Diskussion:Lineare Unabhängigkeit

message: Bitte keine unnötigen Spaltenvektoren verweden, denn dies ist ein Artikel der linearen Algebra (und wenn man einen Vektor mit einer Basis multipliziert, entsteht ein Zeilenvektor).
Tom1200 23:30, 29. Apr 2005 (CEST)
replies: text: Ist es nicht eine triviale Operation, bei Bedarf einen Vektor zu transponieren?! — Nol Aders 03:18, 20. Jul 2005 (CEST)
thread_title: Spaltenvektoren

message: Auch nachdem ich soeben Beispiel Nr. 5 angefügt habe, sind alle fünf Beispiele linear unabhängig — das scheint mir zumindest didaktisch fragwürdig. Von fünf oder sechs Beispielen zu Linearer Unabhängigkeit sollte mindestens eines linear abhängig sein — was meint Ihr?! — Nol Aders 03:18, 20. Jul 2005 (CEST)
thread_title:  Beispiele 

message: Ich finde es kritisch, dass sich der für die Lineare Algebra so wichtige Austauschsatz, nur als Randnotiz in Matroid findet. Man sollte ihn entweder hier mit Verweis erwähnen oder einen Hauptartikel daraus machen und ihn direkt verlinken, momentan habe ich ihn zu Matroid redirected.. --Cycyc 23:52, 25. Sep 2006 (CEST)
thread_title:  Austauschsatz  

message: Der Begriff „Menge“ im Einleitungssatz ist nicht einfach ungenauer als „Familie“, sondern falsch. Beispiel: Betrachten wir die Menge von R²-Vektoren
\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}
Ist die durch diese Menge induzierte Familie linear unabhängig? Ja!
Die Familie (hier als Tupel geschrieben)
\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right)
ist dagegen linear abhängig. --Phst 21:31, 28. Apr. 2007 (CEST)
replies: text: Genaugenommen handelt es sich bei deinem Beispiel oben aber um keine Menge, denn eine Menge enthält nur voneinander unterscheidbare Elemente. Insofern würde dieses Problem also nie auftreten. Ich bin aber deiner Meinung, dass der Begriff Menge hier nicht angebracht ist. --Drizzd 12:44, 29. Apr. 2007 (CEST)
replies: text: Das Beispiel ist eine Menge, allerdings eine zweielementige - deshalb ja auch linear unabhängig. Würde man wirklich mit "Menge" arbeiten, müßte man in vielen Sätzen statt "Seien a und b linear unabhängig..." immer "Seien a und b verschieden und linear unabhängig...", ebenso statt "Falls a und b linear abhängig sind..." eher "Falls a und b entweder gleich oder linear abhängig sind...". Es wäre also die Menge \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} t \\ 0 \end{pmatrix}\right\} genau dann linear unabhängig, wenn t=1! Ich hatte ursprünglich in der Einleitung aus "Menge" "Menge (genauer: Familie)" gemacht, da wir uns dort noch in der Abteilung für Laien befinden und Familie wohl noch mysteriöser wirkt als Menge. Aber da "fast richtig" auch nur falsch ist, ist die jetzige Version wohl besser - hoffentlich auch Laien-kompatibel--Hagman 10:08, 30. Apr. 2007 (CEST)
thread_title:  Menge und Familie 

message: Gibt es nicht eine Möglichkeit lineare Unabhängigkeit mithilfe der Determinante zu überprüfen (zumindest gelegentlich)? Und wäre es nicht sinnvoll, diese Möglichkeit anzugeben? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Axel Wagner (Diskussion • Beiträge) 17:52, 7. Mai 2007) 
: Das ist nicht besonders erstaunlich und folgt direkt aus den Bemerkungen im Abschnitt Lineare Gleichungssysteme. --Drizzd 15:07, 1. Jun. 2007 (CEST)
replies: text:  Hmmm.... ja, wenn man dann den Punkt "Lösbarkeit" im Artiekl Lineare Gleichungssysteme durchliest, dann kann man da dann durchlesen, dass sich die Lösbarkeit dieser Systeme mit der Determinante bestimmten lässt... ;) Also ich denke einfach, dass es generell nicht unbedingt falsch ist, das dann noch einmal kurz zu erwähnen, ich selbst habe den Punkt vermisst, weil ich nur wusste, dass Determinanten irgendwie mit lu zusammenhängen, aber nicht direkt wie (und nachdem ichs dann wusste hats mir in der Klausur sehr geholfen ^^), aber setz mich dabei natürlich nicht über die allgemeine Meinung hinweg ;) --Axel Wagner 20:47, 1. Jun. 2007 (CEST)
thread_title:  Determinante 

message: Unter Definition findet sich folgende Bemerkung:
Falls zusätzlich zu den Anforderungen für die lineare Unabhängigkeit für die Elemente a_1, a_2,\dots,a_n von K die Bedingung a_1 \geq 0, a_2 \geq 0,\dots,a_n \geq 0 erfüllt ist, dann spricht man von positiv-linearer Unabhängigkeit.
Müsste es nicht jeweils "lineare Abhängigkeit" statt Unabhängigkeit heißen? Denn wenn die Vektoren lin. unabhängig sind folgt ja
 a_1 = 0, \dots, a_n=0 und somit wäre die zusätzliche Bedingung immer erfüllt. 
: Berechtiger Einwand. Leider habe ich noch nie von positiv-linearer Unabhängigkeit gehört und kann auf die Schnelle auch nichts dazu in Google finden. Bemerkung löschen? --Drizzd 17:58, 1. Dez. 2007 (CET)
replies: text:  Für beliebige Körper ist die Bemerkung eh sinnlos, ich bin auch für Löschen. Gruß, Wasseralm 20:04, 5. Dez. 2007 (CET)
thread_title:  Positiv-lineare Unabhängigkeit 

message: In der Einleitung heißt es : "Die Vektoren (1,2,{-3}), ({-2},{-4},6) und (1,1,1) sind wegen 2\cdot(1,2,{-3})+({-2},{-4},6)=(0,0,0) ebenfalls linear abhängig; jedoch ist hier der dritte Vektor nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellbar". Es ist natürlich vollkommen richtig, dass die 3 Vektoren linear abhängig sind, die Begründung ist jedoch etwas irreführend. Dass der zweite Vektor eine Linearkombination des ersten ist, wird durch die Gleichung "2\cdot(1,2,{-3})+({-2},{-4},6)=(0,0,0)" zwar richtig dargestellt, aber textuell nicht betont. Stattdessen liegt ein Fokus auf dem hinten angestellten Nebensatz "jedoch ist hier der dritte Vektor nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellbar". Dieser Nebensatz ist völlig unnötig und schafft einen hinderlichen Interpretationsraum für Lernende. Besser wäre doch, wenn es heißt: "jedoch ist hier nicht der dritte Vektor, sondern der zweite, als Linearkombination der beiden anderen darstellbar". Genau genommen ließe sich das Beispiel auch komplett streichen, denn alle Aussagen des ersten Beispiels aus der Einleitung treffen auch auf das zweite zu, wenn man die Reihenfolge der Vektoren (1,2,{-3}), ({-2},{-4},6), (1,1,1) in (1,2,{-3}), (1,1,1), ({-2},{-4},6) ändert. (nicht signierter Beitrag von Mayomoto (Diskussion | Beiträge) 13:29, 29. Aug. 2015 (CEST)
replies: text: Deinen letzten Satz verstehe ich nicht. Beim ersten Beispiel lässt sicher jeder der drei Vektoren als Linearkombination der andern beiden ausdrücken. Beim zweiten Beispiel ist das nicht der Fall, egal in welcher Reihenfolge die Vektoren stehen. --Digamma (Diskussion) 09:00, 2. Sep. 2015 (CEST)
thread_title:  Einleitung 

message: Der Artikel ist ausschließlich im Fachchinesisch geschrieben. Die enthaltenen Beispiele stehen nicht in nachvollziehbaren Zusammenhang zu den Definitionen. Hier wären weiterführende Hinweise auf "einfachere" Quellen unabdingbar gewesen, fehlen aber ganz. Das heißt nicht, daß der Artikel damit ok wäre. Er ist einfach schlecht. Die Menschheit kann darauf verzichten, denn alles, was da steht, steht in einem guten Lehrbuch besser. --217.230.53.114 10:43, 12. Nov. 2015 (CET)
replies: text: Ich stimme mal nur in dem Punkt über ein, dass Literaturangaben, sowohl Einsteiger- als auch weiterführende Literatur und evtl. ein paar Einzelnachweise der Definitionen fehlen. Der Artikel beschreibt das Konzept solide. Die Beispiele sind in Ordnung und die Vektorbildchen verdeutlichen das Thema ziemlich gut. lg --WissensDürster (Diskussion) 12:24, 12. Nov. 2015 (CET)

text: Na dann, frisch ans Werk, Nummer 217.230.53.114! --Logo 15:33, 12. Nov. 2015 (CET)

text: Wikipedia will auch nicht den Lehrbüchern Konkurrenz machen. Wikipedia ist kein Ersatz für ein Lehrbuch, sondern ein Nachschlagewerk. --Digamma (Diskussion) 20:03, 12. Nov. 2015 (CET)
thread_title:  Überarbeiten 

message: Dieser Abschnitt ist eigentlich ersatzlos zu streichen.
=== Problem u. ÜA+ ===
Zusammengefaßt bedeutet es: Um die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zu überprüfen, muß man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems überprüfen. Da liegt einem dann schon auf der Zunge: "Vera... kann ich mich selbst!" Schaut man es sich näher an, ist das homogene Gleichungssystem identisch mit dem ursprünglichen, außer, daß die Spalte b durch eine komplette 0-Spalte ersetzt wurde. Das führt zu folgender Situation:
Fall 1: LGS hat keine Lösung. Beim "normalen" Verfahren nach Gauß: Rang der Matrix ist kleiner n, in der b-Spalte gibt es einen Eintrag ungleich "Null". Beim hier empfohlenen Verfahren wäre das System nicht eindeutig lösbar. Ob es allerdings unendlich viele Lösungen hat oder gar keine, weiß ich bei dem Verfahren nicht.
Fall 2: LGS hat Rang r = n. Nach den Regeln für Gauß: LGS ist eindeutig lösbar. Nach dem hier empf. Verfahren: Vektoren sind lin. unabh. => lösbar.
Fall 3: LGS hat r < n. Nach Gauß also nicht eindeutig lösbar. Nach dem hier empf. Verfahren: Ebenfalls nicht eindeutig lösbar. Ob es aber unendlich viele Lösungen gibt oder keine, weiß ich nicht, s.o.
Fazit: Das "normale" Entscheidungskriterium nach Gauß hilft mir weiter, abgesehen davon, daß sich der Arbeitsaufwand nicht verändert, die Aussagekraft aber schwindet.
Der Abschnitt steht unter "Bedeutung", d.h. die Bedeutung ergibt sich aus einem Vorteil gegenüber anderen Verfahren. Dieser Vorteil ist nicht vorhanden, also ist auch die Bedeutung nicht vorhanden.
Also: Löschen! Oder ganz anders formulieren, wobei ich nicht wüßte, wie da noch was zu retten wäre. --217.230.47.17 11:18, 16. Nov. 2015 (CET)
replies: text: Ich habe deine Bearbeitung gesichtet. Das heißt nicht, dass ich finde, dass man den Abschnitt löschen sollte, aber in der bisherigen Form war er nicht tragbar, weil er, wie du oben beschreibst, sich im Kreis gedreht hat. --Digamma (Diskussion) 17:24, 16. Nov. 2015 (CET)
replies: text: Seh' ich genau wie Digamma. Aber:
D.h. ein (besserer) Abschnitt bzgl. der Beziehung zw. L.U./L.A. und Matrizen/Determinanten/... sollte wieder entstehen...
--arilou (Diskussion) 14:27, 19. Nov. 2015 (CET)

text: Na dann, frisch ans Werk, arilou! --91.10.118.229 17:45, 3. Dez. 2015 (CET)
thread_title:  Überarbeiten 2: Abschnitt Bedeutung/LGS 

message: Zusammengefaßt bedeutet es: Um die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zu überprüfen, muß man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems überprüfen. Da liegt einem dann schon auf der Zunge: "Vera... kann ich mich selbst!" Schaut man es sich näher an, ist das homogene Gleichungssystem identisch mit dem ursprünglichen, außer, daß die Spalte b durch eine komplette 0-Spalte ersetzt wurde. Das führt zu folgender Situation:
Fall 1: LGS hat keine Lösung. Beim "normalen" Verfahren nach Gauß: Rang der Matrix ist kleiner n, in der b-Spalte gibt es einen Eintrag ungleich "Null". Beim hier empfohlenen Verfahren wäre das System nicht eindeutig lösbar. Ob es allerdings unendlich viele Lösungen hat oder gar keine, weiß ich bei dem Verfahren nicht.
Fall 2: LGS hat Rang r = n. Nach den Regeln für Gauß: LGS ist eindeutig lösbar. Nach dem hier empf. Verfahren: Vektoren sind lin. unabh. => lösbar.
Fall 3: LGS hat r < n. Nach Gauß also nicht eindeutig lösbar. Nach dem hier empf. Verfahren: Ebenfalls nicht eindeutig lösbar. Ob es aber unendlich viele Lösungen gibt oder keine, weiß ich nicht, s.o.
Fazit: Das "normale" Entscheidungskriterium nach Gauß hilft mir weiter, abgesehen davon, daß sich der Arbeitsaufwand nicht verändert, die Aussagekraft aber schwindet.
Der Abschnitt steht unter "Bedeutung", d.h. die Bedeutung ergibt sich aus einem Vorteil gegenüber anderen Verfahren. Dieser Vorteil ist nicht vorhanden, also ist auch die Bedeutung nicht vorhanden.
Also: Löschen! Oder ganz anders formulieren, wobei ich nicht wüßte, wie da noch was zu retten wäre. --217.230.47.17 11:18, 16. Nov. 2015 (CET)
thread_title:  Problem u. ÜA+ 

message: Habe den Abschnitt jetzt erstmal fast ersatzlos gestrichen. --217.230.47.17 13:45, 16. Nov. 2015 (CET)
replies: text: Ich habe deine Bearbeitung gesichtet. Das heißt nicht, dass ich finde, dass man den Abschnitt löschen sollte, aber in der bisherigen Form war er nicht tragbar, weil er, wie du oben beschreibst, sich im Kreis gedreht hat. --Digamma (Diskussion) 17:24, 16. Nov. 2015 (CET)
replies: text: Seh' ich genau wie Digamma. Aber:
D.h. ein (besserer) Abschnitt bzgl. der Beziehung zw. L.U./L.A. und Matrizen/Determinanten/... sollte wieder entstehen...
--arilou (Diskussion) 14:27, 19. Nov. 2015 (CET)

text: Na dann, frisch ans Werk, arilou! --91.10.118.229 17:45, 3. Dez. 2015 (CET)
thread_title:  Wer nicht hören will muß fühlen 

message: Zu Beginn des 3 Abschnitts heißt es:
"Zum Beispiel sind im dreidimensionalen euklidischen Raum R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} \mathbb {R} ^{3}"
Unter den Bildern rechts heißt es jedoch:
"Linear unabhängige Vektoren in ℝ3"
Sollte nicht in beiden Fällen das gleiche Wort verwendet werden? (nicht signierter Beitrag von 91.14.135.60 (Diskussion) 19:58, 4. Dez. 2016 (CET)
replies: text: "Im", also mit Artikel, bezieht sich auf das Substantiv "Raum". Hingegen ist \R^3 für sich alleine ein Name, dem üblicherweise kein Artikel vorangeht. Deshalb "im Raum \R^3", aber "in \R^3". --Digamma (Diskussion) 20:31, 4. Dez. 2016 (CET)
thread_title:  Frage zum ersten Abschnitt 

message: "In der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert null gesetzt werden. Äquivalent dazu ist, dass sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt."
Der zweite Satz ist etwas unpräzise, denn die Familie bestehend nur aus dem Nullvektor ist linear abhängig und offensichtlich lässt sich 0 nicht als Linearkombination anderer Vektoren der Familie darstellen, da es keine anderen Vektoren in der Familie gibt. --FChopin (Diskussion) 17:58, 20. Apr. 2018 (CEST)
replies: text: Der Nullvektor ist Linearkombination jeder Familie von Vektoren. Man muss nur alle Koeffizienten auf 0 setzen. Das geht auch bei 0 Koeffizienten. --79.217.51.30 23:19, 3. Feb. 2023 (CET)
thread_title:  Kleinigkeit