Обсуждение:Квантор

message: Переместите пожалуйста "введение в понятие" вниз, так как сейчас оно выше определения слова...--Tookser 15:52, 19 октября 2010 (UTC)
*ВП:Правьте смело (особенно если инфа - c ВП:АИ). Fractaler 12:55, 20 октября 2010 (UTC)
thread_title: Untitled

message: С моей точки зрения, статья «Квантор» в своём нынешнем виде удовлетворяет не только духовным потребностям россиян (то есть лиц, которые принадлежат множеству «многонациональный народ Российской Федерации», упоминаемому в конституции РФ), но и духовным потребностям советских людей (то есть лиц, которые принадлежат множеству «советский народ», упоминаемому в последней конституции СССР).
Вместе с тем, я предполагаю, что статья «Квантор» не является нематериальным активом для Словопоклонников, то есть лиц, которые:
replies: text: 1) считают, что «В начале было Слово, и Слово было [связано] с Богом, и Слово было Богом.»,

text: 2) придают исключительное значение вербальным средствам:
replies: text: : 2.1) формулирования предупреждений об опасности,

text: : 2.2) моделирования окружающего мира,

text: : 2.3) прогнозирования событий

text: : и т. д.,

text: 3) отличаются от огнепоклонников, солнцепоклонников, идолопоклонников и т. д.

text: Примечание. Примером Словопоклонника является Чарльз Пирс - автор статьи "How to Make Our Ideas Clear" (1878)
NB. В английском предложении «In the beginning was the Word, and the Word was with God, and the Word was God.» нет ни одного имени нарицательного. [Это предложение является высказыванием, а не предикатом.]
NB. На мой взгляд:

text: предикат из статьи "x делится на 9." правильнее сформулировать по-русски так: «Какое-то натуральное число делится на 9.»,

text: предикат из статьи "Простое число x нечётно." правильнее сформулировать по-русски так: «Какое-то простое число нечётно.»

text: этого можно не делать, если авторы статьи считают, что предикаты от одной переменной невыразимы в русском языке без латинской буквы x.
NB. В математике кванторы появились благодаря деятельности представителей англоязычного мира (например, американца Чарльза Пирса, умершего в нищете) и представителей немецкоязычного мира (например, немца Герхарда Генцена, умершего в заключении от истощения). Представители других миров (например, арабоязычного) не упоминаются среди родоначальников кванторов.
NB. Теперь я расскажу о том, чего авторы статьи "Квантор" не нашли в "авторитетных источниках".

text: 1. Математики, включая логиков, имеют дело с постоянными и переменными.
replies: text: :Примерами логических постоянных являются повествовательные предложения типа:
replies: text: :: Девушка Саша любит юношу Мишу.  \Leftrightarrow \ Саша \ \in \ {Девушки} \ \land \ Миша \ \in \ {Юноши} \ \land \  Cаша любит Мишу.  \Leftrightarrow  The girl Sasha loves the young man Misha.

text: :: Эта девушка любит того юношу.  \Leftrightarrow \ эта девушка \ \in \ {Девушки} \ \land \ тот юноша \ \in \ {Юноши} \ \land \  Эта девушка любит того юношу.  \Leftrightarrow  This girl loves that young man.

text: :Примерами логических переменных являются повествовательные предложения типа:
replies: text: ::Какая-то девушка любит юношу Мишу.  \Leftrightarrow \ x \ \in \ {Девушки} \ \land \ Миша \ \in \ {Юноши} \ \land \  x любит Мишу. \Leftrightarrow \ x \ \in \ {Девушки} \ \land \  x любит юношу Мишу.
replies: text: :::A girl loves the young man Misha. \Leftrightarrow \{x\} \subset \ {Girls} \ \land \ 2 \leqslant \ |{Girls}| \ \leqslant \aleph_0 \land x loves the young man Misha.

text: :: Девушка Саша любит какого-то юношу.  \Leftrightarrow \ Саша \ \in \ {Девушки} \ \land \ y \ \in \ {Юноши} \ \land \  Cаша любит y. \Leftrightarrow y \in {Юноши} \ \land \ девушка Cаша любит y.
replies: text: ::: The girl Sasha loves a young man. \Leftrightarrow \{y\} \subset \ {Young men} \ \land \ 2 \leqslant \ |{Young men}| \ \leqslant \aleph_0 \ \land \ the girl Sasha loves y.

text: :: Какая-то девушка любит какого-то юношу.  \Leftrightarrow \ x \ \in \ {Девушки} \ \land \ y \ \in \ {Юноши} \ \land \ x любит y.
replies: text: ::: A girl loves a young man. \Leftrightarrow \{x\} \subset \ {Girls} \ \land \ 2 \leqslant \ |{Girls}| \ \leqslant \aleph_0 \ \land \ \{y\} \subset \ {Young men} \ \land \ 2 \leqslant \ |{Young men}| \ \leqslant \aleph_0 \ \land \ x loves y.

text: 2, Логики называют вышеуказанные логические постоянные высказываниями, а вышеуказанные логические переменные предикатами.

text: 3. В каждом предикате есть по меньшей мере один аргумент (например, по имени x), благодаря которому мы воспринимаем предикат как предложение с хотя бы одним именем нарицательным. Зато в каждом высказывании нет ни одного аргумента, вследствие чего мы воспринимаем высказывание как предложение, в котором нет ни одного имени нарицательного.

text: 4. Если предикат содержит n аргументов (n \in {\mathbb N} \setminus \{0\}). тогда естественно возникают следующие два вопроса:
replies: text: :4.1) можно ли преобразовать предикат с n аргументами в предикат с n - 1 аргументами?,

text: :4.2) как можно преобразовать предикат с n аргументами в предикат с n - 1 аргументами?

text: 5. Ответ на вопрос 4.1 утвердительный, то есть любой предикат с n аргументами можно преобразовать в предикат с n - 1 аргументами. Поясним сказанное на примере с предикатом "A girl loves a young man.", в котором фигурируют два имени нарицательных "a girl" и "a young man". Заменяя один из неопределённых артиклей "а" (например, второй) на определённый артикль "the", мы получаем предикат "A girl loves the young man.", в котором осталось только одно имя нарицательное "a girl".
replies: text: :ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квантификацией называется операция преобразования предиката с n аргументами в предикат с n - 1 аргументами, где n \in {\mathbb N} \setminus \{0\}.

text: 6. Чтобы получить ответ на вопрос 4.2 с точки зрения англичанина, рассмотрим вначале примеры квантификации английского предиката "A girl loves a young man." [с двумя аргументами в предикаты с одним аргументом]. Имеем:
replies: text: :A girl loves a young man.  \mapsto  A girl loves the young man.

text: :A girl loves a young man.  \mapsto  A girl loves that young man.

text: :A girl loves a young man.  \mapsto  A girl loves some young man.

text: :A girl loves a young man.  \mapsto  A girl loves any young man.

text: :A girl loves a young man.  \mapsto  A girl loves at least one young man.

text: :A girl loves a young man.  \mapsto  A girl loves at most one young man.

text: :A girl loves a young man.  \mapsto  A girl loves only one young man.

text: Из этих примеров видно, что англичане квантифицируют английские предикаты со служебным словом "а", заменяя его на служебные слова "the", "that", "some", "any", "at least one", "at most one", "only one" и т. п.

text: Примечание: Видимо, английский мыслитель Томас Гоббс называл упомянутые служебные слова "частями имён".

text: Примечание: Кроме того, англичане могут квантифицировать предложение "A girl loves a young man." неявным образом, а именно:
replies: text: :A girl loves a young man.  \mapsto There is a young man who is loved by a girl.

text: 7. Чтобы получить ответ на вопрос 4.2 с точки зрения математика, дадим определение понятию "квантор".

text: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квантор (квантифицирующий оператор) - это оператор, который каким-то образом преобразует предикат с n аргументами в предикат с n - 1 аргументами, путём исключения [из рассмотрения] одного из аргументов во втором из упомянутых предикатов.

text: Если P[x_1, x_2, ..., x_{m-1}, x_m, x_{m+1}, ... x_n] - какой-то предикат с n аргументами, Q - какой-то квантор, x_m - исключаемый аргумент, тогда   Qx_m(P[x_1, x_2, ..., x_{m-1}, x_m, x_{m+1}, ... x_n]) = R[x_1, x_2, ..., x_{m-1}, x_{m+1}, ... x_n], где R[x_1, x_2, ..., x_{m-1}, x_{m+1}, ... x_n] - предикат с n-1 аргументами, среди которых нет аргумента x_m
replies: text: :Примеры явной квантификации предиката с двумя аргументами в предикаты с одним аргументом.
replies: text: ::Какая-то девушка любит какого-то юношу.  \Leftrightarrow x \in \ {Девушки} \ \land \ y \in \ {Юноши} \ \land x любит  y. \ \mapsto
replies: text: ::: \mapsto \ эта девушка \ \in \ {Девушки} \ \land \ y \in \ {Юноши} \ \land \ эта девушка любит y. \Leftrightarrow
replies: text: ::::\Leftrightarrow True \land y \in \ {Юноши} \ \land \ эта девушка любит y. \Leftrightarrow
replies: text: :::::\Leftrightarrow y \in {Юноши} \ \land \ эта девушка любит y. \Leftrightarrow  Эта девушка любит какого-то юношу.

text: ::Какая-то девушка любит какого-то юношу.  \Leftrightarrow x \in \ {Девушки} \ \land \ y \in \ {Юноши} \ \land x любит  y. \ \mapsto
replies: text: ::: \mapsto \ x \ \in \ {Девушки} \ \land \ \ тот юноша \ \in \ {Юноши} \ \land \ x  любит того юношу. \Leftrightarrow
replies: text: ::::\Leftrightarrow x \in \ {Девушки} \ \land \ True \ \land x \ любит того юношу \Leftrightarrow
replies: text: :::::\Leftrightarrow x \in {Девушки} \ \land \ x \ любит того юношу.  \Leftrightarrow  Какая-то девушка любит того юношу.

text: :Примеры неявной квантификации предиката с двумя аргументами в предикаты с одним аргументом.
replies: text: ::Какая-то девушка любит какого-то юношу.  \Leftrightarrow x \in \ {Девушки} \ \land \ y \in \ {Юноши} \ \land x любит  y. \ \mapsto
replies: text: ::: \mapsto \exist^{= 1} y(x \ \in \ {Девушки} \ \land \ y \ \in \ {Юноши} \ \land \ x  любит  y) \Leftrightarrow
replies: text: :::: \Leftrightarrow x \ \in \ {Девушки} \ \land \ \exist^{= 1} y(y \ \in \ {Юноши} \ \land \ x  любит  y.) \Leftrightarrow Какая-то девушка любит только одного юношу.

text: ::Какая-то девушка любит какого-то юношу.  \Leftrightarrow x \in \ {Девушки} \ \land \ y \in \ {Юноши} \ \land x любит  y. \ \mapsto
replies: text: ::: \mapsto \exist^{\geqslant 1} y(x \ \in \ {Девушки} \ \land \ y \ \in \ {Юноши} \ \land \ x  любит  y) \Leftrightarrow
replies: text: :::: \Leftrightarrow x \ \in \ {Девушки} \ \land \ \exist^{\geqslant 1} y(y \ \in \ {Юноши} \ \land \ x  любит  y.) \Leftrightarrow Какая-то девушка любит хотя бы одного юношу.

text: 8. Кванторов столько же, сколько натуральных чисел. Но каждый квантор, с помощью которого осуществляется неявная квантификация предикатов, можно записать в виде комбинации логических связок с по меньшей мере одним квантором существования \exist
replies: text: :Примеры
replies: text: ::\exist^{\geqslant 1} x(P[...,x,...]) \Leftrightarrow \exist x(P[...,x,...]), где P[...,x,...] - предикат со сколькими-то аргументами, включая аргумент x

text: ::\exist^{= 1} x(P[...,x,...]) \Leftrightarrow \exist x(P[...,x,...] \land \neg (\exist y(y \neq x \land P[...,y,...]))),

text: ::\exist^{= 0} x(P[...,x,...]) \Leftrightarrow \neg (\exist x(P[...,x,...]))

text: ::\forall x(P[...,x,...]) \Leftrightarrow \neg(\exist x( \neg P[...,x,...]))

text: 9. Недоквантификация предиката - это преобразование предиката, при котором один из его аргументов частично исключается из рассмотрения.
replies: text: :Примеры недоквантификации предиката с двумя аргументами.
replies: text: ::Какая-то девушка любит какого-то юношу.  \Leftrightarrow x \in \ {Девушки} \ \land \ y \in \ {Юноши} \ \land x любит  y. \ \mapsto
replies: text: ::: \mapsto y \ \in \ {Юноши} \ \land \ x  любит  y \Leftrightarrow Кой-кто или кой-что любит какого-то юношу.

text: ::Какая-то девушка любит какого-то юношу.  \Leftrightarrow x \in \ {Девушки} \ \land \ y \in \ {Юноши} \ \land x любит  y. \ \mapsto
replies: text: ::: \mapsto x \ \in \ {Девушки} \ \land \ x  любит  y \Leftrightarrow Какая-то девушка любит кой-кого или кой-что.

text: 10. Вздорная квантификация предиката - это такое преобразование предиката, при котором один из его аргументов исключается частично или полностью, но в результате этого исключения получается галиматья.
replies: text: :Примеры вздорной квантификации предиката с двумя аргументами.
replies: text: ::Какая-то девушка любит какого-то юношу.  \Leftrightarrow x \in \ {Девушки} \ \land \ y \in \ {Юноши} \ \land x любит  y. \ \mapsto
replies: text: ::: \mapsto \ \in \ {Девушки} \ \land \ y \in \ {Юноши} \ \land x любит y. \Leftrightarrow Галиматья [из-за удаления аргумента x в предложении "x \in \ {девушки}"].

text: ::Какая-то девушка любит какого-то юношу.  \Leftrightarrow x \in \ {Девушки} \ \land \ y \in \ {Юноши} \ \land x любит  y. \ \mapsto
replies: text: ::: \mapsto \ \in \ {Девушки} \ \land \ y \in \ {Юноши} \ \land  любит y. \Leftrightarrow Галиматья [из-за удаления аргумента x в предложениях "x \in \ {девушки}" и "x любит y."]
NB Используя кванторы, можно понять некоторые особенности английского языка и, следовательно, англоязычного мышления.

text: Англичанин может преобразовать предикат с одним аргументом "A book is on the table." в высказывание по меньшей мере двумя способами. Я имею в виду следующие способы:
replies: text: : A book is on the table. \Leftrightarrow \{x\} \subset \ {Books} \ \land 2 \leqslant |{Books}| \leqslant \aleph_0 \ \land \ x is on the table. \ \mapsto
replies: text: :: \mapsto  {the book}  \ \subset \ {Books} \ \land \ 2 \leqslant \ |{Books}| \ \leqslant \aleph_0 \ \land  the book is on the table. \Leftrightarrow True \ \land \ True \ \land  the book is on the table.  \Leftrightarrow The book is on the table.  \Leftrightarrow  Книга [находится] на столе.

text: : A book is on the table. \Leftrightarrow \{x\} \subset \ {Books} \ \land 2 \leqslant |{Books}| \leqslant \aleph_0 \ \land \ x is on the table. \ \mapsto
replies: text: :: \mapsto \exist x(\{x\} \ \subset \ {Books} \ \land \ 2 \leqslant \ |{Books}| \ \leqslant \aleph_0 \ \land x is on the table.) \Leftrightarrow There is a book on the table.  \Leftrightarrow  На столе [есть] книга.

text: :Примечание 1: Видимо, Чарльз Пирс понимал, что предикат "A book is on the table." преобразуется с помощью явной квантификации в высказывание "The book is on the table.", a c помощью неявной квантификации в высказывание "There is a book on the table."

text: :Примечание 2: Русскоязычный переводчик мыслит не логически, а риторически ("темами" и "ремами"). Поэтому русскоязычный переводчик преобразует:
replies: text: ::предикат "A book is on the table." и высказывание "There is a book on the table" в предложение "На столе есть книга.",

text: ::высказывание "The book is on the table." в предложение "Книга на столе." (см. English by В.Р. Гундризер, А.С. Ланда, стр. 272)
NB Используя кванторы, можно понять связь между "грамматическими числами" и натуральными числами.

text: Предикат "A book is on the table." можно записать иначе, а именно:
replies: text: :A book is on the table. \Leftrightarrow \{x\} \subset \ {Books} \ \land 2 \leqslant |{Books}| \leqslant \aleph_0 \ \land \ x is on the table. \ \Leftrightarrow

text: :\Leftrightarrow \{x\} \subset \ {Books} \ \land 2 \leqslant |{Books}| \leqslant \aleph_0 \ \land \ \forall y(y \in \{x\} \rightarrow y is on the table.) \ \land \ |\{x\}| = 1 \ \Leftrightarrow

text: :\Leftrightarrow X \subset \ {Books} \ \land 2 \leqslant |{Books}| \leqslant \aleph_0 \ \land \ \forall y(y \in X \rightarrow y is on the table.) \ \land \ |X| = 1

text: :Примечание: |X| = 1 \Leftrightarrow X = \{x\} \Leftrightarrow x \in X \land \neg(\exist y(y \neq x \land y \in X))

text: :Примечание: A book is on the table. \Rightarrow 2 \leqslant |{Books}| \leqslant \aleph_0 \ \land \ X \subseteq \{y| y \in {Books} \ \land \ y is on the table.\} \ \land \ |X| = 1

text: В свою очередь, предикат "Books are on the table." можно записать в виде.

text: Books are on the table. \Leftrightarrow X \subset \ {Books} \ \land 2 \leqslant |{Books}| \leqslant \aleph_0 \ \land \ \forall y(y \in X \rightarrow y is on the table.) \ \land \ |X| \geqslant 2
replies: text: :Примечание: |X| \geqslant 2 \Leftrightarrow x_1 \neq x_2 \land \{x_1, x_2\} \subseteq X \Leftrightarrow x_1 \neq x_2 \land x_1 \in X \land x_2 \in X

text: :Примечание: Books are on the table. \Rightarrow 2 \leqslant |{Books}| \leqslant \aleph_0 \ \land \ X \subseteq \{y| y \in {Books} \ \land \ y is on the table.\} \ \land \ |X| \geqslant 2

text: :Примечание: Раньше в англоязычном мире множество натуральных чисел {\mathbb N} начиналось с числа 1, но теперь это множество начинается с числа 0, то есть {\mathbb N} =  {0 (nought), 1 (one), 2 (two), 3 (three), 4 (four), ... }.
replies: text: ::Если натуральное число n предшествует имени существительному и n = 1, тогда существительное произносится в единственном числе (например: one man, one hour).

text: ::Если натуральное число n предшествует имени существительному и n \neq 1, тогда существительное произносится во множественном числе (например: nought men, nought hours; two men, two hours; three men, three hours).

text: ::Если имени существительному предшествует положительная правильная дробь, которая округляется сверху до натурального числа 1, тогда существительное произносится в единственном числе (например, two fifth of hour, т. к. \lceil 2/5 \rceil = 1.

text: ::Если имени существительному предшествует сумма натурального числа и положительной правильной дроби, которая округляется сверху до натурального числа, отличного от 1, тогда существительное произносится во множественном числе (например, one and two fifth hours, т. к. \lceil 1 + 2/5 \rceil = 2 \neq 1.)

text: Далее, предикат "No books are on the table." можно записать в виде.

text: No books are on the table. \Leftrightarrow 2 \leqslant |{Books}| \leqslant \aleph_0 \ \land \ \forall y(y \in X \leftrightarrow y \in \ {Books} \ \land \ y is on the table.) \ \land \ |X| = 0 \Leftrightarrow
replies: text: : \Leftrightarrow 2 \leqslant |{Books}| \leqslant \aleph_0 \ \land \ X = \{y| y \in \ {Books} \ \land \ y is on the table.\} \ \land \ |X| = 0

text: :Примечание: |X| = 0 \Leftrightarrow X = \varnothing \Leftrightarrow \neg(\exist x(x \in X)) \Leftrightarrow \forall x(x \notin X)

text: :Примечание: No books are on the table. \Leftrightarrow  Nought books are on the table.

text: :Примечание: Возможно, в будущем англичане будут говорить "Nought book is..." вместо "Nought books are...".

text: Далее, предикат "No cheese is on the table." можно записать в виде.

text: No cheese is on the table.  \Leftrightarrow \  |{Cheese}| \ > \aleph_0 \ \land \ \forall y(y \in X \leftrightarrow y \in \ {Cheese} \ \land \ y is on the table.) \ \land \ |X| = 0 \Leftrightarrow
replies: text: : \Leftrightarrow \  |{Cheese}| \ > \aleph_0 \ \land \ X = \{y| y \in \ {Cheese} \ \land \ y is on the table.\} \ \land \ |X| = 0

text: Далее, предикат "Cheese is on the table." можно записать в виде.

text: Cheese is on the table. \Leftrightarrow X \subset \ {Cheese} \ \land \ |{Cheese}| \ > \aleph_0 \ \land \ \forall y(y \in X \rightarrow y is on the table.) \ \land \ |X| =  |{Cheese}|
replies: text: :Примечание: |X| =  |{Cheese}|  \Rightarrow X \neq \varnothing \Leftrightarrow \exist x(x \in X)

text: :Примечание: Cheese is on the table. \Rightarrow |{Cheese}| \ > \ \aleph_0 \ \land \ X \subseteq \{y| y \in {Cheese} \ \land \ y is on the table.\} \ \land \ |X| =  |{Cheese}|

text: Сводка

text: Cheese is on the table. \Rightarrow \  |{Cheese}| \ > \ \aleph_0 \ \land \ X \subseteq \{y| y \in {Cheese} \ \land \ y is on the table.\} \ \land \ |X| =  |{Cheese}|

text: A book is on the table. \Rightarrow \ 2 \leqslant |{Books}| \leqslant \aleph_0 \ \land \ X \subseteq \{y| y \in {Books} \ \land \ y is on the table.\} \ \land \ |X| = 1

text: Books are on the table. \Rightarrow \ 2 \leqslant |{Books}| \leqslant \aleph_0 \ \land \ X \subseteq \{y| y \in {Books} \ \land \ y is on the table.\} \ \land \ |X| \geqslant 2

text: No cheese is on the table. \Leftrightarrow \ |{Cheese}| \ > \ \aleph_0 \ \land \ X = \{y| y \in {Cheese} \ \land \ y is on the table.\} \ \land \ |X| = 0

text: No books are on the table.  \Leftrightarrow \ 2 \leqslant |{Books}| \leqslant \aleph_0 \ \land \ X = \{y| y \in \ {Books} \ \land \ y is on the table.\} \ \land \ |X| = 0

text: No unicorns are in the stable.  \Leftrightarrow \ |{Unicorns}| = 0 \ \land \ X = \{y| y \in \ {Unicorns} \ \land \ y is in the stable.\} \ \land \ |X| = 0

text: Only one moon is in the sky.  \Leftrightarrow \ |{Moons}| = 1 \ \land \ X = \{y| y \in \ {Moons} \ \land \ y is in the sky.\} \ \land \ |X| = 1
Для абстрактных имён существительных по аналогии можно написать следующее:

text: No courage is in your souls. \Leftrightarrow \ |{Courage}| = undefined \ \land \ X = \{y| y \in {Courage} \ \land \ y is in your souls.\} \ \land \ |X| = 0

text: Courage is in your souls. \Leftrightarrow \ |{Courage}| = undefined \ \land \ X \subseteq \{y| y \in {Courage} \ \land \ y is in your souls.\} \ \land \ |X| =  undefined.
 94.26.145.33 12:31, 24 февраля 2023 (UTC)
thread_title:  О качестве статьи «Квантор»