Diskussion:Zeitgleichung/Archiv/1

message: Hallo Sch, "Erweiterung" ist ja eine ziemliche Untertreibung für einen fast komplett neu geschriebenen ausführlichen Artikel. Ich finde ihn wirklich sehr anschaulich. Dabei habe ich auch zum ersten Mal die Antwort auf meine Frage ganz oben auf der Seite verstanden. Danke! --Bjs 19:27, 8. Feb 2006 (CET)
replies: text: Vielen Dank :) Ich bin mir nicht ganz sicher, ob die etwas diffuse Erklärung, dass einer Strecke auf der Ekliptik eine Strecke anderer Länge auf dem Äquator „entspricht“, wirklich völlig klar ist. Aber ich wollte an dieser Stelle noch nicht mit Länge und Rektaszension kommen, und auch für diejenigen, die es weniger anschaulich finden, sollte zumindest mit der jetzt neu hinzugekommenen Beschreibung der Grundlagen für die Berechnung verständlich geworden sein, worum es geht. Tschau, -- Sch 00:16, 11. Feb 2006 (CET)
thread_title:  "Erweiterung" von Benutzer:Sch 

message: "Die Sonnenuhr kann bis zu 16 Minuten 33 Sekunden vorgehen (um den 3. November) oder bis zu 14 Minuten 5 Sekunden nachgehen (um den 12. Februar)." Dieser Satz wurde am 2. April 2008 eingefügt, übernommen aus der englischsprachigen WP. Gelten diese Werte nur für ein bestimmtes Jahr? Denn auf einer Tafel im "Sonnenuhrengarten" des Deutschen Museums in München werden die Werte 16:28 für den 3. November und 14:16 für den 12. Februar genannt. Mit Google finden sich noch weiter abweichende Werte, z.B. 16:23 und 14:24. Vielleicht kann ja ein "Spezialist" Licht in die Sache bringen. Lampart 01:55, 5. Feb. 2009 (CET)
replies: text: Mittlerweile habe ich das Nautische Jahrbuch zu Rate gezogen. In 10-Jahres-Abständen ergeben sich folgende Werte: 
#für den 11. Februar 1979 14:17, 1989 14:16, 1999 14:13 und 2009 14:14
#für den 3. November 1979 16:24, 1989 16:25, 1999 16:26 und 2009 16:26
Lampart 00:26, 8. Feb. 2009 (CET)
thread_title:  Verschiedene Extremwerte 

message: Lieber Thomas, die Legende (in der Ecke unten rechts) halte ich für unglücklich. Ich nehme an, dass Du das übliche Sinnvolle meinst: 
# Zeitgleichung, wenn keine Schiefe der Erdachse, nur exzentrische Bahn angenommen
# Zeitgleichung, wenn keine Exzentrik, nur Schiefe der Erdachse  angenommen
# Zeitgleichung
Das sollte klar herauskommen.--Analemma 20:14, 7. Mär. 2009 (CET)
replies: text: Gerade vor einem Monat habe ich im Text die (gegenwärtig) exakten Extremwerte (mm:ss) korrigiert, die auch in mehreren anderssprachigen WPs z.T. noch falsch sind. Nun sind sie vollkommen verwässert! Lampart 22:13, 7. Mär. 2009 (CET)
replies: text: Genauere Werte gehören nicht in die einleitende Zusammenfassung. Hier geht es erst einmal um das Grundsätzliche, noch nicht um die Befriedigung von Liebhabern von Zahlen mit vielen Dezimalen. Ich habe selbstverständlich angenommen, dass Werte in höherer Auflösung  später im Text stehen, Fehlanzeige (ein klarer Mangel des Artikels). Dort solltest Du nun noch die beiden Nebenextremwerte ergänzen, Deine beiden Werte stehen da jetzt.--Analemma 22:59, 7. Mär. 2009 (CET)
replies: text: Guter Vorschlag! Genannt werden sollten die genauen Werte schon, denn sie sind ja exakt meßbar, genauso wie z.B. all die Zahlen im Artikel Lunation, stellvertretend für andere Artikel. Wenn ein Leser es nicht so genau braucht/will, kann er die Sekunden ja gedanklich weglassen, im umgekehrten Fall wäre es schwierig, er müßte sich z.B. erst das Nautische Jahrbuch beschaffen. Lampart 17:54, 9. Mär. 2009 (CET)
thread_title:  Zeitgleichungsdiagramm 

message: Ich habe den vorher stehenden Text des Artikels überarbeitet (Gründe sind bei der jeweils neuen Version angegeben). Jetzt steht für mich der streng quantitative Teil (sprich: Berechnung) zur Debatte. Mir scheint, dass der Ansatz dazu zu ändern ist. Was wir im Moment haben, ist eher eine mathematische Übung (z.T. sogar nur eine Ansammlung hingestellter Gleichungen und aufgeworfener mathematischer Begriffe). Zuerst halte ich es für nötig, alles heliozentrich zu bedenken. Die Mittlere Sonne ist in erster Linie ein historisch zu verstehendes Modell, das selbstverständlich im historischen Teil des Artikels ausführlich zu besprechen ist. Der fortwährende Hang am geozentrischen Weltbild war eher eine politische Rücksichtnahme. Erklären konnte und kann man damit den Einfluss der elliptische Jahresbewegung der Erde auf die Zeitgleichung nicht. Der Erd-Bahn entspricht eine elliptische Bahn der Wahren Sonne am Himmel, der im Modell aber kugelförmig ist.
Auch bei der steng quantitativen Behandlung müssen die astronomischen Zusammenhänge im Vordergrund bleiben, wie das in einigen Weblinks der Fall ist (z.B. die näherungsweise Behandlung   oder die strengere Behandlung ). Analemma 19:51, 11. Mär. 2009 (CET)
thread_title:  Berechnung 

message: Berechnung 
 
Definition
Definitionsgemäß ist die Zeitgleichung die Differenz WOZ − MOZ von wahrer Ortszeit WOZ und mittlerer Ortszeit MOZ.
Diese Zeitdifferenz ist proportional zur Differenz der Stundenwinkel einer geeignet definierten Mittleren Sonne und der wahren Sonne, und damit auch proportional zur Differenz der (entlang des Äquators zu zählenden) Rektaszensionen beider Sonnen. Die Zeitgleichung ist nur näherungsweise der Zeitabstand zwischen den Meridiandurchgängen der wahren und der mittleren Sonne, weil sich während des Zeitraums zwischen beiden Kulminationen der Abstand beider Sonnen und damit die Zeitgleichung geringfügig ändert.
 geringfügig ändert:
 Auf solche Feinheiten pochen Lehrer, wenn sie ihre Schüler quälen wollen. 
 In einer Enzyklopädie für jedermann/frau sollte man darüber schweigen.
Wahre Sonne
Die Position der wahren Sonne lässt sich nach gängigen Methoden mit praktisch beliebiger Genauigkeit berechnen. Für Anwendungen mit mäßigen Anforderungen genügt die im Folgenden beschriebene stark vereinfachte Methode, die einen günstigen Kompromiss zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand darstellt.
 stark vereinfachte Methode; günstiger Kompromiss:
 Sollte dem Leser nicht vorgesetzt werden. Es bleibt ihm nichts anderes übrig, als die Mitteilung zu glauben. 
 Bestenfalls ignoriert er sie. 
Als Zeitkoordinate n wird die Anzahl der Tage seit dem Standardäquinoktium J2000.0 
 Standardäquinoktium J2000.0: Was ist der Grund für diese Wahl? 
(1. Januar 2000, 12 Uhr TT ≈ 12 Uhr UT) verwendet, gegebenenfalls inklusive Tagesbruchteil. Ist JD das Julianische Datum des gewünschten Zeitpunkts, so gilt
n \, = \, JD \, - \, 2451545{,}0.
Zunächst ist die Position der Sonne auf der Ekliptik zu bestimmen. Sieht man vorerst von den durch die Bahnelliptizität verursachten Geschwindigkeitsschwankungen ab und setzt eine mittlere Geschwindigkeit der Sonne an (360° in ca. 365,2422 Tagen), so erhält man die mittlere ekliptikale Länge L der Sonne (in dieser Formel ist auch der Einfluss der Aberration bereits enthalten):
L \, = \, 280{,}460^\circ + 0{,}9856474^\circ \cdot n.
 280,460°: Welche Bedeutung?
Um den Einfluss der Bahnelliptizität nachträglich zu berücksichtigen und die ekliptikale Länge \lambda zu erhalten, ist hierzu als Korrektur die so genannte Mittelpunktsgleichung 
 Mittelpunktsgleichung: wohher, welche astronomische Bedeutung?
zu addieren. Diese Korrektur hängt vom Winkel zwischen Sonne und Perihel ab, der so genannten Anomalie. 
Die Mittelpunktsgleichung erwartet als Eingabewert die gleichförmig anwachsende mittlere Anomalie g. 
 mittlere Anomalie: Was ist der Unterschied zwischen Anomalie und mittlerer Anomalie?
Diese wächst um 360° in einem anomalistischen Jahr zu ca. 365,2596 Tagen:
g \, = \, 357{,}528^\circ + 0{,}9856003^\circ \cdot n.
Die Mittelpunktsgleichung ist eine periodische Funktion der mittleren Anomalie 
und kann daher in eine Fourierreihe zerlegt werden. 
 Vor der Zerlegung sollte die Mittelpunktsgleichung erst einmal hingeschrieben werden.
Bei kleinen Bahnexzentrizitäten kann die Reihe nach wenigen Termen abgebrochen werden. Berücksichtigt man nur in der Exzentrizität e lineare und quadratische Terme, 
 Wird etwas in der Exzentrizität berücksichtigt, oder werden e und e zum Quadrat berücksichtigt?
so lautet die Mittelpunktsgleichung
 
\lambda - L \, = \, \left( 2 e \sin(g) + \frac{5}{4} e^2 \sin(2g) \right) \, \cdot \, \frac{180^\circ}{\pi},
und für den Fall der Sonnenbahn mit e \approx 0{,}0167 ergibt sich daraus für die ekliptikale Länge \lambda der Sonne:
\lambda \, = \, L + 1{,}915^\circ \cdot \sin(g) + 0{,}020^\circ \cdot \sin(2g).
L und g sollten vorher durch Addition oder Subtraktion geeigneter Vielfacher von 360° in den Bereich zwischen 0° und 360° gebracht werden. Die zu L zu addierende Korrektur beschreibt den auf der Elliptizität der Erdbahn beruhenden Anteil der Zeitgleichung.
Für die so berechnete entlang der Ekliptik gezählte ekliptikale Länge \lambda muss nun die zugehörige entlang des Himmelsäquators gezählte Rektaszension \alpha bestimmt werden. Auch die Differenz \alpha - \lambda, die so genannte Reduktion auf den Äquator, 
 Dass die genannte simple Differenz die Reduktion sei, erscheint bei vorliegender dreidimensionaler Problematik 
 ohne Erklärung unglaublich.
lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln. Mit der Schiefe der Ekliptik \varepsilon
\varepsilon \, = \, 23{,}439^\circ - 0{,}0000004^\circ \cdot n 
 Die versprochene starke Vereinfachung wird mit dieser hohen Genauigkeit unglaubwürdig.
und
\tau \, = \, \tan^2(\frac{\varepsilon}{2})
 wohher diese Gleichung, welche astronomische Bedeutung?
ergibt sich die Rektaszension \alpha als
\alpha \, = \, \lambda - \left( \tau \sin(2\lambda) - \frac{\tau^2}{2} \sin(4\lambda) \right) \, \cdot \, \frac{180^\circ}{\pi}.
 Auch diese Gleichung wird dem Leser aprupt vorgesetzt.
Der Unterschied zwischen \lambda und \alpha ist der auf der Schiefe der Ekliptik beruhende Anteil der Zeitgleichung. Wie man der Gleichung entnehmen kann, entspricht einem gegebenen Längenintervall \Delta \lambda in der Nähe der Tagundnachtgleichenpunkte ein Rektaszensionsintervall \Delta \alpha < \Delta \lambda und in der Nähe der Sonnwendpunkte ein Rektaszensionsintervall \Delta \alpha > \Delta \lambda. 
 Beim Leser kann das zu einem Minderwertigkeitsgefühl führen, falls er Mühe hat, das zu entnehmen (er sei kein Mathematiker). 
Selbst wenn also \lambda gleichförmig mit der Zeit anwüchse, so würde \alpha dennoch ungleichförmig anwachsen.
Die Bahnstörungen durch die gravitative Wirkung des Mondes und der übrigen Planeten wurden vernachlässigt, ebenso einige langfristige Veränderungen der Erdbahn.
 Der Grund: starke Vereinfachung
Mittlere Sonne
Um die Effekte der Bahnelliptizität und der Schiefe der Erdachse zu vermeiden, denkt man sich die zur Referenz dienende mittlere Sonne als einen gleichmäßig entlang des Äquators (statt der Ekliptik) wandernden Punkt. Sie soll wie die wahre Sonne den Himmel einmal in ca. 365,2422 Tagen umkreisen, also muss ihre Rektaszension \alpha_m um 0,9856474° pro Tag anwachsen (dieselbe Geschwindigkeit, mit der die mittlere Länge L der wahren Sonne anwächst). Die Ausgangsstellung zum Zeitpunkt n=0 wählt man so, dass die Rektaszension der mittleren Sonne und die mittlere Länge der wahren Sonne zum gleichen Zeitpunkt den Wert Null annehmen (also zum gleichen Zeitpunkt durch den Frühlingspunkt laufen). Dann haben beide Koordinaten, da sie sich mit derselben konstanten Geschwindigkeit bewegen, aber auch zum Zeitpunkt n=0 denselben Zahlenwert (nur ist es einmal die mittlere Länge auf der Ekliptik und einmal die Rektaszension auf dem Äquator) und der formelmäßige Zusammenhang ist derselbe wie der für L:
 Am Ende ist es einfach derselbe Zusammenhang. Die lange Rede vorher zeigt das nicht so einfach. 
 Führt sie tatsächlich zu diesem Schluß?
\alpha_m \, = \, L \, = \, 280{,}460^\circ + 0{,}9856474^\circ \cdot n.
Zeitgleichung
Die Differenz der Rektaszensionen von mittlerer und wahrer Sonne ist:
\alpha_m \, - \, \alpha	= \alpha_m - \left( \lambda - ( \tau \sin(2\lambda) - \frac{\tau^2}{2} \sin(4\lambda)) \, \cdot \, \frac{180^\circ}{\pi} \right)
                  	= L - \left( L + 1{,}915^\circ \cdot \sin(g) + 0{,}020^\circ \cdot \sin(2g) - ( \tau \sin(2\lambda) - \frac{\tau^2}{2} \sin(4\lambda)) \, \cdot \, \frac{180^\circ}{\pi} \right)
                  	= -1{,}915^\circ \cdot \sin(g) - 0{,}020^\circ \cdot \sin(2g) + ( \tau \sin(2\lambda) - \frac{\tau^2}{2} \sin(4\lambda)) \, \cdot \, \frac{180^\circ}{\pi}
Nach Übergang zum zugehörigen Zeitintervall durch Multiplikation mit 4 min/° liefert diese Formel die Zeitgleichung in Minuten. Die Genauigkeit beträgt etwa 0,1 Minuten für den Zeitraum zwischen 1950 und 2050.
Beispiel: Für den 1. Juni 2006 12h UT (n=2343{,}0) liefert diese Formel einen Wert von 2,194 min für die Zeitgleichung. Laut Astronomical Almanac beträgt der Wert „mit einer Präzision von etwa einer Sekunde“ 2,195 min.
 Genauigkeit beträgt etwa 0,1 Minuten;  Vergleich 2,194 gegen 2,195 min: Die Maßstäbe passen nicht zusammen.
Soll die Formel für einen engeren Zeitraum verwendet werden, so können die Koeffizienten für diesen Fall auch explizit vorberechnet werden. Spezialisierung auf den Zeitraum um J2000.0 liefert beispielsweise als Näherungsformel für die Zeitgleichung Z in Minuten:
{|                                                                                                                               	n \, = \, JD \, - \, 2451545{,}0
L \, = \, 280{,}460^\circ + 0{,}9856474^\circ \cdot n                                                                             	
g \, = \, 357{,}528^\circ + 0{,}9856003^\circ \cdot n                                                                             	
\lambda \, = \, L + 1{,}915^\circ \cdot \sin(g) + 0{,}020^\circ \cdot \sin(2g)                                                    	
Z = 9{,}863 \cdot \sin(2\lambda) - 0{,}212 \cdot \sin(4\lambda) -7{,}660 \cdot \sin(g) - 0{,}080 \cdot \sin(2g) \ \mathrm{Minuten}	
 4 Gleichungen sind wie bisher. Wieso ist das Ergebnis (die 5. Gleichung) ein anderes?
Weitere Vereinfachung
Die Formel lässt sich weiter vereinfachen, indem die beiden Terme geringerer Amplitude 
 Welche Terme sind das?
gestrichen werden. Wird außerdem die variable Änderungsrate von \lambda 
ignoriert, also \lambda durch L ersetzt, so ergibt sich folgende Formel:
 In L ist die Bahnelliptizität nicht berücksichtigt. Das ist doch eine Unterlassung, nicht eine Vereinfachung.
Es bezeichne t den ab 1. Januar 2000 gezählten Tag, T die Periodenlängen in Tagen, \Delta die Verschiebungen der Startzeitpunkte der Perioden gegenüber t=0 und A die Amplituden. Dann lässt sich die Zeitgleichung Z mit folgender Formel annähern, wenn e und s für die durch die Elliptizität der Erdbahn bzw. die Schiefe der Ekliptik verursachten Anteile stehen:
Z(t) = A_s \cdot \sin( 360^\circ \cdot (t - \Delta_s)/T_s) - A_e \cdot \sin( 360^\circ \cdot (t - \Delta_e)/{T_e})
Als Periodendauer sind folgende Parameter einzusetzen:
:T_s = 182,6211 Tage (ein halbes tropisches Jahr)
:T_e = 365,2596 Tage (Zeit zwischen zwei Periheldurchgängen)
Anhand der Tabelle 1 können die Parameter A_s bis \Delta_e so gewählt werden, dass die Abweichungen der Funktionswerte von den Tabellenwerten minimal werden. Unter Verwendung der Methode der kleinsten Quadrate erhält man folgende Werte:
:A_s = 9,92 Minuten
:A_e = 7,37 Minuten
:\Delta_s = 80,8 Tage (ungefähr der Zeitpunkt des März-Äquinoktiums)
:\Delta_e = 3,7 Tage (ungefähr der Zeitpunkt des Periheldurchgangs)
Für t kann in die Formel auch der Tag (0 bis 365) eines beliebigen Jahres eingesetzt werden; die Abweichungen vom tatsächlichen Wert werden größer, je weiter man sich vom Jahr 2000 entfernt.
Analemma
Trägt man für ein Jahr den Verlauf der Deklination gegen die Zeitgleichung auf, erhält man eine charakteristische Figur in Form einer Acht, ein so genanntes Analemma. Auch die jeden Tag um dieselbe Zonenzeit oder mittlere Sonnenzeit fotografierten Sonnenstände am Himmel ergeben ein Analemma. 
 Das Analemma am Himmel ist das primäre, nicht das Rechenergebnis. 
Die Stundenlinien auf den Zifferblättern von Sonnenuhren können als Analemma gestaltet sein, um unmittelbar das Ablesen der um die Zeitgleichung korrigierten Zeit zu erlauben.
Abgesehen von einer leichten Asymmetrie, die davon herrührt, dass Perihel und Frühlingspunkt nicht zusammenfallen, 
 Perihel und Frühlingspunkt nicht zusammenfallen: Perihel und Wintersolstitium fallen auch nicht zusammen,
 liegen aber näher beieinander. 1246 fielen sie zusammen, und es lag Symmetrie vor.
erstreckt sich ein durch Sonnenpositionen zu fester Uhrzeit gebildetes Analemma stets entlang eines Himmelsmeridians: das obere Ende weist in Richtung Himmelsnordpol, das untere Ende in Richtung Himmelssüdpol. 
 Beim beobachteten Analemma ist der Nordpol darüber (oben), was nicht "verraten" werden muß. 
 Bei der graphischen Darstellung des gerechneten Analemmas ist oben, was man oben haben will.
Zum Zeitpunkt der Sommer- bzw. Wintersonnwende durchläuft die Sonne jene nördlichsten bzw. südlichsten Punkte des Analemmas.
Frühester/spätester Sonnenauf-/-untergang
 
Nähert sich das Jahr der Wintersonnwende, so erfolgen die Sonnenaufgänge immer später und die Sonnenuntergänge immer früher: die Tage werden kürzer. Es wäre zu erwarten, dass am Tag der Wintersonnwende als kürzestem Tag auch der späteste Sonnenaufgang und der früheste Sonnenuntergang stattfinden. Ein Blick auf eine Tabelle mit Auf- und Untergangszeiten zeigt jedoch, dass auf gemäßigten Breiten der früheste Sonnenuntergang schon in der ersten Dezemberhälfte, der späteste Sonnenaufgang erst um Neujahr auftritt. Ebenso ist der Tag der Sommersonnwende zwar der längste Tag, aber nicht der Tag mit dem frühesten Sonnenaufgang und dem spätesten Sonnenuntergang.
Betrachtet man ein Sonnenstandsdiagramm, so bilden die Sonnenpositionen für eine fixe Uhrzeit ein Analemma. Auf der Nordhalbkugel ist ein solches Analemma für einen Zeitpunkt am Nachmittag nach rechts geneigt, weil das obere Ende des Analemmas in Richtung des Himmelsnordpols weist, welcher sich rechts oberhalb eines zur untergehenden Sonne blickenden Beobachters befindet. Der tiefste Punkt eines so geneigten Analemmas ist nicht mit dem südlichsten Punkt identisch, in dem sich die Sonne zum Zeitpunkt der Wintersonnwende befindet.
Das Analemma für die Uhrzeit des frühesten Sonnenuntergangs berührt mit seinem tiefsten Punkt gerade den Horizont. Passiert die Sonne auf ihrem Weg zur Wintersonnwende an einem bestimmten Tag diesen tiefsten Punkt, so ist sie an diesem Tag zu dieser Uhrzeit gerade untergegangen. An den vorhergehenden und nachfolgenden Tagen befindet sie sich jedoch auf weniger tiefen Positionen im Analemma und ist um die betreffende Uhrzeit noch nicht untergegangen. Insbesondere liegt ihre Position zur Wintersonnwende zwar auf dem südlichsten, nicht aber auf dem tiefsten Punkt des Analemmas, so dass die Sonne am Tag der Wintersonnwende schon wieder ein Stück später untergeht als am Tag des frühesten Untergangs.
Für Beobachter auf geringeren geographischen Breiten (Äquatornähe) steht der Himmelspol niedriger am Himmel. Entsprechend ist das Analemma für die Uhrzeit des frühesten Sonnenuntergangs stärker geneigt, und der tiefste Punkt des Analemmas wandert zu einem früheren Kalenderdatum. Der Datumsunterschied ist mit zunehmender Äquatornähe also stärker ausgeprägt. Ähnliche Argumente gelten für den spätesten Sonnenaufgang im Winter sowie für den frühesten Aufgang und den spätesten Untergang im Sommer.
 Der gesamte Absatz schildert das Phänomen auf einem ziemlichen Umweg. Die Erklärung ist ganz ohne Analemma möglich, 
 sie kann und soll direkt an Hand  des “Vor- und Nachgehens” der Wahren Sonne erfolgen. Was hier steht, 
 lässt sich als eine mathematische Übung gebrauchen.
Um schnell zu überblicken, was nun wann am frühesten oder spätesten stattfindet, lässt sich eine simple Regel ableiten, deren verbale Logik rein zufällig immer und auch auf der Südhalbkugel gilt:
Das früheste Ereignis geschieht vor, das späteste nach der Sonnenwende.
oder anders:
Bei Tageslängen-Maxima im Sommer ist der früheste Sonnenaufgang vor, der späteste Sonnenuntergang nach der Sommersonnenwende.
Umgekehrt ist bei Tageslängen-Minima im Winter der früheste Sonnenuntergang vor, der späteste Sonnenaufgang nach der Wintersonnenwende.
Historisches
Die Zeitgleichung war schon den antiken Astronomen bekannt. Geminus (ca. 50 n. Chr.) erwähnt sie. Ptolemäus (ca. 150 n. Chr.) beschreibt im Almagest korrekt ihre Ursachen und berechnet sie.
 Detailliertere Quellenbezüge (Einzelnachweise) sind vorteilhafter und in WP üblich.
 Zu nennen sind auch Keppler und Flamsteed. 
In älteren Jahrbüchern findet sich die Zeitgleichung mit umgekehrtem Vorzeichen. Sie wurde damals zur beobachteten wahren Sonnenzeit addiert, um mittlere Sonnenzeit zu erhalten. Heutzutage liest man die mittlere Zeit von den (stets gleichmäßig laufenden) Uhren ab und addiert die Zeitgleichung, um die wahre Sonnenzeit zu erhalten. In den französischen Jahrbüchern ist die alte Konvention noch üblich.
Analemma 20:34, 12. Mär. 2009 (CET)
thread_title:  Version mit Mangeleinträgen (Berechnung bis Historisches) 

message: Der folgende Vorschlag hält sich näher an die Astronomie (heliozentrisches Weltbild) und an die Arbeiten von Keppler (Kepler-Gleichung) und Newton (numer. Naherung).Sonnenuhren-Handbuch , Berechnung der Zeitgleichung, Deutsche Gesellschaft für Chronometrie, Arbeitskreis Sonnenuhren, 2006, S. 43-49
Geozentrisch: Ortszeit-Differenz → Differenz zweier Rektaszensionen
Definition: ZG = WOZ − MOZ  [min] .
Als “Macher” der MOZ wurde die Mittlere Sonne eingeführt. Die Zeitgleichung ist  proportional zur Differenz zwischen den Rektaszensionen  der Mittleren  (αM) und der Wahren Sonne (α):
ZG = 4·(αM - α) [min]
Der Faktor 4 ergibt sich daraus, dass zwei Himmels-Körper mit 1° Rektaszensions-Differenz die Meridian-Ebene 4 min nacheinander passieren. Die Reihenfolge der beiden Subtraktions-Terme hat sich umgekehrt, weil die Richtungen für Stundenwinkel τ (ihm entspricht die Tageszeit) und Rektaszension α gegensätzlich vereinbart sind.
Die Tageszeit, insbesondere die auf einem bestimmten Längengrad gültige WOZ oder MOZ kann außer Acht bleiben. In der folgenden Betrachtung erstreckt sich der Zeitraum mindestens über ein Jahr. Der gleichmäßige Ablauf der Zeit wird mit der Mittleren Anomalie dargestellt.  
Heliozentrisch: Wahre Anomalie als Zeitgleichung für den Ort der Wahren Erde auf ihrer elliptischen Bahn
Während sich die Erde auf ihrer Bahn  vorwärts bewegt, rotiert ein von der Sonne zur Erde zeigender Vektor um die Sonne. Sein mit der Geraden zwischen Sonne und Ort des Perihels gebildeter Winkel heißt Wahre Anomalie V(t). Analog dazu lässt sich eine Mittlere Anomalie M(t) angeben. Dabei handelt es sich um einen Vektor, der gleichmäßig um die Sonne rotiert. Er ist als Vektor vorstellbar, der zu einer fiktiven Erde zeigt, die sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf der Bahnellipse bewegt.
M(t) = M0 + (360°/Jan)· t .
Jan ist das anomalistische Jahr (Zeit für zwei aufeinander folgende Passagen des Perihels). Weil die Anomalien im Perihel Null sind, die Zeitgleichung aber mit t=0 am etwa 3 Tage früherem Jahresanfang aufgestellt wird, ist die Winkel-Differenz M0 zwischen Perihel und dem Ort der Erde am 1. Januar, 0 Uhr zu addieren (M0 ist negativ). M0 ist eine Jahres-Konstante mit deutlich vier verschiedenen Werten gemäß Schaltjahr-Zyklus.
Das Verhältnis der beiden Anomalien zueinander ist ein Mass für den Teil der Zeitgleichung, der aus der Elliptizität folgt. Die Beziehung zwischen beiden folgt aus dem Bewegungs-Gesetz der elliptischen Bahnfahrt, dem zweiten Keplerschen Gesetz. Kepler hat den Zusammenhang schon mit Hilfe der sogenannten Kepler-Gleichung formuliert. Der Ort der Wahren Erde wird zunächst von der gemäß Kepler sogenannten Exzentrischen Anomalie E(t) repräsentiert. Sie ist wie die beiden anderen Anomalien ein auf das Perihel bezogenes Winkelmass. Der zugehörige Vektor geht nicht von der Sonne sondern vom Mittelpunkt der Ellipse aus. Er zeigt zu einem Hilfspunkt auf dem Umkreis zur Ellipse. Die Kepler-Gleichung lautet mit der relativen (numerischen) Exzentrizität e der Ellipse:
M(t) = E(t) – (180°/π)e · sin E(t) .   
Sie ist nach E(t) aufzulösen, was in geschlossener Form nicht möglich ist, aber zum Beispiel mit dem numerischen Verfahren gelingt, dass Newton anlässlich dieser Aufgabe entwickelte.
Mit dem Ergebnis E(t) = f(M(t)) lässt sich nun die Wahre Anomalie V(t) bei vorgegebener Mittleren Anomalie M(t) (beziehungsweise als Funktion der gleichmäßig ablaufenden Zeit) mit Hilfe rein geometrischer Betrachtung in der Ellipse und in ihrem Umkreis angeben:
tan(V(t)/2) = κ·tan(E(t)/2)      (= f(M(t)) .
κ = ((1+e)/(1-e))1/2 ist eine Ellipsen-Konstante.
Die erste Ursache der Zeitgleichung ist hiermit erfasst.
Übergang zum geozentrischen Weltbild
Die Anomalie V(t) der Wahren Erde ist in die Rektaszension α(t) der Wahren Sonne umzuwandeln. Der Weg dort hin führt über die ekliptikale Länge Λ der Wahren Sonne, denn die (kreisförmige) Ekliptik am geozentrischen Himmel entspricht der (elliptischen) Erdbahn. Die ekliptikale Länge ist in die in der Zeitgleichung gebrauchte auf dem Himmelsäquator gemessene Rektaszension umzurechnen.  Denn die Tageszeit wird durch den täglichen scheinbaren Umlauf der Sonne bestimmt, der auf dem Himmelsäquator oder auf zu diesem parallelen Kreisen stattfindet.
Der Übergang zum geozentrisch üblichen Bezugspunkt, dem Frühlingspunkt kann bereits auf der Ellipse erfolgen. Die Differenz zwischen Perihel und Frühlingspunkt sei:
L(t) = L0 + (pf/Jtr)·t .
Der mit der Zeit veränderliche Summand ist sehr klein. Er berücksichtigt, dass sich Frühlingspunkt und Perihel sehr langsam mit etwa 0,017°/Jtr nähern. Jtr ist das tropische Jahr (Zeit für zwei aufeinander folgende Passagen des Frühlingspunkts). L0-Werte sind Jahres-Konstanten, die sich von Jahr zu Jahr gering durch die inzwischen erfolgte Näherung unterscheiden.
Aus  V(t) = Λ(t) - L(t) wird:
Λ(t) = V(t) + L(t) .       (L(t) ist negativ) 
WIRD FORTGESETZTAnalemma 22:19, 13. Mär. 2009 (CET)
replies: text: Ich habe nochmals am Text gefeilt. Weil Sch, der Autor der aktuellen Version seit langem inaktiv ist, übernehme ich jetzt diese Neuformulierung der Berechnung in den Artikel.Analemma 12:41, 15. Mär. 2009 (CET)
thread_title:  Berechnung, neu formuliert 

message: steht im vorletzten Satz:
...
 Da beide Kreis-Bewegungen ... hinaus weiter drehen, bis die Sonne wieder exakt im Süden steht. 
...
Ich bin etwas verwirrt über "Süden". Das gilt IMHO nur für Beobachter 
nördlich des nördlichen Wendekreises. Ich lebe südlich des südlichen 
Wendekreises und da steht die Sonne mittags im Norden :o
Für Beobachter innerhalb der Wendekreise ist es noch komplizierter.
Vielleicht sollte man statt "Süden" "am höchsten" bzw. "Tageshöchstpunkt" 
schreiben. Dann klappts auch mit dem Nachbarn wie mir in Paraguay :-)
Saludos Wolfgang
--Wall46 13:44, 24. Okt. 2009 (CEST)
replies: text: Auf der Südhalbkugel ist die Sonne eben nicht sichtbar, wenn sie gerade im Süden ist. Anwendbar ist die Definition trotzdem. Da die überwiegende Mehrheit der Leser hier eh auf der Nordhalbkugel ist, sehe ich da kein Problem. Aber du kannst ja einen Hinweis einbauen, dass man auch den Norden betrachten kann. Oder das je nach Halbkugel machen sollte oder was auch immer. --mfb 22:15, 24. Okt. 2009 (CEST)
replies: text: Beachte die Änderung: Süden → Meridian. --Analemma 19:45, 26. Okt. 2009 (CET)
replies: text: Danke, so einfach geht das, wenn man Ahnung hat :-) 
@mfb Die Sonne ist überraschenderweise :) sehr wohl sichtbar für Bewohner auf der Südhalbkugel. Wenn sie für Nordkugler im Süden steht, kann sie für die Südkugler je nach Beobachtungsort im Norden, Osten, Westen oder dazwischen stehen. Nur eben nicht im Süden (solange man nördlich des südl. Polarkreises ist)
Im Moment schafft sie Mittags (im Norden!) hier in Asuncion/PY fast 80° bei 38°C, zu Weihnachten sinds dann fast 89° und könnte umme 45°C werden. Da schmurgelt sie heftig auf der Fontanelle.
Saludos Wolfgang
--Wall46 16:48, 31. Okt. 2009 (CET)
thread_title:  Stern- und Sonnentag 

message: Das Bild zeigt leider ein Exemplar, das auch auf künstlerische Aspekte hin ausgerichtet ist. „Leider“ deshalb, weil diese den Versuch, die einzelnen Elemente zu verstehen, erschweren.
Könnte man den Artikel evtl. durch eine geeignete „technischere“ Darstellung, mittels einer „nüchternen“ Grafik, und mit einem Beispiel, wie der Schatten „gelesen“ wird, ergänzen?--93.244.227.47 01:23, 1. Nov. 2010 (CET)
replies: text: Bild gewechselt.--Analemma 18:17, 1. Nov. 2010 (CET)
thread_title:  Bild „Sonnenuhr in Kloten“ 

message: Was soll das sein? Das ekliptikale Koordinatensystem ist geozentrisch. Auf eine fiktive Erde bezieht sich die mittlere Anomalie, aber hier ist der Scheitel des Winkels im Mittelpunkt der Ellipse, nicht in der Sonne bzw. dem Brennpunkt. -- Digamma 16:15, 26. Mär. 2011 (CET)
replies: text: Zitierte Quelle: Die Rektasz. der mittl. Sonne ist ... zu jeder Zeit gleich der ekl. Länge ΛM des Punktes Y, der durch die mittlere Anomalie M(t) bestimmt ist.Fällt Dir eine verständlichere Formulierung ein? Dass beim Umstieg von der Ellipse auf die Ekliptik M zu Λ wird, ist m.E. klar, oder?mfG Analemma 19:41, 26. Mär. 2011 (CET)

text: Eine Arbeit unter Bezug auf die genannte Quelle findest Du inkl. Abbildungen dortmfG Analemma 12:02, 27. Mär. 2011 (CEST)
replies: text: OK, so funktioniert das natürlich mit der fiktiven Erde. Daran habe ich nicht gedacht, weil ich mir den Mittelpunkt der mittleren Anomalie, dem Artikel Keplergleichung folgend, im Mittelpunkt der Erdbahn denke und nicht im Brennpunkt. Dennoch: von ekliplikaler Länge zu sprechen macht nur geozentrisch Sinn. -- Digamma 14:32, 27. Mär. 2011 (CEST)
thread_title:  Ekliplikale Länge der fiktiven Erde 

message: *http://members.ping.at/astbuero/semind2.htm#sem1992 –-GiftBot (Diskussion) 12:20, 9. Okt. 2012 (CEST)
thread_title:  Defekter Weblink 

message: Anfrage an einen erfahrenen Benutzer: Die aktuelle Version der Commons-, die im von Benutzer:Dringend entfernten Abschnitt (s.o.) verlinkt war, hat keinen Inhalt mehr. Ist das auch durch manuelles Entfernen entstanden?--Modalanalytiker (Diskussion) 10:57, 10. Jul. 2013 (CEST)
replies: text: Nein. Lies bitte die Warnung auf der Dateiseite. Du hast eine beschädigte neueste Version (13KB) geladen. Die zweitletzte Version (81KB, klicke bei Dateiversionen) funktioniert.mfG dringend 11:52, 10. Jul. 2013 (CEST)
thread_title:  Verschwundene Datei 

message: Diese  neue Diskussions-Überschrift, weil "Ermittlung der Zeitgleichung mit Bezug auf Winteranfang" jetzt nicht mehr passt!      
Gueziv schrieb:   
1. "...Da Du offenbar über tolle Software verfügst, ..." Ich mache das nur mit MICA und der Freeware Scilab. Von MICA gibt es vermutlich eine ältere Version, die auch frei sein wird, aber das habe ich nicht kontrolliert.         
2. "Vielleicht spielt neben Mond und Planeten auch die Nutation der Erdachse eine Rolle." Das kann ich nicht weiter auseinandernehmen. Man kann aber feststellen, dass das Kepler-Modell mit optimalen Konstanten sehr genaue Ergebnisse für die Zeitgleichung liefert und dass die in der PDF-Graphik sichtbare Zunahme der Abweichungen mit wachsendem Zeitabstand vom "Justierpunkt" 1.1.2000 darauf hinweist, dass von den Parametern, die ich verwende, nicht mehr alle optimal bleiben. Im Abschnitt 6.7 möchte ich nicht weiter darauf eingehen. Mir ist wichtig, dass er kurz bleibt und dass ein interessierter Nutzer mit den gegebenen Informationen Werte ausrechnen kann, ohne dass er sich im Dschungel einer überladenen Darstellung verirrt. Außerdem weiß ich nicht, ob Abschnitt 6.7 überleben wird.        
3: Zu  www.helios-sonnenuhren.de, Rubrik "blog April 2011" Interessanter Hinweis, danke!         
4. "Auch bei der "alten" Rechnung braucht man den Frühlingspunkt (oder Winter-, Sommer-, Herbstpunkt) und den Periheldurchgang als Inputs": Als Input zur Zeit-Justierung nehme ich nur den Frühlingsanfang, und es gefällt mir sehr, dass man ihn explizit einsetzen kann. Zunächst dachte ich, dass es nur mit dem Perihel aus dem Jahrbuch eleganter aussehen würde. Aber - selbst wenn - der P-Zeitpunkt steht sehr stark unter Mondeinfluss, viel stärker als die Äquinoktien oder Solstitien. Justieren mit Perihel passt nicht gut zum mondlosen Kepler-Modell. Die anderen drei Jahreszeiten wären geeignet, aber ich glaube nicht, dass der Formalismus dann schöner aussähe.--Modalanalytiker (Diskussion) 17:02, 22. Jul. 2013 (CEST)
replies: text: Was folgt, zeigt nur die Ausschaltung des Kalenderbezugs. Die Jahreskonstante L0 bleibt logischerweise weiter zu verwenden.  Bei der Justierung der Zeitachse nach einem Jahreszeit-Anfang, z. B. \scriptstyle t_F,  wird keine weitere Konstante verwendet. Wenn der Anwender den \scriptstyle ZG-Wert für ein bestimmtes Datum \scriptstyle t ermitteln will, muss er den Abstand diese Datums von \scriptstyle t_F angeben. Modalanalytiker (Diskussion) 21:51, 1. Aug. 2013 (CEST)
replies: text: Sie werden z.T. nochmals hingeschrieben, wobei dem Leser aufgebunden wird, herauszufinden, an welcher Stelle welche Wiederholung passiert. Nachdem Benutzer:Dringend jetzt Formelnummern nachgetragen hat, ist das leichter möglich. Ich schaue mal, ob ich die jetzt noch aufgreifen möchte. Modalanalytiker (Diskussion) 21:51, 1. Aug. 2013 (CEST)

text: links: Rektaszension α ?↔? rechts: mittlere Anomalie M (Bruch) und ekliptische Länge ω; wie lassen sich diese verschiedenartigen Größen in einer Glleichung zusammen bringen? Die mittlere Anomalie wird als die zeitlich gleichmäßig fortschreitende Komponente des Referenzsignals \scriptstyle\alpha_M gebraucht. Die Länge des Perihels als konstantes Glied (Offset oder Nullphasenwinkel der mittleren Rektaszension) bewirkt, dass die Zeitgleichung mittelwertfrei wird. Gleichung (1) ergibt sich aus der von Schneider angegebenen positions-zeitlichen Koordination von wahrer Sonne und den beiden mittleren Sonnen. --Modalanalytiker (Diskussion) 22:11, 31. Jul. 2013 (CEST)

text: ein typisches Beispiel für das oben Gemeinte: Das ist keine wieder auftauchende, sondern eine aus dem Nichts neu auftauchende Gleichung. Dieser Hinweis von Benutzer:Dringend leitet dazu an, mehr Wiederholungen zuzulassen. Es soll offenbar nicht vorausgesetzt werden, dass ein Leser die Definition der Zeitgleichung als Differenz zweier Rektaszensionen schon im Abschnitt Zeitgleichung#Ermittlung_der_Zeitgleichung registriert hat, die im Einzelnen in (1) und (2) angegeben sind.--Modalanalytiker (Diskussion) 15:10, 1. Aug. 2013 (CEST)

text: links: Anomalie ?↔? rechts: ekliptische Länge ω warum steht hier π? Im heliozentrischen ekliptischen Koordinatensystem gilt für die Erde allgemein \scriptstyle \Lambda=\omega+V. Bei Frühlingsanfang hat die ekliptische Länge der Erde den Wert \scriptstyle \Lambda_F=\pi.Modalanalytiker (Diskussion) 15:10, 1. Aug. 2013 (CEST)

text: mit ε ist diese Gl. falsch. Oh ja,danke! Wird umgehend korrigiert.Modalanalytiker (Diskussion) 15:10, 1. Aug. 2013 (CEST)

text: die schon benannte Fragwürdigkeit: wie passen Anomalie und Eklipt. Länge zusammen ?                 \scriptstyle\Lambda und \scriptstyle V sind im heliozentrischen ekliptischen Koordinatensystem beide Positionswinkel der Erde. \scriptstyle\Lambda wird ab dem Herbst-Äquinoktium gemessen, \scriptstyle V ab Perihel. Deshalb unterscheiden sich die beiden Winkel um \scriptstyle\omega.Modalanalytiker (Diskussion) 15:10, 1. Aug. 2013 (CEST)

text:  Was ist MICA, wenn nicht Glimmer? (Link fkt. nicht.)  Da kann ich nicht helfen. Bei mir funktioniert der Verweis ohne Änderung im Firefox und im InternetExplorer. MICA ist eine Software des US Naval Observatory. Statt des Links beantwortet auch jede Suchmaschine die Frage, wenn man sie mit MICA Software US Naval Observatory füttert. Modalanalytiker (Diskussion) 15:10, 1. Aug. 2013 (CEST)

text:  was ist MICA? wieso sind deren/dessen Werte richtig?  Beantwortung folgt später.Modalanalytiker (Diskussion) 15:10, 1. Aug. 2013 (CEST)

text:  Wieso Lambda des Frühlingspunktes (usw.) gleich π (usw.)? Zählg. der ekl. Länge erfolgt vom F-Pkt. aus.  Heliozentrisches ekliptisches Koordinatensystem s. oben! Modalanalytiker (Diskussion) 21:51, 1. Aug. 2013 (CEST)

text: mfG DrIngend 20:43, 31. Jul. 2013 (CEST)
thread_title: 6.7 Berechnungsweg mit Zeit-Justierung der Keplerbahn per Frühlingsanfangs-Datum

message: Der Unterartikel erweckt durch die aufgegriffenen einschlägigen (Kepler-Modell-)Gleichungen den Eindruck, dass der interessierte Leser ausreichende Informationen erhält, selbst ZG-Werte auszurechnen. Das trifft nicht zu.
Das mehrfache Hin und Her zwischen helio- und geozentrischer Perspektive in den Überschriften erscheint konfus und ist darüber hinaus objektiv unnötig.
   
Es werden Elemente der Berechnung berührt, aber nicht nachvollziehbar verknüpft. Ein Zahlenbeispiel könnte erhellend wirken, so wie im naturwissenschaftlichen Lehrbetrieb seit Jahrhunderten Übungen den Vorlesungsstoff klären helfen. 
Zur Illustration der einfachen Winkelbeziehungen fehlt eine Skizze.   
Man kann den Inhalt des Unterartikels zusammenfassend als "implizite Wissensvermittlung" charakterisieren: Wer schon im Stoff steht, freut sich über das Wiedersehen. Die anderen kommen damit nicht weiter. Das ist für eine so lange Ausführung zu wenig. Möglicherweise sind die kritisierten Mängel zu einem Teil der Komplexität der Sache geschuldet. 
   
Ich sehe keinen Weg, den Unter-Artikel durch Detail-Änderungen zu bessern, zumal auf der bestehnden Basis  niemand (mehr) dazu bereit sein dürfte. Der Abschnitt sollte durch einen Einzelnachweis und/oder Weblink auf eine brauchbare Quelle ersetzt werden. Das würde besser zu dem komplexen mathematik-lastigen Thema passen, das die große Mehrheit der Artikelleser ohnehin überspringt.--Modalanalytiker (Diskussion) 19:32, 26. Aug. 2013 (CEST)
replies: text: Der bestehende Abschnitt hat durchaus Hand und Fuß und man könnte damit auch den Wert der Zeitgleichung ausrechnen, wenn, ja wenn man die notwendigen Parameter kennen würde. Ein weiteres Problem sind die fehlenden Grafiken. Der Text ist nur nachvollziehbar, wenn man mit dem geistigen Auge die grafische Darstellung mitlaufen lässt. Die neueste Bearbeitungsaktivität brachte leider einen Rückschritt. Die bisher vollständigste Version war meiner Meinung nach die vom 20. Dez. 2012. Dein Vorschlag, den Abschnitt zu streichen und durch einen Verweis auf eine andere Quelle zu ersetzen, ist nicht gut. Ein Wikipedia-Artikel sollte in sich vollständig sein und nicht nur eine Liste mit Verweisen. Gruß --Gueziv (Diskussion) 14:02, 28. Aug. 2013 (CEST)
replies: text: Die Fassung vom 20. Dez. 2012 ist auch m. E. besser als die aktuelle. Aber auch die alte Fassung erscheint mir nicht ausreichend. Zum Vergleich stelle ich den Artikel Zeitgleichungs-Berechnung für 1800 bis 2200 daneben. Der benutzt einen anderen Ansatz, quantifiziert alle Parameter und kommt insbesondere ohne Jahreskonstanten aus. Die Kernfrage ist eigentlich, ob der Wikipedia-Artikel überhaupt eine Rechenvorschrift für ZG enthalten sollte. Wenn das mit wenigen Zeilen ginge, hätte ich keine Bedenken. Aber hier muss man ins Detail gehen und das würde ich eher auslagern.--Modalanalytiker (Diskussion) 14:39, 28. Aug. 2013 (CEST)
replies: text: Wenn Benutzer:Dringend schon neue Aspekte einbringende Beiträge anderer Nutzer entfernt (09:56, 29. Aug. 2013‎), sollte er begründen, warum und warum er auf eine verschlimmbesserte Version zurücksetzt, statt auf die vom  20. Dez. 2012 und warum er nicht wenigstens so einfach zu beseitigende Fehler wie "... deren sonnenzentrischer Winkel die mittlere Anomalie M(t) ist." bei der Gelegenheit beseitigt. Da vorauszusehen ist, wie es jetzt weitergeht, erwähne ich vorsoglich: Erklärungen oder Graphiken zum Kepler-Modell sind hier nicht mehr nötig -- statt dessen ein Bild, welches das Zusammenspiel der diversen Winkel erklärt. Es geht darum, dass Leser alle Informationen erhalten, die zum Verständnis und zur Anwendung des Rechengangs nötig sind und um eine Aussage über die Höhe der zu erwartendene Abweichung der Kepler-Modell-Werte von Messwerten. Im Übrigen bin ich unverändert der Meinung, dass der ganze Unterabschnitt, wie von mir vorgeschlagen und ausgeführt, ausgelagert gehört. Wenn es eine Quelle gibt, die besser passt als meine, sollten wir natürlich die nehmen.--Modalanalytiker (Diskussion) 13:44, 29. Aug. 2013 (CEST)
thread_title:  Qualitätssicherung des Unterartikels [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Zeitgleichung#Ermittlung_der_Zeitgleichung Ermittlung der Zeitgleichung]