Diskussion:Häufungspunkt

message: Um die Verstehbarbeit für mathematisch interessierte Laien zu ermöglichen, möchte ich die besonders formalen Pasagen etwas „abwerten“. Deshalb habe ich zwei Textteile in Klammerns gesetzt; wer's zu schwierig findet, weiß dann: das kann ich auch überlesen.</br>Meine Frage, auch unter diesem Aspekt: ist die Formulierung „Während für den Grenzwert gilt, dass aus a_n\to a folgt, dass auch für jede Teilfolge a_{n_k}\to a gilt, dass also jede Teilfolge gegen den selben Grenzwert konvergiert, gilt für Häufungspunkte die umgekehrte Beziehung: ist a\; Häufungspunkt der Teilfolge a_{n_k}, so ist a\; auch Häufungspunkt der Ausgangsfolge a_{n}\;“ wirklich unverzichtbar? -- Peter Steinberg 23:24, 10. Mai 2006 (CEST)
replies: text: Ich habe noch ein paar kleinere kosmetische Änderungen gemacht. Zum angefragten Satz: unverzichtbar ist er sicher nicht; meiner Meinung nach verdeutlicht er nochmals das Verhältnis Grenzwert/Häufungspunkt, indem er eine Art Dualität aufzeigt. Wichtige Anwendung dafür kenne ich aber keine. Wenn Du meinst, dass er für den Laien mehr verwirrend als erhellend ist, können wir ihn auch entfernen. --NeoUrfahraner 06:28, 11. Mai 2006 (CEST)
thread_title:  Formulierungen 

message: Im Abschnitt "Häufungspunkt einer Menge" fehlt im Satz "jeder Häufungspunkt ein Berührungspunkt," (aufzählung von den drei punkten) ein wort, oder? bin mir nicht sicher ob dies der fall ist und welches fehlt.
--c3p
:Meinst Du In topologischen Räumen ist ... jeder Häufungspunkt ein Berührungspunkt? --NeoUrfahraner 13:01, 8. Dez. 2007 (CET)
thread_title:  Fehlen eines Wortes? 

message: Wenn ein Häufungspunkt a einer Folge F so definiert ist(und nur so kenne ich dies), dass in jeder Umgebung von a ein Element von F liegen muss, welches ungleich a ist!,dann sind  -1 und 1 (im ersten Beispiel des Artikels) keine Häufungspunkte der dortigen alternierenden Folge, denn in genügend kleinen Umgebungen dieser beiden Punkte befinden sich außer diese beiden Zahlen keine weiteren Elemente. Gemäß Studienunterlagen(Analysis 1 der Fernuni Hagen) wären dies lediglich Verdichtungspunkte.
Verdichtungspunkte sind nach diesen Unterlagen Punkte, welche Grenzwerte von Teilfolgen (und diese gibt es ja hier)von F sind.
Insbesondere sind somit dann Häufungspunkte und Verdichtungspunkte nicht immer das gleiche!
(Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 88.70.52.10 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 19:36, 22. Feb. 2008 (CET)
replies: text: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Benutzer_Diskussion:Gnu1742&diff=42862611&oldid=42859644 Ich hab's entfernt. --NeoUrfahraner 23:42, 22. Feb. 2008 (CET)
thread_title: Unterscheidung zwischen Häufungspunkt und Verdichtungspunkt?

message: In der Einleitung steht, dass der Begriff des Häufungspunkts eine wichtige Rolle in der Mathematik spielt. Das kann man vielleicht noch etwas konkretisieren. Die Begriffe Kontinuum und diskrete Menge beruhen darauf, und die mathematischen Zugänge zu beiden unterscheiden sich grundsätzlich voneinander. --AlfonsGeser 11:52, 14. Jun. 2008 (CEST)
thread_title:  Motivation in der Einleitung 

message: ::My reply to the second comment can be read one line above from here, and even three lines above that too.
Independent of all above, I found a didactical fault on my 2nd image, which requires urgent redraw. I will do that overnight.
The second image uses horizontal lines. The reason behind is that if we "smear" the 1st picture horizontally, than it gets transformed into the 2nd one in an intuitive way:
 After "smearing" 1st image horizontally, it turns into the 2nd one:
	
But this small didactical trick, a tiny advantage, does not counterbalance a huge didactical disadvantage: why does the 2nd image represent the notion of accumulation point with a limit of sequence of lines? If the reader does not make the associated mental abstraction automatically (smeared lines represent only points), then the image can confuse or even mislead him. An indirect interpretation of the image is inappropriate.
This is a deciding counteradvise against the image, from a didactic aspect.
A solution: unifying the two ideas behind the two images into a single graphical notation, and drawing a unified image in the following way:
* On the right half of the image, a coordinate system-like representation of the (a_n) sequence, maybe coloring added to emphasize the two subsequences.
* On left part of the image, a Zahlengerade. The number line must stand vertically, not horizontally. The set \lbrace a_n \mid n \in \mathbb N\rbrace and the accumulation point 0 can be presented here.
* The left and the right halves of the image, the number line and the coordinate system are passed so next to one another, that the correspondence between the two represented notions (the set and the sequence) should be intuitively visible. Small horizontal leading lines or appropriate coloring can enhance the effect.
Haskell's HGL seems an appropriate tool to draw that.
Physis 20:12, 29. Aug. 2010 (CEST)
thread_title:  Usage of horizontal lines on the 2nd image has more didactical disadvantages than advantages 

message: Die Begriffe Folgenhäufungspunkt und Mengenhäufungspunkt sind eng miteinander verwandt, aber nicht genau gleichwertig. Das demonstriert folgendes Beispiel:
Die Folge a=(a_n), n \in \N sei folgendermaßen definiert:
a_n:=\begin{cases} 1/n, & \mbox{falls } n\mbox{ gerade}\ , \\ 1, & \textrm{sonst.}\end{cases}
Die Folge a hat zwei Häufungspunkte. Die Teilfolge (a_{2n}) konvergiert gegen 0, also ist 0 Folgenhäufungspunkt von (a_n). Die Teilfolge (a_{2n+1}) konvergiert gegen 1, also ist auch 1 Folgenhäufungspunkt von (a_n).
Die Menge der Folgenglieder von (a_n) ist definiert durch
X((a_n)):=\left\{a_n\mid n\in\mathbb N\right\}
Das heißt, X( (a_n) )\, ist die Menge aller Folgenglieder, siehe Bildmenge von Funktionen. Nun ist 0 ein Häufungspunkt der Menge X( (a_n) )\,, denn um jede ε-Umgebung gibt es noch Elemente 1/n\, mit 1/n < \varepsilon, die 1 jedoch nicht, da sich zum Beispiel in seiner Umgebung mit dem Radius 0{,}3 kein weiteres Element der Menge befindet. 
Der Unterschied beruht darauf, dass ein Wert, der in einer Folge unendlich oft als Glied vorkommt, in der Menge trotzdem nur einmal gezählt wird. Jeder Mengenhäufungspunkt ist ein Folgenhäufungspunkt. Umgekehrt ist ein Folgenhäufungspunkt entweder ein Mengenhäufungspunkt, oder kommt unendlich oft als Folgenglied vor.
Physis 19:02, 9. Sep. 2010 (CEST)
replies: text: Actually, that depends on the "version" of \N used, cf. natürliche Zahl. Actually, the problem can be avoided quietly by switching odd and even (a_n = \tfrac 1 n if n is odd (and hence non-zero!) and a_n=1 otherwise). Changing the sequence requires changing the images of course (though the difference may not be noticed by the average reader). My suggestions for theimages: Add  axes to the sequence version so that the horizontal axis (with an arrow tip) suggests the dynamic aspect of a sequence; arrange the set (as a set of points, not lines) horizontally to conform with the usual real line (as a "static object")being drawn horizontally. Also I'd suggest using black on white (or possibly some color like red or blue on white for the points and black fopr the axes). I'll start my text editor in a minute and try to make an example of what I mean. (I never meant to bully you as a graphic artist, I just was rather somewhat upset about the appearence of the article).--Hagman 22:02, 12. Sep. 2010 (CEST)
replies: text: As promised, this is what I just "hacked" together to demonstrate what I mean:  . These may not be the prettiest possibilitie with resüpect to design, but at least SVG graphics are readily edited with a simple text editor and they are vector graphics (thus look good even in printed media). They are PD and I don't mind them being improved or completely replaced by others. Your animation is also very nice (but as a gif it is not scalable and as any animation has problems withbeing printed).--Hagman 22:44, 12. Sep. 2010 (CEST)

text: Warum wäre 1 kein Häufungspunkt? Imho ist das das Gegenteil von richtig. --χario 00:15, 26. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: 1 ist ein Häufungspunkt der Folge, aber ein isolierter Punkt der Menge der Folgeglieder, und damit kein Mengen-Häufungspunkt. Um diesen Unterschied ging es oben in der Beschreibung. Die Bildunterschrift ist nicht ganz so klar.--LutzL (Diskussion) 12:12, 26. Apr. 2012 (CEST)
thread_title:  Proposed new version of the image 

message: Also irre ich mich, oder ist das genau das was eben für Mengen-Häufungspunkte gilt, aber für Folgen eben doch drin ist (man denke an konstante Folgen):
> Sofern die Topologie des Raumes nicht allzu 'verklumpt' ist, ist ein Punkt p Häufungspunkt, wenn in jeder Umgebung von p ein von p verschiedenes Folgenglied liegt.
LG Daniel (nicht signierter Beitrag von 87.184.72.128 (Diskussion) 21:28, 25. Apr. 2012 (CEST)
thread_title:  Häufungspunkt einer Folge - Definition - Topologie und Folgenhäufungspunkt