Discussion:Loi d'inertie de Sylvester

message: "Comme q est définie positive sur F^+, ces deux sous-espaces sont en somme directe".
J'ai quelques doutes... ou alors il faudrait le justifier.
Jean-Luc
pour un x non nul, on ne peut avoir  à la fois q(x)>0 et q(x) <0 Jaclaf (d) 6 janvier 2010 à 14:29 (CET)
thread_title:  Argument pour montrer que G et F+ sont en somme directe 

message: je reproduis ici un passage de l'article. 
=== Relation avec les valeurs propres ===
On peut déterminer directement  la signature de la forme Q à l'aide des valeurs propres de la matrice  de cette forme, M. En effet, M est diagonalisable (d'après le théorème spectral), et ce dans une base orthogonale (pour le produit scalaire associé à Q) ; appliquant le résultat précédent, on en déduit que le rang de M, et donc de Q,  est  le nombre de ses valeurs propres non nulles (comptées avec leur multiplicité), et que s est le nombre des valeurs propres de M strictement négatives
C'est quoi le produit scalaire associé à Q ? Q n'est pas forcément définie positive !
Il n'y a pas de produit scalaire naturel (c'est à dire défini à l'aide de la seule structure vectorielle) sur un espace
vectoriel réel. Il y a une infinité de produits scalaires (tous isométriques, certes) mais différents.
une formulation plus correcte serait :
Deux formes quadratiques réelles  Q_0  et  Q_1  dont l'une est définie positive admettent une base orthogonale commune.
Preuve. Soit  (e_i)_{1\le i_le n} une base orthonormée pour  Q_0 , supposée définie positive.
La matrice de  Q_1  dans cette base définit un opérateur autoadjoint (pour la structure Euclidienne
définie par  Q_0 ), auquel on applique le théorème spectral.
L'indice de  Q_1  est égal au nombre de valeurs propres négatives  de cet opérateur.
Mais l'opérateur lui-même (et ses valeurs propres) dépendent du choix de  Q_0  . 
Jaclaf (d) 9 janvier 2013 à 15:53 (CET)
replies: text: J'ai corrigé au plus près du texte (mais (V, Q) plus haut n'est pas expliqué, donc je ne suis pas sûre que cela suffise ainsi). Mais je pense que l'article est un peu trop formel actuellement, et quand il sera stabilisé, je propose qu'on réfléchisse à la matière de mettre quelques phrases explicatives intercalaires. Cordialement, --Cgolds (d) 9 janvier 2013 à 21:21 (CET)
thread_title:  Lien avec les valeurs propres : attention 

message: On peut déterminer directement  la signature de la forme Q à l'aide des valeurs propres de la matrice  de cette forme, M. En effet, M est diagonalisable (d'après le théorème spectral), et ce dans une base orthogonale (pour le produit scalaire associé à Q) ; appliquant le résultat précédent, on en déduit que le rang de M, et donc de Q,  est  le nombre de ses valeurs propres non nulles (comptées avec leur multiplicité), et que s est le nombre des valeurs propres de M strictement négatives
C'est quoi le produit scalaire associé à Q ? Q n'est pas forcément définie positive !
Il n'y a pas de produit scalaire naturel (c'est à dire défini à l'aide de la seule structure vectorielle) sur un espace
vectoriel réel. Il y a une infinité de produits scalaires (tous isométriques, certes) mais différents.
une formulation plus correcte serait :
Deux formes quadratiques réelles  Q_0  et  Q_1  dont l'une est définie positive admettent une base orthogonale commune.
Preuve. Soit  (e_i)_{1\le i_le n} une base orthonormée pour  Q_0 , supposée définie positive.
La matrice de  Q_1  dans cette base définit un opérateur autoadjoint (pour la structure Euclidienne
définie par  Q_0 ), auquel on applique le théorème spectral.
L'indice de  Q_1  est égal au nombre de valeurs propres négatives  de cet opérateur.
Mais l'opérateur lui-même (et ses valeurs propres) dépendent du choix de  Q_0  . 
Jaclaf (d) 9 janvier 2013 à 15:53 (CET)
replies: text: J'ai corrigé au plus près du texte (mais (V, Q) plus haut n'est pas expliqué, donc je ne suis pas sûre que cela suffise ainsi). Mais je pense que l'article est un peu trop formel actuellement, et quand il sera stabilisé, je propose qu'on réfléchisse à la matière de mettre quelques phrases explicatives intercalaires. Cordialement, --Cgolds (d) 9 janvier 2013 à 21:21 (CET)
thread_title:  Relation avec les valeurs propres