Discussion:Fraction continue

message: Je désapprouve fortement le choix du titre. La traduction correcte est "fraction continue", qui est une expression insécable. Une fraction continue n'est pas une fraction et n'est pas continue au sens habituel de la continuité en mathématiques. La tradition terminologique francaise est fixée depuis longtemps et ce n'est pas a Wikipedia de chercher a la changer. Kilom691 30 août 2005 à 10:38 (CEST)
thread_title:  Fraction continuée ou fraction continue ? 

message: Copié depuis Discuter:Racine carrée de deux, où il y aura peut-être plus de réponses qu'ici.
Bon, il semblerait que Dieudonné voulût qu'on dît fraction continuée, mais moi, je ne veux pas, alors ce n'est pas un argument. Plus sérieusement, il me semble que l'usage est de dire Fraction continue. Je n'ai jamais entendu un collègue dire autre chose. Nous n'avons pas à nous poser en prescripteurs, et à aller contre l'usage. Quelqu'un pense-t-il que fraction continuée est répandu?Salle 21 septembre 2006 à 16:10 (CEST)
thread_title: Fraction continue ou continued fraction?

message: Voila, je doute:
"fraction continuée" sous Google: 773 resultats.
"fraction continue" (ce qui me semble plus approprie): 23 300 resultats...
Ne pourrait-t-on pas changer de nom ?
Ico83 28 septembre 2006 à 11:33 (CEST)
thread_title:  doute ... 

message: À la demande générale, l'article a été renommé en fraction continue (terme plus usité) et tant pis pour Jean Dieudonné... --HB 28 septembre 2006 à 12:27 (CEST)
thread_title:  Renommage 

message: Si les fractions continues "descendent vers le bas", les fractions continues ascendantes "montent vers le haut" ! Je ne connaissais pas avant d'avoir assisté à une conférence de Benoît Rittaud qui a écrit "Le fabuleux destin de \sqrt2" (Editions Le Pommier 2006 - ISBN 9-782746-502758) --Claudius 15 octobre 2006 à 19:25 (CEST)
thread_title: Fractions continues ascendantes

message: Les trois remarques de Claude sont incontournables. L'article déjà bien chargé devient alors trop lourd. Je pense que la solution la plus viable est de transférer les calculs d'approximants de padé dans l'article Approximant de Padé et de condenser les deux applications Equations de Pell-Fermat en une seule dans le paragraphe Nombre quadratique.
L'article devient plus léger, plus abordable et un bon système de liens ne pénalisera pas le lecteur expert. Jean-Luc W (d) 16 juin 2008 à 10:33 (CEST)
thread_title:  Conclusion 

message: === Dans l'introduction ===
*La « forme » est ambigüe pour qui ne connait pas le sujet : il ne s'agit pas d'une expression algébrique finie, mais d'une écriture incomplète à la manière des π = 3,14159… Il faut impérativement expliquer dès la première phrase que cette expression est en général infinie et relève donc plutôt de l'analyse réelle. (Tiens, d'ailleurs on n'en fait pas avec les p-adiques ?) Mais comment expliquer cela proprement sans rentrer dans des détails lourdingues ? Peut-on chercher quelque chose qui aille un peu dans le sens suivant :
 OK sur presque tout, je n'achète pas tes p-adiques. 
*:En mathématiques, une fraction continue ou fraction continuée est un système d'écriture différent de la notation décimale classique pour un nombre réel, utilisant des fractions étagées de la forme : [image] 
*:les expressions finies fournissant une approximation dont la précision croît avec le nombre d'étages. […] 
*Il est inutile de graisser chaque occurrence du titre de l'article. 
*Peut-être que la notion de « meilleure approximation » pourrait être amenée par l'expression « en un certain sens » afin d'évoquer une justification mathématique sous-jacente, plutôt que par « d'une manière générale » qui n'est pas très claire (qu'est-ce qui est généralisé ?) 
*La phrase  n'est pas utile. Il est suffisant de dire qu'elles sont déjà usitées par les mathématiciens indiens (de quel Moyen-âge d'ailleurs ? C'est le même que le nôtre ?) Le nombre de mathématiciens ayant planché dessus au XXe fait un peu sensation sans pouvoir être apprécié correctement par le lecteur moyen : ça fait beaucoup ou pas ?
La citation n'est pas utile . Moyen-Age d'ailleurs, préciser dans l'introduction me semble trop lourd, ce qui veulent des précisions ont la partie historique pour répondre à cette question. 1500 c'est beaucoup ? : suffisamment pour que l'article ne soit pas exhaustif et que de vastes parties du sujet ne puissent être traitées (c'est l'objectif de la phrase).
*Enfin, la notation utilisée dans le corps de l'article pourrait être évoquée dans l'introduction, par exemple à la fin du premier alinéa. 
Ambigraphe, le 16 juin 2008 à 17:24 (CEST)
thread_title:  Relecture d'Ambigraphe 

message: *La « forme » est ambigüe pour qui ne connait pas le sujet : il ne s'agit pas d'une expression algébrique finie, mais d'une écriture incomplète à la manière des π = 3,14159… Il faut impérativement expliquer dès la première phrase que cette expression est en général infinie et relève donc plutôt de l'analyse réelle. (Tiens, d'ailleurs on n'en fait pas avec les p-adiques ?) Mais comment expliquer cela proprement sans rentrer dans des détails lourdingues ? Peut-on chercher quelque chose qui aille un peu dans le sens suivant :
 OK sur presque tout, je n'achète pas tes p-adiques. 
*:En mathématiques, une fraction continue ou fraction continuée est un système d'écriture différent de la notation décimale classique pour un nombre réel, utilisant des fractions étagées de la forme : [image] 
*:les expressions finies fournissant une approximation dont la précision croît avec le nombre d'étages. […] 
*Il est inutile de graisser chaque occurrence du titre de l'article. 
*Peut-être que la notion de « meilleure approximation » pourrait être amenée par l'expression « en un certain sens » afin d'évoquer une justification mathématique sous-jacente, plutôt que par « d'une manière générale » qui n'est pas très claire (qu'est-ce qui est généralisé ?) 
*La phrase  n'est pas utile. Il est suffisant de dire qu'elles sont déjà usitées par les mathématiciens indiens (de quel Moyen-âge d'ailleurs ? C'est le même que le nôtre ?) Le nombre de mathématiciens ayant planché dessus au XXe fait un peu sensation sans pouvoir être apprécié correctement par le lecteur moyen : ça fait beaucoup ou pas ?
La citation n'est pas utile . Moyen-Age d'ailleurs, préciser dans l'introduction me semble trop lourd, ce qui veulent des précisions ont la partie historique pour répondre à cette question. 1500 c'est beaucoup ? : suffisamment pour que l'article ne soit pas exhaustif et que de vastes parties du sujet ne puissent être traitées (c'est l'objectif de la phrase).
*Enfin, la notation utilisée dans le corps de l'article pourrait être évoquée dans l'introduction, par exemple à la fin du premier alinéa. 
Ambigraphe, le 16 juin 2008 à 17:24 (CEST)
thread_title:  Dans l'introduction 

message: J'achète tout, sauf les p-adiques. Je les ai sauvagement sabré de l'article (d'où ils n'étaient pas présents avant mon intervention). Les p-adiques ne sont pas encore traités sérieusement dans WP. Le malheureux qui voudrait apprendre quelque chose sur le sujet ne trouverait qu'une abominable impasse sur presque tous les aspects bien riches de cette question. Salle me suggérait de m'y mettre, mais il y a encore trop de trous en théorie des nombres vision algébrique. Pour les experts, j'annonce que l'on va un peu parler de fractions rationnelles. 
Si je n'ai pas pris en compte la remarque sur les 1500 chercheurs c'est que je ne sais pas comment m'y prendre. Je ne veux pas prendre plus de place pour couvrir dans l'introduction un paragraphe somme toute petit. Jean-Luc W (d) 16 juin 2008 à 19:00 (CEST)
thread_title:  Remarques 

message: *Le conflit de traduction est exagérément mis en vedette. Il peut être mis en note juste après l'expression « fraction continuée » dans l'introduction.
*L'exemple est d'abord incompréhensible. Comment ça « la » fraction continue de 415/93 ? L'introduction actuelle ne permet absolument pas de comprendre que chaque réel peut s'écrire sous forme de fraction continue. Celle que je propose ci-dessus essaie de faire mieux de ce côté, mais ce n'est pas encore limpide.
*Surtout, plonger dans les calculs quand on ne sait pas encore de quoi on parle, c'est foutre la frousse aux néophytes. Il vaudrait mieux commencer par expliquer que l'algorithme d'Euclide de recherche d'un pgcd fournit des quotients qui peuvent être exploités pour fournir une écriture sous forme de fraction étagée. Plutôt que de détailler ces calculs dans le corps du texte, une illustration sous forme de tableau peut construire l'exemple rapidement et efficacement. L'algorithme revu avec des parties entières donne ensuite un procédé de calcul qui peut s'appliquer à un irrationnel.
*Les calculs du paragraphe sur √2 ne sont pas clairs.
*La partie « Motivation » ne dit pas grand chose de plus que l'introduction et se retrouve de toute manière explicitée par d'autres parties ensuite. Il faut donc soit l'éclaircir pour en tirer des idées claires, soit la supprimer.
*On ne sait toujours pas vraiment ce que sont les fractions continues quand les inévitables « fragments d'histoire » viennent abreuver le lecteur de dates et de grands noms qui utilisent ces énigmatiques fractions continues pour calculer plein de choses plus énigmatiques encore. À mon sens, l'histoire devrait dans cet article se trouver entre la partie « Définition et premières propriétés » et les applications.
*Enfin, il n'est nul besoin de recourir au néologisme « approximer » quand le verbe « approcher » convient parfaitement au sens mathématique.
Ambigraphe, le 16 juin 2008 à 17:24 (CEST)
thread_title:  Préambule 

message: Cher Jean-Luc, tu es venu solliciter notre avis sur ton texte et nous jouons le jeu avec l'honnêteté qu'implique ta démarche. Malheureusement, cette analyse critique risque de te paraître assez négative. Un avis global d'abord : l'article me semble trop long et met une plombe à se charger. Il s'apparente plus à un manuel complet sur les fractions continues qu'à un exposé encyclopédique. Au bout de trois heures de lecture laborieuse je me suis arrêtée à la section irrationnalité de e quand j'ai vu la longueur et la complexité de la démonstration... Mais pourquoi d'ailleurs vouloir mettre les démonstrations? Elles alourdissent l'article (même en boite déroulante) et sont sources d'erreurs potentielles (voir plus bas)  qui risquent de ne pas être corrigées. Il vaut beaucoup mieux mettre un bon ouvrage en référence à mon avis. Je te livre cependant quelques remarques concernantla partie que j'ai lue.
==== Entête ====
En gros mêmes réflexions qu'Ambigraphe. 
==== Introduction par l'exemple ====
* Comme Ambigraphe, je préfère approcher qu'approximer.
* Tu écris "Il n’existe qu’un nombre fini d’approximations ayant ces propriétés dans le cas d'un rationnel". Affirmation sans preuve sur laquelle s'appuie une conséquence qui se démontre tellement plus simplement par l'algorithme d'Euclide.
* Tu parles de "précision supérieure au millième." Sur la précision, toujours cette difficulté, la précision est meilleure qu'une précision au millième mais peut-on dire que la précision est supérieure ? avec une erreur inférieure au millième ?
==== Motivation ====
* Que veut dire équivalent dans "L'approximation décimale équivalente : 141/100" ?
* Encore une fois cette histoire du nombre fini de meilleure approximation d'un rationnel pour justifier le caractère fini de la suite pour un rationnel
==== Histoire ====
* Même remarque qu'Ambigraphe sur le fait que cela est prématuré tant qu'on n'en sait pas assez sur les fractions continues
* Tu prends un peu trop de liberté avec tes sources : la boutade de Brezinski "Mais arrêtons nous là car il faudrait citer ...1500 mathématiciens" devient dans ton texte "Le XXe siècle voit l'explosion du nombre de publications sur ce sujet. Plus de 1 500 mathématiciens trouvent des éléments digne de communication" ce qui est me semble-t-il sensiblement différent. De plus cette affirmation figure deux fois dans l'article.
==== définition ====
* Là c'est un peu confus. On parle DU développement en fraction continue sans avoir prouvé qu'il était unique. D'autant plus que plus loin on va indiquer qu'un nombre rationnel en possède deux. On pourrait peut-être s'inspirer de cette présentation qui distingue elle aussi rationnel et irrationnel
* la définition du développement m'a paru confuse avec un flottement entre des indices a, n, p (je  fais une contre-proposition)
::Le développement en fraction continue d'un réel x est une suite d'entiers (a_p) éventuellement finie associée à une suite de réels (x_p) définis par récurrence par 
::* x_0=x et a_0=E(x) où E(x) représente la partie entière de x
::* Pour tout entier n, 
::** si x_n = a_n alors la suite s'arrête, 
::** sinon, x_{n+1}=\frac{1}{x_n-a_n} et a_{n+1} = E(x_{n+1})
::On obtient ainsi, pour une suite définie au moins jusqu'au rang n+1,   les égalités suivantes
::: x = a_0+\frac{1}{x_1}= a_0 + \frac 1{a_1 + \frac 1{x_2}} = a_0 + \cfrac 1{a_1 + \cfrac 1{a_2 + \frac 1{x_3}}}=\;\cdots \; = a_0 + \cfrac 1{a_1 + \cfrac 1{a_2 + \frac 1{\cdots a_n + \frac 1{x_{n+1}}}}} \;
: (après, on a intérêt à mettre des n partout) 
=== Représentation géométrique ===
L'allusion à la suite de Fibonnaci est prématurée d'autant plus que tu en parles au chapitre suivant.
=== premières propriétés ===
* Il y a des problème de domaine de validité des formules dans la section premières propriétés qu'il faudrait corriger : parler d'un réel possédant  un développement dans lequel x_{n+1} est défini permettrait de remplacer a_{p-1} par a_p
* La spirale d'or n'a rien à faire dans l'article
* Il faudrait sauter une ligne quand tu suggères de prendre les a_p = 1 car tu traites un exemple et pas le cas général et c'est confusionnant.
* les démonstrations ne sont pas convaincantes : il semble y avoir une confusion dans les compteurs : vrai pour p ou pour p-1 mais, plus grave, les propriétés sur les h_p et les k_p sont annoncées comme une conséquence de la propriété avec y mais dans le raisonnement par récurrence pour démontrer la propriété concernant y, l'égalité liant h_p, h_{p-1} et h_{p-2} est utilisée. ==> démonstration à refaire ou à supprimer
Je ne comprend pas le dernier point. Les suites hp et kp ne sont elles pas définies par récurrence, totalement indépendament de la fraction continue? D'où vient ce besoin de démontrer la relation liant hp, hp-1 et hp-2? Une explication supplémentaire serait la bienvenue. Jean-Luc W (d) 15 juillet 2008 à 16:20 (CEST)
replies: text: je pense qu'une formulation exacte serait, il existe au moins deux fractions continues donnant le même rationnel mais seul la seconde fraction correspond au développement en fraction continue du rationnel. ce qui veut dire que l'on a pas défini ce qu'est une fraction continue....
* La démonstration par récurrence de "La représentation en fraction continue de x est finie si et seulement si, x est un nombre rationnel " manque de rigueur dans le quantificateur de la récurrence, il faudrait rajouter dans la récurrence "soit q un entier strictement supérieur à 1". Il faudrait expliquer pourquoi on peut prendre l'inverse de r/p (r est non nul car p et q sont premiers entre eux). De plus, la démonstration n'est valide que si l'on admet qu'il n'existe qu'une seule méthode pour obtenir un développement en fraction continue d'un nombre et on retombe toujours sur le même problème de définition et c'est en contradiction avec la démonstration qui sui tqui veut prouver qu'un rationnel possède au moins deux fractions continues. 
=== Nombre rationnel (Identité de Bézout) ===
* la je ne suis pas d'accord avec Claudeh : à moins que l'on me prouve que l'on utilise une autre méthode que l'algorithme d'Euclide pour décomposer un rationnel en fraction continue, pour moi, c'est l'algorithme d'Euclide et pas les fractions continues qui donne une solution particulière à l'identité de Bézout.
* identité de Bézout, tu écris "Si l'on note p ce plus grand commun diviseur, la résolution de l'équation suivante permet de résoudre (1) par multiplication des deux membres de l'égalité (2) par c / p :",  "Résoudre" n'est pas le terme approprié, et multiplier les deux membres n'est qu'un étape. Il faudrait écrire "on trouve UNE solution de l'équation (2) en multipliant par c/p une solution de l'équation (1) 
après j'ai cessé de lire... trop fatiguée. Je t'avoue que je ne compte pas continuer la relecture surtout des démonstrations, il faudra donc que tu trouves quelqu'un d'autre pour les valider mais je ne suis pas convaincue qu'elles aient leur place ici. 
Juste une dernière remarque : il y a deux sections sur Pell-Fermat ça ne fait pas doublon par hasard ?
Bon courage pour la lecture de mon pavé. Il me semble qu'on prête moins le flanc à la critique quand on envisage une version plus modeste des articles, d'autant plus qu'ils demeurent alors plus abordables au néophyte. Mais ce n'est que mon humble avis. Cordialement. HB (d) 16 juin 2008 à 20:32 (CEST)
thread_title:  Relecture (partielle) de HB 

message: * Il y a des problème de domaine de validité des formules dans la section premières propriétés qu'il faudrait corriger : parler d'un réel possédant  un développement dans lequel x_{n+1} est défini permettrait de remplacer a_{p-1} par a_p
* La spirale d'or n'a rien à faire dans l'article
* Il faudrait sauter une ligne quand tu suggères de prendre les a_p = 1 car tu traites un exemple et pas le cas général et c'est confusionnant.
* les démonstrations ne sont pas convaincantes : il semble y avoir une confusion dans les compteurs : vrai pour p ou pour p-1 mais, plus grave, les propriétés sur les h_p et les k_p sont annoncées comme une conséquence de la propriété avec y mais dans le raisonnement par récurrence pour démontrer la propriété concernant y, l'égalité liant h_p, h_{p-1} et h_{p-2} est utilisée. ==> démonstration à refaire ou à supprimer
Je ne comprend pas le dernier point. Les suites hp et kp ne sont elles pas définies par récurrence, totalement indépendament de la fraction continue? D'où vient ce besoin de démontrer la relation liant hp, hp-1 et hp-2? Une explication supplémentaire serait la bienvenue. Jean-Luc W (d) 15 juillet 2008 à 16:20 (CEST)
thread_title:  premières propriétés 

message: * la je ne suis pas d'accord avec Claudeh : à moins que l'on me prouve que l'on utilise une autre méthode que l'algorithme d'Euclide pour décomposer un rationnel en fraction continue, pour moi, c'est l'algorithme d'Euclide et pas les fractions continues qui donne une solution particulière à l'identité de Bézout.
* identité de Bézout, tu écris "Si l'on note p ce plus grand commun diviseur, la résolution de l'équation suivante permet de résoudre (1) par multiplication des deux membres de l'égalité (2) par c / p :",  "Résoudre" n'est pas le terme approprié, et multiplier les deux membres n'est qu'un étape. Il faudrait écrire "on trouve UNE solution de l'équation (2) en multipliant par c/p une solution de l'équation (1) 
après j'ai cessé de lire... trop fatiguée. Je t'avoue que je ne compte pas continuer la relecture surtout des démonstrations, il faudra donc que tu trouves quelqu'un d'autre pour les valider mais je ne suis pas convaincue qu'elles aient leur place ici. 
Juste une dernière remarque : il y a deux sections sur Pell-Fermat ça ne fait pas doublon par hasard ?
Bon courage pour la lecture de mon pavé. Il me semble qu'on prête moins le flanc à la critique quand on envisage une version plus modeste des articles, d'autant plus qu'ils demeurent alors plus abordables au néophyte. Mais ce n'est que mon humble avis. Cordialement. HB (d) 16 juin 2008 à 20:32 (CEST)
thread_title:  Nombre rationnel (Identité de Bézout) 

message: :Pardon ? C'est de la plaisanterie ou quoi ? La démonstration de cette propriété des réduites de donner une solution particulière (ce n'est pas la seule) à l'équation de Bachet de Meziriac est donnée dans l'article. Je ne comprends donc pas le paragraphe "a moins que ... Bezout" qui frise l'absurde: que ce soit d'une manière ou d'une autre c'est la décomposition en fraction continue de a/b qui est utilisé et c'est le calcul de l'avant-dernière réduite qui fournit la solution particulière. Je n'ignore pas qu'il y a une technique de remontée de l'algorithme d'euclide qui permet d'arriver au même résultat mais cela revient exactement à calculer l'avant dernière réduite ... sans le dire !Claudeh5 (d) 17 juin 2008 à 01:13 (CEST)
replies: text: problème de communication semble-t-il : je ne nie pas la présence d'une solution à l'identité de Bézout dans l'avant dernière réduite. Je mets en doute que cette avant-dernière réduite SERVE à trouver une solution au problème car pour calculer l'avant dernière réduite il faut, semble-t-il, développer l'algorithme d'Euclide généralisé qui fournit conjointement les réduites et une solution. D'où ma question : peut-on se passer de l'algorithme d'Euclide pour calculer les réduites ? Si oui, alors, oui, les fractions continues servent à à résoudre l'identité de Bézout, sinon, et bien on ne gagne rien de plus que ce que l'on a déjà avec l'algorithme d'Euclide étendu. Mais tout ceci n'est qu'un détail. HB (d) 17 juin 2008 à 21:13 (CEST)
thread_title:  réponse de Claudeh5 (pas content) à HB 

message: Un large consensus au sein que WP admet maintenant que les articles doivent être accessibles à un large public. Certains comme moi estiment que cela est réalisable sans pénaliser des lecteurs plus experts.
L'expérience de l'article nombre d'or ainsi que celui ci montre que l'on ne s'improvise pas vulgarisateur si simplement. A la lecture des remarques précédentes, il apparaît évident que l'on peut encore beaucoup mieux faire et que l'article n'est pas loin d'être prêt pour une nouvelle refonte. C'est la rêgle du jeu de WP, réjouissons nous plutôt du fait que les différentes compétences des contributeurs ouvrent la voie à de nouvelles améliorations.
A l'avenir, je serais peut-être un peu plus prudent et à l'image de Valvino je devrais commencer plus tôt le sondage pour amasser en amont un premier lot d'idées avant de commencer. Personnellement, je crois que sans cette première version, je n'aurai guère eu la vue assez large pour savoir ce qu'est une fraction continue.
Que des opinions différentes apparaissent sur un article, n'est qu'une source d'enrichissements. Travaillons plutôt à l'élaboration d'une version qui satisfasse l'intégralité des contributeurs, reflets des différentes tendances des lecteurs plutôt que de mettre en jeu nos affects. HB voit les choses différemment de moi ? Cela ne signifie pas nécessairement que je doive me mettre en colère. Mettons nous au travail pour élaborer un compromis acceptable pour tous !
Merci à tous pour avoir la gentillesse d'apporter vos idées. Personnellement je trouve l'idée de Claudeh5 bien sympathique et je suis sur que nous allons trouver une rédaction qui mette bien en valeur la relation avec l'algorithme d'Euclide et évite l'écueil cité par HB. Jean-Luc W (d) 17 juin 2008 à 09:39 (CEST)
thread_title:  Première synthèse 

message: J'ai repris les exemples introductifs en leur donnant une teinte nettement plus algorithmique et en évitant de parler "du" développement. Je crois que les démonstrations (non à dérouler) sont peut-être un peu longues, et je vais essayer de voir si je peux mieux faire. --Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 12:28 (CEST)
replies: text: J'ai trouvé je crois, en partie (à relire). HB (d) 17 juin 2008 à 15:25 (CEST)
thread_title:  La main à la pâte 

message: Je n'ai pas suivi toutes les discussions, mais j'ai deux réserves à la vue du préambule actuel : 1) j'ai vraiment du mal à croire que l'exemple 415/93 tel que présenté actuellement soit plus lisible pour qui que ce soit que dans la version qu'avait écrite Jean-Luc 2) l'algorithme fait doublon avec la section 2.1 (je viens d'y corriger une faute de rappel « dans ce cas » qui devait m'être due). Salle (d) 18 juin 2008 à 14:44 (CEST)
replies: text: Sur l'exemple 415/93 et le problème du doublon, plus encore d'autres choses, j'ai promis de m'y remettre, ainsi que de faire une rédaction cohérente de l'existence et unicité du développement, pour éviter les inconsistances actuelles. La discussion est actuellement partagée entre cette page et le thé, ce qui la rend un peu compliquée à suivre. J'y ai expliqué pourquoi j'avais monstrueusement délayé l'exemple, et je vais reprendre mon délayage en tenant compte de toutes les remarques pertinentes qui m'ont été faites. Si tu en as à faire, je suis bien sûr toute ouïe. --Sylvie Martin (d) 18 juin 2008 à 14:56 (CEST)

text: J'oubliais : il y a aussi des morceaux de discussion sur ma page utilisateur. --Sylvie Martin (d) 18 juin 2008 à 15:06 (CEST)
replies: text: Oui, je n'avais pas envie de relire toutes les discussions, peut-être aurais-je dû, désolé. On est donc sur une version de travail : ok, je wait and see. Je remarque juste que certains éléments de ta proposition de plan me semblent revenir à la « philosophie » de la version initiale (définition algorithmique des coeff du développement en fraction continue, puis questions d'unicité, caractérisation des rationnels) : donc je râlerai si je trouve au final que c'est moins bien fait. Sur les propositions de transfert, je suis d'accord pour les approximations de Padé ; pour les nombres quadratiques, il ne faut àma pas le mettre dans nombre quadratique, qui doit contenir bien d'autres choses. On peut créer un article Développement en fraction continue d'un nombre quadratique qui pourrait être appelé ici et dans nombre quadratique, si on considère que le présent article est aussi trop lourd. Salle (d) 18 juin 2008 à 15:57 (CEST)
replies: text: OK, est-ce que tu peux me pointer la date de la version initiale, afin d'avoir un point de comparaison et de ne pas faire de travail inutile? merci d'avance. --Sylvie Martin (d) 18 juin 2008 à 18:01 (CEST)
replies: text: Je pensais à la version du 10/05 :  (qui n'a évidemment rien d'une version initiale ou d'une version meilleure a priori sur quelque point, c'est juste la dernière que j'avais regardée, et d'ailleurs, manifestement, suivant la remarque de HB, je m'étais lamentablement planté sur le proof-reading - au mieux j'ai laissé des erreurs, au pire j'en ai introduit - toutes mes excuses). Salle (d) 19 juin 2008 à 13:31 (CEST)
thread_title: Remarque de Salle

message: voici un énoncé faux:
:* Il existe exactement deux représentations en fraction continue d'un nombre rationnel et l'une des deux représentations possède comme valeur du dernier élément de sa suite un.
Non c'est faux: il en existe exactement ... une infinité ! En effet supposons que l'on ait pour dernier terme le terme a_n >1. Alors on a aussi les égalités suivantes bien embarrassantes:
[a0,a1,...,an]=[a0,a1,...,an-1,1]=[a0,a1,...,an-1,0,1]=[a0,a1,...,an-1,0,0,1]=... ou vous pouvez intercaler autant de zéros que vous voulez !Donc que celui qui a prétendu que Cahen était un âne, et qu'il y avait deux représentations en fraction continue des rationnels, veuillebien aller chez son chapelier préféré pour lui acheter immédiatement un chapeau et le manger sur place.Claudeh5 (d) 19 juin 2008 à 15:44 (CEST)
replies: text: Euh... si on pose que tous les entiers a_j pour j≥1 sont au moins égaux à 1, je ne crois pas qu'on ait plus de deux représentations d'un rationnel par une fraction continue. Si on exige que le dernier soit strictement supérieur à 1, on n'en a plus qu'une. Ou j'ai faux...? Hi han! Hi han! amicalement, --Sylvie Martin (d) 19 juin 2008 à 16:09 (CEST)

text: il y a une solution simple, celle de ne considérer que la fraction continue dont le nombre d'étages est minimum à une précision donnée, auquel cas c'est la division euclidienne qui la donne (algorithme d'euclide).Claudeh5 (d) 19 juin 2008 à 16:22 (CEST)

text: remarque pour Jean-Luc: tu fais comment pour représenter par une fraction continue les entiers ? (qui sont tout de même des rationnels ...Claudeh5 (d) 19 juin 2008 à 16:26 (CEST)
replies: text: j'aurai accepté ton argument s'il était vrai. Mais il ne l'est pas (tu supposes a1>0). Pour n tu n'as que le choix [n-1,1] donc une seule représentation. De plus je ne vois à ce moment là plus du tout l'intérêt de la pseudo motivation énoncée dans le texte si chaque rationnel admet deux représentations.Claudeh5 (d) 19 juin 2008 à 16:46 (CEST)

text: bof, moi je lis dans l'article: "où le premier terme a_0 est un entier relatif et pour tout n strictement positif, le terme a_n est un entier strictement positif." ce qui est quand même tout à fait différent. et qui signifie en fait que la représentation ne s'arrête jamais !Claudeh5 (d) 19 juin 2008 à 17:15 (CEST)
replies: text: L'ambiguïté est volontaire. Si l'on rajoutait le terme « entier » entre « pour tout » et « n strictement positif », cela signifierait que tous les entiers sont concernés. En gardant la formulation actuelle, on ne dit pas si n est borné ou pas. Ambigraphe, le 19 juin 2008 à 22:18 (CEST)

text:  ???? cette explication n'a aucun sens: le parametrage par n est alors dans R+* ! c'est encore pire qu'avant.Claudeh5 (d) 19 juin 2008 à 22:46 (CEST)
replies: text: Non : parmi les indices n, seulement ceux qui sont strictement positifs correspondent à des entiers strictement positifs. Ce n'est pas une quantification, c'est une caractérisation. Ambigraphe, le 20 juin 2008 à 09:21 (CEST)
thread_title:  il faut revoir absolument la définition même de la fraction continue !

message: C'est mieux de respecter la chronologie et évite, notamment ici, d'écrire des phrases qui pourraient être mal interprétées. On lit "Cet usage devient fréquent au XIXe siècle. Joseph Liouville (1809 - 1882) utilise le développement en fraction continue généralisée pour exhiber des nombres non algébriques, c’est-à-dire transcendants. Ce sont les nombres de Liouville. Grâce à lui, Ferdinand von Lindemann prouve en 1882 que π est transcendant et démontre par la même que la quadrature du cercle est impossible à réaliser. En utilisant les fractions continues, Charles Hermite (1822 - 1901) prouve la transcendance de e, base du logarithme néperien." je signale cependant que la démonstration d'Hermite sur la transcendance de e est de 1873 donc avant celle de Lindemann sur la transcendance de pi. D'autre part que la transcendance de pi de Lindemann doit tout à celle d'Hermite et pas grand-chose à Liouville.Claudeh5 (d) 20 juin 2008 à 19:17 (CEST)
thread_title:  fragment d'histoire 

message: D'abord, je remercie la duchesse pour l'important travail effectué sur la partie mathématique de la présentation des fractions continues (il faudrait plusieurs relecteurs attentifs pour vérifier que certaines coquilles ne subsistent pas). Maintenant, il me semble que le placement de la partie histoire dans cette section n'est pas très cohérente et je rejoins l'avis d' ambigraphe pour dire que, dans l'état actuel, les fragments d'histoire arrivent trop tôt : ils n'ont de sens que lorsqu'on a compris ce qu'est une fraction continue et quelle est sa relation avec le réel qu'elle représente. D'autre part, dans le plan actuel, le travail sur les réduites , l'encadrement et la convergences de celle-ci vers x n'apparaissent qu'à la lecture de l'article. Enfin, je continue à trouver inadéquat que l'application aux équations de Pell-Fermat apparaisse à deux endroits.Je propose donc un plan de ce type que l'on peut considérer comme indicatif, le prendre tel quel, s'en inspirer, ou le jeter à la poubelle. Il ne s'agirait en fait que de déplacer ou renommer les sections déjà existantes.
# Présentation
## Notation
##De l'algorithme d'Euclide aux fractions continues
##Développement en fraction continue d'un rationnel
##L'algorithme appliqué à un réel quelconque
## Illustration: développement en fraction continue de √2 (actuellement nommé L'algorithme appliqué à un nombre irrationnel : \sqrt{2} - avec le problème de l'image qui disparait dans le sommaire)
## Réduites d'une fraction continue (actuellement nommé premières propriétés)
## Encadrement et convergence (actuellement nommé Développement en fraction continue d'un irrationnel positif) Seule partie à compléter à mon avis car on ne dit nulle part que les réduites d'un rationnel encadrent ce rationnel très finement)
## Représentation géométrique (je persiste à vouloir la mettre tard que je la trouve anecdotique)
# Fragments d'histoire (ou Histoire des fractions continues)
## Motivation (si on tient à conserver le paragraphe qui n'emballe semble-t-il ni Jean-Luc, ni Ambigraphe, ni moi-même)
## Repères chronologiques (actuellement nommé fragments d'histoire)
#Applications
## Identité de Bézout (si on tient à considérer cela comme une application)
##Automate planétaire
##Irrationnalité de e
## Meilleure approximation
## Nombre de Liouville
## Cas des nombres quadratiques
### Période
### Palindrome
## Équation de Pell-Fermat (où seraient regroupés les divers résultats disséminés dans l'article)
# Autres résultats
On verra que je n'ai pas parlé des entiers quadratiques. En effet, je n'ai pas compris leur place. Personnellement, je n'y lis qu'une définition de ceux-ci et du groupe des unités (ce qui me parait annexe).  L'utilisation des fractions continues dans ce domaine et allusif est non éclairant . Il faudrait donc éclairer d'avantage le point de vue fraction continue ou rester très allusif mais sans forcer le lecteur à essayer de comprendre une notion extérieure aux fraction continues (amha).
Que pensez-vous de ma proposition? HB (d) 29 juin 2008 à 09:54 (CEST)
thread_title:  Le plan 

message: La difficulté d'un tel article est le caractère hétérogène du niveau de savoir associé au concept. Le plan préconisé par HB possède l'avantage d'être plus accessible. En revanche, il ne répond pas à certaines objection. Même comme cela, plus d'un lecteur un peu néophyte sera dérouté par la complexité du paragraphe irrationnalité de e. Il cherche finalement essentiellement des informations sur les nombres rationnels. D'autres sont à la recherche d'informations sur les approximations diophantiennes ou les entiers quadratiques et seront un peu lassé par la trivialité de certains paragraphes sans trouver directement les informations qu'ils recherchent.
En conséquence, je serais plus drastique. Je mettrais carrément les informations sur les nombres quadratiques ou les approximations diophantiennes dans des articles à part, qui auront l'avantage d'une cohérence plus forte. Cela revient à reprendre le plan de HB et à réduire des paragraphes concernés en des résumés succints vers des articles détaillés.
La deuxième conséquence modifie un peu l'ordre des paragraphes. Pourquoi commencer par les notations ? Elles ne sont utilisées que pour les fractions continues généralisées et impose une complexité, qui me semble inutile pour 95% des lecteurs. Pour les 5% restants, ils seront bien pointer vers le bon paragraphe si la question se pose pour eux. Enfin, je suis partagé par la représentation graphique. Certains, plus algébristes, ne fonctionnent pas avec des images, pour d'autres, c'est une approche essentielle à la compréhension d'un concept. Si cette idée est partagée par d'autres, elle me semble digne d'intérêt. L'opinion de la duchesse est essentielle pour que je puisse avoir un avis définitif.
Reste alors à bien indiquer aux lecteurs où se trouvent les différentes informations, assez tôt dans l'article pour ne pas lasser les lecteurs plus experts.
En conclusion, j'aurai tendance à créer un article Fraction continue d'un nombre quadratique et Fraction continue et approximation diophantienne. Une fois ces articles créés WP me semble en mesure de répondre plus agréablement à un public varié. Cette proposition me semble un complément au plan de HB sans trop remettre en cause son esprit. On se dirige alors vers un article ayant un double but : introductif à la notion pour les néophytes et synthétique en pointant vers les bons articles pour les plus experts. Jean-Luc W (d) 29 juin 2008 à 12:40 (CEST)
thread_title:  Pour affiner la proposition de HB 

message: Bonsoir à tous. Je serais assez d'accord pour les deux propositions d'articles de JLW, principalement en transportant le texte correspondant dans les deux articles à créer, et en laissant un ou deux résultats essentiels ici. Pour la place de l'histoire et des motivations : j'ai choisi leur emplacement de façon tout à fait pifométrique. Par conséquent, la proposition d'HB me convient.  Il y a dans la biblio de maths que je fréquente une "History of Number Theory", que je vais aller consulter rapidement. --Sylvie Martin (d) 29 juin 2008 à 20:57 (CEST)
thread_title:  Plan, contenu, etc... 

message: Je crois qu'il faut renommer en "equation de Bachet de Meziriac" ou "résolution de ax+by=c en nombres entiers" voire "solution particulière de ax+by=c en nombres entiers".
# il ne s'agit pas à proprement parler de l'énoncé de Bezout traditionnel "a et b sont premiers entre eux ssi il existe x et y tels que ax+by=1"
# il s'agit de construire une solution particulière de l'équation. Je rappelle que cela est nécessaire pour avoir la solution générale.
Claudeh5 (d) 2 juillet 2008 à 13:17 (CEST)
thread_title:  a propos de "identité de Bezout" 

message: === Lignes directrices ===
Trois points de vue me guident pour la nouvelle refonte :
:* Il semble que quelques lecteurs ait omis de passer l'agrégation de mathématiques. Je reconnais que c'est tout à fait regrettable, mais il serait sage de faire un petit quelques chose pour ce qui finalement représente probablement une vaste partie des visites.
:* Wikipedia est un projet encyclopédique. Ce qui signifie que le désir d'exhaustivité ne doit pas être totalement absent. Peinture signifie surement les trucs que l'on achète au supermarché et qui servent à faire des jolis dessins, cette définition n'est pas totalement encyclopédique. C'est pareil pour les fractions continues.
:* Si un visiteur se donne la peine d'essayer de lire un article, autant qu'il apprenne quelque chose.
=== Le choix ===
La difficulté est que les trois points de vue sont contradictoires, une agrégation me semble le minimum pour comprendre au moins le dixième du savoir attaché à la question. Insérer un véritable savoir est long (un contributeur citait plus de 300 pages nécessaire pour étayer un article pas nécessairement plus vaste que celui-ci) et peu populaire. En bref, favoriser l'un des points de vue pénalise les deux autres.
La solution que je tente est celle de la multiplication des articles, soit maintenant un total de 9 dans la catégorie.
Pour les exhaustifs, je plaide coupable avec des circonstance atténuantes. Je propose en début d'article un tour d'horizon qui explique que les fractions continues c'est vaste. Qu'on y trouve un cas dit simple traité dans l'article, que le cas des nombres quadratiques, que celui des approximations diophantiennes et que celui des approximants de Padé est encore dans un autre article et que pour les proba il faut aller voir Khintchine qui a plein de choses passionnantes à raconter. Cela remplace la partie motivation, explique l'intérêt des notions et n'approfondit pas. Cela permet d'avoir un peu de matière à grignoter pour les experts sans qu'il soit nécessaire de se palucher un article entier d'un niveau qui n'est pas le leur.
Pour ceux qui ont omis de passer l'agrég, je compte m'appuyer sur le travail de Utilisateur:Sylvie Martin et pas forcément la version la plus courte. Le paragraphe précédent aura aiguillé les lecteurs de type Salle vers les différentes parties qui sont succeptibles de les intéresser.
Enfin pour que le lecteur puisse apprendre quelque chose, je compte faire un paragraphe propriété, plus théorique et qui explique ce qu'un homme bien né du  savait sur le sujet (récurrence, suite alternée, caractère fini de la fraction dans le cas irrationnel). Cela donnerait quelque chose comme :
1 Tour d'horizon
2 Approche intuitive
:De l'algorithme d'Euclide aux fractions continues
:Développement en fraction continue d'un rationnel
:Une application sur un irrationnel π (avec des liens pour ceux qui veulent voir ce que cela donne sur √13 ou e)
:Représentation géométrique
:Repères chronologiques
3 Approche théorique
:Notations et terminologie (autant grouper cela dans un paquet pour celui qui en a besoin mais qui ne souhaite pas lire l'approche intuitive)
:L'algorithme appliqué à un réel quelconque
:Réduites d'une fraction continue
:Encadrement et convergence
4 Usage
:Equations diophantiennes (on traite le cas linéaire et un lien redirige vers le cas quadratique)
:Automate planétaire
5 Fractions continues généralisées
:Exemple introductif l'équation de degré 2(on introduit le problème de la convergence)
:Vocabulaire et premières propriétés motivation en rapide
Les modifications par rapports à HB sont la conséquence des différents niveau de lectures. Un lecteur plus avancé ne lira pas nécessairement l'approche intuitive, mais a besoin de connaitre les notations, s'il doit tout lire, il rale. L'algorithme abstrait n'est pas nécessaire pour une approche intuitive, l'illustration de la √2 est disponible ailleurs.
En l'attente de vos différentes remarques Jean-Luc W (d) 14 juillet 2008 à 18:32 (CEST)
thread_title:  Nouvelle refonte 

message: La difficulté est que les trois points de vue sont contradictoires, une agrégation me semble le minimum pour comprendre au moins le dixième du savoir attaché à la question. Insérer un véritable savoir est long (un contributeur citait plus de 300 pages nécessaire pour étayer un article pas nécessairement plus vaste que celui-ci) et peu populaire. En bref, favoriser l'un des points de vue pénalise les deux autres.
La solution que je tente est celle de la multiplication des articles, soit maintenant un total de 9 dans la catégorie.
Pour les exhaustifs, je plaide coupable avec des circonstance atténuantes. Je propose en début d'article un tour d'horizon qui explique que les fractions continues c'est vaste. Qu'on y trouve un cas dit simple traité dans l'article, que le cas des nombres quadratiques, que celui des approximations diophantiennes et que celui des approximants de Padé est encore dans un autre article et que pour les proba il faut aller voir Khintchine qui a plein de choses passionnantes à raconter. Cela remplace la partie motivation, explique l'intérêt des notions et n'approfondit pas. Cela permet d'avoir un peu de matière à grignoter pour les experts sans qu'il soit nécessaire de se palucher un article entier d'un niveau qui n'est pas le leur.
Pour ceux qui ont omis de passer l'agrég, je compte m'appuyer sur le travail de Utilisateur:Sylvie Martin et pas forcément la version la plus courte. Le paragraphe précédent aura aiguillé les lecteurs de type Salle vers les différentes parties qui sont succeptibles de les intéresser.
Enfin pour que le lecteur puisse apprendre quelque chose, je compte faire un paragraphe propriété, plus théorique et qui explique ce qu'un homme bien né du  savait sur le sujet (récurrence, suite alternée, caractère fini de la fraction dans le cas irrationnel). Cela donnerait quelque chose comme :
1 Tour d'horizon
2 Approche intuitive
:De l'algorithme d'Euclide aux fractions continues
:Développement en fraction continue d'un rationnel
:Une application sur un irrationnel π (avec des liens pour ceux qui veulent voir ce que cela donne sur √13 ou e)
:Représentation géométrique
:Repères chronologiques
3 Approche théorique
:Notations et terminologie (autant grouper cela dans un paquet pour celui qui en a besoin mais qui ne souhaite pas lire l'approche intuitive)
:L'algorithme appliqué à un réel quelconque
:Réduites d'une fraction continue
:Encadrement et convergence
4 Usage
:Equations diophantiennes (on traite le cas linéaire et un lien redirige vers le cas quadratique)
:Automate planétaire
5 Fractions continues généralisées
:Exemple introductif l'équation de degré 2(on introduit le problème de la convergence)
:Vocabulaire et premières propriétés motivation en rapide
Les modifications par rapports à HB sont la conséquence des différents niveau de lectures. Un lecteur plus avancé ne lira pas nécessairement l'approche intuitive, mais a besoin de connaitre les notations, s'il doit tout lire, il rale. L'algorithme abstrait n'est pas nécessaire pour une approche intuitive, l'illustration de la √2 est disponible ailleurs.
En l'attente de vos différentes remarques Jean-Luc W (d) 14 juillet 2008 à 18:32 (CEST)
thread_title:  Le choix 

message: Ça me paraît très bien. Peux-tu mettre un lien sur la nouvelle catégorie? Comme ça, on pourra aller v oir tous les articles obtenus par découpage. Bon courage, --Sylvie Martin (d) 14 juillet 2008 à 19:14 (CEST)
thread_title:  Réactions 

message: Le paragraphe :
me semble tomber comme un cheveu sur la soupe dans le paragraphe Tour d'horizon. On ne voit pas le rapport entre l'analyse complexe et les fractions continues, ni pourquoi cette introduction aux fonctions holomorphes et aux séries entières.--Cbigorgne (d) 16 juillet 2008 à 13:14 (CEST)
replies: text: La motivation est claire. Merci.--Cbigorgne (d) 16 juillet 2008 à 14:18 (CEST)
thread_title:  Tour d'horizon 

message: Cette condition semble être oubliée à plusieurs endroits
* dans la démonstration de  "tout rationnel possède un développement en fraction continue fini."
* dans la section "Algorithme de développement en fraction continue pour un réel"
Pour le second point, un remarque sur le fait que 1/(xj - aj) est toujours plus grand que 1 suffit je pense. Mais pour le premier point, il faudrait modifier la démonstration. Il me semble que cette modification est nécessaire mais avant de l'entreprendre j'aimerais vos avis. HB (d) 25 août 2008 à 11:29 (CEST)
thread_title:   ''a''<sub>j</sub> non nuls pour ''j'' >0. 

message: La section "Histoire" s'appelle bizarrement "Repères chronologiques" (ce sont plus que des repères). Il y a peut-être surinterprétation de sources (qui ne sont pas toujours données sérieusement) ? En particulier  Aryabhata utilise-t-il vraiment des fractions continues ? Je ne vois rien de tel dans l'article Aryabhata, ni dans les sources données sur cette page : Pfloker 2007, 2009, Complete Dictionary of Scientific Biography, Encyclopædia Britannica. Il s'agit peut-être de parenté entre l'algorithme utilisé par Aryabhata pour la résolution d'équations Diophantiennes linéaires à deux inconnues et l'algo d'Euclide étendu ? Mais à quel point ? Pour  Brahmagupta et Bhaskara il n'est pas dit clairement qu'ils utilisent des fractions continues, je ne crois pas que ce soit le cas, c'est assez ambigu quand même. Quitte à parler des précurseurs, il faudrait aussi parler d'Euclide, et d'autres (les nombres diagonaux et latéraux de Théon de Smyrne ?). Proz (discuter) 19 avril 2021 à 16:19 (CEST)
replies: text: Le germe de la partie historique est de mon fait en 2005 (cela fait un bail...). La section portait modestement le nom de Fragments d'histoire, je ne sais pas quand le titre est devenu repère chronologique, titre qui est resté tandis que la section augmentait. En ce temps là, je ne pensais pas toujours à lier mes sources mais je les indiquais : il s'agit d'un article de Claude Brezinski, heureusement archivé par wikiwix Ces étranges fractions qui n’en finissent pas. Mais il n'est pas le seul à citer Aryabatha voir ce document de C.D. Olds Continued fractions p. 18/85 (ou scann 28-29) ou encore Serge mehl . Comme je ne suis pas historienne, ni spécialiste des mathématiques indiennes, je peux difficilement mettre en doute ces affirmations sauf si un historien d'Aryabhata affirme que cette attribution est imprudente même si je partage ton doute sur une utilisation effective par Aryabhata. HB (discuter) 28 mai 2021 à 13:24 (CEST)

text: Aryabhata est cité dans le livre de Claude Brezinski page 30 et 31 mais cela me semble se référer plus à l'algorithme d'Euclide. Cependant je ne  comprends rien à la recette d'Aryabhata c'est vexant de s'apercevoir qu'on a le cerveau moins agile. Travaille à ta guise sur l'article en dégonflant nos prétentions. Si je trouve une source d'historien sur Aryabhata et les fractions continues, je viendrait la glisser ici. HB (discuter) 28 mai 2021 à 19:18 (CEST)

text: Suite de mes recherches et du rôle ambigü des fractions continues dans le travail d'Aryabhata et sa méthode du «pulvérisateur» ou «broyeur». Ce document que je ne sais pas comment ouvrir. Dans les annexes (que j'ai su ouvrir) Rodet semble dire explicitement que de nombreux historiens pense qu'il utilise les fractions continues mais que lui n'est pas d'accord (lire le document p. 28 ou Rodet 1879 p. 46). Si cela peut t'éclairer. HB (discuter) 29 mai 2021 à 10:16 (CEST)
replies: text:  Merci, très intéressant. A mon avis il n'y a pas autre chose que le résumé et l'annexe (peut-être des actes à venir du colloque ?), et donc tu ouvres tout ce qui est "ouvrable", je crois. Quand on lit la traduction de l'annexe, la  p. 6, fait effectivement furieusement penser aux fractions continues, mais il l'utilise finalement comme l'algo d'Euclide étendu, enfin je crois. Pas si simple. Peut-être en regardant les articles cités par Brezinski (pour savoir si l'opinion de Rodet est encore d'actualité). Proz (discuter) 29 mai 2021 à 17:06 (CEST)
thread_title:  Histoire (2)