Discussion:Prolongement analytique

message: ===apropos de l'unicité===
Pourquoi n'est-ce pas mentionné en premier : d'une aprt c'est le plus simple et ca autorise à parler "du" prolongement (s'il existe) ? Pour la preuve il est claire que 1 implique 2 implique 3 implique 4, pourquoi ne pas se contenter d'un 4 implique 1, d'autant que ce qui me semble le plus difficile c'est bien la non vacuité de A dans ce cas ? je proposerais :
soit A l'ensemble des points admettant un voisinage où f est nulle. Alors clairement A est ouvert, un peu moins clairement fermé (considérer les dérivés de f en un point limite de point de A : elle sont toutes nulles en a et par analyticité c'est ok). Enfin A est non vide : (je ne sais pas si c'est le plus simple, mais je tente) soit a un point d'accumulation de zéros de f (ca existe par hypothèse). Si f n'était pas localement nulle alors localement f(z)=\sum_{k\geq n} a_k (z-a)^k=(z-a)^n g(z) avec a_n\neq0 et donc g(a)\neq 0 et donc, eventuellement sur un ouvert plus petit, f ne s'annule qu'en a ce qui contre-dit qu'il est limite de zéros. Alexandre alexandre (d) 6 avril 2010 à 18:37 (CEST)
thread_title: Commentaires d'avril 2010

message: Pourquoi n'est-ce pas mentionné en premier : d'une aprt c'est le plus simple et ca autorise à parler "du" prolongement (s'il existe) ? Pour la preuve il est claire que 1 implique 2 implique 3 implique 4, pourquoi ne pas se contenter d'un 4 implique 1, d'autant que ce qui me semble le plus difficile c'est bien la non vacuité de A dans ce cas ? je proposerais :
soit A l'ensemble des points admettant un voisinage où f est nulle. Alors clairement A est ouvert, un peu moins clairement fermé (considérer les dérivés de f en un point limite de point de A : elle sont toutes nulles en a et par analyticité c'est ok). Enfin A est non vide : (je ne sais pas si c'est le plus simple, mais je tente) soit a un point d'accumulation de zéros de f (ca existe par hypothèse). Si f n'était pas localement nulle alors localement f(z)=\sum_{k\geq n} a_k (z-a)^k=(z-a)^n g(z) avec a_n\neq0 et donc g(a)\neq 0 et donc, eventuellement sur un ouvert plus petit, f ne s'annule qu'en a ce qui contre-dit qu'il est limite de zéros. Alexandre alexandre (d) 6 avril 2010 à 18:37 (CEST)
thread_title: apropos de l'unicité

message: En l'état, je ne le comprends presque pas : je dirais que les deux questions qui se posent sont (comme toujours me dira-t-on ?) existence et unicité. On répond en partie à l'unicité avec le théorème précedemment évoqué. Pour l'existence y'a des méthodes ad'hoc (on sort du chapeau une fonction définie sur un domaine plus grand et qui coïncide avec la fonction initiale sur un truc contenant un point d'accumulation), des trucs qu'on essaie de faire (le long d'un chemin, se repose alors le problème de l'unicité de la valeur en un point pouvant etre atteint par deux chemins différents...), des réponses négatives (serie convergente avec des singularités denses sur le "cercle d'incertitude"...), des réponses qui trichent (on fabrique le bon espace ou c'est bien défini, surface de riemann associée) et surment d'autre que j'ignore.
On parle de valdité de "la représentation" : faut-il comprendre "formule bien définie" ? mais auquel cas le prolongement ne consiste pas, la pluspart du temps à valider cette meme formule ailleurs... bref, ca ne me semble pas clair, qu'en pensez vous ? Alexandre alexandre (d) 9 avril 2010 à 15:42 (CEST)
thread_title: a propos du premier paragraphe

message: le prolongement analytique de la fonction zeta masque un artifice par rapport à la définition de série initiale somme(1/n^s)avec la condition s>1 en passant via cet artifice de prolongement vers un monde totalement différent pour les valeurs de s <1 et particulièrement <0
bien des articles ou des présentations conservent la définition initiale dans leur texte alors que pour les valeurs négatives de s on ne se réfère plus qu'à la relation fonctionnelle. 
il est dommage que la forme de série avec des nombres entiers positifs pour des valeurs de s <0 n'est pas explicitée ou n'existe tout simplement pas
En résumé, il semble que l'opération de prolongement analytique fasse basculer tout problème simple vers un autre monde mathématique, bien moins explicite et semblant à la plupart des lecteurs comme des élucubrations. C'est vraiment dommage, il doit y avoir des explications historiques de l'intérêt de faire des prolongements analytiques et quoi en attendre. Les motivations de trucs de ce genre pourraient intéresser bien des lecteurs pas trop avertis mais curieux
--84.74.71.141 (d) 4 avril 2012 à 22:40 (CEST)
thread_title: Commentaire d'avril 2012

message: J'espérais apprendre ici une définition plus crédible et claire que dans Singularité en analyse complexe, et je tombe sur :
*Y aurait-il moyen de dire ça plus simplement ?
*Source ? (je vois bien que c'est adhoc pour le log, mais j'ai peur que ça ne traite pas correctement les ouverts biscornus)
*Pourquoi « connexe » (et en italiques, en plus) ? si cette condition est vraie pour un V quelconque, elle l'est aussi pour sa composante connexe contenant u, non ?
Anne (discuter) 24 janvier 2014 à 14:46 (CET)
replies: text: Oui, c'est n'importe quoi dans tous les articles français et anglais sur la question. Je te recopie la définition de Rudin : si f est holomorphe sur un disque D, un point P de la frontière de D est régulier s'il existe un disque D' de centre P et une fonction g holomorphe sur D' telle que f et g coïncident sur D inter D' (autrement dit, on peut prolonger f analytiquement sur un voisinage de P) ; sinon, P est un point singulier. --Dfeldmann (discuter) 27 janvier 2014 à 07:12 (CET)
replies: text: J'ai le Rudin (dont j'ai ajouté récemment un exemple  dans Série lacunaire) et effectivement, il se contente de ça. Je ne trouve aucune source pour la définition donnée, dans cet article-ci, quand le disque D est remplacé par un ouvert U quelconque. Et on ne peut pas s'y ramener par restriction, car un point de la frontière de U n'est pas nécessairement sur la frontière d'un disque ouvert D inclus dans U (car U peut être "pointu" en ce point). Anne (discuter) 27 janvier 2014 à 09:25 (CET)
replies: text: Ah, ok ; va falloir que tu utilises autre chose (le lemme d'Abel, par exemple), pour montrer que ce type de singularité ne peut pas se produire. Chez Rudin, il se contente de se ramener au cercle unité, et de démontrer (th 16.7, je crois) que si 1 est le rayon de convergence, il y a au moins une singularité sur le cercle unité.--Dfeldmann (discuter) 27 janvier 2014 à 19:31 (CET)
replies: text: Oui (16.2) mais je ne vois pas où il "se ramène" à un disque. Il semble qu'il s'y place d'emblée donc ne montre pas qu'une "singularité pointue" "ne peut pas se produire". Anne (discuter) 27 janvier 2014 à 19:51 (CET)
replies: text: Tu as raison, et je réalise même que je dis une grosse bêtise (ou alors c'est maintenant), parce que si g est un homéomorphisme conforme du disque unité vers ton ouvert biscornu, et que f est une série lacunaire convenable, f\circ g a des singularités sur toute la frontière de l'ouvert... Pas de doute, il nous faut des sources--Dfeldmann (discuter) 27 janvier 2014 à 22:33 (CET)
thread_title:  Définition des points singuliers et réguliers