Overleg:Stemming van Pythagoras/Archief1

message: Wat heeft "mesos" te maken met de kamertoon a'? Madyno 17 mei 2010 01:07 (CEST)
thread_title: Mesos

message: De snaarlengte in de tabel bij C klopt niet volgens mij. Ik heb het veranderd. Madyno (overleg) 24 feb 2013 15:43 (CET)
thread_title:  Snaarlengte 

message: Ik meen dat de constructie eenvoudig berust op kwinten:
replies: text: Bes 	F  	C	G  	D  	A    	E    	B
kwinten    	4/9 	2/3	1	3/2	9/4	27/8 	81/16	243/32
na reductie	16/9	4/3	1	3/2	9/8	27/16	81/64	243/128
Daar komt het in de sectie "Constructie" ook op neer, maar op ingewikkelder manier. Madyno (overleg) 13 jan 2015 11:49 (CET)
thread_title:  Constructie 

message: Is het mogelijk om in het artikel iets toe te voegen over hoe de Pythagoreeërs de relatie legden tussen het gebruik van breuken en het fysieke snaarinstrument? (voor zover dat bekend is) Bv. het artikel geeft vermenigvuldigingsfactoren 3/2 resp. 2/3 voor een kwint omlaag resp. een kwint omhoog. Met welke snaarinstrumenten werd dat in dat tijdsvak uitgedacht en gecontroleerd? Het zou interessant kunnen zijn daar iets over te lezen. Bob.v.R (overleg) 13 jan 2015 16:01 (CET)
replies: text: Naar ik meen te hebben onthouden van mijn studie gebruikte Pythagoras een monochord (1 snaar) voor zijn metingen. Als hij die op 1/2 afdempte ontstond een oktaaf, op 2/3 de kwint etc. Daarop berekende hij ook de secunde door kwint-op-kwint etc. Tjako  (overleg) 13 jan 2015 16:10 (CET)
thread_title:  Snaarinstrument 

message: De cents-tabel in de sectie 'Verschil met de reine stemming' was op enkele plaatsen in de kolom 'rein' niet regelmatig (zie  hier). Ik heb de waarden achter Cis, Ges en Bes zodanig aangepast, dat nu geldt: - voor de opsplitsing van de drie 9/8-secundes:  C-Cis en Des-D,  F-Fis en Ges-G,  A-Ais en As-B   = 135/128 ≈ 92 cent; - voor de opsplitsing van de twee 10/9-secundes:  D-Dis en Es-E,  G-Gis en Ges-A   = 25/24 ≈ 71 cent. Dit zijn de intervallen die volgen uit: Theo Willemze, Algemene muziekleer (18e druk, 2008, paragraaf 424-430). Overigens ontbreekt in de lemma-tekst een verwijzing naar argumenten die zouden pleiten voor juist deze regelmaat. Wie kan hier bronnen noemen?  Verder is in dezelfde tabel in de kolom 'Pythagoras' de op een na onderste waarde nu correct afgerond:  312/218 = 1223,4600...cent, afgerond 1223 ipv. 1224. -- Hesselp (overleg) 11 mrt 2018 20:56 (CET)
=== Stemming van Pythagoras: naast 7-delig en 21-delig ook 12-delig? ===
De hierboven (11 mrt 2018) beschreven regelmaat is nog wat eenvoudiger als volgt te beschrijven: Alle twaalf intervallen    C-Des en Cis-D,   D-Es en Dis-E,   E-F,   F-Ges en Fis-G,   G-As en Ais-A,   A-Bes en Ais-B,    B-C zijn in de (gecorrigeerde) kolom onder 'rein' gelijk aan   16/15 = 111,73... ≈ 112 cent. In de kolom onder 'Pythagoras' zijn ze allemaal gelijk aan  256/243 = 28/35   = 90,225... ≈ 90 cent.De centswaarden achter het viertal   Fes, Eis, Ces en Bis   vallen buiten deze regelmaat.
Wat in de muziekleer de rol is van de hier 'Stemming van Pythagoras' genoemde 21-deling van het octaaf, wordt niet duidelijk gemaakt. Wie kan hier bronnen aangeven? 
Verder is opmerkelijk dat in het (vrij lange, en - mag ik het zeggen - niet erg gestructureerde) artikel ontbreekt welke 12-verdeling van het octaaf, de basis van haast alle vaste-toonhoogte-instrumenten, 'Stemming van Pythagoras' zou kunnen heten.    Een goed verdedigbare kandidaat lijkt me de verdeling met cent-stappen (114 = 37/211, 90 = 28/35,  samen 9/8):  114 - 90 - 114 - 90 - 90 - 114 - 90 - 114 - 90 - 114 - 90 - 90 of met stappen 90 - 114 - 90 - 114 - 90 - 90 - 114 - 90 - 114 - 90 - 114 - 90 . Deze beide octaafverdelingen bevatten:  - elf reine kwinten, één valse kwint (-24), - elf reine kwarten, één valse kwart (+24),  - vier bijna reine tertsen (-2), acht valse tertsen (+22), - tien grote secundes van 204 cent, twee grote secundes van 180 cent. /ref> De diatonische, 7-delige, pythagoreïse ladder (wél in het artikel voorkomend, met stappen 204 - 204 - 90 - 204 - 204 - 204 - 90) is in beide 12-delige bevat. -- Hesselp (overleg) 13 mrt 2018 17:08 (CET)
thread_title:  Tabel-correcties in sectie 'Verschil met de reine stemming' 

message: De hierboven (11 mrt 2018) beschreven regelmaat is nog wat eenvoudiger als volgt te beschrijven: Alle twaalf intervallen    C-Des en Cis-D,   D-Es en Dis-E,   E-F,   F-Ges en Fis-G,   G-As en Ais-A,   A-Bes en Ais-B,    B-C zijn in de (gecorrigeerde) kolom onder 'rein' gelijk aan   16/15 = 111,73... ≈ 112 cent. In de kolom onder 'Pythagoras' zijn ze allemaal gelijk aan  256/243 = 28/35   = 90,225... ≈ 90 cent.De centswaarden achter het viertal   Fes, Eis, Ces en Bis   vallen buiten deze regelmaat.
Wat in de muziekleer de rol is van de hier 'Stemming van Pythagoras' genoemde 21-deling van het octaaf, wordt niet duidelijk gemaakt. Wie kan hier bronnen aangeven? 
Verder is opmerkelijk dat in het (vrij lange, en - mag ik het zeggen - niet erg gestructureerde) artikel ontbreekt welke 12-verdeling van het octaaf, de basis van haast alle vaste-toonhoogte-instrumenten, 'Stemming van Pythagoras' zou kunnen heten.    Een goed verdedigbare kandidaat lijkt me de verdeling met cent-stappen (114 = 37/211, 90 = 28/35,  samen 9/8):  114 - 90 - 114 - 90 - 90 - 114 - 90 - 114 - 90 - 114 - 90 - 90 of met stappen 90 - 114 - 90 - 114 - 90 - 90 - 114 - 90 - 114 - 90 - 114 - 90 . Deze beide octaafverdelingen bevatten:  - elf reine kwinten, één valse kwint (-24), - elf reine kwarten, één valse kwart (+24),  - vier bijna reine tertsen (-2), acht valse tertsen (+22), - tien grote secundes van 204 cent, twee grote secundes van 180 cent. /ref> De diatonische, 7-delige, pythagoreïse ladder (wél in het artikel voorkomend, met stappen 204 - 204 - 90 - 204 - 204 - 204 - 90) is in beide 12-delige bevat. -- Hesselp (overleg) 13 mrt 2018 17:08 (CET)
thread_title:  Stemming van Pythagoras: naast 7-delig en 21-delig ook 12-delig? 

message: Argumenten
1. Als al hierboven genoemd (13 maart), het huidige artikel is qua indeling erg ongestructureerd.
2. De informatie-waarde voor een lezer is van de meeste subsecties erg twijfelachtig. De zin van nogal wat gedetailleerd uitgewerkte berekeningen wordt niet duidelijk gemaakt.
3. Het taalgebruik (de verteltrant) is veelal verre van encyclopedie-achtig.
4. Op een aantal plaatsen wordt uit het notenschrift afkomstige terminologie gebruikt bij uitleg over muziektheoretische ladders; dit werkt verwarring in de hand. (De twee notenbalk-afbeeldingen voegen geen informatie toe - aan die noten kun je niet zien of je een re, la of ti moet zingen à la Zarlino of à la Pythagoras). 
5. In de sectie "Verschil met de reine stemming" worden gedetailleerd twee 21-tonige octaafverdelingen vergeleken. Maar die verdelingen spelen in de muzikale stemmingen geen enkele rol. (Ja, het notenschrift kent - beperkt tot maximaal één kruis of mol - per octaaf 21 verschillende varianten om de toonhoogte aan te geven, maar de precieze hoogte van de te produceren tonen hangt van meerdere factoren af.) 
6. De sectie "Pythagorisch interval" geeft in de tabel een (voorzover ik zien kan) willekeurig tiental intervallen uit de (tweezijdig oneindige) pythagoreïsche reeks. En de gegeven naamsvarianten lijken me hier nauwelijks tot niet ter zake. 
7. De eenregelige intro blijft heel vaag. Waarmee dient het "zo veel mogelijk" vergeleken te worden? In welke betekenis is "reine kwarten en kwinten" bedoeld? Hoe moet het aantal 'reine kwarten en kwinten' van een muzikale stemming geteld worden? Waarom "een" (en niet "de") muzikale stemming?  Een wat informatievere intro lijkt gewenst. 
8. Op nog een flink aantal detailpunten lijkt me de bedoeling voor de lezer niet duidelijk.
Wie wil bij bovenstaande herzienings-argumenten (bij welke?) nog nadere toelichting?
Concept
In onderstaand concept meen ik de kernpunten van wat in het lemma thuishoort beschreven te hebben.  Welke overige punten zouden hierin verder nog wenselijk zijn?
  
(Intro) 
In de muziekleer spreekt men van de stemming van Pythagoras wanneer de tonen in een muziekfragment geacht worden te behoren tot: een (7-tonige) diatonische toonladder, dan wel een (12-tonige) chromatische toonladder, waarin alle intervallen pythagoreïsch zijn (intervallen tussen tonen met een frequentie-verhouding zonder andere factoren dan 2 en 3). Deze stemming van Pythagoras of pythagoreïsche stemming kan gezien als een speciaal geval van reine stemming. (In meer beperkte zin wordt reine stemming ook wel uitsluitend gebruikt voor muziek 
 Alleen muziek die niet gebonden is aan de vaste toonhoogten van bijvoorbeeld een klavier-instrument.  
die gebaseerd is op de Zarlino-toonladder). 
(kopje) Pythagoreïsche tonenreeks 
De bij een bepaalde begin-toonhoogte behorende pythagoreïsche reeks (de kwintenreeks) wordt gevormd door alle tonen die een geheel aantal 3/2-intervallen van die begintoon verwijderd zijn. Een stapeling van twaalf van zulke kwinten levert een interval dat maar weinig groter is dan een stapeling van zeven octaven. Het verschil is (3/2)12 / 27  ≈ 23,46 Cent, het pythagoreïsch komma ofwel haast een kwart van een halve toon (100 Cent). Verschuiving van de tonen in de reeks over gehele octaven naar het octaaf op de begintoon, resulteert in de toonvoorraad waaruit ondergenoemde toonladders zijn samengesteld.
(kopje) De diatonische pythagoreïsche toonladder 
Toonafstand  	do (C)	do (C)	re (D)	re (D)	mi (E)	mi (E) 	fa (F) 	fa (F)	so (G)	so (G)	la (A)	la (A)	ti (B) 	ti (B) 	do (C) 	do (C)
tot grondtoon	1     	1     	9/8   	9/8   	81/64 	81/64  	4/3    	4/3   	3/2   	3/2   	27/16 	27/16 	243/128	243/128	2      	2
in Cent      	0     	0     	204   	204   	408   	408    	498    	498   	702   	702   	906   	906   	1110   	1110   	1200   	1200
onderling    	 	9/8   	9/8   	9/8   	9/8   	256/243	256/243	9/8   	9/8   	9/8   	9/8   	9/8   	9/8    	256/243	256/243	 
in Cent      	 	204   	204   	204   	204   	90     	90     	204   	204   	204   	204   	204   	204    	90     	90     	 
             	      	      	      	      	      	       	       	      	      	      	      	      	       	       	       	 
De onderstreepte derde, zesde en zevende stap zijn in vergelijking met de Zarlino-ladder een factor 81/80 hoger (≈ 21,5 Cent, het didymisch of syntonisch komma genoemd).  Zowel de pythagoreïsche ladder als de Zarlino-ladder zijn theoretische modellen voor wat een strijker of a capella-zanger op het gehoor (en het gevoel) in werkelijkheid produceert.  Metingen lijken erop te wijzen dat in sommige gevallen de toonhoogte volgens Zarlino benaderd wordt en in andere de toonhoogte volgens Pythagoras; en dat dit mede afhangt van de soort muzikale figuur.  Theo Willemze, Algemene muziekleer, 18e druk 2008, paragraaf 449. 
(kopje) Chromatische pythagoreïsche toonladders 
Een redelijk gelijkmatige 12-tonige octaafverdeling met uitsluitend pythagoreïsche intervallen (verhoudingsgetallen met alleen factoren 2 en 3) is te verkrijgen door uitbreiding van de 7-tonige pythagoreïsche ladder. De vijf 9/8-heeltoonstappen zijn (met de laagste 3-machten) te splitsen in de diatonische halftoon 28/35 (ruim 90 cent), en de iets grotere halftoon 37/211 (krap 114 cent). Twee regelmatige versies staan in de volgende tabel:
Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders	Twee chromatische pythagoreïsche toonladders
Toonafstand in Cent                         	do(C)                                       	do(C)                                       	dore                                        	dore                                        	re (D)                                      	re (D)                                      	remi                                        	remi                                        	mi (E)                                      	mi (E)                                      	  fa   (F)                        	  fa   (F)                        	faso                                        	faso                                        	so (G)                                      	so (G)                                      	sola                                        	sola                                        	  la   (A)                        	  la   (A)                        	lati                                        	lati                                        	  ti   (B)                        	  ti   (B)                        	do (C)                                      	do (C)
tot grondtoon                               	0                                           	0                                           	114                                         	114                                         	204                                         	204                                         	318                                         	318                                         	408                                         	408                                         	498                                         	498                                         	612                                         	612                                         	702                                         	702                                         	816                                         	816                                         	906                                         	906                                         	1020                                        	1020                                        	1110                                        	1110                                        	1200                                        	1200
onderling                                   	                                            	114                                         	114                                         	90                                          	90                                          	114                                         	114                                         	90                                          	90                                          	90                                          	90                                          	114                                         	114                                         	90                                          	90                                          	114                                         	114                                         	90                                          	90                                          	114                                         	114                                         	90                                          	90                                          	90                                          	90                                          	 
tot grondtoon                               	0                                           	0                                           	90                                          	90                                          	204                                         	204                                         	294                                         	294                                         	408                                         	408                                         	498                                         	498                                         	588                                         	588                                         	702                                         	702                                         	792                                         	792                                         	906                                         	906                                         	996                                         	996                                         	1110                                        	1110                                        	1200                                        	1200
onderling                                   	                                       	90                                          	90                                          	114                                         	114                                         	90                                          	90                                          	114                                         	114                                         	90                                          	90                                          	90                                          	90                                          	114                                         	114                                         	90                                          	90                                          	114                                         	114                                         	90                                          	90                                          	114                                         	114                                         	90                                          	90                                          	 
Natuurlijk zijn er ook twaalftoons-verdelingen van het octaaf te construeren die wel uitsluitend uit pythagoreïsche intervallen bestaan, maar die niet - zoals hierboven - de 7-tonige ladder van Pythagoras omvatten.  -- Hesselp (overleg) 18 mrt 2018 14:27 (CET)
replies: text: Ik voel niets voor de voorgestelde herziene intro. Ik denk dat de basisgedachte van deze stemming de opbouw via reine kwinten is. Het gepraat over factoren 2 en 3 mag voor een wiskundige duidelijk zijn, maar ik denk niet voor een willekeurige lezer. Madyno (overleg) 18 mrt 2018 18:31 (CET)
replies: text: :Ja inderdaad, Madyno, die woordjes 'factoren' en 'frequentie-verhouding' smaken niet voor iedereen even lekker. Een alternatief dat daaraan tegemoet komt, zal kunnen zijn:  "....waarin alle intervallen pythagoreïsch zijn. Dat wil zeggen: ontstaan zijn uit (meestal meervoudige) verschuivingen van een uitgangstoon over uitsluitend kwinten en octaven.   Dus intervallen tussen tonen met in hun frequentie-verhouding geen andere factoren dan 2 en 3.  "De voetnoot zal voor een precieze lezer duidelijk maken dat met 'kwint' bedoeld is '3/2-kwint' en niet 'gelijkzwevende kwint'. ' 'Reine kwint' is helaas niet ondubbelzinnig, het kan ook betekenen: niet-overmatig, niet-verminderd. -- Hesselp (overleg) 18 mrt 2018 20:59 (CET)
Voor zover ik weet, is het uitgangspunt het octaaf en de reine kwint (uit de reine stemming) met frequentieverhouding 2:3. Door stapeling van kwinten en reductie met octaven ontstaan de gebruikte tonen met de bovengenoemde onderlinge verhoudingen. Dit zo eenvoudig mogelijk te introduceren is de opgave.Madyno (overleg) 18 mrt 2018 23:21 (CET)
thread_title:  Voorstel herziening lemma-tekst  

message: Intro-versie 24 mrt 2018 17:38 :
De stemming van Pythagoras is een muzikale stemming waarin zo veel mogelijk reine kwinten en kwarten aanwezig zijn. Ze wordt daarom ook kwintenreine stemming genoemd. De stemming is gebaseerd op de reine kwint met toonhoogteverhouding 2:3. Achtereenvolgende kwinten leiden tot verhoudingen 8:9 en door omkering ook 3:4. De volgende reeks reine kwinten:
replies: text: B — F — C — G — D — A — E 
leidt tot de ladder:

text: C — D — E — F — G — A — B — C
waarin alle hele toonafstanden gelijk zijn aan 9/8 en de beide halve toonafstanden 256/243.
De verhoudingen van de toonhoogten tot de grondtoon zijn:

text: 1 — 9/8 — 81/64 — 4/3 — 3/2 — 27/16 — 243/128 — 2
Ter vergelijking: de verhoudingen in de reine stemming zijn:

text: 1 — 9/8 — 5/4 — 4/3 — 3/2 — 5/3 — 15/8 — 2
De afwijkende toonhoogten verschillen alle een factor 81/80, het zogeheten didymische komma van elkaar. [einde intro]
Bezwaren tegen Madyno's intro-tekst 24 mrt 2018 17:38 
1. Zin 1 spreekt van "zoveel mogelijk" maar zegt niet met welke andere situaties vergeleken wordt. Zegt dus in feite niets.2. Id. Hoe moet/kan het aantal 'reine kwarten en kwinten' van een muzikale stemming geteld worden? 3. Id. Waarom "een" (en niet "de") muzikale stemming?  4. De intro negeert dat de 'stemming van Pythagoras' niet alleen een detaillering geeft van de diatonische octaafverdeling, maar ook van de chromatische (12-delige).5. Madyno suggereerde (OP 18 mrt) als kernzin voor de intro: "Door stapeling van kwinten en reductie met octaven ontstaan de gebruikte tonen met de bovengenoemde onderlinge verhoudingen."  Een nauwe variant daarvan staat wel in lemmaversie 23 mrt 2018 23:18‎, maar komt in zijn latere 24 maart-versie niet terug. 6. Zin 2. Bij de term "kwintenreine stemming" ontbreekt een bron (Google geeft nul treffers), en niet duidelijk wordt of de term slaat op een diatonische dan wel een chromatische octaafverdeling. Weglaten als het geen gangbare term blijkt te zijn. 7. In zin 7 wordt de stemming van Pythagoras vergeleken met die van Zarlino (of is daar nog een andere naam voor?). Niet 'reine stemming' want muziek die gebruik maakt van de stemming van Pythagoras klinkt niet minder rein/zuiver; de stemming van Pythagoras is evenzeer een reine stemming. Graag éénduidige benamingen. 8. De intro dient met zo min mogelijk details een eerste idee te geven van de betekenis (betekenissen) van de term. Hier wordt één van de betekenissen al helemaal uitgecijferd (daar is de hoofdtekst toch voor?), de andere (aan de orde komend in secties 6 en 7) blijft onaangekondigd. -- Hesselp (overleg) 24 mrt 2018 23:29 (CET)
Aanvulling van intro, door Madyno 25 mrt : 
In de middeleeuwen was de stemming van Pythagoras de algemeen geldige en toegepaste stemming. Aan het begin van de 16de eeuw, werden behalve het octaaf en de kwint, ook de grote terts in akkoorden rein geïntoneerd. Op toetsinstrumenten werd de stemming van Pythagoras meer en meer vervangen door de middentoonstemming. Tegenwoordig wordt de stemming van Pythagoras opnieuw gebruikt in verband met de reproductie van voornamelijk middeleeuwse muziek, maar ook in sommige gevallen in moderne muziek.
Bezwaren tegen aanvulling 25 mrt
9. In deze aanvulling wordt "Stemming van Pythagoras" gebruikt voor een 12-tonige octaafverdeling. Daar is nog nergens sprake van in de voorafgaande regels (noch in de hoofdtekst erna). 10. De strijd over de 'juiste' getalsverhouding van mi, la en ti in de 7-delige toonladder (met of zonder factor 5 in de verhoudingsgetallen) zal heel lang uitsluitend theoretisch geweest zijn.  Van wanneer af zal het mogelijk geweest zijn (bij welke instrumenten?) om het verschil tussen (9/8)(10/9) en (9/8)(9/8) te registreren? Zijn er bronnen die aannemelijk maken dat de terts op zo'n middeleeuws instrument toen bewijsbaar dichter bij 81/64 dan bij 5/4 trilde? Het lijkt me niet erg waarschijnlijk. Zonder zulke bronnen kan het "de algemeen geldige en toegepaste stemming" niet blijven staan. -- Hesselp (overleg) 26 mrt 2018 11:28 (CEST)

text: Er dient ook aandacht te zijn voor de wijze van overleggen. Dat Hesselp hier 10 opmerkingen plaatst, dat kan natuurlijk. Maar het kan niet zo zijn dat er na reactie van Madyno weer 10 opmerkingen zullen volgen, waarna de discussie zich eindeloos voortsleept. Tegen Hesselp is dit al vaak gezegd, bij deze nogmaals. Bob.v.R (overleg) 28 mrt 2018 14:28 (CEST)
thread_title:  Bezwaren tegen Madyno's intro van 24 mrt 2018 17:38  

message: Omdat er een bewerkingsoorlog aan de gang is heb ik het artikel voor een week beveiligd in de toestand waarin ik het heb aangetroffen. Gelieve door overleg een oplossing voor het conflict te vinden.
Met vriendelijke groet, Magere Hein (overleg) 27 mrt 2018 10:28 (CEST)
thread_title:  Artikel beveiligd 

message: Het nader analyseren van de niet-nederlandstalige WP's leidt nog tot verschillende aanpassingen in  deze versie van 23 maart 2018; in elk van de secties wordt uitgegaan van de  door Madyno (OP 18 maart, 18:31 (CET) en 23:21 (CET)) genoemde "opbouw via reine [zuivere] kwinten" en "stapeling van reine kwinten". Van de historische en gebruiks-toevoeging door Madyne in versie 25 maart:
In de middeleeuwen was de stemming van Pythagoras de algemeen geldige en toegepaste stemming. Aan het begin van de 16de eeuw, werden behalve het octaaf en de kwint, ook de grote terts in akkoorden rein geïntoneerd. Op toetsinstrumenten werd de stemming van Pythagoras meer en meer vervangen door de middentoonstemming. Tegenwoordig wordt de stemming van Pythagoras opnieuw gebruikt in verband met de reproductie van voornamelijk middeleeuwse muziek, maar ook in sommige gevallen in moderne muziek.
is slechts een onderdeel in het voorstel opgenomen. Twijfels over de duidelijkheid van de eerste drie zinnen betreffen: - gaat de opmerking over de situatie in de middeleeuwen over: vrij intonerende muziek van zangers, strijkers, ..., of de stemming van het orgel (of..?) met 12 vaste tonen? - over het intoneren van de terts in akkoorden: bij 'akkoorden' kan ik alleen aan een orgel (of een vergelijkbaat instrument) denken, dus aan toetsinstrumenten (met 12 toetsen per octaaf?), door welke stemming werd begin 16e eeuw de stemming van Pythagoras vervangen? (de Zarlino ladder heeft maar 7 tonen) - de derde zin suggereert dat het voorafgaande niet (of: niet uitsluitend) op toetsinstrumenten betrekking heeft. Graag enige concretisering.
Vraagje aan Wikipedia-kenners: hoe kan de (m.i. minder fraaie) flinke spatie voorafgaand aan het mol-teken, voorkomen worden? De Engelse WP doet het met dubbele accolades en Music|b.
=== Concepttekst Stemming van Pythagoras, 31 mrt 2018 ===
In de muziekleer spreekt men van de stemming van Pythagoras in twee situaties: - wanneer de tonen in een muziekfragmentAlleen muziek die niet gebonden is aan de vaste toonhoogten van bijvoorbeeld een klavier-instrument. geacht worden te behoren tot een reeks van zeven door  zuivere kwinten gescheiden tonen plus alle octaafverschuivingen van zo’n zevental;  en- wanneer de tonen van een instrument met twaalf vaste toonhoogten per octaaf geacht worden te behoren tot een reeks van twaalf door zuivere kwinten gescheiden tonen plus alle octaafverschuivingen van zo’n twaalftal.In de eerste situatie kan ook gezegd dat geïntoneerd wordt volgens de diatonische pythagoreïsche toonladder;  in de tweede dat het instrument gestemd is volgens (één van de zes varianten van) de chromatische pythagoreïsche toonladder.
 
De stemming van Pythagoras of pythagoreïsche stemming kan gezien als een speciaal geval van reine stemming.  In meer beperkte zin wordt 'reine stemming' ook wel uitsluitend gebruikt voor muziek die gebaseerd is op de Zarlino-toonladder.
[kopje] De diatonische pythagoreïsche toonladder
Wanneer zeven opvolgende tonen uit een kwintenreeks via octaafverschuiving binnen één (willekeurig te kiezen) octaaf gebracht worden, kan elk van de zeven nieuwe tonen gezien worden als grondtoon van een diatonische (7-toons) toonladder.  Van één van die zeven toonladders komt het stappenpatroon overeen met de majeur-ladder (heel-heel-half-heel-heel-heel-half):  de diatonische pythagoreïsche ladder (of pythagoreïsche diatonische ladder).  
Toonafstand  	do    	do 	re 	re 	mi   	mi     	fa     	fa 	so 	so 	la   	la   	ti     	ti     	do     	do
tot grondtoon	1     	1  	9/8	9/8	81/64	81/64  	4/3    	4/3	3/2	3/2	27/16	27/16	243/128	243/128	2      	2
in cent      	0     	0  	204	204	408  	408    	498    	498	702	702	906  	906  	1110   	1110   	1200   	1200
onderling    	 	9/8	9/8	9/8	9/8  	256/243	256/243	9/8	9/8	9/8	9/8  	9/8  	9/8    	256/243	256/243	 
in cent      	 	204	204	204	204  	90     	90     	204	204	204	204  	204  	204    	90     	90     	 
             	      	   	   	   	     	       	       	   	   	   	     	     	       	       	       	 
De onderstreepte derde, zesde en zevende stap zijn in vergelijking met de Zarlino-ladder een factor 81/80 hoger (≈ 21,5 cent, het didymisch of syntonisch komma genoemd).  Zowel de pythagoreïsche ladder als de Zarlino-ladder zijn theoretische modellen voor wat een solo-violist of -zanger op het gehoor (en het gevoel) in werkelijkheid produceert.  Metingen lijken erop te wijzen dat musici soms (onbewust) lijken te kiezen voor toonhoogten volgens Zarlino, en soms voor toonhoogten volgens Pythagoras; en dat dit mede afhangt van de soort muzikale figuur. Theo Willemze, Algemene muziekleer, 18e druk 2008, paragraaf 449.  Bij het reproduceren van middeleeuwse muziek wordt ook wel voor de 'stemming van Pythagoras' gekozen.
[kopje] Chromatische pythagoreïsche toonladders
Wanneer twaalf opvolgende tonen uit een kwintenreeks via octaafverschuiving binnen één (willekeurig te kiezen) octaaf gebracht worden, kan elk van de twaalf nieuwe tonen gezien worden als grondtoon van een chromatische (12-toons) toonladder. Elk van die twaalf ladders is opgebouwd uit slechts twee verschillende 'halve tonen': het limma van afgerond 90 cent en het apotome van afgerond 114 cent; opgeteld zijn ze gelijk aan de 'grote hele toon' (9:8, ≈ 204 cent), afgetrokken aan het pythagoreïsche komma (≈ 24 cent).  Verder zijn in elk van die ladders elf van de twaalf kwinten zuiver:  4x90 + 3x114 = 702 cent, de overblijvende kwint is duidelijk vals:  5x90 + 2x114 = 678 cent. 
Zes van die twaalf ladders bevatten de met dezelfde grondtoon beginnende diatonische pythagoreïsche ladder.Een tabel met alle twaalf varianten staat hier.  In deze chromatische pythagoreïsche ladders zorgen de verschillen in toonhoogte van de tussentonen voor zes verschillende posities van de ene niet-zuivere kwint.
Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent
limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent
Valse  kwint                                                                                                                                             	C0                                                                                                                                                       	C0                                                                                                                                                       	C♯/D♭                                                                                                                                                    	C♯/D♭                                                                                                                                                    	D204                                                                                                                                                     	D204                                                                                                                                                     	D♯/E♭                                                                                                                                                    	D♯/E♭                                                                                                                                                    	E408                                                                                                                                                     	E408                                                                                                                                                     	F498                                                                                                                                                     	F498                                                                                                                                                     	F♯/G♭                                                                                                                                                    	F♯/G♭                                                                                                                                                    	G702                                                                                                                                                     	G702                                                                                                                                                     	G♯/A♭                                                                                                                                                    	G♯/A♭                                                                                                                                                    	A906                                                                                                                                                     	A906                                                                                                                                                     	A♯/B♭                                                                                                                                                    	A♯/B♭                                                                                                                                                    	B1110                                                                                                                                                    	B1110                                                                                                                                                    	C1200                                                                                                                                                    	C1200
C♯ - A♭                                                                                                                                                  	                                                                                                                                                         	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	 
D♯ - B♭                                                                                                                                                  	                                                                                                                                                    	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	 
F♯ - D'♭                                                                                                                                                 	                                                                                                                                                    	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	 
G♯ - E'♭                                                                                                                                                 	                                                                                                                                                    	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	 
A♯ - F'                                                                                                                                        	                                                                                                                                                         	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	 
B - G'♭                                                                                                                                                  	                                                                                                                                                    	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	 
De pythagoreïsche stemming voor de twaalf octaaftoetsen is vanaf het begin van de 16e eeuw verdrongen door middentoonstemmingen. Een middentoon-ladder ontstaat net als de (12-tonige) pythagoreïsche ladders door octaafverschuivingen naar één octaafgebied, van een 12-ledige kwintenreeks. Maar nu niet van zuivere kwinten (3/2) maar van iets 'geknepen kwinten'.Bij de 1/n-komma middentoonstemming gaat het om 'kwinten' van (3/2) / (81/80)1/n.  De kwartkomma-middentoonstemming (n = 4, veruit de meest gebruikelijke) komt voort uit een stapeling van bijna-kwint intervallen van 51/4 ≈ 1,49535 (696 cent in plaats van het zuivere 702 cent).  Ook nu weer bestaat elk van de twaalf variant-ladders uit twee soorten halftonen: zeven van de ene soort en vijf van de andere. En ook nu weer heeft elke ladder op één van z'n tonen een zevende trap die sterk van de zuivere kwint afwijkt. Een verschil is dat de toonstappen in middentoonladders (in het theoretisch model) grotendeels irrationale verhoudingen zijn, geen verhoudingen van (soms weliswaar grote) gehele getallen zoals steeds bij pythagoreïsche ladders.
[kopje] Zie ook
* Ditonus
* Stemming (muziek)
* Reine stemming
* Microtonale muziek
* Toonladder
[kopje] Externe link
* Geluidsfragment met verschil tussen Pythagoras, Rein en Gelijkzwevend
[kopje] Noten
Categorie:Stemming (muziek)
Categorie:Muziektheorie -- Hesselp (overleg) 31 mrt 2018 01:59 (CEST)
replies: text: @Bob.v.R: Bij een kortdurende kleine wijziging in 'de bovenste tabel'. Ik ben het met je eens dat de vulling van die linkerkolom niet helemaal ideaal is. Maar ik kon en kan niks beters vinden dat beknopt is en de indeling niet rommeliger maakt.

text: Aanvulling op concepttekst 31 maart 2018, hierbovenAan het slot, onder de tweede/laatste tabel, lijkt het me de plaats voor een korte vergelijking van de pythagoreïsche 12-toonsstemming en z'n opvolger, de middentoonstemming(en). Want qua structuur lijken ze erg veel op elkaar.  Acht tekstregels zijn aan de concepttekst toegevoegd. -- Hesselp (overleg) 31 mrt 2018 23:05 (CEST)
replies: text: :Een link naar "Cent (muziek)" lijkt me niet bezwaarlijk (is spelling 'cent' de norm hier? ipv. Cent-Cents-cents). Toegevoegd in concept hierboven.  Ook toegevoegd een voetnoot met verwijzing naar een Commons-tabel waarin alle 12 varianten van de chromatische pythagoreïsche ladder uitgeschreven staan.   Wie kan daar de correcte licensie-verwijzing bijzetten? - heb ik geen ervaring mee. -- Hesselp (overleg) 1 apr 2018 10:31 (CEST)
thread_title:  Voorstel tot wijziging van de (rommelige) artikeltekst 

message: In de muziekleer spreekt men van de stemming van Pythagoras in twee situaties: - wanneer de tonen in een muziekfragmentAlleen muziek die niet gebonden is aan de vaste toonhoogten van bijvoorbeeld een klavier-instrument. geacht worden te behoren tot een reeks van zeven door  zuivere kwinten gescheiden tonen plus alle octaafverschuivingen van zo’n zevental;  en- wanneer de tonen van een instrument met twaalf vaste toonhoogten per octaaf geacht worden te behoren tot een reeks van twaalf door zuivere kwinten gescheiden tonen plus alle octaafverschuivingen van zo’n twaalftal.In de eerste situatie kan ook gezegd dat geïntoneerd wordt volgens de diatonische pythagoreïsche toonladder;  in de tweede dat het instrument gestemd is volgens (één van de zes varianten van) de chromatische pythagoreïsche toonladder.
 
De stemming van Pythagoras of pythagoreïsche stemming kan gezien als een speciaal geval van reine stemming.  In meer beperkte zin wordt 'reine stemming' ook wel uitsluitend gebruikt voor muziek die gebaseerd is op de Zarlino-toonladder.
[kopje] De diatonische pythagoreïsche toonladder
Wanneer zeven opvolgende tonen uit een kwintenreeks via octaafverschuiving binnen één (willekeurig te kiezen) octaaf gebracht worden, kan elk van de zeven nieuwe tonen gezien worden als grondtoon van een diatonische (7-toons) toonladder.  Van één van die zeven toonladders komt het stappenpatroon overeen met de majeur-ladder (heel-heel-half-heel-heel-heel-half):  de diatonische pythagoreïsche ladder (of pythagoreïsche diatonische ladder).  
Toonafstand  	do    	do 	re 	re 	mi   	mi     	fa     	fa 	so 	so 	la   	la   	ti     	ti     	do     	do
tot grondtoon	1     	1  	9/8	9/8	81/64	81/64  	4/3    	4/3	3/2	3/2	27/16	27/16	243/128	243/128	2      	2
in cent      	0     	0  	204	204	408  	408    	498    	498	702	702	906  	906  	1110   	1110   	1200   	1200
onderling    	 	9/8	9/8	9/8	9/8  	256/243	256/243	9/8	9/8	9/8	9/8  	9/8  	9/8    	256/243	256/243	 
in cent      	 	204	204	204	204  	90     	90     	204	204	204	204  	204  	204    	90     	90     	 
             	      	   	   	   	     	       	       	   	   	   	     	     	       	       	       	 
De onderstreepte derde, zesde en zevende stap zijn in vergelijking met de Zarlino-ladder een factor 81/80 hoger (≈ 21,5 cent, het didymisch of syntonisch komma genoemd).  Zowel de pythagoreïsche ladder als de Zarlino-ladder zijn theoretische modellen voor wat een solo-violist of -zanger op het gehoor (en het gevoel) in werkelijkheid produceert.  Metingen lijken erop te wijzen dat musici soms (onbewust) lijken te kiezen voor toonhoogten volgens Zarlino, en soms voor toonhoogten volgens Pythagoras; en dat dit mede afhangt van de soort muzikale figuur. Theo Willemze, Algemene muziekleer, 18e druk 2008, paragraaf 449.  Bij het reproduceren van middeleeuwse muziek wordt ook wel voor de 'stemming van Pythagoras' gekozen.
[kopje] Chromatische pythagoreïsche toonladders
Wanneer twaalf opvolgende tonen uit een kwintenreeks via octaafverschuiving binnen één (willekeurig te kiezen) octaaf gebracht worden, kan elk van de twaalf nieuwe tonen gezien worden als grondtoon van een chromatische (12-toons) toonladder. Elk van die twaalf ladders is opgebouwd uit slechts twee verschillende 'halve tonen': het limma van afgerond 90 cent en het apotome van afgerond 114 cent; opgeteld zijn ze gelijk aan de 'grote hele toon' (9:8, ≈ 204 cent), afgetrokken aan het pythagoreïsche komma (≈ 24 cent).  Verder zijn in elk van die ladders elf van de twaalf kwinten zuiver:  4x90 + 3x114 = 702 cent, de overblijvende kwint is duidelijk vals:  5x90 + 2x114 = 678 cent. 
Zes van die twaalf ladders bevatten de met dezelfde grondtoon beginnende diatonische pythagoreïsche ladder.Een tabel met alle twaalf varianten staat hier.  In deze chromatische pythagoreïsche ladders zorgen de verschillen in toonhoogte van de tussentonen voor zes verschillende posities van de ene niet-zuivere kwint.
Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent                                                       	Zes varianten van de chromatische uitgebreide pythagoreïsche toonladder,  toonstappen in cent
limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent	limma: 28/35 ≈ 90 cent;    apotome: 37/211 ≈ 114 cent;    zuivere kwint: 3/2 ≈ 702 cent;    valse kwint: 218/311 ≈ 678 cent
Valse  kwint                                                                                                                                             	C0                                                                                                                                                       	C0                                                                                                                                                       	C♯/D♭                                                                                                                                                    	C♯/D♭                                                                                                                                                    	D204                                                                                                                                                     	D204                                                                                                                                                     	D♯/E♭                                                                                                                                                    	D♯/E♭                                                                                                                                                    	E408                                                                                                                                                     	E408                                                                                                                                                     	F498                                                                                                                                                     	F498                                                                                                                                                     	F♯/G♭                                                                                                                                                    	F♯/G♭                                                                                                                                                    	G702                                                                                                                                                     	G702                                                                                                                                                     	G♯/A♭                                                                                                                                                    	G♯/A♭                                                                                                                                                    	A906                                                                                                                                                     	A906                                                                                                                                                     	A♯/B♭                                                                                                                                                    	A♯/B♭                                                                                                                                                    	B1110                                                                                                                                                    	B1110                                                                                                                                                    	C1200                                                                                                                                                    	C1200
C♯ - A♭                                                                                                                                                  	                                                                                                                                                         	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	 
D♯ - B♭                                                                                                                                                  	                                                                                                                                                    	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	 
F♯ - D'♭                                                                                                                                                 	                                                                                                                                                    	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	 
G♯ - E'♭                                                                                                                                                 	                                                                                                                                                    	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	 
A♯ - F'                                                                                                                                        	                                                                                                                                                         	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	 
B - G'♭                                                                                                                                                  	                                                                                                                                                    	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	114                                                                                                                                                      	114                                                                                                                                                      	90                                                                                                                                                       	90                                                                                                                                                       	 
De pythagoreïsche stemming voor de twaalf octaaftoetsen is vanaf het begin van de 16e eeuw verdrongen door middentoonstemmingen. Een middentoon-ladder ontstaat net als de (12-tonige) pythagoreïsche ladders door octaafverschuivingen naar één octaafgebied, van een 12-ledige kwintenreeks. Maar nu niet van zuivere kwinten (3/2) maar van iets 'geknepen kwinten'.Bij de 1/n-komma middentoonstemming gaat het om 'kwinten' van (3/2) / (81/80)1/n.  De kwartkomma-middentoonstemming (n = 4, veruit de meest gebruikelijke) komt voort uit een stapeling van bijna-kwint intervallen van 51/4 ≈ 1,49535 (696 cent in plaats van het zuivere 702 cent).  Ook nu weer bestaat elk van de twaalf variant-ladders uit twee soorten halftonen: zeven van de ene soort en vijf van de andere. En ook nu weer heeft elke ladder op één van z'n tonen een zevende trap die sterk van de zuivere kwint afwijkt. Een verschil is dat de toonstappen in middentoonladders (in het theoretisch model) grotendeels irrationale verhoudingen zijn, geen verhoudingen van (soms weliswaar grote) gehele getallen zoals steeds bij pythagoreïsche ladders.
[kopje] Zie ook
* Ditonus
* Stemming (muziek)
* Reine stemming
* Microtonale muziek
* Toonladder
[kopje] Externe link
* Geluidsfragment met verschil tussen Pythagoras, Rein en Gelijkzwevend
[kopje] Noten
Categorie:Stemming (muziek)
Categorie:Muziektheorie -- Hesselp (overleg) 31 mrt 2018 01:59 (CEST)
replies: text: @Bob.v.R: Bij een kortdurende kleine wijziging in 'de bovenste tabel'. Ik ben het met je eens dat de vulling van die linkerkolom niet helemaal ideaal is. Maar ik kon en kan niks beters vinden dat beknopt is en de indeling niet rommeliger maakt.

text: Aanvulling op concepttekst 31 maart 2018, hierbovenAan het slot, onder de tweede/laatste tabel, lijkt het me de plaats voor een korte vergelijking van de pythagoreïsche 12-toonsstemming en z'n opvolger, de middentoonstemming(en). Want qua structuur lijken ze erg veel op elkaar.  Acht tekstregels zijn aan de concepttekst toegevoegd. -- Hesselp (overleg) 31 mrt 2018 23:05 (CEST)
replies: text: :Een link naar "Cent (muziek)" lijkt me niet bezwaarlijk (is spelling 'cent' de norm hier? ipv. Cent-Cents-cents). Toegevoegd in concept hierboven.  Ook toegevoegd een voetnoot met verwijzing naar een Commons-tabel waarin alle 12 varianten van de chromatische pythagoreïsche ladder uitgeschreven staan.   Wie kan daar de correcte licensie-verwijzing bijzetten? - heb ik geen ervaring mee. -- Hesselp (overleg) 1 apr 2018 10:31 (CEST)
thread_title:  Concepttekst Stemming van Pythagoras, 31 mrt 2018 

message: Toonafstanden	Toonafstanden	do    	do 	re 	re 	mi   	mi     	fa     	fa 	so 	so 	la   	la   	ti     	ti     	do     	do
tot grondtoon	verhouding   	1     	1  	9/8	9/8	81/64	81/64  	4/3    	4/3	3/2	3/2	27/16	27/16	243/128	243/128	2      	2
tot grondtoon	in cent      	0     	0  	204	204	408  	408    	498    	498	702	702	906  	906  	1110   	1110   	1200   	1200
onderling    	verhouding   	 	9/8	9/8	9/8	9/8  	256/243	256/243	9/8	9/8	9/8	9/8  	9/8  	9/8    	256/243	256/243	 
onderling    	in cent      	 	204	204	204	204  	90     	90     	204	204	204	204  	204  	204    	90     	90     	 
Zie boven: mogelijke bijstelling tabelopmaak. Bob.v.R (overleg) 5 apr 2018 01:49 (CEST)
replies: text: Bob.v.R: De onderverdeling links in de tabel lijkt een verbetering, ga ik invoeren. Kleuring zie ik hier niet als functioneel, heeft niet mijn voorkeur (in de andere tabel is evenmin kleur nodig). -- Hesselp (overleg) 5 apr 2018 11:44 (CEST)
thread_title:  Tabelopmaak