Diskussion:Extremwert

message: Habe den Artikel wegen der aktuellen Fragestellung mal ins Review gestellt. Hoffe, dass sich weitere Mathematiker beteiligen. --Langec ☎ 15:17, 6. Mär 2005 (CET)
thread_title:  Review 

message: Dieser Artikel nennt die geläufigen hinreichenden Kriterien für Extremwerte einer Funktion f: R -> R. Gunther bringt nun einige Gegenbeispiele dafür, nämlich verschiedene Funktionen der Art \sin(\frac{1}x), die er bei x=0 stetig fortsetzt. Es wäre schön, wenn sich das mal ein paar Mathematiker angucken könnten. Ich als Informatiker habe leider keine vollwertige Analysis-Ausbildung genossen :-( Aber ich will mich gerne an einer Überarbeitung des Artikels beteiligen, denn die ist ohnehin nötig. --Langec ☎ 15:14, 6. Mär 2005 (CET)
replies: text: Kleine Korrektur: ich zweifle nicht die Korrektheit der hinreichenden Kriterien an, die Beispiele sollen nur zeigen, dass es extrem schwer ist, notwendige und hinreichende Kriterien zu finden. Frühere Artikelversionen waren in diesem Punkt nicht korrekt, und ich denke, es wäre sinnvoll, darauf hinzuweisen, dass es Funktionen gibt, bei denen man die Extremwertfrage nicht nach dem Kochrezept entscheiden kann.--Gunther 15:30, 28. Mär 2005 (CEST)

text: Ist das nicht auf dem Portal Mathematik besser aufgehoben? Hier sollte ein Artikel eher hin, wenn die Autoren alleine nicht mehr weiterkoennen, was da glaube ich nicht der Fall ist. Viele Gruesse --DaTroll 10:56, 7. Mär 2005 (CET)
thread_title:  Review-Diskussion 

message: Mal etwas grundsätzliches: Das, was heir hinreichendes Kriterium genannt wird, ist keines. Denn f(x)=x^4 hat z.B. auch die Eigenschaft, dass die zweite Ableitung bei x=4 z.B. nicht verschwindet. Doch da leigt ja wohl kein Etremum vor. Eine hinreichende Bedingung ist f'(x)=0 UND f(X) ungleich Null. Analog bei den anderen Beispielen.\\
Bei einer Implikation A => B nennt man A die hinreichende Bedingung. Nicht Teilaussagen von A.
Mirko
: Ich habe es geändert, möchte aber darauf hinweisen, dass es nicht ganz so einfach ist, wie Du es darstellst. Mathematische Aussagen haben üblicherweise die Form S => (A => B), wobei S im konkreten Fall so etwas ist wie: "f ist eine differenzierbare reellwertige Funktion, die auf einer offenen Teilmenge der reellen Zahlen definiert ist". Dann ist es eine Frage der Interpretation des Kontextes, ob nun die notwendige Bedingung implizit zu S gehört und deshalb in A nicht erwähnt werden muss.
: Im konkreten Fall sollte man auf der sicheren Seite bleiben, keine Frage.--Gunther 11:05, 22. Jan 2006 (CET)
replies: text:  Bezüglich Mirkos Einwurf würde ich vorschlagen, die Überschriften "Notwendiges Kriterium" und "Hinreichendes Kriterium" durch "Bedingung Erster Ordnung" sowie "Bedingung Zweiter Ordnung" zu ersetzen. Das zweitere Begriffspaar ist nicht nur in der Wirtschaftsmathematik die übliche Terminologie (engl. First Order Condition/FOC – Second Order Condition/SOC), sondern trifft vor allem den Sachverhalt besser, denn hinreichend sind eben nur beide Kriterien zusammen. Ich würde zusätzlich einen Hinweis auf diesen Sachverhalt anbringen. --PanchoS 01:43, 29. Jun 2006 (CEST)
replies: text:  so wie es jetzt im artikel steht, ist es doch nicht falsch. das eine kriterium ist hinreichend, das andere notwendig. so lernt man es in der schule und ggf. auch spaeter in der uni. die bezeichnungen foc und soc sind imho eher irrefuehrend oder wenigstens nicht hilfreich. -- seth 21:48, 29. Jun 2006 (CEST)
thread_title:  Hinreichend? 

message: Ist soweit ich weiß FALSCH!
Die Definitheit der Hesse-Matrix reicht nicht aus! 
Diese muss positiv definit sein, damit ein Extremum bei x=x_1,...,x_n vorliegt. Ob ein Maximum oder Minimum vorliegt, erkennt man anhand der Vorzeichen der Eigenwerte   der Hesse-Matrix.
Siehe dazu: http://www.uni-stuttgart.de/bio/adamek/cd-funktionen/diff-einzeln/extremwerte.pdf
: Du verwechselst positiv definit mit Determinante ist positiv. Das ist aber nicht dasselbe. Positiv definit entspricht alle Eigenwerte > 0, Determinante positiv entspricht Produkt der Eigenwert > 0. Das kann natürlich im Zweidimensionalen auch dann der Fall sein, wenn beide Eigenwerte negativ sind. -- Digamma 21:52, 2. Jun. 2010 (CEST)
thread_title:  hinreichende Bedingung im mehrdimensionalen Fall 

message: Diesen Abschnitt könnte man noch ausbauen. -- Digamma 16:07, 9. Jan. 2011 (CET)
thread_title:  Mehrdimensionaler Fall 

message: Hallo, 
Zitat Einleitung:
„Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle x, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt. x wird lokaler Maximierer oder Extremstelle genannt, ...“
Eine lokale Extremstellen ist für eine Umgebung definiert. Somit ist die Grafik falsch! Am Intervallende kann somit kein lokales Maximum sein (nur ein globales was aber hier nicht der Fall ist) --Primpram (Diskussion) 15:06, 18. Jan. 2013 (CET)
replies: text: Gemeint ist eine Umgebung relativ zum Definitionsbereich U, im Abschnitt "Formale Definition" steht's genauer. Am Intervallende kann also schon ein lokales Extremum auftreten. -- HilberTraum (Diskussion) 21:54, 18. Jan. 2013 (CET)
thread_title:  Lokale Extrema 

message: Betrachten wir die Heaviside-Funktion \Theta(x) an der Stelle x = 1 und prüfen die vier unter „Formale Definition“ genannten Kriterien ab. Dann finden wir, dass der Funktionswert \Theta(1) = 1 ein lokales Mininum, ein lokales Maximum und ein globals Maximum, aber kein globales Minimum ist.  Der Punkt (1, 1) ist Hochpunkt wie auch Tiefpunkt. Laut letztem Satz der Formalen Definition ist ein Punkt ein Extrempunkt genau dann, wenn er entweder Hoch- oder Tiefpunkt ist. (1, 1) ist kein Extrempunkt der Heaviside-Funktion, weil er sowohl Hoch- als auch Tiefpunkt ist.
Nun zum ersten Absatz. Dort heißt es:
:Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle x, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt. Die zugehörige Stelle x wird lokaler Maximierer/Minimierer oder Extremstelle (Maximalstelle/Minimalstelle) genannt, die Kombination aus Stelle und Wert Extrempunkt.
Laut dieser (informellen) Definition ist x=1 lokaler Maximierer der Heaviside-Funktion. Unter der Annahme,  dass mit der "Kombination aus Stelle und Wert" ein Geordnetes Paar bzw. Punkt gemeint ist, kommt man zu dem Ergebnis, dass (1,1) Extrempunkt ist, was dem mit der formalen Definition gewonnenen Ergebnis widerspricht. 93.192.178.109 22:04, 17. Dez. 2014 (CET)
thread_title:  Der erste Absatz widerspricht der formalen Definition 

message: Die Abbildung ist eher rätselhaft als infromativ. Ich verstehe z.B. das "globale Maximum" nicht. Wenn man schon so ein abgefahrenes Besipiel nimmt, könnte man das in der Bildunterschrift erläutern. ZB. ob die Funktion (hab ich schon ergänzt) evtl. nicht stetig ist oder dass ein Maximum durch die Beschränkung entsteht ist. Einheiten wären auch nicht schlecht.
siehe auch .  TiHa (Diskussion) 06:20, 21. Mai 2019 (CEST)
thread_title:  Abbildung 

message: Hallo, in diesem Artikel wird nur der Fall f\colon U\to\mathbb R
mit U als unechter Teilmenge von \mathbb R vorgestellt - was aber, wenn der Definitionsbereich alle reellen Zahlen sind, d.h. f\colon \mathbb R\to\mathbb R mit z.B. f(x) = x^3 gilt? Kann man da überhaupt globale Maxima und Minima angeben? Oder bei Funktionen mit Polstellen? Eine Fragestellung, die sich ganz ähnlich dann auch bei Kurvendiskussionen, Stichwort "Verhalten im Unendlichen", stellt und immer wieder Verwirrung stiftet, weil -\infty oder +\infty ja weder wirkliche Beschreibungen eines Elements des Definitionsbereichs der untersuchten Funktion noch „Grenzwerte“ im eigentlichen Sinne dieses Begriffs sind, also z.B. im Fall von f(x) = x^3 weder dazu taugen, deren globales Minimum und Maximum noch die dazugehörigen Funktions- bzw. y-Werte zu beschreiben. Vielleicht sollte diese Problematik auch einmal kurz beleuchtet werden. Allgemeiner formuliert: wie ist die Frage nach dem globalen Minimum und Maximum einer Funktion zu beantworten, wenn diese keinen absolut größten und/oder kleinsten Wert besitzt, bzw. keine Stelle/n ihres Definitionsbereichs, an denen sie diese absolut größten und/oder kleinsten Werte annimmt? --Qniemiec (Diskussion) 03:16, 31. Mai 2020 (CEST)
replies: text: Es wird im Artikel nicht vorausgesetzt, dass U eine echte Teilmenge von \R ist. Es wird aber wohl wirklich nicht so deutlich. Was die Kurvendiskussion betrifft, da geht es eigentlich immer nur um lokale Extrema. Globale Extrema interessieren nur bei echten Extremwertaufgaben, wo der betrachtete Bereich in der Regel kompakt ist oder die Funktion globale Maxima oder Minima besitzt, zum Beispiel bei Polynomfunktionen geraden Grades. --Digamma (Diskussion) 10:50, 31. Mai 2020 (CEST)
thread_title:  Globale Maxima und Minima für <math>f\colon \mathbb R\to\mathbb R</math> 

message: ::Statt:
::"… Wert der Funktion an einer Stelle x, in deren Umgebung die Funktion keine größeren bzw. kleineren Werte annimmt."
::muss es ja wohl sinngemäß heißen:
::"… Wert der Funktion an einer Stelle x, wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung von x die Funktion keine größeren bzw. kleineren Werte annimmt.".
::Mit dem Umgebungsbegriff muss man sehr sorgfältig umgehen, sonst können elementare Definitionen missverständlich oder falsch werden! Gruß --Mabit1 (Diskussion) 23:45, 7. Aug. 2020 (CEST)
replies: text: Danke für den Hinweis. Habe es geändert. --Digamma (Diskussion) 00:05, 8. Aug. 2020 (CEST)
thread_title:  Umgebung muss hinreichend klein sein 

message: Sorry, hab es grad versehentlich kommentarlos zurückgesetzt. Hier der Kommentar: "Maximumsstelle" suggeriert nicht mehr und nicht weniger als "Maximalstelle". "Maximalstelle" ist aber der gängige Ausdruck. Genau so "Minimumsstelle".  TiHa (Diskussion) 12:36, 5. Jan. 2023 (CET)
thread_title:  Maximumsstelle