Dyskusja:Paradoks petersburski

message: ...nieomalże podał właściwą funkcję. Też z miejsca pomyślalem o logarytmie. I uwaga D.B. o biednym i bogatym była celna. Tylko funkcji nie docisnął do końca (poza tym pies jednak jest pogrzebany jeszcze gdzie indziej, o czym napiszę w następnym segmencie).
Uwaga   Warto dobrać (fikcyjną) jednostkę monetarną tak, by używać
logarytmu naturalnego, a nie o przypadkowej podstawie.
Należy, jak zauważył D.B., brać pod uwagę totalny stan materialny człowieka, a raczej psychiczne odczucie stanu materialnego, i przełożyć je na kwotę pieniężną. (Na poczucie zabezpieczenia materialnego składa się stan posiadania, wysokość zarobków, zdrowie, sytuacja rodziny, potencjał zarabiania, sytuacja socjalno-społeczna, ...).
Pewne testy mogą mierzyć psychiczne odczucie totalnego stanu materialnego człowieka. Zamiast uważać, że dają paradoksalne wartości, to korzystniej dla nauki jest interpretować je jako pomiar psychicznego odczucia zabezpieczenia materialnego.
Załóżmy, że znamy totalny stan materialny w odczuciu danej osoby, że jest równoważny kwocie A. Należy w dalszych rozważaniach stosować logarytm, ale z braniem pod uwagę kwoty A. Tymczasem widzę, że wszelakie wzory w literaturze od A, czyli od osoby, nie zależą.
Moja teza brzmi:
replies: text: :ludzie optymizują logarytm swojego zabezpieczenia materialnego.
Popatrzmy na przykłady szansy gwałtownego wzbogacenia się biednej osoby.
Niech opcja 1 daje wygraną K·A z szansą 1/2 oraz 0 z szansą 1/2. Opcja 2 daje szansę wygranej K2·A z szansą 1/10 oraz 0 z szansą 9/10. Załóżmy, że K jest na tyle duże, że poniższe aproksymacje wartości są w pełni akceptowalne
(dokładny rachunek poparłby moją tezę jeszcze mocniej):
Opcja 1:
replies: text: ::\frac{1}{2}\cdot log(A+K\cdot A)+\frac{1}{2}\cdot log(A)\ \approx\ log(A) + \frac{1}{2}\cdot log(K)
Opcja 2:
replies: text: ::\frac{1}{10}\cdot log(A+K^2\cdot A)+\frac{9}{10}\cdot log(A)\ \approx\ log(A) + \frac{1}{5}\cdot log(K)
Wartość oczekiwana wygranej przy opcji 1 wynosi (1/2)·K·A,  a przy opcji 2 aż K2·A/10. Już dla K:=10 opcja 2 daje dwa razy więcej niż opcja 1;
przy K:=20 daje 4 razy więcej niż opcja 1; itd. Ze wzrostem K rośnie ogromnie przewaga
wartości oczekiwanej opcji 2 nad opcją 1. Ale dla człowieka nie ma to znaczenia.
Wszystko jedno atrakcyjniejsza jest opcja 1 (niemal niezależnie od stanu posiadania,
pod warunkiem, że wygrana jest wiele razy większa).
Teraz rozpatrzmy średniozamożną osobę, której stan posiadania wynosi:
replies: text: :::B := K^\frac{3}{4} \cdot A
Oczekiwana logarytmiczna wartość po tej samej loterii, w którą grał ubogi,
dla takiej osoby wyniesie w przybliżeniu (dla wielkiego K):
Opcja 1:

text: ::\frac{1}{2}\cdot log(B+K^\frac{1}{4}\cdot B) + \frac{1}{2}\cdot log(B)\ \approx\ log(B) + \frac{1}{8}\cdot log(K)
Opcja 2:

text: ::\frac{1}{10}\cdot log(B+K^\frac{5}{4}\cdot B)+\frac{9}{10}\cdot log(B)\ \approx\ log(B) + \frac{1}{8}\cdot log(K)
Dla osoby średniozamożnej podane dwie opcje są niemal równoważne.
Dla osób bogatych, których stan posiadania wynosi
replies: text: :::C := K^c \cdot A
gdzie wykładnik c  jest większy od 3/4, opcja 2 będzie, przy wielkim K,
zdecydowanie atrakcyjniejsza (ale loteria i tak będzie dla nich mniej ważna).
Na przykład dla c := 3 sytuacja wygląda następująco:
Opcja 1:

text: ::\frac{1}{2}\cdot log(C+K^{-2}\cdot C)+\frac{1}{2}\cdot log(C)\ \approx\ log(C) + \frac{1}{2\cdot K^2}
Opcja 2:

text: ::\frac{1}{10}\cdot log(C+K^{-1}\cdot C)+\frac{9}{10}\cdot log(A)\ \approx\ log(C) + \frac{1}{10\cdot K}
Chociaż taka loteria jest dla bogacza dziecinna, to jednak druga opcja jest atrakcyjniejsza.
Ważnym jest, że dla bogacza atrakcyjność jest (z dużym przybliżeniem)
proporcjonalna do wartości oczekiwanej.
 -- Wlod 16:08, 15 lis 2007 (CET)

text: Twoja teza jest słuszna. Zdaje się, że nawet jakieś badania na ten temat czytałem. Ten logarytm zgadza się też z prawem Webera-Fechnera - tak samo ludzie reagują na dowolny bodziec. A cały "paradoks" jest po prostu empirycznym dowodem, że funkcja użyteczności jest wklęsła. Pozdrawiam, Żangle 16:23, 15 lis 2007 (CET)
replies: text: : Sama wklęsłość nie wystarczy. Jeżeli funkcja użyteczności jest wklęsła, ale nieograniczona, to "paradoks" nie znika. To znaczy można zmodyfikować prawdopodobieństwa tak, że wartość oczekiwana użyteczności jest nieskończona (szereg jest rozbieżny), ale i tak nikt o zdrowych zmysłach by nie zgodził by się grać w taką loterię za wysoką, skończoną cenę. Jeżeli funkcja użyteczności jest skończona, to paradoksu można uniknąć (szereg jest ograniczony, więc i zbieżny). Tak czy inaczej, jak napisane jest w haśle, główne znaczenie "paradoksu" polega na tym, ze przykładzik ten kilkaset lat temu uzmysłowił fakt, że ludzie w warunkach ryzyka nie podejmują decyzji kierując się kryterium maksymalizacji wartości oczekiwanej wypłat, co byłoby najprostszym założeniem. Bernoulli zaproponował jako rozwiązanie modyfikację aksjomatyki przez modyfikację wypłat przy pomocy funkcji użyteczności (logarytmu) i maksymalizację wartości oczekiwanej tej funkcji. Przez ~200 lat uważano to za aksjomat, ale bardziej współczesne badania pokazują, że to też prowadzi do zadziwiających sprzeczności (zobacz paradoks Allais oraz paradoks Ellsberga). Qblik ¿Ø? 18:02, 15 lis 2007 (CET)
thread_title:  Daniel Bernoulli 

message: Im więcej człowiek postawi w tę grę, tym większą
ma szansę przegrania połowy lub więcej. Gdy postawi 2048, to
szansę na uratowanie 1024 ma 1/1024. Kto by chciał postawić 10-letnią
pensję, z 99.99% szansą przegrania połowy? Wtedy nawet złote góry
nie są w stanie tego wyrównać, gdy ich szansa wynosi zaledwie
jeden na zilion. A po co komuś nieskończona czy też przeogromna
wygrana? Niczym się nie różni od ogromnej. Natomiast przegrana
boli coraz bardziej. Nawet nie bawię się w rachunki, bo jakościowa
analiza zupełnie wystarczy. -- Wlod 16:42, 15 lis 2007 (CET)
replies: text: No dobrze, to czemu ludzie grają w totolotka? Żangle 18:07, 15 lis 2007 (CET)
thread_title:  Gdzie jest pies pogrzebany? - O, tutaj!