Dyskusja:Funkcja odwrotna

message: Co z warunkiem istnienia funkcji odwrotnej dla funkcji zapisanej w sposób parametryczny np:
X(a,b) = f(a,b)
Y(a,b) = g(a,b)
Z(a,b) = h(a,b)
Jak sprawdzić, czy dana funkcja posiada funkcje odwrotna ?
Pozdrawiam
thread_title:  Warunek 

message: Wg mnie to wzór: "Zatem funkcja odwrotna ma wzór x = y/2 - 1" powinien wyglądać tak:
y=x/2-1
thread_title:  Wzór 

message: najłatwiej sprawdzić warunki różnowartościowości i "na".
thread_title:  funkcje parametryczne 

message: ::Jak napisano w dziale Uwaga
replies: text: ::W matematyce istnieją dwie konwencje rozumienia czym jest zbiór Y przy zapisie: f\colon X\to Y.
replies: text: ::Pierwsza z nich zakłada, że w domyśle, zbiór wartości funkcji f zawarty jest w zbiorze Y, druga z nich zakłada, że to właśnie Y jest całym zbiorem wartości. Z punktu widzenia definicji funkcji jako trójki uporządkowanej składającej się z dziedziny, przeciwdziedziny i wykresu, funkcje symbole \sin \colon \mathbb{R}\to [-1,1] oraz \sin \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} mówią o dwóch różnych funkcjach sinus – w praktyce nie ma to jednak większego znaczenia. W praktyce matematycznej, pierwsza konwencja jest popularniejsza. Jednak poniżej w definicji funkcji odwrotnej zakłada się, że Y jest całym zbiorem wartości funkcji f (tzn., że f jest na zbiór Y).
Zwracam tu uwagę na jeden znamienity fakt. Warunkiem istnienia funkcji odwrotnej jest bijektywność funkcji właściwej. Uwaga o dwóch konwencjach jest całkowicie niepoprawna, gdyż zapis:
f\colon X\to Y
oznacza funkcję  f\colon x  w ELEMENTY ZBIORU Y
Funkcja jest bijekcją wtw gdy jest inienkcją i surjekcją. Więc samo założenie wymusza f\colon X\to Y surjekcją, więc założenie w dziale "Uwaga" jest błędne. Jako źródło polecam słynną książkę Rasiowej.
Dlatego też usuwam wpis, gdyż wprowadza on tylko i wyłącznie zamęt.
Gwoli uściślenia jako przykład całkowicie poprawnej funkcji można przytoczyć funkcję stałą
f(x)=1
Jak widać funkcja ta nie jest surjekcją, nie jest injekcją. Jest poprawnie zdefiniowaną funkcją w zbiór liczb \R.
Jednak funkcja odwrotna do danej nie istnieje.
195.150.224.242 (dyskusja) 11:48, 4 lut 2010

text: UWAGA odnośnie Uwagi odnośnie uwagi:
replies: text: :znamienity ≠ znamienny

text: CiaPan (dyskusja) 13:25, 23 gru 2014 (CET)
thread_title:  Uwaga odnośnie uwagi 

message: W przypadku odwzorowań liniowych T, S \in L(X) definicję odwzorowania odwrotnego zapisuje się T S = S T = \operatorname{id}_X.
=== Przestrzenie skończeniewymiarowe ===
W skończeniewymiarowych przestrzeniach wektorowych T S = \operatorname{id}_X pociąga za sobą S T = \operatorname{id}_X. Wśród dowodów są dwa warianty, różniące się tym, czy jest wykorzystywane pojecie śladu.
;Krok 1:  T S = \operatorname{id}_X \Rightarrow (S T)^2 = S T S T = S \operatorname{id}_X T = S T , czyli  S T  jest rzutem.
;Krok 2, wariant 1:  Ponieważ  \operatorname{dim} \operatorname{Im} (S T) \leqslant \operatorname{max} \{ \operatorname{dim} \operatorname{Im} (S); \operatorname{dim} \operatorname{Im} (T) \}  i  \operatorname{Im} (ST) = X , więc  \operatorname{dim} \operatorname{Im} (S) =  \operatorname{dim} \operatorname{Im} (T) = \operatorname{dim} X , czyli  \operatorname{Im} (S) = \operatorname{Im} (T) = X , Oznacza to, że  S  i  T  są różnowartościowe, a co za tym idzie  S T  jest różnowartościowym rzutem. Jedynym takim rzutem jest  \operatorname{id}_X .
;Krok 2, wariant 2: Znaczy to, że istnieje baza, w której macierz operatora S T ma na przekątnej tylko zera i jedynki. \operatorname{dim} \, \operatorname{Ran} (S T) = \operatorname{Tr} (S T) = \operatorname{Tr} (T S) = \operatorname{dim} X (wymiar obrazu S T jest równy wymiarowi całej przestrzeni), a to oznacza, że S T = \operatorname{id}_X.
replies: text: :Wariant pierwszy podał w mailu dr hab. Piotr Sołatn z Wydziału Matematyki i Informatyki UW, autor skryptu Algebra II – Wykład 1 do którego prowadził martwy w chwili obecnie link w przypisie i tą wersję uznał za lepszą od poprzedniej i zalecaną, bo nie odwołuje się ona do pojęcia śladu (to pojęcie wymaga dodatkowych założeń o charakterystyce ciała, nad którym jest rozpięta przestrzeń). Dodatkowa zaleta tego dowodu polega na tym, że nie odwołuje się on bezpośrednio do żadnych pojęć z rachunku macierzowego. --Wojciech Słota (dyskusja) 23:35, 14 gru 2014 (CET)
=== Przestrzenie nieskończeniewymiarowe ===
Twierdzenie to nie jest prawdziwe w przestrzeniach nieskończeniewymiarowych. Np. dla odwzorowań określonych w przestrzeni wielomianów zdefiniowanych przez swoje działanie na jednomianach:

text: T (x^n) = n x^{n-1} (różniczkowanie)

text: S (x^n) = \frac{x^{n+1}}{n+1} (całkowanie ze stałą 0)
T S = \operatorname{id}_X, ale S T zeruje wielomiany stałe.
Można to też wyjaśnić, traktując S i T jak zwykłe funkcje. Nie są one bijekcjami z X do X, gdyż S nie jest funkcją "na", zaś T nie jest funkcją różnowartościową. Są one za to bijekcjami odpowiednio z X do Y i z Y do X, gdzie Y jest podprzestrzenią (a wiec i podzbiorem) wielomianów bez wyrazu stałego, i z takimi dziedzinami i przeciwdziedzinami są funkcjami wzajemnie odwrotnymi. Są też wzajemnie odwrotne jako odwzorowania liniowe należące do odpowiednio L(X,Y) i L(Y,X). Podobnie \sin jako funkcja z \mathbb{R} w [-1, 1] i \arcsin jako funkcja z [-1, 1] w \mathbb{R} nie są funkcjami odwrotnymi, ale są funkcjami odwrotnymi jako funkcje z \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] w [-1, 1] i z [-1, 1] w \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right].
Podobnie w przestrzeniach skończeniewymiarowych nie istnieją operatory takie, że S T - T S = \operatorname{id}_X, ale własność tę mają operatory różniczkowania wielomianu i mnożenia wielomianu przez x.

text: Zapisuję wersję ze starym i nowym wariantem dowodu, i z podkreśleniem, że odwzorowanie liniowe odwrotne to szczególny przypadek funkcji odwrotnej (w tym bez zmiany, którą sam wprowadziłem na prośbę, nie pamiętając, dlaczego wcześniej nie pisałem o osobnej definicji). Problem w tym, że dodatkowe uwagi nie mają źródeł, więc powiszą tutaj, aż jakieś znajdę. BartekChom (dyskusja) 17:58, 14 gru 2014 (CET)
thread_title:  Odwzorowanie liniowe odwrotne 

message: W skończeniewymiarowych przestrzeniach wektorowych T S = \operatorname{id}_X pociąga za sobą S T = \operatorname{id}_X. Wśród dowodów są dwa warianty, różniące się tym, czy jest wykorzystywane pojecie śladu.
;Krok 1:  T S = \operatorname{id}_X \Rightarrow (S T)^2 = S T S T = S \operatorname{id}_X T = S T , czyli  S T  jest rzutem.
;Krok 2, wariant 1:  Ponieważ  \operatorname{dim} \operatorname{Im} (S T) \leqslant \operatorname{max} \{ \operatorname{dim} \operatorname{Im} (S); \operatorname{dim} \operatorname{Im} (T) \}  i  \operatorname{Im} (ST) = X , więc  \operatorname{dim} \operatorname{Im} (S) =  \operatorname{dim} \operatorname{Im} (T) = \operatorname{dim} X , czyli  \operatorname{Im} (S) = \operatorname{Im} (T) = X , Oznacza to, że  S  i  T  są różnowartościowe, a co za tym idzie  S T  jest różnowartościowym rzutem. Jedynym takim rzutem jest  \operatorname{id}_X .
;Krok 2, wariant 2: Znaczy to, że istnieje baza, w której macierz operatora S T ma na przekątnej tylko zera i jedynki. \operatorname{dim} \, \operatorname{Ran} (S T) = \operatorname{Tr} (S T) = \operatorname{Tr} (T S) = \operatorname{dim} X (wymiar obrazu S T jest równy wymiarowi całej przestrzeni), a to oznacza, że S T = \operatorname{id}_X.
replies: text: :Wariant pierwszy podał w mailu dr hab. Piotr Sołatn z Wydziału Matematyki i Informatyki UW, autor skryptu Algebra II – Wykład 1 do którego prowadził martwy w chwili obecnie link w przypisie i tą wersję uznał za lepszą od poprzedniej i zalecaną, bo nie odwołuje się ona do pojęcia śladu (to pojęcie wymaga dodatkowych założeń o charakterystyce ciała, nad którym jest rozpięta przestrzeń). Dodatkowa zaleta tego dowodu polega na tym, że nie odwołuje się on bezpośrednio do żadnych pojęć z rachunku macierzowego. --Wojciech Słota (dyskusja) 23:35, 14 gru 2014 (CET)
thread_title:  Przestrzenie skończeniewymiarowe 

message: Twierdzenie to nie jest prawdziwe w przestrzeniach nieskończeniewymiarowych. Np. dla odwzorowań określonych w przestrzeni wielomianów zdefiniowanych przez swoje działanie na jednomianach:
replies: text: T (x^n) = n x^{n-1} (różniczkowanie)

text: S (x^n) = \frac{x^{n+1}}{n+1} (całkowanie ze stałą 0)
T S = \operatorname{id}_X, ale S T zeruje wielomiany stałe.
Można to też wyjaśnić, traktując S i T jak zwykłe funkcje. Nie są one bijekcjami z X do X, gdyż S nie jest funkcją "na", zaś T nie jest funkcją różnowartościową. Są one za to bijekcjami odpowiednio z X do Y i z Y do X, gdzie Y jest podprzestrzenią (a wiec i podzbiorem) wielomianów bez wyrazu stałego, i z takimi dziedzinami i przeciwdziedzinami są funkcjami wzajemnie odwrotnymi. Są też wzajemnie odwrotne jako odwzorowania liniowe należące do odpowiednio L(X,Y) i L(Y,X). Podobnie \sin jako funkcja z \mathbb{R} w [-1, 1] i \arcsin jako funkcja z [-1, 1] w \mathbb{R} nie są funkcjami odwrotnymi, ale są funkcjami odwrotnymi jako funkcje z \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] w [-1, 1] i z [-1, 1] w \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right].
Podobnie w przestrzeniach skończeniewymiarowych nie istnieją operatory takie, że S T - T S = \operatorname{id}_X, ale własność tę mają operatory różniczkowania wielomianu i mnożenia wielomianu przez x.

text: Zapisuję wersję ze starym i nowym wariantem dowodu, i z podkreśleniem, że odwzorowanie liniowe odwrotne to szczególny przypadek funkcji odwrotnej (w tym bez zmiany, którą sam wprowadziłem na prośbę, nie pamiętając, dlaczego wcześniej nie pisałem o osobnej definicji). Problem w tym, że dodatkowe uwagi nie mają źródeł, więc powiszą tutaj, aż jakieś znajdę. BartekChom (dyskusja) 17:58, 14 gru 2014 (CET)
thread_title:  Przestrzenie nieskończeniewymiarowe