Discussion:Équations de Navier-Stokes

message: L'équation indiquée :
\frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t} + \operatorname{div} \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right) = - \overrightarrow{\mathrm{grad}} (p) + \operatorname{div} (\overline{\overline {\tau}}) + \rho \vec{f}
ne doit pas contenir la masse volumique \rho dans les dérivées partielles.
L'équation devrait être :
\rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \rho (\vec{v}.\overrightarrow{\mathrm{grad}}) \left(\vec{v} \right) = - \overrightarrow{\mathrm{grad}} (p) + \operatorname{div} (\overline{\overline {\tau}}) + \rho \vec{f}
Ainsi tout ce qui en découle dans l'article ne serait pas correct.
Références :
http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quations_d%27Euler
Yves65 (d) 11 novembre 2011 à 23:05 (CET)
thread_title:  Erreur dans l'équation de bilan de la quantité de mouvement ? 

message: Quand je lis tout ce qui est écrit, je me dis "Oulah, ça pédale dans la choucroute chez les mécaniciens des fluides !".
Ces équations de Navier Stokes sont, m'a-t-on dit, importantes.
La première chose à faire serait déjà d'essayer de faire sentir en quoi elles sont importantes, en illustrant, à l'aide d'expériences (des vraies, pas des expériences de pensée), quels phénomènes relatifs aux fluides elles décrivent. Poser le contexte, donc, pour mieux expliquer, dire comment ces équations ont été découvertes me semble une très bonne introduction.
Il faudrait poser le problème avec des "Soit...", "Supposons...", "Notons...", histoire de faire les choses dans l'ordre.
A la façon dont sont présentées les équations ici, j'ai l'impression que c'est un peu "Je connais mes équations par coeur je les écris et après seulement j'explique tous les trucs compliqués qui font peur et qu'on comprend pas."
Le mieux, c'est quand même d'expliquer, de la façon la plus simple et la plus claire possible, ce que sont ces "trucs compliqués qui font peur et qu'on comprend pas", et de le faire avant de balancer les équations.
BST 90.42.168.31 (d) 21 décembre 2010 à 20:10 (CET)
thread_title:  Contexte et informations historiques 

message: Est-ce qu'il conviendrait d'ajouter le traité de Comolet dans la biblio? DanielB 6 juillet 2007 à 21:53 (CEST)
thread_title:  Bibliographie 

message: Je viens de remplacer les nabla avec flèche par des "div" et "gradient". Je ne connais rien au LaTeX, mais en tripatouillant précautionneusement tous ces symboles LaTeX j'ai réussi à un peu améliorer la formule.
Un problème demeure : "gradient" est écrit sans flèche, et n'est pas en gras. Je n'ai tout simplement pas réussi à mettre une flèche sur le symbole "grad", du coup j'ai écrit le mot en entier pour faire tilter le lecteur averti et ça donne "gradient".
Pour ma part, je préfère la notation en gras à celle en flèches pour les vecteurs, parce que la plupart des vecteurs, au sens mathématique, et non pas au sens foireux que peuvent en avoir un certain nombre (que j'ignore) de physiciens, ne peuvent être représentés aisément dans notre espace 3D par des flèches. La notation en gras a l'avantage de renvoyer à la définition mathématique de ce qu'est un vecteur, que trop peu parmi ceux qui se servent de la notation en flèche connaissent, hélas...
Les vitesses eulériennes sont notées avec des flèches, il faut que ce soit soit tout en gras soit tout avec des flèches, et pas avec le "gradient" que j'ai laissé comme un malheureux.
BST 90.41.181.11 (d) 21 décembre 2010 à 20:47 (CET)
thread_title:  Notation des vecteurs 

message: J'ai sous les yeux le Landau et Lifchitz (et ce n'est pas la seule référence), ils ont des équations en cylindrique et sphérique qui diffèrent beaucoup.
Par exemple :
\frac{\partial v_r}{\partial t}+\left( \vec{v}\nabla\right) v_r-\frac{v_\varphi^2}{r}=-\frac{1}{\rho}\partial_r P+... où \nabla prend le sens habituel du gradient en cylindrique \partial_r ; \frac{1}{r}\partial_\varphi ; \partial_z 
je ne modifie pas l'article pour l'instant, mais j'aimerai bien un avis là dessus. (autre référence : http://www.locean-ipsl.upmc.fr/~pba/exam_juin_2004_DMC.rtf )
--Char Snipeur (d) 28 janvier 2010 à 16:17 (CET)
thread_title:  ERREUR en cylindrique ? 

message: J'ai modifié l'équation après avoir regardé mes cours d'hydrodynamique et de mécanique des fluides. Je ne retrouve ni ne comprends le 1/3. NicoRay 13 jun 2004 à 14:14 (CEST)
thread_title:  1/3 

message: Bonjours, je ne connais rien en hydrodynamique et c'est pour cela que je ne puis changer moi même les équation mais regardez bien la deuxième équation... 
vous ne voyez rien qui cloche?
Dans l'opérateur divergence (second terme) il y a (rho)*v VECTORIEL v
Et d'après ce que je sais rho*v étant toujours colinéaire à v ce produit est NUL...
Je ne sais pas si c'est un produit scalaire (qui ferait intervenir le double de l'énergie cinétique massique) ou qui sais quoi mais bon, bonjour la bourde!!!
:C'est un produit tensoriel ! — Florian, le 26 juillet 2008 à 18:51 (CEST)
thread_title:  Vous ne voyez plus l'essentiel 

message: Bonjour, 
cette formulation des équations de N.S. ne correspond pas à celle vue en cours et semble peu adéquate. Il vaut mieux utiliser grad, div, rot etc. 
De plus, une équation se doit d'être homogène (vecteur à gauche=vecteur à droite).
Le produit vectoriel est enseigné avec ce symbole: ^
Bonjour,
* je reviens de la page produit vectoriel, effectivement, on le note à la française, il y a même une discussion à ce sujet.
* Pour ce qui est des opérateurs que j'utilise aussi sous la forme\overrightarrow \nabla, il y a aussi une discussion un poil plus étoffée plus haut
* Pour ce qui est de l'inhomogénéité, je ne pense pas prendre trop de risques en disant que tu as tort… Vérifie les définitions des produits tensoriels, cross product…
Bon courage pour ce dernier point !
Tinou62 (d) 10 janvier 2010 à 09:26 (CET)
thread_title:  clarté? 

message: Bonjour, l'équation de mouvement au début me semble bizarre car on ajoute une série de vecteur avec une divergent, qui est pas definition un scalaire. (dwhunter)
:La divergence d'un vecteur est un scalaire. La divergence d'un tenseur (d'ordre 2) est un vecteur ! — Florian, le 12 juillet 2009 à 01:18 (CEST)
thread_title:  Homogénéité 

message: bonjour 
g remarqué que vous avez sommé un vecteur avec un un scalaire c-à-d une divergence plus un rotationnel
Dimitrov08 (d) 19 janvier 2011 à 17:07 (CET)
replies: text: Non, cf. la section juste au-dessus. Kelam (Qu'est-ce que c'est ?)  19 janvier 2011 à 17:12 (CET)
thread_title:  Équation de bilan de la quantité de mouvement 

message: Cette section est parfois un peu simpliste. En particulier, dire que l'on simplifie la résolution de NS en augmentant le nombre de Reynolds, c'est quand même faire injure aux milliers de chercheurs de tous horizons qui ont étudié le phénomène de turbulence. Je modifie et complète cette section.
--GRömK (d) 24 mars 2011 à 17:48 (CET)
thread_title:  Section INTERPRETATION 

message: Proposé par : Yves65 (d) 12 novembre 2011 à 11:16 (CET)
thread_title:  Vérification de l'équation du bilan de quantité de mouvement 

message: Bonjour,
(Il règne une ambiance sur cette page ! J'espère que je ne vais pas me faire cartonner comme un pigeon. Bon, enfin, je me lance !)
Il n'y a qu'une référence pour la totalité de l'article. C'est normal ?
Cordialement, et Hop ! Kikuyu3 Sous l'Arbre à palabres 21 mai 2015 à 22:06 (CEST)
thread_title:  Références 

message: La relation indiquée à fin avril 2022 était la suivante :
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \left(\vec{V} \vec{V} \right) = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \nu \,\vec{\nabla}^2 \vec{V}+ \vec{g}
Le problème est lié à l’interprétation accordée au terme \vec{\nabla}^2 \vec{V}  qui peut prêter à confusion :
* Si \vec{\nabla}^2 \vec{V} = (\vec{\nabla}^2) \, \vec{V} , on a bien (\vec{\nabla}^2) \, \vec{V} = \Delta \vec{V} et c’est correct. Mais il faut alors noter \nabla^2 \vec{V} .
* Si \vec{\nabla}^2 \vec{V} = \vec{\nabla} (\vec{\nabla}  \cdot \vec{V}) , ce n’est pas la même chose.
La dernière équation de la page traitant de l’emploi moderne de nabla au sujet du laplacien vectoriel est écrite
\Delta \overrightarrow A = {\overrightarrow \nabla }^2 \overrightarrow A - \overrightarrow \nabla \wedge (\overrightarrow \nabla \wedge \overrightarrow A) = {\overrightarrow \nabla }({\overrightarrow \nabla } \cdot \overrightarrow A) - \overrightarrow \operatorname {rot} (\overrightarrow \operatorname {rot} \overrightarrow A)
et elle indique clairement que c’est la seconde interprétation qui est admise ici.
Dans l’équation de bilan de quantité de mouvement, la première interprétation est correcte. En effet, pour un fluide newtonien en général, le tenseur des contraintes
\mathsf{\Sigma} = \mu \left[\, \vec{\nabla} \vec{V} + ( \vec{\nabla}\vec{V}\,)^T \right] + \mu' ( \vec{\nabla} \cdot \vec{V} \,) \; \mathsf{I}
permet de déduire
\vec{\nabla} \cdot \mathsf{\Sigma} = \mu \left[\, \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \vec{V}) + \vec{\nabla} \cdot ( \vec{\nabla}\vec{V}\,)^T \right] + \mu' \, \vec{\nabla} \cdot ( \vec{\nabla} \cdot \vec{V} \,) \; \mathsf{I} = \mu \, \nabla^2 \vec{V} +  (\mu + \mu') \, \vec{\nabla} ( \vec{\nabla} \cdot \vec{V} \,)
Le second terme étant nul dans le cas incompressible, le bilan de la quantité de mouvement devient alors
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \left(\vec{V} \vec{V} \right) = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \nu \, \nabla^2 \vec{V}+ \vec{g}
ce qui est conforme à la première interprétation.
D’autre part, puisque \vec{\nabla} \cdot \left(\vec{V} \vec{V} \right) = (\vec{V} \cdot \vec{\nabla}) \, \vec{V} dans le cas incompressible, la formulation suivante me semble préférable (le membre de gauche reflétant l’accélération des particules du fluide) :
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V} \cdot \vec{\nabla}) \, \vec{V} = - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p + \nu \, \nabla^2 \vec{V}+ \vec{g}
Elle correspond d’ailleurs précisément aux expressions en coordonnées cartésiennes détaillées dans le menu déroulant.
--Jaccard (discuter) 6 mai 2022 à 17:58 (CEST)
thread_title:  Fluides incompressibles - Équation de bilan de la quantité de mouvement 

message: Depuis sa création le 17.12.2017 à 13h52, la première équation de ce chapitre, soit
\rho \left(\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+ \vec{\Omega}\times \vec{V}+\vec{\nabla}\vec{V}\,\vec{V}\right)=-\vec{\nabla}p+\rho\,\vec{g}+\mu\left(\frac{4}{3}\, \vec{V}\cdot \vec{\nabla}\vec{V}-\vec{\nabla}\times \vec{\Omega}\right)
est incorrecte : on vérifie en effet que les deux termes entre () du membre de droite n’ont pas la même unité.
Il suffit de remplacer 
\frac{4}{3}\, \vec{V}\cdot \vec{\nabla}\vec{V} par
\frac{4}{3}\, \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{V})
Justifications :
* On retombe sur l'équation de bilan de la quantité de mouvement indiquée dans la page de l’équation de Helmholtz.
* On obtient la nouvelle forme en repartant de l'équation de bilan de la quantité de mouvement d’un fluide newtonien (cf plus haut) et en appliquant les deux identités vectorielles.
--Jaccard (discuter) 6 mai 2022 à 18:13 (CEST)
thread_title:  Écoulements irrotationnels : une erreur