Хэлэлцүүлэг:Математик

message: Нэн түрүүнд бидэнд ойрхон 3 хэмжээстэй Евклидийн геометр үүссэн бөгөөд цаашид Евклидийн биш геометр үүсч хөгжжээ. Удаан хугацааны турш шийдэгдээгүй байсан асуудал болох гортиг, шугамын байгуулалт нь Галуагийн онолоор бүрэн шийдэгджээ. Орчин үед дифференциал геометр болон алгебрлиг геометр зэрэг салбарууд үүсч хөгжиж байна. Мөн огторгуй болон структурыг бүлгийн онол хооронд нь холбож байдаг юм. Түүнчлэн топологи нь тасралтгүй хэмээх ойлголтоор дамжуулан огторгуй, хувиргалтыг холбож өгдөг байна.
=== Тооцоолон бодох машин ===
Хүн төрөлхтөн компьютерийг анх бодож олоход математикчдийн хувь нэмэр их байсан бөгөөд энэ утгаараа мэдээллийн технологиийг математикт хамааруулан авч үзэх нь бий. Орчин үед компьютерийг математикийн асуудлуудыг шийдвэрдэхэд өргөнөөр ашиглаж байна.
=== Статистик ===
Хэрэглээний математикийн нэгэн чухал салбар бол статистик юм. Статистик нь санамсаргүй үзэгдлүүдийг урьдчилан таамаглах боломж олгодгоороо бүх шинжлэх ухаанд хэрэгтэй билээ.
thread_title: Хуучин байсан бичлэгүүд

message: Хүн төрөлхтөн компьютерийг анх бодож олоход математикчдийн хувь нэмэр их байсан бөгөөд энэ утгаараа мэдээллийн технологиийг математикт хамааруулан авч үзэх нь бий. Орчин үед компьютерийг математикийн асуудлуудыг шийдвэрдэхэд өргөнөөр ашиглаж байна.
thread_title:  Тооцоолон бодох машин 

message: Хэрэглээний математикийн нэгэн чухал салбар бол статистик юм. Статистик нь санамсаргүй үзэгдлүүдийг урьдчилан таамаглах боломж олгодгоороо бүх шинжлэх ухаанд хэрэгтэй билээ.
thread_title:  Статистик 

message: Ерөнхий ангилал
* алгебр
* геометр
* математик анализ
* олонлогийн онол
* тооцоолон бодох математик
* магадлалын онол
* статистик
===Хэмжээс===
тоо--натурал тоо--бүхэл тоо--анхны тоо--рационал тоо--иррационал тоо--бодит тоо--комплекс тоо--аварга тоонууд--тоон дараалал--тогтмолууд--тооны нэршил--хязгааргүй тоо
===Хувиргалт===
Үйлдэл хийх--интеграл, дифференциал тоолол--векторын хувиргалт--математик анализ--дифференциал тэгшитгэл--эрэмбэгүйн онол--функцүүдийн жагсаалт
===Структур===
хийсвэр алгебр--тооны онол--алгебрлиг геометр--бүлгийн онол--монойд--математик анализ--топологи--шугаман алгебр--графын онол--цагирагийн онол
===Огторгуй===
аналитик геометр--топологи--геометр--гурвалжны --алгебрлиг геометр--дифференциал геометр--шугаман алгебр--Фрактал геометр
===Төгсгөлөг математик===
олонлогийн онол--магадлалын онол--статистик--тооцооллын онол--графын онол--тоглоомын онол
===Хэрэглээний математик===
хүч--физик--магадлалын онол--статистик--даатгал
===Алдартай теорем, таамаглалууд===
Фермагийн их теорем--Риманы таамаглал--P≠NP таамаглал--Голдбахын таамаглал--Ихэр тооны таамаглал--Пуанкарьегийн таамаглал--Пифагорын теорем--дифференциал, интеграл тооллын үндсэн теорем--алгебрын үндсэн теорем--Эйлерийн тэнцэтгэл--Горацийн таамаглал
===Математикийн түүх ба дэлхий===
Математикийн түүх--Евклидийн онол--Математикийн он дарааллын бичиг--алдартай математикчид--Фильдсийн медаль--Абелийн шагнал--Олон Улсын Математикчдын Холбоо--Математикийн олимпиад
===Барууны биш математик===
Монголын математик--Япон тоолол--Энэтхэгийн математик--Хятадын математик・Үлдэгдлийн тухай Хятадын теорем--Арабын математик
thread_title:  Ангилал 

message: тоо--натурал тоо--бүхэл тоо--анхны тоо--рационал тоо--иррационал тоо--бодит тоо--комплекс тоо--аварга тоонууд--тоон дараалал--тогтмолууд--тооны нэршил--хязгааргүй тоо
thread_title: Хэмжээс

message: Үйлдэл хийх--интеграл, дифференциал тоолол--векторын хувиргалт--математик анализ--дифференциал тэгшитгэл--эрэмбэгүйн онол--функцүүдийн жагсаалт
thread_title: Хувиргалт

message: хийсвэр алгебр--тооны онол--алгебрлиг геометр--бүлгийн онол--монойд--математик анализ--топологи--шугаман алгебр--графын онол--цагирагийн онол
thread_title: Структур

message: аналитик геометр--топологи--геометр--гурвалжны --алгебрлиг геометр--дифференциал геометр--шугаман алгебр--Фрактал геометр
thread_title: Огторгуй

message: олонлогийн онол--магадлалын онол--статистик--тооцооллын онол--графын онол--тоглоомын онол
thread_title: Төгсгөлөг математик

message: хүч--физик--магадлалын онол--статистик--даатгал
thread_title: Хэрэглээний математик

message: Фермагийн их теорем--Риманы таамаглал--P≠NP таамаглал--Голдбахын таамаглал--Ихэр тооны таамаглал--Пуанкарьегийн таамаглал--Пифагорын теорем--дифференциал, интеграл тооллын үндсэн теорем--алгебрын үндсэн теорем--Эйлерийн тэнцэтгэл--Горацийн таамаглал
thread_title: Алдартай теорем, таамаглалууд

message: Математикийн түүх--Евклидийн онол--Математикийн он дарааллын бичиг--алдартай математикчид--Фильдсийн медаль--Абелийн шагнал--Олон Улсын Математикчдын Холбоо--Математикийн олимпиад
thread_title: Математикийн түүх ба дэлхий

message: Монголын математик--Япон тоолол--Энэтхэгийн математик--Хятадын математик・Үлдэгдлийн тухай Хятадын теорем--Арабын математик
thread_title: Барууны биш математик

message: Нэг элементийн зэргүүдээс тогтох бүлгийг цикл бүлэг гэж нэрлэдэг.
Үүнд хоёр тохиолдол байж болно. Нэг тохиолдолд нь a^n зэргүүд хоорондоо ялгаатай ба энэ үед цикл бүлэг
\ldots,a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,\ldots
төгсгөлгүй. Нөгөө тохиолдолд нь тэдгээр зэргүүд давтагдана, ө.х.
a^h=a^k,\qquad h>k,
болно. Энэ үед
a^{h-k}=e\qquad (h-k>0).
Энэ тохиолдолд n нь a^n=e байх хамгийн бага эерэг илтгэгч байг. Тэгвэл a^0,a^1,\ldots,a^{n-1} зэргүүд хоорондоо ялгаатай. Учир нь хэрэв
a^h=a^k\qquad (0\leqslant k<h<n),
бол үүнээс
a^{h-k}=e\qquad (0<h-k<n),
болж n тооны сонголттой зөрчилдөнө.
Хэрэв дурын m тоог
m=qn+r\qquad (0\leqslant r<n),
хэлбэрт тавивал
a^{m}=a^{qn+r}=a^{qn}\cdot a^r=(a^n)^qa^r=ea^r=a^r.
Өөрөөр хэлбэл a элементийн бүх зэргүүд a^0,a^1,\ldots,a^{n-1} цуваанд тохиолдох нь байна. Тэгэхээр цикл бүлэг яг n элемент агуулна.
a элементээр төрөгдсөн цикл бүлгийн эрэмбэ n тоог a элементийн эрэмбэ гэдэг. Хэрэв a элементийн бүх зэргүүд ялгаатай бол a-г төгсгөлгүй эрэмбэтэй элемент гэнэ.
Жишээнүүд. Бүхэл тоонууд
\ldots,{-2},{-1},0,1,2,\ldots
нэмэх үйлдлийн хувьд төгсгөлгүй цикл бүлэг үүсгэнэ. Дээр дурдсан \mathfrak{S}_i' (i=1,2,3) ба \mathfrak{A}_3 нь 2 ба 3 эрэмбэтэй цикл бүлгүүд юм.
Бодлого 1. Орлуулгуудаас тогтох дурын эрэмбийн цикл бүлэг олдоно.
Бодлого 2. Тэгшхэмийн бүлэг \mathfrak{S}_n нь n>1 үед n-1 транспозицуудаар төрөгдөнө гэдгийг n-ээр индукцлэн батал.
Бодлого 3. Үүнтэй адилаар тэмдэг солих бүлэг \mathfrak{A}_n нь n>2 үед (n-2 ширхэг) (1\,2\,3), (1\,2\,4), \ldots, (1\,2\,n) гурвалсан циклүүдээр төрөгдөнө гэж батал .
Одоо цикл бүлгийн бүх дэд бүлгүүдийг тодорхойлъё. \mathfrak{G} нь a элементээр төрөгдсөн дурын цикл бүлэг, \mathfrak{g} нь нэгээс олон элементтэй дэд бүлэг байг. Хэрэв \mathfrak{g} нь сөрөг илтгэгчтэй a^{-m} элементийг агуулдаг бол түүний урвуу нь \mathfrak{g}-д агуулагдана. \mathfrak{g}-ийн хамгийн бага эерэг илтгэгчтэй элементийг a^m гээд \mathfrak{g} бүлгийн бүх элементүүд нь a^m элементийн зэргүүд байна гэж баталъя. Үнэхээр, хэрэв a^s нь \mathfrak{g}-ийн дурын элемент бол бид дахин
s=qm+r\qquad (0\leqslant r<m),
гэж үзэж болно. Тэгвэл a^s(a^m)^{-q}=a^{s-mq}=a^r нь r<m байх \mathfrak{g}-ийн элемент байна. Одоо m тооны сонголтыг тооцвол r=0 болох ба эндээс s=qm буюу a^s=(a^m)^q болно. Иймд \mathfrak{g} дэд бүлгийн бүх элемент нь a^m элементийн зэргүүд байна.
Хэрэв a элемент төгсгөлөг n эрэмбэтэй бол a^n=e элемент \mathfrak{g}-д орох ёстой учир n нь m-д хуваагддаг байх ёстой: n=qm. Энэ үед дэд бүлэг \mathfrak{g} нь a^m,a^{2m},\ldots,a^{qm}=e элементүүдээс тогтох ба эрэмбэ нь q-тэй тэнцэнэ.
Харин a-ийн эрэмбэ төгсгөлгүй бол дэд бүлэг \mathfrak{g} нь e,a^{\pm m},a^{\pm2m},\ldots элементүүдэс тогтох ба эрэмбэ нь мөн төгсгөлгүй байна. Энд бид дараах теоремийг баталлаа.
Цикл бүлгийн дэд бүлэг мөн цикл байх бөгөөд нэг бол зөвхөн нэгжээс тогтоно, үгүй бол байж болох хамгийн бага эерэг илтгэгч m бүхий a^m элементийн зэргүүдээс тогтоно. Энэ үед төгсгөлгүй цикл бүлгийн хувьд m тоо нь дурын, төгсгөлөг n эрэмбийн цикл бүлгийн хувьд m тоо нь n-ийн хуваагч байх ба энэ тохиолдолд дэд бүлгийн эрэмбэ q=\frac{n}{m} байна. Нөгөө талаас, n-ийн хуваагч m тоо болгоны хувьд \{a^k:k=1,\ldots,n\} бүлэгт \frac{n}{m} эрэмбийн дэд бүлэг цор ганц оршин байх ба энэ нь \{(a^m)^k:k=1,\ldots,\frac{n}{m}\} байна.
thread_title:  Төгсгөлөг цикп бүлэг 

message: ch өндөр ба cm меданы шулуунуудын хоорондох өнцгийг ол
thread_title:  хавтгайн шулуун