Dyskusja:Ekstremum funkcji

message: {{dyskusja nad wyróżnieniem|AnM|data=2014-07-21|wynik=odebrano|dyskusja=Wikipedia:Propozycje do Artykułów na Medal/Ekstremum funkcji/weryfikacja}}
{{dyskusja nad wyróżnieniem|AnM|data=2007-11-02|wynik=przyznano|dyskusja=Wikipedia:Propozycje do Artykułów na Medal/Ekstremum funkcji}}
Przy warunku koniecznym i wystarczającym był podany warunek ale dla ekstremum właściwego. Zmieniłem. Nie jestem jednak pewien, które z kolejnych warunków dla funkcjonałów dwuliniowych, itp. dotyczą ekstremów lokalnych właściwych, a które wszystkich. Miło by było, gdyby autor to za każdym razem dokładnie określił. [[Wikipedysta:212.2.96.100|212.2.96.100]] 16:39, 5 paź 2007 (CEST)

message: Wyrzuciłem poniższy fragment z sekcji "rachunek wariacyjny". Sorry, ale według mnie jest niezrozumiały. Nie ma w ogóle wyjaśnione co mają wspólnego macierze kwadratowe z różniczkowalnością. Fragment wygląda na niezbyt związany z następującym po nim przykładem. Nigdzie nie ma odniesienia do wariacji, od której wziął się rachunek wariacyjny. Nie ma definicji ekstremów silnych i słabych. Zamiast tego rozważane są ekstrema paraboloidy hiperbolicznej, czyli zwykłej funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych. a takie funkcje są omawiane w innym miejscu artykułu. Potem jest o funkcjonałach dwuliniowych - nie wiadomo, czy podane warunki dotyczą tylko znajdowania ekstremów funkcjonałów dwuliniowych, czy wszelkich funkcjonałów, czy może funkcjonały dwuliniowe są tu tylko pomocniczym pojęciem, związanym jakoś z różniczką... Sorry, ale ja tego nie rozumiem. Raczej do przeredagowania. Olaf @ 00:32, 28 wrz 2007 (CEST)

W dalszej części tego paragrafu przez X rozumiana jest dowolna przestrzeń unormowana, zaś przez D pewien jej otwarty (REF: por. Różniczkowalność a otwartość zbioru) podzbiór. Funkcja f\colon D\to\mathbb{R} musi być różniczkowalna (w sensie Frécheta) w zbiorze D.
Podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie x_0\in D jest zerowanie się pochodnej, tj. 
replies: text: f^\prime(x_0)=0.
Punkt w którym pochodna się zeruje, zwany jest punktem stacjonarnym.
Tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, w punkcie stacjonarnym wcale nie musi być ekstremum. Na przykład dla funkcji g\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R} danej wzorem g(x,y)=xy, której wykresem jest paraboloida hiperboliczna, pochodne cząstkowe g^\prime_x(x,y)=x,\; g^\prime_y(x,y)=y są jednocześnie równe zeru tylko w punkcie (0,0), w którym f(x,y)=0. Jednocześnie widać (por. rysunek obok), że w dowolnym otoczeniu zera funkcja przybiera zarówno wartości dodanie jak i ujemne, a więc nie może być w nim ekstremum.

message: Na potrzeby dalszych twierdzeń, konieczne będzie wprowadzenie kilku definicji:
Może dać tu poglądową definicję funkcjonału dwuliniowego?
Funkcjonał dwuliniowy \varphi\colon X\times X\to \mathbb{R} jest nieujemny, niedodatni, dodatni, ujemny jeśli odpowiednio \varphi(h,h)\geqslant 0,\; \varphi(h,h)\leqslant 0,\; \varphi(h,h)> 0,\; \varphi(h,h)< 0 dla wszelkich 0\neq h\in X. 
Dalej, funkcjonał dwuliniowy \varphi\colon X\times X\to \mathbb{R} jest 
* dodatnio określony, jeśli
replies: text: \bigvee_{c>0}\bigwedge_{h\in X}\varphi(h,h)\geqslant c\|h\|^2,
* ujemnie określony, jeśli

text: \bigvee_{c>0}\bigwedge_{h\in X}\varphi(h,h)\leqslant -c\|h\|^2.
W szczególności, każda macierz kwadratowa może być interpretowana jako macierz funkcjonału dwuliniowego przestrzeni X=\mathbb{R}^m (por. macierz dodatnio określona). Prawdzie jest twierdzenie, które mówi, że każdy dodatni (lub ujemny) funkcjonał dwuliniowy tej przestrzeni jest dodatnio określony (ujemnie określony). Do badania dodatniej (ujemnej) określoności macierzy służy kryterium Sylvestera.
thread_title: Definicje pomocnicze

message: Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu E\subseteq D punktu x_0, przy czym f^\prime(x_0)=0, a pochodna f^{\prime\prime} jest ciągła w x_0, to
* jeżeli f ma w x_0 minimum lokalne, to f^{\prime\prime}(x_0) jest nieujemna,
* jeżeli f ma w x_0 maksimum lokalne, to f^{\prime\prime}(x_0) jest niedodatnia.
thread_title: Ekstrema a druga pochodna

message: Niech, jak poprzednio, funkcja f będzie dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu U\subseteq D punktu x_0, przy czym f^\prime(x_0)=0, a pochodna f^{\prime\prime} jest ciągła w x_0.
* Jeżeli f^{\prime\prime}(x_0) jest dodatnio określona, to f ma minimum lokalne właściwe w punkcie x_0.
* Jeżeli f^{\prime\prime}(x_0) jest ujemnie określona, to f ma maksimum lokalne właściwe w punkcie x_0.
thread_title: Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum

message: To było nie do uratowania. Przepraszam. Należy mówić o grafach.
Można to ciągnąc i topologicznie, ale sztucznie, nieelegancko, i topologia nie będzie istotna, jej wprowadzenie będzie naciągane.
(Ponadto państwa mające granice lądowe też mogą być lokalnie maksymalne i minimalne jednocześnie - gdy sąsiedzi mają taką samą populację). 11:32, 15 paź 2007 (CEST)
Rodzina podana jako baza otoczeń nie spełniała warunku (BP2). 19:53, 15 paź 2007 (CEST)
thread_title:  Skasowałem nietypowe przestrzenie topologiczne 

message: We fragmencie o przestrzeniach unormowanych podane jest oznaczenie f'(x), i to na pierwszym miejscu, gdzie chodzi o różniczkę df(x). To są dwie, bardzo różne rzeczy. Niestety w literaturze panuje złe zamieszanie. Bywa w matematyce, notacja zdarza się niedobra. Proponuję różniczkę oznaczać wyłącznie jako df lub Df itp, a o oznaczeniu f'(x) (w roli różnczki) dać tylko uwage, osobną lub w nawiasie, że takie oznaczenie też występuje w literaturze, ale jest mylące. W szczególnym przypadku funkcji 1 zmiennej otrzymuje się mętlik, który potrafi utrudnić zrozumienie i nauczenie się przedmiotu.
Celem wikipedii powinno być prezentowanie wiedzy, promowanie zrozumienia, eleganckiego stylu, a nie powielanie złej notacji, złych nawyków, itp. Pozdrawiam, Wlod 02:13, 24 paź 2007 (CEST)
thread_title:  Pochodna ≠ różniczka 

message: Moja zirytowana uwaga dotyczyła ignorancji Markotka, a nie Urzyfki, którego za pomyłkę bardzo, ale to bardzo przepraszam (ekstremalnie!). -- Wlod 10:04, 8 lis 2007 (CET)
thread_title:  Ekstrema(lny błąd) 

message: U Wloda zostawiłem (mniej więcej) taką wiadomość
replies: text: Drogi Wlodzie, Kłócimy się o sformułowania, a o gustach się nie dyskutuje. Proponuję "zamrozić" dyskusję (wojnę edycyjną) tego hasła na wersji ustalonej/edytowanej przez osobę trzecią czyli Googla. Proponuję też aby nie robić żadnych nieistotnych przerobień w artykułach zaakceptowanych przez społeczność (np przez przyznanie medalu). W końcu przeformułowania i inne niemerytoryczne zmiany to - często - tylko kwestia gustu i nie warto się tym zajmować. Są ważniejsze (merytoryczne!!!!) poprawki czekające na Twą ingerencję. Dzieki. 
Przedstawiony powyżej apel jest skierowany do wszystkich. If It Ain't Broken, Don't Fix It! Jeśli jakieś hasło zostało przez społeczność zaakceptowany/dopracowane, to nie zminiajmy jego kształtu/formy, chyba że chodzi o poprawki merytoryczne. Stotr 15:43, 20 lis 2007 (CET)
replies: text: :Ponieważ dopiero po mojej w/w zmianie zauważyłem że Wlod okazał głębokie niezadowolenie moją ingerencją, wycofuję rzecz jasna moje zastrzeżenia/obiekcje. Stotr 16:19, 20 lis 2007 (CET)
thread_title:  Skończmy tę wojnę edycyjną 

message: tak z ciekawości - po kiego grzyba w warunkach na ekstremum funkcji dwóch zmiennych jest wymóg, żeby obie pochodne cząstkowe rzędu 2 były > 0. mnie uczono, że wystarczy druga po x.
  ponowię pytanie, bo problem mnie nurtuje.
to jeszcze raz - nie rozumiem, dlaczego w warunkach na ekstremum funkcji dwóch zmiennych jest wymóg, żeby obie pochodne cząstkowe rzędu 2 były > 0. czy ktoś mógłby to wyjaśnić?
  bosh...
  bosh 2 - nie rozumiem, dlaczego w warunkach na ekstremum funkcji dwóch zmiennych jest wymóg, żeby obie pochodne cząstkowe rzędu 2 były > 0. czy ktoś mógłby to wyjaśnić?
  bosh 3 - nie rozumiem, dlaczego w warunkach na ekstremum funkcji dwóch zmiennych jest wymóg, żeby obie pochodne cząstkowe rzędu 2 były > 0. czy ktoś mógłby to wyjaśnić?
PLIIIZ: nie rozumiem, dlaczego w warunkach na ekstremum funkcji dwóch zmiennych jest wymóg, żeby obie pochodne cząstkowe rzędu 2 były > 0. czy ktoś mógłby to wyjaśnić?
replies: text: Faktycznie, w przypadku gdy hesjan jest dodatni, to drugie pochodne mają ten sam znak, więc nie trzeba sprawdzać obydwu. Dzięki za zwrócenie uwagi, poprawiłem w artykule. 83.5.244.173 (dyskusja) 09:14, 17 maj 2008 (CEST)
thread_title: Czy obie pochodne rzędu 2 muszą być dodatnie

message: Chcialbym, aby takie tematy byly tez  zrozumiale dla laikow.Na pewno mozna ten temat i tak przedstawic,aby go nawet dzieci zrozumialy,bo jak na razie to ten artykul jest wysmienity dla matematykow.Pozdrowienia
replies: text: Z tym jest pewien problem, bo to jest encyklopedia a nie podręcznik. Jeśli więc objaśnia się jakiś termin, to nie można przy tym objaśniać wszystkiego dookoła, np. co to jest funkcja, bo od tego są inne artykuły. A bez takiego objaśnienia laicy (o dzieciach nie mówiąc) mogą faktycznie nie zrozumieć treści. Jeśli jednak ktoś zna przynajmniej podstawy na poziomie liceum, to definicję i przykłady dla funkcji zmiennej rzeczywistej powinien zrozumieć, na co wskazuje zresztą głosowanie medalowe wyżej w tej dyskusji. To i tak dużo jak na artykuł z analizy matematycznej w dowolnej encyklopedii. Pozdrawiam, Markotek (dyskusja) 19:35, 11 gru 2008 (CET)
thread_title: Prostota