Discussion:Anneau de Dedekind

message: Il me semblait que c'était Kummer qui avait introduit la notion de nombre idéal, et que Dedekind en avait ensuite amélioré la définition.
Remarque pertinente, prise en compte et sourcée. Jean-Luc W (d) 29 mars 2008 à 11:55 (CET)
thread_title:  Kummer 

message: Pour parfaire la remarque finale de cette section, un exemple (non séparable) où B n'est pas fini sur A ? (comme module ou comme algèbre, ici c'est pareil ! ) Anne Bauval (d) 1 mai 2010 à 22:58 (CEST)
replies: text: Ce n'est pas le genre d'exemple qu'on peut sortir du chapeau comme ça. Voici un exemple "classique" dû à Schmidt (je ne suis pas capable de donner une référence correcte tout de suite).  Soit p un nombre premier, soit F_p(t) le corps des fractions rationnelles à coefficients dans le corps à p éléments. Sa clôture algébrique est dénombrable, donc il existe une série formelle s \in F_pt qui est transcendante sur F_p(t). Posons K=F_p(t, s^p)\subset F_p((t)). La valuation standard de F_p((t)) (correspondant à l'ordre d'annulation ou de pôle en t=0) induit une valuation discrète sur K. Soit R={f \in K | v(f) \ge 0} son anneau de valuation. C'est un anneau de valuation discrète, donc un anneau de Dedekind. Soit L=K[s]\subseteq F_p((t)). C'est une extension inséparable de K de degré p (car s^p\in K et s\notin K). La clôture intégrale R' de R dans L est un anneau de valuation discrète (la valuation sur L est induite par la valuation discrète sur F_p((t))). Cependant R' n'est pas fini sur R : supposons le contraire. Alors R' est libre de rang p=[L :K] sur R. Comme t est une uniformisante pour R et pour R' (qui sont tous deux l'intersection de F_pt avec leurs corps de fractions), et les corps résiduels de R et de R' sont égaux à F_p, cela contredit la formule qui dit le degré de l'extension est le produit de l'indice de ramification et du degré de l'extension résiduelle. Liu (d) 2 mai 2010 à 21:41 (CEST)
replies: text: ouaouh ! merci, c'est lumineux, même pour une "apprentie" comme moi (on l'est toujours ...). Mais effectivement trop long pour être inséré dans l'article (une ref fera l'affaire, un jour ou l'autre). Anne Bauval (d) 3 mai 2010 à 09:22 (CEST)
replies: text: L'article de F.K. Schmidt:http://www.springerlink.com/content/v473u2q204585667/fulltext.pdf (mais je ne lis pas l'allemand!). Il est expliqué dans S. Bosch, U. Güntzer et R. Remmert:"Non-Archimedean Analysis", page 50-52, d'une façon très (trop) détaillée. Liu (d) 22 mai 2010 à 17:37 (CEST)
thread_title:  Extension finie 

message: "A un anneau commutatif unitaire est de Dedekind ssi tout idéal premier non nul de A est inversible (inutile de supposer l'anneau intègre et noethérien, car de manière générale dans les anneaux commutatifs unitaires, tout idéal non inversible est inclus dans un idéal premier non inversible)." : j'ai des doutes, j'ai laissé un message à .
Anne Bauval (d) 4 mai 2010 à 15:29 (CEST)
replies: text: Bonjour, il s'agit du théorème 11.148 de Mathématiques Algèbre L3, A.Szpirglas, Pearson Education France, août 2009. Anne, tu peux aussi le lire dans le document pdf que je t'ai mentionné par mail perso aujourd'hui. Leon1789 (d) 13 mai 2010 à 11:55 (CEST)
replies: text: Merci ! C'est exactement de ça que j'avais besoin (sous Google livres je n'avais pas pu lire les bonnes pages, mais ça m'avait déjà mis l'eau à la bouche et j'avais demandé à la bibliothèque de le commander). J'ai tout mis dans les refs de idéal fractionnaire, et quand j'aurai digéré tout ça, j'améliorerai encore ces 2 articles ainsi que anneau de valuation discrète (sauf si je constate que tu prends le relais). Anne Bauval (d) 13 mai 2010 à 15:15 (CEST)
replies: text:  Ce résultat se trouve aussi dans les exercices de Bourbaki (Algèbre commutative, chapitre Diviseurs) Leon1789 (d) 18 mai 2010 à 13:22 (CEST)
replies: text: Oui, merci, j'avais vu ça ce matin, mais cette question me tracasse (cependant un peu rassurée par chap II § 1 exo 6.b). Anne Bauval (d) 18 mai 2010 à 13:54 (CEST)
replies: text: Je viens de te répondre sur cette question. Leon1789 (d) 19 mai 2010 à 23:36 (CEST)
thread_title:  Critère