Dyskusja:Przestrzeń euklidesowa

message: Czy ta definicja nie dotyczy przypadkiem raczej przestrzeni kartezjańskiej niż euklidesowej ?
O ile pamiętam, to euklidesową definiuje się w oparciu o aksjomaty Euklidesa, a kartezjańska jest wyznaczona właśnie przez układ współrzędnych tak jak tutaj.
I o tyle nie są równoważne, że zmiana układu współrzędnych generuje nam nową przestrzeń kartezjańską, przy tej samej euklidesowej.
Ale może się mylę. Jest tu ktoś ze świeższą znajomością matmy ?
Olaf 08:31, 10 lut 2004 (CET)
thread_title:  definicja 

message: To by sie nawet zgadzało, poza tym frapuje mnie nieco niekonsekwencja w oznaczeniach i indeksacji, zupełnie jakby ktoś ja wyciął i wkleił.
No ale to tylko moje subiektywne zdanie.
thread_title:  Łukasz 

message: Jest napisane ze przestrzenia euklidesowa jest zbiór R^n. Z tego co ja wiem to przestrzenia euklidesowa jest dowolna przestrzen liniowa w ktorej wprowadzony zostal iloczyn skalarny. Nie musi byc to przestrzen liczb, moze byc np. wielomianow, macierzy.
replies: text: Rzeczywiście, tak podaje Białynicki-Birula w "Algebra liniowa z geometrią", BM 48. Ale Rudin w "Podstawy analizy matematycznej" podaje tę definicję. To jest tak, że przestrzeń euklidesowa w "ogólniejszym" sensie tak czy owak ma skończony wymiar (z definicji), a iloczyn skalarny jest taki, że daje izometryczny izomorfizm z tym "szczególnym" przypadkiem. Warto chyba coś dopisać. 4Cuwagi 07:06, 11 cze 2005 (CEST)
thread_title:  mnie tez cos nie pasuje 

message: W książce "O pojęciu wymiaru" napisano coś takiego: "Jednowymiarową przestrzenią kartezjańską jest prosta, dwuwymiarową - płaszczyzna i trójwymiarową - przestrzeń euklidesowa. Przestrzenie kartezjańskie stanowią więc naturalne uogólnienie prostej, płaszczyzny i przestrzeni euklidesowej; stąd częsta jest dziś praktyka nadawania każdej przestrzeni kartezjańskiej nazwy przestrzeni euklidesowej."
Ja się do edytowania nie palę - za leniwy jestem na to :P - ale jak ktoś by mógł to poprawić to byłoby fajnie :).
replies: text: I lepiej nie edytuj na tej zasadzie. Przestrzeń euklidesowa w potocznym rozumieniu to przestrzeń euklidesowa trójwymiarowa, ale ogólnie w matematyce to także prosta, płaszczyzna, hiperpłaszczyzna... Tak więc to akurat jest dobrze. Olaf @ 13:28, 20 paź 2007 (CEST)
thread_title:  Kualkua 

message: A przynajmniej moim zdaniem jest poprawione. Pojawiają się zarówno definicje analityczne (Rudin, Birkholc itd.itd.) jak i liniowo-topologiczne (Birula,Janich itd.itd.). Jeżeli jest to akceptowalne to zdejmę znaczek, wolałbym jednak żeby ktoś jeszcze rzucił okiem. nimdil 20:24, 21 kwi 2006 (CEST)
Albo zdejmę może - najwyżej ktoś wstawi jeszcze raz. nimdil 20:37, 21 kwi 2006 (CEST)
thread_title:  Poprawione 

message: Przykro mi, ale wszelkie powyższe rozważania są błędne. Może ktoś mógłby je poprawić - szczególnie ze względu na sprzeczność z prawami geometrii analitycznej. Pozdrawiam
replies: text: :Co konkretnie jest błędne? Loxley 11:49, 20 paź 2007 (CEST)
replies: text: ::Nie wiem co miał autor tego stwierdzenia na myśli, ale przestrzeń euklidesowa to przestrzeń spełniająca swoje własne aksjomaty (aksjomatyka Hilberta), a to że jest przestrzenią liniową to jest jej miła własność, ale nie koniecznie najładniejsza jej definicja. A o aksjomatach Hilberta tutaj ani słowa. Ten artykuł naprawdę wymaga solidnej rozbudowy. Olaf @ 13:20, 20 paź 2007 (CEST)
Nie wiem czemu definicja przestrzeni euklidesowej ma używać aksjomatyki Hilberta. Za jej pomocą nie można zdefiniować przestrzeni euklidesowej, ale tylko n-wymiarową przestrzeń euklidesową (a na etapie definicji lepiej nie myśleć o wymiarze, IMHO); o ile się nie mylę, ogólna rodzina aksjomatyk dla n wymiarów będzie bardzo złożona. No i trudniej traktować wtedy przestrzeń euklidesową jako przestrzeń liniową. Z podręczników geometrii i algebry liniowej  które mam przy sobie (A.Białynicki-Birula "Algebra liniowa z geometrią", Kostrikin, Kostrikin-Manin, Moszyńska i Święcicka) wszystkie używają definicji jako przestrzeni liniowej z iloczynem skalarnym. googl d 14:54, 26 cze 2008 (CEST)
thread_title:  Wszelkie powyższe rozważania są błędne 

message: Czy jesteś pewien, że przestrzeń współrzędnych kartezjańskich to co innego niż przestrzeń kartezjańska? Jakieś źródła? Pozdrawiam, Markotek (dyskusja) 10:30, 21 maj 2009 (CEST)
replies: text: Odpowiedź w artykule. (Opisuje on przestrzeń kartezjańską i przestrzeń współrzędnych rzeczywistych, a nie przestrzeń współrzędnych kartezjańskich. Nie mam źródeł – ten fragment został przeniesiony ze poprzedniej wersji artykułu Przestrzeń kartezjańska, być może jego Autor będzie miał jakieś źródła.) Pozdrawiam.
replies: text: : Problem w sumie nie tyle w braku źródeł, co w ich nadmiarze :

text: :* część matematyków traktuje przestrzeń kartezjańską jako synonim przestrzeni euklidesowej (przykład 1, przykład 2, przykład 3).

text: :* część uważa, że przestrzeń kartezjańska staje się euklidesową po dodaniu metryki, czyli utożsamia przestrzeń kartezjańską z przestrzenią współrzędnych rzeczywistych (przykład)

text: :* część uważa, że przestrzeń kartezjańska to przestrzeń euklidesowa z układem współrzędnych (czyli zgodnie z obecną definicją; przykład 1, przykład 2).

text: :* część jednak nazywa przestrzeń euklidesową z układem współrzędnych "kartezjańskim modelem przestrzeni euklidesowej", bo faktycznie jest to model aksjomatyki Euklidesa (albo Hilberta) (przykład 1, przykład 2)

text: :* a jeszcze inni przestrzeń kartezjańską określają na iloczynie kartezjańskim dowolnych zbiorów (klas), przez co w ogóle nie muszą tworzyć przestrzeni euklidesowej ().

text: :W terminologii panuje więc niezły mętlik. Zastanawiam się, czy nie lepiej byłoby jednak zostawić osobne hasło "przestrzeń kartezjańska" i zrobić z niego disambig, tak żeby opisać różne przypadki jego użycia, tyle że niektóre to mogą po prostu być błędy. Ewentualnie w ogóle nie stosować takiego pojęcia na wszelki wypadek. Co o tym sądzicie? Markotek (dyskusja) 14:35, 22 maj 2009 (CEST)
Uważam wprost przeciwnie, pojęcie należy przynajmniej wytłumaczyć. Wydaje mi się, że przestrzeń kartezjańską należy traktować jako pewien model i nie utożsamiać przestrzeni euklidesowych (abstrakcyjnych) z przestrzenią współrzędnych (rzeczywistych), na której wprowadza się geometrię euklidesową. Przy okazji w przestrzeni tej określony jest w naturalny sposób początek oraz baza standardowa, czyli przestrzeń ma naturalnie wyznaczony układ współrzędnych kartezjańskich. Z drugiej strony wprowadzenie takiego układu jest równoważne wskazaniu pewnej bazy ortogonalnej i początku. Jest to dogodny model dla zastosowań analitycznych, jednak nie jest on używany np. w przestrzeniach funkcyjnych. W geometrii syntetycznej również nie wskazuje się bazy (układu), a uprawia się geometrię euklidesową w pewnej przestrzeni, którą wypadałoby nazwać w związku z tym euklidesową (modelami są tablice z kredami i kartki z kredkami). Czy nie jest tak, że istnieją przestrzenie nieeuklidesowe z układem współrzędnych kartezjańskich albo przestrzenie euklidesowe z innym rodzajem układów współrzędnych? Podsumowując: pojęć przestrzeń euklidesowa i przestrzeń kartezjańska nie należy traktować synonimicznie – ci, którzy tak czynią albo się mylą, albo upraszają sytuację – przestrzeń kartezjańską należy traktować raczej jako przypadek szczególny przestrzeni euklidesowej (model lub przestrzeń euklidesową z wprowadzonym układem); zapewne należałoby to wyklarować w artykule, choć wydaje mi się to dość dobrze opisane.
Co do ostatniego cytatu: przestrzeń powstałą z mnożenia kartezjańskiego zwykło nazywać się iloczynem kartezjańskim (w końcu iloczyn to wynik mnożenia, tutaj błędem nazewnictwa jest traktowanie iloczynu jako działania, a nie wyniku, ale to niuans, por. iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany), mimo wszystko taka przestrzeń rzeczywiście mogłaby być nazwana kartezjańską.
Zaproponowany przeze mnie układ, aby podejście syntetyczne połączyć z aksjomatykami (z tego co widzę na razie, i dobrze, aksjomaty Euklidesa znajdują się w artykule o Elementach), a w tym artykule zostawić podejście analityczne wzorowałem na czyimś podejściu w artykule o przestrzeniach afinicznych i geometrii afinicznej. Być może lepiej byłoby przenieść rozważania dotyczące przestrzeni współrzędnych i kartezjańskich do artykułu przestrzeń kartezjańska, w tym artykule (przestrzeń euklidesowa) opisać przestrzeń z punktu widzenia geometrii syntetycznej, a w artykule geometria euklidesowa wskazać historię i różne aksjomatyki poczynając od aksjomatów Euklidesa. (Być może różnym aksjomatykom można by przydzielić oddzielne artykuły – aksjomatyka Euklidesa mogłaby mieć nadal swoje miejsce w Elementach.) Choć wydaje mi się, że byłoby z tym sporo zachodu.
Moim zdaniem pojęcie "przestrzeni kartezjańskiej" jest jak już zauważył Markotek, bardzo niejasne/niesprecyzowane i o ile nie znajdzie się jakieś jasne wyjaśnienie czym dokładnie ona jest (wątpię aby było jedno słuszne), najlepiej jest zrobić disambig. Sytuacja wygląda tak:
* Mamy sobie przestrzeń liniową. Możemy mówić, że wektory są liniowo niezależne, dodawać je itd.
* Dodajemy na tej przestrzeni iloczyn skalarny. Dostajemy przestrzeń euklidesową liniową - możemy mówić o bazach ortogonalnych, o długości wektora, metryce itd.
* Możemy także wprowadzić strukturę afiniczną - dodajemy zbiór A oraz określamy dodawanie punkt + wektor. Wtedy na elementach A możemy tworzyć kombinacje barycentryczne, mówić o afinicznej niezależności itp. Możemy także wprowadzić układ odniesienia - jest to ciąg n+1 punktów (o,p_1,..,p_k) takich, że p_i-o są liniowo niezależne (źródło str. 13-15). Po wprowadzeniu układu odniesienia możemy traktować A jako przestrzeń liniową {\mathbb R}^n, choć nie jest to konieczne.
* Jeżeli określimy strukturę afiniczną i unitarną naraz, to mamy przestrzeń euklidesową afiniczną. Możemy mówić wtedy o ortonormalnych układach odniesienia, o odległości punktów itd.
Ponadto mamy aksjomatykę Hilberta.
Gdzie tutaj jest miejsce przestrzeni kartezjańskiej? Nie wiem. Przez "n-wymiarową przestrzeń kartezjańską" rozumie się zwykle {\mathbb R}^n z kanoniczną bazą, i uważam że to jest jeszcze niekontrowersyjne. W zależności od kontekstu można traktować {\mathbb R}^n jako przestrzeń liniową/afiniczną/euklidesową liniową/euklidesową afiniczną.
Dyskusję proponuję opierać na źródłach, a nie na własnych przeczuciach czym przestrzeń kartezjańska powinna być. googl d 16:27, 23 maj 2009 (CEST)
Polecałbym klasyków, na dobry początek np. Karola Borsuka. W skrócie (we wstępie) pisze on, że przestrzeń kartezjańska to przestrzeń euklidesowa z wprowadzonym układem współrzędnych (dla mnie to dobre podejście). W słowniku PWN przestrzenie te są utożsamiane (i jest to dla mnie złe podejście). Prawdopodobnie będziemy zdani na ocenę źródeł, a tego w imię encyklopedyczności chyba nie powinno się robić...
thread_title:  Przestrzeń kartezjańska 

message: Wpisałem się na ten temat tutaj. Olaf @ 00:16, 10 cze 2009 (CEST)
thread_title:  Przestrzeń a geometria euklidesowa 

message: Klasycznie pojmowany dziś układ współrzędnych, oś liczbowa, lub 3-wymiary (celowo unikam innych nazewnictw) jest aproksymacją idei tych dwóch Panów. Euklides myślał, że układy (osie) krzyżują się pod kątem 90 stopni [z1]), Kartezjusz twierdził że istnieje (coś)(relacja)(coś)[z2]- iloczyn kartezjański.
Z całą pewnością Euklides nie potrzebował Kartezjusza do określenia układu współrzędnych, takiego o jakim uczyliśmy się w podstawówce, bez znaczenia czy były to 2 czy 3 wymiary.
Jako że Euklides był pierwszy, przestrzenie 2 lub 3 wymiarowe jeśli chodzi o nazewnictwo należą się jemu.
Osobiście ożywam określenia przestrzeni Euklidesa wiedząc jaka jest definicja odległości między dwoma punktami.
thread_title:  Kartezjusz czy Euklipes