Discussion:Formule des traces de Selberg

message: Je poursuis ma "critique" de cet article,pour expliquer un peu mieux la formule,et signaler ce qui,à mon avis,sont de petites coquilles : le domaine de définition de h et g,et la notation N(T_0) qui devrait mieux être notée N_0(T),car se rapportant à la classe T (voir 1. et 4.).
#Dans la formule,les fonctions h et g ont simplement besoin d'être prises dans \mathbb R : on le voit pour g,ainsi que pour h à cause de l'intégrale \int_{-\infty}^{+\infty}..dr et parce que les valeurs propres qui sont dans le 1er membre sont réelles.Or,parler de h analytique avec une condition telle que |h(r)|\le M(1+|\Re (r)|^{-2-\delta}) crée une incohérence (cette incohérence se trouve déjà dans la version anglaise,dont ceci est je crois plus ou moins une traduction).D'après moi,il y a un peu de confusions (sur les hypothèses) : ces confusions seraient entre la formule de Selberg,et des formules telles que la formule explicite de Weil (voir explicit formula sur le wiki anglais).Cette dernière prend bien des fonctions définies sur \mathbb C,mais parce qu'elle utilise les zéros de la fonction \zeta de Riemann : si on écrit ces zéros sous la forme 1/2+it,certains t sont a priori complexes (l'hypothèse de Riemann étant ouverte).  
#Sauf erreur,après une étude succinte,X est une surface de Riemann.Or,quand on lit simplement "surface compacte à courbure ....",on a tendance à visualiser une surface,variété de dimension 2 de \mathbb R^3,alors qu'en visualisation,une surface de Riemann se compose de 2 surfaces  (la partie réelle et la partie imaginaire) de \mathbb R^3.Dimensionnellement,ce n'est pas le même objet.Donc,je pense qu'il est,peut-être,préférable de dire explicitement "X une surface de Riemann ...".
#"est l'espace quotient .... par un sous-groupe discret...":là,on aimerait bien qu'on donne un exemple de sous-groupe discret (non fini?) de PSL(2,R).(*)
#Je fais une réponse incomplète à la question sur N(T),pouvant servir à préciser le contexte de la formule.Il y a une somme sur les classes de conjugaison hyperboliques.Le sous-groupe \Gamma doit donc être hyperbolique,c'est-à-dire tous ses éléments sont hyperboliques,ou encore ils ont des valeurs propres réelles.Définition de N(T): on définit N(T) de sorte que les valeurs propres d'un élément de la classe T sont N(T)^{1/2} et N(T)^{-1/2}.N_0(T) (il faudrait le noter ainsi au lieu de N(T_0) ) correspond à la valeur propre la plus grande d'un générateur du centralisateur C_{\Gamma}(T),dans \Gamma, de la classe T (soit de tout élément de la classe T).Cela sous-entend que le centralisateur est monogène (sans doute du fait que \Gamma est discret,ce qui doit impliquer qu'il est dénombrable).La classe de l'identité correspond au terme intégral \int_{-\infty}^{+\infty}...dr (en effet puisque dans ce cas N(T)=1,elle ne peut pas se trouver dans la somme \sum  !).
Je suis moins sûr de ceci : il y a une relation bi-univoque entre les classes de conjugaison et les classes de géodésiques fermées de X.N(T) est "lié" à la longueur des géodésiques d'une classe.En particulier,je ne saisis pas très bien comment se fait le lien entre les orbites,les classes de conjugaison de \Gamma,et les géodésiques de X.
 
--90.0.204.243 (d) 12 mai 2013 à 12:38 (CEST)
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