Discussion:Arithmétique modulaire/Article de qualité

message: Article promu au terme du premier tour.
* Bilan : 18 pour, 0 bon article, 1 attendre, 0 autre(s) vote(s).
* Commentaire : au moins 8 votes  et (pour) / (pour + bon article + attendre) = 94% > 90%
Rémi ✉ 20 octobre 2007 à 09:53 (CEST)

message: Format : Motivation, signature.
====Article de qualité====
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#  prem's intro à revoir mais article intéréssant --Elche41 19 septembre 2007 à 11:57 (CEST)
thread_title:  Votes 

message: # 
#  prem's intro à revoir mais article intéréssant --Elche41 19 septembre 2007 à 11:57 (CEST)
thread_title: Article de qualité

message: # Excusez-moi d'intervenir, mais je viens juste de découvrir cet article et j'ai plusieurs problèmes avec. Le premier a déjà été mentionné, c'est la confusion entre arithmétique modulaire et toute la théorie des nombres. Gauss lui-même introduit la distinction entre ce qui relève du calcul des restes (résidus, congruences) et ce qui relève des équations diophantiennes ou des formes algébriques (par exemple comme les sommes de carrés). Bien sûr il y a des interférences, mais il me semble qu'il aurait été beaucoup plus clair de ne suivre ici que la lignée restes, corps finis, etc., en renvoyant pour la théorie algébrique des nombres ou d'autres aspects aux articles correspondants. De plus si on veut suivre la ligne Diophante aussi, onn' arrive  pas seulement à la théorie algébrique des nombres, mais à la géométrie arithmétique, etc., qu'il n'y aurait pas de raison de laisser de côté.
#:Par ailleurs, j'ai beaucoup de remarques de détail. 
#:#Est-ce que les dates de Diophante sont simplement reprises de l'article sur Diophante ? Je ne crois pas qu'elles soient correctes (en fait, qu'elles soient sérieusement connues). Voir par exemple N. Schappacher, Wer war Diophant?  Mathematische Semesterberichte 45/2 (1998), 141-156, ou en ligne http://www-irma.u-strasbg.fr/~schappa/Publications.html.
Corrigé
#:# Les solutions des problèmes de Diophante sont en rationnels positifs (=fractionnaires positives), pas en entiers. Par ailleurs, même si lui ne donne en général qu'une solution, il propose beaucoup de problèmes indéterminés (c'est ce qui va intéresser les gens plus tard, et c'est un des grands succès de Fermat).
beaucoup de fraction, un peu d'entiers cf sa tombe, corrigé
#:# Il y a de nombreux ouvrages antérieurs à Bachet qui s'intéressent aux questions diophantiennes et aux entiers en Europe (ex: Stifel)
Indéniable, mais je n'ai pas dit le contraire et les autres me semblent moins dans la lignée de l'arithmétique modulaire.
#:# Peut-être faudrait-il signaler dans la section sur Fermat que les nombres de Fermat ne sont pas tous premiers contrairement à ce qu'il espérait. C'est dit dans la section sur Euler, mais je ne trouve pas qu'il soit facile de faire le rapprochement, d'autant qu'on a parlé plus haut de beaucoup de  théorèmes de Fermat.
Fait
#:# L'identité dite de Bezout est effectivement démontrée dans la deuxième édition des Problesmes plaisans etc... de Bachet, on peut donc enlever le "probablement" (et je proposerai de donner un exemple numérique de ce qu'elle dit).
Oui, mais je ne connais aucune source indiquant qu'il est le premier, d'ou le probablement. Il existe une cinquantaine d'articles dans la catégorie, plus ou moins cité dans l'article. Choisir celui là plutôt qu'un autre me semble arbitraire. En règle général, je me dis que si le lecteur ne connait pas ce résultat, un exemple ne suffira pas à l'éclairer. En revanche, c'est la vocation de l'article associé.
#:# Il y a de nouvelles idées chez Lagrange ou Legendre: par exemple une étude beaucoup plus systématique des diviseurs de formes (quels sont les nombres qui divisent des expressions du type x^2+79y^2).
Un paquet sur les résidus quadratiques, mais pour une raison de taille d'article et d'intérêt modéré (mais pas nul) pour l'article modulaire, je n'ai pas insisté.
#:# Sur les entiers de Gauss, je propose: "sur un nouvel ensemble de nombres, appelés maintenant les entiers de Gauss." En effet,   ce sont des nombres complexes au départ, le fait de montrer en quoi on pouvait les considérer comme des entiers est justement le travail fait par Gauss. Il me semble qu'il serait utile de bien marquer là le grand changement: avant, on a des entiers qu'on étudie, maintenant on dit telle et telle propriété, voilà ce qui fait que je peux parler d'entiers, même si ce sont des nombres complexes (et plus tard toutes sortes d'autres structures). Les propriétés, ici, sont la factorisation unique, la division euclidienne, etc. C'est plus ou moins dit plus bas, mais de manière un peu cachée.
Détail un peu trop subtil pour cette partie de l'article, qui cherche à être de complexité croissante. De plus, les anneaux d'entiers sont rarement euclidiens ou factoriels. Une formalisation exacte impose un niveau chez le lecteur que je ne suppose pas à cet endroit de l'article.
#:# C'est Legendre, pas Gauss, qui utilise plus ou moins implicitement (sans le montrer) l'idée qu'une progression arithmétique contient une infinité de nombres premiers.
Cette conjecture est encore plus ancienne, Euler en parle déjà, Gauss aussi et il est le professeur de Dirichlet. J'ajoute précision néanmoins dans l'article.
#:# Dire que Legendre fait de l'analyse harmonique sur un groupe est vraiment anachronique (les caractères de Dirichlet eux-mêmes n'apparaissent pas dans la première preuve de Dirichlet), la formulation de Legendre est purement élémentaire et sur les entiers (et celle de Dirichlet utilise comme le dit Jacobi le point de vue de Fourier, que nous voyons maintenant plus algébriquement qu'à l'époque).
Nous sommes d'accord, c'est très largement exagéré, corrigé.
#:# "livre de 1801 sur les nombres complexes". Il s'agit toujours des Disquisitiones, donc il est préférable d'enlever "complexes", c'est un livre sur les entiers ordinaires (même si effectivement des racines de l'unité apparaissent à la fin, ce n'est pas le sujet du livre).
La formulation est maladroite, il fallait lire il généralise aux nombres complexes les résultats de Legendre dans son livre de 1801, corrigé.
#:# Legendre ne propose pas "théorie des nombres" à la place d'"arithmétique". Le point est qu'il a d'abord rédigé un Essai sur les nombres à la fin du 18e et que dans l'édition de 1830, il dit que maintenant il a assez avancé et il peut appeler cela "Théorie des nombres", en enlevant l'idée d'"essay".De même, la terminologie "arithmétique transcendante" ne me semble pas devenir "modulaire" maintenant. Au 19e, on emploie   aussi "arithmétique supérieure" (higher arithmetics) pour "arithmétique transcendante", ce sont justement les choses qui ne sont pas trop élémentaires (Gauss explique cela au début des DA). Mais cette notion d'élémentaire change pendant le 19e siècle et à la fin tout le calcul modulaire, sur les congruences, etc., les factorisations à la Lucas, etc sont perçues comme élémentaires.A ce propos (et plus généralement sur les Disquisitiones), voir C. Goldstein, N. Schappacher et J. Schwermer, The Shaping of Arithmetic after C. G. Gauss's Disquisitiones arithmeticae, Springer, 2007.
Oui, je sais, l'essai est même en référence et j'ai hésité à citer cette partie de l'introduction où il en parle. Maintenant je ne vois pas bien la différence entre la théorie des nombres de Legendre et l'arithmétique transcendante d'Eisenstein ou de Gauss. L'article a pour sujet l'arithmétique modulaire et non l'arithmétique. Il me semble que le contenu actuel de l'arithmétique modulaire correspond approximativement à l'arithmétique transcendante de Gauss. L'arithmétique transcendante devient en effet l'arithmétique au sens moderne avec sa composante algébrique et analytique. Mais je ne prétend pas l'inverse.
#:# Je ne connais pas l'expression "anneau sur les modulos": est-elle vraiment employée ? Pouvez-vous donner le contexte ou la référence (les informaticiens?) . En maths, on dit anneaux de résidus, de restes parfois.  Je pense aussi qu'il serait utile d'écrire explictement que "n" est appelé le module (E).Et  de donner des exemples ici (reste modulo 5 et 10 par exemple, on voit tout de suite que 5 x 2=10 = 0 modulo 10, ce qui rend moins mystérieuse l'idée de diviseur de zéro).
J'aurai bien du mal à donner une référence, cette expression est un contre sens. Oups, corrigé.
#: Je ne suis pas tout à fait convaincue par la présentation des obstructions dans la théorie algébrique générale: je crois qu'il est plus simple d'expliquer que la factorisation unique est en défaut sur les entiers plutôt que de mélanger ce problème avec celui des unités.
 J'ai indiqué la vision de Dirichlet, celle que tu proposes est de Kummer. Elle est plus simple et en ce sens tu as raison, mais ce n'est pas faux, alors j'ai la flemme de corriger. Si une bonne âme ...
#: J'ai d'autres remarques (par exemple, c'est dommage que Lucas ne soit pas là, il est vraiment important pour les inverses du petit théorème de Fermat, et bien sûr pour la cryptographie ensuite), mais celles-ci m'incitent à suggérer d'attendre.  Je ne sais pas si je dois faire des propositions plus concrètes encore sur les passages concernés (et les autres) (excusez-moi, je suis nouvelle).
Pour éviter un article trop long, j'ai fait des impasses, sur beaucoup d'algorithmes par exemple, ou encore sur les formes quadratiques entières. Question d'équilibre, je comprend néanmoins que d'autres choix sont possibles. La tradition est de noter les remarques dans la partie discussion, cette zone est en théorie réservée aux votes. Néanmoins tout le monde est d'accord pour dire que ce qui améliore les articles prime sur les traditions. En conséquence, il est mieux de mettre ces remarques dans la partie discussion et il est beaucoup mieux d'écrire ces remarques que de ne pas le faire, quitte à le mettre n'importe où. Jean-Luc W (d) 28 novembre 2007 à 12:32 (CET)
thread_title: Attendre

message: * L'introduction mérite d'être rédigée. 5 fois 1 ligne ne constitue pas un modèle du genre. 2 ou 3 paragraphes me sembleraient plus appropriés. Merci d'avance. PoppyYou're welcome 19 septembre 2007 à 09:25 (CEST)
replies: text: La dernière phrase de l'introduction étant relative à l'encyclopédie et non à la notion, il me semble qu'elle devrait être libellée en italique, comme les renvois pour homonymie.--Ambigraphe, le 20 septembre 2007 à 19:08 (CEST)
thread_title:  Introduction 

message: * L'expression « au détriment de » n'est-elle pas employée à faux ? La quatrième phrase traite-t-elle de l'arithmétique modulaire ou de Gauss ? Le vingtième siècle a-t-il réellement changé la nature de l'arithmétique modulaire ou étendu son domaine, élargi ses conceptions voire l'a ramené vers les chercheurs de mathématiques appliquées ? L'introduction butte sur ce flou. Enfin, le deuxième paragraphe pourrait être tourné pour renvoyer aux deux autres articles sans paraître comme un descriptif interne.
Tout à fait d'accord sur les remarques de l'introduction. Les corrections vont-elles dans le bon sens ? Sur le deuxième paragraphe, les remarques des précédents lecteurs montre qu'il y a un risque fort d'a priori inexacts sur la signification du vocable arithmétique modulaire, (cf Difficulté de l'article). C'est pourquoi j'ai jugé bon d'insister, quitte à être un peu lourd.
*Dans les usages, il est dit que l'AM étudie les « restes ». Ne s'agit-il pas plutôt des classes de congruences, chacune étant représentée par un reste de la division euclidienne ? Ces restes ont peu d'intérêt puisqu'il s'agit juste d'un intervalle d'entiers.
En début d'article, j'essaie d'être le plus simple possible. J'utilise donc le concept défini par Lagrange et repris par Gauss de résidu, l'intervalle sur lequel on définit deux opérations, plutôt que celui de classe d'équivalence. Pour un niveau plus élémentaire et adopté au début de l'article, il me semble plus compréhensible. Je sais bien qu'une définition plus maniable est celle de congruence, mais elle est équivalente à celle de résidu et je me dis que quelqu'un de bon niveau comprendra nécessairement le sujet. Ce choix est, par exemple, celui d'un article comme Variété (géométrie).
:Pour être plus juste sans effectivement parler tout de suite de classes, peut-on reformuler la phrase en : « [...] désigne l'étude des opérations sur les résidus d'entiers naturels, c'est-à-dire leurs restes par la division euclidienne. » ? Ce sont les opérations induites qui font de l'ensemble des restes un objet intéressant.--Ambigraphe, le 19 septembre 2007 à 21:28 (CEST)
thread_title:  Style 

message: L'article est en effet de l'ordre de 20% plus long que les articles usuels en AdQ. Le souci est qu'il représente une catégorie bien remplie (plus du cinquantaine d'articles) contenant trois sous-catégories.
De plus son rôle est double, à la fois en arithmétique et ce sujet est essentiel pour la compréhension des codes correcteurs et de la cryptographie. Je n'imagine pas d'autres endroits pour traiter ce deuxième aspect des choses. Jean-Luc W 19 septembre 2007 à 19:18 (CEST)
replies: text: Franchement, la longueur a peu d'importance :p. En tout cas, elle ne semble pas excessive ici. PoppyYou're welcome 19 septembre 2007 à 23:13 (CEST)
replies: text: D'accord avec Poppy. Ce n'est pas parce que « la majorité » des AdQ est plus maigre de 20% que cet article doit être considéré comme trop long. La longueur d'un article ne peut pas être un critère de sélection, pour autant que cette longueur soit exploitée à bon escient. A+ Fred76 3 octobre 2007 à 14:16 (CEST)
thread_title:  Longueur 

message: ::"Ils résolvent essentiellement des problématiques provenant de la théorie de l'information. Cette branche est maintenant surtout considérée comme des mathématiques appliquées."
::je dois dire que je ne comprends pas le sens... et encore moins le pluriel. Problèmatiques = problèmes ?? Dans ma page de discussion, Jean Luc W me dit que le sens utilisé ici est celui de "ensemble des questions qui se posent" mais alors, quel est le sens du pluriel ? Enfin, il semble exister une antinomie entre problématique et problème venant du fait que l'autre utilise une méthode scientifique (donc la première pas !). Mais là, nous sommes dans le domaine scientifique et non dans un monde de spéculations gratuites. Donc le bon vocable semble être problèmes.Claudeh5 21 septembre 2007 à 08:57 (CEST)
thread_title:  Problématiques 

message: Merci pour ce long et subtile commentaire. Tout d'abord j'ai bien une opinion, plutôt contraire à la tienne. Si je connais bien l'article, en revanche j'ai eu trop le nez dessus pour ne pas faire des erreurs d'évaluation. Si tu n'y vois pas d'inconvénient je vais demander de l'aide à d'autres relecteurs pour éclairer cette délicate affaire. 
:* Unicité de la problématique. Le paragraphe usage est la conséquence d'un premier jeu de relectures. L'arithmétique modulaire possède des a priori forts chez nos lecteurs. Pour certains cela représentait uniquement l'arithmétique de l'horloge, pour un autre plutôt les formes modulaires, ou encore la théorie algébrique des nombres (cf Difficulté de l'article). L'objectif est donc ici de préciser le domaine. L'expérience m'a montré que le mélange des genres n'est pas une bonne chose. Répondre à deux questions : les limites de la frontière et une précision sur la nature du domaine me semble dangereux car va nuire à la clarté du texte. Ceci-dit, cela ne fait que reporter ta question et n'y répond pas sur le fond.
:*Unicité de l'angle de présentation. Cette présentation ne rentre presque jamais dans le détail mathématique. Pour la partie naïve, on s'appuie sur congruence sur les entiers. Pour une vision restreinte aux entiers, on dispose de Exposant d'un groupe, Anneau Z/nZ avec les exemples théorème de Wilson et petit théorème de Fermat. Pour une vision complète, WP contient Entier de Gauss, Corps fini, Extension finie, Analyse harmonique sur un groupe abélien fini, Caractère d'un groupe fini, Groupe abélien fini, avec des exemples comme Théorème des deux carrés de Fermat, Démonstrations du dernier théorème de Fermat, Fonction booléenne, Identité de Mac Williams. Voilà, en fonction des trois niveaux possibles de l'interlocuteur la réponse plus mathématique à la question. L'exhaustivité du sujet est traité et il n'y a pas de point de vue favorisé, quelque soit le niveau de l'interlocuteur, la partie mathématique de l'arithmétique modulaire est traitée. Cette approche est contraire au troisième principe de l'article parfait, j'en ai conscience, et c'est finalement ce que tu reproche à l'article. Maintenant pourquoi favoriser une vision basique, cela revient finalement à choisir un point de vue particulier, qui n'est pas forcément celui du lecteur. J'imagine qu'un tel article intéresse aussi des personnes plus chevronnées. Or l'inclusion des trois niveaux possibles (que je cherche également à favoriser) implique l'introduction de plus d'une centaine de pages dans l'article, ce qui est inacceptable. Voilà pourquoi j'ai choisi la politique du lien interne et me suis tapé la rédaction de beaucoup d'articles connexes. Je me suis dis que de toute manière, si un lecteur n'a jamais été confronté à la logique des congruences, quelques lignes ne suffiraient pas, il faut un article entier, et me suis appuyé sur cette logique pour assurer une meilleure cohérence de style.
:*Formulation trop savante?. La formulation précédente était plus accessible. Elle a été contestée pour un bon motif : le manque de précision. Etait-ce une bonne décision, je n'en suis pas sur, ta remarque me fait douter. Jean-Luc W 22 septembre 2007 à 12:54 (CEST)
replies: text:  Je vais dire franchement ce que je pense. Personnellement je n'ai JAMAIS rencontré le terme d'arithmétique modulaire, ni dans mes lectures (ma bibliothèque personnelle comporte environ 21000 documents formant environ 3 300 000 pages), ni dans mes études. Comme je pense être parmi les gens les plus susceptibles de rencontrer l'expression, je pense pouvoir dire que jamais monsieur Toutlemonde ne tombera sur cette expression (mais il peut tomber sur des articles connexes, tels que cryptographie). Donc l'article ne peut concerner au départ que des gens qui ont une certaine connaissance de la division euclidienne et de ses propriétés. Admettons cependant que la critique soit fondée. Il suffit donc d'adjoindre un lien facultatif donnant quelques exemples élémentaires.Claudeh5 22 septembre 2007 à 17:56 (CEST)
replies: text: On trouve néanmoins parfois le terme d'arithmétique modulaire dans des ouvrages didactiques et cité Apostol, introduction to analytic number theory.
J'ai regardé de près la table des matières du traité d'Apostol, introduction to analytic number theory. J'y trouve un chapitre congruence mais pas d'arithmétique modulaire (modular arithmetic) ! ???Claudeh5 22 septembre 2007 à 21:10 (CEST)

text: Par contre en regardant les interwikis, je constate que la plupart des langues utilisent le terme. --Yelkrokoyade 22 septembre 2007 à 23:11 (CEST)
thread_title:  Réponse de J-L 

message: La référence à la division euclidienne a été décidée pour éviter de parler de classes d'entiers. Cette chicane peut cependant être reprise si on l'illustre par le cas de la parité. Je propose donc l'approche suivante :
:L'arithmétique modulaire est l'étude des opérations numériques pouvant être définies sur une partition des entiers, généralisant ainsi la distinction entre nombres pairs et nombres impairs. La relation sous-jacente de congruence sur les entiers permet de remplacer n'importe quel nombre par son « résidu », c'est-à-dire le reste de sa division euclidienne par un diviseur fixe appelé modulo. Ce domaine des mathématiques…
En deux phrases, on obtient ainsi une définition plus propre, illustrée, mentionnant les termes fondamentaux de la notion.--Ambigraphe, le 24 septembre 2007 à 11:09 (CEST)
replies: text: Si l'on parle de partition, pourquoi ne pas parler de classe (d'équivalence)?Claudeh5 2 octobre 2007 à 17:36 (CEST)
replies: text: Je proposais le terme « partition » parce qu'il évoque un partage des nombres même pour qui ne comprend pas la définition mathématique formelle, tandis que les classes d'équivalence (mathématiquement synonymes) sont moins claires. Je cherche toujours autant que possible pour l'introduction une définition qui soit accessible au lecteur non averti tout en étant mathématiquement correcte pour les autres. Certes, il ne s'agit pas là de l'introduction, mais j'avais déjà dit à JLW que cette partie Usages était incongrue (!) en début d'article et devrait à mon avis être dispersée en intro et dans le reste de l'article.--Ambigraphe, le 2 octobre 2007 à 18:49 (CEST)
thread_title:  Éclaircissement de la partie ''Usages''