Diskussion:Willmore-Energie

message: Um welche nicht-runden Sphären geht es denn hier? Aus Sphäre (Mathematik) wird mir das nicht so ganz klar. -- HilberTraum (Diskussion) 16:59, 24. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Danke erstmal, also anschaulich habe ich's jetzt glaub' ich verstanden, aber mathematisch noch nicht ganz, was aber wohl an meinen nicht ausreichenden Differentialgeometriekenntnissen liegen mag. Wie geht denn die Wahl der Einbettung (rund oder verkrumpelt) genau in die Berechnung von W ein, wenn immer nur über \Sigma integriert wird? -- HilberTraum (Diskussion) 18:27, 24. Sep. 2012 (CEST)
replies: text:  Die mittlere Krümmung H hängt von der Einbettung ab. --Suhagja (Diskussion) 04:09, 25. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Ok, aber kann man das Integral dann wirklich als \int_{\Sigma} H^2 dA schreiben? Hier ist doch dA das Flächenelement auf \Sigma. Eigentlich soll doch die mittlere Krümmung auf der Fläche u(\Sigma) mit u zurückgeholt und integriert werden. -- HilberTraum (Diskussion) 08:19, 25. Sep. 2012 (CEST)
replies: text:  H ist schon eine Funktion auf der Fläche \Sigma, auch wenn der Wert von H in einem Punkt natürlich wesentlich von der Abbildung u abhängt. Zum Beispiel kann man die Krümmung auch für Immersionen mit Selbstschnitten definieren und da kann dann in zwei Punkten a,b mit u(a)=u(b) die Krümmung durchaus unterschiedlich sein. (Soll heißen, die Krümmung ist in diesem Fall nur auf \Sigma und nicht auf u(\Sigma) wohldefiniert.) Wenn man Koordinaten x,y auf Teilstücken von \Sigma einführt, kann man auch explizite Formeln für H(x,y) angeben, natürlich in Abhängigkeit von der Abbildung u und ihren partiellen Ableitungen (die Formel findet man im doCarmo oder ähnlichen Büchern) und kann diese Funktion bzw. ihr Quadrat dann auf den Teilstücken integrieren. --Suhagja (Diskussion) 10:00, 25. Sep. 2012 (CEST)
replies: text:  Aber was ist dann dA beim Integrieren? Von der Notation doch das Flächenelement auf \Sigma, also in deinem Beispiel, wo \Sigma eine offene Teilmenge von \R^2 ist, wäre es einfach dx\, dy. Aber das stimmt dann doch nicht, oder? Das muss doch zum Flächenelement auf u(\Sigma) passen. -- HilberTraum (Diskussion) 14:18, 25. Sep. 2012 (CEST)
replies: text:  dA ist das Flächenelement auf </Sigma>. Man integriert auf <math.>/Sigma</math>, nicht auf der Bildfläche.--Suhagja (Diskussion) 14:58, 25. Sep. 2012 (CEST)
replies: text:  Wenn dA das Flächenelement auf \Sigma ist, dann stimmt aber etwas nicht (oder ich habe ein ganz blöden Denkfehler, dann möchte ich mich schon mal im Voraus für den Stress entschuldigen ;) Konkretes Beispiel: Die Einheitssphäre in Kugelkoordinaten sollte laut Artikel W = 4 \pi ergeben, was sicher stimmt. Und jetzt gerechnet: Ich nehme als Einbettung u: \Sigma \to \R^3, u(x,y) = (\sin x \cos y, \sin x \sin y, \cos y) mit \Sigma =  (0,\pi) \times (0,2\pi) \subset \R^2, also normale Kugelkoordinaten. Laut Artikel mittlere Krümmung ist H konstant \frac{1}{r}, also hier H(x,y) = 1, (x,y) \in \Sigma. Wenn dA wirklich das Flächenelement auf \Sigma ist, dann ist dA = dx\,dy, also W = \int_\Sigma 1^2 dx\,dy = 2 \pi^2, also falsch. In Wirklichkeit müsste hier über das Flächenelement \sin x\,dx\,dy integriert werden. -- HilberTraum (Diskussion) 16:27, 25. Sep. 2012 (CEST)
replies: text:  Der Punkt ist, daß Dein \Sigma keine Sphäre ist. Natürlich kannst Du   (0,\pi) \times (0,2\pi) \subset \R^2  benutzen, um auf der Einheitssphäre lokale Koordinaten zu definieren mittels der von Dir angegebenen Abbildung. Aber das Flächenelemnt auf der Sphäre bzgl. dieser Koordinaten ist dann nicht dxdy, sondern eben dA=sin y dxdy und bzgl. dieses Flächenelements muss man die Funktion H^2 integrieren. 
(Nebenbei bemerkt spielt es eigentlich keine Rolle, ob man für \Sigma die Einheitssphäre oder irgendeine andere Sphäre wählt, statt einer Abbildung u(x,y,z) auf der Einheitssphäre könnte man zum Beispiel auch die Abbildung u(x/r,y/r,z/r) auf der Sphäre vom Radius r nehmen, bekäme damit dasselbe Bild und, wie man nachrechnen kann, auch dieselbe Willmore-Energie.) -Suhagja (Diskussion) 18:13, 25. Sep. 2012 (CEST)

text: Wieso muss denn \Sigma eine Sphäre sein? Das sollte doch so auch gehen und dem "richtigen" dA geht's ja. Mir geht es, wie gesagt, nur um die korrekte Notation und Bezeichnung, wie ich W ausrechnen müsste weiß ich glaub ich. Jetzt sagt du selbst dA = sin y dx dy ist das Flächenelement auf der Sphäre also auf u(\Sigma), nur eben ausgedrückt in Koordinaten x,y aus \Sigma. Dann kann man aber doch nicht \int_{\Sigma} H^2 dA schreiben, weil dann dA das Flächenelement auf \Sigma wäre. -- HilberTraum (Diskussion) 19:53, 25. Sep. 2012 (CEST)

text: Ok, du bist hartnäckig, aber ich auch :-) Gut, dann ist jetzt \Sigma die Einheitssphäre in \R^3 mit der Gleichung x^2+y^2+z^2=1. Neues Rechenbeispiel: Die Einbettung "bläst" die Kugel auf den doppelten Radius auf, also u: \Sigma \to \R^3, u(x,y,z) = (2x,2y,2z). Die eingebettete Kugel mit Radius 2 hat überall die mittlere Krümmung \tfrac{1}{2}, das ergibt W = \int_{\Sigma} \tfrac{1}{4} dA = \tfrac{1}{4} \int_{\Sigma} dA = \tfrac{1}{4} 4\pi = \pi <4\pi, wenn dA das Flächenelement auf \Sigma wäre. -- HilberTraum (Diskussion) 08:35, 26. Sep. 2012 (CEST)

text: Kein Problem, ich hab selbst auch noch viel dabei gelernt. Nun müsste aber noch mehr im Artikel daran angepasst werden, weil jetzt H und K auf u(\Sigma) definiert sein müssten. Ich fänd's ja besser, wenn man sich erstmal nur wie im englischen Artikel :en:Willmore energy auf den Fall einer Fläche S im \R^3 beschränken würde, und die ganzen differentialgeometrischen Verallgemeinerungen und Feinheiten mit Immersionen, Einbettungen und Flächen mit Selbstschnitten dann in einem eigenen Abschnitt ansprechen würde. -- HilberTraum (Diskussion) 15:17, 26. Sep. 2012 (CEST)
replies: text:  Stimmt schon, es ist wohl besser, zuerst mal nur Einbettungen zu diskutieren. --Suhagja (Diskussion) 16:35, 26. Sep. 2012 (CEST)
thread_title:  Sphäre 

message: Willmore Flächen (minimieren Willmore Energie) sollten vielleicht noch erwähnt werden und Anwendungen (Zellmembran, laut engl. wiki).--Claude J (Diskussion) 22:26, 24. Sep. 2012 (CEST)
thread_title:  Willmore Flächen