Diskussion:Metrischer Raum

message: Übertrag aus Diskussion:Metriken im Vektorraum. --Quartl 18:23, 24. Feb. 2012 (CET)
replies: text: We consider the infinite dimensional complete metric space R∞ with the product topology and Frechet metric d(x,y)=sum 2-n min{1,|yn- xn|}, which is a natural infinite dimensional extension of the n-dimensional Euclidian spaces.
Dies passt mMn nicht zur Definition der Frechet-Metrik in metrischer Raum, sondern zur in diesem Artikel gegebenen Definition d(x,y) = p(x-y). --SirJective 18:53, 17. Apr 2004 (CEST)
thread_title:  Fréchet-Metrik 

message: Das Axiom (i) ist unnötig und sollte daher weggelassen werden.
[01:27 12. Mai 2004]
Danke. Die aktuelle Fassung enthält nun hoffentlich alle und nur alle nötigen Axiome. -- Weialawaga 13:23, 12. Mai 2004 (CEST)
replies: text: Die Entfernung von d(x,y)>=0 als Axiom ist zwar richtig, da diese Bedingung aber in vielen Texten explizit oder implizit (durch d:X x X -> R+) gefordert wird, hab ich sie etwas deutlicher hervorgehoben. --SirJective 18:26, 13. Mai 2004 (CEST)
replies: text: Habe sie mal wieder entfernt und als Folgerung eingebunden --84.60.127.181 17:43, 12. Feb. 2010 (CET)
thread_title:  Axiom (i) 

message: Hallo zusammen ! Einige Anmerkungen/Fragen/Anregungen :
In wie weit ist die Minkowski-Metrik diag( -c, 1,1,1 ) positiv definit ??
:Antwort (siehe auch Änderung im Artikel): sie ist definit, solange man bei ihrer Anwendung die fundamentale Unterscheidung von zeit- und ortsabhängigen Abständen berücksichtigt. Müsste im Artikel Minkowski-Raum genauer erklärt werden. -- Weialawaga 12:02, 21. Mai 2004 (CEST)
replies: text: Dann ist diese Metrik aber nicht auf 
javascript:insertTags(,,'\RR \times \RR^3');
definiert. 
Damit finde ich das Beispiel nicht sehr gut. Im Artikel über den
Minkowski-Raum wird die Metrik auch als indefinit (wie auch ich das sehe)
bezeichnet. Konsequenterweise würde ich dieses Beispiel an dieser Stelle
nicht bringen !
javascript:insertTags('--Ed der gar 16:52, 21. Mai 2004 (CEST)
replies: text: Vorschlag: Minkowski-Raum drin lassen, weil für eine wichtige Gruppe von Mathematikanwendern wichtig; Metrik als uneigentlich bezeichnen. Weialawaga 17:57, 21. Mai 2004 (CEST)

text: Siehe Diskussion:Hierarchie mathematischer Strukturen -- Weialawaga 12:02, 21. Mai 2004 (CEST)

text: Da ist doch kein Unterschied. Viele Gruesse --DaTroll 15:55, 21. Apr 2005 (CEST)
thread_title:  Anmerkungen 

message: Hallo,
da ist wohl doch etwas schiefgelaufen, weil nun 4 Axiome dastehen, aber unten erwähnt wird, das eines davon überflüssig ist. Der Artikel ist damit widersprüchlich und ich bin selbst verwirrt, was nun gelten soll.
: Aus (ii)-(iv) folgt
:: d(x,y)=\frac12(d(x,y)+d(y,x))\geq d(x,x)=0,
: aber deshalb (i) wegzulassen fände ich ziemlich albern.--Gunther 18:41, 20. Jun 2005 (CEST)
thread_title:  d(x,y)>=0 überflüssig? 

message: Ich habe (anstelle des Redircts auf diesen Artikelhier) einen Artikel zum Lemma „Metrisierbar“ angefangen (noch ein stub). Was er IMHO soll, geht aus dem einleitenden Abschnitt hervor: Eher Übersicht und Linkscharnier bieten, als in Details gehen. Wäre für rege Mitarbeit dankbar (zum Beispiel kann ich aus meiner Quelle wenig „übliche Satznamen“ beitragen). --KleinKlio 11:39, 15. Okt. 2006 (CEST)
thread_title:  [[Metrisierbar]] als stub 

message: Der Satz, Zitat:
„Metrische Tensoren, die nicht positiv definit sind, werden nur unregelmäßig explizit als pseudometrisch bezeichnet. Ein Beispiel ist der (pseudo)metrische Tensor diag(-1,1,1,1) des Minkowski-Raums.
“
ist mir nicht ganz klar. 
# Müsste es nicht „die nicht positive semidefinit sind“ heißen?
# Soll „unregelmäßig“ hier „in der Literatur selten“ oder „entgegen der ansonsten (für pseudo-) geltenden Regeln“ heißen?
Klarstellung durch Relativitätstheoretiker wäre schön.--KleinKlio 09:10, 4. Nov. 2006 (CET)
thread_title:  Metrischer Tensor 

message: Wer weiss die Mehrzahl von Metrik? Merci.
: Metriken ist üblich (alle Fälle identisch), damit inzwischen korrekt. Normsprachlich lassen die von griechischen Adjektiven abgeleiteten deutschen Hauptwörter (Mathematik, Physik, Musik, Technik,...) keine Pluralbildung zu. Sie wurden ursprünglich vom giechischen Neutrum Plural oder von Zusammensetzungen z. B. mit techne (Kunst) abgeleitet. Da man Technik in den Plural setzen kann (allerdings mit Bedeutungseinschränkung, Lebensmitteltechniken gibt es nicht), dürfte es auch bei Metrik einem etwas jüngeren Sprachgefühl als meinem nicht widersprechen. --KleinKlio 19:07, 14. Dez. 2006 (CET)
thread_title:  Metrik 

message: Schreibt man so ... ii  vii ... römische Zahlen? Hat WIKI da nichts bessres zu bieten?
--Kölscher Pitter 17:42, 20. Feb. 2007 (CET)
thread_title:  Römische Zahlen 

message: Gibts eine alternative Notation für Metriken? Im Artikel Ungleichungen in Vierecken wird d nämlich außerdem für eine der Vierecksseiten verwendet, was doch ziemlich verwirrend ist, wie ich finde. --RokerHRO 14:43, 3. Aug. 2007 (CEST)
thread_title:  Alternative Notation? 

message: Im Abschnitt "Beispile: durch Normen induzierte Metriken" steht etwas von einer "uneigentlichen Metrik des Minkowski-Raumes", der Begriff einer uneigentlichen Metrik wird aber nicht erklärt.
Ist mir deshalb aufgefallen weil ich mein ein wenig wunderte, ich dachte eigentlich bisher, dass die Minkowski-Metrik auch "negative" Abstände zulässt, eben wenn sie Raumartig sind... Und ich mag mich irren, aber kann man die beiden genannten Formeln für Abstände nicht mit Betragsstrichen unter der Wurzel zusammenfassen? --Axel Wagner 01:15, 5. Aug. 2007 (CEST)
thread_title:  Uneigentliche Metrik 

message: Ich weiß nicht, ob ich es überlesen habe, aber ich vermisse ein Beispiel für einen Nicht-metrischen Raum (wenn es sowas gibt). --maststef 09:17, 21. Jan. 2008 (CET)
replies: text: Würdest Du auch in dem Artikel zu den Spinnentieren ein Beispiel für eine Nicht-Spinne vermissen? Ich fände das irgendwie unpassend. Das hier könnte allerdings Deine Neugier befriedigen: Metrisierbarkeit --Drizzd 19:00, 16. Jun. 2008 (CEST)
thread_title:  Beispiel für einen nicht metrischen Raum? 

message: Müsste es bei der Formalen Definition anstelle von 
d\colon X\times X\to \mathbb{R} nicht 
d\colon X\times X\to [0,\infty[ heißen?
:Dies ist nicht notwendig, denn aus 0 = d(x,x) <= d(x,y) + d(y,x) = d(x,y) + d(x,y) = 2d(x,y) folgt d(x,y)>=0. Andim 23:21, 14. Aug. 2008 (CEST)
thread_title:  Frage zur Definition 

message: In der Definition der Metrik steht in Klammern (identische Punkte haben Abstand 0) und (Punkte mit Abstand 0 sind identisch, nicht-identische können nicht Abstand 0 haben.)
Das sollte entfernt werden weil es suggeriert, Metriken wären Abstände. Abstände sind Metriken aber das wars auch. (nicht signierter Beitrag von 91.17.173.115 (Diskussion | Beiträge) 09:59, 1. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Verstehe ich nicht: Metriken haben genau die Funktion, einen Abstand zu messen? --P. Birken 16:09, 1. Jun. 2009 (CEST)
thread_title:  Abstand !? 

message: Gerade bei der Metrik sind die Definitionen ja ganz schön weit auseinander von Buch zu Buch. Ich bin jetzt auf eine sehr schöne Definition in "Funktionalanalysis" von Siegfried Großmann, 4. Auflage gestoßen, die nur mit
1. d(f,g)=0 \Leftrightarrow f=g und 
2.d(f,g) \leq d(f,h)+d(g,h)
auskommt und daraus die Symmetrie und schließlich die positive semidefinitheit folgert und zwar so:
Ausgegangen von der Dreiecksungleichung setzt man
f=g \Rightarrow 0 \leq 2d(f,h)
dann wird darin f=h gesetzt also
f=h \Rightarrow d(f,g) \leq d(g,f)
zweimaliges anwenden liefert
d(f,g) \leq d(g,f) \leq d(f,g) \Leftrightarrow d(f,g)=d(g,f)
Als kürzeste ist diese Definition damit die wie ich finde beste und solange niemand einen Einwand dagegen hat würde ich das darum gern umschreiben.
L.G., giles (nicht signierter Beitrag von 90.153.112.242 (Diskussion | Beiträge) 21:21, 21. Jul 2009 (CEST)
replies: text: Wir wollen nicht "die beste", sondern die uebliche Definition verwenden. --P. Birken 02:49, 22. Jul. 2009 (CEST)
replies: text: Genau das ist zur Zeit aber nicht der Fall.... Schönen Gruß --DownAnUp 19:22, 1. Mai 2010 (CEST)
thread_title:  Metrikdefinition 

message: Unterhalb der Axiome (i)-(iii) steht der Nachsatz, dass bei Vektorräumen, die Forderung d(x,y) >= 0 entfallen könnte und danach folgt eine Ungleichungskette zwecks Beweis. Wo in dieser Ungleichungskette wird irgendeine Eingeschaft eines Vektorraums genutzt? Meiner Meinung nach nirgends. Und ich kenne, die Axiome auch in einer Form, die d(x,y) >= 0 nicht fordert, sondern genauso wie in der Ungleichung folgert und zwar für beliebige Räume. d(x,y) >= 0 wird meistens nur der deutlichkeithalber als Axiom aufgenommen bzw. es werden erst Pseudometriken definiert und die Definitheit weggelassen, wodurch d(x,y) >= 0 als Axiom notwendig ist und in einem zweiten Schritt die Definitheit gefordert, um aus einer Pseudometrik eine Metrik zu machen.
Ich würde daher in dem Satz "für Vektorräume" weglassen, weil es so klingt, als würde es für andere Räume nicht gelten. Sondern stattdessen schreiben: "Obige Axiome sind nicht minimal, weil die Bedingung d(x,y) >= 0" auch aus den übrigen Axiomen mit ... gefolgert werden kann".
Matthias (nicht signierter Beitrag von 188.99.225.121 (Diskussion) 10:34, 21. Nov. 2011 (CET)
replies: text: In Literatur wird normalerweise die Forderung d(x,y)>=0 bzw. d:X\times X\to\mathbb{R}^+_0 formuliert. Da das die gängige Formulierung ist, sollte sie so auch in der Definition stehen. (Was sie aktuell ja auch tut.) Allerdings ist das Axiomensystem so nicht minimal gewählt und wie du schon richtig erkannt hast, ist die Nicht-Negativität redundant. Daher halte ich es für wichtig, darauf hinzuweisen, dass die Nicht-Negativität redundant ist und man auch auf sie verzichten könnte, ohne die Eigenschaften der Metrik-Definition zu ändern. --Eulenspiegel1 11:04, 9. Dez. 2011 (CET)
replies: text: Du schreibst "Daher", gibst aber in Wirklichkeit keinen Grund an. Wichtig für was oder wen? --I217 11:32, 9. Dez. 2011 (CET)
replies: text: Wichtig für den Leser des Artikels. Wichtig für die Personen, die überprüfen wollen, ob eine gegebene Funktion nun eine Metrik ist oder nicht. Wichtig für diejenigen, die woanders mal eine Metrik-Definition gelesen haben und nun unsicher sind, ob diese beiden Definitionen äquivalent sind oder nicht. --Eulenspiegel1 11:47, 9. Dez. 2011 (CET)
replies: text: Überprüfen der Nichtnegativität ist nicht das Problem. Für das letzte Argument ist die Frage: ist die verkürzte Definition üblich ("nicht nur von einem Professor und dessen drei Assistenten")? --I217 12:04, 9. Dez. 2011 (CET)
replies: text: Das ist vielleicht kein Problem, aber man erspart sich dennoch einen Arbeitsschritt. Und ja, zum Beispiel definiert der Forster (Analysis 2) gleich auf Seite 1 im Kapitel "Topologie metrischer Räume" die Metrik ohne diese Zusatzbedingung. Und der Forster ist an einigen Unis Standardlektüre. --Eulenspiegel1 12:27, 9. Dez. 2011 (CET)
replies: text: Triviale Arbeitsschritte darf man ab dem zweiten Semester weglassen. Ich habe den Hinweis wieder eingefügt. Die Rechnung habe ich weggelassen, sie lenkt nur ab, und für sie hast du auch keine Argumente vorgebracht. --I217 12:53, 9. Dez. 2011 (CET)
thread_title:  Formale Definition (Vektorraum) 

message: Die Metrik d(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|\, soll sein "ein Beispiel dafür, dass Vollständigkeit kein topologischer Begriff ist".
#In Uniformer Raum#Topologie uniformer Räume steht richtig "Es ist möglich, dass verschiedene uniforme Strukturen dieselbe Topologie auf X erzeugen."
#Ferner in Uniformer Raum#Vollständigkeit ebenso richtig "Wie bei metrischen Räumen hat jeder uniforme Raum eine Vervollständigung".
Frage: Ist damit Vollständigkeit ein sog. uniformer Begriff ?
Ganz am Anfang von Uniformer Raum steht aber m.E. auch wieder zu Recht:
*"Uniforme Räume sind im Teilgebiet Topologie der Mathematik Verallgemeinerungen von metrischen Räumen."
Vorschlag: Ich würde gerne die Aussage, "dass Vollständigkeit kein topologischer Begriff ist" streichen. Es genügt m.E. zu erwähnen: "Es ist möglich, dass verschiedene metrische Strukturen dieselbe Topologie erzeugen." -- Nomen4Omen 11:17, 20. Jan. 2012 (CET)
replies: text: Die Formulierung "ist kein topologischer Begriff" meint: "ist keine Eigenschaft des topologischen Raums" bzw. genauer: die Eigenschaft lässt sich nicht so definieren, dass sie invariant ist unter Homöomorphismen. Um von Vollständigkeit zu reden braucht man immer eine zusätzliche Struktur, wie eben eine Metrik oder allgemeiner eine uniforme Struktur. Vielleicht kann man die Aussage ja besser formulieren. --Digamma 22:11, 21. Jan. 2012 (CET)
thread_title:  [[Metrischer Raum#Nicht durch Normen erzeugte Metriken|Nicht durch Normen erzeugte Metriken]] 

message: Im Artikel:
:Der Begriff „topologischer Raum“ verallgemeinert den Begriff „metrischer Raum“: Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird (siehe dazu Umgebung). Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.
:Ein topologischer Raum heißt metrisierbar, wenn er zu einem metrischen Raum homöomorph ist. Damit ist ein topologischer Raum (X,T) metrisierbar, wenn eine Metrik d auf X existiert, welche die Topologie T induziert.
Das ist ein bisschen dünn. Insbesondere wird überhaupt nicht erklärt, wie durch die Metrik eine topologische Struktur induziert wird. Der Verweis auf Umgebung ist m.E. nicht ausreichend. Es wäre meiner Meinung nach sogar wünschenswert, wenn wichtige Topologische Begriffe (offene Mengen, Umgebung, Stetigkeit, gleichmäßig stetig, Lipschitz-stetig) für den Fall des metrischen Raums erklärt würden. Ich finde das deshalb wichtig, weil in der Analysis topologische Begriffe sehr oft nur für metrische Räume erklärt und benutzt werden. 
In der gegenwärtigen Form ist das eigentlich kein Artikel zum Thema "Metrischer Raum", sondern zum Thema "Metrik". --Digamma (Diskussion) 10:54, 10. Jun. 2012 (CEST)
replies: text: Eine Aufteilung in zwei Artikel Metrik (Mathematik) und Metrischer Raum würde ich auch begrüßen, siehe Portal:Mathematik/Qualitätssicherung#Themenkomplex Topologie, und ich übernehme auch gerne einen Teil der Arbeit, das wird aber bei meinen derzeitigen Baustellen im Bereich Skalarprodukt/Norm noch etwas dauern. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:28, 10. Jun. 2012 (CEST)
thread_title:  Topologie 

message: Hallo,
Eine der Bedingung, damit eine Metrik vorliegt, ist die positive Definitheit. Aber in einem Minkowski-Raum kann die Metrik doch auch negative Ergebnisse ausspucken, wenn es sich um sog. raumartige Vektoren handelt. Warum heißt es dann Metrik, wenn es nicht der Definition entspricht? Wie löst man den Widerspruch (hier im Artikel)? --85.179.149.22 01:13, 14. Jul. 2013 (CEST)
replies: text: Es gibt zwei verschiedene Begriffe von "Metrik". Die Metrik eines metrischen Raums misst den Abstand zweier Punkte. Deine Minkowski-Metrik misst die Länge eines Vierervektors. Diese kann auch negativ sein. Die zwei Begriffe haben im Wesentlichen nichts miteinander zu tun. --Digamma (Diskussion) 14:10, 14. Jul. 2013 (CEST)
thread_title:  Minkowski und positive Definitheit 

message: Ich fand die Reihenfolge vor dieser Bearbeitung durch Benutzer:UvM besser. Dies ist ja kein mathematischer Fachtext, in dem die Begriffe in ihrer logischen Reihenfolge auftauchen sollten, sonden ein Wikipedia-Artikel. Und da sollte im ersten Satz das Lemma erläutert werden. Um die Logik klarer zu machen, könnte man ja schreiben:
:Unter einem metrischen Raum versteht man in der Mathematik eine Menge, auf der eine Metrik definiert ist. Dabei ist eine Metrik (auch Abstandsfunktion) eine Funktion, die je zwei Elementen (auch Punkte genannt) der Menge einen positiven reellen Wert zuordnet, der (unter dieser Metrik) als Abstand der beiden Punkte voneinander aufgefasst wird. 
::Imho ist der Grundbegriff eher Metrik, Metrischer Raum ist davon abgeleitet, und demnach sollte der Artikel eigentlich auf das Lemma Metrik verschoben werden. Aber ich kenne den überwiegenden Mathe-Sprachgebrauch nicht gut genug. Spricht man wirklich öfter von einem metrischen Raum als von einer Metrik? --UvM (Diskussion) 15:53, 31. Jan. 2021 (CET)
replies: text: Wir haben auch die zwei Artikel Norm (Mathematik) und Normierter Raum. Und die zwei Artikel Topologie (Mathematik) und Topologischer Raum. Von daher würde nichts dagegen sprechen, hier ebenfalls zwei Artikel anzulegen: Einen für "Metrik" und einen für "Metrischer Raum". --Eulenspiegel1 (Diskussion) 17:35, 31. Jan. 2021 (CET)
thread_title:  "Vernünftige Reihenfolge der Aussagen" 

message: hat Metrisches Einheitensystemdas]] was mit dem Thema zu tun? Es wird nicht erwähnt. --88.128.92.85 12:49, 25. Dez. 2023 (CET)
replies: text: Kurze Antwort: nein. Die einzige Gemeinsamkeit ist, dass beiden Bezeichnungen ein griechisches Wort mit der Bedeutung "messen" zugrunde liegt. --Digamma (Diskussion) 19:10, 25. Dez. 2023 (CET)
thread_title:  Metrisches System (1799)