Diskussion:Polynominterpolation

message: Gibt es bereits einen Artikel zur optimalen Knotenwahl (Nullstellen der Tschebycheff-Polynome)? Ich würde fast meinen das könnte hier her passen. -- Crus4d3r
Ja, die Interpolationsgüte geht mit der Knotenwahl einher. Das Runge Phänomen tritt auch nur auf, wenn die Stützstellen nicht zum Rand hin verdichtet werden. Chebyshev-Punkteverteilungen sind hier ideal. Das wird allerdings bei der Interpolationsgüte nicht genannt, und sollte geändert werden. Das sollte aber besser ein Mathematiker machen...  Marcus Zengl (17:19, 15. Sep. 2010 (CEST)
thread_title:  Optimale Knotenwahl 

message: Nachdem Ihr Euch oben so schön über die Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms ausgelassen habt, kommt jetzt die Existenz. Die Beweisführung wie sie jetzt ist Die n + 1 Gleichungen P(xi) = fi ergeben ein lineares Gleichungssystem mit n + 1 Gleichungen. Das Interpolationspolynom n-ten Grades hat n+1 Koeffizienten, also ebenso viele Freiheitsgrade wie das lineare Gleichungssystem. Daher muss eine Lösung existieren sollte so nicht stehen bleiben. Einerseits ist in der Theorie der linearen Gleichungssysteme (LGS) der Begriff des Freiheitsgrades m. E. unüblich. Andererseits ist der Schluss, dass jedes LGS mit n+1 Unbekannten (= n+1 Freiheitsgraden?) in n+1 Gleichungen eindeutig lösbar ist, schlicht falsch. Hier fehlt eine Aussage über die Struktur des entstehenden LGS. Die Koeffizientenmatrix ist nämlich die Vandermonde-Matrix. Dort ist der Beweis der Existenz und Eindeutigkeit übrigens als Anwendung korrekt geführt. MfG --Bertrus 15:21, 20. Okt. 2008 (CEST)
replies: text: Nur mal so als Frage, in der Zeit die du gebraucht hast, um das oben zu verfassen hättest Du doch auch den Artikel editieren können oder? --P. Birken 20:59, 22. Okt. 2008 (CEST)
replies: text: Ich habe es vorgezogen, die allgemeine Interpolation in Haar-Räumen zu beschreiben, anstatt wieder mit Dir zu streiten ;-) --Bertrus 12:54, 24. Okt. 2008 (CEST)
thread_title:  Beweis der Existenz eines Interpolationspolynoms 

message: Wieso wird die Matrix hier nicht erwähnt? Im dortigen Artikel hat es einen Teil über Interpolation drin. Gruss --hroest Disk 17:05, 29. Nov. 2008 (CET)
replies: text: Wird jetzt erwähnt. --Scholten 14:13, 7. Jul. 2009 (CEST)
thread_title:  [[Vandermonde-Matrix]] 

message: Kann es sein, dass das Verhalten der Lagrange-Polynome folgendermassen ist:
li(xj) = {1, falls xj = xi; 0 <= li < 1, falls xj != xi}  ?
Dabei muss xj natürlich nicht zwingend eine Stützstelle sein des Interpolationspolynoms.
Man könnte nun noch hinzufügen, dass falls xj != xi und xj ist Element der Stützstellen, dann folgt li(xj) = 0
--Teeh 11:54, 26. Jan. 2009 (CET)
replies: text: Ich frag mal so: Was fehlt Dir denn für das Verständnis dieses Artikels? --P. Birken 20:59, 26. Jan. 2009 (CET)
thread_title:  Lagrange Basis 

message: Aufgrund dieser Diskussion habe ich auf meiner Diskussionsseite einen Vorschlag zur Überarbeitung dieses Artikels gemacht. --Scholten 00:51, 23. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Da die Aktion mitlerweile mehrere Artikel betrifft, habe ich hier eine Diskussion dazu eröffnet. --Scholten 17:24, 24. Jun. 2009 (CEST)
thread_title:  Überarbeitung des gesamten Artikels 

message: === Benennung Neville-Algorithmus, Aitken-Algorithmus, ... ===
Mir ist nicht ganz klar, welcher Algorithmus jetzt der von Aitken, welcher der von Neville und welcher der Neville-Aitken-Algorithmus ist. Es scheint sich auch nicht um dieselben Algorithmen zu handeln, beispielsweise findet sich im Buch Numerical Recipes der Hinweis, die ersten beiden Algorithmen würden oft miteinander verwechselt. Es wird aber nur der Neville-Algorithmus erklärt, der Aitken-Algorithmus gilt als obsolet. Ich nehme an, bei Neville-Aitken und Neville handelt es sich um denselben Algorithmus, der auf der Idee des Aitken-Algorithmus basiert. Interessant wäre jetzt, wie der Aitken-Algorithmus genau aussieht. --Scholten 16:35, 25. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Naja das ist doch einfach die Definition einer analytischen Funktion. Eine Funktion ist genau dann auf I analytisch. Eine Funktion f : I \to \Complex kann nicht ganz sein. Der Begriff ganze Funktion hat eigentlich nur historische Berechtigung. Dieser Begriff wurde im Satz von Liovill geprägt. Eine ganze Funktion ist eine Funktion, welche auf ganz \Complex analytisch ist. Diese historische Begründung findet man im Buch Funktionentheorie von Freitag und Busam. Ein Numerikbuch mit einer anderen Formulierung des Satzes kenne ich leider nicht. Ich kenne in diesem Bereich nicht viele Bücher. --Christian1985 17:43, 26. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Ach, das hatte ich gar nicht bedacht, dass es nur um auf I \subset \R definiertes f geht. Da forsche ich aber nochmal nach, ob sich der Satz nicht auch auf \Complex ausdehnen lässt, das liegt ja irgendwie nahe. --Scholten 23:29, 26. Jun. 2009 (CEST)

text: Außerdem kann f:[a, b] \rightarrow \R formal gar nicht analytisch sein, weil analytische Funktionen nur für offenen Definitionsbereich definiert sind. Aber wenn ich das alles richtig verstehe, ist das Formsache und man könnte f ist analytisch in x auch für Randpunkte x definieren, wenn man Umgebung entsprechend umdefiniert. Oder man braucht hier nur f analytisch auf (a, b) fordern? Am Einfachsten wär's wirklich, wenn der Satz auch auf \Complex gelten würde. --Scholten 23:39, 26. Jun. 2009 (CEST)

text: jo, denke ich auch. --P. Birken 20:23, 29. Jun. 2009 (CEST)
replies: text:  done --Scholten 10:30, 1. Jul. 2009 (CEST)

text: Schau mal nach ganz unten. -- pberndt (DS) 18:25, 7. Feb. 2012 (CET)
replies: text: Ah, das Thema wird bereits kotrovers diskutiert! Danke für den Hinweis. --Yuwash 16:05, 8. Feb. 2012 (CET)
thread_title:  Fachliche Fragen 

message: Mir ist nicht ganz klar, welcher Algorithmus jetzt der von Aitken, welcher der von Neville und welcher der Neville-Aitken-Algorithmus ist. Es scheint sich auch nicht um dieselben Algorithmen zu handeln, beispielsweise findet sich im Buch Numerical Recipes der Hinweis, die ersten beiden Algorithmen würden oft miteinander verwechselt. Es wird aber nur der Neville-Algorithmus erklärt, der Aitken-Algorithmus gilt als obsolet. Ich nehme an, bei Neville-Aitken und Neville handelt es sich um denselben Algorithmus, der auf der Idee des Aitken-Algorithmus basiert. Interessant wäre jetzt, wie der Aitken-Algorithmus genau aussieht. --Scholten 16:35, 25. Jun. 2009 (CEST)
thread_title:  Benennung Neville-Algorithmus, Aitken-Algorithmus, ... 

message: Hi Christian1985, du hast den Abschnitt Konvergenzverhalten so geändert, dass für alle analytischen Funktionen bei feiner werdenden Intervallteilungen ihre Polynominterpolanten konvergieren. Hast du dafür eine Literaturangabe? Bei Stoer/ Bulirsch und in meinem Uni-Skript ist die Behauptung nur für ganze Funktionen gegeben. Schwarz/ Köckler hab ich leider nicht zur Hand. Ich kann mir gut vorstellen, dass die Behauptung auch für analytische Fkt gilt, würde das aber ungern ohne Nachprüfen schreiben. Viele Grüße Daniel --Scholten 16:22, 26. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Naja das ist doch einfach die Definition einer analytischen Funktion. Eine Funktion ist genau dann auf I analytisch. Eine Funktion f : I \to \Complex kann nicht ganz sein. Der Begriff ganze Funktion hat eigentlich nur historische Berechtigung. Dieser Begriff wurde im Satz von Liovill geprägt. Eine ganze Funktion ist eine Funktion, welche auf ganz \Complex analytisch ist. Diese historische Begründung findet man im Buch Funktionentheorie von Freitag und Busam. Ein Numerikbuch mit einer anderen Formulierung des Satzes kenne ich leider nicht. Ich kenne in diesem Bereich nicht viele Bücher. --Christian1985 17:43, 26. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Ach, das hatte ich gar nicht bedacht, dass es nur um auf I \subset \R definiertes f geht. Da forsche ich aber nochmal nach, ob sich der Satz nicht auch auf \Complex ausdehnen lässt, das liegt ja irgendwie nahe. --Scholten 23:29, 26. Jun. 2009 (CEST)

text: Außerdem kann f:[a, b] \rightarrow \R formal gar nicht analytisch sein, weil analytische Funktionen nur für offenen Definitionsbereich definiert sind. Aber wenn ich das alles richtig verstehe, ist das Formsache und man könnte f ist analytisch in x auch für Randpunkte x definieren, wenn man Umgebung entsprechend umdefiniert. Oder man braucht hier nur f analytisch auf (a, b) fordern? Am Einfachsten wär's wirklich, wenn der Satz auch auf \Complex gelten würde. --Scholten 23:39, 26. Jun. 2009 (CEST)
thread_title:  Konvergenz bei analytischen Funktionen? 

message: In Definition/ Problemstellung kann das maximal doch eigentlich weg. Das Polynom hat immer genau Grad n, oder sehe ich das falsch? --Scholten 13:56, 28. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: jo, denke ich auch. --P. Birken 20:23, 29. Jun. 2009 (CEST)
replies: text:  done --Scholten 10:30, 1. Jul. 2009 (CEST)
thread_title:  Eindeutig bestimmtes Polynom von Grad n oder <= n? 

message: Unter dem Abschnitt Polynominterpolation#Bestimmung der Koeffizienten: Schema der dividierten Differenzen wird durchgehend die Schreibweise [x_i]f gewählt, die ich sonst nie gesehen habe. Z. B. auf der unter „Weblinks“ gelistete Seite http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/applets/Interpolation/ (unter „Newton Interpolation“) wird die Notation f[x_i] verwendet, die allgemeiner im Gebrauch zu sein scheint. --Yuwash 15:37, 7. Feb. 2012 (CET)
replies: text: Schau mal nach ganz unten. -- pberndt (DS) 18:25, 7. Feb. 2012 (CET)
replies: text: Ah, das Thema wird bereits kotrovers diskutiert! Danke für den Hinweis. --Yuwash 16:05, 8. Feb. 2012 (CET)
thread_title:  Schreibweise für die Newton-Rekursionsformel 

message: Schön wäre auch noch etwas zur Verbesserung des Neville-Aitken-Algorithmus, bei der die Differenzen zwischen den Rekursionsschritten betrachtet werden, siehe Stoer/ Bulirsch oder Numerical Recipes. Ich komme da aber grade nicht zu, vielleicht später, oder jemand anders schreibt's rein. --Scholten 16:42, 25. Jun. 2009 (CEST)
thread_title:  Verbesserung Neville-Aitken 

message: Schön wären noch ausführlichere Angaben zu Anwendungen finde ich. --Scholten 17:42, 25. Jun. 2009 (CEST)
thread_title:  Anwendungen 

message: In meinen Büchern habe ich nichts zur numerischen Stabilität der Verfahren gefunden, das wäre auch interessant. --Scholten 17:42, 25. Jun. 2009 (CEST)
thread_title:  numerische Stabilität 

message: etwas dazu, siehe en-WP
Ich schrieb so eben ein Kapitel dazu. Abschnitt könnte gelöscht werden. HerrHartmuth (Diskussion) 21:55, 5. Sep. 2017 (CEST)
thread_title:  baryzentrische Interpolation 

message: Eines zu Neville-Aitken, vielleicht aber erst mit der Verbesserung des Algorithmus. Eines, wo ein Stützpunkt hinzugefügt wird. Eines, wo zu denselben Stützstellen ein neuer Satz Stützwerte gegeben ist. Eines zur Fehlerabschätzung (schön ist z.B. Sinus interpoliert). --Scholten 23:08, 25. Jun. 2009 (CEST)
thread_title:  Beispiele 

message: Dieser Artikel geht nicht auf die Numerischen Gesichtspunkte der Polynominterpolation. Wie z.B. die Konvergenzgeschwindigkeit oder Kondition. Ich habe mal ein wenig rumgesucht auf der Wikipedia und keinen Artikel gefunden der dies tut. Sollte dieser Artikel auf die numerische Polynominterpolation erweitert werden, oder stattdessen ein neuer Begonnen werden? --Latency 09:30, 10. Jul. 2009 (CEST)
replies: text: Bis jetzt behandelt der Artikel fast ausschließlich die "technischen" Aspekte von Polynominterpolation, diese allerdings (neuerdings) komplett an Ort und Stelle. Darum bin ich stark dafür, die numerischen Aspekte auch hier im Artikel einzubauen. --Scholten 18:17, 10. Jul. 2009 (CEST)
thread_title:  Numerische Betrachtung der Interpolation 

message: Habe ich rückgängig gemacht. mMn war die alte Formel richtig und die neue Falsch (Guter Indikator: Im Index kan i=0 nicht mehr vor, rechts vom Gleichheitszeichen dann plötzlich doch, aber mit falschem Vorzeichen). -- pberndt (DS) 15:29, 7. Apr. 2011 (CEST)
thread_title:  Änderung vom 07. April revertiert 

message: ()
Ich kenne die auch eher so, wie sie die IP notiert. Und Operatoren kenne ich auch von beiden Seiten notiert.--goiken 14:30, 13. Jun. 2011 (CEST)
replies: text: OK, ich schaue nächste Woche nochmal in die Literatur. Viele Grüße --P. Birken 14:42, 13. Jun. 2011 (CEST)
replies: text: Sollte am Ende einheitlich mit Hermiteinterpolation bleiben. -- pberndt (DS) 22:44, 13. Jun. 2011 (CEST)
replies: text: Sieht nicht gut aus: Opfer machts mit f[...], Bjoerck/Dahlquist mit [...]f, Schwarz/Koeckler drueckt sich drumrum und macht [...], ganz ohne f. Hat noch jemand andere Sachen zur Hand? --P. Birken 15:58, 17. Jun. 2011 (CEST)
replies: text: Carl De Boor (Verweis aus en) verwendet eine ganz andere Notation, ∆(), Burden/Faires f[..], Deuflhard/Bornemann [..]f. Das waren die ersten drei, wo ich nun reingeschaut habe, das Bild ist dasselbe. Wiedemauchsei: Beide Notationen sind offenbar ähnlich verbreitet. Aus meiner eigenen Erfahrung bin ich der Meinung, dass für Anfänger die Notation f[...] natürlicher ist (Vielleicht weil man die Ästhetik der anderen Notation erst später begreift? ☺), daher wäre ich im Zweifelsfall eher für die. -- pberndt (DS) 16:52, 17. Jun. 2011 (CEST)
replies: text: Diese Frage geht anscheinend ins Leere (jeder Professor/Autor benutzt einfach die Notation, die ihm gefällt!). Gibt es keine wikipedia-weite Regelung, woran man sich bei der mathematischen Notation orientieren soll? (ISO?)--Yuwash 16:25, 8. Feb. 2012 (CET)
replies: text: Die gibt es nicht. Speziell hier ist die Notationsvielfalt auch nachzuvollziehen: Als Funktionalanalytiker erkennt man in den dividierten Differenzen den Operator (bzw. das Funktional, dass aus einer Funktion eine Zahl macht), als Didakt hat man die Zielgruppe vor Augen, die als vermutlich Erstsemester mit Operatoren nicht so viel anzufangen weiß und es natürlicher findet, wenn Funktionsparameter rechts von der Funktion stehen. Mir ist es wichtig, dass wir hier in der Wikipedia einen einheitlichen Standard benutzen. Welcher das ist, ist mir relativ egal und ich halte mich gerne an den Status Quo. Wenn's Dir wichtig ist, starte doch mal in PD:M eine Meinungsumfrage! -- pberndt (DS) 17:12, 8. Feb. 2012 (CET)
thread_title:  Notation der dividierten Diffs 

message: Im Artikel sind leider die Entwicklungen der letzten Jahrzehnte auf dem Gebiet nicht zu finden: 
* Baryzentrische Formeln, die numerisch stabil sind (Higham 2004), fehlen komplett (eine der baryz. Formel ist sogar rückwärtsstabil). 
* Es wird für die Runge-Funktion tatsächlich Spline-Interpolation empfohlen (oh je). Polynominterpolation mit Tscheb.-Knoten konvergiert da sogar GEOMETRISCH schnell. 
* u.s.w.
Empfehlung FACHliteratur:
z.B. 
http://www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/
oder auch das "Myth-Buster-Paper" von Trefethen.
http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/mythspaper.pdf
-- 131.159.70.197 15:23, 20. Apr. 2012 (CEST)
thread_title:  Entwicklungen der letzten Jahre 

message: Hallo zusammen,
ich habe gerade hier ein interaktives Beispiel zur Polynominterpolation erstellt. Eventuell wäre das was für die "Weblinks". Da ich jedoch der Autor der Seite und des Skripts bin, will ich das nicht selbst in die Weblinks schreiben.
Das ganze könnte man von mir aus auch direkt in die Wikipedia einbinden. Allerdings habe ich Zweifel, ob das möglich ist.
Grüße, --Martin Thoma 09:46, 4. Jul. 2013 (CEST)
thread_title:  Skript als interaktives Beispiel