Discussione:Criterio di convergenza di Cauchy

message: Salve a tutti!
Sebbene io sia solo un misera matricola di Fisica e quindi decisamente inesperto credo ci sia un errore nella dimostrazione del criterio di convergenza per le successioni a valori reali da voi esposta nella voce "Criterio di Convergenza di Cauchy".
Infatti per quanto riguarda la prima implicazione "Se la successione è convergente, allora è di Cauchy" non ci sono problemi, invece nel viceversa "Se la successione è di Cauchy, allora è convergente", a mio parere c'è un punto errato.
La dimostrazione si articola applicando il teorema di Heine-Borel perchè si afferma che la successione sarebbe contenuta in un insieme chiuso e limitato. Mentre non ci sono dubbi sul fatto che l'insieme sia limitato è invece discutibile che esso sia chiuso. In effetti non se ne ha alcuna prova. Questa mancanza rende inutilizzabile Heine-Borel, a meno che non si fornisca una dimostrazione del fatto che l'insieme sia chiuso. Per evitare ciò e allo stesso tempo risolvere il problema, mi permetto di suggerire una dimostrazione alternativa.
Sappiamo infatti che l'insieme è limitato e oltre a ciò che esso è senza dubbio contenuto in R ed infinito, in quanto successione a valori reali. In base a ciò possiamo applicare il teorema di Bolzano-Weierstrass che afferma che "un'insieme contenuto in R, infinito e limitato ha almeno un punto di accumulazione" e quindi dedurne che esista una sottosuccessione convergente. Da qui in poi la dimostrazione rimane la stessa.
In conclusione consiglierei di aggiungere un corollario dove si dimostra che tale proprietà vale in generale per ogni insieme compatto, sfruttando stavolta a ragione le proprietà dei compatti e la vecchia dimostrazione.   Cantor88 12.07 19/02/2008
:La dimostrazione attuale torna: la successione è contenuta in un insieme limitato, e quindi è contenuta anche in un limitato chiuso (un intervallo): ho modificato la voce in modo che sia più chiaro il passaggio. Comunque va bene anche la soluzione che proponi, che forse è anche più diretta: fa' pure le modifiche che suggerisci :-) Ylebru  dimmela  12:24, 19 feb 2008 (CET)

message: "[...] Poiché {\displaystyle 2\varepsilon } 2\varepsilon  è "piccolo a piacere" [...]"
Non si era detto che valeva per qualunque epsilon maggiore di zero? Questa frase può al più permettere la facile dimostrazione (con epsilon piccoli)... ma quest'ultima non dovrebbe essere valida sempre?
Ossia, trovando un singolo epsilon qualunque maggiore di zero, diventerebbe falsa.
Inoltre non credo che una frase affatto tecnica come questa sia consona al contesto.
Forse ho capito male e non vale per qualunque epsilon?
Delucidazioni?
--Pentracchiano (Contatta un Nonciclopediano!!) 12:57, 6 gen 2017 (CET)
replies: text: Sinceramente non ho capito quale sia il problema. Poi per quanto riguarda il fatto che la frase sia tecnica, si parla di una criterio abbastanza tecnico di suo, quindi mi sembra inevitabile che l'enunciato e ancor piu' la sua dimostrazione lo possano essere (e si sta parlando cmq di tecnicismi che dovrebbero essere ovvi per chi ha ben chiara la definizione di limite, un requisito direi fondamentale per questa pagina).--Sandro_bt (scrivimi) 16:45, 6 gen 2017 (CET)
thread_title:  "piccolo a piacere"?