Обсуждение:Основания математики

message: Господа, как я говорил раньше, остальную часть статьи тоже нужно чистить и местами переписывать. Здесь работа, как я ее представляю, делится на три части:
# Нужно убрать из исторического обзора утверждения, попавшие туда как результат дилетантской интерпретации материала (с отмечавшимися мной элементами истерии), в частности, под влиянием цитируемых маргинальных источников (которые тоже логично убрать, кроме Клайна, про которого пишут, что он хотя бы историю математики до 19 века более-менее адекватно освещает, но после этой черты цитировать его, получается, нельзя).
# Выделить в отдельный раздел с общим заголовком (но, наверное, с подразделами) материал разделов "Теория множеств как основание математики", "Дальнейшее развитие" и "Современное состояние". Затем почистить его и местами переписать. В частности, материал про теорию множеств, наверное, полезно будет дополнить, а про теорию категорий, наоборот, сильно сократить, как содержащий особенно много нелепостей. Текст про компьютерную проверку доказательств и унивалентные основания нужно проверить, возможно, там будут минимальные правки.
# Раздел про критику, по-видимому, тоже придется переписывать, как имеющий особенно сумбурный вид. Здесь следует привести прямые цитаты из Манина, Новикова и Вейля, со ссылками на их собственные тексты (в частности, Клайна в этой связи цитировать нельзя по причинам упоминавшимся выше).
Если никто не хочет этим заниматься, я могу написать набросок текста для пункта 2, как делал раньше, но мне понадобится время. С другой стороны, чистить исторический обзор можно постепенно, по мере того, как появляется время, и вообще-то кто-нибудь из вас мне мог бы помочь. Eozhik (обс.) 17:57, 16 ноября 2019 (UTC)
=== О "Критике" ===
Я поглядел на этот раздел, и у меня сформировалось мнение. Думаю, что здесь работа будет самой легкой. Вот мои комментарии:
replies: text: 1. Во-первых, у Манина в книге ничего похожего на приписывамое ему нет. На странице 103, на которую идет ссылка, объясняется доказательство теоремы Тарского, никаких сомнений по поводу оснований математики там нет. Слово "обоснование" во всей книге встречается два раза:
replies: text: : а) на с.64, где речь идет о конструктивной математике:Можно надеяться, что предрассудки философского порядка, связывающие эти идеи с устаревшими концепциями «обоснования математики», будут постепенно отходить в тень и общематематическая роль полученных результатов будет осознаваться яснее. и

text: : б) на  с.74 как фрагмент названия одного из цитируемых источников (статьи  Звонкина и Левина "Сложность конечных объектов и обоснование понятий информации и случайности с помощью теории алгоритмов").

text: Слово "закрепление" произносится дважды на с.265, где речь идет об "архаичной функции речи в эпоху позднего глоттогенеза". Словосочетание "в прошлое" отсутствует.

text: 2. В статье в "Вестнике ДВО РАН. 2006. № 4", на которую ссылается к.ф.н. Н.В.Михайлова в цитируемом сборнике, С.П.Новиков говорит не об "обосновании современной математики", как это описывает к.ф.н. Н.В.Михайлова, а о стиле изложения Бурбаки, который он считает излишне формальным. Вот полная цитата со страниц 16-17:Однако я замечу, что тем немногим, кто мог бы преодолеть барьер, бурбакистская литература сильно мешает найти правильный путь, дезинформирует их в сегодняшнем хаосе. Бесполезная всеусложняющая алгебраическая формализация языка математики, экранирующая суть дела и связи между областями, – это слишком широко распространившаяся болезнь, даже если я привел и не самые лучшие примеры, это проявление кризиса, ведущего к определенной бессмысленности функционирования абстрактной математики, превращения ее в организм, потерявший единый разум, где органы дергаются без связи друг с другом. А вот цитата (чуть выше на с.16), из которой видно, что против собственно формализации Новиков ничего не имеет, противопоставляя только "полезной формализации Гильберта" "паразитную" (с его точки зрения) формализацию Бурбаки: Казалось бы, наша область науки – современная математика – и так реально сложна. Выучить ее сложно. Было бы естественно, на первый взгляд, облегчить изучение, делая изложение как можно более прозрачным. Ведь формализация языка науки, осуществленная в бурбакистском стиле, – это не полезная формализация Гильберта, упрощающая понимание. Это – паразитная формализация, усложняющая понимание, мешающая единству математики и ее единству с приложениями. Я полагаю, что ультраформализованная литература возникла, в частности, потому, что можно было предвидеть ее успех у широкого слоя алгебраически ориентированных чистых математиков.

text: 3. М.Клайн, печально известный по нашим предыдущим обсуждениям, приписывает Вейлю некие слова, интерпретируя их как пессимизм в отношении будущего математики, но, во-первых, точную ссылку он не дает (и в списке литературы нет статьи Вейля 1944 года, на которую он как будто ссылается). А, во-вторых, даже если бы Вейль в самом деле это сказал,  из этих слов совсем не следует, что он в каком-то смысле подвергал сомнению основания математики. Потому что в приписываемой ему фразе речь идет о "прогнозировании исторических судеб" того, что автор называет «математизированием»,Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым… «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным. а не об оценке возможности дать "общепринятое обоснование математики"Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое обоснование математики
А теперь мой диагноз: этот раздел следует удалить как очевидный пример недобросовестности автора:    Eozhik (обс.) 21:45, 16 ноября 2019 (UTC)
* Ссылка на Манина идёт на второе издание от 2014 года объёмом 424 страниц, а поисковики, в основном, выдают первое издание от 2008 года. Я нашёл второе издание на либгене, там на странице 103 не теорема Тарского, а какая-то история про международный конгресс математиков, тоже не очень относящаяся к указанному утверждению. А вот на странице 102 даже какой-то текст про основания математики, в частности:Что же до работающих математиков, то, постольку поскольку их это вообще касается, «основания» —это просто название для исторически изменчивого набора правил и принципов организации корпуса математических знаний, как существующих, так и создающихся.Видимо, это утверждение и бралось за основу, но переиначено оно действительно очень вольно, ничего про «обращено в прошлое, а не в будущее» там нет. А ещё дальше идёт такой кусок:С этой точки зрения наиболее влиятельным достижением XX века в области оснований математики является амбициозный проект группы Бурбаки, в котором вся математика, включая логику, строилась вокруг теоретико-множественных «структур», а канторовский язык теории множеств становился общим жаргоном алгебраистов, геометров, вероятностников и вообще всех тех, кто занимается нашим ремеслом. В наши дни этот жаргон, с его лексиконом и соответствующими ему особенностями мышления, постепенно замещается языками теории категорий и теории гомотопий вместе с их высшими расширениями.Как раз про замещение теории множеств теорией категорий. Это, возможно, не имеет прямого отношения к обсуждаемому, просто показалось полезным отметить этот момент. adamant (обс./вклад) 22:11, 16 ноября 2019 (UTC)
replies: text: : Это не имеет отношения. Потому что такоеКак раз про замещение теории множеств теорией категорий. — не подтверждает этот тезис:Некоторые учёные отрицают как возможность, так и необходимость формального обоснования математики.? Eozhik (обс.) 22:22, 16 ноября 2019 (UTC)

text: :* Часть про теорию категорий я добавил, т.к. у вас ещё есть пункт о том, что надо сокращать раздел статьи про теоркат. Я действительно не вижу на той странице ничего, что несло бы посыл об отсутствии возможности и необходимости формального обоснования математики. Я привёл это всё только чтоб указать, что это не подлог источника (как может показаться, если рассматривать только первое издание), а его оригинальная интерпретация. adamant (обс./вклад) 22:44, 16 ноября 2019 (UTC)
replies: text: ::* У меня противоположное мнение. Здесь нет никакого оригинального исследования. Потому что под таковым люди понимают обычно что-то осмысленное, а не ссылку на источник, в качестве доказательства тезиса, которого в этом источнике нет, как его ни интерпретируй. Нет в этом тезисе про Манина никакой речи о замене множеств категориями. Только про "обоснование математики", возможность или необходимость которого он якобы отрицает. Eozhik (обс.) 22:56, 16 ноября 2019 (UTC)

text: : Манин вообще известен как сторонник абстракции и формализации. Только в обстановке тотального  разгильдяйства такие заявления могли оставаться незамеченными. Впрочем, здесь куда ни брось взгляд — везде одна картина. Eozhik (обс.) 22:31, 16 ноября 2019 (UTC)

text: :* В русской википедии, увы, не очень много (я бы даже сказал очень мало) профессиональных математиков, чтобы сразу замечать несоответствие фразы взглядам Манина. adamant (обс./вклад) 22:48, 16 ноября 2019 (UTC)
replies: text: ::* Ну понять, что доказательств нет, они же могли? И то же самое с Новиковым и Вейлем. Но нет! Тут засомневаешься, что у них с русским языком-то все нормально. И проблема в том, что эти ребята, не понимающие ничего в предмете, и неспособные ничего внятного возразить, тем не менее имеют наглость активно противостоять попыткам профессионалов исправлять их промахи. Eozhik (обс.) 23:01, 16 ноября 2019 (UTC)
* Я изучил данный раздел и представленные в нём источники. Я согласен с тем, что цитаты Манина и Новикова в статье представлены в более агрессивно настроенном по отношению к математике свете, нежели в оригинале, как преуменьшающие роль математики в целом, а не отдельных её проблемных мест. Кроме того, оригинальная фраза Манина вообще имеет мало общего с тем, что ей приписывается в статье. Цитата Вейля действительно выражает некоторый скептицизм по отношению к «основаниям математики» (не «обоснованию»), но я согласен с тем, что при цитировании Вейля стоит ссылаться на него напрямую в силу особой неординарности приведённой фразы.Таким образом, я согласен с тем, что раздел в текущем его виде следует удалить как содержащий недостоверные сведения и не справляющийся с возложенной на него задачей объективно отобразить некоторые маргинальные нападки на основания математики. Воссоздание такого раздела в будущем считаю допустимым, однако изложение в нём должно соответствовать ВП:МАРГ и не содержать оригинальных трактовок высказываний профессиональных математиков.P.S. В целом, мне не кажется правильным отождествление понятий «основания» и «обоснование», повсеместно встречающееся в статье, всё же это разные вещи. adamant (обс./вклад) 22:38, 18 ноября 2019 (UTC)

text: * Adamant, если мы оба сходимся в том, что этот кусок нужно удалить, то я думаю, его нужно удалить. Словосочетание "обоснование математики" тоже нужно их текста убрать, как смысла не имеющее. Не понимаю, как я раньше этого не заметил. Обосновывать можно идею, или теорию внутри науки, приводя аргументы в пользу ее полезности или конструкции, проясняющие ее детали, но обосновывать саму науку — занятие несерьезное, и к тому, что тут описывается, отношение не имеющее. Eozhik (обс.) 09:39, 20 ноября 2019 (UTC)

text: ** Согласен. Удивительно, что в некотором кругу считают, что этим заниматься нормально и полезно. Так и представляю, как какие-нибудь «философы химии» будут обсуждать между собой «обоснование химии» и её философский фундамент. Ах да, этим ведь действительно кто-то занимается… adamant (обс./вклад) 09:59, 20 ноября 2019 (UTC)

text: ** В общем, убрал я этот подраздел. adamant (обс./вклад) 18:44, 21 ноября 2019 (UTC)
replies: text: ::* Да, я вижу, мерси. Сейчас у меня нет времени, потом можно будет обсудить, что делать дальше. Eozhik (обс.) 18:49, 21 ноября 2019 (UTC)
=== О "Теории множеств как основании математики" и "Дальнейшем развитии" ===
Я поглядел на эти разделы и у меня появилось понимание, что с ними делать. На мой взгляд, в нынешнем виде они малоинформативны по сравнению с уже написанным в "Главных идеях и результатах", слишком истеричны, а второй их них содержит слишком много абсурдных заявлений (что сейчас помечено красным). Я предлагаю их убрать, вставив вместо них в раздел "Современное состояние" (в начало) следующий текст. В дальнейшем этот раздел можно будет дополнять и шлифовать. 
----------------------------------------------------------------
Анализ проблем наивной теории множеств показал, что язык математики, в частности, используемое в нем в качестве основной конструкции понятие множества, требует точного, формализованного описания во избежание появления недоразумений и парадоксов. Это привело в первой половине 20 века к выработке на основе созданного Гильбертом и его учениками логического исчисления предикатов понятия теории первого порядка, выражающего современное представление математиков об аксиоматических теориях и правилах вывода в них. С тех пор было построено значительное число неэквивалентных теорий первого порядка, претендующих на описание основных понятий математики, причем не только на языке теории множеств, но также на языке теории категорий. Фундаментальными результатами в этой области являются
* теоремы Геделя о неполноте (то есть о невозможности доказать непротиворечивость или полноту) любой (рекурсивно аксиоматизированной) теории, интерпретирующей арифметику Пеано PAP.T.Johnstone. Notes on logic and set theory. Cambridge university press, 1996. Theorems 9.1, 9.2., и
* теорема Геделя о полноте, устанавливающая связь между логической истинностью высказывания и его выводимостью в логике первого порядка
.
Среди современных аксиоматических теорий множеств, помимо уже упоминавшихся ZF, NBG и MK, логиками рассматриваются в качестве альтернатив теория  (TG), «Новые основания» У.Куайна (NF), позитивная теория множеств О.Эссера (\text{GPK}^+_\infty), конструктивные теории множеств, теории множеств для нестандартного анализа, «карманные теории множеств» и другие.Alternative Axiomatic Set Theories. Stanford Encyclopedia of Philosophy 
В 1960-х годах У.Ловером была предложена теория первого порядка, описывающая понятие категории автономно, без традиционной привязки к теории множеств. Неформально под категорий в математике понимается совокупность объектов с системой преобразований (морфизмов) одного объекта в другой. На языке теории множеств понятие объекта интерпретируется как множество с дополнительной структурой, а морфизма – как отношение (обычно отображение), сохраняющее такую структуру. Примерами категорий являются 
* множества с отображениями, 
* группы с гомоморфизмами, 
* топологические пространства с непрерывными отображениями, 
* решетки с монотонными отображениями, 
и т.д. Теория Ловера позволяет интерпретировать аксиоматические теории множеств как частные случаи категорий, поэтому построенный им формальный язык может претендовать на право считаться альтернативным языком математики. В настоящее время эта область математики активно развивается. Eozhik (обс.) 10:39, 23 ноября 2019 (UTC)
----------------------------------------------------------------
, я вижу, Вы снова пропали? Eozhik (обс.) 07:19, 30 ноября 2019 (UTC) Отредактировано — Алексей Копылов 20:45, 1 декабря 2019 (UTC)
* У меня нет определённого мнения на счёт данного предложения. Возразить мне нечем, так что можно попробовать внести данную правку и дальше ориентироваться на то, среагирует ли кто-то. 𝓪𝓭𝓪𝓶𝓪𝓷𝓽 (обс./вклад) 22:39, 30 ноября 2019 (UTC)
* У меня два замечания:

text: # Из текста кажется, что формальная теория = теория первого порядка, что не так. Предлагаю уточнение в скобках "(или теории 1 порядка)" поставить после исчисления предикатов, т.к. исчисления предикатов - это и есть логика первого порядка.

text: # Я не встречал такого описания теоремы Геделя о полноте. У Такеути на 51 странице, я ничего подобного не вижу.

text: — Алексей Копылов 23:02, 30 ноября 2019 (UTC)
replies: text: :* Да, вдобавок ко всему в этой науке терминология, как можно понять,  не устоялась, у каждого свои слова. То, что Такеути называет системами 1 порядка, Мендельсон, Шенфилд, Джонстон называют теориями 1 порядка, Эдельман это называет синтаксической или формализованной теорией, Мальцев, Успенский, Верещагин и Шень под теорией понимают только систему замкнутых формул языка 1 порядка. Где я видел словосочетание "формальная теория", я не помню. Наверное, нужно всюду поставить "теория 1 порядка". Не понял, как Вы предлагаете?

text: :* Да, про теорему о полноте — это моя собственная интерпретация картины. С точки зрения формалиста смысл теоремы о полноте в этом, это более или менее очевидно, и на уровне разговоров логиками признается.  Однако после Гильберта возобладала "платонистская" точка зрения (о чем я говорил уже), и в их изложении смысл резко размывается. Можно поправить формулировку, я не настаиваю. Eozhik (обс.) 07:08, 1 декабря 2019 (UTC)
replies: text: ::* Я взял формулировку из статьи Теорема Гёделя о полноте, и переставил про теорию 1 порядка, как предлагал. — Алексей Копылов 20:45, 1 декабря 2019 (UTC)
replies: text: :::* А теперь объясните, откуда Вы взяли определение каждого термина: формальная теория, теория 1 порядка и исчисление предикатов. Eozhik (обс.) 02:04, 2 декабря 2019 (UTC)

text: :::* , это Вам адресовано. Eozhik (обс.) 17:55, 2 декабря 2019 (UTC)

text: :::** Из викиссылок в обсуждаемом тексте. Конечно разные авторы могут использовать одни и те же термины в разных значениях, но в Википедии должно быть однообразие. Если в одной статье используется некий термин, особенно с викиссылкой, то он должен быть использоваться в том значении, которое даётся как основное в соответствующей викистатье. Если Вы считаете, что в статьях дано ошибочное определение, то это нужно обсуждать на СО этих статей. — Алексей Копылов 02:44, 5 декабря 2019 (UTC)
replies: text: :::::* То есть Вы сами тут создаете параллельную реальность и сами на себя ссылаетесь. Поздравляю Вас, , Вы неправильно понимаете смысл исчисления предикатов и теории первого порядка. Это не одно и то же. Исчисление предикатов одно, а теорий 1 порядка много. Посмотрите, например, что об этом пишет Шенфилд на с.42-43. Или Мендельсон на с.64-67. Eozhik (обс.) 03:56, 5 декабря 2019 (UTC)
replies: text: :::::** Ни одну из этих статей я не создавал. Так что зря Вы на меня бочку катите.  Разделение Исчисление предикатов и Логика первого порядка я бы поддержал.  Я просто написал, где это нужно обсуждать. Но какое это отношение имеет к моей правке ? Исчисление предикатов же является теорией первого порядка по-любому. — Алексей Копылов 04:13, 5 декабря 2019 (UTC)
replies: text: :::::::* Скромнее нужно быть, . Вы сначала ссылку дайте на определение, а потом будете рассуждать, по-любому оно там, или нет. Eozhik (обс.) 04:23, 5 декабря 2019 (UTC)

text: :::::* Во избежание путаницы я уберу из текста словосочетание "формальная теория", заменив его на "теорию 1 порядка" (как и предлагал раньше). Eozhik (обс.) 04:12, 5 декабря 2019 (UTC)

text: :::::** В одном месте я вернул "формальная теория", потому что не только теории первого порядка претендуют на описание основ математики. — Алексей Копылов 02:08, 6 декабря 2019 (UTC)
replies: text: :::::::* И какие же примеры? Eozhik (обс.) 03:44, 6 декабря 2019 (UTC)

text: :::::* И не пора ли это вывешивать? Eozhik (обс.) 05:27, 5 декабря 2019 (UTC)

text: :::::** Думаю, пора. — Алексей Копылов 02:08, 6 декабря 2019 (UTC)
replies: text: :::::::* Я вывешиваю. Это все равно нужно будет править, поэтому нет смысла шлифовать черновик дальше. Eozhik (обс.) 05:19, 6 декабря 2019 (UTC)
=== Об историческом обзоре ===
==== 1 ====
С вашего позволения, я заменю там прямо сейчас словосочетание "обоснование математики" на "основания математики" в местах, где это особенно режет глаз. (Мы это уже обсуждали.) Eozhik (обс.) 10:58, 23 ноября 2019 (UTC)
В будущем, я думаю, будет полезно еще включить в исторический обзор (после раздела о Гильберте) раздел про современный платонизм в математике. Формально можно считать, что он сейчас стал доминирующей философией этой науки. (По моему личному мнению, это историческая аберрация, но сказать об этом полезно.) Eozhik (обс.) 11:12, 23 ноября 2019 (UTC)
Господа, после внесенных правок, главное, что я думаю, остается сделать — это убрать из исторического раздела одиозные заявления. Например, это:Тем не менее, былого единства математики больше нет Мне кажется, это удобнее всего сделать, просто дав мне возможность поправить сомнительные места. Как вы отнесетесь к этому предложению? Eozhik (обс.) 05:36, 6 декабря 2019 (UTC)
* Действительно, идёт ссылка на британнику, но найти что-то подобное в её статье у меня не выходит. У меня не будет возражений если вы уберёте такие необычные высказывания, если вы перед этим удостоверитесь, что они, или сильно близкие по смыслу выражения, действительно отсутствуют в приведённых далее источниках. Думаю, если в каком-то конкретном месте будет проблема, кто-нибудь укажет на это здесь. adamant.pwn — contrib/talk 21:41, 9 декабря 2019 (UTC)

text: :* , я не уверен, что у меня будет сейчас время этим заниматься. Вам нетрудно будет отпатрулировать пока что накопилось? Eozhik (обс.) 11:30, 14 декабря 2019 (UTC)
replies: text: ::* Посмотрю вечером. adamant.pwn — contrib/talk 11:38, 14 декабря 2019 (UTC)
Господа, я стал править исторический обзор. Некоторые места уже давно обсуждались, я эти правки могу прокомментировать если возникнут вопросы. А некоторые я упомяну сейчас для очистки совести. В частности, вот этот фрагмент я уберу как пример кликушества: Логицизм подвергся резкой критике за искусственный, интуитивно сомнительный характер своей аксиоматики. С возражениями выступили Герман Вейль, Анри Пуанкаре, Давид Гильберт и другие крупные математики. По мнению критиков, аксиома сводимости, аксиома бесконечности и аксиома выбора вообще не относятся к логике, причём аксиома сводимости не является очевидной и придумана исключительно для технического удобства. Рассел в 1919 году признал наличие аксиомы сводимости дефектом своей системы, но так и не смог от неё избавиться.
Гильберт в своём докладе «Основания логики и арифметики» на Третьем Международном конгрессе математиков (Гейдельберг, 1904) заметил, что логика в ходе своего развития впитала в себя неявное, но неустранимое понятие целого числа, поэтому обоснование числа с помощью логики есть порочный кругАнглийский перевод:  Немецкий оригинал: Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik:
При внимательном рассмотрении мы осознаём, что в обычном изложении законов логики уже используются некоторые фундаментальные понятия арифметики, например понятие совокупности, отчасти также понятие числа. Таким образом, мы попадаем в порочный круг, и поэтому, чтобы избежать парадоксов, требуется параллельное развитие законов логики и арифметики.
В 1920-е годы Фреге предложил для преодоления трудностей новый проект оснований математики, в котором, кроме логики, присутствуют аксиомы геометрии. Он заявил: «Арифметика и геометрия выросли на одной и той же почве, а именно — геометрической, так что вся математика есть, собственно говоря, геометрия». Существенного развития эта идея не получила.
Основываются эти рулады на сочинении М.Клайна, которое, как мы поняли, для истории математики начиная с 19 века авторитетным источником быть не может. Критика логицизма была, но, очевидно, не такая истеричная. В чем она состояла можно потом добавить, когда найдутся вызывающие доверие источники.
Eozhik (обс.) 20:00, 17 декабря 2019 (UTC)
Этот фрагмент я не удаляю, но хочу спросить автора, что здесь имеется в виду: Критики выражают сомнение, что принцип Юма относится к логике.? Eozhik (обс.) 20:06, 17 декабря 2019 (UTC)

text: Это не прокомменировано, поэтому я это все-таки убираю. Eozhik (обс.) 11:52, 1 января 2020 (UTC)  
Насчет интуиционизма:
1. Сходные идеи высказывал Иммануил Кант. Кант, как будто высказывал противоположные идеи. Откуда это заявление? Eozhik (обс.) 20:13, 17 декабря 2019 (UTC)
2. В этих словах Вейля (которые еще надо проверять) Герман Вейль даже провозгласил обратную связь: «Наш мир — это не хаос, но космос, гармонически упорядоченный нерушимыми законами математики». — не видно связи с предшествующими им идеями Брауэра. Eozhik (обс.) 20:13, 17 декабря 2019 (UTC)
Я эти два заявления уберу до времени, пока не появится внятное им объяснение. Остальное на первый взгляд выглядит сносно. Eozhik (обс.) 20:17, 17 декабря 2019 (UTC)
Этот абзац я тоже уберу по причине его невнятности и неавторитетности источника: Влиятельный философ Кант попытался дать своё обоснование. По мнению Канта, математика открывает законы не внешнего мира, а человеческого разума, который упорядочивает природу по собственным, встроенным от рождения правилам. Аксиомы математики тогда не более чем способ организации чувственного опыта, присущий человеку. В частности, по этой причине евклидова геометрия является единственно мыслимой геометрией. Eozhik (обс.) 20:38, 17 декабря 2019 (UTC)
Это заявление я тоже уберу как спорное и ссылающееся на неавторитетный источник: Тем самым в математику была введена актуальная бесконечность — понятие, которого прежние математики старательно избегали. Eozhik (обс.) 21:22, 17 декабря 2019 (UTC)
Вот еще одна иллюстрация: Крупнейшие математики XVII — XIX веков — Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж и другие — пытались дать строгое определение понятию «бесконечно малое», но ни одно из этих определений не было признано как убедительное. Ни у Плиско с Хаханяном, ни у Панова, я ничего такого не вижу. Я убираю этот кусок до тех пор, пока кто-нибудь из присутствующих не объяснит, откуда это утверждение взялось. Eozhik (обс.) 11:04, 1 января 2020 (UTC)
И этого у Декарта нет: Ещё Декарт писал, что дедукция требуется только для вывода несамоочевидных истин, а первичные принципы (аксиомы) всегда имеют интуитивный характер. И я это убираю. Eozhik (обс.) 01:22, 3 января 2020 (UTC)
И про кривую Пеано в этом разделе не к месту сказано. Eozhik (обс.) 01:29, 3 января 2020 (UTC)
Хотелось бы еще увидеть оригинал этого заявления: 
Как отметили Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен, «неевклидова ересь» заставила заняться математическим самоанализом, то есть анализом того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом. Всё это наводило на мысль, что выбор базовых структур математики менее однозначен и более субъективен, чем представлялось ранее. У Клайна на страницах 107-109 этого нет. Где оно у Каснера и Ньюмана? Eozhik (обс.) 13:03, 4 января 2020 (UTC)
В библиотеке моего университета книги Каснера и Ньюмана нет. В сети я нашел этот текст. В нем словосочетание "неевклилова ересь" имеется только в одном месте (и во множественном числе), на с.359. Вот цитата:In spite of this pre-eminence, the first significant appraisal of mathematics was occasioned only recently by the advent of non-Euclidean and four-dimensional geometry. That is not to say that the advances made by the calculus, the theory of probability, the arithmetic of the infinite, topology, and the other subjects we have discussed, arc to be minimized. Each one has widened mathematics and deepened its meaning as well as our comprehension of the physical universe. Yet none has contributed to mathematical introspection, to the knowledge of the relation of the parts of mathematics to one another and to the whole as much as the non-Euclidean heresies. 
As a result of the valiantly critical spirit which engendered the heresies, we have overcome the notion that mathematical truths have an existence independent and apart from our own minds. It is even strange to us that such a notion could ever have existed. Yet this is what Pythagoras would have thought — and Descartes, along with hundreds of other great mathematicians before the nineteenth century. Today mathematics is unbound; it has cast off its chains. Whatever its essence, we recognize it to be as free as the mind, as prehensile as the imagination. Non-Euclidean geometry is proof that mathematics, unlike the music of the spheres, is man's own handiwork, subject only to the limitations imposed by the laws of thought. Я думаю, не нужно переводить, чтобы стало понятно, что смысл сказанного перпендикулярен написанному тут.  По этой причине я этот кусок удаляю. Предшествующий ему текст я поправлю в рамках борьбы с истерией.  Eozhik (обс.) 20:11, 4 января 2020 (UTC)
* none has contributed to mathematical introspection, to the knowledge of the relation of the parts of mathematics to one another and to the whole as much as the non-Euclidean heresies  «неевклидова ересь» заставила заняться математическим самоанализом, то есть анализом того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом  Ничего себе «смысл перпендикулярен». — Браунинг (обс.) 21:04, 4 января 2020 (UTC)
replies: text: :  Вы про "однозначность и субъективность" забыли написать. Вот переводчик, если непонятно. Eozhik (обс.) 21:13, 4 января 2020 (UTC)

text: :* Так удалили-то Вы и это тоже. Гуглоперевод не требуется, спасибо. — Браунинг (обс.) 21:18, 4 января 2020 (UTC)
replies: text: ::: Потому и удалил, что связи нет. Eozhik (обс.) 21:29, 4 января 2020 (UTC)

text: : И, , Вы не хотите это отпатрулировть? Адаманту, я вижу, сейчас не до этого, а работа стоит. После праздников у меня сильные сомнения, что я смогу этим заниматься. Eozhik (обс.) 21:17, 4 января 2020 (UTC)

text: :* Боюсь, что нет. — Браунинг (обс.) 21:18, 4 января 2020 (UTC)
replies: text: ::: Бог, Браунинг, все видит. Eozhik (обс.) 21:29, 4 января 2020 (UTC)
, сейчас уже накопилось много исправлений, Вы не могли бы это отпатрулировть? У меня есть надежда, что на этом главная работа по чистке закончится. Еще остается  проверка ссылок, но это можно делать постепенно. Eozhik (обс.) 11:18, 1 января 2020 (UTC)
==== 2 ====
, спасибо. После этих важных правок текст выглядит шероховатым, нужно поправить стиль. Я, наверное, какое-то время еще буду этим заниматься (когда будет время). Потом можно будет это отпатрулировать, но это, конечно, не к спеху. Eozhik (обс.) 20:04, 8 января 2020 (UTC)

text: * Я бы предложил в каком-то виде оставить ранее исключенный текст про «неевклидову ересь», немного сгладив углы, поскольку иначе становится неясно, откуда вообще взялось стремление Кантора и остальных к созданию единых оснований (по сути, к установлению единства) математики. Например, так:
К началу XIX века относительно строгое логическое обоснование имела только евклидова геометрия, хотя строгость её уже тогда считалась недостаточной. В XIX веке вера в единство и непротиворечивость математики пошатнулась; причинами этого стало, в частности, появление неевклидовой геометрии. Как отметили Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен, «неевклидова ересь» заставила заняться математическим самоанализом, то есть анализом того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом.
-- АлександрЛаптев (обс.) 07:29, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: :: Да, так годится, только у Клайна на страницах 107-109 этого нет, я бы убрал эту ссылку. Еще я бы точку с запятой убрал, она как-то режет глаз. В XIX веке вера в единство и непротиворечивость математики пошатнулась, в частности, из-за появления неевклидовой геометрии. Так не лучше?  Eozhik (обс.) 07:44, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: ::: Да, так лучше. И Клайн тут не нужен. А почему про метаматематику предлагаете убрать? Там теперь абзац совсем без ссылок остался. -- АлександрЛаптев (обс.) 07:51, 9 января 2020 (UTC)

text: :: Наверное про непротиворечивость тоже нужно убрать, потому что с неевклидовыми геометриями это не связано, и кроме того противоречия появились только на границе 19-20 веков, писать, что прямо в 19 веке это стало восприниматься как проблема — натяжка. Я бы написал так: В XIX веке вера в единство математики пошатнулась, в частности, из-за появления неевклидовой геометрии. Eozhik (обс.) 07:54, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: ::: Не возражаю. А что насчёт Панова? -- АлександрЛаптев (обс.) 08:01, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: :::: А что с Пановым? Я бы вообще этот источник убрал, заменив его на что-то более серьезное. Eozhik (обс.) 08:05, 9 января 2020 (UTC)

text: :: Про метаматематику я убрал потому что в Википедии статья о ней выглядит странно. Я привык думать, что под метаматематикой понимается просто теория доказательств, а тут как-то это очень смело обобщается и без цитат. Это место требует проверки. Eozhik (обс.) 08:05, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: :::* Понятно, спасибо. -- АлександрЛаптев (обс.) 08:16, 9 января 2020 (UTC)
, да это правильно было опустить абзац про наведение порядка вниз. Все же ощущение, что слово "единство" требует объяснения. Наверное надо как-то дать понять читателю, что здесь имеется в виду, что вера в существование общей системы аксиом для всей математики пошатнулась. Без этого не очень понятно, о чем речь. Eozhik (обс.) 09:12, 9 января 2020 (UTC)
Наверное, можно вот как: К началу XIX века относительно строгое логическое обоснование имела только евклидова геометрия, хотя строгость её уже тогда считалась недостаточной. С появлением неевклидовой геометрии, однако, пошатнулась и вера в общую для всей математики систему исходных понятий и посылок. Как отметили Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен, «неевклидова ересь» заставила заняться математическим самоанализом, то есть анализом того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом. Eozhik (обс.) 09:36, 9 января 2020 (UTC)

text: * Согласен. -- АлександрЛаптев (обс.) 10:10, 9 января 2020 (UTC)
Да, судя по тому тексту в сети, в этой книге Каснера и Ньюмана это на странице 359. Eozhik (обс.) 09:38, 9 января 2020 (UTC)

text: * У Пападимитриу есть прямая фраза: «Non-Euclidean geometries had revealed the dangers of doing mathematics without a thorough understanding of its axiomatic basis»Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth. P. 138. Мне кажется, можно на него сослаться. -- АлександрЛаптев (обс.) 10:10, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: :: Да, это очень кстати. Eozhik (обс.) 10:23, 9 января 2020 (UTC)
, мне кажется, ссылку на Пападимитриу лучше сдвинуть на конец следующего предложения, поставить рядом со ссылкой на Каснера и Ньюмана, потому что у нее акцент немного другой, в ней не сомнение в том, что общие основания существуют, а мнение, что эти основания нужно разрабатывать. Eozhik (обс.) 11:40, 9 января 2020 (UTC)
*  -- АлександрЛаптев (обс.) 11:45, 9 января 2020 (UTC)
Между прочим, эту фразу можно теперь вообще убрать: В XIX веке необходимость наведения порядка в основаниях математики стала осознаваться многими математиками, и  работы в этом направлении начались с анализа. В ней теперь информации уже никакой особой нет. Eozhik (обс.) 09:50, 9 января 2020 (UTC)

text: * Согласен. -- АлександрЛаптев (обс.) 10:10, 9 января 2020 (UTC)
Да, вот сейчас все хорошо, спасибо. В перспективе еще несколько статей, я думаю, нужно будет переделать/проверить/создать:
# теория первого порядка (как я уже говорил, это не то же самое, что логика первого порядка),
# аксиоматическая система (как я говорил, аксиоматические системы появились гораздо раньше, чем теории первого порядка или формальные теории).
# статью про метаматематику нужно проверить. 
Я не уверен, что у меня будет на это время. Eozhik (обс.) 11:52, 9 января 2020 (UTC)
Еще, господа, я должен сказать, что я не все проверил в этом тексте. Фактически, я внимательно глядел только то, что мне казалось неправдоподобным. Эти места сейчас как будто вычищены. Но очень возможно, что какие-то ляпы еще остались, и если кто-то что-то такое увидит, я надеюсь, он это поправит. Например, желательно бы проверить, что Борель и Бернштейн были противниками аксиомы выбора (что какие-то противники были — известно, но кто именно — требует уточнения). Заявление, что Гамильтон "легализовал отрицательные числа" тоже звучит странновато, учитывая даты его жизни. Ну, и наверное там еще какие-то блохи могут быть. Последние абзацы я не проверял. Слух они не режут, но не исключено, что и там что-то нужно почистить. Eozhik (обс.) 22:31, 9 января 2020 (UTC)
==== Примечания ====
thread_title:  Об остальных разделах 

message: Я поглядел на этот раздел, и у меня сформировалось мнение. Думаю, что здесь работа будет самой легкой. Вот мои комментарии:
replies: text: 1. Во-первых, у Манина в книге ничего похожего на приписывамое ему нет. На странице 103, на которую идет ссылка, объясняется доказательство теоремы Тарского, никаких сомнений по поводу оснований математики там нет. Слово "обоснование" во всей книге встречается два раза:
replies: text: : а) на с.64, где речь идет о конструктивной математике:Можно надеяться, что предрассудки философского порядка, связывающие эти идеи с устаревшими концепциями «обоснования математики», будут постепенно отходить в тень и общематематическая роль полученных результатов будет осознаваться яснее. и

text: : б) на  с.74 как фрагмент названия одного из цитируемых источников (статьи  Звонкина и Левина "Сложность конечных объектов и обоснование понятий информации и случайности с помощью теории алгоритмов").

text: Слово "закрепление" произносится дважды на с.265, где речь идет об "архаичной функции речи в эпоху позднего глоттогенеза". Словосочетание "в прошлое" отсутствует.

text: 2. В статье в "Вестнике ДВО РАН. 2006. № 4", на которую ссылается к.ф.н. Н.В.Михайлова в цитируемом сборнике, С.П.Новиков говорит не об "обосновании современной математики", как это описывает к.ф.н. Н.В.Михайлова, а о стиле изложения Бурбаки, который он считает излишне формальным. Вот полная цитата со страниц 16-17:Однако я замечу, что тем немногим, кто мог бы преодолеть барьер, бурбакистская литература сильно мешает найти правильный путь, дезинформирует их в сегодняшнем хаосе. Бесполезная всеусложняющая алгебраическая формализация языка математики, экранирующая суть дела и связи между областями, – это слишком широко распространившаяся болезнь, даже если я привел и не самые лучшие примеры, это проявление кризиса, ведущего к определенной бессмысленности функционирования абстрактной математики, превращения ее в организм, потерявший единый разум, где органы дергаются без связи друг с другом. А вот цитата (чуть выше на с.16), из которой видно, что против собственно формализации Новиков ничего не имеет, противопоставляя только "полезной формализации Гильберта" "паразитную" (с его точки зрения) формализацию Бурбаки: Казалось бы, наша область науки – современная математика – и так реально сложна. Выучить ее сложно. Было бы естественно, на первый взгляд, облегчить изучение, делая изложение как можно более прозрачным. Ведь формализация языка науки, осуществленная в бурбакистском стиле, – это не полезная формализация Гильберта, упрощающая понимание. Это – паразитная формализация, усложняющая понимание, мешающая единству математики и ее единству с приложениями. Я полагаю, что ультраформализованная литература возникла, в частности, потому, что можно было предвидеть ее успех у широкого слоя алгебраически ориентированных чистых математиков.

text: 3. М.Клайн, печально известный по нашим предыдущим обсуждениям, приписывает Вейлю некие слова, интерпретируя их как пессимизм в отношении будущего математики, но, во-первых, точную ссылку он не дает (и в списке литературы нет статьи Вейля 1944 года, на которую он как будто ссылается). А, во-вторых, даже если бы Вейль в самом деле это сказал,  из этих слов совсем не следует, что он в каком-то смысле подвергал сомнению основания математики. Потому что в приписываемой ему фразе речь идет о "прогнозировании исторических судеб" того, что автор называет «математизированием»,Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым… «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным. а не об оценке возможности дать "общепринятое обоснование математики"Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое обоснование математики
А теперь мой диагноз: этот раздел следует удалить как очевидный пример недобросовестности автора:    Eozhik (обс.) 21:45, 16 ноября 2019 (UTC)
* Ссылка на Манина идёт на второе издание от 2014 года объёмом 424 страниц, а поисковики, в основном, выдают первое издание от 2008 года. Я нашёл второе издание на либгене, там на странице 103 не теорема Тарского, а какая-то история про международный конгресс математиков, тоже не очень относящаяся к указанному утверждению. А вот на странице 102 даже какой-то текст про основания математики, в частности:Что же до работающих математиков, то, постольку поскольку их это вообще касается, «основания» —это просто название для исторически изменчивого набора правил и принципов организации корпуса математических знаний, как существующих, так и создающихся.Видимо, это утверждение и бралось за основу, но переиначено оно действительно очень вольно, ничего про «обращено в прошлое, а не в будущее» там нет. А ещё дальше идёт такой кусок:С этой точки зрения наиболее влиятельным достижением XX века в области оснований математики является амбициозный проект группы Бурбаки, в котором вся математика, включая логику, строилась вокруг теоретико-множественных «структур», а канторовский язык теории множеств становился общим жаргоном алгебраистов, геометров, вероятностников и вообще всех тех, кто занимается нашим ремеслом. В наши дни этот жаргон, с его лексиконом и соответствующими ему особенностями мышления, постепенно замещается языками теории категорий и теории гомотопий вместе с их высшими расширениями.Как раз про замещение теории множеств теорией категорий. Это, возможно, не имеет прямого отношения к обсуждаемому, просто показалось полезным отметить этот момент. adamant (обс./вклад) 22:11, 16 ноября 2019 (UTC)
replies: text: : Это не имеет отношения. Потому что такоеКак раз про замещение теории множеств теорией категорий. — не подтверждает этот тезис:Некоторые учёные отрицают как возможность, так и необходимость формального обоснования математики.? Eozhik (обс.) 22:22, 16 ноября 2019 (UTC)

text: :* Часть про теорию категорий я добавил, т.к. у вас ещё есть пункт о том, что надо сокращать раздел статьи про теоркат. Я действительно не вижу на той странице ничего, что несло бы посыл об отсутствии возможности и необходимости формального обоснования математики. Я привёл это всё только чтоб указать, что это не подлог источника (как может показаться, если рассматривать только первое издание), а его оригинальная интерпретация. adamant (обс./вклад) 22:44, 16 ноября 2019 (UTC)
replies: text: ::* У меня противоположное мнение. Здесь нет никакого оригинального исследования. Потому что под таковым люди понимают обычно что-то осмысленное, а не ссылку на источник, в качестве доказательства тезиса, которого в этом источнике нет, как его ни интерпретируй. Нет в этом тезисе про Манина никакой речи о замене множеств категориями. Только про "обоснование математики", возможность или необходимость которого он якобы отрицает. Eozhik (обс.) 22:56, 16 ноября 2019 (UTC)

text: : Манин вообще известен как сторонник абстракции и формализации. Только в обстановке тотального  разгильдяйства такие заявления могли оставаться незамеченными. Впрочем, здесь куда ни брось взгляд — везде одна картина. Eozhik (обс.) 22:31, 16 ноября 2019 (UTC)

text: :* В русской википедии, увы, не очень много (я бы даже сказал очень мало) профессиональных математиков, чтобы сразу замечать несоответствие фразы взглядам Манина. adamant (обс./вклад) 22:48, 16 ноября 2019 (UTC)
replies: text: ::* Ну понять, что доказательств нет, они же могли? И то же самое с Новиковым и Вейлем. Но нет! Тут засомневаешься, что у них с русским языком-то все нормально. И проблема в том, что эти ребята, не понимающие ничего в предмете, и неспособные ничего внятного возразить, тем не менее имеют наглость активно противостоять попыткам профессионалов исправлять их промахи. Eozhik (обс.) 23:01, 16 ноября 2019 (UTC)
* Я изучил данный раздел и представленные в нём источники. Я согласен с тем, что цитаты Манина и Новикова в статье представлены в более агрессивно настроенном по отношению к математике свете, нежели в оригинале, как преуменьшающие роль математики в целом, а не отдельных её проблемных мест. Кроме того, оригинальная фраза Манина вообще имеет мало общего с тем, что ей приписывается в статье. Цитата Вейля действительно выражает некоторый скептицизм по отношению к «основаниям математики» (не «обоснованию»), но я согласен с тем, что при цитировании Вейля стоит ссылаться на него напрямую в силу особой неординарности приведённой фразы.Таким образом, я согласен с тем, что раздел в текущем его виде следует удалить как содержащий недостоверные сведения и не справляющийся с возложенной на него задачей объективно отобразить некоторые маргинальные нападки на основания математики. Воссоздание такого раздела в будущем считаю допустимым, однако изложение в нём должно соответствовать ВП:МАРГ и не содержать оригинальных трактовок высказываний профессиональных математиков.P.S. В целом, мне не кажется правильным отождествление понятий «основания» и «обоснование», повсеместно встречающееся в статье, всё же это разные вещи. adamant (обс./вклад) 22:38, 18 ноября 2019 (UTC)

text: * Adamant, если мы оба сходимся в том, что этот кусок нужно удалить, то я думаю, его нужно удалить. Словосочетание "обоснование математики" тоже нужно их текста убрать, как смысла не имеющее. Не понимаю, как я раньше этого не заметил. Обосновывать можно идею, или теорию внутри науки, приводя аргументы в пользу ее полезности или конструкции, проясняющие ее детали, но обосновывать саму науку — занятие несерьезное, и к тому, что тут описывается, отношение не имеющее. Eozhik (обс.) 09:39, 20 ноября 2019 (UTC)

text: ** Согласен. Удивительно, что в некотором кругу считают, что этим заниматься нормально и полезно. Так и представляю, как какие-нибудь «философы химии» будут обсуждать между собой «обоснование химии» и её философский фундамент. Ах да, этим ведь действительно кто-то занимается… adamant (обс./вклад) 09:59, 20 ноября 2019 (UTC)

text: ** В общем, убрал я этот подраздел. adamant (обс./вклад) 18:44, 21 ноября 2019 (UTC)
replies: text: ::* Да, я вижу, мерси. Сейчас у меня нет времени, потом можно будет обсудить, что делать дальше. Eozhik (обс.) 18:49, 21 ноября 2019 (UTC)
thread_title:  О "Критике" 

message: Я поглядел на эти разделы и у меня появилось понимание, что с ними делать. На мой взгляд, в нынешнем виде они малоинформативны по сравнению с уже написанным в "Главных идеях и результатах", слишком истеричны, а второй их них содержит слишком много абсурдных заявлений (что сейчас помечено красным). Я предлагаю их убрать, вставив вместо них в раздел "Современное состояние" (в начало) следующий текст. В дальнейшем этот раздел можно будет дополнять и шлифовать. 
----------------------------------------------------------------
Анализ проблем наивной теории множеств показал, что язык математики, в частности, используемое в нем в качестве основной конструкции понятие множества, требует точного, формализованного описания во избежание появления недоразумений и парадоксов. Это привело в первой половине 20 века к выработке на основе созданного Гильбертом и его учениками логического исчисления предикатов понятия теории первого порядка, выражающего современное представление математиков об аксиоматических теориях и правилах вывода в них. С тех пор было построено значительное число неэквивалентных теорий первого порядка, претендующих на описание основных понятий математики, причем не только на языке теории множеств, но также на языке теории категорий. Фундаментальными результатами в этой области являются
* теоремы Геделя о неполноте (то есть о невозможности доказать непротиворечивость или полноту) любой (рекурсивно аксиоматизированной) теории, интерпретирующей арифметику Пеано PAP.T.Johnstone. Notes on logic and set theory. Cambridge university press, 1996. Theorems 9.1, 9.2., и
* теорема Геделя о полноте, устанавливающая связь между логической истинностью высказывания и его выводимостью в логике первого порядка
.
Среди современных аксиоматических теорий множеств, помимо уже упоминавшихся ZF, NBG и MK, логиками рассматриваются в качестве альтернатив теория  (TG), «Новые основания» У.Куайна (NF), позитивная теория множеств О.Эссера (\text{GPK}^+_\infty), конструктивные теории множеств, теории множеств для нестандартного анализа, «карманные теории множеств» и другие.Alternative Axiomatic Set Theories. Stanford Encyclopedia of Philosophy 
В 1960-х годах У.Ловером была предложена теория первого порядка, описывающая понятие категории автономно, без традиционной привязки к теории множеств. Неформально под категорий в математике понимается совокупность объектов с системой преобразований (морфизмов) одного объекта в другой. На языке теории множеств понятие объекта интерпретируется как множество с дополнительной структурой, а морфизма – как отношение (обычно отображение), сохраняющее такую структуру. Примерами категорий являются 
* множества с отображениями, 
* группы с гомоморфизмами, 
* топологические пространства с непрерывными отображениями, 
* решетки с монотонными отображениями, 
и т.д. Теория Ловера позволяет интерпретировать аксиоматические теории множеств как частные случаи категорий, поэтому построенный им формальный язык может претендовать на право считаться альтернативным языком математики. В настоящее время эта область математики активно развивается. Eozhik (обс.) 10:39, 23 ноября 2019 (UTC)
----------------------------------------------------------------
, я вижу, Вы снова пропали? Eozhik (обс.) 07:19, 30 ноября 2019 (UTC) Отредактировано — Алексей Копылов 20:45, 1 декабря 2019 (UTC)
* У меня нет определённого мнения на счёт данного предложения. Возразить мне нечем, так что можно попробовать внести данную правку и дальше ориентироваться на то, среагирует ли кто-то. 𝓪𝓭𝓪𝓶𝓪𝓷𝓽 (обс./вклад) 22:39, 30 ноября 2019 (UTC)
* У меня два замечания:
replies: text: # Из текста кажется, что формальная теория = теория первого порядка, что не так. Предлагаю уточнение в скобках "(или теории 1 порядка)" поставить после исчисления предикатов, т.к. исчисления предикатов - это и есть логика первого порядка.

text: # Я не встречал такого описания теоремы Геделя о полноте. У Такеути на 51 странице, я ничего подобного не вижу.

text: — Алексей Копылов 23:02, 30 ноября 2019 (UTC)
replies: text: :* Да, вдобавок ко всему в этой науке терминология, как можно понять,  не устоялась, у каждого свои слова. То, что Такеути называет системами 1 порядка, Мендельсон, Шенфилд, Джонстон называют теориями 1 порядка, Эдельман это называет синтаксической или формализованной теорией, Мальцев, Успенский, Верещагин и Шень под теорией понимают только систему замкнутых формул языка 1 порядка. Где я видел словосочетание "формальная теория", я не помню. Наверное, нужно всюду поставить "теория 1 порядка". Не понял, как Вы предлагаете?

text: :* Да, про теорему о полноте — это моя собственная интерпретация картины. С точки зрения формалиста смысл теоремы о полноте в этом, это более или менее очевидно, и на уровне разговоров логиками признается.  Однако после Гильберта возобладала "платонистская" точка зрения (о чем я говорил уже), и в их изложении смысл резко размывается. Можно поправить формулировку, я не настаиваю. Eozhik (обс.) 07:08, 1 декабря 2019 (UTC)
replies: text: ::* Я взял формулировку из статьи Теорема Гёделя о полноте, и переставил про теорию 1 порядка, как предлагал. — Алексей Копылов 20:45, 1 декабря 2019 (UTC)
replies: text: :::* А теперь объясните, откуда Вы взяли определение каждого термина: формальная теория, теория 1 порядка и исчисление предикатов. Eozhik (обс.) 02:04, 2 декабря 2019 (UTC)

text: :::* , это Вам адресовано. Eozhik (обс.) 17:55, 2 декабря 2019 (UTC)

text: :::** Из викиссылок в обсуждаемом тексте. Конечно разные авторы могут использовать одни и те же термины в разных значениях, но в Википедии должно быть однообразие. Если в одной статье используется некий термин, особенно с викиссылкой, то он должен быть использоваться в том значении, которое даётся как основное в соответствующей викистатье. Если Вы считаете, что в статьях дано ошибочное определение, то это нужно обсуждать на СО этих статей. — Алексей Копылов 02:44, 5 декабря 2019 (UTC)
replies: text: :::::* То есть Вы сами тут создаете параллельную реальность и сами на себя ссылаетесь. Поздравляю Вас, , Вы неправильно понимаете смысл исчисления предикатов и теории первого порядка. Это не одно и то же. Исчисление предикатов одно, а теорий 1 порядка много. Посмотрите, например, что об этом пишет Шенфилд на с.42-43. Или Мендельсон на с.64-67. Eozhik (обс.) 03:56, 5 декабря 2019 (UTC)
replies: text: :::::** Ни одну из этих статей я не создавал. Так что зря Вы на меня бочку катите.  Разделение Исчисление предикатов и Логика первого порядка я бы поддержал.  Я просто написал, где это нужно обсуждать. Но какое это отношение имеет к моей правке ? Исчисление предикатов же является теорией первого порядка по-любому. — Алексей Копылов 04:13, 5 декабря 2019 (UTC)
replies: text: :::::::* Скромнее нужно быть, . Вы сначала ссылку дайте на определение, а потом будете рассуждать, по-любому оно там, или нет. Eozhik (обс.) 04:23, 5 декабря 2019 (UTC)

text: :::::* Во избежание путаницы я уберу из текста словосочетание "формальная теория", заменив его на "теорию 1 порядка" (как и предлагал раньше). Eozhik (обс.) 04:12, 5 декабря 2019 (UTC)

text: :::::** В одном месте я вернул "формальная теория", потому что не только теории первого порядка претендуют на описание основ математики. — Алексей Копылов 02:08, 6 декабря 2019 (UTC)
replies: text: :::::::* И какие же примеры? Eozhik (обс.) 03:44, 6 декабря 2019 (UTC)

text: :::::* И не пора ли это вывешивать? Eozhik (обс.) 05:27, 5 декабря 2019 (UTC)

text: :::::** Думаю, пора. — Алексей Копылов 02:08, 6 декабря 2019 (UTC)
replies: text: :::::::* Я вывешиваю. Это все равно нужно будет править, поэтому нет смысла шлифовать черновик дальше. Eozhik (обс.) 05:19, 6 декабря 2019 (UTC)
thread_title:  О "Теории множеств как основании математики" и "Дальнейшем развитии" 

message: ==== 1 ====
С вашего позволения, я заменю там прямо сейчас словосочетание "обоснование математики" на "основания математики" в местах, где это особенно режет глаз. (Мы это уже обсуждали.) Eozhik (обс.) 10:58, 23 ноября 2019 (UTC)
В будущем, я думаю, будет полезно еще включить в исторический обзор (после раздела о Гильберте) раздел про современный платонизм в математике. Формально можно считать, что он сейчас стал доминирующей философией этой науки. (По моему личному мнению, это историческая аберрация, но сказать об этом полезно.) Eozhik (обс.) 11:12, 23 ноября 2019 (UTC)
Господа, после внесенных правок, главное, что я думаю, остается сделать — это убрать из исторического раздела одиозные заявления. Например, это:Тем не менее, былого единства математики больше нет Мне кажется, это удобнее всего сделать, просто дав мне возможность поправить сомнительные места. Как вы отнесетесь к этому предложению? Eozhik (обс.) 05:36, 6 декабря 2019 (UTC)
* Действительно, идёт ссылка на британнику, но найти что-то подобное в её статье у меня не выходит. У меня не будет возражений если вы уберёте такие необычные высказывания, если вы перед этим удостоверитесь, что они, или сильно близкие по смыслу выражения, действительно отсутствуют в приведённых далее источниках. Думаю, если в каком-то конкретном месте будет проблема, кто-нибудь укажет на это здесь. adamant.pwn — contrib/talk 21:41, 9 декабря 2019 (UTC)
replies: text: :* , я не уверен, что у меня будет сейчас время этим заниматься. Вам нетрудно будет отпатрулировать пока что накопилось? Eozhik (обс.) 11:30, 14 декабря 2019 (UTC)
replies: text: ::* Посмотрю вечером. adamant.pwn — contrib/talk 11:38, 14 декабря 2019 (UTC)
Господа, я стал править исторический обзор. Некоторые места уже давно обсуждались, я эти правки могу прокомментировать если возникнут вопросы. А некоторые я упомяну сейчас для очистки совести. В частности, вот этот фрагмент я уберу как пример кликушества: Логицизм подвергся резкой критике за искусственный, интуитивно сомнительный характер своей аксиоматики. С возражениями выступили Герман Вейль, Анри Пуанкаре, Давид Гильберт и другие крупные математики. По мнению критиков, аксиома сводимости, аксиома бесконечности и аксиома выбора вообще не относятся к логике, причём аксиома сводимости не является очевидной и придумана исключительно для технического удобства. Рассел в 1919 году признал наличие аксиомы сводимости дефектом своей системы, но так и не смог от неё избавиться.
Гильберт в своём докладе «Основания логики и арифметики» на Третьем Международном конгрессе математиков (Гейдельберг, 1904) заметил, что логика в ходе своего развития впитала в себя неявное, но неустранимое понятие целого числа, поэтому обоснование числа с помощью логики есть порочный кругАнглийский перевод:  Немецкий оригинал: Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik:
При внимательном рассмотрении мы осознаём, что в обычном изложении законов логики уже используются некоторые фундаментальные понятия арифметики, например понятие совокупности, отчасти также понятие числа. Таким образом, мы попадаем в порочный круг, и поэтому, чтобы избежать парадоксов, требуется параллельное развитие законов логики и арифметики.
В 1920-е годы Фреге предложил для преодоления трудностей новый проект оснований математики, в котором, кроме логики, присутствуют аксиомы геометрии. Он заявил: «Арифметика и геометрия выросли на одной и той же почве, а именно — геометрической, так что вся математика есть, собственно говоря, геометрия». Существенного развития эта идея не получила.
Основываются эти рулады на сочинении М.Клайна, которое, как мы поняли, для истории математики начиная с 19 века авторитетным источником быть не может. Критика логицизма была, но, очевидно, не такая истеричная. В чем она состояла можно потом добавить, когда найдутся вызывающие доверие источники.
Eozhik (обс.) 20:00, 17 декабря 2019 (UTC)
Этот фрагмент я не удаляю, но хочу спросить автора, что здесь имеется в виду: Критики выражают сомнение, что принцип Юма относится к логике.? Eozhik (обс.) 20:06, 17 декабря 2019 (UTC)

text: Это не прокомменировано, поэтому я это все-таки убираю. Eozhik (обс.) 11:52, 1 января 2020 (UTC)  
Насчет интуиционизма:
1. Сходные идеи высказывал Иммануил Кант. Кант, как будто высказывал противоположные идеи. Откуда это заявление? Eozhik (обс.) 20:13, 17 декабря 2019 (UTC)
2. В этих словах Вейля (которые еще надо проверять) Герман Вейль даже провозгласил обратную связь: «Наш мир — это не хаос, но космос, гармонически упорядоченный нерушимыми законами математики». — не видно связи с предшествующими им идеями Брауэра. Eozhik (обс.) 20:13, 17 декабря 2019 (UTC)
Я эти два заявления уберу до времени, пока не появится внятное им объяснение. Остальное на первый взгляд выглядит сносно. Eozhik (обс.) 20:17, 17 декабря 2019 (UTC)
Этот абзац я тоже уберу по причине его невнятности и неавторитетности источника: Влиятельный философ Кант попытался дать своё обоснование. По мнению Канта, математика открывает законы не внешнего мира, а человеческого разума, который упорядочивает природу по собственным, встроенным от рождения правилам. Аксиомы математики тогда не более чем способ организации чувственного опыта, присущий человеку. В частности, по этой причине евклидова геометрия является единственно мыслимой геометрией. Eozhik (обс.) 20:38, 17 декабря 2019 (UTC)
Это заявление я тоже уберу как спорное и ссылающееся на неавторитетный источник: Тем самым в математику была введена актуальная бесконечность — понятие, которого прежние математики старательно избегали. Eozhik (обс.) 21:22, 17 декабря 2019 (UTC)
Вот еще одна иллюстрация: Крупнейшие математики XVII — XIX веков — Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж и другие — пытались дать строгое определение понятию «бесконечно малое», но ни одно из этих определений не было признано как убедительное. Ни у Плиско с Хаханяном, ни у Панова, я ничего такого не вижу. Я убираю этот кусок до тех пор, пока кто-нибудь из присутствующих не объяснит, откуда это утверждение взялось. Eozhik (обс.) 11:04, 1 января 2020 (UTC)
И этого у Декарта нет: Ещё Декарт писал, что дедукция требуется только для вывода несамоочевидных истин, а первичные принципы (аксиомы) всегда имеют интуитивный характер. И я это убираю. Eozhik (обс.) 01:22, 3 января 2020 (UTC)
И про кривую Пеано в этом разделе не к месту сказано. Eozhik (обс.) 01:29, 3 января 2020 (UTC)
Хотелось бы еще увидеть оригинал этого заявления: 
Как отметили Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен, «неевклидова ересь» заставила заняться математическим самоанализом, то есть анализом того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом. Всё это наводило на мысль, что выбор базовых структур математики менее однозначен и более субъективен, чем представлялось ранее. У Клайна на страницах 107-109 этого нет. Где оно у Каснера и Ньюмана? Eozhik (обс.) 13:03, 4 января 2020 (UTC)
В библиотеке моего университета книги Каснера и Ньюмана нет. В сети я нашел этот текст. В нем словосочетание "неевклилова ересь" имеется только в одном месте (и во множественном числе), на с.359. Вот цитата:In spite of this pre-eminence, the first significant appraisal of mathematics was occasioned only recently by the advent of non-Euclidean and four-dimensional geometry. That is not to say that the advances made by the calculus, the theory of probability, the arithmetic of the infinite, topology, and the other subjects we have discussed, arc to be minimized. Each one has widened mathematics and deepened its meaning as well as our comprehension of the physical universe. Yet none has contributed to mathematical introspection, to the knowledge of the relation of the parts of mathematics to one another and to the whole as much as the non-Euclidean heresies. 
As a result of the valiantly critical spirit which engendered the heresies, we have overcome the notion that mathematical truths have an existence independent and apart from our own minds. It is even strange to us that such a notion could ever have existed. Yet this is what Pythagoras would have thought — and Descartes, along with hundreds of other great mathematicians before the nineteenth century. Today mathematics is unbound; it has cast off its chains. Whatever its essence, we recognize it to be as free as the mind, as prehensile as the imagination. Non-Euclidean geometry is proof that mathematics, unlike the music of the spheres, is man's own handiwork, subject only to the limitations imposed by the laws of thought. Я думаю, не нужно переводить, чтобы стало понятно, что смысл сказанного перпендикулярен написанному тут.  По этой причине я этот кусок удаляю. Предшествующий ему текст я поправлю в рамках борьбы с истерией.  Eozhik (обс.) 20:11, 4 января 2020 (UTC)
* none has contributed to mathematical introspection, to the knowledge of the relation of the parts of mathematics to one another and to the whole as much as the non-Euclidean heresies  «неевклидова ересь» заставила заняться математическим самоанализом, то есть анализом того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом  Ничего себе «смысл перпендикулярен». — Браунинг (обс.) 21:04, 4 января 2020 (UTC)
replies: text: :  Вы про "однозначность и субъективность" забыли написать. Вот переводчик, если непонятно. Eozhik (обс.) 21:13, 4 января 2020 (UTC)

text: :* Так удалили-то Вы и это тоже. Гуглоперевод не требуется, спасибо. — Браунинг (обс.) 21:18, 4 января 2020 (UTC)
replies: text: ::: Потому и удалил, что связи нет. Eozhik (обс.) 21:29, 4 января 2020 (UTC)

text: : И, , Вы не хотите это отпатрулировть? Адаманту, я вижу, сейчас не до этого, а работа стоит. После праздников у меня сильные сомнения, что я смогу этим заниматься. Eozhik (обс.) 21:17, 4 января 2020 (UTC)

text: :* Боюсь, что нет. — Браунинг (обс.) 21:18, 4 января 2020 (UTC)
replies: text: ::: Бог, Браунинг, все видит. Eozhik (обс.) 21:29, 4 января 2020 (UTC)
, сейчас уже накопилось много исправлений, Вы не могли бы это отпатрулировть? У меня есть надежда, что на этом главная работа по чистке закончится. Еще остается  проверка ссылок, но это можно делать постепенно. Eozhik (обс.) 11:18, 1 января 2020 (UTC)
==== 2 ====
, спасибо. После этих важных правок текст выглядит шероховатым, нужно поправить стиль. Я, наверное, какое-то время еще буду этим заниматься (когда будет время). Потом можно будет это отпатрулировать, но это, конечно, не к спеху. Eozhik (обс.) 20:04, 8 января 2020 (UTC)

text: * Я бы предложил в каком-то виде оставить ранее исключенный текст про «неевклидову ересь», немного сгладив углы, поскольку иначе становится неясно, откуда вообще взялось стремление Кантора и остальных к созданию единых оснований (по сути, к установлению единства) математики. Например, так:
К началу XIX века относительно строгое логическое обоснование имела только евклидова геометрия, хотя строгость её уже тогда считалась недостаточной. В XIX веке вера в единство и непротиворечивость математики пошатнулась; причинами этого стало, в частности, появление неевклидовой геометрии. Как отметили Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен, «неевклидова ересь» заставила заняться математическим самоанализом, то есть анализом того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом.
-- АлександрЛаптев (обс.) 07:29, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: :: Да, так годится, только у Клайна на страницах 107-109 этого нет, я бы убрал эту ссылку. Еще я бы точку с запятой убрал, она как-то режет глаз. В XIX веке вера в единство и непротиворечивость математики пошатнулась, в частности, из-за появления неевклидовой геометрии. Так не лучше?  Eozhik (обс.) 07:44, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: ::: Да, так лучше. И Клайн тут не нужен. А почему про метаматематику предлагаете убрать? Там теперь абзац совсем без ссылок остался. -- АлександрЛаптев (обс.) 07:51, 9 января 2020 (UTC)

text: :: Наверное про непротиворечивость тоже нужно убрать, потому что с неевклидовыми геометриями это не связано, и кроме того противоречия появились только на границе 19-20 веков, писать, что прямо в 19 веке это стало восприниматься как проблема — натяжка. Я бы написал так: В XIX веке вера в единство математики пошатнулась, в частности, из-за появления неевклидовой геометрии. Eozhik (обс.) 07:54, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: ::: Не возражаю. А что насчёт Панова? -- АлександрЛаптев (обс.) 08:01, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: :::: А что с Пановым? Я бы вообще этот источник убрал, заменив его на что-то более серьезное. Eozhik (обс.) 08:05, 9 января 2020 (UTC)

text: :: Про метаматематику я убрал потому что в Википедии статья о ней выглядит странно. Я привык думать, что под метаматематикой понимается просто теория доказательств, а тут как-то это очень смело обобщается и без цитат. Это место требует проверки. Eozhik (обс.) 08:05, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: :::* Понятно, спасибо. -- АлександрЛаптев (обс.) 08:16, 9 января 2020 (UTC)
, да это правильно было опустить абзац про наведение порядка вниз. Все же ощущение, что слово "единство" требует объяснения. Наверное надо как-то дать понять читателю, что здесь имеется в виду, что вера в существование общей системы аксиом для всей математики пошатнулась. Без этого не очень понятно, о чем речь. Eozhik (обс.) 09:12, 9 января 2020 (UTC)
Наверное, можно вот как: К началу XIX века относительно строгое логическое обоснование имела только евклидова геометрия, хотя строгость её уже тогда считалась недостаточной. С появлением неевклидовой геометрии, однако, пошатнулась и вера в общую для всей математики систему исходных понятий и посылок. Как отметили Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен, «неевклидова ересь» заставила заняться математическим самоанализом, то есть анализом того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом. Eozhik (обс.) 09:36, 9 января 2020 (UTC)

text: * Согласен. -- АлександрЛаптев (обс.) 10:10, 9 января 2020 (UTC)
Да, судя по тому тексту в сети, в этой книге Каснера и Ньюмана это на странице 359. Eozhik (обс.) 09:38, 9 января 2020 (UTC)

text: * У Пападимитриу есть прямая фраза: «Non-Euclidean geometries had revealed the dangers of doing mathematics without a thorough understanding of its axiomatic basis»Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth. P. 138. Мне кажется, можно на него сослаться. -- АлександрЛаптев (обс.) 10:10, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: :: Да, это очень кстати. Eozhik (обс.) 10:23, 9 января 2020 (UTC)
, мне кажется, ссылку на Пападимитриу лучше сдвинуть на конец следующего предложения, поставить рядом со ссылкой на Каснера и Ньюмана, потому что у нее акцент немного другой, в ней не сомнение в том, что общие основания существуют, а мнение, что эти основания нужно разрабатывать. Eozhik (обс.) 11:40, 9 января 2020 (UTC)
*  -- АлександрЛаптев (обс.) 11:45, 9 января 2020 (UTC)
Между прочим, эту фразу можно теперь вообще убрать: В XIX веке необходимость наведения порядка в основаниях математики стала осознаваться многими математиками, и  работы в этом направлении начались с анализа. В ней теперь информации уже никакой особой нет. Eozhik (обс.) 09:50, 9 января 2020 (UTC)

text: * Согласен. -- АлександрЛаптев (обс.) 10:10, 9 января 2020 (UTC)
Да, вот сейчас все хорошо, спасибо. В перспективе еще несколько статей, я думаю, нужно будет переделать/проверить/создать:
# теория первого порядка (как я уже говорил, это не то же самое, что логика первого порядка),
# аксиоматическая система (как я говорил, аксиоматические системы появились гораздо раньше, чем теории первого порядка или формальные теории).
# статью про метаматематику нужно проверить. 
Я не уверен, что у меня будет на это время. Eozhik (обс.) 11:52, 9 января 2020 (UTC)
Еще, господа, я должен сказать, что я не все проверил в этом тексте. Фактически, я внимательно глядел только то, что мне казалось неправдоподобным. Эти места сейчас как будто вычищены. Но очень возможно, что какие-то ляпы еще остались, и если кто-то что-то такое увидит, я надеюсь, он это поправит. Например, желательно бы проверить, что Борель и Бернштейн были противниками аксиомы выбора (что какие-то противники были — известно, но кто именно — требует уточнения). Заявление, что Гамильтон "легализовал отрицательные числа" тоже звучит странновато, учитывая даты его жизни. Ну, и наверное там еще какие-то блохи могут быть. Последние абзацы я не проверял. Слух они не режут, но не исключено, что и там что-то нужно почистить. Eozhik (обс.) 22:31, 9 января 2020 (UTC)
==== Примечания ====
thread_title:  Об историческом обзоре 

message: С вашего позволения, я заменю там прямо сейчас словосочетание "обоснование математики" на "основания математики" в местах, где это особенно режет глаз. (Мы это уже обсуждали.) Eozhik (обс.) 10:58, 23 ноября 2019 (UTC)
В будущем, я думаю, будет полезно еще включить в исторический обзор (после раздела о Гильберте) раздел про современный платонизм в математике. Формально можно считать, что он сейчас стал доминирующей философией этой науки. (По моему личному мнению, это историческая аберрация, но сказать об этом полезно.) Eozhik (обс.) 11:12, 23 ноября 2019 (UTC)
Господа, после внесенных правок, главное, что я думаю, остается сделать — это убрать из исторического раздела одиозные заявления. Например, это:Тем не менее, былого единства математики больше нет Мне кажется, это удобнее всего сделать, просто дав мне возможность поправить сомнительные места. Как вы отнесетесь к этому предложению? Eozhik (обс.) 05:36, 6 декабря 2019 (UTC)
* Действительно, идёт ссылка на британнику, но найти что-то подобное в её статье у меня не выходит. У меня не будет возражений если вы уберёте такие необычные высказывания, если вы перед этим удостоверитесь, что они, или сильно близкие по смыслу выражения, действительно отсутствуют в приведённых далее источниках. Думаю, если в каком-то конкретном месте будет проблема, кто-нибудь укажет на это здесь. adamant.pwn — contrib/talk 21:41, 9 декабря 2019 (UTC)
replies: text: :* , я не уверен, что у меня будет сейчас время этим заниматься. Вам нетрудно будет отпатрулировать пока что накопилось? Eozhik (обс.) 11:30, 14 декабря 2019 (UTC)
replies: text: ::* Посмотрю вечером. adamant.pwn — contrib/talk 11:38, 14 декабря 2019 (UTC)
Господа, я стал править исторический обзор. Некоторые места уже давно обсуждались, я эти правки могу прокомментировать если возникнут вопросы. А некоторые я упомяну сейчас для очистки совести. В частности, вот этот фрагмент я уберу как пример кликушества: Логицизм подвергся резкой критике за искусственный, интуитивно сомнительный характер своей аксиоматики. С возражениями выступили Герман Вейль, Анри Пуанкаре, Давид Гильберт и другие крупные математики. По мнению критиков, аксиома сводимости, аксиома бесконечности и аксиома выбора вообще не относятся к логике, причём аксиома сводимости не является очевидной и придумана исключительно для технического удобства. Рассел в 1919 году признал наличие аксиомы сводимости дефектом своей системы, но так и не смог от неё избавиться.
Гильберт в своём докладе «Основания логики и арифметики» на Третьем Международном конгрессе математиков (Гейдельберг, 1904) заметил, что логика в ходе своего развития впитала в себя неявное, но неустранимое понятие целого числа, поэтому обоснование числа с помощью логики есть порочный кругАнглийский перевод:  Немецкий оригинал: Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik:
При внимательном рассмотрении мы осознаём, что в обычном изложении законов логики уже используются некоторые фундаментальные понятия арифметики, например понятие совокупности, отчасти также понятие числа. Таким образом, мы попадаем в порочный круг, и поэтому, чтобы избежать парадоксов, требуется параллельное развитие законов логики и арифметики.
В 1920-е годы Фреге предложил для преодоления трудностей новый проект оснований математики, в котором, кроме логики, присутствуют аксиомы геометрии. Он заявил: «Арифметика и геометрия выросли на одной и той же почве, а именно — геометрической, так что вся математика есть, собственно говоря, геометрия». Существенного развития эта идея не получила.
Основываются эти рулады на сочинении М.Клайна, которое, как мы поняли, для истории математики начиная с 19 века авторитетным источником быть не может. Критика логицизма была, но, очевидно, не такая истеричная. В чем она состояла можно потом добавить, когда найдутся вызывающие доверие источники.
Eozhik (обс.) 20:00, 17 декабря 2019 (UTC)
Этот фрагмент я не удаляю, но хочу спросить автора, что здесь имеется в виду: Критики выражают сомнение, что принцип Юма относится к логике.? Eozhik (обс.) 20:06, 17 декабря 2019 (UTC)

text: Это не прокомменировано, поэтому я это все-таки убираю. Eozhik (обс.) 11:52, 1 января 2020 (UTC)  
Насчет интуиционизма:
1. Сходные идеи высказывал Иммануил Кант. Кант, как будто высказывал противоположные идеи. Откуда это заявление? Eozhik (обс.) 20:13, 17 декабря 2019 (UTC)
2. В этих словах Вейля (которые еще надо проверять) Герман Вейль даже провозгласил обратную связь: «Наш мир — это не хаос, но космос, гармонически упорядоченный нерушимыми законами математики». — не видно связи с предшествующими им идеями Брауэра. Eozhik (обс.) 20:13, 17 декабря 2019 (UTC)
Я эти два заявления уберу до времени, пока не появится внятное им объяснение. Остальное на первый взгляд выглядит сносно. Eozhik (обс.) 20:17, 17 декабря 2019 (UTC)
Этот абзац я тоже уберу по причине его невнятности и неавторитетности источника: Влиятельный философ Кант попытался дать своё обоснование. По мнению Канта, математика открывает законы не внешнего мира, а человеческого разума, который упорядочивает природу по собственным, встроенным от рождения правилам. Аксиомы математики тогда не более чем способ организации чувственного опыта, присущий человеку. В частности, по этой причине евклидова геометрия является единственно мыслимой геометрией. Eozhik (обс.) 20:38, 17 декабря 2019 (UTC)
Это заявление я тоже уберу как спорное и ссылающееся на неавторитетный источник: Тем самым в математику была введена актуальная бесконечность — понятие, которого прежние математики старательно избегали. Eozhik (обс.) 21:22, 17 декабря 2019 (UTC)
Вот еще одна иллюстрация: Крупнейшие математики XVII — XIX веков — Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж и другие — пытались дать строгое определение понятию «бесконечно малое», но ни одно из этих определений не было признано как убедительное. Ни у Плиско с Хаханяном, ни у Панова, я ничего такого не вижу. Я убираю этот кусок до тех пор, пока кто-нибудь из присутствующих не объяснит, откуда это утверждение взялось. Eozhik (обс.) 11:04, 1 января 2020 (UTC)
И этого у Декарта нет: Ещё Декарт писал, что дедукция требуется только для вывода несамоочевидных истин, а первичные принципы (аксиомы) всегда имеют интуитивный характер. И я это убираю. Eozhik (обс.) 01:22, 3 января 2020 (UTC)
И про кривую Пеано в этом разделе не к месту сказано. Eozhik (обс.) 01:29, 3 января 2020 (UTC)
Хотелось бы еще увидеть оригинал этого заявления: 
Как отметили Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен, «неевклидова ересь» заставила заняться математическим самоанализом, то есть анализом того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом. Всё это наводило на мысль, что выбор базовых структур математики менее однозначен и более субъективен, чем представлялось ранее. У Клайна на страницах 107-109 этого нет. Где оно у Каснера и Ньюмана? Eozhik (обс.) 13:03, 4 января 2020 (UTC)
В библиотеке моего университета книги Каснера и Ньюмана нет. В сети я нашел этот текст. В нем словосочетание "неевклилова ересь" имеется только в одном месте (и во множественном числе), на с.359. Вот цитата:In spite of this pre-eminence, the first significant appraisal of mathematics was occasioned only recently by the advent of non-Euclidean and four-dimensional geometry. That is not to say that the advances made by the calculus, the theory of probability, the arithmetic of the infinite, topology, and the other subjects we have discussed, arc to be minimized. Each one has widened mathematics and deepened its meaning as well as our comprehension of the physical universe. Yet none has contributed to mathematical introspection, to the knowledge of the relation of the parts of mathematics to one another and to the whole as much as the non-Euclidean heresies. 
As a result of the valiantly critical spirit which engendered the heresies, we have overcome the notion that mathematical truths have an existence independent and apart from our own minds. It is even strange to us that such a notion could ever have existed. Yet this is what Pythagoras would have thought — and Descartes, along with hundreds of other great mathematicians before the nineteenth century. Today mathematics is unbound; it has cast off its chains. Whatever its essence, we recognize it to be as free as the mind, as prehensile as the imagination. Non-Euclidean geometry is proof that mathematics, unlike the music of the spheres, is man's own handiwork, subject only to the limitations imposed by the laws of thought. Я думаю, не нужно переводить, чтобы стало понятно, что смысл сказанного перпендикулярен написанному тут.  По этой причине я этот кусок удаляю. Предшествующий ему текст я поправлю в рамках борьбы с истерией.  Eozhik (обс.) 20:11, 4 января 2020 (UTC)
* none has contributed to mathematical introspection, to the knowledge of the relation of the parts of mathematics to one another and to the whole as much as the non-Euclidean heresies  «неевклидова ересь» заставила заняться математическим самоанализом, то есть анализом того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом  Ничего себе «смысл перпендикулярен». — Браунинг (обс.) 21:04, 4 января 2020 (UTC)
replies: text: :  Вы про "однозначность и субъективность" забыли написать. Вот переводчик, если непонятно. Eozhik (обс.) 21:13, 4 января 2020 (UTC)

text: :* Так удалили-то Вы и это тоже. Гуглоперевод не требуется, спасибо. — Браунинг (обс.) 21:18, 4 января 2020 (UTC)
replies: text: ::: Потому и удалил, что связи нет. Eozhik (обс.) 21:29, 4 января 2020 (UTC)

text: : И, , Вы не хотите это отпатрулировть? Адаманту, я вижу, сейчас не до этого, а работа стоит. После праздников у меня сильные сомнения, что я смогу этим заниматься. Eozhik (обс.) 21:17, 4 января 2020 (UTC)

text: :* Боюсь, что нет. — Браунинг (обс.) 21:18, 4 января 2020 (UTC)
replies: text: ::: Бог, Браунинг, все видит. Eozhik (обс.) 21:29, 4 января 2020 (UTC)
, сейчас уже накопилось много исправлений, Вы не могли бы это отпатрулировть? У меня есть надежда, что на этом главная работа по чистке закончится. Еще остается  проверка ссылок, но это можно делать постепенно. Eozhik (обс.) 11:18, 1 января 2020 (UTC)
thread_title:  1 

message: , спасибо. После этих важных правок текст выглядит шероховатым, нужно поправить стиль. Я, наверное, какое-то время еще буду этим заниматься (когда будет время). Потом можно будет это отпатрулировать, но это, конечно, не к спеху. Eozhik (обс.) 20:04, 8 января 2020 (UTC)
replies: text: * Я бы предложил в каком-то виде оставить ранее исключенный текст про «неевклидову ересь», немного сгладив углы, поскольку иначе становится неясно, откуда вообще взялось стремление Кантора и остальных к созданию единых оснований (по сути, к установлению единства) математики. Например, так:
К началу XIX века относительно строгое логическое обоснование имела только евклидова геометрия, хотя строгость её уже тогда считалась недостаточной. В XIX веке вера в единство и непротиворечивость математики пошатнулась; причинами этого стало, в частности, появление неевклидовой геометрии. Как отметили Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен, «неевклидова ересь» заставила заняться математическим самоанализом, то есть анализом того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом.
-- АлександрЛаптев (обс.) 07:29, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: :: Да, так годится, только у Клайна на страницах 107-109 этого нет, я бы убрал эту ссылку. Еще я бы точку с запятой убрал, она как-то режет глаз. В XIX веке вера в единство и непротиворечивость математики пошатнулась, в частности, из-за появления неевклидовой геометрии. Так не лучше?  Eozhik (обс.) 07:44, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: ::: Да, так лучше. И Клайн тут не нужен. А почему про метаматематику предлагаете убрать? Там теперь абзац совсем без ссылок остался. -- АлександрЛаптев (обс.) 07:51, 9 января 2020 (UTC)

text: :: Наверное про непротиворечивость тоже нужно убрать, потому что с неевклидовыми геометриями это не связано, и кроме того противоречия появились только на границе 19-20 веков, писать, что прямо в 19 веке это стало восприниматься как проблема — натяжка. Я бы написал так: В XIX веке вера в единство математики пошатнулась, в частности, из-за появления неевклидовой геометрии. Eozhik (обс.) 07:54, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: ::: Не возражаю. А что насчёт Панова? -- АлександрЛаптев (обс.) 08:01, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: :::: А что с Пановым? Я бы вообще этот источник убрал, заменив его на что-то более серьезное. Eozhik (обс.) 08:05, 9 января 2020 (UTC)

text: :: Про метаматематику я убрал потому что в Википедии статья о ней выглядит странно. Я привык думать, что под метаматематикой понимается просто теория доказательств, а тут как-то это очень смело обобщается и без цитат. Это место требует проверки. Eozhik (обс.) 08:05, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: :::* Понятно, спасибо. -- АлександрЛаптев (обс.) 08:16, 9 января 2020 (UTC)
, да это правильно было опустить абзац про наведение порядка вниз. Все же ощущение, что слово "единство" требует объяснения. Наверное надо как-то дать понять читателю, что здесь имеется в виду, что вера в существование общей системы аксиом для всей математики пошатнулась. Без этого не очень понятно, о чем речь. Eozhik (обс.) 09:12, 9 января 2020 (UTC)
Наверное, можно вот как: К началу XIX века относительно строгое логическое обоснование имела только евклидова геометрия, хотя строгость её уже тогда считалась недостаточной. С появлением неевклидовой геометрии, однако, пошатнулась и вера в общую для всей математики систему исходных понятий и посылок. Как отметили Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен, «неевклидова ересь» заставила заняться математическим самоанализом, то есть анализом того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом. Eozhik (обс.) 09:36, 9 января 2020 (UTC)

text: * Согласен. -- АлександрЛаптев (обс.) 10:10, 9 января 2020 (UTC)
Да, судя по тому тексту в сети, в этой книге Каснера и Ньюмана это на странице 359. Eozhik (обс.) 09:38, 9 января 2020 (UTC)

text: * У Пападимитриу есть прямая фраза: «Non-Euclidean geometries had revealed the dangers of doing mathematics without a thorough understanding of its axiomatic basis»Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth. P. 138. Мне кажется, можно на него сослаться. -- АлександрЛаптев (обс.) 10:10, 9 января 2020 (UTC)
replies: text: :: Да, это очень кстати. Eozhik (обс.) 10:23, 9 января 2020 (UTC)
, мне кажется, ссылку на Пападимитриу лучше сдвинуть на конец следующего предложения, поставить рядом со ссылкой на Каснера и Ньюмана, потому что у нее акцент немного другой, в ней не сомнение в том, что общие основания существуют, а мнение, что эти основания нужно разрабатывать. Eozhik (обс.) 11:40, 9 января 2020 (UTC)
*  -- АлександрЛаптев (обс.) 11:45, 9 января 2020 (UTC)
Между прочим, эту фразу можно теперь вообще убрать: В XIX веке необходимость наведения порядка в основаниях математики стала осознаваться многими математиками, и  работы в этом направлении начались с анализа. В ней теперь информации уже никакой особой нет. Eozhik (обс.) 09:50, 9 января 2020 (UTC)

text: * Согласен. -- АлександрЛаптев (обс.) 10:10, 9 января 2020 (UTC)
Да, вот сейчас все хорошо, спасибо. В перспективе еще несколько статей, я думаю, нужно будет переделать/проверить/создать:
# теория первого порядка (как я уже говорил, это не то же самое, что логика первого порядка),
# аксиоматическая система (как я говорил, аксиоматические системы появились гораздо раньше, чем теории первого порядка или формальные теории).
# статью про метаматематику нужно проверить. 
Я не уверен, что у меня будет на это время. Eozhik (обс.) 11:52, 9 января 2020 (UTC)
Еще, господа, я должен сказать, что я не все проверил в этом тексте. Фактически, я внимательно глядел только то, что мне казалось неправдоподобным. Эти места сейчас как будто вычищены. Но очень возможно, что какие-то ляпы еще остались, и если кто-то что-то такое увидит, я надеюсь, он это поправит. Например, желательно бы проверить, что Борель и Бернштейн были противниками аксиомы выбора (что какие-то противники были — известно, но кто именно — требует уточнения). Заявление, что Гамильтон "легализовал отрицательные числа" тоже звучит странновато, учитывая даты его жизни. Ну, и наверное там еще какие-то блохи могут быть. Последние абзацы я не проверял. Слух они не режут, но не исключено, что и там что-то нужно почистить. Eozhik (обс.) 22:31, 9 января 2020 (UTC)
thread_title:  2 

thread_title:  Примечания 

message: Кто автор этой правки и почему она одобрена патрулирующими?
 Предположения Саккери и Ламберта во второй половине XVIII века, повлекшие за собой  открытия Карла Фридриха Гаусса, Николая Лобачевского, Яноша Больяи и Бернгарда Римана показали,..
Как я написал в своей сегодняшней правке, Саккери и Ламберт здесь притянуты за уши. Хотелось бы еще понять, для чего здесь упоминаются Гаусс и Риман.
Eozhik (обс.) 07:53, 30 марта 2021 (UTC)
, это Вы ведь отпатрулировали? Eozhik (обс.) 08:01, 30 марта 2021 (UTC)
* Не помню. Может, и я, поскольку это удовлетворяет ВП:ПАТС. Вы, конечно, правы в том, что "показали" не "предположения", а "открытия". Роль Саккери и Ламберта описана, например, в "Высшей геометрии" Ефимова. Что Гаусс тоже открыл неевклидову геометрию (и положил её в ящик) -- известный факт. Браунинг (обс.) 08:46, 30 марта 2021 (UTC)
*: :
replies: text: : 1) Недостаточно записать что-то и положить это в ящик, чтобы это считалось открытием, повлиявшим на современников. Чтобы писать такое: открытия Карла Фридриха Гаусса... показали,.. - нужно как минимум проверить, когда эти "открытия" были опубликованы. Где источник?
replies: text: : 2) Риман-то тут при чем? Eozhik (обс.) 08:56, 30 марта 2021 (UTC)

text: :* 1) Это не так драматически неверно, но лёгкая неточность есть, переформулировать стоит, да. 2) Риман-то понятно при чём — он придумал риманову геометрию (тот же Ефимов об этом пишет на с. 38). Браунинг (обс.) 11:01, 30 марта 2021 (UTC)
replies: text: ::* 1) Драматически это неверно или не так - станет понятно, когда Вы источник приведете, где будет объяснено, когда и что именно из сочинений Гаусса на эту тему было опубликовано. Где источник-то? 2) Может тогда и Мебиуса, и Клейна, и Пуанкаре, и Эйнштейна с Хаусдорфом, и Гротендика упомянуть в этой связи? Такое же отношение к обсуждаемой теме имеют, как Риман. Eozhik (обс.) 11:26, 30 марта 2021 (UTC)

text: ::** 1) При чём тут опубликовано? Я же сказал — открыл, но не опубликовал, это общеизвестно. 2) Клейна и Мёбиуса можно, почему нет, нужен только источник. Остальные всё-таки были позже. Браунинг (обс.) 11:30, 30 марта 2021 (UTC)
replies: text: :::** 1) При том, что я уже это объяснил: Недостаточно записать что-то и положить это в ящик, чтобы это считалось открытием, повлиявшим на современников. Чтобы писать такое: открытия Карла Фридриха Гаусса... показали,.. - нужно как минимум проверить, когда эти "открытия" были опубликованы. Где источник?

text: :::** 2) Утверждение, что "появились свидетельства в пользу необходимости пересмотра... конструкций, описывающих геометрические объекты", потому что "открытие Римана показало, что помимо евклидовой геометрии возможны альтернативные геометрии" - ложно. Потому что не Риман это  показал кому-то, а Лобачевский с Больяи. Они показали это всем, включая самого Римана, а не Риман (вместе с ними кому-то). Риман просто последовал идеям Лобачевского и придумал еще один способ объяснять, что такое геометрия. Причем, в отличие от Лобачевского с Больяи, этот способ не сводился к замене одной аксиомы в списке на другую, это была теория, построенная совершенно иначе, конструкция внутри матанализа. И Клейн с Мёбиусом, как и Риман, тоже здесь ни при чем, к открытию неевклидовой геометрии никто из них отношения не имеет. Аккуратнее нужно с русским языком, . Eozhik (обс.) 12:15, 30 марта 2021 (UTC)

text: * Преамбула должна пересказывать статью. В данном случае Гаусс упомянут только в преамбуле, без источников. Не порядок — если его открытия действительно что-то продемонстрировали научному сообществу, то утверждение об этом должно быть подтверждено источником и об этом должно быть написано в теле статьи. Если такого источника не найдётся, то эту часть фразы тоже нужно будет убрать или переформулировать. adamant.pwn — contrib/talk 13:52, 30 марта 2021 (UTC)

text: ** Это да, но в теле статьи и Лобачевский не упомянут. =\ Он там после правки Eozhik'а появился, кстати. Браунинг (обс.) 14:07, 30 марта 2021 (UTC)
* Пока убрал всех, кроме Лобачевского. Дальше надо тело статьи обсуждать, а потом уже из него выжимку-преамбулу делать. — Браунинг (обс.) 14:14, 30 марта 2021 (UTC)

text: * В теперешней версии под "другими" можно понимать только Больяи, чья работа была опубликована на 3 года позже статьи Лобачевского. Статья Римана вышла аж на 28 лет позже. А когда были опубликованы дневники Гаусса никто здесь так и не объяснил, не говоря уж о том, что сам его вклад глубоко неочевиден:  Гауссу был ясен замысел неевклидовой геометрии, однако он не дал этому замыслу достаточного развития, оставив только наброски отдельных наиболее элементарных теорем. (Ефимов, с.33-34.) Вопрос: будет ли честно написать в такой непростой ситуации "и других" (вместо "и Яноша Больяи", как было в моей версии)?  Eozhik (обс.) 15:13, 30 марта 2021 (UTC)

text: ** adamant.pwn же уже пояснил: надо либо упомянуть уже это всё в теле статьи со ссылками на источники, либо вообще убрать из преамбулы. Преамбула — выжимка тела. Браунинг (обс.) 15:18, 30 марта 2021 (UTC)
thread_title:  Каков вклад Гаусса и Римана в неевклидову геометрию?