Обсуждение:Тригонометрическая формула Виета

message: Есть подозрение, что в случае Q < 0 для действительного корня sign(R) в произведении не нужен, или там иная ошибка. Kuzia 07:49, 10 ноября 2010 (UTC)
thread_title:  Ошибка? 

message: В формуле для x1 (при S<0 и Q<0) сигнатуры sgn(R) действительно быть не должно. Подтверждается расчетом и аналогичной формулой на сайте, ссылка на который была заблокирована при отправке первого варианта этого сообщения.K-read 01:43, 23 ноября 2010 (UTC)
thread_title:  Подтверждение ошибки 

thread_title:  А что при Q==0 ? 

message: При выводе формулы в какой-то момент встречается вот такое уравнение \cos 3 \varphi = - \frac {4q} {A^3}. И нигде не сказано, что решение у него существует только при условии \left| { - \frac{{4q}}{{{A^3}}}} \right| \le 1. Потому что только в этом случае данная величина может быть косинусом некоторого угла. Если же это условие не выполняется, видимо, для решения кубического уравнения используется уже другая формула - с гиперболическими функциями. А вот для нее-то вывод и не приведён.Clothclub (обс.) 13:26, 15 февраля 2023 (UTC)
thread_title:  Вывод формулы 

message: Забавно получается. Рассмотрим первый случай, когда S>0. В этом случае, очевидно, S = {Q^3} + {R^2} > 0, откуда следует {R^2} >  - {Q^3}. При этом, очевидно, Q должна быть отрицательной величиной, поскольку только в этом случае можно будет, во-первых, извлечь квадратный корень из -{Q^3}, во-вторых, разделить потом R на этот корень, и чтобы в знаменателе не оказалось нуля. Хотя, если честно, я не знаю, каким именно образом отрицательность Q следует из того, что S>0, и почему Q<0 не надо задать в качестве дополнительного условия для первого случая, но допустим, что это так. Тогда поскольку Q<0, то обе части неравенства {R^2} >  - {Q^3} можно поделить на -{Q^3}, и знак неравенства не изменится! Потому что делим на положительное число. В результате получим такое эквивалентное неравенство: \frac{{{R^2}}}{{ - {Q^3}}} > 1. В левой части неравенства оказалась положительная величина, а значит, из нее можно извлечь квадратный корень. В результате получим: \frac{{|R|}}{{\sqrt { - {Q^3}} }} > 1. Ну, и, наконец, последнее неравенство можно переписать так: \left| {\frac{R}{{\sqrt { - {Q^3}} }}} \right| > 1. Подмодульное выражение последнего неравенства затем подается "на вход" функции арккосинуса. Получается, что мы берем арккосинус от аргумента, модуль которого больше единицы. Вернее, не мы, а вы... Clothclub (обс.) 00:56, 20 февраля 2023 (UTC)
thread_title:  Странная формула 

message: Правильная формула выглядит так. Рассмотрим кубическое уравнение x^3+px+q=0, к которому, как известно, можно свести любое кубическое уравнение. Обозначим Q = {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{p}{3}} \right)^3}. Тогда нужно рассмотреть несколько возможных вариантов:
*Q \le 0: Если Q<0, отсюда автоматически следует, что и p<0. Это означает, как минимум, что p \ne 0. Если же Q=0, то p \le 0, причем, равенство p=0 получается только в случае, когда и q=0. В этом случае уравнение имеет три корня, равные нулю. Если же Q=0, p<0, то используется та же формула, что и в случае Q<0, p<0. Поэтому наиболее удобно было бы рассмотреть один пункт Q \le 0, а внутри сделать два подпункта: p<0 и p=0. Вариант p>0 при Q \le 0 невозможен.
**p<0: {\varphi _1} = \frac{1}{3}\arccos \left( {\frac{{3q/p}}{{2\sqrt {|p|/3} }}} \right), {\varphi _2} = {\varphi _1} + 120^\circ, {\varphi _3} = {\varphi _1} - 120^\circ. Тогда {x_j} = 2\sqrt {\frac{{|p|}}{3}} \cos ({\varphi _j}), j=1,2,3.
**p=0: x_1=x_2=x_3=0. Очевидно, такой же ответ получился бы из предыдущего подпункта, если б угол {\varphi _1} существовал при p=0.
*Q>0:
**p=0: В данном случае уравнение имеет вид x^3+q=0 (q \ne 0). Очевидно, один из корней находится, как кубический корень из -q. Однако это только один единственный корень, который в данном случае является действительным. Чтобы найти все три корня, надо воспользоваться следующей формулой (оставшиеся два корня будут мнимыми): {\varphi _1} = \frac{1}{3}\arccos (1)=0, {\varphi _2} = {\varphi _1} + 120^\circ, {\varphi _3} = {\varphi _1} - 120^\circ. Тогда {x_j} = \sqrt[3]{{ - q}}{e^{i{\varphi _j}}}, j=1,2,3.
**p<0: в этом случае коэффициент p уравнения отрицателен, но он не может быть слишком уж большим по модулю. Собственно, это можно записать так: Q = {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{p}{3}} \right)^3} > 0, откуда 0 > p >  - 3{\left( {\frac{q}{2}} \right)^{2/3}}. Как следствие, это означает, что q \ne 0. Действительно, если подставить q=0 в это неравенство, получится противоречие. Иными словами, если в исходном уравнении q=0, то в этот подпункт попасть невозможно. Решение будет таким: \left\{ \begin{array}{l}
{\varphi _1} = \frac{1}{3}arch\left( {\frac{{3|q/p|}}{{2\sqrt {|p|/3} }}} \right)\\
{x_1} =  - 2{\mathop{\rm sgn}} (q)\sqrt {\frac{{|p|}}{3}} ch({\varphi _1})\\
{x_{2,3}} = {\mathop{\rm sgn}} (q)\sqrt {\frac{{|p|}}{3}} ch({\varphi _1}) \pm i\sqrt {|p|} sh({\varphi _1})
\end{array} \right.
**p>0: в этом случае коэффициент q уже может принимать значение ноль. Тогда решение исходного уравнения будет таким:\left\{ \begin{array}{l}
{\varphi _1} = \frac{1}{3}arsh\left( {\frac{{3|q/p|}}{{2\sqrt {|p|/3} }}} \right)\\
{x_1} =  - 2{\mathop{\rm sgn}} (q)\sqrt {\frac{{|p|}}{3}} sh({\varphi _1})\\
{x_{2,3}} = {\mathop{\rm sgn}} (q)\sqrt {\frac{{|p|}}{3}} sh({\varphi _1}) \pm i\sqrt {|p|} ch({\varphi _1})
\end{array} \right.
thread_title:  Правильная формула 

message: :Рассмотрим кубическое уравнение x^3+px+q=0, к которому сводится произвольное кубическое уравнение. Один действительный корень у такого уравнения существует всегда, и его можно найти по формуле Кардано x_1=a+b, где 
replies: text: Q = {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{p}{3}} \right)^3},

text: a = \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt Q }},

text: b = \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \sqrt Q }}.

text: Отсюда, кстати, очевидно, что a \ge b. Конечно, если только оба числа действительны. Можно переобозначить и наоборот (т.е. поменять местами a и b), поскольку это не принципиально. Но остановимся для определенности на таком варианте.

text: Согласно Кардано оставшиеся два корня находятся из формулы {x_{2,3}} =  - \frac{2} \pm i\frac{2}\sqrt 3 .

text: Можно доказать, что остальные два корня можно также найти по формулам:

text: {x_2} = {\varepsilon _1}a + {\varepsilon _2}b,

text: {x_3} = {\varepsilon _2}a + {\varepsilon _1}b,

text: где {\varepsilon _1}, {\varepsilon _2} - это комплексные кубические корни из единицы:

text: {\varepsilon _1} = \frac{2},

text: {\varepsilon _2} = \frac{2}.

text: Это доказывается простой подстановкой. Интересно то, что числа {\varepsilon _1}, {\varepsilon _2} представимы в виде комплексной экспоненты:

text: {\varepsilon _1} = \frac{2} = {e^{i120^\circ }},

text: {\varepsilon _2} = \frac{2} = {e^{ - i120^\circ }}.

text: Если теперь числа a и b тоже выразить через экспоненту как-нибудь вот так:

text: a = A{e^\varphi },

text: b = B{e^{ - \varphi }},

text: тогда все три корня можно будет найти по формулам:

text: \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = A{e^\varphi } + B{e^{ - \varphi }}\\
{x_2} = A{e^{\varphi  + i120^\circ }} + B{e^{ - \varphi  - i120^\circ }}\\
{x_3} = A{e^{\varphi  - i120^\circ }} + B{e^{ - \varphi  + i120^\circ }}
\end{array} \right..

text: Поскольку сделать это теоретически всегда возможно, остается только найти значения для \varphi, A, B. Или, как вариант, для \varphi, a, b. Значения можно найти по следующим формулам:

text: *Q \le 0:

text: **p<0: \varphi  = i\frac{1}{3}\arccos \left( {\frac{{2\sqrt {|p|/3} }}} \right), A = B = \sqrt {\frac{{|p|}}{3}}.

text: **p=0: \varphi - любое значение, A = B = \sqrt {\frac{{|p|}}{3}}.

text: *Q>0:

text: **p=0: \varphi  = 0,

text: ***q>0: B = \sqrt[3], A=0.

text: ***q<0: A = \sqrt[3], B=0.

text: **p<0: \varphi  =  - {\mathop{\rm sgn}} (q)\frac{1}{3}arch\left( {\frac{{2\sqrt {|p|/3} }}} \right), A = B =  - {\mathop{\rm sgn}} (q)\sqrt {\frac{{|p|}}{3}} .

text: **p>0: \varphi  =  - {\mathop{\rm sgn}} (q)\frac{1}{3}arsh\left( {\frac{{2\sqrt {|p|/3} }}} \right), A =  - B = \sqrt {\frac{{|p|}}{3}}.

text: Смысл здесь в том, чтобы, прежде всего, получить действительный корень уравнения, который всегда существует и выражается формулой x_1=a+b, а затем привести его к специальному виду, выразив его через экспоненты. Тогда оставшиеся два корня, действительные или мнимые, получаются, грубо говоря, добавлением (и убавлением) 120^\circ к аргументу экспонент. Дальше от комплексных экспонент при необходимости можно вернутся к тригонометрическим и гиперболическим синусам и косинусам.

text: PS

text: В случае Q>0, p=0 исходное уравнение приобретает вид x^3+q=0. Нетрудно догадаться, что корень уравнения здесь получается, как кубический корень из -q. Проблема здесь в том, откуда взять оставшиеся два корня. На самом деле, никакой проблемы нет: оставшимися корнями уравнения в данном случае являются оставшиеся кубические корни из -q (они мнимые). Фактически, \sqrt[3] можно записать так: \sqrt[3] = \sqrt[3] \cdot \sqrt[3]{1}, где \sqrt[3] - "обычный", действительный корень из -q, \sqrt[3]{1} = \{ 1,{\varepsilon _1},{\varepsilon _2}\}.

text: Казалось бы, в данном случае можно было обойтись одной единственной формулой. Но если требуется, чтобы неравенство a \ge b было по-прежнему верным, необходимо рассмотреть два разных случая, для q>0 и для q<0, что и было сделано.
thread_title:  Другой вариант 

message: В кубическом уравнении x^3+px+q=0 сделать замену переменной с помощью одной из трех следующих подстановок:
*x = A\cos(\varphi ),
*x = Ach(\varphi ),
*x = Ash(\varphi ).
Подстановка выбирается таким образом, чтобы в результате нашелся действительный корень \varphi. Далее нужно подобрать параметр A таким образом, чтобы получилось одно из трех тождеств: 
*косинус тройного угла, 
*гиперболический косинус тройного угла, 
*гиперболический синус тройного угла.
Clothclub (обс.) 23:13, 3 марта 2023 (UTC)
thread_title:  Вывод формулы