Discussion:Dodécaèdre régulier

message: Voici un extrait de l’article actuel “Stellation”,  en 1 ère section.<br
/>Il étoila ainsi le dodécaèdre pour obtenir deux des polyèdres étoilés réguliers (deux des quatre solides de Kepler‑Poinsot).  Oui,  il existe des dodécaèdres réguliers qui ne sont pas convexes.  Cet article‑ci n’est pas titré “Dodécaèdre de Platon”,  comme le laisse entendre son actuelle introduction,  et son adjectif “convexe” entre parenthèses,  et sa 1 ère .  Insérer en tête d’article la présente image et sa légende ferait un début de chapeau correct.  Et nous pourrions commencer à corriger l’introduction,  et l’article.   Arthur Baelde (discussion) 22 août 2023 à 15:12 (CEST)
thread_title:  Chapeau 

message: Douze diagonales de faces d’un dodécaèdre de Platon,  une par face,  peuvent constituer les douze arêtes d’un cube,  qui est contenu dans le dodécaèdre.  À partir de ce cube,  on en obtient quatre autres par quatre rotations successives d’un cinquième de tour dans le même sens,  autour de l’axe de deux faces opposées du dodécaèdre.  Dessiner les arêtes des cinq cubes à la surface du dodécaèdre est une mauvaise idée,   est confuse dans la section actuelle “Symétries”.  Voici donc pour la remplacer une image SVG plus claire et plus instructive.   Arthur Baelde (discussion) 17 octobre 2023 à 17:41 (CEST)
thread_title:  Paire de cubes 

message: Répétition comique,  j’avais déjà lu “homothétique” au sujet de deux polyèdres duaux,  le même adjectif farfelu sous le même titre “Propriétés diverses”.  Ici aussi j’envisage de supprimer la section bizarre,  ainsi que la soit‑disant “démonstration” de la symétrie centrale du dodécaèdre de Platon.  Son texte amovible par un clic nous invite à deviner des présupposés costauds…
Juste après la section “Grandeurs caractéristiques”,  et au même niveau du plan,  la section proposée “Patrons et premières projections” commenterait les deux images ici présentes,  qu’elle afficherait après l’ancien ,  appelé image 1 en légende.  Numéroter les trois images de la section permet de s’y référer facilement.  Plus loin,  le titre “Toutes les symétries” vaudrait mieux que “Symétries” tout court,  puisque la nouvelle section parlerait aussi des premières symétries examinées.  Elle mentionnerait finalement la dualité entre dodécaèdre et icosaèdre de Platon,  déjà signalée en légende de l’illustration de l’article.  La répéter ailleurs serait peut‑être lassant.  Voici des extraits de cette nouvelle section.
Une vasque,  posée sur son patron horizontal,  le cache en partie dans la vue de dessus.  Le patron se plie dans l’espace pour former les six faces de la vasque.  Les cinq plis sont les côtés du pentagone central :  le fond de la vasque.  Le pliage transforme cinq paires de sommets du patron en cinq extrêmités d’arêtes obliques,  marquées d’un disque brun.  Par exemple il transforme la paire P1  et P2  en un point,  nommé P  seulement en élévation.   Les cinq autres sommets du bord dentelé de la vasque sont marqués en bleu.  La face grise cache le point C en vue de face de l’image 2,  son nom C  est estompé en gris.  Une règle de géométrie descriptive voudrait que la partie cachée des arêtes soit en pointillés.  Pas de pointillés non plus dans l’image 3,   mais ils seront tracés dans certains dessins ultérieurs.
 désigne la longueur des arêtes de la vasque,  ou des côtés de ses faces :  six pentagones réguliers convexes.  L’étoilement du fond de la vasque est aussi un pentagone régulier.  Sur son cercle circonscrit,  ses sommets sont cinq sommets du patron.  Une droite en pointillé représente un axe de rotation,  invariant lors du pliage.  Prolongeant un pli du patron,  le pointillé passe par deux sommets de l’étoilement,  des points  fixes  lors du pliage tels que F ou K.  Sur la droite (FK ),  position initiale des droites (FL ) et (KN ) avant le pliage,  les sommets du patron P1 et P2 se déplacent lors des rotations,  chacun dans un plan vertical perpendiculaire à l’axe de rotation.  Une autre sorte de pointillé représente l’un des deux plans verticaux.  Finalement,  ces deux sommets P1 et P2 se rejoignent en un seul sommet de la vasque,  nommé P seulement en vue de face.  Le plan de symétrie vertical des trois faces concernées contient l’arête oblique,  qui joint P au fond de la vasque,  ainsi que l’axe vertical du fond,  qui passe par C.
Sur la droite oblique (KP ),  le point N  sort du cadre de l’image 2 en vue de face.  Par contre N  est nommé dans les trois vues de l’image 3.  Sa position est analogue à celle de S  ou L,  car la figure est invariante par une ou plusieurs rotations d’un cinquième de tour,  dans un sens ou dans l’autre autour de l’axe vertical de la vasque.  Les points bleus sont les sommets d’un pentagone régulier horizontal,  comme les sommets inférieurs du bord dentelé de la vasque,  marqués de disques bruns.  La projection verticale ne déforme ni l’un,  ni l’autre pentagone régulier.  Les côtés du pentagone aux sommets bruns sont les diagonales horizontales des cinq faces obliques de la vasque,  de longueur \;\varphi\,a \;  où  \;\varphi = 2 \cos 36^{\,\circ}\; est le nombre d’or.  On démontre qu’en vue de dessus,  les sommets bleus se projettent aux centres des cinq faces périphériques du patron,  et que les deux pentagones réguliers horizontaux sont de même taille,  autrement dit isométriques.
Le bord dentelé de la vasque a dix segments,  égaux et de même pente.  Leurs projections verticales égales forment le contour de la vasque :  un décagone régulier.  Le bord dentelé sont deux à deux symétriques par rapport au point C de l’axe vertical de la vasque,  équidistant des plans horizontaux des pentagones réguliers.  Les dix segments du bord dentelé sont deux à deux symétriques par rapport à C,  ainsi que leurs milieux :  les sommets d’un décagone régulier horizontal,  tracé en vert dans l’image 2.
La vasque en entier ayant le même bord que sa symétrique par rapport à C,  est une moitié d’un dodécaèdre.  Son centre de symétrie C  est sur l’axe de n’importe quelle paire de faces opposées du solide.  […]
[…]
Les cinq sommets de l’étoilement horizontal du fond de la vasque,  plus leurs symétriques par rapport à C  tels que  L,  S  ou N,  appartiennent aux cinq axes obliques du solide,  perpendiculaires à deux faces opposées.  Ajoutons‑leur deux points invisibles dans les dessins,  de part et d’autre de C  sur l’axe vertical du solide,  à la même distance de C  que les dix précédents.  Nous obtenons les douze sommets d’un étoilement du dodécaèdre de Platon :  un grand dodécaèdre ou un petit dodécaèdre étoilé,  ou leur enveloppe convexe commune :  un icosaèdre de Platon dual de notre solide,  dont la vasque possède une moitié des faces.
Au sujet de l’harmonisation de l’ensemble des figures et des écrits,  les lettres    des images 2 et 3 ont la même forme que dans le texte,  parce que dans la même police de caractères  "Liberation Serif",  utilisée par défaut dans Commons  — police utilisée quand elle n’est pas spécifiée dans le code —.  Ma lettre grecque θ  en "Liberation Sans",  dans le code SVG de mes images,  est un peu plus lisible que le  θ  du code wiki ordinaire,  car un peu plus bombée.  Voici trois codes possibles de cette lettre,  et leurs rendus dans Wikipédia.
# \theta —> \theta
# θ —> θ
# θ —> θ
Des caractères très ressemblants,  qu’en dites‑vous ?
Les angles de l’image 3 marqués chacun de trois arcs,  ont une mesure  θ  inférieure à 36°.  Deux angles marqués chacun de deux arcs mesurent 36°,  grandeur non inscrite dans cette image 3.  Ces 36° sont écrits dans l’image aux deux cubes,  et le seront aussi dans la prochaine version de cette image,  bientôt proposée plus haut,  avec le même gris des arêtes,  qui rendra plus facile le repérage des faces de mêmes couleurs qu’ici,  pour les faces visibles.  Un angle θ  indiquera l’inclinaison des deux cubes dans la dernière vue de face.  Actuellement en chantier,  cette nouvelle version SVG serait insérée dans une section “Paires de cubes”,  venant juste après “Patrons et premières projections” proposée plus haut.   Arthur Baelde (discussion) 8 décembre 2023 à 15:11 (CET)
thread_title:  Remanier 

message: À  la  suite  de  “Paires de cubes”  pourrait  figurer<br
/>l’image  ci‑contre,   au  début  d’une  rubrique   “Sections régulières”. <br
/>Le  texte  ressemblerait  à  ceci.
L’image 6 exhibe des sections planes dites équatoriales,  qui passent par le centre du polyèdre convexe.  Régulière,  chaque section passe par les milieux de dix ou six arêtes.  Hexagonale,  une telle section est perpendiculaire à un axe de symétrie d’un tiers de tour,  joignant deux sommets opposés du solide.  Perpendiculaire à un tel axe et passant par le centre du solide,  une section plane qui coupe exactement trois arêtes est un triangle,  invariant dans cette rotation d’un tiers de tour.  Ce triangle appartient à une infinité de sections triangulaires semblables dans des plans parallèles :  des triangles équilatéraux.
Les cinq petits cubes de la précécente rubrique ont chacun six faces carrées,  qui font au total trente sections carrées.  Le plan de chaque section carrée est à la fois parallèle à une paire d’arêtes opposées du dodécaèdre,  et perpendiculaire à deux autres de ses quinze paires d’arêtes opposées.
Dans l’image 6,  les soixante côtés des sections décagonales sont les arêtes d’un icosidodécaèdre.  Chaque section décagonale est parallèle à deux faces opposées,  et perpendiculaire à un axe de symétrie d’un cinquième de tour du solide.  Carrés et triangles équilatéraux ne sont pas les seules sections régulières non équatoriales.  Régulières aussi sont les douze sections parallèles à deux faces opposées du solide,  passant chacune par cinq sommets du polyèdre,  invariantes dans des symétries d’un cinquième de tour.  L’une d’elles est l’image d’une face pentagonale par l’homothétie de centre S  et de rapport φ.  Le point S  est le sommet d’une pyramide dont les faces triangulaires,  cinq triangles d’or,  prolongent cinq faces pentagonales telles que les faces obliques d’une vasque.  Et la base de la pyramide :  la face pentagonale qui jouxte les cinq précédentes,  est transformée en une infinité de sections pentagonales régulières du solide par une infinité d’homothéties.  Leurs rapports sont dans l’intervalle  ]1, φ].  Leurs centres,  tels que S,  sont les sommets d’un icosaèdre de Platon,  déjà commenté.
[…]
Des dessins beaucoup plus nombreux,  qui répondraient à cette volumineuse harmoniede sections régulières,  pourraient empêcher certains esprits de travailler.    Paver  pardes  triangles  d’or  des  faces  du  dodécaèdre  peut  dessiner  sur  ces  pentagonesles  côtés  d’autres  sections  hexagonales  régulières,   non  équatoriales.   Je  proposede  clore  la  rubrique  “Sections  régulières”  par  l’image  suivante.
   Arthur Baelde (discussion) 19 mars 2024 à 15:02 (CET)
thread_title:  Sections régulières