Diskussion:Laplace-Gleichung

message: Laplaceoperator solle ein eigener Artikel bleiben, aber
Die Loesung einer DGL gehoert schon in den Artikel dieser DGL und ist i.a. kein eigenstaendiger Artikel Wert.
--Matthy 15:00, 9. Aug 2004 (CEST)

message: Der kleine Absatz, der das Mittelwertprinzip beschreibt, soll wohl nur von Mathematikern verstanden werden, oder?! Ich studier zwar Physik, verstehe da aber echt nur Bahnhof.
:Ich hoffe es ist jetzt (wenigstens einigermaßen) verständlich. Ich studiere auch Physik und weiß, dass der Mittelwertsatz ein echt harter Brocken ist. Merke: Integral über die Werte auf dem Rand durch die Oberfläche liefert den Wert im Zentrum --Shinji311 00:51, 25. Sep. 2010 (CEST)
thread_title:  Mittelwertprinzip 

message: Ob \Delta f verschwindet oder der Operator \Delta muß textlich im Artikel unterschieden werden. --Norbert Dragon 19:16, 11. Okt. 2008 (CEST)
thread_title:  Verschwindender Operator 

message: Dies ist bei weitem nicht die einzige Anwendung. Der Abschnitt sollte ausgebaut werden!!! (nicht signierter Beitrag von 95.119.141.181 (Diskussion | Beiträge) 21:26, 25. Dez. 2009 (CET)
thread_title:  Bedeutung in der Physik 

message: Grundlage bei dieser Lösung ist die Fouriermethode. Das Dirichlet-Problem wird dabei in Polarkoordinaten betrachtet
:
\left\{
\begin{array}{rcll}
\Delta \Phi(r,\phi)&=&0&\textrm{in}\ \Omega\\ 
\Phi&=&\Phi(r_0, \phi_0)&\textrm{auf}\ \partial\Omega\\
\end{array}
\right.
und die gesuchte Funktion  \Phi(r, \phi)  mittels der Trennung der Variablen in zwei unabhängige Funktionen gespalten. Der gewählte Ansatz lautet somit:
: \Phi(r,\phi)= v(r) \, w(\phi).
Die Einsetzung dieses Ansatzes in die Laplace-Gleichung und Nutzung eines Separationsansatzes führt das Problem auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen zurück.
Die Lösungen dieser gewöhnlichen Differentialgleichungen lauten:
:
\left\{
\begin{array}{rcl}
w(\phi)&=&c_{1,n} \cos(n \phi) + c_{2,n} \sin(n \phi)\ ,\\ 
v(r)&=&d_1 \, r^n + d_2 \, r^{-n} \ .\\
\end{array}
\right.
Dabei sind c_{1,n} \, , c_{2,n}\, , d_1\, , d_2 \, Konstanten und  n=\sqrt\lambda , wobei  \lambda  -die Konstante aus dem Separationsansatz- positiv und reell ist, wodurch (bei der Erlangung der Lösungen) die  2\pi -Periodizität des Winkels erfüllt wird. Diese Periodizität kann auch als die Stetigkeit der Werte von  \Phi(r,\phi)  auf dem Rand  \partial \Omega  interpretiert werden.
Wäre  d_2 \neq 0, so würde in  r=0  eine Singularität vorliegen, was wiederum der Stetigkeitsvoraussetzung in  \Omega  widerspricht. Somit ist  d_2=0 .
Werden diese Lösungen in den oben gewählten Separationsansatz eingesetzt und nach dem Superpositionsprinzip über alle möglichen Lösungen aufsummiert, so ergibt sich die Lösung der Laplace-Gleichung,:    
: \Phi(r,\phi)= \sum_{n=0}^\infty \Phi_n(r,\phi)= \frac {1} {2} a_0 + \sum_{n=1}^\infty r^n(a_n \cos(n \phi) + b_n\sin(n \phi)). 
wobei  a_0 \,,  a_n \,  und  b_n \,  die Fourierkoeffizienten der Werte von  \Phi(r_0, \phi_0)  sind.
:::::denke mal, dass wir uns darauf einigen können. Ich finde es noch verständlich und es ist bei weitem nicht mehr so lang.--Shinji311 17:33, 9. Okt. 2010 (CEST)
replies: text: Ja, finde ich viel besser, danke! Packst Du es rein? --P. Birken 13:03, 10. Okt. 2010 (CEST)
thread_title:  Lösung in zwei Dimensionen 

message: Ich habe mir mal erlaubt, einen kurzen Abschnitt zur Fundamentallösung zu ergänzen, da ich dies für sinnvoll halte. Man sollte nichts vom Himmel gefallenes benützen und zumindest kurz erwähnen, wie sie gefunden wird. Natürlich lässt sich über Form und Inhalt diskutieren. Zusätzlich dazu: Wie sinnvoll ist es zu erwähnen, dass \Gamma die analytische Fortsetzung der Fakultätsfunktion ist (besteht Notwendigkeit dafür in einem Artikel zur Laplacegleichung)?
Außerdem habe ich eine -meiner Meinung nach- wichtige Quelle hinzugefügt (die sich auch schon beim Artikel zur Poissongleichung finden lässt; ein weiteres Projekt wäre, Notation hier und dort anzugleichen). Liebe Grüße, -- Mkoeberl (Diskussion) 14:03, 24. Mär. 2012 (CET)
thread_title:  Fundamentallösung