Diskussion:Spektrum (Operatortheorie)

message: Ich würde an dieser Stelle gern darum bitten, dass wir diese Diskussions-Seite so strukturieren, wie es in der Wikipedia üblich ist: neue Kommentare unten anfügen, Überschriften für neue Themen. Es wäre auch schön, wenn Beiträge unterschrieben würde. Das geschieht praktischer Weise mit zwei Minus und zwei Tilden.--CWitte ℵ1 11:10, 24. Jun 2005 (CEST)
thread_title: Struktur dieser Seite

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Spektrum (Funktionalanalysis)
Der Begriff Spektrum eines Operators ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis einem Teilgebiet der Mathematik. In der endlichdimensionalen linearen Algebra betrachtet man bei Matrizen ihre Eigenwerte.
===Vergleich der Definitionen in der lineare Algebra und in der Funktionalanalysis===
In der linearen Algebra werden endlichdimensionale Räume betrachtet, das Spektrum besteht ausschlieslich nur aus Eigenwerten. Eigenwerte sind Zahlen \lambda, für die das Inverse (T - \lambda)^{-1} nicht existiert, d.h. der Operator T-\lambda ist nicht injektiv. Betrachtet man jedoch unendlichdimensionale Räume enthält das Spektrum in der Regel Punkte, die keine Eigenwerte von T sind. Hier ist es notwendig zu betrachten ob der Operator (T - \lambda) injektiv und oder surjektiv ist. Im endlichdimensionalen Fall folgt aus der Injektivität automatisch die Surjektivität, daher ist dieser Fall einfacher.  Im folgenden wird der Begriff Spektrum in der Funktionalanalysis erläutert.
===Motivaton=== 
Die Idee der Definition des Spektrums und der Resolvente eines linearen Operators in einem Bannach Raum X geht auf die Untersuchung der Lösungen linearer Gleichungen, wie (T-\lambda I)f(x) =g(x)  wobei g(x) \in X gegeben ist,  f(x) \in X gesucht wird und \lambda\in \mathbb{C} gilt hervor(Hinweis I ist der Einheitsoperator). Die Lösung könnte einfach berechnet werden, wenn uns der Operator (T-\lambda I)^{-1} bekannt wäre, nämlich f(x) = (T-\lambda I)^{-1}g(x). Des Weiteren forderen wir an die Lösung ihre Eindeutigkeit und eine stetige Abhhängigkeit der Lösung von den gegebenen Größen, daher sollte das gesuchte Inverse beschränkt und überall definiert sein. 
=== Definition des Spektrums und der Resolvente===
Im folgenden betrachten wir einen linearen Operator definiert auf einem Bannach Raum X (ein vollständiger normierter Raum), 
es ist aber auch ohne weiteres möglich einen Operator auf einem Hilbert Raum (ein vollständiger Raum mit Skalarprodukt) zu betrachten.
Eine zusätzliche Annahme ist die Struktur eines Bannach Raumes mit einer weiteren Operation zu versehen, damit wird eine sogenannte Bannach Algebra erzeugt.  
====Die Resolvente====
Sei T ein linearer, im allgemeinen unbeschränkter Operator im Bannach Raum X. Die Resolventenmenge \varrho(T) besteht aus allen komplexen Zahlen \lambda, so dass es einen auf dem gesamten Raum X definierten, beschränkten Operator R_\lambda gibt mit R_\lambda(T-\lambda I)=(T-\lambda I)R_\lambda = I.
Der Operator R_\lambda=(T-\lambda I)^{-1} heisst Resolvente des Operaors T.
====Das Spektrum====
Das Komplement zur Resolventenmenge ist das Spektrum eines Operators T und wird mit \sigma(T) = \mathbb{C}|_{\varrho(T)} bezeichnet.
Das Spektrum lässt sich in verschiedene Komponenten untergliedern.
====Das Punktspektrum====
Wenn der Operator T-\lambda I nicht injektiv ist, d.h. es existiert kein Inverses, dann ist \lambda ein Element des Punktspektrums  \sigma_p(T) von T. Die Elemente des Punktspektrums werden Eigenwerte genannt.
====Das stetige Spektrum====
Wenn der Operator T-\lambda I injektiv, jedoch nicht surjektiv ist, d.h. es existiert ein Inverses, das jedoch nur auf einem dichtem Teilraum des Bannachraumes X definiert ist, dann ist \lambda ein Element des stetigem Spektrums  \sigma_c(T) von T.
====Das Residualspektrum====
Wenn der Operator T-\lambda I injektiv, jedoch nicht surjektiv ist, d.h. es existiert ein Inverses, das jedoch nur auf einem NICHT DICHTEM Teilraum des Bannachraumes X definiert ist, dann ist \lambda ein Element des Residualpektrums  \sigma_r(T) von T.
===Besondere Eigenschaften für lineare beschränkte Operatoren===
Eigenschaft 1:
Die Resolventenmenge ist offen. D.h. für ein festes \lambda_0\in \varrho(T) gilt für jedes \lambda\in \varrho(T) |\lambda-\lambda_0|<\frac{1}{R_{\lambda_0}}
Da das Spektrum das Komplement der Resolvente ist, ist das Spektrum abgeschlossen.
Eigenschaft 2:
Das Spektrum ist in dem Kreis \{\lambda: |\lambda|\leq ||T||\} enthalten.
Eigenschaft 3:
Für jeden linearen beschränkten (stetigen) Operator T auf einem komplexen Bannach Raum ist das Spektrum nicht leer  und es kann der Spektralradius von T r(T)= \sup \{\lambda : \lambda\in \sigma(T)\} = \lim_{n\longrightarrow\infty}||T^n||^{1/n} definiert werden (d.h. der Spektralradius ist der kleinste Kreis um den Nullpunkt der das Spektrum enthält).
===Beispiele aus verschiedenen Gebieten===
===Lineare Algebra===
Bsp1:
Die Funktionen auf einer beliebigen Menge M mit Werten in der komplexen Zahlenebene \mathbb{C} bilden 
eine (assoziative) Algebra, d.h. einen Vektorraum mit zusätzlicher (assoziativer) Verknüpfung der Multiplikation, 
wobei die Summe zweier Funktionen und das Produkt zweier Funktionen punktweise definiert wird:
(f+g)(x)=f(x)+g(x) \quad (f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x).
Eine Funktion f heißt invertierbar, wenn es eine andere Funktion g gibt, so dass f\cdot g = g\cdot f= 1  ( 1 Einsfunktion) ist. 
Im einfachsten Fall ist f(x) = h(x) - \lambda = 0 die Nullfunktion zu der es natürlich kein Inverses gibt und damit ist für die Funktion h(x) der Spektralwert \lambda. 
Bsp2:
Betrachtet man die n×n-Matrizen mit komplexen Einträgen eine Algebra bezüglich der üblichen Addition und Skalarmultiplikation(komponentenweise) sowie der Matrixmultiplikation. 
Eine Matrix A  ist dabei genau dann invertierbar , wenn es eine Matrix B gibt, 
so dass A · B = B · A = 1 (Einheitsmatrix) ist. 
Dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante nicht verschwindet: det A ≠ 0. 
Eine Zahl \lambda\in\mathbb{C} ist ein Eigenwert, wenn  det (A - \lambda 1) = 0 gilt. D.h. es existiert ein Eigenvektor x ungleich 0, so dass  Ax = \lambda x gilt. 
Dies entspricht dem charakteristischen Polynom der Matrix A in \lambda. 
In der linearen Algebra bezeichnet das Spektrum einer Matrix daher die Menge der Eigenwerte.
===Funktionalanalysis===
Bsp. Multiplikationsoperator:
Wir betrachten den Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen im Intervall [0,1]  L^2[0,1] und den Operator mit folgender Wirkung (Tf)(x) = t f(x) wobei f\in L^2[0,1].
Der Multiplikationsoperator T besitzt kein Punktspektrum, aber ein kontinuierliches Spektrum nämlich das Intervall [0,1].
===Physik===
Es kann z.b. der  Hamiltonoperator H eines Elektrons im Wasserstoff-Atom betrachtet werden, die Eigenwert-Gleichung H\phi=E \phi mit \phi Zustandsvektor aus dem Hilbertraum liefert uns die Energieeigenwerte E des stationären quantenmechanischen Systems. 
===Weiterführende Begriffe===
Spektraltheorie ist die Theorie über die Darstellung eines linearen Operators mit Hilfe von Spektralscharen.
====Kommentar zum Begriff der Spektraltheorie====
Der Begriff Spektraltheorie wird auch (versteht sich doch irgendwie) für genau das, was hier im Artikel steht benutzt. Insbesondere ist die Spektraltheorie von Banach- und C*-Algebren nicht nur die Theorie der Spektralmaße. Diese ist Teil der Spektraltheorie unbeschränkter Operatoren, jdenfalls wird der Begriff in der Literatur auch so benuzt. --CWitte ℵ1 13:43, 24. Jun 2005 (CEST)
thread_title: Mein Vorschlag

message: Spektraltheorie ist die Theorie über die Darstellung eines linearen Operators mit Hilfe von Spektralscharen.
====Kommentar zum Begriff der Spektraltheorie====
Der Begriff Spektraltheorie wird auch (versteht sich doch irgendwie) für genau das, was hier im Artikel steht benutzt. Insbesondere ist die Spektraltheorie von Banach- und C*-Algebren nicht nur die Theorie der Spektralmaße. Diese ist Teil der Spektraltheorie unbeschränkter Operatoren, jdenfalls wird der Begriff in der Literatur auch so benuzt. --CWitte ℵ1 13:43, 24. Jun 2005 (CEST)
thread_title: Weiterführende Begriffe

message: Der Begriff Spektraltheorie wird auch (versteht sich doch irgendwie) für genau das, was hier im Artikel steht benutzt. Insbesondere ist die Spektraltheorie von Banach- und C*-Algebren nicht nur die Theorie der Spektralmaße. Diese ist Teil der Spektraltheorie unbeschränkter Operatoren, jdenfalls wird der Begriff in der Literatur auch so benuzt. --CWitte ℵ1 13:43, 24. Jun 2005 (CEST)
thread_title: Kommentar zum Begriff der Spektraltheorie

message: Ich habe mir mal die Freiheit genommen und den Text geändert, sowie den Teil über die spezielle Struktur des Spektrums aus der Diskussion - den ich sehr gelungen finde - einzubauen.
 
Die obige Diskussion hat ja auf jeden Fall schonmal das Ziel erreicht, dass an diesem Artikel endlich wieder geschrieben wird, und ich hoffe, dass der Artikel noch weiter verbessert wir. Klar ist aber wohl auch geworden, dass es hier zwei Ansätze gibt, die von einer verscheidenen Sichtweise auf dieses Thema herrühren. Ich denke, dass beide Aspekte - Banachalgebra-Theorie und klassiche Operatortheorie hier ihren Platz finden sollten.  Was aber auf jeden Fall geschehen sollte ist, dass wir anfangen zu diskutieren, was noch gänzlich fehlt und wo noch unbedingt verbessert werden muss. --CWitte ℵ1 15:00, 24. Jun 2005 (CEST)
thread_title: Weiteres Vorgehen

message: #Spektralmaß sollte m.E. auf jeden Fall in diesem Artikel erwähnt werden. Kannst Du, die ich Deinen Namen gar nicht kenne, nicht die Sachen, mit denen Du hier in der Diskussion angefangen hast, nicht das zusammenfassen? --CWitte ℵ1 15:06, 24. Jun 2005 (CEST)
thread_title: Was fehlt? (bitte ergänzen)

message: Hallo liebe Leute,
ich bin grad fleißig am Durchstöbern der Funk-Ana Werke von Werner und Co.
Ich bin ein wenig frustriert darüber, dass die Definition der Resolventenmenge / des Spektrums immer nur für beschränkte Operatoren (und evtl. Banachalgebren) geschieht und z.T. sogar von Standardwerken abweichend definiert wird (Kreyszig).
Kann mir jmd die GENAUE!!! Definition für den allgemeinen Fall geben und dabei auch darauf Acht geben, dass die Inverse tatsächlich nur dann existiert, wenn ein Operator bijektiv ist (nicht nur injektiv)?
Also z.b. T:D(T)->Y => T^-1:Y->D(T) ...nicht nur T^-1:R(T)->D(T)...
Außerdem wäre es schön, wenn die Definition auch unbeschränkte nicht abschließbare Operatoren berücksichtigt und mögliche Erweiterungen von vornherein ankündigt (z.B. Erweiterungen von beschränkten Operatoren auf den gesamten Banachraum).
Um in Fachkreisen nicht verpönt zu werden:
Mir ist noch nicht klar, in welchem Rahmen die Definition einer Resolventenmenge überhaupt noch Sinn macht. Ich sehe nach längerem Vergleichen auch nicht die Equivalenz verschiedener Varianten. Auch habe ich die Wiki-Seite hier bereits gelesen.
Ich wäre demjenigen zu tiefstem Dank verpflichtet!!!!!! DANKE!!!
Viele Grüße --Freeze S 19:11, 24. Jan. 2012 (CET)
thread_title:  Definitionen (Varianten) 

message: Im Abschnitt Definition steht der Begriff "eigentlicher Operator". Dieser wird dort als Vektorraumendomorphismus erklärt. Ist das so richtig? Gibt es den Begriff wirklich? Sollte er dort so verwendet werden? --Christian1985 (Diskussion) 17:58, 10. Apr. 2012 (CEST)
thread_title:  Eigentlicher Operator 

message: Im Artikel steht: „Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators (…) kann in drei Teile zerlegt werden:
Das Punktspektrum (…) besteht aus der abzählbaren Menge der Eigenwerte, die Element von \mathbb R bzw. \mathbb C sind (…)“
Ein selbstadjungierter Operator hat doch nie komplexe Eigenwerte oder bin ich da falsch gewickelt?--129.13.72.198 13:50, 5. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Völlig richtig. Es muss ja (A x, x) = (x, A x) gelten und das Skalarprodukt ist hermitesch.  Habe ich mal geändert. -- pberndt 08:33, 3. Feb. 2014 (CET)
replies: text: Das „bzw. \Complex“ bezog sich auf die davor erwähnten normalen Operatoren, ich stell’s also mal wieder her. -- HilberTraum (Diskussion) 09:27, 3. Feb. 2014 (CET)
replies: text: Oh, das ist aber unglücklich gemacht. Jetzt wo Du's sagst, klar. Aber vorhin ist mir das tatsächlich nicht aufgefallen. Danke jedenfalls für's aufmerksame gegenlesen ;-) -- pberndt 09:38, 3. Feb. 2014 (CET)
thread_title:  Zur Spektralzerlegung