Dyskusja:Węzeł (teoria węzłów)

message: Proponuję poprawić definicję węzła trywialnego.
W obecnej wersji węzeł trywialny definiowany jest jako węzeł homeomorficzny z okręgiem.
Zgodnie z definicją węzeł to krzywa zwykła zamknięta zanurzona w R^3. Krzywa ta jest z definicji homeomorficzna z okręgiem. Tak więc każdy węzeł jest homeomorficzny z okręgiem a przez to z każdym innym węzłem.
W świetle obecnej definicji węzła trywialnego - każdy węzeł jest trywialny.
replies: text: Dzięki, poprawione. Olaf @ 14:02, 11 paź 2007 (CEST)

message: Nadal nie podoba mi się definicja węzła trywialnego. Konkretnie zapisana tam funkcja ciągła f przypisująca liczbom z przedziału [0,1] węzły, spełniająca warunki: f(0)=K i f(1)=S^1. 
Wyobraźmy sobie jakiś sznurkowy węzeł K. Poluzujmy go i włóżmy w niego cienki pręt w kształcie walca. Zwiększając teraz przekrój tego pręta powodujemy rozciąganie węzła i jego układanie się na bocznej powierzchni pręta. Wykonując jednocześnie rzutowanie tak rozciąganego węzła na płaszczynę prostopadłą do pręta otrzymamy w rezultacie okrąg. Pewne punkty węzła ulegną "sklejeniu" podczas tych manipulacji, ale całe to przekształcenie jest "ciągłe". Przekształcenie to spełnia warunki omawianej funkcji f. W rezultacie w świetle obecnej definicji węzeł K jest trywialny.
Pewnym wyjściem jest zmiana definicji węzła trywialnego poprzez dodanie wymogu aby poza omawianą ciągłą funkcją f istniała funkcja do niej odwrotna i ciągła (!). Ponadto aby mówić o ciągłości trzeba określić jaka jest topologia w przeciwdziedzinie funkcji f.
Myślę, że lepszym rozwiązaniem będzie wprowadzenie podanych niżej definicji:
Dwa węzły uważamy za równoważne, jeśli istnieje homeomorfizm przestrzeni R^3 na siebie, przekształcający jeden węzeł w drugi. 
Bardziej formalnie: Węzły K i L uważamy za równoważne, jeśli istnieje homeomorfizm f : R^3 \rightarrow R^3, taki że f(K)=f(L).
Węzeł trywialny to węzeł równoważny z okręgiem.
--Gruby70 00:20, 12 paź 2007 (CEST)
replies: text: Masz rację. Przenoszę definicję do artykułu. Olaf @ 12:27, 12 paź 2007 (CEST)

message: W aktualnej wersji:
Bardziej formalnie: Węzły K i L uważamy za równoważne, jeśli istnieje homeomorfizm f : R^3 \rightarrow R^3, taki że f(K)=f(L).
Nie powinno być przypadkiem f(K)=L?
replies: text: Tak, poprawiłem i podałem źródło. Olaf @ 21:29, 15 maj 2009 (CEST)

message: Byłoby dobrze dodać parę zdań o zastosowaniach w topologii rozmaitości 3- i 4-wymiarowych. Bo ludzie przecież nie zajmują się teorią węzłów tylko po to, żeby je klasyfikować i szukać niezmienników (a gdzie wielomian Jonesa w artykule?) Jest przecież np. klasyczne twierdzenie, że każda rozmaitość 3-wymiarowa powstaje z chirurgii wzdłuż węzłow na sferze 3-wymiarowej. Np. sferę Poincarégo można otrzymać z chirurgii wzdłuż węzła koniczynowego. Podobnie klasyfikacja Freedmana rozmaitości 4-wymiarowych opiera się na twierdzeniach o zanurzaniu uchwytów Cassona otrzymanych przez bardzo cierpliwe(!) manipulacje diagramów Kirby'ego, ktore to diagramy sa niczym innym tylko opisami w formie schematycznej i względnie łatwej w użyciu pewnych chirurgii wzdłuż pewnych węzłow.
JanBielawski (dyskusja) 00:48, 27 cze 2012 (CEST)
Proponuję zajrzeć do słownika i poprawić wszystkie błędy ortograficzne
thread_title:  Zastosowania