Diskussion:Korrigierte Stichprobenvarianz/Archiv/1

message: Sobald es um das Konfidenzintervall für die empirische Varianz für eine Stichprobe der Größe n geht (beobachtete ZV normalverteilt und Beobachtungen unabhängig), heißt es immer, dass die empirische Varianz einer Chi-Quadrat-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden gehorcht (nachdem man das Ganze mit einer Konstanten  (n-1)/\sigma^2)  multipliziert hat). Mir ist das völlig unklar, warum soll das denn so sein? Eine mathematische Herleitung kann ich nirgendwo finden, alle Welt scheint sich darauf geeinigt zu haben, dass das so ist und keinem nachprüfbaren Beweis bedarf...
Sollte man im Artikel nicht kurz auf diese Aussage verweisen und eine Begründung geben, warum das so ist?
6. Mrz. 2009
: Siehe Chi-Quadrat-Verteilung #Herleitung der Verteilung der Stichprobenvarianz --131.220.161.244 12:57, 22. Feb. 2010 (CET)
thread_title:  Verteilung der Empirischen Varianz bei normalverteilter ZV 

message: Ich bin Statistiker, und es wirklich ganz einfach - es gibt keine Verwirrung:
* Varianz ist eine Eigenschaft einer Verteilung.
* die empirische Varianz ist ein Schätzer der Varianz. Es gibt auch noch
viele andere "nicht-empirische" Schätzer (Bayes etc).
* Ein "empirischer Schätzer" ist ein Schätzer der ein Funktional der der empirischen Verteilung ist.  Für die Varianz und Kovarianz heisst das, man nimmt die Definition, und ersetzt die Erwartungswerte durch Mittelwerte. 
* Die empirische Varianz hat daher den Nenner n.
* aus der empirischen Varianz kann man die unverzerrte empirische Varianz
mit Bias=0 (Erwartungstreu) konstruieren, in dem man den Nennern   n-1 verwendet.
* das hat aber auch Nachteile: der Bias der unverzerrte empirische Varianz ist zwar nun 0 aber dafür ist der Mean Squared Error (MSE) der unverzerrten empirischen Varianz größer wie der MSE der ML empirischen Varianz.
Also, lieber NeoUrfahraner, bitte die Seite wieder auf "Empirische Varianz" umbenennen, den Terminus  "korrigierte Stichprobenvarianz" gibt es nicht wirklich ...
:Wenn "Empirische Varianz" eindeutig ist, soll es mir recht sein. Schon der zweite Googletreffer http://www.matheboard.de/archive/192032/thread.html liefert allerdings "empirische Varianz" mit n-1 im Nenner. Wie immer, dieser Artikel hier geht um die Variante mit n-1 im Nenner, ob er jetzt "Korrigierte Stichprobenvarianz" oder "unverzerrte empirische Varianz" heißt, ist mir egal, Hauptsache ist, es ist klar, dass nicht die Variante mit n im Nenner gemeint ist.  --NeoUrfahraner 03:30, 4. Sep. 2008 (CEST)
replies: text: Da also keine Reaktion gekommen ist, habe ich auf 10:05, 21. Aug. 2008 revertiert. Um es also nochmals zu wiederholen: in diesem Artikel geht es um die Variante mit n-1 im  Nenner. Wenn's dafür eine bessere Bezeichung gibt, kann man gerne nochmals umbenennen, solange klar bleibt, dass n-1 gemeint ist. --NeoUrfahraner 18:52, 22. Sep. 2008 (CEST)
thread_title:  Empirische Varianz: Erklärung 

message: In der Literatur herrscht leider eine arge Konfusion über die Begriffe "Varianz" und "empirische Varianz" und "Stichprobenvarianz". 
Das Lehrbuch Eckstein,Peter P.: Repetitorium Statistik - 4.Aufl. - Gabler-Verlag, Wiesbaden 2001
unterscheidet abweichend vom aktuellen Wikipedia-Artikel (06.02.2007) zwischen
- "empirischer Varianz" als dem arithmetischen Mittel der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert von n Merkmalswerten. 
- d_x^2 = \frac 1 n \cdot \sum_{i=1}^n ( x_i - \bar x )^2 
und der
- "Stichprobenvarianz" einer Stichprobe vom Umfang n als Schätzwert für die Varianz der Grundgesamtheit  
s^2 = \frac1{n-1} \cdot \sum_{i=1}^n ( x_i - \bar x )^2 
und schließlich der 
- "Varianz" einer Zufallsvariablen.
Entsprechendes gilt bei Eckstein jeweils für die Standardabweichung.
Andere Quellen verwenden die Begriffe alle drei oder paarweise synonym. 
Siehe auch ILMES - Internet-Lexikon der Methoden der empirischen Sozialforschung - Stichwort "Varianz"
Mir scheint hier Klärungsbedarf vorzuliegen. Da ich kein Experte bin, möchte ich aber nicht alleine die Verantwortung für eine Korrektur übernehmen.
Hans Haas,
Aßling (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 84.152.96.138 (Diskussion • Beiträge) 20:22, 6. Feb. 2007) 
:Die Literatur ist evtl. nicht völlig eindeutig; die meisten Werke, die ich kenne, verwenden den Nenner n-1 für die emprische Varianz. Der Faktor n ist dann zu verwenden, wenn der wahre Mittelwert bekannt ist; insbesondere also, wenn die zu untersuchenden Daten nicht als Stichprobe, sondern als Grundgesamtheit interpretiert werden (z.B. wenn man Mittelwert und Varianz irgendeiner Statistik über alle Staaten der Erde aufstellt - da ist ja die Grundgesamtheit der ca. 200 Staaten fix und der Mittelwert exakt bekannt). --NeoUrfahraner 09:07, 28. Apr. 2008 (CEST)
thread_title:  Empirische Varianz oder Stichprobenvarianz? 

message: Zitat:
:"Deshalb berücksichtigt man bei der Definition der Stichprobenvarianz nur  Paare (x_i,x_j) mit  i\ne j. Nur wenn deren Differenzen sich zu null ergeben (wenn also x_i=x_j ist) oder wenigstens nicht groß sind, ist es ein Indiz für eine kleine Streuung der Daten. Die ausschließliche Berücksichtigung von Paaren (x_i,x_j) mit i\ne j bei der Berechnung der empirischen Varianz entspricht der eingangs erwähnten Varianz-Definition und rechtfertigt so die Division der dortigen Summe durch n-1."
Die Rechtfertigung von n-1 ergibt sich dadurch, dass damit der Schätzer erwartungstreu ist. Überlegungen, ob oder warum nur i\ne j berücksichtigt wird, liefert bestenfalls eine heuristische Erklärung, die den Faktor verständlicher macht, aber keinerlei "Rechtfertigung". --NeoUrfahraner 06:26, 28. Apr. 2008 (CEST)
replies: text: Nein, NeoUrfahrander, was diesbezüglich im Artikel steht, ist sehr sauber, auch wenn du es heursitisch nennen magst. Es geht um eine faire Varianzdefinition, die im Gegensatz zur Spannweite, welche bei mehr Daten i. Allg. größer ausfällt, ein faires Durchschnittsmaß bietet. Bei Division durch n ist das nicht der Fall, da der Anteil der selbstidentischen Nulldifferenzen (dass ich genauso groß bin wie ich, hat ja wohl nichts mit Streuung zu tun) bei wenigen Daten größer ist und somit die Varianz mehr nach unten zieht als bei mehreren Daten. Übrigens: es sprechen hier alle immer von Erwartungstreue; keiner sagt, was er denn überhaupt schätzen will. Ist die Grundgesamtheit endlich mit N Elementen, dann soll hier auch mal gesagt werden, dass die aus ihr ohne Zurücklegen gezogene Stichprobenvarianz mit n-1 als Divisor die Varianz dieser endlichen Grundgesamtheit nur dann erwarungstreu schätzt, wenn man auch bei deren Definition N-1 und nicht N, die Zahl der Elemente der Grundgesamtheit, als Divisor nimmt (Beweis auf Seite 8 meines Journal-Artikels The striking criterion whether variance calculation requires dividing the sum of squares by the number of summands or by that number less one). Und wie willst du nun die Verwednung von N-1 mit der Erwartungstreue begründen. Hier befinden wir uns definitiv in einer Grundgesamtheit. Was soll ich da noch erwartungstreu schätzen? --Bachmai (Diskussion) 17:02, 15. Sep. 2013 (CEST)
replies: text: Andererseits sind natürlich "Erwartungstreue" und "Fairness bei verschiedenen N oder n" einander verwandte Begriffe. Insofern liegen uns allen dieselben Gedanken bei der Argumentation, was die Rechtfertigung von n-1 betrifft, zugrunde. --Bachmai (Diskussion) 17:14, 15. Sep. 2013 (CEST)
thread_title:  Rechtfertigung von n-1