Discussion:Espace euclidien/Archive 1

message: Nombre de considérations de cet article n'ont strictement rien à voir avec le caractère euclidien d'un espace vectoriel ou affine et devraient être supprimées ou déplacées dans d'autres articles (par exemple sur l'irrationnalité). Par ailleurs, de nombreuses phrases pourraient gagner notablement en concision, en évitant les répétitions d'arguments identiques ou proches. Pour dire le fond de ma pensée, je pense que la totalité de l'article devrait être reprise, celui-ci n'ayant que peu de rapport avec une présentation moderne des espaces euclidiens. A titre d'exemple, on ne définit pas un produit scalaire à partir d'une base orthonormée... qu'on serait bien en mal de définir sans produit scalaire !! Theon 2 avril 2006 à 21:23 (CEST)

message: J'ai ajouté un paragraphe d'histoire. L'ancien me semble maintenant faire doublon. Par sécurité, j'ai recopié l'ancien dans mon brouillon. Un revert sur ma modification est donc aisé. il est encore incomplet car je ne parle pas du programme d'Erlangen, et du rapport de Klein et d'Hilbert. Jean-Luc W 30 avril 2006 à 14:10 (CEST)
thread_title: Ajout d'un paragraphe d'histoire

message: une analyse en deux paragraphes Angles et longueurs chez Euclide et Egalité des figures et rigidité des corps. J'ai déplacé ces deux articles dans Axiomes de Hilbert. Bien qu'ils soient excellents, ils ne traitent pas de l'intégralité de la problématique (par exemple il ne parle par exemple de complétude, ni du 21eme axiome de Hilbert). Or une fois l'intégralité traité ils sont amha trop riches et trop long sur l'article Espace euclidien.
Le nouvel article sur les axiomes de Hilbert traite alors hexaustivement les faiblesses de la formalisation d'Euclide et présente celle de Hilbert. Jean-Luc W 4 mai 2006 à 11:12 (CEST)
thread_title: Une analyse de la construction logique des élements

message: Salut, même sans orage j'aurais eu du mal à lire l'ensemble ; j'ai lu - en diagonale pour l'instant- jusqu'à 3.3. Quelques remarques en vrac
L'article vise un sujet accessible à un plus grand public que déterminant, il faudra en tenir compte dans nos commentaires. Les remarques sur le nom géométrie euclidienne sont sans doute fondées, prendre ce nom rend mieux compte de l'ampleur des thèmes couverts. L'article actuel géométrie euclidienne sera englobé dans ton discours.
Je regrette que tu m'aies exposé ta démarche avant, car cela perturbe un peu la lecture. J'ai l'impression en effet que si la démarche est claire pour un spécialiste, elle ne l'est pas du tout pour le profane. Je pense qu'il faut répéter fortement, à chaque stade de l'article dans quel cadre on se place, puisque tout est affaire de nuance
Voilà quelques noisettes à grignoter. Merci Peps. Comptes tu passer les variétés en AdQ? Jean-Luc W 9 mai 2006 à 10:30 (CEST)
thread_title: Première phase de lecture de Peps 8/5/2006

message: Pour conclure, je compte aussi incorporer les sugestions de Peps, il indique par exemple qu'expliquer qu'il est indémontrable qu'une rotation laisse invariant la distance est trop abstrait pour un vaste public, il propose de transformer l'exemple par celui de Pash: Si une droite entre dans un triangle, alors elle ressortira nécessairement. Dès que j'ai ton accord, je me lance dans cette série de modif. Merci infiniment, ton intervention amène à mes yeux beaucoup plus de clarté. Jean-Luc W 10 mai 2006 à 09:52 (CEST)
replies: text: Cette remarque me paraît judicieuse, et j'attends de voir tes modifs.Salle 10 mai 2006 à 15:09 (CEST)
thread_title: Modifications et commentaires du 09/05

message: J'avais un petit regret hier : l'article semble réduire la formalisation linéaire de la géométrie euclidienne à la notion de produit scalaire ; ce qui pouvait se justifier pour un article Espace euclidien, mais qui je crois, ne convient pas à l'article tel qu'il est. Voilà comment je vois les choses, et qui justifie mes deux modif d'aujourd'hui. On veut faire une formalisation linéaire de l'axiomatique d'Euclide (je propose au passage de remplacer systématiquement le mot formalisation par le mot modélisation qui me semble plus approprié, je demande des avis sur la question - l'argument étant qu'avec une axiomatique seule, on ne sait pas si les choses dont on parle existent, donc on cherche un autre domaine mathématique où apparaissent naturellement des objets qui vérifient précisément ces axiomes ; pour moi, on a trouvé un modèle pour notre axiomatique ; formaliser, ce serait plutôt un travail du type de celui d'Hilbert); on veut faire une modélisation linéaire de l'axiomatique d'Euclide ; il y a deux temps : espaces vectoriels et affines, qui donnent des droites, etc..., c'est-à-dire la règle ; puis produit scalaire qui permet de mesurer, etc...,  le compas. Premier point de passage : y a-t-il accord sur ce point?
Dans le cas favorable, je continue en disant que décrire uniquement le formalisme produit scalaire devient un peu arbitraire dans cet article. Bon, on peut certes faire ce choix arbitrairement et le dire ; deux autres solutions : décrire aussi formellement la notion d'espace vectoriel et/ou affine ; ou bien abandonner l'essai de formalisation du produit scalaire pour cet article. Je serais assez favorable à ce dernier choix, qui se traduirait pour moi par l'abandon du parag 3.4, et de la boîte déroulante du parag 3.3. On aurait ainsi un article plus court (il me semble que tous les articles sur lesquel un gros travail est fait, du type Déterminant, Valeurs propres, etc..., ont comme principal, voire seul, défaut, cette tendance à enfler, qui se justifie par la richesse de leur matière, mais risque de les rendre d'abord plus difficile), ou le choix de ne pas faire de vraies maths serait clair et assumé ; et les vraies maths pourraient être dans des articles détaillées.
Salle 10 mai 2006 à 14:48 (CEST)
thread_title: Le 10/05

message: ===Opinion de Salle===
Comme dit sur la page de discussion de Jean-Luc W, il me semble que cet article traite plus de l'évolution de la conception de la géométrie à partir des travaux d'Euclide que des espaces euclidiens ; c'est une matière extrêmement intéressante à mon sens et qui mérite un regroupement dans l'esprit de ce que l'article propose ; c'est-à-dire, je pense qu'il ne faut pas se contenter d'éparpiller sur les articles Géométrie non euclidienne, Construction à la règle et au compas, Programme d'Erlangen, Axiomes de Hilbert, mais bien admettre la nécessité d'un article qui fasse un survol historique et épistomologique du corpus, en entrant assez dans les détails pour que les enchaînements et les nuances d'idées soient compréhensibles ; en renvoyant ensuite aux articles plus spécialisés. On peut imaginer ensuite que le lecteur intéressé fera des allers-retours entre l'article de base et les articles détaillés. Je renvoie au commentaire ci-dessus pour la question du contenu mathématique (par opposition à historique et épistémologique) pour ce qui concerne les espaces euclidiens.
Mais il faudrait aussi un article géométrie euclidienne qui traiterait du contenu mathématique dans l'esprit d'Euclide (sans se préoccuper de formalisme etc...). L'article Géométrie euclidienne est une ébauche dans ce sens. La question est : comment coordonner les deux? Peut-être incorporer l'article à la Euclide dans le projet mathématiques élémentaires? Et faire de l'actuel article espace euclidien une sorte de portail, avec contenu historique, sous le titre Géométrie euclidienne?Salle 10 mai 2006 à 17:40 (CEST)
thread_title: Le périmètre de l'article

message: Comme dit sur la page de discussion de Jean-Luc W, il me semble que cet article traite plus de l'évolution de la conception de la géométrie à partir des travaux d'Euclide que des espaces euclidiens ; c'est une matière extrêmement intéressante à mon sens et qui mérite un regroupement dans l'esprit de ce que l'article propose ; c'est-à-dire, je pense qu'il ne faut pas se contenter d'éparpiller sur les articles Géométrie non euclidienne, Construction à la règle et au compas, Programme d'Erlangen, Axiomes de Hilbert, mais bien admettre la nécessité d'un article qui fasse un survol historique et épistomologique du corpus, en entrant assez dans les détails pour que les enchaînements et les nuances d'idées soient compréhensibles ; en renvoyant ensuite aux articles plus spécialisés. On peut imaginer ensuite que le lecteur intéressé fera des allers-retours entre l'article de base et les articles détaillés. Je renvoie au commentaire ci-dessus pour la question du contenu mathématique (par opposition à historique et épistémologique) pour ce qui concerne les espaces euclidiens.
Mais il faudrait aussi un article géométrie euclidienne qui traiterait du contenu mathématique dans l'esprit d'Euclide (sans se préoccuper de formalisme etc...). L'article Géométrie euclidienne est une ébauche dans ce sens. La question est : comment coordonner les deux? Peut-être incorporer l'article à la Euclide dans le projet mathématiques élémentaires? Et faire de l'actuel article espace euclidien une sorte de portail, avec contenu historique, sous le titre Géométrie euclidienne?Salle 10 mai 2006 à 17:40 (CEST)
thread_title: Opinion de Salle

message: J'ai de mon côté pas mal réfléchi à la proposition de Salle. Transformer cet article en "géométrie euclidienne" et refaire un article technique sur espace euclidien. Il propose aussi de déplacer l'actuel article géométrie euclidienne dans géométrie euclidienne (mathématiques élémentaires). Cette idée me tente assez puisque la première critique que je fais à l'article actuel est de ne pas répondre explicitement à la question: qu'est-ce qu'un espace euclidien. je verrais donc bien
* Un article géométrie euclidienne qui reprendrait les idées développées dans cet article, en évitant les redites et les digressions (deux de mes reproches actuels) pour le maintenir à une taille raisonnable. On pourrait le décliner en géométrie euclidienne selon Euclide, géométrie euclidienne selon le produit scalaire, Géométrie euclidienne dans le programme Erlangen, L'echec de la géométrie euclidienne (naissance des géométrie non euclidienne), la géométrie euclidienne selon Riemann. Reste que le présent article après m'avoir grandement instruit me laisse avec des questions sans réponse : qui a eu l'idée de remplacer l'espace euclidien (avec distance et angle) par un espace avec produit scalaire? Comment s'insère la géometrie euclidienne dans le programme Erlangen ? Pourquoi diable Hilbert a-t-il éprouvé le besoin de donner une nouvelle définition de l'espace euclidien alors que l'espace avec produit scalaire était pleinement satisfaisant et ne nécessitait pas 20 axiomes ?
* L'article espace euclidien préciserait en introduction que la définition actuelle est le résultat de 2000 ans de réflexion et renverrait sur géométrie euclidienne. Il parlerait des espaces vectorielles euclidiens sur R , de la norme associée, du cas de la  dimension finie, il parlerait des espace affines euclidien, préciserait la distance et l'angle (en dimension finie et infinie) donnerait des exemples d'applications et terminerait sur une ouverture vers les espaces hermitiens
*La création d'un article géométrie euclidienne (mathématiques élémentaires) ne me parait pas indispensable. D'une part nos élèves ne savent pas ou plus qu'ils travaillent sur un espace défini par les axiomes d'Euclide et, si le chapitre la géométrie Euclidienne selon Euclide est traité simplement, il peut servir d'accroche pour le lecteur néophyte. 
Je propose d'autre part que la suite de la discussion se fasse sur la page de discussion de l'article géométrie euclidienne ou de l'article  espace euclidien. Je laisse le soin à Jean-Luc de transférer les portions de sa page de discussion qu'il juge apte à alimenter le débat sur l'une ou l'autre page. HB 11 mai 2006 à 18:31 (CEST)
thread_title: Opinion de HB

message: ===Opinion de HB===
* Les deux introduction alourdissent encore l'article sans vraiment l'éclairer. On a hâte de voir une définition claire d'un espace euclidien. Quand celle-ci apparait on manque la râter tant elle est noyée dans le bavardage. 
::"Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire."
* Si telle est la définition, que viennent faire les paragraphes "propriétés spécifiques aux cas réels" et  "propriétés vraies en dimension finie"? 
* Dans équivalence des approches, on assiste en fait à une présentation peu classique du produit scalaire comme une aire, mais pas à une réelle correspondance entre la définition axiomatique d'euclide et ce produit scalaire. Euclide parle de distance et d'angle et il faut bien chercher dans l'article comment, grâce à un produit scalaire, on évalue une distance et un angle (il me semble pourtant que cette notion devrait être mise en valeur).  Il me semble que le dessin de la symétrie du produit scalaire induit en erreur : l'extrémité du vecteur y n'a aucune raison d'être confondue avec le point D.
*Le paragraphe : isométrie en géométrie euclidienne semble reprendre le paragraphe "vers une nouvelle définition". mais je n'ai pas vraiment compris quel était l'objectif de Klein et comment le produit scalaire répondait à sa préoccupation. (à fusionner)
*Le paragraphe : euclide et la logique reprend, en le développant, le même paragraphe figurant dans histoire (à fusionner)
===Opinion de Salle===
Essentiellement trois critiques:
Merci pour tes exemples sur le programme d'Erlangen ; encore une fois, ce sont des enjeux que je ne connais pas, mon intervention est vraiment naïve, je ne fais pas semblant, mais voilà ce qu'il me semble. Tes exemples ne répondent pas à mon attente : tu dis que la classification par cinquième postulat ou non devient caduque (ou du moins est trop particulière, et ne rends pas compte de la diversité de la géométrie) ; en fait, le programme d'Erlangen donne un bon cadre général ; qu'advient-il précisément du 5ème postulat ici? Pour tes exemples, on a à chaque fois une notion naturelle de droite, ce sont des modèles géométriques qui vérifient les 4 premiers postulats, et la question du cinquième se pose et est pertinente. Alors, qu'est-ce qu'Erlangen change en définitive? Y a-t-il des géométries erlangiennes où la question du cinquième postulat ne se pose pas? Ou bien est-ce juste une question qui se pose pour toutes ces géométries, qui est intéressante certes, mais qui n'est pas la question fondamentale?
Ensuite, complètement d'accord pour que les vraies maths soient faites dans des articles connexes ; c'est ce que je défends aussi.
Dernier point, sur l'équivalence des approches, et la boîte en 3.3, je suis assez dans le flou ; si tu parviens à démêler dans les remarques suivantes ce qui est pertinent et là où je passe à côté de l'enjeu, je serai content. Je partage l'avis de HB ci-dessous : pour moi tu ne montres pas l'équivalence des approches. D'ailleurs, je ne saisis pas précisément l'objectif de ce développement. Si j'en reste à mon idée de modélisation, il n'est d'ailleurs pas possible de démontrer l' équivalence des approches ; tout ce qu'on peut espérer, c'est montrer que l'espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire est un bon modèle pour les axiomes d'Euclide ; et c'est une démonstration qui se fait en vérifiant  que ce modèle linéaire vérifie ces axiomes, point. Si on en reste à l'idée d'un article survol telle que je l'ai décrite ailleurs, c'est la seule chose qu'on peut inclure dans l'article. Pour moi, ce que tu fais, c'est autre chose (intéressant aussi), qui aurait sa place dans produit scalaire : c'est plutôt donner une interprétation géométrique du produit scalaire, qui fait sentir qu'on va obtenir une notion de mesure et de longueur ; et il n'y a pas d'enjeu de modélisation dans ton texte. Pinaillons encore : où se situe l'intervention du théorème de Thalès dans ton texte? L'utilises-tu juste comme illustration ou comme argument dans un raisonnement? Dans la deuxième éventualité, il faudrait déjà qu'il soit établi ; comme conséquence de l'axiomatique d'Euclide? Mais alors c'est que tu admets implicitement que ton monde (bi)linéaire est un modèle pour cette axiomatique. Or, n'est-ce pas ce que tu voulais montrer?
===Opinion de Peps===
* dans le 3. il est bien de donner des exemples d'abord mais du coup en entamant le paragraphe 3. on ne sait pas ce que tu vas faire : il faut une petite phrase d'intro du 3. "Certaines applications montrent une nécessité de réforme de l'approche axiomatique d'Euclide."
:Sage, pertinent et sans appel.
Pour les exemples 3.1. et 3.2. on a envie de demander en quoi ils sont euclidiens : par exemple pour l'ACP parce qu'il y a un problème de recherche de distance minimale entre données expérimentales et loi empirique, etc...
:Sage, pertinent et sans appel.
Peps 9 mai 2006 à 00:02 (CEST)
thread_title: Extension de la géométrie euclidienne, et formalisation : le produit scalaire

message: * dans le 3. il est bien de donner des exemples d'abord mais du coup en entamant le paragraphe 3. on ne sait pas ce que tu vas faire : il faut une petite phrase d'intro du 3. "Certaines applications montrent une nécessité de réforme de l'approche axiomatique d'Euclide."
:Sage, pertinent et sans appel.
Pour les exemples 3.1. et 3.2. on a envie de demander en quoi ils sont euclidiens : par exemple pour l'ACP parce qu'il y a un problème de recherche de distance minimale entre données expérimentales et loi empirique, etc...
:Sage, pertinent et sans appel.
Peps 9 mai 2006 à 00:02 (CEST)
thread_title: Opinion de Peps