Discussion:Démonstration des lois de Kepler

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Cet article démontre les lois de Kepler à partir de la loi de gravitation universelle. Historiquement et méthodologiement, c'est l'inverse qui s'est produit : Newton a inféré la loi de gravitation universelle des lois de Kepler. Il serait intéressant d'avoir aussi cette démonstration. [[Utilisateur:Gérard|Gérard]] 1 septembre 2006 à 09:45 (CEST)

message: D'accord avec [[Utilisateur:Gérard|Gérard]]. Le principe même de cette page est erroné. Historiquement, Kepler découvre la gravitation universelle, émet l'hypothèse qu'une force émane du soleil. Newton postule que cette force découle d'une attirance à distance des masses, ce qui donne un résultat compatible avec la loi de Kepler. La loi de Kepler correspond à des faits constatés. La loi de Newton comportent des hypothèses supplémentaires. Dire "Démontrer" les lois de Kepler par les lois de Newton est un sophisme. Il faut dire : compatibilité de l'hypothèse de Newton avec les lois de Kepler.
Pour expliquer le raisonnement de Newton,
on part de la 3ème loi de Kepler :
<math>\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.a^3=k</math>
Avec '''a''', demi grand-axe, '''T''' période (année de l'astre), '''k''' constante de gravitation. 
Cela se lit ainsi : pour chaque astre du système solaire, la fréquence <math>\frac{2\pi}{T}</math> de passage à un point de l'orbite au carré fois la distance moyenne à l'astre central (le soleil dans le cas des planètes), le demi grand-axe, à la puissance 3, est identique et égale à '''k'''.
Dans le cas d'une orbite circulaire, la 3ème loi de Kepler s'écrit :
Avec '''r''', rayon de l'orbite circulaire, <math>\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.r^3=k</math>
La loi fondamentale de la dynamique de Galilée : <math> \sum\vec{F}=\vec{F_g}=m.\vec{\Gamma}</math> (seule la force de gravitation est prise en compte)
L'accélération centrifuge : <math> \Gamma_c=\frac{V^2}{r}</math>
la circonférence de l'orbite est <math>C = 2\pi r</math>
la vitesse tangentielle est <math>V=\frac{C}{T}=\frac{2\pi.r}{T}</math>
l'accélération centrifuge est donc : <math>\Gamma_c=\frac{\left(\frac{2\pi.r}{T}\right)^2}{r}=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.r</math>
Puisque, en cas d'un orbite circulaire, la seule accélération est centripète, donc de même intensité que l'accélération centrifuge, en travaillant en module, selon la loi de la dynamique de Galilée, on a :
<math> F_g = m \Gamma_c = m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.r </math>, avec <math>F_g</math>, force de gravitation (en module).
En divisant les deux termes de l'équation de la loi de Kepler par <math>r^2</math>, on a <math> \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.r=\frac{k}{r^2}</math>, d'où, puisque <math>\Gamma_c = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.r</math> et que <math>F_g=m.\Gamma_c</math> on obtient <math>F_g=k.\frac{m}{r^2}</math>
Newton pose <math>k=G.M_s</math>, avec G, constante de gravitation universelle et <math>M_s</math>, masse du soleil, ce qui donne :
<math>F_g=G.\frac{M_s.m}{r^2}</math>, loi de Newton.
A noter que la loi de Kepler montre une gravitation indépendante de la masse des astres, dans tous les cas. En revanche, la loi de Newton fait entrer la masse des astres en ligne de compte, par hypothèse d'une force agissant à distance, proportionnelle à celles-ci. En partant donc de la loi de Newton pour étudier un système de gravitation, on tombera sur une gravitation dépendante de la masse des astres, difficile à estimer, ce qui n'est pas le cas si on part de la loi de Kepler.
De plus, les conditions initiales de vitesses doivent suivre impérativement les lois de Kepler.
Le titre de la page devrait donc être plutôt, vérification de la compatibilité de l'hypothèse de Newton avec les lois de Kepler dans le cas d'orbites circulaires.

message: Ne serait-il pas plus judicieux d’appeler la page « Démonstration des lois de Kepler » ? Mutichou Discuter 4 juin 2008 à 23:55 (CEST)
replies: text: Je me suis fait la même remarque. Je change, le titre actuel (Lois de Kepler, démonstration) ne suit pas les conventions sur les titres. Arnaudus (d) 4 mars 2009 à 15:25 (CET)
thread_title:  Nom de l’article 

message: Salut,
Je signale un problème sur la troisième loi de Kepler. Pratiquement tous les endroits où je suis allé indiquent la formule : \left(\frac{T^2}{a^3}\right)=k, dans les articles je trouve l'inverse, est-ce qu'il y a une erreur ?
Juraastro (Causer à un jurassien dans les étoiles) 8 janvier 2010 à 08:35 (CET)
replies: text: Si \left(\frac{T^2}{a^3}\right)=k, c'est que \left(\frac{a^3}{T^2}\right)=1/k ; les deux présentations se valent donc... --Dfeldmann (d) 8 janvier 2010 à 09:04 (CET)
thread_title:  Troisième loi 

message: Même si cela ne change pas la démonstration, il y a semble t il une erreur dans l'intégration après la formule:
dV/dθ= -(GMm/L)r^ avec V= vecteur V
l'intégrale est V=(GMm/L) (θ^-θo^) +Vo
car le vecteur θo^ à l'origine n'est pas égal au vecteur nul; θ^= (-sinθ, cosθ,0) et donc θo^=(0,1,0)
ensuite, il faut mettre la bonne valeur du vecteur V quand on fait le produit vectoriel et enfin avec le produit scalaire, on retombe sur ses pieds 
Ceci peut se vérifier en partant de l'équation r=p/(1+e cosθ).
Je ne suis pas doué pour corriger le texte mais si quelqu'un peut le faire ce serait super!
X7717110 (discuter) 7 janvier 2023 à 18:18 (CET)
thread_title:  Première loi de KEPLER (seconde partie) 

message: je suis allé peut-être trop vite car l'arrivée du vecteur θ^o amène l'arrivée du vecteur r^o quand on fait le produit vectoriel
la question est alors relative au vecteur excentricité; ne faut-il pas alors créer un nouveau vecteur excentricité e'=e-r^o?
Merci pour une aide potentielle ... 2A01:CB18:7B8:4000:4D01:6AE2:3227:1B2B (discuter) 8 janvier 2023 à 12:23 (CET)
thread_title:  Première loi de KEPLER (seconde partie)