Diskussion:Ziegenproblem/Archiv/007

message: Annahme: Symmetrische Zufalls-Verteilung der Objekte und zufällige Tor-Wahl des Kandidaten. Der Moderator gibt keine zusätzlichen regelwidrigen Informationen preis.Es gibt nur ein einziges Auto. Aus diesem Grund enthält das nicht gewählte Torepaar somit vorherbestimmt zwangsläufig immer zumindest eine ZiegeDer Moderator öffnet ein in jenem nicht gewählten Torepaar somit zwangsläufig vorhandenes Ziegentor. Dieses sichere Ereignis tritt immer ein.
AutohinterTor 	Kandidatwählt Tor	Das nicht gewählteTorepaar enthältimmer ( ! )zumindest 1 Ziegeaber in 2/3 der Fälleauch das Auto	Verlust bei Wechsel nur in 3 von 9 Fällen:Nur dann, wenn zufälligerweise ursprünglich aus drei Torendas einzige Tor mit dem Auto gewählt war,also nur in einem Drittel aller Fälle	Gewinn bei Wechselin 6 von 9 Fällen:Immer dann,wenn eines derbeiden Ziegentoregewählt war	ModeratoröffnetZiegentor	 Folge eines Wechsels:
1             	1                	Ziege ⇔ Ziege                                                                                                               	Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 2 oder Ziegentor 3 öffnet                                                                                                  	                                                                                         	2 oder 3                	 Auto-Tor  1 war gewählt, Wechsel schadet
1             	2                	Ziege ⇔ Auto                                                                                                                	                                                                                                                                                                                  	Gewinn                                                                                   	3                       	 Ziegentor 2 war gewählt, Wechsel auf Tor 1 nützt 
1             	3                	Ziege ⇔ Auto                                                                                                                	                                                                                                                                                                                  	Gewinn                                                                                   	2                       	 Ziegentor 3 war gewählt, Wechsel auf Tor 1 nützt
2             	1                	Ziege ⇔ Auto                                                                                                                	                                                                                                                                                                                  	Gewinn                                                                                   	3                       	 Ziegentor 1 war gewählt, Wechsel auf Tor 2 nützt
2             	2                	Ziege ⇔ Ziege                                                                                                               	Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 1 oder Ziegentor 3 öffnet                                                                                                                	                                                                                         	1 oder 3                	 Auto-Tor  2 war gewählt, Wechsel schadet
2             	3                	Ziege ⇔ Auto                                                                                                                	                                                                                                                                                                                  	Gewinn                                                                                   	1                       	 Ziegentor 3 war gewählt, Wechsel auf Tor 2 nützt
3             	1                	Ziege ⇔ Auto                                                                                                                	                                                                                                                                                                                  	Gewinn                                                                                   	2                       	 Ziegentor 1 war gewählt, Wechsel auf Tor 3 nützt
3             	2                	Ziege ⇔ Auto                                                                                                                	                                                                                                                                                                                  	Gewinn                                                                                   	1                       	 Ziegentor 2 war gewählt, Wechsel auf Tor 3 nützt
3             	3                	Ziege ⇔ Ziege                                                                                                               	Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 1 oder Ziegentor 2 öffnet                                                                                                                	                                                                                         	1 oder 2                	 Auto-Tor  3 war gewählt, Wechsel schadet
              	                 	                                                                                                                            	                                                                                                                                                                                  	                                                                                         	                        	
Gewinn-Chance 	\tfrac 13        	0           \tfrac 23                                                                              	Diese Chancen-Verteilung 1/3 : 0 : 2/3 gilt gemäß Spielregel vonBeginn an und unveränderlich bis zum Schluss des Spieles                                                          	                                                                                         	                        	
Verlust-Risiko	\tfrac 23        	1           \tfrac 13                                                                              	Diese Risiko-Verteilung 2/3 : 1 : 1/3 gilt gemäß Spielregel vonBeginn an und unveränderlich bis zum Schluss des Spieles                                                           	                                                                                         	                        	
In jenem 1/3 aller Möglichkeiten, in denen der Kandidat zufällig auf Anhieb dasjenige der drei Tore mit dem einzigen Auto gewählt hat, würde er durch einen Wechsel verlieren.Das sind nur 3 von 9 Möglichkeiten, also in nur 1/3 der Fälle führt ein Wechseln zum Verlust des schon gewählten Autos und schadet.
In den restlichen 2/3 aller Möglichkeiten, in denen der Kandidat jedoch eines der beiden Ziegentore gewählt hat, gewinnt er das Auto durch einen Wechsel.Das sind 6 von 9 Möglichkeiten, also in 2/3 der Fälle führt ein Wechseln zum Gewinn des Autos.
*Ohne zu wechseln: Der Kandidat gewinnt nur dann, wenn seine erste Wahl auf das eine Tor mit dem Auto gefallen war (Wahrscheinlichkeit 1/3).
*Mit einem Wechsel: Der Kandidat gewinnt immer dann, wenn seine erste Wahl auf eine der beiden Nieten gefallen war (Wahrscheinlichkeit 2/3).
*Durch ein Wechseln verdoppelt der Kandidat seine Gewinnchance zweifelsfrei von 1/3 auf 2/3.
Gemäß Spielregel gibt es von Anfang an nur drei Möglichkeiten
Der Kandidat wählt in jedem Fall eines der drei Tore mit einer Gewinnchance von 1/3. Da es nur ein einziges Auto gibt, befindet sich somit hinter dem nicht gewählten Torepaar zumindest eine Ziege, dennoch hat das nicht gewählte Torepaar eine Gewinnchance von 2/3. Dieser Sachverhalt ist in allen "drei Fällen" gleich, egal ob der Kandidat Tor 1, Tor 2 oder Tor 3 wählt. Wichtig ist allein, dass das nicht gewählte Torepaar gegenüber dem vom Kandidaten gewählten Einzeltor die doppelte Gewinnchance besitzt und sich dennoch in jedem Fall dort zumindest eine Ziege befindet. Diese beiden Sachverhalte sollte der Kandidat immer berücksichtigen (Mathematiker ließen das bisher meist außer Acht). Dabei kann es somit effektiv nur die folgenden "drei verschiedene Konstellationen" geben:
1.: Der Kandidat wählt das Tor mit der "einen Ziege", das nicht gewählte Torepaar enthält die "andere" Ziege und das Auto.
2.: Der Kandidat wählt das Tor mit der "anderen Ziege", das nicht gewählte Torepaar enthält dann die "eine" Ziege und das Auto.
3.: Der Kandidat wählt das Tor mit dem einzigen Auto, und nur dann (also nur in 1/3 der Fälle) enthält das nicht gewählte Torepaar beide Ziegen.
Das nicht gewählte Torepaar besteht aus zwei Toren, je mit einer Gewinnchance von 1/3 und einem Nietenrisiko von 2/3.Daraus ergibt sich, dass das nicht gewählte Torepaar gemäß Spielregel eine Gewinnchance von 2/3 und ein Nietenrisiko von 1 1/3 auf sich vereinigt, weiters enthält das nicht gewählte Torepaar bekanntermaßen immer zumindest eine Ziege. Obwohl jedes der beiden nicht gewählten Tore – für sich betrachtet – eine Gewinnchance von durchschnittlich 1/3 und ein Nietenrisiko von durchschnittlich "nur" 2/3 besitzt, besagt die Spielregel dennoch: In jedem dieser drei Fälle befindet sich hinter zumindest einem der beiden Tore des nicht gewählten Torepaares zwangsläufig und mit absoluter Sicherheit zumindest eine Ziege (es gibt nur ein Auto). Eines der beiden (egal welches) ist ein "garantiertes Ziegentor" im nicht gewählten Torepaar. Hinter dem "anderen Tor", seinem "Partnertor" im nicht gewählten Torepaar, wird sich gemäß Spielregel in durchschnittlich nur 1/3 der Fälle die zweite Ziege, jedoch in durchschnittlich immerhin 2/3 der Fälle das Auto befinden. Jenes "Partnertor" vereinigt somit von vornherein immer die gesamte Gewinnchance des nicht gewählten Torepaares von 2/3 auf sich. Dabei ist es von vornherein völlig belanglos, welches der beiden nicht gewählten Tore das "garantierte Ziegentor" mit der Gewinnchance von Null und dem Nietenrisiko von 1 ist, und welches das "andere, das privilegierte Tor" mit einer Gewinnchance von 2/3 und einem Nietenrisiko von nur 1/3. Diese Belanglosigkeit liegt zwar klar auf der Hand, wird jedoch selbst von Mathematikern nicht immer genügend berücksichtigt. Nochmals: Die Frage: "Welches der beiden Tore?" ist von vornherein völlig belanglos und absurd, sie wird sich im Spielverlauf niemals stellen. Denn dadurch, dass der Moderator – nachdem der Kandidat sein Tor gewählt hatte – ein Ziegentor öffnet, ist sie ja bereits beantwortet worden: Das geöffnete Ziegentor hatte von Beginn an eine Gewinnchance von absolut Null und ein Nietenrisiko von absolut 1, und damit hatte das dann noch verschlossene, nun zum Wechsel angebotene Tor bereits von Anfang an eine Gewinnchance von durchschnittlich 2/3 und ein Nietenrisiko von durchschnittlich nur 1/3. Der Moderator hat diese Frage also bereits beantwortet, und ein retrogrades Rätselraten darüber und die Suche nach "mathematischen Beweisen dafür" ist schlicht absurd.
#In 1/3 der Fälle wählt der Kandidat zufällig das Tor mit dem Auto, dann befindet sich sogar hinter jedem Tor des nicht gewählten Torepaares je eine Ziege und Wechseln schadet.
#Der Kandidat wählt "das eine" der beiden Ziegentore (in 1/3 der Fälle, Wechseln nützt)
#Der Kandidat wählt "das andere" der beiden Ziegentore (in 1/3 der Fälle, Wechseln nützt), denn in diesen beiden Fällen, also jenen 2/3 der Fälle, in denen der Kandidat ein Ziegentor gewählt hatte, befindet sich hinter dem nicht gewählten Torepaar mit absoluter Sicherheit die zweite der beiden Ziegen (sie wird vom Moderator später hergezeigt), aber auch das durch die Spielregel zugesagte Auto. Wechseln bringt somit in 2/3 der Fälle das Auto als Gewinn, und es schadet nur in 1/3 der Fälle.
Für diesen schlichten Sachverhalt bedarf es keinerlei weiterer "Beweise", schon gar nicht unnötiger "Wahrscheinlichkeitsrechnungen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten". Diese Wahrscheinlichkeitsrechnungen beeinflussen den gegebenen Sachverhalt nicht. Sie sind nur ein völlig isoliertes Problem von Mathematikern, die den schlichten Sachverhalt in (meist ungelenke) Formeln übersetzen wollen und dabei stets nur eine kleine Untermenge der vorhandenen Information verwenden. Dass solch ungelenke Wahrscheinlichkeitsrechnungen seit Jahrzehnten aber dennoch zuhauf in kurioser, ja skurriler sogenannter "Fachliteratur" am Markt angeboten worden sind und noch immer als "unerlässlich" angeboten und ebenso ernsthaft als "unerlässlich" diskutiert werden ist ein eigenes Kapitel wert, etwa als "wissenschaftlicher Beweis erfolgreicher Vernebelung einfacher Sachverhalte und Raffinesse zur permanenten Irreführung der geduldigen Leserschaft ..." oder "Unvermögen mancher Mathematiker, schlichte Sachverhalte darzustellen".
Das Paradoxon: Der fatale "50:50-Trugschluss" – Warum das Dilemma für die große Mehrzahl für immer ungelöst bleiben wird
Das "Besondere" am Ziegenproblem liegt darin, dass es sich, gemäß Spielregel vorherbestimmt, effektiv um drei Tore mit völlig unterschiedlicher Charakteristik handelt. Diese von vornherein unterschiedliche Charakteristik der drei Tore sollte jedoch tunlichst unerkannt bleiben, um die Marktchancen von sogenannter "Fachliteratur" nicht zu gefährden. 
Die drei Tore besitzen gemäß Spielregel eine völlig unterschiedliche Charakteristik. Es handelt sich 
#um das durch den Kandidaten "ursprünglich gewählte Tor" (egal welches) mit vom Anfang bis zum Ende des Spieles exakt durchschnittlicher Gewinnchance (1/3) und von Anfang bis zum Ende des Spieles durchschnittlichem Verlustrisiko (2/3), wie gesagt sind das Durchschnittswerte, 
#weiters um ein imperatives "garantiertes Nietentor" mit einer Gewinnchance von Null und einem Verlustrisiko von 1 (der Moderator wird jene Niete später dann ja zeigen), 
#und damit um ein drittes, von vornherein "privilegiertes" Tor mit der hohen Gewinnchance von 2/3 und einem niedrigen Verlustrisiko von nur 1/3 (Durchsnittswerte!). 
Diese laut geltender Spielregel vorherbestimmte, unterschiedliche Charakteristik der drei Tore wird nicht auf den ersten Blick erkannt, gilt jedoch in jedem Fall von Anfang an.
Jedes der drei Tore besitzt a priori eine Gewinnchance von durchschnittlich 1/3 und ein Nieten-Risiko von durchschnittlich 2/3. Für das durch den Kandidaten gewählte Tor gilt dies sogar bis zum Schluss des Spieles.
Das eigentliche "Paradoxon" liegt an der Struktur jener beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore, denn jenes nicht gewählte Torepaar muss, durch die Spielregel vorherbestimmt, zwingend immer zumindest eine Ziege enthalten (es gibt nur ein Auto), obwohl seine ebenso vorherbestimmte gemeinsame Gewinnchance in jedem Fall und bis zum Schluss des Spieles bei durchschnittlich 2/3 liegt. Dieser Sachverhalt ist durch die Spielregel gegeben und bedarf keines mathematischen Beweises.
Dies ist also das eigentliche Paradoxon: Die Gewinnchance jedes der beiden Tore des nicht gewählten Torepaares beträgt durchschnittlich je 1/3, in Summe beträgt die Gewinnchance des Torepaares von Anbeginn durchschnittlich total 2/3, trotz des dort absolut garantierten "Nietentores" das selbst keinerlei Gewinnchance haben kann. Ohne jeden weiteren "mathematisch geführten Beweis" kann die Gewinnchance des nicht gewählten Torepaares von durchschnittlich 2/3 deshalb niemals beide Tore in gleicher Weise betreffen, sondern letztlich immer nur ein einziges Tor, das von vornherein "privilegierte" Tor. Dieser durch die Spielregel gegebene Sachverhalt bedarf wie dargelegt keines weiteren mathematischen Beweises.
Zur Verdeutlichung:Die Ausgangslage gemäß Spielregel lautet: Es gibt nur ein einziges Auto, und bei dem nicht gewählten Torepaar geht es um eine Gruppe von zwei Toren, egal um welche auch immer.Die gemeinsame "Gewinnchance" jenes nicht gewählten Torepaares wird laut Spielregel in jedem Fall durchschnittlich 2/3 betragen und dessen gemeinsames "Ziegen-Risiko" durchschnittlich 4/3   (1 1/3).Eines jener beiden Tore enthält jedoch imperativ, gemäß Spielregel vorherbestimmt, mit absoluter Sicherheit (1/1 oder 3/3) eine Ziege und hat somit gemäß Spielregel von Anfang an eine Gewinnchance von genau Null, es ist damit von vornherein das durch die Spielregel immer garantierte "imperative Nietentor" in jenem Torepaar. Dennoch beträgt die gemeinsame Gewinnchance jenes Torepaares durchschnittlich 2/3.  Da die gemeinsame Gewinnchance jener zwei Tore gemäß Spielregel durchschnittlich 2/3 beträgt, ist bereits durch die Spielregel von Anfang an konkludent gegeben, dass folglich stets "das andere" jener beiden Tore von vornherein die vorherbestimmte Gewinnchance von durchschnittlich 2/3 auf sich allein vereinigt: Es ist das "privilegierte" Tor. Seine "Gewinnchance" beträgt gemäß Spielregel vorherbestimmt durchschnittlich 2/3 und sein "Ziegen-Risiko" durchschnittlich nur 1/3.
Allerdings ist noch unbekannt, welches jener beiden Tore (des nicht gewählten Torepaares) die durch die Spielregel "vorherbestimmte Ziege" verbirgt (das "absolute Nietentor"), und welches das "andere", das von Anfang an "privilegierte Tor" mit der doppelten Gewinnchance von durchschnittlich 2/3 und dem halben Verlustrisiko von durchschnittlich nur 1/3 ist. Das zu wissen wäre eminent wichtig, ist jedoch wohlgemerkt in diesem Stadium des Spieles noch völlig belanglos! Der Kandidat wählt soeben erst "sein" Tor, und der Moderator wird diese Frage im Anschluss daran ohnehin beantworten, noch bevor sie gestellt wird.
Das anschließende (ebenso durch die Spielregel vorherbestimmte) Öffnen eines Ziegentores durch den Moderator bringt zwar keinerlei relevante zusätzliche Information hinsichtlich der Gewinnchance des vom Kandidaten ursprünglich gewählten Tores (1/3) noch hinsichtlich der gemeinsamen Gewinnchance der beiden nicht gewählten Tore (von zusammen 2/3), es stellt dafür eben kein Ereignis dar. Durch das Öffnen des Ziegentores wird jedoch gezeigt, dass die besagte, von Anfang an feststehende Gewinnchance von 2/3 also allein das zweite, jetzt noch immer verschlossene, nicht gewählte Tor betrifft. Bei diesem noch verschlossen bleibenden Tor handelt es sich  also um das von Anfang an "privilegierte Tor" mit der − gegenüber dem ursprünglich gewählten Tor − doppelten Gewinnchance von 2/3 und dem – gegenüber dem ursprünglich gewählten Tor – nur halbem Verlustrisiko von 1/3.
Der Moderator hilft:Zumindest eines der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore ist ein "absolutes Nietentor", es enthält imperativ eine Ziege, das andere nicht gewählte Tor ist das durch die Spielregel von Anfang an "privilegierte Tor" mit einer vorherbestimmten Gewinnchance von 2/3. Der Moderator zeigt nun, welches der beiden nicht gewählten Tore eine Ziege enthält und offenbart damit jenes (noch verschlossen bleibende) "privilegierte Tor" mit der "a priori Gewinnchance" von 2/3.
Die Gewinnchance jenes Tores, das der Kandidat ursprünglich aus drei Toren ausgewählt hat, bleibt bis zum Schluss unverändert 1/3 (und dessen Ziegen-Risiko 2/3).Die Gewinnchance des anderen, noch verschlossenen Tores (des durch den Moderator offenbarten "privilegierten Tores") betrug von Anfang an 2/3 (und dessen Nieten-Risiko nur 1/3).
Da nicht bekannt ist, hinter welchem der beiden nun letztlich noch verschlossenen Tore (dem vom Kandidaten ursprünglich gewählten "durchschnittlichen Tor" mit einer Gewinnchance von 1/3 oder dem nicht gewählten, verschlossen gebliebenen "privilegierten Tor" mit einer Gewinnchance von 2/3) sich der Gewinn verbirgt (zwei geschlossene Tore, hinter einem der beiden muss sich zwangsläufig das Auto befinden, hinter dem anderen Tor die zweite Ziege), wird irrtümlicherweise landläufig angenommen, dass jedes der beiden noch geschlossenen Tore die gleiche Chance biete und es daher keine Rolle spiele, ob dem Angebot zu wechseln gefolgt werde oder nicht (der berühmte fatale 50:50 -Trugschluss).
Das eigentliche Paradoxon des "Ziegenproblems" ist rein intuitiv nicht leicht aufzulösen. Der Grund dafür besteht darin, dass sämtliche hier relevanten, bereits durch die Spielregel vorherbestimmten zwingenden Konklusionen und die vorherbestimmte, von Anfang an durch die Spielregel festgelegte, unterschiedliche Chancen-Risken-Charakteristik der drei Tore nicht ohne weiteres und auf den allerersten Blick erkennbar sind, obwohl dies – didaktisch aufbereitet – zum "Aha-Erlebnis" führen könnte. Dass dies nicht geschieht ist Gold wert. Die einschlägige Fachliteratur zu diesem Thema zeigt anschaulich: Unter striktem Ignorieren der durch die Prämissen der Spielregel bereits klar vorherbestimmten Konklusionen lassen sich publikumswirksam ganze Bibliotheken füllen, mit eindrucksvollen, aber in diesem Fall unnötigen mathematischen Wahrscheinlichkeits-Berechnungen und völlig überflüssigen, angeblich "wissenschaftlich unbedingt notwendigen mathematischen Beweisen", ohne das permanente "Ja, warum denn nur" des Paradoxons enthüllen zu wollen. Das Kennzeichnende für das ungelöste "Warum denn nur?" sind manche "Mathematiker", die selbst die bereits durch die Spielregel vorherbestimmten Konklusionen nicht sehen (können?) und die durch die Spielregel bereits klar festgelegte, völlig unterschiedliche Chancen-Risken-Struktur der drei Tore nicht erkennen (wollen?). Die am Markt befindlichen und laufend neu angebotenen Publikationen bedienen sich bedingter Wahrscheinlichkeiten und kommen mit unnötigen mathematischen "Beweisen" auf Umwegen zwar schließlich dennoch zum selben Ergebnis, lassen aber die ungewisse Frage nach dem "Warum denn nur" weiterhin bewusst offen.
Und: die in manchen Publikationen angestellt gewesenen Überlegungen, der Moderator könnte allenfalls durch ein bestimmtes regelwidriges Verhalten auf die eine oder andere unsaubere Weise vielleicht doch zusätzliche Informationen preisgeben, was dann neue Rätsel aufgibt, ignorieren die vorgegebene Spielregel. Solche Verwirrspiele lenken vom eigentlichen Paradoxon des "Ziegenproblems" ab und sind zum Verständnis des scheinbaren Paradoxon wenig hilfreich, auch wenn sie aus "reputablen Quellen" zitiert werden. Der klare "Durchblick" des Publikums kann so verhindert werden, was für einschlägige "Fachliteratur" weitere Verkaufserfolge verspricht. Voraussetzung dafür: Die durch die Spielregel vorherbestimmte unterschiedliche Chancen-Charakteristik der drei Tore: ( \tfrac 13 : 0 : \tfrac 23 ) beziehungsweise deren Risiko-Verteilung ( \tfrac 23 : 1 : \tfrac 13 ) bleiben weiterhin tabu. 
Des Kaisers neue Kleider
Das "Ziegen-Problem" veranschaulicht – ähnlich wie "Des Kaisers neue Kleider" – ein Phänomen: Gewieften interessierten Kreisen gelang und gelingt es, selbst über lange Zeiträume hinweg, sich unverzichtbar zu machen. Ein relativ schlichter Sachverhalt kann erfolgreich zum angeblich unbeweisbaren und unlösbaren magischen Problem stilisiert werden, das ohne aufwändige wissenschaftliche Bemühung und kostspielige (für den Autor lukrative) Beratung für immer unlösbar bliebe. Der klare Blick auf die Bestimmungen der Spielregel und die konsequente Beachtung aller sich daraus ergebenden schlüssigen Folgerungen sei "ein falscher Lösungsweg". Solchen "Fachleuten" gelingt es hier zu dekretieren, ohne "Beweise", die nur durch mathematische Wahrscheinlichkeitsberechnungen, unter Zuhilfenahme "bedingter Wahrscheinlichkeiten" erbracht werden könnten, bliebe der schlichte Sachverhalt angeblich undurchschaubar und letztlich für immer unlösbar. Ein solcher "Beweis" sei schlicht unabdingbar und "der einzig zulässige Lösungsweg". Die gläubige Mehrheit nahm und nimmt das für bare Münze an (die Verkaufserfolge sprechen für sich), und die nächste derartige "wissenschaftliche Veröffentlichung" zum Thema wartet bereits im Schaufenster?
Es gilt in erster Linie, die Anschaulichkeit der schlichten Problemstellung und damit das "Aha-Erlebnis" zu fördern, und nicht die angebliche Unerlässlichkeit mathematischer "Beweise" zu dekretieren und damit zu verwirren. Die (an sich völlig unnötigen) Bemühungen, den Sachverhalt auch in mathematischen Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung darzustellen sind anzuerkennen. Da sie aber immer als "zur Problemlösung unverzichtbar" dargestellt wurden, gehören sie als "historisches Phänomen" vom eigentlichen Ziegenproblem gelöst und unter dem Titel "skurrile Kuriositäten" in ein vom Paradoxon deutlich getrenntes Kapitel. -- Gerhardvalentin 12:49, 28. Dez. 2009 (CET)
replies: text: Was hast du vor mit dieser Doctorarbeit? Nijdam 20:44, 24. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Lieber Nijdam, die durch die Spielregel festgelegte völlig unterschiedliche Chancen-Risken-Charakteristik der drei Tore benötigst du offensichtlich nicht für deine Berechnungen. Rechne du also einfach weiter. . .   Und schreibe weiter an mathematischer Fachliteratur.    Liebe Grüße   --Gerhardvalentin 19:23, 20. Dez. 2009 (CET)
thread_title:  Analyse der Folgen eines Wechsels (alle Konstellationen) 

message: Nijdam, ich war oben leider nicht hinreichend deutlich, ich wollte, für Dich als anerkannten Mathematiker, dieses betonen: Vorhandene Informationen dürfen nicht notorisch unterschlagen werden
"Aha-Erlebnis" für den Leser: Alle Aspekte in der zeitlichen Abfolge sollen sorgfältig beachtet werden, um die Chancen und Risken zu verdeutlichen.Die relevanten Schritte / Abschnitte:
#"Vor der Torwahl" des Kandidaten
#"Torwahl" durch den Kandidaten 
#"Öffnen eines Ziegentores" im nicht gewählten Torepaar durch den Moderator mit dem Angebot, auf das dort befindliche verschlossene "Partnertor" zu wechseln
#"Letztentscheid" des Kandidaten, ob er das Angebot zum Wechseln ablehnt oder annimmt
#"Offenlegung" des durch den Letztentscheid endgültig gewählten Torinhalts: Zweite Ziege oder Auto 
In zeitlicher Abfolge:
#"Vor der Torwahl" des Kandidaten sind die Wahrscheinlichkeiten aller drei Tore noch völlig gleich (Gewinnchance durchschnittlich je 1/3, Ziegenrisiko durchschnittlich je 2/3). Mehr ist in diesem Stadium darüber noch nicht bekannt.
#Die "Torwahl" durch den Kandidaten führt dazu, dass nur noch das durch den Kandidaten ursprünglich gewählte Tor (übrigens als einziges) diese Chancen-Risken-Charakteristik bis nach dem Letztentscheid uneingeschränkt (ohne weiteren Informationen) beibehält.Für die beiden nicht gewählten Tore sind diese (weiterhin gültigen) Durchschnitts-Wahrscheinlichkeiten von nun an aber infolge einer dominanten Bestimmung der Spielregel dramatisch "relativiert" worden und gelten nur noch für jenes "Torepaar", also für die "Summe" der beiden nicht gewählten Tore, denn zumindest eines jener beiden Tore enthält nun imperativ eine garantierte Ziege und hat eine Gewinnchance von absolut Null. Diese Tatsache darf nicht ignoriert werden. Dabei ist es übrigens völlig unerheblich, welches der beiden Tore das garantierte Ziegentor ist. Danach braucht nicht gefragt zu werden, das spielt keinerlei Rolle, siehe unten: "garantiertes Ziegentor und privilegierte Partnertor". Für die Gesamtheit des nicht gewählten Torepaar liegen hingegen durch die ursprüngliche Torwahl des Kandidaten noch keinerlei weiteren, zusätzlichen Informationen vor, die Wahrscheinlichkeiten für die Gesamtheit des nicht gewählten Torepaares bleiben weiterhin, bis nach dem Letztentscheid, unverändert: Sowohl die Gewinnchance des gesamten nicht gewählten Torepaares (2/3, es sind zwei Tore) und dessen Ziegenrisiko (4/3, es sind zwei Tore) bleiben mangels weiterer Information unverändert. Wie gesagt: Die Chancen der zwei "einzelnen" Tore jenes Torepaares, jedes für sich allein betrachtet, ist jedoch seit der Torwahl des Kandidaten durch eine Dominante der Spielregel dramatisch verändert worden (sie enthalten bekanntlich ein imperatives Ziegentor, siehe unten).
#Das "Öffnen eines Ziegentores" im nicht gewählten Torepaar durch den Moderator mit dem Angebot, auf das dort befindliche verschlossene "Partnertor" zu wechseln zeigt nur, "welches" der beiden nicht gewählten Tore ein (von Anfang an in jenem Torepaar durch die Spielregel garantiertes) Ziegentor ist, und damit gleichzeitig, welches das durch die Spielregel ebenso zwingend vorherbestimmte, erwartete "privilegierte Partnertor" ist. Alle anderen Wahrscheinlichkeiten hingegen (Gewinnchancen des ursprünglich gewählten Tores von 1/3 und dessen Ziegenrisiko von 2/3, und auch die gemeinsame Gewinnchance der Gesamtheit des nicht gewählten Torepaares von total 2/3 sowie dessen Ziegenrisiko von total 4/3) bleiben von diesem "Öffnen" völlig unbeeinflusst: Hinsichtlich jener Wahrscheinlichkeiten kam mit dem "Öffnen" keinerlei relevante zusätzliche Information.
#Der "Letztentscheid" des Kandidaten, ob er das Angebot zum Wechseln ablehnt oder annimmt verändert keine Wahrscheinlichkeiten
#"Offenlegung" des durch den Letztentscheid endgültig gewählten Torinhalts: Zweite Ziege oder Auto (Nun Sicherheit anstatt bisher Wahrscheinlichkeit)
::::Nijdam, Du sagst korrekt: Das Ziegenrisiko jedes Tores ist durchschnittlich 2/3. Und ich ergänze: Für das vom Kandidaten ursprünglich gewählte Tor gilt dies (allerdings als einzigem der drei Tore) sogar uneingeschränkt von Anfang an, noch vor der "Torwahl" und in jedem Stadium des Spieles bis nach dem Letztentscheid des Kandidaten. Für die beiden nicht gewählten Einzeltore galt dies aber nur vor der ersten Torwahl des Kandidaten uneingeschränkt so, danach nicht mehr. (nicht signierter Beitrag von Gerhardvalentin (Diskussion | Beiträge) 23:36, 31. Dez. 2009 (CET)
replies: text: Danach dominieren für jene beiden Einzeltore zusätzliche Informationen:
=== Nach der Torwahl: Garantiertes Ziegentor und privilegierte Partnertor ===
Für die beiden nicht gewählten Einzeltore, jedes für sich allein betrachtet, gelten deren ursprüngliche Gewinnchance von 1/3 und deren ursprüngliches Ziegenrisiko von 2/3, nach der erfolgten "Torwahl", nur noch "auf den ersten Blick hin" vordergründig, jetzt aber nur noch als relativierte Durchschnittswerte. Denn dies ist nicht mehr die einzige Information über deren Einzel-Chancen. Denn mit der "Torwahl" kam eine dominante Information der Spielregel hinzu. Jetzt widersprechen jene – nicht mehr absoluten – Wahrscheinlichkeiten diametral einer Dominanten der Spielregel. Bei dem "nicht gewählten Torepaar" ist gleichzeitig zu berücksichtigen: Für die beiden Einzeltore sind dies nur noch relativierte Durchschnittswerte, und nur für die Summe jener beiden Tore, also "für das gesamte nicht gewählte Torepaar" liegen keine weiteren Informationen vor, nur für das gesamte nicht gewählte Torepaar gelten die ursprünglichen Werte von Anfang bis nach dem Letztentscheid weiterhin uneingeschränkt: Gewinnchance=2/3, Verlustrisiko=4/3 (es sind wie gesagt zwei Tore). 
Sieht man sich jene beiden Tore jedoch als Einzeltore genauer an, so kommt hier wie gesagt ein wesentlicher, weiterer Aspekt hinzu: Auch ihre jeweilige Einzel-Gewinnchancen scheinen zwar auf den ersten Blick, ebenso wie bei dem vom Kandidaten ursprünglich gewählten Tor, bei durchschnittlich je 1/3 und ihr Einzel-Verlustrisiko bei durchschnittlich je 2/3 zu liegen. Dies gilt jetzt aber als "einzige Information" nur noch weiterhin für dis Summe der beiden nicht gewählten Tore, also für das gesamte nicht gewählte Torepaar, aber nicht mehr für die beiden einzelnen nicht gewählten Tore "je für sich allein betrachtet". Für diese beiden Einzeltore sind das nur noch "relativierte Durchschnittswerte", die einzeln absolut nicht mehr zutreffen können, weil die Spielregel gleichzeitig von Anfang an dominant auch noch etwas Gegenteiliges sagt. Diese "Einzel-Wahrscheinlichkeiten" werden durch eine dominante Bestimmung der Spielregel völlig relativiert. Jene "vordergründigen" Werte sind ja noch lange nicht alles, was wir über jene Wahrscheinlichkeiten der beiden einzelnen, nicht gewählten Tore durch die Bestimmungen der Spielregel bereits wissen. Wir wissen durch die Spielregel zusätzlich schon genau, dass dabei gleichzeitig das Chancen-Risken-Verhältnis jener beiden Einzeltore, jedes für sich allein betrachtet, seit der ersten Torwahl des Kandidaten an niemals mehr 1:1 gleich sein kann, sondern zwingend und sonnenklar unterschiedlich ist. Deine mathematischen Berechnungen haben diese Dominante der Spielregel bisher ignoriert. Zumindest eines der beiden nicht gewählten Einzeltore ist und bleibt (!), seit der ersten Torwahl des Kandidaten, laut Spielregel von da ab bis zum endgültigen Schluss, also sogar bis nach der "Offenlegung", ein sicheres Ziegentor mit einer Gewinnchance von absolut Null und einem Verlustrisiko von absolut 1. Das steht gemäß Spielregel seit der "Torwahl" unabänderlich fest. Das wissen wir also "gleichzeitig", und das darf nicht ignoriert werden. Wir wissen auch, dass diese Unterschiedlichkeit der beiden nicht gewählten Einzeltore bis nach dem "Letztentscheid" unverändert bleiben wird: In jenem Torepaar ist (ohne jede Wahrscheinlichkeitsrechnung) seit der "Torwahl" und bis zum Schluss mit absoluter Sicherheit=1 zumindest ein Ziegentor garantiert, denn die Spielregel sieht nur ein einziges Auto vor. Jenes "imperative Ziegentor" hat ab der Torwahl des Kandidaten und sogar bis nach der "Offenlegung" eine Gewinnchance von absolut Null. Das "andere" Tor, sein "Partnertor", besitzt zwar – für sich allein betrachtet, eine "vordergründige" Gewinnchance von durchschnittlich 1/3. Doch steht unabänderlich fest, dass nur noch die gemeinsame Gewinnchance jener beiden Einzeltore unverändert ist, nicht aber ihre "Einzel-Gewinnchance". Nur die gemeinsame Gewinnchance des gesamten Torepaares ist durch die "Torwahl" unverändert geblieben und gilt weiterhin bis nach dem Letztentscheid des Kandidaten (Gewinnchance=2/3, denn es sind zwei Tore, und Verlustrisiko=4/3, es sind ja wie gesagt zwei Tore). Da die Gewinnchance des "einen garantierten Ziegentores" nicht 1/3 sein kann sondern bekannterweise absolut Null ist, die gemeinsame Gewinnchance jenes Torepaares jedoch bis nach dem Letztentscheid unverändert durchschnittlich 2/3 beträgt, vereinigt dessen zum Wechseln angebotenes, verschlossen gebliebenes "Partnertor" von der Torwahl an jene gesamte Gewinnchance von durchschnittlich 2/3 auf sich allein. Die seit der "Torwahl" unterschiedliche Chancenstruktur jener beiden nicht gewählten Einzeltore ist schon vor dem "Öffnen" bekannt, und sie gilt auch noch unverändert nach dem Öffnen eines Ziegentores, also bis nach dem Letztentscheid des Kandidaten unverändert.
Zeitliche Abfolge: "Welches" der beiden nicht gewählten Tore das "garantierte" Ziegentor ist, braucht niemanden zu interessieren. Bei der Torwahl stellte sich diese Frage noch nicht, und noch bevor sich die Frage nach "welches der beiden Tore" überhaupt stellen könnte, ist sie ja (vorgängig!) bereits durch den Moderator beantwortet worden: Mit dem Öffnen eines Ziegentores ist klar, dass sich dahinter von Anfang bis zum Schluss eine Niete befand und befindet. Und durch die Spielregel ist ja nur ein Ziegentor dort garantiert. Also: Auch nach dem Öffnen des Ziegentores wissen wir, wie bereits seit der "Torwahl", dass ein solches Ziegentor, wie durch die Spielregel garantiert, auch tatsächlich existiert (das ist allerdings wie gesagt keinerlei Erkenntnisgewinn), und dass die Gesamt-Gewinnchance des Torepaares von durchschnittlich 2/3 (es sind wie gesagt insgesamt zwei Tore) auch weiterhin, wie seit der "Torwahl" also auch nach dem Öffnen des Ziegentores gilt und bis nach der "Letztentscheidung" gelten wird. Gleichgültig, ob der Kandidat bei seinem "Letztentscheid" auf das angebotene, privilegierte "Partnertor" wechselt oder bei seinem erstgewählten Tor bleibt, und ob sich beim Öffnen dahinter ein Auto oder eine Ziege befindet, erst dann verändert sich die Wahrscheinlichkeit jenes gewählten Tores von durchschnittlich 2/3 beziehungsweise von 1/3 auf 1 oder auf Null, je nach fortune. Lieber Nijdam, bitte prüfe den Sachverhalt. Liebe Grüße -- Gerhardvalentin 23:36, 31. Dez. 2009 (CET)
thread_title:  Wahrscheinlichkeiten in zeitlicher Abfolge 

message: Für die beiden nicht gewählten Einzeltore, jedes für sich allein betrachtet, gelten deren ursprüngliche Gewinnchance von 1/3 und deren ursprüngliches Ziegenrisiko von 2/3, nach der erfolgten "Torwahl", nur noch "auf den ersten Blick hin" vordergründig, jetzt aber nur noch als relativierte Durchschnittswerte. Denn dies ist nicht mehr die einzige Information über deren Einzel-Chancen. Denn mit der "Torwahl" kam eine dominante Information der Spielregel hinzu. Jetzt widersprechen jene – nicht mehr absoluten – Wahrscheinlichkeiten diametral einer Dominanten der Spielregel. Bei dem "nicht gewählten Torepaar" ist gleichzeitig zu berücksichtigen: Für die beiden Einzeltore sind dies nur noch relativierte Durchschnittswerte, und nur für die Summe jener beiden Tore, also "für das gesamte nicht gewählte Torepaar" liegen keine weiteren Informationen vor, nur für das gesamte nicht gewählte Torepaar gelten die ursprünglichen Werte von Anfang bis nach dem Letztentscheid weiterhin uneingeschränkt: Gewinnchance=2/3, Verlustrisiko=4/3 (es sind wie gesagt zwei Tore). 
Sieht man sich jene beiden Tore jedoch als Einzeltore genauer an, so kommt hier wie gesagt ein wesentlicher, weiterer Aspekt hinzu: Auch ihre jeweilige Einzel-Gewinnchancen scheinen zwar auf den ersten Blick, ebenso wie bei dem vom Kandidaten ursprünglich gewählten Tor, bei durchschnittlich je 1/3 und ihr Einzel-Verlustrisiko bei durchschnittlich je 2/3 zu liegen. Dies gilt jetzt aber als "einzige Information" nur noch weiterhin für dis Summe der beiden nicht gewählten Tore, also für das gesamte nicht gewählte Torepaar, aber nicht mehr für die beiden einzelnen nicht gewählten Tore "je für sich allein betrachtet". Für diese beiden Einzeltore sind das nur noch "relativierte Durchschnittswerte", die einzeln absolut nicht mehr zutreffen können, weil die Spielregel gleichzeitig von Anfang an dominant auch noch etwas Gegenteiliges sagt. Diese "Einzel-Wahrscheinlichkeiten" werden durch eine dominante Bestimmung der Spielregel völlig relativiert. Jene "vordergründigen" Werte sind ja noch lange nicht alles, was wir über jene Wahrscheinlichkeiten der beiden einzelnen, nicht gewählten Tore durch die Bestimmungen der Spielregel bereits wissen. Wir wissen durch die Spielregel zusätzlich schon genau, dass dabei gleichzeitig das Chancen-Risken-Verhältnis jener beiden Einzeltore, jedes für sich allein betrachtet, seit der ersten Torwahl des Kandidaten an niemals mehr 1:1 gleich sein kann, sondern zwingend und sonnenklar unterschiedlich ist. Deine mathematischen Berechnungen haben diese Dominante der Spielregel bisher ignoriert. Zumindest eines der beiden nicht gewählten Einzeltore ist und bleibt (!), seit der ersten Torwahl des Kandidaten, laut Spielregel von da ab bis zum endgültigen Schluss, also sogar bis nach der "Offenlegung", ein sicheres Ziegentor mit einer Gewinnchance von absolut Null und einem Verlustrisiko von absolut 1. Das steht gemäß Spielregel seit der "Torwahl" unabänderlich fest. Das wissen wir also "gleichzeitig", und das darf nicht ignoriert werden. Wir wissen auch, dass diese Unterschiedlichkeit der beiden nicht gewählten Einzeltore bis nach dem "Letztentscheid" unverändert bleiben wird: In jenem Torepaar ist (ohne jede Wahrscheinlichkeitsrechnung) seit der "Torwahl" und bis zum Schluss mit absoluter Sicherheit=1 zumindest ein Ziegentor garantiert, denn die Spielregel sieht nur ein einziges Auto vor. Jenes "imperative Ziegentor" hat ab der Torwahl des Kandidaten und sogar bis nach der "Offenlegung" eine Gewinnchance von absolut Null. Das "andere" Tor, sein "Partnertor", besitzt zwar – für sich allein betrachtet, eine "vordergründige" Gewinnchance von durchschnittlich 1/3. Doch steht unabänderlich fest, dass nur noch die gemeinsame Gewinnchance jener beiden Einzeltore unverändert ist, nicht aber ihre "Einzel-Gewinnchance". Nur die gemeinsame Gewinnchance des gesamten Torepaares ist durch die "Torwahl" unverändert geblieben und gilt weiterhin bis nach dem Letztentscheid des Kandidaten (Gewinnchance=2/3, denn es sind zwei Tore, und Verlustrisiko=4/3, es sind ja wie gesagt zwei Tore). Da die Gewinnchance des "einen garantierten Ziegentores" nicht 1/3 sein kann sondern bekannterweise absolut Null ist, die gemeinsame Gewinnchance jenes Torepaares jedoch bis nach dem Letztentscheid unverändert durchschnittlich 2/3 beträgt, vereinigt dessen zum Wechseln angebotenes, verschlossen gebliebenes "Partnertor" von der Torwahl an jene gesamte Gewinnchance von durchschnittlich 2/3 auf sich allein. Die seit der "Torwahl" unterschiedliche Chancenstruktur jener beiden nicht gewählten Einzeltore ist schon vor dem "Öffnen" bekannt, und sie gilt auch noch unverändert nach dem Öffnen eines Ziegentores, also bis nach dem Letztentscheid des Kandidaten unverändert.
Zeitliche Abfolge: "Welches" der beiden nicht gewählten Tore das "garantierte" Ziegentor ist, braucht niemanden zu interessieren. Bei der Torwahl stellte sich diese Frage noch nicht, und noch bevor sich die Frage nach "welches der beiden Tore" überhaupt stellen könnte, ist sie ja (vorgängig!) bereits durch den Moderator beantwortet worden: Mit dem Öffnen eines Ziegentores ist klar, dass sich dahinter von Anfang bis zum Schluss eine Niete befand und befindet. Und durch die Spielregel ist ja nur ein Ziegentor dort garantiert. Also: Auch nach dem Öffnen des Ziegentores wissen wir, wie bereits seit der "Torwahl", dass ein solches Ziegentor, wie durch die Spielregel garantiert, auch tatsächlich existiert (das ist allerdings wie gesagt keinerlei Erkenntnisgewinn), und dass die Gesamt-Gewinnchance des Torepaares von durchschnittlich 2/3 (es sind wie gesagt insgesamt zwei Tore) auch weiterhin, wie seit der "Torwahl" also auch nach dem Öffnen des Ziegentores gilt und bis nach der "Letztentscheidung" gelten wird. Gleichgültig, ob der Kandidat bei seinem "Letztentscheid" auf das angebotene, privilegierte "Partnertor" wechselt oder bei seinem erstgewählten Tor bleibt, und ob sich beim Öffnen dahinter ein Auto oder eine Ziege befindet, erst dann verändert sich die Wahrscheinlichkeit jenes gewählten Tores von durchschnittlich 2/3 beziehungsweise von 1/3 auf 1 oder auf Null, je nach fortune. Lieber Nijdam, bitte prüfe den Sachverhalt. Liebe Grüße -- Gerhardvalentin 23:36, 31. Dez. 2009 (CET)
thread_title:  Nach der Torwahl: Garantiertes Ziegentor und privilegierte Partnertor