Discussion:Loi normale multidimensionnelle

message: Je viens de changer le plan (faut bien se lancer un jour...). Je dois avouer etre encore un peu perplexe sur la partie remarques diverses, caar je comprends que tu veuilles les garder telles quelles Jct et d'un autre cote, je me dis que c'est aussi des proprietes de la loi qui auraient donc leur place dans la case proprietes. Je vais dans les jours a venir essayer de completer les deux dernieres parties, je pense que ce serait bien de prendre en compte aussi les remarques de Vivares. En resume, maintenant je pense qu'il ne reste plus qu'a remplir et a reprendre deux trois trucs de la version anglaise et on aura quelque chose d'encore mieux qu'avant. Oliv9053 (d) 27 juillet 2008 à 16:13 (CEST)
thread_title:  Plan mis en place 

message: Contrairement à l'article de la Wikipédia de langue anglaise, cet article (de mathématiques, qu'on le veuille ou non, et non élémentaires) ne donne à aucun moment de définition de la loi dont il traite. On parle au début de loi non dégénérée mais il n'est dit nulle part ce que cela signifie. Pour quelqu'un qui connaît le sujet, l'article semble traiter uniquement le cas non dégénéré, mais (et la Wikipédia de langue anglaise le dit avec netteté, en indiquant qu'il s'agit d'un cas fréquent en statistiques), la loi normale multidimensionnelle n'admet pas nécessairement une densité (elle peut ne pas être absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue ; c'est le cas ssi la matrice des covariances est non inversible, ce qui équivaut à l'existence d'un hyperplan affine contenant le support de la loi). Qu'on veuille éviter les démonstrations est une chose (encore qu'elles pourraient figurer sous forme de boîtes déroulantes), mais on ne peut se dispenser de définir les notions introduites.Vivarés (d) 27 juillet 2008 à 12:38 (CEST)
replies: text: Calmons nous, calmons nous... Il est vrai qu'il manque des choses a l'article et comme l'a deja mentionne HB, il y a du bon a prendre dans la version anglaise. Cela dit, il me semble que l'article dans l'etat actuel definit quand meme plutot bien la distribution gaussienne dans le cas non degenere (\Sigma inversible), il suffirait de le rappeler explicitement. Je viens de faire une modif pour avoir le nouveau plan propose dans cette page. Par rapport a la version anglaise, il manque peut etre effectivement le debut du general case ou il est dit voila quand on peut dire qu'un vecteur aleatoire suit une loi normale multivariee. Oliv9053 (d) 27 juillet 2008 à 16:13 (CEST)
thread_title: Où est la définition de la loi normale multidimensionnelle ?

message: À vérifier et compléter par quelqu'un de compétent. HB 12 juillet 2006 à 18:47 (CEST)
thread_title:  À vérifier

message: Il est affirmé en remarque : "Si des variables de Gauss sont décorrélées, leur matrice de covariance est diagonale, ce qui assure leur indépendance". Ceci s'applique dans le cas où les variables en question sont les composantes d'un vecteur aléatoire dont la loi est normale multidimensionnelle. Mais il se peut que des variables de Gauss soient les composantes d'un vecteur aléatoire dont la loi n'est pas normale multidimensionnelle, auquel cas le fait qu'elles soient non corrélées n'implique pas leur indépendance. Vivarés 2 décembre 2006 à 14:10 (CET)
replies: text: Différence à préciser. Jct 3 décembre 2006 à 11:50 (CET)
thread_title:  Affirmation à préciser 

message: La phrase suivante, telle quelle, est inexacte :
"En combinant les remarques précédentes, on aboutit au résultat selon lequel toute combinaison linéaire, en d'autres termes, toute somme de variables de Gauss est une variable de Gauss." (fin de citation)
Ceci suppose (comme ce n'est pas rappelé dans la phrase) que les variables de Gauss en question soient les composantes d'un vecteur gaussien. Bien entendu, les composantes d'un vecteur aléatoire gaussien sont des variables aléatoires gaussiennes, mais la réciproque est fausse.
:Contre-exemple (classique): soient X et S deux variables aléatoires réelles indépendantes, la première de loi normale centrée réduite, la seconde (discrète) prenant les deux valeurs +1 et -1 avec pour chacune la probabilité 0,5. Posons Y = S X. On vérifie aisément (fonction de répartition) que Y est aussi de loi normale centrée réduite. On a (relation entre évènements): (X + Y = 0) = (S = -1) U (S = 1, X = 0) donc P(X + Y =  0) = P(S = -1) + P(S = 1) P(X = 0) = 0,5 puisque P(X = 0) = 0. Ceci prouve que X + Y n'est pas une variable aléatoire à densité ((X + Y =  0) étant de probabilité non nulle), a fortiori ce n'est pas une variable aléatoire gaussienne. Ceci prouve encore que le vecteur aléatoire (X, Y), à composantes gaussiennes, n'est pas gaussien.
:Pour couronner le tout, on vérifie aisément que les deux variables gaussiennes X, Y sont non corrélées ; mais elles ne sont pas indépendantes, sinon la somme X + Y serait gaussienne. L'équivalence entre non corrélation et indépendance pour les composantes d'un vecteur aléatoire gaussien ne s'étend pas à des variables aléatoires gaussiennes quelconques (cf. mon propos de 2006 (Affirmation à préciser)).
En conclusion, une formulation correcte est la suivante (mais est-elle intéressante ?) :
Toute combinaison linéaire des composantes d'un vecteur gaussien est une variable aléatoire gaussienne.
--Vivarés (d) 25 juillet 2008 à 20:19 (CEST)
replies: text:  OK. Je comprends enfin ce qui avait été lancé sans explications il y a plus d'un an. C'est un peu plus détaillé dans []. Jct (d) 26 juillet 2008 à 12:00 (CEST)
replies: text: Complément : la propriété précédente est intéressante en ce qu'elle est caractéristique de la loi normale multidimensionnelle. En fait, il y a une réciproque : si un vecteur aléatoire est tel que toute combinaison linéaire de ses composantes soit une variable aléatoire gaussienne (on considère la loi certaine de valeur 0 comme un cas particulier "dégénéré" de loi normale), alors ce vecteur aléatoire est gaussien ; cela peut se démontrer à l'aide des fonctions caractéristiques. En fait, les vecteurs aléatoires gaussiens sont souvent définis ainsi. Cette caractérisation pourrait être incorporée à l'article. Vivarés (d) 26 juillet 2008 à 17:54 (CEST)
thread_title:  Formulation inexacte 

message: La correction du 7 mars 2009 à 16:46 est-elle conforme à Couple (mathématiques) ? Jct (d) 8 mars 2009 à 10:51 (CET)
replies: text: Bien sûr. Ceci est conforme au langage mathématique usuel, qui distingue bien couple, paire. Un vecteur aléatoire à deux composantes s'appelle usuellement couple aléatoire. On parle par exemple de la covariance d'un couple de variables aléatoires: si E est l'espace vectoriel des variables aléatoires de carré intégrable (sur un espace probabilisable donné), la covariance est une forme bilinéaire sur E, en particulier c'est une fonction définie sur l'ensemble E2 = E x E des couples de telles variables aléatoires (une paire est un ensemble à deux éléments, notion bien distincte de celle de couple). --Vivarés (d) 8 mars 2009 à 12:07 (CET)
replies: text: Je ne suis pas sûr de comprendre la réponse à la question posée. Bien sûr signifie-t-il que cette terminologie est conforme à Couple (mathématiques)#Notion de couple#Propriété caractéristique selon lequel les les deux éléments d'un couple ne peuvent être intervertis (dans ces conditions la covariance dépendrait, me semble-t-il, de l'ordre des variables) ou s'agit-il d'une terminologie spécifique aux probabilités ? Jct (d) 9 mars 2009 à 10:26 (CET)
replies: text: Oui: la terminologie est conforme. Cela n'empêche pas la propriété dite de symétrie de la covariance (forme bilinéaire symétrique), à savoir que les deux couples (X, Y) et (Y, X), différents si X ≠ Y, ont cependant la même covariance. Il ne s'agit nullement d'une terminologie spécifique aux probabilités : selon le langage actuel des mathématiques, toute fonction de deux variables (c'est le cas de la covariance) est définie sur un ensemble de couples. --Vivarés (d) 9 mars 2009 à 14:39 (CET)
thread_title:  Paire/couple