Обсуждение:Точка перегиба графика функции

message: В Вашем пределении точки перегиба требуется, чтобы f была непрерывна в этой точке. Про дифференцируемость в этой точке не сказано ни слова. Почему тогда в этой точке существует касательная к графику функции f?— Эта неподписанная реплика была добавлена с IP 95.24.61.154 (обс.) в 07:15, 30 ноября 2009‎ (UTC). Подписывайте свои сообщения с помощью ~~~~.
* Да, вероятно, вы правы, надо отметить сомнительность этого утверждения. --Туча 18:33, 23 декабря 2013 (UTC)
thread_title: Untitled

message: Здравствуйте.
Я обнаружил явные ошибки в статье и как человек, специализирующийся в этой области внёс свои изменения.
Я новичёк в википедии, ещё правила поведения почитаю, но считаю неаргументированный "снос" моих изменений недопустимым.
Цитирую и отвечаю на то, что вы мне написали.
1. «Ибо такие оговорки "Другое определение - только для функций, непрерывных в окрестности x_0 и дифференцируемых в x_0." кажутся избыточными»
Заметьте, ключевое слово "кажутся".  Статья относится к математическому термину, поэтому любые неточности (в том числе "неформальные определения") должны быть вынесены в отдельную секцию в конце страницы.
Кроме того, изменений в этом определении было намного больше, нежели это уточнение (по Вашему "оговорка").
2. «если функция не непрерывна, или не дифференцируема, то отсутствие касательной делает понятие "Точка перегиба функции" совершенно лишенным смысла, она ни через что в этом случае не перегибается.» 
Здесь я могу лишь указать Вам на то основное определение, которое Вы сами даёте выше (я его исправил совсем немного). Никаких требований непрерывности в окрестности или дифференцируемости в точке x_0 определение не декларирует, то есть моё уточнение существенно.
Кроме того, я настоятельно рекомендую подробнее почитать мои изменения, там исправлено несколько важных ошибок.
Итоговое моё предложение: 
1) в начале статьи дать точное определение термина (двумя способами, как у меня);
2) в середине оставить мои исправления по утверждениям, относящимся к данному термину - я просто исправлял математические ошибки;
3) в конце добавить раздел наглядного, образного объяснения, которое я, признаю, не сделал.
Agent smith nsk 14:11, 10 ноября 2015 (UTC)Agent smith nsk
#  Аргумент в стиле: я на этой области специализируюсь, поэтому знаю лучше, - мягко говоря, выглядит не очень. Почти любой, кто берётся править, считает себя специалистом. Козырять регалиями не стоит, профессионал всегда не профессионала за пояс заткнёт и без этого, а если не может, то вероятно, не такой уж он и профессионал.
# Заявлять о неаргументированном сносе, когда я вам его как раз таки попытался объяснить, тоже не стоит, вероятно, ибо это будет не совсем правдой.
# То что Вы назвали ключевым, то есть слово "кажутся", таковым не является, по той простой причине что это всего лишь фигура речи. Выделять конкретные единичные слова и делать по ним далекоидущие выводы кажется не самой удачной идеей.
# Учитывая, что требование непрерывности функции указанно в первой же строчке на самом деле, девятое слово, хотя, вероятно, вы могли его не заметить, то последующие уточнения и оговорки выглядят странно, особенно оставляющие впечатление, что точку разрыва можно объявить точкой перегиба, и избыточны более чем полностью. В точке разрыва, речь о неустранимых или второго рода, функция может менять характер поведения радикальным образом, но это не делает точку разрыва в случае изменения вогнутости при переходе точкой перегиба.
# Если функция в выколотой окрестности точки не дифференцируема дважды, то бессмысленно говорить о вогнутости или выпуклости, а значит и о смене направления. 
# Если вам кажется, что я где-то ошибаюсь, то есть смысл обсуждать это предметно и отдельно по каждому пункту разногласий, а не общо.
# С заголовка "Определение" статьи не начинают, как пример Функция (математика), Алгоритм и т.д..--Туча 15:08, 10 ноября 2015 (UTC)
thread_title:  Информация на странице не соответствует истине 

message: По пунктам.
1. Вы просто "уничтожили" мой аргумент про специальность. Как будто я нарушил одно из всем известной правил  "литературной полемики".
Давайте не будем цепляться к словам. В нашей стране есть такое понятие, как "экспертное мнение", поэтому, если я таковым являюсь в этой области, почему я не имею права об этом сообщить? Преподаю в физико-математической школе те самые точки перегиба. Курс очень объёмный, повторять детям по нескольку раз времени нет, поэтому посылаю иногда учащихся за справкой в википедию. Ну а если здесь написано с ошибками, то я так поступать не смогу.
Моя задача ни в коем случае не "затыкать Вас за пояс" и блескать своим профессионализмом.
По дальнейшим пунктам буду говорить лишь по математике.
4. Непрерывность в самой точке x_0 указана. Я не спорил с тем, что это необходимо в определении.
Непрерывность в окрестности точки  x_0 в определении точки перегиба не требуется.
Дифференцируемость в точке  x_0 в определении точки перегиба не требуется.
Дифференцируемость в окрестности точки  x_0 в определении точки перегиба не требуется.
«5.Если функция в выколотой окрестности точки не дифференцируема дважды, то бессмысленно говорить о вогнутости или выпуклости, а значит и о смене направления.»  
Определение выпуклости вверх функции на множестве A (или выпуклости вниз на множестве A) не требует её дважды дифференцируемости ни в отдельных точках, ни на всём указанном множестве A. Под множеством А в нашем случае имеется ввиду либо окрестность слева от x_0, либо окрестность справа от x_0.
6. Предметно я написал в самой правке, но повторюсь.
- Вместо Вашего "неформального" я дал альтернативное определение точки перегиба графика функции (Кстати, можно ли название статьи ещё поменять, всё таки график перегибается, а не функция?), которое равносильно основному определению при рассмотрении функций, непрерывных в окрестности x_0 и дифференцируемых в x_0. 
- Исправил необходимое условие точки перегиба.  Уточнил, что оно выполняется только для функций, дважды дифференцируемых в выколотой окрестности точки x_0. Поменял саму формулировку, так как она не верна. Верный вариант копирую из правок: 
«Если функция ~f(x) дважды дифференцируема в некоторой выколотой окрестности точки ~x_0, то f^{} меняет знак при переходе через x_0.»
Ещё даже добавил дополнительный комментарий:
«Из данного необходимого условия очевидно следует ~f^{}(x_0) = 0 для дважды непрерывно дифференцируемой в окрестности x_0 функции f.»
Agent smith nsk 19:45, 10 ноября 2015 (UTC)Agent smith nsk
#  Где-то когда-то что-то преподавать вообще-то недостаточно что бы быть экспертом в этой области, вообще-то с ведением семинаров могут справится даже учащиеся на год старше, для этого не надо иметь большую компетенцию. Давайте мы сделаем вид что Вы этого не говорили, потому что это звучит достаточно неубедительно. Профессионалу что бы показать что он профессионал не нужно на самом деле об этом заявлять первым же словом, у него достаточно инвентаря для доказательств и без апеллирования к собственной авторитетности. Когда кто-то сторонний говорит про человека, что он эксперт, это нормально, это такой формат представления, а когда человек сам с порога говорит "здрасти, я эксперт" - то это на самом деле повод в этом засомневаться.
# -
# -
# К сожалению, придётся констатировать что что такое непрерывность Вы не знаете. Потому что непрерывность определяется через окрестности и никак иначе, непрерывность в точке \iff непрерывность в окрестности.
# Если речь идёт о точке перегиба, то к сожалению, нужно что бы функция была определена и слева и справа от точки x_0.
#
## Менять название статьи не надо, ибо есть другая статья: Точка перегиба плоской кривой - возможно Вы не обратили на это внимание, но в данной статье на ту есть ссылка.
## Если Вы считаете что можно вести речь о точке перегиба, когда нет производных в выколотой окрестности, естественно речь идёт о малой окрестности, то очень бы хотелось бы примерчик что под этим понимается, потому что по видимому, речь идёт не о точках разрыва, а о чём-то совсем непонятном. Объясняю в чём проблема, одним из свойств выпуклой функции на интервале как раз является то что она дифференцируема и дважды дифференцируема почти всюду. --Туча 22:15, 10 ноября 2015 (UTC)
thread_title:  Более предметно о точках перегиба 

message: Прошу прощения, не нашёл, как ответить на ваше сообщение. Пишу в новой теме.
1. Я так понимаю, что вы ничего в качестве аргументов, что я являюсь экспертом не примете - ни ксерокопию диплома, ни справку с места работы, ни видеообращение лектора моего потока (да, такой является, математику преподаёт)? Если нет, то останемся при своих мнениях.
2. 3. По этим пунктам обсуждение закончим, так как к содержанию статьи всё это не относится.
4. «К сожалению, придётся констатировать что что такое непрерывность Вы не знаете. Потому что непрерывность определяется через окрестности и никак иначе, непрерывность в точке \iff непрерывность в окрестности.»
Вы этой фразой лишь показали Ваше незнание понятия непрерывности. 
Привожу контр-пример, даже целых два.
f(x) \leftrightharpoons \begin{cases} \text{ undefined } & x = \frac{1}{n} \text{ for some }n \in \mathbb{N} \\ 0 & \text{ other cases } \end{cases}   Данная функция непрерывна в ноле, но не является непрерывной в точках вида \frac{1}{n}, то есть не является непрерывной в окрестности нуля. Однако, здесь я использовал определение непрерывности, вводимое у нас на потоке (для существования предела функции в точке не обязательно функции быть определённой в окрестности данной точки), поэтому вы можете поспорить на тему "какое же определение выбрать", а это вопрос философский и мы опять ни к чему не придём.
Поэтому я привожу ещё один пример, соответствующий всем мне известным определениям непрерывности.
f(x) \leftrightharpoons \begin{cases} x & x \text{ - rational number} \\ 0 & x  \text{ - irrational number} \end{cases}
Эта функция непрерывна в ноле, разрывна в любой точке, кроме ноля, то есть разрывна в любой окрестности ноля.
5. «Если речь идёт о точке перегиба, то к сожалению, нужно что бы функция была определена и слева и справа от точки x_0.»
Объясните, пожалуйста, как эта ваша фраза связана с тем, что я написал в пункте 5? 
Цитирую себя:
«5. <цитата вашего предыдущего сообщения>
Определение выпуклости вверх функции на множестве A (или выпуклости вниз на множестве A) не требует её дважды дифференцируемости ни в отдельных точках, ни на всём указанном множестве A. Под множеством А в нашем случае имеется ввиду либо окрестность слева от x_0, либо окрестность справа от x_0.»
Вы хотите уйти от темы обсуждения? То есть с этим моим пунктом 5 в сообщении от 10 ноября вы согласны?
Ответ на ваш "новый пункт 5". Сожаление тут ни при чём. Определение точки перегиба не содержит требования того, чтобы функция была определена в окрестности x_0: функция должна быть 
а) непрерывной в рассматриваемой точке x_0 
 
б) иметь касательную в рассматриваемой точке x_0
в) менять характер выпуклости в точке x_0 (то есть в некоторой окрестности справа - выпукла вниз, в некоторой окрестности слева - выпукла вверх, или наоборот)
Конечно, мне известно, что некоторые определения непрерывности (пункт а) содержат требование быть определённой в окрестности, какое определение выбрать опять философский вопрос.
6.1. «Менять название статьи не надо, ибо есть другая статья: Точка перегиба плоской кривой - возможно Вы не обратили на это внимание, но в данной статье на ту есть ссылка.»
Перегибается график функции, а не функция. В случае, когда математическое определение противоречит естественному языку, его стараются заменить на более соответствующее. "точка перегиба графика функции" более соответствует русскому языку нежели "точка перегиба функции". http://www.cleverstudents.ru/functions/convexity_and_inflection_points.html  - вот люди вводят определение, почему википедия должна быть хуже?
Я считаю, что писать "точка перегиба функции" неграмотно с точки зрения русского языка. Хочу услышать ваши аргументы в защиту именно этой формулировки. Точка перегиба плоской кривой - другое, уже не школьное, понятие, давайте не будем обсуждать здесь содержание других статей.
6.2. «Если Вы считаете что можно вести речь о точке перегиба, когда нет производных в выколотой окрестности, естественно речь идёт о малой окрестности, то очень бы хотелось бы примерчик что под этим понимается, потому что по видимому, речь идёт не о точках разрыва, а о чём-то совсем непонятном. Объясняю в чём проблема, одним из свойств выпуклой функции на интервале как раз является то что она дифференцируема и дважды дифференцируема почти всюду.»
Насколько я понял, это вы ответили на мои правки в раздел "Условия существования". Давайте пока не будем так глубоко заходить в недифференцируемые функции, я пока лишь ограничусь приведением контр-примера на Ваше необходимое условие (достаточное я не менял).
Для графика функции f(x) \leftrightharpoons \begin{cases} x^2 & x \ge 0 \\ -x^2 & x <0 \end{cases} точка ноль является точкой перегиба, однако ваше "необходимое" условие не выполняется: ни f(0) \neq 0 , ни пределы справа и слева второй производной в ноле не равны бесконечности.
Уверен, вы не сможете привести контр-пример к "необходимому условию существования точки перегиба графика функции f, дважды дифференцируемой в выколотой окрестности точки x_0", которое я сформулировал. Значит моё необходимое условие - правильное, а ваше - нет.  Заметьте, я согласен с тем, что можно придумать много других необходимых условий этого (существования точки перегиба). Я выписал лишь то, которое изучается в школьной программе и касается дважды дифференцируемых функций (в выколотой окрестности точки x_0).
Agent smith nsk 18:16, 23 ноября 2015 (UTC)Agent_smith_nsk
1. Понимаете, Вы меня не услышали, что бы преподавать, тем более вести семинары не нужно иметь высокую компетенцию. Поэтому даже если Вы докажите это, что от вас совершенно никто не требует, всё равно экспертом в области Вы не станете. Вы ломитесь в открытую дверь в данном случае, никто не требует от вас доказывать что Вы эксперт, и даже если Вы это докажите всё равно с вами можно будет спорить, Вы всё равно не будете оракулом истины в последней инстанции. Не нужно просто говорить что Вы эксперт, если вы всего лишь преподаватель в провинциальном лицее, даже если это самый лучший лицей в городе, стране или мире. Ну вот не нужно пытаться апеллировать к собственной авторитетности, профессионал может объяснить всё без этого. Более того преподаватель, посылающий своих учеников в википедию или стремящийся к этому, мягко говоря выглядит не очень, то есть сама раскрытая вами ваша мотивация вас компрометирует. Ну вот не должен, так поступать преподаватель при всём желании и дефиците времени.
4. Да, вторая функции непрерывна, по той простой причине что для любой сколь угодно малой окрестности значений можно поставить в соответствие окрестность аргументов точки x0, такую что все значения функции в этой окрестности находятся в рамках изначально заданной. Вы попытались предъявить контрпример, и на самом деле его в данном случае не предъявили, всё равно непрерывность определяется через окрестности, даже если вы смогли воткнуть бесконечное количество точек разрыва. Первая функция же какая-то ваша собственная отсебятина, как вы и сами признаёте, по той простой причине совершенно непонятно при чём тут она, ну вот какую точку не возьми отличную от нуля между ней и нулём будет точка где функция неопределенна, то есть разрывна. Ну вот не должна википедия подстраиваться под ваш курс лекций.
5. Вы предъявили примеры функций в пункте выше достаточно гадких, но ни одна из них не имеет перегиб в точке ноль. Вот как у вас наклон касательной, а если есть касательная, то есть и её наклон, то есть производная, отделена от понятия дифференцируемость, это же для плоского случая и есть производная  df = f' dx.
6.1. Ok, переименовал Точка перегиба графика функции, хотя более лаконичное название выглядит, на мой взгляд, лучше.
6.2. Вообще-то речь шла о выколотой окрестности, пример про x*abs(x) я и сам приводил в истории правок данной статьи, он в данном случае совсем не интересен. Вторая производная функции может терпеть разрыв в точке перегиба, это действительно не запрещено, но вот если нет второй производной в окрестности, вы же ничего не сможете сказать про вогнутость и её смену. --Туча 22:41, 23 ноября 2015 (UTC)
Ответ 24.11.2015 
1. Истина в последней инстанции она есть для ответа на некоторые вопросы. К математическим утверждениям это относится в самой большой степени, нежели в других дисциплинах. 
Предлагаю следующий подход: 
1) экспертом считаем человека, имеющего диплом о высшем образовании в данной области,  
2) положим за истину "мнение большинства экспертов", если это большинство подавляющее, либо в случае, когда мнения экспертов разделились, то считать обе точки зрения достойными рассмотрения (пример - континуум-гипотеза).
4.
Цитирую Вас:
 Да, вторая функции непрерывна, по той простой причине что для любой сколь угодно малой окрестности значений можно поставить в соответствие окрестность аргументов точки x0, такую что все значения функции в этой окрестности находятся в рамках изначально заданной. Вы попытались предъявить контрпример, и на самом деле его в данном случае не предъявили, всё равно непрерывность определяется через окрестности, даже если вы смогли воткнуть бесконечное количество точек разрыва. 
Так вы согласны с тем, что моя функция f(x) \leftrightharpoons \begin{cases} x & x \text{ - rational number} \\ 0 & x  \text{ - irrational number} \end{cases} непрерывна в ноле и разрывна во всех остальных точках? Мой контр-пример как раз показывает, что непрерывность в точке и непрерывность в окрестности - совершенно разные вещи.  Так что, я не попытался, а предъявил.
Подробнее о непрерывности. Через  \delta f  я ниже обозначаю область определения функции  f , не путать с числом  \delta . Я знаю два школьных определения непрерывности числовой функции  f  в точке  x_0 \in \mathbb{R} :
 x_0 \in \delta f  \wedge  \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta > 0 ~ \forall x ~ \Big(|x - x_0| < \delta  \rightarrow (x \in \delta f \wedge |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon)\Big)  - по этому я сам учился в школе.
 x_0 \in \delta f  \wedge  \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta > 0 ~ \forall x \in \delta f ~ \Big(|x - x_0| < \delta  \rightarrow (|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon)\Big)  - наука не стоит на месте и преподаём уже это. Как излагать материал школьникам - на то есть государственный стандарт и произвол лектора, мы на нашем потоке посчитали удобным рассмотрение именно этого определения, так как оно позволяет значительно расширить применимость понятия непрерывности. К примеру, согласно второму определению можно говорить, что арксинус ( \arcsin{x} ) непрерывен на отрезке  [-1; 1] , а согласно первому так говорить нельзя.
Естественно, вы можете не принимать второе определение и использовать первое, мы не настаиваем. Но в википедии должны быть отражены все точки зрения достаточно хорошо представленные (конечно, если точка зрения используется в лекционной программе специализированной школы, она считается достаточно хорошо представленной). Итак, альтернативное определение непрерывности есть. 
То определение, на которое ссылались Вы, не является школьным, оно для абстрактных топологических пространств. Более того, оно не рассматривает функции, которые могут быть непрерывны в каких-то точках, а разрывны в других.  Существование таких функций отрицать нельзя -  \frac{1}{x}.
Итак, осталось у нас 2 определения непрерывности функции в точке - пусть они будут изложены в соответствующей статье, и там же обсуждены.  Мои правки в эту статью подходят для обоих этих определений непрерывности. Возвращаясь к теме пункта 4.: я показал, что непрерывность в точке  x_0  и непрерывность в окрестности точки  x_0  - разные вещи;  тем самым я опроверг ваше утверждение о том, что 
«К сожалению, придётся констатировать что что такое непрерывность Вы не знаете. Потому что непрерывность определяется через окрестности и никак иначе, непрерывность в точке \iff непрерывность в окрестности.»
Итак, вернёмся к самой изначальной стороне спора по пункту 4. В определении точки  x_0 , как точки перегиба графика функции  f 
-  требуется непрерывность в точке  x_0 
-  не требуется непрерывность в окрестности  x_0 
6.2.  Прекрасно, раз вы сами ранее приводили этот пример, то вы видите, что Ваше необходимое условие вовсе не необходимое.
То есть правильной формулировкой является моя - « f  меняет знак при переходе через  x_0 ».
5.  Насколько я понимаю, наша дискуссия (о том, нужна ли вторая производная в выколотой окрестности для выпуклости - вогнутости) из пункта 5 перекочевала в ваш ответ 6.2., вернём нумерацию на место, чтобы не было путаницы.
Рассмотрим следующую кусочно-линейную функцию, заданную на  [-1; 1] :
 f(x) \leftrightharpoons \begin{cases} \frac{\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}}(x - \frac{1}{n+1}) + \frac{1}{(n+1)^2} & x \in [\frac{1}{n+1}; \frac{1}{n}] \mbox{ for some } n \in \mathbb{N} \\ 0 & x = 0 \\ -f(-x) & x < 0 \end{cases} 
Фактически, график её состоит из отрезочков между точками  (1,1) \to (\frac{1}{2}, \frac{1}{4}) \to (\frac{1}{3}, \frac{1}{9} \ldots (\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}) \to (\frac{1}{n+1}, \frac{1}{(n+1)^2}) \to \ldots , а в отрицательной полуплоскости из симметричных отрезочков, относительно начала координат. Фактически, это наша функция  x \cdot abs(x)  на  [-1; 1] , приближенная ломанной линией.
Легко видеть, что слева от ноля данная функция выпукла вверх, справа - выпукла вниз. Заметим, данная функция не является дифференцируемой ни в одной окрестности нуля. В точках излома не существует даже первой производной, не говоря уже о второй.
Тем самым я показал, что понятие выпуклости может и не быть связано с понятием дважды дифференцируемости. Итак, в основном определении точки перегиба графика функции нельзя требовать:
- дифференцируемость в точке  x_0  (пример -  \sqrt[3]{x} )
- дифференцируемость в выколотой окрестности  x_0  (пример - только что указанная функция)
- дважды дифференцируемость в точке  x_0  (пример -  x \cdot abs(x) )
- дважды дифференцируемость в выколотой окрестности  x_0  (пример - только что указанная функция)
Итак, в моих правках замечания, которые ограничивали класс рассматриваемых функций были существенными, а не излишними.
7.
Теперь хочу обсудить моё Другое определение (напоминаю https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A2%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B3%D0%B8%D0%B1%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8&oldid=74423683)
а) Определение математически точно и равносильно основному в классе функций, непрерывных в окрестности  x_0  и дифференцируемых в  x_0 . Почему его нельзя написать, а слово "неформальное" убрать? Далее пункты б-г) поясняют конкретный текст этого второго определения.
б) Замечание о дифференцируемости в точке  x_0  существенно: для этого определения касательная обязана быть не вертикальной.
в) Замечание о непрерывности в окрестности  x_0  я написал для того, чтобы отрезать функции, которые непрерывны в  x_0  но не в окрестности (то есть непрерывные по определению с нашего курса -  x_0 \in \delta f  \wedge  \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta > 0 ~ \forall x \in \delta f ~ \Big(|x - x_0| < \delta  \rightarrow (|f(x) - f(x_0| < \varepsilon)\Big) ). Для "наших" непрерывных (только  в точке  x_0 ) функций  это другое определение точки перегиба графика не работает.  Для непрерывных в другом определении (определённых в окрестности  x_0 ) это определение тоже может не работать (очень сложно доказать, что выпуклая вверх функция, определённая на промежутке, является непрерывной).  В итоге я добавил это замечание о непрерывности в окрестности  x_0 , чтобы подстраховаться и быть предельно точным.
г) Сам текст другого определения я просто немного уточнил, чтобы вместо слов "выше-ниже" использовались термины "больше-меньше".
Agent smith nsk 07:58, 24 ноября 2015 (UTC)Agent_smith_nsk
replies: text: По поводу авторитетности давайте закроем тему, ибо есть ВП:ЭКСПЕРТ, там все изложено. Смысла снова изобретать велосипед нет. --Туча 19:38, 25 ноября 2015 (UTC)

text: Допустим вы меня убедили, только никаких споров бы не было, если бы сразу же таки поставлены были ссылки(сноски) на какие-нибудь заслуживающие внимание труды. Статья должна на что-то ссылаться, потому что википедия третичный источник, а данная статья ни на что не ссылается изначально. Можно хоть десять определений написать, если они реально десять хоть где-нибудь собраны в авторитетном источнике. --Туча 19:38, 25 ноября 2015 (UTC)
Спасибо за ссылку. Действительно, мои правки не были подтверждены авторитетными источниками. В ближайшие дни поищу их внесу изменения со ссылками на учебники.
Agent smith nsk 07:36, 26 ноября 2015 (UTC)Agent_smith_nsk
thread_title:  Более подробно о точках перегиба. 

message: Объясните, почему такое сложное второе достаточное условие? Или оно является равносильным по отношению к суждению (т.е. если условие не выполняется, то и точка не является точкой перегиба)?
Есть ведь более простое второе достаточное условие: вторая производная в точке должна быть равна 0, а третья отличаться от нуля, и в этом случае точка будет точкой перегиба. Такое условие не является равносильным, т.е. если это условие не выполняется, то ещё не значит, что точка не является точкой перегиба (пример: функция x^5, второе простое достаточное условие не выполняется, но точка x=0 является точкой перегиба). Если посмотреть определение достаточного условия, то там говорится, что если такое условие не выполняется, то нельзя судить об истинности суждения. Что говорит о том, что описанное выше простое достаточное условие вписывается в рамки определения достаточного условия. 
* При k = 3 как раз и получаем Ваш вариант. Предложенный в статье — более обобщённый. --Charmbook (обс.) 17:10, 7 августа 2017 (UTC)
** Не, вы меня не поняли. Я имею ввиду, что k может принимать любое значение, но пользоваться можно простой формой второго достаточного условия. Я просто не вижу смысла дифференцировать функцию k раз, пока не получу ноль. Проще тогда уж воспользоваться первым достаточным условием (если второе просто достаточное условие не выполняется). Какой всё-таки вложен смысл в это обобщенное достаточное условие? Бывают ли случаи, когда такое условие не выполняется, но точка всё равно является точкой перегиба? Или может бывают случаи, когда первое и второе(простое) достаточное условие не выполняется, а это обобщенное условие выполняется?188.92.2.208 11:49, 8 августа 2017 (UTC)
***  Бывают ли случаи, когда такое условие не выполняется, но точка всё равно является точкой перегиба? - Да, функция может вообще не иметь второй производной.
**: бывают случаи, когда первое и второе(простое) достаточное условие не выполняется, а это обобщенное условие выполняется? - Нет, если второе условие выполняется, то и первое выполняется. 
**: Какой всё-таки вложен смысл в это обобщенное достаточное условие?  - Видимо смысл в том, что производную может быть брать проще (это чисто механический процесс), чем изучать меняет ли функция знак. — Алексей Копылов 21:51, 8 августа 2017 (UTC)
thread_title:  Второе достаточное условие