Dyskusja:Paradoksy Zenona z Elei

message: witam.
wydaje mi sie ze paradoks mozna "wytlumaczyc" w nastepujacy sposob:
istnieja nieskonczone szeregi liczbowe (np. 1/2, 1/4, 1/8, ...), ktore maja skonczona sume. tym samym wydawalo by sie ze achilles i zolw beda scigac sie w nieskonczonosc i nigdy nie dotra do mety, a jednak suma odleglosci pomiedzy nimi podczas biegu nie jest nieskonczona, a wiec spotkaja sie podczas wyscigu, a nastepnie achilles wyprzedzi zolwia.
moim zdaniem to jest droga do rozwiazania :)
pozdrawiam.
ps. podzielcie sie ze mna swoimi opiniami bo prawde mowiac jestem laikiem, analizy mat. nie bardzo pamietam i mozliwe ze moje wyjasnienie nie ma sensu ;)
TL1979@wp.pl

message: Nie rozumiesz o co chodziło Zenonowi.
Udowadnianie że achilles dobiegnie i przegoni żłówia jest bez sensu, bowiem Zenon
unaocznił paradoks, że tak naprawde nam się to wszystko wydaje, troche źle jest ten paradox wytłumaczony przez tworce tego artykułu, ale kit z tym.
Chodzi o to że analizując ruch tak jak zenon, wyjdzie nam > error < w systemie.
Zenon uważał że znalazł jakby błąd w matrixsie, ruchu nie ma, on nam się tylko wydaje.
A dowod na to że Zenon się troche mylił istnieje i odkryty został
dopiero w 18 w. , ale nie jest to to co piszecie bo wasze dowody nie obalają Zenona.
Pozdro filozofowie. ;)
thread_title:  suma szeregu :) 

message: Diogenes z Synopy , ten co mieszkał w beczce , kiedy ktoś chciał go przekonać do filozofii Zenona , wstał i przeszedł kilka kroków.
Paradoksy Zenona były naprawdę sofizmatami , tzn. były pozornie prawdziwe. Podczas gdy paradoks jest pozornie nieprawdziwy. Błąd strzały polegał na utożsamieniu "znajduje się w punkcie" ze "spoczywa w nim". Po za tym paradoks strzały wyklucza Achillesa , skoro ruch jest pozorny to nie tylko Achilles nie może gonić (nie tylko dogonić!) żółwia ale i żółw nie może uciekać przed Achillesem.Pilot Pirx 12:18, 1 mar 2006 (CET)
thread_title: Wszystko jest iluzją

message: 1/2x+1=x    |-1/2x
1=1/2x      |*2
2=x         
L=1/2*2+1=2
P=2 L=P
Z tego wynika że odcinek, który musi przebbiec Achilles wynosi jeden i jedna dziewiąta.
thread_title:  Paradoks Zenona (inna wersja) 

message: Hmm... a nie jest odwrotnie, tzn. paradoksy Zenona mają rację bytu przy założeniu, że przestrzeń fizyczna jest ciągła (a więc dzielna w nieskończoność, choćby w myślach), a nie mają racji bytu przy założeniu, że składa się z jakiś części (podział ma swoje granice).
replies: text: One w ogóle nie mają racji bytu, tzn. są dawno wyjaśnione. Jeśli przestrzeń jest dyskretna, to nie da się dzielić w nieskończoność. Jeśli jest ciągła, to da się, ale jeszcze to nie oznacza że na przebycie nieskończonej liczby odcinków trzeba nieskończonego czasu. Szereg nieskończony może mieć skończoną sumę, o czym Zenon nie wiedział. Olaf @ 14:31, 7 paź 2007 (CEST)
Nieskończone odcinki są nieskończenie krótkie, a więc da się przebiegnąć je w nieskończenie krótkim czasie. Tj. paradoksu nie ma bo zakłada się w nim że do przebiegnięcia nieskończenie krótkiego odcinka trzeba skończonego czasu, a jest to nieco niezgodne z założeniem pełnej ciągłości świata (a więc i czasu).
thread_title:  Komentarz 

message: w nieskończonej przestrzeni nie ma skończonych punktów więc strzała nie ma gdzie się zatrzymywać
replies: text: Dałeś piękny przykład fałszywego rozumowania. Czemu w nieskończonej przestrzeni nie ma skończonych punktów? 83.5.243.116 (dyskusja) 10:18, 11 maj 2008 (CEST)
thread_title:  bład w założeniach o przestrzeni 

message: w części achilles i żółw został błędnie opisany paradoks, do któego dochodzi jedynie na nieskończonej drodze, a nie jak napisano w artykule. Gdyby Zaistniała sytuacja taka jak w treści artykułu to nie byłoby w tym nic dziwnego że achilles nie wyprzedzi żółwia, gdyż dotrą na metę jednocześnie. Wg. mnie powinno być to opisane w ten sposób że achilles goni zółwia który jest o jakiś dystans przed nim i biegacz nie może go dogonić bo ten zawsze mu ucieka o 1/2 drogi przemieżonej przez achillesa.
replies: text: Owszem, żółw mu zawsze ucieka o 1/2 drogi, tylko że wówczas w sumie to nie jest nieskończona droga... Olaf @ 00:18, 6 sty 2009 (CET)
thread_title:  błąd w artykule 

message: Wg. mnie Achilles i żółw dobiegną na metę w jednym momencie. 
Podczas gdy żółw dobiegnie do 1/2 Achilles wystartuje. Gdy on dobiegnie do połowy żółw będzie w 3/4 trasy, czyli przebiegnie 1/4 dystansu w tym samym czasie co Achilles 1/2. 
replies: text: Do tego momentu rozumujesz jak Zenon. :-)
Gdy znajdą się w takim położeniu Achillesowi zostanie 1/2 trasy, a żółwiowi 1/4, te odcinki przebiegną w tym samym czasie, a metę przekroczą w jednym momencie.

text: A tu zacząłeś rozumować jak współczesny matematyk. Oczywiście masz rację. Ale Zenon myślał inaczej - kiedy Achilles dobiegnie do miejsca w 3/4 drogi, gdzie teraz był żółw, ten będzie w 7/8 drogi. Kiedy Achilles tam dobiegnie, żółw będzie w 15/16, itd. Paradoks polega tylko na tym, że ludzie nie rozumieją, iż nieskończony szereg może mieć skończoną sumę. Olaf @ 00:18, 6 sty 2009 (CET)
Musi być więc jakieś wytłumaczenie i logiczne rozwiązanie dzielących się w nieskończoność etapów to musi mieć kiedyś koniec.

text: W ogólnym przypadku nie, więc nie każdy. Nie każdy szereg ma skończoną sumę, gdyby biegli w identycznym tempie, to biegliby w nieskończoność, choćbyśmy ją dzielili na zmniejszające się kawałki. Ale w tym przypadku - tak. Olaf @ 00:18, 6 sty 2009 (CET)
thread_title:  achilles i żółw 

message: Kilka uwag, głównie do Olafa...
1. Zenon mówi o przestrzeni fizycznej, Ty mówisz o odcinkach geometrycznych (i to w ich współczesnym matematycznym rozumieniu, tzn. takim, w którym matematyka nie musi opisywać rzeczywistości, aby być "prawdziwa"... U Zenona musi!). To dwa różne światy.
replies: text: Matematyka jest modelem rzeczywistości. Tak czy inaczej rozumowanie Zenona także sprowadza się do konstruowania modelu myślowego, tylko że nie odpowiadającego rzeczywistości, bo tak naprawdę to jednak szybszy dogania wolniejszego. Więc najwyraźniej model matematyczny, który to przewidział jest lepszy (bardziej zgodny z rzeczywistością) niż myślowy model Zenona. Ale i model matematyczny i model Zenona należą do tego samego świata abstrakcji umysłowych, faktycznie różnego od rzeczywistości.
replies: text: : [RS]: Olafie, odnoszę wrażenie, że jest dokładnie na odwrót. Od czasu Davida Hilberta (formalizm) matematyka nie jest modelem rzeczywistości (niestety), tzn. dane wyrażenie jest w systemie uznawane, gdy 1) jest wewnętrznie niesprzeczne 2) spełnia aksjomaty. Nie ma tutaj w ogóle mowy o adekwacji między wyrażeniem a rzeczywistością. Zenon zauważa brak tej adekwacji także między swoją teorią a obserwacją. Większość osób w takim wypadku za wadliwą uznałaby teorię (z lenistwa zazwyczaj), a prawdę upatrywałaby w obserwowanym zjawisku. Zenon robi inaczej: nie znajduje błędu w swoim rozumowaniu (bo istotnie tego błędu tam nie ma, gdy przyjmiemy, że przestrzeń jest trójwymiarowa) - więc uznaje, że fałsz musi tkwić w obserwowanym zjawisku, tym bardziej, że jest mnóstwo dowodów na to, iż zmysły często nas zawodzą (np. łyżka włożona do szklanki z wodą jest zdecydowanie krzywa :-). [RS]
replies: text: ::Adekwatności między rozumowaniem i rzeczywistością w ogólności nie musi być, ale jeśli chce się za pomocą rozumowania mówić coś na temat rzeczywistości (a tak chce Zenon), to już być powinna. Akurat pracuję w branży matematyki, która się tym zajmuje - tworzenie modeli statystycznych. Tworzenie fałszywych prognoz (nie ma ruchu) i upieranie się, że to prognozy są dobre, tylko rzeczywistość zła jest wspólną cechą niektórych filozofów oraz kiepskich statystyków. ;-)

text: ::Zdaje się, że w starożytności jeden z oponentów Zenona dał mu świetną odpowiedź - podczas wywodów Zenona o nieistnieniu ruchu przechadzał się z uśmiechem. Olaf @ 09:54, 11 sty 2009 (CET)
2. O rzekomym dowodzie rozwiązania tego problemu słyszę od wielu wielu lat... wszyscy o nim mówią, nikt go nie widział. Bardziej zgodziłbym się na słowo "argument" zamiast "dowód", gdyż sprawa jest dosyć dyskusyjna (dowód zakłada "bezdyskusyjność").

text: Ale jakie konkretnie twierdzenie chcesz dowodzić? Że suma \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots=1? Dowód graficzny na rysunku obok (prawy kwadrat). Dowód analityczny:

text: Oznaczmy:
replies: text: :x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{2} \right) ^n

text: Stąd:
replies: text: :x=\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left( \frac{1}{2} \right) ^n

text: :x=\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{2} \right) ^{n+1}

text: :x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{2} \right) ^n

text: :x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x

text: :x=1\;
replies: text: :: [RS]: Olafie, ten "dowód" ma tylko sens na gruncie "matematyki formalnej" (która nie jest "jedyną słuszną matematyką", lecz jednym z modeli). W rzeczywistości (na gruncie fizyki, którą to podobno ta matematyka ma opisywać) nie będzie można tego kwadratu dzielić w nieskończoność, gdyż dojdziemy do tak małego kawałka tego kwadratu (do kwantu), w którym to "czas stoi w miejscu" (czas również jest skwantowany). Więc na polu fizyki podział zostanie zatrzymany (a matematyka formalna oczywiście będzie mogła sobie ten podział kontynuować w nieskończoność --> bo nie musi być adekwatna z rzeczywistością). [RS]
replies: text: :::Zenon sam traktuje Achillesa i żółwia jako punkty. Ja tylko wykazuję, że jego rozumowanie jest błędne, przez sprowadzenie go do sprzeczności - założyłem to co Zenon (możliwość nieskończonego podziału odległości), i pokazałem, że z tego nie wynika jego wniosek (nieskończony czas/droga). Nie trzeba mechaniki kwantowej (ani w ogóle fizyki), żeby wykazać jego błąd. Paradoks Zenona jest rozumowaniem wewnętrznie sprzecznym i wykazanie tej sprzeczności jest jego rozwiązaniem (podobnie jak wielu innych paradoksów). Olaf @ 09:54, 11 sty 2009 (CET)
3. Rozwiązanie tego problemu należy szukać raczej w Stałej Plancka, tj. istnieje tak mała porcja przestrzeni, że "czas w niej stoi". Nie można więc dokonać jej kolejnego podziału, bo podział można wykonać tylko w czasie.

text: Jeśli tak, to w pewnym momencie prędkości Achillesa i żółwia zrównują się, bo kiedy Achilles zrobi krok o długości Plancka, to żółw nie może zrobić kroku krótszego, więc zrobi w tym samym czasie krok identyczny jak Achilles. Tym samym Achilles nigdy nie dogoni żółwia, bo będą biegli z identyczną prędkością. Twój model jak widać niczego nie rozwiązuje. Poza tym w mechanice kwantowej nie można jednocześnie mówić że jakiś obiekt ma dokładnie określoną pozycję i prędkość (zasada nieoznaczoności). A stała Plancka nie ma wymiaru odległości.
4. Rozpatrując przestrzeń jako trójwymiarową w mechanice klasycznej, rozumowanie Zenona jest bez zarzutu. Dopiero na gruncie mechaniki kwantowej staje się bezprzedmiotowe... ale o tym Zenon wiedzieć nie mógł.

text: Twoje rozumowanie jest sprzeczne z mechaniką kwantową i niczego nie wyjaśnia (patrz punkt 3). Nie jest też potrzebne (patrz punkt 2). Olaf @ 00:42, 9 sty 2009 (CET)
thread_title:  Nadinterpretacje 

message: Oczywiście, że Achilles nigdy nie dogoni żółwia... ale tylko przy założeniu, że nie damy mu na to odpowiedniej ilości czasu. Ktoś mógłby się nie zgodzić, ale chodzi o to, że w tym paradoksie nie tyle czas postępuje, co postępują w nieskończoność coraz mniejsze jego jednostki. Tym sposobem Achilles nie dogoni żółwia, tak samo, jak funkcja nigdy nie osiągnie wartości swojej granicy...
29 marca 2009, Moozyk
Uwaga do Pana Olafa; jeżeli korzysta Pan z nie swoich dowodów czy twierdzeń to może warto tak na marginesie podać źródło - dotyczy to owego dowodu z progresywnej geometrii a nie omawianego problemu dialektyki Zenona; zainteresowanych odsyłam do hasła http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression i tam wszystko jest napisane; czy to nei jest plagiat?
replies: text: No bez jaj... przy każdym wykorzystaniu jakiegoś dowodu z matematyki trzeba pisać, kto jest jego autorem? Jak napiszę 2+2 to mam wszystkich poinformować, że cyfry to są arabskie a plus kogoś innego? 
w dyskusji, którą Pan prowadzi dojdziemy niebawem do paradoksu Banacha-Tarskiego przy okazji dialektyki Zenona, co jest zwyczajnym absurdem.
Proszę odwołać się do źródeł:
"Jeżeli istnieje ruch, to jest konieczne, aby to, co się porusza, przebyło nieskończenie wiele odcinków drogi w skończonym czasie; to jest jednak niemożliwe, a więc ruch nie istnieje. Zenon dowodził tego zdania, że to co się porusza musi przebyć pewną odległość. Skoro jednak każda odległość może się dzielić w nieskończoność, to to, co się porusza, musi najpierw przebyć połowę odległości, którą przechodzi, a potem całą. Zanim jednak przejdzie całą połowę odległości, musi przebyć połowę tej połowy i znowu połowę tej ostatniej" Simplikios, In Arist. Phys., 1013,4. Więc o czym tu dyskutować Panie Olaf?
Odnoszę wrażenie, żę stara się Pan udowodnić poprawność założeń Zenona czego obronić się nie do, co wykazał Arystoteles dokładnie w Arystoteles, Fizyka, Z 9, 239 b 14.
Zenon zwalczał filozofię pitagorejską więc mówienie o liczbach i to w rozumieniu jescze geometrycznym czyli pitagorejskim całkowicie deformuje założenia Zenona, zaś konkluzja hasła jest chyba nadużyciem niezgodnym z tym to zakładał Zenon - proszę zobaczyć cytowany fragment i nie wmawiać Zenonowi tego czego on nie twierdził; poza tym hasła w Wiki powinny być konstruowane wg określonej metodologii bo dochodzimy przy okazji Zenona do paradoksu który już tu przytoczyłem (Banach-Tarski);
Przede wszystkim: Zenon podał argumenty takie, które obalają pitagorejską przestrzeń i od tego zacznijmy; poza tym autor sprytnie przeoczył założenia Zenona, 1) linia złożona jest z punktów; zaś 2) czas z rozróżnialnych chwil; 
Jaki jest cel tego hasła? Udowodnienie tez Zenona (patrz punkt 1 i 2)? Jeżeli tak to proszę się trzymać faktycznych tez Zenona i spróbować wtedy to zrobić; jednakże hasła wiki nie majana celu udowadniać tez lecz je prezentować a pan zaprezentował je po prostu niedbale;
No i uwaga odnośnie strzały: ponownie mówi pan nieprawdę; założenie Zenona to: "Połowa czasu jest równa całości tego czasu" (Arystoteles, Fizyka, itd; który jest potrzebny do pokonania jakiegoś odcinak;
Założeni w postaci: "Załóżmy, że wystrzelona z łuku strzała pokonała określony dowolny odcinek drogi. Można więc powiedzieć, że w momencie wystrzelenia znajdowała się ona na początku tej trasy, a po dotarciu do celu – na końcu" to jakaś kompilacja Heraklita ponieważ Zenon nie zakłada terminus a quo oraz terminus ad quem. Zenon zakłada, żę czas to szereg "teraz" czyli chwil i jeżeli siętego nei założy to wniosek nie wyniknie, proste; ponownie odsyłam do Arystoteles, Fizyka Z9, 239 b 30.
Dalsza dyskusja jest bezcelowa, proszę moderatora o poprawienie hasła albo jego wykasowanie ponieważ zawiera zbyt poważne błędy merytoryczne.
thread_title:  Wszystko rozbija się tutaj o... czas!!! 

message: przeczytałem ponownie paradoks z Achillesem, i przyznam,ze nie wiem o co ta dyskusja. to ze Achilles nie dogoni żółwia nie jest niczym nadzwyczajnym. Biegnie 2 razy szybciej(ciekawe,żeby człowiek biegł z prędkością 10 cm/s) ale ma 2 razy więcej drogi do pokonania. konkluzja:czas biegu obydwu jest ten sam! Tu nie ma sprzeczności, po prostu założenia są trochę"naciągane"(osobiście myślę,że Achilles biegnie jakieś 1000 razy szybciej).
Pozdrawiam
thread_title:  ACHILLES 

message: Pozdrawiam wzajemnie.
"Przypuśćmy jednak, że jest to bardzo szybki żółw, który porusza się tylko dwa razy wolniej, niż człowiek. Jest to jednak nadal dość duże utrudnienie dla gada, więc Achilles pozwala żółwiowi oddalić się na starcie o 0,5 dystansu." Paradoks prawdziwości oczywistej nieprawdy 
Stosunek rozwijanej szybkości jest w tym dylemacie mniej istotny : chodzi o to, że nawet szybkonogi Achilles nie zdoła dogonić powolnego żółwia. Zenon nie bez powodu właśnie jego wybrał na współzawodnika żółwia (w "Iliadzie" zawsze był szybkonogi, nawet gdy siedział "Spojrzał na niego złym okiem i rzekł szybkonogi Achilles" , na tego żółwia pewno też tak spoglądał). W Filozofia przyrody wykład 5 "Ruch" na str. 3 udany rysunek poglądowy,
Od paradoksów do Hipotezy Continuum też na str. 3 (żółw biegnie na 2 łapkach).
W holenderskiej Wiki : gdy dać żółwiowi fory 1 km, Achillesowi zaś prędkość 10 krotnie większą od niego, dystans między nimi będzie maleć 1000 m → 100 m → 10 m → 1 m → 0,1 m → 0,01 m → 0,001 m dążąc do zera. Odpowiednio czas osiągania kolejnych przybliżeń będzie coraz krótszy. Wzór na sumę szeregu geometrycznego nieskończenie malejącego (którego pierwszy wyraz wynosi 1000, iloraz 0,1)
replies: text: s_n = u_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} = 1000 \cdot \frac{1-(0,1)^n}{1-0,1} = \frac{10000}{9} \cdot [1-(0,1)^n]

text: s = \lim_{n\rightarrow \infty}s_n = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{10000}{9} \cdot [1-(0,1)^n] = \frac{10000}{9} \cdot [1-\lim_{n\rightarrow \infty}(0,1)^n]
Ponieważ granicą \lim_{n\rightarrow \infty}a^n=0 dla a\in [-1,1] zatem

text: \frac{10000}{9} \cdot [1-\lim_{n\rightarrow \infty}(0,1)^n]= \frac{10000}{9} \cdot (1-0) = \frac{10000}{9} = 1111,1111....
Przy n dążącym do nieskończoności zawodnicy powinni się zrównać po 10000/9 metrach czyli 1 kilometrze, 111 metrach, 111 milimetrach, 111 mikrometrach, 111 nanometrach, 111 pikometrach… ale chyba widać, że już dawno go dogonił.
Zenon utrzymywał, iż dystans dzielący zawodników może nieograniczenie dążyć do zera, lecz nigdy go nie osiągnie. (Trochę jak przy dążeniu do zera w skali Kelvina, ale “podobieństwo jest bardzo małe i niefunkcjonalne“, jak by zapewne powiedział Doktor w “Edenie” S. Lema). Oczywiście można podstawić jakieś inne liczby (i to tak żeby Achilles nie dogonił, 100 km czy 1000, z ograniczeniem czasowym, że nie dogoni przed upływem powiedzmy godziny). Tyle, że Zenonowi nie o to chodziło.
"Mały słownik matematyczny" Warszawa 1975 s. 196 i n: "Paradoks Achillesa : Jeden ze słynnych paradoksów Zenona z Elei. Achilles goni żółwia, obaj poruszają się w tym samym kierunku po linii prostej ze stałymi prędkościami. Gdy Achilles znajdzie się w w P1, żółw - choć porusza się znacznie wolniej - będzie już w P2; gdy Achilles w P2, to żółw w P3, gdy Achilles w P3, to żółw w P4 itd. W ten sposób, twierdził Zenon, Achilles nigdy nie dogoni żółwia. Wyjaśnienie paradoksu Achillesa polega na spostrzeżeniu, że łączna droga przebyta przez Achillesa do momentu zrównania się ze żółwiem, choć składa się z nieskończenie wielu etapów : P0P1 + P1P2 + P2P3 +.... ma długość skończoną P0P (postęp geometryczny nieskończony), równą (w /(w-v)) P0P1 gdzie w oznacza prędkość Achillesa, v - prędkość żółwia.
 
Paradoks strzały : Jeden ze słynnych paradoksów Zenona z Elei. Strzała wypuszczona z łuku ma przebyć drogę AB. Aby znaleźć się w punkcie B, musi ona przedtem znaleźć się w połowie tej drogi w punkcie P1. Aby znaleźć się w punkcji P1 musi przedtem znaleźć się w połowie drogi AP1, w punkcie P2, aby znaleźć się punkcie P2 musi przedtem znaleźć się w połowie drogi AP2, w punkcie PP3 itd. W ten sposób, twierdził Zenon, strzała nigdy nie doleci do punktu B, co więcej nigdy nie zacznie się nawet poruszać. Wyjaśnienie paradoksu strzały polega na spostrzeżeniu, że łączny czas w jakim strzała przebędzie drogę AB = BP1 + P1P2 + P2P3 +... jest skończony, gdyż czasy potrzebne na przebywanie kolejnych etapów tej drogi tworzą postęp geometryczny nieskończony o ilorazie 1/2." W drugim punkcie jak widać połączono Strzałę z Dychotomią czyli Biegaczem, choć są to dwie różne sprawy. 
"Paradoksy Zenona nie mogły być wtedy rozstrzygnięte (a tym samym obalona ich wartość dowodowa) ze względu na nieznajomość pewnych metod matematycznych w tamtych czasach." Błędność Achillesa i żółwia "wynika z fałszywego założenia, że suma nieskończenie wielu coraz mniejszych okresów czasu - potrzebnych Achillesowi na przebycie kolejnych odcinków AB, BB’ itd.. - musi być nieskończenie wielka, gdyż zawiera - tak to uzasadniał Zenon - nieskończenie wiele wyrazów." (Zbigniew Płochocki “Atomistyka współczesna” 1986 t. 1 s 8n ISBN 83-02-02340-X)
Stanisław Kowal “500 zagadek matematycznych” wydanie 4, 1974 (str. 196) nazywa “Achillesa i żółwia” sofizmatem “Źródło jego tkwi w tym, że Zenon zastąpił ciągłe wielkości przestrzeni i czasu odcinkami i interwałami czasowymi, a więc wielkościami nieciągłymi, zmieniającymi się skokowo.” Różnicę między sofizmatami i paradoksami wyjaśnia następująco “Twierdzenia bywają różnorakie. Niektóre wydają się pozornie sprzeczne z powszechnie przyjętymi sądami, tym niemniej są prawdziwe. Nazywamy je paradoksami. Inne, które nazywamy sofizmatami, tylko pozornie wydają się prawdziwe, w rzeczywistości zaś są fałszywe. Są wreszcie takie, które pozornie wydają się prawdziwe zarówno w danych warunkach, jak i w warunkach sprzecznych z danymi; nazywamy je antynomiami” (str. 76)
W terminologii anglosaskiej paradoksem nazywany jest paradoks oraz antynomia  i .
Strzała
"Lecąca strzała w każdej chwili lotu znajduje się w pewnym miejscu, jeżeli znajduje się w pewnym miejscu, to w tym miejscu spoczywa, zatem strzała spoczywa podczas lotu" U Arystotelesa brzmiało to "skoro wszystko albo zawsze znajduje się w stanie spoczynku, albo w ruchu, i że jest w spoczynku, gdy zajmuje równą sobie przestrzeń, a to, co jest w ruchu, znajduje się zawsze w jakimś ‘teraz’, wobec tego strzała wypuszczona z łuku stoi w miejscu" cyt. za :  Filozofia przyrody wykład 5 "Ruch" s.4
„Lecąca strzała w chwili teraźniejszej nie porusza się, lecz spoczywa w powietrzu i nie przebiega żadnej przestrzeni; tak samo w każdej innej chwili. Czas składa się jednak z chwil, więc strzała nie może posuwać się naprzód, tylko spoczywa. Błąd rozumowania polegał na tym, że punkty i momenty można jedynie całkować, a nie - sumować. Rachunek całkowy wynalazł dopiero Newton.” (Andrzej Trepka „Biokosmos” t. 1 ISBN 83-03-00497-2 s. 101n)
Błędność Strzały tkwi w utożsamieniu znajduje się ze spoczywa. “Dla Zenona określenie położenia ciała było możliwe tylko wówczas, gdy ciało spoczywało.” (Płochocki loc. cit.)
Podobnie jak Strzała, Dychotomia (gr. dichotomía διχοτομία 'dwudzielność') czyli Biegacz również sprawia dodatkowy problem, skoro nie może ruszyć to tak samo ani Achilles ani żółw.
Możliwe "że zdaniem Zenona oba sprzeczne ze sobą poglądy prowadza do podobnych trudności, a tylko stronniczość Zenona sprawia, że ukazuje wyłącznie trudności przeciwnika - nigdy swoje." (Paradoksy Zenona)
Wg tego artykułu "Wielu współczesnych fizyków i matematyków twierdzi, że na cztery paradoksy łatwo odpowiedzieć za pomocą rachunku różniczkowego. Takie stanowisko prezentuje na przykład Carl Boyer, autor ‘’Historii rachunku różniczkowego‘’. Pisze on: Nie ma logicznych trudności w Dychotomii ani w Achillesie, a niedogodność polega na tym, że wyobraźnia jest zawodna, gdy chodzi o uchwycenie za pomocą wrażeń zmysłowych istoty zbieżnego szeregu nieskończonego, pojęcia mającego podstawowe znaczenie dla ścisłego wyjaśnienia ciągłości. W paradoksie lecącej strzały tkwi bezpośrednio pojęcie pochodnej, przy pomocy której można natychmiast znaleźć nań odpowiedź. Na argument tego paradoksu, a także paradoksu stadionu, odpowiedzieć można przyjmując, że odstępy odległości i czasu zawierają nieskończoną liczbę mniejszych części. Analiza matematyczna wykazała, że pojęcie klasy nieskończonej nie jest sprzeczne samo ze sobą i że trudności występujące tu, a także i w przypadku pierwszych dwóch paradoksów, polegają na tym, że trudno jest pojąć intuicyjnie naturę kontinuum i zbiorów nieskończonych” (s.16n)
Stadion
"Szybkość z jaką porusza się przedmiot jest zależna od tego, względem jakich przedmiotów jest rozważana. Jeśli zaś ruch dokonuje się z szybkością, która jest jednocześnie taka i inna, to jest sprzeczny i nie może istnieć. (Zaznaczyć trzeba, że argument ten wbrew przekonaniu Zenona nie udowadnia jednak sprzeczności ruchu, lecz jego względność.)"  (Zenon)
"Czwarty argument w przekazie doksograficznym jest trochę nie bardzo wiadomo o czym, i o jakie przedmioty Zenonowi chodzi, a nazywa się Stadion. Chodzi Zenonowi w Stadionie o to, że de facto ruch nie istnieje, ponieważ odległości przebyte przez inne przedmioty w stosunku do innych przedmiotów w momentach czasowych są względne." (Zenon Aporie Paradoksy)
W ros. Wiki piszą podobnie "Aporia ta sformułowana jest nie w pełni jasno."
Tekst oryginalny "τέταρτος δ' ὁ περὶ τῶν ἐν τῷ σταδίῳ κινουμένων ἐξ ἐναντίας ἴσων ὄγκων παρ' ἴσους, τῶν μὲν ἀπὸ τέλους τοῦ σταδίου τῶν δ' ἀπὸ μέσου, ἴσῳ τάχει, ἐν ᾧ συμβαίνειν οἴεται ἴσον εἶναι χρόνον τῷ διπλασίῳ τὸν ἥμισυν. ἔστι δ' ὁ παραλογισμὸς ἐν τῷ τὸ μὲν παρὰ κινούμενον τὸ δὲ παρ' ἠρεμοῦν τὸ ἴσον μέγεθος ἀξιοῦν τῷ ἴσῳ τάχει τὸν ἴσον φέρεσθαι χρόνον· τοῦτο δ' ἐστὶ ψεῦδος." (Arystoteles "Fizyka" księga 6 rozdział 9) "Czwarty argument brzmi : dwa szeregi ciał, z których każdy składa się z równej liczby jednostek równej wielkości, mijają się na hipodromie poruszając się z taką samą prędkością w przeciwnych kierunkach, jeden początkowo zajmuje miejsce między metą a środkiem trasy, drugi między środkiem a startem. [Zenon] wyciąga z tego wniosek, iż połowa danego czasu jest równa dwukrotnie dłuższemu czasowi [tzn. całemu]. Błędność rozumowania (dosł. paralogizm) tkwi w założeniu, że ciału zajmuje równy czas mijanie z równą szybkością ciała, które jest w ruchu i ciała równej wielkości, które jest w spoczynku - które to założenie jest fałszywe." (Tłumaczenie moje częściowo z ros., częściowo z ang. , ). Jedną z proponowanych interpretacji twierdzenia Zenona w ros. Wiki jest : jeden obiekt traci tyle czasu na mijanie drugiego będącego w ruchu tyle, ile by stracił mijając go spoczywającego (co oznaczałoby że połowa jest równa całości); inną, że chwili spotkania nie można podzielić na połowy gdyż jest niepodzielna ("atom") zatem ruch jest pozorny; lub wreszcie że przypomina to późniejszy paradoks Galileusza (suma kolejnych liczb 1 + 2 + 3... jest równa sumie kwadratów tych liczb 1 + 4 + 9...  w obu wynik jest nieskończony). 
Dalej Arystoteles opisuje ruch tych ciał oznaczając je AA, BB i CC (w oryginale zamiast C jest Γ). A stoi, B i C jadą. Obrazek zapożyczony z czeskiej Wiki

text: AAAA
BBBB→

text: ←CCCC
Cztery bloki B tej samej wielkości poruszają się wzdłuż takich samych czterech bloków A, które są w stanie spoczynku. Kolejne cztery równej wielkości bloki C poruszają się z tą samą prędkością, ale w przeciwnym kierunku, oczywiście na innym torze. (Ponieważ jeden blok ciągnie następne, można je nazwać wagonikami). Paradoksem ma być, że dwukrotnie większa szybkość C jest taka sama jak szybkość B. Błędem jest to, że Zenon nie rozróżnia względnej prędkości różnych od siebie jednostek: szybkość B względem C (i vice versa) jest rzeczywiście dwukrotnie wyższa od szybkości każdego z nich względem A.
(Obrazek ten figuruje w wydaniu źródeł dawnych myślicieli "Die Fragmente der Vorsokratiker" (1903) na str. 137)
Pozostałe twierdzenia Zenona
Omówiono tu 4 aporie Zenona a podobno było ich 5 o ruchu i 40 dotyczących innych spraw. Przetrwało 
ich 9, do omówienia pozostaje 5. 
Definicja
W ros. napisano jakoś tak (w skrócie) "aporie Zenona zwykle stanowią epicheirematy (gr. ἐπιχείρημα lm. επιχειρήματα). Epicheiremat - skrócony sylogizm w którym obie przesłanki są entymematami." 
Epicheiremat (gr. epi - nad, cheir - ręka, zatem "coś zręcznego") tłumaczony jest zwykle jako "wnioskowanie obalające".
Pilot Pirx (dyskusja) 23:07, 23 wrz 2012 (CEST)
thread_title:  i żółw, oraz inne sprawy