Discussion:Caractère d'une représentation d'un groupe fini

message: Le mot est mis au pluriel car ce sont les représentations d'un groupe qui représentent l'objet intéressant et non pas une représentation, de plus un mini-vote semble prouver que tout le monde est convaincu.
L'exception à la règle correspond au cas particulier de l'analyse d'une représentation particulière, par exemple la représentation régulière, la représentation standard, la représentation unité etc...
J'aurai plutôt tendance à parler d'une représentation induite, car on en étudie une à la fois.
:On dit : une représentation et des représentations. Je ne comprends pas d'où vient le problème. Désolé. Ekto - Plastor 28 mars 2007 à 17:30 (CEST)
thread_title: Représentations

message: La même règle que celle du paragraphe précédent s'applique. Par défaut caractère est au pluriel. Je ne connais pas d'exception, car il existe en général plusieurs caractère unitaires, caractères irréductibles etc...
:Que signifie caractère unitaire pour un groupe fini ? Ekto - Plastor 28 mars 2007 à 17:30 (CEST)
thread_title: Caractère

message: groupe n'a pas de raison d'être au pluriel, un unique groupe est un objet d'analyse, je propose donc :
:* Représentations d'un groupe fini
:* Théorie des caractères d'une représentation d'un groupe fini
:* Produit tensoriel et représentations d'un groupe fini
etc...
::On étudie une représentation d'un groupe fini. Ou on étudie la classification des représentations d'un groupe fini, ou la théorie des représentations des groupes finis. Et dans le dernier cas, le mot groupe est au pluriel. J'imagine que personne ne sera choqué. Ekto - Plastor 28 mars 2007 à 17:30 (CEST)
thread_title: Groupe

message: Soyons simple et Clair. On parle de caractères d'un groupe et de caractère d'une représentation d'un groupe. Ils sont définis différemment :
: Les caractères d'une représentation possèdent une définition fixe il correspond à la trace de la représentation.
: Les caractères d'un groupe possèdent des propriétés algèbriques, comme par exemple former un groupe pour étendre le dual à autre chose que le centre de l'algèbre du groupe.
Les deux sont définis mais ne signifie pas la même chose.
:: Exemples d'utilisations du  mot caractère d'un groupe dans un sens différent de celui de caractère d'une représentation dans WP : Fonction booléenne ou Caractère (mathématiques)
:: Un texte qui introduit les besoins d'une définition différente pour les caractères d'un groupe et d'une représentation analyse harmonique d'un groupe non commutatif
Pour les références que j'ai utilisé dans cet article : 
:: Caractère est défini page 2 dans : Cours de représentation des groupes finis par M. Broué de l'université de Paris VII
:: Caractère est défini page 32 dans  Représentation linéaire des groupes finis, une introduction par D. Ferrand de l'université de Renne
De manière plus générale, l'essentiel des références que j'ai utilisé pour les représentations sont là Références générales et là Références XXeme siècle. Jean-Luc W 3 avril 2007 à 21:29 (CEST)
thread_title: Résumé de la position de Jean-Luc W

message: Cet article doit-il être renommé en Caractère d'un groupe fini ?
Pour comprendre le sens et la portée de la question, veuillez prendre connaissance des arguments développés respectivement par Jean-Luc W et Ektoplastor ci-dessus.
Veuillez ne pas commenter cette question dans cette section ou dans une sous-section (hormis l'éventuelle justification du vote), veuillez ne pas commenter non plus le vote d'autrui.
====Pour le renommage proposé ou pour un renommage allant dans le sens proposé====
# Voir mes commentaires plus haut. Ekto - Plastor 3 avril 2007 à 19:01 (CEST)
thread_title: Proposition de renommage de la page

message: # Voir mes commentaires plus haut. Ekto - Plastor 3 avril 2007 à 19:01 (CEST)
thread_title: Pour le renommage proposé ou pour un renommage allant dans le sens proposé

message: # connaissance insuffisante :( VIGNERON * discut. 3 avril 2007 à 19:25 (CEST)
thread_title: Sans aucun avis

message: # Bon, j'ai beau avoir fait deux années de maths, je préfère aller manger des crevettes al ajillo plutôt que d'essayer de tenter de comprendre à moitié le problème. — Régis Lachaume ✍ 3 avril 2007 à 21:20 (CEST)
thread_title: Crevettes

message: Pour le contenu :
:* Je suis un peu étonné à propos des références, en général je cite toujours mes sources, y aurait-il un oubli?
:* Je vise une synthèse entre trois visions : celle très didactique de Serre pour les caractères, celle de Chambert-Loir pour l'aspect semi-simple et essentiellement Yam pour l'histoire. Je vise une synthèse avec 33% pour chacun. Pour moi les fondements de la théorie des représentations sont 50% semi-simple et 50% caractères et les caractères ne forment pas une théorie à part entière, je dirais pour te paraphraser c'est la moitié du morceau central.
:: Pour l'aspect semi-simple, as tu regardé les articles Théorème d'Artin-Wedderburn, Algèbre d'un groupe fini, Algèbre semi-simple ou encore Représentations du groupe des quaternions. J'ai l'impression d'une influence très faible voir nulle de Serre (même si je l'ai cité).
:: Pour les articles à la croisée des chemins comme Théorème de Maschke, Représentations des groupes finis, Théorie des représentations d'un groupe fini le plan est radicalement modifié par rapport au livre de Serre. Il intervient dans les définitions et les notations, mais les siennes semblent faire autorité dans les cours de fac que j'ai pu voir (à l'exception de ceux qui partent des algèbres semi-simples). L'aspect semi-simple tend à devenir la moitié du texte alors qu'il n'est presque pas présent chez Serre.
:: Pour les articles plus spécifiquement liés aux caractères, le terme de recopie me semble abusif, même si l'influence est grande. Par exemple pour les Fonction centrale d'un groupe fini l'essentiel des démonstrations se fondent sur une algèbre semi-simple et donc et en dehors de Serre.
:: Je reconnais que le choix de partir de Serre pour traiter Produit tensoriel et représentations de groupes finis est probablement peu judicieux une approche semi-simple était plus logique.
Je te propose de parcourir Théorème d'Artin-Wedderburn, Théorie des représentations d'un groupe fini et Représentations des groupes finis dans un premier temps. Si tu trouves que le rapport 1/3 1/3 1/3 pour les articles de synthèse n'est pas respecté, alors tu as raison et il va falloir que je comprenne pourquoi.
Mes questions sont donc :
Pour les articles de Synthèses : Théorie des représentations d'un groupe fini Représentations des groupes finis ou en plus technique Théorème de Maschke trouves tu le rôle de Serre trop important?
Pour les articles semi-simples : Théorème d'Artin-Wedderburn, Algèbre d'un groupe fini, Algèbre semi-simple ou encore par exemple Représentations du groupe des quaternions Où vois tu l'influence de Serre?
Pour les article sur les caractèristiques : Le semi-simple se trouve essentiellement dans Fonction centrale d'un groupe fini ou les démo changent donc de nature (même si j'ai laissé celle avec une approche caractère pure). Trouves-tu que Serre est trop important et si oui pourquoi ?Jean-Luc W 4 avril 2007 à 13:54 (CEST)
thread_title: Réponse de Jean-Luc W sur Serre

message: Selon Jean Luc W (arrêtes-moi si je ne me trompe), un caractère d'un groupe désignerait exclusivement un morphisme d'un groupe dans \mathbf{C} et la trace d'une représentation devrait être appelée caractère de la représentation.
Mais, je dis qu'un caractère d'un groupe désigne n'importe quelle trace d'une représentation de dimension finie. Si la représentation est de rang 1, la trace est effectivement un morphisme de groupe. Pour un groupe commutatif (fini ou compact), une représentation irréductible est nécessairement de dimension 1. Donc, un caractère irréductible d'un groupe commutatif est nécessairement un morphisme. Donc, pas de souci sur la définition d'un caractère irréductible ou simple d'un groupe commutatif.
Que les gens ne s'inquiètent pas : il est possible de définir pour les groupes compacts les caractères de manière intrinsèque comme des fonctions centrales définies positives et normalisées. Les caractères irréductibles apparaissent comme des points extrémaux, et on les appellent aussi caractère simples ou caractère pur (peut-etre par analogie avec la physique avec un gros point d'interrogation ?). J'aurais déjà développé tout ça dans Caractère d'un groupe topologique compact ...
Le fait que l'ensemble des caractères d'un groupe non commutatif ne forme pas un groupe peut effectivement être un problème, mais si on se restreint uniquement aux morphismes de groupes, on perd trop d'informations sur les fonctions lorsqu'on définit la transformée de Fourier.
Je m'appuie sur des références faisant un traitement systématique du cas non commutatif.
 Ekto - Plastor 4 avril 2007 à 12:48 (CEST)
thread_title: Explications d'Ektoplastor

message: Utilisateur:SurJector
J'ai un gros doute: les morphismes de corps sont égaux (sur un corps fini) à un x\mapsto x^{p^k}. Si on veut un autmorphisme \varphi sur un corps fini qui vérifie en plus \varphi\circ\varphi=\text{id}, il ne peut s'agir que de l'identité ou, si le corps est de dimension d (paire) sur son corps premier, de x\mapsto x^{p^{d/2}}. Le d ne peut pas dépendre de \alpha (comme dans le texte de l'article). En outre \alpha\varphi(\alpha) sera dans le corps premier (pour tout \alpha) si et seulement si 2|1+p+\cdots+p^{d-1} et \varphi=\text{id} ou si d pair, 1+p^{d/2}|1+p+\cdots+p^{d-1} et \varphi(x)=x^{p^{d/2}}.
Enfin, 1+1+1+\cdots+1+1=0 en caractéristique p (si on ajoute un multpiple de p fois 1 à lui-même). Donc le «truc» qui marche pour \mathbf{C} de faire a\overline{a}+b\overline{b}+\cdots+x\overline{x} pour être de sûr d'btenir quelque chose de différent de 0 marche beacoup moins bien en caractérisique finie.
La partie «caractéristique finie» me semble donc à vérifier: des choses restent vraies, mais je pense que l'utilisation d'un équivalent de la conjugaison complexe et du module est vouée à l'échec.
Le cas de la caractéristique finie demande beaucoup plus de travail que ce simple paragraphe pour apporter quelque lumière à un lecteur curieux. Le plus prudent est de tout reverter. Jean-Luc W (d) 20 septembre 2008 à 11:45 (CEST)
thread_title: Caractéristique finie

message: Pour calculer a, b, c à la fin, on peut soit calculer explicitement χ à l'aide d'une base bien choisie (mais c'est très laborieux, et après ce n'est plus la peine de calculer a, b, c : χ=χ, où λ est la représentation régulière, donc ρ=λ, dont on a précisé auparavant la décomposition), soit invoquer le théorème de la base normale, qui permet de dire tout de suite que ρ=λ. Je ne trouve pas d'autre méthode, donc je ne vois pas comment sauver cette section. Anne (d) 5 avril 2012 à 02:06 (CEST)
replies: text: Bon, je vais tenter un "sauvetage" en admettant, liens à l'appui, le théo de la base normale (de même qu'on admet que le groupe de Galois est S3). Anne (d) 23 avril 2012 à 22:59 (CEST)
thread_title:  Introduction par l'exemple 

message: Il existe trois articles : Caractère (mathématiques), Caractère d'un groupe fini, Caractère d'une représentation d'un groupe fini, traitant de sujets fort proches. Ne serait-il pas envisageable de regrouper ces articles ? Theon (discuter) 8 novembre 2013 à 16:07 (CET)
replies: text: Vues les chamailleries ci-dessus (rappelées dans Discussion:Caractère d'un groupe fini#Caractères linéaires VS Caractères), il me semble mieux de garder "caractère" comme un article chapeau expliquant qu'il y a 2 notions, et liant vers ces 2 dans le cas d'un groupe fini. Anne (discuter) 8 novembre 2013 à 18:47 (CET)
replies: text: Bah oui, mais je me demande bien quel est l'article chapeau qui oriente vers les deux notions. Le pauvre internaute erre d'un article à l'autre avant de découvrir enfin celui qui l'intéresse. Même si on garde les deux notions distinctes, il faudrait quand même une réorganisation, mais j'ai compris que c'était compliqué à mettre en place.Theon (discuter) 9 novembre 2013 à 11:19 (CET)
replies: text: L'article chapeau auquel je pensais est Caractère (mathématiques), prédestiné par son titre et qu'il suffirait peut-être de rendre plus efficace pour l'internaute. Anne (discuter) 9 novembre 2013 à 22:29 (CET)
thread_title:  Fusion ?