Discussion:Longueur d'un arc

message: Cet article n'a pas de définition de la longueur d'un arc. Il commence par la description intuitive de la longueur d'arc. Il faudrait rectifier cela.Dirac 28 février 2006 à 13:02 (CET)
replies: text: L'emploi du mot «rectifier» est assez cocasse ici :). J'ai modifié l'accroche et les transitions, mis plus en évidence la «vraie définition» (pour un mathématicien, donc forcément sans unité). Peux-tu me dire si les retouches te semblent suffisantes, ou as-tu des ajouts à proposer ? Peps 28 février 2006 à 14:03 (CET)

message: Présenter comme moderne, la définition de la longueur d'un arc paramétré à l'aide de l'antique vision de Newton me semble une erreur. Cette formalisation de la longueur, à travers le calcul infinitésimal, a été définitivement abandonnée dès le  pour deux bonnes raisons :
:* Hilbert qualifiait cette vision de cancer de la pensée. Elle heurte en effet trop profondément la logique, dt est supposé être nul quand cela arrange le rédacteur, et non nul quand il s'agit de le mettre au dénominateur, ce que l'on appelait à l'époque un infiniment petit (le coté infiniment était avancé quand on souhaitait la nullité et le coté petit le reste du temps). Le fait que le résultat soit exact ne doit pas cacher la profonde faiblesse de la représentation mentale. On peut être beaucoup plus logique et plus simple depuis longtemps.
:* Cette vision est restrictive, elle suppose que seuls seront mesurés les arcs continument dérivables à valeur dans un espace vectoriel. C'est bien restrictif, l'origine d'un arc n'est pas nécessairement une question de cinématique simple. Il peut aussi provenir d'une frontière d'une surface, ou encore de limite d'ensembles de R2. Pour cette raison, j'ai mis en avant la définition de Jordan, reprise si fréquemment, par exemple dans le .
D'autres faiblesses me semblaient dérangeantes. L'objet est de traiter la longueur d'un arc et non pas les changements de variables qui s'applique dans R3, une bonne partie des propos sont hors sujet. Enfin, prétendre que la longueur d'un arc demande nécessairement la maitrise du concept de tenseur métrique me semble vraiment trop étrange. Il est vrai que certaines variétés différentielles définissent la distance à l'aide de cet objet. C'est néanmoins un cas très particulier qui n'a aucune raison d'être plus mis en valeur qu'un autre. La notion de longueur d'un arc se définit de manière rigoureuse beaucoup plus simplement, ce type de variété différentielle n'est alors qu'un cas particulier d'application, avec une distance un peu sophistiquée. Jean-Luc W (d) 8 octobre 2008 à 13:09 (CEST)
thread_title:  Suite du travail de Peps 

message: Il me semble que pour Jordan la longueur d'une courbe est la borne supérieure des longueurs des lignes polygonales
inscrites.
Ce point de vue a l'immense avantage d'être la généralisation directe de la démarche traditionnelle pour le périmètre du cercle.
La formule "longueur = intégrale de la norme de la dérivée" dans le cas C1 devient un théorème.
Je veux bien écrire la démo si je trouve un accord minimal pour cette démarche.
La longueur est finie si et seulement si le paramètrage est donné par des fonctions à variation bornée
En plus cette définition s'étend sans douleur aux espaces métriques quelconques
Jaclaf (d) 31 octobre 2008 à 16:17 (CET)
replies: text: * La longueur de l'arc C est la borne supérieure de l'ensemble des valeurs que prennent les longueurs des lignes polygonales de sommets les images d'un découpage de l'intervalle I.
Tu ne l'as peut être pas vu car je ne la présente qu'en quatrième partie, avec la démonstration idoine. Est-ce le bon choix de la placer si tard ? Je me suis dit qu'elle était très proche (mais un peu différente tout de même) de la première donnée (Pour d'Eudoxe Archimède, la question de la longueur d'un arc ne se pose que pour les courbes à concavité constante, la longueur est alors la limite des polygones de Jordan par le bas et des polygones encerclant la courbe par le haut). Je me suis aussi dit que pour les physiciens et le public pas trop théorique, l'approche par la différentielle est un peu plus pragmatique et mieux adaptée, d'où sa position.
La troisième raison du choix est qu'elle amène naturellement à la définition de Hausdorff, qui apporte une ouverture pour une théorie géométrique qui n'utilise que fort peu les outils différentiels. Mais l'approche par Hausdorff, plus riche est aussi plus lourde (cf la démo associée).
C'est un choix bien Cornélien, j'en ai conscience. Trouves tu mes arguments convaincants ? Jean-Luc W (d) 31 octobre 2008 à 19:00 (CET)

text: Trois remarques, trois coups au but. Cette fois ci, je suis totalement convaincu par chacun des propos. Jean-Luc W (d) 2 novembre 2008 à 23:07 (CET)
thread_title:  Jordan ? 

message: la démo de L = intégrale de \vert f^\prime\vert  est maintenant OK
pour la semi-continuité, on peut dire aussi que la longueur au sens de Jordan est la borne supérieure d'une famille de
fonctions continues
enfin et surtout, cette discussion m'a conduit à rouvrir des grands classiques,
et voici ce que j'en tire
la propriété d'être de longueur finie au sens de Jordan donne d'assez bonnes
propriétés de régularité.
Tout d'abord, les coordonnées sont des fonctions à variation bornée
(conséquence directe de la définition)
elles sont donc presque partout dérivables (on trouvera la preuve de ce résultat fondamental dû
à Henri Lebesgue  dans les toutes premières pages des
"Leçons d'Analyse fonctionnelle" de Fredéric Riesz et Béla Sz.-Nagy),
très beau livre que cette discussion m'a conduit à rouvrir.
Avec un peu plus de travail (même référence, Riesz et Nagy citent aussi les "leçons dur l'intégration"
de Lebesgue, on arrive à montrer que
longueur = intégrale de norme de f' (f désignant la fonction vectorielle de paramétrage)
pour les courbes de Jordan.
Je ne me sens pas de reproduire cette démo (elle est d'ailleurs suffisamment longue et délicate pour figurer dans un autre article)
mais cette propriété est très satisfaisante.
En particulier, elle implique que la démo de l'inégalité isopérimétrique plane
qui s'appuie sur l'inégalité de Wirtinger marche en toute généralité, puisqu'il suffit
que f soit continue et f' L^2.
Jaclaf (d) 5 novembre 2008 à 14:25 (CET)
thread_title:  Jordan et Lebesgue 

message: cet article est beaucoup trop long et inhomogène
il faudrait à mon avis
1) un article élémentaire "longueur d'une courbe", avec les polygones, la formule donnant la longueur dans
le cas dérivable par morceaux et quelques exemples de calcul ; 
une démo directe du fait 
que "la droite est le chemin le pus court" 
et puis stop
ii) un article plus sophistiqué intitulé par ex "courbe rectifiable"  essentiellement ce qui tourne autour de Jordan
à la fin on cite des ex de courbes non rectifiables (Koch Peano) en pointant sur un autre article
parlant de dim de Hausdorf et de fractale
le reste de l'article actuel est intéressant, mais n'est pas à la bonne place !
Jaclaf (d) 7 novembre 2008 à 14:22 (CET)
thread_title:  suggestions 

message: Bonjour,
je crois que la 1ere figure de la partie "arc de classe C1" est fausse.
La zone jaune correspond a l'integrale de la fonction f et non a la distance parcourue. Pour obtenir la distance de la courbe il faut reparametrer le probleme pour sortir de la formulation y=f(x) et calculer l'integrale de la norme de la derivee. Ce qui donne L=integrale de sqrt(1+f'(t)^2)
Desole j'ai pas le temps de corriger ca tout de suite.
--Toukip (d) 18 novembre 2010 à 16:33 (CET)
replies: text: L'arc dont cet intégrale est la longueur n'est pas le graphe de f, c'est dit en légende de la figure et dans le texte à côté : f est la fonction qui à chaque instant associe le module de la vitesse. Anne Bauval (d) 18 novembre 2010 à 23:58 (CET)
thread_title:  Erreur dans une figure 

message: Est-ce que cette expression existe vraiment ? Ou est-ce comme je le soupçonne une simple traduction  du fait que Berger et Gostiaux utilisent une notation italique pour désigner les arcs géométriques (je n'ai pas le bouquin, donc ne peux infirmer ou confirmer ce soupçon) ? Je suggère la distinction arc géométrique/ arc paramétré, qui me semble usuelle. Cordialement, Gouffy (d) 7 juin 2011 à 10:59 (CEST)
thread_title: Arc C<sup>p</sup> italique ?