Discussion:Formule d'Euler

message: ===Question 1===
Partant de cette formule, prenant la valeur x=pi, on obtient la fameuse identité :  
Exp(i.pi)=-1.
Si on élève les deux membres de cette relation au carré, on obtient : Exp (2ipi)=+1,
d'où l'on déduit : Log(+1)=2i.pi
Or, on sait que le logarithme de 1 vaut 0, quel que soit la base choisie d'ailleurs.
Il en résulte : 2i pi=0 donc, i=0. Où est l'erreur???
Didier Eggerickx
: Réponse : la fonction exponentielle définie sur C n'est pas bijective ; par conséquent, le passage de exp(2i.pi)=1 à 2i.pi=Log(1) est incorrect.
::d'accord mais passons cette étape d'exp en logarithme, seul exp 0 est égale à 1. Ainsi on en revient au même problème, 2i pi =0 donc i=0
:::Non, exp(2i.pi.k)=1 pour tout k dans Z, pas seulement 0. Florn (discuter) 14 mars 2018 à 18:57 (CET)
replies: text: Cela provient du même phénomène que pour la question 1 : l'exponentielle complexe devrait s'établir par  Z^z=e^{z\ln(Z)}. mais comme le logarithme complexe n'est pas univoque, l'exponentielle complexe non plus. HB (d) 2 novembre 2009 à 09:13 (CET)
thread_title:  Question surl'application du Log 

message: Partant de cette formule, prenant la valeur x=pi, on obtient la fameuse identité :  
Exp(i.pi)=-1.
Si on élève les deux membres de cette relation au carré, on obtient : Exp (2ipi)=+1,
d'où l'on déduit : Log(+1)=2i.pi
Or, on sait que le logarithme de 1 vaut 0, quel que soit la base choisie d'ailleurs.
Il en résulte : 2i pi=0 donc, i=0. Où est l'erreur???
Didier Eggerickx
: Réponse : la fonction exponentielle définie sur C n'est pas bijective ; par conséquent, le passage de exp(2i.pi)=1 à 2i.pi=Log(1) est incorrect.
::d'accord mais passons cette étape d'exp en logarithme, seul exp 0 est égale à 1. Ainsi on en revient au même problème, 2i pi =0 donc i=0
:::Non, exp(2i.pi.k)=1 pour tout k dans Z, pas seulement 0. Florn (discuter) 14 mars 2018 à 18:57 (CET)
thread_title: Question 1

message: Si on prend f réel non entier, alors :
exp(2*pi*i*f) = (exp(2*pi*i))^f = 1^f = 1
or exp(2*pi*i*f) est un point du cercle de centre 0 et de rayon 1 sur le plan complexe, pour f non entier, cette expression est strictement complexe.
d'où exp(a*b) = (exp(a))^b n'est pas vrai dans ce cas.
Quelqu'un à t'il une explication ? druideatakiwaypointcom
: Cela provient du même phénomène que pour la question 1 : l'exponentielle complexe devrait s'établir par  Z^z=e^{z\ln(Z)}. mais comme le logarithme complexe n'est pas univoque, l'exponentielle complexe non plus. HB (d) 2 novembre 2009 à 09:13 (CET)
thread_title: Question 2 

message: Autre question : est-il possible de démontrer la formule d'Euler sans passer par la formule de Taylor ?
Merci de votre réponse. druideatakiwaypointcom
: Il semble que ce soit maintenant dans l'article (par les dérivées). HB (d) 2 novembre 2009 à 09:13 (CET)
thread_title:  Démonstration sans la formule de Taylor 

message: Das l'article il est dit qu'Euler démontre cette formule en égalisant deux séries. Dominique Flament, dans Histoire des nombres complexes présente une autre version de la démarche : Euler établit au préalable que cos(nx)+isin(nx) = (cos(x) + isin(x)n grâce aux formules d'addition. Il en déduit que 
:\cos(x) = \lim \frac12\left(cos\left(\frac xn\right)+i\sin\left(\frac xn\right)\right)^n + \frac12\left(cos\left(\frac xn\right)-i\sin\left(\frac xn\right)\right)^n
puis, par le jeu des équivalents, 
: \cos(x)=\lim \frac 12(1+\frac{ix}n)^n+  \frac 12(1-\frac{ix}n)^n
Ayant établi au préalable que 
:\lim(1+\frac zn)^n=e^z
il en déduit que 
:\cos(x)=\frac12(e^{ix}+e^{-ix})
Il établit de même que
:\sin(x)=\frac1{2i}(e^{ix}-e^{-ix})
et en déduit la formule 
:\cos(x)+i\sin(x)=e^{ix}
Où est la vérité ? Dans Dominique Flament qui présente les textes d'Euler ? ou dans cet article qui présente une version non sourcée. HB (d) 2 novembre 2009 à 09:13 (CET)
replies: text: Ça date d'une traduc du 27/3/7 de la version (non sourcée) en anglais, qui n'a guère changé depuis là-dessus. J'ai mis un refnec là-bas en espérant qu'ils rectifient et/ou nous fournissent des sources, mais puisque tu en as déjà, pourquoi ne rectifies-tu pas ? Anne (d) 18 mars 2013 à 23:34 (CET)
replies: text:  En 2009, je n'avais pas assez étudié le sujet pour être vraiment sûre de moi. et après j'ai oublié. C'est chose faite, en toute concision. HB (d) 19 mars 2013 à 08:51 (CET)
replies: text: Je viens de voir que dans l'article en anglais, une « réf » avait fini par être fournie en octobre, et de l'enlever car elle ne parle pas de ça. Anne (discuter) 17 décembre 2013 à 01:40 (CET)
thread_title:  La démonstration d'Euler 

message: Bonjour,
«formule d'Euler» correspond aussi à une formule sur les graphe planaire (ou les polyèdre), qui est généralisée par la notion de caractéristique d'Euler. Est-ce qu'une page d'homonymie vous semble être une bonne idée ? Une rapide recherche google me semble indiqué que la formule sur les nombres complexe est la plus connue sous ce nom mais que l'autre concerne au moins 30% des sources. --Roll-Morton (discuter) 8 mars 2018 à 14:38 (CET)
replies: text: En fait, il existe une liste des sujets portant son nom, où ce paragraphe est consacré aux cinq formules le plus souvent mentionnées.--Dfeldmann (discuter) 8 mars 2018 à 14:49 (CET)
replies: text:  Bonne remarque. Est-ce que tu penses que ça suffit ? Je suis dérangé par le fait qu'en tapant «formule d'Euler» en ayant les graphes en tête, on tombe sur les complexes. --Roll-Morton (discuter) 8 mars 2018 à 15:32 (CET)
replies: text:  Je pense qu'un bandeau "confusion" suffira ; je m'en charge.--Dfeldmann (discuter) 8 mars 2018 à 18:56 (CET)
replies: text:  Oui c'est bien. Merci. --Roll-Morton (discuter) 9 mars 2018 à 14:34 (CET)
thread_title:  Homonymie ?