Discussion:Théorème du minimax de von Neumann

message: A la suite d'une demande au thé, après les aides aussi nombreuses que subtiles et justifiées, je me sens obligé de rendre la pareille à notre ami Touriste. Eh, Eh, je vais enfin pouvoir sournoisement me venger. J'annonce immédiatement la couleur. Sauf argments bien pesés, je risque fort de présenter cet article en BA. En cette saison, les arguments contre annoncées au thé, me semblent infondés.
: Introduction : Je dois dire qu'elle ne me convainc pas. Elle ne me semble pas remplir le cahier des charges officiel.
: Modèle économique sous-jacent : La modélisation du jeu pierre-feuille-ciseau est limpide. Elle est de plus nécessaire. Mais, ce n'est que peu aimable de décrire ce jeu alors que rien ne laisse supposer à ce stade le moindre rapport avec le théorème de l'article ou un quelconque modèle économique. Je sais bien qu'ils sont reliés et que, dans le fond, cet exemple est justifié, mais la sécheresse dans les explications ne me semble pas justifiée.
: Points-selles dans les matrices de gain : L'exemple est limpide, mais aucune synthèse ne décrit une stratégie optimale, correspondant pour Xavier à que puis-je faire de mieux, si Yvette agit au mieux. Dire que Yvette agit au mieux revient à dire qu'elle suppose que Xavier raisonne comme indiqué ici.
: Stratégies mixtes : Pourquoi diable s'intéresser aux stratégies mixtes ? à partir du moment où je dispose d'une stratégie pure, je ne vois pas pourquoi je me priverais. Délire de mathématiciens ou nécessité incontournable pour jouer finement ? A ma connaissance, il existe deux réponses à cela : comment modéliser un jeu réitératif (une stratégie pure est dominée) et même dans le cas d'un jeu à non réitératif une stratégie pure équilibre de Nash n'existe pas nécessairement. Tu dis que Nash a généralisé le cas en 1949 ? Ma grand-mère prétend qu'elle le tenait de Pascal qui le lui avait déjà raconté quand il l'a converti.
: Signification intuitive du maximin : Voilà qui répond habilement à une perfide objection, mais pourquoi après les stratégies mixtes ?
: Retour aux exemples : Le paragraphe est fort clair, mais il pourrait se trouver avant les stratégies mixtes, ou à la rigueur juste après. Si on joue plusieurs fois et que tu choisis une stratégie pure, tu vas prendre une raclée, c'est assez intuitif non ?
: Critiques du modèle sous-jacent : Quel modèle économique ? Chez Renault, le grand jeux, à l'époque c'était la sortie des modèles, il y a autant de stratégies pures que de modèles et le concurrent principal c'était Peugeot. , ouh c'est bien philosophique et en conséquence bien difficile à sourcer. Ne pourrait-on pas plutôt dire que les économistes modélise un acteur comme quelqu'un d'averse au risque ?
: Postérité du théorème : J'ai l'impression que l'oubli des militaires, particulièrement durant la deuxième guerre mondiale est gênante (source ? heu ... Ma grand-mère qui en parlait à Roosevelt, ça va encore ?)
Voilà quelques remarques en vrac. Dans le fond, pas de quoi fouetter un chat (et surtout pas ma grand-mère, qui n'y est pour rien). Bonne continuation !Jean-Luc W (d) 13 février 2009 à 13:57 (CET)
thread_title:  Critique de jl 

message: Waow merci pour la relecture dont je tire beaucoup. Je suis d'accord avec toi pour pas mal de choses faisons le bilan.
* Introduction Ah tu as remarqué qu'elle était trop courte ? J'espérais pourtant que ça passerait inaperçu.  C'est moitié de la flemme, moitié de la revendication. Je n'aime pas bien les consignes de WP:Résumé introductif alors j'ai fait ce qui me paraissait bien plutôt que mon devoir. Mais je sais que je ne couperai pas à faire mon devoir, je m'y mettrai tout à l'heure.
En fait, j'approuve plutôt ces consignes, d'après mes études statistiques nombreux sont les visiteurs qui ne lisent que l'introduction. Certains ne poursuivent que si elle est bien faite. Elle est aussi utile pour le référencement par les moteurs de recherche.
* Modèle économique sous-jacent Tu recoupes très exactement Salle, vous devez avoir raison (d'autant que Salle m'avait déjà convaincu). La solution que j'ai en tête est de rajouter en premier paragraphe de l'exposition du modèle la phrase : « Quelques exemples de jeux ainsi modélisables sont présentés à l'article Jeu à somme nulle »... et de les écrire ces exemples, malgré mes réticences à écrire de l'économie où je ne me sens pas à l'aise. Que pensez-vous de cette façon de répondre à votre remarque, Salle et toi ? Si vous n'objectez pas, je ferai (peut-être) ce week-end.
* Signification intuitive du maximin Entièrement d'accord, le plan est bancal, ça s'explique facilement (la sous-section en question est un ajout tardif), je réordonnerai c'est pas difficile.
* Critiques du modèle économique Pas sûr que j'ai bien compris ton histoire de voitures, je réponds seulement à la partie sur l'aversion au risque : tu as tout à fait d'accord, c'est à rectifier et ce sera fait.
Après il y a des trucs où je ne sais pas si je suis d'accord ou toi... parce que je ne suis pas sûr de bien te comprendre :
* Points-selles dans les matrices de gain Mais sans doute est-ce la même critique qu'à « Signification intuitive du maximin » celle qu'un réordonnancement de paragraphe suffira j'espère à rendre obsolète.
T'as tout compris
* Stratégies mixtes et Retour aux exemples (surtout le premier). Tu insistes sur la différence entre jeu joué une fois et jeu itéré. Tu as peut-être noté que toute la section 2 reste dans un flou savamment entretenu ; je n'évoque ce problème que dans la partie "philosophique" parce qu'il me semble recouper la distinction probabilité fréquentiste/probabilité bayésienne et autres trucs que je ne maîtrise pas et n'évoque prudemment pas. « Même dans le cas d'un jeu à non réitératif une stratégie pure équilibre de Nash n'existe pas nécessairement » -> oui je crois quand même le dire avec assez d'insistance ça. « comment modéliser un jeu réitératif (une stratégie pure est dominée) » -> soit tu te trompes, soit je ne te comprends pas. S'il y a un point-selle il faut jouer la stratégie pure, même en jeu réitératif. L'allusion à Pascal -> ta grand-mère devrait me communiquer une source, parce que le rapport de Pascal avec la théorie des jeux est évoqué vaguement dans certains bouquins que j'ai croisés, et ce que j'en ai retenu c'est que c'est assez ténu et tiré par les cheveux, ça commence vraiment avec Waldegrave (du moins pour les jeux synchrones). Si ta grand-mère a des choses précises à dire avec du Pascal dedans, qu'elle n'hésite pas à ouvrir un compte et les ajouter à l'article, mais moi je ne vois vraiment pas ce que ça pourrait être.
J'ai lu l'article trop rapidement.
Un truc où je ne suis pas d'accord :
* Postérité du théorème Le mot "militaire" apparaît une fois dans l'article, et quand j'écrirai des exemples il y en aura bien sûr un qui sera de ce domaine. Je suis allé consulter le Poundstone après t'avoir lu. J'y lis, p. 51 : « Selon certains commentateurs, la théorie des jeux est le Kriegspiel du XXe siècle, un miroir qui renvoie aux stratégies militaires le reflet de leurs idées préconçues. La théorie des jeux fut effectivement tenue pour une sorte d'oracle stratégique, en particulier pendant une vingtaine d'années après le bombardement d'Hiroshima. » Donc une relation chose militaire <-> théorie des jeux, je sais sourcer. Je sais aussi sourcer (même bouquin) une relation chose militaire <-> John von Neumann. Parler de choses militaires dans les deux articles en question serait nécessaire indéniablement. En revanche le rapport entre les modèles militaires (hormis ceux simplifiés destinés aux livres niveau undergraduate) et le théorème du minimax ne me paraît pas résulter de ce que j'ai consulté. Les militaires aiment bien, par des bombardements massifs et réciproques, jouer des jeux à somme méchamment négative et les évoquer ici me semblerait plutôt justement corroborer l'idée populaire  « partout où y'a de la théorie des jeux, y'a des villes japonaises annihilées » qui me semble fausse ou du moins trop schématique.
Hum, j'admets que l'hypothèse somme nulle concorde mal avec l'idéal viril des armées. Je maintiens néanmoins que déclarer que généralement les acteurs économiques sont risques averses me semble plus polémique que dire que la modélisation que l'on fait de l'économie suppose en général que les acteurs sont risques averses.
Pour la présentation en BA, attends un peu de toutes façons (je préfère faire moi-même si ça ne te gêne pas) ; je compte d'abord demander une relecture des paragraphes où ils sont en théorie compétents par les projets Économie et Philosophie, pas sûr que quelqu'un passera mais on peut toujours essayer. Parce qu'après, sur les votes BA comme je viens de le voir avec admiration sur « Nombres premiers » y'a des votants qui lisent avec une vitesse digne d'admiration, mais qui sont peu diserts en suggestions pour améliorer l'article. Touriste  ✉ 13 février 2009 à 15:13 (CET)
thread_title:  Réponses par Touriste 

message: J'avais reporté le traitement de quelques remarques judicieuses et donc demandant du boulot :
* « on pourrait s'attendre à ce qu'ils regardent plutôt la somme des gains par ligne ou colonne » -> j'y ai un peu répondu en alourdissant l'article (de plus de 900 octets, j'espère que ça les vaut - faut quand même faire aussi gaffe à la lourdeur) ;
* « il faudrait ajouter, dès l'intro et avec rappel dans le premier exemple, l'hypothèse "éviter le pire des cas". À ajouter dans le deuxième paragraphe : "Une autre hypothèse est que la stratégie de chaque joueur est de minimiser les risques."  » -> pas d'accord là, le fait que la minimisation des risques est la meilleure stratégie est ou prétend être (cf. la remarque critique de Risse) une _conclusion_ pas une hypothèse. Si tu te dis pas convaincu, comme ne l'est pas Risse ou comme je ne le suis moi non plus pas tout à fait, c'est que c'est la conclusion d'un raisonnement heuristique et non d'une démonstration mathématique et que c'est un peu déstabilisant. Mais ce n'est définitivement pas une hypothèse.
* « donner [la définition d'équilibre de Nash] dans l'introduction » -> mmouais c'est le plus embêtant des trois, celui qui m'a fait reporter de trois jours ma réponse. J'essaie ici d'allonger la deuxième phrase de l'introduction en suivant ta suggestion. Elle devient :
::Il assure que, pour un jeu non-coopératif synchrone à information complète[Note 1] opposant deux joueurs, à nombre fini de stratégies pures et à somme nulle, il existe au moins un équilibre de Nash, c'est-à-dire une situation où aucun des deux joueurs, à supposer que l'autre ne modifie pas sa façon de jouer, ne peut lui-même modifier sa stratégie sans y être perdant.
Ce que je réussis à pondre même en réessayant plusieurs fois est très très lourd, et me semble incompréhensible à qui n'a pas lu préalablement une exposition progressive du modèle. Je préfère donc la version sans développement d'« équilibre de Nash » et ne change rien dans l'article proprement dit. Cela étant, si quelqu'un pense que l'allongement est un progrès, il peut intégrer la suggestion ci-dessus dans l'article, mais si possible en en revoyant la rédaction parce que ce que j'ai produit à l'instant n'est pas beau du tout. Touriste  ✉ 18 février 2009 à 09:38 (CET)
thread_title:  Encore quelques éléments de réponse 

message: De mon point de vue, les remarques que j'avais faites en première lecture n'ont plus leurs raison d'être, elles ont toutes été corrigées, sauf peut-être celle de sourcer le résultat de Nash.
Deux questions me viennent à l'esprit, restes de vieux cours de mathématiques appliquées à l'économie. La première est celle d'une méthode effective de construction d'un équilibre (je pense aux processus de tâtonnement walrasien, mais je n'ai en fait aucune idée de l'existence réelle d'une telle approche). La deuxième idée est celle de l'unicité, qui n'existe pas et qui mérite peut-être une petite explication.
De toute manière, je me demande, dans la mesure où les deux idées exprimées ont un intérêt, ce qui n'est pas une certitude à mes yeux, si l'emplacement le plus adéquat pour les insérer n'est pas l'article sur les démonstrations, que je trouve encore un peu indigent. Par exemple on ne trouve aucun commentaire sur le lemme de Kakutani ou autres méthodes permettant les généralisations à un hilbert ou à des jeux à somme non nulles. Jean-Luc W (d) 16 février 2009 à 13:28 (CET)
thread_title:  Bilan des relectures 

message: Sourcer le résultat de Nash ? Il n'est cité qu'avec énoncé flou, avec renvoi à l'article équilibre de Nash. Pour moi, c'est à cet article de donner une source précise (encore que, tu le remarques, il n'y a pas dans cet article de source à l'énoncé du théorème principal ; j'ai considéré qu'il était suffisamment répandu pour qu'on s'en passe (Paris est en France), et j'aurais un peu envie de dire qu'il en est de même du théorème de Nash). Sur quelle phrase de l'article penses-tu qu'une référence serait agréable ?
Tâtonnement walrasien : je ne connaissais pas mais ça semble hors sujet ; les liens entre la théorie de l'équilibre général (que j'ignore complètement) et la théorie des jeux semblent exister, mais être non évidents, et probablement conduire à des modèles nettement plus compliqués que celui dont on parle ici. Le calcul effectif de l'équilibre de von Neumann peut se faire par résolution d'un problème de programmation linéaire, et ça c'est dit dans l'article.
Oui, cela risque d'être un peu hors sujet.
Unicité : je n'ai rien vu de remarquable à dire dans les sources que j'ai visitées. Un lecteur raisonnablement mathématicien saura se rendre compte que l'exemple de A=0 est flagrant ; souligner la non-unicité me semblerait du remplissage. Si tu vois des choses plus précises à en dire (structure de l'ensemble des équilibres de Nash par exempl) je n'ai fichtrement rien contre, mais je ne les connais pas, ces énoncés manquants.
Convaincu
L'article sur les démonstrations est une ébauche, qui assume l'être. Pour les généralisations je les connais mal ; celles à des jeux de somme non nulle me semblent hors sujet (voir aux articles sur les travaux de Nash, c'est autre chose - il faut un lien vers équilibre de Nash et pas plus). Les généralisations plus techniques, je ne les connais tout simplement pas ; le lien rouge théorèmes du minimax figurant deux fois dans l'article, et que je n'ai pas l'intention de bleuir de sitôt, ne répond-il pas à ta question ? 
Bon, tu me rappelles à mon devoir, je vais un peu me remettre à relire Équation :-) Touriste  ✉ 16 février 2009 à 13:58 (CET)
thread_title:  Réponses par Touriste 

message: La formulation précédente du rôle d'Emile Borel ne satisfaisait pas tout le monde. La nouvelle version se veut succincte, car cette question peut être perçue comme un peu mineur par bon nombre de nos lecteurs. Elle se veut aussi purement factuelle. Ni WP ni surtout moi, n'avons d'autorité quelconque pour trancher dans une querelle dont les protagonistes portent des noms comme von Neumann, Fréchet ou Borel.
N'ayant pas étudié précisément les sources (Certaines m'ont été lu par Touriste. J'en ai parcouru d'autres, œuvres de professeurs enseignant la théorie des jeux mais qui ne sont en aucun cas des spécialistes de l'histoire des sciences). Que le contributeur plus avisé se sente absolument libre de bonifier la version actuellement en ligne. Jean-Luc W (d) 22 février 2009 à 09:38 (CET)
thread_title:  Le rôle d'Emile Borel 

message: les étudiants en économie : je vais vous créer une section spéciale dans l'article, parce que vous le polluez complètement avec vos commentaires parfaitement non rigoureux qui n'ont rien à faire au milieu d'un article de maths. je vais mettre cette section bien à la fin, voire je vais la mettre en boite dépliante cachée par défaut.
Acx01b (discuter) 7 septembre 2015 à 05:44 (CEST)
thread_title:  théorème de math ? ou pollution par les 'économistes' 

message: Il me semble que l'exemple du penalty au football n'est pas pertinent. L'énoncé du théorème dit que le nombre de stratégies pures est fini. Or le tireur de penalty a le choix entre une infinité de directions de tir de la gauche du but à la droite du but, du haut et du bas en passant par la hauteur médiane.  C'est pour cela que les bons tireurs ont une stratégie gagnante qui s'appelle la Panenka, stratégie qui gagne à presque tous les coups contre le gardien, montrant que le jeu n'est pas à somme nulle. --Pierre de Lyon (discuter) 21 janvier 2016 à 12:04 (CET)
thread_title:  L'exemple du penalty au football