Diskussion:Untermannigfaltigkeit

message: Sei M eine m-dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit des \mathbb{R}^n und x\in M. Ein Vektor v\in\mathbb{R}^n heißt Tangentialvektor an M im Punkt x, falls es eine differenzierbare Kurve \gamma:(-\epsilon,\epsilon)\rightarrow M mit \left.\gamma(0)=x\right. und \dot\gamma(0)=v gibt.
Betrachtet man t\in(-\epsilon,\epsilon)\mapsto\gamma(t) als Bahnkurve eines sich auf der Untermannigfaltigkeit M bewegenden Teilchens, so passiert dieses Teilchen zur Zeit t=0 den interessierenden Punkt x gerade mit der Geschwindigkeit v.
Die Menge T_x M aller Tangentialvektoren an M im Punkt x\in M ist ein m-dimensionaler linearer Raum und wird als Tangentialraum an M im Punkt x bezeichnet.
Definitionsgemäß lässt sich die Untermannigfaltigkeit in einer Umgebung U_{\bar{x}} des Punktes \bar{x}\in M als reguläre Nullstelle einer Funktion f:U_{\bar{x}}\rightarrow \mathbb{R}^{n-m} darstellen. Sei \gamma:(-\epsilon,\epsilon)\rightarrow U_{\bar{x}}\cap M eine beliebige stetig differenzierbare Kurve mit \gamma(0)=\bar{x}. Da diese auf der Mannigfaltigkeit verläuft, erfüllt sie die Gleichung f(\gamma(t))=0. Ableiten nach t an der Stelle t=0 ergibt D f(\gamma(t))\dot\gamma(t)|_{t=0}=0, woraus folgt:
Der Tangentialraum T_x M ergibt sich gerade als Kern der zu f gehörigen Jacobi-Matrix D f(\bar{x}), das heißt, es gilt T_{\bar{x}} M=\{v\in\mathbb{R}^n\mid D f(\bar{x}) v = 0\}.
Hat man eine (lokale) reguläre Parameterdarstellung g:\Omega\subset\mathbb{R}^m\rightarrow M gegeben, die einen Parameterpunkt p\in\Omega in x\in M abbildet, so lässt sich der Tangentialraum an M in x auch als volles Bild der zugehörigen Jacobi-Matrix Dg(p) darstellen:
:T_x M = \{
Dg(p)u
 \mid
u\in\mathbb{R}^m
\}.
Die Relation T M := \{ (x,v)\in M\times \mathbb{R}^n\mid v\in T_x M \}, die jedem Punkt x\in M alle Tangentialvektoren an M in diesem Punkt zuordnet, heißt Tangentialbündel von M.
Sei M eine mindestens zweimal stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des \mathbb{R}^n und \bar{x}\in M beliebig.
Aus einer lokalen Darstellung M\cap U_{\bar{x}} = \{ x\in U_{\bar{x}}\mid f(x) = 0 \} von M in einer Umgebung U_{\bar{x}} von \bar{x} lässt sich eine lokale Darstellung von TM  konstruieren:
: TM \cap (U_{\bar{x}}\times\mathbb{R}^n) = \{
(x,v)\in U_{\bar{x}}\times\mathbb{R}^n
\mid
f(x)=0 \mbox{ und }
Df(x)v = 0
\}.
Damit ist TM eine 2m-dimensionale (mindestens einmal) stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des \mathbb{R}^{2n} (im Sinne der üblichen Identifikation des \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n mit dem \mathbb{R}^{2n}).
--TN 15:36, 7. Mai 2006 (CEST)
thread_title: Tangentialvektoren/Tangentialraum/Tangentialbündel

message: Muss eine Untermannigfaltigkeit selbst eine Mannigfaltigkeit sein? -- 84.61.185.188 17:22, 17. Jun 2006 (CEST)
replies: text: Ja. Das ist genauso wie bei Vektorräumen. Man definiert erst was eine Untermannigfaltigkeit beziehungsweise ein Untervektorraum ist und zeigt dann, dass dies wieder eine Mannigfaltigkeit bzw. ein Vektorraum ist. --Christian1985 (Diskussion) 16:13, 4. Nov. 2010 (CET)
thread_title:  Frage 

message: In der Definition werden ja Karten verwendet. Das spricht dafür, dass es um eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (oder eine Mannigfaltigkeit mit einer anderen durch einen Atlas gegebene Struktur) geht. 
Wie ist das mit topologischen Mannigfaltigkeiten? Gilt da die Definition entsprechend? -- Digamma 19:18, 5. Dez. 2010 (CET)
replies: text: Wenn der Begriff bei topologischen Mannigfaltigkeiten genauso definiert wird und auch eine Rolle spielt, dann sollten wir den Artikel entsprechend ergänzen. Hast du Literatur dazu? --Digamma (Diskussion) 12:19, 20. Okt. 2012 (CEST)
replies: text:  Die erste Quelle, die ich jetzt gefunden habe, ist Seite 47f. von Tamura: Topology of Foliations. Dort werden allgemein Untermannigfaltigkeiten von C^r-Mannigfaltigkeiten für r=0,1,\ldots,\infty definiert, r=0 ist der topologische Fall. Eine deutschsprachige Quelle dürfte wohl Stöcker-Zieschang sein, aber das Buch habe ich jetzt nicht zur Verfügung. Und eine Standard-Referenz für topologische (ausdrücklich nicht-differenzierbare) Mannigfaltigkeiten ist eigentlich Kirby-Siebenmann, was ich jetzt aber auch nicht hier habe. Allgemein muss man sagen, dass viele Lehrbücher tatsächlich nur differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Untermannigfaltigkeiten betrachten, wahrscheinlich weil man für diese den Satz über implizite Funktionen anwenden und Untermannigfaltigkeiten dann als Levelmengen regulärer Werte von Funktionen bekommen kann. Trotzdem sollte man die topologische Definition jedenfalls erwähnen und falls jemand in seiner Bibliothek Stöcker-Zieschang zu stehen hat, wäre das wohl eine gute deutschsprachige Quelle. --Suhagja (Diskussion) 07:49, 21. Okt. 2012 (CEST)
thread_title:  Differenzierbar oder topologisch 

message: Gehört das wirklich in den Artikel. Da in dem Abschnitt wird die Untermannigfaltigkeit ja nur als Mannigfaltigkeit aufgefasst. Die Untermannigfaltigkeit ist orientierbar, wenn sie als Mannigfaltigkeit orientierbar ist. Interessant wäre das m.E. nur, wenn man auf den Zusammenhang mit der Orientierung der umgebenden Mannigfaltigkeit und die Orientierbarkeit des Normalenbündels eingehen würde. 
Das geschieht zwar am Beispiel des Möbiusbands, aber nur sehr oberflächlich. Das Möbiusband hat aber einen eigenen Artikel, wo das besser aufgehoben wäre. Wir haben außerdem einen Artikel über die Orientierbarkeit von Flächen. Wir haben außerdem den Artikel Untermannigfaltigkeit des Rn. --Digamma (Diskussion) 20:19, 10. Nov. 2016 (CET)
thread_title:  Orientierbarkeit