Discussion:Nombre ordinal

message: L'article en anglais sur le sujet vient d'être très largement réécrit (surtout par moi), et je pense qu'il est maintenant de bonne qualité.  Il me semble que ce serait une bonne idée de refaire à zéro cet article en français en traduisant depuis l'anglais.  Pour ma part, après avoir passé une semaine sur l'anglais, je n'ai vraiment pas l'envie ou le courage de recommencer en français, mais si un traducteur fait le boulot, je suis prêt à relire. --Gro-Tsen 19 février 2006 à 23:35 (CET)
replies: text: Il est effectivement très complet. Mais c'est un gros travail de le traduire. Je pense qu'il vaudrait mieux le traduire petit à petit en l'incorporant dans l'article présent. Dans un premier temps, je peux me charger de la partie arithmétique. Theon 28 février 2006 à 18:53 (CET)
replies: text: Oui, peut-être presque trop complet, même (il y eu un peu de surenchère dans le « et je rajoute encore une petite précision »).  Je suggérerais plutôt de tenter la traduction/fusion dans l'ordre de l'article (notamment l'introduction, que j'espère ne pas avoir trop mal réussie, est certainement ce qu'il y a de plus important) ; mais bon, c'est celui qui fait qui a raison. --Gro-Tsen 28 février 2006 à 23:02 (CET)
thread_title:  Traduction depuis l'anglais ? 

message: D'où sort cette terminologie ?  Jamais entendu parler.  Si je ne m'abuse, c'est équivalent à "d'adhérence dénombrable".  En revanche, question terminologie, il faudrait au moins quelque part mentionner le nom de Cantor (il n'apparaît nulle part dans l'article !), parce que, là, la construction itérée des points d'accumulation c'est justement ce qui a conduit à l'introduction des ordinaux (c'est ce que Cantor cherchait à prouver), et le théorème ainsi démontré est celui de Cantor-Bendixson (tout fermé dans la droite réelle — ou sans doute dans n'importe quel espace polonais — est réunion d'un ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable) et l'ordinal <ω1 à partir duquel stationne la construction s'appelle le rang de Cantor-Bendixson. --Gro-Tsen 21 mars 2006 à 19:11 (CET)
replies: text: Sur la terminologie ensemble réductible, elle est utilisée par Baire. Voir également http://www.library.uu.nl/digiarchief/dip/diss/2004-0303-084333/c1.pdf. Sur les ensembles dérivés, il faut bien sûr citer Cantor, qui s'est lancé là-dedans en étudiant la convergence des séries de Fourier. J'avais l'intention de compléter l'article sur ce point et n'ai pas encore eu le temps de le faire, me contentant pour le moment d'une simple allusion. Sur le théorème de Cantor-Bendixson, il serait peut-être mieux placé dans l'article ensemble parfait. Autre complément possible pour le présent article, l'utilisation des ordinaux en topologie, source de multiples exemples et contre-exemples Theon 22 mars 2006 à 10:00 (CET)
thread_title:  Ensemble "réductible" 

message: Vraiment une bonne idée! Merci, je vole ça pour divers buts néfastes. Petit détail: il s'agissaitt de w^2 + 1, tandis que l'image réprésente w^2. Ce serait peut-être mal compris. -Daniel 10 mai 2006 à 22:26 (CEST)
replies: text: Le passage "il occupe une position notée ω. 2 × 3 est l'élément qui suit ω et occ" n est pas clair:  est ce " ω. 2 × 3" la formule ou "w", un point, et une autre phrase "2*3 ..." ?
zorgi
La phrase "il occupe une position notée [formule] est l'élément qui suit..." n'a aucun sens. Il s'agit bien évidemment de "il occupe une position [formule]. [une autre formule] est l'élément qui suit". Un point désigne un point :-). Le produit est indiqué par une croix ou par l'absence totale de symbole. Mais le texte sera effectivement plus lisible en mettant quelques retours à la ligne. Theon 30 mars 2007 à 09:38 (CEST)
thread_title:  Variante de l'ordre de Sarkovski 

message: Cet article est bien mais il ne parle pas de définition par récurrence sur un ordinal, ou sur la classe des ordinaux (on définit une classe), très utilisée en théorie des ensembles (hiérarchie de von Neuman par ex.).
Il me semble qu'il faudrait aussi préciser que la première définition, qui est en gros celle de Cantor (ordinal comme type d'ordre), ne fonctionne pas bien en théorie des ensembles style ZFC, car les classes d'équivalences sont des classes propres (donc on ne peut pas parler de la classe des ordinaux par ex.). Proz 26 juillet 2007 à 01:15 (CEST)
thread_title:  Remarques 

message: Ne doit-on pas initialiser la récurrence transfinie ?
VictorVVV (d) 28 mai 2009 à 20:57 (CEST)
thread_title:  Récurrence transfinie 

message: Il est (un peu) confusionnant que l'ensemble sous-jacent au bon ordre qui est présenté soit
l'ensemble des entiers naturels non nuls, qui est par ailleurs usuellement muni d'un autre bon ordre. Et si on le remplaçait par NxN (muni de l'ordre lexico) ? Anne Bauval (d) 14 juin 2010 à 15:17 (CEST)
replies: text: J'avais envisagé, sans clairement me prononcer. Je t'approuve plutôt, ça lèverait sans doute une partie des incompréhensions manifestées par Camion. Allez j'exécute, on pourra toujours me réverter. Touriste (d) 14 juin 2010 à 15:30 (CEST)
thread_title:  L'exemple de l'intro 

message: La mention des adjectifs cardinaux / ordinaux est juste introductive, le sujet est la notion mathématique. Zero-ième est rare. Pas de raison non plus de mettre en valeur une différence qui n'a pas de correspondance en math. La version initiale du 26/09/2011 était claire. Proz (d) 5 septembre 2011 à 19:56 (CEST)
replies: text: (Tu veux dire du 26/08.) Ma dernière mise en forme répondait juste à ce commentaire, dans lequel tu parlais du nombre ordinal 0 dont il n'est pas question dans cette phrase. J'aurais mieux compris, comme commentaire, qqchse comme : « cohérence avec l'ajout de zéroième ». L'adjectif ordinal zéroième est rare en effet (donc mérite sa source), mais puisqu'il correspond justement à l'incontournable nombre ordinal 0, mieux vaut àma le mentionner plutôt que l'omettre/digresser, comme avant/après ça. M'étant expliquée ici, j'ai retiré là-bas mes liens redondants qui, je suis d'accord, étaient malvenus. Anne Bauval (d) 5 septembre 2011 à 20:40 (CEST)
replies: text:  Oui, 26/08/2011. Je n'es pas été assez explicite : le sujet étant les nombres ordinaux, je ne trouve pas que ça vaille la peine de mettre en valeur une différence entre les adjectifs numéraux et cardinaux (zeroième est malgré tout beaucoup plus rare que zero), qui n'a pas d'équivalent en math., d'où ma suppression, le commentaire, et cette remarque. Je n'ai rien voulu dire sur les liens (mais effectivement ils sont redondants). La version actuelle convient aussi si elle ne pousse pas à gloser sur zeroième. Remarque annexe : Cantor commençait les ordinaux à 1. Proz (d) 5 septembre 2011 à 21:13 (CEST)
replies: text:  Ok avec cet accord, maintenant pour pinailler sur ce sujet peu important 1/ p.-e. par erreur j'aurais plutôt tendance à dire (et avoir entendu dire ?) que 0 est le 1er nb ordinal, 1 le 2ème, etc. Un peu comme le début de l'ère chrétienne commence avec l'an un. Qu'en pensez-vous ? 2/ avec tout le respect que j'ai pour le CNRTL qui le dit en effet, j'ai du mal à voir "zéorième" comme un hapax, même au moment de la rédaction de leur article. D'ailleurs un dictionnaire d'hapax est soit un dictionnaire de mots inventés soit est +- autocontradictoire, non ? --Epsilon0   ε0 5 septembre 2011 à 21:41 (CEST)
thread_title:  Paragraphe introduction 

message: Il me semble que la notation soustractive n'est pas très utilisée, elle n'est parfois même pas citée, voire on voit la soustraction utilisée de façon incompatible (alpha -1 pour le prédécesseur d'un ordinal successeur, ex. Kunen), bref ça me semble à laisser intégré au paragraphe addition, en mentionnant la propriété, et que parfois on note beta - alpha l'unique gamma tel que ... 
Pour la "division euclidienne" c'est un peu pareil.
Tout ça n'est pas essentiel, mais il s'agit de bien hiérarchiser et de ne pas mettre au même niveau les opérations essentielles et le reste. Ca me semble d'ailleurs correspondre en gros à ce que j'observe dans les bouquins de théorie des ensembles (après avoir jeté un coup d'oeil). Proz (d) 31 octobre 2012 à 20:49 (CET)
replies: text: Si tout ça n'est pas essentiel, pourquoi avoir changé l'article ? La preuve de l'existence de la division euclidienne est correcte et courte, c'est dommage de ne pas la mettre. D'autre part, on peut utiliser un nombre fini de fois la division pour construire la forme normale de Cantor, mais c'est assez maladroit. Plus directement, on observe que α < βα entraîne que α est isomorphe à un segment initial [0, f [, avec f une fonction à support fini de α dans β. Ensuite, on voit que le segment [0, f [ est isomorphe à \sum_{x\in\text{Supp }f}\beta^x f(x) , la somme étant prise dans l'ordre décroissant du support de f. Cette somme est la forme normale de Cantor de α en base β (comme par exemple décrit ici: http://planetmath.org/CantorNormalForm.html). Vincent Semeria (d) 6 novembre 2012 à 11:09 (CET)

text: Pour les raisons exposées (le 5 novembre). Votre suppression du refnec et le commentaire joint datent du 4 novembre. Vous répondez à une demande d'explication du 31 octobre. Il n'y a actuellement pas de preuves dans ce paragraphe, est-ce souhaitable de les ajouter ici, vu la forme actuelle de l'article ? Ca mérite discussion, et si oui il faudrait le faire de  façon cohérente (pour la "division euclidienne", c'est une conséquence de la croissance stricte de la multiplication à gauche par β et des propriétés de l'addition énoncées au dessus). Pour le reste de votre réponse : je ne crois pas que ce soit maladroit (à voir dans le contexte), mais si vous aviez raison cela justifierait d'autant plus d'être discret sur le sujet !  Proz (d) 8 novembre 2012 à 01:46 (CET)
thread_title:  Arithmétique ordinale 

message: Pour moi la forme normale de Cantor donne une écriture unique en base ω pour tout ordinal (sachant qu'il existe des points fixes pour alpha -> omega^alpha), et c'est je crois habituel. Ce paragraphe est très probablement lui aussi à corriger. Proz (d) 5 novembre 2012 à 01:59 (CET)
thread_title:  Forme normale de Cantor 

message: Au § Définition, l'article dit ceci :
*<<La première définition ne se formalise pas commodément dans une théorie des ensembles telle que ZFC, les classes d'isomorphismes des bons ordres (non vides) n'étant pas des ensembles (ce sont des classes propres).>>
Je ne suis pas sûr que ce soit tout-à-fait pertinent, bien que ces classes d'isomorphismes ne soient pas des ensembles. Bourbaki réussit à définir les types d'ordres sans passer par des classes propres. p. EIII.76 ex. 13 Michel421 (d) 31 juillet 2014 à 21:57 (CEST)
replies: text: C'est vrai, mais il utilise une forme forte de l'axiome du choix, le tau de Hilbert (du coup, AC est un théorème), qui lui permet de choisir un élément canonique dans toute classe : formellement, Bourbaki définit le quantificateur existentiel par (\exists x)P(x) si et seulement si P(\tau_ x(P(x))), donc \tau_ x(P(x)) est un objet vérifiant P, s'il en existe un.--Dfeldmann (discuter) 31 juillet 2014 à 23:21 (CEST)
thread_title:  Première définition (type d'ordre d'un ensemble bien ordonné)