Diskussion:Präferenzrelation

message: Der Begriff der Präferenzordnung stammt eigentlich aus der Spieltheorie und wurde so auf "natürliche Weise" in die Mikroökonomie übernommen. Wäre es nicht sinnvoller die saubere mathematische Definition zu benutzen und den Artikel in die Kategorie "Ordnungstheorie" oder "Spieltheorie" einzugliedern?
: Dieser unbelegte und unsignierte Beitrag kann archiviert werden.--Sigma^2 (Diskussion) 17:57, 26. Aug. 2022 (CEST)
thread_title:  Ohne Überschrift 

message: Dieser Artikel enthält einen Fehler: Eine Präferenzordnung kann nur dann durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden, wenn sie stetig ist (Debreus Repräsentationstheorem). Der Fehler wird evident, wenn man entweder die zugrundeliegende Literatur anschaut oder wenn man sieht, dass schon dieser Artikel einen inneren Widerspruch enthält: Die lexikographische Präferenzordnung (die rational ist, aber nicht stetig), kann eben nicht durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden. Ich rücke das jetzt einmal gerade. --Herbert81 (Diskussion) 08:41, 26. Jul. 2015 (CEST)
replies: text: user:Herbert81, hmm, das stimmt so aber nicht. Eine Nutzenfunktion muss nicht stetig sein (freilich impliziert die Stetigkeit der Präferenzordnung die Stetigkeit der Nutzenfunktion), und dass eine Repräsentationsfunktion nur für stetige Ordnungen existiert, ist nicht richtig. Der „Fehler“ des nun entfernten und leider unzutreffend korrigierten Theorems ist, dass die Abzählbarkeit von X nicht vorausgesetzt wird. Würde sie das, dann wäre es richtig: Jede totale Quasiordnung auf einer abzählbaren Menge ist durch eine Repräsentationsfunktion vom beschriebenen Typ (x \geq y iff. f(x)\geq f(y)) aka Nutzenfunktion repräsentierbar. Das wäre die Korrektur gewesen. Insofern ist die vorgenommene Änderung auch eine Verschlechterung. „Eine Präferenzordnung kann genau dann durch eine reellwertige Nutzenfunktion u,  repräsentiert werden, wenn sie stetig ist“ stimmt  auf mehreren Ebenen nicht. Wenn man die Abzählbarkeit nicht voraussetzt, ist sie immer noch falsch; aber auch grundsätzlich können nicht-stetige Präferenzordnungen unter bestimmten Voraussetzungen sehr wohl durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden – das ist völlig gängig. Man kann etwa zeigen, dass jede Präferenzordnung (also eine totale Quasiordnung) auf X reellwertig repräsentiert werden kann iff. X separabel ist, und offensichtlich setzt sie Separabilität nicht die Stetigkeit voraus. — Pajz (Benutzer Diskussion:Pajz) 10:25, 26. Jul. 2015 (CEST)
replies: text: Benutzer:Pajz: Teils Widerspruch, teils Zustimmung: Erstens habe ich nicht gesagt, dass eine Nutzenfunktion stetig sein muss, sondern nur, dass eine stetige Präferenzordnung durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden kann. Zweitens impliziert Abzählbarkeit der Alternativenmenge natürlich, dass die Präferenzordnung stetig ist. Drittens ist das, was ich geschrieben habe, nichts anderes als Debreus representation theorem. Hierfür findest du im Netz -zig Quellen. Viertens aber hast du recht, dass das Wort "genau" ein Wort zuviel ist: Nach Debreus Theorem kann eine stetige Präferenzordnung durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden; die Stetigkeit ist also hinreichend, aber nicht notwendig. Andere Bedingungen mögen ebenfalls hinreichend sein. Ich korrigiere das.--Herbert81 (Diskussion) 11:15, 26. Jul. 2015 (CEST)
replies: text: Ergänzung: Die Variante mit der abzählbaren Menge beinhaltet eine unübliche und zu enge Voraussetzung: Praktisch alle ökonomischen Modelle arbeiten auf dem Rn, der nicht abzählbar ist. Außerdem impliziert Abzählbarkeit der Alternativenmenge, wie gesagt, Stetigkeit der Präferenzordnung. Der Satz ist dann zwar richtig, aber ein Rückschritt gegenüber Debreu (1954).--Herbert81 (Diskussion) 11:22, 26. Jul. 2015 (CEST)
replies: text: Nachfrage: Hättest du ein Beispiel oder eine Quelle für eine Präferenzordnung, die separabel und nicht stetig ist und die durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden kann?--Herbert81 (Diskussion) 11:26, 26. Jul. 2015 (CEST)
replies: text: Herbert81, na ja, es war eben nicht der Satz von Debreu, und du schreibst ja selbst unter „Viertens“, warum es falsch war wie es war, insofern verwundert mich der dies betreffende Hinweis (das war im Ergebnis ja keine bloße Ungenauigkeit, sondern verdrehte den Sinn wirklich gravierend). Dass die Variante mit abzählbarem X „eine unübliche und zu enge Voraussetzung“ darstelle, ist Geschmackssache. Es ist durchaus – freilich auch aus didaktischen Gründen – gängig, die Thematik so einzuführen (siehe etwa Bridges/Mehta, Representation of Preference Orderings, 1995 oder die Standardreferenz in diesem Gebiet, Fishburn, Utility Theory for Decision Making, 1970). // Wenn wir schon bei den Details sind: Eine weitere Voraussetzung des Satzes von Debreu ist ja die Zweitabzählbarkeit des topologischen Raums; das fehlt aktuell noch. // Was deine „Ergänzung“ betrifft: Ein Beispiel wäre etwa die Klasse der oberhalbstetigen totalen Quasiordnungen auf einem zweitabzählbaren, topologischen Raum. Rader (1963) hat ja (unter anderem) gezeigt, dass die stets repräsentierbar sind (sogar durch eine oberhaltstetige Funktion). — Pajz (Kontakt) 06:39, 31. Jul. 2015 (CEST)
replies: text: Benutzer:Pajz: i) Dein Einwand mit der Zweitabzählbarkeit ist berechtigt. Ich habe die hierfür hinreichende Annahme "zusammenhängende Teilmenge des Rn" genommen, die Debreu im Originalbeweis verwendet und die elementarer ist. ii) Gegenüber der ursprünglichen Fassung, jede Präferenzordnung sei durch eine Nutzenfunktion repräsentierbar, ist dies doch nun ein Fortschritt, nicht wahr? iii) Was machen wir jetzt mit dem Artikel "Nutzenfunktion", in dem derselbe Unsinn steht? Ändern oder rauswerfen und auf diesen Abschnitt verweisen? --Herbert81 (Diskussion) 09:14, 31. Jul. 2015 (CEST)
replies: text: Herbert81: (Elementarer? Eigentlich im Gegenteil, der topologische Raum müsste ja erst gar nicht metrisch sein … Ich muss gestehen, die Auswahl dieses Theorems auch nicht ganz nachvollziehen zu können, denn die Errungenschaft von Debreu ist doch eigentlich, von der sehr fordernden Zusammenhangseigenschaft – die auch gerade bei der Arbeit im \mathbb{R}^n „nervt“ – wegzukommen; so wie ich das sehe ist die aktuelle Variante ein relativ einfaches Korrolar des Repräsentationstheorems von Eilenberg (1941, hier nach Bridges/Mehta, op. cit., S. 46: „Let X be a connected separable topological space, and R a continuous total preorder on X. Then there exists a continuous real-valued order isomorphism on X“) unter Anwendung der Einsicht, dass jede Teilmenge des \mathbb{R}^n separabel ist. Aber wie dem auch sei, scheint jedenfalls zu stimmen.) In Nutzenfunktion kann man das ja alles auf den \mathbb{R}^n beschränken, dann wird es wohl passen; aber habe den Artikel jetzt nur überflogen. Sonst kannst du das ja ggf. nochmal präzisieren, wo es hakt. grüße, — Pajz (Kontakt) 20:16, 3. Aug. 2015 (CEST)
replies: text:  Betrachte es doch einmal aus Sicht des normalen WP-Anwenders. Der versteht nicht den Unterschied zwischen Topologie und Metrik und will einfach wissen, ob sich jede Präferenzordnung durch eine Nutzenfunktion repräsentieren lässt. Er bewegt sich im Rn. Der Satz in der jetzigen Form sagt ihm: ja, wenn die Präferenzordnung stetig ist. Vielleicht könnte man noch hinzufügen, dass bei Endlichkeit oder Abzählbarkeit der Alternativenmenge ebenfalls alles in Butter ist. Der Rest wird dem normalen Betrachter zu hoch sein. Gruß, --Herbert81 (Diskussion) 22:17, 3. Aug. 2015 (CEST)
thread_title:  Existenz der Nutzenfunktion 

message: Die Definition der Konvexität ist umständlich und unüblich: Man benötigt nicht drei Güterbündel, um diese Eigenschaft wie im mathematischen Bezugsartikel zu definieren, sondern nur zwei.--Herbert81 (Diskussion) 09:19, 26. Jul. 2015 (CEST)
thread_title:  Konvexität 

message: Ich habe das schon hier und da in Sekundärliteratur gelesen und mal eingefügt. Aber ich kann das Primärwerk online nicht finden. Wurde wohl auch nie direkt englisch veröffentlicht. Schwierige Sache, meine Bibliothek gibt das auch nicht mehr. Mehr Recherche über Frischs Arbeit wäre interessant! --WissensDürster (Diskussion) 15:26, 4. Aug. 2015 (CEST)
thread_title:  Geschichte: Ragnar Frisch