Discussion:Analyse en composantes principales

message: Cette forme "Mais un bon professeur s'intéressa aussi au second axe, indépendant du premier, qui mettra probablement en évidence les élèves d'un profil plus littéraire et ceux d'un profil plus scientifique (écart entre la note en français et la note en mathématiques)"  suggère qu'un "bon professeur" sait déterminer (!!!) le profil des élèves (c'est peut être bien plus compliqué). 
Préférons plus modestement "un professeur voulant pousser l'analyse des résultats, s'intéressa aussi au second axe, indépendant du premier, de sorte qu'un écart apparaisse entre la note en français et la note en mathématiques pour chaque élève (Le même raisonnement va entre l'analyse de résultats pour des matières technologiques et des matières littéraires). "
Attention la quasi-totalité des formules de la page sont fausses (covariances, correlations) car elles n'incluent pas la pondération des individus. 
En général, les individus sont équiprobables de poids 1/n.
---?
Pour ma part je trouve qu'il faudrait ajouter 
l'analyse en composante principale (pca en anglais) est aussi une méthode statistique.
Cette méthode essaie de trouver pour un ensembles de points un nouveau système de coordonnées tel qu'on observe si on place les points dans ce nouveau système de coordonnées, la plus grande variance selon le premier axe, la deuxième plus grande variance selon le deuxième axe, ...
Plus précisément,Si l'on considère que l'on est dans un espace à n dimensions, la pca cherche une transformation orthogonale pour projeter les points du système de coordonnées actuel dans le système de coordonnées 'principal', on peut appliquer cette transformation et ensuite ne garder que les m (m<n) dimensions qui 'expliquent' le plus la variabilité  des points. On peut utiliser cette méthode pour réduire la dimensionnalité de données tout en essayant de garder un maximum de l'information contenue dans les données.
il faut la distinguer de l'analyse en coordonnées principales qui est plus généralement appelé échantillonnage multidimensionnel ou multidimensionnal scaling (MDS) :
pour des points dans un espace à n dimensions pour lesquels nous connaissons la distance ou la similarité entre chaque paire de points.
cette méthode donne la position des points dans le système de coordonnées principales (de la pca) telle que les distances entre ces points soient respectées 'pour le mieux'.
Plusieurs notions de distances et de similarités existent, la façon de définir 'pour le mieux' diffère pour les différentes version du MDS.
Néanmoins il faudrait en discuter et je peux dire des bêtises, il est intéressant de consulter wikipédia anglais à propos de la pca et du mds et la conclusion de l'article de gopher(1966) (Some distance properties of latent root and vector methods used in multivariate analysis) pour le lien entre principal components analysis et principal coordinate analysis )
Et de plus cela devrait aussi être décrit de façon plus formelle.
Qu'en pensez vous ?
 --Dwarfy 22 avril 2007 à 03:30 (CEST)
thread_title: Sur le fond

message: Avec ta rédaction, et les progrès dans la formalisation en maths, la connexion des stat des maths pure et des maths app, devient infiniment plus clair.
Pour les maths pures, l'article entre dans les conséquences du théorème spectral en algèbre bilinéaire, en conséquence des travaux de Sylvester sur le principe de l'inertie. Le cas est aussi traité en algèbre linéaire, théoriquement dans l'article sur la diagonalisation et par les applications dans le cas des valeur propre. Pour l'aspect théorique, l'algèbre linéaire, commence à être nettoyé mais il reste du boulot en bilinéaire (ou il n'y a pas grand chose).
Pour les maths app, à mon avis, il faut une connexion avec matrice diagonalisable et un autre dans le cas de l'algorithmique dans le genre des facteur invariant mais dans le cas symétrique. Je ne sais pas si Factorisation de Cholesky est la plus utilisée dans ton cas Salle pourra nous renseigner.
Un détail, au sens de Sylvester tu minimises le moment d'inertie et tu ne le maximise pas, pense à l'exemple du balais dans valeur propre ton premier axe d'ACP est l'axe 1 qui possède la plus petite inertie (c'est là ou il est le plus facile de le faire tourner). Jean-Luc W 23 avril 2006 à 13:14 (CEST)
thread_title: Sylvester et ACP