Discussion:Module sur un anneau

message: Il est écrit 
:"Si M un groupe abélien et si f est une fonction de M dans M, alors on peut définir la loi externe f \cdot x = f(x) qui confère à M une structure de module sur M^M".
L'ensemble M^M est l'ensemble des applications de M dans M (et non l'ensemble des fonctions).  Pourrait-on m'indiquer quelles sont les opérations qui confèrent à M^M une structure d'anneau ? La première loi est simple : (f + g)(x) = f(x) + g(x) mais la seconde .... HB 26 décembre 2005 à 17:58 (CET)
thread_title: Exemple de A-module 

message: Il est écrit 
:"Un bimodule est un ensemble M muni à la fois d'une structure de module à gauche sur un anneau A_1 et d'une structure de module à droite sur un anneau A_2"
Il manque la condition suivante : pour tous a de A_1, x de M, b de A_2, on a (a.x).b = a.(x.b). HB 26 décembre 2005 à 17:58 (CET)
replies: text: Je crois que pour un bimodule, la condition (a.x).b = a.(x.b) n'est pas obligatoire, mais que si c'est le cas, on dit que les lois sont permutables (ou quelque chose comme ça, il faudrait que je vérifie. Philippe% 28 décembre 2005 à 11:37 (CET)

text: "Par exemple, l'ensemble des fonctions E^F d'un anneau E dans un anneau F est simultanément muni d'une structure de module à gauche sur F^F via la loi (f,g) \mapsto f \circ g, et d'une structure de module à droite sur E^E via la loi (f,g) \mapsto g \circ f".
Je suppose qu'il s'agit là aussi de l'ensemble des applications (et non l'ensemble des fonctions). Je veux bien concevoir que F^F muni de l'addition et la multiplication induites de celle de l'anneau F ( somme (f+g)(x) = f(x) + g(x) , produit (f.g)(x) = f(x).g(x) ) soit un anneau mais peut-on m'expliquer pourquoi E^F est un F^F-module ?HB 26 décembre 2005 à 17:58 (CET)
thread_title: bimodule 

message: Je ne connais que des représentations de groupe sur un espace vectoriel: application de G dans le groupe linéaire de V. C'est d'ailleurs vers ce type de représentation que pointe le lien. La personne ayant mis l'information sur la représentation d'un anneau sur un groupe pourrait-elle citer ses sources (autre que la traduction de l'article anglais) et éventuellement compléter en créant un article sur la théorie de la représentation. HB 26 décembre 2005 à 17:58 (CET)
thread_title:  Représentation d'un anneau sur un groupe 

message: Je ne suis pas d'accord avec l'idée de richesse ou de pauvreté de la structure de module par rapport à celle d'espace vectoriel. La structure est plus pauvre (puisque les espaces vectoriels sont des modules, mais pas le contraire), mais la théorie est plus riche! Sylvie Martin
:Tu as tout à fait raison. Je préfère d'ailleurs distinguer pour une structure les notions de richesse, de force et de complexité. La structure d'espace vectoriel est plus forte (il y a plus de conditions donc plus de résultats valables), aussi riche (la structure de module sous-jacente à un espace vectoriel ne contient pas moins d'information) mais moins complexe (ce que tu formules par le fait que la théorie des modules est plus riche). Ambigraphe, le 27 février 2008 à 08:41 (CET)
thread_title:  riche ou pauvre? 

message: Vient d'être supprimée la note que la condition de commutativité de l'addition dans G était inutile car elle se déduit des deux distributivités de la loi externe en développant (1+1)(x+y). Or il me semble que cette information est pertinente 
*(1+1)(x+y) = (1+1)x + (1+1)y= x + x + y + y
*(1+1)(x+y) = (x+y) + (x+y) = x + y + x + y
en égalisant les deux expressions on obtient immédiatement par élimination des termes extrêmes l'égalité x + y = y + x. Me trompé-je ? Je suis donc d'avis, si je ne commets pas d'erreur,  de remettre cette petite note. HB (d) 18 juillet 2012 à 23:54 (CEST)
replies: text: J'ai remis « ma » petite note du 4/2/11, en ajoutant une ref. Il y a une note analogue de Touriste du 3/2/11 dans l'ex « Anneau (mathématiques) » qui est devenu Anneau unitaire, avec ton calcul. Anne (d) 19 juillet 2012 à 01:04 (CEST)
thread_title:  Commutativité du groupe 

message: Cette section, introduite le 24 févier 2008 (voir Spécial:Diff/26674606) me semble incompréhensible et inutile. Je la supprimerais. Marvoir (discuter) 21 novembre 2015 à 12:58 (CET)
thread_title:  Section « Applications des modules » 

message: L'article dit :
:« Ce qui a été défini ici est un A-module à gauche, car, dans la loi externe, les éléments de A sont placés à gauche. On pourra définir de même un A-module à droite.  
:Il est important de remarquer que les structures de module à gauche et à droite ne diffèrent pas uniquement par leur écriture : si les deux premiers axiomes sont les mêmes, le troisième s'écrit x\cdot(ba)=(x\cdot b)\cdot a. Si l'on transcrivait naïvement cette égalité en écrivant les éléments de À gauche, on obtiendrait (ba) \cdot x = a \cdot (b \cdot x), ce qui, si A n'est pas commutatif, ne revient pas au même que l'axiome qui donne la structure de module à gauche.
:Par contre, le petit raisonnement ci-dessus montre que, si l'on « inverse » la loi de A, un module à droite peut être vu comme un module à gauche. Plus précisément, notons A l'anneau opposé à A, c'est-à-dire le groupe abélien A muni de la multiplication définie par ab = ba, si a et b désignent a et b  vus comme éléments de A. Alors, si M est un A-module à gauche, M peut être vu comme un A-module à droite, où l'action de A est définie par a∙m = m∙a. »
Dire « On pourra définir de même un A-module à droite » me semble un peu flou. On a un peu l'impression que la loi externe d'un A-module à droite M est une application de M × A dans M, alors que, pour Bourbaki (Algèbre, ch. II, 1970, p. II.2), c'est une application de A × M dans M, comme la loi externe d'un A-module à gauche. Bourbaki dit explicitement que si, pour a dans A et x dans M, on note a * x l'image de (a, x) par cette loi externe, alors, pour a et b dans A et x dans M,
:a*(b*x) = (b*a)x (pour un module à droite),
ce qui correspond à ce que notre article qualifie de naïf. Bourbaki dit ensuite qu'une loi externe de module à gauche se note d'habitude multiplicativement, en mettant l'opérateur (élément de l'anneau) à gauche et qu'une loi externe de module à droite se note d'habitude multiplicativement, en mettant l'opérateur (élément de l'anneau) à droite, de sorte que, dans un A-module à droite M,
:(xb)a = x(ba) pour a, b dans A et x dans M,
mais ce n'est qu'une question de notations.
Avec la définition de Bourbaki, un A-module à droite est rigoureusement un Aop-module à gauche. On ne doit donc pas employer la formule floue « vu(s) comme », qui apparaît trois fois dans le passage de notre article que j'ai cité. (Et par parenthèse, que signifie « vus comme éléments de A » ? Les anneaux A et A ont les mêmes éléments.)
On peut évidemment trouver que la définition de Bourbaki met une dissymétrie désagréable entre modules à gauche et modules à droite (Bourbaki privilégie les modules à gauche) et fait apparaître les modules à droite comme des mauvais modules, des modules tordus, et il y a peut-être des auteurs qui définissent un A-module à droite M par une application de  M × A dans M alors qu'ils définissent un A-module à gauche M par une application de  A × M dans M (je ne le sais pas, parce que beaucoup d'auteurs laissent du flou autour de ces choses), mais il faut voir que cela a certaines conséquence. Outre qu'il n'est plus rigoureusement vrai qu'un A-module à droite est un Aop-module à gauche, la structure naturelle de A-module à gauche sur A est identique à sa structure naturelle de A-module à droite, car c'est la même loi « externe ». Chez Bourbaki, ces deux A-modules sont distincts, il les note As et Ad (p. II.2-3).
Pour ma part, je préférerais que l'article évite le flou et s'en tienne aux définitions de Bourbaki, mais je n'ose pas intervenir sans consultation préalable, car je ne prétends pas connaître les détails de cette question fastidieuse. Marvoir (discuter) 4 avril 2017 à 11:11 (CEST)
thread_title:  Définition d'un module à droite 

message: *Verdy p, quand j'ai réverté vos modifications pour la première fois, vous aviez mis ceci : « Soit A un anneau (unitaire). Un A-module à gauche (ou encore un module à gauche sur A) est la donnée (M, +, ∙) d'un ensemble M, d'une loi de composition interne + dans M qui fait de M un groupe abélien (muni d'une seconde loi de composition interne notée ici *, dérivée de la première mais non nécessairement commutative) ». Voir le diff de mon revert. Je propose que vous expliquiez quel sens vous donnez aux mots que j'ai mis en gras et quel rôle cette seconde loi interne sur M joue dans la définition d'un module. Marvoir (discuter) 27 novembre 2018 à 10:25 (CET)
replies: text:  Nous sommes trois à avoir le même avis, je m'occupe donc de revenir en arrière. --Valvino (discuter) 28 novembre 2018 à 17:53 (CET)

text: Et cette définition maintenant est totalement ambiguë et produit inductivement des assertions totalement FAUSSES !!! Ce retour en arreière n'a rien de bon et on ne peut pas comprendre du tout la différence entre un module (plus restreint) et un anneau. Elle n'est PAS DU TOUT équivalente aux sources habituelles, il manque les mises en garde et définitions préalables de notations. Les opérations sont confondues en 2 et c'est totalement faux.  Verdy p (discuter) 29 novembre 2018 à 18:40 (CET)
thread_title:  Dernières modifications de l'article 

message: Il serait peut-être pertinent de relever la ressemblance des deux dernier axiomes de définition avec la celle d'une action de groupe ((A,x) n'étant pas un groupe, il ne s'agit bien sûr pas d'une action au sens rigoureux).
--88.163.147.100 (discuter) 19 juillet 2021 à 23:48 (CEST)
thread_title:  Action de groupe