Обсуждение:Позиционная система счисления

message: : Данная статья тематически связана с другими, и обсуждается в комплексе на странице Обсуждение проекта:Математика/Булева логика.
__TOC__

message: Ставлю под сомнение содержание некоторых предложений и разделов в статье (не статью в целом).
Во-первых: даётся определение, что «Каждая позиционная система счисления определяется некоторым числом b (т. н. основание системы счисления) с |b| > 1». И тут же даётся ссылка на унарную систему счисления (b = 1).
Во-вторых: следует как обосновать существование систем счисления с дробным основанием, так и исправить содержание раздела «Системы счисления с дробным основанием» - в том разделе на самом деле обсуждаются дробные числа, а не дробные основания систем счисления. Второй и дальнейшие абзацы особенно вызывают возмущение. Срочно переделать раздел!
Дополняю.
Раздел «Зависимость плотности записи информации от основания системы счисления» требует приведения авторитетных источников, или полной переписки. Там заявлена функция плотности \frac{\ln(b)}{b} и в то же время заявлено, что наибольшей плотностью записи обладает система счисления с основанием e (что надо понимать как глобальный максимум функции), хотя простейший расчёт показывает, что экстремумов данная функция не имеет, а единственный "претендент" на экстремум - точка b = 0 (но в этой точке функция не определена); так что максимальную плотность записи будет иметь (в приведённом в статье смысле слова "плотность") разве что "бесконечноичная" система счисления.
Совершенно необходимо пояснить связь между "плотностью записи" (да и вообще дать хоть какое-то определение этому понятию) и "информационной энтропией", куда ведёт ссылка.
Вообще, похоже на ОРИСС. Булат Ш. 02:13, 26 июня 2008 (UTC)
replies: text: текст выше был зачёркнут 02:36, 26 июня 2008 (UTC) участником с IP 91.144.141.56. -- AVBtalk 00:21, 19 апреля 2009 (UTC)

text: Прояснил оба вопроса. Maxal 17:44, 11 октября 2008 (UTC)
Необходимыми условиями существования экстремума функции являются существование первой производной и её равенство нулю. Первая производная функции y(b)=ln(b)/b равна dy/db=1/b^2-ln(b)/b^2, т.е. существует. Приравняв её нулю 1/b^2-ln(b)/b^2=0, ln(b)/b^2=b^2, ln(b)=1, получим b=e=2,71....
Достаточными условиями существования локального максимума являются f'_+(x_0) < 0 и  f'_-(x_0) > 0. Так как слева от точки x=e производная положительная, а справа отрицательная, то,  в точке b=е=2,71... функция действительно имеет строгий локальный максимум. Андрей Куликов 10:57, 27 октября 2009 (UTC)
thread_title:  Ставлю под сомнение 

message: Очевидна ошибка в определении позиционных систем счисления. Если с b снять модуль, то в такое определение попадают и положительные позиционные системы счисления и отрицательные позиционные (нега-позиционные) системы счисления. Если с b снять ограничение b>1, т. е. b - любое действительное число, то в такое определение попадут и единичная (унарная) поместная (позиционная) система счисления и системы счисления с основаниями меньшими 1 (половинная поместная (позиционная) система счисления, третичная поместная (позиционная) система счисления, четвертичная поместная (позиционная) система счисления и др.). Теоретически очевидно, что b может быть и комплексным числом.92.243.166.4 20:27, 29 октября 2008 (UTC)
Единичный (унарный) способ (систему) счисления можно толковать как вырожденный поместный (позиционный) способ (систему) счисления с основанием равным единице (b=1) или поместные (позиционные) способы (системы) счисления можно толковать как   
приписные поместные (позиционные) способы-системы счисления по отношению к единичному способу (системе) счёта, в которых положению (месту, позиции) знака приписывается дополнительное значение (вес). При втором толковании единичная система счисления является основной. На мой взгляд такое (второе) толкование эволюционно более правильное.92.243.166.4 20:51, 29 октября 2008 (UTC)
Можно ли? Удалил упоминание об унарной системе из примеров. 94.41.64.232 20:51, 6 января 2013 (UTC)
thread_title:  Ошибка в определении позиционных систем счисления 

thread_title:  Плотность записи

message: 1. Описание по С.В.Фомину (подобное же описание приводится в работе А.Кушнерова http://314159.ru/kushnerov/kushnerov1.pdf Троичная цифровая техника. Ретроспектива и современность со ссылкой на малоизвестную теорему Джона фон Неймана "о компактности систем счисления", но в этой работе на рис.1 приводится график для фиксированного n=8.)
x\, - основание системы счисления (число знаков (цифр) в одном разряде, число устойчивых состояний триггера) (b\,)
n=r \cdot x\, - число знаков (число элементов, число инверторов в одном триггере) (в трёхразрядном (трёхпозиционном) десятичном числе 30 знаков) (экономичность системы)
r=n/x\, - число разрядов (число позиций, длина разрядной сетки, число разрядов регистра, число триггеров в регистре)
Число записываемых (представимых, представляемых) чисел y(x)=x^{n/x}\,, график функции с различными масштабами по осям x и y изображён на рис.4. (Функция не обобщена и зависит от числа знаков - n, поэтому приводится график для одного, фиксированного числа знаков - n, значение которого не приводится). 
Необходимое условие того, что в данной точке x_0\, функция y(x) достигает максимума, состоит в обращении в нуль её производной в этой точке. В данном случае 
производная этой функции равна dy/dx=-n \cdot x^{n/x} \cdot ln(x)/x^2+(n/x) \cdot x^{n/x-1}=n \cdot x^{n/x-2} \cdot (1-ln(x))\,. 
Приравняв её нулю, получим, что ln(x)=1, т.е. x=e.
Так как слева от точки x=e производная dy/dx положительна, а справа отрицательна, то, в силу известных теорем дифференциального исчисления, в этой точке наша функция действительно имеет максимум.
Экономичность системы счисления - немаловажное обстоятельство с точки зрения её использования в вычислительной машине. Поэтому, хотя применение в вычислительной машине троичной системы вместо двоичной влечёт некоторые конструктивные трудности (при этом нужно пользоваться элементами, каждый из которых может находиться не в двух, а в трёх устойчивых состояниях), эта система уже была использована в некоторых реально существующих вычислительных устройствах.http://www.math.ru/lib/files/plm/v40.djvu Популярные лекции по математике. С.В.Фомин. Системы счисления. § 14. Об одном замечательном свойстве троичной системы, стр.39-40. 
2. Описание через информационную энтропию
При условии равновероятности появления каждой из цифр в записи числа информационная энтропия записи n-значного (в данном случае автор употребил слово n-значного в смысле r-разрядного, r-позиционного) числа в системе счисления с основанием b принимает значение n\frac{\ln b}{b} (с точностью до постоянного коэффициента). Поэтому плотность записи (то есть количество информации на одну позицию) чисел в системе счисления с основанием b равна \frac{\ln(b)}{b}.
Плотность записи, как функция от b, принимает максимальное значение в точке при b=e=2,718281828\ldots.
Таким образом, наибольшей плотностью записи чисел (информации) обладает система счисления с нецелочисленным основанием e. Из систем счисления с целочисленными основаниями наибольшей плотностью записи чисел (информации) обладает троичная система счисления. Двоичная и четверичная системы счисления делят второе место. Остальные целочисленные системы счисления имеют меньшую плотность записи чисел (информации).
3. Более простое описание
x\, - основание системы счисления (число знаков (цифр) в одном разряде, число устойчивых состояний триггера) (b\,)
r=n/x\, - число разрядов (число позиций, длина разрядной сетки, число разрядов регистра, число триггеров в регистре)
n=r \cdot x\, - число знаков (число элементов, число инверторов в одном триггере) (в трёхразрядном (трёхпозиционном) десятичном числе 30 знаков) (экономичность системы)
Число записывыемых (представимых, представляемых) чисел (кодов) y(x)=x^{r}\,
Натуральный логарифм числа представимых чисел (кодов) ln(y)=r \cdot ln(x)\,
Удельная натуральнологарифмическая плотность записи чисел Y=ln(y)/n=ln(x)/x\,[натуральный логарифм числа представимых чисел/элемент] наибольшая в точке экстремума, в которой первая производная равна нулю.
Первая производная от натуральнологарифмической плотности записи чисел dY/dx=d(ln(x) \cdot 1/x)/dx=(1/x^2-ln(x)/x^2) равна нулю в точке x=e=2,71...\, 
Таким образом, наибольшей логарифмической плотностью записи чисел (кодов, информации) обладает система счисления с нецелочисленным основанием равным числу Эйлера - e=2,71... . Из систем счисления с целочисленными основаниями наибольшей плотностью записи чисел (кодов, информации) обладает троичная система счисления. Двоичная и четверичная системы счисления делят второе место. Остальные целочисленные системы счисления имеют меньшую плотность записи чисел (кодов, информации).92.243.182.100 11:44, 29 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 12:23, 29 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 12:36, 29 апреля 2009 (UTC)
92.243.182.100 12:36, 29 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 03:05, 30 апреля 2009 (UTC)
92.243.182.100 03:20, 30 апреля 2009 (UTC)
92.243.182.100 06:51, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 09:36, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 10:20, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 11:53, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 11:56, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 11:58, 30 апреля 2009 (UTC)
92.243.182.100 04:21, 5 мая 2009 (UTC)
92.243.182.100 13:10, 5 мая 2009 (UTC)
92.243.182.100 10:06, 7 мая 2009 (UTC)
thread_title: Плотность записи чисел

message: 1. По О.А.Акулову и Н.В.Медведеву (приведены обозначения по первоисточнику и общие обозначения):
q, b, x\, - основание системы счисления (число знаков (цифр) в одном разряде, число устойчивых состояний триггера)
n, r\, - число разрядов (число позиций, длина разрядной сетки, число разрядов регистра, число триггеров в регистре)
C=q \cdot n, n=x \cdot r - число элементов (экономичность системы) (число знаков, число инверторов в одном триггере)
A_q=q^n, y(x)=x^r\, - число представляемых (записываемых, представимых) чисел
A_qmax=q^n-1, y(x)_m=x^r-1\, - наибольшее представляемое (записываемое, представимое) число
n=log_q(A_qmax+1), r=log_x(y(x)_m+1)\,
C=q \cdot log_q(A_qmax+1), n=x \cdot log_x(y((x)_m+1)\,
F=q \cdot log_q(A_qmax+1)/[2 \cdot log_2(A_2max+1)], F=x \cdot log_x(y(x)_m+1)/[2 \cdot log_2(y(2)_m+1)] - относительные аппаратные затраты (экономичность системы счисления) по Акулову и Медведеву
Минимальные относительные аппаратные затраты будут при dF/dq=0\, при x=q=e=2,71...\,.О. А. Акулов, Н. В. Медведев. Информатика и вычислительная техника. 4-е изд. — М.: Омега-Л, 2007. (Раздел I, Гл.3.3)
2. Более простое описание:
Аппаратные затраты являются функцией обратной функции натуральнологарифмической плотности записи чисел, поэтому, поделив 1 на функцию натуральнологарифмической плотности записи чисел получим более простое выражение функции натуральнологарифмических аппаратных затрат:
Z=1/(ln(x)/x)=x/ln(x)\,
92.243.182.100 14:15, 21 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 12:17, 29 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 03:25, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 03:39, 30 апреля 2009 (UTC)
92.243.182.100 06:49, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 06:52, 30 апреля 2009 (UTC)
92.243.182.100 06:53, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 06:56, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 09:39, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 10:24, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 11:54, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 12:00, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 12:01, 30 апреля 2009 (UTC)
92.243.182.100 04:11, 5 мая 2009 (UTC)
92.243.182.100 17:18, 17 мая 2009 (UTC)
thread_title: Затраты числа знаков на запись чисел (аппаратные затраты)

message: 92.243.182.100 18:01, 16 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 13:23, 23 апреля 2009 (UTC)
Прежде чем добавлять этот материал, нужно:
# определить что такое "аппаратные затраты"
# привести обозначения в соответствие с остальным текстом
# не повторять одно и то же в нескольких секциях
Пока же я удаляю этот текст как неэкциклопедический и невписывающийся в контекст статьи. Maxal 21:51, 16 апреля 2009 (UTC)
1. О.А.Акулов и Н.В.Медведев не стали повторять выкладки малоизвестной, но известной А.Кушнерову, теоремы Джона фон Неймана о "компактности систем счисления" (по А.Кушнерову) ("количество записываемых чисел", "экономичность системы счисления" (по С.В.Фомину)) с функцией y(x)=x^(n/x), которая зависит от числа знаков (элементов, инверторов) - n и приводят вывод собственного определения функции "относительных аппаратных затрат", которое очень громоздко. На графике функция "относительных аппаратных затрат" О.А.Акулова и Н.В.Медведева выглядит как функция обратная функции "числа записываемых чисел" и "плотности записи".
Чтобы из функции "числа представимых чисел" ("компактности систем счисления", "количества записываемых чисел") получить функцию "плотности записи чисел" её нужно разделить на число элементов (знаков, инверторов) - n, но она, в исходном виде, на n делится "плохо". Если от этой функции взять натуральный логарифм, то получится функция "натурального логарифма от числа записываемых чисел", которая хорошо делится на число элементов (знаков, инверторов) - n, при этом числа разрядов - r взаимно сокращаются и результирующая функция "натурально логарифмической плотности записи чисел" становится независимой от числа разрядов (позиций) - r, чего нет в теореме Джона фон Неймана.
Кроме того, от этой функции производная берётся проще и выглядит проще.
Так как функция "аппаратные затраты", введённая О.А.Акуловым и Н.В.Медведевым, на графике выглядит, как функция обратная функции "числа записываемых чисел" и функции "натуральнологарифмической плотности записи" и по смыслу является функцией обратной функции "плотности записи", то имеет смысл поделить 1 на функцию "натуральнологарифмической плотности записи" и в результате получить функцию "натуральнологарифмических аппаратных затрат" не зависящую от числа разрядов (позиций), как у Джона фон Неймана, имеющую более простой вид, чем функция "относительных аппаратных затрат" О.А.Акулова и Н.В.Медведева, от которой производная берётся проще и выглядит проще.
2. Вероятно, что нужно привести и авторские обозначения и обозначения приведённые в соответствие с остальным текстом.
3. Из-за разницы в авторских обозначениях это сделать невозможно.92.243.182.100 10:35, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 10:35, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 11:38, 30 апреля 2009 (UTC)92.243.182.100 11:47, 30 апреля 2009 (UTC)
thread_title:  Ссылки 

message: Андрею Куликову:
* Во-первых, что это за "простая запись" и "сложная запись" - у нас ведь не детский сад? Это неэнциклопедический стиль, к тому же просто пересказывание одного и того чуть разными словами.
* Во-вторых, во фразе 
replies: text: Рациональное число x в b-ричной системе счисления представляется в виде линейной комбинации (вообще говоря, бесконечной) степеней числа b:
говорится, что рациональное число представляется в виде бесконечной линейной комбинации, но вы приводите конечную комбинацию.
* В-третьих, указание основания системы счисления в качестве индекса имеет смысл только если это иначе непонятно. Когда про запись явно говорится, что это b-ричная запись, указывать b излишне и только усложняет написанное. Maxal 14:29, 15 октября 2009 (UTC)
Maxal'у:
* 1. Запись с одной суммой проще записи с двумя суммами, проще - значит простая. Используется в:

text: 1.

text: 2. Шауцукова Л.З. Информатика 10-11.—М.:Просвещение, 2000 г. Книга 1. Теория. Глава 4. Раздел 4.1. Что такое система счисления?
* 2. При m=\infty число членов суммы бесконечно.
* 3. Читатели часто смотрят, как в справочнике, только формулы, поэтому кроме указания основания системы счисления в описании нужно указывать основание системы счисления и в формулах. Андрей Куликов 15:46, 15 октября 2009 (UTC)

text: # В разных книжках одни и те же формулы могут быть написаны по-разному с разной степенью грамотности. И переписывать их все в википедию не имеет смысла. Вместо этого статьи здесь должны содержать грамотную квинтэссенцию материалов из других источников. Как профессиональный математик, я утверждаю, что добавленная вами формула как минимум математически безграмотна. Кроме того, даже если ее исправить, она не привносит ничего нового по сравнению с тем, что там было написано раньше.

text: # m=\infty здесь не работает, так как цифра a_{-\infty} неопределена.

text: # Это чистой воды спекуляции. Формулы и текст здесь составляют единое целое. Если кто-то пытается использовать ту или иную формулу вне контекста - это лично его проблемы. А замусоривание статей чрезмерными и излишними уточнениями ведёт только к ухудшению читабельности. Maxal 16:44, 15 октября 2009 (UTC)
*1. Очевидно, что уровень грамотности формул с одной суммой выше уровня грамотности формул с необоснованным, по недоумению, использованием двух сумм ("Не устоит царствие, которое раздвоилось в самом себе" - И.Христос). Ваше утверждение ложно. Непонимание этого Вами и Ваше ложное утверждение приводят к выводу о необоснованно завышенной самооценке уровня своей грамотности и необоснованно заниженных оценках уровней грамотности других. 
*2. Разряд a_{-\infty} работает точно также, как и разряд c_{\infty}. Ваше высказывание ложно.
*3. Очевидно, что текст и формулы - две разные составляющие статьи. Очевидно, что уточнения улучшают читабельность. Ваши высказывания ложные. Андрей Куликов 19:14, 15 октября 2009 (UTC)

text: # Замечание про "уровень грамотности" относилось не к тому, записана ли формула в виде двух сумм или одной, а к тому, что здесь нельзя мешать в кучу случаи конечной и бесконечной записи. И моя самооценка тут совершенно не при чем. Говоря "профессиональный математик", я имел в виду наличие учёной степени в данной конкретной науке.

text: # Ну и чему же равна цифра a_{-\infty} в десятичной записи, например, числа 1/7 ?

text: # Вы считаете, что многократное использование фраз "очевидно" и "Ваши высказывания ложные" придает больший вес вашим аргументам?

text: Maxal 12:07, 16 октября 2009 (UTC)
1. Односуммная запись описывает три случая:1. при m=0 - целые, 2. при m=m - рациональные дроби и 3. при m=\infty - иррациональные дроби с бесконечным числом разрядов дробной части. При двухсуммной записи все три случая нужно описывать отдельными формулами, что делает двухсуммную запись менее удобной, чем односуммная запись.
2. a_{-\infty}=c_{\infty}.
3. Ложные высказывания придают меньший вес аргументам независимо от принадлежности, мои ли, Ваши ли, третьей стороны ли. Андрей Куликов 16:00, 19 октября 2009 (UTC) Что очевидно одним, может быть неочевидно другим, смотреть - смотрят, а видеть - не видят, поэтому, иногда, в таких случаях, нужны более подробные описания. Андрей Куликов 16:10, 19 октября 2009 (UTC)

text: Удобно или неудобно - это дело вкуса, но всякая формула должна быть прежде всего безукоризненна математически. Нельзя писать a_{-m} и потом рассуждать про случай m=\infty, потому что нет такой цифры a_{-\infty}. Посмотрите на текущую версию статьи - там нет никакой цифры c_{\infty}, которой якобы равна ваша a_{-\infty}.

text: Бездоказательные обвинения во лжи не имеют никакого смысла. И домыслы тоже. Какой должна быть энциклопедическая статья - см. ВП:ПУ. Maxal 21:25, 19 октября 2009 (UTC)
Подраздел "Запись рациональных чисел", в первой формуле во второй сумме \sum_{k=1}^{\infty}c_kb^{-k} при k=\infty описывается c_{\infty}=a_{-\infty}, по этой части записи одинаковые, но односуммная запись короче и универсальнее. Перед каждым высказыванием о лжи стоит краткое доказательство. Андрей Куликов 06:48, 20 октября 2009 (UTC)

text: Вам следует подучить азы математики прежде чем бросаться словами "ложь" и т.п. \sum_{k=1}^{\infty}c_kb^{-k} - это математическая запись для cуммы ряда, то есть предела последовательности частичных сумм:
replies: text: : c_1 b^{-1},\quad c_1 b^{-1} + c_2 b^{-2},\quad c_1 b^{-1} + c_2 b^{-2} + c_3 b^{-3},\quad \dots

text: И здесь нет никакого c_{\infty}. Maxal 14:14, 20 октября 2009 (UTC)
\sum_{k=0}^{\infty} c_k b^{-k} - это сокращённая математическая запись функции (оператора) сложения  \sum_{k=0}^{k=\infty} c_k b^{-k} произведений \ c_k b^{-k}, в которой (котором), для краткости, верхнее "k=" не набирают, но, по правилам оператора суммы, можно записать любой член ряда, в том числе и бесконечный член. Общий член ряда, при k=\infty, имеет вид - c_\infty b^{-\infty} и существует всегда, даже, если сумма ряда не существует. Сумма ряда является частным случаем ряда и существует только, если ряд сходится, т.е. только, если существует предел последовательности частичных сумм. «Расходящийся ряд не имеет суммы» - Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике (12-е изд.). М.: Наука, 1977 (djvu)(стр.534), т.е. ряд и все его члены, в том числе и бесконечный член, есть, а суммы ряда нет. Андрей Куликов 19:17, 20 октября 2009 (UTC)

text: Фраза «по правилам оператора суммы, можно записать любой член ряда, в том числе и бесконечный член. Общий член ряда, при k=\infty, имеет вид - c_\infty b^{-\infty} и существует всегда, даже, если сумма ряда не существует» прекрасно демонстрирует уровень вашего невежества. И чтение справочников вам не поможет, пока вы не будете осмысливать прочтённое. Maxal 20:56, 20 октября 2009 (UTC)

text: Имеет ли смысл выражение c_\infty ? Никогда такого не встречал. Думается, что не имеет, ибо, в противном случае, чему оно равно? --Bopsulai 09:21, 21 октября 2009 (UTC) И могу я узнать, что такое бесконечный член ряда и как натуральное число k может равняться \infty? --Bopsulai 22:23, 22 октября 2009 (UTC)
thread_title:  "простая запись" и "сложная запись" 

message: :Кстати, п.1 справедлив также и для раздела "Аппаратных затрат", который вы так и не удосужились привести к "единому знаменателю". В результате он представляет собой свалку как бы разрозненных фактов, которые на самом деле описывают одно и то же явление. Maxal 16:50, 15 октября 2009 (UTC)
П. 1. ответа справедлив также и для раздела "Аппаратных затрат". Не приводимое к "единому знаменателю" к "единому знаменателю" не приводится. Ваша оценка - Ваша личная точка зрения, которая часто не совпадает с действительностью. Андрей Куликов 19:14, 15 октября 2009 (UTC)
replies: text: Во-первых, воздержитесь от личностных "наездов" и обобщений. Во-вторых, привести "единому знаменателю" и написать обобщающий энциклопедический текст можно - было бы желание. Начните хотя бы с того, что дайте определение Аппаратным затратам в общепринятых терминах и объясните, почему это все-таки "затраты", а не "выгоды", например. Пока же добавляемый вами текст больше похож на справочник разрозненных фактов чем на связную энциклопедическую статью. Maxal 12:07, 16 октября 2009 (UTC)
Название "Аппаратные затраты" использовали О.А.Акулов и Н.В.Медведев из МВТУ в своём учебнике информатики, в котором приводится график аппаратных затрат с минимумом при x=e=2,71.... "Выгоде" соответствует график с максимумом при x=e=2,71..., который приводится в книжке С.В.Фомина из МГУ, в статье А.Кушнерова и в других работах. Максимальная "выгода" при минимальных "аппаратных затратах". Андрей Куликов 12:15, 20 октября 2009 (UTC)

text: Это не ответ на мой вопрос. Я вас попросил дать определение термина "аппаратные затраты" (в частности, почему именно "аппаратные" и почему "затраты"), а вы вместо этого начали перечислять, где этот термин используется. Наличие источников, не освобождает от необходимости написания связного и самодостаточного текста. Maxal 14:19, 20 октября 2009 (UTC)
thread_title:  Аппаратные затраты 

message: Поскольку правки участника встретили какие-то возражения у участника Maxal, я пока откатил вернул старую версию и предлагаю участникам обсудить дальнейшие правки. Любые правки, которые будут внесены в эту статью без предварительного согласования друг с другом, в конечном итоге будут пресечены блокировкой. — Claymore 11:46, 16 октября 2009 (UTC)
thread_title:  Потенциальная война правок 

message: В главе Свойства пример на сложение какой-то странный. Во-первых, для систем с основанием <7 он попросту неверен, во-вторых, нигде не присутствует перенос единицы в соседний разряд. Вообще, нужен ли этот пример в статье? Если да, то тогда нужно давать примеры и на умножение, вычитание, деление, деление с остатком и т.п. --Bopsulai 21:34, 23 октября 2009 (UTC)
replies: text: Полностью согласен с замечанием. Пример бесполезный и неточный. Возметесь удалить и/или исправить? Maxal 23:23, 23 октября 2009 (UTC)
replies: text: : Как-то так, хотя тоже не идеально.--Bopsulai 04:30, 24 октября 2009 (UTC)
thread_title:  Пример на сложение 

message: Напоминаю (особенно Андрею Куликову), что согласно ВП:ПУ, изложение фактов в статье должно идти от простого к сложному, в порядке важности и известности. Под позиционными системами счисления обычно понимаются b-ричные системы счисления, где b — натуральное число. Запись чисел при этом изначально определяется для неотрицательных целых чисел, и потом уже расширяется до отрицательных, b-ричных (периодических) дробей, иррациональных чисел. Именно в таком порядке это и представлено в статье. Системы счисления с отрицательными основаниями, нецелыми основаниями, несколькими основаниями и т.д. являются обобщениями общепринятого понятия и изучаются лишь в специальной литературе. Поэтому их упоминание в данной статье возможно лишь в разделе обобщений, подробное же описание должно идти в отдельных тематических статьях. Не нужно пытаться определять обычные позиционные системы счисления с точки зрения этих специальных обобщений, навешивая ярлыки такие как одинарная, показательная, целочисленная, что она определяется двумя равными основаниями и т.д. Таким подробностям самое место в специальных тематических статьях (типа комбинированная система счисления), где они ни у кого не вызовут нареканий. Maxal 13:55, 24 октября 2009 (UTC)
replies: text: А я хотел бы добавить (соглашаясь с вышесказанным), что главы Плотность записи чисел и Число знаков на запись чисел, если и нужны вообще здесь, то лишь в конце статьи, а никак не перед простейшими свойствами и переходом в другие системы. Мне кажется, что здесь они не очень уместны, скорее это тема для новой статьи. --Bopsulai 16:31, 24 октября 2009 (UTC)
replies: text: :Согласен. Эти свойства имеют смысл только в изучении систем счисления в приложении к цифровым устройствам. Наверное, стоит создать раздел типа Использование в цифровых устройствах (ближе к концу статьи), и в нём уже обсуждать какие системы счисления лучше и почему и, в частности, что такое аппаратные затраты (нормального определения этого понятия в статье до сих пор не дано) и как они связаны с плотностью записи чисел в той или иной системе счисления. Maxal 17:04, 24 октября 2009 (UTC)

text: Если факты излагаются в порядке уменьшения важности и статья про частный случай, значит в обобщениях надо заново дать определения и объяснения. А то там пока только упоминания.

text: Например, для рациональных оснований можно пояснить так:

text: # Позиционной называется система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции.

text: # Значение цифры определяется произведением её собственного веса на вес разряда, в котором она находится.

text: # Вес разряда определяется произведением коэффициента, называемого основанием, предыдущего (меньшего) разряда на его вес. Вес нулевого разряда равен 1.

text: # Если все разряды имеют одинаковое основание, система называется однородной, а основание называют основанием системы.

text: # Основание системы является знаменателем геометрической прогрессии веса разрядов.

text: # Цифры в разряде принадлежат диапазону идущих подряд целых значений, включающему ноль.

text: # В случае, если в системе ноль находится в центре такого диапазона, систему называют симметричной.

text: # Необходимое количество цифр (размер диапазона), используемых в разряде, определяется как максимум из округлённых до целого в большую сторону модулей основания и обратного ему числа.

text: # Если количество используемых цифр превышает необходимое, говорят, что разряд обладает избыточностью.

text: На мой взгляд, это просто и понятно.

text: Отсюда можно сделать вывод, что основание не обязано быть целым и превышать 1. В позиционной системе основание разряда (и системы) не может равняться 0 или 1, но может быть дробным, меньше 1, отрицательным и т.д.

text: Количество цифр находится в зависимости от основания разряда, а не равняется ему.

text: Ноль не обязан быть младшей цифрой. А значит, старшая цифра не определяется как основание минус 1.

text: Вес разряда не всегда можно определить возведением основания в степень, а только в однородных системах.

text: Сравнивать поразрядно 2 числа в одной системе надо не со старшего разряда, а с разряда с максимальным весом. Если модуль основания меньше 1, максимальный вес будет у младшего разряда. --Alex B. Fox 12:29, 17 апреля 2017 (UTC)
thread_title:  Структура статьи 

message: Объясняю (особенно Maxal'у).
1. В формулах (2) и (3) индексы дробной части имеют положительную  нумерацию: c1, c2, и т.д., поэтому у цифр cm должны быть положительные номера m или нумерация цифр дробной части должна быть заменена на отрицательную: c-1, c-2, ..., c-m.
2. Во многих учебниках и учебных пособиях
Шауцукова Л.З. Информатика 10-11.—М.:Просвещение, 2000 г. Книга 1. Теория. Глава 4. Раздел 4.1. Что такое система счисления?http://static.dstu.edu.ru/informatics/mtdss/part1.html#pt1 Донской государственный технический университет. Кафедра "Информатика" Пономарёв В.С., Красников В.В. Методические указания по теме: "Арифметические основы ЭВМ". 1.Системы счисления. 1.1 Основные понятия и определения.http://www.lan.krasu.ru/studies/authors/pak/Glava1/1_3.HTM Информатика. Системы счисления. Позиционные системы счисленияhttp://informatika1740.narod.ru/INFO/codirovka_chisel.htm Системы счисления. Позиционные системы счисленияhttp://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.29.pdf Библиотека «Математическое просвещение». Выпуск 29. Издательство Московского центра непрерывного математического образования. Москва. 2004. С. Б. Гашков. Системы счисления и их применение. (В браузере Google Chrome после нажатия на ссылку нужно стронуть одну из боковых сторон рамки браузера.)(Стр.36) применяется более простая запись с обозначением цифр и целой части числа и дробной части числа одной буквой и более простая запись в виде одной суммы:
 
replies: text: x_{a,b} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{a,b} = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k b^k, где
 
n - число разрядов целой части числа,
m - число разрядов дробной части числа, при m=\infty дробная часть бесконечна, при m=0 число целое,
k - номер разряда,
a - множество, из которого берутся ak, основание внутриразрядной системы счисления,
ak - разряды целой и дробной частей числа,
b - основание межразрядной системы счисления,
3. В учебном пособии http://khpi-iip.mipk.kharkiv.edu/library/datastr/book/prt01.html В.Д.Далека, А.С.Деревянко, О.Г.Кравец, Л.Е.Тимановская. Модели и структуры данных. Учебное пособие. Харьков:ХГПУ, 2000.-241с. 1. Структуры данных и алгоритмы 1.3. Системы счисления 1.3.3. Изображение чисел в позиционной системе счисленияприменяется несколько иное определение записи чисел в позиционной системе счисления:
 
Изображение чисел в любой позиционной системе счисления с натуральным основанием R (R>1) базируется на представлении их в виде произведения целочисленной степени m основания R на полином от этого основания:
 
A_r = R^m * \sum_{i=1}^n (a[i]*R^{(-i)}), где:
 
a[i] {0,1,...,R-1} - цифры R-ичной системы счисления;
n - количество разрядов (разрядность), используемых для представления числа;
R - основание системы счисления;
m {...,-2,-1,0,+1,+2,...} - порядок числа;
R(-i) - позиционный вес i-того разряда числа.
;Ответ Адрею Куликову
(кстати, не забывайте подписываться)

text: 1) Это не существенно. Хотите заменить на отрицательную нумерацию - пожалуйста, хотите записать одной суммой - тоже, но с учётом п. 2 ниже. И представление должно быть одно (то или иное). Не нужно никаких "простых" и "сложных записей".

text: 2) По поводу формулы:
replies: text: : x_{a,b} = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{a,b} = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k b^k

text: есть несколько замечаний:

text: 2.1) Самое главное: если мы явно выписываем последний член a_{-m}, то это означает, что запись конечна. А именно она состоит из m цифр после запятой. При этом фраза «при m=\infty дробная часть бесконечна» математически безграмотна. Нет такой цифры a_{-\infty} (в чем легко убедиться хотя бы на примере дроби 1/7 = 0.142857142857… - попытайтесь ответить на вопрос, чему здесь равна a_{-\infty}). Грамотная запись бесконечной дроби должна быть без указания последнего члена (которого собственно и не может быть в бесконечной записи):
replies: text: :a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots = \sum_{k=-\infty}^{n-1} a_k b^k

text: 2.2) По поводу индексов: у x их вообще не должно быть - так как это число, и оно не зависит от системы счисления. Например, число пять существует внезависимости от используемой системы счисления, а вот его записи "5" (в десятичной) или "101" (в двоичной) уже зависят от системы счисления. Таким образом, от системы счисления зависит только запись числа x, но не само x. Далее, в данном случае у нас есть только основание b и нет никакого a, поэтому и индекс должен быть только b. Резюмируя, обсуждаемая формула должна выглядеть в конечном случае так:
replies: text: :x = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_b = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k b^k

text: а в бесконечном - так:
replies: text: :x = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots)_b = \sum_{k=-\infty}^{n-1} a_k b^k

text: 3) По поводу источников - я вам уже писал выше. Повторюсь:
replies: text: :В разных книжках одни и те же формулы могут быть написаны по-разному с разной степенью грамотности. И переписывать их все в википедию не имеет смысла. Вместо этого статьи здесь должны содержать грамотную квинтэссенцию материалов из других источников.

text: Указанная запись формулы по существу ничем не отличается присутствующей в статье (кроме переобозначений и вынесений некоторого множителя за знак суммы) и отнюдь не удовлетворяет критериям значимости для отдельного упоминания.

text: И вообще, далеко не каждый web-ресурс или методичка является ВП:АИ, поэтому не следует бездумно переписывать формулы оттуда. 
Maxal 15:26, 27 октября 2009 (UTC)
* Коллеги, запись \sum_{k=-m}^{n-1} a_k b^k при m=\infty у меня вызывает сильные сомнения. Какой первый член этой суммы? a_{-\infty} b^{-\infty}? Эта запись не имеет смысла. Нужно вводить понятие подобного суммирования задом наперёд, показывать его корректность и т. д. (например, что будет, если верхний предел тоже будет бесконечным и т.п.), причём не самим это делать, а искать на это АИ. (Кстати, ни в одной из вышеприведённых ссылок я подобного суммирования не нашёл.) Почему бы не сделать двух сумм: конечной для целой части и бесконечной для дробной? Это гораздо более понятно и не вызывает подобных вопросов. --Bopsulai 17:35, 27 октября 2009 (UTC)
replies: text: : В принципе нижний предел, равный -\infty, возможен - они используются, например, в рядах Лорана. Но вот насчет уместности и необходимости его использования в данной статье у меня тоже сомнения. Я также считаю, что запись в виде двух сумм более наглядной и ничуть не сложнее записи в виде одной суммы, так настойчиво предлагаемой Андреем Куликовым. Maxal 18:20, 27 октября 2009 (UTC)
replies: text: :: Насколько я помню, прежде чем вводить такую запись в рядах Лорана, нам сначала как раз давали чёткое определение такой записи (о чём я и говорил выше). Здесь же вопрос всё же более элементарный и, на мой взгляд, должен быть доступен сообразительному школьнику. Как раз, по-моему, вариант с двумя суммами гораздо проще, поскольку сразу видно, где целая часть, где дробная. Зачем искусственно усложнять статью? Если уж так хочется, можно в замечании показать, что формула может быть короче (но не проще!). --Bopsulai 20:42, 27 октября 2009 (UTC)
thread_title: [[Позиционная система счисления#Запись рациональных чисел|Запись рациональных чисел]]

message: Цитата из текущей версии статьи: "Так как построить устройство (триггер) имеющее нецелочисленное число устойчивых состояний равное е=2,71…, в настоящее время затруднительно..."
"В настоящее время" и "затруднительно" подразумевают, что в принципе это все-таки возможно, хотя и сложно. Но позвольте, как это вообще может такое быть, "нецелочисленное число устойчивых состояний"? Полтора земплекопа и то гораздо легче представить.  --Ye-thorn 10:50, 17 мая 2010 (UTC)
replies: text: ВП:Правьте смело. Maxal 18:32, 18 мая 2010 (UTC)
thread_title:  устройство, имеющее нецелочисленное число устойчивых состояний  

message: Выношу из статьи до приведение к стандартам википедии — необходимо привести ВП:АИ, убрать излишние технические детали и поправить стиль изложения. Maxal 12:35, 27 августа 2010 (UTC)
replies: text: :У меня большие сомнения в целесообразности присутствия этой главы в статье. Без нее статья стала гораздо удобочитаемее. Может, это выделить в отдельную статью? --Bopsulai 15:51, 27 августа 2010 (UTC)
replies: text: :* Я тоже считаю, что это как минимум ненужное словоблудие, разведенное на пустом месте. Но, к счастью, об этом можно не беспокоится, пока не будет предоставлено нормальных АИ (а их, судя по всему, попросту не существует). Maxal 17:43, 27 августа 2010 (UTC)
=== Число представимых чисел ===
 
; Описание  по С. В. Фомину (альтернативная ссылка)
Подобное же описание приводится в работе А.КушнероваА. Кушнеров Троичная цифровая техника. Ретроспектива и современность. - НЕ АИ, нет информации о редактуре, рецензировании, принятии к печати. Нет информации о степенях автора. со ссылкой  на малоизвестную теорему Джона фон Неймана 1946 г. «о компактности систем счисления».

text: \ a=\tfrac{z}{n} — внутриразрядное число цифр, (число знаков (цифр) в одном разряде, число устойчивых состояний триггера)

text: z=n \cdot a — число (затраты) знаков на n разрядов в a-ичной системе, (число элементов (инверторов) в одном триггере) (в трёхразрядном (трёхпозиционном) десятичном числе z=3*10=30 знаков), отражает экономичность системы )

text: n=\tfrac{z}{a} — число разрядов (число позиций, длина разрядной сетки, число разрядов регистра, число триггеров в регистре)
Три величины, \ n, \ z и \ a, взаимосвязаны {{subst:АИ}между собой простым соотношением: число разрядов необходимое для записи числа — \ n прямо пропорционально числу знаков (числу инверторов) — \ z и обратнопропорционально основанию системы счисления — \ a.
Число представляемых чисел   выражается функцией \ y(a)=a^{z/a},  а удельное натуральнологарифмическое число представимых чисел  — функцией \ Y(a)= \frac{\ln y(a)}{a} = \frac{\ln a}{a}. Эти функции достигают максимума в точке \ a=e.
Таким образом, наибольшим числом представимых чисел обладает система счисления с нецелочисленным основанием равным числу e.   Из систем счисления с целочисленными основаниями наибольшее число представимых чисел имеет троичная система счисления.   Двоичная и четверичная системы счисления делят второе место. Остальные целочисленные системы счисления имеют меньшие числа представимых чисел.
Как можно увидеть на графике, переход в вычислительной технике от десятичной системы счисления (0,23) к двоичной (0,347) и четверичной (0,347) был бо́лее значимым в чем? (0,347-0,23=0,117 (50,9 %)), чем переход от двоичной системы счисления к троичной системе счисления (0,366) (0,366-0,347=0,019 (5,48 %)). Переход от троичной системы счисления к е-ричной системе счисления с основанием равным числу е (0,368) ещё менее значим (0,368-0,366=0,002 (0,546 %)).
Так как построить устройство (триггер) имеющее нецелочисленное число устойчивых состояний равное е=2,71…, в настоящее время затруднительно, то из целочисленных эвм наибольшее удельное натуральнологарифмическое число представимых чисел (кодов) имеют троичные эвм.
На целочисленных эвм возможно применение комбинированных (a, b,с)-ичных систем счисления , в которых для обозначения цифр разрядов применяются целые двоичные, троичные, …, десятичные и др. числа с весовыми коэффициентами (весами) равными e/c, где c — число цифр в одном разряде, а основание весовой показательной функции равно b=е=2,71….
=== Число знаков на запись чисел (аппаратные затраты) ===
1. По О. А. Акулову и Н. В. Медведеву (приведены обозначения по первоисточнику и общие обозначения):
\ q=a — основание системы счисления (число знаков (цифр) в одном разряде, число устойчивых состояний триггера)
\ n — число разрядов (число позиций, длина разрядной сетки, число разрядов регистра, число триггеров в регистре)
\ C=q \cdot n, z=a \cdot n — число элементов (число знаков, число инверторов в одном триггере)
\ A_q=q^n, y(a)=a^n — число представляемых (записываемых, представимых) чисел
\ A_{qmax}=q^n-1, y(a)_{max}=a^n-1 — наибольшее представляемое (записываемое, представимое) число
\ n=log_q(A_{qmax}+1), n=log_a(y(a)_{max}+1)
\ C=q \cdot log_q(A_{qmax}+1), z=a \cdot log_a(y(a)_{max}+1)
F=q \cdot log_q(A_{qmax}+1)/[2 \cdot log_2(A_{2max}+1)], F=a \cdot log_a(y(a)_{max}+1)/[2 \cdot log_2(y(2)_{max}+1)] — относительные аппаратные затраты (экономичность системы счисления) по Акулову и Медведеву
Минимальные относительные аппаратные затраты будут при \ dF/dq=dF/da=0 при \ q=a=e=2,71....О. А. Акулов, Н. В. Медведев. Информатика и вычислительная техника. 4-е изд. — М.: Омега-Л, 2007. (Раздел I, Гл.3.3)
2. Более простое описание:
Аппаратные затраты являются функцией обратной функции удельного натуральнологарифмического числа представимых чисел, поэтому, поделив 1 на функцию удельного натуральнологарифмического числа представимых чисел получим более простое выражение функции удельных натуральнологарифмических аппаратных затрат:
\ f(a)=1/(ln(a)/a)=a/ln(a).
=== Е-ричная система счисления ===
е-ричная система счисления — позиционная система счисления с основанием b=2,71…=е, равным числу Эйлера. По теореме Джона фон Неймана о позиционных системах счисления имеет наибольшую удельную плотность записи и наибольшую экономичность по затратам знаков (аппаратным затратам). Такая система счисления называется натуральной, а её разряд называется нат.

text: x = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_e = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k  e^k.
Так как работа с нецелым числом знаков в разряде практически неосуществима, для вычислений в е-ричной системе счисления на ЭВМ приходится использовать комбинированные системы счисления.
thread_title:  Число представимых чисел 

message: ; Описание  по С. В. Фомину (альтернативная ссылка)
Подобное же описание приводится в работе А.КушнероваА. Кушнеров Троичная цифровая техника. Ретроспектива и современность. - НЕ АИ, нет информации о редактуре, рецензировании, принятии к печати. Нет информации о степенях автора. со ссылкой  на малоизвестную теорему Джона фон Неймана 1946 г. «о компактности систем счисления». 
replies: text: \ a=\tfrac{z}{n} — внутриразрядное число цифр, (число знаков (цифр) в одном разряде, число устойчивых состояний триггера)

text: z=n \cdot a — число (затраты) знаков на n разрядов в a-ичной системе, (число элементов (инверторов) в одном триггере) (в трёхразрядном (трёхпозиционном) десятичном числе z=3*10=30 знаков), отражает экономичность системы )

text: n=\tfrac{z}{a} — число разрядов (число позиций, длина разрядной сетки, число разрядов регистра, число триггеров в регистре)
Три величины, \ n, \ z и \ a, взаимосвязаны {{subst:АИ}между собой простым соотношением: число разрядов необходимое для записи числа — \ n прямо пропорционально числу знаков (числу инверторов) — \ z и обратнопропорционально основанию системы счисления — \ a.
Число представляемых чисел   выражается функцией \ y(a)=a^{z/a},  а удельное натуральнологарифмическое число представимых чисел  — функцией \ Y(a)= \frac{\ln y(a)}{a} = \frac{\ln a}{a}. Эти функции достигают максимума в точке \ a=e.
Таким образом, наибольшим числом представимых чисел обладает система счисления с нецелочисленным основанием равным числу e.   Из систем счисления с целочисленными основаниями наибольшее число представимых чисел имеет троичная система счисления.   Двоичная и четверичная системы счисления делят второе место. Остальные целочисленные системы счисления имеют меньшие числа представимых чисел.
Как можно увидеть на графике, переход в вычислительной технике от десятичной системы счисления (0,23) к двоичной (0,347) и четверичной (0,347) был бо́лее значимым в чем? (0,347-0,23=0,117 (50,9 %)), чем переход от двоичной системы счисления к троичной системе счисления (0,366) (0,366-0,347=0,019 (5,48 %)). Переход от троичной системы счисления к е-ричной системе счисления с основанием равным числу е (0,368) ещё менее значим (0,368-0,366=0,002 (0,546 %)).
Так как построить устройство (триггер) имеющее нецелочисленное число устойчивых состояний равное е=2,71…, в настоящее время затруднительно, то из целочисленных эвм наибольшее удельное натуральнологарифмическое число представимых чисел (кодов) имеют троичные эвм.
На целочисленных эвм возможно применение комбинированных (a, b,с)-ичных систем счисления , в которых для обозначения цифр разрядов применяются целые двоичные, троичные, …, десятичные и др. числа с весовыми коэффициентами (весами) равными e/c, где c — число цифр в одном разряде, а основание весовой показательной функции равно b=е=2,71….
thread_title:  Число представимых чисел 

message: 1. По О. А. Акулову и Н. В. Медведеву (приведены обозначения по первоисточнику и общие обозначения):
\ q=a — основание системы счисления (число знаков (цифр) в одном разряде, число устойчивых состояний триггера)
\ n — число разрядов (число позиций, длина разрядной сетки, число разрядов регистра, число триггеров в регистре)
\ C=q \cdot n, z=a \cdot n — число элементов (число знаков, число инверторов в одном триггере)
\ A_q=q^n, y(a)=a^n — число представляемых (записываемых, представимых) чисел
\ A_{qmax}=q^n-1, y(a)_{max}=a^n-1 — наибольшее представляемое (записываемое, представимое) число
\ n=log_q(A_{qmax}+1), n=log_a(y(a)_{max}+1)
\ C=q \cdot log_q(A_{qmax}+1), z=a \cdot log_a(y(a)_{max}+1)
F=q \cdot log_q(A_{qmax}+1)/[2 \cdot log_2(A_{2max}+1)], F=a \cdot log_a(y(a)_{max}+1)/[2 \cdot log_2(y(2)_{max}+1)] — относительные аппаратные затраты (экономичность системы счисления) по Акулову и Медведеву
Минимальные относительные аппаратные затраты будут при \ dF/dq=dF/da=0 при \ q=a=e=2,71....О. А. Акулов, Н. В. Медведев. Информатика и вычислительная техника. 4-е изд. — М.: Омега-Л, 2007. (Раздел I, Гл.3.3)
2. Более простое описание:
Аппаратные затраты являются функцией обратной функции удельного натуральнологарифмического числа представимых чисел, поэтому, поделив 1 на функцию удельного натуральнологарифмического числа представимых чисел получим более простое выражение функции удельных натуральнологарифмических аппаратных затрат:
\ f(a)=1/(ln(a)/a)=a/ln(a).
thread_title:  Число знаков на запись чисел (аппаратные затраты) 

message: е-ричная система счисления — позиционная система счисления с основанием b=2,71…=е, равным числу Эйлера. По теореме Джона фон Неймана о позиционных системах счисления имеет наибольшую удельную плотность записи и наибольшую экономичность по затратам знаков (аппаратным затратам). Такая система счисления называется натуральной, а её разряд называется нат.
replies: text: x = (a_{n-1} a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_e = \sum_{k=-m}^{n-1} a_k  e^k.
Так как работа с нецелым числом знаков в разряде практически неосуществима, для вычислений в е-ричной системе счисления на ЭВМ приходится использовать комбинированные системы счисления.
thread_title:  Е-ричная система счисления 

message: «Ребята, давайте жить дружно!» © 
А почему такая страшная статья? Почему такое смешение? Тут и фрагменты программного кода, и много ещё чего? --OZH 17:56, 27 августа 2010 (UTC)
* Программный код можно смело выкинуть, все-таки не тут не программистский форум. Maxal 18:01, 27 августа 2010 (UTC)
**Мне не нравится, что большую часть статьи занимает перевод из одной системы счисления в другую. Это предмет отдельной статьи. Ещё мне кажется, что следует упомянуть о римских цифрах, поскольку принцип позиционности присутствует. А вот системы счисления с нецелым основание обладают особым интересом. --OZH 18:17, 27 августа 2010 (UTC)
*** Про перевод из одной системы в другую — согласен. Римские цифры упомянуты в статье система счисления и их традиционно не относят к позиционным системам. Про системы с нецелыми основаниями нужны АИ, пока все что было попахивает ориссом. Maxal 16:36, 28 августа 2010 (UTC) 
**Есть ещё соответствующий вики-учебник и указанный там источник. --OZH 18:26, 27 августа 2010 (UTC)
thread_title:  Предмет статьи 

message: В таких системах основаниями могут быть мнимые [1] и комплексные [2] числа. Итак, в более общем виде число Z (действительное положительное, действительное с любым знаком, комплексное) в позиционной системе счисления представляется в виде разложения
replies: text: Z = \sum_{m}^{} r_m \rho^m , где 
m - номер разряда, целое положительное или отрицательное число (в т.ч. ноль),
 \rho - основание кодирования, число (действительное или комплексное),
r - разряд разложения, число, принимающее значения из ограниченного множества

text: A_R = (a_0, a_1,\dots, a_i, \dots,a_{R-1}), содержащего R  различных величин 
Позиционный код числа Z, соответствующий этому разложению, имеет вид

text: K(Z) = \dots \sigma_m \dots,
где  \sigma_m  - цифра, обозначающая число  r_m .
Для того, чтобы указанное разложение являлось позиционной системой счисления, оно должно удовлетворять некоторым условиям, которые позволяют выполнять арифметические операции с соответствующими позиционными кодами.
В частности, существуют  двоичные системы счисления комплексных чисел с цифрами 0, 1 [3, 4, 5].
 --Solikkh 11:04, 22 апреля 2011 (UTC) 
1. Knuth D.E., An Imaginary Number System, Communication of the ACM-3, 1960, № 4.
2. Хмельник С.И., Специализированная ЦВМ для операций с комплексными числами. Вопросы радиоэлектроники, серия XII, выпуск 2, 1964 (поступила в редакцию в марте 1962) – см. также здесь
3. Поспелов Д. А., Арифметические основы вычислительных машин дискретного действия, изд. "Высшая школа", 1970.
4. Хмельник С.И. Кодирование комплексных чисел и векторов, изд. «Mathematics in Computers», Израиль, 2004, ISBN 978-0-557-74692-7
– см. также здесь.
5. Хмельник С.И. Позиционное кодирование комплексных чисел и векторов. «Доклады независимых авторов», изд. «DNA», Россия-Израиль, 2006, выпуск 4, стр. 6-31. Напечатано в США, Lulu Inc., ID 322884, ISBN 978-1-4303-0460-9 - см. также здесь и здесь.
--Solikkh 18:16, 17 апреля 2011 (UTC)
* Ну и добавьте в Обобщения подсекцию "Комплексные основания"... Maxal 07:39, 18 апреля 2011 (UTC)
* Я бы добавил, да не знаю как (молодой ищо!) --Solikkh 11:35, 18 апреля 2011 (UTC) Может быть, кто-нибудь подскажет!? --Solikkh 11:17, 22 апреля 2011 (UTC) Повзрослел и вставил! --Solikkh 13:52, 22 апреля 2011 (UTC)
** Осталось причесать все это: привести обозначения и терминологию в соответствие с остальной статьей; убрать информацию, дублирующую уже приведенную в статье; оформить ссылки и сноски подобающим образом; ... Я немного причесал для примера шапку нового раздела и оформил две сноски. Maxal 06:50, 23 апреля 2011 (UTC)
*** Спасибо! Попробую...
*** Воспользоваться обозначениями из раздела "Определение" затруднительно, поскольку им приданы определенный смысл и значения. Кроме того, они вызывают споры в обсуждении. Поэтому я частично восстановил начальный кусок с обозначениями, который вы выбросили. --Solikkh 12:04, 23 апреля 2011 (UTC)
**** Никаких проблем нет. И споров собственно тоже. Дублируемую информацию выкинул, обозначения/терминолония подправил. Теперь все вписывается в общий контекст. Maxal 15:06, 23 апреля 2011 (UTC)
***** Спасибо за помощь. --Solikkh 17:21, 23 апреля 2011 (UTC)

text: Вот бы туда ещё примеры записи различных чисел бы... с их привычным десятичным представлением! --Nashev 17:24, 8 апреля 2013 (UTC)
thread_title:  Позиционные системы счисления комплексных чисел