Dyskusja:Geometria nieeuklidesowa

message: Przenoszę dyskusję, bo zaczyna być wielostronna.
Jeśli chodzi o tę edycję: wydaje mi się, że aksjomat równoległości jest niespełniony nie tylko u Łobaczewskiego ale i w geometrii eliptycznej. Poprzednia wersja była więc chyba dobra? Pozdrawiam, Olaf @ 23:21, 11 lip 2009 (CEST)
replies: text: Geometrie nieeuklidesowe to nie tylko eliptyczne i hiperboliczne. Tam może być cokolwiek. Ale ważna informacja: w geometrii eliptycznej nie ma nie tylko aksjomatu równoległości, a i niektórych innych aksjomatów geometrii Euklidesowej. Teraz zauważyłem jeszcze, że nie warto tu mówić właśnie o PIĘCIU aksjomatach: u Euklidesa ich było 10 (aksjomatów i postulatów); oprócz tego, lepiej mówić o aksjomatach Hilberta, bo Euklides napisał nie wszystko, co trzeba. --D.M. from Ukraine (dyskusja) 23:37, 11 lip 2009 (CEST)

text: Już poprawiłem jeszcze raz. --D.M. from Ukraine (dyskusja) 23:42, 11 lip 2009 (CEST)
replies: text: :W sumie masz rację. Zastanawiam się w takim razie, czy w ogóle jest sens mieć hasło geometria nieeuklidesowa, skoro pojęcie to może obejmować w zasadzie wszystko (oprócz geometrii euklidesowej). Olaf @ 23:15, 12 lip 2009 (CEST)

text: Witaj Olafie! Od czasu do czasu zaglądam do Wikipedii. Rzadko, rzadziej niż bym chciał. Nie wszystkie tematy da się poruszyć, nie wszystkie wątki dokończyć. Tyle dzieje się wokół. Przepraszam, że się teraz  wtrącam w waszą (tj. Twoją i D.M. from Ukraine) ciekawą wymianę zdań, ale myślę, że wtrącając się wzbogacę treść tej polemiki.

text: 1. Zaskoczę Was obu, ale powiem z naciskiem:  aksjomat Euklidesa jest prawdziwy również w geometrii eliptycznej! A to dlatego, że brzmi on:
replies: text: :: Najwyżej jedna, a nie dokładnie jedna! A skoro w geometrii eliptycznej każde dwie proste przecinają się, więc przez wspomniany punkt przechodzi zero prostych rozłącznych z daną. A zero to najwyżej jeden. Słusznie zauważa D.M. from Ukraine, że "w geometrii eliptycznej nie ma (...) niektórych innych aksjomatów". Ja tu dodam, że tu nie tylko chodzi o te "inne aksjomaty", ale także o INNE pojęcia pierwotne - zamiast pojęcia relacji leżenia punktu między dwoma innymi punktami tu pojawia się relacja rozdzielania jednej pary punktów przez inną parę. Pierwsza relacja prowadzi modelu prostej euklidesowej R¹ z porządkiem liniowym, druga do obiektu homeomorficznego z okręgiem. A to już gruntownie zmienia topologię płaszczyzny.

text: 2. Żeby sprawę jeszcze bardziej zagmatwać, dodam, że gdy wziąć książeczkę Geometria dla postronnych Kordosa i Włodarskiego, to można tam znaleźć listę 12 zdań równoważnych aksjomatowi Euklidesa (włącznie z oryginalnym postulatem z Elementów). Spośród tych 12 aż 8 zachodzi w geometrii eliptycznej, pozostałe 4 nie zachodzą!!! (niektóre z tych zachodzących zachodzą trywialnie, jako że mają postać Α→Β gdzie A jest fałszywe). Niemożliwe? Nie może być prawdą,  skoro jako  równoważne muszę być jednocześnie prawdziwe bądź fałszywe? Otóż możliwe!!! Możliwe, bowiem ich równoważność jest udowodniona na gruncie geometrii absolutnej czyli wspólnej dla hiperbolicznej i euklidesowej. Jest to więc równoważność – że tak powiem – relatywna.

text: 3. Rezygnacja z aksjomatu Euklidesa dając geometrię absolutną nie otwiera niestety drogi do geometrii eliptycznej. Wymagałoby to gruntownej przebudowy pojęciowej – o czym było już wyżej – oraz z powodu pewnego twierdzenia dowodzonego w geometrii absolutnej:
replies: text: :: które oczywiście jest fałszywe w geometrii eliptycznej. Dopiero to twierdzenie połączone z aksjomatem Euklidesa daje twierdzenie geometrii euklidesowej:

text: 4. Na miejscu D.M. from Ukraine tak bym nie szarżował z tymi geometriami nieeuklidesowymi, że  "tam może być cokolwiek". Czy biorąc teorię grup i nazywając elementy grupy punktami a zbiory dwuelementowe prostymi dostanę jakąś geometrię? Wątpię.

text: Określenie „geometria nieeuklidesowa” powstała w kontekście pewnych wydarzeń historycznych tj. zakończenia trwającego 2000 lat boju o piąty postulat.  I dotyczyło oczywiście geometrii hiperbolicznej. Dość przytoczyć   Geometrię nieeuklidesową S. Kulczyckiego (Biblioteka Problemów) omawiającą wyłącznie geometrię hiperboliczną -dla autora jest to wręcz synonim geometrii nieeuklidesowej. Wtedy też powstało określenie „geometria euklidesowa”, przedtem mówiło się po prostu „geometria” – innej geometrii przecież nie było.

text: Trochę to przypomina powstanie określenia „liczby rzeczywiste”. Pojawiło się ono w opozycji do określenia „liczby urojone”, choć wcale liczby rzeczywiste nie były bardziej rzeczywiste od liczb naturalnych czy zespolonych właśnie. Albo odwrotnie – jeszcze bardziej urojonymi od liczb urojonych są kwaterniony albo liczby p-adyczne, choć nikomu do głowy nie przychodzi ich tak nazywać.

text: Dokończeniem tej historii z geometriami były prace Riemanna, który wprowadzając powierzchnie riemannowskie zunifikował geometrie dzisiaj zwane geometriami stałej krzywizny. Połączył więc geometrie euklidesową i hiperboliczną z eliptyczną, która okazała się być mutacją uprawianej od tysięcy lat geometrii sferycznej.

text: Jeśli więc o moje zdanie idzie, to poprzestałbym na stosowaniu określenia „geometria nieeuklidesowa”  wobec geometrii hiperbolicznej i eliptycznej (czyli geometrii stałej niezerowej krzywizny), inne zaś zostawiłbym w spokoju.  Te wszystkie geometrie sympleksu, geometrie środka, geometria pappusowe, geometrie zbioru skończonego, geometria kostki Hilberta nie są ani euklidesowe ani nieeuklidesowe. Są, jakie są.

text: pozdrawiam

text: --H. Kozera (dyskusja) 01:17, 13 lip 2009 (CEST)
replies: text: :Uważam, że artykuł o geometriach nieeuklidesowych jest potrzebny. Właśnie istnienie takich geometrii to już interesujące zjawisko, o jakim warto mieć artykuł w Wikipedii. Co do sprecyzowania, jakie teorie są geometriami nieeuklidesowymi, to chyba zgadzam się z H. Kozerą. Dziękuję też H. Kozerze za uwagę, że w geometrii eliptycznej aksjomat Euklidesa jest prawdziwy, ponieważ tam chodzi o nie więcej niż jedną prostę. À propos, można jeszcze bardziej zapłątać czytelnika, jeżeli przypomnieć, że Euklides opisywał ten aksjomat w ogóle po innemu, oraz że Euklides nie znał aksjomatów o porządku punktów na prostej... --D.M. from Ukraine (dyskusja) 21:50, 13 lip 2009 (CEST)
replies: text: ::Ad 1. Czyli mówisz, że geometria euklidesowa i eliptyczna spełniały te same 5 aksjomatów Euklidesa? To w jaki sposób Euklides wyprowadził z nich twierdzenia prawdziwe tylko w geometrii euklidesowej? Nie, tu się mylisz, tak naprawdę piąty aksjomat Euklidesa brzmi (źródło):

text: ::Z tego aksjomatu, wraz z pozostałymi wynika że przez punkt płaszczyzny nie leżący na danej prostej przechodzi dokładnie jedna prosta. I tak powinien brzmieć aksjomat równoległości.

text: ::Ad 2. Wydawało mi się, że geometria absolutna obejmuje nie tylko część wspólną dla euklidesowej i hiperbolicznej, ale także eliptycznej.

text: ::Pozdrawiam, Olaf @ 07:58, 14 lip 2009 (CEST)
replies: text: ::: Ad Ad 1. Nie, nie mówię i nie mówiłem, że  "geometria euklidesowa i eliptyczna spełniały te same 5 aksjomatów Euklidesa". Mówiłem, że w geometrii eliptycznej spełniony jest aksjomat Euklidesa. A mówiąc aksjomat Euklidesa miałem na myśli zdanie
replies: text: ::::: Znajdziesz go w każdym szanującym się podręczniku geometrii i to dokładnie w takiej postaci. A zacytowane przez Ciebie równoważne zdanie jest oczywiście także aksjomatem Euklidesa i to tym oryginalnym. Od niego też zaczęły się szalone (bo skazane na niepowodzenie) próby jego udowodnienia, co praktycznie skutkowało za każdym razem przedłużaniem listy zdań jemu równoważnych.

text: :::Zresztą jak przyjrzysz się zacytowanemu przez Ciebie oryginalnemu aksjomatowi Euklidesa (tj. piątemu postulatowi) z Elementów to jak byś go nie  analizował, wyjdzie Ci, że zachodzi on w geometrii eliptycznej. I to zachodzi trywialnie, bo tam każde dwie proste przecinają się! I już. Podobnie jak zacytowany przeze mnie aksjomat. A o tym, że nie wszystkie inne równoważne aksjomaty chcą zachodzić w geometrii eliptycznej pisałem już wcześniej.

text: ::: Powtarzam - nie mieszaj aksjomatu Euklidesa (i każdego jemu równoważnego zdania) z twierdzeniem geometrii euklidesowej:
replies: text: ::::: które wynika z aksjomatu Euklidesa i następującego twierdzenia geometrii absolutnej:
replies: text: ::::::: Fałszywość powyższego twierdzenia w geometrii eliptycznej nie obala przecież w tej geometrii aksjomatu Euklidesa w postaci Twojej czy mojej.

text: :::Ad Ad 2. Tu źle Ci się wydawało. Geometria absolutna to część wspólna geometrii euklidesowej i hiperbolicznej czyli teoria, której aksjomatyka składa się ze wszystkich aksjomatów geometrii euklidesowej w wyłączeniem aksjomatu o równoległych (czyli tzw. aksjomatu Euklidesa). Chyba że Ty mówiąc geometria absolutna masz na myśli geometrię powierzchni riemannowskiej obejmującej faktycznie modele wszystkich trzech geometrii, o których wspomniałeś. Kłopot w tym, że takiej geometrii nikt nie zaksjomatyzował w języku teorii 1-rzędu (plus jakiś aksjomat ciągłości). A my, mam taką nadzieję, mówimy właśnie o takich teoriach.

text: :::Uzupełnienie aksjomatyki geometrii absolutnej albo aksjomatem Euklidesa albo jego zaprzeczeniem daje odpowiednio albo kategoryczną geom. Euklidesowa albo kategoryczną geom. hiperboliczną (Bolay-Łobaczewskiego). Tak nawiasem mówiąc jak zaprzeczysz aksjomatowi Euklidesa w Twojej wersji z frazą "... przechodzi dokładnie jedna prosta..."? Dostałbyś:"...przechodzi więcej niż jedna prosta lub nie przechodzi żadna... )"

text: :::Wyżej napisałem, że nikt nie zaksjomatyzował... W rzeczywistości coś takiego stworzył M. Kordos. Można o tym poczytać np. w "Podstawy geometrii rzutowej i rzutowo-metrycznej". U niego to nazywa się geometrią czteroabsolutną, bowiem obok trzech "oklepanych" geometrii została tam włączona geometria, której modelem jest płaszczyzna afiniczna związana z przestrzenią liniową 2-wymiarową z niezdegenerowanym iloczynem skalarnym o sygnaturze 0 (to taka uproszczona wersja czasoprzestrzeni). Geometria czteroabsolutna zbudowana została na bazie geometrii rzutowej wzbogaconej o nowe pojęcie prostopadłości i kilka nowych aksjomatów. Przyglądając się tej aksjomatyce znajdziemy niewiele wspólnego z aksjomatyką tradycyjnie rozumianej geometrii absolutnej, choć oczywiście cztery modele tej teorii są bardzo tradycyjne.

text: :::pozdrawiam

text: :::--H. Kozera (dyskusja) 11:11, 14 lip 2009 (CEST)
replies: text: ::::Strasznie przepraszam, nie mam zbyt wielu źródeł o geometrii, ale zajrzałem do nich jednak, poszukałem trochę po sieci i nie do końca się mogę zgodzić:

text: ::::*  "(...) aksjomatu równoległości Euklidesa głoszącego, że przez dany punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do tej prostej."

text: ::::*  – "Aksjomat Euklidesa dotyczący istnienia dokładnie jednej prostej równoległej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt płaszczyzny(...)"

text: ::::* Encyklopedia PWN: "na płaszczyźnie przez punkt nie leżący na prostej przechodzi dokładnie jedna prosta nie przecinająca danej prostej; jest to piąty z aksjomatów podanych przez Euklidesa; geometrie, w których nie jest on spełniony, nazywają się nieeuklidesowymi."

text: ::::* Mathworld – Parallel Postulate: "Given any straight line and a point not on it, there exists one and only one straight line which passes through that point and never intersects the first line, no matter how far they are extended."

text: ::::* PlanetMath – Parallel Postulate: "equivalent to the idea that there is a unique parallel to any line through a point not on the line"

text: ::::*  – "The Parallel Postulate (...) There exists a unique line l'  parallel to l and containing p"

text: ::::*  – "(...) there is a unique line (...)"

text: ::::*  – "(...) there exists a unique line (...)"

text: ::::Zdaje się więc, że postulat równoległości Euklidesa jest jednak zgodny z tym co ja napisałem, to znaczy musi być dokładnie jedna taka prosta. Prawdopodobnie opisujesz to, co Bolyai, Łobaczewski i Gauss wprowadzili zamiast aksjomatu równoległości Euklidesa.

text: ::::Z geometrią absolutną natomiast chyba są dwie wersje, bo wprawdzie encyklopedia szkolna (str. 70) oraz PlanetMath potwierdzają Twoją wersję, ale za to Atlas Matematyki zawiera na str. 132 szczegółową klasyfikację różnych geometrii, według której geometria absolutna (metryczna) spełnia tylko trzy aksjomaty i dzieli się na geometrię euklidesowo-metryczną (do której zalicza się geometrię euklidesową i geometrię semieuklidesową) oraz geometrię nieeuklidesowo-metryczną (do której zalicza się geometrię hiperboliczną, semihiperboliczną, eliptyczną oraz semieliptyczną). Do każdej z tych geometrii są podane szczegółowe aksjomaty, jeśli Cię to interesuje, zacytuję. Więc wychodzi, że istnieją dwie różne interpretacje terminu "geometria absolutna".

text: ::::Pozdrawiam, Olaf @ 20:46, 14 lip 2009 (CEST)
replies: text: :::::Według tego, co studiowałem w uczelni wyższej i czytałem w różnych podręcznikach i encyklopediach, H. Kozera całkowicie ma rację. Przykłady tekstów, w jakich mówi się coś innego, chyba po prostu opisują nie aksjomat, a pewne zdanie, o jakim też można powiedzieć, że jest prawdziwe w geometrii Euklidesa i nie jest prawdziwe w geometrii Łobaczewskiego. Żeby jeszcze lepiej to wszystko zrozumieć, trzeba pamiętać, że praca Łobaczewskiego była kolejną próbą udowodnić aksjomat Euklidesa. To był dowód niewprost: przypuszczamy, że to nie prawda i chcemy otrzymać sprzeczność (ale zamiast sprzeczności pojawiła się nowa teoria). Więc, Łobaczewski był zmuszony wziąć dokładne zaprzeczenie aksjomatu Euklidesa, a nie coś innego, uważając też, że wszystko pozostałe (czyli geometria absolutna) zachodzi. Aksjomat Euklidesa mówi o nie więcej niż jednej prostej, aksjomat Łobaczewskiego - o nie mniej niż dwóch. Chociaż nie bardzo wielka różnica będzie, jeśli uważać tak: u Euklidesa - dokładnie jedna, u Łobaczewskiego - zero albo nie mniej niż dwie; wszystko jedno zerowy przypadek odrzuci się, bo jest sprzeczny z geometrią absolutną! Dalej, jasno, że w ramach geometrii absolutnej nie mogą zachodzić inne geometrie, oprócz tych dwóch, bo one dają odpowiedzie "tak" i "nie" na pewne pytanie; jakaś z tych odpowiedzi musi zachodzić (albo odpowiedź może być nie wiadoma, wtedy mamy nie pełną teorię, jak, na przykład, właśnie geometria absolutna). Żeby pobudować geometrię eliptyczną, trzeba więc odrzucić niektóre fakty geometrii absolutnej (jeszcze raz powiem, że istnienie paralelnej w geometrii absolutnej udowadnia się). --D.M. from Ukraine (dyskusja) 22:54, 14 lip 2009 (CEST)
replies: text: ::::::Z geometrią absolutną, faktycznie wszystkie źródła (poza Atlasem Matematyki) twierdzą, że jest to geometria powstała po odrzuceniu piątego pewnika Euklidesa. Wynika stąd rzeczywiście, że należy do niej geometria euklidesowa i hiperboliczna, a nie należy eliptyczna. Atlas wprowadza szersze pojęcie pod tą samą nazwą. W nim geometria absolutna ma tylko trzy aksjomaty i wtedy faktycznie wchodzi w to geometria eliptyczna i kilka innych. Może to jakaś mniejszościowa definicja, nie wiem, nie upieram się.

text: ::::::Natomiast z tym aksjomatem równoległości - ja nie przeczę że Wy możecie mieć rację, tylko że im dłużej szukam źródeł tym więcej znajduję sformułowań aksjomatu (nazywanego aksjomatem równoległości lub pewnikiem Euklidesa) z dokładnie jedną prostą a w ani jednym źródle nie znalazłem jeszcze wersji z co najwyżej jedną prostą, o której mówicie że jako jedyna jest poprawna. Moglibyście zajrzeć do swoich książek? Bo jakoś mi to dziwnie wygląda, kiedy zgodnie twierdzicie, że kilka źródeł myli się w terminologii. Pozdrawiam, Olaf @ 23:11, 14 lip 2009 (CEST)
replies: text: :::::::Przed tym, jak napisać poprzednią odpowiedź, na wszelki wypadek zajrzałem do "Matematycznego słownika encyklopedycznego", wydanego w Moskwie. Tam piszy się tak, jak uważałem. Czy trzeba cytować? Jeżeli tak, to po rosyjsku czy przetłumaczyć? --D.M. from Ukraine (dyskusja) 23:30, 14 lip 2009 (CEST)
replies: text: ::::::::Wierzę, nie musisz cytować. Jak sądzisz, z czego wynika to, że te wszystkie inne źródła podają pod nazwą "aksjomat równoległości" oraz "pewnik Euklidesa" wersję z dokładnie jedną prostą? Bo to mnie zadziwia. Olaf @ 23:35, 14 lip 2009 (CEST)
replies: text: :::::::::Już pisałem, że te dwie koncepcje są równoważne z poglądu wynikających teorii. Można powiedzieć, że pisać w aksjomacie "nie więcej niż jedna" piękniej matematycznie. Bo po co bardziej szczegółowe twierdzenie o "dokładnie jednej", jeżeli przypadek zerowy i tak odrzuci się z pomocą innych aksjomatów? Ale "dokładnie jedna" to chyba bardziej zrozumiałe słowa dla czytelnika; być może, dlatego są popularne w niektórych źródłach. Oprócz tego, jeżeli chodzi nie o aksjomat, a o treść różnych geometrii, to słowa te całkowicie poprawne z jakiegokolwiek poglądu. --D.M. from Ukraine (dyskusja) 00:11, 15 lip 2009 (CEST)

message: Podsumowując tę polemikę muszę stwierdzić, że mamy dwa problemy z ustaleniem:
#Co to jest aksjomat Euklidesa (tzn. co on głosi)
#Co to jest geometria absolutna
Ad 1.
Jeśli mam wybierać między słownikami, encyklopediami, leksykonami, atlasami z jednej strony a jakimiś poważnymi podręcznikami z drugiej, to wolę podręczniki. W nich nie tyle referuje się twierdzenia, ile dowodzi się tych twierdzeń. W końcu matematyka tam się wykuwa, a nie w słownikach i encyklopediach. 
Dwa podręcznikowe cytaty:
W. Szmielew Od geometrii afinicznej do euklidesowej. Rozważania nad aksjomatyką. PWN W-wa 1981 BM 55
W rozdziale 2. W paragrafie.2.1. na  str. 21.  autorka, o której z całą pewnością można powiedzieć, że znała się na geometrii, pisała tak:
K. Borsuk W. Szmielew Podstawy geometrii PWN W-wa1972 BM 10.
Na początku rozdziału II paragr. 1  na str. 211  jest wypisany jest aksjomat Euklidesa z frazą „istnieje co najwyżej jedna prosta”. Zamiast cytować go w całości zacytuję pewne twierdzenie geometrii absolutnej umieszczone w rozdziale I w paragrafie 46. Dwie nieprzecinające się  proste jednej płaszczyzny. w punkcie  46.4. na str. 96 :
Gdy prześledziłem z grubsza miejsce tego twierdzenia w całym układzie podręcznika, to stwierdziłem, że jest ono dość „wczesne”, że jest głęboko w „jądrze” tej geometrii. A od aksjomatu trudno wymagać, aby postulował jakiś fakt, który można udowodnić wcześniej i bez niego.
Pojawia się zatem pytanie zadane przez Olafa. DLACZEGO? Dlaczego we wszystkich źródłach, do których on dotarł,  autorzy piszą „dokładnie jedna prosta” i utrzymują, że to jest aksjomat Euklidesa. Uważam, że D.M. from Ukraine dał właściwą odpowiedź – to wygoda autorów, względy dydaktyczne, chęć poglądowego zreferowania sprawy. Po co bawić się w takie subtelności i pisać „najwyżej jedna prosta”, skoro coś takiego trzeba uzupełnić trzema kolejnymi zdaniami, że tak naprawdę jakaś jedna musi być, i że to wynika z innych aksjomatów, i że...,  i że... A tak krótko, jak uderzenie pięścią w stół. „Dokładnie jedna”. I już. Tym bardziej, że to prawda. W geometrii euklidesowej i tylko w niej istnieje dokładnie jedna taka prosta...
Ale co tam aksjomat Euklidesa, w końcu służy on na bazie geometrii absolutnej do „rozwarstwienia” geometrii euklidesowej i hiperbolicznej (sam wcześniej zwróciłem uwagę, że działa on także w geometrii eliptycznej, więc jej nie oddzieli). Tymczasem gdy zmienimy rozumienie pojęcia geometria absolutna staje się on mało przydatny a w jego miejsce pojawia się inny aksjomat – aksjomat prostokąta czyli zdanie „istnieje/nie istnieje prostokąt”. I tu dochodzimy do drugiej części, tego co chciałem napisać.
Ad 2.
Zastanawiam się czy nie stoją za tym jakieś różnice językowo-kulturowe.
Rosjanie bardzo pielęgnują pamięć o Łobaczewskim, w końcu to on pierwszy... A geometria hiperboliczna nazywana jest u nich nieodmiennie geometrią Łobaczewskiego. Absolutna geometria oznacza geometrię u nich euklidesową bez aksjomatu Euklidesa. Taka też terminologia w podręcznikach i publikacjach obowiązywała u nas przez cały powojenny okres– cóż geopolityka.
W Niemczech zaś od pół wieku z okładem prowadzono intensywne badania nad podstawami geometrii a dokładniej nad taką aksjomatyką, w której pojęciami pierwotnymi są symetrie. Tu prym wiódł Friedrich Bachmann. Można znaleźć polskie publikacje, w których słowo „prosta” oznacza ni mniej ni więcej „symetria osiowa względem prostej”, stwierdzenie „dwie proste są punktem” oznacza, „proste są prostopadłe” tj. „złożenie symetrii osiowych jest symetrią środkową”, „trzy proste są prostą” oznacza „trzy proste mają punkt wspólny lub wspólną prostopadłą” tj. „złożenie trzech symetrii osiowych jest symetrią osiową” . To pokłosie idei Bachmanna. Friedrich Bachmann jest w tym kręgu uważany niemal za mesjasza. Cytują go niemal w każdym podręczniku geometrii i każdej publikacji.
Żeby wychwycić główne wątki tych sugerowanych przeze mnie różnic zacznę od Kordosa.
A konkretnie zacznę od trzech cytatów z jego książki Geometria rzutowa i rzutowo-metryczna. PWN W-wa 1984 Wyd. I
Wstęp zaczyna się tak:
(wytłuszczenia moje)
Rozdział 8. Płaszczyzny rzutowo-metryczne zaczyna się tak:
I jeszcze  w przedmowie:
Chcę zwrócić uwagę na datę wydania książki: 1984
Można spokojnie przyjąć, że
*Kordos w niczym nie przesadzał pisząc to, co pisał w tych fragmentach (że on pierwszy to robi)
*w Niemczech z pewnością śledzili wszelkie publikacje z tej dziedziny (i zauważyli publikację Kordosa)
I można tylko zgadywać, czy Kordos „ścigał” się z kimś...
A teraz po uważnym przyjrzeniu się Atlasowi snują mi się po głowie takie myśli. Być może było tak, że podczas wydawania Atlasu (I wydanie 12-2001) wydawca bądź główny redaktor zwrócił się do autorytetów w tej dziedzinie czyli do matematyków z kręgu Bachmanna. Ci skorzystali z okazji i wypromowali swoje najnowsze wyniki w zakresie badań nad aksjomatyką geometrii, choć trudno to wywnioskować z bibliografii (ta dotycząca geometrii została ewidentnie sporządzona przez polskiego wydawcę). Łatwo za to wczytując się w definicje, w układ pojęć pierwotnych i system aksjomatów, odnieść wrażenie, jakby się czytało o geometrii czteroabsolutnej Kordosa z 1984 tyle, że nieco zmodyfikowanej. Nic w tym złego, mogli jednak wydawcy/redaktorzy uprawianą w tych badaniach i prezentowaną w Atlasie geometrię nazwać (idąc za przykładem Kordosa) np. geometrią trójabsolutną albo sześcioabsolutną. Tym bardziej, że na str. 133 (lewa szpalta w punkcie Geometria absolutna) używają pojęcia „geometria absolutna” w tradycyjnym sensie. Ale cóż Bachmann zaproponował nazwę i już poszło. A teraz tacy jak my mamy kłopot z tym absolutem.
Osobiście więc sugerowałbym dla tej geometrii termin geometria trójabsolutna. Termin jak termin i mogę go uzasadnić: geometria n-absolutna to geometria, w której „upakowano” n geometrii kategorycznych (czyli nasza tradycyjna absolutna byłaby dwuabsolutną). W końcu w czym jestem gorszy od Bachmanna!?!? (przy wymyślaniu nazw, rzecz jasna).
--H. Kozera (dyskusja) 00:58, 16 lip 2009 (CEST)
replies: text: Miałem chwilę czasu i trochę buszowałem po Wikipedii. Pod hasłem aksjomatyka Hilberta natrafiłem na aksjomat Euklidesa aksjomatyka Hilberta#Aksjomat równoległości w postaci "co najwyżej jedna".

text: --H. Kozera (dyskusja) 11:03, 16 lip 2009 (CEST)
replies: text: :Ad 1. Jasne, jasne. Rozumiem, po prostu aksjomat równoległości stosuje się z pozostałymi aksjomatami Euklidesa albo Hilberta, a wówczas obydwa sformułowania są równoważne, bo przypadek nieistnienia prostej równoległej jest odrzucany przez inne aksjomaty.

text: :Ad 2. Interesująca analiza. Co do nazw, to bardzo ładne, tylko proszę, nie wpisuj ich do artykułów, zanim nie opublikujesz... Szczególnie, że jak teraz zobaczyłem Atlas na stronie 133 rozróżnia geometrię absolutną i geometrię absolutną w szerszym sensie. Na stronie 137 przyznają się dodatkowo, że tę geometrię opartą na trzech aksjomatach nazwali absolutną "za Bachmannem". :-)

text: :Pozdrawiam, Olaf @ 23:31, 16 lip 2009 (CEST)
thread_title:  Kilka następnych refleksji. 

message: Zrobiłem zalążek historii, poprawiłem też trochę artykuł. Ale znalazłem jeszcze jedno wiarygodne źródło, na temat badań nad jednym z postulatów Euklidesa, który zapoczątkował badania nad Geometrią nieeuklidesową. Może jeszcze to rozszerzę (tą sekcje o historii), chyba że ktoś zrobi to pierwszy. Fanie by było jakby do tych nazwisk, które są na końcu, był opis jak oni wpłynęli na badania nad tą geometrią. W jednym ze źródeł (nie pamiętam którym) było napisane, że Gauss badał geometrię nieeuklidesową i miał jakieś wyniki, ale się obawiał i nie opublikował badań, odkryto je po jego śmierci. Jakub Jankiewicz (dyskusja) 19:46, 25 lis 2019 (CET)
Jest jeszcze inne źródło, książka M. Kordosa rozdział XVII (Geometria Widzenia) oraz XIX (Alternatywne światy). Są chyba też na Youtube nagrania wykładów. W drugim rozdziale (przejrzałem tylko) jest wspomniana Geometria absolutna, czyli zbór teorii równoważnych V postulatowi i wynik badań Giovanni Saccheriego nad zaprzeczeniem V postulatu. Jakub Jankiewicz (dyskusja) 22:33, 25 lis 2019 (CET)
thread_title:  Źródła związane z postulatem równoległości i początkami [[Geometria_nieeuklidesowa|Geometrii Nieeuklidesowej]] 

thread_title:  Przypisy 

message: *
thread_title:  Bibliografia