Diskussion:Arithmetisch-geometrisches Mittel

message: Ich habe an dem Artikel einige kleine Änderungen vorgenommen:
In die Definition habe ich noch einen Satz über die Existenz der Grenzwerte eingefügt.
Zur zweiten Eigenschaft habe ich noch einen Satz eingefügt.
In „Wichtige Eigenschaften / Monotonie“ sind zwei Unklarheiten: Das geometrische Mittel ist nämlich kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel, so dass schon im ersten Schritt (siehe auch Beispiel) b_1 < a_1 ist usw. Am einfachsten lässt dich das ausbügeln, indem man mit 0 < b_0 < a_0 beginnt. Das zweite Problem in diesem Punkt ist aber, dass sofort davon ausgegangen wird, dass die Grenzwerte der beiden Folgen gleich sind. Dazu habe ich noch etwas ergänzt.
Bei „Alternative Darstellung“ habe ich das von einander zusammengezogen und das entkoppelt in Anführungszeichen geschrieben, weil das ein mehr heuristischer Begriff ist.
Probleme habe ich aber mit den Ausführungen im Punkt „Wichtige Eigenschaften / Konvergenzgeschwindigkeit“. Hier geht es schon ein bisschen durcheinander. Warum wird c_n als Wurzel aus den Quadraten definiert und nicht einfach als Produkt. Und wenn c_n dieses Produkt ist, wieso ist dann c_{n+1} diese Differenz (die sogar nach den bisher verwendeten Größenverhältnissen negativ wäre). Und wie kommt man auf die letzte Abschätzung. Um einen Bruch zu vergrößern, muss man den Zähler vergrößern (das ist hier nicht der Fall) oder den Nenner verkleinern. Hier geht man also davon aus, dass 4 \cdot a_{n+1} durch M(a,b) verkleinert wird. Und schließlich: damit quadratische Konvergenz vorliegt, müssen sich die Folgenglieder a_n vom Grenzwert für große n um weniger als C/n<SUP>2</SUP> unterscheiden. Das wird hier überhaupt nicht gezeigt. Ich glaube schon, dass die Aussage stimmt, aber bewiesen werden muss sie anders. Ich werde mich mal ´ransetzen, vielleicht kann man es ja leicht zeigen. --Jesi 15:50, 24. Jul. 2007 (CEST)

message: Zunächst erst mal ist meine persönliche Meinung, dass dieses Verfahren eher in den Artikel zur Kreiszahl gehört und von dort auf AGM verlinkt werden sollte, statt anders herum, wie es zur Zeit ist.
Aber zum Eigentlichen: Gibt es irgendwie einen mathematischen Zusammenhang zwischen dem Schleifenzähler n und der Anzahl der korrekten Nachkommastellen von PI? Also bei n=1 stimmt nur die erste Stelle, bei n=2 stimmen bereits 3 und bei n=3 schon 9. Nun wäre meine Frage, wie hoch n sein müsste, wenn man PI z.B. auf die 1000. Nachkommastelle berechnen wollte und ob es eine Formel nach dem Muster n=Nachkommastellen/x gibt.--91.10.69.181 00:01, 22. Jul. 2020 (CEST)
replies: text: Es steht ja da: "... mit jedem Durchlaufen der Schleife sich die Zahl der korrekt berechneten Ziffern etwa verdoppelt ..." - damit ist die Zahl der korrekten Stellen ungefähr 2^n, bzw. n = ld "gewünschte Stellen". Tatsächlich kann man das so nicht formulieren: Ein Algorithmus, der etwa 2 von unten annähert, könnte nach vielen Iterationen noch immer bei 1,9999999999999999998124141 oder so sein - damit wäre keine einzige Nachkommastelle korrekt; trotzdem ist die Näherung schon extrem gut - das ist der Grund, wieso oben steht "etwa verdoppelt" - je nach den konkreten Werten können ein paar Stellen ein wenig danebenliegen. Aber so Daumen mal Pi ;-) brauchst Du für 1000 Nachkommastellen ld 1000 =ca. 10 Iterationen - nimm 11, und es wird sicher passen. --Haraldmmueller (Diskussion) 20:44, 16. Jan. 2022 (CET)
thread_title:  Frage zum Verfahren zur Ermittlung von PI (Salamin und Brent)