Discussion:Base de Hilbert

message: Des élément associés aux bases de Hilbert sont donnés dans l'article espace préhilbertien. L'objectif initial est donc d'harmoniser les deux articles (essentiellement au profit de celui-ci).
L'objectif devient alors de corriger les petites erreurs : une base hilbertienne existe sur les préhilbertiens et non pas seulement les hilberts, ou encore, la famille I de la définition n'est pas toujours dénombrables comme semblait l'indiquer une série. Il est aussi nécessaire d'ajouter les démonstrations des exemples et d'insérer plus précisément l'article dans l'encyclopédie. Jean-Luc W (d) 31 décembre 2007 à 16:42 (CET)
thread_title:  Justification de la refonte 

message: Dans les exemples on pourrait rajouter l^2(k) et dire que tout espace de Hilbert sur k= R ou C lui est isomorphe (au sens des espaces de Hilbert) par choix de base hilbertienne. Je dis pas de betises là ? Alexandre alexandre (d) 18 octobre 2010 à 18:09 (CEST)
replies: text: en fait c'est marqué dans espace de Hilbert (mais il faut supposer le Hilbert séparable). Encore une fois une seule "grosse" page me paraitrait plus utile...Alexandre alexandre (d) 18 octobre 2010 à 18:15 (CEST)
replies: text:  re-en fait : un plus complet pourrait être : tout espace de Hilbert H est isomorphe à un petit l^2(I), les famlles indéxées par I de carrés sommables (d'ailleurs en relisant ce qui était écrit, on ne parle pas de série mais bien de famille sommable ici...) et H est séparable ssi I est dénombrable. Là ça doit être bon, je viens de le lire dans Briane et Pagès...Alexandre alexandre (d) 18 octobre 2010 à 18:33 (CEST)
replies: text:   Oui, WP:NHP ! tant pis si l'article sur les espaces de Hilbert est quasi-vide, à mon avis autant (quitte à placer là-bas un message très incitatif à venir voir ici) incrémenter plutôt ici : ton théorème (aussi cité dans le lien externe les mathématiques.net) est logique et immédiat après la preuve d'existence (qui ne nécessite la séparabilité que pour les préhilberts, sur lesquels on ne peut pas dire grand chose de plus). Et tant qu'à faire, si en plus tu trouves une ref parlant de dimension hilbertienne (voire même du cardinal du Hilbert en fonction de cette dimension) ce serait Byzance ! (Je n'y ai pas réfléchi, j'ai juste un pressentiment, qui n'est peut-être qu'un truc su puis oublié.) Anne Bauval (d) 18 octobre 2010 à 20:02 (CEST)
thread_title:  petit l^2 

message: Dans la section « Approche intuitive », il est indiqué que la convergence est toujours absolue dans un espace de Hilbert, ce qui est faux, et que, pour cette raison, l'ordre dans lequel les éléments de la base de Hilbert sont pris n'a pas d'importance. Dans un espace de Banach, la convergence absolue implique bien la convergence commutative (aussi appelée inconditionnée), mais la réciproque est fausse si l'espace est de dimension infinie. Il y a bien convergence commutative dans un espace de Hilbert, mais il est très facile de trouver des fonctions appartenant à L2 dont la série de Fourier ne converge pas absolument. Voir « A bases theory primer » par Christopher Heil (http://people.math.gatech.edu/~heil/papers/bases.pdf) ou « Bases dans un espace normé » de J.-P. Conze (http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/bases-Schauder.pdf). La même erreur se retrouve dans la section « Bases » de l'article « Espace préhilbertien ».
--Absit omen (d) 15 novembre 2011 à 19:03 (CET)
replies: text: je pense qu'il faut y lire que la convergence est toujours absolue (ou plutôt que la famille est sommable...) pour une série de la forme \sum_i <x,e_i>e_i où e_i est une famille othonormée totale.Alexandre alexandre (d) 17 novembre 2011 à 20:04 (CET)

text: ...du coup ce serait peut-être plus clair encore de dire : une base de Hilbert d'un espace de Hilbert est une famille (e_i)_{i\in I} orthonormée engendrant un sev dense. On montre (via Zorn et la complétude) qu'il en existe toujours et que pour n'importe qu'elle x de H les familles a_i=<x,e_i> et a_ie_i sont sommables dans R et H respectivement et qu'en outre H est alors isométriquement isomorphe à l^2(I). Du coup ce que ça dit dans le cas L^2(T), c'est juste l'égalité de Parsevale, mais effectivement on ne dit rien de la convergence ponctuelle, uniforme ou absolue de la série de Fourier... En espérant ne pas avoir trop dit de bétises. Alexandre alexandre (d) 17 novembre 2011 à 22:11 (CET)
thread_title:  convergence absolue ?