Dyskusja:Zbiór borelowski

message: :Własności zbiorów borelowskich w przestrzeniach euklidesowych
replies: text: : nieskończony zbiór borelowski jest albo przeliczalny albo mocy continuum
Nieskończony zbiór w przestrzeniach R^n po prostu musi być przeliczalny albo mieć moc continuum.
O co więc dokładnie chodzi ? Taw 15:59, 27 lut 2003 (CET)

text: "Nieskończony zbiór w przestrzeniach R^n po prostu musi być przeliczalny albo mieć moc continuum." Tylko przy założeniu hipotezy continuum! Chodzi o to, że nawet jeśli zakładamy jej negację, to podzbiór R^n, który ma moc nieprzeliczalną mniejszą od continuum nie jest zbiorem borelowskim. Pbn 20:15, 27 lut 2003 (CET)
Co do dowodu powyższego faktu - żeby go przytoczyć należałoby wprowadzić najpierw trochę aparatu - wykorzystuje on fakt, że każdy nieprzeliczalny podzbiór domknięty przestrzeni polskiej zawiera kopię zbioru Cantora. Spróbuję pomyśleć, czy nie dałoby się tego jakos uprościć. (słusznie dodałeś zdanie o hipotezie continuum, bez tego rzeczywiście może być mylące) Pbn 23:49, 27 lut 2003 (CET)
Po prostu w życiu nie zajmowałem się tym jak wygłądałaby matematyka przy założeniu negacji hipotezy continuum,
i przypuszczam że to samo dotyczy zdecydowanej większości Wikipedystów, więc to może być ciekawe. Taw 12:08, 28 lut 2003 (CET)
thread_title: Moc zbiorów borelowskich

message: Nie zupelnie zgadzam się ze zdaniem  
replies: text: W przestrzeniach polskich (i ogólniej w przestrzeniach metrycznych) możemy opisać budowę tego σ-ciała krok po kroku. 
Oczywiście że w każdej przestrzeni topologicznej można opisać budowę zbiorów borelowskich krok po kroku: w pierwszym kroku zaczynamy od zbiorów otwartych i zbiorów zamkniętych.  W każdym następnym kroku rozważamy zbiore który są przeliczalne sumy albo przekroje zbiorów ze wcześniejszych kroków.  Po ω1 krokach mamy σ-ciało. 
Najważniejszym punktem w przestrzeniach metrycznych jest fakt, że każdy zbiór zamknięty jest już zbiorem Gδ.  Więc wystarczy zacząć od zbiorów otwartych. 
--Alef 18:05, 21 mar 2007 (CET)
thread_title: Krok po kroku

message: Jeszcze jedno z serii pytań o źródło: mianowicie, od kogo pochodzi oryginalny dowód, że "Moc rodziny zbiorów borelowskich wynosi continuum."? :) Pozdrawiam, Loxley 19:25, 17 paź 2007 (CEST)
replies: text: To musi być stare jak świat albo przynajmniej jak same zbiory borelowskie. Jeśli ktoś ma dostęp do "Moschovakis, Yiannis N.: Descriptive set theory. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", 100. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980." to tam powinno być coś na ten temat. Best, Andrzej (Stotr 19:39, 17 paź 2007 (CEST))

text: PS A co myślicie o uwadze Alefa powyżej? Wyrzucić te krok po kroku?
thread_title: Pytanie

message: Notacja \Sigma^0_\alpha wprowadził John W. Addison w artykule
replies: text: Separation principles in the hierarchy of classical and effective descriptive set theory, Fundamenta Mathematicae XLVI (tzn 46), s.123-135, 1959. 
Cały artykuł w formacie pdf można znaleźć tu. 
Addison napisał ten artykuł w Warszawie; był gością instytutu matematycznego PAN, i dziękuje Andrzejowi  Mostowskiemu (ktory był profesorem na UW).

text: It seems particularly desirable to introduce simple, uniform and easy-to-remember notations for the classes of the various hierarchies. [...] After lengthy discussions here in Warszawa it has been decided to propose Σ0(C)k [...] ( Σ1(C)k) for the  hierarchies built on the class of predicates recursive in C by quantifying over N (NN)

text: Among the advantages we cite: [...] it is easily extended to hierarchies defined by quantifiers of higher type[...]
Alef 18:06, 16 lis 2007 (CET)
thread_title:  Pochodzenie notacji