Dyskusja:Kolejność wykonywania działań

message: Artykuł do poprawy, głównie z powodu nieencyklopedycznego stylu. StoK 07:19, 19 lis 2007 (CET)
Uwaga piszący, zamieściłem link do tekstu profesora Zbigniewa Semadeni i proszę o zwrócenie uwagi, że przed tekstem "reguł" profesor napisał: W polskich podręcznikach na ogół można znaleźć jakiś wariant poniższego sformułowania, które będziemy uzupełniać i komentować. Tekst jest pisany dla nauczycieli nauczania początkowego, a pod koniec artykułu zawiera treść: skłaniam się ku poglądowi, że w kwestii kolejnoci działań w sytuacji mnożenia i dzielenia (bez nawiasów) nie należy definitywnie rozstrzygać poprzez podanie jakiej jednej ogólnej reguły, która miałaby obejmować wszelkie możliwe przypadki...
W związku z powyższym proszę nie podawać tych reguł napisanych poziomie szkoły podstawowej jako obowiązujące reguły kolejności wykonywania działań.
Artykuł wymaga akapitu wstępnego dopiero później można podać reguły i to z odpowiednim komentarzem.
A może lepiej przetłumaczyć ze strony angielskiej?
StoK 19:16, 19 lis 2007 (CET)

message: Wydaje się, kiedyś z kimś o tym dyskutowaliśmy, ale chcę jeszcze raz zauważyć, że moim zdaniem przy wykonywaniu działania "minus" kolejność zupełnie nie zależy od tego, czy to odejmowanie, czy to znak liczby przeciwnej. Jednak nie chcę na to bardzo nalegać, ponieważ skutek zostaje taki sam i przy podanych teraz w artykule regulach, np., -(2\cdot3)=(-2)\cdot3. Ale też nigdy nie piszy się 2\cdot-3; dlaczegoż nie, jeżeli "minus" ma pierwszeństwo? Moim zdaniem, twórcy tych tradycji traktowali wszystkie minusy jednakowo, i to piękne traktowanie. --D.M. from Ukraine (dyskusja) 21:36, 26 wrz 2009 (CEST)
replies: text: Chyba kiedyś dyskutowałeś ze mną. Jest tak jak piszesz, w matematyce tej tradycyjnej stosowano zasadę, że minus nie może być zapisany po znaku działania. Zasada ta sprawia, że w przypadku mnożenia i dzielenia nie ma znaczenia czy jest to -(2*3) czy (-2)*3, problem pojawia się w przypadku potęgowania -(2^4) <> (-2)^4. Kolejne problemy pojawiły się przy konstruowaniu zasad parserów dla wyrażeń w różnych językach programowania, a szczególnie w C. StoK (dyskusja) 23:25, 26 wrz 2009 (CEST)
thread_title:  Minusy 

message: Reguły podane w tym artykule w styczniu 2017 (przed moimi poprawkami) zawierały istotne błędy, ponadto dwa razy podawane były te same właściwie informacje, fragmenty były przegadane, nieencyklopedyczne. 
Użyte wcześniej określenie „wartość wyrażenia algebraicznego” było niepoprawne, toteż zostało zmienione na „wartość wyrażenia arytmetycznego”.  Wyrażenie algebraiczne, jeśli występują w nim symbole literowe, np. (2+a)(x–b), nie ma wartości. Można jedynie mówić o obliczaniu wartości wyrażenia algebraicznego w przypadku, gdy podane są wartości wszystkich zmiennych występujących się w tym wyrażeniu (po podstawieniu za te zmienne nazw konkretnych liczb otrzymuje się wyrażenie arytmetyczne bez zmiennych, które ma wartość zdefiniowaną przez reguły jej obliczania). 
Najpoważniejszy błąd zawiera reguła: „Gdy nie ma nawiasów, to najpierw wykonuje się potęgowanie i pierwiastkowanie; potem znak "minus" oznaczający przeciwieństwo, następnie mnożenie i dzielenie (napisane przez dwukropek lub kreskę pochyłą); a na końcu dodawanie, odejmowanie.” W tym nadmiernie uproszczonym sformułowaniu reguła jest fałszywa i wprowadza w błąd uczniów, którzy potem twierdzą, że dodawanie wykonuje się przed odejmowaniem, tzn. np. że 20–5+3 = 20–8 = 12. 
Ponadto nieprawdą jest, że potęgowanie wykonuje się zawsze przed mnożeniem; jest to np. prawdą w sytuacji typu 3⋅2^4, ale np. w wyrażeniu 4^{3⋅2} z iloczynem 3 razy 2 w wykładniku najpierw należy wykonać mnożenie, a dopiero potem potęgowanie.  
Zdanie „Minus, oznaczający liczbę przeciwną, tworzy nawias ukryty (ma pierwszeństwo) przed mnożeniem, dzieleniem, dodawaniem i odejmowaniem” jest niezbyt poprawne, bowiem nie stosuje się np. do sytuacji 5+–3, ani do 5⋅–3, nawias jest tu niezbędny, zwyczajowo pisze się 5+(–3), 5⋅(–3).  Konieczne są więc uzupełniające słowa: „na początku wyrażenia”. 
Uważam za celowe mówienie o nawiasach domyślnych (ukrytych). Są poglądową ilustracją pewnych zasad. W analogicznych sytuacjach nawiasów ukrytych używa system LaTeX; nawiasy { } są widoczne w pliku źródłowym, a niewidoczne po kompilacji. 
Nie sądzę, by było celowe wprowadzanie w Wikipedii reguł dotyczących trzech poziomów syntaktycznych (pierwszy to dodawanie z odejmowaniem, drugi mnożenie z dzieleniem, trzeci potęgowanie z pierwiastkowaniem) i formułowanie na ich podstawie ogólnych reguł, bowiem zbyt wiele pojawia się wtedy wyjątków, niejasności i pułapek, których nie uniknął też autor kwestionowanej wersji artykułu. 
Omawiane reguły te nie powstały w ten sposób, że ktoś je kiedyś wymyślił, lecz poprzez obserwacje przyjętej praktyki matematyków. Możliwych sytuacji jest więcej, niż da się ująć prostymi regułami; matematycy mają doświadczenie i wyczucie, co robić w przypadkach wątpliwych. 
Ja zawsze głoszę, że nie warto ustalać nadmiernej liczby reguł dotyczących nietypowych przypadków. Lepiej każdorazowo wtedy wstawić nawiasy, niż dążyć do oszczędzania na liczbie napisanych znaków w drugorzędnych sytuacjach kosztem obciążania pamięci regułami. 
Ponadto ponieważ u studentów obserwowałem fałszywe, wdrukowane zasady, których jakoby uczyli się w szkole, preferuję bardzo jasne, wyraźnie sformułowane reguły, a nie ogólne zasady dotyczące poziomów syntaktycznych. 
Wstawiłem w tekst fragment: „Reguły kolejności działań dotyczą obliczania wartości wyrażenia arytmetycznego, nie są natomiast nakazem wykonywania obliczeń w tej właśnie kolejności, np. mając wyrażenie (4+3)⋅8 nie musimy (pozornie wbrew regule, że najpierw wykonuje się działania w nawiasach) wykonywać podanego dodawania, otrzymując 7⋅8, lecz możemy obliczać to w inny sposób, np. 4⋅8 +3⋅8 ”, gdyż zdarzali się studenci, którzy tę regułę o pierwszeństwie nawiasów interpretowali w tak sztywny sposób, że uznawali obliczenie (4+3)⋅8 =4⋅8 + 3⋅8 za błędne, bo niezgodne z ową zasadą. 
Niepotrzebnie wprowadzało się w owym artykule nowe, zbędne zasady, np. to, że „potęgowanie wykonuje się od prawej do lewej”, bo fakt ten wynika z ogólniejszej i prostszej zasady, że najpierw wykonuje się obliczenia w wykładniku. W moim artykule „O kolejności wykonywania działań równorzędnych” rzeczywiście wspomniałem o tej kolejności, ale nie traktowałem jej jako jakiejś zasady; po prostu podałem to jako przykład pokazujący błędność przytoczonej tam z pewnej książki ogólnej zasady, że na poziomie 3 oblicza się zawsze od lewej do prawej. 
Nie tylko zbędną, ale też mylącą „regułę wyższego priorytetu mnożenia nad dzieleniem” wprowadzono w tym artykule do arytmetyki. Oryginalny tekst z Physical Review dotyczy algebraicznych formuł fizycznych i są to wyłącznie wskazówki edytorskie dla zapisów ze znakiem ukośnika. Wprowadzenie na tej podstawie takiej reguły dowolnym zapisie jest niepoprawne i powoduje zbędne zamieszanie.
Trzeba być ostrożnym, gdy próbuje się przenieść do nas reguły stosowane w USA, bowiem tam są inne zwyczaje. Kiedyś, poprawiając studenckie prace egzaminacyjne, zdumiony odkryłem, że studenci zapisują np. iloczyn liczb 7 i 8 w postaci (7)(8). Domyśliłem się, że to dlatego, że nie stosują kropki jako znaku mnożenia, a krzyżyk myliłby się z niewiadomą x. Termin implied multiplication stosuje się też do takich czysto arytmetycznych sytuacji. 
Zasady podane w Physical Review obowiązują autorów zamierzających opublikować artykuł w owym piśmie, nie mają natomiast charakteru źródła encyklopedycznego, nie dotyczą całości symboliki matematycznej, do tego tworzą wyjątki w jednolitym systemie. Podawane tam zasady miały kontekst algebraiczny, a zostały przeniesione na grunt arytmetyki. Podobnie nie powinno się uogólniać do rangi encyklopedycznej zwyczajów zaobserwowanych w jakimś podręczniku, nawet tak słynnym jak ów Feynmana. Dlatego przeniosłem te uwagi do przypisu.
Zbigniew Semadeni (czyli Zbisem - dodał to Ency (replika?) 11:46, 26 lut 2017 (CET) (współpracowałem z dr Mirosława Sajką z Instytutu Matematyki UP Kraków)
replies: text: Szanowny kolego! Dziękuję za dołączenie do naszej społeczności i za bardzo wartościową zmianę hasła, dodatkowo z obszernym uzasadnieniem. Z pewnymi stwierdzeniami z uzasadnienia chciałbym podjąć dyskusję, ale to jak mi na to pozwoli czas. Z uszanowaniem, dr inż. Janusz Dorożyński (Ency (replika?) 12:08, 26 lut 2017 (CET))
thread_title:  Uzasadnienie zmian w luty 2017 autorstwa głównie [[Wikipedysta:Zbisem|Zbisem]] 

message: Wczoraj został zmieniony fragment zdania "obliczenia wartości danego wyrażenia arytmetycznego" na "obliczenia wartości danego wyrażenie matematycznego". Nie spotkałem nigdy określenia "wyrażenie matematyczne" i nie wiem, co miałoby to znaczyć. Czy każde poprawnie zbudowane wyrażenie, które kiedykolwiek jakiś matematyk napisał lub mógł napisać i które ma jednoznacznie zdefiniowaną wartość? Czy miałyby tam tylko wartości wyrażeń zbudowanych z funkcji elementarnych (wykładniczych, trygonometrycznych) czy też innych ważnych funkcji (np. funkcji Bessela, funkcji Beta i Gamma Eulera, funkcji dzeta Riemanna i kilkadziesięciu innych)? A tym bardziej kto i w jaki sposób miałby ustalać ogólne reguły kolejności działań we wszystkich tych przypadkach? 
Dobrze zdefiniowane i ważne dla matematyki są wyrażenia arytmetyczne oraz wyrażenia algebraiczne, ale te drugie mają określone wartości dopiero po wstawieniu liczb w miejsce zmiennych. 
Zbigniew Semadeni (czyli Zbisem)
replies: text: # Masz rację, określenie wyrażenie matematyczne nie pasuje tu i nie jest precyzyjnie zdefiniowane. Ale określenie wyrażenie arytmetyczne jest zbyt wąskie, bo w dalszej części artykułu wielokrotnie pojawiają się wyrażenia algebraiczne i reguły ich modyfikowania na podstawie reguł kolejności działań. Dlatego jestem za używaniem we wstępie i gdzie zachodzi taka potrzeba określenia :Wyrażenie algebraiczne.

text: # Przed spisem treści powinno pojawić się bardzo ogólne streszczenie artykułu. Sądzę że opowiedzenie o 3 regułach kolejności działań oraz o interpretacji różnych symboli da się zrobić. Bez tego wstęp jest zbyt mglisty. proszę zobaczyć artykuł na angielskiej i niemieckiej Wikipedii.

text: # Koncepcja ukrytych nawiasów powinna wynikać, ze sposobu zapisu, w którym każde wyrażenie składa się z elementów zawartych w nawiasach oraz w jednym nawiasie występuje tylko jeden operator. A zasady opuszczania nawiasów określają które nawiasy można opuścić, tak by wyrażenie nie zmieniło wartości (oczywiście bez stosowania praw działań), a o tym ani słowa w artykule, jak i o tym że nawiasy mogą zawierać elementy nie zawierające działań dwuargumentowych.

text: # To co wynika z praw działań nie powinno być opisane w tym artykule, albo musi być wyraźnie zaznaczone i wydzielone.

text: # Na wstępie tyle. StoK (dyskusja) 14:40, 2 mar 2017 (CET)
Zdanie "Reguły kolejności wykonywania działań nie obejmują przekształceń wyrażeń matematycznych wynikających z praw działań i własności funkcji" przeniosłem do działu "Uwagi i uzupełnienia". 
Wykreśliłem tekst: Reguły kolejności. Podstawą określania kolejności wykonania działań stanowią trzy zasady, które stosuje się w ich kolejności: Najpierw wykonuje się działania w nawiasach, zaczynając od tych, w których nie ma innych nawiasów. Potęgowanie i pierwiastkowanie wykonuje się przed mnożeniem i dzieleniem, a te przed dodawaniem i odejmowaniem. Jeżeli poprzednie reguły nie rozstrzygają, to działania wykonuje się od lewej do prawej. Reguła pierwsza i druga może nie mieć zastosowania ze względu na nie występowanie w danym wyrażeniu danych elementów, albo może wskazywać fragment wyrażenia obejmujący kilka działań  bowiem częściowo jest to powtórzenie tego, co bardziej precyzyjnie jest napisane dalej, a częściowo jest błędne. W szczególności nie jest prawdziwy fragment: Jeżeli poprzednie reguły nie rozstrzygają, to działania wykonuje się od lewej do prawej, bowiem np. w wyrażeniu 4^3^2 działanie wykonuje się właśnie od prawej do lewej. Dodałem też przykłady wskazujące sytuację, w których pierwiastkowanie wykonuje się po mnożeniu bądź po dodawaniu. 
Zbigniew Semadeni

text: Jak napisałem wyżej, w nagłówku ma być ogólny opis, to co jest obecnie jest zbyt mętne.

text: Zapis o tym, że kolejność działań nie uwzględnia praw działań musi być we wstępie a nie w uwagach i uzupełnieniach.

text: Czy masz jakąś koncepcję napisania wstępu?

text: Czy oprócz braku opisu, że potęgowanie w odróżnieniu od pozostałych działań, wiąże od prawej do lewej uważasz, że usunięte wyrażenie ma inne błędy?

text: Dodałem też przykłady wskazujące sytuację, w których pierwiastkowanie wykonuje się po mnożeniu bądź po dodawaniu. - moim zdaniem tłumaczenie tego w ten sposób jest nieprawidłowe, w podobny sposób można tłumaczyć, że w pewnych sytuacjach dodawanie wykonuje się przed mnożeniem np.  2 \cdot \frac {2 + 2} {3+3}. Z tego wynika, że kreska pierwiastka jak i kreska ułamkowa jest symbolem grupującym tak samo jak nawiasy.

text: Artykuł nie omawia związku między zapisem ogólnym a liniowym, a mógłby. Mógłby też zawierać metodę analizy wyrażenia taką jaką stosują parsery wyrażeń liniowych i jaką stosuje się powszechnie w arytmetyce i algebrze czyli z siłą wiązań i analizą jednego operatora w przód.

text: StoK (dyskusja) 16:25, 2 mar 2017 (CET)
Dodałem parę linijek w części wstępnej, akcentując to, co najważniejsze. 
Głównym moim zarzutem w stosunku do proponowanego wczoraj wstępu było to, że wyodrębnianie poziomu 3 (potęgi, pierwiastki) jako mającego priorytet w stosunku do pozostałych działań jest prawdziwe w pewnych sytuacjach, a nieprawdziwe w innych, więc wprowadza niepotrzebne zamieszanie. 
W "Uwagi i uzupełnienia" przeczytałem wpisane tam uwagi i przeredagowałem fragmenty, które mogłyby sugerować ograniczenie praw działań do algebry i podobnie o kresce ułamkowej jako znaku dzielenia.  Zostawiłem kwestię z 7 razy 8 bez zmian; uważam to za ważne, bowiem spotykałem studentów, którzy wynieśli ze szkoły błędny pogląd, że musi się zawsze stosować do reguł kolejności, np. kwestionowali (4+3)\cdot 8 = 4\cdot 8 + 3\cdot 8 jako błędne, bo nie stosujące się do wyuczonej zasady. 
Przeczytałem w Wikipedii hasła Order of operations, Der Operatorrangfolge, La priorité des opérations ou ordre des operations. Niczego specjalnie interesującego tam nie znalazłem. Natomiast zaimponowało mi hasło :en:Expression (mathematics); wycofuję się z moich uprzednich zastrzeżeń i uważam, że warto by było mieć jakiś polski tego odpowiednik dla odbiorców na poziomie akademickim. Jednakże nie dotyczy to kolejności działań, więc odwoływanie się do tego w obecnym artykule nie byłoby celowe. 
Artykuł o regułach opuszczania nawiasów powinien być (jak jest teraz) ograniczony do poziomu szkolnego (nie licząc uwag i odsyłaczy), ze szczególnym uwzględnieniem tych kwestii, w których ujawniają się kłopoty i wątpliwości.  
Mnie też te mediawiki w tekście wydają się zbyt agresywne, ale jeszcze bardziej raziła mnie niejednolitość: jedne symbole w akapicie są pogrubione, a inne obok nie. 
Zbisem (dyskusja) 23:23, 2 mar 2017 (CET)

text: Obrazki generowane przez mediawiki z Math pozmieniam na pogrubienia. W pozostałej części przychylam się do Twoich wypowiedzi. StoK (dyskusja) 06:39, 3 mar 2017 (CET)
Jeszcze jedna uwaga: W podanej kolejności: 
1. Potęgowanie,
2. Mnożenie z dzieleniem, 
3. Dodawanie z odejmowaniem,
nie ma pierwiastkowania. Wynika to z tego, że znak graficzny pierwiastka "odcina" możliwe inne działanie zarówno z lewej, jak i prawej strony, np. w 8⋅\sqrt{4+5}⋅7 nie ma wizualnie możliwości, by ta liczba 8 z lewej i liczba 7 z prawej zaingerowały w działanie pod pierwiastkiem. Symbol potęgowania graficznie odcina to, co jest po potędze, ale nie to, co jest przed nią. Symbole czterech działań nie odcinają niczego z żadnej strony, a kreska ułamkowa odcina z obu stron. 
Zbisem (dyskusja) 15:26, 3 mar 2017 (CET)

text: W angielskiej wersji pisząc o nawiasach stwierdzono, że nawiasy grupują elementy wyrażenia, a kreska ułamkowa i daszek pierwiastka także są symbolami grupującymi. Takie tłumaczenie wydaje mi się lepsze od tłumaczenia o istnieniu ukrytych nawiasów.

text: Co do ukrytych nawiasów a może bardziej stwierdzenia reguły opuszczania nawiasów poza nazwą nic w artykule nie napisano. A prosty przykład zmiany wyrażenia przez opuszczenie nawiasów, które nie wpływają na kolejność wykonywania działań przydałby się w artykule np:
 StoK (dyskusja) 17:58, 3 mar 2017 (CET)
Określenie "symbole grupujące" jest trafne i wstawiłem je w tekst, ale zachowałem też "domyślne nawiasy", bo to jest bardziej poglądowe i zrozumiałe. 
Usunąłem zdanie "Podobnie znak plus „+” jest uznawany za znak identyczności lub dodawania". Nigdy nie spotkałem się z + jako "znakiem identyczności", wydaje mi się to sztuczne. Owszem, w gimnazjum w 1946 r. uczono mnie o liczbach bezwzględnych (np. 5) i liczbach względnych (np. +5 i -5). Po opanowaniu tego działu nauczycielka wyjaśniała, dlaczego można pisać +5=5. Na uniwersytecie zrozumiałem, o co jej chodziło (o izomorficzne włożenie półgrupy w grupę). To teoria dydaktyczna z początku XX wieku. Natomiast określenie dla mnie + jako znaku identyczności to dla mnie nowość. Nie widzę sensu w takim stawianiu sprawy, zwłaszcza w Wikipedii. Ze znakiem + nie ma kłopotów, mieszanie go tu jest zbędne. 
Minus może być na początku wyrażenia lub po lewym nawiasie, natomiast nie może być po innym znaku działania (np. +-, ani ⋅-, ani :-). Poprawiłem to miejsce. 
Słowa "operand" nie spotykałem w uniwersyteckich książkach z algebry (może jest to z cybernetyki, cytowanej w artykule o operandach). Po angielsku mówi się "operation", po polsku "działanie". 
Nie rozumiem, o co chodzi w akapicie: "Reguły zapisu wyrażeń nakazują pisanie znaku minus i plus w nawiasie z wyjątkiem występowania na początku wyrażenia". 
Przeniosłem to prowizorycznie do części "Niezgodności w programach komputerowych"
Z pewnością nie jest to wystarczająco ważne, by być w głównym tekście. 
Zbisem (dyskusja) 20:19, 3 mar 2017 (CET)

text: Ten fragment z grupowaniem ładnie wplotłeś w opis nawiasów.

text: W wyrażeniach rzeczywistych nie spotyka się plusa jako znaku, a szkoda, Czasami jak popełnia się błąd w ustalaniu znaku, to przerabia się minus na plus. Znak plus (nie jako dodać) jest też używany w początkowym nauczaniu działań z liczbami ujemnymi. Ja stosuję ten zapis na lekcjach matematyki gdy wprowadzam działania z liczbami ujemnymi. W Excelu można pisać minusy i plusy w dowolnej liczbie, a nawet na przemian bez rozdzielania ich nawiasami, liczy zgodnie z oczekiwaniami.

text: Reguły zapisu wyrażeń nakazują pisanie znaku minus w nawiasie. W podręczniku matematyki Matematyka 2001, wprowadzając działania na liczbach ujemnych zalecają by każdą liczbę ujemną pisać w nawiasie, później wprowadzają zasadę, że można opuścić nawiasy jeżeli minus jest na początku wyrażenia, przy czym wyrażenie w nawiasie traktowane jest jako nowe wyrażenie. Wyrażenie 2 - - + - 3 zostanie uznane przez wielu nauczycieli za niepoprawne, Excel nic nie zgłasza i liczy to poprawnie.

text: Patrząc na znak minus to w zasadzie ma on 3 a nie 2 znaczenia 5 - (-(-3)). W tym wyrażeniu pierwszy to symbol odejmowania, drugi to symbol działania liczba przeciwna, a trzeci to znak liczby. Przy czym ten trzeci może być traktowany tak jak drugi i podobnie pierwszy jeżeli przyjmiemy że odejmowanie to rodzaj dodawania a tak po cichu przyjmujemy już po uzyskaniu pewnej wprawy w odejmowaniu liczb ujemnych. Wystarczy już tego ORu.

text: StoK (dyskusja) 23:02, 3 mar 2017 (CET)
Pogrubione czcionki, takie jak obecnie w -(-5)=+5=5, odbiera się wizualnie jako brzydkie. Przypominają wzory matematyczne z dawnych czasów, gdy komputery miało mało pamięci i małą rozdzielczość ekranu. Knuth pisał, że zabrał się za stworzenie systemu TeX, gdy widział, że wzory matematyczne, jakie spotykał na wydrukach, były coraz gorszej jakości. Założeniem TeX był elegancki wygląd wzorów, m.in. precyzyjnie, subtelnie dobierane odległości między symbolami, np. przy parze uporządkowanej (a,b). Mediawiki wyglądają w Wikipedii zbyt agresywnie, ale mają te knuthowską elegancję, co widać wyraźnie, gdy się porówna na ekranie wygląd -(-5)=+5=5 i nieco niżej 7⋅(-3+4), w szczególności minusy są zbyt krótkie.
Zbisem (dyskusja) 10:48, 4 mar 2017 (CET)
Knuth w TeX odróżnił wizualnie dwie role znaku minus. Jest inny odstęp między znakiem minus a następującą po nim liczbą zależnie od roli tego znaku. Wystarczy porównać:

text: 7\cdot (-3+4), \quad 2\cdot (7-3+4)
Zbisem (dyskusja) 11:04, 4 mar 2017 (CET)
thread_title:  Wstęp i inne 

message: Jeśli chodzi 
[o tę edycję ]
, to pozwolę sobie nie zgodzić się z zawężeniem wzoru \sqrt[n]{w}=\sqrt[n]{(w)} do naturalnych stopni pierwiastka.
Operator \sqrt[ \quad]{ \quad }  musi uwzględniać  przypadek, gdy oba jego argumenty są wyrażeniami. W przeciwnym razie nie dałoby się sensownie zapisać i stosować niektórych wzorów i równań.  
Np. pierwiastek pierwiastka, które można znaleźć w niemal każdych tablicach:
replies: text: \sqrt [m]{ \sqrt[n]{a}  }= \sqrt[m\cdot n]{a}
Podobnie nierówność na str. 72 w Rachunku różniczkowym i całkowym Lei będąca kolejnym etapem jakiegoś dowodu

text: \sqrt[n+1]{a} \leq a^x \leq \sqrt[n]{a}
Więcej, po zdefiniowaniu potęgi x^y ,  x>0  trzeba mieć możliwość swobodnego operowania  stopniem pierwiastka będącego wyrażeniem, np.:

text: \sqrt[ \frac{1}{x}  ]{a} = a^{x},   \sqrt[ -x  ]{a} = \frac {1}{  \sqrt[x]{a}} ,
albo badania granicy  \lim\limits_{x\to \infty}    \sqrt[x]{a}   lub  funkcji f(x)=\sqrt[x]{x} , x>0 .
Zgadzam się, że wyrażenia będące stopniem pierwiastka stosowane są relatywnie  rzadko, to jednak nie jest powód, aby ich nie uwzględniać w regułach składniowych dotyczących pierwiastka.
Sinousty (dyskusja) 22:16, 6 mar 2017 (CET)
thread_title:  Stopień pierwiastka