Discussion:Géométrie projective

message: Ce plan détaillé a été élaboré d'après :
* mon cours de géométrie projective de l'année précédente, dispensé par le Pr FRANJOU ;
* l'ouvrage de  ;
* les excellents cours du site [www.les-maths.net].
J'ai décidé d'écrire cet article parce qu'il n'existait pas et aussi parce que l'article Espace projectif me paraît un peu brouillon dans sa présentation des notions(sans parler de la forme). Cela dit mon but n'est pas de remplacer cet article, je donne simplement la définitions et quelques propriétés des espaces projectifs pour pouvoir exposer les grands résultats de la géométrie projective.
Je compte me lancer dans la rédaction d'ici quelques jours mais là je pars en week-end !!! J'espère qu'à mon retour les contributions auront fleuri...
::: À+
Deviles 3 sep 2004 à 02:30 (CEST)
replies: text: L'article était à l'abandon depuis un an. J'ai donc cassé le plan (intéressant mais quasi vide) de Deviles (voir historique) pour essayer de faire une présentation synthétique de la géométrie projective (on ne peut pas écrire un bouquin) en renvoyant sur des articles à créer ou déjà créés. Dans cette refonte les coniques projectives sont passées à la trappe. Relecture nécessaire HB 26 octobre 2005 à 15:33 (CEST)
thread_title:  Mais qu'est-ce que c'est que ce plan détaillé ? 

message: « Un espace projectif se démarque d'un espace vectoriel par son homogénéité : on ne peut distinguer en son sein aucun point particulier comme l'origine d'un espace vectoriel. En cela il se rapproche d'un espace affine. »
j'avoue mal comprendre puisque le reste semble donner un rôle particulier à zéro (dans la déf. dessous, ou dans l'image de l'observateur placé à l'origine, au dessus). Suis-je vraiment stupide où est-ce que ça pourrait être plus clair ?Levochik (d) 12 mai 2008 à 09:26 (CEST)
thread_title:  espace projectif 

message: Vous dites que la droite projective est homéomorphe au cercle. C'est en contradiction avec ce qui est dit dans l'article de Wikipédia "Groupe fondamental" où l'on apprend que le groupe fondamental du cercle est le groupe additif des entiers relatifs alors que celui de la droite projective est le groupe à 2 éléments. signature récupérée depuis l'historique : 86.199.242.251 (d) 10 janvier 2010 à 15:48 (CEST)
thread_title:  Groupe fondamental 

message: Je reviens à la charge après ma question précédente sur le groupe fondamental de la droite projective réelle et votre réponse.
A la suite de René Thom je vois la droite projective comme un cercle non orienté et, plus précisément, comme l'âme d'un ruban de Moëbius de largeur infinitésimale, le bord de ce ruban étant un cercle apparaissant comme un revêtement à deux feuillets de la droite projective. Dans l'article de Wikipédia "surface de Boy" il y a une animation qui montre comment la surface de Boy s'obtient à partir d'un disque dont le cercle bord se love sur lui-même en se contorsionnant pour devenir droite projective.
Bien que considérée comme topologiquement homéomorphe au cercle, je "sens" la droite projective comme étant différente du cercle et, en particulier, mon intuition est que son groupe fondamental est le groupe à deux éléments. 
L'intuition moëbiusienne et celle de la non orientabilité sont tirées de l'observation suivante: considérons dans le plan cartésien les droites horizontales y=+e et y=-e, e>0. Les points de la droite projective, ie les droites passant par l'origine, s'identifient (à l'exception de la droite horizontale qui joue dans ce cas le rôle de point à l'infini) aux points de ces droites. Lorsqu'on fait tourner continûment une telle droite dans, par exemple, le sens trigonométrique, la droite y=+e est parcourue de droite à gauche et la droite y=-e de gauche à droite (d'où l'absence d'orientation de la droite projective). De plus le point (-oo,+e) s'identifie au point (+oo,-e) alors que le point (+oo,+e) s'identifie au point (-oo,-e): la bande -e<y<e se recolle donc à l'infini en ruban de Moêbius.
Ma question: ces intuitions sont-elles mathématiquement formalisables?
Remarque: la notion d'homotopie me semble contre nature dans ce cas puiqu'un chemin y est toujours orienté (dans le sens des t croissants de 0 à 1) alors qu'intuitivement (amha) la droite projective n'est pas orientée...
:Bonjour,
:Votre intuition peut être vue en disant que vous considérez le revêtement double : S^n\to P^n (S^n est la sphère de dimension n et P^n est l'espace projectif de dimension n) et son groupe des automorphismes ne donne le groupe fondamental que lorsque S^n est le revêtement universel de P^n, c'est-à-dire si S^n est simplement connexe, ce qui est le cas seulement si n\geqslant 2.--Cbigorgne (d) 20 février 2010 à 22:08 (CET)
replies: text: Votre notion d'âme, de ruban de surface qui se love correspond à la notion formelle de revêtement et plus généralement d'espace fibré.--Cbigorgne (d) 20 février 2010 à 22:13 (CET)

text: Pour n=1, le revêtement universel de P^1 est la droite réelle qui s'enroule une infinité de fois sur la droite projective (on dit qui revêt P^1). Le groupe des automorphismes (le groupe fondamental) est infini (c'est Z).--Cbigorgne (d) 20 février 2010 à 22:22 (CET)
thread_title:  Droite projective réelle