Overleg:Uitgebreid algoritme van Euclides

message: Het volgende is de controle van het uitgebreide algoritme van Euclides. Het voorbeeld dat nu in het artikel staat is voldoende, dit is te technisch. ChristiaanPR (overleg) 12 okt 2015 10:54 (CEST)
=== Algoritme ===
De systematiek in de berekening laat zich als volgt beschrijven:
replies: text: \begin{matrix}
r_{0} = a = x_0a+y_0b\\
r_{1} = b = x_1a+y_1b\\
r_{2} = a-q_2b = r_0-q_2r_1\\
\cdots\\
r_{n-1} = x_{n-1}a+y_{n-1}b\\
r_{n} = x_na+y_nb\\
r_{n+1} = r_{n-1}-q_{n+1}r_n =(x_{n-1}-q_{n+1}x_n)a+(y_{n-1}-q_{n+1}y_n)b=x_{n+1}a+y_{n+1}b\\
\cdots\\
r_{N-1} = x_{N-1}a+y_{N-1}b\\
r_{N} = x_Na+y_Nb\\
r_{N+1} = 0\\
\end{matrix}
Het best bezien we eerst de berekeningen na de eerste paar stappen. Van de nieuwe 'a' = r_{n-1} en 'b' = r_n wordt de nieuwe rest r_{n+1} = r_{n-1}-q_{n+1}r_n bepaald. In de vorige stappen zijn de resten r_{n-1} en r_n uitgedrukt als gehele lineaire combinatie van de oorspronkelijke getallen a en b, met coëfficiënten respectievelijk x_{n-1} en y_{n-1} en x_n en y_n. Daarmee laat ook de nieuwe rest r_{n+1} zich in a en b uitdrukken, met coëfficiënten x_{n+1}=x_{n-1}-q_{n+1}x_n en y_{n+1}=y_{n-1}-q_{n+1}y_n. Het algoritme loopt af als de rest 0 wordt. De vorige rest is de gezochte g.g.d. uitgedrukt als gehele lineaire combinatie van a en b. Om het algoritme te beginnen, kiezen we als startwaarden r_0=a en r_1=b.
==== Rekenschema ====
In het rekenschema van het algoritme houden we de rij met resten r bij en daarnaast de resultaten q van de deling, alsmede de coëfficiënten x en y, die dezelfde structuur vertonen als de resten. Als startwaarden kiezen we:

text: r_0 = \max(a,b)\,

text: r_1 = \min(a,b)\,

text: x_0 = 1 \;

text: x_1 = 0 \;

text: y_0 = 0 \;

text: y_1 = 1 \;
We bepalen de nieuwe rest r en het resultaat q van de deling door:

text: q_{n+1} = r_{n-1}\div r_n\;

text: r_{n+1} = r_{n-1}-q_{n+1}r_n\;
en vervolgens de nieuwe coëfficiënten uit:

text: x_{n+1} = x_{n-1}-q_{n+1}x_n\;

text: y_{n+1} = y_{n-1}-q_{n+1}y_n\;
Het algoritme loopt af als de nieuwe rest gelijk is aan 0.
==== Voorbeeld, vervolg ====
Voor het voorbeeld ziet dat er zo uit:
 
\begin{matrix}
r    &q &x  &y  \\
1140 &  &1  &0  && &1140 &= &1  \times 1140 + 0 \times 900 \\
 900 &  &0  &1  &&  &900 &= &0  \times 1140 + 1 \times 900 \\
 240 &1 &1  &-1 &&  &240 &= &1  \times 1140 - 1 \times 900 \\
 180 &3 &-3 &4  &&  &180 &= &-3 \times 1140 + 4 \times 900 \\
  60 &1 &4  &-5 &&  &60 &= &4   \times 1140 - 5 \times 900 \\
\end{matrix}
ChristiaanPR (overleg) 12 okt 2015 10:54 (CEST)
thread_title:  weggehaald 

message: De systematiek in de berekening laat zich als volgt beschrijven:
replies: text: \begin{matrix}
r_{0} = a = x_0a+y_0b\\
r_{1} = b = x_1a+y_1b\\
r_{2} = a-q_2b = r_0-q_2r_1\\
\cdots\\
r_{n-1} = x_{n-1}a+y_{n-1}b\\
r_{n} = x_na+y_nb\\
r_{n+1} = r_{n-1}-q_{n+1}r_n =(x_{n-1}-q_{n+1}x_n)a+(y_{n-1}-q_{n+1}y_n)b=x_{n+1}a+y_{n+1}b\\
\cdots\\
r_{N-1} = x_{N-1}a+y_{N-1}b\\
r_{N} = x_Na+y_Nb\\
r_{N+1} = 0\\
\end{matrix}
Het best bezien we eerst de berekeningen na de eerste paar stappen. Van de nieuwe 'a' = r_{n-1} en 'b' = r_n wordt de nieuwe rest r_{n+1} = r_{n-1}-q_{n+1}r_n bepaald. In de vorige stappen zijn de resten r_{n-1} en r_n uitgedrukt als gehele lineaire combinatie van de oorspronkelijke getallen a en b, met coëfficiënten respectievelijk x_{n-1} en y_{n-1} en x_n en y_n. Daarmee laat ook de nieuwe rest r_{n+1} zich in a en b uitdrukken, met coëfficiënten x_{n+1}=x_{n-1}-q_{n+1}x_n en y_{n+1}=y_{n-1}-q_{n+1}y_n. Het algoritme loopt af als de rest 0 wordt. De vorige rest is de gezochte g.g.d. uitgedrukt als gehele lineaire combinatie van a en b. Om het algoritme te beginnen, kiezen we als startwaarden r_0=a en r_1=b.
==== Rekenschema ====
In het rekenschema van het algoritme houden we de rij met resten r bij en daarnaast de resultaten q van de deling, alsmede de coëfficiënten x en y, die dezelfde structuur vertonen als de resten. Als startwaarden kiezen we:

text: r_0 = \max(a,b)\,

text: r_1 = \min(a,b)\,

text: x_0 = 1 \;

text: x_1 = 0 \;

text: y_0 = 0 \;

text: y_1 = 1 \;
We bepalen de nieuwe rest r en het resultaat q van de deling door:

text: q_{n+1} = r_{n-1}\div r_n\;

text: r_{n+1} = r_{n-1}-q_{n+1}r_n\;
en vervolgens de nieuwe coëfficiënten uit:

text: x_{n+1} = x_{n-1}-q_{n+1}x_n\;

text: y_{n+1} = y_{n-1}-q_{n+1}y_n\;
Het algoritme loopt af als de nieuwe rest gelijk is aan 0.
==== Voorbeeld, vervolg ====
Voor het voorbeeld ziet dat er zo uit:
 
\begin{matrix}
r    &q &x  &y  \\
1140 &  &1  &0  && &1140 &= &1  \times 1140 + 0 \times 900 \\
 900 &  &0  &1  &&  &900 &= &0  \times 1140 + 1 \times 900 \\
 240 &1 &1  &-1 &&  &240 &= &1  \times 1140 - 1 \times 900 \\
 180 &3 &-3 &4  &&  &180 &= &-3 \times 1140 + 4 \times 900 \\
  60 &1 &4  &-5 &&  &60 &= &4   \times 1140 - 5 \times 900 \\
\end{matrix}
ChristiaanPR (overleg) 12 okt 2015 10:54 (CEST)
thread_title:  Algoritme 

message: In het rekenschema van het algoritme houden we de rij met resten r bij en daarnaast de resultaten q van de deling, alsmede de coëfficiënten x en y, die dezelfde structuur vertonen als de resten. Als startwaarden kiezen we:
replies: text: r_0 = \max(a,b)\,

text: r_1 = \min(a,b)\,

text: x_0 = 1 \;

text: x_1 = 0 \;

text: y_0 = 0 \;

text: y_1 = 1 \;
We bepalen de nieuwe rest r en het resultaat q van de deling door:

text: q_{n+1} = r_{n-1}\div r_n\;

text: r_{n+1} = r_{n-1}-q_{n+1}r_n\;
en vervolgens de nieuwe coëfficiënten uit:

text: x_{n+1} = x_{n-1}-q_{n+1}x_n\;

text: y_{n+1} = y_{n-1}-q_{n+1}y_n\;
Het algoritme loopt af als de nieuwe rest gelijk is aan 0.
thread_title:  Rekenschema 

message: Voor het voorbeeld ziet dat er zo uit:
 
\begin{matrix}
r    &q &x  &y  \\
1140 &  &1  &0  && &1140 &= &1  \times 1140 + 0 \times 900 \\
 900 &  &0  &1  &&  &900 &= &0  \times 1140 + 1 \times 900 \\
 240 &1 &1  &-1 &&  &240 &= &1  \times 1140 - 1 \times 900 \\
 180 &3 &-3 &4  &&  &180 &= &-3 \times 1140 + 4 \times 900 \\
  60 &1 &4  &-5 &&  &60 &= &4   \times 1140 - 5 \times 900 \\
\end{matrix}
ChristiaanPR (overleg) 12 okt 2015 10:54 (CEST)
thread_title:  Voorbeeld, vervolg