Diskussion:Hyperreelle Zahl

message: Die Behauptung, die hyperreellen Zahlen wie hier definiert bildeten einen Koerper, ist falsch. Das gelaeufige Gegenbeispiel ist das Produkt der Folgen (0,1,1,1,...) und (1,0,0,0,...), welches die Null-Folge (0,0,0,0,...) ist, obwohl die Faktoren von Null verschieden sind. Somit ist ein Ring definiert, dieser aber nicht Nullteilerfrei, also kein Koerper (u.a. mit multiplikativem Inversen fuer alle Nichtnullelemente).
Zumindest die Aequivalenzrelation, die erzeugt wird, indem endliche Folgen zu Null aequivalent definiert werden, sollte erwaehnt werden. Damit wird man dieses Beispiel los, da der erste Faktor in der 0-Klasse und der zweite in der 1-Klasse liegt.
Womit sich sofort das naechste Beispiel anbietet, das Produkt der periodischen Folgen (0,1,0,1,...) und (1,0,1,0,...). Dieses wird man erst mit einer Ultrafilterkonstruktion los, um einen Faktor in die Aequivalenzklasse der Null zu bekommen. Das sprengt allerdings den Rahmen einer Einfuehrung. Es sollte auf jeden Fall erwaehnt werden, dass diese Konstruktion von Infinitesimalen von Abraham Robinson eingefuehrt wurde.
Im uebrigen sei auf den Vatikan-Vortrag des NSA-IST-Erfinders Edward Nelson verwiesen, in welchem er einen recht zwanglosen Zugang zu i-kleinen Zahlen entwickelt.
http://www.math.princeton.edu/~nelson/papers/s.pdf
MfG Lutz Lehmann
:Hab die erwähnten Probleme gelöst, indem ich den englischen Artikel übersetzt hab. Danke für den Hinweis auf dieses Problem. --SirJective 23:08, 21. Dez 2003 (CET)
replies: text: "Obere Grenze" ist offenbar ein Synonym für Supremum, vgl. dort.--Gunther 15:19, 4. Jan 2006 (CET)
thread_title: Fehler und Probleme

message: Wieso hast du die Motivation für das Ultraprodukt rausgenommen? Ich fand die eigentlich ganz gut, gerade wenn man sich an Menschen wendet, die mit Ultrafiltern noch nichts zu tun hatten, dass man eben eine konsistente Wahl von „Priorisierungen“ sucht, sodass endlich viele Unterschiede nichts ausmachen. Ansonsten sieht es gut aus. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 18:42, 23. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Guter Hinweis. Die Idee gefiel mir schon, aber die Umsetzung im ursprünglichen Artikel nicht. Eine Motivation täte dem Artikel gut, denn der Artikel ist genau für die Leute geschrieben, die keine Ultrafilter (in der Modelltheorie) kennen, denn für die anderen könnte man einfach das Ultraprodukt einführen. Ich schaffs jetzt nicht, dass direkt reinzueditieren, kannste gerne machen, oder ich mach das am WE.--Frogfol (Diskussion) 21:44, 23. Aug. 2012 (CEST)
thread_title:  Anmerkung 

message: Ich weiß nicht genau, ob ich so hundertprozentig einverstanden bin mit der Ergänzung. Grundsätzlich ist mE nichts gegen zutreffende Ergänzungen einzuwenden. Und man kann sich dadurch sicher einen Eindruck von *R aus Standard-Sicht machen. Ich hab aber den Verdacht, dass diese Ergänzungen nicht ganz in die richtige Richtung gehen. Was gezeigt wird, ist, dass *R eine Reihe von standard-Eigenschaften nicht hat. Das ist aber klar, denn *R ist keine Standard-Struktur. Interessanter wären die Fragen (und ich glaub die non-stand-Analysis geht dahin) ob in zB in *R alle *Cauchy-Folgen *konvergieren. Und klar, *R ist *archimedisch usw. Schön wäre es, wenn man noch hinzufügt, welche *Eigenschaften *R hat.
Abbesehen davon folgen die im Abschnitt erwähnten Eigenschaften alle daraus, dass *R ω_1 saturiert ist, das ergänze ich mal.--Frogfol (Diskussion) 14:27, 26. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Cauchy-Folgen sind recht uninteressant, die werden nämlich stets konstant und konvergieren damit. Was dagegen zu betrachten ist, sind wohl Cauchy-Hyperfolgen, also mit hypernatürlichen Zahlen (die sollten hier auch erwähnt werden, und dann eben auch *archimedisch) indizierte Folgen. Wie das genau bei denen aussieht mit Konvergenz, habe ich aber nicht rauskriegen bekommen, ebenso wenig, wie es mit Cauchy-Filtern aussieht. --Chricho ¹ ² ³ 14:49, 26. Aug. 2012 (CEST)
replies: text:  Hypernatürliche Zahlen? Ich finde zu diesem Begriff keinen Artikel bei Wikipedia. --Wikilaser (Diskussion) 01:14, 28. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Liegt daran, dass es in der deutschen keinen gibt. Siehe en:Hypernatural. --Chricho ¹ ² ³ 02:39, 28. Aug. 2012 (CEST)

text: Mir ist nicht ganz klar, worauf du dich beziehst. Von Cauchy-Folgen hatte ich gar nicht gesprochen, sondern von *Cauchy-Folgen.--Frogfol (Diskussion) 14:56, 26. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Gut, dann hab ich an der Stelle den * überlesen. --Chricho ¹ ² ³ 15:07, 26. Aug. 2012 (CEST)

text: Auf jeden Fall stimme ich dir zu, dass man das deutlich machen sollte, was die entsprechenden Nichtstandard-Eigenschaften sind. --Chricho ¹ ² ³ 15:10, 26. Aug. 2012 (CEST)
thread_title:  Weitere Eigenschaften 

message: Im Absatz über die elementaren Eigenschaften der Hyperreellen Zahlen steht folgender Satz:
: "Eine weiterer Unterschied: Die reellen Zahlen sind reellen Zahlen sind ordnungsvollständig,..."
Wenn ich ihn richtig verstehe, müßte er doch eigentlich lauten: "Eine weiterer Unterschied: Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig,..."
--Wikilaser (Diskussion) 16:08, 26. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Habe es behoben. --Chricho ¹ ² ³ 16:16, 26. Aug. 2012 (CEST)
thread_title:  Doppelt gemoppelt? 

message: Im Artikel steht des öfteren "die hyperreellen Zahlen". Ist denn der Körper der hyperreellen Zahlen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt? Und wenn ja, durch welche Eigenschaften? --Digamma (Diskussion) 21:17, 23. Okt. 2014 (CEST)
replies: text: Weiter unten steht, mit der Kontinuumshypothese schon. Könnte man ruhig mal etwas mehr zu schreiben. --Jobu0101 (Diskussion) 23:44, 26. Okt. 2019 (CEST)
thread_title:  Eindeutigkeit 

message: Ich bin durch den Artikel noch nicht durch, habe aber Verbesserungsvorschläge dazu.
1. Im Artikel heisst es:
Die Prototypen für „unendliche große“ Zahlen sind in dieser Menge Folgen, die irgendwann größer als jede reelle Zahl werden ...
Folgen können nicht grösser als eine reelle Zahl sein oder werden, ihre Elemente aber schon. Ich schlage also folgende Änderung vor: 
Die Prototypen für „unendliche große“ Zahlen sind in dieser Menge Folgen, deren Elemente irgendwann größer als jede reelle Zahl werden ...
2. Im Abschnitt "Konstruktion" wird für die Äquivalenzrelation der Begriff "unwesentliche Menge" eingeführt. Aber anstatt diesen Begriff einfach zu definieren und zu motivieren wird die folgende Frage gestellt:
Was ist nun die Menge aller unwesentlichen Mengen?
Diese Argumentationslinie erscheint mit unnötig kompliziert zu sein.
3. Ebenso im Abschnitt "Konstruktion": Um die Tasache zu begründen, dass das Komplement einer endlichen Teilmenge einer unendlichen Menge wieder eine unendliche Menge ist, ist der Verweis auf das Beispiel mit p und q eher verwirrend.
Viele Grüsse.
--JWS 00:20, 23. Dez. 2014 (CEST)
thread_title:  Verbesserungsvorschläge 

message: Es steht da: eine bestimmte Teilmenge nicht enthält, dann deren Komplement. 
Sind damit nur die unendlichen Teilmengen gemeint? Oder auch die endlichen?
88.67.203.240 15:44, 25. Dez. 2015 (CET)
replies: text: Das gilt für alle Teilmenge und das ist auch wichtig, sonst hätte man so direkt einen Nullteiler gefunden. --Jobu0101 (Diskussion) 23:42, 26. Okt. 2019 (CEST)
thread_title:  eine bestimmte Teilmenge nicht enthält, 

message: Aus dem Artikel:  "Ist x eine endliche hyperreelle Zahl, dann gibt es genau eine reelle Zahl st(x), so dass x − st(x) infinitesimal ist". Hm, und wenn x bereits reell ist? Sollte es nicht statt "infinitesimal" - "infinitesimal oder null" heißen?--134.100.6.32 14:29, 24. Aug. 2016 (CEST)
replies: text: Null ist auch infinitesimal. --Digamma (Diskussion) 15:28, 24. Aug. 2016 (CEST)
thread_title:  Standardteil 

message: Es ist kein Körper, da Körperaxiome nicht erfüllt.  So wie's im Artikel steht ist es Quatsch mit Soße.
--87.177.148.45 11:59, 20. Sep. 2016 (CEST)
replies: text: *R wird als elementare Erweiterung von R konstruiert. Da die Körperaxiome trivialerweise erster Stufe sind, ist es also selbstverständlich ein Körper! Da nützen auch die starken Sprüche nichts! --Mini-floh (Diskussion) 14:10, 20. Sep. 2016 (CEST)
replies: text:  Da hat Mini-floh aber recht gesprochen. Weiter so! --Jobu0101 (Diskussion) 23:40, 26. Okt. 2019 (CEST)
thread_title:  Kein Körper