Discussion:Règle de L'Hôpital

message: Pourquoi ne pas renommer l'article de la façon suivante : « Théorème de Bernoulli-L'Hospital » ?
Ediacara (d) 17 avril 2010 à 22:32 (CEST)
replies: text: Principe de moindre surprise...maintenant, tu peux si tu veux, créer un redirect de Théorème de Bernoulli-L'Hospital vers règle de l'Hôpital. Mais en tout état de cause garder le terme de règle (je n'ai jamais vu utiliser le terme de théorème pour cette propriété). HB (d) 18 avril 2010 à 10:04 (CEST)
thread_title:  Nom de l'article 

message: Salut !
Pour le "Principe" il me semble que les conditions ne sont pas suffisantes.
En effet prendre par exemple g: R+* -> R telle que g(x)=(2+sin(x))/x elle ne s'annule pas et tend vers 0 en +infini.
On aura cependant du mal, pour une fonction quelconque f dérivable et tendant vers 0 en +infini, à étudier le rapport de leurs dérivées. Il faut donc également que g' soit non nulle au voisinage de a (suivant la notation de l'article).
Ca peut sembler évident mais dans ce cas pourquoi mentionner que g doit être non nulle au voisinage de a, ça l'est aussi.
(Je n'ai jamais posté sur Wikipedia donc j'espere juste devoir le faire ici)
--92.155.0.226 (d) 9 mai 2011 à 00:13 (CEST)
replies: text: En effet, et cette section (contenant d'ailleurs d'autres imprécisions) devrait sans doute être réécrite, ou disparaitre; Un énoncé rigoureux (et mentionnant en particulier le problème que vous soulevez) est donné un peu plus bas dans l'article --Dfeldmann (d) 9 mai 2011 à 01:14 (CEST)
thread_title:  Une question 

message: Je ne le pense pas, et voici mes arguments:
L'existence de \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} implique que \frac{f'(x)}{g'(x)} est définie dans un voisinage pointé de a, et donc que g'(x)\neq 0 dans ce voisinage.
Le contre-exemple de la fin de l'article n'en est en fait pas un car dans ce contre-exemple, \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} n'existe pas:
\lim_{x\to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
=\lim_{x\to +\infty}\frac{2\cos^2(x)}{e^{\sin(x)}\cos(x)(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}
Cette limite n'existe pas car la fonction n'est pas définie dans un voisinage de +\infty
La simplification par \cos(x) qui est faite dans l'article est interdite, car elle remplace une fonction qui n'est pas définie au voisinage de +\infty par une autre qui l'est.
Qu'en pensez-vous ?
Il y a une discussion sur ce sujet sur la page correspondante du Wikipedia anglais, qui inclut g'(x)\neq 0 dans l'hypothèse du théorème.
: Dans le principe, vous avez parfaitement raison. Mais, en pratique, le "piège" serait justement d'utiliser la règle après simplification, ce qui empêcherait de se rendre compte qu'en réalité, g' s'annulait au voisinage de a. C'est donc par souci de pédagogie qu'on ajoute souvent cette condition effectivement redondante. Si vous trouvez une façon simple de l'incorporer à l'article, n'hésitez pas...--Dfeldmann (d) 22 janvier 2012 à 18:23 (CET)
replies: text: Mon interprétation de la conclusion de la discussion sur la page anglaise est que la nécessité de l'hypothèse g'(x)\neq 0 dépend de la définition de limite que l'on utilise. Si on prend la définition «classique», qui exige que la fonction dont on cherche la limite soit définie sur un voisinage pointé de a, alors l'hypothèse est redondante. Par contre, si on prend une définition plus générale, par exemple , alors l'hypothèse est nécessaire. Matsw (d) 27 février 2012 à 10:02 (CET)
thread_title:  Doit-on exiger <math>g'(x)\neq 0</math> dans un voisinage pointé de <math>a</math> ? 

message: (bien que moins faciles à lire).
 :
*remarque d'abord que g est de signe constant (d'après le théorème de Darboux — c'est moins connu mais plus élémentaire que le TAF généralisé). On peut donc supposer g > 0.
*démontre la deuxième généralisation en supposant ℓ réelle, ce qui donne, en adaptant son raisonnement aux notations de notre article (mais ce serait plus simple écrivant des limites en b plutôt qu'en a, pour éviter les tracas des signes, sens de variation et sens des inégalités) :
*:En a, |g| tend vers l'infini par hypothèse donc (puisque g est croissante) g tend vers  et, sans perte de généralité, g < 0.
*:Soit ε > 0, il existe ]a, r[ inclus dans ]a, b[ sur lequel 
*:donc sur lequel f – (ℓ – ε)g est croissante et f – (ℓ + ε)g décroissante.
*:En a, f – (ℓ – ε)g a donc une limite réelle ou  et f – (ℓ + ε)g une limite réelle ou 
*:donc  tend vers  et f – (ℓ + 2ε)g vers 
*:donc pour x assez proche de a, (ℓ + 2ε)g ≤ f ≤ (ℓ – 2ε)g, c'est-à-dire ℓ + 2ε ≥ f/g ≥ ℓ – 2ε.
*dit que le cas ℓ infinie se démontre de même, et la première généralisation aussi.
*dit que sa preuve a un autre avantage : étendre la règle de l'Hôpital en autorisant f et g à s'annuler simultanément une infinité de fois (avec g > 0 hors de ces points), généralisation non gratuite car utilisée dans ses travaux antérieurs sur les équadiff.
Anne 23/6/15 13h23
P.S.
*J'ai trouvé ce Lettenmeyer (élève de Lindemann) grâce à Richard A. Brualdi , sur lequel je suis tombée en cherchant  , « Simplified proof of L'Hospital's theorem on indeterminate forms », Bull. Amer. Math., vol. 29, 1923, p. 207 (qui n'est finalement qu'un abstract dans une liste de communications orales).
*Brualdi signale aussi un article de  () mais qui ne contient rien de plus, sauf à la fin :
**un rapprochement avec le théorème de Stolz-Cesàro (analogue discret de la deuxième généralisation) et le même analogue pour la première généralisation, et une invitation à formuler un théorème unifiant les cas continu et discret.
**4 refs, dont
***, où Leon Warren Cohen (élève de ) prouve directement (i.e. sans le TAF) mais assez laborieusement que (sur un intervalle) f ' = 0 implique f constante
***, où  prouve directement et bien plus élégamment que f ' > 0 implique f strictement croissante, et en déduit immédiatement que f ' ≥ 0 implique f croissante.
*C'est grâce à un autre article de Boas dans les Classroom capsules and notes de la MAA que j'ai trouvé l'article de Stolz que j'ai mis en note 12.
*Il y a aussi cet article pédagogique (T. A. Farmer, College Mathematics Journal, 1997) et cet article historique (V. Rouquet, Nouvelles annales de mathématiques, 1877).
: Voilà donc un moyen simple d'éviter tout problème lié au théorème des accroissements finis généralisé et que l'on peut mettre à la sauce de notre article : pour la première généralisation g' ne s'annule pas, donc g' est de signe constant (supposé dans la suite positif), puis même encadrement sur ]a, r[ inclus dans ]a, b[ :   pour conclure sur la croissance de f – (ℓ – ε)g et la décroissance f – (ℓ + ε)g. Puisque les limites de f et g en a sont nulles, on conclut sur le signe de g (positif), de f – (ℓ – ε)g (positif) et f – (ℓ + ε)g (négatif) sur ]a,r[, d'où l'encadrement sur ]a,r[ de f/g entre ℓ – ε et ℓ + ε. Remarquer que pour une limite infinie, la démonstration est analogue en travaillant sur une majoration ou une minoration sur ]a, r[ au lieu de travailler sur un encadrement
: Ensuite on embraye sur la seconde généralisation et on met la remarque que les démonstrations restent valables si g' est positive ou nulle sans être nulle sur un intervalle.
: Je n'ai pas lu toutes les sources que tu proposes mais il y a surement matière à améliorer l'article. Je suis pour ma part favorable à ce que tu modifies les démonstrations dans ce sens. HB (discuter) 24 juin 2015 à 08:49 (CEST)
thread_title:  Démos plus ''élémentaires'' 

message: Bonsoir  et ,
La règle de l'Hôpital ne s'applique que s'il y a une indétermination, f/g tendant à la limite vers 0 / 0 ou INF / INF. , , , , , etc. il y a suffisamment de références sur le net. Si f a une limite non infinie en a, alors la limite f/g avec g tendant vers INF en a est 0, pas besoin de la règle de l'Hôpital.
Cordialement Patrick.Delbecq (discuter) 13 mars 2018 à 19:02
:Bonsoir, tes première et quatrième refs sont particulièrement bas de gamme. Seule ta dernière donne une preuve, et c'est la même que sur Wikiversité, qui prouve la "version forte", antérieure à ton remplacement par une "version appauvrie". Voici 3 sources plus sérieuses : , , . Le théorème qu'elles énoncent et démontrent est exactement la "version forte". f peut très bien n'avoir a priori aucune limite en a (finie ou infinie), et même a posteriori si ℓ = 0. Dans ces cas, la "version appauvrie" ne s'applique pas alors que la "version forte" s'applique. Et quoi qu'il en soit des applications, c'est mieux d'énoncer un théorème sans hypothèses superflues, surtout si la preuve ne les utilise pas. Anne, 20 h 30
Ce sont des sources prises au hasard, vous en aurez autant d'autres et plus en cherchant sur n'importe quel moteur de recherche. D'autre part cela ne change rien au fait que la règle de l'Hôpital traite des cas d'indétermination et qu'il n'y a aucun intérêt à utiliser la règle lorsque f a une limite finie en a. La généralisation que vous introduisez est abusive et hors contexte de la règle : la règle de l'Hôpital traite des cas 0 / 0 et INF / INF. Patrick.Delbecq (discuter) 13 mars 2018 à 20:38
:Non, ce n'est pas au hasard ni (comme tu sembles avoir fait) avec un moteur de recherche, mais simplement en regardant la wp en anglais, qui donne ces sources bien plus académiques que des sites web ou des manuels, mais qui donne également ce site web. Il prouve lui aussi la version forte (remplacer l'hypothèse \lim|g|=+\infty par \lim g=+\infty est anodin, comme l'explique la 2e de mes 3 refs précédentes). L'appauvrissement que tu introduis est abusif et très mal sourcé, de même que le diktat  que tu répètes sans le justifier. Anne, 20 h 52 p.s. tu me reparles du cas où f a une limite finie donc tu ne sembles pas avoir lu attentivement ma réponse ci-dessus
Je parlais de mes sources, prises au hasard sur le net. Mais cette "version forte' n'est pas la règle de l'Hôpital. D'ailleurs en visitant l'historique vous avez introduit cette "version forte" le 5 décembre 2012 en écrasant une version antérieure qui donne exactement le même énoncé que celui que je rétablis. site de l'université d'Orléans, université de Montréal, université de Nantes par ex., etc. sur tout site d'université. Certes ce ne sont pas des sources "de qualité", mais ça reste des textes produits par des profs de maths universitaires, accessibles à tous, contrairement à vos sources en langues étrangères et sur sites payants. La règle de l'Hôpital sert à lever des indéterminations 0 / 0 et INF / INF, c'est sa seule raison d'être. S'il n'y a pas indétermination, ça ne sert à rien de l'utiliser, puisqu'il n'y a aucun intérêt à passer par les dérivées si f a une limite finie. Ce n'est pas parce que la démonstration permet trouver une formule générale avec g tendant vers INF quelle que soit la limite de f, que la règle de l'Hôpital énonce cette généralité. La règle de l'hôpital ne s'occupe que des cas d'indéterminations, et donc du cas particulier où f tend vers INF. La "version forte" n'est pas la règle de l'Hôpital, c'est la "version faible", celle des indéterminations, et elle seule, qui porte ce nom. Patrick.Delbecq (discuter) 13 mars 2018 à 21:19 (CET)
replies: text: Oui, c'est moi qui ai amélioré notre article en 2012, avec l'approbation des habitués. La WP anglaise et les divers sites web font ce qu'ils veulent. Mes 3 sources plus sérieuses sont 2 en anglais et 1 en français, et toutes trois directement accessibles (la 1e page suffit pour la première) et non pas en payant. C'est bel et bien la "version forte" qu'elles intitulent toutes trois : règle de l'Hopital ou théorème de l'Hopital. Et encore une fois, cette version officielle ne suppose pas que f ait la moindre limite, donc l'objection « S'il n'y a pas indétermination, ça ne sert à rien de l'utiliser, puisqu'il n'y a aucun intérêt à passer par les dérivées si f a une limite finie » ne tient pas non plus. Anne, 22 h 23
Amélioré est un grand mot, vu que ce passage est en totale contradiction avec les autres paragraphes qui, dès l'introduction, parlent de lever une indétermination. Votre version de l'article est truffée d'incohérences, puisque partout ailleurs on parle de INF/INF, sauf dans l'énoncé même de la règle. De plus je ne vois pas qui l'a validée, vu qu'il n'y a aucune discussion à ce propos sur cette page. Cette modification me semble injustifiée, unilatérale et je la conteste.
Donc il n'y a que vos sources qui soient sérieuses, même si elles ne sont pas accessibles et même si on vous en apporte bien plus qui vous contredisent, quelle que soit leur qualité ? Y compris la WP anglaise que vous citez ? Vous confondez la démonstration et la finalité, qui est de lever une indétermination. Je vous propose d'ajouter une note équivalente à celle de la WP anglaise, qui précise que la démonstration n'a pas besoin de l'hypothèse f tend vers INF, mais la formule et l'énoncé doivent rester sur le cas INF/INF, qui seul est énoncé par la règle.
D'ailleurs vous avez aussi supprimé la démonstration, ce que je trouve dommage vu que la wikiversity où vous l'avez déplacée ne me semble pas très utilisée. Patrick.Delbecq (discuter) 13 mars 2018 à 22:36 (CET)

text: Patrick. J'ai l'impression que tu penses qu'il n'y a que deux cas pour f en l'infini : ou bien f tend vers l'infini (comme g), ou bien f tend vers une limite finie (alors que g tend vers l'infini). Mais il y a aussi le cas où g tend vers l'infini et ou f n'admet pas de limite. Cela relève aussi d'une indétermination sur le quotient f/g, et il est dommage de se priver de pouvoir appliquer la règle de l'Hôpital alors qu'on pourrait. Quant à l'argument consistant à dire que la règle de l'Hôpital n'est pas prévue pour s'appliquer dans ce cas, il ne tient pas. L'article précise bien qu'il s'agit d'une généralisation de la règle, et on ne voit pas pourquoi on restreindrait cette généralisation. Enfin, il est inutile d'ajouter une hypothèse qu'on a pas besoin de vérifier et qui n'est pas utilisée dans la démonstration. Theon (discuter) 14 mars 2018 à 07:54 (CET)

text: Patrick. Tu viens d'annuler ma modif. Connais-tu le sens du mot généralisations ? Theon (discuter) 14 mars 2018 à 08:11 (CET)
replies: text: Je reste perplexe. La règle de l'Hôpital (dans son célèbre livre reprenant Bernoulli, Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes ; on a de la chance, au moins c'est en français), c'est très exactement le calcul de la limite en a (fini) d'une forme indéterminée 0/0 (en traduisant en langage moderne, évidemment ; lui, il parle de courbes). Donc, déjà, tout autre cas est une généralisation. Il est clair que selon les auteurs (et les pays), cette généralisation va être plus ou moins étendue, et donc la formulation quelque peu péremptoire de Patrick.Delbecq (c'est 0/0 ou INF/INF, rien d'autre, c'est mon opinion et je la partage) semble ne pas respecter le principe de base de Wikipédia : en cas de doute, c'est les sources qui tranchent  (et on pourrait rajouter, pourquoi pas, un bien intéressant débat sociologique pour savoir quelle méthode préférer pour traiter les cas comme ln x/x : les français ne jurant que par la croissance comparée, les américains que par l'Hopital). Mais cela dit, vous croyez pas qu'il y a mieux et plus urgent à faire sur Wikipédia ? Et même sur ce microscopique débat, que la question d'annulations trop nombreuses de g' au voisinage de a (le paragraphe "précautions à prendre")  est un peu plus intéressante que de déterminer l'extension maximum du théorème ?--Dfeldmann (discuter) 14 mars 2018 à 09:27 (CET)

text:  Il y a effectivement les deux généralisations et effectivement je pense que dans une bonne partie des sources c'est celle avec INF/INF qu'on trouve. Je pense que le compromis que vous avez trouvez est bon. Car on site bien les deux généralisations : la plus courante et la plus générale.  Les deux me semblent devoir être citées dans l'article.--Huguespotter (discuter) 15 mars 2018 à 09:35 (CET)
thread_title:  Cas des indéterminations 

message: bonsoir,
Pourquoi donc rétablissez-vous une mise en forme obsolète du texte ? Afin d'homogénéiser au mieux les notations dans un article scientifique, il vaut mieux utiliser de façon homogène le LATEX pour toutes les formules mathématiques. Il faudrait que je retrouve les discussions sur les divers portails, il ressort que c'est la meilleure façon de présenter ces formules. Cordialement Patrick.Delbecq (discuter) 14 mars 2019 à 21:19 (CET)
replies: text: C'est un effet un marronnier, mais rien de vous permet d'affirmer que notre mise en forme est obsolète, ni que la meilleure façon est la vôtre. Anne (discuter) 14 mars 2019 à 21:24 (CET)

text: Ce qui compte n'est pas mon ressenti ni votre intention, mais votre dégradation de la mef. Anne, 21 h 37
Quelle dégradation ? Puisque le LATEX est recommandé. Et soit dit en passant c'est bien vous qui avez refait toute la mise en forme hier soir, elle était en LATEX avant votre intervention. Patrick.Delbecq (discuter) 14 mars 2019 à 21:41 (CET)

text: « Recommandé » … par vous. Lisez les « discussions qu'il faudrait que vous retrouviez » (cf. lien marronnier ci-dessus). Je ne suis pas la seule à œuvrer assidument pour éliminer le LaTeX des formules simples dans le corps du texte (que vous aviez, dans cet article-ci, installé systématiquement en mars 2018 à l'occasion d'une autre tentative de forcing). Anne, 22 h 18
Tiens c'est vrai, c'est moi qui avais fait la mise en forme LATEX. Et personne n'avait dit quoi  que ce soit à l'époque, dont vous-même qui participiez alors à la discussion sur ma "tentative de forcing" qui vous a désapprouvée finalement. Alors donc pourquoi réagir un an plus tard ? Et pour votre gouverne, je ne suis pas le seul à prôner l'utilisation du LATEX dans les formules simples du texte. Exemple sur le Coin café du labo. Patrick.Delbecq (discuter) 14 mars 2019 à 22:27 (CET)

text: L'argument du 24 août à 19 h 55 (sur le rendu différent) m'a en effet convaincue. Cependant, plus une page contient du LaTeX, plus elle est longue à charger. Anne, 26/8, 17 h 31
, merci. Patrick.Delbecq (discuter) 26 août 2020 à 17:34 (CEST)

text: Utiliser ... juste pour une variable, c'est utiliser un marteau-pilon. Theon (discuter) 26 août 2020 à 17:44 (CEST)

text: La différence de rendu est minime. Sur le fait de reprendre une page après une interruption de deux ans, c'est simplement que les modifications apportées par Anne Bauval paraissaient alléger la page. Enfin, sur le consensus, je rappelle que nous étions trois, il y a deux ans,  à tenter en vain de t'expliquer qu'imposer à tout prix une hypothèse inutile dans un énoncé mathématique ne présentait aucun intérêt. Theon (discuter) 27 août 2020 à 08:51 (CEST)

text: Je ne pouvais manquer l'occasion de te donner l'opportunité d'exposer ta conception toute personnelle de ce qu'est un consensus. « vous aviez tort, à trois ou pas » : un exemple qui restera dans les annales . Sans rancune. Theon (discuter) 28 août 2020 à 07:45 (CEST)
thread_title:  rétablissement de la mise en forme LATEX