Discussion:Polynôme

message: Des petites démonstrations de certains résultats importants ne seraient pas de trop.
Il manque un paragraphe sur l'utilisation des polynômes en algèbre linéaire, et peut-être sur les propriétés des polynômes à coefficients réels et complexes.
Le paragraphe commençant par "On peut engendrer l'anneau A[X]..." est un peu confus.
Guéna
La division suivant les puissances décroissantes n'est pas traitée.Pduceux
: elle est traitée dans le chapitre sur la divisibilité. Mais peut-être pas suffisamment mis en évidence. HB 7 décembre 2005 à 17:26 (CET)
replies: text: Oui, c'est bien possible. Attention à ne pas trop déborder sur la notion de fonction polynôme déplacé dans un autre article (pour alleger un peu celui-ci)HB 7 décembre 2005 à 17:26 (CET)

text: Il était précisé dans l'ancienne version que le terme constant de Q devait être non nul. Ce qui assurait, il me semble, l'existence et l'unicité.  Oups, tu as raison, condition mal placée. Cependant,  la nouvelle formulation me parait effectivement plus claire et plus concise et plus juste. HB 7 décembre 2005 à 17:26 (CET)
thread_title:  Discussions

message: Pour déterminer le polynôme d'interpolation on utilise des polynômes élémentaires : les polynômes de Lagranges définis par
L_k= \frac{X-x_i}{x_k-x_i}
Je ne connais pas beaucoup les symboles (cela ressemble à du TeX, que je connais) ; par exemple quel est l'analogue de sum pour le produit ?
Plus généralement y-a-t-il un moyen de traduire du TeX (plain TeX) ?
Je me réponds :
En lisant la doc prod devrait marcher 
L_k= \prod_{i=1, i\ne k}^n\frac{X-x_i}{x_k-x_i}
IL me reste la question de la taille : dans le début les points séparés par des dots sont gros (trop) alors que les f(x) et P(x) sont (trop) petits.
Deux réponses :
:la première concerne les polynômes de Lagrange qui on déjà droit à un article pour eux tout seul interpolation lagrangienne, ainsi que interpolation polynomiale donc je pense qu'un renvoi suffit. De plus, il me semble que les polynôme de Lagrange concernent davantage la fonction polynôme que le polynôme formel. Inutile de faire un doublon.
: La seconde concerne le format Latex. Il est interprété de manière pas toujours judicieuse pour éviter de créer une image. Tu as donc le choix entre x_1, x_2,\dots ,x_p ou x_1, x_2,\dots ,x_p\,
Bonne continuation. HB 19 décembre 2005 à 21:49 (CET)
thread_title: Définition

message: N'y aurait-il pas de doublon avec la page sur l'équation polynomiale ? Et même si ce n'est pas le cas (je ne suis pas spécialiste), ne serait-il pas pertinent de lier les deux pages entre elles ? Je n'ai pas vu de lien pointant de l'une vers l'autre...
Bap (d) 14 décembre 2007 à 15:17 (CET)
thread_title:  Doublon avec [[équation polynomiale]] ? 

message: Bonjour, j'ai mis un peu systématiquement 'indéterminée' dans l'introduction, puisque l'article insiste beaucoup sur la différence entre fonction polynôme et polynôme formel . Par ailleurs, on ne peut pas ignorer dans l'intro l'existence de polynômes à plusieurs variables (c'est quand même la base de la géométrie algébrique), même si l'article vise seulement le cas d'une variable. J'ai aussi enlevé quelques phrases qu prêtaient à confusion dans la partie historique, car comme les réels et les complexes ne sont vraiment opératoires qu'au 19e siècle, la plupart des polynômes avant sont à coefficients entiers ou rationnels ou 'ce qu'ils peuvent'. Et bien sûr les polynômes à plusieurs variables ne sont pas une conséquence tardive du développement de l'algèbre abstraite. Cordialement, --Cgolds (d) 2 février 2008 à 20:32 (CET)
thread_title:  Variable et indéterminée 

message: L'article commençait: "En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire de puissances d'une ou de plusieurs indéterminées, habituellement notées X, Y, Z…". Je trouve cela un peu raide pour une première introduction. Si on veut vraiment être bourbakiste, pourquoi pas dire "En mathématiques, un polynôme en un ensemble d'indéterminés I sur un anneau unitaire R est un élément de l'anneau de monoïde R[M], où M est le monoïde commutatif libre sur  I" ? Cela serait plus explicite sur les coefficients admis, plus général (ensemble de variables quelconque), et plus correct (car il manquait "produits de" avant "puissances", que j'ai rajouté depuis). Mais sérieusement, ne serait-il pas une idée de faire un effort d'expliquer ce qui se cache derrière la terminologie ? Quelqu'un qui cherche à savoir ce que c'est un polynôme n'est pas forcément au courant de ce qu'est une combinaison linéaire (sur une famille infinie d'éléments), et même s'il le sait, il a le droit de se demander dans quel espace vectoriel on trouve donc ces puissances d'indéterminées dont on veut former une combinaison linéaire (la réponse "dans un anneau de polynômes" serait un peu circulaire, non ?). Oui, cela demande un vrai efort pour rester précis, mais je pense qu'un tel effort vaudrait bien le coup. Marc van Leeuwen (d) 13 mars 2008 à 10:23 (CET)
thread_title:  introduction 

message: HB me fait remarquer qu'écrire un article polynôme formel, sans concertation avec l'article polynôme n'est pas nécessairement des plus judicieux. Qui lui donnerait tort ? D'un coté, il existe tant de choses à dire sur les polynômes que l'existence de trois articles de synthèse polynôme, polynôme formel et fonction polynôme, n'est pas nécessairement absurde. D'un autre, sans concertation et coordination, le travail risque d'être sans cohérence.
J'imagine un préambule qui permette d'aiguiller rapidement le lecteur plus averti vers les articles qui répondent mieux à ses questions. Ensuite, je propose un article polynôme couvrant le savoir prodigué sur les polynômes depuis l'apparition dans l'enseignement jusqu'à la fin du secondaire (quitte à déborder un peu), dans le même esprit que pour Fraction continue.
:* Je propose de commencer par une définition du polynôme, un peu version homeomath. Continuer par les coefficients du polynôme, un peu comme pour la même source, puis traiter les opérations sur un polynôme.
:* Le deuxième paragraphe traite de la factorisation et de la recherche des racines d'un polynôme (version très light, essentiellement limité aux degré 2 voir 3) et de la relation entre les coefficients et les racines.
:* Le troisième paragraphe traite de formalisme, je pense à l'opposition : polynôme formel versus fonction polynôme 
:* Le quatrième paragraphe traite de la fonction polynôme, continuité dérivabilité asymptote, parabole ...
:* Le cinquième paragraphe traite des polynômes et de l'algèbre linéaire, on peut trouver des valeurs propres de matrice (2x2) etc...
:* Le sixième paragraphe brosse un rapide tableau historique de l'histoire des polynôme.
Pour Polynôme formel, j'imagine que l'article commence là où s'arrête l'autre. On suppose maintenant acquis le savoir du secondaire, mais le début de l'article ne demande pas plus, au fur et à mesure on monte en gamme. Le premier paragraphe traite de formalisme mais renvoie le gros du sujet à l'article indéterminée. Le deuxième paragraphe traite d'arithmétique : division euclidienne, conséquences : Bézout, Lemme d'Euclide et théorème fondamental de l'arithmétique. Le troisième paragraphe traite de la relation avec l'algèbre linéaire. Puis on monte un peu en gamme avec les polynômes sur un anneau factoriel, et les structures quotients. L'article termine sur les polynômes à plusieurs indéterminée et termine sur une petite introduction d'un nouvel article.
Sur les fonctions polynômes, je vois quelques détails à raconter sur la position des racines, un lien vers le théorème fondamental de l'algèbre, mais l'intérêt principal me semble dans le fait qu'une fonction polynôme est une bonne approximation sous de nombreuses formes différentes (Taylor-Young, Taylor-Lagrange, densité des fonctions polynômes avec une base hilbertienne et orthogonalité, densité pour la norme du sup etc...). Je ne compte pas m'y coller.
Une conséquence, serait par exemple que la partie division de l'article tel qu'il est conçu maintenant serait déplacé dans un article ad-hoc, comme beaucoup du contenu actuel. Jean-Luc W (d) 15 décembre 2008 à 15:54 (CET)
replies: text: Si je comprends bien, tu comptes transformer l'article actuel polynôme en un article plus "élémentaire"? Mais il me semble que l'article Fonction polynôme (mathématiques élémentaires) avait cette vocation tandis que celui-ci avait pour vocation de traiter plus spécifiquement du polynôme formel comme expliqué dans l'introduction. Donc pour l'instant ce n'est pas trois articles que nous avons mais 4 dont polynôme et polynôme formel qui doublonnent dans une grande part.  Je n'ai pas pour l'instant l'énergie suffisante pour gérer une telle réorganisation. Je tenais juste à signaler le problème et laisser d'autres repenser une nouvelle articulation entre ces 4 articles. Ma suggestion serait de fusionner polynôme et polynôme formel,  de retravailler l'article polynôme (mathématiques élémentaires)  dans le sens que tu proposes et de transformer l'article polynôme en page d'homonymie mais d'autres peuvent avoir d'autres avis.HB (d) 15 décembre 2008 à 17:14 (CET)

text: Tu as raison, j'ai raté polynôme (mathématiques élémentaires), je revois ma copie. Jean-Luc W (d) 15 décembre 2008 à 19:41 (CET)
replies: text: Je verrais bien d'abord un bel article historique « Polynôme » qui montre l'évolution de la notion comme Jean-Luc sait bien les faire. L'article « Fonction polynôme » doit partir de l'enseignement secondaire et aborder tous les problèmes d'analyse liés, renvoyant à toute une série d'articles connexes (sans doute Claudeh5 aurait de bonnes idées là-dessus). L'article « Polynôme formel » pourrait recevoir l'essentiel du présent article et tout ce que Jean-Luc pourrait juger utile d'y rajouter. Du moment que les trois articles sont bien connectés en en-tête pour bien diriger le lecteur, ça m'irait bien. Maintenant, ce n'est qu'une proposition qui peut probablement trouver un arrangement plus fin. Ambigraphe, le 15 décembre 2008 à 21:10 (CET)
replies: text:  J'oubliais... un article histoire des polynômes que j'ai créé lors de ma jeunesse wikipédienne (et qui est donc probablement à reprendre)  dort dans un coin et doit s'articuler avec les 4 autres. HB (d) 15 décembre 2008 à 21:40 (CET)
replies: text: Ca c'est un beau chantier. Je ne maîtrise pas bien les enjeux de l'article élémentaire (même si maintenant j'enseigne en lycée - scoop :)). Quelques idées, cependant : une fois données les formules du discriminant pour l'équation du second degré, on peut évoquer Cardan et Ferrari ; et tout naturellement Abel et Galois. On peut alors déplacer le problème vers l'approximation et les méthodes itératives - et faire le lien avec les valeurs propres. On peut aussi évoquer l'interpolation. Et il ne faut pas hésiter à étoffer les polynômes à plusieurs indéterminées, en les présentant géométriquement : on peut regarder x^2+y^2-1, parler d'espaces tangents, évoquer les coniques, les courbes elliptiques, puis les enjeux sur la variation du corps de base ; et Grothendieck ? En gros, ça me semble être un article où il faut vraiment essayer de présenter les choses de base en évoquant les vraies maths, ce qu'il doit être possible de faire sans trop pipeauter. Salle (d) 16 décembre 2008 à 00:08 (CET)
replies: text: J'approuve les idées de Salle, en préconisant même le report des détails à un article séparé pour la notion de polynôme à plusieurs indéterminées, qui s'étend assez loin dans la géométrie algébrique. Ambigraphe, le 16 décembre 2008 à 09:45 (CET)
thread_title:  L'article et les liens 

message: En résumé du paragraphe on trouve une proposition de plan pour l'article polynôme.
Bonne chance Salle pour ton enseignement au lycée, c'est effectivement un scoop. Cela ne pourra qu'être bénéfique pour WP, surtout si tu n'abandonnes pas le point de vue du chercheur qui ne peut être oublié.
Nous avons plusieurs difficultés. L'une d'entre elle est la conséquence des deux articles histoire des polynômes et fonction polynôme (mathématiques élémentaires). Paradoxalement la difficulté provient selon moi qu'ils sont bien fait. S'ils étaient mal fait, il suffirait de les reprendre à 0, c'est plus facile. Résumons deux axes d'analyse :
:* On a le point de vue hélicoptère : un polynôme c'est une fonction, une équation, un outil algébrique (par exemple pour Galois) à une ou plusieurs indéterminées, un outil géométrique avec des tangentes et les coniques, c'est aussi un outil d'algèbre linéaire, de géométrie algébrique ainsi qu'une histoire.
:* On a le point de vue des niveaux : notre lecteur peut être un élève de quatrième aussi bien qu'un chercheur en mathématiques dans des branches bien différentes. Pour un élève de Sylvie Martin, un polynôme est un élément d'un espace dense et disposant d'une base au sens algébrique du terme. Pour un algébriste, c'est souvent un anneau plus ou moins euclidien, plus ou moins factoriel et plus ou moins noethérien (pour la faire brève).
A mon avis, la bonne nouvelle est que personne ne peut être intéressé par l'intégralité de la question. Il n'y a donc pas lieu de faire un article enveloppée. HB les craint comme la peste, à juste titre. Je suis partant pour l'idée d'Ambigraphe. Cet article pointerait vers :
:* Un article didactique pour les élèves du secondaire : Je ne lui reproche que des petites choses finalement. Il est orienté un peu inutilement vers les fonctions. A ce stade, ce n'est pas essentiel à mon avis. Il traite du point de vue algébrique avec les équations aussi bien que du point de vu analytique. Il lui manque le fait que le polynôme du second degré définit une parabole, s'il n'a qu'une variable et une conique s'il en a deux. Il lui manque les relations avec les racines dans le cas de la dimension 2 et il lui manque son rôle pour trouver une valeur propre d'une matrice 2x2. Il lui manque ensuite beaucoup de liens. Chaque sujet devrait faire l'objet d'un développement pour permettre au lecteur de monter en gamme si nécessaire. Enfin, son titre n'est pas idéal, le mot fonction me semble en trop car inutile.
:* Un article historique : Il est bien fait et un peu améliorable. Un imprécision, c'est Abel qui démontre la conjecture 3 ans avant Galois, Galois trouve la condition nécessaire et suffisante. L'importance du travail de Galois est la richesse du monde qu'il découvre plus que la conjecture. Il manque les références, mais je les ai. Je verrais juste deux paragraphes supplémentaires : le polynôme comme approximation d'une fonction et je séparerais en deux l'équation diophantienne et la création de structures algébriques ouvrant sur la géométrie.
:* Et bien d'autres choses.
Si cette ébauche d'analyse convint, je proposerais un plan pour l'article phare polynôme avec les quelques adaptations à faire pour ne pas perdre les informations (comme la création d'un article division d'un polynôme). Jean-Luc W (d) 16 décembre 2008 à 10:50 (CET)
replies: text: Bonjour, j'aurais vu quelque chose comme ça en guise de plan. Mais j'imagine que ça contreviendrait à : « A mon avis, la bonne nouvelle est que personne ne peut être intéressé par l'intégralité de la question. Il n'y a donc pas lieu de faire un article enveloppée. HB les craint comme la peste, à juste titre. » , c'est ça ? Dommage, c'est le genre d'articles qui me plaisent, mais si ça n'a pas de lectorat... Salle (d) 16 décembre 2008 à 18:49 (CET)

text: J'ai un peu de mal à séparer le premier et le second degré dans ta réponse, désolé. Il y a une chose que j'admets volontiers, c'est que mon goût personnel me porte à voir l'algèbre commutative comme une boîte à outils, certes très utile, mais pas très aguicheuse. Voilà pourquoi je ne le mets pas ; en revanche Nullstellensatz et Mordell trouvent leur place. Pour les polynômes trigo et orthogonaux, j'imagine que c'est des choses dont on peut parler en organisant de façon un peu réfléchie une partie analyse numérique (mais je serais bien incapable de le faire sur le mode du conte - cf plus bas). Enfin, pour les galoisiens et arithméticiens, là je connais ; je n'ai certainement pas envie de les négliger, mais, si on souhaite faire le tri entre des choses techniques et des jolies histoires à raconter aux petits (ce qui est mon idée de base en proposant ce plan), je persiste.Salle (d) 17 décembre 2008 à 11:10 (CET)
replies: text: Heu, premier degré = ax + b et deuxième degré ax2 + bx + c. C'est plus clair comme ça ? Plus sérieusement, j'ai juste retourné ma veste au vue de ton plan et adjoint un doigt de mauvaise foi, pour prétendre ne pas changer d'avis. Si la contrainte d'Ambigraphe de lisibilité de grande audience est respecté, alors tout est pour le mieux dans le meilleur des mondes, à mon avis. Ensuite, le travail est déjà suffisamment difficile pour que je ne te propose pas de contrainte supplémentaire. Mon aide se résumerait alors à rédiger quelques articles connexes et techniques pour s'assurer que le savoir que tu racontes se trouve effectivement mathématiquement décrit dans WP (au moins le B A BA). Jean-Luc W (d) 17 décembre 2008 à 11:24 (CET)
thread_title:  Deuxième tentative 

message: Permettre la synthèse qui semble se dessiner sur cette page de discussion suppose un déplacement des différentes parties techniques de l'article. C'est maintenant chose faite pour la division d'un polynôme. Jean-Luc W (d) 23 décembre 2008 à 19:53 (CET)
thread_title:  Simplification des propos sur la division 

message: Je ne comprends rien à cette phase ; quelqu'un se sent le courage d'aller voir ça de près ?--Dfeldmann (d) 10 mai 2013 à 14:23 (CEST)
replies: text: Ce que j'en comprends, c'est ça et ça. Mais c'est très mal formulé. Hélas c'est « sourcé » donc on peut difficilement se permettre de modifier sans la source sous la main. Mais peut-être si, quand même, vu que la formule P(X)\cong P(x_{i}) mod (X-x_{i}) est aberrante (à remplacer par P(X)\cong f(x_i) \mod (X-x_i) ou par P(X)\cong y_i \mod (X-x_i)) ? Et tant qu'à faire de remanier, déplacer dans un endroit plus approprié, par ex. dans Théorème des restes chinois ? Anne (d) 10 mai 2013 à 19:04 (CEST)
replies: text: C'est la même chose.P(x_{i})=f(x_{i})=y_{i}. Si on prend un polynôme P(X), que l'on divise ce polynôme par (X-x_{i}), on obtient  P(X) = (X-x_{i}) . Q + R avec Q et R qui représentent des polynômes. A partir de cette expression, si on value P(x) en x_{i}, on obtient P(x_{i}) = (x_{i}-x_{i}) . Q + R, c'est-à-dire P(x_{i}) = 0 . Q + R, càd P(x_{i}) = R . La valuation de la fonction polynômiale en x_{i} est bien le reste de la division du polynome que l'on recherche par (X - x_{i}).Tranquil Pepere (d) 22 mai 2013 à 10:48 (CEST)
replies: text: Je sais tout cela mais je répète que  est une aberration dont je doute qu'elle soit réellement sourcée comme c'est affirmé dans l'article : ce n'est pas un problème, c'est une tautologie. Anne (d) 22 mai 2013 à 21:33 (CEST)

text: En fait, on est trop laxiste à ce niveau : il faudrait un équivalent de la procédure de PàS pour des sections hors-sujet. Les polynômes de Lagrange (contrairement aux polynômes de Laurent de la section précédente) sont simplement des polynômes particuliers (remarquables ?) et à ce compte, une section Polynôme de Tchebychev serait bien plus appropriée encore. Bref, si il n'y a pas d'opposition, j'envisage de supprimer cette section assez vite. --Dfeldmann (d) 23 mai 2013 à 10:03 (CEST)
replies: text: OK Anne (d) 23 mai 2013 à 10:07 (CEST)

text:  D'accord aussi.  HB (d) 23 mai 2013 à 16:23 (CEST)

text:  Pareil. UL (d) 23 mai 2013 à 19:09 (CEST)

text:  Rmq : la dernière version était claire et bien écrite, et pourrait servir d'introduction au paragraphe "Exemples des polynomes" dans Théorème_des_restes_chinois (avec un peu d'harmonisation). Proz (d) 23 mai 2013 à 21:45 (CEST)
thread_title:  Interpolation modulaire ?