Razgovor:Vektorski produkt

message: Nek netko ovo stavi na vektorski produkt, meni ne da
Vektorski produkt (rjeđe vektorski umnožak) je binarna matematička operacija na dva vektora u euklidskom trodimenzionalnom prostoru. Označava se simbolom ×. Za dva linearno nezavisna vektora \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b}, njihov vektorski produkt \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} je vektor koji je okomit na oba vektora (normala na ravninu koju ti vektori razapinju), a njegov iznos je jednak površini paralelograma kojeg ta dva vektora razapinju. Orijentaciju vektora daje nam pravilo desne ruke. U slučaju da  vektori \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} nisu linearno nezavisni (dakle jedan je linearna kombinacija drugoga, odnosno imaju isti smjer), njihov vektorski produkt je nul-vektor.

message: Vektorski produkt se definira kao operacija \times : (E^3,E^3) \rightarrow E^3 za koju vrijedi
replies: text: \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (|\overrightarrow{a}| \times |\overrightarrow{b}| \sin\theta) \overrightarrow{n}
gdje su \overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} \in E^3, \theta kut između dvaju vektora, a \overrightarrow{n} vektor okomit na vektore \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b}.
Definira se i pomoću determinante:

text: \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} =

text: = \overrightarrow{i} (a_2 b_3-a_3 b_2) - \overrightarrow{j} (a_1 b_3-a_3 b_1) + \overrightarrow{k} (a_1 b_2 - a_2 b_1)= \begin{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}
gdje su \overrightarrow{i}=(1,0,0), \overrightarrow{j}=(0,1,0) i :\overrightarrow{k}=(0,0,1) vektori kanonske baze trodimenzionalnog euklidskog vektorskog prostora, E3.
thread_title:  Formalna definicija 

message: * Iznos vektorskog produkta dvaju vektora je površina paralelograma razapetog tim vektorima
replies: text: | \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} | = | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} | | \sin\theta |
* Vektorski produkt vektora samog sa sobom je nul-vektor.

text: \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}
* Vektorski produkt okomit je na oba vektora koji ga čine
* Antikomutativan je

text: \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} = -(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a})
* Distributivan je prema zbrajanju

text: \overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c})
* Za množenje skalarom vrijedi:

text: (\alpha\cdot\overrightarrow{a})\times\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}\times(\alpha\cdot\overrightarrow{b}) = \alpha\cdot(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})
* Nije asocijativan
* Ne može se kratiti, tj. ako vrijedi \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c} i \overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}, ne slijedi \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c}, nego samo \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} kroz distributivnost prema zbrajanju. Ta jednakost može biti zadovoljena ako su vektori \overrightarrow{b} i \overrightarrow{c} jednaki, ali i ako su \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} paralelni, tj. linearna kombinacija jedan drugoga.
thread_title:  Svojstva 

message: * Skalarni produkt
* Mješoviti produkt
thread_title:  Također pogledati