Diskussion:Geordnetes Paar

message: Ist etwas unglücklich formuliert: Die vordere Komponente ist nicht per se ausgezeichnet (etwa wie
das neutrale Element einer Gruppe), bzw. ebenso kann die hintere Komponente als ausgezeichnet 
betrachtet werden. Wichtig ist halt nur, daß man die Komponenten unterscheiden kann.--Hagman 10:56, 20. Jan. 2007 (CET)
replies: text: Hi! Mir gefällt's auch nicht, ich habe mich nur nicht getraut, es zu ändern, weil es schon so lange im Artikel enthalten ist und das den Eindruck vermittelt, dass alle es gut finden. ;-) Ich unterstütze aber jede Änderung; gut gefällt mir z.B. die Formulierung des englischen Artikels, die sich im Sinn von "Ein geordnetes Paar oder 2-Tupel ist eine geordnete Zusammenstellung zweier Objekte (im Gegensatz zur ungeordneten Zusammenstellung, der Paarmenge), von denen eines als das erste (linke, vordere), das andere als das zweite (rechte, hintere) Element erkennbar ist". Viele Grüße, --GottschallCh 12:29, 20. Jan. 2007 (CET)
thread_title:  Auszeichnung 

message: über WP-Artikel weichen wohl in zu vielen Punkten von den Eurigen ab. Ich traue WP-Lesern offensichtlich mehr zu als einige von Euch. Ich habe Vorschläge für Folge, Tupel, geord.Paar unter H.Vorschlag zusammengestellt. Macht damit, was Ihr wollt.--Hederich 16:09, 24. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Ich schätze einmal, die aktuelle Entwurfsversion beruht auf o.g. Vorschlag. Wenn ich zwischen beiden wählen sollte, würde ich die gesichtete Version präferieren.--Hagman 19:45, 4. Mai 2010 (CEST)
thread_title:  Meine Vorstellungen 

message: Was wäre ein nicht geordnetes (ungeordnetes) Paar? Wieso reicht der Mathematik das Wort "Paar" nicht einfach? Geschichtlicher Hintergrund, Banalität? Irgendwie könnte man das erwähnen - oder zumindest, dass es eben keine ungeordneten Paare gibt - oder doch? Also eine Menge ist doch ein ungeordneter Haufen oder, d.h. die Reihenfolge spielt keine Rolle .. Auf jeden Fall Klärungsbedarf. Grüße --WissensDürster 19:16, 14. Jul. 2009 (CEST)
replies: text: Geordnete Paare braucht man gleich am Eingang der Mathematik, um Relationen und dann Funktionen zu definieren. Z.B. die elementar wichtige Nachfolgerfunktion auf den natürlichen Zahlen. Ungeordnete Paare oder allgemeiner ungeordnete Tupel verwendet man seltener, z.B. um die Nullstellenmenge eines Polynoms zu beschreiben und die Aussage, dass die Nullstellen stetig von den Koeffizenten abhängen, exakt zu formulieren. Ein ungeordnetes Paar könnte als Struktur { {a,b},{a},{b} } definiert werden.--LutzL 23:46, 14. Jul. 2009 (CEST)
replies: text: ... oder auch einfach als die Paarmenge {a,b}.--Hagman 18:17, 17. Jul. 2009 (CEST)
replies: text:  ja, das sollte zumindest erwähnt werden (wie im englischen Artikel), insbesondere weil der Artikel "Ungeordnetes Paar" auf die Seite "Geordnetes Paar" weiterleitet. Ich werde etwas entsprechendes ergänzen... --DerVanda (Diskussion) 12:21, 18. Jun. 2022 (CEST)
replies: text: Den Begriff "ungeordnetes Paar" gibt es aber meines Wissens nicht. Das Attribut "geordnet" dient nur der Verdeutlichung, nicht der Unterscheidung. --Digamma (Diskussion) 22:22, 18. Jun. 2022 (CEST)
replies: text:  Im Lexikon der Mathematik (https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/ungeordnetes-paar/11592) ist dieser Begriff enthalten. Insbesondere in der Graphentheorie wird der Begriff zur Definition ungerichteter Graphen ("jede Kante ist ein ungeordnetes Paar (u,v) von Knoten") sehr häugig verwendet, siehe auch Einleitung zu Gerichteter_Graph. --DerVanda (Diskussion) 18:13, 19. Jun. 2022 (CEST)
thread_title:  Ungeordnetes Paar? 

message: Es sollte darauf hingewiesen werden, dass die mengentheoretischen Definitionen den Nachteil haben, dass sie unerwünschte Folgerungen mit sich ziehen, die zudem auch noch von der gewählten Definition abhängen.
Folgerungen am Beispiel der Definition von Kuratowski:
Es gilt:
:\begin{align}
  & \{a\}\in (a,b),\text{  hingegen ist  }\{b\}\notin (a,b) \\ 
 & (a,b)\cap (b,a)=\{a,b\} \\  
\end{align} (nicht signierter Beitrag von Unigen (Diskussion | Beiträge) 20:35, 28. Jan. 2010 (CET)
replies: text: Entsprechende Kollateralfolgerungen gelten immer, wenn man explizite Modelle angibt (deren Zweck möglicherweise nur der Nachweis der Existenz einer Struktur wie gewünscht ist). Definiert man 0:=\{\}  und  n+1:=\{n\}, so gilt 1\in2,0\notin 2; bei n+1:=n\cup\{n\} hingegen auch 0\in 2 - dabei will man über Elementrelationen zwischen natürlichen Zahlen ja gar keine Aussage machen.--Hagman 19:53, 4. Mai 2010 (CEST)
thread_title:  Geordnete Paare in der axiomatischen Mengenlehre 

message: Die Aussage "zum Tupel-Begriff generalisierbare Definition" bei der ersten Definition des geordneten Paar suggeriert, dass nur diese zum Tupel-Begriff generalisiert werden kann.
Dies ist falsch. Jede Paardefinition kann zum Tupelbegriff generalisiert werden. Es sei \,^{<a,b>} eine beliebige Definition eines geordneten Paares.
Dann kann man ein n-Tupel wie folgt definieren:
:
\,^{()\, := \,\varnothing}
\,^{(a_1,\ldots,a_n) \,:=\, <a_1,(a_2,\ldots,a_n)>} für \,^{n>0}
--kowa 14:48, 23. Mär. 2011 (CET)
replies: text: Nunja, es gibt halt ständig jemanden, der mit \langle x,y\rangle\neq(x,y) ein Problem hat, und Begriff mit Kodierung verwechselt o.ä. --Daniel5Ko 23:24, 23. Mär. 2011 (CET)
thread_title: Tupelbegriff

message: Die Gleichung
{\{\mathcal P(\{x\}) \mid x \in b\} \,\cup\,  \{\{\{x\}\} \mid  x \in a\}}{ = \{\{\emptyset,\{x\}\} \mid  x \in a\} \,\cup\, \{\{\{x\}\} \mid  x \in b\}} 
ist fehlerhaft. 
Schmidt definiert: (a,b):=\mathfrak{Q}\cup\mathfrak{Q}', wobei \mathfrak{Q}:=\{\{\{x\}\} \,\boldsymbol\mid\, x \in a\},\;\mathfrak{Q}':= \{\mathcal P(\{x\})\, \boldsymbol\mid\,  x \in b\} --80.134.159.154 13:29, 16. Nov. 2013 (CET)
thread_title:  Definition nach Schmidt 

message: Die als Alternative angegebene Darstellung in der Zeile für Kuratowski ist nicht von Kuratowski. Das in der Spalte "Bemerkung" in der Zeile für Hausdorff  Stehende ist wesentlicher Bestandteil der Definition, gehört also unbedingt in die erste Spalte womit die Tabellenform wohl kaum noch zu halten wäre. --80.134.166.73 13:55, 19. Nov. 2013 (CET)
thread_title:  Problematische Tabelle 

message: --Lothario Hederich (Diskussion) 17:12, 3. Jun. 2015 (CEST)
replies: text: Im Artikel werden sage und schreibe sechs verschiedene Definitionen aufgeführt (sogar mit Beleg). Welcher „moderne Paarbegriff“ würde denn noch fehlen? -- HilberTraum (d, m) 20:56, 3. Jun. 2015 (CEST)
replies: text: Im Artikel werden sechs verschiedene „Darstellungen als Mengen“ präsentiert, was  noch keine Begriffsdefinition  bedeutet. Siehe hierzu Allgemeine Mengenlehre von Oberschelp.--Lothario Hederich (Diskussion) 10:05, 4. Jun. 2015 (CEST)
replies: text: Das Buch von Oberschelp ist auch nur eines von vielen. Seine Definition auch nur eine von vielen. --Digamma (Diskussion) 11:00, 4. Jun. 2015 (CEST)
replies: text: Natürlich ist es so wie du sagst, es ist aber keine Antwort auf meine Frage.  --Lothario Hederich (Diskussion) 09:38, 5. Jun. 2015 (CEST)
replies: text: Der "moderne Paarbegriff" ist meiner Meinung nach einerseits die axiomatische Charakterisierung nach Peano, andererseits die mengentheoretische Definition von Kuratowski. Beides wird im Artikel erwähnt. --Digamma (Diskussion) 11:15, 5. Jun. 2015 (CEST)

text: Ich vermute mal, dass dies der Paarbegriff Oberschelps ist (ich habe sein Buch leider nicht vorliegen). Ich denke, dass es durchaus sinnvoll ist, diesen Paarbegriff zu ergänzen, weil er Paare von echten Klassen ermöglicht. Es gibt aber keinen Grund für die Behauptung, dies wäre der moderne Paarbegriff. Alle Mengenlehrebücher, die ich kenne (Ebbinghaus, Kunen, Jech) verwenden den von Kuratowski. --Digamma (Diskussion) 21:38, 5. Jun. 2015 (CEST)
replies: text: Ich würde Oberschelps Paarbegriff schon als modern ansehen, im Gegensatz zu dem auf Mengen beschränkten. Zwar ist die Erweiterung auf echte Klassen nicht unproblematisch, denn wenn man die ganze mathematische Objektwelt zulässt, kann es zu widersprüchlichen Aussagen kommen, im Gegensatz bei Beschränkung auf die Welt der Mengen. Um Widersprüche zu vermeiden, hat Oberschelp in der Klassenlogik den Objektbegriff eingeschränkt, z.B. sind die Elemente der Klasse {x| x={x}} sowie diese Klasse selbst ausgeschlossen.  Mit der Erweiterung des Paarbegriffs erweitern sich  auch die der Tupel, Relationen und Funktionen erheblich. --Lothario Hederich (Diskussion) 17:53, 6. Jun. 2015 (CEST)
replies: text: Bitte genauer lesen: Ich habe nicht gesagt, dass Oberschelps Paarbegriff nicht modern sei, sondern dass er nicht der moderne Paarbegriff ist. Ich habe nichts dagegen, wenn du ihn nachträgst, aber eben als einer von vielen, nicht als "der". Soweit ich das sehe, befassen sich sehr wenige Leute mit Klassen-Mengenlehre (wenn man das so bezeichnen kann), den meisten Mengenlehre-Darstellungen liegt ZFC zu Grunde, und da gibt es keine Klassen. --Digamma (Diskussion) 19:53, 6. Jun. 2015 (CEST)

text: Dann schreib’s doch einfach mal rein. Was Schlimmeres als dass es revertiert wird, kann ja nicht passieren; aber danach sieht es ja nicht aus. Wertungen wie „modern“ sollten aber nur in den Artikel, wenn sich dafür unabhängige Quellen finden lassen. -- HilberTraum (d, m) 15:41, 7. Jun. 2015 (CEST)

text: "Ein (geordnetes) Paar besteht aus einem ersten und einem zweiten mathematischen Objekt und ist selbst ein mathematisches Objekt, aus dem sich die beiden genannten Objekte einschließlich der Reihenfolge zurückgewinnen lassen" (Oberschelp, Allg. Mengenlehre, Seite 27.), d.h., zwei Paare sind genau dann dasselbe Objekt, wenn ihre ersten Objekte gleich sind und ebenfalls ihre zweiten Objekte.  Ist p ein Paar, dann  bezeichnen pr1(p) und pr2(p) das erste  respektive zweite Objekt von p. (Seite 65).  Ein einfaches Beispiel ist das Paar, p, mit pr1(p)=Klasse aller Mengen, pr2(p)={}. --Lothario Hederich (Diskussion) 18:34, 7. Jun. 2015 (CEST)
replies: text: Das, was du hier zitierst, steht (mit Ausnahme des Beispiels), natürlich in anderen Worten, schon im Artikel. In dieser Hinsicht unterscheidet sich Oberschelps Paarbegriff nicht von den anderen. Das Besondere bei Oberschelp ist, dass er als mathematische Objekte auch echte Klassen zulässt und insbesondere auch geordnete Paar von echten Klassen. Dies zeigt sich an dem genannten Beispiel. Interessant wäre nun aber, wie Oberschelp den Paarbegriff mengentheoretisch definiert, so dass er für Klassen anwendbar ist. Oder ist es bei ihm ein nicht weiter definierter Grundbegriff? --Digamma (Diskussion) 19:16, 7. Jun. 2015 (CEST)
replies: text: Das geht mengentheoretisch nicht, Paare sind Basisobjekte der Mathematik, die sich nicht auf Anderes zurückführen lassen. --Lothario Hederich (Diskussion) 10:57, 8. Jun. 2015 (CEST)
replies: text:  Oberschelp nimmt in seinem Buch Paare als Basisobjekte, aber auf Seite 91 schreibt er selbst, dass „die heute übliche Paardefinition“ die von Kuratowski angegebene ist, und nennt die so definierten Paare „Kuratowski-Paare“. Auf der nächsten Seite identifiziert er dann sogar Paare und Kuratowski-Paare für den Rest des Buches miteinander. -- HilberTraum (d, m) 11:55, 8. Jun. 2015 (CEST)
thread_title:  Warum wird der moderne Paarbegriff nicht erwähnt?  

message: ‹X,Y›=‹X,Y›K gilt zwar für Individuen aus IM, nicht jedoch generell für Individuen aus ID.  --Lothario Hederich (Diskussion) 17:48, 26. Mai 2016 (CEST)
replies: text: IM? ID? Worum geht’s hier? -- HilberTraum (d, m) 18:11, 26. Mai 2016 (CEST)
replies: text:  Es ist eine Ergänzung zu Deinen vorstehenden Bemerkungen (vom 8. Jun 2015). IM = Klasse der Mengen, ID = Allklasse, bei Oberschelp. --Lothario Hederich (Diskussion) 11:38, 15. Jun. 2016 (CEST)
thread_title:  Eine verspätete Antwort auf die letzte Bemerkung von HilberTraum 

message: Von den aufgeführten 'basalen' Paardarstellungen (Wiener, Kuratowski) sind viele zwar für echte Urelemente (echt = ungleich Leermenge) und Mengen, nicht aber für echte Klassen gültig. Mit dem Schmidtschen Verfahren macht man daraus eine Darstellung, die für Klassen, also Mengen und echte Klassen gültig ist (Klasssenpaare), nicht aber für echte Urelemente. In einer Mengentheorie ohne echte Urelemente ist das ok. Das war wohl auch eine Intention, die W. v. O. Quine veranlasst hat, die echten Urelemente durch Quine Atome (die Lösungen von x = {x}, mehrere erlaubt) zu ersetzen, denn diese sind ja Mengen. Dennoch wäre eine Paardarstellung wünschenswert, die für echte Urelemente, Mengen und echte Klassen taugt. Leider führt eine 'abschnittsweise Definition' (wie Kuratowski für echte Urelemente, Schmidt-über-Kuratowski für Klassen; oder Kuratowski für echte Urelemente ind Mengen, Schmidt-über-Kuratowski für echte Klassen an den 'Bereichsgrenzen' dieser Definition auf Probleme mit der im Paaraxiom geforderten Eindeutiglkeit! Allerdings lässt sich das für eine große Klasse von Mengentheorien offenbar beheben:
Wie im Artikel erwähnt ist:
:(a, b)_{Schmidt} := \bigcup_{x \in a} \bigcup_{y \in b} (x, y)
Das geschilderte Verfahren lässt sich auch einseitig nur links oder nur rechts anwenden.
Vergleicht man dies mit der tautologischen Feststellung
:(a, b) = \bigcup_{x \in \{a\}} \bigcup_{x \in \{b\}} (x,y) = (\{a\}, \{b\})_{Schmidt}
Nicht mehr so trivial sieht das aus, wenn wir rechts (x,y) durch die jeweilige 'primitive' (nicht nach Schmidt modifizierte) Paardarstellung (für echte Urelemente und Mengen) ersetzen:
Mit a^+ := a \cup \{a\} für Mengen,a^+ =: \{a\} für echte Urelemente. a^+ := a für echte Klassen.
Diese Definition ist angelehnt an (d. h. eine Fortsetzung von):
:0 := \empty, n+1 := n^+ = n \cup \{n\} (Darstellung der natürlichen Zahlen in ZF und ähnlichen Mengentheorien)
Weiter:
:(a, b)_+ := \bigcup_{x \in a^+} \bigcup_{x \in b^+} (x,y) = (a^+, b^+)_{Schmidt}
erhalten wir eine Paardarstellung, die für beliebige echte Urelemente, Mengen oder echte Klassen a und b (unabhängig voneinander) definiert ist - wobei das Paar (x,y) rechts wieder durch eine 'primitive' Paardarstellung (Kuratowski oder Wiener) zu ersetzen ist.
Genügt diese auch dem Paaraxiom?
Da Schmidt-Klassenpaare dem Paaraxiom genügen, sind lediglich Behauptungen der folgenden Art zu überprüfen:
:x \cup \{x\} = y \cup \{y\} \Rightarrow^? x = y
(und ähnliche Kombinationen nur mit x, {x}, y, {y}). Die Behauptung lässt sich für eine großen 'Klasse' von Mengentheorien beweisen:
* ist x=y, so sind wir fertig.
* ist x≠y, so ist x={y} und y={x}, also x={ {x} }
** in Standard-Mengentheorien (ZF... bzw. gleichwertig Scott-Potter mit KLassen, ggf. Grothendieck-Universen) mit Fundierungsaxiom gibt es keine zirkelhafte Mengen. Dieser 2. Fall kommt nicht vor.
** in Mengentheorien mit Quine-Atomen sind die einzigen zyklischen Mengen die Quine-Atome mit x={x}. Daher wird x={ {x} } nur von Quine-Atomen erfüllt und es ist x = { {x} } = y, qed.
** in Hyperset-Theorien (mit Antifoundation-Axiom nach Peter Aczel) gibt es zu jeder mengentheoretschen Gleichung genau 1 Lösung. Die Lösung zu x = {x} erfüllt auch (und zwar als einzige) x = { {x} } und damit ist x = {x} = y, q.ed.
** Vermutung/Spekulation: 'Hybride' Mengentheorien: So wie aus ZF-Theorien durch Identifikation von x, {x}, { {x} },... für echte Urelemente x aus diesen Quine-Atome entstehen, ist das wahrscheinlich auch in Hyperset-Theorien möglich. Wenn nur ein Teil der echten Urelemente 'umgewandelt' wird, entsteht ein komplexes Hybrid: x={x} kann mehrere Lösungen haben (Quine-Atome), ansonsten haben mengentheoretische Gleichungen wie x = {x, a,  ...} usw. genau 1 Lösung bzw. nur so wenig, wie durch die Quine-Atome unabdingbar ist (eine Art Sparsamkeitsprinzip). Infolge des Sparsamkeitsprinzips ist aus x = {y} und y = {x} wieder auf x = { {x} } und daher x = {x} = y zu schließen, qed.
::Habe diese Überlegungen kürzer gefasst jetzt in den Artikel eingebracht, mit Peter Aczel/Michael Rathjen als Quelle (Notation a^+) und (a,b)_{all} statt (a,b)_+.--Ernsts (Diskussion) 17:57, 28. Mai 2018 (CEST)
thread_title:  Allgemeingültige Paardarstellung 

message: Gibt es Belege für die Bezeichnung "Dupel"? --Digamma (Diskussion) 22:32, 18. Jun. 2022 (CEST)
thread_title:  Dupel