Dyskusja:Pochodna cząstkowa

message: Podana definicja jest nieprecyzyjna. zresztą pochodne czątkowe definuje się nie tylko dla funkcji o wartościach rzeczywistych ale w jakichkolwiek przestrzeniach unormowanych, a jak wtedy mówić o "zwykłej" pochodnej? Proponuje definicje jako współczynnik kierunkowy różniczki cząstkowej.
replies: text: Co to jest "współczynnik kierunkowy różniczki"?

message: W ogóle pochodne mieszane (kolejność ich wyznaczania jest niepoprawna):
\frac{ \partial  ^{2} f}{\partial x \partial y} \neq \frac{ \partial }{\partial x} (pochodna\ po\ y)
(oczywiście w myśl tw. Schwartza dla wielu funkcji prawdziwa ;) )
Powinno być na odwrót, a mianowicie:
\frac{ \partial  ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{ \partial }{\partial y} (pochodna\ po\ x)
Pozdrawiam.
replies: text: Rzeczywiście, był błąd. Dzięki za zauważenie, poprawiłem. Olaf @ 00:01, 21 kwi 2009 (CEST)
=== Nie błąd, tylko inna umowa ===
To raczej zależy od umowy. Na enwiki jest tak: \frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right). Taki sposób został też przedstawiony u mnie na analizie matematycznej. Z kolei wasza wersja jest np. stosowana u Fichtenholza. Wg mnie to sytuacja analogiczna do notacji składania funkcji i łatwiej stosować do pochodnych mieszanych tę zasadę z jaką mamy do czynienia przy składaniu. Krótkie uzasadnienie:
Jeśli mamy f_x'(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g(x,y), oraz g_y'(x,y)=\frac{\partial g}{\partial y}(x,y).
Wtedy notacja (g_y' \circ f_x')(x,y) = g_y'(f_x'(x,y)) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) \right) = \left( \frac{\partial}{\partial y} \circ \frac{\partial}{\partial x} \right)f(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x,y) jest jednolita i konsekwentna.
W przeciwieństwie do takiego zapisu: (g_y' \circ f_x')(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) \right)
To tak jakby przyjąć że (g \circ f)(x) = f(g(x)) . Oczywiście to jedynie kwestia umowy i chyba należy zaznaczyć to w artykule.--Jan Winnicki * 02:42, 11 lis 2009 (CET)
thread_title:  Pochodne cząstkowe -->mieszane- "coś nie tego" 

message: To raczej zależy od umowy. Na enwiki jest tak: \frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right). Taki sposób został też przedstawiony u mnie na analizie matematycznej. Z kolei wasza wersja jest np. stosowana u Fichtenholza. Wg mnie to sytuacja analogiczna do notacji składania funkcji i łatwiej stosować do pochodnych mieszanych tę zasadę z jaką mamy do czynienia przy składaniu. Krótkie uzasadnienie:
Jeśli mamy f_x'(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g(x,y), oraz g_y'(x,y)=\frac{\partial g}{\partial y}(x,y).
Wtedy notacja (g_y' \circ f_x')(x,y) = g_y'(f_x'(x,y)) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) \right) = \left( \frac{\partial}{\partial y} \circ \frac{\partial}{\partial x} \right)f(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x}(x,y) jest jednolita i konsekwentna.
W przeciwieństwie do takiego zapisu: (g_y' \circ f_x')(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) \right)
To tak jakby przyjąć że (g \circ f)(x) = f(g(x)) . Oczywiście to jedynie kwestia umowy i chyba należy zaznaczyć to w artykule.--Jan Winnicki * 02:42, 11 lis 2009 (CET)
thread_title:  Nie błąd, tylko inna umowa 

message: Odnośnie edycji z 11:31, 22 wrz 2009 przez użytkownika Markotek:
Terminu "pochodna całkowita" używa się, chociażby w książkach do analizy matematycznej. Pochodna całkowita odnosi się do funkcji wielu zmiennych. Na przykład pochodna całkowita funkcji f(x, y, t) po zmiennej t jest dana wzorem:
replies: text: :\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}.
Wynika to z definicji różniczki zupełnej, która dla funkcji f(x, y, t) przybiera postać:
replies: text: :{\operatorname df}=\frac{\partial f}{\partial t}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial x} {\operatorname dx} + \frac{\partial f}{\partial y} {\operatorname dy}.
Pochodnej całkowitej używa się często chociażby w mechanice klasycznej (ale też w innych dziedzinach fizyki) - bez tego raczej nie dałoby się zbyt wielu rzeczy policzyć.
Jeśli chodzi o funkcje, w których jedna zmienna może zależeć od innych zmiennych tej samej funkcji to też jest to możliwe. Dla przykładu, funkcja Lagrange'a jest funkcją położenia, prędkości i czasu, przy czym położenie i prędkość też mogą zależeć od czasu - w bardzo prostym, jednowymiarowym ruchu mamy L(x(t), vx(t), t).
thread_title:  pochodna całkowita