Dyskusja:Liczby p-adyczne

message: wydaje mi sie ze liczba p w tym akrykule powinna oznaczac liczbę pierwsza co powoduje ze liczb 10-adycznych nie ma
Z całą pewnością liczba p w tym artykule powinna oznaczać liczbę pierwszą. Poza tym, to co nazywane jest tutaj liczbami p-adycznymi powinno być nazwane całkowitymi liczbami p-adycznymi. Liczby p-adyczne tworzą ciało, a całkowite liczby p-adyczne tworzą pierścień zawarty w tym ciele. Co do działań dodawania, odejmowania i mnożenia w pierścieniu całkowitych liczb p-adycznych, to można próbować bronić przedstawionej interpretacji. Jeśli natomiast chodzi dzielenie, to jest ono czymś zupełnie innym niż w przypadku liczb całkowitych. Świadczy o tym chociażby fakt, że każda całkowita liczba p-adyczna, która nie jest podzielna przez p jest odwracalna w tym pierścieniu (przypominam, że w przypadku pierścienia liczb całkowitych elementami odwracalnymi są jedynie +1 i -1).

message: Przenoszę ze swojej dyskusji (na razie nie mma czasu tego zintegrować z artykułem) odpowiedż cmmsigma na prośbę o rozwinięcie powyższego wpisu. Olaf @ 22:29, 20 mar 2007 (CET)
Jeśli chodzi o źródło, to używam książki p-adic Numbers autorstwa Fernando Q. Gouvea. Poza tym sporo jest w Teorii ciał Jerzego Browkina, ale tam to wszystko napisane jest z bardzo ogólnego punktu widzenia. Jeśli chodzi o artykuł, to nie mam zastrzeżeń co do sposobu reprezentacji liczb. To przy jakiej podstawie się je zapisuje nie ma tutaj żadnego znaczenia. Ale nie można nazwać liczy 10-adyczną tylko z tego powodu, że jej reprezentacja składa się z cyfr [0..9]. Tutaj chodzi przede wszystkim o istnienie nietrywialnej normy w ciele liczb wymiernych. Taka norma powinna spełniać następujące trzy własności:
* |x| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0,
* |xy| = |x||y|
* |x + y| \leq |x| + |y|.
Jeśli chodzi o normę p-adyczną to definiujemy ją jako: |x|_p = c^{-v_p(x)}, gdzie c jest pewną liczbą rzeczywistą większą do 1, a funkcja v_p nazywana jest waluacją i określa z jaką potęgą wchodzi liczba p do rozkładu liczby x na czynniki (jeśli x jest ułamkiem, to wykładniki czynników mianownika bierzemy ze znakiem minus). Z twierdzenia Ostrowskiego wynika, że w ciele liczb wymiernych nietrywialnymi normami są tylko:
* normy p-adyczne
* norma nieskończona (klasyczna wartość bezwzględna).
Uzupełnienie przestrzeni liczb wymiernych względem pierwszej normy daje nam liczby p-adyczne, a względem drugiej daje nam liczby rzeczywiste. Z tego punktu widzenia istnienie czegoś takiego, jak norma 10-adyczna nie może mieć miejsca, gdyż mielibyśmy wówczas |2|_{10} = 1, |5|_{10} = 1 i dalej 1 = |2|_{10}|5|_{10} = |10|_{10} = c > 1. Pozdrawiam Cmmsigma 09:08, 14 mar 2007 (CET)
thread_title: Dopracować

message: Zastanawia mnie (dość długo szukałem literatury na ten temat, niestety bezskutecznie) jakiej miary (Lebesgue'a) na prostej jest zbiór liczb p-adycznych (czy też p-adycznych całkowitych), dla ustalonego p. Intuicja podsuwa myśl, że miary zero (ze względu na homeomorficzność ze zbiorem Cantora, ale jak wiadomo homeomorfizmy, na ogół, nie zachowują zbiorów miary zero - więc nawet w konsekwencji nie zachowują mierzalności zbiorów). Czy ktoś byłby w stanie udzielić stosownych informacji i wskazać odpowiednie źródła? Pozdrawiam, Loxley 23:08, 8 maja 2007 (CEST)
Nie ma sensownej odpowiedzi na tak postawione pytanie, gdyż zbiór liczb p-adycznych nie zawiera się w prostej rzeczywistej. Cmmsigma 11:17, 29 maja 2007 (CEST)
thread_title: Miara zbioru liczb p-adycznych

message: "Jedna z konstrukcji liczb rzeczywistych jest wykonywana przez zinterpretowanie liczby rzeczywistej jako zbioru wszystkich ciągów liczb wymiernych które zbiegają do tej samej granicy. " czyli liczba rzeczywista jest zbiorem ciągów - ciekawe, bardzo ciekawe...
thread_title:  Pytanie 

message: W obecnym stanie artykuł nie do końca nadaje się do edycji, dlatego pozwoliłem sobie usunąć znaczącą jego część i zastąpić tłumaczeniem z angielskiej wiki. W razie niejasności sprawdzam dwie książki: przytoczony wyżej podręcznik autorstwa Gouvea oraz bardziej zaawansowaną pozycję "Analiza p-adyczna" Roberta. Artykuł jest długi, więc dokończę pracę nad nim za kilka dni. P-adyczny (dyskusja) 11:37, 23 sie 2015 (CEST)
thread_title:  Artykuł od nowa