Обсуждение:Операционное исчисление

message: Уважаемые коллеги. А как отличить, где используется комплексная переменная p, а где это оператор дифференцирования?
83.167.114.195 16:00, 10 марта 2014 (UTC)Алексей Анучин

message: Решить систему дифференциальных уравнений
replies: text: x_1^'=-0,5x_1+0,5x_3;

text: x_2^'=0,3x_1-0,7x_2;

text: x_3^'=0,2x_1+0,7x_2-0,5x_3;
с начальными условиями

text: ~x_1=0;

text: ~x_2=0;

text: ~x_3=1.
Находим изображения для уравнений:

text: ~pX_1=-0,5X_1+0,5X_3;

text: ~pX_2=0,3X_1-0,7X_2;

text: ~pX_3-1=0,2X_1+0,7X_2-0,5X_3.
(в левой части было применено Дифференцирование оригинала)
Преобразуем к стандартной системе линейных алгебраических уравнений:

text: ~-(0,5+p) X_1+0,5X_3=0;

text: ~0,3X_1-(0,7+p) X_2=0;

text: ~0,2X_1+0,7X_2-(0,5+p) X_3=-1.
Решаем систему линейных уравнений методом Крамера:

text: ~D_0=\begin{vmatrix} -(0,5+p)&0&0,5 \\ 0,3&-(0,7+p)&0 \\ 0,2&0,7&-(0,5+p) \end{vmatrix} = -p(p^2+1,7p+0,85);

text: ~D_1=\begin{vmatrix} 0&0&0,5\\0&-(0,7+p)&0\\-1&0,7&-(0,5+p) \end{vmatrix} = -0,5p-0,35;

text: ~D_2=\begin{vmatrix} -(0,5+p)&0&0,5\\0,3&0&0\\0,2&-1&-(0,5+p) \end{vmatrix} = -0,15;

text: ~D_3=\begin{vmatrix} -(0,5+p)&0&0\\0,3&-(0,7+p)&0\\0,2&0,7&-1 \end{vmatrix} = -p^2-1,2p-0,35.
Находим изображения отдельных переменных и преобразуем к виду, пригодному для нахождения оригиналов:

text: ~X_1= \frac{0,5p+0,35}{p(p^2+1,7p+0,85)} =
\frac{7}{17} \left( \frac{1}{p} - \frac{p+\frac{17}{35}}{p^2+1,7p+0,85} \right)=

text: ~= 
\frac{7}{17} \left( \frac{1}{p} - \frac{p+0,85-\frac{51}{140}}{(p+0,85)^2-(\frac{\sqrt{51}}{20})^2 } \right)
=

text: ~= 
\frac{7}{17}
\left(
 \frac{1}{p} -
 \frac{p+0,85}{(p+0,85)^2-(\frac{\sqrt{51}}{20})^2}+
 \frac{ \frac{\sqrt{51}}{7} \cdot \frac{\sqrt{51}}{20}}{(p+0,85)^2-(\frac{\sqrt{51}}{20})^2}
\right)
=

text: ~= 
\frac{7}{17}
\left(
 \frac{1}{p} -
 \frac{p+\lambda }{(p+\lambda )^2-\omega ^2}+
 \frac{ \frac{\sqrt{51}}{7}\omega  }{(p+\lambda)^2-\omega^2}
\right)
,
где ~\lambda = 0,85;

text: ~ 
\omega = \frac{\sqrt{51}}{20}.
Находим оригинал по изображению:

text: ~
x_1 = \frac{7}{17}
\left(
1 - e^{-\lambda t} \cos \omega t + \frac{\sqrt{51}}{7} e^{-\lambda t} \sin \omega t
\right)
=

text: ~=
\frac{7}{17}- \frac{7}{17} e^{-\lambda t} \cos \omega t + \frac{\sqrt{51}}{17} e^{-\lambda t} \sin \omega t.
Проводим ту же последовательность операций для переменной ~x_2:

text: ~X_2= \frac{0,15}{p(p^2+1,7p+0,85)} =
\frac{3}{17} \left( \frac{1}{p} - \frac{p+1,7}{p^2+1,7p+0,85} \right)=

text: ~= 
\frac{3}{17} \left( \frac{1}{p} - \frac{p+0,85+0,85}{(p+\lambda)^2-\omega^2 } \right)
=

text: ~= 
\frac{3}{17}
\left(
 \frac{1}{p} -
 \frac{p+\lambda }{(p+\lambda )^2-\omega ^2}-
 \frac{ \frac{\sqrt{51}}{3}\omega  }{(p+\lambda)^2-\omega^2}
\right)
;

text: ~
x_2 = \frac{3}{17}
\left(
1 - e^{-\lambda t} \cos \omega t - \frac{\sqrt{51}}{3} e^{-\lambda t} \sin \omega t
\right)
=

text: ~=
\frac{3}{17}- \frac{3}{17} e^{-\lambda t} \cos \omega t - \frac{\sqrt{51}}{17} e^{-\lambda t} \sin \omega t.
И так же для переменной ~x_3:

text: ~X_3= \frac{p^2+1,2p+0,35}{p(p^2+1,7p+0,85)} =
\frac{10}{17} \left( \frac{0,7}{p} + \frac{p+0,85}{p^2+1,7p+0,85} \right)=

text: ~= 
\frac{10}{17} \left( \frac{0,7}{p} + \frac{p+\lambda}{(p+\lambda)^2-\omega^2 } \right)
;

text: ~
x_3 = \frac{10}{17}
\left( 0,7 + e^{-\lambda t} \cos \omega t \right)
=

text: ~= \frac{7}{17}+ \frac{10}{17} e^{-\lambda t} \cos \omega t.
Окончательно получаем

text: ~x_1 =
\frac{7}{17}- \frac{7}{17} e^{-\lambda t} \cos \omega t + \frac{\sqrt{51}}{17} e^{-\lambda t} \sin \omega t;

text: ~x_2 = 
\frac{3}{17}- \frac{3}{17} e^{-\lambda t} \cos \omega t - \frac{\sqrt{51}}{17} e^{-\lambda t} \sin \omega t;

text: ~x_3 = \frac{7}{17}+ \frac{10}{17} e^{-\lambda t} \cos \omega t.
thread_title:  Пример решения системы дифференциальных уравнений операторным методом