Dyskusja:Pochodna funkcji

message: W części zastosowania pochodnych są dwa błędy. Proszę o ich poprawienie - Agata Pradera.
replies: text: Można samemu zmienić albo chociaż wskazać, gdzie są te błędy. --Kocur 23:28, 20 mar 2006 (CET)
Błędy są w punktach monotoniczność i wypukłość. 4@ 18:14, 22 mar 2006 (CET)
wzor na pochodna z lnf nie jest rowny f/f' tylko 1/f, prosze o korekte, przez ten zly wzor oblalbym kolo z analizy!! - student politechniki

text: Szanowny studencie politechniki. Wzór:
replies: text: :  (\ln f)^\prime = \frac{f^\prime}{f} ,

text: czyli wzór na pochodną logarytmu z funkcji  f , jest poprawny i wynika ze wzoru na pochodną złożenia funkcji (ponieważ  f  jest dowolną funkcją!). Na przykład:
replies: text: :  (\ln (x^2+1))^\prime = \frac{2x}{x^2+1}

text: Nie należy mylić tego wzoru z wzorem na pochodną funkcji elementarnej logarytm czyli pochodną logarytmu zmiennej x, która wyraża się wzorem:
replies: text: :  (\ln x)^\prime = \frac{1}{x} .

text: Wzór nie wymaga więc korekty, należy jedynie korzystać z odpowiedniego wzoru w odpowiedniej sytuacji. Życzę samych piątek z kolosów i pozdrawiam serdecznie. --Raq0 (dyskusja) 11:26, 24 lis 2009 (CET)
thread_title: Błędy

message: Potrafię obliczyć pochodną i nawet idzie mi to nieźle, ale nikt nie potrafi odpowiedzieć mi na bardzo proste pytanie: Do czego służy pochodna? Tzn. jakie jest jej zastosowanie?
replies: text: Znakomite pytanie, choć nikt – to chyba gruba przesada.  Sądzę, że w każdym razie warto dodać odp. rozdział w artykule. Ogólnie rzecz biorąc, badając pewne proste własności pochodnej dostajemy informacje o pewnych trudnych własnościach fukcji pierwotnej (proste i trudne – tu w sensie np. trudności obliczeniowych). Przykłady:
# Monotoniczność i ekstrema funkcji pierwotnej (które poza prostymi przypadkami raczej ciężko się bada wprost z definicji) są związane (w dość, powiedzmy na marginesie, subtelny sposób) ze znakiem i zerowaniem się pochodnej.
# Wypukłość funkcji – znak drugiej pochodnej.
# Pierwiastki wielokrotne wielomianu – miejsca zerowe kolejnych pochodnych.
Druga grupa zastosowań jest związana z interpretacją pochodnej w innych dziedzinach, np.:
# w fizyce: jeśli funkcja wyraża położenie w zależności od czasu, to jej pochodna jest po prostu prędkością chwilową;
# w ekonomii: jeśli funkcja wyraża koszt w zależności od wielkości produkcji, to jej pochodna jest kosztem marginalnym.
Mbork 23:39, 3 lut 2005 (CET)
W skrócie pochodna funkcji w punkcie mówi jak szybko "funkcja rośnie" w tym punkcie. Co do mierzenia pokonywania prędkości w czasie: Jeśli mierzyć jakiś odcinek i podzielić przez czas w jakim został on pokonany to mamy prędkość, ale prędkość niedoskonałą. Bo jest to prędkość ŚREDNIA jaka była podczas pokonywania tego odcinka. Pomysł z pochodną polega na skróceniu tego odcinka do minimum (czyli limes odleglosci dozacej do 0( aby mieć prędkość CHWILOWĄ, prawdziwą, a nie jakąś średnią. Tyle: Proste, a genialne.
--Darck.pl 22:19, 10 paź 2007 (CEST)
thread_title: Zastosowanie

message: Dla laika który potrzebuje wiadomości z wąskiego obszaru matematyki to pochodna funkcji jest opisana w sposób któtry jest trudno zrozumieć! Prosiłbym o uproszczenie formy przedstawienia tego zagadnienia!
jeżeli jeszcze tam jesteś, to napisz czego mniej więcej oczekujesz...
konrad mów!
Poniżej moja własna robota. Niestety brak doświadczenia i filmik jest czytelny jak się go ogląda w HD 
* https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=riMfC4sxyX4
Polacy mają tendencję do komplikowania prostych spraw :) Taka wada narodowa (Zobaczcie jaki jestem mądry)
--Mateczek (dyskusja) 12:40, 24 mar 2015 (CET)
thread_title:  Trudne! 

message: W mojej przeglądarce prim przy f w wypunktowaniach (czyli f') jest bardzo słabo widoczny, gdybym wcześniej nie spotkał się z pojęciem pochodnej to bym go nie zauważył. Moja przeglądarka to firefox 2.0 rc1 na linuxie.
thread_title:  f' 

message: Definicja jest błędna. Nie wiadomo co to jest ten otwarty zbior U. Dlaczego w zasadzie można dzielić przez h?
Poprawie ten artykul jak tylko uporam sie z 'rozniczka'....
Czy wie ktoś z was czy istnieje ogólna definicja pochodnej na przestrzeni topologicznej lub chociaż przestrzeni wektorowej????
Jeśli tak to wypadałoby tez to tutaj zamieścic (najlepiej na samym koncu zeby nie straszyc laikow)
Pochodną można zdefinować jeszcze w dla funkcji zespolonych. Najogólniej o rachunku różniczkowym możemy mówić w przypadku funkcji z przestrzeni unormowanej w przestrzeń unormowaną, ale tutaj mamy do czynienia z różniczką. Pochodne najogólniej występują w postaci macierzy dla funkcji z R^n do R^m.
--Albi 23:47, 12 lut 2007 (CET)
thread_title: Istotnie, 

message: zastanawia mnie, czy w artykułach takich jak ten nie należałoby zamieścić dowodów wzorów i pochodnych funkcji elementarnych, albo przynajmniej odnośników do nich.--Ghazer 09:21, 21 cze 2007 (CEST)
replies: text: To jest bardzo trudne, bo nie wiadomo z czego mozna korzystać. (czy do wyliczenia pochodnej z logarytmu mozna uzyc pochodnej exp(x)?, a odwrotnie?)
Kbsc 13:54, 21 cze 2007 (CEST)
replies: text: :być może, ale jakoś sie tego jednak dowodzi. zresztą, jeśli ktoś będzie miał jakieś wątpliwości, zawsze można coś poprawić. na tym przecież między innymi polega wikipedia. ;)--Ghazer 00:18, 22 cze 2007 (CEST)
Elementarny dowód na exp() odnosi się do definicji pochodnej :)
thread_title: Dowody

message: moze by cos o pochodnych czastkowych zamiescic tzn. pochodnych wzgledem jednej ze zmiennych wielomianu.
thread_title: pochodne czastkowe

message: Ja sie wymawia f'? f z kreską? f apostrof? f prim? A f? --Alef (dyskusja) 11:46, 15 cze 2010 (CEST)
replies: text: f' to"ef prim".

text: f to "ef bis"
Alef może wróciłbyś i nam pomógł? :) Loxley (dyskusja) 15:05, 2 lip 2010 (CEST)
thread_title:  Wymowa 

message: Rzeczywiście, pod symbolem lim nie działa indeks dolny. Coś jest źle, czy błąd parsera? Jeżeli to drugie, to warto by zgłosić, ale nie wiem gdzie. RJB1 (dyskusja) 09:19, 3 kwi 2011 (CEST)
thread_title:  Indeks pod lim 

message: Proponuję usunąć zdanie:
Dla funkcji f^{(n)} liczbę n nazywamy rzędem pochodnej.
Nie jest ono zbyt poprawne a oprócz niczego nie wnosi.
thread_title:  Drobna usterka 

message: Skąd się to wzięło? Dlaczego po lewej stronie równania jest funkcja od y, a po prawej od x? Wzór nie zgadza się z pochodnymi funkcji eksponencjalnej i logarytmicznej, chyba że y ma tu jakieś konkretne znaczenie, ale w takim wypadku trzeba to wyjaśnić.
thread_title:  Pochodna funkcji odwrotnej 

message: Pochodną funkcji f(x) w punkcie x_0 nazywamy granicę (o ile istnieje):
replies: text: \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x},
co symbolicznie zapisuje się w jednej z postaci:

text: \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x},\; \frac{d y}{d x},\; \frac{d}{d x} f(x_0),\; f'(x_0),\; y'(x_0)

text: Sporo tu byków. Dwa pierwsze symbole to pochodna funkcji (ogólnie, a nie w w punkcie x_0), trzeci to pochodna liczby (stałej). Zgłasza: 2A02:A318:8140:A000:1402:7D3:C6CB:1763 (dyskusja) 20:49, 28 kwi 2021 (CEST)
*  Mpn (dyskusja) 20:33, 29 kwi 2021 (CEST)
**  problem jest nawet większy - w tym artykule brakuje wyraźnego rozgraniczenia między "pochodną funkcji" a "pochodną funkcji w punkcie". "Pochodna funkcji w punkcie" i "pochodna funkcji" to dwa różne pojęcia. Dana funkcja może mieć pochodne w jakichś punktach, ale nie mieć "pochodnej funkcji". Myślę, że brakuje tu jakiejś osobnej sekcji mówiącej o "pochodnej funkcji w punkcie" i potem kolejnej mówiącej o "pochodnej funkcji". W tym momencie w sekcji "Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych" przez cały czas mowa o "pochodnej funkcji w punkcie", a dopiero w ostatnim akapicie sekcji wprowadzona jest "pochodna funkcji". Brak wyraźnego rozgraniczenia między tymi pojęciami w tym artykule sprawia, że dość łatwo to przegapić i źle zrozumieć ten artykuł. Uważam więc, że artykuł wymaga gruntownej przebudowy (na którą niestety osobiście nie mam czasu, ze względu na pracę). Natomiast co do samych symboli - zgłaszający ma rację, że są mocno pomieszane. Witold Kołodziej w książce Analiza matematyczna (s.142-143) dla pochodnej funkcji w punkcie wprowadza symbole f'(a) i \frac{df}{dx}(a), a dla pochodną funkcji zapisuje jako: f', \frac{df}{dx} lub \frac{d}{dx}f. Kazimierz Kuratowski w Rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej (s.101) dla pochodnej w punkcie proponuje oznaczenie: f'(a) lub \left[\frac{df(x)}{dx}\right]_{x=a}, a pochodną funkcji oznacza jako: \frac{dy}{dx}. Franciszek Leja w Rachunek różniczkowy i całkowy (s.88-89) używa dla pochodnej w punkcie tylko symbolu f'(x_0). Mariusz Swornóg (dyskusja • edycje) 21:27, 1 maj 2021 (CEST)
**  oprócz tego dostrzegam jeszcze inny problem. W definicji pochodnej funkcji w tym artykule pojawia się mowa o "otoczeniu". Jest to pojęcie topologiczne. Jednakże, z punktu widzenia topologii, ta definicja nie jest prawidłowa. Jest za mało założeń. Trzeba tu rozgraniczyć dwie kwestie - podejście historyczne, bardziej prymitywne; i współczesne - bardziej precyzyjne, topologiczne. Gdybyśmy chcieli w bardziej prymitywny sposób zdefiniować pochodną, to zamiast słowa "otoczenie" można by powiedzieć "przedział" i byłoby OK (por. np. Leja, Kuratowski). Z kolei, jeżeli chcielibyśmy zdefiniować pochodną w bardziej współczesny, topologiczny sposób, to należałoby dopisać założenie, że wspomniane otoczenie punktu powinno być niezdegenerowane do singletonu w dziedzinie funkcji będącej przestrzenią topologiczną indukowaną przez topologię w \mathbb{R}. A w artykule mamy coś pomiędzy - nie jest to ani ujęcie historyczne, bardziej pierwotne; ani ujęcie w pełni topologiczne; przez co tak naprawdę definicja w tym artykule jest merytorycznie błędna. Mariusz Swornóg (dyskusja • edycje) 21:36, 1 maj 2021 (CEST)
*** Czyli wszystko pomieszane. Art jakby 2 kroki robi w jednym. Tylko trudno to w miarę prosto poprawić, trzeba rzeczywiście by było cały akapit dopisywać... Mpn (dyskusja) 08:58, 2 maj 2021 (CEST)
*** W artykule faktycznie jednym tchem wymienia się oznaczenia na pochodną funkcji i pochodną funkcji w punkcie, trzeba to jakoś rozdzielić. Pojawia się też niejednoznaczny symbol  \frac{d}{d x} f(x_0). Reszta zgłoszonych tu uwag jest jednak zwykłym szukaniem dziury w całym. „Odkrywcze” stwierdzenia, że pochodna funkcji i pochodna funkcji w punkcie to różne pojęcia albo że funkcja może mieć pochodne w jakichś punktach i jednocześnie nie mieć swojej pochodnej, nijak się nie mają do artykułu. Przecież w artykule o tym wszystkim wyraźnie napisano – podano definicję pochodnej w punkcie, po czym podano bazującą na niej definicję pochodnej na zbiorze. Jedynym problemem jest to, że między te dwie definicje wciśnięto rozwlekłe dywagacje o stosowanej symbolice, co rozbija tekst i ciągłość rozumowania. Wystarczy przestawić akapity i zgrabnie zredagować. Ponadto rozwlekłość tych dywagacji trochę dziwi, bo w dalszej części artykułu jest cała sekcja poświęcona symbolice.Nie rozumiem rozróżnienia między podejściem historycznym (czytaj: prymitywnym) i współczesnym (czytaj: precyzyjnym) i opierającej się na tym dziwnym rozróżnieniu sugestii o jakichś błędach merytorycznych. Artykuł poprawnie powołuje się na otoczenie punktu czyli na zbiór z otwartym podzbiorem zawierającym ten punkt. Dla leniuchów, którym nie chce się szukać po Wikipedii, dopisano w uwagach, że oznacza to istnienie przedziału otwartego zawierającego ten punkt i zawartego w tym otoczeniu. Gdyby jednak ten czy inny leniuch zajrzał do artykułu Otoczenie, to znalazłby tę informację w sekcji Otoczenia w przestrzeniach metrycznych. Może w omawianym artykule jest trochę niezgrabności stylistycznych i redakcyjnych, ale jakichś strasznych błędów merytorycznych w tej sekcji nie widzę. Zresztą dokładnie tak jak w artykule robi się to w takim prymitywnym źródle jak np. Encyklopedia szkolna matematyki prof. Waliszewskiego (pewnie ta pozycja była źródłem artykułu). Przy okazji gratuluję odwagi autorowi tych uwag, gdy określa sposób wprowadzania pochodnej przez Kuratowskiego czy Leję jako prymitywny. I gratuluję znajomości rzeczy, skoro nie wie, że po pierwsze: nie da się sensownie uprawiać rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej w innej topologii niż topologia generowana przez metrykę opartą na odległości |a-b| (i tyle są warte te wzmianki o singletonach)). Po drugie: przy takiej topologii, jeśli  x\in V\subset\mathbb R, to trzy stwierdzenia „U_1 \subset V  jest pewnym otoczeniem punktu x”, „punkt x należy do pewnego przedziału otwartego U_2 \subset V ”, „punkt x należy do pewnego zbioru otwartego U_3 \subset V ” są RÓWNOWAŻNE. -- niepodpisany komentarz użytkownika 185.253.228.11 (dyskusja) 13:51, 10 maj 2021
No to jak to jest? można sprawdzać swoją wiedzę z rachunku różnickzowego czytając wikipedię czy lepiej omijać ją z daleka? Bo różni tacy dyskutują tu zawzięcie a ja nic z tego nie rozumiem185.244.85.30 (dyskusja) 23:57, 5 cze 2021 (CEST)
* Ja jeszcze w sprawie wyjściowego zarzutu. Jak chodzi o ścisłość, to w wykazie symboli:
replies: text: : \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x},\; \frac{d y}{d x},\; \frac{d}{d x} f(x_0),\; f'(x_0),\; y'(x_0)

text: pierwszy z nich nie jest żadnym symbolem pochodnej funkcji, ale jest formalnym zapisem wyrażenia „granica ilorazu różnicowego”. Czyli jest skróconą wersją definicji pochodnej podanej w artykule linijkę wyżej, tj.:
replies: text: : \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x},

text: Czyli dodatkowo pomieszana jest symbolika pochodnej funkcji i pochodnej funkcji w punkcie oraz symbolika ilorazów różnicowych.185.253.228.11 (dyskusja) 12:33, 9 lip 2021 (CEST)
thread_title:  z [[Wikipedia:Zgłoś błąd w artykule]] 

message: Zastanawia mnie czy była by możliwość istnienia przeciwieństwa pochodnej i czy miałby sens istnienia czegoś takiego?
Pochodna ma postać f ' (x)=n*xn-1, natomiast przeciwieństwo pochodnej miało by wzór f -' (x)=1/n*xn+1
replies: text: Coś podobnego istnieje i nazywa się całka nieoznaczona. --Tarnoob (dyskusja) 22:40, 29 wrz 2023 (CEST)
thread_title:  Przeciwna pochodna 

message: Znam kilka faktów z analizy rzeczywistej, dla których nie mam rzetelnych źródeł, dlatego piszę je tutaj – może kogoś zaciekawią i zainspirują do znalezienia im przypisów.
# Pochodna nie tylko nie musi być ciągła ani nie musi mieć granicy w punkcie; w nieskończoności też nie musi mieć granicy, nawet jeśli różniczkowana funkcja ją ma. Opowiada o tym Dr Trefor Bazett na swoim kanale YouTube, podając przykład f(x) = \frac{\sin (x^2)}{x};
# Pochodna różna od zera nie gwarantuje monotoniczności w żadnym otoczeniu; o tym Dr Bazett też mówi, podając przykład funkcji z nieciągłą pochodną;
# Ciągła pochodna różna od zera już implikuje takie otoczenie. Jeśli pochodna jest dodatnia w jakimś punkcie, to ciągłość implikuje jakieś otoczenie z dodatnimi wartościami, a to implikuje, że pierwotna funkcja jest tam rosnąca.
Wpisałem to też do dyskusji artykułu Analiza rzeczywista, który spisuje różne fakty tego typu. Tarnoob (dyskusja) 22:42, 29 wrz 2023 (CEST)
replies: text: Niektóre źródła, np. MathOnline i Andrew McCrady na YouTube wspominają kryterium Carathéodory’ego różniczkowalności -- istnienie funkcji ciągłej spełniającej jakieś równanie funkcyjne; to chyba rozszerzenie dobrze znanego faktu, że różniczkowalność to istnienie stycznej, czyli możliwość przybliżania funkcji prostą. Ktoś zna jakieś źródła po polsku na ten temat? Tarnoob (dyskusja) 23:35, 30 wrz 2023 (CEST)
thread_title:  Więcej faktów