Dyskusja:Największy wspólny dzielnik

message: W kodzie pascala jest błąd... nie wiem jak w innych. powinno być sprawdzanie czy a>b żeby to działało. Proszę podawać najpier liczbę a jako większa, a potem b jako większą.

message: zamiast wzorów powinniście dać przykłady z liczbami na nich o wiele łatwiej się uczy.
replies: text: To jest encyklopedia, a nie podręcznik, więc na samych przykładach poprzestać nie możemy. Ale tu rzeczywiście ich w ogóle nie było. Dodałem. Olaf @ 22:45, 19 paź 2007 (CEST)
thread_title:  zamiast wzorów przykłady 

message: Ktoś kto lubi dłubać w algebrze powinien dopisać o największym wspólnym dzielniku w pierścieniach z jednoznacznym rozkładem, w szczególności w pierścieniu wielomianów \mathbb{Z}[x]. Loxley 10:52, 20 paź 2007 (CEST)
replies: text: Dodałem. A także dla ideałów. Olaf @ 13:08, 20 paź 2007 (CEST)
Czy w obliczu akapitu Uogólnienie na pierścień wielomianów akapit Uogólniene na pierścień wielomianów jest nadal potrzebny?

text: Nie bardzo rozumiem. To znaczy, który akapit chcesz zachować a który wyrzucić? Olaf @ 18:23, 28 paź 2007 (CET)
Potrzebne są pewne uściślenia co do pierściania z jednoznacznym rozkładem (podana jest niepełna definicja) + ktoś może się sugerować że to są jakieś iloczyny nieskończone.

text: Usunąłem zastrzeżenie "jeśli dodatkowo tylko skończenie wiele wykładników jest niezerowych". Wprowadziłem je niepotrzebnie, w obrębie pierścieni z jednoznacznością rozkładu z definicji nie występują nieskończone łańcuchy dzielników (zob. np. :en:Unique_factorization_domain, ). Jeśli definicja jest nadal niepełna / błędna, uzupełnij ją proszę, ja dalej nie potrafię. Olaf @ 18:23, 28 paź 2007 (CET)
Poza tym te elementy nierozkładalne, ktore nie występują w rozwinięciu jednej z liczb dopisuje się sztucznie z potęgą zerową do rozwinięcia drugiej. Na pierwszy rzut oka czytelnik może tego nie zauważyć. Loxley 13:56, 21 paź 2007 (CEST)

text: Opisałem szerzej. Olaf @ 18:23, 28 paź 2007 (CET)
thread_title: Rozwinięcie

message: Wprowadzenie definicji nieczysto powoduje, że cały artykuł jest nieelegancki, jakby kosz  ze śmieciami, z nadmiarem oko męczących indeksów, bzzz-bzzzz. Należy z miejsca podać definicję NWD dla zbiorów, i to dowolnych, a nie dla ciągów; po czym można dodać, że na przykład
replies: text: ::NWD(a, b) := NWD({a, b})
itp.
replies: text: :Można dydaktycznie podać definicję najpierw dla 2 elementów, i przykład, po czym natychmiast dla zbiorów. Wlod 23:59, 28 paź 2007 (CET)
Ponadto z miejsca lepiej podać definicję w terminach praporządku podzielności, a nie względem nieco przypadkowej tu relacji ≤ nierówności liczb.
Artykuł stanie się wtedy czysty i przejrzysty :-)
    Pozdrawiam, Wlod 23:06, 28 paź 2007 (CET)
===Błąd?===
Proszę bardzo, tylko że tu jest błąd:
replies: text: :::Nie ma błędu. -- Wlod 00:07, 29 paź 2007 (CET)

text: Największym wspólnym dzielnikiem dowolnego zbioru A liczb całkowitych nazywamy nieujemną liczbę całkowitą a, taką że:
replies: text: :#a | x dla każdego x ∈ A;

text: :#jeżeli całkowite b dzieli każde x ∈ A, to b | a.

text: Zatem największym wspólnym dzielnikiem zbioru pustego A := Ø jest 0.
Dlaczego zero? Równie dobrze można by powiedzieć, że 115.
replies: text: ::Nieprawda, że równie dobrze. Napisałem dlaczego. Wtedy dowody idą gładziej. A przede wszystkim wartość 0 wynika formalnie z podanej definicji.

text: A tak naprawdę, z punktu widzenia logiki pierwszy warunek dla zbioru pustego ma postać:

text: \bigwedge_{x\in \emptyset} a|x
co jest niedozwolonym użyciem kwantyfikatora,
replies: text: ::Nieprawda (może jacyś autorzy skopali takie sytuacje? Owszem, wielu to kopie)

text: : więc warunek ma nieokreśloną wartość logiczną, czyli Twoja definicja dla zbioru pustego nie ma sensu. Olaf @ 23:55, 28 paź 2007 (CET)
replies: text: ::Nieprawda. Taki warunek jest zawsze spełniony (prawdziwy). Wlod 00:03, 29 paź 2007 (CET)
replies: text: :::Nikt niczego nie skopał. Po prostu w klasycznej logice pusta dziedzina jest niedopuszczalna, ale w rachunku predykatów pierwszego rzędu faktycznie kwantyfikator ogólny z pustą dziedziną jest zawsze spełniony (źródło). Ok. Ale to ciągle nie załatwia sprawy zera. Olaf @ 00:59, 29 paź 2007 (CET)
To ja poproszę pisane źródła do tego NWD(\emptyset)=0 Z podanej przez Ciebie definicji formalnej (zakładając nawet, że można pisać taki kwantyfikator) może wynikać dokładnie każda nieujemna liczba całkowita. Trzeba więc jakoś udowodnić, że przyjęte w literaturze jest akurat zero, a nie wartość nieokreślona. Z tego, że coś jest wygodne, nie wynika że jest przyjęte. Olaf @ 00:23, 29 paź 2007 (CET)
W matematyce rutynowo, w ogromnej liczbie dowodów, używa się argumentu: założenia spełnione są w sposób pusty, więc zachodzi teza.
(Piszemy Olafie jednocześnine, więc może być niegładko).
Popełniasz Olafie błąd logiczny. Wynika tylko 0. Dam Ci kolejną korepetycję. Warunek " a | x dla każdego x ∈ Ø "   oznacza, że  a  jest dowolne. Podobnie " b | x dla każdego x ∈ Ø "   oznacza, że  b  jest dowolne. Zatem drugi warunek NWD mówi, że największy wspólny podzielnik  a  musi być podzielny przez dowolne b. Tylko a=0 jest podzielne przez dowolne b, bo tylko a=0 jest podzielne przez b=0.  (Zero 0 jest dzielnikiem tylko zera 0). Zatem w przypadku pustego zbioru NWD(Ø) = 0. Koniec dowodu.
To wszystko jest konsekwentnie w duchu całej matematyki:

text: min(Ø) = maksymalny element (o ile taki istnieje)

text: max(Ø) = minimalny element (o ile taki istnieje)
NWD to jest minimum względem praporządku podzielności (odwrotnym do indukowanego przez branie ideału głównego). Więc minimum zbioru pustego jest maksymalnym elementem względem tego praporządku, czyli jest to 0 i nic więcej, bo 0 jest maksymalnym elementem praporządku podzielności. Wczytaj się w podzielność, złożoność, pierwszość, a wszystko będzie jasne (co prawda wciąż tem artykuł piszę na swojej stronie i nawt nie wiem czy go skończę, bo ręce opadają).
Takie definicje min(Ø) oraz max(Ø) i to samo z:

text: inf, sup, przecięciem, unią, \exists,\ \forall, NWD, NWW...
zapewniają łączność działania \exists,\ \forall, min, max, inf, sup... Z tego też powodu suma arytmetyczna pustego zbioru to 0, a iloczyn arytmetyczny pustego zbioru to 1 (w szczególności 0! = 1).
Bourbaki, gdy zakłada zbiory tylko w ramach podzbiorów przestrzeni topologicznej (E, T), to daje aksjomat:
* przecięcie dowolnej skończonej rodziny zbiorów otwartych jest otwarte.
Po czym przypomina, że oznacza to otwartość zbioru E (całej przestrzeni), bo dla Bourbakiego, po restrykcji do E, przecięcie rodziny pustej, to cała przestrzeń E.
Osobiście nie lubię cichego, niewidocznego lokalnie ograniczenia operacji przecięcia do podzbiorów E (potrzebny by był dla ścisłości niewygodny symbol  \cap_E) i formułuję ten sam aksjomat przy ogólnej notacji:
* przecięcie dowolnej skończonej rodziny zbiorów otwartych, przecięte z E, jest otwarte.
To już dygresje, więc nie rozwinę tu tego. -- Wlod 01:20, 29 paź 2007 (CET)
PS. I co ja baran tyle czasu tu straciłem na wikipedii? Koniec. Bawcie się sami. (Szkoda, bo wikipedia ma niezłe oprogramowanie, dalekie od ideału, ale i tak lepsze niż na ogół; chciałbym je używać poza wikipedią, jak poewiki, ale nie wiem jak; napiszcie mi może na sennajawa at gmail kropka com, proszę, tu już się nie odezwę).
Powodzenia. -- Wlod 01:20, 29 paź 2007 (CET)

text: Wlodku, też mam dość. Rozumiem Twoją irytację, faktycznie wykazałem się brakiem zrozumienia. Od czasu, gdy wpisałeś, że zero jest liczbą złożoną, a potem długo się przy tym upierałeś, zacząłem dokładnie sprawdzać Twoje edycje, bo mam podejrzenia, że piszesz z głowy, gdzieniegdzie "zaokrąglając" definicje, gdy jest to wygodne, nawet jeśli nie jest to przyjęta konwencja. Na pewno czepiałem się za bardzo i za głupio, i za to przepraszam (choć pewnie i tak za późno). Rób co chcesz, jeśli jednak zostaniesz, proszę tylko (abstrahując już od NWD) o nie umieszczanie własnych przemyśleń jako definicji powszechnie przyjętych. Olaf @ 07:20, 29 paź 2007 (CET)
thread_title:  Z miejsca zdrowo 

message: Proszę bardzo, tylko że tu jest błąd:
replies: text: :::Nie ma błędu. -- Wlod 00:07, 29 paź 2007 (CET)

text: Największym wspólnym dzielnikiem dowolnego zbioru A liczb całkowitych nazywamy nieujemną liczbę całkowitą a, taką że:
replies: text: :#a | x dla każdego x ∈ A;

text: :#jeżeli całkowite b dzieli każde x ∈ A, to b | a.

text: Zatem największym wspólnym dzielnikiem zbioru pustego A := Ø jest 0.
Dlaczego zero? Równie dobrze można by powiedzieć, że 115.
replies: text: ::Nieprawda, że równie dobrze. Napisałem dlaczego. Wtedy dowody idą gładziej. A przede wszystkim wartość 0 wynika formalnie z podanej definicji.

text: A tak naprawdę, z punktu widzenia logiki pierwszy warunek dla zbioru pustego ma postać:

text: \bigwedge_{x\in \emptyset} a|x
co jest niedozwolonym użyciem kwantyfikatora,
replies: text: ::Nieprawda (może jacyś autorzy skopali takie sytuacje? Owszem, wielu to kopie)

text: : więc warunek ma nieokreśloną wartość logiczną, czyli Twoja definicja dla zbioru pustego nie ma sensu. Olaf @ 23:55, 28 paź 2007 (CET)
replies: text: ::Nieprawda. Taki warunek jest zawsze spełniony (prawdziwy). Wlod 00:03, 29 paź 2007 (CET)
replies: text: :::Nikt niczego nie skopał. Po prostu w klasycznej logice pusta dziedzina jest niedopuszczalna, ale w rachunku predykatów pierwszego rzędu faktycznie kwantyfikator ogólny z pustą dziedziną jest zawsze spełniony (źródło). Ok. Ale to ciągle nie załatwia sprawy zera. Olaf @ 00:59, 29 paź 2007 (CET)
To ja poproszę pisane źródła do tego NWD(\emptyset)=0 Z podanej przez Ciebie definicji formalnej (zakładając nawet, że można pisać taki kwantyfikator) może wynikać dokładnie każda nieujemna liczba całkowita. Trzeba więc jakoś udowodnić, że przyjęte w literaturze jest akurat zero, a nie wartość nieokreślona. Z tego, że coś jest wygodne, nie wynika że jest przyjęte. Olaf @ 00:23, 29 paź 2007 (CET)
W matematyce rutynowo, w ogromnej liczbie dowodów, używa się argumentu: założenia spełnione są w sposób pusty, więc zachodzi teza.
(Piszemy Olafie jednocześnine, więc może być niegładko).
Popełniasz Olafie błąd logiczny. Wynika tylko 0. Dam Ci kolejną korepetycję. Warunek " a | x dla każdego x ∈ Ø "   oznacza, że  a  jest dowolne. Podobnie " b | x dla każdego x ∈ Ø "   oznacza, że  b  jest dowolne. Zatem drugi warunek NWD mówi, że największy wspólny podzielnik  a  musi być podzielny przez dowolne b. Tylko a=0 jest podzielne przez dowolne b, bo tylko a=0 jest podzielne przez b=0.  (Zero 0 jest dzielnikiem tylko zera 0). Zatem w przypadku pustego zbioru NWD(Ø) = 0. Koniec dowodu.
To wszystko jest konsekwentnie w duchu całej matematyki:

text: min(Ø) = maksymalny element (o ile taki istnieje)

text: max(Ø) = minimalny element (o ile taki istnieje)
NWD to jest minimum względem praporządku podzielności (odwrotnym do indukowanego przez branie ideału głównego). Więc minimum zbioru pustego jest maksymalnym elementem względem tego praporządku, czyli jest to 0 i nic więcej, bo 0 jest maksymalnym elementem praporządku podzielności. Wczytaj się w podzielność, złożoność, pierwszość, a wszystko będzie jasne (co prawda wciąż tem artykuł piszę na swojej stronie i nawt nie wiem czy go skończę, bo ręce opadają).
Takie definicje min(Ø) oraz max(Ø) i to samo z:

text: inf, sup, przecięciem, unią, \exists,\ \forall, NWD, NWW...
zapewniają łączność działania \exists,\ \forall, min, max, inf, sup... Z tego też powodu suma arytmetyczna pustego zbioru to 0, a iloczyn arytmetyczny pustego zbioru to 1 (w szczególności 0! = 1).
Bourbaki, gdy zakłada zbiory tylko w ramach podzbiorów przestrzeni topologicznej (E, T), to daje aksjomat:
* przecięcie dowolnej skończonej rodziny zbiorów otwartych jest otwarte.
Po czym przypomina, że oznacza to otwartość zbioru E (całej przestrzeni), bo dla Bourbakiego, po restrykcji do E, przecięcie rodziny pustej, to cała przestrzeń E.
Osobiście nie lubię cichego, niewidocznego lokalnie ograniczenia operacji przecięcia do podzbiorów E (potrzebny by był dla ścisłości niewygodny symbol  \cap_E) i formułuję ten sam aksjomat przy ogólnej notacji:
* przecięcie dowolnej skończonej rodziny zbiorów otwartych, przecięte z E, jest otwarte.
To już dygresje, więc nie rozwinę tu tego. -- Wlod 01:20, 29 paź 2007 (CET)
PS. I co ja baran tyle czasu tu straciłem na wikipedii? Koniec. Bawcie się sami. (Szkoda, bo wikipedia ma niezłe oprogramowanie, dalekie od ideału, ale i tak lepsze niż na ogół; chciałbym je używać poza wikipedią, jak poewiki, ale nie wiem jak; napiszcie mi może na sennajawa at gmail kropka com, proszę, tu już się nie odezwę).
Powodzenia. -- Wlod 01:20, 29 paź 2007 (CET)

text: Wlodku, też mam dość. Rozumiem Twoją irytację, faktycznie wykazałem się brakiem zrozumienia. Od czasu, gdy wpisałeś, że zero jest liczbą złożoną, a potem długo się przy tym upierałeś, zacząłem dokładnie sprawdzać Twoje edycje, bo mam podejrzenia, że piszesz z głowy, gdzieniegdzie "zaokrąglając" definicje, gdy jest to wygodne, nawet jeśli nie jest to przyjęta konwencja. Na pewno czepiałem się za bardzo i za głupio, i za to przepraszam (choć pewnie i tak za późno). Rób co chcesz, jeśli jednak zostaniesz, proszę tylko (abstrahując już od NWD) o nie umieszczanie własnych przemyśleń jako definicji powszechnie przyjętych. Olaf @ 07:20, 29 paź 2007 (CET)
thread_title: Błąd?