Diskussion:Unbedingt konvergente Reihe

message: Ich kenne unbedingte Konvergenz so, dass es sich um die Konvergenz des Netzes der endlichen Partialsummen handelt, d. h. man nimmt die gerichtete Menge der endlichen Teilmengen der Indexmenge und ordnet jeder die entsprechende Partialsumme zu. Für Banachräume (und, was jetzt aber nur meine persönliche Überlegung gerade war, A1-Räume) ist das jedenfalls äquivalent, aber wie sieht das allgemein mit topologischen Vektorräumen aus, insbesondere bei welchen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen? (wenn man eine abzählbare Umgebungsbasis von x hat, kann man das Netz gut in eine Reihe umbauen, die konvergiert, und das eben auch in beliebiger Reihenfolge, ohne kann ich mir das gerade nicht vorstellen) --Chricho ¹ ² ³ 02:42, 8. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Ok, für nicht A1-Räume ist es nicht äquivalent, wie man etwa leicht an \R^\R mit der Produkttopologie sieht: Betrachte die Summe aller Funktionen f_y(x)=\delta_{xy}. In der hiesigen Definition ist die Summe natürlich nicht unbedingt konvergent, in der über das Netz schon. Kann jemand einschätzen in wie weit sich die beiden verschiedenen Definitionen angewandt auf allgemeine topologische Vektorräume finden? --Chricho ¹ ² ³ 16:47, 23. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Die Konvergenz des Netzes der endlichen Partialsummen gegen ein x nennt man gemeinhin Summierbarkeit gegen x und diese ist bei abzählbarer Indexmenge äquivalent zur unbedingten Konvergenz gegen x, sogar in beliebigen topologischen Gruppen. Der Beweis ist vergleichsweise einfach, ich habe allerdings keine Quelle dafür. Mit A1-Räumen hat das nichts zu tun, auch in nicht-A1-Räumen können Folgen konvergieren. Im Deinem Beispiel in \R^\R scheitert die unbedingte Konvergenz daran, dass per Definition nur abzählbar viele Elemente der Familie ungleich 0 sein dürfen. Aber auch in \R^\R gilt meines Wissens die Äquivalenz für abzählbare Familien. Wenn Du weitere Einzelheiten brauchst, kann ich die hier gerne noch anfügen.--FerdiBf (Diskussion) 17:39, 25. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Hm, ich habe das schon von zwei Professoren unter dem Namen unbedingte Konvergenz gehört, aber eben nur für Banachräume, mal gucken, ob ich Literatur finde. Dass es bei abzählbarer Indexmenge äquivalent ist, ist ja klar. Und aus unbedingter Konvergenz im Sinne hier folgt stets die Netzkonvergenz. Mit A1 hat es meines Erachtens schon zu tun: Sei ein solches Netz von Partialsummen (P_K)_{K\subset I} (K endlich) zu einer Familie von Punkten (a_i)_{i\in I} in einer topologischen, hausdorffschen (sonst haben wir eben „mehrere Nullen“) A1-Gruppe gegeben, das gegen x konvergiert. Wähle abzählbare Umgebungsbasis (U_n)_{n\in\N} zu x. Zu jedem n gibt es eine endliche Teilmenge K_n\subset I, sodass für alle endlichen Obermengen von L\supset K gilt P_L\in U_n. Dem entsprechend ist die Folge (Q_n):=(P_{\bigcup\{K_m \mid m<n\}})_{n\in\N} konvergent gegen x und alle a_i, für die i nicht in der abzählbaren Menge \bigcup \{K_n\} liegt, müssen 0 sein, denn andernfalls wäre x durch ein U_n von x+a_i getrennt (und zwar symmetrisch, also so, dass U_n\cap a_i+U_n=\emptyset), es müsste aber P_{K_n\cup\{i\}}=P_{K_n}+a_i\in U_n sein, Widerspruch, also a_i=0. Ob es jetzt eine topologische nicht-A1-Gruppe gibt, in denen alle summierbaren Familien nur an abzählbar vielen Stellen ungleich 0 sind, sei dahingestellt. --Chricho ¹ ² ³ 19:00, 25. Sep. 2012 (CEST)

text: Kennst du vielleicht irgendeine mehr oder minder Monographie, die den Begriff in topologischen Vektorräumen darstellt? Damit man etwas hat, an das man sich da halten kann? --Chricho ¹ ² ³ 02:28, 21. Okt. 2012 (CEST)
replies: text: Ich stimme dir zu Chricho. Ich glaube auch, dass die beiden Begriffe nicht äquivalent sind in nicht A1-Räumen. Das Problem ist ja immerhin ob Folgen ausreichen die Konvergenz von Netzen zu implizieren (dazu letzter Abschnitt von Summary) --Freeze S (Diskussion) (23:30, 2. Jan. 2014 (CET)
thread_title:  Definition über Netze 

message: Der Absatz "Eindeutigkeit des Grenzwerts" behauptet, es gäbe Reihen, bei denen jede Umordung konvergiert und es insgesamt nur zwei Grenzwerte gibt. Das ist falsch! Es gibt Reihen, deren konvergente Umordnungen nur zwei mögliche Werte haben, dazu gibt es auch divergente Umordnungen. Ganz im Gegenteil: Mit Hahn-Banach zeigt man leicht, dass wenn jede Umordnung einer Reihe in einem lokalkonvexen Raum einen Limes hat, dieser immer derselbe sein muss. Ich werde diesen Absatz daher entfernen.--FerdiBf (Diskussion) 17:54, 25. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Könntest du das einfügen, dass die Eindeutigkeit sich automatisch aus der Konvergenz ergibt und warum? --Chricho ¹ ² ³ 19:58, 25. Sep. 2012 (CEST)
thread_title:  Eindeutigkeit des Grenzwerts 

message: Absolute und unbedingte Konvergenz sind nur im Endlichdimensionalen äquivalent. Daher gibt es vermutlich auch unterschiedliche Begriffe. --Christian1985 (Disk) 17:41, 11. Apr. 2023 (CEST)
thread_title:  Absolute Konvergenz