Обсуждение:Метрическое пространство

message: «Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу этого пространства.»
Обязательно ли к элементу из этого множества? Если следовать такому определению то множество (0,1) не полное (метрика стандартная), так как последовательность \left\{\frac{1}{n}\right\}, n \in \mathbb{N} фундаментальная, но сходится не к элелементу этого множества.
Я тут посмотрел. Нигде не оговаривается к точке из этого множества или нет. Сорокин 09:46, 18 января 2007 (UTC)
Конечно же, пространство (0,1) не полное! Вообще, никаких точек, кроме точек самого пространства, не рассматривается. --a_dergachev 17:42, 27 апреля 2008 (UTC)
thread_title:  Метрическое пространство называется полным 

message: Неравенство треугольника означает что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y и потом от y до z.
Почему бы просто не написать, что прямой путь короче (не длинее) окольного? Это же работает и для графов. То есть прямой — самый короткий.
replies: text: не, прямой это прямой, а короткий это короткий, не надо путать мягкое с тёплым. --Tosha 22:33, 20 октября 2005 (UTC)
replies: text: : Мне не известно что человек с багажём математических знаний понимает под словом прямой, я просто пользуюсь русским языком: прямой на Грамота.ру Я ясно читаю: прямое соединение = непосредственное, неокольное, некосвенное. Похоже вас циклит на математике с её определениями, вы чураетесь русского языка. Наконец, где вы вычитали что, прямой = короткий? — Фраза «мёд дешевле сахара» не утверждает, что стоимость принадлежит тому же пространству, что и пища. Краткость у нас характеристика расстояния, тогда как прямота (кривизна) — пути. Нас в школе тоже учили не путать эти понятия :) --213.219.74.59 12:56, 24 октября 2005 (UTC)
replies: text: :: И что такое кривизна в метрическом пространстве (представьте пространство с конечным числом точек)? Для определения кривизны нужна как минимум структура риманова многообразия. Поэтому неравенство треугольника можно формулировать только в терминах расстояний. halyavin 14:03, 24 октября 2005 (UTC)
replies: text: ::: При чём тут кривизна риманова простратства? Загляните в словарь русского языка, «кривой» это — антоним слову «прямой». Истинно говорю вам, «клинит» вас на математике, вы русский язык забываете.
replies: text: :::: уверяю тебя, Halyavin и Tosha тоже совершенно разные понятия, я это по школе знаю)
и если Toshu может и «клинит», то Halyavina стоит послушать. И еще, вряд ли в этот раздел будет заходить тот человек, который не слышал слово «риманов». Насчет использования русских слов, еще надо заглянуть теорию множеств, которая связана с computer science и посмотреть каким слогом написаны там статьи и насколько изобилуют словами однокореными с «сюрьективное».
thread_title:  Неравенство треугольника 

message: «любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния d(x, y) = ||y — x||, в случае конечной размерности это называется пространством Минковского (не надо путать с другим пространством Минковского).» — то пространство Минковского, которое другое, я знаю, а про это первый раз слышу. Можно источник? Сорокин 22:26, 9 января 2007 (UTC)
 — искажено поняние пространства Минковского. Сорокин 22:26, 9 января 2007 (UTC)
Я тоже никогда такого не слышал. Alexsmail 12:03, 2 мая 2007 (UTC)
replies: text: Надеюсь теперь все удвлетворены. --Тоша 19:08, 2 мая 2007 (UTC)
replies: text: :Нет, конечно. :-) В смысле, ссылкой удовлетверены, но в моём куске падежи не были согласованы. Уже исправил. :-) Alexsmail 22:46, 2 мая 2007 (UTC)
thread_title: пространство Минковского

message: А как по-русски proper space, т.е. пространство в котором замкнутые шары компактны? --Тоша 22:56, 16 июня 2008 (UTC)
thread_title:  Proper space 

message: Из статьи: "В математике метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов." Исходя из определения, название метрическое множество было бы логичнее  Fractaler 12:56, 7 октября 2008 (UTC)
(*) Может и было бы, но общепринят термин "метрическое пространство". Вообще слово пространство во много синонимично слову множество.
forodirch 20:44, 16 апреля 2011 (UTC)
thread_title:  метрическое множество 

message: В статье есть место для упоминания системы координат и размерности? --Nashev 11:02, 6 апреля 2013 (UTC)
thread_title:  Система координат 

message: Мне совершенно не нравится конспективный стиль изложения материала. Почему вместо связного энциклопедического текста, мы здесь имеем сводку утверждений? И, вообще, производят крайне удручающее впечатление искусственные попытки уменьшить количество слов там, где заведомо необходимо (особенно, в определениях) излагать развёрнуто. Что это такое:
replies: text: (подлежащее множество метрического пространства, множество точек метрического пространства)?
Откуда взялось «подлежащее множество», и зачем, вообще, здесь скобки, когда это всё должно быть без скобок: это не пояснение, а само определение! Читаем:

text: числовая функция (метрика пространства), которая определена
Кто так пишет? В любом учебнике или монографии всегда пишут так: «функция расстояния — это …». То есть, функция расстояния — это числовая функция, определённая на декартовом произведении множества точек метрического пространства и обладающая рядом свойств, и делающих функцию, функцией расстояния.

text: следует неотрицательность функции расстояния
А где в статье написано, что метрика и функция расстояния суть одно и тоже? Вот к чему приводит желание употребить как можно меньше слов! И что это за раздел «Связанные определения»? Почему в этом разделе свалены в одну кучу совершенно разнородные вещи? А вот это шедевр:

text: Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
Хочется спросить: каким именно образом? Заглядываем в статью Метризуемое пространство и видим там:

text: Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.
И это всё вместо чёткого математического определения:

text: «Метризуемое пространство — это топологическое пространство, в котором можно задать метрику, индуцирующую заданную в данном пространстве топологию.»
Вообще, энциклопедическая статья должна содержать не перечисления утверждений (особенно, слабо связанных друг с другом), а описания понятий и проблем, связанных с описываемыми понятиями. А здесь нет даже подхода ни к одной проблеме, включая метризуемость. В результате, получается неэнциклопедическая статья, напоминающая свалку всевозможной информации, которую невозможно править. Спрашивается: зачем всё это для читателя? --OZH 19:56, 2 декабря 2013 (UTC)
=== Как надо бы делать ===
Мой подход совершенно другой. Ниже дан пример, как может выглядеть преамбула статьи и раздел с определениями, содержащие понятные для читателя объяснения понятий. --OZH 20:03, 2 декабря 2013 (UTC)
==== Преамбула статьи ====
Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.
На одном и том же множестве могут быть заданы различные функции расстояния, или, что тоже самое, метрики: каждая метрика задаёт своё метрическое пространство.
Каждое нормированное или евклидовое пространство является в то же время и метрическим пространством, поскольку заданные в них норма и скалярное произведение порождают соответствующую им функции расстояния.
Всякое метрическое пространство является вместе с тем и топологическим пространством, в частности, метрическое пространство является хаусдорфовым пространством — топологическим пространством, в котором любые две различные точки отделимы друг от друга. Важнейшая часть исследований в общей топологии посвящена решению вопроса о метризуемости тех или иных топологических пространств.
Особое место среди метрических пространств занимают полные метрические пространства, в которых сходится каждая фундаментальная последовательность.
==== Раздел «Определения» ====
Метрическое пространство есть упорядоченная пара  (X,\;d), где X — множество элементов (точек) произвольной природы, а d — числовая функция, которая определена на декартовом произведении X\times X, принимает значения в множестве вещественных чисел и удовлетворяет трём аксиомам — аксиомам метрического пространства — и, в соответствии с этим называется функцией расстояния или метрикой. Каждая метрика порождает на одном и том же множестве своё метрическое пространство: вообще говоря, 
 (X,\;{d}_1) и (X,\;d_2) — различные метрические пространства для d_1\ne d_2.
===== Метрика =====
Функция d\colon X\times X\to R, которая удовлетворяет следующим трём аксиомам:
# d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y (аксиома тождества).
# d(x,\;y)=d(y,\;x) (аксиома симметрии).
# d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z) (аксиома треугольника или неравенство треугольника).
называется метрикой.
===== Изометрия =====
Между различными метрическими пространствами (X,\;d_X) и (Y,\;d_Y) может существовать взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее расстояние; если такое соответствие существует, то оно называется изометрией, а пространства, связанные таким соответствием, называются изометричными. Изометричные пространства обладают одними и теми же свойствами, и, поэтому, считаются тождественными.
===== Подпространство =====
Если задано подмножество M множество X, то, рассматривая сужение d_M=d_X\Big|_M метрики d_X на множество M, можно получить метрическое пространство (M,\;d_M), которое называется подпространством пространства (X,\;d).
thread_title:  Конспективный стиль изложения 

message: Мой подход совершенно другой. Ниже дан пример, как может выглядеть преамбула статьи и раздел с определениями, содержащие понятные для читателя объяснения понятий. --OZH 20:03, 2 декабря 2013 (UTC)
==== Преамбула статьи ====
Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.
На одном и том же множестве могут быть заданы различные функции расстояния, или, что тоже самое, метрики: каждая метрика задаёт своё метрическое пространство.
Каждое нормированное или евклидовое пространство является в то же время и метрическим пространством, поскольку заданные в них норма и скалярное произведение порождают соответствующую им функции расстояния.
Всякое метрическое пространство является вместе с тем и топологическим пространством, в частности, метрическое пространство является хаусдорфовым пространством — топологическим пространством, в котором любые две различные точки отделимы друг от друга. Важнейшая часть исследований в общей топологии посвящена решению вопроса о метризуемости тех или иных топологических пространств.
Особое место среди метрических пространств занимают полные метрические пространства, в которых сходится каждая фундаментальная последовательность.
==== Раздел «Определения» ====
Метрическое пространство есть упорядоченная пара  (X,\;d), где X — множество элементов (точек) произвольной природы, а d — числовая функция, которая определена на декартовом произведении X\times X, принимает значения в множестве вещественных чисел и удовлетворяет трём аксиомам — аксиомам метрического пространства — и, в соответствии с этим называется функцией расстояния или метрикой. Каждая метрика порождает на одном и том же множестве своё метрическое пространство: вообще говоря, 
 (X,\;{d}_1) и (X,\;d_2) — различные метрические пространства для d_1\ne d_2.
===== Метрика =====
Функция d\colon X\times X\to R, которая удовлетворяет следующим трём аксиомам:
# d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y (аксиома тождества).
# d(x,\;y)=d(y,\;x) (аксиома симметрии).
# d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z) (аксиома треугольника или неравенство треугольника).
называется метрикой.
===== Изометрия =====
Между различными метрическими пространствами (X,\;d_X) и (Y,\;d_Y) может существовать взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее расстояние; если такое соответствие существует, то оно называется изометрией, а пространства, связанные таким соответствием, называются изометричными. Изометричные пространства обладают одними и теми же свойствами, и, поэтому, считаются тождественными.
===== Подпространство =====
Если задано подмножество M множество X, то, рассматривая сужение d_M=d_X\Big|_M метрики d_X на множество M, можно получить метрическое пространство (M,\;d_M), которое называется подпространством пространства (X,\;d).
thread_title:  Как надо бы делать 

message: Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.
На одном и том же множестве могут быть заданы различные функции расстояния, или, что тоже самое, метрики: каждая метрика задаёт своё метрическое пространство.
Каждое нормированное или евклидовое пространство является в то же время и метрическим пространством, поскольку заданные в них норма и скалярное произведение порождают соответствующую им функции расстояния.
Всякое метрическое пространство является вместе с тем и топологическим пространством, в частности, метрическое пространство является хаусдорфовым пространством — топологическим пространством, в котором любые две различные точки отделимы друг от друга. Важнейшая часть исследований в общей топологии посвящена решению вопроса о метризуемости тех или иных топологических пространств.
Особое место среди метрических пространств занимают полные метрические пространства, в которых сходится каждая фундаментальная последовательность.
thread_title:  Преамбула статьи 

message: Метрическое пространство есть упорядоченная пара  (X,\;d), где X — множество элементов (точек) произвольной природы, а d — числовая функция, которая определена на декартовом произведении X\times X, принимает значения в множестве вещественных чисел и удовлетворяет трём аксиомам — аксиомам метрического пространства — и, в соответствии с этим называется функцией расстояния или метрикой. Каждая метрика порождает на одном и том же множестве своё метрическое пространство: вообще говоря, 
 (X,\;{d}_1) и (X,\;d_2) — различные метрические пространства для d_1\ne d_2.
===== Метрика =====
Функция d\colon X\times X\to R, которая удовлетворяет следующим трём аксиомам:
# d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y (аксиома тождества).
# d(x,\;y)=d(y,\;x) (аксиома симметрии).
# d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z) (аксиома треугольника или неравенство треугольника).
называется метрикой.
===== Изометрия =====
Между различными метрическими пространствами (X,\;d_X) и (Y,\;d_Y) может существовать взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее расстояние; если такое соответствие существует, то оно называется изометрией, а пространства, связанные таким соответствием, называются изометричными. Изометричные пространства обладают одними и теми же свойствами, и, поэтому, считаются тождественными.
===== Подпространство =====
Если задано подмножество M множество X, то, рассматривая сужение d_M=d_X\Big|_M метрики d_X на множество M, можно получить метрическое пространство (M,\;d_M), которое называется подпространством пространства (X,\;d).
thread_title:  Раздел «Определения» 

message: Функция d\colon X\times X\to R, которая удовлетворяет следующим трём аксиомам:
# d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y (аксиома тождества).
# d(x,\;y)=d(y,\;x) (аксиома симметрии).
# d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z) (аксиома треугольника или неравенство треугольника).
называется метрикой.
thread_title:  Метрика 

message: Между различными метрическими пространствами (X,\;d_X) и (Y,\;d_Y) может существовать взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее расстояние; если такое соответствие существует, то оно называется изометрией, а пространства, связанные таким соответствием, называются изометричными. Изометричные пространства обладают одними и теми же свойствами, и, поэтому, считаются тождественными.
thread_title:  Изометрия 

message: Если задано подмножество M множество X, то, рассматривая сужение d_M=d_X\Big|_M метрики d_X на множество M, можно получить метрическое пространство (M,\;d_M), которое называется подпространством пространства (X,\;d).
thread_title:  Подпространство 

message: По поводу этого  отката: Конечно же расстояние и длина пути вещи разные, однако в интуитивном объяснении вполне можно ссылаться на длину пути.
(Я собираюсь откатить назад через пару дней.) ⰕⰑⰞⰀ·Ⱁⰱⱄ 16:54, 14 декабря 2023 (UTC)
thread_title:  интуитивное понимание