Discussion:Transformation de Fourier

message: Si je ne me trompe pas,    F = \hat{f}  est une fonction de \mathbb{R}^n dans \mathbb{R} (peut être serait t'il bon de le préciser). Si c'est effectivement le cas alors on ne peut pas intégrer F de -\infty à +\infty  mais on l'intègre sur \mathbb{R}^n.
Il me semble également qu'il faut écrire dans la formule d'inversion     e^{i <w\cdot x>}\, et non e^{iwx}\,
Encore une chose il me semble qu'il y à un coefficient devant l'intégral:     ({1 \over 2\pi})^n. Si on ne met pas de coeficient, ça ne peut pas être cohérent avec la formule d'inversion sur \mathbb{R}.
Donc en résumé je pense que la formule d'inversion est: f(x) = ({1 \over 2\pi})^n \int_{\mathbb{R}^n} F(w)\, e^{i <w\cdot x>}\, dw  et non     f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} F(w)\, e^{iwx}\, dw 
Bongilles 17 mai 2007 à 20:10 (CEST)
thread_title:  Inversion sur <math>\mathbb{R}^n</math> 

message: Dans la démo on dit que les e_n:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2 T}}e^{in\pi x/T} forment une base orthonormée totale de l'espace de Hilbert L2([ − T,T]).
Y'à t'il une preuve quelque part sur wikipédia de cette affirmation? Je n'en n'ai pas trouvée, si quelqu'un de compétent pouvait s'en charger ça complèterait bien.
Bongilles 17 mai 2007 à 20:31 (CEST)
thread_title:  Preuve de la formule d'inversion 

message: Ne pensez vous pous qu'il serait plus clair de noter le produit scalaire par <x\cdot w> plutôt que simplement x\cdot w?
Bongilles 17 mai 2007 à 21:15 (CEST)
thread_title:  Notation du produit scalaire. 

message: Est-il bien pertinent de parler d'analyse non standard dans l'introduction? Je conçois que ce genre de remarque ait sa place en fin d'article mais ici on pourrait croire, à tort, que l'analyse non standard joue un rôle important pour la transformée de Fourier alors que personne ne s'en sert. En clair, la phrase embrouille pour rien. On la déplace? Mû 11 juin 2007 à 08:38 (CEST)
thread_title:  Analyse non standard 

message: Bonjour,
Je travaille dans le domaine du traitement du signal et je pense sincèrement que de nombreuses propriétés de la TF manquent dans cet article, notamment :
- Propriétés de parité et symétrie de la TF (TF de fonction réelle paire, imaginaire impaire, ...)
- la notion de dirac n'est pas abordé, et ça manque.
- Propriétés essentielles de translation, TF[f(t+dt)], de similitude, TF[f(ax)], de linéarité, de modulation, ....
Qu'en pensez-vous ? je propose de modifier la section propriétés pour y ajouter (ou substituer) :
* Cette transformation est linéaire : \mathcal{F}\{a.f(t)+g(t)\} = a.\hat{f}(\xi) + \hat{g}(\xi)
* La contraction dans un domaine implique une dilation dans l'autre : \mathcal{F}\{a.f(t)\} = \frac{1}{|a|}.\hat{f}(\xi/a). Un exemple concret de ce phénomène peut être observé par exemple sur un gramophone. La lecture d'un 33 tours à 45 tours par minute implique une augmentation de la fréquence du signal audio (a<1), on contracte le signal audio dans le domaine temporel ce qui le dilate dans le domaine fréquentiel.
* La translation dans le domaine temporel implique une modulation dans le domaine fréquentiel : \mathcal{F}\{f(t+t_0)\} = \hat{f}(\xi).e^{-\mathrm{i} \xi t_0}
* A l'inverse, une modulation dans le domaine temporel se traduit par une translation dans le domaine fréquentiel : \mathcal{F}\{f(t).e^{\mathrm{i} t \xi_0}\} = \hat{f}(\xi-\xi_0)
* Quelques propriétés de parité de symétrie de cette transformation :
** Si f est une fonction réelle et paire alors \hat{f} est une fonction réelle et paire
** Si f est une fonction réelle et impaire alors \hat{f} est une fonction imaginaire et impaire
** Si f est une fonction imaginaire et paire alors \hat{f} est une fonction imaginaire et paire
** Si f est une fonction imaginaire et impaire alors \hat{f} est une fonction réelle et impaire
** Si f est une fonction complexe et paire alors \hat{f} est une fonction complexe et paire
** Si f est une fonction complexe et impaire alors \hat{f} est une fonction complexe et impaire
* Si f est une fonction non-nulle sur un intervalle borné alors \hat{f} est une fonction non-nulle sur \mathbb{C} et inversement, si \hat{f} est non nulle sur un intervalle borné alors f est une fonction non nulle sur \mathbb{C}.
En ajoutant (je ne sais trop où) une explication de la fonction de dirac :
Bien qu'elle ne soit pas une fonction au sens mathématique, l'impulsion de Dirac, notée δ(t), est très utile dans le domaine de l'analyse fréquentielle. On la définie en générale comme étant la limite la fonction «rectangle» dont la surface est égale à 1 lorsque T → +∞. Cette fonction rectangle, r(t) vaut 0 si |t| > 1/2T et vaut T lorsque |t| < 1/2T. lorsque T → +∞, 1/2T → 0. L'impulsion de dirac est nulle en tout point de \mathbb{R}_* est vaut +∞ pout t=0. On constate que \mathcal{F}\{d(t)\} = 1.
La fonction δ(t-t_0) est l'impulsion de dirac translatée de t_0. elle est donc nulle en tout point de \mathbb{R}_* et vaut +∞ pout t=t_0. On peut alors montrer les égalités suivantes :
\mathcal{F}\{d(t-t_0)\} = e^{-\mathrm{i} \xi t_0} et inversement \mathcal{F}^{-1}\{d(t-t_0)\} = e^{\mathrm{i} \xi t_0}(harmonique "pure"). Cette égalité à une conséquence fondamentale en traitement du signal. Elle implique qu'un signal de fréquence pure -par exemple le son d'un diapason- à une transformée de Fourier réduite à \hat{f} = d(t-t_0)
De plus, on peut écrire \cos{\xi t} = e^{-\mathrm{i} \xi t}+e^{\mathrm{i} \xi t} on alors donc l'égalité \mathcal{F}\{\cos{\xi t}\} = \frac{1}{2}[d(t-t_0)+d(t+t_0)]
En outre, on peut également montrer l'égalité \mathcal{F}\{d(t-t_0).f(t)\} = f(t_0).
PS1 : Si nécessaire je peut ajouter les démonstrations de ces propriétés et des figures pour illustrer certains concepts (contraction <-> dilation, impulsion de Dirac, fonction rectangle, ...)
PS2 : Si qq1 sait faire un dirac δ(t) dans des balises de math merci =)
--Remi.mahel (d) 26 mars 2008 à 15:55 (CET)
thread_title:  Propriétés 

message: Je me demande pourquoi ici l'exposant de l'exponentielle dans la définition d'entrée de jeu n'est pas négatif.
Cela ne me paraît pas conforme au reste de l'article.
Merci à toutes et à tous.
--Boulou 33 (discuter) 31 mars 2016 à 18:14 (CEST)
thread_title:  Expression de la transformation de Fourier dans Rn d'une fonction radiale 

message: J'ai l'impression que le principe d'incertitude est donné pour les notations 'physiciennes', c'est à dire avec la fréquence, ce qui n'apparaît pas vraiment dans le texte. Ca gagnerait en clarté si on utilisait les notations mathématiques, par exemple les notations dans 'Wavelets Tours' de S. Mallat (p 45 (31)) :
\sigma_t^2 = \int t^2 |f(t)|^2 dt 
\sigma_{\omega}^2 = \frac{1}{2 \pi}  \int \omega^2 |\hat{f}(\omega)|^2 d\omega 
\sigma_{\omega}^2 \sigma_t^2 \geq \frac{1}{4} 
Ix₪ay Yo 6 mai 2016 à 23:51 (CEST)
replies: text: J'ai mieux compris les notations, je pense qu'on peut garder l'inegalité comme elle est écrite mais je vais expliciter un peu les notations. Ix₪ay Yo 6 mai 2016 à 23:59 (CEST)
thread_title:  Principe d'incertitude 

message: Bonjour,
afin d'harmoniser les titres des différentes transformées, un vote (informel) est en cours sur cette page. N'hésitez pas à y participer et à donner votre avis ! Valvino (discuter) 25 mars 2018 à 23:26 (CEST)
thread_title:  Harmonisation des titres des articles ''Transformée de/en XXX'' et ''Transformation de/en XXX'' 

message: Je lis « il existe un réel infiniment grand 
T « . Je ne vois pas le sens de cette expression. Veut-on dire « un réel T aussi grand qu’on le souhaite  «  ? Aldus 85 (discuter) 30 mai 2018 à 09:46 (CEST)
thread_title:  Preuve de la transformée inverse - analyse non standard 

message: Le texte dit : ... permet (sous conditions appropriées) de retrouver...
Flou. Quelles conditions ?
--JC.Raoult (discuter) 11 septembre 2021 à 10:50 (CEST)
thread_title:  Transformation de Fourier inverse 

message: Serait-il possible d'ajouter une section sur la transformée de fourrier en physique quantique où l'on a :
\bar{\psi}(\vec{p}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}^3} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(\vec{r}) e^{-\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot\vec{r}}d\vec{r}
 — Ternoc  Page utilisatrice  •  Discussion 7 novembre 2022 à 19:42 (CET)
thread_title:  Transformée de fourrier en physique quantique