Discussion:Fonction zêta de Riemann

message: Bonsoir, j'ai rajouté la condition de convergence oubliée pour le produit eulérien. 
Sinon, c'est un article très dense, très complet, il me semble.
* Il manque amha une introduction expliquant l'intérêt de cette fonction, son rôle, etc.. Il me semble qu'il faut plus mettre en avant l'hypothèse de Riemann qui reste une des grandes conjectures indémontrées en maths. 
* Personnellement, en liaison avec la discussion qui précède, j'aime bien la preuve donnée par Cartier dans  
pour le prolongement à C-1: on a des formules, pour chaque entier n, exprimant la fonction zeta (pour Re(s)>1)comme 1/(s-1)+ des termes polynomiaux en s + une intégrale de 1 à l'infini avec comme intégrant un terme en x^{-s-n}. B*_n(x)dx. C'est une application des formules de sommation d'Euler-Mac Laurin. Le terme en B*_n a l'intérêt d'être périodique de période 1 donc reste borné, donc l'intégrale converge en fait dès que Re(s)>1-n (donc prolonge zeta là-dessus). On montre que sur les parties en commun les fonctions sont égales et ceci permet donc de définir la fonction zeta sur tout C. L'intérêt de cette démonstration, à mon avis, c'est qu'on peut facilement résumer la preuve pour expliquer comment le prolongement se fait, de manière assez élémentaire et concrète (il ne faut que deux ou trois lignes de plus que ce que je viens d'expliquer, pour expliquer les fonctions B*_n et donner exactement la formule les liant à zeta). Ensuite on peut juste indiquer quelques autres types de démonstrations comme celle avec un contour de Hankel (si j'ai bien compris, celle qui avait été donnée avant). J'écris tout cela volontiers si j'ai le feu vert. 
*Pour le reste de l'article qui me semble actuellement assez technique, j'aimerais bien qu'on explique au fur et à mesure pourquoi on fait tout cela, etc. Je vois pour ma part les études sur les fonctions zeta, L, comme suivant un schéma assez standard (produit eulérien, prolongement analytique, étude des pôles et des zéros, valeurs spéciales, applications), sauf que bien sûr certaines parties dépveloppent une vie propre, mais je me demande si cela ne clarifierait pas les choses pour un lecteur ne les connaissant pas du tout d'expliquer cela un peu (ou bien, on fait un article introductif sur toutes les fonctions de ce type et on renvoie aux articles plus spécialisés comme celui-ci ?). Toutes mes amitiés, dites-moi si vous pensez que je dois rédiger la preuve ci-dessus. --Cgolds (d) 6 janvier 2008 à 01:38 (CET)
replies: text: Oui, tout a fait. Je connais le prolongement par les polynomes de Bernoulli. Je parlerai aussi à un moment de celui qu'on obtient en prenant le série de dirichlet alternée.Claudeh5 (d) 6 janvier 2008 à 09:05 (CET)
replies: text:  pour les Bernoulli. Merci de regarder si cela convient, et merci aussi pour l'intro. C'est une bonne idée de parler de Dirichlet alternée et du prolongement sur Re(s)>0 ! Bien cordialement, --Cgolds (d) 6 janvier 2008 à 16:44 (CET)
thread_title:  Suggestions sur l'article 

message: === Opinion de Cgold ===
Le prologue me plaît bien ! Deux détails : un bout de phrase qui traîne (définitions, etc.) à intégrer ou enlever je n'étais pas sûre. A propos des hypothèses plus faibles, tu ajoutes 'sans succès', c'est vrai pour certaines, mais certains résultats sur la localisation des zéros sont prouvés, donc j'enlèverais le 'sans succès', trop général.
Un dernier point : je ne sais pas s'il faut regretter l'absence de preuves. C'est une encyclopédie après tout, pas un manuel. Peut-être si tu le veux vraiment, dire simplement : 'Les recherches sur la fonction zeta constituent un domaine très technique. La plupart des preuves, nécessitant une formation spécialisée en théorie analytique des nombres, sont omises ici.'  (compte tenu des discussions sur wp, pour beaucoup,  'avancé en maths' veut dire licence de maths par exemple, ce qui, amha, ne suffirait pas pour les preuves les plus délicates dans ce sujet). Bravo ! --Cgolds (d) 1 février 2008 à 19:25 (CET)
thread_title:  Etat actuel 

message: Le prologue me plaît bien ! Deux détails : un bout de phrase qui traîne (définitions, etc.) à intégrer ou enlever je n'étais pas sûre. A propos des hypothèses plus faibles, tu ajoutes 'sans succès', c'est vrai pour certaines, mais certains résultats sur la localisation des zéros sont prouvés, donc j'enlèverais le 'sans succès', trop général.
Un dernier point : je ne sais pas s'il faut regretter l'absence de preuves. C'est une encyclopédie après tout, pas un manuel. Peut-être si tu le veux vraiment, dire simplement : 'Les recherches sur la fonction zeta constituent un domaine très technique. La plupart des preuves, nécessitant une formation spécialisée en théorie analytique des nombres, sont omises ici.'  (compte tenu des discussions sur wp, pour beaucoup,  'avancé en maths' veut dire licence de maths par exemple, ce qui, amha, ne suffirait pas pour les preuves les plus délicates dans ce sujet). Bravo ! --Cgolds (d) 1 février 2008 à 19:25 (CET)
thread_title:  Opinion de Cgold 

message: Je partage dans les grandes lignes les idées de Cgolds. Manifestement comme elle, j'ai pris beaucoup de plaisir à lire l'article. Des pistes pour l'améliorer encore, j'en propose une mais je ne suis pas très sur de moi (l'avis doit donc être pris avec des pincettes).
Je me demande si le prologue ne peut pas toucher un public un peu plus vaste qu'à l'heure actuelle. Des livres grands publics à tirages finalement pas si confidentiels me laisse penser ainsi.
#Pourquoi ne pas indiquer que la fonction zêta est une fonction complexe à valeurs complexes en des termes plus simples ?
#Pourquoi ne pas indiquer qu'elle possède de bonnes propriétés de régularité (c'est à dire qu'elle est lisse partout où elle est définie, ce que l'on appelle méromorphe) ?
#Pourquoi ne pas indiquer qu'un zéro est un point ou l'image de la fonction vaut zéro ?
#Pourquoi ne pas indiquer que la connaissance de l'emplacement exact des zéros qui ont une partie imaginaire non nulle donne la répartition exacte des nombres premiers ?
Ensuite, de toute manière c'est un peu mission impossible d'aller plus loin pour le grand public. L'utilisation d'un langage plus métaphorique perturberait les experts sans pour autant éclairer les néophytes, le choix de Claudeh5 me semble donc pertinent.
Enfin, je regrette sans illusion la présence des démonstrations. Il suffit de lire l'article Fonction méromorphe pour se rendre compte qu'ajouter maintenant les preuves ne fait pas sens. J'espère que dans cinq ans, introduire à l'aide d'une multitude d'articles connexes le savoir purement mathématiques sera possible. Le choix de Claudeh5 est pour moi, hélas, le bon.
Pour finir merci encore pour ce bien bel article, je pense qu'il remplit en large part sa fonction pour la majorité des lecteurs potentiels. Jean-Luc W (d) 15 février 2008 à 11:06 (CET)
thread_title:  Opinion de jl 

message: On s'achemine (enfin, Claudeh5 nous achemine ) vers un article très complet. Je n'ai pas encore tout relu, je vais essayer de le faire dans les jours à venir.
Je crois qu'il y a encore quelque chose à lisser dans le prologue (désolée, désolée...). Probablement dans le sens de Jean-Luc W, car pour l'instant je trouve que l'hypothèse de Riemann (dont il n'est d'ailleurs pas  dit ici qu'elle  concerne  la fonction zeta et pas toutes les fonctions méromorphes) a l'air d'occuper tout l'espace, c'est un peu perturbant (c'est un problème de rédaction,pas de fond, bien sûr).
Ensuite, je ne comprends pas bien ce qui est dit sur la série de Dirichlet juste après. Est-ce que tu annonces à l'avance le prolongement analytique qui sera établi plus loin , Parce que là on a l'impression que c'est une donnée évidente  (se prolonge à tout le plan sauf 1, etc.). 
Dernier point, moins important : les valeurs spéciales de fonctions zeta ou L sont devenues très importantes en géométrie arithmétique (à des périodes près comme pi, les rationnels mis en évidence témoignent de structures), donc ce serait bien de remonter ce paragraphe plus haut, d'autant que c'est une partie bien compréhensible.
Je vais faire des propositions plus effectives après relecture globale, c'est plus facile quand on lit de manière extérieure. Les illustrations sont aussi très intéressantes. A suivre !--Cgolds (d) 18 février 2008 à 23:29 (CET)
replies: text: j'ai l'intention de mettre le tableau de valeurs et l'image "rouge" (qui est génante) côte à côte. Il y a encore probablement à regrouper les estimations dans les différentes régions mais cela va nécessiter une petite refonte d'un paragraphe. Le problème des moments n'est pas encore traité. Je n'ai pas non plus traité des valeurs de la fonction. il y a ici quelques énoncés amusants. Il faudrait que je parle aussi des applications ! j'ai prévu un petit paragraphe sur la fonction M(x) qui s'exprime théoriquement avec les zéros. Il y a d'autres fonctions courantes qui sont liés à zeta de la même manière.Mais tout cela n'est pas censé bousculer l'article.Claudeh5 (d) 19 février 2008 à 01:05 (CET)
replies: text: J'ai enlevé pour l'instant deux lignes dans le paragraphe sur la définition par la série de Dirichlet, car sans doute à la suite d'un copier-coller, elles disaient qu'il y avait un prolongement partout sauf en 1 comme si la série même convergeait évidemment. Il me semble qu'il y a aussi un problème implicite de prolongement dans le paragraphe suivant sur le log (car on parle des valeurs en -2 etc., comme si on savait déjà ce que c'est). Soit il faut déplacer après le prolongement, soit il faut indiquer explicitement qu'on peut prolonger le log. Amicalement, --Cgolds (d) 20 février 2008 à 10:43 (CET)
thread_title:  Début de relecture 

message: Désolé si ma question est stupide, mais je la pose quand même; cet article (ainsi que d'autres ouvrages consultés) disent que les zéros triviaux de la fonction sont en -2, -4, -6... Or, même en réfléchissant intensément, pour moi, \zeta(-2)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^{-2}}=\sum_{n=1}^\infty  n^{2}=\infty . et non 0. Non?Thémistocle (d) 8 décembre 2008 à 22:55 (CET)
replies: text: Ce que tu n'écris n'est pas faux dans l'absolu, mais ça n'a pas de sens! La fonction \zeta est tout d'abord définie par une série pour tout complexe dont la partie réelle est >1! Ensuite on l'étend à tout le plan complexe, mais les valeurs ne sont plus donnée par cette série, car elle n'est plus convergente quand la partie réelle est <1. Elle sont par exemple données par l'équation fonctionnelle. Valvino (discuter) 8 décembre 2008 à 23:14 (CET)
replies: text: OK, merci beaucoup, j'ai compris.Thémistocle (d) 8 décembre 2008 à 23:37 (CET)
thread_title:  Les zéros triviaux 

message: Dans l'objectif d'un label, je pense que l'article devrait se mieux conformer aux usages de wikipedia :
* Sourcer les affirmations, les formules, etc afin que le lecteur qui voudrait vérifier ou aller plus loin sache exactement où chercher (livre de référence + renvoi à la page ou au chapitre concerné)
* Développer l'historique : une petite synthèse de histoire de la fonction zêta de Riemann. Si cette synthèse est bien faite, elle doit en même temps servir de "deuxième prologue" et donc plutôt se trouver au début de l'article. ----  El Caro  bla 21 mars 2009 à 15:01 (CET)
replies: text: (conflit d'edit) A mon avis, en me basant sur mes souvenirs et en ayant juste parcouru rapidement cet article, il souffre de gros défauts : on dirait un formulaire qui aurait été constitué en pompant tout et n'importe quoi dans la littérature - même si le tout est en fait certainement vrai et certainement intéressant, rien n'est fait pour le montrer au lecteur : aucun travail d'organisation ou de rédaction. Il y a de beaux ouvrages formulaires en maths, il me vient à l'esprit Whittaker et Watson, que je n'ai pas sous la main, mais j'imagine que les auteurs faisaient quand même un effort minimal pour dire où ils voulaient en venir.
Je ne vais pas tout critiquer point par point, mais deux exemples :
* dans le partie sur le log de la fonction zeta : on décrit des coupures à faire pour définir ce log. Quel intérêt ? Pourquoi le faire comme ça ?  Soit le lecteur sait qu'on est en train de définir une surface de Riemann sur laquelle le log sera univoque (mais on ne prend même pas la peine en définitive de préciser la surface obtenue, hic), et il se demande bien où on veut en venir, soit il ne le sait pas, et il se demande encore plus où on veut en venir !
* Pourquoi consacrer une section entière à la valeur de la dérivée aux zéros triviaux ?
Evidemment, s'il faut, je pourrais détailler sur les sections ; mais il faudrait vraiment commencer par établir un plan. Cordialement, Salle (d) 21 mars 2009 à 15:09 (CET)
thread_title:  Deux "défauts de matheux" 

message: Je pense qu'il y a des fautes d'écriture dans Euler-MacLaurin (confusion entre n et N) dans \sum_{k=2}^{N},R=\frac{1}{N!}..., et B_N(x-E(x))x^{-s-N}.
: il y avait une faute de N écrite n dans le reste R au début. La confusion vient probablement du fait que l'on utilise N au début et n dans la formule pour zeta. On pourrait effectivement remplacer les N en n pour clarifier.Claudeh5 (d) 18 octobre 2009 à 09:51 (CEST)
thread_title:  question 1

message: Je voudrais avoir un éclaircissement sur les zéros non triviaux de la fonction \zeta.Vous définissez dans le paragraphe sur ces zéros la fonction \Xi(s) et la fonctions\mapsto \Xi(\sqrt s).Est-ce que vous considérez s comme réelle dans cette définition?Alors vous appliquez un théorème sur les zeros des fonctions entières (Picard?).Ce théorème est référencé dans les fonctions entières pour des fonctions de variable complexe.Donc,si s est réel,cela signifie que vous appliquez un théorème sur l'infinité des zeros,  valable si la variable est simplement réelle.Est-ce précisément le cas ? Il n'est pas dit explicitement que s est réel ici.--90.15.206.220 (d) 25 octobre 2009 à 23:20 (CET)
replies: text: Non, la fonction est considérée comme une fonction de la variable complexe s. D'autre part, ce n'est pas le théorème de Picard qui est appliqué mais le fait que la fonction \Xi(s) est d'ordre 1 et donc que \Xi(\sqrt{s}), qui est paire (c'est essentielle) est d'ordre 1/2. Ce seul fait entraine qu'elle admet une infinité de zéros complexes (voir fonction entière). Par suite de la symétrie, les zéros complexes se traduisent par des zéros complexes de \zeta dans la bande [0,1]. On sait d'autre part qu'il y a une infinité de zéros réels de \Xi(s) (théorème de Hardy, 1914) mais peut-être pas tous. Si tous les zéros sont réels, alors l'hypothèse de Riemann est vraie mais pour l'instant cela reste une conjecture.Cela a-t-il répondu à votre interrogation ?Claude le pénible (d) 26 octobre 2009 à 07:18 (CET)
replies: text: Merci pour cet éclaircissement.En fait j'ai été conduit à penser inconsciemment que s était supposé dans ce paragraphe, dans R à cause de l'écriture : \xi(1/ 2+is).--90.15.79.94 (d) 28 octobre 2009 à 18:32 (CET)

text: Pour eviter cela, je vais le préciser.Claude le pénible (d) 28 octobre 2009 à 20:07 (CET)
thread_title:  question 2

message: Y a-t-il un bug dans les premières écritures du paragraphe de la fonction S(t)? Ne faut-il pas considérer les variables t et T comme les mêmes dans les premières expressions de N(T) et S(T) (si je ne me trompe pas) ?
: Absolument exact. Il n'y a que des T. J'ai corrigé. Merci de votre vigilance.Claude le pénible (d) 3 novembre 2009 à 13:33 (CET)
thread_title: question 3

message: Dans le paragraphe sur les zéros non triviaux,un point me semble difficile à comprendre.Quand vous dites que c'est par une intégration de \frac {\zeta'}{\zeta} qu'on évalue la différence entre le nombre de poles et le nombre de zéros,je ne vois pas comment vous faites le lien.Pouvez-vous développer quelques détails,ou préciser cette intégrale ? Merci,si ce n'est pas trop long à faire.--90.0.64.244 (d) 4 novembre 2009 à 08:40 (CET)
replies: text: C'est pourtant une formule classique de la théorie des fonctions de la variable complexe. Soit donc f(z) une fonction analytique complexe dans un domaine D borné ayant des zéros et des pôles dans le domaine mais pas sur sa frontière (condition facile à satisfaire en déformant au besoin un peu le domaine. Soit m la multiplicité d'un zéro a(qui est isolé). Si l'on calcule f'(z)/f(z) au voisinage de a, on trouve f'(z)/f(z)=m/(z-a)+g(z) où g(z) est une fonction holomorphe sur un disque de centre a et de rayon r >0. Si a était un pôle d'ordre n, on aurait f'(z)/f(z) = -n/(z-a)+h(z), h(z) comme g(z). Pour le principe. Maintenant passons à D tout entier. Dans D, on applique le théorème de Factorisation de Hadamard (voir théorème de factorisation de Weierstrass). L'application du logarithme au produit de Hadamard et sa dérivation (dont la dérivée vaut f'(z)/f(z)) donne immédiatement:
\frac{f'(z)}{f(z)} =  \sum_{a \in zeros} \frac{m(a)}{z-a} + \sum_{a \in poles} \frac{-n(a)}{z-a} + g(z) où les ensembles zeros et poles ne concernent que ceux de D et où g(z) est une fonction analytique n'ayant pas de pôle dans D (elle peut en avoir ailleurs). Intégrons maintenant f'(z)/f(z) sur la frontière de D. On trouve d'après la formule des résidus que l'intégrale de g(z) est nulle (pas de pôle dans D). D'autre part, le résidu pour a dans zero est m(a)= multiplicité du zéro a. Celui de a dans pole est -n(a)= multiplicité du pole a. On trouve donc comme intégrale 2i pi (N-P), où N est le nombre des zéros dans D comptés avec leurs multiplicités, N étant de même pour les pôles. Tout cela n'est pas spécifique à zeta mais fonctionne avec toute fonction analytique complexe. Il reste à estimer zeta'(s) / zeta(s) sur les côtés de la bande critique de 0 jusqu'à une hauteur T. Là, c'est délicat et nécessite du travail...Claude le pénible (d) 4 novembre 2009 à 09:49 (CET)

text: Dans la suite, une autre méthode de calcul est suggérée: la méthode basée sur le principe de l'argument.Claude le pénible (d) 5 novembre 2009 à 10:17 (CET)
replies: text: Le but de mon interrogation était en fait l'évaluation de la fonction \frac{\zeta'}{\zeta} dans ce cas pour que la méthode décrite puisse être appliquée.Je pense que pour le lecteur qui veut poursuivre l'étude de l'évaluation du nombre de zéros telle qu'elle est faite dans la suite de l'article,il est nécessaire qu'il ait une précision sur l'expression de \frac{\zeta'}{\zeta}.Or je n'ai vu nulle part ailleurs dans l'article d'expression (sauf peut-être celle avec la fonction de Von Mangolt,mais je ne pense pas que ce soit celle qu'on peut utiliser).Est-il possible que vous donniez dans ce paragraphe l'expression qui sera utilisée de \frac{\zeta'}{\zeta} dans l'application du théorème des résidus?--90.15.73.189 (d) 9 novembre 2009 à 09:40 (CET)

text: La démonstration la plus simple est la suivante: (Titschmarsh, the zeta function of Riemann, 1930)
On part de \xi(s)=1/2s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) pour laquelle on sait qu'on a d'après la relation fonctionnelle \xi(s)=\xi(1-s). Le nombre de zéros de \xi(s) est le même que celui de \zeta(s) dans le rectangle défini par les sommets opposés (0,0) et (1,T), soit N(T). Si T n'es pas l'ordonnée d'un zéro, 2\pi N(T) est égal à la variation de l'argument  de \xi(s)  le long du rectangle. Or, \xi(s) est réelle pour t=0 et également pour  \sigma=1/2, de sorte que la variation totale autour du rectangle est 2 fois  la variation autour de la moitié en partant de s=2. Donc \pi N(T)= est égal  la variation d'argument entre 2 et 2+iT et de 2+iT à 1/2+iT le long des droites. Utilisant la formule de Stirling complexe, on a 
N(T)= \frac{T}{2\pi}\ln \frac{T}{2\pi}- \frac{T}{2\pi}+\frac{7}{8}+O(1/T) +\frac1{\pi}\Delta am\zeta(s). Il reste à montrer que le dernier terme est O(ln T).
La partie réelle de \zeta(s) ne s'annule pas sur l'axe \sigma=2 puisque \Re{e}(\zeta(2+it) \ge 1-\sum_{n=2}^\infty n^{-2} >0. donc la variation de l'argument de \zeta(s) entre 2 et 2+iT est inférieure  à \pi/2.
Si \Re{e}(\zeta(s) s'annule q fois entre 2+iT et 1/2+iT, cet intervalle est divisé en q+1 parties à travers lesquelles \Re{e}(s) ne prend qu'un signe, soit + soit -. Donc dans chaque partie la variation de l'argument de \zeta(s) n'excède pas \pi. et ainsi la variation totale de l'argument est inférieure à (q+3/2)\pi. il reste à évaluer q.
Or q est le nombre de zéros de f(z)=\frac12 \left(\zeta(z+iT)+\zeta(z-iT)\right) pour \Im{m}(z)=0, \frac12\le \Re{e}(z) \le 2 , et donc q \le n  où n est le nombre de zéros de f(z) dans |z-2| <= 3/2. On applique alors la formule de Jensen (voir []) qui donne
n < A \left(\int_0^{2\pi} \ln|f(2+re^{iu})|du -2\pi \ln|f(2)|\right) où 3/2 < r < 2 et parce que \zeta(s)=O(t^{1-\sigma}),  le membre de droite est inférieur à A ln T.
Autrement, on trouve dans le livre de Ivic une démonstration plus longue mais plus proche de la formule indiquée qui part de la fonction \xi(s) et calcule \xi'(s)/\xi(s). On trouve donc le terme en \Gamma'(s)/\Gamma(s) qui donne pareillement par Stirling les premiers termes du développement. Après, il faut estimer \zeta'(s)/\zeta(s). Pour cela on part de la formule de factorisation de Hadamard \zeta(s) = \frac{e^{(\ln(2\pi)-1-\gamma/2)s}}{2(s-1)\Gamma(1+s/2)} \prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) e^{s/\rho}
 dont on prend le logarithme et qu'on dérive. On utilise alors certaines estimations (que je n'ai pas données ... sur certaines sommes sur les zéros) et la formule \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{|t-\gamma| \le 1}\frac1{s-\rho}+\mathcal{O}(\ln |t|). que j'ai donnée pour montrer que \Delta am \zeta=\Im{m}\left(\int_{1/2+iT}^{2+iT} \frac{\zeta '(s)}{\zeta(s)}ds\right)=O(\ln T).Claude le pénible (d) 9 novembre 2009 à 14:30 (CET)

text: Merci pour avoir mis la démonstration pratiquement complète du calcul de N(T),cela donne du grain à moudre.--90.14.156.187 (d) 23 novembre 2009 à 17:31 (CET)
thread_title: question 4

message: Le lien entre la fonction zeta de Riemann et les électrons ajouté par un contributeur sous IP ne semble pas être un TI http://scholar.google.fr/scholar?hl=fr&q=function+zeta+riemann+electron Je laisse à plus calé que moi le soin de l'introduire éventuellement dans l'article.----  El Caro  bla 2 janvier 2010 à 20:31 (CET)
replies: text: a voir, bien que je ne sois pas un spécialiste de la question de l'électron.Claudeh5 (d) 3 janvier 2010 à 07:09 (CET)

text: Non, c'est pas si simple (et la façon dont l'IP en parlait était particulièrement douteuse). Mais en fait, faut le relire, l'article  : il mentionne explicitement cette histoire (les travaux de Berry), de façon bien plus rigoureuse, ici (... et chaos quantique) ; le fait que ce soit les états de l'électron n'a aucun intérêt particulier, ce qui compte, c'est l'idée du Hamiltonien --Dfeldmann (d) 3 janvier 2010 à 07:15 (CET)
replies: text: oui, c'est tout à fait mon impression concernant l'IP. Par contre j'ai commencé à regarder un article de Harney, The stability of electron orbital shells based on a model of the Riemann-zeta function dont le résumé est "It is shown that the atomic number Z is prime at the beginning of the each s1, p1, d1, and f1 energy levels of electrons, with some fluctuation in the actinide and lanthanide series".Claudeh5 (d) 3 janvier 2010 à 07:56 (CET)
replies: text: Mieux vaut en rire : vu que les nombres en questions sont des nombres premiers de l'intervalle 1-100 (avec des fluctuations...), la probabilité d'une coïncidence est déjà >0,1, sans parler des arbitraires là dedans, et de ce que les considérations sur les carrés (et les doubles de carrés)  ramènent la question sur Z à se demander pourquoi 5, 17 et 37 sont premiers... Disons qu'avec cette approche (au moins ainsi résumée), je ne croit pas que le prix Clay craigne grand chose.--Dfeldmann (d) 3 janvier 2010 à 08:26 (CET)

text: A ça, c'est vrai. Bon, je crois qu'on peut conclure: on ne change rien. J'ai déjà lu d'autres liens qui ne mènent à rien de sérieux. Par contre j'ai trouvé un curieux texte en espagnol Calderon, La Funci'on Zeta de Riemann, Rev. Real Academia de Ciencias. Zaragoza. 57: 67–87, (2002) sur la fonction zeta de Riemann qui affirme des choses que j'ignorais ... mais que je crois fausses ! il est dit "En 1912, Littlewood [24] prob´o que la conjetura de Riemann implica la de Lindel¨of. El rec´ıproco es falso." ? La réciproque est fausse en quel sens ? fausse au sens que l'hypothèse de Lindelöf n'implique pas l'hypothèse de Riemann ou fausse au sens que l'on n'a pas démontré que l'hypothèse de Lindelöf implique l'hypothèse de Riemann ? A ma connaissance on est dans la seconde signification.Claudeh5 (d) 3 janvier 2010 à 10:43 (CET)
thread_title:  Lien avec l'électron 

message: Je me demande si dans le prolongement de dzeta avec la formule d'Euler Mac Laurin, on n'applique pas la formule à x->x^s au lieu de s->x^s, à vérifier...
Florent H., 31 Mars 2010
:exact, je corrige--Cbigorgne (d) 31 mars 2010 à 18:25 (CEST)
thread_title: Petite erreur ?

message: Quel est le comportement de la série \sum_{n=1}^{\infty}\frac {1}{p_n^s} pour s=\sigma + it et 
\sigma \le 1,où p_n est le nème nombre premier ?
On sait que la série de la fonction de Riemann en \frac {1}{n^s} ne converge pas quand \sigma < 1 (on peut le montrer en montrant que le critère de Cauchy est infirmé,sur la partie réelle par exemple).
Je pense qu'on a la même conclusion pour la série en \frac {1}{p_n^s},mais le calcul est plus complexe car il faut une bonne évaluation de p_n (provenant du théorème des nombres premiers).Le problème est évoqué dans l'article Histoire de la fonction zêta de Riemann,mais uniquement le cas où t = 0,qui est beaucoup plus simple.--90.0.51.43 (d) 20 avril 2010 à 09:56 (CEST)
replies: text: La théorie des séries de Dirichlet précise que l'ensemble des valeurs s pour lesquelles il y a convergence simple est un demi-plan éventuellement vide. La question que vous posée se traite de manière élémentaire: la série des 1/pn est divergente ainsi qu'il a été démontré par Euler (il s'agit du cas sigma=1, non de sigma=0, dans Histoire de la fonction zêta de Riemann). La divergence étant obtenue pour s=sigma=1, la série est divergente pour toute autre valeur dans le demi-plan Re(s)<1.Claudeh5 (d) 22 avril 2010 à 08:31 (CEST)
replies: text: Le calcul n'est d'ailleurs pas compliqué: il suffit de développer le produit eulérien pour s>1 et de faire tendre s vers 1+.Claudeh5 (d) 22 avril 2010 à 21:59 (CEST)
thread_title:  Discussion (Question) 

message: Dans la démo proposée de la relation entre dzeta(z) et dzeta(1-z) tout est bon jusqu'à la décomposition en Fourier de {u}-{2u} mais ensuite cà coïnce. Même si l'échange somme/intégrale est licite (il ne l'est sûrement pas) la ligne suivant est fausse : l'intégrale de 0 à l'infini se décompose en différence de deux intégrales absolument convergentes ; le changement 2u=v donne que cette différence est (2^s-1)  \int_0^infiny u^{-1-s} sin(2n \pi u) du. De là un simple changement de variable permet de trouver un équivalent en l'infini de la forme constante * n^s. Or la série des n^{-1+s} ne converge pas ... 
:la variable s est dans ]0,1[ donc positive. Donc -1 - s  < -1; de ce fait la série n^{-1-s} converge.Claudeh5 (d) 26 juillet 2010 à 14:31
::Il s'agit de la série des n^{-1+s} et non n^{-1-s} 
:::Le document source est http://arxiv.org/abs/math/0305191 et on y lit à la fin de la première page "where the last equation is valid at first when −1 <  \int_{C_{3 ,\nu}} \frac{u^{s-1}}{e^u-1}du = \int_{\nu}^{+ \infty} \frac{r^{s-1} e^{2 i \pi (s-1)}}{e^r - 1 }dr  \underset{\nu \to 0}{ \longrightarrow } e^{2 i \pi (s-1)} \zeta(s) \Gamma(s)</center>
qu'est-ce qui m'empêche d'écrire
u^{s-1}=(re^{2i\pi})^{s-1}=r^{s-1}(e^{2i\pi})^{s-1}=r^{s-1}1^{s-1}=r^{s-1}\frac{}{} ?
auquel cas les intégrales \int_{C_{1,\nu}} et \int_{C_{3,\nu}} se neutralisent,et on va trouver que l'intégrale \oint_{C} de contour globale est nulle quand \nu ->0!
Cependant,il y a là une erreur,mais où est l'erreur?Si on peut aboutir à une telle erreur,c'est qu'il y a une incorrection dans sa démonstration.--90.15.75.38 (d) 9 août 2010 à 23:51 (CEST)
replies: text: En fait, il y a non pas une entourloupe mais une incorrection à dire que l'on prend des nombres d'argument 2π . On doit considérer une droite paramétrée reliant le bas de la demie circonférence décrite par le paramètre ν et le point à l'infini. Ces points sont "presque" d'argument  2π mais la différence (non nulle) tend vers 0 avec ν. Cela empêche de pouvoir écrire u^{s-1}=(re^{2i\pi})^{s-1}=r^{s-1}(e^{2i\pi})^{s-1}=r^{s-1}1^{s-1}=r^{s-1}\frac{}{}.Claudeh5 (d) 28 octobre 2010 à 20:07 (CEST)
thread_title: Arnaque pour la démo de la relation fonctionnelle 

message: Dans la démonstration,on écrit "Or, ξ(s) est réelle pour t=0 et également pour \sigma=1/2, de sorte que la variation totale autour du rectangle est 2 fois la variation autour de la moitié en partant de s=2 ".OK pour la prémisse,mais la conclusion ?
Si \xi(s) est réelle,l'argument est constant (égal à k\pi avec un certain k).Donc sa variation entre 1/2+iT et 2,en passant par 1/2,n'est-elle pas nulle ?
Et deuxième question : comment peut-on prendre l'intégrale de \frac{\xi'(s)}{\xi(s)} entre 1/2+iT et 1/2,sachant que la fonction n'est pas holomorphe sur le segment à cause des zéros 0<t<T (qui sont des pôles pour cette fonction s'ils sont simples).Est-ce que les zéros et les pôles,dans le principe de l'argument,ne sont pas intérieurs à la boucle de l'intégration ?
--90.0.178.173 (d) 18 novembre 2011 à 15:23 (CET)
thread_title: Critique de la démonstration sous dérouler dans #la bande critique et l'hypothèse de Riemann

message: J'ai lu les critères pour un avancement A, et il me paraît qu'il manque juste la garantie d'une structure de l'article adéquate. Ne pourrait-on pas regrouper dans relation fonctionnelle les deux sections suivantes? Ghalloun [allôôô?] 8 juillet 2012 à 20:56 (CEST)
replies: text: Bonjour, c'est plus clair avec ce regroupement. Cordialement.--Cbigorgne (d) 10 juillet 2012 à 14:04 (CEST)
replies: text: Merci Cbigorgne! Je vais continuer ma relecture. Ghalloun [allôôô?] 10 juillet 2012 à 15:22 (CEST)
thread_title:  Avancement 

message: Bonjour! On fait référence parfois dans l'article à série de Riemann et à série de Dirichlet. Peut-être que cela pourrait donner lieu, à un endroit ou à un autre, à une note indiquant la différence entre les deux types de séries? Si c'est véritablement la même chose, il faudrait plutôt alors fusionner l'article Riemann dans l'article Dirichlet, plus complet. Je n'ai pas lu assez en détail ces deux articles pour savoir s'il y a ou non différence ce concept. Ghalloun [allôôô?] 11 juillet 2012 à 13:49 (CEST)
replies: text: En fait, ça ne semble pas nécessaire : les séries de Riemann sont un cas particulier des séries de Dirichlet avec un numérateur qui vaut 1. Ghalloun [allôôô?] 17 juillet 2012 à 14:21 (CEST)
thread_title:  Série de Riemann et série de Dirichlet 

message: Dans Fonction zêta de Riemann#Que devient la série de Riemann sur l'axe Re(s) = 1 ? je lis : « Pour les séries de Dirichlet de ,  et , l'application de la deuxième formule de Perron montre que les deux dernières séries convergent sur l'axe 1 en dehors de s = 1 tandis que la première ne converge pas sur l'axe 1. » La preuve de cette « application » me passe au-dessus de la tête (elle pourrait peut-être être effleurée comme exemple dans l'article sur la formule de Perron ?) mais j'aimerais bien être sûre au moins de comprendre la fin de cet énoncé : est-ce que ça veut dire que la série de  diverge en tous les points de l'axe ?Anne (d) 25 juillet 2012 à 12:52 (CEST)
replies: text: Bonjour Anne, d'après Tenenbaum, édition de 2008, page 252, exercice 279, la série de Dirichlet de   diverge en tous les points de l'axe. Cordialement.--Cbigorgne (d) 25 juillet 2012 à 14:00 (CEST)
replies: text: diverge en un point s_0 signifie essentiellement "ne converge pas"! elle peut donc diverger vers l'infini ou osciller indéfiniment ... J'ai montrer un exemple de ce dernier cas justement dans ce paragraphe.Claudeh5 (d) 25 juillet 2012 à 14:27 (CEST)
replies: text: @Claude : je sais. @Cbigorgne : merci. Anne (d) 25 juillet 2012 à 15:08 (CEST)
thread_title: Deuxième formule de Perron

message: J'ai mis un bandeau "section à sourcer" sur la section 4.7 "Inégalités". Il est vrai que l'inégalité de La Vallée Poussin est classique et qu'on la trouve facilement un peu partout. Mais ça n'est pas le cas des deux autres. Laforgia et Natalini ont publié plusieurs articles ensemble. Des 4 autres auteurs cités, les 3 derniers ne sont jamais répertoriés ensemble dans MathSciNet; et Ahsani n'existe carrément pas. (De plus: est-il vraiment nécessaire de mentionner les deux inégalités, la deuxième impliquant la première?). Sapphorain (discuter) 4 juillet 2014 à 10:50 (CEST)
thread_title:  Inégalités 

message: En théorie des nombres, dans la littérature, les symboles O de Landau ne sont jamais écrit avec un O "calligraphique". Il semble que cette mode nous soit venue de certains traités d'analyse d'erreur en informatique. En tout cas dans un article de théorie des nombres ça ne se justifie pas (et ça fait mal aux yeux). J'ai donc enlevé tous les \mathcal devant O. Sapphorain (discuter) 8 juillet 2014 à 10:21 (CEST)
thread_title:  O de Landau: pas "calligraphique" 

message: Y a-t-il une raison pour que la section "Historique" se trouve presque à la fin (et très peu visible dans la table des matières)? Normalement une telle section se trouve tout au début. Je pense qu'il faudrait la déplacer au début, et la renommer "Histoire", ou même "Histoire de la fonction zêta de Riemann" comme l'article auquel on renvoie. Sapphorain (discuter) 8 juillet 2014 à 22:54 (CEST)
thread_title:  Historique au début? 

message: J'ai supprimé la contribution de Utilisateur:Dhallewyn, qui n'est pas sourcée et contient des affirmations fausses ou imprécises. (1) Euler n'a jamais conjecturé l'équation fonctionnelle; il a réussi à calculer des valeurs de zêta pour des arguments entiers négatifs, ce qui a semble-t-il inspiré Riemann. En tous les cas il faut une référence. (2) Ça n'est ni Hadamard, ni La Vallée Poussin qui a montré l'équivalence du théorème des nombres premiers avec la non annulation de zeta sur Re(s)=1. Si mes souvenirs sont bons, c'est von Mangoldt ou Landau, quelques années après la preuve du TNP. Là aussi, il faut une référence. Sapphorain (discuter) 12 juillet 2014 à 23:43 (CEST)
replies: text: (1) Si Michel Balazard l'écrit, ça doit être vrai et c'est moi qui me trompe. Il faut cependant une référence précise à l'article d'Euler. (2) Concernant l'équivalence du TNP avec zeta(s)≠0 pour Re(s)=1, il semble en effet que ça soit dû à Landau. Mais de nouveau, il faut une référence (à l'article de Landau, et non pas à un article de quelqu'un d'autre qui affirme sans référence que c'est dû à Landau!). J'ai cherché dans les oeuvres complètes de Landau, et pour l'instant je n'ai rien trouvé. Cordialement. Sapphorain (discuter) 14 juillet 2014 à 23:10 (CEST)

text: Le premier lien est sur le résumé de Gronwall (1914) du Handbuch de Landau (1909), le deuxième sur un article de vulgarisation; aucun n'apporte de réponse à la question posée. Sapphorain (discuter) 19 juillet 2014 à 16:58 (CEST)

text: Pour Euler, la référence que j'ai donné à série divergente (Leonhard Euler, « Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques », Mémoires de l'Académie des sciences de Berlin, 17, 1768, p. 83-106 ; Opera Omnia : Series 1, vol. 15, p. 70-90 ; Euler Archive : E352 (lire en ligne) ; ce texte, écrit en 1749, constitue une des premières utilisations de séries clairement divergentes, et, concernant ces formules, il écrit lui-même (p.2) : "cela doit paraître bien paradoxe".) est très explicite (page 1, où il annonce le résultat pour s entier, et le conjecture dans le cas général)--Dfeldmann (discuter) 5 août 2014 à 23:59 (CEST)
thread_title:  Affirmations non sourcées concernant Euler, Hadamard, La Vallée Poussin 

message: Peut-on considérer ceci comme une source valable à mettre éventuellement dans l'article ?
 Nombres premiers et chaos quantique
Merci de vos commentaires éventuels Michel421 (d) 19 mai 2015 à 19:39 (CEST)
thread_title:  Utilité de la fonction zêta dans la théorie du chaos quantique 

message: Je crois avoir lu que l'hypothèse de Riemann avait été réduite à une partie de la bande critique, a>=1/2 ou a<=1/2, je ne sais plus, qqn aurait-il plus d'infos svp?
:  Oui, mais ça n'est pas très récent... Par l'équation fonctionnelle dans la section 4.2 de l'article (Riemann 1859) il "suffit" de montrer qu'il n'y a pas de zéro dans une des deux moitiés de la bande critique, à gauche ou à droite de l'abscisse 1/2. Sapphorain (discuter) 3 août 2016 à 11:12 (CEST)
thread_title:  Réduction de l'hypothèse de Riemann à une partie de la bande critique. 

message: Quelle est-elle ? Mais surtout : est-elle incluse dans C\R ? Voire même dans Re(z) > 0, i.e. la série D(s)=\sum_{p\in\mathcal P,\;k\ge1}\frac1{kp^{ks}} du [[Fonction zêta de Riemann#Présentation élémentaire pour les nombres complexes du demi-plan Re(s) > 1|§ sur log(ζ)]] vérifie-t-elle |Im(D(s))| < π/2 ? Anne (discuter) 4 mars 2017 à 22:03 (CET)
thread_title:  Image du demi-plan Re(s) > 1 

message: Bonjour,
Vous dites que la relation fonctionnelle liant zeta(s) à zeta(1-s) est valable pour tout complexe s distincts de 0 et 1. Cependant pour s = 3; 4; 5;... la fonction s --> Gamma(1-s) devient infini en ces valeurs.
Alain Houé90.32.29.2 (discuter) 11 juillet 2017 à 10:39 (CEST)
replies: text: Bonjour, je pense qu'il faut prendre l'égalité comme une égalité entre fonctions méromorphes sur l'ensemble de nombres complexes différents de 0 et de 1. Donc lorsque la fonction s |--> Gamma (1-s) a un pôle, celui-ci est annulé par le facteur Zeta (1-s) ou le facteur sin(πs/2) qui a un zéro du même ordre que le pôle. Cordialement.-- Cbigorgne (discuter) 11 juillet 2017 à 10:56 (CEST)

text: Une rédaction correcte serait de dire que « le terme de droite dans la relation fonctionnelle définit une fonction méromorphe (en dehors de 0 et de 1) qui n'a aucun pôle et égale le premier terme de l'équation Zeta(s). »-- Cbigorgne (discuter) 11 juillet 2017 à 11:02 (CEST)
thread_title:  A propos de la relation fonctionnelle 

message: Les dernières contributions de Cbigorne dans la section "Quotients de fonctions zêta par (s’')"
me laissent perplexe. Elles donnent d’abord la série de Dirichlet pour \zeta’(s)/\zeta(s), sans dire comment on l’obtient, et en déduisent par intégration terme à terme celle pour log\zeta(s). Il me semble qu’en général on fait précisément l’inverse: en utilisant le fait que \zeta(s) ne s’annule pas sur \sigma>1, et que donc la détermination principale du log\zeta(s) est holomorphe dans cette région, on peut calculer le log du produit eulérien pour \zeta(s) à l’aide de la série de Taylor pour log(1-x), et obtenir d'abord la série pour log\zeta(s). Ensuite en dérivant terme à terme on obtient celle pour \zeta’(s)/\zeta(s). Je ne sais pas obtenir directement cette dernière série. Evidemment, s'il est possible de l'obtenir directement, on peut laisser comme ça (peut-être avec une petite explication). Sapphorain (discuter) 24 juillet 2017 à 00:24 (CEST)
replies: text: J'ai supprimé ces contributions, qui se trouvent déjà, dans un ordre logique, dans la section « Définition de ln\zeta et de sa dérivée ». Sapphorain (discuter) 26 juillet 2017 à 00:11 (CEST)
thread_title:  Ordre de présentation inverse dans "Quotients de fonctions zêta par {{math|ζ}}(''s'')" ?