Discussion:Réduction de Gauss

message: l'existence d'une base orthogonale se fait facilement par récurrence voir forme quadratique
la réduction de Gauss, c'est le point de vue dual. Ce qui est spécifique, c'est l'algorithme.
(pas celui qui est plus bas sur cette page : celui là est incorrect !)
Je compte modifier l'article dans ce sens.Jaclaf (d) 17 janvier 2013 à 15:08 (CET)
replies: text: Pour moi tu peux y aller. rv1729 13 janvier 2009 à 19:23 (CET)
thread_title: (auto)-critique de l'article dans sa version du 15.01.2003 

message: *En dimension deux :
Soit q(x,y) une forme quadratique sur R^2 de la forme :
q(x,y)= ax^2 + by^2 + cxy
on écrit alors :
q(x,y)= a(x + \frac{c}{2*a}y)^2 + y^2(b-\frac{c^2}{4*a})
**On a alors la signature de q :
sign (q) =(n_+;n_-)
où n_+ est égal au nombre de coefficient positifs devant les carrés
et n_- au nombre de coefficient négatifs devant les carrés
ex :  sign(q) =(2;0) si et seulement si a>0 et b-\frac{c^2}{4*a}>0
**Ainsi que le rang de q :
rang (q) = n_+ + n_-
*En dimension trois :
Soit q une forme quadratique sur R^3 de la forme :
 q(x,y,z) = a*x^2 + b*y^2 + c*z^2 + d*xy + e*xz + f*yz
On écrit d'abord :
 q(x,y,z) = a(x + \frac{d}{2*a}y)^2 -\frac{d^2}{4*a}y^2+ b*y^2 + c*z^2 + e*xz + f*yz
Puis on recommence l'opération avec x et z afin de faire disparaitre le produit xz, ie :
 q(x,y,z) = a(x + \frac{d}{2*a}y + \frac{e}{2*a}z)^2 - \frac{d^2}{4*a}y^2 -\frac{e^2}{4*a}z^2 + b*y^2 + c*z^2 + f*yz
enfin on applique le même algorithme qu'en dimension deux pour réduire  - \frac{d^2}{4*a}y^2 -\frac{e^2}{4*a}z^2 + b*y^2 + c*z^2 + f*yz ce qui donne :
 q(x,y,z) = a(x + \frac{d}{2*a}y + \frac{e}{2*a}z)^2 + (b-\frac{d^2}{4*a})(y+\frac{f}{2*(b-\frac{d^2}{4*a})}*z)^2 + z^2(c-\frac{f}{2*(b-\frac{d^2}{4*a})^2})</br>
*Cet algorithme se généralise facilement par récurrence dans le cas d'un espace vectoriel à n dimensions.
* je rappelle que cet algorithme est incorrect : il ne prend pas en compte le cas où il n'y a que des "termes rectangles"
Jaclaf (discuter) 19 avril 2014 à 11:14 (CEST)
thread_title: Algorithme

message: il ne faut pas confondre la diagonalisation des formes quadratiques, toujours possible, qui met
en jeux des matrices congruentes, avec la diagonalisation des opérateurs linéaires, qui met en
jeu des matrices semblables
Jaclaf (d) 22 janvier 2009 à 12:58 (CET)
thread_title:  commentaire sur ma modif du  22 Janvier 

message: Cela me paraît très bien !!!
Suggestions (pour avoir l’air de servir à quelque chose, , mais cela ne me gêne pas si tu mets dans le texte en l’état) : 
* la réduction de Gauss est un procédé  (au lieu de "algorithme", qui a peut-être l’air un peu technique, on peut aussi dire un peu plus loin que ce procédé peut être mis sous une forme algorithmique, programmé, etc.) qui…
* polynômes homogènes (à un nombre quelconque de variables)… .
*Dans le cas de deux variables, le procédé est proche de/analogue à la mise en forme canonique, etc.
Je crois qu'il faut intervertir y^2 et le coefficient constant (je sais, c’est bête, mais je crois que cela peut déconcerter des élèves si on a les variables avant la constante...).
*Il manque aussi un s dans la première phrase (somme de carréS). 
*Dans le cas de deux variables :  il y a un problème de codage avec le an 0 en fin de ligne. Je dirai juste "a non nul " au début, puis si a est nul et c non nul, on échange x et y et on fait la même chose. Si a et c sont tous deux nuls etc…
*Cas général : variAbles
*Je me demande s’il y a un moyen d’éviter les doubles indices : soit commencer par un exemple numérique, pour montrer comment le procédé marche et embrayer sur le cas général exprimé avec les indices. 
*Dans les remarques finales, faire un lien à loi d'inertie de Sylvester quand tu parles de la décomposition des formes en sommes de carrés.
Cordialement, --Cgolds (d) 19 janvier 2013 à 16:09 (CET)
thread_title:  Sur le brouillon