Discussion:Suite récurrente linéaire

message: Pour rendre moins frustrant ce renvoi, il faudrait détailler ici, comme sur :en. Anne (d) 4 mai 2013 à 22:27 (CEST)
thread_title:  Série génératrice 

message: Bonjour, je crée une section à part, qui prolonge les interrogations précédentes, en espérant que ce sera utile. Quelques éléments de réflexion, à partir de trucs lus sur Internet (notamment ça).
* Apparemment, une des plus anciennes suites récurrentes est celle de Fibonacci ; il semble que dans Comtet, Analyse combinatoire (PUF), on trouve des liens entre suites récurrentes linéaires et problèmes combinatoires. Elles interviennent en analyse numérique, par exemple dans la  méthode des différences finies, c'est sourçable ; en informatique, dans la notion de registre à décalage avec rétroaction linéaire.
* Les propriétés arithmétiques de ces suites font l'objet d'études (par exemple nature de l'ensemble des indices n tels que un soit nul).
Le contenu actuel est sans doute trop proche d'un bouquin de prépa, et n'est pas très utile sur les méthodes de résolution, et manque de propriétés remarquables (enfin, plutôt je ne les connaissais pas).
*La structure d'espace vectoriel est très utile  mais plus riche qu'il n'y paraît (voir plus bas). La forme matricielle aussi qui introduit la matrice compagnon.
*Le passage par les puissances de la matrice compagnon ne me paraît pas pertinent, puisque les puissances difficilement calculables, sauf dans le cas diagonalisable. Mais la matrice n'est diagonalisable que si elle admet des valeurs propres distinctes, et dans ce cas on conclut par une famille libre de suites géométriques et la dimension.
*Dans les autres cas, la résolution passe plutôt par les idées suivantes : si P est le polynôme caractéristique (normalisé) de la matrice compagnon, Q son polynôme réciproque, G la somme de la série génératrice de la suite, on a la caractérisation suivante : une suite est une suite récurrente linéaire d’ordre p si et seulement si le produit (de Cauchy) R=Q*G est un polynôme de degré strictement inférieur à p (démo. facile, y a qu'à calculer).
*Première conséquence : l'ensemble des suites solutions est stable par produit de Cauchy !
*Deuxième conséquence : G est calculable, est une fraction rationnelle R/Q avec Q(0)=1 donc G est développable en série entière, et l'unicité du développement donne les coefficients de G, c'est-à-dire les termes de la suite. Si on le fait formellement, on obtient l'allure générale des solutions (une base de leur ensemble), comme obtenu dans l'article par le théorème de décomposition des noyaux.
*Conséquence de ce résultat : l'ensemble des solutions est stable par produit.
Bien sûr, le cas des suites récurrentes d'ordre deux doit être abordé avant avec des moyens plus simples. 
Voilà.   (et  qui a donné plus haut un lien vers un article WP.en que je découvre au moment de poster), pensez-vous qu'on puisse bâtir quelque chose là-dessus ? Cordialement, Asram (discuter) 4 août 2014 à 18:55 (CEST)
replies: text: Oui, bien sûr ; une autre piste : cette histoire de série génératrice  est essentielle pour aller plus loin, et toutes les indications nécessaires sont un peu partout, mais en particulier dans les bibles que sont Concrete Mathematics et --Dfeldmann (discuter) 4 août 2014 à 19:02 (CEST)

text: Comme dis plus haut je passe la main par manque de compétence et vous fais confiance pour toiletter l'article. J'espère toutefois que ne disparaitra pas la recherche d'une base par décomposition du noyau. HB (discuter) 5 août 2014 à 07:37 (CEST)
replies: text: Bon, je n'ai pas trop le courage d'approfondir. J'ai commis ça, y a toujours pas de sources, mais je ne tiens pas à l'imposer. Cordialement, Asram (discuter) 6 août 2014 à 20:22 (CEST)
thread_title:  Comment améliorer le contenu ?