Обсуждение:Основное тригонометрическое тождество

message: Уважаемые коллеги, только что я убрал со страницы появившееся там "доказательство", но, чтобы не возникало соблазна вставить его туда снова. привожу его здесь с комментариями.
replies: text: c=\sqrt{a^2+b^2}

text: \sin A = \frac{a}{c} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}

text: \cos A = \frac{b}{c} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

text: \begin{matrix}\sin^2(A) + \cos^2(A) & = & \left( \frac{a}{c} \right)^2 + \left( \frac{b}{c} \right)^2 \\ \ & = & \left ( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right )^2 + \left ( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right )^2 \\ \ & = & \left ( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \times \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right ) + \left ( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \times \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right ) \\ \ & = & \frac{a^2}{\left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^2} + \frac{b^2}{\left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^2} \\ \ & = & \frac{a^2}{a^2 + b^2} + \frac{b^2}{a^2 + b^2} \\ \ & = & \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} \\ \ & = & 1\end{matrix}
Или:

text: \begin{matrix}\sin^2(A) + \cos^2(A) & = & \left( \frac{a}{c} \right)^2 + \left( \frac{b}{c} \right)^2 \\ \ & = & \left ( \frac{a}{c} \times \frac{a}{c} \right ) + \left ( \frac{b}{c} \times \frac{b}{c} \right ) \\ \ & = & \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} \\ \ & = & \frac{a^2 + b^2}{c^2} \\ \ & = & \frac{a^2 + b^2}{\left(\sqrt{a^2 + b^2}\right)^2} \\ \ & = & \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} \\ \ & = & 1\end{matrix}
Итак, во-первых, использование синуса и косинуса как соотношений сторон прямоугольного треугольника резко сужает область определения: угол A получается заключённым между 0 и \frac{\pi}{2}, тогда как на самом деле пресловутое ОТТ выполняется для произвольных значений A.   Во-вторых, общепринятая формулировка теоремы Пифагора такова: в произвольном прямоугольном треугольнике на плоскости сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.  Соотношение c=\sqrt{a^2+b^2}, формально говоря, есть не сама теорема Пифагора, а её следствие (хотя в иных обстоятельствах я бы сам сказал, что разделять их глупо, поскольку они друг в друга переходят за один шаг -- но в данном случае в "доказательстве" кто-то уже исходит из предположения, что это не одно и то же; ну так вот если это отличать от c^2 = a^2 + b^2, то теоремой Пифагора будет второе равенство, а не первое); в этой связи совершенно непонятно, зачем исходить из этого, если учесть, что на следующем шаге этот радикал возводится обратно в квадрат.
Ну а в-третьих, и в-главных, реально "доказательством" О.Т.Т. является вот этот вот абзац, присутствовавший в статье с самого начала:
Основное тригонометрическое тождество представляет собой запись теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге; длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза, будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице.
Подчёркиваю, это и есть доказательство.  Причём здесь используется определение синуса и косинуса для произвольного аргумента (синус и косинус как абсцисса и ордината точки пересечения луча с единичной окружностью), а не только для углов, допустимых в прямоугольном треугольнике.  Поскольку доказательство тривиально, нигде в мире, кроме России, никто не делает различия между самой теоремой Пифагора и этим вот (тривиальным!) следствием из неё, и только у нас придумали это вот название "основное тригонометрическое тождество".  Возвращаясь к вышеприведённому "доказательству", я хотел бы подчеркнуть, что доказательства в математике нужны, чтобы было понятно, почему дела обстоят так, а не иначе; уж если приводить доказательство через треугольник, оно должно выглядеть совершенно по-другому, например: a = c \cos A, b = c \sin A, следовательно, по теореме Пифагора, c^2 = c^2 \cos^2 A + c^2 \sin^2 A, следовательно \sin^2 A + \cos^A = 1, что и требовалось доказать.  Однако приводить такое доказательство в статье было бы несколько странно, потому что. как я уже сказал, описываемое тождество выполняется для произвольных аргументов функций, а не только для углов первой четверти. DrCroco 21:32, 1 февраля 2012 (UTC)
91.201.112.224 14:02, 22 декабря 2014 (UTC)Виктор Коваленко
thread_title:  Для любителей доказательств