Discussion:1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

message: pour les formules, "math" a un sens. Là, ce sont uniquement des chiffres : aucun intérêt ! Tout ce qui change, c'est le fait d'utiliser une police avec empattement au lieu d'une sans empattement : mais l'empattement n'a aucune signification mathématique ici ! SenseiAC (discuter) 29 septembre 2016 à 21:05
:,  : si, l'empattement a la signification qu'il s'agit non pas de  mais d'une vraie formule de maths (simple certes, mais pas, par exemple, d'une date). C'est normal d'harmoniser avec d'autres formules de l'article, qui sont en LaTeX. Vouloir supprimer cette mise en forme . Anne (discuter) 30 septembre 2016 à 00:02 (CEST)
thread_title:  "math" 

message: l intégrale de la fonction du nombre triangulaire sur l intervalle -1 0 est égale a -1/12.
et la fonction f(x)=-1/8 est tangent a cette fonction. 
:Comme disait un célèbre physicien : (not even wrong).--Dfeldmann (discuter) 22 mai 2017 à 18:17 (CEST)
replies: text: oui, on avait compris : l'aire entre la parabole x(x+1)/2 et l'axe des abscisses est -1/12 (et le minimum vaut -1/8). Certes, par ailleurs, 1+2+3+... =infini(infini + 1)/2, si l'on peut dire. Et alors ? Ca donné une méthode de calcul pour autre chose ?--Dfeldmann (discuter) 22 mai 2017 à 22:08 (CEST)
thread_title:  nombre triangulaire. 

message: Pour bien comprendre d'où vient ce résultat paradoxal, il faut considérer la série A comme la somme de termes (1 - 1), qui peut s'écrire : A = (1 - 1)n = 0, avec n appartenant à N+. L'expression A ne peut valoir autre chose que 0, sauf à la condition d'ajouter 1 ou - 1 à ces termes. Auquel cas la série A avec un nombre quelconque de 1 ou de -1 peut valoir -1, 0 ou +1. Le cas A = 0 est le seul qui corresponde à "l'esprit" de la série proposée. Les réorganisations de A qui sont proposées dans la "démonstration" sont erronées puisque si A = 1 - (1 - 1 + 1 - 1...) = 1 - A on ne tient pas compte du fait que A = 0 et que si on ajoute 1 à A, ce n'est pas négligeable, comme un 1 face à l'infini ! En fait il faut écrire : 1 + A = 1 - A, ce qui vrai puisque A = 0 !
Pour B on peut faire le même raisonnement : B = (x - y)n et si x = y alors B = 0. Si y = x + 1, on a B = - 1.n = -n 
(Remarque : c'est là qu'apparait le signe négatif qui est présent dans le reste de la "démonstration".) Il pourrait être intéressant de développer une étude de B pour la généraliser.
D'où il est facile de voir que pour un n fixé, positif (aussi grand qu'on le veut, n -> vers l'infini) A - B = 0 + n = - B 
Ce qui est toujours vrai puisque c'est une tautologie... Et les paradoxes disparaissent.
Ainsi toutes les étapes intermédiaires de la "démonstration" sont invalidées.
Il ne reste que le cas intéressant de "C", tel que dans les carnets de Ramanujan. 
La série -3C qu'il obtient est de la forme (x - y)n et donc sa valeur est -n si y = x + 1 (comme montré pour B).
Et c'est là qu'on voit que le grand Ramanujan écrit une égalité C = -1/12 !!!  Il faudrait que - n = - 1/12. Ce qui est absurde (n appartient à N+ et devrait être égal à un nombre fractionnaire...)
Alors je m'interroge sur les trois points en triangle que Ramanujan a placés devant les expressions douteuses... ne serait-ce pas pour signaler qu'il y a avait là une contradiction, comme les linguistes mettent une * devant une structure litigieuse, non attestée ?
En conclusion, la "démonstration" aboutit à une absurdité, ce qui l'invalide totalement et valide la vraie valeur de S(n) = n(n + 1)/2.
(Remarque : l'utilisation de la valeur erronée dans les calculs de Casimir mériterait une plus grande attention, par exemple l'intervalle d'erreur définit un intervalle de variation de la constante et donc peut-être que -1/12 tombe par hasard dans cet intervalle ! Pour des raisons à trouver ailleurs !)
Jean Delpuech
:Le problème est que l'article n'explique pas quelles sont les règles de calcul. Et si on se contente de dire "on applique les règles usuelles", comme remplacer la somme de 2 termes consécutifs par sa valeur, alors on aboutit à des incohérences (A = 0 et A = 1, suivant le choix des regroupements). Bref, il y a certaines règles usuelles qui doivent être interdites, et si la liste des règles autorisées n'est pas fournie et qu'il n'y a pas de preuve que ces règles sont cohérentes (par exemple en prouvant que pour toute série, l'ensemble des résultats possibles obtenus en appliquant les règles contient au plus un élément), alors effectivement, la démonstration est fausse. Vincent Lefèvre (discuter) 23 août 2018 à 01:59 (CEST)
replies: text:  On dit qu'une proposition est fausse, mais on ne peut pas dire qu'une démonstration est fausse.  Tout au plus peut-on dire qu'elle est erronée, quand l'une de ses étapes n'est pas en accord avec les règles de la logique. --Pierre de Lyon (discuter) 28 août 2018 à 18:10 (CEST)
replies: text: « On pourrait dire...oh dieu, bien des choses en somme ». Commençons par un microscopique point de vocabulaire : certes, une démonstration est plutôt dite erronée que fausse (on parle aussi de pseudo-démonstration), mais on se comprend, et ce que veut dire le premier intervenant est que cette soi-disant démonstration est une escroquerie intellectuelle, presque un jeu de mot aussi douteux que celui du paradoxe du fromage à trous. Si le but était de démontrer que la série converge, il n'aurait pas tort, mais il n'en est rien. Disons plutôt qu'il suffit (après avoir préciser que sa limite (à n'importe quel sens usuel, y compris dans des ensembles de nombres bizarres) est infinie ou n'existe pas) d'expliquer que tout se passe néanmoins  comme si le nombre -1/12 était attaché à cette série (au sens où on obtient le même nombre par des procédés (apparemment) très différents), et que c'est ce mystère (déjà repéré par Euler, et finalement éclairci seulement par Borel et ses  continuateurs) qu'il conviendrait d'expliquer (par exemple en parlant de la fonction zeta, du prolongement analytique, des méthodes de sommations, etc.). Voilà pour les mathématiques. Pour la psychologie (ou peut-être pour la sociologie), on est plutôt dans la problématique du curieux avide de s'instruire, et qui est tout ébahi (on  pense irrésistiblement à Bouvard et Pécuchet) des vessies qu'on veut lui faire prendre pour des lanternes aux quatre coins de Wikipédia (et tout particulièrement dans les Le Saviez-vous ? de l'accueil), ainsi, pour ne parler que de science, des paradoxes relativistes et quantiques, des mystères de la mat!ère noire et de l'énergie sombre, et donc, des étranges propriétés des êtres mathématiques qu'il pensait vaguement comprendre (autant d'entiers que de fractions, mais plus de réels ; l'hôtel de Hilbert ; le paradoxe de Banach et Tarski, etc., etc.) Bien sûr, il s'insurge, et tente de se raccrocher au bon sens, en soupçonnant une mystification de ces savants toujours un peu dérangés...--Dfeldmann (discuter) 28 août 2018 à 20:14 (CEST)
replies: text:  Tu l'as très bien dit, je n'ai rien à ajouter. --Pierre de Lyon (discuter) 30 août 2018 à 10:16 (CEST)

text: C'est indiqué noir sur blanc dans l'article. — Poulpy (discuter) 30 août 2018 à 22:41 (CEST)
replies: text: On aurait tout aussi bien pu écrire A = 1-1+1-1+1-... = (1-1)+(1-1)+(1-1)+... = 0+0+0+... = 0 noir sur blanc dans l'article et donc trouver un autre résultat pour 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Ce qui manque dans l'article, c'est pourquoi les règles utilisées pour trouver A = 1/2 sont "correctes", mais pas celles utilisées pour trouver A = 0. Vincent Lefèvre (discuter) 31 août 2018 à 00:21 (CEST)
replies: text: Il ne "manque"  rien du tout. Des explications beaucoup plus détaillées sont données dans l'article Série divergente, mais vous ne les lisez visiblement pas, ainsi que mon laïus précédent. Donc, résumons  : A =1/2 comme somme de Cesaro de la série de Grundy, parce que, par exemple, les sommes partielles oscillent entre 0 et 1 (d'où diable sortez-vous votre -1?) d'où une valeur moyenne de 1/2 ; on peut aussi (mais c'est juste pour être homogène avec ce qui va suivre) le voir comme prolongement (analytique) de la série (géométrique) 1+x+x^2+x^3+...=1/(1-x) en x=-1. En dérivant, on voit aisément que B =1+2x+3x^2+... vaut 1/(1-x)^2, et donc se prolonge en 1/4 en x=-1, puis le truc de Ramanujan donne C. En quoi diable tout ceci a-t-il un rapport avec la convergence au sens usuel? Pensez-vous vraiment que des génies (pour une fois, le mot n'est pas galvaudé) du calibre d'Euler, Abel  ou Ramanujan n'ont pas remarqué que C diverge grossièrement, et qu'aucun  miracle ne peut le rendre négatif? Et quand Euler  écrit 1+2+4+8+16+...=-1 , vous pensez qu'il est devenu fou, ou vous vous émerveillez de voir qu'il a anticipé la notation des nombres négatifs en binaire dans nos ordinateurs ?--Dfeldmann (discuter) 31 août 2018 à 00:44 (CEST)
replies: text: Justement dans l'article Série divergente, je ne vois aucune preuve ou référence à des preuves. Le 1+2+4+8+16+...=−1 est basé sur la convergence dans \Z_2. Mais là, on n'est plus sur la topologie usuelle. D'ailleurs, l'article Série divergente commence très mal en parlant de convergence/divergence sans mentionner le fait que ça dépend de la topologie. Vincent Lefèvre (discuter) 31 août 2018 à 01:09 (CEST)
replies: text: ??? Des preuves de quoi ? La validité des méthodes de sommation, leur cohérence ? Quand à la topologie, j'ai rajouté un paragraphe hier (avant votre message) à l'article Série divergente. Euler (comme Ramanujan) se base sur des manipulations algébriques formelles où la topologie ne joue aucun rôle ; il arrive d'ailleurs à sommer des séries qui ne convergent dans aucun univers numérique concevable, par exemple la série entière 1-x+2x^2-6x^3+...+n!(-x)^n+....--Dfeldmann (discuter) 31 août 2018 à 09:30 (CEST)
replies: text: Si on choisit des méthodes de sommation arbitraires, on peut donner n'importe quelle valeur à une série divergente. L'article Série divergente donne certaines informations sur les propriétés satisfaites ou non (stabilité, linéarité, etc.). OK. Un des problèmes avec l'article 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ est qu'on ne sait pas quelles propriétés les méthodes utilisées satisfont. Autre problème: le lien série de Grandi explique justement que la série 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ n'a pas de somme, même si différentes méthodes de sommation "rigoureuses" peuvent donner la valeur 1/2 (mais on ne sait pas s'il existe d'autres méthodes aussi "rigoureuses" pouvant lui donner une valeur différente). Concernant 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, pour trouver −1/12, une combinaison de méthodes de sommation sont utilisées; mais même si chacune de ces méthodes de sommation ont des propriétés intéressantes, il n'est pas expliqué ce qu'il en est de la combinaison de ces méthodes (est-ce que cela a forcément un sens, ou peut-on en fait obtenir n'importe quoi?). La section "Limites des méthodes de sommation linéaires stables" fournit certaines réponses. Ce qu'il manque c'est un texte permettant de comprendre pourquoi la combinaison des méthodes utilisées est cependant acceptable, mais d'autres méthodes ne le seraient pas (cf ce qui permet d'obtenir 0 et 1 dans Série de Grandi); il faudrait peut-être un paragraphe introductif à la section "Sommabilité". Il faudrait peut-être aussi nuancer la phrase "La valeur qu'on lui donne est −1/12" dans la définition (le "on" n'est d'ailleurs pas très clair). Vincent Lefèvre (discuter) 1 septembre 2018 à 19:36 (CEST)
replies: text:  Ben non, une méthode de sommation "raisonnable" (une liste assez complète est donnée dans l'article "série divergente") ne produit que la valeur -1/12 (ou la divergence vers + infini) : Euler l'obtient par une forme primitive de prolongement analytique , Ramanujan en utilisant des manipulations purement formelles, Borel par utilisation d'intégrales... Que voudriez-vous de plus dans le cadre de cet article précis ?--Dfeldmann (discuter) 1 septembre 2018 à 21:13 (CEST)
replies: text:  Une preuve de cette affirmation, évidemment. A priori, ce n'est pas parce que plusieurs méthodes permettent d'obtenir −1/12 qu'il ne peut pas en exister une autre (pas encore connue) qui donnerait une valeur différente, vu que la compatibilité des différentes méthodes de sommation n'est pas assurée. Vincent Lefèvre (discuter) 8 septembre 2018 à 14:48 (CEST)
replies: text: Vous êtes têtu, hein (mais je n'avais pas vu cette réponse). Bon, si je vous dit que Borel, puis beaucoup plus récemment, Ramis, par exemple, ont consacré des livres entiers à cette question et aux démonstrations qui vont bien, ça vous rassurera ? Après, comme souvent, c'est peut-être possible de donner une vague idée des raisons qui font que ça marche en agitant beaucoup les mains (ici, il s'agit  de montrer que toutes ces méthodes se ramènent au prolongement analytique, mais par exemple la série somme des factorielles, ou le produit infini de tous les entiers, c'est un peu plus sportif encore), mais pour arriver à quelque chose de rigoureux, ce n'est sans doute pas un hasard si quelques décennies (voire siècles) ont été nécessaires et donc qu'une preuve (vraiment merveilleuse) tenant dans une marge pas trop étroite n'est pas à espérer de sitôt... --Dfeldmann (discuter) 11 novembre 2018 à 12:21 (CET)
replies: text: Wikipédia n'est censé contenir que des choses correctes. Dans l'état actuel, l'article est trop vague. Je ne vois pas l'intérêt d'indiquer des méthodes non rigoureuses. Soit il y a une justification possible, alors la méthode devient rigoureuse (dans ce cas, il faut une preuve ou une référence), soit c'est simplement n'importe quoi, ou alors WP:OR. Concernant le prolongement analytique, il faut un résultat d'unicité, que je ne vois nulle part: si on a deux fonctions f et g définies par des séries F et G respectivement et qu'on prolonge analytiquement, s'il existe deux réels x et y tels que F(x) et G(y) sont des séries divergentes identiques (i.e. de même terme général), et si f(x) et g(y) sont définis (en tant que valeurs des fonctions prolongées analytiquement), alors nécessairement f(x) = g(y). Vincent Lefèvre (discuter) 11 novembre 2018 à 17:45 (CET)
thread_title:  Pourquoi il faut préciser que la "démonstration" de S = -1/12 est fausse.... 

message: Il serait probablement intéressant de mentionner qu'on peut assigner -1/12 à cette série par rapport à une autre série divergente (ce qui est, je crois, la signification de ce nombre). Toutefois, je n'ai pas la moindre idée de comment expliquer ça, ni même d'ailleurs si ça a été fait dans des publications sérieuses.
Bref. — Poulpy (discuter) 10 juin 2019 à 17:37 (CEST)
replies: text: ??? Ben non :  -1/12 est bien la somme à différents sens (Ramanujan, Borel, prolongement analytique). Où est le problème ? Quand aux explications, elles sont données dans les différents articles pertinents (sommation de Ramanujan, etc.)--Dfeldmann (discuter) 10 juin 2019 à 18:01 (CEST)
replies: text: La sommation, pas la somme, svp. Quant aux explications... Disons que cet article est certes très technique (et nettement plus rigoureux que la plupart de ce qu'on trouve ailleurs), mais qu'il n'explique pas grand chose. — Poulpy (discuter) 10 juin 2019 à 18:08 (CEST)
replies: text: Mais non. 1) La sommation, c'est le procédé, la « somme » (au sens de X ou de Y) le résultat de ce procédé appliqué à une série (divergente) donnée. 2) Qu'appelles-tu expliquer ? Quand j'en parle à mes élèves (en agitant beaucoup les mains), je leur dit qu'en gros, si on essaie de donner un sens à 1+2+3+4+..., on obtient le plus souvent +infini (encore heureux), mais que des méthodes plus étranges aboutissent inévitablement à -1/12 (c'est un mensonge éhonté dans ce cas précis, mais ce serait déjà plus vrai pour la somme d'une série géométrique : 1+x+x^2+... =(si on obtient une réponse) 1/(1-x)). L'explication, si on y tient, réside probablement, dans les cas les plus simples, dans la notion de prolongement analytique (mais des cas plus complexes demandent des théories plus élaborées ; voir les livres donnés en bibliographie : Borel, Ramis, etc.). Pour prendre un exemple plus simple, la fonction 1/(1-x^2) n'est égale à la série 1+x^2+x^4+... que pour -1<x<1, ce qui semble logique vu sa valeur infinie en -1 et 1 ; pour comprendre pourquoi 1/(1+x^2) se comporte de même, alors que le dénominateur ne s'annule jamais, l'explication est dans le passage aux complexes, qu'on aurait pu découvrir ainsi (par l'ombre qu'ils projettent à ce sens dans R). De nombreux phénomènes analogues ont mis longtemps à s'expliquer (distributions, analyse non-standard, etc.) ; est-ce à ce genre de choses que tu penses ? --Dfeldmann (discuter) 10 juin 2019 à 18:33 (CEST)
replies: text: Là on entre dans des débats philosophiques sur le sens des mathématiques. Pour moi, les mathématiques démontrent des propositions (par exemple, elles démontrent que la « somme x de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, est -1/12) mais elles n'expliquent pas ces propositions. --Pierre de Lyon (discuter) 3 juillet 2019 à 15:38 (CEST)
replies: text: ??? Ah vraiment ? C'est totalement intenable comme position, sauf à dissocier mathématiques (un ensemble virtuel de théorèmes) et mathématiciens (des humains tentant péniblement d'explorer une infime partie de cet ensemble). Et même comme ça... Je peux démontrer une infinité de théorèmes passionnants tels que 42+1729=1729+42, et même de nombreuses façons différentes (par récurrence, en exhibant explicitement une bijection entre ces deux sommes,...) ; fais-je ainsi oeuvre de mathématicien ? Et d'où diable ta position permettrait-elle de distinguer la valeur de mon travail de celle du travail de Wiles ? D'autre part, l'explication d'un théorème (sans même parler de sa valeur pédagogique, ou de son intérêt pour en obtenir des généralisations par exemple) amène souvent à la découverte de nouvelles structures ; c'est à ce sens qu'un mathématicien vraiment exceptionnel comme Grothendieck explique et révolutionne littéralement les mathématiques entières en renversant complètement les points de vue, faisant apparaître des choses triviales (l'addition des entiers ou les points de l'espace) comme des ombres de choses infiniment plus abstraites (schémas, topos, etc.) Et enfin, justement, que peut bien vouloir dire "démontrer" que la somme 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ est -1/12 si on ne précise pas déjà le sens de cet énoncé ? Une fois le sens précisé, effectivement, le rôle des maths est de montrer qu'à ce sens, la somme vaut bien -1/12 et non 42. Mais par exemple, donner un sens à 1-1+2-6+24-...+(-1)^n * n!+... est l'essentiel de la difficulté ; calculer ensuite le résultat (à ce sens) est un exercice presque taupinal (voir l'article série alternée des factorielles).--Dfeldmann (discuter) 3 juillet 2019 à 16:15 (CEST)
thread_title:  -1/12, certes, mais par rapport à quoi ? 

message: Le théorème de réarrangement de Riemann est clair et s'applique bien ici pour justifier les erreurs de cet article.
Une série simplement convergente dont on permute les termes, converge vers une autre limite.
Lorsque l'on développe 2 séries, en écrivant 
A = Σ(ai), B = Σ(bi) donc A+B = Σ(ai+bi) en sommant en colonne, on a tout simplement réordonner les termes.
On a écrit : Σ(ai) + Σ(bi) = Σ(ai+bi). On est passé de faire d'abord la somme de tous les a, puis la somme de tous les b à faire la somme alternativement d'un a puis d'un b etc... C'est une permutation des termes.
Cette égalité est tout simplement fausse d'après le théorème de Riemann et tout ce qui en découle est faux !
--Dr ens (discuter) 3 juillet 2019 à 11:46 (CEST)
replies: text: Le théorème de Riemann ne s'applique qu'à des séries semi-convergentes, ce qui rend discutable (pour ne pas dire plus) le reste de votre critique.--Dfeldmann (discuter) 3 juillet 2019 à 14:42 (CEST)
thread_title:  Théorème de réarrangement de Riemann 

message: Quelqu'un a montré que si on considère une méthode de sommation par régularisation, on peut obtenir d'autres valeurs que −1/12: https://math.stackexchange.com/a/2190184/459608
Au lieu de la fonction zêta de Riemann, il considère la fonction f_n(z,a) = \frac{n}{(n+a)^z}, où a est un paramètre que l'on fixe. Il considère le prolongement analytique de la somme de la série quand z \to 0 et obtient: \sum_{n=1}^\infty f_n(z,a) = - a \cdot \zeta(z,1+a) - (z-1) \cdot \zeta(z-1,1+a) où \zeta est la fonction zêta de Hurwitz. Puis \lim_{z \to 0^+} \sum_{n=1}^\infty f_n(z,a) = \frac{a^2}{2} - \frac1{12}.
Cela signifie que si ce résultat est effectivement correct (vous pouvez aller voir la preuve au lien ci-dessus), ceux qui disaient que −1/12 était la seule valeur possible ont raconté n'importe quoi. Vincent Lefèvre (discuter) 27 mai 2020 à 02:17 (CEST)
replies: text: J'aime beaucoup votre style : vous partez d'un obscur résultat dont vous ignorez s'il est correct, et vous concluez que nous (Euler, Borel, Ramis, et les malheureux moines copistes de Wikipédia) racontons n'importe quoi. Je vais vous rassurer : la régularisation proposée donne en effet un terme supplémentaire, mais du coup, cette méthode se trompe sur les séries convergentes (comme vous le verriez si vous lisiez jusqu'au bout votre lien). Bref, ce combat un peu d'arrière garde ne va pas remettre en cause notre article dans l'immédiat.--Dfeldmann (discuter) 27 mai 2020 à 07:33 (CEST)
replies: text: Bonjour. Ceci montre donc qu'une méthode de sommation par régularisation est une mauvaise méthode, en tout cas dans l'absolu, et l'article passe cela sous silence. Peut-être que la régularisation zêta est particulière, mais rien n'est dit dans l'article à ce propos: l'article explique juste qu'on peut trouver une valeur en étendant ζ par prolongement analytique, mais n'explique pas pourquoi c'est ici valide pour la fonction ζ, mais qu'on ne peut pas faire ce raisonnement avec d'autres fonctions. Le genre de choses que je reproche à l'article depuis le début. Vincent Lefèvre (discuter) 27 mai 2020 à 08:48 (CEST)
replies: text: Quel talent vous avez... Non, une méthode de régularisation doit prioritairement donner la bonne valeur pour une série convergente. Et donc votre le contre-exemple ne prouve rien. Accessoirement, il ya d'autres méthodes pour obtenir cette valeur, par exemple la sommation de Ramanujan, qui (et pour cause) n'ont absolument pas besoin d'introduire une fonction arbitraire, même privilégiée. En tout état de cause, on va vous laisser à vos certitudes, et à vos critiques ; tant que vous ne touchez pas à l'article, et que vous n'avez rien de précis à reprocher à Euler, Riemann, Ramanujan, Borel, Ramis..., tout ira bien.--Dfeldmann (discuter) 27 mai 2020 à 10:12 (CEST)

text: J'approuve le point de vue de Dfeldmann. S'il y avait plusieurs résultats possibles (ce que je veux bien croire), la valeur -1/12 resterait à privilégier. Cette valeur surprend, certes, mais a des bases solides.--Dimorphoteca (discuter) 27 mai 2020 à 09:10 (CEST)
thread_title:  −1/12 n'est pas la seule valeur possible par régularisation!