Diskussion:Endlicher Körper

message: Der Artikel sollte sich für eine der Schreibweisen GF(q) oder Fq entscheiden; ich stimme hiermit für letztere (z.B. in Analogie zu den p-adischen Zahlen Zp, es gilt ja Zp/pZp = Fp).--Gunther 17:27, 3. Mär 2005 (CET)

message: Katalog? Ich finde die Überschrift ja echt mal unpassend.  --DFG 23:55, 5. Nov 2005 (CET)
replies: text: Fändest Du "Liste der Isomorphieklassen" besser?--Gunther 00:21, 6. Nov 2005 (CET)

text: Vieleicht "Klassifikation"?--Hagman 19:22, 17. Jul. 2009 (CEST)
thread_title:  Katalog 

message: Was soll das „Gegenbespiel“ zeigen? Dass es keine Körper mit 4 Elementen geben kann, zeigt es jedenfalls nicht, da hier ja nur _ein_ Beispiel für eine 4-elementige Menge mit zwei Verknüpfungen angegeben ist. Es könnte aber ja zwei andere Verknüpfungen „+“ und „*“ geben, sodass diese Menge ein Körper ist. (Die gibt es natürlich nicht, was aber das Beispiel nicht zeigt) Bis hier Beitrag eines anonymen Benutzers
:Das Gegenbeispiel soll zeigen, dass es keinen Körper der Charakteristik 4 gibt. Was es tatsächlich zeigt,ist die Tatsache, dass Z/4Z kein Körper ist. Ob daraus sofort das erstere folgt, bin ich mir gerade zu faul zum Überlegen, ebenso den Absatz umzuformulieren, dass der Sachverhalt klarer wird. Ich habe jetzt lediglich eine Änderung revertiert, die den Abschnitt (zumindest in meinen Augen) nur unverständlicher gemacht hat. Wenn keiner den Absatz umformulieren will, werde ich das mal irgendwann wenn ich Zeit finde tun. Übrigens: Selbstverständlich gibt es einen Körper mit 4 Elementen, so wie es zu jeder Primpotenz einen gibt. --Schnark 10:16, 11. Nov. 2008 (CET)
replies: text: Es gibt keinen Körper der Charakteristik 4, weil in einem solchen definitionsgemäß 2*2=0 gelten müsste, womit die 2 ein Nullteiler und also nicht invertierbar ist.--LutzL 20:02, 10. Jul. 2009 (CEST)
replies: text:  Falls man so wie ich zu faul ist darüber nachzudenken:  Ansonsten kann man sich auch noch überlegen, dass es einen Körper mit 4 Elementen gibt, da 2²= 4 ist und 2 eine Primzahl ist.--Schönen Gruß "Wohingenau" 17:50, 28. Jan. 2010 (CET)
thread_title:  Beispiele 

message: Ich finde der Abschnitt setzt zuviel Vorwissen voraus und verwendet unnötig viel mathematische Notation. Wer mit Begriffen wie Kern, Restklassenring, irreduzibles Polynom vertraut ist, hat es vermutlich auch nicht mehr nötig nachzuschlagen was ein endlicher Körper ist.
Ich war mal so frei einen Baustein Allgemeinverständlichkeit einzufügen.
--O.mangold 11:19, 3. Jul. 2009 (CEST)
replies: text: Ich denke nicht, dass man diesen Abschnitt wesentlich vereinfachen kann. Danach würde man nämlich den Abschnitt mit den Beispielen nicht mehr verstehen. Was ein Kern ist sollte man wissen um überhaupt irgendwelche mathematischen Artikel zu verstehen. Außerdem wird er ja sogar noch im Artikel erklärt. Außerdem hat gerade der Bereich der Algebra die Eigenschaft, dass man viele abstrakte Definitionen hat. Ich weiß nicht wie man das einfacher schreiben soll. -Christian1985 16:22, 4. Sep. 2009 (CEST)

text: Es ist vielleicht etwas unglücklich, dass gleich zu Anfang des Artikels so fortgeschrittene Themen behandelt werden. Ich denke das müsste man nicht als Erstes bringen. Wenn es keine Abhängigkeiten zu den anderen Abschnitten gibt, würde ich ihn vielleicht einfach weiter nach unten verschieben. --Drizzd 22:39, 4. Sep. 2009 (CEST)
replies: text:  Was sollte denn weiter oben stehen? Also die Beispiele sind abhängig von Katalog und für den letzten Abschnitt muss man auch wissen, dass nur die Menge \mathbb{F}_q nur für q Primzahl ein Körper ist. Man könnte den Abschnitt über die Multiplikative Gruppe nach oben verschieben. Bringt das was? Ich habe mal in des Lexikon der Mathematik vom Spektrum-Verlag geschaut, was dort zu endlichem Körper steht. Das entsprach etwa dem Katalogabschnitt. Einfacher war es sicherlich nicht --Christian1985 16:50, 7. Sep. 2009 (CEST)
replies: text: An O.mangold: Ich habe den Artikel umgestaltet. Dennoch kommen Begriffe wie Kern vor. Solche Begriffe lernt ein Mathematik-Student normalerweise im 1. Semester im Zusammenhang mit Vektorräumen kennen. Die Theorie der endlichen Körper ist im Wesentlichen Gegenstand einer Algebra-Vorlesung, die man zu meiner Zeit eher im 5. Semester hörte. Daher kann ich die Behauptung "wer weiß, was ein Kern ist, weiß auch, was ein endlicher Körper ist" höchstens im Fall der Primkörper Z/pZ nachvollziehen. Grüße --Boobarkee 12:58, 12. Sep. 2009 (CEST)
thread_title:  Verständlichkeit des Abschnitts Katalog 

message: Hallo, die zweite Hälfte des Satzes "Die Bezeichnung Galoiskörper leitet sich vom Namen des Mathematikers Évariste Galois ab, der als erster mit solchen Strukturen gerechnet hat." bedarf eines Belegs. Ich bin offen gesagt nicht davon überzeugt, dass das den Tatsachen entspricht. Weiß jemand etwas näheres dazu? Grüße --Boobarkee 21:03, 12. Sep. 2009 (CEST)
replies: text:  "Eliakim Hastings Moore (1862-1932) was apparently the first person to use the English word field in its modern sense and the first to allow for a finite field." Vor 1893 wurden danach keine endlichen Körper betrachtet. Grüße --Boobarkee 21:29, 12. Sep. 2009 (CEST)
thread_title:  Galois und endliche Körper 

message: Auf der gesammten Seite findet sich keine Definition, was dem am nächsten kommt ist noch:
:Ein endlicher Körper oder Galoiskörper ist eine Menge mit einer endlichen Anzahl von Elementen, auf der die :Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division definiert sind.
Dabei wird keine Distributivität gefordert.
-- 91.115.93.228 23:08, 19. Jan. 2010 (CET)
replies: text: Hab die Einleitung etwas geändert.--Schönen Gruß "Wohingenau" 10:06, 20. Jan. 2010 (CET)
replies: text: Was bitte ist an der Platitüde "Vereinfacht ausgedrückt ist ein endlicher Körper eine endliche Menge, die alle Eigenschaften eines Körpers erfüllt." vereinfachend? Das ist eine nichtssagende Tautologie bzw. erklärt bestensfalls, dass der Begriff "endlicher Körper" wirklich eine endliche Menge mit einer Körperstruktur bezeichnet. --Boobarkee 16:33, 20. Jan. 2010 (CET)
thread_title:  Was ist ein endlicher Körper?

message: z.B. wie man in endlichen Körpern GF(pn) rechnet, wenn n>1. Es wurden GF(25) und GF(49) als Beispiele angegeben. Da wäre vielleicht eine Multiplikationsmatrix anschaulich (und noch nicht zu groß), evtl. auch für GF(16) als Vertreter der in der Informatik so wichtigen GF(2n). Was meint ihr? --RokerHRO (Diskussion) 22:53, 18. Okt. 2017 (CEST)
thread_title:  Vieles fehlt leider im Artikel 

message: In diesem Beispiel ist x Nullstelle des Polynoms X^2+X+1. Also x^2+x+1=0 \bmod 2. Das bedeutet dass x^2=x+1 \bmod 2 die reduzierende Gleichung ist. D.h. wenn in einer Berechnung x^2 entsteht, wird es ersetzt durch x+1. Damit zeigt sich direkt dass (x+1)^2+(x+1)+1=x^2+x+1=0.Madyno (Diskussion) 23:25, 25. Okt. 2021 (CEST)
replies: text: Letztlich muss man überhaupt nichts rechnen, um die Richtigkeit der letzten Behauptung zu "beweisen". Wie im Artikel behauptet ist x²+x+1 das einzige irreduzible Polynom vom Grad 2 über F2. (Nachweis im Kopf!) Da x+1 nicht im Primkörper liegt, ist sein Minimalpolynom irred. vom Grad 2, also dieses Polynom. Oder noch einfacher: Da F4/F2 separabel ist, hat das über F2 irred. Polynom x²+x+1 zwei verschiedene Nullstellen in F4. Dafür kommt neben x nur x+1 in Frage!--Boobarkee (Diskussion) 14:50, 27. Okt. 2021 (CEST)
thread_title:  Der Körper mit 4 Elementen 

message: Was bedeutet: "Die Galoisgruppe wird von \mathcal{F} erzeugt"? Madyno (Diskussion) 14:10, 15. Nov. 2021 (CET)
replies: text: Das bedeutet, dass der ein bisschen weiter oben beschriebene (und für jedes n immer gleiche) Frobeniushomomorphismus \mathcal{F}: x \mapsto x^p eine Gruppe erzeugt, die bei jeder endlichen Körpererweiterung \mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p die Galoisgruppe ist. Diese ist isomorph zu \Z/(n\Z)~. Für jedes n ist halt immer \mathcal{F}^n = \mathrm{id}~, oder mit aneren Worten \forall x\in \mathbb{F}_{p^n} : x^{p^n} = x ~. —Nomen4Omen (Diskussion) 17:04, 15. Nov. 2021 (CET)
thread_title:  Erzeuger 

message: Tut mir so leid, aber ich halte diese Hinzufügung, insbesondere den Riesenumweg über die reellen Zahlen, für ein Riesengeschwafel.
Ich fand's vorher besser. —Benutzer:Nomen4Omen --Nomen4Omen (Diskussion) 10:55, 1. Sep. 2023 (CEST)
replies: text: Der Umweg über die reellen Zahlen soll ja dazu dienen, Personen, die nicht Mathematik studiert haben, den Begriff besser zu motivieren. Vielleicht kann man den ersten Teil aber etwas kürzen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion)  12:46, 1. Sep. 2023 (CEST)
thread_title:  Hinzufügung +13752 von [[Benutzer:Googolplexian1221]] am 1.9.23 

message: "Die X enthaltende Restklasse sei mit x bezeichnet, so dass x Nullstelle von f( X ) in \mathbb{F}_2[X] ist."
Es besitzt doch f (X) = X^2 + 2X+1  in \mathbb{F}_2( X )  eben gerade keine Nullstellen. Ist hier  \mathbb{F}_{2}[X]/(f) gemeint wo  f(x) + (f) = 0 + (f)  ist gemeint, oder wo liegt mein Denkfehler? --FabianWz (Diskussion) 16:57, 20. Sep. 2023 (CEST)
replies: text: Es ist schon f(X) \in \mathbb{F}_{2}[X]. Der springende Punkt ist hier, Nullstellen des irreduziblen Polynoms im algebraischen Abschluss von \mathbb{F}_{2} an \mathbb{F}_{2} hinzu zu andjungieren. Das Resultat ist dann isomorph zum Körper mit 4 Elementen. Im Artikel wird dies über Polynomringe erklärt: Da f irreduzibel ist, ist (f) ein maximales Ideal und \mathbb{F}_{2}[X]/(f) ein Körper (mit 4 Elementen, wie man schnell sieht). Es ist dann X \mapsto x ein Isomorphismus nach \mathbb{F}_{2}(x) (mit der oben erwähnten Nullstelle x), wobei alles mit \mathbb{F}_{4} identifiziert werden kann. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion)  18:13, 20. Sep. 2023 (CEST)
thread_title:  Nullstelle im Beispiel "Körper mit 4 Elementen"