Dyskusja:Indukcja matematyczna

message: "Zasadę indukcji matematycznej na zbiorze liczb naturalnych można sformułować następująco:
* jeśli 0 ma pewną własność
* oraz dla dowolnego n z tego, że wszystkie liczby mniejsze lub równe n mają tę własność, wynika, że własność tę ma również n + 1,
to wszystkie liczby naturalne mają tę własność."
Może mnie źle uczyli, ale to nie jest czasem tak, że najpierw sprawdza się dla najmniejszej, a potem dla dowolnej (np n) i kolejnej po dowolnej (n+1)? A tu ktoś wręcz odwrotnie pisze, tylko nie wiem jak to potem chcecie udowadniać, będziecie sprawdzać prawdziwość dla "wszystkich mniejszych lub równych n"? Bo ja nie rozumiem... --83.22.94.121 17:56, 3 sty 2006 (CET)

message: #Przydałby się obrazek szeregu kostek domina. Może ktoś mógłby coś takiego narysować???? 
#Zlikwidowalem odnosniki do indukcji po porządkach dobrze ufundowanych bo wydaje mi się że tutaj może być to mylące. Poza tym każda taka indukcja jest indukcja po randze czyli indukcją pozaskończoną. 
#Możeby rozbudować hasło dowód indukcyjny dając tam wiecej dowodów ale też i przykłady definicji indukcyjnych???? 
replies: text: Best, Stotr 20:54, 6 lip 2006 (CEST)
thread_title:  uwagi do mojej edycji 

message: #Jak to jest, odnosnie tego:
"Często używaną ilustracją dla tego typu argumentacji jest efekt domina. Wyobraźmy sobie że ustawiliśmy szereg kamieni używanych do gry w domino tak że stoją one jeden za drugim na krótszym boku. Przypuścmy, że przed opuszczeniem pomieszczenia z tymi kamieniami upewniliśmy się, że przewrócenie któregokolwiek z nich powoduje upadek następnego. Jakiś czas po wyjściu z pokoju dostajemy informację że ktoś przewrócił pierwszy kamień. Możemy wtedy natychmiast stwierdzić, że wszystkie kamienie się przewróciły."
trzeba zalozyc, ze poczatek == koniec, w innym przypadku poczatek bedzie nienaruszony, jesli przewroci sie tylko klocek n>1 (zakladajac przewrocenie "w przod").
replies: text: Odp:  W tekscie (zacytowanym powyżej) jest napisane że ktoś przewrócił pierwszy kamień. Zatem nie ma problemu - proces przewracania zaczyna się właśnie od kamienia numer n=1. Stotr 18:17, 6 wrz 2006 (CEST)
w wersji angielskiej jest ladny
thread_title:  Pytanie użytkownika 212.2.100.181 

message: Prosze wybaczyc ale nic takiego jak Twierdenie o indukcji nie istnieje. Indukcja jest jednym z AKSJOMATOW i tzreba zalozyc jej prawdziwosc. Nie ma zadnego twioerdenia o indukcji, jesli zas autorzy twierdza ze jest, uprzejmie prosze o przytoczenie dowodu, lub zrodla dowodu.
thread_title:  Glupoty 

message: Dowód zadady indukcji znajdziesz w książce A.I. Kostrikin 'Wstęp do algebry' Tom   1. (nie przytoczę teraz bo mi się nie chce, jak jesteś naprawdę zainteresowany to sam/a znajdziesz ;)) Pokrótce, da się to wyprowadzić z aksjomatów dla liczb naturalnych które podał Peano.
Ja mam inne wątpliwości. Czy ktoś jest mi w stanie wytłumaczyć zapis formalny w podpunkcie: Twierdzenie o definiowaniu indukcyjnym?
Jestem przekonany, że tam jest błąd (ale nie jestem pewien jak powinno być dobrze, więc nie poprawię).
--Albi 01:20, 24 lut 2007 (CET)
replies: text: Też tego nie rozumiem. Ten fragment dodał Stotr opisując: "drobna rozbudowa w oparciu o to co pamietam z przedszkola; patrz uwagi w dyskusji", ale chyba chodziliśmy do innego przedszkola ;-) Na razie na wszelki wypadek zakomentowuję do wyjaśnienia. Olaf D 17:55, 25 lut 2007 (CET)
replies: text: :A ja chyba zrozumiałem:)

text: :Te ciągi skończone obrazują zbiór początkowych wartości funkcji. Dajmy na ciąg Fibonacciego: możemy wziąść ciąg (1,1,2,3,5,8,13,21) pierwszych paru wartości. Niech f będzie funkcją, której wartość dla każdego ciągu (a_1, a_2, ..., a_{n-1}, a_n) wynosi a_{n-1}+a_{n}, dla ciągu pustego i ciągu długości 1 niech wartość f wynosi 1. Wówczas funkcja g której istnienie zapewnia to twierdzenie to nic innego niż funkcja, której wartość dla danego n wynosi F_n. To co jest argumentem funkcji f po prawej stronie:
g(n)=f\left(g|_\left\{m\in \mathbb N:m<n\right\}\right)

text: :oznacza ciąg (g(1),g(2),...,g(n-1)).

text: :Intuicyjnie i nieściśle: jeżeli wiemy, jak obliczyć wartość funkcji dla danego n znając jej wartości dla wszystkich m \in \mathbb N że m<n i to obliczanie opisuje funkcja f, to istnieje funkcja g, której indukcyjny (~rekurencyjny) opis daje f. Wartość f dla ciągu pustego jest równa początkowej wartości funkcji. Zaczynam od 1, bo zakładam, że 0 nie jest naturalne, tak samo można rozumować gdy przyjmujemy 0 za naturalne.

text: :Niemniej jednak proszę o weryfikację, nie znałem tego twierdzenia:) googl d 18:25, 25 lut 2007 (CET)
replies: text: ::Ok, faktycznie to ma sens, chociaż IMHO wymaga trochę więcej opisu w artykule. Olaf @ 00:26, 26 lut 2007 (CET)

text: :Świetnie już rozumiem sens tego pseudomatematycznego zapisu.

text: :Czyli, jeśli znamy regułę, która na podstawie poprzednich wartości określa wartość obecną twierdzenie gwarantuje nam, że ciąg jest określony  jednoznacznie.

text: :To nie zmienia faktu, ze zapis formalny jest błędny. Znak '|' określa restrykcję funkcji czyli to co znajduje się pod f( ) jest funkcją zaweżoną do podzbioru \{m\in \mathbb N:m<n\}. Ale f nie jest operatorem określonym na przestrzeni funkcyjnej. Czyż nie?

text: :Teraz jak już wiem o co chodzi mogę poprawić ten zapis. Może być na przykład tak:
g(n) = f\left(\{g(i)\}_{i=1}^{n-1}\right)
--Albi 23:55, 28 lut 2007 (CET)
?? Tamten zapis jest w porządku, przecież argumentami funkcji f są ciągi skończone czyli jak to nazwałeś, f JEST operatorem określonym na przestrzeni funkcyjnej (w artykule było, że dziedziną funkcji f są ciągi skończone). Przecież zawężenie ciągu nieskończonego do zbioru {1,2,...,n-1} daje ciąg skończony, można to zapisać tak jak to napisał Stotr używając restrykcji dziedziny funkcji, albo można skonstruować ciąg tak jak Ty to napisałeś, to jest jedno i to samo. Obie formy są poprawne, nie wiem co tu uważasz za złe. googl d 22:03, 11 maja 2007 (CEST)
Zgoda. Masz rację taka jest definicja ciągu skończonego.
--Albi 02:14, 13 maja 2007 (CEST)
thread_title:  Proszę bardzo