Discussion:Bijection réciproque

message: Plusieurs fois apparait ce type de dmontstration pour la dérivée de la réciproque
  	
:La démonstration découle de la dérivée d'une fonction composée :
:f\left(f^{-1}(x)\right) = x
:f'\left(f^{-1}(x)\right)f^{-1'}(x) = 1
:donc
:f^{-1'}(x) = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}
il serait préférable de ne pas la remettre car elle n'est valide que si on est capable de démontrer par ailleurs que la fonction réciproque est dérivable. Elle ne peut pas servir à démontrer que la fonction réciproque est dérivable.
Une démonstration correcte de cette formule est dans dans dérivée#Dérivation de la réciproque d'une fonction. HB (d) 6 février 2009 à 19:31 (CET)
thread_title:  dérivée de la réciproque 

message: Bonjour à tous,
A propos du théorème d'inversion locale au paragraphe 7, je lis : "Si f est définie sur un intervalle I et si a est un élément de I, si f possède en a une dérivée non nulle alors il existe ...". Cet énoncé me pose problème car j'ai trouvé sur internet ceci : Soit f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} la fonction définie par f(x)=x+x^2sin\frac{\pi}{x} si x\neq 0 et f\,(0)=0. On voit que f est dérivable en tout x non nul avec f'(x)=1-\pi\,cos\frac{\pi}{x}+2x\,sin\frac{\pi}{x} et en \,x=0 on a f'(0)=\lim_{h\mapsto 0}\frac{f(h)-f(0)}{h-0}=\lim_{h\mapsto 0}(1+h\,sin\frac{\pi}{h})=1\neq 0. Soit alors ]\,-\epsilon,+\,\epsilon\,[ un voisinage quelconque de 0. On choisit un entier naturel k tel que \frac{1}{2k}<\epsilon. On a f'(\frac{1}{2k})=1-\pi<0 et f'(\frac{1}{2k+1})=1+\pi>0. Donc f n'est pas monotone sur ce voisinage et ne peut pas y être inversée. Peut-être quelqu'un peut donner quelques explications. Je pencherais sur le fait qu'il faut que non seulement f\,'(0)\neq 0 doit exister mais que la fonction x\mapsto f\,'(x) doit être continue en 0 ce qui n'est pas ici le cas (\lim_{x\mapsto 0}f\,'(x) n'existe pas mais f\,'(0) existe bien et vaut 1).
Je ne comprends pas : je cite ce que j'ai lu sur le site http://wapedia.mobi/fr/Application_r%C3%A9ciproque et la discussion a lieu sur cette page de Wikipédia (?)
--Lanh (d) 11 février 2011 à 1711:35 (CET)
:Pas compris ta dernière phrase avec Wapédia dedans, mais pour ce qui est de la fausseté de l'énoncé de l'article, j'ai compris et tu as raison. C'est un énoncé à piège, et quelqu'un est tombé dans le piège. Touriste (d) 11 février 2011 à 12:35 (CET)
replies: text: Soient \,U un ouvert non vide de \mathbb{R}^n, f:U\mapsto\mathbb{R}^n une fonction de classe \mathcal{C}^1 sur \,U telle qu'en un point a\in U on a df(a)\neq 0_{\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)}. Alors il existe un ouvert V\subset U contenant \,a tel que f soit un \mathcal{C}^1difféomorphisme de V sur l'image \,f(V) (autrement dit, \,f est inversible sur \,V et comme \,f, son inverse \,f^{-1}:f(V)\mapsto V est aussi de classe \mathcal{C}^1. Il est à noter que la fonction différentielle \,df est une application de U\subset\mathbb{R}^n dans \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), espace des applications linéaires de \mathbb{R}^n dans \mathbb{R}^n. Peut-être peut-on remplacer \mathcal{C}^1 par \mathcal{C}^k ? Je demande votre avis.
--Lanh (d) 12 février 2011 à 00:55 (CET)

text: Bon, déjà, le jacobien, c'est bien un déterminant, celui de la matrice jacobienne ; pour le reste je pense que ce n'est pas ici qu'il faut mettre éventuellement des précisions, mais à l'article  Théorème d'inversion locale,  où je t'engage à poursuivre cette discussion (j'y recopie ton intervention)--Dfeldmann (d) 12 février 2011 à 05:55 (CET)

text: Oui, effectivement vous avez raison : dans la plupart des sites traitant de cette question, on trouve le terme "jacobien" employé comme synonyme de déterminant jacobien à distinguer donc de "matrice jacobienne". Cependant, on peut lire aussi ce genre de phrases dans des exercices :"Déterminer la jacobienne de la fonction gof au point (x,y,z) en utilisant..." ou bien "...the Jacobian matrix, sometimes simply called "the Jacobian" ...". Les mathématiciens manquent parfois de précision, ce qui est un comble ! Pour rester dans le sujet, il faudrait fournir ici la formule donnant la différentielle \,d(f^{-1}(f(a)), un ou deux exemples p as trop banals et la démonstration du théorème d'inversion locale dans le cas général. Si vous pensez que cela présente un intérêt, je peux y réfléchir--Lanh (d) 12 février 2011 à 08:59 (CET)
thread_title:  Question à propos du théorème d'inversion locale 

message: Je ne crois pas que le terme inverse soit un anglicisme.
L'exposant -1 et le terme d'inverse sont liés (et -1 n'est pas un anglicisme) et se rapportent à des notions de structure de groupe. 
: C'est moi qui avais mis ça mais je suis d'accord donc je l'ai viré. Anne (discuter) 5 avril 2014 à 22:17 (CEST)
replies: text: J'ai précisé ce qui relève d'un anglicisme. J.-P. Martin-Flatin (discuter) 10 août 2020 à 00:16 (CEST)
thread_title:  terme "inverse"