Обсуждение:Возведение в степень

message: А ну, переправляйте!
Ёма, народ, ноль в степени ноль равен нулю, уже и в учебники внесли изменения в связи с решением РАН.
Цитата:Президиум Российской Академии Наук
119991 Москва, Ленинский просп., 14
Москва, 3 марта 2008 г.
Информационное агентство Российской Академии Наук (ИАРАН) сообщает о завершении Всемирного конгресса математиков (ВКМ), проходившего в период с 25 февраля по 1 марта 2008 в норвежском городе Киркенес.
Наиболее ярким среди иностранных участников конгресса было выступление профессора университета Тель-Авива, председателя программного комитета ВКМ Нога Алона (Noga Alon).
По результатам обсуждения доклада Нога Алона, посвященного некоторым "классическим" и традиционным проблемам математики в свете важности системы двоичного (бинарного) счисления в современном мире, конгрессом было принято решение, устраняющее одну из неопределенностей основ теории математики.
Речь идет о проблеме неопределенности нулевой степени для ноля. Исходя из принципа двоичного счисления, предусматривающего равенство значимости исходных цифр 0 и 1, и основываясь на постулате тождественности, допускающего справедливость следующего утверждения, в котором определенными являются оба выражения - 1^1 = 1 и 0^0 = 0, конгресс 1 марта 1994 года постановил, что:
- определение 0^0 = 0 является верным.
Решение вступает в силу через месяц после принятия. Национальным отделениям ВКМ необходимо принять все меры для популяризации данного решения.
На конгрессе также был проявлен интерес к ранее изданной монографии академика Сергеева А. Г. "Комплексная геометрия и интегральные представления в трубе будущего", многие положения которой неожиданно подтвердились спустя двадцать лет.
В работе Сергеева А. Г. изучается комплексная геометрия трубы будущего, в частности, доказывается, что граница трубы будущего голоморфно нераспрямляема вдоль комплексных световых лучей. Из общего представления Коши–Фантаппье выводятся интегральные представления Коши–Бохнера, Иоста–Лемана–Дайсона и представления с барьерами Леви и Коши для голоморфных функций и решений $\overline\partial$-уравнения.''
Конец цитаты. 91.122.92.128 18:32, 26 августа 2008 (UTC)
Исходя из принципа двоичного счисления, предусматривающего равенство значимости исходных цифр 0 и 1 …
Чего-чего?  Бред какой-то. --gribozavr 20:11, 26 августа 2008 (UTC)
replies: text: Это шутка юмора. "Труба будущего", ха-ха. infovarius 18:58, 6 декабря 2009 (UTC)
thread_title: Untitled

message: Корень - функция обратная возведению в степень? Функция обратная возведению в степень - логарифм и только. Корень n-ой степени суть возведение в степень 1/n. --62.32.69.27 21:11, 5 декабря 2009 (UTC)
replies: text: Возведение в степень - бинарная операция, поэтому у неё две обратных. Например, как найти x из  x^y=z? Вычислением корня... infovarius 18:58, 6 декабря 2009 (UTC)
thread_title:  Обратная 

message: : По определению, a^{p\over q} = \sqrt[q]{a^p}, \quad p \in \mathbb{Z}\ , q \in \mathbb{N}\ 
По этому определению  а1/3 и а2/6 дают разные результаты для отрицательных и для комплексных a. -- gul 07:12, 20 мая 2010 (UTC)
replies: text: Явное упущение в статье. Добавил пояснение, что a \geqslant 0. Иначе получается комплексный корень, а он многозначен, и вышеприведенная формула тогда теряет смысл. LGB 11:41, 20 мая 2010 (UTC)
replies: text: : А как тогда определяется возведение в рациональную степень комплексного числа? Оно ведь бывает. -- gul 19:49, 20 мая 2010 (UTC)
replies: text: :: См. в статье раздел «Комплексная степень», а также определение комплексного логарифма. LGB 08:17, 21 мая 2010 (UTC)
thread_title:  Рациональная степень 

message: На мой взгляд, раздел с фразами "в школе действительную степень вводят", "ε — погрешность вычисления" - неэнциклопедичен. Да и погрешность в этом примере не ε. А определение в терминах дедекиндовых сечений и "для любого ε найдётся δ" может быть вполне строгим. Только у меня не хватает квалификации для того, чтобы привести этот раздел в порядок. Кто владеет предметом, поправьте, pls. -- gul 07:42, 21 мая 2010 (UTC)
thread_title:  Действительная степень 

message: Товарищи! Что же в статье ничего не говорится про значок степени -- ^ ?! 
3^2=9; 5^2=25; 5^3=125 
Надо бы написать и о значке степени... -- Кеель 2010.май.26.ср. 22:45 (московское время) --Кеель 18:49, 26 мая 2010 (UTC)
=== Учителя и школьники ===
Предлагаю вернуть в главу удалённый из неё текст: «Многие школьники, познакомившись со значком степени циркумфлексом на уроках информатики, компьютерной грамотности, начинают применять его (в сложных формулах и математических выражениях) также и на уроках математики, физики — то есть на уроках не инфрматики. Учителя против этого не возражают.» -- Кеель 2010.июнь.04.пт. 12:30 (московское время) --Кеель 08:32, 4 июня 2010 (UTC)
replies: text: Тогда объясните:

text: 1. Какую энциклопедическую значимость имеет данный текст и для кого он представляет интерес?

text: 2. Где применяют школьники циркумфлекс? В тетрадях? А чем он лучше традиционной записи?

text: 3. Какими авторитетными источниками (книги, статьи) можете Вы подтвердить, что учителя не возражают, и кто собирал такую статистику? LGB 11:46, 4 июня 2010 (UTC)
replies: text: :1. Основными потребителями статей по математике (точнее по школьному курсу математики) являются школьники и это надо учитывать при написании таких статей.

text: :2. Да, школьники применяют циркумфлекс в тетрадях — простое математическое выражение, например x^2, школьник напишет двухэтажным способом а сложную формулу/математическое выражение, в котором основание x (икс) а показатель — двух- (а то и трёх-четырёх-) этажная простая дробь длиной десять сантиметров — такое степенное выражение школьник запишет через циркумфлекс.

text: :3. Я в школе сам так применял значок степени и учителя не возражали. Можно вернуть этот текст в статью, пометив его меткой «Источник не указан» — может быть кто-нибудь найдёт источник а если не найдут, то текст можно будет «поставить под сомнение и удалить» -- Кеель 2010.июнь.05.сб. 10:03 (московское время) --Кеель 06:04, 5 июня 2010 (UTC)

text: Независимо от того, кто является «основными потребителями» данной статьи, в Википедии действует правило «информация обязана быть значимой». См Википедия:Значимость. Там сказано: «Предмет или тема предположительно являются значимыми, если они достаточно подробно освещаются в независимых авторитетных источниках». Вы такой источник не указали. Кроме того, вообще непонятно, какая пользу принесёт школьникам данная информация. Может быть, я не прав, но подозреваю, что Ваша настойчивость преследует какие-то чисто личные цели. LGB 11:22, 5 июня 2010 (UTC)
replies: text: : В правилах Википедии сказано: «Предполагайте добрые намерения». Поверьте, единственная личная цель у меня — это улучшить статью. Польза от циркумфлекса в том, что в сложных формулах со сложным показателем двухэтажная запись доставляет большие мучения, неудобства при её написании а циркумфлекс позволяет этих мучений и неудобств избежать. Я отнюдь не ас в работе с поисковыми сайтами и, может быть, где-то в Интернете лежит статья-независимый источник, подтверждающая обсуждаемую нами информацию… поэтому предлагаю дать этому тексту шанс: поместить его в статью, пометив меткой «Источник не указан столько-то дней» — Правилами Википедии установлен определённый срок (какой?), в течении которого такая информация допускается а по истечении которого — не допускается. Предлагаю поместить текст в статью (пометив его такой меткой) и выждать этот срок — потом вы сможете его удалить… -- Кеель 2010.июнь.06.вс. 14:52 (московское время) --Кеель 10:53, 6 июня 2010 (UTC)

text: Ну подумайте сами — какой авторитетный источник может подтвердить, что учителя обычно разрешают использовать циркумфлекс в тетрадных записях? Кто такой опрос будет проводить и кому он нужен? Зачем помещать в статью сомнительную и заведомо неподтверждаемую информацию — только для того, чтобы через месяц её удалить? И, наконец, Вы так и не разъяснили, какую пользу этот текст (не циркумфлекс, а именно этот текст) представляет для читателей. Может быть, Вы полагаете, что он стимулирует использование циркумфлекса в школьном процессе, сломив сопротивление несговорчивых учителей? Так это очень вряд ли. LGB 11:36, 6 июня 2010 (UTC)
thread_title:  Значок степени 

message: Предлагаю вернуть в главу удалённый из неё текст: «Многие школьники, познакомившись со значком степени циркумфлексом на уроках информатики, компьютерной грамотности, начинают применять его (в сложных формулах и математических выражениях) также и на уроках математики, физики — то есть на уроках не инфрматики. Учителя против этого не возражают.» -- Кеель 2010.июнь.04.пт. 12:30 (московское время) --Кеель 08:32, 4 июня 2010 (UTC)
replies: text: Тогда объясните:

text: 1. Какую энциклопедическую значимость имеет данный текст и для кого он представляет интерес?

text: 2. Где применяют школьники циркумфлекс? В тетрадях? А чем он лучше традиционной записи?

text: 3. Какими авторитетными источниками (книги, статьи) можете Вы подтвердить, что учителя не возражают, и кто собирал такую статистику? LGB 11:46, 4 июня 2010 (UTC)
replies: text: :1. Основными потребителями статей по математике (точнее по школьному курсу математики) являются школьники и это надо учитывать при написании таких статей.

text: :2. Да, школьники применяют циркумфлекс в тетрадях — простое математическое выражение, например x^2, школьник напишет двухэтажным способом а сложную формулу/математическое выражение, в котором основание x (икс) а показатель — двух- (а то и трёх-четырёх-) этажная простая дробь длиной десять сантиметров — такое степенное выражение школьник запишет через циркумфлекс.

text: :3. Я в школе сам так применял значок степени и учителя не возражали. Можно вернуть этот текст в статью, пометив его меткой «Источник не указан» — может быть кто-нибудь найдёт источник а если не найдут, то текст можно будет «поставить под сомнение и удалить» -- Кеель 2010.июнь.05.сб. 10:03 (московское время) --Кеель 06:04, 5 июня 2010 (UTC)

text: Независимо от того, кто является «основными потребителями» данной статьи, в Википедии действует правило «информация обязана быть значимой». См Википедия:Значимость. Там сказано: «Предмет или тема предположительно являются значимыми, если они достаточно подробно освещаются в независимых авторитетных источниках». Вы такой источник не указали. Кроме того, вообще непонятно, какая пользу принесёт школьникам данная информация. Может быть, я не прав, но подозреваю, что Ваша настойчивость преследует какие-то чисто личные цели. LGB 11:22, 5 июня 2010 (UTC)
replies: text: : В правилах Википедии сказано: «Предполагайте добрые намерения». Поверьте, единственная личная цель у меня — это улучшить статью. Польза от циркумфлекса в том, что в сложных формулах со сложным показателем двухэтажная запись доставляет большие мучения, неудобства при её написании а циркумфлекс позволяет этих мучений и неудобств избежать. Я отнюдь не ас в работе с поисковыми сайтами и, может быть, где-то в Интернете лежит статья-независимый источник, подтверждающая обсуждаемую нами информацию… поэтому предлагаю дать этому тексту шанс: поместить его в статью, пометив меткой «Источник не указан столько-то дней» — Правилами Википедии установлен определённый срок (какой?), в течении которого такая информация допускается а по истечении которого — не допускается. Предлагаю поместить текст в статью (пометив его такой меткой) и выждать этот срок — потом вы сможете его удалить… -- Кеель 2010.июнь.06.вс. 14:52 (московское время) --Кеель 10:53, 6 июня 2010 (UTC)

text: Ну подумайте сами — какой авторитетный источник может подтвердить, что учителя обычно разрешают использовать циркумфлекс в тетрадных записях? Кто такой опрос будет проводить и кому он нужен? Зачем помещать в статью сомнительную и заведомо неподтверждаемую информацию — только для того, чтобы через месяц её удалить? И, наконец, Вы так и не разъяснили, какую пользу этот текст (не циркумфлекс, а именно этот текст) представляет для читателей. Может быть, Вы полагаете, что он стимулирует использование циркумфлекса в школьном процессе, сломив сопротивление несговорчивых учителей? Так это очень вряд ли. LGB 11:36, 6 июня 2010 (UTC)
thread_title:  Учителя и школьники 

message: Как возвести в любую степен, например, 5^{1.46856}=10.62868141? Калькулятор ведь как-то делает это, а формул таких как нибыло бы страно нету, выходит, компании, которые производят калькуляторы и процессоры либо софт, держут велечайшие математические формулы в секрету. 
Есть один способ как это сделать:
replies: text: 5^{146856\over 100000}=10.62868141.

text: Сначало надо поднять, а потом тянуть корень 100000, но как этот корень тянуть, по каким формулам? И никакой калькулятор или коммпьютер не способен возводить в такую большую степень, 5^{150}, это уже предел для калькулятора и 5^{15000} предел для компьютерного калькулятора.

text: Ладно, если калькулятор работает на частоте 1 МГц, и в калькуляторе самая большая число 9999999999, то чтоб 5 поднять в степени 1,468567891, надо число 5 умножить 10^9 раз, а учитывая точность надо 10^{10} операций умножения. А чтоб сделать столько переумножений надо чтоб калькулятор работал на частоте 10 ГГц. 
А корень тянуть можно 10, потом снова 10 и сколько нулей столько раз.

text: А вот и формула как тянуть корень.
Чтоб получить \sqrt{x}:

text: Шаг 1:  Угадка G = 1.

text: Шаг 2: Новая угадка = (G + x/G)/2

text: Повторить шаг 2 любое количество раз, чтоб достать сколько угодно точный результат.
Например, \sqrt{2}

text: G = 1,

text: G = (1+2/1)/2 = 3/2 = 1.5,

text: G = (3/2 + 4/3)/2 = 17/12 = 1.4166666667,

text: G = (17/12 + 24/17)/2 = 577/408 = 1.414215686,

text: G = (577/408 + 816/577)/2 = 665857/470832 = 1.414213562.
Таким образом \sqrt{10}:

text: G = 1,

text: G = (1+10/1)/2 = 11/2 = 5.5,

text: G = (5.5 + 10/5.5)/2 = 3.659090909,

text: G = (3.659(09) + 10/3.659(09))/2 = 3.196005082,

text: G = (3.196005082 + 10/3.196005082)/2 = 3.162455623,

text: Ответ не много отличается от ответа полученного калькулятором сразу: \sqrt{10}=3,16227766.

text: Но нужно x^{1\over 10}, а для этого формул вроде и нет.
* Скорее всего по формуле: x^y=e^{y\ln x} (знак x нужно учитывать отдельно), а функции ex и ln x вычисляются с помощью рядов (и, может быть, более эффективных, чем ряд Тейлора). infovarius 21:13, 6 января 2011 (UTC)

text: Оказывает 178.163.38.38 10:59, 3 марта 2014 (UTC)ся все очень просто. Например, нужно вытянуть [не квадратный] корень из 137. Допустим нужно получить результат такого выражения \sqrt[10000]{137}. Значит, просто нужно угадывать, например берем цифру 1,0005 и поднимаем ее в 10000-ой степени, таким образом 1,0005^{10000}=148,2278203. Значит дальше берем цифру 1,0004 и поднимаем ее в 10000-ой степени и получаем 1,0004^{10000}=54,55450061. Тогда дальше берем цифру 1,00045 и поднимаем ее в 10000-ой степени и получаем 1,00045^{10000}=89,92606239. Тогда дальше берем цифру 1,000475 и поднимаем ее в 10000-ой степени и получаем 1,000475^{10000}=115,4540058. Тогда дальше берем цифру (1,000475+1,0005)/2=2,000975/2=1,0004875 и поднимаем ее в 10000-ой степени и получаем 1,0004875^{10000}=130,818662. Тогда дальше берем цифру (1,0004875+1,0005)/2=2,0009875/2=1,00049375 и поднимаем ее в 10000-ой степени и получаем 1,00049375^{10000}=139,2514729. Тогда дальше берем цифру (1,0004875+1,00049375)/2=2,00098125/2=1,000490625 и поднимаем ее в 10000-ой степени и получаем 1,000490625^{10000}=134,9692303. И так далее.
thread_title:  Как возвести в любую степень? 

message: это проверяется например путем разложения экспоненты в ряд Тейлора и подстановкой туда 0:
e^0 = \sum_{k=0}^\infty 0^k / k!
FeelUs 14:16, 13 февраля 2014 (UTC)
replies: text: Приведите хоть один учебник, где содержится подобное утверждение. Приведенное выше «доказательство», мягко говоря, не убеждает, В трёхтомнике Фихтенгольца (том I, стр. 323) прямо сказано, что 0^0 есть неопределённость. Наконец, использованное вами разложение экспоненты при x=0, n=0 попросту не определено. Я исправил этот ряд в статье Экспонента, спасибо вам за наводку. LGB 15:07, 13 февраля 2014 (UTC)
replies: text: : Операции в математике должны каким-то образом определяться и  в них должен быть внесен вполне определенный смысл. Так,например, под возведением числа в натуральную степень понимается умножение числа на  себя несколько раз и  это иллюстрируется   яблоками , кроликами или еще как-то иначе, возведение в дробную степень определяется через корень , да и с другими степенями вроде бы понятно.Так что , и в данном случае  , на мой взгляд, необходимо попытаться и в эту операцию вложить определенный  смысл. Один из вариантов, который лежит на поверхности и представляется  вполне естественным, это определить 0^0 , как предел бесконечно малой величины в степени бесконечно малая. И ,если каждая из этих величин существует в предельной точке и дифференцируема , то и результат , действительно ,получается 0^0=1. Кстати, в математических пакетах это , наверное, и предполагается . В частности , Matlab действительно выдает 0^0=1. Но , если перечисленные условия ослабить и  допустить ,например, что одна из величин в конечной точке не определена, то и результат может получиться совершенно другой. В качестве примера можно рассмотреть выражение {x(2+sin(1/x)))^x и исследовать его предел при x=0. Использование правила Лопиталя , насколько я понимаю, здесь вполне правомерно и несложные прикидки показывают отсутствие предела здесь вообще. Так что ,c назначением значения  0^0 я бы пока повременил.Так мне кажется.109.254.49.119 15:20, 19 декабря 2015 (UTC)109.254.49.119 15:28, 19 декабря 2015 (UTC)
replies: text: :: В Википедии мы не определяем значения функций, а сообщаем, что говорится в авторитетных источниках.  То что в некоторых языках программирования 0^0=1, можно написать со ссылкой на источники, скажем документацию.  Alexei Kopylov 23:21, 19 декабря 2015 (UTC)
replies: text: ::: Это не какие-то там внутренние особенности языков программирования, а чуть модифицированное определение: a^b = 1\cdot\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots \cdot a}_{b}
"его (0^0=1) ни в коем случае нельзя использовать ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях" - в алгебраических преобразованиях использовать можно, все ниже перечисленные свойства выполняются, если правило "на ноль делить нельзя" дополнить исключением 0/0=1 (и снабдить его комментарием, \frac00=\frac a a=1, но \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)}-неопределенность).
# \left(ab\right)^n = a^nb^n
# \left({a\over b}\right)^n = {{a^n}\over{b^n}}
# a^na^m = a^{n+m}
# \left. {a^n\over {a^m}} \right. = a^{n-m}
# \left(a^n\right)^m = a^{nm}
FeelUs (обс.) 04:28, 9 февраля 2018 (UTC)

text: Во-первых, это чистый ВП:ОРИСС, столь радикальные соглашения, как предложенное вами \frac00=1, даже в зарубежных источниках мне ни разу не попадались. Во-вторых, возьмите ваше свойство 4 и подставьте a=0, n=1, m=2. Получим:
replies: text: : \frac 00 = \frac 10, или: 1=\infty

text: Этого достаточно, чтобы убедить вас не использовать произвольные соглашения в алгебраических преобразованиях? LGB (обс.) 11:19, 9 февраля 2018 (UTC)
replies: text: : Эй! 0\neq 0^2. Ведь x\neq x^2. Так что можно продолжить ОРИСС и добавить к правилу 0\cdot x = 0 условие x\neq 0. FeelUs (обс.) 17:43, 9 февраля 2018 (UTC)
replies: text: :: Да, пятница — весёлый день... Это была такая шутка юмора или вы хотите изобрести собственную арифметику? В любом случае я не вижу смысла в продолжении дискуссии. LGB (обс.) 17:50, 9 февраля 2018 (UTC)
replies: text: ::: Почему бы ради шутки юмора и не изобрести собственную арифметику? Вот например 0^2 приобретает такой же статус как и \sqrt{-1}. Может если дальше продолжать получатся какие-нибудь кардинальные числа, или теория перенормировок... FeelUs (обс.) 18:02, 9 февраля 2018 (UTC)

text: ::: Или Дуальные числа :-) FeelUs (обс.) 19:28, 15 марта 2018 (UTC)

text: Зачем для опровержения одного софизма (разумеется, непреднамеренного) изобретать другой? Дело в том, что если мы определяем целую неотрицательную степень (в том числе нулевую) без помощи деления (для отрицательных степеней, в отличии от нулевой, этого сделать нельзя), например, как a^n =1\cdot\underbrace{a \cdot a\cdot ... \cdot a }_{n}, то от того, что при этом 0^0=1, деление на 0 разрешённым не становится. Таким образом, каким это сейчас сделано в статье, можно «обосновать» неопределяемость возведения 0 в любую степень, даже в первую (напомню, что речь о точном нуле, а не о бесконечно малой из анализа): «Предположим, что 0^n=0 при n>0. Тогда 0=0^1=0^{3-2}=\frac {0^3}{0^2}=\frac {0}{0}, но справа явная неопределённость. Получено противоречие». Удаляю этот софизм. Wisgest (обс.) 14:09, 18 марта 2018 (UTC)
thread_title:  0^0=1 

message: В источнике (я уточнил ссылку до страницы, предпросмотр доступен)
* 
действительно есть утверждение
replies: text: an — n-я степень числа a (a, умноженное само на себя n раз, a4 = 
В разговорной речи оно мне тоже встречалось, хотя и является некорректным. Следует ли как-то отразить в статье факт существования такой частой ошибки (если она имеет место и подтверждается АИ)? — Stannic(обс)(вкл)(выкл) 08:56, 27 декабря 2015 (UTC)
* Полагаю, что «Ламповые усилители» не АИ в словоупотреблении (то есть, где бы говорилось, что так делается, а не просто сомнительный пример). Добавил другие источники. Не думаю, что стоит преумножать сомнительное (ВП:БОБЫ, но по отношению к читателю). Тем более так близко к началу статьи. По другим поводам видел источники, которые рассматривают неправильные варианты, но про степень не встречал. РоманСузи 09:04, 27 декабря 2015 (UTC)
** «Ламповые усилители» не могут быть источником того, как правильно употреблять слово, но они вполне могут быть источником, как слово употребляется. На мой взгляд, согласно ВП:КННИ дополнительных источников не требуется. Можно написать, что это употребление не правильное. ВП:БОБЫ тут не к месту. То что это не надо писать в преамбуле - согласен. Нужен отдельный раздел "Употребление в устной речи", где кстати рассказать, что вторая и третья степень называется "в квадрате" и "в кубе".  Alexei Kopylov 16:23, 27 декабря 2015 (UTC)
*** Ок, где-нибудь ближе к концу статьи. РоманСузи 16:33, 27 декабря 2015 (UTC)
****  Проверьте, пожалуйста. Alexei Kopylov 21:12, 27 декабря 2015 (UTC)
* В статье оно (некорректное утверждение) тоже неявно встречается в разделе "Вариации_и_обобщения": мне кажется, вместо x^0 = x должно быть x^0 = e. 90.189.243.123 06:56, 23 апреля 2021 (UTC)
** Конечно! Исправил. — Алексей Копылов 04:21, 24 апреля 2021 (UTC)
thread_title:  a в кубе — a умноженное на себя три раза 

message: Participant Of The Encyclopedia (обсуждение) (вклад) 14:25, 1 октября 2019 (UTC)
thread_title:  Картинка в начале статьи (лицензирование) 

message: Где это правило содержится? В каком учебнике? Только не надо ссылаться на тетрацию - там просто опущены скобки для удобства... Где общее правило, что действия одного уровня - возведение в степень - без скобок - нужно производить не слева направо - а наоборот?
Математика 5.191.110.180 19:37, 27 ноября 2023 (UTC)
thread_title:  "В математике принято считать запись  a^n^m равнозначной a^(n^m)"