Discussion:Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie

message: Cgolds émet l'idée que les démonstrations associées à cet article ne doivent pas être insérées n'importe où De toute façon, cela ne semble pas le bon endroit pour une preuve. Elles sont dont retirées de l'article boule et se trouvent dans espace euclidien. Salle et Vivarés émettent la même idée, l'emplacement n'est pas pertinent.
Après une tentative à mon avis maladroite de ma part de l'inclure dans l'article espace vectoriel normé, je pense que ce sujet mérite un article en lui-même. Jean-Luc W (d) 16 décembre 2007 à 12:01 (CET)
thread_title:  Justification de la création de l'article 

message: Je verrais mieux quelque chose comme "topologie des espaces vectoriels de dimension finie". Ca élargit un peu les thèmes à traiter (unicité de la structure d'evt, à signaler à la fin), mais le titre me semblerait plus naturel. Peps (d) 17 décembre 2007 à 12:01 (CET)
thread_title:  autre proposition de titre 

message: Un gentil lecteur est perdu dans le labyrinthe suivant, quelqu'un pourrait-il mettre de l'ordre pour retrouver le chemin de fer de l'article ? Ici E est un evn de dim finie et F un evt :
* Toutes les normes sont équivalentes
* Il existe une unique topologie séparable rendant + et . continus
* E est uniformément homéomorphe à kn
* La boule fermée est compacte
* Les compacts sont les fermés bornés
* Les sev sont fermés
* L(E,F) est composé d'applications continues k lipschitzienne (reste presque vrai pour les applications multilinéaires)
* L(F,E) est complet
* E est complet
* Kn n'est pas homéomorphe à  Kp (théorème de la boule ouverte)
* La régularité d'une fonction à valeur dans E est équivalente à la régularité des coordonnées
* ça marche aussi bien avec un corps valué complet. 
Une fois le lecteur délabyrinthé, le titre apparaitra de lui-même.Jean-Luc W (d) 17 décembre 2007 à 12:27 (CET)
replies: text: Je ne me mouille pas avant d'avoir consulté un bouquin :). Si vous n'avez pas trouvé la sortie d'ici là, j'essaierai de proposer une solution. Salle (d) 17 décembre 2007 à 15:06 (CET)

text: Après vérif de mes propres cours de spé (pour moi, en tant qu'étudiant :)), j'arrive à quelque chose de globalement pareil : Bolzano-Weierstrass dans R, et après, on chope ce qu'on veut en dimension supérieure en premier (continuité des AL, les compacts, équivalence des normes, la boule est compacte), de toute manière, c'est à peu près équivalent. Salle (d) 18 décembre 2007 à 09:39 (CET)
thread_title:  Jeu du labyrinthe 

message: Voilà le premier jet terminé. Je compte maintenant laisser reposer. Trois constats s'impose :
:* Le choix de traiter par un nouvel article le cas de la dimension finie est justifié. L'article est trois fois plus long que espace vectoriel normé ou espace vectoriel topologique car la simplicité de la configuration permet d'aller dans les détails.
:* L'axe topologique est justifié. Les outils topologiques sont majoritaires dans l'article.
:* Pour aller plus loin, des articles connexes sont nécessaires, particulièrement sur le travail de Brouwer. Jean-Luc W (d) 22 décembre 2007 à 11:17 (CET)
thread_title:  Conclusion sur le premier jet 

message: Apparemment pas très connu, il est pourtant bien pratique, je pense qu'il faut le mettre, il a sa place. Cependant, je ne sais plus si la réciproque est vraie !
L'ajout est maintenant effectué. Jean-Luc W (d) 10 novembre 2008 à 08:24 (CET)
thread_title: Rajout du théorème de Riez

message: Dans "tout e.v.t. séparé de dim n est homéomorphe à Kn", au début de la seconde partie de la preuve(passage de p à p+1, preuve que Gp est fermé), je crois que les deux affirmations successives suivantes sont injustifiées : "[...]il existe une suite (vj) de Gp convergeant vers v. La suite ψp(vj) est de Cauchy[...]". Je sais qu'on peut les remplacer par des arguments plus (trop !) savants, mais (pour rester lisibles par le plus grand nombre) je suis plutôt tentée de remplacer la preuve actuelle par celle ci-dessous. Mais le "hic" c'est que pour rester cohérents il faudrait alors au minimum, dans le paragraphe suivant "Cas d'un corps valué complet" remplacer au début "La démonstration précédente" par "Il existe une autre démonstration blabla". Qu'en pensez-vous ?
Soit φ un isomorphisme de Kn dans E. L'application φ est continue, par continuité des deux opérations de E (l'addition et le produit par un scalaire). Il reste à montrer que sa réciproque est continue. Il suffit pour cela (par linéarité de φ et par continuité des deux opérations sur E et sur Kn) de montrer que l'image par φ de la boule unité ouverte B de Kn est un voisinage du vecteur nul de E.
Notons S la sphère unité (compacte) de Kn. Son image φ(S) est compacte et ne contient pas le vecteur nul, donc le complémentaire W de cette image est un ouvert contenant le vecteur nul.
Une propriété générale à tous les espaces vectoriels topologiques est utilisée ensuite :
é: Soit W un ouvert de E contenant le vecteur nul. Alors W contient un ouvert \Omega de E contenant le vecteur nul et équilibré, c'est-à-dire tel que :
\forall x \in\Omega \; \forall \lambda \in \mathbb K  \quad |\lambda | \le 1 \Rightarrow \lambda \cdot x \in \Omega 
Cette propriété est démontrée dans l'article espace vectoriel topologique. 
Montrons que \varphi^{-1}(\Omega)\sub B : pour tout vecteur non nul x\in K^n tel que \varphi(x)\in\Omega, comme le vecteur \frac 1{\|x\|}\varphi(x) n'appartient pas à \Omega (puisqu'il appartient à \varphi(S)), on a \frac 1{\|x\|}>1 (puisque \Omega est équilibré), donc \|x\|<1.
De \varphi^{-1}(\Omega)\sub B on déduit la propriété souhaitée : \varphi(B) est bien un voisinage du vecteur 0, puisqu'il contient un ouvert \Omega contenant 0.
Anne Bauval (d) 9 novembre 2009 à 12:52 (CET)
thread_title:  Unicité : un "os" dans dans la preuve 

message: Bonjour,
La version du 9 novembre 2009 comportait de nombreux non-sens, contre-sens, et autres imprécisions. J'ai procédé à une élimination de quelques-unes. J'espère à ne pas avoir à les détailler une par une. Je mentionne seulement que les espaces vectoriels réels de dimension finie >1 possèdent non pas une mais plusieurs topologies compatibles (une quantité non dénombrable), pouvant occasionnellement servir. À plusieurs reprises, l'article oubliait l'adjectif séparée ce qui est une grave faute.  A été retirée la démonstration sur laquelle portaient les critiques de Anne Bauval. La preuve en dimension 1 était inutilement compliquée, la récurrence n'était pas nécessaire, et l'incrémentation comportait un passage discutable mentionné ci-dessus par Anne Bauval. Selon le sens donné à l'expression "suite de Cauchy" (espaces métriques ou espaces uniformisants ?), la formulation est au pire erronnée, au mieux maladroite, et, dans les deux cas, induit en erreur le lecteur qui découvre les premières notions de topologie. La première phrase de la démonstration était elle-même fausse : la définition d'une métrique euclidienne dépend du choix d'une base (qu'on décrète orthonormée).
Mes interventions sur cet article se sont limitées à de la cosmétique. L'essentiel reste à faire, et l'article est à réorganiser pour ne pas dire à réécrire. J'ai hésité à retirer toutes les démonstrations et j'émets ici deux de mes réserves :
* Toutes les normes d’un espace de dimension finie sont équivalentes etc etc etc  L'argument repose sur l'existence d'un homéomorphisme entre la sphère unité de E pour la norme N et la sphère unité de Rn pour la norme infinie.  pourrait-il nous expliquer comment il construit cet homéomorphisme ? Il me semble que l'existence d'un homéomorphisme entre les sphères unités de deux normes est équivalente à ce que les normes soient Lipschitz-équivalentes.
* L'application f est continue si et seulement si toutes les applications  etc etc L'argument semble contenu dans une phrase nominale incompréhensible.
Dans le paragraphe sur les corps valués, quelle valuation met-on sur le corps Q ? Est-elle complète ? La complétude est-elle nécessaire ? 
 J'ai supprimé le paragraphe Motivations. Cette dissertation, confuse et hasardeuse, n'apportait aucune information. Au risque de me répeter,  l'ensemble de l'article est décevant. Ensemble d'une grande confusion, trop de phrases évasives, des imprécisions, des passages douteux (voir explications plus haut), et une organisation mal réfléchie qui ne met pas en valeur les résultats. Sans parler des passages qui tombent comme un cheveu dans la soupe, comme l'exemple de l'application à la fusion nucléaire, sans rapport avec le sujet de l'article. 
Nefbor Udofix  -  Poukram! 10 novembre 2009 à 16:40 (CET)
thread_title: Critique