Diskussion:Differentialform

message: Hm, irgendwie gefällt mir die Einführung der äußeren Ableitung nicht (und allgemein die Darstellung der Differentialformen als Multilinearformen auf dem Tangentialbündel, ich halte den Zugang über äußere Potenzen für natürlicher, egal), denn die äußere Ableitung über die Lie-Ableitung (ein roter Link!) einzuführen ist m.E. zumindest unverständlich ("... man kann definieren ..."), man sollte vllt. erwähnen, dass d:\Omega M \to \Omega M dadruch Charakterisiert ist, dass es das einzige Differential ist, dass auf Funktionen das gewöhnliche Differential ist und mit dem Keilprodukt verträglich ist .. -- 160.45.116.91 14:53, 21. Feb 2006 (CET)
replies: text: Äußere Potenzen von Vektorbündeln sind halt etwas technisch und mMn weniger anschaulich als Multilinearformen. Die Cartan-Formel ist leicht zu merken und liefert relativ direkt die explizite Formel für 1-Formen. Ja, teilweise verschiebt man damit die Schwierigkeiten in den ungeschriebenen Artikel Lie-Ableitung. Die "axiomatische" Einführung ist durch die Auflistung der Eigenschaften am Ende des Abschnittes ja schon angedeutet. Sei mutig.--Gunther 15:19, 21. Feb 2006 (CET)
thread_title:  Äußere Ableitung ... 

message: Habe Abschnitt * Operator und duale Form ergänzt da sie hierher passt und ich keinen eigenen Artikel dazu schreiben wollte. 
-- Claude J 14:23, 4. Apr. 2007 (CEST)
thread_title: Abschnitt duale Form

message: Multilinearformen sind über Vektorräumen definiert. Als Vektorräume fungieren hierbei die Vektorfelder über der Menge U. Die hier verwendete Definition der k-Formen impliziert dass die unendlich diff'baren Funktionen C^\infty(U) den zugrunde liegenden Körper jenes Vektorraumes bilden würden:
\omega(X_1,\ldots,f\cdot X_i,\ldots,X_k)=f\cdot\omega(X_1,\ldots,X_i,\ldots,X_k) für f\in C^\infty(U),1\leq i\leq k
Dies wird in dem Artikel als die kanonische zweite Eigenschaft der Multilinearformen präsentiert (Rein- und Rausziehen eines Skalars aus den Argumenten).
C^\infty(U) bildet mit der Addition und Multiplikation jedoch keinen Körper. Die Multilinearität ist also gar nicht anwendbar, somit ist die Definition fehlerhaft.
--RedZiz 13:25, 26. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Äußere Produkte sind über Vektorräumen definiert, Differentialformen über Mannigfaltigkeiten. Aber das ist Haarspalterei. Die Differentialformen bilden einen R-Vektorraum und eine Algebra über dem Ring der glatten Funktionen. Ich hab's mal in "punktweise multilinear" geändert.--LutzL 16:42, 26. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Wenn man Multilinearität auch über Ringen definiert, dann löst sich das Problem auf. Das war mir nicht klar, ich bin aber zufrieden mit der jetztigen Version. Gruß --RedZiz 18:17, 26. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Abschnitt Definition: Multilinearität der Differentialform 

message: Die explizite Formel für die äußere Ableitung ist irgendwie falsch.  Ich bin der Meinung, dass das "dx_{i_j}" mittendrin gestrichen gehört, habe aber gerade nicht die Zeit, das sorgfältig zu überprüfen. --Sven 14:17, 14. Okt. 2008 (CEST)
thread_title:  Koordinatendarstellung der äußeren Ableitung 

message: Hallöchen,
ich verstehe (wie des öfteren bei wikipedia) nicht, warum hier "Thesen" veröffentlicht werden ohne jeden Ansatz eines Beweises, in den meisten Fällen könnte ja zumindest über einen Verweis auf die entsprechende Fachliteratur Abhilfe geschaffen werden. Es genügt meiner Meinung für einen Mathematiker nicht zu sagen, dass diese Regeln etc. einfach gelten. Weiter unten im Artikel werden Literaturverweise gegeben, die aber nur teilweise die entsprechenden Beweise enthalten.
Find ich unschön und für viele ncht versierte unverständlich,
mfg
--DGA
: Es gibt in der Wikipedia unzählige Diskussionen zu dem Thema ob Beweise zu Sätzen angelegt werden sollen oder zumindest skizziert werden sollen. Das Resultat dieser Diskussionen ist, dass Wikipedia kein Beweisarchiv ist und Beweise nur dann angeführt werden sollen, wenn diese von besonderer Wichtigkeit sind oder ganz besonders elegant sind. Aus diesem Grund haben die meinsten Aussagen in der Wikipedia keinen Beweis. Welche Abschnitte auf dieser Seite sind denn nicht durch die Quellenangaben abgedeckt? --Christian1985 11:04, 27. Mai 2010 (CEST)
thread_title:  Thesen 

message: Im ersten Absatz steht:
Der darauffolgende Absatz beginnt mit "Also ist ...". Darauf folgt aber eine Definition, bei der eine Differentialform gerade nicht als Schnitt im angegebenen Bündel definiert wird, sondern als alternierende Abbildung, die k Vektorfeldern eine Funktion zuordnet, also eine Abbildung 
(\Gamma TU)^k \to C^\infty(U). So stand es auch früher mal im einleitenden Absatz. Warum wurde das geändert?
Die im einleitenden Absatz angekündigte Definition als Schnitt im Bündel \Lambda^k(T^*U) findet sich hingegen in der "Alternativen Definition". 
Kurzum: Irgendwie passt das nicht zusammen. -- Digamma 18:49, 14. Jul. 2010 (CEST)
replies: text: Ja warum wurde das geändert? Wahrscheinlich passiert sowas einfach, wenn mehrere Leute immer wieder kleinere Änderungen machen, ich will mich da auch nicht rausnehmen. Zumindest sollte man es wieder ändern. Welche ist denn Deiner Meinung nach die einfacher zu verstehende Definition? --Christian1985 23:38, 14. Jul. 2010 (CEST)
replies: text: Ich arbeite lieber punktweise. Das heißt, für mich ist eine Differentialform eine Abbildung, die jedem Punkt eine alternierende Multilinearform im Tangentialraum an diesem Punkt zuordnet. Ich bevorzuge also (im Wesentlichen) die zweite Definition. -- Digamma 08:53, 15. Jul. 2010 (CEST)
thread_title:  Definition 

message: Was ist jetzt eine Differentialform? Gruß--91.89.69.192 17:38, 27. Jun. 2012 (CEST)
thread_title:  Hab den Artikel ganz gelesen. 

message: Hallo! Und gibts da einfache Darstellungen von grad, div und rot in Differentialformen, so dass man sie wiedererkennt? -- Room 608 (Diskussion) 16:55, 20. Aug. 2014 (CEST)
replies: text: Das findest Du schon im Artikel Äußere Ableitung.--Christian1985 (Disk) 21:01, 20. Aug. 2014 (CEST)
replies: text: Danke, dort auch kein einfaches Produktbeispiel, macht aber nichts. -- Room 608 (Diskussion) 23:49, 20. Aug. 2014 (CEST)
thread_title:  Darstellung grad, etc. 

message: Hallo, Ihr Lieben!
Ich möchte mich nicht an dieser schrecklichen Diskussion beteiligen. Jedoch sollte, wenn im ersten Satz von Élie Joseph Cartan gesprochen wird, möglicherweise auch das Buch oder zumindest das seines Sohnes Henri Cartan aufgenommen werden. Beide haben im Team Bourbaki gearbeit. Ins Deutsche übersetzt ist es in BI Wissenschaftsverlag erschienen. Da es Banachräume verwendet, ist es koordinatenfrei geschrieben, wobei selbstverständlich auch auf die Koordinatendarstellung eingegangen wird. Übrings sind  Differentiale dx, dy, etc. nichts anderes als Synonyme für die Projektionen auf die erste, bzw. zweite Koordinate, deren Differential an einer Stelle wieder die Projektion ist (Linearform). 
Das Buch
Differentialformen
Henri Cartan
ISBN 3-411-01443-1
und
VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTQUES
N. BOURBAKI
ISBN 2-903684 10-3
1983
2 Bände
Kapitel 1-15
Tolle Bücher, jedoch für Anfänger schwer zu lesen. Aber glasklar!
Gert (nicht signierter Beitrag von 217.191.41.110 (Diskussion) 18:06, 6. Mai 2015 (CEST)
replies: text: Das Buch von Henri Cartan wurde inzwischen von Benutzer:Claude J eingefügt. --Digamma (Diskussion) 19:13, 6. Mai 2015 (CEST)

text: Das Original ist französisch, vgl. hier. Du hast aber einen englischen Titel angegeben. --Digamma (Diskussion) 19:20, 6. Mai 2015 (CEST)
thread_title:  Literatur 

message: Hallo LoRo,
bitte erkläre mir mal, was der Satz 
:"Davon abgesehen können die „pull-back“-Operationen von Differentialformen aber im Weiteren als „trivial“ bezeichnet werden."
bedeuten soll. Ich kann damit nichts anfangen. (Ich hätte "i.W." übrigens als "im Wesentlichen", nicht als "im Weiteren" verstanden). --Digamma (Diskussion) 20:12, 15. Dez. 2017 (CET)
replies: text: Ich habe nichst rückgängig gemacht. Ich hatte nur einen Satz gelöscht, der für mich unverständlich und sinnlos ist. --Digamma (Diskussion) 21:35, 15. Dez. 2017 (CET)

text: PS: Der Satz wurde (mit dieser Bearbeitung) vor 10 Jahren von einer IP eingefügt. --Digamma (Diskussion) 21:40, 15. Dez. 2017 (CET)

text: Was soll das? Ich verstehe nur Bahnhof. --Digamma (Diskussion) 22:00, 15. Dez. 2017 (CET)

text: Sag mal, was ist denn los? Kann man mit dir nicht ernsthaft reden? Und mit dem Ausdruck "barrierefreier Diskurs" kann ich auch nichts anfangen. --Digamma (Diskussion) 22:07, 15. Dez. 2017 (CET)

text: Langsam wird's surreal. --Digamma (Diskussion) 22:53, 15. Dez. 2017 (CET)

text: Wenn du nicht bereit bist, vernünftig zu diskutieren, soll ich eine WP:Vandalismusmeldung machen? --Digamma (Diskussion) 23:04, 15. Dez. 2017 (CET)

text: Ich probiers erst mal mit einer Dritten Meinung. --Digamma (Diskussion) 23:14, 15. Dez. 2017 (CET)
replies: text: 3M nicht zum Inhalt, aber zur Diskussionskultur: LoRo unterstellte hier anderen Editoren geistige Beschränktheit, wenn lediglich inhaltsorientierte, zivilisierte Diskussion gewünscht wurde. Die "Barrierefreiheit des Diskurses" wurde von LoRo begonnen. Das mag für LoRo sehr lustig gewesen sein, vielleicht in der irrigen Ansicht, Digamma sei ahnungslos und könnte mal vorgeführt werden. Aber so geht es nicht, das wäre sicher auch ein Fall für VM gewesen. Immerhin hat LoRo jetzt die von Digamma begründete und gewünschte Version hergestellt. Eine Entschuldigung an Digamma wäre noch zu erwarten. Grüße --Enyavar (Diskussion) 10:55, 16. Dez. 2017 (CET)
replies: text: "Trivial" ist ein relativer Begriff und sollte vorsichtig verwendet werden. Da die Konstruktion relativ abstrakt ist wäre ein Verweis auf ein Beispiel möglich, ein relativ einfaches findet sich am Schluss in "Rechenbeispiele".--Claude J (Diskussion) 11:53, 16. Dez. 2017 (CET)
thread_title:  Sinnloser Satz 

message: Im Abschnitt "Koordinatendarstellung" bezeichnet \mathrm dx_i einen Kotangentialvektor in \Lambda^k(T_p^*U), wobei p ein nicht näher bezeichneter Punkt ist. Einen Absatz weiter wird behauptet: 
"Jede Differentialform \omega \in \Omega^k(M) hat auf allen Karten (U,x) eine eindeutige Darstellung
:\omega|_U=\sum_{1\leq i_1<\ldots<i_k\leq n}a_{i_1,\ldots,i_k}(x) \cdot\mathrm dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_{i_k}
mit geeigneten differenzierbaren Funktionen a_{i_1,\ldots,i_k}."
Damit wäre \omega|_U aber keine Funktion auf U und schon recht nicht ein glatter Schnitt in der k-ten äußeren Potenz des Kotangentialbündels von U.
Im Abschnitt "Integration von Differentialformen" wird  x_1, \dots, x_n als positiv orientierte Basis angenommen. Der Begriff ist im Abschnitt davor definiert, allerdings setzt er die Wahl eines Punktes p\in U voraus. Insbesondere ist demnach (x_1, \dots, x_n) eine Basis von T_pU für ein p\in U. Jedoch wird \omega als 
\omega=f(x_1,\dots ,x_n)\,\,\mathrm dx_1\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_n,  angesetzt für ein nicht spezifiziertes f. Auch hier kann es sich bei der rechten Seite um keine Differentialform handeln.
Auf der rechten Seite in der vermeintlichen Definition des Integrales steht kein Lebesgue-Integral. Die zu integrierende Funktion müsste eine reellwertige Funktion, die messbar bezüglich der (oder einer Unter-)Borel-Sigma-Algebra von \mathbb{R}^d mit der Standardtopologie ist, sein. Die Argumente x_1, \dots, x_n sind stattdessen Tangentialvektoren in T_pU.
Korrekterweise lautet für eine Karte (U, x) und die Kartenvektorfelder \partial_1, \dots \partial_n die Definition des Integrales
\int_U \omega := \int_{x(U)} \omega[x](y) \mathrm dy_1\dots\mathrm dy_n
mit 
\omega[x] := x(U)\ni y\mapsto \omega_{x^{-1} (y)}(\partial_1 |_{x^{-1}(y)}, \dots, \partial_n |_{x^{-1}(y)} ).
--80.218.255.196 13:25, 24. Feb. 2019 (CET)
replies: text: Wenn ich das richtig verstehe, kritisierst du, dass hier in einigen Fällen nicht unterschieden wird zwischen Multilinearformen auf einem einzelnen Tangentialraum und Differentialformen, also Funktionen auf der Mannigfaltigkeit, deren Funktionswerte solche Multilinearformen sind. Das ist meines Wissens durchaus üblich und normalerweise treten auch keine Verwechslungen auf, es sei denn, man möchte das absichtlich falsch verstehen. Ich kann aber mal versuchen, das so zu ergänzen, dass es auch formal korrekt wird. --Digamma (Diskussion) 20:20, 24. Feb. 2019 (CET)
replies: text: Für den Abschnitt "Koordinatendarstellung" habe ich das mal umgesetzt. Ist das so OK? --Digamma (Diskussion) 20:30, 24. Feb. 2019 (CET)

text: Nun habe ich auch den Abschnitt über das Integral überarbeitet. Zwar bin ich nicht deinem Vorschlag gefolgt, aber es sollte trotzdem richtig sein. Beachte, dass hier zunächst das Integral für Differentialformen auf dem \R^n definiert und erst danach diese Definition auf Mannigfaltigkeiten übertragen wird. --Digamma (Diskussion) 20:41, 24. Feb. 2019 (CET)
replies: text: Die Änderungen sind hervorragend. In der vorgängigen Definition des Integrals war mir aufgefallen, dass zwischen f und den Punkten in U kein Bezug besteht. Die Prüfung der Bestandteile des Integrals zeigte, dass auch sie explizit nicht für alle Punkte in U definiert sind. Wenn die Materie einem nicht vertraut ist, eignet sich die vorhergehende Form nicht, um die Definition des Integrals nachzuvollziehen, auch wenn die Interpretation der Ausdrücke für einen Experten naheliegend scheinen mag.--80.218.255.196 21:17, 25. Feb. 2019 (CET)
thread_title:  Unstimmige Definitionen