Diskussion:Graßmann-Algebra

message: Es heißt, die Grassmannalgebra ist eine Algebra mit Einselement. Sollte es dann nicht mitangegeben werden? 11:48, 10. Jul. 2008 (CEST)
replies: text: Ok, ich schreibe es Dir hier hin: 1 (aus dem Grundkörper K).--LutzL 07:57, 11. Jul. 2008 (CEST)
thread_title: Einselement

message: Kann mir jemand erklären, wie genau das zu verstehen ist? Die Fußnote hilft mir nicht weiter:
:„D.h. die erzeugende Beziehung, k=l=1, der Graduierung ist antikommutativ, während man z.B. für k=l=2 ein kommutatives Produkt bekommt.“
Grüße --Chricho ¹ ² ³ 16:52, 23. Jun. 2012 (CEST)
replies: text: Graduiert-antikommutativ ist wohl ein anderer Name für superkommutativ. Die englische Wikipedia hat unter :en:Supercommutative_algebra einen Artikel zu dem Thema. Die Bezeichnung graduiert-antikommutativ soll wohl ausdrücken, dass die Multiplikation die Graduierung der Algebra berücksichtigt und dass die Multiplikation (je nach Graduierung) antikommutativ sein kann. Grüße --Christian1985 (Diskussion) 18:21, 24. Jun. 2012 (CEST)
replies: text: Wäre dann nicht graduiert-kommutativ besser (wie in der englischen Wikipedia), das wurde anscheinend durch obige IP ohne weitere Beachtung in antikommutativ-graduiert geändert. Graduiert-kommutativ ist meiner Meinung nach besser, da es anderswo auch gebraucht wird und da die Graduierung die Kommutativität beeinflusst, nicht umgekehrt. --Chricho ¹ ² ³ 18:26, 24. Jun. 2012 (CEST)
replies: text: Ich selbst halte superkommutativ für am treffensten, aber den Begriff führt man wohl nur ein, wenn man sich der Terminologie der Supergeometrie bedienen will. Ob man nun antikommutativ-graduiert oder kommutativ-graduiert schreiben sollte, weiß ich nicht. Mein Eindruck ist, dass die Literatur da nicht eindeutig ist, es gibt auch einige Bücher, die einfach sagen, das Produkt sei antikommutativ und erklären dann, was sie in dem Fall damit meinen. Was hauptsächlich verwendet wird, kann ich nicht sagen. --Christian1985 (Diskussion) 18:41, 24. Jun. 2012 (CEST)
replies: text: Dann ist vllt. superkommutativ am ehesten eine Bezeichnung, die auch weiterführt auf andere Fälle und rot-verlinkungswürdig ist? --Chricho ¹ ² ³ 18:48, 24. Jun. 2012 (CEST)
thread_title:  antikommutativ-graduiert 

message: Aus dem Artikel:
:"In der Physik heißen die Elemente von \Lambda^mV m-Vektoren oder „m-Beine“." 
Gibt es einen Beleg für die Bezeichnung "m-Bein" für "m-Vektor"? In der Differentialgeometrie ist ein m-Bein ein Tupel aus m Vektoren, z.B. das begleitende Dreibein einer Raumkurve. --Digamma (Diskussion) 22:00, 12. Okt. 2012 (CEST)
replies: text: Also Pseudoskalare werden sie jedenfalls genannt. --Chricho ¹ ² ³ 16:14, 4. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Ist Pseudoskalar ein Oberbegriff oder ist er gleichwertig zu Element der äußeren Potenz?--Christian1985 (Disk) 16:17, 4. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Naja, das Wort wird für alles mögliche benutzt (etwa auch für Felder, also m-Formen, für entsprechende Quantenfelder, und es passiert noch mehr, wenn man Raum- und Zeitdimensionen unterscheidet), gibt aber auch keinen geschlossenen Oberbegriff. Jedenfalls lässt ein Pseudoskalar im in der klassischen Mechanik gebrauchten Sinne als ein Element der m-ten äußeren Potenz auffassen. Sollte man vllt. lieber so formulieren. --Chricho ¹ ² ³ 16:31, 4. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Okey kannst Du es dann vielleicht wieder einbauen? --Christian1985 (Disk) 17:53, 4. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Habe es mal in den Abschnitt zum dreidimensionalen Fall ergänzt, mit ein paar weiteren Anmerkungen. --Chricho ¹ ² ³ 18:52, 4. Mär. 2013 (CET)

text: Die Frage nach dem m-Bein ist damit allerdings immer noch nicht beantwortet. Wisst ihr etwas dazu? --Digamma (Diskussion) 19:40, 4. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Ich weiß dazu nichts. Da auch kein Beleg angegeben war, ist die "Information" nun erstmal rausgeflogen.--Christian1985 (Disk) 20:00, 4. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Erscheint mir auch unplausibel. Unter einem Dreibein wird man doch eher eine Basis des \R^3 verstehen, und nicht nur das Spatprodukt solcher Vektoren. --Chricho ¹ ² ³ 20:09, 4. Mär. 2013 (CET)

text: Zu den m-Beinen könnte - wieder mal(!) - auf Lagally/Franz: Vorlesungen über Vektorrechnung, Leipzig 1964 oder 1967 verwiesen werden - dort ziemlich ausführlich, aber eben älter (und bei mir steckts z.Z. in einer der Umzugskisten). Schöne Grüße WMbrumm --89.199.239.31 21:51, 10. Mär. 2013 (CET)
replies: text: In den "Schnipseln", die ich mir in der Google-Buch-Suche anschauen kann, finde ich zwar den Begriff "n-Bein" (S. 437), aber nicht in der Bedeutung von "n-Vektor", sondern in der Bedeutung von "n-Tupel" von Vektoren. Explizit z.B. das Frenetsche Dreibein (S. 63) bei Raumkurven. --Digamma (Diskussion) 22:54, 10. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Hallo Digamma, da's in einem Stapel in der 2.Kiste von oben steckte, konnte ich mir grade die 7. Aufl. von 1964 nochmal ansehen (m. W. die letzte), und die von dir gefundenen Seitenzahlen passen da nicht hin. Seit der teilweisen Neubearbeitung durch W. Franz (5. Aufl. 1955) trug das 6. Kapitel die Überschrift "Vektorräume höherer Dimension und Cliffordsche Algebra", dort ist im § 1 "Affine Vektorrechnung" zunächst vom m-Simplex die Rede, im § 2 "Vektoranalysis" erscheint in Nr. 223 (S. 330) "Einführung eines m-Beins". Na gut, das ist fast ein halbes Jahrhundert her, und manche Terminologie mag sich verschoben haben - oder hab ich was mißverstanden? WMbrumm.dd --89.199.205.247 00:13, 12. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Die Frage war nicht, ob es den Begriff "m-Bein" gibt, sondern die, was damit gemeint ist. Hier im Artikel wurde behauptet, "m-Bein" werde als Synonym für "m-Vektor", also für ein Element aus \Lambda^m (V), benutzt. Chricho und ich kennen "m-Bein" nur als Bezeichnung für ein n-Tupel von Vektoren, z.B. das begleitende Dreibein (Frenet-Dreibein) in der Theorie der Raumkurven. Und mit dieser Bedeutung habe ich das auch in der Google-Vorschau für das von dir genannte Buch gefunden. --Digamma (Diskussion) 14:44, 12. Mär. 2013 (CET)
thread_title:  m-Bein 

message: Ich denke, die Definition im Artikel ist falsch, denn bei
:\forall\eta\in\Lambda^k V:\;\eta\wedge *\omega=\langle\eta,\omega\rangle\cdot e_1\wedge\dots\wedge e_n,
hängt nur die rechte Seite von der Basis ab. Skaliere ich einen der Basisvektoren, so ändert sich damit die rechte, aber nicht die linke Seite. --Jobu0101 (Diskussion) 11:22, 26. Sep. 2019 (CEST)
replies: text: Ich denke, dass das eine Orthonormalbasis sein muss, bzw. zumindest  e_1\wedge\dots\wedge e_n, ein Einheits-n-Vektor. --Digamma (Diskussion) 23:42, 26. Sep. 2019 (CEST)
thread_title:  Definition Hodge-Operator 

message: Der Text benutzt \Lambda für das Symbol \bigwedge. Ist das richtig? Ich muss gestatten es sieht schöner aus. --Madyno (Diskussion) 17:58, 2. Dez. 2022 (CET)
thread_title:  Lambda 

message: Ich habe versucht, dem Artikel zu entnehmen, wie man das Keilprodukt zweier Vektoren explizit ausrechnet - ohne Erfolg. Mein vorläufiges Ergebnis ist
:a\wedge b=ab^\text{T}-ba^\text{T},
wobei a und b reelle Vektoren gleicher Dimension in Spaltendarstellung sind.
Als Beziehung zwischen Skalar- und Keilprodukt bin ich auf
:\arccos(e_a\cdot e_b)=\arcsin|e_a\wedge e_b|
gekommen. e_a und e_b sind die Einheitsvektoren zu a bzw. b und |...| bezeichnet die Frobeniusnorm des eingeschlossenen Tensors.
Wenn das stimmt, schlage ich vor, dass jemand das im Artikel ergänzt, der mehr Mathematik als ich versteht und weiß, wo das am besten hinpasst. --Modalanalytiker (Diskussion) 20:55, 26. Feb. 2023 (CET)
replies: text: Die Frobeniusnorm des Keilprodukts entspricht dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Wenn die beiden Vektoren Einheitsvektoren sind, ist das gerade der Sinus des eingeschlossenen Winkels. --Digamma (Diskussion) 21:16, 26. Feb. 2023 (CET)

text: Zum Ausrechnen: Eigentlich braucht man nur die Beziehungen e_i \wedge e_i=0 und e_i \wedge e_j = - e_j \wedge e_i. Wenn \{e_i \mid 1 \le i \le n\} eine Basis von V ist, dann ist \{e_i \wedge e_j \mid 1 \le i < j \le n\} eine Basis von V \wedge V. --Digamma (Diskussion) 21:23, 26. Feb. 2023 (CET)
replies: text: Mit ab^T - ba^T erhältst du einen antisymmetrischen Tensor in Matrixdarstellung. Da stehen auf der Diagonalen Nullen und die Werte unter der Diagonalen unterscheiden sich von denen darüber durch das Vorzeichen. Der antisymmetrische Tensor ist also durch die Einträge oberhalb der Diagonalen bestimmt. Diese sind also die Komponenenten des Bivektors. --Digamma (Diskussion) 21:26, 26. Feb. 2023 (CET)
replies: text: Danke Digamma. Ist es üblich, \alpha als Winkel zu bezeichnen? Bei mehr als drei Dimensionen habe ich davon keine Vorstellung mehr. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:41, 26. Feb. 2023 (CET)
replies: text: Ja, zwei Vektoren bzw. zwei sich schneidende Geraden schließen in jeder Dimension einen Winkel ein. Die beiden spannen eine Ebene auf und in dieser ist der Winkel definiert. Voraussetzung ist, dass es sich um einen euklidischen Vektorraum handelt, also ein Skalarprodukt definiert ist. --Digamma (Diskussion) 20:56, 27. Feb. 2023 (CET)
replies: text: Danke Digamma, dann kann man also Winkel ohne Anführungszeichen schreiben. Gute Sprachregelung! --Modalanalytiker (Diskussion) 21:36, 27. Feb. 2023 (CET)

text: a\wedge b=\frac{ab^\text{T}-ba^\text{T}}{\sqrt{2}}
der Fall. Sind Einwände zu erarten, wenn ich den Artikel so ergänze? --Modalanalytiker (Diskussion) 21:16, 25. Jul. 2023 (CEST)

text: Ich kann das leider auf die Schnelle nicht beurteilen. Gibt es dazu eine Quelle? --Digamma (Diskussion) 22:07, 25. Jul. 2023 (CEST)
replies: text: Die Quelle ist das Problem. Ich habe die \sqrt{2} in einem Forumsbeitrag entdeckt, finde den aber jetzt nicht mehr wieder. Außerdem wäre der Beitrag auch keine seriöse Quelle. Ich habe mit der \sqrt{2} eine Reihe numerischer (horribile dictu) Tests gemacht und gesehen, dass damit alles zusammen passt, aber mir fehlt die saubere Basis. Dazu kann ich nicht genug Mathematik. Ich muss sie nur anwenden. --Modalanalytiker (Diskussion) 22:30, 25. Jul. 2023 (CEST)
replies: text: Verständnisfrage: Es geht doch um den Zusammenhang zwischen Keil- und Kreuzprodukt. Müsste da nicht bei deiner Formel links ein Kreuzprodukt stehen? --Digamma (Diskussion) 22:35, 25. Jul. 2023 (CEST)
replies: text: Die Formel liefert den Keilprodukttensor. Der erfüllt im 3-dim.  Fall die Gleichung ||a\wedge b||=|a\times b|, wenn \sqrt{2} im Nenner steht. Das ist m. E. ein wichtiges Merkmal der Verwandtschaft von  Keil- und Kreuzprodukt. ||...|| bezeichnet die Frobeniusnorm. --Modalanalytiker (Diskussion) 10:31, 26. Jul. 2023 (CEST)
thread_title:  Keilprodukt zweier Vektoren