Diskussion:Mittelwertsatz der Integralrechnung

message: Haben wir hier nicht einen Zirkelschluss zwischen dem Mittelwertsatz der Integralrechnung und dem Fundamentalsatz der Analysis?
Sollte man den Beweis nicht lieber über die Integralabschätzung und den Zwischenwertsatz führen?
Diese Abhandlung des Mittelwertsatzes ist ein Witz. In einem guten Nachschlagewerk, sollten zumindest der 1.- der Erweiterte- und der 2.Mittelwertsatz drin stehen.

message: So, ich habe mal den alten Artikel gelöscht und die Aussage des MWS'es sowie einen einfachen Beweis dahingemacht, der ohne den Hauptsatz auskommt. Dies aus mehreren Gründen:
1.) Zirkelschluss: Der Beweis von vorher benutzte den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, der aber für seinen Beweis widerum den Mittelwertsatz benutzt. Einen Beweis des Hauptsatzes ohne MWS kenne ich leider nicht(wär mal eine interessante Frage, ob es sowas gibt), einen Beweis des MWS ohne Hauptsatz aber schon.
replies: text: Den Hauptsatz kann man ganz einfach nur mit der Stetigkeit des Integranden beweisen. Siehe W. Walter, Analysis I, Springer '85, S. 260. (nicht signierter Beitrag von 80.187.96.76 (Diskussion) 21:32, 10. Sep. 2010 (CEST)) 
2.) merkwürdige Aussage des Satzes: Das was vorher dort stand, war "Das Integral über das Intervall I einer überall in I stetigen Funktion f dividiert durch die „Ausdehnung“ von I ist gleich dem Mittelwert von f über I, und f nimmt an mindestens einer Stelle τ in I diesen Mittelwert an."
Dazu ist folgendes zu sagen:
- Die Aussage über den Mittelwert ist keineswegs Aussage des Mittelwertsatzes. Vielmehr ist der Mittelwert von f als das Integral von f über I dividiert durch die "Ausdehnung" von I /definiert/(siehe hierzu auch: Mittelwert).
- sonst ist es auch nicht wirklich der Mittelwertsatz, sondern vielmehr ein Spezialfall des nun dargestellten Satzes für g=1
3.)(vielleicht etwas pedantisch) Das Intervall I ist eine Teilmenge der reellen Zahlen. Folglich sind alle Integrale mit I unten dran strenggenommen als Maß- bzw. Lebesgue-Integrale zu verstehen. Ich kenne den Mittelwertsatz der
Integralrechnung aber eigentlich nur als einen Satz über Riemann-Integrale.
Natürlich soll dies eine vorläufige Version sein, wollte nur schonmal den Satz und einen Beweis dazu beitragen. 
Die funktionstheoretischen Überlegungen finde ich zwar interessant, weiß aber nicht, ob sie wirklich hierhin gehören. Ob man den MWS auch auf \mathbb{C} ausweiten kann, weiß ich leider auch nicht wirklich......wenn sich da jemand sicher ist, einfach ersetzen!
--Mohrfrosch 18:41, 23. Jun 2006 (CEST)

text: Der Mittelwertsatz sollte unabhängig von dem Maß sein, das du benutzt. Lebesgue geht auch. Wo sollte das beim Beweis stören? Wer ohne Glaube ist, werfe das erste Gegenbeispiel... (nicht signierter Beitrag von 91.16.68.98 (Diskussion | Beiträge) 07:02, 17. Apr. 2010 (CEST)) 

message: g>=0 ist etwas verwirrend. Es sollte stehen, dass g() im Interwall [a,b] keinen Vorzeichenwechsel haben darf.
g>=0 schränkt zu stark ein.
Antwort: Mit der Homogenität des Vorzeichens von g hast Du absolut Recht, aber g>=0 ist keine Einschränkung, denn man kann ein eventuelles Vorzeichen hervorragend in f verstecken, ohne dass sich an den Voraussetzungen etwas verändert.

message: Ich habe die fehlenden Mittelwertsätze hinzugefügt. 
[[Benutzer:Manu MM|Manu MM]]

message: Da steht, dass f,g beide stetig sein müssen. Das ist eine viel zu starke Voraussetzung an g, denn g muss lediglich integrierbar sein. Sieht man im beweiß ja auch, dass die stetigkeit von g egal ist. (nicht signierter Beitrag von 84.58.39.156 (Diskussion | Beiträge) 18:40, 7. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Danke für den Hinweis, ich habe das mal korrigiert. --P. Birken 19:04, 7. Jun. 2009 (CEST)
thread_title:  Voraussetzungen an g zu stark 

message: Oder ist damit gemeint das g nie die Null schneidet; sondern Null maximal Sattelpunkt ist? (nicht signierter Beitrag von 85.179.199.63 (Diskussion | Beiträge) 12:45, 16. Sep. 2009 (CEST)
replies: text: g ist eine Funktion, die entweder nur nichtnegative oder nichtpositive Werte haben kann. Sprich: Das letzte genannte, modulo Details. --P. Birken 19:18, 16. Sep. 2009 (CEST)
thread_title:  g<=0 oder g>=0, kann denn g diese Voraussetzung verletzen? 

message: Guten Tag miteinander.
Kann man nicht anhand des Beweises sehen, dass f nur alle Werte zwischen dem Infimum von f auf [a,b] und dem Supremum von f auf [a,b] annehmen, also nicht stetig sein muss (sondern integrierbar)? (nicht signierter Beitrag von Talitha 42 (Diskussion | Beiträge) 11:32, 3. Jul 2015 (CEST)
thread_title:  Voraussetzung an f auch zu stark? 

message: (1) Wenn f in [a,b] stetig ist, dann hat die Funktion nicht nur Minimum und Supremum, sondern auch Minimum und Maximum. Der Text ist entsprechend umformuliert. 
Die Aussage "Man kann sogar zeigen, dass \xi im Innern des Intervalls (a,b) gefunden werden kann." ist eine unbewiesene Behauptung, weswegen ich sie entfernte. 
Wenn diese Behauptung mit durch die Betrachtung von Infimum und Supremum bewiesen werden kann, kann das gerne jemand unternehmen, die Aussage  wieder einfügen (und mit hinreichend strenger Logik beweisen).
(2) Ansonsten übernahm ich die dankenswerterweise vorgelegte Logik und formulierte sie etwas "geduldiger" ( = expliziter) aus. 
--Psychironiker (Diskussion) 15:01, 14. Okt. 2017 (CEST)
thread_title:  Umformulierung des Beweises 

message: Hallo,
das ist der Abschnitt am Ende des Artikels
mit einer zusätzlichen Gleichung, die
die Gleichheit der Terme schrittweise
veranschaulichen soll, wobei sukzessive
die darunter erwähnten Sätze zur Anwendung
kommen...
Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung 
Seien f,g\colon[a,b] \to \R Funktionen, f monoton und g stetig. Dann existiert ein \xi \in [a,b], so dass
: \int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} = f(a)\int\limits_{a}^{\xi}{g(x)dx}+f(b)\int\limits_{\xi}^{b}{g(x)dx}.
"Beweis":
: f(a)\int\limits_{a}^{\xi}{g(x)dx}+f(b)\int\limits_{\xi}^{b}{g(x)dx}
= f(a)G(\xi)-f(a)G(a)+f(b)G(b)-f(b)G(\xi)
= [f(x)G(x)]_{a}^{b}-G(\xi)\int\limits_{a}^{b}{f'(x)dx} 
= [f(x)G(x)]_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}{f'(x)G(x)dx}
 = \int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} 
, wobei  G'(x)=g(x)  sei.
Im Fall, dass f sogar stetig differenzierbar ist, kann man \xi \in (a,b) wählen. Der Beweis erfordert partielle Integration, den Fundamentalsatz der Analysis und den obigen Satz.
--Vege Tarier (Diskussion) 06:06, 28. Jan. 2018 (CET)
thread_title:  Beweis des zweiten Mittelwertsatzes der Integralrechnung 

message: Ich habe mal eine Verallgemeinerung des Satzes auf mehrdimensionale Integrale hinzugefügt, da ich mir dieser mal im Beweis eines Satzes untergekommen ist. Ich hab jetzt spontan keine Verallgemeinerung auf mehrdimensionale Integrale gefunden und mir die Formulierung und den Beweis selbst ausgedacht. Die Voraussetzungen habe ich so gewählt, dass sie ausreichen sollten, um einen ähnlichen Beweis wie im eindimensionalen Fall zu ermöglichen. Eventuell kann man diese auch noch leicht abschwächen.
Vielleicht kennt ja jemand eine Quelle, in der es diese oder eine ähnliche Verallgemeinerung gibt, um das sauber zu belegen. --MathPhy42 (Diskussion) 20:45, 24. Mai 2024 (CEST)
thread_title:  Verallgemeinerung auf mehrdimensionale Integrale