Diskussion:Hilbertraum

message: Der Telepolis-Artikel Unendlich viele Weltenblasen und Doppelgänger (vom 2. März 2003) linkt hier hin. Und auch Google hat diesen noch recht kurzen Artikel auf Platz eins. Wer also dazu was schreiben kann fühle sich hiermit ermuntert ... :-) --Kurt Jansson 16:21, 4. Mai 2003 (CEST)
replies: text: Oh Schreck :-) Da werden wir wohl noch was tun müssen :-) --DaTroll 14:05, 20. Mai 2004 (CEST)

text: Artikel ist hier zu finden. Riecht nach Quantengravitation. Siehe auch folgende Suche. IMHO ist Theoriefindung. Gruß --17387349L8764 (Diskussion) 16:15, 12. Mär. 2022 (CET)
thread_title:  Verlinkung von Heise/Telepolis 

message: warum ist es wissenswert, dass in manchen unis einige zimmer als hilbertraeume bezeichnet werden? und warum ist es wissenswert, dass die uni in goettingen eine davon ist? bis vor kurzem wurde ja auch noch die tum genannt. die uni karlsruhe koennte man ebenfalls anfuehren und vermutlich noch mehr. aber warum? im banachraum-artikel wird doch auch nicht der bananachraum-witz erzaehlt. -- seth 17:11, 1. Mär. 2007 (CET)
replies: text: Ich finde es deshalb wissenswert, weil es ein kleines Schlaglicht auf den an einigen mathematisch-naturwissenschaftlichen Fakultäten gepflegten akademischen Humor wirft. Der Göttinger Hilbertraum ist deshalb erwähnenswert, weil Göttingen eben auch Wirkungsstätte von Hilbert war. Der Banachraum-Artikel könnte meinetwegen auch genausogut den "bananachraum-witz" erzählen. Aber mein Herz hängt nicht daran, und ich werde die Anmerkung über als Hilbertraum bezeichnete Räumlichkeiten nicht wieder einfügen, wenn sie jemand entfernen sollte. (In jedem Fall ist es meiner Meinung nach nicht sinnvoll, wenn alle an irgendwelchen Unis existierenden Hilberträume aufgezählt werden.) —Tobias Bergemann 22:28, 1. Mär. 2007 (CET)
replies: text:  nach dem Motto "im zweifel fuer die information" loesche ich den abschnitt dann erstmal nicht noch mal, solange sich niemand weiteres gegen den abschnitt aeussert. allerdinge schreibe ich ihn um, weil z.b. die sache, dass der sprachwitz sich nicht so leicht uebersetzen laesst, imho wirklich irrelevant ist. -- seth (84.57.255.13) 01:31, 4. Mär. 2007 (CET)
replies: text:  Danke. — Tobias Bergemann 09:29, 4. Mär. 2007 (CET)
replies: text: Dann darf ich zwei Jahre später aber doch sicher, oder? Mal ehrlich: Wenn wir jeden blöden Wortwitz mit einem Artikel versehen würden... --Scherben 12:56, 16. Apr. 2009 (CEST)

text: Heutzutage gibt es zig Konferenzräume die Einstein etc. heißen. Es gibt Straßennamen wie Röntgenstraße etc. das ist Normal. Die Wikipedia-Seite Handling trivia (EN) gibt eine Idee, wie man damit umgehen sollte bzw. kann. Meine Stimme wäre für entfernen. Gruß --17387349L8764 (Diskussion) 16:20, 12. Mär. 2022 (CET)

text: Sicher muß man nicht die ganze Liste aufführen, aber die Tatsache als solche (dass das eine häufige Namensgebung ist) kann man schon erwähnen.--Pugo (Diskussion) 19:59, 11. Jun. 2016 (CEST)
replies: text: Diesen von Dir nun wieder eingefügten Satz kann man vermutlich auch in die Artikel Banachraum und Minkowski-Raum kopieren. Ich halte auch diesen kurzen Satz für überflüssig.--Christian1985 (Disk) 20:28, 11. Jun. 2016 (CEST)
replies: text: Es gibt aber nun einmal mehr Hilberträume, was ja auch etwas aussagt.--Pugo (Diskussion) 18:14, 12. Jun. 2016 (CEST)
replies: text: Das steht aber nicht im Artikel und wird wohl extrem schwer zu belegen sein.--Christian1985 (Disk) 17:45, 13. Jun. 2016 (CEST)
thread_title:  trivia 

message: In der Einleitung heißt es "[Der Hilbertraum] ist ein Spezialfall eines Innenproduktraums, d. h. ein Vektorraum über den reellen Zahlen oder den komplexen Zahlen mit einem Skalarprodukt". Das stimmt nicht, denn neben den reellen und komplexen Zahlen gibt es ja andere Körper, über denen man einen Hilbertraum aufspannen könnte. Es muss so formuliert werden, dass R und C als Beispiele erkennbar sind, statt als einzige Möglichkeiten.
Mark Roberts
--89.182.9.235 13:32, 16. Aug. 2010 (CEST)
replies: text: Gibt es denn Skalarprodukte über endlichen Körpern? Für Körper mit endlicher Charakteristik gibt es keine Anordnung, also kann es auch kein positiv definites Skalarprodukt geben. -- Digamma 15:30, 16. Aug. 2010 (CEST)
replies: text: OK. Soweit habe ich das nicht verfolgt. Dann bleiben noch die Quaternionen übrig, könnte aber wegen deren Nichtkommutativität auch Schwierigkeiten geben, eine Sesquilinearform korrekt zu definieren.--LutzL 16:09, 16. Aug. 2010 (CEST)

text: @Digamma: Der Vektorraum \mathbb{R}^1 über den Körper \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} hat z.B. das Standardskalarprodukt. Also ja, es gibt Skalarprodukte für Vektorräume über endlichen Körpern. --Martin Thoma 17:23, 22. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Hängt vom Skalarproduktbegriff ab und ist für diesen Artikel egal. --Chricho ¹ ² ³ 17:35, 22. Aug. 2012 (CEST)

text: Quaternionen sollten übrigens kein Problem machen, einfach jede komplexe Einheit konjugieren für die Sesquilinearform und man hat die gewünschten Eigenschaften. Bloß macht man das normalerweise nicht, normalerweise setzt man schon beim Vektorraum voraus, dass der Körper kommutativ ist. --Chricho ¹ ² ³ 17:38, 22. Aug. 2012 (CEST)
thread_title:  Einleitung ungenau: zu speziell 

message: In der Definition steht "in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert". Ist das nicht tautologisch? Cauchy-Folgen sind doch gerade so definiert, dass sie Folgen beschreiben, die für ein Epsilon usw. konvergieren. Kann mir das jemand erklären? -- Gut informiert 13:31, 27. Jan. 2011 (CET)
replies: text: Bitte schaue in eine Analysisbuch Deines Vertrauens, was den Unterschied zwischen normierten und vollständigen normierten Räumen ausmacht. Konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen, aber nur in vollständigen metrischen Räumen gilt die Umkehrung (dann definitionsgemäß). Es gibt z.B. rationale Cauchy-Folgen, die in den rationalen Zahlen nicht konvergieren. Die meisten Cauchy-Folgen im Raum der Polynome, mit irgendeiner Norm auf den Koeffizientenfolgen, konvergieren nicht als Polynome, sondern erst in der Vervollständigung als (je nach Norm auch formale) Potenzreihen. Etc.--LutzL 14:27, 27. Jan. 2011 (CET)
replies: text: Dasselbe im Beispiel: Die in Q definierte Cauchyfolge 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... (nimm immer noch eine Dezimalstelle von sqrt(2) dazu) konvergiert ebendort nicht. Hiermit ist bewiesen, daß Q nicht vollständig ist. R ist vollständig, weil dort - wenn Du so willst zufällig - alles konvergiert.--91.34.253.134 20:08, 3. Sep. 2013 (CEST)

text: Je nach Geschmack ist der Teilraum der endlichen Folgen (fast alle Folgeglieder null) unter den unendlichen Folgen mit 1- oder 2-Norm ein einfacheres Beispiel. Beispiele konvergenter Reihen, deren Koeffizienten keine endlichen Folgen bilden, gibt es dann viele.--LutzL (Diskussion) 18:25, 28. Apr. 2014 (CEST)
thread_title:  Definition über Cauchy-Folge 

message: Natürlich ist \Q ein gut verständliches Beispiel für Unvollständigkeit. Allerdings ist \Q bestenfalls Vektorraum über \Q selbst (nämlich ein eindimensionaler) und mithin natürlich nicht für einen Prähilbertraum. Ein Prähilbertraum, der nicht automatisch schon ein Hilbertraum ist, muss also mindestens ein \R-Vektorraum und dennoch unvollständig sein. Ein Beispiel dafür ist etwa der Raum der Funktionen, die auf einer kompakten Menge (z.B. [-1,1]) stetig sind, mit \int_{-1}^1 f(x)g(x) als Skalarprodukt. Die Funktionenfolge f_n(x)=\tanh(nx) konvergiert gegen eine Funktion, die in 0 nicht stetig ist und damit die Bedingungen nicht erfüllt.--Slow Phil (Diskussion) 15:39, 28. Apr. 2014 (CEST)
replies: text: Je nach Geschmack ist der Teilraum der endlichen Folgen (fast alle Folgeglieder null) unter den unendlichen Folgen mit 1- oder 2-Norm ein einfacheres Beispiel. Beispiele konvergenter Reihen, deren Koeffizienten keine endlichen Folgen bilden, gibt es dann viele.--LutzL (Diskussion) 18:25, 28. Apr. 2014 (CEST)
thread_title: Unvollständige <math>\R</math>- oder <math>\Complex</math>-Vektorräume

message: Ich wundere mich ein wenig darüber, dass die Bedeutung der fast-periodischen Funktionen darin liegen soll, dass der Raum dieser Funktionen nicht separabel ist. Wie oben schon in anderem Zusammenhang erwähnt, gibt es durchaus einfachere Möglichkeiten, nicht-separable Hilberträume zu konstruieren, nämlich \ell^2(I) für überabzählbare Indexmenge I.  Wenn es also nur um einen Existenzbeweis geht, dass es nicht-separable Hilberträume gibt, dann braucht man keine fast-periodischen Funktionen... Deshalb die Frage: Gibt es einen anderen Grund, warum man sich fast-periodische Funktionen anschauen sollte? Werden die vielleicht für irgendwas gebraucht? Oder waren das vielleicht historisch die ersten bekannten Beispiele für nicht-separable Hilberträume? Weiß da jemand was dazu? Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 13:39, 22. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Ich nehme mal an, das soll einfach ein interessantes Beispiel für einen nicht-separablen Hilbertraum sein, in der englischen Wikipedia findet man mehr, etwa en:Almost periodic function und en:Bohr compactification. \ell^2(I) ist halt etwas langweilig, L^2 auf einer nicht A2 lokalkompakten topologischen Gruppe wäre ein noch generischeres Beispiel, vllt. geringfügig interessanter. Nach Aussage von LutzL gibt es auch in der QFT noch welche. --Chricho ¹ ² ³ 13:53, 22. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Danke für die Links zur en-Wikipedia (hätte ich auch selbst drauf kommen können, da mal nachzuschauen, bin ich aber nicht). Es scheint also wirklich mehr Anwendungen für past-periodische Funktionen zu geben, als nur dass der dazugehörige Hilbertraum nicht separabel ist. --Cosine (Diskussion) 10:34, 23. Aug. 2012 (CEST)
thread_title:  Fast Periodische Funktionen 

message: Das folgende steht momentan im Artikel unter dem Abschnitt "Orthogonalität und Orthogonalsysteme":
Mittels des Lemmas von Zorn lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). 
ABER:
Auf der Seite "Separabler Raum" (https://de.wikipedia.org/wiki/Separabler_Raum) unter Gegenbeispielen steht:
Der Raum der fast-periodischen Funktionen ist ein Beispiel eines nicht-separablen Hilbertraums.
Bin mir nicht zu 100% sicher, aber ich denke, dass das Gegenbeispiel stimmt und somit NICHT jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt, da das (ONB) ja dazu äquivalent ist, dass er separabel ist. (Richtig?)(nicht signierter Beitrag von 37.201.6.252 (Diskussion) 22:09, 7. Apr. 2018 (CEST)
replies: text: Deine letzte Ausage ist gerade nicht richtig: Separabilität ist äquivalent zur Existenz einer abzählbaren Orthonormalbasis, nicht einer beliebigen. Was in den Artikeln steht, stimmt schon so. --Chricho ¹ ² ³ 22:26, 7. Apr. 2018 (CEST)
thread_title:  Jeder Hilbertraum ist separabel?? 

message: Vollständigkeit hängt von der Menge ab und von der gewählten Metrik. Eine Metrik kann mithilfe einer Norm definiert werden, muss aber nicht. Kann es auf einem Vektorraum mit Skalarproduktnorm verschiedene Metriken geben? Wenn ja: Ob man in der Definition des Hilbertraums nicht fordern muss, dass die von der Skalarproduktnorm induzierte Metrik zu verwenden ist? --QuodScripsiScripsi (Diskussion) 11:44, 24. Aug. 2023 (CEST)
replies: text: Dass man die von der Norm verwendete Metrik verwendet, versteht sich von selbst. Man kann die Vollständigkeit auch ohne die Metrik direkt mit der Norm formulieren. Natürlich könnte man auf einem mit einer Norm versehenen Vektorraum auch ganz andere Metriken verwenden, aber das müsste man dann extra sagen. --Digamma (Diskussion) 21:40, 24. Aug. 2023 (CEST)
thread_title:  Bezug auf Metrik