Aptarimas:Euklidinė erdvė

message: :(a \alpha \cdot b \beta)=ab(\alpha \cdot \beta) (1)
thread_title: Dviejų vektorių skaliarinė sandauga

message: N-mačių eilučių tikrojoje erdvėje skaliarinę sandaugą galime įvesti panašiai kaip trimatėje erdvėje. Vektorių-eilučių
replies: text: [ \alpha ] = [a_1 , a_2 , ... , a_n ]  ir [ \beta ] = [b_1 , b_2 , ... , b_n ]

text: skaliarinę sandaugą taip apibrėšime

text: [ \alpha ] \cdot [ \beta ]  = [a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n ]

text: arba

text: [ \alpha ] \cdot [ \beta ] =\sum_{s=1}^n  a_s  b_s. 
Euklidinę eilučių erdvę galima apibrėžti ir taip:

text: [ \alpha ] \cdot [ \beta ]  =

text: = s_{1,1} a_1 b_1 + s_{1,2} a_1 b_2 +  ... + s_{1,n} a_1 b_n +

text: + s_{2,1} a_2 b_1 + s_{2,2} a_2 b_2 +  ... + s_{2,n} a_2 b_n +

text: .................................

text: + s_{n,1} a_n b_1 + s_{n,2} a_n b_2 +  ... + s_{n,n} a_n b_n .
arba

text: = \sum_{j,k=1}^n s_{j,k} a_j b_k  .

text: Tegu turime n-matę unitarinę (euklidinę) erdvę ir jos bazę  { \omega } = { w_1, w_2, ..., w_n }  . Išnagrinėsime, kaip galima išreikšti skaliarinę sandaugą, pasinaudojus bazės elementais   w_1, w_2, ..., w_n   . Surasime vektorių

text: [ \alpha ] \cdot [ \omega ]  = [a_1 w_1 + a_2 w_2 + ... + a_n w_n ] ,

text: [ \beta ] \cdot [ \omega ]  = [a_1 w_1 + a_2 w_2 + ... + a_n w_n ]

text: skaliarinę sandaugą.

text: Kadangi formulė (1) matematinės indukcijos metodu lengvai pakeičiama n dėmenų atvejui, tai

text: (\alpha \cdot \beta)=(a_1 w_1 + a_2 w_2 + ... + a_n w_n \cdot b_1 w_1 + b_2 w_2 + ... + b_n w_n) =

text: = \sum_{j,k=1}^n  a_j b_k (w_j \cdot w_k) .

text: Vektorių skaliarinė sandauga yra skaliaras, todėl

text: ( w_j \cdot w_k ) = s_{j,k}

text: Matrica S (kuri tapati ermitinei matricai H) turi būti simetrine, t.y. jos elementai turi tenkinti šią sąlygą:

text: s_{j,k} = s_{k,j} .

text: Pavyzdžiui turime vektorius a=(3, 5, 7) b=(4, 6, 8) ir w=(2, 3, 4).

text: \alpha  = a \cdot  \omega   = [3 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 7 \cdot 4] = 6+15+28=49

text: \beta  = b \cdot  \omega   = [4 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 8 \cdot 4]=8+18+32=58
replies: text: :( \alpha  \cdot  \beta )   = 49 \cdot 58 = 2842

text: \sum_{j,k=1}^n  a_j b_k (w_j \cdot w_k) =

text: =  3 \cdot 4 \cdot (2 \cdot 2) + 3 \cdot 6 \cdot (2 \cdot 3) + 3 \cdot 8 \cdot (2 \cdot 4) +

text: +  5 \cdot 4 \cdot (3 \cdot 2) + 5 \cdot 6 \cdot (3 \cdot 3) + 5 \cdot 8 \cdot (3 \cdot 4) +

text: +  7 \cdot 4 \cdot (4 \cdot 2) + 7 \cdot 6 \cdot (4 \cdot 3) + 7 \cdot 8 \cdot (4 \cdot 4) =  
=48+108+192+120+270+480+224+504+896=348+870+1624=2842

text: Kitas pavyzdys. Turime vektorius a=[3, 4, 5, 6], b=[2, 5, 3, 7], c=[6, 2, 4, 7], d=[5, 4, 6, 3].

text: Skaliaras  \alpha = a \cdot c  =3*6+4*2+5*4+6*7=88, o skaliaras \beta = b \cdot d  =2*5+5*4+3*6+7*3=69.

text: Skaliarų sandauga \alpha \cdot \beta = 88*69=6072

text: Formulė atrodys taip:

text: \sum_{j,k=1}^n  a_j b_k (c_j \cdot d_k) =

text: = a_1 b_1 (c_1 \cdot d_1) + a_1 b_2 (c_1 \cdot d_2) + a_1 b_3 (c_1 \cdot d_3) + a_1 b_4 (c_1 \cdot d_4) +

text: + a_2 b_1 (c_2 \cdot d_1) + a_2 b_2 (c_2 \cdot d_2) + a_2 b_3 (c_2 \cdot d_3) + a_2 b_4 (c_2 \cdot d_4) +

text: + a_3 b_1 (c_3 \cdot d_1) + a_3 b_2 (c_3 \cdot d_2) + a_3 b_3 (c_3 \cdot d_3) + a_3 b_4 (c_3 \cdot d_4) +

text: + a_4 b_1 (c_4 \cdot d_1) + a_4 b_2 (c_4 \cdot d_2) + a_4 b_3 (c_4 \cdot d_3) + a_4 b_4 (c_4 \cdot d_4) =

text: =3*2*6*5+3*5*6*4+3*3*6*6+3*7*6*3+

text: +4*2*2*5+4*5*2*4+4*3*2*6+4*7*2*3+

text: +5*2*4*5+5*5*4*4+5*3*4*6+5*7*4*3+

text: +6*2*7*5+6*5*7*4+6*3*7*6+6*7*7*3=

text: =180+360+324+378+

text: +80+160+144+168+

text: +200+400+360+420+

text: +420+840+756+882=

text: =1242+

text: +552+

text: +1380+

text: +2898=

text: =6072.

text: Panagrinėkime atvejį, kai a=(3, 4, 5), b=(6, 7, 8), w=(1, 1, 1).

text: \alpha = a \cdot w =3*1+4*1+5*1=12

text: \beta = a \cdot w =6+7+8=21

text: \alpha  \cdot \beta =21*12=252

text: arba

text: \alpha  \cdot \beta = \sum_{j,k=1}^n  a_j b_k (w_j \cdot w_k) =

text: = a_1 b_1 (1 \cdot 1) + a_1 b_2 (1 \cdot 1) + a_1 b_3 (1 \cdot 1) +

text: + a_2 b_1 (1 \cdot 1) + a_2 b_2 (1 \cdot 1) + a_2 b_3 (1 \cdot 1) +

text: + a_3 b_1 (1 \cdot 1) + a_3 b_2 (1 \cdot 1) + a_3 b_3 (1 \cdot 1) =

text: =3*6*1+3*7*1+3*8*1+

text: +4*6*1+4*7*1+4*8*1+

text: +5*6*1+5*7*1+5*8*1=

text: =63+84+105=252
Pavyzdžiai iš pagrindinio straipsnio iškelti į diskusijas, nes tai bereikalingas straipsnelio apkrovimas. Orionus 12:35, 2007 Gegužės 4 (EEST)
thread_title: Savybės

message: Kairėje sumos distributyvumo lygybės pusėje vietoj sandaugos turėtų būti skliaustas.
Galite pataisyti. :) --Homo 12:30, 2008 rugsėjo 20 (EEST)
thread_title:  Klaida 3-čioje formulėje skyrelyje "Euklidinė erdvė"