Dyskusja:Potęgowanie

message: Temat jest dość nieprzyjemny, z oczywistych względów: 2 mogę (?) podnieść do dowolnej potęgi, lecz -2 już nie: jeśli wykładnik jest postaci 1/2n, nie - jeśli postaci 1/(2n+1) - tak. Nie pamiętam co mówi umowa (i czy w ogóle jest jakaś) o potędze 2k/(2n+1) - czy najpierw 2k, czy 1/(2n+1)? Zaś potęga o wykładniku niewymiernym... Gdyby przejść do granicy tak, by dało się obliczać (-2)^kn?
Teraz mam inne sprawy na głowie, ale później zajmę się artykułem, bo wymaga on poprawy (jeśli ktoś nie zrobi tego wcześniej). C4 07:12, 4 maj 2004 (CEST)
Co do potęgi 2k/(2n+1): Dowolną liczbę można podnieść do dowolnej potęgi (oprócz 00), tyle że czasem dostanie się wynik zespolony. Te wszystkie szczegółowe umowy, co wolno a co nie, są w zasadzie tylko dla uczniów szkoły średniej, żeby nie musieli się uczyć liczb zespolonych. Ponieważ po podniesieniu liczby rzeczywistej do potęgi 2k/(2n+1) nigdy poza rzeczywiste nie wyskoczą, więc mniemam, że wolno im to robić, w kolejności najpierw 2k, a potem 1/(2n+1). Olaf 17:14, 4 maj 2004 (CEST)
Z tą szkołą średnią to racja. Wypadałoby uwzględnić tę uwagę w artykule - tzn. tak go sformułować, by było i ściśle i przystępnie i prosto... C4 17:46, 4 maj 2004 (CEST)
A w ogóle, to pomyliłem się i nie każdą liczbę do dowolnej potęgi oprócz 00. Można podnosić xy, o ile x≠0 lub y>0. No. Teraz już dobrze. :-) Zaraz to wszystko podopisuję do artykułu. Olaf 19:30, 4 maj 2004 (CEST)
Olafie, nie wiem czy jest sens pisać w tym miejscu o potęgowaniu w dziedzinie zespolonej. Chcemy przecież, by potęgowanie było działaniem, a głupie 1^(1/4) daje cztery różne wartości. Może ograniczyć się do słownikowego opisu w dziedzinie rzeczywistej, robiąc link do osobnego artykułu o potęgowaniu w dziedzinie zespolonej? C4 21:41, 4 maj 2004 (CEST)
Co do tego, czy poprzez granice wymiernych da się potęgować np. (-2)^(1/2), to niby można by tak:
(-2)^\frac{1}{2}=\lim_{n\to\infty}(-2)^\frac{2n}{4n+1}
Tyle, że ta granica istnieje tylko dla podstawy nieujemnej... I dlatego właśnie nie można liczb ujemnych podnosić do potęgi niewymiernej! O rany, znowu się rąbnąłem w artykule... A więc z tymi zespolonymi też nie jest tak prosto jak myślałem. :-( 
Potęgowanie jest straszne. Oto ostateczna prawda wszechświata. :-(
A co do dziedziny zespolonej, to w zasadzie to jest ta sama operacja, więc czemu osobny artykuł ?
Olaf 21:54, 4 maj 2004 (CEST)
Potęgowanie w dziedzinie zespolonej nie jest jednoznaczne. 1^(1/4) daje cztery różne wartości zespolone. W dziedzinie rzeczywistej też byłyby dwie, gdyby nie umowa, że wyciągamy pierwiastek arytmetyczny, nieujemny z definicji. I dlatego potęgowanie w dziedzinie zespolonej trzeba by dokładnie opisać, wiążąc przy okazji np. z pierwiastkami z 1. C4 22:04, 4 maj 2004 (CEST)
Święta racja. Ale może jednak zrobić z tego sekcję na końcu tego ? 
Hehe, jak ten artykuł kiedyś powstanie i w dodatku będzie ścisły i czytelny jednocześnie, to zgłosimy go wspólnie do artykułów na medal. Naprawdę będzie nam się należał. 
Olaf 22:09, 4 maj 2004 (CEST)
Nie cierpię emotikonów, ale teraz się nie obejdę   :-))
Koniec na dziś, do jutra(?). C4 22:20, 4 maj 2004 (CEST)
>> W artykule jest napisane:
>> Często przez potęgowanie dwóch liczb, nawet rzeczywistych, otrzymujemy wynik ZESPOLONY.
Powinno być UROJONY, bo poza ciało liczb zespolonych to chyba nie chcesz wychodzić? ;)
Czy słowo "urojony" nie oznacza liczby postaci xi, gdzie x jest rzeczywiste ?
(-1)^(1/4) w takim razie nie będzie urojone. Taw 01:51, 8 lip 2004 (CEST)
No tak, ale to zdanie faktycznie bylo dziwne, bo wynik zespolony otrzymujemy przy potegowaniu dowolnych dwoch liczb rzeczywistych (a i zespolonych) _zawsze_ a nie tylko czesto.
A swoja droga, podpowiedz mi, bo nie pamietam - jesli podnosimy do potegi 1/n to powstaje n pierwiastkow zespolonych. A jesli podnosimy do potegi zespolonej (nie-rzeczywistej) niewymiernej ? Nieskonczonosc ? Olaf 02:11, 8 lip 2004 (CEST)
x^y = {e^{\log x}}^y = e^{y \log x}
Cały trick polega na tym, że jeśli \log x jest funkcją wielowartościową, i różnica pomiędzy jego wartościami to k \times 2\pi i, dla dowolnego k.
Jeśli z będzie dowolnym wybranym logarytmem x, to:
x^y = e^{y (z + 2i\pi k)} = e^{yz} e^{y 2i\pi k}
Teraz trzeba sobie odpowiedzieć na pytanie – jaki zbiór tworzy ciąg 2i\pi yk \mod 2i\pi, czyli
yk \mod 1. Jeśli y jest niewymierne lub będzie miało niezerową część urojoną to zbiór ten będzie nieskończenie duży. Zbiór ten będzie skończony i będzie miał n elementów dla y = \frac c n (c i n względnie pierwsze).
Właściwie to możnaby to do artykułu wrzucić.
Taw 02:22, 8 lip 2004 (CEST)

message: Tutaj jednak dla ujemnych liczb sin^{-1}x oznacza arc sin x. (odwrotności funkcji trygonometrycznych mają oddzielne nazwy - odpowiednio: cosecans, secans, cotangens).
Autorowi pomieszała się odwrotność funkcji z funkcją odwrotną. Są to dwie różne sprawy. Odwrotnością funkcji trygonometrycznych są tzw. kofunkcje:
* cosecans:
replies: text: cosec\alpha=\frac 1 {sin\alpha}
* secans

text: sec\alpha=\frac 1 {cos\alpha}
* cotangens

text: ctg\alpha=\frac 1 {tg\alpha}
A zatem
sin^{-1}(\alpha)= cosec\alpha,
a nie:
sin^{-1}(\alpha)= arc sin\alpha.
Natomiast funkcje kołowe są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych i są określone w tych przedziałach, w których odpowiednie funkcje trygonometryczne są monotoniczne (stale rosnące lub stale malejące). W związku z tym:
*funkcję odwrotną do funkcji x = sin α oznaczamy symbolem:

text: \alpha= arc sin x
i czytamy:  α jest miarą łukową kąta, którego sinus jest równy x.

text: M-i 10:15, 17 mar 2005
A więc w en:Exponentiation jest źle? --Googl 14:51, 21 mar 2005 (CET)
*To kwestia konwencji, w literaturze angielskiej przyjęło się oznaczać sin-1x = arcsinx. Nie do końca jestem pewien jak jest w polskiej literaturze. --filu 15:35, 4 kwi 2005 (CEST)
** Nie mówię, że Anglicy dobrze interpretują zapis funkcji odwrotnej do funkcji trygonometrycznej. Jest on na pierwszy rzut oka błędny (w innych Wiki nie spotkałem takiego zapisu). Jeśli bowiem zapis funkcji, np. f  -1 oznacza odwrotność danej funkcji f, to w wypadku funkcji trygonometrycznej tak nie jest. Oto przykład:

text: Jeśli: sin2 x oznacza (sin x) 2, a nie sin sin x.

text: Przez analogię sin3 x oznacza (sin x) 3, a nie sin sin sin x.

text: A zatem również: sin-1 x oznacza (sin x) -1, a nie arcsinx, gdyż: 
arcsinx jest funkcją  o d w r o t n ą  do funkcji sin x, natomiast
sin-1x jest o d w r o t n o ś c i ą  funkcji sin x, czyli sin x = cosec x.

text: Uwaga: w tym wypadku liczby 2, 3, -1 oznaczają wykładnik potęgi.

text: M-i 20:00, 4 kwi 2005 (CEST)
*Pytałem o jakieś źródło potwierdzające, że sin-1 jest w polskiej literaturze traktowane jako cosec.  Chodzi mi o źródło papierowe. To że dla dodatnich potęg przyjął się zapis sin2x≡(sinx)2 nie oznacza, że konwencja ta rozciąga się na wykładnik -1. Wątpliwość moja związana jest z faktem, że normalnie w przypadku funkcji wykładnik -1 oznacza funkcję odwrotną (a nie odwrotność funkcji jak to napisałeś w artykule), i taką konwencję stosuje się w literaturze angielskojęzycznej w odniesieniu do sinusa. Chciałbym po prostu móc z czystym sumieniem umieścić w artykule informację, że taka albo inna jest polska konwencja. --filu 20:40, 4 kwi 2005 (CEST)
thread_title: Funkcje trygonometryczne

message: Jaka jest polska nazwa dla działania polegającego na wielokrotnym potęgowaniu:
Przykład oznaczenia działania:
x^{x^{x^x}} = x \uparrow\uparrow 4
Angielski artykuł: :en:Tetration
Superborsuk Ω 01:03, 21 paź 2005 (CEST)
Nie wiem, na razie postawiłem w artykule. googl 19:09, 14 gru 2005 (CET)
thread_title: Tetration

message: Mam wątpliwości co do zdania "...funkcja f(x) = 0x nie ma większego znaczenia".
Dla kogo nie ma większego znaczenia?
Wydaje mi się, że to zdanie nie ma statusu zdania stricte naukowego.
replies: text: Zdania już nie ma. Olaf @ 10:01, 11 sty 2009 (CET)
Jak się ma 00 do normy IEEE (nie pamiętam numeru) dotyczącej FPU? To dosyć ważna informacja. AdamK (dyskusja) 15:52, 16 sie 2010 (CEST)
thread_title:  Potęga 0<sup>0</sup> 

message: HIPEROPERACJA    	notacja         	nr.
zeracja          	[0], S()        	0
dodawanie        	+               	1
mnożenie         	×               	2
potęgowanie      	a^b, ^          	3
tetracja         	{^b a}, [4], ↑↑ 	4
pentacja         	[5]             	5
heksacja         	[6]             	6
heptacja         	[7]             	7
oktacja          	[8]             	8
enneacja         	[9]             	9
dekacja          	[10]            	10
undecacja        	[11]            	11
wigintacja       	[20]            	20
centacja         	[100]           	100
cziliacja        	[1000]          	1000
ekatomyriacja    	[1000000]       	1000000
trisekatomyriocja	[1000000000000] 	1000000000000
cirkulacja       	[∞]             	∞
ekspansja        	[[1]], {a,b,1,2}	
multiekspansja   	[[2]]           	
ekspandotetracja 	[[4]]           	
eksplozja        	[[[1]]]         	
pentonacja       	[[[[[1]]]]]     	
megocja          	{a,b,1,1,2}     	
powiainacja      	{a,b,1,1,1,2}
thread_title:  hiperoperacje 

message: W dniu 4 i 6 mara 2024 Ip-ek   próbował poprawić merytoryczne błędy w sekcji „Etymologia”. Niestety  Epsilon598 cofnął mu te poprawki. I dalej wisi tam koślawy biernik „exponentem” (zamiast mianownika „exponens”  ). 
Ja uważam, że jest gorzej. Wg mnie cała ta sekcja jest efektem mechanicznego tłumaczenia. Mam wątpliwości, czy w tym artykule w ogóle powinna pojawić się sekcja omawiająca etymologię terminów „wykładnik”, „potęga”. 185.253.231.243 (dyskusja) 11:21, 22 mar 2024 (CET)
replies: text: Zgadzam się, że sekcja z etymologią jest co najmniej dziwna w obecnej formie – zdaje się, że za bardzo nawiązuje do języka angielskiego i prawdopodobnie pochodzi z translatora (stąd szablon). Nie jestem jednak przekonany, że należy ją usunąć. Stąd tego nie zrobiłem.

text: Nie mogę odnieść się do zasadności proponowanej poprawki, bo nie znam na tyle gramatyki łacińskiej. Zwróciłem jednak uwagę, że nie możemy poprawiać artykułu w oparciu o twórczość własną a obecny stan rzeczy ma poparcie w źródłach przynajmniej na enwiki – jedno z nich wspomniałem w opisie wycofania. Epsilon598 (dyskusja) 11:38, 22 mar 2024 (CET)

text: Też uważam, że efektem  użycia translatora jest całkowite osadzenie tej sekcji  w świecie anglojęzycznym. Spróbuję to uzasadnić.  W języku polskim funkcjonuje kilka zapożyczeń z angielskiego/łaciny pochodzących od czasownika łac.:    pono, ponere, posui, positum Niektóre z nich to:  „dysponent”, „oponent”, „eksponent”  i analogiczne „dyspozycja”, „opozycja”, „ekspozycja” (trzy pierwsze urobione od imiesłowu czynnego cz. teraźn. „ponens” od  tematu czasownika „pono”, następne trzy od imiesłowu biernego cz. przeszł. „positus” od supinum „positum”).Zapożyczenie „eksponent” funkcjonuje w języku polskim w znaczeniach  1. wyraziciel,  2. wystawca. W matematyce funkcjonuje termin „funkcja eksponencjalna” jako synonim funkcji wykładniczej, w skróconej formie „eksponent” lub „eksponenta” jako efekt użycia funkcji wykładniczej. Sam wykładnik w funkcji wykładniczej lub w potęgowej w polskiej terminologii określany jest właśnie jako „wykładnik”.  I jako taki jest kalką językową od słowa „exponens/exponent”, ma więc „naszą” etymologię.Po co w polskiej wersji językowej artykułu zajmować się etymologią angielskiego słowa „exponent”,  skoro w tym artykule i w ogóle terminologii polskiej funkcjonuje polski termin „wykładnik”? Niech etymologią angielskich słów zajmuje się angielska wersja językowa tego hasła.Rzeczownik „wykładnik” jest urobiony od słowa „wykładać” (analogicznie do „składać – składnik”, „stronić – stronnik”, „czytać – czytnik” itp. ).  Z kolei „wykładać” razem z całą grupą czasowników z różnymi przyimkami w roli przedrostków) (np. „składać”, „przekładać”, „układać”  itd.) małą wspólny rdzeń  „-kład-” (por. „kłaść”).  I do tego ostatniego można sobie szukać etymologii w staropolszczyźnie, w języku  starocerkiewno-słowiańskim albo (pra)indoeuropejskim .Podobnie uwagi mam do terminu „potęga” („potężny”, „tęgi”, „stężeć”, „wytężać” ). On też jest kalką, i też ma swoją etymologię, bynajmniej ani angielską ani łacińską.Przy okazji: w matematyce funkcjonują  dwa terminy (mające z grubsza biorąc to samo znaczenie) – „ortogonalny” i „prostokątny”, pierwszy z nich jest zapożyczeniem, drugi jest kalką. W przypadku tego drugiego nie oczekiwałbym żadnej etymologii w polskich hasłach (a jeśli już, to etymologii w języku polskim/słowiańskim «prosty+kąt?»). Analogicznie jest z parą terminów „heksagon” i „sześciokąt”.185.253.231.243 (dyskusja) 12:34, 22 mar 2024 (CET)

text: . Jak dalece ta sekcja jest anglocentryczna, pokazuje link  ( https://www.etymonline.com/: ) ze źródłem, na które dwukrotnie zdążyłeś się powołać. Przeanalizowałem kilka przykładów zapożyczeń z łaciny.

text: Trzy czasowniki polskie czasowniki
replies: text: :eksponować, mutować, kreować

text: są urobione od osobowej formy 1 os. l.poj. czasowników łacińskich expono, muto, creo

text: Z kolei angielskie ich odpowiedniki
replies: text: :expose, mutate, create

text: są urobione od odpowiednich form supinum tych łacińskich czasowników: expositum, mutatum, creatum

text: Tu już widać, jak różnie działają słowniki etymologiczne angielskie i polskie.

text: Inne przykłady
replies: text: :kondycja, ekspedycja,  translacja, nacja

text: nasza etymologia odwołuje się do mianowników (nominatywów) łacińskich:conditio, expeditio, translatio, natio

text: Z kolei dla angielskich odpowiedników
replies: text: :condition, expedition, translation, nation

text: etymologia odwołuje się do przypadka zależnego tj. biernika (może też  być dopełniacz):conditionem, expeditionem, translationem, nationem

text: Dlaczego? Bo do nas trafiły mianowniki (łacińskie «-tio» odwzorowało się w polskie «-cja». Ba, nawet rodzaj żeński jest zachowany) a do Anglików trafiły całe tematy tych rzeczowników zachowane właśnie w przypadkach zależnych (typowe zjawisko w III deklinacji), stąd mają oni tę wygłosową spółgłoskę «-n».

text: Ta metoda ustalania etymologii obowiązuje dla dużej grupy zapożyczeń. I dokładnie z tych powodów angielskie exponent u Anglików jest wywiedzione z łacińskiego biernika (acc) exponentem a polskie eksponent jest wywiedzione z łacińskiego mianownika (nom.) exponens.

text: Jednak z tym artykułem jest większy problem, ale opiszę to w innym zgłoszeniu.185.253.231.243 (dyskusja) 09:19, 25 mar 2024 (CET)
thread_title:  z [[Wikipedia:Zgłoś błąd w artykule]] 

message: W sekcji „Definicje dla różnych przypadków / Wykładnik naturalny” są wypisane trzy własności:
replies: text: a^{m + n} = a^m \cdot a^n, \;\;\;\; (a^m)^n=a^{m \cdot n} \;\;\;\;  (a\cdot b)^m = a^m\cdot b^m.
Własności te w dniu 3 lipca 2023  MARECKI kamerzysta  upiększył swoimi „dowodami”. Zatwierdził to , a 17 lipca Mik dopieścił te „dowody”. 
Celowo piszę „dowody”  w cudzysłowie. Oto one. 
#a^m \cdot a^n = \overbrace{  \underbrace{ a \cdot a \cdots a }_m \cdot  \underbrace{ a \cdot a \cdots a}_n}^{m + n}
#(a^m)^n =\overbrace{ \underbrace{ a \cdot a \cdots a}_m \cdot \underbrace{ a \cdot a \cdots a}_m \cdots \underbrace{ a \cdot a \cdots }_m}^n
#(a \cdot b)^m =\underbrace{ (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdots (a \cdot b) }_m =\underbrace{ a \cdot a \cdots a}_m \cdot \underbrace{ b \cdot b\cdots b }_m 
Otóż próbuję zgłębić tajemnice ukryte w tych klamerkowych „dowodach”. 
W pierwszym "dowodzie" widnieją klamerki górne i dolne a opisy tych klamerek sugerują, jaką liczbę literek obejmuje każda z klamerek. Idąc tym tropem, patrzę na drugi „dowód” i domyślam się, że górna klamerka obejmuje n literek. No i klapa, bo to znaczyłoby, że (a^m)^n=a^n. Na dodatek m musiałoby być dzielnikiem liczby n, co jest bez sensu, bo m, n są dowolnymi niezależnymi od siebie liczbami naturalnymi. To już lepiej było to tak narysować:

text: \underbrace{    \underbrace{ a \cdot a \cdots a}_m \cdot    \underbrace{ a \cdot a \cdots a}_m \cdots
    \underbrace{ a \cdot a \cdots a}_m}_n
Teraz przynajmniej można się domyśleć, że duża klamerka każe sumować mniejsze klamerki a nie literki.
Jeszcze gorzej jest z trzecim „dowodem” klamerkowym. Tu właściwie nie wiadomo, co należy zsumować: literki, nawiasy, kropki? Jeśli autorowi tego „dowodu” chodziło o sumowanie grup ujętych w nawiasy, to powinien to narysować tak:„”

text: \underbrace{ \underbrace{(a \cdot b)}_2 \underbrace{\cdot (a \cdot b)}_2 \cdots \underbrace{ (a \cdot b)}_2 }_m =
\underbrace{ a \cdot a \cdots a}_m \cdot \underbrace{ b \cdot b\cdots b }_m 
ewentualnie uzupełniając o jeszcze jeden klamerkowy rysunek:

text: \underbrace{ \underbrace{(a \cdot b)}_2 \underbrace{\cdot (a \cdot b)}_2 \cdots \underbrace{ (a \cdot b)}_2 }_m = \underbrace{ (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdots (a \cdot b) }_{2m} =
\underbrace{ a \cdot a \cdots a}_m \cdot \underbrace{ b \cdot b\cdots b }_m 
Jak widać każda z tych poziomych klamer wymaga jakiejś „instrukcji obsługi”, aby wiedzieć,  które spośród obejmowanych znaczków  należy zliczać (litery?, kropki ?, nawiasy? pary nawiasów? inne klamerki?). I niewiele zmienią sugerowanie przeze mnie zmiany. Piszę o tym, aby wykazać, że tak nie dowodzi się twierdzeń w matematyce. Nic nie pomogą tu dumne nagłówki „dowód”. To nie są żadne dowody, to nadaje  co najwyżej na ilustracje dla dzieci w szóstej/siódmej klasy szkoły podstawowej, one mają w zwyczaju przeprowadzać dowody w stylu „a czego tu dowodzić! przecież to widać na rysunku!”. Do artykułu matematycznego to zupełnie nie pasuje W matematyce twierdzenia się pisze, aksjomaty się pisze i dowody się pisze. Pisze a nie rysuje. Nie wspomnę już o tym, że takich obrazkowych „dowodów” nie można powtórzyć w dowodzeniu następnych własności potęgi o wykładnikach całkowitych czy wymiernych. 185.253.231.243 (dyskusja) 11:32, 25 mar 2024 (CET)

text: To są dobre uwagi i chętnie to zastąpię czymś bardziej formalnym jak znak iloczynu (duże pi). Tarnoob (dyskusja) 12:53, 25 mar 2024 (CET)
replies: text: : z całym szacunkiem, ale to nic nie zmieni. Mamy już przecież odpowiednią symbolikę:
replies: text: ::a^m=\prod_{i=n}^m a

text: :i podobnie jak a^m  ma swoją indukcyjną definicję  a^{n+1}=a^{n}\cdot a \;\; tak samo \prod ma swoją indukcyjną definicją \prod_{i=1}^{n+1} a = \prod_{i=1}^{n} a \cdot a

text: :Symbolika z potęgą wydaje się dużo prostsza i czytelniejsza niż ta z symbolem \prod, bo zamiast dowodzić np. a^{m+n}=a^m\cdot a^n musiałbyś dowodzić czegoś takiego:
replies: text: ::\prod_{i=1}^{m+n} a = \prod_{i=1}^{m} a \cdot \prod_{i=1}^{n} a

text: :185.253.231.243 (dyskusja) 13:33, 25 mar 2024 (CET)
*Umieszczanie dowodów twierdzeń w encyklopedii jest całkowicie zbędne. To nie podręcznik. IOIOI2 13:47, 25 mar 2024 (CET)

text: *Wstawianie/nie wstawianie dowodów twierdzeń jest rzeczą dyskusyjną. Osobiście nie mam nic przeciw. Często bywa tak, że przestudiowanie dowodu twierdzenia pozwala lepiej zrozumieć „działanie” danego pojęcia i jego „interakcje” z innymi pojęciami. Ważne jest, aby dowód (jeśli już jest zamieszczony) był faktycznie dowodem a nie szarlatanerią.Gdyby więc kogoś zainteresowało, jak dowody omawianych własności powinny wyglądać, to proszę bardzo.Opieramy się na indukcyjnej (a nie klamerkowej) definicji potęgi: \;\;a^0=1,\;\;\; a^{n+1}=a^n\cdot a\;\; i  prawdziwości  dowodzimy indukcyjnie względem zmiennej n. Ich prawdziwość jest oczywista dla  n=0\; i \;n=1, zakładamy więc ich prawdziwość dla n-1.Wówczas

text: #a^{m+n}=a^{(m+n-1)+1}\; \stackrel{d}{=}\; a^{m+n-1}\cdot a  \;\;  \stackrel{z}{=}  \;\; a^{m}\cdot a^{n-1} \cdot a \;\;\stackrel{d}{=}  \;\; a^{m}\cdot a^{n}

text: #(a^m)^{n}=(a^m)^{(n-1)+1}\; \stackrel{d}{=}\; (a^m)^{n-1}\cdot (a^m)  \;\;  \stackrel{z}{=}  \;\; a^{m(n-1)}\cdot a^m  \;\;\stackrel{t}{=}  \;\; a^{m(n-1)+m} = a^{mn}

text: #(ab)^n = (ab)^{(n-1)+1}\; \stackrel{d}{=}\; (ab)^{n-1} \cdot (ab)  \;\;  \stackrel{z}{=}  \;\; a^{n-1} \cdot b^{n-1} \cdot ab  \;\;\stackrel{p}{=}  \;\; a^{n-1}a \cdot b^{n-1}b \;\;\stackrel{d}{=}  \;\;a^{n}\cdot b^n
replies: text: :Znaczniki nad znakami „=” informują, że w kolejnym kroku dowodu korzystamy z: d – definicji indukcyjnejz – założenia indukcyjnegot – twierdzenia 1. (z dodawaniem wykładników)p – przemiennościDowody podobne do tego można znaleźć np. u Grzegorczyka „Zarys arytmetyki teoretycznej” BM 39 str. 17 185.253.231.243 (dyskusja) 14:17, 25 mar 2024 (CET)

text: *Dodam jeszcze, że położenie nacisku na definicję indukcyjną i indukcyjność powyżej wypisanych dowodów, pozwoliłoby (być może) uniknąć pseudomatematycznych wywodów, które zobaczyłem na enwiki. tam wywodzą z własności a^{m + n} = a^m \cdot a^n, \;\;\;\; następujące fakty  a^0=1\;\;\;\;a^1=a.Toż to dopiero szarlataneria! 185.253.231.243 (dyskusja) 14:39, 25 mar 2024 (CET)

text: *:Dobrze że ktoś napisał formalne dowody ja faktycznie zapędziłem się pisząc DOWÓD. Miałem na myśli krótkie i przejrzyste dla każdego (w przeciwieństwie do formalnych dowodów) wyjaśnienie dlaczego te własności mają sens i też nie wiem czemu uważać że w encyklopedii takie coś jest całkowicie nie potrzebne gdybym ja np nie wiedział skąd się to wzięło to takie coś było by dla mnie bardzo wygodne dlatego postanowiłem te "dowody" dopisać. MARECKI kamerzysta (dyskusja) 00:56, 26 mar 2024 (CET)

text: *::Ok. , miło, że podjąłeś temat. Twój wpis świadczy o tym, że jednak niektórzy czytelnicy Wikipedii chcieliby widzieć oprócz twierdzeń także ich dowody. Proszę jednak, nie nazywaj tego ani dowodami ani „dowodami”. To są po prostu (po wniesieniu sugerowanych przeze mnie poprawek) ładnymi ilustracjami. Przydatnymi, bo wyrabiają odpowiednie intuicje u laików i uwiarygadniają w ich oczach wzory z tych twierdzeń. Nie mogą jednak zastępować ścisłych dowodów. Niestety znalazłem w artykule  jeszcze jeden kwiatuszek. Opiszę go w kolejnym zgłoszeniu. 185.253.231.243 (dyskusja) 09:10, 26 mar 2024 (CET)
thread_title:  z [[Wikipedia:Zgłoś błąd w artykule]] 

message: Jeszcze inny (chyba gorszy) błąd  popełnił   MARECKI kamerzysta   w sekcji „Wykładnik wymierny”, w której postanowił  udowodnić definicję potęgi o wykładniku ułamkowym. UDOWODNIĆ DEFINICJĘ !?!?!?. A w tym „dowodzie” same niemądre rzeczy. Informuję, że definicji się nie dowodzi, dowodzi się twierdzeń, lematów, własności. Co do definicji, to należy sprawdzić jej poprawność: czy mają poprawnie zachodzące zakresy definiens i definiendum, czy definicja jest informująca, czy nie jest błędnym kołem (idem per idem) , czy  odwołuje się do pojęć już zdefiniowanych itd. 185.253.231.243 (dyskusja) 09:24, 26 mar 2024 (CET)
replies: text: Na wypadek, gdyby ktoś chciał wiedzieć, jak się dowodzi  własności potęg o wykładniku wymiernym, przedstawiam takie dowody.

text: Opieramy się na prawdziwości tych własności dla liczb całkowitych.

text: #a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}} = a^{\frac{mq+np}{nq}} \;\;\stackrel{d}{=}  \;\;   \sqrt[nq]{a^{mq+np}} \;\;\stackrel{0}{=}  \;\;   \sqrt[nq]{a^{mq}\cdot a^{np}} \;\;\stackrel{4}{=}  \;\;   \sqrt[nq]{a^{mq}}\cdot \sqrt[nq]{a^{np}} \;\;\stackrel{d}{=}  \;\;   a^{\frac{mq}{nq}}\cdot a^{\frac{np}{nq}} = a^{\frac{m}{n}}\cdot a^{\frac{p}{q}},

text: #\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^{\frac{p}{q}} \;\;\stackrel{d}{=}  \;\;   \sqrt[q]{\left( \sqrt[n]{ a^m} \right)^p} \;\;\stackrel{5}{=}  \;\;   \sqrt[q]{ \sqrt[n]{\left( a^m\right)^p} }  \;\;\stackrel{1}{=}  \;\;   \sqrt[q]{ \sqrt[n]{ a^{mp}} } \;\;\stackrel{6}{=}  \;\;    \sqrt[nq]{ a^{mp}}  \;\;\stackrel{d}{=}  \;\;   x^{\frac{mp}{nq}} = a^{\frac{m}{n}\cdot \frac{p}{q}} ,

text: #  \left(ab\right)^{\frac{m}{n}}  \;\;\stackrel{d}{=}  \;\;  \sqrt[n]{(ab)^m} \;\;\stackrel{2}{=}  \;\;  \sqrt[n]{ a^m\cdot b^m} \;\;\stackrel{4}{=}  \;\;  \sqrt[n]{ a^m}\cdot \sqrt[n]{ b^m}  \;\;\stackrel{d}{=}  \;\;  a^{\frac{m}{n}}\cdot b^{\frac{m}{n}} ,

text: Znaczniki nad znakami „=” informują, że w kolejnym kroku dowodu korzystamy z: d - definicji potęgi o wykładniku wymiernym0 - rozkładu na iloczyn potęg o tej samej podstawie

text: 1 - własności: potęga potęgi jest potęgą o wymnożonym wykładniku 2 - własności: potęga iloczynu jest iloczynem potęg 4 - własności: pierwiastek iloczynu jest iloczynem pierwiastków: \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n] x \sqrt[n] y,5 - własności: potęga pierwiastka jest pierwiastkiem potęgi :  \left(\sqrt[n] x\right)^m = \sqrt[n]{x^m} ,6 - własności: pierwiastek pierwiastka  jest pierwiastkiem z wymnożonym stopniem: \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}= \sqrt[m \cdot n]{a}.Trzy ostatnie przejścia 4, 5, 6 są własnościami pierwiastkowania, są one wymienione w artykule Pierwiastkowanie i ich ewentualne dowody powinny się tam znaleźć. Coś podobnego można znaleźć u Grzegorczyka  „Zarys arytmetyki teoretycznej” BM 39  str. 191185.253.231.243 (dyskusja) 11:29, 26 mar 2024 (CET)

text: może chodzi o dowód poprawności danej definicji? A więc o o, że zdefiniowane działanie jest jednoznaczne. Mpn (dyskusja) 16:01, 27 mar 2024 (CET)
replies: text: :Mpn, a gdzieś Ty się dopatrzył dowodu poprawności definicji? Ja tu nie widzę żadnego sensownego dowodu, który dowodziłby cokolwiek sensownego.  Już lepiej byłoby, gdyby MARECKI kamerzysta zanim wpadł na pomysł umieszczania swojego „dowodu” przeczytał uważnie i ze zrozumieniem zdanie wiszące w tej sekcji od dawna:
replies: text: ::Definicja jest poprawna i jednoznacznie określa potęgę, bowiem istnieje dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste dodatnie równania x^n=c.

text: :I przeczytawszy je na tym poprzestał. Zdanie to jest komentarzem do definicji uzasadniające jej poprawność. A gdyby on lub ktokolwiek inny dociekał, skąd wiadomo, że istnieje dokładnie jedno rozwiązanie powyższego równania (tzn. co najmniej jedno i najwyżej jedno), to mógłby właściwych dowodów szukać np. u Rudina Podstawy analizy matematycznej str 13-14  lub u Grzegorczyka Zarys arytmetyki teoretycznej str 189-190. Nie zaszkodziłoby, gdyby te dowody znalazły się w artykule Pierwiastkowanie, bo tam jest ich miejsce.

text: :Niestety kamerzysta nie przeczytał, a jeśli przeczytał, to nie zrozumiał, w każdym razie nie dociekał takich subtelności. Wolał zabrać się za rzeczy zdecydowania dla niego za trudne i najwyraźniej nie odróżniając twierdzenia od definicji zabrał się za dowodzenie równości:
replies: text: ::\sqrt[n]{a^m} =a^\frac{m}{n}

text: :no i nieszczęście gotowe.217.171.54.25 (dyskusja) 23:37, 5 kwi 2024 (CEST)

text: :Prześledziłem „technikę” rozumowania u kamerzysty. Umieścił on w swoim „dowodzie” dwie równości:
replies: text: ::\sqrt[n]{a^m}^n = a^m\;\; oraz \;\;(a^\frac{m}{n})^n = a^m

text: :Pierwsza z nich jest bezbłędna i poprawnie uzasadniona, bowiem \sqrt[n]{a^m}\;\; po podniesieniu do potęgi n daje właśnie wyrażenie podpierwiastkowe  a^m.  Zastanawia mnie, skąd wzięła się druga z równości:   (a^\frac{m}{n})^n = a^m (pomijam już fakt, że w oryginale jest a(^\frac{m}{n})^n = a^m tzn. w oryginale nawiasy są źle rozstawione). Nasuwają się mi dwie hipotezy. Pierwsza hipoteza podpowiada, że kamerzysta wykorzystał tu fakt, że a^\frac{m}{n} w tej równości można zastąpić (zgodnie z definicją) wyrażeniem \sqrt[n]{a^m}, w efekcie czego ta równość staje się identyczna z pierwszą równością. Czysta tautologia! Co można wywnioskować z równości dwukrotnie zapisanej? tyle samo co z tej równości raz zapisanej! Podejrzewam jednak, że kamerzyście nie o to chodziło. On przecież nie wykorzystuje definicji, on tę definicję dowodzi!!! :( Bardziej prawdopodobna jest więc druga hipoteza. On uznał, że w tej potędze potęgi (a^\frac{m}{n})^n  może wykorzystać mnożenie wykładników. Sam przecież powołał się na początek artykułu o potędze naturalnej. A to już gruby błąd – twierdzenie o potędze potęgi, na które się powołał, jest wymóg, aby oba wykładniki były liczbami naturalnymi.  Tak źle i tak niedobrze. Bezsensowny dowód nie wiadomo czego i jeszcze przeprowadzony z fundamentalnym błędem. Reszty „dowodu” ukrytego w nawiasach nawet nie warto czytać, chociaż można tam doczepić się do co najmniej 2 rzeczy.217.171.54.25 (dyskusja) 00:33, 6 kwi 2024 (CEST)
thread_title:  z [[Wikipedia:Zgłoś błąd w artykule]]