שיחה:פונקציה

message: איך לערוך נוסחאות מתמטיות
הדף הזה רק בתחילת העבודה עליו, וחבל שכך, כי פונקצייה היא אחד המושגים הבסיסיים והחשובים ביותר במתמטיקה. אני חושב שאת כל החלק העליון (עד "הגדרה מתמטית פורמלית") פרט לשורה הראשונה צריך להוריד, כי הוא נותן הגדרה פשטנית מדי של מהי פונקציה.
בתור התחלה צריך להרחיב על: מהי תמונה של פונקציה, מהו סכום, כפל, הרכבה של פונקציות, כתיבה יותר מדוייקת על הפונקציה ההופכית, הסבר לגבי חשיבות פונקציות חח"ע ועל בהוכחת שקילות בין קבוצות, תיאור פונקציה שומרת וסדר והחשיבות שלה באיזומורפיזמים בין קבוצות, הסברים לגבי הפונקציות המושרות והפונקציה האופיינית של קבוצה, הוספת קישור לנגזרת ואינטגרל תוך תיאור מתאים שלהם בעמוד הזה, ועוד ועוד ועוד. אני אשתדל לעשות חלק מזה בעצמי, כמובן. Gadial
replies: text: ברור שיש מקום לתיאור הפורמלי וכדומה, אך יש גם מקום לפתוח דווקא בהגדרה האינטואיטיבית, ואז להרחיב לטובת אלה שיש להם נגיעה בתחום. כמו כן, החלטתי להוסיף דוגמאות שונות ומשונות לפונקציות - לא רק פונקציות ממשיות - כדי להבהיר שפונקציה זה דבר מופשט ולאו דווקא מה שאנחנו רגילים אליו מחדו"א. על נגזרת ואינטגרל אין צורך לפרט - יש להפנות למאמרים המתאימים של חדו"א ואנליזה. MathKnight 21:37, 5 אוק' 2004 (UTC)

text: לא ברור לי למה הערך הזה נקרא פונקציה, צריך להיות פונקציה (מתמטיקה). יש גם משמעויות אחרות לשם. טרול רפאים 11:29, 22 ינו' 2005 (UTC)
replies: text: :אתה צודק. עם זאת, לא תמיד מי שכותב ערך חושב באותו הרגע על כל המשמעויות האפשריות. אם מתעורר הצורך, אפשר לתקן בלי קשיים רבים מדי - פשוט מבצעים "העבר דף" על הדף הזה, ומתקנים את הדפים שמקשרים אליו. גדי אלכסנדרוביץ' 12:28, 22 ינו' 2005 (UTC)
replies: text: ::אני מסכים. מוזר לציין שהגעתי למסקנה זו בעצמי שעתיים לאחר כתיבת ההודעה הזו שלך בעת עדכון הערך משפט ויירשטראס השני. (בלי לקרוא את הודעתך קודם לכן) מוזר למדי... :-) יובל מדר
replies: text: :::בכלל לא מוזר, ככה הגעתי לערך הזה... טרול רפאים 13:33, 22 ינו' 2005 (UTC)

text: :::אה! עכשיו הבנתי... שעון המשתמש שלך לא מכוון לפי שעון ישראל, אתה מתחבר מחו"ל? יובל מדר 14:52, 22 ינו' 2005 (UTC)
replies: text: ::::ממש לא, אני לא הצלחתי לכוון אותו לשעון ישראל, והבנתי שאי אפשר לעשות את זה בכלל. טרול רפאים 14:54, 22 ינו' 2005 (UTC)

text: ::::אתה צודק, עכשיו השארתי חתימה משלי וגיליתי שגם אני משאיר זמן לא נכון, על אף שב"שינויים אחרונים" הזמן הרשום נכון. כדאי לשאול מישהו מה הסיבה לכך... יובל מדר

text: ::::רציתי לשאול ולפתע שמתי לב שלצד השעה כתוב UTC... :-) יובל מדר

message: גם אם יש למילה פונקציה משמעויות נוספות, הרי המשמעות המתמטית היא העיקרית בצורה בולטת. כבר עכשיו יש עשרות קישורים לערך פונקציה במשמעותו המתמטית, ורק אחד מהם (מיותר, תכף אוריד אותו), במשמעות לא מתמטית. על הדרך לתת הפניה למשמעויות אחרות, ראו דוגמה בערך תפוח. דוד שי 18:49, 22 ינו' 2005 (UTC)
replies: text: אני לא כל כך בטוח שזו המשמעות הנפוצה ביותר, (למען האמת, לפני שהתחלתי ללמוד מתמטיקה חשבתי על פונקציה כ"פעולה") אבל אני לא בטוח שיש יותר מדי מה לכתוב על המשמעויות האחרות, לכן אני מסכים איתך. יובל מדר
replies: text: :מחד, אין ספק שיש מה לכתוב בערך אנציקלופדי אודות פונקציה (סוציולוגיה). מאידך, ברור שזו משמעות משנית לזו המתמטית וההפניה צריכה להיות מהערך המתמטי נדב 20:54, 22 ינו' 2005 (UTC)
replies: text: ::יהיה צורך בדף פירושונים בכל מקרה, יש הרבה משמעויות נוספות (המילה פופלרית גם אצל סוקרים וכו'). אבל ייתכן שעדיין צריך להשאיר את הערך הזה בתור הראשי. טרול רפאים 21:05, 22 ינו' 2005 (UTC)
replies: text: ::::מה עם פונקציה (תכנות)?אריק1111 - שיחה 15:01, 30 באוגוסט 2012 (IDT)
thread_title: לא לשנות את שם הערך

message: צריך לתקן את כל התמונות שהפכו ללינקים. MathKnight 12:30, 5 מרץ 2005 (UTC)
replies: text: ברגר, תודה שתיקנת את הטבלה ואת התמונות בה! MathKnight 22:17, 24 מרץ 2005 (UTC)
thread_title:  בעיה בטבלה 

message: החלטתי שהדוגמאות הנוכחיות משעממות מידי, ולכן רציתי להוסיף אחת שיותר מעניינת ואז גיליתי שאני לא בטוח שזאת בכלל פונקציה. הרעיון הוא שיש התאמה שמקבלת טענה בתורת הקבוצות האקסיומטית ומחזירה האם היא נכונה או לא. הנקודה החשובה היא שלפי משפט האי-שלמות של גדל יש טענות שאי אפשר לדעת האם הן נכונות (למרות שהן נכונות!) ולכן לא ניתן לחשב את הערך של הפונקציה עבור ערכים אלו. השאלה היא האם זאת פונקציה (בכל מקרה כדי להוסיף את זה בתור דוגמה חיובית או שלילית). טרול רפאים 22:09, 6 אפר' 2005 (UTC)
replies: text: יש הבדל בין פונקציה ובין פונקציה "ניתנת לחישוב", שלא כאן המקום להיכנס אליו. אם הבעיה הייתה רק שיש דברים נכונים שאי אפשר להוכיח, המצב לא היה גרוע, אבל אני לא בטוח שכל הטענות כאלו, וייתכן שיש טענות שיכולות להיות נכונות וגם יכולות להיות לא נכונות בלי שתתקבל סתירה (אקסיומת הבחירה?) ולכן הפונקציה לא מוגדרת היטב. אם תרחיב אותה כך  שתוכל לקבל ערך שלישי ("אפשר גם וגם") תקבל פונקציה. לדעתי, אגב, זו דוגמא די משעממת: הטווח שלה קטן מאוד, ולכן היא בעצם דרך פורמלית לענות "כן" או "לא" על שאלה כלשהי. (לא שטווח בן שני איברים יוצר בהכרח משהו משעמם: פונקציית דיריכלה זה דבר יותר משעשע). גדי אלכסנדרוביץ' 04:29, 7 אפר' 2005 (UTC)
replies: text: :טרול רפאים, ברכותי: המצאת (בערך) את הבעיה העשירית של הילברט, אם כי 105 שנה לאחר שהילברט העלה אותה (ראה 23 הבעיות של הילברט). דוד שי 04:51, 7 אפר' 2005 (UTC)
replies: text: ::לדוד, אני לא יודע מה זה "משוואה דיופנטית", אולי תכתוב על זה? ואז אני אדע...

text: ::לגדי, המעניין פה הוא הוא המקור, לא הטווח, כל הדוגמאות שיש כאן מוגדרות בסופו של דבר בעזרת מספרים ואילו כאן מדובר על משהו אחר לחלוטין ועדיין מובן לבני אדם רגילים. חוץ מזה מדובר על הפניה למשפט אי השלמות של גדל, דבר שנראה לי שיהיה רצוי. טרול רפאים 15:24, 7 אפר' 2005 (UTC)
replies: text: :::עד שיהיה ערך, תוכל להסתכל בדיופנטוס. אבינעם 15:31, 7 אפר' 2005 (UTC)
thread_title:  האם זאת פונקציה? 

message: מכיוון שהערך עוסק בפונקציות כלליות, ואילו זוגיות/אי זוגיות היא תכונה של פונקציה ממשית (כמובן, אפשר לחשוב על עוד מקרים שבהם יש לתכונה משמעות, ואולי אפילו לעשות אינטגרלים, אבל זה המקרה שבו מתעסקים בד"כ), אני חושב שכדאי להעביר את הטקסט לפונקציה ממשית. יתר על כן, הטקסט כרגע די משונה. אם פונקציה היא זוגית אז היא מקיימת f(x0-x)=f(x0+x)? אז איך בדיוק מגדירים פונקציה זוגית? ומכפלה של כל שתי פונקציות זוגיות נותנת פונקציה זוגית? גם אם הן זוגיות סביב נקודות אחרות? גדי אלכסנדרוביץ' 05:11, 16 ינואר 2006 (UTC)
replies: text: (ראה שיחת משתמש:Mintz l). עוזי ו. 06:17, 16 ינואר 2006 (UTC)
thread_title:  פונקציות זוגיות ואי זוגיות 

message: לתחום יש גם מובן עצמאי כקבוצה שניתן לקשור כל שתי נקודות ע"י מסילה.
replies: text: וגם כעוד דבר או שניים. ככה זה במתמטיקה (ובעברית בכלל). המקום למנות את כל האפשרויות האלה הוא בערך תחום (פירושונים), כשיכתב. עוזי ו. 23:37, 11 בנובמבר 2006 (IST)
thread_title:  תחום הוא קבוצה קשירה מסילתית 

message: אם אני לא טועה גם סדרת פעולות סופית של חיבור כפל והרכבה של פונקציות אלמנטריות נותנת פונקציה אלמנטרית השלישי
thread_title: פונקציות אלמנטריות

message: לא מצאתי התייחסות לפונקציה סתומה בערך. תוכלו להאיר את עיניי? 14:54, 31 בינואר 2007 (IST)
replies: text: הוספתי. יש ערך נפרד לנושא: פונקציה סתומה. ‏odedee • שיחה 22:27, 31 בינואר 2007 (IST)
thread_title:  פונקציות סתומות 

message: מהו מקומו של האינטגרל של הפונקציות הזוגיות והאיזוגיות בערך הזה?
thread_title:  אפשר לשאול 

message: לדוגמה:
\,\!f(1)=f(2)=f(3)=1
\,\!f(n)=f(n-1)+f(n-2)+2f(n-3)
replies: text: אין פתרון כללי, במקרה הנ"ל הייתי מנסה לכתוב את הפונקציה בצורה מטריציונית, כמו שעושים לסדרת פיבונאצ'י. טרול רפאים 13:37, 17 ביולי 2007 (IDT)
thread_title:  איך הופכים פונקציה רקורסיבית לפונקציה לא רקורסיבית? 

message: על פי הערך "פונקציונל היא פונקציה המקבלת פונקציה ומחזירה מספר (ממשי או מרוכב) בתמונה.".
לעומת זאת, על פי הערך פונקציונל, וגם כפי שלמדתי בקורס באנליזה פונקציונלית, פונקציונל הוא פשוט פונקציה ממרחב נורמי לשדה שמעליו המרחב מוגדר. לירן (שיחה,תרומות, בקשה ממפעילים שרואים חתימה זו) 23:27, 17 ביולי 2007 (IDT)
replies: text: צודק, אז תשנה. ‏Harel‏ • שיחה 23:33, 17 ביולי 2007 (IDT)
replies: text: :שיניתי. (או יותר נכון - הוספתי, משום שזהו אכן מקור המילה, ובכלל, זוהי דוגמה טובה לערך פונקציה). לירן (שיחה,תרומות, בקשה ממפעילים שרואים חתימה זו) 23:40, 17 ביולי 2007 (IDT)
thread_title:  פונקציונל 

message: אין לי מושג אם רדלד-צווינגלי התכוון במזנון ברצינות או היה ציני, אבל באמת לא היתה סיבה שההגדרה הפורמלית תופיע במבוא; כמו-כן, למעשה עד כה לא נתן הערך הגדרה מדויקת לפונקציה שלא בשפת תורת הקבוצות. הרחבתי את ההגדרה ואת הדוגמאות, ולדעתי עכשיו חלקו הראשון של הערך קריא גם למי שלא מתמצא במתמטיקה. צריך לעבור גם על המשך הערך, שם יש כמה שטויות וחסר מאוד פרק על השימושים של מושג הפונקציה במדע ובכלכלה. אעשה זאת בהמשך. רונן א. קידר - שיחה 10:00, 2 ביוני 2008 (IDT)
replies: text: האם אתה רומז (גם כאן וגם בערך) שכלכלה אינה מדע? אבינעם - שיחה 12:15, 2 ביוני 2008 (IDT)
replies: text: : בלי להיכנס לוויכוחים סמנטיים, בוא נגיד שכלכלה היא ענף שמכיל סממנים מדעיים וסממנים לא-מדעיים כאחד. מבחינת נוחות הקורא, נדמה לי שהקורא הממוצע, אם יראה כותרת 'שימושים במדע', לא יצפה לראות שימושים בכלכלה. רונן א. קידר - שיחה 13:40, 2 ביוני 2008 (IDT)
thread_title:  ביצעתי פישוט וניקיון ראשוני 

message: לדעתי נכון יותר לפתוח את הערך בהגדרה הפורמלית המדוייקת של מושג הפונקציה.
פונקציה היא יחס חד ערכי ומלא בין קבוצה של קבוצות הנקראת תחום, לקבוצה הנקראת טווח.
(יחס הוא תת-קבוצה כלשהי של מכפלה קרטזית)
(מכפלה קרטזית היא קבוצת כל ה N-יות הסדורות)
(חד ערכיות ומלאות, כמפורט בהמשך הערך).
thread_title: הגדרה

message: מתוך הערך:  האמנם זה השימוש היחיד באלגברה בוליאנית? רחל - שיחה 20:44, 11 בנובמבר 2010 (IST)
thread_title:  אלגברה בולאנית 

message: אין שום סיבה להגדיר פונקציה כשלשה סדורה. אפשר להסתפק בקבוצה f של הזוגות הסדורים. עוזי ו. - שיחה 13:39, 22 בינואר 2012 (IST)
replies: text: ומה עם הטווח? דניאל • תרמו ערך 00:30, 2 בפברואר 2012 (IST)
replies: text: : לשם מה נחוץ הטווח? זה אחד מאותם מקרים שבהם ההגדרה הטבעית יותר מספיקה כמעט כל הזמן, למרות שיש גם הגדרות אחרות. עוזי ו. - שיחה 00:51, 2 בפברואר 2012 (IST)
replies: text: ::מה זאת אומרת? אם מגדירים פונקציה רק כקבוצת זוגות סודרים אתה מאבד מידע לגבי הטווח של הפונקציה. אתה מקבל מידע רק לגבי התמונה. דניאל • תרמו ערך 01:01, 2 בפברואר 2012 (IST)
replies: text: ::: ולמה אני צריך לדעת מהו הטווח? אני לא אומר שההגדרה כזוג סדור אינה אפשרית (יש מקורות גם להגדרה של פונקציה כשלשה סדורה, כדי שתוכל לטפל גם ב"פונקציה חלקית" ולדעת מהו ה*תחום*), אבל היא מיותרת ב-99% מהזמן. זו בוודאי לא ההגדרה שצריך לתת בערך אנציקלופדי. עוזי ו. - שיחה 02:29, 2 בפברואר 2012 (IST)
replies: text: ::::כיצד תבדיל בין פונקציית הזהות של R לבין f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}\ ;\ f(x)=x? דניאל • תרמו ערך 11:26, 2 בפברואר 2012 (IST)
replies: text: ::::: מדוע שארצה להבדיל? לפעמים פונקציה היא רק פונקציה. עוזי ו. - שיחה 15:38, 2 בפברואר 2012 (IST)
replies: text: ::::::אתה רוצה להבדיל, כדי שלמשל תהיה משמעות בכלל לתכונה "על", שכידוע, היא תכונה בסיסית וחשובה של פונקציות. דניאל • תרמו ערך 20:04, 2 בפברואר 2012 (IST)
replies: text: :::::::אני מסכים עם עוזי. לדעתי, למושג "על" אין משמעות בלי להגיד "על מה". תומר - שיחה 20:06, 2 בפברואר 2012 (IST)
replies: text: ::::::::\{(1,1)\} - האם זוהי פונקציה הפיכה? דניאל • תרמו ערך 20:12, 2 בפברואר 2012 (IST)
replies: text: ::::::::: האם הפונקציה הממשית f(x)=x היא על? אפשר לחשוב עליה כפונקציה מהממשיים אל הממשיים ותפוח. אני לא חולק על כך שאפשר לסבך. יש לפחות שלוש הגדרות טבעיות למושג פונקציה: אוסף של זוגות סדורים, זוג סדור שבו הרכיב הראשון הוא אוסף של זוגות סדורים והשני קבוצה (הטווח), או שלשה סדורה עם תחום וזוגות וטווח. בויקיפדיה צריך לבחור את ההגדרה הפשוטה ביותר, ולציין שתכונות מסויימות תלויות במידע נוסף (ב"הקשר", שהמתמטיקאים ידעו בסתר ליבם שצריך להצעיד אותו לכל מקום בשלשות סדורות, והשאר יבינו אותו יותר טוב בלי זה). עוזי ו. - שיחה 20:47, 2 בפברואר 2012 (IST)
replies: text: ::::::::::דעתי היא שהתחום הטווח הם חלקים בלתי נפרדים מהגדרת הפונקציה. אם יש מי שמפחד משלשות סדורות, אין לי בעיה עם נגדיר פונקציה f: X\to Y (להבדיל מסתם f) כתת קבוצה של X\times Y. דניאל • תרמו ערך 12:49, 3 בפברואר 2012 (IST)

text: ::::::::::עוזי ו., שכתבתי. דניאל 23:02, 19 באוקטובר 2014 (IDT)
replies: text: ::::::::::: בשעה טובה ומוצלחת... עוזי ו. - שיחה 23:15, 19 באוקטובר 2014 (IDT)
האם ההגדרה לא צריכה להיות "התאמה, המשייכת לכל איבר בקבוצה אחת, איבר יחיד *לכל היותר* בקבוצה שנייה"?

text: התאמה המשייכת לכל איבר בקבוצה אחת, איבר אחד לכל היותר בקבוצה שנייה איננה בהכרח פונקציה. זוהי פונקציה חלקית. פונקציה מתאימה לכל איבר איבר אחד בדיוק.  דניאל 23:58, 19 באוקטובר 2014 (IDT)
replies: text: :כלומר פונקציה חלקית אינה סוג / מקרה פרטי של פונקציה - אלא אלה שני מושגים נפרדים שאין ביניהם חיתוך? אם כך, האם יש מושג מתמטי כולל יותר, שמכיל את "פונקציה" + "פונקציה חלקית"?
replies: text: ::פונקציה חלקית היא מושג רחב יותר. כל פונקציה היא פונקציה חלקית אבל לא כל פונקציה חלקית היא פונקציה. זה עונה גם על שאלתך השנייה. דניאל 08:46, 22 באוקטובר 2014 (IDT)
thread_title:  עודף פורמליות 

message: באופן כללי הפסקה הזו דורשת בדיקה. בפרט: למה ההפנייה היא לפעולות בולאניות ולא לאלגברה בולאנית?
הטענה שזה מיועד לתיאור מעגלים חשמליים דורשת מקור(יש להבחין בין אמירה שזה משמש לכך לבין טענה שעבור זה זה נוצר). האמירה שמתח עובר או לא עובר נראית משונה קצת יכול להיות שהכוונה לזרם שעובר או לא עובר?אריק1111 - שיחה 12:25, 31 בינואר 2012 (IST)
thread_title:  אלגברה בולאנית 

message: כגון arcsin  arcos arctan
אריק1111 - שיחה 15:55, 30 באוגוסט 2012 (IDT)
replies: text: לכל פונקציה טווח משלה. איזה תאור כללי אתה מצפה לקבל? עוזי ו. - שיחה 16:41, 30 באוגוסט 2012 (IDT)
thread_title:  מה הטווח של פונקציות ממשיות שלא מגיעות לכל הישר 

message: ההגדרה הפורמלית פה זהה להגדרה של גרף של פונקציה, ועל־כן מייתרת את הערך שלו. לדעתי ראוי להזכיר בנוסף גם את ההגדרה של פונקציה כשלשה סדורה, ולציין שההגדרה הפשוטה זהה להגדרת הגרף; אחרת אין צורך בשני ערכים נפרדים. ShoobyD – שיחה • 19:39, 15 בנובמבר 2014 (IST)
replies: text: לפעמים מספיק הקשר כדי לקרוא לשני דברים זהים בשם שונה. הרי מבחינה פורמלית המספר 0 מוגדר לרוב כשווה לקבוצה הריקה, ובכל זאת לא יעלה על הדעת לאחד את הערכים. יש לנו גם ערכים שונים על הישר הממשי ושדה המספרים הממשיים (ומספר ממשי). גרף של פונקציה הוא אמנם זהה פורמלית לפונקציה, אבל הוא עצם גאומטרי מטבעו וכך חושבים עליו. דניאל 20:01, 15 בנובמבר 2014 (IST)
replies: text: :לצערי פספסת את הנקודה שלי. "גרף" אינו זהה פורמלית לפונקציה, אלא שפה החליטו להגדירם באותו אופן. אני כן חושב שיש מקום לערכים נפרדים, ובגלל זה טענתי שלדעתי יש להוסיף לערך שלנו גם את ההגדרה של פונקציה כשלשה סדורה (ולא לאחד), כדי להמחיש את השוני ביניהם. לא הבנתי למה מלכתחילה הייתה התנגדות לכך למעלה; ממתי פירוט הוא דבר רע? בדוגמאות שהבאת, מה שמייחד לדעתי כל ערך הוא בדיוק השוני הפורמלי ביניהם: 0 מוגדר כ־∅ במודל מסוים, אך ההגדרה האלגברית שלו כאיבר אדיש לחיבור אינה קשורה לכך. שדה הממשיים הוא אובייקט אלגברי – קבוצת הממשיים ביחד עם פעולות אלגבריות (מבחינה פורמלית מוגדר כחמישה סדורה), ולעומת זאת הישר הממשי הוא אובייקט גאומטרי – קבוצת הממשיים עם מטריקה (מבחינה פורמלית זוג סדור); אלו שני אספקטים פורמליים שונים על אותה קבוצת בסיס. הערך על "מספר ממשי" הוא היחיד שבאמת מיותר לדעתי – למרות שבעקרון הוא מדבר על מושג נפרד, אותו מושג הוא מאוד שולי וכלול כבר בערך על השדה. הוא הדין לגבי הטבעיים, השלמים, הרציונליים וכו׳ שאני סבור גם שמיותרים; אפשר באותו אופן לכתוב ערך חדש על "איבר קלייני", שמשמעותו איבר בחבורת הארבעה של קליין. ברוך [ShoobyD] – שיחה • 15:01, 21 בנובמבר 2014 (IST)
replies: text: ::אם אתה רוצה, הגיוני לראות בגרף של פונקציה אובייקט טופולוגי (תת מרחב של מרחב המכפלה). אין ממש ערך בהתייחסות לגרפים של פונקציות שלא מוגדרות על מרחבים טופולוגיים.

text: ::מה תורמת ההגדרה של פונקציה כשלשה סדורה? ציינתי בדיון הקודם את חשיבות הטווח, אבל זה נפתר ברגע שמדברים על פונקציה f: X\to Y במקום "סתם" פונקציה f. בכל מקרה, לא אתנגד אם תשלב אזכור קצר להגדרה זו. דניאל 18:09, 21 בנובמבר 2014 (IST)
האם אפשר לנסח מחדש את הפסקה השלישית במקום כל הפירוט את זה?: שפונקציה היא יחס (יהיה קישור) חד ערכי בין X ל-Y, כלומר: (ואז יהיו שני התנאים כפי שהם רשומים כעת וליד כל אחד נרשום: מלאות, חד ערכיות).
thread_title:  הגדרה פורמלית 

message: לעניות דעתי צריך להוסיף על זה כמה מילים.
thread_title:  מערכת הצירים הקרטזית