Discussione:Spazio compatto

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Bisognerebbe aggiungere una parte introduttiva per i non esperti.
--[[Utente:Pokipsy76|Pokipsy76]] 12:03, Feb 6, 2005 (UTC)

message: Fatto, bastava tenere le due righe che avevo messo io :)   Ho approfittato per espandere un pò il concetto. [[Utente:Kormoran|Kormoran]] 03:44, Feb 7, 2005 (UTC)

message: Ciao Kormoran, nella tua definizione ci sono dei problemi:
1) affinchè sia "buona" bisogna assumere uan nozione di frontiera che includa anche i punti all'infinito (altrimenti '''R''' sarebbe compatto) il che non è una cosa standard,
2) in ogni caso definire compatto come insieme chiuso e limitato è una cosa che va bene solo se si specifica a priori che stiamo parlando di R^n con n finito dotato della topologia euclidea standard
3) non è necessario uno spazio metrico e una norma per estendere la nozione di compattezza, basta uno spazio topologico,
Ho notato poi che esiste già una voce "spazio topologico compatto", quindi pensavo che una cosa saggia potrebbe essere avere due voci: una (quella che già esiste) di spazio topologico compatto e l'altra di "insieme compatto" (di '''R''' e di '''R'''^n) che è quella che si incontra in Analisi 1 e 2, e quindi la voce "compatto" potrebbe rimandare ad una delle due.
--[[Utente:Pokipsy76|Pokipsy76]] 11:04, Feb 8, 2005 (UTC)
In che senso non è buona? A me pare semplice e diretta, quello che ci vuole per dei profani che capitano sull'articolo e vogliono capire (più o meno, a grandi linee) cos'è un compatto. Di seguito poi c'è la tua definizione, molto più rigorosa, per chi di matematica ne mastica già. Semmai possiamo  precisare che la prima definizione (la mia) è una definizione "alla buona" che necessita di ulteriori precisazioni per essere rigorosa. (ma poi: che significa che "'''R''' compatto non è una cosa standard"???)<br>
Per quanto riguarda i tuoi tre punti:
1) Un compatto è un insieme che contiene anche tutti i suoi punti di frontiera: questa definizione è esatta ed è buona quanto qualsiasi altra, da un punto di vista matematico. Per spiegare per filo e per segno cosa sia la frontiera di un insieme, c'è il link all'articolo appropriato (ancora da scrivere) che uno si va a vedere. 
2) Che i compatti, a certe condizioni, siano gli insiemi chiusi e limitati l'hai scritto TU e non io :P
3) Non conosco la topologia, ma da quello che mi ricordo di analisi 1, per definire un punto di frontiera si impiegavano o le successioni, o i limiti, o gli intorni e tutti questi metodi abbisognavano di poter definire una distanza fra due punti... insomma lo spazio in questione doveva essere metrico.
Mi sembra di ricordare che il prof di analisi accennò anche a questa storia dei ricoprimenti ma fu proprio una toccata e fuga... in effetti la trovo abbastanza incomprensibile. Comunque se riesci ad esporre in modo chiaro e semplice il significato della deinizione di compatto che hai dato usando i ricoprimenti, che è più generica di quelle che conosco io visto che non usa le distanze fra punti, sono d'accordissimo a metterla in cima all'articolo al posto della mia :)  [[Utente:Kormoran|Kormoran]] 02:47, Feb 9, 2005 (UTC)
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Ciao!!
Il problema principale di questa storia della frontiera è che l'intera retta reale '''R''' ''non'' è compatta e stando alla definizione "standard" di frontiera '''R''' contiene tutti i suoi punti di frontiera (in effetti contiene tutti i punti in generale). Quindi la definizione che hai dato potrebbe far pensare che '''R''' sia un insieme compatto.
Detto questo vorrei precisare che secondo me la definizione iniziale '''deve''' essere alla maniera di un libro di Analisi1 (e quindi eviterei di esordire subito con la storia dei ricoprimenti), tuttavia bisognerebbe precisare i termini del discorso per far capire che ci troviamo in un contesto da Analisi1: cioè bisognerebbe specificare che parliamo di "un sottinsieme della retta reale"... e poi andrebbe corretta la definizione stessa perchè come spiegavo il contenere i punti di frontiera non è sufficiente a garantire che l'insieme è compatto, per questo parlavo di "chiuso e limitato": è una delle possibili definizioni di compattezza in Analisi1, un altra è quella relativa alle successioni.
Un'altra cosa carina potrebbe essere dare un'idea generale (discorsiva) di che cosa si vuole intendere per compattezza... ma non saprei proprio come fare!
--[[Utente:Pokipsy76|Pokipsy76]] 11:28, Feb 9, 2005 (UTC)
Io ho parlato di frontiera invece di dare le definizioni proprio perchè era un modo semplice e generale per dire che cos'è un compatto. Possiamo precisare meglio il concetto di frontiera, però questa è una cosa da fare nell'articolo apposta sulla frontiera di un insieme: qui potremmo dare qualche avvertenza, tipo appunto "occhio che su '''R''' i punti all'infinito NON sono considerati frontiera"... però i compatti esistono anche su spazi che con '''R''' non hanno niente a che vedere. Io cercherei di essere più generale possibile, all'inizio dell'articolo, per poi precisare nel seguito.<br>
Per questo io mi concentrerei per estrarre un senso comune dalla definizione a base di ricoprimenti, che è la più generale; se riusciamo a "rendere l'idea" alla base di quella definizione, allora l'introduzione discorsiva sarà facile e comprensibile da scrivere anche solo con i ricoprimenti. Poi potremmo anche dimostrare l'equivalenza (su R<sup>n</sup>) fra le quattro definizioni e poi far vedere con un esempio che quella con i ricoprimenti "funziona" anche dove le prime tre non si possono applicare. [[Utente:Kormoran|Kormoran]] 15:25, Feb 9, 2005 (UTC)

message: Il problema è che non è vero che "si dice che un insieme è compatto se comprende in sè tutti i suoi punti di frontiera", il controesempio è '''R''' che contiene tutti i suoi punti di frontiera ma non è compatto.
Poi il fatto di essere generali all'inizio ci obbligherebbe a parlare di "spazi topologici" o "spazi metrici" e questo potrebbe andare a scapito dell'intuituitività... A meno che non decidiamo di esordire con un linguaggio completamente discorsivo (qualcosa del tipo: la nozione di compattezza vuole rappresentare l'idea intuitiva di uno spazio da cui cui non si può "scappare via" con l'operazione di limite) però è difficile...
--[[Utente:Pokipsy76|Pokipsy76]] 10:23, Feb 11, 2005 (UTC)
Sì, l'introduzione discorsiva sarebbe IMHO la cosa migliore: rende il concetto in modo chiaro per l'utente casuale senza appesantire con dimostrazioni e dettagli, interessanti solo per chi fa matematica e che mettiamo poi nel seguito. Cosa ne dici di: "In parole povere, un insieme è compatto quando nessuna operazione di limite su elementi dell'insieme porta a elementi non appartenenti all'insieme stesso: se un insieme è compatto, allora contiene tutti i suoi punti di frontiera. Il viceversa in generale non è vero." E poi precisiamo in senso matematico con la definizione rigorosa. [[Utente:Kormoran|Kormoran]] 15:34, Feb 11, 2005 (UTC)

message: Delinkato (ahia) retta (semmai si potrebbe linkare a numeri reali), piano (qui si riferisce a R², non credo ci sia una voce adeguata) e spazio (che qui sarebbe R³). --“Ricordati…” 17:38, 13 gen 2006 (CET)
thread_title:  Link 

message: Consiglio (dal generale al particolare):
# Un insieme si dice compatto se ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito.
# Nel caso di spazi metrici, la definizione coincide con quella di sequenzialmente compatto, ovvero da ogni successione posso estrarre una sottosuccessione convergente
# Nel caso di spazi finito-dimensionali, sequenzialmente compatto coincide con chiuso e limitato.
:dovrebbe essere dal generale al particolare, pero' dobbiamo tenere conto che l'utente medio non e' un esperto di topologia e cerca solamente la definizione in uno spazio finito-dimensionale. Ylebru  dimmela  23:05, 15 gen 2006 (CET)
replies: text: Forse bisognerebbe scrivere un'introduzione accessibile più o meno a tutti che spieghi un po' a cosa servono/perché si studiano gli spazi/insiemi compatti, e mettere le definizioni rigorose in una sezione a parte dell'articolo. --“Ricordati…” 16:14, 16 gen 2006 (CET)
replies: text: Secondo me bisogna iniziare dalle nozioni che sono più familiari e richiedono i concetti più comuni (cioè la compattezza in R) dopo di che si può piano piano astrarre fino ad arrivare alla definizione più generale possibile. Lo dico perchè l'articolo deve essere accessibile a tutti, e se capita una persona che sta studiando analisi al primo anno e si ritrova la nozione topologica fa molta fatica ad andare avanti.--Pokipsy76 23:44, 19 gen 2006 (CET)
replies: text: Rimango dell'idea che potrebbe essere utile un incipit più intuitivo, un po' come hanno provato a fare nell'articolo francese. Così anche chi non conosce i concetti di "insieme chiuso", "punto di accumulazione" ecc., riesce a capirci almeno qualcosa. Se poi nel seguito dell'articolo dare prima la definizione astratta oppure illustrare l'esempio specifico dello spazio euclideo, mi sembra una questione secondaria. --“Ricordati…” 15:44, 20 gen 2006 (CET)
replies: text: Sono d'accordo con l'introduzione intuitiva. Ylebru  dimmela  16:38, 20 gen 2006 (CET)
thread_title:  Struttura dell'articolo 

message: Come si può fare un esempio di una cosa che non è stata ancora definita?--Pokipsy76 16:06, 13 mag 2006 (CEST)
thread_title:  L'esempio elementare 

message: Ho tolto l'affermazione che uno spazio topologico compatto è sequenzialmente compatto.
Non mi sembra sia vera. 
Osservo che in ogni spazio compatto una successione ha sempre una "sottosuccessione generalizzata" convergente. Ma nulla garantisce che questa "sottosuccessione generalizzata" sia essa stessa una successione.
D'altronde la falsità di questa implicazione è affermata qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space#Other_forms_of_compactness
Non ho tuttavia sottomano una fonte autorevole.
--Fioravante Patrone 23:25, 30 giu 2007 (CEST)
thread_title:  Compattezza e compattezza sequenziale 

message: A prescindere dal fatto che, IMO, mettere all'inizio la definizione per spazi euclidei è concettualmente sbagliato (infatti, il fatto che i compatti coincidano con i chiusi e limitati non è la definizione di spazi compatti, bensì discende dal teorema di Heine-Borel; questo è perdonabile, visto che un se e solo se può essere assunto come definitorio). A ogni modo, data la definizione originaria (per coperture aperte), non sarebbe bene trattare delle conseguenze valide in OGNI spazio metrico? Con ciò intendo le proprietà per cui, in qualunque spazio metrico, un insieme compatto è chiuso, limitato e gode della proprietà di Bolzano-Weierstrass (ogni suo sottoinsieme infinito ammette in esso almeno un punto di accumulazione). Ovviamente tali proprietà non contraddistinguono i soli compatti, ossia non sono sufficienti (eccetto l'ultima, la proprietà di B-W, che è in questo senso intercambiabile con la definizione di compattezza per coperture aperte).</br>
Per ricapitolare, non sarebbe bene mettere un paragrafo del tipo "condizioni necessarie per la compattezza" che elenchi le suddette tre proprietà? Kamina (msg) 15:13, 19 feb 2011 (CET)
thread_title:  Condizioni necessarie alla compattezza