Diskussion:Transfinite Induktion

message: Irgendwie kriege ich den Sinn gerade nicht zusammen. Was ist mit dem folgenden Beispiel:
Die Menge sei M = \{2,4,6,7,9,11\} und P(x) sei wahr, wenn x gerade ist. Wählt man jetzt a = 7, so gilt wohl P(b) für alle b<a. Bedeutet das jetzt, dass 7 gerade ist?
:Sofern du die Hilfsaussage
::Wenn P(b) für alle b<a gilt, so gilt auch P(a)
:nachweisen kannst (und das wird dir in diesem Beispiel nicht gelingen, und zwar genau im Fall a=7), hast du als Ergebnis, dass P(a) für alle a gilt.--Hagman 07:55, 15. Feb. 2008 (CET)
thread_title:  Verständnisfrage 

message: Hallo
Ich fände es nützlich, wenn mehr oder weniger verständlich erklärt würde, was der Unterschied ist zwischen der "klassischen" vollständigen Induktion und der transfiniten Induktion ist.
:Oder zur strukturellen Induktion ... Sachen gibt's... -- Euronymous 00:12, 2. Mai 2010 (CEST)
thread_title:  Abgrenzung zur Vollständigen Induktion 

message: Die hier angegebene Definition der Grenzzahl ist verkehrt. Da wäre jede Ordinalzahl eine Grenzzahl. Die Definition müsste mit dem Artikel "Ordinalzahl" übereinstimmen.--Wilfried Neumaier 12:11, 7. Apr. 2008 (CEST)
thread_title:  Grenzzahl 

message: Ich habe Verständnisprobleme mit folgender Aussage:
Sei B = \{x \in A | \neg P(x)\} die Menge (bzw. Klasse) derjenigen Elemente x von A, für die P(x) nicht zutrifft.
Träfe die Eigenschaft P nicht für alle Elemente von A zu, so wäre B nicht leer und enthielte aufgrund der Wohlordnung ein kleinstes Element a.
Für jedes b mit b < a gilt dann b \notin B, also P(b).
Nach dem Gezeigten folgt P(a).
Warum wird behauptet, "nach dem Gezeigten folgt P(a)"? a haben wir doch zwei Sätze zuvor als kleinstes Element der Menge B definiert, für welche die Aussage \neg P(x) zutrifft. Wo wurde "P(a) ist wahr" gezeigt?
--Abdull 17:19, 2. Jul. 2009 (CEST)
thread_title:  Hä? 

message: 1. Wieso wird hier die Menge A_{\le a} eingeführt, die gar nirgends im Artikel gebraucht wird?--Wilfried Neumaier 22:52, 23. Aug. 2011 (CEST)
replies: text: Kann ich nachvollziehen. Ich arbeite mal an einer Umformulierung etwa wie folgt: 1) T.R. funktioniert für alle Wohlordnungen. 2) Genaue Formulierung der T.R im Falle der Klasse der Ordinalzahlen.  3) Beweis hierzu - der dann auch hinreichend einfach für einen in der wikipedia stehenden Beweis formuliert werden kann, denn das ganze Abschnittsgeschwurbel kann man sich da ja definitionsgemäß sparen 4) Wieder übertragen auf beliebige wohlgeordnete Mengen preOrdnungsisomorphie (die gleichzeitig ein Beispiel einer rekursiv definierten Abbildung ist). 5) (vielleicht auch vor 4) vielleicht rekursive Definition der Addition als Beispiel?--Hagman 20:39, 25. Aug. 2011 (CEST)

text: Falls zu zwecks "Formelteile in gelicher Größe" auf Erzwungene PNG-Erzeugung umsteigen wolltest, ist dies zwar machbar, wird aber i.A. nicht gewünscht. Ich bin mal mutig und lade zu ebensolchem Mut ein.--Hagman 17:31, 26. Aug. 2011 (CEST)
replies: text: Wenn man die umgekehrte Richtung erzwingen könnte, also die kleinere HTML-Schrift, wäre das Druckbild schärfer und besser und man hätte keine herausragenden Formeln. Kann man das? Ich habe es mit \textstyle probiert, aber leider erfolglos.--Wilfried Neumaier 17:58, 26. Aug. 2011 (CEST)
thread_title:  zur transfiniten Rekursion 

message: Bei den natürlichen Zahlen ist es bekanntlich möglich, Funktionen rekursiv zu definieren, also auf eine dem Beweis durch vollständige Induktion analoge Methode (Beispiel: 0!:=1 und n!:=n \cdot (n-1)! für  n>0 ).
Auf dieselbe Weise gehört zur transfiniten Induktion das Definitionsverfahren der transfiniten Rekursion:
Ist A wohlgeordnet und kann man f(a) definieren, indem man voraussetzt, dass die Werte f(b) an allen Stellen  b<a  definiert sind, so ist hierdurch bereits f auf ganz A definiert.
Formaler gilt der folgende (hier für die Klasse der Ordinalzahlen formulierte 
Rekursionssatz: 
Es bezeichne \mathrm{On} die Klasse der Ordinalzahlen und V die Klasse aller Mengen.
Sei G\colon V\to V eine Klassenfunktion. Dann gibt es genau eine transfinite Folge F\colon\mathrm{On}\to V mit der Eigenschaft, dass für alle Ordinalzahlen a die Aussage F(a) = G(F|_a) gilt.
Beweisidee:
Für eine Ordinalzahl b sei P(b) die folgende Aussage:
* Es gibt genau eine Abbildung F_b\colon b\to V mit der Eigenschaft, dass für alle a<b die Aussage F_b(a) = G(F_b|_a) gilt.
Die Gültigkeit von P(b) für alle Ordinalzahlen b zeigt man durch transfinite Induktion, und zwar wie oben angemerkt in drei Teilaussagen aufgeteilt:
# Die Aussage P(0) gilt trivialerweise, da es ohnehin nur eine Abbildung \emptyset\to V gibt und die einschränkende Eigenschaft gar keine Einschränkung bedeutet, da es gar keine Ordinalzahlen a<0 gibt.
# Es gelte P(b), dann gilt auch P(b+1): Die Existenz von F_{b+1}\colon b+1\to V ergibt sich aus F_b\colon b\to V, indem man F_{b+1}(a)=F_b(a) setzt, falls a<b, sowie (notwendigerweise) F_{b+1}(b)=G(F_b). Ist F'_{b+1}\colon b+1\to V eine weitere geeignete Funktion, so folgt zunächst F'_{b+1}|_b = F_{b+1}|_b aus der Eindeutigkeitsaussage in P(b) und dann auch F'_{b+1}(b)=G(F_b)=F(_{b+1}, also insgesamt  F'_{b+1}=F_{b+1}.
# Sei b Grenzzahl und es gelte P(a) für alle a<b; dann gilt auch P(b): Ist a<b, so gibt es c mit a<c<b. Man setze F_b(a) = F_c(a). Dies ist wohldefiniert, da für c' mit  a<c'<b wegen P(a), P(c), P(c') gewiss F_{c'}(a) = G(F_{c'}|_a) = G(F_a) = G(F_{c}|_a) = F_c(a) gilt. So ergibt sich auch die Eindeutigkeit.
Somit gilt P(b) für alle Ordinalzahlen b. Man kann jetzt F\colon\mathrm{On}\to V definieren, indem man F(b) = F_{b+1}(b) setzt.
==== Anwendung ====
Wiederum analog zur transfiniten Induktion kann man auch bei der transfiniten Rekursion anstelle einer allgemeinen Klassenfunktion G mit drei Teilfällen arbeiten. Man gibt dann einen Anfangsfunktionswert F(0)=g_1 an, eine Regel der Form F(b+1) = G_2(F|_b) für Nachfolgerzahlen und eine der Form F(b)=G_3(F|_b) für Grenzzahlen.
==== Beispiele ====
# Sei c eine fest gewählte Ordinalzahl. Die Rekursionsfunktion G sei wie folgt gewählt: Falls A der Graph einer Funktion ist, sei G(A) die kleinste nicht in c\cup \operatorname{Bild}(A) auftauchende Ordinalzahl (und ansonsten beliebig). Die hierdurch rekursiv (in Abhängigkeit von c) definierte Funktion F liefert stets eine Ordinalzahl (folgt durch transfinite Induktion) und es gilt F(0)=c, F(1)=c+1 usw. Man schreibt c+a für F(a) und definiert so die Addition von Ordinalzahlen.
# Die Addition kann ebenso – leichter nachvollziehbar – definiert werden durch
#* c+0:=c, 
#* c+(b+1):=(c+b)+1 sowie 
#* c+b:=\sup\{c+a|a<b\}, falls b Grenzzahl ist. 
Klassenfunktion verlinkt nicht dahin, wo ich dachte. Habe ich die deutsche Bezeichnung für so was falsch im Kopf?--Hagman 23:32, 25. Aug. 2011 (CEST)
thread_title: Textvorschlag

message: # Sei c eine fest gewählte Ordinalzahl. Die Rekursionsfunktion G sei wie folgt gewählt: Falls A der Graph einer Funktion ist, sei G(A) die kleinste nicht in c\cup \operatorname{Bild}(A) auftauchende Ordinalzahl (und ansonsten beliebig). Die hierdurch rekursiv (in Abhängigkeit von c) definierte Funktion F liefert stets eine Ordinalzahl (folgt durch transfinite Induktion) und es gilt F(0)=c, F(1)=c+1 usw. Man schreibt c+a für F(a) und definiert so die Addition von Ordinalzahlen.
# Die Addition kann ebenso – leichter nachvollziehbar – definiert werden durch
#* c+0:=c, 
#* c+(b+1):=(c+b)+1 sowie 
#* c+b:=\sup\{c+a|a<b\}, falls b Grenzzahl ist. 
Klassenfunktion verlinkt nicht dahin, wo ich dachte. Habe ich die deutsche Bezeichnung für so was falsch im Kopf?--Hagman 23:32, 25. Aug. 2011 (CEST)
thread_title:  Beispiele 

message: 1) Die Verlinkung von Klassenfunktion ist sinnlos, denn im Zielartikel kommt das Stichwort "Klassenfunktion" gar nicht vor. Eine Klassenfunktion braucht man aber eigentlich auch nicht. Dieser Begriff ist lediglich eine unschöne Umschreibung für einen Term G(A) mit der Variablen A. Jeder Term ist im Rahmen einer Mengenlehre automatisch eine solche Klassenfunktion. Der Artikel Term ist hier schon brauchbar.--Wilfried Neumaier 07:00, 26. Aug. 2011 (CEST)
replies: text: Falls zu zwecks "Formelteile in gelicher Größe" auf Erzwungene PNG-Erzeugung umsteigen wolltest, ist dies zwar machbar, wird aber i.A. nicht gewünscht. Ich bin mal mutig und lade zu ebensolchem Mut ein.--Hagman 17:31, 26. Aug. 2011 (CEST)
replies: text: Wenn man die umgekehrte Richtung erzwingen könnte, also die kleinere HTML-Schrift, wäre das Druckbild schärfer und besser und man hätte keine herausragenden Formeln. Kann man das? Ich habe es mit \textstyle probiert, aber leider erfolglos.--Wilfried Neumaier 17:58, 26. Aug. 2011 (CEST)
thread_title: Diskussion des Vorschlags