Discussion:Produit cartésien

message: L’énoncé définissant le produit cartésien était faux : il ne caractérisait pas, pour deux ensembles A et B donnés, l’unique ensemble contenant exactement tous les couples de première composante dans A et de seconde composante dans B. Tout sur-ensemble P de A \times B ne contenant aucun autre couple que ceux de A \times B satisfait en effet la propriété :
\forall x \text{, } \forall y \text{, } [ ( x \in A ) \land ( y \in B ) \Leftrightarrow ( x, y ) \in P ].
(On n’avait donc pas non plus unicité.) Le produit cartésien A \times B contient tous les couples de première composante dans A et de seconde composante dans B et aucun autre élément :
\forall z \text{, } \bigl\{ z \in A \times B \Leftrightarrow \bigl[ \exists x \text{, } \exists y \text{: } \bigl( ( x \in A ) \land ( y \in B ) \land ( z = ( x, y ) ) \bigr) \bigr] \bigr\}.
Ici, l’axiome d’extensionnalité s’applique effectivement car les éléments de A \times B sont entièrement caractérisés.
-- 
Marcouney (d) 6 juin 2013 à 17:10 (CEST)
thread_title:  Définition 

message: J'ai repris une partie de cet article dans l'article couple (qui présentait un codage en théorie des ensembles différent et non usuel). J'ai au passage un peu corrigé (l'aspect historique surtout). A terme il faudra supprimer ici la partie de l'article qui fait doublon et renvoyer à l'article couple [Fait en partie : Multiplet à déplacer également ?]
Proz 13 juillet 2006 à 20:09 (CEST)
thread_title:  Tranfert vers [[couple (mathématiques)]] 

message: Je reviens en arrière sur une modification de Utilisateur:80.118.33.228 qui définit une "famille d'ensembles" comme un "ensemble d'ensembles". Je ne connais pas d'usage dans ce sens, j'ai un peu vérifié. Il semble que quand on parle de "famille d'ensembles", c'est forcément indexée, ou tout du moins que ce soit un usage majoritaire. L'index du Krivine (théorie des ensembles) renvoie directement à famille indexée. Proz 29 août 2006 à 14:11 (CEST)
replies: text: Merci à Dijkschneier qui vient de signaler sur ma PdD une coquille dans cet article, par le message que je copie ici. Je la corrige en suivant. Anne Bauval (d) 4 juillet 2010 à 17:03 (CEST)

text: J'ai hésité à corriger les accolades en parenthèses parce que j'ai observé que dans un article connexe (Produit cartésien), on faisait référence à ce genre de familles notées expressément par des accolades, et qui étaient en fait des familles d'ensembles. Evidemment, je ne suis pas du tout expert en la question, et une lumière de votre part me réjouirait fortement. --Dijkschneier (d) 4 juillet 2010 à 16:09 (CEST)
thread_title:  Famille d'ensembles 

message: La référence à l'ensemble des parties n'est pas nécessaire à la définition du produit cartésien.
Source : http://cs.nyu.edu/pipermail/fom/2003-November/007676.html
dans  la FOM list par Harvey Friedman at http://www.math.ohio-state.edu 
En effet - et c'est si simple que je l'avais vu moi-même - l'existence du produit cartesien peut être obtenue en utilisant le schéma de remplacement (substitution) au lieu de l'axiome de l'ensemble des parties, ce qui va dans le sens du rasoir d'Occam et en plus ne depend pas de la définition qu'on donne du couple ordonné. - Michel421 22 juillet 2007 à 15:47 (CEST)
replies: text: Pour moi l'axiome de l'ensemble des parties est "plus simple" que le schéma de remplacement qui est souvent mal compris et, utile surtout en théorie des ensembles proprement dite (dès que l'on parle d'ordinaux, il est indispensable).  Il me semble que la justification par défaut doit rester l'actuelle, qui est la plus courante et qui fonctionne dans la théorie de Zermelo. Par contre il est tout à fait intéressant de mentionner cette autre possibilité. Proz 23 juillet 2007 à 18:43 (CEST)
thread_title:  Représentation en théorie des ensembles 

message: L'expression "par définition" pourrait prêter à confusion ; ExØ = ØxE = Ø est quelque chose qui se déduit facilement mais n'est pas en soi une définition.- Michel421 signature à retardement
:modifié en conséquence. Proz 29 juillet 2007 à 15:37 (CEST)
thread_title:  Produit vide 

message: J'ai rajouté un paragraphe sur la représentation du produit cartésien en théorie des catégories.--Michel421 (d) 21 février 2008 à 01:04 (CET)
replies: text: Je vais modifier un peu la présentation. Telle qu'elle est, on dirait qu'il est question de produit dans une catégorie quelconque. Liu (d) 31 décembre 2009 à 12:32 (CET)
thread_title:  Catégories