Обсуждение:Замечательные пределы

message: Господи, народ, ну нельзя через правило Лопиталя доказывать замечательные пределы.
Ведь правило Лопиталя сводится к нахождению производных. А сама производная - и есть предел.
А как выводили производную того же синуса? Через замечательный тригонометрический предел :)
Замкнутый круг получается, товарищи :)
----
А что значит замечательный тригонометрический предел?? Меня это убило! Ну нельзя же так издеваться над матанализом! Есть общепринятые названия! Первый замечательный предел, второй замечательный предел.212.118.55.254 17:30, 23 января 2008 (UTC)
В этой статье, наверное, при выведении предела sin (x)/ x имеются в виду знаки нестрого неравенства <=. По крайней мере неравенство 1<x<1 , возможно, не имеет решений.
````
thread_title: Untitled

message: Прям так и написано: \lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e для любого x. Это для какого такого любого x, если x \to \infty? --194.187.205.103 15:26, 17 января 2009 (UTC)
replies: text: Извиняюсь, моя работа. Исправил.  Pripyat 17:55, 17 января 2009 (UTC)
----
в последнем пределе доказательство неверно. Нельзя заменять функцию на эквивалентную в сумме.
Можно сделать обратную замену в знаменателе и сослаться на предыдущий предел и теорему о пределе композиции. 
 84.204.246.5 20:50, 7 марта 2009 (UTC)
какой именно предел ... Pripyat 13:54, 8 марта 2009 (UTC)

text: Подчистил. --AvoscoΤΟΛΚ 17:18, 8 марта 2009 (UTC)
thread_title:  Странность 

message: А может просто назвать: "Следствия из второго замечательного предела", а не эти замечательные. Честно говоря, впервые вижу подобные названия для следствий из замечательных пределов.
thread_title:  Замечательные показательные и другие примеры 

message: Вообще второй замечательный предел очень просто доказывается через логарифмирование и потенцирование подлимитного выражения по натуральному основанию:
\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = \lim_{x \to \infty}e^{ln (1 + \frac{1}{x})^x} = \lim_{x \to \infty}e^{x * \frac{1}{x}} = e 
* Второй переход непонятен. Куда исчез логарифм? И в каких конкретно книжках было опубликовано это доказательство? Если ни в каких, то см. ВП:ОРИСС. -- X7q 13:18, 7 июня 2011 (UTC)
* Степень подлогарифмического выражения выносится как множитель перед логарифмом (по свойству логарифма), а сам логарифм упрощается, так как из разложение натурального логарифма в ряд следует, что: ln (1 + а) ≈ a, при бесконечно малом "а". Сам по себе приём является "классическим" для разрешения неопределённостей типа [1^{ \infty}].
** Так в ряд ведь надо раскладывать x ln(1 + 1/x), а не просто ln(1 + 1/x), иначе это не доказательство - у вас там неопределенность вида ∞ * 0. -- X7q 15:12, 8 июня 2011 (UTC)
* Нууу, это дело вкуса. Раскладывать в ряд сразу произведение, или по сомножителям. В любом случае сначала раскладываешь в ряд логарифм, потом умножаешь на множитель. Есть ещё ряд стандартных выражений, т.е. первых членов рядов, например для бесконечно малого alpha:
** \sin\alpha\thicksim\alpha;
** \cos{\alpha}\thicksim 1-\frac{\alpha^2}{2};
** \mathrm{tg}\,\alpha\thicksim\alpha;
** \arcsin{\alpha}\thicksim\alpha;
** \mathrm{arctg}\,\alpha\thicksim\alpha;
** \log_a(1+\alpha)\thicksim\alpha\cdot\frac{1}{\ln{a}}, где a>0;
** \ln(1+\alpha )\thicksim\alpha;
** a^{\alpha}-1\thicksim\alpha\cdot\ln{a}, где a>0;
** e^{\alpha}-1\thicksim\alpha;
и т.д.
Правила раскрытия неопределённостей:
replies: text: ~0^0=e^{0\cdot ln{0}}=e^{0\cdot\infty}

text: ~1^\infty=e^{\infty\cdot ln{1}}=e^{\infty\cdot 0}

text: ~\infty^0=e^{0\cdot ln{\infty}}=e^{0\cdot\infty}
Далее по старшей степени.
* В таком случае, данную эквивалентность \ln(1+\alpha )\thicksim\alpha; надо доказать, не используя замечательного предела. Иначе, все равно, что там через производную или ряд Тейлора. А так, Вы просто используете следствие недоказанной теоремы для доказательства самой теоремы (используете следствие из второго замечательного предела для доказательства его же)Pripyat 04:49, 4 октября 2013 (UTC)
thread_title:  Уточнение 

message: Вопрос математикам - корректно ли второе доказательство через ряд Тейлора? Ведь, чтобы получить ряд тейлора надо знать производную синуса, а чтобы знать производную синуса в окрестности 0, нужно знать первый замечательный предел. Получается порочный круг "доказательства". --Рулин 12:01, 31 октября 2012 (UTC)
replies: text: Нет, не корректно. Как раз таки по названной Вами причине! Ни Тейлором, ни Лопиталем (ничем, где есть производная) нельзя доказывать эти пределы. Второй способ доказательства удален (как минимум, из-за отсутствия АИ, а их наверняка не будет). Pripyat 11:01, 1 ноября 2012 (UTC)
thread_title:  Через ряд Тейлора 

message: Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса <...> последовательность <...> монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e.
Из теоремы Вейерштрасса следует, что существует такая константа e, которая равна значению предела. Выше доказано, что эта константа находится между 2 и 3. То, что эта e равна математической константе e НЕ доказано. Или я что-то не понимаю, или тот, кто поставил гиперссылку, идёт на пересдачу... 31.163.184.78 08:30, 22 июня 2013 (UTC)
thread_title:  про теорему Вейерштрасса 

message: Может кто-нибудь добавить хоть немного информации про историю этого термина? Похоже что кто-то когда-то записал стёб преподавателя на лекции в книгу, и так и закрепилось. Сомневаюсь, что Эйлер называл эти пределы замечательными, чудесными, великолепными или восхитительными. 91.77.227.203 12:52, 28 июня 2013 (UTC)
* Замечательный — в смысле чтобы заметить. :) Firsto 15:18, 4 августа 2014 (UTC)
thread_title:  Замечательный 

message: Потомучто при х = 0 
Sin исчезает.
Это - то же что 1 литр 
был бы 1 килограмм.
С уважением к эфемериям. ( андроид )) 85.140.78.241 12:35, 23 ноября 2016 (UTC)
* Шта?! Soshenkov (обс.) 16:18, 15 мая 2022 (UTC)
thread_title:  Предела lim ( Sin (x) / x ) при x стремящемся 0 - не существует. 

message: Математика - без рисунков! 95.170.140.146 08:47, 21 июля 2017 (UTC)
thread_title:  Сменить доказательство 

message: Ой как нужно! (Планы кое-какие есть.)) Просто на заметку разбирающимся в английском сегменте. [ШагдашМар|Критика|Хроники] 18:56, 29 мая 2020 (UTC)
thread_title:  Интервики