Diskussion:Umtauschparadoxon/Archiv/1

message: Das Problem entspricht logisch dem gleichzubehandelnden Briefumschlagparadox. link darauf bzw auf das korrekt geschriebene lemma Briefumschlagparadoxon mit REDIRECT?--Pik-Asso [ x ] 12:32, 27. Mär 2005 (CEST)
replies: text: statt löschen fänd ich ein Redirect sinnvoll, das geht etwa mit "#REDIRECTBriefumschlagparadox" als alleinigen Artikeltext, falls du das willst. Umgekehrt erscheints mir jedoch sinnvoller, da IMHO Umtauschparadoxon ein üblicheres lemma (= Suchbegriff, Thema, Stichwort) ist. Außerdem sollte IMHO Briefumschlagparadox nach Briefumschlagparadoxon verschoben werden. Bei all diesen Punkten kann dich sicher zB Martin Vogel bei Bedarf besser in Software-Fragen unterstützen als ich. --Pik-Asso [ x ] 15:23, 27. Mär 2005 (CEST)
replies: text:  bin mit allen diesen vorschlägen einverstanden. selber machen kann ichs nicht, ich bin da noch zu neu. wir brauchen da sowieso einen admin - oder täusch ich mich?--MiBü 19:44, 27. Mär 2005 (CEST)

text: gut so. hab mir erlaubt, ein paar (mir) wichtige dinge aus der ursprünglichen formulierung zum umtauschparadoxon einzubringen. der beispieltext mit herrn schmidt und herrn lemke ist noch etwas lang; er enthält auch elemente, die zwar etwas "kolorit" erzeugen, aber für das paradoxon selbst irrelevant bzw. irreführend sind. sollte man evtl. kürzen. ??? --MiBü 12:44, 28. Mär 2005 (CEST)
replies: text:  mir persönlich gefällt dein Beispiel "Fürst/Verdienter Bürger" sprachlich und inhaltlich sehr viel besser als der etwas holprige Text um "Schmidt und Lemke", der nach meiner Erinnerung noch aus dem im Januar gelöschten Artikel hinübergerettet wurde... ich finds zB irreführend, auf die "völlig gleichen" Umschläge hinzuweisen - es genügt, dass sie verschlossen sind und ihre Gestalt nicht auf ihren Inhalt schließen lässt. Deshalb find ich deine Truhen überzeugender. Allerdings: Faktor 2 zwischen den Gewinnsummen macht das Paradoxon IMO "spannender" als Faktor 10 ... stell dir mal das Ziegenproblem mit hundert Türen (mit 99 Nieten und einem Gewinn, der hinter der einzig verschlossen gebliebenen Tür steckt) vor!Mir steht noch der Schweiß auf der Stirn von meiner etwas chaotisch durchgeführten Verschiebeaktion - ich denke aber, sie ist vom Ergebnis her ok. Du kannst sicher den Text (insbesondere das Beispiel) noch deutlich verbessern, etwas gut formuliertes Kolorit kann IMHO auch in einer Enzyklopädie nix schaden. Viel Spaß! --Pik-Asso [ x ] 16:26, 28. Mär 2005 (CEST)
thread_title:  Briefumschlagparadox 

message: Das Umtauschparadoxon meint die paradoxe Situation, dass es in Kenntnis des Verhältnisses zwischen zwei Alternativen und in Kenntnis der einen Alternative immer sinnvoll scheint, seine Wahl zu wechseln.
Ein Beispiel:
Ein Fürst bietet einem verdienten Bürger an, als Belohnung für seine Verdienste eine von zwei Truhen auszuwählen. In der einen Truhe befände sich das Zehnfache der anderen. Der Bürger bekommt die Erlaubnis, den Inhalt einer der beiden Truhen zu sehen.
Der Bürger wählt die schwarze Truhe und stellt fest, dass sie 100 Gulden enthält. Also enthält die weiße Truhe 10 Gulden oder 1000 Gulden. Wechselt er zur anderen Truhe, kann er 90 Gulden verlieren oder 900 Gulden gewinnen. Also scheint es sinnvoll zu wechseln. Der Wechsel führt zu einem Gewinn mit Erwartungswert von (900 - 90) : 2 = 405 Gulden. 
Das Paradoxe an der Situation ist, dass es genau so sinnvoll scheint zu wechseln, wenn der Bürger zunächst die weiße Truhe geöffnet hätte. In Wirklichkeit wäre der Wechsel immer dann sinnvoll, wenn man die schlechtere Alternative gewählt hat - es ist aber unbekannt, ob das der Fall ist oder nicht. 
Das Umtauschparadoxon entsteht dadurch, dass die Berechnung des Erwartungswerts auf das arithmetische Mittel abstellt, die Alternativen aber in ihrem Verhältnis, nicht in ihrer Differenz betrachtet werden, sodass das geometrische Mittel der Sachlage entsprechen würde. Das arithmetische Mittel liegt in solchen Fällen immer über dem geometrischen Mittelwert. 
Das Umtauschparadoxon kommt in der Realität oft vor. Immer wenn man vor zwei Alternativen steht, die eine kennt und mit gutem Grund annehmen kann, dass die andere in einem gewissen Verhältnis besser oder schlechter ist, entsteht die Situation des Umtauschparadoxons. Vernünftige Annahmen über die wahrscheinliche Obergrenze des Betrags lösen das Paradoxon auf.
Das Umtauschparadoxon tritt auch als Briefumschlagparadox auf. Es ist verwandt aber keineswegs identisch auch mit dem Ziegenproblem.
:Kategorie:Stochastik
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Diskussion zum Briefumschlagparadox:
Der gesunde Menschenverstand sagt: Wenn ich arm bin, kann ich nicht das Risiko eingehen, noch weniger zu bekommen. Also darf ich nicht tauschen. Ich könnte zwar mehr bekommen, aber wenn ich verliere, geht es an die Existenz. Wenn ich reich bin, mache ich einen wesentlich größeren Gewinn, als der Verlust, den ich riskiere. Ich muss tauschen. (Gewinn wäre 100, Verlust nur 50 Einheiten bei angenommenen 100 gefundenen Einheiten.) (Vorausgesetzt, die Summe ist nicht bekannt und die Werte sind Zufallsverteilt mit 50%.) --Hutschi 13:40, 11. Feb 2005 (CET)
thread_title:  ehemaliger Artikelinhalt Umtauschparadoxon 

message: *Ich bin nicht sicher, ob bei dem Paradoxon der Umschlag geöffnet wird. Es dürfte eigentlich auch keine Rolle spielen.
:Ich denke, es spielt eine Rolle. Wenn der Umschlag geöffnet wird, weiß ich ja, dass nur die Hälfte oder das Doppelte drin ist, ganz offensichtlich. Wenn mit der Frage aber gemeint ist, dass der erste Umschlag nicht geöffnet zu werden braucht, ist das Ganze tatsächlich paradox. Jetzt sieht man, was daran paradox ist. Paradox ist, dass dann immer der Briefumschlag, den ich nicht habe, einen höheren Wert erwarten lässt. Denn wenn ich den (außen völlig gleichen) Umschlag getauscht habe, gilt für ihn natürlich das Gleiche: Es ist entweder die Hälfte oder das Doppelte drin. --Hutschi 08:03, 4. Mär 2005 (CET)
replies: text: Der Artikel ist kein Paradox, die Rechnung ist ganz einfach falsch; sie setzt nämlich eine Gleichverteilung auf der Menge der natürlichen (oder der positiven reellen Zahlen) voraus, die es aber nicht geben kann. Wenn "viel" Geld im Kuvert ist, ist die Wahrscheinlichkeit kleiner, dass im anderen Kuvert noch mehr Geld ist, daher lohnt sich dann das tauschen nicht. Lösung steht übrigens auch auf :en:Envelope paradox --NeoUrfahraner 05:03, 6. Mär 2005 (CET)
replies: text: Ich denke, das ist einer der Unterschiede zwischen Paradoxie und Antinomie. Eine Antinomie ist ein Paradoxon, das nicht auf falschen Rechnungen beruht, sondern bei dem die Paradoxie dem Problem selbst innewohnt. Bei der Paradoxie kann auch eine offensichtliche richtige Rechnung nur scheinbar richtig sein. Bei dem angegebenen Beispiel wurde als (falsch) vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit 50% ist. Offensichtlich wird das, wenn beispielsweise nur 1 Cent im Briefumschlag ist. Dann sind im anderen 2 Cent, wenn die Bedingung wahr ist, dass einer das Doppelte des anderen enthält. 1/2 Cent gibt es bekanntlich nicht. --Hutschi 10:16, 8. Mär 2005 (CET)
replies: text: Das mit dem halben Cent stimmt zwar, macht aber nicht das Wesen dieses Paradoxes aus. Du kannst es in eine stetiges Problem umformulieren, indem Du sagst, im einem Briefumschlag liegt eine gewisse Menge Gold, im anderen die doppelte Menge --NeoUrfahraner 23:46, 8. Mär 2005 (CET)
replies: text: Ich weiß. Das war aber auch im englischen Artikel erwähnt. Eine Voraussetzung des Paradoxons sind gerade Zahlen oder Stetigkeit. Asymmetrien: Die erwähnte Wahrscheinlichkeit von 50% ist eine weitere, diese gilt, wie bereits von anderen erwähnt, im normalen Leben nicht. Dabei steht die Frage: Ist die Aufgabenstellung falsch gewählt? (50% Wahrscheinlichkeit). Wir haben es ja mit einer Wahrscheinlichkeit des Nichtwissens und nicht mit einer Wahrscheinlichkeit des Auftretens zu tun. Das Geld ist bereits im Umschlag. Jede verfügbare Information kann ich nutzen. Da von 100 Euro ausgegangen wird, ist sowohl der halbe als auch der doppelte Betrag möglich. Wenn ich das Vermögen des anderen kenne, ergibt sich eine weitere Grenze: Mehr als er hat, kann er nicht hineinstecken. --Hutschi 08:09, 9. Mär 2005 (CET)

text: Das gibt es als Ziegenproblem. Und das Briefumschlagparadox ist eine Wiederkehr des gelöschten Umtauschparadox. — Martin Vogel 鸟 17:56, 19. Feb 2005 (CET)
thread_title:  Zwei Sachen 

message: Zitat: "(wenngleich in der Ökonomie die Theorie der komparativen Kostenvorteile zumindest auf Vorteile des Handels deuten)." Was soll dieser Satz bedeuten und was hat er mit diesem Paradox zu tun? --NeoUrfahraner 23:46, 8. Mär 2005 (CET)
thread_title:  Komparative Kostenvorteile 

message: Die Lösung, erster Satz: "Das Umtauschparadoxon entsteht dadurch, dass die Berechnung des Erwartungswerts auf das arithmetische Mittel abstellt, die Alternativen aber in ihrem Verhältnis, nicht in ihrer Differenz betrachtet werden, sodass das geometrische Mittel der Sachlage entsprechen würde." Das verstehe ich nicht. Wieso soll das geometrische Mittel richtig sein? --NeoUrfahraner 16:24, 28. Mär 2005 (CEST)
replies: text: wenn du den satz nicht verstehst, MUSST du ihn NICHT gleich löschen. aber seiswiessei: das umtauschparadoxon funktioniert nur, wenn die umschläge in einem bestimmten verhältnis stehen. wenns eine differenz ist (im sinne von: im einen ist um 20 € mehr oder weniger als im anderen), dann gibts kein paradoxon; dann funktioniert der erwartungswert direkt. aber hier: ich habe den betrag a; im anderen umschlag könnten 2a oder a/2 sein. im geometrischen mittel ist das a; deswegen erscheint ja das angebot "gerecht". das arithmetische mittel (der erwartungswert) ist aber (2a + a/2)/2 = 5a/4 - das ist mehr als a. das ist die ursache des paradoxons. ohne einen "krieg" anfangen zu wollen: ich tu den satz wieder rein. okay?--MiBü 18:09, 30. Mär 2005 (CEST)
replies: text: Ich habe mit dem Löschen zwei Tage gewartet, aber da keine Antwort kam, habe ich den Satz gelöscht. Jetzt aber inhaltlich: Ich mache Dir folgendes Angebot: Ich zahle Dir a=1 EUR Einsatz. Bei der nächsten öserreichischen Lottoziehung (6 aus 45) zählen wir die Zahlen zusammen (falls 45 dabei ist, wird es nicht mitgezählt, damit nur eine gerade Zahl von Kugeln mitspielt). Ist die Summe gerade, erhalte ich 100a =100 EUR Gewinn von Dir, ist die Summe ungerade, erhalte ich a/100 =1 cent Gewinn von Dir. Geometrisches Mittel ist doch a, nimmst Du also die Wette an? Nach Deiner Logik wäre das Spiel ja fair. --NeoUrfahraner 19:43, 30. Mär 2005 (CEST)
replies: text:  ich hab geschrieben, dass das angebot (für den tausch) gerecht erscheint, nicht dass es gerecht ist. das ist ja gerade eine der eigenschaften des umtauschparadoxons: dass das sprachlich gerecht bzw. ausgeglichen erscheint, aber eben nicht ist. übrigens: wenn wir eine spielserie machen würden, in der gewinne miteinander multipliziert würden, wärs auch gerecht. aber lies doch bitte einmal beim geometrischen mittelwert nach, wofür er da ist. da steht das ganz explizit. --MiBü 20:44, 30. Mär 2005 (CEST)
replies: text: Du gibst also zu, dass das geometrische Mittel unbrauchbar ist, wenn die Gewinne addiert werden? --NeoUrfahraner 21:01, 30. Mär 2005 (CEST)
replies: text:  eh. hier gehts aber nicht um addition von gewinnen. der punkt ist: das verfahren scheint ausgeglichen wegen der gleichen faktoren rauf und runter ... verhältnisse ... geometrisches mittel im hintergrund und in den köpfen der menschen (sicher nicht explizit, aber gefühlsmäßig). das arithmetische mittel = erwartungswert berücksichtigt das nicht, geht darauf nicht ein, ist nicht geeignet, dieses gefühl von ausgeglichenheit zu erfassen. heraus kommt das umtauschparadoxon.--MiBü 21:27, 30. Mär 2005 (CEST)
replies: text: Nein, Du hast das Paradoxon nicht begriffen. Hast Du überhaupt die Lösung 2 verstanden? --NeoUrfahraner 21:45, 30. Mär 2005 (CEST)
replies: text:  ein starkes wort. bist du sicher? und ja; ich hab die lösung 2 begriffen. hast du schon beim geometrischen mittel einmal nachgelesen? --MiBü 22:24, 30. Mär 2005 (CEST)
replies: text: Ja, ich bin mir sicher. Lies die englische Version dieses Artikels, dort steht auch nichts vomn geometrischen Mittel, dafür aber ein paar Literaturangaben. Woher hast Du das mit dem geometrischen Mittel eigentlich? In welchem Buch steht das? Und ja, beim geometrischen Mittel habe ich nachgelesen. Dort steht im wesentlichen nur die Definition, was bzgl. Anwendung steht ("geeignetes Lagemaß für Größen, von denen das Produkt anstelle der Summe interpretierbar ist, z. B. von Verhältnissen oder Wachstumsraten"), stimmt zwar im Prinzip, ist aber sehr vieldeutig interpretierbar. Bei Wetten bekommt man üblicherweise ein "Verhältnis" (ein Vielfaches) des Einsatzes als Gewinn, trotzdem ist dort das geometrische Mittel unbrauchbar. Kannst Du mir die Idee der Lösung 2 mit einem Satz erklären und sagen, wie Du das Verhältnis der beiden Lösungen siehst: widersprechen die einander oder ergänzen sie einander? --NeoUrfahraner 08:17, 31. Mär 2005 (CEST)

text: Ich habe jetzt im Text ein Beispiel ergänzt, das hoffentlich leichter verständlich ist. Geometrisches Mittel habe ich in der Rechnung nicht benötigt; kannst Du mir vorrechnen, wie Du mit dem geometrischen Mittel zu einem vergleichbaren Ergebnis kommst? --NeoUrfahraner 09:19, 1. Apr 2005 (CEST)
replies: text:  dein beispiel gefällt mir sehr gut, auch die ergänzungen richtung spieltheorie. das ist gut & wichtig. ich wollte so was auch schon ergänzen. ich finde die spieltheoretischen folgerungen wichtig genug, dass ich vorschlage, ihnen einen eigenen punkt (6.) zu widmen. auf deinen ton ("kannst du mir in einem satz..." usw.) lass ich mich nicht ein. wenn du dir durchliest, was ich zum geometrischen mittel geschrieben hab, dann sagt das, dass ich keinerlei vorteil im tauschen sehe. ich hab den eindruck, dass dir das geometrische mittel völlig fremd ist. geschrieben hab ich lediglich, dass das arithmetische mittel einen vorteil vorgaukelt. --MiBü 11:53, 2. Apr 2005 (CEST)

text: wenn man missverstehen will, gelingts immer. "keinerlei vorteil im tauschen" hieß selbstverständlich - lies es - "keinerlei vorteil bei generellem tauschen als strategie". aber mir ist das jetzt wurscht. --MiBü 18:11, 2. Apr 2005 (CEST)
replies: text: OK, aber was hat das jetzt mit dem geometrischen Mittel zu tun, außer dass zufällig das geometrische Mittel von x/2 und 2x gleich x ist? Was wäre, wenn in einem Umschlag das Quadrat des Betrags im anderen  Umschlag wäre, dann müsste man die Alternativen \sqrt{x} und x^2 betrachten. Sind im Umschlag 100 Euro, so sind im anderen 10 Euro oder 10 000 Euro. Lohnt sich das tauschen? Und wie würde hier das "geometrische Mittel der Sachlage entsprechen"? --NeoUrfahraner 20:15, 2. Apr 2005 (CEST)
replies: text:  x ist i.a. nicht das geometrische mittel zwischen x^2 und wurzel(x) (sondern zwischen 1 und x^2). wie gesagt: ich glaub du hast das geometrische mittel nicht ganz verstanden. aber mir ist das jetzt wurscht (s.o.), will heißen: ich habe meinen anteil an der diskussion hiermit abgeschlossen. --MiBü 20:52, 2. Apr 2005 (CEST)
replies: text: Heißt das, dass Du nichts dagegen hast, dass ich Lösung 1 wegen Unverständlichkeit streiche? --NeoUrfahraner 21:44, 2. Apr 2005 (CEST)

text: Da Du schweigst, nehme ich Deine Zustimmung an. Ich habe dahe Lösung 1 wieder gestrichen. --NeoUrfahraner 10:58, 5. Apr 2005 (CEST)
thread_title:  Geometrisches Mittel 

message: Ich finde die Erklärung, daß die auf N nicht gegebene Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeiten etwas mit dem Paradoxon zu tun hat, irreführend.
Meine Erklärung ist hier:
1. Wenn wir mit dem Erwartungswert rechnen wollen, setzt das voraus, daß wir eine lange Versuchsreihe mit konstanten Rahmenbedingungen durchführen können, sonst kann man keinen sinnvollen Erwartungswert berechnen.
2. Die Aussage ist, daß ich, wenn ich konsequent die Strategie "immer tauschen" verfolge, einen Erwartungswert von 5/4*X habe, wobei X der vorgefundene Betrag ist. (Denn die Strategie muß über die ganze Versuchsreihe konstant sein, sonst kann man mit dem Erwartungswert nicht rechnen).
3. Daraus folgt zuerst einmal, daß es irrelevant ist, ob ich in meinen Umschlag hineinschaue oder nicht, da ich ja konsequent die Strategie "immer tauschen" verfolge - egal welchen Betrag ich vorfinden würde.
4. Die Auflösung des Paradoxons ist, daß es sich (wie meist bei solchen Paradoxa (Achilles + Schildkröte, Perpetuum mobile)) um eine methodische Unsauberkeit handelt: Da der Erwartungswert als ein mittlerer Wert über eine längere Versuchsreihe definiert ist, darf er nämlich nur von Parametern abhängen, die über die gesamte Versuchsreihe konstant sind. Der Betrag X ist aber ein beliebiger Wert, der sich bei jedem einzelnen Versuch ändern kann. Ein Erwartungswert, der eine Funktion von X ist, kann also von vornherein keine Aussagekraft haben.
5. Wenn man den Versuchsaufbau künstlich so gestaltet, daß X eine Konstante wird, stimmt plötzlich auch der objektive Erwartungswert mit dem auf X bezogenen überein, das Paradoxon verschwindet.
Bei diesem Versuchsaufbau werden in der Hälfte der Fälle Umschläge mit X/2 und X gefüllt, in der anderen Hälfte mit X und 2*X. Dem Probanden wird aber immer der Umschlag mit dem Betrag x ausgehändigt. Bei diesem Versuchsaufbau ist aber der Erwartungswert für die Strategie "nie tauschen" ebenfalls 5/4*X, man hat also keinen Vorteil durch die Strategie "immer tauschen" - also auch nicht paradox.
6. Anders als der Artikel impliziert, hat das mit den Wahrscheinlichkeiten, was für Zahlen in dem Umschlag sind, überhaupt nichts zu tun. Siehe Punkt 3: Wenn es irrelevant ist, ob ich in den Umschlag schaue, kann ich davon ausgehen, daß ich überhaupt nicht weiß, was in dem Umschlag ist. Die Wahrscheinlichkeiten würden mich nur dann interessieren, wenn ich eine selektive Strategie anwenden würde. Dann noch einen Erwartungswert sauber zu berechnen, dürfte aber schwierig werden.
Also alles in allem ein klarer Fall von TITO - Trash in, Trash out. Wenn man in die Formel für den Erwartungswert Parameter einsetzt, die dort per definitionem nichts zu suchen haben, kommt ein undefiniertes Ergebnis heraus.
Ich fühle mich allerdings nicht berufen, den Artikel selbst zu ändern (schließlich bin ich kein Mathematiker sondern Ingenieur). Trotzdem würde ich darum bitten, den Artikel nach Prüfung meiner Kommentare entsprechend abzuändern.
:Im Artikel steht bereits die Strategie "Tausche immer" ist aber gleich gut (oder schlecht) wie die Strategie "Tausche nie". Gewinnbringend kann nur eine Strategie sein, die abhaengig vom Inhalt des Umschlags tauscht oder nicht (also z.B. "Tausche, wenn Du weniger als 1000 EUR findest"). Steht das nicht deutlich genug im Artikel? --NeoUrfahraner 15:51, 18. Jul 2005 (CEST)
thread_title:  Irreführend: Rückzug auf nichtvorhandene Gleichverteilung 

message: Wegen des Editwars habe ich den Artikel komplett gesperrt. -- tsor 20:19, 7. Dez. 2006 (CET)
thread_title:  Artikel gesperrt 

message: Ich habe mir erlaubt, diese Blödsinns-Lösung von wegen Gleichverteilung der natürlichen Zahlen zu entfernen. Dies hat nichts mit dem Paradoxon zu tun, welches alleine darin besteht, dass Herr Schmidts Rechnung des Erwartungswertes von einem nie da gewesenen Sachverhalt ausgeht. IP-Benutzer 89.51.63.200 hat hier auf der Diskussionsseite bereits richtige Angaben dazu gemacht. Im Übrigen ist auch der untere Abschnitt der Lösung entweder unzutreffend oder völlig verkomplizierend; zu mehr als ihn zu Überfliegen hatte ich absolut keine Lust, denn eine noch so lange Rechnung nützt nichts, wenn der Ansatz schlicht falsch ist. Dies zu erklären muss Ziel der Lösung sein, und keine Beispielrechnung mit falschen Ansätzen. ×ASM× 17:45, 15. Sep. 2007 (CEST)
replies: text: Man kann Hrn. Schmidts Rechnung als Berechnung des bedingten Erwartugswerts interpretieren, wie es im unteren Abschnitt von "Die Lösung" passiert. Die Berechnung der bedingten Erwartung ist erlaubt und insbesonderen dann sinnvoll, wenn Information darüber zür Verfügung steht, wie das Geld in den Umschlag gekommen ist und man dementsprechend eine Entscheidung treffen will, ob Abhängig vom Inhalt ein Tausch sinnvoll ist. Die Berechung der bedingten Erwartung zeigt dann, dass Hrn. Schmidts Rechnung korrekt wäre, wenn p_n=p_{n/2} für alle n gälte. Gleichverteilung der natürlichen Zahlen erfüllt das nicht ganz, eine Gleichverteilung z.B. auf n_z=2^z, z\in\Z aber sehr wohl. Insofern ist das mit der Gleichverteilung der natürlichen Zahlen keine Blödsinns-Lösung. --NeoUrfahraner 02:47, 12. Feb. 2008 (CET)

text: Genau darum geht's: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Umtauschparadoxon&diff=36738604&oldid=36145322 Benutzer ASM hat den Satz "Diese Annahme setzte nämlich eine Gleichverteilung auf der Menge der natürlichen Zahlen voraus, die es aber nicht geben kann." als "Blödsinns-Lösung" gelöscht --NeoUrfahraner 20:57, 11. Mär. 2008 (CET)

text: Doch, wenn Du abhängig vom Inhalt tauscht, kannst Du Deine Chancen erhöhen; vgl. "Anwendung des Zwei-Zettel-Spiel" --NeoUrfahraner 08:45, 13. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Lösung