Dyskusja:Andrzej Mostowski (matematyk)

message: Andrzej Mostowski napisal pozyteczne podreczniki akademickie z algebry. Jednak naukowo algebrą sie nie zajmowal. Natomiast w logice i teorii mnogosci byl jednym z najwiekszych w swiecie. Mowic jednym tchem, ze AM zajmowal sie glownie (:-) logika i algebrą jest zdumiewajacym pokazem ignorancji. Pisze o tym, bo dalem sie naiwnie skusic na poprawe artykulu o AM, ale raz jeszcze wikipedia okazala sie strata czasu, a moje poprawki nie zostaly uwzglednione. Ostatni raz sie tak nabralem na marnowanie energii na glupia wikipedie.\\
Ktokolwiek sie nabral nie wiedzial co robi. Szczesliwie, inni poprawia po nim(niej). Cokolwiek by nie bylo, sprawa zostanie zalatwiona - Mostowski mial uczniow. VWM
thread_title:  Nabralem sie 

message: 1. W dziedzinie podstaw teorii mnogości Mostowski badał zależności pomiędzy rozmaitymi formułami teoriomnogościowych, w szczególności formami tzw. pewnika wyboru postulującego istnienie selektora dla rodzin zbiorów niepustych. W pierwszej połowie XX w. aksjomat ten był budził kontrowersje ze względu na brak określenia konstruktywnych technik znajdowania selektora. (Dziś, w wieku XXI, na ogół nie jest już traktowany jako tak kontrowersyjny). Istotnym problemem badawczym teorii mnogości do mniej więcej roku 1970 były zależności pomiędzy różnymi formami aksjomatu wyboru. Aksjomat ten jest równoważny następującej własności zbiorów: każdy zbiór może być dobrze uporządkowany.
Słabszą formą tego zdania jest "każdy zbiór może być uporządkowany liniowo". Mostowski wykazał że ta druga forma nie implikuje pierwszej [1], czyli jest istotnie słabsza. Dowód Mostowskiego, opierający się na wcześniejszych propozycjach B. Russela i, szczególnie, A. Fraenkela doprowadził do stworzenia metody, dziś nazywanej metodą Fraenkela i Mostowskiego. Metoda ta zakłada istnienie
indywiduów, t.j. obiektów nie posiadających elementów, ale nie będących zbiorem
pustym. Dziś ogólnie przyjmowana teoria mnogości, zazwyczaj oznaczana ZFC (aksjomatyka Zermelo i Fraenkela z pewnikiem wyboru) nie dopuszcza istnienia indywiduów. Wyniki uzyskane metodami Fraenkela i Mostowskiego zostaly odtworzone w latach 60ych i 70ych XX wieku przy użyciu
metody wymuszania (forcingu) wprowadzonej przez P.J. Cohena we wczesnych latach
60ych. Mostowski poświęcił teorii wymuszania swą książkę [3].
Mostowski wykazał też że struktury relacyjne postaci  <  A,E  >  gdzie E jest relacją ufundowaną (t.j. nieposiadającą ciągów nieskończonych zstępójących) są izomorficzne ze strukturami postaci  <  S, ∈  >  gdzie  S  jest zbiorem przechodnim. Strukture  <  S, ∈  >  nazywa się często kolapsem Mostowskiego.
2. Mostowski był jednym z twórcow Teorii Modeli (zdefiniowanej jako poddziedzina Podstaw Matematyki przez A. Tarskiego). Mostowski wprowadził szereg ważnych technik Teorii Modeli. Najważniejszą z tych technik jest metoda "elementow nieodróżnialnych", wprowadzona wspólnie z A. Ehrenfeuchtem. Pokazują oni[2], że teorie posiadające modele nieskończone posiadają modele z dowolnie dużymi zbiorami elementow nieodróżnialnych. Jako skutek tego wyniku, teorie takie mają modele posiadające duże grupy automorfizmów. Metoda elementów nieodróżnialnych jest, po dziś dzień, jedną z podstawowych technik Teorii Modeli. Inne badania Mostowskiego w Teorii Modeli dotyczyły zależności zbioru zdań prawdziwych w produkcie kartezjańskim struktur  \mathcal{A} i \mathcal{B},  \mathcal{A} \times \mathcal{B}  od zbiorow zdań prawdziwych w \mathcal {A} i zdan prawdziwych w \mathcal{B}[4]. Dalsze badania teorio-modelowe Mostowskiego dotyczyły topologicznych wlasności przestrzeni zlożonych z modeli, z topologią generowaną poprzez zbiory struktur spełniających zadaną formulę.
3.Mostowski wprowadził w [5] pojęcie uogólnionego kwantyfikatora. Przykładem takiego kwantyfikatora jest kwantyfikator "istnieje  nieskończenie wiele obiektow x takich że \varphi". Innymi słowy formuła Qx \varphi prawdziwa jest w strukturze \mathcal{A} jeśli  \varphi (x) spełnione jest w strukturze \mathcal{A} przez nieskończenie wiele a.  Kwantyfikator ten (i inne znalezione pózniej przez innych badaczy) znalazł istotne zastosowania w badaniach Podstaw Informatyki. Pojęcie kwantyfikatora uogólnionego zostało następnie rozszerzone przez Per'a Lindströma, co doprowadziło do zdefiniowania pojęcia abstrakcyjnej logiki. Kwantyfikatory podlegające definicji podanej przez Andrzeja Mostowskiego są często nazywane "kwantyfikatorami Mostowskiego".
4. Definiowalne podzbiory zbioru liczb naturalnych i, ogólniej, iloczynu kartezjanskiego N^k mogą byc klasyfikowane ze względu na postać definicji. Ograniczając się do definicji w postaci normalnej (ang. prenex normal form) można klasyfikować  zbiory ze względu na ilość przemian kwantyfikatorów i pierwszy kwantyfikator w preneksie. Tak więc zbiory klasy \Sigma_1 mają definicję posiadającą preneks złożony z kwantyfikatorów  egzystencjalnych, zbiory klasy \Pi_1 to uzupełnienia zbiorów klasy \Sigma_1, dalej zaś indukcyjnie, zbiory klasy \Sigma_{n+1} to rzuty zbiorów klasy \Pi_n, zaś zbiory klasy \Pi_{n+1} to uzupełnienia zbiorów klasy \Sigma_{n+1}. Mostowski wykazał że wszystkie te klasy są różne, że każda z tych klas posiada relację uniwersalną i wiele innych własności [6]. Podobne wyniki i w tym samym czasie uzyskał matematyk amerykański S. Kleene. Hierarchia ktorą opisaliśmy powyżej nazywana jest zazwyczaj hierarchią  Kleene i Mostowskiego. Hierarchię tę można rozszerzyć w pozaskończoność. Uzyskuje się w ten sposob hierarchie zbiorów hiperarytmetycznych nazywaną w literaturze hierarchią Davisa i Mostowskiego.
5. Rozwijając badania K. Gödla Mostowski studiował modele Arytmetyki Peano. Jedną z konsekwencji twierdzenia o niezupełnosci aksjomatyzowalnych rozszerzeń Arytmetyki Peano jest to, że zbiór numerów Gődla konsekwencji Arytmetyki Peano jest klasy \Sigma_1 ale nie jest obliczalny. Mostowski studiował zbiory zdań prawdziwych w definiowalnych modelach Arytmetyki Peano. Mostowski studiował, szczególnie w latach 40ych XX wieku, szereg zagadnień związanych z twierdzeniem Gödla o niezupełności i poświęcił tej dziedzinie monografię [7] ktora była przez wiele lat klasycznym wprowadzeniem do problematyki niezupełności.
6. Mostowski zajmował się intensywnie badaniami tzw. teorii II rzędu, t.j. dwusortowych teorii ze zmiennymi dla obiektów pierwszego rzędu, a także zmiennych dla obiektów drugiego rzędu, podklas klasy obiektów pierwszego rzędu. Pierwszą z tych teorii jest Arytmetyka II rzędu, zakładająca aksjomaty Peano dla obiektów pierwszego rzędu i schemat istnienia zbiorów (ang. comprehension) dla obiektów rzędu drugiego. Mostowski studiował modele teorii tego typu. W szczególności wraz z A. Grzegorczykiem i Cz. Ryll-Nardzewskim studiował modele arytmetyki II rzędu których liczby naturalne są uporządkowane w typ \omega (tzw. \omega – modele arytmetyki II rzędu)[8]. Mostowski rozważał też mniejsze rodziny takich modeli, na przykład zachowujące pojęcie dobrego porządku (tzw. \beta-modele). Mostowski studiował też analogiczną konstrukcję dla teorii zbiorów i klas (zazwyczaj nazywaną teorią klas Kelley'a i Morse'a) uzyskując wiele analogicznych wyników.
W latach 1945-1975 (t.j. od końca II Wojny Światowej do swej śmierci) Mostowski był naukowcem wokół którego środkowały się badania Podstaw Matematyki w Polsce. Oprócz grupy skupionej wokół Niego, przede wszystkim na Uniwersytecie Warszawskim i w Instytucie Matematycznym Polskiej Akademii Nauk,  Mostowski współpracował z wszystkimi polskimi  grupami badaczy podstaw, tak matematyki  jak i innych dziedzin ścisłych (n.p. informatyki). Mostowski współpracował też z filozofami i innymi badaczami zainteresowanymi podstawami. Książka [11] zawiera szereg artykułów i wspomnień poświęconych Mostowskiemu.
[1] A. Mostowski. Über die Unabhängigkeit des Wohlordnungssatzes von Ordnungsprinzip. Fundamenta Mathematicae 32: 201-252, 1939
[2] A. Ehrenfeucht and A. Mostowski. Models of axiomatic theories admitting automorphisms, Fundamenta Mathematicae 43: 50-68. 1956
[4] A. Mostowski. On direct products of theories. Journal of Symbolic Logic 17:1-31, 1952
[5] A. Mostowski. On a generalization of quantifiers. Fundamenta Mathematicae 44:12-36, 1957.
[6] A. Mostowski. On definable sets of positive integers. Fundamenta Mathematicae 34:81-112, 1947.
[8] A. Grzegorczyk, A. Mostowski and Cz. Ryll-Nardzewski. The classical and ω-complete arithmetic. Journal of Symbolic Logic 23:188-206, 1958.
[9] A. Mostowski. A class of models of second-order arithmetic. Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences, Ser. Sci. Math. Astron. Phys. 7:401-404, 1959.
[10] A. Mostowski. Remarks on models of Morse's set theory.  Lecture Notes in Mathematics 537. pages 13-21, Springer-Verlag, 1976.
Bulwersator (dyskusja) 23:01, 23 wrz 2010 (CEST)
thread_title:  Wycięty niezrozumiały fragmenty (autotranslator?) 

message: Redaktor "Bulwersator" usunal z tekstu artykulu o prof. Andrzeju Mostowskim wszystkie informacje istotne, komentujac iz jest to "niezrozumiale". Artykul ten jest wynikiem pracy wielu osob, specjalistow z dziedziny Podstaw Matematyki i powinien byc dostepny dla osob zainteresowanych dorobkiem naukowym prof. Mostowskiego.
Poniewaz p. Bulwersator zdaje sie byc redaktorem Wikipedii polskiej, sprawa wymaga interwencji innych redaktorow.
Victor W. Marek (glowny autor wersjii zmodyfikowanek przez p. Bulwersator'a) Zgłosił:  74.131.144.18 (dyskusja) 21:37, 3 paź 2010 (CEST)
replies: text: W tej edycji przeniosłem część artykułu do jego dyskusji ponieważ jak zwrócono uwagę na zgłoś błąd tekst wygląda jak efekt pracy autotranslatora. -- Bulwersator (dyskusja) 22:27, 3 paź 2010 (CEST)
replies: text: :Obecnie tekst został przywrócony. Cancre (dyskusja) 19:23, 5 lis 2010 (CET)
thread_title:  Ze zgłoś błąd