Dyskusja:Aksjomaty i konstrukcje liczb/Archiwum 1

message: Dopiero wraz z rozwojem teorii mnogości i logiki matematycznej pojęcie liczby zostało ściśle określone. - gdzie jest ścisła definicja tego pojęcia? Kuszi 00:24, 10 kwi 2007 (CEST).
Tak naprawdę nie istnieje ścisła definicja pojęcia liczby, jest definicja liczb naturalnych, liczb całkowitych itp. Już uzupełniam. Olaf @ 00:33, 10 kwi 2007 (CEST)
replies: text: No chyba, żeby uznać liczbę za element dowolnego ciała. Kuszi 00:44, 10 kwi 2007 (CEST).
replies: text: :No nie, oktawy Cayleya są liczbami a nie tworzą ciała (nawet nieprzemiennego). Liczby kardynalne i porządkowe nie tworzą nawet zbiorów, a co dopiero ciał. Ewentualnie można uznać algebrę liczbową za rozszerzenie algebry liczb naturalnych. Tak wpisałem do wstępu. Olaf @ 00:52, 10 kwi 2007 (CEST)
.... Dowolny zbiór dowolnych obiektów, w którym zdefiniowane działania spełniają odpowiednie aksjomaty, czyli tzw. model danej aksjomatyki, można nazwać zbiorem liczb. i akapit dalej Zbiory liczbowe są zawsze definiowane razem z podstawowymi działaniami na nich — dodawaniem i mnożeniem - jak więc jest z tymi działaniami, musi być dodawanie i mnożenie? Pozdrawiam Kuszi 11:01, 10 kwi 2007 (CEST).
No tak, w przypadku wszelkich algebr liczbowych muszą być zdefiniowane ich działania wewnętrzne (zawsze dodawanie i mnożenie, ewentualnie definiowane pośrednio przez coś z czego dodawanie i mnożenie wynika, np. działanie następnika). Albo te działania są zdefiniowane przez używające ich aksjomaty, albo są skonstruowane tak, aby te aksjomaty spełniały, ale tak czy inaczej muszą być jakoś zdefiniowane. Trochę przemieściłem akcenty, może będzie lepiej zrozmiałe, ale nie bardzo rozumiem, w czym widzisz tu problem? Olaf @ 13:50, 10 kwi 2007 (CEST)

text: Chodzi mi głównie o słowa: odpowiednie aksjomaty - jakie muszą być te aksjomaty, żeby mówić o liczbach?

text: Przy okazji:

text: # Czy nie należałoby rozróżnić zbiorów liczbowych - struktur algebraicznych od ich podzbiorów: takich jak powiedzmy liczby pierwsze, które właściwie żadnej struktury nie mają.

text: # Co mam rozumieć przez dodawanie i mnożenie, jakie własności muszą mieć te działania?

text: Pozdrawiam, Kuszi 15:39, 10 kwi 2007 (CEST).
"Odpowiednie aksjomaty" - no właśnie różne zbiory liczbowe mają różne aksjomaty. Nie ma jednych dla wszyskich liczb. Przez "odpowiednie" rozumiałem tutaj "odpowiednie dla akurat definiowanych liczb", za każdym razem inne. Tak się jednak składa, że zawsze są definiowane (na różne sposoby, mniej lub bardziej bezpośrednio) dodawanie i mnożenie, bo te właśnie działania są działaniami wewnętrznymi każdego ze zbiorów liczbowych. 
* Dla liczb naturalnych są tutaj: Aksjomaty i konstrukcje liczb#Aksjomatyka Peano, 
* dla liczb całkowitych tutaj: Aksjomaty i konstrukcje liczb#Aksjomatyka liczb całkowitych, 
* dla liczb wymiernych tutaj: Aksjomaty i konstrukcje liczb#Aksjomatyka liczb wymiernych (aksjomaty dla działań zostały tu wprowadzone w stwierdzeniu, że algebra liczb wymiernych jest ciałem prostym), 
* dla liczb rzeczywistych tu: Aksjomaty i konstrukcje liczb#Aksjomatyka liczb rzeczywistych 
* dla liczb zespolonych tu: Aksjomaty i konstrukcje liczb#Aksjomatyka liczb zespolonych
Wszystkie te sformułowania w mniej lub bardziej bezpośredni sposób odwołują się do działań na liczbach.
Nie chcę tu przepisywać połowy artykułu... Być może powinienem był przenieść tutaj także sekcję liczba#Własności algebraiczne, bo tam jest bardziej przystępnie opisane, jakie właściwości mają mieć poszczególne działania, ale ponieważ nie jest to ani konstrukcja, ani aksjomat, więc jej tu nie dałem.
Może i faktycznie należałoby odróżnić struktury algebraiczne od reszty. Głównie sprowadziłoby się to do wyrzucenia liczb pierwszych, bo jako jedyne liczby nie tworzące własnej struktury mają tutaj własną sekcję. Ale ponieważ są potrzebne do zdefiniowania liczb p-adycznych (które już tworzą ciało), więc ich obecność jest w jakiś sposób uzasadniona. Jeśli uważasz, że należy je wyrzucić, mogę to zrobić.
Pozdrawiam, Olaf @ 19:26, 10 kwi 2007 (CEST)
----
Teoria zbiorów redirectuje do hasła teoria mnogości. Ob hasła występują (podlinkowane w artykule. Warto chyba ujednolicić terminologię (jeżeli rzeczywiście teoria zbiorów i teoria mnogości to to samo). Qblik Zostaw wiadomość 17:30, 10 kwi 2007 (CEST)

text: Termin "teoria zbiorów" jest praktycznie nie używany. Na google jest 556 odnośników do niego, a do teorii mnogości 47400. Według mnie jeśli już, to teoria zbiorów byłaby częścią teorii mnogości, która oprócz zbiorów zajmuje się m.in. klasami. Więc redirect jest poprawny, ale jeśli ujednolicać to raczej w stronę teorii mnogości. Olaf @ 19:26, 10 kwi 2007 (CEST)
Mój komentarz skopiowany z dyskusji artykułu na medal.

text: Kasuję stąd i za moment odpowiadam w dyskusji artykułu na medal, żeby było w jednym miejscu. Olaf @ 19:26, 10 kwi 2007 (CEST)
Czy ten porządek określony dla liczb nadrzeczywistych ma być silny czy słaby? Bo jeśli wezmę (zakładając, że jest silny, jak sugeruje symbol), dowolną podklasę A=B: nieprawda, że x=y, x\in A spełnia x<y, a tymbardziej nie istnieje z\in F żeby tak było. I czy można mówić, że F jest ciałem skoro nie jest zbiorem? Może lepiej, że spełnia aksjomaty ciała? Loxley 06:57, 13 kwi 2007 (CEST)

text: W aksjomatyce silny (w każdym razie tak jest na en-wiki - piszą tam że porządek z konstrukcji jest dopiero z niego wyprowadzany). Jeśli weźmiesz A=B to nie jest prawdą, że \bigwedge_{x\in A}\bigwedge_{y\in B} x<y. czyli nie jest prawdą, że A<B. I faktycznie nie istnieje wtedy takie z, bo nie musi istnieć. Chyba nie do końca rozumiem, o co chodzi.

text: Co do ciała - No cóż, porządek też w zwykłej definicji ma zbiory a nie klasy... Chyba to się da rozszerzyć do klasy. W każdym razie nie bardzo wiem, czym się różnią stwierdzenia "X jest ciałem" oraz "X spełnia aksjomaty ciała", skoro aksjomaty definiują ciało. Olaf @ 08:39, 14 kwi 2007 (CEST)

text: Jeszcze jeśli chodzi o algebry na klasach - to o tyle nie prowadzi do sprzeczności, że wszystkie typowe struktury algebraiczne, jak ciało, są zdefiniowane przez aksjomaty w rodzaju \bigwedge_{x_1, \dots , x_n\in X} f(x_1, \dots , x_n), gdzie f to formuła logiczna. Skoro klasa w ZFC występuje tylko na poziomie metateorii jako formuła logiczna c(x), mówiąca, jakie obiekty należą do danej klasy, to wystarczy zastąpić
replies: text: :\bigwedge_{x_1, \dots ,x_n\in X} f(x_1, \dots , x_n)

text: przez
replies: text: :c(x_1) \wedge c(x_2) \wedge \dots c(x_n)\models f(x_1,\dots,x_n).

text: Podobnie klasa c_1(x) zawiera się w c_2(x), gdy c_2(x)\models c_1(x).

text: W ogóle to ten problem jest częsty - liczby porządkowe tworzą porządek, ale w definicji porządku mamy zbiór. Liczby kardynalne to klasy abstrakcji, ale klasa abstrakcji to w standardowym ujęciu zbiór. Olaf @ 09:00, 14 kwi 2007 (CEST)
A rzeczywiście tam jest "takimi, że", źle przeczytałem, sorry. Ale z tym ciałem to chodzi mi o  definicję, mianowicie Ciałem nazywamy zbiór...', a nie klasę. PS. Naturalnym przykładem porządku liniowego na klasie jest porządek na liczbach kardynalnych, równoważny AC. Loxley 09:13, 14 kwi 2007 (CEST)
Ok, zmieniłem. Poza tym z powrotem zamieniłem x<z<y na \bigwedge_{x\in A}\bigwedge_{y\in B} x<z<y. W Twojej wersji, nie wiadomo co to jest x i y, bo były zmiennymi kwantyfikatorów, nie określonymi poza kwantyfikatorami.
A w ogóle, nie do końca te liczby rozumiem. Aksjomatykę i konstrukcję wziąłem z en-wiki, gdzie pojawia się raz F i dużo razy jakieś No. Ale to nie może chodzić o liczby naturalne z zerem. Spróbowałem jakoś sklecić z tego spójną całość. Olaf @ 09:56, 14 kwi 2007 (CEST)
Ja nigdy wcześniej o tym nie słyszałem i wydaje mi się to jakieś takie na siłę zrobione. Jeśli to jest niby ciało, to czym jest element odwrtotny do \omega_1? Jak oni rozróżniają te "małe liczby". Loxley 10:01, 14 kwi 2007 (CEST)
Nie wiem, ale że są poważnym tworem matematycznym, to akurat pewne - znalazłem np. pracę  przy okazji wyjaśniło się, że No to oznaczenie klasy tych liczb. Nie wiem tylko, czy F to pomyłka, i miało być No, czy coś jeszcze innego. Poczytaj na en-wiki, tam jest o tym jak się robi nieskończenie małe liczby nadrzeczywiste. Badam dalej.Olaf @ 10:18, 14 kwi 2007 (CEST) Konkretnie odwrotnością \omega jest \epsilon=\{ 0 | \dots, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1 \}, większe od zera ale mniejsze od każdej liczby rzeczywistej dodatniej. Tutaj jest 50 stron o tych liczbach prostym językiem. Olaf @ 10:30, 14 kwi 2007 (CEST)
thread_title: Pojęcie liczby

message: Cytat:
"Metody definiowania liczb [...]
* przez podanie aksjomatów [..]
* przez stworzenie konstrukcji [...]
* przez wydzielenie podzbioru spełniającego dany warunek z osobno zdefiniowanego szerszego zbioru liczb - jest to w zasadzie szczególny przypadek aksjomatyki."
No nie wiem, moim zdaniem jest to bardziej szczególny przypadek konstrukcji - mamy jakąś strukturę, tworzymy z niej nową jako podzbiór i zawężamy działania. Warunek oddzielający szerszy zbiór od węższego raczej miałby IMHO postać typu "Q to najmniejsze w sensie inkluzji podciało R" - niezależnie czy tu R zostało zdefiniowane aksjomatycznie, czy jakoś konstrukcyjnie, sklasyfikowałbym taką definicję jako konstrukcyjną (tworzącą nowe obiekty z już istniejących), nie aksjomatyczną (tworzącą nowe obiekty bez "fundamentów" czyli innych obiektów). Ale mogę się mylić i dlatego nie wprowadziłem zmiany.
A, co do rozmiarów nagłówków - zmieniłem tak aby było ===Zobacz też=== i ===Bibliografia=== gdyż wszędzie w tekście były używane nagłówki ===Liczby X===. Tyle że Szablon:Przypisy wymusza używanie ==X==. Być może dla konsekwencji trzeba będzie zmienić wszystko na ==Liczby X==.
replies: text: Aaa, jaki jestem bezmyślny:) Dzięki Olaf. googl d 13:26, 22 kwi 2007 (CEST)
Pozdrawiam z urlopu, googl d 13:18, 22 kwi 2007 (CEST)
No właśnie najpierw sam napisałem, że to "konstrukcje", ale potem doszedłem do wniosku że jednak bardziej aksjomaty.
Np. liczby pierwsze to obiekty, które spełniają aksjomat: n jest liczbą naturalną większą od 1 i dzieli się w liczbach naturalnych tylko przez 1 i n.
Można to potraktować jako konstrukcję, ale wtedy w zależności od sposobu skonstruowania liczb naturalnych wyjdą inne liczby pierwsze, i nie bardzo będzie jak powiedzieć, że zbiory te są izomorficzne, skoro izomorfizm dotyczy tu struktur algebraicznych, a l. pierwsze struktur algebraicznych nie tworzą. Olaf @ 18:54, 22 kwi 2007 (CEST)
pragnę zauważyć, że izomorfizm może być traktowany jako pojęcie teorii kategorii (u nas w wiki nieopisane). konrad mów! 14:47, 25 kwi 2007 (CEST)
thread_title: Aksjomaty czy konstrukcje

message: Chyba ja nieźle tu napsułem:/ Skomentowałem wątpliwe fragmenty. Jak przeczytałem na de- i fr- wiki, liczby rzeczywiste można zdefinować jako ciało uporządkowane które spełnia aksjomat supremum (każdy ograniczony z góry podzbiór ma kres górny). Ten aksjomat jest równoważny koniunkcji (aksjomat Archimedesa & istnienie granicy każdego ciągu Cauchy'ego) Patrz :de:Reelle_Zahl#Axiomatische_Einf.C3.BChrung_der_reellen_Zahlen, :de:Archimedisches Axiom, :fr:Nombre_r%C3%A9el#Approche_axiomatique - we francuskiej to jest w ramce "Démonstrations".
Jest już późno, tyle zostawię:( Postaram się przejrzeć po południu, jeżeli możecie sprawdźcie jak to powinno wyglądać:/ Czy aksjomat ciągłości Dedekinda jest równoważny aksjomatowi supremum, czy aksjomatowi, że każdy ciąg Cauchy'ego ma granicę? googl d 00:25, 29 kwi 2007 (CEST)
Alternatywnie, zamiast aksjomatu drugiego, można wziąć następujące dwa:
# Aksjomat Eudoksosa-Archimedesa\bigwedge_{\mathbb{R}\ni x>0}\bigwedge_{\mathbb{R}\ni y>x}\bigvee_{n\in\mathbb{N}}y<nx
# Każdy ciąg Cauchy'ego o wyrazach w \mathbb{R} ma granicę.
Loxley 10:26, 29 kwi 2007 (CEST)
replies: text: Nie rozumiem, Loxley, piszesz to tak, jakbyś stwierdzał, że to prawda, a jednocześnie usuwasz z artykułu. Olaf @ 12:54, 29 kwi 2007 (CEST)
Bo to jest prawda, ale bez dowodu może mi się tylko tak wydawać. Wszystko musi być niepodważalne. ;) Loxley 13:20, 29 kwi 2007 (CEST)
===Twierdzenie===
Zdania

text: Każdy niepusty i ograniczony podzbiór \mathbb R ma kres górny.
oraz

text: Jeżeli [A,B] jest przekrojem Dedekinda zbioru \mathbb{R}, to albo klasa dolna A ma element największy, albo klasa górna B ma element najmniejszy.
są równoważne.
====Dowód====
Każdy niepusty i ograniczony podzbiór \mathbb R ma kres górny.
Na symbolach:

text: A1 X\neq \varnothing

text: A2 \bigvee_{t\in \mathbb{R} } \bigwedge_{y\in X} y\le t

text: A3 \bigvee_{k\in \mathbb{R}} \left( \left( \bigwedge_{y\in X} y\le k\right) \wedge \bigwedge_{z\in \mathbb{R}} \left( z<k \Rightarrow \bigvee_{u\in X}z<u\right) \right)

text: A4 A1 \wedge A2 \Rightarrow A3
Jeżeli [A,B] jest przekrojem Dedekinda zbioru \mathbb{R}, to albo klasa dolna A ma element największy, albo klasa górna B ma element najmniejszy.
Na symbolach:

text: B1 A\neq\varnothing, B\neq\varnothing,

text: B2 A\cup B=\mathbb{R},

text: B3 jeżeli a\in A i b\in B, to a<b

text: B4 \left( \bigvee_{w\in A} \bigwedge_{y\in A}y\le w \right) \vee \left( \bigvee_{w\in B} \bigwedge_{y\in B} w\le y \right)

text: B5 B1 \wedge B2 \wedge B3 \Rightarrow B4
Zdanie A4 wynika z B5:
Przyjmijmy A1, A2, B5, chcemy wyprowadzić A3.
Rozpiszmy liczby rzeczywiste w zbiorze X na przekroje Dedekinda i weżmy iloczyn ich prawych stron: B_k=\bigcap \{B_r : \bigvee_{r\in X} r=[A_r,B_r]\}
Przyjmijmy A_k=\mathbb{R}-B_k
Przyjmijmy liczbę rzeczywistą k=[A_k,B_k]. Kazdy element B_k jest większy od każdego elementu X, więc k jest górnym ograniczeniem X. Jednocześnie nie istnieje mniejsze górne ograniczenie (z) zbioru X. Gdyby istniało, wtedy z=[A_z,B_z]\wedge A_z\subset A_k. Weźmy zatem liczbę u\in A_k-A_z, u\ne z. u\in A_k, więc u\not\in B_k więc \bigvee_{r\in X} u\not\in B_r więc \bigvee_{r\in X}u\le r.
Ale z
Przyjmijmy B1,B2,B3 oraz A4, chcemy wyprowadzić B4.
Niech A=X=\{r\in\mathbb{R}: r<t\} oraz B=\mathbb{R}-A
Wtedy A1 i A2 są oczywiście spełnione, a więc także (na mocy A4) zdanie A3.
Z A3 wynika, że \bigvee_{k\in \mathbb{R}} \bigwedge_{y\in X} y\le k
czyli \bigvee_{k\in \mathbb{R}} \bigwedge_{y\in A} y\le k
Jeśli k\in A to B4 jest spełnione dla w=k.
Jeśli k\not\in A to ze sposobu konstrukcji wynika k\in B
Z A3 wynika, że \bigwedge_{z\in B} \left( z<k \Rightarrow \bigvee_{u\in A}z A4 liczby w zbiorze X na przekroje Dedekinda - jeżeli dobrze myślę wewnętrzna budowa R nie musi być znana. Na wszelki wypadek przedstawię inny dowód:
Dany jest podzbiór X \subset \mathbb{R}, który jest niepusty i ograniczony z góry, oraz ponadto zachodzi B5. Udowodnimy, X że ma kres górny.
Niech A=\{a \in \mathbb{R}: \bigvee_{x \in X} x >= a\} oraz B=\mathbb{R}-A. Czyli A składa się z wszystkich liczb co najwyżej równych liczbom w X. Udowodnię B1, B2, B3 a stąd będzie wynikać B4.
Dowód B1:
Ponieważ X jest niepusty, więc \bigvee_{c \in \mathbb{R}} c \in X. W takim razie c \in A, bo c \ge c. A skoro c \in A, to A \neq \varnothing.
Ponieważ X jest ograniczony z góry, więc \bigvee_{t \in \mathbb{R}} \bigwedge_{y \in \mathbb{X}} y \le t. A zatem \bigwedge_{y \in X} y < t+1. Stąd t+1 \not\in A, gdyż jest większe od wszystkich elementów X. Zatem B \neq \varnothing.
Zatem zbiory A i B są niepuste i spełnione jest B1.
Dowód B2: oczywisty z definicji zbiorów A i B.
Dowód B3: niech a \in A, b \in B. Zatem a \in A, b \not\in A. Czyli \bigvee_{x \in X} x \ge a. Jednocześnie b \not\in A, zatem \neg \bigvee_{x \in X} x \ge b czyli \bigwedge_{x \in X} x < b. A zatem \bigvee_{x \in X} a \le x < b zatem z przechodniościa0 że nx \leq y dla wszystkich liczb naturalnych n.
Rozpatrzmy zbiór \{nx:n \in \mathbb{N}\}. Wtedy y jest ograniczeniem górnym tego zbioru. Z aksjomatu supremum wynika istnieje najmniejszego ograniczenia górnego y_0. Ponieważ y_0-x<y_0 więc y_0-x jako mniejsze od supremum nie jest ograniczeniem górnym dla nx. Istnieje zatem liczba naturalna m, że
y_0 - x < mx
Wtedy
y_0 < (m+1)x
co przeczy temu, że y_0 jest ograniczeniem górnym. Sprzeczność kończy dowód.
2. Jeżeli E jest ciałem uporządkowanym w którym spełniony jest aksjomat supremum, to każdy ciąg Cauchy'ego ma granicę.
Niech (a_n) będzie ciągiem Cauchy'ego o wyrazach z E, udowodnimy że (a_n) jest zbieżny. Ciąg Cauchy'ego jest zawsze ograniczony. Dla każdego n, zbiór A_n = \{a_m: m > n\} jest niepusty i ograniczony więc ma ograniczenie górne S_n i ograniczenie dolne I_n. Zauważmy, że:
* Ciąg (S_n) jest malejący, bo jest (S_{n}) jest ograniczeniem zarówno dla A_n jak i A_{n+1}. Stąd S_{n} >= S_{n+1}
* Ciąg (I_n) jest rosnący. Dowód analogiczny.
* Dla wszystkich \varepsilon > 0\,, istnieje N\, że dla wszystkich m\, i n\, takich że m \geq n \geq N, a_n-\varepsilon/2 \leq a_m \leq a_n + \varepsilon/2 (bo ciąg (a_n)\, jest ciągiem Cauchy'ego). a_n + \varepsilon/2 jest ograniczeniem górnym dla A_n\, więc S_n \leq a_n + \varepsilon/2. W ten sam sposób I_n \geq a_n - \varepsilon/2. Więc a_n-\varepsilon/2 \leq I_n \leq S_n \leq  a_n + \varepsilon/2 więc|S_n - I_n| \leq \varepsilon. Ciąg (S_n - I_n)\, jest zbieżny do 0.
Dwa ciągi spełniające te trzy założenia na podstawie tego twierdzenia, którego polskiej nazwy nie znam, są zbieżne do tej samej granicy. Niech a\, jest tą granicą. Wiadomo, że I_n \leq a \leq S_n. Zgodnie z poprzednią uwagą, dla każdego \varepsilon > 0\,, istnieje N\, takie, że n \geq N, a_n-\varepsilon/2 \leq I_n \leq S_n \leq  a_n + \varepsilon/2 . Ponieważ I_n \leq a \leq S_n, więc |a_n - a| \leq \varepsilon/2. To potwierdza, że ciąg (a_n)\, jest zbieżny do a\,.
3. Każde ciało archimedesowe w którym każdy ciąg C. ma granicę spełnia aksjomat supremum. Dowód jest analogiczny i wykorzystuje konstrukcję liczb rzeczywistych za pomocą ciągów Cauchy'ego. (to przetłumaczyłem, ale nie wiem czy to jest poprawne)
Prosiłbym o weryfikację, jeżeli jest dobrze, myślę że będzie można wstawić te dwa alternatywne aksjomaty do artykułu. googl d 22:33, 10 maja 2007 (CEST)
thread_title: Aksjomatyka rzeczywistych

message: Zdania
replies: text: Każdy niepusty i ograniczony podzbiór \mathbb R ma kres górny.
oraz

text: Jeżeli [A,B] jest przekrojem Dedekinda zbioru \mathbb{R}, to albo klasa dolna A ma element największy, albo klasa górna B ma element najmniejszy.
są równoważne.
====Dowód====
Każdy niepusty i ograniczony podzbiór \mathbb R ma kres górny.
Na symbolach:

text: A1 X\neq \varnothing

text: A2 \bigvee_{t\in \mathbb{R} } \bigwedge_{y\in X} y\le t

text: A3 \bigvee_{k\in \mathbb{R}} \left( \left( \bigwedge_{y\in X} y\le k\right) \wedge \bigwedge_{z\in \mathbb{R}} \left( z<k \Rightarrow \bigvee_{u\in X}z<u\right) \right)

text: A4 A1 \wedge A2 \Rightarrow A3
Jeżeli [A,B] jest przekrojem Dedekinda zbioru \mathbb{R}, to albo klasa dolna A ma element największy, albo klasa górna B ma element najmniejszy.
Na symbolach:

text: B1 A\neq\varnothing, B\neq\varnothing,

text: B2 A\cup B=\mathbb{R},

text: B3 jeżeli a\in A i b\in B, to a<b

text: B4 \left( \bigvee_{w\in A} \bigwedge_{y\in A}y\le w \right) \vee \left( \bigvee_{w\in B} \bigwedge_{y\in B} w\le y \right)

text: B5 B1 \wedge B2 \wedge B3 \Rightarrow B4
Zdanie A4 wynika z B5:
Przyjmijmy A1, A2, B5, chcemy wyprowadzić A3.
Rozpiszmy liczby rzeczywiste w zbiorze X na przekroje Dedekinda i weżmy iloczyn ich prawych stron: B_k=\bigcap \{B_r : \bigvee_{r\in X} r=[A_r,B_r]\}
Przyjmijmy A_k=\mathbb{R}-B_k
Przyjmijmy liczbę rzeczywistą k=[A_k,B_k]. Kazdy element B_k jest większy od każdego elementu X, więc k jest górnym ograniczeniem X. Jednocześnie nie istnieje mniejsze górne ograniczenie (z) zbioru X. Gdyby istniało, wtedy z=[A_z,B_z]\wedge A_z\subset A_k. Weźmy zatem liczbę u\in A_k-A_z, u\ne z. u\in A_k, więc u\not\in B_k więc \bigvee_{r\in X} u\not\in B_r więc \bigvee_{r\in X}u\le r.
Ale z
Przyjmijmy B1,B2,B3 oraz A4, chcemy wyprowadzić B4.
Niech A=X=\{r\in\mathbb{R}: r<t\} oraz B=\mathbb{R}-A
Wtedy A1 i A2 są oczywiście spełnione, a więc także (na mocy A4) zdanie A3.
Z A3 wynika, że \bigvee_{k\in \mathbb{R}} \bigwedge_{y\in X} y\le k
czyli \bigvee_{k\in \mathbb{R}} \bigwedge_{y\in A} y\le k
Jeśli k\in A to B4 jest spełnione dla w=k.
Jeśli k\not\in A to ze sposobu konstrukcji wynika k\in B
Z A3 wynika, że \bigwedge_{z\in B} \left( z<k \Rightarrow \bigvee_{u\in A}z A4 liczby w zbiorze X na przekroje Dedekinda - jeżeli dobrze myślę wewnętrzna budowa R nie musi być znana. Na wszelki wypadek przedstawię inny dowód:
Dany jest podzbiór X \subset \mathbb{R}, który jest niepusty i ograniczony z góry, oraz ponadto zachodzi B5. Udowodnimy, X że ma kres górny.
Niech A=\{a \in \mathbb{R}: \bigvee_{x \in X} x >= a\} oraz B=\mathbb{R}-A. Czyli A składa się z wszystkich liczb co najwyżej równych liczbom w X. Udowodnię B1, B2, B3 a stąd będzie wynikać B4.
Dowód B1:
Ponieważ X jest niepusty, więc \bigvee_{c \in \mathbb{R}} c \in X. W takim razie c \in A, bo c \ge c. A skoro c \in A, to A \neq \varnothing.
Ponieważ X jest ograniczony z góry, więc \bigvee_{t \in \mathbb{R}} \bigwedge_{y \in \mathbb{X}} y \le t. A zatem \bigwedge_{y \in X} y < t+1. Stąd t+1 \not\in A, gdyż jest większe od wszystkich elementów X. Zatem B \neq \varnothing.
Zatem zbiory A i B są niepuste i spełnione jest B1.
Dowód B2: oczywisty z definicji zbiorów A i B.
Dowód B3: niech a \in A, b \in B. Zatem a \in A, b \not\in A. Czyli \bigvee_{x \in X} x \ge a. Jednocześnie b \not\in A, zatem \neg \bigvee_{x \in X} x \ge b czyli \bigwedge_{x \in X} x < b. A zatem \bigvee_{x \in X} a \le x < b zatem z przechodniościa0 że nx \leq y dla wszystkich liczb naturalnych n.
Rozpatrzmy zbiór \{nx:n \in \mathbb{N}\}. Wtedy y jest ograniczeniem górnym tego zbioru. Z aksjomatu supremum wynika istnieje najmniejszego ograniczenia górnego y_0. Ponieważ y_0-x<y_0 więc y_0-x jako mniejsze od supremum nie jest ograniczeniem górnym dla nx. Istnieje zatem liczba naturalna m, że
y_0 - x < mx
Wtedy
y_0 < (m+1)x
co przeczy temu, że y_0 jest ograniczeniem górnym. Sprzeczność kończy dowód.
2. Jeżeli E jest ciałem uporządkowanym w którym spełniony jest aksjomat supremum, to każdy ciąg Cauchy'ego ma granicę.
Niech (a_n) będzie ciągiem Cauchy'ego o wyrazach z E, udowodnimy że (a_n) jest zbieżny. Ciąg Cauchy'ego jest zawsze ograniczony. Dla każdego n, zbiór A_n = \{a_m: m > n\} jest niepusty i ograniczony więc ma ograniczenie górne S_n i ograniczenie dolne I_n. Zauważmy, że:
* Ciąg (S_n) jest malejący, bo jest (S_{n}) jest ograniczeniem zarówno dla A_n jak i A_{n+1}. Stąd S_{n} >= S_{n+1}
* Ciąg (I_n) jest rosnący. Dowód analogiczny.
* Dla wszystkich \varepsilon > 0\,, istnieje N\, że dla wszystkich m\, i n\, takich że m \geq n \geq N, a_n-\varepsilon/2 \leq a_m \leq a_n + \varepsilon/2 (bo ciąg (a_n)\, jest ciągiem Cauchy'ego). a_n + \varepsilon/2 jest ograniczeniem górnym dla A_n\, więc S_n \leq a_n + \varepsilon/2. W ten sam sposób I_n \geq a_n - \varepsilon/2. Więc a_n-\varepsilon/2 \leq I_n \leq S_n \leq  a_n + \varepsilon/2 więc|S_n - I_n| \leq \varepsilon. Ciąg (S_n - I_n)\, jest zbieżny do 0.
Dwa ciągi spełniające te trzy założenia na podstawie tego twierdzenia, którego polskiej nazwy nie znam, są zbieżne do tej samej granicy. Niech a\, jest tą granicą. Wiadomo, że I_n \leq a \leq S_n. Zgodnie z poprzednią uwagą, dla każdego \varepsilon > 0\,, istnieje N\, takie, że n \geq N, a_n-\varepsilon/2 \leq I_n \leq S_n \leq  a_n + \varepsilon/2 . Ponieważ I_n \leq a \leq S_n, więc |a_n - a| \leq \varepsilon/2. To potwierdza, że ciąg (a_n)\, jest zbieżny do a\,.
3. Każde ciało archimedesowe w którym każdy ciąg C. ma granicę spełnia aksjomat supremum. Dowód jest analogiczny i wykorzystuje konstrukcję liczb rzeczywistych za pomocą ciągów Cauchy'ego. (to przetłumaczyłem, ale nie wiem czy to jest poprawne)
Prosiłbym o weryfikację, jeżeli jest dobrze, myślę że będzie można wstawić te dwa alternatywne aksjomaty do artykułu. googl d 22:33, 10 maja 2007 (CEST)
thread_title: Twierdzenie

message: Każdy niepusty i ograniczony podzbiór \mathbb R ma kres górny.
Na symbolach:
replies: text: A1 X\neq \varnothing

text: A2 \bigvee_{t\in \mathbb{R} } \bigwedge_{y\in X} y\le t

text: A3 \bigvee_{k\in \mathbb{R}} \left( \left( \bigwedge_{y\in X} y\le k\right) \wedge \bigwedge_{z\in \mathbb{R}} \left( z<k \Rightarrow \bigvee_{u\in X}z<u\right) \right)

text: A4 A1 \wedge A2 \Rightarrow A3
Jeżeli [A,B] jest przekrojem Dedekinda zbioru \mathbb{R}, to albo klasa dolna A ma element największy, albo klasa górna B ma element najmniejszy.
Na symbolach:

text: B1 A\neq\varnothing, B\neq\varnothing,

text: B2 A\cup B=\mathbb{R},

text: B3 jeżeli a\in A i b\in B, to a<b

text: B4 \left( \bigvee_{w\in A} \bigwedge_{y\in A}y\le w \right) \vee \left( \bigvee_{w\in B} \bigwedge_{y\in B} w\le y \right)

text: B5 B1 \wedge B2 \wedge B3 \Rightarrow B4
Zdanie A4 wynika z B5:
Przyjmijmy A1, A2, B5, chcemy wyprowadzić A3.
Rozpiszmy liczby rzeczywiste w zbiorze X na przekroje Dedekinda i weżmy iloczyn ich prawych stron: B_k=\bigcap \{B_r : \bigvee_{r\in X} r=[A_r,B_r]\}
Przyjmijmy A_k=\mathbb{R}-B_k
Przyjmijmy liczbę rzeczywistą k=[A_k,B_k]. Kazdy element B_k jest większy od każdego elementu X, więc k jest górnym ograniczeniem X. Jednocześnie nie istnieje mniejsze górne ograniczenie (z) zbioru X. Gdyby istniało, wtedy z=[A_z,B_z]\wedge A_z\subset A_k. Weźmy zatem liczbę u\in A_k-A_z, u\ne z. u\in A_k, więc u\not\in B_k więc \bigvee_{r\in X} u\not\in B_r więc \bigvee_{r\in X}u\le r.
Ale z
Przyjmijmy B1,B2,B3 oraz A4, chcemy wyprowadzić B4.
Niech A=X=\{r\in\mathbb{R}: r<t\} oraz B=\mathbb{R}-A
Wtedy A1 i A2 są oczywiście spełnione, a więc także (na mocy A4) zdanie A3.
Z A3 wynika, że \bigvee_{k\in \mathbb{R}} \bigwedge_{y\in X} y\le k
czyli \bigvee_{k\in \mathbb{R}} \bigwedge_{y\in A} y\le k
Jeśli k\in A to B4 jest spełnione dla w=k.
Jeśli k\not\in A to ze sposobu konstrukcji wynika k\in B
Z A3 wynika, że \bigwedge_{z\in B} \left( z<k \Rightarrow \bigvee_{u\in A}z A4 liczby w zbiorze X na przekroje Dedekinda - jeżeli dobrze myślę wewnętrzna budowa R nie musi być znana. Na wszelki wypadek przedstawię inny dowód:
Dany jest podzbiór X \subset \mathbb{R}, który jest niepusty i ograniczony z góry, oraz ponadto zachodzi B5. Udowodnimy, X że ma kres górny.
Niech A=\{a \in \mathbb{R}: \bigvee_{x \in X} x >= a\} oraz B=\mathbb{R}-A. Czyli A składa się z wszystkich liczb co najwyżej równych liczbom w X. Udowodnię B1, B2, B3 a stąd będzie wynikać B4.
Dowód B1:
Ponieważ X jest niepusty, więc \bigvee_{c \in \mathbb{R}} c \in X. W takim razie c \in A, bo c \ge c. A skoro c \in A, to A \neq \varnothing.
Ponieważ X jest ograniczony z góry, więc \bigvee_{t \in \mathbb{R}} \bigwedge_{y \in \mathbb{X}} y \le t. A zatem \bigwedge_{y \in X} y < t+1. Stąd t+1 \not\in A, gdyż jest większe od wszystkich elementów X. Zatem B \neq \varnothing.
Zatem zbiory A i B są niepuste i spełnione jest B1.
Dowód B2: oczywisty z definicji zbiorów A i B.
Dowód B3: niech a \in A, b \in B. Zatem a \in A, b \not\in A. Czyli \bigvee_{x \in X} x \ge a. Jednocześnie b \not\in A, zatem \neg \bigvee_{x \in X} x \ge b czyli \bigwedge_{x \in X} x < b. A zatem \bigvee_{x \in X} a \le x < b zatem z przechodniościa0 że nx \leq y dla wszystkich liczb naturalnych n.
Rozpatrzmy zbiór \{nx:n \in \mathbb{N}\}. Wtedy y jest ograniczeniem górnym tego zbioru. Z aksjomatu supremum wynika istnieje najmniejszego ograniczenia górnego y_0. Ponieważ y_0-x<y_0 więc y_0-x jako mniejsze od supremum nie jest ograniczeniem górnym dla nx. Istnieje zatem liczba naturalna m, że
y_0 - x < mx
Wtedy
y_0 < (m+1)x
co przeczy temu, że y_0 jest ograniczeniem górnym. Sprzeczność kończy dowód.
2. Jeżeli E jest ciałem uporządkowanym w którym spełniony jest aksjomat supremum, to każdy ciąg Cauchy'ego ma granicę.
Niech (a_n) będzie ciągiem Cauchy'ego o wyrazach z E, udowodnimy że (a_n) jest zbieżny. Ciąg Cauchy'ego jest zawsze ograniczony. Dla każdego n, zbiór A_n = \{a_m: m > n\} jest niepusty i ograniczony więc ma ograniczenie górne S_n i ograniczenie dolne I_n. Zauważmy, że:
* Ciąg (S_n) jest malejący, bo jest (S_{n}) jest ograniczeniem zarówno dla A_n jak i A_{n+1}. Stąd S_{n} >= S_{n+1}
* Ciąg (I_n) jest rosnący. Dowód analogiczny.
* Dla wszystkich \varepsilon > 0\,, istnieje N\, że dla wszystkich m\, i n\, takich że m \geq n \geq N, a_n-\varepsilon/2 \leq a_m \leq a_n + \varepsilon/2 (bo ciąg (a_n)\, jest ciągiem Cauchy'ego). a_n + \varepsilon/2 jest ograniczeniem górnym dla A_n\, więc S_n \leq a_n + \varepsilon/2. W ten sam sposób I_n \geq a_n - \varepsilon/2. Więc a_n-\varepsilon/2 \leq I_n \leq S_n \leq  a_n + \varepsilon/2 więc|S_n - I_n| \leq \varepsilon. Ciąg (S_n - I_n)\, jest zbieżny do 0.
Dwa ciągi spełniające te trzy założenia na podstawie tego twierdzenia, którego polskiej nazwy nie znam, są zbieżne do tej samej granicy. Niech a\, jest tą granicą. Wiadomo, że I_n \leq a \leq S_n. Zgodnie z poprzednią uwagą, dla każdego \varepsilon > 0\,, istnieje N\, takie, że n \geq N, a_n-\varepsilon/2 \leq I_n \leq S_n \leq  a_n + \varepsilon/2 . Ponieważ I_n \leq a \leq S_n, więc |a_n - a| \leq \varepsilon/2. To potwierdza, że ciąg (a_n)\, jest zbieżny do a\,.
3. Każde ciało archimedesowe w którym każdy ciąg C. ma granicę spełnia aksjomat supremum. Dowód jest analogiczny i wykorzystuje konstrukcję liczb rzeczywistych za pomocą ciągów Cauchy'ego. (to przetłumaczyłem, ale nie wiem czy to jest poprawne)
Prosiłbym o weryfikację, jeżeli jest dobrze, myślę że będzie można wstawić te dwa alternatywne aksjomaty do artykułu. googl d 22:33, 10 maja 2007 (CEST)
thread_title: Dowód

message: Mam od Marka Sz. następującą odpowiedź:
Czyli jednak można wsadzić kardynalne, porządkowe i nadrzeczywiste na diagram. Spróbuję w wolnej chwili. Olaf @ 18:02, 7 maja 2007 (CEST)
Można, ale to musi być bardzo, bardzo wyraźnie opisane, że chodzi o inkluzję klas. Już kiedyś gdzieś pisałem co mnie niepokoi w idei umieszczenia ich na diagramie. Loxley 19:58, 7 maja 2007 (CEST)
Pod rysunkiem widnieje napis: "Nie są zaznaczone podzbiory liczbowe nie tworzące struktur algebraicznych (jak np. liczby niewymierne)." Nie rozumiem, na diagramie są liczby niewymierne, przestępne, przestępne rzeczywiste a działanie dodawania może wyprowadzić poza te zbiory (np. pi + (-pi) = 0). Diagram śliczny:) Pozdrawiam, zabiorę się za aksj. rzeczywistych pojutrze, będę miał przerwę do następnego egzaminu. googl d 13:46, 8 maja 2007 (CEST)
replies: text: Ups. Dzięki za zauważenie. :-) Poprawiam. Olaf @ 01:23, 10 maja 2007 (CEST)
thread_title: Inkluzja klas

message: Mam następną ciekawą odpowiedź osoby, od której wziąłem polską nazwę "liczby nadrzeczywiste" na określenie "surreal numbers" (wyciąłem podpis autora i końcówkę jego maila, bo nie wiem, czy życzy sobie tu występować):
To co, skoro ta nazwa polska została jedynie wymyślona na potrzeby referatu, w innych miejscach poza referatem i wikipedią nie występuje, to zostawiamy ją przez analogię do rzeczywistych, czy może zmieniamy na "liczby surrealistyczne" jako bliższe oryginałowi, pasujące np. do "Dali function" i oddające przedziwny charakter obiektów zawierających w sobie i liczby rzeczywiste i liczby porzadkowe? Olaf @ 01:36, 10 maja 2007 (CEST)
Osobiście wolałbym "nadrzeczywiste", przynajmniej w tym tłumaczeniu Wiktora Bartola  (mam tę książkę) jest używana właśnie ta. Albo można podawać obie wersje, jedną w nawiasie.  googl d 22:33, 10 maja 2007 (CEST)
Oczywiście, jeśli to już było gdziekolwiek użyte po polsku, to zostaje. Myślałem, że nie ma polskiej literatury i możemy przetłumaczyć jak chcemy. Dzięki. Olaf @ 06:20, 11 maja 2007 (CEST)
To, że było użyte gdzieindziej nie świadczy, iż jest poprawne. Przecież przedrostek hiper to po polsku nad. Czytając w nagłówku  nadrzeczywiste myślałem, że to spolszczona forma hiperrzeczywistych. Więc nazwa jest myląca. Moim zdaniem bardziej wymowna byłaby: ponadrzeczywiste, pozarzeczywiste lub jakoś w tym stylu. Ęgeniusz Ąderko (dyskusja) 23:15, 4 lip 2008 (CEST)
thread_title: Nadrzeczywiste? Surrealistyczne?

message: Do artykułu przydałaby się pewna uwaga co do aksjomatyki Kaye. Tutaj:  czytamy:
"Peano arithmetic (PA) is a reformulation of the second-order Peano axioms as a first-order theory. The motivation for this reformulation is that first-order theories are more amenable to analysis in model theory and proof theory. The source of difficulty with Peano's axioms is the second-order induction axiom. In order to avoid problems with defining the addition and multiplication operations from the successor operation within the theory, discussed above, it is common to add these functions and their defining axioms directly to the basic first-order axiomatization.
There are many different, but equivalent, formulations of the axioms for Peano arithmetic. One common formulation, described here, begins by defining a first-order theory PA− whose models are the discrete ordered semirings. Then an induction schema is added to PA− to obtain PA. [...] The axioms of PA− given by (Kaye 1991) are:"
Dalej są aksjomaty Kaye i aksjomat indukcji. Jeszcze fragment:
"An important property of PA− is that any structure M satisfying this theory has an initial segment isomorphic to the natural numbers. Elements of the structure that are not in this initial segment are called nonstandard elements."
Aksjomaty Kaye definiują PA-, czyli PA bez aksjomatu indukcji. PA− mogą spełniać inne systemy nieizomorficzne z systemem liczb naturalnych.
Właśnie wymyśliłem przykład: niech X oznacza zbiór liczb naturalnych z zerem skonstruowany np. metodą von Neumanna. Rozpatrzmy ciągi f:X->X w których od pewnego miejsca występują same 0. Możemy potraktować je jako ciągi współczynników wielomianów i wykonywać na nich działania dodawania i mnożenia, w taki sam sposób jak robi się to w pierścieniu wielomianów R[x]. Relacja porządku może być taka: f > g \iff \lim_{x \to \infty} (f(x)-g(x)) > 0 (ta definicja używa pojęcia granicy, ale można to zrobić bez niej, porównując kolejno współczynniki). Ten system spełnia aksjomaty Kaye. A przecież nie spełnia aksjomatu indukcji. Zgadza się z en-wiki: zawiera początkowy segment izomorficzny z naturalnymi - w tym przypadku są to ciągi w których we wszystkich miejscach prócz pierwszego są zera. Chodzi mi o to, że aksjomatyka Kaye nie pozwala na pozbycie się aksjomatu indukcji i w tym wydaniu jest niepełna, te aksjomaty do dodawania i mnożenia są po to aby PA− było logiką pierwszego rzędu. googl d 22:33, 10 maja 2007 (CEST)
Wygląda na to, że masz rację. Co prawda aksjomaty Peano bez aksjomatu indukcji też są teorią pierwszego rzędu. Więc nie bardzo widzę, dlaczego aksjomatyka Kaye miałaby poprawiać sytuację. Spróbowałem to wprowadzić do artykułu, spróbuj sprawdzić, czy dobrze. Olaf @ 20:42, 11 maja 2007 (CEST)
Myślę że tak może być. Sens aksjomatyki Kaye jest wyjaśniony prawdopodobnie tu: "In order to avoid problems with defining the addition and multiplication operations from the successor operation within the theory, discussed above, it is common to add these functions and their defining axioms directly to the basic first-order axiomatization." Czyli aksjomaty Kaye definiują podstawowe działania, a bez nich trzeba uciekać się do definicji indukcyjnej: x+0 = x, x+S(y)=S(x+y) i wplatywać się w język drugiego rzędu.
Btw, w aksjomacie 6. zakłada się, że x \cdot 0 = 0, usuwam to założenie bo jest zbędne i wystarczy x+0=x, dowód:
Lemat: jeżeli dla pewnego c \in \mathbb{N} zachodzi c+c=c, to c=0.
Dowód lematu:
Z aksjomatu 15 wynika, że c = 0 lub c > 0. Jeżeli c=0 to mamy tezę. Niech teraz c>0:
c>0
Dodając obustronnie c (możemy to zrobić z aksjomatu 11) otrzymujemy:
c+c > c
Zatem z aksjomatu 9 (przeciwzwrotności) mamy c+c \not = c. Sprzeczność z założeniem, liczba c musi być równa 0.
Dowód że druga część aksjomatu 6. wynika z pozostałych:
Z pierwszej części aksjomatu 6. mamy że x+0=x w szczególności 0+0=0, więc x \cdot 0 = x \cdot (0+0).
Z aksjomatu 5 rozdzielności mamy x \cdot (0+0) = x \cdot 0 + x \cdot 0.
Stąd x \cdot 0 = x \cdot 0 + x \cdot 0.
Z lematu wynika, że x \cdot 0 = 0. googl d 22:09, 11 maja 2007 (CEST)
Gratuluję naprawdę dobrego zrozumienia tej aksjomatykii zdolności matematycznych. Mam jednak zastrzeżenie: Aksjomatyka nie musi składać się z minimalnej liczby aksjomatów. W porządku, ta część aksjomatu 6 jest niepotrzebna, ale tak to Kaye sformułował. IMHO zamiast ją usuwać, trzeba by dodać ten dowód do artykułu w przypisach przy tym aksjomacie. Bo tak jak teraz, to czytelnik uzna, że to jest aksjomatyka Kaye, a to jest jej zmodyfikowana wersja. Inna sprawa, że Peano też oryginalnie dał więcej aksjomatów, które pierwotnie były w artykule, ale potem je wyrzucono, bo w tej chwili uważa się je za część logiki. Ale uważa się tak powszechnie, a Twoja modyfikacja jest jak rozumiem original research (choć udowodnionym matematycznie, więc jak najbardziej weryfikowalnym i do artykułu trafić IMHO może). 
Mam też wrażenie, że za mało napisałem o tych problemach z aksjomatem indukcji (nie wspomniałem nawet o PA-), ale nie bardzo umiem więcej. Olaf @ 22:32, 11 maja 2007 (CEST)
Postaram się przemyśleć to jeszcze jutro, na razie cofnąłem zmianę i muszę iść. Co do aksjomatyki, masz rację, aksjomaty nie muszą być niezależne od siebie, tu jest minimalistyczna aksjomatyka rzeczywistych używająca 8 aksjomatów, a definicji jako ciała uporządkowanego z aksjomatem supremum nikt nie wyrzuca... Ogólnie w półpierścieniu nie musi zachodzić 0*x=0 i tą własność podaje angielska wiki, natomiast odpowiednia relacja porządku wymusza 0*x=0. Pozdrawiam, googl d 22:54, 11 maja 2007 (CEST)
O, ładne, dziękuję. Dodałem tę aksjomatykę Tarskiego do artykułu. Olaf @ 23:23, 11 maja 2007 (CEST)
thread_title: Aksjomatyka Kaye

message: Cytat z artykułu:
Przekrojem Dedekinda zbioru \mathbf{X} nazywamy parę zbiorów (A,B) taką, że A,B\subseteq \mathbf{X} oraz spełnione są następujące warunki:
# A\neq\varnothing, B\neq\varnothing,
# A\cup B=\mathbf{X},
# jeżeli a\in A i b\in B, to a<b.
Zbiór A nazywamy klasą dolną, a zbiór B klasą górną przekroju. Przekrój wyznaczony parą zbiorów (A,B) oznaczamy [A,B].
[...]
istnieją trzy możliwości:
#A ma element największy, należący do \mathbb{Q}
#B ma element najmniejszy, należący do \mathbb{Q}
#Klasa A nie ma elementu największego oraz klasa B nie ma elementu najmniejszego.
replies: text: ad 1. A=\{x\in\mathbb{Q}\colon x\leq 1\}, B=\{x\in\mathbb{Q}\colon x>1\}

text: ad 2. A=\{x\in\mathbb{Q}\colon x<1\}, B=\{x\in\mathbb{Q}\colon x\geq 1\}
[...]
Liczby rzeczywiste można zdefiniować jako przekroje Dedekinda zbioru liczb wymiernych. Jeśli klasa dolna przekroju [A,B] ma element największy lub klasa górna największy - a\in \mathbb{Q}, to nazywamy go liczbą rzeczywistą wymierną. Jeśli przekrój [A,B] wyznacza lukę, to nazywamy go liczbą rzeczywistą niewymierną.
Koniec cytatu. 
I tu wątpliwość. Z pierwszego fragmentu wynika, że przekrój Dedekinda to odpowiednia para zbiorów, a [A,B] to po prostu konwencja notacyjna na (a,b). Pary uporządkowane są równe wtedy i tylko wtedy gdy mają równe poprzedniki i następniki. W takim wypadku podane w drugim fragmencie przykłady ad 1. i ad 2. to dwa różne przekroje. A przecież oba wyznaczają liczbę 1. Z trzeciego fragmentu wynikałoby że są to dwie różne liczby wymierne. Jakoś trzeba utożsamić przekroje typu 1 i 2.
Rozwiązania widzę takie:
# Napisać słownie "utożsamiamy odpowiednie przekroje typu 1 i 2", ale niezbyt to pasowałoby do ogólnego poziomu ścisłości artykułu.
# Napisać ściśle w jaki sposób się je utożsamia - ja bym to widział jako relację równoważności i definicję \mathbb R jako przestrzeni ilorazowej. To jest ścisłe, ale w książkach nie widzę takiego podejścia i zahacza o original research.
# Jako liczbę rzeczywistą definiujemy przekrój typu 2 lub 3, pomijając przekroje typu 1. Myślę że to byłoby najprostsze.
Co myślicie? googl d 00:12, 12 cze 2007 (CEST)

text: Myślę, że wystarczy zdefiniować relację równości dwóch liczb rzeczywistych zdefiniowanych za pomocą przekrojów:
replies: text: :[A,B]=[C,D]\Leftrightarrow A\cap D=B\cap C=\empty

text: I wtedy każdy przekrój jest liczbą, ale te dwa przekroje, choć różne w sensie teorii mnogości, są równe w sensie liczb rzeczywistych.  Olaf @ 20:02, 21 cze 2007 (CEST)
Wg mnie nie bardzo możemy to ująć w ten sposób, bo dla A=\{x\in\mathbb{Q}\colon x\leq 1\}, B=\{x\in\mathbb{Q}\colon x>1\},  C=\{x\in\mathbb{Q}\colon x<1\}, D=\{x\in\mathbb{Q}\colon x\geq 1\} mamy, że B\cap C=\empty, ale A\cap D=\{1\}. Może rozwiązaniem byłoby konstruowanie rzeczywistych przekrojami tylko jednego typu, to jest chyba zupełne, zresztą izomorfizm dałoby się dość łatwo zdefiniować.89.167.85.225 (dyskusja) 00:44, 14 sty 2011 (CET)
thread_title:  Dedekind 

message: A propos Russella... z tekstu wynika, że zamiana słowa "zbiory" na "klasy" rozwiązuje w jakiś sposób problem (paradoks zbioru wszystkich zbiorów), gdy tym czasem jest to tylko zabieg sofistyczny, językowy, i w istocie nic nie zmienia.Dlaczego klasa nie miałaby być zbiorem?
replies: text: W żadnym wypadku nie jest to tylko zabieg stylistyczny. Zbiory są szczególnymi przypadkami klas, ale nie odwrotnie. Klasy nie będące zbiorami to tzw. klasy właściwe. Nie wszystkie operacje dozwolone na zbiorach są dozwolone na klasach właściwych. Istnieje klasa wszystkich zbiorów, ale nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów. Olaf @ 14:04, 7 paź 2007 (CEST)
thread_title:  Zbiory a klasy 

message: Przy liczbach zespolonych jest taka tabelka z definicjami. Problem polega na tym, że jak już mamy zdefiniowane mnożenie, to nie bardzo możemy mówić o definiowaniu elementu neutralnego dla tego działania...
Joasiak 15:48, 8 lis 2007 (CET)
replies: text: Słusznie, definiuje się dodawanie, mnożenie i ewentualnie porządek, a istnienie elementu neutralnego i odwrotnego wynika z definicji działań. Ale jakby to zaznaczyć? Chcąc być konsekwentnym trzebaby rozdzielić to w pozostałych konstrukcjach, a przy definiowaniu mnożenia liczb wymiernych korzysta się z elementu przeciwnego. googl d 23:28, 8 lis 2007 (CET)
thread_title: Liczby zespolone

message: IP zmienił miejsca w których jest wykonywane sprzężenie w konstrukcji Cayleya-Dicksona. Przepisałem to kiedyś z en-wiki. Próbowałem zweryfikować tę edycję, ale w sieci znajduję potwierdzenie i starej i nowej wersji. Zdaje się, że to jednak nowa wersja jest poprawna (przez głosowanie ;-) ), ale wolałbym zweryfikować to w źródłach pisanych. Niestety w posiadanych książkach z algebry jej nie mam, a nie chce mi się przeliczać łączenia zespolonych w kwaterniony, żeby to sprawdzić. Macie może jakieś źródła? Przypuszczam, że obydwie wersje tworzą poprawne (choć nieidentyczne) algebry Clifforda, jednak konstrukcja Cayleya-Dicksona to chyba jednak nazwa tylko tej nowej wersji. 
stara wersja
replies: text: (a,b)(c,d)=(ac-db*,a*d+bc)
* http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley-Dickson_construction
* http://www.math.ucr.edu/home/baez/octonions/node5.html
nowa wersja

text: (a,b)(c,d)=(ac−d*b,ad+bc*) 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Octonion
* http://www.geocities.com/zerodivisor/cdconstruction.html
* http://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/math/geometry/dickson.html
* http://planetmath.org/encyclopedia/DoublingProcess.html
* http://orion.math.iastate.edu/jdhsmith/math/JS26jan4.htm
* http://de.wikipedia.org/wiki/Verdopplungsverfahren
Olaf @ 16:43, 14 lis 2007 (CET)
Niezbyt wiele mogę pomóc, ale znalazłem jeszcze :en:Talk:Cayley-Dickson construction (jeszcze inny wzór?) googl d 23:51, 14 lis 2007 (CET)
thread_title: Konstrukcja Cayleya-Dicksona

message: :Pytają się uczniowie, czemu tak się dzieje
replies: text: Że aż tyle różnych dziwnych liczb istnieje,

text: Ułamki, pierwiastki, liczby urojone,

text: ujemne, .... Do czego przydadzą się one?

text: Otóż, przede wszystkim, gdy coś zliczyć chcemy,

text: na naturalnych liczbach operujemy.

text: Dobrze się je mnoży i dobrze dodaje,

text: lecz od mniejszej większej odjąć się nie daje.

text: Mamy na to radę - sposób znakomity:

text: Po to wprowadzamy zbiór liczb całkowitych.

text: Dołączamy liczby, co dla wielu dziwne -

text: ujemne, czyli do dodatnich przeciwne,

text: Ale jest z tym zbiorem jeszcze jaka? bieda,

text: bo się ilorazu obliczyć w nim nie da.

text: Dlatego ułamki wszystkie dołączamy

text: i do liczb wymiernych nasz zbiór rozszerzamy.

text: Gdy uporządkować liczb wymiernych ciało,

text: widać, że coś jeszcze by nam brakowało.

text: Między ułamkami są jak gdyby dziury.

text: Nie każdy podzbiór ograniczony od góry

text: posiada kres górny w liczb wymiernych zbiorze.

text: Dalsze rozszerzanie jednak pomóc może.

text: Liczby rzeczywiste więc konstruujemy

text: i ciało zupełne tak otrzymujemy,

text: Ale jest w tym ciele jeszcze jedna wada:

text: nie każdy wielomian pierwiastek posiada.

text: By temu zaradzić, były wprowadzone

text: do matematyki liczby zespolone.
Ludolfina. Skąd się wzięty pewne liczby. Delta 8 (1996). str. 17.
thread_title: Skąd się wzięły pewne liczby

message: Cyzm są liczby kardynalne?  Klasami równolicznych zbiorów (na gruncie ZF) czy pewnymi liczbami porządkowymi (na gruncie ZFC)?
Moim zdaniem, każdy zbiór X ma moc, już na gruncie ZF: albo klasę wszystkich zbiorów równolicznych ze zbiorem X, albo zbiór wszystkich zbiorów równolicznych ze zbiorem X które mają minimalny stopień ("Scott's trick"). 
Liczby kardynalne to inna rzecz.   Moim zdaniem (raczej: moim uczuciem) liczby kardynalne to tylko początkowe liczby porządkowe.
Myślę że gdzieś czytałem to odróżnienie między mocami (cardinalities) i liczbami kardynalnymi (cardinal numbers), ale nie pamiętam, gdzie. 
Alef (dyskusja) 21:43, 22 gru 2007 (CET)
thread_title:  Liczby kardynalne 

message: Operacja Cayleya-Dicksona ma działać dla każdej algebry z inwolucją *. Przy jej zastosowaniu do liczb rzeczywistych z inwolucją identyczność powstają liczby zespolone z inwolucją sprzężenie zespolone i podana definicja * pasuje tylko do tego szczególnego przypadku!
Powinno być (a,b)* = (a*,-b).
Źródła: Kurosz, Algebra ogólna, Browkin, Wybrane zagadnienia algebry itd. 
MSz
replies: text: Dziękujemy, zmieniłem. Mam pytanie, czy obecny wzór na mnożenie w artykule jest poprawny? Tutaj jest opis zmiany która kiedyś zaszła. googl d 20:20, 4 lut 2008 (CET)
thread_title:  Operacja Cayley-Dicksona 

message: Nie jestem pewien, czy można powiedzieć, że różne konstrukcje naturalnych są `izomorficzne' -- co prawda twierdzenie wywiedlne z aksjomatów mają taką samą prawdziwość we wszystkich, ale wydaje mi się, że modele tak konstruowane nie mogą być izomorficzne element-do-elementu. W szczególności z twierdzenia o zupełności wynika, że istnieją modele, w których zachodzi Twierdzenie Goodsteina i takie, w których ono nie zachodzi. Powiedziawszy to, nie mam pewności, jakie jest poprawne słownictwo odnośnie tej odpowiedniości, więc nie zmieniam artykułu i byłbym wdzięczny, gdyby ktoś potwierdził lub obalił moje objekcje. Robryk (dyskusja) 17:49, 16 lut 2008 (CET)
replies: text: Zależy od języka w którym wszystko formalizujemy. Cytowana aksjomatyka Peano (aP), jak wspomniane w tekscie, jest wyrażona w języku drugiego rzędu i jak Richard Dedekind udowodnił jest ona kategoryczna, czyli każde dwa modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.

text: Teraz: matematycy/logicy wolą języki pierwszego rzędu. Dlatego rozważają Arytmetykę Peany (PA) która jest wyrażona w języku pierwszego rzędu i która powstaje przez zastąpienie aksjomatu indukcji schematem (nieskończoną listą) aksjomatów pierwszego rzędu. Teoria PA jest znacznie słabsza niż aksjomatyzacja Peany, w szczególności nie jest kategoryczna (tzn ma wiele różnych i do tego nierównoważnych modeli).

text: Twierdzenia Gödla mówią o teoriach pierwszego rzędu, czyli w naszym przypadku stosują się do PA ale nie do aksjomatów Peano.

text: Napisanie artykułu o PA i być może o "aP vs PA" jest na mojej liśćie "to do" i jak Olaf Apostata wróci, to postaram się w końcu to zrobić (na razie brak czasu). Stotr (dyskusja) 15:02, 18 lut 2008 (CET) PS: pewnie dobrze by było wyjaśnić to w artykule tutaj, hm? (Jak Apostata wróci?) Trochę poprawiłem bo zauważyłem iż o co było napisane mogło być zrozumiane źle. Może teraz jest trochę lepiej? Stotr (dyskusja) 17:16, 18 lut 2008 (CET)
thread_title:  Izomorfizm konstrukcji 

message: Myślę, że polska Wikipedia zasługuje na to by mieć osobne hasło na ten temat. (Tak jest w en-wiki i 16 innych wersjach językowych) W tym haśle oczywiście można znaczną część pozostawić wstawiając pod nagłówkiem sekcji szablon main. Delimata (dyskusja) 09:05, 30 sie 2008 (CEST)
replies: text: Ta sekcja komponuje się IMHO z resztą artykułu. Gdy powstanie bardziej rozbudowany artykuł  o aksjomatach Peano dodamy w niej szablon main.  Tylko kto ten artykuł napisze? Kuszi (dyskusja) 10:37, 31 sie 2008 (CEST).
thread_title:  Sugestia odnośnie sekcji Aksjomatyka Peano 

message: Odnośnie konstrukcji Fregego i Russella.
Relacja "dwa zbiory są równoliczne" pozwala na uporządkowanie zbiorów skończonych w klasy. Jednak liczby naturalne są jedynie etykietami tych klas, a te tworzą zbiór. Prawda?
replies: text: Rzeczywiście. Dzięki. Wyrzuciłem nieprawdziwe stwierdzenie. Markotek (dyskusja) 19:26, 27 lis 2008 (CET)
thread_title: konstrukcje Fregego i Russella

message: Zgodnie z definicją mnożenia mamy np. 0,123*0,123=0,149. Tak?
replies: text: Nie, jak Ci to wyszło?

text: Chcąc pomnożyć a*b=c zgodnie z tą konstrukcją tworzy się ciąg przybliżeń każdego z czynników a i b, a potem mnoży odpowiadające sobie przybliżenia. Powstaje pewien ciąg Cauchy'ego, który jest związany z liczbą rzeczywistą c, np.
replies: text: :a_1=0, b_1=0, c_1=a_1 b_1=0\;

text: :a_2=0.1, b_2=0.1, c_2=a_2 b_2=0.01\;

text: :a_3=0.12, b_3=0.12, c_3=a_3 b_3=0.0144\;

text: :a_4=0.123, b_4=0.123, c_4=a_4 b_4=0.015129\;

text: :a_5=0.123, b_5=0.123, c_5=a_5 b_5=0.015129\;

text: :kolejne wyrazy mogą być takie same, bo mnożymy liczby wymierne

text: W ten sposób dostajemy ciąg c=(0,0.01,0.0144,0.015129,0.015129,...) o granicy 0.015129, czyli odpowiada on liczbie rzeczywistej 0.015129 czyli tyle ile wynosi wynik mnożenia, a nie żadne 0.149.

text: Twój przykład jest dość trywialny, bo mnożysz liczby wymierne, dlatego ciąg może być od pewnego momentu stały. Dla liczb niewymiernych tak by już nie było i mielibyśmy trzy ciągi Cauchy'ego a,b,c liczb wymiernych, o granicy niewymiernej. Markotek (dyskusja) 18:09, 9 gru 2008 (CET)
Jedno pytanie: czy w tabelce "ciąg stale równy 0/1" nie należałoby poprawić na "ciąg zbieżny do 0/1"? Albo, powiedzmy, dodać na przykład?
thread_title: Konstrukcja przy pomocy ciągów Cauchy'ego

message: Dzielenie jest dzialaniem w zbiorze liczb wymiernych? Ono nie jest przecież funkcją (nie jest zdefiniowane dla zera).
replies: text: Jest działaniem w zbiorze liczb wymiernych, bo jest funkcją częściową. Natomiast nie jest działaniem na zbiorze liczb wymiernych. Markotek (dyskusja) 21:53, 18 gru 2008 (CET)
thread_title:  Dzielenie 

message: Aksjomat indukcji dwustronnej jest zawsze spełniony, nawet przy osłabionych założeniach: "Jeżeli M jest zbiorem liczb całkowitych, (...) wtedy M jest zbiorem liczb całkowitych." Myślę że lepiej byłoby to sformułować tak jak w aksjomatach Peano.
replies: text: Dzięki, poprawione. Markotek (dyskusja) 12:49, 15 lut 2010 (CET)
thread_title:  Liczby całkowite 

message: Jeśli dobrze myślę, to drugi aksjomat porządku w aksjomatyce Tarskiego jest szczególnym przypadkiem trzeciego. Chyba wypadałoby to zmienić, inaczej trudno nazywać tę aksjomatykę minimalistyczną.
*Faktycznie, jeśli przyjąć: X={x}, Z={z} oraz x<z to istnieje y, takie że x<y<z.хіИ оН хоЯ ■ Pogaduszki:хіИ оН хоЯ 23:17, 22 lut 2011 (CET)
**Rzeczywiście dziwne. Problem w tym, że tak właśnie jest oryginalnie u Tarskiego: , str. 214. Nie mam pojęcia czemu tak to wymyślił. Olaf @ 10:09, 23 lut 2011 (CET)
* Chciałem skromnie zauważyć, że w takiej postaci trzeci aksjomat Tarskiego jest fałszywy. Wystarczy jako X przyjąć liczby rzeczywiste ujemne a jako Y całą resztę (łącznie z zerem 0). Wtedy zachodzi założenie trzeciego aksjomatu, ale nie znajdziemy liczby spełniającej tezę. No chyba że w tej tezie zamienimy mniejszość-większość <, > na słabą większość-mniejszość  ≤, ≥. Ale wówczas drugi aksjomat już nie będzie konsekwencją trzeciego tzn. będzie od niego niezależny, bo w nim na pewno musi być ostra nierówność <. I chyba o to chodziło Tarskiemu. --H. Kozera (dyskusja) 14:58, 23 lut 2011 (CET)
**Albo przyjmiemy dodatkowo, że oba zbiory są otwarte albo oba są domknięte.хіИ оН хоЯ ■ Pogaduszki:хіИ оН хоЯ 22:31, 23 lut 2011 (CET)
thread_title:  Aksjomatyka Tarskiego