Discussion:Fonction centrale

message: :* Est-ce nécessaire de limiter les fonctions centrales aux réels ou complexes? Il semble que certains utilise des corps de caractéristiques finis, des anneaux non commutatifs ou des corps p-adiques sans pour autant se passer des fonctions centrales?
::C'est vrai, la définition d'une fonction centrale peut se faire à valeurs dans n'importe quel espace vectoriel sur n'importe quel corps, ou à valeurs dans n'importe quel module sur n'importe quel anneau, ... Une définission générale est nécessaire pour les groupes abstraits. Comme je pensais directement au cas des groupes topologiques, on demande à ce que la fonction centrale vérifie un minimum de régularité, mais il faut donc des structures supplémentaires dans l'ensemble d'arrivée.
:::Autant sur les corps compacts, je trouve sage de limiter dans un premier temps aux complexes, autant dans le cas général cela me semble inutile.
::Pour un corps valué, il doit déjà y avoir des choses intéressantes à dire. Mais mes connaissances étant limitées. J'écrirai donc une nouvelle version, où je donnerai des définitions générales, mais sans résultats hormis pour les groupes abstraits et les fonctions centrales à valeurs complexes sur les groupes topologiques.
:::parfaitement d'accord.
:* Le morphisme identité, si le groupe n'est pas abélien ne semble pas une fonction centrale? un homomorphisme de groupe est-t-il toujours une fonction centrale?
::Evidemment, non. Mais ici, on ne parlait que de morphismes dans C^* ou C. C'est vrai que c'était pas clair. (Je vais le réécrire.)
:* Dans le groupe des racines de l'unité des complexes, quel est l'entier strictement positif décrivant l'ordre de exp(i) ou i désigne l'imaginaire pur?
::Infini ? Plus sérieusement, c'était un exemple non idiot de fonctions centrales ... pour les groupes finis. Certains considéreront qu'une fonction (centrale) possède un domaine de définition, qui peut être un sous-ensemble strict de G. Quoique dans ce cas, il faudrait parler de fonction partielle. Mais il vaut mieux être explicite : la fonction ordre n'est définie que pour les groupes de torsion. Si de plus le groupe est topologique, elle est semi-continue.
:::Oui, c'est un exemple intéressant dans le contexte de la conjecture de Burnside, mais je ne suis pas sur que le contexte soit le meilleur.
:* Je n'aurais pas pensé que deux représentations non équivalentes ont des caractères orthogonaux. Soit encore le groupe des racines de l'unité des complexes et un espace complexe E de base (a, b). Les représentations u -> u.a + b et u -> u.a + u*.b (où u* désigne le complexe conjugué de u) me semble avoir un produit hermitien égal à 1 mais ne sont pas équivalentes?
::On parle de représentations irréductibles. Notes que la phrase dont tu fais référence est précédée de : Elles permettent de caractériser l'équivalence des représentations irréductibles :. Je serai plus explicite. Si je comprends tes notations, a et b semblent désigner des projecteurs plutôt que des vecteurs, et les représentations ne sont évidemment pas irréductibles pour deux raisons :
::*Elles sont définies comme sommes directes de représentations ;
::*Le groupe est commutatif et compact, donc les représentations complexes irréductibles sont de dimension 1.
::(L'article que tu commentes ici est une ébauche vite faite, je pense que tu l'as compris.)
:::La phrase que je cite est Les caractères associés à deux représentations non équivalentes sont orthogonaux. Comme tu précises dans le cas ou la représentation est irréductible, ici cela fait bizarre. Mais surtout je trouve dommage de ne pas mettre dans la proposition l'aspect base orthonormale, l'orthogonalité existe sans les fonctions centrales, on l'a déjà pour L2(G), la nouveauté c'est la complétude dans les fonctions centrales que tu cites après. Jean-Luc W 29 mars 2007 à 14:33 (CEST)
thread_title:  Petites remarques