Discussion:Partie bornée d'un espace vectoriel topologique

message: Je m'explique. Les références données dans l'article (je ne tiens pas compte de celle à l'article correspondant de la wikipédia anglaise, car le franç. est essentiellement une traduction de l'angl. - et d'ailleurs si ma critique est acceptée ici, il faudra bien la soumettre aussi dans la version anglaise) ne suffisent pas à éclairer la question que je pose. Dans le livre que j'étudie en ce moment sur ces questions, à savoir "Functional Analysis" (ci-dessous FA) de Walter Rudin (chez Tata McGraw-Hill, New Delhi, éd. de 1979), il y a une définition des parties bornées d'un EVT (sans hypothèse supplémentaire sur l'espace sauf qu'il a pris le parti d'inclure dans sa déf. d'un EVT que les singletons sont fermés, ce qui équivaut dans ce cas à le supposer séparé, mais ça ne me parait pas jouer un rôle important dans ce contexte ... puis qu'il ne considère que des espaces vectoriels réels ou complexes, mais c'est une restriction fréquente que j'accepte dans ce contexte): elle dit que A est borné dans un EVT E si pour tout voisinage V de 0 dans E, il existe un réel s>0 tel que pour tout t>s, A est inclus dans tV (on pourrait mettre t>=s, ce que je préfère mais revient au même). Cette condition est plus forte que celle de l'article, et à mon avis probablement strictement dans le cas général. Pour cette question (équivalence ou non) je n'ai trouvé dans FA qu'une allusion (à l'air un peu ironique) dans un exercice (où il ne donne aucun tuyau) ... Toutefois il y a équivalence dans le cas où E est semi-normé (facile à voir) et même probablement si E est localement convexe (notamment en vertu du rapport avec les topologies d'espace vectoriel avec semi-norme). S'il devait y avoir équivalence de façon générale (avec corps des scalaires réel ou complexe, même pour un EVT séparé), ce que je ne crois guère, j'aimerais que quelqu'un m'en donne une preuve, car je n'y crois guère ... Maintenant toutes les références que j'ai étudiées (j'utilise aussi Bourbaki, mais dans mon édition - la 2ème de chez Hermann - le sujet n'est apparemment pas abordée du tout), on avance l'équivalence entre (partie) bornée et absorbée par tout voisinage de 0. Ma "référence" FA fait, semble-t-il exception à cet égard (mais j'ai pu constater la chose moi-même) ... mais la source de chez Robertson (et R.) en fait même sa définition, mais ne traite que du cas loc. conv. où il affirme implicitement l'équivalence avec la déf. de l'article et celle de FA. Quant à la source de chez Schaefer et Wolff, elle utilise comme déf. celle de l'article, affirme son équivalence avec l'absorption par les voisinages, et il définit la phrase "A absorbe B" d'une manière probablement équivalente à celle de Bourbaki dans mon éd. - au moins si le corps de base (valué) est non discret - mais son argumentation pour l'équivalence ne me convainc pas dans le cas général.
A défaut de preuve que la déf. de l'article et celle de FA sont équivalentes (comme dit, j'en doute fortement), voici ma raison de préférer la version de FA. Avec celle-ci, on voit facilement que toute réunion finie de parties bornées est bornée - chose affirmée dans l'article dans le § Propriétés (le 1er avec ce titre, les autres concernent les espaces de certains types), cf. la ligne commençant par "Toutes les" - ce qui est une propriété hautement désirable pour une notion d'ensemble borné! (cf. les axiomes d'une bornologie qu'on trouve dans un autre article de cette wikipédia) ... or c'est peut-être faux avec la déf. de l'article dans certains cas parmi ceux où l'équivalence ne joue éventuellement pas (en tout cas, je n'ai pas pu prouver cette chose à partir de la déf. de l'article)--Ulysse (alias UKe-CH) (discuter) 7 novembre 2019 à 13:57 (CET)
thread_title:  Doute sur la "validité" de la définition 

message: Finalement j'ai découvert (d'une manière détournée) que la déf. de l'article est bien équivalente à celle utilisée dans mon livre (que j'ai appelé FA par abbréviation de son titre). En étudiant la démonstration dans le livre de la proposition qu'on retrouve dans l'article comme première propriété de la notion de partie bornée (avec la longue phrase en italique), j'ai été surpris que la dite démonstration n'utilise pas vraiment la déf. apparemment plus forte de la notion (donnée dans le livre) mais qu'elle marche avec la déf. de l'article. Comme ça prouvait l'équivalence dont je doutais, j'ai évidemment essayé de la vérifier de façon directe ... et oui, l'argument pour cette équivalence utilisé dans une des sources de l'article (dont j'ai dit plus haut qu'il ne me convainquait pas) - qui utilise la notion de partie équilibrée -, est en fait parfaitement valable. C'est là la clé de toute l'histoire! J'ignore pourquoi l'auteur du livre se contente d'une allusion ambiguë à cette question ... dans un exercice! Dans tout cela, rien de faux donc ... sauf que mon soupçon s'est révélé infondé. Je me suis fait avoir par quelques bizarreries dans un livre de math. pourtant assez rigoureux 
Enfin ... pas tout certaines choses restent valables. Notamment ma remarque concernant le lien sur dilaté dans l'introduction --Ulysse (alias UKe-CH) (discuter) 9 novembre 2019 à 21:12 (CET)
thread_title:  Je retire ce que j'ai dit