Discussion:Axiomes de Peano

message: (5) Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N.
On pourrait ainsi définir N' = N union {zero'} avec S(zero') = zero'. Cet ensemble N' satisfaisant tous les axiomes on aurait N' = N (par axiome 5), ce qui me semble assez surprenant (mais je peux me planter). En regardant le wiki anglophone, on a une formulation différente de cet axiome:
(9) If K is a set such that: 0 is in K, and for every natural number n, n being in K implies that S(n) is in K, then K contains every natural number.
Par analogie avec l'axiome 9 de la version anglophone, on peut changer "alors cet ensemble est égal à N" en "alors cet ensemble contient N". --Jean-François Baget (discuter) 4 octobre 2016 à 11:17
:*Cette modif ne s'imposait pas : le sens est inchangé mais je trouve ça moins clair.
:*Ici, « entiers naturels » ne peut rien signifier d'autre que « éléments de N ». Si bien que quand on remplace N par ton N' (« entiers naturels » signifiant alors « éléments de N' »), l'axiome 5 (dans sa version antérieure ou dans ta version modifiée, équivalente) est faux : l'ensemble N d'éléments de N' contient 0 et est stable par successeur mais n'est pas égal à N' (ou ne contient pas N', c'est pareil).
:*L'axiome 9 anglophone (qui parle d'un ensemble quelconque K, non nécessairement inclus dans N) est équivalent à notre axiome 5 (qui parle d'une partie de N) : 9 implique trivialement 5, et 5 appliqué à K∩N implique 9.
:Anne, 7/10/16, 14 h
OK, j'avais déconné, mais il reste que "contient" suffit, alors que "egal" est plus fort. Quand on définit une axiomatique, on essaie d'avoir les axiomes les plus faibles non?--Jean-François Baget (discuter) 11 octobre 2016 à 09:16 (CEST)
thread_title: Pas vraiment d'accord avec l'axiome 5

message: Je ne peux me prétendre spécialiste, mais je ne comprends pas l'utilité de formuler le huitième axiome sous une forme aussi compliquée que dans l'article en plus, je suis un peu gêné de parler de n+1 variables au moment d'axiomiser la notion d'entier naturel, je sais bien que la notion de langage utilise déjà des notions d'arité des fonctions ou de relation n-aire mais bon... La formule incriminé de l'axiome est recopiée ci-dessous: 
 Pour toute formule \phi(x,x_1,\ldots,x_n) à n + 1 variables libres, \forall x_1 \ldots \forall x_n \left( \left(\phi \left(0,x_1,\ldots ,x_n \right) \wedge \left(\forall x \left(\phi \left(x,x_1,\ldots ,x_n \right)\rightarrow \phi \left(sx,x_1,\ldots ,x_n \right) \right) \right)\right) \rightarrow \forall x \phi \left(x,x_1,\ldots,x_n \right) \right)
Dans un livre que j'ai sous la main ("Introduction à la logique" de René David, Karim Nour et Christophe Raffalli) on définit l'axiome sous cette forme: (enfin à peu près, parce qu'ils s'embêtent avec une histoire de clôture universelle, il est possible que le "pour toute formule" ne soit pas trop légal)  
 Pour toute formule (F)  (F(0)\land \forall y F(y)\rightarrow F(sy)) \rightarrow \forall x F(x) 
On notera que cette formule est équivalente à la première par utilisation réitérée de la règle d'introduction du quantificateur universel dans un sens ou d'élimination du même quantificateur dans l'autre (les  x_i  ne sont pas si libres que ça dans la formule puisqu'on utilise ce f). 
Je viens de consulter deux autres livres qui présentent d'autres formulations ("Mathématiques pour le CAPES et l'Agrégation" de Jean de Biasi et "Les objets fondamentaux en mathématiques - Les nombres" de Marcel Grangé). En substance, ces deux-là présentent cet axiome sous des formes qui nécessitent au préalable d'admettre les notions d'ensemble, d'appartenance et de partie et qui sont équivalente à ça:
    [(A \subset \mathbb{N})\land (0 \in A) \land (x\in A \rightarrow sx \in A)] \rightarrow A=\mathbb{N} 
Je veux bien admettre que cette deuxième formulation serait moins rigoureuse, à cause des notions "ensemblistes" qui laisse penser qu'on se trouverait dans un système d'axiome plus large, mais dans le genre de littérature que je consulte (préparation à des concours), c'est très répandu.
Voilà, ne pensez-vous pas que l'utilisation d'une ou l'autre des deux formules simplifierait un peu la lecture de l'axiome?
 
--Un autre type (discuter) 5 décembre 2018 à 20:10 (CET)
replies: text: Ce n'est pas une question de rigueur. Il s'agit de l'arithmétique de Peano du 1er ordre, la récurrence est un schéma d'axiomes (une infinité, un pour chaque formule). Les paramètres (x_i) sont indispensables, on peut ne pas les expliciter en parlant de clôture universelle (dans la seconde formulation F dépend également de variables libres qu'on peut appeler x_1 ... x_n), mais ça n'est pas forcément plus clair. Dans un contexte ensembliste, il doit s'agir de l'arithmétique du second ordre, probablement dans un contexte plus général (ce n'est pas un"système formel") ce n'est pas la même chose, c'est ce dont il est question dans le premier paragraphe, la récurrence s'exprime de façon ensembliste par un seul axiome. L'article n'est pas très clair sur ce point (et les "structures de Dedekind-Peano" c'est non standard). Proz (discuter) 6 décembre 2018 à 01:27 (CET)
thread_title:  Formulation du huitième axiome 

message: Bonsoir, il me semble bien qu une telle structure veriferait les axiomes de peano ainsi decrits:
S(0)=1
S(1)=2
S(3)=4
Etc...
Mais si on rajoute des symboles a,b et c vérifiant ceci:
S(a)= b
S(b)=c
Et S(c)= a
Alors aucun axiome ne serait contredit N contiendrait en plus des nombres des boucles!
Il faudrait preciser que cest le plus petit ensemble creer de cette manière... et encore ce serait pas parfaitement rigoureux.
Bien a vous Nicobzz (discuter) 18 avril 2019 à 22:13 (CEST)
replies: text: Bonjour, les boucles ne sont pas possibles. Tout modèle de AP est de la forme N + des copies de Z. S'il y avait une boucle, amaha l'axiome 3 serait violé. On doit pouvoir démontrer par récurrence qu'un entier (càd un point du modèle) aurait 2 prédécesseurs. --Epsilon0  ε0 18 avril 2019 à 22:52 (CEST)

text: Même si on ne voit pas l'image sur la page cette question est exactement celle posée ici avec 2 réponses une par récurrence, l'autre en faisant intervenir une relation d'ordre. En fait il faut prouver que S est une fonction strictement croissante sur une relation d'ordre à définir (Sur N c'est la relation d'appartenance qui est un bon ordre sur les ordinaux, mais les autres modèles de AP ne sont pas des ordinaux). --Epsilon0  ε0 19 avril 2019 à 11:43 (CEST)
replies: text:  La récurrence n'est pas satisfaite. S'il s'agit des axiomes du 2nd ordre c'est évident. S'il s'agit des axiomes du 1er ordre, ∀x x ≠ ssx se démontre très facilement par récurrence en utilisant qu'un successeur est non nul, et l'injectivité du successeur (idem pour x ≠ s...sx avec autant de successeurs que l'on veut, au moins un). Proz (discuter) 19 avril 2019 à 17:49 (CEST)
thread_title:  La possibilité de creer des boucles d apres cette formulation des axiomes de peano? 

message: Pour moi, le successeur n'est injectif que sur l'ensemble N défini comme dans l'article ou sur les ordinaux de Von Neumann. C'est pas le cas en règle générale. J'ai ajouté la précision pour tout ensembles a,b pris dans N. 
: Et bien vous avez tort, voyez les axiomes indiqués dans les 2 premières sections de l'article. --λf(λx(f)(x)x)λx(f)(x)x    = Y 20 avril 2021 à 13:21 (CEST)
replies: text: Juste un point, si B={A} et A={B}={ {A} } comme vous l'écrivez, on n'est pas dans ZFC car l'axiome de fondation n'est pas respecté (mais c'est possible si on a l'axiome d'antifondation, mais on n'est plus dans ZF). --λf(λx(f)(x)x)λx(f)(x)x    = Y 20 avril 2021 à 16:15 (CEST)
replies: text:  Merci à l'IP pour la correction. Y : s'il existe un modèle de ZFC (avec ou sans AF), il en existe un de ZFC sans AF, avec un tel cycle, (construction en utilisant une bijection ad hoc sur l'univers, c'est dans le livre de Krivine, voir modèles de Fraenkel-Mostowski), donc ça montre bien que l'injectivité du successeur n'est pas conséquence de ZFC sans fondation, si ZFC est cohérente bien-sûr. Je ne connais de démonstration que sur N (ou les ordinaux), même avec fondation. Proz (discuter) 20 avril 2021 à 18:37 (CEST)

text: En fait le raisonnement n'est pas tout à fait correct, il faut construire un modèle où existent A et B tels que A ≠ B, B={A} et A={B}, ce qui est possible. Mais on ne peut pas déduire A ≠ B de B={A} et A={B} car il est tout à fait possible que A={A} (c'est appelé dans ce contexte "atome", voir la ref. déjà donnée). Par ailleurs www.ilemaths.net confond deux sens différents de "ensemble inductif" , un qui s'utilise parfois quand on construit N, ensemble ayant 0 pour élément et clos pas successeur), l'autre, ensemble inductif, lié au lemme de Zorn.  Ça se fait dans la théorie de Zermelo (sans AC, sans fondation, compréhension mais pas remplacement), j'ai l'impression que l'axiome de l'ensemble des parties n'est pas nécessaire, mais je ne pense pas qu'il faille donner une liste minimale d'axiomes. La démonstration n'est pas très compliquée : il faut étudier la relation d'ordre sur N qui est définie par l'inclusion. Par exemple si on montre que le successeur est strictement croissant c'est gagné. Il y a une démonstration là https://www.irif.fr/~krivine/articles/LTA-ens.pdf, ou très certainement dans le livre de Moschovakis en biblio (qui devrait permettre de sourcer ce paragraphe). Proz (discuter) 20 avril 2021 à 23:16 (CEST)

text: L'univers ensembliste n'est pas un modèle de PA. De plus il s'agit de la première version de PA (pas la théorie du 1er ordre). Proz (discuter) 22 avril 2021 à 01:57 (CEST)
thread_title:  Injectivité du successeur