Discussion:Géométrie euclidienne

message: Voilà, voilà, j'avais l'impression qu'on tirait tous un peu dans le meme sens, donc j'ai procédé aux changements : l'article Géométrie euclidienne est désormais consacré à l'évolution des concepts géométriques à partir d'Euclide ; c'est essentiellement le travail de Jean-Luc W, que j'ai un peu réorganisé pour éviter les redites, et en tenant compte de (certaines) remarques de HB. Certains paragraphes sont passés à l'as dans le processus, on peut les retrouver sur ma page de brouillon (et dans les historiques, bien sur). Du coup, l'article espace euclidien devient vide ; j'y ai transféré quand meme ce qui avait été fait sur la comparaison avec hermitien et dim finie, qui après tout, est intéressant et se trouve bien là. Mais ce ne sera pas suffisant. Pour l'ancien article Géométrie euclidienne, je ne savais pas trop qu'en faire ; il est aussi chez moi. Comme je l'avais dit à un moment, il peut y avoir quelque chose d'intéressant à développer dans le style suivons Euclide pas à pas, et qui pourrait se baser sur ça.
J'espère que l'articulation des différents changements épistomologiques sera plus claire dans la nouvelle version de l'article. Qu'en pensez-vous? Nombre des remarques faites initialement restent toutefois valides, et du travail encore en perspective, mais dites si le plan du moins recueille ou non votre assentiment.Salle 12 mai 2006 à 20:59 (CEST)
replies: text: Salle avait raison: lire l'article précédent en le voyant sous l'angle de géométrie euclidienne et non sous celui de  l'espace euclidien rend caduque un grand nombre de mes critiques. La disparition de la partie histoire fait tomber un grand nombre de redites et tout (ou presque) s'éclaire. Reste maintenant à etayer un peu l'article espace euclidien avec par exemple, norme distance et angle). Pour les commentaires restant à faire sur le nouvel article géométrie euclidienne voir Discuter:Géométrie euclidienne. HB 13 mai 2006 à 15:12 (CEST)
thread_title: Chamboulements

message: : Salle avait raison: lire l'article précédent en le voyant sous l'angle de géométrie euclidienne et non sous celui de  l'espace euclidien rend caduque un grand nombre de mes critiques. La disparition de la partie histoire fait tomber un grand nombre de redites et tout (ou presque) s'éclaire. Reste maintenant à etayer un peu l'article espace euclidien avec par exemple, norme distance et angle). Pour les commentaires restant à faire sur le nouvel article géométrie euclidienne voir Discuter:Géométrie euclidienne. HB 13 mai 2006 à 15:12 (CEST)
thread_title: Remarques

message: ===Opinion de Salle===
Comme dit sur la page de discussion de Jean-Luc W, il me semble que cet article traite plus de l'évolution de la conception de la géométrie à partir des travaux d'Euclide que des espaces euclidiens ; c'est une matière extrêmement intéressante à mon sens et qui mérite un regroupement dans l'esprit de ce que l'article propose ; c'est-à-dire, je pense qu'il ne faut pas se contenter d'éparpiller sur les articles Géométrie non euclidienne, Construction à la règle et au compas, Programme d'Erlangen, Axiomes de Hilbert, mais bien admettre la nécessité d'un article qui fasse un survol historique et épistomologique du corpus, en entrant assez dans les détails pour que les enchaînements et les nuances d'idées soient compréhensibles ; en renvoyant ensuite aux articles plus spécialisés. On peut imaginer ensuite que le lecteur intéressé fera des allers-retours entre l'article de base et les articles détaillés. Je renvoie au commentaire ci-dessus pour la question du contenu mathématique (par opposition à historique et épistémologique) pour ce qui concerne les espaces euclidiens.
Mais il faudrait aussi un article géométrie euclidienne qui traiterait du contenu mathématique dans l'esprit d'Euclide (sans se préoccuper de formalisme etc...). L'article Géométrie euclidienne est une ébauche dans ce sens. La question est : comment coordonner les deux? Peut-être incorporer l'article à la Euclide dans le projet mathématiques élémentaires? Et faire de l'actuel article espace euclidien une sorte de portail, avec contenu historique, sous le titre Géométrie euclidienne?Salle 10 mai 2006 à 17:40 (CEST)
thread_title: Le périmètre de l'article

message: Comme dit sur la page de discussion de Jean-Luc W, il me semble que cet article traite plus de l'évolution de la conception de la géométrie à partir des travaux d'Euclide que des espaces euclidiens ; c'est une matière extrêmement intéressante à mon sens et qui mérite un regroupement dans l'esprit de ce que l'article propose ; c'est-à-dire, je pense qu'il ne faut pas se contenter d'éparpiller sur les articles Géométrie non euclidienne, Construction à la règle et au compas, Programme d'Erlangen, Axiomes de Hilbert, mais bien admettre la nécessité d'un article qui fasse un survol historique et épistomologique du corpus, en entrant assez dans les détails pour que les enchaînements et les nuances d'idées soient compréhensibles ; en renvoyant ensuite aux articles plus spécialisés. On peut imaginer ensuite que le lecteur intéressé fera des allers-retours entre l'article de base et les articles détaillés. Je renvoie au commentaire ci-dessus pour la question du contenu mathématique (par opposition à historique et épistémologique) pour ce qui concerne les espaces euclidiens.
Mais il faudrait aussi un article géométrie euclidienne qui traiterait du contenu mathématique dans l'esprit d'Euclide (sans se préoccuper de formalisme etc...). L'article Géométrie euclidienne est une ébauche dans ce sens. La question est : comment coordonner les deux? Peut-être incorporer l'article à la Euclide dans le projet mathématiques élémentaires? Et faire de l'actuel article espace euclidien une sorte de portail, avec contenu historique, sous le titre Géométrie euclidienne?Salle 10 mai 2006 à 17:40 (CEST)
thread_title: Opinion de Salle

message: J'ai de mon côté pas mal réfléchi à la proposition de Salle. Transformer cet article en "géométrie euclidienne" et refaire un article technique sur espace euclidien. Il propose aussi de déplacer l'actuel article géométrie euclidienne dans géométrie euclidienne (mathématiques élémentaires). Cette idée me tente assez puisque la première critique que je fais à l'article actuel est de ne pas répondre explicitement à la question: qu'est-ce qu'un espace euclidien. je verrais donc bien
* Un article géométrie euclidienne qui reprendrait les idées développées dans cet article, en évitant les redites et les digressions (deux de mes reproches actuels) pour le maintenir à une taille raisonnable. On pourrait le décliner en géométrie euclidienne selon Euclide, géométrie euclidienne selon le produit scalaire, Géométrie euclidienne dans le programme Erlangen, L'echec de la géométrie euclidienne (naissance des géométrie non euclidienne), la géométrie euclidienne selon Riemann. Reste que le présent article après m'avoir grandement instruit me laisse avec des questions sans réponse : qui a eu l'idée de remplacer l'espace euclidien (avec distance et angle) par un espace avec produit scalaire? Comment s'insère la géometrie euclidienne dans le programme Erlangen ? Pourquoi diable Hilbert a-t-il éprouvé le besoin de donner une nouvelle définition de l'espace euclidien alors que l'espace avec produit scalaire était pleinement satisfaisant et ne nécessitait pas 20 axiomes ?
* L'article espace euclidien préciserait en introduction que la définition actuelle est le résultat de 2000 ans de réflexion et renverrait sur géométrie euclidienne. Il parlerait des espaces vectorielles euclidiens sur R , de la norme associée, du cas de la  dimension finie, il parlerait des espace affines euclidien, préciserait la distance et l'angle (en dimension finie et infinie) donnerait des exemples d'applications et terminerait sur une ouverture vers les espaces hermitiens
*La création d'un article géométrie euclidienne (mathématiques élémentaires) ne me parait pas indispensable. D'une part nos élèves ne savent pas ou plus qu'ils travaillent sur un espace défini par les axiomes d'Euclide et, si le chapitre la géométrie Euclidienne selon Euclide est traité simplement, il peut servir d'accroche pour le lecteur néophyte. 
Je propose d'autre part que la suite de la discussion se fasse sur la page de discussion de l'article géométrie euclidienne ou de l'article  espace euclidien. Je laisse le soin à Jean-Luc de transférer les portions de sa page de discussion qu'il juge apte à alimenter le débat sur l'une ou l'autre page. HB 11 mai 2006 à 18:31 (CEST)
thread_title: Opinion de HB

message: *Le chapitre sur Euclide par exemple, me semble complètement hors sujet (à mettre dans la biographie d'Euclide ou en intro des éléments d'euclide). j'aurais d'avantage attendu là la définition axiomatique de l'espace euclidien, surtout avec le pb du cinquième postulat (rem, je l'ai trouvé plus loin donc il ne me semble pas à la place attendue).
Traité
*Le chapitre sur vers une nouvelle définition me semble mélanger plusieurs préoccupations : création de nouveaux ensembles géométriques qui n'on rien d'euclidien  et sur l'on ne cherche pas à rendre euclidien et tentatives de généralisation de l'espace euclidien à autre chose que notre espace "naturel". De ces deux préoccupations la seconde seulement nous intéresse dans cet article et le chapitre pourrait être réduit de moitié. 
*Parler d'espace vectoriel euclidien pour un espace vectoriel sur le corps des complexes, ou laisser sous-entendre cette notion me parait inapproprié. Si le corps est C, il s'agit d'un espace hermitien
*L'histoire de la remise en cause est trop longue et doit aller, à mon avis dans la partie historique de l'article: géométrie non-euclidienne. Dans cet article, ne devrait figurer que la remise en cause du cinquième postulat (je signale qu'il s'écrit différemment dans les deux articles), qu'est-ce que ça change sur le théorème de Pythagore que tu dis être significatif de la géométrie euclidienne. En quoi les autres axiomes restent inchangés ?
Traité Jean-Luc W 14 mai 2006 à 12:58 (CEST)
thread_title: Opinion de HB

message: "la trisection de l'angle et la duplication du cube, à l'aide seulement de la règle et du compas, ne se sont d'ailleurs montrés possibles qu'avec l'apport d'une autre branche des mathématiques"
Elles sont montrées impossibles, plutôt, non ?
: Effectivement cela ne va pas. Cependant la phrase est 
:: « Les trois grands problèmes de l'antiquité, à savoir la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube, à l'aide seulement de la règle et du compas, ne se sont d'ailleurs montrés possibles qu'avec l'apport d'une autre branche des mathématiques.»
: Du coup on ne peut pas plus remplacer par impossibles (les problèmes ne sont pas impossibles) . Je propose plutôt 
::« la résolution des trois grand problèmes de l'antiquité , à savoir la constructibilité ou non  de la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube, à l'aide seulement de la règle et du compas, n'a pu d'ailleurs être possible  qu'avec l'apport d'une autre branche des mathématiques.
: Je la mets en ligne mais on peut tenter une autre formulation. HB (d) 28 avril 2013 à 09:41 (CEST)
thread_title: Opinion de D.Ch

message: ===Opinion de HB===
* Les deux introduction alourdissent encore l'article sans vraiment l'éclairer. On a hâte de voir une définition claire d'un espace euclidien. Quand celle-ci apparait on manque la râter tant elle est noyée dans le bavardage. 
::"Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire."
* Si telle est la définition, que viennent faire les paragraphes "propriétés spécifiques aux cas réels" et  "propriétés vraies en dimension finie"? 
* Dans équivalence des approches, on assiste en fait à une présentation peu classique du produit scalaire comme une aire, mais pas à une réelle correspondance entre la définition axiomatique d'euclide et ce produit scalaire. Euclide parle de distance et d'angle et il faut bien chercher dans l'article comment, grâce à un produit scalaire, on évalue une distance et un angle (il me semble pourtant que cette notion devrait être mise en valeur).  Il me semble que le dessin de la symétrie du produit scalaire induit en erreur : l'extrémité du vecteur y n'a aucune raison d'être confondue avec le point D.
*Le paragraphe : isométrie en géométrie euclidienne semble reprendre le paragraphe "vers une nouvelle définition". mais je n'ai pas vraiment compris quel était l'objectif de Klein et comment le produit scalaire répondait à sa préoccupation. (à fusionner)
*Le paragraphe : euclide et la logique reprend, en le développant, le même paragraphe figurant dans histoire (à fusionner)
===Opinion de Salle===
Essentiellement trois critiques:
Merci pour tes exemples sur le programme d'Erlangen ; encore une fois, ce sont des enjeux que je ne connais pas, mon intervention est vraiment naïve, je ne fais pas semblant, mais voilà ce qu'il me semble. Tes exemples ne répondent pas à mon attente : tu dis que la classification par cinquième postulat ou non devient caduque (ou du moins est trop particulière, et ne rends pas compte de la diversité de la géométrie) ; en fait, le programme d'Erlangen donne un bon cadre général ; qu'advient-il précisément du 5ème postulat ici? Pour tes exemples, on a à chaque fois une notion naturelle de droite, ce sont des modèles géométriques qui vérifient les 4 premiers postulats, et la question du cinquième se pose et est pertinente. Alors, qu'est-ce qu'Erlangen change en définitive? Y a-t-il des géométries erlangiennes où la question du cinquième postulat ne se pose pas? Ou bien est-ce juste une question qui se pose pour toutes ces géométries, qui est intéressante certes, mais qui n'est pas la question fondamentale?
Ensuite, complètement d'accord pour que les vraies maths soient faites dans des articles connexes ; c'est ce que je défends aussi.
Dernier point, sur l'équivalence des approches, et la boîte en 3.3, je suis assez dans le flou ; si tu parviens à démêler dans les remarques suivantes ce qui est pertinent et là où je passe à côté de l'enjeu, je serai content. Je partage l'avis de HB ci-dessous : pour moi tu ne montres pas l'équivalence des approches. D'ailleurs, je ne saisis pas précisément l'objectif de ce développement. Si j'en reste à mon idée de modélisation, il n'est d'ailleurs pas possible de démontrer l' équivalence des approches ; tout ce qu'on peut espérer, c'est montrer que l'espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire est un bon modèle pour les axiomes d'Euclide ; et c'est une démonstration qui se fait en vérifiant  que ce modèle linéaire vérifie ces axiomes, point. Si on en reste à l'idée d'un article survol telle que je l'ai décrite ailleurs, c'est la seule chose qu'on peut inclure dans l'article. Pour moi, ce que tu fais, c'est autre chose (intéressant aussi), qui aurait sa place dans produit scalaire : c'est plutôt donner une interprétation géométrique du produit scalaire, qui fait sentir qu'on va obtenir une notion de mesure et de longueur ; et il n'y a pas d'enjeu de modélisation dans ton texte. Pinaillons encore : où se situe l'intervention du théorème de Thalès dans ton texte? L'utilises-tu juste comme illustration ou comme argument dans un raisonnement? Dans la deuxième éventualité, il faudrait déjà qu'il soit établi ; comme conséquence de l'axiomatique d'Euclide? Mais alors c'est que tu admets implicitement que ton monde (bi)linéaire est un modèle pour cette axiomatique. Or, n'est-ce pas ce que tu voulais montrer?
===Opinion de Peps===
* dans le 3. il est bien de donner des exemples d'abord mais du coup en entamant le paragraphe 3. on ne sait pas ce que tu vas faire : il faut une petite phrase d'intro du 3. "Certaines applications montrent une nécessité de réforme de l'approche axiomatique d'Euclide."
:Sage, pertinent et sans appel.
Pour les exemples 3.1. et 3.2. on a envie de demander en quoi ils sont euclidiens : par exemple pour l'ACP parce qu'il y a un problème de recherche de distance minimale entre données expérimentales et loi empirique, etc...
:Sage, pertinent et sans appel.
Peps 9 mai 2006 à 00:02 (CEST)
thread_title: Extension de la géométrie euclidienne, et formalisation : le produit scalaire

message: * dans le 3. il est bien de donner des exemples d'abord mais du coup en entamant le paragraphe 3. on ne sait pas ce que tu vas faire : il faut une petite phrase d'intro du 3. "Certaines applications montrent une nécessité de réforme de l'approche axiomatique d'Euclide."
:Sage, pertinent et sans appel.
Pour les exemples 3.1. et 3.2. on a envie de demander en quoi ils sont euclidiens : par exemple pour l'ACP parce qu'il y a un problème de recherche de distance minimale entre données expérimentales et loi empirique, etc...
:Sage, pertinent et sans appel.
Peps 9 mai 2006 à 00:02 (CEST)
thread_title: Opinion de Peps

message: Lecture très agréable, la partie sur Minkowski est devenue très claire. Quelques points soulevés. 
* Intro : Dans "Son aspect mathématique est traité de manière didactique dans l'article produit scalaire. Elle correspond à la formalisation d'un vecteur à l'aide d'un bipoint, développé dans vecteur. " à quoi se rapporte le mot "elle"? 
* 1.2." Les trois grand problèmes de l'antiquité ... ne sont d'ailleurs montrés impossibles qu'avec l'apport d'une autre branche des mathématiques : l'arithmétique. " Il me semble que les problèmes de non constructibilité font plus appel aux notions d'extensions galoisiennes que l'on peut difficilement classer dans l'arithmétique.
Gauss écrit ceci La théorie de la division du cercle ou des polygones réguliers, ..., n'appartient pas, par elle même à l'Arithmétique, mais ces principes ne peuvent être puisés que dans l'arithmétique transcendante. Recherche Arithmétique page XV. Si l'argument te convaint, je source, sinon je modifie.
*1.2. "Le théorème de Thalès permet à Ératosthène (276–194 av. J.-C.) de mesurer la circonférence de la terre " Il ne me semble pas que le lien soit aussi immédiat : il s'agit plutôt de proportionnalité entre angle au centre et longueur d'arc. 
*1.2. "Cette technique, dite de triangulation, permet aux marins de connaître leur position" Si "cette technique" se rapporte au théorème de Thalès j'ai quelque doute, et j'en ai aussi concernant le travail d'Eratosthène : "cette technique" fait référence à la trigonométrie dont tu devrais parler dans cette rubrique 
* 2 Modèle linéaire : le titre me parait mal choisi car je l'ai d'abord lu comme modèle en forme de ligne(?) et n'ai pas compris pourquoi on privilégiait les droites. Pourquoi ne pas titrer "Les apports de l'algèbre linéaire" ou "les apports de la la géométrie algébrique" ou autre... Je propose Approche algébrique de la géométrie, la géométrie algébrique est devenue bien différente 
*3.2."Klein définit une géométrie par l'ensemble de ses isométries c'est-à-dire les transformations laissant les distances invariantes" : il me semblait qu'à l'inverse Klein classifiait les géométries par des groupes de transformations qui n'étaient pas seulement le groupe des isométries ?
*3.2. Je n'ai pas compris cette phrase : "Cet ensemble bénéficie d'une structure nouvelle pour l'époque, celle d'un groupe particulier puisqu'il possède lui même une géométrie. "
*3.3 Illustration "cas ou les nombres ne sont pas réels" : ne faudrait-il pas mieux remplacer par "cas où les nombres ne sont pas rationnels" ?
*4. Le titre "Généralisations" est ambigu et a contribué, il y a un an, à me rendre confuse la dernière partie. Pour moi, une généralisation c'est quand on étend une mêmenotion à un domaine plus vaste. Ici, il ne s'agit pas de la même notion, nous n'obtenons plus des espaces euclidiens. Ne pourrait-on pas trouver un autre titre indiquant clairement que l'on quitte le champ euclidien "Extension" , "ouvertures vers d'autres géométries", "Variations" ou autre....
*4.3. A mon avis, on peut enlever l'allusion au théorème de Pythagore. Je mettrais bien la phrase "si on note.....en géométrie euclidienne le carré de la distance du point à l'origine est donnée par la formule.." car d'une part, on ne va pas le faire (on choisit une autre forme quadratique), d'autre part, je ne sais pas si on peut parler de repère orthonormal dans un espace de Minkowski (othogonalité?).
Voilà donc ces quelques (peu nombreuses) remarques sur ce qui me semble vraiment un bon article. HB (d) 6 janvier 2008 à 17:31 (CET)
replies: text: Quelle réactivité ! Il ne reste que le problème de l'allusion à l'arithmétique dans les questions de constructibilité. J'ai vu que Claudeh5 avait des réticences analogues : le pb des nombres constructibles semblent pour nous faire appel à d'autres notions que l'arithmétique. Si on laisse il faut pour le moins sourcer avec le texte exact de Gauss mais avant peut-être faudrait-il clarifier ce que Gauss appelle l'arithmétique transcendante pour éviter un contresens éventuel. Cgolds pourrait je pense nous éclairer utilementHB (d) 9 janvier 2008 à 17:32 (CET)
thread_title:  Relecture du 06/01/08 par HB 

message: Claude, Peps, Yelkrokoyade et HB font certaines critiques analogues sur l'article. Quatre contributeurs ayant un souci de même nature montrent qu'il existe cet axe d'amélioration. Je vais essayer de résumer tout ceci ainsi que les moyens qu'il faudrait mettre en oeuvre pour y répondre.
=== allez, je mets mon grain de sel ===
première remarque, il est tout à fait faux de dire (et donc de croire et laisser croire) que rien n'a été fait avant Gauss sur la question du 5e postulat: Saccheri en fait était à rien de la solution. A-t-il manqué d'audaces ?
Je pense qu'il n'avait pas les moyens de formaliser convenablement la géométrie. Tant que les démonstrations euclidiennes font autant appel à l'intuition que la logique, il est difficile de démontrer l'existence d'une géométrie non euclidienne. Pour Euclide, la droite est la ligne qui s’étend également par rapport à ses points. Comme le fait remarquer Enriques, une hélice répond à cette définition. Avec un tel flou, il est difficile de comprendre qu'une sphère est un exemple connu depuis l'antiquité de géométrie non euclidienne.
deuxième remarque: les éléments d'euclide ont été battus en brêche avec l'apparition du traité de Legendre. On n'en dit rien ?
Les éléments d'Euclide sont battus en brêche par Eudoxe (pourtant rédacteur probable d'une partie non négligeable des éléments), Clavius, Leibnitz et bien d'autres. Legendre est le didacticien important de la géométrie euclidienne ainsi que l'auteur de preuves subtiles et foireuses du cinquième postulat. Son apport n'est définitif ni en logique ni pour l'élaboration d'une géométrie non euclidienne. Voilà pourquoi je n'ai pas su l'intégrer.
troisième remarque: la question de la représentation géométrique des complexes (truel, wessel, argand, bellavitis, ...) est une question centrale qui mène à Hamilton, aux quaternions et aux octavions de Cayley. On cherche à algébriser la géométrie.
J'ai été extrêmement bref sur la modélisation linéaire de la géométrie. Je n'ai cité ni l'apport de Grassman, ni celui de Péano ni celui de Banach, qui finira pourtant par être celle qui s'impose. Je ne suis pas sur qu'il faille insister beaucoup plus sur Hamilton. Finalement son succès est plus un succès d'estime et a peu d'impact sur la modélisation linéaire. En revanche je n'ai cité ni les travaux de Grassman (deuxième modélisation qui ne s'impose pas) ni ceux de Péano ( troisième modélisation qui n'a pas plus de succès que celle de Grassman ou Hamilton). J'imagine que ce sujet doit avant tout être traité avec les espaces vectoriels.
quatrième remarque: il ne faut pas se laisser égarer à des propos manifestement faux: "Pour aller plus loin, comme par exemple pour l'étude des coniques[4] par Blaise Pascal (1623-1662) ou pour la naissance du calcul infinitésimal[5], l'introduction d'un repère est obligatoire." En lisant cela Appolonius de Perge s'est retourné dans sa tombe et a crié haut et fort une grossièreté que la décence interdit de rapporter même deux mille ans plus tard.Claudeh5 (d) 7 janvier 2008 à 16:38 (CET)
thread_title:  Des critiques récurentes 

message: première remarque, il est tout à fait faux de dire (et donc de croire et laisser croire) que rien n'a été fait avant Gauss sur la question du 5e postulat: Saccheri en fait était à rien de la solution. A-t-il manqué d'audaces ?
Je pense qu'il n'avait pas les moyens de formaliser convenablement la géométrie. Tant que les démonstrations euclidiennes font autant appel à l'intuition que la logique, il est difficile de démontrer l'existence d'une géométrie non euclidienne. Pour Euclide, la droite est la ligne qui s’étend également par rapport à ses points. Comme le fait remarquer Enriques, une hélice répond à cette définition. Avec un tel flou, il est difficile de comprendre qu'une sphère est un exemple connu depuis l'antiquité de géométrie non euclidienne.
deuxième remarque: les éléments d'euclide ont été battus en brêche avec l'apparition du traité de Legendre. On n'en dit rien ?
Les éléments d'Euclide sont battus en brêche par Eudoxe (pourtant rédacteur probable d'une partie non négligeable des éléments), Clavius, Leibnitz et bien d'autres. Legendre est le didacticien important de la géométrie euclidienne ainsi que l'auteur de preuves subtiles et foireuses du cinquième postulat. Son apport n'est définitif ni en logique ni pour l'élaboration d'une géométrie non euclidienne. Voilà pourquoi je n'ai pas su l'intégrer.
troisième remarque: la question de la représentation géométrique des complexes (truel, wessel, argand, bellavitis, ...) est une question centrale qui mène à Hamilton, aux quaternions et aux octavions de Cayley. On cherche à algébriser la géométrie.
J'ai été extrêmement bref sur la modélisation linéaire de la géométrie. Je n'ai cité ni l'apport de Grassman, ni celui de Péano ni celui de Banach, qui finira pourtant par être celle qui s'impose. Je ne suis pas sur qu'il faille insister beaucoup plus sur Hamilton. Finalement son succès est plus un succès d'estime et a peu d'impact sur la modélisation linéaire. En revanche je n'ai cité ni les travaux de Grassman (deuxième modélisation qui ne s'impose pas) ni ceux de Péano ( troisième modélisation qui n'a pas plus de succès que celle de Grassman ou Hamilton). J'imagine que ce sujet doit avant tout être traité avec les espaces vectoriels.
quatrième remarque: il ne faut pas se laisser égarer à des propos manifestement faux: "Pour aller plus loin, comme par exemple pour l'étude des coniques[4] par Blaise Pascal (1623-1662) ou pour la naissance du calcul infinitésimal[5], l'introduction d'un repère est obligatoire." En lisant cela Appolonius de Perge s'est retourné dans sa tombe et a crié haut et fort une grossièreté que la décence interdit de rapporter même deux mille ans plus tard.Claudeh5 (d) 7 janvier 2008 à 16:38 (CET)
thread_title:  allez, je mets mon grain de sel 

message: Voici une source qui pourrait t’intéresser et qui reprend un article de Imre Toth  parut en février 1977 dans la revue La Recherche : « La révolution non euclidienne » La Recherche en histoire des sciences, 1983, .
Le plan est le suivant :
*Un monde connu mais sans existence reconnue
*La géométrie non euclidienne n’a pas été refusée seulement par les ignorants
*Dühring et «  les parties dégénérées du cerveau de Gauss »
*Les luttes de Lobatchevski
*Les réserves de Cayley et l’intolérance de Frege
*La géométrie anti-euclidienne : un système cohérent mais considéré comme faux
*La lucidité d’Aristote
*Triangle euclidien ou triangle non euclidien ? Pour Aristote, l’alternative reste ouverte
*Une démarche clé : admettre la pluralité des mondes géométriques
*Fécondité de la négation
*Le résultat d’une libre création
Je n’ai pas lu Géométrie euclidienne en détail  mais le paragraphe Géométrie euclidienne#Remise en cause de la géométrie d'Euclide démarre au XIXe siècle alors que d’après Imre Toth, il semble que « le ver soit dans le fruit » (ndlr : l’expression est de moi)  depuis Aristote : « Aristote mentionne seize fois la proposition anti-euclidienne concernant la somme des angles du triangle, mais jamais il ne la qualifie explicitement d’absurde, d’impossible ou de fausse. Il mentionne cinquante-deux fois la proposition euclidienne correspondante, mais jamais il ne la présente comme une vérité nécessaire dont le contraire serait impossible, voire absurde, mais seulement comme un énoncé général […] Mais il parle de la somme des angles du triangle comme d’une quantité qui peut être aussi bien égale, supérieure ou inférieure à deux angles droits (180°) »
Plus loin « En critiquant les auteurs de cette tentative (ndlr : la démonstration d’un des lemmes fondamentaux de la géométrie euclidienne par le seul moyen des propositions de la géométrie de Bolyai, ce qui était vicié par l’introduction d’un raisonnement circulaire) Aristote laisse transparaître que, pour échapper à ce cercle vicieux, il faut consciemment adopter comme vrai , sans aucune démonstration, un des lemmes euclidiens figurant dans le raisonnement »
Peut-être faudrait-il que l’article apporte cette précision historique ? --Yelkrokoyade (d) 2 janvier 2008 à 20:35 (CET)
thread_title:  Analyse de Yelkrokoyade 

message: Je n'ai que parcouru sommairement mais cet article semble très bien (et une très bonne idée). Sur les paragraphes   "Euclide et la rigueur" et la "réponse de Hilbert". Je réponds rapidement, mais je peux aller voir plus loin si c'est utile. Je n'ai jamais lu les fondements de la géométrie de Hilbert mais a priori, l'axiomatisation de Hilbert est une axiomatisation où la notion d'ensemble est implicite, c'est une axiomatisation au second ordre (comme on dit maintenant, à l'époque ceci est loin d'être clair). C'est exactement la même chose que pour l'axiomatisation des réels (on en a besoin pour les axiomes d'Archimède et de la borne sup, ou leurs équivalents). Comme pour les réels l'axiomatisation est "complète" (idem que tout corps archimédien complet est isomorphe à R), mais c'est relativement à un modèle implicite de la théorie des ensembles (une théorie assez faible, genre arithmétique du second ordre pour les réels doit suffire, mais ça ne change rien). Evidemment le th. de Gödel s'applique (comme pour les réels), mais à l'axiomatisation une fois complètée. Dit autrement, on ne peut pas décrire récursivement jusqu'au bout une telle axiomatisation (logique comprise) en restant complet. Donc comme je crois qu'Hilbert a laissé la notion d'ensemble implicite, ce n'est pas le bon cadre pour parler d'hypothèse du continu, ni trop du th. de Gödel.
Limpide, les remarques sont retirées.
Remarque : les droites et plans peuvent être vus comme des objets de base, ça ne pose pas de problème en logique du premier ordre. On peut donner une axiomatisation de la géométrie au premier ordre (Tarski), mais elle repose alors sur la notion de corps réel clos. Ca fait quand même une axiomatisation complète et décidable dans laquelle on peut traiter tout ce qu'on appelle d'habitude géométrie élémentaire (complexité théorique très mauvaise, mais il y a des logiciels qui résolvent quand même  des choses non triviales en pratique).
Sa logique est d'ordre deux, je me demande néanmoins si une telle notion a sa place dans un article de cette nature.
Retour sur l'article lui même : il me semble qu'Hilbert a aussi montré la cohérence des axiomes (en se ramenant aux réels qu'il construit il me semble par les proportions de façon analogue à Euclide), et qu'il y attachait de l'importance. En tout cas Poincaré le souligne quelquepart. D'où viennent au fait les 3 critères que tu (je suppose ?) mets en avant ? Pour les motivations de Hilbert, le contexte, je ne suis pas très au courant, tout ça doit être lié à la formalisation de l'analyse. Je ne suis pas sûr que le programme d'Erlangen soit à opposer à l'axiomatisation de Hilbert. enfin l'axiomatisation de Hilbert peut se mettre "en kit" : on peut dire juste ce qu'il faut pour avoir un corps par ex.
Pour être précis, il rend facultatif la complétude et se limite dans son exemple à un corps commutatif archimédien dénombrable : la clôture quadratique des rationnels. Les trois critères étaient imprécis, j'utilise maintenant ceux de son introduction. Pour lui le programme d'Erlangen offre l'avantage de permettre une formalisation axiomatique plus sympathique car du premier ordre. Il précise (le texte est ici la traduction anglaise) We have thus excluded from our study the important question as to whether it is possible to construct a geometry in a logical manner, without introducing the notion of the plane and the straight line, by means of only points as elements, making use of the idea of groups of transformations, or employing the idea of distance. Il refuse néanmoins l'approche avec les groupes de Lie à cause de l'axiome de la différentiabilité qu'il juge intuitivement non nécessaire : First of all, it would seem to me desirable to discuss thoroughly the hypothesis of Lie, that functions which produce transformations are not only continuous, but may also be differentiated. As to myself, it does not seem to me probable that the geometrical axioms included in the condition for the possibility of differentiation are all necessary.
"Euclide et la rigueur" : je ne suis pas convaincu par la présentation (à dire vrai j'ai le même problème avec nombre réel). Autant que j'ai compris quelque chose (par ex. routes et dédales, Dahan-Dalmedico Peiffer, que je n'ai pas sous la main en ce moment), il y a une théorie des proportions, attribuée à Eudoxe et exposée dans Euclide, et qui traite tout à fait rigoureusement de ce que nous appellerions, sûrement de façon anachronique, les réels (positifs) en général (même s'il y a des hypothèses implicites au départ), avec la méthode appelée ensuite d'exhaustion, qui permet tout à fait de traiter des proportions irrationnelles, et même non algébriques (pi). certains y voient une préfiguration des coupures de Dedekind. Simplement cela repose sur l'intuition géométrique, et le lien entre proportions et nombres arithmétiques est laborieux. Mais il me semble que Hilbert montre justement que cette approche est possible.
J'ai intégralement refondu le texte. La théorie des proportions est son chapitre III. Étonnamment, il montre la non nécessité de l'axiome d'Archimède. Tu peux donc établir Thalès ainsi que les résultats sur les similitudes sans cet axiome. La méthode d'exhaustion peut se limiter aux cas des nombres algébriques et même aux nombres éléments de tours d'extensions quadratiques. Je n'ai pas creus" plus loin (il m'a déjà fallu quinze jours pour comprendre le texte de Hilbert ainsi que les principaux textes et construction auquel il fait référence, je n'ai fait que le stricte minimum). La nouvelle version te convient-elle ?
Orientation de l'espace : ça me semble possible. Pas de transformations : sûrement, mais est ce que ce n'est pas de la reconstruction a posteriori ? On ne pourrait pas se passer de transformations en parlant d'angles, de rapport de longueur ? Est-ce que justement Hilbert ne fait pas ce genre de choses ? Je ne sais pas moi même ce qu'il manque exactement dans Euclide et où ça peut se trouver, mais je suis, peut-être à tort, moyennement convaincu.
Tu as tout à fait raison d'être moyennement convaincu, ce n'est pas un sujet du texte. J'ai retiré.
Suggestion : ne pourrait-on employer Géométrie d'Euclide, pour distinguer de géométrie euclidienne qui a pris un autre sens ?
Voilà un vrai problème. Le paragraphe n'est dans le fond pas convainquant du tout. Voilà une semaine que je réfléchis sur une manière simple de présenter cet aspect des choses. Je n'ai pas encore d'idée géniale. Ces remarques sont à mes yeux la priorité des corrections lourdes à faire sur l'article. Jean-Luc W (d) 10 janvier 2008 à 18:28 (CET)
thread_title:  La vision de Proz 

message: http://www.cabri.net/abracadabri/GeoNonE/GNEIntro/PrecursG.htm  Claudeh5 (d) 13 janvier 2008 à 12:40 (CET)
thread_title:  un site à visiter 

message: J'avoue que je me suis toujours posé la question.
L'article, dans la section "La réponse de Hilbert", dit que "non" mais l'argumentation porte totalement à faux car parle d'autre chose: les thms de Gödel mentionnés portent sur d'autres axiomatiques concernant, des nombres ou des ensembles (Principia mathematica de Russell et Whitehead, Axiomes de Peano ou théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel), pas sur la géométrie.
Donc :
1. qu'en sait-on?
2. En tout cas ce qui est mis dans l'article est hors sujet et doit être retiré. notamment la phrase "La complétude n'est pas non plus atteinte. En fait, le mathématicien Kurt Gödel (1906-1978) démontrera[20] en 1931 que, dans un tel contexte, la complétude n'est jamais accessible."
Absolument, c'est chose faite.
Je ne comprends pas non plus la phrase suivante qui mentionne l'hypothèse du continu, vu qu'elle me semble inexprimable dans le seul langage de la géométrie de Hilbert. Donc à supprimer aussi (?)
3. Si par hasard la réponse est connue et est que cette axiomatique est incomplète et qu'elle découle de celle de l'arithmétique, il faut le dire explicitement avec des sources fiables.
Je lis dans Axiomes de Hilbert :
"Tarski a donné une axiomatisation au premier ordre de la géométrie, qui repose de fait sur la notion de corps réel clos (et non sur le corps des réels), et qui est décidable et complète, à la différence de l'axiomatisation de Hilbert. " (mis en italique par moi).
Comme tu le dis au point deux, la question est hors sujet, il me semble donc inutile de préciser.
Ce qui résout le pb, quelqu'un pour confirmer, expliciter et apporter des sources?.
--Epsilon0  ε0 16 janvier 2008 à 18:43 (CET)
thread_title:  L'axiomatique de Hilbert est-elle complète ou non? 

message: Ne faudrait-il pas indiquer rapidement dans l'article que c'est la géométrie qui est apprise à l'école? Plutôt de dire qu'elle est axiomatisée?--Tooony (d) 30 mai 2008 à 09:29 (CEST)
thread_title: Vulgarisation

message: Les  ajouts de la nuit du 31 aôut au 1er septembre semblent plutôt de l'ordre de digressions ou réflexions personnelles : aucune justification, souvent peu clair, ou franchement faux, comme la longue digression sur le plan  Q^2 ("il est pourtant toujours possible de trouver le point unique d'intersection d'une droite et d'une de ses normales passant par un autre point" : pas de normale ; la continuité nécessaire pour l'intersection de deux cercles : c'est une condition algébrique) il y a des choses très contestables sur "l'introduction de postulats supplémentaires pour étendre la géométrie classique euclidienne" (si c'est celle axiomatisée par Hilbert ça n'est pas possible). Bref je ne vois pas d'autre solution que de revenir à la version du 30 août. Proz (d) 1 septembre 2011 à 21:11 (CEST)
thread_title:  Ajouts non justifiés 

message: "Plus de 2 000 ans après sa naissance, l'espace géométrique euclidien est un outil toujours efficace aux vastes domaines d'applications. Par exemple, l'espace des physiciens reste encore principalement du domaine de la géométrie euclidienne, l'astronomie étant l'exception la plus notoire."
A la lecture de ce passage, j’ai été surpris qu'il ne soit pas fait mention des échelles infinitésimales de la matière avant de rencontrer, plus loin :
"La géométrie euclidienne reste maintenant valable à trois exceptions près :
- les distances astronomiques, dans le cadre de la relativité générale ;
- les vitesses proches de la lumière, avec la géométrie de la relativité restreinte ;
- les dimensions inférieures à la taille des particules, dans le cadre de certaines théories contemporaines comme les supercordes."
Tout va donc bien excepté que le premier passage était lacunaire. Je l’ai donc reformulé ainsi :
"Plus de 2 000 ans après sa naissance, l'espace géométrique euclidien est un outil toujours efficace aux vastes domaines d'applications. A l’exception des échelles cosmiques et microscopiques, l'espace des physiciens reste encore principalement du domaine de la géométrie euclidienne. "
--Emmanuel Laude (discuter) 26 août 2015 à 18:54 (CEST)
thread_title: Modification de l'introduction