Discussion:Anneau des entiers de Q(√5)

message: Bonjour, je ne veux pas intervenir directement alors que tu es en plein travail (et très efficace !), mais la section "nombre premier" est à problème. Il y a un mélange entre la définition de premier/irréductible sur les éléments de l’anneau et la notion de ramification d’un idéal premier entre Z et l’anneau (avec les p décomposé, inerte, etc).  Amicalement, --Cgolds (d) 25 mars 2013 à 08:09 (CET)
replies: text: Ah oui ... l'article donne l'impression qu'il y aurait des irréductibles non premiers dans cet anneau. On peut en profiter pour faire disparaître "premier de Dirichlet", par exemple remplacer par "irréductible dans Z[omega]" (utiliser irréductible dans Z[omega] et premier dans Z) ? Je peux m'y coller, mais pour le reste (inerte etc.) je te laisserai faire, tu vois manifestement bien mieux de quoi il retourne. N'hésite pas à intervenir. Proz (d) 25 mars 2013 à 12:59 (CET)
replies: text:  Fait pour irréductible, je reprendrai un peu de relecture, au moins de ce que j'ai modifié, après (pas avant demain ou après-demain). Il faudra également justifier le titre quelque part (renvoyer sur anneau quadratique par ex.) car le sujet pour le moment c'est  Z[(1 + √5)/2] ... Par ailleurs en regardant la preuve du petit théorème de Fermat, je m'aperçois que ça n'a jamais été relu, je n'ai pas terminé (et ce serait plus sérieux de donner une source). Proz (d) 25 mars 2013 à 23:10 (CET)
thread_title:  Nombre premier 

message: La norme est multiplicative. On peut soit dire comment l’étendre aux fractions, soit rédiger la section sur la division euclidienne entièrement sur les entiers (c’est ce que je pensais faire, à vrai dire, mais je n’ai pas vérifié que tout marche bien ensuite). De toute façon, cela me semble plus clair : c’est bien joli de dire qu'on fait comme dans les entiers de Gauss, mais quand on peut faire comme dans Z, c’est mieux, non, vu l’objectif initial de cet article ?
Un détail : au début de la section sur la structure, il est (toujours) dit que les puissances de omega s’expriment à partir de omega seul et des entiers, mais c’est seulement après que ceci est établi pour le carré, le cube etc. Il faut inverser, non ? 
Je n’ai pas essayé d’intervenir maintenant, parce qu’on risque des conflits d’édition, etc., c’est embêtant au possible. Pour l’instant, j’ai créé géométrie des nombres, réclamé et  inexistant en français (Jean-LucW a en revanche créé un très joli article sur un des théorèmes principaux, le Théorème de Minkowski, avec des dessins très colorés que je m’en vais intégrer), donc j’ai de quoi m’occuper (et j’aurai moins de temps en avril). Bon courage ! Amitiés, --Cgolds (d) 30 mars 2013 à 13:36 (CET)
replies: text: Il me semble, et je viens de faire un essai qui le confirme (avec un seul compte), que quand on intervient sur des sections indépendantes il n'y a pas de conflit d'édition. Mais pas de problème, pour plus de sûreté, je te laisse la main pour la division euclidienne donc. Puissances de omega : c'est annoncé pour justifier la notation Z[om] puis démontré, mais je ne pense pas que ce soit la peine (c'est ce que je voulais dire au dessus). Proz (d) 30 mars 2013 à 14:07 (CET)
replies: text: Menon, menon, vas-y, vas-y . Je serai occupée ailleurs pendant quelques heures de toute façon. Amitiés, --Cgolds (d) 30 mars 2013 à 14:57 (CET)
thread_title:  Norme et al 

message: Je propose de reprendre cette section en s'inspirant de Hardy and Wright : la démonstration est faite pour Q(sqrt 2) §14.5 mais ils précisent explicitement que c'est la même chose pour Q(sqrt 5) § 15.4. Elle me parait plus simple : il s'agit de montrer qu'il n'y a pas d'unité entre 1 et omega, par un calcul rapide utilisant le conjugué. Cela rend inutile la représentation géométrique (c'est l'ordre sur R qui est clairement utilisé). 
Par ailleurs je suis embêté par les indications historiques : le résultat général invoqué ne l'est pas clairement, stricto sensu ça ne peut pas être exact. Tout ça aurait un sens à propos de l'équation de Pell-Fermat mais c'est trop imprécis, la référence à Lagrange porte sur 175 pages. Que démontre-t-il exactement ? J'ai jeté un coup d'oeil (trop rapide) à Dickson vol 2 : rien d'évident. Bref ça n'a l'air guère récupérable et je propose de simplement supprimer dans ce paragraphe toute la partie historique et de se contenter de faire le rapport avec Pell-Fermat. Proz (d) 1 mai 2013 à 23:55 (CEST)
replies: text: Sur la partie historique, il s’agit bien de Pell-Fermat (plus généralement de la question de savoir si toutes les unités s’obtiennent à partir d’un nombre fini d’entre elles, une en l’occurrence, au signe près, pour les corps quadratiques réels). On peut le dire correctement comme cela, et donner les références, c’est ce que je m’apprêtais à faire demain matin. Tu peux refaire la section comme tu voulais et je rajouterai les réfs historiques si cela t’arrange, par exemple, je les ai sous la main. Amicalement, --Cgolds (d) 2 mai 2013 à 01:16 (CEST)
replies: text: J’ai entré mes corrections sur le début. Je te laisse faire ce que tu voulais sur les unités etc., dis-moi quand tu as fini, je complèterai si nécessaire (je pense à la partie historique). Amicalement, --Cgolds (d) 2 mai 2013 à 15:53 (CEST)
thread_title:  Groupe des unités 

message: Pour la suite tu as peut-être déjà ton idée (auquel cas très bien). Sinon de ce que j'ai lu, Hardy and Wright 15.4 et 15.5 sont ce qu'il y a de plus complet sur le sujet (l'exemple seulement), mais les irréductibles sont traités avant Fermat. Proz (d) 3 mai 2013 à 01:55 (CEST)
replies: text: Tu as raison, on peut donner un nom au polynôme dès la section sur le corps. J’ai essayé d’éclairer cela assez tôt, parce que je pense que c’était déconcertant : Z[√5] était introduit aussi comme anneau d’entiers avec le même corps de fractions, donc il me semble que c’est utile de dire tôt que si on prend l’autre, c’est à cause de l’arithmétique. Justement : je pense que c’est utile de donner là un exemple de non factorisation unique (par exemple 4=2.2=(1+√5)(1-√5) doit faire l’affaire si je ne m’abuse), j’hésitais entre le mettre tout de suite ou attendre la section sur la factorisation. L’inconvénient d’attendre la section qui semble la plus appropriée, c’est que du coup cela mélange aussi à cet endroit les deux anneaux (au lieu de ne parler de Z[√5] qu’à un seul endroit). Tu as un avis ? Sinon, oui Hardy and Wright est très bien (j’utilise Cohn pour l’aspect « corps de nombres » parce qu’il traite assez bien les corps quadratiques euclidiens, en donnant l’exemple qu’on veut presque toujours). Je suppose que par Fermat, tu veux dire « petit théorème de ». Franchement, la preuve actuelle est très compliquée, je me demande pourquoi. Et surtout : elle ne vient pas vraiment avant les irréductibles, elle les utilise. Ce qui vient après, c’est la décomposition depuis le corps des rationnels, autrement dit, le début des corps de classes, très élémentairement, je vais y re-réfléchir maintenant qu’on est sur l’obstacle ! Une dernière question : est-ce qu’il y a une bonne raison d’utiliser la version anglaise de HW ?  Sinon, je vais rapatrier la version en français et mettre les numéros de page correspondants. Amicalement, --Cgolds (d) 3 mai 2013 à 09:16 (CEST)
replies: text: PS (après avoir regardé l’obstacle) : HW utilise la loi de réciprocité pour 5. Elle arrive aussi dans le texte actuel (résidu quadratique, mais je n’arrive pas trop à décider si elle est vraiment prouvée ou non dedans, j’ai le sentiment que non). J’ai l’impression qu’en fait le texte suivait un peu HW avant que je n’échange les sections, mais comme plus ou moins les mêmes choses intervenaient à plusieurs endroits, je ne suis pas sûre. Glurps. J’avoue que je suis très tentée de suivre HW (ou Cohn, d’ailleurs), d’admettre la loi de réciprocité pour 5 et de continuer tranquillement. Je ne suis pas sûre d’avoir une preuve simple de la loi pour 5 (ce qui du coup montre les limites de notre exemple élémentaire…). Qu’est-ce que tu penses ? Cgolds (d) 4 mai 2013 à 00:01 (CEST)
thread_title:  Irréductibles etc. 

message: Saur erreur, avec la suite de Fibonacci f(n-1)+f(n)=f(n+1) d'où   f(n-1)+f(n)/2 = f(n+1)-f(n)/2, ce qui devrait beaucoup simplifier l'énoncé des ensembles de solution S(1) et S(-1)  ???
Lf69100 (discuter) 1 juillet 2014 à 15:28 (CEST)
replies: text: Outre le manque de références, c'est un peu cryptique, là ; vous pouvez préciser votre pensée?--Dfeldmann (discuter) 1 juillet 2014 à 18:22 (CEST)
thread_title:  Equation de Pell-Fermat 

message: Si le but est la théorie des entiers dans les corps de nombres, n'y aurait-il pas lieu de fusionner ? Cdlt Michel421 (discuter) 16 décembre 2021 à 12:52 (CET)
thread_title:  Visibilité du sujet