Diskussion:Nichteuklidische Geometrie

message: Ich hatte behauptet: „Ob die Geometrie des Universums „im Großen“ sphärisch (elliptisch), eben (das heißt euklidisch) oder hyperbolisch ist, gehört zu den großen aktuellen Fragen der Physik“. Dafür habe ich jetzt zwei Belege:
* Eine Diplomarbeit von Dominik Elsässer (ASTROPHYSIKALISCHE SIGNATUREN SUPERSYMMETRISCHER DUNKELMATERIE) vorgelegt an der Fakultät für Physik und Astronomie der Universität Würzburg (Prof. Dr. Karl Mannheim), Februar 2005,
und, leichter zugänglich, in den
*„Mitteilungen“ der Volkssternwarte Darmstadt, Heft 6/2000, eine Artikel mit den Titel „Ein BOOMERANG kommt zurück“ von Yasmin A. Walter, zu finden unter http://www.vsda.de.
Soweit ich das überblicke, geht es darum, zu bestimmen, welche Winkelsumme ein „großes“ Dreieck im Universum hat. (Die Raumverzerrungen durch ein paar Milliarden Milchstraßen spielen in diesen Dimensionen wohl keine Rolle.) Untersucht wird die kosmische Hintergrundstrahlung (zu deren Zeit eh keine Galaxien existierten) und deren Unregelmäßigkeiten (im Bereich von μK!), die auf bestimmte Resonanzen und damit auf die Größe des damaligen Universums schließen lassen.
Das Problem scheint praktisch gelöst zu sein - zu Gunsten eines ebenen (euklidische) Universums.
Da dies alles aber Sache der Physiker ist, ich auch nur sehr mühsam verstehe, wovon ich rede, und diese Erörterungen alle besser in das Lemma Kosmologie gehören, setze ich jetzt nur den ursprünglichen Satz über die „die Geometrie des Universums“ wieder ein. Dass er „den Stand der Physik von vor Jahrzehnten wiedergibt“ scheint mir widerlegt. -- Peter Steinberg 00:25, 2. Jul 2006 (CEST)
thread_title:  Kosmologie 

message: Wie ich es verstehe, geht es Zickzack bei seinen Änderungen um zwei Dinge:
#Nicht etwas als „Raumerfahrung“ zu postulieren, was er allenfalls als scheinbare Raumerfahrung anerkennen will. Dazu habe ich einen Vorschlag, das Problem (samt Kant) zu umschiffen, indem man historisch argumentiert. Ich kann mit nicht vorstellen, dass dagegen was zu sagen ist, und setze das gleich anschließend (versuchsweise) so ein.
#Nicht von Widerspruchfreiheit zu reden, ohne die Probleme zu erwähnen, die Gödels Unvollständigkeitssatz da enthüllt hat. Da man dies nicht an jeder Ecke immer wieder tun kann, möge der Hinweis auf die Widerspruchsfreiheit hier entfallen. Was ich wieder einsetze, ist ein Link auf axiomatische Theorie, wo sich das ja (zumindest in irgendeiner Zukunft, wenn Wikipedia soweit gediehen ist) weiterverfolgen lässt.
-- Peter Steinberg 22:55, 10. Jul 2006 (CEST)
thread_title:  Nochmal: Raumerfahrung und Widerspruchfreiheit 

message: Ist hier unter verwandte Themen verlinkt. Wer von Euch Mathematikern ist ihm in einem Buch begegnet? -- Lakonie 23:19, 14. Jul. 2008 (CEST)
replies: text: hat sich erledigt. war einhoax und wurde gelöscht -- Lakonie 17:11, 17. Jul. 2008 (CEST)
thread_title:  Jean Francois Moufot 

message: ´schlage unter Berufung auf Føllesdal, Dagfinn; Lars Walløe; Jon Elster: Rationale Argumentation. Ein Grundkurs in Argumentations- und Wissenschaftstheorie. Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1988, S. 50-52 als Quelle folgende Neufassung vor 
(der Abschnitt über Gauß und die Landvermessung ist nicht aufgenommen, da er zwar richtig sein mag, aber nur anekdotisch erscheint):
Von vielen Mathematikern der Antike und des Mittelalters wurde das Parallelenpostulat Euklids als weniger offenkundig angesehen und sie versuchten es zu beweisen.
Einen wichtigen Fortschritt erreichte der Jesuit Gerolamo Sacceri (1667-1733), der versuchte, das Parallelenpostulat auf der Grundlage anderer Euklidischer Voraussetzungen zu beweisen. Er unterstellte die Nichtgeltung des Parallelenpostulats und bewies viele Theoreme der nicht-euklidischen Geometrie. Auf Grund eines Fehlschlusses ging Sacceri jedoch davon aus, dass es zu der Euklidischen Geometrie keine Alternative gibt.
Wahrscheinlich war Carl Friedrich Gauß der erste, der um 1813 zu dem Ergebnis kam, dass sich logisch widerspruchsfrei Geometrien konstruieren lassen, in denen das Parallelenpostulat nicht gilt. Die Arbeiten von Gauß wurden jedoch erst nach seinem Tod veröffentlicht.  
Der Rechtswissenschaftler Professor Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859) schickte Gauß 1818 eine Denkschrift über nicht-euklidische Geometrie zu. Auch diese wurde nicht veröffentlicht.
Im Jahr 1823 veröffentlichten unabhängig voneinander die Mathematiker János Bolyai und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski Arbeiten über nichteuklidische Geometrie. Dabei entwickelten sie eine hyberbolische nicht-euklidische Geometrie und scheinen der Auffassung gewesen sein, dass diese die einzige Alternative zur euklidischen Geometrie sei.
Gauß' Schüler Bernhard Riemann war es, der die Differentialgeometrie gekrümmter Räume entwickelte und in seiner Habilitationsvorlesung 1854 eine nicht-euklidische Geometrie vorstellte, die für die Oberfläche eines elliptischen Körpers gilt und daher auch elliptische Geometrie genannt wird. 
Zu dieser Zeit erwartete niemand eine physikalische Relevanz dieses Themas. Tullio Levi-Civita, Gregorio Ricci-Curbastro und Elwin Bruno Christoffel bauten die Differentialgeometrie weiter aus. Einstein fand in ihren Arbeiten einen wahren Schatz an mathematischen Werkzeugen für seine allgemeine Relativitätstheorie.
--Karl-Hagemann
: P.S.:  In Hofstädter, Douglas R.: Gödel, Escher, Bach. 5. Auflage. Klett-Cotta, Stuttgart 1985, S. 1000 heißt es: Girolamo Sachheri (1667-1733) schuf  eine hyperbolische Geomerie. Lambert kam der Sache noch näher. (Die Rolle Lamberts ist mir aber unbekannt.)
--Karl-Hagemann 23:29, 3. Jul. 2010 (CEST)
replies: text: Das sehe ich unbedingt auch so. Ich würde daher den Satz "Die Genauigkeit seiner Instrumente hätte jedoch für den Nachweis der winzigen Krümmung des Raumes im Gravitationsfeld der Erde bei weitem nicht ausgereicht. Sie ist auch heute noch nicht möglich." ersatzlos streichen. -- Sinuspi (Diskussion) 13:55, 25. Nov. 2013 (CET)
replies: text: Ja bitte, diesen unsinnigen Satz streichen. Gauß ging es doch offensichtlich um die nichteuklidische Geomtrie auf dem Erdellipsoid und nicht um relativistische Effekte, von denen man damals noch nichts ahnte. Kro3. --2003:E5:BF2B:FC00:5160:CA25:2339:7FCB 14:37, 20. Feb. 2024 (CET)
thread_title:  Geschichte / Verbesserungs-/Ergänzungsversuch 

message: Wenn man die Winkelsumme eines Dreiecks, welches sich auf einer Kugel (wie etwa der Erde) befindet, bestimmt, so wird dieses Dreieck dabei natürlich andere Winkelsummen als ein Dreieck in der Ebene aufweisen. Dies hat überhaupt nichts mit einer "Krümmung des Raumes" zu tun. Es gibt auch ein zweidimensionales Modell der nichteuklidischen Geometrie , welches im positivem x-y-Koordinatensystem abgebildet werden kann. Siehe dazu auch Nichteuklidische Geometrie (Uni Wuppertal).
-- Merklep 09:21, 23. Jan. 2011 (CET)
replies: text: Das sehe ich unbedingt auch so. Ich würde daher den Satz "Die Genauigkeit seiner Instrumente hätte jedoch für den Nachweis der winzigen Krümmung des Raumes im Gravitationsfeld der Erde bei weitem nicht ausgereicht. Sie ist auch heute noch nicht möglich." ersatzlos streichen. -- Sinuspi (Diskussion) 13:55, 25. Nov. 2013 (CET)
replies: text: Ja bitte, diesen unsinnigen Satz streichen. Gauß ging es doch offensichtlich um die nichteuklidische Geomtrie auf dem Erdellipsoid und nicht um relativistische Effekte, von denen man damals noch nichts ahnte. Kro3. --2003:E5:BF2B:FC00:5160:CA25:2339:7FCB 14:37, 20. Feb. 2024 (CET)
thread_title:  Winkelsumme in einem Dreieck 

message: In dem Abschnitt zur elliptischen Geometrie steht: "Hier ist die Winkelsumme eines Dreiecks größer als 180°, der Umfang eines Kreises beträgt weniger als 2 \pi r und der Flächeninhalt weniger als \pi r^2." 
Die erste Aussage kann ich nachvollziehen, die zweite und dritte nicht. Entweder ich gehe von einem anderen Verständnis von 'r' aus, dann müste 'r' genauer erklärt sein. Der Umfang eines Kreises mit dem Radius 'r' - erzeugt durch einen Schnitt durch eine Kugel - enstpricht dem gleichen Ergebnis wie bei der ebenen Geometrie. Die Fläche der durch diesen Abschnitt erzeugten Oberfläche ist jedoch größer. (nicht signierter Beitrag von 2.246.152.212 (Diskussion) 15:54, 7. Dez. 2014 (CET)
replies: text: r ist der Radius, so wie man ihn kennt als Abstand vom Mittelpunkt zum Rand des Kreis. Ein Kreis wird zunächst nicht durch einen Schnitt einer Kugel gebildet (wie auch, wir befinden uns hier in der ebenen Geometrie, das 3D Konzept Kugel, ist da unbekannt), sondern darüber, dass man zu einem festen Mittelpunkt alle Punkte findet, die den Abstand r haben. "Zufällig" (die Einbettung ist so gewählt, dass unser euklidisches Hirn das gut versteht) entspricht ein Kreis in der elliptischen Geometrie, wenn man es auf einer Kugeloberfläche darstellt, einem euklidischen Kreis im 3D, dieser hat aber einen anderen Radius. Zur Verdeutlichung: Der Äquator der Erde (als perfekte Kugel) ist ein elliptischer Kreis um den Nordpol (oder Südpol, ist egal) mit einem Radius von r=ca. 10000 km, da dies der der Abstand von Nordpol zum Äquator ist und hat einen Umfang von 40000km, was deutlich kleiner ist als 2\pi r. Der entsprechende euklidische Kreis hätte seinen Mittelpunkt im Erdkern (also außerhalb dessen, was in der elliptischen Welt möglich ist) und hat Radius von ca. 6378 km, das ist vermutlich das was du meinst, aber dieser Radius von 6378 km hat in der elliptischen Geometrie keine Bedeutung.--LamaMaddam (Diskussion) 16:53, 28. Feb. 2020 (CET)
thread_title:  Vermutlich Fehler in der Aussage