Discussion:Théorèmes d'incomplétude de Gödel

message: Aoineko 18 fév 2004 à 02:50 (CET)
replies: text: Je n'y connais pas grand chose (juste quelques mots de la part d'un prof d'algèbre en prépa) mais je donne quand même mon avis. Le principe d'une bonne théorie est d'expliquer le maximum de choses avec le minimum d'hypothèses. Pour réduire le nombre d'hypothèses on essaie de montrer qu'une hypothèse peut se démontrer à partir d'autres qui ont déjà été posées. En revanche il y a des résultats qu'on ne peut absolument pas démontrer à partir d'autres. L'exemple le plus célèbre est constitué par les tentatives de démontrer que l'axiome des parallèles en géométrie euclidienne pourrait se déduire des autres axiomes (je ne me souviens plus lesquels). Or, grâce à ce cher Cantor on sait maintenant que cet axiome n'est pas démontrable. Donc les trois solutions (deux parallèles ne se coupent jamais; se coupent en un point; se coupent en une infinité de points) sont toutes aussi valables et sont chacune à la base d'un type de géométrie. Dans le cas de Dieu, son existance ou sa non existance n'étant pas démontrable, chacune des réponses est valables. S'il y avait un matheux dans la salle pour corriger mes erreurs ce ne serait pas de refus. /me préfère la Physique aux maths ;) Med 11 fév 2004 à 11:30 (CET)

text: Pour moi, le principe d'indécidabilité est de Gödel (en s'inspirant de Cantor)), qui a publié le Théorème d'Incomplétude. D'ailleurs, Stuart Little a écrit : "C'est ce qu'explique le principe d'indécidabilité de Goeddel à partir des travaux sur les grands cardinaux de Cantor.". Ceci dit, c'est bien au-dessus de mon niveau, on verra ca dans quelques années. Ceux que ca intéresse peuvent aussi lire les livres de Raymond Smullyan ("Le livre qui rend fou" et "Ca y est, je suis fou"), ca commence par des énigmes et ca finit par ca... je me suis arrêté un peu avant    Koxinga 11 fév 2004 à 13:20 (CET)

text: Coucou, coucou ! Voilà un matheux ! Gödel a démontré deux théorèmes sur le sujet de l'indécidabilité : ① tout système formel contenant les nombres entiers (donc pas mal de choses) contient une proposition indécidable (ie qu'on ne peut peut démontrer vraie ou fausse avec les axiomes initiaux) et ② que cette proposition est vraie en ajoutant un axiome. Ensuite il ne faut pas faire sortir ce théorème mathématique des mathématiques sinon on raconte n'importe quoi comme Debray et son principe bidon de Gödel-Debray (cf. la partie là-dessus du livre de Sokal et Bricmont Impostures intellectuelles). ℓisllk 11 fév 2004 à 16:32 (CET)

text: Relis lentement, tu devrais comprendre : ce n'est pas si dur que ça. De plus le problème de א0 et de א1 n'est pas indécidable au sens de mon intervention ci-dessus parce que le problème de Cantor (est-ce qu'il existe un cardinal entre א0 et א1 ?) est un postulat, c'est-à-dire qu'on peut y répondre « oui » ou « non », cela produira juste des théories différentes, en aucun cas des contradicitons. Notons que mon intervention (comme la précédente) n'est pas dogmatique, ce que je dis sont des théorèmes démontrés (pas par moi bien entendu). ℓisllk 11 fév 2004 à 20:40 (CET)
thread_title:  Indécidabilité 

message: *Quelques modifs mineures : 
**remplacer consistant par cohérent. C'est tout aussi précis (aucune contradiction prouvable) et c'est plus parlant.
**date de communication de la preuve (1930), publication écrite 1931.
**mentionner que la terminologie n'est pas très bien fixée, ni ici, ni par les logiciens. Le théorème d'incomplétude de Gödel est appelé parfois le premier théorème d'incomplétude pour le distinguer du second (l'énoncé qui affirme la cohérence d'une théorie T est un indécidable de T). Comme les deux vont ensemble, que la preuve du second suit directement celle du premier, qu'ils ont été exposés par Gödel dans le même article fondateur de 1931, il me semble qu'ils doivent être présentés dans un même article de l'encyclopédie. 
*modifs plus importantes
**mentionner l'existence d'une preuve naturelle de la Cohérence des axiomes de l'arithmétique formelle, dont la validité n'est pas contestable, mais qui est difficile à formaliser et qui présuppose notre capacité à connaître les ensembles infinis.
**Introduire les notions de représentation d'une formule par un nombre (arithmétisation de Gödel) et par un objet quelconque de la théorie, et de prédicat de prouvabilité.
**Prouver le théorème de Gödel sous l'hypothèse de l'existence d'un prédicat de prouvabilité et d'un prédicat de substitution. La preuve est facile et peut être exposée même dans un article destiné à tout public. La construction de l'énoncé indécidable de Gödel est identique à la construction du nombre AT dans le théorème d'incomplétude de Tarski. Il suffit de remplacer le prédicat de vérité par un prédicat de prouvabilité. C'est une application directe du paradoxe du menteur, comme tous (?, je crois que oui, mais c'est peut-être un peu tiré par les cheveux. Peut-on voir les théorèmes de Cantor comme une application directe du paradoxe du menteur ?) les théorèmes sur l'incomplétude mathématique. On peut aussi déduire le théorème de Gödel du théorème de Tarski.
**La partie difficile de la preuve de Gödel consiste bien sûr à prouver l'existence des prédicats de prouvabilité et de substitution. Je ne sais pas si CD a avancé sur cette partie très mathématique. De mon côté je laisse cela pour l'instant. Je prépare une révision de l'article système formel qui donnera quelques préliminaires.
**Donner l'argument de la preuve du second théorème d'incomplétude. Insister, comme cela a déjà été dit sur le caractère relatif de ce théorème : T ne permet pas de prouver la cohérence de T, mais cela ne veut pas dire que la cohérence de T n'est pas prouvable.
**Je trouve que la discussion sur formalisme et logicisme est trop courte. 
***Pour que les conclusions soient recevables il faudrait qu'elles soient précisées. Il y a des façons d'interpréter le formalisme et le logicisme tout à fait respectables, même aujourd'hui. Ce sont des tentatives de réponse à la question de la nature de la vérité mathématique. C'est toujours une question d'actualité pour laquelle les propos de Frege, Hilbert, Whitehead, Russell et beaucoup d'autres sont toujours pertinents, même s'ils doivent être révisés à la lumière des résultats obtenus par Gödel.
***mentionner que la terminologie sur la différence entre principes logiques et principes mathématiques n'est pas très bien fixée, ni ici, ni par les logiciens. Frege considérait les principes de sa théorie (contradictoire) des ensembles comme des principes logiques. Il me semble qu'aujourd'hui, le mieux est de considérer les principes de la logique du premier ordre (sans théorie des ensembles donc, ni explicitement, ni implicitement) comme le noyau dur de la logique.
**la partie philosophie pourrait être mieux exploitée. 
***Dire que l'existence de Dieu est un indécidable, c'est dire qu'on n'a pas choisi d'axiomes pour répondre à cette  question. De ce point de vue, on peut rappeler que chacun est libre de choisir les axiomes qu'il veut, et que c'est à lui de montrer alors leur valeur.
***Discuter les notions de puissance et d'impuissance de la raison. Montrer que le théorème d'incomplétude est lié à la puissance de l'imagination mais qu'il ne met pas en doute notre capacité à donner des preuves et à connaître, en un sens, tous les principes logiques.(voir théorème de complétude de Gödel.
*Tout ceci est en préparation. J'en mettrai en ligne une partie dès que ce sera prêt (quelques jours), en tenant compte de vos objections.--Thierry Dugnolle 19 fev 2005 à 11:08 (CET)
replies: text: J'ai lu, apprécié, mais je n'ai pas le temps d'écrire ma réponse aujourd'hui. J'écris aujourd'hui surtout pour te signaler ce qui me semble une coquille dans tes premières lignes. Tu as écrit "théorème de complétude" pour "théorème d'incomplétude" me semble-t-il. Trois théorèmes de Goedel : l'un, de complétude, le suivant d'incomplétude (1er) et le dernier d'inconsistance si je puis dire (incomplétude 2ème). CD 19 fev 2005 à 12:11 (CET)

text: Désolé pour la coquille. J'avais pourtant relu deux ou trois fois.--Thierry Dugnolle 19 fev 2005 à 14:30 (CET)
thread_title: Modification de l'article

message: ::Très bel article, maintenant ! Encore un peu de wikification et de corrections typographiques (pour les formules mathématiques) et je serais pour en faire un "article de qualité" ! --Aldoo / ✉ 25 fev 2005 à 10:12 (CET)
replies: text: J'avais aussi fait des éloges et quelques remarques, mais tout a disparu à la sauvegarde ! Avant d'avoir le courage de recommencer, deux petites choses que je pourrais faire moi-même un peu plus tard : sauf erreur, on n'écrit pas "Türing" mais "Turing", et il faut un lien diophantien quelque part. CD 25 fev 2005 à 11:17 (CET)
replies: text: Est-ce que "consistant", bien que fréquemment utilisé dans ce contexte-là, ne serait pas un anglicisme, au fait ? --Aldoo / ✉ 1 mar 2005 à 09:17 (CET)
replies: text: Oh là bonne question, moi qui défends "récurrence" contre "induction"... C'est sans doute un anglicisme (et j'ai appris la logique dans des livres en anglais). J'ai été voir dans mes références en français. Dans "théorie des ensembles", Krivine donne "non contradictoire", "cohérent" et "consistant" comme synonymes [il serait bon aussi de citer "non contradictoire"] ; dans "Logique mathématique", Cori et Lascar prenne "cohérent" dans le sens syntaxique (on ne peut démontrer formellement un énoncé et son contraire) et "consistant" dans le sens sémantique (théorie ayant au moins un modèle). CD 1 mar 2005 à 10:46 (CET)

text: Petite réponse. Je suis (et serai) beaucoup en voyage ces temps-ci. Sur Gentzen, tu n'as pas à te sentir embêté ; je ne pense pas qu'il faille en dire beaucoup ssur son ordinal, juste une petite chose pour qu'il soit moins mystérieux (c'est sans doute un "petit" ordinal dénombrable, je n'ose pas le mettre parce que je n'ai pas retrouvé de référence, sinon je pense que c'est la seule chose à mettre). Je suis tout à fait d'accord pour ne pas chercher à distinguer dans l'article les différents sens donnés à consistance, cohérence, etc. Mais je réitère ma remarque : il faut que le mot "consistance" (ou "consistant") apparaisse au moins une fois pour que le lecteur qui a lu quelque part "consistance" n'ait pas de doute qu'on parle de la même chose. Enfin, il y a un article décidable qui a été créé, et aussi une discusssion de savoir si on le garde (dans PàS). J'ai proposé de garder, et de mettre là des exemples intéressants de théories décidables. CD 4 mar 2005 à 10:02 (CET)

text: Pour ce qui est des "...produit de matrices...", c'est un mystère pour moi. Peut-être que "Osmose", qui s'est beaucoup occupé de la première rédaction, sait. Pour le problème de Whitehead je crois que j'ai lu un article dessus dans la version anglaise de Wikipédia et j'y ai compris un petit quelque chose. Cependant, il s'agit d'un problème sur les groupes abéliens, la théorie des groupes abéliens est décidable... et là je flotte. CD 4 mar 2005 à 23:23 (CET)
thread_title: Maturité de l'article

message: La partie Le théorème d'incomplétude en philosophie est assez surprenante. Il est dit que le théorème est souvent cité en philosophie. On aimerait bien des exemples. Quant à Dieu, on se demande bien ce qu'il vient faire dans cet article et quel rapport il peut bien avoir avec un théorème d'ordre mathématique. Mêler Dieu au théorème d'incomplétude de Gödel est aussi absurde que de le lier à la non-existence de solution réelle à l'équation x2+1=0 ou au contraire à l'existence d'une solution complexe. Theon 9 mars 2006 à 18:15 (CET)
thread_title:  Dieu ? 

message: Après avoir parcouru l'article il me semble que quelques modifications seraient utiles.
D'une part il y a des imprécisions, voire erreurs.
Par exemple la partie sur la preuve partielle du théorème est vraiment douteuse. Le théorème de Gödel ne se déduit
pas du théorème de Tarski (sauf dans une version beaucoup plus faible que celle de Gödel, puiqu'il faut supposer que la théorie à pour modèle les entiers usuels) et de toute façon celui-ci date de 1933
(2 ans après Gödel), l'énoncé dit équivalent au th. de Gödel dans cette partie n'est de toute façon pas clair
(que veut dire vrai ?) etc.[corrigé]  Il faut de toute façon parler des hypothèses de cohérence pour comprendre le problème [à faire].
Je commence quelques modifications dans ce sens, très graduellement, et en débutant sous wikipedia.
Mais une refonte serait peut être utile :
- la partie sur les preuves de cohérence de l'arithmétique devrait être dans un autre article 
- les considérations sur les théories complètes devraient faire partie d'un autre article
- l'existence de théories incomplètes est en soit une trivialité, donc je ne suis pas sûr que le passage sur la géométrie, 
qui est bien-sûr intéressant (preuve de cohérence relative) soit à sa place.
Proz 5 avril 2006 à 22:19 (CEST)
thread_title:  refonte de l'article ? 

message: Que contient (en rapport avec le sujet) ? Est-ce une référence à maintenir ?
* Jean-Marc Alliot, Thomas Schiex, Pascal Brisset, Frédérik Garcia, Intelligence artificielle & informatique théorique - Cepadues, 2002 -  
Je déplace ici cette référence, qui est plus à sa place dans la discussion, que comme référence de l'article lui même, me semble-t-il 
* Yann Ollivier, Le théorème de Gödel et ses non-interprétations
Références "Autres" à commenter.
Proz 30 mai 2006 à 21:21 (CEST)
thread_title:  Bibliographie 

message: Quelqu'un pourrait-il indiquer ici (ou dans l'article cousin "Théorème de complétude de Gödel", le rapport exact des deux théorèmes, c'est à dire indiquer ce qui relève de l'un ou de l'autre ? L'idéal serait que ce fût sous forme de tableau, afin de bien fixer les idées. D'avance merci à qui en aura le courage ! 81.64.199.181 8 juillet 2006 à 16:47 (CEST)
thread_title:  Rapport avec :le théorème de complétude ? 

message: *Là est démontrée une pté importante : dans la théorie T une pté G est démontrable si et seulement si T et nonG est contradictoire. L'implication directe me convient ; en revanche, je ne comprends pas l'implication réciproque j'essaie de reconstituer : supposons T et non G contradictoire. Par déf, cela signifie que G est vraie dans (T et nonG) ; donc G est vraie dans T ; donc G est démontrable dans T. Des deux donc, le premier me semble acceptable même si je serais incapable de le démontrer, n'étant pas logicien. En revanche, le deuxième me semble confondre vérité et démontrabilité, ce que la partie II nous enjoint à ne pas faire. Quid?
:Il n'y a pas à parler de vérité. C'est de la démonstration, et c'est à peu près le raisonnement par l'absurde usuel en math, mais sous une forme tellement abstraite, qu'on ne le reconnait pas je suppose. Je rerédige dans l'article, en tentant d'être plus clair.
::Là, je ne comprends pas ; j'essaie de dire plus loin. 
*Le théorème de Gödel est reformulé en utilisant cette pté ; mais il l'est deux fois (avant et après la démo de ladite pté), et ça ne facilite pas la lecture.
:En fait après la preuve, ça n'est pas exactement une reformulation, et ça permet d'enchaîner avec la suite. J'ajoute un mot avant pour expliquer la suite, rien de mieux ne me vient rapidement à l'esprit pour le moment. N'hésite pas à modifier si tu vois mieux.
::A la relecture, ça ne me pose plus de problème ; donc, ça va.
*Pour la dernière remarque de ce chapitre (en gros : l'énoncé indécidable obtenu est exprimable dans le langage de l'arithmétique ; et c'est de plus un énoncé assez simple) : il n'est pas clair si cette précision sur le théorème esst une trivialité qu'on devrait savoir faire seul, ou si c'est dur.
:ce n'est pas une trivialité. C'est parce que les codages sont arithmétiques. J'ai un peu modifié la formulation dans l'article. D'autre part logiquement assez simple ne signifie pas vraiment simple, je précise également.
::Ca me paraît plus clair.
*Bonjour. En relisant la démonstration, et bien qu'il soit mentionné que l'on présume que la théorie T considérée dans le contexte satisfait les hypothèses « utiles », il ne me semblerait pas inutile d'expliciter une propriété-clé de T impliquée dans la déduction ici : la cohérence. Actuellement, on peut lire que : « T augmentée de non G est contradictoire » conduit à « non G est source de contradiction dans T » ; cela est valide bien entendu dans l'hypothèse implicite que T est non contradictoire — autrement, on ne pourrait pas, à mon sens, conclure (décider) sur la source contradictoire (non G ? S une sous-théorie de T ?). Merci pour votre avis sur la pertinence de l'explicitation proposée. --nha de Lyon 26 janvier 2007 à 00:10 (CET)
replies: text: Ta formulation « non G est source de contradiction dans T » est trompeuse. Pense que T est l'arithmétique de Peano, tu fais ce genre de raisonnement sans invoquer la cohérence de l'arithmétique.  "T+non G contradictoire" signifie de "T+non G on déduit l'absurde", ce qui est quasiment pareil que "dans T de non G on déduit l'absurde" (quand on formalise la preuve, ça dépend du choix du formalisme, mais c'est en général complètement évident). C'est du même ordre que (A et B) => Absurde équivaut à A => (B => Absurde), pour donner une idée (mais attention : T peut être infinie). On a besoin que ce soit non G pour la suite bien-sûr, mais ce bout de raisonnement serait tout aussi valide en prenant à la place une formule de T. La cohérence de T n'est pas nécessaire pour ce raisonnement. Ca marche très bien si T est incohérente (mais ça n'a pas grande signification puisqu'alors T démontre n'importe quoi). Par contre G indécidable dans T n'est pas possible si T incohérente. C'est là qu'a déjà servi l'hypothèse de cohérence, pour le résultat que l'on cherche à démontrer. J'avais pensé à mettre un avertissement  pour dire que ces démonstrations sont effectivement très simples mais non usuelles, et, par expérience, il n'est pas si simple de se rendre compte qu'elles le sont ! Ceci dit je ne dis pas qu'il n'y a pas moyen de mieux expliquer.  Proz 26 janvier 2007 à 01:37 (CET)
thread_title: Csqces du premier théorème

message: C'est au sujet de : "la vérité dans le modèle standard de l'arithmétique, les entiers que «tout le monde connaît»" - En qualité de personne formée mathématiquement mais pas spécialiste en logique, j'ai plusieurs fois été intrigué par cette inévitable apparition des "entiers standard" dans la plupart des exposés sur ce genre de questions. Me trompè-je en croyant comprendre que ce qui est important chez eux ce n'est pas que «tout le monde les connaisse» mais surtout que ce soient les mêmes que ceux qui ont été utilisés en amont pour définir des concepts comme "cohérent", "récursivement axiomatisable" voire tout simplement "formule" ? Je ne suis pas assez expert pour exposer ça précisément, mais si je ne suis pas à côté de la plaque, je trouve que c'est clarificateur - ça intrigue vraiment de voir les entiers «les plus familiers» se mettre en trompeuse apparence à jouer un rôle particulier alors qu'ils sont en fait intevenus mais un peu cachés tout au long de la première partie. Touriste * (Discuter) 28 août 2006 à 12:41 (CEST)
replies: text: C'est une remarque assez subtile. Je ne suis pas sûr de donner une réponse pertinente. Effectivement les entiers interviennent dès que l'on définit le langage. Dans un modèle non standard, les entiers non standards, on ne peut justement pas en parler dans le langage de la théorie, donc il n'est pas question de les utiliser pour les définitions des formules, de la cohérence etc. C'est effectivement indispensable que les notions de formule, preuve, etc. se codent par des entiers (forcément standards). Il est effectivement important que les prédicats "récursivement axiomatisable", "prouvable", etc.  veuille bien dire, via les codages par les entiers, donc interprétés dans N, ce que l'on veut. Ceci dit tout ceci sera démontrable, donc vrai dans un modèle non-standard. La phrase  "les entiers que «tout le monde connaît»" est très abusive, mais évite de donner des détails. On peut introduire une remarque dans le sens de ce que tu proposes.  Proz 28 août 2006 à 13:48 (CEST)
replies: text: Merci de ta réponse, inutile de mettre une remarque si personne ne se sent sûr. Il est aussi possible qu'il soit essentiel que le N qu'on utilise soit bien ordonné, et encore plus plausible qu'il y ait un peu des deux à la fois ; il faudrait lire pas à pas, vraiment très pas à pas, les démonstrations notamment dans les sections 6-1-2 et 6-1-3 pour se faire une opinion. Donc n'y touchons pas tant que nous ne sommes sûrs de rien, c'est certainement plus prudent. Touriste * (Discuter) 28 août 2006 à 13:56 (CEST)

text: Je ne proposais qu'une remarque sur le fait que la connaissance des entiers est déjà implicite. Sinon, à la réflexion, je pense que ce que tu dis corresponds au fait que, la vérité dans N est utilisé comme biais commode pour montrer que ce que l'on définit dans la théorie (prédicat de prouvabilité) correspond bien à la "vraie" prouvabilité, que le codage est fidèle finalement (on parle parfois de "réflexion" de la théorie dans elle-même). Il faudrait peut-être plus insister dans la partie codage. Proz 29 août 2006 à 21:40 (CEST)
thread_title: Une remarque (qui est en même temps une question à haute voix)

message: Je ne demande pas de réponse à mes questions une par une (ni ne les refuse, d'ailleurs). L'idée est juste que la perception d'un profane peut aider le rédacteur à voir où il peut clarifier son article. Je serai absent pendant plusieurs jours, donc je ne pourrai pas préciser tout de suite mes questions si tu le demandes. En revanche, après mon retour, je veux bien essayer de lire la suite, si certaines de mes remarques ont pu aider, et revenir sur celles qui auront été obscures. Merci.Salle 11 août 2006 à 21:29 (CEST)
replies: text: cela m'intéresse que ce soit compréhensible par des non-spécialistes, donc ce sera avec plaisir. De toute façon, tout texte de ce genre devrait être relu. Par ailleurs ne faudrait-il pas reporter cette discussion dans la page de discussion de l'article ? Proz 14 août 2006 à 20:08 (CEST)
replies: text: Aucun souci pour recopier en page de discussion de l'article. Je vais opérer. Encore quelques jours d'absence, et j'espère finir de lire. Merci.Salle 14 août 2006 à 23:06 (CEST)
thread_title: Conclusion provisoire

message: Je propose de reprendre le paragraphe de Salle, que j'ai un peu modifié, de le faire suivre du second paragraphe (plus historique) du chapeau de l'introduction que je proposais, de créer un article "ébauche" sur le programme de Hilbert en recopiant le contenu du brouillon d'introduction,  de placer un pointeur dans le présent article  du genre : pour mieux comprendre le contexte historique voir ...
à propos des preuves de cohérence voir ... (pour le moment le même article, mais ça pourrait changer).
J'éliminerais alors tout ce qui concerne le programme de Hilbert et les preuves de cohérence du présent article.
Ca donnera quelquechose d'améliorable (par d'autres éventuellement ;)), mais ça fera une intro à peu près honnête, me semble-t-il ? Proz 31 août 2006 à 19:24 (CEST)
replies: text: Ca me va!Salle 31 août 2006 à 19:45 (CEST)
thread_title: Autre proposition pour l'introduction

message: Cet article a été proposé comme article de qualité mais a été rejeté car ne satisfaisait pas les critères de  sélection dans sa version du  2 septembre 2006  ([ historique]).Si vous désirez reprendre l'article pour l'améliorer, vous trouverez les remarques que firent les wikipédiens dans la page de vote.
Quelques remarques, ou pointeurs, au sujet de certaines critiques de ce vote, et pour éviter de lancer sur de fausses pistes ceux qui souhaiteraient améliorer l'article.
* une introduction, dont l'absence est déplorée pas de nombreux intervenants, est déjà présente dans la version du 2 septembre (ajoutée le 1er), voir discussion ci-dessus.
* Sur "l'utilisation abusive du th. de Gödel", voir aussi la discussion ci-dessus, sous le titre  "Dieu ?". 
* Il ya un parti-pris dans l'article, sûrement discutable, qui est d'expliquer comment déduire le 1er théorème de Gödel, du théorème de Matiiassevitch, plutôt que de l'indécidabilité du problème de l'arrêt, via un codage par les formules ∑1. J'ai pensé que l'énoncé du théorème de Matiiassevitch était plus simple à comprendre pour un non spécialiste (ça évite de parler de ∑1 et donc de formule), même si la démonstration du th. de Matiiassevitch lui même, qui n'est pas abordée, est bien plus difficile (rmq : le théorème de Gödel est démontré ainsi dans un livre sur le sujet de Yuri Manin). J'ai ajouté une note dans à la partie "codage" expliquant comment déduire le th. de Gödel de l'indécidabilité du pb de l'arrêt. Je pense que ça répond à la critique sur "déduire le 1er th. du th. de Rice".
* Usage du mot "vérité" : voir aussi discussion sur cette page à la fin de "vérité et démontrabilité".
* enfin je signale que je n'ai pas de témoignage d'une relecture scrupuleuse de l'article  à partir de la partie 4.
Proz 2 septembre 2006 à 22:11 (CEST)
replies: text: Au sujet de Matiiasevich, et du probleme d'arret, je propose modestement ce à quoi j'ai contribué pour la page du problème de l'arrêt (cf le paragraphe "consequences" sur le théorème d'incomplétude"...). Le point central, plus que des discussion de codage, c'est de dire qu'il existe un ensemble recursivement enumerable, non récursif (et d'expliquer ce que ca veut dire). Ensuite, à mon sens, il faut laisser l'explication de cette existence à l'article concerné (en l'occurence le pb de l'arret), et donner l'argument de l'enumération algorithmique des preuves. On peut s'inspirer du paragraphe de la page du problème de l'arrêt évoqué. Selon moin il ne fauit parler ni du Xeme pb de Hilbert, ni meme du probleme d'arrêt, mais juste d'enumerabilité récursive  --Jawazele (d) 27 avril 2010 à 13:00 (CEST)
replies: text:  Ce qui n'est pas du tout abordé dans ta contribution c'est la "complexité" de la formule non démontrable (une fois les questions de codage réglées, c'est un autre problème). C'est ce qui permet de passer de l'énoncé du théorème de Gödel sur la page problème de l'arrêt, qui est qualifié à juste titre de forme faible, au "vrai" théorème de Gödel. En utilisant l'énumération par un ensemble diophantien (Matiiasevich) ça se décrit plus facilement. Proz (d) 15 décembre 2010 à 01:46 (CET)
thread_title:  [[Wikipédia:Proposition articles de qualité|Proposition d'article de qualité]] refusée le 2 septembre 2006  

message: [déplacé ici pour éviter les confusions] 
J'ai commencé le travail de correction typographique, qui pourrait à mon avis améliorer grandement la lisibilité de l'article. N'hésitez pas à continuer, car ce travail risque de prendre un certain temps si je m'y attèle seul ! Grob / ? 31 déc 2006 à 13:08 (CET)
replies: text: Je suis désolé de dire ça, car ça représente sûrement du temps passé si c'est fait à "à la main", mais franchement, je ne crois pas que de changer le gras typographique en gras "tableau noir" améliore la lisibilité. De plus, les lettres deviennent des images (tant qu'il n'y en a qu'une isolée comme ce que tu as fait ça va). Il y a à certe à améliorer, systématiser la typographie des notations mathématiques par ex. (italique pour les variables ...), mais je ne pense pas qu'il faille passer en TeX, ça peut être lourd à charger à la fin, d'autant que l'article est long. (Par ailleurs là on s'intercale dans une vieille discussion sur une version antérieure de l'article, je propose de reporter l'ensemble du dialogue à la fin, quand tu auras lu ceci). Proz 31 décembre 2006 à 13:52 (CET)
replies: text:  Je pense qu'il faut laisser Proz jouer le rôle de chef d'orchestre, car il s'est pas mal investi dans l'article et le connait bien.  En ce qui me concerne, je pense qu'il faut encore travailler sur le fond avant d'attaquer la forme.  Et si nous décidons d'attaquer la forme, faisons le de façon concertée en se donnant des objectifs acceptés par tous.  Pierre de Lyon 31 décembre 2006 à 16:41 (CET)

text: merci pour ce rôle (mais l'orchestre est bien réduit je crains). Pour l'aspect typographie : sans nouvelles après une semaine, je suis revenu à la version antérieure qui est plus cohérente. Je n'ai pas d'attachement excessif à une certaine typographie, celle actuelle est imparfaite. Sur le travail de fond : eh bien tirons déjà au clair les désaccords (en dehors des questions de vocabulaire). Proz 7 janvier 2007 à 19:40 (CET)
thread_title:  typographie 

message: Sous le même genre d'hypothèses sur les théories considérées, le second théorème affirme qu'il existe un énoncé exprimant la cohérence de la théorie : l'expression sous le me semble maladroite, et à mon humble avis la première partie de cette phrase devrait être reformulée. Des avis ? DocteurCosmos - ✉ 22 mai 2007 à 19:27 (CEST)
replies: text: Sous des hypothèses voisines ? Proz 22 mai 2007 à 19:57 (CEST)
replies: text: Et pourquoi pas selon des ... ? DocteurCosmos - ✉ 22 mai 2007 à 19:59 (CEST)
replies: text: selon des hypothèses ? Il me semble que ça n'a pas exactement le même sens, on interprète machin selon l'hypothèse truc, on a l'impression de pouvoir faire d'autres hypothèses ; sous ces hypothèses, c'est de la déduction. Peut-être est-ce du jargon de mathématicien (mais courant) ? Est-ce sous + hypo = sous qui gêne ? Proz 22 mai 2007 à 20:11 (CEST)
replies: text: Oui c'est ça mais c'est pas très grave. « En partant de ces mêmes hypothèses » peut-être... DocteurCosmos - ✉ 22 mai 2007 à 20:26 (CEST)
thread_title:  Remarque d'ordre syntaxique 

message: Une question probablement idiote, le texte mentionne « Les algorithmes en jeu sont essentiellement ceux de l'addition et de la multiplication en base 1. » Ne serait-ce pas plutôt base « 2 » ? Vincent Lextrait (d) 12 avril 2008 à 08:51 (CEST)
replies: text: Je ne suis pas certain, mais je ne pense pas. Je pense qu'on parle d'une notation à la Peano, avec un seul symbole numérique et une notation en successeur (0 = 0, s(0) = 1, s(s(0)) = 2...), équivalente (au zéro près) à une notation en bâtons (I, II, III), donc en base 1. Ceci dit le terme de base 1 est sans doute abusif, car ce ne peut pas être une numération de position comme en base > 1. - Eusebius [causons] 12 avril 2008 à 11:46 (CEST)

text: C'est bien la base 1, une suite de "petits bâtons" par exemple, additionner c'est mettre bout à bout (éventuellement déplacer un à un), une représentation très proche de l'idée intuitive de nombre entier, et qui est celle choisie dans l'axiomatisation de Peano. J'ajoute (j'ai répondu en même temps qu'Eusebius, je ne l'avais pas lu) que le terme s'emploie et n'est pas vraiment abusif parce que par ex. |||= 3 = 1*1°+1*1¹+1*1². Bon je suis d'accord que c'est un peu limite, parce que la position n'a plus d'importance.  Proz (d) 12 avril 2008 à 11:59 (CEST)
replies: text:   3 = 1*1°+1*1¹+1*1², je l'a connaissais pas celle là (ni le contexte), mais j'en ai un grand sourire au lèvre depuis 5 minutes depuis que je l'ai lu; ça me fait penser à la blague éculée : il y a 10 sortent de personnes, ceux qui connaissent le binaire et les autres --Epsilon0   ε0 12 avril 2008 à 12:25 (CEST)
replies: text: On avait eu un grand débat dans mon labo pour savoir si ça méritait l'appellation de numération de position ou pas. Notre argument principal pour conclure à la négative était la non-unicité de la décomposition en facteurs (si l'on a bien un seul symbole et pas de zéro).  - Eusebius [causons] 12 avril 2008 à 15:12 (CEST)

text: Je n'ai pas compris l'argument mais je suis d'accord que ce n'est pas une numération de position (à dire le contraire, on risquerait de se faire mal voir des enseignants de CP :) ), puisqu'il n'est pas pas besoin d'attribuer une signification à la position. Proz (d) 12 avril 2008 à 18:32 (CEST)
replies: text:  Je crois que l'écriture "3 = 1*1°+1*1¹+1*1²" m'a surpris, non car ce ne peut être une représentation de la base un, mais parce qu'elle n'est pas homogène avec les écritures uselles en bases 2,3, etc ... vu que l'on pourrait considérer que l'unique chiffre en base un est le nombre zéro (et non pas le nombre un). Mais là bien sûr avec la décomposition 0*1°+0*1¹+0*1²... on ne va pas très loin. Bien sûr la réponse a toute question est 42 A00042 où le chiffre utilisé est "1" --Epsilon0   ε0 12 avril 2008 à 22:20 (CEST)
thread_title:  Base 1 ? 

message: Je suis revenu sur une partie des modifications de User:Sherbrooke sur l'article : outre le croquignolet "Les fonctions récursives primitives ont plusieurs usages" (qui ne veut rien dire dans le contexte, j'ai précisé la formulation précédente), certaines sont de simples effacements d'articulation logique sous prétexte de "PdV" ou de "subjectivité". Quand il pouvait y avoir ambiguïté j'ai reformulé. J'ai bien sûr laissé les modifications correctes (ça aurait été plus commode si ça n'avait pas été mélangé), désambiguïfier le "à recycler". Il se trouve que je venais de laisser un mot sur Discussion_Utilisateur:Sherbrooke#À noter que, pour lui signaler un désaccord sur certaines interventions, dans le style de celles-ci (abus des accusations de "PdV" et de "subjectivité", pour une correction mécanique). Proz (d) 28 novembre 2008 à 00:55 (CET)
thread_title:  Explication 

message: La phrase « C'est un théorème d'incomplétude, plus faible cependant que le premier théorème d'incomplétude de Gödel, car il s'applique à moins de théories, les hypothèses étant nettement plus fortes. » ne me satisfait pas.  Oui les hypothèses sont plus fortes, mais la conséquence est plus forte aussi, donc le théorème dit quelque chose de différent, on ne peut pas le dire plus faible. --Pierre de Lyon (d) 6 mai 2009 à 16:25 (CEST)
replies: text: Il s'agit du second des deux énoncés. Je ne vois pas que la conclusion soit plus forte : s'il y a un énoncé qui n'est pas démontrable et dont la négation ne l'est pas non plus, l'un des deux est vrai dans N. Le premier ce déduit aussi du théorème de Gödel : si la théorie des énoncés vrais dans N était récursivement axiomatisable, elle en satisferait les hypothèses, or il ne peut y avoir de proposition indécidable dans cette théorie. Pour des énoncés équivalent au théorème de Gödel "sur ce moule", on peut se restreindre aux énoncés Pi^0_1 vrais. Par contre le théorème de Tarski (l'ensemble des énoncés vrais n'est pas arithmétique) n'est pas comparable, même si "plus simple" que le théorème de Gödel. Proz (d) 6 mai 2009 à 21:12 (CEST)
thread_title:  Vérité et incomplétude 

message: Excusez mon insistance sur le texte de l'introduction, qui me semble déjà d'un très bon niveau et pour laquelle je recommande de ne pas écrire à propos du premier théorème qu'en conclusion "il existe des énoncés sur lesquels on sait qu'on ne pourra jamais rien dire", ce qui me semble une formulation trop forte. D'ailleurs, rien qu'écrire cela sur ces énoncés, c'est faire une affirmation (et laquelle!) sur eux.
 
Il ne s'agit pas bien sûr d'entrer dans trop de détail/sophistication... dès l'introduction, juste d'essayer de trouver une formulation à la fois simple et compatible d'un autre niveau de lecture (j'admets que ce lecteur averti passera rapidement aux paragraphes suivants, faisant fi d'une introduction, mais il reste les cas intermédiaires).
Si c'est correct, et si c'est possible...
Gerard  (in space...) (d) 20 septembre 2009 à 23:17 (CEST)
replies: text: J'ai modifié pour éviter de fausses interprétations, mais l'argument ne me convainc pas : le fait que l'on ne puisse pas démontrer un énoncé dans une théorie T cohérente donnée, ne se démontre pas dans cette théorie (sous les hypothèses du 2nd th.). Si c'était le cas cela contradirait le second th. d'incomplétude (si un énoncé n'est pas démontrable dans T c'est que T est cohérente).  Proz (d) 20 septembre 2009 à 23:35 (CEST)
thread_title:  Introduction 

message: Il manque "le livre qui rend fou" qui est principalement axé sur les théorèmes de Goedel (voir le problème du coffre).Claudeh5 (d) 21 septembre 2009 à 00:13 (CEST)
thread_title:  smullyan 

message: Gödel montre l'existence d'énoncés indémontrables (dans un contexte de démontration restreint) mais vrais. Le fait important qu'un tel énoncé soit vrai n'apparaît pas clairement dans l'article. On ne peut donc pas compléter un sytème d'axiomes indifféremment par un tel énoncé ou son contraire.
: C'est une question importante, mais il ne faut pas confondre le niveau du théorème (qui affirme, justement, qu'on peut compléter comme on veut) et le niveau "méta", où l'on donne un sens "intuitif" aux axiomes, ce qui, en effet, rend l'un des deux choix plus naturel que l'autre. Le problème, c'est que non-Consis(T) est un énoncé arithmétique d'allure innocente (proche, par exemple, de l'affirmation qu'un certain polynôme s'annule), et que c'est seulement le codage qui montre qu'en fait, cet énoncé affirme "aussi" quelque chose de faux, à savoir que la théorie T  (supposée cohérente) démontre que 0=1.--Dfeldmann (d) 26 juin 2011 à 03:56 (CEST)
thread_title:  Indémontrable mais vrai! 

message: Bonjour, en réfléchissant quelque peu il me semble qu'on puisse prouver un théorème d'imcomplétude  en utilisant le paradoxe de Richard et la diagonale de Cantor... Savez vous si ce résultat est déjà connu?
Merci
--Nicobzz (d) 29 juin 2011 à 15:42 (CEST)
replies: text: Si on considère que la démonstration de Gödel du théorème d'incomplétude est le paradoxe du menteur + la diagonale, il est peut-être possible d'y aboutir en employant un autre paradoxe.. Cela ne me parait pas impossible. Si c'est le cas, ce serait intéressant à mentionner dans l'article. --Jean-Christophe BENOIST (d) 29 juin 2011 à 16:23 (CEST)
replies: text:  Certes... à condition que ce soit déjà écrit quelque part (ou bien connu des spécialistes) Sinon, on frôle le TI, là--Dfeldmann (d) 29 juin 2011 à 18:58 (CEST)
replies: text:  Accord avec Dfeldmann. Surtout qu'il faudrait être précis : Gödel cite le paradoxe de Richard dans son article (pour l'énumération des formules) et le paradoxe de Richard utilise un procédé diagonal ... Proz (d) 29 juin 2011 à 19:24 (CEST)
replies: text:  Quand je disais "si c'est le cas", je voulais dire "s'il y a des sources" bien sûr. Vous me connaissez  --Jean-Christophe BENOIST (d) 29 juin 2011 à 20:55 (CEST)
replies: text: Ah oui il me semblait bien, à moins que j'ai fait une erreur de raisonnement, ça veut dire quoi TI?--Nicobzz (d) 29 juin 2011 à 22:36 (CEST)
replies: text: WP:TI. Ce qui ne doit pas exister dans WP. Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 30 juin 2011 à 00:08 (CEST)
replies: text: Merci--Nicobzz (d) 30 juin 2011 à 07:38 (CEST)
thread_title: Théorème d’incomplétude et paradoxe de Richard

message: Bonjour, on voit bien que plein de personnes intelligentes ont apporté une touche de compréhension à l'article général, mais du coup ça donne vraiment un patchwork étrange, où le français même simple, n'est pas toujours compréhensible: "L'existence de théories incomplètes est banale. Beaucoup de théories, comme la théorie des groupes, des anneaux, des corps, ne sont pas complètes : par exemple on peut dire au premier ordre qu'un groupe ou un corps a 2 éléments, ou 3 éléments. C'est différent pour l'arithmétique, on aurait souhaité capturer par une axiomatique toutes les propriétés des entiers naturels"
1) je ne vois pas bien ce qui est montré (sans être démontré ;) ) dans l'exemple de la théorie des groupes, on peut dire à sa guise qu'un corps a 2 ou 3 éléments sans que ça change quoi que ce soit? Est-ce vraiment un exemple du théorème d'incomplétude, ou juste une absence de précision dans les termes employés? Donc forcément le passage sur l'arithmétique n'est pas non plus clair, il n'y a pourtant que deux phrases, mais on se demande "différent de quoi?", la dernière partie de la phrase laisse à penser que le théorème de godel dit que les objets mathématiques sont forcément décrits de manière complètes par des théories distinctes, je ne crois pas que ce soit exactement le propos, ou alors c'est une très grosse extrapolation non? Klinfran (d) 24 janvier 2012 à 18:46 (CET)
replies: text: Un groupe possède 2 élements est un énoncé que la théorie des groupes ne décide pas, celle-ci est donc incomplète (ce n'est pas un théorème, juste une évidence). Je ne comprends pas le second commentaire. Proz (d) 24 janvier 2012 à 20:01 (CET)
thread_title:  article pas très bien écrit 

message: J'aurais voulu mettre un point sur un énoncé qui me semble faux quelque part, mais je ne sais pas si ce point a été relevé. Serait-il possible de contacter les différents acteurs de cette discussion pour la nettoyer un peu (certains points ont été réglés depuis) ?
Le point qui me chagrine est sur la partie quantification existentielle (Vérité dans le modèle standard) qui énonce qu'il n'est pas évident de résoudre "∃ x, P(x)=Q(x)" sur les enties avec les polynômes à une variable, et rajoute (et pour moi c'est faux) que c'est impossible en vertu du 10ème problème de Hilbert. Or trouver les racines entières du polynôme P-Q est tout à fait possible. Le 10ème problème de Hilbert n'a de problème qu'avec plus de deux variables. Idem pour la quantification universelle: ∀ x P(x)=Q(x) <=> P-Q = 0 et c'est  trivial. Sedrikov (d)
: C'est juste, et à corriger, il faut des paramètres (je suis responsable de l'erreur). On peut archiver la discussion précédente. Proz (d) 16 avril 2012 à 17:39 (CEST)
thread_title:  Discussion trop longue 

message: Bonjour,
Le mot "preuve" est utilisé un peu partout dans l'article et il s'agit d'un anglicisme. En français l'on parle de démonstration.
Calvus mons (d) 8 juillet 2012 à 20:25 (CEST)
replies: text: On parle aussi de preuve, du moins dans ce domaine (exemples facilement accessibles sur le web, par ex. la locution "preuve formelle") ; possible que ce soit sous l'influence de l'anglais, de là à parler d'anglicisme ... d'ailleurs ce n'est pas forcément la seule raison. Proz (d) 9 juillet 2012 à 01:33 (CEST)

text: Je suis d'accord, mais la bataille est sans espoir. --Pierre de Lyon (discuter) 1 septembre 2020 à 22:18 (CEST)
thread_title:  Preuve / Démonstration (anglicisme) 

message: La formulation de l'introduction a été changée.
Avant il était écrit « la cohérence de la théorie [est] le fait qu'elle ne permette pas de démontrer tout, et donc n'importe quoi  ».
Maintenant il est écrit « la cohérence de la théorie [est]  le fait qu'elle ne contienne pas de contradiction, ce qui permettrait de démontrer tout et n'importe quoi  ».
Ce changement n'est pas anodin. Quelle est la formulation qui vous parait la meilleure? --Pierre de Lyon (discuter) 29 août 2013 à 12:25 (CEST)
replies: text: Je préfère définir intuitivement la cohérence comme le fait de ne pas tout démontrer, ça me semble l'idée essentielle. Proz (discuter) 29 août 2013 à 17:47 (CEST)
thread_title:  Formulation 

message: La proposition G=Δ(⌈Δ⌉) est à la fois vraie et non démontrable.  Pourquoi dit-on qu'affirmer qu'il existe un formule vraie et non démontrable nécessite des hypothèses plus fortes? Excusez-moi si je reviens sur un sujet déjà débattu, mais ça me travaille. Relisant la réponse de Proz du 6 mai 2009, je ne la comprends pas. --Pierre de Lyon (discuter) 29 août 2013 à 12:25 (CEST)
replies: text: Cette proposition se démontre bien sous hypothèses tout à fait minimales : théorie cohérente récursivement axiomatisable et qui a pour conséquence toutes les formules Si^0_1 vraies dans N (donc ne démontre que des Pi^0_1 vraies par cohérence). Mais l'énoncé du paragraphe en question a pour hypothèse (en plus des deux premières) que les axiomes et donc toutes les conséquences de la théorie (sans restriction sur leur complexité logique) sont vrais dans N. C'st une forme du théorème d'incomplétude plus facile à démontrer et que l'on trouve dans les résumés de vulgarisation, dans les cours introductifs de logique,  en introduction au théorème, par ex. dans le livre de Smullyan si je me souviens bien. Si ça n'est pas clair, je suppose qu'il faut le dire autrement, mais sans parler de  Si^0_1 et  Pi^0_1 que tu connais mais pas le lecteur en général. Proz (discuter) 29 août 2013 à 17:45 (CEST)
thread_title:  Il existe une proposition vraie non démontrable 

message: Il me semblait évident que le  est un corollaire du , or je lis l'inverse (à 2 reprises) dans le « résumé » introductif et au début du § Énoncés des deux théorèmes. Anne (discuter), 2/5/14 à 08h36
P. S. : le « résumé » introductif est trop long. Suggestion : en délester une partie dans une  section intitulée « histoire » ou « contexte » ou ...
: On utilise bien le 1er pour démontrer le second (et de plus une formalisation de la preuve du 1er, la non démontrabilité), de là à parler de corollaire (il y a du travail) ... Le 1er peut être vu comme une conséquence du second si on énonce le 1er comme "il existe un énoncé vrai non démontrable" (c'est de plus en fait cet énoncé que l'on utilise pour le second), celui-ci étant la cohérence que l'on suppose vraie par hypothèse ("vrai" signifie vrai dans le modèle standard des entiers, les entiers de la meta-théorie), et si on met des hypothèses suffisantes pour démontrer le second (hypothèses qui pourraient être affaiblies, ce n'est pas traité dans l'article). Maintenant le th. de Gödel-Rosser (c'est souvent ce qu'on appelle th. de Gödel) et le second th. ne sont pas vraiment comparables. Une "erreur" courante (dans les articles de vulgarisation) est de dire dans la conclusion du 2nd que la cohérence est indécidable, ce qui est en fait contredit par le 2nd th. lui même. Ou alors on imagine une hypothèse restrictive sans intérêt (la non démontrabilité deviendrait essentiellement tautologique), qui n'est pas utile pour la preuve, et pas dans les énoncés sérieux de toute façon.
: Pour le PS. l'article n'est pas aux normes de forme actuelles, bien que je crois correct et utile. Je suis d'accord que c'est regarder à l'occasion (des sources seraient utiles en particulier pour la partie historique, même si le peu qui est dit est assez standard, l'édition du ou des volumes concernés des "complete works" par ex.). Proz (discuter) 2 mai 2014 à 11:34 (CEST)
replies: text: Merci d'avoir pris la peine de me répondre mais tu me surestimes : ça me passe largement au-dessus de la tête et j'ai décroché à partir de « et si on met des hypothèses suffisantes pour démontrer le second ». Tant pis, ta réponse sera peut-être utile à d'autres, ou à moi quand j'aurai le courage de faire les efforts nécessaires. Mon idée pour 2 ⇒ 1 était : 2 dit que T ⊬ coh, donc il reste à montrer que T ⊬ ¬coh c'est-à-dire T ⊬ Dem(⌈⊥⌉), or cela résulte de T ⊬ ⊥ car (c'est sans doute là qu'est mon erreur naïve ?) si on avait une démonstration de ⊥ à partir de T, on pourrait, en la codant, en déduire une démonstration de Dem(⌈⊥⌉) à partir de T. Anne (discuter) 3 mai 2014 à 10:53 (CEST)

text: Ce que tu dis est juste, pas besoin de codage, simplement parce que si on a une démonstration de ⊥, on a une démonstration de n'importe quel énoncé (c'est une règle logique, mais si la règle n'existait pas c'est que ⊥ n'aurait pas de propriétés particulières et pourrait être remplacé par n'importe quoi donc ça marcherait aussi d'une autre façon). Mais on ne peut pas en déduire ce que tu penses. Le 2nd théorème d'incomplétude a pour conséquence justement qu'une théorie cohérente a une extension T qui vérifie  T ⊬ ⊥ (cohérence) et T ⊢ Dem(⌈⊥⌉) (voir Théorème_d'incomplétude#Conséquences_immédiates_du_premier_théorème_d'incomplétude). Mais la démonstration en question ⊥ de est (codée par) un entier non standard, puisque  T ⊬ ⊥. Tu ne peux pas espérer démontrer le théorème de Gödel-Rosser (c'est-à-dire le 1er théorème de Gödel sans hypothèse supplémentaire ad hoc pour la non démontrabilité de la négation de la proposition G, celle qui est "fausse") à partir du second théorème d'incomplétude, il faudrait en gros changer l'énoncé, voir :en:Rosser's trick, et ce n'est plus la cohérence. Proz (discuter) 3 mai 2014 à 12:17 (CEST)
replies: text: Je me suis emmêlé les pinceaux et je voulais dire, comme tu l'as deviné : « si on avait une démonstration de Dem(⌈⊥⌉) à partir de T, on pourrait, en la décodant, en déduire une démonstration de  ⊥ à partir de T », et tu m'expliques bien mon erreur, merci encore. Anne (discuter) 3 mai 2014 à 12:39 (CEST)
thread_title:  Lequel est un corollaire de l'autre ? 

message: La formule G vérifie, par construction, la propriété suivante :
(1) G est vraie dans N si et seulement si G est improuvable dans T
Puis on montre que G n'est pas prouvable.
Supposons G prouvable. 
D'après (1), G est fausse dans N, donc (non G), étant une Σ1 formule vraie dans N, est prouvable dans T.
Ce qui contredit le fait que T est une théorie cohérente.
Donc G est improuvable 
Ainsi G est une formule vraie dans N et improuvable dans T
Supposons (non G) prouvable.
Puisque N est modèle de T, il est modèle de ses conséquences logiques, donc de (non G).
Par suite (non G) est vraie dans N, donc, d'après (1), G est prouvable, ce qui contredit la cohérence de T
Donc (non G) n'est pas non plus prouvable.
--Liviusbarbatus (discuter) 1 février 2015 à 19:05 (CET)
replies: text: (petite correction, vous aviez écrit une chose pour une autre), votre démonstration utilise que N est modèle de T, alors que, sans rien y changer, il suffit d'avoir l'hypothèse beaucoup plus faible que N est modèle des conséquences Pi_1 de T, hypothèse qui est elle-même une conséquence de l'hypothèse d'omega-cohérence que faisait Gödel (la partie importante du théorème est que G est vraie mais non prouvable de toute façon). Ca me paraît alors être en gros la démonstration de la section diagonalisation. Proz (discuter) 2 février 2015 à 17:00 (CET)
replies: text:  Les formules Pi_1 sont (à équivalence près) les négations de formules Sigma_1 (voir hiérarchie arithmétique). En l'occurrence pour faire votre démonstration (seconde partie), il suffit de supposer que les formules Pi_1 (comme non G) prouvables dans T sont vraies dans N (la preuve devient un peu tautologique, mais cette partie de la preuve est tautologique). C'est une conséquence de l'hypothèse que faisait Gödel (:en:ω-consistent theory). Ces hypothèses sont beaucoup plus faibles que N est modèle de T. Proz (discuter) 2 février 2015 à 23:20 (CET)
thread_title:  Diagonalisation : une preuve à revoir. 

message: Je ne comprends pas l'argument suivant dans la preuve du second theorème d'incomplétude.
Il est décreté: <<Récapitulons: on a montré dans T que Dem_T(#G) => non Coh_T.>> En fait c'est ce point que je vois pas! Si j'ai bien compris, l'argument précedant cette ligne est le suivant: si de T on déduit syntaxiquement Dem_T(#G) alors de T on déduit syntaxiquement non Coh_T. Mais cela ne veut pas dire que de T on déduise Dem_T(#G) => non Coh(T).
Me suis-je trompé? 
PS: J'ai refait par moi-même une preuve que les 2 arguments "T cohérente" et "de T on déduit coh(T)" menait à une contradiction. Pour ce j'utilise bien les hyp. D1, D2, D3 et D'3 plus un axiome: si de T on deduit Dem_T(#(A et B)) alors de T on deduit aussi Dem_T(#A) et Dem_T(#B).
Merci en tout cas pour votre travail et article intéressant. Désolé si je me suis trompé. Cordiales salutations.
--119.243.7.58 (discuter) 10 juin 2016 à 09:18 (CEST)
replies: text: Reformulé (Peut-être pas bien clair), c'est de T, Dem_T(#G) on déduit non Coh_T qui veut bien dire de T on déduit Dem_T(#G) => non Coh(T). Inutile d'introduire formellement le "et" par ailleurs, ces conditions sont bien établies (et déjà même si je crois pas entièrement explicite pour cette formulation de D2 dans Hilbert-Bernays). Proz (discuter) 31 janvier 2018 à 21:12 (CET)
thread_title:  Probleme dans la "preuve" du second theoreme? 

message: A été ajouté aujourd'hui un diagramme qui suppose que tout ce qui est démontrable est vrai (au sens habituel, je suppose, satisfait dans le modèle standard). C'est une hypothèse très forte sur le système axiomatique en jeu, qui n'est pas nécessaire pour les théorèmes d'incomplétude (ce que montre d'ailleurs le théorème même). Je ne pense pas que que ce soit une bonne illustration. Proz (discuter) 4 avril 2023 à 21:17 (CEST)
replies: text: Je viens de faire, indépendamment, le même retrait sur l'article Complétude (logique), avec les mêmes arguments. --Pierre Lescanne (discuter) 6 avril 2023 à 12:23 (CEST)
thread_title:  Diagramme vérité/démontrabilité