Dyskusja:Przeciwobraz

message: Przeszczepiam informacje z artykułu Obraz i przeciwobraz, które nie miały źródła; nawet samo przeniesienie takich treści mogłoby uchodzić za twórczość bez źródeł, a nie chcę ryzykować odebraniem uprawnień.
== Notacja ==
Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą może być wyodrębnienie oddzielnej nazwy dla przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:
; Notacja strzałkowa
replies: text: f^\leftarrow\colon \mathcal P(Y) \to \mathcal P(X), gdzie f^\leftarrow(B) = \{a \in X\colon f(a) \in B\}.
; Notacja gwiazdkowa

text: f^\star\colon \mathcal P(Y) \to \mathcal P(X) zamiast f^\leftarrow.
== Przykłady ==
* f\colon \{1, 2, 3\} \to \{a, b, c, d\} określona wzorem f(x) = \begin{cases} a & \text{dla } x = 1, 2 \\ c & \text{dla } x = 3. \end{cases}
*: Przeciwobrazem a jest f^{-1}[a] = \{1, 2\}. Przeciwobrazem \{a, b\} również jest \{1, 2\}. Przeciwobrazem \{b, d\} jest zbiór pusty \{\}.
* f\colon \mathbb R \to \mathbb R dana wzorem f(x) = x^2.
*: Przeciwobraz \{4, 9\} w f to f^{-1}[\{4, 9\}] = \{-3, -2, 2, 3\}. Przeciwobrazem zbioru N = \{n \in \mathbb R\colon n < 0\} w f jest zbiór pusty, ponieważ liczby ujemne nie mają pierwiastków kwadratowych w zbiorze liczb rzeczywistych.
== Własności ==
Niech dana będzie funkcja f\colon X \to Y. Dla wszystkich podzbiorów A, A_1, A_2 \subseteq X oraz B, B_1, B_2 \subseteq Y zachodzą następujące własności:
* przeciwobraz jest podzbiorem dziedziny:
*: f^{-1}[B] \subseteq X;
* operacja przeciwobrazu jest monotoniczna, tzn.
*: B_1 \subseteq B_2 \Rightarrow f^{-1}\left[B_1\right] \subseteq f^{-1}\left[B_2\right];
=== Związki z działaniami na zbiorach ===
* prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów:
*: f^{-1}[A \cup B] = f^{-1}[A] \cup f^{-1}[B],
*: f^{-1}[A \cap B] = f^{-1}[A] \cap f^{-1}[B];
* z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:
*: f^{-1}\left[A \setminus B\right] = f^{-1}[A] \setminus f^{-1}[B],
Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech (A_i)_{i \in I} będzie rodziną indeksowaną podzbiorów X, a (B_j)_{j \in J} będzie rodziną indeksowaną podzbiorów Y. Wówczas
* f^{-1}\left[\bigcup B_j\right] = \bigcup f^{-1}\left[B_j\right],
* f^{-1}\left[\bigcap B_j\right] = \bigcap f^{-1}\left[B_j\right].
W języku algebry podzbiorów oznacza to, że funkcja brania przeciwobrazu jest homomorfizmem krat.
* zachodzi również następujący związek z braniem dopełnienia zbioru:
*: f^{-1}\left[B^{\operatorname c}\right] = (f^{-1}[B])^{\operatorname c},
* istnieje też tożsamość wiążąca przeciwobraz z zawężeniem funkcji:
*: (f|_A)^{-1}[B] = A \cap f^{-1}[B].
=== Inne ===
* Przeciwbraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów|f^{-1}[B]| \geqslant |B|, a równość zachodzi tylko dla iniekcji (funkcji różnowartościowych).
* Przeciwobraz zbioru B \subset Y względem złożenia g \circ f \colon X \to Z dwóch funkcji f \colon X \to Y oraz g \colon Y \to Z dany jest wzorem:
*: (g \circ f)^{-1}[B] = \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)[B].
== Związki z obrazem ==
Działania brania obrazu i przeciwobrazu są związane ze sobą następującymi relacjami:
* f[f^{-1}[B]] \subseteq B (równość dla funkcji „na”),
* f^{-1}[f[A]] \supseteq A (równość dla funkcji różnowartościowej),
* f[A] \subseteq B \Leftrightarrow A \subseteq f^{-1}[B].
== Przypisy ==
== Bibliografia ==
* 
Tarnoob (dyskusja) 22:09, 2 sty 2024 (CET)
thread_title:  Fragmenty bez źródeł 

message: Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą może być wyodrębnienie oddzielnej nazwy dla przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:
; Notacja strzałkowa
replies: text: f^\leftarrow\colon \mathcal P(Y) \to \mathcal P(X), gdzie f^\leftarrow(B) = \{a \in X\colon f(a) \in B\}.
; Notacja gwiazdkowa

text: f^\star\colon \mathcal P(Y) \to \mathcal P(X) zamiast f^\leftarrow.
thread_title:  Notacja 

message: * f\colon \{1, 2, 3\} \to \{a, b, c, d\} określona wzorem f(x) = \begin{cases} a & \text{dla } x = 1, 2 \\ c & \text{dla } x = 3. \end{cases}
*: Przeciwobrazem a jest f^{-1}[a] = \{1, 2\}. Przeciwobrazem \{a, b\} również jest \{1, 2\}. Przeciwobrazem \{b, d\} jest zbiór pusty \{\}.
* f\colon \mathbb R \to \mathbb R dana wzorem f(x) = x^2.
*: Przeciwobraz \{4, 9\} w f to f^{-1}[\{4, 9\}] = \{-3, -2, 2, 3\}. Przeciwobrazem zbioru N = \{n \in \mathbb R\colon n < 0\} w f jest zbiór pusty, ponieważ liczby ujemne nie mają pierwiastków kwadratowych w zbiorze liczb rzeczywistych.
thread_title:  Przykłady 

message: Niech dana będzie funkcja f\colon X \to Y. Dla wszystkich podzbiorów A, A_1, A_2 \subseteq X oraz B, B_1, B_2 \subseteq Y zachodzą następujące własności:
* przeciwobraz jest podzbiorem dziedziny:
*: f^{-1}[B] \subseteq X;
* operacja przeciwobrazu jest monotoniczna, tzn.
*: B_1 \subseteq B_2 \Rightarrow f^{-1}\left[B_1\right] \subseteq f^{-1}\left[B_2\right];
=== Związki z działaniami na zbiorach ===
* prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów:
*: f^{-1}[A \cup B] = f^{-1}[A] \cup f^{-1}[B],
*: f^{-1}[A \cap B] = f^{-1}[A] \cap f^{-1}[B];
* z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:
*: f^{-1}\left[A \setminus B\right] = f^{-1}[A] \setminus f^{-1}[B],
Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech (A_i)_{i \in I} będzie rodziną indeksowaną podzbiorów X, a (B_j)_{j \in J} będzie rodziną indeksowaną podzbiorów Y. Wówczas
* f^{-1}\left[\bigcup B_j\right] = \bigcup f^{-1}\left[B_j\right],
* f^{-1}\left[\bigcap B_j\right] = \bigcap f^{-1}\left[B_j\right].
W języku algebry podzbiorów oznacza to, że funkcja brania przeciwobrazu jest homomorfizmem krat.
* zachodzi również następujący związek z braniem dopełnienia zbioru:
*: f^{-1}\left[B^{\operatorname c}\right] = (f^{-1}[B])^{\operatorname c},
* istnieje też tożsamość wiążąca przeciwobraz z zawężeniem funkcji:
*: (f|_A)^{-1}[B] = A \cap f^{-1}[B].
=== Inne ===
* Przeciwbraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów|f^{-1}[B]| \geqslant |B|, a równość zachodzi tylko dla iniekcji (funkcji różnowartościowych).
* Przeciwobraz zbioru B \subset Y względem złożenia g \circ f \colon X \to Z dwóch funkcji f \colon X \to Y oraz g \colon Y \to Z dany jest wzorem:
*: (g \circ f)^{-1}[B] = \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)[B].
thread_title:  Własności 

message: * prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów:
*: f^{-1}[A \cup B] = f^{-1}[A] \cup f^{-1}[B],
*: f^{-1}[A \cap B] = f^{-1}[A] \cap f^{-1}[B];
* z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:
*: f^{-1}\left[A \setminus B\right] = f^{-1}[A] \setminus f^{-1}[B],
Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech (A_i)_{i \in I} będzie rodziną indeksowaną podzbiorów X, a (B_j)_{j \in J} będzie rodziną indeksowaną podzbiorów Y. Wówczas
* f^{-1}\left[\bigcup B_j\right] = \bigcup f^{-1}\left[B_j\right],
* f^{-1}\left[\bigcap B_j\right] = \bigcap f^{-1}\left[B_j\right].
W języku algebry podzbiorów oznacza to, że funkcja brania przeciwobrazu jest homomorfizmem krat.
* zachodzi również następujący związek z braniem dopełnienia zbioru:
*: f^{-1}\left[B^{\operatorname c}\right] = (f^{-1}[B])^{\operatorname c},
* istnieje też tożsamość wiążąca przeciwobraz z zawężeniem funkcji:
*: (f|_A)^{-1}[B] = A \cap f^{-1}[B].
thread_title:  Związki z działaniami na zbiorach 

message: * Przeciwbraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów|f^{-1}[B]| \geqslant |B|, a równość zachodzi tylko dla iniekcji (funkcji różnowartościowych).
* Przeciwobraz zbioru B \subset Y względem złożenia g \circ f \colon X \to Z dwóch funkcji f \colon X \to Y oraz g \colon Y \to Z dany jest wzorem:
*: (g \circ f)^{-1}[B] = \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)[B].
thread_title:  Inne 

message: Działania brania obrazu i przeciwobrazu są związane ze sobą następującymi relacjami:
* f[f^{-1}[B]] \subseteq B (równość dla funkcji „na”),
* f^{-1}[f[A]] \supseteq A (równość dla funkcji różnowartościowej),
* f[A] \subseteq B \Leftrightarrow A \subseteq f^{-1}[B].
thread_title:  Związki z obrazem 

thread_title:  Przypisy 

message: * 
Tarnoob (dyskusja) 22:09, 2 sty 2024 (CET)
thread_title:  Bibliografia