Diskussion:Normalverteilung

message: Die "normale" Normalverteilung erstreckt sich bekannterweise über den gesamten reelen Wertebereich R, also über dem offenen Intervall <NegativeInfinity; PositiveInfinity>. Das heißt aber auch, dass x Werte weit ab vom Erwartungswert μ immer noch eine Wahrscheinlichkeit größer als Null haben, also (p(x >> μ) > 0) und (p(x << μ) > 0), auch wenn diese sehr klein sein mag. 
Nun ist es aber in der Praxis häufig so, dass man nur eine annähernde Normalverteilung der Zufallsgröße vorliegen hat. Die mehrfach erwähnte Zwölferregel (man addiere 12 über dem Intervall[-0.5;+0.5] gleichverteilte Zufallszahlen, um eine standardnormalverteilte Zufallsgröße zu bekommen) hat meines Erachtens einen Haken. Für eine "Daumenpeilung" mag die Zwölferregel ja noch ausreichen, aber die Wahrscheinlichkeit p, dass die Summe S aus 12 über [-0.5; +0.5] gleichverteilten Zufallszahlen, größer als +6 oder kleiner als -6 ist, ist definitiv gleich Null, also (p(S > +6) = 0) und (p(S < -6) = 0), was bei der "normalen" Normalverteilung aber niemals der Fall ist. 
Man könnte jetzt die Anzahl der Summanden NS erhöhen, damit sich die Summe aus NS gleichverteilten Zahlen über [-a; +a] immer besser an eine "normale" Normalverteilung (mit (μ = 0) und (δ = (sqrt(NS) * DeviationOfUniformDistribution))) anpasst, aber "erhöht" man entweder das Signifikanzniveau α von (α = 0.01) (also 1 Prozent) auf z.B. (α = 0.001) (also 1 Promille), oder erhöht deutlich die Anzahl der durchgeführten Tests z.B von NT = 103 auf NT >= 109, oder erhöht die Anzahl der Intervalle für den Chi-Quadrat-Anpassungstest von NI = 24 auf NI >= 210, hat man das gleiche Anpassungsproblem wie vorher, das heißt, sowohl ein Chi-Quadrat-Anpassungstest als auch ein Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest lehnen die Hypothese, unsere Zufallsgröße sei normalverteilt, wieder zuverlässig ab, falls man auf irgend eine Art und Weise die Testkriterien verschärft. Mit anderen Worten: unsere Zwölferregel ist tatsächlich nur annähernd und nicht wirklich normalverteilt.
In der englischen Wikipedia gibt es für solche Art von Anpassungsproblemen schon eine allgemeine Lösung mit den Begriff der "truncated distribution" und speziell auch die "truncated normal ditribution", zu deutsch würde das wohl eher beidseitig begrenzte Normalverteilung als abgeschnittene Normalverteilung heißen, aber das soll hier nicht das Thema sein. Wichtig ist hier nur, dass eine "abgeschnittene" Normalverteilung, im Gegegnsatz zur "normalen" Normalverteilung, zwei zusätzliche reelle Parameter a und b (mit NegativeInfinity << a < b << PositiveInfinity) hat, welche die Endpunkte des Werteintervalls [a, b] der "abgeschnitten" Normalverteilung angeben und somit das unendliche Werteintervall <NegativeInfinty; PositiveInfinity> der "normalen" Normalverteilung ersetzen. Die Wahrscheinlichkeit, das x kleiner als a oder größer als b ist, ist hier im Gegensatz zur "normalen" Normalverteilung stets gleich 0, (also (p(x < a) = 0) und (p(x > b) = 0)). Damit die Fläche unter der ProbabilityDensityFunction (PDF) einer "abgeschnittenen" Verteilung aber immer noch 1 ergibt, wird die PDF entsprechend "zusammengeschoben". Damit ändern sich aber nicht nur die Form der PDF sondern auch die charakteristischen Merkmale bzw. Parameter (avg, var, dev, skn, kur, exz, ...) einer "abgeschnitten" Verteilung entsprechend im Vergleich zu der "normalen" Verteilung. 
Natürlich gibt es auch nur einseitige Beschränkungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit unendlichen Wertebereichen. Das Thema ist also schon etwas umfangreicher, als ich es hier umrissen habe.
Vielleicht gibt es so etwas, wie die "abgeschnittenen" Verteilungen ja auch schon in der deutschen Wikipedia (und ich war nur zu blöd, es zu finden, dann helft mir bitte auf die Sprünge), aber wenn nicht, sollte so etwas auch hier eingeführt oder besser verlinkt werden, denn das Prinzip, welches hinter den "abgeschnittenen" Verteilungen steckt, müßte meines Erachtens doch auf fast jede "unendliche" Verteilung anwendbar sein, oder?
--Aragorn321 (Diskussion) 12:03, 13. Okt. 2015 (CEST)
replies: text: Der deutsche statistische Fachbegriff für truncated distribution ist gestutzte Verteilung, z. B.: --Sigma^2 (Diskussion) 13:29, 12. Mär. 2023 (CET)

text: Es wäre sinnvoll, einen Abschnitt oder einen Artikel "gestutzte Normalverteilung" analog zu truncated normal distribution" zu schreiben.--Sigma^2 (Diskussion) 10:21, 3. Jun. 2023 (CEST)

text: Inzwischen gibt es den Artikel Stutzung, in dem auch gestutzte Normalverteilungen behandelt sind.--Sigma^2 (Diskussion) 12:33, 15. Okt. 2023 (CEST)
replies: text: Ich habe einen Verweis darauf unter Anwendungen eingefügt.--M.J. (Diskussion) 10:42, 17. Dez. 2023 (CET)
thread_title:  Abgeschnittene Normalverteilung 

message: Aber auch bei der "abgeschnittenen" Normalverteilung melden die Anpassungstests bei NT >= 109 Testwiederholungen, einer "kleinen" Anzahl von Summanden (NS <= 12), einem strengen Signifikanzniveau (α <= 0.001) und einer großen Intervallanzahl (NI >= 210) kleinere Probleme. Es kommt daher schnell der Verdacht auf, dass die Zwölferregel durch die "abgeschnittene" Normalverteilung zwar durchaus etwas besser beschieben wird als durch die "normale" Normalverteilung, aber dass dies immer noch nicht "das Gelbe vom Ei" ist.
Ich bin durch reinen Zufall auf die englische Irwin-Hall-Verteilung (Irwin-Hall-Distribution) gestoßen, welche exakt die Verteilung einer Summe aus (N >= 1) über dem Intervall [0 ; 1] gleichverteilten Zufallswerten beschreibt. Im Fall (N = 1) oder (N = 2) entspricht dies genau der kontinuierlichen Gleich- oder Dreiecksverteilung. Um so größer N wird, um so mehr passt sich die Irwin-Hall-Verteilung der Normalverteilung an. Selbstverständlich kann man die Irwin-Hall-Verteilung noch um die zwei reellen Parametern A und B (mit A < B) erweitern, so dass sie exakt die Verteilung einer Summe S aus N über dem Interval [A ; B] gleichverteilten Zufallswerten beschreibt. Wie das genau gemacht wird, ist bei der englischen Bates-Verteilung (Bates Distribution) zu finden, welche exakt die Verteilung des Mittelwertes AVG = (S / N) aus N über dem Interval [A ; B] gleichverteilten Zufallswerten beschreibt.
Mit anderen Worten, man testet häufig gegen die "falsche" sprich "unendliche" oder "normale" Verteilung, nur weil man von der "richtigen" Verteilung nur noch nix wußte. Und wenn jeder Anpassungstest dann beharrlich "nein" sagt, schiebt man die Schuld bequemerweise dem "schlechten" Zufallsgenerator in die Schuhe, der manchmal aber gar nicht "schuldig" ist, wie obiges Beispiel mit der Zwölferregel hoffentlich anschaulich genug zeigt.
--Aragorn321 (Diskussion) 12:29, 22. Okt. 2015 (CEST)
replies: text: Es gibt hier keinen Bezug zum Artikel. Es geht um die Qualität von Zufallserzeugung.--Sigma^2 (Diskussion) 10:25, 3. Jun. 2023 (CEST)

text: Wenn man den Artikel über die Gleichverteilung um die Faltung gleichverteilter Zufallsvariablen erweitern würde, wäre dort ein guter Platz für die genannten Verteilungen.--Sigma^2 (Diskussion) 10:39, 3. Jun. 2023 (CEST)
thread_title:  Kontinuierliche Irwine-Hall-Verteilung 

message: Die Bemerkungen über die Entropie sind falsch, siehe entsprechend englischsprachigen Artikel, dort ist die Entropie korrekt beschrieben. 
:Ein bisschen mehr Erklärung wäre nützlich gewesen. Der englischsprachige Artikel schwankt ohne Erläuterung zwischen 'log' und 'ln'. Dort ist – ohne Beleg – ein Ausdruck für H(X) angegeben, der vermutlich falsch ist, sich jedenfalls nicht mit anderen Quellen deckt.--Sigma^2 (Diskussion) 14:11, 12. Mär. 2023 (CET)
replies: text: Allerdings ist die Formel für die Entropie in der Tabelle falsch. --Sigma^2 (Diskussion) 14:31, 12. Mär. 2023 (CET)
replies: text: Immerhin ist H(X) = \tfrac{1}{2}\left( 1 + \ln{2\sigma^2 \pi}\right) = \tfrac{1}{2}\left(\ln e + \ln{2\pi\sigma^2}\right) = \ln(\sigma\sqrt{2\pi e}), also ident zu dem Ausdruck in unserem Artikel. Das beweist aber noch nicht viel. --Wrongfilter  ... 14:34, 12. Mär. 2023 (CET)

text: In der Tat; die richtige Formel ist mit zwei Belegen im Text zu finden und inzwischen auch in der Tabelle.--Sigma^2 (Diskussion) 12:44, 3. Jun. 2023 (CEST)
thread_title:  Entropie 

message: Es heißt im Artikel:
Andererseits liegt bei einer Normalverteilung im Durchschnitt ca. jeder 20. Messwert außerhalb der zweifachen Standardabweichung und ca. jeder 500. Messwert außerhalb der dreifachen Standardabweichung.
Außerhalb der zweifachen Standardabweichung zu landen, hat eine Wahrscheinlichkeit von 4.55%. Das ist eine geometrisch verteilte Zufallsvariable, die als Erwartungswert 1/4.55%≈21.978 hat. Analog haben wir bei der dreifachen Standardabweichung eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 0.27% außerhalb zu landen. D. h. 1/0.27%≈370.37. Da von "ca. jeder 500. Messwert" zu sprechen, ist keine gute Abschätzung. Oder übersehe ich etwas? Bitte um Peer review, dann würde ich es beheben. --Anthroporraistes (Diskussion) 12:39, 11. Mär. 2023 (CET)
thread_title:  Ausreißer 

message: Im Abschnitt "Kontaminierte Normalverteilung" findet sich die Behauptung, dass die angegebene Verteilung die Eigenschaft hat das 92.5% aller Werte im Bereich von [\mu-\sigma, \mu+\sigma] liegen. Das kommt mir äußerst fraglich vor, und tatsächlich sind wenn ich die Verteilung simuliere wie erwartet 65.5% der Werte in diesem Interval. 
Wo kommen die 92.5% her? Sind die frei erfunden oder ist (was ich vermute) ein durchaus interessantes Beispiel falsch kopiert worden? 2A00:23C6:1526:9F01:A582:88E9:C806:D450 10:08, 30. Jun. 2023 (CEST)
replies: text: Hast du den Querstrich bei \overline{\sigma} berücksichtigt? Gemeint ist nicht der Parameter \sigma in der Angabe der Verteilung, sondern die tatsächliche Standardabweichung der kontaminierten Verteilung. Bei einer Simulation mit 10000 Punkten (\mu=0,\,\sigma=1) bekomme ich \overline{\sigma} = 3.33 und 9249 Punkte im Intervall [\mu-\overline{\sigma}, \mu+\overline{\sigma}]. --Wrongfilter  ... 10:58, 30. Jun. 2023 (CEST)
thread_title:  Kontaminierte Normalverteilung 

message: Das Wort Streuintervall kommt in der gesamten Wikipedia in genau in einem Artikel - nämlich diesem - (allerdings ohne Beleg) vor. Ich vermute, es ist eine Ad-Hoc-Worterfindung eines Wikipediaautors, also unzulässige WP:TF. 
Mit Literatur belegbare Begriffe aus der Statistik sind: Zufallstreubereich, Schwankungsintervall, Prognoseintervall (diese drei meist mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit, Progoseintervall meist mit speziellerer Bedeutung), k-Sigma-Bereiche oder k-Sigma-Intervalle  für Intervalle der Form [\mu - k \sigma,\mu+k\sigma] (meist mit ganzzahligem k). 
Streubereich wird in der deskriptiven Statistik für das Intervall [x_{min},x_{max}] verwendet, wobei x_{min} und x_{max} der kleinste und größte von n Beobachtungswerten x_1,\dots x_n sind.
Wenn keine Belege geliefert werden – vielleicht ist es ja ein Begriff aus der Schuldidaktik, dort wurde schon so mancher Begriff kreiert – beabsichtige ich die Löschung bzw. Ersetzung durch einen anderen Begriff.--Sigma^2 (Diskussion) 12:26, 15. Okt. 2023 (CEST)
replies: text: Geht auch einfach nur "Intervall" oder "Bereich"? Konfidenzintervall trifft es wohl nicht?--M.J. (Diskussion) 15:17, 15. Okt. 2023 (CEST)
replies: text: Eventuell kannst du auch https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Normalverteilung#Streuregionen_der_mehrdimensionalen_Normalverteilung auf Korrektheit bei der Benutzung der Begriffe überprüfen biggerj1 (Diskussion) 16:48, 15. Okt. 2023 (CEST)
replies: text:  Streuregion und Streukreisradius könnten Erfindungen desselben Autors sein. --Sigma^2 (Diskussion) 17:28, 15. Okt. 2023 (CEST)

text: Richtig, Konfidenzintervall trifft es überhaupt nicht. Ein Konfidenzintervall hat zufällige Intervallenden. Intervall ist ok. Es geht einfach nur um die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls. --Sigma^2 (Diskussion) 17:24, 15. Okt. 2023 (CEST)
thread_title:  So genannte "Streuintervalle" 

message: Wer war denn 1845 verblüfft? Laplace war schon lange tot. Gauß zwar noch nicht, aber siehe Carl Friedrich Gauß#Beiträge zur Astronomie. --Rainald62 (Diskussion) 16:31, 11. Mär. 2024 (CET)
replies: text: Vermutlich soll Monsieur Quetelet selbst verblüfft gewesen sein. In der angegebenen Quelle schreibt er auf S. 259 von der concordance remarquable qui existe entre les nombres observés et les nombres calculés. Allerdings meint remarquable eher ein nüchterneres "bemerkenswert", und "verblüfft" scheint übertrieben, jedenfalls wenn diese Stelle tatsächlich gemeint ist. --Wrongfilter  ... 19:54, 11. Mär. 2024 (CET)
replies: text: Da hat er aber lange für gebraucht, denn das Buch ist von 1844. ;-) --≡c.w. @… 17:05, 13. Mär. 2024 (CET)
replies: text: Interessant. Die [angegebene Quelle] ist ein Abdruck desselben im Bulletin de la Commission Centrale de Statistique, datiert auf 1845. But what's another year? Die Daten zu den Brustumfängen stammen übrigens aus dem Jahr 1817. --Wrongfilter  ... 18:06, 13. Mär. 2024 (CET)
replies: text: Die "Übereinstimmung" sollte aber in Anführungszeichen als Zitat genannt werden. --M.J. (Diskussion) 20:57, 13. Mär. 2024 (CET)
thread_title:  verblüffende Übereinstimmung