Discussion:Théorie des ensembles

message: Si tout le monde est à peu près d'accord sur le contenu de la théorie naïve des ensembles, il existe par contre PLUSIEURS théories axiomatiques des ensembles, telles que:
*- la théorie de Zermelo-Fränkel (ZF en abrégé)
*- celle de von Neumann, Bernays et Gödel (NBG en abrégé)
*- ou encore celle des types de Russell
*- ...
La plus "sécurisée" est celle des types de Russell : il est certain qu'aucun paradoxe ne peut s'y nicher, mais elle est extrêmement lourde à l'usage.
La plus subtile est la théorie NBG qui introduit une notion de classe (ou plutôt d'univers) à côté des ensembles pour résoudre les paradoxes connus.
La plus employée demeure toutefois la théorie ZF, mais ses axiomes ont évolué au cours du temps...
De plus, il existe des variantes de cette théorie suivant que l'on accepte ou refuse certains axiomes (l'exemple le plus connu est celui de l'axiome du choix, qui affirme en substance qu'il est toujours possible de faire un choix au sein d'une infinité d'objets, ce que contestent les intuitionnistes)...
: je suis d'accord, faudrait inclure tout ça dans la page. Tom 22 déc 2004 à 13:58 (CET)
thread_title:  Variations 

message: "En itérant ce procédé on peut ainsi construire un ensemble X de réels qui se dérive une infinité de fois (...)". Et bah je crois que c'est faux.
Bon, déjà un ensemble est toujours dérivable en fait. Même l'ensemble vide, ou même \R. Mais on comprend implicitement qu'un ensemble est reéllement dérivable lorsque lui et son dérivé sont différents. Admettons.
Voici mon raisonnement :
En itérant k fois le procédé, on construit un ensemble X_k dont les éléments sont les rationnels positifs (ou nuls) qui s'écrivent comme une somme de k inverse(s) d'entier distinct(s), ou moins.
En itérant une ifinité de fois le procédé, on construit un ensemble X_\infty dont les éléments sont les rationnels positifs (ou nuls) qui s'écrivent comme une somme d'inverse(s) d'entier distinct(s), sans restriction sur le nombre de termes (la seule étant qu'il s'agit d'un nombre fini). Or, ça, je crois bien que c'est \Q_+. Et ensuite, je crois bien que \Q_+ n'est pas dérivable puisqu'il n'a pas de points isolés. Ni une fois, ni deux, ni même une infinité...
Me trompe-je ?--Benwat (discuter) 9 décembre 2015 à 01:46 (CET)
replies: text: Non, mais ce paragraphe est censé donner une idée de la démarche de Cantor ; comme il a été rédigé sans références, évidemment, une erreur s'y est glissée. Il faut compliquer un peu la construction, ce que je vais faire illico; merci de votre vigilance.--Dfeldmann (discuter) 9 décembre 2015 à 03:06 (CET)
replies: text: D'accord, merci. Et donc, maintenant, vous êtes sur que l'ensemble construit par itération est dérivable ? Personnellement, je suis incapable de le dire... A titre personnel, auriez-vous des références à me conseiller concernant ce sujet ?--Benwat (discuter) 9 décembre 2015 à 14:52 (CET)
replies: text: Heu, de tête, je parierais pas, non. En réalité, l'idée (d'un point de vue moderne, évidemment) est que, pour un ordinal muni de la topologie de l'ordre, l'ensemble dérivé coïncide avec l'ensemble des ordinaux limites ; pour obtenir des ensembles dérivables oméga fois, par exemple, il suffit donc de construire un ensemble de rationnels de type d'ordre \omega^\omega, ce qui est possible d'après un autre théorème de Cantor.--Dfeldmann (discuter) 9 décembre 2015 à 15:15 (CET)
replies: text: Houla, merci ! Il va falloir que je m'intéresse à ce problème plus sérieusement alors.  ^^--Benwat (discuter) 9 décembre 2015 à 15:18 (CET)
thread_title:  Erreur mathématique dans l'exemple du paragraphe "Genèse" ?