Vita:Egyenlet

message: Az alábbi rész:
replies: text: Ha {n ∈ N \{0;1} | n < 4} (vagyis az n hatvány a természetes számok halmazának eleme kivéve a(z) 0 és 1, de nem nagyobb mint 4)
nekem egy kicsit túlbonyolítottnak tűnik az n=2, 3 vagy 4 jelentés leírására. Ha nem az előző kifejezés, szerintem akkor is legfeljebb egy n ∈ {2;3;4} elég (bár szerintem már ez is túlzás) – nem csak matematikusok olvassák a cikket. Jé, most veszem észre, hogy a nagy bonyolítás nem is sikerült jól, n < 4 helyett n ≤ 4 vagy n < 5 kellene. – Szaszicska vita 2009. augusztus 15., 22:53 (CEST)
Az exponenciális egyenletnél példának hozott
(2/5)^x + 5/2 = (8/125)^x
(2/5)^x + (2/5)^−1 = (2/5)^3x
[az exp. függvény szigorú monotonitása miatt, (vagy kölcsönös egyértelműsége miatt):]
x – 1 = 3x
    x = -0,5
egyenlet és annak levezetése hibás, az egyenletnek az x=-0,5 nem gyöke!
A hatványozás tulajdonságát akkor lehetne kihasználni, ha az egyenlet bal oldalán összeadás helyett szorzást írnánk.
(2/5)^x * 5/2 = (8/125)^x
Ekkor már helyes az x= -0,5 .
Jogos az észrevétel, köszi. Ami oda volt írva, az teljes zagyvaság, kikommenteztem az egész fejezetet, amíg nem sikerül értelmes szöveggel helyettesíteni. Bináris ide Kelt: Wikipédia,  2010. április 10., 17:35 (CEST)
thread_title: kivágott rész

message: Az alábbi szöveg nem mind ide való és sok hibát tartalmazott:  ♥♥♥  Γουββος Θιλοβούββος ✍  2011. január 21., 11:04 (CET)
thread_title:  Kivágott 

message: Az elemi matematikában és algebrában algebrainak nevezzük azokat az egyenleteket, melyekben a négy alapműveleten kívül (az összeadás, a szorzás, és ezek inverzei: a kivonás/ellentettképzés és az osztás/reciprokképzés) egyéb műveletek nem szerepelnek. A hatványozás, mivel az valójában a szorzás speciális esete, megengedett. Az összes többi művelet (pl. az abszolútérték, szinusz vagy tangens, legkisebb közös többszörös stb. képzése) transzcendens (algebrán túli) műveletnek minősül, és transzcendens egyenlethez vezet.
Az absztrakt algebra segítségével az algebrai/transzcendens megkülönböztetés általánosítható. Legyen adott egy algebrai struktúra az A alaphalmazzal. Tekintve valamely An</sub>-ből A-ba képező f függvényt, ha van olyan, a struktúra felett értelmezett algebrai kifejezés (azaz a struktúraműveletekből, struktúraelemekből és ismeretlenekből felépülő olyan értelmes formula), amelyben az ismeretlenek helyébe f bármely argumentumát helyettesítve, az éppen f megfelelő értékét adja, akkor f egy algebrai függvény, ellenkező esetben transzcendens. Például egy gyűrű felett az összes algebrai függvények a polinomfüggvények.-->
thread_title:  Algebrai és transzcendens egyenletek 

message: Az egyenleteket gyakran használják két olyan kifejezés egyenlőségének kifejezésére, melyek egy vagy több változót (ismeretlent) tartalmaznak. Például x minden értékére igaz a következő:
replies: text: x + x = 2x\,
Ez egy úgynevezett azonosság: az egyenlet mindig igaz, attól függetlenül, hogy milyen értéket vesznek fel a változók.
Azok az egyenletek, amelyek nem azonosságok, azokat analitikai vagy feltételes egyenletnek nevezzük. Például:

text: x - 1 = 3\,
A fenti egyenlet csak abban az esetben teljesül ha az x értéke 4 (x=4), minden más értékre hamis. Tehát, ha az egyenlet igaz, akkor információval szolgál x értékére vonatkozóan. Azokat az értékeket, amelyekre igaz az egyenlőség, az egyenlet megoldásainak vagy más néven gyökeinek nevezzük (nem összetévesztendő a négyzetgyökkel).
Az egyenletekben a kialakult hagyomány szerint az ábécé elejének betűi (a, b, c, …) konstansokat (ismert értékeket), az ábécé végének betűi (x, y, z) változókat (ismeretleneket) jelölnek.
Több, egyszerre megoldandó egyenletet egyenletrendszernek nevezünk, ekkor az egyenletrendszer megoldáshalmaza az egyes egyenletek megoldáshalmazainak metszete.
=== Algebrai egyenlet megoldása ===
Egyenlet megoldása azt az eljárást jelenti, amelynek során meghatározzuk a feltételes egyenlet összes gyökét. Ez gyakorta diszkusszióval kezdődik (ha szükséges): azaz meghatározzuk az ismeretlenek azon értékeit, amelynél az ezen ismeretleneket tartalmazó kifejezések bármelyike is értelmetlen.

text: \frac{1}{x + 1} = x
Ennél az egyenletnél például ki kell zárni az x = -1\, esetet, hiszen akkor az osztást nem lehet elvégezni.

text: \sqrt{x - 1} = 2
Itt pedig a diszkusszió az x \geq 1 megállapítását jelenti, hiszen a négyzetgyökvonás (valós számok körében) csak nullánál nagyobb számok körében végezhető el.
A diszkusszió után kezdődik a valódi egyenletmegoldás. A legtöbbször ez olyan átalakítások sorozatát jelenti, amelynek a végén az egyik oldalon az ismeretlen áll, a másik oldalon pedig egy ismert érték. Kétféle átalakítás lehetséges: vagy az egyenlet egyik oldalát alakítjuk úgy, hogy annak értéke ne változzon, vagy az egyenlet mindkét oldalára alkalmazzuk ugyanazt a műveletet, és mivel az egyenlet két oldala megegyezik, a művelet után is meg kell egyezniük. Ezt akkor nevezzünk ekvivalens átalakításnak, ha az eredeti és az átalakított egyenletnek ugyanazok a gyökei. Ilyen átalakítások a következők:
* Bármely kifejezés hozzáadása, kivonása
* Bármely nullától különböző kifejezéssel való szorzás
* Bármely nullától különböző kifejezéssel való osztás
* Bármely invertálható (kölcsönösen egyértelmű) matematikai függvény alkalmazása (például: páratlan kitevőjű hatványra emelés; logaritmus; reciprok, ha az egyenlet egyik oldala sem nulla stb.)
Nullával azért nem szorozhatunk, mert akkor függetlenül az eredeti egyenlettől, a 0=0\, egyenletet kapjuk, amely azonosság, tehát az ismeretlenek minden értékére igaz (ami az eredetiről nem feltétlenül mondható el).
Olyan függvényeket is alkalmazhatunk az egyenletre, amelyek nem kölcsönösen egyértelműek (például a négyzetre emelés), de ekkor ki kell szűrni diszkusszióval vagy ellenőrzéssel a hamis gyököket (olyan gyökök, amelyek az eredeti egyenletnek nem megoldásai, csak az átalakítotténak).
=== Magasabb fokú egyismeretlenes algebrai egyenletek ===
Magasabb fokúnak nevezünk egy egyenletet, ha abban legalább egy ismeretlen 1-től nagyobb pozitív n hatványon szerepel. Ha {n ∈ N \{0;1} | n < 4} (vagyis az n fokszám a természetes számok halmazának eleme kivéve a(z) 0 és 1, de nem nagyobb mint 4), akkor másod-, harmad- és negyedfokú egyenletekről beszélünk. Az ilyen egyenleteket, ha kizárólag az elsőfokú egyenletek megoldásmódszereit alkalmaznánk, nem lehetne megoldani, általában az úgynevezett megoldóképletet kell alkalmazni hozzájuk (az egyszerűbbek enélkül is megoldhatóak, de nem mindegyikük). Ötödfokú vagy annál nagyobb fokú egyenletre nem írható föl algebrai megoldóképlet. Ezeket általában közelítő módszerek segítségével lehet kezelni.
Példa egy másodfokú egyenletre:

text: 2x^2 + 3x - 4 = 0\,
=== Abszolútértékes egyenlet ===
Olyan egyenleteket nevezünk abszolútértékes egyenletnek, melyekben az egyenlet ismeretlen tagja abszolútérték jelen belül áll.
=== Irracionális egyenlet ===
Irracionálisnak nevezük azokat az egyenleteket az algebrai egyenletek törzsében, ahol az egyenlet ismeretlenjei gyökjel alatt szerepelnek. Amennyiben az egyenlet valahány ismeretlenje páros kitevőjű gyökjel alatt áll és a gyök alatt álló ismeretlenek nem a komplex számok halmazán vannak értelmezve, akkor a logaritmus egyenlethez hasonlóan itt is mindig alapfeltétel megadásával indul a feladat a páros kitevőjű gyök definíciója miatt:
ha x ∈ R és:
n√ax + b) ,(ahol n ∈ Z+páros) akkor:
F = ax + b ≥ 0, azaz:
x ≥ -b/a
A feltétel definiálását követően arra törekszünk, hogy a gyökjel alól kivigyük az ismeretleneket vagy eltüntessük a gyökjeleket. Általában a hatványozás módszerét szoktuk alkalmazni minden irracionális egyenlet esetében (ahol a; b; c ∈ R és x ∈ R):
\sqrt{ax} + b = c 
\sqrt{ax} = c - b  | 2 
 ax = \frac{c - b}{2} ;
 x = \frac{c - b}{2}:a .
thread_title:  Egyismeretlenes algebrai egyenletek 

message: Egyenlet megoldása azt az eljárást jelenti, amelynek során meghatározzuk a feltételes egyenlet összes gyökét. Ez gyakorta diszkusszióval kezdődik (ha szükséges): azaz meghatározzuk az ismeretlenek azon értékeit, amelynél az ezen ismeretleneket tartalmazó kifejezések bármelyike is értelmetlen.
replies: text: \frac{1}{x + 1} = x
Ennél az egyenletnél például ki kell zárni az x = -1\, esetet, hiszen akkor az osztást nem lehet elvégezni.

text: \sqrt{x - 1} = 2
Itt pedig a diszkusszió az x \geq 1 megállapítását jelenti, hiszen a négyzetgyökvonás (valós számok körében) csak nullánál nagyobb számok körében végezhető el.
A diszkusszió után kezdődik a valódi egyenletmegoldás. A legtöbbször ez olyan átalakítások sorozatát jelenti, amelynek a végén az egyik oldalon az ismeretlen áll, a másik oldalon pedig egy ismert érték. Kétféle átalakítás lehetséges: vagy az egyenlet egyik oldalát alakítjuk úgy, hogy annak értéke ne változzon, vagy az egyenlet mindkét oldalára alkalmazzuk ugyanazt a műveletet, és mivel az egyenlet két oldala megegyezik, a művelet után is meg kell egyezniük. Ezt akkor nevezzünk ekvivalens átalakításnak, ha az eredeti és az átalakított egyenletnek ugyanazok a gyökei. Ilyen átalakítások a következők:
* Bármely kifejezés hozzáadása, kivonása
* Bármely nullától különböző kifejezéssel való szorzás
* Bármely nullától különböző kifejezéssel való osztás
* Bármely invertálható (kölcsönösen egyértelmű) matematikai függvény alkalmazása (például: páratlan kitevőjű hatványra emelés; logaritmus; reciprok, ha az egyenlet egyik oldala sem nulla stb.)
Nullával azért nem szorozhatunk, mert akkor függetlenül az eredeti egyenlettől, a 0=0\, egyenletet kapjuk, amely azonosság, tehát az ismeretlenek minden értékére igaz (ami az eredetiről nem feltétlenül mondható el).
Olyan függvényeket is alkalmazhatunk az egyenletre, amelyek nem kölcsönösen egyértelműek (például a négyzetre emelés), de ekkor ki kell szűrni diszkusszióval vagy ellenőrzéssel a hamis gyököket (olyan gyökök, amelyek az eredeti egyenletnek nem megoldásai, csak az átalakítotténak).
thread_title:  Algebrai egyenlet megoldása 

message: Magasabb fokúnak nevezünk egy egyenletet, ha abban legalább egy ismeretlen 1-től nagyobb pozitív n hatványon szerepel. Ha {n ∈ N \{0;1} | n < 4} (vagyis az n fokszám a természetes számok halmazának eleme kivéve a(z) 0 és 1, de nem nagyobb mint 4), akkor másod-, harmad- és negyedfokú egyenletekről beszélünk. Az ilyen egyenleteket, ha kizárólag az elsőfokú egyenletek megoldásmódszereit alkalmaznánk, nem lehetne megoldani, általában az úgynevezett megoldóképletet kell alkalmazni hozzájuk (az egyszerűbbek enélkül is megoldhatóak, de nem mindegyikük). Ötödfokú vagy annál nagyobb fokú egyenletre nem írható föl algebrai megoldóképlet. Ezeket általában közelítő módszerek segítségével lehet kezelni.
Példa egy másodfokú egyenletre:
replies: text: 2x^2 + 3x - 4 = 0\,
thread_title:  Magasabb fokú egyismeretlenes algebrai egyenletek 

message: Olyan egyenleteket nevezünk abszolútértékes egyenletnek, melyekben az egyenlet ismeretlen tagja abszolútérték jelen belül áll.
thread_title:  Abszolútértékes egyenlet 

message: Irracionálisnak nevezük azokat az egyenleteket az algebrai egyenletek törzsében, ahol az egyenlet ismeretlenjei gyökjel alatt szerepelnek. Amennyiben az egyenlet valahány ismeretlenje páros kitevőjű gyökjel alatt áll és a gyök alatt álló ismeretlenek nem a komplex számok halmazán vannak értelmezve, akkor a logaritmus egyenlethez hasonlóan itt is mindig alapfeltétel megadásával indul a feladat a páros kitevőjű gyök definíciója miatt:
ha x ∈ R és:
n√ax + b) ,(ahol n ∈ Z+páros) akkor:
F = ax + b ≥ 0, azaz:
x ≥ -b/a
A feltétel definiálását követően arra törekszünk, hogy a gyökjel alól kivigyük az ismeretleneket vagy eltüntessük a gyökjeleket. Általában a hatványozás módszerét szoktuk alkalmazni minden irracionális egyenlet esetében (ahol a; b; c ∈ R és x ∈ R):
\sqrt{ax} + b = c 
\sqrt{ax} = c - b  | 2 
 ax = \frac{c - b}{2} ;
 x = \frac{c - b}{2}:a .
thread_title:  Irracionális egyenlet 

message: Transzcedens egyenleteknek nevezzük azokat az egyenleteket, melyeknek gyökeit nem hagyományos algebrai módszerek alkalmazásával kapunk meg, tehát sarkítva a fogalmat: transzcedensnek nevezünk minden olyan egyenletet ami nem algebrai és nem differenciál egyenlet. Lentebb érinteni fogunk bevezető jelleggel a transzcedens egyenleteket típusok alapján.
=== Trigonometrikus egyenlet ===
Trigonometrikus egyenletek megoldása során az addíciós tételeket alkalmazva az ekvivalens átalakításokat követően az ismeretlenekre nézve meghatározzuk az egyenlet gyökeit. Az egyenletek egyszerűsítését többféle módon elvégezhetjük annak függvényében, hogy melyik vezet minket a legegyszerűbb eljárások alkalmazásával a legpontosabb eredményhez.
Miután egy ismeretlen szögfüggvényére kaptunk egy "a" értéket, meg kell vizsgálnunk (előjeles és numerikus szempontból egyaránt), hogy az ismeretlen ezen "a" értéke az adott szögfüggvény mellett melyik síknegyedben veheti fel a keresett szöget (ahol fontos a szög után a periódust is feltüntetni).
=== Exponenciális egyenlet ===
=== Logaritmusos egyenlet ===
thread_title:  Transzcedens egyenletek és megoldásuk 

message: Trigonometrikus egyenletek megoldása során az addíciós tételeket alkalmazva az ekvivalens átalakításokat követően az ismeretlenekre nézve meghatározzuk az egyenlet gyökeit. Az egyenletek egyszerűsítését többféle módon elvégezhetjük annak függvényében, hogy melyik vezet minket a legegyszerűbb eljárások alkalmazásával a legpontosabb eredményhez.
Miután egy ismeretlen szögfüggvényére kaptunk egy "a" értéket, meg kell vizsgálnunk (előjeles és numerikus szempontból egyaránt), hogy az ismeretlen ezen "a" értéke az adott szögfüggvény mellett melyik síknegyedben veheti fel a keresett szöget (ahol fontos a szög után a periódust is feltüntetni).
thread_title:  Trigonometrikus egyenlet 

thread_title:  Exponenciális egyenlet 

thread_title:  Logaritmusos egyenlet 

message: === Egyenletek osztályozása és az egyenlet általános definíciója ===
Az algebrai egyenletek az algebra törzsének szerves és egyben legnagyobb részét képviselik. Legtöbbször előfordulnak benne konstans és ismeretlen kifejezések vegyesen, ahol törekszünk az egyenlet jobb és bal oldalát külön-külön homogén formára hozni az ismeretlen(ek) kifejezésének céljából, de előfordul, hogy az egyenlet gyökeinek meghatározásához zérusra történő redukálásra van szükség. Az egyenletek csoportosítása és osztályozása többféle módon történhet:
==== Fokális csoportosítás ====
 elsőfokú (lineáris) egyenletek;
 másodfokú (kvadratikus) egyenletek;
 harmadfokú egyenletek;
 magasabb fokú egyenletek.
==== Jelleg szerint csoportosítás ====
===== Algebrai egyenletek =====
 racionális egyenletek;
 irracionális egyenletek.
===== Transzcendens egyenletek =====
trigonometrikus egyenletek;
exponenciális egyenletek;
logaritmusos egyenletek.
==== Az ismeretlenek száma és jellege alapján ====
 egyismeretlenes egyenletek;
 kettő vagy többismeretlenes egyentelek;
 homogén / inhomogén egyenletek.
==== Differenciálegyenletek ====
===== Osztályozás alapján megkülönböztetett differenciálegyenletek =====
 elsőrendű differenciálegyenlet;
 másodrendű differenciálegyenlet;
 magasabb rendűről alacsonyabbra visszavezethető differenciálegyenlet.
===== A változók alapján való rendszerezés =====
 szétválasztható változójú differenciálegyenlet;
 nem szétválasztható differenciálegyenlet.
===== Nevezetes differenciálegyenlet típusok =====
Bernoulli-féle differenciálegyenlet;
Egzakt-féle differenciálegyenlet;
Lagrange- és Clairaut-féle differenciálegyenlet;
Riccati-féle differenciálegyenlet.
thread_title:  Összefoglaló 

message: Az algebrai egyenletek az algebra törzsének szerves és egyben legnagyobb részét képviselik. Legtöbbször előfordulnak benne konstans és ismeretlen kifejezések vegyesen, ahol törekszünk az egyenlet jobb és bal oldalát külön-külön homogén formára hozni az ismeretlen(ek) kifejezésének céljából, de előfordul, hogy az egyenlet gyökeinek meghatározásához zérusra történő redukálásra van szükség. Az egyenletek csoportosítása és osztályozása többféle módon történhet:
==== Fokális csoportosítás ====
 elsőfokú (lineáris) egyenletek;
 másodfokú (kvadratikus) egyenletek;
 harmadfokú egyenletek;
 magasabb fokú egyenletek.
==== Jelleg szerint csoportosítás ====
===== Algebrai egyenletek =====
 racionális egyenletek;
 irracionális egyenletek.
===== Transzcendens egyenletek =====
trigonometrikus egyenletek;
exponenciális egyenletek;
logaritmusos egyenletek.
==== Az ismeretlenek száma és jellege alapján ====
 egyismeretlenes egyenletek;
 kettő vagy többismeretlenes egyentelek;
 homogén / inhomogén egyenletek.
==== Differenciálegyenletek ====
===== Osztályozás alapján megkülönböztetett differenciálegyenletek =====
 elsőrendű differenciálegyenlet;
 másodrendű differenciálegyenlet;
 magasabb rendűről alacsonyabbra visszavezethető differenciálegyenlet.
===== A változók alapján való rendszerezés =====
 szétválasztható változójú differenciálegyenlet;
 nem szétválasztható differenciálegyenlet.
===== Nevezetes differenciálegyenlet típusok =====
Bernoulli-féle differenciálegyenlet;
Egzakt-féle differenciálegyenlet;
Lagrange- és Clairaut-féle differenciálegyenlet;
Riccati-féle differenciálegyenlet.
thread_title:  Egyenletek osztályozása és az egyenlet általános definíciója 

message: elsőfokú (lineáris) egyenletek;
 másodfokú (kvadratikus) egyenletek;
 harmadfokú egyenletek;
 magasabb fokú egyenletek.
thread_title:  Fokális csoportosítás 

message: ===== Algebrai egyenletek =====
 racionális egyenletek;
 irracionális egyenletek.
===== Transzcendens egyenletek =====
trigonometrikus egyenletek;
exponenciális egyenletek;
logaritmusos egyenletek.
thread_title:  Jelleg szerint csoportosítás 

message: racionális egyenletek;
 irracionális egyenletek.
thread_title:  Algebrai egyenletek 

message: trigonometrikus egyenletek;
exponenciális egyenletek;
logaritmusos egyenletek.
thread_title:  Transzcendens egyenletek 

message: egyismeretlenes egyenletek;
 kettő vagy többismeretlenes egyentelek;
 homogén / inhomogén egyenletek.
thread_title:  Az ismeretlenek száma és jellege alapján 

message: ===== Osztályozás alapján megkülönböztetett differenciálegyenletek =====
 elsőrendű differenciálegyenlet;
 másodrendű differenciálegyenlet;
 magasabb rendűről alacsonyabbra visszavezethető differenciálegyenlet.
===== A változók alapján való rendszerezés =====
 szétválasztható változójú differenciálegyenlet;
 nem szétválasztható differenciálegyenlet.
===== Nevezetes differenciálegyenlet típusok =====
Bernoulli-féle differenciálegyenlet;
Egzakt-féle differenciálegyenlet;
Lagrange- és Clairaut-féle differenciálegyenlet;
Riccati-féle differenciálegyenlet.
thread_title:  [[Differenciálegyenlet]]ek 

message: elsőrendű differenciálegyenlet;
 másodrendű differenciálegyenlet;
 magasabb rendűről alacsonyabbra visszavezethető differenciálegyenlet.
thread_title:  Osztályozás alapján megkülönböztetett differenciálegyenletek 

message: szétválasztható változójú differenciálegyenlet;
 nem szétválasztható differenciálegyenlet.
thread_title:  A változók alapján való rendszerezés 

message: Bernoulli-féle differenciálegyenlet;
Egzakt-féle differenciálegyenlet;
Lagrange- és Clairaut-féle differenciálegyenlet;
Riccati-féle differenciálegyenlet.
thread_title:  Nevezetes differenciálegyenlet típusok