Discussion:Espace préhilbertien

message: L'objectif principal des préhilbertiens et de préparer les hilberts. En conséquence, je ne partage pas le point de vue de la discussion précédente :
:* Par défaut, on dispose uniquement d'une semi-norme. En conséquence, il est nécessaire de quotienter, tel est l'objet de l'article à mon sens. J'ajoute donc un exemple illustrant cette nécessité.
:* Une personne s'intéressant aux préhilbertiens se dirige vers l'analyse fonctionnelle. Il est supposé avoir un niveau minimal, maitriser le cas complexe me semble donc un acquis maitrisé. Si tel n'est pas le cas, les articles espace euclidien ou hermitien, voir produit scalaire sont à la disposition du lecteur. Je propose donc de déplacer les remarques sur la subtilité des formes polaires dans le cas complexe vers l'article hermitien (bien pauvre à l'heure actuelle). Dans le cas de l'analyse fonctionnelle, les complexes, c'est tout de même plus simple, je propose donc d'utiliser par défaut le corps K. Le terme produit scalaire est dans ce contexte toujours utilisé pour décrire le cas hermitien (en analyse fonctionnelle). Pour référence, on peut prendre le  ou le Lang Analyse Réelle, qui n'a pas de complexe sur le sujet, ou encore le Aubin Analyse fonctionnelle appliquée (qui cherche à être raz des paquerettes).
:* Les éléments clés d'un préhilbertiens à mon sens (ainsi qu'à celui des auteurs précités) sont : Le bon quotient pour obtenir un produit scalaire au lieu de semi-produit scalaire, l'existence d'une base hilbertienne (avec les bonnes hypothèses), la structure hilbertienne du dual, les bonnes topologies (avec sa topologie faible naturelle et abstraite) et enfin la complétude. Une fois ces éléments traités, il devient possible d'attaquer les Hilbert tranquilement. Jean-Luc W (d) 14 décembre 2007 à 11:09 (CET)
thread_title:  Refonte de l'article 

message: complet et dual ont besoin d'une désambiguation Randomblue (d) 14 décembre 2007 à 13:53 (CET)
thread_title:  désambiguation 

message: Est-ce que le lecteur est supposé connaître ces "cas précédents" dans "L'hypothèse de la dimension finie des cas précédents est volontairement omise." Randomblue (d) 14 décembre 2007 à 17:19 (CET)
thread_title:  Quels cas précédents? 

message: Je pense que (2) \quad \forall y \in C \quad < x - t(x) \, , \, y - t(x) > \; \le \; 0 ne veut pas dire grand chose. :) Randomblue (d) 14 décembre 2007 à 17:33 (CET)
replies: text: Beaucoup! :) Randomblue (d) 15 décembre 2007 à 23:17 (CET)
thread_title:  problème 

message: #L'importance me semble moyenne. Je ne sais pas noter l'avancement selon l'échelle de Wikipédia 1.0.
#:Nous sommes d'accord
#Il est dommage de parler d'entrée de définition sachant qu'il y a le syntagme espace préhilbertien non séparé. Il vaut mieux dire qu'un espace préhilbertien est un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. On pourrait d'ailleurs couper la phrase à cet endroit pour poursuivre avec « Cette structure étend ainsi les notions d'espace euclidien et d'espace hermitien à des espaces de dimension quelconque, non nécessairement finie. » Le reste du paragraphe peut alors sauter, ou plutôt être remplacé par la phrase suivante : « Le produit scalaire induit une norme qui fait de l'espace préhilbertien un espace normé donc topologique. »
#:Je réfléchis dessus
#::Je ne vois pas pourquoi il faudrait dire que  Les résultats énoncés dans l'article restent vrais en dimension finie, il ne me semble pas qu'il y ait lieu d'écarter ce cas. Simplement, on ne va pas y parler des propriétés qui ne sont vraies que dans le cas de dimension finie.
#Il est curieux de parler d'objectif pour une structure. Soit elle a été introduite dans l'objectif d'étudier [certains] espaces de fonction, auquel cas il faut une référence, soit elle est utilisée principalement dans cette optique.
#:Il y en a pourtant bien une. A la fois il est possible de le référencer (ce qui me semble une bonne idée) et d'expliciter brievement le contenu de quelques grands livre sur la question.
#::Je ne niais pas que les espaces préhilbertiens aient été introduits dans l'objectif d'étudier les espaces de fonction et je pense bien qu'il y a des références à l'appui de ce fait, mais je voulais dire que ce n'est pas l'objectif de la structure, c'est celui de ceux qui l'ont définie.
Très juste, une relecture m'a été nécessaire pour comprendre la pertinence de cette remarque.
#L'expression est maladroite dans ce deuxième alinéa, car la phrase  (au sens de non dégénéré) risque d'être comprise comme « le produit scalaire a un domaine de définition restreint. » Je propose comme reformulation à partir de la deuxième phrase : « La généralisation du produit scalaire hermitien canonique pour deux fonctions (de carré intégrable) est alors définie par l'intégrale du produit de l'une avec la conjuguée de l'autre. Cette forme sesquilinéaire définit bien un produit scalaire pour les espaces de fonctions continues, mais est dégénérée sur des espaces de fonctions plus généraux. Dans ce cas, elle est appelée semi-produit scalaire et l'espace est dit préhilbertien non séparé. L'existence d'un produit scalaire compatible avec une structure d'espace vectoriel topologique est en effet équivalente à la propriété de séparabilité, c'est-à-dire l'existence d'une famille dénombrable et dense de vecteurs. »
#:Hum, autant ma formulation est maladroite et la remarque est pertinente, autant je n'adhère pas avec la correction. Attention séparable et séparé sont très différents : séparable indique l'existence d'une famille dénombrable dense, séparé  indique que quelque soit deux points distincts il existe deux ouverts d'intersection vide et tel que chacun des ouverts contient un point. De plus il n'y a pas équivalence, il existe des espaces séparables ou séparés qui ne sont pas équivalent à des normes euclidiennes.
#::Tu as bien raison de rappeler que ces deux notions ne s'impliquent pas ni dans un sens ni dans un autre. L'insertion de la locution « en effet » est fautive dans ma formulation. Mais déjà dans la formulation actuelle la précision donnée de la séparabilité est mal expliquée.
Je dis juste : l'espace est séparable, c'est à dire qu'il existe une famille de vecteurs dénombrable et dense dans l'espace. Je n'imagine pas beaucoup plus m'expliquer, il existe un article pour cela. En fait je n'ai pas bien compris la remarque, je crois.
#Le troisième alinéa mentionne à deux reprises  sans que cette théorie soit identifiée pour le lecteur lambda. Je propose donc la reformulation suivante : « De nombreux résultats d'analyse fonctionnelle s'appuient sur une hypothèse supplémentaire : la complétude. Cette hypothèse n'est pas satisfaite par exemple par les espaces de fonctions continues de carré intégrable. Il existe cependant une procédure de complétion permettant d'étendre un espace préhilbertien de manière unique en un espace de Hilbert. »
Bonne remarque
La suite bientôt, Ambigraphe, le 14 décembre 2007 à 21:46 (CET)
thread_title:  Commentaires 

message: dans l'article figure : "Par exemple l'espace des fonctions continues sur un bornée ou de carré intégrable n'est pas complet.". Ce n'est pas vrai il me semble (dans le premier cas savoir de quoi on parle demande de préciser le borné et le prod scalaire, dans le second cas c'est faux : L2, une fois définie par passage au quotient, est complet), mais je n'ai pas su par quoi la remplacer : qu'as-tu voulu dire ? non séparé ? ou donner un autre exemple ? Peps (d) 15 décembre 2007 à 12:02 (CET)
replies: text: OK, effectivement, j'avais lu ça comme "fonctions (continues sur un bornée) ou (de carré intégrable)". J'ai fait le remplacement Peps (d) 15 décembre 2007 à 14:04 (CET)
thread_title: pas complet