Discussion:Construction des entiers naturels

message: Cet article est un peu n'importe quoi. D'abord, on ne dit pas à quel niveau il se situe ; si c'est juste pour donner une idée au niveau 1e cycle de la construction de Von Neumann, il faudrait le dire, et dire que l'article ne cherche pas à être rigoureux. Mais prenons l'article au sérieux.
D'abord
:: Il existe plusieurs constructions classiques des entiers naturels
Construit-on des entiers naturels ou l'ensemble des entiers naturels ? La différence est de taille.
Ensuite
:: Où la fonction card donne le cardinal de l'ensemble,
Qu'est-ce que cette fonction ? Est-elle interne à la théorie des ensembles, ou est-ce une "métafonction" ? On fait ensuite une espèce de construction par récurrence. Quels entiers utilise-t'on pour la mener à bien, ceux à construire dont on ne dispose pas encore, ou des "métaentiers" qui ne permettront pas de construire un ensemble ?
Enfin
:: En répétant la procédure à l'infini, on obtient l'ensemble des entiers naturels.
Qu'est-ce qu'une procédure répétée à l'infini ? Comment peut-on obtenir en théorie des ensembles un ensemble infini sans utiliser l'axiome de l'infini ? CD 9 fev 2005 à 11:00 (CET)

message: cette construction de von neumann est elle aussi appelé construction de peano ???
sinon ou puis je trouver un exemple de la construction de peano??
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Il faut bien distinguer la construction des entiers naturels de celle de l'ensemble des entiers naturels. L'axiome de l'infini est nécessaire pour assurer l'existence de ce dernier. Ma proposition de modification de ce jour répare cette erreur dans ma proposition de rédaction du 18/10/2006.
CBerlioz 26 octobre 2006 à 12:17 (CEST)
thread_title:  construction 

message: J'ai mis en ébauche, mais je ne sais pas trop ce que doit être le contenu de l'article. Je viens de mettre les premiers développements dans l'article axiome de l'infini. Je propose de faire ici les développements qui ne dépendent pas du codage en théorie des ensembles (définitions par récurrence, addition, etc.). Proz (d) 26 juin 2008 à 21:30 (CEST)
thread_title:  Contenu 

message: Le titre anglais est peut-être plus adéquat (Définition des entiers naturels en théorie des ensembles), plus précis en tout cas, et il s'agit plutôt d'une définition ou d'une représentation (des entiers naturels) que d'une "construction". Proz (d) 5 septembre 2012 à 01:42 (CEST)
replies: text: Je crois que c’est une construction au moins au sens du Constructivisme (mathématiques). En tout cas la formule ne semble pas rare]. Ceal dit c’est probablement une affaire de goût. TomT0m (d) 5 septembre 2012 à 10:27 (CEST)

text: Après avoir réfléchi 5 minutes je dirai que la définition des entiers naturels est celle des axiomes de Peano. Elle correspondrait à ce qu’on appelle une spécification en informatique. En particulier elle précise l’existence d'une opération successeur sans préciser explicitement la nature. La présente construction, qui en informatique correspondrait à une implantation (ou implementation) qui donnerait une construction à cette opération à base d’ensemble. (d’ailleurs je vois que la construction est donnée dans l’article sur les axiomes de Peano comme une preuve d’existence et d’unicité) - on y trouve aussi le terme modèle des axiomes … TomT0m (d) 5 septembre 2012 à 10:53 (CEST)

text: J’ajouterai aussi suite à la mésaventure de implication (logique) qu’il faudrait vérifier si ça ne casse pas trop de choses dans les pages liées : par exemple la page Construction pourrait être impactée, et idéalement faudrait voir si ça entre pas en conflit avec les autres articles de constructions de nombre qu’il y a dedans et garder un minimum de choses dedans. Par exemple en changeant le sens de "construction" en "définition en théorie des ensembles" on précise mais on change la sémantique du titre. On pourrait imaginer un développement d’autres constructions dans le premier cas, pas dans le second ... considérant tout ça, je suis plutôt pour un statu quo. TomT0m (d) 5 septembre 2012 à 12:11 (CEST)

text: J’ignorai la place fondamentale des entiers pour les constructivistes. Celà dit en prenant les ensembles comme objets de base dans l’idée cette construction est parfaitement … constructive, si je ne m’abuse. TomT0m (d) 5 septembre 2012 à 21:12 (CEST)
replies: text: Je ne crois pas. En tout cas, il me semble que l'axiome de l'infini n'est pas constructif. Ambigraphe, le 6 septembre 2012 à 21:36 (CEST)
replies: text:  Il n’est nécessaire que pour construire l’ensemble des entiers, et pas individuellement chacun des entiers . J’ai probablement tort effectivement. TomT0m (d) 6 septembre 2012 à 21:51 (CEST)
thread_title:  Titre 

message: J'ai trouvé ici Construire les entiers à partir des complexes une bizarre construction qui procède "à l'envers", en partant de C pour construire R puis Z et N :
On axiomatise d'abord les complexes (et l'exponentielle complexe), en posant un jeu d'axiomes du genre "on suppose qu'il existe un corps commutatif (C,+,*) tel qu'il existe un élement i tel que i*i=-1, et une fonction exp qui vérifie exp(x+y)=exp(x)*exp(y)"...
Puis on construit R à partir de C (avec un projecteur P tel que P(P(x))=x,P(0)=0 et P(1)=1, on a alors R = P(C) ), puis R+* = exp(R), image de R par l'exponentielle, ce qui permet de définir une relation d'ordre par (a ≤ b ssi b-a est dans R+)
On définit alors pi par e(i*pi)=-1 et e(i*pi/2) = i, et enfin on construit les entiers relatifs (Z): ce sont les nombres k (de C) tels que e(2*i*pi*k) = 1, puis les naturels comme intersection de R+ et de Z !
Votre avis là dessus ? Est-ce que ça mérite d'être cité dans l'article ?
:  Je suis pas super compétent, mais c'est pas trop étonnant de construire un ensemble inclus dans un ensemble plus grand :) Et puis ça m'a pas l'air franchement constructif comme démarche de supposer l'existence d'un corps commutatif sans l'expliciter, c'est exactement l'inverse d'une construction en fait :). Sinon plus prosaiquement non ça ne mérite pas de figurer dans l'article parce que c'est dans le jargon Wikipédien de toute façon un Wikipédia:Travail inédit qui doit être publié indépendamment de son auteur, une revue de maths à comité de lecture idéalement, avant de remplir les critères d'admissibilités. — TomT0m [bla] 5 juin 2014 à 22:26 (CEST)
thread_title:  Construction des entiers à partir des Complexes 

message: Il y a une autre façon d'axiomatiser N, à partir de la relation d'ordre (axiomatique ordinale) :
Il existe un ensemble ordonné (N, <=) tel que :
A1 - Toute partie non vide de N admet un plus petit élément
A2 - Toute partie non vide majorée de N admet un plus grand élement
A3 - N n'admet pas de plus grand élément.
On montre qu'à un isomorphisme près, cet ensemble est unique et qu'il est isomorphe à tout ensemble vérifiant les axiomes de Peano.
Pour plus de détails, je vous invite à consulter : 
http://irma.math.unistra.fr/~bopp/CAPES/cours/N.pdf
https://docplayer.fr/30924768-Construction-de-n-dany-jack-mercier.html
Je pense que cette construction alternative mérite amplement d'être dans cet article.
--Celastus (discuter) 22 mars 2021 à 18:21 (CET)
replies: text: Oui c'est une axiomatisation possible (une variante : un ensemble bien ordonné non majoré, et dont tout élément sauf le plus petit est le successeur, au sens de l'ordre (plus petit des majorants), d'un autre élément. Mais ça ne me paraît pas une "construction", pas plus d'ailleurs que l'axiomatisation de Peano, qui est présentée à tort comme telle dans cet article. Le titre de l'article anglais est plus clair et évite ce genre de confusion. Il peut y être fait mention ici, comme axiomatisation, mais aussi dans entier naturel. Certes le second article (D.J. Mercier) que vous proposez parle de construction mais il n'est pas fiable : il omet mais utilise le principe de  définition par récurrence qui demande une démonstration, je ne pense pas qu'il faille utiliser cet article comme référence. Proz (discuter) 22 mars 2021 à 20:59 (CET)
replies: text:  C'est en effet une autre axiomatique qui permet de construire différement l'ensemble N, et personnellement j'aurais été très content de la trouver là. Un peu comme R qui peut se construire avec les suites de Cauchy, les coupures de Dedekind, ou qui peut être axiomatisé (comme étant l'unique corps ordonné archimédien qui vérifie l'axiome de la borne supérieure, à un isomorphisme près). En ce qui concerne la définition par récurrence, c'est un manque dans l'article de D.J. Mercier qui est soulevé dans le premier lien. Il y est proposé une référence sans doute plus sérieuse (Patrice Tauvel : Algebre pour l'agregation interne, Masson). Cela étant, je ne possède pas ce livre, je n'ai pas le niveau pour juger ni pour ajouter cette axiomatique dans l'article, je lance juste l'idée de parler de cette axiomatique alternative. --Celastus (discuter) 22 mars 2021 à 22:46 (CET)
thread_title:  Construction alternative