Diskussion:Julius König

message: Eine der größten Leistungen Georg Cantors war die Konstruktion einer eins-zu-eins-Abbildung zwischen den Punkten einer Strecke und den Punkten eines Quadrates. König fand dafür ein vereinfachtes Verfahren mit Hilfe von Dezimalzahlen, das Cantor entgangen war.
1904 hielt König auf dem III. Internationalen Mathematiker-Kongress in Heidelberg einen Vortrag zur Widerlegung der Cantorschen Kontinuumhypothese. Die Vortragsankündigung erregte ein solches Aufsehen, dass die Parallelveranstaltungen gestrichen wurden, um allen Teilnehmern Gelegenheit zum Besuch von Königs Vortrag zu geben. Königs Widerlegungsversuch stützte sich allerdings auf einen Satz von Felix Bernstein, der in der von diesem angegebenen Allgemeinheit nicht gilt. Dieser Fehler wurde bereits am folgenden Tage von Ernst Zermelo, dem späteren Herausgeber der gesammelten Abhandlungen Georg Cantors aufgedeckt.
Quelle: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Konig_Julius.html
König versuchte allerdings weiterhin durch einen Widerspruch zu begründen, dass nicht alle Mengen wohlgeordnet werden können. In einem Aufsatz von 1905 stellte er zunächst fest:
*Man zeigt sehr leicht, daß die endlich definierten Elemente des Kontinuums eine Teilmenge des Kontinuums von der Mächtigkeit \aleph_0 bestimmen [...] Eine solche endliche Definition muß nämlich durch eine endliche Zahl von Buchstaben und Interpunktionszeichen, die selbst nur in bestimmter, endlicher Zahl vorhanden sind, vollständig gegeben sein.
Quelle:
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D36539&p=163
Diese Aussage wurde von Cantor in einem Brief an Hilbert 1906  in Frage gestellt:
*"Unendliche Definitionen" (die nicht in endlicher Zeit verlaufen) sind Undinge. Wäre Königs Satz, daß alle "endlich definierbaren" reellen Zahlen einen Inbegriff von der Mächtigkeit \aleph_0 ausmachen, richtig, so hieße dies, das ganze Zahlenkontinuum sei abzählbar, was doch sicherlich falsch ist. Diese Voraussetzung muß ein Irrthum sein, da sich sonst der falsche Satz ergeben würde: "das Zahlenkontinuum hat die Mächtigkeit \aleph_0". Irre ich mich, oder habe ich Recht?
Quelle: Cantor an Hilbert, 8.8.1906 in: Georg Cantor Briefe H. Meschkowski, W. Nilson (Herausgeber), Springer, Berlin  (1991)
Cantor irrte sich. Königs Voraussetzung ist heute allgemein anerkannt. Sie führt nach König
* in merkwürdig einfacher Weise zu dem Schlusse, daß das Kontinuum nicht wohlgeordnet werden kann. Denken wir die Elemente des Kontinuums als wohlgeordnete Menge, so bilden jene Elemente, die nicht endlich definiert werden können, eine Teilmenge jener wohlgeordneten Menge, die gewiß Elemente des Kontinuums enthält. [...] Es müßte demnach in jener Folge eine erste nicht endlich definierbare Ordnungszahl vorhanden sein. Dies ist aber unmöglich. [...] "Die der Größe nach auf alle diese zunächst folgende Ordnungszahl" wäre aber durch das Gesagte eben endlich definiert, während sie doch - der Annahme nach - nicht endlich definiert werden kann. Die Annahme, daß das Kontinuum wohlgeordnet werden kann, hat demnach zu einem Widerspruch geführt.
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D36539&p=164
Königs Schlussfolgerung wird heute allerdings nicht mehr akzeptiert. Im Gegensatz zu Cantor betrachtet gegenwärtig die Mehrheit der Mathematiker undefinierte Zahlen nicht als Undinge.
Spätestens seit Turing unbestritten
Gruß, WM
:Die Links auf dz-srv1.sub.uni-goettingen.de funktionieren (zumindest jetzt) nicht. --tsor 11:05, 25. Mär. 2007 (CEST)
replies: text: Das verstehe ich nicht. Wenn ich sie antippe, sind die Seitenn sofort da. 217.94.247.2 13:47, 25. Mär. 2007 (CEST)
replies: text: Dass diese Stellen zu solchen Diskussionen (bzw. meiner Sperrung ohne jede Diskusson) führen würden, konnte ich nicht absehen. Der Löschende hätte mich ja nur zu fragen brauchen, wo genau in den angegeben Schriften er sie findet. Es ist in Wikipedia nicht üblich, direkt im Text auf die Zitate zu verweisen, auch sind die Arbeiten Königs ja nicht lang. Meinetwegen mag es aber sein. Die Zitate als solche waren durch (*) jedenfalls deutlich erkennbar. 217.94.247.2 13:47, 25. Mär. 2007 (CEST)
replies: text: Wie dem auch sei: Kann der Artikel nun wieder in der ursprünglichen Fassung erscheinen? 217.94.247.2 13:47, 25. Mär. 2007 (CEST)

text: Eine Erklärung oder Auflösung des Paradoxons wurde im Artikel Jules Richard gegeben, weil sie dort besser hinpasst. Man könnte darauf verweisen. Andernfalls müsste man den ganzen dort dargestellten Sachverhalt hier abermals aufrollen. Der Satz "Im Gegensatz zu Cantor betrachtet gegenwärtig die Mehrheit der Mathematiker undefinierte Zahlen nicht als Undinge" beruht selbstverständlich darauf, dass Definitionen immer endlich sind und daher nur abzählbar viele Definitionen existieren können. "Undinge" ist die direkte Diktion Cantors, der kurz vorher zitiert wurde. Entschieden wird über Sinn oder Unsinn von Ansichten in der Praxis selbstverständlich per Mehrheit. Es wäre eine Mathematiker-Generation vorstellbar, die undefinierbare Zahlen nicht als Zahlen anerkennt. Wir können das heute nicht abschließend beurteilen, daher ist das Wort "gegenwärtig" hier durchaus angebracht. 217.94.247.2 14:37, 25. Mär. 2007 (CEST)
replies: text:  Ein Verweis erscheint sinnvoll, mach mal einen Vorschlag.  Dass Königs Beweis fehlerhaft war, ist keine Frage der Mode oder Mehrheit.  Dass andere Grundlagen der Mathematik als die momentan übliche denkbar sind, ist davon unabhängig.  --Carsten Schultz 15:11, 25. Mär. 2007 (CEST)
thread_title:  Bezug zur Mengenlehre 

message: Eine der größten Leistungen Georg Cantors war die Konstruktion einer eins-zu-eins-Abbildung zwischen den Punkten einer Strecke und den Punkten eines Quadrates. König fand dafür ein vereinfachtes Verfahren mit Hilfe von Dezimalzahlen, das Cantor entgangen war.
1904 hielt König auf dem III. Internationalen Mathematiker-Kongress in Heidelberg einen Vortrag zur Widerlegung der Cantorschen Kontinuumhypothese. Die Vortragsankündigung erregte ein solches Aufsehen, dass die Parallelveranstaltungen gestrichen wurden, um allen Teilnehmern Gelegenheit zum Besuch von Königs Vortrag zu geben. Königs Widerlegungsversuch stützte sich allerdings auf einen Satz von Felix Bernstein, der in der von diesem angegebenen Allgemeinheit nicht gilt. Dieser Fehler wurde bereits am folgenden Tage von Ernst Zermelo, dem späteren Herausgeber der gesammelten Abhandlungen Georg Cantors aufgedeckt.
König versuchte allerdings weiterhin durch einen Widerspruch zu begründen, dass nicht alle Mengen wohlgeordnet werden können. In einem Aufsatz von 1905 stellte er zunächst fest:
*Man zeigt sehr leicht, daß die endlich definierten Elemente des Kontinuums eine Teilmenge des Kontinuums von der Mächtigkeit \aleph_0 bestimmen [...] Eine solche endliche Definition muß nämlich durch eine endliche Zahl von Buchstaben und Interpunktionszeichen, die selbst nur in bestimmter, endlicher Zahl vorhanden sind, vollständig gegeben sein.
Diese Aussage wurde von Cantor in einem Brief an Hilbert 1906  in Frage gestellt:
*"Unendliche Definitionen" (die nicht in endlicher Zeit verlaufen) sind Undinge. Wäre Königs Satz, daß alle "endlich definierbaren" reellen Zahlen einen Inbegriff von der Mächtigkeit \aleph_0 ausmachen, richtig, so hieße dies, das ganze Zahlenkontinuum sei abzählbar, was doch sicherlich falsch ist. Diese Voraussetzung muß ein Irrthum sein, da sich sonst der falsche Satz ergeben würde: "das Zahlenkontinuum hat die Mächtigkeit \aleph_0". Irre ich mich, oder habe ich Recht?
Cantor irrte sich. Königs Voraussetzung ist heute allgemein anerkannt. Es gibt nur abzählbar viele endlich definierbare reelle Zahlen. Im Gegensatz zu Cantor betrachtet aber gegenwärtig die Mehrheit der Mathematiker nicht endlich definierbare Zahlen nicht als Undinge.
Nach König führt seine Überlegung
* in merkwürdig einfacher Weise zu dem Schlusse, daß das Kontinuum nicht wohlgeordnet werden kann. Denken wir die Elemente des Kontinuums als wohlgeordnete Menge, so bilden jene Elemente, die nicht endlich definiert werden können, eine Teilmenge jener wohlgeordneten Menge, die gewiß Elemente des Kontinuums enthält. [...] Es müßte demnach in jener Folge eine erste nicht endlich definierbare Ordnungszahl vorhanden sein. Dies ist aber unmöglich. [...] "Die der Größe nach auf alle diese zunächst folgende Ordnungszahl" wäre aber durch das Gesagte eben endlich definiert, während sie doch - der Annahme nach - nicht endlich definiert werden kann. Die Annahme, daß das Kontinuum wohlgeordnet werden kann, hat demnach zu einem Widerspruch geführt.
Königs Überlegung beinhaltet einen Wechsel der Sprache und ist daher nicht korrekt. Dies wird im Artikel Jules Richard anhand eines einfachen Beispiels erklärt.
^^^ Hier endet WMs nicht signierter Vorschlag ^^^
Ich habe jetzt mal den Artikel von 1905 (teils kursorisch) gelesen, um etwas Kontext zu haben.  Die Probleme des Arguments springen einen aus heutiger Sicht ja förmlich an, so dass die Bedeutung des Artikels nur im historischen Kontext verstanden werden kann.  Er scheint vor allem darauf hinzuweisen, dass die Selbstreflektion der Mathematik in der Mengenlehre angelegt, aber noch nicht ausgearbeitet ist.  Das ist ja später sehr erfolgreich gelungen, man denke zum Beispiel an Gödel, aber inwiefern Königs Arbeiten dabei Ideengeber waren, ist eine historische Tatsache, die mir nicht bekannt ist.
Aber das nur als Vorbemerkung.  Der zweite Teil des Königzitats ist ohne die Definitionen aus dem Aufsatz nicht verständlich.  Der erste Teil vielleicht schon, aber warum ist das in einem Zitat besser zu bewerkstelligen als selbstformuliert?  Warum soll das hier überhaupt aufgenommen werden, was ist die wesentliche Aussage, die der Leser mitnehmen soll?
Das Cantorzitat finde ich ohne Kontext nun sehr schwer zu beurteilen.  Was soll es an dieser Stelle zeigen?
Ich sehe immer noch keinen guten Grund für die Zitate und würde einen kurzen Absatz vorziehen, wobei man sich zunächst darüber klar werden müsste, was er aussagen soll. --Carsten Schultz 16:11, 27. Mär. 2007 (CEST)
thread_title:  Bezug zur Mengenlehre