Diskussion:Wärmeleitungsgleichung

message: Diese Seite soll die mathematischen Aspekte behandeln.
Sie soll die DGL als mathematisches Objekt behandeln
(natuerlich mit der Anwendung)
Matthy Fri Jul 23 11:35:43 CEST 2004
Was sich sehr gut machen würde, wäre eine kleine Graphen-Serie zur zeitlichen Entwicklung einer Theta-Funktion als Ausgangszustand, um den "Temperaturfluss" anschaulicher zu machen. --Nightstalker 15:16, 23. Jul 2004 (CEST)

message: im Abschnitt "nichthomogene Gleichung" geht es um Medien, in denen Wärmequellen/-senken vorhanden sind, daher ist die rechte Seite der Gleichung nicht null. Die Bezeichnung "nichthomogenes Medium" ist dabei irreführend, man könnte denken es ginge darum dass a nicht konstant ist. Das ist wieder ein anderer Fall! (nicht signierter Beitrag von 130.89.211.63 (Diskussion) 13:53, 17. Okt. 2011 (CEST)
thread_title:  "inhomogen" 

message: Am Ende des ersten Absatzes: "geht die Gleichung in die Laplace-Gleichung über.", ist hier vielleicht eher das Fouriersche Gesetz gemeint? Das ist jedenfalls das was rauskommt, wenn man die WLG im stationären Zustand betrachtet.--Der ronny 21:33, 7. Dez. 2009 (CET)
thread_title: Laplace Gleichung???

message: Es fehlt der Hinweis zur Akausalität. --217.65.27.16 15:53, 27. Jul 2005 (CEST)
thread_title:  Kausalität 

message: Eine Herleitung der Wärmeleitungsgleichung wäre interessant. --131.246.227.67 18:10, 29. Mär. 2009 (CEST)
replies: text: Ist im englischen WP  gut dargestellt.--Herbertweidner 17:28, 28. Apr. 2009 (CEST)
thread_title:  Herleitung der Wärmeleitungsgleichung 

message: So wie ich das im Studium der Thermodynamik gelernt habe, besitzt die allgemeine Form der Gleichung noch einen Quellterm  \tilde{\dot{q}}. 
\rho c \frac{\partial t}{\partial \tau} = div(\lambda\, grad\, t) + \tilde{\dot{q}}
mit den Variablen
* \tau Zeit [s]
* t Temperatur [K]
* \lambda Wärmeleitfähigkei [W/(mK)]
* \tilde{\dot{q}} Wärmequelldichte [W/m³]
* \rho Dichte [kg/m³]
* c Wärmekapazität [J/(kgK)]
In dieser Formulierung kann die Wärmeleitfähigkei prinzipiell auch temperaturabhängig sein und was ich für sehr wichtig halte, sie ist unabhängig von der Dimension (Geometie) des Körpers. (nicht nur eindimensional im Ort) --Visualiza 14:28, 14. Aug. 2009 (CEST)
thread_title:  Quellterm 

message: Wer hat denn diese Gleichung erfunden/als erstes hergeleitet?--Firechris 22:10, 25. Aug. 2011 (CEST)
replies: text: Das wird wohl Fourier gewesen sein. --Rosentod 13:58, 17. Okt. 2011 (CEST)
thread_title:  Erfinder? 

message: Zur numerischen Lösung seien vor allem zwei Methoden genannt: (Entsprechende eigenständige Wikipedia- Artikel existieren glaub ich schon, also reicht es ev. nur auf diese zu verlinken.) 
Ein explizites Schema: FTCS (Forward in time, central in space)
\frac{u^{i}_{j+1} + u^{i}_{j-1} - 2 u^{i}_{j}}{(\Delta x)^{2}} = k \frac{u^{i+1}_{j} - u^{i}_{j}}{\Delta t}
wobei der obere Index den Zeit- und der untere den Raumschritt bezeichnet. Stabil, falls \Delta t/ (\Delta x)^{2} \leq 1/2.
Alternativ dazu: CTCS (Central in time, central in space), ebenfalls explizit
\frac{u^{i}_{j+1}+ u^{i}_{j-1} - 2u^{i}_{j}}{(\Delta x)^{2}} = k \frac{u^{i+1}_{j}- u^{i-1}_{j}}{2(\Delta t)}
 (nicht signierter Beitrag von 86.32.120.24 (Diskussion) 23:08, 2. Feb. 2012 (CET)
thread_title:  Numerik 

message: Die vierte Gleichung lautet
dT/dt = a(T)*Laplace(T). Ich schreibe sie mal eindimensional, d. h. ich ersetze den Vektor r durch die Ortsvariable x (eindimensional) dann wird es verständlicher.
Jetzt lautet sie dT/dt = a(T)*d^2T/dx^2. Die Größe a(T) heißt Temperaturleitfähigkeit, und kann aus der Dichte rho, der Wärmeleitfähigkeit Lambda und der Wärmekapazität cp wie folgt berechnet werden: a(T) = lambda/(rho*cp(T)). Bezeichnenderweise darf in dieser Gleichung die Wärmeleitfähigkeit nicht von der Temperatur T (und auch nicht vom Ort x) abhängen. Wenn sie es dennoch tut, wird obige Gleichung falsch und verletzt den Energiesatz.
Ich mache ein Beispiel, um das zu erklären. Wir betrachten eine Styroporschicht, die auf eine gleich dicke Stahlschicht zur Isolierung aufgeklebt sei. Wir wissen, dass Styropor eine niedrige Wärmeleitfähigkeit hat. Da es sehr leicht ist, hat es auch eine niedrige Dichte. Stahl hat eine deutlich höhere Wärmeleitfähigkeit, aber auch die Dichte ist deutlich höher. Die Temperaturleitfähigkeit beider Werksstoffe hat daher eine ähnliche Größenordnung. Wir wollen für das Beispiel annehmen, dass sie exakt gleich sei, und es sei auch keine weitere Temperaturabhängigkeit vorhanden. Damit entsteht sogar dT/dt = a*d^2T/dx^2. In unserem Beispiel sei die Stahlunterseite mit 100°C und die Styroporoberseite mit 0°C durch äußere Randbedingungen fixiert. Nun wollen wir den eingeschwungenen Zustand betrachten und die Temperatur in der Mitte an der Grenzschicht zwischen Stahl und Styropor berechnen. Die linke Seite obiger Gleichung wird dann 0, d. h. die zweite Ableitung der Temperatur nach dem Ort verschwindet identisch. Die Lösung ist also eine lineare Funktion in x mit konstantem Temperaturgradienten, die bei T=100°C auf der Stahlunterseite beginnt und bei 0°C auf der Styroporoberseite endet. In der Mitte herrschen also genau 50°C. Interessant ist, dass der Wärmestrom in den Stahl hinein jetzt sehr viel größer ist als der Wärmestrom aus dem Styropor heraus. Diese Lösung verletzt daher offensichtlich den Energiesatz. Sie widerspricht auch der praktischen Erfahrung, denn jeder weiß aus Erfahrung, dass an der Grenzschicht zwischen Stahl und Styropor wegen der Isolierwirkung des Styropors eine Temperatur sehr nahe bei 100°C herrschen muss. Die Voraussetzung einer konstanten und überall gleich großen Wärmeleitfähigkeit ist für die Gültigkeit der eingangs genannten Formel also wesentlich, und die Ergebnisse, die sie produziert, werden falsch, wenn man dies nicht beachtet.
--Elektrony (Diskussion) 10:29, 4. Dez. 2017 (CET)
replies: text: Welche Gleichung meinst du? Soweit ich sehe, wird im ganzen Artikel a als konstant vorausgesetzt? -- HilberTraum (d, m) 12:06, 4. Dez. 2017 (CET)
thread_title:  Zur vierten Gleichung fehlt eine wesentliche Voraussetzung