Discussion:Nombre hyperréel

message: Je ne suis pas vraiment d'accord avec cet article, je trouve qu'il manque de pertinence. 
Alors tu le modifies ou tu la fermes 
Ho restons polis ! On a le droit de critiquer un article sans nécessairement prendre la peine de le corriger. Par contre, un peu plus de détails constructifs dans la critique seraient bienvenus. FvdP 17 mars 2006 à 19:17 (CET)

message: La phrase "tout se passe comme si on n'avait plus besoin de la notion de limite" est un peu trompeuse.  Il est plus exact de dire que la limite elle-meme est definie a l'aide de l'ombre (partie standard). Math999 (d) 22 octobre 2009 à 12:15 (CEST)
replies: text: Ah non... C'est très différent (en apparence) de dire, typiquement (classique) "la suite f_n converge uniformément vers f si pour tout epsilon, il existe N, pour tout x,...etc.etc." et (non-standard)"... si pour n infiniment grand, et tout x (standard ou non), f_n(x) est infiniment proche de f(x)"--Dfeldmann (d) 22 octobre 2009 à 19:58 (CEST)
replies: text: Bien sur, mais les limites ne sont pas la meme chose que l'approche "epsilon, delta" de Weierstrass.  Il me semble que vous comprenez la phrase ci-dessus dans le sens "tout se passe comme si on n'avait plus besoin de l'approche epsilon, delta de Weierstrass" Math999 (d) 1 novembre 2009 à 16:34 (CET)
replies: text:  oui... D'un autre côté, l'idée est importante : les concepts relevant de la notion de limite impliquent (et ce avant Cauchy) des notions de "mouvement", le recours à une image du type "quand n tend vers l'infini" , les concepts correspondants en ANS sont statiques : on fixe un objet non-standard (un entier infiniment grand , une microjauge...) et on calcule sur lui.  Je pense qu'il est important, surtout pour des lecteurs non familiers de l'ANS, d'insister sur cette différence "philosophique" (référence : "Analyse non-standard", de Diener et  Reeb)--Dfeldmann (d) 1 novembre 2009 à 19:44 (CET)
replies: text: Les experts en education mathematique sont de l'opinion que, au contraire, les definitions classiques a la epsilon delta de Weierstrass sont statiques, tandis que l'approche infinitesimale est mieux adaptee a l'intuition dynamique, voir e.g. David Tall.  Je suis bien d'accord qu'avant Weierstrass le calcul infinitesimal etait plus dynamique.  Math999 (d) 2 novembre 2009 à 14:37 (CET)
thread_title:  limite 

message: Le terme exact est ultra-puissance (définie à partir des ultra-filtres) et non extension.^{*}\mathbb{R} n'est pas un sous-corps de \mathbb{R} , c'est le même corps mais vu sous deux modèles différents.--Titi2 (d) 3 mars 2010 à 11:49 (CET)
replies: text: Je ne veux pas jouer aux arguments d'autorité (quoique), mais dans le langage utilisé ici, c'est précisément parce que ^{*}\mathbb{R} est une ultrapuissance que c'est une extension de \mathbb{R} : c'est un corps, qui contient une image isomorphe à \mathbb{R} par l'injection canonique a \mapsto (a,a,a,\dots)/U. Ta version de modèles correspond plutôt à IST, où, en un certain sens, ^{st}\mathbb{R} (la collection des réels standards) n'est même plus définissable comme un ensemble, et n'est donc certainement pas un sous-corps de \mathbb{R}. J'ai rectifié légèrement l'introduction pour tenir compte de ta remarque, mais je crains bien d'avoir raison --Dfeldmann (d) 3 mars 2010 à 23:00 (CET)
replies: text:  Il faut voir laquelle des formulations est la plus précise et la plus correcte. Les extensions de corps s'utilisent en théorie de Galois et , que je sache , très peu en Analyse non-standard. C'est sûr qu'un corps est sous-corps de lui-même. Préciser extension de corps , tel qu'utilisé en théorie de galois sous-entend qu'il s'agit de deux corps différents. Ce n'est pas le cas en théorie des modèles.--Titi2 (d) 5 mars 2010 à 10:24 (CET)
replies: text:  Je veux pas nisister, mais si tu parles d'ultra-puissances, R et *R sont bien deux corps distincts (la preuve : *R n'est pas archimédien). Si tu parles d'IST (ce qui n'est pas le sujet de l'article), stR n'est même pas un ensemble, alors un sous-corps... Et si tu parles de modèles, tu n'as pas tort, mais, à nouveau, ce n'est pas le sujet de l'article. --Dfeldmann (d) 5 mars 2010 à 20:02 (CET)
replies: text:  Ok mais ultrapuissance n'est-il pas plus précis que "extension de corps" qui fait référence à la théorie de Galois , ce qui pourrait induire le lecteur en erreur.--Titi2 (d) 9 avril 2010 à 12:22 (CEST)
replies: text:  Ben si, mais la pratique usuelle (en mathématiques) est de dire qu'un corps est un anneau (avec des propriétés supplémentaires), qu'un carré est un losange, et que les hyperréels (définis comme ultrapuissance) forment (à isomorphisme près) une extension de corps de R. Je vois pas le rapport avec la théorie de Galois (dois-je te rappeler que R* est une extension transcendante pure de R?), et j'avoue ne pas imaginer quel genre d'erreur cette expression pourrait induire chez le lecteur...--Dfeldmann (d) 9 avril 2010 à 13:08 (CEST)
replies: text: Le lecteur pourrait croire que cela à voir avec la théorie de galois plutôt qu'avec les ultrafiltres.Pourquoi ne pas écrire alors "les hyperréels , définis comme ultrapuissance , sont une extension de corps"--Titi2 (d) 9 avril 2010 à 13:45 (CEST)
replies: text:  Je vois d'autant moins le problème que l'expression "extension de corps" n'est utilisée nulle part dans l'article. Où veux-tu au juste mettre la phrase ci-dessus ? --Dfeldmann (d) 9 avril 2010 à 14:56 (CEST)
thread_title:  Ultra-puissance 

message: J'ai mis l'écriture communément admise pour le surcorps des nombres hyperréels à savoir ^*\mathbb R , c'est-à-dire avec l'astérisque devant et non derrière. L'autre ntation , \mathbb R^* , est plus souvent employée pour désigner \mathbb R \{0}--Titi2 (d) 11 mai 2010 à 12:07 (CEST)
replies: text: Oui, tu as bien raison--Dfeldmann (d) 11 mai 2010 à 12:29 (CEST)
thread_title:  <math>^*\mathbb R</math> ou <math>\mathbb R^*</math> 

message: La phrase "disparition progressive des infinitésimaux et leur remplacement, dû à Cauchy et Weierstrass, par les notions modernes de limite, de continuité" est paradoxale dans la mesure ou c'etait Cauchy qui a defini la continuite a l'aide des infiniment petits, et a insiste sur le role fondamental de ces derniers. Tkuvho (d) 27 septembre 2010 à 23:08 (CEST)
replies: text: Références ? C'est assez important, en effet, même si je ne vois pas trop où il faut le caser... Au minimum, il faudra préciser la section de l'article Cauchy consacré aux fondements de l'Analyse. Et que penses-tu alors de ce qu'écrit Dieudonné? (et aussi l'Analyse au fil de l'histoire, me semble -t-il)--Dfeldmann (d) 28 septembre 2010 à 04:09 (CEST)
replies: text: The article by Sinaceur from 1973 is a good analysis of such misconceptions, as well as more recent texts by Laugwitz, particularly his 1989.  I am not sure which comment by Dieudonne you are referring to.  I am not familiar with "analyse au fil", who is the author?  Tkuvho (d) 28 septembre 2010 à 07:22 (CEST)
replies: text:  For Dieudonné, the ref is in the Cauchy article (Abrégé d'histoire des mathématiques,  vol. 1, pp. 341-344). As for L'analyse au fil de l'histoire, it is a wonderful (and I dont exagerate) book by Hairer and Wanner, published by Springer-Verlag in 2001 ;   Analysis by its History was  published a few years before, but I dont know if it is exactly the same book (well, I just checked, and it is, modulo a few improvements in the (later) French edition) ; anyway, it is a real gem.--Dfeldmann (d) 28 septembre 2010 à 09:27 (CEST)
replies: text:  After reading the Sinaceur article, I can easily correct the present (hyperreals) one... but for Cauchy, this will be somewhat harder. Matter for the Café, at least. I will soon explain the problem there --Dfeldmann (d) 28 septembre 2010 à 10:30 (CEST)
replies: text: La reference a Cauchy dans le contexte d'une "elimination" d'infinitesimaux est inexacte, dans la mesure ou il insiste sur leur importance fondationnelle, et les utilise dans sa recherche pendant plus de 3 decennies.  Dans le mesure ou HB a "retiré" ses propos au cafe, serait il convenable de retirer Cauchy de ce liste eliminatoire?  Tkuvho (d) 30 septembre 2010 à 21:44 (CEST)
replies: text:  Sorry, but I dont agree that HB did "retract" his words on the café ; I am afraid your reading of Cauchy is only that : it is your reading (and, perhaps, the one of Sinaceur and Laugwitz). Not enough founded to be clearcut, imho, but I could be wrong. Anyway, the harm done by including him in the list in this article is infinitesimal too, so for the present, I will not try to do more. Back in a few days, after further reading on the matter--Dfeldmann (d) 30 septembre 2010 à 22:08 (CEST)
replies: text: The idea that Cauchy exploited infinitesimals systematically in his work is not a matter of opinion but rather is thoroughly documented in the literature, including the 1989 article in top historical journal Archive for history of exact sciences.  I find your deletion of Cauchy rather odd.  Do the "principes fondateurs" include one to the effect that certain ideas are more equal than others? Tkuvho (d) 5 octobre 2010 à 11:25 (CEST)
thread_title:  Cauchy 

message: L'affirmation que "Dès 1930, les travaux de Skolem montrèrent cependant qu'une extension des réels autorisant un véritable calcul infinitésimal était possible" est un peu douteuse dans la mesure ou Skolem travaillait uniquement avec de modeles de N, sans aucune trace d'infinitesimaux.  Tkuvho (d) 10 mars 2013 à 16:40 (CET)
replies: text: Ah bon ? Le théorème de Löwenheim-Skolem ne s'applique pas à toute théorie (récursive) du premier ordre?--Dfeldmann (d) 10 mars 2013 à 17:02 (CET)
replies: text: Hi Denis and thanks for your comment.  I recall from previous discussions that you are comfortable with English, so I will continue in that language since I don't have a French keyboard, unless you request otherwise.  There are two separate results here that are attributed to Skolem.  One is the Löwenheim-Skolem theorem, and the other is the construction of non-standard models of arithmetic which Skolem published in 1933 and 1934.  It is the latter result that is often cited by Robinson as one of his inspirations for non-standard analysis.  It also fits the description "Dès 1930".  On the other hand, Löwenheim published in 1915, and Skolem published his papers in this direction in the 1920s.  Formally speaking you are right, one can deduce models larger than R from the L-S theorem, and therefore they must be non-standard models.  However, one does not generally think of this result as motivation for non-standard analysis.  The theory of closed real fields originates from the 1920s as well, but what we are dealing here is first order logic in a limited sense (functions don't get extended), unlike the strong sense of the transfer principle where functions and relations get extended as well.  Skolem's papers from 1933 and 1934 exploit definable functions on N in constructing non-standard models.  I expect that one should be able to extend definable functions from N to the non-standard model, but this would have to be checked.  At any rate, in the literature it is the 1933, 1934 papers of Skolem that are usually considered as early seeds of non-standard analysis rather than the L-S theorem which as you correctly point out is also relevant. Tkuvho (d) 10 mars 2013 à 17:19 (CET)
replies: text:  Ok, but anyway, non-standard integers are (in any reasonable sense) infinite reals, and their inverses are infinitesimals ; moreover, for any (standard) real x, and any infinite integer N, the  (non standard) integer P = floor (xN) is well-defined in any theory where x is defined, and then N/P is a  (non standard) rational infinitely close to x, so the whole theory of R* can be reconstructed in this way (actually, this is a simulation of the  construction of R by hyperrationals given here : Construction des nombres réels). I dont know if Skolem was aware of all this in the 1930's, but why not? Otoh, of course, he didn't suspect what Robinson would do with this idea...--Dfeldmann (d) 10 mars 2013 à 18:56 (CET)
replies: text: One can certainly form the field of fractions of Skolem's semiring to get a field.  This field would be countable so it is certainly not a hyperreal field.  Note that Skolem's model is constructed without the axiom of choice.  As you correctly surmised, Skolem had not an inkling of all this.  I haven't seen any speculation that Skolem may have known this in any of the sources, so including this in the article would be "original research" (OR) (not sure how to express this bit of wikijargon in French).  Tkuvho (d) 10 mars 2013 à 19:41 (CET)
replies: text:  Well, this one is a countable extension of the constructible reals, but starting from a model of a language with constants for every real, one get a hyperreal field. Anyway, all this, as you say, is OR (in French, TI, for "Travail Inédit" ; see WP:TI).--Dfeldmann (d) 10 mars 2013 à 19:55 (CET)
replies: text: In your last comment you seem to be referring to a use of the compactness theorem.  However, Skolem did not rely on the compactness theorem.  His construction was basically an ultrapower construction, but he only used definable sequences, which allowed him to avoid the axiom of choice.  Tkuvho (d) 10 mars 2013 à 20:06 (CET)
thread_title:  Skolem 

message: Merci à  pour le début d'explication ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/user_talk:Nnemo#Analyse_non_standard
Dans l'article, la définition des nombres hyperréels paraît délirante. Selon cette définition, aucun nombre hyperréel x ne pourrait être IP (infiniment petit). En effet, |x| devrait être < tout réel positif, donc < 0. Or une valeur absolue est toujours positive. Ou alors la notation |x| signifierait autre chose que valeur absolue, mais alors il faudrait la définir.
Des avis ? 
-- Nnemo (discuter) 3 octobre 2015 à 19:45 (CEST)
replies: text: strictement positif, évidemment. Je précise ça tout de suite.--Dfeldmann (discuter) 3 octobre 2015 à 21:13 (CEST)
thread_title:  Définition délirante