Discussion:Isopérimétrie

message: C'est toujours avec le même plaisir que je lis tes critiques. Certaines correspondent à des difficultés que j'avais déjà pressenties mais que je n'ai pas su mieux traiter, d'autres éclairent l'article sous un jour que je n'avais pas vu.
:* Le titre : J'ai un peu réfléchi à la question. Comme ton intuition te l'indique, je te confirme que le terme le plus fréquent est bien problème isopérimétrique. Le terme isopérimétrie n'est pas une invention de ma part : on le trouve dans des traités de vulgarisation comme isopérimétrie en 5ième ou dans des textes un peu techniques comme isopérimétrie pour les groupes ou les variétés. Le terme problème isopérimétrique est plus célèbre et mieux défini, on le trouve par exemple comme thème de recherche ou encore comme question technique dans différents domaines, de la théorie des codes aux probabilités Hypercontractivité et isopérimétrie gaussienne. En bref c'est avant tout, semble-t-il un sujet de recherche actif. Pour cette raison, j'ai plutôt choisi le mot plus vague et dont les références sont moins fréquemment des articles de recherche.
:* Contrainte et isopérimétrie : Tu as raison sur le fond. Pratiquement j'imagine insérer cette information en deuxième phrase, mais ce sera à toi de juger une fois la correction faite. Attention Surface minimale est un sujet déjà traité (et pas si mal d'ailleurs), mais est un peu différent du problème isopérimétrique, je suis en train de traiter la dimension supérieure dans théorème isopérimétrique, mais il manque encore beaucoup de pièces au puzzle. J'ai un peu refondu Somme de Minkowski, Distance de Hausdorff, Longueur d'un arc, équation d'Euler-Lagrange, mais il reste du pain sur la planche. 
:* Isopérimétrie et Jordan : Nos avis divergent un peu. Point n'est besoin d'avoir démontrer Jordan pour disposer d'une preuve du théorème, l'article théorème isopérimétrique montre pourquoi. En revanche le développement d'outils pour résoudre les deux questions sont parfois communs.
:* Du découpage de l'article : C'est, je pense la question la plus difficile. L'option choisie est de traiter ici toute la partie compréhensible à l'aide d'un bagage inférieur à celui d'un élève de terminal. Hélas, il est insuffisant pour traiter de manière exhaustive même le cas de la dimension 2, je n'insiste donc pas ici sur l'essentiel de la difficulté, qui est traitée dans théorème isopérimétrique. J'ai tenu à exprimer la nature de la difficulté, à la différence des textes classiques sur cette question comme celui de l'irem d'Orléans. Présenter une démonstration comme complète alors qu'elle ne l'est pas (comme c'est très généralement le cas pour ce type de sujet), m'a semblé une erreur. J'ai voulu éviter un article du style : Toutes les techniques que vous, lecteurs êtes capables de comprendre, ne permettent même pas de démontrer le premier cas de la dimension 2, on va tout de même vous présenter ces dites techniques mais, ne rêvez pas trop, elles ne démontrent pas grand chose . Pour cette raison, toute la partie historique qui permet d'aller plus loin est à un clic du lecteur, disponible dans l'article théorème isopérimétrique.
:* Démonstration du triangle : Je ne crois pas que tu puisses beaucoup simplifier la démonstration du triangle, au moins en première partie. Cette première partie (crédité à Xenodore) est accessible même aux élèves de 5ième, elle ne nécessite pas la compréhension d'un repère orthonormé et évite un petit bout d'analyse hors de porté des plus jeunes de nos lecteurs et fastidieux pour les autres. Mais ai-je raison d'aborder la deuxième partie de la preuve ? En général, un texte de cette nature n'en fait pas mention. HB a tiqué sur la première preuve et à proposé la deuxième solution (accessible uniquement à un public beaucoup plus mature) maintenant mis en œuvre dans l'article, son choix est plus élégant et plus simple que le mien. Elle propose encore une troisième solution à coup de suites, qui a moins ma préférence. Enfin, la démonstration que tu proposes est, à mes yeux un peu Punk, au sens qu'elle est no future. Tu ne pourras guère aller beaucoup plus loin avec cette méthode.
:* Quotient isopérimétrique et problème isopérimétrique : Pas grand chose à dire, si ce n'est que je partage ton opinion.
Tu soulèves une question lourde et difficile, celle du choix du découpage. De toute manière, à terme, l'article théorème isopérimétrique deviendra à la fois incomplet et trop lourd, un découpage est probablement inévitable. Comment impacter intelligemment cet article ? la question reste ouverte. Pour les contraintes ou l'introduction du quotient, tu as raison à mes yeux. Pour le triangle je n'adhère pas, mais il faudrait voir si tu convaincs HB, qui semble avoir des réticences au même endroit, mais peut-être pour des raisons différentes. En tout cas merci beaucoup de ton aide. Jean-Luc W (d) 29 octobre 2008 à 16:51 (CET)
thread_title:  Premiers éléments de réponses 

message: Il me semble que le cas de l'existence d'une solution optimale pour un quadrilatère est aussi démontrée. On prend un quadrilatère ABCD quelconque de périmère p. On fixe une première diagonale AC. Son aire est inférieure ou égale à  l'aire du quadrilatère de AB'CD' de même périmètre dans lequel AB'C et AD'C sont isocèles. La figure possédant (B'D') comme axe de symétrie, on sait que la somme des longueur AB' et  AD' vaut p/2 ainsi que l'autre somme. On fixe alors la diagonale B'D'. Le quadrilatère AB'CD' a aussi une aire inférieure ou égale à celle du quadrilatère A'B'C'D' de même périmètre et dans lequel les triangles A'B'D' et C'B'D' sont isocèles. Dans ce quadrilatère, tous les côtés valent p/4. C'est donc un losange dont l'aire est inférieure ou égale à l'aire du  carré de côté A'B'. Le carré est donc bien le quadrilatère dont l'aire est maximale. La beauté de la chose c'est qu'aucun argument topologique n'est nécessaire dans ce cas là et cela vaut peut-être le coup de le signaler, non ?HB (d) 31 octobre 2008 à 13:59 (CET)
replies: text: Moi aussi, je trouve cela mieux. La question de l'existence d'une solution est alors mieux mise en valeur et on commence par l'exemple le plus simple à traiter. D'autre par ton Nassirunddin-el-Toussy m'évoque Nasir ad-Din at-Tusi. Simple consonance? Ou même personnage ? HB (d) 2 novembre 2008 à 09:30 (CET)
replies: text:  Tu as raison, mon Nassirunddin-el-Toussy est appelé Nasir ad-Din at-Tusi dans ton encyclopédie. C'est d'ailleurs le nom qui est utilisé dans la partie historique. Jean-Luc W (d) 2 novembre 2008 à 10:45 (CET)
thread_title:  Existence d'une solution dans le cas du quadrilatère 

message: ::Bonjour Claude,
Je crois néanmoins que l'on peut construire une démonstration à l'aide des idées de HB. Le contexte est le suivant : on considère l'ensemble des triangles que l'on équipe d'une distance, qui, en fait est celle de distance de Hausdorff. Sur cette géométrie, on construit une suite de triangles qui démarre à T0 par un triangle de périmètre p tend vers Te, le triangle équilatéral de périmètre p. En vrai, cette géométrie est complète, mais on ne se sert pas de cette propriété puisque que la limite est ici évidente.
Ensuite, on considère la fonction a de l'ensemble des triangles dans R+, qui à un triangle associe son aire. Dans le cas général, la fonction φ n'est pas continue, elle ne l'est uniquement supérieurement. Cependant, sur le sous-ensemble des triangles la fonction a est parfaitement continue. Une fois ces précautions prises, le fait que la suite a(Tn) soit croissante et convergente de limite a(Te) montre rigoureusement le résultat recherché.
Un tel raisonnement ne montre pas l'unicité du maximum, mais le lemme 1 montre que si un maximum existe, il correspond nécessairement au triangle équilatéral de périmètre p et est par conséquent unique.
Dans la vraie vie, ce schéma de démonstration est analogue à celui utilisé pour démontrer la formule de Steiner Minkowski (cf Somme de Minkowski), qui sert à démontrer le cas général (cf théorème isopérimétrique au paragraphe Somme de Minkowski).
Je trouve néanmoins le contexte un peu lourd pour un article élémentaire, même si une rédaction habile peut cacher une large partie de la difficulté. La démonstration utilisée maintenant correspond à la deuxième idée de HB, qui n'utilise que le théorème des bornes sur les fonctions d'un segment de R et à valeurs réelles. Jean-Luc W (d) 2 novembre 2008 à 11:49 (CET)
replies: text: Remarque: je ne dis pas et n'ai pas dit que la démarche de HB était nécessairement vouée à l'échec, simplement qu'elle était insuffisante seule.Claudeh5 (d) 2 novembre 2008 à 12:37 (CET)
thread_title:  Réponse de jl 

message: ::Cette discussion ne devrait pas avoir lieu car ma proposition n'a pas été retenue mais je ne peux pas laisser dire que mon raisonnement comporte des erreurs de logique. Tout au plus peut-on lui reprocher de n'être pas assez explicite (une piste n'est pas une rédaction fouillée).
::Réponse à l'objection 1: la suite que tu appelles maximisante me permet simplement de créer une suite d'inégalités qui permet de comparer l'aire  de  tout triangle isocèle de base a0 (différent de p/3)  et de périmètre p  à celle du triangle équilatéral de côté p/3.  Comme la première aire est toujours inférieure à la seconde, cela  prouve bien que le triangle équilatéral est l'unique solution du problème isopérimétrique
:: Réponse à l'objection 2 : certaines propriétés ne se transmettent pas par passage à la limite  mais ici, il n'y a aucun problème car j'utilise une fonction continue.
:: J'essaie d'être plus claire. La fonction S qui, au réel x (compris entre 0 et p/2) , associe l'aire du triangle isocèle de périmètre p et de base x est une fonction continue de x.  A partir de la base a0, on construit une suite (an) de bases toutes différentes de p/3 et telles que S(an) soit une suite croissante. La suite (an) converge vers p/3, la fonction S est continue donc la suite S(an) converge vers S(p/3) . Les propriétés sur les suites croissantes assurent que S(an) < s(P/3) donc en particulier S(a0)<S(p/3) . J'espère que cette version plus claire lèvera tes doutes. HB (d) 2 novembre 2008 à 15:27 (CET)
replies: text: Bonjour. Je faisais seulement remarquer que ton raisonnement pris dans l'absolu mène à deux erreurs de logique. Le fait, sous-entendu par toi mais pas explicité, que tu te serves de diverses autres propriétés pour asseoir ton raisonnement, n'empêche nullement, j'en suis navré, que l'argument à la base est fautif. Mais je te rappelle qu'un argument fautif dans le cas général peut, dans certaines circonstances, conduire à une preuve solide. Le dangereux est qu'une personne non avertie en vienne à faire des raisonnements basés sur des arguments fautifs en général parce qu'elle n'a pas vu qu'il y avait un contexte particulier.Claudeh5 (d) 3 novembre 2008 à 13:24 (CET)
replies: text:  Pas de problème alors. De toute façon, comme le dit Jean-Luc, le question est de savoir quelle est la meilleure piste pour plus de clarté. il semble que ce soit le théorème des bornes donc autant laisser la version déjà en ligne.  oui Jean-Luc, il semble que nous soyons tous d'accord HB (d) 3 novembre 2008 à 14:22 (CET)
thread_title:  Réponse de HB 

message: La "frontière" est une notion de topologie générale tandis que le "bord" est une notion de géométrie différentielle.
Dans l'espace euclidien R^3  soit V la demi-sphère fermée d'équation x^2+y^2+z^2=1 , z \ge 0, le bord de V est le cercle d'équations x^2+y^2=1 , z=0 tandis que la frontière de V c'est V
car l'intérieur de V est vide.
Pardon pour mon pédantisme.
Actorstudio (d) 5 novembre 2008 à 19:18 (CET)
thread_title:  frontière ≠ bord 

message: Bonjour à tous.
( courbe, surface, solide) -> ( longueur, aire, volume).
Actorstudio (d) 5 novembre 2008 à 19:39 (CET)
thread_title:  Vocabulaire de base 

message: Je dois dire que je suis quelque peu étonné de lire " En 1836, Jakob Steiner obtient un premier résultat nouveau. Sous réserve d'admettre l'existence d'une solution en dimension 2, alors cette solution est nécessairement le disque[13]". En effet le raisonnement de Steiner est fautif. Bonnesen (Les problèmes des isopérimètres et des isépiphanes, pages 1 et 2,) dit ceci: "Rappelons pour commencer les belles recherches de Jacob Steiner: ce sont des constructions élémentaires qui permettent de construire à partir d'une figure non circulaire, soit une figure du même périmètre mais d'aire plus grande, soit une figure de même aire mais de périmètre plus petit, tandis que et l'aire et le périmètre du cercle restent inaltérés par ces constructions. Steiner en conclut que le théorème pour le cercle est démontré.
Mais on voit de suite combien le raisonnement de Steiner est dépourvu de rigueur. [...]
Pour bien illustrer le défaut du raisonnement de Steiner, M. Perron a donné un exemple très frappant en disant que de la même manière on pourrait démontrer que, parmi les nombres entiers, 1 est le plus grand. En effet, on peut indiquer une méthode qui permet d'obtenir, à partir de tout entier autre que 1, un nombre plus grand: il suffit en effet d'une élévation au carré.".Claudeh5 (d) 21 février 2009 à 11:01 (CET)
replies: text: Il me semble que l'article ne dit pas autre chose :  L'article insiste très précisément sur cette question d'existence (section topologie) en montrant les limites du résultat démontré par Steiner et l'allusion à Perron y figure depuis novembre 2008. HB (d) 21 février 2009 à 16:39 (CET)
replies: text: Mon problème est que la conclusion de la démonstration de Steiner étant fausse, il n' a rien démontré. Par contre on peut indiscutablement lui attribuer le procédé de symétrisation "de Steiner".Claudeh5 (d) 21 février 2009 à 23:07 (CET)
thread_title:  Steiner 

message: Pourquoi ne pas présenter la démonstration de Bonnesen ?Claudeh5 (d) 21 février 2009 à 23:15 (CET)
thread_title:  Bonnesen