שיחה:רציפות (פילוסופיה)

message: לא כל כך הבנתי מה הפסקה עליה עושה כאן. כיצד היא מתקשרת לרציפות? במילים אחרות, במשפט "בכך, למעשה, התעלמו מבעיית הרציפות" ה"למעשה" מסתיר מאחוריו הרבה מאוד שאיני מסוגל לקשר בעצמי. אולי כדאי להרחיב. 
עוד דבר בפסקה שאולי בעייתי הוא הטענות הטכניות שמיוחסות לפיתגוראים - למשל, שהם "ניסו לחשב" את אורך היתר. איני בקיא יותר מדי בהיסטוריה של המתמטיקה, אך על פי מה שאני יודע הפיתגוראים לא ניסו לחשב כלום, וכלל לא עסקו במספרים (כפי שאנו מכירים את המושג כיום) אלא בקטעים - והתגלית שלהם הייתה שאין מידה משותפת לצלע הריבוע ואלכסונו (בגרסה אחרת, הצורה הבעייתית היא בכלל פנטגרם, וגם המספר האי רציונלי שנגזר ממנה שונה). גדי אלכסנדרוביץ' 15:01, 13 באפריל 2007 (IDT)
אהלן גדי, long time. 
* הפסקה על הפיתגוראים באה להראות שבתחילת דרכה של המתמטיקה, היו מתמטיקאים (שאז עוד היו מעורבבים בפילוסופים) שלא רצו לעסוק במספרים אי רציונאליים. מספרים אלו הם ביטוי לבעיית הרציפות, משום שבניגוד למספרים שלמים, בין כל מספר אי רציונאלי לחברו יש עוד מספר. במילים אחרות, התיאור הגרפי של של רצף מספרים ממשיים (הכוללים את האי-רציונאליים) הוא רציף, בניגוד לתיאור גרפי של רצף המספרים הטבעיים. אני יודע שזה לא ניסוח מתמטי (היה רצוי לנסח את זה במונחים של טופולוגיה ותורת הקבוצות), אבל העיקר שהרעיון מובן. נזהרתי מלגלוש יותר מדי למתמטיקה, גם משום שלא בזה עוסק הערך, גם משום שזה הופך את הערך לטכני מדי עבור הציבור הרחב, וגם בגלל שאין לי מספיק ידע במתמטיקה...
* לגבי ה"חישובים" של הפיתגוראים: ראשית, רצוי לקרוא טקסטים מקוריים של הפיתגוראים בכדי לרדת לשורש העניין, ואני מודה שלא עשיתי זאת. יתכן שאגיע לזה. שנית, קרוב לוודאי שאתה צודק, במובן הזה שיש בפסקה זו מושגים אנכרוניסטיים עבור העת העתיקה - "מספרים אי רציונאליים" ו"שורש שתיים", אבל ציינתי את זה ("נקראים כיום"). ליתר ביטחון, הנה קטע מויקיפדיה האנגלית (בהנחה שהיא מהווה מקור מידע מהימן):
One of the consequences of the Pythagorean theorem is that irrational numbers, such as the square root of two, can be constructed. A right triangle with legs both equal to one unit has hypotenuse length square root of two. The Pythagoreans proved that the square root of two is irrational, and this proof has come down to us even though it flew in the face of their cherished belief that everything was rational
--אורון יהלום 00:14, 14 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: :שלום גם לך. אני מקווה שתישאר ותכתוב עוד ערכים כמו זה. עכשיו לעבודה: אני חושש שהנימוק שלך לגבי "מספרים אלו הם ביטוי לבעיית הרציפות" לא מדוייק, שכן את התכונה המעניינת של "בין כל שני מספרים יש עוד אחד" יש גם למספרים הרציונליים, שאיתם לא היו לפיתגוראיים בעיה (תכונה זו מכונה צפיפות).
replies: text: :באשר לציטוט מויקי האנגלית, אני חושד שהם אכן לוקים באנאכרוניזם כאן - חשוב לזכור שמשפט פיתגורס לא התגלה לראשונה בידי פיתגורס, כך שהבניה של אי רציונליים לא ייחודית לפיתגוראיים, אלא הגילוי שלהם - וגילוי זה התבטא אצלם, למיטב ידיעתי, בהוכחה שלצלע הריבוע ולאלכסונו אין מידה משותפת. כמובן שזה פחות חשוב - השאלה האמיתית היא כיצד הפסקה כולה מתקשרת לרציפות.

text: :באופן כללי התחושה שלי היא שהערך עוסק יותר בבעיות שנובעות ממושג האינסוף (תחום מרתק בפני עצמו) ופחות במושג הספציפי "רציפות", אבל ייתכן מאוד שזה נובע מחוסר היכרות עם המושג במשמעותיו הפילוסופיות-אינטואיטיביות. גדי אלכסנדרוביץ' 10:07, 14 באפריל 2007 (IDT)
* לגבי הפיתגוראים - אני שלם עם הניסוח הנוכחי, אבל אתה מוזמן להציע ניסוח אחר.
* לגבי הטרמינולוגיה - נכון שהיה אפשר להכניס את כל הערך תחת המושג "אינסוף", אבל נראה לי שזה היה כבד מדי. אפשר היה לקרוא לנושא גם "אינסוף מתכנס (פילוסופיה)", אבל נדמה לי שהמושג "רציפות" ממחיש את הנושא יותר טוב בתחומים כמו פיזיקה, ביולוגיה וזמן (שלא הכנסתי כאן, מקוצר היריעה).--אורון יהלום 16:36, 14 באפריל 2007 (IDT)

text: אני חושש שעדיין לא הבנתי איך כל הפסקה הזו מתקשרת לנושא הערך ולאינסוף - הקשר בין המספרים האי רציונליים לאינסוף נהיה גלוי רק כשמגיעים לפורמליזם המודרני של מספרים ממשיים. גדי אלכסנדרוביץ' 16:48, 14 באפריל 2007 (IDT)
thread_title: האסכולה הפיתגוראית

message: נראה לי ש"ארכימדס הניח כי המעגל מכיל אינסוף משולשים צרים לאינסוף, ולכן אפשר לחשב את שטחו של המעגל על בסיס הנוסחה לחישוב שטחו של משולש" זה תיאור קצת פשטני של מה שארכימדס עשה (שיטת המיצוי). עם זאת, מה שבאמת מפריע לי היא האמירה "נוסחה זו עובדת היטב, אם כי כיום אנו יודעים שיש להכניס בתוכה מספר אי רציונלי בשם פאי, שלא היה ידוע לארכימדס." ראשית, כי כעת מדברים על "נוסחה" למרות שקודם דיברו על "חישוב" (ואלו שני דברים שונים), ושנית מכיוון שפאי הוא התוצאה של החישוב (שטחו של מעגל היחידה הוא בדיוק פאי). גדי אלכסנדרוביץ' 15:06, 13 באפריל 2007 (IDT)
* ראשית, תיקון: המושג הנכון הוא כמובן "עיגול" ולא "מעגל". אני מיד מתקן.
* יכולתי להביא את כל מהלך החישוב של ארכימדס, אבל שוב, ניסיתי להקל על הקורא. הנה זה:
ארכימדס הצליח להפוך את העיגול לאוסף משולשים בשיטה זו: נניח שאנו כולאים משושה משוכלל בתוך מעגל ומחלקים אותו למשולשים שווי צלעות. סכום השטחים שלהם יהיה קרוב לשטחו של המעגל החוסם. הסכום לא יהיה זהה לשטח המעגל משום שקיים רווח בין צלעות המשושה (בסיסי המשולשים) להיקף המעגל.
אם נכלא מתומן במקום משושה – יצטמצם הרווח הזה, והשטח יתקרב עוד יותר לשטחו של המעגל. כעת נניח כי ניתן לכלוא במעגל מצולע בעל אינסוף צלעות, כלומר, אינסוף משולשים צרים עד אינסוף. הבסיס של כל משולש יהא נקודה על ההיקף, והבסיס של כל המשולשים הוא היקף המעגל. הגובה של כל משולש הוא הרדיוס, וכך ניתן לחשב את שטחו של המעגל על סמך נוסחת השטח של המשולש: (1/2 גובה X בסיס). במקרה של המעגל: 
(1/2 היקף X רדיוס). הבעיה היחידה שנותרה היתה להביע את ההיקף באמצעות הרדיוס. למרבה הצער, המספר המקשר בין ההיקף לרדיוס הוא המספר האי רציונאלי פאי (π), שלעולם לא נדע את ערכו במדויק. אף על פי כן הנוסחה הרצויה נמצאה: ההיקף שווה ל- 2πr, והנוסחה של שטח העיגול היא אם כך:
r*2πr*1/2 = 
πR2
* בכוונה הבחנתי בין "חישוב" ל"נוסחה", משום שהנוסחה לשטח העיגול (הכוללת את פאי), היא מאוחרת יותר.
--אורון יהלום 00:37, 14 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: אוקיי. יש לשים לב שההבדלה הזו לא ברורה בערך - מתקבל הרושם שארכימדס הגיע לנוסחה. אין לי בעיה לשכתב את הפסקה, אבל גם במקרה שלה, אני לא בטוח מה הקשר לרציפות - בפרט, אם ארכימדס לא הגיע לנוסחה (וכדי לדעת את זה אצטרך לקרוא יותר לעומק עליו ועל שיטת המיצוי), הרי שהשיטה שלו היא שיטת קירוב שאינה משתמשת כלל באינסוף. גדי אלכסנדרוביץ' 10:11, 14 באפריל 2007 (IDT)
* ארכימדס השתמש באינסוף בהנחות היסוד שלו: יש דבר כזה אינסוף משולשים צרים לאינסוף.--אורון יהלום 16:40, 14 באפריל 2007 (IDT)

text: הידע שלי בנושא אפסי; אחזור אלייך אחרי שאקרא יותר לעומק עליו. גדי אלכסנדרוביץ' 16:52, 14 באפריל 2007 (IDT)
thread_title:  הפסקה על ארכימדס 

message: בפסקה הבאה: "הפתרון העיקרי שניתן לקשיים הלוגיים שיוצרים המספרים האי רציונאליים, היה פיתוחה של תורת הקבוצות. באמצעות תורה זו הגדירו המתמטיקאים את שדה המספרים הממשיים. פתרונות אלו (ורבים אחרים) מאפשרים למתמטיקה המודרנית לעבוד עם גדלים אינסופיים. עם זאת, יש לציין שנותרו קשיים לוגיים עד היום במתמטיקה, בעיקר בגלל העבודה עם גדלים אינסופיים. כמו כן, הקשיים האינטואיטיביים לא נפתרו, אלא הפכו לנחלתה של הפילוסופיה."
מה הקשר בין בנייה פורמלית של הממשיים ובין עבודה עם גדלים אינסופיים? למעשה, הכיוון הוא הפוך: כדי להגדיר בצורה מניחה את הדעת את המספרים הממשיים, המתמטיקאים נאלצים לחזור ולעשות שימוש במושג האינסוף, שכבר קיוו שנפטרו ממנו אחרי המצאת הגבול.
עוד בעייתיות היא שלא מוסבר אפילו ברמז מהם הקשיים הלוגיים שנשארו עד היום, וגם לא ברור מה יכול להיות קביל כפתרון של "קושי אינטואיטיבי" - עד כמה שאני מצליח להבין זאת, קושי אינטואיטיבי הוא כזה שנובע מההיכרות של הדיוט עם המושג. מכיוון שכל פתרון שתספק המתמטיקה יצריך היכרות כלשהי עם המתמטיקה שמאחוריו, אין שום דרך לפתור את הקושי האינטואיטיבי בדרך מתמטית - אבל את אותו הטיעון עצמו אפשר להחיל גם על הדרך הפילוסופית. גדי אלכסנדרוביץ' 15:13, 13 באפריל 2007 (IDT)
* בנוגע לעבודה עם גדלים אינסופיים, יתכן שהנחתי הנחה לא נכונה ואצטרך את עזרתך: כיצד מבצעים פעולות חשבוניות עם מספרים אי רציונאליים? האם לא נדרש לשם כך לעבוד עם תורת הקבוצות?
* שוב, לא נכנסתי לקשיים הלוגיים שנשארו עד היום במתמטיקה, משום שזה לא הנושא, משום שזה טכני מדי ומשום שאני לא מספיק בקיא בזה. לשם כך ציינתי בביבליוגרפיה את ספרו של ארנון אברון, שם הוא מסביר על כך בהרחבה. 
* לגבי קושי אינטואיטיבי: ראשית, אין הכוונה לקושי עם מושגים מתמטיים דווקא. למשל המושג "גודל קטן עד אינסוף" הוא לא מושג מתמטי, אבל מה לעשות שמתמטיקאים השתמשו בו? שנית, אחד המדדים לדעתי להיותם של רעיון / מושג / תיאוריה מוצלחים, הוא היכולת להסביר אותם לאנשים אחרים. למשל, קשה מאד להבין אינטואיטיבית שכדור הארץ סובב סביב השמש ולא להיפך, אבל עובדה שהצליחו להסביר לנו את זה באופן מוצלח ולכן אנו מקבלים את הרעיון. אני מתנגד לגישה הפורמליסטית, הטוענת כי "העיקר שזה עובד", או "אם זה עובד - אל תיגע". על בסיס גישה זו ציין קופרניקוס בהקדמה לספרו, שאין צורך להסיק מן הספר שכדור הארץ באמת סובב סביב השמש, אלא שזו רק הנחת עבודה המקלה על חישוב תנועת גרמי השמיים... 
--אורון יהלום 00:59, 14 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: קראתי את הספר של אברון, ובכל זאת אני לא מצליח להבין מהם הקשיים הלוגיים שבהם המתמטיקה נתקלת היום. אני חושב שעדיף למחוק את הטענה הזאת. Liransh 10:10, 14 באפריל 2007 (IDT)

text: עבודה עם גדלים אינסופיים: זו בדיוק הטענה שלי. כדי לעבוד עם מספרים אי רציונליים צריך להשתמש במושג האינסוף בדרך כלשהי (להגדיר פעולות על חתכי דדקינד, שהן קבוצות אינסופיות, או על סדרות קושי, שהן סדרות אינסופיות, למשל). כלומר, לא נכון לומר "פתרונות אלו מאפשרים למתמטיקאים לעבוד עם גדלים אינסופיים" אלא "האינסוף מאפשר למתמטיקאים להגיע לפתרונות אלו". כמובן שיש גם דרכים שבהן מתמטיקאים לומדים לעבוד עם אינסוף - הספירה של רימן, למשל - אבל זה אינסוף "טופולוגי" ולא הרציפות שעליה מדברים כאן. למיטב הבנתי, כדי לאכול את האינסוף ה"רציף" משתמשים בעצמים אינסופיים, כמו חתכי דדקינד.

text: כמו לירן, כך גם אני קראתי את הספר המצויין של אברון, אבל כלל לא ברור לי מה הקשיים. ברור שיש קשיים - למשל, אלו שהתעוררו ממשפטי גדל - אבל לא ברור איך הם קשורים למושג הרציפות, שמתמטיקאים חיים איתו לא רע בימינו. אברון מציין שהאכזבה הגדולה של המתמטיקאים בבניית שדה המספרים הממשייים הייתה החזרת האינסוף לזירה - האם זה הקושי שאתה חותר אליו?

text: ולגבי הקושי האינטואיטיבי - אכן, פעם מתמטיקאים השתמשו במושגי ה"קטן עד אינסוף", אבל בימינו הם לא. אם כך, למה אתה אומר שהקושי הזה נשאר? אני גם לא מסכים שהגישה בימינו במתמטיקה היא של "העיקר שזה עובד" (גישה שאם איני טועה הנחתה דווקא את ניוטון ואת הגדלים הקטנים עד לאינסוף שלו). מושג הגבול הוא (לדעתי) אינטואיטיבי למדי, אבל יש צורך בסופו של דבר לנסח אותו במדוייק כדי למנוע בלבולים - והניסוח המדוייק הוא קשה.

text: בכל אופן, מה הרעיון שלדעתך המתמטיקה מחזיקה בו בימינו ולא הצליחה להעביר אינטואיטיבית? האם זה הרעיון של "בין כל שני מספרים יש מספר נוסף"? גדי אלכסנדרוביץ' 10:19, 14 באפריל 2007 (IDT)
* עבודה עם גדלים אינסופיים: אני חושב שאנחנו מדברים על אותו דבר. לפי הבנתי, המתמטיקאים פיתחו שיטות אינסופיות במסגרת תורת הקבוצות, כמו "חתך דדקינד" או "סדרת קבוצות יורדת ביחס ההכלה" של קאנטור, על מנת להגדיר מהו מספר אי רציונאלי (מושג אינסופי). 
* הקשיים הלוגיים שנותרו במתמטיקה: כן, גם אני הבנתי מאברון שהקשיים הלוגיים שנותרו במתמטיקה נובעים משימוש במושגים אינסופיים. אני מודה שקשה לי להסביר כיצד זה קשור לרציפות, כי זה דורש שימוש במושגים מתמטיים. נדמה לי שאינסוף מתבדר (כמו קבוצת המספרים הטבעיים), יוצר פחות קשיים לוגיים מאשר אינסוף מתכנס (כמו בקבוצת המספרים הממשיים). אברון מדבר בתחום זה על המושגים "קבוצה סדורה" ו"וקבוצה סדורה היטב". בשביל להבין מה זה, היה רצוי שאלמד קורסים בתורת הקבוצות, אבל מה לעשות שלמדתי היסטוריה... בתור "הדיוט", זה נשמע לי כאילו בקבוצת המספרים הטבעיים אין בעיה לקבוע את מיקומו של כל מספר (1,2,3) ואילו בממשיים זה בעייתי. אני מצטער אם אני מקשקש, אבל אני אנסה בכל זאת: בשביל להגדיר כל מספר אי רציונאלי נדרשת איזושהי סדרה או קבוצה שמתכנסת אליו, אבל לצורך כך נדרש מספר אינסופי של סמלים, כך שלמעשה הגדרת המספרים האי רציונאליים (ומכאן גם מיקומם, הסדר שלהם), היא משימה אינסופית. עושה הגיון?--אורון יהלום 17:04, 14 באפריל 2007 (IDT)

text: *עבודה עם גדלים אינסופיים: ההבדל הוא שכרגע כתוב בערך "פתרונות אלו (ורבים אחרים) מאפשרים למתמטיקה המודרנית לעבוד עם גדלים אינסופיים" למרות שאם כבר, זה בדיוק ההפך.

text: *הקשיים הלוגיים: כאמור, אני לא חושב שבימינו יש הרבה מתמטיקאים שחושבים שיש כאן "בעיה" או "קושי לוגי". אתה צודק בקשר לכך שבשביל להגדיר מספרים אי רציונליים צריכים איזשהי קבוצה אינסופית (למעשה, זה לא מדוייק - מספרים שניתנים לחישוב, כמו פאי, ניתנים לתיאור סופי, אבל לא חשוב), אבל לא ברור מה הבעיה כאן. עבודה עם עצמים אינסופיים בגודלם היא דבר בסיסי במתמטיקה של ימינו. גדי אלכסנדרוביץ' 17:09, 14 באפריל 2007 (IDT)
* אוקיי, אתה מוזמן לנסח מחדש.--אורון יהלום 17:19, 14 באפריל 2007 (IDT)

text: אני אנסה לעבור על הערך ולנסח מחדש אם משתמש: עוזי ו. יבחר שלא לעשות זאת (כדאי לפנות אליו ולהביא את הערך לתשומת לבו), אבל בשביל לעשות את זה אני אצטרך קצת זמן כדי לתת קריאה לספרות הרלוונטית. נקווה שנקבל גרסה שמוסכמת על כולנו... גדי אלכסנדרוביץ' 17:24, 14 באפריל 2007 (IDT)
חשתי אי נוחות רבה בעת קריאת הערך. אינני בקי מספיק בנושא, אבל יש לי תחושה שגם כותב הערך חסר בקיאות זו (ואני מתנצל על שאין בפי מילים מועילות יותר). כבר במשפט הפתיחה "ערך זה דן בהתמודדות של המתמטיקה, הפיזיקה והפילוסופיה עם מושג הרציפות האינטואיטיבי" חשתי אי נוחות: מדובר בשלושה ענפי מדע מפותחים ביותר, שבוחנים את העולם בכלים מתוחכמים, ללא שמץ אינטואיטיביות. גם בעת העתיקה ההתייחסות לא הייתה אינטואיטיבית כפי שניתן ללמוד מהפרדוקסים של זנון.  דוד שי 21:26, 14 באפריל 2007 (IDT)

text: אבל זה בדיוק העניין: קיים אצלנו מושג אינטואיטיבי של "רציפות". הבעיה היא שכאשר בוחנים אותו לעומק, רואים שהוא מורכב הרבה יותר ממה שנדמה לעין, ולכן צריך את כל כובד משקלן של המתמטיקה, הפיזיקה והפילוסופיה כדי להתמודד איתו. גדי אלכסנדרוביץ' 22:30, 14 באפריל 2007 (IDT)
===הערות של עוזי ו=== 
# המבוא צריך להיות מבוא לנושא, ולא מדריך לקורא. את הפניה לרציפות (מתמטיקה) אפשר לעשות בתבנית "פירוש נוסף". 
# "רציפות כמושג אינטואיטיבי" - הדרישה ל'העדר חורים' וניתנות לחלוקה אינסופית היא הגדרה (אינטואיטיבית) מוצלחת, אבל במקום להזכיר שלאינסוף יש כאן שני מובנים, מספיק לומר שהדרישה השניה מצריכה חלקים "קטנים לאינסוף".
# הפסקה על האסכולה הפיתגוראית מדלגת על העיקר: הישר הממשי (הגאומטרי) הוא התגלמותה האינטואיטיבי של הרציפות; וכעת - העובדה ששורש 2 (האפשרי בתור אורך) אינו מספר, מעוררת בעיה. אבל המשפט "בכך, למעשה, התעלמו מבעיית הרציפות" אינו מובן. מהי "בעיית הרציפות"? 
# הטיפול בפרדוקסים של זנון נראה קצת רופף. צריך להבהיר מה כאן הקשר לרציפות.
# התאור של שיטת ארכימדס עושה לו עוול גדול; והמשפט על פאי חסר שחר (אם אי-הרציונליות של פאי היתה רלוונטית, היה צריך להיות קל להראות שהוא כזה!)
# התאור של אינפיניטיסימל כגודל ש"בראשית החישוב התייחסו אליו כגדול מאפס, ובהמשך החישוב התייחסו אליו כשווה ממש לאפס", מאד לא מדויק (ומה הקשר לרציפות).
# "הקושי הלוגי שהתעורר בחשבון האינפיניטסימלי גרם למתמטיקאים לעבור מעיסוק בגאומטריה לעיסוק בהגדרות לוגיות ובתורת המספרים" ?
# "הפתרון העיקרי שניתן לקשיים הלוגיים שיוצרים המספרים האי רציונליים" - מהם הקשיים האלה? 
# "פתרונות אלו (ורבים אחרים) מאפשרים למתמטיקה המודרנית לעבוד עם גדלים אינסופיים" - אם הפתרונות הם "פיתוחה של תורת הקבוצות", ניחא. אבל מהם הפתרונות האחרים?
# "עם זאת, יש לציין שנותרו קשיים לוגיים עד היום במתמטיקה, בעיקר בגלל העבודה עם גדלים אינסופיים". אפשר לקבל דוגמאות?
# "כמו כן, הקשיים האינטואיטיביים לא נפתרו, אלא הפכו לנחלתה של הפילוסופיה" (ובזה נסגר הפרק) - זה לא רציני.
# רק חלק קטן מן הדיון על חלקיקים רלוונטי לכאן.
# "מכל האמור לעיל משתמע כי הפיזיקה טרם הגיעה להסבר ברור ומקובל בנוגע למבנה החומר ותנועתו"? 
# אחרי שקראתי את הפרק הפילוסופי, אני מציע לשנות את מבנה הערך: במקום החלוקה המלאכותית ל"מה אומרת המתמטיקה", "מה אומרת הפיזיקה", "מה אומרת הפילוסופיה", מעניין יותר להציג את הציטוטים הפילוסופיים ולעמת אותם עם המציאות שאנחנו מכירים. האם לא עדיף, בעצם, לאחד לתוך אטום? עוזי ו. 03:30, 15 באפריל 2007 (IDT)
thread_title:  עוד משהו שמבלבל אותי 

message: # המבוא צריך להיות מבוא לנושא, ולא מדריך לקורא. את הפניה לרציפות (מתמטיקה) אפשר לעשות בתבנית "פירוש נוסף". 
# "רציפות כמושג אינטואיטיבי" - הדרישה ל'העדר חורים' וניתנות לחלוקה אינסופית היא הגדרה (אינטואיטיבית) מוצלחת, אבל במקום להזכיר שלאינסוף יש כאן שני מובנים, מספיק לומר שהדרישה השניה מצריכה חלקים "קטנים לאינסוף".
# הפסקה על האסכולה הפיתגוראית מדלגת על העיקר: הישר הממשי (הגאומטרי) הוא התגלמותה האינטואיטיבי של הרציפות; וכעת - העובדה ששורש 2 (האפשרי בתור אורך) אינו מספר, מעוררת בעיה. אבל המשפט "בכך, למעשה, התעלמו מבעיית הרציפות" אינו מובן. מהי "בעיית הרציפות"? 
# הטיפול בפרדוקסים של זנון נראה קצת רופף. צריך להבהיר מה כאן הקשר לרציפות.
# התאור של שיטת ארכימדס עושה לו עוול גדול; והמשפט על פאי חסר שחר (אם אי-הרציונליות של פאי היתה רלוונטית, היה צריך להיות קל להראות שהוא כזה!)
# התאור של אינפיניטיסימל כגודל ש"בראשית החישוב התייחסו אליו כגדול מאפס, ובהמשך החישוב התייחסו אליו כשווה ממש לאפס", מאד לא מדויק (ומה הקשר לרציפות).
# "הקושי הלוגי שהתעורר בחשבון האינפיניטסימלי גרם למתמטיקאים לעבור מעיסוק בגאומטריה לעיסוק בהגדרות לוגיות ובתורת המספרים" ?
# "הפתרון העיקרי שניתן לקשיים הלוגיים שיוצרים המספרים האי רציונליים" - מהם הקשיים האלה? 
# "פתרונות אלו (ורבים אחרים) מאפשרים למתמטיקה המודרנית לעבוד עם גדלים אינסופיים" - אם הפתרונות הם "פיתוחה של תורת הקבוצות", ניחא. אבל מהם הפתרונות האחרים?
# "עם זאת, יש לציין שנותרו קשיים לוגיים עד היום במתמטיקה, בעיקר בגלל העבודה עם גדלים אינסופיים". אפשר לקבל דוגמאות?
# "כמו כן, הקשיים האינטואיטיביים לא נפתרו, אלא הפכו לנחלתה של הפילוסופיה" (ובזה נסגר הפרק) - זה לא רציני.
# רק חלק קטן מן הדיון על חלקיקים רלוונטי לכאן.
# "מכל האמור לעיל משתמע כי הפיזיקה טרם הגיעה להסבר ברור ומקובל בנוגע למבנה החומר ותנועתו"? 
# אחרי שקראתי את הפרק הפילוסופי, אני מציע לשנות את מבנה הערך: במקום החלוקה המלאכותית ל"מה אומרת המתמטיקה", "מה אומרת הפיזיקה", "מה אומרת הפילוסופיה", מעניין יותר להציג את הציטוטים הפילוסופיים ולעמת אותם עם המציאות שאנחנו מכירים. האם לא עדיף, בעצם, לאחד לתוך אטום? עוזי ו. 03:30, 15 באפריל 2007 (IDT)
thread_title: הערות של עוזי ו

message: * ראשית, תודה לכל מי שמעיר ומאיר. 
* גדי ועוזי - צדקתם לחלוטין בכך שלא היה ברור מה הקשר בין הפיתגוראים לרציפות. רק עכשיו נפל לי האסימון שמספרים רציונאליים הם רציפים (למרות שגדי כתב את זה בהתחלה). ההערכה שלי היתה שהפיתגוראים עבדו עם מספרים טבעיים ומספרים רציונאליים פשוטים (1/2, 1/4), ולכן התמונה המתמטית והמטפיזית שלהם היתה בדידה ולא רציפה. אין לי סימוכין לזה, לכן אני לא כותב את זה בינתיים. מה שכן כתבתי, זה שהמספרים האי רציונאליים (או הממשיים בכלל) הם "יותר רציפים", או כפי שגדי השכלני - ה"צפיפות" שלהם גדולה יותר. לכן אני חושב שהתעלמותם של הפיתגוראים ממספרים אי רציונאליים קשורה לקושי בהבנת הרציפות. 
* לגבי שיטת המיצוי של ארכימדס, אני מקווה שגדי ימצא זמן להסבירה יותר טוב. לא הבנתי מה הקושי עם האיזכור של פאי, אבל מחקתי את המשפט בכל זאת.   
* סייגתי את המסר של אברון, שעדיין קיימות בעיות לוגיות במתמטיקה. אם זה עדיין נראה לכם שגוי, אפשר למחוק גם את זה. 
* אני מקווה שהערך לא יאוחד עם הערך "אטום", נראה לי שהם מאד שונים...--אורון יהלום 13:00, 15 באפריל 2007 (IDT)
===עוד הערה===
צר לי, אבל לא ברור לי מה הרעיון שמאחורי המשפט הבא: "אולם מספרים אי רציונאלים מייצגים רציפות "צפופה" עוד יותר (ראה צפיפות). בתורת הקבוצות נאמר שלקבוצת המספרים האי רציונאליים יש עוצמה חזקה יותר מאשר לקבוצת המספרים הרציונאליים. לכן ניתן לאמר שמספרים אי רציונאליים מבטאים ביתר שאת את הקושי האינטואיטיבי הטמון ברציפות."
באיזה מובן הצפיפות של האי רציונליים גדולה מזו של הרציונליים? מבחינת ההגדרה זו בדיוק אותה צפיפות (בין כל שני רציונליים יש הן רציונלי והן אי רציונלי; בין כל שני אי רציונליים יש גם רציונלי וגם אי רציונלי), ולעוצמה של הקבוצה אין שום קשר לצפיפות (בתור דוגמה אפשר לקחת את קבוצת קנטור שגם היא מעוצמת הרצף, אבל היא הרבה פחות "צפופה" מאשר הרציונליים - בפרט, היא לא צפופה במובן הטופולוגי של המילה). מכל אלה לא ברור ה"לכן", ואיך המספרים האי רציונליים מבטאים את הקושי האינטואיטיבי (אני חייב להודות שאיני חושב כלל שהם מבטאים אותו). גדי אלכסנדרוביץ' 15:29, 15 באפריל 2007 (IDT)
* אוקיי, קפצתי מעל הראש. ניסחתי מחדש בצורה יותר פשוטה: הפיתגוראים תפסו את המספרים כבדידים. מצאתי סימוכין לכך כאן:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_1.html
הרעיון שמספרים רציונאליים ואי רציונאליים (או בקיצור המספרים הממשיים) מבטאים את הקושי האינטואיטיבי של הרציפות אושש על ידי עוזי, במשפט שכתב בהערותיו, וכעת הכנסתי אותו לערך: "הישר הממשי (הגאומטרי) הוא התגלמותה האינטואיטיבי של הרציפות"--אורון יהלום 17:09, 15 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: אני מסכים שהישר הממשי מגלם בתוכו את המובן האינטואיטיבי של הרציפות, אבל לא הבנתי מאיפה צץ הקושי. גדי אלכסנדרוביץ' 17:51, 15 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: :דבר אינו אינטואיטיבי בישר הממשי; הסרתי מתיאורו את המילה "אינטואיטיבי". דוד שי 21:34, 15 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: ::אני לא מסכים. למה הוא אינו אינטואיטיבי? גם ילד שאינו בקיא במתמטיקה מסוגל להבין את הרעיון שמאחוריו ("החלק של הישר שבין 1 ו-2 מכיל את כל המספרים שבין 1 ו-2"). הבעיה מתחילה כשמנסים להעמיק מעבר לאינטואיציה. גדי אלכסנדרוביץ' 21:37, 15 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: :::גם ילד? אפילו אני, שכבר זמן רב אינני ילד, מתקשה להבין מה הקשר בין קו ישר לבין מספרים - זה ציור וזה מספר, ועוד להסביר לי שקצה אחד של הציור קרוי 1, קצה שני קרוי 2, ובאמצע יש את כל השברים שבין 1 ל-2, ועוד הרבה יותר מספרים שאינם שברים (מה, יש בכלל מספרים שאינם שברים? אה, נזכרתי, אלגבריים וטרנסצנדנטיים, זה אינטואיטיבי). דוד שי 22:17, 15 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: ::::מה שאינטואיטיבי הוא בדיוק זה שלא צריך להבין מה זה מספרים אלגבריים וטרנסצנדנטיים - כלומר, לא צריך להבין את מהות המספרים שעל הישר ולמה הוא "מלא".. זה קורה רק כשמנסים להעמיק. כשהייתי ילד חשבתי שיש רק שברים, וזה לא הפריע לי להבין את הרעיון האינטואיטיבי של הישר: שאין בו "חורים". גדי אלכסנדרוביץ' 08:54, 16 באפריל 2007 (IDT)

text: ::::בכל מקרה, אינטואיטיבי או לא, המשפט כפי שהוא כרגע לא מתאים להופעה בערך. אם אנחנו אומרים "כיום אנו יודעים שהישר הממשי הוא התגלמותה של הרציפות." אנחנו צריכים לנמק ולפרש, מה גם שעדיין לא ברור לי איך המשפט הזה מתקשר לפסקה שהוא חותם. גדי אלכסנדרוביץ' 08:57, 16 באפריל 2007 (IDT)
* קשה לתפוס רציפות, לכן היה לפיתגוראים קשה לתפוס מספרים ממשיים (בניגוד לטבעיים, שנתפסו כבדידים).--אורון יהלום 18:09, 15 באפריל 2007 (IDT)

text: :לא ברור לי מה הכוונה ב"היה להם קשה לתפוס". לא נראה לי שהיה להם קשה לקבל את קיומו של היתר של משולש ישר זווית - מה שהיה קשה להם היא התגלית שהוא לא בעל מידה משותפת עם צלע המשולש. אני גם לא חושב ש"הישר הממשי" היה מושג שהם עסקו בו, אז צריך להיזהר מהיקשים כמו "הישר הממשי מגלם רציפות=>הישר הממשי מכיל מספרים אי רציונליים=>לפיתגוראיים היה קשה עם מספרים רציונליים=>לפיתגוראיים היה קשה עם רציפות", פשוט מכיוון שזה טיעון שיש בו את סכנת האנאכרוניזם שאונגורו כל כך מזהיר מפניה. גדי אלכסנדרוביץ' 19:12, 15 באפריל 2007 (IDT)
* נכון, לכן אני כל הזמן כותב "נקראים כיום", "כיום אנו יודעים ש-". בדיוק רציתי לכתוב לך את התרשים שכתבת עם החיצים, אז סחתיין, לפחות אנחנו מבינים אחד את השני...
replies: text: ::אבל זו דרך הצגה שגויה, אם כן. אי אפשר להשתמש בפיתגוראיים כדי לדבר על בעיות תפיסתיות בנות זמננו. גדי אלכסנדרוביץ' 21:37, 15 באפריל 2007 (IDT)
thread_title: תיקונים בעקבות ההערות

message: צר לי, אבל לא ברור לי מה הרעיון שמאחורי המשפט הבא: "אולם מספרים אי רציונאלים מייצגים רציפות "צפופה" עוד יותר (ראה צפיפות). בתורת הקבוצות נאמר שלקבוצת המספרים האי רציונאליים יש עוצמה חזקה יותר מאשר לקבוצת המספרים הרציונאליים. לכן ניתן לאמר שמספרים אי רציונאליים מבטאים ביתר שאת את הקושי האינטואיטיבי הטמון ברציפות."
באיזה מובן הצפיפות של האי רציונליים גדולה מזו של הרציונליים? מבחינת ההגדרה זו בדיוק אותה צפיפות (בין כל שני רציונליים יש הן רציונלי והן אי רציונלי; בין כל שני אי רציונליים יש גם רציונלי וגם אי רציונלי), ולעוצמה של הקבוצה אין שום קשר לצפיפות (בתור דוגמה אפשר לקחת את קבוצת קנטור שגם היא מעוצמת הרצף, אבל היא הרבה פחות "צפופה" מאשר הרציונליים - בפרט, היא לא צפופה במובן הטופולוגי של המילה). מכל אלה לא ברור ה"לכן", ואיך המספרים האי רציונליים מבטאים את הקושי האינטואיטיבי (אני חייב להודות שאיני חושב כלל שהם מבטאים אותו). גדי אלכסנדרוביץ' 15:29, 15 באפריל 2007 (IDT)
* אוקיי, קפצתי מעל הראש. ניסחתי מחדש בצורה יותר פשוטה: הפיתגוראים תפסו את המספרים כבדידים. מצאתי סימוכין לכך כאן:http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Real_numbers_1.html
הרעיון שמספרים רציונאליים ואי רציונאליים (או בקיצור המספרים הממשיים) מבטאים את הקושי האינטואיטיבי של הרציפות אושש על ידי עוזי, במשפט שכתב בהערותיו, וכעת הכנסתי אותו לערך: "הישר הממשי (הגאומטרי) הוא התגלמותה האינטואיטיבי של הרציפות"--אורון יהלום 17:09, 15 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: אני מסכים שהישר הממשי מגלם בתוכו את המובן האינטואיטיבי של הרציפות, אבל לא הבנתי מאיפה צץ הקושי. גדי אלכסנדרוביץ' 17:51, 15 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: :דבר אינו אינטואיטיבי בישר הממשי; הסרתי מתיאורו את המילה "אינטואיטיבי". דוד שי 21:34, 15 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: ::אני לא מסכים. למה הוא אינו אינטואיטיבי? גם ילד שאינו בקיא במתמטיקה מסוגל להבין את הרעיון שמאחוריו ("החלק של הישר שבין 1 ו-2 מכיל את כל המספרים שבין 1 ו-2"). הבעיה מתחילה כשמנסים להעמיק מעבר לאינטואיציה. גדי אלכסנדרוביץ' 21:37, 15 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: :::גם ילד? אפילו אני, שכבר זמן רב אינני ילד, מתקשה להבין מה הקשר בין קו ישר לבין מספרים - זה ציור וזה מספר, ועוד להסביר לי שקצה אחד של הציור קרוי 1, קצה שני קרוי 2, ובאמצע יש את כל השברים שבין 1 ל-2, ועוד הרבה יותר מספרים שאינם שברים (מה, יש בכלל מספרים שאינם שברים? אה, נזכרתי, אלגבריים וטרנסצנדנטיים, זה אינטואיטיבי). דוד שי 22:17, 15 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: ::::מה שאינטואיטיבי הוא בדיוק זה שלא צריך להבין מה זה מספרים אלגבריים וטרנסצנדנטיים - כלומר, לא צריך להבין את מהות המספרים שעל הישר ולמה הוא "מלא".. זה קורה רק כשמנסים להעמיק. כשהייתי ילד חשבתי שיש רק שברים, וזה לא הפריע לי להבין את הרעיון האינטואיטיבי של הישר: שאין בו "חורים". גדי אלכסנדרוביץ' 08:54, 16 באפריל 2007 (IDT)

text: ::::בכל מקרה, אינטואיטיבי או לא, המשפט כפי שהוא כרגע לא מתאים להופעה בערך. אם אנחנו אומרים "כיום אנו יודעים שהישר הממשי הוא התגלמותה של הרציפות." אנחנו צריכים לנמק ולפרש, מה גם שעדיין לא ברור לי איך המשפט הזה מתקשר לפסקה שהוא חותם. גדי אלכסנדרוביץ' 08:57, 16 באפריל 2007 (IDT)
* קשה לתפוס רציפות, לכן היה לפיתגוראים קשה לתפוס מספרים ממשיים (בניגוד לטבעיים, שנתפסו כבדידים).--אורון יהלום 18:09, 15 באפריל 2007 (IDT)

text: :לא ברור לי מה הכוונה ב"היה להם קשה לתפוס". לא נראה לי שהיה להם קשה לקבל את קיומו של היתר של משולש ישר זווית - מה שהיה קשה להם היא התגלית שהוא לא בעל מידה משותפת עם צלע המשולש. אני גם לא חושב ש"הישר הממשי" היה מושג שהם עסקו בו, אז צריך להיזהר מהיקשים כמו "הישר הממשי מגלם רציפות=>הישר הממשי מכיל מספרים אי רציונליים=>לפיתגוראיים היה קשה עם מספרים רציונליים=>לפיתגוראיים היה קשה עם רציפות", פשוט מכיוון שזה טיעון שיש בו את סכנת האנאכרוניזם שאונגורו כל כך מזהיר מפניה. גדי אלכסנדרוביץ' 19:12, 15 באפריל 2007 (IDT)
* נכון, לכן אני כל הזמן כותב "נקראים כיום", "כיום אנו יודעים ש-". בדיוק רציתי לכתוב לך את התרשים שכתבת עם החיצים, אז סחתיין, לפחות אנחנו מבינים אחד את השני...
replies: text: ::אבל זו דרך הצגה שגויה, אם כן. אי אפשר להשתמש בפיתגוראיים כדי לדבר על בעיות תפיסתיות בנות זמננו. גדי אלכסנדרוביץ' 21:37, 15 באפריל 2007 (IDT)
thread_title: עוד הערה

message: "גם כאשר עסקו בשברים, לא הרחיבו את העיסוק לשברים מסובכים" - למה הכוונה "שברים מסובכים"? לדעתי ראוי לכתוב "הם עסקו גם בשברים, כאלה שניתן להציגם כמנה של שני מספרים טבעיים". דוד שי 21:31, 15 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: זו ההגדרה של שבר, אם איני טועה. גדי אלכסנדרוביץ' 21:48, 15 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: :כן, זו ההגדרה, שמופיעה כאן כדי להבהיר עד היכן הגיעו הפיתגוראים. מה זה "מסובכים"? דוד שי 22:13, 15 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: ::"מסובכים" ודאי שלא מתאים כאן, פשוט גם מה שכתבת נראה לי מבלבל. למה לא להסתפק ב"עסקו גם בשברים"? גדי אלכסנדרוביץ' 22:17, 15 באפריל 2007 (IDT)
replies: text: :::ראה השינוי בערך. דוד שי 22:34, 15 באפריל 2007 (IDT)
thread_title: שאלה

message: אולי מישהו יוכל להציג דעות פילוסופיות על השאלה האם הטבע רציף? השאלה שלי לא מתייחסת לרמת האטומים אלא לטבע באופן רחב יותר, ובהקשר של חשיבה דואליסטית אשר נוטה להפריד בין דברים רציפים. לדוגמה - אנחנו חושבים במושגים של יום ולילה, ועל סמך זה תופסים את הזמן. כידוע לנו, כדור הארץ מסתובב באופן רצוף והיום והלילה הם רק עניין של נקודת מבט - בעצם התהליך רציף ומחזורי. כך גם הזמן, אשר הינו מימד שניתן (כנראה?) לנווט בו ולא כפי שאנחנו רגילים לחשוב עליו.
תודה.
thread_title:  האם הטבע רציף? 

message: תורת הקוואנטים התחילה להתפתח בתחילת המאה העשרים (1900 בעבודתו של פלאנק על קרינת גוף שחור, 1905 איינשטיין והאפקט הפוטואלקטרי, ב1926 כבר התיאוריה היתה די שלימה עם משוואות שרדינגר ועקרון פאולי) ולא באמצעם.
עיקרון אי הודאות של הייזנברג הוא תוצא של מכניקת הקוואנטים ולא כפי שניתן להבין מהערך שהוא קשור לתורת היחסות. בכלל תורת היחסות לא קשורה לנושא המדובר מפני שגם לאחר גילוי שקילות מסה-אנרגיה לא היתה השפעה לכך על שאלת הרציפות. 109.66.151.196 19:30, 13 בנובמבר 2014 (IST)
thread_title:  אי דיוקים לגבי הרציפות במדע 

message: האם לא ראוי לכבד את הערך של רציפות (פילוסופיה) בערך ההופכי או המקביל לו "בדידות" או "גרגריות" מן המילה גרגיר192.117.143.174 13:44, 17 במאי 2018 (IDT)
thread_title:  האם לא ראוי לכבד את הערך של רציפות (פילוסופיה) בערך ההופכי או המקביל לו "בדידות" או "גרגריות" מן המילה גרגיר