Dyskusja:Pełna grupa liniowa

message: Dlaczego zrezygnowałeś ze standardowego oznaczenia \mbox{GL}(n,K)? Loxley 09:05, 28 kwi 2007 (CEST)
replies: text: :D gdzieś uciekło (choć w kilku miejscach przecież jest!) – po prostu jeszcze nie skończyłem tłumaczenia artykułu z enwiki, do tego nie przejrzałem jeszcze wszystkich artykułów do integracji; wiem, że są jeszcze artykuły o SO(2) i podobne... dorzucaj tu od siebie! konrad mów! 20:27, 29 kwi 2007 (CEST)

message: 1. Pojęcie macierzy odwrotnej i macierzy odwracalnej ma sens gdy ma sens dodawanie i mnożenie elementów macierzy, tzn. dla macierzy nad pierścieniem. Dla niematematyków ważne są praktyczne umiejętności: rozwiązywanie układu równań liniowych, rozwiązywanie układu równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu itp., więc macierze nad ciałem są używane powszechnie: przez fizyków, chemików, inżynierów, ekonomistów, biologów, itd., itp. Ale encyklopedyczna definicja pojęcia matematycznego nie powinna być tym, czego nauczono biologa na pierwszym roku gdy "przerabiał" przedmiot matematyka. 
Trzeba wiedzieć w jakiej dziedzinie matematyki dane pojęcie jest badane (a nie tylko używane) i jak się je definiuje w tej dziedzinie matematyki. Potem definicję trzeba zapisać w sposób zrozumiały. 
Grupy liniowe są na tyle ważne, że są przedmiotem badań własnej dziedziny matematycznej: teorii grup klasycznych. Nie są przedmiotem badań algebry liniowej (w niewielu podręcznikach algebry liniowej pojawia się nawet nazwa grupy GL(n,K)). Bez względu na to, na którym roku student matematyki się o tym dowiaduje, GL(n,-) jest funktorem z kategorii pierścieni w kategorię grup, czyli ogólna grupa liniowa jest określona nad pierścieniem, a ciało jest szczególnym przypadkiem pierścienia. Większość najważniejszych zagadnień teorii grup klasycznych w szczególnym przypadku grupy GL(n,K) nad ciałem  K się trywializuje, przy czym odpowiednie własności grupy GL(n,K) w wielu wypadkach można udowodnić już gdy K jest pierścieniem z dzieleniem. Innymi słowy: grupa GL(n,K) nad ciałem jest na tyle łatwa, że można o niej uczyć na początkowych latach studiów. 
2. W podrozdziale "Przestrzenie liniowe" zaniast "np. zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń liniowych" powinno być "tzn. zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń liniowych". 
Dalej: "Jeżeli (***) jest bazą V, zaś T automorfizmem GL(V), to mamy" - dwie uwagi. 
*Po pierwsze autor hasła Baza_(przestrzeń_liniowa) nie ma zamiaru wspomnieć o bazach uporządkowanych (dla niego baza to zbiór, więc żeby identyfikować współrzędne musi je opatrywać indeksami). Tu powinno być "Jeżeli (***) jest bazą uporządkowaną". Układ (***) nie jest bazą w rozumieniu artykułu Baza_(przestrzeń_liniowa). Ja bym zmienił artykuł Baza_(przestrzeń_liniowa), ale...
*Automorfizmy grupy GL(V) to automorfizmy wewnętrzne i ich złożenia z A\mapsto (A^{-1})^T (V - przestrzeń liniowa nad ciałem). Tu chodziło o element grupy GL(V), który nie jest automorfizmem tej grupy, a jest automorfizmem przestrzeni wektorowej V.
3. "Podobnie grupa GL(n,R) pierścienia przemiennego R może być interpretowana jako grupa automorfizmów wolnego R-modułu rzędu n." - tu przemienność pierścienia nie jest do niczego potrzebna. Za to moduł wolny ma rangę a nie rząd. Ograniczanie się do pierścieni przemiennych ma sens gdy chcemy użyć wyznaczników.
4. "Wyznaczniki nie mają tak dobrych własności nad nieprzemiennym pierścieniem R." - nie ma wyznaczników nad pierścieniem nieprzemiennym! A GL(n,R) zawsze i wszędzie jest zdefiniowana jako grupa multyplikatywna pierścienia  macierzy - zawsze, ale niekoniecznie jawnie. 
5. Spis ciał K dla których GL(n,K) i SL(n,K) jest grupą Lie wymaga uzupełnienia, np. formie dopisku "(ogólnie: ciałem lokalnym)". Dlaczego tylko SL(n,K) jest tu grupą Lie? Ogólnie algebrę Lie grupy Lie A oznaczamy {\mathfrak a}, tzn. algebrą Lie grupy GL(n,K) jest \mathfrak{gl}(n,K), a algebrą Lie grupy SL(n,K) jest zbiór \mathfrak{sl}(n,K) składający się z macierzy kwadratowych stopnia n o śladzie 0.
6. "Niech K* będzie grupą multiplikatywną (bez zera) ciała K" - poza błędem "multiplikatywną" (powinno być multyplikatywną; ciało - i pierścień - ma grupę addytywną a nie "additivną" i grupę multyplikatywną, a nie "multiplicativną"), skrótowe sformułowanie jest mylące: nie chodzi o grupę bez zera, a o to, że dla ciała jego grupa multyplikatywna składa się z wszystkich elementów różnych od zera. Należało raczej napisać "Niech K* będzie grupą multyplikatywną (grupą złożoną z różnych od zera elementów) ciała K". 
Trudno: albo zrozumiale, albo krótko.
7. Dowód tego, że jądrem homomorfizmu det:GL(n,K) ---> K* jest SL(n,K) nie ma sensu. Z definicji jądra tym jądrem jest zbiór macierzy o wyznaczniku 1, który z definicji jest grupą SL(n,K). Takie użycie twierdzenia o izomorfizmie jest błędem: niech K będzie ciałem liczb zespolonych, a det2(A)=(det A)2; jądrem homomorfizmu det2 jest zbiór ±SL(n,K) macierzy o wyznaczniku ±1 i GL(n,K)/±SL(n,K)≈K*; innymi słowy jeśli K jest ciałem liczb zespolonych, to GL(n,K)/±SL(n,K)≈GL(n,K)/SL(n,K) chociaż ±SL(n,K)≠SL(n,K).
--194.146.251.82 14:47, 8 cze 2007 (CEST)MSz
replies: text: znowu ratujesz sytuację! ponawiam prośbę o zarejestrowanie (i samodzielną edycję artykułów – to można robić nawet bez uprzedniej rejestracji). wprowadziłem właściwie wszystkie zmiany poza drugim podpunktem punktu drugiego, który nie całkiem rozumiem (co? gdzie? :P) konrad mów! 16:16, 8 cze 2007 (CEST)
thread_title:  Różne uwagi