Discussion:Analyse non standard

message: (texte supprimé par un contributeur qui a décidé de se retirer)
:Certes, mais ça n'est pas propre à l'analyse non-standard, c'est le cas dès que l'on touche à des ensembles infinis (ex : les entiers comprennent une infinité d'entiers pairs et une infinité d'entiers impairs). En plus ça n'est déconcertant que parce qu'on utilise l'infini comme un nombre alors que ce n'en est pas un ...
:Pour en revenir à l'article, j'ai rajouté un bandeau  parce qu'il me paraît beaucoup trop court et vague. En particulier s'il y a une chose à proscrire dans un article de maths (et pas seulement dans wikipedia) c'est l'utilisation de termes comme infiniment petit sans les définir précisément. Quand à la section Transfert je n'y comprend tout simplement rien en l'état.
:Malheureusement je n'ai pas le temps actuellement de m'attaquer au sujet. L'article anglais pourrait être une base de travail, il a l'air assez clair et fourni (j'ai ajouté l'interwiki). Si quelqu'un s'y met j'essaierai d'apporter un peu d'aide ;)
:PtitLutin 3 aoû 2004 à 22:23 (CEST)
thread_title:  Premières discussions 

message: Dans l'article, la théorie de base pour construire l'analyse non standard style IST est la théorie ZF. Pourtant, dans le bouquin de Diener et Reeb, ils prennent ZFC.
Je suis actuellement en train d'essayer de résoudre un problème sans l'axiome du choix, mais en utilisant IST.
Quelqu'un peut-il préciser si l'axiome du choix est vraiment nécessaire pour construire la base de la théorie (par exemple pour construire l'ombre d'un réel)? 
Est-ce juste une facilité de la part de Diener et Reeb de l'avoir pris ou bien juste une cohérence historique (car Robinson l'avait utilisé au départ) ? 
Peut-on construire des fonctions non standard non mesurables sans l'axiome du choix ?
:Je n'ai pas l'impression que l'IST version Nelson utilise l'axiome du choix, mais je n'ai pas étudié la question à fond, donc ma réponse est sous toute réserve. Quant à la question finale, je ne connais pas de telle construction. Si l'IST permettait de construire une fonction non standard non mesurable, alors bien sûr, on aurait trouvé une fonction non mesurable. Ce dernier résultat ne faisant pas appel à la notion de standard serait alors un résultat classique, et on aurait prouvé qu'en analyse classique, il existe une fonction non mesurable. Et sans faire appel à l'axiome du choix. Ce qui jette quelque doute sur la possibilité d'une telle construction.Theon 20 fev 2005 à 14:53 (CET)
thread_title:  Axiome du choix et analyse non standard. 

message: Dans le paragraphe 2.2 "axiome de transfert", il est dit que "Si a et b sont deux nombres standard, il en est de même de ab, a+b, a–b, a/b".
Or, zéro est un nombre standard, un aussi, mais 1/0 ne l'est pas (si j'ai compris quelque chose à l'article, je suis pas matheux)... Donc il faudrait préciser que le quotient de deux nombres standards ne l'est pas nécessairement.
Cela dit je ne me permettrai pas de modifier moi même, n'étant pas sûr de mon coup.
GustouristE 12 juillet 2007 à 22:07
:b doit effectivement être non nul car sinon a/b n'est pas défini, que a et/ou b soient standard ou non. L'article veut simplement souligner qu'à partir d'objets standard, on ne pourra définir que des objets standard. Si on définit un ensemble dans lequel 1/0 a un sens sans utiliser la notion de standard (par exemple la droite projective), alors 1/0 sera standard dans cet ensemble. Theon 13 juillet 2007 à 10:56 (CEST)
replies: text: Un infinitésimal n'est pas nécessairement positif. L'opposé d'un infinitésimal en est un aussi. C'est pourquoi l'article parle des réels inférieurs en valeur absolue à tout réel standard. Mais bien entendu, ce dernier doit être positif puisqu'il majore une valeur absolue. Theon (d) 7 février 2008 à 18:09 (CET)
thread_title: Erreur possible

message: Je ne suis pas assez avancé pour voir si ce sont vraiment des fautes, mais si je me pose la question, je pense que je dois pas être le seul, et si quelqu'un peut apporter des précision se serait bien.
:L'Analyse non standard est, au début, extrêmement déroutante, et je pense que quiconque qui s'y initie est amené à se poser les questions que tu te poses et à se confronter à des questions qui paraissent a priori paradoxales. La réponse à ces questions permet alors de se rendre compte de l'extrême soin qui a présidé au choix des axiomes.Theon (d) 10 mai 2008 à 18:45 (CEST)
replies: text: La définition d'un ensemble fini en analyse non standard ne diffère pas de la définition classique. L'analyse non standard ne modifie en rien l'analyse classique en ce qui concerne les notions ne faisant pas appel au prédicat standard. La démonstration utilise l'axiome d'idéalisation appliquée sur une relation précisant explicitement que X est fini. Theon (d) 10 mai 2008 à 18:33 (CEST)

text: Parce que, comme précisé dans les hypothèses de l'axiome de transfert, celui-ci ne s'applique que sur des propriétés F classiques. Si P est une propriété classique (n'utilisant pas la notion de standard), alors, comme en analyse classique, la récurrence est valide. Mais si P est non classique (utilise la notion de standard), alors la propriété de récurrence ne s'applique plus. Exemple : P(n) si et seulement si n est standard. On a bien 0 qui est standard, si P(n) est vrai, alors P(n+1) aussi, mais P n'est pas vrai pour tout n. L'article précise cependant qu'une récurrence restreinte s'applique de la façon suivante : P(n) est vrai pour les entiers standard. Intuitivement, la récurrence ne s'applique que sur les entiers accessibles, les entiers standard. Theon (d) 10 mai 2008 à 18:40 (CEST)
thread_title:  Diverses questions, ou fautes potentielles 

message: Bonjour Theon,
Ta nouvelle introduction est ambiguë. Veux-tu dire que 
* L’analyse non standard est plus intuitive que l’ "analyse standard"
* La présentation de l’analyse non standard par Nelson est plus intuitive que celle de Robinson
* Les deux à la fois
Au plaisir de lire ta réponse.
Cordialement. --Actorstudio (d) 23 mars 2009 à 20:05 (CET)
replies: text: En effet, la dernière phrase n'est pas très fameuse. Je voulais comparer L’analyse non standard avec l’analyse classique. D'ailleurs, l'affirmation d'être plus ou moins intuitif est affaire d'opinion et je me demande s'il ne faudrait pas remplacer cette phrase par qqc de plus précis. Theon (d) 23 mars 2009 à 20:52 (CET)
thread_title:  Nouvelle introduction 

message: Bonjour,
Je cite l'article : 
"On montre qu'on peut partitionner l'ensemble \mathbb R des réels en :
* les infinitésimaux (...) 
* les illimités (...)
* les appréciables. "
On le montre, peut-être, mais comment? --80.82.238.100 (d) 29 juillet 2009 à 15:50 (CEST)
replies: text: Cela alourdirait considérablement l'article de donner toutes les démonstrations, mais en gros, on peut procéder comme suit. Soit x réel strictement positif et n sa partie réelle. Si n est un entier non standard, alors n (et donc x aussi) est plus grand que tout entier standard. x sera alors illimité. Dans le cas contraire, x est limité. On considère alors 1/x, et si ce dernier est également illimité, x sera infinitésimal, sinon x sera appréciable. Theon (d) 8 août 2009 à 15:04 (CEST)
thread_title:  Partition de lR en "standards/non-standards" 

message: "En 1960, Abraham Robinson définit les infiniment petits par une ultra-puissance de R" est inexacte.  Robinson en 1961 a utilise des theoremes de compacite pour construire *R, tandis que Luxembourg en 1962 a utilise la construction "ultrapuissance".  Math999 (d) 28 janvier 2010 à 15:52 (CET)
thread_title:  remarque inexacte 

message: Je ne suis pas convaincu par la justification qui apparait ici de l'exemple suivant:
Exemple 2 : Tout ensemble infini possède un élément non standard.
Considérons la relation x différent de y dans un ensemble E infini. Pour chaque partie finie standard F, nous trouvons un élément x noté xF appartenant à E tel que x soit différent de y pour tout y appartenant à F, puisque E est infini.
L'axiome d'idéalisation fournit alors l'existence d'un élément x appartenant à E et différent de tous les éléments standard y appartenant à E ; x est évidemment charmé (ou non standard).
Pourquoi x appartient-il a E?  En termes de n.s.a., ce qu'on vient d'affirmer que tout ensemble interne de R est fini.  Cependant ceci est un resultat assez difficile.  Il me semble que tout ce qu'on a demontre ci-dessus c'est que l'extension naturelle de tout ensemble reel infini, necessairement contient un element nonstandard.  Tkuvho (d) 5 octobre 2010 à 16:52 (CEST)
replies: text: ??? Faisons ça proprement : on a (par contraposition du principe d'idéalisation) \forall^{st}x\exists^{st}y(x\in E\rightarrow x=y)\leftrightarrow \exists^{st\ fini}z\ \forall x\ \exists y\in z (x\in E\rightarrow x=y) , donc si E est standard et fini, tous ses éléments sont standards--Dfeldmann (d) 5 octobre 2010 à 19:01 (CEST)
replies: text: I am sorry I can't follow this.  I have never been too strong in IST.  Let's see if we agree about the basics.  This looks like a very simple proof.  Do you agree that the standard version of this result is difficult?  Or does your proof translate into a NSA-type proof that's just as easy?  Tkuvho (d) 5 octobre 2010 à 19:10 (CEST)
replies: text:  I still dont understand what you are asking. In IST, the results of the shape "there exists an unlimited integer", or "there exists a finite set containing all the standard sets", and so on, are very easy, they are usually one-line consequence of the idealization axiom. If you ask for a justification of this axiom in, say , some ultrafilter construction, I agree this could be quite hard , this is (according to your philosophical position) a strength or a weakness of IST --Dfeldmann (d) 5 octobre 2010 à 19:29 (CEST)
replies: text: Getting back to your proof, your conclusion is "si E est standard et fini, tous ses éléments sont standards".  But we are trying to prove the opposite: if all elements are standard, then E is finite.  This is the converse, not the contrapositive.  What did you mean here?  Tkuvho (d) 5 octobre 2010 à 19:35 (CEST)

text: I don't understand the formula you wrote down.  Is z an element or a set?  Since you quantify over it, it should be an element.  But then you write that y belongs to z.  ??  Tkuvho (d) 5 octobre 2010 à 21:29 (CEST)
replies: text:  We are in ZFC (or in ZFC + the 3 axioms of IST), so every object is a set...--Dfeldmann (d) 5 octobre 2010 à 22:11 (CEST)

text: La relation R utilisée dans l'exemple 2 est : x appartient à E et y appartient à E et x est différent de y. Theon (d) 5 octobre 2010 à 22:08 (CEST)
thread_title:  exemple? 

message: Merci, T. Delbecque, pour votre ancien ajout, modeste et anonyme. Pourquoi avoir remplacé récemment l'url d'un site académique par celle de votre entreprise, si ce n'est pour lui faire (très discrètement ! ) un peu de pub ? Mais tout ça n'est pas bien grave àmha. Anne Bauval (d) 27 novembre 2010 à 12:43 (CET)
thread_title:  Traduction 

message: deux cercles concentriques ont le meme nombre de 'points', d'éléments, puisqu'ils peuvent etre mis en bijection; 
si le cercle intérieure a un diamètre infinitésimal, donc non nul (bien que ce nombre soit non-standard), puisque ce diamètre est non nul, il devrait donc etre possible de mettre ce cercle intérieur en bijection avec le cercle extérieur, qui peut lui etre infiniment grand, voir meme un infiniment grand non standard (?!);
géométriquement, si un point (par ex. un nombre de la droite des réels=une position sur cette droite) est considéré comme un espace de dim. 0, tout nombre infinitésimal devrait etre également un espace de dim. 0; or un cercle de diamètre infinitésimal n'est pas un espace de dim. 0 (!?); car si oui, sa dimension 0 le ramènerait à un nombre standard (?);
gilles igla
(adresse mail masquée)
:Bonjour ; vous n'êtes pas au bon endroit pour poser ce genre de questions, qui par ailleurs demandent un formalisme rigoureux pour pouvoir être traitées.--Dfeldmann (discuter) 30 octobre 2016 à 20:57 (CET)
replies: text: En fait, j'ai du mal à comprendre votre question : en ANS, tout cercle (de rayon appréciable, infinitésimal ou infini) a les propriétés des cercles usuels: c'est une courbe (de dimension 1) de longueur 2 pi r, etc. En revanche, son ombre (son standardisé) est un cercle ordinaire, un point , une droite, ou l'ensemble vide ; c'est peut-être cela qui vous rend perplexe...--Dfeldmann (discuter) 2 novembre 2016 à 23:30 (CET)
thread_title:  cercles concentriques 

message: Bonjour ; dans la littérature, en particulier dans le présent article, je vois passer les deux orthographes ; qu'est-ce qui est vrai ? Merci Michel421 (discuter) 27 août 2021 à 19:33 (CEST)
thread_title:  entiers/éléments standard ou standards ? 

message: Je lis sous Suite de Cauchy : …en effet, il n'y a qu'un nombre fini d'entiers standard, … Ah bon ? Je croyais que les « entiers standard » étaient les nombres entiers au sens de l'arithmétique classique, et que leur ensemble (ℤ pour les entiers relatifs, ou ℕ pour les entiers naturels, de toute façon ils ont le même cardinal) a pour cardinal ce qu'on appelait quand j'étais au lycée la puissance du dénombrable et qui est le plus petit cardinal infini. Que je sache, quelle que soit la manière dont on compte les nombres entiers (standard : je me limite aux "entiers" de l'arithmétique classique, tels que connus d'Archimède ou de Zermelo et Francken), on n'arrivera jamais au bout, ce qui est le propre d'un ensemble infini.
En d'autres termes, je vous mets au défi de me dire quel est ce « nombre fini d'entiers standard » car quel que soit le nombre que vous me citerez, parmi ces « entiers standard en nombre fini » il y en a un qui est le plus élevé, et ce nombre, augmenté de un, est encore un entier standard qui n'est pas dans votre liste. — Tonymec (discuter) 2 novembre 2023 à 00:18 (CET)
replies: text: Hélas, cela fait partie des nombreuses erreurs des débutants… il est exact qu’il y a une infinité d’entiers standards, mais il sont tous plus petits que n’importe quel entier non standard, lequel est évidemment fini par définition (et la collection des entiers standards, n’étant pas un ensemble, n’a pas de cardinal (fini ou infini)). Plus surprenant encore, l’axiome d’idéalisation montre qu’il existe un ensemble fini contenant tous les objets standard (tous les réels standards, etc.) et, évidemment, beaucoup d’autres objets. Dfeldmann (discuter) 2 novembre 2023 à 08:10 (CET)
thread_title:  Nombre des entiers standard