Diskussion:Benfordsches Gesetz

message: Der Artikel scheint zu suggerieren, dass das Benford'sche „Gesetz“ ein Naturgesetz ist, dem alle, Zitat aus dem Artikel (Kommentare von mir in eckigen Klammern), „reale[n] Datensätze [... sic] die genügend umfangreich sind ...“, genügen. Diese Aussage ist (offensichtlich) im Allgemeinen falsch, da sich sehr viele äusserst umfangreiche reale Datensätze finden oder generieren lassen, die nicht Benford-verteilt sind. Dies ist im englischen Wikipedia-Artikel sehr viel besser dargelegt (allerdings ist auch der englische Artikel zu dem Thema nicht fehlerfrei):
The square roots and reciprocals of successive natural numbers do not obey this law. Prime numbers in a finite range follow a Generalized Benford’s law, that  aproaches uniformity as the size of the range aproaches infinity.  Lists of local telephone numbers in North America (7-digit length) violate Benford's law because they are not allowed to start with the long-distance prefix of the digit 1. Benford's law is violated by the populations of all places with a population of at least 2500 individuals from five US states according to the 1960 and 1970 censuses, where only 19 % began with digit 1 but 20 % began with digit 2, because truncation at 2500 introduces statistical bias. The terminal digits in pathology reports violate Benford's law due to rounding. Distributions that do not span several orders of magnitude will not follow Benford's law. Examples include height, weight, and IQ scores.
Selbst der Logarithmus eines Datensatzes, der approximativ dem Benford-Gesetz genügt, ist per Definition dann ein realer Datensatz, welcher nicht mehr dem Benford-Gesetz genügt. (!) In diesem Sinne lässt sich jeder Datensatz (damit meine ich in diesem Kontext ein geordnetes Tupel von reellen Zahlen) übrigens "nicht-manipulativ" (to be defined) transformieren, sodass die resultierende empirische Verteilung nicht mehr approximativ einer Benford-Verteilung gleicht.
In dem deutschen Artikel steht, Zitat,
Mit einer Konstanten multiplizierte Datensätze mit Newcomb-Benford-verteilten Anfangsziffern sind wiederum Benford-verteilt. Eine Multiplikation der Daten mit einer Konstanten entspricht der Addition einer Konstanten zu den Logarithmen. Sofern die Daten hinreichend weit verteilt sind, ändert sich dadurch die Verteilung der Mantissen nicht.
Diese Eigenschaft erklärt unmittelbar, warum in Steuererklärungen, Bilanzen etc., oder allgemein bei Datensätzen, deren Zahlen Geldbeträge darstellen, das Newcomb-Benfordsche Gesetz gilt. Wenn es überhaupt eine universell gültige Verteilung der Anfangsziffern in solchen Datensätzen gibt, dann muss diese Verteilung unabhängig davon sein, in welcher Währung die Daten angegeben werden, und die universelle Verteilung darf sich auch durch Inflation nicht verändern. Beides bedeutet, dass die Verteilung skaleninvariant sein muss. Da die Newcomb-Benfordsche Verteilung die einzige ist, die diese Bedingung erfüllt, muss es sich folglich um diese handeln.
Dieser Abschnitt ist äusserst fragwürdig: Ist X beispielsweise eine „Benford-verteilte“ Zufallsvariable auf \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, so hat 2X genau dann als erste Ziffer im Dezimalsystem 2, falls X=1. Also ist
: \mathsf P(2X\text{ hat als erste Ziffer }2)=\mathsf P(X=1)=\log_{10}(2){\color{red}\neq}\log_{10}(3/2).
Somit ist die Benford-Verteilung nicht in der Art, wie im Text beschrieben, invariant unter Multiplikation. Dieses Problem lässt sich ganz allgemein nicht beheben, falls man die „Grössenspanne“ der betrachteten Zufallsvariable vergrössert. Die Benford-Verteilung wird im Allgemeinen nur zu einer (in einem nicht präzisen Sinne) „approximativen“ Benford-Verteilung, falls sie mit einer Zahl multipliziert wird.
Da die Benford-Verteilung also, anders als beschrieben, nicht „invariant“ zu sein scheint, kann sie auch nicht die einzige „invariante“ Verteilung sein.
Im englischen Artikel steht 
In these situations, where the distribution of first digits of a data set is scale invariant (or independent of the units that the data are expressed in), the distribution of first digits is always given by Benford's law.
Als Referenz wird unter anderem dieser Wolfram Mathworld-Artikel verlinkt. In diesem wird aber strenggenommen nur ein Pseudo-Beweis geliefert, dass es keine „invariante“ Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt, da eine solche nicht normalisierbar ist.
Im deutschen Artikel steht
Ein Datensatz ist eine Benford-Variable (das heißt, das Benfordsche Gesetz gilt für diesen Datensatz), wenn die Mantissen der Logarithmen des Datensatzes in den Grenzen von 0 bis 1 gleichverteilt sind.
Wäre also Y=\exp(X) Benford-verteilt falls X\sim\operatorname{Uniform}([0,1]) ? Irgendetwas scheint hier genauer formuliert werden zu müssen, man erhält doch nur Anfangsziffern zwischen 1 und 2, oder?
Dies gilt auch für den Abschnitt Benfordsches_Gesetz#Erzeugung_Benford-verteilter_Anfangsziffern, der zudem auch mittels der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie neu formuliert werden sollte.
Die Einleitung des englischen Artikels
Benford's law, also known as the Newcomb–Benford law, the law of anomalous numbers, or the first-digit law, is an observation that in many real-life sets of numerical data, the leading digit is likely to be small. scheint präziser als die des deutschen Artikels.
Eine Erklärung des Gesetzes ist nicht vollständig erfolgt. Bei Benfordsches_Gesetz#Warum_viele_Datensätze_dem_NBL_folgen stehen nur vague formulierte Feststellungen, wo das Gesetz approximativ gilt, nicht aber, warum das Gesetz oft approximativ gilt (es steht dort beispielsweise, Zitat, "Geht man einerseits vom NBL in der heutigen Form aus, so existieren zahlreiche Datensätze, die dem NBL nicht genügen. Andererseits gibt es bereits eine Formulierung des NBL in der Form, dass ihm sämtliche Datensätze genügen." Was damit gemeint ist, ist mir äusserst unklar). Eine Idee wäre es, zu erwähnen, das
: \lim_{N\to\infty}\vert\{1\le n\le N:\text{ erste Ziffer von }x^n=k\}\vert=\ln(1+1/k)
für alle k\in\{1,\dots, 9\} gilt, solange \ln_{10} x irrational ist (x\in\mathbb N\setminus\{1\} TODO: x überprüfen).
Bei :en:Benford%27s_law#Multiplicative_fluctuations wird eine Erklärung versucht. Allerdings ist sie nicht rigoros, da die Bedingungen des zentralen Grenzwertsatzes nicht vollständig erwähnt werden und der Zusammenhang zwischen log-normaler Verteilung und Benford nicht ganz klar dargelegt wird. (Und der Link "see above" geht nicht.)
Als letztes noch ein Kommentar zum englischen Artikel (eigentlich hier fehl am Platz): dort steht
Mathematically, Benford’s law applies if the distribution being tested fits the "Benford’s Law Compliance Theorem". The derivation says that Benford's law is followed if the Fourier transform of the logarithm of the probability density function is zero for all integer values.  Most notably, this is satisfied if the Fourier transform is zero (or negligible) for n≥1. This is satisfied if the distribution is wide (since wide distribution implies a small Fourier transform).
Viele Sachen sind hier unklar: Das Theorem habe ich nicht rigoros formuliert finden können. Doch eine „weite“ Verteilung reicht nicht aus, um Benford zu erhalten. So genügt beispielsweise eine gleichmässige Verteilung auf [0,10^N] für N\in\mathbb N im Allgemeinen nicht einer Benford-Verteilung, egal wie gross N gewählt wird (und die Verteilung also beliebig weit wird!). Zudem wird von einer probability density function function gesprochen, obwohl nicht klar ist, warum die zu untersuchende Verteilung diskret ist. Was ist n?  --Maximilian Janisch (Diskussion) 01:00, 13. Feb. 2022 (CET)
thread_title:  Problematische Abschnitte im Artikel 

message: Habe den Abschnitt Logarithmische Begründung des Benfordschen Gesetzes hierher verschoben, da der Logarithmus an anderer Stelle behandelt wird:
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Wie man sich in der Literatur und im Web leicht überzeugen kann, sind alle Versuche, das Benfordsche Gesetz in Umgehung des Logarithmus zu erklären, letztlich schwerer zu begreifen als der Logarithmus. Ist beispielsweise x aus der Gleichung 10^x = 2 gesucht, dann findet man: x=0{,}30103, und das ist der Logarithmus von 2 zur Basis 10. Man sagt auch x=log_{10}(2).
Die Mantisse (d.s. die Stellen eines Logarithmus nach dem Komma) definiert die Struktur, den ziffernmäßigen Aufbau, einer Zahl, die Positionen vor dem Komma geben lediglich Auskunft über die Position des Kommas, die Dimension der Zahl. So steht die Mantisse 0,09151 für die Zahl 1,23455374 ( 10^0,09151 = 1,23455374 ), die Mantisse 3,09151 für 1.234,55374 ( 10^3,09151 = 1.234,55374 ). Die Struktur der Zahl ist identisch, nur das Komma hat sich um 3 Positionen nach rechts verschoben.
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Anton 19:54, 30. Jul 2005 (CEST)
thread_title:  Logarithmus 

message: Ich habe den Abschnitt Erwartungswert hierher verschoben:
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Ableitung des Erwartungswerts der Benfordverteilung
Auf Basis der oben dargestellten Häufigkeiten je Anfangsziffer würde man zu einem
Erwartungswert von rd. 3,44 gelangen. Dieser Wert ist in diesem Fall allerdings nur eine grobe Näherung. Der Erwartungswert  beträgt tatsächlich (10-1)/ln10 = 9/ln10 = 3,908650337... 
Dies deshalb, da der zu erwartende Anteilswert der Anfangsziffer k dem Flächeninhalt unter der hyperbolischen Funktion f(x) = 1/xln10 in den Grenzen von k bis k+1 entspricht. Der Erwartungswert der Benfordverteilung entspricht der Abszisse des Schwerpunkts der Fläche A unter dieser Funktion in den Grenzen von 1 bis 10 (A=1), die als das Integral G(x) der Funktion 
g(x)= x/Axln10 = 1/Aln10 in den Grenzen von 1 bis 10 wegen G(x)=x/Aln10 das Ergebnis 9/ln10 liefert.
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Ich verstehe den Abschnitt nicht. Wer kann helfen?
Wenn p(x) = log(1+1/x), dann ist der Erwartungswert EX= int (log(1 + 1/x)*x dx in den Grenzen von 1 bis 10 -- und ich erhalte dafür den Wert 3.50. 
Was sagt mir das?
Das benfordsche Gesetz bezieht sich auf diskrete Verteilungen, weshalb man auch mit dem diskreten Erwartungswert rechnen sollte, wenn ich den Mittelwert der ersten Ziffer wissen möchte. 
Anton 22:09, 30. Jul 2005 (CEST)
thread_title:  Erwartungswert 

message: ===Zum Bruchstückhaften des Artikels===
Ja, Anton, Du hast recht. Der Artikel sollte von Grund auf neu konzipiert und dann in einem Guss geschrieben werden. Bislang ist er das Ergebnis von Beiträgen mehrerer Autoren mit unterschiedlichem Schreibstil und Stilmitteln und personentypischen Rechtschreib- und Flüchtigkeitsfehlern, obwohl die Hauptmasse des Artikels immer noch von mir selber stammt. Soviel zu seinen Nachteilen. 
Gegenüber vielen Artikeln, die es mittlerweile über das Benfordsche Gesetz gibt, hat dieser bei allen Mängeln aber den Vorteil, daß er zeigt, wie man das Gesetz in der Praxis verwenden kann, und zwar nicht ausschließlich zur "fraud detection".
===Zum Logarithmus===
Den Exkurs über den Logarithmus auf die Diskussionsseite verbannt und ihn durch eine dem durchschnittlichen Leser nicht ohne weiteres zugängliche mathematische Ableitung ersetzt zu haben, sehe ich als didaktischen Fehler, womit nämlich erreicht wird, dass außer den Autoren wieder nur wenige das Gesetz kapieren. Denn in einen Artikel "Logarithmus" guckt nur der, der wirklich muss. Ich weiß zwar nicht, warum das so ist, aber den meisten Leuten graut vor dem Logarithmus. Nur deshalb habe ich diesen einfachen Exkurs geschrieben, damit das Gesetz evtl. besser begriffen wird. 
Nach Deiner Logik hättest Du auch den Halbsatz, was die Fibonacci-Zahlen sind, streichen müssen, und das wäre didaktisch mindestens ebenso ungünstig gewesen. Wikipedia ist ja längst nicht mehr so leicht zu managen wie ein kleiner Hypertext, zumindest nicht zu gewissen Tageszeiten.
===Verbesserungsvorschlag===
Man sollte sich bei der Neufassung des Artikels überlegen, ob man nicht gleich die Benford-Verteilung für beliebig lange Anfangssequenzen in beliebigen Zahlensystemen der Form (ln(sequ+1)-ln(sequ))/ln z mit sequ z.B. 1412.... und z = Zahlensystem einführt und damit eine möglichst umfassende Darstellung des Benfordschen Gesetzes präsentiert. Sed cui bono ?
===Zur mangelnden Erschütterung des sog. gesunden Menschenverstandes===
Die Erschütterung des menschlichen Hausverstandes kommt meiner Ansicht nach nicht zu kurz. Reicht es nicht, daß in einer nach oben unbeschränkten Zahlenmenge des dekadischen Systems mehr als 30% aller Zahlen mit einer '1' beginnen müssen ? Wie verrückt soll Deiner Meinung nach der Hausverstand angesichts solcher Informationen noch spielen ? Hat man erst einmal verdaut, daß dies das 2,71-Fache dessen ist, was der Hausverstand vermutet hätte, wird auch für den Hausverstand wieder alles kreuznormal und logisch.
Was MEINEN Hausverstand so durcheinander bringt, das sind die Fibonacci-Zahlen, die es schon mit den ersten 30 (dreißig) Zahlen zuwege bringen, daß ihre Anfangsziffern die Benford-Verteilung so genau treffen wie kaum eine andere Liste mit so wenigen Zahlen. Da sieht man, wie stark das Benfordsche Gesetz in der Natur verankert sein muß, auch wenn es in der Natur vielleicht so heißt: "Unabhängig von der Größenordnung im Kosmos: Kleines ist immer weit häufiger als Großes".
Aber sieht man das Gesetz so wie zuletzt dargestellt, kann der verdrehteste Hausverstand nicht umhin, zuzustimmen: Es gibt mehr Quarks als Atome, mehr Atome als Moleküle, mehr Methan als Naphthalin, mehr Mäuse als Elefanten, mehr kleine Sonnen als Superriesen, mehr kleine Schwarze Löcher als gigantische. Desgleichen gilt für Unternehmen, für die Anzahl von Sprechern einer Sprache (noch...), für Rechnungsbeträge, für Einkommen, für wissenschaftliche Leistungen, Artikel, Kommentare und Repliken, selbst in Wikipedia. Natürlich könnte man in einer Neufassung des ganzen Artikels solche philosophische Gedanken mit einfließen lassen, wohl aber nur, um Gefahr zu laufen, daß der nächste Co-Autor die Wissenschaftlichkeit solcher Gedanken bezweifelt und die betreffenden Passagen löscht oder bei guter Laune hier hereinstellt.
:(Anm.: ist ja schade, dass solche Beiträge nicht signiert werden - ist das hier ein Diskurs oder nur Dampfablassen?) Was den "verdrehten Hausverstand" und die vielen kleinen Mäuse anbetrifft, so scheint mir da einiges durcheinander zu geraten: "klein" oder "wenig" ist ja keine Frage der reinen abstrakten Zahl, um die es hier geht, sondern eine konkrete Quantität. Z. B. ein Einkommen, das mit einer "1" beginnt (häufig lt. Benford) lässt sich durch einen Wechsel der Währung (in preußische Gulden oder feuerländische Cordobas) in einen gleich großen Betrag transformieren, der mit einer "9" beginnt (selten lt. Benford). Was sagt der Hausverstand dazu? Signiert: --Cami de Son Duc 17:55, 6. Mär. 2010 (CET)
thread_title: Lieber Anton!

message: Die Erschütterung des menschlichen Hausverstandes kommt meiner Ansicht nach nicht zu kurz. Reicht es nicht, daß in einer nach oben unbeschränkten Zahlenmenge des dekadischen Systems mehr als 30% aller Zahlen mit einer '1' beginnen müssen ? Wie verrückt soll Deiner Meinung nach der Hausverstand angesichts solcher Informationen noch spielen ? Hat man erst einmal verdaut, daß dies das 2,71-Fache dessen ist, was der Hausverstand vermutet hätte, wird auch für den Hausverstand wieder alles kreuznormal und logisch.
Was MEINEN Hausverstand so durcheinander bringt, das sind die Fibonacci-Zahlen, die es schon mit den ersten 30 (dreißig) Zahlen zuwege bringen, daß ihre Anfangsziffern die Benford-Verteilung so genau treffen wie kaum eine andere Liste mit so wenigen Zahlen. Da sieht man, wie stark das Benfordsche Gesetz in der Natur verankert sein muß, auch wenn es in der Natur vielleicht so heißt: "Unabhängig von der Größenordnung im Kosmos: Kleines ist immer weit häufiger als Großes".
Aber sieht man das Gesetz so wie zuletzt dargestellt, kann der verdrehteste Hausverstand nicht umhin, zuzustimmen: Es gibt mehr Quarks als Atome, mehr Atome als Moleküle, mehr Methan als Naphthalin, mehr Mäuse als Elefanten, mehr kleine Sonnen als Superriesen, mehr kleine Schwarze Löcher als gigantische. Desgleichen gilt für Unternehmen, für die Anzahl von Sprechern einer Sprache (noch...), für Rechnungsbeträge, für Einkommen, für wissenschaftliche Leistungen, Artikel, Kommentare und Repliken, selbst in Wikipedia. Natürlich könnte man in einer Neufassung des ganzen Artikels solche philosophische Gedanken mit einfließen lassen, wohl aber nur, um Gefahr zu laufen, daß der nächste Co-Autor die Wissenschaftlichkeit solcher Gedanken bezweifelt und die betreffenden Passagen löscht oder bei guter Laune hier hereinstellt.
:(Anm.: ist ja schade, dass solche Beiträge nicht signiert werden - ist das hier ein Diskurs oder nur Dampfablassen?) Was den "verdrehten Hausverstand" und die vielen kleinen Mäuse anbetrifft, so scheint mir da einiges durcheinander zu geraten: "klein" oder "wenig" ist ja keine Frage der reinen abstrakten Zahl, um die es hier geht, sondern eine konkrete Quantität. Z. B. ein Einkommen, das mit einer "1" beginnt (häufig lt. Benford) lässt sich durch einen Wechsel der Währung (in preußische Gulden oder feuerländische Cordobas) in einen gleich großen Betrag transformieren, der mit einer "9" beginnt (selten lt. Benford). Was sagt der Hausverstand dazu? Signiert: --Cami de Son Duc 17:55, 6. Mär. 2010 (CET)
thread_title: Zur mangelnden Erschütterung des sog. gesunden Menschenverstandes

message: Die Logik meiner Mittelwertbetrachtung (3.91), die Deine Kritik ebenfalls nicht unverschont ließ, stammt aus einem wissenschaftlichen Artikel; ich hätte ihn gerne zitiert, aber ich konnte das betreffende pdf auf dem PC in der Eile nicht finden. Wenn ich ihn noch im Web finde, stelle ich Dir den link hier hinein. 
Das Wesentliche daran ist, daß Du die diskrete Benford-Verteilung beim dekadischen System ersetzen kannst durch die stetige Funktion y=1/xln10 (bei beliebigen Zahlensystemen z durch y=1/xlnz). Das siehst Du bei Integration dieser Funktion in beliebigen Grenzen innerhalb des Intervalls [1;10]. Integrierst Du zwischen so definierten Grenzen [a;b], so erhältst Du (lnb - lna)/ln10, was identisch ist mit der diskreten Betrachtung, sofern a und b ganze Zahlen sind. a und/oder b können aber auch irgendwelche andere nicht ganze reelle Zahlen sein. Der Mittelwert 3.91 entstammt dieser Logik. Die Praxis lehnt sich an eben diese Denkweise an, nimmt 3.90 oder 3.91 und fährt mit ihren Schätzungen besser als mit 3,44 oder mit 3,50. Beide Denkweisen haben etwas für sich.
Pard 13:17, 5. Aug 2005 (CEST)
thread_title: Zum Mittelwert: stetig oder diskret?

message: Vielen Dank für die Antworten.
Zum Logarithmus: die Grafik des Log-Kreises ersetzt m.E. den Abschnitt zum Logarithmus. Wer den Log-Artikel nicht lesen will, wird auch mit dem Abschnitt nur wenig anzufangen wissen.
Fibonacci: genau. Zufallszahlen weisen diese Eigenschaft nicht auf.
Frage zu Zipf: Hast du vielleicht einen Weg gefunden, wie man nachvollziehen kann, warum sich Benfordsche und Zipf-Verteilung trotz ihrer unterschiedlichen Darstellung so gleichen?
Viele Grüße, Anton 18:57, 6. Aug 2005 (CEST)
thread_title:  Hallo Pard 

message: Das Zipfsche Gesetz und Benford, mmh. Nehmen wir die Rangordnung aller Wörter im Deutschen. Jedem Wort wird eine Rangzahl zugeordnet. Nehmen wir an, es würden üblicherweise nur 199 Worte verwendet; das entspräche vielleicht dem vorherrschenden Wortschatz in einer durchschnittlichen Schnapsbude. Dann könnte jeder dort Anwesende mit etwas Übung statt einer Sequenz von Worten eine Sequenz von Ziffern, die für diese Worte stehen, sagen. Die als Ziffernsequenz im 200-er-System verstanden werden könnte. Jede Ziffernsequenz k hat eine Benford-Wahrscheinlichkeit der Form (ln(k+1)-lnk)/ln200. Ganz ähnlich wäre es mit den Buchstabensequenzen, inkl. Leerzeichen 27 Zeichen, also uminterpretiert im 28-er-Zahlensystem. 
Bei Zipf werden die untersuchten Werte einer Rangreihung unterzogen und mithin durch eine Ziffer ersetzt. Ab n = 30 beginnen 30% der Ränge mit einer 1, danach sinkt das Verhältnis zugunsten der übrigen Ränge, um ab 100 wieder die 1 zu bevorzugen, was erst ab 200 wieder aufhört, usw.
Manchmal habe ich den Eindruck, nicht das benfordsche Gesetz ist ein Spezialfall des Zipfschen Gesetzes, sondern umgekehrt; das benfordsche Gesetz spricht ausschließlich von der Häufigkeit von Ziffern. Die Transformationen, die der Anwendung des Zipfschen Gesetzes vorangehen, machen aus irgendwelchen Zeichen und Symbolen Ziffern. 
Auch die häufigsten Strukturwörter des Deutschen sind jene Wörter, die die Struktur der Sprache erzeugen, selbst aber eine nahzu vernachlässigbare Bedeutung haben. Das Russische kommt wunderbar ohne der-die-das, ein-eine-ein etc. aus, ohne einen Funken an Bedeutung nicht darstellen zu können. 
Was man bei all diesen Gesetzmäßigkeiten so schwer kapiert, ist, dass die ZAHLENWERTE SELBST SO GERINGE BEDEUTUNG haben. Es zählt häufig nur der Logarithmus, und von ihm auch nur das, was hinter dem Komma steht. Und erst bei den Logarithmen haben alle die gleiche Chance, was das Kleine gegenüber dem Größeren bevorzugt. Diese Bevorzugung des Kleinen gegenüber dem Großen führt zu den typischen hyperbolischen Verläufen, wobei man oft nicht mehr sagen kann, gilt nun Benford, Zipf, Exponentialverteilung oder Logarithmische Normalverteilung, Pareto oder ... ? Statistisch kann man leider nie sagen, was wirklich GILT, sondern nur, was im konkreten Fall am besten PASST.
Einen mathematisch schlüssigen Übergang von Benford zu Zipf, den habe ich leider nicht parat. Die natürliche Tendenz zu hyperbolischen Verteilungen ist aber evident. Das betont auch B.Mandelbrot.
Liebe Grüße Pard 19:46, 6. Aug 2005 (CEST)
thread_title:  Hallo Anton 

message: Ich habe mir aus dem Artikel über das zipfsche Gesetz die Statistik über die Häufigkeiten von 32 Zeichen im Deutschen vorgenommen. Leider vernachlässigt diese Statistik, daß es auch Strichpunkte, Doppelpunkte, Anführungszeichen etc. und nicht nur Punkt und Komma in deutschen Texten gibt. Wie auch immer, ich habe diese 32 Zeichen als Symbole des 33-er-Zahlensystems betrachtet und dabei herausgefunden, dass das benfordsche Gesetz die Zeichenhäufigkeit im Deutschen noch besser wiedergibt als das zipfsche Gesetz. Der Unterschied im Chi² ist zwar marginal, aber es ist über 30% niedriger als beim zipfschen Approach.
:Um eine passable Statistik zu haben, hatte ich mich im Artikel auf Buchstaben beschränkt und auch nicht zwischen Groß- und Kleinbuchstaben unterschieden. Vielen Dank für das Testen mit beiden Verteilungen. Den nächsten Schritt habe ich bisher gescheut: was ist, wenn die Mandelbrot-Zipf-Verteilung mit den zwei zusätzlichen Fit-Parametern die Benford-Verteilung numerisch gut annähert? Wie soll man das analytisch nachvollziehen, wenn es mir bereits bei den einfachen Verteilungen nicht gelingt? Anton 23:15, 8. Aug 2005 (CEST)
thread_title: ZIPF ~ BENFORD

message: Hast Du schon bemerkt, dass die Häufigkeit der '1' die Summe aus den Häufigkeiten der '2' und der '3', aber auch die Summe aus den Häufigkeiten der '3','4' und der '5', aber auch der '4','5','6' und der '7' usw. ist ? Das gilt im übrigen für alle Zahlensysteme.
Liebe Grüße Pard 12:48, 8. Aug 2005 (CEST)
thread_title: BENFORD

message: Ich stelle den Satz:
"Das benfordsche Gesetz kann als Spezialfall des zipfschen Gesetzes angesehen werden." mal hier herein. Ich glaube nämlich, dass das so nicht stimmt.
1. Das zipfsche Gesetz beruht auf einer hyperbolischen Funktion zweiten Grades, deren Stammfunktion eine Hyperbel der Form F = C/R oder einfach F(x) = c/x ist. Die Stammfunktion der Benford-Funktion f(x) = 1/xlnB (B für Zahlenbasis) ist eine logarithmische Funktion.
2. Die Benford-Verteilung ist logisch ableitbar, das sogenannte zipfsche Gesetz ist empirisch gefunden; erst danach ist eine mathematische Entsprechung gesucht worden, die, anders als beim benfordschen Gesetz, der willkürlichen Wahl einer optisch naheliegenden mathematischen Funktion entsprang. Das ist aber höchst unwissenschaftlich, würde Sir K.Popper gesagt haben, weil er vor seinem Tod stets den umgekehrten Weg forderte. Was er jetzt fordert, weiß keiner.
3. Das zipfsche Gesetz wird in der Linguistik mit höchst mäßigem Erfolg probiert, es stimmt einfach nicht hinreichend genau. Das benfordsche Gesetz stimmt in seinen Einsatzgebieten hinreichend genau, und zwar mit wachsender Stichprobe immer genauer.
4. Ich halte das zipfsche Gesetz, auch wenn es einen netten Namen hat, für eines der zahlreichen Artefakte der Wissenschaft. Den Häufigkeiten sind Nominaldaten, wie Buchstaben (die in jeder Sprache anders geordnet sind) oder Wörter, unterlegt. Man weiß nicht, wie man diese Daten auf der Abszisse objektiv ordnen soll. Dann rangreiht man die Häufigkeiten nach fallenden Werten und erhält damit zwingend eine monoton fallende Funktion. Da die Werte nicht um einen konstanten Wert fallen, ergibt sich fast zwangsläufig eine sortierte Aneinanderreihung, die wie eine Hyperbel aussieht. Ich meine, als Zipf das sah, sagte er, ah, eine Hyperbel, und ihm fiel ein: y = 1/x, multipliziert mit einem Faktor c. Genauso wie die linguistischen Sortierungen kann man die Intelligenzquotienten der Passagiere der S-Bahn sortieren, und man wird wiederum eine "hyperbolische Gesetzmäßigkeit" finden. B. Mandelbrot dürfte das erkannt haben, weil er offenbar das zipfsche Gesetz zu reparieren versuchte.
Ich erinnere mich eines Kommentars eines Wikipedianers auf der Diskussionsseite des zipfschen Artikels, der meinte, er verstehe die Deduktionen rein gar nicht, weil er weder Linguist noch Mathematiker sei, aber ihn mute all das wie eine Tautologie an. Er hat ja recht: Diese sortierten Daten sagen nur aus: "Größere Häufigkeiten sind größer als solche, die kleiner sind als die größeren." Quae sapientia !
5. Die Summe aller Häufigkeiten beim zipfschen Gesetz ergibt nicht nur nicht 100%, sie steigt bei wachsender Zahl an Elementen über 100%. So ein GAU passiert bei Benford nie.
6. Das zipfsche "Gesetz" entspricht haargenau der Benford-Funktion 1/xln65 eines Zahlensystems mit 64 wohlunterscheidbaren Symbolen (also zur Basis 65). Das zipfsche Gesetz ist daher wahrscheinlich nicht unentbehrlich. Man könnte jetzt wieder mutmaßen, vielleicht liegt die zipfsche Sortierroutine dem genetischen Code, der ja auch 64 Zeichen hat (A,C,G,T im Dreierpack ergibt 4³ = 64 Zeichen), oder der Schrift der Japaner zugrunde, vielleicht auch dem durchschnittlichen Verrentungsalter in Nordossetien.
Liebe Grüße Pard 15:42, 9. Aug 2005 (CEST)
thread_title: benfordsches Gesetz wäre angeblich Spezialfall des zipfschen Gesetzes

message: Hallo Pard,
Du schreibst: Das zipfsche "Gesetz" entspricht haargenau der Benford-Funktion 1/xln65 eines Zahlensystems mit 64 wohlunterscheidbaren Symbolen (also zur Basis 65). Leider nicht ganz, siehe Vergleichsgrafik unter Zipf. Bei kleinen Werten treten Abweichungen auf, die nicht von der Normierung abhängen, sich aber u.U. durch weitere Parameter (Mandelbrot) verringern lassen. Die Normierung ist bei der Benford-Funktion ohne Zweifel eleganter, bei Zipf aber auch kein großes Problem (Taylor-Näherung).Wenn sich beide Verteilungen zusammen führen ließen, sollte Zipf ein Unterpunkt von Benford werden, ebenso wie die Pareto-Verteilung...Anton 18:36, 9. Aug 2005 (CEST)
thread_title:  Benford -> Zipf + Paretto 

message: Hallo Anton,
Das Problem beginnt ganz in den Anfangsgründen. Der zipfsche Ansatz ist hyperbolisch. Die Integralkurve der Zipfverteilung ist eine Hyperbel der allgemeinen Form F(x) = c/x, die im Quadranten (x>0;y>0) von links oben nach rechts unten verläuft. Daher ist die Zipf-Funktion eine Funktion der Form f(x) = k/x², die einen ähnlichen Verlauf nimmt. Die Benford-Funktion ist von der Form 1/xlnB, die Integralkurve lautet daher F(x)= lnx/lnB, die im oben definierten Quadranten von links unten nach rechts oben verläuft. Wenn wir die Stammfunktionen miteinander vergleichen, sehen wir den Unterschied, der evident ist. 
Das Problem ist auch, dass das zipfsche Gesetz - ebenso wie das von Lotka und jenes von Bradford, wohl eher durch eine Art geometrischer Verteilung darstellbar ist, und dass deshalb beide Gesetze quasi entbehrlich wären. Zudem hat die Rangreihung von Häufigkeiten fast immer die Tendenz, hyperbolisch auszusehen.
Wenn dann noch nach Buchstaben oder Worten sortiert wird, kommt mir das so vor, als würde ich die Benford-Verteilung darstellen, indem ich die Anfangsziffern auf der Abszisse nach deren Anfangsbuchstaben im Alphabet reihte, was in fast allen Ländern auf einen unterschiedlichen Verlauf hinaus liefe. Wie Du möglicherweise gelesen hast, bezweifle ich die Existenz des zipfschen Gesetzes daher generell, zumal auf der Abszisse vergleichbarer Unfug gemacht wird. Zipf war ein anerkannter Linguist von Harvard; Mathematiker war er keiner. Als Linguist staunt man sicher bald über was, wenn 's mathematisch wird. 
Dieselbe Methode, die Zipf verwendet hat, wurde mir vor 2 Jahren von einem entfernten Spross einer bekannten europäischen Adelsfamilie mit stolzgeschwellter Brust präsentiert (in anderem statistischen Zusammenhang). Ich war versucht, diesen Approach nach ihm zu benennen, habe den Namen aber dann doch, aus Gründen der Wahrung der Anonymität, zwiefach tabuistisch entstellt und nenne den Approch seither GELBBROT-METHODE. Mit ihrer Hilfe kann man herrliche Fakes produzieren. Der Erkenntnis ist so was freilich nicht dienlich. Ich bezweifle nicht, dass es bei Sortierung von Häufigkeiten zu einem hyperbolischen Verlauf kommt. Aber das liegt m.E. mehr am Befehl SORT, weniger an Zipf.
Liebe Grüße Pard 11:11, 10. Aug 2005 (CEST)
replies: text: Hallo Pard, leitet sich daraus ein Ansatz ab, mind. die drei Artikel zusammen zu fassen?Gruß, Anton 15:46, 10. Aug 2005 (CEST)

text: Gerne, nur wie gehen wir vor?Die Gliederung deutest du bereits an: Richtige Verteilungen, gefühlte Verteilungen, Anwendungen. Wird dann der Artikel nicht zu lang? Welche Teile sollten wir wie ausgründen? Bei Diskussion:Pareto-Verteilung las ich den Satz: ... oder Artikel für 80/20-Regel schreiben. --Hubi 16:37, 22. Jul 2004 (CEST)

text: Hallo Anton, ich habe nachgedacht. Der Artikel wird wirklich lang. Zu vielen der schon existierenden (und guten!) Artikel können wir ja wie gewohnt unsere links setzen und sie ansonsten nur in einem Satz umschreiben, und basta.
Wenn wir so gliedern:
"HYPERBOLISCHE" GESETZMÄSSIGKEITEN
bisweilen sind sie nicht wirklich hyperbolisch, sie sehen manchmal nur danach aus.
Das sollten wir erklären.
Dann sollten wir darstellen, auf welche Arten man zu solchen Beziehungen  gelangt:
- DURCH MATHEMATISCHE ABLEITUNG das führt zu in der Praxis verifizierbaren Theorien (Grafiken)
- DURCH SORTIERUNG VON HÄUFIGKEITEN das führt zu Tautologien, wie wir anhand grafischer Darstellungen belegen können.
-- ZAHLEN
-----BENFORD interessant ist dabei auch die BINÄRE Betrachtung.
Kein Verhaften an den Ziffern 1 bis 9, wir entwickeln die Benford-Häufigkeiten mittels einer primitiven Formel von 1 bis n und können einfach zeigen, wie die Wahrscheinlichkeiten in jeder Dimension immer wieder aufscheinen; es ist fast wie ein Fraktal. Benford-Funktion ist stetig und der Mittelwert tatsächlic 3,909.  
-- LINGUISTIK
-----ZIPF (nicht kritiklos...)
-- ÖKONOMIE
-----NUTZENFUNKTION (nicht ohne Anmerkungen)
-----PARETO
-----LORENZ
-- PUBLIZISTIK
-----BRADFORD
-----LOTKA
Was meinst DU ?
Liebe Grüße Pard 23:07, 15. Aug 2005 (CEST)
thread_title:  Benford -> Zipf + Pareto 

message: Der Weblink 
http://matheag-sii.bildung-rp.de/assets/html/Benford/  
zeigt in der Materialsammlung Daten über Städtegrößen und der Einwohnerzahlen in den USA. Interessant ist, daß die Städtegrößen mit der Einwohnerzahl nicht signifikant korreliert sind (n=51, r = 0,10; nicht signifikant; 1% der Varianz in erster Näherung dadurch erklärt).
Weitere Überprüfung ergibt, daß die Städtegrößen nur bei sehr toleranter Irrtumswahrschein-lichkeit (<1%) als vielleicht zipf-verteilte, wohl kaum aber benford-verteilte Größen anzusehen wären. Bei den Einwohnerzahlen scheint zumindest bei diesem Datensatz eher die Hypothese Benford-Verteilung als die einer Zipf-Verteilung nicht zu verwerfen zu sein. Was zeigt, dass nicht alles so verteilt ist, wie man es gerne hätte. 
Jetzt, da die Benford-Verteilung, 120 Jahre nach ihrer von der Öffentlichkeit ignorierten Entdeckung, so richtig populär zu werden beginnt, gibt es manchen, der plötzlich dieses Kräutlein für sich entdeckt und es nun gleich als Allheilmittel anpreist: Die Dauer von Kriegen, die Einkommensverteilung u.v.a.m, überall soll nun auf einmal die liebe Benford-Verteilung herhalten. Es nimmt eben vieles progressiv ab, und das sieht halt fast immer aus wie eine Hyperbel oder wie ein Logarithmus aus einem Bruch, zB. ln((x+1)/x). Aber ob es in Wirklichkeit gar so einfach ist? Dies alles fragt sich über die Moden in der wissenschaftlichen Öffentlichkeit schmunzelnd Pard 23:25, 4. Sep 2005 (CEST)
thread_title: Zu den Weblinks

message: Bin kein Wikischreiber und habe auch dieses Vorschlagswesen für exzellente Beiträge nur teilweise nachvollzogen.
Aber ich finde man sollte den Artikel als exzellent markieren. So wie der/die Autor(en) da einen Sachverhalt präsentieren, der dem 'gesunden Menschenverstand' kreuzquer geht ist schon vorbildlich.
Ich wünsche mir, dass Artikel zur und über Mathematik häufiger klar strukturiert und vollständig beschrieben werden. Dass dabei aber nicht ins Expertenverständnis abgedriftet wird.
Eine 'Exzellenz- Markierung' könnte andere Autoren dahingehend ermutigen.
R. K
 Ich habe das als mathematischer Laie gelesen (habe die Formeln nicht im einzelnen nachvollzogen), konnte den Aussagen folgen und fand es sogar noch interessant. --Luha 16:36, 23. Sep 2005 (CEST)
replies: text: Hallo Pard, das sehe ich natürlich anders. Zipf ist ein Spezialfall der Benfordschen Verteilung. Wahrscheinlich hast du meine Begründung herausgenommen. Falls erforderlich, muss ich sie nochmals heraussuchen. Gruß, Anton 22:21, 13. Dez. 2006 (CET)
thread_title:  Exzellentendiskussion, 22. September 

message: >quote
Die erste Ansatz, das Benfordsche Gesetz zu verwerfen, hilft nicht. Denn dann brauchte man eine andere Erklärung für die Ungleichverteilung der Anfangsziffern. Statt dessen ist zu vermuten, dass die Ziffern 7-9 aufgerundet werden auf 1 oder 2. 
Für das Bestreben einer 1 an erster Stelle spricht, dass ab 100.000 Einwohnern eine deutsche Stadt als Großstadt zählt. Ob es eine ähnliche Schwelle bei 20.000 Einwohnern gibt, wie in Österreich, oder bei 200.000, ist dem Autor nicht bekannt.
unquote<
Dieses Beispiel ist mit großer Wahrscheinlichkeit ein Element der Menge der Datensätze mit zu geringer Standardabweichung der dekadischen Logarithmen. Da es in Deutschland keine Stadt mit 10.000.000 Einwohnern gibt, beträgt die Standardabweichung der Logarithmen zur Basis 10 nach meiner vorsichtigen Schätzung weit unter 0,4. Um diese genau zu kennen, bräuchte man jetzt den Datensatz, den man logarithmieren kann. Bei einer solch mickrigen Standardabweichung ist die Gültigkeit des NBL nahezu auszuschließen. Kompliziert, weshalb das so ist, aber: ISSO: Alle all zu eng liegenden und sich dennoch verbenfordisieren wollenden Datensätze enden so tragisch. Ein österreichischer Datensatz dieses Genres würde einem NBL-Test ebenso wenig standhalten, da 20.000 die untere Grenze ist und 1,5 Mio (Wien) die Obergrenze, was auch eine Spannweite von weniger als 2 ergibt und daher viel zu gering ist.
Ich habe daher einige ersatzlose Streichungen vornehmen müssen, wie den Satz, der trotz der eklatanten Widersprüche zum NBL am NBL festhält und - was sicher wieder nur unserer österreichischen Unachtsamkeit zuzuschreiben ist - die absolute Korrektheit der mit beknnater preußischer Disziplin gesammelten und verwalteten deutschen Einwohnerdaten in Zweifel zieht. Spaß beiseite: Das NBL in der bekannten Form gilt einfach nicht für zu eng liegende Datensätze. Selbst bei Berücksichtigung der 15.000-er Städte gibt es in Deutschland keine Städte mit der Größenordnung von 15.000.000 (wie Shanghai oder Moskau bei Tag); aber wenn wir doch erst ab einer dekadisch logarithmischen Spannweite von 3 und Normalverteilung der Logarithmen das NBL postulieren dürfen!(ISSO)Drunter wird's ganz rasch sehr unsicher.  Pard 01:40, 7. Jan 2006 (CET)
thread_title: Benford-artige Statistik der Größe deutscher Städte

message: Ich habe heute im Artikel einige Korrekturen und Löschungen vorgenommen. Es handelt sich mitnichten um einen Vandalenakt, sondern um ernstgemeinte Löschungen heute so nicht mehr haltbarer Aussagen und bei den Korrekturen um Präzisierungen. Fallweise habe ich auch Passagen gelöscht und deren Sinn, wo es besser in den Kontext paßte, in einem Halbsatz hinzu gefügt. 
Ich meine, der Artikel wurde dadurch nicht nur kürzer, sondern zumindest auch nicht schlechter.
Pard 02:21, 7. Jan 2006 (CET)
replies: text: Hallo Pard, vielen Dank für deine Erweiterungen. Auf die Schnelle kann ich leider nicht kommentieren -- die Vielzahl der Einzel-Änderungen (mehr als 50...) kann ich nicht mehr mit der Standardeinstellung erfassen. Anton 14:03, 7. Jan 2006 (CET)
thread_title: Einige Löschungen im Artikel

message: Die im Text wiederholt verwendete Abkürzung NBL ist nicht explizit erklärt, bedeutet vermutlich "Newcomb Benford Law" ...
könnt man das (falls es stimmt) bitte noch aufnehmen, die Abkürzung fällt sonst irgendwie vom Himmel. --Pik-Asso 09:58, 9. Jan 2006 (CET)
thread_title:  NBL 

message: Hallo Amtis, habe deine Zeile:
:Siehe auch Radosophie - Eine andere Möglichkeit Daten auf Korrektheit zu überprüfen
herausgenommen. Ich sehe beim besten Willen keinen Zusammenhang zwischen Zahlenmystikern und Benford. Anton 04:20, 26. Mär 2006 (CEST)
thread_title: Radosophie

message: Mir ist schon viel Unsinn untergekommen; die Verbindung zwischen Radosophie und Benfordschem Gesetz (NBL)ist ein wirklich großer. Wahr ist, dass die Behauptung vieler vor 2000, (nahezu) jeder Datensatz folge dem NBL, falsch ist. Wahr ist allerdings auch, dass es Voraussetzungen gibt, unter welchen das NBL schlicht gelten MUSS. Wahr ist weiters, dass diese Voraussetzungen in der Praxis sehr häufig gelten, weshalb das NBL in der Praxis sehr häufig gilt. Da ich darüber gerade eine wissenschaftliche Publikation schreibe, kann ich mich über diese Voraussetzungen z.Zt. nicht weiter verbreitern. Pard 89.144.230.207 09:38, 28. Jun 2006 (CEST)
thread_title: Benfordsches Gesetz und Radosophie

message: Wenn Du schon einen Strauß auszufechten hast mit Christoph Droesser, so ist das Deine Sache. Am NBL ist absolut etwas dran, Du verstehst eben (noch) nichts davon. Lies doch erst mal die angeführte Literatur des Fachmanns Peter Posch von der Uni Ulm, dann wirst Du das ganze nicht als SDL-würdigen HOAX einstufen. Vorausgesetzt, Du weißt noch oder schon, was "Logarithmus" bedeutet; sonst kannst Du es getrost bleiben lassen. Nichtwissen ist ja keine Schande, im Nichtwissen aber alles als Hoax einzustufen, was man nicht begreift, ist irgendwie ..., wie soll ich es nennen ? 
Ich habe mir den Kommentar des Christoph Droesser im übrigen angesehen, und er hat recht: Für Fahrtenbuchangaben gilt das Benfordsche Gesetz. Was er nicht sagte und nicht wußte, unter welchen Voraussetzungen das stimmt. Aber die Voraussetzungen kennen viele, selbst die Finanzämter, nicht zur Gänze...
Weiterhin viel Vergnügen beim Studieren rätselhafter Artikel! Pard 89.144.220.194 19:03, 25. Jun 2006 (CEST)
thread_title: An den Obigen, der sich schlauerweise nicht unterschrieb

message: Pard schrieb:
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# Induziert durch einen optisch ähnlichen Funktionsverlauf und durch die unter Punkt 1 beschriebenen präsentationsbedingten Suggestivwirkungen wurde bisweilen schon spekuliert, das NBL sei nichts als ein Spezialfall des Zipfschen Gesetzes. Diese unhaltbare Annahme ist durch drei Argumente leicht zu entkräften:
## Erstens basiert das Zipfsche Gesetz auf diskreten Funktionen, das NBL ausschließlich auf stetigen.
## Zweitens basiert die Verteilung des NBL auf der logarithmischen Funktion, die Verteilung des Zipfschen Gesetzes auf der Hyperbelfunktion. Von dem einen Phänomen zum anderen gelangt man bestenfalls über den Weg der Infinitesimalrechnung. Im Rahmen dieser Rechnungsart zeichnet sich nur die Funktion f(x) = \exp(x) durch Identität mit ihrem Differential bzw. unbestimmten Integral aus. Da keines der beiden Phänomene explizit auf exp(x) beruht, kann das NBL kein Spezialfall des Zipfschen Gesetzes sein.
## Drittens lässt sich die logarithmische Funktion zwar leicht als unendliche Summe von parabolischen Funktionen darstellen, aber nicht von hyperbolischen. Der Unterschied zwischen beiden Phänomenen ist daher selbst bei gewissen optischen Ähnlichkeiten und der Identität beider Funktionen im Unendlichen (vorher nicht), beachtlich.
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Anton meint, doch einen Zusammenhang zwischen Zipf und Benford zu sehen. Was wird aus dem Unterschied, wenn man Abszisse und Ordinate vertauscht? 
PS: Hallo Pard, ich hoffe, dir geht es gut! Mehrfach sind mir hier Leute begegnet, die Änderungen ohne Aufhebens rückgängig machen. Ich habe aufgehört mich zu ärgern. Ich nehme die Artikel in diesen Fällen aus der Beobachtung. Um Benford täte es mir Leid. Anton 22:05, 14. Dez. 2006 (CET)
thread_title:  Zipf (2) 

message: "Das Benfordsche Gesetz, auch Newcomb-Benford's Law (NBL), zählt zu den universellen Verteilungsgesetzen der Stochastik. Es beschreibt eine fundamentale Gesetzmäßigkeit der Verteilung der Ziffernstrukturen der Zahlen in Datensätzen". Diese Sätze halte ich beide für gewagt (milde formuliert). Dieses Gesetz ist eben nicht "universell". Und es ist ebensowenig "fundamental". Und es ist nicht mal ein Gesetz, sonst müsste es hier vernünftig formuliert sein: "Wenn bestimmte Voraussetzungen gelten, dann folgt dieses und jenes." Ich hielte es für schlüssig auch einige kritische Sätze einzubringen, damit der Laie nicht glaubt das Benford'sche Gesetz ließe sich ganz allgemein auf alle oder die meisten Datensätze anwenden. Es ist ja auch nicht schwierig andere Datensätze zu erfinden: Lebensdauern etwa (in Jahren), Monatseinkommen (in Euro), Körpergröße (in Meter) und so weiter. Auch die Angaben im Abschnitt "Gültigkeit des NBL" scheinen mir ein wenig willkürlich und jedenfalls nicht hinreichend zur Gültigkeit des Gesetzes. Fazit: Mir scheint das Ganze eher eine Heuristik für Soziologen zu sein als ein "fundamentales universelles Gesetz der Stochastik". Wenn wer drüber diskutieren will, bitte, gerne. mfg. --Mediocrity 16:47, 12. Mär. 2007 (CET)
thread_title: Kritisches

message: Zumindest für mich als nicht-Mathematiker ist das folgende Beispiel interessant, da es eine intuitiv nachvollziehbare Erklärung für das Phänomen gibt. Da ich aber leider gar keine Ahnung von der Materie habe, möchte ich das nicht selbst einfügen.
This law states that in certain long lists of numbers, such as tables of logarithms or the lengths of rivers, the first digit of each number is unevenly distributed between one and nine. Instead, there are far more numbers beginning with one—about a third of the total—and far fewer starting with nine. For example, a 2km stream is twice as long as a 1km stream; by contrast, a 10km stream is only 11% longer than a 9km stream. So you will find more streams measuring between 1km and 2km than between 9km and 10km.
--Kricket 08:51, 21. Mär. 2007 (CET)
replies: text: Dass die Anfangsziffern von Logarithmen nicht gleich verteilt sind liegt auf der Hand, da muss man sich nur die Logarithmus-Fuktion anschauen. Was mich an dem Artikel stört ist dass nicht unterschieden wird zwischen einer Heuristik ("wenn man Längen von Flüssen misst ergibt sich ungefähr folgendes Bild:") und mathematischen Sätzen (die beweisbar sind und bewiesen werden müssen). Dieser Unterschied mag für einen Nicht-Mathematiker nicht so interessant sein, aber trotzdem sollte das m.E. im Artikel genau behandelt sein und nicht irgendwie wischi-waschi. Dass die Sache interessant ist will ich ja gar nicht bestreiten. Die interessante Frage, warum bestimmt Größen in der Natur dieser Verteilung folgen wird aber nicht mal angerührt. --Mediocrity 09:59, 21. Mär. 2007 (CET)
replies: text: Der Grund ist, dass eben nicht nur die absoluten Differenzen sondern auch die relativen Differenzen zählen: es sind mehr Flüsse zwischen ein und zwei Kilometer lang als zwischen 9 und 10 Kilometer, weil die Differenz bei ersteren immerhin 100% beträgt, bei letzteren aber nur 11%. Das war, was ich einigermaßen eingängig und einbauenswürdig an dem Artikelausschnitt fand. Anderer Meinung? FG (und ich werde das nächste Mal diese Seite auch auf meiner Beobachtungsliste haben...) --Kricket 20:59, 10. Apr. 2007 (CEST)
replies: text: Diese relativen Differenzen sind eben genau das was man durch logarithmieren erhält. Was mich an dem Artikel gestört hat war auch gar nicht diese Sache sondern dass nirgens geklärt wurde was das Benford'sche Gesetz ist und was nicht; so wie ich die Sache sehe ist es eine Heuristik über empirische Datensätze und keine mathematische Aussage im engeren Sinn. Den Sachverhalt (im Artikel) zu beschreiben und verständlich zu machen ist natürlich notwendig, aber zuallererst ist es eben notwendig genau zu definieren was das Benford'sche Gesetz ist und sagt. mfg. --Mediocrity 08:52, 16. Apr. 2007 (CEST)
replies: text: Dem ist ganz entschieden zuzustimmen. Nicht ohne Grund wurde das "Gesetz" an den Logarithmentafeln entdeckt. Und der Entdecker Newcomb hat es offenbar auch eher für eine heuristische Kuriosität gehalten; zumindest hat er nicht soviel Aufhebens davon gemacht wie die Leute, die es heutzutage gewissermaßen als "Allheilmittel" verwenden wollen. Jedenfalls tut, wer das B.G. für praktische Zwecke verwenden will, gut daran, sich seine Datensätze genau anzusehen, ob sie dafür geeignet sind, um nicht Schlüsse und Behauptungen daraus abzuleiten, die nicht haltbar sind. Mami 20:35, 16. Apr. 2007 (CEST)
thread_title: Anschaulichkeit

message: Könnte jemand, der sich inhaltlich mit dem Thema auskennt, vielleicht einen Link auf Theodore Hill in diesen Artikel hier einbauen? Der Artikel ist verwaist und es wäre schön, wenn wir einen passenden Link finden könnten.--schreibvieh muuuhhhh 11:58, 15. Mai 2007 (CEST)
replies: text:  Theodore Hill war sicher ein bedeutender Pionier auf dem Gebiet des NBL. Ich werde mich im Rahemn der Neufassung des Artikels auch auf seine Arbeit beziehen. Pard 80.120.190.234 14:25, 13. Jun. 2007 (CEST)
thread_title: Verwaister Artikel

message: Die Diskussion über das Benfordsche Gesetz bordet langsam über. Ich habe den Text ins Word kopiert, das ergab über 20 Seiten. Schöne Resonanz, meine ich. Der Artikel gehört neu verfasst, viele Kommentatoren haben recht, es ist manches unklar geblieben. Aber ich muss zugeben, es ist auch erst vieles klar geworden, was früher nur als empirisches Ergebnis punktuell dalag. Herzliche Grüße Pard 80.120.190.234 14:25, 13. Jun. 2007 (CEST)
replies: text: Hallo Pard, schön, dass du wieder aufgetaucht bist. Ich habe mich lange nicht mehr um den Artikel gekümmert (war nicht schon alles gesagt?). Nachdem ich Zipf und Paretto zusammen fassen konnte, habe ich Benford wohl aus den Augen verloren. Du schreibst den Artikel neu? Bitte lasse meine Beispiele überleben, und die allgemeine Formulierung für die Verteilung der n.ten Ziffer. Wann stellst du die neue Version zur Diskussion?. Viele Grüße, Anton 15:01, 14. Jun. 2007 (CEST)
replies: text: Keine Ahnung, lieber Anton, gegenwärtig hält mich hier die Diskussion in Trab. Ich meine aber, dass gewisse Erkenntnisse aus der Diskussion in die neue Version einfließen können. Deine Beispiele lasse ich gerne überleben. Wo ich irrtümlich eins killen sollte: Stell 's einfach wieder 'rein. Liebe Grüße Pard 80.120.190.234 15:37, 14. Jun. 2007 (CEST)
thread_title: Hallo Anton

message: Hallo, wäre das hier nicht ein gutes Beispiel für eine Anwendung?
Geheimnisvolle Statistik: Hinweise auf Wahlfälschung im Iran 
--194.76.39.219 10:59, 18. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Ja, dieser Artikel von Roukema sollte auf jeden Fall als Anwendungsbeispiel aufgenommen werden, wenn sich seine Ergebnisse als valide herausstellen. Übrigens: der Standard hat auch ein nettes Interview mit ihm geführt. --Herr-Schlauschlau 20:24, 30. Jun. 2009 (CEST)
thread_title: Beispiel für Anwendungen

message: Hallo, die spezielle Ausprägung der allgemeinen Formel für die erste Ziffer ist nicht ganz korrekt, ich habe sie korrigiert (bitte bestätigen):
Vorher:
p(d)=p_1(d)=\log_B \left(1+\frac{1}{d} \right)=\log_{B} \left(d + 1 \right) - \log_{B} \left(d \right)
Nun:
p(d)=p_0(d)=\log_B \left(1+\frac{1}{d} \right)=\log_{B} \left(d + 1 \right) - \log_{B} \left(d \right)
Vorher war mit n = 1 die zweite Ziffer gemeint (Positionen werden aber ab 0 gezählt, siehe Artikel), was offensichtlich auch nicht die Kürzung liefert. (nicht signierter Beitrag von 141.12.67.167 (Diskussion | Beiträge) 12:40, 17. Jul 2009 (CEST)
thread_title: Formelfehler

message: Überschrift: Warum folgen so viele reale Datensätze dem NBL? [Bearbeiten]
Zitat:
Das NBL besagt, dass die Auftretenswahrscheinlichkeiten der Ziffernsequenzen in den Zahlen von realen Datensätzen (damit sind hier solche gemeint, die keinen Manipulationen unterlagen) genügend umfangreich sind und Zahlen in der Größenordnung von x bis mindestens 10000 x aufweisen. Daten also, welche einigermaßen weit verteilt (dispergiert sind), nicht gleichverteilt sind, sondern logarithmischen Gesetzen folgen.
Die ersten beiden Sätze sind grammatikalisch vermurkelt. Könnte der Autor bitte schreiben, was er meint?
Die Antwort auf die Frage "Warum?" finde ich auch nicht, d.h. kein Erklärungsansatz für dieses Phänomen. Hier scheinen sich merkwürdige pseudowiss. Ansätze zu tummeln --- ist das Ganze vielleicht unseriös und ein Hoax??? --Cami de Son Duc 17:53, 4. Mär. 2010 (CET)
replies: text: Hoax? Wenn ja, ein sehr guter:-), ist immerhin im Handelsblatt, ich hab zum ersten mal im Economist davon gelesen. Mir persönlich kommt das auch nicht so super überraschend vor, bei Flüssen muss man es sich so vorstellen, das 200km einfach doppelt so lang ist wie 100km, dementsprechend viele Flüsse werden in diesen Abstand fallen. Zwischen 900 und 1000km wird es wieder eng, zwischen 1000 und 2000km sind wieder viele. Halt ich eigentlich für nachvollziehbar. --94.222.12.227 23:50, 6. Mär. 2010 (CET)
thread_title:  Frage zu "Warum folgen so viele reale Datensätze dem NBL?" 

message: Dieses Beispiel ist nicht glücklich gewählt, da gerade hier die Anfangsziffer 9 überproportional oft
auftaucht, wohl um den Kunden zu signalisieren, das der Preis noch "n-stellig" statt "n+1 - stellig"
ist. (nicht signierter Beitrag von 87.149.65.219 (Diskussion | Beiträge) 12:53, 6. Mai 2010 (CEST)
replies: text: Volle Zustimmung. Bei Preisänderungen wird ja z.B. aus x,98 dann x,48 demzufolge die 8 exzessiv oft auftritt. --178.12.136.239 15:48, 17. Mär. 2021 (CET)
thread_title:  Beispiel Supermarktpreise 

message: Hier gibt es einen Erklärungsansatz 1 - verstehe aber zu wenig von der Sache, um es als Privat-TF oder validen Beitrag zu deuten...--Mager 21:04, 6. Jun. 2010 (CEST)
thread_title:  DSP 

message: Hat einmal jemand versucht, ob man das Gesetz auf die Häufigkeitsverteilung von Buchstaben anwenden kann, bzw. ob es sich dort auch zeigt? Markus (nicht signierter Beitrag von 89.204.136.53 (Diskussion) 16:42, 18. Sep. 2011 (CEST)
replies: text: Und zwar wie? Auf Anfangsbuchstaben? --84.130.158.220 09:09, 21. Sep. 2011 (CEST)
thread_title:  Übertragbarkeit 

message: Ich habe den Artikel selbsz nicht gelesen, daher nur den Verweis.
Fact and Fiction in EU-Governmental Economic Dat
Bernhard Rauch, Max Göttsche, Gernot Brähler, Stefan Engel
Article first published online: 28 APR 2011
Rauch, B., Göttsche, M., Brähler, G. and Engel, S. (2011), Fact and Fiction in EU-Governmental Economic Data. German Economic Review, 12: 243–255. doi: 10.1111/j.1468-0475.2011.00542.x
http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1468-0475.2011.00542.x/abstract (nicht signierter Beitrag von Toytoy (Diskussion | Beiträge) 08:12, 21. Sep. 2011 (CEST)
replies: text: Auch tagesschau.de hat Wind davon bekommen und es als "Schlusslicht" veröffentlicht: Man muss nur die richtigen Leute fragen verweist als Quelle der Info auf "Mathematiker der Technischen Universität Ilmenau". --92.231.128.8 22:07, 24. Okt. 2011 (CEST)
thread_title:  Auffällige Abweichung bei den Eurostat Zahlen Griechenlands 

message: Sollte nicht etwas zur prinzipiellen Beweisbarkeit solcher statistischer Sätze gesagt werden?--löschfix 10:17, 31. Okt. 2011 (CET)
thread_title:  Beweisbarkeit 

message: Wird nur kurz erwähnt, daher die Frage, wurde das die Korektheit von Wahlergebnissen schon öfter nach dieser Methode untersucht? Wenn ich mich recht erinnere wurde das auch mit den Präsidentschaftswahlen im Iran 2009 mal so gemacht und die Manipulation nachgewiesen.--Antemister (Diskussion) 20:29, 6. Mär. 2012 (CET)
replies: text: Das Gesetz mag sicher einen Anhaltswert geben für Manipulationen in der Wirtschaft, aber bei Wahlergebnissen halte ich es für ungeeignet. Beispiel dieser Bericht über Wahlfälschung, wobei ich dem Artikel nicht zustimme. Die Links über tatsächliche Wahlmanipulation halte ich jedoch ausnahmslos für seriös in diesem Artikel. Ich denke extreme Abweichungen gegenüber der vorherigen Wahl zugunsten einer beliebigen Partei in einem Wahllokal bedürfen einer Überprüfung durch nachzählen und sind zielführender als das Benfordsche Gesetz.  --178.12.136.239 15:48, 17. Mär. 2021 (CET)
thread_title:  Wahlmanipulation 

message: Erstens muss hier dringend mal aufgeräumt werden (Einige Diskussionsbeiträg sind ja noch von 2003) und zweitens klingt der Abschnitt "Ein Spiel" eher wie eine Aufgabe aus einem Grundschulmathebuch und hat rein gar nichts in einer Enzyklopädie zu suchen... --82.113.122.166 11:06, 12. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Da bin ich auch für, das ist nicht relevant für den Artikel. 131.246.18.253 14:39, 3. Feb. 2014 (CET)
thread_title:  Aufräumen, Abschnitt "Spiel" 

message: Ich habe gerade den Satz "Aufgrund dieses Sachverhaltes sind beispielsweise einmal Betrügereien bei Krankenkassen aufgedeckt worden, weil die Betrüger bei den Rechnungen zu viele Rechnungsbeträge mit der 6 als erster Ziffer erstellt hatten." entfernt, da dafür keinerlei Quellen vorhanden waren und auch die Position im Text eher zum Abschnitt "In der Wirtschaft" gehört. Dort habe ich einen aktuellen Fall von Kleinkriminalität ergänzt, bei der der Richter wörtlich sich auf das Benfordsche Gesetz bezog, das zum Auffliegen des Diebstahls führte. Sieh der verwiesene Artikel, letzter Absatz.
--5156246 (Diskussion) 08:36, 22. Feb. 2013 (CET)
thread_title:  Vorkommen in der Realität 

message: warum ist das Benford´sche Gesetz das einzige skaleninvariante?
-->Pareto-Verteilung! (nicht signierter Beitrag von 141.24.172.214 (Diskussion) 02:09, 14. Apr. 2013 (CEST)
thread_title:  Skaleninvarianz 

message: Hallo an alle,
ich habe eine Frage zur Standardabweichung
1. Ist eine Datenmenge deren Anfangsziffern der Benfordverteilung folgen damit zwingend Log-Normverteilt?
2. Sind die Anfangsziffern einer Lognormverteilte Datenmengen die eine Standabweichung unter 0,74 hat, nicht Benfordverteilt oder nicht zwingend Benfordverteilt.
Ich gehe davon aus, dass 0,74 der dekadische Log ist. Die Lognormverteilung definiert sich aber über den natürlichen Log.
3. Im Artikel steht geschrieben, dass wenn die Standardabweichung kleiner als 0,74 ist und damit die Mantissen der Logarithmen (= die Logarithmen der Mantissen???)normalverteilt sind, der Mittelwert der Lognormverteilung (dekadischer oder natürlicher ?) die Auftretenshäufigkeit der Ziffern bestimmt.
Ich gehe davon aus, dass diese Frage den normalen Artikel sprengen würden, aber vielleicht kann in der Diskussion geklärt werden, in wie weit, der o.g. Mittelwert auf die Ziffernerwartung Einfluss hat.
Denn im Gegensatz zu der Bemerkung im Artikel, dass diese Erscheinung nur sehr selten auftritt, hab ich damit in meiner Praxis sehr häufig zu tun.
Bemerkenswerterweise sind diese Fälle fast immer Benfordverteilt.
siehe z.B. http://www.vwi.tu-dresden.de/~treiber/statistik2/statistik_download/folien19_Benford.pdf
Siehe auch Frage 1.
Hier möchte ich auf das Zitat in der Diskussion verweisen:
"Wird dieser Datensatz dem NBL genügen?, so kann ich eine eindeutige Antwort geben, indem ich den Datensatz mit statistischen Methoden einer kurzen Analyse unterziehe (Mittelwert, Varianz, Spannweite etc.). Angenommen, meine Antwort wäre ... Fall 2 NEIN (weil die Daten nicht lognormverteilt sind), aber das Ergebnis der nachfolgenden Benford-Analyse wäre ... Fall 2 JA: Dann hat in beiden Fällen jemand mit den Daten gespielt." 
Dieser Satz widerspricht den ausfürhungen in dem o.g. Link
"Wie der zentrale Grenzwertsatz ist Benford's law erstaunlich robust und gilt verblüffend gut, auch wenn seine Voraussetzung (ein gleichverteilten Logarithmus) nicht erfüllt ist"
Viele grüße und danke
Anni (nicht signierter Beitrag von Annilognorm (Diskussion | Beiträge) 15:35, 13. Jan. 2016 (CET)
thread_title:  Standardabweichung 

message: Man schreibt "Benfords Gesetz" oder das "benfordsche Gesetz". Ich weiss nicht was den Majo-Poweruser dazu bringt, mittels Editwar eine falsche Schreibweise durchdrücken zu wollen. Konstruktiv ist das jedenfalls nicht. --62.202.180.226 12:19, 24. Apr. 2016 (CEST)
replies: text: Die Schreibweise ist nicht falsch, siehe WP:RS#Von Personennamen abgeleitete Adjektive. --79.250.111.59 14:02, 24. Apr. 2016 (CEST)
thread_title:  Schreibweise 

message: Man darf doch davon ausgehen, daß der im Text verwendete dekadische Logarithmus dem dezimalen Zahlensystem geschuldet ist? Nun, damit gibt sich die Wahrscheinlichkeit für eine „1“ als führender Stelle in einer binären Zahl zu … Nur schade, daß die Register jeder CPU das nur mit 50% so sieht! 😜
BTW: wenn man die aktuellen Zahlen der 77 Städte von der Liste der Großstädte in Deutschland nimmt, die Prozente und Jahreszahlen (und natürlich die Zeilennummern) wegläßt, wird die Ähnlichkeit der Verteilungskurven schon etwas vage. 46,3 bis 151,8 Prozent Übereinstimmung mit der Theorie bei den ersten Ziffern, 47,5 bis 180 Prozent bei den zweiten … (nicht signierter Beitrag von 93.205.113.73 (Diskussion) 00:50, 14. Jul. 2016 (CEST)
replies: text: Bitte WP:DS beachten. Hast Du einen konkreten Vorschlag zur Verbesserung des Artikels? Die Basis des Logarithmus wird durchaus bereits thematisiert, es wird insofern im Artikel nicht stillschweigend von Dezimalzahlen ausgegangen. --84.130.141.55 12:14, 14. Jul. 2016 (CEST)
thread_title:  digitale Späßchen 

message: Dieser Artikel krankt an seiner Mathematik-Lastigkeit. Er setzt bei vielen Formeln höheres Basiswissen voraus. Die Relevanz des Themas anhand praktischer Beispiele ist dagegen stiefmütterlich behandelt und unterbelichtet.
Allein der Artikel aus der Epoch Times erklärt das Thema um Längen besser. Dieser Artikel gehört zu jenen mit reiner Binnenperspektive. Keinesfalls lesenswert, sondern eine Zumutung. Umschreiben.--Rkendlbacher (Diskussion) 12:07, 28. Mär. 2022 (CEST)
thread_title:  Problematische Priorisierung