Diskussion:Lipschitz-stetige Funktion

message: Da für lipschitzstetige Funktion f stets gilt
 \frac{|f(x) - f(y)|}{|x - y|} < L  
ist f glm. Stetig wegen
 |f(x) - f(y)| < |x-y|L < \delta L 
Für \epsilon > 0 wähle  \delta = \frac{\epsilon}{L} 
Und schon gilt die glm. Stetigkeit ;-) 
: richtig. ich hab das mit dem \delta auch noch im artikel ergaenzt. (@Prometeus: vergiss deine signatur nicht in den diskussionen ;-))
: in diesem zusammenhang faellt mir wieder ein, dass etwaige zusammenhaenge zwischen lokaler lipschitzstetigkeit und der glm. stetigkeit erlaeutert werden sollten. waer toll, wenn da noch jemand was huebsches zu weiss.--seth 17:58, 7. Mai 2005 (CEST)
thread_title:  Lipschitzstetigkeit => Gleichmäßige Stetigkeit 

message: === Beispiel ===
Im Beispiel steht die Aussage, dass die Wurzelfunktion nicht Lipschitz-stetig an 0 sei. In der Definition wird dagegen der Befriff der Lipschitz-Steigkeit nur für eine offene Menge U festgelegt. 
=== definition: ohne offen ===
in der definition kann man m.e. das offen auch weglassen 
*die angesprochenen probleme sind durch die juengsten aenderungen von Benutzer:TN beseitigt worden. -- seth 14:41, 29. Apr 2006 (CEST)
thread_title:  offenheit 

message: in der definition kann man m.e. das offen auch weglassen 
*die angesprochenen probleme sind durch die juengsten aenderungen von Benutzer:TN beseitigt worden. -- seth 14:41, 29. Apr 2006 (CEST)
thread_title:  definition: ohne offen 

message: aus dem artikel hierher verschoben: --seth 10:39, 2. Jun 2006 (CEST)
replies: text: ich habe es mal hierher ausgelagert, mir gefaellt das naemlich schon auf grund der formulierung ebenfalls nicht. ist es rettungswuerdig oder soll es geloescht bleiben? -- seth 10:39, 2. Jun 2006 (CEST)
replies: text:  Wie wäre es mit stetig diff'bar mit beschränkter Ableitung? -- TN 20:44, 2. Jun 2006 (CEST)
replies: text:  dass s.db. funktionen, deren ableitung beschraenkt ist, L-stetig sind, koennte man noch bei den eigenschaften in einem satz erwaehnen. eine formel ist imho dafuer aber nicht noetig. -- seth 18:31, 3. Jun 2006 (CEST)
thread_title:  supremum-infimum bedingung 

message: Ich habe die Wahl von Teilmengen A in X wieder entfernt, da dies bereits in der Definition enthalten ist. Man waehle einfach auf der Teilmenge die Einschraenkung der Metrik als neue Metrik. Die Reihenfolge der Beispiele ist ebenfalls wichtig. Ohne den Quotienten waere nicht klar, dass x->x^2 auf unbeschraenkten Intervallen nicht Lipschitz-stetig ist. Zunaechst waere nur einsichtig, dass die gegebene Wahl von L nicht mehr funktioniert, was ja nicht heisst, dass es nicht doch ein anderes L gibt. --TB42 16:25, 28. Mär. 2009 (CET)
replies: text: Ja du wolltest den Artikel vereinfachen? Das ist ein guter Vorsatz. Dementsprechend finde ich das Wählen einer Untermenge als Definitionsbereich ganz gut, da man sich sonst erst den Gedanken machen muss, den du hier Erwähnt hast. Die Beispiel-Definition die du nun eingefügt hast, finde ich gar nicht gut. Außerdem taucht dort das M wieder auf, was nirgendwo definiert ist. Ich sehe ein, dass es nicht klar ob es nicht vieleicht eine andere Abschätzung gibt, sodass x^2 auf einem unbeschränkten Gebiet lipschitz-stetig ist. Ich hatte jedoch den Eindruck, dass dies das Beispiel unnötig schwierig macht. --Christian1985 18:17, 28. Mär. 2009 (CET)
replies: text: Die Definition auf \R habe ich eingefuehrt, damit der Artikel fuer Leser ohne Kenntnis von metrischen Raeumen leichter zugaenglich ist. Ich habe eine Anmerkung zu den Teilmengen angefuegt, wuerde diese jedoch nicht in die Definition aufnehmen, da diese dadurch laenger aber nicht allgemeiner wird. --TB42 19:04, 28. Mär. 2009 (CET)

text: Ich würde wie gesagt die Lipschitz-Eigenschaft wieder reintun, das ist bei gewöhnlichen Differentialgleichungen ein ganz typischer Term: "f erfüllt eine Lipschitz-Eigenschaft". --P. Birken 19:10, 30. Mär. 2009 (CEST)
thread_title:  Revert 

message: ..erleichtert in vielen Fällen.
Die Funktion f(x,y) besitze auf R eine stetige partielle Ableitung nach y. Dann ist f(x,y) auf R auch Lipschitz-stetig bzgl. y.
Vielleicht könnte das noch Einzug in den Artikel erhalten. (nicht signierter Beitrag von 1strayn0r (Diskussion | Beiträge) 18:50, 10. Feb. 2010 (CET)
thread_title:  Die Überprüfung der Lipschitz-Bedingung.. 

message: Der Artikel scheint dazu zu dienen, daß ein Schüler oder Student seinen Lehrer möglichst kompliziert in dessen eigenem mathematischen Unterrichtsjargon impregniert. Wenn diese Flut mathematischer Symbole wenigstens vollständig wäre, also alle notwendigen Bedingungen verständlich erklärt wären, dann ginge es ja. Aber was sind dX, dY und andere lustige Ausdrücke? Es ist nicht zu erraten, was zB (A,dX|A) und (Y,dY) bedeuten könnte. Es sollte auch ein Jargon gewählt werden, den auch die Schüler anderer Lehrer verstehen. Noch besser ist natürlich einfaches ungeschwurbeltes Deutsch, was allerdings Abzüge beim Nerd-Faktor geben kann.
Was war es doch früher angenehm, als Leute noch etwas sagten um verstanden zu werden:
:Wenn ein Fixpunkt durch die Gleichung/Beziehung x=f(x) definiert ist, dann heißt die Funktion f Lipschitz-stetig, wenn die erste Gleichung des Artikel mit einer Konstanten L>=0 für alle x des Definitionsbereichs erfüllt werden kann. Die Fixpunktgleichung kann auch mehrdimensional sein, x kann also ein Vektor und f eine entsprechende Funktion sein.
:Für differenzierbare Funktionen f ist die kleinste Konstante L=max(|f'(x)|), was sich durch Auflösung der obigen Formel nach L und Grenzwertbildung für x2->x1 ergibt; gilt auch für mehrdimensionales x, f'(x) ist dann eine Matrix mit einem geeigneten Verfahren zur Betragsberechnung (zB Determinante, Kondition oder etwas Anderes)
:Für L<1 heißt die Fixpunktgleichung kontrahierend; dies ist ein wichtiges Kriterium bei der Beurteilung der Stabilität von iterativen Gleichungslösungen oder technischen Regelsystemen mit Rückkopplung (Bounded In Bounded Out); so läßt sich auch bewerten, ob ein Problem/Fixpunkt geschickt formuliert ist. 
Beispiel, stelle die Gleichung a*x*x + b*x + c = 0 nach x um:
:1. Möglichkeit: x = -(c+a*x*x)/b, ungünstig, weil L linear vom größten zulässigen x abhängt
:2. Möglichkeit: x = Wurzel(-c/a-b*x/a), numerisch oft besser, aber L kann undefiniert sein
:3. Möglichkeit: x = -c/(b+a*x)
Mit der 3. Möglichkeit kann das Halley-Verfahren hergeleitet werden, wenn ein erstes x mit -c/b abgeschätzt und direkt eingesetzt wird:  x = x - g(x) / (g'(x) - g(x)/g'(x) * g"(x)/2); übrigens eine wesentlich einsichtigere Herleitung über die bekannte Taylor-Reihe, als im aktuellen Artikel über das Halleyverfahren mit einer "geschickt geradebiegenden Gewichtsfunktion".
Es läßt sich auch überprüfen, ob eine Differentialgleichung so formuliert ist, daß die Lösung stabil ist bzw. konvergiert.
Eine bekannte Anwendung der Lipschitz-Stetigkeit ist das Konvergenzkriterium des Newtonverfahren: x = x - g(x)/g'(x). 
Die Iteration ist kontrahierend und somit konvergent, wenn die Norm/Betrag der Ableitung der rechten Seite kleiner als 1 ist, also |g(x)*g"(x)| / g'^2(x) < 1 oder |g(x)*g"(x)| < g'^2(x). Tatsächlich ist das Newtonverfahren sogar sicher konvergent für g(x)*g"(x) > -g'^2(x).
Fehlt noch etwas? Der Beweis vielleicht.
Man kann natürlich auch ab dem Beispiel alles streichen und auf den Fixpunktsatz von Banach verweisen, aber dieser Artikel ist ebenso richtig wie unverständlich: der Autor "formuliert auf Räumen" und findet es "hilfreich, zunächst auf Banachräumen zu operieren". Es fällt schwer einem derartig Verstrahlen die Tageszeit zu glauben. Jemand, dem solche Formulierungen und Operationen auf Banachräumen geläufig sind, braucht diese Artikel nicht, denn er wußte es schon vorher.--46.115.74.88 19:39, 1. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Ich glaube nicht, dass der Artikel verständlicher wird, wenn man von Beginn an Lipschitz-Stetigkeit mit dem Banachschen Fixpunktsatz vermischt. Der Fixpunktsatz ist zwar eine wichtige Anwendung, aber bei weitem nicht die einzige und keinesfalls die allgemeinste. Und das Konzept eines metrischen Raums dürfte zumindest für Studenten nicht zu abstrakt sein. (Was nicht heißen soll, dass man nicht erstmal elementarer bleiben sollte). --Digamma (Diskussion) 22:31, 1. Mär. 2013 (CET)
thread_title:  Etwas bodenständiger bitte, es ist nur "Lipschitz" 

message: Im Abschnitt "Menge Lipschitz-stetiger Funktionen" taucht in der letzten Zeile aus heiterem Himmel die Menge D auf, die vorher nirgendwo erläutert wurde (oder hab ich's nur übersehen?). Welche Menge ist hier wohl gemeint?--Anjolo (Diskussion) 12:02, 30. Dez. 2015 (CET)
replies: text: Das sollte wohl X heißen, hab’s ausgebessert, danke! -- HilberTraum (d, m) 12:54, 30. Dez. 2015 (CET)
thread_title:  Unklare Menge