Discussion:Ensemble infini

message: Je ne comprends pas à quoi correspond la redirection "théorème de Dedekind" sur cet article. De quel théorème s'agit-il ? Proz (d) 26 octobre 2011 à 19:40 (CEST)
replies: text: À vrai dire, je comptais un peu sur toi pour nous le préciser. Dans liste de théorèmes ce lien était rouge, et j'avais lu dans :en:Richard Dedekind#Work la phrase « This is known as Dedekind's theorem », mais pas compris. Anne Bauval (d) 26 octobre 2011 à 19:52 (CEST)
replies: text: Ce lien rouge avait été fait en 2005. Ce redirect n'est lié que dans Liste de théorèmes donc ne devrait pas gêner grand monde Sauf que cette liste est pas mal consultée : cf onglet "historique", Outils externes et statistiques, Consultations, mais attention elle s'appelait Liste des théorèmes avant le 13/9. J'ai posé un refnec sur la phrase « This is known as Dedekind's theorem » sur :en. Anne Bauval (d) 26 octobre 2011 à 22:04 (CEST)
replies: text:   La liste en question me semble au moins consultée par les wikipédiens et possiblement aussi par les lecteurs d'où sa pertinence dans le main --Epsilon0   ε0 26 octobre 2011 à 22:52 (CEST)
thread_title:  Théorème de Dedekind 

message: Je ne vois pas d'articles (éventuellement courts) sur wp concernant ces 2 notions ; en voyez-vous ? --Epsilon0   ε0 26 octobre 2011 à 21:41 (CEST)
replies: text: Il y a :en:Actual infinity qui ne semble pas à traduire tel quel mais contient des choses, et sur lequel redirige :en:Potential infinity, et :de:Potentielle und aktuale Unendlichkeit. il y a tout à fait matière à un "vrai" article, mais il me semble que sur le mode de en: ou de:, un seul suffit (les deux notions se présentent ensemble),  sur lequel l'article présent pourrait renvoyer (mais pas au niveau de la définition il me semble). Proz (d) 27 octobre 2011 à 18:14 (CEST)
thread_title:  Infini en acte et infini potentiel 

message: Le résultat sur le produit cardinal et l'axiome du choix est traité dans ordinal de Hartogs. La démonstration est essentiellement la même que celle donnée dans l'article en: donné en lien (ça parait plus clair de mentionner explicitement l'ordinal de Hartogs ama). Le résultat sur la cardinalité du produit de 2 ensembles infinis serait à mentionner dans l'article. Proz (d) 16 octobre 2012 à 01:26 (CEST)
replies: text: Ok mais pas cap'. Anne (d) 16 octobre 2012 à 07:36 (CEST)
thread_title:  Théorème de Tarski 

message: Je comprends bien cette preuve et je cherche en vain à la rédiger plus simplement. En tous cas, il me semble que Cori-Lascar nous mentent beaucoup (en prétendant explicitement que {(ζ,η)|(ζ,η) <2 (α,β)} ⊆ δ) et Dehornoy un peu (par omission). Dans Aleph (nombre)#Somme et produit finis, il est juste écrit : « On montre par récurrence ordinale sur α, que le bon ordre ainsi défini sur ℵ × ℵ a pour type d'ordre au plus ℵ, c'est-à-dire qu'il est isomorphe à un segment initial de ℵ ». Sans Dehornoy sous la main, c'est un peu trompeur : les ordres sur les divers ℵ × ℵ sont bien compatibles entre eux, mais passer de ℵ à ℵ n'est pas du tout évident. Anne 2/12/15 20h25
: C'est effectivement l'ordinal δ + 1 et pas  δ, mais qui a même cardinalité, reste inférieur à λ et  donc pas de souci avec cette correction de CL me semble-t-il. Je ne comprends pas bien l'objection sur le résumé de Aleph (nombre)#Somme et produit finis, car le pas d'induction se fait sans distinguer le cas  ℵ avec α successeur (bien sûr la preuve utilise que ℵ n'est de toute façon pas successeur comme ordinal). Proz (discuter) 2 décembre 2015 à 21:54 (CET)
thread_title:  Rédaction 

message: Bonjour,
Il y a deux points de cet article que j'aimerais discuter:
1)La démonstration proposée sur cette page pour construire une injection de ℕ dans E (un ensemble infini) est très bonne, car elle invoque explicitement l'utilisation faite de l'axiome du choix dénombrable. Comme le but de la démonstration est de prouver que E est infini au sens de Dedekind, il manque peut-être en fin de cette démonstration la partie consistant à expliciter qu'à partir de cette injection, on peut mettre E en bijection avec une de ses parties strictes. Cette dernière étape manque, peut-être car elle est implicitement considérée comme évidente pour beaucoup de lecteurs, mais comme c'est le but ultime de la démonstration (c'est même dans le titre de la partie), j'oserais dire qu'il serait bien de l'ajouter. Je la rappelle au cas où: si (xn)n∈ℕ est une suite d'éléments deux à deux distincts de E, alors la fonction f:E→E, telle que ∀n∈ℕ, f(xn)=xn+1, et ∀y∈E\∪n∈ℕ{xn}, f(y)=y est une bijection de E sur E\{x0}.
2)J'aimerais soumettre à la critique une démonstration de l'injection de ℕ dans E que j'ai vue dans un livre (Mathématiques Tout-en-un 1ère année PCSI-MPSI, Série E. Ramis, Claude Deschamps & André Warusfel), et qui passe sous silence l'emploi de l'axiome du choix, mais je n'arrive pas à voir comment on peut expliciter l'emploi de l'axiome du choix dans cette démonstration sans profondément la modifier. Je vous serais reconnaissant de toute aide apportée. Voici la démonstration, très simple:
Si E est infini, alors supposons construite une famille (xi)0≤i≤n d'éléments de E. Comme E est infini, E\{∪0≤i≤n{xn}} est non vide, et on peut choisir un de ses éléments pour définir xn+1, et ainsi construire une injection de ℕ dans E.
Mon problème avec cette démonstration est le suivant: j'aimerais expliciter l'axiome du choix dénombrable dans cette démonstration, et l'idée qui me vient serait de considérer la collection {E,E\{x0},E\{x0,x1},...,E\{∪0≤i≤n{xn}},...}, pour ensuite appliquer l'axiome du choix dénombrable. Or cette collection, pour être bien définie sous-entend déjà la construction de la suite des (xn)n∈ℕ, et donc ce raisonnement est un serpent qui se mord la queue. Pour cette raison, j'ai beaucoup apprécié la démonstration de votre article. Néanmoins, existe-t-il un moyen de «réparer», la démonstration du livre que j'ai cité ? Car en effet, sa simplicité est très séduisante: l'argument «E\{∪0≤i≤n{xn}} est non vide, et on peut choisir un de ses éléments pour définir xn+1» est très simple et clair, et il serait commode de pouvoir garder ce genre d'arguments pour d'autres démonstrations, si on arrive à prouver qu'il est valable.
Merci beaucoup d'avance pour votre aide !
: L'axiome implicitement utilisé pour ce genre de construction est l'axiome du choix dépendant : on "choisit" à chaque étape un élément, qui dépend des choix précédents. Dans le cas présent, on peut définir sur l'ensemble des parties finies de E la relation R suivante : xRy si x est inclus dans y et si y\x contient exactement un élément. E étant infini, on a bien que pour tout x, il existe un y tel que xRy. L'axiome du choix dépendant nous donne alors une suite (Xn) telle que pour tout n, XnRXn+1. En définissant xn comme étant l'unique élément de Xn+1\Xn, on obtient l'injection voulue. TorkMattar (discuter) 22 novembre 2017 à 11:51 (CET)
replies: text: Merci pour votre réponse ! J'ai effectivement songé exactement à l'axiome du choix dépendant, qui est, d'après les autres articles, plus fort que l'axiome du choix dénombrable. Et j'avais aussi exactement songé à votre démonstration ! Cependant, j'ai bloqué sur un détail: quand vous dites «E étant infini, on a bien que pour tout x, il existe un y tel que xRy», pouvez vous le détailler ? Comment montre-t-on qu'il existe une partie finie y contenant x ? Je suis sûr qu'on peut dire qu'il existe des parties y de E telles que card(y)=card(x)+1, mais l'argument qu'on a un y tel que x soit inclus dans y m'échappe. A moins encore, de dire que ce y s'obtient par une opération x∪{a} avec a∈E\x, mais cela revient à invoquer exactement ce qu'on veut prouver.--ByteMe666 (discuter) 22 novembre 2017 à 14:21 (CET)
replies: text:  Pour prouver que pour tout x, il existe un y tel que xRy, on fait exactement ce que vous dites : on prend un élément a de E\x (il en existe, car E est infini et x fini) et alors y = x∪{a} convient. Ici, on n'utilise aucune forme de l'axiome du choix, mais juste les propriétés des quantificateurs existentiels/universels. TorkMattar (discuter) 22 novembre 2017 à 14:34 (CET)

text:  Voilà donc la nuance ! Effectivement, avec votre remarque, tout s'éclaircit. Merci beaucoup. Pensez vous qu'il vaille la peine d'illustrer l'usage de l'axiome du choix dépendant, sur l'article wikipédia dédiée à cette axiome, avec un paragraphe synthétisant notre discussion ? Cela permet de montrer une démonstration de niveau premier cycle universitaire abordable par tout le monde de E est infini ⇒ il existe une injection de ℕ dans E, d'illustrer l'axiome, et peut-être d'élargir un peu pour les lecteurs curieux. Je ne sais pas si beaucoup de monde a le réflexe de lire les dicussions dans les coulisses.--ByteMe666 (discuter) 22 novembre 2017 à 15:09 (CET)
replies: text:  En effet, l'article sur l'axiome du choix dépendant est un peu pauvre, il serait intéressant de l'enrichir un peu. TorkMattar (discuter) 22 novembre 2017 à 15:20 (CET)

text:  Alors ce weekend, je vais essayer de prendre un peu de temps pour ajouter la démonstration du livre de MPSI/PCSI que j'ai citée, accompagnée du détail de l'emploi de l'axiome du choix dépendant. Je verrai ce que les personnes chargées de l'entretien et la relecture de l'article sur l'axiome du choix dépendant en penseront. Encore merci et à bientôt.--ByteMe666 (discuter) 22 novembre 2017 à 15:27 (CET)
thread_title:  Ensemble infini E (non fini) ⇒ Injection de ℕ dans E ⇒ E est infini au sens de Dedekind