Dyskusja:Rozmaitość riemannowska

message: :zdefiniowany jest tensor metryczny  g, oraz istnieje funkcja d(x,y) okreslająca najkrótszą możliwą krzywą łączącą punkty x i y jako rzeczywistą nieujemną wartość.
To znaczy d(x,y) podaje:
* odległość? W takim razie jak się to ma do tensora metrycznego - co tu jest metryką
* krzywą? Co to znaczy? Jak się zapisuje krzywą jako liczbę rzeczywistą?
Coś tu jest nie tak. Olaf @ 23:03, 7 mar 2007 (CET)

message: Artykuł jest stubem i wymaga źródeł ale jest ok. Wszystkie dane są poprawne merytorycznie. Na angielskiej wiki ładnie opisane jest. 
Wiem że to się wydaje zagmatwane dla zwykłego śmiertelnika który nie wie co to tensor metryczny, przestrzeń unitarna,  rozmaitość różniczkowalna itd. 
Krzywą zapisuje się jako funkcję. Funkcja d(x,y) jest kresem dolnym zbioru krzywych przechodzących przez dwa zadane punkty x i y. Całka z funkcji d(x,y) od x do y jest metryką, ale nie tensorem metrycznym (jakobian) który mówi o zależności między współrzędnymi a właściwościami przestrzeni z których wynikają wzory na objętość, pole itd. 
--Dawzab (dyskusja) 14:04, 24 mar 2009 (CET)
A ja jednak twierdzę, że w obecnej wersji jest to napisane w sposób urągający matematyce. Napisałeś: "Funkcja d(x,y) jest kresem dolnym zbioru krzywych przechodzących przez dwa zadane punkty x i y". Czy to oznacza:
# ...że wartościami tej funkcji są krzywe? W porządku, ale w takim razie musisz zdefiniować jakiś porządek, żeby obliczyć kres dolny zbioru.
# ...że wartościami tej funkcji są najkrótsze możliwe długości tych krzywych na odcinku od x do y? Jeśli tak, to trzeba by zmienić treść artykułu, bo funkcja nie określa wtedy "najkrótszej krzywej jako nieujemną wartość" jak napisano, tylko po prostu odległość między x i y jako długość najkrótszej łączącej ich krzywej. I powstaje wtedy pytanie co oznacza "całka z funkcji d(x,y)" o której piszesz powyżej? Po czym całkujemy? Na pewno nie po krzywej X-Y, skoro każda krzywa jest reprezentowana przez jeden punkt dziedziny funkcji.
Wydaje mi się, że to jednak wymaga sporej redakcji. Sam się w tej chwili nie podejmuję tego napisać, może w przyszłości, jak trochę poczytam z Schutza. Olaf @ 20:14, 24 mar 2009 (CET)
replies: text: Trochę poprawione, tylko dalej nie wiadomo co ma z tym wspólnego tensor metryczny i jak liczyć z niego długości krzywych. Olaf @ 22:19, 26 mar 2009 (CET)
thread_title:  Artykuł jest wporządku, zmieniam infobox. 

message: Myślę, że Wikipedia nie musi być podręcznikiem wyższej matematyki. Przydało by się trochę historii. Skąd wzięły się koncepcje odmienne od Euklidesa. I kiedy? Podobno to Einstein musiał zakwestionować prawidła euklidesowe bo nijak nie pasowały do jego teorii. Wolałbym się dowiedzieć o ideach i zastosowaniach.
thread_title:  Coś dla laików 

message: Jest taki akapit:
"Albert Einstein użył teorii rozmaitości Riemanna do sformułowania ogólnej teorii względności."
No właśnie... Rozmaitość Riemanna nie jest teorią (chyba).
To tak jakby napisać, Pitagoras użył teorii Euklidesa do sformułowania swojego twierdzenia.
Przestrzeń Euklidesa jest tak jakby rodzajem jakiejś rzeczywistości o ściśle określonych właściwościach. Nie jest teorią.
Tak samo jak Rozmaitość (geometria) Riemanna.
To nie teorie, tylko abstrakcyjne światy, do których wprowadza się jakieś abstrakcyjne obiekty i bada ich właściwości.
Mogę się mylić.
Pozdrawiam
thread_title:  nie znam sie, ale... 

message: W początkowej części jest ich bardzo dużo. Chętnie bym poprawił ten artykuł, ale nie wiem, od czego zacząć. Być może należałoby usunąć całą początkową część, a zastąpić ją przez sekcję "Rozmaitość riemannowska – podsumowanie" odpowiednio zredagowaną i uzupełnioną o szczegóły merytoryczne. 
* "Rozmaitość riemannowska to rzeczywista rozmaitość różniczkowa M wymiaru n, w której zdefiniowana jest odległość (metryka) pomiędzy punktami w następujący sposób"
Nie. To rozmaitość, w które zdefiniowana jest metryka riemannowska, czyli iloczyn skalarny w każdej przestrzeni stycznej, gładko zależny od punktu na rozmaitości. Metryka w klasycznym sensie, czyli odległość, to zupełnie co innego. Owszem, metryka riemannowska pozwala wyznaczać odległości, ale to rzecz drugorzędna, a nie część definicji. Mieszanie tych dwóch może tylko wprowadzić zamęt (co się udało, sądząc po dyskusji wyżej). 
Poza tym szkolna maniera wprowadzania oznaczeń M i n, gdy nie są one istotne, jest niekorzystna w odbiorze. 
* "jeżeli wprowadzi się w rozmaitości M układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne \mathbf{x} = (x^1,\dots, x^n),"
Wprowadzenie układu współrzędnych trochę zmienia temat, bo metryka riemannowska jest strukturą geometryczną na samej rozmaitości, a nie tylko we współrzędnych. Owszem, można w ten sposób wprowadzić "współrzędne matryki w danym układzie współrzędnych", a następnie badać, co się dzieje przy zmianie układu, niejako unikając definiowania metryki - jest to chyba tradycyjne podejście do tematu. Ale nawet wtedy należy wspomnieć, że układ współrzędnych można wprowadzić tylko lokalnie, nie na całej rozmaitości. 
Składnia sugeruje, że określenie współrzędnych punktu jest czymś dodatkowym względem wprowadzenia układu współrzędnych - to chyba niezręczne sformułowanie. 
* "długość infinitezymalnego wektora d\mathbf{x} = (dx^1,\dots, dx^n)"
Nie wiem, z jakiego źródła pochodzi ten ustęp, i chyba wolę nie wiedzieć. Wydaje się, że "infinitezymalny wektor" odpowiada tu współczesnemu pojęciu wektora stycznego. Tego pojęcia bardzo tu brakuje. 
Należałoby też uprzedzić, że wzór niżej podaje kwadrat długości, a nie długość. 
* (d\mathbf{x})^2\equiv ds^2 = \sum_{i,j=1}^n g_{ij}(\mathbf x) dx^i dx^j,
W tym napisie królują konwencje notacyjne: (d\mathbf{x})^2 oraz ds^2; to pierwsze jest jedynie oznaczeniem na iloczyn skalarny wektora samego z sobą, a to drugie odwołuje się do chyba czysto zwyczajowego użycia ds w tym kontekście. Sam wzór jest na końcu. 
* "Przy tym żąda się, by tensor metryczny był dodatnio określony w całej przestrzeni – oznacza to, że infinitezymalne przemieszczenie dx musi być liczbą dodatnią w każdym miejscu rozmaitości – analogicznie jak w przestrzeni euklidesowej."
"W całej przestrzeni" jest mylące, bo forma dwuliniowa albo jest dodatnio określona, albo nie. Chodziło zapewne o to, że dla każdego x forma wyznaczona przez współczynniki g_{ij}(x) ma być dodatnio określona. W połączeniu z dwuliniowością (wynikającą ze wzoru wyżej) i symetrią (tutaj zupełnie przemilczaną) składa się to na definicję iloczynu skalarnego. 
Oczywiście to infinitezymalne przemieszczenie (czyli wektor styczny) ma być liczbą dodatnią, tylko iloczyn skalarny wektora z samym sobą ma być dodatni (o ile wektor jest niezerowy). 
* "Warunek dodatniej określoność matematycznie oznacza, że wszystkie minory główne liczone wzdłuż przekątnej macierzy tensora powinny być dodatnie, począwszy od wyznacznika tensora" 
Warunek dodatniej określoności (gdyby sięgnąć po definicję) oznacza to co wyżej. Zamiast tego zostajemy tu nakarmieni twierdzeniem znanym jako kryterium Sylvestera. Kryterium to jest bardzo popularne podczas kursu algebry liniowej, ale tutaj nie ma ono zastosowania. 
Oczywiście też miesza się tu pojęcie metryki i jej współrzędnych. 
* "Metrykę (odległość) pomiędzy dowolnymi punktami d(\mathbf x,\mathbf y) pomiędzy dowolnymi punktami d(\mathbf x,\mathbf y) rozmaitości definiuje się jako długość najkrótszej krzywej zawartej w M i łączącej te punkty."
Skoro mówimy o metryce jako odległości, to warto wspomnieć, że to co innego niż metryka (w domyśle: riemannowska). Najkrótsza droga nie musi istnieć - w definicji bierze się infimum z długości wszystkich krzywych (odpowiednio regularnych). Uwaga: ten błąd jest wyjaśniony w dalszej części, w sekcji "Linie geodezyjne na rozmaitości". 
* "gdy jednak punkty d(\mathbf x,\mathbf y) są infinitezymalnie odległe, tj. \mathbf y =\mathbf x +d\mathbf x, to geodezyjna redukuje się do odcinka prostej euklidesowej – metryka jest wtedy równa długości elementu liniowego d\mathbf{x}."
Tutaj miesza się geometria rozmaitości z geometrią jej wiązki stycznej. Domyślam się, że ustęp wyżej dotyczy odległości między dwoma punktami w wiązce (w tym samym włóknie). 
* "Twierdzenie to mówi, że własności geometryczne powierzchni, jak np. krzywizna powierzchni, kąty między krzywymi, pola powierzchni mogą być całkowicie określone za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, zdefiniowanych na tej powierzchni, bez konieczności odwoływania się do przestrzeni trójwymiarowej, w której powierzchnia jest zanurzona."
Większość tych rzeczy nie jest treścią twierdzenia. Chodzi w nim jedynie o krzywiznę powierzchni, cała reszta w dosyć jasny sposób jest wyznaczona przez metrykę. I oczywiście nie chodzi o określenie krzywizny "za pomocą współrzędnych krzywoliniowych" (ta część jest raczej trywialna), tylko za pomocą metryki (czyli wewnętrznej struktury rozmaitości). 
* Przestrzeń styczna do rozmaitości w punkcie, Wiązka styczna rozmaitości, Wiązka styczna unitarna 
Zawartość tych krótkich ustępów tak naprawdę nie wyjaśnia tych pojęć. 
--Michał Miśkiewicz (dyskusja) 15:54, 19 sie 2021 (CEST)
thread_title:  Błędy merytoryczne