Discussion:Développement limité

message: Ne serait-il pas plus judicieux d'avoir les Dls des fonctions usuelles et réciproque de maniere générale, et non pas uniquement pour simplement quelques exemple ? Les approximations linéaires ne sont également pas indispensable pour toute personne capable de tronquer un polynome a un certain degré :-)
Mieux vaudrait donner les termes généraux des DLs de toute fonction usuel a mon sens ...
Je modifirai l'article en fonction de mon temps et de vos avi
: Deux raisons pour ne pas les faire figurer. Le principe du développement limité est qu'il est limité. Quand on se veut exhaustif on donne le développement en série entière, le paragraphe en question renvoie d'ailleurs sur cet article où l'on peut trouver le développement en série entière des fonctions usuelles.
: Ce même argument de limitation (développement limité) permet de justifier le développement limité classiquement utilisé en physique élémentaire: à quoi s'embêter avec le traitement d'une fonction polynomiale quand une simple fonction affine suffit. Enfin, d'autres auront peut-être un avis différent. HB 12 décembre 2006 à 22:42 (CET)
thread_title:  Poposition d'amélioration (pas le temps de les faires moi meme, désolé ... 

message: Juste une petite chose qui me choque : ne manque-t-il pas des n! ou des i! partout dans l'article? En effet, je pense par exemple que f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)/1!+f"(x0)*(x-x0)²/2!+…+epsilon(x)
Qu'en pensez-vous?
Nicolas (ENSTB) le 6 avril 2005
: Exact. Article corrigé le 23 avril 2005. HB
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je pensse la meme chose.
je dirais c'est quoi les ai ? des derive ieme ????
puis le 1er et par conséquant Le 2ieme poins me paraissent louche!!! . 
Tous le rest resemble a ce ke je sait
SAB(06) le 19 octobre 2005
: A ce jour la version de l'article est exact. Un développement limité n'est pas forcément un développement de Taylor. Voir paragraphe sur DLn et dérivée nième pour retrouver la formule avec les dérivées. HB 19 octobre 2005 à 14:01 (CEST)
thread_title: Quelques erreurs ?

message: ; Dérivation et continuation
:: Oui et bien c'est dommage qu'il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un développement limité pour la dérivée d'une fonction admettant un développement limité d'ordre n en x.
:Votre fonction f est dérivable partout sauf en 0 de dérivée 3 x² sin (1/x²) - 2 cos (1/x²).
:Cette dérivée de f est paire donc la dérivée à droite et la dérivée à gauche de f en 0 est la même.
:Quand x tend vers 0, d'après la définition de la dérivée f'(0) = ( f(x) - f(0) ) /x
:Donc f' (0) = x² sin (1/x²). Quand x tend vers 0,  x² tend vers 0 et sin (1/x²) est borné entre 1 et -1, donc f'(0) = 0.
:De même quand x tend vers 0, f'(x) = ( f(0) - f(x) ) / (-x) puisque "x tend vers 0" est équivalent à "0 est tendu vers x". Donc quand x tend vers 0, f'(x) tend vers 0, donc f'(x) tend vers f'(0). Donc f' est continue en 0.
:Donc je viens de démontrer que cette fonction est continue en 0 aussi donc elle possède un développement limité d'ordre 1 en 0.
:On peut remarquer que on trouve que quand x tend vers 0, f'(x) = 3 x² sin (1/x²) - 2 cos (1/x²) tend vers 0. sin (1/x²) est bornée entre 1 et -1, et x² tend vers 0 donc 3 x² sin (1/x²) tend vers 0 donc cos (1/x²) tend vers 0.
:Et comme 1 /x² tend vers l'infini quand x tend vers 0, quand x tend vers l'infini, cos (x) tend vers 0. On pourrait aussi démontrer que sin(x) tend vers 0 quand x tend vers l'infini.
Réponse à l'intervention de l'IP
Il est faux de dire que 
"  d'après la définition de la dérivée f'(0) = ( f(x) - f(0) ) /x " 
car par définition, la dérivée de f en 0 est la limite de ( f(x) - f(0) ) /x  quand x tend vers 0 ce qui donne pour f'(0) , non pas x² sin (1/x²) (ce qui n'a pas de sens ), mais simplement 0.
D'autre part, prouver que la fonction f' est continue en 0 , c'est prouver que la limite en 0 de 3 x² sin (1/x²) - 2 cos (1/x²) existe et vaut f'(0). Ce qui est malheureusement faux : 3 x² sin (1/x²) a bien pour limite 0 en 0, mais 2 cos (1/x²) n'admet pas de limite. La fonction f' n'est donc pas continue en 0.
C'est la raison pour laquelle les observations précédentes ont été ôtées du corps de l'article. HB 13 janvier 2006 à 19:15 (CET)
thread_title:  déplacement des remarques de l'IP 

message: Nous ne sommes probablement pas d'accord sur la définition de cette fonction.
La définition que j'ai eu l'occasion d'apprendre est la suivante :
: Lorsque f est une fonction définie sur un intervalle contenant 0 et telle que :
: \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0 on écrira aussi f(x) = \varepsilon(x) et on dira que f(x) est un "\varepsilon(x)".
: Ainsi, on pourra écrire f(x) = a + \varepsilon(x - x_0) pour signifier que \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = a
Dans ce sens, et pour être rigoureux, il faudrait donc travailler avec \varepsilon(x - x_0) lorsque l'on se place au voisinage de x_0.
D'ailleur, dans ce même cours, nous écrivions systématiquement comme dernier terme du D.L : (x - x_0)^n \cdot \varepsilon(x - x_0).
Dans un esprit de rigueur, et si cette définition est exacte, il faudrait donc revoir un certain nombre d'expressions dans la partie définition.
À vous de me dire ce que vous en pensez, et quelle autre définition de la fonction epsilon vous avez. Merci d'avance. 
: Il est dangereux d'écrire sans précaution \varepsilon(x - x_0) c'est à dire sans donner son domaine de définition qui ne peut pas être celui de la fonction f. Voilà pourquoi j'ai annulé ton changement de variable. De plus si tu voulais écrire  (x - x_0)^n \cdot \varepsilon(x - x_0), il ne fallait pas laisser deux lignes en dessous que \varepsilon(x - x_0)  tendait vers 0 et ceci plus vite que le dernier terme du développement limité. Mais, je comprends que , traditionnellement, on puisse donner un sens (non officiel) à la notation \varepsilon. Peut-être vaut-il mieux l'éviter dès le début. Pourquoi ne pas parler de R(x) avec R comme première lettre de reste ? HB (d) 11 février 2008 à 19:54 (CET)
thread_title:  Incompréhension liée à la fonction epsilon 

message: formule (1+x)^a
pour le developpement a la puissance n, il est écrit a(x-1).....(x-n+1)
au lieu de a(x-1).....(x-n-1)
C EST A VERIFIER ET A CORRIGER
: Il ne semble pas y avoir d'erreur dans la formule proposée par l'article 
:* (1+x)^a = 1+ax+\frac{a(a-1)}2x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+...+\frac{a(a-1)(a-2)...(a-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\, 
: Il me semble que vous confondiez avec une autre formule, juste elle aussi, à condition de mettre correctement les parenthèses
:* (1+x)^a = 1+ax+\frac{a(a-1)}2x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+...+\frac{a(a-1)(a-2)...(a-(n-1))}{n!}x^n+o(x^n)\, 
: mais celle de l'article me semble plus lisible. HB (d) 4 avril 2008 à 11:06 (CEST)
thread_title:  il semblerai qu'il y ait une erreure dan le formulaire pour (1+x)^a 

message: Si l'on fait augmenter x, ln(1-x) tend a diminuer, alors que la formule proposé tend a se comporte dans le sens inverse.
J'hésite a mettre une note dans l'article quand a l'utilisation de ce formulaire . . .
Deadalnix (d) 20 août 2008 à 07:43 (CEST)
replies: text: Merci d'avoir signalé. Il s'agissait d'un vandalisme datant du 11 aout et non détecté. Version correcte remise. HB (d) 21 août 2008 à 19:31 (CEST)
thread_title:  il semblerai qu'il y ait une erreure dan le formulaire pour ln(1-x) 

message: erreur pour le developpement limité de ln(1+x) et de ln(1-x) =>>> c est un o(x^n) et non o(x^n+1) source : http://exo7.emath.fr/ficpdf/fdevlim.pdf  Message déposé par une IP le 14 avril 2010
: Non, pas d'erreur dans cette formule, le choix a été fait de donner le DL de ln(1+x) à l'ordre n+1 car il s'obtient en intégrant le DL à l'ordre n de 1/(1+x). Maintenant, peut-être serait-il préférable de donner les DL tous au même ordre quand c'est possible ? HB (d) 14 avril 2011 à 14:13 (CEST)
thread_title:  Erreur dans la formule pour ln(1+x) ? 

message: La traduction en anglais du terme "développement limité", dans le sens précis
où il est utilisé en France et dans cet article, (me) pose problème. 
On pourrait peut-être envisager "Taylor's polynomials" ou "Taylor's expansion"
(mais je ne sais si ce serait approprié pour l'exemple x^3.sin(1/x^2), qui a un 
développement limité à l'ordre 2 en 0, mais pas vraiment de développement de Taylor,
puisque les dérivées n_ième (n>=1) n'existent pas en 0...)?
On peut noter que les logiciels de calcul symbolique (à syntaxe anglo-saxonne)
semblent couramment utiliser le terme "Series" pour donner un DL à un ordre fini,
ce qui est un peu ‘paradoxal’...
En tout cas, je trouve assez peu judicieux qu'un clic sur Autres langues\English
en marge de cet article renvoie sur «Taylor series», qui me semble être une
problématique différente (même s'il y a des liens). Un renvoi sur l'article
«Taylor's theorem» me semblerait plus approprié, à défaut d'un éventuel véritable
équivalent...
--78.223.9.117 (d) 5 novembre 2011 à 20:52 (CET)
replies: text: Le bouquin d'Henri Cartan calcul différentiel est traduit en anglais en differential calculus. Ce que Cartan appelle « développement limité » est traduit par le terme de « finite expansion ». Cet article n'existe pas en anglais. Je pense qu'effectivement, les interwikis actuels ne conviennent pas et  je les supprime donc. HB (d) 6 novembre 2011 à 11:04 (CET)
thread_title:  terme anglais pour "développement limité"? 

message: Je ne suis pas d'accord avec cette modif parce que le lien antérieur (intitulé et cible vers section) formule de Taylor-Young était plus précis. Anne, 9/9/16
:Je n'y vois aucun inconvénient mais j'ai cru voir une contradiction dans les dénominations. L'expression formulé ici dans la section Développement limité#Développement limité et fonctions dérivables est rigoureusement la même que celle présentée comme une définition dans l'article Théorème de Taylor... mais il y a peut-être quelque chose qui m'échappe.— Ellande  (Disc.) 9 septembre 2016 à 13:19 (CEST)
thread_title:  Modif lien · Nommé [[Théorème de Taylor]] selon l'article détaillé 

message: Le paragraphe introductif affirme :
(...) un développement limité d'une fonction en un point est (...) l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme :
* d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ;
* et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré. [fin de citation]
L'affirmation sur le degré  « appelé ordre du développement limité » est inexacte :  la détermination de l'ordre du développement limité nécessite de connaître le reste (pardon de rappeler ces évidences, qui d'ailleurs figurent plus bas dans l'article (définition et exemples)) ; par exemple, en 0 pour la fonction cosinus : \cos x=1-\frac{x^2}2+o(x^2)=1-\frac{x^2}2+o(x^3) ; le développement limité d'ordre 2 et celui d'ordre 3 ont la même partie principale, ici de degré 2 (et que dire des développements limités dont la partie principale est nulle ?).
Vivarés (discuter) 7 avril 2017 à 13:01 (CEST)
thread_title:  Le degré de la partie principale d'un développement limité n'est pas (nécessairement) l'ordre de ce développement 

message: C'est moi ou la phrase "R(x) tend vers 0 lorsque x tend vers x0", dans la définition, est juste fausse ?
Si je dis que x3 + x2 = x3 + o(x3) en +inf, o(x3) ne tend pas du tout vers zéro, il diverge... C'est bien le rapport x2/x3 qui tend vers zéro, et uniquement lui.--Cattzy (discuter) 8 août 2017 à 18:57 (CEST)
replies: text: Pour moi c'est bon : le DL est défini autour d'un réel (pas +inf), et l'approximation est polynomiale. Si ce n'est pas le cas, on parle plutôt de Développement asymptotique. La phrase "R(x) tend vers 0 lorsque x tend vers x0" est accessoire, mais peut clarifier les choses pour quelqu'un qui rencontre les DL pour la première fois. --Vybduchene (discuter) 8 août 2017 à 23:12 (CEST)
thread_title:  Erreur dans la définition