Diskussion:Basis (Vektorraum)

message: Ist es nicht falsch, was bei Beispiel steht?:
* Im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen bilden die folgenden Vektoren zwar ein linear unabhängiges System, aber keine Basis, denn es wird zum Beispiel die Folge (1,1,1,\ldots) nicht davon erzeugt:
 \{ (1,0,0,0,\ldots), (0,1,0,0,\ldots), (0,0,1,0,\ldots),\ldots \} 
Meiner Meinung nach tun sie das sehr wohl durch einfache Addition aller Elemente. Oder mache ich da einen Denkfehler?
::Sie tun es nicht, denn Deine „einfache Addition aller Elemente“ hat unendlich viele Summanden und ist damit keine Linearkombination.  --Rotkraut 21:19, 29. Mai 2006 (CEST)
replies: text:  Dann sollte man dies auch erklären! Onibal 16:32, 3. Feb. 2010 (CET)
thread_title: Beispiel

message: Ich habe erstmal die Begriffe Linearkombination, Erzeugendensystem und linear unabhängig bei der Basis mit definiert.
Einige andere Artikel (mindestens einer: Dimension (Mathematik)) beziehen sich auf diese Begriffe.
Sollte man nun die drei Definitionen auslagern in eigene Seiten, oder Verweise auf die Basis-Seite legen? --SirJective
:Inzwischen sind Linearkombination und Lineare Unabhängigkeit eigene Artikel, fehlt noch das Erzeugendensystem. Beachte auch den Artikel Erzeuger einer Gruppe, der ein aehnliches Konzept behandelt. --SirJective 12:46, 11. Feb 2004 (CET)
replies: text: Erzeuger einer Gruppe wurde nach Erzeuger (Algebra) verschoben, man könnte auch den Redirect Erzeugendensystem dorthin umleiten und die Details bei Basis (Vektorraum) lassen.--Gunther 15:50, 27. Feb 2005 (CET)
replies: text: Es gibt noch (nicht) Erzeuger (Kategorientheorie). Und Eltern :-)--Gunther 17:16, 1. Mär 2005 (CET)
replies: text: BKS Erzeuger angelegt.--Gunther 12:12, 2. Mär 2005 (CET)

text: Nein, dafür gibt der Begriff zu wenig her. --Stefan Birkner 02:10, 19. Jan. 2007 (CET)
thread_title: Begriffe

message: Den Satz
:"Unter einem Basisvektor versteht man die partielle Ableitung des Ortsvektors nach einer der Koordinaten des jeweiligen Koordinatensystems."
hab ich aus dem Artikel entfernt, weil ich bezweifle, dass ein beliebiger Vektorraum partielle Ableitungen zulässt. --SirJective 16:46, 1. Mär 2005 (CET)
replies: text: Der Satz ist extrem schlecht formuliert und hat in diesem Artikel nichts verloren. Gemeint ist vermutlich: "Die Standardbasisvektoren (bezüglich einer lokalen Karte) des Tangentialraums in einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit entsprechen den partiellen Ableitungen nach den Koordinaten dieser Karte." Oder so.--Gunther 17:16, 1. Mär 2005 (CET)
thread_title: Basisvektor

message: Ein zwischenzeitlich angebrachter Smiley bei der Formulierung "zwei Vektoren, die nicht dieselbe (bzw. entgegengesetzte) Richtung haben" war nicht ganz unberechtigt. Ich hatte mir fuer diesen Umstand mal "die nicht dieselbe Gerade erzeugen" zurechtlegt, das ist zwar korrekt, aber ist das auch verständlich?--Gunther 19:54, 1. Mär 2005 (CET)
replies: text: Für die Anschaulichkeit reicht es doch, dass die Vektoren "nicht auf derselben Geraden liegen", oder? --SirJective 20:24, 1. Mär 2005 (CET)
replies: text: Naja, die Endpunkte der Vektoren liegen doch immer auf einer Geraden?! ;-) "Ursprungsgeraden"?--Gunther 21:17, 1. Mär 2005 (CET)
replies: text: Wir haben aber vier Endpunkte an bis zu drei Orten :-p Und wenn die alle vier auf einer Geraden liegen... Das Bild legt aber die Interpretation eines Vektors als Pfeil nahe, und dann dürfen die "kompletten Pfeile" nicht auf einer Geraden liegen. Aber verständliche Formulierungen waren noch nie meine Stärke *g* --SirJective 11:27, 2. Mär 2005 (CET)
replies: text: Tschuldigung, wenn ich mich quasi als Laie einmische: Wie wärs denn damit, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren ungleich Null sein muss? --Philipendula 10:23, 3. Mär 2005 (CET)

text: Gemeint ist aber: ungleich Null und ungleich 180 Grad, und das klingt wieder etwas umständlich.--Gunther 11:26, 3. Mär 2005 (CET)
replies: text: Ich kann manchmal stur sein ;): Man könnte sagen, dass die Vektoren nicht parallel sein sollen. Oder dass der Kosinus des Winkels < |1| sein muss. Der Kosinus entspricht statistisch nämlich dem Korrelationskoeffizienten, der bei Kollinearität exakt 1 bzw. -1 ist. Das ist aber wieder nicht anschaulich. --Philipendula 20:10, 3. Mär 2005 (CET)
replies: text: Da stimme ich Dir zu *g*. "Parallel oder antiparallel"? (Du glaubst gar nicht, wie stur ich sein kann...)--Gunther 23:15, 3. Mär 2005 (CET)
replies: text: Also antiparallel finde ich übertrieben. Aber ok. Ich kapituliere hiermit. --Philipendula 00:53, 4. Mär 2005 (CET)
thread_title:  Gleiche Richtung 

message: (Den folgenden Beweis habe ich durch eine kürzere Beweisskizze ersetzt. -- Wuzel 22:50, 9. Apr 2005 (CEST)
thread_title:  Der lange Existenzbeweis 

message: Wie kann ich am besten Orientierung (Mathematik) verlinken?  (nicht das dieser Artikel Orientierung erschöpfend behandelt. Nur genug um Orientierung auf Mannigfaltigkeiten einzuführen) --Ibotty 21:48, 15. Mai 2005 (CEST)
thread_title:  Orientierung 

message: Ich glaube dem interessierten und ambitionierten Leser kann durchaus einmal der vollständige Beweis eines Satzes vorgelegt werden. Dies möchte ich folgendermaßen begründen:
1. Man kommt den besonders interessierten Lesern entgegen oder steigert sogar ihr Interesse.
2. Der Leser kann so zumindestens ein wenig an die mathematische Denkweise herangeführt werden.
3. Hat der Leser den Beweis nachvollzogen (das kann gewiss dauern und Geduld erfolgen), hat er  mit Sicherheit mehr gelernt, als wenn er bloß einen Artikel liest: Der Leser muss geistig besonders aktiv werden, will er den Beweis verstehen.
4. Es kann selbst für den mathematischen Laien interessant sein, wie ein derartiger ausführlicher Beweis eines Satzes aussieht.
5. Dieser Satz und der Beweis ist nicht trivial, aber im Beweis auch nicht übermäßig schwer zu verstehen.
Ferner bin ich der Meinung, dass man das Korrolar(3) nicht streichen sollte. Zugegeben: Es ist sehr abstrakt. Doch die Auflistung einiger Folgerungen kann dem Leser einen Eindruck davon vermitteln, wie die Mathematik aus bestimmten Sätzen weitreichende Schlussfolgerungen ziehen kann.
Ich freue mich über Rückmeldungen.
(Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 84.165.94.105 (Diskussion • Beiträge) 00:54, 25. Jan 2006)
: Generell sind längere Beweise hier eher unerwünscht, lediglich eine Skizze der wesentlichen Idee. Wir wollen kein Lehrbuch sein, sondern hier z.B. erklären, was eine Basis ist. Schon der Beweis der Äquivalenz der Charakterisierungen sollte eigentlich mal in das b:Beweisarchiv des Projektes Wikibooks auslagert werden.
: Irgendwelche Folgerungen sollten nur genannt werden, wenn ihre eigenständige Bedeutung oder ihre Anwendbarkeit nachvollziehbar ist, das ist bei Korollar 3 definitiv nicht gegeben.--Gunther 01:19, 25. Jan 2006 (CET)
thread_title:  Ausführlicher Beweis des Austauschlemmas 

message: Wie gehört diese Basis hier herein?--Jkü 08:33, 15. Aug 2006 (CEST)
replies: text: Danke.--Jkü 20:34, 21. Sep 2006 (CEST)

text: http://www.iam.unibe.ch/~halbeis/publications/pdf/metal.pdf --Pjacobi 19:46, 3. Okt 2006 (CEST)

text: Noch ein kleiner Zusatz: Auch Bücher erwähnen die Auerbachbasis, zum Beispiel Dirk Werner: Funktionalanalyis, der die Existenz einer solchen als Satz im Kapitel II.2 über (topologische) Dualräume formuliert. Ich werde das als Literatur im Lemma einfügen. --R. Möws 00:04, 4. Okt 2006 (CEST)
thread_title:  [[Auerbachbasis]] 

message: Habe versucht, die Abgrenzung der Basisbegriffe in Innenprodukträumen deutlicher zu machen.
Der (funktionalanalytische) Basisbegriff ist nicht auf Hilberträume beschränkt.
Bessere Ideen zu Gliederung sind willkommen!
Quelle (für die Begrifflichkeiten): Bronstein-Semendjajew: "Taschenbuch der Mthematik" S. 146 und Erweiterungsband, S. E6, E15. --KleinKlio 09:18, 18. Sep 2006 (CEST)
replies: text: Eine Frage dazu: Ist der Begriff "Innenproduktraum" allgemein gebräuchlich? Der Link dazu wird weitergeleitet auf "Prähilbertraum". Wäre es nicht verständlicher (und auch nicht länger), statt "reeller oder komplexer Innenproduktraum" "euklidischer oder unitärer Vektorraum" zu schreiben? Oder heißen nur die endlichdimensionalen "euklidisch"?
Habe die Überschrift dieses Diskussionspunktes verändert, da der entsprechende Abschnitt nicht (mehr) der letzte ist. 
/*Basisbegriffe in speziellen Vektorräumen*/ um den es geht befasst sich nach wie vor mit der Abgrenzung verschiedener Basisbegriffe.
--KleinKlio 14:02, 3. Okt 2006 (CEST)

text: Basen von Topologien gehören nicht zum Artikelthema, topologische Basen im Sinne von Erzeugendensystemen dichter Unterräume (evtl. mit Zusatzeigenschaften) dagegen schon. Vgl. , ich habe keinen Überblick über die entsprechenden Begriffsvarianten.--Gunther 22:13, 5. Okt 2006 (CEST)
thread_title:  Änderungen am Abschnitt /*Basisbegriffe in speziellen Vektorräumen*/ 

message: Ich habe in  einiges aus diesem Artikel ausgelagert. Ich schlage vor, auf längere Beweise wie den „Beweis der Äquivalenz der Definitionen“ und „Existenz (Skizze)“ in diesem Artikel hier zu verzichten und stattdessen den genannten Artikel in den wikibooks zu pflegen.
Dort hätte auch der „lange Existenzbeweis“, den wuzel jetzt auf diese Diskussionsseite gesetzt hat, eine angemessene Heimat.
@wuzel: Magst Du den langen Beweis nochmal für die Wikibooks aufbereiten?
@all: Was meint Ihr zu meinem Vorschlag?--KleinKlio 15:07, 24. Okt. 2006 (CEST)
replies: text: Ich würde eher b:Beweisarchiv vorschlagen (bitte aber vorher die Diskussion zur Umstrukturierung beachten), die "großen" Bücher funktionieren eher nicht (Ausnahme natürlich Philipendula).--Gunther 11:28, 30. Okt. 2006 (CET)

text: b:Diskussion:Beweisarchiv#Namenskonventionen --Gunther 12:50, 2. Nov. 2006 (CET)
thread_title:  Auslagerung langer Beweise in die Wikibooks 

message: Nach der aktuellen Definition im Artikel hat ein unendlich-dimensionaler Vektorraum keine Basis, denn da steht z.B. "B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V". Der Begriff der linearen Unabhängigkeit, der wiederum den Begriff der Linearkombination benutzt, ist aber nur für endliche Mengen von Vektoren definiert ist. (Man kann das Problem wohl kaum mit unendlichen Summen umgehen, oder?)
Im Artikel wird jedenfalls unter den Beispielen zum unendlich-dimensionalen Vektorraum der Polynome eine Basis angegeben. Also ist entweder die Definition nicht vollständig, das Beispiel nicht geeignet oder der Artikel lineare Unabhängigkeit ist nicht vollständig.
Wäre es nicht besser zu schreiben "B ist ein Erzeugendensystem von V und jede endliche Teilmenge von B ist linear unabhängig"?
Haber weder im Bronstein (Basis gibt es hier nur bei endlichen Räumen) noch bei R. Walter - LA ("Der Basisbegriff kann auch für nicht endlich dimensionale Vektorräume eingeführt werden. Da hierzu weitergehende Hilfsmittel der transfiniten Mengenlehre erforderlich sind, soll dies hier unterbleiben.") Hilfe gefunden. --Skoepp 22:55, 22. Jan. 2007 (CET)
replies: text: Lies lineare Unabhängigkeit nochmal genauer durch! Sehr wohl dürfen auch unendliche Mengen von Vektoren linear unabhängig sein.--JFKCom 20:07, 23. Jan. 2007 (CET)
replies: text: Müsste dann in lineare Unabhängigkeit nicht v_1,v_2,\ldots statt v_1,v_2,\ldots,v_n stehen? Das n deutet für mich darauf hin, dass es n Stück seihen sollen und wenn nichts weiter erläutert ist, geht man ja wohl von n\in\mathbb{N} aus, oder? Außerdem könnte dann die Summe über die a_i v_i unendlich viele Summanden enthalten, was aber nach dem allerersten Beitrag auf dieser Seite nicht sein darf.  Wobei ich nicht behaupten will, dass man die Definition von linear unabhängig nicht modifizieren kann. Ich habe halt in den beiden ollen Büchern, die ich gerade da hab nichts passendes gefunden. Vielleicht komme ich aber am Freitag dazu mal in ein paar andere Bücher zu schauen. --Skoepp 12:19, 24. Jan. 2007 (CET)

text: Vielleicht verwirrt dich, dass die Definition in lineare Unabhängigkeit mittlerweile durch Verschlimmbesserung wieder halbwegs vergurkst wurde. Halte Dich an die Intro von lineare Unabhängigkeit, die ist noch präzise. Oder hier noch einmal etwas ausführlicher: Eine Menge von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge derselben linear unabhängig ist. Obwohl man in einer unendlichen Vektoren-Menge ja auch unendliche Summen von Vielfachen betrachten könnte, ist eine Linearkombination per definitionem immer eine endliche Summe.--JFKCom 18:55, 24. Jan. 2007 (CET)
replies: text:  Mit der neuen Definition von linearer Unabhängigkeit ist das Problem gelöst. Danke. --Skoepp 13:29, 25. Jan. 2007 (CET)
thread_title:  Basis bei unendlich-dimensionalen Vektorräumen 

message: Ich habe ein Problem mit dem letzten Beweis: Man geht von einer lin. unabhg. Menge B aus. Sei dann b* Element dieser Menge B. Im Beweis steht nun, dass sich b* also als Linearkombi. aus den Elementen von B schreiben lässt... Bitte??? Versteh ich den Beweis falsch oder steht dort absoluter Blödsinn?
:Du verstehst es falsch. Wenn b* in B={b_1, ...,b_n} ist, dann ist b* offensichtlich als Linearkombination von Elementen aus B darstellbar. --P. Birken 11:12, 14. Aug. 2007 (CEST)
thread_title:  Beweis der Äquivalenz der Definitionen 

message: In dem Abschnitt "Wichtige Eigenschaften" sind die Vektoren 
e_i nicht definiert. Wer kann das berichtigen?
--Hanfried.lenz 10:47, 1. Okt. 2007 (CEST)
thread_title: Frage

message: Im Artikel zum Auswahlaxiom steht, dass das Auswahlaxiom äquivalent ist zu der Annahme, dass jeder Vektorraum eine Basis hat. Da man nun aber auch genauso gut annehmen kann, dass das Auswahlaxiom falsch ist, sollte man doch hier besser auch korrekt schreiben, dass jeder Vektorraum eine Basis hat gdw das Auswahlaxiom als wahr angenommen wird...Blaaaablub 14:39, 10. Dez. 2008 (CET)
replies: text: Steht doch im Artikel. Da das Auswahlaxiom üblicherweise als wahr angenommen wird, reicht es aus, dies im Abschnitt "Existenzbeweis" zu schreiben. --Sabata (D|WZ) 14:54, 10. Dez. 2008 (CET)
thread_title:  jeder Vektorraum hat eine Basis? 

message: Ich lerne gerade mit Eurer Seite, dabei fiel mir bei den Definitionen der Satzteil "Zusammen bilden diese einen Koordinatenvektor x = (x_i)_{i \in B}"  auf. 
x = (x_{b_i})_{{b_i} \in B} hätte ich noch verstanden, aber i selbst als Element der Basis zu bezeichnen finde ich entweder seltsam oder uneinheitlich in der Bezeichnung...
--178.7.228.30 15:37, 8. Apr. 2013 (CEST)
replies: text: Der Artikel ist hier tatsächlich nicht konsistent. Wenn man diese Stelle einfach zu x = (x_i)_{i \in I} ändert, was im Zusammenhang mit dem Text darüber, wo die Elemente der Basis mit einer Indexmenge I indiziert sind, sinnvoll ist, dann passt das allerdings nicht mehr zum Text danach, wo vom Koordinatenraum K^B die Rede ist, statt von K^I. --Digamma (Diskussion) 19:05, 8. Apr. 2013 (CEST)
thread_title:  Absatz "Definition und grundlegende Begriffe" 

message: Wenn eine Basis eine (Teil-)menge wäre, dann wäre doch wie bei jeder Menge die Reihenfolge der Elemente egal, sprich die Reihenfolge der Basisvektoren. Da aber dies nicht der Fall ist (für die die mir nicht glauben vertausche einfach mal x und y Achse und schaue nach ob sich die Parabel verdreht hat) kann eine Basis keine Teilmenge sein. Was es ist habe ich keine Ahnung, es ist aber keine Menge. Vielleicht ist es ja eine Tupel oder sowas? In jedem fall ist das Zitat aber falsch.
Atarust (Diskussion) 16:48, 11. Apr. 2014 (CEST)
replies: text: Das, was du meinst, heißt im Artikel "geordnete Basis" und wird zwei Absätze weiter unten definiert. --Digamma (Diskussion) 19:19, 11. Apr. 2014 (CEST)
replies: text: Die verdrehte Parabel ist immer noch kongruent zur alten und damit im hier gemeinten Sinn (bis auf Isomorphie^^) dasselbe.--131.159.0.47 16:37, 25. Mär. 2015 (CET)
thread_title:  "eine Basis [ist] eine Teilmenge"