Discussion:Point de branchement

message: Je ne sais pas si l'escalier en colimaçon est une si bonne image. Il faut indiquer que l'axe de l'escalier ne forme qu'un seul point, sans quoi on effectue, sans le dire, un éclatement de la surface de Riemann. Peps 21 juin 2006 à 10:38 (CEST)
replies: text: C'est bien parce que je ne vois pas mieux que je n'ai rien suggéré d'autre... Personnellement j'arrive (presque) à faire la racine carrée en pliant une feuille de papier en cône (il reste une ligne d'auto-intersection). L'idéal serait une figure peut être ? en l'état de toute façon, préciser "ramené à un point" ne me semble pas si mal Peps 21 juin 2006 à 12:46 (CEST)

message: Je crois avoir amélioré sensiblement l'article Point de branchement. Qu'en pensez vous ?Claudeh5 (d) 16 août 2008 à 21:03 (CEST)
replies: text: Je ne peux vraiment pas t'aider pour les références (c'est mon gros point faible), mais je me suis intéressé à ton article sur les points de branchement. La définition de fonction multiforme pose vraiment problème : le graphe d'une telle fonction ne se plonge pas toujours dans C2 et n'est pas toujours non plus un revêtement sur une partie de C. Y a-t-il plus simple que « application complexe f définie sur un ensemble S muni d'une projection π ouverte et localement injective de S sur C, identifiant f avec une application holomorphe au voisinage de chaque point de S » ? Ouf ! On peut alors définir un point de branchement pour f « dans C » à l'aide des intégrales d'argument, mais plusieurs points de branchement « dans S » peuvent se projeter dessus : pas simple. 
Il me semble que l'utilisation de l'argument, qui apparait comme un artifice de calcul dans l'article, gagnerait à être employé pour définir ce dont on parle. Ambigraphe, le 15 septembre 2008 à 14:27 (CEST)
replies: text: il m'avait semblé que dire que le point a est point de branchement pour f si l'image d'un cercle de centre a par f donnait une courbe non fermée était à la fois plus général et plus simple que parler de l'argument. J'ai utilisé l'argument dans les exemples pour montrer que la courbe n'était pas fermée: elle s'arrête avant d'avoir rejoint son point de départ. D'aute part où as-tu trouvé cette définition (imbuvable) de fonction multiforme ? on dirait du Godement... enfin, je ne vois pas bien où j'ai dit que le graphe d'une fonction complexe se plonge dans C^2 mais au-delà je ne comprends pas ton problème: le graphe est {x, f(x)/ x appartient à E}, or E est inclu dans C ainsi que f(x) pour tout x. Donc {x, f(x)} est toujours un élément de C^2. Je ne comprends pas l'objection !Claudeh5 (d) 16 septembre 2008 à 11:32 (CEST)
thread_title: point de branchement

message: La discussion pourra se poursuivre à la page idoine, mais pour préciser mes réticences, il me suffit d'évoquer quelques exemples de fonctions multiformes pour lesquelles la définition de point de branchement nécessite plus d'attention :
le carré du logarithme a un unique point de branchement mais son graphe ne se plonge pas dans C^2 : il y a des points doubles en tous les multiples entiers de iπ, ce qui gêne la définition de « l'image d'un cercle » car les feuillets se coupent ;
: c'est faux, car ln(z) admet deux points de branchement, 0 et l'infini donc le carré aussi.
: soit f(s) = ln(s)^2. O est point de branchement car on a ln²(r exp(it))= (ln r + it)^2 = ln²(r) - t² +2iln(r)t. Si t augmente de 2pi, la partie réelle diminue de 4 pi²+4pi t et la partie imaginaire augmente de 4pi ln(r). Dans ces conditions, la courbe ne se referme pas, quelle que soit la valeur de r et quelle que soit celle de t. Ceci montre également que 0 n'est pas un point de branchement d'ordre fini. Pour l'infini, on considère ln²(1/r exp(-it))=(-ln r -it)²= (ln r +it)². On est donc dans la même situationque précédemment avec la même conclusion.
:: oui, je n'ai pas mentionné le point de branchement à l'infini, mais ce que je voulais souligner dans cet exemple est le fait que le graphe ne se plonge pas dans C^2.
::: Je ne comprends toujours pas ce que tu veux dire par "le graphe ne se plonge pas dans C²", alors qu'il est bien dans C² et nulle part ailleurs.Claudeh5 (d) 17 septembre 2008 à 07:46 (CEST)
replies: text: effectivement mais là la singularité n'est plus isolée.Claudeh5 (d) 17 septembre 2008 à 07:46 (CEST)
replies: text:  singularité non isolée là encore.Claudeh5 (d) 17 septembre 2008 à 17:17 (CEST)

text: Il semble qu'il faille dire dans la définition que l'on ne considère que des points de branchement isolés. De toute façon, cela n'est pas génant car si la singularité n'est pas isolée, aucun développement n'est possible localement, aucun schéma de changement de feuillet n'est dessinable, ...Claudeh5 (d) 17 septembre 2008 à 07:36 (CEST)
thread_title: Sur les points de branchement

message: Le phénomène des lacets qui se referment autour d'un point de branchement existe-t-il pour les points de branchement d'ordre n ? n est-il le nombre maximal de tours qu'il faut effectuer autour d'un point de branchement d'ordre fini ? autrement dit, si a est un point de branchement d'ordre 3, peut-il exister des lacets qui se referment en 1 tour ou en 2 tours seulement ou est-ce une propriété spécifique des points de branchement logarithmiques ?Claudeh5 (d) 17 septembre 2008 à 23:02 (CEST)
thread_title:  question qui se pose maintenant