Diskussion:Identitätsgleichung

message: Es sollte in irgendeiner Weise auf den Ursprung des Wortes eingegagen werden. Also von lat.: identitas, wobei es schwierig sein dürfte, dies sinngemäß zu übersetzen, da es im Deutschen kein entsprechendes Wort gibt. Es ist eben mehr als Gleichheit, wobei das auch im mathematischen Sinne irreführend ist, aber Selbigkeit klingt gekünstelt. Ein Vorschlag wie man dies mit möglichst wenig Worten beschreibt? --★PowerZDiskussion 21:03, 1. Jun. 2011 (CEST)
thread_title:  Etymologie 

message: Der Klammerzusatz "(Mathematik)" müsste spezialisiert werden, denn die anderen mathematischen Identitätsbegriffe auf Identität (Begriffsklärung) sind auch Mathematik. Wie wäre es stattdessen gleich mit einer Umbenennung des Artikels nach Identitätsgleichung? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:58, 11. Nov. 2012 (CET)
replies: text: Wobei passt doch nicht so richtig, tut mir leid ich nehme das zurück. Erst denken, dann schreiben... :) Mit freundlichen Grüßen, --Der Overmind (Diskussion) 23:30, 18. Nov. 2015 (CET)
thread_title:  Klammerzusatz 

message: Der Begriff Identität macht zunächst keine mathematisch präzise Aussage. 
Identität ist ein vor der edrsten Verwendung hinreichend zu definierendes Konzept, bevor solch ein Begriff erstmal in einem Artikel erscheint. Das ist sonst beliebiger POV oder beliebige sinnlose triviale Spekulation. Kannste auch gleich in die Tonne kloppen. --2003:CC:93C1:7801:143C:6364:FD3B:4830 02:17, 27. Jun. 2016 (CEST)
thread_title:  Schwurbelgel 

message: === Text ===
Eine Identitätsgleichung, oft kurz Identität genannt, ist ein als Gleichung geschriebener mathematischer Sachverhalt, der die Gleichheit von Ausdrücken, Formeln oder Funktionen auf gewissen Definitionsbereichen zum Inhalt hat.
Diese Gleichungen enthalten Variablen. Es geht aber nicht darum, diese zu bestimmen, sondern es wird behauptet, dass beide Seiten der Gleichung, die sich durch Einsetzen von beliebigen Elementen des vereinbarten Definitionsbereichs an Stelle der Variablen ergeben, zum selben Wert führen.Michael Merz: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Vahlen Verlag (2012), ISBN 3-800-64482-7 Kapitel 4.2: Gleichungen, Seite 71Wilfried Plassmann, Detlef Schulz (Herausgeber): Formeln und Tabellen der Elektrotechnik, Vieweg + Teubner-Verlag 2014, ISBN 978-3-8348-0525-6, Kapitel 2.1:: Gleichungsarten
Als Beispiel betrachten wir die binomische Formel
:: (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab   für alle   a,b\in \R.
Diese Identität besagt, dass, ganz gleich welche reellen Zahlen man für a oder b einsetzt, der Wert der linken Seite, das Quadrat der Summe aus den für a und b eingesetzten Zahlen, gleich dem Wert der rechten Seite, der Summe der einzelnen Quadrate plus dem Doppelten des Produktes aus den für a und b eingesetzten Zahlen, ist.
Der verwendete Definitionsbereich \R ist hier üblich, weil er oft dem Kenntnisstand des Anwenders dieser Formel entspricht. Stellt man sich ein Schulniveau vor, auf dem der Schüler erst die rationalen Zahlen, das heißt die Brüche, aber noch nicht die reellen Zahlen kennengelernt hat, so wird man obige Identität mit dem kleineren Definitionsbereich \Q an Stelle von \R angeben. Hat man schließlich die komplexen Zahlen kennengelernt, so wird man den größeren Definitionsbereich \Complex verwenden. 
In der weiter fortgeschrittenen Mathematik lernt man, quadratische Matrizen zu addieren, untereinander und mit festen Zahlen zu multiplizieren, insbesondere auch zu quadrieren. Man könnte daher als Definitionsbereich etwa alle 2\times 2-Matrizen betrachten. Es stellt sich dann heraus, dass obige Formel nicht mehr gilt, das heißt nicht für alle 2\times 2-Matrizen a und b gilt  (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab. Dies zeigt, dass das Bestehen von Identitäten vom gewählten Definitionsbereich abhängt. Dieser muss daher immer vereinbart sein, das geschieht entweder stillschweigend oder durch explizite Angabe.
Eine weitere sehr bekannte Identität ist
::\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1   für alle   x\in \R.
Auch hier geht es nicht darum, x zu bestimmen, obwohl x häufig als Symbol für eine Unbekannte verwendet wird. Obige Identität sagt aus, dass wenn x irgendeine reelle Zahl ist, man die Sinus- und Cosinuswerte bestimmt, diese quadriert und anschließend addiert, man immer das Ergebnis 1 erhält.
Zur Verdeutlichung verwendet man - gerade bei Identitäten für Funktionen reeller Zahlen oder anderer Definitionsbereiche - an Stelle des Gleichheitszeichens das Symbol "≡" und liest "ist identisch gleich"W. Busse v. Colbe, G. Laßmann: Betriebswirtschaftstheorie – Band 1 Grundlagen, Produktions- und Kostentheorie; Springer Verlag (1983), ISBN 978-3-540-16122-6, Kapitel 1.4.d: Identitäten (Identische Gleichungen), zum Beispiel:
::\sin^2(x) + \cos^2(x) \equiv 1   für alle   x\in \R.
Diese Schreibweise ist eine besonders in technischen Fachrichtungen verbreitete Konvention, sie ändert nichts an der oben vorgestellten Bedeutung. Dieses Zeichen wird dort insbesondere gern für die Gleichheit von Funktionen verwendet.H. Geiger, K. Scheel (Herausgeber): Handbuch der Physik - Band III Mathematische Hilfsmittel in der Physik, Springer Verlag 1928, Kapitel 1.I.b: Der FunktionsbegriffAdalbert Duschek: Vorlesungen über höhere Mathematik, Springer-Verlag Wien 1949, ISBN 978-3-7091-3967-0, § 8.3: Gleichung und Identität. Es ist aber immer noch eine Gleichheit gemeint, so dass die Verwendung des anderen Zeichens "≡" auch Verwirrung stiften kann, zumal dieses Zeichen von vielen Autoren für die Modulo-Operation verwendet wird. Die Verwendung dieser Zeichen wird in der Regel in einleitenden Abschnitten von Lehrwerken festgelegt, so dass im Zweifel diese einleitenden Abschnitte zu konsultieren sind.
=== Einzelnachweise ===
=== Bemerkungen dazu ===
Die Diskussion über rationale Zahlen /Matrizen bezüglich des Definitionsbereichs würde ich so nicht führen. Man sollte sich hier auf die einfachen DBe: reelle/natürliche Zahlen und Teilmengen davon beschränken. Beispiele:
:1+2+...+n=n(n+1)/2,\quad n\in \N,
: \log(xy)=\log(x)+\log(y),\quad 0<x,y\in \R,
: \cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)},\quad 0\le x\le \pi/2,
: \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x), \quad x\in \R .
--Ag2gaeh (Diskussion) 09:43, 8. Aug. 2016 (CEST)
replies: text: Ja, das mit den Matrizen kann man weglassen und nur erwähnen, dass man "in weiter fortgeschrittener Mathematik auch Definitionsbereiche behandelt, in denen diese Formel nicht mehr gilt, z.B. die Menge aller 2x2-Matrizen". Das ist dann erheblich kürzer. --FerdiBf (Diskussion) 21:17, 9. Aug. 2016 (CEST)
thread_title:  Vorschlag für eine Umformulierung 

message: Die Diskussion über rationale Zahlen /Matrizen bezüglich des Definitionsbereichs würde ich so nicht führen. Man sollte sich hier auf die einfachen DBe: reelle/natürliche Zahlen und Teilmengen davon beschränken. Beispiele:
:1+2+...+n=n(n+1)/2,\quad n\in \N,
: \log(xy)=\log(x)+\log(y),\quad 0<x,y\in \R,
: \cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)},\quad 0\le x\le \pi/2,
: \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x), \quad x\in \R .
--Ag2gaeh (Diskussion) 09:43, 8. Aug. 2016 (CEST)
replies: text: Ja, das mit den Matrizen kann man weglassen und nur erwähnen, dass man "in weiter fortgeschrittener Mathematik auch Definitionsbereiche behandelt, in denen diese Formel nicht mehr gilt, z.B. die Menge aller 2x2-Matrizen". Das ist dann erheblich kürzer. --FerdiBf (Diskussion) 21:17, 9. Aug. 2016 (CEST)
thread_title:  Bemerkungen dazu 

message: Ich habe das jetzt umgesetzt und, wie von Dir gewünscht, die Sache mit den 2×2-Matrizen nicht weiter ausgeführt. Kannst Du bitte die gewünschten Beispiele noch einfügen. Ich denke, dann können wir den QS-Baustein entfernen.--FerdiBf (Diskussion) 22:02, 13. Aug. 2016 (CEST)
thread_title:  Umsetzung 

message: Ist also die Euler'sche Identität keine Identität oder müssen Identitäten nicht unbedingt Variablen enthalten? Falls Letzteres zutrifft, sollte der Satz nicht geändert werden?
--Felix Tritschler (Diskussion) 13:21, 6. Mär. 2021 (CET)
replies: text: +1 --Sigma^2 (Diskussion) 16:26, 17. Sep. 2021 (CEST)
thread_title:  "Diese Gleichungen enthalten Variablen ..." <--> Z.B. Die Eulersche Identität enthält KEINE Variablen 

message: Im Artikel steht „(a+b)^2 \equiv a^2 + 2ab + b^2   für alle a,b\in \R“, aber nach meinem Verständnis wird mit dem Zeichen „≡“ bereits ausgedrückt, dass die Gleichheit für alle a,b gilt, von dem her ist „≡“ eben nicht einfach gleichbedeutend mit „=“. „(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2“ ist eine offene Formel (die in \R allgemeingültig ist), „(a+b)^2 \equiv a^2 + 2ab + b^2“ dagegen eine geschlossene Formel / ein Satz. Auch aus dem Artikel:
:Es ist aber immer noch eine Gleichheit gemeint, sodass die Verwendung des anderen Zeichens „≡“ auch Verwirrung stiften kann, zumal dieses Zeichen von vielen Autoren für die Modulo-Operation verwendet wird.
Die Modulo-Operation wird mit „mod“ notiert, „≡“ wird für die KONGRUENZ modulo einer Zahl geschrieben. -- Der Transkriptor (Diskussion) 14:27, 5. Jul. 2022 (CEST)
thread_title:  Allquantor