Discussion:Courbe elliptique

message: Modification de Peps: oh, zut, oui, damned, merci beaucoup. J'ai vérifié et Bézout est bien là,  mais il est énoncé dans Wikipédia sans préciser le corps de référence mais de fait sur un corps algébriquement clos (mn points d'intersection).
Je me dis que le plus clair serait de dire : ... cas particulier de Bézout etc. sur les réels :  'une droite sécante passant par deux points de la courbe recoupe la courbe en une troisième point (distinct ou non'), et en liant à 'droite sécante'.
Qu'est-ce vous en pensez? --Cgolds 25 octobre 2007 à 00:10 (CEST)
replies: text: oui (j'avais indiqué cela dans la boîte commentaire d'ailleurs), et le lien droite sécante existe mais là faut que j'y aillePeps 25 octobre 2007 à 08:13 (CEST)
replies: text: Oui, tout à fait, c'est cela que je reprenais (en gardant Bézout, version réelle, si tu penses que c'est bien). --Cgolds 25 octobre 2007 à 19:05 (CEST)

text: J'ai corrigé dans ton sens et fait le lien à singularité : la définition là était singulière, justement , 'point ou objet non défini' (!?), j'ai changé au minimum (?). Il y  avait aussi des 'croisements' à la place des points doubles (pas mieux que les anciens noeuds). Il faut des dessins comme c'est dit dans l'aticle d'ailleurs, sauf que l'Atelier graphique est aux prises avec des batailles navales pour le moment. Amitiés --Cgolds 25 octobre 2007 à 21:14 (CEST)
thread_title:  Sécante 

message: En re réfléchissant sur les questions précédentes, je me rends compte qu'une difficulté est que le 'vrai objet'  'courbe elliptique' est assez compliqué. C'est vraiment un couple (E, 0) avec un corps donné: la courbe est définie sur le corps, le point a des coordonnées dans le corps. On peut avoir une équation cubique à coefficients entiers et pas de point entier ou rationnel dessus, ceci ne donnera pas une courbe elliptique sur le corps des rationnels. Ensuite, on peut choisir les coordonnées (et cela veut dire des changements de variables qui utilisent le corps K et le fait que le point distingué soit à coordonnées dedans), pour obtenir une équation de type Weierstrass (et alors le point distingué a été expédié à l'infini dans le choix des coordonnées, et on peut faire tout ce qui est fait ici). Un objet simple, c'est la cubique affine et on pourrait faire des constructions dessus (historiquement, c'est le cas, on regarde d'abord les transformées successives par sécante et tangente, pas le truc de sysmétriser, etc.).
 
De ce point de vue, je me demande si l'article est honnête, au sens où peut-être il serait préférable d'avouer qu'on s'adresse aux lycéens plutôt dans l'article 'cubique' par exemple.
Le fait est que beaucoup de manuels passent outre, c'est-à-dire commettent l'abus de langage de désigner la courbe seule comme courbe elliptique (le point restant plus ou moins implicite). A fortiori c'est encore plus vrai pour les textes de vulgarisation et j'avais donc décidé de faire de même, en repoussant jusqu'au 6.1 ce genre de subtilités. Peut-être faut-il une phrase d'information là-dessus plus claire, je ne sais pas.
Toujours est-il que ce n'est pas une question 'naturelle' dans cette perspective de se demander si on pourrait trouver un corps minimal ou invariant, etc. Le corps est donné dans la donnée de la courbe. Avis bienvenu ! --Cgolds 30 octobre 2007 à 13:31 (CET)
replies: text: Même si je dois rappeler que je ne connais pas grand chose aux courbes elliptiques, ce que tu dis me conforte dans les remarques que je faisais plus haut, à savoir essentiellement que le corps de définition concerne les coordonnées, ou plus exactement le corps de l'espace projectif dans lequel est définie la courbe. Je te proposerais bien une refonte de l'introduction, mais j'insiste sur le fait qu'il faudra que quelqu'un de compétent vérifie rapidement que je n'écris pas de bêtise. Ambigraphe, le 30 octobre 2007 à 16:43 (CET)

text: OK. J'écris donc la nouvelle intro vers le 7 octobre. Ambigraphe, le 30 octobre 2007 à 18:49 (CET)
thread_title:  Etats d'âme 

message: Youpi ! C'est effectivement plus net et clair. Malgré cela, j'ai vraiment un problème avec la phrase "une équation à coefficients rationnels peut définir simultanément une courbe rationnelle, réelle, complexe, etc." C'est difficile à expliquer pourquoi  (à part le fait que courbe rationnelle veut plutôt dire autre chose, mais cela, c'est juste un problème d'écriture, ce n'est pas mon pb principal). J'aurais tendance à dire que les questions du rapport équation/courbe sont assez subtiles et seraient mieux laissées à la fin. Je crois que mon état d'âme vient de ce que l'identification de la courbe avec ses points est ok seulement d'un point de vue élémentaire. Ma tentation serait d'enlever cette phrase de l'intro (ce qui permet d'ailleurs de rapprocher la condition essentielle de non-singularité de l'équation). Mais on attend peut-être d'autres réactions. il faut aussi rajouter le corps  pour la définition formelle, mais cela c'est une broutille. Merci en tout cas de t'y être mis.  --Cgolds 7 novembre 2007 à 20:53 (CET)
replies: text: OK pour enlever la phrase gênante. C'était une tentative maladroite pour montrer que le corps dans lequel sont pris les coefficients et le corps de définition des points ne sont pas forcément les mêmes. Ambigraphe, le 7 novembre 2007 à 21:55 (CET)

text: Au fait, est-ce que c'est possible d'expliquer quelque part pourquoi il y a des coefficients indicés de 1 à 6 en sautant le 5 ? Ambigraphe, le 7 novembre 2007 à 21:56 (CET)
replies: text:  Oui, mais l'explication 'naturelle' que je connais passe par le théorème de Riemann-Roch : à cause du genre 1 de la courbe, l'espace des fonctions définies sur la courbe ayant  un pôle d'ordre au plus  n à l'origine est de dimension n, on prend une fonction avec un pôle d'ordre 2 (c'est x), une avec l'ordre 3 (c'est y), et dans l'espace des fonctions avec un pôle d'ordre au plus 6, il y a déjà 1, x, y, xy, x^2, x^3, y^2, d'où une relation linéaire entre ces fonctions qui est la relation de Weierstrass. La forme standard est choisie de sorte que  les indices des coefficients a_i pointent sur cette question d'ordre du pôle en 0, par exemple a_1 est le coefficient du terme xy qui a un pôle 5, a_3 du terme y qui a un pôle 3, etc. Il n'y a pas de a_5 parce qu'il n'y a pas de fonction sur la courbe avec exactement un pôle simple à l'origine. Je pense qu'il faut soit faire un section générale sur un corps quelconque et y mettre ce genre de choses, soit simplement utiliser la section 6.   --Cgolds 7 novembre 2007 à 23:13 (CET)

text:  PS: Ceci montre d'ailleurs un peu mieux l'origine de ma gêne: l'association courbe-équation via les points est perturbante, c'est pourquoi j'avais été vague en parlant d'associer l'équation et la courbe. Sur R, on vise un public plus scolaire et cela me semble ok de parler du graphe, des points etc. Mais en général, l'association entre l'équation et la courbe vient par exemple de la relation que je viens de décrire, on a x et y comme fonctions sur la courbe. C'est le problème du sujet :certains aspects sont assez simples et on ne voit pas pourquoi on s'interdirait d'en parler, mais si on veut rendre les choses bien précises en général, il y a dessous un bagage de géométrie algébrique.--Cgolds 7 novembre 2007 à 23:19 (CET)
thread_title:  Nouvelle intro 

message: (je ne connais pas la théorie des courbes elliptiques pour l'instant) Je me pose une question sur la suite de la phrase "la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer a de multiples conséquences. En voici deux:": sont-ce des théorèmes ? sont-ce des théorèmes modulo la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer ? et auquel cas ne devrait-on pas enlever le terme "théorème" ?Claudeh5 (d) 4 janvier 2008 à 20:47 (CET)
thread_title:  une bête question 

message: Bonjour, la fonction zeta sur un corps fini est definie deux fois dans l'artcile: une fois dans BSD, une autre fois dans Courbes elliptiques sur un corps fini (o`u il manque deux parentheses fermantes). Sur l'article lui-meme: travail impressionnant, bravo !124.16.148.125 (d) 24 avril 2008 à 08:19 (CEST)
replies: text: J'ai rajouté une allusion à la première définition, je ne suis pas sûre de la bonne solution (entre indépendance de la lecture des sections et élimination des redondances), je suppose qu'il va plutôt falloir dégager vers d'autres articles. Il y a encore beaucoup de travail. Avis bienvenus ! Merci pour les parenthèses. Cordialement, --Cgolds (d) 25 avril 2008 à 10:00 (CEST)
replies: text:  Je pense qu'il y a matiere a faire un article sur les fonctions zeta de Weil.124.16.148.125 (d) 27 avril 2008 à 12:08 (CEST)

text: Oui, l'article existe (Fonction zêta de Hasse-Weil), mais doit être repris. Comme l'article sur la fonction zeta de Riemann était en cours de remaniement, cela semblait utile d'attendre un peu pour cela. Mais c'est sans doute une bonne idée de tout dégager vers celui-ci. Seul bémol : cela réduit l'article sur courbe elliptique à la loi de groupe principalement, sur différents corps  (j'étais en train de penser que multiplication compelxe serait mieux à part aussi). Mais cela clarifie sans doute les choses, surtout avec un affichage mathématique assez médiocre. Cordialement, --Cgolds (d) 27 avril 2008 à 14:58 (CEST)
thread_title: Fonctions zeta

message: dimensionnellement,cette équation semble fausse, la pente s^2 ne peut avoir une dimesion de coordonnée x, où est le gag?
:si, si , comme y^2=x^3 (à des constantes près),s^2=y^2/x^2 a bien la dimension qui convient...--Dfeldmann (d) 11 mai 2013 à 22:21 (CEST)
thread_title:  pourquoi oser écrire une équation inhomogène en dimension dans le calcul du point R: XR= s^2 - xP-xQ