Discussion:Théorème des deux carrés de Fermat

message: Suite à ma récente bévue, je prends des gants cette fois : quelle est la source de ce paragraphe-ci ? C'est pour savoir si on ne pourrait pas, sans être infidèle à Euler, prendre d'entrée de jeu (toujours en raisonnant par l'absurde) le plus petit p (non somme de 2 carrés et possédant des multiples sommes de 2 carrés premiers entre eux), donc faire la descente non pas sur n mais sur q. Anne 4/7/12
: La source est là p. 19 et précédentes (mis en référence dans notre article. Euler commence par démontrer 
:# (Prop. II) Si a²+b²=pq avec p non somme de deux carrés, alors il existe un facteur premier de q qui n'est pas somme de deux carrés
:# (Prop III) Si a et b sont premiers entre eux et si a²+b² est divisible par p alors il existe c et d tels que c²+d² est divisible par p et inférieur à p²/2 (il ne précise pas qu'il peut prendre c et d  premiers entre eux mais l'utilise pas la suite)
:Ensuite s'installe une descente infinie : 
:* On suppose que a et b sont premiers entre eux et que a²+b² possède un diviseur p qui ne soit pas somme de deux carrrés. 
:* Comme a et b sont premiers entre eux et a²+b² est divisible par p, il existe c et d premiers entre eux tels que c²+d² s'écrive pq et soit inférieur à p²/2 
:* Comme p n'est pas somme de deux carrés, il existe r diviseur de q  (donc inférieur à p/2) qui ne soit pas une somme de deux carrés et qui divise c²+d²
:* On recommence la descente  avec c²+d² et r
il me semble que la descente se fait sur le facteur et non sur la somme. Mais Euler ne cherche pas à prendre le plus petit facteur. La démonstration mise en boite est donc assez éloignée de celle d'Euler. HB (discuter) 9 juillet 2016 à 11:04 (CEST)
thread_title:  Euler et la descente infinie 

message: , démontre directement que pour tout entier naturel n (non nécessairement premier), 
Où pourrait-on insérer ça harmonieusement et utilement ? Anne, 1/8/16, 20 h 24
:Oui c'est intéressant. En utilisant ce résultat pour n=p premier, on peut maintenant compléter une version du théorème des deux carrés sous la forme: "-1 est reste quadratique modulo p si et seulement si p=2 ou p est de la forme 4k+1", qui se démontre assez facilement avec le théorème dit "de Wilson" (et en fait dû à Lagrange), (p-1)! est congruent à -1 modulo p. C'est sans doute essentiellement ce que fait LeVeque sous une forme plus élaborée (il compte les solutions), mais le livre n'est pas entièrement accessible avec le lien que tu donnes.  
:Si on ne s'intéresse qu'au théorème des 2 carrés "sec" (sans le nombre de solutions), je remarque par ailleurs que le Th. 7.4 du LeVeque pour n=p premier peut aussi se montrer assez simplement,  en n'utilisant essentiellement que les argument d'Euler pour démontrer sa Proposition 4. Sapphorain (discuter) 2 août 2016 à 10:08 (CEST)
thread_title:  Caractérisations des [http://math.stackexchange.com/questions/1036010/which-integers-are-a-sum-of-two-relatively-prime-squares sommes de deux carrés premiers entre eux] 

message: Le faudrait-il vraiment? C'est évidemment difficile de faire un article historique, tout en y insérant des remarques sur les simplifications possibles grâce à des résultats ultérieurs. On risque de subir les effets d'un paradoxe temporel…  Sapphorain (discuter) 7 août 2016 à 12:25
:Il y a 2 problèmes :
:*mon lemme de Thue, mal placé parce qu'il casse à la fois la chronologie et la logique — notre échange ci-dessus ne m'avait pas donné la bonne idée ; finalement je crois que le mieux serait de lui dédier une courte section juste avant « Généralisation à tous les entiers », et de ne laisser dans « Fermat et les résidus » qu'une version faible « si n est somme de deux carrés premiers entre eux alors –1 est un carré modulo n », sans la réciproque ;
:*le titre (du 13/2/8) de cette section : on ne voit pas trop le lien avec son contenu, à part « petit théorème de Fermat ».
:Pour le premier, si tu es d'accord sur le principe et si tu n'as pas de meilleure idée, je vais rédiger un « premier jet » (modifiable…). Pour le second problème, je sèche. Anne, 7/8/2016, 20 h 32
::Je me demande s'il est approprié d'insérer cette nouvelle section que tu vas faire sur le lemme de Thue avant (avant la section 3.3 actuelle). Il me semble que ça casserait quand même la chronologie. Juste après aussi d'ailleurs. Logiquement il faudrait la mettre après Gauss, ce qui impliquerait quelques problèmes supplémentaires de renvois d'une section à l'autre. Quant au titre "Fermat et les résidus" il me semble qu'il convient (à peu près). Il faudrait en tout cas conserver "Fermat".Sapphorain (discuter) 8 août 2016 à 10:20
:::*Je ne proposais pas de mettre Thue avant 3.3, ni juste après, mais entre 3.7 et 3.8. Mais tu as raison : chronologiquement, ça devrait plutôt être entre 3.6 et 3.7. Ce serait aussi cohérent logiquement, puisque c'est une preuve expéditive du même résultat que Zagier.
:::*Si on garde le titre "Fermat et les résidus", que pourrait-on ajouter, dans le texte de cette section, pour le justifier mieux ?
:::Anne, 8/8/16, 11 h 58
:::: Ou alors: ==Fermat et son petit théorème== ? Sapphorain (discuter) 8 août 2016 à 12:37 (CEST)
thread_title:  "Fermat et les résidus" : titre plus adéquat ? 

message: Un peu courte cette phrase. Si Marcel Proust avait été mathématicien, il aurait fait mieux. Sapphorain (discuter) 8 août 2016 à 14:59
:Si c'est juste une boutade, tu peux la virer (ainsi que ma réponse). Si c'est parce que tu trouves que les explications qui suivent cette citation ne sont pas assez développées, je trouve qu'au contraire, les allonger dénaturerait cette preuve, qui se veut justement la plus courte possible. Anne, 18 h 14
:: Non non, cet argument est effectivement divin et les explications ne sont pas trop sommaires, mais je voulais simplement faire remarquer que n'importe quelle preuve peut s'écrire en une seule phrase pour autant que l'on sache écrire de longues phrases, et que celle de Zagier n'est pas particulièrement courte bien que sa démonstration elle-même le soit. Sapphorain (discuter) 8 août 2016 à 19:51 (CEST)
thread_title:  Preuve en une phrase de Don Zagier 

message: Discussion transférée depuis Wikipédia:Pages à fusionner 
Le contenu de Preuves du théorème des deux carrés de Fermat consiste en l'état à l'énoncé et 1 preuve, qui figure déjà dans l'article principal Théorème des deux carrés de Fermat. Il serait àmha judicieux de fusionner dans l'article principal, l'autre option étant d'élaguer l'article principal pour regrouper toutes les preuves (en gros la section Théorème des deux carrés de Fermat#Démonstrations) dans cet article détaillé, ce qui est donc à discuter (je place également l'annonce sur le projet math). --Cbyd (discuter) 26 avril 2020 à 17:25 (CEST)
replies: text: Je suis pour ma part plutôt favorable à conserver son intégrité au théorème des deux carrés de Fermat et à faire un redirect de Preuves du théorème des deux carrés de Fermat vers  Théorème des deux carrés de Fermat#Démonstrations. HB (discuter) 26 avril 2020 à 17:38 (CEST)
replies: text: Je plussoie. --Valvino (discuter) 26 avril 2020 à 21:51 (CEST)
replies: text: Idem. J'aime bien  le fait que Théorème des deux carrés de Fermat cite la preuve en une phrase de Zagier, je pense qu'il faut la garder. --GrandEscogriffe (causons!) 26 avril 2020 à 22:03 (CEST)

text: A priori ni l'énoncé ni la preuve ne constituent un contenu original, mais je note que ni la référence Goldman, ni la mention de Liouville n'apparaissent dans l'article principal. Je n'ai pas vérifié si Liouville a réellement produit une démonstration comme annoncé. Dans le doute, d'une part j'ai préféré laisser la porte ouverte si le choix collectif était d'étoffer un article détaillé regroupant toutes les preuves ; d'autre part je pense qu'il y a besoin d'une fusion d'historiques pour créditer l'auteur initial qui semble avoir traduit depuis l'anglais. Mais comme je ne suis pas assez familier de ces choses, je suis venu ici pour consuler des fusionneurs (?) chevronnés.--Cbyd (discuter) 2 mai 2020 à 01:18 (CEST)
replies: text:  j'ai demandé la fusion d'historiques.--Cbyd (discuter) 4 juin 2020 à 22:05 (CEST)
thread_title:  Fusion entre [[Théorème des deux carrés de Fermat]] et [[Preuves du théorème des deux carrés de Fermat]]