Discussion:Identité d'Euler

message: Voir Discussion:Beaut%C3%A9_math%C3%A9matique#Citation_de_Feynmann. Même remarque ici. Vos commentaires sont bienvenus. Pour cet article, je propose de déplacer la citation dans formule d'Euler. Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 2 mai 2011 à 15:55 (CEST)
thread_title:  Citation de Feynmann 

message: Elle est non sourcée et parait inutilement compliquée. De plus elle illustre bien le facteur N, mais ne dit rien sur z=i.pi.  On ne voit pas du tout ce qui change géométriquement avec z. Il manque je trouve la "démonstration" géométrico/algébrique : e^i.alpha étant une rotation de alpha dans le plan complexe, la rotation de Pi (180°) de "1" donne "-1" dans le plan complexe. Cette démonstration, qui pour moi est la meilleure, n'est nulle part. Jean-Christophe BENOIST (discuter) 2 mai 2021 à 17:03 (CEST)
replies: text: Huh ?C'est un grand classique (pas de source sous la main, mais je parie qu'elle est dans "How Euler did it"). Et non, elle est pas trop compliquée, parce que d'où sors-tu que exp(i.alpha) est une rotation ? (bon, c'est jouable en passant par l'équation différentielle, et encore...)--Dfeldmann (discuter) 2 mai 2021 à 17:42 (CEST)
replies: text: Bon, encore raté : Sandifer donne bien l'historique de la formule (et y'a deux trois trucs passionnants dedans, comme toujours) mais pas cette démonstration-là... Bon, ça va bien finir par me revenir.--Dfeldmann (discuter) 2 mai 2021 à 17:48 (CEST)
replies: text: En tout cas, on ne voit pas comment agit géométriquement z. On voit bien N mais pas z dans la démo. Sinon la rotation c'est la formule d'Euler, cela se voit tout de suite (?) ou bien ? On voit immédiatement (mais géométriquement) que e^i.pi = -1. Pourquoi chercher midi à 14h ? ;) --Jean-Christophe BENOIST (discuter) 2 mai 2021 à 18:18 (CEST)
replies: text: Bon, j'ai dû mal m'expliquer. Toutes les versions dites "géométriques" partent de la formule e^z=\lim_{n\to\infty}(1+\frac zn)^n, qu'Euler (me semble-t-il) généralise aux complexes, et non de la série (parce qu'avec la série, on a trivialement (si l'on peut dire) e^{ix}=\cos x+i\sin x). Ensuite, l'interprétation géométrique de 1+i\frac xn, c'est le triangle rectangle, et le reste c'est de la géométrie facile et un argument douteux de passage à la limite (géométrique). Mais je vois pas ce qui te fait considérer comme naturel (étaient-ils si nuls que ça, ces mathématiciens du 18ème siècle) le fait que exp (i alpha) soit une rotation. Je rate quelque chose ?--Dfeldmann (discuter) 3 mai 2021 à 07:09 (CEST)
replies: text: Non je ne dis pas que c'est plus "naturel", je dis que c'est (beaucoup) plus simple à comprendre géométriquement. On n'est pas obligé de partir des formules historiques pour démontrer (et comprendre) quelque-chose (et c'est même souvent l'inverse où avec du recul on a des approches simplifiées). En tout cas une source serait.. nécessaire qui explique tout ce que tu viens de dire. Jean-Christophe BENOIST (discuter) 3 mai 2021 à 08:00 (CEST)
replies: text: Mais je comprends pas. Dans ta démonstration "simple à comprendre géométriquement", le seul point clé, c'est que exp (i x) c'est une rotation d'angle x. Alors oui, un demi-tour, c'est une multiplication par -1. Mais d'où sors-tu cette histoire de rotation??? Sinon, je t'assures que la démonstration "géométrique " est hyperclassique (je l'ai fait faire en TD en classe, par exemple, et je suis pas assez malin pour l'avoir inventée tout seul); laisse moi un peu de temps (je parie que je vais trouver ça dans "L'analyse au fil de l'histoire", que je te recommande vivement par ailleurs).--Dfeldmann (discuter) 3 mai 2021 à 09:29 (CEST)
replies: text: Grr... Je suis pourtant sûr d'avoir lu ça chez moi ... Voici une discussion détaillée en anglais sur Math Stak Exchange : Can you explain -1=\lim_{n\to\infty}(1+\frac {i\pi}n)^n without using e, sin or cos ?... mais pas de source (au pire, c'est celle-là que je mettrai).--Dfeldmann (discuter) 3 mai 2021 à 09:47 (CEST)
replies: text:  Ah, quand même ; je savais bien que c'était chez moi, dans ce livre absolument génial qu'est Visual Complx Analysis. J'ai mis ça en référence, et je te recommande le livre . Cordialement, --Dfeldmann (discuter) 9 mai 2021 à 11:00 (CEST)
replies: text: Merci beaucoup ! Je viens de comprendre la démonstration, en la regardant une Nième fois (N n'a pas tendu vers l'infini ! ) En fait il faut avoir à l'esprit que Pi est la moitié de la circonférence, aussi bien qu'un angle. Je viens de réaliser que LAC (longueur arc de circonférence) = \alpha (en radians), j'ai du le savoir mais je ne le savais plus. Ce n'est que en le réalisant que on comprend l'influence de z. Si on pense à Pi en tant qu'angle, on ne comprend pas. Si on le pense en tant que longueur d'arc, on comprend. Je ne sais pas s'il faut le rappeler qq part.. Jean-Christophe BENOIST (discuter) 9 mai 2021 à 11:38 (CEST)
replies: text: Oui, c'est le danger des preuves sans mots : ce qui saute aux yeux des uns reste complètement opaque à d'autres . En même temps, tant qu'on a de bonnes références (et je t'assure que Needham donne des démonstrations rigoureuses), ce n'est pas forcément notre rôle que de mettre tous les points  sur tous les i... Cordialement,--Dfeldmann (discuter) 9 mai 2021 à 12:53 (CEST)
thread_title:  Démonstration géométrique