Discussion:Notation (mathématiques)

message: Le quantificateur "il existe un unique" n'existe pas! Ce n'est qu'un raccourci utilisé par quelques mathématiciens pour écrire des formules plus courtes. Et il est impossible de faire une preuve avec ce genre de quantificateur. Même ceux qui utilisent cette notation ont laissé tomber l'espoir de donner des règles de transformation spécificités. Le seul moyen est de se ramener systématiquement au quantificateur existant pour lesquels il existe des règles de déduction.
De plus il y a plein de façons de se ramener aux quantifications standards, dépendant du contexte et de l'utilité qu'on en a.
Par exemple \exists ! n\in\mathbb{Z}, n \le x < n+1 peut être transformé en \exists n\in\mathbb{Z}, (n \le x < n+1 \wedge \forall m, m \le x < m+1 \implies m=n), on voit bien que la transformation n'est pas aussi simple que ça et qu'elle nécessite l'utilisation du quantificateur universel. On pourrait aussi le transformer en card(n\in\mathbb{Z} | n \le x < n+1)=1 c'est plus simple mais encore faut-il avoir suffisamment de propriétés sur les cardinaux pour manipuler une telle expression.
On peut imaginer plein de transformations possibles, chacune pouvant avoir son intérêt dans son propre contexte. D'ailleurs il n'est pas possible de donner une définition formelle unique de cette notation "il existe un unique" puisqu'il n'y a pas moyen de définir ce qu'est l'unicité sans avoir une notion d'égalité. Hors l'égalité ne fait pas partie de la logique classique de base dans lesquels sont définis les quantificateurs "il existe" et "pour tout". En pratique on aura quasiment toujours la notion d'égalité et on pourrait alors définir le "il existe un unique x" à la façon "il existe x... et tout autre objet ayant la même propriété est nécessairement égal à x". À noter que la deuxième quantification (universelle) est nécessairement à l'intérieur de la première (existentielle) et pas en dehors.
Cette notion d'unicité ne peut donc être définie que dans une théorie plus large que la logique classique de base qui contiendra l'égalité (à moins de définir l'unicité par d'autres moyens propres à la théorie).
D'ailleurs il n'existe pas qu'une seule notion d'égalité. La notion usuelle qui est clairement la plus répondue signifie que si 2 objets sont égaux alors on peut toujours les substitués l'un à l'autre (l'interprétation étant que si on écrit a=b alors a et b désignent exactement le même objet donc une substitution de l'un par l'autre ne peut rien changer puisqu'il s'agit de remplacer un objet par lui même!). L'existence d'égalités légèrement différentes (mais très très peu utilisées... à part quelques spécialistes...) est due à des divergences dans le sens qu'on y donne (par exemple certains ne sont pas d'accord que si on écrit a=b alors a et b sont quand même des appellations différentes et ne considérer que les valeurs qu'ils désignent n'est pas suffisamment fin, et que si on ressent le besoin d'écrire a=b c'est bien que quelque part on considère que c'est pas complètement la même chose, on écrira rarement 2=2 ou a=a car ça n'a pas beaucoup d'intérêt). D'ailleurs même en logique il faut faire attention, quand on a la propriété "a=b", "a" et "b" ne peuvent pas toujours être substituées l'une par l'autre dans des expressions logiques à cause du problème des variables liées aux quantificateurs.
Bref, c'est considérations de différentes égalité pousse le bouchon un peu loin, mais il faut bien comprendre que les quantificateurs de base "il existe" et "pour tout" sont toujours définis (et de la même façon) dès qu'on utilise la logique classique du premier ordre, et alors les règles de transformation et de déduction seront toujours les mêmes. Par contre l'unicité ne peut être définie que dans une théorie plus large, et pas forcément exactement de la même façon dans toutes les théories.
Donc méfiance. Faire la négation d'un "il existe un unique" n'est pas aussi simple que la négation d'un "il existe" et il faudra en général revenir à une transformation vers les quantificateurs de base.
C'est pourquoi je supprime la mention de la notation \exists ! dans l'article car elle ne devrait pas être introduite sans mise en garde ou explication supplémentaire. Donner une définition possible à partir des deux autres quantificateurs et de l'égalité ne serait pas inutile au moins pour faire bien comprendre qu'il ne s'agit pas d'un quantificateur en soi possédant des règles de bonne formation, de transformation et de déduction associée mais un simple raccourci typographique parfois utilisé et non définissable dans la logique classique du premier ordre (celle qui introduit les quantificateurs) ne possédant pas l'égalité.
:Merci pour ta remarque, c'est très intéressant! Je n'avais jamais réfléchi au problème. Par contre, même si ce n'est pas un quantificateur, c'est quand même une notation que l'on rencontre parfois. Je serais donc d'avis de la laisser dans l'article (qui porte sur les notations et non sur les quantificateurs) mais en précisant bien ce que tu viens de raconter. Je fais la modifications, dis-moi ce que tu en penses! Valvino (discuter) 22 juin 2009 à 17:06 (CEST)
replies: text:  J'avoue que je ne suis pas sûr de comprendre pas l'utilité de cet article, et à qui il est destiné. s'il s'agit de définir les notations communes à tous les champs mathématiques ou presque (logiques, ensemblistes, arithmétique), le quantificateur ∃! a sa place. Il est exact qu'il n'a de sens que dans un calcul des prédicats égalitaire où il se définit. Maintenant l'égalité a bien le même sens et ce définit de la même façon quel que soit le domaine, et elle est compatible avec toutes les propriétés exprimables (sinon on fait un quotient, ou alors on appellerait égalité une relation d'équivalence compatible avec certaines propriétés seulement mais ça n'est pas usuel). Le problème des variables liés c'est de la syntaxe, ça ne bloque pas vraiment la substitution (on renomme les variables liées). Nier Il existe un unique ... c'est il n'en existe pas où il en existe au moins deux (tout ça s'exprime en calcul des prédicats égalitaire, pas besoin d'arithmétique). Ca n'est quand même pas si mystérieux. Bref c'est une bonne idée de remarquer qu'on a besoin de l'égalité, et que ce quantificateur n'est pas primitif, mais c'est bien une notation assez courante, qui se comprend directement et avec laquelle (heureusement !) il est possible de faire des démonstrations (ne pas confondre formalisation des preuves et preuve). Donc le faire disparaître me semble excessif. Proz (d) 22 juin 2009 à 23:56 (CEST)
thread_title: Il existe

message: En classe de seconde, on voit les ensembles usuels, et il me semble bien que dans votre liste il manque D, l'ensemble des nombres décimaux. Non ? Raiz3n "Le soleil se lève, le soleil se couche, et la vie continue" 3 mars 2006 à 14:26 (CET)
thread_title: Ensembles usuels

message: N'y-a-t-il pas doublon avec la page Langage formel mathématique? Valvino 22 novembre 2006 à 22:18 (CET)
thread_title: Doublon

message: Pourquoi cet article est il d'importance élevée dans le projet mathématiques ? Ces évaluations mériteraient d'être commentées. Quelqu'un a-t-il une idée du contenu ? Une longue litanie de notations qui n'épuisera jamais le sujet ? Où faut-il s'arrêter ? Il y a déjà un article table des symboles mathématiques (pour lequel d'ailleurs ces questions se posent). Je ne dis pas que j'adhère à tout ce qui est dans la version anglaise, mais en tout cas le style est bien différent. Il me semble que l'on pourrait attendre une présentation générale, avec une partie historique, éventuellement quelques conventions communes, et renvoyer à d'autre articles pour le reste. Proz 22 mai 2007 à 19:52 (CEST)
replies: text: Finalement d'accord avec toi, cet article ne pourra jamais être complet devant l'énormité des notations. L'article anglais me semble une bien meilleur solution, qui complète bien table des symboles mathématiques. Veux-tu te charger de la traduction? Sinon je suis volontaire. Valvino 23 mai 2007 à 11:14 (CEST)
thread_title:  Contenu 

message: Bonjour. Dans la première phrase de l'article, le mot « formaliser » cachait un lien vers calcul formel, ce qui n'a pas grand chose à voir avec le sujet. J'ai changé en Logique mathématique. En fait il existe un article Formalisme qui serait pas mal, mais il est trop succint. --Tchai 8 juin 2007 à 00:05 (CEST)
thread_title:  Changé le lien formaliser 

message: Bonjour. Mes maths commencent à être un peu loin, mais il me semble qu'il y a une erreur dans cet exemple (paragraphe sur le "il existe") : 
\forall x\in\mathbb{R}, \exists ! n\in\mathbb{N}, n \le x < n+1
Ne serait-ce pas plutôt
\forall x\in\mathbb{R}, \exists ! n\in\mathbb{Z}, n \le x < n+1
Loïc 6 Février 2008 à 14h15 (CET)
:  en effet Peps (d) 6 février 2008 à 16:34 (CET)
thread_title:  Petite erreur dans un exemple? 

message: En fin d'article, il est fait état des notations \sum et \prod. Mais il est fréquent de rencontrer ces mêmes notations concernant les unions ∪ et intersections ∩ de la même façon. Est-il envisageable d'étendre l'article à ces cas ? --Obsidian (d) 4 juin 2008 à 01:15 (CEST)
thread_title:  Extension des notations indicées 

message: L'introduction me semble donner une vision un peu naïve (langue universelle) et pas du tout sourcée. Proz (d) 22 juin 2009 à 23:59 (CEST)
thread_title:  Introduction 

message: La phrase « Z est inclus dans Q » est en réalité un abus de langage. Les éléments de Q sont des classes d'équivalence d'éléments de Z x Z. Et Z a lui-même été construit de la même façon à partir de N.--Pjacquot (discuter) 17 juillet 2014 à 15:32 (CEST)
thread_title:  inclusion 

message: Comme on lit des assertions péremptoires bien imprudentes en boîte de résumé, je précise que le gras typographique pour les ensembles de nombres (R pour l'ensemble des réels etc.) était utilisé en imprimerie avant le gras "tableau noir",  donc à conserver ne serait-ce que pour cette seule raison, mais de plus n'est pas du tout abandonné. Il est effectivement régulièrement (mais pas exclusivement je crois) utilisé dans des énoncés de bac actuels (qui suivent la recommandation indiquée en ref), des livres universitaires récents... Le but des articles est d'informer pas de prescrire. Proz (discuter) 24 juillet 2014 à 19:03 (CEST)
thread_title:  Gras typographique