Discussion:Factorisation des polynômes

message: Bonjour,
J'ai un sérieux doute sur le raisonnement suivant :
"Dans un anneau intègre, l'existence d'une décomposition d'un polynôme non constant en produit de polynômes irréductibles est une conséquence immédiate de la définition d'un polynôme irréductible. Une récurrence forte le prouve aisément : les polynômes de degré 1 sont irréductibles. On suppose que tout polynôme de degré strictement inférieur à n est irréductible ou décomposable en produit de polynômes irréductibles. Soit alors P un polynôme de degré n, il est soit irréductible soit décomposable en produit de deux polynômes de degré strictement inférieurs à n eux-mêmes produits de polynômes irréductibles."
Premièrement, pourquoi tout polynôme de degré 1 serait irréductible dans un anneau intègre quelconque ? Il me semble que P=2X n'est pas irréductible dans Z[X], mais pourtant il est de degré 1. La définition des polynômes irréductibles n'est pas clairement énoncée dans cet article. Ensuite, que faire des polynômes de degré zéro ? Il n'y a a priori aucune raison qu'ils soient décomposables en produit d'éléments irréductibles de A[X] si A n'est pas factoriel. 
Merci d'avance de vos réponses.--Conditionouverte (d) 6 octobre 2011 à 18:22 (CEST)
replies: text: Damned ! Superbe erreur ! Merci de l'avoir signalée. J'avais pris comme définition de polynôme irréductible  : est irréductible tout polynôme de degré supérieur ou égal à un que l'on ne peut pas écrire sous forme de produit de deux polynômes de degré supérieur ou égal à 1 (or cette définition n'est valable que pour les polynômes sur un corps j'ai HONTE, honte, honte...), il me semble qu'avec cette définition le raisonnement mis en place est valide. Seulement voilà.... ce n'est pas la bonne  définition de polynôme irréductible et une âme charitable a gentiment corrigé la définition donnée sans se rendre compte que le raisonnement et la propriété qui utilisaient cette définition perdaient tout sens et validité. Avec la bonne définition de polynôme irréductible, il ne suffit pas que l'anneau soit intègre pour prouver l'existence d'une décomposition, il faut effectivement qu'il soit lui-même factoriel et la démonstration n'est pas aussi simple ==> supprimer tout le contenu de la section et indiquer seulement que, dans le cas des anneaux factoriels, l'anneau des polynômes est aussi factoriel et renvoyer sur l'article principal. j'ai fait assez de bêtises sur cet article et je préfèrerais que quelqu'un d'autre corrige....HB (d) 7 octobre 2011 à 08:12 (CEST)
replies: text: C'est moi l'âme charitable mais inattentive. Hier j'avais (pour une fois) résisté à la tentation d'intervenir vite, vous laissant la priorité. Je vais essayer de continuer. Question liée (mais pour spécialistes, et moins urgente) : a-t-on, pour les anneaux vérifiant la  (c'est-à-dire si j'ai bien compris ceux où une factorisation en irréductibles existe, dont font partie à la fois les factoriels et les noethériens), la même chose que théorème de la base de Hilbert (si A noethérien alors A[X] aussi) et le théorème analogue pour A factoriel ? Anne Bauval (d) 7 octobre 2011 à 13:29 (CEST)
replies: text:  Question pour spécialiste à laquelle je ne sais pas répondre... Bon, j'ai enlevé mes bêtises. C'est une réparation d'urgence, il faudrait je pense un peu étoffer et vérifier que je n'ai pas commis d'imprécision. HB (d) 7 octobre 2011 à 21:58 (CEST)
replies: text:  Inutile d'avoir honte d'avoir fait cette erreur, en tous cas. Je ne l'ai pas vraiment vue au premier coup d'oeil, en plus... Et j'ai fait une bourde toute aussi grosse en parlant de polynômes irréductibles il y a deux jours ! La preuve du fait que A factoriel implique A[X] factoriel est par exemple très bien faite dans le livre de Josette Calais, éléments de théorie des anneaux p.136 aux éditions Ellipses. En fait c'est même équivalent dans le cas où A est intègre, parce que si A[X] est factoriel, les éléments de A, qu'on voit comme polynômes de degré 0, se décomposent en produit d'élements irréductibles de degré 0 dans A[X], qui sont des irréductibles de A. Lorsque A n'est plus intègre, pas mal de problèmes apparaissent : voir par exemple le cours d'algèbre de M1 de Grégory Berhuy, professeur à l'Université de Grenoble (le poly est sur sa page web). Conditionouverte (d) 15 octobre 2011 à 21:33 (CEST)
thread_title:  doute sur un résultat