Discussion:Ellipsoïde

message: Dans la référence donnée, la définition de l'ellipsoïde n'est donnée qu'avec une matrice symétrique définie positive. Ici on ne demande à la matrice M que d'être définie positive, ce qui en suivant les liens internes, ne signifie pas plus qu'être inversible avec tous les coefficients positifs (et non strictement positifs).
Du coup à moins que je ne me trompe, j'ai un contre-exemple : M=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Avec cette matrice l'ellipsoïde serait 2xy=1, ce qui n'est pas correct.
À mon avis une partie du problème est que dans l'article Matrice_définie_positive, les mots "matrice positive" pointent vers la partie "matrice symétrique" de l'article "matrice définie positive".
Quoi qu'il en soit, symétrique ou non, la matrice M qui définit l'ellipsoïde doit avoir ses valeurs propres strictement positives, ce qui n'est évidement pas le cas de mon contre-exemple.
: J'ai changé ça. Par ailleurs, j'ai conclu de la page de discussion de Matrice positive que ce terme (ie : matrice positive) a deux significations : le premier indiquant que tous les éléments de la matrices sont positifs, le deuxième étant les matrices semi-définie positive et que les deux significations sont mélangées dans la-dite page. D'où le fait que le lien vers "matrice positive" dans l'article "matrice définie positive" pointe vers la fin de l'article et que si on regarde le début, la définition n'est pas celle correspondante.
: 152.77.240.76 (discuter) 3 avril 2014 à 16:16 (CEST)
thread_title:  La matrice ne devrait-elle pas être symétrique ? 

message: Il est toujours délicat de venir jouer l'inspecteur des travaux finis alors que l'on a pas mouillé la chemise dans la création de l'article mais comme cette demande en a été faite plusieurs fois ,  sur le projet math, il faut bien que quelqu'un s'y colle. Déjà bravo Wikini d'avoir désébauché l'article initial quasi doublon de l'article sur l’ellipsoïde de révolution. Cependant, il y a beaucoup de points qui me posent de réels problèmes et qui nécessiteraient une refonte à mon avis (mais je souhaiterais l'avis d'autres contributeurs)
: Merci pour ce regard sur l'article. J'ai fait quelques modifications selon les remarques faites. J'ai indiqués quelques réponses/commentaires au fil de l'eau.
* l'absence complète d'indication sur la nature du repère dans lequel est écrite l'équation
: je pense avoir corrigé ça.
* le chapitre équation généralisée 
** il me semble illogique de partir de la forme précise pour donner ensuite une forme qui peut aussi conduire à un point ou l'ensemble vide
: je suppose que par "forme précise", il est entendu l'équation présentée dans le chapeau de l'article. Il me paraît plus abordable d'utiliser cette formule dans le chapeau plutôt que d'attaquer directement avec la représentation matricielle, sachant qu'il est précisé que c'est l'équation d'un ellipsoïde spécifique (centré en l'origine avec les axes alignés à ceux du repères)
** la démonstration évite soigneusement le seul cas dans lequel on se place : la dimension 3 pour traiter du cas plus général des forme quadratiques
: J'ai amélioré cela.
** La maladresse, qui existe aussi dans l'article anglais, consistant à dire que l’ellipsoïde est caractérisé par les solutions d'une équation touchant des vecteurs, alors que l’ellipsoïde est un ensemble de points. 
** l'animation concernant un décomposition en valeurs singulière parle de l'ellipse et non de l’ellipsoïde
: je l'ai enlevée.
** Le théorème spectral est évoqué après que l'on ait déjà parlé de vecteurs propres et valeurs propres de la matrice alors qu'il est nécessaire pour justifier de leur existence.
:
** l'article parle des « matrices symétriques en dimension finie représentant les formes quadratiques» laissant supposer que certaine matrice symétrique pourrait ne pas représenter de forme quadratique (maladresse souligné d’ailleurs par une référence demandée)
: C'est typiquement le genre de points sur lesquels un regard plus matheux que le mien est indispensable ! J'ai donc modifié le texte en conséquence. Cela va-t-il mieux ? Je me pose par contre la question suivante : la matrice A est forcément symétrique ET carrée ET réelle ET définie positive ? 
** la phrase «Les valeurs singulières de M, étant égales aux valeurs propres, sont donc égales à l'inverse du carré des demi-axes.» est incompréhensible, la matrice M n'ayant pas été définie. On peut remplacer M par A et valeur singulière par valeur propre  mais alors on aboutit à répéter ce qui est déjà dit deux phrases avant.
: J'ai changé M en A. Est-ce que en trois dimensions, la décompositions en valeur singulière correspond également à la succession d'une rotation, une dilatation et une rotation ? Si oui, je pense qu'il serait intéressant de l'indiquer.
* paramétrisation
: Honnêtement, j'ai pompé ce paragraphe sur la version anglaise de l'article sans vraiment en comprendre le sens...
** j'ai du mal à comprendre le sens de la phrase «Les paramètres peuvent être vus comme des coordonnées sphériques.». Certes, il y a analogie avec les coordonnées d'un point sur une sphère dans le cas ou a=b=c mais le terme de coordonnées sphériques a un sens mathématique qu'il ne faudrait pas galvauder.
** la phrase «Le paramètre \phi correspond alors à l'anomalie excentrique de cette ellipse.» est très mal dite : une ellipse ne possède pas d'anomalie excentrique car  pour une ellipse donnée, l'anomalie excentrique dépend du point observé.
** la phrase «Il existe deux autres paramétrisations, chacune possédant sa propre interprétation.», que l'on retrouve d'ailleurs dans l'article anglais,  me semble peu claire, il existe de nombreuses paramétrisation possibles d'un ellipsoïde
** je ne comprends la phrase «Seuls les ellipsoïdes de révolution possèdent une unique définition de la latitude réduite». les autres ellipsoïdes en posséderaient plusieurs?
* Espace projectif (je laisse les spécialiste des ellipsoïdes imaginaires se prononcer)
* Volume pas d'erreur à mon avis  mais des sources seraient souhaitables
* surface : formules fidèles aux source, des s oubliés dans intégraleS elliptiqueS mais dans l'état actuel de notre article intégrale elliptique les formules de E et F doivent à mon avis figurer en clair sinon la formule ne sert à rien.
: Toujours possible de prendre les formules de la version anglaise de la page, mais je ne saurais mettre de texte les expliquant.
* excentricité : première fois que j'en entends parler, l'article allemand définit l'excentricité  uniquement dans le cas d'un ellipsoïde de révolution pour lequel d'ailleurs semble exister une formule plus simple de l'aire.
Désolée pour l'aspect négatif que ma lecture peut donner. L'article a pourtant beaucoup progressé. Beaucoup de mes remarques sont des points de détails que l'on peut corriger mais la section sur équation généralisée est à reprendre à fond (je peux le faire si tu es d'accord) avec suppression de l'illustration, suppression de la démonstration, explicitation plus claire entre équation générale d'une quadrique et spécificité de l'équation de l’ellipsoïde.
D'autres avis ? HB (discuter) 14 mai 2014 à 11:53 (CEST)
replies: text: Plus globalement, pour la section "équation générale", j'ai modifié certains points selon les remarques faites, mais c'est avec plaisir que je laisse les autres points être corrigés. Par ailleurs, je songe également à ajouter les coordonnées dans d'autres repères, comme fait sur la page anglaise : :en:Ellipsoid#Equations_in_specific_coordinate_systems, mais étant donné qu'il n'y a aucune référence, j'ai un doute. Y aurait-il une référence quelque part ? Et encore merci pour la relecture. Wikini (discuter) 16 mai 2014 à 18:55 (CEST)
replies: text:  Merci pour ta réactivité, tu peux ajouter, si tu veux, la section sur les autres équations réduites (en coordonnées sphériques et cylindriques), pour ma part je n'en vois pas très bien l'utilité mais elles ne comportent pas d'erreurs. Tu as, par ailleurs, posé deux autres questions qui demandent, elles, un développement à part. Je réponds donc dans deux sous-sections. HB (discuter) 17 mai 2014 à 12:51 (CEST)

text: Merci beaucoup pour ces précisions. J'ai fait une refonte de la section concernée, en recopiant grosso modo cette réponse. Il y a encore certainement des améliorations possibles, retouches bienvenues.Wikini (discuter) 27 mai 2014 à 06:25 (CEST)
thread_title:  Relecture critique 

message: Tu t'es posé la question 
Ceci concerne les quadriques en général et leur classification (voir quadrique#Classification générale)
\mathbf{x}^\mathrm{T}A\,\mathbf{x}+B^\mathrm{T}\mathbf{x}+C = 0 est l'équation d'une quadrique à condition toutefois que A soit une matrice carrée sinon on ne peut pas calculer xAx.
L'équation générale d'une quadrique est Ax^2+By^2+Cz^2+2Dyz+2Exz+2Fxy+Gx+Hy+Iz+J=0 où tous les coefficients sont des réels
 
On choisit de découper cette équation en trois bouts : un premier groupe  regroupant les 6 premier termes, un second regroupant les trois suivants et on laisse le dernier terme tout seul; on obtient alors l'équation matricielle standard d'une quadrique :\mathbf{x}^\mathrm{T}A\,\mathbf{x}+B^\mathrm{T}\mathbf{x}+C = 0 où cette fois si A est par construction symétrique (carrée et réelle).
La classification des quadriques se fait alors selon le rang et la signature de la matrice A. Pour une matrice de rang 3 et de signature (3,0) ou (0,3), on tombe sur une quadrique de type ellipsoïde. A condition éventuellement de changer tous les coefficients de l'équation par leur opposé, la matrice A est alors symétrique définie et positive (carrée, réelle) .
Puisque la matrice est de déterminant non nul, la quadrique possède un centre dont les coordonnées sont données par le vecteur v = -AB et son équation est :\left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right)^\mathrm{T}\! A\, \left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right) = K
Mais on n'est pas encore sûr, à ce stade d'avoir un ellipsoïde. Si K est négatif, on a l'ensemble vide et si K est nul, la quadrique est réduite à un point (ce sont les ellipsoïdes dégénérés).
Si K est positif, en divisant tous les coefficients de la matrice par K on obtient la forme annoncée dans l'article : \left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right)^\mathrm{T}\! A_1\, \left(\mathbf{x}-\mathbf{v}\right) = 1 où A est encore une matrice carrée symétrique définie positive.
 
C'est pour cela que je trouve illogique de démontrer que la forme aboutie est un cas particulier d'une forme générale alors que c'est l'autre démarche (passage de la forme générale à la forme particulière, spécifique d'un ellipsoïde) qui apporte de l'information. HB (discuter) 17 mai 2014 à 12:51 (CEST)
replies: text: Merci beaucoup pour ces précisions. J'ai fait une refonte de la section concernée, en recopiant grosso modo cette réponse. Il y a encore certainement des améliorations possibles, retouches bienvenues.Wikini (discuter) 27 mai 2014 à 06:25 (CEST)
thread_title:  Pourquoi matrice, carrée, symétrique, définie positive ? 

message: Sur les valeurs singulières tu as répondu 
Inutile de parler de valeurs singulières pour la matrice A, on parle plus simplement de valeurs propres. J'ai l'impression que tu as fait une confusion entre A matrice de l’ellipsoïde et M matrice de la transvection (dans le cas de l' illustration que tu avais mise). L'illustration montrait comment une transvection transformait un cercle en ellipse, en se servant de la décomposition de la matrice de transvection en  valeurs singulières. Le même résultat est vrai pour toute transformation affine dans le plan comme dans l'espace : toute transformation affine dans l'espace, transforme une sphère en ellipsoïde et inversement, pour tout ellipsoïde, il existe une transformation affine le transformant en sphère unité. C'est la raison pour laquelle on a appelé d'un même nom des objets qui sont ressemblants mais pas identiques. On dit que l'ensemble des ellipsoïdes est l'orbite de la sphère unité sous l'action du groupe des transformations affines.  Est-ce utile ici de dire que toute transformation affine a une matrice M se décomposant en valeurs singulières, donc qu'une transformation affine dans un espace euclidien est la composée d'une translation avec 2 isométries (pas nécessairement des rotations) et 3 dilations (une suivant chaque axe) ? Je pense que c'est hors sujet ici. On peut cependant évoquer le fait qu'une transformation affine transforme une sphère unité en ellipsoïde et que les valeurs singulières de sa matrice M associée sont les demi-grands axes de  cet ellipsoïde. On peut aussi dire qu'un ellipsoïde est l'image d'une sphère de même centre par trois dilations dans trois directions orthogonales.HB (discuter) 17 mai 2014 à 12:51 (CEST)
thread_title:  Allusion aux valeurs singulières