Dyskusja:Paradoks Hilberta

message: Jeśli dla każdego dowolnie licznego zbioru liczb naturalnych istnieje podzbiór liczb nieparzystych, o liczności o połowę mniejszej, i zasada ta obowiązuje przy powiększaniu liczności zbioru liczb naturalnych i nieparzystych do nieskończoności, to na jakiej podstawie można twierdzić, że nieskończony zbiór liczb naturalnych ma tę samą liczność co nieskończony zbiór liczb nieparzystych. Moce zbiorów nieskończonych są również różne alef Liczność podzbioru może być równa liczności zbioru wtedy i tylko wtedy, kiedy zbiór zawiera tylko jeden podzbiór.W przypadku nieskończonego zbioru liczb naturalnych zbiór ten składa się z dwóch nieskończonych podzbiorów liczb parzystych i liczb nieparzystych. Nie może więc być mowy o równoliczności nieskończonego zbioru liczb nieparzystych i liczb naturalnych. 
Tadeusz Kaczorowski
-- niepodpisany komentarz użytkownika 83.24.20.107 (dyskusja | wkład) 22 paź 2004

message: Pozwolę sobie nie zgodzić się z moim "przedmówcą". Postaram się wyprowadzić go z błędu. 
Po pierwsze, założenie: "Jeśli dla każdego dowolnie licznego zbioru liczb naturalnych istnieje podzbiór liczb nieparzystych, o liczności o połowę mniejszej" jest fałszywe i nieprecyzyjne. Zbiór liczb naturalny jest jeden, jedyny i niepowtarzalny w związku z tym nie można mówić o "dowolnie licznym zbiorze liczb naturalnych". Jeżeli natomiast szanownemu przedmówcy chodziło o "podzbiór liczb naturalnych" to tutaj też jest w błędzie. Przykładowo podzbiór {1, 7, 13} zbioru liczb naturalnych nie zawiera wogóle liczb parzystych. 
Po drugie, i najważniejsze, istotne jest w tym wszystkim uświadomienie sobie "paradoksu intuicyjnego" który wiąże się z pojęciem mocy zbioru. Wyobraźmy sobie rodzinę indeksowaną zbiorów {An = {1, 2, ..., 2n}: n jest naturalne}. Liczność każdego zbioru z tej rodziny wynosi 2n, natomiast każdy z nich ma zawarty podzbiór składający się z liczb parzystych o liczności n. Niemniej jednak nie ma powodu by sądzić że ta własność zostanie zachowana w "sytuacji granicznej" (z taką granicą dla  ciągu zbiorów też może być kłopot, ale to przemilczmy). W związku z tym nie ma nic co przeszkadzałoby sądzić że podzbiór liczb parzystych nie może być równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
Kończąc ten przydługi wywód ostatecznie odpowiem na pytanie. Definicja jest następująca: zbiory są równoliczne gdy istnieje bijekcja z jednego zbioru na drugi. W tym przypadku taką bijekcją jest funkcja określona wzorem x[n] = 2n. Jak ktoś nie wierzy niech sprawdzi, dowodu nie będe przedstawiać, aby nie przedłużać.
-- niepodpisany komentarz użytkownika Albi (dyskusja | wkład) 4 maj 2005
thread_title:  Komentarz dla mojego poprzednika 

message: Tutaj nie mam pewności. Nie uważam się za matematyka, ale zdaje mi się, że nieskończona liczba autobusów z nieskończoną liczbą pasażerów zawiera dokładnie tyle pasażerów ile jest liczb rzeczywistych, a na pewno zbiór pasażerów nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
Żeby dokwaterować nieskończoną liczbę autobusów załadowaną nieskończoną liczbą pasażerów należałoby wykonać nieskończoną liczbę kroków omówionych w przykładzie:
"Będąc portierem w naszym nieskończonym hotelu mamy nawet jeszcze więcej możliwości. Nawet jeśli przyjedzie do nas nieskończona liczba autobusów z nieskończoną liczbą klientów w każdym z nich, to nadal możemy ich wszystkich zakwaterować dokonując kolejnego, nieco bardziej złożonego triku z zamianami pokojów: Najpierw trzeba opróżnić pokoje hotelowe z nieparzystym numerem poprzez chwilowe umieszczenie ich gości w np. autobusie nr 1. Klientów z autobusu nr 1 umieszczamy w międzyczasie w pokojach z numerami 3n, gdzie n to np. numery miejsc w autobusie (wszystkie te pokoje będą oczywiście nieparzyste, czyli już wcześniej opróżnione). Potem umieszczamy klientów z autobusu 2 w pokojach o numerach 5n. Następny autobus pójdzie do pokojów 7n. Ogólnie, będziemy umieszczali klientów kolejnych autobusów w pokojach m(n)n gdzie m(n) to kolejne liczby pierwsze."
A to już samo sprawia, że metoda jest niewłaściwa. Moim zdaniem nie ma możliwości żeby zakwaterować klientów z nieskończonej liczby autobusów z nieskończoną liczbą miejsc. Nie chcę ingerować w treść artykułu, uważam jednak, że to powinno być jak najszybciej poprawione.
Pozdrawiam
-- niepodpisany komentarz użytkownika Kapuhy (dyskusja | wkład) 14 wrz 2005
replies: text: Nie matura, lecz chęć szczera zrobi z Ciebie encyklopedystę. Tak trzymać, chłopaki! 4@ 21:04, 14 wrz 2005 (CEST)
thread_title:  Jeszcze jeden komentarz :) 

message: "Żeby dokwaterować nieskończoną liczbę autobusów załadowaną nieskończoną liczbą pasażerów należałoby wykonać nieskończoną liczbę kroków omówionych w przykładzie: (...) A to już samo sprawia, że metoda jest niewłaściwa."
Żeby zbudować hotel z nieskończoną liczbą pokoi trzeba dysponować nieskończoną ilością cegieł. A to już samo sprawia, że nie istnieje hotel z nieskończoną liczbą pokoi. 
Lecz co z tego? To jest tylko przykład jak możemy każdemu pasażerowi (siedzącemu w jednym z autobusów, w którym jest nieskończenie wiele miejsc) przypisać dokładnie jeden pokój hotelowy (bez sublokatora!). Nie ważne ile czasu zajmie przemieszczanie tych ludzi!
"(...) zdaje mi się, że nieskończona liczba autobusów z nieskończoną liczbą pasażerów zawiera dokładnie tyle pasażerów ile jest liczb rzeczywistych"
Źle ci sie zdaje. Zawiera dokładnie tyle ile jest liczb naturalnych (albo całkowitych lub wymiernych). 
Jest dobrze znanym (choć nie trywialnym) faktem z teorii mocy, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze swoim kwadratem kartezjańskim. Każdemu człowiekowi podróżującemu którymś z tych autobusów możemy przypisać parę liczb określającą numer siedzenia i numer autobusu (zakładam, że każdy zajmuje tylko jedno miejsce i wszystkie miejsca są zajęte). W związku z tym widzimy, że zbiór ludzi jest równoliczny z kwadratem kartezjańskim liczb naturalnych, a co za tym idzie ze zbiorem liczb naturalnych. 
I tak nie wierzę żebyś to przeczytał, ale może zostanie dla potomnych.
--Albi 01:26, 2 lis 2005 (CET)
thread_title:  Odpowiedź 

message: przeczytałem. Ale nie do końca jestem jeszcze przekonany. Rozejrzę się tu i ówdzie. Wiem, że ten temat pojawiał się w jednym z opowiadań Lema i w jednej książce jakiegoś rosyjskiego bodajże matematyka (tytuł zdaje się był "Opowieści o zbiorach"). Nie widzę błędów w Twoim rozumowaniu, ale
coś mi mówi, że jednak nie jest tak jak mówisz. Sprawdzę i napiszę.
--kapuhy 10:51, 23 lis 2005 (CET)
replies: text: To źle, że nie jesteś do końca przekonany. Wikipedysta Albi ma bowiem rację. Zamiast wierzyć Lemowi czy "jakiemuś rosyjskiemu bodajże matematykowi" (choć prawdę mówiąc wątpię, by Lem czy jakiś rosyjski bodajże matematyk napisali coś takiego) polecam zapoznać się z jakąś dobrą książką związaną z teorią mnogości jak choćby "Wstęp do matematyki współczesnej" Heleny Rasiowej, gdzie znajdziesz łatwy i przystępny dowód między innymi takiego twierdzenia: Iloczyn kartezjański AxB zbiorów przeliczalnych A i B jest zbiorem przeliczalnym. Twierdzenie to możesz też znaleźć tutaj. Wyjaśnia ono w zasadzie wszystko. --yaevin 22:31, 2 maj 2006 (CEST)
No właśnie - przeliczalnych. W artykule ani razu nie pojawia się to słowo - wydaje mi się jednak, że powinno się tam znaleźć, skoro mowa jest o przeliczalnie nieskończonym zbiorze liczb naturalnych.
Saskia
-- niepodpisany komentarz użytkownika 91.150.223.116 (dyskusja | wkład) 16 gru 2008

text: Święta racja. Przeczytałem w artykule, że każde dwa zbiory nieskończone mają tę samą moc i mną zatrzęsło. Dzięki za zauważenie. Olaf @ 00:04, 6 sty 2009 (CET)
thread_title:  A jednak 

message: Moim zdaniem samo założenie tego paradoksu jest sprzeczne. Jeśli mamy hotel z NIESKOŃCZONĄ liczbą pokoi to nie mogą wszystkie być zajęte! Pojęcie nieskończoności wyklucza pojęcie "wszystkości"!
-- niepodpisany komentarz użytkownika 193.138.241.201 (dyskusja | wkład) 1 cze 2010
replies: text: Weźmy stoliki ponumerowane liczbami naturalnymi i pokoje ponumerowane liczbami rzeczywistymi. Do pokoju z numerem 1 wstawiamy stolik 1, do pokoju z nr 1,2 wstawiamy stolik 2, do pokoju 1,23 wstawiamy stolik 3... do pokoju z nr 1,2345678910 wstawiamy stolik 10 itd. Postępując w ten sposób można wstawić wszystkie nasze stoliki (których mamy nieskończoną ilość) do pokoi, chociaż nie starczy nam stolika do pokoju nr 2, ba nawet do 1,24, choć pominęliśmy wszystkie pokoje z numerami mniejszymi niż 1,2, a i te które się zaczynają od 1,2 w większości zostały pominięte. Obydwa zbiory były nieskończone, a jednak jednemu zabrakło elementów żeby przyporządkować drugiemu. Czyli wykorzystaliśmy wszystkie elementy, chociaż było ich bez wątpienia nieskończenie wiele. Markosek (dyskusja) 22:00, 25 lis 2011 (CET)
thread_title:  Kolejny komentarz 

message: Być może błąd logiczny (niekoniecznie bazujący na złym pojmowaniu i intuicji) jest taki, że nawet najprostrzy przypadek (ten z jednym dodatkowym gościem) jest niewykonalny. Nowego gościa będzie bowiem można zakwaterować dopiero wtedy gdy WSZYSCY obecni goście będą przekwaterowani (w przeciwnym wypadku ktoś nocuje na korytarzu a istotą paradoksu jest to,że żaden gość nie zostaje bez pokoju). 
Podany przez Hilberta algorytm gwarantuje co prawda, że KAŻDY gość może być przekwaterowany, jednak w żadnym razie nie oznacza to że WSZYSCY mogą być przekwaterowani. Dla dowolnego gościa nr N którego możemy przekwaterować pozostaje jeszcze "nieskończnenie wielu" gości (od N+1 począwszy) którzy jeszcze przekwaterowani nie są. Stąd, na mocy indukcji zupełnej ZAWSZE pozostaną jacyś goście jeszcze nie przekwaterowani, zatem nigdy nie będzie można dokwaterować nawet jednego dodatkowego gościa, nie wspominając już o nieskończonej ilości autobusów.
KAŻDY nie oznacza WSZYSCY. 
Bardziej realistyczny przykład: KAŻDY człowiek kiedyś umrze, jednak czy oznacza to że ludzkość (WSZYSCY ludzie) także umrze?
Rafał
-- niepodpisany komentarz użytkownika 192.138.116.231 (dyskusja | wkład) 3 lip 2012
thread_title:  Rozszerzenie o "wszystkości" 

message: Zbiór liczb nieparzystych jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych? No chyba nie.
-- niepodpisany komentarz użytkownika Kwikspell (dyskusja | wkład) 21 sty 2015
Niby dlaczego? Podzbiorem zbioru A jest taki zbiór B, że dla każdego x należącego do B, x należy do A. Formalnie:
B ⊂ A ⇔ ∀(x∈B) x∈A
Więc zbiór liczb nieparzystych jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych wtedy i tylko wtedy, gdy każda liczba nieparzysta jest liczbą naturalną, co jest oczywiście prawdą. Chyba że znasz jakiś kontrprzykład ;) 46.169.213.6 (dyskusja)
thread_title:  Błąd 

message: # Hotel Hilberta spełnia dwa założenia: 1) ma nieskończoną liczbę pokoi, 2) wszystkie pokoje są zajęte. Czy dopuszczalne jest opróżnianie pokoi? Taki hotel nie spełnia założenia 2). Równie dobrze można przyjąć, że Hotel Hilberta 1) ma nieskończoną liczbę pokoi, 2) wszystkie pokoje są zajęte albo puste, jak kto woli. Przenoszenie gości powinno się odbywać na zasadach drzwi obrotowych: jednocześnie ktoś wchodzi a ktoś wychodzi. Wówczas hotel nigdy nie jest pusty.
# Czy można problem Hotelu Hilberta rozwiązać w przypadku skończonej liczby pokoi? Mały Hotel Hilberta spełnia dwa założenia: 1) ma skończoną liczbę pokoi (praktycznie dużą), 2) wszystkie pokoje są zajęte. Nowy gość zajmuje pokój nr 1 a dotychczasowy gość z tego pokoju jest przekwaterowany do pokoju nr 2, dotychczasowy gość z pokoju nr 2 - do pokoju nr 3 itd. Gość z pokoju o najwyższym numerze  jest przekwaterowany do pokoju nr 1 i zabawa odbywa się od początku. Jeżeli liczba pokoi jest dostatecznie duża wszyscy się wyśpią. 
# W Grand Hotelu mamy nieskończoną liczbę pokoi, nieskończoną liczbę gości, z których każdy wykonuje skończoną liczbę przekwaterowań. W Małym Hotelu Hilberta mamy skończoną liczbę pokoi, skończoną liczbę gości, z których każdy wykonuje nieskończoną liczbę przekwaterowań.
31.11.141.103 (dyskusja) 21:18, 11 mar 2024 (CET)
thread_title:  Wątpliwości