Dyskusja:Punkt przegięcia

message: Cytaty:
# (...) funkcja doznaje zmiany wypukłości
# (...) ma promień krzywizny nieskończenie duży (...)
# w punkcie przegięcia funkcja jest częścią linii prostej, a nie łuku (okręgu).
Komentarze:
# funkcja nie może niczego doznawać
# nie ma czegoś takiego jak nieskończenie duży promień krzywizny, to tylko "intuicyjny" sposób mówienia, co należałoby wyraźnie zaznaczyć
# o co tu chodzi? W punkcie funkcja jest częścią linii prostej? W punkcie? 
Podsumowanie: ręce opadają... C4 20:24, 27 kwi 2004 (CEST)

message: "Punkt przegięcia – punkt, w którym funkcja ma drugą pochodną równą zeru."
No chyba jednak nie, jak druga pochodna sie zeruje w jakims punkcie to nie oznacza to ze jest on punktem przegiecia :]
replies: text: Oczywiście, jest to warunek konieczny, ale nie wystarczający. Trzeba było od razu poprawić. --matusz d 17:41, 6 lip 2006 (CEST)
replies: text: :hmmm, jak widać z poprawki 4C, II pochodna wcale nie musi mieć wartości 0 w punkcie przegięcia, bo może być nieciągła. --matusz d 12:36, 8 lip 2006 (CEST)
thread_title:  Taa 

message: Nie wiem, jakie sa wymagania ścisłościowe wikipedii, ale ta "definicja" nie mówi wiele. Pojawiają się też w artykuje stwierdzenia sprzeczne. Nie umiem powiedzieć, jaka definicja punktu przegięcia jest powszechnie przyjęta w analize (ja bym odwołał się do np. Fichtenholza, ale nie mam w domu...) 
replies: text: Cytuję klasyka: Punkt x0 krzywej nazywa się punktem przegięcia, jeśli oddziela on część krzywej, gdzie funkcja jest wypukla od części, gdzie jest wklęsła. Czyli jak u nas.
Żeby uargumentować to, co mówię, spróbuję prześledzić podane w artykule stwierdzenia na przykładzie funkcji f(x) = x^4 sin(1/x) i punktu 0.

text: Dobry przykład! Oczywiście, dookreślamy f(0)=0?
"Punkt przegięcia – w analizie matematycznej punkt na wykresie funkcji w którym zachodzi zmiana wypukłości funkcji tj. funkcja wypukła na lewo od tego punktu staje się na prawo od niego wklęsła i na odwrót."

text: Pamiętaj, że tę definicję należy rozumieć warunkowo - "jeżeli oddziela ..., to nazywamy go punktem przegięcia". Podobnie pochodna funkcji w punkcie: jeżeli odpowiednia granica istnieje, to nazywamy ją pochodną funkcji; jeśli nie, pochodnej w punkcie nie ma.
Ta definicja właśnie okazuje swoją nieprecyzję... Chyba nasza f(x) nie ma w 0 punktu przegięcia. Tj. nie istnieje otoczenie zera, czy to lewo, czy prawostronne, w którym byłaby ustalona wypukłość f.

text: Jeśli warunek nie zachodzi, to punktu przegięcia nie ma. Dlaczego tak Cię to niepokoi?
"Jeżeli funkcja ma pierwszą pochodną w punkcie przegięcia i pewnym jego otoczeniu, to zarówno w lewo- jak i prawostronnym sąsiedztwie tego punktu pochodna powinna mieć ten sam znak."

text: Przecież w punkcie przegięcia pochodna wcale nie musi istnieć - weź krzywą z ostrzem lub funkcję y=pierw3(x). 
Aha. Czyli f(x) nie ma w zerze punktu przegięcia, bo ma pierwszą (i zresztą drugą i trzecią) pochodną w zerze, a znak pochodnej się zmienia w otoczeniu zera.

text: f'(x)=4x^3*sin(1/x)-x^2*cos(1/x) - o znaku decyduje drugi składnik. Trudno tu nawet powiedzieć, że znak się zmienia, on szaleje. Funkcja nie ma punktu przegięcia, ale nie dlatego, że coś dzieje się ze znakiem pochodnej, a dlatego, że nie ma ustalonej wypukłości na lewo i prawo. 
"Styczna do wykresu funkcji w punkcie przegięcia przecina wykres. Korzystając z tej równoważnej definicji punkt przegięcia można zdefiniować także dla dowolnej krzywej."
Chwila... Styczna do wykresu f(x) w zerze (prosta pozioma, oczywiście - styczna istnieje, do tego wystarcza istnienie pierwszej pochodnej) przecina jak najbardziej wykres. Nawet w dowolnie bliskim otoczeniu zera. Czy przecina w zerze to trudno stwierdzić.
Co gorsza, jesli weźmiemy g(x) = x^3(2 + sin(1/x)), to już nie ma żadnych wątpliwości - styczna do wykresu ewidentnie przecina wykres w zerze, jakkolwiek by tego pojęcia nie definiować, natomiast pierwsza pochodna wciąż zmienia znak w otoczeniu zera.
W sumie - coś jest nie tak.
Onufry (onufry@mimuw.edu.pl)

text: I tu masz rację. Ostatnia uwaga jest bełkotliwa - jeśli można zdefniować, to autor powinien to uczynić. Inni poprawiacze powinni zwrócić uwagę na bełkot. Nie zwróciliśmy - nasz błąd. Dzięki za rzeczowe uwagi.

text: Przy okazji, klasyk napomyka o innym (nierównoważnym) sposobie definiowania p-ktu przegięcia. Na końcu ustępu podaje też do rozważenia funkcję y=x^5(1+sin^2(1/x)). Pozdrawiam, 4@
thread_title:  Coś tu nie gra 

message: Nie wiem czy jest sens podawać definicje wypukłości w artykule o punkcie przegięcia, jeśli już, należy też podać w jednym przypadku alternatywną nazwę - wypukłości w sensie Jensena. Duża część autorów (Leja, Fichtenholz) od razu definiują pojęcie punktu przegięcia dla funkcji różniczkowalnych. Widzę, zresztą że C4 zerkała do Fichtenholza, bo z niego właśnie pochodzi rzeczony wyżej przykład. Ja proponowałbym następującą definicję:
Niech f\colon [a,b]\to\mathbb{R} będzie różniczkowalna w x_0\in (a,b). Punkt (x_0, f(x_0)) wykresu tej funkcji nazywamy punktem przegięcia, jeśli oddziela on część krzywej y=f(x), która jest wypukła (wzg. wypukła z góry) od części, która jest jest wklęsła (wypukła w górę).
Ładne ilustracje znajdują się tu: Wypukłość funkcji. Loxley 18:41, 8 sie 2007 (CEST)
replies: text: Jeśli przyjmiemy, że w otoczeniu punktu przegięcia funkcja musi być różniczkowalna, to np. pierwiastek trzeciego stopnia nie ma punktu przegięcia w zerze. Skoro tak, to nie można też twierdzić, że punkt przegięcia funkcji to to samo co odcięta punktu przegięcia jej wykresu, bo wykres pierwiastka trzeciego stopnia traktowany jako krzywa punkt przegięcia w zerze ma. Ale to oczywiście byłaby również pewna spójna definicja, warta zamieszczenia, tylko nie bardzo mi się podoba umieszczanie jej jako jedynej słusznej.
replies: text: :W przytoczonej wyżej definicji zakładamy tylko różniczkowalność w punkcie, a nie w całym otoczeniu. Loxley 10:56, 9 sie 2007 (CEST)
replies: text: ::No właśnie. A pierwiastek trzeciego stopnia jest różniczkowalny w punkcie x=0? Nie, i dlatego według tej definicji nie ma punktu przegięcia w zerze. A.N.
replies: text: :::Optowałbyś za osłabieniem założenia tylko do ciągłości? Co wówczas z piłą Weierstrassa np.? Loxley 18:09, 9 sie 2007 (CEST)
replies: text: ::::To ta funkcja, ciągła, a nigdzie nie różniczkowalna? A dlaczego ma być z nią problem? I tak nie będzie miała nigdzie punktu przegięcia, bo w żadnym otoczeniu nie będzie ani wypukła, ani wklęsła, więc nie zmieni nigdzie swojej wklęsłości. Ale ja nie mam co optować, o tym powinny decydować książki matematyczne. Z dyskusji wynika, że są w literaturze co najmniej dwie wersje. To może dać obydwie? A.N.

text: ::::Tak szczerze, ani twoja, ani Olafa wersja mi sie na intuicje nie podoba, ale nie chce wymyslac trzeciej. Intuicyjnie pierwiastek 3 stopnia powinien miec punkt przeg., ale np. x^3+|x|  nie. Tymczasem według twojej definicji żadna z tych funkcji nie ma punktu przegięcia, a wedlug Olafa obie. A.N.

text: W tym artykule opierałem się tylko na tak trywialnych źródłach, jak Atlas Matematyki Reinhardta i Soedera. Na stronie 289 przy opisie punktu przegięcia podają definicje wypukłości i wklęsłości, takie jak napisałem, i nie wymagają różniczkowalności dla istnienia punktu przegięcia. Taka definicja jest wówczas zgodna z definicją punktu przegięcia krzywej. Jeśli jednak uznasz, że to podejście jest błędne, nie bedę oponował. W końcu to Ty masz być profesjonalistą z matmy. :-) Ja analizy nigdy nie lubiłem (jeśli już to raczej algebrę i matematykę dyskretną), ani nie byłem z niej dobry.

text: Tymczasowo chcę sobie zrobić przerwę, a przynajmniej mocno ograniczyć swoje zaangażowanie tutaj, więc ani do tego, ani do macierzy się zanadto mieszał nie będę. Ale cieszę się, że ktoś się poważnie weźmie za jakość matematyki na wikipedii. Pozdrawiam, Olaf @ 23:45, 8 sie 2007 (CEST)
replies: text: :może warto spojrzeć na enwiki, gdzie ciekawie jest to wszystko wyjaśnione (obeszli się tam bez wzorów!) konrad mów! 18:31, 10 sie 2007 (CEST)
thread_title: Kilka uwag

message: Zajrzałem na tę stronę dopiero dzisiaj (09.04.2011).
Sporo trzeba tutaj poprawić:
1. podać lepszą definicję wypukłości i wklęsłości
2. wyjaśnić, kiedy "dwójkowa wypukłość" wypukłość jest równoważna normalnej wypukłości (to co jest napisane nie jest prawdą)
3. Wyszlifować język
i jeszcze kilka innych drobiazgów.
Postaram się zabrać za to w ciągu kilka najbliższych dni.
--Cichoń (dyskusja) 00:54, 9 kwi 2011 (CEST)
replies: text: W ciągu ostatnich kilku dni (tygodnia z hakiem) przybyło prawie 200 edycji, konsultowanych z kilkoma innymi głowami. Mam nadzieję, że już jest dużo lepiej, nawet jeśli nie jest optymalnie; np. tu i ówdzie brakuje źródeł, a oprócz tego przydałyby się diagramy podsumowowujące – Eulera(—Venna) i Hassego, jakaś tabelka i może diagram decyzyjny (flowchart) z szukaniem przegięć... Choć to ostatnie pasuje raczej do Wikibooks, a tutaj mógłby być tylko link do odpowiedniego kursu. Tarnoob (dyskusja) 01:06, 26 sty 2022 (CET)
thread_title:  Konieczność zdrowej przebudowy strony