Diskussion:Fundamentalsatz der Algebra

message: Derzeit im Artikel
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Sei 
:P(z) = \sum_{n=0}^k a_n \cdot z^n 
ein nicht konstantes Polynom vom Grad k \in \mathbb N mit komplexen Koeffizienten, d.h. a_n \in \mathbb C, mindestens ein a_n ist von Null verschieden und n ist größer Null.
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... ist nicht eher k ist größer Null gemeint? --Abdull 15:48, 9. Jun 2006 (CEST)
replies: text: Natürlich, aber wenn man n als Summationsindex und k als Grad nimmt, ist so eine Verwechslung wohl vorprogrammiert. Horrorist 21:21, 9. Jun 2006 (CEST)
thread_title:  Fehler im Satz? 

message: In allen Formeln zu diesem Satz müssten die Summation- und Multiplikationsindizes eigentlich bei 1 statt bei 0 beginnen, oder? Ansonsten ist ein "konstantes Polynom" immer mit inbegriffen. Fabolu 23:00, 12. Aug 2006 (CEST)
replies: text: Sie sollen schon bei 0 beginnen, sonst wäre der "Satz" ja trivial. Dass das "Polynom" allerdings keine Konstante sein soll, steht zweimal explizit da: nicht konstantes Polynom vom Grad n \in \mathbb N, n\geq 1. Das ist natürlich wichtig. --Floklk 13:12, 13. Sep 2006 (CEST)
thread_title:  Anderer Fehler? 

message: Zitat: "Es wird benutzt, dass nach dem Zwischenwertsatz jedes reelle Polynom ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle hat"-
Ist das noch ein rein algebraischer Beweis, wenn der Zwischenwertsatz benutzt wird? Gk63 17:37, 19. Dez. 2007 (CET)
replies: text: Gilt historisch als solcher. Dass der Zwischenwertsatz etwas Fundamentales über reelle Zahlen und stetige Funktionen aussagt, wurde erst Mitte-Ende des 19. Jh. bewußt, der Beweis stammt vom Anfang des 19. Jh. Nebenbei: In der Algebra werden reell abgeschlossene Körper definiert, indem man gerade diese Eigenschaft fordert, dass ungeradgradige Polynome immer eine Nullstelle im Körper besitzen; neben der Eigenschaft, dass keine Summe von Quadraten den Wert -1 annehmen kann. Also könnte man pur algebraisch sagen, dass jedes Polynom mit rationalen Komponenten über dem reell algebraischen Abschluss von Q in lineare und irreduzible quadratische zerfällt.--LutzL 08:58, 20. Dez. 2007 (CET)

text: Der Beweis von Gauß ist jetzt um Beweisvarianten ergänzt, die seine algebraische Natur deutlicher hervortreten lassen: Anstelle des "Zwischenwertsatzes" wird in Wahrheit nur benötigt, dass Polynome ungeraden Grades reelle Linearfaktoren abspalten. Das kann man durchaus als "etwas rein Algebraisches" verstehen. Die Topologie wird nicht wirklich benötigt, auch wenn zu Gauß' Zeiten dies die einfachste Argumentation war. Dennoch kann ich gut damit leben, dass in der Überschrift der Zwischenwertsatz erwähnt wird. Schließlich war er wesentliche Zutat, als dieser Beweis und seine Grundidee geprägt wurde. --Filomusa (Diskussion) 19:53, 7. Dez. 2022 (CET)
thread_title:  Rein algebraischer Beweis? 

message: Zum Thema: Nach Konstruktion ist  C sogar ein globales Minimum. Wäre C positiv, so wäre die reziproke Funktion ...
C wird als Betrag des des Minimums definiert. Dann wird über Liouville gezeigt, dass C nicht größer Null sein kann, da sonst f konstant wäre. Also wird gefolgert, dass C kleiner 0 sein muss, also f eine Nullstelle hat.
Hier mein Problem: Seit wann kann der Betrag einer Funktion kleiner als Null sein? Irgendwo muss der Beweis doch hinken?! Mir ist schon klar, dass man den Betrag nehmen muss, um überhaupt eine Ordnungsrelation <> im Komplexen zu erhalten. Aber trotzdem kann der Betrag doch nicht kleiner 0 sein? (nicht signierter Beitrag von 95.117.133.176 (Diskussion) 14:39, 15. Aug. 2011 (CEST)
replies: text: Nein, es wird nicht gefolgert, dass C kleiner Null sein muss. "Nicht positiv" ist entweder negativ oder gleich Null. Letzteres führt zur Nullstelle.--LutzL 11:02, 16. Aug. 2011 (CEST)

text: Wo wird gefolgert, dass C kleiner 0 sein muss? Es wird lediglich gesagt, dass C nicht größer als 0 sein kann. Da aber C>=0, folgt daraus C=0 und damit die Existenz einer Nullstelle. --mfb 11:37, 16. Aug. 2011 (CEST)
thread_title:  Beweis 

message: Im Moment steht da:
:[...] Es gilt aber: Ist w eine nichtreelle Nullstelle von P, so ist auch ihr Konjugiertes \bar{w} eine Nullstelle von P. Da
::  (z-w) \cdot (z-\bar{w}) = z^2 - (w+\bar{w})\cdot z + w\cdot\bar{w}
:ein quadratisches Polynom mit reellen Koeffizienten ist, lässt sich folgern: Jedes reelle Polynom lässt sich in reelle Polynomfaktoren vom Grad eins oder zwei zerlegen. In dieser Form wurde der Satz 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Doktorarbeit formuliert [...]
Ich finde, man könnte ruhig in der Formel deutlich machen dass es reelle Koeffizienten sind. Wenn man noch nicht so in der Thematik steht sieht man es evtl. nicht sofort. Außerdem finde ich die Folgerung noch nicht ganz logisch. Ein Vorschlag von mir wäre so, für meine Begriffe verständlicher formuliert:
:[...] Es gilt aber: Ist w eine nichtreelle Nullstelle von P, so ist auch ihr Konjugiertes \bar{w} eine Nullstelle von P. Dabei werden w und \bar{w} je als einfache Nullstelle gezählt. Das lässt sich in faktorisierter Schreibweise des Polynoms durch die beiden Linearfaktoren (z-w)(z-\bar{w}) ausdrücken. Gleichwertig dazu ist die Darstellung als Polynom zweiten Grades mit reellen Koeffizienten:
::(z-w)(z-\bar{w}) = z^2 - (w+\bar{w})z + w\cdot\bar{w} = z^2 - 2\operatorname{Re}(w)\cdot z + |w|^2
:Daraus folgt im Umkehrschluss, dass sich jedes reelle Polynom sich in reelle Polynomfaktoren vom Grad eins oder zwei zerlegen lässt. In dieser Form wurde der Satz 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Doktorarbeit formuliert [...]
Ist das mathematisch sauber formuliert, und stimmt die Referenz zu Gauß so noch? --Haffael (Diskussion) 16:50, 29. Nov. 2013 (CET)
replies: text: Zustimmung, dein Vorschlag ist ausführlicher und ich halte ihn deshalb für besser. -- HilberTraum (Diskussion) 20:19, 29. Nov. 2013 (CET)
replies: text: Ok, ist eingetragen. --Haffael (Diskussion) 13:15, 2. Dez. 2013 (CET)
replies: text: Ich hatte ein Problem mit a) "Dabei werden w und \bar{w} je als einfache Nullstelle gezählt." Das ist entweder eine Nullaussage, da vorher schon gesagt wurde, dass beide Nullstellen sind, oder falsch, wenn sie keine einfachen Nullstellen sind. Ich habe das zu "Nullstellen gleicher Vielfachheit" geändert. b) "Gleichwertig dazu ist die Darstellung als Polynom..." das hat viel zu viel Ballast für die einfache Feststellung, dass das Produkt der Linearfaktoren ausmultipliziert wird. Je nach philosophischer Grundeinstellung wird ein Produkt von Linearfaktoren schon als Polynom angesehen, oder, IMO seltener, als eine Konstruktionsvorschrift für ein Polynom.--LutzL (Diskussion) 15:41, 2. Dez. 2013 (CET)
thread_title:  Abschnitt: Polynome mit rein reellen Koeffizienten 

message: ME sollte der Artikel aufgeteilt werden, der Beweisteil ist so umfangreich, dass er einen Artikel verdient. Der Ursprungsartikel hier wäre übersichtlicher und könnte noch etwas erweitert werden. (zB Verallgemeinerungen) Zu den Beweisen könnte ich bei Gelegenheit noch einen Beweis beisteuern, der nur mit Linearer Algebra geführt wird. (Muss ich mal raussuchen.) --Frogfol (Diskussion) 14:46, 17. Feb. 2014 (CET)
replies: text: Hallo, , an dem Beweis mit Mitteln der linearen Algebra wäre ich interessiert, neugierig wie ein Flitzebogen. --Filomusa (Diskussion) 14:26, 19. Jun. 2021 (CEST)
thread_title:  Artikelaufteilung