Discussion:Raisonnement par récurrence

message: Pourquoi lorsque vous voulez démontrer que, pour n>ou=3, 3^2n -2^n-3 est un multiple de 7 vous passez à 3^2n+2 -2^n-2 ?
: On essaie d'être clair mais semble-t-il insuffisamment. Pour démontrer la propriété précédente en utilisant le principe de récurrence,  il faut démontrer que la propriété est vraie pour la première valeur de n (c'est à dire n = 3) et ensuite qu'elle est héréditaire c'est à dire qu'elle se transmet d'un entier n quelconque à l'entier suivant n + 1, d'où l'idée de la supposer vraie pour un entier n  - donc de supposer que 3^{2n} - 2^{n - 3} est multiple de 7  - et de s'en servir pour démontrer qu'alors 3^{2(n+1)} - 2^{(n+1)-3} est multiple de 7 (écriture de la propriété pour l'entier suivant ) . HB 21 septembre 2006 à 19:36 (CEST)
replies: text: Merci d'avoir repéré et corrigé l'erreur. HB 9 janvier 2007 à 20:05 (CET)
thread_title:  Discussion de 2007 

message: Le paragraphe sur les ordinaux me semble totalement déplacé dans cet article qui est d'un niveau relativement élémentaire. On peut à la rigueur faire une allusion avec un lien vers Nombre ordinal mais tout développement supplémentaire est hors de propos ici. Le présent article parle de la récurrence sur les entiers, et non de théorie des ensembles et encore moins d'ordinal, sujets abondamment traités par ailleurs. Ce paragraphe devrait donc être supprimé. Theon 19 juillet 2007 à 16:36 (CEST)
replies: text: Je ne vois pas où dans l'article il est précisé qu'il ne faut se limiter qu'aux entiers. Je viens de constater par exemple (mais ce n'est pas un argument) que côté anglais il y a une petite section "Generalization" ici et sur le B.A. en allemand une phrase "Diese Art der Induktion kann auf Ordinalzahlen angewendet werden (Ordinalzahlen können unendlich und größer werden). In diesem Fall wird die Methode transfinite Induktion genannt. Sie ist wichtig in der Mengenlehre und der Topologie." Bon, je ne défends pas cette section et si vous (Proz, EktoPlastor et Theon) estimez qu'il faut la supprimer où la déplacer je ne m'y opposerai pas. --Epsilon0 19 juillet 2007 à 21:02 (CEST)

text: J'ai l'impression que l'article nombre ordinal, que je trouve plutôt bien (hors sujet : dans les notions basiques, il me semble qu'il manque juste les définitions par récurrence sur un ordinal et d'une classe sur la classe des ordinaux) doit beaucoup à Theon. La récurrence sur la classe des ordinaux y est (exprimée un peu moins formellement). Peut-être est-il le mieux à même de juger si on peut intégrer quelquechose et comment ? Proz 26 juillet 2007 à 01:00 (CEST)
thread_title: Ordinaux

message: Lister ci-dessous toutes les sources qui pourraient être utilisées :
* Mathematics and its applications in the sciences de Feibleman ;
* The origin of mathematical induction de Bussey ;
* A paradox relating to mathematical induction d'Albert (amusante erreur)
* Mathematical induction in the classroom d'Avital-Libeskind ;
* On proofs by mathematical induction d'Hoar ;
*  A mathematical induction d'Ernest ;
* Origin of the Name "Mathemtical Induction de Cajori ;
Ekto - Plastor 16 juillet 2007 à 13:18 (CEST)
thread_title: Sources

message: Il me semble que le texte de Pascal cité dans la partie historique donne bien une justification (intuitive) de la récurrence. Celle citée dans ce paragraphe est d'ailleurs analogue. Je suppose que certains enseignants du secondaire ne se privent pas d'en faire autant. Je ne pense pas que l'on puisse laisser le texte actuel en l'état. Proz 26 août 2007 à 22:47 (CEST)
thread_title:  Justification du principe de récurrence 

message: Ne pourrait-on, à côté de la version qui fait référence à N, rajouter quelques mots pour dire que la propriété de récurrence peut s'établir sans faire appel à l'axiome de l'infini (Krivine, théorie des ensembles p. 44) ? --Michel421 (d) 9 avril 2009 à 22:32 (CEST)
replies: text: Il s'agit alors d'un schéma de théorèmes. La récurrence ne peut plus s'exprimer sous sa forme ensembliste. Il faut expliquer comment définir la classe des entiers (qui n'est plus nécessairement un ensemble). C'est rentrer dans bien des subtilités si on veut être compris, pour un intérêt limité (ça permet de montrer que la théorie des ensembles sans axiome de l'infini est essentiellement l'arithmétique de Peano) et je ne pense pas que l'article soit destiné à ce genre de développements. Déjà actuellement on ne comprend pas bien la cohérence de ce paragraphe. Proz (d) 11 avril 2009 à 09:38 (CEST)
replies: text: Pas du tout : confusion appartenance-inclusion, absence d'une variable pour les éléments de P, oubli d'un étage (il faut deux implications). Cordialement --Michel421 (d) 12 avril 2009 à 17:08 (CEST)
replies: text: Sisi, je rappelle ce que j'avais marqué : \forall P \subseteq \mathbb N,  (0\in P   \land succ[P]\subseteq P ) \Rightarrow \mathbb{N} \subseteq P </center> avec succ[P] l'image de P par la fonction successeur des entiers.Donc, selon la définition de l'image d'un ensemble par une fonction on peut remplacer succ[P]\subseteq P  par \{y|\exists x\in P \cdot succ(x)=y\} \subseteq P. Et on peut réécrire l'inclusion par \forall n \cdot n\in \{y|\exists x \cdot x\in P \land succ(x)=y\} \Rightarrow n\in P c'est à dire \forall n \cdot \exists x \cdot x\in P \land succ(x)=n \Rightarrow n\in P. Après on peut enlever la quantification existentielle en instanciant x par n-1, on obtient \forall n \cdot n-1\in P \Rightarrow n\in P. (On peut remplacer n par n+1 si tu veux). Mais je ne suis pas contre la version actuelle qui est probablement plus facile à comprendre, bien que plus longue. Cordialement Outs (d) 14 avril 2009 à 10:25 (CEST)
thread_title:  Théorème de récurrence 

message: N'est-ce pas trop restrictif de ne parler que des entiers naturels ? Mes étudiants s'amusent à utiliser la récurrence sur des entiers, ou même des rationnels. N'est-il pas plus juste de dire qu'elle s'applique "sur un ensemble infini-dénombrable de nombres" ? Mais naturellement, du coup, cela complique le formalisme P(0) et P(n)->P(n+1) puisque, par exemple, on ne vérifie plus d'abord la propriété pour 0, mais pour "le premier nombre de la suite".
: Ici l'article est plutôt centré sur l'ensemble des entiers mais ce peut en effet se généraliser sur tout ensemble muni d'une relation de bon ordre et ce même au delà du dénombrable, voyez récurrence transfinie. Cordialement --Epsilon0   ε0 14 août 2009 à 17:58 (CEST)
thread_title:  ... visant à démontrer une propriété portant sur tous les "entiers naturels" 

message: Je viens juste de voir que tout a été dit plus haut. Le compromis me plaisait (ne mentionner cette formulation qu'en cours d'article mais pas dans le résumé introductif), et ce n'est que pour parfaire la modif d'un IP que je suis intervenue dans sa foulée, sans conviction, le 27. Le 28, Theon a "reverté" (au sens large) le tout. Dfeldmann semble avoir des doutes sur le bien-fondé de ce "revert". Moi, plus aucun, maintenant que j'ai lu plus attentivement l'article et sa PdD. Anne Bauval (d) 29 décembre 2009 à 00:58 (CET)
replies: text: Le plus simple serait de laisser en intro le raisonnement à partir de 0, et, si on y tient, de mettre dans le paragraphe Raisonnement par récurrence#Généralisations la récurrence à partir de m. Après tout, le raisonnement de récurrence repose sur l'axiome de Peano qui démarre à 0, et la justification de la récurrence à partir de m repose sur le même axiome ou sur la récurrence à partir de 0. Autrement dit, ce n'est pas la récurrence à partir de 0 qui est un cas particulier de la récurrence à partir de m, c'est le contraire, malgré les apparences. Theon (d) 29 décembre 2009 à 09:48 (CET)
replies: text: Chacun des deux peut être considéré comme un cas particulier de l'autre. Je crois que le mieux pour la lisibilité et la cohérence de l'article serait de laisser les choses comme ça. Tout ça a déjà été discuté l'an dernier sur cette PdD, et il y a déjà la justification de la récurrence à partir de m dans le paragraphe Raisonnement par récurrence#Récurrence simple sur les entiers. Anne Bauval (d) 29 décembre 2009 à 10:30 (CET)
thread_title:  ou plus généralement sur tous les entiers supérieurs à un entier donné, 2ème édition 

message: dans le §§ "Énoncé formel du principe de récurrence" le principe est énoncé en 2ème ordre, or que ce soit dans Axiomes de Peano (axiomes) que dans la théorie des ensembles (voir Récurrence transfinie#Sur la classe des ordinaux (thm) c'est un schéma d'énoncés du 1er ordre (çàd qu'on a une infinité d'énoncés), ce qui est normal puisque ce sont 2 théories du 1er ordre (même s'il existe une arithmétique du 2ème ordre).
Aussi je ne vois aucune différence entre :
 \forall P \subseteq \mathbb N \quad (P(0)   \wedge   ( \forall n\in \mathbb N, P(n) \Rightarrow P(n+1))) \Rightarrow (\forall n \in \mathbb N, P(n)) 
et : \forall P \subseteq \mathbb N \quad [0\in P   \land \forall n (n \in P \Rightarrow   n^+ \in P )] \Rightarrow \mathbb{N} \subseteq P  qui sont pour moi 2 énoncés strictement équivalents.
Sinon je pense unir le nouveau §§ que j'ai mis "Sur la force du pas de récurrence à la vue de l'oméga-inconsistance" (sans doute à renommer d'ailleurs ;-) ) avec la section "Justification du principe de récurrence" et la sous-section "Énoncé formel du principe de récurrence".
Via 1/ bien distinguer, ce qui n'est pas fait ailleurs dans l'article : pour tout n P(n) (dont parle essentiellement l'article) de ∀n, P(n) (qui est ce qu'on a dans AP) 2/ rester en langage ordinaire et en 1er ordre (ou alors créer une autre section sur le 2ème ordre).
--Epsilon0   ε0 22 octobre 2010 à 14:36 (CEST)
replies: text: Dans la partie que tu as ajoutée, il me semble que les seules hypothèses P(0) et \forall n, P(n) \Rightarrow P(n+1) permettent précisément, pour tout n, de donner une preuve de P(n), mais que c'est justement la conclusion du principe de récurrence (et non ses hypothèses) qui permet d'affirmer plus, à savoir \forall n, P(n). C'est d'ailleurs ce qui est expliqué dans la partie Justification du principe de récurrence. Il vaudrait mieux d'ailleurs placer ta partie après celle-ci. Theon (d) 22 octobre 2010 à 16:15 (CEST)
replies: text:  J'ai déplacé la partie. Sinon je suis d'accord avec toi, mais p.-e. vois-tu quelque chose qui ne va pas (et que je n'aurais pas compris dans ton commentaire) et comme tu me sembles une des personnes les plus avisées sur le sujet, n'hésite-pas à modifier ce que j'ai mis (je ne pourrai sans doute pas vraiment y revenir ce week-end). --Epsilon0   ε0 22 octobre 2010 à 16:38 (CEST)

text:  Ayé j'ai compris ce que tu dis et en effet ce que j'ai écrit est mal formulé, ce n'est pas P(0) et \forall n, P(n) \Rightarrow P(n+1) qui impliquent \forall n, P(n), mais P(0) et \forall n, P(n) \Rightarrow P(n+1) + principe de récurrence qui impliquent \forall n, P(n). Je change déjà le titre (qui me plaisait pas trop) et j'y réfléchis (--> là on est un peu comme le célèbre paradoxe de Lewis Carroll What the Tortoise Said to Achilles, qui se résout par une règle de détachement), mais si tu vois quoi faire (et si tu as le temps) let's go. --Epsilon0   ε0 22 octobre 2010 à 16:52 (CEST)
thread_title:  Pourquoi énoncer formellement le principe en 2ème ordre ? 

message: « Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution » disait parait-il Paul Erdős. Ça s'applique à merveille à un phénomène qui me fait jubiler quand par hasard je le pratique. Ça peut valoir le coup d'en parler dans l'article (?) mais je n'ai pas de joli exemple en tête ni de source. Je veux dire : parfois il est impossible de prouver \forall n, P(n) par récurrence même forte, mais si on "rentre" vraiment dans le problème, on arrive à trouver une propriété Q(x) plus sophistiquée, telle que Q(x)\Rightarrow P(x) et telle que \forall n, Q(n) soit, lui, facile à prouver par récurrence. Anne Bauval (d) 23 octobre 2010 à 15:02 (CEST)
replies: text: Un exemple classique : montrer par récurrence que 1+1/4/1/9+...+1/n^2 < 2 est impossible, mais 1+1/4/1/9+...+1/n^2 <= 2-1/n est facile--Dfeldmann (d) 23 octobre 2010 à 15:45 (CEST)
replies: text:  Oui, j'avais pensé à ce genre d'exemple, mais j'en ai déjà rencontré hélas, je perds la mémoire de plus jolis, où quand on trouve Q, on est vraiment content d'avoir compris "en profondeur" ce qui se passe. Anne Bauval (d) 23 octobre 2010 à 16:10 (CEST)
replies: text: Ceci illustre un fait un peu curieux : dans une démonstration par récurrence, la thèse sert en quelque sorte d'hypothèse. Donc, en rendant la thèse plus forte (ce qui peut sembler la rendre plus difficile à démontrer), on rend aussi l'hypothèse plus forte, ce qui rend la démonstration plus facile. J'ai rencontré un exemple (mais moi aussi, je n'ai plus très bonne mémoire...) où, pour démontrer deux relations par récurrence, le plus simple n'est pas de démontrer chacune des deux relations, mais de démontrer la conjonction des deux relations. En somme, ce principe d'Erdös montre que la règle de Descartes "diviser le problème en parties plus simples" n'est pas toujours bonne en mathématiques, loin de là. Marvoir (d) 23 octobre 2010 à 17:02 (CEST)
thread_title:  Compliquer pour simplifier 

message: En lisant cet article il me frappe que le terme "hypothèse de récurrence" est utilisé dans un sense constraire à ce que j'ai toujours vu. Dans cet article, notamment dans "Bon ordre et principe de descente infinie" et "Justification du principe de récurrence", le terme est utilisé pour la totalité de l'implication qu'il faut démontrer (en plus du cas initial) pour faire marcher le raisonnement par récurrence. Mais pour moi l'hypothèse de récurrence est juste l'hypothèse de cette implication (sur laquelle on s'appuye en général au moins une fois dans une preuve par récurence en incitant "par hypothèse de récurence... ") en non pas l'implication entière. C'est vrai, elle forme l'une des hypothèses du principe de récurrence, mais (mis à part dans cet article) c'est peu de gens qui passent leur temps à prouver le principe, mais beaucoup de gens qui l'appliquent, et qui démontrent une instance concrète de l'implication nécessaire, en utilisant son hypothèse "de récurrence". Marc van Leeuwen (d) 28 octobre 2011 à 17:57 (CEST)
replies: text: Corrigé. Proz (d) 28 octobre 2011 à 18:17 (CEST)
thread_title:  Terminologie: hypothèse de récurrence 

message: manque. Anne (discuter) 12 mai 2014 à 20:40 (CEST)
thread_title:  La récurrence descendante