Обсуждение:Аксиома

message: Цитата:
Набор аксиом может быть установлен произвольно, однако правильным он является только при соблюдении следующих условий:
    * Аксиомы одного набора не должны противоречить друг другу.
    * Из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя сделать противоречивых выводов.
Это не одно и то же? Может быть, имелось в виду одно из этих требований заменить на невыводимость одной аксимомы из всех остальных?  
Aldanur 12:28, 14 Окт 2004 (UTC)
replies: text: По-моему это правильно... Ведь Вы заранее не знаете сколько и каких логических действий Вы можете сделать, чтобы доказать противоречивость, а на первый взгляд — аксиомы не противоречивы.
replies: text: : Вы имеете в виду, что эти два определения на самом деле различны? Не понимаю. Что такое «на первый взгляд» и «логическое действие» в математике?  Казалось бы, если аксиомы друг другу противоречат, то они сами по себе «противоречивые выводы», а если из аксиом следуют противоречивые утверждения, то это и значит, что они сами друг другу противоречат...

text: :Aldanur 13:16, 14 Окт 2004 (UTC)
Проблема аксиоматики интересует меня давно, однако ни обращение к литературным источникам, ни многочисленные беседы как с философами, так и с физиками не внесли, к сожалению, необходимой ясности и не оставили иного выбора, кроме попытки разобраться в ней самостоятельно. Широта спектра мнений о различиях между логическими категориями аксиомы, постулата и гипотезы не только у физиков, но и у философов, и даже у математиков поразительна! Для многих это чуть ли не одно и тоже. Тем не менее, оценка степени научности той или иной работы без четкого определения этих понятий немыслима. Надеюсь, что после обсуждения и возможной коррекции, предлагаемая классификация найдет понимание и поддержку у большинства ученых: 
1. Знание абсолютное или аксиома – утверждение, в рамках данной логической схемы исключающее противоположное по смыслу (альтернативное) и в принципе не допускающее возможности опровержения каким бы то ни было опытом.
2. Знание относительное или постулат – утверждение, в рамках данной системы не выводящееся из аксиом, верность которого установлена опытным путем, но логически допускающее возможность альтернативного.
3. Истина вероятная или гипотеза – предложение, логически эквивалентное постулату, принимаемое до опыта, однако допускающее опытную проверку хотя бы в принципе.
4. Истина возможная, то есть вера или тезис – высказывание, не противоречащее как основным положениям данной логической схемы, так и ее прямым следствиям, но опытом не устанавливаемое. Может оказаться следствием посылок или теоремой.
 
Излишне говорить, что все категории истины должны быть логически самосогласованны и конкретны, то есть не допускать разночтений. Высказывание, само по себе противоречивое, является абсурдом и не может претендовать ни на какую категорию истинности.
Аксиомы и постулаты нельзя "принять" или "не принять", их можно только установить и сформулировать. Логическая возможность альтернативы или сомнение в корректности эксперимента автоматически переводят их в разряд тезиса либо гипотезы.
Любая гипотеза, по мере развития экспериментальной техники и совершенствования средств наблюдения, может либо приобрести статус постулата, либо быть опровергнута, как несостоятельная. Ни один постулат, ни при каком уровне науки, статуса аксиомы не приобретает – всегда остается возможность либо проведения эксперимента, в котором выявится ограниченность области его применения, либо формулирования логической схемы, где он станет частным (предельным) случаем положений более общих. Прямые следствия из истин соответствующего разряда являются истинами того же разряда. Следствия из истин различных разрядов являются истинами низшего разряда из использованных для их вывода.
Аксиомы и тезисы, как положения безотносительные к эмпирике, могут быть сформулированы на любом этапе развития представлений о реальности. Аксиома с необходимостью содержит слово "есть" – в качестве эквивалента знака равенства, разделяющего обозначение понятия и его определение, как несущего смысловую нагрузку термина. Этим же утверждается безусловная уверенность субъекта в наличии определяемого в единый с ним момент настоящего, то есть абсолютное знание может быть только аксиомой существования в категориях "здесь" и "сейчас". В полной мере требованию аксиоматичности удовлетворяют лишь определения математических объектов; в философии - концепция субъективного идеализма. В качестве базовых положений естественнонаучных теорий могут использоваться только постулаты, однако их развитие допускает привлечение любых категорий истины пока какие-то следствия не вступают в противоречие с твердо установленными фактами, ограничивающими область применения данной теории. Исходящие из гипотетических предположений натурфилософские "теории", получают статус истинно научных лишь после подтверждения исходных положений опытом. Практическая применимость их следствий основанием для получения такого статуса не является.
 Tarkal 16:22, 16 марта 2009 (UTC)
Действительно, истинность высказываний можно определять по-разному.

text: Примеры

text: ~ f(a \ \land \ b) = \mathrm{min}(f(a), \ f(b)), \qquad f(a \ \lor \ b) = \mathrm{max}(f(a), \ f(b))

text: ~ f(a \ \land \ b) = f(a) \cdot f(b), \qquad \qquad \ \ f(a \ \lor \ b) = f(a) + f(b) - f(a) \cdot f(b)
thread_title: Untitled

message: I. Аксиомы связи
Примеры аксиом связи
1.1 Аксиома объёмности (аксиома связи между предикатом ~ \in и предикатом ~  =)
replies: text: ~ \forall a \forall b \ ( \ \forall c \ (c \in a \leftrightarrow c \in a) \to a = b) 
1.2 Аксиома связи между предикатом ~ = и произвольным предикатом ~ \varphi

text: ~ \forall a \forall b \ (a = b \to (\varphi[a] \to \varphi[b] \ ))
1.3 Аксиома связи между отношением  ~ \le (меньше или равно) и действием ~ + (сложить) во множестве вещественных чисел

text: ~ \forall x \forall y \forall z \ (x \in \mathbb{R} \ \land \ y \in \mathbb{R} \ \land \ z \in \mathbb{R} \to (x \le y \to x + z \le y + z) \ )
1.4 Аксиома связи между действием ~ + (сложить) и действием ~ \cdot (умножить) во множестве вещественных чисел

text: ~ \forall x \forall y \forall z \ (x \in \mathbb{R} \ \land \ y \in \mathbb{R} \ \land \ z \in \mathbb{R} \to (x + y) \cdot z = (x \cdot z) + (y \cdot z) \ )
II. Аксиомы существования
1. Известны аксиомы существования без условий
Примеры аксиом существования без условий
1.1. Аксиома [существования по меньшей мере одного] пустого множества

text: ~ \exist a \forall b \ (b \notin a)
1.2. Аксиома [существования по меньшей мере одного] бесконечного множества

text: ~ \exist a \ (\varnothing \in a \ \land \ \forall b \ (b \in a \to b \cup \{b\} \in a))
1.3. Аксиома [существования по меньшей мере одного] нуля в множестве целых чисел

text: ~ \exist n \ (n \in \mathbb{Z} \ \land \ \forall m \ (m \in \mathbb{Z} \to m + n = m))
2. Известны аксиомы существования с одним условием
Примеры
2.1. Аксиома регулярности в теории множеств

text: ~ \forall a \ (a \ne \varnothing \to \exist b \ (b \in a \ \land \ a \cap b = \varnothing))
2.2. Аксиома существования [по меньшей мере одного] противоположного элемента в множестве целых чисел.

text: ~ \forall n \ (n \in \mathbb{Z} \to \exist m \ (m \in \mathbb{Z} \ \land \ n + m = 0))
3. Известны аксиомы существования с двумя условиями
3.1. Аксиома о пролегании [по меньшей мере одной] прямой через любые две точки.

text: ~ \forall A_1[point] \ \forall A_2[point] \ \exist a[line] \ (\langle A_1, \ A_2 \rangle \in a \times a)
4. Известны аксиомы существования с тремя условиями
4.1 Аксиома выбора

text: \begin{align} 
\forall a \ (a \ne \varnothing \ \land \ \forall b \ (b \in a \to b \ne \varnothing) \ \land \ \forall b_1 \forall b_2 \ (\{b_1, b_2\} \subseteq a \to b_1 \cap b_2 = \varnothing) 
\\ \ 
\to \exists d \forall b \ (b \in a \to \exists c \ (b \cap d = \{c\}))) 
\end{align}
5. Известны аксиомы существования с более, чем тремя условиями
5.1 Аксиома непрерывности

text: \begin{align} 
\forall X \forall Y \ (X \ne \varnothing \ \land \ Y \ne \varnothing \ \land \ X \subset \mathbb{R} \ \land \ Y \subset \mathbb{R} \ \land \ \forall x \forall y \ (x \in X \ \land \ y \in Y \to x \le y) 
\\ \ 
\to \exists z (z \in \mathbb{R} \ \land \ \forall x \forall y (x  \in X \ \land \ y \in Y \to x \le z \le y))) 
\end{align}
Некоторые аксиомы допускают "потенциальное" ("креационистское") и "акстуальное" ("объективистское") толкование.

text: Пример

text: Через любые две разные точки можно провести не более, чем одну прямую.

text: Каждые две разные точки соединяет не более, чем одна прямая.
Некоторые аксиомы допускают только "актуальное" ("объективистское") толкование.

text: Пример

text: Каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка.
Указанное обстоятельство можно использовать для разграничения понятий "аксиома" и "постулат".
--79.142.87.130 14:31, 10 февраля 2009 (UTC)
thread_title:  Кое-какие замечания 

message: "Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым в достаточно сложных теориях существуют утверждения, которые не могут быть доказаны в рамках этой теории и принимаются без доказательств, являются аксиомами в рамках данной теории."
Если утверждение нельзя доказать, это еще не значит, что оно принимается без доказательств. Удаляю некорректное утверждение. Lantios 09:33, 27 января 2010 (UTC)
replies: text: в чем некорректность? Аксиома параллельности Евклида не может быть доказана в рамках геометрии Евклида и принимается как аксиома именно потому, что не получается доказать. В то же время в рамках неевклидовых геометрий - это уже теорема или вообще частный случай. Суть теорем Гёделя как раз в том и состоит, что в любой теории необходимы аксиомы, и что ими являются те высказывания, которые в рамках данной теории принципиально недоказуемы, но вполне очевидны и проверяемы/наблюдаемы на практике. Я подправил формулировку, чтобы акцентировать внимание, что это касается именно базовых, фундаментальных утверждений, а не любых ёще недоказанных.  KLIP game 10:15, 27 января 2010 (UTC)
replies: text: : Аксиома параллельности Евклида тривиально доказывается в рамках евклидовой геометрии (прямо следует из аксиоматики евклидовой геометрии). Аксиома параллельности Евклида не может быть очевидна или проверяема на практике, так как на практике не существует прямых и плоскостей. Суть теорем Гёделя, насколько я могу судить, вовсе не в том, что необходимы аксиомы. Сейчас в статье написано что-то очень странное. Lantios 17:49, 27 января 2010 (UTC)
replies: text: :: Насколько я помню школьный курс геометрии, Аксиома параллельности Евклида именно аксиома, и она не имеет «тривиального доказательства» (да и нетривиального так же не имеет) в рамках геометрии Евклида (прочтите статью).

text: :: «Суть теорем Гёделя, насколько я могу судить, вовсе не в том, что необходимы аксиомы.» ИМХО, их суть в том, что обязательно существует хотя бы одно высказывание, истинность которого в рамках данной теории не может иметь доказательства, т.е. это высказывание мы вынуждены принять истинным изначально. Иначе нам просто не на что опереться при дальнейших рассуждениях. А вот все остальные суждения логически доказываются на основе того, что начальные высказывания мы уже считаем истинными, хотя и не можем логически доказать эту истинность. Эти изначальные истинные высказывания и есть аксиомы в рамках данной теории. А в чём тогда по Вашему суть теорем Гёделя?  KLIP game 07:14, 28 января 2010 (UTC)
replies: text: :::Попробовал почитать стороннюю литературу и убедился, что я неправ, что в теоремах речь о другом. Подправил текст. KLIP game 07:52, 28 января 2010 (UTC)
thread_title:  Про Гёделя — некорректно 

message: Утверждение будто бы "аксиома — утверждение, ... принимаемое истинным без доказательств" некорректно ибо истинность и доказуемость - разные вещи. 
Прежде всего, бывают разные аксиомы - логические и специальные (нелогические).
Логические аксиомы вместе с правилами вывода определяют исчисление, в разных логических системах будут разные логические аксиомы (например, интуиционизм не признает закона исключенного третьего).
Нелогические (специальные) аксиомы - аксиомы конкретных теорий. Они принимаются в этой теории и из них и логических аксиом по определенным в логике же правилам вывода доказываются утверждения теоремы теории.
Об истине на этом уровне речи не идет и идти не может ибо истина - свойство утверждения (аксиомы или теоремы), привносимое интерпретацией данной теории, то есть модель. (Например, существуют различные модели геометрии, в которых 5-й постулат Евклида истинен, и существуют модели в которых он не является истинным, однако геометрии это "не мешает"). Логические же аксиомы должны быть истины в любой модели при принятии данной логике. (Семантическое обоснование исчисления).
Все доказуемые утверждения - теоремы данной теории - истины в любой ее интерпретации (модели), обратное же в общем случае неверно - существуют теории в моделях которых можно найти истинные утверждения, но не доказуемые в теории утверждения - неполные теории (например, элементарная формализованная теория чисел - теорема Геделя о неполноте). 
Таким образом, говорить, что "аксиомы - истины, принимаемые без доказательств" в корне неверно. Верно будет только то, что "нелогические аксиомы - утверждения, принимаемые в теории (без доказательств)".
Литература:
Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984.
Косовский Н.К. Элементы математической логики и ее приложения к теории субрекурсивных аглоритмов. Л.: ЛГУ, 1981.
217.71.225.58 18:27, 2 февраля 2010 (UTC)
**Если можете ещё и указать более точно сноску на ВП:АИ, можно запросто редактировать текст "согласно полседнему распоряжению ВЦСПС" :) (если кто будет не согласен, обудит или откатит, что также можно оспаривать). Т.е. ВП:Правьте смело! Fractaler 19:10, 2 февраля 2010 (UTC)
*** К сожалению, так явно профессионалы-логики в книжках не пишут, это вроде как само собой разумеющееся из духа науки математической логики, так при всех выкладках слово "истина" появляется только тогда, когда появляются семантические интерпретации (модели). Разумеется, в курсах логики преподаватели стараются разделять синтаксис (доказательство, вывод из аксиом в некотором логическом исчислении) и семантику (истинность в некоторых алгебраических структурах). Другое дело, что не всегда даже математики (не профессионалы в логике) четко разделяют истинность и доказуемость, что порождает путаницу.
Вот, кстати, хорошая ссылка: Ю.И.Манин "Доказуемое и недоказуемое", М. "Советское радио" 1979. Книга популярная, но написана профессионалом логиком, стоявшим у истоков компьютерной логики.
217.71.225.58 19:59, 2 февраля 2010 (UTC)
*Всё, что вы написали - очень интересно и нужно, но, дело в том, что для Википедии (таковы её правила) утверждения без ВП:АИ не существуют (любой может проставить {{нет АИ|03|02|2010}} и через определённое время удалить утверждение, если не будет АИ). За ссылки спасибо, как найду в букинисте (или в бибке возьму), обязательно проинформирую пользователей. Fractaler 07:56, 3 февраля 2010 (UTC)
thread_title:  Истина и доказуемость - разные вещи. Аксимома - не есть принимаемое за истину. 

message: В школе я проходил аксиомы, но не придавал им значения ввиду их очевидности. Фактически я пользовался не только самими аксиомами, но и теоремами в качестве аксиом: например теоремами о равенстве треугольников. Потом я узнал о неевклидовой геометрии, то есть, что последняя аксиома может быть и другой. Это заинтересовало меня системой аксиом.
Мои предложения следующие. Они не изменяют геометрию. В доказательстве о признаках равенства треугольников используются операции переноса и вращения. Это, конечно, очевидные и наглядные операции, но в аксиомах их нет. Поэтому лучше сделать так. Сам факт существования равных фигур вытекает из того, что все точки описываются одинаковыми аксиомами (все точки равноправны). Поэтому на любой другой точке можно построить фигуру, равную фигуре, построенной на заданной точке. Этим мы заменяем операцию переноса. Аналогично нет и выделенных направлений (углов). Этим мы заменяем операцию вращения, которая, хотя и очевидна, но не содержится в аксиомах. Отдельно для этих операций аксиомы вводить не нужно, так как это вытекает из одинаковости всех точек и равных углов.
Последнюю аксиому о параллельных лучше заменить аксиомой о сумме углов треугольника. Этим мы избавимся от бесконечности. ---Яков. 83.149.48.96 21:27, 17 августа 2012 (UTC)
* Во-первых, Вы с этим предложением не по адресу. Здесь не научный журнал и не ученое общество, где обсуждается наука и ее новые направления, - здесь место, где собирается в общую копилку все то, что наука считает уже достигнутым результатом. Во-вторых, Ваше предложение о замене одной аксиомы на другую лишено смысла, поскольку эти два утверждения эквивалентны. Если принять верным любое из них, то из этого предположения можно доказать верность другого. --Grig_siren 07:14, 18 августа 2012 (UTC)
Сумму углов треугольника можно измерить в лабораторной работе. А бесконечность - нет. Такая разница. А геометрию я не предлагаю изменять. Яков.  83.149.48.96 03:47, 19 августа 2012 (UTC)
* Во-первых, в математике никакое количество конкретных примеров, подтверждающих некоторое суждение, не приравнивается к строгому доказательству этого суждения. Проводите хоть миллион лабораторных работ с одинаковым реззультатом - для математики это не будет иметь никакого значения. (Кстати, вопрос о точности измерений и ее влиянии на результат я намеренно оставил за рамками обсуждения). И вообще в математике достаточно много примеров того, что какое-то утверждение кажется очевидным, но вполне возможно построить контрпример, который это утверждение опровергает. (Увы, эти утверждения, как правило, выходят за рамки школьной программы по математике). Во-вторых, в геометрии Лобачевского (которую можно интерпретировать как геометрию на поверхности сферы, в частности на поверхности сферической Земли), сумма углов треугольника не является константой и зависит от его площади. Так что при проведении предлагаемых "лабораторных работ" в условиях, когда длины сторон треугольника составляют порядка 1000 км и более, исследователей ждет разочарование. --Grig_siren 08:41, 19 августа 2012 (UTC)
Я с Вами не спорю: лабораторная работа -это уже эксперимент, это уже метод физики. 1000 километров (назовём эту величину базой) -наверное малая величина, чтобы заметить отклонение от Π. Наибольшая база, которым обладало человечество -это американские станции Пионер (кажется около 95 а.е.). Но сейчас с ними связь потеряна.
Яков.  83.149.48.2 12:08, 21 августа 2012 (UTC)
* лабораторная работа -это уже эксперимент, это уже метод физики - вот именно. Это уже другое поле, где играют по другим правилам. И не надо приносить правила игры с одного поля на другое. Рассуждать далее в этом направлении не имеет смысла. 1000 километров (назовём эту величину базой) -наверное малая величина, чтобы заметить отклонение от Π - нет, не малая. Вполне достаточно таких масштабов, чтобы поверхность планеты нельзя было считать приблизительно плоской. --Grig_siren 13:20, 21 августа 2012 (UTC)
==
** Геометрия Лобачевского и сферическая геометрия - это разные вещи. Хлопотин Н. В. (обс.) 14:40, 21 сентября 2017 (UTC)
thread_title:  Моё личное мнение 

message: Школьный курс геометрии - это конспект Евклида, разбавленный понятием множества (множество - это термин для удобства). Это, однако, не так. Post1 Евклида (через любые две точки всегда можно провести прямую) годится как для плоскости , так и для сферы. Аксиома2 школьного курса (через любые две точки можно провести всегда прямую, и, при том, только одну) годится только для плоскости. Потом аксиомы перестают нумероваться. Потом сначала идёт теорема, а потом аксиома (телега впереди лошади). Нет строгости Евклида.
Не определяемые (базовые) понятия: точка, линия (частный случай - прямая), длина, плоскость. А вот угол - это уже определяемое понятие: α = l/L; где l - длина дуги, L - длина всей окружности. Аксиомы об углах - это уже теоремы.
Аксиома1 и аксиома2 - это аксиомы уже о двухмерном множестве точек. Для строгости и порядка начать желательно с одномерного множества точек - с линии.
=== Аксиомы линии (одномерного множества точек) ===
Линия это множество точек, содержащее не меньше двух точек. Между любыми двумя точками линии всегда есть третья точка. (Следствие: число точек бесконечно.) Из трёх точек линии одна находится между двумя другими. Любая точка линии делит её на два одинаковых подмножества точек. (Вот эта аксиома годится только для бесконечной плоскости, для сферы уже не годится.)
Не проще ли написать: линия это бесконечное множество точек? Но у такого множества точек есть порядок. Слово "любой", по-видимому, лишнее. Оно подчёркивает одинаковость всех элементов (хотя надо было бы подчёркивать их различие, если бы оно было). Из этой одинаковости следует факт существования равных фигур, а также операции перемещения и вращения, которые не определены. Дальше переходим к двухмерному множеству точек - плоскости.
=== Аксиомы плоскости (двухмерного множества точек) ===
Плоскость - это бесконечное множество точек. Прямая линия делит плоскость на два одинаковых подмножества точек: две полуплоскости.
Яков.  85.26.231.52 13:21, 28 августа 2012 (UTC)
* Какой-то сумбурный текст. Ничего не понятно. Точнее, отдельные фразы имеют определенный смысл. Но их совокупность осмысленным текстом не выглядит. Что Вы хотели этим сказать? --Grig_siren 14:13, 28 августа 2012 (UTC)
Это были рассуждения об идеальной системе аксиом геометрии (без порядка и незаконченные).
thread_title: Система аксиом геометрии в идеале

message: Линия это множество точек, содержащее не меньше двух точек. Между любыми двумя точками линии всегда есть третья точка. (Следствие: число точек бесконечно.) Из трёх точек линии одна находится между двумя другими. Любая точка линии делит её на два одинаковых подмножества точек. (Вот эта аксиома годится только для бесконечной плоскости, для сферы уже не годится.)
Не проще ли написать: линия это бесконечное множество точек? Но у такого множества точек есть порядок. Слово "любой", по-видимому, лишнее. Оно подчёркивает одинаковость всех элементов (хотя надо было бы подчёркивать их различие, если бы оно было). Из этой одинаковости следует факт существования равных фигур, а также операции перемещения и вращения, которые не определены. Дальше переходим к двухмерному множеству точек - плоскости.
thread_title:  Аксиомы линии (одномерного множества точек) 

message: Плоскость - это бесконечное множество точек. Прямая линия делит плоскость на два одинаковых подмножества точек: две полуплоскости.
Яков.  85.26.231.52 13:21, 28 августа 2012 (UTC)
* Какой-то сумбурный текст. Ничего не понятно. Точнее, отдельные фразы имеют определенный смысл. Но их совокупность осмысленным текстом не выглядит. Что Вы хотели этим сказать? --Grig_siren 14:13, 28 августа 2012 (UTC)
Это были рассуждения об идеальной системе аксиом геометрии (без порядка и незаконченные).
thread_title:  Аксиомы плоскости (двухмерного множества точек) 

message: Перейдём теперь к трём главным аксиомам геометрии. Собственно там и рассматривать было бы не чего, всё это когда то проходили в школе. Аксиома: прямая есть кратчайшее расстояние (или min) между двумя точками. Стоп. Оказывается такой аксиомы нет! Как же так? Тогда она должна доказываться как теорема. А где такая теорема? Первая книга Евклида начинается с определений, постулатов и аксиом и заканчивается теоремой Пифагора. Эту теорему можно было бы считать доказательством при условии, что она не опирается на эту аксиому. Но проследить это нет возможности, так как остальное утеряно за давностью лет.
Ну будем рассуждать по порядку. По аналитической геометрии прямая это уравнение с двумя коэффициентами. Для нахождения двух коэффициентов нужна система двух уравнений. Из этого вытекает аксиома: через две точки всегда можно провести прямую, и при том только одну (post1 Евклида и аксиома2 курса школьной геометрии). Если же уравнение одно, то и решений этого уравнения бесконечно много. Этому факту соответствует аксиома: через любую точку можно провести бесконечное множество прямых (post3 Евклида пишется по другому: из любой точки можно провести окружность любого радиуса).
Но есть и другие линии, описываемые уравнениями с двумя коэффициентами. Возьмём конкретный пример: параболу. Дополним множество парабол множеством вертикальных линий для того, чтобы выполнялась аксиома: через любую точку можно провести бесконечное множество линий. Аксиома2 курса школьной геометрии для этого множества тоже выполняется. Возможно можно доказать теорему: один сегмент этого множества между двумя точками короче любого другого пути, составленного из нескольких сегментов (из двух и более сегментов). Но прямая при этом все равно будет кратчайшим путём.
Да, интересно, почему я в школе не обратил на это внимание? В школе я считал: аксиома -это очевидное утверждение, не требующее доказательств. Аксиомы, конечно, не требуют доказательств, но не всегда они очевидны. 83.149.48.73 12:03, 4 сентября 2012 (UTC) Яков.  85.26.231.35 05:12, 1 сентября 2012 (UTC)
Наверно это недоказуемое положение. Но лучше ввести не аксиому, а определение прямой. Яков.  85.26.231.86 07:16, 2 сентября 2012 (UTC)
* Вот о том и речь: аксиома не обязана быть очевидной (более того, она может вообще противоречить наблюдаемому миру), но она всегда принимается без доказательства как истинная. И в этом суть математики как науки. --Grig_siren 17:25, 4 сентября 2012 (UTC)
** Вероятно, следует внести ясность с тем, что есть постулат в физике. Ведь сейчас в статье постулат и аксиома представлены как одно и то же, хотя это не совсем верно: в физике чаще используется слово "постулат", в математике - "аксиома". В физике постулат – это НЕ что-то, что всегда принимается без доказательства как истинное (аналогия с какой-то религиозной верой получается, блин), это гораздо чаще нечто именно очевидное, или вытекающее, например, из простых рассуждений. К примеру, соображение об изотропности и однородности Вселенной приняты как истинные, так как другое казалось бы крайне странным. Так же постулат СТО о постоянстве скорости света во всех ИСО был принят, хотя в то время это было проверено лишь с точностью в 2 процента, а не 10-16 как сейчас. Думаю, стоит немного разграничить понятие постулата в физике и в математике.Ilovelisa 21:50, 6 сентября 2012 (UTC)
*** Постулат - это аксиома физики? Яков.  83.149.48.70 11:17, 21 сентября 2012 (UTC) Пример: теория отн6осительности Эйнштейна. Эту теорию можно рассматривать и как систему постулатов физики и как систему аксиом неевклидовой геометрии диаграммы расстояние-время. Яков.  83.149.48.115 09:27, 28 сентября 2012 (UTC)
**** Ды это практически синонимы, просто применительно к физике чаще использовалось слово "постулат", на сколько я могу помнить. "Постулаты Бора" там или постулаты термодинамики и пр. Ilovelisa 20:12, 21 сентября 2012 (UTC)
Евклидова геометрия на языке аналитической геометрии записывается так:
X²+Y²=const (теорема Пифагора). Геометрия диаграммы Расстояние-время записывается почти также:
s²+(i*c*t)²=s²-(c*t)²=const.
Мнимая величина i подчёркивает, что пространство s и время t имеют разные физические размерности.
 Яков.  83.149.48.74 12:45, 29 сентября 2012 (UTC)
Ну что я непонятного написал? Сравнение Евклида и школьного курса геометрии. Ну я неправильно сравнил. Можете сами правильно сравнить. Важнее другое: куда делась аксиома: прямая - кратчайшее растояние между двумя точками? (Такой аксиомы и не было!) Эти аксиомы центральные, но не единственные. Ну остальные аксиомы я неправильно написал. Сами можете написать правильно. 83.149.48.35 22:16, 25 сентября 2012 (UTC) 83.149.48.70 11:11, 21 сентября 2012 (UTC)В теории относительности Эйнштейна на диаграммах растояние-время прямая (равномерное прямолинейное движение или движение по инерции) есть не миниум а, наоборот, максиум собственного времени (хотя это уже отклонение в сторону физики). А вы оказались правы: я соврал. Вот тут первый постулат Евклида не действует: есть точки, через которые на этой диаграмме прямую провести нельзя. Тем не менее и тут все точки одинаковы и поэтому и тут существуют равные фигуры.
 Яков.  83.149.48.35 05:07, 26 сентября 2012 (UTC) Чётких границ между науками нет. Да и зачем нужны эти границы?
Яков. Аксиомами я заинтересовался, когда узнал о пятом постулате Евклида и неевклидовой геометрии. Потом я не мог понять куда делась аксиома: прямая - кратчайшее расстояние между точками? Тогда это теорема? Но это положение, по-видимому в принципе недоказуемо. Ведь существует, кроме прямых, бесконечное количество других множеств линий, удовлетворяющим этим двум аксиомам. Предположим, что для какого-то этого множества верно положение, что путь между двумя точками, составленный из одного отрезка этой линии, короче любого другого пути, составленного из двух отрезков. Но прямая всё-равно короче.
 83.149.48.35 05:12, 26 сентября 2012 (UTC)
replies: text: Хотя и ВИКИПЕДИЯ:НЕФОРУМ (и постарайтесь это учесть), я всё таки отмечу, что то, что является аксиомой в евклидовой геометрии, может не являться аксиомой в псевдоевклидовой геометрии (коей, например, является псевдориманова геометрия, которой оперирует ОТО)  — ilovelisa 06:12, 26 сентября 2012 (UTC)
replies: text: : Вообще-то правило ВП:НЕФОРУМ относится только к статьям Википедии, а не к страницам их обсуждения. Так что пообсуждать все-таки можно. --Grig_siren 12:17, 26 сентября 2012 (UTC)

text: куда делась аксиома: прямая - кратчайшее расстояние между точками? Тогда это теорема? - это именно теорема. В аксиоматике геометрии нет вообще ни слова об измерении расстояний. (Да и в теоремах геометрии может разве только идти речь о равных или различных расстояниях, но при этом ничего не сказано о том, как эти расстояния измеряются). А что касается доказательства этой теоремы - то оно находится не в области геометрии, а в области математического анализа, причем такого, что не в каждом вузе проходят (я имею в виду разделы Функциональный анализ и Вариационное исчисление) --Grig_siren 12:17, 26 сентября 2012 (UTC)
Существует бесконечное число множеств других линий, удовлетворяющих этим аксиомам геометрии. Должна быть или такая аксиома или такое определение прямой линии, что одно и то же, так как определение неопределяемых понятий есть система аксиом или уравнений, в которых эти понятия участвуют. В вузе аналитическая геометрия, которая опирается на уравнения, а не на аксиомы (конечно эти уравнения эквивалентны аксиомам геометрии). 83.149.48.115 10:44, 28 сентября 2012 (UTC)
Яков.  83.149.48.115 09:36, 28 сентября 2012 (UTC)
* Вообще-то аналитическая геометрия - это раздел алгебры, а не геометрии. --Grig_siren 11:06, 28 сентября 2012 (UTC)
Геометрия полностью выражается через эту алгебру. Древнегреческие геометры решали задачи (и, возможно, и систему аксиом тоже) с помощью линейки и циркуля. а таким методом не вся геометрия решалась. Яков.  83.149.48.76 08:49, 1 октября 2012 (UTC)
Отсутствие такой аксиомы или определения - всего лишь курьёз, не меняющий геометрию.
Теперь о постулатах механики. Есть две механики: механика Ньютона и механика Эйнштейна. Механика Ньютона опирается на три закона или постулата. Но и эти же три закона действуют в механике Эйнштейна. В чём же тогда разница?
 Яков. Юльевич 15:50, 15 ноября 2012 (UTC)
=====  =====
Первый закон (или постулат) Ньютона лишний, так как он вытекает из двух остальных. Действительно, первый закон (постулат) говорит, что законы механики одинаковы во всех инерциальных системах. А инерциальная система отсчёта это такая система отсчёта, вектор скорости которой не меняется со временем. В двух других аксиомах механики Ньютона говорится об ускорении. Ускорение есть производная скорости по времени, а производная от константы равна нулю. Таким образом законы механики одинаковы для всех инерциальных систем. Правда я где-то читал, что первый закон всё-равно надо оставить, так как он действителен не только для механики, но и для всей физики аналогично закону сохранения энергии, который верен не только для механики, но и для всей физики (не зря его гений Ньютона выделил).
 Яков. Юльевич 07:32, 16 ноября 2012 (UTC)
Простите нескромный вопрос: а с какой целью Вы все это пишете здесь? Не лучше ли писать это на страницах обсуждения статей Законы Ньютона или Механика Эйнштейна? --Grig_siren 10:21, 16 ноября 2012 (UTC)
* Но ведь это же постулаты или аксиомы физики. Яков. Юльевич 10:58, 16 ноября 2012 (UTC)
** Эта статья посвящена понятию "аксиома" как таковому. В ней нет речи о конкретных системах аксиом, использующихся в разных научных теориях. --Grig_siren 11:07, 16 ноября 2012 (UTC)
thread_title:  Три главные аксиомы геометрии 

message: Теорема Левенгейма — Сколема должна быть как-то очень сильно упомянута как здесь, так и в статье про теорему Гёделя, ибо многое уточняет и проясняет. Подробности — там на странице обсуждения --Nashev 15:17, 29 апреля 2013 (UTC)
thread_title:  Теорема Левенгейма — Сколема 

message: Участнику Kron7: Уважаемый коллега! Ваш комментарий к запросу источника "С формальной точки зрения, сами аксиомы также входят в число теорем" является заведомо неверным суждением. Принципиальная разница между аксиомой и теоремой заключается в том, что истинность суждения-аксиомы устанавливается самим фактом того, что это суждение принято как аксиома, а истинность суждения-теоремы должна быть доказана путем логических выводов из аксиом и других теорем. Таким образом, аксиомы по определению не могут входить в число теорем. --Grig_siren 11:52, 11 июня 2014 (UTC)
replies: text: * Цитата_1:
replies: text: : Уважаемый коллега! Ваш комментарий к запросу источника "С формальной точки зрения, сами аксиомы также входят в число теорем" является заведомо неверным суждением.

text: : Прям, заведомо?

text: * Цитата_2:
replies: text: : Таким образом, аксиомы по определению не могут входить в число теорем.

text: : А разве с этим кто-то спорит?

text: : В статье сказано: "С формальной точки зрения, сами аксиомы также входят в число теорем". Объясните о какой формальности идет речь? Именно из-за возникновения данного вопроса, я поставил шаблон , который вы так лихо убрали. >> Kron7 12:17, 11 июня 2014 (UTC)
replies: text: :: Товарищ Grig_siren, парируете? >> Kron7 06:59, 13 июня 2014 (UTC)
replies: text: ::: Извините за задержку - отвлекся на свои дела, а потом забыл. По сути вопроса получается, что я среагировал на саму фразу, не особо вчитавшись в контекст. А вчитавшись понял, что неправ был участник  (позднее переименовавшийся в ), который сделал . И пришел к выводу, что сомнительную фразу надо из статьи убрать. Что я сейчас и сделаю. --Grig_siren 08:57, 13 июня 2014 (UTC)
replies: text: :::: Ох, как вы откопали такую древнюю правку? Ну, вот и отлично. >> Kron7 13:19, 13 июня 2014 (UTC)
replies: text: ::::: Как сказал один второстепенный персонаж романа "Двенадцать стульев", "У меня все ходы записаны". Средства Википедии позволяют отследить все версии статьи с самого создания. А остальное - дело техники. --Grig_siren 20:11, 13 июня 2014 (UTC)
replies: text: :::::: Так, вот о технике и был вопрос. Ну, ок. >> Kron7 10:37, 16 июня 2014 (UTC)
replies: text: ::::::: Да элементарно все. В верхней части страницы со статьей есть ссылка "история" - тык мышой на нее. Вот там все "ходы" и записаны. Далее выбираем 500 "ходов" на страницу, чтобы проще было дальше искать. Потом берем какую-то из строчек в середине и тыкаем мышой в отметку даты и времени - в ответ выходит версия статьи, которая была сохранена в результате этой правки. Бегло просмотреть на предмет наличия сомнительной строчки - и сразу становится ясно в какую сторону искать дальше (в прошлое или в будущее). Так повторить несколько раз по необходимости, пока процесс не сойдется. --Grig_siren 11:08, 16 июня 2014 (UTC)
replies: text: :::::::: Так можно искать весьма долго. >> Kron7 11:21, 16 июня 2014 (UTC)
replies: text: ::::::::: Метод половинного деления очень сильно ускоряет процесс. --Grig_siren 12:29, 16 июня 2014 (UTC)
replies: text: :::::::::: Если, запрограммировать. Но вручную скорее замедлит. Но это уже оффтоп. >> Kron7 15:33, 16 июня 2014 (UTC)
replies: text: ::::::::::: Ручной поиск и без того дело долгое. Но если сравнить ручной линейный поиск с ручным бинарным - то результат сильно в пользу последнего. --Grig_siren 17:28, 16 июня 2014 (UTC)
thread_title:  Аксиомы vs Теоремы 

message: Чувство разочарования ... и не верно и слабо ... и это-то об Аксиоматике  ... да, уж 
Очень, очень жаль ... 37.190.83.204 03:16, 26 марта 2019 (UTC)
* А поподробнее можно? Что не так и что надо бы исправить? --Grig_siren (обс.) 08:01, 26 марта 2019 (UTC)
thread_title:  Без обид ... но это нечто близкое к бреду 

message: Участник @Vladimirmusinov5 настойчиво пытается добавить в статью тезис о том, что, якобы, аксиома - это такое особое утверждение, которое представляет собой (цитирую правку участника) "факт с доказательством в один шаг (формулировка этого утверждения); в силу непосредственной его убедительности оно принимается без доказательства." Да будет известно этому участнику, что этот тезис является заблуждением. Аксиома не имеет "доказательства в один шаг" - аксиома просто принимается верной без требования каких-либо доказательств. Принимается по определению - на то она и аксиома. При этом аксиома не обязана быть очевидной и убедительной. И даже более того: аксиома имеет право вообще не соответствовать наблюдаемому миру и имеющемуся опыту, но при этом она остается аксиомой, т.е. утверждением, истинность которого в рамках соответствующей теории принимается на веру без доказательства и не подлежит оспариванию. А попытки "доказать аксиому" явно указывают на то, что автор таких попыток не понимает, о чем говорит. Если указанный участник собирается спорить дальше, то, во-первых, пусть обозначит степень своей математической подготовки (если что - у меня за плечами математическая школа и красный диплом вуза по специальности "инженер-математик"). И, во-вторых, пусть сам же письменно попробует применить свою же логику о "непосредственной убедительности" к той аксиоме, которая отличает геометрию Лобачевского от геометрии Евклида. Или к комллексным числам и кватернионам. Grig_siren (обс.) 12:18, 3 февраля 2023 (UTC)
*Вероятно, Вы не совсем знакомы с логическими правилами вывода, из которых следует то, что аксиома формально выводима, т. е. доказуема. Это ещё писал С. К. Клини - один из известнейших логиков XX века (см.стр. 78 книги Клини С.К. Введение в метаматематику. Пер. с анг. - М., 1957. - 528 с.). Есть, например, материал на эту тему: Очерки по методике преподавания математики в высших учебных заведениях/ Под ред. М.Р. Куваева, В.Н.Сергеева. - Томск: Изд-во Том.ун-та, 1986,- 129 о. - 30 к. 500 экэ.4309000000.
*Я лично знаком с такими людьми, как Ирина Леонидовна Тимофеева, Ирина Евгеньевна Сергеева, Елена Викторовна Лукьянова - преподаватели МПГУ (матфак), написали "Вводный курс математики", "Математическая логика. Курс лекций", "Математическая логика и теория алгоритмов" и много других книг. Это педагоги, которые точно знают свой предмет. Я могу, конечно, уточнить у них данный вопрос, поскольку нам рассказывали, что аксиома именно по тому в определении и принимается без требования доказательства, что доказательство-то само тривиально. Это сродни тождественно истинной формуле (тавтологии) типа закон исключённого третьего или же снятия двойного отрицания.
*Что касается геометрии, то со времени открытия неевклидовой геометрии математики стали понимать, что имеется несколько возможных видов пространства. Системы аксиом выделяют тот или иной вид пространства или некоторые общие свойства различных пространств. Ваша просьба по доказательству (V постулата Евклида - это так называется) довольна странна и смешна одновременно. Аксиома параллельности выполняется, как известно, в евклидовой геометрии (элементарной геометрической теории) и она независима от остальных аксиом, а также её аксиоматическая сущность доказывается построением интерпретаций.
* Более того, в книге "Математическая логика" (И. Л. Тимофеева) в § 5.2. Теории первого порядка говорится следующее: «Всякая \mathcal T-аксиома является \mathcal T-доказуемой формулой, а её \mathcal T-доказательство имеет вид графического объекта называемого деревом формул высоты 0». Это значит, что если аксиому естественного языка представить в виде аксиомы-формулы языка логики высказываний или другого языка (в общем, некоторой логической теории, возможно, высшего порядка, а не первого), то она точно будет доказуемой, поскольку её можно будет представить в виде дерева логического \mathcal T-вывода с корнем \mathcal F и множеством зелёных листьев \Delta (существенные, или открытые, допущения). Vladimirmusinov5 (обс.) 16:52, 3 февраля 2023 (UTC)
** Безусловно, в школьном курсе для первичного понимания аксиому вводят как нечто отличное от теоремы утверждение. Но с точки зрения законов логики  - эти утверждения не сильно-то и будут отличаться. Например, хотим доказать тавтологию {\mathcal A \supset \mathcal A}. Для чего построим дерево вывода \dfrac{{\left[\mathcal A\right]}^1}{\mathcal A \supset \mathcal A}, которое строится по правилу введения импликации. Здесь в качестве допущения взято именно {\mathcal A}, вот почему оно является одновременно доказательством {\mathcal A}. Если {\mathcal A} элементарно, то оно считается доказанным автоматически по построенному дереву. Если же {\mathcal A} не является элементарным, то в зависимости от его составляющих, можно получить разные исходы: истину, если дерево построено верно; ложь, если совершена ошибка (дерево построено неверно); если дерево построить не получается, то в ход идут другие методы. Vladimirmusinov5 (обс.) 17:24, 3 февраля 2023 (UTC)
*** Увавжаемый , я не математик, но даже обычной логики мне вполне достаточно для того, чтобы заметить подмену понятий, которую Вы негласно делаете, а потом пытаетесь отталкиваться от этой подмены. В определении говорится об утверждениях «в рамках данной теории». Вы же пытаетесь говорить о «некоторой логической теории, возможно, высшего порядка, а не первого», то есть явно выходите за «рамки данной теории». Просьба доказать V постулата Евклида не странна и не смешна, ибо у Вас нет возможности «доказать её аксиоматическую сущность построением интерпретаций» оставаясь в рамках евклидовой геометрии. При этом данная аксиома совершенно не очевидна и не проста для бездоказательного восприятия. Мы не можем убедиться в её истинности (то есть доказать), мы можем только принять на веру, что это утверждение истинно. KLIP game (обс.) 17:52, 3 февраля 2023 (UTC)
****Единственное отличие аксиом от теорем состоит в том, что система аксиом теории кладётся в основу каждого доказательства данной теории [в том числе и любой аксиомы]. Это можно заметить, если оттолкнуться от «всего лишнего», что есть в теории, и рассмотреть самые существенные объекты и операции над ними. Элементарная геометрия представляет собой теорию первого порядка. В все утверждения в евклидовой геометрии можно записать символьно через предикаты (т. е. логическими формулами). Эта геометрия, оказывается, полна и разрешима. Поясню, что это значит. Геометрия Евклида полна, так как любое предложение языка элементарной геометрии логически следует из аксиом. Если записать всякое утверждение в виде формулы, то существует алгоритм проверки выполнимости её в {\mathbb R}^2. Эти два факта доказал  Альфред Тарский.
****Математика использует общенаучный метод изучения объектов и явлений — абстрагирование. И для изучения структуры и доказательства утверждений, таких как аксиомы, леммы, теоремы и т. п., приходится также «отходить» от их смысла, но не от строения.
****Вообще, для доказательства истинности аксиомы необязательно её напрямую доказывать, а достаточно устроить изоморфизм структур теорий (на самом деле, моделей некоторой сигнатуры).
**** В модели \left({\mathbb R}^2;\, =,\, \cong, P\right) [элементарная геометрия плоскости] можно записать аксиому параллельности («Через точку z вне прямой xy можно провести не более одной прямой параллельной данной») следующим образом: \forall \left(x,\, y,\, z\right) \left(x\neq y \quad \And \quad\neg z\in xy \quad\rightarrow \quad \forall \left(u,\, v\right)\left(zu \| xy\quad \And \quad zv \| xy\quad \rightarrow \quad v\in zu\right)\right). Это утверждение верно в {\mathbb R}^2, но не в в плоскости Лобачевского. Vladimirmusinov5 (обс.) 19:14, 3 февраля 2023 (UTC)
***** «Отметим, что основные понятия при построении теории используются только через посредство аксиом. Поэтому все свойства основ­ных понятий, необходимые для построения аксиоматической теории, должны быть перечислены в аксиомах. В этом смысле часто говорят, что аксиомы неявно определяют основные понятия. Ниже на конкретных примерах мы убедимся, как с помощью аксиом описыва­ются свойства основных образов и отношений. <...> Аксиомы не являются продуктом свободного творения матема­тиков или условными соглашениями. Они выведены из взаимосвязей понятий и в своих предпосылках имеют опытное происхождение» (И. П. ЕГОРОВ. ГЕОМЕТРИЯ. СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ) Vladimirmusinov5 (обс.) 20:19, 3 февраля 2023 (UTC)
****** Аксиомы не являются продуктом свободного творения матема­тиков или условными соглашениями. Они выведены из взаимосвязей понятий и в своих предпосылках имеют опытное происхождение» - а коли так - то ответьте на вопрос: какое опытное происхождение имеют аксиома параллельных Лобачевского, мнимая единица в комплексных числах и сразу три разных мнимых единицы в кватернионах? Иначе придется признать, что как минимум в этих случаях аксиомы как раз являются продуктом фантазии их авторов. Grig_siren (обс.) 20:33, 3 февраля 2023 (UTC)
****** , Вы опять применяете подмену понятий. {\mathbb R} и тем более {\mathbb R}^2 нет в евклидовой геометрии, Вы взяли это за пределами данной теории. Пока что незачёт. KLIP game (обс.) 23:07, 3 февраля 2023 (UTC)
****** Кстати, кажется я понял, где прокол в Вашей логике. Вы взяли некий текст, в котором есть слово "аксиома" без дополнительных уточнений, и в котором есть некоторый тезис относительно этого понятия, - и на этом основании сделали вывод, что этот тезис относится ко всем аксиомам вообще. Но тонкость заключается в том, что текст, из которого взята цитата, - это методическое пособие по преподаванию школьной геометрии, и потому речь в нем идет конкретно об аксиомах геометрии Евклида, а не об аксиомах вообще. И уточняющих слов при слове "аксиома" в том тексте нет просто потому, что весь текст является таким уточнением. При таком допущении тезис о том, что аксиомы имеют опытное происхождение, вполне оправдан - ведь во времена Евклида геометрия была вполне практической наукой, и потому у Евклида основная задача была в том, чтобы дать инструмент для решения практических задач и обосновать стабильность результатов, получаемых с помощью этого инструмента. (Да и то автор обсуждаемого текста тут несколько лукавит: аксиомы Евклида являются продуктом умственной деятельности самого Евклида - он ведь запросто мог сформулировать аксиомы по-другому.) Но этот тезис ограничивается только теми разделами математики, которые возникли примерно в те же времена как практический инструмент для решения практических задач. В общем случае этот тезис неверен. И Лобачевский тому наглядный контрпример. Grig_siren (обс.) 07:05, 4 февраля 2023 (UTC)
thread_title:  Сущность аксиомы и связь аксиом с теоремами