Обсуждение:Евклидова геометрия

message: Об аксиомах Евклидовой геометрии
1.1. Об отношениях между точками и прямыми
1.1.1 Каждые две точки принадлежат по меньшей мере одной прямой.
replies: text: ~ \forall A_1 \ \forall A_2 \ \exist \{1,...\} a \ (\langle A_1,A_2 \rangle \in a \times a)
~ \Leftrightarrow \forall A_1 \forall A_2 \exist a \ (A_1 \in a \ \land \ A_2 \in a)

text: Следствия

text: Каждая точка принадлежит по меньшей мере одной прямой.

text: ~ \forall A \ \exist a \ (A \in a)
~ \Leftrightarrow \forall A \ \exist \{1,...\} a \ (A \in a)

text: Каждые две различные точки принадлежат по меньшей мере одной прямой.

text: ~ \forall A_1 \forall A_2 \ (A_1 \ne A_2 \to \exist a \ (\langle A_1,A_2 \rangle \in a \times a))
1.1.2 Каждые две различные точки принадлежат самое большее одной прямой.

text: ~ \forall A_1,A_2 \ (A_1 \ne A_2 \to \exist \{0,1\} a \ (\langle A_1, A_2 \rangle \in a \times a))  
~ \Leftrightarrow  \forall A_1 \forall A_2 \ (A_1 \ne A_2 \to \forall a_1 \forall a_2 \ (A_1 \in a_1 \ \land \ A_2 \in a_1 \quad \land \quad A_1 \in a_2 \ \land \ A_2 \in a_2 \to a_1 = a_2))

text: Следствие

text: Каждые две различные прямые пересекаются самое большее в одной точке.

text: ~ \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 \ne a_2 \to \forall A_1 \forall A_1 \ (A_1 \in a_1 \ \land \ A_1 \in a_2 \quad \land \quad A_2 \in a_1 \ \land \ A_2 \in a_2 \to A_1 = A_2))
~ \Leftrightarrow \forall a_1 \forall a_2 \ (a_1 \ne a_2 \to \exist \{0,1\} A \ (A \in a_1 \cap a_2))
1.1.3 Какова бы ни была прямая, существуют по меньшей мере три точки, из которых одна [точка] не принадлежит данной прямой.

text: ~ \forall a \ \exist A_1,A_2,A_3 \ (A_1 \ne A_2 \ \land \ A_1 \ne A_3 \ \land  \ A_2 \ne A_3 \quad \land \quad A_1 \in a \ \land \ A_2 \in a \ \land \ A_3 \notin a)
1.2. Об отношениях между точками и плоскостями
1.2.1 Если одна точка принадлежит двум плоскостям, тогда существует ещё одна точка, принадлежащая этим плоскостям.

text: ~ \forall A_1 \ \forall \alpha_1 \ \forall \alpha_2 \ (A_1 \in \alpha_1 \cap \alpha_2 \to \exist A_2 \ (A_2 \ne A_1 \ \land \ A_2 \in \alpha_1 \cap \alpha_2)) 
1.2.2 Какова бы ни была плоскоть, существуют по меньшей мере четыре точки, из которых одна [точка] не принадлежит этой плоскости.

text: \begin{align} 
\forall \alpha \ \exist A_1,A_2,A_3,A_4 \ (A_1 \ne A_2 \ \land \ A_1 \ne A_3 \ \land \ A_1 \ne A_4 \ \land \ A_2 \ne A_3 \ \land \ A_2 \ne A_4 \ \land \ A_3 \ne A_4 
\\ \  
\land \ A_1 \in \alpha \ \land \ A_2 \in \alpha \ \land \ A_3 \in \alpha \ \land \ A_4 \notin \alpha) 
\end{align} 
1.3. Об отношениях между точками, прямыми и плоскостями.
1.3.1.1 Каждые три точки, не лежащие на одной прямой, принадлежат по меньшей мере одной плоскости.

text: ~ \forall A_1,A_2,A_3 \ (\neg (\exist a \ (A_1 \in a \ \land \ A_2 \in a \ \land \ A_3 \in a)) \to \exist \alpha \ (A_1 \in \alpha \ \land \ A_2 \in \alpha \ \land \ A_3 \in \alpha))
1.3.1.2 Каковы бы ни три точки, не лежащие на одной прямой, существует самое большее одна плоскость, которой они принадлежат.

text: ~ \forall A_1,A_2,A_3 \ (\neg(\exist a \ (A_1 \in a \ \land \ A_2 \in a \ \land \ A_3 \in a)) \to \exist \{0,1\} \alpha \ (A_1 \in \alpha \ \land \ A_2 \in \alpha \ \land \ A_3 \in \alpha))
1.3.2 Если две различные точки принадлежат и одной прямой, и одной плоскости, тогда каждая точка этой прямой принадлежит этой плоскости.

text: ~ \forall A_1,A_2 \ \forall a \ \forall \alpha \ (A_1 \ne A_2 \ \land \ A_1 \in a \cap \alpha \ \land \ A_2 \in a \cap \alpha \to \forall A \ (A \in a \to A \in \alpha))
1.3.3 Аксиома параллельности

text: ~ \forall A \ \forall a \ \forall \alpha \ (A \in \alpha \ \land \ A \notin a \ \land \ a \subseteq \alpha \to \exist \{1\} a_1 \ (A \in a_1 \ \land \ a_1 \subset \alpha \ \land \ a_1 \cap a = \varnothing)
2. О порядке
2.1 О порядке на прямой
2.1.1 Если точка ~ A_2, принадлежащая прямой ~ a, лежит между точками ~ A_1 и ~ A_3 этой же прямой, тогда точка ~ A_2 лежит между точками ~ A_3 и ~ A_1, при этом все эти точки попарно различны.

text: ~ \forall a \ \forall A_1,A_2,A_3 \ (A_1,A_2,A_3 \in a \ \land \ \langle A_1|A_2|A_3 \rangle \to \langle A_3|A_2|A_1 \rangle \ \land \ A_1 \ne A_2 \ \land \ A_1 \ne A_3 \ \land \ A_2 \ne A_3) 
2.1.2 Каковы бы ни были две различные точки ~ A_1 и ~ A_2, найдётся такая точка ~ A_3, что ~ A_2 лежит между точками ~ A_1 и ~ A_3.

text: ~ \forall A_1,A_2 \ \forall a \ (A_1 \ne A_2 \ \land \ A_1 \in a \ \land \ A_2 \in a \to \exist A_3 \ (A_3 \in a \ \land \ \langle A_1|A_2|A_3 \rangle))
2.1.3 Среди любых трёх попарно различных точек одной прямой есть самое большее одна точка, которая лежит между двумя другими [точками].

text: \begin{matrix} 
\forall A_1,A_2,A_3 \ \forall a \ (A_1 \ne A_2 \ \land \ A_1 \ne A_3 \ \land \ A_2 \ne A_3 \ \land \ A_1 \in a \ \land \ A_2 \in a \ \land \ A_3 \in a \quad \to 
\\ \ 
\neg (\langle A_1|A_3|A_2 \rangle \ \land \ \langle A_1|A_2|A_3 \rangle \ \lor \ \langle A_1|A_3|A_2 \rangle \ \land \ \langle A_2|A_1|A_3 \rangle \ \lor \ \langle A_1|A_2|A_3 \rangle \ \land \ \langle A_2|A_1|A_3 \rangle)) 
\end{matrix}
2.2 Аксиома Паша

text: \begin{align} 
\forall A_1,A_2,A_3 \ \forall b \ (\neg (\exist a \ (A_1 \in a \land A_2 \in a \land A_3 \in a)) \ \land \ b \subset A_1A_2A_3 
\\ \ 
\land \ A_1 \notin b \ \land \ A_2 \notin b \ \land \ A_3 \notin b \ \land \ b \cap (A_1A_2) \ne \varnothing 
\\ \ 
\to b \cap (A_2A_3) \ne \varnothing \ \veebar \ b \cap (A_3A_1) \ne \varnothing) 
\end{align}
--Галактион 19:54, 5 февраля 2009 (UTC)
thread_title: Untitled