Discussion:Méthode de Cardan

message: Je me demandais en fait, vu qu'il n'en est pas fait précision, ce qui se passait pour p et q complexes ? Car les exemples, ainsi que la théorie, ne semblent seulement que prendre en compte p et q comme des réels. Le nombre de solution peut-il alors être modifié ?
merci pour l'éclaircissement.
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Il y a une erreur dans l'exemple 2 :
on pose x = z - (a2/3*a3)
avec dans l'exmple a3=3 et a2=-6
donc
a2/3a3 = -6/3*3 = -6/9 = -2/3
donc
x= z + 2/3 et pas 1/3
faut voir si la suite est bonne
Vous avez raison, il y a bien une erreur. Je vous remercie de me la signaler. J'ai donc modifier l'article en conséquence. J'avais en fait mal recopié l'équation à résoudre. --Charles Dyon 12 jan 2005 à 19:29 (CET)
thread_title: une petite question

message: bonjour,
une partie des syntaxes tex est en début de ligne, je trouve qu'il serait plus agréable pour la lecture d'indenter les formules; et pour pinailler, remplacer \qquad (qui est là pour assurer le rendu latex je suppose) par \, en fin de formule.
En ajoutant le contenu des variables p et q, j'ai changé la syntaxe des coeffs polynomiaux afin d'améliorer la lisibilité (à mon gout).
Une remarque plus importante, je trouve qu'il serait plus pédagogique d'écrire le dérterminant sous la forme \Delta=q^2+{4 \over 27}p^3 afin que la forme des solutions soit analogues à celle des solutions d'un polynome du second degré. Je me propose de faire ces changements mais si cela contrarie quelqu'un, je suis ouvert aux critiques.
: Entièrement d'accord. La forme que tu proposes est effectivement plus claire. HB 8 septembre 2006 à 22:22 (CEST)
replies: text: Cela me parait moins évident  Il existe à mon sens, deux niveaux de lecture : le niveau utilitaire où l'on ne cherche que les formules et on ne cherche pas à en comprendre le principe (niveau 1), le niveau culturel où l'on cherche le pourquoi et le comment des formules (niveau 2). D'où le plan actuel où les formules précèdent le développement. Maintenant, il faudrait savoir si d'autres partagent ton point de vue ou le mien. HB 17 septembre 2006 à 19:06 (CEST)
replies: text:  En effet, je n'avais pas pensé au niveau de lecture "utilitaire". Dans ce cas, il faudrait ajouter dans le formulaire le premier changement de variable donnant {p,q} en fonction de {a,b,c,d}. Ptitpoul 19 septembre 2006 à 20:05 (CEST)
replies: text:  Effectivement... et pourtant elles sont si laides ! HB 19 septembre 2006 à 22:18 (CEST)
thread_title:  Style des formules et forme des solutions 

message: Dans le texte :
"Remarquons qu'avant de se lancer dans de tels calculs, il vaut mieux "tester" un peu le résultat à l'aide de la règle de Wheeler."
J'ai regardé l'article sur la Règle de Wheeler, mais elle me semble sans rapport avec le texte?
: Supprimé. Hors sujet (considération physique dans un article de maths). Grasyop ✉ 4 mars 2010 à 12:07 (CET)
replies: text: J'ai fait subir le même sort au hors sujet résiduel, (pas physique, mais là n'était pas le problème). Anne Bauval (d) 4 mars 2010 à 17:58 (CET)
thread_title:  Règle de Wheeler 

message: Il me semble qu'une partie de la méthode est fausse. Lors de la discussion selon le signe de \Delta, On n'obtient pas les x mais les z. Il faut ensuite retrancher \frac{b}{2a}.
:pb signalé le 9/1/10 (merci) et réglé aussitôt Anne Bauval (d) 4 mars 2010 à 15:03 (CET)
thread_title:  Erreur ? 

message: Dans la partie "Formules de Cardan", on a une équation du troisième degré... sans terme en x² ! Cela est très gênant si on veut une résolution générale de ce type d'équation. Qu'est-ce qu'on peut faire ?147.173.51.177 (d) 16 juin 2011 à 15:06 (CEST)
thread_title:  Formules de Cardan 

message: Bonjour à tous, 
je comprend la méthode pour la résolution des équations du troisième degré. En revanche, j'aurai voulu savoir comment trouve t-on le changement de variable x = z - b/3a. Y a t-il une méthode pour la trouver ou à t-elle était trouvé à force de tâtonnements ? 
Merci de votre aide. --Romain121 (d) 26 août 2011 à 22:17 (CEST)
replies: text: Non, ce n'est pas du hasard, c'est le fruit d'une réflexion: après avoir mis "a" en facteur,  il faut voir dans x^3+\frac ba x^2+\cdots le début d'un cube. Or (x+r)^3=x^3+3x^2r+\cdots. D'ou l'idée de poser r=\frac b{3a} et z = x + \frac b{3a} . HB (d) 12 septembre 2011 à 11:44 (CEST)
thread_title:  Etablissement du changement de variable 

message: Petite erreur, me semble-t-il, dans la partie "Si delta est nul".
Dans ce cas, p est forcément négatif, mais q est de signe quelconque. Donc, l'étape intermédiaire de calcul qui donne :
-2 racine(-p/3) ne peut pas être exacte puisqu'elle donnerait toujours un résultat négatif.
Donc, il me parait que l'étape intermédiaire devrait être :
-2 sgn(q) racine(-p/3)
De même à la ligne du dessous :
sgn(q) racine(-p/3)
NB: le résultat final, lui, est bien exact : 3q/p et -3q/2p
--193.50.159.2 (d) 27 septembre 2011 à 14:37 (CEST)
replies: text: Erreur corrigée par Anne Bauval . Merci. HB (d) 4 octobre 2011 à 18:43 (CEST)
thread_title:  Petite erreur ? 

message: Les derniers ajouts sur les notes historiques sont les bienvenus mais je suis un peu réticente sur la formulation : une méthode analogue est utilisée par Ferrari pour la résolution de degré 4 car la méthode de Ferrari ne consiste pas à remplacer la recherche d'une racine par la recherche de deux nombres u et v dont la somme donnerait la racine cherchée, elle consiste à faire apparaitre une identité remarquable. Remplacer peut-être par  « En 1545, Ferrari puis ensuite Bombelli développent une méthode de résolution pour l'équation de degré 4, se ramenant à une équation de degré 3 » sans allusion à Mac-Lane et Birkhoff qui aurait plus sa place dans l'article sur équation quartique. HB (d) 18 novembre 2012 à 19:17 (CET)
replies: text: Merci Otto Cyber d'avoir tenu compte de mes remarques. HB (d) 19 novembre 2012 à 09:41 (CET)
thread_title:  Note historique 

message: Bonjour à tous !
À la fin du paragraphe « principe de la méthode », ne pensez-vous pas qu’il serait pertinent de donner aussi les formules des trois solutions en fonction de la valeur des coefficients du polynôme a, b, c et d ? En effet, l’article pose de très nombreuses variables (\Delta, z, \delta, u_k, v_k, j^k, p, q…) avec plusieurs changements, et il devient assez difficile de s’y retrouver. Même si Wikipédia n’a pas vocation à être un guide pratique de résolution d’équations du troisième degré, je pense que l’on pourrait ajouter à la fin une petite phrase comme : « Finalement, les trois solutions, qui peuvent dans certains cas être égales, selon les coefficients du trinôme de départ, sont :
\begin{array}{ccccccccccccccc}
x_1& =&-&\frac{b}{3 a}&-&\frac{1}{3 a} &\sqrt[3]{ \frac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d \right)^2-4 \left(b^2-3 a c \right)^3} \right]}&-&\frac{1}{3 a} &\sqrt[3]{ \frac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d \right)^2-4 \left(b^2-3 a c \right)^3} \right]}\\
x_2& =&-&\frac{b}{3 a}&+&\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} &\sqrt[3]{ \frac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d \right)^2-4 \left(b^2-3 a c \right)^3} \right]}&+&\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a}& \sqrt[3]{ \frac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d \right)^2-4 \left(b^2-3 a c \right)^3} \right]}\\
x_3& =&-&\frac{b}{3 a}&+&\frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} &\sqrt[3]{ \frac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d+\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d \right)^2-4 \left(b^2-3 a c \right)^3} \right]}&+&\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} &\sqrt[3]{ \frac12\left[2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d \right)^2-4 \left(b^2-3 a c \right)^3} \right]}
\end{array}
»
Non ?
Cordialement --Pic-Sou 14 janvier 2013 à 11:08 (CET)
replies: text: Je suis cartésienne et par cela, je veux dire que j'aime  (Descartes - Discours de la méthode  Deuxième partie). Donc je suis favorable à l'ancienne présentation, estimant qu'il est plus simple de retenir et construire les différents éléments de la formule que de comprendre et mémoriser l'espèce de pavé mis plus haut. Je signale que ce pavé me décourage tellement que je n'ai même pas envie de vérifier si aucune étourderie malencontreuse ne s'y est glissée. J'ai donc envie de botter en touche : existe-t-il un ouvrage fournissant les racines sous cette forme? Si oui, alors c'est encyclopédique et la source permettra de valider les formules, si non, et bien on reste avec les formules couramment citées. HB (d) 14 janvier 2013 à 13:20 (CET)
replies: text: Yops :  ! C’est pas un véritable ouvrage, certes, mais bon… Même s’il est évidemment plus intéressant de construire la solution pas à pas, le problème est qu’à aucun endroit on ne voit exprimées les racines de manière simple… Même pour les racines de l’équation z^3 + pz + q = 0, l’expression des racines est « hachée » en u_k, v_k et j_k… Donc, même si je comprends que tu sois contre le fait de mettre ce pavé dans l’article, je pense qu’il faudrait au moins mettre quelque part les formules des trois racines de z^3 + pz + q = 0 en trois lignes. Cordialement --Pic-Sou 14 janvier 2013 à 18:39 (CET)
replies: text:  Je ne crois pas qu'il existe de formulation correcte des solutions qui tienne en moins de lignes que ce qui figure actuellement dans le texte. Quant à mettre les formules explicites pour l'équation générale, c'est un peu comme si l'on voulait donner les formules explicites du déterminant d'une matrice 4x4 en fonction des coefficients a, b, c, etc. de la matrice, au lieu d'expliquer comment on calcule ce déterminant en développant suivant les lignes ou les colonnes.--Otto Cyber (d) 15 janvier 2013 à 09:39 (CET)
replies: text:  Bon ok, d'accord, pas de problème... --Pic-Sou 15 janvier 2013 à 16:19 (CET)
thread_title:  Ajouter les formules générales