Обсуждение:Векторный оператор Лапласа

message: __NOTOC____TOC____FORCETOC__

message: Данная статья в текущем виде является бездумным переводом плохо написанной статьи англовики (см.).
* Немного подправил ее, добавил пояснения, заменил некоторые обозначения.
* По всем сомнительным моментам поставил шаблон на ОРИСС и АИ.
* Некоторые глупости удалил:
Другим примером является волновое уравнение для электрического поля, получаемое из уравнений Максвелла при отсутствии зарядов и токов:
replies: text: \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0.
Предыдущее уравнение может быть также представлено так:

text: \Box\, \mathbf{E} = 0,
где 
\Box\equiv\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2 (
это оператор Д’Аламбера, используемый в уравнении Клейна — Гордона).
В оператор Д’Аламбера входит лапласиан скалярный, а не векторный.
* Нужно добавить ссылки на источники, более авторитетные чем сайт mathworld.wolfram.com
>> Kron7 12:04, 23 января 2014 (UTC)
replies: text: : Нашёл АИ по запросу и добавил его так же в определение. По поводу тензорного варианта ничего найти не смог. MPI3 13:02, 23 января 2014 (UTC)
replies: text: ::: В указанном источнике речь идет об операторе Лапласа и о дискретном операторе Лапласа. Там ничего не сказано о векторном операторе Лапласа.
replies: text: ::: Я ничего не имею против записи уравнения Навье — Стокса в том виде, в котором это сделано в данной статье, то есть вот так: . Переставив в нем слагаемые, можно получить запись уравнения Навье — Стокса в таком виде, в котором оно записано в самой статье «уравнения Навье — Стокса»: . Тут все хорошо. Вопрос в другом: почему в данной статье сказано, что в уравнении стоит векторный оператор Лапласа, если в статье «уравнения Навье — Стокса» сказано, что это оператор Лапласа (скалярный). >> Kron7 13:54, 23 января 2014 (UTC)
replies: text: ::::* Мне кажется что там просто ссылка на оператор Лапласа, ту статью, что была и когда пишут оператор Лапласа часто понимают его той размерности, на какую функцию он действует и по количеству переменных и по размерности получаемого вектора, поэтому обозначают его часто как и обычный оператор. Просто надо сменить ссылку в статье про уравнения на эту статью и всё. MPI3 14:30, 23 января 2014 (UTC)

text: ::::* Ссылку изменил. Обозначение векторного оператора Лапласа очень часто можно встретить как \Delta, сейчас укажу это в статье. Поэтому запроса на АИ убираю, поскольку в уравнениях Навье-Стокса как раз векторный (в указано источнике это есть, там внизу в приложении 1 указаны обозначения и под дельта там имеется ввиду именно векторный оператор). MPI3 14:34, 23 января 2014 (UTC)

text: ::::* Кстати, ещё о статье об уравнениях, там написано "В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:", а раз в векторном виде, значит и оператор векторный. MPI3 14:43, 23 января 2014 (UTC)
replies: text: :::::: Цитата:
replies: text: :::::: Кстати, ещё о статье об уравнениях, там написано "В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:", а раз в векторном виде, значит и оператор векторный.

text: :::::: Ну, это не совсем очевидно. Лучше сказать, что поскольку в уравнении Навье-Стокса после оператора, который обозначен большой буквой дельта, стоит вектор, то этот оператор не может быть скалярным Лапласианом (тот ведь действует только на скаляр). >> Kron7 09:57, 24 января 2014 (UTC)
* Цитата:

text: когда пишут оператор Лапласа часто понимают его той размерности, на какую функцию он действует и по количеству переменных и по размерности получаемого вектора

text: Видимо, так и есть.
* Цитата:

text: когда пишут оператор Лапласа часто понимают его той размерности, на какую функцию он действует и по количеству переменных и по размерности получаемого вектора, поэтому обозначают его часто как и обычный оператор.

text: А вот это плохо. Плохо, когда совершенно разные математические объекты называют и обозначают одинаково. Это сильно путает. И вообще это как минимум некорректно.
* Существует несколько способов обозначения векторов:
replies: text: :* стрелкой над буквой (буквами):
replies: text: :: \vec{a}

text: :* в виде суммы произведений компонент вектора на соответствующие орты:
replies: text: :: a_1\vec{e}_1 + a_2\vec{e}_2 + ... + a_n\vec{e}_n

text: :* через компоненты вектора:
replies: text: :: \left\{ a_1, a_2, ..., a_n \right\}

text: :* через матрицу, как вектор-строку компонент вектора:
replies: text: :: \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & ... & a_n \end{pmatrix}

text: :* через матрицу, как вектор-столбец компонент вектора:
replies: text: :: \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ ... \\ a_n \end{pmatrix}

text: :* и т.д.

text: : Таким образом, если в выражение стоит \vec{a}, то мы точно знаем, что это вектор, а если там a, то это скаляр, и никак иначе. Это в такой же степени относится и к векторным дифференциальным операторам, которые по определению являются векторами. То есть оператор набла правильно обозначать как  \overrightarrow{\nabla}, а не \nabla. Но зачастую для нее и др. векторных диф. операторов стрелку опускают, как лишнее обозначение, только загромождающее выражение, поскольку все и так знают, что они являются векторами (как бы по умолчанию).

text: : Но мы столкнулись с ситуацией, где в одной статье (и даже в одном выражении) встречаются два разных математических объекта, которые обозначаются одной и той же буквой — большой буквой дельта.

text: :* Если обозначить векторный Лапласиан как квадрат наблы, а скалярный — буквой дельта, это будет не совсем корректно и такое обозначение может путать, ведь мы не знаем, что подразумевается под квадратом наблы (ее скалярное произведение или векторное). По этой причине использовать квадрат к векторам не совсем хорошо. Этот вариант не подходит.

text: :* Для решения этой проблемы я предлагаю в статье оператор Лапласа (скалярный) обозначать как \Delta, а векторный оператор Лапласа — как \overrightarrow{\Delta}. И в примечании добавить пояснение к такому обозначению. Ошибки или некорректности тут не будет, поскольку векторный Лапласиан является вектором и в общем случае должен обозначаться со стрелкой. >> Kron7 09:57, 24 января 2014 (UTC)
replies: text: :::: Вообще с обозначениями векторов в математики всё весело. Например во многих статья по мат. физике и численными методам вектора не пишут, подразумевая, что из контекста понятно, какую размерность имеют величины. Ну а про операторы тем более: пишут из какого пространство в какое действует и всё, отсюда размерность и аргумента и результата должна пониматься читателем. Однако, если вам комфортнее использовать обозначение со стрелкой - я не против. MPI3 11:36, 24 января 2014 (UTC)
replies: text: :::::: Касательно стрелок. Если над векторным лапласианом поставить стрелку, то по логике ее нужно будет поставить над всеми остальными векторами. То есть и над наблой, и над вектором А. Заменил, посмотрел, что получилось и мне это не понравилось. В вики формула выглядела очень неприятно.
replies: text: :::::: Но и оставить запись вот в таком виде
replies: text: ::::::::  \Delta \mathbf{A} = \left\{ \Delta A_x, \Delta A_y, \Delta A_z \right\}
replies: text: :::::: нельзя. Ведь в левой части векторный лапласиан, а в правой скалярный.

text: :::::: Поэтому я предлагаю везде поставить дельту (без стрелки), но для одного из случаев раскрасить ее в другой цвет. Так, как это было сделано в статье «Корень (математика)», где описывались алгебраические и арифметические корни, которые обозначаются одинаково — знаком радикала, но являются разными математическими объектами. >> Kron7 12:58, 24 января 2014 (UTC)
replies: text: :::::::: Тоже вариант. Только тогда надо со всем операторами так (я имею ввиду и набла) если область определения оператора это некоторое пространство H(R) (скалярных функций), то обозначать красным, а если H(R^n) (векторных), то синим например. Или как будет лучше смотреться. Не знаю, как цвет в вики-разметке указывается, поэтому не могу проверить. Но идея не плохая. MPI3 13:31, 24 января 2014 (UTC)
replies: text: :::::::::: Да, в этом есть логика. Но если мы раскрасим все скаляры в синий, а векторы оставим черными, то статья будет вся сине-черная и еще сильнее может запутать. Вообще во многих книгах и вики-статьях векторы обозначаются жирным шрифтом (\mathbf{A} → \mathbf{A}), а скаляры - курсивом (A → A). Хорошо было бы также сделать и с дельтой, но тег \mathbf на дельту никак не влияет (от него она жирнее не становится). Поэтому я предлагаю для векторного лапласиана оставить дельту черной, а вот для скалярного - раскрасить в синий. А все неоператорные объекты либо жирные, либо курсивные. >> Kron7 14:12, 24 января 2014 (UTC)
replies: text: :::::::::::: Давайте. Главное теперь найти что-то связанное с тензорным случаем какие-нибудь АИ. MPI3 14:19, 24 января 2014 (UTC)
* Подправил статью (определение, примечания, формулы). При этом удалил раздел «Обозначение», поскольку всю инф. вынес в определение и примечание к нему.
Для обозначения векторного оператора Лапласа может использоваться как запись \nabla^2, так и \Delta.  В данной статье будет обозначать векторный оператор Лапласа как \nabla^2, а скалярный оператор Лапласа, как \Delta.
* Цвет подправил. >> Kron7 16:27, 24 января 2014 (UTC)
* По тензорам надо искать. >> Kron7 16:27, 24 января 2014 (UTC)
thread_title:  Глобальная правка статьи 

message: В случае скалярного лапласиана обозначение \nabla^2 может допускаться в том случае, когда есть уточнение, что под квадратом подразумевается скалярное произведение наблы самой на себя: \nabla^2 = (\nabla \cdot \nabla).
Но как можно векторный лапласиан обозначать как \nabla^2? Ведь в данном случае за квадратом скрывается не векторное произведение наблы на себя: \nabla^2 \ne (\nabla \times \nabla).
Векторный лапласиан определяется следующим образом:
replies: text: \nabla^2 \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})
А в ПДСК R3 может быть представлен в следующем виде:

text: \nabla^2 \mathbf{A} = \left\{ \Delta A_x, \Delta A_y, \Delta A_z \right\}
Если же вы векторно умножите наблу саму на себя, то никак не получите выражения для векторного лапласиана:

text: \nabla \times \nabla  \ne \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})
В ПДСК R3:

text: \nabla \times \nabla  \ne \left\{ \Delta A_x, \Delta A_y, \Delta A_z \right\}
Поэтому я считаю совершенно неправильным обозначать векторный лапласиан выражением  \nabla^2 . >> Kron7 16:27, 24 января 2014 (UTC)
Укажите АИ с обозначением векторного лапласиана в виде \nabla^2. >> Kron7 16:27, 24 января 2014 (UTC)

text: Поискал книгу, которая указана в Вольфраме (Parry Moon, D. E. Spencer - Field Theory Handbook Including), не нашёл. В тех статьях, что у меня есть, тоже видел обозначение только через дельту. MPI3 17:27, 24 января 2014 (UTC)
replies: text: : Вот об этом я и говорю: похоже кроме данной вики-статьи нигде более не встречается обозначение векторного оператора Лапласа в виде квадрата оператора набла. >> Kron7 11:36, 3 февраля 2014 (UTC)
replies: text: :: Убрал из статьи обозначение «∇2» для векторного оператора Лапласа. >> Kron7 08:33, 14 апреля 2014 (UTC)
replies: text: ::: В англоязычной литературе по геофизике для векторного оператора Лапласа (впрочем как и для скалярного) как раз используется только  \nabla^2 . Я думаю это обусловлено частым использованием дельты для других обозначений, и квадрат наблы тут просто говорит о наличии второй производной, а не о конкретном математическом действии. Для примера можно посмотреть K. Aki, P. Richards. "Quantitative seismology".   Yus.Ivanov 08:27, 24 июля 2014 (UTC)
replies: text: :::: Yus.Ivanov (или Draa kul), не могли бы вы сделать скриншот страницы, где векторный оператор Лапласа обозначается как квадрат оператора набла? Этой книги в свободном доступе в электронном виде вроде бы нет. >> Kron7 13:47, 28 июля 2014 (UTC)
1 Оператор Лапласа -- это скалярная свертка от повторного ковариантного дифференцирования. При этом не важно, что приходится дифференцировать -- скаляр или вектор. Поэтому нет смысла разделять оператор Лапласа на векторный и скалярный.
2 Правильную формулу для выражения оператора Лапласа через набла квадрат можно найти в книге Н.Н. Голованов. Геометрическое моделирование. Москва. 2002 г.
стр. 67 формула 1.11.17 176.226.136.95 23:41, 30 августа 2015 (UTC)
thread_title:  Где встречается обозначение векторного лапласиана в виде ∇<sup>2</sup>? Оно ведь нелогично! 

message: Из статьи:
Лапласиан любого тензорного поля \mathbf{T} (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:
replies: text: \Delta \mathbf{T} = \nabla \cdot (\nabla \mathbf{T}).
Выходит, вместо тензора \mathbf{T} в формулу можно подставить скаляр или вектор и формула будет справедливой, поскольку это частные случаи.
* Для скаляра абсолтно согласен, поскольку скалярный лапласиан - это дивергенция ротора (см. «Оператор Лапласа»).
* А вот с векторным лапласианом все иначе (см. Векторный оператор Лапласа#Определение):
replies: text: :  \Delta \mathbf{A} = \mathrm{grad}(\mathrm{div} \mathbf{A}) - \mathrm{rot} (\mathrm{rot} \mathbf{A}).
Поэтому, полагаю, утверждение приведенное в цитате - ложь. >> Kron7 16:38, 24 января 2014 (UTC)
replies: text: :: Это формула справедлива для векторного Лапласиана, если подействовать на вектор оператором набла, то получим матрицу Якоби, а затем дивергенцией действовать построчно, то как раз получится три скалярный Лапласиана. MPI3 17:43, 24 января 2014 (UTC)
replies: text: ::: Но ведь оператор набла не действует на векторы (градиент вектора - это нонсенс). Он действует только на скаляры. >> Kron7 11:36, 3 февраля 2014 (UTC)
replies: text: :::: Это формальное обозначение такое, часто употребляется. У Огаркова, в фильтрах Калмана, часто при записи уравнений Навье-Стокса. Ну и по сути обозначает поэлементное воздействие на вектор или матрицу (так и получается матрица Якоби, если действовать на вектор или поэлементная дивергенция). MPI3 12:59, 3 февраля 2014 (UTC)

text: ::::* Да, отдельные ученые любят вводить свои функции и искажать уже существующие, объясняя это логичным и востребованным ходом, а иногда и ничего не объясняя. Но, я считаю, правильным - придерживаться классического определения функций: того, которое прописано в учебниках по матанализу или векторному анализу. Градиент не может действовать на вектор. Он применим только к скаляру. А то, что вы описали, очень похоже на некий "векторный градиент" (по аналогии к векторному лапласиан. действуют они аналогично). Но такой функции нет и, я считаю, крайне плохим тоном использовать записи формул, выражения в которых являются абсурдными согласно классическим представлениям об используемых операторах. >> Kron7 16:34, 3 февраля 2014 (UTC)

text: ::::* Только в случае какой-то очень специфической задачи, которую мало кто изучал и в своих выкладках использовал запись градиента в виде "векторного градиента", можно оставить в оригинальном виде, но добавить примечание, где объяснить нестандартность данного градиента (т.е. когда там не классический градиент, а "векторный"). И то, этот ученый мог ввести свой оператор через уже существующий градиент, вместо того чтобы искажать его. >> Kron7 16:34, 3 февраля 2014 (UTC)
replies: text: :::::: Вот тут часть веселья - в некоторых учебниках это тоже описывают. Вообще в векторном анализе к обозначения (которые включает оператор набла, в особенности) относятся весьма небрежно. И это не только "в своих исследованиях" и в узких задачах. Это достаточно распространённое явление, так что отдельно введение "векторного градиента", не вводят, векторный градиент - это матрица Якоби, а для её обозначения используют оператор набла. Поэтому я думаю, что не надо углубятся в формализм и расписывать что есть какой оператор. В статье указанно, что T - это тензор, значит действующий на него оператор будет иметь соответствующую размерность и результат тоже будет соответствующий. Это просто обозначение. MPI3 16:57, 3 февраля 2014 (UTC)
Частичное продолжение этого раздела перенесено в следующий. >> Kron7 15:09, 4 февраля 2014 (UTC)
thread_title:  Лапласиан тензора 

message: Цитаты из предыдущего раздела:
если подействовать на вектор оператором набла, то получим матрицу Якоби
векторный градиент - это матрица Якоби, а для её обозначения используют оператор набла
Сложно представить как это можно математически с учетом логики записать.
Вот моя попытка:
# представим оператор набла в виде вектор-столбца, а вектор А в виде вектора-строки,
# умножим первую матрицу на вторую,
# транспонируем полученную матрицу:
{|		
replies: text: \mathrm{grad} \mathbf{A} = \nabla \mathbf{A} = 
\left( \begin{pmatrix} {\partial\over\partial x} \\ \\ {\partial\over\partial y} \\ \\ {\partial\over\partial z} \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix} A_x & A_y & A_z \end{pmatrix} \right)^T =

text: = \begin{pmatrix}{\partial A_x\over\partial x} & {\partial A_y\over\partial x} & {\partial A_z\over\partial x} \\ \\
{\partial A_x\over\partial y} & {\partial A_y\over\partial y} & {\partial A_z\over\partial y} \\ \\
{\partial A_x\over\partial z} & {\partial A_y\over\partial z} & {\partial A_z\over\partial z}\end{pmatrix}^T = 
\begin{pmatrix}{\partial A_x\over\partial x} & {\partial A_x\over\partial y} & {\partial A_x\over\partial z} \\ \\
{\partial A_y\over\partial x} & {\partial A_y\over\partial y} & {\partial A_y\over\partial z} \\ \\
{\partial A_z\over\partial x} & {\partial A_z\over\partial y} & {\partial A_z\over\partial z}\end{pmatrix} = J
replies: text: : Вы усложняете. Во-первых это не градиент, это именно обозначение \nabla \mathbf{A}. Тут не алгебраические выкладки и не векторное произведение (которое вы странно раскрыли к тому же), просто берём оператор набла с действуем им на каждый элемент вектора. Элемент вектора - скаляр, действия набла на скаляр - градиент, то есть будет так:
replies: text: ::  \nabla A = \nabla \begin{pmatrix} A_x \\ \\ A_y \\ \\ A_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\nabla A_x \\ \\ \nabla A_y \\ \\\nabla A_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\partial A_x\over\partial x} & {\partial A_x\over\partial y} & {\partial A_x\over\partial z} \\ \\
{\partial A_y\over\partial x} & {\partial A_y\over\partial y} & {\partial A_y\over\partial z} \\ \\
{\partial A_z\over\partial x} & {\partial A_z\over\partial y} & {\partial A_z\over\partial z}\end{pmatrix}

text: : Просто так определяется действие оператора на матрицу. Это как в теории дифференциальных форм: там всего один оператор \mathbf{d}, а как он действие на диф. форму определяется порядком этой формы (это может быть градиент, это может быть ротор, это моет быть дивергенция, всё зависит только того, на что он действует). MPI3 14:56, 4 февраля 2014 (UTC)

text: :* Цитата 1:
replies: text: :: это не градиент, это именно обозначение \nabla \mathbf{A}

text: :: Ну как же, в статье четко сказано:

text: :: Лапласиан любого тензорного поля \mathbf{T} (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:\Delta \mathbf{T} = \nabla \cdot (\nabla \mathbf{T}).

text: :: И сами вы не раз в обсуждении говорили о градиенте. >> Kron7 11:04, 5 февраля 2014 (UTC)

text: :* Цитата 2:
replies: text: :: Тут не <...> векторное произведение (которое вы странно раскрыли к тому же)

text: :: Это не векторное произведение, а матричное (крестик убрал). >> Kron7 11:04, 5 февраля 2014 (UTC)

text: :* Цитата 3:
replies: text: :: \begin{pmatrix}\nabla A_x \\ \\ \nabla A_y \\ \\\nabla A_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\partial A_x\over\partial x} & {\partial A_x\over\partial y} & {\partial A_x\over\partial z} \\ \\
{\partial A_y\over\partial x} & {\partial A_y\over\partial y} & {\partial A_y\over\partial z} \\ \\
{\partial A_z\over\partial x} & {\partial A_z\over\partial y} & {\partial A_z\over\partial z}\end{pmatrix}

text: :: Вот тут интересно. Имеем вектор-стобец 3х1, каждый элемент которого является вектором-строкой 1х3. Будет ли такая матрица равняться матрице 3х3 составленной из элементов 3-х векторов-строк? >> Kron7 11:04, 5 февраля 2014 (UTC)
replies: text: ::: Мне кажется вы сильно уходите в формализм обозначений и прочего. Суть такая - обозначения такие существуют, используются и не противоречат тому, что написано в этой части статьи. Про градиент: именно обозначения \mathrm{grad} \mathbf{A} я не видел, а вот \nabla \mathbf{A} встречал.

text: :::* Нет, ну почему же? Вы четко расписали как набла действует на матрицу, в данном случае - вектор-столбец. И в этих преобразованиях, как мне кажется, я нашел ошибку. Более того, сначала вы говорите, что "так определяется действие оператора на матрицу" (т.е. по определению) и что это "не алгебраические выкладки", а затем сами приводите алгебраические выкладки (т.е. доказываете), расписывая пошагово действие наблы на матрицу. Тут либо так, либо так. Определение никто никогда не доказывает. На то оно и определение (как аксиома).

text: :::* Я не знал о "векторном градиенте", поэтому у вас спросил. Если он выводится через градиент, тогда хотелось бы увидеть это, а если он определяется как отдельная функция (просто не вводится новое обозначение, а оставляют наблу), то вопрос на этом снимается. >> Kron7 12:06, 5 февраля 2014 (UTC)
replies: text: ::::: Я привёл интерпретацию, как это можно понимать. По сути это новый оператор (с областью определеиня в векторных функция и значения в матричных). MPI3 13:08, 5 февраля 2014 (UTC)
replies: text: :::::: Хорошо, тогда оператор набла действует на вектор следующим образом:
replies: text: :::::::  \nabla A = \begin{pmatrix}{\partial A_x\over\partial x} & {\partial A_x\over\partial y} & {\partial A_x\over\partial z} \\ \\
{\partial A_y\over\partial x} & {\partial A_y\over\partial y} & {\partial A_y\over\partial z} \\ \\
{\partial A_z\over\partial x} & {\partial A_z\over\partial y} & {\partial A_z\over\partial z}\end{pmatrix}

text: :::::: Тогда возникает вопрос: а как тогда набла действует на тензор, т.е. на квадратную матрицу? >> Kron7 16:42, 10 февраля 2014 (UTC)
Сдвинул влево. Действую на тензон набла (как градиент) даёт тензор ранга на 1 больше. Дивергенция - на один меньше. То есть \nabla \mathbf{T} даст 3-тензор из производных ("параллелепипед"). MPI3 07:53, 11 февраля 2014 (UTC)
Тензор третьего ранг это уже матрицей так просто не представить. Если записывать в подобном формате это будет куб из n*n*n чисел. Если говорить в геометрических представлениях градиент переводит квадрат в куб, а дивергенция куб в квадрат. MPI3 12:38, 11 февраля 2014 (UTC)

text: Забавно. Значит, тензор 3-го ранга — это некая «кубическая матрица» n3, состоящая из n квадратных матриц n2. >> Kron7 16:29, 11 февраля 2014 (UTC)
replies: text: : Вот тут я могу ошибаться в терминах (не очень хорошо знаком с тензорным исчислением), но суть такая. MPI3 16:34, 11 февраля 2014 (UTC)
thread_title:  Градиент вектора (некий "{{comment|векторный градиент|такого термина не существует}}") 

message: Удалил вот это:  В отличие от скалярного оператора Лапласа, векторный оператор Лапласа не может обозначаться как квадрат оператора набла, поскольку он не является ни векторным, ни скалярным произведением оператора набла самого на себя:
replies: text: \Delta \ne \nabla \times \nabla,

text: \Delta \ne \nabla \cdot \nabla. 
Я уже вешал на это шаблон "нет АИ". АИ так и не предоставили, шаблон зачем-то удалили.
По мне так векторный лапласиан вполне себе скалярный квадрат наблы: (\nabla \cdot \nabla) A = (\nabla \cdot \nabla) (A_x, A_y, A_z) = ((\nabla \cdot \nabla)A_x, (\nabla \cdot \nabla)A_y, (\nabla \cdot \nabla)A_z) = (\Delta A_x, \Delta A_y, \Delta A_z) = \Delta A Mife (обс) 14:59, 18 июня 2016 (UTC)
thread_title:  Векторный лапласиан как скалярный квадрат наблы 

message: Сильно сомневаюсь в корректности утверждения, что 
   Векторный оператор Лапласа - это векторный дифференциальный оператор ...
в самом первом предложении текущей версии. Вот оператор набла - это векторный оператор. Как есть два типа произведения двух векторов (скалярное и векторное), так и векторный оператор набла может действовать на векторное поле двумя образами, получая дивергенцию и ротор соответственно. А вот оператор Лапласа - скалярный оператор, при его действии на скалярное поле получается скаляр, на векторное поле - вектор (он, в отличие от набла, не может действовать на векторное поле двумя образами). Так что предлагаю слово векторный из определения
   векторный дифференциальный оператор
исключить.
thread_title:  Векторный оператор Лапласа - разве это векторный оператор?