Discussion:Point col

message: La section précédente est devenue illisible à cause des insertions faite par Jaclaf et Jean-Charles.Gilbert dans le texte de Vivarès. je reprends donc à mon compte la question clé de Vivarès, tout en demandant aux deux interlocuteurs cités de bien vouloir ne pas couper le texte des autres intervenants. Merci. Vivarès signale plus haut «Apparemment, la même terminologie est utilisée dans des domaines distincts des mathématiques, avec des sens qui ne coïncident pas». J'abonde dans son sens. Comme il le signale aussi, la définition actuelle fait que, pour les fonctions f:(x,y) -> y² - x² ou g:(x,y) -> xy, le point (0,0) ne serait pas un point selle. Je pense que l'article devrait mettre en évidence la multiplicité des approches, au lieu de faire croire au caractère univoque de la définition. Peut-être faire remarquer qu'un simple changement de base dans les deux exemples cités, permet de considérer (0,0) comme un point selle pour la définition actuelle. Faire remarquer que l'inégalité large de la définition actuelle élargit considérablement le champ des points selles possibles. Actuellement l'article est contradictoire puisque la hessienne de la fonction g précédemment présentée h:(x,y)-> xy+0,1(x^3+y^3) a la signature requise sans respecter la définition d'un point selle. D'autre part, on vient de passer, pour la hessienne, sans lien vers une source, d'une fonction à deux variables à une fonction à n variables. Bref, en l'état, peu de gens peuvent s'y retrouver dans l'article. L'idéal serait de faire une recension sourcée des définitions (classée par domaine et par difficulté croissante) et de leur propriétés respectives. Malheureusement, je manque des ouvrages nécessaire pour entamer cette refonte. HB (discuter) 5 mai 2016 à 08:59 (CEST)
replies: text: Un point de détail : je n'ai à aucun moment mentionné la fonction g:(x,y) -> xy (au sens de l'article, comme g(0, y) et g(x, 0) sont identiquement nulles, (0, 0) est point selle/col). Vivarés (discuter) 5 mai 2016 à 11:39 (CEST)
replies: text:  Tu as raison c'était mon exemple. Et il n'est pas bon avec la notion élargie de point col. Je le barre donc et en propose un autre HB (discuter) 5 mai 2016 à 13:15 (CEST)
replies: text:  J'ai ajouté deux phrases. Est-ce mieux comme cela? Par ailleurs définir les points-selles à partir de la signature de la hessienne ne me paraît pas une bonne idée; c'est un peu comme si l'on définissait un minimum local à partir de la semi-définie positivité de la hessienne (la condition nécessaire d'optimalité du second ordre), ce qui n'est pas adéquat (problème avec x^3), ou avec le définie positivité de la hessienne (condition suffisante d'optimalité du second ordre), ce qui n'est pas adéquat non plus (problème avec x^4). JChG (discuter) 6 mai 2016 à 09:07 (CEST)
replies: text:  Si j'avais la bonne solution, je ne serais pas en train de bavarder en page de discussion et j'interviendrais sur l'article. Ce qui me gène est de vouloir imposer une définition unique, tirée d'un domaine des mathématiques. Mais comme c'est la seule définition sourçable, je ne vois pas quoi faire d'autre. Et comme les objections signalées ont conduit à ajouter des phrases signalant les écueils possibles (merci JChG), on s'est plus ou moins dédouané de toute incohérence, même si cela ne facilite pas la lecture de l'article. HB (discuter) 7 mai 2016 à 09:36 (CEST)
thread_title:  Plusieurs définitions selon les domaines 

message: a) si une fonction f(x,y) admet un point selle, les ensembles X et Y ne sont pas forcément 
les axes de coordonnées. Pöur f(x,y)=xy, ce sont les bissectrices.
b) le passage à plus de deux variables est sourcé : il contient un lien (cliquer sur
lemme de Morse) sourcé cela devrait suffire
cela étant dit, je trouve que l'on passe beaucoup de temps sur un article peu excitant.
Cdt Jaclaf (discuter) 8 mai 2016 à 23:17 (CEST)
replies: text: Point (a): pour f(x,y)=xy, (0,0) est aussi un point-selle pour le produit cartésien \R\times\R, mais on voit ce que vous voulez dire. Point (b): d'accord. Votre conclusion: chacun peut y passer moins de temps; pour ma part, j'insiste sur le fait que cette notion de point-selle est à la base de toute la dualité en optimisation et donc qu'il est bien que l'article soit présent et lisible. Est-il lu? Je ne sais car il semble que le site http://stats.grok.se/fr/latest90/Point_col ne fonctionne plus pour wp.fr, dommage. JChG (discuter) 9 mai 2016 à 11:12 (CEST)
replies: text:  JchG, pour suivre la consultation, taper sur historique et dans la section "outils externes et statistiques", cliquer sur "statistiques de consultations" et vous tomberez sur ceci, un équivalent de grok.se. HB (discuter) 9 mai 2016 à 12:51 (CEST)
replies: text:  Merci HB. Je ne connaissais pas/plus. L'article est quand même très consulté (30 fois par jour). C'est donc bien de le soigner, de le clarifier si nécessaire. Je vais réfléchir à la restructuration de la section Point-selle en calcul différentiel/Utilisation de la hessienne pour mieux la rattacher au cadre général qui précède (qui est plus souple qu'on ne le pense) et faire une introduction avant le cadre abstrait. JChG (discuter) 9 mai 2016 à 18:59 (CEST)
thread_title:  deux réponses 

message: Bon, pour tout dire, l'image de la selle de cheval pour moi était plutôt liée à des problèmes de courbure. Du coup en cherchant un peu en géométrie différentielle des surfaces, je l'ai effectivement rencontrée dans la courbure de Gauss: un point selle, qui ne soit pas un point méplat, est nécessairement un point hyperbolique. Je vous laisse articuler cela (ou non) avec  la hessienne.
Je persiste à penser, comme Vivarès, qu'il me parait difficile d'articuler les divers notions. Je pense qu'il vaudrait mieux indiquer clairement les angles d'approche sans tenter une définition universelle. Réserver une grande part à la notion de point selle en optimisation et problème min-max puisque c'est dans ce domaine semble-t-il que la notion est définie et étudiée. Et consacrer une autre rubrique, distinctes de la première, qui permettrait de présenter la notion (hélas sans définition) en géométrie différentielle, avec deux sous-section, l'une concernant les surfaces (ce qui est quand même l'image qu'on a d'un col ou d'une selle) l'autre évoquant la notion pour une fonction à n variables.
Il serait alors plus simple dans chaque rubrique de mette en évidence en quoi la notion se rapproche et se distingue de celles des autres sections. HB (discuter) 10 mai 2016 à 08:28 (CEST)
thread_title:  En géométrie différentielle des surface 

message: Pour l'instant, il y a un gap entre le critère par la hessienne et l'exemple présenté : l'outil est quand même assez lourd (surtout si on l'envisage en dimension n) et l'exemple est trivial et ne nécessite pas la sortie de l'artillerie lourde. Je comprends donc le désir de Jaclaf d'en changer de telle sorte qu'une recherche directe par restriction à x = 0 et y = 0 ne permette pas de conclure. Malheureusement pour f(x)= sin(x).sin(y) une recherche directe permet de conclure car f(0,y) <= f(0,0) <= f(x,0).
Je proposerais bien mon exemple f(x)=x^3+y^3+xy pour lequel la recherche directe ne fonctionne pas. On peut aussi, si on veut, chercher plus compliqué pour que les vecteurs propres et valeurs propres soient encore moins évident. HB (discuter) 10 mai 2016 à 08:50 (CEST)
thread_title:  Exemple pour la hessienne 

message: Pour y voir plus clair, il faut expliciter ce que dit la condition suffisante d'ordre 2, et qui, me semble-t-il, n'apparaît pas sur la wikipédia. Je détaille (pardon d'enfoncer des portes ouvertes).
Soit f : U \to \R de classe \mathrm{C}^2 sur l'ouvert U de \R^n. On considère un point critique a de f et on suppose que la hessienne Ha de f en a admet (au moins) une valeur propre \lambda_1 > 0 et une valeur propre \lambda_2 < 0 ; on note u_1, u_2 deux vecteurs propres associés respectivement à ces valeurs propres (identifiés au besoin à des matrices-colonnes), et on désigne par D_1, D_2 les droites affines passant par a, de directions respectives \R u_1, \R u_2. Alors :
* la fonction d'une variable réelle t \mapsto f(a + t u_1), définie au voisinage de 0, admet un minimum local en 0. En effet, d'après la formule de Taylor :
:f(a + t u_1) = f(a) + \langle \nabla f_a, t u_1\rangle + \frac{1}{2} ^t{(t u_1)} H_a (t u_1) + o(\left\| t u_1 \right\|^2) = f(a) + \frac{\lambda_1}{2} t^2 \left\| u_1 \right\|^2 + o(t^2)
En d'autres termes, la restriction de f à D_1 \cap U admet en a un minimum local.
* de même, la restriction de f à D_2 \cap U admet en a un maximum local.
C'est cette situation qu'on a coutume de résumer en disant que a est un point selle/col de f : il s'agit d'une notion locale, et elle signifie qu'il existe deux droites passant par le point critique a, telles qu'en restriction à l'une d'elles, f admet un minimum local en a, et en restriction à l'autre, un maximum local. Comme on ne peut rien tirer d'autre des hypothèses, il semble que c'est cela qu'on peut prendre comme définition d'un point col/selle dans ce contexte.
On voit bien l'analogie avec l'autre définition. Mais je doute qu'on puisse aisément unifier les deux notions. Vivarés (discuter) 12 mai 2016 à 10:56 (CEST)
replies: text: Ce n'est pas la même notion que celle de l'article si l'on ne requiert de l'information que sur 2 directions alors que n>2 (même avec autorisation de changement de variables linéaire). En première analyse, le point 0 est un point-selle de f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+x_3^3 pour la définition ci-dessus, mais pas pour celle de l'article (même avec autorisation de changement de variables linéaire), me semble t-il. La notion ci-dessus est-elle admise par un nombre suffisamment important d'auteurs? Y a t-il des références? En quelles circonstances est-elle utile? L'article peut discuter de ces différentes notions, mais est-ce intéressant/utile? JChG (discuter) 12 mai 2016 à 12:01 (CEST)

text: Par ailleurs les conditions suffisantes d'optimalité du second ordre en optimisation (pas pour les points-selles) apparaissent ici. JChG (discuter) 12 mai 2016 à 12:09 (CEST)
replies: text:  L'énoncé de la CS d'ordre 2 permettant d'affirmer l'existence d'un point selle/col me paraît usuel (une attestation : https://webusers.imj-prg.fr/~christian.blanchet/enseignement/2007-8_S1/ch9_diff_sup.pdf dans des notes de cours de Christian Blanchet). Mais je n'ai pas de source pour une définition dans ce contexte de la notion de point selle/col. Vivarés (discuter) 12 mai 2016 à 15:14 (CEST)
replies: text:  Le document  donne une CS de point-selle, mais pas de définition du point-selle... On ne peut donc rien en conclure. JChG (discuter) 12 mai 2016 à 15:57 (CEST)
thread_title:  Point selle/col et calcul différentiel 

message: Bonjour. Dans l'exemple, je lis que la forme quadratique doit être de type (p,q) avec p>0 et q>0. Qu'est-ce que cela signifie ? Est-ce la signature ? Si c'est le cas,  alors p et q sont toujours positifs. 
Athanatophobos (discuter) 21 septembre 2021 à 17:25 (CEST)
replies: text: Oui, c’est bien la signature ; p et q doivent être non nuls (autrement dit il y a des termes de signes opposés).—Dfeldmann (discuter) 21 septembre 2021 à 17:45 (CEST)
thread_title:  Forme quadratique, exemple