Diskussion:Satz von Bolzano-Weierstraß

message: Dieser Artikel enthält fälschlich den Zusatz monotone Folge schon in der Satzformulierung.
Das ist aber gar nicht die korrekte Formulierung des Satzes. Vielmehr muss die Monotonie erst durch Fallunterscheidungen im Beweis sondiert werden. Werde das Wort monotone entfernen. --Pa 2.3.2005 00:10 (CET)
:I.O. --SirJective 21:11, 29. Mär 2005 (CEST)
thread_title:  Monotonie 

message: Wäre es möglich, dass jemand ein Anwendungsbeispiel dieses Satzes nennt? Fände ich gut. Danke -- 11:25, 25. Mär 2005 (CET)
replies: text: Ich hab jetzt einen weiteren Satz genannt, der auf B-W aufbaut. Hättest du gern eine konkrete Folge, zu der durch den Beweis des Satzes eine konvergente Teilfolge konstruiert wird? Das sollte sich einrichten lassen. --SirJective 21:11, 29. Mär 2005 (CEST)
replies: text: Falls jemand einen Trick sucht, den Satz richtig zu verstehen, empfehle ich folgendes sehr ungewöhnliches Vorgehen: Man stelle sich vor, der Satz sei falsch. Es sei eine Folge so definiert, dass sie, in dem Moment, wo sie konvergieren will (also etwa mehr als 50 Folgenglieder hintereinander in einer sehr kleinen Epsilonumgebung liegen), per definitionem außerhalb dieser Epsilonumgebung weitergehen muss (ohne zu divergieren).--Paul 17:02, 31. Mär 2005 (CEST)
thread_title:  Beispiel 

message: Zwei Punkte: (1) Wenn, dann kann man das gleich für den \R^n machen. (2) In der eingestellten Fassung könnten die Indexmengen der Teilfolgen disjunkt sein; man muss also vielmehr zunächst eine Teilfolge auswählen, für die der Realteil konvergiert, und dann *daraus* eine Teilfolge mit konvergentem Imaginärteil. Aber ehrlich gesagt sehe ich da das Kosten-Nutzen-Verhältnis nicht mehr so recht, das ist einfach viel Text für wenig Erkenntnisgewinn.--Gunther 16:03, 23. Nov. 2006 (CET)
thread_title:  Erweiterung auf komplexe Zahlen 

message: Wie üblich ist eigentlich die Reihenfolge der Aussagen in der Einleitung? Ich würde es für logischer halten, die reelle Aussage zuerst zu bringen, dann Verallgemeinerung auf den endlichdimensionalen reellen Fall und den komplexen Fall als Spezialfall davon.--LutzL 11:38, 25. Feb. 2010 (CET)
thread_title:  Einleitung 

message: Kann man den Satz nicht noch viel mehr verallgemeinern, indem man sagt:
:Jede Folge in einem metrischen Raum hat mindestens einen Häufungspunkt, wenn es eine kompakte Menge gibt, die fast alle Folgenglieder beinhaltet.
Das finde ich nochmal um einiges schöner, da wir hierfür keine Vektorräume brauchen und es natürlich auch für unendlich dimensionale Vektorräume gilt. --Jobu0101 18:30, 23. Nov. 2011 (CET)
replies: text: Wenn es eine kompakte Menge gibt, die fast alle Folgenglieder enthält, dann kann man diese um endlich viele Punkte erweitern und hat eine kompakte Menge, die alle Folgenglieder enthält. Ansonsten: Jede Folge in einem kompakten metrischen Raum hat wenigstens einen Häufungspunkt. Oder: In metrischen Räumen ist folgenkompakt=überdeckungskompakt.--LutzL 19:07, 23. Nov. 2011 (CET)
replies: text: Ja, ich weiß, dass es stimmt und auch wie man das zeigen kann. Nur ist das doch eine viel bessere Verallgemeinerung als die, die im Artikel geboten wird. Warum nimmt man also nicht die? --Jobu0101 22:33, 23. Nov. 2011 (CET)
replies: text: Die Frage ist ja, ob man diese Aussage noch nach Bolzano und Weierstraß benennt. In dem Artikel fehlt sowieso die Erklärung, was von Bolzano und Weierstraß erforscht wurde und was nur nach ihnen benannt wurde. --Christian1985 (Diskussion) 22:04, 26. Nov. 2011 (CET)
replies: text: Ist das nicht egal? Es geht ja um Verallgemeinerungen, nicht um das Ändern der eigentlichen Aussage. Die bisherigen Verallgemeinerungen wurden ja auch nicht so von Bolzano oder (vielleicht eher noch) Weierstraß formuliert.--LutzL 15:24, 27. Nov. 2011 (CET)

text: Aber was stimmt ist, dass diese Aussage nicht so richtig in den bisherigen Erzählstrang passt. Es sollte die Formulierung der Aussage in die Reihenfolge reell -> komplex -> endlichdimensional gebracht werden, danach entweder wie bisher unendlichdimensional oder erst, aber zusammen damit in einem extra Abschnitt, die Diskussion des Zusammenhangs zur Folgenkompaktheit.--LutzL 15:32, 27. Nov. 2011 (CET)

text: Was genau stimmt nicht? -- HilberTraum (Diskussion) 12:34, 24. Mär. 2014 (CET)
replies: text: ups, hatte mich verlesen. --Frogfol (Diskussion) 01:39, 25. Mär. 2014 (CET)
thread_title:  Weitere Verallgemeinerung 

message: In der Beweisskizze ist von Intervallschachtelungen die Rede, der Satz selbst ist aber mit komplexen und nicht reellen Folgen formuliert. Das sollte man vielleicht mal besser aufeinander abstimmen. --Jobu0101 (Diskussion) 22:06, 8. Jun. 2013 (CEST)
replies: text: Oben wurde schon öfters angesprochen, dass man erst den reellen Fall formulieren (und beweisen) sollte und dann erst auf verschiedene Verallgemeinerungen eingehen sollte. Dem kann ich nur zu stimmen: Ich sehe nicht, was gerade am komplexen Fall so wichtig sein soll, dass man den voranstellt. -- HilberTraum (Diskussion) 09:11, 9. Jun. 2013 (CEST)
replies: text: S. meinen Beitrag unten. Ich hab das mal bei Königsberger nachgeschaut. Der macht das genauso. In den anderen Einführungen wird das aber nicht direkt mit komplexen Zahlen gemacht. Gerade hier sollte mE erstmal eine einfache Version gewählt werden, dann können die Verallgemeinerungen kommen.--Frogfol (Diskussion) 23:34, 25. Mär. 2014 (CET)

text: Das sehe ich auch so. Die wesentliche Erkenntniss liegt bereits im reellen Fall. Der komplexe Fall ist auch nicht interessanter als die Verallgemeinerung auf (endlich-dimensionale) euklidische Vektorräume. Die Erwähnung dort, die auch jetzt schon vorhanden ist, müsste eigentlich ausreichen. Zumindest finde ich es für den Leser etwas überraschend, wenn es beim Satz von B-W gleich mit den komplexen Zahlen losgeht.--Gzim75 (Diskussion) 10:25, 1. Okt. 2021 (CEST)
thread_title:  Beweisskizze 

message: Mir gefällt nicht, dass hier unterschiedliche Fassungen (mit komplexen Zahlen) dargestellt werden. Königsberger macht das zwar, andere Einführungen aber nicht. Meiner Ansicht nach wäre es besser, eine Formulierung zu wählen, die häufig vorkommt, und dann vielleicht zu sagen, dass es auch andere Formulierungen gibt.--Frogfol (Diskussion) 01:43, 25. Mär. 2014 (CET)
thread_title:  unterschiedliche Fassungen 

message: Hallo, von dem in diesem Artikel besprochenen Satz kursieren in der Schulliteratur leider auch eine Reihe weiterer Fassungen, u.a. „Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt einen Häufungswert“, womit da schon einmal unklar ist, ob damit „mindestens einen“ oder „einen und nur einen“ gemeint ist, die dritte in diesem Artikel aufgeführte Formulierung dagegen schon mal von mindestens zwei möglicherweise verschiedenen spricht. 
Da in dieser Formulierung selbst jedoch (anders als ganz zu Anfang des Artikels) mit keinem Wort ein monotoner Verlauf der Folge verlangt ist, könnte diese Folge ja bspw. auch \left(a_i\right)_{i\in\mathbb N;k\in\mathbb Q} mit a_i = \sin(\pi \cdot k \cdot i) und den beiden Schranken +1 und -1 lauten, und jedesmal, wenn das Produkt k \cdot i der beliebigen rationalen Konstante k und natürlichen Indexzahl i zweier Folgeglieder dabei die Differenz 2 ergäbe, wären diese beiden Folgeglieder damit aufgrund der Periodizität der Sinusfunktion gleich, was heißt, dass es je nach Wert der Konstante k eine ggf. abzählbar unendliche Anzahl von Häufungspunkten geben müsste, dabei auch einen größten und kleinsten. 
Was aber, worauf einer meiner Studenten verfiel, wenn man diese Folge zu \left(a_i\right)_{i\in\mathbb N;k\in\mathbb Q} mit a_i = \sin(k \cdot i) und wieder den beiden og. Schranken +1 und -1 abwandelt? Da das Produkt der beliebigen rationalen Konstante k und der natürlichen Indexzahl i nun stets wieder eine rationale Zahl liefert, die Periode der Sinusfunktion jedoch mit 2\pi eine irrationale Zahl ist, kann es damit bei dieser Folge eigentlich auch keine zwei identischen Folgeglieder mehr geben, selbst bei unendlich oft fortgeführter Intervallschachtelung also am Ende auch keine Häufungspunkte, geschweige denn einen größten und kleinsten (bzw. überhaupt ein benennbares größtes und kleinstes Glied der Folge).
Müsste folglich nicht auch noch wenigstens das Kriterium der Monotonie in die oben von mir zitierte sowie die drei in diesem Artikel aufgeführten Formulierungen des Satzes von Bolzano-Weierstraß aufgenommen werden, damit er wirklich „wasserdicht“ ist? --Qniemiec (Diskussion) 02:53, 3. Sep. 2021 (CEST)
replies: text: Hallo, hab nochmal in einem weiteren Buch, der "Kleinen Enzyklopädie Mathematik", nachgeschaut, und da steht dann in der Ausgabe von 1970, S.388-389, als Satz von Bolzano-Weierstraß für Mengen ganz allgemein: „Jede beschränkte unendliche Menge hat mindestens einen Häufungspunkt.“ sowie für Zahlenmengen und -folgen im besonderen nochmal: „Jede unendliche und beschränkte Zahlenmenge hat mindestens einen Häufungswert.“ Was schon mal die Frage, ob mit „einen“ „mindestens einen“ oder „einen und nur einen“ gemeint ist, beantwortet, das oben geschilderte Problem mit der og. beschränkten unendlichen Folge \left(a_i\right)_{i\in\mathbb N;k\in\mathbb Q} mit a_i = \sin(k \cdot i) jedoch, die gleichwohl keinen Häufungspunkt aufweisen dürfte, weiter offen lässt. --Qniemiec (Diskussion) 10:47, 3. Sep. 2021 (CEST)
replies: text: Einfacher zu diskutieren ist ja die alte Formulierung „Jede beschränkte Folge reeller/komplexer Zahlen hat eine konvergente Teilfolge.“ Wenn man konstante unendliche Folgen ausschließt (die Konstante wäre dann ja der Grenzwert), gibt es entweder eine monoton steigende oder eine monoton fallende unendliche Teilfolge.--Pacogo7 (Diskussion) 13:37, 3. Sep. 2021 (CEST)
replies: text:  Ja, setzt aber immer voraus, dass da schon Monotonie drin ist. Wie aber soll man bei \left(a_i\right)_{i\in\mathbb N;k\in\mathbb Q} mit a_i = \sin(k \cdot i) irgendwelche Häufungspunkte finden? Die Folge ist unendlich und beschränkt, und trotzdem dürfte es, das das Argument der Sinusfunktion rational ist, ihre Periode 2\pi dagegen irrational, eigentlich jedes Folgeglied nur genau einmal geben, und damit auch keinerlei Häufungen, geschweige denn Konvergenz. Oder hab ich da einen Fehler im Gedankengang? --Qniemiec (Diskussion) 00:19, 14. Sep. 2021 (CEST)
replies: text: Monotonie ist nicht "schon drin" (also als Bedingung im Satz formuliert), sondern folgt aus einer geschickten Fallunterscheidung im Beweis.--Pacogo7 (Diskussion) 23:46, 18. Sep. 2021 (CEST)
thread_title:  Beschränkt und doch ohne Häufungspunkt/e? 

message: Im Abschnitt "Folgerungen und Verallgemeinerungen" wird behauptet, dass das Monotoniekriterium für die Konvergenz reeller Zahlenfolgen aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgt. Nun kann man aber sehr leicht einsehen, dass sich das Monotoniekriterium sehr einfach direkt aus den grundlegenden Eigenschaften reller Zahlen (Vollständigkeit, d.h. Existenz von Supremum bzw. Konvergenz von Cauchy-Folgen) beweisen lässt. Ich wüsste nicht, an welcher Stelle man dafür den Satz von Bolzano-Weierstraß bemühen wollte. Mehr noch: Es lässt sich umgekehrt der Satz von Bolzano-Weierstraß sehr leicht aus dem Monotoniekriterium (zusammen mit der Tatsache, dass jede reelle Folge eine monotone Teilfolge besitzt) beweisen. Will der Autor mit der oben genannten Behauptung implizieren, dass das Monotoniekriterium und der Satz von Bolzano-Weierstraß äquivalent sind?
--Gzim75 (Diskussion) 10:00, 1. Okt. 2021 (CEST)
thread_title:  Relation zwischen Satz von Bolzano-Weierstraß und Monotoniekriterium