Diskussion:Reiner und gemischter Zustand

message: Als Leser dieses Artikel stellen sich mir unwillkürlich folgende Fragen:
* Was ist ein Zustand? Da bedarf es eines gescheiten Links.
* Was ist das Reine an diesem Zustand? Mathematisch gehört eine irreduzible Darstellung dazu. Zumindest die Rolle in einem quantemechanischen System sollte erläutert werden.
* Welche physikalische Bedeutung steckt dahinter?
Dadurch würde dieser Artikel eine engere Bindung an den Rest der Welt erfahren. Das wünsche ich mir. --FerdiBf 16:46, 16. Sep. 2008 (CEST)
thread_title:  Verbindung zum Rest der Welt 

message: Sei \{|\alpha \rangle\} ein vollständiges normiertes System von Eigenzuständen des Hamiltonoperators und seien die Zustände nicht unbedingt orthogonal. Im folgenden seien die Zustände immer aus dieser Menge. Dann ist \sum _n |n\rangle\langle n| E_n der Hamiltonoperator, \hat \rho = \sum _m p_m |m\rangle \langle m| der Dichteoperator, \hat H |\nu \rangle = E_\nu |\nu \rangle die Eigenwertgleichung des Hamiltonoperators.
Der Erwartungswert des Hamiltonoperators ist nun:
:Sp(\hat \rho \hat H)=\sum _\alpha \langle \alpha | \sum _m p_m |m\rangle \langle m| E_\alpha |\alpha \rangle 
:=\sum _m p_m \sum _\alpha \langle \alpha |m\rangle \langle m|\alpha \rangle E_\alpha 
(vertausche nur Zahlen)
:=\sum _m p_m \langle m| \sum _\alpha E_\alpha |\alpha \rangle \langle\alpha | |m\rangle 
:=\sum _m p_m \langle m| \hat H |m\rangle =\sum _m p_m E_m \langle m|m\rangle =\sum _m p_m E_m 
::Schnell eine Antwort (vielleicht hab ich noch was übersehen): Du rechnest den Erwartungswert der Energie aus, nicht den Anteil, mit dem ein Zustand im Gemisch anzufinden ist. - Orthogonaliät reingesteckt? Ich glaube nicht. H-Eigenzustände zu verschiedener Energie sind zwar automatisch orthogonal, aber Du schließt wohl an keiner Stelle den Fall der Entartung aus. - Daher hast Du mit Deiner Rechnung recht, ich aber mit meiner anders gelagerten Aussage auch.--jbn (Diskussion) 18:42, 6. Apr. 2013 (CEST)
replies: text: Wie berechne ich den Anteil mit dem ein Zustand im Gemisch anzufinden ist? So <n| \hat \rho |n>=\sum _m p_m |<m|n>|^2=w_n? Du hast recht - der Zustand wird mit w_n gewichtet . Aber die Erwartungswerte werden mit p_m gewichtet. Wie ich gerade sehe, hast du das bereits in deinem aller ersten Post geschrieben. Danke, dass du so geduldig mit mir warst!!! PS: Stimmt Entartung wird natürlich nicht ausgeschlossen. ich kann einen hermiteschen Hamiltonoperator immer durch eine hermitesche Matrix darstellen und diese dann diagonalisieren--biggerj1 (Diskussion) 18:54, 6. Apr. 2013 (CEST)
replies: text: Damit man das für einen beliebigen Operator O sehen kann (der ev. eine andere Eigenbasis hat als der Hamiltonoperator), muss man die Eigenvektoren des Hamiltonoperators in der Eigenbasis von O projezieren (d.h. man schiebt einen geschichten Einheitsoperator ein). Kurze Skizze: Bezeichne dazu im folgenden die Eigenvektoren von O mit \gamma: \hat O |\alpha \rangle = \sum _\gamma O_\gamma \langle \gamma|\alpha \rangle |\gamma \rangle. Dann kann man oben bei =\sum _m p_m \langle m| \sum _\alpha E_\alpha |\alpha \rangle \langle\alpha | |m\rangle  statt E_\alpha |\alpha \rangle (zu einem analogen Zwischenergebnis kommt man, wenn man Sp(\hat \rho \hat O) ausrechnet und dabei der Einfachheit halber \hat O |\alpha \rangle = |q_\alpha>  substituiert) den Ausdruck \hat O |\alpha \rangle einsetzen und sehen, dass das \sum _m p_m \langle m| \hat O |m\rangle rauskommt.--biggerj1 (Diskussion) 10:26, 31. Jul. 2013 (CEST)
thread_title:  Rechnung 

message: Das Gegenstück zu einem reinen Zustand ist ein Zustandsgemisch, bei dem sich das System mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten in einem der reinen Zustände befindet. (Das ist nicht das Erkennungszeichen für Gemisch, denn das ergibt sich auch schon, wenn man einen reinen Zustand nach einer anderen Basis entwickelt. Z.B. wenn man in einem reinen Energieeigenzustand nach Ortseigenzuständen guckt.) Für jede der Wahrscheinlichkeiten gilt, dass sie im Intervall von Null bis eins liegen muss und ihre Summe Eins ergibt.
Sind die reinen Zustände orthogonal zueinander und befindet sich das System mit den Wahrscheinlichkeiten p_i in den reinen Zuständen |\psi_i\rangle, so ist der Dichteoperator:
:\hat \rho = \sum_i  p_i |\psi_i\rangle \langle\psi_i|\ .
Sind die reinen Zustände |\psi_i\rangle nicht orthogonal zueinander, so wird durch die obige Gleichung immernoch ein gültiger Dichteoperator erzeugt. Durch den Dichteoperator werden die Erwartungswerte eines Operators in den einzelnen reinen Zuständen |\psi_i \rangle mit den Gewichten p_i gewichtet. das ist ungenau: es gibt die "Erwartungswerte eines Operators", aber was genau ist "Erwartungswerte der einzelnen reinen Zustände"?Antwort: habe "Operator" eingefügt. Die Rechnung dazu siehst du oben beim Erwartungswert des Hamiltonoperators: Der Erwartungswert des Hamiltonoperators setzt sich aus den mit p_m gewichteten Erwartungswerten des Hamiltonoperators in den einzelnen Zuständen {|m>} zusammen <\hat H>=\sum _m p_m E_m   Allerdings ist die Aussage, dass sich das System dann mit der Wahrscheinlichkeit p_i im Zustand |\psi_i\rangle befindet falsch, denn der Anteil den der Zustand |\psi_\alpha \rangle am Gemisch hat, berechnet sich über |\langle \psi_\alpha |\hat \rho |\psi_\alpha\rangle=\sum_i p_i |\langle \psi_\alpha|\psi_i\rangle|^2 \neq p_\alpha.
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::Kritik habe ich oben klein eingefügt. Mein Gegenvorschlag:
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Das Gegenstück zu einem reinen Zustand ist ein Zustandsgemisch. Ein Zustandsgemisch liegt vor, wenn es keinen einzelnen reinen Zustand gibt, in dem sich mit Wahrscheinlichkeit 1 das System befindet. Diese häufige Situation entsteht z. B., wenn man das System wiederholte Male präpariert und dabei mit Wahrscheinlichkeiten  p_i einen der reinen Zustände |\psi_i\rangle erzeugt.Für jede der Wahrscheinlichkeiten gilt, dass sie im Intervall von Null bis Eins liegen muss und die Summe über alle Wahrscheinlichkeiten Eins ergibt. Die Zustände |\psi_i\rangle müssen dabei nicht orthogonal zueinander sein. Dann ist der Dichteoperator:
:\hat \rho = \sum_i  p_i |\psi_i\rangle \langle\psi_i|\ .
Sind die reinen Zustände |\psi_i\rangle orthogonal zueinander, dann gibt das Gewicht p_i die Wahrscheinlichkeit dafür an, das System im reinen Zustand |\psi_i\rangle zu finden. Sind sie nicht orthogonal, gilt das nicht, denn der Anteil den ein beliebiger Zustand |\psi_\alpha \rangle am Gemisch hat, berechnet sich über |\langle \psi_\alpha |\hat \rho |\psi_\alpha\rangle=\sum_i p_i |\langle \psi_\alpha|\psi_i\rangle|^2 \neq p_\alpha.
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::Verständlich? Lesbar? Richtig?--jbn (Diskussion) 22:57, 6. Apr. 2013 (CEST)
replies: text: Ich habe in deinem Vorschlag noch die Fußnote rein. Ich finde auch sowas sollte explizit gesagt werden und nicht immer implizit vorausgesetzt werden (obwohl es irgendwann selbstverständlich wird). Also ich finde deinen Vorschlag auch gut - bitte baue ihn ein :) Vielleicht kannst du dir trotzdem meine Antwort auf den 2ten Einwand von dir zu meinem Vorschlag anschauen, wenn die Antwort gültig ist, sollte das imho auch noch rein. --biggerj1 (Diskussion) 11:08, 7. Apr. 2013 (CEST)
replies: text: Ich habs jetzt alles im Artikel übernommen (den Fehler mit den Betragsstrichen behoben). Lies mal drüber!--jbn (Diskussion) 12:09, 7. Apr. 2013 (CEST)
replies: text: Sieht jetzt doch gut aus. Danke--biggerj1 (Diskussion) 13:16, 7. Apr. 2013 (CEST)
thread_title: Vorschlag 

message: Als ich gestern einiges neu formuliert habe, musste ich einen Punkt offen lassen, der mir eigentlich wichtig ist (ich habe leider keinen Zugriff auf Literatur): Nennt man Zustandsgemische (lieber wäre mir, falls gebräuchlich, das Wort Mischzustände) gleich, wenn die Rezeptur die gleiche ist, oder nur, wenn man sie durch Messungen unterscheiden kann? Ich würde gern das Zweite schreiben: „Verschiedene Mischungen können den gleichen Mischzustand ergeben.“ und dann vielleicht weiter: „Verschieden zusammengesetzte Mischungen ergeben genau dann den gleichen Mischzustand, wenn die dazu gebildeten Dichteoperatoren gleich sind.“  Im Artikel kommt das nicht zum Ausdruck. Da steht ja dann z.B., dass verschiedene Mischungen die gleiche Dichtematrix ergeben können. Ich habe erst mal nichts geändert. Aber für mich sind Zustände nur dann verschieden, wenn sie sich physikalisch unterscheiden. Wie spricht die Literatur?– Binse (Diskussion) 17:40, 30. Apr. 2020 (CEST)
thread_title:  Wann sind Zustandsgemische gleich?