Diskussion:Tensorprodukt

message: Punkte, die die thematische Aufteilung zwischen [[Tensor]] und hier betreffen, bitte [[Diskussion:Tensor|dort]] diskutieren.--[[Benutzer:Gunther|Gunther]] 23:47, 15. Mär 2005 (CET)

message: Einige Punkte zu dieser Seite wurden schon unter [[Benutzer Diskussion:Gunther/Tensorprodukt]] diskutiert.--[[Benutzer:Gunther|Gunther]] 00:47, 16. Mär 2005 (CET)

message: * Tensorprodukt mit K ist kanonisch V, Tensorprodukt mit eindimensionalem Vektorraum nicht
* Klären, inwieweit Einsen nötig sind (Tensorprodukt über Z/2Z?)
--Gunther 09:50, 18. Mär 2005 (CET)
replies: text: Unter 'Kategorielle Eigenschaften' wird behauptet, dass das Tensorprodukt das Koprodukt in der Kategorie der Ringe mit 1 ist. Welcher Quelle wurde diese Aussage entnommen? Sie leuchtet mir für endliche Indexmengen ein, aber wieso sollte sie allgemein gelten? ---oo- 00:57, 5. Jun 2005 (CEST)
replies: text:  Die Aussage bezieht sich auf endliche Ko- bzw. Tensorprodukte, unendliche Tensorprodukte wurden ja auch gar nicht definiert. Kleine Erläuterung hinzugefügt.--Gunther 01:19, 5. Jun 2005 (CEST)
thread_title:  To-Do-List 

message: Ist das =-Zeichen bei u\otimes(v\otimes w)=(u\otimes v)\otimes w nicht falsch, wenn man es ganz genau nimmt? Die Tensoren befinden sich doch in ganz unterschiedlichen Räumen, schließlich ist ja auch (u,(v,w))\neq ((u,v),w). Vielleicht ein "bzw." dazwischen und in der Gleichung darüber ein Isomorphie-Zeichen? --89.247.149.17 00:50, 8. Aug. 2009 (CEST)
replies: text: Ja, das stimmt. Wie dieses „Problem“ gelöst wird, will ich noch deutlich machen. Eine Ahnung davon ist jetzt vielleicht schon deutlich geworden. Den betroffenen Abschnitt habe ich deshalb erst eimal gelöscht, da er auch viele andere fragwürdige Formulierungen enthielt. Viele Grüße, --Filomusa (Diskussion) 12:22, 31. Jan. 2021 (CET)
thread_title:  =-Zeichen 

message: Im Text heißt es unter "Eigenschaften":
:Ein Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen nicht, denn für v \in V, w \in W gehören die Vektoren
:: v\otimes w \in V\otimes W und w\otimes v \in W\otimes V
:nur dann demselben Vektorraum an, wenn die Räume V und W identisch sind; und selbst dann muss keine Gleichheit gelten.
Ich bin mir nicht so sicher, dass das wirklich so generell stimmt. Dass Kommutativität im Allgemeinen nicht gilt, ist klar. Die Aussage, Identität von V und W sei notwendig für Kommutativität, wirft bei mir allerdings ein Frage auf:
Wenn es sich um Hilberträume der Quantenmechanik handelt, also V=L^2 für die Ortswellenfunktionen und W=\Complex^2 für Spinzustände ist, sind doch die Elemente des Tensorprodukts Produkte aus Funktionen und komplexen Zweiervektoren, bzw. Vektoren mit Funktionen als Komponenten - ist da die Reihenfolge nicht doch gleich? Oder ist das Produkt "Vektor mal Skalar" bzw. "Vektor mal skalarer Funktion" einfach nicht definiert?--Slow Phil (Diskussion) 19:05, 31. Okt. 2013 (CET)
replies: text:  Nein, rein formal sind diese Produkte nicht gleich, sie sind isomorph. Man kann den entsprechenden Raum natürlich auch gleich als V=L^2(X,\Complex^2) definieren. Ich hätte den Einwand eher beim Fall W=V\otimes V erwartet, da man bei solchen mehrfachen Tensorprodukten üblicherweise die Klammerung weglässt. Andererseits sind symmetrische Tensoren auch wieder eine Spezialkonstruktion.--LutzL (Diskussion) 19:40, 31. Okt. 2013 (CET)
thread_title:  Kommutativität nie bei verschiedenen Räumen? 

message: Kann man vielleicht einen kleinen Abschnitt zur Motivation des Tensorprodukts einbauen? Ich finde soetwas wichtig, damit die Idee rüberkommen kann. Das Video https://www.youtube.com/watch?v=tpL95Sd7zT0 schien mir das ganz gut zu motivieren.--biggerj1 (Diskussion) 11:02, 27. Feb. 2014 (CET)
thread_title:  Motivation fehlt, bitte einbauen. 

message: Das Wort "Tensorprodukt" hat ja zwei Bedeutungen:
# das Tensorprodukt V \otimes W zweier Vektorräume V und W
# das Tensorprodukt v \otimes w \in V \otimes W zweier Vektoren v \in V und w \in W.
Ich wäre geneigt, bei der zweiten Bedeutung von "Tensormultiplikation" zu reden. Frage: Gibt es diese Bezeichnung? --Digamma (Diskussion) 19:04, 18. Mär. 2014 (CET)
replies: text: Ich hätte auch vorher googeln können: Es gibt genügend Treffer um die Frage mit "ja" zu beantworten. --Digamma (Diskussion) 19:07, 18. Mär. 2014 (CET)

text: Ergänzung: Allerdings ist die Tensormultiplikation allgemeiner. Sie ist nicht nur für Vektoren definiert, sondern für Tensoren. Ich habe deshalb einen Begriffsklärungshinweis gesetzt, der auf Tensor verweist, und dort die Bezeichnung "Tensormultiplikation" ergänzt. --Digamma (Diskussion) 19:19, 18. Mär. 2014 (CET)
replies: text: Für die erste Bedeutung gibt es natürlich auch den Begriff Tensorproduktraum, der (etwas redundant) auch in Tensor ausgeführt wird. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:13, 19. Mär. 2014 (CET)
thread_title:  Zwei Begriffe von Tensorprodukt 

message: Wie einen Abschnitt weiter oben festgestellt, findet sich in :en:Tensor product of modules#Definition der Satz:
:Strictly speaking, the ring used to form the tensor should be indicated: most modules can be considered as modules over several different rings or over the same ring with a different actions of the ring on the module elements.  For example, it can be shown that  and  are completely different from each other.
Klar ist  = R.
Aber was ist  ?
--Nomen4Omen (Diskussion) 15:09, 23. Jan. 2015 (CET)
replies: text: Etwas ziemlich kompliziertes. --Kamsa Hapnida (Diskussion) 19:34, 25. Jan. 2015 (CET)

text: Diese Arbeit "berechnet" die verwandte Gruppe  .--Kamsa Hapnida (Diskussion) 19:47, 25. Jan. 2015 (CET)
thread_title:  Was ist '''R''' ⊗<sub>'''Z'''</sub> '''R''' ? 

message: Jetzt (wie auch sonst gelegentlich), bin ich mal Oma, mathematische Oma diesmal.
Der Abschnitt ‚Definition‘, gleich am Anfang von ‚Tensorprodukt von Vektorräumen‘, schmeckt mir überhaupt nicht.
Eine Definition, die von einem Koordinatensystem ausgeht, sagt selten etwas Inhaltliches, Begriffliches zum Thema, womit der motivierende Effekt von vorn herein nahe Null sein dürfte. Außerdem wirft sie stets sofort die Frage nach der Unabhängigkeit des Ergebnisses von dieser Struktur auf. Die Frage wird hier nicht einmal gestellt, geschweige denn beantwortet. Beim Überfliegen der Diskussionsbeiträge meine ich bemerkt zu haben, dass das so ähnlich schon mehrfach moniert wurde. 
Die Beschränkung auf zwei Faktoren ist didaktisch bestimmt richtig, sollte aber erwähnt werden: „Der Übersichtlichkeit halber sprechen wir zunächst von 2 Faktoren (Vektorräumen), bei mehr Faktoren geht es i.W. genauso“. Dagegen ist mir unklar, warum  gleich abzählbar-dimensionale Vektorräume genommen werden, was zu der dann notwendigen aber verumständlichenden Reduktion der Indexmenge auf eine endliche zwingt, und außerdem beim Produkt der Dimensionen eigentlich eine zusätzliche Erklärung verlangt, die dann allerdings fehlt. Dimensionen m und n wären doch gut für den Anfang. Anschließend könnte man ja sagen: „Für abzählbar-dimensionale Vektorräume geht es sinngemäß genauso.“ 
Als Alternative schlage ich mal vor (in der Hoffnung, das Beta-Tester Oma den Artikel bis dahin richtig gelesen hat):
:==Motivation==
:An den Begriff der bi- und multilinearen Abbildungen sei erinnert: Das sind Funktionen von 2 oder mehr Vektoren mit Werten, die selbst Vektoren sind, anders gesprochen Abbildungen vom kartesischen Produkt V_1 x V_2 x ... x V_k aus 2 oder mehr Vektorräumen in einen weiteren Vektorraum X, die in jeder Variablen linear sind.
:Es lässt sich nun zeigen, dass es für, sagen wir zwei, Vektorräume V_1, V_2 einen Vektorraum X_0 gibt, so dass jede bilineare Abbildung 
::β: V_1 x V_2 → X faktorisiert (sich zerlegen lässt) in eine bilineare Abbildung   β_0: V_1 x V_2 → X_0 gefolgt nur von einer linearen Abbildung   λ: X_0 → X; also β=λ \circ β_0. Dieser Vektorraum X_0, der sich stets dazwischenschalten lässt, ist bis auf Isomorphie, d. i. bis auf eine reguläre lineare Abbildung  eindeutig bestimmt und wird V_1 \otimes V_2, Tensorprodukt der beiden Vektorräume genannt. Seine Dimension ist das Produkt der Dimensionen der Faktoren. Ensprechend für k Vektorräume.
Man könnte daran denken, Leser mit etwas Kenntnis in Gruppentheorie an den strukturell sehr ähnlichen Homomorphiesatz zu erinnern, der sagt, dass jeder Gruppenhomomorphismus faktorisiert in einen ‚natürlichen Homomorphismus‘ auf die Faktorgruppe nach einem Normalteiler, und einen Isomorphismus.
 
Für die Beweise von  Existenz und Eindeutigkeit sind Basen der Vektorräume dann natürlich richtig.
Da viele Omas wegen Kopfweh wohl nicht sehr viel weiter lesen, sollten vielleicht rechtzeitig ein paar nicht so abstrakte Dinge erwähnt werden: Zusatzstrukturen  wie Skalarprodukt (Tensorprodukte von Hilberträumen sind in der Physik wichtig), Topologie und ähnliches. 
Das wär's für den Moment. Bin gespannt auf Kommentare.-- Binse (Diskussion) 01:03, 9. Jan. 2018 (CET)
replies: text: Erst mal danke, für dein Anliegen den Artikel verständlicher zu machen. Er kann es sicher brauchen. Der zweite Teil der Motivation ist aber meiner Meinung nach falsch: Mit den Bezeichnungen von dort ist die multilineare Abbildung L_0 für alle multilinearen Abbildungen L die gleiche. Die ganze Information über L steckt also, wenn man so will, in der linearen Abbildung l und nicht in L_0 wie es im Moment dasteht. -- HilberTraum (d, m) 17:57, 18. Jan. 2018 (CET)
replies: text:  Hast leider recht, HilberTraum, das ist geschlampt wie ich inzwischen auch gemerkt habe. Danke für Deine schnelle Kritik. Das muss umgearbeitet werden, wenn es drin bleiben soll. Ich denke zwar, es bleibt bei L_0 als dem wesentlichen Faktor,  nicht l, aber L kann auf dem Kartesischen Produkt gar nicht injektiv sein, weil ja L(0,w) und L(v,0) stets =0 sind: Mit Nullvektoren O folgt ja L(O,w)=L(0O,w)=0L(O,w)=O Tatsächlich ist, soweit ich erinnere, das Wesentliche am Tensorprodukt: 1. Nur soviel Elemente, wie wirklich benötigt, und 2. Keine Bildelemente sind gleich, außer, wenn die Axiome das erfordern. Ich nehm den Absatz erst mal raus und sehe, was ich draus mache.-- Binse (Diskussion) 23:43, 18. Jan. 2018 (CET)
thread_title:  Defini- und Motivation 

message: Der genannte Abschnitt braucht mMn dringend eine Neuformulierung, die ich eben vornehme. Nicht nur ist die Bezeichnungsweise
verständnishemmend. Wenn V und W, die voher als Faktoren auftraten, jetzt Urbild- und Bildraum bedeuten und wenn eine Funktion f heißt, während gleichzeitig f_j die Elemente einer Basis sind, die mit
f nichts zu tun hat, hat es der Leser unnötig schwer. Sachlich ist falsch, eine lineare Abbildung einfach auf der Menge aller v\otimes w,\,\,v\in V,\,w\in W vorzugeben. Dafür müssen die Urbilder linear unabhängig sein. Die Lücke habe ich überbrückt und das Kroneckerprodukt rausgelassen. Schien mir zu aufwendig und überflüssig.-- Binse (Diskussion) 13:46, 22. Jan. 2018 (CET)
replies: text: Die Neufassung gefällt mir sehr. Ich verstehe aber nicht, warum du die Überschrift geändert hast. --Digamma (Diskussion) 17:53, 22. Jan. 2018 (CET)
replies: text: Die alte Überschrift stimmte einfach nicht. Es gibt kein ‚Tensorprodukt von linearen Abbildungen‘. Nur im Zusammenhang mit dem Tensorprodukt von Vektorräumen dehnt man die Produktkonstruktion auf Abbildungen aus, die auf den Faktor-Räumen definiert sind. Das habe ich versucht, mit der neuen Überschrift auszudrücken. Übrigens ist auch die Überschrift zu dieser Diskussion falsch. Da habe ich mich gewissermaßen ‚versprochen‘.-- Binse (Diskussion) 00:38, 23. Jan. 2018 (CET)

text: Hm, hallo, Binse, das Tensorprodukt ist ein kovarianter Bifunktor, im vorliegenden Artikel zumeist im sehr einfachen Fall der Kategorie der (endlichdimensionalen) Vektorräume vorgestellt. Es gibt durchaus auch das Tensorprodukt der zu dieser Kategorie gehörigen Morphismen, also der linearen Abbildungen. Du findest das bei N. Bourbaki, Algebra I, Paragraph 3.2: „Tensor Product of two linear Mappings“. Schön wäre es natürlich, wenn man das dann auch in diesen Zusammenhang stellt. Das ist bisher noch nicht so recht gelungen. --Filomusa (Diskussion) 14:54, 27. Jan. 2021 (CET)
thread_title:  Direktes Produkt von Abbildungen 

message: Ich habe im Abschnitt zur „Universaldefinition“ einige Retuschen vorgenommen.
Dabei habe ich die wichtige Tatsache hervorgehoben, dass jene Bilinearform \phi fest zum Tensorprodukt gehört: Sie ist Bestandteil dieses „initialen Objektes“ und darf nicht als auswechselbares Accessoire erscheinen. Das Tensorprodukt besteht also in Wahrheit nicht aus dem bloßen Bildbereich V \otimes W, 
sondern es aus dem Pärchen (\phi, V \otimes W), d. h. aus der bilinearen Abbildung  \phi: V \times W \to V \otimes W  in den Tensorraum V \otimes W . Mit anderen Worten: Wenn von dem Tensorprodukt V \otimes W  die Rede sein soll, so muss zugleich klar sein, welches denn die bilineare Abbildung sein soll, die einem Pärchen (v,w) das mit v \otimes w  – einen elementaren Tensor in V \otimes W – zuordnet. 
Ferner habe ich den ersten wichtigen Gedanken aus dem Abschnitt Natürliche Homomorphismen in diesen Abschnitt zur Universaldefinition verschoben, 
denn er ist lediglich eine – wenngleich wichtige – Umformulierung der Universaldefinition: Er ist die Universaldefinition. Daher sollte er in diesen Abschnitt Erwähnung finden. Dabei habe ich in der Erläuterung der Isomorphie  L(V\otimes W, X) \to B(V,W; X)  den Zusammenhang mit der universellen Eigenschaft stärker hervorgehoben. 
Wünschenswert wäre noch ein Bild zur Illustration der universellen Eigenschaft, ähnlich wie bereits im Artikel Tensor. 
Im Abschnitt „Universaldefinition“ steht derzeit als letzter Absatz: 
::Um nun tatsächlich Vektorräume anzugeben, die diese Definition erfüllen, gibt es zwei übliche Wege: einmal im endlichdimensionalen Fall über den Raum der Bilinearformen auf den Dualräumen, wie im Folgenden angegeben, und zum anderen durch die Konstruktion eines einfach anzugebenden, aber zu großen Raumes, von dem ein Quotientenraum nach einem geeigneten Unterraum die Eigenschaften des Tensorproduktes erhält. Die letztgenannte Konstruktion wird im Artikel Tensorprodukt von Moduln ausgeführt.
Ich habe folgende Präzisierung vorgenommen: 
::Wenn es also einen Vektorraum mit der universellen Eigenschaft gibt, so ist er – eben aufgrund der universellen Eigenschaft – nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Allerdings lässt die Universaldefinition die Frage offen, ob es überhaupt einen Vektorraum mit diesen Eigenschaften gibt. Um also Existenz eines solchen Vektorraumes sicherzustellen, muss entweder ein solcher Vektorraum konstruiert werden oder aber „zufällig“ ein solcher Vektorraum „gefunden“ werden. Einen Existenzbeweis durch Konstruktion führt (in einem allgemeineren Falle) der Artikel Tensorprodukt von Moduln aus: Dazu wird zunächst ein zu großer Vektorraum konstruiert, der anschließend nach einem Unterraum fakturiert wird, so dass der Quotientenraum eben die gewünschten Eigenschaften hat. Der Abschnitt Natürliche Homomorphismen bzw. Tensorprodukt und Bilinearformen hingegen benennt einen Vektorraum, von dem sich (mit Hilfe der universellen Eigenschaft) recht leicht erkennen lässt, dass er die gewünschte universelle Eigenschaft des Tensorraums  V \otimes W  hat. Dieses Vorgehen gelingt allerdings nur für den Fall, dass V oder W endliche Dimension über ihrem Grundkörper K haben, weil Eigenschaften des Dualraumes genutzt werden, die eben diese Voraussetzungen benötigen. --Filomusa (Diskussion) 19:25, 27. Jan. 2021 (CET)
thread_title:  Universaldefinition: Leichte Retuschen und Umformulierung des letzten Absatzes 

message: Auch in diesem Abschnitt habe ich einige Dinge ergänzt und präzisiert. In einem eigenen Unterabschnitt "Homomorphismen als Tensoren" habe ich einmal die Zerlegung von Homomorphismen in Elementartensoren explizit nachvollzogen und demonstriert, wie sich das im Matrizenkalkül (als wohl vertrautes Faktum) wiederfindet. --Filomusa (Diskussion) 12:05, 29. Jan. 2021 (CET)
thread_title:  Zum Abschnitt "Natürliche Homomorphismen" 

message: @Benutzer:Dorschleber hat offenbar am 6. und 7. Juli 2023 erhebliche Kürzungen und Änderungen an der Gliederung vorgenommen, siehe die Versionsgeschichte. Ich kann (und will) derzeit nicht nachverfolgen, worum es ihm dabei ging und was er in Einzelnen geändert hat. Aber soviel sei gesagt: Die jetzige Gliederung lässt nicht mehr erkennen, an welcher Stelle es von einer allgemeinen Einleitung ("Motivation") übergeht zu handfesten Definitionen. Auch können weder die eilige Leserin noch der eilige Leser rasch auffinden, was sie suchen: Das nämlich war der Sinn der einleitenden Absätze über die Gliederung ganz zu Anfang, die mir seinerzeit sinnvoll erschienen, weil es sich ja um einen sehr umfangreichen Artikel handelt. Man kann zu Recht einwenden, dass der Artikel zu umfangreich ist, denn natürlich kann man (aus mathematischer Sicht) das Tensorprodukt auch in zwei Absätzen abhandeln (kategoriell mit universeller Eigenschaft). Damit wird es aber vielen nicht verständlich, die sich von einem solchen Artikel erhoffen, dass er Licht in all die verschiedenen Beschreibungsweisen bringt. Es haben ja nicht nur Algebraiker Interesse am Tensorprodukt (wie auch die obige Diskussion vermuten lässt). Auch vor meiner Bearbeitung gab der Artikel eine Motivation (nämlich die noch immer enthaltene quantenmechanische, die aber nur eine physikalische Perspektive bietet) und versuchte verschiedene Beschreibungsweisen. Diese Herangehensweise hatte ich beibehalten und den Artikel und seine Konzeption also nicht gänzlich umgestalten, dabei aber doch die enthaltenen Fehler beseitigen wollen, insbesondere die Behauptung, dass es keine mehrfachen Tensorprodukte (Multilinearität, N\in\N beliebig) gebe, sondern nur bilineare (N=2).). Dies zur Erläuterung meiner Motivation. --Filomusa (Diskussion) 14:00, 28. Sep. 2023 (CEST)
thread_title:  Zur jetzigen Gliederung