Diskussion:Sankt-Petersburg-Paradoxon

message: ACHTUNG dieser Artikel bedarf einer dringenden Überarbeitung!
Der Wert des Spiels, ist bei 1000000 ca. 20€!!! Das habe ich aus folgendem Buch: Székely: Paradoxa (Verlag Harri Deutsch). Ich bitte deswegen darum, dem Artikel für die fehlerhaftigkeit kenntlich zu machen! Mir fehlt gerade die Zeit etwas zu ändern.--Party Sahne 23:58, 25. Jan 2006 (CET)
replies: text: Der Einwand ist berechtigt. Ich habe es geändert: „Die Hauptidee ist hierbei, dass ein Geldbetrag unterschiedlich bewertet wird“ -- JonnyJD 18:15, 3. Okt. 2007 (CEST)
thread_title: Allgemeines

message: ... ist zwar ganz interessant, hat aber nichts mit dem Sankt-Petersburg-Paradoxon zu tun. -- Martin Vogel قهوة؟‎  12:50, 17. Nov 2005 (CET)
thread_title: Satz von Lebesgue über majorisierte Konvergenz

message: Im Einleitungstext heisst es, das Paradoxon habe seinen Namen durch Bernoullis Veroeffentlichung; im Paradoxon Abschnitt wird dann von einem hypothetischen Casino erzaehlt, von dem der Name herruehre. Bedarf Ueberpruefung! 41.241.122.11 14:48, 24. Jun. 2011 (CEST)
thread_title:  Namensherkunft 

message: Ich sehe das, wie oben beschrieben: Es ist gar kein Paradoxon, weil die Grundannahmen für die Ziele komplett falsch sind. Die (falsche) Grundannahme für das Ziel ist, das die Erwartungswertmaximierung ein Ziel darstellt. Dies ist jedoch nicht der Fall. Es handelt sich um ein instrumentales Ziel. Das dahinterstehende fundamentale Ziel ist die Maximierung des Lebensglückes. Und was das Lebensglück angeht Die Theorie des abnehmenden Grenznutzens geht schon zum Teil darauf ein, dass das Lebensglück nich linear mit dem Geldbesitz einhergeht. Dies ist zwar eine notwendige aber eben noch keine hinreichende Erweiterung der Betrachtung. Zusätlich müssen folgende Dinge betrachtet werden:
* Ein Spieler wird ein paar Spielrunden Freude an dem Spiel haben, danach wird sich aber die Freude in Langeweile oder sogar Aversion umkehren. Eine zu große Stichprobe (Millionen) wirkt sich also drastisch negativ auf sein Lebensglück aus, nur alleine weil es einfach mühsam und langweilig ist, dieses Spiel Millionen mal zu spielen (nicht wegen des Geldes). Zudem kommt, dass durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung Millionen gar nicht ausreichen würden um sicher in die Gewinnzone zu kommen selbst bei relativ niedrigen Einsätzen. Es sind Größenordnungen von Größenordnungen mehr.
* Der Spieler weiß intuitiv, dass er eine sehr große Stichprobe braucht, um auf lange Sicht zu gewinnen. Er weiß also schon auch intuitiv, dass das langweilig wird und er lieber was anderes macht.
* Ein normal denkender Mensch (also nicht spielsüchtig oder manisch oder so) wird immer ein gewisses Mindestmaß an Lebensglück als "parktisch garantiert" (99,9% sicher) sehen wollen. Dieses praktisch garantierte Lebensglück ist er _nicht_ bereit zu opfern. Einem Spiel (oder einer Reihe von Spielen) wird er also nur dann zustimmen, wenn dieses Mindestlebensglück nicht und auf keinen Fall in Gefahr ist.
* Durch die extreme Wahrscheinlichkeitsverteilung in diesem Spiel (große Wahrscheinlichkeit für kleine Gewinne, geringe Wahrscheinlichket für hohe Gewinne), ist die Wahrscheinlichkeit hoch, dass er dieses Mindestmaß an Lebensglück bis zu seinem Lebensende opfern müsste.
* Generell wird bei der Diskussion mit Erwartungswerten in Entscheidungssituationen ein Fehler gemacht, der mich an den Fehler bei durchschnittlichen Gehältern erinnert. Interessanter ist nämlich nicht, was das durchschnittliche Gehalt eines Landes ist, sondern wo der Median liegt. Durch extreme Ausreißer, kann nämlich die Aussagekraft des Durchschnittsgehalts extrem verzerrt werden. So ist es denk ich auch hier. Wichtiger wäre nicht der Erwartungswert, sondern die Wahrscheinlichkeit, in absehbarer Zeit in die Gewinnzone zu kommen. Und die ist für höhere Einsätze praktisch nicht gegeben. (nicht signierter Beitrag von 81.10.151.214 (Diskussion) 14:38, 17. Aug. 2012 (CEST)
thread_title:  Kein Paradoxon! 

message: : Bei meiner Verbesserung des Artikels habe ich mir schon etwas gedacht. Erstens finde ich den Hinweis, daß Teilnahmegebühr unabhängig von der Auszahlung ist, schon hilfreich. Denn oft stehen Einsatz und möglicher Gewinn in einem festen Verhältnis. Das erkennt vielleicht nicht jeder sofort an der feinen Unterscheidung Teilnahmegebühr – Einsatz. Ich jedenfalls mußte erst überlegen, was genau paradox ist.
Zur zweiten Änderung ("Gemäß einer Entscheidungstheorie, die auf dem Erwartungswert basiert, sollte man daher ..."): Das "daher" bezieht sich auf den Erwartungswert (2 Sätze vorher). Zum direkten Satz vorher, der die geringe Wahrscheinlichkeit eines hohen Gewinns beschreibt, paßt es nicht.
Vielleicht kannst Du den Lesefluß und die Verständlichkeit anders verbessern. Die Revertierung ist zwar bequem, aber auch keine Verbesserung. 91.54.45.34 12:50, 15. Apr. 2018 (CEST)
thread_title:  Revert: keine Verbesserung 

message: IM Artikel heisst es "Allgemein kann man für jede unbeschränkte Nutzenfunktion eine Variante des Sankt-Petersburg-Paradoxon finden, die einen unendlichen Wert liefert, wie von dem österreichischen Mathematiker Karl Menger als erstem bemerkt wurde"
Jedoch lag Karl Menger falsch, wie die englische Wikipedia festellt "A commonly held incorrect belief is that the lottery can easily be changed such that the paradox reappears in Bernoulli's treatment. The argument is due to Menger (Menger 1934) and was endorsed by Samuelson (Samuelson 1977) as a "quantum jump in analysis". Menger had claimed that the (even larger) payoff e2k would again make the game worth an infinite amount, and that more generally, one can find a lottery that allows for a variant of the St. Petersburg paradox for every unbounded utility function. Substituting the corresponding parameters in the equation for {\displaystyle \Delta E(U)} {\displaystyle \Delta E(U)} above immediately shows that this is not correct: the expression becomes negative at a finite value of {\displaystyle c} c (Peters & Gell-Mann 2016)."
oder folgende Quellen
http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/369/1956/4913
https://arxiv.org/abs/1110.1578
https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.4940236
:Dieser – leider unsignierte Beitrag – enthält einen Hinweis auf die englische Wikipedia, der sich nicht verifizieren lässt.</br> 
:Zu einer Nutzenfunktion  u: (0,\infty)  \to  \R , die konkav und unbeschränkt ist, lässt sich eine diskrete Zufallsvariable X mit positiven Werten angeben, so dass \mathbb{E}[u(X)] = \infty gilt; das ist trivial. Für eine Lotterie mit Auszahlung X müsste alo ein Individuum, das mit dieser Nutzenfunktion Bernoulli-Nutzen maximiert, bereit sein, jeden endlichen Betrag zu zahlen. Also löst das Bernoulli-Prinzip mit konkaver, aber unbeschränkter Nutzenfunktion diesen wesentlichen Aspekt des Paradox nicht auf. Karl Menger lag nicht falsch.--Sigma^2 (Diskussion) 15:38, 29. Aug. 2022 (CEST)
thread_title:  Menger lag Falsch 

message: Warum wird hier nur der Geldvorrat des Kasinos beachtet? Statistisch ist es doch selbst bei geringem Einsatz schon viel wahrscheinlicher, dass der Spieler pleite geht bevor er so glücklich wäre den gesamten Geldvorrat des Kasions zu erspielen. --31.17.252.84 19:00, 20. Jun. 2022 (CEST)
replies: text: Der Spieler zahlt den Einsatz nur einmal.--Sigma^2 (Diskussion) 14:45, 29. Aug. 2022 (CEST)
thread_title:  Endliches Kapital 

message: * Durch problematische Verwendung des Begriffs Gewinn für die Auszahlung ist die Darstellung kaum verständlich. Gewinn = Auszahlung - Einsatz. Über die Höhe des Einsatzes wird nichts gesagt. 
* Die Formel über den Erwartungswert ist falsch. 
::\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{4}\cdot 1 + \frac{1}{8}\cdot 2 + \dotsb = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \dots \neq  \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k}\cdot 2^{k-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots ,
:auch wenn sich in beiden Fällen der Grenzwert \infty ergibt. Von einer Auszahlung 0 steht nichts in der Spielbeschreibung. Wenn beim ersten, zweiten, dritten,... Mal Kopf kommt, wird 1, 2, 4, ... ausgezahlt.
* Die Interpretation: "im Mittel erwartet man daher einen unendlichen hohen Gewinn" ist nicht nachvollziehbar. In diesem Fall ist der Erwartungswert \infty  kein "Mittelwert", er ist größer als jede (!) der möglichen Realisationen der Zufallsvariablen in  \{1,2,4 \dots \}. --Sigma^2 (Diskussion) 17:16, 23. Sep. 2022 (CEST)
thread_title:  Beschreibung des Spiels