Dyskusja:Liczba

message: "Liczby zespolone to liczby powstające przez zsumowanie liczby rzeczywistej i liczby urojonej, np. 2 + 3i."
Szczerze mówiąc nie wygląda mi to wcale a wcale na formalną definicję liczb zespolonych.
replies: text: Gdyż to nie jest definicja formalna - tą możesz znaleźć tu. googl d 13:28, 27 sie 2007 (CEST)
Z rysunku wynika że istnieje nie zerowe przecięcie zbiorów liczb kardynalnych i zespolonych ( a przy tym nie rzeczywistych). Istnieją takie liczby kardynalne? Z rysunku wynika że istniają liczby kardynalne reprezentowane przez ujemne liczby całkowite, czy to możliwe? (pomijam "Teorię zbiorów absurdalnych" wymyśloną przez Instytut Matematyki Najwspółcześniejszej UJ, mimo że ma sporo sensu, i jest wewnętrznie niesprzeczna).
---
Witek
Ojej. Oczywiście nie istnieją. Tylko jak na takich diagramach pokazać, że kardynalne obejmują naturalne, a nie obejmują ani jednej z pozostałych całkowitych ?
Jeśli masz jakiś pomysł, to przerób ten obrazek, albo zaproponuj inny system.
Olaf 22:00, 7 cze 2005 (CEST)
thread_title:  Liczby zespolone 

message: Czytając artykuł, dowiedziałem się, że pojęcie "liczba" nie jest pierwotne i że istnieje jego definicja, jednak nie mogłem tej definicji odnaleźć. Oczywiście znalazłem definicje liczby naturalnej, wymiernej, rzeczywistej i zespolonej, jednak nie definicję liczby! A więc może to jednak pojęcie pierwotne? Ciekawe, że np. angielska wersja omija ten problem w ogóle.
replies: text: Nie ma czegoś takiego jak "liczba". Jest liczba naturalna, liczba rzeczywista, itp. I te pojęcia są definiowane.
A poza tym, rozumienie liczby zespolonej jako pary liczb rzeczywistych jest chyba tylko jednym z będących w użyciu, i chyba ma sens tylko wówczas, gdy w ogole zrezygnujemy z pojęcia "liczba" - jakże bowiem liczba może być parą liczb? W wersji angielskiej podano wprost, że liczby rzeczywiste są podzbiorem liczb zespolonych:

text: A dlaczego liczba nie może być parą liczb? W matematyce dwa obiekty uważamy za równoważne, jeśli ich zbiory są izomorficzne. Stąd liczby zespolone można zdefiniować jako pary liczb rzeczywistych, a wtedy zbiór liczb rzeczywistych jest izomorficzny ze zbiorem par (r,0), gdzie r jest liczbą rzeczywistą. Nie ma żadnej sprzeczności, jest skrót myślowy (być może nadmierny).
"Each of the number systems mentioned above is a subset of the next number system. Symbolically,   \mathbb{N} \sub \mathbb{Z} \sub \mathbb{Q} \sub \mathbb{R} \sub \mathbb{C}."
A z takiego ujęcia wynika co najwyżej, że liczba zespolona może być przedstawiona jako para liczb rzeczywistych, ale nigdy, że JEST parą liczb rzeczywistych. Różnica może niewielka, ale z logicznego punktu widzenia istotna.

text: A jednak liczby zespolone tak się właśnie definiuje. Czemu tak Ci to przeszkadza? 
W każdym razie jestem zdania, że w artykule należałoby przynajmniej zaznaczyć istnienie odmiennych interpretacji (ergo: uzgodnić wersję polską z angielską).
Grzegorz Jagodziński 00:04, 17 lis 2006 (CET)

text: A znasz odmienną interpretację? Bo polska i angielska wikipedia są tu jednomyślne. Liczba zespolona to para liczb rzeczywistych. Liczby rzeczywiste możemy wówczas utożsamić z parami (r,0) bo te zbiory są izomorficzne. Olaf @ 17:38, 11 mar 2007 (CET)
replies: text: :Jeżeli uważasz, że podany cytat jest jednomyślny z tym, co piszesz, to albo ja ciebie nie rozumiem, albo, co bardziej prawdopodobne, ty czegoś nie rozumiesz. Na szczęście problem jest na dzień dzisiejszy nieistniejący, chodzi jednak o zasady.

text: :Jednomyślność obu wersji wiki byłaby wtedy, gdyby w polskiej wersji znalazło się następujące zdanie: "Każdy z wyżej wymienionych systemów liczbowych jest podzbiorem następnego systemu liczbowego. Symbolicznie,   \mathbb{N} \sub \mathbb{Z} \sub \mathbb{Q} \sub \mathbb{R} \sub \mathbb{C}.".

text: Z art. :en:Complex number: "The real numbers, R, may be regarded as "lying in" C by considering every real number as a complex: a = a + 0i. " No właśnie - zbiór liczb rzeczywistych formalnie nie zawiera się w zbiorze liczb zespolonych,
replies: text: : "Każdy z wyżej wymienionych systemów liczbowych jest podzbiorem". Chyba czegoś nie rozumiesz, i traktujesz jako prawdę objawioną to, co przeczytałeś w jednym podręczniku. Proponuję przestudiować różne punkty widzenia, a dopiero potem wypowiadać się w sposób autorytatywny ("zbiór liczb rzeczywistych [...] nie zawiera się"). Nie "nie zawiera się", ale "zdaniem pewnych autorów nie zawiera się, ale zdaniem innych zawiera się".

text: jednak ponieważ każda liczba rzeczywista ma swój "odpowiednik" zespolony, więc możemy powiedzieć, że w pewnym sensie liczby rzeczywiste są szczególnym przypadkiem zespolonych. Olaf @ 18:11, 11 mar 2007 (CET)
Ten cały ambaras jest o inkluzje "z dokładnością do izomorfizmu". Tak samo jako formalnie liczby rzeczywiste nie zawierają się w zbiorze liczb zespolonych, tak wymierne nie zawierają się w rzeczywistych! Ponieważ liczby wymierne konstruuje się przez klasy abstrakcji pewnej relacji liczb całkowitych i naturalnych, a rzeczywiste jako granice ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych bądź przez przekroje Dedekinda. Tak więc jest to sprawa dość newralgiczna. Na dobrą sprawę, to i naturalne się w całkowitych nie zawierają, ale te izomorfizmy są tak naturalne, że wspominanie o nich przy kwestii \mathbb{N}\subset\mathbb{Z} wskazywałoby na jakieś problemy z głową ;)
Loxley 18:19, 11 mar 2007 (CET)

text: Ambaras nie jest o inluzje z dokładnością do izomorfizmu, ale o to, że 1) wiele podręczników matematyki traktuje liczby rzeczywiste jako podzbiór liczb zespolonych w sensie tradycyjnym, a nie w sensie zanurzenia, 2) Wikipedia ma ponoć prezentować różne punkty widzenia.

text: Nie jest tak, że wszyscy zgadzają się co do tego, że matematycy definiują liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych. Taki pogląd rzeczywiście jest rozpowszechniony, nikt tego nie neguje, ale w wielu podręcznikach wychodzi się od zupełnie innych założeń i traktuje liczby zespolone jako rozszerzenie (nadzbiór) libczb rzeczywistych. W obecnej wersji artykułu jest to chyba zaprezentowane w sposób zadowalający, ale jak ktoś wpadnie na genialny pomysł i to zmieni (a z wypowiedzi w dyskusji można wywnioskować, że takie niebezpieczeństwo istnieje), to po prostu będzie POV, albo innymi słowy reklama swojego ulubionego podręcznika matematyki.
thread_title: Definicja liczby

message: Proszę o dokładną definicję liczb p-adycznych = po POLSKU to dodam do diagramu.
replies: text: Była kiedyś w Młodym Techniku u Szurka ;-)

text: A, my też mamy: Liczby p-adyczne. Co prawda definicja nie jest do końca dobra, ale zaraz poprawię. Olaf @ 19:22, 11 mar 2007 (CET)
Czy teraz jest lepiej jeśli chodzi o przedstawienie zawierania się zbiorów? Infomat 17:22, 11 mar 2007 (CET)

text: Dzięki za zastąpienie mojego niezbyt ładnego i ścisłego wykresu sprzed kilku lat. O wiele lepiej. :-) Olaf @ 17:38, 11 mar 2007 (CET)
Ten artykuł to jakiś koszmar! I do tego oznaczenia typu \mathbb{IQ}_{\#}. Moim zdaniem należy go gruntownie przebudować. Loxley 18:06, 11 mar 2007 (CET)
Spróbowałem trochę opisać ten ambaras z definicjami, choć obawiam się, że bardziej zamąciłem niż rozwinąłem. :-( Olaf @ 19:03, 11 mar 2007 (CET)
Moich kilka uwag: wolę narazie nie majstrować przy tym artykule:
# Kronecker mówił, że liczby naturalne pochodzą od Boga, resztę stworzył człowiek. Pozwolę się nie zgodzić - najlepiej podać aksjomatykę Peano lub konstrukcję van Neumanna (po prostu podlinkować), bo definiowanie przy pomocy liczb kardynalnych wydaje mi się na wyrost.
# Nie zaliczałbym liczb porządkowych, kardynalnych do liczb (wszak nimi nie są).
# Ustęp Oczywiście można usunąć. Poza tym różność nie jest przechodnia!
# Straszny galimatias z symbolem mocy zbioru, najlepiej umówić się na jeden (proponuję \mbox{card} lub ewentualnie |\cdot | i nie wprowadzać sztucznego symbolu równoliczności zbiorów.
# Jeśli liczby urojone to liczby o zerowej części rzeczywistej, to to jest nieprawdą \mathbb{I}_\#\cup\mathbb{R}=\mathbb{C}.
# W ogóle bym usnunął wszystko po Równoliczność zbiorów
# Możnaby zmienić ten diagram robiony w Paincie :)
Ja sam w wolnej chwili napiszę coś o liczbie w aspektach teorimnogościowych i może filozoficznych.Loxley 19:38, 11 mar 2007 (CET)
Ad 1. Ale takie podejście też istnieje.
Ad 2. Dlaczego nie są? Jeśli uznamy, (patrz punkt 1), że liczby naturalne (z zerem) to skończone liczby kardynalne (a zgodzisz się przecież, że te zbiory są przynajmniej izomorficzne), to liczby kardynalne są równie dobrym rozszerzeniem zbioru liczb naturalnych jak całkowite, choć idącym w innym kierunku.
Ad 3. Faktycznie zgroza, usunąłem.
Ad 5. Tak, kolejny błąd. Ewentualnie mogłoby być \mathbb{R}\times\mathbb{I}_\#=\mathbb{C}, ale to by dodatkowo pomieszało definicje. Wyrzuciłem. Jeśli zobaczysz jeszcze jakiś oczywisty błąd, to popraw sam proszę.
Ad 6. Te działania na zbiorach są dość oczywiste, ale w końcu po to jest encyklopedia, żeby pisać dla wszystkich rzeczy oczywiste dla fachowców.
Ad Ad 1. Ale liczba kardynalna jest dość abstrakcyjnym bytem dla przeciętnego człowieka ;) Poza tym to raczej ujęcie nieklasyczne. 
Ad Ad 2. Liczby porządkowe to pewne zbiory, i mówiąc kolokwialnie, liczby kardynalne to szczególne ich przypadki. Chodziać liczby kardynalne są liniowo uporządkowane więc w pewnym sensie można na nie patrzeć jak na liczby.
Ad Ad 5. Wtedy otrzymalibyśmy liczby zespolone jako ((a,0),(0,b) lub potrzebna by była sztuczna definicja liczb urojonych.
Ad Ad Ad 1. Wydawało mi się, że to klasyczna definicja z teorii mnogości.
Ad Ad Ad 5.  Nie, otrzymalibyśm iloczyn kartezjański dwóch liczb rzeczywistych, czyli parę, zgodnie z konstrukcją. Olaf @ 20:20, 11 mar 2007 (CET) A, faktycznie. To raczej \mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{C} Olaf @ 20:21, 11 mar 2007 (CET)
Grafika jest podpisana w prawym górnym narożniku "zbiory liczbowe" i są podane liczby kardynalne. A czy nie jest tak, że nie istnieje zbiór liczb kardynalnych czy też wszystkich liczb porządkowych? (Przynajmniej tak czytam w tablicach matematycznych ^^) Poza tym, wydaje mi się że P na liczby pierwsze jest w miarę ugruntowane w matematyce. IMHO notację z # możnaby wyciąć, zamienić np. zbiór przestępnych T na C\A. googl d 23:05, 11 mar 2007 (CET)

text: No właśnie nie istnieje (paradoks Burali-Forti). Poza tym namieszane jest z definicjami. Olaf @ 07:48, 12 mar 2007 (CET)
thread_title:  Poprawki 

message: Wiecie co, mam taki pomysł na ten artykuł:
* napisać go od nowa
* zacząć dział "konstrukcja" od aksjomatyki Peano liczb naturalnych
* potraktować obecne 2 definicje podane w artykule jako modele (w sensie Tarskiego) tej aksjomatyki
* wprowadzić za pomocą aksjomatu liczby całkowite
* potraktować obecną definicję liczb całkowitych jako model. Dodatkowo podać, że pewien podzbiór liczb całkowitych spełnia aksjomaty liczb naturalnych i stąd możemy uważać liczby naturalne za szczególny przypadek całkowitych
* wprowadzić za pomocą aksjomatu liczby wymierne
* potraktować obecną definicję jako model. Dodatkowo podać, że pewien podzbiór liczb wymiernych spełnia aksjomaty liczb naturalnych a inny - liczb całkowitych i stąd możemy uważać liczby naturalne i całkowite za szczególny przypadek wymiernych
itd.
Tak chyba byłoby najbardziej elegancko i wiadomo byłoby, dlaczego liczba zespolona jest parą liczb rzeczywistych a przy tym liczba rzeczywista jest też zespolona (bo po prostu to dwa modele tej samej aksjomatyki). Co Wy na to? Olaf @ 07:48, 12 mar 2007 (CET)
thread_title: Pomysł

message: To zacznijmy od początku:
Zawieranie się wymienionych zbiorów liczbowych w sobie pokazuje wykres: 
Odpowiedzi dla :-> Loxley 
*Ten artykuł to jakiś koszmar! <- Każdy lubi opierniczać innych
*::Wypowiedź "artykuł to jakiś koszmar" nie była personalna, w przeciwieństwie do "Każdy lubi opierniczać innych". Powstrzymaj się proszę od takich komentarzy. googl d 19:43, 13 mar 2007 (CET)
*I do tego oznaczenia typu \mathbb{IQ}_{\#} <- Ja wpadłem na taki pomysł, oznaczenie jest jasno zdefiniowane(jak się nie podoba to można zmienić)
*Moim zdaniem należy go gruntownie przebudować. <- Zgadzam się całkowicie
Odpowiedzi do punktów:
* Powinno się przedstawić obie teorie konstrukcji pozbiorów \mathbb{R}
** coś chyba pokręciłeś to chyba nie w tym punkcie - "bo definiowanie przy pomocy liczb kardynalnych wydaje mi się na wyrost." Co ma być definiowanie przy pomocy kardynalnych???
* Skoro nie są liczbami to, czym są?
** Pragnę zauważyć, że poprzedni opis rysunku wyglądał tak: Zawieranie się wymienionych zbiorów liczbowych w sobie pokazuje wykres i wtedy nikt nie protestował.
* Faktycznie ten ustęp nie był potrzebny. 
** Wiem, że różność nie jest przechodnia – to był skrót myślowy: \mathbb{N}\not =\mathbb{Z}\not =\mathbb{Q}\qquad oznacza\ tyle\ co\qquad\mathbb{N}\not =\mathbb{Z}\quad,\quad\mathbb{Z}\not =\mathbb{Q}
* Zaprezentowałem trzy różne sposoby tak, aby każdy mógł zrozumieć zapis – z tego, co wiem nie ma jednego ustalonego.
* Zgadzam się ja odniosłem się do definicji \mathbb{I}_{\#}=\{z\in\mathbb{C};\quad\Im(z)\not =0\}
* wstrzymuję się od głosu
* Skoro się nie podoba taki, jaki jest to każdy może go poprawić
Ad 2. Które konkretnie zbiory są izomorficzne?:> „(a zgodzisz się przecież, że te zbiory są przynajmniej izomorficzne)” przecież nie naturalne i kardynalne? Jeśli tak ja poproszę o przykład tego izomorfizmu lub dowód jego istnienia.
replies: text: :W tym zdaniu było chyba napisane o "skończonych liczbach kardynalnych" i "liczbach naturalnych"? No to faktycznie po odpowiednim zdefiniowaniu następnika skończone kardynalne spełniają aksjomaty Peano, więc są liczbami naturalnymi. Dobosz 22:38, 13 mar 2007 (CET)
Ad 5. Kwestia przyjętej definicji – racja klasyczna to \mathbb{I}_{\#}=\{z\in\mathbb{C};\quad\Re(z)=0\}
To jest powód, dla którego użyłem takiej a nie innej definicji liczb UROJONYCH. A czy liczba i+1 lub, jak kto woli (1,1) jest tylko zespolona czy urojona?
Ad 6. Matematycy znają konstrukcje, definicje i działania związane ze zbiorami liczbowymi, więc napisałem je, aby młodzi mogli sobie to sprawdzić.
Moje uwagi:
* Trzeba ten artykuł napisać od początku uwzględniając różne teorie konstrukcji zbiorów liczbowych.
* Trzeba unikać aksjomatów, jeśli można – najlepiej gdyby był, co najwyżej jeden dla każdej teorii.
replies: text: :ROTFL. Aksjomaty tworzą system, teorię aksjomatyczną. Nie można ich dawkować po jednym. Wybacz, ale ten tekst jest rozbrajający. To tak jakby stwierdzić - "w tym artykule jest za dużo słów. Najlepiej gdyby było najwyżej jedno w każdym zdaniu." Poza tym nie da się unikać aksjomatów, bo to one są podstawą współczesnej matematyki. Dobosz 22:38, 13 mar 2007 (CET)
* Co definicji liczb p-adycznych to z tego co ja wiem to są one rozszerzeniem liczb wymiernych a nie całkowitych stąd mój problem z umieszczeniem ich na diagramie.
* Jeśli diagram jest zbyt kolorowy lub nieczytelny to można go przecież zmienić.
Zobaczymy kto to tak napisze aby wszyscy byli zadowoleni ?
Infomat 18:34, 13 mar 2007 (CET)

text: Zdaje się, że dwie osoby już zaczęły to robić w swoich brudnopisach, wystarczy popatrzeć na wkład niektórych dyskutantów.

text: Chyba niepotrzebnie się złościsz, Infomacie. W tym artykule naprawdę było mnóstwo błędów, a teraz jest na poziomie mniej więcej szkoły średniej. No nic, wracam do muzyki. Tam przynajmniej nikt nie chce pisać partytur tak, żeby unikać nut. Dobosz 22:38, 13 mar 2007 (CET)
===Wizja artykułu liczby===
Konstrukcje zbiorów liczbowych, moim zdaniem, powinny być w osobnych artykułach (jak np. na frwiki, enwiki), a w głównych powinny być krótkie opisy (góra jedno zdanie na każdy) jakie narzędzia matematyczne są potrzebne do konstrukcji - trudno, żeby np. licealistę obchodziły przekroje Dedekinda i potrafił je zrozumieć. O konstruckji zbioru liczb rzeczywistych można poczytać tu: Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych. Niebawem zrobię jeszcze konstrukcję wymiernych. Tak sobie myślę, że może artykuł Liczba powinien być napisany bardziej pod kątem filozoficzno-historycznym? Podejście Kroneckera? Postrzeganie liczby na przestrzeni dziejów? Naturalne rozumienie liczby (np. u trzylatków). A same zbiory liczb naturalnych, całkowitych itd. powinny być opisane lepiej w odpowiadających im artykułach, a konstrukcje w jeszcze innych.
PS. Do Infomata: liczby porządkowe to zbiory - a to może prowadzić do skojarzenia, że jeśli liczby zespolone to coś więcej niż rzeczywiste, to może porządkowe to jeszcze coś więcej (proszę nie wysuwać argumentu, że liczby naturalne to też zbiory (w sensie konstrukcji van Neumanna), bo to w strukturze takich zbiorów są ogromne różnice).
Loxley 12:08, 17 mar 2007 (CET)
Konstrukcje włożyłbym jednak do odpowiednich artykułów o liczbach. Wydaje mi się, że pisanie art. konstrukcja liczb rzeczywistych jako osobnego od art. liczby rzeczywiste to mnożenie bytów ponad potrzebę. W artykule "liczba" nie może być TYLKO podejścia humanistycznego, bo zejdziemy znowu na poziom podstawówki. A z resztą się zgadzam,. Dobosz 12:47, 17 mar 2007 (CET)
Z czasem u mnie nadal krucho, więc nie zdejmuję sobie flagi "urlop", ale się wypowiem: Też uważam, że oddzielanie liczb rzeczywistych od artykułu o ich konstrukcji jest niepotrzebne, ale nie będę o to kruszył kopii. "Liczba" to paradoksalnie pojęcie mało matematyczne, bo nie posiadające jednej definicji - są ścisłe określenia liczb naturalnych, wymiernych, rzeczywistych, ale nie po prostu "liczb". Mimo to uważam, że jakaś informacja (choćby gruba) o aksjomatach, własnościach algebraicznych i konstrukcji różnych zbiorów liczbowych w tym miejscu powinna się znaleźć. A szczegółowe wyprowadzenie może być w artykułach o konkretnych liczbach, bo inaczej rzeczywiście wyjdzie z artykułu potwór (albo artykuł na medal ;-) ). Może po prostu trzeba się za to zabrać i rozstrzygać ewentualne wątpliwości w locie, a nie w nieskończoność dyskutować tutaj... Pozdrawiam, Olaf @ 21:17, 20 mar 2007 (CET)
Pozwoliłem sobie pogmerać trochę przy artykule - i wkleiłem tu konstrukcję zbioru liczb rzeczywistych (dobrze zrobiłem?) czy wkleić to do Liczby rzeczywiste i zrobić redira z Konstrukcji tam?
Czy jednak robimy hiperartykuł i zbieramy w jedno miejsce wszystkie konstrukcje? Oprócz PA, także PA- (modyfikacja Kaye), konstrukcja van Neumanna, z całkowitymi pójdzie szybko, konstrukcja wymiernych, konstrukcja Hamiltona liczb zespolonych itd?
Loxley 17:05, 21 mar 2007 (CET)
W zasadzie mamy cztery możliwości:
1. Włożyć wszystko do osobnych artykułów "konstrukcja liczby rzeczywistej", "konstrukcja liczby naturalnej" itp.

text: Zalety - nie ma wielkiego giganta, jasno i klarownie widać, kto zaczął dany artykuł

text: Wady - te konstrukcje stanowią jednak pewną ciągłość; nikt nie będzie szukał artykułu pod taką nazwą, więc to trochę mnożenie bytów ponad potrzebę.
2. Włożyć konstrukcje do artykułów poszczególnych zbiorów liczbowych

text: Zalety - najbardziej logiczne miejsce.

text: Wady - te konstrukcje stanowią pewną ciągłość. 
3. Włożyć pełne konstrukcje do artykułu "liczba" a w poszczególnych zbiorach dać informację, że konstrukcja jest tutaj

text: Zalety - w ładny sposób widać będzie wyprowadzenie.

text: Wady - trudno będzie się rozpisywać i podawać kilka różnych aksjomatyk, bo powstanie monstrum
4. Włożyć do art. liczba minimum konstrukcji (aby zachować ciągłość wywodu), a w artykułach poszczególnych zbiorów dać pełniejsze wersje (z Kaye itp.)

text: Zalety - chyba łączy zalety poprzednich wersji

text: Wady - powielanie części treści
Ta dyskusja trochę dreptała w miejscu, bo wszyscy się wypowiadali, tylko nikt nic konkretnego nie robił. Dlatego zacząłem. Generalnie jestem za wersją czwartą, ale równie dobrze możemy na razie wrzucić tutaj to co mamy, a potem się zastanowić czy materiału nie rozbić na kawałki, jeśli będzie za dużo... Materiał się nie zmarnuje, zawsze można część przenieść.
A w ogóle bardzo dziękuję za poprawki. Olaf @ 19:50, 21 mar 2007 (CET)
Okej, myślę podobnie - będę wrzucał tu różne aksjomatyki i konstrukcje, a później najwyżej się to podzieli. Loxley 20:07, 21 mar 2007 (CET)
===Aksjomaty a konstrukcje===
Wydaje mi się, że jedyną metodą uniknięcia kłopotów typu "czy liczba całkowita jest wymierna, skoro wymierna to para liczb całkowitych" jest wyraźne rozbicie na aksjomatykę i modele teorii aksjomatycznych. Zbiór liczbowy określają jego aksjomaty. I dowolne obiekty spełniające te aksjomaty możemy nazwać liczbami. Wszelkie jego konstrukcje to modele tej teorii aksjomatycznej. W szczególności liczby wymierne postaci \frac{n}{1}, n\in \mathbb{Z} można utożsamić z liczbami całkowitymi, gdyż ten podzbiór jest modelem aksjomatyki Peano. To chyba najbardziej eleganckie rozwiązanie problemów poruszonych wyżej w dyskusji. Podobnie roztrzygnęłoby się problemy np. z liczbami rzeczywistymi jako podzbiorem zespolonych itp.
Co Wy na takie podejście? 
A, mam z tym jeden problem - o ile powszechnie znany jest sposób konstrukcji liczb całkowitych, to jakoś nie mogę się doszukać porządnej aksjomatyki, rozszerzającej wprost aksjomaty Peano. 
Poza tym gdyby konsekwentnie to stosować, to trzeba będzie zrobić kosmetyczne zmiany w części o liczbach rzeczywistych.
Olaf @ 23:02, 21 mar 2007 (CET)
thread_title:  poprawki 

message: Konstrukcje zbiorów liczbowych, moim zdaniem, powinny być w osobnych artykułach (jak np. na frwiki, enwiki), a w głównych powinny być krótkie opisy (góra jedno zdanie na każdy) jakie narzędzia matematyczne są potrzebne do konstrukcji - trudno, żeby np. licealistę obchodziły przekroje Dedekinda i potrafił je zrozumieć. O konstruckji zbioru liczb rzeczywistych można poczytać tu: Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych. Niebawem zrobię jeszcze konstrukcję wymiernych. Tak sobie myślę, że może artykuł Liczba powinien być napisany bardziej pod kątem filozoficzno-historycznym? Podejście Kroneckera? Postrzeganie liczby na przestrzeni dziejów? Naturalne rozumienie liczby (np. u trzylatków). A same zbiory liczb naturalnych, całkowitych itd. powinny być opisane lepiej w odpowiadających im artykułach, a konstrukcje w jeszcze innych.
PS. Do Infomata: liczby porządkowe to zbiory - a to może prowadzić do skojarzenia, że jeśli liczby zespolone to coś więcej niż rzeczywiste, to może porządkowe to jeszcze coś więcej (proszę nie wysuwać argumentu, że liczby naturalne to też zbiory (w sensie konstrukcji van Neumanna), bo to w strukturze takich zbiorów są ogromne różnice).
Loxley 12:08, 17 mar 2007 (CET)
Konstrukcje włożyłbym jednak do odpowiednich artykułów o liczbach. Wydaje mi się, że pisanie art. konstrukcja liczb rzeczywistych jako osobnego od art. liczby rzeczywiste to mnożenie bytów ponad potrzebę. W artykule "liczba" nie może być TYLKO podejścia humanistycznego, bo zejdziemy znowu na poziom podstawówki. A z resztą się zgadzam,. Dobosz 12:47, 17 mar 2007 (CET)
Z czasem u mnie nadal krucho, więc nie zdejmuję sobie flagi "urlop", ale się wypowiem: Też uważam, że oddzielanie liczb rzeczywistych od artykułu o ich konstrukcji jest niepotrzebne, ale nie będę o to kruszył kopii. "Liczba" to paradoksalnie pojęcie mało matematyczne, bo nie posiadające jednej definicji - są ścisłe określenia liczb naturalnych, wymiernych, rzeczywistych, ale nie po prostu "liczb". Mimo to uważam, że jakaś informacja (choćby gruba) o aksjomatach, własnościach algebraicznych i konstrukcji różnych zbiorów liczbowych w tym miejscu powinna się znaleźć. A szczegółowe wyprowadzenie może być w artykułach o konkretnych liczbach, bo inaczej rzeczywiście wyjdzie z artykułu potwór (albo artykuł na medal ;-) ). Może po prostu trzeba się za to zabrać i rozstrzygać ewentualne wątpliwości w locie, a nie w nieskończoność dyskutować tutaj... Pozdrawiam, Olaf @ 21:17, 20 mar 2007 (CET)
Pozwoliłem sobie pogmerać trochę przy artykule - i wkleiłem tu konstrukcję zbioru liczb rzeczywistych (dobrze zrobiłem?) czy wkleić to do Liczby rzeczywiste i zrobić redira z Konstrukcji tam?
Czy jednak robimy hiperartykuł i zbieramy w jedno miejsce wszystkie konstrukcje? Oprócz PA, także PA- (modyfikacja Kaye), konstrukcja van Neumanna, z całkowitymi pójdzie szybko, konstrukcja wymiernych, konstrukcja Hamiltona liczb zespolonych itd?
Loxley 17:05, 21 mar 2007 (CET)
W zasadzie mamy cztery możliwości:
1. Włożyć wszystko do osobnych artykułów "konstrukcja liczby rzeczywistej", "konstrukcja liczby naturalnej" itp.
replies: text: Zalety - nie ma wielkiego giganta, jasno i klarownie widać, kto zaczął dany artykuł

text: Wady - te konstrukcje stanowią jednak pewną ciągłość; nikt nie będzie szukał artykułu pod taką nazwą, więc to trochę mnożenie bytów ponad potrzebę.
2. Włożyć konstrukcje do artykułów poszczególnych zbiorów liczbowych

text: Zalety - najbardziej logiczne miejsce.

text: Wady - te konstrukcje stanowią pewną ciągłość. 
3. Włożyć pełne konstrukcje do artykułu "liczba" a w poszczególnych zbiorach dać informację, że konstrukcja jest tutaj

text: Zalety - w ładny sposób widać będzie wyprowadzenie.

text: Wady - trudno będzie się rozpisywać i podawać kilka różnych aksjomatyk, bo powstanie monstrum
4. Włożyć do art. liczba minimum konstrukcji (aby zachować ciągłość wywodu), a w artykułach poszczególnych zbiorów dać pełniejsze wersje (z Kaye itp.)

text: Zalety - chyba łączy zalety poprzednich wersji

text: Wady - powielanie części treści
Ta dyskusja trochę dreptała w miejscu, bo wszyscy się wypowiadali, tylko nikt nic konkretnego nie robił. Dlatego zacząłem. Generalnie jestem za wersją czwartą, ale równie dobrze możemy na razie wrzucić tutaj to co mamy, a potem się zastanowić czy materiału nie rozbić na kawałki, jeśli będzie za dużo... Materiał się nie zmarnuje, zawsze można część przenieść.
A w ogóle bardzo dziękuję za poprawki. Olaf @ 19:50, 21 mar 2007 (CET)
Okej, myślę podobnie - będę wrzucał tu różne aksjomatyki i konstrukcje, a później najwyżej się to podzieli. Loxley 20:07, 21 mar 2007 (CET)
thread_title: Wizja artykułu liczby

message: Wydaje mi się, że jedyną metodą uniknięcia kłopotów typu "czy liczba całkowita jest wymierna, skoro wymierna to para liczb całkowitych" jest wyraźne rozbicie na aksjomatykę i modele teorii aksjomatycznych. Zbiór liczbowy określają jego aksjomaty. I dowolne obiekty spełniające te aksjomaty możemy nazwać liczbami. Wszelkie jego konstrukcje to modele tej teorii aksjomatycznej. W szczególności liczby wymierne postaci \frac{n}{1}, n\in \mathbb{Z} można utożsamić z liczbami całkowitymi, gdyż ten podzbiór jest modelem aksjomatyki Peano. To chyba najbardziej eleganckie rozwiązanie problemów poruszonych wyżej w dyskusji. Podobnie roztrzygnęłoby się problemy np. z liczbami rzeczywistymi jako podzbiorem zespolonych itp.
Co Wy na takie podejście? 
A, mam z tym jeden problem - o ile powszechnie znany jest sposób konstrukcji liczb całkowitych, to jakoś nie mogę się doszukać porządnej aksjomatyki, rozszerzającej wprost aksjomaty Peano. 
Poza tym gdyby konsekwentnie to stosować, to trzeba będzie zrobić kosmetyczne zmiany w części o liczbach rzeczywistych.
Olaf @ 23:02, 21 mar 2007 (CET)
thread_title: Aksjomaty a konstrukcje

message: Loxley, czy jesteś pewien akurat takich aksjomatów liczb wymiernych? Wydaje mi się, że:
*aksjomat 3 jest zbędny bo wynika z własności ciała uporządkowanego - skoro to ciało, to zawsze można obliczyć \frac{a+b}{2}, a skoro uporządkowane, to pewnie dałoby się wyprowadzić, że a<b\Rightarrow a<\frac{a+b}{2}<b.
*przydałby się za to aksjomat, który odróżniałby liczby wymierne od innych ciał liczbowych, np. coś takiego:
replies: text: \bigwedge_{x,y\in\mathbb{Q}\setminus \{0\}}\bigvee_{m,n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}}xm=yn

text: Z obecnej aksjomatyki nie da się wyprowadzić tych własności, które odróżniają liczby wymierne i rzeczywiste, bo obydwa te zbiory tę aksjomatykę spełniają.
Olaf @ 18:23, 25 mar 2007 (CEST)
Aksjomat trzeci jest spełniony gdy 0<1, bo wtedy 1<1+1, a z przechodniości 0<1+1 zatem z przeciwzwrotności 0 \neq 1+1 i charakterystyka ciała jest różna od 2. Stąd 2=1+1 ma element odwrotny oraz \frac{a+b}{2} jest określone. Dalej można pomnożyć równość a<\frac{a+b}{2}<b przez 2, 2a<a+b<2b zatem a<b, a<b. Nie wiem czy 0<1 jest zawsze spełnione (chyba dało się to jakoś wyprowadzić). Jeżeli tak to ten aksjomat o gęstości wydaje się zbędny.
Może dodatkowo należałoby założyć, że Q nie zawiera podciała właściwego? googl d 18:34, 25 mar 2007 (CEST)
===Aksjomatyka raz jeszcze===
Nie jestem przekonany czy aksjomat ciała uporządkowanego implikuje gęstość (w tym prostym sensie zapisanym w aksjomacie gęstości). W tym miejscu należy zapytać człowieka który specjalizuje się algebrze ponieważ nie jestem pewien czy ciało szeregów formalnych Laurenta nad dowolnym pierścieniem przemiennym (które jest uporządkowane) jest gęste (z uwagi na możliwość doboru jakiegoś patologicznego pierścienia). Nie wiem czy na wiki, znajdzie się ktoś kto szybko udzieliłby takiej informacji, jeśli będę miał czas, sprawdzę w czytelni, ale sam nie wiem gdzie dość dobrze jest opisana teoria szeregów formalnych Laurenta.
Rzeczywiście liczby rzeczywiste spełniają tę aksjomatykę, ale żeby to naprawić trzebaby nałożyć jakiś sztuczny aksjomat odnoszący się do luk. Wygodnym aksjomatem byłby topologiczny warunek \mbox{Int}\mathbb{Q}=\varnothing, ale tradycjonaliści by mnie zjedli :) Poza tym formalnie on się chyba nie nadaje bo odwołuje się do dość zaawansowanych pojęć (jak dla aksjomatów). Nie wiem, spytajmy może Alefa. Podejrzewam, że rozwiązanie naszego problemu jest proste. Loxley 18:44, 25 mar 2007 (CEST)
Pomyliłem się, uporządkowane jest tylko ciało szeregów formalnych Laurenta nad \mathbb{R}. Trzeba udowodnić że te aksjomaty są zależne. Loxley 18:46, 25 mar 2007 (CEST)
Ale jeżeli się nie mylę warunek \mbox{Int}X=\varnothing spełniają dowolne skończone rozszerzenia Q, np. \mathbb{Q}(\sqrt{2}) czyli zbiór liczb postaci a+b\sqrt{2} gdzie a,b są wymierne. googl d 20:46, 25 mar 2007 (CEST)
====Pomysł====
Wiemy, że liczby wymierne to rozszerzenie pierścienia liczb całkowitych do ciała, takie że każdy jego element jest ułamkiem liczb całkowitych. Więc może po prostu wystarczy to zapisać formalnie:
# Zbiór liczb wymiernych \mathbb{Q} spełnia aksjomaty ciała uporządkowanego
# Istnieje zbiór \mathbb{Z'}\subset \mathbb{Q}, spełniający aksjomaty liczb całkowitych
# Dowolna liczba wymierna q\subset \mathbb{Q} jest pierwiastkiem pewnego równania aq=b, gdzie a,b\in \mathbb{Z'} i a\ne 0
To chyba dość oczywista aksjomatyka i nawet się przyczepić nie można, że original research, bo to same oczywistości, dające się znaleźć w każdym podręczniku algebry.
Te trzy zdania:
* są spełnione dla liczb wymiernych (to oczywiste, prawda?)
* nie są spełnione dla żadnego zbioru zawierającego liczby niewymierne i całkowite jednocześnie (co wynika z warunku 3). Ponieważ każde ciało szersze niż ciało liczb wymiernych liczby niewymierne zawiera, więc te aksjomaty są spełnione tylko przez liczby wymierne.
Co wy na takie wyjście z naszych problemów? Olaf @ 20:25, 25 mar 2007 (CEST)
Tak też zrobiłem. Sprawdźcie czy OK. googl d 20:52, 25 mar 2007 (CEST)
Zamiast odwoływać się do całej aksjomatyki liczb całkowitych w pewnym sensie skonstruowałeś je. Ale ta konstrukcja wraz z aksjomatami ciała pozwala wyprowadzić wszystkie zdania, które zapisaliśmy jako aksjomaty liczb całkowitych, więc według mnie jest ok. Olaf @ 21:18, 25 mar 2007 (CEST)
thread_title: Aksjomaty wymiernych

message: Nie jestem przekonany czy aksjomat ciała uporządkowanego implikuje gęstość (w tym prostym sensie zapisanym w aksjomacie gęstości). W tym miejscu należy zapytać człowieka który specjalizuje się algebrze ponieważ nie jestem pewien czy ciało szeregów formalnych Laurenta nad dowolnym pierścieniem przemiennym (które jest uporządkowane) jest gęste (z uwagi na możliwość doboru jakiegoś patologicznego pierścienia). Nie wiem czy na wiki, znajdzie się ktoś kto szybko udzieliłby takiej informacji, jeśli będę miał czas, sprawdzę w czytelni, ale sam nie wiem gdzie dość dobrze jest opisana teoria szeregów formalnych Laurenta.
Rzeczywiście liczby rzeczywiste spełniają tę aksjomatykę, ale żeby to naprawić trzebaby nałożyć jakiś sztuczny aksjomat odnoszący się do luk. Wygodnym aksjomatem byłby topologiczny warunek \mbox{Int}\mathbb{Q}=\varnothing, ale tradycjonaliści by mnie zjedli :) Poza tym formalnie on się chyba nie nadaje bo odwołuje się do dość zaawansowanych pojęć (jak dla aksjomatów). Nie wiem, spytajmy może Alefa. Podejrzewam, że rozwiązanie naszego problemu jest proste. Loxley 18:44, 25 mar 2007 (CEST)
Pomyliłem się, uporządkowane jest tylko ciało szeregów formalnych Laurenta nad \mathbb{R}. Trzeba udowodnić że te aksjomaty są zależne. Loxley 18:46, 25 mar 2007 (CEST)
Ale jeżeli się nie mylę warunek \mbox{Int}X=\varnothing spełniają dowolne skończone rozszerzenia Q, np. \mathbb{Q}(\sqrt{2}) czyli zbiór liczb postaci a+b\sqrt{2} gdzie a,b są wymierne. googl d 20:46, 25 mar 2007 (CEST)
====Pomysł====
Wiemy, że liczby wymierne to rozszerzenie pierścienia liczb całkowitych do ciała, takie że każdy jego element jest ułamkiem liczb całkowitych. Więc może po prostu wystarczy to zapisać formalnie:
# Zbiór liczb wymiernych \mathbb{Q} spełnia aksjomaty ciała uporządkowanego
# Istnieje zbiór \mathbb{Z'}\subset \mathbb{Q}, spełniający aksjomaty liczb całkowitych
# Dowolna liczba wymierna q\subset \mathbb{Q} jest pierwiastkiem pewnego równania aq=b, gdzie a,b\in \mathbb{Z'} i a\ne 0
To chyba dość oczywista aksjomatyka i nawet się przyczepić nie można, że original research, bo to same oczywistości, dające się znaleźć w każdym podręczniku algebry.
Te trzy zdania:
* są spełnione dla liczb wymiernych (to oczywiste, prawda?)
* nie są spełnione dla żadnego zbioru zawierającego liczby niewymierne i całkowite jednocześnie (co wynika z warunku 3). Ponieważ każde ciało szersze niż ciało liczb wymiernych liczby niewymierne zawiera, więc te aksjomaty są spełnione tylko przez liczby wymierne.
Co wy na takie wyjście z naszych problemów? Olaf @ 20:25, 25 mar 2007 (CEST)
Tak też zrobiłem. Sprawdźcie czy OK. googl d 20:52, 25 mar 2007 (CEST)
Zamiast odwoływać się do całej aksjomatyki liczb całkowitych w pewnym sensie skonstruowałeś je. Ale ta konstrukcja wraz z aksjomatami ciała pozwala wyprowadzić wszystkie zdania, które zapisaliśmy jako aksjomaty liczb całkowitych, więc według mnie jest ok. Olaf @ 21:18, 25 mar 2007 (CEST)
thread_title: Aksjomatyka raz jeszcze

message: Wiemy, że liczby wymierne to rozszerzenie pierścienia liczb całkowitych do ciała, takie że każdy jego element jest ułamkiem liczb całkowitych. Więc może po prostu wystarczy to zapisać formalnie:
# Zbiór liczb wymiernych \mathbb{Q} spełnia aksjomaty ciała uporządkowanego
# Istnieje zbiór \mathbb{Z'}\subset \mathbb{Q}, spełniający aksjomaty liczb całkowitych
# Dowolna liczba wymierna q\subset \mathbb{Q} jest pierwiastkiem pewnego równania aq=b, gdzie a,b\in \mathbb{Z'} i a\ne 0
To chyba dość oczywista aksjomatyka i nawet się przyczepić nie można, że original research, bo to same oczywistości, dające się znaleźć w każdym podręczniku algebry.
Te trzy zdania:
* są spełnione dla liczb wymiernych (to oczywiste, prawda?)
* nie są spełnione dla żadnego zbioru zawierającego liczby niewymierne i całkowite jednocześnie (co wynika z warunku 3). Ponieważ każde ciało szersze niż ciało liczb wymiernych liczby niewymierne zawiera, więc te aksjomaty są spełnione tylko przez liczby wymierne.
Co wy na takie wyjście z naszych problemów? Olaf @ 20:25, 25 mar 2007 (CEST)
Tak też zrobiłem. Sprawdźcie czy OK. googl d 20:52, 25 mar 2007 (CEST)
Zamiast odwoływać się do całej aksjomatyki liczb całkowitych w pewnym sensie skonstruowałeś je. Ale ta konstrukcja wraz z aksjomatami ciała pozwala wyprowadzić wszystkie zdania, które zapisaliśmy jako aksjomaty liczb całkowitych, więc według mnie jest ok. Olaf @ 21:18, 25 mar 2007 (CEST)
thread_title: Pomysł

message: Zdaję sobie sprawę, że norma nie ma za wiele wspólnego z tytułem "liczba", ale bez niej nie da się wyjaśnić liczb p-adycznych, i trudno wyjaśnić liczbę sprzężoną, która jest potrzebna do konstrukcji Cayleya-Dicksona. Chodziło mi o to, żeby był spójny ciąg rozumowania od poziomu szkoły średniej do końca artykułu. Może w przypisie? Olaf @ 08:41, 31 mar 2007 (CEST)
Okej, masz rację, po prostu z pewnych względów norma jest dla mnie bardzo naturalnym pojęciem, ale... jej definicję można znaleźć przynajmniej w dwóch miejscach na wiki: norma (matematyka), przestrzeń unormowana + jeszcze gdzieś kiedyś widziałem, ale nie pamiętam gdzie. Hmm, jeśli jest definicja przekroju Dedekinda, to niech będzie i normy. A może z drugiej strnony wtrącenie (por. definicję i własności normy) by wystarczyło? Co sądzisz?
Loxley 16:54, 31 mar 2007 (CEST)
thread_title: Norma

message: Tak swoją drogą, to trzeba się powoli zastanawiać, co dalej z tym artykułem zrobić. Pewnie opiszę jeszcze konstrukcję Clifforda (czyli tessariny, kokwaterniony, kooktoniony, kosedoniony) i zrobię coś o historii liczb. Artykuł jest bardzo duży. Więc ponownie:
# możemy zostawić konstrukcje tutaj (stanowią pewnego rodzaju ciąg), a w sekcjach odpowiednich artykułów o poszczególnych liczbach napisać, że tutaj jest konstrukcja i aksjomatyka i ewentualnie dać jej zarys. 
# możemy skopiować część stąd do odpowiednich artykułów.
# możemy przenieść stąd wszystkie konstrukcje i aksjomatyki do artykułów poszczególnych liczb, a tu zostawić krótsze stuby. 
Początkowo byłem za wersją ostatnią, ale to jednak stanowi pewien spójny ciąg rozumowania, każda kolejna algebra wnosi coś nowego, w dodatku np. liczby p-adyczne mają taką samą konstrukcję jak rzeczywiste, tylko z inną normą, a kwaaterniony i oktawy identyczną konstrukcję jak zespolone. Teraz więc trochę zaczynam się skłaniać do wersji 1. W sumie wyszedł nam chyba całkiem niezły artykuł, trochę szkoda go rozparcelowywać, może lepiej dopracować i zgłosić jako wspólną pracę do artykułów na medal - w dziedzinie matematyki prawie ich nie ma...
Loxley, Googl - Co o tym sądzicie? 
Olaf @ 19:46, 31 mar 2007 (CEST)
Popsiuję się pod wersją 1., ale moim zdaniem do medalu droga daleka, ponieważ warto by jeszcze zawrzeć kilka innych podejść do pojęcia liczby: filozoficzne, historyczne, wrodzone rozumienie liczby u małych dzieci (ktoś się zajmuje tym ostatnim na wiki?, to chyba jakaś dziedzina psychologii - ja się na tym nie znam, ale kiedyś o tym słyszałem i bardzo mnie zaciekawiło). Pisząc to, skłaniam się chyba jednak ku 2. warto żeby konstrukcje tam były + tamte artykuły też zasługują na rozbudowanie, już nie tak duże jak to, ale też. Loxley 10:33, 1 kwi 2007 (CEST)
Oczywiście artykuły o poszczególnych liczbach trochę rozbudować będzie trzeba, bo teraz niektóre są w fatalnym stanie. 
A może podzielić to na część matematyczną, część kulturową, itp. Tak już było np. w wypadku art. wilk i wilk w kulturze? Olaf @ 13:43, 1 kwi 2007 (CEST)
Moim zdaniem sekcję "Definicje liczb" można przenieść pod artykuł "Konstrukcje liczb" czy podobny. Ta część jest IMHO idealna i zasługuje na medal - tu można ją streścić i dać linka, a w artykułach o poszczególnych liczbach byłyby linki do opowiednich sekcji. Można rozszerzyć jeszcze rozumienie intuicyjne, bo mamy obecnie 3 zdania o każdej liczbie (w porównaniu do :en:Number). Generalnie artykuł od strony matematycznej jest bardzo dobry, gorzej z kulturą, historią itd. googl d 14:08, 1 kwi 2007 (CEST)
Same aspekty historyczne to może być drugi co najmniej tej wielkości artykuł - w księgarni widziałem dwutomowe dzieło "Historia liczb". Jeśli wpakujemy tutaj wszystko, to ten artykuł będzie tak duży, że nie będzie dało sie z niego korzystać. Więc chyba faktycznie trzeba to jakoś podzielić.
Pomysł z wydzieleniem konstrukcji do oddzielnego artykułu całkiem mi się podoba, nie jestem tylko pewien tytułu - tutaj zmieniłem tytuł sekcji na "definicje liczb", bo definicje przez aksjomaty nie są chyba konstrukcjami.
Pozdrawiam, 
Olaf @ 14:15, 1 kwi 2007 (CEST)
No to podzieliłem. Mamy liczbę ze wszystkim oprócz aksjomatów i konstrukcji (w tym ze sporą sekcją "historia"), oraz aksjomaty i konstrukcje liczb. Zgłaszam ten drugi do medalu. Olaf @ 23:04, 9 kwi 2007 (CEST)
thread_title: I co dalej?

message: istnieje osobny artykuł dot. tego twierdzenia, można by zintegrować przypis do etgo artykułu. konrad mów! 11:09, 19 kwi 2007 (CEST)
thread_title:  ref4, czyli dowód tw. o niewymierności pierwiastka z 2 

message: Autor napisał: "Kwestia, czy zero nazwiemy liczbą naturalną, czy nie, jest czysto umowna i nie powoduje żadnych problemów...". Moim zdaniem, powoduje i to całkiem spore (stąd przez stulecia spotykamy się z kontrowersjami wokół zera). Jeśli zero uznamy za liczbę naturalną, powinna ona mieć wszystkie cechy, jakie posiadają liczby naturalne (np. można by dzielić liczby przez zero, tak jak przez każdą inną liczbę naturalną).
replies: text: Błąd logiczny - jeśli uznasz że zero jest liczbą naturalną nie oznacza to że możesz przez nie dzielić. Musisz wtedy uznać, że dzielić wolno przez wszelkie liczby naturalne za wyjątkiem zera Olaf @ 14:27, 7 paź 2007 (CEST)
Inne uwagi (wątpliwości):
1. Nie znalazłem nigdzie informacji, jakoby pitagorejczycy ukrywali istnienie liczb rzeczywistych.

text: To tylko legenda. Pitagorejczycy bardzo się starali ukrywać wszelkie szczegóły swej religii, więc niewiele wiadomo na pewno. Olaf @ 14:27, 7 paź 2007 (CEST)
2. "Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada punkt na prostej (tzw. oś liczbowa)" - trudno się z tym zgodzić, przecież liczba niewymierna jest niewymierna (jak sama nazwa wskazuje), więc trudno byłoby określić ją na osi (chyba że metodą, iż jest pomiędzy liczbą x i y).

text: Zarówno wymierne jak i niewymierne są reprezentowane na osi liczbowej. Poducz się trochę o granicach ciągów. Liczba niewymierna to granica ciągu liczb wymiernych. Olaf @ 14:27, 7 paź 2007 (CEST)
3. Czy można rozszerzyć ciało liczb wymiernych do ciala liczb rzeczywistych? Oba zbiory są nieskończone, ale ten drugi jest nieprzeliczalny. Zbór R nie jest więc prostym rozszerzeniem liczb wymiernych, ale zupełnie nową kategorią (licz R jest nie tylko więcej niż wymiernych, ale mają one zupełnie nowe właściwości).

text: Tak, można. W tym sensie, że można tak zdefiniować ciało liczb rzeczywistych, aby ciało liczb wymiernych było jego podciałem. Olaf @ 14:27, 7 paź 2007 (CEST)
thread_title:  Problemy z zerem 

message: Mam tu pewne wątpliwości, z tego co mi się obiło o uszy, to niektóre symbole pochodzą od nazw łacińskich. Kuszi (dyskusja) 14:20, 12 kwi 2008 (CEST).
replies: text: Zapewne było tak, że pierwszy raz Q się pojawiło jako oznaczenie u Niemców, a oni np. ten Quotient wzięli z łaciny. Olaf @ 17:13, 12 kwi 2008 (CEST)
replies: text: : Chyba źle się wyraziłem, chodzi mi o pozostałe. Czy jesteś pewien, że np R C są z angielskiego? - przydałby się jakieś źródła, pozdrawiam Kuszi (dyskusja) 10:52, 18 kwi 2008 (CEST).
thread_title: Oznaczenia zbiorów liczbowych

message: Aren't the “tessariny” (complex numbers with complex components) a subset of the “bikwaterniony” (quaternions with complex components)? Sorry, I do not speak Polish. --Chricho (dyskusja) 18:37, 10 mar 2012 (CET)
thread_title:  The diagram