Discussion:Théorème de Hahn-Banach

message: ... d'utiliser cette page de discussions comme bloc-notes, c'est d'intérêt général.
Vu ce polycopié http://www.math.ksu.edu/~nagy/real-an/ap-e-h-b.pdf fort bien fait qui me recadre. Le Hahn-Banach prouvé dans l'état actuel de la page, c'est un Hahn-Banach pour les semi-normes (la version "E3" du polycopié dont je viens de copier-coller l'adresse). Celui dont j'ai besoin c'est celui que je connaissais, (le "E1" du polycopié). Pour l'instant je n'ai pas l'impression qu'ils se déduisent l'un de l'autre ; ils ont des preuves très parallèles et similaires, mais pas identiques. Je ne sais du coup comment faire évoluer l'article. Touriste  ✉ 21 novembre 2007 à 21:56 (CET)
replies: text: MMmouais, E1 => E3 (enfin sa version réelle) dit le polycopié. Malheureusement l'état actuel de l'article prétend que "E3 est la forme la plus générale". C'est peut-être bien totalement bidon et je perds du temps sur un recopiage d'une page en anglais mal fichue. Grmmpfff. Touriste  ✉ 21 novembre 2007 à 22:06 (CET)
thread_title:  Je me permets... 

message: Vu la curieuse insistance de Bourbaki et, me semble-t-il, de la plupart des sites Internet qui parlent du théorème de Hahn-Banach (y compris l'article de la Wikipedia anglaise, qui me semble d'ailleurs un peu cafouiller) à prendre inutilement pour hypothèse que la fonction p, dans la forme analytique relative aux espaces vectoriels réels, est non seulement convexe mais sous-linéaire, je propose d'exposer dans notre article la démonstration donnée par Reed et Simon. Cela évitera que d'autres lecteurs ne craignent, comme je l'ai fait, que l'hypothèse "p est convexe" ne soit trop faible. Je suggère de donner la démonstration sous la forme qui suit, où, à la différence de Reed et Simon, on part de la thèse, qu'on explicite progressivement. Il me semble qu'en procédant de cette façon, on retrouve facilement la démonstration, même si on l'a à peine mémorisée.
Forme analytique du théorème de Hahn-Banach pour les espaces vectoriels réels.
Démonstration. Prouvons d'abord que si z est un élément de V n'appartenant pas à W, on peut prolonger f en une forme linéaire g définie dans W + \R z et telle que g ≤ p dans W + \R z.
Pour tout nombre réel a, il existe une et une seule forme linéaire sur W + \R z qui prolonge f et vaut a en z, à savoir la forme linéaire fa définie par
:f_{a} (w + tz) = f(w) + ta
pour tout élément w de W et tout t réel. Une telle forme linéaire fa satisfait à la condition fa ≤ p dans W + \R z si et seulement si, pour tout élément w de W et tout nombre réel t,
:f (w) + ta \leq p(w + tz).
Tout revient donc à prouver que l'ensemble des nombres réels a satisfaisant à cette condition n'est pas vide. On peut restreindre la condition aux t non nuls, car pour t = 0, la condition revient à l'hypothèse f ≤ p dans W. Les nombres a cherchés sont donc ceux qui satisfont aux deux conditions suivantes :
1° pour tout nombre réel t > 0 et tout élément w de W :
: a \leq \frac{1}{t} p(w + tz) - \frac{f(w)}{t}
2° pour tout nombre réel t < 0 et tout élément w de W :
: a \geq \frac{1}{t} p(w + tz) - \frac{f(w)}{t}.
Cette dernière condition revient à dire que, pour tout nombre réel t > 0 et tout élément w de W,
: a \geq - \frac{1}{t} p(w - tz) + \frac{f(w)}{t}.
Les nombres réels a cherchés sont donc ceux qui satisfont à la condition
:\sup_{\stackrel{t > 0}{w\in W}} (- \frac{1}{t} p(w - tz) + \frac{f(w)}{t}) \leq a \leq \inf_{\stackrel{t > 0}{w\in W}} (\frac{1}{t} p(w + tz) - \frac{f(w)}{t}).
(A priori, la borne inférieure et la borne supérieure sont prises dans \R \cup \{- \infty \} \cup \{\infty \} , mais les relations à démontrer entraîneront évidemment qu'elles sont finies.)
Pour prouver qu'il existe de tels nombres a, tout revient à prouver que
:\sup_{\stackrel{t > 0}{w\in W}} (- \frac{1}{t} p(w - tz) + \frac{f(w)}{t}) \leq \inf_{\stackrel{t > 0}{w\in W}} (\frac{1}{t} p(w + tz) - \frac{f(w)}{t}),
auquel cas les nombres a cherchés sont les éléments de l'intervalle limité par les deux membres de cette inégalité.
La thèse revient encore à prouver que, pour tous nombres réel t, u > 0 et tous éléments w, w' de W,
:- \frac{1}{u} p(w - uz) + \frac{f(w)}{u} \leq \frac{1}{t} p(w' + tz) - \frac{f(w')}{t},
ou encore 
:\frac{f(w)}{u} + \frac{f(w')}{t} \leq \frac{1}{u} p(w - uz) + \frac{1}{t} p(w' + tz)
ou encore (en multipliant par tu/(t + u), qui est >0)
:\frac{t}{t+u}f(w) + \frac{u}{t+u}f(w') \leq \frac{t}{t+u} p(w - uz) + \frac{u}{t+u} p(w' + tz).
Puisque f est linéaire, cela s'écrit encore
:f\left(\frac{t}{t+u}w + \frac{u}{t+u}w'\right) \leq \frac{t}{t+u} p(w - uz) + \frac{u}{t+u}p(w' + tz).
Puisque f ≤ p dans W, il suffit de prouver que
:p\left(\frac{t}{t+u}w + \frac{u}{t+u}w'\right) \leq \frac{t}{t+u} p(w - uz) + \frac{u}{t+u}p(w' + tz).
Cela s'écrit encore
:p\left(\frac{t}{t+u}(w-uz) + \frac{u}{t+u}(w' + tz)\right) \leq \frac{t}{t+u} p(w - uz) + \frac{u}{t+u}p(w' + tz)
ce qui résulte de la convexité de p.
Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que si z est un élément de V n'appartenant pas à W, on peut prolonger f en une forme linéaire g définie dans W + \R z et telle que g ≤ p dans W + \R z. Soit maintenant E l'ensemble des formes linéaires définies dans des sous-espaces de V contenant W, prolongeant f et ≤ p dans leur espace de définition. Dans E, considérons la relation (en f et g) : « le sous-espace de définition de f, soit Wf, est contenu dans celui de g et g coïncide avec f dans Wf ». C'est une relation d'ordre dans E et on montre facilement qu'elle fait de E un ensemble inductif. D'après le lemme de Zorn, E admet donc un élément maximal. D'après la première partie de la démonstration, un tel élément maximal doit être défini dans V tout entier.
Qu'en pensez-vous ? Marvoir (d) 25 septembre 2012 à 18:42 (CEST)
replies: text: Je m'aperçois maintenant qu'il y avait déjà une démonstration dans l'article, quelques sections plus bas... Et personne ne m'a rien dit ! Je crois qu'il ne me reste qu'à supprimer ma démonstration... Marvoir (d) 9 janvier 2013 à 10:06 (CET)
replies: text: J'ai supprimé la démonstration que j'avais ajoutée dans l'article. Marvoir (d) 9 janvier 2013 à 16:54 (CET)
thread_title:  Si on donnait une démonstration ? 

message: Bonjour, dans la forme géométrique du théorème on sépare un convexe ouvert d'un sous-espace affine. Pourquoi ne pas mettre le cas général où on sépare un convexe ouvert d'un autre convexe ? La démonstration me paraît identique. Vincent Semeria (d) 25 décembre 2012 à 21:39 (CEST)
thread_title:  Séparation des convexes 

message: On dirait que ça commence à patauger. Marvoir (d) 10 février 2013 à 14:03 (CET)
replies: text: Oui; j'ai simplifié le résumé pour rendre ça plus lisible  : l'idée, c'est que le lecteur veut en principe savoir de quoi il s'agit (un théorème de prolongement de formes linéaires ayant de bonnes propriétés), et n'aller chercher les détails que si la question l'intéresse. Je sais que ça respecte pas tout à fait le principe d'autonomie du RI, mais en maths, ce dernier n'amène souvent qu'au galimatias déjà énoncé. Bon, après, faudra encore rédiger le début de l'article...--Dfeldmann (d) 10 février 2013 à 14:49 (CET)
thread_title:  Le galimatias des sections introductives 

message: Contrairement à ce qui a été écrit : le lemme des ultrafiltres n'est pas plus faible que l'axiome du choix dépendant. 
(Il est plus faible que l'axiome du choix tout court). 
:Mea culpa, je ne comprends pas ce qui m'avait pris. Merci à vous d'avoir signalé ma bêtise, et à Dfeldmann de l'avoir réparée. Anne, 8/10/16
Je me suis permis de retirer de cette section de l'article une phrase qui me paraît bien malencontreuse :
« […] Hahn-Banach, dont toute preuve doit donc reposer inévitablement sur une variante ou une autre du lemme des ultrafiltres ou de l'axiome du choix par exemple, en somme sur un axiome additionnel au moins conséquence du lemme des ultrafiltres dans ZF. »
En effet, il est mentionné en référence de cette phrase l'existence d'un modèle de ZF où Hahn-Banach est vrai mais où le théorème de l'ultrafiltre est faux (sous réserve de la consistance de ZF…) ! --ヒナゲシさん (discuter) 9 novembre 2021 à 01:24 (CET)
thread_title:  Rôle de l'axiome du choix