Discussion:P-groupe

message: * Ce n'est pas vraiment une propriété générale des p-groupes, comme les autres de la liste, donc ça fait un peu bizarre de la trouver là. Mais bon, si on tient à la conserver, on ne va pas non plus lui faire l'honneur d'un paragraphe spécial ... à moins qu'il y ait d'autres anecdotes à placer dans un tel paragraphe ?
* Il y a une petite lacune dans la preuve actuelle : il n'est pas expliqué pourquoi φ est un morphisme. L'argument serait que [h,k] appartient à H∩K, donc est neutre. Mais si on dit ça, la suite est inutile : on a terminé de prouver que G est abélien (puisqu'on a prouvé que h et k commutent si h est non neutre et k n'appartient pas au sous-groupe engendré par h, et que dans les autres cas c'est immédiat). Alors si on tient à garder la preuve entière il faut préciser l'énoncé en "tout groupe d'ordre p2 est soit cyclique, soit produit de deux cycliques d'ordre p".
* Si on veut montrer seulement l'énoncé actuel (sachant que la structure des groupes abéliens finis est complètement élucidée dans un autre article), il y a une preuve plus rapide : soit Z le centre, alors G/Z est cyclique (car d'ordre 1 ou p), donc G est engendré par Z union un singleton, donc G est abélien.
Anne Bauval (d) 20 novembre 2010 à 10:29 (CET)
replies: text: Il me semble que tu as raison. Il y a un certain temps, la preuve de ce théorème donnée à Wikiversité m'a semblé incomplète et je l'ai complétée, d'une façon un peu lourde. Comme tu le notes, il est inutile de détailler la structure du groupe. Et comme tu le notes aussi, cet énoncé est plutôt un exercice qu'un théorème méritant les honneurs de l'encyclopédie. Mais bon. Marvoir (d) 20 novembre 2010 à 10:54 (CET)
thread_title:  Tout groupe d'ordre p<sup>2</sup> est abélien 

message: Il y a un ouvrage massif sur les p-groupes finis :
Yakov Berkovich et Zvonimir Janko, Groups of Prime Power Order (2 volumes parus sur 3, tous deux en 2008, si je comprends bien). Voir description du premier volume ici. J'ai jeté un rapide coup d'œil au premier volume et j'ai l'impression que cet ouvrage amène le lecteur au niveau de la recherche dans la branche, mais je suis loin d'approcher ce niveau et je ne voudrais pas me donner des airs en l'ajoutant d'office à la bibliographie. Il me semble avoir lu quelque part qu'il ne faut pas mettre dans la bibliographie d'un article un livre qu'on n'a pas lu soi-même... C'est peut-être excessivement scrupuleux. Marvoir (d) 20 novembre 2010 à 11:24 (CET)
replies: text: Il me semble avoir lu quelque part qu'il ne faut pas feindre d'avoir utilisé comme source quelque chose qu'on n'a pas lu. Mais si on présente clairement ça dans "Voir aussi" comme un ouvrage pour aller plus loin, je ne vois vraiment pas où serait le problème. Je suis encore moins spécialiste que toi, mais j'ai l'impression que ta trouvaille est un incontournable sur ce sujet, donc que non seulement on peut mais on doit le mentionner. Ça peut être utile à des lecteurs. Dommage que sur Google Livres il ne soit consultable que par "aperçus". Anne Bauval (d) 20 novembre 2010 à 12:34 (CET)
replies: text: Tu m'as convaincu. J'ai ajouté les deux volumes à la bibliographie. Marvoir (d) 20 novembre 2010 à 13:27 (CET)
thread_title:  Pour la bibliographie 

message: Tiré de A. P. Dietzmann, A. Kurosch, A. I. Uzkow, “Sylowsche Untergruppen von unendlichen Gruppen”, Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S., 3(45):1 (1938), 179–185 :
Dans un p-groupe G, si l'indice d'un sous-groupe H est fini alors c'est une puissance de p. En effet, si D est l'intersection des conjugués de H, l'ordre du p-groupe G/D est majoré par [G:H]^{[G:N(H)]}\le [G:H]^{[G:H]}<\infty, donc est une puissance de p, donc [G:H] (qui le divise) aussi. Anne Bauval (d) 26 novembre 2010 à 01:16 (CET)
replies: text: Si on met cela dans l'article, on pourra peut-être renvoyer à Cœur d'un sous-groupe. (Ici, D est le cœur de H.) Marvoir (d) 26 novembre 2010 à 12:09 (CET)
thread_title:  Indice fini dans un p-groupe