Diskussion:Eulerscher Polyedersatz

message: *Die Eulersche Polyederformel hat eigentlich nichts mit der Konvexität zu tun. Entscheidend ist, dass die Oberfläche homöomorph zur 2-Sphäre (Mathematik) ist (anschaulich gesagt: dass es keine "Löcher" gibt), siehe die mehr oder weniger unfertigen Artikel Homologietheorie, Euler-Charakteristik und CW-Komplex.
*Die Eulersche Polyederformel gibt es auch für plättbare Graphen, vgl. dort (mit 1 statt 2, wenn das Äußere nicht mitgezählt wird).--Gunther 12:12, 27. Feb 2005 (CET)
replies: text: Inwiefern ist der aktuelle Artikel Euler-Charakteristik da nicht ausreichend?--Gunther 21:51, 1. Mär 2005 (CET)
replies: text: Oh sorry. Hatte mich beim Suchen wohl vertippt. Klar ist der ausreichend. Aber zur eigentlichen Frage: meiner Meinung nach ist das Nebeneinander der beiden Artikel so völlig ok. Und nach meinem Verständnis - ich bin übrigens kein Mathematiker, das kann also auch durchaus falsch sein - bezieht sich der 'Eulersche Polyedersatz' eben auf den genannten Spezialfall konvexer Polyeder. Oder irre ich mich da? Dann sollte der Artikel korrigiert werden! --Big Kahuna 22:04, 1. Mär 2005 (CET)
replies: text: Nein, ich denke, Du irrst Dich da nicht. Ich meinte nur, dass man im Artikel darauf hinweisen sollte, dass das nicht die "wahre" Voraussetzung ist, und Links auf die Verallgemeinerung und den analogen Satz der Graphentheorie setzen sollte. Habe das getan und gleichzeitig den Verweis auf den Satz von Pick herausgenommen, der mit der Eulerschen Polyederformel nichts zu tun hat.--Gunther 23:36, 1. Mär 2005 (CET)

message: Ich habe mal versucht, einen klassichen, einigermaßen Oma-tauglichen Beweis zu schreiben, der keiner weiteren Vorkenntnisse bedarf. Da man selbst aber bei gerade mathematische Beweisen nicht das Maß aller Dinge ist, was die Verständlichkeit betrifft, wären ein paar Anmerkungen schön, was noch zu verbessern wäre.--Wrzlprmft 18:31, 14. Jan. 2007 (CET)
thread_title:  klassischer Beweis 

message: was ist mit dem "zusammenhängendem Inneren ohne Löcher" im Artikel gemeint? ("Hat ein Polyeder ein zusammenhängendes Inneres ohne Löcher, kann die Beziehung seiner Flächen, Kanten und Ecken auch als planarer Graph (ein ebenes, zusammenhängendes Netz, dessen Kanten einander nicht schneiden) dargestellt werden.") -- demus wiesbaden 18:28, 20. Mai 2008 (CEST)
thread_title:  "zusammenhängendes Inneres ohne Löcher" 

message: Inzwischen ist der Satz von Pick wieder drin. Für mich sieht dieser "ungewöhnliche Beweis" aus wie eine verkappter (co)homologischer Beweis via Euler-Charakteristik. Die Formel für den Flächeninhalt läßt sich vermutlich direkt via Poincaré als Integral einer Fundamentalklasse interpretieren. Zuguterletzt beweist sich der Satz von Pick selbst auch via einer (kanonischen) Triangulierung, und Punktierungen haben auch den erwarteten topologischen Effekt. Der Satz von Pick ist also selbst genau genommen eine rein topologische Aussage (in elementarer Formulierung und Gestalt).
Den Beweis würde ich drin lassen, ihn jedoch nicht als ungewöhnlich bezeichnen. Falls keine Einwände bestehen, würde ich die Betitelung des Abschnittes bei Gelegenheit ändern, vielleicht in "ein weiterer Beweis". -- Drjanosch 20:20, 11. Dez. 2011 (CET)
thread_title:  ungewöhnlicher Beweis 

message: Ich schlage vor die Formel aus systematischen Gründen (was z.B. die Einordnung in die Theorie der CW-Komplexe angeht) in die Reihenfolge Ecken, Kanten, Flächen  umzustellen. D.h. E-K+F=2. Zum einen hat man hier die Vorzeichen in alternierender Reihenfolge zum anderen die Dimensionalität der Simplizes in aufsteigender Reihenfolge.--Thn2010 (Diskussion) 09:56, 5. Okt. 2012 (CEST)
thread_title:  E+F-K=2 

message: zwischen der Gibbssche Phasenregel und dem Eulerscher Polyedersatz besteht eine formale Ähnlichkeit:
 die Gibbssche Phasenregel
  f=N-P+2 lässt sich umformen zu f+P=N+2, wobei gilt:
  f - Anzahl der Freiheitsgrade,
  P - Anzahl der Phasen,
  N - Anzahl der unabhängigen Komponenten.
Formal lässt sich so  identifizieren:
 Eulerscher Polyedersatz: F+E=K+2 mit 
 Gibbssche Phasenregel:   f+P=N+2
 f  mit F Anzahl der Flächen,
 P  mit E Anzahl der Ecken,
 N  mit K Anzahl der Kanten eines Polyeders.
Diese formale Übereinstimmung gibt eine suggestive Vorstellung des Begriffs der Freiheitsgrade, als einer Fläche, eines zweidimensionalen Gebildes.
--TumtraH-PumA (Diskussion) 01:38, 7. Okt. 2012 (CEST)
thread_title:  Hinweis auf Gibbssche Phasenregel 

message: Die Aussage "Aus dem Satz lässt sich herleiten, dass es nicht mehr als fünf platonische Körper geben kann." finde ich zweifelhaft. Ich kenne nur folgenden Beweis: Wenn ein platonischer Körper aus lauter regelmäßigen n-Ecken besteht und in jedem Eckpunkt genau k solche n-Ecke zusammentreffen, so muss wegen der Winkelsumme gelten k*π*(n-2)/n<2π, also 1-2/n<2/k. Da diese diophantische Ungleichung nur fünf Lösungen (k,n)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3) besitzt, gibt es nur fünf platonische Körper. Die Eulersche Polyederformel wird erst dann benötigt, wenn man mit Hilfe von k und n die Anzahlen E, F und K berechnen will. (nicht signierter Beitrag von 213.47.239.83 (Diskussion) 20:41, 9. Sep. 2013 (CEST)
thread_title:  platonische Körper 

message: Müsste es in der vierten Textzeile nicht ...[chi] = 2 (statt ... = 0) heißen? (nicht signierter Beitrag von 77.25.226.61 (Diskussion) 19:56, 18. Jun. 2015 (CEST)
replies: text: So sehe ich das auch. Entweder sollte die Euler-Charakteristik = 2 sein oder das Geschlecht = 0. Für Euler-Charakteristik = 0 (also Geschlecht = 1) ist die Aussage jedenfalls falsch. --129.13.171.94 14:44, 24. Feb. 2016 (CET)
replies: text:  Stimmt, ich hab’s mal geändert. -- HilberTraum (d, m) 10:01, 25. Feb. 2016 (CET)
thread_title:  Eine Frage