Обсуждение:Квантор всеобщности

message: 80.90.116.9 17:11, 7 ноября 2009 (UTC)Хорошо бы был переход на всеобщность(определение),а там и на существование...

message: Существуют равносильные предложения. Например, русское предложение "Он любит её." и английское предложение "He loves her." - равносильны. Если предложения A и B равносильны, тогда этот факт записывают в виде: A \Leftrightarrow B
Примеры равносильных предложений.
replies: text: Он любит её.  \Leftrightarrow  He loves her.

text: He loves her.  \Leftrightarrow  She is loved by him.
Примеры употребления квантора всеобщности.
1.1 Каждая девушка любит комплименты.  \Leftrightarrow \forall x (x \in  {Девушки}  \leftrightarrow x \in  {Девушки}   \land \ x любит комплименты.)

text: Каждая девушка любит комплименты. \Leftrightarrow \{Девушки\} = \{x| x \in \{Девушки\} \land x  любит комплименты.\}

text: Каждая девушка любит комплименты. \Leftrightarrow \forall x(x \in \{Девушки\} \rightarrow x  любит комплименты.)

text: Каждая девушка любит комплименты. \Leftrightarrow \{Девушки\} \subseteq \{x| x \in \{Девушки\} \land x  любит комплименты.\}
1.2 Каждое целое число является корнем уравнения  0 \cdot x = 0. \Leftrightarrow \forall x (x \in {\mathbb Z} \leftrightarrow x \in {\mathbb Z}  \land \ 0 \cdot x = 0)

text: Каждое целое число является корнем уравнения  0 \cdot x = 0. \Leftrightarrow {\mathbb Z} = \{x| x \in {\mathbb Z}  \land \ 0 \cdot x = 0\}

text: Каждое целое число является корнем уравнения  0 \cdot x = 0. \Leftrightarrow \forall x (x \in {\mathbb Z} \rightarrow 0 \cdot x = 0)

text: Каждое целое число является корнем уравнения  0 \cdot x = 0. \Leftrightarrow {\mathbb Z} \subseteq \{x| x \in {\mathbb Z}  \land \ 0 \cdot x = 0\} 
2.1 Ни одна девушка не любит комплименты.  \Leftrightarrow \forall x (x \in \varnothing \leftrightarrow x \in  {Девушки}   \land \ x любит комплименты.)

text: Каждая девушка не любит комплименты. \Leftrightarrow \{\} = \varnothing = \{x| x \in \{Девушки\} \land x  любит комплименты.\}

text: Каждая девушка не любит комплименты. \Leftrightarrow \forall x(x \in \{Девушки\} \rightarrow x  не любит комплименты.)

text: Каждая девушка не любит комплименты. \Leftrightarrow \{Девушки\} \subseteq \{x| x \in \{Девушки\} \land x  не любит комплименты.\}
2.2 Уравнение x^2 = -1 не имеет ни одного вещественного корня.  \Leftrightarrow \forall x (x \in \varnothing \leftrightarrow x \in {\mathbb R}  \land \ x^2 = -1)

text: Уравнение x^2 = -1 не имеет ни одного вещественного корня.  \Leftrightarrow \{\} = \varnothing = \{x| x \in {\mathbb R}  \land \ x^2 = -1\}

text: Уравнение x^2 = -1 не имеет ни одного вещественного корня.  \Leftrightarrow \forall x(x \in {\mathbb R}  \rightarrow \ x^2 \neq -1)

text: Уравнение x^2 = -1 не имеет ни одного вещественного корня.  \Leftrightarrow {\mathbb R} \subseteq \{x| x \in {\mathbb R}  \land \ x^2 \neq -1\}
3.1 Только девушка Саша любит комплименты.  \Leftrightarrow \forall x (x \in  {Саша}  \leftrightarrow x \in  {Девушки}   \land \ x любит комплименты.)

text: Только девушка Саша любит комплименты.  \Leftrightarrow  {Саша}  = \{x| x \in  {Девушки}   \land \ x любит комплименты.\}
3.2 Только натуральное число 1 является корнем уравнения  x^2 = 1. \Leftrightarrow \forall x (x \in \{1\} \leftrightarrow x \in {\mathbb N}  \land \ x^2 = 1)

text: Только натуральное число 1 является корнем уравнения  x^2 = 1. \Leftrightarrow \{1\} = \{x| x \in {\mathbb N}  \land \ x^2 = 1 \} 
4.1 Все девушки кроме Саши любят комплименты. \Leftrightarrow |\{Девушки\}| \geqslant 2  \land \forall x(x \in \{Девушки\} \setminus \{Саша\} \rightarrow x  любит комплименты.)
4.2 Пять делится на любое вещественное число кроме ноля. \Leftrightarrow \forall x(x \in {\mathbb R} \setminus \{0\} \rightarrow {5 \over x} \in {\mathbb R})
5.1 Все девушки включая Сашу любят комплименты. \Leftrightarrow |\{Девушки\}| \geqslant 2  \land \forall x(x \in \{Девушки\} \cup \{Саша\} \rightarrow x  любит комплименты.)
6.1 Разве что девушка Саша любит комплименты.  \Leftrightarrow \ Саша \ \in \ {Девушки} \ \land \ \forall x (x \in \ {Девушки}\setminus{Саша}  \rightarrow x не любит комплименты.)
6.2 Разве что натуральное число 1 является корнем уравнения  x^2 = 1. \Leftrightarrow 1 \in {\mathbb N} \land \forall x (x \in {\mathbb N}\setminus\{1\}  \rightarrow \ x^2 \neq 1)
7.1 Возможно, девушка Саша любит комплименты. \Leftrightarrow

text: \Leftrightarrow \forall x (x \in  {Саша}  \rightarrow x \in  {Девушки}   \land \ (x любит комплименты  \lor \ x не любит комплименты.))
7.2 Возможно, натуральное число 1 является корнем уравнения x^2 = 1. \Leftrightarrow

text: \Leftrightarrow \forall x (x \in \{1\} \rightarrow x \in {\mathbb N} \land (x^2 = 1 \lor x^2 \neq 1))
Примеры аксиом и теорем, в которых употребляется квантор всеобщности.

text: \forall x(x = x)

text: \forall x(x \in \{x\})

text: \forall x(x \subseteq x)

text: \forall x(\varnothing \subseteq x)

text: \forall x(x \notin x)

text: \forall x(x \notin \varnothing)

text: \forall x(x \in x \cup \{x\})

text: \forall x(x \notin x \cap \{x\})

text: \forall x \forall y (x = y \rightarrow (P[x] \leftrightarrow P[y]) \land f(x) = f(y))

text: \forall x(x \in {\mathbb R} \rightarrow x + 0 = x \land x \cdot 1 = x \and x + -x = 0)

text: \forall x(x \in {\mathbb R} \setminus \{0\} \rightarrow x \cdot x^{-1} = 1)
Примеры бытовых предложений с квантором всеобщности.

text: Здесь ничего нет. \Leftrightarrow There is nothing here. \Leftrightarrow \forall x(x \in \{Things\} \rightarrow x is not here.)

text: Меня никто не любит. \Leftrightarrow Nobody loves me. \Leftrightarrow \forall x( x \in \{Human beings\} \rightarrow x does not love me.)

text: Только ты меня не любишь. \Leftrightarrow Only you don't love me. \Leftrightarrow \forall x(x \in \{you\} \leftrightarrow x \in \{Beings\} \land x does not love me.) \land \ |\{you\}| = 1
Взаимосвязь предложения "Все девушки..." и предложения "Некоторые девушки..."

text: Все девушки любят комплименты. \Leftrightarrow \forall x(x \in \{Девушки\} \rightarrow x  любит комплименты.) \ \land \ \exist x_1 \exist x_2 (x_1 \neq x_2 \land \{x_1, x_2\} \subseteq \{Девушки\})

text: Некоторые девушки любят комплименты. \Leftrightarrow \exist x_1 \exist x_2 (x_1 \neq x_2 \land \{x_1, x_2\} \subseteq \{Девушки\} \ \land \ \forall x(x \in \{x_1, x_2\} \rightarrow x  любит комплименты.))

text: Все девушки любят комплименты. \Rightarrow Некоторые девушки любят комплименты.
  
 
94.26.145.33 07:26, 22 февраля 2023 (UTC)
thread_title:  Примеры употребления квантора всеобщности