Discussion:Produit infini de Cantor

message: Je me suis permis de supprimer les propriétés suivante:
*\forall n, a_n \in \mathbb{N}
En effet, même si je ne connais rien au sujet, un contre exemple trivial est pour x0 = 3, a0 = 3/2 n'est évidemment pas dans N :).
Ensuite, les deux propriétés:
* \forall n, a_{n+1} \geq a_n^2
* Soit x_0 > 1. Alors x_0 est un nombre rationnel si, et seulement si, \exist N \in \mathbb{N}tel que la suite (a_n)_{n \in \mathbb{N}} de son développement en série de Cantor vérifie a_{n+1} \geq a_n^2 pour n \geq N.
puisque manifestement ces deux propriétés se contredisent :) (la première dit que la propriété est toujours vérifié, la seconde si et seulement si x0 est rationnel. Doit en déduire que tout nombre est rationnel ? :p)
134.214.163.175
: Je me répond à moi-même, j'avais pas pigé que le [ ] signifiait je ne sais quel opérateur inconnu. Merci à quelqu'un qui sait de préciser :p 134.214.163.175
:: Deuxième auto-réponse, on y arrivera. C'est la partie entière, non (je me disais bien que je l'avais déjà vu quelque part, ce symbole ;)) ? (en tout cas, c'est ce que l'article partie entière suggère). Bon, je précise sur l'article, qu'on me pende si j'ai tord 134.214.163.175
Je suis d'accord avec le message précédent quant à l'incohérence de ce qui est énoncé. Après avoir fait quelques tests (et réfléchi un peu aussi ;)), je me suis permis de remplacer a_{n+1} \geq a_n^2 par a_{n+1} = a_n^2 dans la caractérisation des rationnels.
SniperMaské 9 novembre 2007 à 17:45 (CET)
thread_title:  Problèmes avec les propriétés 

message: En partant du fait que x_0 soit strictement plus grand que 1, et des définitions de a_0 et x_1, je n'arrive qu'à prouver que x_1 < x_0. Comment prouver que x_1 > 1 ? Si quelqu'un sait où a une piste ?
D'ailleurs je ne vois pas l'utilité de l'encadrement (qui est juste et normal pour une partie entière) donné en ligne 2, du rapport \frac{x_0}{x_0 - 1} dont on prend la partie entière pour faire a_0. Peut-être en déduire que x_1 > 1 ? J'ai beau essayer, ça ne me conduit pas à ça !
Est-ce que quelqu'un peut préciser pourquoi une partie entière est parachutée dans la récurrence des x_n, quelles sont les raisons mathématiques de cette partie entière dans la construction du produit ?
--88.141.150.122 (d) 8 mai 2013 à 08:53 (CEST)
thread_title:  Interrogations sur la construction du produit 

message: Enfin trouvé !</br>
Nous avons au départ:x_0 \in ]1;+\infty[ et x_{n+1} = \frac{x_n}{1 + \frac{1}{a_n}} avec a_n = \left[\frac{x_n}{x_n - 1}\right].</br>
On travaille un peu la définition par récurrence de la suite: x_{n+1} = \frac{x_n}{1 + \frac{1}{a_n}} = \frac{x_n}{\frac{a_n}{a_n} + \frac{1}{a_n}} = \frac{x_n}{\frac{a_n + 1}{a_n}} = x_n \times \frac{a_n}{a_n + 1} = \frac{x_n \times a_n}{a_n + 1}</br>
Maintenant montrons par récurrence que 1 est borne inférieure de la suite:</br>
D'abord supposons que au rang n, le terme soit supérieur à 1, soit x_n > 1 \Leftrightarrow x_n - 1 > 0</br>
et l'évidence de service x_n > x_n - 1 \forall x_n \in \mathbb{R}</br>
Puisque le membre de droite de l'évidence est strictement positif, on peut faire la division:\frac{x_n}{x_n - 1} > 1 \Rightarrow \left[\frac{x_n}{x_n - 1}\right] \geq 1 \Leftrightarrow a_n \geq 1</br>
Alors, en résumé, x_n > 1 \Rightarrow a_n \geq 1, d'une part.</br>
D'autre part, la définition de a_n impose par l'extraction de partie entière que: a_n \leq \frac{x_n}{x_n - 1} < a_n + 1</br>
Or x_n - 1 > 0, on peut donc multiplier cet encadrement sans changer l'ordre: a_n (x_n - 1) \leq x_n < (a_n + 1)(x_n - 1)</br>
\Leftrightarrow a_n x_n - a_n \leq x_n < a_n x_n - a_n + x_n - 1 \Leftrightarrow a_n x_n - a_n - x_n \leq 0 < a_n x_n - a_n - 1 car x_n > 1 comme supposé.</br>
On ajoute aussi a_n + 1 ce qui donne\Leftrightarrow a_n x_n - a_n + a_n + 1 \leq a_n + 1 < a_n x_n \Leftrightarrow a_n x_n + 1 \leq a_n + 1 < a_n x_n</br>
Et on s'arrête là pour remarquer que: a_n + 1 < a_n x_n et comme a_n + 1 > a_n \geq 1 > 0 soit que a_n + 1 > 0 on peut faire la division et trouver \frac{x_n a_n}{a_n + 1} > 1 \Leftrightarrow x_{n+1} > 1</br>
Eurekâ ! En résumé: si x_n > 1 nous avons que a_n \geq 1 et surtout que l'encadrement du à l'extraction de partie entière implique avec la condition de départ que x_{n+1} > 1</br>
En clair: x_n > 1 \Rightarrow x_{n+1} > 1. Cette Propriété est donc héréditaire. Or x_0 > 1 puisqu'on part d'un réel plus grand que 1, alors on a x_n > 1 \forall n \in \mathbb{N}</br></br>
Ce comportement de la suite n'est bien sûr valable que si on part d'un réel supérieur à 1, et il permet de ré-itérer le processus pour faire un produit infini qui peut alors converger vers un réel car la suite converge très rapidement vers 1. 1 est un minorant de la suite on vient de le prouver. Reste à prouver que c'est le plus grand des minorants, ou bien que c'est la limite de la suite, ce qui est équivalent. Si la suite ne convergeait pas vers 1, le produit infini divergerait forcément, il est important qu'elle converge vers 1 mais en plus très fortement pour empêcher la divergence.--88.141.149.227 (d) 9 mai 2013 à 20:17 (CEST)
thread_title:  Démonstration de la minoration de la suite par 1 

message: Il a été prouvé sur les deux sujets précédents que la suite des x_n est strictement décroissante et que 1 est un minorant de la suite. Il en découle, et c'est une implication directe, que la suite converge vers une limite L \geq 1. On a donc \lim_{n \to \infty}(x_n) = L. Du coup \lim_{n \to \infty}(a_n) = \lim_{n \to \infty}(\left[\frac{x_n}{x_n - 1}\right]) = \frac{L}{L - 1}.</br>
On a également: \lim_{n \to \infty}(x_{n+1}) = \lim_{n \to \infty}(\frac{x_n a_n}{a_n + 1}) = \frac{L \times \frac{L}{L-1}}{\frac{L}{L-1} + 1} = \frac{\frac{L \times L}{L-1}}{\frac{L}{L-1} + \frac{L-1}{L-1}} = \frac{\frac{L^2}{L-1}}{\frac{L+L-1}{L-1}} = \frac{L^2}{2L-1}</br>
Il y a maintenant une astuce à laquelle il n'est pas évident d'y penser, et elle est enseignée aux terminales S depuis cette année: Si une suite a une limite finie, l'expression par récurrence du terme suivant de la suite a aussi la même limite. En faisant cela on créé une équation en L par bouclage de récurrence. Il n'y a qu'à la résoudre et on a la limite cherchée.</br>
\lim_{n \to \infty}(x_{n+1}) = \lim_{n \to \infty}(x_n) = L \Rightarrow \frac{L^2}{2L-1} = L \Leftrightarrow L^2 = L(2L-1) \Leftrightarrow L^2 = 2L^2-L \Leftrightarrow L = L^2</br>
avec L \geq 1 > 0 soit L \neq 0, on peut alors diviser par L les deux membres et obtenir L = 1</br></br>
La limite de cette suite est donc 1, et on peut le constater facilement avec un tableur, et même y voir que les limites de calculs sont très vite atteintes car cette suite converge très, très rapidement. C'est d'ailleurs pour cette raison qu'elle est utilisée dans les algorithmes de calculs de réels comme la racine carrée ou cubique. Sa rapidité de convergence de une à deux décimales par itération est sans commune mesure avec la lenteur de convergence des séries définissant des fonctions analytiques. Et n'importe quel réel supérieur à 1 peut être défini par ce produit infini, ça c'est extraordinaire !--88.141.149.227 (d) 9 mai 2013 à 23:22 (CEST)
thread_title:  Démonstration de la convergence de la suite et calcul de sa limite 

message: Puisque la suite étudiée possède les critères nécessaires de convergence pour que le produit ne soit pas nul et lui permet de converger, on va construire ce produit et vérifier sa convergence.
La suite est ainsi définie: x_0 > 1 et x_0 \in \mathbb(R)</br>
x_{n+1} = \frac{x_n}{1 + \frac{1}{a_n}} avec a_n = \left[\frac{x_n}{x_n - 1}\right]</br>
On procède maintenant au renversement de la définition de récurrence, de sorte que le précédent soit définit en fonction du suivant:</br>
x_n = x_{n+1} \times ( 1 + \frac{1}{a_n} )</br>
Ce qui nous permet de faire la chose suivante:</br>
x_0 = x_1(1+\frac{1}{a_0}) = x_2(1+\frac{1}{a_0})(1+\frac{1}{a_1}) = x_3(1+\frac{1}{a_0})(1+\frac{1}{a_1})(1+\frac{1}{a_2}) etc.</br>
On voit bien que ce cette expression-là se déroule à l'infini, et ce qui est étonnant c'est que ce produit sans limites donne le premier terme ! Pour l'instant donnons lui une limite d'arrêt:</br>
x_0 = x_{n+1} \times \prod_{i=0}^n(1 + \frac{1}{a_i})</br>
et voyons son comportement vers l'infini:</br>
\lim_{n \rightarrow \infty}(x_0) = \lim_{n \rightarrow \infty}(x_{n+1} \times \prod_{i=0}^n(1+\frac{1}{a_i})) \Leftrightarrow x_0 = 1 \times \prod_{i=0}^{\infty}(1+\frac{1}{a_i}) \Leftrightarrow x_0 = \prod_{i=0}^{\infty}(1+\frac{1}{a_i})</br>
On a bien x_{n+1} qui tend vers 1, ça a été prouvé précédemment. x_0 reste x_0 quelque soit n. x_n tendant vers 1, on a alors: \lim_{n \rightarrow \infty}(a_n) = \left[ \frac{1}{1^+-1} \right] = +\infty</br>
\Rightarrow \frac{1}{a_i} \rightarrow 0 \Leftrightarrow (1 + \frac{1}{a_i}) \rightarrow 1</br>
Donc les facteurs du produit tendent vers 1 par valeurs supérieures, ce qui est une condition nécessaire pour que le produit converge. Mais la convergence n'est pas prouvée formellement. Il est clair que si les facteurs tendent vers un nombre supérieur à 1, le produit diverge puisqu'il est infini. Si les facteurs tendent vers un nombre entre 0 et 1, le produit tend vers 0 et si l'un d'entre eux est nul, le produit est nul. Et si le facteur général provoque un changement de signe, il y a en plus l'alternance à ajouter au comportement décrit pour des facteurs toujours positifs.--88.141.149.227 (d) 12 mai 2013 à 12:34 (CEST)
thread_title:  Construction du produit infini de Cantor 

message: J'ai écrit à daniel Duverney pour savoir s'il a quelque chose.
J'ai trouvé https://ia902708.us.archive.org/32/items/irrationalzahlen00perruoft/irrationalzahlen00perruoft_bw.pdf
page 122  qui renvoie page 184 à 
Q. Cantor, Über die einfachen Zahlensysteme. Zeitschr. f. Mathem.
n. Physik 14 (1869).
Mais dans https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN599415665_0014?tify={%22pages%22:[132,133],%22panX%22:1.135,%22panY%22:0.732,%22view%22:%22info%22,%22zoom%22:0.446}
J'ai l'impression que Cantor parle plutôt de la numération en base variable...--Robert FERREOL (discuter) 18 janvier 2022 à 17:30 (CET)
thread_title:  Référence Cantor ?