text: :Пример, пожалуйста, с цитатой, конечномерного гильбертова пространства, как, например, \ell_2 --Евгений 11:28, 21 января 2008 (UTC)
Обычно подразумевается именно бесконечномерный случай (см. любую книгу по квант. механике). И потом, если конечномерный случай имеет уже название Евклидовый, и есть общее название - пространства со скалярный произведением, то лучше называть Гильбертовым пространством именно бесконечномерный случай.  195.62.14.150 12:03, 23 июля 2009 (UTC)
Если не требовать бесконечномерность в определении, то нужно добавлять во всей википедии перед термином "Гильбертово пространство" слово "бесконечномерное"!!! 195.62.14.150 11:20, 27 июля 2009 (UTC)

text: Везде не наадо, только там где это необходимо. --Тоша 10:11, 28 июля 2009 (UTC)
thread_title:  Размерность 

message: Простейшим (но весьма важным) примером гильбертова пространства является пространство \ell_2.
Сторого говоря, \ell_2(k) --- это единственный возможный случай гильбертова пр-ва над полем k. Под \ell_2, как правило, понимают то же пр-во над основным полем (\mathbb R в вещественном анализе и \mathbb C --- в комплексном. «Смешивание» поля действительных чисел и символа комплексного сопряжения ниже несколько удивляет.
upd. Извиняюсь, поторопился. Конечно же, в случае произвольного поля, не единственный. Для полей вещественных и комплексных чисел да, так оно и есть.
Его точки суть бесконечные последовательности действительных чисел
x = \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, для которых сходится ряд \sum_{n=1}^\infty |x_n|^2. Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством
(x, y) = \sum_{n=1}^\infty x_n \overline{y_n}.
Лучше так. Его элементами являются вещественные последовательности \{x_n\}_{n\in\mathbb N}, что ряд \sum\limits_{n\in\mathbb N} |x_n|^2 сходится. Скалярное произведение в таком пространстве…
replies: text: А зачем здесь знак модуля? Квадрат модуля вещественного числа равен просто квадрату этого числа, разве нет?
Другим важным примером гильбертова пространства может служить пространство L_2[a,b] измеримых функций на отрезке [a,b] с интегрируемыми по Лебегу квадратами — т. е. таких, что интеграл
\int\limits_a^b |f|^2\,dx
определён и конечен. Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством
(f, g) = \int\limits_a^b f\overline{g}\,dx.
Пр-ва L_p — это пр-ва классов эквивалентных по L_p-норме функций, но никак не функций. Это раз.
Два. За символом \int\limits_a^b f(x)\,dx в анализе зарезервирован интеграл Римана. Интеграл Лебега по мере Лебега на \mathbb R обозначается, как правило, \int\limits_{[a,b]} f(x)\,d\mu(x).
* На МатМехе СПбГУ не обозначается...  Евгений 10:52, 7 ноября 2008 (UTC)
Три. Опять же, стоит определиться с основным полем. Может быть, сделать два примера из одного?
Четыре. Пожалуй, стоит привести пример гильбертова базиса для этого(их) примера(ов). Например, полиномы Чебышева. Или, что ближе и понятней — тригонометрическую систему (ау, ряды Фурье!).

text: Всё правильно, но зачем это здесь писать, не легче ли самому подправить?--Тоша 19:30, 10 мая 2007 (UTC)

text: Всё-таки для уточнения я бы добавил комментарий "единственный (с точностью до изоморфности)"  Евгений 02:39, 19 января 2008 (UTC)
thread_title:  Примеры 

message: Ги́льбертово простра́нство обобщение евклидова пространства на бесконечномерный случай. При этом гильбертово пространство не обязательно является бесконечномерным.
Объясните, пожалуйста.
Если обобщение на бесконечномерный, то как при этом может не быть бесконечномерным??? 195.62.14.150 11:57, 23 июля 2009 (UTC)
== 
Очень просто. Гильбертовы пространства — это евклидовы пространства+ бесконечномерные пространства с скалярным прозведением. Таким образом все евклидовы пространства(конечномерные пространства с скалярным прозведением) — гильбертовы.
 ==
thread_title:  Вопрос!!! 

message: А где же само определение гильбертова пространства? Чего-то я не нахожу… --OZH 19:26, 21 апреля 2010 (UTC)
Нашёл! Вот: «Гильбертово пространство есть банахово пространство, норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением.», Смотрим банахово пространство, читаем: «Банаховым пространством называется нормированное линейное пространство  полное по метрике, порождённой нормой.». Во как! --OZH 19:32, 21 апреля 2010 (UTC)
thread_title:  Определение 

message: Ссылка "Теорема Рисса-Фишера" ведёт на статью с теоремой Рисса-Фреше 77.108.113.166 10:18, 19 января 2012 (UTC)
*Поправил. Но и Вы могли поправить. :-) Но это всё надо проверять по источникам. Сама статья неряшливая. Надо её выправлять. --OZH 10:33, 19 января 2012 (UTC)
thread_title:  Ошибка со ссылкой 

message: Срочно переписать человеческим языком, а не этой локальной помесью околонаучного сленга с СССР подачей на отвали. Вспомнились занятия по физике 1 2 курс МГУПИ, забыл профессуру как звали, но он нам там ртом конспект наговаривал и параллельно доску забивал такими мелкими строчечками, так все пары, а во потом на зачете по косарю просил но тут то вы с кого чего просить собрались. для примера см. статью в en зоне там ведь с пяток абзацев довольно простых для освоения а не стена формул. я так и вижу что при завершении теории всего на вики оставят одну статью с уравнением полученным в результате или что там в результате будет не суть.
thread_title:  Пожелания