Discussion:Sinus (mathématiques)

message: La démonstration de la formule \lim_{\theta=0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1 repose dans l'article sur le fait que l'aire d'un secteur angulaire de rayon r est \frac{\theta}{2} r^2. Or cette propriété repose sur le fait que l'aire du disque de rayon 1 vaut \pi. Cette dernière propriété se montre en prenant la limite de l'aire d'un polygone régulier de n côtés, qui vaut n \times \sin(\pi/n) \times \cos(\pi/n). Pour montrer que cette limite vaut \pi, on a besoin de supposer que \lim_{x=0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 et voilà comment le serpent se mord la queue. Ainsi, si on veut montrer à des lycéens que le nombre \pi qui intervient dans la longueur du cercle et l'aire du disque est le même, on doit admettre la formule \lim_{x=0} \frac{\sin(x)}{x} = 1. Si on veut rester à un niveau élémentaire, je crains qu'on ne puisse faire autrement, pour justifier cette limite sans cercle vicieux, que de l'admettre comme telle en disant qu'elle est à la base même de la définition du radian. Theon (discuter) 7 janvier 2014 à 18:50 (CET)
replies: text: Je ne vois pas les choses tout-à-fait comme toi. La démonstration s'appuie sur un encadrement d'aire (aire de rectangle et aire de portion de cercle. Elle est valable quelle que soit l'unité d'angle choisie : Si on appelle S l'aire du disque de rayon 1 et si dans l'unité choisie, l'angle plein vaut T, l'encadrement donne :\frac{\sin(\theta)}2 < \frac {\theta}T S< \frac{\tan(\theta)}2 ce qui conduit à \frac{2S}T\cos(\theta)<\frac{\sin(\theta)}{\theta}<\frac{2S}T. Ceci prouve que la limite de \frac{\sin(\theta)}{\theta} existe et vaut 2S/T(cette démonstration ne se sert que du résultat que l'aire d'une portion de cercle est proportionnelle à la valeur de l'angle au centre). Je pense que c'est ce résultat qui est fort et qui mérite d'être explicité (c'est cet encadrement là que démontre d'ailleurs Archimède). Ensuite que l'on choisisse l'unité de mesure d'angle de telle sorte que 2S/T vale 1, c'est-à-dire l'unité appelée radian, c'est une autre histoire. Là où je suis moins sure de moi c'est que j'ai personnellement toujours défini le radian comme l'unité qui permettait de dire que C/T vaut 1 (où C est la circonférence) et que, pour montrer que les deux définitions coïncident, je ne sais pas le faire avec les outils de base...HB (discuter) 17 mars 2017 à 21:57 (CET)
replies: text: Pour des raisons d'homogénéité d'unité, il vaudrait mieux utiliser un disque de rayon R. Tes inégalités deviennent R^2\frac{\sin(\theta)}2 < \frac {\theta}T S< R^2\frac{\tan(\theta)}2, donc, comme tu le dis, la limite de \frac{\sin(\theta)}{\theta} existe et vaut \frac{2S}{R^2T}. Considérons maintenant la longueur d'une portion d'arc de cercle. Elle est proportionnelle à R et à la mesure de l'angle, donc à R\theta. Soit k le coefficient de proportionnalité. Quand on prend le cercle entier, la longueur C de la circonférence est kRT. Donc \frac{2S}{R^2T} = k \frac{2S}{CR}. Il s'agit maintenant de choisir T de façon à avoir simultanément \frac{2S}{R^2T} = 1 et k=1. Cela est possible à condition de prouver que 2S = CR, ce que fait Archimède. Mais pour le faire, sauf erreur de ma part, il utilise un encadrement, non plus de l'aire, mais de la longueur du cercle, d'une part par la longueur de la circonférence de polygones intérieurs au disque, d'autre part par la longueur de la circonférence de polygones extérieurs au cercle, ce qui est plus délicat. En particulier, il me semble qu'il ne prouve pas cet encadrement, se limitant à une "évidence" visuelle. Oublions Archimède dont, de toute façon, on ne donnera pas la démonstration aux élèves. Comment montre-t-on que 2S = CR sans utiliser le fait que \sin(\theta)/\theta tend vers 1 quand \theta tend vers 0 ? A priori, je ne vois pas comment faire. Theon (discuter) 19 mars 2017 à 10:44 (CET)

text: En particulier, dans la version du 19 mars 2017 de la démonstration de la limite, il est écrit que l'aire du secteur angulaire est A(S) = \frac{\theta}{2}. Comment le montre-t-on sans utiliser le fait que  \sin(\theta)/\theta tend vers 1 quand \theta tend vers 0 ? Je suis navré, mais je crains, qu'il y ait toujours un cercle vicieux. Theon (discuter) 19 mars 2017 à 10:53 (CET)
replies: text:  Je peux  montrer que 2S(1)=C(1) (Ce n'est pas la dem d'Archimède, mais je ne crois pas faire d'erreur de pétition de principe : si on admet que,  par similitude, S(R)=R².S(1), et C(R) = R.C(1). Il suffit d'encadrer alors S(R+h) par S(R)+h.C(R) et S(R) + h.C(R+h), simplifier, diviser  par Rh et faire tendre h vers 0.  en fait cela revient à montrer que la dérivée de S est C HB (discuter) 19 mars 2017 à 12:04 (CET)

text: Il s'agit donc de montrer que l'anneau compris entre les cercles de rayon R et R+h a une aire comprise entre h.C(R) et h.C(R+h). Mais comment fait-on ? Je vois bien une démo utilisant une approximation des cercles par des polygones pour pouvoir utiliser des sommes d'aires de rectangles, mais le passage à la limite final utilise \lim_{\theta=0} \sin(\theta)/\theta = 1. Je sais aussi montrer que la dérivée de sin est cos, mais là aussi en utilisant \lim_{\theta=0} \sin(\theta)/\theta = 1. Theon (discuter) 19 mars 2017 à 15:26 (CET)
replies: text: Je ne vois pas où est le problème. Me référant à mon cours (ou à la démonstration de Serge Lang pour collégiens, si, si), on commence par montrer (en triangulant et en passant à la limite) que l'aire du disque unité est la moitié de sa circonférence (nombre qu'on appelle 2pi). Choisissant comme unité d'angle le radian, on a x/2 pour aire d'un secteur angulaire d'angle x, et l'arc correspondant mesure x aussi ; on en déduit élementairement que sin x < x, et par inclusion du secteur dans le triangle que x < tan x, puis par application du théorème des gendarmes la limite de sin x/x. J'ai raté quelque chose ?--Dfeldmann (discuter) 19 mars 2017 à 15:42 (CET)

text: Je n'ai pas le livre de Lang sous la main et j'aimerais voir de près le passage à la limite. C'est évidemment là un point crucial. En ce qui concerne l'arc de cercle en choisissant le radian comme unité d'angle de façon que sa longueur soit x, je vois bien que sin(x) < x parce que la corde joignant les points (cos(x),sin(x)) à (cos(x),-sin(x)) a pour longueur 2sin(x), inférieure à la longueur 2x de l'arc, mais pour la tangente en (1,0) au cercle, comment montrer que la longueur 2tan(x) du segment joignant (1,tan(x)) à (1,-tan(x)) est supérieure à la longueur 2x de l'arc ? Je ne vois pas comment faire sans étude de fonction, sans dériver et sans utiliser \lim_{\theta=0} \sin(\theta)/\theta = 1. Si c'est par comparaison d'aire qu'on arrive à montrer que x < tan(x), on revient à ma question initiale : comment montre-t-on que cette aire vaut ce qu'on annonce ? Theon (discuter) 19 mars 2017 à 16:04 (CET)
thread_title:  Limite : cercle vicieux implicite 

message: Il y a un problème de formatage au chapitre 'sinus avec un argument complexe', la fonction '\begin' n'est pas reconnue. ou peut-être n'est-ce que pour moi ?Xelnagazchild (discuter) 17 février 2014 à 19:38 (CET)
replies: text: Merci, ce n'était pas que pour toi. Pour "réparer" ce genre de pb, il suffit de purger le cache de la page par un "null edit" : cliquer en haut sur l'onglet "modifier le code" puis, sans rien modifier dans l'article, en bas sur l'onglet "Enregistrer". Anne (discuter) 17 février 2014 à 20:50 (CET)
thread_title:  Problème de formatage 

message: Rien du coté des approximants de Padé ? de l'approche CORDIC ?
Il faudrait de préférence des approximations basées sur les angles en degrés, précises au moins de 0° à 45°. Car, outre l'intérêt direct pour les graphismes, π n'a pas de représentation exacte en virgule flottante, ce qui rend imprécis les calculs basés sur des angles en radians.
--Lf69100 (discuter) 28 février 2016 à 16:45 (CET)
thread_title:  Calcul 

message: Sur le Le Thé à la date du 8 mars 2017 (voir section «Pitoyable») Styx se plaint du contenu de cet article. Sans faire un constat aussi négatif que celui de Styx, je reconnais que l'article mélange plusieurs notions voisines sans le dire vraiment : le sinus en géométrie avec la version basique du triangle rectangle et la version plus complexe de l'angle orienté, et le sinus en analyse comme étude d'une fonction. Je propose donc un nouveau plan permettant de scinder davantage les notions:
# Sinus d'un angle
## Sinus d'un angle géométrique
### Cas du triangle rectangle (définition - reflexion sur les unités d'angle)
### Cas du triangle quelconque (cas de l'angle obtus - aire - calcul du sinus grâce aux aires - règle des sinus)
### Repère historique (la corde des Grecs, le jya des Indiens, le sinus est une longueur associée à un arc, les premières tables de sinus, l'intervention des arabes, les mésaventures de la translitération et de la traduction
## Sinus d'un angle orienté (introduction du signe par la mesure principale, ordonnée sur le cercle trigonométrique, calcul à l'aide du déterminant)
# Fonction sinus (qui reprendrait l'ensemble du contenu actuel à l'exception du cas du triangle rectangle et qui préciserait que la définition à partir du cercle unité impose l'unité de mesure d'angle : le radian) 
Qu'en pensez-vous?HB (discuter) 15 mars 2017 à 08:28 (CET)
replies: text: Bonne idée (et gros travail en perspective). Bon courage. Theon (discuter) 15 mars 2017 à 11:06 (CET)
replies: text:  Fait, à relire. HB (discuter) 17 mars 2017 à 17:37 (CET)
thread_title:  Modification de plan