Discussion:Anneau euclidien

message: bonjour
écrire un mot entre crochets correspond à faire un lien externe dans la syntaxe wiki. Cet article a donc été repéré par les bots comme un repaire de liens cassés...vu le nombre de fois où l'expression [X] a été utilisée !
Y aurait-il moyen de modifier cela ? Merci d'avance VonTasha 24 octobre 2006 à 15:22 (CEST)
thread_title:  Crochets 

message: Il reste encore du travail sur les sthasmes euclidiens, mais à ce détail près, je ne vois pas très bien quoi ajouter. Degré d'avancement B me semble juste. Jean-Luc W 20 août 2007 à 22:01 (CEST)
thread_title:  Evaluation 

message: Une tout autre question : l'image d'Euclide reproduite dans l'article est donnée comme une peinture du 18 siècle. Je ne prétends pas être un connaisseur, mais à mon avis, c'est plutôt la plastique du 15 siècle ou des premières années du 16. La mention erronée de l'origine mégarienne d'Euclide le mathématicien, qui correspond aux idées de l'époque de Dürer (voir ici) me semble aller dans ce sens.
J'ai fait une recherche d'images par Google sous "Euclide". Cela fournit pas mal de pages où cette peinture est reproduite, mais on n'indique jamais son auteur ni sa date.
Marvoir (d) 24 février 2008 à 10:44 (CET)
replies: text: Il suffit de lire les informations sur common : il s'agit d'une peinture de Juste de Gand de 1474 (environ) et cela est aussi précisé sur ce site. Je modifie en conséquence la légende. HB (d) 24 février 2008 à 11:03 (CET)
thread_title:  Légende du "portrait" d'Euclide 

message: Dans l'article, section "Stathme euclidien", il est dit que les applications v considérées (et notamment le degré d'un polynôme) sont des valuations.
D'après l'article Valuation, une valuation v doit, par définiition, satisfaire à cette condition :
* v(x+y) \geq \min(v(x),v(y)).
Il me semble que ceci n'est pas vrai si v est la fonction "degré d'un polynôme". (Prendre deux polynômes de même degré et de coefficients dominants opposés.)
En fait, l'article Valuation dit que c'est l'opposé du degré qui est une valuation. Mais là, les valeurs sont négatives, donc on ne peut pas parler de stathme.
La valeur absolue dans Z n'est pas non plus une valuation. Par exemple, \vert 5 + (-3) \vert n'est pas \geq \min(\vert 5 \vert, \vert -3 \vert).
Ne vaudrait-il donc pas mieux éviter de mentionner les valuations ?
Marvoir (d) 24 février 2008 à 13:14 (CET)
replies: text: Même tout simplement |ab| n'est pas égal à |a|+|b| . Valuation à supprimer de l'article  -  à ma plus grande confusion car je fus la première à l'introduire en la confondant avec le stathme. HB (d) 24 février 2008 à 13:28 (CET)
replies: text:  Je vais essayer de faire le travail.
Marvoir (d) 24 février 2008 à 14:03 (CET)
thread_title:  Faut-il parler de valuations ? 

message: Bon. J'ai adopté la définition d'un stathme donnée par Perrin et, en conséquence, j'ai désigné comme stathmes d'un type particulier ceux qui donnent à tout produit une valeur au moins égale à celles de ses facteurs.
Vu le rôle important joué par les stathmes du second type, il vaudrait peut-être mieux appeler les premiers "préstathmes" et les seconds "stathmes" (ce qui serait grosso modo conforme à F. Dress et allégerait l'expression).
Seulement, pour ma part, je suis saturé...
Marvoir (d) 24 février 2008 à 16:52 (CET)
thread_title:  Stathme ou préstathme ? 

message: J'ai un peu modifié le style pour simplifier la lecture et homogénéiser la présentation. L'objectif est de garder la ligne éditoriale que propose Marvoir indiscutablement meilleure que la précédente : ne pas doublonner les informations présentes dans les autres articles et insister sur le concept de stathme aux multiple définitions.
En revanche j'ai retranché l'information indiquant que l'axiome du choix est nécessaire pour établir qu'un anneau principal est factoriel (cf la démonstration dans anneau factoriel qui ne l'utilise pas) et ajouté des liens vers les différents articles de l'encyclopédie où se trouve le savoir présenté dans cet article. Jean-Luc W (d) 26 mars 2008 à 12:10 (CET)
thread_title:  Modification du style 

message: Dans le paragraphe formalisation il est écrit que les anneaux factoriels sont un cas particuliers des anneaux de Dedekind, ce qui est faux car les anneaux de Dedekind sont noetheriens mais pas les anneaux factoriels.
Pourrait-on changer la formulation.--Cbigorgne (d) 28 mars 2008 à 14:11 (CET)
thread_title:  Anneaux factoriels et anneaux de Dedekind 

message: Dans la section "Définitions", on lit :
"En revanche un préstathme est moins commode à utiliser, la compatibilité de la relation de pré-ordre introduite par la division et celle de l'ensemble d'arrivé du stathme s'avère bien pratique, comme on peut le constater dans la démonstration du caractère non euclidien d'un anneau principal dans l'article Anneau principal"
Il ne me semble pas qu'on gagne quelque chose à utiliser un stathme (préstathme croissant) plutôt qu'un préstathme dans la démonstration donnée dans l'article Anneau principal du fait que l'anneau \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}] n'est pas euclidien. Soit, par absurde,  v un préstathme sur cet anneau. Parmi les éléments non nuls non inversibles de l'anneau, choisissons-en un, soit x, tel que v(x) soit minimal. Alors tout élément de l'anneau est congru modulo x à 0 ou à un élément inversible. En effet, soit a un élément de l'anneau. Il existe q et r dans l'anneau tels que a = qx + r avec r = 0 ou v(r) < v(x). Par minimalité de v(x), il en résulte que r est nul ou inversible. Comme dans la démonstration donnée par Perrin, on en tire une contradiction.
Marvoir (d) 28 mars 2008 à 18:10 (CET)
thread_title:  Le préstathme est-il vraiment moins commode que le stathme ? 

message: J'ai supprimé des choses qui ne me semblent pas avoir de signification ou n'en avoir qu'une fausse et j'ai rendu la terminologie de certaines démonstrations conforme aux nouvelles démonstrations.
Dans la nouvelle présentation, on est obligé d'utiliser dans la section "Propriétés d'un anneau euclidien" des propriétes des stathmes qui ne seront démontrées que plus loin. Cela ne me semble pas un gain.
Marvoir (d) 29 mars 2008 à 09:31 (CET)
thread_title:  Incohérences. 

message: Dans l'article, section "Propriétés", sous-section "Stathme", on lit :
"Soient a et b deux éléments non nuls de A, le stathme w peut être choisi tel que tout couple (q, r ), solution de la division de a par b par rapport à w soit aussi solution de la division par rapport à v."
Cela ne me semble pas évident à première vue.
Considérons l'application v de Z - {0} dans N telle que v(n) = n si n > 0 et v(n) = 2 |n| si n < 0. C'est un préstathme (noter que, dans la division euclidienne usuelle dans Z, on peut toujours prendre le reste supérieur ou égal à 0).
Le stathme w construit comme dans l'article à partir du préstathme v est le stathme usuel (valeur absolue) sur Z.
Dans ce cas-ci, il n'est pas vrai que "tout couple (q, r ), solution de la division de a par b par rapport à w soit aussi solution de la division par rapport à v". Par exemple, pour a = 13 et b = 3, le couple q = 5 et r = -2 convient pour le stathme w (valeur absolue), mais pas pour le préstathme v, car v(r) = v(-2) = 4 et v(b) = v(3) = 3, donc il n'est pas vrai que v(r) < v(b).
Il me semblerait donc utile de démontrer l'assertion citée ou d'en donner une référence. (Pour ma part, j'ignore si elle est vraie.)
Marvoir (d) 29 mars 2008 à 10:56 (CET)
thread_title:  Peut-on vraiment choisir le stathme w comme indiqué ? 

message: :Tant mieux. Il y a encore quelque chose qui me gêne. Dans la section "Propriétés", sous-section "Stathme", on lit :
::"Le stathme w peut être choisi plus petit que le préstathme v, cela signifie qu'une solution au moins d'une division par rapport à w est aussi solution de la division par rapport à v :
::Soient a et b deux éléments non nuls de A, le stathme w peut être choisi tel qu'il existe un couple (q, r ), solution de la division de a par b par rapport à w qui soit aussi solution de la division par rapport à v."
:Le "cela signifie" me semble risqué. Il semble dire que si un stathme w est inférieur (ou égal) à un préstathme v, alors pour tout a dans A et tout b dans A - {0}, il existe un r congru à a modulo b tel que (si r est non nul) on ait à la fois v(r) < v(b) et w(r) < w(b). C'est vrai pour le stathme w qu'on construit à partir de v dans l'article, mais je ne sais pas si c'est forcément vrai pour tout stathme w tel que w \leq v.
Parfaitement d'accord, je l'ai écrit en ayant une idée fausse en tête.
:Ensuite, le second alinéa que j'ai cité me semble faire double emploi avec le premier. De plus, ce second alinéa me semble mal rédigé. Il donne l'impression que le stathme w dépend des éléments a et b, et qu'un autre choix de a et b fournirait un autre w. Il me semble qu'il faudrait plutôt dire 
: "Le stathme w peut être choisi tel que pour tout a dans A et tout b dans A - {0}, il existe un couple (q, r ), solution de la division de a par b par rapport à w qui soit aussi solution de la division par rapport à v."
Encore un point de convergence. Si la question du choix du stathme est manifestement importante, par exemple pour des questions de vitesse de convergence d'algorithme. En revanche, la propriété décrite me semble d'un apport trop faible pour éclairer la lanterne d'un lecteur curieux.
:Enfin, ce fait ne me semble pas très important. Ne suffirait-il pas de le noter après la démonstration de l'existence du stathme w ? (On mettrait : "Remarque : nous avons vu que v(r_{0}) < v(bc_{0}) = w(b); comme w \leq v, nous avons donc v(r_{0}) < v(b); ceci montre que w peut être choisi tel que pour tout a dans A et tout b dans A - {0}, il existe une division de a par b euclidienne à la fois pour v et pour w.")
La solution que vous préconisez me semble meilleure que l'état actuel. Je me demande néanmoins si la solution de reverter totalement le second alinéa n'est pas une meilleure idée.
:Ceci dit, pour ma part, je ne relèverais pas ce fait.
En conclusion, je partage votre analyse. Ma tendance naturelle serait plus drastique. Je vous propose d'agir comme vous le sentez, si votre position n'est pas modifiée nous choisirons votre point de vue, si vous être convaincu de l'inutilité du second alinéa, autant le supprimer carrément. Jean-Luc W (d) 29 mars 2008 à 15:41 (CET)
replies: text: Marvoir (d) 29 mars 2008 à 13:40 (CET)
thread_title:  Autre imprécision 

message: A-t-on un exemple anneau euclidien dans lequel aucun stathme n'est multiplicatif ? Anne (d) 24 juin 2013 à 19:30 (CEST)
replies: text: C'est une question ouverte, si on en croit stackexchange, où il y a une référence à "the remark following Proposition 2.2 in Franz Lemmermeyer's excellent survey The Euclidean algorithm in algebraic number fields.". La référence est d'ailleurs sur Internet, voir page 5. Marvoir (d) 25 juin 2013 à 10:06 (CEST)
replies: text: Merci ! je vais le rajouter ici et dans Norme de Dedekind-Hasse. Anne (d) 25 juin 2013 à 11:35 (CEST)
thread_title:  Multiplicativité