Dyskusja:Równanie algebraiczne

message: Czy należy rozumieć w takim razie, że równania wymierne i niewymierne nie są algebraiczne?
Dostrzegam niekonsekwencję w operowaniu aparatem pojęciowym. Skoro funkcje algebraiczne to ogólna klasa funkcji elementarnych spełniających warunek Wn(x)f^n(x)+W(n-1)(x)f^(n-1)(x)+...+W1(x)f(x)+W0(x)=0 (czyli są to funkcje wymierne (a wśród nich funkcje wielomianowe), a także funkcje niewymierne) i realizujących określone wyrażenia algebraiczne (i tu znowu: wymierne i niewymierne), to dlaczego równanie algebraiczne w tym artykule utożsamiane jest wyłącznie z równaniem wielomianowym?

message: 1. Język - sformułowania takie, jak Równanie zerowego stopnia też można uważać liniowym. - to wygląda na przetłumaczone żywcem z rosyjskiego, po polsku mamy nieco inną gramatykę, można by napisać [...] można uważać za liniowe (abstrahując od tego, czy to jest poprawne pod względem merytorycznym). Również sformułowanie stosując jedną z wiadomych metod, jakie można tłumaczyć jako podające pierwiastki w postaci zdecydowanie źle brzmi.
2. Stwierdzenie, że równanie zawsze można rozwiązać, stosując tylko podanych pięć działań, pozostawia pewną niejasność: jakie pierwiastkowanie? Problemem jest liczenie pierwiastka trzeciego stopnia z liczby zespolonej - dla równania trzeciego stopnia, które ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, przy ich wyliczaniu trzeba taki pierwiastek policzyć - to się nazywa przypadkiem nieprzywiedlnym, bo kiedy próbujemy wyliczyć ten pierwiastek, otrzymujemy równanie trzeciego stopnia o trzech różnych pierwiastkach rzeczywistych... okazuje się, że umiejąc wykonywać działania na liczbach rzeczywistych i posługiwać się nimi do wykonywania działań na liczbach zespolonych nie możemy wyliczyć pierwiastków takiego równania. Równanie czwartego stopnia wymaga posłużenia się równaniem trzeciego stopnia (nazywanym jego równaniem rozwiązującym) - i jeśli np. ma mieć cztery różne pierwiastki rzeczywiste, to równanie trzeciego stopnia, które trzeba rozwiązać, jest właśnie przypadkiem nieprzywiedlnym. Wynika z tego, że można napisać formalne wyrażenia, zbudowane pięciu podstawowych działań (to się nazywa wyrażaniem rozwiązań przez pierwiastniki), na pierwiastki równań trzeciego i czwartego stopnia, ale nie zawsze można takie wyrażenia wyliczyć, choć można wstawić je do równania i policzyć, że jest spełnione. Równanie trzeciego stopnia (z czwartym nie ma tego problemu, poza tym, że rozwiązując je trzeba po drodze rozwiązać równanie trzeciego stopnia) o trzech pierwiastkach rzeczywistych można praktycznie rozwiązać korzystając z wzoru sin(3x)=3*sin(x)-4*(sin(x))^3, w tym celu trzeba przeskalować niewiadomą tak, by uzyskać równanie o postaci 4*z^3-3*z-r, w nim podstawić z=sin(x), wtedy równanie sprowadza się do sin(3x)=r, z tego wylicza się x, a następnie z - w przypadku nieprzywiedlnym dla liczenia przez zwykłe działania x zawsze będzie rzeczywiste. Jeszcze nieco gorzej jest z równaniami o współczynnikach zespolonych, z reguły przy rozwiązywaniu trzeba policzyć pierwiastek trzeciego stopnia z liczby zespolonej, co prowadzi do przypadku nieprzywiedlnego, ale da się to zrobić podaną metodą z użyciem wzoru na sin(3x).
W popularnej serii Biblioteka Matematyczna była opublikowana książka Rozwiązywanie równań algebraicznych, omawiająca między innymi te zagadnienia (wyprowadzenie wzorów na pierwiastki równań do czwartego stopnia włącznie, przypadek nieprzywiedlny, praktyczne sposoby rozwiązywania równań).
JerzyTarasiuk (dyskusja) 20:45, 6 wrz 2014 (CEST)
thread_title:  Parę zastrzeżeń do artykułu