토론:대각선 논법

message: :
\begin{matrix}
f(0)&=&0.\mathbf{a}_{00}a_{01}a_{02}a_{03}\cdots\\
f(1)&=&0.a_{10}\mathbf{a}_{11}a_{12}a_{13}\cdots\\
f(2)&=&0.a_{20}a_{21}\mathbf{a}_{22}a_{23}\cdots\\
f(2)&=&0.a_{30}a_{31}a_{32}\mathbf{a}_{33}\cdots\\
 \vdots & & \vdots
\end{matrix}
replies: text: 그리고 a_{ij} = i+j 일때

text: \begin{matrix}
f(0)&=&0.{\color{red}0}123   \cdots\\
f(1)&=&0.1{\color{red}2}34 \cdots\\
f(2)&=&0.23{\color{red}4}5 \cdots\\
f(2)&=&0.345{\color{red}6} \cdots\\
 \vdots & & \vdots
\end{matrix}
그리고 이러한 일대일대응이외의 실수가 (0,1)구간에서 대각선상 만들어지는 수로도 존재함을 확인할수있다.

text: r=0.b_0 b_1 b_2 b_3 \cdots\in(0,1)이고 b_{i} = a_{ii} 일때

text: r=0.0246 \cdots\in(0,1)
따라서 자연수 \mathbb N =\aleph_{0}에서  실수 \mathbb R =\aleph_{1}임을 가정하고서

text: 알레프 수  \aleph_{0} < \aleph_{1}임을 확인할수있다.

text: >  님 ,  어느 부분이 사실과 어긋나나요?

text: |\mathbb R| =\aleph_{1} (\mathbb R =\aleph_{1}라고 쓰셨지만)가 잘못되었습니다. Doyoon1995 (토론) 2019년 3월 15일 (금) 17:08 (KST)

text: 그것보다, 사실에 어긋나는지 여부도 확신하지 못하시면서 왜 되살리십니까? Doyoon1995 (토론) 2019년 3월 15일 (금) 17:20 (KST)

text: 더 이상 논쟁하고 싶지 않으니 위의 발언은 취소하겠습니다. 덧붙이자면 예로 드신 함수에는 대각선 논법이 필요 없습니다. 0.0...으로 시작하는 실수는 무수히 많은데 f의 상에는 하나뿐이니까요. 애초에 함수 f의 예시를 드는 것부터가 글의 주제와 거리가 멉니다. Doyoon1995 (토론) 2019년 3월 15일 (금) 17:29 (KST)

text: 대각선 논법을 사용하지도 않으셨네요. 전단사 함수가 아닌 특수한 예시를 듦으로써 다른 함수들도 전단사 함수가 아니라고 하는 것은 옳은 증명이 아니라고 하겠습니다. Doyoon1995 (토론) 2019년 3월 15일 (금) 17:38 (KST)

text: > 아래와 같은 대각선논법의 '정의'방법으로  전단사함수를 사용했기에 직접적인 언급은 하지 않았는데요 , 직접적인 언급을 할까요?
== 정의 ==
=== 실수 집합의 비가산성 ===
실수의 집합 \mathbb R의 부분 집합 (0,1)\subseteq\mathbb R이 가산 집합이라고 가정하자. 그렇다면 이와 양의 정수의 집합 \mathbb N 사이에 전단사 함수

text: f\colon\mathbb N\to(0,1)
가 존재한다. (0,1) 속의 각 실수는 유일한 무한 소수 표기를 가지므로 (유한 소수는 끝에 9를 무한히 순환하여 나타내야 한다. 예컨대 1/5=0.1999...와 같이 나타낸다), f는 다음과 같은 유일한 무한 소수 표현을 갖는다.

text: f(0)=0.a_{11}a_{12}a_{13}\cdots

text: f(1)=0.a_{21}a_{22}a_{23}\cdots

text: f(2)=0.a_{31}a_{32}a_{33}\cdots

text: \vdots
다음과 같은 실수 b\in(0,1)를 생각하자.

text: b=0.b_1b_2b_3\cdots
여기서 b_i는 다음과 같다.

text: b_i=\begin{cases}1&a_{ii}\ne 1\\9&a_{ii}=1\end{cases}
그렇다면 임의의 n\in\mathbb N에 대하여 b는 f(n)과 소수점 뒤 n번째 자리에서 다르다. 즉, b는 f의 상에 포함되지 않으며, f는 전사 함수가 아니다. 이는 f가 전단사 함수임에 모순이다. 따라서 (0,1)는 비가산 집합이며, 이를 부분 집합으로 갖는 \mathbb R 역시 비가산 집합이다. 이와 같은 증명 방법을 대각선 논법이라고 한다.
또한 '더 이상 논쟁하고 싶지 않으니'라는 표현은 삼가해주세요.
님, 아울러 이러한 방법으로된 간략하게 응용된 예시가 대각선논법의 범주에서 이해를 돕는데 용이한데도불구하고  특수한 경우에도 속할수있음을 강조하여 '예시'를 삭제하는것도 편익이 없다고 봅니다.

text: > '{\displaystyle |\mathbb {R} |=\aleph _{1}} ( {\displaystyle \mathbb {R} =\aleph _{1}} {\displaystyle \mathbb {R} =\aleph _{1}}라고 쓰셨지만)' 에대해서  이렇게 언급하시는분들이 있을까봐   '가정'한다고 했는데요. 대각선 논법에서는 '연속체가설'등의 이유가있기때문에 가정을 전제로 언급하는것이 좀더 편익이 있을것같습니다.

text: >아니면 그냥 토론이 어려우시다면 '정의'에 나온데로 독자들이 이해하기 쉬운 '예시'를 하나 만들어 주시면 감사하겠습니다. BellaDaddy (토론) 2019년 3월 16일 (토) 14:38 (KST)
replies: text: :예시 필요 없어요. 틀린 건 틀린 거예요. 제가 드린 말이라 귀담으실 생각이 없다면, 객관적 지표를 찾아보세요. 다른 언어판에서 그 함수에 예시를 든 경우가 얼마나 되나. 확인해보진 않았지만 0개 예상합니다.

text: :연속체 가설을 왜 가정합니까. 그게 무슨 선택 공리 같은 건 줄 아세요? 뜬구름 잡는 소리 그만 하세요.

text: :애초에 본인이 '따라서'라고 쓰셨습니다. 그런 특수한 예시와 결론 사이에 인과 관계가 있다는 잘못된 증명을 본인이 쓰셨다구요. 왜 딴소리 하세요? Doyoon1995 (토론) 2019년 3월 16일 (토) 15:10 (KST)

text: :본인 머릿 속에서 떠오르는 생각을 여과 없이 올리신 뒤 삭제 당하지 마시고, 처음부터 신뢰할 수 있는 출처를 참고하시거나, 거기에 있을 만한 내용을 쓰세요. (왜곡된) 중립적 시각은 부르짖으시면서 독자 연구는 왜 밥 먹듯이 하십니까. Doyoon1995 (토론) 2019년 3월 16일 (토) 15:10 (KST)

text: > 예를 들지않고 토론도 필요없다면 잘 알겠습니다. BellaDaddy (토론) 2019년 3월 16일 (토) 15:15 (KST)
==예==
1891년 논문에서 칸토어(Cantor)는 2진 숫자의 모든 무한시퀀스의 집합 T 를 고려했다.  Georg Cantor (1891). "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1: 75–78. English translation: Ewald, William B. (ed.) (1996). From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volume 2. Oxford University Press. pp. 920–922. ISBN 0-19-850536-1.- https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002113910&physid=phys84#navi
즉, 각 원소 시퀀스 Sn의 숫자는 0 또는 1들이다.
다음 정리의 구성적 증명으로 시작하면

text: 만약 s 1 , s  2 ,…, s  n , … 를 T 에서 원소를 열거했을때 T 의 원소 s 는 항상 s  n 에 해당하지 않는 원소로 존재한다. 
증명은 T 의 시퀀스 열거로 시작한다.

text: s1 =	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s2 =	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s3 =	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s4 =	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s5 =	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s6 =	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s7 =	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
... 	   	  	  	  	  	  	  	
다음으로 s1의 첫 번째 자리에서 0의 보수로 첫 번째 자리를 선택하여 s 시퀀스를 구성한다. 이어서 s2의 두 번째 숫자를 보수로 (0 은 1로 보수하고 1의경우는 그 반대로 0으로 한다)해서 s 시퀸스의 두번째 자리를 구성한다.  그리고 s3의 세 번째 숫자를 보수하며 계속해서 일반적으로 모든 n 에 대해 n의  Sn의 n번째 숫자를 보수로하는 숫자들로 구성한다. 이러한 예에서 다음과 같은 결과가 나타나게된다.

text: s1 	=	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s2 	=	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s3 	=	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s4 	=	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s5 	=	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s6 	=	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s7 	=	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...	 	   	  	  	  	  	  	  	
   	 	   	  	  	  	  	  	  	
s  	=	(1,	0,	1,	1,	1,	0,	1,	...)
구성 상 s 는 각각의 모든 s n과 다르다. 왜냐하면 n 번째 자릿수가  다르다는것을 확인할수있기 때문이다.
따라서 s 는 Sn 시퀀스 열거에서 발생할 수 없다.
이 정리에 기초하여 칸토어(Cantor)는 귀류법을 사용하여 다음을 보여준다.

text: '집합 T 는 비가산집합아디.'
님,  예는 필연적으로 내용의 중복이 있을수밖에 없으며 오히려 그러한 중복적인 과정이 예로 들어 설명하는 방식에서 효과적이기에  다시 '예'를 되돌려주시도록 부탁드려봅니다. BellaDaddy (토론) 2019년 9월 20일 (금) 10:58 (KST)

text: 실수 수열 (위의 s)을 하나로 특정하면 대각선 논법을 사용하지 않고서도 반례를 들 수 있기 때문에, 이러한 증명 과정에 예시를 드는 것은 적절하지 않다고 말씀드린 바 있습니다. 慈居 (토론) 2019년 9월 20일 (금) 14:56 (KST)

text: 참고로 제 계정의 이름은 이제 ‘慈居’이고,  호출 기능도 꺼뒀습니다. 알림을 보내시려면 토론 문서에 글을 남겨주시기 바랍니다. 慈居 (토론) 2019년 9월 20일 (금) 14:59 (KST)
>  님,   미안합니다만 호출기능을 꺼두셨다고 해서 토론문서에 일일이 알림하는것은 힘들것같습니다. 양해바랍니다.
>  s를 하나로 특정하지않아도 된다는것을 아실것으로 생각했는데요.  s를 하나로 특정하지않으셔도 됩니다.  따라서 반론에대한 언급은 불필요합니다.BellaDaddy (토론) 2019년 9월 23일 (월) 12:39 (KST)

text: 예시에서 s가 하나(s_1=(0,0,\dots), ...)로 특정되었는데, 특정하지 않아도 된다고 말씀하시는 것을 보니, 제 의견을 잘못 해석한 것으로 보입니다. 저는 이미 예시를 드는 것이 부적절한 이유를 소상히 밝혔고, Pk0001님의 이해를 돕는 것은 저의 의무 밖이라고 생각됩니다. 慈居 (토론) 2019년 9월 23일 (월) 13:44 (KST)
thread_title:  예 

thread_title: 참고