Diskussion:Lebesgue-Integral

message: Schön, aber wo ist die Definition davon, was ein Lebesgue-Integral ist. Wann ist eine Funktion Lebesgue integrierbar? Welche Funktionen sind Lebesgue-integrierbar aber nicht Riemann-integrierbar? Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem Lebesgue-Integral und dem Riemann-Integral?
:Die Definition ist da - sie ist leider nur nicht so einfach anzugeben, weil man aufeinander aufbauend das Lebesgue-Integral für treppenfunktionen,nicht-negative,beliebige definieren muss.
:Bei den anderen Sachen wäre es natürlich sinnvoll etwas zu erwähnen um die ganze Sache ein bisschen anschaulicher zu gestalten --Saraedum 13:33, 17. Mär 2005 (CET)
thread_title:  Wann ist eine Funktion Lebesgue-integrierbar? 

message: Der Hauptgrund für die Konstruktion des Lebesgue-Integrals liegt darin, dass man bezüglich der Integral-Halbnorm vollständige Funktionenräume benötigt. Mit "Integral-Halbnorm" ist hier das Integral des Betrages einer Funktion gemeint. Die Vollständigkeit dieser Funktionenräume und die hieraus resultierenden Konvergenzsätze bilden  die Basis der Funktionalanalysis.
Die Konstruktion des Lebesgue-Integrals über die Maßtheorie ist höchst umständlich, und so genau versteht man auch nicht, was die ganze Konstruktion eigentlich soll. Es gibt aber einen sehr einfachen Zugang, welcher das Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger zum Ausgangspunkt nimmt und dieses lineare Funktional dann stetig bezüglich einer "oberen Integral-Halbnorm" fortsetzt. Der Abschluss der stetigen Funktionen in den BANACHRAUM aller Funktionen mit endlicher oberer Integral-Halbnorm ist dann selber (trivialerweise) vollständig, und die Fortsetzung des Ausgangsfunktionals auf diesen Abschluss ist das Lebesgue-Integral. 
So einfach gehts, und die Studenten, die mit wochenlangen Konstruktionen von Maßen verschont werden und stattdessen Anwendungen lernen, dürfen sich glücklich schätzen
: Steckt die Technik dann nicht in dieser "oberen Integral-Halbnorm"? Denn im Endeffekt erhält man ja in jedem Fall einen Raum L1, der die charakteristische Funktion einer Menge genau dann enthält, wenn sie messbar mit endlichem Maß ist.--Gunther 11:47, 10. Sep 2005 (CEST)
replies: text: Für die Einführung des Lebesgue-Integrals gibt es verschiedene Philosophien. Vom Standpunkt der Funktionalanalysis ist es sicher am einfachsten, das Lebesgue-Integral als Fortsetzung des Riemann-Integrals auf einen Banachraum zu definieren, aber dies ist nicht der einzige Grund für die Konstruktion des Lebesgue-Integrals. Das Integral spielt auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine zentrale Rolle (dort heißt es Erwartungswert), wo Integrierbarkeit beliebiger beschränkter messbarer Funktionen und direkte Konvergenzaussagen (monotone/dominierte Konvergenz) wichtiger sind als Vollständigkeit. Man geht dort ohnehin von Maßen aus, und stetige Funktionen mit kompaktem Träger erscheinen dann als Umweg.--133.5.161.2 10:21, 20. Sep 2005 (CEST)
thread_title:  Lebesgue-Integral 

message: Kann man wirklich sagen, das L-Integral sei der moderne 
Integralbegriff? Oder sollte man sagen ein moderner 
Integralbegriff? Ich bin mir nicht sicher, aber es gibt doch 
bestimmt noch andere Integralbegriffe? :-) --134.130.244.140 11:53, 28. Jan 2006 (CET)
replies: text: Ich habe "der moderne Integralbegriff" geschrieben, weil es sich um den maßtheoretischen Integralbegriff handelt, der heute in vielen Bereichen der Mathematik, z.B. Funktionalanalysis (Lp-Räume, Variationsrechnung) oder Wahrscheinlichkeitstheorie (Erwartungswert) verwendet wird, da er die erforderlichen Konvergenzeigenschaften besitzt, die etwa dem Riemann-Integral fehlen. Ich denke, zumindest was die Integration in den reellen Zahlen (Funktionen f:\R\to\R) angeht, ist es durchaus angebracht, von dem modernen Integralbegriff zu sprechen. Allerdings bin ich zugegebenermaßen nicht gerade ein Spezialist auf dem Gebiet und  weiß nicht viel über alternative Integralkonzepte. Grüße, --RSchlicht (133.5.161.2) 09:08, 2. Feb 2006 (CET)
thread_title:  Formulierung 

message: Wenn ich ein wenig Zeit finde, werde ich den Artikel mal sortieren, die Sätze in eigene Artikel auslagern, stattdessen Beispiele geben. Ich schreibe das nicht so sehr als Ankündigung; wenn ich nicht dazu komme oder es vergesse, hat der Artikel das trotzdem nötig. igel+- 08:18, 13. Jul 2006 (CEST)
thread_title: Schauder

message: da steht "(nicht! Treppenfunktion)" - was soll denn das, bitteschön! Mathematiker sind doch gerade dafür berühmt, Dinge je nach Wetterlage verschieden zu benennen. Es gibt keine "richtige" Bezeichnung, nur mehr oder minder verbreitete. igel+- 21:49, 16. Aug 2006 (CEST)
thread_title: "Fälschlicherweise"

message: Der Vergleich zwischen uneigentlich-Riemann und Lebesgue ist schief. Die Konstruktion des Limes von Integralen über beschränkte Intervalle gibt es in der Lebesgue-Theorie ganz genauso, beispielsweise bei der Fouriertransformierten allgemeiner L2-Funktionen.--Gunther 13:13, 4. Okt 2006 (CEST)
thread_title:  Vergleich Riemann/Lebesgue 

message: Gehört nicht noch in die Voraussetzung, dass das Lebesgue-Integral der Funktionen-Folge beschränkt ist? Ansonsten muss das Integral ja keinen endlichen Wert annehmen, da wir ansonsten lediglich Monotonie fordern. 
:Das macht ja nichts, denn \infty = \infty. igel+- 13:34, 27. Mär. 2007 (CEST)
thread_title:  Konvergenz von Beppo Levi 

message: Beim Lesen dieses Artikels sind uns einige Unstimmigkeiten aufgefallen, die wir hier zur Diskussion stellen möchten: 
Die horizontalen Linien in der roten Abbildung zu Beginn sind (in der üblichen Notation) von der Form y=t_i für eine (äquidistante) Einteilung 0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = \beta des Wertebereiches der dargestellten Funktion. 
Sie schneiden aus der "Fläche unter der Kurve" den Bereich
: \{(x,t_i) \;:\; f(x) > t_i \}
aus. 
Die zugehörigen "horizontalen Streifen" S_i haben, falls man die Mengen \{f > t_i\} mittels \mu misst und t_i-t_{i-1} =: \varepsilon setzt, den "Inhalt" 
: \varepsilon \mu (\{f>t_i\}) .
Approximation der "Fläche unter der Kurve" durch (dünne) horizontale Streifen läuft dann auf das Integral 
: \int_0^\beta \mu(\{f>t\})\;dt
hinaus -- ein interessanter und realisierbarer Ansatz, interessant insbesondere wenn man beachtet, dass der Integrand für "sinnvolle" \mu immer eine fallende, also Riemann-integrierbare reelle Funktion ist. 
Tatsächlich beschrieben wird im Artikel aber die Approximation durch Summen der Form 
: \sum_{i=1}^n t_i\mu(A_i),
wo A_i = \{ x\;:\; t_{i-1}<f(x)\leq t_i\}. 
Hier sind die Summanden aber keine horizontalen Streifen, sondern eher Bündel von vertikalen Streifen. 
Die Konfusion stammt vermutlich von dem irreführenden (falschen?) Text zu der Illustration in 
http://www.britannica.com/eb/art-19637/The-Lebesgue-integral-Note-that-the-areas-or-slices-to
Tatsächlich entspricht t_i\mu(A_i) dem Gesamtinhalt der dort blau gefärbten vertikalen Streifen, während der gelbe horizontale Streifen lediglich zur Bestimmung der Menge A_i dient. 
Würde der umsichtige Kaufmann im Zitat am Ende des Artikels "horizontale Streifen" gleicher Dicke messen und dann addieren, so müsste er wie folgt vorgehen (unter der Annahme, dass die Münzen/Scheine einen Nennwert \in\mathbb{N} (in Kronen) haben: 
:Ich habe m_1 Münzen im Nennwert > 0, macht m_1 Kronen.
:Ich habe m_2 Münzen im Nennwert > 1, macht m_2 Kronen.
:\dotsb
:Ich habe m_k Münzen im Nennwert > k-1, macht m_k Kronen.
:Ich habe 0 Münzen im Nennwert > k,
macht insgesamt m_1+m_2+\cdots+m_{k-1} Kronen. 
Das tut er aber nach Lebesgue eben nicht. 
Insofern sind zwar das Lebesgue-Zitat und die Vorgehensweise im Artikel selbst konsistent, beides passt aber nicht zur Illustration und der Interpretation am Anfang. 
Wir meinen, dass man den Kopf des Artikels neu formulieren sollte, mit einer neuen Illustration und einer "Grundidee", die zum Rest des Artikels passt.
--KathaRad 00:51, 21. Jun. 2008 (CEST)
thread_title: Zur Illustration der Grenzwertbildung beim Lebesgueintegral

message: Ich kapier zwar nicht so richtig was KathaRad geschrieben hat, aber ich bin auch der Meinung, dass die Abbbildung mit den horizontalen Streifen Unfug ist.
Das L-Integral wird über die Indikator (Charakteristische Fkt., wie auch immer man sie nennt) konstruiert:
\int_\Omega f\ \mathrm{d}\mu=\sum_{i=1}^n\alpha_i\mu(A_i)
Dies wird auch richtig im Artikel wiedergegeben. Ich betrachte jetzt mal den 1-dim Fall:
Nehmen wir an, dass ich die Reelle Achse einfach in gleichgroße Intervalle teile.
Diese Intervalle heißen nun A_i mit beispielsweise A_i=\{x|x\in (a_i,b_i] \,\mbox{und} \,b_i-a_i=1\}. Ich teile die x-Achse einfach in ganz viele disjunkte Teilintervalle der Länge 1 (beispielsweise) auf, diese heißen A_i.
Nun ist \Chi_{A_i}(x)=1  falls x\in(a_i,b_i]. Jetzt brauche ich noch mein  \alpha_i
Ich wähle für jedes A_i eine Stützstelle (beliebig) x_s\in (a_i,b_i] und gucke mir den Funktionswert an dieser Stützstelle an. Jetzt setze ich  \alpha_i=f(x_s).
Wenn ich mir das mal so angucke, dann ist das irgendwie genauso, wie bei einem R-Integral. Ich glaube den Unterschied sieht man erst, wenn man das L-Integral im 2-Dimensionalen Raum betrachtet.
Ich muss sagen, ich habe nun auch nicht die größte Ahnung, aber das Bild ist einfach nicht mit der Charakteristischen Fkt. vereinbar!
Also das Integral von f ist ja gleich dem Maß der Ordinatenmenge. Wenn man die Ordinatenmenge (die Fläche unter der Kurve) in disjunkte Teilmengen (in diesem Fall Teilflächen) zerlegt (die roten Rechtecke), dann kann man ja alle Maße dieser Teilflächen addieren und erhält wieder das Maß der Ordinatenmenge (näherungsweise). 
--svebert 16:53, 11. Jul. 2008 (CEST)
replies: text: Hier hat sich ja nix geändert... Das Bild ist falsch! Siehe hier . Habe keine Zeit das "richtige" Bild hier einzufügen, aber das falsche kommt jetzt weg!--svebert 01:51, 4. Aug. 2011 (CEST)
replies: text: ok, habe das Bild korrigiert und was zu geschrieben. Ist aber noch suboptimal -> nicht leicht verständlich. Vllt. kann das jemand besser Formulieren?--svebert 20:47, 6. Aug. 2011 (CEST)
thread_title:  Bild 

message: Der Artikel enthält ein Bild, dem eine Bildbeschreibung fehlt, überprüfe bitte, ob es sinnvoll ist, diese zu ergänzen. Gerade für blinde Benutzer ist diese Information sehr wichtig. Wenn du dich auskennst, dann statte bitte das Bild mit einer aussagekräftigen Bildbeschreibung aus. Suche dazu nach der Textstelle  und ergänze sie.
:Wenn du eine fehlende Bildbeschreibung ergänzen willst, kannst du im Zuge der Bearbeitung folgende Punkte prüfen:
:* Namensraum Datei: Bilder sollte im Namensraum Datei liegen. Bitte ändere die alten Bezeichnungen Bild: und Image: in Datei:.
:* Skalierung: Außerhalb von Infoboxen sollten keine festen Bildbreiten (zum Beispiel 100px) verwendet werden. Für den Fließtext im Artikelnamensraum gibt es Thumbnails in Verbindung mit der automatischen Skalierung. Um ein Bild/eine Grafik in besonderen Fällen dennoch größer oder kleiner darzustellen, kann der „upright“-Parameter verwendet werden. Damit erfolgt eine prozentuale Skalierung, die sich an den Benutzereinstellungen orientiert. --SpBot 23:18, 1. Mär. 2009 (CET)
thread_title: Bildbeschreibung fehlt bei ''<nowiki>[[Bild:Lebesgue vs Riemann.gif]]</nowiki>'' 

message: Ich bin der Meinung das folgende Argumentation schlicht falsch ist:
f ist nicht Riemann-integrierbar, da es mehr als endlich viele Punkte gibt wo die Obersumme (=1) ungleich der Untersumme (=0) ist.
Denn:
f ist sogar Riemann-integrierbar, wenn es zum Beispiel genau abzählbar viele Unstetigkeitsstellen besitzt, in diesem Beispiel ist f auf ganz [0,1] unstetig und deswegen nicht Riemann-integrierbar.
Außerdem verstehe ich nicht, wieso man die alternierende Reihe nur uneigentlich integrieren kann. Die Funktion hat abzählbar viele Unstetigkeitsstellen und ist damit Riemann integrierbar. -- Washbag 14:22, 31. Mai 2009 (CEST)
replies: text: Ich habe die Begründung mal umformuliert. So besser? Zu "uneigentlich": Riemann integrierbar bezieht sich immer auf endliche Intervalle. --Sabata 15:30, 31. Mai 2009 (CEST)
replies: text: Ja so macht es Sinn! Jetzt hab ich auch verstanden was du oben gemeint hast, deine Argumentation beruhte ja überhaupt nicht auf Unstetigkeitsstellen :D Sorry! Danke für die Erklärung zu "uneigentlich". -- Washbag 20:51, 31. Mai 2009 (CEST)
replies: text: Das stimmt doch gar nicht. Nach dem Lebesgue'schen Integrabilitätskriterium ist eine Funktion genau dann Riemann-integrierbar, wenn ihre Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge bilden. Das ist nicht äquivalent zur Abzählbarkeit. Im Übrigen reicht es nicht aus, dass alle Obersummen > 0 sind, da im Grenzfall durchaus wieder null herauskommen könnte. Dass das hier nicht der Fall ist, liegt daran, dass die Obersummen stets 1 sind und somit in der Grenze nicht die 0 treffen können. --Tolentino 16:03, 1. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Oops, wohl nicht nachgedacht. Danke für die Verbesserung. --Sabata 18:08, 1. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Keine Ursache... Ich habe Washbag übrigens halb Unrecht getan. Er hat ja nur behauptet, dass "Unstetigkeitsstellen abzählbar" ein hinreichendes Kriterium für Riemann-Integrierbarkeit ist, kein äquivalentes. Allerdings ist das Verletzen seines hinreichenden Kriteriums natürlich kein Argument für die Nicht-Integrierbarkeit, da bräuchte man halt doch das äquivalente Kriterium... Naja, sei's drum, viele Grüße, --Tolentino 19:51, 1. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: In meinem ersten Beitrag, meinte ich auch genau das! Ich hab gedacht Sabata meint, es ist an mehr als endlich vielen Stellen unstetig und folgert daraus, dass es nicht Integrierbar ist, dass wäre ja eine falsche Argumentation(weil z.B. höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen schon hinreichendes Kriterium ist. Meine Argumentation wieso es nicht Riemann-Integrabel ist, war: Die Funktion ist auf [0,1] unstetig ,  [0,1] hat Lebesgue Maß 1, also kann die Funktion nicht Riemann-integrabel sein. Tut mir leid, hab mich wirklich sehr schwammig ausgedrückt. -- Washbag 22:06, 1. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Macht doch nix, jetzt steht ja alles beisammen für diejenigen, die noch nie vom Lebesgue'schen Integrabilitätskriterium gehört haben. Viele Grüße, --Tolentino 09:28, 2. Jun. 2009 (CEST)
thread_title:  Punkt 7 Argumentation falsch 

message: Die Riemann summen sollten Untersummen und Obersummen sein (die im limes das gleiche Ergebniss liefern müssen etc.etc.). Die im ersten Bild im Artikel abgebildete Näherung ist aber weder unter noch obersumme und daher keine Riemannsche summe. (nicht signierter Beitrag von 92.78.136.140 (Diskussion) 22:30, 2. Feb. 2012 (CET)
replies: text: Beachte diesen Abschnitt: Riemannintegral#Urspr.C3.BCngliche_Formulierung_.28Riemann-Summen.29 im Artikel zum Riemannintegral. Dem Riemannintegral ist es im Limes völlig egal, wie die Partition im Detail aussieht. Hier wurde im Bild eine äquidistante Partition gewählt und immer der Funktionswert an der linken oberen Ecke. Man hätte auch Obersummen oder Untersummen nehmen können. Man darf sogar Partitionen mit nicht äquidistanten Intervallen nehmen--svebert 22:55, 2. Feb. 2012 (CET)
thread_title:  Bild Riemann vs. lebesque falsch 

message: In den drei Sätzen (Levi / Lebesgue / Fatou) heißt es jeweils f_n\colon (\Omega,\Sigma,\mu)\rightarrow(\overline{\mathbb R},B), was unscharf bezüglich des Symbols B ist. In Elstrodt (2018) sind die Sätze für numerische Funktionen mit dem Messraum (\bar\R,\mathcal{B}(\bar\R)) formuliert. Ich werde das entsprechend korrigieren. --Sigma^2 (Diskussion) 22:53, 13. Sep. 2022 (CEST)
thread_title:  Konvergenzsätze