Discussion:Théorème spectral

message: L'objectif de la réforme est multiple. Ce théorème, fondamental en algèbre linéaire mérite mieux qu'une simple démonstration de son contenu.
: Ajouter un contexte historique, montrant comment différents domaines scientifiques interviennent tour à tour pour faire émerger le théorème en un siècle. L'histoire de ce théorème est emblématique de tout une période de développement de l'algèbre linéaire.
: Développer une partie applications (ou usages) pour illustrer la vaste portée de ce résultat, ainsi que la variété des domaines d'application.
: Ouvrir une partie généralisations, pour indiquer les différents futurs de ce théorème. La délicate question est celle de la dimension. Est-elle nécessairement finie ? Il faut analyser plus précisément l'usage du mot pour une réponse définitive.
Les conséquences de cette réforme sont multiples :
: Déplacer de l'article Valeur propre, vecteur propre et espace propre ce qui revient à  celui-ci pour éviter les redites. L'article sur les valeurs propres devrait, à mon gout être très généraliste et ne point autant entrer dans les détails comme c'est le cas à présent. En revanche celui-ci doit être beaucoup plus précis car de nature plus technique.
: L'article diagonalisation doit aussi s'harmoniser avec celui ci. Une bonne partie de son contenu devrait être dans cet article et ne pas faire doublon avec Valeur propre, vecteur propre et espace propre.
: L'article algèbre linéaire doit traiter tout ce qui ne peut pas l'être ici, mais qui est nécessaire à une compréhension globale : L'unification des différentes méthodes avec un jeu de démonstrations simplifiées sans doublon et ensuite la généralisation qui permet la découverte de nouveaux résultats (je pense surtout à l'analyse fonctionnelle et à Hilbert). Enfin les différentes approches sous-jacentes, souvent conséquence des cultures nationales (analytique pour la France, synthétique au sens de Dhombres pour l'Allemagne, pragmatique et opérationnelle pour l'Angleterre) doivent être explicitées.
: Une articulation vers la dimension infinie doit être aménagée. Le nom même du théorème provient de l'analyse fonctionnelle. S'il existe un usage fort de ce terme aussi pour la dimension infinie, je pense qu'il faudra renommer l'article en théorème spectral (dimension finie) et un autre en théorème spectral traitant essentiellement de la dimension infinie. En effet, cette dimension introduit un vaste jeu de nouvelles idées finalement assez différentes du contenu de cet article. Or, il est suffisamment riche ainsi. Jean-Luc W 3 décembre 2007 à 11:20 (CET)
thread_title:  Refonte du théorème 

message: Théorème spectral en dimension finie —  Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur le corps des réels (resp. des complexes) et Φ, Ψ deux formes bilinéaires symétriques (resp. sesquilinéaire) de E tel que Φ soit définie positive. Alors il existe une base B de E orthonormale pour Φ et orthogonale pour Ψ. Dans cette base, les coefficients de la matrice associée à Ψ sont tous réels.
Dans le cas d'un espace vectoriel sur C, il ne faudrait pas plutôt considérer des formes sesquilinéaires hermitiennes ? 
Zandr4[Kupopo ?] 3 juin 2010 à 15:51 (CEST)
thread_title:  Vérification 

message: Tout est à reprendre dans cet article, du point de vue de la présentation : un lecteur cherchant le « théorème spectral »  n'en trouvera même pas une esquisse...--Dfeldmann (d) 31 mai 2012 à 09:29 (CEST)
thread_title:  Où est passée la définition du théorème spectral ?? 

message: Bonjour, besoin d'aide pour bien rédiger cette démo !!!
Il s'agit de montrer par induction, en diminuant de 1 en 1 la taille de la matrice en extrayant un vecteur propre à chaque étape, qu'une matrice symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée, et que ses valeurs propres sont réelles.
Dans l'article il y a déjà une démo similaire pour les endomorphismes, mais je ne la trouve pas très claire, et surtout je trouve que c'est beaucoup plus intuitif et explicite (enfin si la démo est correctement rédigée) avec les matrices.
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Soit une matrice hermitienne M = M^H de taille n \times n. 
Soit f(\Lambda ) son polynôme caractéristique : f(\Lambda ) = \det(M - \Lambda I).
=== extraction d'un premier vecteur propre ===
Grâce au théorème fondamental de l'algèbre, ce polynôme possède au moins une racine complexe \lambda, ainsi 
det(M - \lambda I) = 0 si bien qu'il existe un vecteur  x (à coefficients complexes) de norme ||x||^2 = 1  tel que    (M - \lambda I) x = 0. x est donc un vecteur propre de M associé à la valeur propre \lambda.
Mx = \lambda x
x^H Mx = \lambda x^Hx = \lambda ||x||^2 = \lambda
x^H M^H x = (x^H Mx)^H = \lambda^H
sauf qu'on se rappelle que M = M^H
finalement \lambda^H = x^H M^H x = x^H Mx = \lambda
et la valeur propre \lambda est un réel.
=== décomposition du sous espace complémentaire, et réduction de taille de la matrice ===
Vect(x) est le sous-espace vectoriel de dimension 1 engendré par x.
Son complémentaire orthogonal noté ^\bot Vect(x) est un sous-espace vectoriel de dimension n-1 dont les éléments sont orthogonaux à x.
Parce que M est hermitienne, ^\bot Vect(x) est stable par action de M :
Si <x,y> = 0 (donc si y \in \ ^\bot Vect(x) ) alors <x,M y> = <M x, y> = \lambda <x,y> = 0.
On peut donc séparer en deux l'ensemble des antécédents et des images par M.
Par ce faire, on va utiliser une matrice de passage.
Soit  P une matrice de passage orthonormée ( ou unitaire en vocabulaire des matrices à coefficients complexes) telle que sa première colonne soit égale à x. En notant e_1 le vecteur \left(\begin{array}{c}1\\0\\\cdots\end{array}\right)
on a P e_1 = x, \ \ e_1 = P^H x. On pose
A = P^H M P qui est une matrice qu'on dit congruente à M. On a que  A = A^H et  A e_1 = \lambda e_1.
Ainsi la première ligne  de A (et également la première colonne puisqu'elle est hermitienne) est \left(\begin{array}{c}\lambda\\0\\ \cdots\end{array}\right) :
A = \left( \begin{array}{lcc} \lambda & 0 & \cdots \\ 0 & \left( A'\right) & \\\cdots &  & \end{array}\right)
Remarquons que l'ensemble des antécédents et des images par A sont également séparés en deux : ^\bot Vect(e_1) est stable par action de A. 
On peut alors écrire que \det(A - \Lambda I) = (\lambda-\Lambda) \det(A' - \Lambda I).
=== appel récursif ===
On reprend alors tout le raisonnement depuis le début avec A' à la place de  M, une matrice de taille (n-1)\times(n-1).
'''
=== utilisation des vecteurs propres obtenus par ces appels récursifs ===
Ceci nous donnera des vecteurs propres et des valeurs propres de  A'.
Soit y' un vecteur propre de  A', associé à la valeur propre \gamma, alors y = \left( \begin{array}{c}0\\y'\end{array}\right) est un vecteur propre de A, et P y est un vecteur propre de M, toujours associé à la valeur propre  \gamma, que l'on aura montrée être réelle. 
P P^H = P^H P = I
M = P A P^H
A y  = \gamma y
M (P y)  = P A P^H P y = P A y = \gamma (P y)
Et puisque y  \in \ ^\bot Vect(e_1), on a que y est orthogonal à e_1, que P y est orthogonal à x donc que les vecteurs propres de M sont orthogonaux à x. Et en réfléchissant bien, on arrive à la conclusion que les vecteurs propres de M sont tous orthogonaux entre eux !
Puisque à chaque étape on réduit la taille de notre matrice, au terme du raisonnement par induction on a une matrice de taille 1\times1 ce qui nous donne un vecteur propre et une valeur propre triviale. Puis on reprend toutes les matrices de passages intermédiaires, on calcule les vecteurs propres de chaque matrice intermédiaire, et à la fin on a n vecteurs propres pour notre matrice M de départ.
CQFD : une matrice hermitienne est diagonalisable dans une base orthonormée (unitaire) et ses valeurs propres sont réelles.
M = U \Lambda U^H
où M \in \mathbb{C}^{n\times n}, \ \ \ U \in \mathbb{C}^{n\times n},  \ \ \ \lambda \in \mathbb{R}^n, \ \ \ M = M^H, \ \ \ U U^H  = U^H U = I,  \ \ \ \Lambda = diag(\lambda)
=== matrice réelle symétrique ===
Si au départ on a une matrice symétrique à coefficients réels, que se passe-t-il ?
Le polynôme caractéristique \det(M - \Lambda I) a au moins une racine complexe, 
mais heureusement on montre tout de suite que cette racine est en fait réelle.
Puis, le vecteur propre associé à cette racine est à coefficients réels.
En effet supposons que le vecteur propre x soit à coefficients complexes :
M x = \lambda x
\sum_{j=1}^n M_{i,j} x_j = \lambda x_i
\sum_{j=1}^n M_{i,j} \Re(x_j) = \lambda \Re(x_i)
Ainsi la partie réelle de x est un vecteur propre de M !
On peut donc considérer que  x est à coefficients réels.
CQFD : une matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable dans une base orthonormée  et ses valeurs propres sont réelles.
Acx01b (discuter) 12 juillet 2014 à 05:10 (CEST)
thread_title:  matrice symétrique => diagonalisable dans une base orthonormée, démo 

message: Si au départ on a une matrice symétrique à coefficients réels, que se passe-t-il ?
Le polynôme caractéristique \det(M - \Lambda I) a au moins une racine complexe, 
mais heureusement on montre tout de suite que cette racine est en fait réelle.
Puis, le vecteur propre associé à cette racine est à coefficients réels.
En effet supposons que le vecteur propre x soit à coefficients complexes :
M x = \lambda x
\sum_{j=1}^n M_{i,j} x_j = \lambda x_i
\sum_{j=1}^n M_{i,j} \Re(x_j) = \lambda \Re(x_i)
Ainsi la partie réelle de x est un vecteur propre de M !
On peut donc considérer que  x est à coefficients réels.
CQFD : une matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable dans une base orthonormée  et ses valeurs propres sont réelles.
Acx01b (discuter) 12 juillet 2014 à 05:10 (CEST)
thread_title:  matrice réelle symétrique 

message: J'ai regardé rapidement votre débat approche géométrique / approche algébrique.
Désormais les matrices sont enseignées en terminale S et en terminale ES (au moins option maths).
La grande majorité des étudiants s'intéresse donc à l'approche matricielle et rien d'autre.
En gros, votre article a pour effet de perdre tous ceux qui cherchaient des trucs sur les matrices symétriques ou hermitiennes.
S'il y a un autre article qui traite la diagonalisation de ces matrices, alors il faut en donner le lien le plus tôt possible dans l'article.
Acx01b (discuter) 12 juillet 2014 à 16:43 (CEST)
thread_title:  dimension finie = matrices