שיחה:0.999.../הצעה

message: במתמטיקה, הסימון ...0.999 מציין את הפיתוח העשרוני האינסופי, שבו כל הספרות שאחרי הנקודה העשרונית הן 9. על-פי ההגדרה המקובלת לפיתוח העשרוני, המספר שווה ל- 1; כלומר, ...0.999 אינו "כמעט 1", אלא 1 בדיוק. השוויון ...0.999=1 אינו יוצא דופן; כל מספר ממשי בעל שבר עשרוני סופי אפשר לייצג גם באמצעות שבר עשרוני המסתיים בסדרה אינסופית של תשיעיות. כך למשל, המספר 13.412 ניתן לייצוג גם בתור המספר ...13.411999. תכונה זו גם אינה מיוחדת לכתיב העשרוני: לכל בסיס b, אפשר לייצג כל שבר סופי גם בעזרת רצף אינסופי המסתיים בספרה b-1.
אף על פי שהשוויון מקובל ללא עוררין על הקהילה המדעית, הגדרת הפיתוח העשרוני מסתמכת על מושג הטור המתכנס מן האנליזה המתמטית, ובמידת מה גם על הפיתוח המסודר של שדה המספרים הממשיים. בקרב אלו שאינם מכירים או אינם מקבלים רעיונות אלה, שכיחה התייחסות אל הביטוי ...0.999 כאל "תהליך" של סיכום מתמשך, שאינו יכול לייצג את המספר 1 באופן מלא, ולכן אינו שווה לו.
העוסקים בחינוך מתמטי מכירים את הקושי שבקבלת השוויון של המספר שבכותרת ל-1. גם בקבוצת הדיון sci.math, שהיתה פעילה בשנות ה-90 של המאה ה-20, נערכו דיונים רבים בנושא השוויון, ואלו הביאו בסופו של דבר להכללת הסברים עבורו בקובץ השאלות והתשובות של הקבוצה.
 ="בספר Mathematical Cranks של Underwood Dudley (משנת 1992), הכולל עשרות דוגמאות לטרחנות מתמטית, הנושא אינו מוזכר כלל."

message: === מבוא ===
בשיטה העשרונית, שבה אנו משתמשים בחיי היום-יום והיא גם שיטת הספירה המקובלת במתמטיקה, מסמנות הספרות 0 עד 9 מספרים טבעיים עוקבים: 0 הוא מספר האיברים בקבוצה ריקה, 1 היא היחידה, 2=1+1, 3=2+1, וכן הלאה, עד 9=8+1. מספרים גדולים מ- 9 מוצגים כרצף של ספרות, אותו מבינים כסכום של חזקות של המספר 10 (השווה ל- 9+1), המוכפלות כל-אחת בספרה המתאימה. לדוגמה, \ 23 = 2\cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 = 2\cdot 10 + 3\cdot 1. לכל מספר טבעי יש הצגה יחידה באופן כזה, והקשר בין ההצגה לבין המספר הוא יסודי כל-כך, עד שדרוש מאמץ מנטלי לא מבוטל כדי להבדיל ביניהם.
כאשר נדרשים להצגת מספרים לא שלמים, אין די בחזקות החיובית של המספר 10, ויש צורך לסכם גם בחזקות השליליות (למשל, \ 10^{-1}=\tfrac{1}{10}, \ 10^{-2}=\tfrac{1}{10^2}), המופרדות מן החזקות החיוביות בנקודה עשרונית. כך למשל, המספר 25.3 פירושו \ 2\cdot 10+5\cdot 1+3\cdot \tfrac{1}{10}. את אותו מספר אפשר להציג גם כ- 25.300, שפירושו 25.3, ועוד אפס עשיריות ואפס מאיות. עם זאת, מקובל להשמיט אפסים מסוף הביטוי, וכך מתקבלת שוב הצגה יחידה, לכל מספר שאפשר להציג באופן כזה.
בשיטה העשרונית אפשר להציג כשבר עשרוני סופי רק את המספרים השווים למנה \ \frac{a}{10^n} בין מספר טבעי a לבין חזקה של 10. מספרים רבים, וביניהם מספרים רציונליים רבים, כגון 1/3, לא ניתן להציג באופן זה (משום ש- 3 אינו מחלק אף חזקה של 10). מתברר, שכל מספר רציונלי, ואף כל מספר ממשי x, אפשר להציג כסכום אינסופי של חזקות (שליליות) של 10, הנקרא "הפיתוח העשרוני" של x; אבל עובדה זו אינה מובנת מאליה, ואף אינה דרושה כאן. 
=== פיתוח עשרוני אינסופי ===
בדיוק כפי שרצף ספרות סופי \ 0.a_1a_2\dots a_n מובן כסכום \ \frac{a_0}{10}+\frac{a_1}{100}+\dots+\frac{a_n}{10^n}, שהוא לעולם מספר רציונלי, אפשר להבין את הרצף האינסופי  \ 0.a_1a_2\dots a_n \dots  כסכום אינסופי, \ \frac{a_0}{10}+\frac{a_1}{100}+\dots+\frac{a_n}{10^n}+\dots. לסכום כזה (שבו \ 0\leq a_n<10 לכל n) נקרא "טור עשרוני", המתאים לשבר העשרוני האינסופי \ 0.a_1a_2\dots a_n \dots. 
בגישה זו (שהיא התפיסה המקובלת במתמטיקה, ללא עוררין), יש שתי בעיות. ראשית, מהי המשמעות של סכום אינסופי? מרגע שהוגדר הסכום של שני מספרים, אפשר להגדיר את הסכום של כל קבוצה סופית של מספרים באינדוקציה; אולם, הגדרה זו אינה מעניקה מובן לסכום של קבוצה אינסופית, ומושג זה דורש הגדרה חדשה. במהלך הטיפול במושג החדש מתברר עד מהרה שעדיף לטפל בסכום של קבוצה מסודרת (כזו שיש לה איבר ראשון, איבר שני, וכן הלאה), במקום בסכום של קבוצה סתם. לקבוצה מסודרת שאותה מבקשים לסכם, קוראים במתמטיקה טור; בסוגיית הסיכום של טורים עוסק החשבון אינפיניטיסימלי (ראו גם גבול של סדרה). בכל הגדרה מתקבלת על הדעת לסכום של טור (בקורסי מבוא לתחום נלמדת שיטה אחת כזו, אבל מתמטיקאים מכירים רבות אחרות; ראו סומביליות), יש טורים שקיים להם סכום (אלו נקראים "טורים מתכנסים"), וטורים שלא קיים להם סכום. ועם כל זאת, כל הטורים העשרוניים מתכנסים (הן לפי ההגדרה המקובלת, שהיא השמרנית ביותר, והן לפי כל שיטת סיכום אחרת). 
כאן מתעוררת הבעיה השניה: היכן מחשבים את הסכום - ולאיזה סוג של מספר אפשר לצפות, כתוצאה? כל טור עשרוני מתכנס למספר ממשי, אבל מספרים אלה בדרך-כלל אינם רציונליים. במלים אחרות, יש טורים עשרוניים שאינם מתכנסים למספר רציונלי. עובדה זו ניתן לבטא בשתי דרכים: מנקודת המבט של המספרים הרציונליים, לטור כזה אין סכום; ומנקודת המבט של המספרים הממשיים, יש לו סכום (ממשי), שאינו רציונלי. 
יש דרך קלה להבחין בין הטורים עשרוניים שסכומם רציונלי, לאלו שסכומם אינו כזה. בשבר עשרוני מחזורי יש קבוצת ספרות החוזרת שוב ושוב ממקום מסויים והלאה. בשבר כזה מקובל לסמן את הקבוצה החוזרת בקו עילי או בנקודות עיליות, או להמשיך את השבר בשלוש נקודות, כאשר הקבוצה החוזרת מובנת מן ההקשר. כך למשל \ 0.59\overline{09} = 0.5\overline{90} = 0.59090... מסמן את השבר שבו, לאחר הספרה 5, חוזרות הספרות 90 ללא גבול. באופן דומה, בפיתוח העשרוני \ 0.333..., שלוש הנקודות מציינות שהפיתוח אינו מסתיים, והספרה 3 מופיעה בו בכל מקום. מספר זה שונה, כמובן, מן השבר הסופי 0.333. מתברר שלכל טור עשרוני מחזורי יש סכום רציונלי, ולכל טור עשרוני שאינו מחזורי יש סכום שאינו רציונלי.
=== סיכום של שברים עשרוניים ===
כדי להעניק משמעות לכל שבר עשרוני (מחזורי או שאינו מחזורי) יש להקדים ולפתח באופן מסודר את שדה המספרים הממשיים (באחת משתי השיטות המקובלות, סדרות קושי או חתכי דדקינד, או בדרך אחרת). לאחר מכן, ההגדרה המקובלת, והמתבקשת מאליה, תתאים לביטוי הפורמלי 0.a_1a_2\dots a_n \dots את המספר הממשי היחיד שהוא סכומו של הטור \ \frac{a_0}{10}+\frac{a_1}{100}+\dots+\frac{a_n}{10^n}+\dots. בגישה זו יש להוכיח, כמובן, שהטור מתכנס (במרחב של המספרים הממשיים). 
אף-על-פי-כן, אם מעוניינים לסכם רק שברים עשרוניים מחזוריים (כגון השבר \ 0.999...), אין בכך צורך: סכומו של הטור ההנדסי \ 1+\frac{1}{10^m}+\frac{1}{10^{2m}}+\dots הוא \ \frac{1}{1-\frac{1}{10^m}} = \frac{10^m}{10^m-1}, ולכן אפשר לקבל, כהגדרה, שהשבר המחזורי \ 0.a_1a_2\dots a_k \overline{a_{k+1}\dots a_{k+m}} מסתכם למספר הרציונלי \ \frac{a_1}{10}+\dots+\frac{a_k}{10^k}+\frac{10^{m-1}a_{k+1}+10^{m-2}a_{k+2}+\dots+a_{k+m}}{10^m-1}.
thread_title: פיתוח עשרוני

message: בשיטה העשרונית, שבה אנו משתמשים בחיי היום-יום והיא גם שיטת הספירה המקובלת במתמטיקה, מסמנות הספרות 0 עד 9 מספרים טבעיים עוקבים: 0 הוא מספר האיברים בקבוצה ריקה, 1 היא היחידה, 2=1+1, 3=2+1, וכן הלאה, עד 9=8+1. מספרים גדולים מ- 9 מוצגים כרצף של ספרות, אותו מבינים כסכום של חזקות של המספר 10 (השווה ל- 9+1), המוכפלות כל-אחת בספרה המתאימה. לדוגמה, \ 23 = 2\cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 = 2\cdot 10 + 3\cdot 1. לכל מספר טבעי יש הצגה יחידה באופן כזה, והקשר בין ההצגה לבין המספר הוא יסודי כל-כך, עד שדרוש מאמץ מנטלי לא מבוטל כדי להבדיל ביניהם.
כאשר נדרשים להצגת מספרים לא שלמים, אין די בחזקות החיובית של המספר 10, ויש צורך לסכם גם בחזקות השליליות (למשל, \ 10^{-1}=\tfrac{1}{10}, \ 10^{-2}=\tfrac{1}{10^2}), המופרדות מן החזקות החיוביות בנקודה עשרונית. כך למשל, המספר 25.3 פירושו \ 2\cdot 10+5\cdot 1+3\cdot \tfrac{1}{10}. את אותו מספר אפשר להציג גם כ- 25.300, שפירושו 25.3, ועוד אפס עשיריות ואפס מאיות. עם זאת, מקובל להשמיט אפסים מסוף הביטוי, וכך מתקבלת שוב הצגה יחידה, לכל מספר שאפשר להציג באופן כזה.
בשיטה העשרונית אפשר להציג כשבר עשרוני סופי רק את המספרים השווים למנה \ \frac{a}{10^n} בין מספר טבעי a לבין חזקה של 10. מספרים רבים, וביניהם מספרים רציונליים רבים, כגון 1/3, לא ניתן להציג באופן זה (משום ש- 3 אינו מחלק אף חזקה של 10). מתברר, שכל מספר רציונלי, ואף כל מספר ממשי x, אפשר להציג כסכום אינסופי של חזקות (שליליות) של 10, הנקרא "הפיתוח העשרוני" של x; אבל עובדה זו אינה מובנת מאליה, ואף אינה דרושה כאן.
thread_title:  מבוא 

message: בדיוק כפי שרצף ספרות סופי \ 0.a_1a_2\dots a_n מובן כסכום \ \frac{a_0}{10}+\frac{a_1}{100}+\dots+\frac{a_n}{10^n}, שהוא לעולם מספר רציונלי, אפשר להבין את הרצף האינסופי  \ 0.a_1a_2\dots a_n \dots  כסכום אינסופי, \ \frac{a_0}{10}+\frac{a_1}{100}+\dots+\frac{a_n}{10^n}+\dots. לסכום כזה (שבו \ 0\leq a_n<10 לכל n) נקרא "טור עשרוני", המתאים לשבר העשרוני האינסופי \ 0.a_1a_2\dots a_n \dots. 
בגישה זו (שהיא התפיסה המקובלת במתמטיקה, ללא עוררין), יש שתי בעיות. ראשית, מהי המשמעות של סכום אינסופי? מרגע שהוגדר הסכום של שני מספרים, אפשר להגדיר את הסכום של כל קבוצה סופית של מספרים באינדוקציה; אולם, הגדרה זו אינה מעניקה מובן לסכום של קבוצה אינסופית, ומושג זה דורש הגדרה חדשה. במהלך הטיפול במושג החדש מתברר עד מהרה שעדיף לטפל בסכום של קבוצה מסודרת (כזו שיש לה איבר ראשון, איבר שני, וכן הלאה), במקום בסכום של קבוצה סתם. לקבוצה מסודרת שאותה מבקשים לסכם, קוראים במתמטיקה טור; בסוגיית הסיכום של טורים עוסק החשבון אינפיניטיסימלי (ראו גם גבול של סדרה). בכל הגדרה מתקבלת על הדעת לסכום של טור (בקורסי מבוא לתחום נלמדת שיטה אחת כזו, אבל מתמטיקאים מכירים רבות אחרות; ראו סומביליות), יש טורים שקיים להם סכום (אלו נקראים "טורים מתכנסים"), וטורים שלא קיים להם סכום. ועם כל זאת, כל הטורים העשרוניים מתכנסים (הן לפי ההגדרה המקובלת, שהיא השמרנית ביותר, והן לפי כל שיטת סיכום אחרת). 
כאן מתעוררת הבעיה השניה: היכן מחשבים את הסכום - ולאיזה סוג של מספר אפשר לצפות, כתוצאה? כל טור עשרוני מתכנס למספר ממשי, אבל מספרים אלה בדרך-כלל אינם רציונליים. במלים אחרות, יש טורים עשרוניים שאינם מתכנסים למספר רציונלי. עובדה זו ניתן לבטא בשתי דרכים: מנקודת המבט של המספרים הרציונליים, לטור כזה אין סכום; ומנקודת המבט של המספרים הממשיים, יש לו סכום (ממשי), שאינו רציונלי. 
יש דרך קלה להבחין בין הטורים עשרוניים שסכומם רציונלי, לאלו שסכומם אינו כזה. בשבר עשרוני מחזורי יש קבוצת ספרות החוזרת שוב ושוב ממקום מסויים והלאה. בשבר כזה מקובל לסמן את הקבוצה החוזרת בקו עילי או בנקודות עיליות, או להמשיך את השבר בשלוש נקודות, כאשר הקבוצה החוזרת מובנת מן ההקשר. כך למשל \ 0.59\overline{09} = 0.5\overline{90} = 0.59090... מסמן את השבר שבו, לאחר הספרה 5, חוזרות הספרות 90 ללא גבול. באופן דומה, בפיתוח העשרוני \ 0.333..., שלוש הנקודות מציינות שהפיתוח אינו מסתיים, והספרה 3 מופיעה בו בכל מקום. מספר זה שונה, כמובן, מן השבר הסופי 0.333. מתברר שלכל טור עשרוני מחזורי יש סכום רציונלי, ולכל טור עשרוני שאינו מחזורי יש סכום שאינו רציונלי.
thread_title:  פיתוח עשרוני אינסופי 

message: כדי להעניק משמעות לכל שבר עשרוני (מחזורי או שאינו מחזורי) יש להקדים ולפתח באופן מסודר את שדה המספרים הממשיים (באחת משתי השיטות המקובלות, סדרות קושי או חתכי דדקינד, או בדרך אחרת). לאחר מכן, ההגדרה המקובלת, והמתבקשת מאליה, תתאים לביטוי הפורמלי 0.a_1a_2\dots a_n \dots את המספר הממשי היחיד שהוא סכומו של הטור \ \frac{a_0}{10}+\frac{a_1}{100}+\dots+\frac{a_n}{10^n}+\dots. בגישה זו יש להוכיח, כמובן, שהטור מתכנס (במרחב של המספרים הממשיים). 
אף-על-פי-כן, אם מעוניינים לסכם רק שברים עשרוניים מחזוריים (כגון השבר \ 0.999...), אין בכך צורך: סכומו של הטור ההנדסי \ 1+\frac{1}{10^m}+\frac{1}{10^{2m}}+\dots הוא \ \frac{1}{1-\frac{1}{10^m}} = \frac{10^m}{10^m-1}, ולכן אפשר לקבל, כהגדרה, שהשבר המחזורי \ 0.a_1a_2\dots a_k \overline{a_{k+1}\dots a_{k+m}} מסתכם למספר הרציונלי \ \frac{a_1}{10}+\dots+\frac{a_k}{10^k}+\frac{10^{m-1}a_{k+1}+10^{m-2}a_{k+2}+\dots+a_{k+m}}{10^m-1}.
thread_title:  סיכום של שברים עשרוניים 

message: אפשר לסכם את הנאמר עד כה בכמה גישות כלפי השבר העשרוני \ 0.999.... 
=== אי-הגדרה ===
אפשרות אחת היא לטעון שהביטוי הזה כלל אינו מוגדר. גישה כזו היא עקבית מבחינה לוגית, אבל כנגדה אפשר להציג את ההגדרות שהובאו לעיל, ולטעון שללא שברים עשרוניים אינסופיים, אנו מסוגלים להציג רק מקצת המספרים הרציונליים, ואף לא מספר ממשי שאינו רציונלי. לדוגמא, אם מוכנים לקבל את השוויון \ 0.333... = \tfrac{1}{3}, כפל ב- 3 יביא למסקנה שגם 
\ 0.999... = 3/3=1.
=== בניה אלטרנטיבית של הממשיים ===
האפשרות השניה היא להתייחס לביטוי \ 0.999... כאל תהליך - כאילו היה זה כתיב מקוצר של הסדרה המורכבת מן המספרים 0.9, 0.99, 0.999, וכן הלאה. לפי גישה זו, הביטוי \ 1.000... יתאר את הסדרה המורכבים מן המספרים 1.0, 1.00, 1.000, וכן הלאה (שכולם שווים כמובן ל-1). שתי הסדרות ללא ספק שונות זו מזו, ולפיכך יביא פירוש כזה למסקנה הבלתי נמנעת, ש- \ 0.999... \neq 1.000.... 
לפי השקפה זו, הטור אינו מסתכם למספר הממשי המייצג אותו אלא רק "מתקרב" אליו. הד להתנגדות זאת ניתן למצוא בספרו של זאב בכלר, "שלוש מהפכות קופרניקניות", בו מובעת התנגדות לפתרון הפרדוקסים של זנון באמצעות הטיפול שהעניק אוגוסטין לואי קושי למושג הסכום האינסופי.
הפרשנות הזו מתקשה למצוא את ההתאמה המדוייקת בין מספר ממשי, לבין הסדרה המתקבלת מן הביטוי העשרוני שלו. אם נאמר שהסדרה עומדת בפני עצמה, אנחנו נותרים ללא דרך להציג מספר ממשי, בדיוק כאילו לא היינו מעניקים כל פירוש לשבר אינסופי. יש שתי דרכים להציג את המספר באמצעות הסדרה שלו. הדרך המקובלת מזהה את המספר כגבולה של הסדרה - שהוא סכומו של הטור העשרוני. ואכן, סדרות שונות עשויות להתכנס לאותו גבול, ושתי הסדרות שבתחילת הפסקה מתכנסות שתיהן למספר 1, כפי שיוסבר בהמשך. כנגד דרך זו אפשר לטעון שהיא מאבדת אינפורמציה - הסדרה נושאת יותר מידע מן הגבול שלה; ולכן, עדיף, לכאורה, לחשוב על הסדרה עצמה בתור מספר ממשי. 
מגישה זו, המבקשת לשמור על מלוא התוכן של הסדרה, נובעת בניה אלטרנטיבית של המספרים הממשיים - כסדרות (עשרוניות, מתכנסות), שכל אחת מהן היא "מספר ממשי" נפרד. למרות קשיים טכניים מסויימים, אפשר להגדיר בין הסדרות האלה פעולות חיבור וכפל, באופן שהופך את אוסף הסדרות לחוג למחצה (עם סדר). אולם, בבניה זו יש כמה חסרונות חמורים, המונעים ממנה להיות מתחרה ראויה להגדרה המקובלת של המספרים הממשיים: למשל, מתקיים בה השוויון \ 0.999...+x=1.000...+x לכל \ 0<x, ומכאן שלא ניתן לצמצם איברים שווים בחיבור; הרי זה כאילו הורידו משני קטעים שווים חלקים שווים, והתקבלו קטעים באורכים שונים.
=== הגדרת הסכום ===
יתכן, אולי, לקבל את ההגדרה של \ 0.999... כסכומו של הטור \ \frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\dots, ולטעון שלסכום אינסופי זה אינו שווה ל-1. אם מסתפקים בזיהוי השבר העשרוני עם הטור חסר הפירוש, הרי שזוהי חזרה על הפרשנות הסדרתית שנדונה לעיל. לפיכך, יש להניח את ההגדרה המקובלת לסכום של טור, כמספר שהסכומים החלקיים הולכים ומתקרבים אליו. לפי המקובל, מספר זה שווה ל-1, משום שההפרש בין 1 לבין הסכום החלקי \ 0.99...9 
(n תשיעיות), \ 10^{-n}=0.00...1
(n אפסים), הולך וקטן. אם כך, אפשר לתהות, אולי ההפרש הוא מספר ממשי קטן ביותר, קטן מכל החזקות השליליות של 10, שהוא עדיין גדול מאפס? השקפה זו נוגדת תכונה יסודית של המספרים הממשיים - תכונת ארכימדס, הקובעת שעבור כל שני מספרים ממשיים חיוביים, יש מספר טבעי גדול כל-כך, עד שהכפלתו בממשי הראשון תהיה גדולה יותר מן הממשי השני. 
כאן אפשר לתהות, מדוע המספרים הממשיים "מוכרחים" להיות שדה סדור ארכימדי, דווקא. התשובה לכך תלויה במיסוד הגאומטרי של מערכת המספרים הממשיים - המספרים האלה אמורים לייצג אורכים של קטעים על-פני קו ישר, ולקטעים כאלה, על-פי האינטואיציה הגאומטרית שלנו, יש תכונת ארכימדס. אפשר לתכנן מערכות מתמטיות אחרות, שבהן תכונת ארכימדס אינה מתקיימת, עם אנליזה אחרת, שבה ההגדרה לטורים מתכנסים תובענית יותר. במערכות כאלה יתכן ש- \ 0.999...<1, למרות שטענה זו שגויה אם מפרשים את שני האגפים כמספרים ממשיים.
thread_title:  הערך של <math>\ 0.999...</math> 

message: אפשרות אחת היא לטעון שהביטוי הזה כלל אינו מוגדר. גישה כזו היא עקבית מבחינה לוגית, אבל כנגדה אפשר להציג את ההגדרות שהובאו לעיל, ולטעון שללא שברים עשרוניים אינסופיים, אנו מסוגלים להציג רק מקצת המספרים הרציונליים, ואף לא מספר ממשי שאינו רציונלי. לדוגמא, אם מוכנים לקבל את השוויון \ 0.333... = \tfrac{1}{3}, כפל ב- 3 יביא למסקנה שגם 
\ 0.999... = 3/3=1.
thread_title:  אי-הגדרה 

message: האפשרות השניה היא להתייחס לביטוי \ 0.999... כאל תהליך - כאילו היה זה כתיב מקוצר של הסדרה המורכבת מן המספרים 0.9, 0.99, 0.999, וכן הלאה. לפי גישה זו, הביטוי \ 1.000... יתאר את הסדרה המורכבים מן המספרים 1.0, 1.00, 1.000, וכן הלאה (שכולם שווים כמובן ל-1). שתי הסדרות ללא ספק שונות זו מזו, ולפיכך יביא פירוש כזה למסקנה הבלתי נמנעת, ש- \ 0.999... \neq 1.000.... 
לפי השקפה זו, הטור אינו מסתכם למספר הממשי המייצג אותו אלא רק "מתקרב" אליו. הד להתנגדות זאת ניתן למצוא בספרו של זאב בכלר, "שלוש מהפכות קופרניקניות", בו מובעת התנגדות לפתרון הפרדוקסים של זנון באמצעות הטיפול שהעניק אוגוסטין לואי קושי למושג הסכום האינסופי.
הפרשנות הזו מתקשה למצוא את ההתאמה המדוייקת בין מספר ממשי, לבין הסדרה המתקבלת מן הביטוי העשרוני שלו. אם נאמר שהסדרה עומדת בפני עצמה, אנחנו נותרים ללא דרך להציג מספר ממשי, בדיוק כאילו לא היינו מעניקים כל פירוש לשבר אינסופי. יש שתי דרכים להציג את המספר באמצעות הסדרה שלו. הדרך המקובלת מזהה את המספר כגבולה של הסדרה - שהוא סכומו של הטור העשרוני. ואכן, סדרות שונות עשויות להתכנס לאותו גבול, ושתי הסדרות שבתחילת הפסקה מתכנסות שתיהן למספר 1, כפי שיוסבר בהמשך. כנגד דרך זו אפשר לטעון שהיא מאבדת אינפורמציה - הסדרה נושאת יותר מידע מן הגבול שלה; ולכן, עדיף, לכאורה, לחשוב על הסדרה עצמה בתור מספר ממשי. 
מגישה זו, המבקשת לשמור על מלוא התוכן של הסדרה, נובעת בניה אלטרנטיבית של המספרים הממשיים - כסדרות (עשרוניות, מתכנסות), שכל אחת מהן היא "מספר ממשי" נפרד. למרות קשיים טכניים מסויימים, אפשר להגדיר בין הסדרות האלה פעולות חיבור וכפל, באופן שהופך את אוסף הסדרות לחוג למחצה (עם סדר). אולם, בבניה זו יש כמה חסרונות חמורים, המונעים ממנה להיות מתחרה ראויה להגדרה המקובלת של המספרים הממשיים: למשל, מתקיים בה השוויון \ 0.999...+x=1.000...+x לכל \ 0<x, ומכאן שלא ניתן לצמצם איברים שווים בחיבור; הרי זה כאילו הורידו משני קטעים שווים חלקים שווים, והתקבלו קטעים באורכים שונים.
thread_title:  בניה אלטרנטיבית של הממשיים 

message: יתכן, אולי, לקבל את ההגדרה של \ 0.999... כסכומו של הטור \ \frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\dots, ולטעון שלסכום אינסופי זה אינו שווה ל-1. אם מסתפקים בזיהוי השבר העשרוני עם הטור חסר הפירוש, הרי שזוהי חזרה על הפרשנות הסדרתית שנדונה לעיל. לפיכך, יש להניח את ההגדרה המקובלת לסכום של טור, כמספר שהסכומים החלקיים הולכים ומתקרבים אליו. לפי המקובל, מספר זה שווה ל-1, משום שההפרש בין 1 לבין הסכום החלקי \ 0.99...9 
(n תשיעיות), \ 10^{-n}=0.00...1
(n אפסים), הולך וקטן. אם כך, אפשר לתהות, אולי ההפרש הוא מספר ממשי קטן ביותר, קטן מכל החזקות השליליות של 10, שהוא עדיין גדול מאפס? השקפה זו נוגדת תכונה יסודית של המספרים הממשיים - תכונת ארכימדס, הקובעת שעבור כל שני מספרים ממשיים חיוביים, יש מספר טבעי גדול כל-כך, עד שהכפלתו בממשי הראשון תהיה גדולה יותר מן הממשי השני. 
כאן אפשר לתהות, מדוע המספרים הממשיים "מוכרחים" להיות שדה סדור ארכימדי, דווקא. התשובה לכך תלויה במיסוד הגאומטרי של מערכת המספרים הממשיים - המספרים האלה אמורים לייצג אורכים של קטעים על-פני קו ישר, ולקטעים כאלה, על-פי האינטואיציה הגאומטרית שלנו, יש תכונת ארכימדס. אפשר לתכנן מערכות מתמטיות אחרות, שבהן תכונת ארכימדס אינה מתקיימת, עם אנליזה אחרת, שבה ההגדרה לטורים מתכנסים תובענית יותר. במערכות כאלה יתכן ש- \ 0.999...<1, למרות שטענה זו שגויה אם מפרשים את שני האגפים כמספרים ממשיים.
thread_title:  הגדרת הסכום 

message: * מערכות מספרים
thread_title:  ראו גם 

thread_title: הערות

message: * Is 0.999...=1? - מאמר מאת Fred Richman שפורסם ב- Mathematics Magazine,  Vol. 72, No. 5 (Dec., 1999), pp. 396-400.
* sci.math FAQ: Why is 0.9999... = 1?
* אלון עמית, טרחנים כפייתיים במתמטיקה, האייל הקורא
 
en:0.999...
be:0,(9)
el:0,999...
es:0,9 periódico
fr:Développement décimal de l'unité
de:Eins
ka:0.999...
ja:0.999...が1に等しいことの証明
nov:0.999...
pl:0,(9)
pt:0,999...
ro:0,(9)
ru:0,(9)
sl:0,999...
fi:0,999...
sv:0,999...
th:การพิสูจน์ว่า 0.999... เท่ากับ 1
zh:证明0.999...等于1
thread_title:  קישורים חיצוניים