Diskussion:Drehmatrix

message: Da immer wieder die Vorzeichen der Drehmatrix
R_y(\alpha) = \begin{pmatrix} 
\cos \alpha  & 0 & \sin \alpha \\
   0         & 1 &  0          \\
-\sin \alpha & 0 & \cos \alpha
\end{pmatrix} 
geändert werden, gebe ich hier noch eine Begründung für die Korrektheit obiger Version. Im Artikel heißt es im unmittelbar vorangehenden Absatz:
„Der Drehsinn ergibt sich, wenn man entgegen der positiven Drehachse auf den Ursprung sieht.“
Drehen wir also testhalber einmal den in die positive z-Richtung zeigenden Einheitsvektor (0,0,1) um 90° im Sinne der Geometrie (also entgegen dem Uhrzeigersinn): Wenn wir bei einem Rechtssystem entgegen der positiven y-Richtung (also in negativer y-Richtung (0,-1,0)) blicken, erkennen wir, daß das Ergebnis dieser Drehung der in positive x-Richtung weisende Einheitsvektor (1,0,0) ist:
Hält man sich die Spitze des rechten Zeigefingers an die eigene Nase, so müßte man den Mittelfinger um 90° gegen den Uhrzeigersinn drehen, um ihn in die Lage des Daumens überzuführen.
Das wird auch durch die Rechnung
:
\begin{pmatrix} 
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\cdot\ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
bestätigt, während
:
\begin{pmatrix} 
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\cdot\ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
eine Drehung im Uhrzeigersinn (also um -90°) ergäbe.
--Franz 12:50, 8. Feb. 2012 (CET)
thread_title:  Alternative Erklärung 

message: Findet noch jemand, dass "wenn man entlang der positiven Drehachse auf den Ursprung guckt" missverständlich formuliert ist? Wenn man nämlich von einem Punkt auf der positiven Halbachse in Richtung Ursprung schaut, dann hat man die verkehrte Richtung erwischt. Besser wäre "wenn man die Drehachse in positiver Richtung entlangschaut".
:Es entspricht eher der Intuition, von außen auf das Koordinatensystem zu schauen statt im Ursprung zu sitzen, wodurch sich diese Definition ergibt. Jedenfalls drehen die angegebenen Matrizen in einem Rechtssystem mit dieser Definition in positive Richtung (Gegenuhrzeigersinn). --Markus (Mh26) ✉ 19:01, 24. Jul 2005 (CEST)
thread_title:  Missverständliche Formulierung 

message: Im Text wird der Vektor n bei der allgemeinen Definition von Rotationsmatrizenverwendet, aber vorher nicht definiert. Ist das der Normalenvektor, oder der Normaleneinheitsvektor, oder...? 
Außerdem sollte man auch sagen, daß \phi der Drehwinkel ist. Und wenn man schon sagt, daß das eine allgemeine Definition von Drehungen ist, sich nicht auf den R^3 beschränken. 11. Dez 2006, 9:58
Dem stimme ich voll zu; wenn hier Symbole verwendet weren, sollte man auch dazu schreiben, was sie bedeuten, sonst kann man ja gleich von Quark und Milchstraße reden...Das passt hier alles hinten und vorne nicht!
Was soll denn zum Beispiel das \epsilon oder das \gamma bedeuten? Wenn e_\alpha ein Vektor ist, so ist e_\alpha\cdot e_\alpha ist eine Zahl, Ist I die Einheitsmatrix, kann man hier keine Zahl abziehen... 14:20, 21. Sep. 2007 (CEST)
thread_title:  Vektor n 

message: In dem Abschnitt http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Drehmatrizen_des_Raumes_R.C2.B3 steht, dass die drei Matrizen für die Drehung um die Achsen in Kombination auch als Euler-Winkel ausgedrückt werden können. Sind diese Eulerschen Winkel und die Multiplikation der Matrizen das gleiche? Wenn ich die Matrizen miteinander multipliziere, erhalte ich die Matrix 
R = \begin{pmatrix} 
cosZcosY+(-sinZ-sinX-sinY) & cosZ+(-sinZcosX) & cosZsinY+(-sinZ-sinXcosY) \\
sinZcosY+cosZ-sinX-sinY&sinZ+cosZcosX&sinZsinY+cosZ-sinXcosY \\
cosX-sinY&sinX&cosX*cosY
\end{pmatrix}
(Hat ein Computerprogramm erzeugt), die mit keiner der Eulerschen-Winkel-Konventionen im Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Winkel übereinstimmt. (nicht signierter Beitrag von 94.222.35.9 (Diskussion | Beiträge) 14:48, 8. Mär. 2010 (CET)
thread_title:  Multiplikation der Drehmatrizen gleich Euler-Winkel-Matrizen? 

message: :
R_{\hat n}(\alpha) = \begin{pmatrix} 
n_1^2 \left(1-\cos\alpha\right) + \cos\alpha  & n_1 n_2 \left(1-\cos\alpha\right) - n_3 \sin\alpha &  n_1 n_3 \left(1-\cos\alpha\right) + n_2 \sin\alpha \\
   n_2 n_1 \left(1-\cos\alpha\right) + n_3 \sin\alpha  & n_2^2\left(1-\cos\alpha\right) + \cos\alpha &   n_2 n_3 \left(1-\cos\alpha\right) - n_1 \sin\alpha         \\
 n_3 n_1 \left(1-\cos\alpha\right) - n_2 \sin\alpha &  n_3 n_2 \left(1-\cos\alpha\right) + n_1 \sin\alpha & n_3^2\left(1-\cos\alpha\right) + \cos\alpha
\end{pmatrix} 
:
R_{\hat n}(\alpha) = \begin{pmatrix} 
    n_1^2 \left(1-\cos\alpha\right) & n_1 n_2  \left(1-\cos\alpha\right) & n_1 n_3  \left(1-\cos\alpha\right) \\
n_2 n_1   \left(1-\cos\alpha\right) &     n_2^2\left(1-\cos\alpha\right) & n_2 n_3  \left(1-\cos\alpha\right) \\
n_3 n_1   \left(1-\cos\alpha\right) & n_3 n_2  \left(1-\cos\alpha\right) &     n_3^2\left(1-\cos\alpha\right)
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 
     \cos\alpha &-n_3 \sin\alpha & n_2 \sin\alpha \\
 n_3 \sin\alpha &     \cos\alpha &-n_1 \sin\alpha \\
-n_2 \sin\alpha & n_1 \sin\alpha &     \cos\alpha
\end{pmatrix}
:
R_{\hat n}(\alpha) = \begin{pmatrix} 
n_1\\
n_2 \\
n_3
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 
n_1 & n_2 & n_3
\end{pmatrix}\cdot\left(1-\cos\alpha\right) + \begin{pmatrix} 
     \cos\alpha &-n_3 \sin\alpha & n_2 \sin\alpha \\
 n_3 \sin\alpha &     \cos\alpha &-n_1 \sin\alpha \\
-n_2 \sin\alpha & n_1 \sin\alpha &     \cos\alpha
\end{pmatrix}
:
R_{\hat n}(\alpha) = \hat n \cdot \hat n^T \cdot \left(1 - \cos\alpha\right) + \begin{pmatrix} 
\cot\alpha &-n_3  & n_2 \\
 n_3 & \cot\alpha &-n_1 \\
-n_2 & n_1 & \cot\alpha
\end{pmatrix} \cdot \sin\alpha
— Christoph Päper
: Was genau willst du sagen? --Martin Thoma 10:04, 11. Sep. 2013 (CEST)
replies: text: "Eine Drehung ist nicht durch eine Achse definiert" ??? Eine Drehung ist durch eine orientierte Achse und einen Drehwinkel definiert. Der Vektor \hat n ist ein Einheitsvektor in Richtung der positiv orientierten Drehachse, n_1, n_2 und n_3 sind die Komponenten von \hat n. Und \alpha ist der Drehwinkel. --Digamma (Diskussion) 21:52, 18. Dez. 2013 (CET)
thread_title:  R_n(alpha) 

message: Der Autor möge doch bitte ganz zu Anfang eine Winkeldefinition festlegen. Alles einfach Alpha nennen, ohne zu zeigen wie Alpha definiert ist, ist nicht sehr hilfreich. (nicht signierter Beitrag von 79.243.170.223 (Diskussion) 11:45, 24. Jun. 2013 (CEST)
thread_title:  Winkel alpha 

message: Hallo, eine Rotation um eine Belibige Achse lässt sich mit der im Beitrag stehenden Matrix nicht durchführen. Auf http://www.cs.helsinki.fi/group/goa/mallinnus/3dtransf/3drot.html is eine afgeführt mit leicht anderen Vorzeichen. Mit dieser funktionieren Rotationen. (nicht signierter Beitrag von Steff82 (Diskussion | Beiträge) 13:00, 9. Dez. 2014 (CET)
replies: text: Hallo Steff82! Wie kommst Du nur darauf, daß das nicht möglich sei? Um eine solche Behauptung zu beweisen, müßtest Du schon eine konkrete Rotation angeben (was Dir aber nicht gelingen wird, weil alles in Ordnung ist). Die Angabe einer anderen Drehmatrix ist dafür jedenfalls ungeeignet, weil nirgends behauptet wurde, daß deren Darstellung eindeutig bestimmt wäre. Liebe Grüße, Franz 15:11, 9. Dez. 2014 (CET)
replies: text: Die Unterschiede in den Vorzeichen kommen daher, dass in einem Fall das Koordinatensystem gedreht wird und der Punkt fest bleibt, in anderen Fall aber der Punkt in einem festen Koordinatensystem gedreht wird. -- HilberTraum (d, m) 14:38, 10. Dez. 2014 (CET)
thread_title:  Fehler bei Drehung um beliebige Achse? 

message: fehlt (nicht signierter Beitrag von 95.91.251.62 (Diskussion) 17:39, 22. Okt. 2017 (CEST)
thread_title:  Verweis auf [[arctan2]]  

message: Wenn ich die Formel für eine Rotation um z z.B. für \frac{\pi}{2} anwende, und dann die Formel für n-dimensionale Rotationen in der Ebene aufgespannt durch g_1=(1,0,0) und g_2=(0,1,0) anwende, bekomme ich Rotationen in entgegengesetzte Richtung. Im Text wird nicht näher darauf eingegangen in welche Richtung die allgemeine Formel nun für welche Wahl von g_1 und g_2 dreht, aber ich denke das sollte noch hinzugefügt werden?
:Ich glaube, Du hast recht, und habe dies (und ein paar Formulierungen) verbessert. --Bleckneuhaus  (Diskussion) 20:50, 9. Feb. 2018 (CET)
thread_title:  Ist der n-dimensionale Fall konsistent mit den 3D Fällen ? 

message: Man sollte die drei Drehwinkel nicht sämtlich \alpha nennen. In der Photogrammetrie sind etwa \omega (x-Achse), \varphi (y-Achse) und \kappa (z-Achse) gängig. Auf diese Weise könnte man dann auch mal die komplette Drehmatrix als Hintereinanderschaltung der Einzeldrehungen ausformulieren. (In der Photogrammetrie ist die Reihenfolge typischerweise z-, y-, x-Achse.)
\begin{pmatrix}
\cos \kappa\,\cos \varphi & -\sin \kappa\,\cos \varphi & \sin \varphi\\
\cos \kappa\,\sin \varphi\, \sin \omega+\sin \kappa\,\cos \omega & \cos \kappa\,\cos \omega-\sin \kappa\,\sin \varphi\,\sin \omega&-\cos \varphi  \,\sin \omega\\
 \sin \kappa\,\sin \omega-\cos \kappa\,\sin \varphi\,\cos \omega&\cos \kappa\,\sin \omega+
 \sin \kappa\,\sin \varphi\,\cos \omega & \cos \varphi\,\cos \omega
\end{pmatrix}
 
--Wolfgang Hugemann 03:56, 26. Nov. 2019 (CET)
replies: text: So etwas ähnliches steht im Artikel Eulersche Winkel. Für diesen Artikel würde das, glaube ich, zu weit gehen. --Digamma (Diskussion) 19:03, 26. Nov. 2019 (CET)
thread_title:  Drehmatrizen des Raumes <math>\R^3</math> 

message: Im Abschnitt Eigenschaften:
    Die Menge aller Drehmatrizen eines Raumes bildet die Drehgruppe, nämlich die spezielle orthogonale Gruppe:
        Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \mathrm{SO}(n)=\left\{\text{lineare Abbildung }R:\,\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}\ |\ R^{T}R=I_n\, ,\\det\,R=1\right\}} 
    Mit der Lie-Gruppe S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} \mathrm{SO}(n) ist eine Lie-Algebra s o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)} \mathfrak{so}(n) verknüpft, ein Vektorraum mit einem bilinearen alternierenden Produkt (Lie-Klammer), wobei der Vektorraum bezüglich der Lie-Klammer abgeschlossen ist. Dieser Vektorraum ist isomorph zum Tangentialraum am neutralen Element der S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} \mathrm{SO}(n) (neutrales Element ist die Einheitsmatrix), sodass insbesondere dim ⁡ s o ( n ) = dim ⁡ S O ( n ) {\displaystyle \dim {\mathfrak {so}}(n)=\dim \mathrm {SO} (n)} {\displaystyle \dim {\mathfrak {so}}(n)=\dim \mathrm {SO} (n)} gilt. Die Lie-Algebra besteht aus allen schiefsymmetrischen n × n {\displaystyle n\times n} n\times n-Matrizen und ihre Basis sind die sog. Erzeugenden. Die Exponentialabbildung verknüpft die Lie-Algebra mit der Lie-Gruppe:
        Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \exp\colon\\mathfrak{so}(n)\to\mathrm{SO}(n),\ J\mapsto\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}J^{k}} 
Im Abschnitt Infinitisemale Drehung:
Dabei wurde die Exponentialfunktion identifiziert. Die Exponentialfunktion von Matrizen ist über die Reihendarstellung definiert, wie im letzten Schritt gezeigt. Es lässt sich zeigen, dass Erzeugende spurfrei sein müssen:
    Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1=\det R(\alpha)=\exp(\alpha\\operatorname{Sp}\,J)\quad\implies\quad\operatorname{Sp}\,J=0}
Kann das jemand auflösen ?
--178.202.149.200 19:26, 16. Aug. 2020 (CEST)
replies: text: Erledigt, danke für den Hinweis! 91.118.242.246 21:05, 16. Aug. 2020 (CEST)
thread_title:  Syntaxfehler in Formeln ?