Vita:Rendezett pár

message: Éjjeli program: Hozzáfogtam, hogy a mindennapi gondolkodás kérdését a lehető legmesszebbmenőkig tisztázzam. 
Kiindulópontom, hogy a mindennapi gondolkodásnál nincsen mélyebb gondolkodás csak lusta mindennapi gondolkodók és a másik oldalon (tudományos) sznobok - vannak. 
Nagy művemet a mindennapi gondolkodásról három (3)példával kezdem:
1. Minek nevezzük Einstein hozzáállását a tár és az idő problémájához. A lehető leghétköznapibb!! DE (csaképpen) következetes.
2. Egy Popper idázetet csatoltam a Tarskiról szóló cikkhez. Valami csoda folytán Popper is (aki Einsteint példaképének tartja)elismeri a hétköznapi gondolkodás elsőbbségét. Megengedve, hogy a hétköznapi gondolkodás egyik legfontosabb feladata saját hibáinak felderítése.
3. Én (még ha én nem is számítok) soha egyetlen matematikai tétel bizonyításáról nem mondtam (hittem, gondoltam), hogy értem, amíg nem mondhattam el, hogy a hétköznapi gondolkodás szintjén értem. Persze én változtam közben.
És most a kérdés: Vajon specifikuma-e a hétköznapi gondolkodásnak, hogy nem változik?
A NEM PÁRTATLAN táblát pedig nem kell visszatenni, mert a cikkbe nem írok bele, hacsak meg nem kér valaki...
=== Elemi megközelítés ===
A mindennapi gondolkodásban, sőt elemi fokon a matematikában is elegendő annyitt tudni, a "rendezett pár" fogalmáról amennyit a kovetkező öt példa sugall.
** Mi az a mindennnapos gondolkodás? Azért kérdezem, mert fogalmam sincs, mi indokolja, hogy a mindennapos gondolkodás számára pontosan a következő öt példa által sugallt infok lennének a mérvadóak (miért nincs hatodik példa, miért nincs csak négy példa)? ©: Gubb      ✍ 
* Két kockával dobunk. Ha azt mondjuk, hogy a dobások eredménye 2 és 5, akkor nem rendezett párként gondolunk az eredményre. Ezesetben a kísérlet eredménye egy számokból alkotott kételemű, rendezetlen együttes, halmaz. Ha van értelme azt mondani, hogy az első dobás eredménye 5 volt és a másodiké 2, akkor rendezett párként írtuk le az eredményt.
** A példa mint példa nagyon jó (főleg egy "A fogalom motivációi" vagy hasonló cím alatt), de matematikailag semmit nem tesz hozzá a rendezett pár fogalmához. ©: Gubb      ✍ 
* Ugyanígy, rendezett a számpárkét szemléljük a kockadobás eredményét, ha azt mondjuk, hogy a piros kockával dobtunk 5-öst és a zölddel 2-est. Ha nincs szines ceruzánk, akkor megegyezhetünk abban, hogy az először leírt szám a piros kockán kijött eredményzt jelöli, a másodikként leírt szám pedig a zöld kockán kijött eredményt jelöli a kisérleti jegyzőkönyvben. Elfogadva ezt a konvenciót világos, hogy mit jelent <3,1>. Az, hogy zárojelbe tesszük-e, és, hogy milyen zárójelbe, vagy mi más módon jelöljük a két szám szerepét, ismét csak megegyezés dolga.
** Ez még rosszabb, egyáltalán nem világos semmi ebből a konvencióból, és a szakasz is túl esszészerű (egy matematikai fogalommeghatározás ne függjön már attól, hogy van-e színes ceruza a kezünkben vagy nincs, ez csak vicc lehet ...). ©: Gubb      ✍ 
* Ha azt mondjuk, hogy a Descartes féle koordinátarendszerben egy pont koordinátái 5 és 2, akkor tudjuk, mert ezt tudni illik (ez a hallgatólagos megegyezés), hogy az először mondott számot az x tengelyre, a másodszor mondott számot pedig az ipszilon tengelyre kell felmérni. Ebben az esetben tehát rendezett párként gondolunk a szóbanforgó két számra. Ha valaki így szól: "2 és 5 egy pont koordinátái, de nem mondom meg melyik az abszcissza ás melyik az ordináta", akkor nem feltétlenül mond butaságot (lehet, hogy egy feladatot tűz ki) csak éppen nem rendezett párként, hanem egy kételemű halmazként adja meg a koordinátákat. 
** ez is egy szokásos példa, de semmiképp sem a fogalom "megközelítése". ©: Gubb      ✍ 
* Ha azt mondom: Kalandi és Modingu házastársak, akkor kettejükről, mint emberpárról, kételemű halmazról beszélek. Amíg nem mondom meg, hogy Kalandi a feleség és Modingu a férj, addig kettejük halmaza rendezetlen. Ha lényeges a megkülönböztetés, akkor rendezett párról kell beszélnünk. Ennek a példának az a tanulsága, hogy nem csak számok alkothatnak rendezett párt és, hogy általában még arról sincs értelme beszélni, hogy, ha egy pár rendezett, akkor, melyik az első és melyik a második tagja. Ha a rendezés világos, akkor már csak megegyezés kérdése, hogy a párnak, melyik absztrakt elem az első és melyik a második tagja. 
** Na végre! Ez a példa nagyon elmés, másrészt az a tanulság, hogy nem csak számok alkothatnak rendezett n-est és a rendezés alapja nem csak a sorszámozáas lehet (tehát még értelmetlenséggé is válhat, hogy "első" és "második" tagról beszélünk, de fő mondanivalóját tekintve (hogy tudniillik elegendő magyarázata a rendezett pár fogalmának) filozófiailag sajnos nincs rendben. Ez ugyanis egy alternatív koncepció, melyet a matematikai szakkönyvek többsége nem említ, tehát illik külön szakaszban (mondjuk a filozófiai problémák alatt) írni róla. Ha úgy határozzuk meg a rendezett pár fogalmát, hogy <a,b>:={f(1),f(2)}, akkor a fenti definíciód akármit is csinálsz, nem a rendezett pár fogalmának a definíciója, hanem egy másik fogalomnak. Valahogy keverednek a "Példák", az "Alternatív koncepciók" és a "Filozófiai problémák" szakaszok a fenti bekezdésben. ©: Gubb      ✍  2005. december 7., 16:18 (CET)
----
** Innentől kezdve a szöveg alapkoncepciójával egyet tudok érteni, azonban a megfogalmazás sokszor önellentmondó, érthetetlen: ©: Gubb      ✍ 
A matematikában nagy jelentősége van a rendezett pár fogalmának, mert sok egyéb fogalomalkotás erre a fogalomra épül, bár adott esetekben alternatív megoldások is elképzelhetőek. A matematikusok igyekeznek az új fogalmakat a már meglevő biztos alapokon álló fogalmakra visszavezetni.
* Például: a racionális számokat, mint egész számok hányadosait, egész számokból alkotott rendezett  párokat tekinthetjük és ehhez nem kell az, hogy más osztásfogalmat ismerjünk, mint az egész számok körében használatos osztás fogalmát: az osztás a szorzás inverz  művelete. Ha két egész számot elosztunk egymással és maradék adódik, akkor az osztás eredménye kivezet az egész számok köréből.
** Szerintem ez ellentmond az előző mondatnak, nem? ©: Gubb      ✍ 
* Az egész számok körében nem értelmezhető (maradékos) hányados új absztrakcióként jelenik meg. Ez az új absztrakció a rendezett pár fogalma segítségével definícióként rögzíthető. Nincs szükség az osztás valamiféle újradefiniálására.
** Szerintem itt is ellentmondasz magadnak, nem elég világos, amire gondolsz. Ha rendezett párok segítségével újradefiniálod az osztást, akkor az az osztásnak egy újradefiniálása, nem? Egyszóval nem értem. ©: Gubb      ✍ 
* Azt mondjuk, hogy a racionális számok az egész számok körének kibővítésével keletkeznek, egész számokból alkotott párokként. Lényeges, hogy maguk az egész számok egyben racionális számok is -- olyan párok, ahol a nevezőnek megfelelő helyen 1 áll.
** Ez is egy egyszerűsítés, itt lényeges filozófiai problémák lépnek fel (az épp nagy kérdés, hogy a racionális számok tartalmazzák-e az egészeket, mert a formalista tankönyvek szemléletében szinte sohasem!!!), melyekről írni kellene (sajnos néha Fried Erwin sem teszi, ezt elismerem, de mi legyünk azért korrektek). ©: Gubb      ✍  2005. december 7., 16:18 (CET)
* Megjegyzés: Az, hogy az egész számokból alkotott törteket n/m alakban és nem mondjuk <n,m> alaban írjuk ismét csak megegyezés dolga. A fontos az, hogy elfogadtuk: a törtvonal előtt vagy fölött írt szám a számláló, a másik szám pedig a nevező. Ez egyben jó példa arra is, hogy nem szó szerint értendő az, hogy "első" és "második" tagja van egy rendezett párnak. Egy rendezett párnak tulajdonképpen két, szerepét tekintve megkülönböztethető eleme van; nem úgy, mint egy kételemű halmaznak, melynek elemei megkülönböztethetőek ugyan, de szerepük azonos, t.i. ugyanannak a halmaznak elemei.
** Itt értem, mire gondolsz, de sajnos szerintem nagyon pontatlanul írod (mi az, hogy "szerepe" van egy elemnek? Ez nem matematikai terminológia). Ha pontosabban akarnád leírni, az meg épp azt jelentené, hogy formalista módon valahogy definiálod a fogalmat ... ha alapfogalomként akarod érteni, írd azt, ha meg definiálni akarod, definiáld, de szerintem ez az "elemi megközelítés" a kettő közötti olyan kompromisszum, amelyben nem az jut hangsúlyhoz, hogy senkinek sem teljesen jó, de mindenkinek elfogadható, hanem éppenséggel az, hogy mindenkinek legyen a lehető legrosszabb. Ezt pedig nem tudod megkerülni azzal az egy mondattal, hogy "a mindennapos gondolkodás számára elegend példákat adni", mert ez nem is feltétlenül igaz, másrészt az biztos, hogy a cikk színvonalán semmit nem dobott (ilyen felkiáltással bármely létező problémát meg lehetne próbálni megkerülni, de sajnos vagy szerencsére a tudomány ott kezdődik, hogy ezt a megkerülési reakciót elnyomjuk, és mélyebben megyünk a dolgokba). Másképp kellene megfogalmazni, az itt írtakat pedig a rendezett pár fogalmára adott példaként ill. motivációként tárgyalni.  ©: Gubb      ✍  2005. december 7., 16:18 (CET)
* Filozófiai szempontból és első megközelítésben a rendezett pár egy olyan „absztrakt objektum”, mely „két” (konkrét vagy absztrakt) másik objektumból áll, mégpedig úgy, hogy ezek „sorrendje” is számít; tehát egy rendezett párnak van egy „első tagja” meg egy „második tagja” (idézőjelbe tettük a definiálatlan kifejezéseket), és ha a „sorrendet” „felcseréljük”, akkor az eredetitől különböző rendezett párt kapunk. Tehát - és matematikai szempontból ez lesz a lényeges - két rendezett pár akkor és csak akkor egyenlő, ha az egyik első tagja ugyanaz, mint a másik első tagja, és az egyik második tagja is ugyanaz, mint a másik második tagja.
** Szerintem EZ a fogalom egyetlen lehetséges és értelmes elemi megközelítése (nem hiába volt a cikk legelején) ... ©: Gubb      ✍  2005. december 7., 16:49 (CET)
** Kedves Gubbubu, minthogy engem semmivel sem lehetne rávanni arra hogy visszairjam egy szócikkbe, amit valaki kivett itt be kell fejeznem az wikipediabeli tevékenységemet. Felfogásunk, arról, hogy mi a matematika, hogy mi a lexikon és, hogy mi a tanítás oly mértékben különbözik, hogy az együttműködésnek nincs lehetősége. Köszönöm.
*Kedves Gubbubu, kicsit most elkenődtem… Biztos, hogy jó ennyire biztosnak lenni a magad igazában? Lehtetél volna türelmesebb, kevésbé elszánt. Kár a távozóért. 8( – (szerintem) Váradi Zsolt 2005. december 7., 21:14 (CET)
Én azért kiállnék User:Gubb mellett, mert Zgyorfi (szerencsétlenségére) pont egy olyan szócikkbe tenyerelt bele, melynek tárgya olyan filozófiai mélységekbe nyúlik, amibe én sem merek betekinteni (és szerintem Gubb is ezért írt a szokotthoz képest szerényebb minőségű cikket). Van egy olyan sejtésem, hogy amikor a rendezett párról, mint olyanról beszélgetünk, akkor mintha az angyalok szárnyáról vitatkoznánk. Ezzel szemben én is szomorú vagyok, ha valaki wittgensteini stílusban lesöpri a filozófia eredményeit, mondván "a gyakorlat számára elég annyi is, hogy..., nem kell túlcifrázni". Ami pedig a matematika tanítását illeti, az nem csak annyi, hogy "figyelj! ezt köll az egyellettee csináni, oszt' jóvan" (bár ez is hozzátartozik). A tudomány jórészt kérdésekből áll és abból, hogy sose higyjük el, amit mások mondanak. Ez a matematika tudományára is igaz és hiszek benne, hogy a tudományt is kell tanítanunk a gyerekeknek és nem csak a szorzótáblát. Szerintem nyugodtan térj vissza Zgyorfi és beszélgess erről Gubbal. Mozo 2005. december 7., 22:15 (CET)
replies: text: Mozóval kell egyetértenem (szerintem nagyon szellemesen és tömören fogalmazta meg azt, amit fent én sok bekezdésben és részletesen tettem). Ami pedig a törölt részeket illeti: azért tettem őket ide a vitalapra, hogy vita legyen róluk, mert én anyira vitathatónak érzem őket, hogy még az SN sablont sem tartottam volna jó megoldásnak. A kifogásaimat jeleztem. Nem akarok senkit sem megsérteni, de a vitatott szakaszok színvonalát nagyon hektikusnak gondolom (nagyon jó ötleteket tartalmaz lexikonban - de még enciklopédiában is - szerintem megengedhetetlen színvonalú tárgyalásmódban, olyan lesz tőle a cikk, mint a sárral tapasztott falú ház, melybe díszítésül gyémántport szórtak. szedjük le és válasszuk külön a jó dolgokat a rosszaktól).  ©: Gubb      ✍  2005. december 8., 08:50 (CET)
Először tisztáznunk kéne, hogy milyen értelemben gondolunk a rendezett párokra. Mint szemantikai, vagy mint szintaktikai fogalmakra. Azzal, hogy azt mondjuk, hogy alapfogalom semmit nem magyarázunk meg. Nem is elégedtek meg a matematikusok azzal, hogy alapfogalom legyen, hanem definiálták - legalább is a halmazelméleten belül. Amikor egy rendezetlen párt nézzük, akkor a következő osztályt képezzük: { x | x=a vagy x=b }, ahol a és b individuumok. De ez az osztály, mint individuum kiküszöbölhető a nyelvből az "x ∈ {a,b} <=> (x=a vagy x=b)" kijentés által. És ennek a kiküszöbölésnek van értelme, hisz egyáltalán nem biztos, hogy az osztályok általában individuumoknak tekinthetők. Méginkább így van ez olyan bonyolult fogalmakkal, mint a rendezett párokkal. A halmazelméletben, ahol az osztályba foglalás művelete individuumszineten iterálható nem kétséges, hogy <a,b> individuum. Ezért válik a halmazelméletben létező jelöletté (individuális objektummá, tárgyiasult fogalommá (Frege) ) egy predikátum referenciája, azaz egy halmazelméleti függvény és vele a rendezett pár is...Mozo 2005. december 8., 09:26 (CET)

text: szemantika vagy szintaktika - a filozófiai problémák szakaszban jó lenne a szemantikájáról is írni a dolognak (persze lehet külön szakaszban is, ahogy gondolod, de ha többféle khmm értelmes megközelítés létezik, akkor ne rekesszük ki egyiket sem). Ha jól emlékszem, Ruzsa ír arról a lehetőségről, hogy alapfogalomként is lehetne "definiálni", de már nem emlékszem, hol.
replies: text: : Megjegyzés és elkalandozás - és ez itt az én magánvéleményem - azért van ennek a gondolatnak létjogosultsága, mivel a rendezett pár fogalmát abban a formában, ahogy a formalisták meghatározzák, önhivatkozásnak, impredikabilitásnak tartom. De ez egyelőre a saját magánvéleményem, így nem írnám be a cikkbe; mindenesetre ha így van, akkor elegendő motivációt ad a6z alapfogalomnak tekintéshez - ha tudsz erről többet, hogy más matematikusok is problémásnak tartják a formalista meghatározásokat, kérlek jelezd, küldj irodalmat, mert nagyon érdekelne a dolog. Megjegyzem, ha igazam van, akkor a rendezett pár igazán kielégítő meghatározása valószínűleg bármely analitikus filozófiai eszközzel lehetetlenség, és ezáltal a rendezett pár válik a matematika egyik legalapvetőbb fogalmává (azaz mégis csak Kroneckernek volt igaza ...). Ennyiben igaza lehet Zgyorfinak, de hangsúlyoznom kell, hogy ez nem más, mint a sumerizmushoz hasonló rendkívül alternatív koncepció, a saját kutatásom melyről, forrásom nem lévén, én nem írhatok semmit a cikkbe, és szerintem alapelveink Zgyorfi sem teheti meg. Zgyorfi ráadásul nemcsak a formalista tankönyvi paradigmákat, hanem szerintem minden matematikával és didaktikával kapcsolatos paradigmát felrúg a "fölösleges erről más formában, mint példákkal beszélni" mondatával. Az lehet, hogy fölösleges, de szerintem ezt bizonyítani kell azáltal, hogy megmutatom, a jelenleg használt eszközök ellentmondáshoz vagy egyéb problémához vezetnek, számomra sem fogadható el egyszerű kinyilatkoztatásként ). ©: Gubb      ✍  2005. december 8., 09:53 (CET)
1. ... Érdekesen összemosódik a rendezett pár szintaktikai és szemantikai mivolta, ugyanis, ha a halmazelméletre mint formális elméletre gondolunk, akkor amennyiben T és S a halmazelmélet két termje, úgy a <T,S> -sel rövidített term a rendezett pár szintaktikai megnyilvánulása. Ha ezzel szemben egy formális nyelv halmazelméleti modelljét vesszük, akkor az individuumtartomány két eleme (melyekről talán csak annyi bizonyítható, hogy léteznek) két halmaz, melyekre talán nem is hivatkozhatunk "név szerint". Míg formális nyelvi rendezett párból megszámlálhatóan sok van, addig szemantikaiból (halmazpárból) annyi amennyi halmaz.
2. Ha hihetünk Hilbertnek, akkor a legmegbízhatóbb és legkétségbevonhatatlanabb matematika a finit matematika vagyis a primitív rekurzív aritmetika. Ennek lényegében minden összetevője alapfogalom, így természetes számokhoz (véges lépésben rekurzióval kiszámítható) természetes számot rendelő függvény is. Két természetes szám rendezett párja ekkor definiálható, mint az 1-hez és a 2-höz rendelt valamely két szám. Alapfogalom tehát ekkor a primitív rekurzív hozzárendelés és deriválható belőle a rendezett pár. A jelek pedig arra utalnak, hogy egyedül a finit matematika térhet ki a Gödel-tétel destrukrtív hatása alól (Tait tézise). Mozo 2005. december 8., 14:04 (CET)
## Köszönöm, de nem ilyesmire gondoltam, inkább olyasmikre, amilyennek  Church vizsgálatait képzelem (melyeket sajnos nem ismerek, így nem tudom valójában, mik voltak). A problémám az olyan elméletekkel kapcsolatos, melyek a számfogalom definiálására szolgálnak: nem tudom, Hilbert elmélete megteszi-e ezt (gondolom, inkább megkerüli, és az elméletének minden változata és továbbfejlesztése is ezt teszi). Azt gondolom problémának, hogy jelenlegi matematikai eszközökkel, különösen pedig a rendezett pár fogalmára vagy bármi hasonlóra (pl. jelsorozatokra) építve, a szám fogalma nem definiálható filozófiai önhivatkozás nélkül, noha az elmélet szintaktikája esetleg rendben lesz (tehát szintaktikai ellentmondást nem felt. tartalmaz). De ez már nagyon-nagyon mellékvágány, legtitkosabb gondolataim egyike, úgyhogy most befejezem, te pedig írd tovább a cikket nyugodtan, ha van kedved hozzá. ©: Gubb      ✍  2005. december 8., 14:42 (CET)
thread_title:  Nem adtam fel 

message: A mindennapi gondolkodásban, sőt elemi fokon a matematikában is elegendő annyitt tudni, a "rendezett pár" fogalmáról amennyit a kovetkező öt példa sugall.
** Mi az a mindennnapos gondolkodás? Azért kérdezem, mert fogalmam sincs, mi indokolja, hogy a mindennapos gondolkodás számára pontosan a következő öt példa által sugallt infok lennének a mérvadóak (miért nincs hatodik példa, miért nincs csak négy példa)? ©: Gubb      ✍ 
* Két kockával dobunk. Ha azt mondjuk, hogy a dobások eredménye 2 és 5, akkor nem rendezett párként gondolunk az eredményre. Ezesetben a kísérlet eredménye egy számokból alkotott kételemű, rendezetlen együttes, halmaz. Ha van értelme azt mondani, hogy az első dobás eredménye 5 volt és a másodiké 2, akkor rendezett párként írtuk le az eredményt.
** A példa mint példa nagyon jó (főleg egy "A fogalom motivációi" vagy hasonló cím alatt), de matematikailag semmit nem tesz hozzá a rendezett pár fogalmához. ©: Gubb      ✍ 
* Ugyanígy, rendezett a számpárkét szemléljük a kockadobás eredményét, ha azt mondjuk, hogy a piros kockával dobtunk 5-öst és a zölddel 2-est. Ha nincs szines ceruzánk, akkor megegyezhetünk abban, hogy az először leírt szám a piros kockán kijött eredményzt jelöli, a másodikként leírt szám pedig a zöld kockán kijött eredményt jelöli a kisérleti jegyzőkönyvben. Elfogadva ezt a konvenciót világos, hogy mit jelent <3,1>. Az, hogy zárojelbe tesszük-e, és, hogy milyen zárójelbe, vagy mi más módon jelöljük a két szám szerepét, ismét csak megegyezés dolga.
** Ez még rosszabb, egyáltalán nem világos semmi ebből a konvencióból, és a szakasz is túl esszészerű (egy matematikai fogalommeghatározás ne függjön már attól, hogy van-e színes ceruza a kezünkben vagy nincs, ez csak vicc lehet ...). ©: Gubb      ✍ 
* Ha azt mondjuk, hogy a Descartes féle koordinátarendszerben egy pont koordinátái 5 és 2, akkor tudjuk, mert ezt tudni illik (ez a hallgatólagos megegyezés), hogy az először mondott számot az x tengelyre, a másodszor mondott számot pedig az ipszilon tengelyre kell felmérni. Ebben az esetben tehát rendezett párként gondolunk a szóbanforgó két számra. Ha valaki így szól: "2 és 5 egy pont koordinátái, de nem mondom meg melyik az abszcissza ás melyik az ordináta", akkor nem feltétlenül mond butaságot (lehet, hogy egy feladatot tűz ki) csak éppen nem rendezett párként, hanem egy kételemű halmazként adja meg a koordinátákat. 
** ez is egy szokásos példa, de semmiképp sem a fogalom "megközelítése". ©: Gubb      ✍ 
* Ha azt mondom: Kalandi és Modingu házastársak, akkor kettejükről, mint emberpárról, kételemű halmazról beszélek. Amíg nem mondom meg, hogy Kalandi a feleség és Modingu a férj, addig kettejük halmaza rendezetlen. Ha lényeges a megkülönböztetés, akkor rendezett párról kell beszélnünk. Ennek a példának az a tanulsága, hogy nem csak számok alkothatnak rendezett párt és, hogy általában még arról sincs értelme beszélni, hogy, ha egy pár rendezett, akkor, melyik az első és melyik a második tagja. Ha a rendezés világos, akkor már csak megegyezés kérdése, hogy a párnak, melyik absztrakt elem az első és melyik a második tagja. 
** Na végre! Ez a példa nagyon elmés, másrészt az a tanulság, hogy nem csak számok alkothatnak rendezett n-est és a rendezés alapja nem csak a sorszámozáas lehet (tehát még értelmetlenséggé is válhat, hogy "első" és "második" tagról beszélünk, de fő mondanivalóját tekintve (hogy tudniillik elegendő magyarázata a rendezett pár fogalmának) filozófiailag sajnos nincs rendben. Ez ugyanis egy alternatív koncepció, melyet a matematikai szakkönyvek többsége nem említ, tehát illik külön szakaszban (mondjuk a filozófiai problémák alatt) írni róla. Ha úgy határozzuk meg a rendezett pár fogalmát, hogy <a,b>:={f(1),f(2)}, akkor a fenti definíciód akármit is csinálsz, nem a rendezett pár fogalmának a definíciója, hanem egy másik fogalomnak. Valahogy keverednek a "Példák", az "Alternatív koncepciók" és a "Filozófiai problémák" szakaszok a fenti bekezdésben. ©: Gubb      ✍  2005. december 7., 16:18 (CET)
----
** Innentől kezdve a szöveg alapkoncepciójával egyet tudok érteni, azonban a megfogalmazás sokszor önellentmondó, érthetetlen: ©: Gubb      ✍ 
A matematikában nagy jelentősége van a rendezett pár fogalmának, mert sok egyéb fogalomalkotás erre a fogalomra épül, bár adott esetekben alternatív megoldások is elképzelhetőek. A matematikusok igyekeznek az új fogalmakat a már meglevő biztos alapokon álló fogalmakra visszavezetni.
* Például: a racionális számokat, mint egész számok hányadosait, egész számokból alkotott rendezett  párokat tekinthetjük és ehhez nem kell az, hogy más osztásfogalmat ismerjünk, mint az egész számok körében használatos osztás fogalmát: az osztás a szorzás inverz  művelete. Ha két egész számot elosztunk egymással és maradék adódik, akkor az osztás eredménye kivezet az egész számok köréből.
** Szerintem ez ellentmond az előző mondatnak, nem? ©: Gubb      ✍ 
* Az egész számok körében nem értelmezhető (maradékos) hányados új absztrakcióként jelenik meg. Ez az új absztrakció a rendezett pár fogalma segítségével definícióként rögzíthető. Nincs szükség az osztás valamiféle újradefiniálására.
** Szerintem itt is ellentmondasz magadnak, nem elég világos, amire gondolsz. Ha rendezett párok segítségével újradefiniálod az osztást, akkor az az osztásnak egy újradefiniálása, nem? Egyszóval nem értem. ©: Gubb      ✍ 
* Azt mondjuk, hogy a racionális számok az egész számok körének kibővítésével keletkeznek, egész számokból alkotott párokként. Lényeges, hogy maguk az egész számok egyben racionális számok is -- olyan párok, ahol a nevezőnek megfelelő helyen 1 áll.
** Ez is egy egyszerűsítés, itt lényeges filozófiai problémák lépnek fel (az épp nagy kérdés, hogy a racionális számok tartalmazzák-e az egészeket, mert a formalista tankönyvek szemléletében szinte sohasem!!!), melyekről írni kellene (sajnos néha Fried Erwin sem teszi, ezt elismerem, de mi legyünk azért korrektek). ©: Gubb      ✍  2005. december 7., 16:18 (CET)
* Megjegyzés: Az, hogy az egész számokból alkotott törteket n/m alakban és nem mondjuk <n,m> alaban írjuk ismét csak megegyezés dolga. A fontos az, hogy elfogadtuk: a törtvonal előtt vagy fölött írt szám a számláló, a másik szám pedig a nevező. Ez egyben jó példa arra is, hogy nem szó szerint értendő az, hogy "első" és "második" tagja van egy rendezett párnak. Egy rendezett párnak tulajdonképpen két, szerepét tekintve megkülönböztethető eleme van; nem úgy, mint egy kételemű halmaznak, melynek elemei megkülönböztethetőek ugyan, de szerepük azonos, t.i. ugyanannak a halmaznak elemei.
** Itt értem, mire gondolsz, de sajnos szerintem nagyon pontatlanul írod (mi az, hogy "szerepe" van egy elemnek? Ez nem matematikai terminológia). Ha pontosabban akarnád leírni, az meg épp azt jelentené, hogy formalista módon valahogy definiálod a fogalmat ... ha alapfogalomként akarod érteni, írd azt, ha meg definiálni akarod, definiáld, de szerintem ez az "elemi megközelítés" a kettő közötti olyan kompromisszum, amelyben nem az jut hangsúlyhoz, hogy senkinek sem teljesen jó, de mindenkinek elfogadható, hanem éppenséggel az, hogy mindenkinek legyen a lehető legrosszabb. Ezt pedig nem tudod megkerülni azzal az egy mondattal, hogy "a mindennapos gondolkodás számára elegend példákat adni", mert ez nem is feltétlenül igaz, másrészt az biztos, hogy a cikk színvonalán semmit nem dobott (ilyen felkiáltással bármely létező problémát meg lehetne próbálni megkerülni, de sajnos vagy szerencsére a tudomány ott kezdődik, hogy ezt a megkerülési reakciót elnyomjuk, és mélyebben megyünk a dolgokba). Másképp kellene megfogalmazni, az itt írtakat pedig a rendezett pár fogalmára adott példaként ill. motivációként tárgyalni.  ©: Gubb      ✍  2005. december 7., 16:18 (CET)
* Filozófiai szempontból és első megközelítésben a rendezett pár egy olyan „absztrakt objektum”, mely „két” (konkrét vagy absztrakt) másik objektumból áll, mégpedig úgy, hogy ezek „sorrendje” is számít; tehát egy rendezett párnak van egy „első tagja” meg egy „második tagja” (idézőjelbe tettük a definiálatlan kifejezéseket), és ha a „sorrendet” „felcseréljük”, akkor az eredetitől különböző rendezett párt kapunk. Tehát - és matematikai szempontból ez lesz a lényeges - két rendezett pár akkor és csak akkor egyenlő, ha az egyik első tagja ugyanaz, mint a másik első tagja, és az egyik második tagja is ugyanaz, mint a másik második tagja.
** Szerintem EZ a fogalom egyetlen lehetséges és értelmes elemi megközelítése (nem hiába volt a cikk legelején) ... ©: Gubb      ✍  2005. december 7., 16:49 (CET)
** Kedves Gubbubu, minthogy engem semmivel sem lehetne rávanni arra hogy visszairjam egy szócikkbe, amit valaki kivett itt be kell fejeznem az wikipediabeli tevékenységemet. Felfogásunk, arról, hogy mi a matematika, hogy mi a lexikon és, hogy mi a tanítás oly mértékben különbözik, hogy az együttműködésnek nincs lehetősége. Köszönöm.
*Kedves Gubbubu, kicsit most elkenődtem… Biztos, hogy jó ennyire biztosnak lenni a magad igazában? Lehtetél volna türelmesebb, kevésbé elszánt. Kár a távozóért. 8( – (szerintem) Váradi Zsolt 2005. december 7., 21:14 (CET)
Én azért kiállnék User:Gubb mellett, mert Zgyorfi (szerencsétlenségére) pont egy olyan szócikkbe tenyerelt bele, melynek tárgya olyan filozófiai mélységekbe nyúlik, amibe én sem merek betekinteni (és szerintem Gubb is ezért írt a szokotthoz képest szerényebb minőségű cikket). Van egy olyan sejtésem, hogy amikor a rendezett párról, mint olyanról beszélgetünk, akkor mintha az angyalok szárnyáról vitatkoznánk. Ezzel szemben én is szomorú vagyok, ha valaki wittgensteini stílusban lesöpri a filozófia eredményeit, mondván "a gyakorlat számára elég annyi is, hogy..., nem kell túlcifrázni". Ami pedig a matematika tanítását illeti, az nem csak annyi, hogy "figyelj! ezt köll az egyellettee csináni, oszt' jóvan" (bár ez is hozzátartozik). A tudomány jórészt kérdésekből áll és abból, hogy sose higyjük el, amit mások mondanak. Ez a matematika tudományára is igaz és hiszek benne, hogy a tudományt is kell tanítanunk a gyerekeknek és nem csak a szorzótáblát. Szerintem nyugodtan térj vissza Zgyorfi és beszélgess erről Gubbal. Mozo 2005. december 7., 22:15 (CET)
replies: text: Mozóval kell egyetértenem (szerintem nagyon szellemesen és tömören fogalmazta meg azt, amit fent én sok bekezdésben és részletesen tettem). Ami pedig a törölt részeket illeti: azért tettem őket ide a vitalapra, hogy vita legyen róluk, mert én anyira vitathatónak érzem őket, hogy még az SN sablont sem tartottam volna jó megoldásnak. A kifogásaimat jeleztem. Nem akarok senkit sem megsérteni, de a vitatott szakaszok színvonalát nagyon hektikusnak gondolom (nagyon jó ötleteket tartalmaz lexikonban - de még enciklopédiában is - szerintem megengedhetetlen színvonalú tárgyalásmódban, olyan lesz tőle a cikk, mint a sárral tapasztott falú ház, melybe díszítésül gyémántport szórtak. szedjük le és válasszuk külön a jó dolgokat a rosszaktól).  ©: Gubb      ✍  2005. december 8., 08:50 (CET)
Először tisztáznunk kéne, hogy milyen értelemben gondolunk a rendezett párokra. Mint szemantikai, vagy mint szintaktikai fogalmakra. Azzal, hogy azt mondjuk, hogy alapfogalom semmit nem magyarázunk meg. Nem is elégedtek meg a matematikusok azzal, hogy alapfogalom legyen, hanem definiálták - legalább is a halmazelméleten belül. Amikor egy rendezetlen párt nézzük, akkor a következő osztályt képezzük: { x | x=a vagy x=b }, ahol a és b individuumok. De ez az osztály, mint individuum kiküszöbölhető a nyelvből az "x ∈ {a,b} <=> (x=a vagy x=b)" kijentés által. És ennek a kiküszöbölésnek van értelme, hisz egyáltalán nem biztos, hogy az osztályok általában individuumoknak tekinthetők. Méginkább így van ez olyan bonyolult fogalmakkal, mint a rendezett párokkal. A halmazelméletben, ahol az osztályba foglalás művelete individuumszineten iterálható nem kétséges, hogy <a,b> individuum. Ezért válik a halmazelméletben létező jelöletté (individuális objektummá, tárgyiasult fogalommá (Frege) ) egy predikátum referenciája, azaz egy halmazelméleti függvény és vele a rendezett pár is...Mozo 2005. december 8., 09:26 (CET)

text: szemantika vagy szintaktika - a filozófiai problémák szakaszban jó lenne a szemantikájáról is írni a dolognak (persze lehet külön szakaszban is, ahogy gondolod, de ha többféle khmm értelmes megközelítés létezik, akkor ne rekesszük ki egyiket sem). Ha jól emlékszem, Ruzsa ír arról a lehetőségről, hogy alapfogalomként is lehetne "definiálni", de már nem emlékszem, hol.
replies: text: : Megjegyzés és elkalandozás - és ez itt az én magánvéleményem - azért van ennek a gondolatnak létjogosultsága, mivel a rendezett pár fogalmát abban a formában, ahogy a formalisták meghatározzák, önhivatkozásnak, impredikabilitásnak tartom. De ez egyelőre a saját magánvéleményem, így nem írnám be a cikkbe; mindenesetre ha így van, akkor elegendő motivációt ad a6z alapfogalomnak tekintéshez - ha tudsz erről többet, hogy más matematikusok is problémásnak tartják a formalista meghatározásokat, kérlek jelezd, küldj irodalmat, mert nagyon érdekelne a dolog. Megjegyzem, ha igazam van, akkor a rendezett pár igazán kielégítő meghatározása valószínűleg bármely analitikus filozófiai eszközzel lehetetlenség, és ezáltal a rendezett pár válik a matematika egyik legalapvetőbb fogalmává (azaz mégis csak Kroneckernek volt igaza ...). Ennyiben igaza lehet Zgyorfinak, de hangsúlyoznom kell, hogy ez nem más, mint a sumerizmushoz hasonló rendkívül alternatív koncepció, a saját kutatásom melyről, forrásom nem lévén, én nem írhatok semmit a cikkbe, és szerintem alapelveink Zgyorfi sem teheti meg. Zgyorfi ráadásul nemcsak a formalista tankönyvi paradigmákat, hanem szerintem minden matematikával és didaktikával kapcsolatos paradigmát felrúg a "fölösleges erről más formában, mint példákkal beszélni" mondatával. Az lehet, hogy fölösleges, de szerintem ezt bizonyítani kell azáltal, hogy megmutatom, a jelenleg használt eszközök ellentmondáshoz vagy egyéb problémához vezetnek, számomra sem fogadható el egyszerű kinyilatkoztatásként ). ©: Gubb      ✍  2005. december 8., 09:53 (CET)
1. ... Érdekesen összemosódik a rendezett pár szintaktikai és szemantikai mivolta, ugyanis, ha a halmazelméletre mint formális elméletre gondolunk, akkor amennyiben T és S a halmazelmélet két termje, úgy a <T,S> -sel rövidített term a rendezett pár szintaktikai megnyilvánulása. Ha ezzel szemben egy formális nyelv halmazelméleti modelljét vesszük, akkor az individuumtartomány két eleme (melyekről talán csak annyi bizonyítható, hogy léteznek) két halmaz, melyekre talán nem is hivatkozhatunk "név szerint". Míg formális nyelvi rendezett párból megszámlálhatóan sok van, addig szemantikaiból (halmazpárból) annyi amennyi halmaz.
2. Ha hihetünk Hilbertnek, akkor a legmegbízhatóbb és legkétségbevonhatatlanabb matematika a finit matematika vagyis a primitív rekurzív aritmetika. Ennek lényegében minden összetevője alapfogalom, így természetes számokhoz (véges lépésben rekurzióval kiszámítható) természetes számot rendelő függvény is. Két természetes szám rendezett párja ekkor definiálható, mint az 1-hez és a 2-höz rendelt valamely két szám. Alapfogalom tehát ekkor a primitív rekurzív hozzárendelés és deriválható belőle a rendezett pár. A jelek pedig arra utalnak, hogy egyedül a finit matematika térhet ki a Gödel-tétel destrukrtív hatása alól (Tait tézise). Mozo 2005. december 8., 14:04 (CET)
## Köszönöm, de nem ilyesmire gondoltam, inkább olyasmikre, amilyennek  Church vizsgálatait képzelem (melyeket sajnos nem ismerek, így nem tudom valójában, mik voltak). A problémám az olyan elméletekkel kapcsolatos, melyek a számfogalom definiálására szolgálnak: nem tudom, Hilbert elmélete megteszi-e ezt (gondolom, inkább megkerüli, és az elméletének minden változata és továbbfejlesztése is ezt teszi). Azt gondolom problémának, hogy jelenlegi matematikai eszközökkel, különösen pedig a rendezett pár fogalmára vagy bármi hasonlóra (pl. jelsorozatokra) építve, a szám fogalma nem definiálható filozófiai önhivatkozás nélkül, noha az elmélet szintaktikája esetleg rendben lesz (tehát szintaktikai ellentmondást nem felt. tartalmaz). De ez már nagyon-nagyon mellékvágány, legtitkosabb gondolataim egyike, úgyhogy most befejezem, te pedig írd tovább a cikket nyugodtan, ha van kedved hozzá. ©: Gubb      ✍  2005. december 8., 14:42 (CET)
thread_title:  Elemi megközelítés 

message: Én valójában az egész elnevezést idézőjelbe gondoltam (azáltal, hogy dőlten szedtem). Azt próbáltam kifejezni, hogy létezik (például a közgondolkodásban szociális konstrukcióként, vagy realistáknál az objektív gondolatok világában) egy olyan fogalom, melyre úgy hivatkozunk, mint:
replies: text: „Az "a"-ból mint első elemből és a "b" ből mint második elemből alkotott rendezett pár”
(ez a nyelvi megtestesülése) és mely összhangban van azzal a gondolattal, melyet a fenti szöveg a magyar nyelvben kifejez (azaz ez a szöveg intuitív). Ez lenne a rendezett pár. A halmazelméletben szintén létezik egy ilyen, a fenti szöveggel összhangban lévő term, éspedig az {{a},{a,b}} megfelelő erre a célra. Célszerű tehát a matematikában (a,b)-t realizálni {{a},{a,b}}-ként, ha már az a szerencsés helyzet adódott, hogy a halmazelmélet termjei alkalmasnak tekinthetők a matematikai fogalmak referenciája (vagy inkább mondjuk metanyelvi fordítása) számára. Pontosabban. Az x változó rendezett párt jelöl, ha tétel a következő formula:

text: (∃ y)(∃ z)( x = {{y},{y,z}} )
Mozo 2006. május 18., 22:44 (CEST)
Nekem a következő dolgok okoznak problémát:
# Fő problémám az, hogy nem látom, a fenti intuitív mondatból hogyan lesz a halmazelméleti definíció. A cikk fejrészébe valahogy bele kellene zsúfolni az (a,b)=(c,d) acsa (a=c)&(b=d) követelményt. Mert lényegében "ez a halmazelméleti definíció" (minden más formula csak ennek egy lehetséges megvalósítása). De hogy lehet ezt az egyenlőségsort intuitív, köznapi módon megfogalmazni?
# De kell-e egyáltalán ez? Kezdek ugyanis kételkedni abban, hogy a rendezett pár fogalma egyáltalán létezne a köznapi gondolkodásban. Persze létezik, de szerintem ha egy normális ember gondol rá, akkor egyszerűen elemrendszerként, vagyis {(1,x); (2,y)}  alakban. Egyébként az első ismert, Norbert Wienertől eredő próbálkozás a meghatározására injább ehhez hasonló módon történt: { {0, {a}};  }, vagyis függvényként. Kuratowski csak elegánsabbá tette a definíciót azzal, hogy kiküszöbölte a 0-t. Nem kellene-e elfogadni kivételesen, hogy a rendezett pár nem egy intuitív fogalom matematizálódása, hanem egy mesterségesen kreált absztrakció, ami elsősorban a matematika számára fontos (bizonyos önhivatkozások állítólagos kiküszöbölése végett), az összes többi tudományág pedig elvan a véges sorozat fogalmával? ♥♥♥: Gubb   ✍    2006. május 18., 23:11 (CEST)
A formális nyelv szemszögéből
Legyen c(x,y,z) szándékolt jelentése: "a z az x és y ilyen sorrendű rendezett párja". Szükséges ehhez, hogy egyrészt c a 3. változójában egyértelmű legyen, azaz bármely x és y -ra, ha c(x,y,u) és c(x,y,v), akkor u=v, azaz tétel legyen:
(minden x)(minden y)( ha (létezik z) c(x,y,z), akkor (létezik egyérteműen z) c(x,y,z) )
másrészt c(x,y,z) az x és y változójában egyszerre legyen egyértelmű:
 
c(x,y,z)=c(u,v,z) => x=y és u=v (!)
azaz 
(minden z-re)( ha (létezik x)(létezik y)c(x,y,z), akkor (létezik egyértelműen x)(létezik egyértelműen y)c(x,y,z) )
tétel.
Ekkor ez azt jelenti, hogy ha van z, hogy c(x,y,z), akkor ezt a formulát csak a válzotók egyetlen értékelése elégíti ki, azaz adott interpretáció esetén meg tudjuk mondani, hogy az első változó helyére mi kerül és a második változó helyére mi kerül. Azaz a rendezett pár attól rendezett, hogy az c formula 1. és 2. változójának helyére kijelöl egy elemet, azaz a probléma ekvivalens a c formulában szereplő változók sorrendjének problémájával. Azaz ha meg tudjuk mondani, hogy egy formláis nyelvben a c relációjel utáni termek melyike van az "első", a "második" és a "harmadik" helyen, akkor azt is meg tudjuk mondani, hogy mi a rendezett pár 1. és 2. komponense. Márpedig a prefix grafikus jelölési megkötéssel egyértelműen kiderül, hogy a libasorba írt cTRS formulában a c után követő T term az 1., az utánalévő R a második és S a harmadik.
Természetesen a számok és a véges sorozat fogalma kell, de ez az ami igazán alapvető és nem a rendezett pár, azaz a 2 elemű véges sorozat.Mozo 2006. május 19., 07:56 (CEST)

text: Jó, de nem ezt kérdeztem, a problémám nem metamatematikai (illetve mindjárt kitérek arra is, de az egyx külön dolog), hanem didaktikai. Az az alapproblémám, hogy hogyan lehetne egyszerűen, egy-két mondatban megfogalmazni hétköznapi nyelven azt, hogy "két rendezett pár akkor és csak akkor egyenlő, ha az egyik első eleme ugyananaz mint a másik első eleme, és az egyik második eleme ugyanaz mint a másik második eleme". És hogyan lehet röviden beláttatni, hogy szükség van erre a definícióra. Ugyanis a jelenlegi halmazelméleti definíció nincs motiválva. Közli a rendezett pár definícióját, de csak utólagosan állaoízja meg, hogy "figyeljük meg, a rendezett pár fogalma rendelkezik a következő tulajdonsággal: ..." De ez a rendezett párok Legfontosabb tulajdonsága, ha egyszer minden modelljükre igaz. Ezért erre kellene felépíteni az egész cikket. A jelenlegi intuitív megállapítás ugyanis (a rendezett párnak van egy első eleme meg egy második eleme) dzámomra és szerintwem minden laikus számára pontosan azt sugallja, hogy <x,y> = {{1,x}, {2,y}}. De akkor meg hogyan jkön be Kuratowski defije? Ezt szerintem meg kellene magyarázni, hiányosnak érzem a cikket.
replies: text: :: Kitérő. Éppenséggel hivatkozásod a prefix jelölésre mutatja, hogy a rendezett pár fogalmát soha nem lehetséges önhivatkozás nélkül felépíteni. Bármilyen jelsorozatban ugyanis már benne rejlik a rendezés fogalma. Mondjuk azt, hogy legyen <a,b> = {{a}, {a,b}}, mert ezzel kiküszöböljük a számokat a rendezett pár Hausdorff-szellemű definíciójából? Na igen. De számomra egy formalista definíció csak tiszta matematikaiv fogalmakra építhet, és a térbeli irány, a sorrend, az idő fogalma látszólag nem tartozik ide. Hogyan tudnám az álláspontom érzékeltetni (bizonyítani persze  nem lehetséges, mivel valójában nem matematikai állítás az, hogy a rendezett pár fogalma önhivatkozás, ha egyszer a rednezett pár fogalma sem matematikai). A következő gondolatkísérletet javaslom: képzeld olyan szituációba magad, mint amilyenről Kelvin dr. számol be a Solaris c. könyvben (nem tudom, olvastad-e). Egy idő és tér nélküli, óceánszerű valamiben lebeg (A) valamilyen más entitás (B) társaságában. Tegyük fel, hogy a B entitás azt kéri tőle, definiálja kettejük rendezett párosát. Na jó, Kelvin kolléga azt mondja: az {A} és az {A,B}-ból készült rendezetlen pár. Ekkor a B entitás azt mondja: Én a másikra gondoltam. Hopgyen lehet előre eldönteni, hogy melyikre gondol? Sehogy nem tudja ezt a B elmondani A-nak. Nem mondhatja A-nak: hogy vedd előre az A-t, és utána a B-t, hiszen az "előre" és "utána" szavak már tartalmazzák magukban vagy a térbeli, vagy az időbeli megelőzés fogalmát, képzetét. Pláne nem mondhatja, hogy "első elem az A, második elem a B", hiszen az "első" és "második" szavak természetes számok, melyeket feltétlenül különféle relációk, jelsorozatok definiálnak, és így szintén használjuk a rendezett pár fogalmát. Öncsalás a matematikusoknak az a hite, hogy az A és B elemek megkülönböztethetőségében benne rejlik a rendezett pár definiálásának lehetősége. Mert még ha ezek különböző elemek is, akkor is meg kell mondani, hogy melyik legyen az "első" elem és melyik a "második" elem. Ha például ezt a fenti módon akarod definiálni, a c(z,x,y) predikátummal, már ahogy leírod ezt a jelsorozatot, akkor is felhasználtad a változók sorrendjének megkülönböztetését, és így a rednezett pár fogalmát. Ergo e fogalom nem definiálható filozófiai önhivatkozás nélkül, rejtetten mindig ott van a rendezés, a sorrend fogalma. De ismétlem, ez mellékprobléma, amiről nem szükséges a cikkben megemlékezni, amíg nem találok valami forrást (nem hiszem, hogy találnék). ♥♥♥: Gubb   ✍    2006. május 19., 08:30 (CEST)
Kezdem érteni a problémádat! A melyik az első, melyik a második kérdést tegyük későbbre. Az előző megszólalásomban azt próbáltam bizonygatni, hogy ahogy a "létezik 1, ...", "létezik 2, ..." numerikus kvantifikáció megfogalmazható számok nélkül, úgy a kételemű sorozat is átfogalmazható éspedig pont a rendezett pár szóbanforgó "karakterisztikus" tulajdonsága folytán számok nélkülivé (tehát lényegében a kettő ugyanaz). Javaslok a "karakterisztikus" tulajdonságra egy emberibb átfogalmazést:

text: <a,b> rendezett pár, ha egyik vagy másik elemének, vagy akár mindkettőnek megváltoztatásával a pár is megváltozik.
Ez nem más, mint a karakterisztikus tulajdonság kontraponáltja. A rendezetlen pár elemeit lehet úgy megváltoztatni, hogy ne változzon a pár, éspedig úgy, hogy mindekttőt a másikra cseréljük, tehát jó a definíció.
Nos? 
Kicsit továbbmegyek. Ha <a,b> a rendezett pár képző leképezés, akkor kell egy olyan függvény, mely minden rendezett párhoz pontosan az egyik elemét rendeliés amelyre az igaz, hogy ha a c és d rendezett párok elemei ugyanazok (ugyanaz a "rendetlen" pár), akkor f(c) nem egyenlő f(d), feltéve, hogy a rendezettlen pár kételemű. Ez kiválasztja a rendezést, azaz legyen mondjuk f(c) az első elem, a nem f(c) a második. f-et a kiválasztási axióma tudja biztosítani. Mozo 2006. május 19., 16:45 (CEST)
replies: text: : Persze hogy ugyanaz a kettő (én is ezt mondom), hisz éppen ezért  nem lehetséges önhivatkozás nélkül definiálni a rendezett párt! Természetes, hogy lehetséges a jelsorozatok sorrendiségének fogalmát a rendezett pár fogalmának segítségével kezelni, hisz a rendezett pár fogalmába épp ez a sorrendiség van belekódolva! Csakhogy én egy kicsit tovább is mentem, és azt mondtam, hogy itt látszat az, hogy alapokra való visszavezetésről van szó, valójában két egyenértékű dologgal szórakozunk.
replies: text: :: Mert a rendezett párok vagy a jelsorozatok sorrendiségének definiálása számokkal - nem jöhet szóba egy logicista és egy formalista számára, akik a számokat mind valamilyen szintaktikus szabállyal adott rekurzív jelsorozatokat definiálják. Ezért kell hát hivatkozni a rendezett párra mint látszólag alapvetőbb fogalomra, csakhogy én azt mondom, ez önámítás. Mert a rendezett párt végső soron sehogy máshogy nem lehetséges definiálni, mint számokkal! Tehát úgy tűnik, az 1 és 2 (jobb és bal, előre és hátra, előbb vagy utóbb, fent és lent stb.) megkülönböztetése már matematikán kívüli, és ezért hibás dolog halmazelméletileg megpróbálni modellezni. Csak azért nem tűnik ez fel, mert írás- és beszédmódunk annyira ráépül erre az alapfogalomra, hogy már a legelső megszólalásunkkor is kénytelenek vagyunk rá építeni,  és így rejtetten bent lévén definíciónkban, nem csoda, hogy sikerül vele a számfogalmat felépíteni. Tehát ebből a szempontból kénytelen vagyok Brouwerék véleményét elfogadni: a matematika, legalábbis a számolás eredete az idő, vagy ami ugyanaz, a tér egy elmozdulásának (pl. előbb, utóbb) érzékelése. Ennek tükrében nem csoda, hogy az {{a}, {a,b}} meg az {{1,a}, {2,b}} modellek teljesen izomorfak.

text: :: Következmény az, hogy jobb lenne a rendezett pár fogalmát alapfogalomnak tekinteni, axiomatikusan felépíteni.
Ami a cikkfejet illeti, elfogadom, a következő apró módosításokkal (kiemelve):

text: <a,b> rendezett pár, ha egyik vagy másik elemének, vagy akár mindkettőnek megváltoztatásával a pár is biztosan megváltozik.
(A rendezetlen pár elemeit lehet úgy megváltoztatni, hogy ne változzon a pár, éspedig úgy, hogy mindekttőt a másikra cseréljük, )
Tehát még felvenném a hozzáfűzött magyarázatod egyik mondatát is. Remélem, így jó lesz. ♥♥♥: Gubb   ✍    2006. május 19., 16:55 (CEST)
Légyszi Gubb olvasd el a User:Mozo/Egyéb-ban az idevonatkozó részt! Kösz. Mozo 2006. május 19., 19:43 (CEST)

text: Hmm... minden második szavát értem, de épp ezért lenyűgöző (univerzális lezárt :-??) ♥♥♥: Gubb   ✍    2006. május 20., 00:27 (CEST)
Kicst átírtam: User:Mozo/Egyéb Mozo 2006. május 21., 08:45 (CEST)
thread_title:  Bevezetés 

message: Ha a rendezett párt mint echte halmazelméleti fogalmat tárgyalná a cikk, akkor javasolnám ezt a szakaszt az ==Általánosítások== szakasz ===Osztályok párjai=== alszakaszaként tárgyalni. De mivel a rendezett párt mint általános intuitív fogalmat kezeljük, kételyeim vannak, hogy ez általánosítás-e, vagyegy másik lehetséges felfogás, azaz a RP fogalom realizációja egy másféle matematikai keretelméletben. ♥♥♥: Gubb   ✍    2006. május 20., 00:27 (CEST)
Inkább a halmazelméleti modell korlátaira mutat rá az osztálypár, mintsem általánosítás lenne. A fogalom valóban csak a rp osztályelméleti realizációja. tehát ? Mozo 2006. május 20., 08:17 (CEST)
thread_title:  osztálypár 

message: Mi az {a,b} rendezetlen pár karakterisztikus tulajdonsága (tehát nem az { x | x=a v x=b } definícióról érdeklődöm!) Bourbaki eredetileg primitív fogalomként kezelte a rendezetlen párt és a halmazelmélet nyelvébe az ∈ és az = szimbólumok mellett a C szimbólumot is felvette, melyre a   Cxy = Cyx teljesül és mely a rendezetlen párt jelentené. Mozo 2006. május 21., 12:28 (CEST)
thread_title:  Rendezetlen pár 

message: Mit gondolsz Gubb, meg tudnánk ezt írni? Mozo 2006. május 21., 12:27 (CEST)
Az "asszociativitás" hiányát a Császár-könyv is említi (azt hiszem. valahol a vonalintegrálok környékén), talán arról lehetne beszélni. És meg kellene nézni az SH-atlaszt is, véletlenül nem írja-e ×-ról, hogy asszociatív. Ugye ha Császárnak gondot okoz, akkor mégis csak említésre méltó probléma, még ha nem is olyan világrengető jelentőségű. ♥♥♥: Gubb   ✍    2006. május 21., 12:54 (CEST)
Feltétlenül írni kellene arról is, mit nevezünk rendezett párnak abban az esetben, ha az egyik tag az üres halmaz eleme. Intuitíve ugyebár ha egy pár egyik tagja nem létezik, akkor maga a pár sem létezik (mi a franc lehet egy nemlétező dolog meg egy létező dolog párosa? létezhet ilyen?). Holott a matematikusok nem így gondolják. Nem hiszem, hogy erről ne lenne valami forrás, gyanakszom pl. Varga Tamás egy könyvére ... (de most meg nem mondom, melyikre) ♥♥♥: Gubb   ✍    2006. május 21., 12:57 (CEST)
thread_title:  Problémák a halmazelméleti modell(ekk)el