Dyskusja:Geometria rzutowa

message: Punktem w nieskończoności (punktem niewłaściwym, punktem nieskończenie dalekim[1]) jest nazywany kierunek, czyli zbiór wszystkich prostych równoległych. Baaardzo nieprecyzyjne - "zbiór wszystkich prostych równoległych" to płaszczyzna (przestrzeń). Zgłasza:  188.33.15.189 (dyskusja) 17:56, 1 wrz 2015 (CEST)
replies: text: Geometrię miałem bardzo dawno temu, ale zbiór wszystkich prostych równoległych to na pewno nie płaszczyzna. A płaszczyzna to nie to samo co przestrzeń? Blackfish (dyskusja) 20:24, 1 wrz 2015 (CEST)

text: Precyzyjne na tyle, na ile definicja pozwala. Zbiór wszystkich prostych równoległych to właśnie :kierunek, nie płaszczyzna. Doctore→∞ 00:48, 2 wrz 2015 (CEST)
replies: text: : Kierunek to klasa abstrakcji relacji równoważności "jest równoległy" (do której to klasy należą wszystkie proste równoległe), a geometrycznie (a z pewnością teoriomnogościowo) zbiór wszystkich prostych równoległych to płaszczyzna (i odpowiednio przestrzeń w 3 wymiarach). Niby to samo, ale jest (subtelna[?]) różnica.
replies: text: :: Ha! Ta (subtelna[?]) różnica to właśnie nie rozpatrywanie geometrii rzutowej w aspektach teorii mnogości. Coś czuję, że zaraz padnie wspomniane wcześniej hasło przestrzeń i nasz rozważania "pojadą szeroko". Mariusz, wypowiesz się ? Doctore→∞ 16:54, 2 wrz 2015 (CEST)
replies: text: ::: Moim skromnym zdaniem, podana tutaj definicja kierunku jest poprawna. Już wyjaśniam, dlaczego tak sądzę. Przejrzałem wszystkie książki do tej tematyki jakie posiadam i tylko w jednej książce autorstwa Hilberta pojawiło się pojęcie kierunku, ale zupełnie w innym kontekście geometrii różniczkowej i dotyczyło krzywych. Z kolei punkty w nieskończoności Hilbert wprowadzał w inny sposób, bez używania pojęcia kierunku. Przyznam się, że nigdy nie korzystałem z formalnej definicji kierunku, więc jej nie znam. Dlatego do rozstrzygnięcia problemu muszę powołać się na moją ogólną wiedzę matematyczną. :)

text: ::: Z teoriomnogościowego punktu widzenia suma mnogościowa wszystkich prostych równoległych da nam całą płaszczyznę. Inaczej też można powiedzieć, że to jest zbiór punktów tych prostych równoległych (a nie zbiór prostych - to różnica!). Obrazuje to nawet rysunek znajdujący się obok, który swego czasu amatorsko wykonałem w Paincie. Widzimy, że jeśli z każdego punktu prostej poprowadzimy inną prostą (tak by wszystkie te proste były do siebie równoległe), to ostatecznie otrzymamy właśnie pewną płaszczyznę (jak komuś to wyjaśnienie nie wystarcza, to proszę zajrzeć do mojego brudnopisu.

text: ::: Ale kierunek, to nie jest suma mnogościowa  wszystkich prostych równoległych (lub równoważnie zbiór punktów prostych równoległych), tylko zbiór prostych równoległych (klasa abstrakcji). Każda prosta jest zbiorem. Zatem zbiór prostych, to jest zbiór zbiorów, a nie zbiór punktów płaszczyzny. Zatem do tego zbioru należą tylko całe proste równoległe. Prosta z tej samej płaszczyzny, ale nie równoległa do pozostałych, nie będzie należeć do tego zbioru.

text: ::: Dla zobrazowania mojego wyjaśnienia rozważmy płaszczyznę \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 i prostą \{(0,0),(0,1)\}. Zbiór prostych równoległych do niej to: \{\{(0,0),(0,1)\},\{(1,0),(1,1)\}\}. Weźmy teraz inną prostą z tej płaszczyzny, np. \{(0,0),(1,1)\}. Z elementarnych własności teoriomnogościowych oczywiste jest, że \{(0,0),(1,1)\}\not\in\{\{(0,0),(0,1)\},\{(1,0),(1,1)\}\}.

text: ::: Zatem konkludując, moim zdaniem definicja kierunku jest poprawna. Czy coś jeszcze powinienem bardziej szczegółowo wyjaśnić? :)Mariusz Swornóg (dyskusja • edycje) 18:06, 2 wrz 2015 (CEST)
replies: text: :::: Myślę, że kwestię kierunku mamy już wyjaśnioną. Myślę, że uzasadnione wątpliwości mogło budzić jedynie sformułowanie, że punkt w nieskończoności to kierunek. Dlatego poprawiłem błąd. :)Mariusz Swornóg (dyskusja • edycje) 18:17, 2 wrz 2015 (CEST)
Przepraszam za upierdliwość, ale dla mnie właśnie zbiór wszystkich prostych równoległych to nie to samo co klasa abstrakcji zawierająca wszystkie proste równoległe.
Po zmianie nic już mnie nie razi. Dziękuję.

text: Zmiana nie wydaje mi się szczęśliwa. Trzy kolejne zdania pierwotnego tekstu:
replies: text: : Punktem w nieskończoności (punktem niewłaściwym, punktem nieskończenie dalekim jest nazywany kierunek, czyli zbiór wszystkich prostych równoległych.

text: : Jest on punktem przecięcia wszystkich prostych o danym kierunku.

text: : Płaszczyznę rzutową P otrzymuje się przez dodanie do płaszczyzny euklidesowej P punktów w nieskończoności.

text: poprawnie (choć ze skrótami myślowymi) opisywały etapy konstrukcji płaszczyzny rzutowej.
replies: text: : Definiujemy "dodatkowe" punkty (są nimi kierunki).

text: : Lokujemy te punkty na prostych dodając do każdej prostej kierunku odpowiadający mu (po prostu będący tym kierunkiem) punkt.

text: : Całą płaszczyznę rzutową otrzymujemy dodając do płaszczyzny euklidesowej wszystkie dodatkowe punkty.

text: W wersji po zmianie mamy punkt w nieskończoności zdefiniowany jako "punkt przecięcia wszystkich prostych o danym kierunku, czyli punkt przecięcia wszystkich prostych równoległych". To jest własność tego punktu, ale już na płaszczyźnie rzutowej, na płaszczyźnie euklidesowej takiego punktu nie ma. Za to na płaszczyźnie rzutowej nie ma prostych równoległych i kierunków. Poplątaliśmy pojęcia geometrii euklidesowej, za pomocą których konstruujemy płaszczyznę rzutową, z pojęciami geometrii rzutowej, która jest na końcu tej konstrukcji.Papageno (Pisz do mnie tu) 23:25, 2 wrz 2015 (CEST)
replies: text: :: Konstrukcję płaszczyzny rzutowej, a zatem też punktów w nieskończoności opisałem w moim brudnopisie i za jakiś czas jak dopracuję jeszcze kilka rzeczy, przerzucę to do przestrzeni głównej. Cały artykuł o geometrii rzutowej jest niestety do gruntownego przepisania. Obecnie nie ma żadnych źródeł! (no, oprócz jednego dotyczącego alternatywnej nazwy punktów w nieskończoności, które dodałem niedawno). No i jest napisany bardzo ogólnikowo i chaotycznie. Gdyby teraz ktoś go zgłosił do DNU, to pewnie by nie przetrwał. Obecnie chcę napisać/poprawić kilka innych haseł, ale jeśli nikt do tej pory nie zajmie się hasłem o geometrii rzutowej, to za kilka miesięcy zapewne ja to zrobię. Po prostu siądę wtedy przy tym na spokojnie, poszukam źródeł i opiszę konstrukcję, którą potrafię zrozumieć. ;) Bo przy tak lakonicznych opisach jakie obecnie mamy w tym artykule, to ciężko nawet mówić o konstrukcji, wnioskach, itp. Rozumiem to o czym mówisz, ale musiałbym się temu dłużej przyjrzeć na spokojnie. Konstrukcji z użyciem pojęcia kierunku nigdy nie widziałem. Jeżeli Ty, , masz jakieś źródła mówiące o tej konstrukcji punktów w nieskończoności za pomocą pojęcia kierunku, to może poprawisz i dodasz przypisy? :)Mariusz Swornóg (dyskusja • edycje) 23:51, 2 wrz 2015 (CEST)
http://dydmat.mimuw.edu.pl/topologia-i/plaszczyzna-rzutowa-i-wstega-moebiusa
thread_title:  z [[Wikipedia:Zgłoś błąd w artykule]]