Discussion:Principe du tiers exclu

message: (de MuPiKa)
Hello chers wikilogiciens, j'espère que vous allez bien, il y a longtemps que je ne m'étais pas baladé par chez vous !
Décidément, ce sujet est terriblement "piègeux".
J'ai nagé pendant des années et je crois y voir un peu plus clair maintenant. En particulier, il me semble indispensable de distinguer d'une part BIVALENCE et TIERS EXCLU et, d'autre part, les deux sens de la double négation.
Je tâche ci-dessous de faire une récapitulation.
Vous en ferez ce que vous voudrez, je n'ai ni l'habitude, ni la compétence nécessaires pour modifier directement l'article.
(Cela fait un an et demi et l'article est demeuré fautif, dommage...)
Abréviations :
  
"LL": Loi logique ;
  
"T": Tautologie associée ;
  
"PS": Principe sémantique associé.
  
"D": Pour Dummett ;
  
"Ł": Pour Łukasiewicz ;
  
"B": Pour Brouwer (Intuitionisme (le regretté Jean Largeault tenait mordicus à l'unicité du "n" !)).
  
"#": Contradiction (typiquement: ¬(0=0))
Donc "P⇒#" signifie "P est absurde". (NB: En ajoutant "démontrablement", c'est le sens de "faux" pour B.)
(Typo : Comme on a "∨" mais pas wedge, je mets "&" pour le "et" formel.)
 1) Non-Contradiction
    (souvent, étrangement, " Contradiction ")
   LL) Il n’est pas vrai que A et non(A)
    T) ¬[A & ¬A]
   PS) Aucun énoncé n’est à la fois vrai et faux
    D) " Principe d’exclusion "
    Ł) Deux propositions contradictoires ne peuvent
       pas être toutes deux vraies
 2) Introduction de la double négation
    (le sens qui ne fâche pas)
   LL) S’il est vrai que A alors il n’est
       pas vrai que non(A)
    T) A ⇒ ¬¬A
   PS) Tout énoncé qui est vrai n’est pas faux
    B) L’absurdité d’une proposition vraie
       est absurde (" Principe de stabilité ")
 3) Tiers-exclu (le vrai !)
   LL) Il n’est pas vrai que ni A ni non(A)
    T) ¬[¬A & ¬¬A]     i.e.     ¬¬[A ∨ ¬A]
   PS) Tout énoncé qui a une valeur de vérité
       est vrai ou faux
    D) " Tertium non datur "
    Ł) Deux propositions contradictoires ne
       peuvent pas être toutes deux fausses
       (Ł doit adopter cette forme faible)
 4) Bivalence (à tort " Tiers exclu ")
  LL) Il est vrai que A ou non(A)
   T) [A ∨ ¬A]
  PS) Tout énoncé est vrai ou faux
   B) Toute proposition est démontrable ou
      absurde (rejeté !)
 5) Suppression de la double négation
    (le sens qui fâche)
  LL) S’il n’est pas vrai que non(A) alors
      il est vrai que A
   T) ¬¬A ⇒ A
  PS) Tout énoncé qui n’est pas faux est vrai
   B) Que l’absurdité d'une proposition soit
      absurde suffit à la démontrer (rejeté !)
On a donc, en toute généralité :
 (1)⇔(2) (toutes deux disent Vrai et Faux s’excluent) ;
 (1)⇒(3) ((3) est (1) appliqué à ¬A).
Dans le cadre (1&2&3) (consensuel au bémol de Łukasiewicz près), on a :
 (5)⇒(4) (car (3) est ¬¬(4)) ;
 (4)⇒(5) (car (1) et l'hypothèse de (5) excluent ¬A).
(4) et (5) y sont donc équivalentes.
Comme (2) donne (1) et (3) ce qui, avec (5) en plus fournit (4), la double négation complète ((2)&(5)) :
               A⇔¬¬A
résume toutes les "lois logiques" !
Remarques à propos de Brouwer (qui iraient sans doute mieux ailleurs !) :
La distinction entre Tiers exclu (3) et Bivalence (4) est cruciale pour bien le comprendre, car il accepte (3) et rejette (4). En effet, toutes deux impliquent qu'il n'y a pas de tierce valeur de vérité mais (4), contrairement à (3),  implique en outre que toute proposition possède effectivement une valeur de vérité, ce qui est incompatible avec la conception intuitioniste de vrai-faux comme démontrable-démontrablement contradictoire : Il rejette (4) car il se peut qu’on n’ait (ou qu'il n'y ait !) ni dém de A, ni dém de [A⇒#]. Il est bien d'accord qu'une proposition ne peut pas être autre chose que vraie ou fausse (ce qui est impliqué par (3) et par (4)) mais il tient à ce qu'elle puisse n'être rien du tout (ce qui est compatible avec (3) mais pas avec (4)).
De même, il rejette (5) car qu’une dém de [A⇒#] donne la dém d’une # ne donne pas de dém de A (cela dit seulement qu’on ne peut pas démontrer ¬A, càd, dans son sens, qu’on ne peut pas démontrer [A⇒#]).
Il accepte (1) et (2) car si on a une dém de A, on peut effectivement former la dém d’une # à partir d’une dém de [A⇒#].
Il accepte (3) car à partir d’une dém de [A⇒#] et d’une dém de [(A⇒#)⇒#], on peut effectivement former la dém d’une #.
Remarques à propos de la dém par l'absurde (qui iraient sans doute mieux ailleurs !) :
Ne pas oublier que si elle repose évidemment sur (4)-(5) (ce pourquoi elle est invalide pour Brouwer), elle est surtout essentiellement fondée par la consistance du système ("Le faux ne peut être déduit que du faux"), ce qui, après Gödel, la rend problématique pour tout le monde...
Remarques à propos de l'expression "milieu exclu" :
Elle me semble fâcheuse car l'idée de "tiers" est plus générale (il ne s'agit pas de s'opposer aux logiques modales ou plurivaluée dont les énoncés, modalisés ou d'attribution de valeurs logiques diverses, sont simplement "vrais" ou "faux" dans le sens fondamental discuté ici).
Si l'on tient à reformuler, je pense qu'il vaudrait mieux dire "troisième", "tierce" ou "autre" et préciser "valeur de vérité".
Plus généralement, ne pensez-vous pas qu'il serait bon de faire une entrée "LOIS LOGIQUES" (avec tous les guillemets qu'on voudra autour de "loi" !) ?
Portez-vous bien !
Sources principales : Truth and other enigmas de Michael Dummett  (largement cité par Bouveresse, en particulier dans ses cours au Collège, spécialement celui du 13/02/2008 et ses derniers sur Leibniz). Pour Brouwer, essentiellement Largeault. (Et autres, et du perso, c'est d'ailleurs aussi pour ça que je ne me permets pas de modifier l'article directement !)
MuPiKa 12 août 2011 à 17:45 (CEST)
replies: text: Je me permets de compléter les excellentes indications de MuPiKa en donnant le lien vers la leçon de Bouveresse au Collège de France qu'il vient de mentionner :   Leçon de Bouveresse du 13 février 2008   ptyxs (d) 21 août 2011 à 15:23 (CEST)
replies: text: Tout ce qu'on peut dire c'est que pour améliorer l'article (ce à quoi cette page de discussion est destinée), il faudrait faire le tri entre ce qui vient des sources et le perso, l'indiquer (et alors intervenir sur l'article). A voir rapidement je suis un peu dubitatif, car la version 4.B est fausse en logique classique alors que la version 5.B est juste (que signifie qu'elles sont équivalentes ?). Dire que pour Brouwer une proposition ne peut être autre chose que vraie ou fausse pour affirmer ensuite qu'elle peut être "rien du tout", ce que je comprends comme "autre chose", me semble curieux (sûrement ça fait référence à quelque chose mais je ne comprends pas). Donc pour intervenir dans l'article, donner les définitions des termes employés (qui peuvent varier, dépendre des auteurs), référencer les sources avec précision.  Proz (d) 5 janvier 2013 à 12:31 (CET)
thread_title:  Suggestion de refonte 

message: La parenthèse dans l’intro est plutôt obscure et se contredit elle-même :
: En logique formelle, le principe du tiers exclu (ou « milieu exclu ») soutient que, de deux propositions dont l'une est la négation logique de l'autre, si l'une est fausse, l'autre est nécessairement vraie. La loi ou principe du tiers exclu affirme la disjonction d'une proposition p et de sa négation non-p : p ou non-p, donc si l'une est fausse, l'autre est vraie. Un objet existe ou n'existe pas, sans autre possibilité. (Attention à ne pas confondre le principe du tiers exclu avec le principe de non-contradiction qui affirme l'impossibilité de la conjonction d'une proposition p et de sa négation non-p : parmi p et non-p, si l'une est vraie alors l'autre est fausse. [pas clair])
Notez :
: [...] p ou non-p, donc si l'une est fausse, l'autre est vraie. [...] (Attention à ne pas confondre [...] si l'une est vraie alors l'autre est fausse. [...])
J’aimerais bien savoir s’il y a effectivement une différence entre principes du tiers-exclu et de non-contradiction, et si oui, laquelle...
--Denispir (d) 31 mai 2012 à 11:53 (CEST)
thread_title:  contradiction dans l'intro 

message: Remarque : message mis identiquement sur Discussion:Principe de non-contradiction, Discussion:Principe du tiers exclu et Discussion Projet:Logique
Bonjour, on a dans Principe de non-contradiction , soit non (p et non p) : 
*La « loi de l'alternative » (Robert Blanché) résulte de la conjonction de la loi de non-contradiction et de la loi du tiers excluRobert Blanché, La logique et son histoire d'Aristote à Russell, Armand Colin, 1970, p. 41-42..
Et on a dans Principe du tiers exclu, soit p ou non p : 
* La « loi de l'alternative » (Robert Blanché)  résulte de la conjonction de la loi de non-contradiction et de la loi du tiers exclu. A eux deux, ces principes participent à fonder la logique mathématique formelle dite classique.
Bon sachant,
*  qu'en logique classique :p ou non p <==> non (p et non p)
* et qu'en logique intuitionniste : p ou non p ==> non (p et non p) (réciproque fausse)
* évidemment la conjonction des 2 principes nous donne dans ces 2 logiques, simplement le tiers-exclu.
Quel est donc cette  mystèrieuse « loi de l'alternative » de Blanché, qui d'ailleurs à ma connaissance ne s'est exprimé que sur la logique classique, en ce qui concerne les logiques post-frégéennes ?
Bon, je n'ai pas sous le bras La logique et son histoire d'Aristote à Russell, (voir tout de même sur google book), mais je pense que ces ajouts parlant d'une « loi de l'alternative »  :
* ne relèvent pas d'une "règle" alternative quelconque à mentionner dans ces articles ... sérieux, le sujet est bcp trop élémentaire (fonctions unaires et binaires sur les booléens ;-) ), s'il y avait une alternative ça ce saurait.
* mais relèvent simplement d'une sur-interprétation d'une expression, sans doute à visée didactique, de Blanché pour expliquer la différence entre ces 2 principes.
Bref, sauf opposition (notamment de quelqu'un ayant l'ouvrage de Blanché et pouvant dire qu'il y a une subtilité que je n'aurais vue ), je compte supprimmer ces phrases dans ces 2 articles.
--Epsilon0   ε0 20 janvier 2014 à 23:05 (CET)
thread_title:  Quid de la « loi de l'alternative » ?