Discussion:Ouvert (topologie)

message: l'article est en cours d'édition. Les parties sur les ouverts dans un espace euclidien et dans un espace métrique sont à créer (voir open set dans wikipedia anglophone). Yukito 28 fev 2005 à 11:57 (CET)
thread_title: Février 2005

message: Il est difficile de donner une notion intuitive d'une notion complexe mais il me semble que là, trop d'erreurs sont énoncées
* se déplacer "dans toutes les directions" et rencontrer des points de l'ensemble ne suffit pas à définir un ouvert comme le montrer l'exemple des rationnels compris entre 0 et 1. Il faudrait pouvoir dire, on peut se déplacer "dans toutes les directions" et ne rencontrer que des points de l'ensemble. Mais je préfère parler d'un intervalle autour de a ou d'un disque autour de a et d'une boule autour de a entièrement incluse dans l'ensemble.
* Contrairement aux portes (qui sont ouvertes ou fermées) les ensembles peuvent être ni ouverts ni fermés ou bien même (ce qu'on est tordu) ouvert et fermé à la fois. 
Je tente une réécriture mais l'exercice est difficile. HB (d) 17 décembre 2008 à 16:35 (CET)
thread_title:  Intuition 

message: Je suis pour ma part presque convaincue que cet article devrait être un article court renvoyant sur topologie. mais si on doit développer l'article, il serait bon de passer de la définition la plus simple à la plus compliquée et donc de terminer sur la définition d'une topologie avec dans l'ordre
*  l'idée intuitive
* les intervalles ouverts de R
* les ouverts de R,
* les ouverts dans un espace métrique et de terminer par la topologie. 
HB (d) 17 décembre 2008 à 17:49 (CET)
thread_title:  Sur le plan 

message: L'expression « Ensemble ouvert » est présente dans la littérature mais est source d'erreurs fréquentes : le fait d'être ouvert n'est pas une qualité intrinsèque d'un ensemble, elle est relative à un sur-ensemble (muni d'une topologie). Il vaudrait mieux à mon avis développer un article « Ouvert (topologie) » ou « Partie ouverte » si l'on n'aime pas l'usage d'adjectifs substantivés. Ambigraphe, le 18 décembre 2008 à 14:44 (CET)
replies: text: Le meilleur titre serait Ouvert (topologie) qui était le titre initial avant que  ne décide un renommage (je trouve souvent ses renommages contestables). HB (d) 18 décembre 2008 à 15:25 (CET)
replies: text: Je suis favorable au renommage en Ouvert (topologie). Valvino (discuter) 18 décembre 2008 à 15:37 (CET)
replies: text: On n'a qu'à voter. :D Noky (d) 18 décembre 2008 à 16:34 (CET)
thread_title:  Renommage 

message: Que pensez-vous d'un renommage en ouvert (topologie). HB (d) 22 novembre 2009 à 09:22 (CET)
replies: text: C'est déjà fait (une redirection vers ouvert (topologie)). Liu (d) 22 novembre 2009 à 19:37 (CET)
replies: text: Tu veux dire qu'il y a une redirection à inverser ? Je suis bien d'accord. On peut parler de partie ouverte ou de sous-ensemble ouvert, mais il est absurde de parler d'ensemble ouvert. Ambigraphe, le 22 novembre 2009 à 23:46 (CET)
replies: text: Je ne connais pas les subtilités de redirection => ou <=, ou le renommage (on supprime l'article ou on en crée un autre?). Mais je suis entièrement d'accord que les termes corrects sont ce que tu dis. Liu (d) 23 novembre 2009 à 01:06 (CET)
thread_title:  Renommage 

message: J'ai du mal avec cette section qui vient après  le cas métrique. Je ne comprends pas non plus pourquoi la notion se limite aux espaces euclidiens et n'inclut pas les espaces métriques, il me semble que ces deux notions pourraient fusionner en espace métrique et point intérieur. HB (d) 22 novembre 2009 à 09:22 (CET)
replies: text: Je suis du même avis. Ou bien on ne traite que des espaces métriques, ou bien que des espaces euclidiens (oui effraient peut-être moins les néophytes). Liu (d) 22 novembre 2009 à 19:37 (CET)
thread_title: Espace euclidien et point intérieur 

message: Je suis déçue de la version du 25 aout qui fait disparaitre tout aspect didactique au sujet : si l'ouvert est seulement un élément d'un espace topologique, il est inutile de créer un article spécifique. La version du 4 juin avait le mérite de tenter de présenter l'ouvert de manière progressive avec une version intuitive sur la notion d'ensemble ouvert dans R. Je serais favorable à un retour en arrière mais attends d'autres avis. HB (d) 28 octobre 2010 à 21:14 (CEST)
replies: text: Je suis d'accord. Il y a peut-être (?) eu des ajouts intéressants en même temps, mais ce gros chamboulement du plan détruit l'intérêt d'un article spécifique. Anne Bauval (d) 28 octobre 2010 à 22:43 (CEST)

text: D'accord avec ce plan, en reprenant et complétant les développements de la version du début 2010.--Cbigorgne (d) 4 novembre 2011 à 18:04 (CET)
replies: text: Pour aussi. Et si on profitait de cette occasion pour (en renvoyant vers des articles plus pointus) réduire la partie « Ouverts de Zariski » ? C'est dans cet esprit que je viens de faire cet ajout dans Espace topologique. Anne Bauval (d) 4 novembre 2011 à 19:33 (CET)
replies: text:  D'accord aussi pour réduire la part de Zariski dans le style de ce que tu as fait dans topologie. Je m'y mets. HB (d) 5 novembre 2011 à 07:48 (CET)
thread_title:  Version du 25 aout 

message: Je n'ai pas réussi à trouver de traces de travaux faisant suite au concept introduit par Antoine Appert (Sur le meilleur terme primitif en topologie ...). Je me propose de supprimer cette section. Liu (d) 6 novembre 2011 à 02:14 (CET)
replies: text: Je trouvais cet aspect intéressant et il est incontestablement référencé. J'aimerais garder cette référence au moins en note. Ambigraphe, le 6 novembre 2011 à 16:10 (CET)
replies: text: J'avoue ne pas comprendre la présentation de ces travaux. Etre ouvert n'est pas une propriété intrinsèque, c'est évident et n'a rien à voir avec l'approche d'Appert. Par ailleurs je ne vois pas à quoi fait allusion la phrase sur la théorie des ensembles. Parle-t-on des espaces topologiques sans point ? Sur l'article d'Appert, le commentaire de Choquet est qu'il peut présenter un intérêt historique car Appert était un disciple de Fréchet. Liu (d) 6 novembre 2011 à 23:10 (CET)
thread_title:  Généralisation 

message: L'intro nous dit que un ouvert "est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière".
Mais un espace vectoriel E et l'ensemble vide ∅ sont des ouverts mais contiennent a priori leurs points limites non ? 
:Oui, ∅ et E (espace topologique, pas forcément vectoriel) contiennent leurs points limites donc sont fermés dans E. Mais leur frontière est vide donc ils sont aussi ouverts dans E. Anne (d) 27 mars 2012 à 23:32 (CEST)
replies: text:  En effet, j'ai réfléchi de façon intuitive sans chercher leurs frontières, qui sont bien vides... Merci pour ta réponse rapide   --Tcherki (d) 28 mars 2012 à 19:35 (CEST)
thread_title:  Petit doute sur l'intro 

message: Il serait bon d'expliquer pour quelle raison(s), l'ouvert joue ce rôle central dans la topologie. Qu'est-ce que ça apporte au point de vue de la construction de la théorie, que ça soit des ouverts plutôt que les fermés, par exemple. -- Camion (discuter) 27 septembre 2017 à 09:25 (CEST)
thread_title:  Pourquoi l'ouvert est l'élément de base d'un espace topologique ? 

message: Introduction
La notion d'ouvert en mathématiques est une notion abstraite qui s'est construite par généralisations successives à partir de notions intuitives: Les intervalles ouverts de $R$ les boules ouvertes de $C$, les boules ouvertes de $R^n$
Intervalles ouverts de $\mathbb{R}$
Un intervalle ouvert $I$ de $\mathbb{R}$ est l'ensemble des réels strictement compris entre deux bornes. 
Ainsi, pour $a \leqslant b$ réels, les $]-\infinity, b[$, $]a,b[$, $]b,\infinity[$ sont des intervalles ouverts 
et ce sont les seuls possibles. En particulier $\mathbb{R}$ et $\emptyset$ sont des intervalles ouverts.
Le mot important est "strictement". L'adjectif "ouvert" se rapporte au fait que les bornes ne sont pas dans $I$.
Tout ce qui suit va tenter de généraliser cette idée intuitive que "les bornes ne sont pas dedans".
NB: Là, je mettrais, si je savais le faire, une figure montrant un intervalle ouvert sur une droite avec un dessin bien explicite montrant que les extrémités ne sont pas dedans.
Ouverts de $R$
Un ouvert (on dit aussi une partie ouverte) $\mathcal{O}$ de $\mathbb{R}$ est une réunion quelconque d'intervalles ouverts. Un élément $x_0$ d'un ouvert $\mathcal{O}$ (on dit un point de l'ouvert) est donc tel qu'il existe au moins un $\varepsilon >0$ tel que tout l'intervalle $]x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon[ est dans $\mathcal{O}$. Il existe alors une infinité de tels $\varepsilon$
NB: Là, je mettrais, si je savais le faire, une figure montrant la réunion des 
]\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}, \frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}[
''
Boules ouvertes de $\mathbb{C}$
Une boule ouverte de centre $z_0 \in \mathbb{C}$ et de rayon $r \geqslant 0$ est l'ensemble des nombre complexes (on dit points) $z$ tels que $|z-z_0| < r$. On la note $\mathcal{B}(z_0,r)$
Le point important est le signe $<$. Une boule ouverte se dessine comme un disque de centre $z_0$, le cercle frontière étant exclus.
NB: Là, je mettrais si je savais le faire une figure montrant un disque (en rouge) avec le bord en bleu.
Ouverts de $\mathbb{C}$
Un ouvert (on dit aussi partie ouverte) de $\mathbb{C}$ est une réunion quelconque de boules ouvertes. Un élément $z_0$ d'un ouvert $\mathcal{O}$ (on dit un point de l'ouvert) est donc tel qu'il existe au moins un $\varepsilon >0$ tel que toute la boule $\mathcal{B}(z_0,r)$ est dans $\mathcal{O}$. Il existe alors une infinité de tels $\varepsilon$
NB: Là, je mettrais, si je savais le faire, une figure montrant en rouge la réunion des boules de centre $n$ et de rayon $1/n$ avec le bord en bleu (non compris) mais ça devient assez coton a cause des arcs de cercle :)
Boules ouvertes de $\mathbb{R^n}$
$\mathbb{R}^n est muni d'une norme et l'on écrit $||x||$ la norme de $x$.
Une boule ouverte de centre $x_0 \in \mathbb{R}^n$ et de rayon $r \geqslant 0$ est l'ensemble des vecteurs (on dit points) $x$ tels que $|x-x_0| < r$. On la note $\mathcal{B}(x_0,r)$
Le point important est le signe $<$. Une boule ouverte se dessine comme une "sphère" de centre $z_0$, la surface de la sphère étant exclue.
NB: Là, j'aimerais bien faire une figure, mais je ne sais pas trop comment la faire.
Ouverts de $\mathbb{R^n}$
Un ouvert (on dit aussi partie ouverte) de $\mathbb{R}^n$ est une réunion quelconque de boules ouvertes. Un élément $x_0$ d'un ouvert $\mathcal{O}$ (on dit un point de l'ouvert) est donc tel qu'il existe au moins un $\varepsilon >0$ tel que toute la boule $\mathcal{B}(x_0,r)$ est dans $\mathcal{O}$. Il existe alors une infinité de tels $\varepsilon$
Dans chacun des cas ci-dessus, on a défini un ensemble d'ouverts. On dit que $\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{R}^n$ ont été munis d'une topologie.
Ouverts d'une partie $A$ de $E$
Soit $E$ un ensemble muni d'une topologie comme ci-dessus et $A$ une partie quelconque de $E$. On dit qu'une partie $O$ de $A$ est un ouvert de $A$ (on dit aussi que cette partie est ouverte dans $A$) si et seulement si il existe un ouvert $\mathcal{O}$ de $E$ tel que $O=A\cap\mathcal{O}$ (il peut naturellement en exister plusieurs.NB: Là, je mettrais si je savais le faire une figure montrant un disque (en rouge) avec le bord en bleu.
NB: Là, si je savais le faire, je mettrais une figure dessinant le quart de plan x,y >=0 et la boule ouverte  de centre (1,1) et de rayon 1,25 en mettant en évidence les parties de la frontière qui sont exclues en gros le bord du disque et celles qui sont incluses en gros les axes en faisant attention aux coins
On voit que la notion de l'exclusion des bornes qui a forgé notre intuition doit comme toujours en mathématiques être soutenue par un retour à la définition. 
Ouverts et fermés
A la notion d'ouvert est associée la notion de fermé. C'est une notion corrélée mais pas contraire: Une partie est fermée si son complémentaire est ouvert et cela ne l'empêche pas d'être en même temps ouverte, sans compter qu'elle peut n'être ni ouverte ni fermée... 
Propriétés des ouverts
Dans chacun des exemples ci-dessus on peut constater que l'on a donné une famille de parties de l'ensemble initial $E$ que l'on a appelés ouverts, ensemble qui a les propriétés suivantes:
1/ $E$ et $\emptyset$ sont des ouverts
2/ Toute intersection d'une famille finie d'ouverts est un ouvert
3/ Toute réunion d'une famille, finie ou infinie d'ouverts est un ouvert.
Donner une telle famille et en nommer les éléments "ouverts" c'est par définition se donner une topologie sur $E$
Les fermés étant les complémentaires des ouverts, il revient au même de se donner à la place des ouverts un ensemble de parties de $E$ appelés fermés qui a les propriétés suivantes:
1'/ $E$ et $\emptyset$ sont des fermés
2'/ Toute réunion d'une famille finie de fermés est un fermé
3'/ Toute intersection d'une famille, finie ou infinie de fermés est un fermé.
C'est l'usage seul qui fait que l'on donne une topologie par ses ouverts.
L'étude d'une topologie, sans précision de l'origine des ouverts s'appelle la topologie générale. Consulter Bourbaki et Choquet. L'étude d'une topologie ou les ouverts sont définis par référence à une norme ou une distance se trouve exposée dans Dieudonné (espaces métriques). L'étude d'une topologie dont les ouverts sont définis par une famille de semi-normes est exposée dans Schwartz.
De fait les ouverts prennent des formes différents selon les contextes. Dans la topologie grossière, les seuls ouverts sont $E$ et $\emptyset$ dans la topologie discrète, toutes les parties de $E$ sont des ouverts. Dans la topologie de Zariski sur le spectre d'un anneau sont définis par référence aux idéaux de cet anneau, etc. On consultera les articles associés. 
Espace métrique, Espace vectoriel normé, Topologie définie par une famille de semi-normes
Bibliographie
Choquet Gustave, Cours d'Analyse, Tome II: Topologie, Masson, 1964 
Dieudonné Jean, Cours d'analyse, Tome 1, Gauthier Vilars
Kelley John L., General Topology, Van Nostrand 1955
Bourbaki Nicolas, Eléments de Mathématiques, Topologie chapitre 1 à 4, Springer 2005
Schwartz Laurent; Théorie des distributions,2nde édition, Hermann, 1966
Ibn Harwa (discuter) 21 octobre 2017 à 14:25 (CEST)
thread_title:  Une nouvelle proposition pour l'introduction -- A vrai dire tout le reste devrait être transféré hors de l'article