Discussion:Paradoxe des prisonniers

message: ...tout cela ne serait-il pas juste une histoire de point de vue ? Que chaque prisonnier sache ou non qu'il va être exécuté, pour tout spectateur ne le sachant pas chacun a deux chances sur trois d'être exécuté. Après, du point de vue de l'exécuté ce n'est qu'une valeur non fixe, et donc pas une simple probabilité : plus on a d'indices, plus on a de chances d'avoir la réponse.
En bref, il me semble encore et encore que le point de vue du prisonnier et la probabilité en rapport ne sont que du subjectif. Un peu comme si on cherchait la valeur de "x + 2" en disant au fur et à mesure que x est positif, inférieur à 45, un réel, composé de chiffres pairs, etc. : vu de loin on ne peut qu'affirmer que "x + 2" est égal à x augmenté de 2, et voilà tout. 
Bon, je m'égare... il y a tout un débat autour de ça :-)
--Gvf 10 janvier 2007 à 02:24 (CET)
replies: text: Non, tu confonds avec le Monty-Hall. Ici ce qui était absurde, c'est que toutes les réponses possibles auraient conduit à ramener la probabilité d'exécution à 1/2 alors qu'elle était de 2/3 avant de poser la question. Si le prisonnier pointe un camarade choisi au hasard du doigt et demande "celui-là sera-t-il exécuté", la réponse "oui" ramène la probabilité de survie du curieux à 1/2. Mais il y a aussi la possibilité pour que la réponse soit "non", qui fait passer la probabilité d'exécution du curieux à… 1. Bourbaki 15 janvier 2007 à 21:41 (CET)
thread_title:  Mais... 

message: On peut schématiser les 3 cas de figure comme suit (r = raisonneur, d = désigné, t = troisième, gras = gracié) :
* Configuration r d t
** au hasard le gardien dit d
** au hasard le gardien dit t >> pas possible, il dit d
* Configuration r t d
** au hasard le gardien dit d >> pas possible, il dit t
** au hasard le gardien dit t 
* Configuration d t r
** au hasard le gardien dit d
** au hasard le gardien dit t  
On constate bien que dans un cas sur les trois où le gardien dit d, r est gracié, tandis que dans deux cas sur les trois, c'est t.
--Jplm Répondez de préférence ici, sinon : Discussion 26 septembre 2009 à 17:53 (CEST)
thread_title:  Pour les non-férus des probabilités conditionnelles 

message: === Ce que je soutiens ===
Je vois deux problèmes dans l'article tel qu'il est rédigé aujourd'hui:
Le raisonnement autour des probabilités conditionnelles me parait faux dans la preuve qui est donnée.
Le raisonnement concluant que les chances du "troisième" grimperaient de 1/3 à 2/3 est faux: les chances du troisième sont bien de 2/3
mais après que le gardien ait fait son choix. Le "troisième" est déterminé par le choix du gardien. Dire que les chances 
du troisième valent 1/3 initialement n'a pas de sens.
=== Preuve sur le fait que la désignation d'un condamné ne change pas les chances du raisonneur ===
Dans le raisonnement du texte, il y a une ambiguïté entre "un prisonnier", "le désigné" et "le troisième". On confond les personnes et l'information 
les concernant. Ce n'est pas
la même chose. Si on appelle "les prisonniers" A,B et C (les personnes), sachant que A="le raisonneur", "le désigné" peut-être B ou C selon les 
circonstances. L'information "Le désigné" suppose deux événements:
* Ce n'est pas "le raisonneur".
* C'est un condamné à mort parce que le gardien connait cette information et qu'il ne ment pas.
J'interprète les formules :
  - P(G=r|I=d) comme la probabilité que le raisonneur soit grâcié sachant que le gardien désigne un condamné à mort.  C'est a priori la 
    valeur que l'on cherche.
  - P(G=r) comme la probabilité que le raisonneur soit grâcié. P(G=r)=1/3.
    P(I=d) comme la probabilité que le gardien désigne un condammé à mort. P(I=d)=1 et non 1/2. Ce serait le cas si on désignait 
    précisément la personne en question (B ou C). Par définition, le gardien sait qui est grâcié. Il peut toujours désigner un 
    condamné entre B et C.
  - P(I=d|G=r) comme la probabilité que le gardien désigne un condamné à mort sachant que le raisonneur est grâcié. P(I=d|G=r)=1 et non 
    pas 1/2. En effet, le fait que le raisonneur soit grâcié ne change en rien la capacité du gardien de choisir un condamné. C'est un 
    événement certain.
Donc, 
  P(G=r|I=d) = P(I=d|G=r).P(G=r)/P(I=d) = 1.(1/3)/1=1/3 
Le fait de désigner un condamné à mort ne change pas les chances du raisonneur. CQFD.
=== Preuve sur le calcul des chances du troisième après la désignation du condamné ===
Le concept de "troisième" est une conséquence du choix du gardien. Il n'a pas de sens avant ce choix.
D'autre part, le raisonnement de l'article n'applique pas le théorème des probabilités conditionnelles. Je me demande bien pourquoi.
Sachant que :
  - P(G=t|I=d) : probabilité que le troisième soit grâcié sachant que le gardien désigne un condamné à mort.  C'est a priori la 
    valeur que l'on cherche.
  - P(G=t) : probabilité que le troisième soit grâcié. P(G=t)=2/3.
    P(I=d) : probabilité que le gardien désigne un condammé à mort. P(I=d)=1.
  - P(I=d|G=t) : probabilité que le gardien désigne un condamné à mort sachant que le troisième est grâcié. P(I=d|G=t)=1. 
Donc :
  P(G=t|I=d) = P(I=d|G=t).P(G=t)/P(I=d) = 1.(2/3)/1=2/3 
L'affirmation que P(G=t)=2/3 s'appuie sur le raisonnement suivant:
	
			
				
					Table de décision du paradoxe des prisonniers
				
			
			
				
					Personnes
				
				
					A
				
				
					B
				
				
					C
				
				
					Cas (G=t)
				
				
					Commentaires
				
			
			
				
					Information
				
				
					Raisonneur
				
				
					Désigné ou Troisième
				
			
			
				
					Cas
				
				
					G
				
				
					M
				
				
					M
				
				
					0
				
				
					Si A est gracié, le troisième ne peut pas l'être
				
			
			
				
					M
				
				
					G
				
				
					M
				
				
					1
				
				
					Si A n'est pas gracié, le troisième l'est automatiquement puisque le condamné est désigné.
				
			
			
				
					M
				
				
					M
				
				
					G
				
				
					1
				
			
			
				
					 Nb: les cases en bleu ciel désignent le choix du gardien. Dans le premier cas, il a le choix entre B et C
					mais ce choix est neutre sur les chances du troisième. Dans les deux autres cas, le choix du gardien impose les
					chances du troisième.
					Conventions : G=Gracié; M : condamné à Mort.
				
			
	
Jeanbar (d) 14 janvier 2011 à 19:44 (CET)
thread_title:  Je ne suis pas d'accord avec les conclusions de l'article 

message: Le concept de "troisième" est une conséquence du choix du gardien. Il n'a pas de sens avant ce choix.
D'autre part, le raisonnement de l'article n'applique pas le théorème des probabilités conditionnelles. Je me demande bien pourquoi.
Sachant que :
  - P(G=t|I=d) : probabilité que le troisième soit grâcié sachant que le gardien désigne un condamné à mort.  C'est a priori la 
    valeur que l'on cherche.
  - P(G=t) : probabilité que le troisième soit grâcié. P(G=t)=2/3.
    P(I=d) : probabilité que le gardien désigne un condammé à mort. P(I=d)=1.
  - P(I=d|G=t) : probabilité que le gardien désigne un condamné à mort sachant que le troisième est grâcié. P(I=d|G=t)=1. 
Donc :
  P(G=t|I=d) = P(I=d|G=t).P(G=t)/P(I=d) = 1.(2/3)/1=2/3 
L'affirmation que P(G=t)=2/3 s'appuie sur le raisonnement suivant:
	
			
				
					Table de décision du paradoxe des prisonniers
				
			
			
				
					Personnes
				
				
					A
				
				
					B
				
				
					C
				
				
					Cas (G=t)
				
				
					Commentaires
				
			
			
				
					Information
				
				
					Raisonneur
				
				
					Désigné ou Troisième
				
			
			
				
					Cas
				
				
					G
				
				
					M
				
				
					M
				
				
					0
				
				
					Si A est gracié, le troisième ne peut pas l'être
				
			
			
				
					M
				
				
					G
				
				
					M
				
				
					1
				
				
					Si A n'est pas gracié, le troisième l'est automatiquement puisque le condamné est désigné.
				
			
			
				
					M
				
				
					M
				
				
					G
				
				
					1
				
			
			
				
					 Nb: les cases en bleu ciel désignent le choix du gardien. Dans le premier cas, il a le choix entre B et C
					mais ce choix est neutre sur les chances du troisième. Dans les deux autres cas, le choix du gardien impose les
					chances du troisième.
					Conventions : G=Gracié; M : condamné à Mort.
				
			
	
Jeanbar (d) 14 janvier 2011 à 19:44 (CET)
thread_title:  Preuve sur le calcul des chances du troisième après la désignation du condamné 

message: :La prétendue réfutation citée plus haut comportent quelques remarques erronées. On a bien au départ 3 cas équiprobables :
* Gracié, Exécuté, Exécuté
* Exécuté, Gracié, Exécuté
* Exécuté, Exécuté, Gracié
Et bien sûr le geôlier apporte une information. On se retrouve avec 4 cas non-équiprobables :
* Gracié, Exécuté-Désigné, Exécuté
* Gracié, Exécuté-Désigné, Exécuté-Désigné
* Exécuté, Gracié, Exécuté-Désigné
* Exécuté, Exécuté-Désigné, Gracié
Leurs probabilités sont resp. 1/6, 1/6, 1/3 et 1/3. C'est là que tout diverge dans les points de vue
Ainsi si le geôlier désigne le second prisonnier, il reste 2 cas non-équiprobables, soit 1/6 et 1/3. Tous calculs faits, on obtient les probabilités 1/3 et 2/3 comme cités dans le texte. CQFD.
--Dimorphoteca (d) 14 avril 2013 à 18:27 (CEST)
thread_title:  1/3 d'un côté signifie 2/3 de l'autre... 

message: Bien que ce paradoxe ressemble au problème de Monty Hall, il est tout à fait différent et sa justesse est plus ambiguë. La différence déterminante est qu'ici, le prisonnier n'a aucun choix possible ni modifiable, ce qui change complètement la combinaison des probabilités. Qui plus est, les trois prisonniers partagent la même information en temps réel et sont donc égaux de ce point de vue.
Sans changer les prémisses, je vous propose une variante de l'énoncé:
[...] Le gardien réfléchit et répond "tu le verras demain". Le lendemain, un des deux compagnons du prisonnier ayant posé la question est exécuté.
Cette formulation apporte les mêmes informations que la précédente et répond de la même façon à la question du raisonneur. Cependant :
- Quelles sont les chances individuelles de survie des deux restants après l'exécution et pourquoi ?
--Tireatute (discuter) 8 septembre 2018 à 14:14 (CEST)
replies: text: Si votre variante est étayée par une source, il ne faut pas hésiter. Après on verra pour la rédaction. Par contre, s'il s'agit d'une "exégèse", je suis surpris, car cette formulation change le point de vue fallacieux du prisonnier "raisonneur" (même si au final on reste bien avec nos probabilités de départ,  ce qui semble votre point de vue). --Dimorphoteca (discuter) 8 septembre 2018 à 18:40 (CEST)

text: Il s'agit donc de donner un éclairage différent. Si l'on ne s'écarte pas des sources, cela ne pose pas de problème. Tracer un arbre non plus, s'il reprend le texte. Mais une variante où le gardien dit "tu le verras demain" me semble trop différent du point de départ. A tort ou à raison je me dis "C'est idem pour le gardien (donc OK avec Tireatute), mais pas pour le prisonnier (qui de toute façon à tort) et c'est là que je coince". --Dimorphoteca (discuter) 10 septembre 2018 à 09:41 (CEST)
thread_title:  Ambiguité 

message: Bonjour à tous et bravo pour la richesse de cette page de discussion !Voici ma (double) question naïve :
Imaginons qu'en guise de réponse, le gardien sorte son flingue et abatte l'un des deux autres prisonniers.1° Le questionneur aurait-il alors tort de penser "J'ai une chance sur deux de survivre" ?2° En quoi ce scénario diffère-t-il de l'original ?
Bonnes salutations et d'avance merci de vos éclaircissements...MuPiKa (discuter) 17 octobre 2021 à 02:31 (CEST)
thread_title:  Question naïve...