Discussion:Structure (mathématiques)

message: Structure et mathématiques voilà un vaste sujet qui a fait coulé beaucoup d'encore à la fois chez les matheux et chez les historiens (je ne suis pas compétent en philo et n'en parlerait donc pas).
La question s'est posée de multiple fois et se pose encore de l'utilité de la structure. Quitte à être paradoxal, je dirais que la réponse a été souvent négative, et qu'après presque un siècle de victoire, cette idée est en perte de vitesse. La vision de touriste correspond à un vaste mouvement, probablement majoritaire maintenant en mathématiques.
La première structure que je connais est celle d'Euclide. On y trouve les fondements des nombres et de la géométrie. Elle ne tient pas la route et on découvre rapidement que la racine de deux pose problème, c'est une longueur mais pas un nombre au sens de l'époque, pourtant toute longueur devrait être un nombre. La réponse finale n'est donnée qu'à la fin du XIXe siècle avec l'article définitif de Dedekind Ce que sont et doivent être les nombres. Entre temps, on a développé les maths sur une structure déficiente. Parmi les recherches les plus fructueuses, on peut parler du calcul infinitésimal maintenant renommé calcul différentiel fondé sur un défaut structurel tel que David Hilbert l'un des plus grand nom de son temps parle de cancer de l'esprit vers 1880 sur les techniques utilisées. Une bonne structure n'est donc pas nécessaire pour faire des bonnes maths.
Le  voit un changement de statut à cet égard, une bonne structure peut être la clé pour de bonne maths. En 1801 Gauss publie un scoop Recherches arithmétiques. Il met en évidence deux structures, mais pas au sens moderne du terme. Il regarde des questions d'arithmétiques à l'aide d'objets que l'on qualifiera plus tard de groupe abélien fini et d'anneau euclidien. Il remarque, en terme moderne, que si un ensemble équipé d'une ou deux lois (groupe ou anneau) possède de bonnes propriétés (qui ne seront jamais vraiment explicitées) alors un certains nombres de résultats sont vrais. Il trouve comment dessiner un polygone régulier à 17 cotés, sujet sur lequel les maths sont restées sèches pendant plus de 2000 ans. Une structure est essentiellement un certains regard sur les choses. La nécessité de formalisation n'est pas évidente. Tant qu'aucun théorème ne semble pouvoir être démontré à l'aide d'une formalisation adéquate, à quoi bon structurer plus avant ? Telle était l'opinion de Gauss.
A la même époque, les espaces vectoriels (vaste sujet d'importance primordiale pour la notion de structure) sont pour la première fois formalisés. L'objectif est ici didactique, c'est un livre élémentaire qui n'a aucune répercussion sur les matheux. La formalisation est d'ailleurs trop peu puissante pour servir au maths de l'époque. Dans les années 1830, Grassman propose une formalisation sur le sujet pas loin d'être parfaite, c'est un échec. A quoi bon apprendre un nouveau formalisme (c'est toujours long de se familiariser avec une nouvelle structure) si aucun théorème n'est à la clé.
Galois trouve une nouvelle structure, souvent considérée comme à l'origine de l'algèbre moderne. Le problème de la résolution d'une équation algébrique par radicaux est lié à un système de symétries. Encore une fois l'échec est patent, pour Gauss, la résolution d'une équation polynomiale n'a pas d'intérêt. Pour les autres le texte est confus. Chose étonnante, pour un lecteur moderne il est d'une visionnaire clarté. Quand 20 ans plus tard Liouville puis les autres découvrent que la structure de Galois est l'une des plus fructueuse en maths, ils développent des textes avec un formalisme d'une lourdeur qui les rend maintenant difficile à comprendre. Ici, il faut comprendre structure au sens de Gauss, la formalisation n'a pas le sens de maintenant. Une structure est un regard sur les maths pas une définition, Galois parle de groupe formel, mais ne va pas plus loin. Pour les français Galois signifie en terme moderne l'étude de la structure des groupes finis, pour les allemands celles des corps commutatifs. Tant que les mots ne sont pas définis chacun voit midi à sa porte.
Les allemands se jettent sur l'approche structurelle, comme la vérole sur la bas-clergé. Kummer, Kronecker, Dedekind, Weber, Frobenius en sont les chantes. A l'époque, il est essentiellement algébrique même si les conséquences impactent toutes les branches des mathématiques. L'école de Berlin fait preuve d'un dogmatisme étonnant. Kronecker considère comme nul et non avenu tous les travaux sur les nombres transcendants (avec les structures algébriques de l'époque, ils n'existent pas). Pour lui démontrer que pi est transcendant, c'est démontrer une propriété sur un objet inexistants. Si des structures au sens moderne comme les espaces vectoriel de Péano sont aussi développés, tout le monde s'en moque. Une fois encore, modifier un formalisme n'a pas d'intérêt sans théorème à la clé.
C'est toujours à la fin, quand le terrain a été largement débroussaillé que la structure apparaît sous forme de définition, en pratique presque toujours entre 1890 et 1900 (pour les corps, les groupes ou les anneaux).
Un autre enjeu finit par poindre, il est largement lié au problème du cinquième postulat d'Euclide, sur lequel la communauté mathématique reste sèche. On finit par comprendre que le problème est de nature de la logique. Avec Euclide, tu ne peux même pas démontrer rigoureusement que si une droite traverse une arête d'un triangle, il finit nécessairement par ressortir par une autre arête.
Suite pour plus tard ... dérive de la notion de définition au profit d'une nouvelle idée l'axiome, apport didactique d'une structure, victoires patentes de l'approche structurelle, vers un tout structure de Bourbaki, mais aussi échec, puis déclin de l'approche. Jean-Luc W (d) 20 décembre 2007 à 12:41 (CET)
replies: text: Je voudrais juste interroger l'idée du déclin du point de vue structure : d'où tu tiens ce point de vue ? Est-ce le tien, ou as-tu des textes qui défendent ça ? Je pense notamment à la théorie des champs, qui, me semble-t-il, est une continuation de ce point de vue (mais je me plante peut-être largement), et qui est vivace. Salle (d) 20 décembre 2007 à 19:11 (CET)
replies: text: Je faisais référence à la critique du point de vue de Bourbaki, par exemple sur les probas. Biensur tout est relatif, il n'est pas question de dire que l'idée de structure est morte, se serait un non-sens. Mon propos est que l'importance d'une démarche structurelle évolue au cours du temps. Oui, j'ai vu des textes (par exemple d'Alain Connes si ma mémoire est bonne), j'ai aussi vu des textes opposés (A l'Ecole Normale Bourbaki était loin d'être mort dans les années 80 et mes propos auraient fait bondir). En fait, le propos tel que je l'énonce est trop dangereux (même sourcé), alors que l'aspect mouvant de l'importance des structures dans les différents domaines n'est pas si polémique. En fonction du plan de Bap, je proposerais des références, à valider avec toi, Peps et d'autres. Jean-Luc W (d) 21 décembre 2007 à 18:12 (CET)
thread_title:  Quelques idées sur la structure en mathématiques 

message: A l'époque (1936-1938) la notion de structures n'est pas nouvelle même si elle prend un relief particulier chez Bourbaki. J'invite les wikipédiens rédacteurs à lire le court exposé de Glivenko "théorie générale des structures", actualités scientifiques et industrielles n°652, Hermann, 1938, voire, dans la même collection le n°362 de Ore, "l'algèbre abstraite", 1936.Claudeh5 (d) 28 décembre 2007 à 21:52 (CET)
replies: text: Je n'ai pas ces textes à disposition, mais si tu veux bien en faire une synthèse (et ajouter les références en bibliographie), ce sera très instructif ! Bap (d) 30 décembre 2007 à 12:42 (CET)
thread_title:  a propos de structures 

message: Vuillemin est cité mais Serres, qui était à Clermont-Ferrand à la même époque,  a poussé beaucoup plus loin l'application du concept de structure en philosophie, puisque toute son œuvre en est profondément imprégnée. C'est sans doute le plus structuraliste des philosophes, car il reste fidèle à la définition bourbakienne de la structure. Stephaneamiot (discuter) 13 mars 2023 à 07:50 (CET)
thread_title:  Michel Serres