Discussion:Produit en couronne

message: J'ai écrit ceci dans l'article :
"Reprenons le graphe (non connexe) Γ et ajoutons à ses arêtes les 5 côtés du pentagone. Soit Γ2 le graphe ainsi obtenu. Contrairement à ce qui était le cas de Γ, un automorphisme de Γ2 ne peut pas permuter de façon quelconque les 5 sommets du pentagone, il doit les permuter à la façon d'une rotation. On montreJ. Delcourt, Théorie des groupes, Paris, Dunod, 2001, p. 160-161 et 189. que le groupe des automorphismes de Γ2 est isomorphe à \ S_{3} \wr \lambda (\mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z})."
Je rappelle que le graphe Γ2 s'obtient comme suit : on trace le périmètre d'un pentagone régulier et à partir de chaque sommet, on trace trois petits segments vers l'extérieur du pentagone. Les sommets du graphe sont les sommets du pentagone et les autres extrémités des petits segments; les arêtes du graphe sont les côtés du pentagone et les autres segments.
Quand j'ai écrit dans l'article le passage que j'ai cité ci-dessus, je me suis fié à J. Delcourt, Théorie des groupes, Paris, Dunod, 2001, p. 160-161 et 189, qui, dans un exercice, propose le même graphe mais avec un hexagone au lieu d'un pentagone et, en guise de solution de l'exercice, dit : "Quant au groupe d'isomorphismes de notre couronne, le même type de discussion montre qu'il est produit en couronne de S3 par Z/6Z."
Après réflexion, je me demande si J. Delcourt a raison. Il me semble que, puisque le graphe est non orienté, il ne faut pas seulement considérer les automorphismes du graphe qui permutent les sommets du pentagone (hexagone chez J. Delcourt) à la façon d'une rotation, mais aussi ceux qui les permutent à la façon d'une symétrie axiale. Autrement dit, un automorphisme du graphe permute les sommets du polygone à la façon d'une isométrie de ce polygone. J'en conclus que, dans le cas pentagonal, le groupe des automorphismes du graphe est isomorphe à \ S_{3} \wr D_{10}, où D10 désigne le groupe diédral d'ordre 10, considéré comme un groupe de permutations de l'ensemble des cinq sommets d'un pentagone régulier. (Dans le cas hexagonal, le groupe des automorphismes du graphe serait isomorphe à \ S_{3} \wr D_{12}.) Voir d'ailleurs l'article Graphe cycle.
Je vais essayer de consulter la seconde édition du livre de J. Delcourt , si je la trouve. En attendant, merci d'avance pour tout avis ou référence, car je n'aimerais pas laisser une erreur de fond dans l'article. Marvoir (discuter) 12 juillet 2014 à 08:25 (CEST)
replies: text: Vérification faite, J. Delcourt dit la même chose dans la seconde édition (p. 191, point 5 de 6.1.2, au sujet du graphe de la figure 6.2, p. 161). Marvoir (discuter) 2 février 2017 à 10:54 (CET)
thread_title:  Mea culpa ? 

message: J'avais fait une distinction entre « famille d'éléments de E indexée par I » et « application de I dans E » parce que dans le premier cours de théorie des ensembles que j'ai lu (je ne sais plus quel était l'auteur), une famille était définie comme un graphe (au sens de la théorie des ensembles) et non comme une application. Il est vrai que Bourbaki définit une famille comme une application et que c'est cette définition qui est utilisée dans notre article Famille (mathématiques), donc je n'ai pas d'objections au fait qu'une IP vienne de rendre le présent article Produit en couronne conforme à la terminologie de Bourbaki. Mais il serait peut-être intéressant de savoir s'il y a encore des auteurs qui définissent une famille comme un graphe. Marvoir (discuter) 5 août 2017 à 09:49 (CEST)
replies: text: Vérification faite, Bourbaki (Théorie des ensembles, Paris, 1970, p. II.14) donne les deux usages du mot « famille » : fonction ou graphe fonctionnel. Marvoir (discuter) 15 août 2019 à 10:54 (CEST)
thread_title:  Famille : fonction ou graphe ?