Discussion:Endomorphisme nilpotent

message: Attention, la démonstration par récurrence comporte une grosse faille.
Le noyau de u n'est pas forcément inclus dans l'image.
Exemple : 
M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}
est nilpotent (M^2=0) et pourtant son noyau, engendré par (e_1,e_2) n'est pas inclus dans l'image qui est de dimension 1 sur e_3.
--Fabrej0 16 mai 2007 à 22:57 (CEST)

message: Existe-t-il une source, et est-ce que la démonstration suivante est correcte ? (et y a-t-il plus simple, éventuellement sans récurrence ?)
Pour tout endomorphisme nilpotent u d'indice p, une décomposition de E de la forme
E=\oplus_{k=1}^pE_k\text{ avec }E_k=\oplus_{x\in I_k}K[u](x),
où chaque  est un ensemble de vecteurs d'indice k, est unique à isomorphisme près, c'est-à-dire que les cardinaux des  sont entièrement déterminés par u. En effet, par récurrence sur p, ils le sont pour k > 1 (la restriction de u à son image est nilpotente d'indice p – 1 et ses  sont – à un décalage près de l'indice – ceux de u sauf le premier), et le cardinal de  est lui aussi déterminé : c'est la dimension du quotient de ker(u) par ker(u) ⋂ im(u) = u(ker(u)), pour n'importe quel j de 1 à p – 1.
Anne (d) 30 mars 2013 à 14:47 (CET)
replies: text: Je suis d'accord avec la propriété, à ceci près que l'expression « à isomorphisme près » me gêne un peu ici puisque je ne vois pas trop de quel isomorphisme on parle, il vaudrait mieux dire explicitement que les cardinaux des I_k ne dépendent que de u, c'est évident par définition de la codimension. Quant à la récurrence, je ne la trouve pas très claire, surtout dans la dernière ligne, même si j'ai fini par être convaincu par la démarche. Ambigraphe, le 30 mars 2013 à 19:30 (CET)
replies: text: Je pense qu'on peut dire que E est la somme directe de sous-espaces cycliques E_{i}, i\in  I. La décomposition est unique dans le sens que si E est aussi la somme directe de F_{j}, j \in J, alors il existe une bijection entre I et J telle que E_i = F_{j}.  Une fois la décomposition terminée, on peut ranger les E_i suivant l'indice de nilpotence. La preuve de l'existence doit pouvoir se faire avec Zorn. La preuve de l'unicité se ramène en dimension finie car chaque E_i est de dimension finie. Je dis tout ça de tête sans un crayon et un papier, je ne donnerai pas ma main à couper pour ce que je raconte. UL (d) 30 mars 2013 à 21:54 (CET)

text: La décomposition de l'énoncé implique que pour tout k>0, I_k est une base d'un supplémentaire de u(\operatorname{Ker} u^{k+1})+\operatorname{Ker} u^{k-1} dans \operatorname{Ker} u^k. Cela vient de la décomposition de chaque noyau itéré sur la base construite avec les images itérées des éléments des ensembles I. Ambigraphe, le 31 mars 2013 à 12:37 (CEST)

text: Ce qui est évident par définition de la codimension, c'est que les cardinaux des ensembles I_k ne dépendent que de u car correspond à une codimension d'espaces qui ne dépendent que de u, comme je viens de l'expliciter. C'est bien ce que j'avais en tête lors de ma première intervention. Je n'ai pas parlé de « décompositions isomorphes » vu que je n'avais toujours pas compris en quoi consistait un isomorphisme de décompositions. Bon, maintenant que j'y réfléchis, je suppose que vous sous-entendez par là un automorphisme de E qui commute avec u et qui envoie les ensembles I_k d'une décomposition sur ceux de l'autre. Ce n'était pas tout à fait trivial. Ambigraphe, le 31 mars 2013 à 17:27 (CEST)
thread_title:  Unicité en dimension quelconque 

message: Le début de l'introduction est trop général je pense. Il ne sert à rien et c'est faux tel que (le morphisme nul n'existe pas). On devrait se restreindre tout de suite aux endormorphismes d'un espace vectoriel ou d'un module. UL (d) 30 mars 2013 à 21:57 (CET)
replies: text: Formellement, on peut parler du morphisme nul dès qu'on a un monoïde, mais disons que l'on commence à avoir un peu de résultats dès que l'on a une structure de groupe. Je ne pense pas qu'il faille se restreindre au cas abélien. Ambigraphe, le 31 mars 2013 à 17:30 (CEST)
replies: text: Quel genre de résultat si l'on considère les endormorphismes d'un groupe non abélien et qui soit réellement utilisé ? UL (d) 31 mars 2013 à 19:09 (CEST)
thread_title:  Concept général