Discussion:Sous-groupe

message: que la plupart des résultats de la théorie des groupes y font appel. Pour ne pas saturer l'article sous-groupe avec ces différents résultats, il serait souhaitable de déplacer certains paragraphes vers d'autres articles plus spécifiques. 
C'est ce que je viens de faire pour le paragraphe "lien avec les homomorphismes de groupe".
Le paragraphe sur le théorème de Lagrange pose le même problème.
Yukito 8 mar 2005 à 17:33 (CET)
thread_title: La notion de sous-groupe est si générale

message: Le paragraphe sur l'ordre d'un élément a été déplacé dans l'article Génération d'un groupe.
Yukito 25 mar 2005 à 12:41 (CET)
thread_title:  ordre d'un élément 

message: Dans la démonstration, il est dit : 
"Réciproquement, soit n le PGCD de G. G est alors inclus dans nZ. D'après le théorème de Bézout n appartient à G et donc nZ est inclus dans G. Donc G=nZ."
On considère donc le pgcd d'une famille potentiellement infinie (le seul cas où elle est finie est G={0}) d'entiers relatifs.
Ce qui signifie, si je ne me trompe pas, que
\forall F \subset \Z, \exists ! d \in \N |
*  \forall a \in F, d | a
*  \forall \delta \in \Z, ( \forall a \in F, \delta | a) \Rightarrow \delta | d
C'est pas évident à montrer, il faut manipuler des sortes de 'somme infinies'... Soit.
G est alors inclus dans nZ. On utilise après le théorème de Bézout pour montrer que n appartient à G. Le lien ne pointe pas vers le théorème de Bachet-Bézout, mais vers le théorème de Bézout.
Alors soit on utilise effectivement le théorème de Bézout en géométrie algébrique, et je pense qu'une explication ne serait pas de trop dans l'article. Ou alors on utilise le théorème de Bachet-Bézou, et on dit qu'il existe une combinaison linéaire (à coefficient dans Z) potentiellement infinie égale à n ? On peut généraliser l'identité de Bézout pour une famille infinie ?
--Zandr4 (d) 16 avril 2009 à 22:54 (CEST)
replies: text: Changé la preuve. Salle (d) 17 avril 2009 à 11:49 (CEST)
replies: text: Ok, lapidaire mais plus clair :) --Zandr4 (d) 17 avril 2009 à 12:30 (CEST)
thread_title:  Sous groupe de (Z,+) 

message: Cantor-Bernstein est-il vrai pour les groupes abéliens ? Anne (d) 12 avril 2013 à 21:39 (CEST)
replies: text: Je vais peut-êre dire une bêtise, parce que j'improvise. J'ai l'impression que la réponse est non, autrement dit que deux groupes abéliens peuvent s'injecter l'un dans l'autre sans être isomorphes. Prenons pour groupe G la somme directe de Z/2Z, de Z/4Z, de Z/8Z etc. Prenons pour H la somme directe de Z/4Z, de Z/8Z etc. Alors G s'injecte dans H parce que le premier facteur de G s'injecte dans le premier facteur de H, le second facteur de G s'injecte dans le second facteur de H etc. D'autre part, H s'injecte dans G parce que H est isomorphe à un facteur direct de G. Enfin, il me semble que G et H ne sont pas isomorphes parce que G a un facteur direct d'ordre 2 et que, si je ne me trompe, H n'en a pas. Si H avait un facteur direct d'ordre 2, soit K, il existerait un homomorphisme f de H sur K qui coïnciderait avec l'identité sur K. Soit a l'élément non nul de K. Puisque a est d'ordre 2, chaque composante de a est le double d'un élément dans le groupe facteur (ceci compte tenu de la nature des facteurs de H), donc a = 2b pour un certain élément b de H, d'où f(a) = 2 f(b). Puisque f prend ses valeurs dans K, on a f(b) = na pour un certain entier n (et d'ailleurs, n peut être pris égal à 1 ou à 0), d'où f(a) = 2na = 0. Comme f coïncide avec l'identité sur K, on aurait donc a = 0, contradiction. Voilà, j'espère que je n'ai pas dit de bêtises. Marvoir (d) 13 avril 2013 à 13:00 (CEST)
replies: text: Ok, merci (et pour résumer ton argument : G et H ne sont pas isomorphes parce que dans H, ker(2) ⊂ im(2) alors que pas dans G). Anne (d) 13 avril 2013 à 13:17 (CEST)
replies: text: En effet, c'est mieux ainsi. Tu seras peut-être intéressée par cet exercice de Rotman (4e éd., tirage de 1999, exerc. 10.26, p. 324) : "If G and H are divisible groups each of which is isomorphic to a subgroup of the other, then G ≅ H. Is it true if we drop the adjective 'divisible' ?" (Noter que, dans ce chapitre, Rotman dit "group" pour "abelian group".) Au cas où tu en aurais un jour besoin, j'ai une solution de cet exercice dans mes notes. Marvoir (d) 13 avril 2013 à 14:05 (CEST)
thread_title:  [[Sous-groupe#Liens avec les homomorphismes|Liens avec les homomorphismes]] 

message: It should be easy to add a section defining the notion of a :en:subquotient of a group.
It is required for the article Groupe sporadique. Nomen4Omen (discuter) 1 mars 2023 à 15:32 (CET)
thread_title:  Subquotient