Discussion:Racine d'un nombre complexe

message: Bonjour à tous,
il est curieux que l'auteur stipule la plus grande facilité de compréhension par les exponentielles et n'utilise que la forme algébrique pour démonstration, forme qui est la moins évidente.
Il serait judicieux de développer cheque méthode en commençant par les exponentielles, puis la trigonométrique en passant par la formule d'euler, puis la forme polaire (assez évidente depuis la trigo) pour ensuite aboutir à la forme algébrique en appliquant a = r*cos(têta) et ib = ir*sin(têta).
Qu'en pensez-vous éventuel lecteur?
Dtrake 19 janvier 2008 à 18:51 (CET)
replies: text: Nefbor Udofix  -  Poukram! 11 juin 2009 à 00:53 (CEST)
thread_title:  explication par e 

message: J'aimerais une référence pour comparer avec l'original la preuve rédigée dans cet article et attribuée à Littlewood. Il est dit ici "Le complexe u est une approximation de u0 pour laquelle on connait les racines d'ordre impair". Si par exemple u=1, ça (et la suite) dit qu'on connait les racines d'ordre 2q+1 de 1, ce que je trouve très déconcertant vu le contexte.
Accessoirement : pour la phrase marquée refnec (et son pendant également marqué dans théorème fondamental de l'algèbre), la ref ne semble hélas pas être Les corps quasi-algébriquement clos, Exposé No. 70 de Paul Jaffard au Séminaire Nicolas Bourbaki en 1952.
Anne Bauval (d) 17 avril 2010 à 15:58 (CEST)
replies: text: Je n'ai pas la preuve originale de Littlewood mais ne s'agirait-il pas simplement d'une maladresse de rédaction : au lieu d'avoir  "Le complexe u est une approximation de u0 pour laquelle on connait les racines d'ordre impair." ne faudrait-il pas lire  "Le complexe u est une approximation de u0 pour laquelle on connait une racine d'ordre 2q+1." HB (d) 17 avril 2010 à 16:56 (CEST)

text: PS cependant, je ne vois là que la démonstration de l'existence d'une  racine pour le polynome X2q+1-z mais pas de toutes les racines et le raisonnement par récurrence me parait tordu : l'existence d'une racine d'ordre impair ne fait pas appel à l'hypothèse de récurrence. Donc, oui, une référence consultable serait souhaitable. HB (d) 17 avril 2010 à 17:27 (CEST)
replies: text: Merci pour la première réponse ! Quant à ton PS, j'y pensais aussi et je comptais (une fois le 1er pb résolu) guérir ça de façon simple et neutre : en revenant à Théorème fondamental de l'algèbre#Preuve directe, dont le lemme est remplacé par cette ruse-ci, plutôt que de construire une racine primitive k-ième de 1. Anne Bauval (d) 17 avril 2010 à 19:23 (CEST)
replies: text: On a toujours un problème quand on essaie de deviner un texte à partir d'une transcription incomplète. A la lecture du texte de Nefbor, il me semble que la seule chose que l'on peut déduire est que X^k-z possédait au moins une racine (un peu plus si k est pair). Malheureusement, ce lemme ne peut pas prouver que ce même polynôme possède k racines. la force du théorème fondamental de l'algèbre est de dire que tout polynôme de degré k possède une racine (et pas seulement ceux de la forme X^k-z) donc ce lemme à lui seul ne peut pas démontrer le théorème fondamental de l'algèbre. Il doit y avoir autre chose qui nous échappe...HB (d) 18 avril 2010 à 09:26 (CEST)
replies: text: Pour moi à présent tout est clair (sauf bien sûr ce pb de source), mais je ne l'ai peut-être pas rédigé assez clairement ? Dans Théorème fondamental de l'algèbre#Preuve directe on n'a besoin que d'une racine (3ème partie, 1ère phrase : "ici c désigne un complexe tel que ck soit égal au produit de -b0 et du conjugué de bk"). Ce lemme remplace la première partie de cette démonstration du théo (car cette partie utilise Moivre). Anne Bauval (d) 18 avril 2010 à 12:10 (CEST)
replies: text:  Non, on ne peut rien contre les gens stupides comme moi qui ne lisent pas complètement les démonstrations...Ta rédaction est très claire : la preuve de Littlewood reprend la démonstration de D'alembert Argand et Cauchy mais remplace la première étape (existence d'une racine kième pour chaque nombre complexe) par une démonstration ne faisant pas appel à la formule de Moivre. Peut-être ajouter à la fin de la démonstration, une phrase du style, "ce résultat établi, la démonstration se poursuit de manière identique à [[[théorème fondamental de l'algèbre#Preuve directe|celle donnée par d'Alembert et corrigée par Argand et Cauchy]]". Merci de ta patience. HB (d) 18 avril 2010 à 13:13 (CEST)
thread_title:  Doutes 

message: Après mes rectifications et compléments récents, il me semble que la preuve de Littlewood devrait être mise en boîte : elle n'apporte rien de plus — cf. note 5 — que le nouveau § Construction par récurrence sur la 2-valuation de k. Anne (discuter) 2 juillet 2014 à 20:50 (CEST)
thread_title:  Nouveaux doutes