Dyskusja:Continuum (teoria mnogości)

message: * dopisać "jak duże" (w sensie jest niesprzeczne z ZFC) może być continuum - bodaj \aleph_{\omega_1}, ale i tak trzeba to sprawdzić i podać źródła.
* podać szkic dowodu, inny niż metoda przekątniowa że zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny
* continuum a inne aksjomaty spoza ZFC.
Lista jest otwarta, proszę wpisywać propozycje. Loxley (dyskusja) 00:09, 24 lut 2010 (CET)
===Kofinalnosc===
replies: text: Ad 1. W skala alefów Stotr pisał, że mniejsze niż \aleph_\omega Pozdr. Markotek (dyskusja) 14:36, 25 lut 2010 (CET)
replies: text: :Oj nie :))) Tak nie jest, po prostu \aleph_\omega się nie nadaje bo ma przeliczalną kofinalność, ale większe jak najbardziej :) Warunek konieczny to nieprzeliczalna kofinalność. Pozdrawiam, Loxley (dyskusja) 20:20, 25 lut 2010 (CET)
Dokladnie.  Kontinuum nie moze miec przeliczalnej kofinalnosci, ale wszystkie inne liczby kardynalne sa mozliwe jako wartosc kontinuum.  Solovay udowodnil ze po dodaniu κ "losowych" liczb rzeczywistych (random reals) do modelu GCH, gdzie κ jest liczba kardynalna o kofinalnosci nieprzeliczalniej, kontinuum bedzie miec wartosc κ.  I wszystkie liczby kardynalne zostaja liczbami kardynalnymi, np gdy \kappa= \aleph_{\omega_1} w modelu podstawowym (tz w pierwszym modelu, w ground model), to tez \kappa= \aleph_{\omega_1} w modelu po dodaniu liczb rzeczywistych. 
Zrodlo: Robert Solovay,  2^{\aleph_0} can be anything it ought to be, The theory of models, North-Holland. Amsterdam, 1965, p. 435.   I oczywiscie Jech, "Set Theory". 
--Alef (dyskusja) 11:51, 1 sie 2010 (CEST)
Możesz sprawdzić i ew. przeredagować uwagę o tym jak duże może być c? Loxley (dyskusja) 02:14, 8 sie 2010 (CEST)
===Dowod nieprzeliczalnosci===
Pierwszy dowod Cantora byl taki: Niech 
\{c_1, c_2, c_3, \ldots\} bedzie gestym zbiorem liczb rzeczywistych. Znajdziemy liczbe a nie nalezaca do tego zbioru w nastepujacy sposob: 
* Niech a_0 < b_0 beda pierwszymi liczbami na tej liscie.   (Jesli c_0\not=c_1, to albo a_0=c_0, a_1=c_1 albo a_0=c_1,a_1=c_0.)
* Niech a_1 < b_1  beda pierwszymi liczbami na tej liscie w otwartym odcinku (a_0, b_0).
* itd. Niech a_{n+1} < b_{n+1}  beda pierwszymi liczbami na tej liscie w odcinku (a_n, b_n).   Jesli a_n=c_{i_n}, b_n= c_{j_n}, a_{n+1}=c_{i_{n+1}}, b_{n+1}= c_{j_{n+1}}, to \max(i_n,j_n) <\min( i_{n+1}, j_{n+1}).
* ...
W koncu, niech  
a:= \sup\{ a_0, a_1, \ldots \}, 
b:= \inf\{ b_0, b_1, \ldots \}.   To 
a \le b, i zadna liczba z listy 
\{c_1, c_2, c_3, \ldots\} moze sie znalezc w odcinku [a,b].  W szczegolnosci, liczba a nie nalezy do danego zbioru. 
--Alef (dyskusja) 13:32, 1 sie 2010 (CEST)
thread_title: TODO:

message: :Ad 1. W skala alefów Stotr pisał, że mniejsze niż \aleph_\omega Pozdr. Markotek (dyskusja) 14:36, 25 lut 2010 (CET)
replies: text: :Oj nie :))) Tak nie jest, po prostu \aleph_\omega się nie nadaje bo ma przeliczalną kofinalność, ale większe jak najbardziej :) Warunek konieczny to nieprzeliczalna kofinalność. Pozdrawiam, Loxley (dyskusja) 20:20, 25 lut 2010 (CET)
Dokladnie.  Kontinuum nie moze miec przeliczalnej kofinalnosci, ale wszystkie inne liczby kardynalne sa mozliwe jako wartosc kontinuum.  Solovay udowodnil ze po dodaniu κ "losowych" liczb rzeczywistych (random reals) do modelu GCH, gdzie κ jest liczba kardynalna o kofinalnosci nieprzeliczalniej, kontinuum bedzie miec wartosc κ.  I wszystkie liczby kardynalne zostaja liczbami kardynalnymi, np gdy \kappa= \aleph_{\omega_1} w modelu podstawowym (tz w pierwszym modelu, w ground model), to tez \kappa= \aleph_{\omega_1} w modelu po dodaniu liczb rzeczywistych. 
Zrodlo: Robert Solovay,  2^{\aleph_0} can be anything it ought to be, The theory of models, North-Holland. Amsterdam, 1965, p. 435.   I oczywiscie Jech, "Set Theory". 
--Alef (dyskusja) 11:51, 1 sie 2010 (CEST)
Możesz sprawdzić i ew. przeredagować uwagę o tym jak duże może być c? Loxley (dyskusja) 02:14, 8 sie 2010 (CEST)
thread_title: Kofinalnosc

message: Pierwszy dowod Cantora byl taki: Niech 
\{c_1, c_2, c_3, \ldots\} bedzie gestym zbiorem liczb rzeczywistych. Znajdziemy liczbe a nie nalezaca do tego zbioru w nastepujacy sposob: 
* Niech a_0 < b_0 beda pierwszymi liczbami na tej liscie.   (Jesli c_0\not=c_1, to albo a_0=c_0, a_1=c_1 albo a_0=c_1,a_1=c_0.)
* Niech a_1 < b_1  beda pierwszymi liczbami na tej liscie w otwartym odcinku (a_0, b_0).
* itd. Niech a_{n+1} < b_{n+1}  beda pierwszymi liczbami na tej liscie w odcinku (a_n, b_n).   Jesli a_n=c_{i_n}, b_n= c_{j_n}, a_{n+1}=c_{i_{n+1}}, b_{n+1}= c_{j_{n+1}}, to \max(i_n,j_n) <\min( i_{n+1}, j_{n+1}).
* ...
W koncu, niech  
a:= \sup\{ a_0, a_1, \ldots \}, 
b:= \inf\{ b_0, b_1, \ldots \}.   To 
a \le b, i zadna liczba z listy 
\{c_1, c_2, c_3, \ldots\} moze sie znalezc w odcinku [a,b].  W szczegolnosci, liczba a nie nalezy do danego zbioru. 
--Alef (dyskusja) 13:32, 1 sie 2010 (CEST)
thread_title: Dowod nieprzeliczalnosci