Dyskusja:Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych

message: Czy nie można tutaj dodać zupełnie intuicyjnej interpretacji geometrycznej? Jeśli chodzi o płaszczyznę, to największym niespełniającym jest kwadrat o rogach w jedynkach i minus jedynkach bez boków, w przestrzeni trójwymiarowej – taki sześcian bez ścian i analogicznie w kolejnych przestrzeniach, gdzie takie kostki będą miały oczywiście objętość wynoszącą (2x2)x2x2x2x2... Jak to sobie wyobrazić? Wystarczy zrzutować figurę na dowolną płaszczyznę rozpiętą przez dwie (przestrzeń przez trzy) osie i tam też nam zawsze musi się zgadzać. W sumie jest to dowód geometryczny, ale chyba zrozumiały ;-) --Mozarteus (dyskusja) 01:05, 2 lip 2017 (CEST)
* możnaby, ale są ludzie którzy automatycznie zarzucą OR. Loxley (dyskusja) 14:54, 11 lip 2017 (CEST)
** OK ;-) To mocny argument i nawet chociaż w matematyce jeśli ktoś jest w temacie, to wie i fakt jest w miarę prosty, ale byłby problem pewnie ze znalezieniem źródła, które tak to przedstawi... Zostawmy to zatem tutaj i tyle. Jeśli ktoś kiedyś będzie miał też takie przemyślenia, może tak samo zajrzy do dyskusji. Pozdrawiam. --Mozarteus (dyskusja) 16:44, 11 lip 2017 (CEST)
***, jednak dodałem przypis. Loxley (dyskusja) 07:46, 14 lip 2017 (CEST)
**** Bardzo fajnie. Dziękuję. --Mozarteus (dyskusja) 20:44, 14 lip 2017 (CEST)
replies: text: , aż tak proste to jednak nie jest. Na płaszczyźnie wypukłych figur środkowo-symetrycznych bez brzegu, mających pole 4 i omijających punkty kratowe jest trochę więcej (a dokładniej – nieskończenie wiele). Zaintrygował mnie ten temat, miałem chwilę czasu i zrobiłem taką mini-klasyfikację.

text: Oto zbiór równoległoboków spełniających powyższe warunki:
replies: text: :\pm (n, 1+\tfrac{1}{n}),\;\; \pm (n, 1-\tfrac{1}{n}),  gdzie n\in N^+

text: Jeśli wykorzystamy powinowactwo ścinające o osi OY, to ten zbiór powiększy się tak:
replies: text: :\pm (n, k+\tfrac{1}{n}),\;\; \pm (n, k-\tfrac{1}{n}),  gdzie k\in Z,\;\; \operatorname{NWD}(k,n)=1,  NWD oznacza największy wspólny dzielnik.

text: Dla n=1, k=0 powstanie znajomy kwadrat ±(1,1), ±(1,-1). (liczby 1 i 0 są względnie pierwsze)

text: Jeśli dowolny z takich równoległoboków poddamy jakiemukolwiek powinowactwu ścinającemu o osi y=\tfrac{k}{n}x, to dostaniemy nieprzeliczalny zbiór równoległoboków:
replies: text: :\pm (n+t, k+\tfrac{kt+1}{n}),\;\; \pm (n-t, k-\tfrac{kt+1}{n}),  gdzie t\in R

text: Wśród nich są np. równoległobok ±(2,3), ±(0,1) i prostokąt ±(½,1½), ±(1½,½).

text: Po wykorzystaniu symetrii powyższych równoległoboków względem prostej y=x,\; ten zbiór prawie podwoi się (prawie, bo niektóre równoległoboki nałożą się na siebie)!!!.

text: Jak widać zbiór jest nieco skomplikowany, a ja nie wykluczam, że są jeszcze jakieś inne figury, których istnienia teraz nie dostrzegam. Dla przestrzeni R3 i następnych jest pewnie jeszcze większe bogactwo równoległościanów.

text: I uwaga ostatnia (i chyba najważniejsza): kompletowanie zbioru takich figur jest jedynie kompletowaniem kontrprzykładów pokazujących niezbędność pewnych założeń twierdzenia. Ale te sympatyczne przykłady ani trochę nie przybliżają nas do dowodu istoty twierdzenia tj. do udowodnienia, że to są wszystkie takie figury (o ile tak jest) i że żadnej z nich nie można powiększyć bez wchłonięcia jakiegoś punktu kratowego. Bo pokazywanie na obrazku, że jakiegoś równoległoboku nie da się rozepchać, nie jest żadnym dowodem. Jest jedynie ilustracją na przykładzie, jak działa to twierdzenie. Niestety, nie ma tu dróg na skróty – to wymaga pełnego dowodu, czyli tego, co jest w artykule, który napisał

text: Pozdrawiam Sinousty (dyskusja) 00:10, 17 lip 2017 (CEST)
replies: text: :  ostatnio może i jakiś mało kumaty w tych tematach jestem, dlatego wolę tylko dyskutować, ewentualnie znajdować takie artykuły jak Drzewo Pitagorejskie nienadające się na SG, ale tam zgłoszone, choć może to nie do końca z mojej strony fair. Może też ze względu na noc (choć to ją bardziej lubię) zgubiłem się w tej notacji... Znaczy jakie są wierzchołki tych równoległoboków i dlaczego nie przechodzą przez punkty kratowe? Zauważ, że twierdzenie psują punkty leżące na osiach i jakoś tutaj nijak nie wydaje mi się (no, nie widzę), żeby coś omijając każdą jedynkę i minus jedynkę było takie, jak chce Minkowski... --Mozarteus (dyskusja) 01:20, 17 lip 2017 (CEST)
replies: text: ::, pytasz, „...jakie są wierzchołki tych równoległoboków i dlaczego nie przechodzą przez punkty kratowe?”. Otóż wierzchołki równoległościanów są takie, jak wypisałem wyżej, a nie przechodzą przez punkty kratowe, bo są na tyle „chude”, że przeciskają się między punktami kratowymi i jednocześnie na tyle „długie”, że osiągają odpowiednie pole. Oczywiście zgadzamy się, że chodzi o równoległoboki bez brzegu, tzn. żaden punkt kratowy (z wyjątkiem zerowego) nie ma znaleźć się we wnętrzu takiego równoległoboku, może być co najwyżej jego wierzchołkiem lub leżeć na jednym z jego boków. Dwa przykłady inne niż kwadrat o współrzędnych wierzchołków ±1 już Ci wyżej napisałem:

text: ::(2,3), (-2,-3), (0,1), (0,-1) oraz (½,1½), (-½,-1½), (1½,½), (-1½,-½)

text: ::A ich wszystkich jest naprawdę duuużo.

text: ::Pozdrawiam Sinousty (dyskusja) 13:07, 17 lip 2017 (CEST)
replies: text: ::: czyli jednak chodziło o noc ;-) zwłaszcza prostokąt jest przekonujący :-D w sumie tak, bo czemu nie przejść właśnie nie kwadratem, ale spróbować ominąć rogi i uzyskać maksymalny efekt, który tutaj mamy. Mamy też ciekawe omówienie tego twierdzenia, bo faktycznie chude to musi być. Ostatecznie dla przestrzeni jednowymiarowej dostajemy banalny odcinek o końcach w jedynkach determinujący grubość we wszystkich wymiarach (na każdej osi). Naprawdę – ładne :-D Dziękuję Ci również za to, że szare komórki mogłem rozruszać. --Mozarteus (dyskusja) 23:50, 17 lip 2017 (CEST)
replies: text: ::::, nie ma za co! Cała przyjemność po mojej stronie... :) :) pozdrawiam Sinousty (dyskusja) 08:48, 22 lip 2017 (CEST)
thread_title:  Wikipedia jest encyklopedią  i to wiem, ale...