Обсуждение:Экспонента

message: как она появилась, откуда взялась, каков смысл был ввода экспоненты в математику?:) 77.122.253.126 16:49, 6 июня 2008 (UTC)
Ни фига не понятно. Напишите нормальное вступление или определение для чайников.--Pantzer 00:00, 8 декабря 2008 (UTC)
thread_title:  Как она появилась? 

message: Сходимость данного ряда легко доказывается:
\left|e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|=\left|\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|\le\sum_{n=0}^\infty\left|\frac{x^n}{n!}\right|=e^{|x|}.
Кто понимает, почему тут \left|e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|=\left|\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right| ? --Nashev 13:52, 26 апреля 2010 (UTC)
replies: text: Потому что \left|e^{iy}\right|=1 - число на единичной окружности. --infovarius 20:11, 26 апреля 2010 (UTC)

text: * Если можете, пожалуйста чуть подробнее! Откуда и почему тут окружность? --Nashev 22:22, 27 апреля 2010 (UTC)

text: * У меня складывается ощущение, что периодичность экспоненты по мнимой оси — искусственно введённая фича, из которой и получилась вся связь чисел e и \pi, формулы Эйлера, экспоненциальная форма комплексных чисел и т. п. Но прямо это почему-то нигде не написано... Или я таки ошибаюсь? --Nashev 22:44, 1 мая 2010 (UTC)

text: * Хм.. Кажись, доказательство формулы Эйлера выводит эту периодичность через ряды Тейлора:
e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \ldots=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots\right) + i\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\right), 
а тут уже первая скобка косинус, вторая - синус.
replies: text: : Осталось понять, как получается такое равенство, и почему без i из экспоненты тригонометрии не выходит. --Nashev 23:50, 1 мая 2010 (UTC)

text: * Ряды Тейлора (или Маклорена?). Их мне придётся пока брать за аксиоимы:
\mathrm{e}^{x} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}, x\in\mathbb{C}
\cos x = \frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} , x\in\mathbb{C}
\sin x =  \frac{x^1}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} , x\in\mathbb{C}
replies: text: : Расписал слагаемые в несокращённой форме, но это не до конца помогло: не понимаю, откуда в доказательстве формулы Эйлера берутся минусы? Наверно, это как-то связано с i^2 = -1, но как? --Nashev 00:25, 2 мая 2010 (UTC)

text: * Расписал себе поподробнее то доказательство: 
e^{ix} = \frac{(ix)^0}{0!} + \frac{(ix)^1}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \ldots=
\frac{i^0x^0}{0!} + \frac{i^1x^1}{1!} + \frac{i^2x^2}{2!} + \frac{i^3x^3}{3!} + \frac{i^4x^4}{4!} + \frac{i^5x^5}{5!} + \ldots=
\frac{x^0}{0!} + \frac{i\cdot x^1}{1!} + \frac{(-1)\cdot x^2}{2!} + \frac{i\cdot(-1)\cdot x^3}{3!} + \frac{(-1)\cdot(-1)\cdot x^4}{4!} + \frac{i\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot x^5}{5!} + \ldots=
\left(\frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots\right) 
+ i\left(\frac{x^1}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\right),
replies: text: : Источник периодичности обнаружил: она вытекает из чередования знака и мнимости целых степеней i. Забавно, как оно распространяется потом на нецелые степени и из этого получается плавное вращение! В итоге, у меня вопрос: стоит что-нибудь из этих изысканий в статью вносить, или всем кроме меня это самоочевидно? --Nashev 00:38, 2 мая 2010 (UTC)
replies: text: :: Думаю, не стоит. Разобрались со своей личной непоняткой и хорошо. --infovarius 20:26, 2 мая 2010 (UTC)
Интересно, с какого перепугу из периодичности функции следует ее бесконечнолистность? Fxls 14:14, 27 октября 2011 (UTC)
thread_title:  Комплексная экспонента 

message: Материала более чем достаточно: en:Matrix_exponential Mikhael 666 mikhailovich 11:52, 21 декабря 2013 (UTC)
thread_title:  Отдельная статья для матричной экспоненты 

message: В статье утверждается "Экспонента -- единственная функция, производная (а также соответственно и первообразная) которой совпадает с исходной функцией", но как тогда быть с функцией f(z) ≡ 0? — 188.18.129.33 06:12, 10 февраля 2020 (UTC)
replies: text: Справедливое замечание. На самом деле, целое семейство функций — экспонента помноженная на константу. Вы привели вырожденный случай, — когда множитель равен 0. Пока для спасения положения добавил слова «с точностью до постоянного множителя». --Wisgest (обс.) 18:00, 10 февраля 2020 (UTC)
thread_title:  Единственная функция, производная которой совпадает с исходной функцией