Discussion:Limite projective

message: Euh, c'est pas la bonne définition ça. Normalement c'est plus général. Je crois que je vais sortir mon SGA pour régler le problème. Noky (d) 11 janvier 2008 à 17:36 (CET)
thread_title:  Qu'est ce que c'est que cette définition ? 

message: L'article dit (correctement) que la limite projective n'existe pas toujours dans la catégorie des corps. Il me semble cependant que si l'ensemble ordonné I est supposé filtrant à droite, tout système projectif de corps relatif à I admet une limite projective dans la catégorie des corps. En effet, un élément de la limite projective (au sens courant) du système projectif d'ensembles correspondant est une famille partout nulle ou partout non nulle. Cela tient au fait que tout homomorphisme de corps est injectif. (Si la i-ème composante d'un élément x de la limite projective ensembliste est nulle, prouvons que, pour tout j, sa j-ième composante est nulle. Puisque I est filtrant à droite, il existe k majorant {i, j}. L'homomorphisme (définissant le système projectif) allant du k-ième corps dans le i-ième étant injectif, la k-ième composante de x est nulle, donc la j-ième l'est aussi.) Dès lors, la structure d'anneau de la limite projective ensembliste est une structure de corps.
Comme certains auteurs ne définissent la limite projective que pour un ensemble filtrant à droite, il est exact, dans le cadre de ces auteurs, que la limite projective d'un système projectif de corps existe toujours dans la catégorie des corps. Je me demande donc s'il ne vaudrait pas mieux préciser dans l'article que la limite projective existe toujours dans la catégorie des corps si I est filtrant à droite mais qu'elle n'existe pas toujours si I n'est pas supposé filtrant à droite.
Pour ce dernier fait, voici un exemple. Prendre pour I un ensemble {a, b} à deux éléments, ordonné par la relation d'égalité. Prendre comme a-ième corps un corps à 2 éléments et comme b-ième corps un corps à 3 éléments. La famille de deux corps ainsi obtenue et la famille (f_{ii}), où i parcourt {a,b} et où f_{ii} désigne l'endomorphisme identique du i-ème corps, constituent un système projectif de corps. Si une limite projective (au sens général des catégories, sans s'occuper de la limite projective au sens ensembliste) existait pour ce système, il y aurait un homomorphisme du corps limite dans un corps à deux éléments et un homomorphisme du corps limite dans un corps à trois éléments. Puisque les homomorphismes de corps sont injectifs, c'est clairement impossible.
Malheureusement, j'ai sucé ça  de mon pouce, parce que je ne trouve rien sur cette question, ni dans ma documentation, ni sur Internet (en français, en tout cas). Marvoir (d) 3 octobre 2012 à 14:16 (CEST)
replies: text: Y aurait-il quelque chose qui m'échappe ? Claudio Hüni, Kathrin Naef, Daniel Schmitter, « p-adic Analysis Compared with Real, Lecture 3 », en ligne, écrivent « For example the projective limit of fields is only a ring in general and not a field. » Et pourtant, ils ne considèrent que des systèmes projectifs relatifs à N, qui est un ensemble ordonné filtrant à droite... (Mais ils ne donnent pas d'exemple.) Marvoir (d) 3 octobre 2012 à 16:26 (CEST)
replies: text: La question globale date d'ici et là. C'est évidemment déjà bien que tu aies mis ton contre-exemple dans Produit (catégorie) vers où cet article-ci lie, et ajouté ici une source pour dire que "certains auteurs" se restreignent aux limites filtrantes. J'avais la flemme de creuser plus, mais comme moi aussi apparemment quelque chose m'échappe, ça réveille mon appétit. Anne (d) 3 octobre 2012 à 18:57 (CEST)
replies: text: Content de t'avoir mise en appétit ! J'espère que tu vas pêcher sur Internet la perle que je n'ai pas trouvée. Par parenthèse, il me semble qu'un raisonnement analogue au raisonnement ci-dessus montre que si I est supposé cette fois filtrant à gauche (et non plus à droite), il est encore vrai que tout élément de la limite projective ensembliste d'un système projectif de corps est une famille partout nulle ou partout non nulle et donc que la limite projective existe dans ce cas dans la catégorie des corps. Mais l'essentiel est le cas filtrant à droite, puisque certains auteurs ne définissent les limites projectives que dans ce cas. Marvoir (d) 3 octobre 2012 à 19:15 (CEST)
replies: text: Je ne trouve rien d'intéressant sur les limites projectives filtrantes de corps, ni dans ma tête (qui est d'accord avec ton pouce), ni sur internet (probablement parce que c'est sans intérêt : c'est juste l'intersection, donc Hüni, Naef et Schmitter se trompent). Anne (d) 4 octobre 2012 à 08:48 (CEST)
replies: text: Je pense aussi qu'ils se trompent. Ta formule "C'est juste l'intersection" me semble juste elle aussi. Ceci dit, laisse-t-on l'article tel quel, ou donne-t-on un exemple où il n'y a pas de limite projective (par exemple l'exemple ci-dessus) ? Marvoir (d) 4 octobre 2012 à 09:01 (CEST)
replies: text: Tu as déjà mis ton exemple dans Produit (catégorie), et ici il y a : « Si l'ordre sur I est l'égalité, un système projectif indexé par I est simplement une famille d'objets de la catégorie, et sa limite projective n'est autre que son produit. » et « Dans la catégorie des [...] on peut construire la limite de n'importe quel système projectif. (Dans celle des corps, pas toujours : il n'y a pas de produits.) » Me semble que ça suffit. Anne (d) 4 octobre 2012 à 09:56 (CEST)
replies: text: OK. Je n'avais pas remarqué la phrase « Si l'ordre sur I est l'égalité, un système projectif indexé par I est simplement une famille d'objets de la catégorie, et sa limite projective n'est autre que son produit. ».Marvoir (d) 4 octobre 2012 à 10:05 (CEST)
thread_title:  Limite projective dans la catégorie des corps 

message: L'article dit ceci : "Un système projectif d'ensembles dans lequel toutes les applications de transition sont injectives est simplement (à isomorphisme près) une famille d'ensembles (indexée par un ensemble ordonné I) décroissante pour l'inclusion."
Cela semble vouloir dire qu'un système projectif d'ensembles indexé par un ensemble ordonné I et dans lequel toutes les applications de transition sont injectives est forcément isomorphe au système projectif formé par une famille d'ensembles indexée par I, décroissante pour l'inclusion, et par des applications de transition qui sont toutes des inclusions x \mapsto x.
Convenons d'appeler sysème projectif injectif un système projectif d'ensembles dans lequel toutes les applications de transition sont injectives, et d'appeler sysème projectif inclusif un système projectif d'ensembles dans lequel toutes les applications de transition sont des inclusions x \mapsto x. Avec ces définitions, l'assertion en cause signifie que tout système projectif injectif S est isomorphe à un système projectif inclusif.
Si I est filtrant à gauche, cela me semble vrai. En effet, S est un système inductif pour l'ensemble ordonné I' opposé de I et I' est filtrant à droite; or, si un ensemble ordonné est filtrant à droite, un système inductif relatif à cet ensemble ordonné admet une limite inductive et si les applications de transition sont injectives, les applications canoniques des ensembles du système dans la limite inductive sont injectives. Cela fournit une bijection de chacun des ensembles sur une partie de la limite inductive et ces bijections forment un isomorphisme de S sur un système projectif inclusif.
Si un ensemble ordonné J est quelconque (non forcément filtrant à droite) et si T est un système inductif indexé par J, on peut encore construire une limite inductive de ce système, qui possède la propriété universelle voulue (Bourbaki, Théorie des ensembles, 1970, ch. III, $ 7, exerc. 9, p. III.96). Dans le cas particulier où J est filtrant à droite, la construction est la même que la construction classique. Seulement, il me semble que si J n'est pas filtrant à droite, il n'est plus vrai que si les applications de transition sont injectives, les applications canoniques dans la limite inductive sont elles aussi injectives. En cherchant (et en trouvant, je pense) un contre-exemple pour ceci, je pense avoir trouvé un contre-exemple à l'assertion de l'article.
Prenons pour I un ensemble à quatre éléments {a, b, c, d} ordonné de la façon suivante : chacun des éléments a, b est inférieur à chacun des éléments c, d et à part ça, deux éléments distincts ne sont jamais comparables (cette dernière condition revient à dire que a et b ne sont pas comparables entre eux et que c et d ne sont pas comparables entre eux). On peut prendre par exemple I égal à {2, 3, 30, 42} muni de la relation "divise".
Prenons pour \ E_{c} un ensemble à deux éléments x, x',
pour \ E_{d} un ensemble à un élément y,
pour \ E_{a} un ensemble à deux éléments z, z',
pour \ f_{a,c} l'application de \ E_{c} dans \ E_{a} qui envoie x sur z et x' sur z',
pour \ f_{a,d} l'application de \ E_{d} dans \ E_{a} qui envoie y sur z,
pour \ E_{b} un ensemble à deux éléments t, t',
pour \ f_{b,d} l'application de \ E_{d} dans \ E_{b} qui envoie y sur t,
pour \ f_{b,c} l'application de \ E_{c} dans \ E_{b} qui envoie x sur t' et x' sur t.
Pour i \leq j \leq k dans I, on a toujours i = j ou j = k, donc il est clair que nous avons défini un système projectif S. De plus, nous avons pris comme applications de transition des injections, donc le système projectif F est injectif.
Je suggère de visualiser ce système de la façon suivante : on écrit "\ E_{c} = {x, x'}" au sommet supérieur gauche d'un rectangle; au sommet inférieur gauche du rectangle, on écrit "\ E_{a} = {z, z'}", en plaçant z à la verticale de x et z' à la verticale de x' (pour la beauté future du dessin); au sommet supérieur droit du rectangle, on écrit "\ E_{d} = {y}" et au sommet inférieur droit, on écrit "\ E_{b} = {t', t}", en plaçant t à la verticale de y (toujours pour la beauté future du dessin). On trace ensuite une flèche de x vers t' et une flèche de x' vers t, une flèche de x vers z et une flèche de x' vers z', une flèche de y verst t et une flèche de y vers z. Les flèches représentent les graphes des applications de transition.
(Edit. Je laisse ce qui suit, et que je crois toujours correct, mais il vaut peut-être mieux dire ceci : la limte projective de S est vide. En effet, un élément de cette limite serait de la forme \ x_{a}, x_{b}, x_{c}, x_{d}, avec \ x_{d} = y. On aurait donc \ x_{a} = f_{d,a}(y) = z et \ x_{b} = f_{d,b}(y) = t. Puisqu'il faut \ f_{c,a}(x_{c}) = x_{a} = z, on doit avoir \ x_{c} = x. D'autre part, puisqu'il faut \ f_{c,b}(x_{c}) = x_{b} = t,, on doit avoir \ x_{c} = x'. On a ainsi trouvé deux valeurs distinctes pour \ x_{c}, contradiction, donc la limite projective de S est vide. Supposons maintenant que S soit isomorphe à un système projectif "inclusif" \ (F_{a}, F_{b}, F_{c}, F_{d}). Alors \ F_{c} est contenu dans \ F_{b} et dans \ F_{a}; comme ces ensembles sont tous trois de cardinal 2, ils sont donc égaux; de plus, \ F_{d} est contenu dans \ F_{a}; donc l'intersection des ensembles \ F_{a}, F_{b}, F_{c}, F_{d} est égale à \ F_{a} et n'est donc pas vide. Donc la limite projective du second système n'est pas vide, donc les deux systèmes ne sont pas isomorphes. On revient maintenant à ce que j'avais mis d'abord.)
De façon informelle, on peut dire ceci : y "pointe" vers t (par \ f_{b,d}) et x' pointe lui aussi vers t (par \ f_{b,c}). Mais dans ce que j'appelle un système projectif inclusif, pointer vers entraîne être égal, donc dans un système projectif inclusif S' isomorphe à S, "le correspondant" de y serait égal au "correspondant" de x'. D'autre part, le même y pointe vers z (par \ f_{a,d}) et x pointe lui aussi vers z (par \ f_{a,c}), donc le correspondant de y dans S' serait égal au correspondant de x. Puisque x et x' sont distincts, leurs correspondants sont distincts, donc nos deux résultats sont contradictoires.
Voici une mise en forme de ce raisonnement. Supposons que S soit isomorphe à un système projectif inclusif. Dans cette hypothèse, il existe des ensembles \ F_{a}, \ F_{b}, \ F_{c}, \ F_{d} et une famille (u_{i})_{i \in I} de bijections E_{i} \rightarrow F_{i} telles que, pour i \leq j dans I, on ait toujours  E_{j} \subseteq E_{i} et
:(9) \mathrm{incl}_{i, j} \circ u_{j} = u_{i} \circ f_{i, j},
où \mathrm{incl}_{i, j} désigne l'inclusion f \mapsto f de Fj dans Fi.
Nous avons
:(10) \ u_{d}(y) = u_{b} (t).
En effet, le second membre égale \ u_{b}(f_{b,d}(y)), qui, d'après (9), égale le premier membre.
D'autre part,
:(11) le second membre de (10) égale \ u_{c}(x').
En effet, ce second membre peut s'écrire \ u_{b}(f_{b,c}(x')) et est donc égal à \ u_{c}(x') d'après (9).
De (10) et (11) résulte
:(12) \ u_{d}(y) = \ u_{c}(x').
D'autre part, nous avons
:(13) \ u_{d}(y) = u_{a} (z).
En effet, le second membre égale \ u_{a}(f_{a,d}(y)), qui, d'après (9), égale le premier membre.
D'autre part,
:(14) le second membre de (13) égale \ u_{c}(x).
En effet, ce second membre peut s'écrire \ u_{a}(f_{a,c}(x)) et est donc égal à \ u_{c}(x) d'après (9).
De (13) et (14) résulte
:(15) \ u_{d}(y) = \ u_{c}(x).
La comparaison de (12) et (15) donne
:\ u_{c}(x') = \ u_{c}(x),
ce qui est absurde, puisque \ u_{c} est une bijection.
Si mon raisonnement est correct, je suggère de ne parler, dans l'exemple de l'article, que d'un système projectif décroissant pour l'inclusion, où les applications de transition sont les inclusions, et de dire que, dans ce cas (mais attention : il y a encore une condition de "connectivité" sur l'ensemble ordonné des indices : deux éléments doivent toujours pouvoir être reliés par une chaîne d'éléments où chaque élément est comparable au suivant; si cette condition n'est pas satisfaite, la limite projective n'est pas forcément isomorphe à l'intersection : voir le cas où I est ordonné par l'égalité), l'intersection des ensembles, munie de ses inclusions dans les ensembles, est isomorphe à la limite projective munie de ses applications canoniques (isomorphe dans la catégorie ad hoc, qu'il faudrait peut-être expliciter dans l'article). Autrement dit, l'intersection des ensembles, munie de ses inclusions dans les ensembles, est une limte projective du système. Marvoir (d) 11 octobre 2012 à 13:14 (CEST)
replies: text: Tu as raison ! rectifie ma bêtise, stp Anne (d) 11 octobre 2012 à 16:34 (CEST)
replies: text: Ce n'est pas si bête que ça, j'ai mis du temps à trouver le contre-exemple et au départ, j'étais persuadé que l'assertion en question était vraie. Comme quoi, la réalité peut être contre-intuitive. Je vais modifier le passage de l'article, mais je crains d'être un peu lourd. Marvoir (d) 11 octobre 2012 à 16:46 (CEST)
thread_title:  Contre-exemple pour "à isomorphisme près" 

message: Je (crois) pratique(r) les limites projectives, comme une partie des chercheurs en informatique fondamentale et plus précisément en programmation fonctionnelle. Si je comprends bien, mais l'article ne me permet pas de bien comprendre, il s'agit du concept que nous appelons coinduction, qui, comme il est dit dans l'article, dont je donne le lien, de calculer sur des structures de données infinies, comme les nombres réels en précision arbitraire. Mais je dois le dire, l'article limite projective, ne donne aucune intuition et ne permet pas au béotien de se faire une idée de ce dont il s'agit.  Mieux que cela, j'aurais aimé que les économistes aient aussi une idée de concept, car j’affirme que c'est dont ils ont besoin pour comprendre le monde de l'économie et fabriquer des modèles adéquats. Mais ce n'est pas cet article qui leur servira d'introduction. Peut-être suffirait-il d'une introduction qui explique sans formalisme et avec des exemples ce qu'est une limite projective. Pierre Lescanne (discuter) 16 janvier 2023 à 13:14 (CET)
replies: text: Je ne suis pas sûr... Les exemples mathématiques que je connais dépassent largement les connaissances du taupin moyen (le plus "classique", et celui qu'on donne toujours en exemple, est la construction de \mathbb Z_p comme limite projective des \mathbb Z/p^n\mathbb Z) ; je ne suis pas certain que la coinduction (que je découvre) corresponde clairement à cela (une recherche Google donne un tout autre sens au mot coinduction en théorie des catégories, ou alors c'est moi qui suis trop ignorant ou trop bête pour voir le rapport). Dfeldmann (discuter) 16 janvier 2023 à 13:25 (CET)
replies: text:  Je connais l'exemple \mathbb Z_p, mais il me semble que ce n'est qu'un exemple parmi d'autres, de ce que Rutten appelle universal coalgebra ().  Si je me trompe, éclaire-moi un peu et peut-être nous pourrions rendre l'article un peu moi abscons, du moins dans son introduction.--Pierre Lescanne (discuter) 16 janvier 2023 à 14:33 (CET)
replies: text: Difficile à dire, on n'est pas dans le même langage. J'ai été formé chez Bourbaki, ce que je ne recommande à personne  ; autrement dit à une approche pré-théorie des catégories. Mais la notion vient de Steenrod (pour des espaces topologiques) et algébriquement,  une version intuitive peut être de donner un sens à la limite de la suite 5, 25, 625, ... qu'on notera x = ...625 dans un univers formel ( \mathbb Z_{10}) où x^2=x, et qu'on peut voir comme un "élargissement" (une limite) des entiers à n chiffres (décimaux)  quand n tend vers l'infini. Après, si tu as de meilleurs idées, je te laisse faire ; il me semble en effet que mettre les exemples en premier serait mieux.Dfeldmann (discuter) 17 janvier 2023 à 16:03 (CET)
thread_title:  L'article ne devrait-il pas être déjargonisé ?