Diskussion:Satz von Moivre-Laplace

message: Die Normalverteilung kann aus der Binomialverteilung hergeleitet werden, wenn die Differenz k - np zwischen der Anzahl k der Erfolge und dem Erwartungswert np von der Größenordnung \mathcal{O}(\sqrt{n}) ist und k und n - k von der Größenordnung \mathcal{O}(n) sind.
Aus der Stirlingformel n! = n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n} \left(1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right)\right) ergibt sich dann folgende Näherung für die Binomialverteilung:
: \begin{align}
B(k \mid p,n) &= \frac{n!}{k!(n-k)!} p^{k} (1-p)^{n-k} \\
&= \frac{n^n e^{-n} \sqrt{2 \pi n}}{k^k e^{-k} \sqrt{2 \pi k} (n-k)^{n-k} e^{-(n-k)} \sqrt{2 \pi (n-k)}} p^{k} (1-p)^{n-k} \left(1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right)\right) \\
&= n^n \left(\frac{p}{k}\right)^k \left(\frac{1-p}{n-k}\right)^{n-k} \sqrt{\frac{n}{2 \pi k(n-k)}} \left(1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right)\right) \\
&= \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{n(1-p)}{n-k}\right)^{n-k} \sqrt{\frac{n}{2 \pi k(n-k)}} \left(1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right)\right) \\
\end{align}
Um den Ausdruck \left(\tfrac{np}{k}\right)^k \left(\tfrac{n(1-p)}{n-k}\right)^{n-k} als Potenz von e darzustellen, wird der natürliche Logarithmus dieses Ausdrucks approximiert. Definiert man d := k - np, dann gilt
: \begin{align}
\ln\left(\frac{np}{k}\right) &= \ln\left(\frac{np}{np+d}\right) = -\ln\left(\frac{np+d}{np}\right) = -\ln\left(1+\frac{d}{np}\right) \\
\ln\left(\frac{n(1-p)}{n-k}\right) &= \ln\left(\frac{n(1-p)}{n(1-p)-d}\right) = -\ln\left(\frac{n(1-p)-d}{n(1-p)}\right) = -\ln\left(1-\frac{d}{n(1-p)}\right) \\
\end{align}
Aus der Potenzreihe \ln(1+x) = x-\tfrac{x^2}2+\mathcal{O}(x^3) für den natürlichen Logarithmus folgt
: \begin{align}
\ln\left(\left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{n(1-p)}{n-k}\right)^{n-k}\right) &= k\ln\left(\frac{np}{k}\right)+(n-k)\ln\left(\frac{n(1-p)}{n-k}\right) \\
&= k\ln\left(1+\frac{d}{np}\right)-(n-k)\ln\left(1-\frac{d}{n(1-p)}\right) \\
&= -(np+d)\left(\frac{d}{np}-\frac{d^2}{2 n^2 p^2}+\mathcal{O}\left(\frac{d^3}{n^3}\right)\right)-(n(1-p)-d)\left(-\frac{d}{n(1-p)}-\frac{d^2}{2 n^2 (1-p)^2}+\mathcal{O}\left(\frac{d^3}{n^3}\right)\right) \\
&= -d-\frac{d^2}{np}+\frac{d^2}{2np}+\frac{d^3}{2 n^2 p^2}-(np+d)\mathcal{O}\left(\frac{d^3}{n^3}\right)+d-\frac{d^2}{n(1-p)}+\frac{d^2}{2n(1-p)}-\frac{d^3}{2 n^2 (1-p)^2}-(n(1-p)-d)\mathcal{O}\left(\frac{d^3}{n^3}\right) \\
&= -\frac{d^2}{2np(1-p)}+\mathcal{O}\left(\frac{d^3}{n^2}\right) \\
\end{align}
Wendet man die Exponentialfunktion auf diese Gleichung an, dann erhält man
: \left(\frac{np}{k}\right)^k \left(\frac{n(1-p)}{n-k}\right)^{n-k} = e^{-\frac{d^2}{2np(1-p)}}\left(1+\mathcal{O}\left(\frac{d^3}{n^2}\right)\right)
Außerdem gilt die Näherung
: \sqrt{\frac{n}{2 \pi k(n-k)}} = \sqrt{\frac{n}{2 \pi (np+d)(n(1-p)-d)}} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi np(1-p)}}\left(1+\mathcal{O}\left(\frac{d}{n}\right)\right)
Weil d := k - np von der Größenordnung \mathcal{O}(\sqrt{n}) ist, gilt \mathcal{O}\left(\frac{d^3}{n^2}\right) = \mathcal{O}\left(\frac{d}{n}\right) = \mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right). Daraus folgt, dass die Binomialverteilung folgendermaßen dargestellt werden kann:
: B(k \mid p,n) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi np(1-p)}} e^{-\frac{(k-np)^2}{2np(1-p)}}\left(1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)
Dieser Wert nähert sich für große n der Normalverteilung mit dem Erwartungswert \mu = np und der Varianz \sigma^2 = np(1-p) an.Santa Cruz Institute for Particle Physics: The Normal Approximation to the Binomial Distribution
; Einzelnachweis
--Sigma^2 (Diskussion) 00:09, 8. Nov. 2023 (CET)
thread_title:  Beweis (Fassung vom 8.11.2023) 

message: Ich bin für eine Umbenennung in Satz von de Moivre-Laplace. Wer verkürzt eigentlich – außer der deutschen Wikipedia – den Namen de Moivre zu Moivre? --Sigma^2 (Diskussion) 23:25, 8. Nov. 2023 (CET)
thread_title: Artikelname