Overleg:Formule van Euler

message: FORMULE VAN EULER
e^i*pi = -1
dus (e^i*pi)^2 = 1
   e^i*pi*2 = 1
   i*pi*2 ln e  = ln 1
   i*pi*2*1  = 0
   !!!!! wat is mis aan deze redenering
replies: text: Het is alweer eventjes geleden, dus ik zou het moeten opzoeken om zeker te zijn, maar ik vermoed dat het nemen van de natuurlijke logaritme niet mag voor complexe getallen of op z'n minst dat de gebruikte rekenrekels niet voor complexe getallen gelden. Falcongj 22 mei 2004 12:45 (CEST)

text: De Definitie van een complexe logaritme is: log z = ln|z| + i*arg(z).

text: Met deze definitie geldt er ook voor complexe getallen: e^log(z)=z en die kennen we al uit de reëele situatie.

text: In dit geval: e^i*2*pi is zuiver imaginair, het reëele deel (x) is nul (complex getal: z = e^(x+iy), met |z|=e^x en arg(z)=y (mod 2pi)). Nemen we dus x=0 krijgen we ln|e^0| + i*2pi (mod 2pi) = ln|1| + i*0 (mod 2pi) en dat klopt wel omdat 2pi (mod 2pi)=0 (mod 2pi) en ln|e^0|=ln|1|.
   Rekenregels goed toepassen dus--80.60.78.213 20 sep 2004 23:03 (CEST)

message: De 4 belangrijkste wiskundige constanten: 0, 1, i en π 
---> ik denk dat het natuurlijke getal e een belangrijkere reele constante is dan 0 of 1. Dus waarom dat niet expliciet vermelden ? Het houdt meer steek te zeggen aldus: De 3 belangrijkste wiskundige constanten: e, i en π. DaBeast
replies: text: Oeps, die ben ik vergeten in het lijstje. Nu toegevoegd. - André Engels 2 mei 2005 13:27 (CEST)
== Complex argument ==
Wat betekent het dat de formule ook geldt voor complexe x? Dan moeten eerst sin en cos voor complexe x gedefinieeerd worden, en dat gebeurt vaak via de formule van Euler. Madyno 11 nov 2010 17:49 (CET)
== sin(x) ==
De formule die het verband legt tussen sin(x) en de verzameling van de complexe getallen is foutief. Als men deze tracht te bewijzen vertrekkende vanuit het rechterlid komt men niet tot sin(x). formule dient te zijn: sin(x)=(e^ix - e^-ix)/2i
sin⁡βx=(2i sin⁡βx)/2i=(2i sin⁡βx+cos⁡βx-cos⁡βx)/2i=((cos⁡βx+i sin⁡βx )+(-cos⁡βx+i sin⁡βx ))/2i=((cos⁡βx+i sin⁡βx )-(cos⁡βx-i sin⁡βx ))/2i=((cos⁡βx+i sin⁡βx )-(cos⁡(-βx)+i sin⁡(-βx) ))/2i=(e^iβx-e^(-iβx)  )/2i

text: Hersteld. Madyno (overleg) 10 okt 2012 14:31 (CEST)
== Nieuwe afleiding ==
Is het wel zinvol die nieuwe afleiding op te nemen? Madyno (overleg) 4 sep 2019 09:17 (CEST)
inderdaad weggehaald:
=== Machten van i ===
De voorgaande afleidingen leiden tot een elegant bewijs. De onderstaande afleiding is minder elegant, maar geeft aanleiding tot een beter inzicht.
Indien de onderstaande afleiding wordt uitgedetailleerd, kan een intuïtief pad van de goniometrische voorstelling naar de formule van Euler worden opgebouwd.
* Het verheffen van i tot een natuurlijke macht n, is roteren over n\frac{\pi}{2} of n 90 graden vanaf i^0=1+0i.

text: \cos(n\frac{\pi}{2})+ i\sin(n\frac{\pi}{2})= i^n
* i tot een reële macht x\frac{2}{\pi} verheffen, correspondeert met een rotatie over een hoek x vanaf i^0=1+0i.

text: \cos(x)+ i\sin(x)= i^{x\frac{2}{\pi}}
* Een macht van een complex getal a kan steeds in een macht van e worden herschreven met de eigenschap a^y= e^{y\log(a)} waarbij 'log' de complexe logaritme is.

text: \cos(x)+ i\sin(x)= i^{x\frac{2}{\pi}}=e^{x\frac{2}{\pi}\log(i)}=e^{ix}, want \log(i)=i\frac{\pi}{2}.
* Omdat een rotatie in het complexe vlak kan geschreven als een macht van i, kan een rotatie in het complexe vlak worden geschreven als een macht van e.

text: i^{x\frac{2}{\pi}}=\cos(x)+ i\sin(x)=e^{ix}.
De eigenschap \log(i)=i\frac{\pi}{2} kan als volgt worden afgeleid:
replies: text: : i^{\theta\frac{2}{\pi}}=\ e^{\log{\left(i\right)\theta\frac{2}{\pi}}}

text: : i^{\theta\frac{2}{\pi}}=\ e^{\log{\left(i\right)\theta\frac{2}{\pi}}}=\ 1\left(\cos{\theta}+i\ \sin{\theta}\right)
We nemen de afgeleide van beide zijden van de bovenstaande gelijkheid:

text: : \left( \log{\left( i \right) \frac{2}{\pi}} \right) \ e^{\ln{\left( i \right) \theta \frac{2}{\pi}}} = i \left( \cos{\theta} + i\ \sin{\theta} \right)
Daaruit volgt:
\left( \log{\left( i \right) \frac{2}{\pi}} \right)\ = i of \log{\left( i \right)}\ = i \frac{\pi}{2}
ChristiaanPR (overleg) 10 nov 2023 18:02 (CET)
thread_title: =

message: Wat betekent het dat de formule ook geldt voor complexe x? Dan moeten eerst sin en cos voor complexe x gedefinieeerd worden, en dat gebeurt vaak via de formule van Euler. Madyno 11 nov 2010 17:49 (CET)
thread_title:  Complex argument 

message: De formule die het verband legt tussen sin(x) en de verzameling van de complexe getallen is foutief. Als men deze tracht te bewijzen vertrekkende vanuit het rechterlid komt men niet tot sin(x). formule dient te zijn: sin(x)=(e^ix - e^-ix)/2i
sin⁡βx=(2i sin⁡βx)/2i=(2i sin⁡βx+cos⁡βx-cos⁡βx)/2i=((cos⁡βx+i sin⁡βx )+(-cos⁡βx+i sin⁡βx ))/2i=((cos⁡βx+i sin⁡βx )-(cos⁡βx-i sin⁡βx ))/2i=((cos⁡βx+i sin⁡βx )-(cos⁡(-βx)+i sin⁡(-βx) ))/2i=(e^iβx-e^(-iβx)  )/2i
replies: text: Hersteld. Madyno (overleg) 10 okt 2012 14:31 (CEST)
thread_title:  sin(x) 

message: Is het wel zinvol die nieuwe afleiding op te nemen? Madyno (overleg) 4 sep 2019 09:17 (CEST)
inderdaad weggehaald:
=== Machten van i ===
De voorgaande afleidingen leiden tot een elegant bewijs. De onderstaande afleiding is minder elegant, maar geeft aanleiding tot een beter inzicht.
Indien de onderstaande afleiding wordt uitgedetailleerd, kan een intuïtief pad van de goniometrische voorstelling naar de formule van Euler worden opgebouwd.
* Het verheffen van i tot een natuurlijke macht n, is roteren over n\frac{\pi}{2} of n 90 graden vanaf i^0=1+0i.
replies: text: \cos(n\frac{\pi}{2})+ i\sin(n\frac{\pi}{2})= i^n
* i tot een reële macht x\frac{2}{\pi} verheffen, correspondeert met een rotatie over een hoek x vanaf i^0=1+0i.

text: \cos(x)+ i\sin(x)= i^{x\frac{2}{\pi}}
* Een macht van een complex getal a kan steeds in een macht van e worden herschreven met de eigenschap a^y= e^{y\log(a)} waarbij 'log' de complexe logaritme is.

text: \cos(x)+ i\sin(x)= i^{x\frac{2}{\pi}}=e^{x\frac{2}{\pi}\log(i)}=e^{ix}, want \log(i)=i\frac{\pi}{2}.
* Omdat een rotatie in het complexe vlak kan geschreven als een macht van i, kan een rotatie in het complexe vlak worden geschreven als een macht van e.

text: i^{x\frac{2}{\pi}}=\cos(x)+ i\sin(x)=e^{ix}.
De eigenschap \log(i)=i\frac{\pi}{2} kan als volgt worden afgeleid:
replies: text: : i^{\theta\frac{2}{\pi}}=\ e^{\log{\left(i\right)\theta\frac{2}{\pi}}}

text: : i^{\theta\frac{2}{\pi}}=\ e^{\log{\left(i\right)\theta\frac{2}{\pi}}}=\ 1\left(\cos{\theta}+i\ \sin{\theta}\right)
We nemen de afgeleide van beide zijden van de bovenstaande gelijkheid:

text: : \left( \log{\left( i \right) \frac{2}{\pi}} \right) \ e^{\ln{\left( i \right) \theta \frac{2}{\pi}}} = i \left( \cos{\theta} + i\ \sin{\theta} \right)
Daaruit volgt:
\left( \log{\left( i \right) \frac{2}{\pi}} \right)\ = i of \log{\left( i \right)}\ = i \frac{\pi}{2}
ChristiaanPR (overleg) 10 nov 2023 18:02 (CET)
thread_title:  Nieuwe afleiding 

message: De voorgaande afleidingen leiden tot een elegant bewijs. De onderstaande afleiding is minder elegant, maar geeft aanleiding tot een beter inzicht.
Indien de onderstaande afleiding wordt uitgedetailleerd, kan een intuïtief pad van de goniometrische voorstelling naar de formule van Euler worden opgebouwd.
* Het verheffen van i tot een natuurlijke macht n, is roteren over n\frac{\pi}{2} of n 90 graden vanaf i^0=1+0i.
replies: text: \cos(n\frac{\pi}{2})+ i\sin(n\frac{\pi}{2})= i^n
* i tot een reële macht x\frac{2}{\pi} verheffen, correspondeert met een rotatie over een hoek x vanaf i^0=1+0i.

text: \cos(x)+ i\sin(x)= i^{x\frac{2}{\pi}}
* Een macht van een complex getal a kan steeds in een macht van e worden herschreven met de eigenschap a^y= e^{y\log(a)} waarbij 'log' de complexe logaritme is.

text: \cos(x)+ i\sin(x)= i^{x\frac{2}{\pi}}=e^{x\frac{2}{\pi}\log(i)}=e^{ix}, want \log(i)=i\frac{\pi}{2}.
* Omdat een rotatie in het complexe vlak kan geschreven als een macht van i, kan een rotatie in het complexe vlak worden geschreven als een macht van e.

text: i^{x\frac{2}{\pi}}=\cos(x)+ i\sin(x)=e^{ix}.
De eigenschap \log(i)=i\frac{\pi}{2} kan als volgt worden afgeleid:
replies: text: : i^{\theta\frac{2}{\pi}}=\ e^{\log{\left(i\right)\theta\frac{2}{\pi}}}

text: : i^{\theta\frac{2}{\pi}}=\ e^{\log{\left(i\right)\theta\frac{2}{\pi}}}=\ 1\left(\cos{\theta}+i\ \sin{\theta}\right)
We nemen de afgeleide van beide zijden van de bovenstaande gelijkheid:

text: : \left( \log{\left( i \right) \frac{2}{\pi}} \right) \ e^{\ln{\left( i \right) \theta \frac{2}{\pi}}} = i \left( \cos{\theta} + i\ \sin{\theta} \right)
Daaruit volgt:
\left( \log{\left( i \right) \frac{2}{\pi}} \right)\ = i of \log{\left( i \right)}\ = i \frac{\pi}{2}
ChristiaanPR (overleg) 10 nov 2023 18:02 (CET)
thread_title:  Machten van i