Diskussion:Taylorreihe/Archiv

message: Aus einem mir unbekannten Grund wurde innerhalb der letzten Tage aus dem Namen "McLaurin-Reihe" (eine Taylor-Reihe mit Entwicklungspukt a=0) in "Inglese-Reihe" umbenannt. Dieser Begriff exisitiert (laut Google) nicht mal und außerdem heißt sie tatsächlich McLaurin-Reihe... ein Scherz?
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thread_title: McLaurin-Reihe

message: Hallo, der Wertebereich für y bei der alternativen Reihenentwicklung für ln(x) kann nicht stimmen.
Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert.
--Stefan Wiki 15:24, 6. Okt 2004 (CEST)
replies: text: Habs verändert. Soweit ich es verstehe ist es jetzt richtig. --SirJective 16:09, 6. Okt 2004 (CEST)

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thread_title:  Wertebereich für y 

message: Die im Beispiel gegebene Taylorreihe hat Konvergenzradius unendlich, sie stimmt aber nur auf einem Kreis vom Radius 0 mit der Ausgangsfunktion überein. Die Überschrift müsste also angepasst werden, ich weiß nur noch nicht, wie. Finden wir außerdem ein Beispiel einer Taylorreihe, die tatsächlich Konvergenzradius 0 hat? --SirJective 00:19, 24. Mai 2005 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: V4len (Diskussion) 13:17, 30. Mär. 2014 (CEST)
thread_title:  Taylorreihe mit Konvergenzradius Null 

message: :background:  -- seth 14:41, 26. Sep. 2009 (CEST)
replies: text: Ja, die Punkte gehören dahin; sonst wäre sowohl der Name "-reihe" als auch das letzte "=" falsch. - Xorx77 14:38, 26. Sep. 2009 (CEST)

text: related: user talk:Skifreund. -- seth 14:41, 26. Sep. 2009 (CEST)

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thread_title:  Punkte nach letztem Glied überflüssig ?? 

message: Multipol-Entwicklung? Wird am Ende des Artikels erwähnt. Danke, --Abdull 15:47, 13. Jul 2005 (CEST)
replies: text: Wird nicht mehr erwähnt. --V4len (Diskussion) 09:29, 11. Apr. 2014 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: V4len (Diskussion) 09:29, 11. Apr. 2014 (CEST)
thread_title:  Multipol 

message: Den Satz
::Die Gleichung
::f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n
::gilt nicht unbedingt für alle x aus I, sondern nur dort, wo die Potenzreihe konvergiert und denselben Wert wie f(x) hat.
finde ich ziemlich schaurig. Wo sie den selben Wert wie f(x) hat ist die Taylorreihe also gleich f(x), das ist ja eine tolle Erkenntnis. Wie wäre es statt dessen mit
::Die Gleichung
::f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n
::gilt nicht unbedingt für alle x aus dem Konvergenzbereich der Reihe (siehe Beispiele). --Skoepp 19:53, 15. Aug. 2007 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: V4len (Diskussion) 09:32, 11. Apr. 2014 (CEST)
thread_title:  Taylorreihe konvergiert nicht unbedingt gegen die Funktion 

message: Sei U \subset \mathbb{R}^n ein Gebiet und f:U\mapsto\mathbb{R} eine Funktion, die unendlich oft stetig differenzierbar ist. Dann heißt die Reihe
:\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \mathrm{d}^{(k)} f(a) (x-a)^k
die Taylorreihe von f im Punkt a.
==== Anmerkungen ====
Bei \mathrm{d}^{(k)} f(a) handelt es sich um das Differential k-ter Ordnung einer mindestens k-fach stetig differenzierbaren Funktion f im Punkt a; es ist also eine symmetrische, k-fach lineare Abbildung d^{(k)} f(a): \mathbb{R}^n \times \cdots \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, die durch
:\mathrm{d}^{(k)} f(a) (v_1, \ldots, v_k) := \frac{\partial^k f}{\partial v_1 \cdots \partial v_k} (a) für alle v_i \in \mathbb{R}^n
definiert ist. Da f k-fach stetig differenzierbar ist, folgt die Symmetrie des Differentials k-ter Ordnung direkt aus dem Satz von Schwarz.
Da es sich bei dem Differential um eine Funktion mit k Argumenten handelt, ist folgende Abkürzung angenehm:
:\mathrm{d}^{(k)} f(a) x^k := \mathrm{d}^{(k)} f(a) (
\begin{matrix}\underbrace{x, \ldots, x}\\
{}^{\rm k-mal} \\[-4.5ex]
\end{matrix}
)
Außerdem gilt die folgende Beziehung:
:\frac{\partial f}{\partial v_i} (a)= \mathrm{d}f(a) v_i = \sum_{k=1}^n \partial_k f (a) \cdot v_i^{(k)} für alle v_i = (v_i^{(1)}, \ldots, v_i^{(n)})^t \in \mathbb{R}^n
Daraus ergibt sich für das Differential
:\mathrm{d}^{(k)}f(a) x^k = \sum_{i_1=1}^n \cdots \sum_{i_k = 1}^n \partial_{i_1}\cdots \partial_{i_k} f(a) x_{i_1} \cdots x_{i_k}.
:Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: V4len (Diskussion) 11:21, 11. Apr. 2014 (CEST)
thread_title:  Verallgemeinerte Taylorreihe 

message: Bei \mathrm{d}^{(k)} f(a) handelt es sich um das Differential k-ter Ordnung einer mindestens k-fach stetig differenzierbaren Funktion f im Punkt a; es ist also eine symmetrische, k-fach lineare Abbildung d^{(k)} f(a): \mathbb{R}^n \times \cdots \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, die durch
:\mathrm{d}^{(k)} f(a) (v_1, \ldots, v_k) := \frac{\partial^k f}{\partial v_1 \cdots \partial v_k} (a) für alle v_i \in \mathbb{R}^n
definiert ist. Da f k-fach stetig differenzierbar ist, folgt die Symmetrie des Differentials k-ter Ordnung direkt aus dem Satz von Schwarz.
Da es sich bei dem Differential um eine Funktion mit k Argumenten handelt, ist folgende Abkürzung angenehm:
:\mathrm{d}^{(k)} f(a) x^k := \mathrm{d}^{(k)} f(a) (
\begin{matrix}\underbrace{x, \ldots, x}\\
{}^{\rm k-mal} \\[-4.5ex]
\end{matrix}
)
Außerdem gilt die folgende Beziehung:
:\frac{\partial f}{\partial v_i} (a)= \mathrm{d}f(a) v_i = \sum_{k=1}^n \partial_k f (a) \cdot v_i^{(k)} für alle v_i = (v_i^{(1)}, \ldots, v_i^{(n)})^t \in \mathbb{R}^n
Daraus ergibt sich für das Differential
:\mathrm{d}^{(k)}f(a) x^k = \sum_{i_1=1}^n \cdots \sum_{i_k = 1}^n \partial_{i_1}\cdots \partial_{i_k} f(a) x_{i_1} \cdots x_{i_k}.
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thread_title:  Anmerkungen 

message: In diesen Eintrag würde es sich m.E. sehr lohnen auch die Verallgemeinerung der Taylorreihe, nämlich mit Matrizen, reinzutun - würde es glatt machen, möchte aber es den Haupteditoren überlassen (außerdem habe ich angst fehler zu machen :)
Außerdem wären Beispiel gut.
danke cu!
:Ja, die Verallgemeinerung auf den mehrdimensionalen Fall sollte man in den Artikel aufnehmen, aber gibt's den direkt als Reihe, oder sollten wir den lieber bei den Taylor-Polynomen aufnehmen? Für Matrizen sollte das so ähnlich gehen, oder? Was für Beispiele meist du? Es sind doch schon einige Taylorreihen angegeben.
:Jeder macht Fehler, auch ich hab hier schon einigen (mehr oder weniger offensichtlichen) Unsinn verzapft. Und nur weil sich bisher einige intensiver um diesen Artikel gekümmert haben, heißt das nicht, dass du die Finger davon lassen sollst. Wenn du also etws beitragen kannst, dann tue das! (Wenn man will, dass hier etwas geschieht, muss man es meist selbst machen.)
:--SirJective 14:04, 7. Aug 2004 (CEST)
replies: text: Die Verallgemeinerung in Form der mehrdimensionalen Taylorreihe ist ja nun eingetragen. Das schließt automatisch Matrizen mit ein. --V4len (Diskussion) 09:57, 14. Apr. 2014 (CEST)

text: Diese Punkte sind in der Zwischenzeit alle eingearbeitet. --V4len (Diskussion) 09:57, 14. Apr. 2014 (CEST)

text: Was soll damit sein? Taylor-Formel beschreibt die Polynome und die Restgliedformeln, dieser Artikel beschreibt die unendliche Potenzreihe. --SirJective 22:01, 3. Sep 2004 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: V4len (Diskussion) 09:57, 14. Apr. 2014 (CEST)
thread_title:  Verallgemeinerung der Taylorreihe 

message: Das finde ich eine wichtige Aussage über die Geschwindigkeit mit der die Taylorreihe konvergiert.
Das Taylorpolynom n-ten Grades an der Stelle a sei gegeben durch
Dann ist 
und es gilt folgender Satz:
Für ein geeingnetes \Tau zwischen a und t hat das Restglied R_n(t) den Wert
Man kann damit also den Fehler des Taylorpolynoms in einem bestimmten Bereich um die Entwicklungsstelle abschätzen.
Frage: gibt es eine analoge Formel für R_n(t) für den mehrdimensionalen Fall?
:: Ja. Schaut in dem Kalkül, so wie die mehrdimensionale Taylorreihe momentan hingeschrieben ist auch ähnlich aus, man muss nur die (n+1)-Ableitung durch das (n+1)-Differential ersetzen und \Tau = a + \theta \cdot t mit \theta \in [0,1] setzen. Das letztere bedeutet einfach, dass \Tau auf der Verbindungsstrecke zwischen t und a liegt. Sebi 16:11, 10. Sep 2005 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: V4len (Diskussion) 10:05, 14. Apr. 2014 (CEST)
thread_title:  Qualität der Taylorentwicklung 

message: Hallo,
in meinem alten Matheskript ist das Thema Restglied etwas ausführlicher dargestellt. Dort hat das Restglied den Namen LaGrange'sches Restglied erhalten. Mir geht es hier wie auch anderen, die hier mitdiskutieren. Da ich erstens neu bin und noch nicht so richtig weiss, wie der Hase hier läuft und zweitens mich in diesem Thema auch nicht heimisch fühle, möchte ich das publizieren zu diesem Thema lieber denjenigen überlassen, die sich hier zu Hause fühlen.
Gruß
Volker
3. Mai 2007
In diesem Artikel geht es um die Taylorreihe und nicht um das endliche Taylorpolynom oder die Restgliedabschätzung. --V4len (Diskussion) 10:07, 14. Apr. 2014 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: V4len (Diskussion) 10:07, 14. Apr. 2014 (CEST)
thread_title:  Restglied 

message: Dieser Link hier ist tot
1.↑ http://www.maths.usyd.edu.au/u/UG/JM/MATH1903/r/m1903/m1903sol6.pdf
Sollte geändert werden. (nicht signierter Beitrag von 138.246.7.72 (Diskussion) 21:47, 26. Apr. 2011 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 13:45, 14. Apr. 2014 (CEST)
thread_title: toter Link

message: Könnte jmd. so nett sein und die Einleitung um einen Satz ergänzen, der einem Laien den Sinn der Taylorreihe verdeutlicht?
Warum ist es vorteilhaft, eine Funktion in eine Taylorreihe umzuwandeln?
Danke im Voraus!
Anwort: Habe mal den Nutzen hinzugefügt, der dem Nichtmathematiker einfällt:
"So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen Gliedern abgebrochene Taylorreihe (oftmals gut) angenähert werden (nützlich z.B. in der Physik)"
* Nochmal nachgehakt: Und in wiefern ist das nützlich? Was wird dadurch vereinfacht? --qwqch 13:57, 11. Jun. 2007 (CEST)
replies: text: Viele Funktionen sind auf die ein oder andere Art und Weise "schwierig". Die Taylorreihe hingegen ist ein Polynom, dass man supereinfach ableiten und integrieren kann oder nach ein paar Gliedern abschneiden, um eine grobe Annäherung zu erhalten, was wiederum die Arbeit vereinfachen kann. --AccountaliveD 22:29, 6. Jan. 2012 (CET)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: V4len (Diskussion) 10:10, 28. Apr. 2014 (CEST)
thread_title:  Mathematischer Nutzen der Taylorreihe? 

message: Hallo.
Ist x bei der sin(x)-Formel ein Radian- oder ein 360-Degree-Wert? Man sollte das dazuschreiben. Ich vermute mal, dass hier das Bogenmaß gilt, aber ich hatte die Taylorreihe noch nicht in der Schule...
Gruß
blackdrake
Durch die Abbildung neben der Sinus-formel sollte klar sein, dass es sich um die Bogenmaß-Darstellung handelt. Selbst im Sinus-Artikel wird dieser Zusammenhang erklärt. --V4len (Diskussion) 10:19, 28. Apr. 2014 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: V4len (Diskussion) 10:19, 28. Apr. 2014 (CEST)
thread_title:  Sinus-Taylorreihe 

message: Die Idee und Definition mit den Polynom-Summe ist ja schön und gut (und auch nachvollziehbar, wenn man zusätzlich noch den englischen Artikel liest), aber wie finde ich nun die genauen Reihen raus? Ist das Trial-and-Error?
Wie kam man z.B. auf die Sinusreihe? Woher weiß ich womit ich anfangen muss, um auf genau diese Reihe zu kommen? Was müsste ich tun, um eine neue, bisher unbekannte Reihe rauszufinden? 
Immer wenn ich die Frage nach dem "Woher" stelle, bekam ich bisher immer nur die Antwort "Ja, da gibt's Tabellen für, wo alle Reihen drinstehen." Super, das steigert mein Verständnis der Sache natürlich enorm.... --maststef 18:36, 19. Jan. 2008 (CET)
replies: text: Ja gut, woher weiß ich die Ableitung vom Sinus? Ich weiß, die ist Cosinus, ja, weil mir das mal irgendwer gesagt hat, aber woher kommt die? Alles in allem fehlt mir quasi der "Uranfang". Bis jetzt ist alles immer irgendwie eine Tautologie: wenn man das eine kennt, dann weiß man das andere und umgekerht, aber woher weiß ich denn überhaupt erstmal eines davon? --maststef 14:19, 25. Jan. 2008 (CET)
replies: text:  Wenn Du den Uranfang suchst, dann beginnst Du einfach ein Analysisbuch (siehe Artikel Differentialrechnung für eine Auswahl solcher Bücher) zu lesen. Da werden der Reihe nach all benötigten Begriffe eingeführt und die notwendigen Beweise geführt. Unter anderem solltest Du auch Beweise für die Ableitung des Sinus und von vielen anderen Funktionen finden. Oder für einen ersten Eindruck reicht vielleicht auch Wikibooks: Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion  -- UrsZH 10:43, 26. Jan. 2008 (CET)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: V4len (Diskussion) 09:47, 29. Apr. 2014 (CEST)
thread_title:  Woher kommen die eigentlichen Reihen? 

message: Ich habe die Änderung des Definitionsbereichs von R auf C wieder rückgägnig gemacht.
Da der Artikel nur von Taylor-Reihen von Funktionen einer reellen Variable handelt, würde ich es bei R belassen. 
Wenn man korrekterweise sagt, dass man auch komplexe Zahlen in die Exp-Funktion einsetzen kann, kommt vielleicht jemand und ergänzt, dass man auch Matrizen oder (ganz allgemein) Elemente einer Banachalgebra einsetzen kann. Das hat aber meiner Meinung nach mehr Platz im verlinkten Artikel Exponentialfunktion. (nicht signierter Beitrag von Cosine (Diskussion | Beiträge) 10:30, 23. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 22:26, 29. Mai 2014 (CEST)

text: Zustimmung. --Digamma (Diskussion) 15:11, 31. Mai 2014 (CEST)
thread_title:  Exponentialfunktion auf R oder C definieren