Diskussion:Luzifer-Rätsel

message: Eine Enzyklopädie gibt Antworten, keine Räsel! Wenn das Rätsel mathematisch relevant ist, sollten z.B. folgende Fragen beantwortet werden:
* Wer hat sich das ausgedacht?
* Wann?
* Warum heißt es Luzifer-Rätsel?
::Vielleicht wegen Offenbarung 13:4?--84.72.48.142 17:50, 18. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Die berechtigte Frage ist durch den inzwischen hinzugefügten Abschnitt Verallgemeinerungen beantwortet.--B. M., CH-Riehen (Diskussion) 11:59, 28. Sep. 2014 (CEST)
thread_title:  Allgemeine Fragen 

message: Der erste Schritt ist unvollständig angegeben : 
Man kann z.B. auch die 8 als Produkt ausschliessen, weil die Primzahlenzerlegng 3 gleiche Primzahlen 2,2,2 ergibt. Drei gleiche Primzahlen lassen sich aber nur in ein eindeutiges Faktorenpaar zusammenfassen; hier 2*4 = 8.
Also : Wenn die Primzahlenzerlegung 3 gleiche Primzahlen ergibt, wird auch diese Zahl ausgeschlossen.
Das ganze muß noch verallgemeinert werden :
Es sind alle Produkte zu streichen, aus deren Primzahlenzerlegung sich mit der Bedingung, dass jeder Faktor < 100 ist, nur 1 eindeutiges Faktorenpaare bilden läßt.
Beispiel : 242
Primzahlenzerlegung : 2,11,11
Einzig mögliches Faktorenpaar : 11*22
Hubert Baumgarten
:Das ist aber unkritisch, da all diese Möglichkeiten durch spätere Beweisschritte ohnehin ausgeschlossen werden. Die Aussage, dass m mindestens drei Primfaktoren hat, die alle kleiner als 50 sind, bleibt wahr. (Hauptsache, die letztlich gefundene Lösung (4,13) fällt in kein solches Schema)--Hagman 01:56, 16. Mai 2010 (CEST)
thread_title:  Primzahlenzerlegung 

message: Der Weg zur eindeutigen Lösung durch Gauß
Bis zur Eingrenzung der möglichen Summen auf die Menge S = {11,13,...53} kann ich die Lösung nachvollziehen (Dank an Hagman). Warum aber kommt Gauß dann NUR über die beiden danach genannten Spezialfälle auf seine eindeutige Lösung? Ich habe mir den Rest des Lösungswegs anders hergeleitet - vielleicht etwas verständlicher für Nicht-Mathematiker.
Nach Eingrenzung der möglichen Summen auf die genannte Menge S = {11,13,...53} ist klar, dass das Gauß bekannte Produkt a*b so aussehen muss, dass die Summe s=a+b in der Lösungsmenge S liegt. Von diesen Produkten scheiden dann alle aus, bei denen mindestens eine weitere Produktzerlegung a' * b' mit a' * b' = a*b existiert, deren Faktorsumme a'+b' ebenfalls in S liegt (aber ungleich s ist). Wäre dies der Fall, so würde Euler nicht auch sagen können, dass er die Zahlen a und b kennt. 
Es bleiben also für Gauß zunächst diejenigen Produkte m=a*b übrig, bei denen in genau einem Fall die Faktorsumme s=a+b in S liegt. Nun ist Euler am Zug. Er kann nur dann feststellen, dass er die Zahlen a und b kennt, wenn sich in nur einem Fall eine zulässige Summe aus der Menge S so als s=a+b bilden lässt, dass genau diese Summe s sich nicht auch auf anderem Weg als s= a' + b' bilden lässt, mit der Eigenschaft, dass a' * b' gleich einem der möglichen Produkte a*b ist.
Zur Verdeutlichung: Nehmen wir an, die Summe sei 11, erstes Element von S. Dann könnte Gauß die Produkte 18=9*2, 24=8*3, 28=7*4 und 30=6*5 kennen. Die Summe 11 hat damit aber eine Zerlegung 6+5, deren Produkt 30 sich ein zweites Mal in Faktoren 30=15*2 zerlegen lässt, deren Faktorsumme 15+2=17 ebenfalls in S liegt. Damit kann 11 nicht die gesuchte Summe sein.
Auch mit den anderen Summen (außer der zur Lösung gehörenden Summe s=17) verhält es sich so. s=23 kann über 23=2+21 zum Produkt 42=2*21 führen, dessen anderen Produktdarstellung 42=3*14 ebenfalls eine Summe s=17=3+14, die in S liegt. Auch s=23 scheidet damit aus. Bei s=29 führt über 29=15+14 zum Produkt 210=15*14, bei dem zwei andere Produktdarstellungen 210=30*7 und 210=35*6 Faktorsummen 30+7=37 und 35+6=41 aufeisen, die ebenfalls in S liegen.
Bei der zur Lösung gehörenden Summe s=17 ist die Sache dann eindeutig. 17 hat hat genau eine Summendarstellung a=13 und b=4, deren Produkt 52 sich nicht in andere Produkte zerlegen lässt, deren Faktorsummen auch in S liegen. Einzige andere Produktdarstellung ist 52=2*26, und dabei liegt s=26+2=28 nicht in S. Alle anderen Summendarstellungen von 17 (also 15+2, 14+3, 12+5, 11+6, 10+7, 9+8) führen zu Produkten (30, 42, 60, 66, 70, 72), die eine zweite Produktzerlegung mit Faktorsummen in S haben. 
Damit kann die Lösung nur 13 und 4 sein.
Diese Lösung ist mathematisch sicher nicht so hochwertig wie der Ansatz über die beiden Spezialfälle. Wenn dazu noch jemand eine auch für mich verständliche Erläuterung hätte, würde ich mich freuen.
--Drmschulze1 16:15, 6. Aug. 2010 (CEST)
thread_title:  Eine andere Lösung der letzten beiden Schritte 

message: Hi,
ich habe gerade mit einem selbst geschriebenem Python-Script versucht auf diese Lösung (4, 13) zu kommen. Allerdings gibt es bei mir mehr Möglichkeiten. Hier habe ich die einzelnen Schritte aufgelistet:

Gauß: „Ich kenne die beiden Zahlen nicht.“
	Eliminiere alle Produkte, die auf ein eindeutiges (a,b) schließen 
	lassen würden:
		1068 Kombinationen verbleiben
Euler: „Das war mir klar.“
	Welche Summen lassen sich nicht in irgendeine Summe zweier Zahlen 
	2 <= a, b <= 99 zerlegen, sodass das Produkt a*b eindeutig auf a und b
	Rückschlüsse zulassen würde?:
		[4, 5, 11, 17, 23, 27, 29]
	Welche dieser Summen s = a + b mit 2<=a,b<=99 würden nicht eindeutige Rückschlüsse auf a und b zulassen?
		set([11, 17, 23, 27, 29])
	Wie viele Produkte kommen noch in Frage?
		39 mögliche Produkte mit insgesamt 146 Kombinationen verbleiben.
	Lösche alle Paare, deren Summen nicht mehr möglich sind:
		39 mögliche Produkte mit insgesamt 46 Kombinationen verbleiben.
Gauß: „Jetzt kenne ich die beiden Zahlen.“
	Alle Produkte löschen, die auf mehr als eine Art erstellt werden können:
	Es bleiben 32 Produkte mit insgesamt 32 Kombinationen übrig:
		{18: [(2, 9)], 24: [(3, 8)], 28: [(4, 7)], 50: [(2, 25)], 52: [(4, 13)], 54: [(2, 27)], 66: [(6, 11)], 70: [(7, 10)], 76: [(4, 19)], 78: [(3, 26)], 90: [(5, 18)], 92: [(4, 23)], 100: [(4, 25)], 102: [(6, 17)], 110: [(5, 22)], 112: [(7, 16)], 130: [(10, 13)], 132: [(11, 12)], 138: [(6, 23)], 140: [(7, 20)], 152: [(8, 19)], 154: [(7, 22)], 162: [(9, 18)], 168: [(8, 21)], 170: [(10, 17)], 176: [(11, 16)], 182: [(13, 14)], 190: [(10, 19)], 198: [(11, 18)], 204: [(12, 17)], 208: [(13, 16)], 210: [(14, 15)]}
Euler: „Dann kenne ich sie jetzt auch.“
	Verbliebene Summen: set([11, 17, 23, 27, 29])
	27	:[(2, 25), (4, 23), (5, 22), (7, 20), (8, 19), (9, 18), (10, 17), (11, 16), (13, 14)]
	17	:[(4, 13), (6, 11), (7, 10)]
	11	:[(2, 9), (3, 8), (4, 7)]
	29	:[(2, 27), (3, 26), (4, 25), (6, 23), (7, 22), (8, 21), (10, 19), (11, 18), (12, 17), (13, 16), (14, 15)]
	23	:[(4, 19), (5, 18), (6, 17), (7, 16), (10, 13), (11, 12)]

Wo habe ich den Fehler gemacht? Gibt es eine Quelle, die besagt, dass die Lösung eindeutig ist? --MartinThoma 15:33, 20. Mai 2011 (CEST)
thread_title:  Eindeutige Lösung 

message: Hallo Wikipedia,
auf folgendem Weg ist noch mindestens eine weitere Lösung für das "Luzifer-Rätsel" zu finden, die aus Sicht von Gauß und Euler eindeutig ist:
Man führe alle möglichen Produkte auf, die sich aus 2 Zahlen zwischen 2 und 99 ergeben können (z.B. in einer Matrix); unter den Produktzahlen führe man die Summen der Faktoren auf. Es ist zu erkennen, dass alle Produkte, die sich aus 2 Zahlen >89 ergeben, einzigartig sind, d.h. nur jeweils ein Mal vorkommen. Wäre Gauß eines dieser Produkte genannt worden, hätte er die beiden gesuchten Zahlen sofort daran errechnen können. Da er das nicht hat, scheiden diese und alle anderen möglichen Produkte aus, die nur ein Mal vorkommen. Folglich können sie aus der Matrix gestrichen werden.
Das erste Produkt, das mehr als ein Mal vorkommt (von den großen nach kleineren Zahlen hin betrachtet), lautet 7920 = 88*90 = 80*99. Die Summen ergeben 178 bzw. 179. Da nach der überarbeiteten Matrix die möglichen Summen 178 und 179 nur jeweils ein Mal vorkommen, hätte Euler, wäre ihm einer der Summen genannt worden, die beiden gesuchten Zahlen sofort ableiten können. Da er das nicht hat, scheidet 7920 als Produkt aus. Desgleichen gilt für 7644 = 91*84 = 98*78 mit den Summen 175 bzw. 176 sowie 7200 = 90*80 = 96*75 mit den Summen 170 bzw. 171.
Bei 6840 = 90*76 = 95*72 mit den Summen 166 bzw. 167 sieht der Fall nun anders aus. Denn die Summe 167 kommt nur ein Mal vor, während 166 zwei Mal vorkommt. Angenommen, 6840 wurde Gauß als Produkt genannt, so hätte er nicht zwischen 90*76 und 95*72 unterscheiden können. 
Nehmen wir nun weiter an, Euler wäre die Summe 166 genannt worden. Nach Ausstreichung aller Produkte, die nur ein Mal vorkommen, verbleiben nur zwei mögliche Kombinationen, die Summe zu erzeugen: 90+76 und 96+70. Deren Produkte 6840 bzw. 6720 kommen jeweils 2 Mal vor 90*76 und 95*72 bzw. 84*80 und 96*70. Folglich kann Euler 1. nicht wissen, welche Zahlen gesucht sind und 2. schlussfolgern, dass auch Gauss es nicht kann. Entsprechend äußert er sich.
Nachdem Euler sich derart geäußert hat, weiß Gauß, dass Euler nicht 167 genannt bekommen haben kann, denn diese Summe wäre ja nur ein Mal vorhanden. Also muss 166 die Euler genannte Summe sein, demzufolge 90 und 76 die gesuchten Zahlen sein müssen.
Nachdem Euler erfährt, dass Gauss die Zahlen anhand von Schlussfolgerungen ermitteln konnte, kann er ableiten, dass Gauss nicht 6720 gesagt bekommen haben konnte. Denn die zweite Kombination für ein Produkt 84*80 = 6720 führt zur Summe 164, für die es wiederum eine weitere Möglichkeit gibt, nämlich 92*72 = 6624. Damit hätte Gauss keine Entscheidungsmöglichkeit gehabt, die Zahlen abzuleiten. Nur bei dem Produkt 6840 hat Gauss eine mögliche Summe (nämlich 167) ausschließen können und somit die gesuchten Zahlen bestimmen können. Somit weiß Euler sie nun auch.
Demnach stellen die Zahlen 90 und 76 ein weiteres Lösungspaar für die Ausgangszahlen dar.
Es wurde bislang nicht geprüft, ob es noch weitere Zahlenpaare gibt; allerdings erscheint es nicht direkt unwahrscheinlich.
Doch die Existenz einer weiteren Lösung hat zur Folge, dass die Erläuterung des Artikels und die Beweisführung, es könne nur eine einzige Lösung geben, nicht korrekt sein kann.
Ich bitte um Diskussion, Danke!
VG Marcomusikprojekt. (15:13, 27. Sep. 2011 (CEST)
replies: text: Eben nicht, da Euler im letzten Satz erklärt, dass er die Lösungen jetzt auch kennt. Da 29 auch als 25+4 darstellbar ist entfällt also die Summe 29. Gruß -Kiesch (Diskussion) 00:33, 20. Apr. 2015 (CEST)
thread_title:  Fehler im Artikel "Luzifer-Rätsel": Es gibt mindestens eine weitere Lösung, die auf anderem Weg erreicht werden kann! 

message: „Gauß: ‚Ich kenne die beiden Zahlen nicht.‘Euler: ‚Das war mir klar.‘“
Woher hätte Euler denn, beispielsweise schon vorher gewußt, daß das Produkt nicht {2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 39, 41, 43, 47,…} (und damit die Summe {3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 18, 20, 24, 26, 28, 30, 33, 38, 40, 42, 44, 48,…} gewesen) wäre? Sicher, die Summe kannte er bei dieser Diskussion (und damit, bezüglich der Produkte, die eine oder andere Einschränkung). Aber bis nach der Aussage von Gauß konnte ihm Gaußens’ Kenntnisstand bestenfalls eine (wenn z. T. auch – gut – begründete) Spekulation darstellen!
Auch wenn „alle Griechen lügen“, bedeutet das ja nicht, daß das Gegenteil vom Gesagten Wahrheit wäre! Da habt’ Ihr’s, Ihr Mathematiker! 😝 
:Wird doch in Tabelle 1 erklärt. Jede mögliche Zerlegung der Euler genannten Summe 17 in Summanden ergibt ein Produkt, das verschiedene Zerlegungen in Faktoren zulässt. Er weiß also, dass Gauß die Zahlen allein mit dem ihm bekannten Produkt nicht bestimmen kann. --Redrobsche (Diskussion) 19:39, 3. Mai 2021 (CEST)
thread_title:  Euler, der Lügner?