Discussion:Corps de décomposition

message: J'ai un problème avec la définition donnée comme un certain sous-corps de la clôture algébrique
(soit dit en passant, on devrait dire une clôture algébrique). En effet, la preuve de l'existence d'une clôture algébrique passe au début par l'extension de corps de décomposition. On se mord alors la queue. Liu (d) 12 avril 2008 à 18:28 (CEST)
replies: text: Oups, j'avais pas bien lu. Liu (d) 12 avril 2008 à 19:02 (CEST)
thread_title:  Corps de décomposition 

message: Les définitions de clôture algébrique sur le net et dans l'ordre :
:* WP la minimalité n'est pas requise.
:* Jussieu : la minimalité n'est pas requise Corps fini et clôture algébrique P 141 parle d'une clôture algébrique (= surcorps algébriquement clôt).
:* Ali Benhissi parle aussi d'une clôture algébrique page 1 Lire.
:* Michel Matignon parle en revanche de La clôture algébrique page 10-01 Lire
:* Dico maths parle d'une clôture algébrique et ne fait pas référence à une minimalité. Dico maths (Détail amusant, après une définition ne faisant pas appel à la minimalité, Dico maths fait référence au théorème de Steinitz qui montre l'unicité de la clôture algébrique.
:* Daniel Ferrand parle d'une clôture algébrique dans décomposition du Dunford.
Sur 6 premières références (5 si l'on omet WP, qui par définition n'a pas d'autorité ici), aucune ne suppose de minimalité dans la définition de clôture algébrique à l'exception de celle de Matignon, et le cas dico maths qui semble bien partagé. Je préconise donc par défaut de parler d'une clôture algébrique. Cependant, je partage l'opinion que le terme la clôture algébrique est fort peu ambigu. Il me reste encore à vérifier que Serre parle d'une clôture algébrique. Il est bien évident que jamais Serre ne parlerait de La clôture algébrique de Q étant égal à C (ce qui serait totalement absurde). Jean-Luc W (d) 14 avril 2008 à 11:00 (CEST)
replies: text: J'ai l'impression que tu fais une erreur : dans le poly de Polo à Jussieu, comme dans DicoMaths, il y a la condition de minimalité, puisqu'une clôture algébrique de k est un corps K tel que K/k est une extension algébrique et K est algébriquement clos (et pas clôt, me semble-t-il). Deux clôtures algébriques sont alors isomorphes . Ce qui empêche de parler de la clôture algébrique (sauf à s'être fixé un surcorps algébriquement clos au préalable), c'est que cet isomorphisme n'est pas unique. C'est uniquement pour cela, àma, que Benhissi parle d'une clôture algébrique, et non pas parce qu'il aurait enlevé la condition de minimalité de la définition. Salle (d) 14 avril 2008 à 13:37 (CEST)

text: Pour tout ce qui est polynômes et extensions de corps, je trouve que le volume Algèbre de Bourbaki est très bien. Bien rédigié et très lisible. "Algebra" de Lang est plus concis mais bien aussi. Liu (d) 14 avril 2008 à 22:33 (CEST)
thread_title:  Petite enquête rapide 

message: On trouve corps des racines (sa traduction) dans Mac Lane-Birkhof, et en Français ça se lit même si c'est peut-être démodé ça semble à mentionner. Par contre corps de décomposition au sens extension d'un corps de décomposition, ce n'est pas forcément lié à l'utilisation de "corps des racines" contrairement à ce qui est dit, et je ne l'ai jamais vu que sur le site les-mathematiques.net. Faut-il laisser cette mention s'il n'y a pas d'autre source ? Si oui il faudrait mentionner l'auteur. Sinon on peut aussi effacer le lien (site pas très entretenu il me semble). Proz (d) 2 janvier 2011 à 17:01 (CET)
replies: text: Je ne sais pas qui a mis cette convention (probablement Jean-Luc W.). On pourrait mettre un refnec pendant quelques temps et enlever cette convention si personne n'ajoute de source. Liu (d) 2 janvier 2011 à 19:02 (CET)

text: Je leur avais écrit à l'époque, mais je n'ai jamais eu de réponse. Je suis d'accord pour enlever cette référence. Liu (d) 2 janvier 2011 à 22:28 (CET)
thread_title:  Terminologie 

message: L'unicité à isomorphisme près devrait être traitée dans le paragraphe définition, l'unicité comme sous-corps d'un corps algébriquement clos (ou d'une extension), même si c'est simple cela devrait être mentionné. Même avec ceci, ne devrait-on pas dire "un" corps de décomposition ? Les renvois à d'autres articles pour les démonstrations sont beaucoup trop nombreux (surtout pour des choses aussi simples que l'existence ou l'extension finie, ça se démontre en même temps), et pas forcément juste (unicité à isomorphisme près : pas vu traité). 
Enfin on parle aussi de corps de décomposition dune famille de polynômes (cf. Lang). Proz (d) 2 janvier 2011 à 17:53 (CET)
replies: text: L'unicité à iso près n'est pas si immédiate à prouver, je ne sais pas ce que tu entends par traiter. Par contre tu as raison on devrait mettre la preuve de l'existence et de l'unicité dans cet article. D'un autre côté, il y a un problème un peu global sur tous les articles de la catégories des extensions algébriques, c'est qu'il y a pas mal de doublons. La même chose est souvent répétée dans plusieurs articles. Liu (d) 2 janvier 2011 à 19:06 (CET)
thread_title:  A faire 

message: La démonstration de l'existence du corps de décomposition a été "simplifiée", j'ai l'impression qu'elle a été plutôt compliquée, car on arrive directement sur le corps de décomposition par itération, pas besoin de passer par un surcorps mais abrégée en enlevant les détails (pourquoi pas enlever les détails, mais manifestement ça peut obscurcir). Proz (d) 8 mai 2013 à 01:04 (CEST)
thread_title:  Simplification ? 

message: Telle qu'elle est dans la définition de la version actuelle, on peut aussi inclure le polynôme nul. Le corps de décomposition d'un polynôme constant, nul ou pas, est alors le corps de base. UL (d) 8 mai 2013 à 08:41 (CEST)
thread_title:  Polynôme nul 

message: Tout à fait d'accord avec les commentaires précédents sur la nécessité de simplification de la démonstration.
Surtout qu'en l'état actuel elle est très confuse pour une raison précise : on veut démontrer l'existence d'un corps de décomposition pour l'ensemble des polynômes en utilisant le fait qu'un polynôme de degré inférieur (<n) possède un corps de décomposition. Le problème avec cette démo est que l'on perd de vue sur QUEL corps le polynôme de degré n possède un facteur (X-a) ou bien n'est qu'un produit de facteurs irréductibles.
Pour être tout à fait clair (et démontrer aussi clairement que l'extension est finie), il faut effectuer la démo sur un polynôme P DONNé. Je dirais plutôt "de proche en proche" que par "récurrence" en faisant baisser le degré. Voici une démo :
Soit un polynôme P de degré n.
Si P a des racines dans K, il existe des facteurs de la forme (X-a)^k. Une fois P divisé par tous ces facteurs, il reste un facteur P_1 qui peut être réductible : c'est un produit de facteurs irréductibles. Soit Q_1 un des facteurs irréductible.
Puisque Q_1 est irréductible, on construit le corps de rupture associé K_1 = K[X]/(Q_1) qui est une extension finie. Dans ce corps, P_1 est (comme précédemment) le produit d'un polynôme scindé sur K_1 et d'un polynôme P_2 qui peut être réductible. Mais P_2 a forcément un degré <n car Q_1 possède une racine dans K_1. Il existe de même un facteur irréductible Q_2 dont le corps de rupture est K_2 = K_1/(Q_2). K_2/K_1 et K_1/K étant des extensions finies, K_2/K est une extension finie (cf. lemme de multiplicativité des degrés).
Le degré de P_k diminuant à chaque étape, le processus est fini et aboutit à une extension finie K_m où P est scindé.
A partir de là les autres propriétés sont immédiates ! (quelle complication ici). Il suffit de reprendre la construction précédente pour un corps de décomposition quelconque L. La construction se fait à partir des racines de P qui ne sont pas dans K. On constate alors que tous les facteurs K_i(racine) sont dans L et qu'ils sont isomorphes aux K_i précédents.
--Fabrej0 (discuter) 13 novembre 2017 à 20:09 (CET)
replies: text: D'une part je ne pense pas qu'il y ait de "commentaires précédents sur la nécessité de simplification de la démonstration" présente dans l'article. La démonstration d'existence est simple de toute façon. Celle que vous proposez, rédigée correctement, sera une récurrence très analogue à celle de l'article. La raison "précise" que vous donnez n'est même pas confuse, elle n'a aucun sens (relisez-vous). Pour l'unicité, "pas si immédiate à prouver" selon un autre contributeur (cf. #A_faire), ce que vous proposez n'est pas compréhensible, ça ne milite pas pour son caractère immédiat. Proz (discuter) 15 novembre 2017 à 01:55 (CET)
thread_title:  A simplifier oui !