Discussion:Théorème isopérimétrique

message: pas d'accord avec le début
il ne s'agit pas de n'importe quelle mesure, je m'explique :
en géométrie euclidienne, on déduit du produit scalaire l'existence d'une mesure naturelle sur tous les sous-espaces vectoriels
ou affines.
A priori la mesure de Lebesgue est définie à un facteur près, mais en chaque dimension on choisit celle 
qui vaut 1 sur le cube unité.
on a plus généralement une mesure naturelle sur toutes les sous-variétés de l'espace euclidien (avec les cubes infinitésimaux), 
et dans l'inégalité isopérimétrique "classique"
on compare la mesure d'un compact et la mesure (n-1) dimensionnelle du bord.
cette démarche peut se généraliser en géométrie riemannienne
mais déjà dans un espace normé dont la norme n'est pas euclidienne, on n'a pas de notion naturelle (en fait il y en a plusieurs, c'est compliqué)
de mesure (n-1) dimensionnelle 
une discussion de cette question se trouve dans Burago-Burago, Ivanov, A course in metric geometry, AMS graduate studies.
conclusion ; restons dans le cadre euclidien en disant pourquoi, avec éventuellement une extension au cas riemannien + tard
Jaclaf (d) 5 novembre 2008 à 16:13 (CET)
thread_title:  A propos de l'intro 

message: il me semblerait préférable de mettre le contenu de cet article dans "inégalité isopérimétrique"
pour la raison suivante
ce résultat fait partie d'une foule de résultats sur la même thématique
(triangles, polygones, inégalités dans les espaces à courbure constante, inégalités
faisant intervenir d'autres invariants géométriques etc...)
ci dessous quelques exemples élémentaires
=== point de départ : les rectangles ===
l'identité (a+b)^2-4ab=(a-b)^2
permet de voir que si A est l'aire,  P le périmètre d'un rectangle de côtés
a et b, on a
P^2\ge 16 A, l'égalité n'étant réalisée que pour les carrés.
Autrement dit, parmi tous les rectangle de même aire, c'est le carré qui a le
plus petit périmétre, et à l'inverse  parmi tous les rectangles de même
périmètre, c'est le carré qui a la plus grande aire.
=== Triangle ===
le "meilleur" triangle est équilatéral
(géométrie élémentaire : on peut diminuer le périmètre en gardant l'aire dès
que deux cotés sont pas de même longueur + une petite subtilité, on utilise
le fait que le minimum doit être réalisé)
L'inégalité explicite,un peu plus sophistiquée, 
est P^2\ge 12\sqrt 3 A
Jaclaf 6 janvier 2007 à 23:02 (CET)
thread_title:  Une approche plus élémentaire 

message: le "meilleur" triangle est équilatéral
(géométrie élémentaire : on peut diminuer le périmètre en gardant l'aire dès
que deux cotés sont pas de même longueur + une petite subtilité, on utilise
le fait que le minimum doit être réalisé)
L'inégalité explicite,un peu plus sophistiquée, 
est P^2\ge 12\sqrt 3 A
Jaclaf 6 janvier 2007 à 23:02 (CET)
thread_title:  Triangle 

message: Comme le fait remarquer Jaclaf, les théorèmes isopérimétriques peuvent aussi s'exprimer sous une forme plus élémentaire. Ils ne se limitent pas non plus au seul cas de la géométrie euclidienne, de la dimension 2 et de la mesure de Lebesgue. Même dans ce cas, il est plus naturel d'exprimer le théorème isopérimétrique comme le fait que le disque est la surface la plus vaste pour un périmètre donné. Supposer la frontière deux fois continument dérivable est un peu un artifice technique pour démontrer un résultat plus général et plus naturel.
Quitte à se restreindre au monde euclidien et à la dimension 2, la démonstration d'Hurwitz ne me semble pas la seule à mériter un commentaire. L'approche polygonale, celle de Steiner ou encore celle de Bonnesen permettent des généralisations plus aisées.
En conséquence, je propose une approche plus naïve pour l'article Isopérimétrie et traiter ici les théorèmes sous une forme un peu plus exhaustive. Le sujet est largement trop vaste pour être traité en deux articles. Je risque de me restreindre à l'étude de cas particulier comme celui euclidien, en négligeant sauvagement les valuations discrètes ou encore les questions associées aux probabilités, à la théorie des nombres au décompte du nombre de faces d'un polyèdre etc...
D'autres auront ainsi tout loisir d'enrichir le sujet en créant de nouveaux articles ou en enrichissant ceux existant. Jean-Luc W (d) 5 octobre 2008 à 16:09 (CEST)
thread_title:  Une approche plus exhaustive 

message: il faudrait un petit article à part sur Brunn-Minkowski. je vais tacher de m'en charger.Jaclaf (d) 21 octobre 2008 à 10:48 (CEST)
thread_title:  un commentaire 

message: on n'a pas besoin de C1 par morceaux mais simplement que la frontière soit une courbe de jordan.
Voir la page de discussion de  longueur d'un arc pour plus de détails.Jaclaf (d) 5 novembre 2008 à 13:27 (CET)
replies: text: Là, je trouve que tu pousses le bouchon un peu loin. On a besoin que la courbe soit dérivable au sens de Sobolev, c'est à dire que sa dérivée, au sens des distributions, soit représentable par une fonction intégrable au sens de Lebesgue. Un lacet simple de Jordan n'est pas nécessairement dérivable, même au sens de Sobolev. Jean-Luc W (d) 6 novembre 2008 à 11:08 (CET)
thread_title:  preuve dans le cas général 

message: on est en train (en tous cas Jean-Luc W et moi, de discuter simultanément deux articles (longueur d'un arc et celui-ci)
ils sont liés bien sûr. Et surtout dans tous les deux, même si le départ et élémentaire, des choses délicates et subtiles sont en
jeux.  Pour cet article, je suggère de séparer carrément la dimension 2 des dimensions supérieures  Jaclaf (d) 6 novembre 2008 à 16:58 (CET)
replies: text: Il me semble que le problème est de vérifier que l'optimum est atteint (pas qu'une certaine surface vérifie l'égalité isopérimétrique, parce que ça, en effet, c'est assez trivial, et montrer qu'elle est nécessaire suppose qu'on ait déjà montré que l'optimum est atteint, non ?). Classiquement, il me semblait qu'on montrait par le contre-exemple des polygones qu'il n'était pas clair que l'optimum soit atteint. Mais bon, c'est pas ma spécialité non plus ; en tout cas, au mieux, ce n'est aussi évident que ça qu'en 2D.--Dfeldmann (discuter) 17 janvier 2020 à 14:12 (CET)
replies: text:  C'est peut-être un peu pus clair dans l'article isopérimétrie. On ne démontre pas qu'un figure vérifie l'inégalité isopérimétrique, on dit en gros que si un optimum existe alors les propriétés de cet optimum ne peuvent donner qu'une figure précise, il reste alors à démontrer qu'elle est bien optimale en comparant alors l'aire de cette figure et l'aire d'une figure tordue(cela  peut se révéler difficile). Dans l'article isopérimétrie on présente le parallèle suivant :«Existe-t-il un maximum à l'ensemble des entiers naturels non nul? Si un tel maximum existe, il doit être plus grand que son carré, le seul maximum possible est  donc 1»; HB (discuter) 17 janvier 2020 à 15:29 (CET)
replies: text:  Je suis peut-être un peu neuneu, là, mais ce parallèle ne me convainc pas. L'inégalité isopérimétrique exige que toute surface (mesurable, etc.) de périmètre p donné ait un volume inférieur ou égal à p²/4π (tous les hommes ont une taille inférieure ou égale à 2 m). Le disque a justement un volume de p²/4π. Comment peut-il ne pas être maximal ? Bien sûr, il pourrait avoir des concurrents, mais pas plus volumineux. On doit douter de l'unicité mais non de l'existence... JC.Raoult (discuter) 16 février 2020 à 12:46 (CET)
thread_title:  quelques réflexions 

message: ce serait bien de profiter du fait qu'on a ici une propriété parlante, avec des variantes élémentaires
mais une démo qui montre la nécessité d'outils un peu sophistiqués
il faudrait : un article sur la dimension 2, en démarrant avec un énoncé accessible aux non spécialiste
puis quadrilatère ; triangle ; cas général ; polygone (les polygones en dernier car c'est quand même - intéressant)
et un autre article sur le cas général
Jaclaf (d) 7 novembre 2008 à 14:09 (CET)
thread_title:  proposition 

message: il y a un trou sérieux : il faudrait démontrer que le polygone extrêmal a exactement n côtés ; l'ensemble des polygones
à n cotés n'est pas fermé, sauf si n=3. Une suite de quadrilatères peut très bien converger vers un triangle.Lleuwen (discuter) 14 juin 2020 à 22:01 (CEST)
thread_title:  steiner