Discussion:E (nombre)

message: Je pense restructurer l'article en développant une partie historique plus importante. Je pense que c'est une erreur de dire que le nombre e est important car à la base de tous les morphismes continus de (R,+) dans (R*+, x) car comme le dit Gemme, 2^x paraît plus naturel que e^x. Comme le dit Jean-Luc, la particularité fondamentale de l'exponentielle de base e est qu'elle est sa propre dérivée (relation plus avec les équations différentielles qu'avec les morphismes). Ce qui explique que sa découverte fut plus tardive que celle de 2^x (il est plus simple de travailler avec des puissances de nombres entiers). Je pense que c'est aussi une erreur de dire que le logarithme naturel est LE logarithme qui permet la simplification des calculs. Les premières tables de logarithmes sont les logartithmes décimaux. L'intérêt des logarithmes naturels est d'être une primitive de 1/x donc c'est aussi de manière tardive que l'on s'aperçoit de l'intérêt du logarithme de base e. C'est donc dans cette direction que je compte faire tendre l'article. HB 18 février 2006 à 10:56 (CET)
thread_title:  Nouvelle restructuration 

message: Quelqu'un pourrait-t-il donner la prononciation courante en français de "e" et de "ln(e)" ?
:Perso je dis "euh" et "Hélène de euh". Et j'aime les profs qui me donnent l'occasion de lire "ln(3)" "Hélène de Troie". Barraki Retiens ton souffle! 28 septembre 2007 à 22:35 (CEST)
thread_title: Prononciation

message: Une démonstration classique donc difficile à sourcer avec précision (car il y a liberté sur le traitement.) la version proposée pèche sur ce point
:= a(b - 1)! - \sum_{n = 0}^{b}b(b-1)\cdots(b-n)
avec l'introduction d'un produit vide qui n'est pas vide et un compteur qui n'a rien de logique avec le compteur précédent. Je propose une autre version plus artihmétique de la fin de la première proposition (avec aussi peu de source que l'autre) car le traitement est divers selon les livres (voir par exemple Terracher TS p 110). 
Impossible de trouver une source historique : cette démonstration est parfois attribuée à Euler mais je ne trouve rien de tel dans son livre introduction à l'analyse infinitésimale. Certains attribuent à Euler une démonstration de l'irrationalité par les fractions continues mais comme Euler admet mais ne démontre pas le fait que le développement en  fraction continue est infini, cela revient au même. HB 5 octobre 2007 à 15:40 (CEST)
replies: text: Une lacune dans la preuve avait été introduite en septembre 2007 en supposant artificiellement b>1 (au lieu de b>0). Comme le fait très justement remarquer , lorsque b>1 on peut se passer de la majoration stricte par 1/b (la majoration large suffit), et pour traiter le cas b=1 (qui du coup était passé sous silence) il suffit d'ajouter que si e est entier alors 2e aussi. Mais j'ai trouvé bien plus simple de revenir à la version antérieure. Par ailleurs, le raisonnement "par l'absurde" (comme souvent) allonge et enlaidit la preuve sans la simplifier. J'ai donc fait un peu de toilette. Anne Bauval (d) 12 avril 2010 à 12:03 (CEST)
replies: text: Cette version me paraît aussi plus élégante. Mais dans la précédente, le cas b=1 n'était pas passé sous silence. En considérant l'écriture fractionnaire supposée de e, quitte à multiplier numérateur et dénominateur par 2, l'on peut supposer b>1. Zandr4[Kupopo ?] 12 avril 2010 à 17:21 (CEST)
replies: text: Certes à nouveau, mais c'était non-dit Anne Bauval (d) 12 avril 2010 à 19:04 (CEST)
thread_title:  Sur l'irrationalité 

message: Est-il envisageable de renommer cet article « Base du logarithme népérien », de la même façon qu'il y a les articles « Nombre d'or », « Racine carrée de deux », « Zéro » et « Unité imaginaire » ? Je trouve dommage d'utiliser le symbole pour le titre, surtout si c'est pour y accoler un suffixe entre parenthèses. Ambigraphe, le 30 janvier 2009 à 16:58 (CET)
replies: text: Fais comme tu veux mais je te signale que l'article commence à avoir un joli record de renommage : Base naturelle des logarithmes, base des logarithmes naturels, constante mathématique e, e (nombre). Il serait bon que ce cinquième nom soit le bon. HB (d) 30 janvier 2009 à 17:29 (CET)
thread_title:  Renommage 

message: Je suis à l'origine de la première allusion aux intérêts composés pour une approche de e. C'était du temps de ma jeunesse wikipédienne où je ne collais pas des ref partout et où je prenais pour argent comptant ce que je trouvais sur le net. Je crois bien que je me suis appuyée, entre autre sur cet écrit et  celui-là. Maintenant je suis plus méfiante et cherche d'avantage des sources universitaires. Pour les intérêts composés, cela me parait indispensable car le texte sur les intérêts composés de Jakob Bernoulli est accessible ici, il date de 1685 et ne développe pas (1+1/n)^n mais imagine une somme a rapportant en un an une somme b. Il calcule alors la somme obtenue si les intérêts sont continument capitalisés et arrive à une somme au bout d'un an égale a 
:  a+b+\frac 12 \frac{b^2}a+\frac{1}{3!}\frac{b^3}{a^2}+\frac{1}{4!}\frac{b^4}{a^3} + ....
Il n'explique pas ce développement en série mais il est peut-être explicable par des aires sous les courbes : la somme rapportée par un capital variable  c(t) sur l'intervalle de temps [t1, t2] est l'aire sous la courbe multiplié par le taux d'intérêt annuel. Le capital a produit des intérêts qui évoluent en cours d'année et dont la forme est :  (ab/a)t mais  ces intérêts produisent des intérêts qui évolue en cours d'année et dont la forme est (ab²/a²)t²/2, et ces intérêts produisent des intérêts qui évoluent en cours d'année et dont la forme est   etc. Ce n'est qu'une hypothèse perso mais on est loin quand même de .
Il démontre alors que cette somme est comprise entre a+b+b²/2a et a+b+b²/(2a-b). Ce qui donnerait, si on remplaçait (ce que ne fait pas Bernoulli) a et b par 1, un encadrement de e par 2,5 et 3. 
Nous sommes donc pas conforme avec le texte de Bernoulli, ni sur la date, ni sur l'expression de e choisie, ni sur l'encadrement. Une source universitaire serait donc bien utile pour distinguer le vrai du faux. J'ai consciencieusement parcouru les œuvres de Bernoulli de 1683 jusqu'à ce texte et n'ai trouvé que cette seule allusion aux intérêts composés.
Les autres points sont sourçables je pense plus facilement par Cajori. Je signale aussi le très beau texte d'Euler où il établit que la base du logarithme hyperbolique se développe en (1+1/n)^n et en 1 + 1/2+1/3!+1/4! +... Introductio in analysin infinitorum, volume 1 chapitre 7 
Enfin Leibniz n'identifie pas  le nombre trouvé par Bernoulli (qui selon les sources vérifiables ne semble pas avoir  pas trouvé de nombre) il se contente de donner un nom au nombre dont le logarithme hyperbolique vaut 1 . HB (d) 14 avril 2012 à 18:42 (CEST)
replies: text: Merci pour tout. Je n'avais effectivement pas encore cherché sérieusement sur Bernoulli. Le fait que tes critiques commencent à ce moment et pas sur les prémices me rassure. Bon, je vais essayer de compiler ça. Ambigraphe, le 14 avril 2012 à 19:09 (CEST)
thread_title:  Sur les intérêts composés 

message: Bon, visiblement je travaille sans méthode. Il suffisait d'aller voir les source de Mac Tudor :
*J. T. Coolidge  The number e Nov 1950
* Eli Maor, e : the story of a number (aperçu)- 1994 que j'ai pu me procurer. Mais ce livre, fort intéressant au demeurant est plus l’œuvre d'un raconteur d'histoire que d'un historien (voir à ce sujet le commentaire de Catherine sur la page de discussion dEli Maor). C'est un peu comme si on sourçait une information historique par un livre de Denis Guedj. 
HB (d) 16 avril 2012 à 19:05 (CEST)
replies: text: Eh bien ! J'ai la sensation de faire dégringoler une maison de guingois et toi d'un coup de baguette magique tu m'installes de jolies fondations bien propres et du mortier de première qualité. Merci pour tout, j'essaierai de m'y mettre avant ce week-end. Ambigraphe, le 16 avril 2012 à 20:23 (CEST)
thread_title:  Retour aux sources 

message: Euler n'écrit pas que e=lim(1+1/n)^n dans sa lettre de 1728  mais il désigne par e le nombre dont le ln vaut 1 et, oh surprise, indique que ce nombre a pour valeur approchée 2,7182817. Dans sa lettre à Goldbach de 1731  et dans son texte mechanica de 1736 , e est seulement le nombre dont le logarithme vaut 1. Ce n'est que dans son texte de 1748 Introductio in analysin infinitorum  que l'on voit les deux expressions de e (série) et limi(1+1/n)^n chap. 7 et le développement en fraction continue (chap 18 p 305). C'est ce que précise bien Coolidge601 Ce n'est donc pas dans l'ouvrage de 1737 qui porte aussi le titre de De fractionibus continuis qu'il faut chercher la preuve de l'irrationalité de e. Quant à Sandifer, il dit seulement qu'Euler s'intéresse depuis 1737 aux fractions continues (j'ai corrigé l'article sur ce point mais les autres points sont aussi à revoir) - HB
:Eh bien ! J'ai la sensation de faire dégringoler une maison de guingois et toi d'un coup de baguette magique tu m'installes de jolies fondations bien propres et du mortier de première qualité. Merci pour tout, j'essaierai de m'y mettre avant ce week-end. Ambigraphe, le 16 avril 2012 à 20:23 (CEST)
thread_title:  Euler 

message: Salut ! Je me posais une question sur la notation du nombre e : d’après le standard Unicode, le caractère U+2107 « ℇ » représente la . Quelqu’un d’autre a-t-il déjà vu cette notation pour le nombre e ? Si oui, on pourrait la mentionner, non ?
Cordialement --Pic-Sou 16 août 2012 à 13:51 (CEST)
replies: text: Pour ma part jamais vue. MicroCitron un souci ? 16 août 2012 à 14:00 (CEST)
replies: text: Ça peut être mentionné sur la page d'Euler, mais certainement pas ici sauf si on a la preuve que cette constante d'Euler est bien le nombre . Ambigraphe, le 1 avril 2013 à 16:38 (CEST)
thread_title:  Notation 

message: Le nombre e est, citons, " caractérisé par la relation ln(e) = 1 ou de façon équivalente il est l'image de 1 par la fonction exponentielle ".  Le logarithme d'un nombre étant, par définition, la puissance à laquelle il faut élever la base du système de logarithme pour obtenir ce nombre, la relation ln e = 1 ne définit nullement le nombre e.  Tous les nombres, du moins ceux dont on convient qu'ils peuvent avoir un logarithme, satisfont à cette relation : le logarithme en base a du nombre a vaut 1, par définition du logarithme et quel que soit a.  Idem pour la proposition relative à la fonction exponentielle : én élevant n'importe quel nombre à la puissance 1, on retrouve ce même nombre.  C'est un cercle vicieux qu'évite l'article en anglais.
C'est pourquoi il faudrait supprimer ces propositions de l'article.
--Victorindia87 (d) 30 juin 2013 à 17:44 (CEST)
replies: text: Cela dépend de comment est défini le logarithme népérien. S'il est défini comme la primitive de la fonction x -> 1/x qui s'annule en 1, la définition de e comme le nombre e tel que ln(e) = 1 ne présente aucun cercle vicieux. De même que pour la fonction exponentielle, si celle-ci est définie comme la solution de l'équation différentielle y'=y prenant la valeur 1 en 0, définir e comme l'image de 1 ne présente non plus aucune incohérence. HB (d) 30 juin 2013 à 17:54 (CEST)
thread_title:  e (nombre) 

message: est surprenante à plus d'un titre (à commencer par son titre). Elle est apparue en avril 2012, avec une première phrase (toujours présente) dont je ne comprends même pas la syntaxe :
et a grossi en janvier 2014 accompagnée d'une ref inaccessible en ligne (Hervé Lehning, L'Univers des nombres : De l'Antiquité à Internet) et d'une autre (Introductio in analysin infinitorum, vol. 1, chap. 7) où Euler ne procède pas du tout comme ce qui est décrit. De plus, ce développement en série entière de l'exponentielle date d'avant la naissance d'Euler, si je comprends bien Histoire des logarithmes et des exponentielles#Les courbes à sous-tangente constante.
Anne, 31/08/2017
: Je fais confiance à  pour avoir retranscrit fidèlement le texte de la page 208 et 209 du livre de  Lehning. Cependant Lehning est un vulgarisateur plutôt qu'un histoiren des sciences. Malheureusement il faudra s'en contenter. La seule chose que l'on peut dire c'est que ce n'est pas la démarche présentée dans son introductio (version allemande sur MMA, version latine sur Gallica &115) démarche reprise par Jean-Pierre Lubet dans «Dans les traités d'analyse, logarithme et exponentielle au gré de la rigueur», histoire de logarithmes : grosso modo, remarquant que pour w petit, a = 1+kw (nous on dirait équivalent). Il pose z=iw, pour i entier très grand et écrit que a=a = (1+kw) puis il utilise la formule du binome et fait tendre i vers l'infini.
: cependant, il n'est pas exclu que, dans un autre ouvrage - mais alors lequel (Lehning l'indique-t-il ?)? -  il ait utilisé l'équation fonctionnelle f(2z)= = f(z)² pour développer la fonction exponentielle car il a beaucoup travaillé sur les résolutions d'équations fonctionnelles grâce aux identifications de séries. D'autre part, il est vrai que  le développement en série des fonctions exponentielles étaient entreprises déjà par Bernoulli et consorts. Tant qu'on ne dit pas qu'Euler fut le premier on ne dit rien de faux.
: Dans un premier temps, je tente de clarifier la définition d'une base de fonction logarithme. Je supprime la caractérisation de la fonction exponentielle qui n'a pas lieu d'être ici. Et j'attribue l'exposé de la démarche d'Euler à Lehning. HB (discuter) 28 janvier 2019 à 18:02 (CET)
replies: text:  Anne et HB, Si vous pensez que c'est fautif ou qu'il y a mieux, supprimez, je ne suis pas le détenteur de l'article ;-). Je vous fais confiance. — Cantons-de-l'Est p|d|d [‌sysop] 28 janvier 2019 à 18:56 (CET)
thread_title:  La section « [[Spécial:Diff/140225336#Relation avec la base du logarithme naturel|Relation avec la base du logarithme naturel]] » 

message: Bonjour,
je voulais vous proposer, pour enrichir l’article, un paragraphe sur quelques approximations de "e" comme il y en a un dans l'article sur pi, notamment en lien, entre autres, avec les fonctions quadratiques.
Cordialement 
Baikal23  --78.127.75.119 (discuter) 28 avril 2020 à 18:10 (CEST)
thread_title:  approximations et fonctions du 2 ème degré 

message: On lit dans l'article (avec pour source non vérifiable New Scientist, 21 juillet 2007, p. 40) qu'Euler avait trouvé 18 décimales de e en 1748.
Or la page Wikipédia UK indique 23 décimales, et cite l'oeuvre originale (consultable, trad. française de 1796 dispo ici) d'Euler : Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum, 1748, volume 1, page 90. On y voit bien 23 décimales et non 18. Je ne sais pas d'où sort ce 18... Je supprime donc la référence aux 18 décimales, indique 23 en sourçant. Si erreur de ma part, vous reviendrez en arrière, mais en consultant l'oeuvre originale cela me paraît clair que c'est 23 et non 18.
:Tout à fait ; merci.—Dfeldmann (discuter) 25 juin 2020 à 17:36 (CEST)
replies: text:  Pour info. La source fautive semble être e: the mystery number de Richard Elwes. Info ajouté sur WP:fr en fevrier 2009 au cours de la recopie d'un tableau venant de WP:en. Tableau de WP:en modifié le 21 juillet 2007 (passant de 23 à 18 en sourçant avec Elwes). HB (discuter) 25 juin 2020 à 21:37 (CEST)
thread_title:  Nombre de décimales obtenues par Euler: 23, pas 18 ?