Discussion:Point à l'infini

message: La notion de point à l'infini, spécifique de la géométrie projective mérite un développement plus sérieux. Malheureusement ce n'est pas mon domaine donc je ne peux pas faire grand chose. 
En particulier j'ai laissé cette phrase qui me semble très obscure 
: De plus, chaque droite est, dans \mathbb P^2(\mathbb{R}), une droite projective : chacune à son propre point à l'infini. Deux droites d'un espace affine sont parallèles si et seulement si elles ont le même point à l'infini.
En revanche, j'ai supprimé dans l'introduction le fait que l'on pouvait parler de point à l'infini en géométrie affine; Ce n'est pas le cas à moins de plonger l'espace affine dans un espace projectif.  HB 4 juin 2006 à 17:11 (CEST)
replies: text: Je pense que la majorité de l'article est de moi, mais je ne suis pas spécialiste en géométrie... Mon point de vue vient de l'étude des courbes elliptiques en cryptographie et on n'est pas assez formel dans ce contexte-là pour les critères normaux des mathématiciens... Bref, je ne sais pas si je peux l'améliorer non plus... sauf un hasard qui m'amènerait à en lire plus sur le sujet. Gene.arboit 4 juin 2006 à 21:34 (CEST)
thread_title:  Article à approfondir  

message: J'ai écrit cette phrase trop vite sans me méfier de l'absence des prérequis--. effectivement il s'agit de P(C²), non pas de P(R^^4). Mais dans wp-france il manque pour l'instant un article  P(C²), il existe juste en anglais "Complex projective plane" comme tu l'as fait remarquer. Il manque aussi ce qui serait "Ombilics (géométrie)" ou "Points cyclique (géométrie)".  Il n'y a pas d'article "Droite isotrope (géométrie)", l'article "Vecteur isotrope" existe, il n'a absolument aucune source, aucune référence; en revanche il contient un petit théorème, celui-ci: lorsque E est un espace vectoriel complexe de dimension supérieure ou égal à 2, toute forme bilinéaire sur E admet au moins un vecteur isotrope.  voilà c'est un peu léger . Sans aller jusqu'à pré-requérir les formes bilinéaires, j'ai regardé "Produit scalaire" mais cet article me semble un véritable embrouillamini, il semble quelquefois exiger que le corps commutatif K ait des propriétés telles qu'il n'existe pas de vecteur isotrope non-nul, donc pas d'espoir de ce côté. J'avais trop vite parlé de cercle imaginaire (ou complexe)-- mais déception, l'article "Cercle" ne cite aucune source, alors là aussi, prudence si l'on veut introduire la notion de "cercle complexe". L'article "Structure d'incidence" n'existe pas non plus, en allemand "Inzidenzstruktur" existe.. Si j'avais à définir le plan projectif complexe P(C²), je dirai que c'est un ensemble de points et de droites muni de la "structure d'incidence" (Inzidenzstruktur), chaque droite étant une sphère de Riemann et chaque point étant  (je ne sais pas exactement quelle définition généraliste j'utiliserai--). C'est seulement ensuite que je parlerai de droites isotropes. Ensuite, mon parachutage de "cercles complexes" était prématuré. La page d'homonymie Faisceau  donne une piste : En géométrie traditionnelle, le terme est utilisé pour désigner des familles simples de parties d'un espace (affine ou projectif) dépendant d'un seul paramètre. Voir les articles détaillés faisceau dedroites, faisceau de cercles, faisceau de coniques.  On voit que faisceau de coniques est rouge sur WP-France, encore un manque à combler. Et la notion de faisceau dans un  plan projectif n'est pas suffisante pour la petite phrase que j'avais écrite, ce qu'il faut c'est le concept de Réseau de coniques, je crois qu'ils ont été étudiés par L. Cremona et J. Steiner (Luigi Cremona et Jakob Steiner), un réseau de coniques comprenant une infinité de faisceaux de coniques reliées par une propriété commune. Par exemple, mais ce n'est qu'un exemple, dans P(C²), le Réseau des coniques passant par les deux "points cycliques" est l'ensemble des "cercles complexes" du plan P(C²). Est-ce que toutes ces concepts vieux de plus de 150 ans intéressent quelques lecteurs de WP-France? Je n'en sais rien. Et pour tous ces concepts il faudrait que j'aille chercher des références bibliographiques, dans des librairies comme Eyrolles, Gibert, Flammarion, ou sur le web, activité absolument chronophage, je n'en ai pas le temps ni le courage. On verra bien dans quelques mois comment les choses auront évolué. Sincèrement vôtre. Michelbailly (d) 3 avril 2011 à 13:29 (CEST)
thread_title:  La phrase en question. 

message: Je suis intervenu sans lire cette pdd. Il me semble que la notion de point à l'infini n'a de sens que dans un espace affine affine complété en un plan projectif. Par ailleurs :
* Pensez-vous que l'on peut rediriger point impropre et élément impropre (pour point à l'infini, élément à l'infini) ici, avec précision ? C'est une terminologie peut-être démodée mais qui n'a pas disparu semble-t-il.
* La restriction corps commutatif infini est-elle justifiée ? Je ne vois pas pourquoi (et même commutatif d'ailleurs).
* faut-il vraiment 3 autres articles distincts droite à l'infini, plan à l'infini, hyperplan à l'infini comme l'indiquent les liens d'invite à la traduction vers en: ? Un seul, exclusivement consacré à la géométrie projective ne suffirait-il pas (et alors les redirections proposées plus haut seraient sur cet article) ? 
Enfin il manque une explication de ce que signifie "ajouter un point à une droite affine" (et l'enlever  la droite projective). Proz (d) 21 décembre 2011 à 11:50 (CET)
thread_title:  Complété projectif d'un espace affine