Discussion:Espace vectoriel topologique

message: Je ne me permets pas de modifier l'article étant donné que je débute en topologie, mais l'application \varphi me paraît mal définie au départ : \varphi serait "la projection canonique de F sur E". Pour moi il ne s'agit pas d'une projection mais de l'application qui à un élément de E fait correspondre sa classe d'équivalence E/F. C'est d'ailleurs comme ça que cette fonction est considérée par la suite. Pour référence, on peut se reporter à l'article "topologie quotient". La fonction \varphi est l'application p de ce dernier article.  signature récupérée depuis l'historique :  Fabrej0 (d) 29 décembre 2009 à 19:50
:Tout-à-fait ! je vais m'en occuper après dîner. Merci. Anne Bauval (d) 29 décembre 2009 à 20:50 (CET)
thread_title:  Application <math>\varphi</math> 

message: Il y a peut-être un problème dans la démonstration de la continuité de l'addition définie sur E/F (l'addition sur E/F devrait d'ailleurs être définie). On dit un peu vite à la fin que \sigma'=(+)^{-1}(\Omega) a pour image réciproque \sigma par l'application continue \varphi\times\varphi (point 1) et que c'est donc un ouvert (point 2). Le point 1 et le point 2 mériteraient d'être justifiés. Pour le point 2, on passe en effet à de la topologie produit de quotients et on n'a pas justifié qu'un ensemble de E/F\times E/F était un ouvert si sa réciproque par une application continue était un ouvert... Pour le point 1, il s'agit sans doute de la définition de l'addition sur E/F mais comme on n'a pas de définition...
:Je poursuis ma remarque avec la démo du point 1. On aura remarqué préalablement que l'addition de deux éléments quelconques de E faisant partie de deux classes données fournit un élément appartenant à une seule et même classe, ce qui prouve que l'on peut définir l'addition sur E/F. On aura également remarqué que l'image par l'addition de E d'éléments faisant partie de deux classes ENTIERES donne une classe ENTIERE. D'où la démo suivante :
Prenons le cas de l'addition. Montrer la continuité de l'addition de E/F revient à montrer que l'image réciproque de tout ouvert est ouverte. Soit donc \Omega un ouvert quelconque de E/F. Nous noterons f l'addition (f_E ou f_{E/F}).
L'image réciproque de \Omega est appelée \Sigma. Par définition de l'addition sur E/F, \Omega est obtenu à partir de \Sigma de la façon suivante : tout d'abord il faut prendre l'image réciproque par \varphi^{-1}\times \varphi^{-1} pour obtenir un ensemble \sigma de E\times E, puis on prend l'image par f_E ce qui donne l'ensemble \omega. Enfin, on prend l'image par \varphi. Comme \sigma est constitué de classes entières, alors \omega est constitué de classes entières, ce qui prouve que c'est l'image réciproque de \Omega. Comme \varphi est continue, \omega est ouvert. De plus, s'il existait un élément faisant partie de f_E^{-1}(\omega) et pas de \sigma, alors cet élément ferait partie d'une classe différente et il existerait un élément de plus dans \Sigma. Ainsi, \sigma est bien l'image réciproque de \omega par f_E qui est continue : \sigma est un ouvert, ainsi que \Sigma. CQFD.
--Fabrej0 (d) 2 janvier 2010 à 18:49 (CET)
thread_title:  Continuité de l'addition sur E/F 

message: Quelques temps après...
OK pour l'équivalence entre F fermé ssi le singleton 0 de E/F est fermé.
On peut aussi montrer que E/F est séparé ssi 0 et X le sont avec X dans E/F.
Par contre je ne crois pas que l'on puisse dire que si 0 est fermé alors 0 et X sont séparés : le fait que 0 soit fermé assure l'existence d'un voisinage de X ne contenant pas 0 mais n'assure pas l'existence de DEUX voisinages disjoints.
Fabrej0 (d) 23 avril 2010 à 18:56 (CEST)
replies: text: Pourtant c'est vrai. En cliquant sur les liens tu seras convaincu j'espère. Anne Bauval (d) 23 avril 2010 à 20:03 (CEST)
thread_title:  Séparation et singleton fermé