Diskussion:Eisensteinkriterium

message: MMn hat das Eisensteinkrit. nen eigenen Artikel verdient, der Teil in irreduzibles Polynom sollte sinnvoll gekürzt werden. Insbesondere die Anschaulichkeit (also WP:OMA) kann in einem eigenen Artikel besser zur Geltung gebracht werden. --χario 21:28, 22. Mai 2008 (CEST)
thread_title:  Eigener Artikel 

message: Im Beweis steht, dass "daher" auch Q und R Monome modulo p sein müssen. Woraus folgt das? Ist das nicht genau der springende Punkt im ganzen Beweis? --84.113.138.66 22:40, 18. Jan. 2009 (CET)
replies: text: Imho folgt  das sofort, weil Q*R = P ist, für P gilt es definitiv und wenn es für P gilt, dann muss es auch für die beiden Faktoren gelten - wobei ich bin mir jetzt nicht sicher, ob das Argument Nullteilerfreiheit benötigt, die aber, da p ne Primzahl ist, gegeben sein müsste. Hilft das schonmal weiter? Ich durchdenk das nochmal in den nächsten Tagen. --χario 23:31, 18. Jan. 2009 (CET)
replies: text:  Danke, ich habs mittlerweile schon herausgefunden warum es gilt. Angenommen Q oder R wäre kein Monom. Sei Q(x)=b_l x^l + ... + b_{l'}x^{l'} + ... + b_1 x + b_0 und R(x)=c_m x^m + ... + c_{m'}x^{m'} + ... + c_0, so dass l' und m' nicht kongruent modulo p sind und l' und m' jeweils minimal. Dann ist l+m=n:=grad(P). l'+m' < l+m weil entweder Q oder R kein Monom ist. Wenn P(x)=a_n x^n + ... + a_0 ist, dann ist a_{m'+l'} kongruent b_{l'} c_{m'}, was im Widerspruch zur Monomeigenschaft modulo p von P steht. Man muss also schon ein bisschen was tun um es zu beweisen ;) (Man kann sich laut engl. Wikipedia auch einen Homomorphismus basteln ((R/pR)[x]=(R[x])/((pR)[x])?), aber ich glaub das ist auch nicht einfacher.) --84.113.138.66 18:56, 19. Jan. 2009 (CET)

text: Ich finde, dass diese Formulierung didaktisch nicht sehr klug ist. Man könnte dazu verleitet werden zu denken, dass P und Q Monome sein müssen, jedoch sind sie nur modulo p kongruent zu einem Monom. Die Begründung hiervon ist einfach - der Leitkoeffizient von PQ ist ja das Produkt der Leitkoeffizienten von P und Q, und damit von Null verschieden, auch unter Berücksichtigung der Kongruenz, nämlich aufgrund der Irreduzibilität von p. Gleiches gilt für die (vom Grad her) niedrigsten von Null verschiedenen Koeffizienten von P und Q. PQ kann also nur kongruent einem Monom sein, wenn P, Q Monome sind.
Mich hat dieser Satz auch sehr verwirrt und ich hätte mir eine Begründung gewünscht.
Was haltet ihr von dieser Ergänzung?
[...] Damit müssen auch Q und R Monome modulo p sein, d. h. auch deren sonstige Koeffizienten sind alle durch p teilbar, weil ansonsten das Produkt der minimalen Koeffizienten von Q und R mit Grad kleiner n in P hätte stehen bleiben müssen.  Maras93 (Diskussion) 19:44, 22. Okt. 2021 (CEST)
thread_title:  "Q und R auch Monome modulo p sein" 

message: -Da ist n kleiner Tippfehler im beweis: PQ=P, war wohl RQ=P gemeint
-mir ist nicht ganz klar was "alle koeffizienten von Q und R sind durch p teilbar" heißen soll, die koeffizienten von Q und R sind doch rational, und alle rationalen Zahlen sind durch ganze Zahlen außer Null teilbar... --Großbuchstabe andrey 23:24, 7. Jun. 2008 (CEST)
replies: text: Nur ganz kurz, ich muss gleich weg, ich schau morgen nochmal genauer drauf: Die Teilpolynome, deren Existenz angenommen wird, haben  oBdA auch ganzzahlige Koeffizienten. Mach keinen Unterschied, musst ja nur ein Polynom mit dem kgV der Nenner aller Koeffizienten multiplizieren und schon isses aus Z[x]. --χario 23:33, 7. Jun. 2008 (CEST)
thread_title:  Koeffizienten von R und Q sind durch p teilbar 

message: Im Beispiel steht:
:x^n-d ist irreduzibel in \mathbb Q[x], wenn d eine Primzahl ist bzw. nur einfache und keine mehrfachen Primteiler hat.
Doch wieso soll d keine mehrfachen Primteiler haben können? Wähle zum Beispiel d=300. Dann hat d die mehrfachen Primteiler 2 und 5, jedoch kann mit p=3 das Eisensteinkriterium erfolgreich angewendet werden. --Jobu0101 14:41, 11. Dez. 2011 (CET)
replies: text: Ich hab's mal geändert. Als hinreichendes Kriterium war es im Prinzip schon richtig, aber doch etwas seltsam. -- HilberTraum 19:04, 11. Dez. 2011 (CET)
replies: text: Genau so dachte ich auch. Ist zwar richtig, aber verwirrend. --Jobu0101 18:02, 16. Dez. 2011 (CET)
thread_title:  Fehler im Beispiel 

message: Im Algebra-Bosch wird als Voraussetzung für das Kriterium genannt "R faktorieller Ring, f ein primitives Polynom vom Grad > 0 ...". Im Artikel fehlt die Bedingung "primitiv", oder? Oder steckt die irgendwo mit drin?
-- Oollii (Diskussion) 20:41, 4. Jan. 2015 (CET)
replies: text: Ich versuche mir mal selbst zu antworten: ohne die Bedingung primitiv gilt nur, dass das Polynom in Q(F)[X] irreduzibel ist; mit f primitiv folgt dann, dass f auch in F[X] irreduzibel ist. Insofern stimmen die Voraussetzungen wie im Artikel genannt. --Oollii (Diskussion) 22:20, 4. Jan. 2015 (CET)
replies: text: Ja, im 3. Punkt der Bemerkungen steht schon etwas dazu. -- HilberTraum (d, m) 09:17, 5. Jan. 2015 (CET)
thread_title:  Voraussetzungen so korrekt?