Overleg:Wachtrijtheorie

message: ==Kanttekeningen==
===Grootheden en definities===
De wachtrijtheorie zal systemen die formeel beschreven zijn, analyseren met behulp van enkele typisch wiskundige en statistische grootheden. Sommige eigenschappen zijn daarbij karakteristiek voor veel wachtrijen, andere hebben betrekking op specifieke gevallen.
>>>Wat betekent zo'n zin??
>>>>>>hmm, dit is uw versie/herformulering van deze zin... kijk ik straks even naar
>>>Ik wilde de oorspronkelijke zin, die ik helemaal niet begreep, niet direct wissen, en heb hem zo enigszins aangepast. Maar de vraag blijft.
Beschouw voor de verklaring van enkele grootheden een algemeen systeem van het type G|G|m. De tussenaankomsttijden en bedieningstijden hebben dus een algemene, niet nader gespecificeerde verdeling. Veronderstel bovendien dat deze onderling ook statistisch onafhankelijk zijn. Het systeem heeft m kanalen en de bedieningsstrategie is willekeurig. De volgende grootheden zijn algemeen kenmerkend voor de systemen in de wachtrijtheorie:
*C_{n} = de n-de klant die aankomt bij het systeem.
*\tau_{n} = het aankomsttijdstip van Cn waarbij \tau_{0} = 0.
*t_{n} = de tussenaankomsttijd tussen Cn-1 en Cn = \tau_{n} -  \tau_{n-1} , dus 
>>>Stochastische variabelen worden gebruikelijk met een hoofd letter genoteerd ter onderscheiding van hun waarden.
>>>>>>dit zijn hun waarden, namelijk de waarde op tijdstip n, vandaar.
>>>Helaas is het niet juist wat je zegt. Het is net zoals sommige progammeerjongens zeggen: een pointer is gewoon een adres. Wie het verschil niet ziet kan nog wel goed programmeren, maar geen artikelen erover schrijven.
>>>>>> toch is het wel juist, men voert de begrippen algemeen in, zonder de notie van een kansverdeling; maar gewoon enkele tijdstippen die men ahw opmeet. (ga aan een postloket staan, en noteer de tijdstippen waarop klanten toekomen bijvoorbeeld); uiteraard daarna in de theorie gaat dit een gekende kansverdeling zijn; maar voor algemene invoering wordt het niet zo opgebouwd (geen omgekeerde redenering maken) ;-)
>>>Je smiley helpt je hier niet. Het is een standaardprobleem bij theorie over toevalsverschijnselen. De meting levert een getal op, maar dit wordt opgevat als de realisaie van een stoch. var. zodat ook theorie geformuleerd kan worden. Wat zou anders P(tn<t) moeten betekenen?
t_{1} = \tau_{1}.
*x_{n} = de servicetijd die voor Cn nodig is.
>>Nu weer servicetijd.
>>>>>> teveel gerevert, klopt. Beide begrippen mogen echter naasteen vermeld worden wanneer ze de eerste keer worden vermeld in de tekst (kijk ik even na); kwestie van geen synoniemen te verzwijgen ;-)
Wanneer men aanneemt dat de tussenaankomsttijden i.i.d. zijn, dan kan men hun kansverdeling voorstellen door de cumulatieve distributie:
replies: text: A(t) = \operatorname{P}[t_{n}\leq t]
>>>Een kans is gewoon een funcie, waarom die []-haken?
>>>>>> foutje, verbeteren maar ;-) / correctie, geen foutje, maar overgenomen van een notatie van de vorm Prob[tn < t] , zie :en:Probability_distribution , sommigen noteren dat zo ipv met ronde haken (omdat prob niet echt een functie van 1 argument. 't is maar een notatie natuurlijk, [] of () worden allebei gebruikt
met de overeenkomende kansdichtheid
>>>bestaat die? En BTW, waarom erover gesproken??<
>>>>>> als aanvulling, vaak wordt deze gebruikt 
>>>Niet doen!!

text: a(t) = \frac{d}{dx}A(t)
>>>diferentieren naar t toch
>>>>>> idem, ik had eventjes te weinig tijd, mijn fout sorry :( Ik heb in dat stuk ietsje teveel gerevert in mijn "haast", had ik niet mogen doen
Stelt men een willekeurige tussenaankomsttijd voor door \tilde{t}, dan stelt men de gemiddelde waarde van deze tussenaankomsttijd vaak voor door:
>>>waar is die \tilde{t} voor nodig?
>>>welk gemiddelde is bedoeld? waarover wordt gemiddeld?
>>>>>> t_n zijn concrete waarden. t tilde is een variabele... 't is trouwens niet m'n eigen verzinsel, maar eentje uit de literatuur ;-) ''
>>>de invoering van die getilde t is onnodig complicerend in deze contekst

text: \operatorname{E}[\tilde{t}] = \frac{1}{\lambda}
>>>de relevante grootheid hier is λ, dus die voorop.
>>>>>>  OK, formulering omkeren kan, formule wordt wel quasi altijd zo ingevoerd; soms staan hele formules gewoon vol met 1/lambda, dus de breuk op zijn geheel zie je soms zelfs meer dan de lambda zelf ... beetje zoals de onduidelijkheid met parameters in sommige kansverdelingen ;-)
De grootheid \lambda noemt men de aankomstintensiteit, deze geeft het gemiddeld aantal aankomsten per tijdseenheid weer.
Wanneer men analoog de verwerkingstijden i.i.d. onderstelt, kan men hun cumulatieve distrubtiefunctie aanduiden als:
>>>Voor idd is de goed NLse term gelijkverdeeld
>>>>>>ah, geen idee. Ik ken enkel iid... identische en onafhankelijk... impliceert de term "gelijkverdeeld" ook onafhankelijk ?
>>>daar heb je een punt, maar in dit verband gaat het alleen om de gelijke verdeling
>>>>>> opeenvolgende tijden zijn onafhankelijk ook ;-)

text: B(x) = \operatorname{P}[x_{n}\leq x]
>>waarom nu een x ipv een t?
>>>>>>andere toevalsgrootheid, gebruik van andere letter (al is het slechts notatie) om onderscheid duidelijk te houden
>>>Toch is dit niet didactisch, omdat de suggestie gegeven wordt dat zoiets van belang is.
>>>>>> maakte het juist stukken duidelijker, anders mengt ge x'en met t's, en eenmaal ge in berekeningen beide gaat gebruiken (of gezamenlijke kansdichtheden) komt ge dan in de miserie
>>>Het spreken over x'en en t's is al verkeerd. Er valt nix te mixen.
>>>>>> wat is dat nu voor onzin ? IAT's worden constant met t-symbolen genoteerd, servicetijden met x-symbolen... als ge opeens t's gaat gebruiken maakt ge het al onduidelijk. Niks mixen ? Als ge dan kans berekent dat bij een M|M|1 de tweede aankomende klant bij aankomst moet wachten op service zit ge al met een integraal met beide distributies in, je gaat een leuke oplossing bekomen als je overal t's schrijft dan; om nu net in deze ene formule tegendraads te gaan doen door enkel daar een t te schrijven is al helemaal absurd
met de overeenkomende kansdichtheid
>>>bestaan?<<------------------------------------

text: b(x) = \frac{d}{dx}B(x)
Stelt men een willekeurige tussenaankomsttijd voor door \tilde{x}, dan stelt men de gemiddelde waarde van deze tussenaankomsttijd vaak voor door:

text: \operatorname{E}[\tilde{x}] = \frac{1}{\mu}
>>>Zie bij lambda
>>>>>>OK, goed, idem
De grootheid \mu noemt men de verwerkingsintensiteit, deze geeft het gemiddeld aantal klanten dat een server per tijdseenheid verwerkt indien deze bezig is.
Andere grootheden worden door de wachtrijtheorie afgeleid van deze ingangsvariabelen tn en xn. Enkele kunnen zijn:
>>>wat zijn ingangsvariabelen?
>>>>>> formulering ... tjah, wil eigenlijk uitdrukken dat de t_n en x_n variabelen zijn die vaak aan het systeem opgelegd kunnen worden, of die bepaald kunnen worden OF die het systeem bepalen. Bv. in een telefooncentrale: telefoonoproepen komen binnen (bepaalt de t_n), en worden verwerkt volgens een gekozen systeem (x_n)... andere variabelen zijn eigenlijk afgeleide eigenschappen. Op deze andere variabelen heeft men bv. geen rechtstreeks invloed... vgl het anders met een systeem uit de regeltechniek waar je ook enkele ingangsvariabelen in een systeem voert en er dan eigenschappen uit afleidt ;-) 
>>>Het gaat erom dat het systeem geheel daardoor beschreven wordt, en alle andere grootheden er in uitgedrukt kunnen worden.
* wn = de wachttijd van Cn, de tijd die een klant in de wachtrij doorbrengt
* sn = de systeemtijd van Cn, de tijd die een klant in het systeem doorbrengt. Voor elke klant is duidelijk dat sn = wn + xn.
Wanneer een systeem lange tijd in werking is, en de beginvoorwaarden voorbij zijn, kan na zekere tijd een regimetoestand bereikt 
>>>stationaire toestand?
>>>>>>liever woord regime... niet-stationaire bestaan trouwens ook
>>>Ik ken de term "regime" niet, mar vraag me af of niet hetzelfde als "stationair" bedoeld is. Wat bedoel je met Niet-stationair bestaat ook?? Bestaat niet-regime ook?
>>>>>>smijt het anders eens in google ;-)
>>>Smijt jij "stationaire toestand" maar es op Google.
worden, waarbij de wacht- en systeemtijden van een willekeurige klant aan een distributie zullen voldoen. Men kan deze tijd aanduiden met respectievelijke de toevalsgrootheden \tilde{w} en \tilde{w}, die volgende cumulatieve distributiefuncties bezitten:

text: W(y) = \operatorname{P}[\tilde{w} \leq y]  en S(y) = \operatorname{P}[\tilde{s} \leq y]
>>>wat verduidelijken deze formules eigenlijk??<<--------------------------------------
>>>>>>geven aanvullend gewoon een verdeling en gemiddelde. Als belangrijke basis in de theorie (en ook aanvullend eigenlijk omdat er vanuit nieuwe artikelen die nog eens op het programma staan naar te referen)
de gemiddelde waarden zijn dan

text: W = \operatorname{E}[\tilde{w}] en T = \operatorname{E}[\tilde{s}] ,
dus:
* W = de gemiddelde tijd die een klant doorbrengt in de wachtrij
* T = de gemiddelde tijd die een klant doorbrengt in het systeem
>>>waarover wordt toch gemiddeld????
>>>>>> aangezien het om toevalsgrootheden gaat: zie Verwachtingswaarde
>>>Ik denk dat het je gewoon niet meer opvalt dat veel mensen verkeerdelijk over "gemiddelde" spreken als ze "verwachting" bedoelen.
>>>>>> tjah, omdat de begrippen nu eenmaal tegeneen liggen hé. Bovendien worden wachtrijsystemen vaak niet volledig analystisch uitgewerkt, maar wel numeriek of gesimuleerd. Dan zijn het zelfs tijdsgemiddelden van meetresultaten. Maakt geen verschil uit in karakteristieken en resultaten van deze systemen. 
* N(t) = het aantal klanten dat aanwezig is in het systeem op het tijdstip t. Deze functie is een stochastisch proces.
>>>welke functie??
>>>>>> N in functie van t
>>>N is geen functie, N(t) eventueel wel!!
>>>>>> euh, wel ja , N(t) staat toch in het artikel ?
>>>Ook hier denk ik dat je de pointe mist. N is een afbeelding (functie) van [0,A]xΩ -> R,
maar dat werd vast niet bedoeld.
Bereikt het systeem een regimetoestand, dan wordt de verdeling van N(t) onafhankelijk van de precieze t-waarde, de limiettoevalsgrootheid is dan:
* N = de systeembevolking op een willekeurig tijdstip in regimetoestand, de gemiddelde waarde \bar{N} = \operatorname{E}[N] is het gemiddeld aantal klanten in het systeem.
* U(t) = de werkachterstand op tijdstip t, dit is te totale bedieningstijd die nog nodig is om het systeem vrij te maken van alle klanten die op dat tijdstip t aanwezig zijn. Indien U(t) > 0 is het systeem bezet, is U(t) = 0, dan is het systeem werkloos of ledig.
>>>>>>Samengevat, ik heb je bewoording in de eerste alinea niet gerevert eerder op de dag. Het stuk erronder had ik integraal even teruggezet, met als de bedoeling er nu even naar te kijken... ik had wat minder tijd vannamiddag ;-) Misschien had ik even goed kunnen wachten; anderzijds heb ik nu al respons van u. Een groot stuk van je opmerkingen hier zijn prima trouwens, en zijn gewoonweg typfoutjes of onduidelijke formuleringen van mij... ik probeer ze even te herwerken en een stuk van jouw edit terug te integreren. Misschien zijn mijn antwoorden hierboven soms ook nog niet heel goed, maar dit bewerkingskader leest niet zo gemakkelijk. Ik probeer eerst wat te verbeteren alleszins. --LimoWreck 12 mrt 2006 22:54 (CET)
===Stelling van Little===
Een fundementele resultaat in de wachtlijntheorie is de Stelling van Little, die luidt:

text: \bar{N} = \lambda \cdot T
>>>het is zeer overbodig de stelling te formuleren met N en T, het is voldoende in termen van verwachting te spreken.
Commentaar??Nijdam 12 mrt 2006 18:45 (CET)
>>>>>>>de stelling wordt quasi altijd geformuleerd als N = lambda T (ipv uitdrukking met E in), is bij velen zo visueel ingeprent denk ik ;-)
==discussie==
Ik zie dat hier al wat discussie heeft plaatsgevonden. Ik vind de ongenuanceerde revert van Limowreck niet op z'n plaats. Graag commentaar van Limowreck.Madyno 12 feb 2007 01:23 (CET)

text: de zaken niet omdraaien ;-) Je aanpassingen zijn ook niet becommentarieerd. Ik zag hier en daar schrappingen van termen en gebruikte defs, en de stelling van Little die in ongewonere vorm werd geplaatst etc. (PS: dit artikel is trouwens een basis voor een aantal andere (sommige moet ik nog eens schrijven), vandaar ook uitgebreide invoering van diverse defs (waarvan sommige overbodig kunnen lijken), omdat er naar wordt verwezen. Voor de rest: de terminologie, schrijfwijzen en invalshoeken worden gehaald uit enkele cursussen en artikelen in het domein) --LimoWreck 12 feb 2007 02:15 (CET)
Touché! Ik zal steeds in gedeelten een voorstel doen voor verbetering.
(Grootheden en definities)
===Terminologie===
Een wachtrijsysteem wordt formeel beschreven met enkele karakteristiek termen, zoals klant, aankomsttijd van de klant, zijn wachttijd, zijn bedieningsduur, enz. De hiermee gemoeid zijnde grootheden zijn gemeenschappelijk voor alle wachtsystemen. Hieronder volgt een opsomming van de belangrijkste termen, uitgaande van het algemene geval, dus een systeem van het type G|G|m. Dat wil immers zeggen dat over de onderliggende verdelingen geen veronderstellingen worden gemaakt en dat er een willekeurig aantal, met m aangegeven, loketten zijn.
De volgende grootheden zijn algemeen kenmerkend voor een wachtrijsysteem:
Madyno 12 feb 2007 23:18 (CET)
==Anonymus==
Ik zou eerst wel willen horen wat "FOUT" is en "onnauwkeurig".Madyno 30 mrt 2007 23:46 (CEST)
== Kendall ==
<begin kopie>

text: Ik kijk nog eens na of ik enkele van jouw taalcorrecties weer kan integreren, maar wees anders welkom om spel- en grammaticafoutjes er weer uit te halen :-) Groeten --LimoWreck 11 apr 2007 01:43 (CEST)
replies: text: :Reeds gedaan. :-) Maar het artikel loopt nog niet lekker, de Kendall-notatie staat er een beetje verloren bij.--Guido den Broeder 11 apr 2007 01:49 (CEST)
replies: text: ::Hmmm... tjah, maar ik weet niet meteen een beter alternatief. De notatie steunt op de begrippen die erboven worden ingevoerd, en wordt in de daarop volgende kopjes af en toe aangewend... Even checken :-) --LimoWreck 11 apr 2007 01:55 (CEST)
<einde kopie>
replies: text: :::Misschien in een aparte alinea er onder zitten bv, en indien nodig naar daar verwijzen dan? Of brengt dat de logische opbouw wat uit evenwicht...? --LimoWreck 11 apr 2007 01:55 (CEST)
Volgens mij is de gebruikelijke notatie met slashes (/) in plaats van bars (|). Dus bijv. M/M/1 in plaats van M|M|1. Ook in het originele artikel van Kendall 
(zie: Stochastic Processes Occurring in the Theory of Queues and their Analysis by the
Method of the Imbedded Markov Chain, David G. Kendall,The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 24, No. 3. (Sep., 1953), pp. 338-354.) gebruikt deze notatie. Sdommers 27 aug 2007 13:52 (CEST)
== Varianten ==
Hier nog wat interessante varianten op de wachtrij.
* De bedieningssnelheid is afhankelijk van de lengte van de rij.
* De snelkassa (afzonderlijke rij voor kleine klanten).
* Het front-office (voorsorteren).
* De beurs (zowel vragers als aanbieders vormen een rij).
* De markt (vragers en aanbieders moeten elkaar eerst vinden).--Guido den Broeder 11 apr 2007 02:02 (CEST)

text: Misschien iets om op te nemen met een kort woordje uitleg in het kopje "Toepassingen"? Al is de modelering van die laatste puntjes alweer heel wat anders ;-) --LimoWreck 11 apr 2007 02:07 (CEST)
thread_title: Overlegpagina deel 1

message: ===Grootheden en definities===
De wachtrijtheorie zal systemen die formeel beschreven zijn, analyseren met behulp van enkele typisch wiskundige en statistische grootheden. Sommige eigenschappen zijn daarbij karakteristiek voor veel wachtrijen, andere hebben betrekking op specifieke gevallen.
>>>Wat betekent zo'n zin??
>>>>>>hmm, dit is uw versie/herformulering van deze zin... kijk ik straks even naar
>>>Ik wilde de oorspronkelijke zin, die ik helemaal niet begreep, niet direct wissen, en heb hem zo enigszins aangepast. Maar de vraag blijft.
Beschouw voor de verklaring van enkele grootheden een algemeen systeem van het type G|G|m. De tussenaankomsttijden en bedieningstijden hebben dus een algemene, niet nader gespecificeerde verdeling. Veronderstel bovendien dat deze onderling ook statistisch onafhankelijk zijn. Het systeem heeft m kanalen en de bedieningsstrategie is willekeurig. De volgende grootheden zijn algemeen kenmerkend voor de systemen in de wachtrijtheorie:
*C_{n} = de n-de klant die aankomt bij het systeem.
*\tau_{n} = het aankomsttijdstip van Cn waarbij \tau_{0} = 0.
*t_{n} = de tussenaankomsttijd tussen Cn-1 en Cn = \tau_{n} -  \tau_{n-1} , dus 
>>>Stochastische variabelen worden gebruikelijk met een hoofd letter genoteerd ter onderscheiding van hun waarden.
>>>>>>dit zijn hun waarden, namelijk de waarde op tijdstip n, vandaar.
>>>Helaas is het niet juist wat je zegt. Het is net zoals sommige progammeerjongens zeggen: een pointer is gewoon een adres. Wie het verschil niet ziet kan nog wel goed programmeren, maar geen artikelen erover schrijven.
>>>>>> toch is het wel juist, men voert de begrippen algemeen in, zonder de notie van een kansverdeling; maar gewoon enkele tijdstippen die men ahw opmeet. (ga aan een postloket staan, en noteer de tijdstippen waarop klanten toekomen bijvoorbeeld); uiteraard daarna in de theorie gaat dit een gekende kansverdeling zijn; maar voor algemene invoering wordt het niet zo opgebouwd (geen omgekeerde redenering maken) ;-)
>>>Je smiley helpt je hier niet. Het is een standaardprobleem bij theorie over toevalsverschijnselen. De meting levert een getal op, maar dit wordt opgevat als de realisaie van een stoch. var. zodat ook theorie geformuleerd kan worden. Wat zou anders P(tn<t) moeten betekenen?
t_{1} = \tau_{1}.
*x_{n} = de servicetijd die voor Cn nodig is.
>>Nu weer servicetijd.
>>>>>> teveel gerevert, klopt. Beide begrippen mogen echter naasteen vermeld worden wanneer ze de eerste keer worden vermeld in de tekst (kijk ik even na); kwestie van geen synoniemen te verzwijgen ;-)
Wanneer men aanneemt dat de tussenaankomsttijden i.i.d. zijn, dan kan men hun kansverdeling voorstellen door de cumulatieve distributie:
replies: text: A(t) = \operatorname{P}[t_{n}\leq t]
>>>Een kans is gewoon een funcie, waarom die []-haken?
>>>>>> foutje, verbeteren maar ;-) / correctie, geen foutje, maar overgenomen van een notatie van de vorm Prob[tn < t] , zie :en:Probability_distribution , sommigen noteren dat zo ipv met ronde haken (omdat prob niet echt een functie van 1 argument. 't is maar een notatie natuurlijk, [] of () worden allebei gebruikt
met de overeenkomende kansdichtheid
>>>bestaat die? En BTW, waarom erover gesproken??<
>>>>>> als aanvulling, vaak wordt deze gebruikt 
>>>Niet doen!!

text: a(t) = \frac{d}{dx}A(t)
>>>diferentieren naar t toch
>>>>>> idem, ik had eventjes te weinig tijd, mijn fout sorry :( Ik heb in dat stuk ietsje teveel gerevert in mijn "haast", had ik niet mogen doen
Stelt men een willekeurige tussenaankomsttijd voor door \tilde{t}, dan stelt men de gemiddelde waarde van deze tussenaankomsttijd vaak voor door:
>>>waar is die \tilde{t} voor nodig?
>>>welk gemiddelde is bedoeld? waarover wordt gemiddeld?
>>>>>> t_n zijn concrete waarden. t tilde is een variabele... 't is trouwens niet m'n eigen verzinsel, maar eentje uit de literatuur ;-) ''
>>>de invoering van die getilde t is onnodig complicerend in deze contekst

text: \operatorname{E}[\tilde{t}] = \frac{1}{\lambda}
>>>de relevante grootheid hier is λ, dus die voorop.
>>>>>>  OK, formulering omkeren kan, formule wordt wel quasi altijd zo ingevoerd; soms staan hele formules gewoon vol met 1/lambda, dus de breuk op zijn geheel zie je soms zelfs meer dan de lambda zelf ... beetje zoals de onduidelijkheid met parameters in sommige kansverdelingen ;-)
De grootheid \lambda noemt men de aankomstintensiteit, deze geeft het gemiddeld aantal aankomsten per tijdseenheid weer.
Wanneer men analoog de verwerkingstijden i.i.d. onderstelt, kan men hun cumulatieve distrubtiefunctie aanduiden als:
>>>Voor idd is de goed NLse term gelijkverdeeld
>>>>>>ah, geen idee. Ik ken enkel iid... identische en onafhankelijk... impliceert de term "gelijkverdeeld" ook onafhankelijk ?
>>>daar heb je een punt, maar in dit verband gaat het alleen om de gelijke verdeling
>>>>>> opeenvolgende tijden zijn onafhankelijk ook ;-)

text: B(x) = \operatorname{P}[x_{n}\leq x]
>>waarom nu een x ipv een t?
>>>>>>andere toevalsgrootheid, gebruik van andere letter (al is het slechts notatie) om onderscheid duidelijk te houden
>>>Toch is dit niet didactisch, omdat de suggestie gegeven wordt dat zoiets van belang is.
>>>>>> maakte het juist stukken duidelijker, anders mengt ge x'en met t's, en eenmaal ge in berekeningen beide gaat gebruiken (of gezamenlijke kansdichtheden) komt ge dan in de miserie
>>>Het spreken over x'en en t's is al verkeerd. Er valt nix te mixen.
>>>>>> wat is dat nu voor onzin ? IAT's worden constant met t-symbolen genoteerd, servicetijden met x-symbolen... als ge opeens t's gaat gebruiken maakt ge het al onduidelijk. Niks mixen ? Als ge dan kans berekent dat bij een M|M|1 de tweede aankomende klant bij aankomst moet wachten op service zit ge al met een integraal met beide distributies in, je gaat een leuke oplossing bekomen als je overal t's schrijft dan; om nu net in deze ene formule tegendraads te gaan doen door enkel daar een t te schrijven is al helemaal absurd
met de overeenkomende kansdichtheid
>>>bestaan?<<------------------------------------

text: b(x) = \frac{d}{dx}B(x)
Stelt men een willekeurige tussenaankomsttijd voor door \tilde{x}, dan stelt men de gemiddelde waarde van deze tussenaankomsttijd vaak voor door:

text: \operatorname{E}[\tilde{x}] = \frac{1}{\mu}
>>>Zie bij lambda
>>>>>>OK, goed, idem
De grootheid \mu noemt men de verwerkingsintensiteit, deze geeft het gemiddeld aantal klanten dat een server per tijdseenheid verwerkt indien deze bezig is.
Andere grootheden worden door de wachtrijtheorie afgeleid van deze ingangsvariabelen tn en xn. Enkele kunnen zijn:
>>>wat zijn ingangsvariabelen?
>>>>>> formulering ... tjah, wil eigenlijk uitdrukken dat de t_n en x_n variabelen zijn die vaak aan het systeem opgelegd kunnen worden, of die bepaald kunnen worden OF die het systeem bepalen. Bv. in een telefooncentrale: telefoonoproepen komen binnen (bepaalt de t_n), en worden verwerkt volgens een gekozen systeem (x_n)... andere variabelen zijn eigenlijk afgeleide eigenschappen. Op deze andere variabelen heeft men bv. geen rechtstreeks invloed... vgl het anders met een systeem uit de regeltechniek waar je ook enkele ingangsvariabelen in een systeem voert en er dan eigenschappen uit afleidt ;-) 
>>>Het gaat erom dat het systeem geheel daardoor beschreven wordt, en alle andere grootheden er in uitgedrukt kunnen worden.
* wn = de wachttijd van Cn, de tijd die een klant in de wachtrij doorbrengt
* sn = de systeemtijd van Cn, de tijd die een klant in het systeem doorbrengt. Voor elke klant is duidelijk dat sn = wn + xn.
Wanneer een systeem lange tijd in werking is, en de beginvoorwaarden voorbij zijn, kan na zekere tijd een regimetoestand bereikt 
>>>stationaire toestand?
>>>>>>liever woord regime... niet-stationaire bestaan trouwens ook
>>>Ik ken de term "regime" niet, mar vraag me af of niet hetzelfde als "stationair" bedoeld is. Wat bedoel je met Niet-stationair bestaat ook?? Bestaat niet-regime ook?
>>>>>>smijt het anders eens in google ;-)
>>>Smijt jij "stationaire toestand" maar es op Google.
worden, waarbij de wacht- en systeemtijden van een willekeurige klant aan een distributie zullen voldoen. Men kan deze tijd aanduiden met respectievelijke de toevalsgrootheden \tilde{w} en \tilde{w}, die volgende cumulatieve distributiefuncties bezitten:

text: W(y) = \operatorname{P}[\tilde{w} \leq y]  en S(y) = \operatorname{P}[\tilde{s} \leq y]
>>>wat verduidelijken deze formules eigenlijk??<<--------------------------------------
>>>>>>geven aanvullend gewoon een verdeling en gemiddelde. Als belangrijke basis in de theorie (en ook aanvullend eigenlijk omdat er vanuit nieuwe artikelen die nog eens op het programma staan naar te referen)
de gemiddelde waarden zijn dan

text: W = \operatorname{E}[\tilde{w}] en T = \operatorname{E}[\tilde{s}] ,
dus:
* W = de gemiddelde tijd die een klant doorbrengt in de wachtrij
* T = de gemiddelde tijd die een klant doorbrengt in het systeem
>>>waarover wordt toch gemiddeld????
>>>>>> aangezien het om toevalsgrootheden gaat: zie Verwachtingswaarde
>>>Ik denk dat het je gewoon niet meer opvalt dat veel mensen verkeerdelijk over "gemiddelde" spreken als ze "verwachting" bedoelen.
>>>>>> tjah, omdat de begrippen nu eenmaal tegeneen liggen hé. Bovendien worden wachtrijsystemen vaak niet volledig analystisch uitgewerkt, maar wel numeriek of gesimuleerd. Dan zijn het zelfs tijdsgemiddelden van meetresultaten. Maakt geen verschil uit in karakteristieken en resultaten van deze systemen. 
* N(t) = het aantal klanten dat aanwezig is in het systeem op het tijdstip t. Deze functie is een stochastisch proces.
>>>welke functie??
>>>>>> N in functie van t
>>>N is geen functie, N(t) eventueel wel!!
>>>>>> euh, wel ja , N(t) staat toch in het artikel ?
>>>Ook hier denk ik dat je de pointe mist. N is een afbeelding (functie) van [0,A]xΩ -> R,
maar dat werd vast niet bedoeld.
Bereikt het systeem een regimetoestand, dan wordt de verdeling van N(t) onafhankelijk van de precieze t-waarde, de limiettoevalsgrootheid is dan:
* N = de systeembevolking op een willekeurig tijdstip in regimetoestand, de gemiddelde waarde \bar{N} = \operatorname{E}[N] is het gemiddeld aantal klanten in het systeem.
* U(t) = de werkachterstand op tijdstip t, dit is te totale bedieningstijd die nog nodig is om het systeem vrij te maken van alle klanten die op dat tijdstip t aanwezig zijn. Indien U(t) > 0 is het systeem bezet, is U(t) = 0, dan is het systeem werkloos of ledig.
>>>>>>Samengevat, ik heb je bewoording in de eerste alinea niet gerevert eerder op de dag. Het stuk erronder had ik integraal even teruggezet, met als de bedoeling er nu even naar te kijken... ik had wat minder tijd vannamiddag ;-) Misschien had ik even goed kunnen wachten; anderzijds heb ik nu al respons van u. Een groot stuk van je opmerkingen hier zijn prima trouwens, en zijn gewoonweg typfoutjes of onduidelijke formuleringen van mij... ik probeer ze even te herwerken en een stuk van jouw edit terug te integreren. Misschien zijn mijn antwoorden hierboven soms ook nog niet heel goed, maar dit bewerkingskader leest niet zo gemakkelijk. Ik probeer eerst wat te verbeteren alleszins. --LimoWreck 12 mrt 2006 22:54 (CET)
===Stelling van Little===
Een fundementele resultaat in de wachtlijntheorie is de Stelling van Little, die luidt:

text: \bar{N} = \lambda \cdot T
>>>het is zeer overbodig de stelling te formuleren met N en T, het is voldoende in termen van verwachting te spreken.
Commentaar??Nijdam 12 mrt 2006 18:45 (CET)
>>>>>>>de stelling wordt quasi altijd geformuleerd als N = lambda T (ipv uitdrukking met E in), is bij velen zo visueel ingeprent denk ik ;-)
thread_title: Kanttekeningen

message: De wachtrijtheorie zal systemen die formeel beschreven zijn, analyseren met behulp van enkele typisch wiskundige en statistische grootheden. Sommige eigenschappen zijn daarbij karakteristiek voor veel wachtrijen, andere hebben betrekking op specifieke gevallen.
>>>Wat betekent zo'n zin??
>>>>>>hmm, dit is uw versie/herformulering van deze zin... kijk ik straks even naar
>>>Ik wilde de oorspronkelijke zin, die ik helemaal niet begreep, niet direct wissen, en heb hem zo enigszins aangepast. Maar de vraag blijft.
Beschouw voor de verklaring van enkele grootheden een algemeen systeem van het type G|G|m. De tussenaankomsttijden en bedieningstijden hebben dus een algemene, niet nader gespecificeerde verdeling. Veronderstel bovendien dat deze onderling ook statistisch onafhankelijk zijn. Het systeem heeft m kanalen en de bedieningsstrategie is willekeurig. De volgende grootheden zijn algemeen kenmerkend voor de systemen in de wachtrijtheorie:
*C_{n} = de n-de klant die aankomt bij het systeem.
*\tau_{n} = het aankomsttijdstip van Cn waarbij \tau_{0} = 0.
*t_{n} = de tussenaankomsttijd tussen Cn-1 en Cn = \tau_{n} -  \tau_{n-1} , dus 
>>>Stochastische variabelen worden gebruikelijk met een hoofd letter genoteerd ter onderscheiding van hun waarden.
>>>>>>dit zijn hun waarden, namelijk de waarde op tijdstip n, vandaar.
>>>Helaas is het niet juist wat je zegt. Het is net zoals sommige progammeerjongens zeggen: een pointer is gewoon een adres. Wie het verschil niet ziet kan nog wel goed programmeren, maar geen artikelen erover schrijven.
>>>>>> toch is het wel juist, men voert de begrippen algemeen in, zonder de notie van een kansverdeling; maar gewoon enkele tijdstippen die men ahw opmeet. (ga aan een postloket staan, en noteer de tijdstippen waarop klanten toekomen bijvoorbeeld); uiteraard daarna in de theorie gaat dit een gekende kansverdeling zijn; maar voor algemene invoering wordt het niet zo opgebouwd (geen omgekeerde redenering maken) ;-)
>>>Je smiley helpt je hier niet. Het is een standaardprobleem bij theorie over toevalsverschijnselen. De meting levert een getal op, maar dit wordt opgevat als de realisaie van een stoch. var. zodat ook theorie geformuleerd kan worden. Wat zou anders P(tn<t) moeten betekenen?
t_{1} = \tau_{1}.
*x_{n} = de servicetijd die voor Cn nodig is.
>>Nu weer servicetijd.
>>>>>> teveel gerevert, klopt. Beide begrippen mogen echter naasteen vermeld worden wanneer ze de eerste keer worden vermeld in de tekst (kijk ik even na); kwestie van geen synoniemen te verzwijgen ;-)
Wanneer men aanneemt dat de tussenaankomsttijden i.i.d. zijn, dan kan men hun kansverdeling voorstellen door de cumulatieve distributie:
replies: text: A(t) = \operatorname{P}[t_{n}\leq t]
>>>Een kans is gewoon een funcie, waarom die []-haken?
>>>>>> foutje, verbeteren maar ;-) / correctie, geen foutje, maar overgenomen van een notatie van de vorm Prob[tn < t] , zie :en:Probability_distribution , sommigen noteren dat zo ipv met ronde haken (omdat prob niet echt een functie van 1 argument. 't is maar een notatie natuurlijk, [] of () worden allebei gebruikt
met de overeenkomende kansdichtheid
>>>bestaat die? En BTW, waarom erover gesproken??<
>>>>>> als aanvulling, vaak wordt deze gebruikt 
>>>Niet doen!!

text: a(t) = \frac{d}{dx}A(t)
>>>diferentieren naar t toch
>>>>>> idem, ik had eventjes te weinig tijd, mijn fout sorry :( Ik heb in dat stuk ietsje teveel gerevert in mijn "haast", had ik niet mogen doen
Stelt men een willekeurige tussenaankomsttijd voor door \tilde{t}, dan stelt men de gemiddelde waarde van deze tussenaankomsttijd vaak voor door:
>>>waar is die \tilde{t} voor nodig?
>>>welk gemiddelde is bedoeld? waarover wordt gemiddeld?
>>>>>> t_n zijn concrete waarden. t tilde is een variabele... 't is trouwens niet m'n eigen verzinsel, maar eentje uit de literatuur ;-) ''
>>>de invoering van die getilde t is onnodig complicerend in deze contekst

text: \operatorname{E}[\tilde{t}] = \frac{1}{\lambda}
>>>de relevante grootheid hier is λ, dus die voorop.
>>>>>>  OK, formulering omkeren kan, formule wordt wel quasi altijd zo ingevoerd; soms staan hele formules gewoon vol met 1/lambda, dus de breuk op zijn geheel zie je soms zelfs meer dan de lambda zelf ... beetje zoals de onduidelijkheid met parameters in sommige kansverdelingen ;-)
De grootheid \lambda noemt men de aankomstintensiteit, deze geeft het gemiddeld aantal aankomsten per tijdseenheid weer.
Wanneer men analoog de verwerkingstijden i.i.d. onderstelt, kan men hun cumulatieve distrubtiefunctie aanduiden als:
>>>Voor idd is de goed NLse term gelijkverdeeld
>>>>>>ah, geen idee. Ik ken enkel iid... identische en onafhankelijk... impliceert de term "gelijkverdeeld" ook onafhankelijk ?
>>>daar heb je een punt, maar in dit verband gaat het alleen om de gelijke verdeling
>>>>>> opeenvolgende tijden zijn onafhankelijk ook ;-)

text: B(x) = \operatorname{P}[x_{n}\leq x]
>>waarom nu een x ipv een t?
>>>>>>andere toevalsgrootheid, gebruik van andere letter (al is het slechts notatie) om onderscheid duidelijk te houden
>>>Toch is dit niet didactisch, omdat de suggestie gegeven wordt dat zoiets van belang is.
>>>>>> maakte het juist stukken duidelijker, anders mengt ge x'en met t's, en eenmaal ge in berekeningen beide gaat gebruiken (of gezamenlijke kansdichtheden) komt ge dan in de miserie
>>>Het spreken over x'en en t's is al verkeerd. Er valt nix te mixen.
>>>>>> wat is dat nu voor onzin ? IAT's worden constant met t-symbolen genoteerd, servicetijden met x-symbolen... als ge opeens t's gaat gebruiken maakt ge het al onduidelijk. Niks mixen ? Als ge dan kans berekent dat bij een M|M|1 de tweede aankomende klant bij aankomst moet wachten op service zit ge al met een integraal met beide distributies in, je gaat een leuke oplossing bekomen als je overal t's schrijft dan; om nu net in deze ene formule tegendraads te gaan doen door enkel daar een t te schrijven is al helemaal absurd
met de overeenkomende kansdichtheid
>>>bestaan?<<------------------------------------

text: b(x) = \frac{d}{dx}B(x)
Stelt men een willekeurige tussenaankomsttijd voor door \tilde{x}, dan stelt men de gemiddelde waarde van deze tussenaankomsttijd vaak voor door:

text: \operatorname{E}[\tilde{x}] = \frac{1}{\mu}
>>>Zie bij lambda
>>>>>>OK, goed, idem
De grootheid \mu noemt men de verwerkingsintensiteit, deze geeft het gemiddeld aantal klanten dat een server per tijdseenheid verwerkt indien deze bezig is.
Andere grootheden worden door de wachtrijtheorie afgeleid van deze ingangsvariabelen tn en xn. Enkele kunnen zijn:
>>>wat zijn ingangsvariabelen?
>>>>>> formulering ... tjah, wil eigenlijk uitdrukken dat de t_n en x_n variabelen zijn die vaak aan het systeem opgelegd kunnen worden, of die bepaald kunnen worden OF die het systeem bepalen. Bv. in een telefooncentrale: telefoonoproepen komen binnen (bepaalt de t_n), en worden verwerkt volgens een gekozen systeem (x_n)... andere variabelen zijn eigenlijk afgeleide eigenschappen. Op deze andere variabelen heeft men bv. geen rechtstreeks invloed... vgl het anders met een systeem uit de regeltechniek waar je ook enkele ingangsvariabelen in een systeem voert en er dan eigenschappen uit afleidt ;-) 
>>>Het gaat erom dat het systeem geheel daardoor beschreven wordt, en alle andere grootheden er in uitgedrukt kunnen worden.
* wn = de wachttijd van Cn, de tijd die een klant in de wachtrij doorbrengt
* sn = de systeemtijd van Cn, de tijd die een klant in het systeem doorbrengt. Voor elke klant is duidelijk dat sn = wn + xn.
Wanneer een systeem lange tijd in werking is, en de beginvoorwaarden voorbij zijn, kan na zekere tijd een regimetoestand bereikt 
>>>stationaire toestand?
>>>>>>liever woord regime... niet-stationaire bestaan trouwens ook
>>>Ik ken de term "regime" niet, mar vraag me af of niet hetzelfde als "stationair" bedoeld is. Wat bedoel je met Niet-stationair bestaat ook?? Bestaat niet-regime ook?
>>>>>>smijt het anders eens in google ;-)
>>>Smijt jij "stationaire toestand" maar es op Google.
worden, waarbij de wacht- en systeemtijden van een willekeurige klant aan een distributie zullen voldoen. Men kan deze tijd aanduiden met respectievelijke de toevalsgrootheden \tilde{w} en \tilde{w}, die volgende cumulatieve distributiefuncties bezitten:

text: W(y) = \operatorname{P}[\tilde{w} \leq y]  en S(y) = \operatorname{P}[\tilde{s} \leq y]
>>>wat verduidelijken deze formules eigenlijk??<<--------------------------------------
>>>>>>geven aanvullend gewoon een verdeling en gemiddelde. Als belangrijke basis in de theorie (en ook aanvullend eigenlijk omdat er vanuit nieuwe artikelen die nog eens op het programma staan naar te referen)
de gemiddelde waarden zijn dan

text: W = \operatorname{E}[\tilde{w}] en T = \operatorname{E}[\tilde{s}] ,
dus:
* W = de gemiddelde tijd die een klant doorbrengt in de wachtrij
* T = de gemiddelde tijd die een klant doorbrengt in het systeem
>>>waarover wordt toch gemiddeld????
>>>>>> aangezien het om toevalsgrootheden gaat: zie Verwachtingswaarde
>>>Ik denk dat het je gewoon niet meer opvalt dat veel mensen verkeerdelijk over "gemiddelde" spreken als ze "verwachting" bedoelen.
>>>>>> tjah, omdat de begrippen nu eenmaal tegeneen liggen hé. Bovendien worden wachtrijsystemen vaak niet volledig analystisch uitgewerkt, maar wel numeriek of gesimuleerd. Dan zijn het zelfs tijdsgemiddelden van meetresultaten. Maakt geen verschil uit in karakteristieken en resultaten van deze systemen. 
* N(t) = het aantal klanten dat aanwezig is in het systeem op het tijdstip t. Deze functie is een stochastisch proces.
>>>welke functie??
>>>>>> N in functie van t
>>>N is geen functie, N(t) eventueel wel!!
>>>>>> euh, wel ja , N(t) staat toch in het artikel ?
>>>Ook hier denk ik dat je de pointe mist. N is een afbeelding (functie) van [0,A]xΩ -> R,
maar dat werd vast niet bedoeld.
Bereikt het systeem een regimetoestand, dan wordt de verdeling van N(t) onafhankelijk van de precieze t-waarde, de limiettoevalsgrootheid is dan:
* N = de systeembevolking op een willekeurig tijdstip in regimetoestand, de gemiddelde waarde \bar{N} = \operatorname{E}[N] is het gemiddeld aantal klanten in het systeem.
* U(t) = de werkachterstand op tijdstip t, dit is te totale bedieningstijd die nog nodig is om het systeem vrij te maken van alle klanten die op dat tijdstip t aanwezig zijn. Indien U(t) > 0 is het systeem bezet, is U(t) = 0, dan is het systeem werkloos of ledig.
>>>>>>Samengevat, ik heb je bewoording in de eerste alinea niet gerevert eerder op de dag. Het stuk erronder had ik integraal even teruggezet, met als de bedoeling er nu even naar te kijken... ik had wat minder tijd vannamiddag ;-) Misschien had ik even goed kunnen wachten; anderzijds heb ik nu al respons van u. Een groot stuk van je opmerkingen hier zijn prima trouwens, en zijn gewoonweg typfoutjes of onduidelijke formuleringen van mij... ik probeer ze even te herwerken en een stuk van jouw edit terug te integreren. Misschien zijn mijn antwoorden hierboven soms ook nog niet heel goed, maar dit bewerkingskader leest niet zo gemakkelijk. Ik probeer eerst wat te verbeteren alleszins. --LimoWreck 12 mrt 2006 22:54 (CET)
thread_title: Grootheden en definities

message: Een fundementele resultaat in de wachtlijntheorie is de Stelling van Little, die luidt:
replies: text: \bar{N} = \lambda \cdot T
>>>het is zeer overbodig de stelling te formuleren met N en T, het is voldoende in termen van verwachting te spreken.
Commentaar??Nijdam 12 mrt 2006 18:45 (CET)
>>>>>>>de stelling wordt quasi altijd geformuleerd als N = lambda T (ipv uitdrukking met E in), is bij velen zo visueel ingeprent denk ik ;-)
thread_title: Stelling van Little

message: Ik zie dat hier al wat discussie heeft plaatsgevonden. Ik vind de ongenuanceerde revert van Limowreck niet op z'n plaats. Graag commentaar van Limowreck.Madyno 12 feb 2007 01:23 (CET)
replies: text: de zaken niet omdraaien ;-) Je aanpassingen zijn ook niet becommentarieerd. Ik zag hier en daar schrappingen van termen en gebruikte defs, en de stelling van Little die in ongewonere vorm werd geplaatst etc. (PS: dit artikel is trouwens een basis voor een aantal andere (sommige moet ik nog eens schrijven), vandaar ook uitgebreide invoering van diverse defs (waarvan sommige overbodig kunnen lijken), omdat er naar wordt verwezen. Voor de rest: de terminologie, schrijfwijzen en invalshoeken worden gehaald uit enkele cursussen en artikelen in het domein) --LimoWreck 12 feb 2007 02:15 (CET)
Touché! Ik zal steeds in gedeelten een voorstel doen voor verbetering.
(Grootheden en definities)
===Terminologie===
Een wachtrijsysteem wordt formeel beschreven met enkele karakteristiek termen, zoals klant, aankomsttijd van de klant, zijn wachttijd, zijn bedieningsduur, enz. De hiermee gemoeid zijnde grootheden zijn gemeenschappelijk voor alle wachtsystemen. Hieronder volgt een opsomming van de belangrijkste termen, uitgaande van het algemene geval, dus een systeem van het type G|G|m. Dat wil immers zeggen dat over de onderliggende verdelingen geen veronderstellingen worden gemaakt en dat er een willekeurig aantal, met m aangegeven, loketten zijn.
De volgende grootheden zijn algemeen kenmerkend voor een wachtrijsysteem:
Madyno 12 feb 2007 23:18 (CET)
thread_title: discussie

message: Een wachtrijsysteem wordt formeel beschreven met enkele karakteristiek termen, zoals klant, aankomsttijd van de klant, zijn wachttijd, zijn bedieningsduur, enz. De hiermee gemoeid zijnde grootheden zijn gemeenschappelijk voor alle wachtsystemen. Hieronder volgt een opsomming van de belangrijkste termen, uitgaande van het algemene geval, dus een systeem van het type G|G|m. Dat wil immers zeggen dat over de onderliggende verdelingen geen veronderstellingen worden gemaakt en dat er een willekeurig aantal, met m aangegeven, loketten zijn.
De volgende grootheden zijn algemeen kenmerkend voor een wachtrijsysteem:
Madyno 12 feb 2007 23:18 (CET)
thread_title: Terminologie

message: Ik zou eerst wel willen horen wat "FOUT" is en "onnauwkeurig".Madyno 30 mrt 2007 23:46 (CEST)
thread_title: Anonymus

message: <begin kopie>
replies: text: Ik kijk nog eens na of ik enkele van jouw taalcorrecties weer kan integreren, maar wees anders welkom om spel- en grammaticafoutjes er weer uit te halen :-) Groeten --LimoWreck 11 apr 2007 01:43 (CEST)
replies: text: :Reeds gedaan. :-) Maar het artikel loopt nog niet lekker, de Kendall-notatie staat er een beetje verloren bij.--Guido den Broeder 11 apr 2007 01:49 (CEST)
replies: text: ::Hmmm... tjah, maar ik weet niet meteen een beter alternatief. De notatie steunt op de begrippen die erboven worden ingevoerd, en wordt in de daarop volgende kopjes af en toe aangewend... Even checken :-) --LimoWreck 11 apr 2007 01:55 (CEST)
<einde kopie>
replies: text: :::Misschien in een aparte alinea er onder zitten bv, en indien nodig naar daar verwijzen dan? Of brengt dat de logische opbouw wat uit evenwicht...? --LimoWreck 11 apr 2007 01:55 (CEST)
Volgens mij is de gebruikelijke notatie met slashes (/) in plaats van bars (|). Dus bijv. M/M/1 in plaats van M|M|1. Ook in het originele artikel van Kendall 
(zie: Stochastic Processes Occurring in the Theory of Queues and their Analysis by the
Method of the Imbedded Markov Chain, David G. Kendall,The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 24, No. 3. (Sep., 1953), pp. 338-354.) gebruikt deze notatie. Sdommers 27 aug 2007 13:52 (CEST)
thread_title:  Kendall 

message: Hier nog wat interessante varianten op de wachtrij.
* De bedieningssnelheid is afhankelijk van de lengte van de rij.
* De snelkassa (afzonderlijke rij voor kleine klanten).
* Het front-office (voorsorteren).
* De beurs (zowel vragers als aanbieders vormen een rij).
* De markt (vragers en aanbieders moeten elkaar eerst vinden).--Guido den Broeder 11 apr 2007 02:02 (CEST)
replies: text: Misschien iets om op te nemen met een kort woordje uitleg in het kopje "Toepassingen"? Al is de modelering van die laatste puntjes alweer heel wat anders ;-) --LimoWreck 11 apr 2007 02:07 (CEST)
thread_title:  Varianten 

message: De onderstaande tekst kan blijkbaar geen genade vinden bij sommige auteurs. Daarom zou ik voor we over de tekst die er nu staat discussieren, eerst willen weten wat aan deze tekst problematiscg is.
==Terminologie==
===Aankomsttijd===
Het tijdstip waarop klant n het systeem binnenkomt wordt aangegeven met τn. De tijdstippen van aankomst van klanten worden meestal beschreven door de hieronder staande tussenaankomsttijden.
replies: text: Wel Nijdam, dat staat er dus effectief in 
===Tussenaankomsttijd===
De tijd tussen de aankomst van klant n-1 en n heet de tussenaankomsttijd T_n:

text: T_n=\tau_n-\tau_{n-1}\,
Vrij algemeen wordt verondersteld dat de tussenaankomsttijden onderling onafhankelijke en gelijk verdeelde toevalsvariabelen zijn.

text: definitie staat er in, en ook de kansverdeling, míts deze bestaat (in eenvoudige systemen) --LimoWreck 11 apr 2007 19:08 (CEST)
===Bedieningsduur===
De tijd die nodig is om klant n  te bedienen heet de bedieningsduur X_n. Ook van de bedieningsduren wordt vrij algemeen verondersteld at zij onderling onafhankelijke en gelijk verdeelde toevalsvariabelen zijn.

text: Staat er eveneens in, met de kansverdeling míts deze te definiëren is. "Vrij algemeen" is vrij algemeen vaag. 
===Verdelingen===
Naast het aantal loketten (kanalen, bedienden), de buffergrootte en de wachtrijdiscipline, bepalen de verdelingen van de tussenaankomsttijden en de bedieningsduren het wachtsysteem.

text: idem 
===Wachttijd===
Een belangrijke grootheid is de tijd die een klant moet wachten tot hij bediend wrordt. De wachttijd van klant n wordt aangegeven met W_n. Als er een loket vrij is, kan hij direct bediend worden, anders moet hij wachten tot er een loket vrij komt.

text: Staat er eveneens in
Bij een systeem met 1 loket, onbeperkte buffer en FIFO rijdiscipline geldt:

text: W_n=[W_{n-1}+X_{n-1}-T_n]^+\,
replies: text: :Is een wel érg specifiek en simpel geval. Kán er bij, maar dan kan men alles gaan doorspekken met de eenvoudige formules van de typische triviale gevallen... zal het ook niet duidelijker maken vrees ik. Eventueel zou een artikel (of een Wikibooks artikel!) kunnen met enkele eenvoudige voorbeelden die wiskundige wel kunnen uitgewerkt worden
===Systeemtijd=== 
Interessant is ook de totale tijd die klant n in het systeem coorbrengt. Dit heet de systeemtijd S_n. Er geldt:

text: S_n=W_n+X_n.\,
replies: text: :staat er eveneens in
===Lange duur===
na verloop van enige tijd zal een wachtrijsysteem (bij benadering) in een stationaire toestand komen. De verdeling van de wachttijd van een klant zal niet veel meer veranderen. De limietverdeling wordt aangeduid als de stationaire wachttijdverdeling en de bijbehorende wachttijd met \tilde W\,

text: Regime staat er eveneens in; mits het nu stationair wordt of complexer weliswaar, met de bijhorende gemiddelden
===Systeembevolking===
Als het systeem in een stationaire toestand is gekomen geeft men Hhet aantal klanten die in het systeem zijn, aan met de toevalsvariabele N.

text: Hoort bij bovenstaande en staat er in
===Stelling van Little===
Een belangrijk resultaat is de stelling van Little, die over de stationaire toestand zegt:

text: \operatorname{E}S=\operatorname{E}N\cdot \operatorname{E}T\,
Omdat het omgekeerde van de verwachte tussenaankomsttijd aangeduid wordt als aankomstintensiteit, kan de stelling populair geformuleerd worden als:

text: Het gemiddeld aantal klanten in een wachtrijsysteem is gelijk aan hun gemiddelde aankomstintensiteit vermenigvuldigd met hun gemiddelde verblijftijd in het systeem.
replies: text: :Staat er in, maar dan in de gewoonlijke notatie van Littles stelling
Ik wacht af.Madyno 11 apr 2007 18:24 (CEST)
Wie is Nijdam?
Mag ik uit LimoWrecks opmerkingen opmaken dat de bovenstaande tekst okee is?Madyno 11 apr 2007 19:52 (CEST)

text: Neen, daaruit kan je opmaken dat alle begrippen er reeds in staan, zij het iets uitgebreider, of ttz, meer gericht op ruimere invulling, en zodanig dat er vanuit andere artikelen kan naar verwezen worden om op verder te bouwen bij afleidingen ed. --LimoWreck 11 apr 2007 22:53 (CEST)
thread_title: Overlegpagina deel 2: Discussie

message: ===Aankomsttijd===
Het tijdstip waarop klant n het systeem binnenkomt wordt aangegeven met τn. De tijdstippen van aankomst van klanten worden meestal beschreven door de hieronder staande tussenaankomsttijden.
replies: text: Wel Nijdam, dat staat er dus effectief in 
===Tussenaankomsttijd===
De tijd tussen de aankomst van klant n-1 en n heet de tussenaankomsttijd T_n:

text: T_n=\tau_n-\tau_{n-1}\,
Vrij algemeen wordt verondersteld dat de tussenaankomsttijden onderling onafhankelijke en gelijk verdeelde toevalsvariabelen zijn.

text: definitie staat er in, en ook de kansverdeling, míts deze bestaat (in eenvoudige systemen) --LimoWreck 11 apr 2007 19:08 (CEST)
===Bedieningsduur===
De tijd die nodig is om klant n  te bedienen heet de bedieningsduur X_n. Ook van de bedieningsduren wordt vrij algemeen verondersteld at zij onderling onafhankelijke en gelijk verdeelde toevalsvariabelen zijn.

text: Staat er eveneens in, met de kansverdeling míts deze te definiëren is. "Vrij algemeen" is vrij algemeen vaag. 
===Verdelingen===
Naast het aantal loketten (kanalen, bedienden), de buffergrootte en de wachtrijdiscipline, bepalen de verdelingen van de tussenaankomsttijden en de bedieningsduren het wachtsysteem.

text: idem 
===Wachttijd===
Een belangrijke grootheid is de tijd die een klant moet wachten tot hij bediend wrordt. De wachttijd van klant n wordt aangegeven met W_n. Als er een loket vrij is, kan hij direct bediend worden, anders moet hij wachten tot er een loket vrij komt.

text: Staat er eveneens in
Bij een systeem met 1 loket, onbeperkte buffer en FIFO rijdiscipline geldt:

text: W_n=[W_{n-1}+X_{n-1}-T_n]^+\,
replies: text: :Is een wel érg specifiek en simpel geval. Kán er bij, maar dan kan men alles gaan doorspekken met de eenvoudige formules van de typische triviale gevallen... zal het ook niet duidelijker maken vrees ik. Eventueel zou een artikel (of een Wikibooks artikel!) kunnen met enkele eenvoudige voorbeelden die wiskundige wel kunnen uitgewerkt worden
===Systeemtijd=== 
Interessant is ook de totale tijd die klant n in het systeem coorbrengt. Dit heet de systeemtijd S_n. Er geldt:

text: S_n=W_n+X_n.\,
replies: text: :staat er eveneens in
===Lange duur===
na verloop van enige tijd zal een wachtrijsysteem (bij benadering) in een stationaire toestand komen. De verdeling van de wachttijd van een klant zal niet veel meer veranderen. De limietverdeling wordt aangeduid als de stationaire wachttijdverdeling en de bijbehorende wachttijd met \tilde W\,

text: Regime staat er eveneens in; mits het nu stationair wordt of complexer weliswaar, met de bijhorende gemiddelden
===Systeembevolking===
Als het systeem in een stationaire toestand is gekomen geeft men Hhet aantal klanten die in het systeem zijn, aan met de toevalsvariabele N.

text: Hoort bij bovenstaande en staat er in
===Stelling van Little===
Een belangrijk resultaat is de stelling van Little, die over de stationaire toestand zegt:

text: \operatorname{E}S=\operatorname{E}N\cdot \operatorname{E}T\,
Omdat het omgekeerde van de verwachte tussenaankomsttijd aangeduid wordt als aankomstintensiteit, kan de stelling populair geformuleerd worden als:

text: Het gemiddeld aantal klanten in een wachtrijsysteem is gelijk aan hun gemiddelde aankomstintensiteit vermenigvuldigd met hun gemiddelde verblijftijd in het systeem.
replies: text: :Staat er in, maar dan in de gewoonlijke notatie van Littles stelling
Ik wacht af.Madyno 11 apr 2007 18:24 (CEST)
Wie is Nijdam?
Mag ik uit LimoWrecks opmerkingen opmaken dat de bovenstaande tekst okee is?Madyno 11 apr 2007 19:52 (CEST)

text: Neen, daaruit kan je opmaken dat alle begrippen er reeds in staan, zij het iets uitgebreider, of ttz, meer gericht op ruimere invulling, en zodanig dat er vanuit andere artikelen kan naar verwezen worden om op verder te bouwen bij afleidingen ed. --LimoWreck 11 apr 2007 22:53 (CEST)
thread_title: Terminologie

message: Het tijdstip waarop klant n het systeem binnenkomt wordt aangegeven met τn. De tijdstippen van aankomst van klanten worden meestal beschreven door de hieronder staande tussenaankomsttijden.
replies: text: Wel Nijdam, dat staat er dus effectief in
thread_title: Aankomsttijd

message: De tijd tussen de aankomst van klant n-1 en n heet de tussenaankomsttijd T_n:
replies: text: T_n=\tau_n-\tau_{n-1}\,
Vrij algemeen wordt verondersteld dat de tussenaankomsttijden onderling onafhankelijke en gelijk verdeelde toevalsvariabelen zijn.

text: definitie staat er in, en ook de kansverdeling, míts deze bestaat (in eenvoudige systemen) --LimoWreck 11 apr 2007 19:08 (CEST)
thread_title: Tussenaankomsttijd

message: De tijd die nodig is om klant n  te bedienen heet de bedieningsduur X_n. Ook van de bedieningsduren wordt vrij algemeen verondersteld at zij onderling onafhankelijke en gelijk verdeelde toevalsvariabelen zijn.
replies: text: Staat er eveneens in, met de kansverdeling míts deze te definiëren is. "Vrij algemeen" is vrij algemeen vaag.
thread_title: Bedieningsduur

message: Naast het aantal loketten (kanalen, bedienden), de buffergrootte en de wachtrijdiscipline, bepalen de verdelingen van de tussenaankomsttijden en de bedieningsduren het wachtsysteem.
replies: text: idem
thread_title: Verdelingen

message: Een belangrijke grootheid is de tijd die een klant moet wachten tot hij bediend wrordt. De wachttijd van klant n wordt aangegeven met W_n. Als er een loket vrij is, kan hij direct bediend worden, anders moet hij wachten tot er een loket vrij komt. 
replies: text: Staat er eveneens in
Bij een systeem met 1 loket, onbeperkte buffer en FIFO rijdiscipline geldt:

text: W_n=[W_{n-1}+X_{n-1}-T_n]^+\,
replies: text: :Is een wel érg specifiek en simpel geval. Kán er bij, maar dan kan men alles gaan doorspekken met de eenvoudige formules van de typische triviale gevallen... zal het ook niet duidelijker maken vrees ik. Eventueel zou een artikel (of een Wikibooks artikel!) kunnen met enkele eenvoudige voorbeelden die wiskundige wel kunnen uitgewerkt worden
thread_title: Wachttijd

message: Interessant is ook de totale tijd die klant n in het systeem coorbrengt. Dit heet de systeemtijd S_n. Er geldt:
replies: text: S_n=W_n+X_n.\,
replies: text: :staat er eveneens in
thread_title: Systeemtijd

message: na verloop van enige tijd zal een wachtrijsysteem (bij benadering) in een stationaire toestand komen. De verdeling van de wachttijd van een klant zal niet veel meer veranderen. De limietverdeling wordt aangeduid als de stationaire wachttijdverdeling en de bijbehorende wachttijd met \tilde W\,
replies: text: Regime staat er eveneens in; mits het nu stationair wordt of complexer weliswaar, met de bijhorende gemiddelden
thread_title: Lange duur

message: Als het systeem in een stationaire toestand is gekomen geeft men Hhet aantal klanten die in het systeem zijn, aan met de toevalsvariabele N.
replies: text: Hoort bij bovenstaande en staat er in
thread_title: Systeembevolking

message: Een belangrijk resultaat is de stelling van Little, die over de stationaire toestand zegt:
replies: text: \operatorname{E}S=\operatorname{E}N\cdot \operatorname{E}T\,
Omdat het omgekeerde van de verwachte tussenaankomsttijd aangeduid wordt als aankomstintensiteit, kan de stelling populair geformuleerd worden als:

text: Het gemiddeld aantal klanten in een wachtrijsysteem is gelijk aan hun gemiddelde aankomstintensiteit vermenigvuldigd met hun gemiddelde verblijftijd in het systeem.
replies: text: :Staat er in, maar dan in de gewoonlijke notatie van Littles stelling
Ik wacht af.Madyno 11 apr 2007 18:24 (CEST)
Wie is Nijdam?
Mag ik uit LimoWrecks opmerkingen opmaken dat de bovenstaande tekst okee is?Madyno 11 apr 2007 19:52 (CEST)

text: Neen, daaruit kan je opmaken dat alle begrippen er reeds in staan, zij het iets uitgebreider, of ttz, meer gericht op ruimere invulling, en zodanig dat er vanuit andere artikelen kan naar verwezen worden om op verder te bouwen bij afleidingen ed. --LimoWreck 11 apr 2007 22:53 (CEST)
thread_title: Stelling van Little

message: ==Wachtrij / Wachtlijn==
Op deze pagina worden wachtrij en wachtlijn regelmatig door elkaar heen gebruikt. Ik zou pleiten voor een consistent gebruik. Volgens mij is wachtrij in het nederlands de meest gebruikte benaming (in elk geval op de TU/e) en is wachtlijn de vlaamse benaming (na een snelle Google). Sdommers 27 aug 2007 13:32 (CEST)
replies: text: Wikipedia is nu eenmaal geen Nederlandse encyclopedie, wel een Nederlandstalige. Er is geen probleem met het door elkaar gebruiken van de woorden. Als het toch synoniemen zijn, dan is het eerder een taalverrijking om ze allemaal te gebruiken. --LimoWreck 27 aug 2007 19:39 (CEST)
== Beveiliging ==
Ik heb vandaag dit artikel beveligd. Mocht je van mening zijn dat bepaalde secties nu niet in orde zijn, overleg dit dan. Zodra overeenstemming is bereikt over de inhoud, meld dit dan op de Wikipedia:Verzoekpagina voor moderatoren/RegBlok of bij mijzelf zodat de beveiliging eventueel kan worden opgeheven.
Vriendelijke groeten,  11 apr 2007 19:06 (CEST)
==Discussie==
Dan maar eens stukje bij beetje naar deze tekst kijken:
===Grootheden en definities===
De wachtrijtheorie zal systemen die formeel beschreven zijn, analyseren met behulp van enkele wiskundige en statistische grootheden. Bepaalde kenmerken en eigenschappen die men daaruit kan afleiden blijken typerend voor veel wachtrijen. Andere karakteristieken worden slechts voor specifieke gevallen geanalyseerd.

text: Waarom "Grootheden en definities"? Betekent het invoeren van een grootheid niet juist z'n definitie?

text: Wat zijn "systemen die formeel beschreven zijn"?

text: Is het niet een nietszeggende opmerking: ...analyseren met behulp enz.?
Madyno 12 apr 2007 20:51 (CEST)
replies: text: :http://www.vandale.nl
replies: text: ::Nieuw soort vandalisme?Madyno

text: :Analyseren met behulp van enkele grootheden zal niet altijd kunnen. Bij complexere systemen kan het zijn dat de eigenschappen niet analytisch kunnen worden afgeleid en gebruik moet worden gemaakt van Monte Carlo-simulatie.--Guido den Broeder 12 apr 2007 23:19 (CEST)
replies: text: ::Voilà, een beetje logisch nadenken over wat er staat, en het is meteen duidelijk :-) --LimoWreck 12 apr 2007 23:27 (CEST)

text: :Voorstel:
===Grootheden===
Een wachtrijsysteem wordt veelal beschreven met enkele kenmerkende grootheden, zoals ...
Madyno 13 apr 2007 00:13 (CEST)
== Notatie ==
Op verschillende plaatsen in dit artikel wordt de volgende soort notatie gebruikt:

text: C_n = de n-de klant die aankomt bij het systeem
Ik vind dit niet juist, hier wordt het =-teken mmisbruikt. Elders staat wel een juiste notatie. Voor C_n zou dat zijn:

text: C_n: de n-de klant die aankomt bij het systeem
of

text: C_n is de n-de klant die aankomt bij het systeem
Madyno (overleg) 4 sep 2014 20:24 (CEST)

text: Ik zou zeggen pas het aan. Mvg JRB (overleg) 4 sep 2014 21:12 (CEST)
thread_title: Overlegpagina deel 3

message: Op deze pagina worden wachtrij en wachtlijn regelmatig door elkaar heen gebruikt. Ik zou pleiten voor een consistent gebruik. Volgens mij is wachtrij in het nederlands de meest gebruikte benaming (in elk geval op de TU/e) en is wachtlijn de vlaamse benaming (na een snelle Google). Sdommers 27 aug 2007 13:32 (CEST)
replies: text: Wikipedia is nu eenmaal geen Nederlandse encyclopedie, wel een Nederlandstalige. Er is geen probleem met het door elkaar gebruiken van de woorden. Als het toch synoniemen zijn, dan is het eerder een taalverrijking om ze allemaal te gebruiken. --LimoWreck 27 aug 2007 19:39 (CEST)
thread_title: Wachtrij / Wachtlijn

message: Ik heb vandaag dit artikel beveligd. Mocht je van mening zijn dat bepaalde secties nu niet in orde zijn, overleg dit dan. Zodra overeenstemming is bereikt over de inhoud, meld dit dan op de Wikipedia:Verzoekpagina voor moderatoren/RegBlok of bij mijzelf zodat de beveiliging eventueel kan worden opgeheven.
Vriendelijke groeten,  11 apr 2007 19:06 (CEST)
thread_title:  Beveiliging 

message: Dan maar eens stukje bij beetje naar deze tekst kijken:
===Grootheden en definities===
De wachtrijtheorie zal systemen die formeel beschreven zijn, analyseren met behulp van enkele wiskundige en statistische grootheden. Bepaalde kenmerken en eigenschappen die men daaruit kan afleiden blijken typerend voor veel wachtrijen. Andere karakteristieken worden slechts voor specifieke gevallen geanalyseerd.
replies: text: Waarom "Grootheden en definities"? Betekent het invoeren van een grootheid niet juist z'n definitie?

text: Wat zijn "systemen die formeel beschreven zijn"?

text: Is het niet een nietszeggende opmerking: ...analyseren met behulp enz.?
Madyno 12 apr 2007 20:51 (CEST)
replies: text: :http://www.vandale.nl
replies: text: ::Nieuw soort vandalisme?Madyno

text: :Analyseren met behulp van enkele grootheden zal niet altijd kunnen. Bij complexere systemen kan het zijn dat de eigenschappen niet analytisch kunnen worden afgeleid en gebruik moet worden gemaakt van Monte Carlo-simulatie.--Guido den Broeder 12 apr 2007 23:19 (CEST)
replies: text: ::Voilà, een beetje logisch nadenken over wat er staat, en het is meteen duidelijk :-) --LimoWreck 12 apr 2007 23:27 (CEST)

text: :Voorstel:
===Grootheden===
Een wachtrijsysteem wordt veelal beschreven met enkele kenmerkende grootheden, zoals ...
Madyno 13 apr 2007 00:13 (CEST)
thread_title: Discussie

message: De wachtrijtheorie zal systemen die formeel beschreven zijn, analyseren met behulp van enkele wiskundige en statistische grootheden. Bepaalde kenmerken en eigenschappen die men daaruit kan afleiden blijken typerend voor veel wachtrijen. Andere karakteristieken worden slechts voor specifieke gevallen geanalyseerd.
replies: text: Waarom "Grootheden en definities"? Betekent het invoeren van een grootheid niet juist z'n definitie?

text: Wat zijn "systemen die formeel beschreven zijn"?

text: Is het niet een nietszeggende opmerking: ...analyseren met behulp enz.?
Madyno 12 apr 2007 20:51 (CEST)
replies: text: :http://www.vandale.nl
replies: text: ::Nieuw soort vandalisme?Madyno

text: :Analyseren met behulp van enkele grootheden zal niet altijd kunnen. Bij complexere systemen kan het zijn dat de eigenschappen niet analytisch kunnen worden afgeleid en gebruik moet worden gemaakt van Monte Carlo-simulatie.--Guido den Broeder 12 apr 2007 23:19 (CEST)
replies: text: ::Voilà, een beetje logisch nadenken over wat er staat, en het is meteen duidelijk :-) --LimoWreck 12 apr 2007 23:27 (CEST)

text: :Voorstel:
thread_title: Grootheden en definities

message: Een wachtrijsysteem wordt veelal beschreven met enkele kenmerkende grootheden, zoals ...
Madyno 13 apr 2007 00:13 (CEST)
thread_title: Grootheden

message: Op verschillende plaatsen in dit artikel wordt de volgende soort notatie gebruikt:
replies: text: C_n = de n-de klant die aankomt bij het systeem
Ik vind dit niet juist, hier wordt het =-teken mmisbruikt. Elders staat wel een juiste notatie. Voor C_n zou dat zijn:

text: C_n: de n-de klant die aankomt bij het systeem
of

text: C_n is de n-de klant die aankomt bij het systeem
Madyno (overleg) 4 sep 2014 20:24 (CEST)

text: Ik zou zeggen pas het aan. Mvg JRB (overleg) 4 sep 2014 21:12 (CEST)
thread_title:  Notatie