Diskussion:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

message: Auf welchen zusätzlichen Axiomen baut sie auf? 
:Auf den bekannten 10 ;-)
Momentan kann ich mir nicht so viel darunter vorstellen ... --zeno 01:33, 14. Mai 2003 (CEST)
replies: text: 'Präzisiert' war hochgestapelt. Ich habe den Artikel aber auf meiner Liste. Hoffentlich kommt mir keiner zuvor ;-). Heizer 17:17, 14. Mai 2003 (CEST)

text: Mir scheint, du verwechselt die Element-Beziehung mit der Teilmengen-Beziehung. Keine Menge B soll Element der leeren Menge sein (das besagt das Axiom), aber natürlich ist die leere Menge eine Teilmenge der leeren Menge. Lass dich auch nicht davon verwirren, dass alles Mengen sind - in ZF gibt es nur Mengen, keine so genannten Urelemente. --SirJective 17:36, 4. Jan 2005 (CET)

text: Weil die genannten Titel nicht als eigene Seiten existieren und die Suchfunktion eingeschränkt oder abgeschaltet ist. Einige der genannten Titel habe ich jetzt als Weiterleitungsseiten angelegt. --SirJective 13:51, 27. Mär 2005 (CEST)
thread_title: Diskussion bis März 2005

message: Ich fände es besser, das Auswahlaxiom und dessen Äquivalente, die ja später hinzugenommen wurden, auch im Text erkennbar abzugrenzen. Nicht ohne Grund wird ja unterschieden zwischen ZF und ZFC. -- Peter Steinberg 23:14, 24. Jun 2005 (CEST)
thread_title:  Sonderrolle des Auswahlaxioms 

message: ZF benützt 8 Axiome von Zermelo aus dem Jahr 1907 (gedruckt 1908). 
Nur das 9. Axiom der Ersetzung stammt von Fraenkel (1922). 
Skolem bot die erste Formalisierung von ZF erst im Jahr 1929 (nicht 1922!) ohne Fundierungsaxiom, das es damals noch nicht gab. Dieses ergänzte Zermelo erst 1930. In der Arbeit von 1930 gab Zermelo selbst seinem Axiomensystem auch den Namen ZF-System (ohne Fundierung). Ausdrücklich bezieht das originale ZF-System auch Urelemente ein. Die prädikatenlogische Fassungen haben also stillschweigend ein Zusatzaxiom: die Gleichsetzung der Allklasse mit der Mengenklasse, die im Allquantor steckt.
Habe den Artikel gemäß diesen Daten und den vorausgehenden Diskussionen korrigiert.
Dr.W.Neumaier
Ich bin Laie auf dem Gebiet der Mengenlehre. Aber kann mir irgendjemand erklären, warum heutige Axiomensysteme der Mengenlehre auf Urelemente verzichten? Nach meinem Gefühl gibt man da doch das auf, was man sich von Anfang an unter einer Menge vorstellt. --Hanfried.lenz 17:36, 4. Sep. 2007 (CEST)
thread_title:  Historisches 

message: Ich weiß, ZF und ZFC werden immer als Axiome bezeichnet, doch im eigentlichen Sinn sind es nicht alle, da einge IMHO von den anderen deduktiv hergeleitet werden können.
mathematik.de bezeichnet diese als Schema. 
:Grundsätzlich kann man Axiome immer auch redundant annehmen, das heißt mit überzähligen Axiomen, die man auch beweisen könnte. Axiome sind immer nur Annahmen, über deren Beweis man nicht reflektiert oder reflektieren möchte. Die ZF-Axiome sind tatsächlich redundant, was im Artikel weiter unten auch ausdrücklich erwähnt wird; dort steht bei Axiom 9. genau, auf welche Axiome bzw. Axiomenschemata man verzichten könnte. --Wilfried Neumaier 09:57, 29. Sep. 2007 (CEST)
replies: text: Der Ausdruck Funktion oder Abbildung beim Ersetzungsaxiom ist problematisch. Hier ist es definitiv nicht der in ZF herleitbare Funktions- oder Abbildungsbegriff. Zermelo und Fraenkel gebrauchten ihn auch ursprünglich gar nicht, sondern umschreiben den Sachverhalt. Es ist ein Phänomen der formalen Sprache, die Formeln mit einer oder mehreren Variablen als Funktionen (Abbildungen) ansieht, weil sie optisch wie Funktionen geschrieben werden, obwohl sie keine mengentheoretischen Funktionen sind. Notwendig werden solche formalsprachliche Pseudofunktionen deswegen, weil damit Axiomenschemata in der Metasprache beschrieben werden; um sie in Beweisen anzuwenden, braucht man dann immer gewisse metalogischen Eigenschaften, in diesem Fall die quasi-funktionale Regel, die im Artikel genannt ist. Anders ist es bei der alternativen Formulierung des Auswahlaxioms; hier wird der in ZF definierte Funktionsbegriff vorausgesetzt. --Wilfried Neumaier 09:57, 29. Sep. 2007 (CEST)
thread_title:  Axiome 

message: Sollte es nicht besser
:Wenn A, B Objekte sind, dann gibt es eine Menge C
oder
:Wenn A, B Elemente sind, dann gibt es eine Menge C
statt
:Wenn A, B Mengen sind, dann gibt es eine Menge C
heißen?  Wenn sich kein Widerstand dagegen regt, werde ich das mal so ändern.
-- Rubik-wuerfel 15:55, 28. Nov. 2007 (CET)
replies: text: BTW: Wollen wir einen eigenen Artikel Urelemente schreiben statt des jetzigen Redirects auf Mengenlehre. Der englische Artikel :en:Urelement sieht auf dem ersten Blick ganz in Ordung und als Basis geeignete aus. --Pjacobi 17:25, 31. Dez. 2007 (CET)
thread_title:  Paarmengenaxiom (2.) und Urelemente 

message: Wilfried Neumaier es stimmt zwar, dass es nicht ausreicht, die Extensionalität in die Definition zu packen. Wenn man ZF haben will, braucht man immer das Extensionalitätsaxiom. Das besondere am Extensionalitätsaxiom ist aber: Wenn man das Extensionalitätsaxiom hat, muss man die extensionalität nicht in die Gleichheitsdefinition packen.
Ausformuliert steht ja beim Extensionalitätsaxiom:
:\forall A,B\colon\left(\forall C\colon (A\in C \iff B\in C) \land \forall C\colon (C\in A \iff C\in B)\right) \iff\left(\forall C\colon (C\in A \iff C\in B)\right) 
und das lässt sich nunmal verkürzen zu:
:\forall A,B\colon\left(\forall C\colon (A\in C \iff B\in C)\right) \iff\left(\forall C\colon (C\in A \iff C\in B)\right) 
Dabei ist es völlig egal, ob wir nun die linke oder die rechte Seite als Gleichheit definieren. Wichtig ist nur, dass das Extensionalitätsaxiom aussagt, dass diese beiden Bedingungen äquivalent sind.
Dein unterster Absatz ist zwar richtig, aber auch fehl am Platze, da es ja nicht darum geht, das Extensionalitätsaxiom zu ersetzen. Das Extensionalitätsaxiom soll so wie es ist stehen bleiben. --Eulenspiegel1 00:08, 10. Jun. 2011 (CEST)
replies: text: Ich war ja verantwortlich für den bisherigen Text und dachte ursprünglich auch, dass sich das so verkürzen ließe. Aber es lässt sich doch nur zu einer Implikation verkürzen und nicht zu einer Äquivalenz, wie mir aufgefallen ist. Daher habe ich den Text geändert: Jetzt steht nur die äquivalente Implikation als nötiges Axiom da. Wenn ich aber irgendetwas übersehen habe, dann müsstest Du mir das kurz vorrechnen.--Wilfried Neumaier 14:00, 10. Jun. 2011 (CEST)
thread_title:  Änderung des Abschnittes 

message: Ist vielleicht eine dumme Frage, aber ich bin grad 9. Klasse und hab ein Verständnisproblem ;)
Und zwar gibt es ja die unendliche Menge \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace, \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace, \ldots \rbrace
Und man definiert \N als diese Menge, dabei ist 0 = \emptyset, 1 = \lbrace \emptyset \rbrace, 2 = \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace, 3 = \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace, \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace \rbrace, \ldots.
Wenn man aber \Z definiert, kann man doch auf die gleiche Menge zurückgreifen und sagen: 0 = \emptyset, 1 = \lbrace \emptyset \rbrace, -1 = \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace, 2 = \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace, \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace \rbrace, -2 = \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace, \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace, \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace, \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace \rbrace \rbrace  \rbrace,\ldots.
Das Axiom der Bestimmtheit besagt: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Das sollte doch wahr sein, wie man oben sieht.
Eigentlich sollte \N aber doch eine echte Teilmenge von \Z sein: \N \subsetneq \Z.
Wie ist das zu erklären?
--L'ottimo 20:03, 20. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Die Definition von \N ist so gemacht, dass jede Zahl genau so viel Elemente hat, wie sie angibt, und dass die Teilmengenrelation der Ordnung "kleiner oder gleich" entspricht. Es ist die Definition von Neumann 1928, die sich durchgesetzt hat, weil sie zweckmäßig ist und die Eigenschaften einer Ordinalzahl hat. Diese Eigenschaften gehen bei Deiner Definition von \Z für die Teilmenge \N verloren. Deine Definition stellt aber eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen \N und \Z her, die besagt, dass beide Mengen gleichmächtig sind. Diese kann man bei jeder beliebigen Definition von \N herstellen. Bei unendlichen Mengen gibt es eben echte Teilmengen, die gleichmächtig sind. Zum Beispiel sind die geraden Zahlen eine echte Teilmenge von \N, die auch gleichmächtig ist, weil man sie ähnlich wie in Deinem Beispiel zuordnen kann.--Wilfried Neumaier 23:45, 20. Mär. 2008 (CET)
replies: text:  Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung. Die Gleichmächtigkeit der Teilmengen war mir schon bekannt, mein Problem war, dass \N die gleichen Elemente benutzt wie \Z. Dies ist allerdings wie ich aus deiner Antwort (hoffentlich richtig) erschließe nicht der Fall, da bei der Definition von \Z die von \N neu angepasst werden muss, d.h. betrachte ich nur \N so entspricht die unendliche Menge wirklich \N. Kommt nun \Z hinzu, entspricht die unendliche Menge \Z und \N muss neu definiert werden. Folgerung: Definiert man neue Elemente (mit der leeren Menge und deren Obermengen), muss die Definition der bisherigen Elemente abgeändert werden. Zahlen können also nur mit der Mengenlehre eindeutig definiert werden, wenn man von der gleichen Gesamtmenge ausgeht. Habe ich das richtig verstanden? --L'ottimo 00:13, 21. Mär. 2008 (CET)
replies: text:  Genau, man muss sich für eine Definition entscheiden. Doppeldeutige Definitionen führen zu Widersprüchen und sind in der Mathematik nicht erlaubt. Deine \Z-Definition würde ja auch zugleich \N definieren und das geht nicht mehr, da \N schon definiert war. Man kann grundsätzlich aber auch andere \N-Definitionen als Neumann wählen; Zermelo wählte ursprünglich die Zahlenreihe 0, {0}, , ... Man kann \N auch undefiniert lassen und durch die Peano-Axiome charakterisieren; genauso kann man \N auch aus dem Körper \R oder aus dem Ring \Z aussondern. Dies sind lauter gleichwertige Möglichkeiten, von denen in einer mathematischen Theorie immer nur eine realisiert werden kann. Die neuere ZF-Mengenlehre bevorzugt hier eben Neumanns Definition, die vom mengentheoretischen Standpunkt aus die eleganteste ist.--Wilfried Neumaier 20:01, 21. Mär. 2008 (CET)
replies: text:  Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen. --L'ottimo 21:23, 21. Mär. 2008 (CET)

text: Ganze Zahlen werden als Äquivalenzklassen der geordneten Paare aus N definiert (wobei (3,1) ein Repräsentant der Zahl 3-1 oder zwei ist, und alle Klassen einen Repräsentanten (a,0), geschrieben a, oder (0, a) geschrieben -a haben). Brüche werden als Äquivalenzklassen der geordneten Paare in Z definiert (nämlich der geordneten Paare aus Zähler und Nenner). Ein geordnetes Paar (a,b) wird in die Mengenlehre formal als {{a},{a,b}} integriert. Die reellen Zahlen kann man dann auch noch irgendwie integrieren, zum Beispiel als die Menge aller kleineren oder gleichen Brüche. Ach ja, die natürlichen Zahlen beginnen in vielen sinnvollen Anwendungen notwendig mit 0, und die ganze Mathematik ist per definitionem Spielerei, sonst würde man sie ja Physik oder Kostenrechnung nennen. Praktischer Nutzen dennoch nicht ausgeschlossen.--131.159.76.187 14:04, 26. Apr. 2013 (CEST)

text: Es ist schon korrekt. Mengen und Elemente sind in ZF dasselbe. Zahlen sind hier Mengen, und zwar hat die Zahl n genau n Mengen-Elemente.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 15:03, 7. Aug. 2013 (CEST)
thread_title:  Unendlichkeitsaxiom und Zahlenmengen 

message: Ich hab mal versucht alle Axiome englischen Pendants zuzuordnen, hat nicht ganz geklappt:
* Fundierung = regularity
* Extensionalität = extensionality
* Auswahl = choice
* Paarmenge = pairing
* Vereinigung = union 
* Unendlichkeit = inifinity
* Potenzmenge = power set
Faktisch haben wir erstmal 10 Axiome, wobei auch beim 10ten (Auswahlaxiom) eingräumt wird, dass es äquivalent zum Wohlordnungssatz ist (engl. :en:Well-ordering theorem). Aber das Well-ordering theorem wird im engl. als 9tes (und letztes) Axiom gesehn ... obwohl auch dort das äquivalente Auswahlaxiom genannt wird. 
Weiterhin fehlen mir die entsprechenden Begriffe zu Aussonderungsaxiom und Ersetzungsaxiom, für die eigt. nur noch :en:Axiom schema of replacement und :en:Axiom schema of specification übrig bleiben .... damit wäre die englische Seite dann geklärt und die haben bei nur 9 Axiomen sogar noch ein doppelt - wir hingegen haben 10. z.B. konnte ich das Leermengenaxiom gar nicht im engl. wiederfinden ... 
Für jedes Axiom im Deutschen wurde nun eine Weiterleitung eingerichtet, sofern es noch keinen Artikel gibt, d.h. wenn jemand den Rest zuordnen kann, dürfen gerne im Englischen den Artikel dort die redirects als interwikis angegeben werden, damit schon mal die Begrifflickeiten klarer werden, denn die formale Ordnung der Axiome stimmt auch nicht überein. Grüße --WissensDürster 12:08, 2. Aug. 2009 (CEST)
replies: text: PS: Ich hab das Leermengenaxiom dann doch gefunden: :en:Axiom of empty set, es wird da offenbar extra behandelt, kA wieso. --WissensDürster 17:26, 2. Aug. 2009 (CEST)
replies: text:  Nun gut, dann hab ich das mal so ergänzt. Danke --WissensDürster 08:20, 4. Aug. 2009 (CEST)

text:  Hauptsache es ist nun richtig^^ mehr als 2 Möglichkeiten gabs ja offenbar nicht ;) Grüße --WissensDürster 10:07, 5. Aug. 2009 (CEST)
thread_title:  Zuordnung zu [[:en:Zermelo–Fraenkel set theory]] 

message: Bei allen Recherchen habe ich keine Quelle gefunden, bei der erklärt ist, wie man das Aussonderungsaxiom alleine durch das Ersetzungsaxiom ohne Verwendung des Leermengenaxioms definieren kann. Somit braucht man das Aussonderungsaxiom oder das Nullmengenaxiom auf jeden Fall. D.h. ein "minimalen ZF-System" könnte die Axiome 1 und 4-9 verwenden. --Zeus37 16:08, 17. Dez. 2009 (CET)
replies: text: Ich füge den Passus mit Referenzen wieder ein. --Wilfried Neumaier 23:44, 6. Jul. 2010 (CEST)
thread_title:  Redundantes ZF-System braucht Aussonderung oder Nullmenge 

message: Die Diskussion wurde schon 2005 geführt mit allen wesentlichen Kritikpunkten, die hier nicht nochmals wiederholt werden müssen. Die Lösung blieb aber unbefriedigend. Ich habe versucht alle Schwachstellen zu beiseitigen. Der Begriff „Abbildung“ ist hier weniger üblich; meist wird „Funktion“ benützt nach dem Usus in der Prädikatenlogik, die ja einst "Funktionenkalkül" hieß. Dieser undefinierte Begriff darf im Axiomenschema selbst nicht erscheinen, das ist ein Verstoß gegen die Prinzipien der Formalisierung. Dafür gehört hier die Eindeutigkeitsbedingung her. In der Verbalisierung bevorzuge ich Fraenkels Wortwahl, die auch den Namen des Axiomenschemas motiviert. Die neue Version baue ich umgehend ein.--Wilfried Neumaier 18:45, 6. Jul. 2010 (CEST)
thread_title:  nochmals Ersetzungsaxiom 

message: Moin,
habe neue Navigationsleiste ZFC Axiome hinzugefügt. Bislang haben (leider) erst Auswahl- Fundierungsaxiom und die leere Menge eigene Seiten. Vielleicht hift die Leiste langfristig zumindest die Seiten der wichtigsten anderen Axiome zu erstellen. Beim Unendlichkeits- und Potenzmengenaxiom könnte man über eine Weiterleitung nach "induktive Menge" bzw. "Potenzmenge" nachdenken,
Gruß --SnowIsWhite 02:26, 24. Feb. 2011 (CET)
thread_title:  Navigationsleiste ZFC-Axiome 

message: Da im vorhergehenden Abschnitt und auch weiter oben immer wieder das Bedürfnis nach ZF mit Urelementen geäußert wurde, habe ich mich daran gemacht, einen Unterabschnitt zu verfassen, der an den originalen Ansatz von Zermelo angepasst ist. Ich hoffe, dass dies manche Intuitionsprobleme beseitigt. Ich hoffe auch, dass alles stimmt. Die Kenner mögen einen kritischen Blick darauf werfen.--Wilfried Neumaier 21:40, 15. Jun. 2011 (CEST)
replies: text: Sieht soweit richtig aus. Woher hast Du eigentlich die Abkürzung ZFU? Ich kenne ZFA (A für Atom), so z.B. in Jech: Set Theory. Ist aber natürlich nicht sonderlich entscheidend... --SnowIsWhite 21:57, 15. Jun. 2011 (CEST)
thread_title:  ZF mit Urelementen 

message: Moin, habe auf meiner Benutzerseite mal eine Übersicht erstellt, was für die Spezialartikel (siehe Diskussion oben) noch zu tun wäre. Falls jemand Interesse hat, Gruß--SnowIsWhite 15:49, 30. Jun. 2011 (CEST)
thread_title:  Spezialartikel für Axiome 

message: Ich habe im Artikel behauptet, man bräuchte das Unendlichkeitsaxiom, um das Leermengenaxiom herzuleiten. Das wurde mit Hinweis auf die Quellenangabe korrekterweise revertet. In der Quelle wird behauptet, dass man das Leermengenaxiom nicht braucht, weil die Existenz mindestens einer Menge rein logisch eine Tautologie ist. Vielleicht sollte man im Artikel darauf hinweisen, dass man hier stillschweigend von einer Logik ausgeht, in der es immer mindestens ein Objekt gibt. --Cosine (Diskussion) 16:12, 22. Okt. 2012 (CEST)
replies: text: Ok, wurde gemacht.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 00:17, 24. Okt. 2012 (CEST)
replies: text:  Vielen Dank und weiterhin alles Gute! --Cosine (Diskussion) 11:22, 24. Okt. 2012 (CEST)
replies: text:  Eine solche Form der Prädikatenlogik ist zwar verbreitet, eine, bei der nicht die Existenz eines Objekts gefordert wird, ist aber auch nicht völlig unüblich. Hängt auch davon ab, in welcher Richtung der Logik man unterwegs ist. --Chricho ¹ ² ³ 14:14, 14. Jan. 2014 (CET)

text: Das muss man doch gar nicht extra fordern, es ist doch ableitbar aus der Existenzquantoreinführung, die jede Prädikatenlogik hat.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 17:41, 14. Jan. 2014 (CET)
replies: text: Hallo Wilfried! Es gab die Diskussion schonmal hier. Es gibt nicht einfach die Prädikatenlogik erster Stufe mit Gleichheit, sondern eine Vielzahl verschiedener Ansätze. In Teilen der Logik ist es absolut üblich, Prädikatenlogik so zu untersuchen, dass \exists x x=x eben keine Tautologie ist (mit „fordern“ meinte ich nicht „explizit als Axiom“, sondern dass eben der Kalkül so gestaltet ist, dass sich dies ergibt), dass modelltheoretisch leere Universen zugelassen sind etc. (siehe zum Beispiel hier, S. 55 und 58 (ist aber intuitionistisch) oder hier, S. 106, oder hier, S. 72). Diese Teile der Logik sind wohl in der Minderheit, wir sollten dem Leser aber nicht fälschlicherweise den Eindruck vermitteln, es würde sich um eine essentielle Eigenschaft der Prädikatenlogik erster Stufe handeln. Bei bestimmten Ansätzen drängt es sich eben geradezu auf, so vorzugehen, und es besteht auch keine prinzipielle Schwierigkeit. --Chricho ¹ ² ³ 13:23, 16. Jan. 2014 (CET)

text: So gut? --Chricho ¹ ² ³ 01:13, 17. Jan. 2014 (CET)
replies: text: Ja, habe es noch etwas plastischer ausgedrückt.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 00:24, 19. Jan. 2014 (CET)
thread_title:  Existenz mindestens einer Menge