Diskussion:Kontinuumshypothese

message: Es ist auch möglich, eine Mathematik zu betreiben, die die Negation der Kontinuumshypothese beinhaltet. Arturo Sangalli hat letztere nicht-standard Mathematik untersucht.
habe ich gelöscht.   Erstens bedeutet "non-standard" etwas ganz anderes 
in der Mathematik, zweitens gibt es dutzende (wenn nicht Hunderte) von mathematischen Arbeiten über die Kontinuumshypothese und ihre Negation, und die von Arturo Sangalli sind sicher nicht die besten, bekanntesten oder repräsentativsten.  Wuzel 18:31, 30. Apr 2004 (CEST)
replies: text: Danke für den Hinweis, hab das mal nachgetragen, ist in Kardinalzahl gestanden. Wenn du mehr dazu weisst, schreib was dazu. Unyxos 19:31, 27. Aug 2004 (CEST)
thread_title:  Non-Standard 

message: Gibt es für \left| \mathbb{R} \right| vielleicht doch noch andere Zeichen als \mathfrak c? http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/beispiele/cantor.htm -- Peter Steinberg 01:21, 19. Mai 2006 (CEST)
replies: text: Es gibt natürlich 2^{\aleph_0}, aber das ist für diesen Artikel ungeeignet.--Gunther 01:52, 19. Mai 2006 (CEST)

text: Ich habe nun die Aleph-Notation auch für die verallgemeinerte Kontinuumshypothese verwendet.--FerdiBf (Diskussion) 23:00, 13. Nov. 2012 (CET)
thread_title:  Notation 

message: Kann sein, dass ich einfach nicht drauf komme, aber im Artikel wird wie selbstverständlich davon ausgegangen, dass \mathfrak c = 2^{\aleph_0}, also dass \left| \mathbb{R} \right| = \left| P(\mathbb{N}) \right| , was ich nicht für trivial halte. Mir ist nur klar, dass  \left| \mathbb{R} \right| \leq \left| P(\mathbb{N}) \right|  (Jede reelle Zahl kann z.B. mittels ihrer binären Darstellung eindeutig einer Untermenge der Natürlichen Zahlen zugeordnet werden. Allerdings werden hierbei nicht alle Untermengen getroffen.) Wenn die andere Richtung trivial ist, wäre ich für einen Hinweis dankbar, ansonsten sollte es vielleicht in den Artikel.
: S.: O. Deiser: Einführung in die Mengenlehre. I.9. Springer, Berlin 2004, S.134-136. ISBN 3-540-20401-6  --Alexandar.R. 07:53, 17. Jul. 2007 (CEST)
thread_title:  Herleitung 

message: Kann es sein, daß das Anwendungsbeispiel Fehler enthält? Das "insbesondere eine Lebesgue-Nullmenge" zum Beispiel steht nicht an der richtigen Stelle (wieso ist eine überabzählbare Menge insbesondere Lebesgue-Nullmenge, zumal wenn das Komplement auch noch abzählbar ist?). Außerdem sollte man sagen, was das Anwendungsbeispiel soll (schließlich kann man nicht-meßbare Funktionen auch ohne Kontinuumshypothese konstruieren). --129.132.170.228 14:29, 10. Jan. 2008 (CET)
replies: text: Das Beispiel verwendet doch nur, dass abzählbare Mengen das Lebsegue-Maß 0 haben. Wahrscheinlich sind die hier geäußerten Bedenken hinfällig, wenn nicht, dann bitte melden.--FerdiBf (Diskussion) 23:11, 13. Nov. 2012 (CET)
replies: text: Die hier geäußerten Bedenken stammen von Januar 2008 und sind inzwischen in der Tat hinfällig, weil ebenfalls 2008 der Fehler mit "abzählbar" und "überabzählbar" behoben wurde und seit 2009 darauf hingewiesen wird, dass man die Kontinuumshypothese nicht benötigt, um die Existenz von nicht-Lebesgue-messbaren Mengen zu konstruieren. Insofern ist dieser Beitrag hinfällig. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 10:58, 14. Nov. 2012 (CET)
thread_title:  Anwendungsbeispiel 

message: Ich habe etwas mit diesem Satz hier zu kämpfen: "Daher kann der Kontinuumshypothese im Rahmen der Mengenlehre kein Wahrheitswert zugewiesen werden."
Meiner Meinung nach müsste da eher sowas stehen wie: "ZFC sagt weder aus, dass die CH in jedem Modell gilt, noch dass sie nicht gilt. Mit anderen Worten: es gibt Modelle von ZFC, in denen die CH gilt und welche, in denen sie nicht gilt."
Es ist lediglich nicht bekannt, ob die CH in der Standard-Mengenlehre gilt oder nicht - einen Wahrheitswert hat sie aber trotzdem.
Korrigiert mich, wenn ich da was falsch verstanden habe... --MBleichner 00:09, 22. Dez. 2009 (CET)
replies: text: Da der Artikel nicht genauer auf Modelltheorie eingeht, habe ich den Wahrheitswert aus dem Text entfernt.--FerdiBf (Diskussion) 23:04, 13. Nov. 2012 (CET)
thread_title:  Wahrheitswert 

message: Jetzt, beim nochmaligen Drüberschauen, bin ich doch wieder etwas irritiert von dem Anwendungsbeispiel... Sollte dann in der Einleitung nicht vielleicht besser stehen, dass eine nichtmessbare Teilmenge des R^2 konstruiert wird, statt eine Teilmenge der reellen Zahlen? Denn die Menge A lebt ja im R^2 und nicht in R. Die Mengen A_x und A^y, die in R leben sind ja alle messbar. Oder übersehe ich etwas? Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 13:20, 15. Nov. 2012 (CET)
replies: text: Stimmt! Ich habe den Text entsprechend geändert.--FerdiBf (Diskussion) 21:34, 17. Nov. 2012 (CET)
replies: text: Merci. :) --Cosine (Diskussion) 09:25, 19. Nov. 2012 (CET)
thread_title:  Doch nochmal Anwendungsbeispiel 

message: Mir als nicht Mathematiker stellt sich die Frage: Könnte nicht zufällig jemand eine entsprechende Menge "finden", die die Kontinuumshypothese widerlegt, oder ist das auch ausgeschlossen? Geht vielleicht auch anderen Lesern so.--80.139.142.133 22:26, 28. Jul. 2022 (CEST)
replies: text: Das ist eine durchaus intelligente Frage. Wenn man eine Menge gefunden hätte, die die Kontinuumshypothese widerlegen soll, dann müsste man beweisen, dass diese Menge weder abzählbar noch gleichmächtig zu \R ist. Gödels Konsistenzaussage zeigt, dass man einen solchen Beweis mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre (ZFC-Axiome) nicht führen kann, denn derselbe Beweis würde dann auch in Gödels Universum L der konstruierbaren Mengen funktionieren und die "gefundene Menge" ließe sich auch in L definieren, denn auch L erfüllt die ZFC-Axiome, aber in L gibt es so etwas nicht. Das heißt man kann zeigen, dass man so ein Beispiel nicht finden kann. Dennoch ist die aufgeworfene Frage nicht abwegig und meine Antwort nicht ganz aufrichtig, denn mein Argument setzt die Widerspruchsfreiheit der Mathematik (genauer der ZFC-Axiome) voraus, von der man ebenfalls beweisen kann, dass man sie nicht beweisen kann. Die richtige Antwort lautet: Ja, Du könntest mittels der ZFC-Axiome mit einer unendlichen Teilmenge von \R um die Ecke kommen, die weder abzählbar noch gleichmächtig zu \R ist. Aber dann hast Du nicht die Kontinuumshypothese widerlegt, sondern die Widerspruchsfreiheit der ZFC-Axiome. --FerdiBf (Diskussion) 18:52, 31. Jul. 2022 (CEST)
replies: text: Danke für die ausführliche Antwort. Vielleicht könnte man das auch kurz im Artikel erwähnen ("Zufallsfund auch ausgeschlossen"), ich selbst kann das aber nicht abschätzen. --2003:EE:E719:D532:1974:3C30:9576:1D62 11:01, 5. Aug. 2022 (CEST)
thread_title:  Laienfrage