Diskussion:Satz von Kantorowitsch

message: Der Artikel enthält eine vereinfachte Version der ursprünglichen Aussage. Das kam, da ich in den zur Verfügung stehenden Büchern keinen sinnvollen Beweis fand. Nun ist mir das 3-Seiten-Paper "J. M. Ortega: The Newton-Kantorovich Theorem, Amer. Math. Monthly 75 (1968)"  in die Hände gefallen, in der die schärfere Aussage auf einfache Weise angegeben ist.
=== Nach Ortega ===
Seien  X,\,Y Banachräume, D\subset X ein Gebiet, F:D\to Y, F auf einer konvexen offenen Teilmenge D_0\subset D differenzierbar mit Lipschitz-stetiger Ableitung,
::\|F'(x)-F'(y)\|\le L\,\|x-y\|.
Operatornormen sind von den Banachraumnormen induziert.
Fixiere ein x_0\in D_0 mit beschränkt invertierbarer Ableitung. Setze 
::a=L/2,\;b=\|F'(x_0)^{-1}\|^{-1},\;c=\|F(x_0)\|
und betrachte das Polynom p(t)=at^2-bt+c. Es stellt sich heraus, dass die Nullstellen dieses Polynoms und, sofern diese reell sind, die Newton-Iteration zu p mit t_0=0, das Newton-Verfahren zu F mit Startpunkt x_0 kontrollieren. Die Nullstellen von p sind 
::
    t^{*/**}=\frac{b}{2a}\left(1\mp\sqrt{1-2\gamma}\right)
   mit 
    \gamma=2ab^{-2}c.
  
Diese sind reell wenn
::\gamma=L\,\|F'(x_0)^{-1}\|^{-2}\,\|F(x_0)\|\le \tfrac12. 
Diese Bedingung kombiniert die Forderung, dass der Startpunkt der Iteration selbst schon genügend kleine Funktionswerte haben muss, mit der Forderung, dass die Jacobi-Matrix im Startpunkt x_0 nicht allzu singulär ist.
Für das quadratische Polynom konstruiert man nun die Folge der Newton-Iteration, welche im Nullpunkt startet,
::t_0=0 und  t_{k+1}=t_k-\tfrac{p(t_k}{p'(t_k)}.
Dies ist eine monoton gegen die kleinere Nullstelle t^\ast konvergente Folge. Man kann diese explizit bestimmen, indem man die Quotienten
::
  \theta_k=\frac{t_k-t^*}{t_k-t^{**}}
, mit welcher umgekehrt 
  t_k=\frac{t^*-\theta_k\,t^{**}}{1-\theta_k}
 gilt,
betrachtet und für diese die Rekursionsgleichung
::
  \theta_{k+1}=\theta_k^2
  \implies 
  \theta_k=\theta_0^{2^k}
    =\left(\frac{1-\sqrt{1-2\gamma}}{1+\sqrt{1-2\gamma}}\right)^{2^k}
feststellt.
Für die Newton-Iteration zu F ergibt sich daraus:
# F^{\prime}(x) ist invertierbar für alle x\in D_0\cap B(x_0,\tfrac{b}{2a}) und es gilt 
#::\|F'(x)^{-1}\|\le (b-2a\|x-x_0\|)^{-1}
# Ist B(x_0,t^*)\subset D_0, dann konvergiert das Newton-Verfahren mit Startpunkt x_0 und 
#::x_{k+1}=x_k-F'(x_k)^{-1}F(x_k). 
#:gegen einen Punkt x^\ast im Abschluss dieser Kugel. Mehr noch, es gelten
#::
    \|x_{k+1}-x_k\|\le t_{k+1}-t_k
   und 
#::
    \|x^*-x_k\|\le t^*-t_k
      =\frac{\theta_k}{1-\theta_k}(t^{**}-t^*)
      \le \frac1{2^k}\cdot\frac{\theta_{k-1}}{1+\theta_{k-1}}\cdot t^*
  
#:wobei beide Abschätzungen die quadratische Konvergenz für 2\gamma<1, d.h. t^*<t^{\ast\ast}, und die zweite Abschätzung die lineare Konvergenz im Grenzfall 2\gamma=1 ergeben.
#F hat keine weitere Nullstelle im Bereich D_0\cap B(x_0,t^{\ast\ast}).
----
Irgendwann kommt das in den Artikel, ich bin mir nicht sicher, ob als Ersatz der bisherigen Ausführungen oder als genauere Verallgemeinerung.--LutzL 11:37, 17. Jun. 2009 (CEST)
thread_title:  Genauere Originalaussage nach Ortega 

message: Seien  X,\,Y Banachräume, D\subset X ein Gebiet, F:D\to Y, F auf einer konvexen offenen Teilmenge D_0\subset D differenzierbar mit Lipschitz-stetiger Ableitung,
::\|F'(x)-F'(y)\|\le L\,\|x-y\|.
Operatornormen sind von den Banachraumnormen induziert.
Fixiere ein x_0\in D_0 mit beschränkt invertierbarer Ableitung. Setze 
::a=L/2,\;b=\|F'(x_0)^{-1}\|^{-1},\;c=\|F(x_0)\|
und betrachte das Polynom p(t)=at^2-bt+c. Es stellt sich heraus, dass die Nullstellen dieses Polynoms und, sofern diese reell sind, die Newton-Iteration zu p mit t_0=0, das Newton-Verfahren zu F mit Startpunkt x_0 kontrollieren. Die Nullstellen von p sind 
::
    t^{*/**}=\frac{b}{2a}\left(1\mp\sqrt{1-2\gamma}\right)
   mit 
    \gamma=2ab^{-2}c.
  
Diese sind reell wenn
::\gamma=L\,\|F'(x_0)^{-1}\|^{-2}\,\|F(x_0)\|\le \tfrac12. 
Diese Bedingung kombiniert die Forderung, dass der Startpunkt der Iteration selbst schon genügend kleine Funktionswerte haben muss, mit der Forderung, dass die Jacobi-Matrix im Startpunkt x_0 nicht allzu singulär ist.
Für das quadratische Polynom konstruiert man nun die Folge der Newton-Iteration, welche im Nullpunkt startet,
::t_0=0 und  t_{k+1}=t_k-\tfrac{p(t_k}{p'(t_k)}.
Dies ist eine monoton gegen die kleinere Nullstelle t^\ast konvergente Folge. Man kann diese explizit bestimmen, indem man die Quotienten
::
  \theta_k=\frac{t_k-t^*}{t_k-t^{**}}
, mit welcher umgekehrt 
  t_k=\frac{t^*-\theta_k\,t^{**}}{1-\theta_k}
 gilt,
betrachtet und für diese die Rekursionsgleichung
::
  \theta_{k+1}=\theta_k^2
  \implies 
  \theta_k=\theta_0^{2^k}
    =\left(\frac{1-\sqrt{1-2\gamma}}{1+\sqrt{1-2\gamma}}\right)^{2^k}
feststellt.
Für die Newton-Iteration zu F ergibt sich daraus:
# F^{\prime}(x) ist invertierbar für alle x\in D_0\cap B(x_0,\tfrac{b}{2a}) und es gilt 
#::\|F'(x)^{-1}\|\le (b-2a\|x-x_0\|)^{-1}
# Ist B(x_0,t^*)\subset D_0, dann konvergiert das Newton-Verfahren mit Startpunkt x_0 und 
#::x_{k+1}=x_k-F'(x_k)^{-1}F(x_k). 
#:gegen einen Punkt x^\ast im Abschluss dieser Kugel. Mehr noch, es gelten
#::
    \|x_{k+1}-x_k\|\le t_{k+1}-t_k
   und 
#::
    \|x^*-x_k\|\le t^*-t_k
      =\frac{\theta_k}{1-\theta_k}(t^{**}-t^*)
      \le \frac1{2^k}\cdot\frac{\theta_{k-1}}{1+\theta_{k-1}}\cdot t^*
  
#:wobei beide Abschätzungen die quadratische Konvergenz für 2\gamma<1, d.h. t^*<t^{\ast\ast}, und die zweite Abschätzung die lineare Konvergenz im Grenzfall 2\gamma=1 ergeben.
#F hat keine weitere Nullstelle im Bereich D_0\cap B(x_0,t^{\ast\ast}).
----
Irgendwann kommt das in den Artikel, ich bin mir nicht sicher, ob als Ersatz der bisherigen Ausführungen oder als genauere Verallgemeinerung.--LutzL 11:37, 17. Jun. 2009 (CEST)
thread_title:  Nach Ortega