Discussion:Formule de Moivre

message: Ajouté paragraphe sur l'origine de cette formule.Lerichard
:Cette partie historique a été améliorée. Les petites graines ont poussé. Nefbor Udofix  -  Poukram! 12 juin 2009 à 22:49 (CEST)
replies: text: "La formule dite de de Moivre est due en réalité à Euler qui l'énonce, plus qu'il ne la démontre" + "Le travail de de Moivre est antérieur, et date de 1730." = je ne comprends plus.Claude le pénible (d) 2 novembre 2009 à 04:03 (CET)
replies: text:  C'est assez bien  expliqué dans Histoire des nombres complexes de Dominique Flament, p 48 et suivante  et précisé aussi dans le corps de l'article. De Moivre travaillait sur la division d'un arc en n parties égales et trouve en 1730 que cos(B)=\dfrac{\sqrt[n]{cos(nB)+i\sin(nB)} +\sqrt[n]{cos(nB)-i\sin(nB)} }{2}, ce qui, reconnaissons le, n'est pas la forme habituelle de la formule. Le premier à présenter la formule habituelle est Euler en 1748. HB (d) 2 novembre 2009 à 07:52 (CET)
thread_title:  Historique 

message: La formule d'Euler n'a pas besoin de la formule de De Moivre pour être démontrée.
On peut élever ses 2 membres à la puissance n.
Dès lors, en constatant que (exp(ix))**n = exp (inx), on déduit directement que 
(cos x + i sin x)**n = cos (nx) + i sin (nx)
: Ach,je n'avais pas envie d'ouvrir une discussion sur le sujet , du coup mon résumé fut trop lapidaire et non compréhensible. Démontrer la formule de Moivre en utilisant la forme exponentielle nécessite d'avoir démontré au préalable que \cos(x)+ i \sin(x) = e^{ix} et cette démonstration est loin d'être simple. 
:* Ou bien on la considère comme une notation et il faut alors démontrer que cette notation est compatible avec les propriétés attendues sur les exposants c'est-à-dire que e^{i(a+b)}=e^{ia}\times e^{ib} puis, par récurrence, que e^{inx}=(e^{ix})^n. Ce qui est fait peu ou prou ici.
:*ou bien on démontre que x\mapsto \cos(x)+i\sin(x) est la solution de l'équation différentielle y'=iy qui prend la valeur 1 en 0. Mais il faut mettre en branle les connaissances sur la résolution des équations différentielles pour les fonctions à valeurs complexes et connaitre les dérivée des fonction sinus et cosinus, dérivées qui s'appuie (encore) sur les formules du cosinus et du sinus de la somme.
: Bref, toute l'argumentation prend sa source sur les formules de la somme. Donc, selon moi, dire que la formule de Moivre se démontre grâce à la formule d'Euler, c'est passer sous silence la difficulté de la démonstration et son articulation principale (formule de la somme). Je suis donc favorable à l'idée de dire que la forme exponentielle est une présentation plus parlante de la formule de Moivre et non une démonstration de celle-ci. D'autres avis ? HB (d) 2 novembre 2009 à 07:51 (CET)
replies: text: "et cette démonstration est loin d'être simple" Bof... Taylor avait démontré en 1712 la formule qui porte son nom. Donc on a en fait une immédiate identification de exp(ix)=cos(x)+i sin(x). Il suffit pour cela de développer l'exponentielle d'une part et de calculer les parties réelles et imaginaires. On constate alors que la partie réelle est celle de cos(x) et la partie imaginaire celle de sin(x). Point besoin par conséquent d'équation différentielle. Dès lors, de ce que exp(a)x exp(b) = exp(a+b), appliquée avec des imaginaires, on trouve effectivement trivialement la "formule de Moivre".Claude le pénible (d) 2 novembre 2009 à 10:40 (CET)
replies: text:  Oui c'est vrai que dans la liste des démonstrations, j'avais oublié de présenter celle-là  mais je doute que présenter la formule de Taylor pour justifier la formule de Moivre qui peut se faire directement soit si pédagogique. Enfin, si vous êtes deux à  le penser, je m'incline. HB (d) 2 novembre 2009 à 11:06 (CET)
thread_title:  Démonstration en utilisant la forme exponentielle 

message: Et c'est ici que se pose la question de fond.  Parce qu'il ne fait pas de doute que la nouvelle écriture laissera perplexe un lecteur non averti. Mais que faut-il préférer : une formulation que l'on croit comprendre alors qu'elle ne peut avoir de sens, comme c'est le cas actuellement ?  ou une écriture correcte mais plus déroutante qui peut éventuellement décourager le lecteur pressé ?  Ce problème est très fréquent dans les articles scientifiques de Wikipédia et s'il est ici facile à mettre en lumière et à résoudre, il lui arrive parfois de prendre des formes particulièrement camouflées et dangereuses.  Il s'agit donc d'une réelle question stratégique, et j'aimerais savoir s'il existe une doctrine claire au travers de l'encyclopédie.  C'est évidemment décisif pour mesurer le degré de confiance (ou au contraire de suspicion) que l'utilisateur doit avoir envers les informations exposées, en fonction de l'usage qu'il entend faire de ces informations. 
Plus brutalement : il est légitime de prendre pour position de départ que Wikipédia n'a pas vocation à une trop grande spécialisation et doit se mettre à la portée du plus grand nombre (j'ignore d'ailleurs si c'est la doctrine officielle : ce n'est pas clair, et il existe des témoignages contradictoires). Mais l'effort de vulgarisation est en fait beaucoup plus difficile que la rédaction pour des spécialistes, et même si l'on souhaite (légitimement) se mettre à la portée d'un lecteur non averti, il n'est en tout cas pas acceptable de laisser perdurer des fautes au prétexte que l'expert corrigera de lui-même et que le profane ne s'en rendra pas compte. C'est potentiellement dangereux, et c'est profondément irrespectueux.
: Comme expliqué plus haut, il ne s'agit pas dans la partie historique d'exposer une formule exacte au regard des mathématiques actuelles mais de présenter les mathématiques en train de se faire. Le choix même d'écrire  au lieu de i est là pour avertir le lecteur que l'on plonge dans le passé. Je réitère ma suggestion, laisser les approximations de l'expression de De Moivre et mettre un avertissement en note de bas ou en commentaire pour ne pas être «profondément irrespectueux»» en laissant «perdurer des fautes» En fait, , ayant toujours vu présenter de telles expressions, à la rigueur mathématiques douteuse, quand on évoque l'histoire des sciences, je ne me sens pas vraiment irrespectueuse, ni ne considère cela comme des «fautes», ce qui serait une faute, ce serait de trahir la pensée de De Moivre en la reformulant pour lui donner une rigueur qu'elle n'avait pas. Cependant, comme je ne me sens pas à l'aise pour exposer rigoureusement un tel avertissement, je passe la main. HB (d) 21 avril 2013 à 23:02 (CEST)
replies: text:  Nous sommes parfaitement d'accord : il est naturellement indispensable pour l'honnêteté intellectuelle de respecter la démarche et même la notation de de Moivre. Il s'agit ici de la dimension historique de la présentation. Et je suis totalement d'accord aussi sur le fait que l'écriture  constitue un avertissement que nous sommes "dans le passé" ; à ceci près il me semble que cet avertissement ne sera perçu que par un lecteur "affranchi", et c'est ce qui m'inquiète.  Car il est clair je pense qu'un lecteur non vigilant lira la formule historique avec des yeux modernes, et du coup sera éventuellement induit en erreur.  Autrement dit, il est sans doute indispensable de prévoir un "sous-titre" (commentaire ?  note de bas de page ? simple mise en garde ? "section déroulante" ?) pour traduire en langage contemporain et rendre utilisable l'énoncé historique ; mais la v.o. seule ne peut s'adresser qu'à des lecteurs avertis.  Enfin... il me semble... Peut-être était-ce la philosophie de l'article ?  pourquoi pas, mais je ne crois pas l'avoir vu explicitement déclaré.  Baron de Clappique (d) 22 avril 2013 à 10:04 (CEST)
thread_title:  Question de fond 

message: Bon, j'ai voulu reformuler en essayant d'une part d'être fidèle historiquement, et d'autre part en essayant de poser des alertes sur le fait que ce qu'écrit De Moivre ne correspond pas à la rigueur attendue de nos jours. Et bien c'est l'échec complet. Les expressions qui figurent dans l'article à cette date sont tirées de Flament p 51. Or, lui aussi a pris des libertés avec le texte de De Moivre. Le texte de De Moivre de 1730 (Miscellanea Analytica, Londres, 170, p 1-2) peut se lire  ici et ne correspond donc pas à la version de Flament. Le texte de De Moivre de 1738 (Transaction philosophique, année 1738, n°431, Des radicaux à leur moindres termes ou de l'extraction de la racine quelconque du binome a +  ou a+b (sic!) est lisible p.507, comporte une erreur sur la valeur de p relevée là et tellement de liberté sur la valeur à accorder à  que Flament51 ou D.E. Smith450 note 1 se permettent des traductions assez loin du texte initial. Flament annonce une démonstration que je ne vois nulle part. La seule chose qui s'en rapproche est l'identification  de l'équation 2x=\sqrt[n]{a+\sqrt{-b}}+\sqrt[n]{a-\sqrt{-b}} quand a²+b=1 avec ce que De Moivre appelle l'équation au cosinus (p502-503 qui s'écrirait de nos jours Tn(x) = a, où Tn est le Polynôme de Tchebychev de première espèce d'ordre n, ce qui donne , en posant x=cos(B), l'équation Tn(cos(B)=a, qui s'écrit aussi cos(nB)=a.
On ne peut donc pas être fidèle à De Moivre (source primaire TI et toussa...) et  quel est l'intérêt d'être fidèle à Flament ou Smith ? Du coup, je me contenterais bien de réduire l'aspect historique à cette unique remarque
: Cette formule est attribuée à Abraham de Moivre, mais la forme actuelle est en fait l'œuvre d'Euler qui la démontre pour tout entier naturel en 1748(introductio in anlysin infinitorum, 1748, vol1, chap 8 ,De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis, paragraphe 133) (flament 61) (smith440) . On ne trouve ce résultat sous cette forme dans aucun des écrits d'Abraham de Moivre(smith440). Cependant, la relation qu'il établit, à plusieurs reprises (Philosophical transactions, n°309, art. 3 , Résolution analytique de quelques équations de la 3e, 5e, 7e puissance et des puissances supérieures, 1707 lire en ligne), (Miscellanea Analytica, Londres, 1730, p 1-2 lire en ligne),(Philosophical transactions, 1738, n°451, problème III lire en ligne)  , entre extraction de racine nième et division d'un angle en n parties prouve qu'il était familier de cette notion (smith440).  ce qui est entre parenthèses serait mis en référence
J'aimerais bien d'autres avis. HB (d) 23 avril 2013 à 18:15 (CEST)
replies: text: Argh, c’est une question délicate. L’article de Ivo Schneider, « Der Mathematiker Abraham de Moivre », Archive for History of Exact Sciences 5 (1968), 177-317, est assez clair sur ce qu’on trouve dans De Moivre : cos nx et cos x apparaissent dans des équations de degré 2n et 2, d’où on peut tirer la forme voulue, mais il ne la tire pas explicitement. Ce genre de choses est fréquent  : la formule qu’on veut est là, mais ce n’est pas la forme que l’auteur met en avant. Je n’ai pas vérifié Euler et je ne sais donc pas s'il cite de Moivre ou quoi. J’ai quand même l’impression que De Moivre s’intéresse pas mal à ce genre de relations. Du coup, je trouve que la ofrmulation que tu proposes est un peu injuste pour De Moivre. Je mettrais plutôt quelque chose comme: "La forme courante de la formule apparaît dans l’Introduction etc. d’Euler qui la démontre blabla. Elle est implicite chez de Moivre (qui prouve que…) réf. I. Schneider". Amitiés, --Cgolds (d) 23 avril 2013 à 23:05 (CEST)
thread_title:  Echec

message: Je m’en voudrais de recommencer ma scie habituelle, mais c’est pour moi un cas typique où présenter l’histoire de l’affaire est une très mauvaise idée. Le problème est que toutes sortes de formules de ce type apparaissent au 18e siècle, avant que ce que nous appelons l’analyse (avec limites, continuités variées, epsilon, etc.) ne se mette en place. En fait, ce sont en partie les  problèmes posés par ce genre de formules qui font que tout ceci se met en place.  Donc à moins de disposer d’une excellente étude historique centrée sur chaque formule (ce n’est pas le cas, on peut le dire tout de suite), nous ne pouvons que dire cela mal, maladroitement, et d’une manière qui va rendre incompréhensible les maths aux gens qui peuvent lire l’article. Dans un cas comme celui-ci, il ne devrait pas y avoir plus de deux lignes historiques (cf. plus haut, Cette formule est à peu près présente, sous une forme légèrement différente/ implicite chez de Moivre et explicite dans l’Introductio d’Euler) avec une ou deux références. Point. Cette insistance pour mettre de l’histoire non appropriée et approximative dans plein d’articles rend incompréhensible à la fois les maths et l’histoire. C’est comme les Babyloniens avec le théorème de Thalès  (surinterprétant un passage déjà mal avisé de Caratini). Amicalement, --Cgolds (d) 24 avril 2013 à 08:08 (CEST)
replies: text: Dans ce cas, ne faudrait-il pas faire soit une section courte mais donnant explicitement les raisons pour lesquels il n’est pas possible de couvrir de façon étendu le sujet ? --Psychoslave (d) 24 avril 2013 à 14:34 (CEST)
replies: text:  Voilà j'ai essayé de me restreindre mais je me demande s'il ne faudrait pas signaler que Viète avait déjà vu la relation existant entre les coefficient du binome et  l'expression de cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos(x) et sin(x). De même, ne faudrait-il pas signaler qu'Euler en 1749, étend l'égalité à tout exposant réel (Recherches sur les racines imaginaires des equations - paragraphe 79 problème 1) tout en indiquant bien le caractère multiforme de l'expression si l'exposant est réel. Bref, je ne suis pas sûre que la version mise en ligne soit meilleure que celle qui était avant  HB (d) 26 avril 2013 à 18:36 (CEST)
replies: text: Ben elle est bien meilleure parce qu’elle est juste…et aussi qu’elle fait bien un bilan de ce qui est dit  dans la littérature secondaire, non ? Sinon, tu peux maintenant rédiger un petit article là-dessus, et une fois qu’il sera publié dans un journal officiel d’histoire des sciences, on pourra s’en servir pour sourcer ici . --Cgolds (d) 26 avril 2013 à 18:52 (CEST)
replies: text:  De plus le problème soulevé par Le Baron était un vrai problème, surtout pour une section qui arrive en début d'article, et là il est résolu. Proz (d) 26 avril 2013 à 19:06 (CEST)
thread_title:  Problème (suite)