Diskussion:Quartische Gleichung/Archiv

message: Daher erfolgt die Auslagerung in die Diskussions Seite zwecks abschließender Ausformulierung:
Da der nachfolgende Algorithmus noch nicht so richtig fehlerfrei zu sein scheint, wird an dieser Stelle zusätzlich noch auf die englische Seite Quartic equation (siehe auch Wikipedias „andere Sprachen“ Feld) verwiesen.
 Beispiel für Mangel:
 > a=1
 > b=-10
 > c=-6
 > d=-60
 > e=36
 >
 > p=(3*b*d-c^2)/12/a^2 -e/a
 > p
         111
 > q=(8*c*e-3*d^2)/24/a^2-(27*b^2*e-9*b*c*d+2*c^3)/216/a^3
 > q
         -1120
 >
 > q^2/4+p^3/27
         364253
 >
 > z=exp(ln(-q/2+sqrt(q^2/4+p^3/27))/3)+exp(ln(-q/2-sqrt(q^2/4+p^3/27))/3)
 > z^3+p*z+q
         ~1751.21943156421511923007+~1687.39755319009138312867i
 >
 > z=2*sqrt(-p/3)*cos(acos(-q*sqrt(-27/p^3)/2)/3)
 > z^3+p*z+q
         ~-.00000000000000118230-~.00000000000000001771i
Durch Division durch a bringt man die quartische Gleichung auf die Form:
x^4+px^3+qx^2+rx+s=0
Auf diese Form kann man das von Lodovico Ferrari (*1522, †1565) gefundene Lösungsverfahren anwenden:
a=A, b=B, c=C, d=D, e=E
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0
Sei nun
:::z^3 + pz + q = 0\quad\quad(2)
mit
:::*p = {3bd - c^2\over 12a^2} - {e \over a}
:::*q = {8ce - 3d^2\over 24a^2} - {27b^2e - 9bcd + 2c^3 \over 216a^3}.
Für (2) existiert eine reelle Lösung z (siehe Kubische Gleichung):
*Fall 1:  {q^2 \over 4} + {p^3 \over 27} > 0
:::z = \sqrt[3]{-{q \over 2} + \sqrt{{q^2 \over 4} + {p^3 \over 27}}} + \sqrt[3]{{-{q \over 2}} - \sqrt{{q^2 \over 4} + {p^3 \over 27}}}
*Fall 2:  {q^2 \over 4} + {p^3 \over 27} = 0
:::z = \sqrt[3]
*Fall 3:  {q^2 \over 4} + {p^3 \over 27} < 0
:::z = 2\,\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot
 \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{-q}{2}\cdot\sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)\right) 
Sei y = z + {c \over 6a}
Dann liefert die folgende Fallunterscheidung Lösungen für (1):
*Fall 1: {b y - d\over a} > 0
:::x_1 = -{b\over 4a} + \sqrt{{b^2\over 8a^2} - {y\over 2} - {c\over 4a}} + {b-2a\over 4a}\sqrt{2y + {b^2\over 4a^2} - {c\over a}} - \sqrt{y^2 - {e\over a}}
:::x_2 = -{b\over 4a} - \sqrt{{b^2\over 8a^2} - {y\over 2} - {c\over 4a}} + {b-2a\over 4a}\sqrt{2y + {b^2\over 4a^2} - {c\over a}} - \sqrt{y^2 - {e\over a}}
:::x_3 = -{b\over 4a} + \sqrt{{b^2\over 8a^2} - {y\over 2} - {c\over 4a}} - {b-2a\over 4a}\sqrt{2y + {b^2\over 4a^2} - {c\over a}} + \sqrt{y^2 - {e\over a}}
:::x_4 = -{b\over 4a} - \sqrt{{b^2\over 8a^2} - {y\over 2} - {c\over 4a}} - {b-2a\over 4a}\sqrt{2y + {b^2\over 4a^2} - {c\over a}} + \sqrt{y^2 - {e\over a}}
*Fall 2: {b y - d\over a} < 0
:::x_1 = -{b\over 4a} + \sqrt{{b^2\over 8a^2} - {y\over 2} - {c\over 4a}} + {b-2a\over 4a}\sqrt{2y + {b^2\over 4a^2} - {c\over a}} + \sqrt{y^2 - {e\over a}}
:::x_2 = -{b\over 4a} - \sqrt{{b^2\over 8a^2} - {y\over 2} - {c\over 4a}} + {b-2a\over 4a}\sqrt{2y + {b^2\over 4a^2} - {c\over a}} + \sqrt{y^2 - {e\over a}}
:::x_3 = -{b\over 4a} + \sqrt{{b^2\over 8a^2} - {y\over 2} - {c\over 4a}} - {b-2a\over 4a}\sqrt{2y + {b^2\over 4a^2} - {c\over a}} - \sqrt{y^2 - {e\over a}}
:::x_4 = -{b\over 4a} - \sqrt{{b^2\over 8a^2} - {y\over 2} - {c\over 4a}} - {b-2a\over 4a}\sqrt{2y + {b^2\over 4a^2} - {c\over a}} - \sqrt{y^2 - {e\over a}}
====Kubische Gleichung====
Der Mangel wurde durch Verweis auf den Artikel Kubische Gleichung behoben, nachdem dort derselbe Mangel beseitigt wurde. --83.129.184.57 12:46, 17. Jul 2005 (CEST)
thread_title: Korrektheit des ursprünglichen Algorithmus ist fraglich

message: Der Mangel wurde durch Verweis auf den Artikel Kubische Gleichung behoben, nachdem dort derselbe Mangel beseitigt wurde. --83.129.184.57 12:46, 17. Jul 2005 (CEST)
thread_title: [[Kubische Gleichung]]

message: *Leider unverständlich. Das Lösungsverfahren sollte nicht als "Satz" aufgebaut werden. Wenn man 4 Lösungen angibt, braucht man nichts zu beweisen, da sich der Beweis durch Einsetzen ergibt. --UlrSchimke 22:53, 2. Apr 2006 (CEST)
replies: text: Wie unverständlich? Insgesamt nicht zu verstehen? Darf ich nach der Vorbildung des Vortragenden fragen? Es bleibt dennoch ein Satz (Mathematik), weil man eben eine Behauptung aufstellt, die noch nichteinmal trivial ist. --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)
replies: text: Es empfiehlt sich, zunächst einmal mit den Rechen-Beispielen am Ende des Artikels zu beginnen, um sich so an der Funktionstüchtigkeit des Verfahrens zu erfreuen... Danach kann man sich auch selbst mal n Beispiel basteln (also 4 Nullstellen erfinden und dann die Koeffizienten ausrechnen und dann von da aus die Nullstellen ausrechnen...)... --Der Chef 07:47, 3. Apr 2006 (CEST)
replies: text:  Also eine Herleitung. OK. Aber zum Beweis braucht man ja nur am Ende die Lösuingen in die Gleichungen einzusetzen.  UlrSchimke 21:55, 3. Apr 2006 (CEST)

text:  "möglichst" heißt bei mir "möglichst"... Also eben solange unter den Möglichkeiten eine auswählen, bis keine Wahlmöglichkeit mehr übrig ist, oder bis U nicht verschwindet (sprich: ungleich 0). Dieses wird interessant für P=0 (siehe Hilfssatz A) (Beispiel: a=1, c=-1/12, dann sollte P=0 sein, so dass es dann schön wäre, wenn Q^2 für U herauskäme aber nicht 0 -- einfach mal selbst nachrechnen, wenn s beliebt...). --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)

text: Sofern keine spezielle Vorschrift angegeben ist, kann man frei unter den höchstens drei möglichen Kubikwurzeln wählen (z. B. 0 hat nur eine). Wenn man lustig ist, kann man auch alle Möglichkeiten nehmen und sich dann ggf. an den ganzen doppelten Lösungen erfreuen... --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)

text: Bei der Quadratwurzel in der Gleichung für U: siehe oben. --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)
replies: text:  Ich habe es immer noch nicht verstanden: geht es mit U = 0 gar nicht oder ist es nur umständlicher zu rechnen ? UlrSchimke 21:55, 3. Apr 2006 (CEST)
replies: text: Hmm... Ich habe nocheinmal eine Zeile weitergeguckt und es ist zwar nicht falsch mit dem "möglichst", aber durch die Fallunterscheidung, kann man auch ruhig bei P=0 die negative Quadratwurzel nehmen (weil ja nun eine division durch 0 verhindert wird)... Wie das bei dem nächsten "möglichst" ist, weiß ich nicht... --157.161.163.39 23:13, 3. Apr 2006 (CEST)

text: Das weiß ich nicht mehr. Ich würde einmal vorschlagen: Alle Koeffizienten und alle Lösungen sind reelle Zahlen. Vielleicht geht es auch mit komplexen Zahlen... Einfach mal üben... :-) --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)
replies: text:  einfach mal üben... :-) Muss ich wohl mal  :-( Wenn es keine Fallunterscheidung ist, sondern nur ein Sonderfall, würde ich es erstmal aus der zentralen Herleitung rauslassen. Mein Vorschlag: erst die allgemeine Lösung, dann ein Sonderteil mit reellen Koeffizienten (Hinweis auf die möglichen Fälle,  entweder 4 reelle Lösungen oder 2 reelle mit 2 konjugiert komplexen oder aber 4 paarweise konjugiert komplexe), dann der Sonderfall B = D = 0 etc. UlrSchimke 21:55, 3. Apr 2006 (CEST)
replies: text:  Ja, da kann man viel Zeit zubringen... :-) --157.161.163.39 23:13, 3. Apr 2006 (CEST)

text: Zu der Subtitution: siehe englische Bruder Wikipedia (die Substitution wäre dann Teil des konstruktiven beweises, der in der deutschen version noch fehlt)... --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)

text: Was an "möglichst" unverständlich ist, verstehe ich jetzt nicht... "verschwinden" ist doch klar, oder? "x verschwindet" heißt wohl soviel wie "x ist 0". --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)
replies: text:  Wieder die Frage: heißt "möglichst" "unbedingt" oder "leichter zu rechnen" ? UlrSchimke 21:55, 3. Apr 2006 (CEST)
replies: text:  Mit dieser Variante kenne ich mich gar nicht aus... --157.161.163.39 23:13, 3. Apr 2006 (CEST)

text: Unter Beweis hatte ich mir mehr den konstruktiven Beweis vorgestellt... Also das volle Programm: Substitutionen und die ganzen anderen Schritte... Die Fallunterscheidungen verständlich machen... Bin aber in Diskussion:Falsifizierbarkeit und Diskussion:Scientology hängen geblieben -- die sprechen da wirklich unverständlich -- es ist zum heulen... --Der Chef 23:23, 2. Apr 2006 (CEST)
replies: text:  Bin aber in Diskussion:Falsifizierbarkeit und Diskussion:Scientology hängen geblieben Du Armer ;-) 21:55, 3. Apr 2006 (CEST)
replies: text: Jetzt haben die auch noch meinen Account gesperrt für 6h... Und das nur, weil soeiner meinte, dass "Landesverfassungsschutz" dasselbe ist wie "Landesamt für Verfassungsschutz", obwohl in seiner eigenen Quelle ganz klar unterschieden wurde zwischen der eigentlichen Behörden-Funktion und dem ausführenden Amt... Und ein angeblicher  Jurist (User:Lung) hat meine Meinung bestätigt, aber trotzdem sagen die alle, ich wäre krank im Kopf und schreiben jetzt auch noch was von EKT... Nunja... Morgen darf ich dann wieder unter meinem Spitznamen... --157.161.163.39 23:13, 3. Apr 2006 (CEST)
thread_title:  Qualitätssicherung 

message: 1. Wir sollten konsequent von A, B, C, D, E oder a, b, c, d, e sprechen. Ich ändere jetzt mal auf große Buchstaben. 
2. Spezialfälle zusammengefasst, reelle Koeffizienten dazu  
3. Substitution aufgeführt, nach der die alpha, beta und gamma definiert werden.
UlrSchimke 00:44, 16. Apr 2006 (CEST)
replies: text: OK... Scheint Sinn zu machen... Mehr Spezialfälle ist immer nett, glaub ich... --213.54.81.181 21:24, 29. Apr 2006 (CEST)
thread_title:  meine Änderungen