Discussion:Paradoxe de Russell

message: Je me suis permis de citer Wittgenstein, qui traite de ce paradoxe dans son Tractatus. Si quelqu'un veut détailler la chose... --http://www.20six.fr/kubrick 23 août 2005 à 19:39 (CEST)
thread_title:  Wittgenstein 

message: Après quelques modifs (détails d'expression, et selection des deux solutions couramment admises)
j'ai mis ébauche car au moins :
* L'aspect historique est absent, pas de date, Frege non mentionné ...
* Le "principe" de compréhension est à expliquer
Proz 30 avril 2006 à 02:22 (CEST)
replies: text: * l'article est baclé. Mais ce n'est en laissant trainer « Il permet de dériver une contra On peut le formuler ainsi » que cela va s'améliorer ;-)   <STyx @ 30 avril 2006 à 05:06 (CEST)
thread_title: Ebauche

message: Le paradoxe de Russel doit-il amener à considérer qu'on ne peut pas parler de l'ensemble de tous les ensembles, en théorie des ensembles ? Le langage des catégories permet de considérer par exemple la catégorie des ensembles. J'ai tendance à penser qu'un avantage de ce langage est précisément celui-ci, et je me dis que cela vient de ce que la structure mathématique de catégorie est plus souple que celle d'ensemble. Est-ce une conception fondée ? Si oui, peut-on envisager de faire un paragraphe qui expliquerait le lien entre paradoxe de Russel et développement du langage des catégories ? Merci, Salle 4 janvier 2007 à 17:48 (CET)
thread_title: Question

message: L'idée de parler de l'ensemble des bidules qui schtroumpfent, n'est en rien invalidé par l'idée que peut-être aucun bidule ne schtroumpfe, ce dernier cas étant parfaitement valide et portant sur l'ensemble vide.
(voir mon explication du paradoxe de Russel)--Spoirier 27 octobre 2007 à 18:45 (CEST)
thread_title:  Bidules qui schtroumpfent 

message: La phrase de l'article « La théorie des ensembles de Georg Cantor était également concernée par le paradoxe de Russell » semble dire que le paradoxe de Russell est un paradoxe qui se situe au niveau de la logique et à peine au niveau de la théorie des ensembles.  Ca me parait être le contraire.   Ce paradoxe, qui n'apparait qu'en théorie naïve des ensembles (c'est-à-dire la formulation ensembliste non formalisée), n'a à voir qu'avec les axiomes de la théorie des ensembles qui doivent être choisis avec soin pour éviter ce paradoxe et le paradoxe ne me parait pas affecter la logique.  Pierre de Lyon (d) 28 janvier 2008 à 09:46 (CET)
replies: text: c'est en référence au paragraphe précédent : le paradoxe s'écrit dans la théorie de Frege, qui est une tentative de réduction des mathématiques à la logique. Pour la théorie de Cantor c'est moins clair, car déjà elle n'est pas formalisée, et Cantor n'a pas je crois énoncé d'axiome de compréhension non borné. Il est plus que probable d'ailleurs qu'il a évolué, mais par exemple dans sa correspondance de la fin des années 1890 (lettre à Hilbert de 1896, à Dedekind de 1899), il est clair qu'il ne considère pas que tout prédicat définit un ensemble. Bien-sûr le paradoxe n'apparait que si d'une façon ou d'une autre on identifie prédicat et ensemble.  Proz (d) 28 janvier 2008 à 21:21 (CET)
thread_title:  Théorie des ensembles ou logique ? 

message: Je pense qu'il serait pas mal d'expliquer clairement la "résolution" du paradoxe par ZFC.
Si je ne dis pas de bêtise, c'est l'axiome de sélection (ici référé comme "restriction du principe de compréhension") qui interdit de considérer {x/x n'appartient pas à x}, vu que justement, on ne "sélectionne" pas à la base.
Enfin, je trouve juste ça dommage/étrange de simplement parler de cette axiome, mais de ne pas expliquer clairement en quoi il résout le problème.
Vlad (d) 26 avril 2009 à 18:38 (CEST)
replies: text: Merci à toi d'avoir remarqué ce problème. Proz (d) 28 avril 2009 à 21:15 (CEST)
thread_title:  Résolution - manque de clarté ? 

message: Bonjour,
Quelque chose m'étonne dans les conséquences du paradoxe.
Si l'on regarde la propriété "l'ensemble appartient à l'ensemble E des élements qui n'appartiennent pas à eux-mêmes" formalisée par P(X) = X \in E
Le paradoxe de Russel est causé par le fait que pour l'ensemble E des éléments qui n'appartiennet pas à eux-mêmes, nous avons  P(E) = non P(E).
Dès lors que la propriété est définie de manière récursive sans condition de sortie, il y a un problème.
Mais la question que je me pose, c'est pourquoi au lieu de tout simplement en conclure qu'il existe des ensembles de définitions des propriétés, tout comme il en existe pour les fonctions, il a été carrément créé une nouvelle axiomatique de la théorie des ensembles. C'est comme si on définissait la fonction f(x) = \frac{1}{x} et que sans tenir compte de l'ensemble de définition, on se demandait quelle était la valeur de f(0).
Spirit 203 (d) 4 mai 2009 à 23:49 (CEST)
replies: text: Si je comprends ce que veut dire Spirit 203 c'est qu'étant donnée une propriété (un prédicat) définie sur les ensembles (les classes?) elle peut être vue comme une fonction partielle:  Ens→ Bool.  C'est pour cette fonction partielle que l'on veut parler de domaine de définition.  Mais si on voit les choses comme ça, on tourne en rond, me semble-t-il,  car ce domaine de définition est un ensemble, ce qui est bien embêtant parce qu'on est précisément en train d'essayer de définir (de comprendre) ce qu'est un ensemble. Voyez l'article imprédicativité. --Pierre de Lyon (d) 5 mai 2009 à 22:04 (CEST)

text: Effectivement, ce que j'évoquais correspond à l'axiome de compréhension restreint. La théorie des types a peut-être un intérêt intrinsèque, mais semble être une réponse excessive au paradoxe de Russel. Merci de vos réponses. Spirit 203 (d) 8 mai 2009 à 17:14 (CEST)
thread_title:  Conséquences du paradoxe de Russel 

message: Bonjour, je lis wikipedia au boulot et je peux pas installer les polices avec les symboles mathematique. Est ce qu'une ame charitable aurait la patience de les faire en latex ou n'importe quoi qui a un rendu genre png. 
Merci d'avance !
--91.135.184.215 (d) 6 août 2010 à 16:57 (CEST)
thread_title:  Lisibilité 

message: y = {x | x ∉ x}: il me semble qu'il y a une imprécision due à la non distinction entre élément et ensemble. Un élément est irréductible à lui-même. Un ensemble est quant à lui constitué d'éléments. On peut le caractérisé par l'énumération des éléments qui le constituent ou bien par une propriété commune entre ces éléments. 
E={x1, x2, ....} ou bien E={x | x "vérifie telle propriété, par exemple x ∉ {x}"} 
Ceci dit, l'élément x et l'ensemble x (qu'on peut écrire {x}) sont deux concepts différents décrivant une même réalité.
Ainsi l'écriture rigoureuse serait:
E = {x | x ∉{x}}
: Bonjour, j'ai déplacé ici votre commentaire de ce jour. Alors, non il n'y a pas d'erreur, il n'y a pas de différence de nature entre un élément et un ensemble (il y a un monisme ensembliste si vous voulez, au moins dans la théorie des ensemble standard) , tout ensemble pouvant être élément d'un autre. En particulier {x} est un ensemble à 1 unique élément soit l'ensemble x et on a toujours (en théorie des ensemble standard soit ZF) x différent de {x}. --Epsilon0   ε0 18 août 2012 à 16:34 (CEST)
replies: text:  J’allais faire le même commentaire mais j’ai été un peu lent TomT0m (d) 18 août 2012 à 16:38 (CEST)
thread_title:  Commentaire mis dans l'article par {{u|90.32.115.56}} 

message: Le paradoxe se comprend à mon avis mieux en utilisant les univers de Grothendieck, 
les ensembles appartiennent à un univers U, mais la classe de tous les ensembles ne va plus appartenir à U 
mais à un univers V plus grand incluant U, cela se démontre en partant des hypothèses de Grothendieck. 
Et c'est de là que se construit le paradoxe, croire que la classe de tous les ensembles appartienne à U , 
celui-ci étant lié à un topos, et une logique attaché à ce topos, logique binaire dans U, mais la classe de 
tous les ensembles n'appartenant pas à U a donc aucune raison d'obéir aux lois établies par le topos de U, 
d'où l'effondrement logique apparent.
MalcolmMix (d) 16 janvier 2013 à 13:05 (CET)
thread_title:  Paradoxe de Russell, théorie des catégories, topos et univers à la Grothendieck 

message: Je ne suis pas d'accord avec cette phrase. On ne « résout » pas le problème du barbier en disant que le « barbier »  n'existe pas.  Le paradoxe porte sur le fait que la définition du « barbier » n'a pas de sens, pas sur l'existence ou non d'un tel « barbier ».  Si on affirme qu'un  « barbier » n'existe pas, c'est que l'on donne un sens à la définition, mais qu'on ne trouve pas de candidat à cette définition.   Je propose donc de supprimer dans l'article, cette phrase et ce qu'elle entraîne. Pierre Lescanne (discuter) 4 novembre 2022 à 10:39 (CET)
replies: text: Mmm… Dans la version mathématique (c’est mieux pour des raisonnements rigoureux), le paradoxe montre que l’ensemble de tous les ensembles qui n’appartiennent pas à eux-mêmes n’existe pas (ou, plus formellement, que « non (exists E, for all s, s\in E \iff s\notin s)). On peut prétendre que s \in s « n’a pas de sens » (c’est un peu ce qu’affirme l’axiome de régularité) mais cela ne change rien à l’essentiel : E « n’existe pas ». Après, de toute façon, les sources ne confirment pas ton interprétation, me semble-t-il : la définition du barbier a autant de sens que celle de E. Ton analyse correspondrait plutôt au paradoxe de Berry, où là, en effet , la « définition » ne fait référence  en fait à rien de précis. Dfeldmann (discuter) 4 novembre 2022 à 11:36 (CET)
replies: text:  Le "paradoxe" du barbier n'est pas considéré comme un "vrai" paradoxe par les logiciens, à commencer par Russell qui le qualifie de "facile à résoudre", mais aussi Beth (pseudo-antinomie), Quine... Il est bien connu que l'identification au paradoxe de Russell, même si elle se trouve dans certains ouvrages de vulgarisation (quand c'est bien fait, c'est juste à titre d'introduction), n'est pas correcte car l'essentiel (la compréhension naïve) y échappe, et c'est déjà ce qu'écrit Russell. Le paradoxe du barbier s'analyse facilement en calcul des prédicats pur : l'énoncé donné par Dfeldmann est une proposition universellement valide du calcul des prédicats pur (sans aucun axiome sur la relation \in). Proz (discuter) 4 novembre 2022 à 13:53 (CET)
replies: text:  Je suis d'accord avec vous sur le fait que le paradoxe du barbier peut être codé, puisque que l'on prend un ensemble de référence, l'ensemble des habitants d'un village et on peut le formaliser (ce qui n'est pas fait dans l'article) et le résoudre. Mais, je pense au lecteur,  mon commentaire portait sur la suppressions de phrases que le lecteur lambda ne peut pas comprendre.  On lui dit, le paradoxe de Russell ne peut pas être résolu, mais il peut être illustré par le paradoxe du barbier qui peut-être résolu.  N'y a-t-il une forme de paradoxe ?  --Pierre Lescanne (discuter) 5 novembre 2022 à 15:00 (CET)
thread_title:  On résout le problème en affirmant qu'un tel barbier ne peut exister