Discussion:Groupe alterné

message: Voir Discuter:Groupe symétrique Peps 11 février 2007 à 14:23 (CET)
replies: text: S'agit-il vraiment d'un « U » ou, comme je le crois plutôt, un « A » gothique ? Ambigraphe, le 15 septembre 2008 à 14:55 (CEST)
thread_title: organisation des articles sur les permutations

message: :Le terme « indice » prête à confusion mais c'est le terme adéquat. Le terme « degré » est de mon point de vue impropre. Après réflexion, le seul terme acceptable et qui lève l'ambiguité est le terme « rang ». Sinon, on peut dire « groupe alterné sur n éléments ».
:Tu as raison que la notion de transposition mérite d'être un peu explicitée. Ce pourrait être l'objectif de la première partie : « Définition », avec comme sous-parties « Permutation paire » et « Signature ». Une partie « Exemples » devrait décrire les groupes alternés de rang 2 à 4, présenter le jeu du taquin puis représenter A_4 et A_5 comme groupes de rotations du tétraèdre et du dodécaèdre (ou de l'icosaèdre). Ensuite viennent les parties consacrées aux classes de conjugaison (dont il faudrait illustrer l'intérêt), et les suivantes dont je vais étudier les démos bientôt. Ambigraphe, le 16 septembre 2008 à 21:43 (CEST)
thread_title:  Plan 

message: La démonstration de la simplicité de An (abrégée de façon intéressante) dit maintenant : "En conclusion : dans tous les cas, H contient un 3-cycle, donc (par conjugaison) il les contient tous, donc H=An ".
Cela repose sur le fait suivant : si n est au moins égal à 5, deux cycles de longueur 3 appartenant à An sont toujours conjugués dans An (et non seulement dans Sn). Ne faudrait-il pas attirer l'attention du lecteur sur le fait qu'on utilise la conjugaison dans An et non seulement la conjugaison dans Sn ?
Dans son état antérieur, la démonstration disait : "il suffit de prouver que le seul sous-groupe distingué de An qui comprenne un cycle d'ordre 3 est An lui-même. Puisque An est engendré par les cycles d'ordre 3, il suffit de prouver que si H est un sous-groupe distingué de An qui comprend un cycle d'ordre 3, H comprend tous les cycles d'ordre 3. Pour cela, on peut par exemple prouver que si n est au moins égal à 5, deux cycles d'ordre 3 sont toujours conjugués dans An (et non seulement dans Sn.) Soient (a b c) et (x y z) deux cycles d'ordre 3. On sait qu'il existe une permutation σ telle que (x y z) = σ (a b c) σ-1. Si la permutation σ est paire, notre argument est vrai. Sinon, choisissons dans {1, ... n} deux éléments u, v distincts de x, y et z (ce qui est possible puisque n est au moins égal à 5). En conjuguant l'égalité (x y z) = σ (a b c) par (u v), nous trouvons que (x y z) est le conjugué de (a b c) par la permutation paire (u v) σ, et notre argument est encore vrai."
C'est évidemment assez lourd, on pourrait peut-être se contenter de dire "On montre facilement que si n est au moins égal à 5, deux cycles de longueur 3 appartenant à An sont toujours conjugués dans An (et non seulement dans Sn). " Marvoir (d) 13 février 2012 à 21:32 (CET)
replies: text: Je trouve que ce n'est même pas la peine de dire cela, puisque le fait qu'une permutation paire ayant au moins 2 points fixes a les mêmes conjugués dans An que dans Sn n'est qu'un cas (très) particulier de l'étude des classes de conjugaison faite dans Groupe alterné#Structure (étude d'ailleurs déjà utilisée 2 lignes plus haut dans un autre cas particulier). J'y ai fait un renvoi par un lien. Anne (d) 14 février 2012 à 07:42 (CET)
replies: text: Je n'avais pas remarqué que la question était abordée (sous une forme plus générale) plus haut dans l'article. Ce que tu as ajouté me semble suffisant. Marvoir (d) 14 février 2012 à 12:10 (CET)
thread_title:  Démonstration un peu concise ?