Discussion:Théorème fondamental de l'algèbre

message: J'aurais tendance à virer comme hors-sujet la phrase sur le théorème de Gauss en électromagnétisme (ou en analyse vectorielle, si on veut). Qu'est-ce que vous en pensez ? Je pose la question parce que c'est un problème assez général : certes, une ligne comme celle-là permet au lecteur égaré de trouver le bon article. Mais à force de faire ça, on a plein de page qui au lieu d'avoir un sujet (et c'est ça, un article ! un texte sur un sujet) commencent par signaler que non, elles ne parlent pas de telle chose, enfin si peut-être, etc. Bref.
MM 25 oct 2004 à 20:42 (CEST)
thread_title:  Lien théorème de Gauss 

message: D'abord, dans l'historique, il y a un mélange avec le théorème de Gauss relatif à la théorie du potentiel (et donc à l'électrostatique). Ah les fusions !
Cela dit, il y a de nombreuses démonstrations de ce théorème ; Gauss lui-même, si je me souviens bien, en a fourni deux différentes, et certainement pas en
utilisant le théorème de Liouville. Je peux donner une démonstration du théorème de Liouville (hélas, pas de moi !) et donc du théorème susdit en utilisant seulement
l'analyse réelle (on montre que toute fonction harmonique bornée sur Rn est constante). Donc, ni Liouville ni analyse complexe ne sont nécessaires.
Ce qui reste irréductible à l'algèbre, sauf erreur, est qu'un polynôme à coefficients réels et de degré impair a au moins une racine. Donc la remarque est
bienvenue (y compris la citation du théorème de Liouville) mais il faut tourner les choses un peu autrement. CD 24 jan 2005 à 01:20 (CET)
replies: text: Pourquoi est-ce que cet article s'appelle "théorème de d'Alembert-Gauss", le nom principal devrait (selon moi) être "Théorème fondamental de l'algèbre" (pour l'instant, ce n'est qu'une redirection) qui est le nom employé sur la plupart des wikis et de manière générale dans la littérature ?! Par ailleurs ça me semblerait beaucoup plus clair par rapport au contenu de l'article. Ce qui est marrant c'est que sur le web on trouve ceci (bibmath.net : par exemple) Il n'y a qu'en France que le nom de de d'Alembert est associé à ce théorème. Le célèbre encyclopédiste ne l'a en effet ni énoncé le premier, ni démontré le premier.[...]. Finalement il y a les articles théorème fondamental de l'analyse, théorème fondamental de l'arithmétique, théorème fondamental de la géométrie affine etc. pourquoi (s'embêter à) faire autrement ? Thibaut Liénart (d) 10 juillet 2009 à 21:08 (CEST)
replies: text:  Qu'importe le nom si le contenu est exact et si le nom n'est pas une fantaisie de l'auteur mais bien une réalité "sourçable" (par exemple Analyse mathématique, par Roger Godement). Quant à la paternité du nom, le mieux est de citer Dominique Flament (Chercheur en mathématiques et histoire des mathématiques au CNRS) dans son Histoire des nombres complexes : . Il est donc naturel d'utiliser dans une encyclopédie francophone un terme largement utilisé en France ainsi que dans les livres de mathématiques. Cependant  je ne suis pas prête à déclencher une nouvelle guerre du chicon et de l'endive  et si d'autres contributeurs préfèrent changer de nom pourquoi pas. En attendant d'autres avis,  conservons ce nom qui a satisfait nombres de contributeurs et de lecteurs. -HB (d) 10 juillet 2009 à 22:02 (CEST)

text: D'ailleurs, je signale qu'à mon avis les autres « théorèmes fondamentaux  » ne sont nommés ainsi que par anglicisme ; ce n'est pas un usage classique en France. Même si on peut penser que ça le deviendra voire le souhaiter - c'est en effet assez pratique. Salle (d) 10 juillet 2009 à 23:52 (CEST)
replies: text:  Bonjour, j'ai en effet vu que c'est d'Alembert qui avait publié le premier une démonstration du théorème, je ne pense pas que l'article soit mal nommé mais juste "pas nommé de la manière la plus claire qui soit" (dans le sens ou ça ne reflète pas vraiment le contenu de l'article). Cependant, pour reprendre HB, c'est clair que c'est un détail et que le contenu (assez bon par ailleurs) importe plus... Thibaut Liénart (d) 11 juillet 2009 à 14:36 (CEST)
thread_title:  Théorème de D'Alembert-Gauss 

message: Juste un petit détail pour que le lecteur désireux de comprendre la démonstration puisse se dire qu'elle est entièrement rigoureuse. C'est quasiment trivial mais comme ça joue sur l'argument final :
 
Il faut dire que par continuité de la fonction z -> norme(P(z)), zo ne peut pas se trouver sur la bordure de la boule B(0,R). Et que donc pour r suffisament proche de 0, zo+z est dans B(0,R). Sinon il n'y a pas la contradiction à la fin de la démo.
4/12/2007 par anonyme.
: il me semble que ce n'est pas nécessaire : m est défini comme la borne inférieure globale (sur C). On ne se place sur un compact que pour montrer que cette borne est atteinte, pas pour effectuer le "mouvement d'approche". Si m avait été introduit autrement, il aurait effectivement fallu être plus prudent. Peps 4 décembre 2007 à 18:53 (CET)
thread_title: Précision nécessaire ?

message: Il m'a semblé que l'article méritait un enrichissement, tant du point de vue de l'histoire que celui des différents usages. L'essentiel des éléments provienne du Peiffer, recoupé avec d'autres sources.
J'ai relu les remarques sur Galois, une personne connaissant le groupe de Galois ou les p groupes et les théorèmes de Sylow devrait aussi connaître les extensions quadratiques, voilà pourquoi je n'ai pas totalement suivi l'idée de Noky (à qui l'on doit l'essentiel de cette jolie démonstration de Frobenius.Jean-Luc W (d) 30 décembre 2008 à 01:46 (CET)
thread_title:  Enrichissements 

message: Dans la démonstration, on utilise un complexe c tel que c^k=-b_0\overline{b_k} mais bon c'est pas évident que ca existe! À moins que je ne passe à côté de quelque chose... Valvino (discuter) 28 mars 2009 à 17:20 (CET)
replies: text: Tu as raison, ce n'est pas évident. Je vais faire quelque chose. Jean-Luc W (d) 28 mars 2009 à 18:12 (CET)
thread_title:  Démontration directe 

message: J'ai ajouté une référence à la démonstration utilisant le théorème de Rouché (en analyse complexe), en espérant que vous la trouverez à propos. ThibautLienart (d) 16 juin 2009 à 17:10 (CEST)
thread_title:  Démonstration par le théorème de Rouché 

message: Quelques pistes, plus ou moins précises, sur des trucs qu'on pourrait mettre dans l'article :
* autant je n'aimais pas la diagonalisation des endos symétriques (se fait à la main), autant la forme normale des endos orthogonaux me semble (si je ne me plante) franchement reposer sur d'Alembert-Gauss. Sans celui-ci, on doit arriver sans trop de mal à montrer que orthogonal => normal => semi-simple (peut-être a-t-on besoin du corps de décomposition du polynôme caractéristique, mais pas de savoir qui est ce corps). Mais le truc crucial que donne d'Alembert-Gauss et que je ne vois pas bien comment obtenir autrement, c'est le fait qu'une fois semi-simple, l'endomorphisme se laisse décomposer en somme de rotations planes et de trucs triviaux sur des droites. On doit pouvoir en tirer quelque chose ;
* l'article mériterait de contenir un lien vers théorème de Gelfand-Mazur : après tout d'Alembert-Gauss n'est que le cas particulier de ce théorème quand on suppose en plus l'algèbre A commutative et de dimension finie. Le lien aurait sa place après la preuve via Liouville.
Faudrait peut-être fouiller au niveau de la géométrie algébrique réelle, ou de R vu comme complétion de Q pour une valeur absolue remarquable et applications en théorie des nombres (allô Salle ?) mais je manque d'idées sur ces deux pistes - j'y connais franchement rien faut bien dire. Ou trouver des contextes en géométrie algébrique complexe où on se sert _à la fois_ du fait que le corps est algébriquement clos et qu'on peut y faire de l'analyse complexe (donc du fait que C est algébriquement clos) - mais lesquels ? Touriste (d) 16 avril 2009 à 15:36 (CEST)
thread_title: Deux suggestions plus positives (et quelques pistes beaucoup plus vagues)

message: Dans l'introduction il y a écrit que tout polynôme est scindé dans le corps des complexes. Bien que l'auteur fasse référence au polynôme à coefficients réels, rationnels ou entiers juste avant, je pense qu'il serait bien de préciser quand même que cette propriété est vrai pour les polynômes à coefficients réels mais pas pour les polynômes à coefficients complexes donc qu'il faudrais préciser polynomes réels sinon la propriété est fausse.
:Non, elle est vraie. Anne (d) 8 mai 2012 à 18:59 (CEST)
thread_title: Message transféré de [[Discussion:Théorème de d'Alembert-Gauss/À faire]]

message: Je n'ai pas Remmert sous la main, mais il semble que dans l'article cité il dit aussi : M. Kneser in 1981 further simplified his father's process in a paper entitled « Erganzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz… » Anne (d) 1 mai 2012 à 23:27 (CEST)
replies: text: Quelle famille! En fait il s'agit de deux avancées; Adolf en 1888 (Remmert p 100)  propose une théorie permettant de créer un corps de rupture pour toute équation algébrique. Je lis mal l'allemand et n'ai pas accès au document mis en source (lien brisé actuellement) mais il est aussi résumé ici. Son fils et petit fils proposent une version constructive de ce théorème. Remmert p 108 écrit que Weierstrass trouve que sous certaines condition, on peut trouver une suite convergeant vers la racine (1859) , se pose la question en 1891 : "peut-on toujours trouver une construction effective ?" et la réponse lui est donné par H Kesner en 1940 et simplifié par son fils en 1981. Faut-il l'ajouter dans la section "Démonstrations itératives et effectivité" ? Si oui, il faudrait alors rajouter Hirsch et Smale. Je ne le ferai pas moi-même car je maitrise mal le sujet et ne pourrais que paraphraser Remmert. HB (d) 2 mai 2012 à 08:27 (CEST)
thread_title:  [[Kneser]] : pas que Adolf 

message: J'ai corrigé la phrase
: ... elle permet aussi de démontrer qu'il n'existe aucun corps commutatif contenu dans \Complex, contenant strictement \R et autre que \Complex.
en rajoutant les mots en gras.
Sans ces mots, elle était évidemment fausse. Il y a des tas de corps qui contiennent strictement \R et qui ne sont pas isomorphes à \Complex. Ils sont transcendants sur \R. Un exemple facile est de prendre une extension transcendante pure de \R dont le degré de transcendance est infini et de cardinal strictement supérieur à celui de \R (qui est aussi celui de \Complex). Pour des raison évidentes de cardinaux, le corps ainsi construit contient strictement \R et ne peut être égal à \Complex, il a un cardinal trop gros.
Il y avait plusieurs manières de corriger la phrase. On peut soit parler de "corps commutatif contenu dans \Complex", soit de "corps commutatif algébrique sur \R", soit de  "corps commutatif de dimension finie sur \R". La première solution est probablement la meilleure, car elle évite de parler d'isomorphisme.
:« elle permet aussi de démontrer qu'il n'existe aucun corps commutatif contenu dans ℂ, contenant strictement ℝ et autre que ℂ » était trivial (tout s.e.v. d'un plan contenant strictement une droite est égal au plan), j'ai rectifié (on pourrait rajouter "à isomorphisme près" mais je pense que les liens suffisent à préciser ça).
:Ça venait de cette version, voir aussi ci-dessus #Démonstration par Galois, et l'historique de l'article à l'époque de ce dialogue. Mais la phrase « La démonstration devient proche de celle de Frobenius, présentée dans cet article dans un langage plus moderne et plus puissant » faisait référence à un passage effacé depuis, qui parlait du théorème de Frobenius et le démontrait partiellement en faisant fonctionner Galois. Les démos qui se sont succédé dans l'article sont à présent attribuées (Artin) et accessibles en ligne (en anglais, mais plus lisibles) via les notes (Cox, et Lang qui est plus simple), et j'ai mis un lien vers le théo de Frobenius (en note seulement car quaternions hors-sujet, mentionnés juste pour préciser l'énoncé).
:Anne (d) 16 mai 2012 à 13:43 (CEST)
thread_title:  § La théorie de Galois 

message: Je ne comprends pas l'étape 0 (« Un corps ordonné vérifiant (b2) est nécessairement infini », où (b2) est « tout polynôme de degré impair dans K[X] admet une racine dans K »). Puisque tout corps est partiellement ordonné par l'égalité, je suppose qu'implicitement, corps ordonné signifie ici totalement ordonné, mais alors il est de caractéristique nulle donc infini, même sans (b2). Je n'ai pas accès à la réf de la note 15 (Bourbaki, Algèbre, ch. 6 (Groupes et corps ordonnés), § 2, démonstration de la prop. 8). Anne (discuter) 23 juin 2014 à 11:55
: Très juste. La notion de corps ordonné utilisée ici n'est pas celle de Bourbaki, mais celle de Lang (Algebra, §XI.1) qui est plus générale.--Otto Cyber (discuter) 23 juin 2014 à 14:26 (CEST)
replies: text: Oui, tu as raison. On peut donc simplifier la présentation.--Otto Cyber (discuter) 23 juin 2014 à 18:23 (CEST)
thread_title:  Preuve via les corps réel clos 

message: Je rejoins l'avis de Touriste sur ce troisième exemple, qu'il était gentil de trouver seulement « un peu » artificiel. Anne, 24/6/14 à 10h12
Je le supprimerai sous peu sauf avis contraire. Anne (discuter) 25 juin 2014 à 22:06 (CEST)
thread_title:  [[Théorème fondamental de l'algèbre#Arithmétique|§ Arithmétique]] 

message: Bonjour, 
une mini remarque en passant : pour le paragraphe de la démonstration utilisant l'homotopie ce serait chouette de mettre un autre lettre que \rho, qui se confond un peu avec le p du polynôme. Je n'ai pas lu l'article en entier, donc je n'ai pas changé, de peur de prendre une notation amenant encore plus de confusion. --Roll-Morton (discuter) 11 juillet 2014 à 12:43 (CEST)
replies: text: Ok, merci Anne.--Roll-Morton (discuter) 11 juillet 2014 à 15:42 (CEST)
thread_title:  Remarque de notation pour homotopie 

message: Je déplace cette citation de l'article Théorie_des_équations_(mathématiques) (ajoutée par Anne), ce n'est pas un livre d'histoire des math., pour Euler et Lagrange c'est traité ici, mais ça mérite peut-être de chercher ce qui est attribué à Faunsenet :
 .
Proz (discuter) 1 juin 2015 à 02:17 (CEST)
replies: text: C'est une traduction du russe : à peu près aucun doute qu'il s'agit d'une retraduction erronée de la transcription en russe de Foncenex (Réflexions sur les quantités imaginaires, FD de Foncenex 1759), voir par exemple cet article de Christopher Baltus 2004, D'Alembert's proof of the fundamental theorem of algebra, qui pourrait d'ailleurs être utile à l'article. Proz (discuter) 1 juin 2015 à 18:17 (CEST)
thread_title:  
Faunsenet
 

message: Je copie le message que j'ai posté sur Projet:Mathématiques/Le Thé
J'avais toujours eu le regret de ne pas connaître de démonstration du théorème fondamental de l'algèbre malgré mes deux années de prépa intégrée. En allant sur l'article en question, j'ai été plus que comblé (encore, qu'il faille que j'y retourne afin d'en assimiler la totalité). Je remercie et félicite chaleureusement donc l'ensemble des contributeurs sur cet article pour avoir fait un article de cette facture. Je profite de cet acte pour féliciter aussi les contributeurs s'occupant des mathématiques sur wikipedia, les articles ayant fait l'objet de leur soin étant très bons en règle générale. Je notifie les contributeurs principaux en volumes de l'article (plus de 1000 octets et enregistrés)
Jean-Luc W, Nefbor Udofix, Anne Bauval, Otto Cyber, L0stman, Bacprojet, Dfeldmann ce qui ne veut pas dire que les autres sont oubliés, mais ils sont simplement trop nombreux pour que le système de notification fonctionne correctement. Xavier Combelle (discuter) 24 décembre 2016 à 01:21 (CET)
thread_title:  Remerciements et felicitations 

message: Dans la partie Il existe un point z0 en lequel le minimum du module de P(z) est atteint, il me semble que les grandes parenthèses qui entourent la définition de K_z devraient être une valeur absolue. En effet, si j'ai bien suivi on utilise la forule |a+b|\geq \big|  |a|-|b| \big| 
:Pas besoin de valeur absolue : on utilise seulement que |(a+b)-b|\le|a+b|+|-b|. Anne, 7 h 43
:: ok, merci. Je vois que ce passage a été modifié depuis lors. C'est mieux tel qu'à présent, en invoquant l'équivalence.
:: Laurent.Claessens (discuter) 28 septembre 2018 à 22:31 (CEST)
thread_title:  Valeur absolue manquante (?) dans la preuve directe