Обсуждение:Разностная схема

message: "Для того чтобы уравнения были как-то связаны с приближаемым дифференциальным оператором нужно, чтобы уравнения достаточно точно выполнялись на многочленах." К сожалению, не совсем понятно. Нельзя ли это изложить более подробно? Насколько я понимаю, мы пишем ряд Тейлора для функции, и подставляем это разложение в уравнения, описывающие разностную схему. И по остаточному члену определяем порядок аппроксимации. Эта фраза -- "достаточно точно выполнялись на многочленах", наверное, корректна с точки зрения проф. слэнга, и даже можно понять, что она означает. Но, по хорошему, её саму стоило бы определить, прежде чем использовать. Ellol 09:10, 21 марта 2007 (UTC)
replies: text: Привет, Женя. В русском разделе не принято выносить на обсуждение вопросы, которые не стали спорными. Вместо этого существует правило ВП:ПС. vinograd 09:14, 21 марта 2007 (UTC)
thread_title: Аппроксимация

message: Сейчас не могу сообразить - это ведь синонимы? Может, к объединению? infovarius 06:07, 4 июля 2008 (UTC)
thread_title:  Метод конечных разностей 

message: «Аппроксимация
Для того чтобы уравнения были как-то связаны с приближаемым дифференциальным оператором нужно, чтобы уравнения удовлетворяли многочленам. Если уравнения выполняются для всех многочленов степени не выше r с точностью до O\left(h^r\right) (буквой h принято обозначать шаг сетки), то говорят, что разностная схема имеет r-тый порядок аппроксимации.»
Мне кажется, что это не очень хорошее определение.
1). Не понятно какие уравнения должны удовлетворять многочленам. Я так понимаю, имеется ввиду, что разность сеточного и дифференциального оператора должна обращаться в ноль при подстановке в него многочлена степени не выше r.
2). Аппроксимация — это понятие, зависящее от точки. Есть же еще и неравномерные сетки.
3). Общая теория допускает еще и дробный порядок аппроксимации. Непонятно что это означает с точки зрения данного определения.
Возможно, стоит дать более строгое определение (как норма разности сеточного и дифференциального оператора). А пример с многочленами оставить как иллюстрацию этого понятия. 
Евгения Бабина 09:20, 22 января 2009 (UTC)
replies: text: Да, написано не очень внятно. Если сможете - исправьте. infovarius 11:45, 22 января 2009 (UTC)
thread_title:  Аппроксимация 

message: Действительно, разностная схема - это система алгебраических уравнений над неким конечным пространством сеточных данных (конечным как по пространственным переменным, так и по времени). Явной называется схема, система уравнений которой может быть решена явно. Предполагается, что во всех точках сетки на слое времени t[n] известны все значения. Нужно найти значения на слое t[n+1]=t[n]+dt. Тогда, если в каждое из уравнений схемы входит только одна точка сетки со значением с нового слоя по времени, и можно построить соотношение вида u[i,n+1] = F({u[j,k]}), где {..} - это конечный список, i - любые пространственные индексы (а не только соседние), а индексы по времени ограничены соотношением k<=n, то такая схема будет "явной". Например, для явной схемы "угол" для уравнения переноса (u[i,n+1]-u[i,n])/dt + (u[i,n]-u[i-1,n])/dx = 0 есть явное решение u[i,n+1] = u[i,n] - dt * (u[i,n]-u[i-1,n])/dx.
Есть другая схема угол - неявный угол: (u[i,n+1]-u[i,n])/dt + (u[i,n+1]-u[i-1,n+1])/dx = 0. Здесь два значения с нового слоя по времени. Такую схему называют неявной. Для получения решения неявных схем применяют различные методы решения систем уравнений (чаще всего - линейных алгебраических) - от итерационных до прямых.
Привязка к соседним точкам для определения явности - не верна. Например, для получения 15 порядка точности по пространству для явных схем требуется шаблон из 7 точек влево и столько же вправо.
Еще одна неточная формулировка - "Неявные схемы обычно являются устойчивыми". Вовсе нет. Вот тут: http://lim.cmc.msu.ru/index.php?id=86 мы исследовали свойства ВСЕХ компактных конечно-разностных схем, в том числе неявных, и устойчивых среди них не много. Единственно, что можно сказать, это то, что только неявные схемы бывают безусловно устойчивыми. Там же, в первых двух главах хорошая и понятная теория по разностным схемам с примерами.
Кстати, почему бы не упомянуть об этой важной характеристике - условной или безусловной устойчивости.
Андрей Соловьев (обс.) 16:53, 2 октября 2020 (UTC)
thread_title:  Явная и неявная схема