Diskussion:Kettenregel

message: Ich habe mir gerade mal die englische Version angeschaut. Ich finde den Ausdruck df/dx = df/dg * dg/dx auch schon oben bei der Erklärung sehr hilfreich, und nicht erst unten, wo er z.B. in der Graphik oder auch im Beweis auftritt. Was denkt Ihr?
Gruß
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Ein Beweis bzw. eine kommentierte Herleitung wäre noch prima zur Ergänzung! 128.176.151.127 15:31, 7. Nov 2004 (CET)
thread_title:  Alte Diskussionsbeiträge 

message: Hallo. wäre es nicht gut, auch die verallgemeinerte Kettenregel zu erwähnen? Es könnte natürlich auch ein Extra-Beitrag sein. Ich habe etwas gesucht und bin zu dem Thema nicht fündig geworden.
So könnte man z.B. eine kurze Definition schreiben. Beispielsweise so:
Die Kettenregel besagt, wenn eine Funktion
g(t) = f(x(t)) = f(x_1(t), x_2(t), x_3(t), ..., x_n(t))
gegeben ist, hat sie an der Stelle  die Ableitung (partielle Differenzierbarkeit, ... vorausgesetzt - müsste natürlich ausgeführt werden)
g'(t_0) = f_{x_1}(x_0)\dot x_1(t_0) + f_{x_2}(x_0)\dot x_2(t_0) + ... + f_{x_n}(x_0)\dot x_n(t_0)
oder kurz
g'(t_0) = \nabla f(x_0)^T\dot x(t_0)
--Iammrvip 17:14, 22. Mär 2005 (CET)
replies: text: Anmerkung: Dieser Text war natürlich nicht für den Beitrag direkt gedacht und auch geeigenet. Es sollte nur als stark gerafftes Beispiel und als Hinweis dienen. Ich habe einen neuen Beitrag eröffnet. Siehe nun hier --Iammrvip 17:13, 25. Mär 2005 (CET)
thread_title:  verallgemeinerte Kettenregel 

message: Ich lerne gerade für eine Mathematik Klausur für die ich u.a. die Kettenregel brauche. Jetzt hab ich aus dem Unterricht noch in Erinnerung, dass entweder die äußere oder innere Funktion AUFgeleitet wird und nur eine davon abgeleitet. Hier wird aber erklärt, dass beide Funktionen abgeleitet werden. Naja ich will jetzt auch keine Punkte in den Sand setzen, nur weil ich eine falsche/fehlerhafte Methodik anwende. Was ist richtig? Wird das in speziellen Fällen anders gemacht?
*Das Wort auf... gibt es nicht!! Wenn ich eine Funktion "ableite" hat das nichts damit zu tun, dass ich sie "ab"-"leite". Das heißt integrieren oder Stammfunktion bilden/bestimmen.
:Nun zu deiner Frage: Das was du in der Schule gelernt hast, heißt in Wirklichkeit Lineare Substitution. Manche Lehrer nennen das auch Umkehrung der Kettenregel...naja. Iammrvip 20:44, 6. Apr 2005 (CEST)
replies: text: (Ganz nebenbei: das Wort aufleiten gibt es doch....) -- 91.19.235.114 16:37, 10. Jul. 2009 (CEST)
thread_title:  Nur ableiten? 

message: Ich habe hier etwas über die verschiedenen Variablen in diesem eigentlich sehr schönen und knappen Artikel eingefügt. Bitte um Hilfe beim Raffen und das Wesentliche herausarbeiten. --Roomsixhu 02:16, 24. Jun 2005 (CEST)
thread_title: Welche Variable ?

message: Der Abschnitt "Erklärung" ist eher verwirrend als erklärend. Der letzte Satz ist eindeutig falsch. 217.237.150.177 09:22, 24. Jun 2005 (CEST)
thread_title: Erklärung

message: der im artikel angegeben beweis ist nicht allgemeingülitg. wenn die dort angegebene funktion v eine konstante funktion ist, erweitert man den angegeben term mit 0/0, was offensichtlich nicht möglich ist.
*Wenn v konstant ist, braucht es überhaupt keine Kettenregel, denn dann ist u(v(x)) ohnehin nur für eine einzige Zahl definiert, nämlich für v, und ist nicht differenzierbar...
::*Erstens: Das ist falsch. die verkettete Funktion ist für konstantes v(x) nicht nur für ein Argument DEFINIERT sondern sie NIMMT NUR EINEN FUNKTIONSWERT AN, ist also eine konstante Funktion! Damit ist ihre Ableitungsfunktion die Nullfunktion. Dieser Fall mag zwar trivial sein, müsste aber für einen korrekten Beweis mindestens in einer Fallunterscheidung ausgeführt werden.
::Aber es gibt auch nichttriviale Beispiele, für die der hier geführete Beweis aufgrund von Nulldivision nicht korrekt ist:
::Zum Beispiel die Klasse der Funktionen mit sogenanntem unendlichem Oszillationspunkt. Ein Repräsentant der Klasse: \ f: f(x)=\begin{cases} x^2 \cdot sin \frac {1}{x}, & \mbox{wenn }x \ne 0 \\ 0, & \mbox{wenn }x=0 \end{cases}:
::Diese Funktion ist an der Stelle 0 differenzierbar (das ist leicht durch Grenzübergang mit Differenzenquotienten überprüfbar), hat dort aber außerdem einen sog. unendlichen Oszillatopnspunkt. Wenn diese Funktion als innere Funktion auftaucht, dann kann nicht so sorglos mit dem Differenzenquotienten in einer "hinreichend kleinen Umgebung von Null, in der die innere Funktion den Wert 0 nicht annimmt" hantiert werden, weil diese schlichtweg nicht existiert: In JEDER Umgebung von 0 hat f unendlich viele Nullstellen. Deshalb ist der Beweis tatsächlich falsch und auch nicht durch kleinere Hinzufügungen zu retten. Ich werde den Beweis mithilfe der Weierstraßschen Zerlegungsformel ausführen und damit den Aktuellen ersetzen.--Max-Mütze 13:57, 3. Feb. 2007 (CET)
replies: text: Der Beweis wurde vor einiger Zeit durch eine korrekten Beweis ersetzt. Deshalb erledigt. --Digamma (Diskussion) 09:26, 16. Sep. 2014 (CEST)
thread_title:  falscher beweis 

message: In der an sich instruktiven Graphik steht Δu/Δx=Δu/Δv·Δv/Δx, was unten nochmal hervorgehoben wird. Gerade dieses (durch praktische Erweiterung entstandene) Produkt der Differenzenquotienten geht aber aus der Graphik überhaupt nicht hervor und unterstützt vor allem den verbreiteten Fehlglauben, daß die Verkettung u(v(x)) dasselbe sei wie u·v, also eine Multiplikation. (Gestern habe ich das wieder in einem Referat erlebt, bei der der Referent diese Graphik verwendet und offensichtlich mißverstanden hatte.)
Zum einen sollte also diese Gleichung aus der Graphik entfernt werden, zum andern fehlt auch eine verbale Erklärung dieser Graphik, die ergänzt werden sollte. Auch ist die Überschrift "Steigungsdreiecke" für die folgende Erklärung unglücklich gewählt.
Überhaupt wird mir nicht klar, was die Graphik mit der Kettenregel zu tun hat, außer daß sie die Verkettung von Funktionen verdeutlicht. Wie allerdings die Kettenregel zustande kommt, wird durch sie nicht klarer.
Im übrigen sollte auf der Seite die Leibnizsche Schreibweise prominenter zur Geltung kommen, denn schließlich wirkt erst hier die Erweiterung des Differenzenquotienten mit Δv/Δv so unglaublich genial simpel. 
A. Brünner, 18.1.2007, 22:11
Seltsame Diskussion hier!
Zu den im letzten Beitrag genannten Kritikpunkten an der Graphik kommt noch eine: An eine Kurve, die keine Gerade ist, können keine derartigen Steigungsdreiecke gezeichnet werden -- dies ist UNSINN!
Wie soll ein Schüler, der hier in Sachen Differentialrechnung um Hilfe und Rat sucht, Klarheit gewinnen, wenn selbst hier nicht zwischen Sekanten- und Tangentensteigung unterschieden wird, wenn selbst hier im tollen Internetlexikon offenbar Δy/Δx=f'(x) ist!
Ich bin dafür, diese ganze Abteilung ("geometrische Erklärung") zu löschen, und werde das wohl auch tun, wenn hier keine Gegenargumente kommen.
A. Brünner, 20.1.2007, 19:22
Ich greife mal diesen alten Beitrag auf, weil ich im Prinzip dasselbe sagen möchte: Ich verstehe den Sinn der Grafik nicht. Sie bringt nicht viel zum Verständnis der Kettenregel. Außerdem ist der Satz darüber
:Die Steigung von u(v(x)) ist u'(x) (Gesamtableitung).
schlicht falsch. Es macht auch keinen Sinn von der "Steigung" der Funktion zu sprechen. Nicht die Funktion hat eine Steigung, sondern ihr Graph. Die Funktion hat nur eine Ableitung oder eine Änderungsrate. 
Ich entferne deshalb die Grafik und den Text darüber. Der Teil darunter, die heuristische Herleitung, kann im Prinzip bleiben. Dort wird ja rein algebraisch argumentiert und gar nicht die Steigung verwendet. --Digamma (Diskussion) 19:38, 7. Nov. 2014 (CET)
thread_title: Geometrische Erklärung

message: Ich habe eine mathematische Formulierung und einen Beweis zur Kettenregel hinzugefügt. Ich dachte, nach dem Beispiel wäre ein passender Platz.
Mirrll 15:51, 1. Aug. 2008 (CEST)
replies: text: Sehr gut und Danke! Der Beweis ist wesentlich eleganter als der Umweg über die Weierstraßsche Zerlegungsformel. Es ist merkwürdig, welch umständliche, langwierige und sogar schwer verständliche Beweise sich in der Literatur finden. Gelegentlich wird sogar behauptet, daß der heuristische Beweis über die Erweiterung mit v(x)-v(x_0) nur unter erheblichem Aufwand reparierbar sei und dann jegliche Eleganz verlieren würde. Der oben vorgeführte Beweis repariert den dann dabei auftretenden Quotienten \tfrac00 in geradezu perfekt eleganter Weise durch stetige Umschaltung vom Differenzen- auf den Differentialquotienten während es Grenzüberganges x\to x_0.  Als Quelle lässt sich angeben:
* Otto Forster. Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg 1992, 4. Aufl., S.106.
--Skraemer 16:28, 18. Aug. 2008 (CEST)
thread_title:  Exakte Formulierung und Beweis 

message: Ich denke, eine verbale Beschreibung reicht im Vortext, mathematische Behandlung als eigenen Absatz? Viel wichtiger ist aber, dass in der vorherigen Fassung die Kettenregel als reine "Rechenregel" dargestellt wird. Sie liefert aber auch die (für die Mathematik wichtige) Aussage, dass Verkettungen differenzierbarer Funktionen wieder differenzierbar sind, macht also Aussagen über die Existenz der Ableitung.
-- Emes2k 00:05, 9. Okt. 2008 (CEST)
thread_title:  Änderungen: Vortext 

message: Ich habe die Kritik in der Diskussion zum Anlass genommen, ein wenig rumzubasteln. Dabei ist eine realtiv ausführliche (hoffentlich hinreichend ausführlich?) Erläuterung des Zustandekommes der "Differenzialnotation" entstanden (am Ende des Artikels). Weiterhin habe ich einige Dinge am Beispiel verändert, und zwar:
* Angleich an die Notation des Vortextes, dass man vielleicht die Regel etwas besser erkennt.
* Umbau des Beispiels: der Text in der vorherigen Fassung, fand ich zumindest, gab ein bisschen der Fehlvorstellung Nahrung, eine Funktion wäre prinzipiell die Verkettung aus einer eindeutigen äußeren und einer eindeutigen inneren Funktion. Wichtig für die Anwendung der Kettenregel ist jedoch zunächst nur, dass sich die gegebene Funktion überhaupt als Verkettung zweier Funktionen darstellen lässt, und da kann es durchaus mehrere Möglichkeiten geben. Daher die Alternative Verkettung am Ende des Beispiels.
* Auch wenn das gängige Konvention ist, ist es aus mathematischer Sicht etwas fragwürdig, die Verkettung zweier Funktion sozusagen als die äußere Funktion zu betrachten, in der man durch Umbenennung einige Terme abgekürzt hat, wie das in der vorherigen Fassung ein wenig den Anschein hatte. Sowohl die innere also auch die äußere Funktion sind eigenständige Funktionen (schließlich ist jede Funktion für sich ein eigenständiges mathematisches Objekt) und können auch durchaus mit der gleichen unabhängigen Variable geschrieben werden. Die Konvention ist aber noch im mittleren Beispieltext erwähnt.
Schaut euch die Änderungen vielleicht einmal an, ob ihr die für sinnvoll erachtet. 
LG Emes2k 23:34, 8. Okt. 2008 (CEST)
replies: text: Ist eine klare Verbesserung, ich habs aber noch etwas massiert. Literatur wäre noch gut. --P. Birken 20:55, 13. Okt. 2008 (CEST)
thread_title:  Änderungen:  Notation und Beispiel 

message: Ich denke es ist besser \circ durch \cdot zu ersetzen (siehe Entwurf). -- 78.54.13.235 23:47, 26. Mai 2009 (CEST)
replies: text: Nein, für die Verkettung von Funktionen ist das \circ-Symbol das übliche Symbol, insbesondere weil das \cdot ja mit dem normalen Multiplizieren verwechselt werden kann. --Tolentino 07:41, 27. Mai 2009 (CEST)
replies: text: Hmm ich kenn das anders, aber werde mich da mal raushalten (ich bin Threadstarter) -- 92.224.146.164 00:13, 28. Mai 2009 (CEST)
replies: text: Ich kenne das genauso wie Tolentino. --P. Birken 18:26, 29. Mai 2009 (CEST)
thread_title:  \circ zu \cdot 

message: Diese fehlt hier völlig. Oder findet sie sich woanders? Dann sollte es zumindest einen kurzen Hinweis mit Link geben. --Digamma 21:14, 19. Mai 2010 (CEST)
replies: text: Ne, das fehlt ganz einfach :-) --P. Birken 13:39, 24. Mai 2010 (CEST)

text: Mh, wohl nicht nur du :-) Was hier allerdings schon fehlt, ist IMHO eine kurze Zusammenfassung. --P. Birken 19:26, 27. Mai 2010 (CEST)

text: Ne, ich meinte hier. Analog zu Produktregel#Höherdimensionaler_Definitionsbereich, außer dass es bei der Produktregel für das mehrdimensionale kein eigenes Lemma gibt. --P. Birken 19:56, 27. Mai 2010 (CEST)

text: Ist gut geworden! --P. Birken 17:34, 30. Mai 2010 (CEST)
thread_title:  Kettenregel für Funktionen mit mehreren Variablen 

message: Hallo,
die ausführlichen Erklärungen zum Beispiel halte ich in erster Linie zwar für sehr sinnvoll, doch könnte es meiner Meinung nach, vor allem für Schüler, hilfreich sein das Beispiel unterstützend wie folgt darzustellen:
\begin{align}
f(x) & =\color{Black}u(\color{Blue}v(x)\color{Black})\\
f'(x)& =\color{Blue}v'(x)\color{Black}\cdot\color{Black}u'(\color{Blue}v(x)\color{Black})\\
\end{align}
</br>
</br>
</br>
\begin{align}
f(x) & =(\color{Blue}x^3+1\color{Black})^2\\
f'(x) & =\color{Blue}3x^2\color{Black}\cdot 2(\color{Blue}x^3+1\color{Black})\\
\end{align}
</br>
Mithilfe der Farbgebung wird versucht kompakt das "Zusammenspiel" zwischen äußerer und innerer Ableitung darzustellen ohne viele Worte.</br>
Viele Grüße
--MaFecht93 (Diskussion) 12:44, 13. Aug. 2014 (CEST)
thread_title:  Ergänzung zum Beispiel 

message: Ich habe mich Mal an einen rigorosen Beweis innerhalb der Nichtstandardanalysis gemacht: 
Für eine differenzierbare Funktion f an der Stelle x_0 gilt:
f'(x) =  \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}h \approx \frac{f(x+d) - f(x)}d , wobei d ein beliebiges Infinitesimal ist. 
Ersetzen wir die Relation \approx durch ein Infinitesimal d_2 erhalten wir:
f'(x) + d_2 = \frac{f(x+d) - f(x)}d \Leftrightarrow  df'(x) + dd_2 = f(x+d) - f(x)
Wir erhalten nun die Aussage, dass u(v(x)) an der Stelle x_0 differenzierbar ist, indem wir zeigen, dass für alle Infinitesimale d \frac{u(v(x_0+d)) - u(v(x_0))}d \approx f'(x)  gilt.
Da v an der Stelle x_0 differenzierbar ist, gilt dv'(x_0)+ dd_2+v(x_0) = v(x_0+d) .
Durch Ersetzen erhalten wir:
\frac{u(v(x_0+d)) - u(v(x_0))}d  =\frac{u(dv'(x_0)+ dd_2+v(x_0) ) - u(v(x_0))}d 
Da u an der Stelle v(x_0) differenzierbar ist, gilt
du'(v(x_0))+ dd_2+u(v(x_0)) = u(v(x_0+d)) , und da 0\approx d\approx dv'(x_0)+ dd_2  gilt, gilt ebenfalls 
(dv'(x_0)+ dd_2)u'(v(x_0))+ (dv'(x_0)+ dd_2)d_2+u(v(x_0)) = u(dv'(x_0)+ dd_2+v(x_0))) 
Durch Ersetzen erhalten wir:
\frac{u(dv'(x_0)+ dd_2+v(x_0) ) - u(v(x_0))}d  = \frac{(dv'(x_0)+ dd_2)u'(v(x_0))+ (dv'(x_0)+ dd_2)d_2+u(v(x_0)) - u(v(x_0))}d 
  = (v'(x_0)+ d_2)u'(v(x_0))+ (v'(x_0)+ d_2)d_2 \approx v'(x_0)u'(v(x_0)) 
Da   v'(x_0)u'(v(x_0)) unabhängig von  d  ist, existiert damit die Ableitung von  u(v(x))  in  x_0 , und es gilt  (u(v(x_0))' =  v'(x_0)u'(v(x_0))
Verglichen mit den zwei Zeilen Skizze ist es allerdings reichlich viel geworden, und es fühlt sich so an, als habe ich didaktisch den roten Faden verloren. An für sich entspricht der Beweis einem sturen Anwenden der Nichtstandard-Limes-Definition und anschließendem Abschätzen der Terme (um zu sehen, welche infinitesimal sind).
Falls jemand mir einen Ansatz geben könnte, wie ich das ganze kürzer & prägnanter ausführen könnte, wäre ich dankbar.
--Sanitiy (Diskussion) 03:33, 28. Jun. 2018 (CEST)
thread_title:  Beweis mit Mitteln der Nichtstandardanalysis