ノート:PD音源

message: 何方か英語と数学の得意な方に、英語版の組込みをお願いします。Wani.. 2006年9月23日 (土) 13:22 (UTC)

message: FM音源が周波数変調ではなく位相変調である、とする議論について
# 原論文John Chowning 1973に関する誤解
# YAMAHA実装に関するソースの不確かな話
の二つの問題があるので訂正を試みます。
また、この議論は記事「PD音源」ではなく記事「FM音源」で扱うべき内容であるように見えますので、本件に関し「記事をまたがる記述の移動」も提案します。
===1. 原論文 John Chowning 1973 に関する誤解===
原論文: 
原論文の表式(1)
replies: text: :e=A\sin(a t + I \sin \beta t)    (1)
       c = carrier frequency or average frequency
       m = modulatiing frequency
       d = peak deviation.
       e = the instantaneous amplitude of the modulated carrier
       β= the modulating frequency in rad/s [引用注: \beta=2\pi\,m ]
       I = d/m = the modulation index, 
           the ratio of the peak deviation to the modulating frequency.
           [引用注: I=d/m=2\pi\,d/\beta ]
これは、英語版記事該当部 Frequency modulation synthesis#Spectral analysis で説明済であるように、周波数変調の式と等価です。変調信号 m(t) = D\,\sin(\beta\,t)\, による周波数変調は

text: \begin{align}
FM(t)	& \ =\ A\,\sin\left(\,\int_0^t \left(a + D\,\sin(\beta\,\tau)\right)d\tau\right) \\
	& \ =\ A\,\sin\left(a\,t - \frac{D}{\beta}\left(\cos(\beta\,t) - 1\right)\right) \\
	& \ =\ A\,\sin\left(a\,t + \frac{D}{\beta}\left(\sin(\beta\,t - \pi/2) + 1\right)\right) \\
	& \ =\ A\,\sin\left(a\,t + \frac{D}{\beta}\left(\sin(\beta\,t + \phi_m) + \phi_c\right)\right) \\
\end{align}    (2)
となり、I = d/m = 2\pi\,d/\beta なので D=2\pi\,d とし、初期位相 \phi_c, \phi_m を省略すれば、式(2)の結果は式(1)と等しくなります。

text: \begin{align}
FM(t)	& \ =\ A\,\sin\left(a\,t + I\,(\sin(\beta\,t))\right) \\
\end{align}
なお信号処理において周波数変調は、上記(2)のように「変調信号(瞬時周波数)の時間積分」結果による位相変調として表現するのが適切であり、その事自体は「周波数変調ではない」とする根拠にはなりません。
従って、原論文 John Chowning 1973 は周波数変調を適切に扱っている事が確認できました。
===2. YAMAHA実装に関するソースの不確かな話===
上記1の結果により、原論文John Chowning 1973を根拠として、YAMAHA実装が「周波数変調ではない」とする事は不可能となります。それでは実際のところはどうでしょうか。
英語版ウィキペディアの関連記事執筆者の不確かな情報によれば、上記末尾で言及した「変調信号(瞬時周波数)の時間積分」の実装が抜けていて、それは変調信号が正弦波の2 operator FMであれば(1)の実装で無問題なものの、
変調信号が正弦波以外となる条件 (YAMAHA独自特許である複数モジュレータ/多段モジュレーション および 正弦波以外の波形選択) では (1)のmodulation indexI = d/mの箇所の表式が変わるため、出音に大きな相違が生じるという話のようです。
この件に関して私は、実装資料や解析・検証結果に基づく信頼のおけるソースをまだ見た事がありません。もし心当たりのある方が居られたら、それをご提示下さい。
--Clusternote（会話） 2023年4月18日 (火) 02:29 (UTC)
===【補足】「PD音源#他の音源との違い」節の項目「FM音源」注釈3 に付けられた出典のレビュー ===
本議論の補足として、PD音源#他の音源との違い節の項目「FM音源」注釈3 に付けられた出典のレビューを以下に記します。
長いので要約を記します:

text: * [8] Smith 2007 は、該当資料は位相変調だけを考慮しそれをFMと呼ぶ宣言で、本ページ議論とは直接関係なし。ただし、脚注4.9でYAMAHA独自のフィードバックFMへの言及があり、それが単一オシレータのセルフ位相変調であり、もし仮に周波数変調であれば動かない、という説明をしている

text: * [9] Puckette 2007 は、Pure Dataによる周波数変調と位相変調の解説、本ページ議論と直接関係なし。ただし、周波数変調の代りに位相変調で簡易化した同等の式を立てるのが通例だと指摘

text: * [10] Luke 2019 は、「ほとんどのFMシンセサイザは周波数変調は全くしておらず、関連方式である位相変調 (PM)を使っている」と明言しているものの、参考文献はなくソース自体の検証可能性に欠ける

text: * [11] 小坂 2022: (該当部引用がないためレビュー不可)

text: * [12] 片山 2020 は、信号処理における一般論であり、本ページ議論と直接関係なし

text: * [13] RNZ 2013 は、「ヤマハのFMは位相変調の実装」と明言しているものの放送局インタビューア側発言への脚注であり、執筆者署名や参考文献はなくソース自体の検証可能性に欠ける
;以下レビュー
* [8] Smith 2007:
replies: text: :[8]引用:

text: :[8]レビュー: 一般論として周波数変調は、キャリアの周波数ではなくキャリアの瞬時位相がモジュレータの正弦波で変調される形になる。従って周波数変調自体も位相変調と呼ぶのが良いだろう、本文献では位相変調のみ考慮するが、それをFMと呼ぶ事にする、という説明。脚注4.9は補足として、YAMAHA独自のフィードバックFM は単一オシレータのセルフ位相変調であり、もし仮に周波数変調であれば動かないという説明をしている。
* [9] Puckette 2007:

text: :[9]引用:

text: :[9]レビュー: この文献の該当部は、John Chowning 1973論文やYAMAHA実装の説明ではなく、Pure Data上で周波数変調および簡易版としての位相変調を実装する話である。周波数変調の代りに位相変調で簡易化した同等の式を立てるのが通例だとする指摘は有効。

text: [10] Luke 2019:
replies: text: :[10]引用: p.107: p.109:

text: :[10]レビュー: PDF版8.1節 "Frequency and Phase Modulation"で「ほとんどのFMシンセサイザは周波数変調は全くしておらず、関連方式である位相変調 (PM)を使っている」と宣言しているが、信頼のおけるソースは添えておらず検証可能性に問題がある。[補足](以降は数式を使って位相変調と周波数変調の相違を説明し、節 "Phase and Frequency Modulation are Very Similar"では正弦波ベースの2 operator PM / FMを例にとり、変調指数が PMの場合 am FMの場合 am/fm となることを示している)

text: [11] 小坂 2022:
replies: text: :(該当部引用がないためレビュー不可)

text: [12] 片山 2020:
replies: text: :[12]引用: p.26 4.2.2 位相変調と周波数変調の関係 / "式 (4.25) をみると信号 m(t) で位相変調を行うことは，信号 d m(t)/dt で周波数変調を行うことと等価であることがわかる．このことは，変調信号をあらかじめ積分してから位相変調を行うことで，周波数変調が実現できることを意味している．同様に，式 (4.28) が示すように，信号 m(t) で周波数変調を行うことは，m(t) を積分したもので位相変調を行うことと等価である．従って，変調信号をあらかじめ微分してから周波数変調を行うことは直接位相変調を行うことと等価である．即ち「積分器を前置した位相変調器は周波数変調器」となり「微分器を前置した周波数変調器は位相変調器」となる．図 4.17 に位相変調信号と周波数変調信号の波形の関係を示す．"

text: :[12]レビュー: 信号処理における一般論。John Chowning 1973論文やYAMAHA実装、FM音源とは直接関係ない。

text: [13] RNZ 2013:
replies: text: :[13]引用:

text: :[13]レビュー: 該当ページの脚注[10]で「厳密に言えば、ヤマハの「FM」は位相変調の実装でしたが、「FM」は、合成技術、ヤマハの楽器、およびそれらが通常生成する音に普遍的に関連付けられている用語です。」と書かれているが、これはJohn Chowning本人発言ではなくインタビューア側質問文の脚注であり、記事発行元はRadio New Zealandなので専門的な検証可能性には欠ける。
以上 --Clusternote（会話） 2023年4月18日 (火) 07:00 (UTC)

text: PMとFMの関係、正弦波の微積分の関係は理解されていると思いますが、(1)と(2)は等価ではありません。(2)の第1行以外では正弦波変調信号の位相が90度調整されていますが、これが時間積分を省く調整の一部になっています。このようにわざわざ位相を調整した式を示して等価であると説明されているのに、これを省いても等価だと主張するのはおかしいと思います。

text: またウィキペディアは、出典に記されている事実・意見を要約する場であって、投稿者が独自に理論を分析したり主張したりすることは許容されていませんのでご理解をお願いします（Wikipedia:独自研究は載せない、Wikipedia:検証可能性#「真実かどうか」ではなく「検証可能かどうか」）。また同様にWikipedia自体は出典になりません（WP:CIRCULAR）。記事で示されている出典の通り、多くの専門家がChowningの（そしてそこから一般化した）FM合成を厳密には位相変調と指摘しているのは事実なので「厳密には位相変調だが実用上は周波数変調」と明記しています。冗長になり過ぎるので記事では出していませんが、他の資料でもChowningのFM合成が位相変調であることは指摘されています。

text: ヤマハの実装が位相変調であることはChowning自身による修正も受けているRadio New Zealandの出典に明記されていますし、記事では出していませんがヤマハ自身によっても軽く触れられています。これらを信頼できないと主張するのはあなたの主観でしかないので、議論の進めようがありません。--Floe~jawiki（会話） 2023年4月18日 (火) 07:16 (UTC)
replies: text: :やりとりは簡潔に願います。

text: :# 余弦と正弦の変換に関しては、(2)式1行目の時間積分の結果、2行目の余弦となり、3行目で π/2 を括りだして正弦に戻し、初期位相 φm, φcは音響的に無視できる要素としてネグる事で等価という話です。John Chowning 1973論文では時間積分を実行した結果現れる、I=d/mという係数が付いているので、概念としての時間積分は省略されていません。[補足: この件は、 の位相変調と周波数変調の式比較により、周波数変調側の特徴である事を確認できる]

text: :# 出典[8]～[13]は、記述のスコープが不明確であったり([9],[12])、出典自体に信頼のおけるソースが記載されておらず([10],[13])、[8]を除き検証不可能な出典だというのが本サブセクションの指摘となります。このような検証不可能な出典を根拠として、「ジョン・チャウニングによって提案され、ヤマハによって実装されたFM合成の原理は厳密には位相変調である」と記述するのはWP:ORと言えるでしょう。

text: :# 既に上記でレビュー済の出典について、レビューで指摘済の問題点に応えずに同じ主張を繰り返すのはおやめ下さい。

text: :# 新たに出典を提供するのであれば、ただリンクを貼るのではなく該当部を引用し主張の根拠を明確にして下さい。意図不明確なリンクを並べて「信頼できないのがおかしい」と主張されても議論にはなりません。

text: :まずは今回お出しになった、4つのリンクの著者、発行年、タイトル、文献の位置付け(例: DAFx-2020、ヤマハHP等)を整理し、該当部の引用を示してください --Clusternote（会話） 2023年4月18日 (火) 08:17 (UTC)

text: :[補足] この件に関しては、GS-1/DX7登場後しばらくして議論となっていた事を存じており、今回議論で明確にしようとしているのは真偽関係ではなく、問題のスコープ(位相変調に流れた原因は{Chowning, YAMAHAの実装, YAMAHA独自拡張(並列/多段/波形拡張)}のどの段階か？)と信頼性ある検証可能なソースの所在です。

text: :*Radio New Zealand 2013の脚注[10]は、YAMAHAの問題だと指摘しているように見ます。

text: :*また DAFx2020 カンファレンスペーパーに短くそう記述されていたからといって、ペーパーの記述の根拠(出典)なしに断定するのは適切とは言えず、その説を多くの人が支持しているという記述に留めるのが適切に見えます。

text: :*また本記事においても、出典と記述のスコープの乖離(無関係な出典/YAMAHA限定の出典をソースに並べる等)が目に余ります。

text: :一つの習慣として、出典を記述する時にはリンクを並べるのではなく、引用文とその意図を明確に記載する習慣をつけて頂けましたら、無駄な時間を浪費する事なくスムースで有益な議論ができる事かと存じます。長くなりましたが、よろしくお願い致します。--Clusternote（会話） 2023年4月18日 (火) 09:07 (UTC)
replies: text: ::「音響的に無視できる要素としてネグる事で等価」との主張の出元があなたであれば、それはウィキペディアでは許容されていません。

text: ::出典の信頼性についてはWikipedia:信頼できる情報源のガイドラインに照らして適切だと考えています。第三者の意見が必要であればWikipedia:コメント依頼を検討してください。

text: ::出典内容の引用は文脈のある出典を部分引用しても不完全であり、著作権上の問題もあるので必ずしも応えかねます。いずれも1、2ページに位相変調の応用である旨が書いてあります。

text: ::* "So he is in fact modulating the phase."

text: ::* "Linear FM modulation for audio signals, originally described by Chowning ... Linear FM synthesis is actually a phase modulation technique ..."

text: ::--Floe~jawiki（会話） 2023年4月18日 (火) 09:28 (UTC)
replies: text: :::* 音波の「初期位相」はそれ単独では聴感に影響しない事が音響学の基礎として知られています。時間不変の「初期位相」と、時間変動する「位相項」あるいは「phase offset」という表現を混同しておられるようにお見受けします。FM音源をはじめとする信号処理では、他の音波に影響せず聴感にも影響しない時間不変の初期位相は省略可能です。

text: :::*出典の妥当性に関しては、記述と直接関係のないリンク・記述内容と矛盾した出典・相互矛盾の生じる出典リストを大量にお並べになると一般的読者が混乱するのでお控え下さい。

text: :::*論文の該当部引用に関しては、著作権法上の引用の要件を満たす形であれば日本国内では無問題ですし、WikipediaのガイドラインWP:COPYQUOTEもご参照ください。

text: :::*Floeさんが引用部を示した二つの論文[5][6]の式(1)および参考文献[1]はですので、その定義通り I=d/mを使う限り (注: 正弦波2op FM限定)、周波数変調の式です。(の a_m/f_m と同様)
replies: text: ::::::y(t)=\sin(\omega_c\,t + I\,\sin(\omega_m\,t))  (1)
replies: text: :::::(main frequency \omega_c of the carrier signal is kept static and the modulating signal added as a phase offset: I\,\sin(\omega_m\,t))
replies: text: ::::::y(t)=\sin(2\pi\,f_c\,t + I\,\sin(2\pi\,f_m\,t))  (1)

text: :::::f_c is the carrier frequency / f_m is the modulator frequency / I is the modulation index

text: ::::もう少し詳しく見てみましょう。

text: ::::*
replies: text: :::::　Floeさんが引用した文の下に "In this work, we denote this particular linear phase modulation technique simply as FM Synthesis." と書かれているように、(この仕事では)線形位相変調の特定の式(1)を周波数変調と呼ぶ事にするという説明です。

text: ::::*
replies: text: :::::　Floeさんが引用した文の下に "So why call it Frequency Modulation? ... FM and PM are therefore used interchangeably and sometimes simply referred to as angle modulations[2]. However, there are some key differences that we will look at in the following." と書かれているように、...FMとPMは相互置換可能なものとして扱われ、よりシンプルに偏角変調と呼ばれる、ただし相違がある...という説明です。これも一つ前の論文と同様、周波数変調と位相変調は同様なものなので、周波数変調を位相変調もしくは偏角変調と総称できるという話です。

text: ::::結論として、どちらの論文も は周波数変調ではないと断罪しているわけではなく単に、周波数変調は位相変調の一種として扱える、と言っているだけです。--Clusternote（会話） 2023年4月18日 (火) 11:11 (UTC)
replies: text: :::::「I=d/mを使う限り周波数変調の式」という定義に出典はあるのでしょうか？　むしろ 小坂2022 では「周波数変調は変調関数を時間積分するため，(4) 式は正確には位相変調だが，変調関数が三角関数であれば，微積分しても関数形状は変わらないため，電子音楽の分野では，周波数変調と称してきた。これは原著論文 [8] がそう呼んできたため，と考えられる。」と指摘されています。また Smith 2003 では "Note that, strictly speaking, it is not the frequency of the carrier that is modulated sinusoidally, but rather the instantaneous phase of the carrier. Therefore, phase modulation would be a better term (which is in fact used). Potential confusion aside, any modulation of phase implies a modulation of frequency, and vice versa, since the instantaneous frequency is always defined as the time-derivative of the instantaneous phase. In this book, only phase modulation will be considered, and we will call it FM, following common practice." としており、両者は同様に位相変調と呼ぶのが正確であり周波数変調と呼ぶのは慣習によると説明しています。--Floe~jawiki（会話） 2023年4月19日 (水) 12:21 (UTC)

text: ← インデントが深くなったためリセット

text: * 「I=d/mを使う限り周波数変調の式」はあくまで、 に端を発する「正弦波 2 operator FM」限定の話ですが、たとえば記事本体の注釈3の出典[10] が説明しています。

text: ** [10] : 位相変調式(4)と周波数変調式(5)の比較: "Note how similar this equation is to the phase modulation equation, Equation 4. They differ in just a constant phase (φc versus φc + D and φm vs φm − π/2), and amplitude factor (am vs am/fm). ... The amplitude factor (which is called the index of modulation later) ..." (注: The amplitude factor=index of modulation=変調指数。表記記号と式の対応関係は: am→D、fm→m、am/fm→d/m)

text: * で「微積分しても関数形状は変わらない」と言っているのは、Chowning 1973が扱う「正弦波 2 op FM」の変調指数 I=d/m を無視した話に見えます。が示すように、周波数変調の変調指数は I=d/m 、位相変調の変調指数は I=d の形になります。また時間積分で関数形状が保たれるのはたとえば正弦波や余弦波の間の話です。反例として矩形波の時間積分結果は三角波となり、関数形状は保たれません。

text: **

text: * の"Note that, strictly speaking, it is not the frequency of the carrier that is modulated sinusoidally, but rather the instantaneous phase of the carrier."は、原論文が無線工学から援用した「周波数変調」方式および その式(1) に関して

text: ** 変調結果が周波数変調(＝キャリア周波数がモジュレータ振幅に比例して変化する)となる事は否定していない

text: ** Chowning 1973の式(1)に基づく、本文献の式 (4.5) の詳細説明として、  x(t)=A_c\,\cos\left[\omega_ct+\phi_c+A_m\,\sin(\omega_mt+\phi_m)\right]    (4.5)無線工学で確立済みの概念である「周波数変調」とは、モジュレータ信号 B_m\,sin(\omega_mt+\phi_m) (ただしAm=Bm/ωm) が

text: *** キャリアの周波数 \omega_c に直接作用する形ではなく

text: ***: \omega_c → \omega_c + B_m\,sin(\omega_mt+\phi_m)    (a)

text: *** キャリアの瞬時位相 \left[\omega_ct+\phi_c\right] に追加の位相項として加わる形の式(4.5)となる

text: ***: \left[\omega_ct+\phi_c\right] → \left[\omega_ct + \phi_c + A_m\,sin(\omega_mt+\phi_m)\right]    (b)
replies: text: : という事を説明し、無線工学で確立済みの概念である「周波数変調」およびChowning 1973の「Frequency modulation」(FM)も、本文献では「位相変調」と見なそうと宣言している話です。
replies: text: :: [補足] Smith 2007説明 およびそれに基づく上記解釈には飛躍があります。上記(a)式でキャリア周波数 ωmにモジュレータ信号を直接加算しているのは、実はモジュレータ信号が時間変化しない場合 (Bm=0) に限定される式です。モジュレータ信号が時間変化する場合 (Bm≠0)、それは瞬時周波数なので時間積分し瞬時位相の形にして位相項に加算する必要があります。それは本議論の最初のサブセクションで示した式(2)の形になり、上記(b)式の形に帰着します。物理モデル音源で世界的に有名なスタンフォード大 CCRMAの教授の書籍 Smith 2007 はそれを前提とした上で、後述の理由で上記のような説明をしている事になります。

text: : 後続の文章を見ると、上記の勇み足な宣言の補足になっています。 "In this book, only phase modulation will be considered, and we will call it FM, following common practice." (本文献では位相変調のみ考慮するが、慣例に従ってそれをFMと呼ぶ事にする)
replies: text: :: (1) モジュレータ(瞬時周波数)の時間積分を厳密に行う無線工学本来の意味の周波数変調

text: :: (1') (1)に従い、特定の前提条件 (Chowning 1973の正弦波 2 operator FM) で導かれた、時間積分係数としての変調指数 Am (Chowning 1973では I=d/m)

text: :: (2) (1')の前提条件が成立しない場合 (並列/多段/正弦波以外の波形 等) にも(1')の変調指数を「形式的に」適用する方式 (推定: YAMAHA拡張、他)

text: : に関し、(1)と(2)では時間積分の厳密な実行の有無で関数の形や変調指数に相違が生じ得るので、(2)は位相変調と呼ぶのが適切だが(前述)、慣習としてFM (＝音響合成分野固有の用語としての「Frequency Modulation」)と呼ばれているのでそれに従う、という意味の話です。--Clusternote（会話） 2023年4月20日 (木) 00:22 (UTC)

text: :独自の解釈に満ちているので困っています。「I=d/mを使う限り周波数変調の式」の定義も出典にはありませんし、"it is not the frequency of the carrier that is modulated sinusoidally" と明記されているのに「変調結果が周波数変調(＝キャリア周波数がモジュレータ振幅に比例して変化する)となる事は否定していない」のでしょうか？

text: :角度変調におけるPMとFMの定義というのはきちんとあって、変調関数と変調成分が比例するものはPM、変調関数と「変調成分の微分」が比例するものはFM、という定義になっています（勝本 2015）。要するに小坂 2022がそう書いているように「周波数変調は変調関数を時間積分する」のが普通です。この定義は瞬時位相の微分が瞬時周波数であることから自明なことでもあります。

text: :ここでChowningのFM式を見ると、変調関数sin(βt)は変調成分I sin(βt)と比例し、変調成分の微分2πd cos(βt)と比例しないため、多くの文献が指摘するように、形式上はPMということになります。

text: :また単なる定義論のみならず、ChowningのFM合成については、PM形式によりフィードバックFMの実装が可能である、直流成分を無視できる、といった特徴が指摘されており、技術的にもPMとFMの区別には意味があります。--Floe~jawiki（会話） 2023年4月21日 (金) 21:43 (UTC)、2023年4月21日 (金) 21:54 (UTC)出典URL修正、2023年4月21日 (金) 22:14 (UTC)数式修正
replies: text: ::* この議論で何度もご説明している話 (時間積分で得られる(2)式、および同じ計算をしているの変調指数がPMでam、FMではam/fm) を再三無視して、独自解釈だと言い張るのはおやめ下さい。の(1)式で記号の定義として書かれている I=d/m (mはモジュレータ周波数) は、で 周波数変調の変調指数 am/fm (fmはモジュレータ周波数) として明記されており、出典に明記された事実として検証完了済みです。

text: ::* 周波数変調において時間積分が必須である事は 1950年代以前から無線工学および信号処理の分野でよく知られている話です。議論先頭の(2)式で実際に時間積分の計算を行っている事を再確認下さい。Floeさんは(2)式を時間積分と理解できずに、時間積分を省略するための式変形と誤認されているご様子ですが、それでは:
replies: text: ::: 問題1: m(t)=d sin(m・t) という関数について
replies: text: :::: (問1): m(t)の時間積分結果の式

text: :::: (問2): (問1)回答中の余弦関数 cosを、正弦関数 sinを使う形に変形した式

text: :::: (問3): (問2)回答で、「初期位相」を音響合成で省略可能なものとして省いた式

text: :::: の3つの式をお示しください。(ちなみに(問3)の答えは 出典に明記されています)

text: ::* (YAMAHA特許)のセルフフィードバックが、PMにより得られる話は の脚注4.9の話としてこのサブセクション先頭で私が説明済みです。しかしそれはYAMAHA独自拡張の話であり、Chowning 1973論文とは直接関係ありません。

text: ::一連の議論において、Floeさんは説明済みの話を何度も蒸し返したり、私が冒頭で詳細説明済みの話を独自解釈で自身の論拠とする混乱を何度も起こしており、議論が全く進まないように見えます。

text: ::1980年代から国内一般誌でも提起されていたこの問題については、既に別の場所で進展があり、日本語版Wikipedia記事で、Floeさんの誤読に基づくWP:OR記述が放置されようと多勢に影響はないかと存じます。--Clusternote（会話） 2023年4月22日 (土) 00:20 (UTC)

text: ::[補足] 私の文章「キャリア周波数がモジュレータ振幅に比例して変化する」と  "it is not the frequency of the carrier that is modulated sinusoidally"の意味の違い：

text: ::* 私の文章は変調出力側の話です。単語を補足すると「キャリア出力(=変調結果)の周波数がモジュレータ振幅に比例して変化する」となります。これは無線工学におけるFM変調/FM復調の仕様的要件でもあり、周波数変調であれば成り立つ話です。

text: ::* 引用部は式4.5の式要素の話です。(式4.5は議論冒頭の(2)式の4行目に相当します)。引用部抄訳「正弦波で変調されるのはキャリアの周波数項ではない(むしろキャリアの位相(項)である)」これは議論冒頭より再三説明済みの話の再々説明となりますが、周波数変調においては、入力信号(の振幅)をキャリアの瞬時周波数(ただしオフセット周波数＝基本周波数 a＝ωc/2π)に反映させる必要があり、具体的には入力信号を時間積分して瞬時位相に変換し、キャリアの位相項(外側sin関数の引数tが掛からない部分)に加える形で実現される、という話です。

text: ::Floeさんは議論冒頭の説明を確認しないまま、同じ話を何度も蒸し返しています。--Clusternote（会話） 2023年4月22日 (土) 05:02 (UTC)
replies: text: :::Luke 2019, p. 109の式5はPMです。"The take-home lesson here is: phase modulation and frequency modulation are not the same equation (one is in part the first derivative of the other) but they can be used to produce the same result."（PMとFMは式が異なり、一方は一部が微分に置き換わるが、同じ結果が得られる）と説明されているのを見落とさないでください。

text: :::そもそもLukeは当該文献で変調指数I=d/mをFMの定義ともしていません。

text: :::Horner & Beauchamp 2009のような文献では変調指数I=d/m（この文献ではαm=Δfm/fm）を用いた式に対して "Also, note that the left sides of Eqs. 6 and 7 are actually in the form of phase modulation (PM)." と明記されています。--Floe~jawiki（会話） 2023年4月22日 (土) 06:58 (UTC)、2023年4月22日 (土) 07:06 (UTC)数式表記を修正
replies: text: ::::Floeさん 2023年4月21日 (金) 21:43 (UTC) に対する補足的返答　(2023年4月22日 (土) 06:58 (UTC)の新しい書込みへは後ほど)

text: ::::[補足2] Floeさん 2023年4月21日 (金) 21:43 (UTC)投稿の「変調関数と変調成分が比例するものはPM、変調関数と「変調成分の微分」が比例するものはFM」および「ChowningのFM式を見ると、変調関数sin(βt)は変調成分I sin(βt)と比例し、変調成分の微分2πd cos(βt)と比例しないため、多くの文献が指摘するように、形式上はPMということになります。」について

text: ::::Chowning 1973の式(1)の記号定義 (議論冒頭で引用) を無視して曲解される方が居り、その訂正がこの議論の趣旨ですので [補足2]として追記します。

text: :::: (2ページ目)に、記号定義として "m = modulating frequency" (m: モジュレータ周波数), "β= the modulating frequency in rad/s" (β: モジュレータ角周波数 [単位: rad/s] [注: β＝2πm]), "I = d/m = the modulation index" (I=d/m: 変調指数 [注: I=2πd/β])という定義があります。それをChowningの式(1)で省略されている初期位相φc=-π/2 を加えた式(1')に反映すると
replies: text: :::::e = A sin(a・t + I sin(β・t - π/2)) …………(1')

text: :::::  = A sin(a・t + (d/m) sin(β・t - π/2))

text: ::::である事が判ります。ここで内側の正弦を余弦に等価変換すると
replies: text: :::::e = A sin(a・t - (d/m) cos(β・t))

text: ::::この位相「変調成分」を時間微分すると
replies: text: :::::\frac{d}{d\,t} (-d/m) cos(β・t) = (βd/m) sin(β・t) = 2πd sin(β・t)…………(1'-2)

text: ::::また周波数変調の入力信号あるいは「変調関数」は
replies: text: :::::M(t) = D sin(β・t)   (D=2πd) ……(1-4)

text: ::::の形である事がChowning 1973論文の前提なので(1'-2)と(1-4)の一致が確認できます

text: ::::なおFloeさんの引用文献

text: ::::*

text: ::::はこの議論冒頭(2)式で示した、周波数変調では変調信号は瞬時周波数に相当し、時間積分で瞬時位相の形式にして位相変調の位相項に加える、というストーリーと全く等価ですので、同じ結果が得られるのは当然と言えるでしょう。--Clusternote（会話） 2023年4月22日 (土) 08:22 (UTC)

text: ::::

text: ::::[Floeさん2023年4月22日 (土) 06:58 (UTC)書込みのに関する返答]

text: ::::は冒頭太字にあるように「PMとFMはとてもよく似ている(が違う)」という話題です。(4)式には"In PM, we'd have ... (4)"とありこれは位相変調式です。その次は"In FM, let's again modulation the instantaneous frequency using sine, that is fc+m(t)＝fc+am(φm+fmt)"とあるようにFMの説明が開始されています。正弦波で瞬時周波数を変調するには区間[0, t]の時間積分が必要なので(p.108 Frequency Modulation節の式)、式番なしの時間積分結果が示されています。ただしt=0における(am/fm) cos(φm)の項は定数なのでDと置き換え、p.108 Frequency Modulationの式に時間積分結果を入れ込み(5)式が得られます。つまりp.108下側の式と(5)式は周波数変調の式です。その次の"Note how similar this equation ..."では(5)式の周波数変調(FM)と、(4)式の位相変調(PM)の比較が始まります。(4)PMと(5)FMの相違点としては

text: ::::*定数位相項(いわゆる初期位相)がPM側でφc と φm、FM側で φc+D と φm - π/2

text: ::::*振幅係数つまり変調指数(index of modulation, p.110で導入)がPM側で am、FM側で am/fm

text: ::::であり、定数位相項は"typically disregarded anyway, so we can ignore them."つまりネグるのが典型だと説明、振幅係数あるいは変調指数は問題だが、"it’s just a constant change."だと書いています。

text: ::::　最後にFloeさんお気に入りの"take-home lesson"を見てみましょう。"The take-home lesson here is: phase modulation and frequency modulation are not the same equation (one is in part the first derivative of the other) but they can be used to produce the same result." 抄訳「ここでの教訓は次のとおりです。位相変調と周波数変調は同じ方程式ではありません (一方は部分的にもう一方の 1 次導関数です) が、同じ結果を生成するために使用可能です。」

text: ::::これはこれまでの記述でPMの(4)式とFMの(5)式が異なる事を確認した上で、(4)と(5)を等価と見なせる前提条件を考えれば意味が判ります。定数位相項の相違(Dおよび-π/2)は前述のように無視可能、振幅係数あるいは変調指数の相違(1/fm)はPMとFMで係数amを変えて、aPMm = aFMm/fmとなるように調整すれば等価になります。この一連の説明は正弦波2 op FMを前提としているので、モジュレータ側オペレータに余分な周波数変調(LFOやピッチベンドあるいはポルタメント)を行わなければ、モジュレーション周波数fmは(特定音程で打鍵中は)定数と見なせます。変調指数I=d/mの形については、正弦波2op 周波数変調の(5)式の振幅係数あるいは変調指数が am/fmの形になる事が示され、それが正弦波2op 位相変調の(4)式の形 amとの相違点である事を明示的に説明しています。私は最初からその話をしています。

text: ::::結論としてFloeさんは該当部を全く読まず理解もせずに空想話をしているように見えます。この文献の該当部は原論文Chowning 1973と連続性があるので本来であれば理解はスムースに進む筈です。

text: ::::Horner & Beuchamp 2009に関しては後ほど返信します。--Clusternote（会話） 2023年4月22日 (土) 09:46 (UTC)

text: ::::

text: ::::[Floeさん2023年4月22日 (土) 06:58 (UTC)書込みのHorner & Beauchamp 2009に関する返答]

text: ::::文献および引用部:

text: ::::この引用部の抄訳は「式6と7の左辺は、実際には位相変調(PM)の形式である事に注意して下さい」

text: ::::4.1.1節の流れからすると藪から棒なので流れを追ってみましょう。最初にChowning 1973 (1)式に基づいて 式5右辺 (多重正弦関数 sin(sin(...))の形) を書き、それが変調関数(余弦関数)の時間積分の結果である事を示したのが 式5左辺 です。左辺で閉じ括弧が2つ欠落しているので念のため書きなおすと下記になります。
replies: text: ::::: A sin(2π ∫(fc + Δfm cos(2πfmt))dt)

text: ::::変調指数はam=Δfm/fm=(モジュレータ振幅係数/モジュレータ周波数)の形である事を確認できます。モジュレータ周波数が20Hz未満であればヴィブラートと解釈されるのは人間の可聴域の最低周波数が16Hz程度である事に起因するでしょう。そしてモジュレータ周波数が可聴域であれば、5式で生じる倍音の一つ(a spectrum is heard)を音として聞くと、その周波数はキャリアとモジュレータの周波数に依存し、振幅(音量)は変調指数に依存するように聞こえるとの説明。これも問題なし。

text: ::::　次に式6。直前の文"This is made obvious by expanding Eq. 5 in terms of Bessel functions:" 抄訳「これは、式5 をベッセル級数展開することで明らかになります」

text: ::::式6はRoads 1996, p.232と同じ形なので問題はないでしょう。その後は式6の説明でごくごく一般的な説明です。式6を書き換えてkを0以上に限定すると、式7で正負のサイドバンドが確認できます。各サイドバンドの振幅の符号が以下三つの組み合わせで決まるという話も問題ないでしょう: a)正負どちらのサイドバンドか、b)第一種ベッセル関数で表される振幅 Jk(am) の正負、c)フォールドオーバーの有無(k ＞ fc/fm) 。

text: ::::　ここまで問題なしなので、今回議論の引用部の後の部分も確認しましょう。"FM and PM are closely related because the phase is the integral of the frequency, i.e., amsin(2πfmt) = ∫2πΔfmcos(2πfmt)dt. If some other sinusoid phase inside the integral is used (e.g., sin(2πfmt)), the result will be different, although basically the same type of spectra will result. For details see Beauchamp (1992)." 抄訳「位相は周波数の積分であるため、FM と PM は密接に関連しています、たとえば amsin(2πfmt) = ∫2πΔfmcos(2πfmt)dt。もし時間積分内に他の正弦位相(other sinusoid phase)を使う場合 (たとえば、sin(2πfmt))、結果は異なるが、基本的に同じタイプのスペクトルが得らる。 詳細は、Beauchamp (1992) 参照。」

text: ::::原文の"other sinusoid phase"という表現は判りにくいですが、式5左辺の時間積分内に cos(2πfmt) という項があり、それを上記のように sin(2πfmt) に置き換えるという話であれば、余弦関数を初期位相=-π/2の正弦関数に置き換えるだけなので問題なさそうです。

text: ::::　以上の結果から、今回議論の引用部は付言に過ぎず何かの定義などではありえようもなく、その意味は一つ前のでご説明したのと同様、周波数変調の式は変調指数am=Δfm/fmの分母側fmを固定し、かつ初期位相を無視可能なものと見なせば、位相変調の式と同じになる、という但し書きに過ぎません。

text: ::::　Floeさんは議論冒頭の説明もご自身でお出しになる文献の内容も理解しないまま、ほぼ同じ議論を次々と繰り出すとても悪い癖をお持ちに見えます。既にこの件は、Floeさんが薄らと期待する答えではなく別の答えが出ています。決して焦らず煽らずゆっくりと文献を読み内容理解を済ませてからご返信下さい。なお私はFloeさん専用の家庭教師ではないので、新しい断片検索結果を毎日並べる不毛な議論もおやめ下さい。--Clusternote（会話） 2023年4月22日 (土) 11:41 (UTC)

text: ::::[補足]Floeさんの議論が数日間同じ話の繰り返しで空回りし続けている原因は、義務教育の中学数学で扱う三角関数の積分と三角関数の式変形をご自身で確認するスキルの欠落が原因に見えます。先に提示済みの中学数学レベルの問題を再掲しますので、答えを書いて下さい。なお資料を探せば簡単に答えが見つかる問題ですので、このページの議論とどのように関係するのか理解できた事をご説明頂けますと、議論がはかどります。

text: ::::問題1: m(t)=d sin(m・t) という関数について
replies: text: :::::(問1): m(t)の時間積分結果の式

text: :::::(問2): (問1)回答中の余弦関数 cosを、正弦関数 sinを使う形に変形した式

text: :::::(問3): (問2)回答で、「初期位相」を音響合成で省略可能なものとして省いた式

text: :::::の3つの式をお示しください。(ちなみに(問3)の答えは 出典に明記されています)

text: :::::(問4): (問1)～(問3)で得られた式と、このページの議論の関係について理解できた事をご説明下さい。

text: ::::義務教育レベルのスキルに問題のある方が、そのスキルを前提とした議論をするのは無理があります。--Clusternote（会話） 2023年4月22日 (土) 14:05 (UTC)
replies: text: :::::「式(1)で省略されている初期位相φc=π/2 を加えた式」や「(4)と(5)を等価と見なせる前提条件を考えれば」といった仮の話をされても困ります。

text: :::::またノートページは記事の改善を目的としたものなので脱線はご遠慮ください（Wikipedia:ノートページのガイドライン）。

text: :::::答1：-d/m cos(m・t)

text: :::::答2：d/m sin(m・t-π/2)

text: :::::答3：d/m sin(m・t)

text: :::::答4：よって変調信号の位相を無視すれば変調指数がI=d/mである正弦波PMは正弦波FMとほぼ同じ、と言いたいのはわかります。ただそれは小坂やSmithがいうように慣習上の扱いに留まると思います。--Floe~jawiki（会話） 2023年4月23日 (日) 06:03 (UTC)
thread_title:  FM音源は周波数変調ではなく位相変調である、とする議論について 

message: 原論文: 
原論文の表式(1)
replies: text: :e=A\sin(a t + I \sin \beta t)    (1)
       c = carrier frequency or average frequency
       m = modulatiing frequency
       d = peak deviation.
       e = the instantaneous amplitude of the modulated carrier
       β= the modulating frequency in rad/s [引用注: \beta=2\pi\,m ]
       I = d/m = the modulation index, 
           the ratio of the peak deviation to the modulating frequency.
           [引用注: I=d/m=2\pi\,d/\beta ]
これは、英語版記事該当部 Frequency modulation synthesis#Spectral analysis で説明済であるように、周波数変調の式と等価です。変調信号 m(t) = D\,\sin(\beta\,t)\, による周波数変調は

text: \begin{align}
FM(t)	& \ =\ A\,\sin\left(\,\int_0^t \left(a + D\,\sin(\beta\,\tau)\right)d\tau\right) \\
	& \ =\ A\,\sin\left(a\,t - \frac{D}{\beta}\left(\cos(\beta\,t) - 1\right)\right) \\
	& \ =\ A\,\sin\left(a\,t + \frac{D}{\beta}\left(\sin(\beta\,t - \pi/2) + 1\right)\right) \\
	& \ =\ A\,\sin\left(a\,t + \frac{D}{\beta}\left(\sin(\beta\,t + \phi_m) + \phi_c\right)\right) \\
\end{align}    (2)
となり、I = d/m = 2\pi\,d/\beta なので D=2\pi\,d とし、初期位相 \phi_c, \phi_m を省略すれば、式(2)の結果は式(1)と等しくなります。

text: \begin{align}
FM(t)	& \ =\ A\,\sin\left(a\,t + I\,(\sin(\beta\,t))\right) \\
\end{align}
なお信号処理において周波数変調は、上記(2)のように「変調信号(瞬時周波数)の時間積分」結果による位相変調として表現するのが適切であり、その事自体は「周波数変調ではない」とする根拠にはなりません。
従って、原論文 John Chowning 1973 は周波数変調を適切に扱っている事が確認できました。
thread_title: 1. 原論文 John Chowning 1973 に関する誤解

message: 上記1の結果により、原論文John Chowning 1973を根拠として、YAMAHA実装が「周波数変調ではない」とする事は不可能となります。それでは実際のところはどうでしょうか。
英語版ウィキペディアの関連記事執筆者の不確かな情報によれば、上記末尾で言及した「変調信号(瞬時周波数)の時間積分」の実装が抜けていて、それは変調信号が正弦波の2 operator FMであれば(1)の実装で無問題なものの、
変調信号が正弦波以外となる条件 (YAMAHA独自特許である複数モジュレータ/多段モジュレーション および 正弦波以外の波形選択) では (1)のmodulation indexI = d/mの箇所の表式が変わるため、出音に大きな相違が生じるという話のようです。
この件に関して私は、実装資料や解析・検証結果に基づく信頼のおけるソースをまだ見た事がありません。もし心当たりのある方が居られたら、それをご提示下さい。
--Clusternote（会話） 2023年4月18日 (火) 02:29 (UTC)
thread_title: 2. YAMAHA実装に関するソースの不確かな話

message: 本議論の補足として、PD音源#他の音源との違い節の項目「FM音源」注釈3 に付けられた出典のレビューを以下に記します。
長いので要約を記します:
replies: text: * [8] Smith 2007 は、該当資料は位相変調だけを考慮しそれをFMと呼ぶ宣言で、本ページ議論とは直接関係なし。ただし、脚注4.9でYAMAHA独自のフィードバックFMへの言及があり、それが単一オシレータのセルフ位相変調であり、もし仮に周波数変調であれば動かない、という説明をしている

text: * [9] Puckette 2007 は、Pure Dataによる周波数変調と位相変調の解説、本ページ議論と直接関係なし。ただし、周波数変調の代りに位相変調で簡易化した同等の式を立てるのが通例だと指摘

text: * [10] Luke 2019 は、「ほとんどのFMシンセサイザは周波数変調は全くしておらず、関連方式である位相変調 (PM)を使っている」と明言しているものの、参考文献はなくソース自体の検証可能性に欠ける

text: * [11] 小坂 2022: (該当部引用がないためレビュー不可)

text: * [12] 片山 2020 は、信号処理における一般論であり、本ページ議論と直接関係なし

text: * [13] RNZ 2013 は、「ヤマハのFMは位相変調の実装」と明言しているものの放送局インタビューア側発言への脚注であり、執筆者署名や参考文献はなくソース自体の検証可能性に欠ける
;以下レビュー
* [8] Smith 2007:
replies: text: :[8]引用:

text: :[8]レビュー: 一般論として周波数変調は、キャリアの周波数ではなくキャリアの瞬時位相がモジュレータの正弦波で変調される形になる。従って周波数変調自体も位相変調と呼ぶのが良いだろう、本文献では位相変調のみ考慮するが、それをFMと呼ぶ事にする、という説明。脚注4.9は補足として、YAMAHA独自のフィードバックFM は単一オシレータのセルフ位相変調であり、もし仮に周波数変調であれば動かないという説明をしている。
* [9] Puckette 2007:

text: :[9]引用:

text: :[9]レビュー: この文献の該当部は、John Chowning 1973論文やYAMAHA実装の説明ではなく、Pure Data上で周波数変調および簡易版としての位相変調を実装する話である。周波数変調の代りに位相変調で簡易化した同等の式を立てるのが通例だとする指摘は有効。

text: [10] Luke 2019:
replies: text: :[10]引用: p.107: p.109:

text: :[10]レビュー: PDF版8.1節 "Frequency and Phase Modulation"で「ほとんどのFMシンセサイザは周波数変調は全くしておらず、関連方式である位相変調 (PM)を使っている」と宣言しているが、信頼のおけるソースは添えておらず検証可能性に問題がある。[補足](以降は数式を使って位相変調と周波数変調の相違を説明し、節 "Phase and Frequency Modulation are Very Similar"では正弦波ベースの2 operator PM / FMを例にとり、変調指数が PMの場合 am FMの場合 am/fm となることを示している)

text: [11] 小坂 2022:
replies: text: :(該当部引用がないためレビュー不可)

text: [12] 片山 2020:
replies: text: :[12]引用: p.26 4.2.2 位相変調と周波数変調の関係 / "式 (4.25) をみると信号 m(t) で位相変調を行うことは，信号 d m(t)/dt で周波数変調を行うことと等価であることがわかる．このことは，変調信号をあらかじめ積分してから位相変調を行うことで，周波数変調が実現できることを意味している．同様に，式 (4.28) が示すように，信号 m(t) で周波数変調を行うことは，m(t) を積分したもので位相変調を行うことと等価である．従って，変調信号をあらかじめ微分してから周波数変調を行うことは直接位相変調を行うことと等価である．即ち「積分器を前置した位相変調器は周波数変調器」となり「微分器を前置した周波数変調器は位相変調器」となる．図 4.17 に位相変調信号と周波数変調信号の波形の関係を示す．"

text: :[12]レビュー: 信号処理における一般論。John Chowning 1973論文やYAMAHA実装、FM音源とは直接関係ない。

text: [13] RNZ 2013:
replies: text: :[13]引用:

text: :[13]レビュー: 該当ページの脚注[10]で「厳密に言えば、ヤマハの「FM」は位相変調の実装でしたが、「FM」は、合成技術、ヤマハの楽器、およびそれらが通常生成する音に普遍的に関連付けられている用語です。」と書かれているが、これはJohn Chowning本人発言ではなくインタビューア側質問文の脚注であり、記事発行元はRadio New Zealandなので専門的な検証可能性には欠ける。
以上 --Clusternote（会話） 2023年4月18日 (火) 07:00 (UTC)

text: PMとFMの関係、正弦波の微積分の関係は理解されていると思いますが、(1)と(2)は等価ではありません。(2)の第1行以外では正弦波変調信号の位相が90度調整されていますが、これが時間積分を省く調整の一部になっています。このようにわざわざ位相を調整した式を示して等価であると説明されているのに、これを省いても等価だと主張するのはおかしいと思います。

text: またウィキペディアは、出典に記されている事実・意見を要約する場であって、投稿者が独自に理論を分析したり主張したりすることは許容されていませんのでご理解をお願いします（Wikipedia:独自研究は載せない、Wikipedia:検証可能性#「真実かどうか」ではなく「検証可能かどうか」）。また同様にWikipedia自体は出典になりません（WP:CIRCULAR）。記事で示されている出典の通り、多くの専門家がChowningの（そしてそこから一般化した）FM合成を厳密には位相変調と指摘しているのは事実なので「厳密には位相変調だが実用上は周波数変調」と明記しています。冗長になり過ぎるので記事では出していませんが、他の資料でもChowningのFM合成が位相変調であることは指摘されています。

text: ヤマハの実装が位相変調であることはChowning自身による修正も受けているRadio New Zealandの出典に明記されていますし、記事では出していませんがヤマハ自身によっても軽く触れられています。これらを信頼できないと主張するのはあなたの主観でしかないので、議論の進めようがありません。--Floe~jawiki（会話） 2023年4月18日 (火) 07:16 (UTC)
replies: text: :やりとりは簡潔に願います。

text: :# 余弦と正弦の変換に関しては、(2)式1行目の時間積分の結果、2行目の余弦となり、3行目で π/2 を括りだして正弦に戻し、初期位相 φm, φcは音響的に無視できる要素としてネグる事で等価という話です。John Chowning 1973論文では時間積分を実行した結果現れる、I=d/mという係数が付いているので、概念としての時間積分は省略されていません。[補足: この件は、 の位相変調と周波数変調の式比較により、周波数変調側の特徴である事を確認できる]

text: :# 出典[8]～[13]は、記述のスコープが不明確であったり([9],[12])、出典自体に信頼のおけるソースが記載されておらず([10],[13])、[8]を除き検証不可能な出典だというのが本サブセクションの指摘となります。このような検証不可能な出典を根拠として、「ジョン・チャウニングによって提案され、ヤマハによって実装されたFM合成の原理は厳密には位相変調である」と記述するのはWP:ORと言えるでしょう。

text: :# 既に上記でレビュー済の出典について、レビューで指摘済の問題点に応えずに同じ主張を繰り返すのはおやめ下さい。

text: :# 新たに出典を提供するのであれば、ただリンクを貼るのではなく該当部を引用し主張の根拠を明確にして下さい。意図不明確なリンクを並べて「信頼できないのがおかしい」と主張されても議論にはなりません。

text: :まずは今回お出しになった、4つのリンクの著者、発行年、タイトル、文献の位置付け(例: DAFx-2020、ヤマハHP等)を整理し、該当部の引用を示してください --Clusternote（会話） 2023年4月18日 (火) 08:17 (UTC)

text: :[補足] この件に関しては、GS-1/DX7登場後しばらくして議論となっていた事を存じており、今回議論で明確にしようとしているのは真偽関係ではなく、問題のスコープ(位相変調に流れた原因は{Chowning, YAMAHAの実装, YAMAHA独自拡張(並列/多段/波形拡張)}のどの段階か？)と信頼性ある検証可能なソースの所在です。

text: :*Radio New Zealand 2013の脚注[10]は、YAMAHAの問題だと指摘しているように見ます。

text: :*また DAFx2020 カンファレンスペーパーに短くそう記述されていたからといって、ペーパーの記述の根拠(出典)なしに断定するのは適切とは言えず、その説を多くの人が支持しているという記述に留めるのが適切に見えます。

text: :*また本記事においても、出典と記述のスコープの乖離(無関係な出典/YAMAHA限定の出典をソースに並べる等)が目に余ります。

text: :一つの習慣として、出典を記述する時にはリンクを並べるのではなく、引用文とその意図を明確に記載する習慣をつけて頂けましたら、無駄な時間を浪費する事なくスムースで有益な議論ができる事かと存じます。長くなりましたが、よろしくお願い致します。--Clusternote（会話） 2023年4月18日 (火) 09:07 (UTC)
replies: text: ::「音響的に無視できる要素としてネグる事で等価」との主張の出元があなたであれば、それはウィキペディアでは許容されていません。

text: ::出典の信頼性についてはWikipedia:信頼できる情報源のガイドラインに照らして適切だと考えています。第三者の意見が必要であればWikipedia:コメント依頼を検討してください。

text: ::出典内容の引用は文脈のある出典を部分引用しても不完全であり、著作権上の問題もあるので必ずしも応えかねます。いずれも1、2ページに位相変調の応用である旨が書いてあります。

text: ::* "So he is in fact modulating the phase."

text: ::* "Linear FM modulation for audio signals, originally described by Chowning ... Linear FM synthesis is actually a phase modulation technique ..."

text: ::--Floe~jawiki（会話） 2023年4月18日 (火) 09:28 (UTC)
replies: text: :::* 音波の「初期位相」はそれ単独では聴感に影響しない事が音響学の基礎として知られています。時間不変の「初期位相」と、時間変動する「位相項」あるいは「phase offset」という表現を混同しておられるようにお見受けします。FM音源をはじめとする信号処理では、他の音波に影響せず聴感にも影響しない時間不変の初期位相は省略可能です。

text: :::*出典の妥当性に関しては、記述と直接関係のないリンク・記述内容と矛盾した出典・相互矛盾の生じる出典リストを大量にお並べになると一般的読者が混乱するのでお控え下さい。

text: :::*論文の該当部引用に関しては、著作権法上の引用の要件を満たす形であれば日本国内では無問題ですし、WikipediaのガイドラインWP:COPYQUOTEもご参照ください。

text: :::*Floeさんが引用部を示した二つの論文[5][6]の式(1)および参考文献[1]はですので、その定義通り I=d/mを使う限り (注: 正弦波2op FM限定)、周波数変調の式です。(の a_m/f_m と同様)
replies: text: ::::::y(t)=\sin(\omega_c\,t + I\,\sin(\omega_m\,t))  (1)
replies: text: :::::(main frequency \omega_c of the carrier signal is kept static and the modulating signal added as a phase offset: I\,\sin(\omega_m\,t))
replies: text: ::::::y(t)=\sin(2\pi\,f_c\,t + I\,\sin(2\pi\,f_m\,t))  (1)

text: :::::f_c is the carrier frequency / f_m is the modulator frequency / I is the modulation index

text: ::::もう少し詳しく見てみましょう。

text: ::::*
replies: text: :::::　Floeさんが引用した文の下に "In this work, we denote this particular linear phase modulation technique simply as FM Synthesis." と書かれているように、(この仕事では)線形位相変調の特定の式(1)を周波数変調と呼ぶ事にするという説明です。

text: ::::*
replies: text: :::::　Floeさんが引用した文の下に "So why call it Frequency Modulation? ... FM and PM are therefore used interchangeably and sometimes simply referred to as angle modulations[2]. However, there are some key differences that we will look at in the following." と書かれているように、...FMとPMは相互置換可能なものとして扱われ、よりシンプルに偏角変調と呼ばれる、ただし相違がある...という説明です。これも一つ前の論文と同様、周波数変調と位相変調は同様なものなので、周波数変調を位相変調もしくは偏角変調と総称できるという話です。

text: ::::結論として、どちらの論文も は周波数変調ではないと断罪しているわけではなく単に、周波数変調は位相変調の一種として扱える、と言っているだけです。--Clusternote（会話） 2023年4月18日 (火) 11:11 (UTC)
replies: text: :::::「I=d/mを使う限り周波数変調の式」という定義に出典はあるのでしょうか？　むしろ 小坂2022 では「周波数変調は変調関数を時間積分するため，(4) 式は正確には位相変調だが，変調関数が三角関数であれば，微積分しても関数形状は変わらないため，電子音楽の分野では，周波数変調と称してきた。これは原著論文 [8] がそう呼んできたため，と考えられる。」と指摘されています。また Smith 2003 では "Note that, strictly speaking, it is not the frequency of the carrier that is modulated sinusoidally, but rather the instantaneous phase of the carrier. Therefore, phase modulation would be a better term (which is in fact used). Potential confusion aside, any modulation of phase implies a modulation of frequency, and vice versa, since the instantaneous frequency is always defined as the time-derivative of the instantaneous phase. In this book, only phase modulation will be considered, and we will call it FM, following common practice." としており、両者は同様に位相変調と呼ぶのが正確であり周波数変調と呼ぶのは慣習によると説明しています。--Floe~jawiki（会話） 2023年4月19日 (水) 12:21 (UTC)

text: ← インデントが深くなったためリセット

text: * 「I=d/mを使う限り周波数変調の式」はあくまで、 に端を発する「正弦波 2 operator FM」限定の話ですが、たとえば記事本体の注釈3の出典[10] が説明しています。

text: ** [10] : 位相変調式(4)と周波数変調式(5)の比較: "Note how similar this equation is to the phase modulation equation, Equation 4. They differ in just a constant phase (φc versus φc + D and φm vs φm − π/2), and amplitude factor (am vs am/fm). ... The amplitude factor (which is called the index of modulation later) ..." (注: The amplitude factor=index of modulation=変調指数。表記記号と式の対応関係は: am→D、fm→m、am/fm→d/m)

text: * で「微積分しても関数形状は変わらない」と言っているのは、Chowning 1973が扱う「正弦波 2 op FM」の変調指数 I=d/m を無視した話に見えます。が示すように、周波数変調の変調指数は I=d/m 、位相変調の変調指数は I=d の形になります。また時間積分で関数形状が保たれるのはたとえば正弦波や余弦波の間の話です。反例として矩形波の時間積分結果は三角波となり、関数形状は保たれません。

text: **

text: * の"Note that, strictly speaking, it is not the frequency of the carrier that is modulated sinusoidally, but rather the instantaneous phase of the carrier."は、原論文が無線工学から援用した「周波数変調」方式および その式(1) に関して

text: ** 変調結果が周波数変調(＝キャリア周波数がモジュレータ振幅に比例して変化する)となる事は否定していない

text: ** Chowning 1973の式(1)に基づく、本文献の式 (4.5) の詳細説明として、  x(t)=A_c\,\cos\left[\omega_ct+\phi_c+A_m\,\sin(\omega_mt+\phi_m)\right]    (4.5)無線工学で確立済みの概念である「周波数変調」とは、モジュレータ信号 B_m\,sin(\omega_mt+\phi_m) (ただしAm=Bm/ωm) が

text: *** キャリアの周波数 \omega_c に直接作用する形ではなく

text: ***: \omega_c → \omega_c + B_m\,sin(\omega_mt+\phi_m)    (a)

text: *** キャリアの瞬時位相 \left[\omega_ct+\phi_c\right] に追加の位相項として加わる形の式(4.5)となる

text: ***: \left[\omega_ct+\phi_c\right] → \left[\omega_ct + \phi_c + A_m\,sin(\omega_mt+\phi_m)\right]    (b)
replies: text: : という事を説明し、無線工学で確立済みの概念である「周波数変調」およびChowning 1973の「Frequency modulation」(FM)も、本文献では「位相変調」と見なそうと宣言している話です。
replies: text: :: [補足] Smith 2007説明 およびそれに基づく上記解釈には飛躍があります。上記(a)式でキャリア周波数 ωmにモジュレータ信号を直接加算しているのは、実はモジュレータ信号が時間変化しない場合 (Bm=0) に限定される式です。モジュレータ信号が時間変化する場合 (Bm≠0)、それは瞬時周波数なので時間積分し瞬時位相の形にして位相項に加算する必要があります。それは本議論の最初のサブセクションで示した式(2)の形になり、上記(b)式の形に帰着します。物理モデル音源で世界的に有名なスタンフォード大 CCRMAの教授の書籍 Smith 2007 はそれを前提とした上で、後述の理由で上記のような説明をしている事になります。

text: : 後続の文章を見ると、上記の勇み足な宣言の補足になっています。 "In this book, only phase modulation will be considered, and we will call it FM, following common practice." (本文献では位相変調のみ考慮するが、慣例に従ってそれをFMと呼ぶ事にする)
replies: text: :: (1) モジュレータ(瞬時周波数)の時間積分を厳密に行う無線工学本来の意味の周波数変調

text: :: (1') (1)に従い、特定の前提条件 (Chowning 1973の正弦波 2 operator FM) で導かれた、時間積分係数としての変調指数 Am (Chowning 1973では I=d/m)

text: :: (2) (1')の前提条件が成立しない場合 (並列/多段/正弦波以外の波形 等) にも(1')の変調指数を「形式的に」適用する方式 (推定: YAMAHA拡張、他)

text: : に関し、(1)と(2)では時間積分の厳密な実行の有無で関数の形や変調指数に相違が生じ得るので、(2)は位相変調と呼ぶのが適切だが(前述)、慣習としてFM (＝音響合成分野固有の用語としての「Frequency Modulation」)と呼ばれているのでそれに従う、という意味の話です。--Clusternote（会話） 2023年4月20日 (木) 00:22 (UTC)

text: :独自の解釈に満ちているので困っています。「I=d/mを使う限り周波数変調の式」の定義も出典にはありませんし、"it is not the frequency of the carrier that is modulated sinusoidally" と明記されているのに「変調結果が周波数変調(＝キャリア周波数がモジュレータ振幅に比例して変化する)となる事は否定していない」のでしょうか？

text: :角度変調におけるPMとFMの定義というのはきちんとあって、変調関数と変調成分が比例するものはPM、変調関数と「変調成分の微分」が比例するものはFM、という定義になっています（勝本 2015）。要するに小坂 2022がそう書いているように「周波数変調は変調関数を時間積分する」のが普通です。この定義は瞬時位相の微分が瞬時周波数であることから自明なことでもあります。

text: :ここでChowningのFM式を見ると、変調関数sin(βt)は変調成分I sin(βt)と比例し、変調成分の微分2πd cos(βt)と比例しないため、多くの文献が指摘するように、形式上はPMということになります。

text: :また単なる定義論のみならず、ChowningのFM合成については、PM形式によりフィードバックFMの実装が可能である、直流成分を無視できる、といった特徴が指摘されており、技術的にもPMとFMの区別には意味があります。--Floe~jawiki（会話） 2023年4月21日 (金) 21:43 (UTC)、2023年4月21日 (金) 21:54 (UTC)出典URL修正、2023年4月21日 (金) 22:14 (UTC)数式修正
replies: text: ::* この議論で何度もご説明している話 (時間積分で得られる(2)式、および同じ計算をしているの変調指数がPMでam、FMではam/fm) を再三無視して、独自解釈だと言い張るのはおやめ下さい。の(1)式で記号の定義として書かれている I=d/m (mはモジュレータ周波数) は、で 周波数変調の変調指数 am/fm (fmはモジュレータ周波数) として明記されており、出典に明記された事実として検証完了済みです。

text: ::* 周波数変調において時間積分が必須である事は 1950年代以前から無線工学および信号処理の分野でよく知られている話です。議論先頭の(2)式で実際に時間積分の計算を行っている事を再確認下さい。Floeさんは(2)式を時間積分と理解できずに、時間積分を省略するための式変形と誤認されているご様子ですが、それでは:
replies: text: ::: 問題1: m(t)=d sin(m・t) という関数について
replies: text: :::: (問1): m(t)の時間積分結果の式

text: :::: (問2): (問1)回答中の余弦関数 cosを、正弦関数 sinを使う形に変形した式

text: :::: (問3): (問2)回答で、「初期位相」を音響合成で省略可能なものとして省いた式

text: :::: の3つの式をお示しください。(ちなみに(問3)の答えは 出典に明記されています)

text: ::* (YAMAHA特許)のセルフフィードバックが、PMにより得られる話は の脚注4.9の話としてこのサブセクション先頭で私が説明済みです。しかしそれはYAMAHA独自拡張の話であり、Chowning 1973論文とは直接関係ありません。

text: ::一連の議論において、Floeさんは説明済みの話を何度も蒸し返したり、私が冒頭で詳細説明済みの話を独自解釈で自身の論拠とする混乱を何度も起こしており、議論が全く進まないように見えます。

text: ::1980年代から国内一般誌でも提起されていたこの問題については、既に別の場所で進展があり、日本語版Wikipedia記事で、Floeさんの誤読に基づくWP:OR記述が放置されようと多勢に影響はないかと存じます。--Clusternote（会話） 2023年4月22日 (土) 00:20 (UTC)

text: ::[補足] 私の文章「キャリア周波数がモジュレータ振幅に比例して変化する」と  "it is not the frequency of the carrier that is modulated sinusoidally"の意味の違い：

text: ::* 私の文章は変調出力側の話です。単語を補足すると「キャリア出力(=変調結果)の周波数がモジュレータ振幅に比例して変化する」となります。これは無線工学におけるFM変調/FM復調の仕様的要件でもあり、周波数変調であれば成り立つ話です。

text: ::* 引用部は式4.5の式要素の話です。(式4.5は議論冒頭の(2)式の4行目に相当します)。引用部抄訳「正弦波で変調されるのはキャリアの周波数項ではない(むしろキャリアの位相(項)である)」これは議論冒頭より再三説明済みの話の再々説明となりますが、周波数変調においては、入力信号(の振幅)をキャリアの瞬時周波数(ただしオフセット周波数＝基本周波数 a＝ωc/2π)に反映させる必要があり、具体的には入力信号を時間積分して瞬時位相に変換し、キャリアの位相項(外側sin関数の引数tが掛からない部分)に加える形で実現される、という話です。

text: ::Floeさんは議論冒頭の説明を確認しないまま、同じ話を何度も蒸し返しています。--Clusternote（会話） 2023年4月22日 (土) 05:02 (UTC)
replies: text: :::Luke 2019, p. 109の式5はPMです。"The take-home lesson here is: phase modulation and frequency modulation are not the same equation (one is in part the first derivative of the other) but they can be used to produce the same result."（PMとFMは式が異なり、一方は一部が微分に置き換わるが、同じ結果が得られる）と説明されているのを見落とさないでください。

text: :::そもそもLukeは当該文献で変調指数I=d/mをFMの定義ともしていません。

text: :::Horner & Beauchamp 2009のような文献では変調指数I=d/m（この文献ではαm=Δfm/fm）を用いた式に対して "Also, note that the left sides of Eqs. 6 and 7 are actually in the form of phase modulation (PM)." と明記されています。--Floe~jawiki（会話） 2023年4月22日 (土) 06:58 (UTC)、2023年4月22日 (土) 07:06 (UTC)数式表記を修正
replies: text: ::::Floeさん 2023年4月21日 (金) 21:43 (UTC) に対する補足的返答　(2023年4月22日 (土) 06:58 (UTC)の新しい書込みへは後ほど)

text: ::::[補足2] Floeさん 2023年4月21日 (金) 21:43 (UTC)投稿の「変調関数と変調成分が比例するものはPM、変調関数と「変調成分の微分」が比例するものはFM」および「ChowningのFM式を見ると、変調関数sin(βt)は変調成分I sin(βt)と比例し、変調成分の微分2πd cos(βt)と比例しないため、多くの文献が指摘するように、形式上はPMということになります。」について

text: ::::Chowning 1973の式(1)の記号定義 (議論冒頭で引用) を無視して曲解される方が居り、その訂正がこの議論の趣旨ですので [補足2]として追記します。

text: :::: (2ページ目)に、記号定義として "m = modulating frequency" (m: モジュレータ周波数), "β= the modulating frequency in rad/s" (β: モジュレータ角周波数 [単位: rad/s] [注: β＝2πm]), "I = d/m = the modulation index" (I=d/m: 変調指数 [注: I=2πd/β])という定義があります。それをChowningの式(1)で省略されている初期位相φc=-π/2 を加えた式(1')に反映すると
replies: text: :::::e = A sin(a・t + I sin(β・t - π/2)) …………(1')

text: :::::  = A sin(a・t + (d/m) sin(β・t - π/2))

text: ::::である事が判ります。ここで内側の正弦を余弦に等価変換すると
replies: text: :::::e = A sin(a・t - (d/m) cos(β・t))

text: ::::この位相「変調成分」を時間微分すると
replies: text: :::::\frac{d}{d\,t} (-d/m) cos(β・t) = (βd/m) sin(β・t) = 2πd sin(β・t)…………(1'-2)

text: ::::また周波数変調の入力信号あるいは「変調関数」は
replies: text: :::::M(t) = D sin(β・t)   (D=2πd) ……(1-4)

text: ::::の形である事がChowning 1973論文の前提なので(1'-2)と(1-4)の一致が確認できます

text: ::::なおFloeさんの引用文献

text: ::::*

text: ::::はこの議論冒頭(2)式で示した、周波数変調では変調信号は瞬時周波数に相当し、時間積分で瞬時位相の形式にして位相変調の位相項に加える、というストーリーと全く等価ですので、同じ結果が得られるのは当然と言えるでしょう。--Clusternote（会話） 2023年4月22日 (土) 08:22 (UTC)

text: ::::

text: ::::[Floeさん2023年4月22日 (土) 06:58 (UTC)書込みのに関する返答]

text: ::::は冒頭太字にあるように「PMとFMはとてもよく似ている(が違う)」という話題です。(4)式には"In PM, we'd have ... (4)"とありこれは位相変調式です。その次は"In FM, let's again modulation the instantaneous frequency using sine, that is fc+m(t)＝fc+am(φm+fmt)"とあるようにFMの説明が開始されています。正弦波で瞬時周波数を変調するには区間[0, t]の時間積分が必要なので(p.108 Frequency Modulation節の式)、式番なしの時間積分結果が示されています。ただしt=0における(am/fm) cos(φm)の項は定数なのでDと置き換え、p.108 Frequency Modulationの式に時間積分結果を入れ込み(5)式が得られます。つまりp.108下側の式と(5)式は周波数変調の式です。その次の"Note how similar this equation ..."では(5)式の周波数変調(FM)と、(4)式の位相変調(PM)の比較が始まります。(4)PMと(5)FMの相違点としては

text: ::::*定数位相項(いわゆる初期位相)がPM側でφc と φm、FM側で φc+D と φm - π/2

text: ::::*振幅係数つまり変調指数(index of modulation, p.110で導入)がPM側で am、FM側で am/fm

text: ::::であり、定数位相項は"typically disregarded anyway, so we can ignore them."つまりネグるのが典型だと説明、振幅係数あるいは変調指数は問題だが、"it’s just a constant change."だと書いています。

text: ::::　最後にFloeさんお気に入りの"take-home lesson"を見てみましょう。"The take-home lesson here is: phase modulation and frequency modulation are not the same equation (one is in part the first derivative of the other) but they can be used to produce the same result." 抄訳「ここでの教訓は次のとおりです。位相変調と周波数変調は同じ方程式ではありません (一方は部分的にもう一方の 1 次導関数です) が、同じ結果を生成するために使用可能です。」

text: ::::これはこれまでの記述でPMの(4)式とFMの(5)式が異なる事を確認した上で、(4)と(5)を等価と見なせる前提条件を考えれば意味が判ります。定数位相項の相違(Dおよび-π/2)は前述のように無視可能、振幅係数あるいは変調指数の相違(1/fm)はPMとFMで係数amを変えて、aPMm = aFMm/fmとなるように調整すれば等価になります。この一連の説明は正弦波2 op FMを前提としているので、モジュレータ側オペレータに余分な周波数変調(LFOやピッチベンドあるいはポルタメント)を行わなければ、モジュレーション周波数fmは(特定音程で打鍵中は)定数と見なせます。変調指数I=d/mの形については、正弦波2op 周波数変調の(5)式の振幅係数あるいは変調指数が am/fmの形になる事が示され、それが正弦波2op 位相変調の(4)式の形 amとの相違点である事を明示的に説明しています。私は最初からその話をしています。

text: ::::結論としてFloeさんは該当部を全く読まず理解もせずに空想話をしているように見えます。この文献の該当部は原論文Chowning 1973と連続性があるので本来であれば理解はスムースに進む筈です。

text: ::::Horner & Beuchamp 2009に関しては後ほど返信します。--Clusternote（会話） 2023年4月22日 (土) 09:46 (UTC)

text: ::::

text: ::::[Floeさん2023年4月22日 (土) 06:58 (UTC)書込みのHorner & Beauchamp 2009に関する返答]

text: ::::文献および引用部:

text: ::::この引用部の抄訳は「式6と7の左辺は、実際には位相変調(PM)の形式である事に注意して下さい」

text: ::::4.1.1節の流れからすると藪から棒なので流れを追ってみましょう。最初にChowning 1973 (1)式に基づいて 式5右辺 (多重正弦関数 sin(sin(...))の形) を書き、それが変調関数(余弦関数)の時間積分の結果である事を示したのが 式5左辺 です。左辺で閉じ括弧が2つ欠落しているので念のため書きなおすと下記になります。
replies: text: ::::: A sin(2π ∫(fc + Δfm cos(2πfmt))dt)

text: ::::変調指数はam=Δfm/fm=(モジュレータ振幅係数/モジュレータ周波数)の形である事を確認できます。モジュレータ周波数が20Hz未満であればヴィブラートと解釈されるのは人間の可聴域の最低周波数が16Hz程度である事に起因するでしょう。そしてモジュレータ周波数が可聴域であれば、5式で生じる倍音の一つ(a spectrum is heard)を音として聞くと、その周波数はキャリアとモジュレータの周波数に依存し、振幅(音量)は変調指数に依存するように聞こえるとの説明。これも問題なし。

text: ::::　次に式6。直前の文"This is made obvious by expanding Eq. 5 in terms of Bessel functions:" 抄訳「これは、式5 をベッセル級数展開することで明らかになります」

text: ::::式6はRoads 1996, p.232と同じ形なので問題はないでしょう。その後は式6の説明でごくごく一般的な説明です。式6を書き換えてkを0以上に限定すると、式7で正負のサイドバンドが確認できます。各サイドバンドの振幅の符号が以下三つの組み合わせで決まるという話も問題ないでしょう: a)正負どちらのサイドバンドか、b)第一種ベッセル関数で表される振幅 Jk(am) の正負、c)フォールドオーバーの有無(k ＞ fc/fm) 。

text: ::::　ここまで問題なしなので、今回議論の引用部の後の部分も確認しましょう。"FM and PM are closely related because the phase is the integral of the frequency, i.e., amsin(2πfmt) = ∫2πΔfmcos(2πfmt)dt. If some other sinusoid phase inside the integral is used (e.g., sin(2πfmt)), the result will be different, although basically the same type of spectra will result. For details see Beauchamp (1992)." 抄訳「位相は周波数の積分であるため、FM と PM は密接に関連しています、たとえば amsin(2πfmt) = ∫2πΔfmcos(2πfmt)dt。もし時間積分内に他の正弦位相(other sinusoid phase)を使う場合 (たとえば、sin(2πfmt))、結果は異なるが、基本的に同じタイプのスペクトルが得らる。 詳細は、Beauchamp (1992) 参照。」

text: ::::原文の"other sinusoid phase"という表現は判りにくいですが、式5左辺の時間積分内に cos(2πfmt) という項があり、それを上記のように sin(2πfmt) に置き換えるという話であれば、余弦関数を初期位相=-π/2の正弦関数に置き換えるだけなので問題なさそうです。

text: ::::　以上の結果から、今回議論の引用部は付言に過ぎず何かの定義などではありえようもなく、その意味は一つ前のでご説明したのと同様、周波数変調の式は変調指数am=Δfm/fmの分母側fmを固定し、かつ初期位相を無視可能なものと見なせば、位相変調の式と同じになる、という但し書きに過ぎません。

text: ::::　Floeさんは議論冒頭の説明もご自身でお出しになる文献の内容も理解しないまま、ほぼ同じ議論を次々と繰り出すとても悪い癖をお持ちに見えます。既にこの件は、Floeさんが薄らと期待する答えではなく別の答えが出ています。決して焦らず煽らずゆっくりと文献を読み内容理解を済ませてからご返信下さい。なお私はFloeさん専用の家庭教師ではないので、新しい断片検索結果を毎日並べる不毛な議論もおやめ下さい。--Clusternote（会話） 2023年4月22日 (土) 11:41 (UTC)

text: ::::[補足]Floeさんの議論が数日間同じ話の繰り返しで空回りし続けている原因は、義務教育の中学数学で扱う三角関数の積分と三角関数の式変形をご自身で確認するスキルの欠落が原因に見えます。先に提示済みの中学数学レベルの問題を再掲しますので、答えを書いて下さい。なお資料を探せば簡単に答えが見つかる問題ですので、このページの議論とどのように関係するのか理解できた事をご説明頂けますと、議論がはかどります。

text: ::::問題1: m(t)=d sin(m・t) という関数について
replies: text: :::::(問1): m(t)の時間積分結果の式

text: :::::(問2): (問1)回答中の余弦関数 cosを、正弦関数 sinを使う形に変形した式

text: :::::(問3): (問2)回答で、「初期位相」を音響合成で省略可能なものとして省いた式

text: :::::の3つの式をお示しください。(ちなみに(問3)の答えは 出典に明記されています)

text: :::::(問4): (問1)～(問3)で得られた式と、このページの議論の関係について理解できた事をご説明下さい。

text: ::::義務教育レベルのスキルに問題のある方が、そのスキルを前提とした議論をするのは無理があります。--Clusternote（会話） 2023年4月22日 (土) 14:05 (UTC)
replies: text: :::::「式(1)で省略されている初期位相φc=π/2 を加えた式」や「(4)と(5)を等価と見なせる前提条件を考えれば」といった仮の話をされても困ります。

text: :::::またノートページは記事の改善を目的としたものなので脱線はご遠慮ください（Wikipedia:ノートページのガイドライン）。

text: :::::答1：-d/m cos(m・t)

text: :::::答2：d/m sin(m・t-π/2)

text: :::::答3：d/m sin(m・t)

text: :::::答4：よって変調信号の位相を無視すれば変調指数がI=d/mである正弦波PMは正弦波FMとほぼ同じ、と言いたいのはわかります。ただそれは小坂やSmithがいうように慣習上の扱いに留まると思います。--Floe~jawiki（会話） 2023年4月23日 (日) 06:03 (UTC)
thread_title: 【補足】「PD音源#他の音源との違い」節の項目「FM音源」注釈3 に付けられた出典のレビュー