Discussion:Théorème de Wilson

message: La démonstration de la réciproque aussi est inutilement compliquée. Je propose ce qui suit, qui est très simple à comprendre et beaucoup plus court. 
On commence par écrire que la congruence
 (p-1)!+1 \equiv 0 \pmod p \; 
signifie qu'il existe un entier k tel que (p-1)! + 1 = kp, c'est-à-dire kp - (p-1)! = 1.
Si p n'est pas premier, il existe un entier a diviseur de p tel que 2 ≤ a ≤ p-1. L'entier a divise donc (p-1)!. Or a divise p, donc divise le produit kp. Il en résulte que a divise la différence kp - (p-1)! = 1, ce qui est impossible si a ≥ 2, puisque le seul entier positif qui divise 1 est 1 lui-même.--Pierre W.W. (d) 9 janvier 2010 à 12:38 (CET)
thread_title:  La démonstration de la réciproque 

message: Je me demandais juste si le lien dans "justification possible par le théorème de Bezout" pointe vers une mauvaise page. En effet, au lieu de pointer vers l'identité de Bezout, le lien pointe vers le théorème.137.146.132.120 30 juillet 2007 à 03:45 (CEST)
replies: text: C'est fait. Ne pas oublier : Soyez audacieux.Salle 30 juillet 2007 à 13:00 (CEST)
thread_title:  théorème ou identité? 

message: Même si l'évaluation d'intérêt faible me semble justifiée, cette article méritait mieux. C'est en effet une des illustration utilisée par Gauss pour montrer la puissance de l'arithmétique modulaire.
Son histoire était un peu sommaire, le théorème est en effet connu bien avant par la communauté scientifique versée dans l'arithmétique. Je suis persuadé que Fermat connaissait ce résultat, mais je n'ai pas trouvé de référence crédible à cette affirmation. Un contributeur finira bien par corriger cette faiblesse. Jean-Luc W 9 septembre 2007 à 16:05 (CEST)
thread_title:  Refonte 

message: Je précise que je n'y connais rien ; mais la remarque
est-elle correcte ? N'est-ce pas plutôt
(p-1)! \equiv -1 \pmod p.
compte tenu de l'expression du théorème ? — Florian, le 19 octobre 2008 à 13:51 (CEST)
thread_title:  Doute sur une remarque 

message: En mathématiques, le théorème de Wilson énnonce qu'un nombre entier p est premier si et seulement si on a la congruence suivante modulo p : (p-1)!=-1. De nos jours il s'agit d'un résultat relativement élémentaire qui doit d'avantage son importance à sa découverte et aux différentes (tentatives de) preuves : il apparaît qu'il n'est même pas effectivement "dû" à Wilson. Cette caractérisation théorique des nombres premiers n'a pas encore donner de test de primailté efficace.
Le sommaire
#==Aspects mathématiques==
Avant d'en donner une preuve, rappelons juste que celà signifie qu'un nombre p est premier si et seulement s'il existe un entier k\in\Z tel que 1.2.3...(p-1)=kp-1. Voici quelques exemple pour différentes valeurs de p :
*si p est égal à 3, alors (p - 1)! + 1 est égal à 3, un multiple de 3,
*si p est égal à 4, alors (p - 1)! + 1 est égal à 7 qui n'est pas multiple de 4,
*si p est égal à 5, alors (p - 1)! + 1 est égal à 25, un multiple de 5,
*si p est égal à 6, alors (p - 1)! + 1 est égal à 121 qui n'est pas multiple de 6,
*si p est égal à 17, alors (p - 1)! + 1 est égal à 20 922 789 888 001, un multiple de 17 car 17 x 1 230 752 346 353 = 20 922 789 888 001.
S'il existe effectivement une telle relation 1.2.3...(p-1)=kp-1 alors on a 1=kp-1.2.3...(p-1) qui est une relation de Bézout entre p et tous les entiers strictement plus petits. Ainsi p est premier avec eux, et donc premier. Pour la réciproque, on suppose que p est premier. Le groupe Z/pZ est alors naturellement muni d'une structure d'anneau qui en fait un corps (il s'agit juste de l'identité de Bezout), noté F_p. Par suite le groupe des inversibles est d'ordre p-1 et le théorème de Lagrange implique que ses éléments vérifient n^{p-1}=1 ce qui fournit déjà p-1 racines au polynôme X^{p-1}-1\in F_p[X] de degré p-1. Bref, on obtient donc du fait que F_p est un corps, la relation X^{p-1}-1=(X-1)(X-2)\dots(X-(p-1)) et il ne reste plus qu'à identifier les coefficients constants.
#==Aspects historiques==
Là, je te laisse faire. Alexandre alexandre (d) 6 juillet 2010 à 12:52 (CEST)
replies: text: ok, je reprends la main. Je travaille au brouillon hors ligne et je balancerai tout d'un seul coup, mais je vous tiens un peu au courant pour si vous avez des remarques. La partie historique n'est pas mon fort non plus, mais je passe bcp de temps à scruter des sources sur le web. Ainsi je crois avoir découvert que la preuve de Lagrange n'est pas de 71 mais de 73 (cf page anglaise), et que celle d'Euler n'est pas antérieure (contrairement à ce qui est affirmé ici et dans la PdD de théorie des nombres) mais (au mieux) simultanée, puisque présentée à l'Académie de Saint-Petersboug le 15/11/1773. Je compte de même supprimer l'affirmation douteuseJe recopie ici la note (sans indication de page, donc je n'ai pas pu vérifier), censée justifier cette affirmation, en rajoutant l'ISBN :</br>Van Brummelen M. Kinyon Mathematics and the Historian’s Craft Springer New York 2005 </br>mon doute est à la fois mathématique et chronologique sur l'application par Euler de ce théorème pour prouver le théorème des 2 carrés, et plus généralement sur l'application aux équations diophantiennes. J'ai trouvé d'autres applis sur une page web d'agrégatif mais ce sont plutôt des exos rigolos que de vraies applis donc un lien externe suffira. Anne Bauval (d) 7 juillet 2010 à 04:05 (CEST)
replies: text:  ok, ok, bonne chance :) Alexandre alexandre (d) 7 juillet 2010 à 09:28 (CEST)
thread_title: Proposition de début d'article

message: « il vient : r + (n – 1) r = n » : non. Il vient seulement : r + (n – 1) r = un multiple de n. Je serais pour  enlever ce lien, il y a assez de démos « historiques », pour ce théo somme toute élémentaire, sans ajouter des TI. Anne Bauval (d) 20 juin 2011 à 23:48 (CEST)
replies: text: Fait Anne (d) 6 avril 2012 à 01:30 (CEST)
thread_title:  Récent lien externe 

message: Dans ses Disquisitiones arithmeticae (dont on peut lire une une traduction ici), Gauss donne bien les grandes lignes de la démonstration de Lagrange (p. 56 section 76) mais ne présente pas la démonstration d'Euler, on retrouve bien en p. 57, section 77 sa démonstration grâce aux éléments associés mais je me demande si Hawking  n'a pas péché par approximation en disant que Gauss aurait démontré le complément : si n est composé et différent de 4 alors (n-1)! est multiple de n. J'ai épluché les Disquisitiones arithmeticae sans avoir réussi à voir une telle allusion (le résultat a du lui paraitre trop simple pour être énoncé).
En revanche, il énonce une généralisation du théorème de Wilson (et donne quelques pistes de sa démonstration):
: si n est composé, le produit de tous les entiers inférieurs à n et premiers avec n est congru à +/- 1 modulo n (section 78)
Ce résultat n'aurait-il pas intérêt à être présenté dans notre article ? HB (discuter) 23 janvier 2015 à 11:26 (CET)
thread_title:  Gauss et le théorème de Wilson 

message: Le programme Python fournit pour le test de primalité utilisant le théorème de Wilson semble être buggé
    import math
    def isPrime(n):
        if n == 4: return False
            return bool(math.factorial(n>>1)%n)
pour n=9 (1001 en binaire)
n>>1 donne 4 (100 en binaire)
4! = 24
et 24%9 -> 6 (True)
La fonction isPrime retourne True pour n=9 ce qui manifestement est incorrect
Etonnamment le programme fonctionne pour toutes les autres valeurs testées jusqu'à 10000
    from arith_lib import is_prime
    for n in range(2, 10000):
        try:
            assert isPrime(n)==is_prime(n)
        except:
            print(f"Mismatch with n={n}")
       
Mismatch with n=9 
---
Je ne suis pas du tout convaincu de la pertinence de ce programme dans cette section (il n’est pas vraiment en lien avec le théorème de Wilson). De plus, il n’est pas sourcé, et il n’est même pas fait référence du langage de programmation utilisé. Comme l’a remarqué JAL314, le programme est faux pour n=9. Et on peut montrer assez facilement qu’il est correct en dehors de cette valeur (mais sans utiliser le théorème de Wilson). Pour cela, il suffit d’observer que :
* si p est premier, alors par intégrité de Z/pZ, comme 1, ..., p/2 sont tous non nuls, (p/2)! n’est pas congru à 0 modulo p.
* si p n’est pas premier, alors soit il existe 1 < q < r < p tels que p = qr, soit p = q^2 avec q premier. Dans le premier cas, q \geq 2, donc r = p/q \leq p/2 et donc (p/2)! = 1 ... q ... r ... p/2 donc p = qr divise (p/2)!.
Dans le second cas, si q \geq 4, alors (p/2)! = 1 ... q ... 2q ... p/2 et donc p = q^2 divise (p/2)!.
Le contre exemple donné par JAL314 correspond au second cas, p = q^2 avec q = 3, et qui ne vérifie donc pas l’hypothèse q \geq 4. 
: Vu que le programme n'a rien à voir avec le théorème de Wilson, je l'ai supprimé hier. --Wikimiako (discuter) 29 juillet 2021 à 10:23 (CEST)
replies: text:  Merci. HB (discuter) 29 juillet 2021 à 11:01 (CEST)
thread_title:  Programme informatique