Discussion:Suite de Farey

message: Résol
J'ai appliqué ce principe, dans l'introduction, au cas très simple du mot « fraction ». 
En revanche, j'ai beaucoup plus de problèmes avec le mot « médian » qui pointe par deux fois (aux paragraphes 2 et 3.2) vers une page d'homonymies.  Ce lien est beaucoup plus perturbateur qu'éclairant, puisque finalement, la page d'homonymie ne fait rien d'autre que revenir au présent article, et très précisément au paragraphe 3.2 : on tourne en rond, et de façon inutile puisque la définition de ce mot figure justement au paragraphe 3.2 !  Et sauf erreur, cette acception du mot « médian » est très particulière, propres aux suites de Farey, donc une excursion vers un article extérieur me semble néfaste.  Je proposerais donc dans le paragraphe 2 de changer ainsi la troisième phrase : 
Et dans le paragraphe 3.2 où le terme est défini, on pourrait tourner la phrase ainsi :
Au passage, deux remarques : 
* d'une part, Hardy et Wright, pour ne citer qu'eux, écrivent en anglais « mediant » (avec un « t » à la fin), ce qui exclut toute confusion possible avec le terme de statistique. N'y a-t-il pas de publications en français qui auraient suivi cet exemple ?
* d'autre part, notons que ce mot se télescope dans le présent article avec une observation du paragraphe 3.1. :     Ici, le mot « médian » est utilisé dans son acception classique. Cela dit, cette phrase n'a de sens que si la suite de Farey a toujours un nombre de termes impair : c'est bien le cas, mais il me semble que ce n'est dit nulle part, ce qui est peut-être regrettable. On pourrait donc reprocher à la rédaction actuelle d'être un peu elliptique, et on pourrait proposer une formulation plus explicite, par exemple :  « On démontre facilement que la fraction 1/2, qui appartient à toute suite de Farey, en est toujours un élément de symétrie.  Cela prouve en particulier que toutes les suites de Farey ont un nombre impair de termes et que 1/2 en est le terme médian. »Simple suggestion, pour me racheter.
Pour finir, une remarque stylistique. Je trouve le rédacteur bien indulgent quand il écrit dans l'introduction S'il est vrai que l'on voit parfois utilisé le mot de « série » (en anglais en tout cas, par exemple chez Hardy et Wright déjà cités), il n'en est pas moins vrai que ce mot est parfaitement incorrect ici, pour la raison justement mentionnée. En tout cas, en langue française !  Ce ne serait donc pas faire preuve d'une opinion personnelle ni de sévérité excessive, mais simplement de respect de la langue mathématique française, qu'écrire : 
NoModif
Preem Palver 1 février 2013 à 17:19 (CET)
replies: text: Personne n'étant intervenu depuis ma contribution d'hier, et celle-ci étant trop rapide (j'aurais dû réfléchir un peu avant d'écrire), je me suis permis de la retoucher.  J'espère que cela ne contrevient pas aux règles qui régissent les wiki-échanges.  De toute façon, quiconque souhaitera m'incriminer pourra se reporter à l'historique, qui montre à quel point ce que j'avais écrit était naïf et hors de propos…  Désolé.Preem Palver 2 février 2013 à 09:36 (CET)
thread_title:  Des homonymies, une remarque stylistique, et un peu plus 

message: J'ai rétabli la propriété de voisinage (bc - ad = 1 ssi a/b et c/d sont consécutives à l'ordre max(b, d)) assortie d'une petite explication car elle n'était apparemment pas comprise.
Petit commentaire : c'est la première fois que je retourne sur cette page depuis 3 ans et quelques, et j'y ai découvert la modification que j'ai annulée. Pour l'auteur de cette modif il aurait été plus raisonnable avant d'écrire celle-ci de poser la question dans cette page de discussion ; vous avez remplacé un énoncé précis et vrai par un énoncé imprécis et plutôt confus ça n'était pas très heureux. Mais vous avez raison : un exemple pour clarifier ce point un petit peu subtil aurait été bienvenu.
Laurent de Marseille (discuter) 14 juin 2015 à 13:38 (CEST)
replies: text: Les énoncés sont précis et vrais, mais il manque une démonstration — comme dans la version anglaise. Je suggérerais bien un texte plus « Bourbakiste » avec un lemme et une proposition, du genre
Lemme. —  Soient deux fractions a/b < c/d vérifiant bc – ad = 1 (elles sont donc irréductibles). Toute fraction p/q vérifiant a/b < p/q < c/d doit avoir un dénominateur q ≥ b + d.
En effet, de a/b < p/q on déduit pb – qa > 0, soit pb – qa ≥ 1. On multiplie par d : pbd – qad ≥ d puis on remplace ad par bc – 1 :
pbd – qbc + q ≥ d, soit q ≥ d + b(qc – pd) ≥ b + d, cqfd.
Proposition. — Pour que deux fractions a/b < c/d soient consécutives dans Fn où n < b+d, il faut et il suffit qu’elles vérifient cb – ad = 1.
D’après le lemme ci-dessus, a/b < p/q < c/d avec bc – ad = 1 implique q ≥ b+d. Cela ne se peut dans Fn quand n < b+d et donc les fractions a/b et c/d y sont consécutives. Réciproquement, supposons b ≥ d. Comme a et b sont premiers entre eux, ils vérifient l’égalité de Bachet de Méziriac :
 ub – va = 1
et on peut exiger 1 ≤ v ≤ b, quitte à ajouter kb à v et ka à u (k entier). Les fractions a/b < u/v sont alors toutes deux dans Fn. Comme d < b+v, c/d ne peut s’insérer entre les deux et ne suit donc pas a/b sauf à être égale à u/v. Même raisonnement si d > b en considérant l’égalité vc – ud = 1 (1 ≤ v ≤ d).
JC d'Auvergne (discuter) 5 septembre 2016 à 19:23 (CEST)
thread_title:  Propriété de voisinage