Discussion:Théorie des ensembles de von Neumann-Bernays-Gödel

message: Article créé à partir d'une partie de l'article classe (mathématiques). L'article anglais correspondant à celui-ci, plus complet et mieux présenté, est indiqué en lien interwiki. Proz 12 avril 2007 à 02:12 (CEST)
thread_title:  Création 

message: J'ai quelques doutes sur la définition de l'égalité par les classes, ça veut dire que l'on n'a pas les propriétés de l'égalité pour les formules de la théorie des classes en général. Il faut aussi faire attention à l'ordre d'utilisation des axiomes (et certains utilisent les couples donc l'extensionnalité). Par ailleurs pas d'égalité entre classes. Ca me semble plus simple d'avoir une égalité primitive (si on pense à la preuve de conservativité).
Par ailleurs, détail, l'usage usuel (dans ce contexte) des petites lettres pour les ensembles, et grandes pour les classes est tout de même plus lisible ... Proz 13 avril 2007 à 21:10 (CEST)
thread_title:  Choix de présentation des axiomes 

message: Comment définit-on une catégorie à l'intérieur de NBG? Je m'explique : dans la théorie classique ZF une structure telle qu'un groupe peut être définie par un couple (G,+), une structure d'ordre par (E,≤), etc... ; mais une catégorie a des objets et des flèches ; Si O = Ob(C) et F = Fl(C) sont des classes propres au sens de NBG on ne peut pas écrire C=(O,F)={{O},{O,F}}. Cela voudrait-il dire que la catégorie C est une classe propre au sens de NBG, compartimentée en deux sous-classes (propres) O et F ?
D'autre part j'ai lu dans la littérature Web que NBG n'était pas suffisante pour les catégories et qu'il fallait Morse-Kelley ou une certaine chose appelée axiome de Grothendieck (plutôt indigeste d'après ce que j'en connais). Quelle est votre idée là-dessus ? - Michel421 11 novembre 2007 à 13:50 (CET)
replies: text: Je n'y connais pas grand chose en catégories, dans NBG on peut parler plus formellement de classes propres, et donc effectivement définir des structures à partir de classes propres (une classe et une classe de couples par ex.). Mais il n'est pas question de dire que NBG permet de développer tout ce dont on a besoin en théorie des catégories (je ne crois pas que l'article le laisse entendre, mais sinon il faut le corriger). NBG est "de la même force" que ZFC, (plus expressif surtout si on est formaliste, mais une autre façon de formuler les mêmes choses sur le fond), Morse-Kelley est plus forte voir en:Morse-Kelley set theory, l'axiome de Grothendieck, si je comprends bien en:Grothendieck universe, ça doit être l'existence d'un cardinal fortement inaccessible au dessus de tout cardinal, ça s'exprime "à la" ZFC, c'est beaucoup plus fort bien sûr. Proz 11 novembre 2007 à 17:05 (CET)
thread_title: NBG en théorie des catégories

message: Je ne comprends pas la première phrase ː "La théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel, abrégée en NBG ou théorie des classes, est une théorie axiomatique essentiellement équivalente1 à la théorie ZFC de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix (et avec les mêmes variantes possibles), mais dont le pouvoir expressif est plus riche."
* Est-ce que c'est "essentiellement équivalent" ?
* ou est-ce que c'est plus riche ?
* Plus loin dans l'article "La théorie NBG ne peut être logiquement équivalente à la théorie ZFC, puisque son langage est « plus riche »" ?
* Plus loin encore "On dit alors que NBG est une extension conservative de ZFC"
Il vaut un début d'article qui dit la vérité (non, ce n'est pas "essentiellement équivalent", ça ne veut rien dire), même si on utilise des termes techniques. Au moins, les novices peuvent être surpris par le vocabulaire mais au moins c'est juste. Je suis ok pour parler d'extension conservatrice dès le début. Qu'en pensez-vous ?
--Fschwarzentruber (discuter) 25 septembre 2016 à 11:10 (CEST)
replies: text: Personnellement extension conservatrice me parle pas plus que "essentiellement équivalent", qui a l'avantage d'être ambigu ce qui n’est pas nécessairement un problème dans une introduction vu que le sujet a pour but d'être précisé dans la suite. Je comprend qu'il y a une forme d'équivalence qui n’est pas forcément une équivalence stricte. Quoi qu'il en soit, la notion d'extension conservatrice doit être définie, et je sais pas trop si ça a sa place dans une introduction. — TomT0m [bla] 25 septembre 2016 à 11:19 (CEST)
replies: text:  Je vous comprends. Mais de la même manière, je ne sais pas non plus ce que veut dire "essentiellement équivalente". Je propose de dire "qui étend" ː La théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel, abrégée en NBG ou théorie des classes, est une théorie axiomatique qui étend la théorie ZFC de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix (et avec les mêmes variantes possibles) en permettant de parler directement de classes, notion déjà utile en théorie des ensembles et qui y apparaissait déjà informellement dans les écrits de Georg Cantor dès avant 1900. Ainsi, elle peut s’énoncer en un nombre fini d’axiomes, et donc sans schéma, au contraire de ZFC (voir schéma d'axiomes de compréhension et schéma d'axiomes de remplacement). Qu'en pensez-vous ? --Fschwarzentruber (discuter) 25 septembre 2016 à 14:04 (CEST)
replies: text:   Je ne suis pas spécialement fan de avec cette formulation parce que l'axiomatique n'est pas la même. J’aurai tendance à dire qu'une "extension", sans plus de précision, c'est qu'on a rajouté des axiomes, alors que c'est pas du tout le cas. C'est une formulation différente me semble-t-il, et en plus le langage de la théorie est modifié. La notion d'équivalence est quelque chose de différent et probablement mieux connue: deux modèles peuvent être totalement différents dans la formulation mais équivalents en un sens, genre "tout ce qui est démontrable avec A est aussi démontrable avec B". Mais le fait qu'il n'y ait pas de schéma d'axiome en fait une théorie fondamentalement différente - nombre infini d'axiomes versus un nombre fini, c'est théoriquement pas rien. Par ailleurs il est clairement défini la notion d'extension conservatrice dans la suite : Cependant NBG et ZFC démontrent exactement les mêmes énoncés restreints au langage de la théorie des ensembles. On dit alors que NBG est une extension conservative de ZFC. Finalement remplacer un terme volontairement vague en disant qu'on va préciser dans la suite par un terme qu'on ne définit que dans la suite au risque d'induire en erreur ne me parait pas une bonne idée. — TomT0m [bla] 25 septembre 2016 à 21:49 (CEST)
replies: text:  Je veux argumenter pourquoi la formulation "NBG étend ZFC" me paraît plus juste que "NBG est essentiellement équivalente à ZFC".
1) Par étendre, on entend pas "ajouter des axiomes" mais vraiment ajouter de nouvelles constructions au langage, comme ici parler des classes. Avec "essentiellement équivalente", on a l'impression que les deux théories parlent de la même chose. Alors que non, dans NBG on peut parler de classes ǃ (voir https://www.irif.fr/~roziere/2ord/2ndordre.pdf pour l'utilisation du verbe "étendre" où Paul Rozière écrit "la logique du second ordre étend la logique du premier ordre", où là aussi on ajoute les quantifications du second ordre à la logique du premier ordre).
2) Extension est l'action d'étendre (https://fr.wiktionary.org/wiki/extension) donc le mot est plus juste que "essentiellement équivalente".
3) L'article wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory commence directement par dire que c'est une extension conservatrice. De la même façon, la phrase Cependant NBG et ZFC démontrent exactement les mêmes énoncés restreints au langage de la théorie des ensembles. On dit alors que NBG est une extension conservative de ZFC est très claire.
4) On peut bien sûr garder une note en bas de page que l'on met sur à la fin de "étend" pour expliquer que c'est défini après. Même si je préfère utiliser le bon mot dès le début.
Bonne soirée à vous.  --Fschwarzentruber (discuter) 25 septembre 2016 à 23:30 (CEST)

text:  "Qui étend" n'apporte pas vraiment d'information. Nous sommes sensé essayer d'écrire des introductions lisibles, "essentiellement équivalente" en intro évite le technique "extension conservatrice". C'est défini ensuite. Cela correspond à l'usage (par exemple tout le monde attribue l'indécidabilité de HC dans ZFC à Gödel qui l'a démontré dans sa version de NBG, personne ne pense que c'est vraiment un théorème différent). Je pense que l'on trouve des choses de ce genre dans certaines notices historique de livres sur les preuves d'indépendance en théorie des ensembles. Je chercherai à l'occasion. Proz (discuter) 16 février 2017 à 19:20 (CET)
thread_title:  Equivalent à ZFC ou pas ? 

message: A propos d'une modif. de janvier : tout le monde fait des erreurs et je ne cherche pas à jeter la pierre. Mais ça a valeur d'exemple : comment une chasse inconsidérée aux supposés "anglicismes" peut conduire aux pires barbarismes, "en termes de" au sens de "dans le vocabulaire de" est parfaitement français et attesté depuis des lustres (même l'académie l'atteste http://www.academie-francaise.fr/en-termes-de), c'est au sens de "en matière de" qu'il est fautif, le remplacement (heureusement rapidement corrigé) conduisait à un "anti-anglicisme" incompréhensible, "en matière de" utilisé au sens de "en termes de" !  Proz (discuter) 16 février 2017 à 19:32 (CET)
thread_title:  En termes de