Dyskusja:Indukcja pozaskończona

message: Mysle ze nie ma co podawac przykladow dowodow/definicji indukcyjnych w tym hasle. Ale warto by miec linki do takichze w innych haslach. Ja znalazlem tylko dwie pozaskonczone definicje indukcyjne. Jakby ktos widzial inne stosowne przyklady to prosze dodawac. A jak jeszcze nie ma wiecej przykladow to trzeba by dodawac linki w stosownych sekcjach w miare pojawiania sie tychzesz przykladow.... Stotr 23:07, 5 lip 2006 (CEST)
thread_title:  Przyklady 

message: Zmienilem zdanie
replies: text: Przypuśćmy, że f jest klasą która jest też funkcją. Wówczas istnieje jedyna funkcja g
Wierze ze jest to prawdziwe w platonicznym uniwersum, ale w jezyku ZFC nawet nie mozna wyrazic (wyrazac?) pojecia ze "istnieje jedyna klasa". 
(Mozna to wyrazic w ukladzie NBG, ale nie jestem przekonany ze mozna tego udowodnic w NBG.  Sadze, ze w NBG (albo NBG+ ¬Con(NBG)?) mozna skonstruowac niepusta podklase {n: φ(n)} liczby naturalnej ktora nie jest zbiorem, i nie ma  najmnieszego elementu.  Brrr.)
Tez troche podkreslilem ze gdy mowimy o φg, to jest zdanie w meta-jezykiem, a tylko reszte twierdzenia mozemy udowodnic w ZFC (nie jestem pewny czy to udalo mi sie).
Alef 23:11, 14 lip 2006 (CEST)

text: Niby racja. :-) (Ale eppur si muove, chciałem powiedzieć jednak jedyna - zależy od sposobu formalizacji i interpretacji. O ile dobrze pamiętam to w książce u Kunena jest to dyskutowane) Stotr 19:37, 16 lip 2006 (CEST)
Badz smialy... moglbys dodac "jedyna", a zostawiac uwage "wlasciwie nie mozna tego wyrazac. mozna udowodnic nastepny szemat (?) twierdzen: dla kazdych klas F, G, G': jesli ...to G=G'"
(albo ja moge to zrobic, tylko nikt mnie zrozumie...)
Alef 22:34, 17 lip 2006 (CEST)
Sprobowalem uszczesliwic wszystkich... Alef 14:26, 20 lip 2006 (CEST)
thread_title:  dzielenie wlosa na czworo 

message: Myślę, że warto napisać (choćby na czerwono) przykłady twierdzeń (dowodów), które opierają się na indukcji pozaskończonej. Loxley 06:34, 23 paź 2007 (CEST)
replies: text: Przyklady w niebieskich artykulach mozna znalezc tutaj.
replies: text: :Z tym że żaden z tych linków nie wskazuje dowodu... (Stotr 23:29, 25 paź 2007 (CEST))

text: Ale poza teoria mnogosci nie czesto uzywa sie indukcji pozaskonczonej. Mam wrazenie ze wiekszosc matematykow/podrecznikow woli lemat Kuratowskiego-Zorna (albo Teichmullera-Tukeya).  Na przyklad, mozna udowonic

text: *istnienie bazy przstrzeni liniowych,

text: *istnienie algebraicznie domknietnych cial,

text: *twierdzenie Hahna-Banacha itd

text: uzywajac indukcji, ale nikt nie robi to, bo w tych przypadkach nie ma naturalnego/kanonicznego dobrego porzadku.

text: Hierarchii von Neumanna V_\alpha, Godla L_\alpha, Borela \Sigma^0_\alpha uzywaja indukcji pozaskonczonej wzdluz naturalnego dobrego porzadku.

text: --Alef 23:15, 25 paź 2007 (CEST)
replies: text: :Masz racje co do nieużywania indukcji. ALE jednak zarówno Hahn jak i Banach w swoich dowodach THB używali indukcji. Wydaje mi się że czasami indukcja jest bardziej naturalna niż LKZ. Hm, np właśnie dla istnienia baz przestrzeni liniowych - ale mam wrażenie że są jescze lepsze przykłady. Stotr 23:29, 25 paź 2007 (CEST)
*Moim zdaniem, najbardziej naturalny dowod istnienia baz opiera sie na lemacie Teichullera-Tukeya:  Rodzina liniowo niezalznych zbiorow ma skonczony charakter, i koniec. (Podobnie jak istnienia ultrafiltrow.)
*Mysle ze THB  jest o wiele starsze niz LKZ. Indukcja bylo jedynym narzedziem w tym czasach. 
*Przyklady dowodow wzdluz naturalnego porzadku (niestety, wszystkie sa w dziedzinie teorii monogosci):

text: * Podstawowe wlasnosci hierarchii Neumanna: transytywnosc,  i<j \to V_i \subseteq V_j,  |V_{\omega+i} | =\beth_i,  itd

text: * W ukladzie ZF: Jesli mozna dobrze uporzadkowac (a) kazdy liniowo uporzadkowane zbior, albo przynajmniej(b) kazdy zbior potegowy zbioru dobrze uporzadkowego, to mozna dobrze uporzadkowac kazdy V_i

text: * Podstawowe wlasnosci hierarchii Godla, np |L_i| = |i|+ \aleph_0

text: * Podstawowe wlasnosci zbiorow Borelowskich, np "liczba zbiorow \Sigma_i nie jest wieksza niz continuum", albo istnienie uniwersalnych zbiorow na poziomie \Sigma_i.

text: * \kappa\cdot \kappa =\kappa: Porzadek
replies: text: ::(i,j) < (i',j') \Leftrightarrow (\max(i,j),i,j) < (\max(i',j'),i',j') w sensie leksykograficznym

text: : jest dobrym porzadkiem i ma wlasnosc ze otp(\{ (i,j): (i,j)<(i_0,j_0)\})< \kappa (tu uzywamy indukcji), wiec \kappa\times\kappa z tym porzadkiem jest isomorficzne z \kappa.  
*Przyklady dowodow wzdluz dowolnego dobrego porzadku.   Jesli dobrze pamietam, to w ksiazce Ciesielskiego jest kilka przykladow takiej indukcji:

text: *Prestrzen \mathbb R^3 mozna rozdzielic (?) na rodzinie rozlacznych przystajacych okregow. (Piekne twierdzenie, piekny dowod, ale kto interesuje sie rodzinami rozlacznych okregow?)

text: *Mozna pokolorowac (?) plaszczyzne \mathbb R^2 w takim sposobie, ze na kazdej prostej mozna znalezc ... nie pamietam. Cos nietrywialnego.

text: --Alef 21:27, 27 paź 2007 (CEST)
thread_title: Przykłady

message: W moim odczuciu dziwne jest podane w artykule sformułowanie twierdzenia o dowodzeniu przez indukcję. Przy takich założeniach w zasadzie nie ma czego dowodzić, bo natychmiast dostajemy, że dla każdej liczby porządkowej \alpha > \varnothing, jeśli podstawimy \beta = \varnothing do drugiego założenia, to wobec prawdziwości \varphi(\varnothing) otrzymujemy \varphi (\alpha). Nie jest to zbyt odkrywcze i nie trzeba się w dowodzie odwoływać do istnienia elementu najmniejszego w niepustym zbiorze złożonym z liczb porządkowych.
Założenie tego twierdzenia zwykle formułuje się tak:
\forall \alpha [((\forall \beta < \alpha) \varphi(\beta)) \Rightarrow \varphi(\alpha)].
Wtedy w dowodzie odwołujemy się do zasady minimum.
Wówczas też nie jest potrzebny „zerowy krok indukcyjny”, bo wynika on z założenia dla \alpha = \varnothing, ponieważ wtedy poprzednik implikacji spełniony jest w sposób pusty, a więc i następnik \varphi (\varnothing) musi być prawdzwiwy.
Zmodyfikowałem nieco sformułowanie i dowód twierdzenia.
--Kamil Orzechowski (dyskusja) 18:29, 3 sie 2014 (CEST)
thread_title:  Sformułowanie twierdzenia o indukcji