Обсуждение:Ряд Штурма

message: В определении ряда Штурма допущена ошибка: не сказано, что f_0 = f.
Аргументы в пользу того, что это надо дописать:
1) это есть в английской википедии
2) без этого теорема становится просто не верной.
Контрпример:
f(x) = x-1   
f_0 (x) = (x-1)*(x-2)      f_1 (x) = 2x-3       f_2 (x) = 1;
тогда количество корней f на прямой очевидно равно одному, а разность функции W равна двум.
Автор сообщения: 1518 193.194.100.216 21:32, 11 июля 2014 (UTC)
* Действительно, ряд из Вашего примера даёт W(0)-W(2) = 2, но теорема Штурма ограничивает применение условием f_0(a) f_0(b) \neq 0 для применяемого интервала [a, b], что в статье написано. То есть, ряд из Вашего сообщения — это ряд Штурма для f(x)=x-1, но теорема Штурма на [0, 2] на нём не действует, при прочих условиях всё в порядке (W(0)-W(1.2)=1, W(0)-W(3)=1). В Математической энциклопедии () условие f_0(a) f_0(b) \neq 0 уже включено в определение ряда, но это уже момент, скорее, дидактический, bezik 09:10, 12 июля 2014 (UTC)
Я тут чуть выше писал об ошибке в этой статье, но это обсуждение, на мой взгляд, было несправедливо закрыто. Мне написали, что мой контрпример на самом деле таковым не является, так как W(0) - w(3) = 1
но это же не так:
W(0)=2   W(3)=0
хотя, то условие, которое я предлагал дописать выше (f_0 = f) слишком сильное. Судя по всему, достаточно написать, что rad(f_0) = rad(f) (то есть множества различных корней для f и для f_0 совпадают)
Да, я посмотрел Вашу ссылку на Математическую энциклопедию. Да, там написано то же, что и в статье. На мой взгляд, там тоже не верно
Автор сообщения: 1518 92.241.14.83 09:22, 12 июля 2014 (UTC)
* --Draa kul talk 11:45, 12 июля 2014 (UTC)
* Да, Вы правы, а я ошибся: действительно W(3)=0. И вынужден согласиться с Вашими доводами о том, что системы корней f и f_0 не совпадают, то предсказать перемены знаков с тем же успехом не получится. Можно было бы внести в статью, но хорошо бы найти источники, где такое ограничение было бы явно прописано. Может, есть какое-то и более слабое условие? Или просто запишем (как в англовики) f_0:=f, налагая ещё и условие об отсутствии кратных корней? bezik 16:10, 12 июля 2014 (UTC)
Ну, если написать f_0:=f , то будет конечно, верно, но на мой взгляд, не достаточно общо.
Вы случайно не помните доказательство этой теоремы?
Просто все доказательства, что я видел (правда во всех формулировках, что я видел было f_0:=f) проводятся одним и тем же способом: мол, идем от a к b. Если проходим, через корень f_0, то W падает на единицу. Если проходим через корень f_k, то W не меняется. В остальных случаях W также не меняется.
Вывод: W(a)-W(b) равно количеству РАЗЛИЧНЫХ корней f_0.
Если следовать логике этого доказательства, то видно, что условия rad(f_0)=rad(f) достаточно и на первый взгляд ослабить его нельзя, не изменив доказательство.
Не могу найти источников. Везде f_0:=f ...
Но может можно и без них обойтись? Я вроде обосновал свою формулировку.
А что с Математической энциклопедией?
Может им тоже как-нибудь намекнуть?
1518  — Эта реплика добавлена участником 193.194.100.216 (о · в) 2014-07-12 19:39:13‎
* Записал так, как Вы предложили, вроде убедительно. Доказательств не помню, я-то вспомнил о существовании такого утверждения лишь после Вашего сообщения об ошибке. Насчёт Математической энциклопедии — её издали в 1977—1985 годах, а на academic.ru её просто выложили (и не факт, что согласия издательства). А ещё её даже перевели и многократно переиздали, и обсуждаемую статью сохранили и немного прокомментировали: , собственно, там на странице обсуждения и можно намекнуть, bezik 20:30, 12 июля 2014 (UTC)
Спасибо.
1518
thread_title:  Сообщение об ошибке