Discussion:Calcul du déterminant d'une matrice

message: salut ,question:  est ce qu'il y a un théorème qui dit que la det d'une matrice égal à le det de sa matrcie triangulaire supérieure calculée par le pivot de Gauss?
: pas sous cette forme parce que c'est faux : l'algorithme du pivot laisse le rang inchangé mais pas le déterminant. Plus précisément, l'algorithme utilise des opérations élémentaires sur les lignes. Ces opérations élémentaires peuvent modifier le déterminant, mais de façon connue. Par exemple si on échange deux lignes, le déterminant est multiplié par (-1). Si on multiplie une ligne par k, le déterminant est multiplié par k. Si on fait la liste des opérations effectuées, on sait dire par quoi le déterminant a été multiplié au bout du compte. Peps 24 novembre 2006 à 10:31 (CET)

message: Bonjour,
Une erreur les matrices non carrées ont un déterminant source :
[1] Press, W.H., Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T., and B.P. Flannery, Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, 1992.
The determinant is defined only for square matrices. However, the determinant of an LU-decomposed matrix of any size as defined in [1] is the product of the diagonal elements of the upper triangular matrix "U".
Même si la fonction Det n'est pas défini pour les matrices non carrées il existe un déterminant pour ces matrices
Merci
: Bon alors étudions les différentes sources : après recherche l’affirmation vient de mathworks qui cite un ouvrage de Press, Teukolsky, Vetterling et Flannery Numerical Recipes in C (attention c'est un pavé de 1000 pages en pdf). C'est une bible cet ouvrage pour la programmation en analyse numérique ! Bon voyons ce que disent les auteurs p 49... Après avoir décomposé une matrice carrée en produit d'une matrice L triangulaire inférieure dont la diagonale ne comporte que des 1 avec une matrice triangulaire supérieure U, ils annoncent, non comme une définition mais comme une propriété, que le déterminant de LU est le produit des éléments de la diagonales de U. Ce résultat est tout-à-fait juste mais ne sert pas de définition au déterminant.
: D'autre part, imaginons que cela puisse servir de définition à un déterminant, il est impossible de décomposer une matrice non carré en produit de deux matrices triangulaires LU.  On peut prendre U triangulaire mais L ne le sera pas. Je ne suis pas un pro de l'analyse numérique et ne peut pas garantir qu'on ne peut pas décomposer une matrice carré sous la forme LU avec U triangulaire et L pseudo-triangulaire. Pour pouvoir attribuer à la matrice A un nombre fixe comme pseudo-déterminant, il faudrait être sur que toute les décomposition LU donnerait le même déterminant pour U ce qui ne me semble pas assuré.
: Enfin on ne définit des objets que pour pouvoir les utiliser. Dans quel cas utiliserait-on un tel objet ? Pour quoi faire? Donc la réponse me semble à priori non : pas de déterminant pour des matrices non carrées, n'en déplaise à mathworks. HB (d) 4 novembre 2011 à 20:11 (CET)
thread_title:  Erreur il existe un determinant pour les matrices carrées 

message: Cette refonte (novembre 2011) fait suite à une discussion sur l'article déterminant (mathématiques), où il était reproché que le calcul du déterminant soit noyé dans une masse d'informations générales ou historiques. Normalement le fait qu'il y ait un article dédié aurait du suffire à résoudre le problème mais en lisant cet article, j'ai trouvé qu'il y manquait la formule générale, une description de la méthode de Gauss et que la page ressemblait plus à une page d'orientation (pour ceci allez voir là) plutôt qu'à une page qui pourrait (presque) se suffire à elle-même. J'ai donc tenté de la compléter
Il me semble par ailleurs, que l'on peut faire figurer ici les formules de déterminants célèbres, quitte à renvoyer sur les articles dédiées pour les explications. (ce que je compte faire ces prochains jours)
Enfin, j'ai créé une pauvre rubrique sur la complexité car il me semble que cette préoccupation est importante dans le calcul du déterminant. Il y a surement  plus de chose à dire et mieux que je ne l'ai dit : j'ai une vision très naïve de la complexité. Ceci est donc une invitation à compléter et corriger la section.HB (d) 3 novembre 2011 à 19:41 (CET)
thread_title:  Refonte