Discussion:Intégration (mathématiques)

message: Je trouve l'article élémentaire et n'offrant que peu de perspectives. Un vague, trop vague, mot sur l'intégrale de Lebesgue, un oubli complet des autres théories de l'intégration (intégrale de Stietljes, intégrales généralisant la théorie de Lebesgue, ... pas de théorème de différentiation sous le signe somme, de passage à la limite sous le signe somme, ... Claudeh5 28 juin 2006 à 08:36 (CEST)
thread_title:  minimaliste 

message: \int dx/cosx = \int cosxdx/cos^2x
= \int cosxdx/cos^2x
<=> \int sin^mxcos^nx n est impair
t=sinx
dt=cosxdx
\int dt/(1-t^2) -> et c'est là où ça bloque car je ne connais pas de formule d'intégration pour résoudre le problème
Je sais comment résoudre \int dx/sinx car la dérivé de cos donne -sin alors le dénominateur est inversé (t^2-1) et est facilement réalisable avec la formule d'intégration \int du/(u^2-a^2) = 1/2a ln|(u-a)/(u+a)| + k
:Il suffit ensuite de décomposer en éléments simples cette fraction rationnelle, c'est-à-dire cherhcer a et b réels tels que $\forall x\in\mathbb R\{-1,1\}, 1/(1-x^2)=a/(1-x)+b/(1+x)$ Oxyde 21 janvier 2007 à 20:30 (CET)
thread_title:  Résolution de l'intégrale <math>\int dx/cosx</math>? 

message: Il y a de nombreuses différences entre Lebesgue, Riemann, et probablement Henstock (que je ne connais pas). 
La différence sur laquelle focalise la section ci-dessus est probablement une nuance, mon point n'est pas là.
Il y a une différence dramatique entre Lebesgue d'une part, Riemann et Henstock d'autre part : Lebesgue englobe non seulement l'intégration par rapport à la mesure de Lebesgue sur R ou R^d (couvert aussi par Riemann ou Henstock), mais aussi par rapport à toute mesure sur R ou R^d (mesure pouvant s'interpréter comme distribution de masse ou de population ou autres , système de masses ponctuelles (mesures discretes), ou densité de masse ou de population (mesures à densités)). C'est une généralisation qui n'est donc pas gratuite.
Qui plus est, Lebesgue englobe l'intégration, non seulement sur R ou R^d, mais sur les groupes, les variétés, plus généralement les espaces topologiques polonais (qui sont le bon cadre pour la théorie des probabilités), encore plus généralement sur les espaces mesurables. Cette généralisation n'est pas gratuite non plus, puisqu'elle donne, par exemple, un cadre rigoureux à l'étude du mouvement brownien (via l'intégration sur l'espace des fonctions continues de R_+ dans R^d), mouvement brownien omniprésent en physique ou en finance, entre autres.
Tout cela en étant parfaitement performante sur R ou R^d, pour la mesure de Lebesgue, même si Henstock permet d'intégrer plus de fonctions.
Je crois que Riemann ou Henstock sont loin de permettre le calcul d'intégrales par rapport à des mesures générales sur des espaces aussi généraux que ceux que je viens de citer. Les spécialistes me détromperont si nécessaire.
Le titre "La nuance entre l'intégration au sens de Riemann et au sens de Lebesgue" se rapporte probablement à l'intégration sur R ou R^d, pour la mesure de Lebesgue, qui me semble le bon sujet pour cet article relativement élémentaire. Ce titre est trompeur à la lumière de ce que je viens de signaler (il n'y a pas que cette différence là, mais aussi d'autres différences, qui sont loin d'être des nuances).
Peut-être "Une nuance entre l'intégration au sens de Riemann et au sens de Lebesgue" serait mieux adapté ... 
Peut-être  faudrait-il une sous-section juste après, intitulée "Une différence abyssale entre l'intégration au sens de Riemann et au sens de Lebesgue" développant brièvement ce que je viens de signaler, et renvoyant à un article Théorie de la mesure, qui existe, mais qui devrait être développé ("abyssale" doit probablement être remplacé par un terme plus modéré, même si "abyssale" me semble approprié). Cela donnerait une idée plus juste des différences entre ces différentes intégrales. Je propose de m'y mettre, mais dans quelque mois (trop pris en ce moment) si personne ne s'y oppose. --Chassaing 14 novembre 2009 à 19:58 (CET)
thread_title:  La nuance entre l'intégration au sens de Riemann et au sens de Lebesgue 

message: Ne pourrait-on pas avoir un article un peu moins obscur, un peu plus compréhensible, avec des explications en langage simple, pour les néophytes, et ceux qui, comme moi, n'y ont jamais rien compris lors des longues années d'enseignement scolaire ?
 Arktor 4 juin 2012 à 14:13 (CEST)
thread_title:  Pour les nuls en maths comme moi 

message: Il faudrait peut-être lier l'article Théorème de la moyenne et le référencer aussi comme "Inégalité de la moyenne" : il est appelé comma ça dans plusieurs livres (dont Calcul infinitésimal de Dieudonné si je me souviens bien) et == Inégalité de la moyenne == et là aussi : http://sfb649.wiwi.hu-berlin.de/fedc_homepage/xplore/ebooks/html/maku/makuhtmlnode4.html
(j'ajoute un commentaire comparable sur la discussion de Théorème de la moyenne)
:Tout à fait ; je m'en occupe--Dfeldmann (d) 11 juillet 2013 à 21:30 (CEST)
thread_title:  Inégalité de la moyenne 

message: Il me semble illusoire de vouloir faire tenir dans un seul article tous les résultats du calcul intégral. Il me semble également impossible de faire cohabiter des réflexions générales sur la notions d'intégrabilité au sens de Riemann et de Lebesgue et des notions élémentaires d'aire sous la courbe. 
On pourrait conserver les 3/4 de cet article en ne travaillant que sur l'intégrale de fonctions de la variable réelle continues (calcul d'aire, primitive, intégrale impropre (à simplifier absolument), moyenne, propriétés des intégrales, intégrations par parties, intégrations par changement de variable parlent pour l'instant exclusivement des fonctions continues) - corpus déjà à réordonner au moins pour distinguer ce qui est une caractéristique de toutes les intégrales (forme linéaire croissante) et ce qui est liée à l'intégrale des fonctions numériques continues.  On obtiendrait alors le contenu du bagage minimal concernant le calcul intégral pour un élève de terminale ou de premier cycle. Même ainsi l'exposé en est pour l'instant un peu abscon et incomplet. Ainsi on n'a rien sur la notation choisie, ni sur le fameux dx associé à f(x) que l'on peut remplacer par dt associé à f(t). Enfin, on sort de la lecture avec la conclusion : «ah, bon une intégrale cela sert à calculer une aire...» et on peut se demander pourquoi et comment on en utilise pour calculer un volume, une longueur ou un travail.
Mais un article avec le contenu que je décris ne pourrait pas s'appeler intégration car il ne répondrait à aucune des questions suivantes
# A part les fonctions continues, quelles sont les fonctions que l'on peut intégrer ?
# Pourquoi existe-t-il plusieurs types d'intégrales et en quoi elles diffèrent
# Existe-til des intégrales de fonctions complexes ?
# Pourquoi l'article ne parle-t-il pas des intégrales doubles voire triples que l'on rencontre en fait assez couramment ?
La section actuelle La nuance entre l'intégration au sens de Riemann et au sens de Lebesgue - dont le plan est à revoir puisqu'elle ne comporte qu'une seule sous-section - tente de répondre à la question 2 et partiellement à la question 1, mais uniquement dans le cas de la fonction de R dans R comme si l'on ne pouvait jamais calculer de volume. Indiquer que le domaine sur lequel on intègre n'est pas toujours un intervalle me semble un minimum à signaler avant même de parler de l'intégrale de Lebesgue. 
Mais je n'arrive pas à concevoir le plan d'un article qui pourrait remplir toutes ces ambitions : bagage minimal concernant les fonctions de la variable réelle, intégrales double ou triple, notion de théorie de la mesure.
* L'article de Revuz dans l'encyclopedia universalis s'intitule Intégration et mesure et se développe en 5 partie (Notion de mesure et ensemble mesuré - intégrale de Riemann, l'intégrale de Lebesgue et la mesure sigma additive, l'intégrale comme forme linéaire où l'on parle de mesure de Haar et mesure de radon- intégration et dérivation), il permet de dire que l'on intègre sur d'autres ensembles que des intervalles mais on ne fournit aucun outil pratique de calcul d'intégrale et ressemble plus à ce que je m'attends à trouver dans théorie de la mesure.
* Le livre de Descombes intitulé intégration, part en tout généralité de fonctions définies sur un ensemble X à valeur dans R formant un clan (mathématiques) et permettant d'obtenir la constante 1 comme limite simple de fonction du clan et il définit l'intégrale comme une forme linéaire croissante ayant une propriété de stabilité sur les suites de fonctions tendant vers 0. Bref, encore une autre approche.
On dit souvent que poser le problème est déjà un pas vers sa solution. mais là je bloque à mi-chemin;  Si quelqu'un a des suggestions pour améliorer l'article.... HB (discuter) 25 juin 2016 à 16:19 (CEST)
thread_title:  L'impossible grand écart 

message: j'ai beaucoup perdu en agilité d'esprit mais je ne retrouve pas mes connaissances dans cette section. Il est dit que pour calculer l'intégrale d'une fonction on cherche à l'approcher par une fonction en escalier ou étagée. Donc que l'on s'intéresse à des fonctions étagées s tel que sup|f-s| soit inférieur à ε.
Mes vagues souvenirs sur l'intégrale de Riemann est que l'on ne cherche pas à approcher la fonction mais à l'encadrer inférieurement et supérieurement et que l'on prend la borne sup des intégrales des fonctions minorant f et la borne inf des intégrales des fonctions majorant f
Mes vagues souvenirs sur l'intégrale de Lebesgue me fait dire que l'on ne cherche toujours pas à approcher la fonction par des fonctions étagées mais à la minorer (dans le cas d'une fonction positive) et de trouver une valeur finie à la borne sup des intégrales des fonctions minorant f.
Concernant l'intégrale de Kurzweil-Henstock, que je ne connais pas et comprends mal, l'article de WP ne parle plus de majorant et de minorant mais de limite via une jauge (?)Bref, pas du tout ce qui est exposé ici.
Il est écrit dans l'article «Dans le cas de l'intégrale de Riemann, les rectangles utilisés ont des bases de longueur majorée par une constante» puis «dans le cas de l'intégrale de Kurzweil-Henstock, les rectangles ont des bases de longueur variable.» et j'avoue ne rien comprendre : dans l'un et l'autre cas, il s'agit de division finie, quand on prend un nombre fini d'intervalles, les intervalles peuvent être de largeur différentes, cette largeur sera toujours majorée par une constante. Dans mon souvenir, rien n'est imposé sur les intervalles pour l'intégrale de Riemann; la seule chose qui est imposée c'est de travailler sur une fonction bornée à support compact. Concernant l'intégrale de Kurzweil-Henstock, que je ne connais pas, le peu que je comprenne de l'article de WP ne me permet pas d'éclairer le distinguo qui est fait ici.
Je demande donc à mes confrères universitaires de refaire une lecture critique de cette section, de corriger ou de me rassurer sur mes incompréhensions . HB (discuter) 25 juin 2016 à 16:48 (CEST)
replies: text: C'est assez subtil : la question n'est pas seulement la largeur des intervalles, mais le choix du point situé dans l'intervalle où l'on calcule f. L'idée des jauges et de l'intégrale de Kurzweil-Henstock est de conditionner par exemple  à des intervalles assez petits pour que les irrégularités dans ces intervalles n'influent pas sur le calcul de l'intégrale (l'exemple classique est la fonction caractéristique des rationnels, qui n'est pas Riemann intégrable, mais qu'on va pouvoir mesurer en encadrant le n-ème rationnel par un intervalle de largeur epsilon/2^{n+1} ; pour plus de détails, voir cet excellent texte de Jean-Pierre Demailly). Pour le reste, dans le contexte des fonctions Riemann-intégrables, prendre le sup ou la limite revient au même (mais ce n'est pas évident à démontrer) Saf erreur de ma part, il n'y en a donc pas dans le texte, mais tes doutes m'amènent à penser qu'il est (très) mal sourcé...--Dfeldmann (discuter) 25 juin 2016 à 17:28 (CEST)
thread_title:  Demande de relecture pour la section construction 

message: Bonjour. Dans ce paragraphe il est dit que les fonctions considérées sont positives. Mais doivent-elles être aussi continues ? Si c'est le cas il faudrait le dire. Si ce n'est pas le cas l'équivalence logique :
" f intégrable sur (a,b) ssi toute primitive de f sur (a,b) admet une limite finie en a et en b "
me paraît fausse dans le cas où f n'est pas continue. Pierre du Cher (discuter) 18 janvier 2024 à 15:25 (CET)
replies: text: dans le paragraphe que vous citez est écrit «Soit f une fonction à valeurs réelles positives, continue définie sur un intervalle I quelconque, noté (a, b), ... ». HB (discuter) 18 janvier 2024 à 16:25 (CET)
replies: text: Oups. Je suis confus. Merci pour votre travail, et félicitations. 88.170.163.25 (discuter) 19 janvier 2024 à 06:49 (CET)
thread_title:  Généralisation à un intervalle quelconque