Diskussion:Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)

message: * Kohärenter Grenzfall
* Gedämpfter QM Oszi
* Allgemeiner Oszi -> dimensionlose Variblen !
* Störung, Linearer Starke Effekt, cx^3, dx^4, Rayleigh-Ritz-Prinzip, Anharmonic oscillator
* Natural length and energy scales
* Example: diatomic molecules
* N-dimensional harmonic oscillator
* Coupled harmonic oscillators
Quellen: http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator, http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_damped_harmonic_oscillator, http://en.wikipedia.org/wiki/Coherent_state, http://en.wikipedia.org/wiki/Morse_potential, http://en.wikipedia.org/wiki/Creation_and_annihilation_operators, http://en.wikipedia.org/wiki/Gas_in_a_harmonic_trap
:Das alles ist vielleicht ein bisschen zu viel für diesen Artikel, da sind links auf andere Beiträge sicher angebrachter. Aber dennoch schließe ich mich meinem Vorredner an, dass dem Artikel noch einiges fehlt, z.B. die Quantenmechanik! Bis auf ein paar Stellen könnte das auch 1:1 ein Artikel über den klassischen harm. Oszi sein. Werde mal ein wenig daran arbeiten.
:MfG, René, 01. Mär 2007, 19.12
:Falls ich Zeit habe werde ich mich auch ein bissel beteiligen. Ich halte obige Liste für einen guten Ansatz. Allerdings denke ich, dass dieser Artikel nur die zentralen Ideen und Ergebnisse dieser Punkte enthalten sollte und nicht die kompletten Herleitungen - dann würde dieser Artikel eher zu den Wikibooks passen. Als wichtig erachte ich zunächst eine vernünftige Gliederung an der man sich orientieren kann. Wie z.B.:
:# Überblick (Vergleich zu klass. Osz./Unterschiede)
:# Berechnung der Energieniveaus (Methoden u.ä.)
:# Anwendungsgebiete (Moleküle, etc.)
:# Erweiterungen (Anharm. Osz., N-dim Osz., Gekoppelter Osz. usw.)
:--Jensel 12:48, 2. Mär. 2007 (CET)
replies: text: Hallo zusammen ... ich hab den ganzen Artikel mal überarbietet, einige Bilder eingefügt und einige der obigen Anregungen eingearbeitet. Ich hoffe die Fassung gefällt Euch: Arbeitet mal weiter dran ... Die Darstellung der Nullpunktsenergie mit "nicht exakt bestimmbarer Position" ist nicht so ganz schön (das haben wir schon mal in der QM-Disk besprochen) ... aber ich find's so ganz Laien-Verständlich: Wenn jemand zu sehr Bauchschmerzen dabei hat, könnt Ihr's ja umschreiben oder rausstreichen. Die Zeitentwicklung hab ich mal weggelassen, denn ich denke das hier interessanteste sind die stationären Lösungen. Wir sollten vielleicht ein Kapitel zum klassischen Grenzfall incl. klassischer Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Bewegung von lokalisierten Wellenpaketen im harmonischen Potential (-> Zeitentwicklung) hinzufügen. Schönen Sonntag, Jkrieger 18:07, 4. Mär. 2007 (CET)
thread_title: Todo Liste

message: Ich finde die Überschrift "Einführung" nicht passend. Es handelt sich ja eher um die Herleitung des QM H-Operators.
Vielleicht ,mit dem Abschnitt "Schrödinger-Gleichung" zusammen legen und das ganze eher mit z.B. "Herleitung der Eigenwerts-Gleichung" betieteln?
Sollte nicht erst der Abschnitt "Lösungen" und dann der Abschnitt "Eigenschaften der Lösungen" bearbeitet werden? 
@Jkrieger. Bitte um Entschuldigung das "hier" einfach gestrichen zu haben. Es hat natürlich seinen notwendige Berechtigung dort zu sein;) Ich war wohl ein bissen voreilig mit dem streichen von Füllwörtern. Aber genau so stelle ich mir einen guten Text über QM vor. Jedes Wort sollte einfeutigen seinen Sinn haben. Füllwörter oder schwammige Ausdrücke verwässern alles und machen alles unklar und falsch. 
z.B. Zitat (Nullpunksenergie): "In der Quantenmechanik ist eine solche gleichzeitige genaue bestimmung von Ort und Impuls nicht möglich." 
Also an dem Satz stosse ich mich auch. Er vermittelt mal wieder das übliche unüberlegte falsche Bild. Als sei man nur nicht fähig Ort und Impuls zu messen.... der Punkt ist aber, dass Begriffe wie Ort und Impuls im klassischen Sinne in der QM fehl am Platz sind. Ein Teilchen hat eben keinen Ort bzw. Impuls im klassischen Sinne.
Ich finde langsam macht sich der Text. Am Anfang solle noch ein bischen umgestellt werden. Fruss QWerner 12:54, 18. Mär. 2007 (CET)
replies: text: Hi! Also ich hab den Abschnitt mal umgestellt ... ja, die Geschichte mit der Unschärferelation ist nicht sehr gut. Hast Du eine Idee, wie man's umformulieren kann? Ich wollte an der Stelle nicht zu kompliziert argumentieren, um eine gewisse Allgemeinverständichkeit zu wahren (ist nicht gelungen ;-) ... Ich hab gerade etwas rumprobiert, aber bei meinen Versuchen wird's nur umständlicher, aber nicht besser ... versuch's Du doch mal. Schönen Sonntag, --Jkrieger 13:43, 18. Mär. 2007 (CET)
replies: text: Jo, versuche ich mal. Ist ja auch keine einfache Materie:) Das Ethen-Beispiel ist schön. Ich finde am Anfang die Reinfoge noch nicht optimal. "Der quantenharmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Physik,....." sollte vor dem klassischen Beispiel stehen. Und nach der Feder dann die Molegül-Schwingungen. Ich versuch da mal was wenn ich heute abend ein bischen Zeit habe. Gruss QWerner 15:50, 18. Mär. 2007 (CET)
thread_title:  Einführung 

message: Dier Hauptgrund für das häufige Auftreten von Schwingungen, die sich gut durch einen harmonischen Oszillator beschreiben lassen, ist aus der Sicht der Mathematik eher trivial. Wenn ich ein Potential um ein lokales Minimum in einer Taylorentwicklung schreibe habe ich immer, außer in pathologischen Fällen, die Form V(x) = V(0)  + (V\'\'*x^2)/2 - also einen harmonischen Oszillator. Vielleicht sollte man das noch an das Ende der Beispielliste mit einarbeiten.
--Varina 19:32, 29. Mär. 2007 (CEST)
thread_title:  Beispiele zum harmonischen Oszillator 

message: Es wird zwar geschrieben, dass im Weiteren der eindimensionale Fall behandelt wird, trotzdem haben wir Volumenintegrale und Ortsvektoren in den meisten Formeln – wenn niemand was dagegen hat, vereinheitliche ich das demnächst.
--Varina 19:32, 29. Mär. 2007 (CEST)
thread_title:  Der eindimensionale Fall 

message: nominiert von Max Plenert
Wow na da haste Dir aber was vorgenommen. Super! Unten mal so meine Gedanken beim drüberlesen. 
# Geschichte: Des könnte man doch noch etwas ausführlicher machen. So kann fast nur derjenige der eh schon weiß worums geht was damit anfangen
# Einführung: Man sollte vielleicht noch ergänzen wie man a) auf das Potential kommt und das es sich b) eben gerade um das eine harmonischen Oszillators handelt
# Die SG des Systems: a)Zumindest einen Halbsatz oder einen Wikilink bezüglich der Bra-Ket-Notation ist fürchte ich für den nicht eingeweihten von Nöten. b) Zumindest ein kleiner Abriss der Lösung wäre schön insbesondere die verschiedenen Möglichkeiten: algebraisch, analytisch, ...
# Alternativer Lösungsweg: Operatormethode: a) ah die algebraische ist ja da, dann ist allerdings m.E. die Reihenfolge nicht ganz schlüssig. Denn du sagst ja alternativ hast davor aber nie die normale Lsg vorgestellt. Und die Ergebnisse sind ja bei beiden die gleichen. b) bevor du den Hailton umschreibst solltest du vielleicht noch eine explizit Darstellung der Erzeuger und Vernichter angeben, dann wird es leichter nachzuvollziehen-
# klassischer Grenzfall: Her und da vielleicht ein Wikilink
# quasiklassik: Das rechte Bild vielleicht als Animation?
# Erweiterungsmöglichkeiten: Anwendungen? (außer denen in der Einleitung), Zweite Quantisierung etwas weiter fassen
Fazit: Schon ein sehr gutes Gerüst aber hier und da noch etwas feilen.
MfG --Morray noch Fragen? 10:48, 8. Mär. 2007 (CET)
thread_title:  Review Schreibwettbewerb 

message: Die Herleitung der algebraischen Lösung finde ich so wie sie dort steht nicht sehr logisch. Das ist ja eher der Weg in der QFT (vgl. auch Fock-Zustand). Beim einfachen harm. Oszillator ist es viel verständlicher, wenn man a als Kombination von x und p so definiert, dass man H als Produkt von a und a+ schreiben kann. Die Eigenschaft Leiteroperator zu sein ergibt sich dann ganz einfach algebraisch unter Verwendung der Vertauschungsrelation und muß nicht gefordert werden.
Ich stelle hier mal eine alternative Herleitung, die etwas induktiver vorgeht, zur Diskussion:
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Das Problem des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik lässt sich mithilfe der Methode der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren behandeln. Sie wurde von Paul Dirac, basierend auf Arbeiten von Niels Bohr und Otto Wiener, entwickelt. Dieser Lösungsweg wird auch algebraische Methode genannt. 
Für diesen Lösungsweg definiert man den Operator 
:\hat a = \sqrt{\frac{m {\omega}}{2 \hbar}} \left(\hat x+\frac{i}{m\omega}\hat p\right).
Unter Benutzung der kanonischen Vertauschungsrelation [\hat p, \hat x]=-i\hbar kann man zeigen, dass sich der Hamiltonoperator mit Hilfe des Produkts aus \hat a und seinem adjungierten Operator \hat a^\dagger darstellen lässt
:\hat H=\hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a+\frac{1}{2}\right).
Ebenso ergibt sich die Vertauschungsrelation [\hat a,\hat a^\dagger]=1, mit der man die Operatoridentitäten
:\hat{H}\hat a=\hat a(\hat H-\hbar\omega) und \hat{H}\hat a^\dagger=\hat a^\dagger(\hat H+\hbar\omega)
zeigen kann. Wenn |\psi\rangle ein Energieeigenzustand von \hat H ist, dann ist \hat a^\dagger|\psi\rangle ebenfalls ein Energieeigenzustand, und zwar mit einer um \hbar\omega höheren Energie. Entsprechend ist \hat a|\psi\rangle Eigenzustand mit   um \hbar\omega niedrigeren Energie. Da die Anwendung dieser Operatoren die Energie des Zustandes um jeweils ein Energiequant verändern, bezeichnet man sie als Leiteroperatoren oder auch als Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren.
Da der Operator \hat H als Summe von Quadraten hermitescher Operatoren positiv definit ist, ist die Energie nach unten beschränkt, das heißt, es muss einen Grundzustand |\psi_0\rangle mit positiver Energie geben. Dass gleichzeitig die Vernichtungseigenschaft von \hat a^\dagger gilt, ist nur möglich, wenn \hat a^\dagger|\psi_0\rangle gleich dem Nullvektor ist. Damit kann man die Grundzustandsenergie bestimmen
:\hat H |\psi_0\rangle =(\hat a^\dagger\hat a +1/2)\hbar\omega|\psi_0\rangle =\frac{1}{2}\hbar\omega|\psi_0\rangle.
Die Grundzustandsenergie ist also \hbar\omega/2, die anderen Energien folgen aus der Leitereigenschaft von \hat a als E_n=(n+1/2)\hbar\omega. Zur Vereinfachung schreibt man die Eigenzustände zur Energie E_n auch einfach als |n\rangle. Aus E_n und der Darstellung von \hat H folgt, dass die Anwendung des Operators
:\hat n=\hat a^\dagger\hat a
auf Energieeigenzustände gerade die Zahl n, also die Anzahl der Energiequanten ergibt, weswegen er auch Anzahloperator genannt wird. 
 
Wenn man nun die Schrödingergleichung für den Zustand |0\rangle löst, erhält man durch mehrfache Anwendung von \hat a^\dagger alle anderen Energieeigenzustände als
:|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}}
  \left(\hat a^\dagger\right)^n|0\rangle.
Der Vorfaktor ergibts sich aus der Forderung, dass die Eigenzustände normiert sein sollen.
Diese Methode ist ein sehr eleganter Weg den harmonischen Oszillator zu behandeln. Sie hat aber noch wesentlich weitreichendere Anwendungen. Stellt man sich etwa elektromagnetische Strahlung, aus Photonen zusammengesetzt vor, so kommt man leicht dazu für Photonen ebenfalls Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren aufzustellen. Tatsächlich lässt sich sogar zeigen, dass man das elektromagnetische Feld als Ansammlung von harmonischen Oszillatoren beschreiben kann. Dabei steht jeder Oszillator für eine Lichtwelle bestimmter Frequenz \omega. Dabei gibt dann n die Anzahl der Photonen in dieser „Mode“ des Lichtfeldes an. Allgemein nennt man ein solches Vorgehen zweite Quantisierung.
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--Heiko Schmitz 17:41, 6. Jul. 2007 (CEST)
replies: text: Finde diese Variante auch besser, würde sie aber noch ein klein wenig ausführlicher machen (\hat a^\dagger explizit hinschreiben und wie \hat x, \hat p ausgedrückt durch die Leiteroperatoren aussehen). -- Sunday87 (Diskussion) 15:01, 13. Jul. 2012 (CEST)
replies: text: (...Jahre später ...) Ich bin über denselben Darstellungsfehler gestolpert wie Heiko Schmitz und will ihn endlich mal im vorgeschlagenen Sinne beheben. Einspruch? --Bleckneuhaus  (Diskussion) 21:42, 3. Jun. 2021 (CEST)
thread_title:  Algebraische Lösung 

message: Für allgemeine Lösungen gilt: Mir fällt auf, dass das gesamte Problem nur zeitunabhängig behandelt wird, man geht direkt von der stationären SG aus, und sucht dadurch auch nur nach \psi (x), dabei wird nirgendwo erklärt, warum man diese Vereinfachung von \psi (x, t) machen darf. Man kann (wie häufig) einen Sperationsansatz machen, und dann \psi (x, t) = e^{i/\hbar \cdot \hat H t} \phi (x) ansetzen. Alles was im Artikel für \psi (x) steht, gilt dann für \phi (x). Nur, und jetzt kommts, das ist wichtig: Mit vorgegebenen Anfangsbedingungen überlagern sich die einzelnen Energieeigenfunktionen \phi_n (x)dank jeweils eigener Zeitentwicklung unterschiedlich, die Interferenzen ändern sich, und die Wahrscheinlichkeitsdichte |\psi (x, t)|^2 ist nicht mehr zeitunabhängig => die Zustände sind nicht stationär! Wäre schön, wenn das noch irgendwie eingebaut werden könnte, zumindest muss man drauf hinweisen.
Um das nochmal zu verdeutlichen: Die Eigenzustände sind stationär, aber die allgemeinen Lösungen (Linearkombination der Eigenzustände) sind zeitabhängig und nicht mehr stationär. -- LA, 134.130.37.89 20:25, 19. Mär. 2010 (CET)
thread_title:  Zeitabhängigkeit fehlt / keine allgemeinen Lösungen 

message: Im Kapitel "Klassischer_Grenzfall" fehlt zum einen die Herleitung der Graphik, es wird dort lediglich gesagt, dass die quantenmechanischen Oszillationen im klassischen Grenzfall in die Parabel übergehen. Ich würde mir dort Formel wünschen. Außerdem vermisse ich eine Herleitung des klassischen harmonischen Oszillators aus dem quantenmechanischen Modell. Dass das gehen muss ergibt sich aus dem Korrespondenzprinzip. SteMicha 19:58, 26. Nov. 2011 (CET)
thread_title:  Was fehlt 

message: Der harmonische Oszillator kann sowohl im Heisenbergbild -> a_H(t) als auch im Schrödingerbild a_S betrachtet werden.--biggerj1 (Diskussion) 13:31, 6. Mär. 2014 (CET)
replies: text: Nein, das Potential des harmonischen Oszillators ist konstant, während das Schrödinger-Bild und das Heisenberg-Bild zeitabhängige Probleme zum Thema haben (siehe etwa Parametrischer Oszillator), nicht zu verwechseln mit zeitabhängigen Lösungen. --Rainald62 (Diskussion) 17:58, 8. Mär. 2014 (CET)
replies: text: Zunächsteinmal gilt für den harmonischen Oszillator auch ganz allgemein die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung. D.h. der Artikel sollte damit auch anfangen (auf soetwas wurde in einem Diskussionsbeitrag weiter oben (Diskussion:Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)#Zeitabhängigkeit fehlt / keine allgemeinen Lösungen) schon angespielt), insbesondere, da ja auch Probleme mit zeitabhängigen Störungen interessant sein können. Im Artikel wird momentan die Darstellung des Hamiltonoperators im Schrödingerbild benutzt, denn: Aus der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung i\hbar \partial_t \Psi(t)=\hat H \Psi (t) folgt durch den Separationsansatz (welcher bei einem Hamiltonian H_S im Schrödingerbild, der  zeitunabhängig ist, erfolgreich ist) die stationäre Schrödingergleichung E |\Phi\rangle = H_S |\Phi\rangle  (die bisher im Artikel benutzt wird). Äquivalent zu dieser kann man bei einem zeitunabhängigen Hamiltonoperator H_S nun schreiben E |\Psi(t)\rangle = H_S |\Psi(t)\rangle (*). Äquivalent zu der Formel (*) gilt also auch E |\Psi(0)\rangle = \underbrace{U_S(t)^\dagger H_S U_S(t)}_{H_H (t)=\hbar\omega\left(\hat a_H^\dagger (t)\hat a_H (t)+\frac{1}{2}\right)} |\Psi(0)\rangle  da H_S und U_S vertauschen und Zeitentwicklungsoperatoren unitär sind, steht im übrigen wieder Gleichung (*) da. Also kann der harmonische Oszillator völlig gleichwertig sowohl im Schrödinger-Bild als auch im Heisenberg-Bild behandelt werden. Dass die ganzen Operatoren momentan im Schrödingerbild sind, wird spätestens dann wichtig, wenn hier noch zeitlich gestörte Probleme betrachtet werden sollen --biggerj1 (Diskussion) 22:52, 8. Mär. 2014 (CET)
thread_title:  Der Artikel sollte zumindest in einem Satz explizit kennzeichnen in welchem Bild die Operatoren zu verstehen sind. 

message: Das k soll wohl so etwas wie Kraft (bzw eher Kompressibilität/Federkonstante) bedeuten. Es fehlt jede Erklärung im Artikel. Ra-raisch (Diskussion) 22:12, 20. Aug. 2017 (CEST)
thread_title:  Symbol k 

message: Hn(y).
Was bedeutet hier y? Ich frage als Laie.--Walmei (Diskussion) 23:34, 15. Nov. 2019 (CET)
replies: text: y ist nur das Argument für die Hermite Polynome H, so wie bei f(x) die Variable x das Argument für die Funktion f. Ich denke man hat darauf verzichtet das Argument wie bei Polynomen üblich x zu nennen, weil x schon für den Ort gebraucht ist.--Debenben (Diskussion) 21:20, 16. Nov. 2019 (CET)
thread_title:  Hermite-Operator 

message: In den Abschnitt Harmonische Schwingung eines Wellenpakets (den ich für ein interessantes Thema hier halte) würde ich gerne die explizite Formel für die Entwicklung nach Eigenfuntionen einbauen. Man kann sie einfach aus der Hermitesches_Polynom#Erzeugende erhalten, wie ich vor 40 Jahren in einem damals schon alten Quantenmechanikbuch von 1940 gesehen hatte. Ich dachte, James Jeans wäre der Autor, kann aber nichts Entsprechendes finden. Frage in die Runde: Hat jemand einen Beleg? Dieser Weg würde das Thema von den theoretisch anstrengenden kohärenten Zuständen entlasten, die hier nur Ballast sind (seitenlang im Cohen-Tannoudij zB). --Bleckneuhaus  (Diskussion) 16:56, 3. Mai 2023 (CEST)
replies: text: Ich gebe weiteres Suchen auf und habe die einfachste explizite Herleitung (nach Cohen-Tannoudji) des oszillatorischen Verhaltens eingefügt.--Bleckneuhaus  (Diskussion) 13:06, 7. Mai 2023 (CEST)
thread_title:  Harmonische Schwingung eines Wellenpakets - Hilfe zu Literatur