Diskussion:Satz des Euklid

message: Euklids Beweis ist kein Widerspruchsbeweis. Es ist ein ziemlicher Anachronismus, Euklid solche Gedanken zu "Endlichkeit" und "Unendlichkeit" unterzuschieben. 
Behauptung: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Menge von Primzahlen
Beweis: Man hat eine vorgelegte Menge von Primzahlen p1, p2, .., pr 
Dann hat die Zahl p1 * p2 * ... * pr + 1 keine der Primzahlen p1 bis pr als Teiler. Also gibt es eine weitere Primzahl q.e.d. 
Die Annahme "Es gibt eine endliche Menge von Primzahlen" ist für die Behauptung und den Beweis völlig überflüssig und wurde von Euklid nicht benutzt. Daher ist es auch kein Widerspruchsbeweis. Euklid hat weder in dem Satz noch im Beweis die Begriffe endlich und unendlich benutzt (wie auch ?) Ich würde den Abschnitt gern ändern. UlrSchimke 00:40, 20. Feb 2006 (CET)
replies: text: Die Bezeichnung "Widerspruchsbeweis" ist ja ohnehin kaum zu fassen, wenn man da nicht etwas unterschieben will, das gar nicht gemeint ist, wie z.B. ein Beweis, der ohne das Prinzip des tertium non datur nicht funktioniert oder so.--Gunther 00:50, 20. Feb 2006 (CET)
replies: text:  Ich habe jetzt nochmal nachgelesen. Im Beweis selber wird doch ein Widerspruchsargument benutzt, aber "endlich" und "unendlich" nicht. Ich habe den Beweis jetzt ergänzt UlrSchimke 00:18, 28. Feb 2006 (CET)
thread_title:  Widerspruchsbeweis ? 

message: Du hast recht, "Beispiele" gefällt mir auch nicht so recht
zumindest würd ich etwas anders formulieren. Ich wüde nicht:
    * Angenommen, 2, 3, 5, 7 und 11 seien die einzigen Primzahlen. Dann berechnet man 2311 = weitere Primzahl.
schreiben, sondern das Beispiel mehr wie Euklid ausführen, wenn er schreibt:
„Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.“.
Man lege sodann { 2, 3, 5, 7, 11 } als Menge von Primzahlen vor und berechne
daraus 2311. Man erhält eine neue Primzahl, die nicht in der vorgelegten Anzahl
von Primzahlen enthalten ist. Man erspart sich auf diese Weise auch das Widerspruchsargument.
Offen gestanden, gefällt mir die Formulierung "Angenommen, X und Y seien die einzigen Primzahlen"
überhaupt nicht.
: Naja, bei Widerspruchsbeweisen muss man nun einmal falsche Annahmen treffen. Aber ansonsten Zustimmung.--Gunther 10:36, 22. Apr 2006 (CEST)
replies: text: Wie wäre es denn mit "Angenommen, X und Y seien alle Primzahlen" --Arbol01 11:44, 22. Apr 2006 (CEST)

text: Oh doch! Es läßt sich mit jeder endlichen Menge an Primzahlen zeigen, daß weitere, noch unbekannte Primzahlen existieren müssen. --Arbol01 02:00, 23. Apr 2006 (CEST)

text: Ausserdem wird der Satz von Euklid erst durch Beispiele für viele Leute verständlich. --Arbol01 02:02, 23. Apr 2006 (CEST)

text: @Squizzz: Der Beweis hat durchaus eine konstruktive Komponente, die man an einem Beispiel illustrieren kann. Manche andere Beweise der Unendlichkeit der Menge der Primzahlen liefern kein Verfahren, um aus einer endlichen Menge weitere Primzahlen zu gewinnen.--Gunther 02:15, 23. Apr 2006 (CEST)
thread_title:  Beispiele 

message: Wie wäre es, statt "Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Dies ist gleichwertig zu der Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen gibt." als Einleitung "Der Satz von Euklid besagt, dass jede endliche Menge von Primzahlen unvollständig ist." zu Verwenden? --Arbol01 13:41, 23. Apr 2006 (CEST)
replies: text: Auf jeden Fall sollte das mit der größten Primzahl raus, davon ist ja nirgends die Rede. Aber ich denke schon, dass "dass es unendlich viele Primzahlen gibt" eine zulässige Modernisierung von Euklids Aussage darstellt. Wie er es formuliert hat, steht ja gleich danach.--Gunther 13:44, 23. Apr 2006 (CEST)
replies: text: Sorry, das war auch nicht meine Absicht. Also "Der Satz von Euklid besagt, dass jede endliche Menge von Primzahlen unvollständig ist." statt "Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt." --Arbol01 13:46, 23. Apr 2006 (CEST)
replies: text:  Das Problem dabei ist halt, dass "unvollständig" weder Fachsprache noch wirklich allgemeinverständlich ist. Ich denke, dass "Der Satz von Euklid besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt." als Einleitung völlig ausreichend ist, zusammen mit dem jetzigen zweiten Absatz.--Gunther 13:49, 23. Apr 2006 (CEST)
replies: text: Auch gut! Ich kann die Bedenken bezüglich des unvollständig nachvollziehen. --Arbol01 13:53, 23. Apr 2006 (CEST)

text: Ich stimme der von Gunther vorgeschlagenen Einleitung zu. Insbesondere für unbedarfte Leser ist die Aussage in Bezug auf die Unendlichkeit der Primzahlen das was sie wohl interessiert. --Squizzz 17:59, 23. Apr 2006 (CEST)
thread_title:  Einleitungssatz 

message: Ist die Aussage "Es sei m die kleinste Zahl, die von allen diesen Zahlen geteilt wird." äquivalent zu der Formulierung, dass "m das Produkt aller (endlich vielen) Primzahlen ist"?! Grüße --WissensDürster 14:09, 18. Feb. 2009 (CET)
replies: text: Nein. Nehmen wir die 18 als Beispiel. Es gilt: T(18)={1; 2; 3; 6; 9; 18}. Ich glaube, das Produkt der Teiler wird etwas größer als 18 - auch wenn es sich nicht bloß um Primzahlen handelt. :-) Es gibt doch dumme Fragen! (nicht signierter Beitrag von 93.129.62.101 (Diskussion) 17:45, 29. Jul 2010 (CEST)

text: Dominik, bis zu der von mir gesetzten Zäsur stimmt - wenn du auch manches etwas unglücklich ausgedrückt hast - alles so weit. Dann wird es wirr und unverständlich.(nicht signierter Beitrag von 93.129.62.101 (Diskussion) 17:45, 29. Jul 2010 (CEST)
thread_title:  Aussagenlogische Äquivalenz  

message: Meines Erachtens könnte man die Verständlichkeit des Beweises erhöhen, indem man Kleinigkeiten einfügt:
* m = q * l (laut Definition von m)
* außerdem k > l
Ich persönlich habe mich mit der Erklärung in der englischen Wikipedia leichter getan. Außerdem fand ich das hier gut verständlich: http://matheguru.com/allgemein/196-beweis-dass-es-unendliche-viele-primzahlen-gibt.html
--S3rvus (Diskussion) 23:58, 20. Dez. 2015 (CET)
thread_title:  Optimierung der Beweis-Verständlichkeit 

message: Hallo,
was bedeutet \Q \pi^{2k} im Abschnitt Über die Transzendenz der Kreiszahl? --Christian1985 (Disk) 15:17, 25. Dez. 2020 (CET)
replies: text: \Q\pi^{2k} := \{q\cdot\pi^{2k} \mid q\in\Q \and k\in\N\} ist die Menge aller rationalen Vielfachen der Potenzen von \pi^2 mit (hier) natürlichem Exponenten.Allgemeiner ist x\in\Q r gleichwertig mit x/r\in\Q. 91.118.242.246 16:47, 25. Dez. 2020 (CET)
replies: text: Danke! --Christian1985 (Disk) 17:27, 25. Dez. 2020 (CET)
thread_title:  Über die Transzendenz der Kreiszahl 

message: Mir kommt das Lemma etwas holprig vor. Ich habe den Satz noch als „Satz des Euklid“ kennengelernt, so, wie es sich auch unter Weblinks im Video findet. Gruß, --Hans-Jürgen Hübner (Diskussion) 09:32, 30. Dez. 2020 (CET)
replies: text: Hallo Hans-Jürgen Hübner, ich kann das Lemma auch zu Satz des Euklid verschieben. Ich glaube, es geht beides, aber ich denke ich finde dein Anliegen sehr berechtigt. Es heißt ja auch Satz des Pythagoras und nicht Satz von Pythagoras. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 11:40, 30. Dez. 2020 (CET)
replies: text: Vielen Dank und ebensolche Grüße, --Hans-Jürgen Hübner (Diskussion) 15:31, 30. Dez. 2020 (CET)
thread_title:  Laienfrage 

message: Der Satz des Euklid, manchmal auch Satz von Euklid, ist ein Lehrsatz aus der elementaren Zahlentheorie und besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Benannt ist er nach Euklid von Alexandria, der ihn als erster im dritten Jahrhundert v. Chr. in seinen Elementen bewies. Jedoch kannten die Mathematiker der Antike das Konzept der Unendlichkeit noch nicht. Euklid selbst formulierte den Satz daher wie folgt: „Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen“.
Nach einigen Überarbeitungen des Artikels über dieses überaus schöne Resultat stelle ich den Artikel zur Kandidatur. Ich möchte mich auch bei Petrus3743 für die Erstellung eines Bildes zur Veranschaulichung des Euklidischen Beweises bedanken! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 18:28, 23. Dez. 2020 (CET)
replies: text: Gerne geschehen! Liebe Grüße Petrus3743 (Diskussion) 01:22, 5. Jan. 2021 (CET)

text: Darf auch etwas Kritik sein? Einige Einzelnachweise haben keine Jahreszahlen, das habe ich besonders dort vermisst, wo es um die Reihenfolge der Beweise geht. --Dioskorides (Diskussion) 15:29, 1. Jan. 2021 (CET)
thread_title:  KALP-Kandidatur vom 23. Dezember 2020 bis 14. Januar 2021 (Ergebnis: exzellent) 

message: Die Formulierung
"Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik zerfallen alle natürlichen Zahlen größer als 1 eindeutig in Primfaktoren." 
erscheint mir etwas seltsam. Wäre 
"Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik können alle natürlichen Zahlen größer als 1 eindeutig in Primfaktoren zerlegt werden." 
nicht besser? Ich möchte hier nicht reinmurksen, da ich kein Mathematiker bin, aber vielleicht könnte das ein Experte kurz kommentieren. Vielen Dank. --Vorruheständler (Diskussion) 09:23, 14. Mär. 2022 (CET)
replies: text: +1 Ist m. E. eine bessere Formulierung, man sagt ja auch „in Primfaktoren zerlegen“. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 09:37, 14. Mär. 2022 (CET)
replies: text: Danke für Deine Meinung. Dann ändere ich das mal. --Vorruheständler (Diskussion) 13:47, 14. Mär. 2022 (CET)
thread_title:  Zerfallende natürliche Zahlen? 

message: Im Abschnitt mit der Originalformulierung ist das schließende ὅπερ ἔδει δεῖξαι (was zu beweisen war) in der Übersetzung nicht wiedergegeben. Soll das so? --Chirlu (Diskussion) 12:05, 14. Mär. 2022 (CET)
replies: text: Völlig richtig, danke, habe es aufgenommen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion)  16:44, 14. Mär. 2022 (CET)
thread_title:  Q.e.d. 

message: Zunächst einmal finde auch ich diesen Artikel sehr schön zu lesen! Gratulation, Eure Exzellenz! 
Ich möchte mich dennoch noch einmal zur Frage der äußern, ob es denn nun ein Widerspruchsbeweis sei oder nicht. Und dabei meine ich nicht den Gedankenschritt, der schon in #Beweis_ist_KEIN_indirekter_Beweis angesprochen wurde. 
Es ist großartig, wie Euklid (was für ein Kopf!) genau formuliert, was er beweist: Zu einer vorgegebenen Menge von Primzahlen lässt sich eine weitere Primzahl finden, die in ihr nicht enthalten ist. Genau das beweist er und benutzt dabei natürlich, dass diese Menge endlich ist, andernfalls könnte man das Produkt ihrer Elemente nicht bilden. Er führt es freilich nur mit drei Elementen vor. 
Euklid zeigt also: Jede endliche Menge von Primzahlen kann nicht alle Primzahlen enthalten. Oder: Wenn eine List von Primzahlen endlich ist, dann ist sie keine vollständige Liste aller Primzahlen.  
Die Kontraposition dieser Aussage ist: "Wenn eine Liste von Primzahlen vollständig ist, dann ist sie nicht endlich." Mit anderen Worten: Will man formulieren und beweisen: "Die Menge der Primzahlen ist nicht endlich", so wird man die Argumentation kontraponieren müssen -- und damit zu einem indirekten Beweis kommen. Tatsächlich zeigt Euklid  ja nicht, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (er legt uns ja keine vollständige Liste vor, der man ihre Unendlichkeit ansieht), sondern zeigt nur, dass jede endliche Liste unfertig ist, weil sich eine darin fehlende Primzahl finden lässt. In dieser Konstruktion zeigt sich zugleich die "Indirektheit". Es kommt also darauf an, wie die Behauptung formuliert ist. Daher resultiert auch, dass in der Literatur häufig formuliert wird, dass Euklid die Unendlichkeit der Primzahlen indirekt bewiesen habe. Das würde ich nicht als eine fälschliche Behauptung hinstellen (wie in der Einleitung derzeit geschehen). Genauer wäre es natürlich zu sagen, dass Euklid gezeigt hat, dass jede endliche Menge von Primzahlen nicht alle Primzahlen enthält. 
Es ist also m.E. müßig darüber lange zu streiten, ob der Beweis denn indirekt sei oder nicht. Es tut ihm und seiner Genialität keinen Abbruch. Zugleich sollte man aber auch nicht formulieren, dass Tom Apostol "trotz" des konstruktiven Charakters von Euklids Beweis einen Widerspruchsbeweis führt. Das klingt fast so, als hätte Herr Apostol die Sache nicht gründlich verstanden und hier überflüssigerweise einen indirekten Beweis geführt ... :-) 
Mit anderen Worten: Der "Widerspruch" zwischen dem konstruktiven Charakter des euklidischen Beweises und der quasi-destruktiven Charakter eines Widerspruchbeweises ist nur ein Scheingegensatz. 
Mein Vorschlag: Bitte den scheinbaren Widerspruch (im Sinne von Gegensätzlichkeit) zwischen Widerspruchsbeweis und Euklids Konstruktion beseitigen. Keine Sorge: Es ginge dadurch weder Information noch Würdigung der großen Verdienste Euklids verloren. Im Gegenteil. --
Ich würde es ja auch selbst machen, aber ich scheue mich davor, einen ausgezeichneten, exzellenten Artikel zu verändern. Es dürfte dafür besondere Regularien geben, oder? 
Filomusa (Diskussion) 19:58, 15. Mär. 2022 (CET)
thread_title:  Frage "indirekt oder nicht?" revisited