שיחה:טנזור

message: כמה הערות:
* קו נטוי בוירי-עברית נראה גרוע, לכן רצוי לא להשתמש בו.
* במאמרים תורת היחסות הפרטית ותורת היחסות הכללית ישנן מספר משוואות טנזוריות שכתבתי והקדמה על קצה המזלג על טנזורים.
* ראה גם את המאמר הסכם הסכימה של איינשטיין.
* בהצלחה בכתיבת המאמר! _MathKnight_ (שיחה) 10:42, 28 אוגוסט 2005 (UTC)

message: ניסיתי לקרוא את הערך והכל טוב ויפה, רק שלא הבנתי מה זה טנזור חוץ מזה שהוא הכללה של סקלרים, וקטורים ומטריצות. מישהו יכול להסביר לי? אולי יש הגדרה? גדי אלכסנדרוביץ' 05:15, 30 אוגוסט 2005 (UTC)
=== מוטיבציה והסבר מה עומד מאחורי טנזור ===
אני אנסה להסביר לך מה שאני הבנתי, ויתכן שההסבר הוא לא על הטנזור הכללי ביותר שיש או על ההכללה הכי טהורה של המושג. רוב ההסבר מתבסס על דוגמה של וקטור במרחב אוקלידי (בעל מימד כלשהו). 
ניתן לדמיין וקטור \vec{v} במרחב אוקלידי כחץ שיוצא מנקודה כלשהי, בעל אורך וכיוון (כלומר: מצביע על נקודה במרחק \ \| \vec{v} \|). כיישות בפני עצמה, אנו מצפים שלא משנה באיזה מערכת קואורדינטות נתאר את הוקטור \vec{v}, הוקטור \vec{v} נשאר \vec{v}. כלומר: הוקטור \vec{v} הוא גודל אינווריאנטי. 
את הוקטור \vec{v} אפשר לתאר (מתמטית) באמצעות הקואורדינטות שלו כאשר קובעים בסיס מסוים (בדרך כלל את הסטנדרטי), אזי
replies: text: \ \vec{v} = v^{1} \hat{e}_1 + v^{2} \hat{e}_2 + v^3 \hat{e}_3 \equiv  v^i \hat{e}_i 
כאשר המעבר האחרון הוא בעצם רישום מקוצר לפי הסכם הסכימה של איינשטיין.
כאשר אנו יודעים באיזה בסיס אנו עובדים, אזי לצורך חישובים רבים אפשר פשוט להסתפק ברשימת רכיבי הוקטור: \ v^1 \ , \ v^2 \ , \ v^3  או ברישום מקוצר: \ v^i. אוסף הרכיבים \ v^i (כאשר i רץ על כל האינדקסים שמונים את הבסיס, במקרה שלנו 1,2,3) נקרא "טנזור".
כעת, נבדוק כיצד הטנזור משתנה תחת מעבר לתיאור המרחב באמצעות קואורדינטות חדשות. לשם פשטות נניח שעוברים מבסיס לינארי אחד לבסיס לינארי אחר x, באמצעות מטריצת מעבר בסיס הפיכה  P , כלומר:

text: \ \hat{x}_i = P_i \ ^j \hat{e}_j  
כעת נרצה לדעת איך נראים רכיבי הוקטור \vec{v} בבסיס זה, כלומר: מהו המערך בבסיס החדש \ V^i?
לשם כך, נשים לב ש

text: \ v^i \hat{e}_i = \vec{v} = V^j \hat{x}_j 
נציב את נוסחת המעבר בין בסיסים ונקבל

text: \ v^i \hat{e}_i = \vec{v} = V^j P_j \ ^m \hat{e}_m 
ומהשוואה רכיב-רכיב (עקב אי-תלות ליניארית) נקבל ש

text: \ v^i = V^j P_j \ ^i 
כלומר

text: \ V^j = Q_i \ ^j v^i 
כאשר \ Q_i \ ^j P_m \ ^i = \delta^m \ _j  (כלומר: המכפלה שווה למטריצת היחידה) או בניסוח מטריצי \ PQ = I. נשים לב שאם וקטורי הבסיס מיוצגים על ידי וקטורי עמודה, אזי טנזור הרכיבים יהיה בעצם וקטור שורה. לכן, הצגת הנוסחה האחרונה ככפל מטריצות תהיה ככפל של וקטור שורה במטריצה Q שהיא בעצם ההפכית ל P. 
זו המוטיבציה לרעיון של טנזור ואותה אפשר להכליל גם למרחבים לא אוקלידים (על ידי שימוש במטריקה והגדרת מטריצות מעבר באמצעות מטריצת יעקבי של הטרנספורמציה). כמו כן ההכלה למספר אינדקסים היא מיידית: מבצעים את אותו טריק על ידי בסיס של מטריצות, או פשוט שמים לב שמטריצה/טרנספורמציה תחת שינוי בסיס מתקבלת על ידי דמיון מטריצות ורשימת יחס הדמיון בכתיב אינדקסיאלי נותן את הקשר המוכלל המבוקש (יש לשים לב לאינדקסים עליונים או תחתונים). בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 22:52, 10 ספטמבר 2005 (UTC)
=== תגובות ===
רוב מה שכתבת נראה לי כמו חומר מקורס אלגברה לינארית בסיסי (מעבר בין בסיסים שונים הוא חומר בסיסי למדי) אבל הפסקה האחרונה לא מובנת ולא ברור הקשר שלה לשאר מה שכתבת: בשביל מה צריך מרחב אוקלידי? (מספיק שיהיה בסיס) ובשביל מה צריך מטריקה? מה הקשר של מטריצת יעקובי לכאן? ומהי ההכללה? מה הכוונה ב"מספר אינדקסים"? גדי אלכסנדרוביץ' 04:09, 11 ספטמבר 2005 (UTC)
# בעקרון, אין צורך במרחב אוקלידי ואפילו לא בטרנספורמציית מעבר קואורדינטות לינארית. אבל אלה הם התנאים הכי מפשטים שבהם אפשר באמת לדמיין וקטור כמו חץ.
# את המטריקה צריך בשביל להוריד אינדקסים, שכן במובלע הנחנו כאן קיום של מכפלה פנימית (שהיא בעצם המכפלה הסקלרית, ראה את השורה לגבי הסכם הסכימה).
# מטריצת יעקבי היא מטריצת הנגזרות של טרנספורמציות ממערכת קואורדינטות e למערכת x ומופיעה בהרבה ביטויים בהן עוברים ממערכת אחת לשנייה. באופן כללי, טנזור עובר ממערכת קואורדינטות x למערכת 'x על ידי \ V' ^\mu = \frac{ \partial x' ^\mu}{ \partial x^\nu} V^\nu וההסבר לחוק זו נובע מכך שבוחרים בבסיס הסטנדרטי בתור התחלה את בסיס הנגזרות הכיווניות של המרחב המשיק בנקודה. המטריצה שמקשרת בין V ל 'V היא מטריצת יעקובי.
# ההכללה למספר אינדקסים רשומה בגוף הערך. כל אינדקס מקבל מטריצה נוספת המכפילה אותו. 
בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 09:44, 11 ספטמבר 2005 (UTC)
replies: text: :אני מצטער, אבל אני לא מצליח לעקוב אחרייך, וזו כנראה אשמתי. אני אנסה למצוא ספר שדן בצורה מדוקדקת בנושא ואחר כך אחזור לכאן ואפרט מה לדעתי לא ברור. גדי אלכסנדרוביץ' 10:11, 11 ספטמבר 2005 (UTC)
thread_title: לא הבנתי כלום

message: אני אנסה להסביר לך מה שאני הבנתי, ויתכן שההסבר הוא לא על הטנזור הכללי ביותר שיש או על ההכללה הכי טהורה של המושג. רוב ההסבר מתבסס על דוגמה של וקטור במרחב אוקלידי (בעל מימד כלשהו). 
ניתן לדמיין וקטור \vec{v} במרחב אוקלידי כחץ שיוצא מנקודה כלשהי, בעל אורך וכיוון (כלומר: מצביע על נקודה במרחק \ \| \vec{v} \|). כיישות בפני עצמה, אנו מצפים שלא משנה באיזה מערכת קואורדינטות נתאר את הוקטור \vec{v}, הוקטור \vec{v} נשאר \vec{v}. כלומר: הוקטור \vec{v} הוא גודל אינווריאנטי. 
את הוקטור \vec{v} אפשר לתאר (מתמטית) באמצעות הקואורדינטות שלו כאשר קובעים בסיס מסוים (בדרך כלל את הסטנדרטי), אזי
replies: text: \ \vec{v} = v^{1} \hat{e}_1 + v^{2} \hat{e}_2 + v^3 \hat{e}_3 \equiv  v^i \hat{e}_i 
כאשר המעבר האחרון הוא בעצם רישום מקוצר לפי הסכם הסכימה של איינשטיין.
כאשר אנו יודעים באיזה בסיס אנו עובדים, אזי לצורך חישובים רבים אפשר פשוט להסתפק ברשימת רכיבי הוקטור: \ v^1 \ , \ v^2 \ , \ v^3  או ברישום מקוצר: \ v^i. אוסף הרכיבים \ v^i (כאשר i רץ על כל האינדקסים שמונים את הבסיס, במקרה שלנו 1,2,3) נקרא "טנזור".
כעת, נבדוק כיצד הטנזור משתנה תחת מעבר לתיאור המרחב באמצעות קואורדינטות חדשות. לשם פשטות נניח שעוברים מבסיס לינארי אחד לבסיס לינארי אחר x, באמצעות מטריצת מעבר בסיס הפיכה  P , כלומר:

text: \ \hat{x}_i = P_i \ ^j \hat{e}_j  
כעת נרצה לדעת איך נראים רכיבי הוקטור \vec{v} בבסיס זה, כלומר: מהו המערך בבסיס החדש \ V^i?
לשם כך, נשים לב ש

text: \ v^i \hat{e}_i = \vec{v} = V^j \hat{x}_j 
נציב את נוסחת המעבר בין בסיסים ונקבל

text: \ v^i \hat{e}_i = \vec{v} = V^j P_j \ ^m \hat{e}_m 
ומהשוואה רכיב-רכיב (עקב אי-תלות ליניארית) נקבל ש

text: \ v^i = V^j P_j \ ^i 
כלומר

text: \ V^j = Q_i \ ^j v^i 
כאשר \ Q_i \ ^j P_m \ ^i = \delta^m \ _j  (כלומר: המכפלה שווה למטריצת היחידה) או בניסוח מטריצי \ PQ = I. נשים לב שאם וקטורי הבסיס מיוצגים על ידי וקטורי עמודה, אזי טנזור הרכיבים יהיה בעצם וקטור שורה. לכן, הצגת הנוסחה האחרונה ככפל מטריצות תהיה ככפל של וקטור שורה במטריצה Q שהיא בעצם ההפכית ל P. 
זו המוטיבציה לרעיון של טנזור ואותה אפשר להכליל גם למרחבים לא אוקלידים (על ידי שימוש במטריקה והגדרת מטריצות מעבר באמצעות מטריצת יעקבי של הטרנספורמציה). כמו כן ההכלה למספר אינדקסים היא מיידית: מבצעים את אותו טריק על ידי בסיס של מטריצות, או פשוט שמים לב שמטריצה/טרנספורמציה תחת שינוי בסיס מתקבלת על ידי דמיון מטריצות ורשימת יחס הדמיון בכתיב אינדקסיאלי נותן את הקשר המוכלל המבוקש (יש לשים לב לאינדקסים עליונים או תחתונים). בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 22:52, 10 ספטמבר 2005 (UTC)
thread_title:  מוטיבציה והסבר מה עומד מאחורי טנזור 

message: רוב מה שכתבת נראה לי כמו חומר מקורס אלגברה לינארית בסיסי (מעבר בין בסיסים שונים הוא חומר בסיסי למדי) אבל הפסקה האחרונה לא מובנת ולא ברור הקשר שלה לשאר מה שכתבת: בשביל מה צריך מרחב אוקלידי? (מספיק שיהיה בסיס) ובשביל מה צריך מטריקה? מה הקשר של מטריצת יעקובי לכאן? ומהי ההכללה? מה הכוונה ב"מספר אינדקסים"? גדי אלכסנדרוביץ' 04:09, 11 ספטמבר 2005 (UTC)
# בעקרון, אין צורך במרחב אוקלידי ואפילו לא בטרנספורמציית מעבר קואורדינטות לינארית. אבל אלה הם התנאים הכי מפשטים שבהם אפשר באמת לדמיין וקטור כמו חץ.
# את המטריקה צריך בשביל להוריד אינדקסים, שכן במובלע הנחנו כאן קיום של מכפלה פנימית (שהיא בעצם המכפלה הסקלרית, ראה את השורה לגבי הסכם הסכימה).
# מטריצת יעקבי היא מטריצת הנגזרות של טרנספורמציות ממערכת קואורדינטות e למערכת x ומופיעה בהרבה ביטויים בהן עוברים ממערכת אחת לשנייה. באופן כללי, טנזור עובר ממערכת קואורדינטות x למערכת 'x על ידי \ V' ^\mu = \frac{ \partial x' ^\mu}{ \partial x^\nu} V^\nu וההסבר לחוק זו נובע מכך שבוחרים בבסיס הסטנדרטי בתור התחלה את בסיס הנגזרות הכיווניות של המרחב המשיק בנקודה. המטריצה שמקשרת בין V ל 'V היא מטריצת יעקובי.
# ההכללה למספר אינדקסים רשומה בגוף הערך. כל אינדקס מקבל מטריצה נוספת המכפילה אותו. 
בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 09:44, 11 ספטמבר 2005 (UTC)
replies: text: :אני מצטער, אבל אני לא מצליח לעקוב אחרייך, וזו כנראה אשמתי. אני אנסה למצוא ספר שדן בצורה מדוקדקת בנושא ואחר כך אחזור לכאן ואפרט מה לדעתי לא ברור. גדי אלכסנדרוביץ' 10:11, 11 ספטמבר 2005 (UTC)
thread_title:  תגובות 

message: "במתמטיקה, טנזור או טנסור הוא יישות גאומטרית (אשר כוללת "ישויות" הנקראות אינדקסים (או במילה אחרת "דרגות" - ranks), שיוצרות תכונות מסויימות), או לחלופין גודל מוכלל."
אני כבר אמרתי שויתרתי על הבנה של הערך הזה בשלב הנוכחי של ההשכלה שלי, אבל אני בכל זאת תוהה האם משפט הפתיחה שמצוטט לעיל הוא בר הבנה למישהו שלא מכיר את החומר, ואם הוא מנוסח טוב גם ככה. כל הכתיבה של "ישויות" צורמת לי, ומכיוון שנעשה שימוש במרכאות זה נראה כאילו זה צרם גם לכותב המקורי. בכלל, הפתיחה מאוד מסורבלת - שמתם לב שיש סוגריים בתוך סוגריים? לדעתי כל הסוגריים מיותרים בשלב הזה כי הם לא מוסיפים מידע פרט לכך שטנזור מכיל "ישויות" (מה שנשמע כגולש לתחום המיסטי) ושלאותם ישויות יש "תכונות מסוימות" (כמו לכל דבר במתמטיקה). גם ה"לחלופין" לא ברור - האם טנזור הוא יישות גאומטרית, גודל מוכלל, או שניהם? ה"לחלופין" מעורר את הרושם שזה או זה או זה, אבל לא שניהם. כלומר, שתי משמעויות שונות שאף אחת מהן לא הכי ברורה.
לדעתי צריך לשכתב קצת. לא רק את משפט הפתיחה, אבל זו התחלה. גדי אלכסנדרוביץ' 09:37, 17 דצמבר 2005 (UTC)
replies: text: את הפתיחה אני אשכתב למשהו יותר ברור.

text: למעשה, היום ביצעתי שכתוב רציני בערך שמנסה להסביר מה זה טנזור ומה המוטיבציה לצורה בה הוא עובר קואורדינטות. אומנם יש שם מושגים מופשטים כגון "יריעה" או "מרחב משיק" אבל אפשר להתעלם מהם ולהניח שעובדים ב R^n האוקלידי והשטוח. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 09:50, 17 דצמבר 2005 (UTC)
thread_title:  משפט הפתיחה 

message: טנזור הוא לא מערך של מספרים בשום צורה. טנזור (טנזור טהור) הוא איבר טהור במכפלה טנזורית של 2 מודולים. מה שמוצג כאן הוא מקרה פרטי של טנזור טהור. אני לא מבין איך קיומו הנוכחי של הערך הזה הגיוני.
Liransh 13:23, 14 אפריל 2006 (UTC)
replies: text: לדעתי (ואני מבין מעט מאוד, על מכפלות טנזוריות התחלתי ללמוד רק הסמסטר קצת) הערך עוסק בטנזור בשימושים הפיזיקליים המקובלים שלו. אולי כדאי לשנות את שמו לטנזור (פיסיקה). על טנזורים כלליים מדברים במכפלה טנזורית. גדי אלכסנדרוביץ' 14:05, 14 אפריל 2006 (UTC)
replies: text: :אחרי (נסיון) קריאה נוספת בערך אני שם לב שכן מדברים על טנזור גם במשמעותו הכללית ("הגישה המודרנית"). מה שכן, אני לא חוזר בי מהטענה הישנה שלי שהערך מאוד לא מובן (אולי באשמתי). בכל אופן, ברור שהחלק של "הגדרה פורמלית" לא מציג את המושג הכללי ביותר, כי הוא עוסק בהעתקה אל תוך הממשיים, ומרחב טנזורי כללי מתבסס על העתקה לתוך חבורה אבלית. גדי אלכסנדרוביץ' 14:46, 14 אפריל 2006 (UTC)
thread_title:  המידע בערך הזה פשוט לא נכון! 

message: יש לי הכשרה די בסיסית במתמטיקה ולכן יכול להיות שהשאלות שלי נובעות מאי-הבנה בסיסית. אני אשמח אם תוכלו לעזור לי.
1. מה היא העתקה מולטי לינארית ובמה היא שונה מהעתקה לינארית?
2. העובדה שטנזור מעתיק פונקציונאלים וגורמים לינאריים. האם זה בעצם אומר שטנזור מאפיין את ה"מצב" של גודל לינארי (טנזור מטריצה וכו') תחת פעולה או אוסף פעולות המוגדות עליו?
3. האם הגישה הטנזורית היא מוטיבציה לאפיין אנליזה של ווקטורים ע"י תבניות דיפרנציאליות?
 
4. האם ווקטור כולל מעבר בסיס שלו הוא טנזור? (ז"א האם ניתן להגדיר מעבר בסיסי כפונקציונאל)?
אני יודע שאני קצת מתפרס אני אשמח אם תוכלו לעזור לי.
# העתקה מולטי-ליניארית היא העתקה שליניארית בכל רכיב או ארגומנט שלה.
# לא הבנתי את השאלה.
# טנזור זה הכללה של וקטורים ושל תבניות דיפרנציאליות.
# לא הבנתי את השאלה. בברכה, MathKnight הגותי |Δ| (שיחה) 17:59, 10 באפריל 2007 (IDT)
thread_title:  כמה נקודות לא מובנות 

message: הסרתי את המשםפט "במאמר זה ננסה לתת מבוא לא טכני לטנזורים, ולספק מבוא למאמרים המתארים את תיאורית הטנזורים בהרחבה" שתואם יותר כתיבה של ספר לימוד מאשר של אנציקלופדיה.
ככלל, קראתי את הפתיח אחרי שעתיים של שיעור "מבוא לאנליזיה טנזורית" וציפיתי שאוכל להבין לפחות את פסקת הפתיח של הערך, אך הצלחתי רק חלקית ביותר. אני חושב שבמקרה של ערך מסוג זה, כדאי שתהיה פסקת מבוא קצרה שתתן את ההגדרה המדעית המדויקת ואת עיקרי השימושים ולהוסיף אליה פסקה שתסביר בצורה אינטואטיבית יותר "מה זה, למה זה טוב?". אם הבנתי נכון, המרצה שלי טען שטנזורים היא המצאה של המתמטיקאים כדי שיוכלו להתעסק עם מערכות קואורדינטות מוזרות והעברות אליהן "בצורה תרבותית", כדבריו. אני מאמין שניתן לנסח משהו דומה בצורה אנציקלופדית יותר. שמעון -  שיחה - פיזיקה להמונים 23:02, 1 ביולי 2008 (IDT)
thread_title:  פתיח 

message: , האם העריכה הזו נכונה? אילן שמעוני - שיחה 15:26, 29 במרץ 2018 (IDT)
replies: text: כן. ‏MathKnight ✡ (שיחה) 23:10, 29 במרץ 2018 (IDT)
replies: text: : אילן שמעוני - שיחה 23:30, 29 במרץ 2018 (IDT)
thread_title: בדיקת עריכה

message: קטגוריה:ערכים שיש לתקן בהם קישורים חיצונייםשלום עורכים יקרים,
מצאתי קישור חיצוני אחד או יותר ב שזקוק לתשומת לב. אנא קחו רגע כדי לבדוק את הקישורים שמצאתי ולתקן אותם בערך אם נדרש. מצאתי את הבעיות הבאות:
*http://grtensor.phy.queensu.ca/ נמצא כקישור שבור. מומלץ להוסיף http://webarchive.loc.gov/all/20020914105414/http%3A//grtensor.phy.queensu.ca/ לכתובת המקורית.
כאשר תסיימו לערוך את השינויים הנדרשים, אנא בקרו בדף השו"ת למידע נוסף לתיקון בעיות עם הקישורים לעיל.
הודעה זו תופיע רק פעם אחת לקישורים אלו.
בידידות.—InternetArchiveBot (דווח על באג) 10:33, 7 בינואר 2023 (IST)
thread_title:  נמצאו קישורים חיצוניים שצריכים תיקון (ינואר 2023)