Diskussion:Empirisches Quantil

message: Hallo alle zusammen,
den folgenden Text in der Eileitung des Artikels:
: »Vereinfacht teilt ein empirisches p-Quantil die Stichprobe so, dass ein Anteil der Stichprobe von p kleiner als das empirische p-Quantil ist und ein Anteil von 1-p der Stichprobe größer als das empirische p-Quantil ist. Ist beispielsweise eine Stichprobe von Schuhgrößen gegeben, so ist das empirische 0,35-Quantil diejenige Schuhgröße  s , so dass 35 % der Schuhgrößen in der Stichprobe kleiner als  s  sind und 65 % größer als  s  sind.«
würde ich gerne in folgender Weise ändern:
:»Vereinfacht teilt ein empirisches p-Quantil die Stichprobe so, dass ein Anteil der Stichprobe von (annähernd) p Werte aufweist, die kleiner oder gleich dem empirischen p-Quantil sind und ein Anteil von (annähernd) 1–p der Stichprobe Werte aufweist, die größer gleich dem empirischen p-Quantil sind. Bei dem unten angegeben Beispiel ist das 0,25-Quantil identisch mit dem Wert des dritten Falls. Da hier 10 Fälle vorliegen, gibt es zwei Fälle oder 20 Prozent der Verteilung, die im Vergleich zum 0,25-Quantil kleinere oder gleich große Werte aufweisen und 7 Fälle oder 70 Prozent der Verteilung, die im Vergleich zum 0,25-Quantil gleich große oder größere Werte aufweisen. 
:In diesem Beispiel teilt das 0,25-Quantil die Stichprobe also nicht exakt, sondern nur annähernd im Verhältnis \frac{1}{4} zu \frac{3}{4}. Das ist immer dann der Fall, wenn das jeweilige empirische p-Quantil der Wert eines real existierenden Falls ist, weil dieser Fall sowohl aus dem unteren als auch aus dem oberen Bereich, in die das empirische Quantil die Stichprobe teilt, herausfällt. Wenn das empirische p-Quantil ein Wert ist, der zwischen den Werten von zwei benachbarten Fällen liegt (wie im Beispiel unten das 0,5-Quantil), dann teilt ein empirisches p-Quantil die Stichprobe genau so, dass exakt np Fälle kleinere oder gleichroße Werte  und n(1–p) Fälle gleich große oder größere Werte aufweisen. In dem Beispiel führt das 0,5-Quantil zu einer Aufteilung der Stichprobe in genau 5 untere und 5 obere Werte, also genau 50 Prozent zu 50 Prozent.«
Ist das in Ordnung? Über eine zeitnahe Antwort würde ich ich freuen.
Viele Grüße
--Jake2042 (Diskussion) 10:49, 18. Sep. 2019 (CEST)
thread_title:  Einleitungsabsatz präzisieren 

message: Der Einleitungsabsatz erweckt den Eindruck das empirische Quantil sei ein Konzept der induktiven Statistik. Tatsächlich ist es irrelevant, ob die Beobachtungswerte Stichprobenwerte aus einer Grundgesamtheit sind. Das Quantil ist genau so eine Konzept der deskriptiven Statistik oder Datenanalyse, bei dem Beobachtungswerte untersucht werden. Diese können auch Werte einer (Grund-)Gesamtheit sein. Natürlich können die Beobachtungswerte auch Stichprobenwerte sein.--Sigma^2 (Diskussion) 17:19, 20. Sep. 2023 (CEST)
thread_title:  Stichprobe 

message: Ich würde gerne die Perzentilberechnung verstehen, insbesondere die Berechnung, die SPSS bei FREQUENCIES /PERCENTILES macht. Da irre ich von einer Definition zur nächsten. Wenn ich nur diese vier Artikel nehme (es gibt offenbar noch mehr):
Empirisches Quantil (D1) <-> en:Percentile (E1)
Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie) (D2) <-> en:Quantile (E2)
:Wenn eine Software so schlecht ist, dass die Dokumentation nicht verständlich ist, würde ich sie nicht verwenden. --Sigma^2 (Diskussion) 16:31, 20. Sep. 2023 (CEST)
replies: text: Der wichtigste Unterschied ist, dass es einmal um das Quantil einer Wahrscheinlichkeitsverteilung geht (Anwendungsbereich: Wahrscheinlichkeitstheorie, theoretische Statistik) und dann um das Quantil aus gegebenen Beobachtungswerte (Anwedungsbereich: deskriptive (beschreibende) Statistik, Datenanalyse usw.). In der induktiven Statistik werden beide Konzepte benötigt, da man z. B. aus beobachteten Stichprobenwerte ein empirisches Quantil berechnet, um dieses als Schätzwert für ein unbekanntes Quantil einer Wahrscheinlichkeitsverteilung (Merkmalsverteilung in einer Grundgesamtheit) zu verwenden. Die Unterscheidung ist fundamental und in der englischen Wikipedia weitaus schlechter gelöst. --Sigma^2 (Diskussion) 14:27, 20. Sep. 2023 (CEST)

text: Bei einer allgemeinen Definition eines Quantils ist ein p-Quantil nur in Spezialfällen eindeutig. In verschiedenen Anwendungsbereichen gibt es unterschiedliche Ansätze dazu, ein Quantil eindeutig festzulegen. Verschiedene Softwarepakete haben sich zu unterschiedlichen Lösungen entschieden, die nicht selten schlecht dokumentiert sind. Die Aussage "neun alternative Berechnungsmethoden" ist falsch. Diese Formulierung legt nahe, dass es um unterschiedliche Berechnungsmethoden gibt, die zum selben Wert führen. Tatsächlich geht es meistens um verschiedene, mehr oder weniger handgestrickte, unterschiedliche Konzepte und Definitionen, eine einzigen Wert als das p-Quantil auszuzeichnen. Ich halte die jetzige Form des Artikels für nicht befriedigend, da diese Problematik nicht ausreichend erklärt ist. --Sigma^2 (Diskussion) 14:12, 20. Sep. 2023 (CEST)

text: Dieselbe Vielfalt gibt es schon beim Median. Was ist der Median der Beobachtungswerte (1,3,5,8)? Aus statistisch-theroretischer Sicht ist jeder Wert im Intervall [3,5] ein Median (1/2-Quantil). 3 ist der untere Median (unteres 1/2-Quantil), 5 ist der obere Median (oberes 1/2-Quantil).  Wenn in bestimmten Anwendungsbereichen, die der Mathematik eher fern sind, Statistik untersichtet wird, besteht ein Bedürfnis auf Kosten der Exaktheit die statistischen Konzepte als möglichst einfach darzustellen. So kommt es dann zu angeblich eindeutigen Median- und Quantilkonzepten, die sich dann auch teilweise in Software niederschlagen.--Sigma^2 (Diskussion) 14:12, 20. Sep. 2023 (CEST)

text: Weitere Erklärungen im Artikel sind notwendig. --Sigma^2 (Diskussion) 14:17, 20. Sep. 2023 (CEST)

text: Die Frage ist berechtigt. Natürlich ist im Beispiel der Wert 9 ein 90 %-Quantil (das untere 90 %-Quantil), in einigen Anwendungsbereichen das 90 %-Quantil, aber auch jeder Wert im Intervall [9,10] ist ein 90 %-Quantil. Sich für die Mitte zu entscheiden ist eine Möglichkeit, die aus bestimmten Anwendungsbereichen kommt, aber nicht unkritisch gesehen werden darf. Der Wert 10 ist ebenfalls ein 90 %-Quantil, weil für mindestens 90 % der Beobachtungswerte die Ungleichung x_i \leq 10 gilt und für mindestens 10% der Beobachtungswerte die Ungleichung  x_i \geq 10 gilt.--Sigma^2 (Diskussion) 14:12, 20. Sep. 2023 (CEST)

text: Die Sprechweise 90 %-Perzentil ist problematisch. Es gibt 99 Perzentile, das erste Perzentil ist das 1%-Quantil, das zweite Perzentil ist das 2%-Quantil usw. Das neunzigste Perzentil ist also das 90 %-Quantil. Analog: das erste Quartil ist das 25 %-Quantil, das zweite Quartil ist das 50 %-Quantil, das dritte Quartil ist das 75 %-Quantil.--Sigma^2 (Diskussion) 14:12, 20. Sep. 2023 (CEST)
thread_title:  Definitionen 

message: Die im Artikel  angegebene Definition ist nicht allgemein genug, sondern eine sehr spezielle Definition (die durchaus in der Literatur) zu finden ist.
 
Gegeben seien Beobachtungswerte (x_1,\dots,x_n) mit x_i \in \R für i=1,\dots,n. Dann heißt eine reelle Zahl x_p   p-Quantil der Beobachtungswerte, falls die Ungleichungen
:\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{(-\infty,x_p]} (x_i) \geq p\quad\text{und}\quad\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{[x_p,\infty)}(x_i) \geq 1 -p
gelten.
Dabei bezeichnet  \mathbf{1}_A für A \subseteq \R die Indikatorfunktion. 
* Diese Definition ist logisch konsistent mit der Definition des p-Quantils einer Wahrscheinlichkeitverteilung. Denn 
::P_n(A) := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\mathbf{1}_A (x_i), \quad A \subseteq \R
:definiert die sogenannte empirische Verteilung, die formal eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Messraum (\R, \mathrm{Pot}(\R)) ist, wobei  (P_n, \R,\mathrm{Pot}(\R)) formal ein Wahrscheinlichkeitsraum ist. Hierbei bezeichnet \mathrm{Pot}(A) die Potenzmenge einer Menge A    
* Ein p-Quantil ist im Allgemeinen nicht eindeutig.
* Die Menge 
:\{ x \in\R\mid x \text{ ist ein }p\text{-Quantil} \}
: der p-Quantile bildet ein Intervall der Form (-\infty, x_{(1)}], [x_{(i)},x_{(i+1)}] mit  i \in \{1,\dots,n-1\}  oder [x_{(n)},\infty), wobei (x_{(1)},\dots,x_{(n)}) die geordneten Beobachtungswerte mit x_{(1)} \leq  x_{(2)} \leq  \dots \leq x_{(n)} bezeichnen.
* Es gibt verschiedene – mehr oder weniger willkürliche und sich widersprechende – Methoden, bei einem mehrdeutigen p-Quantil einen Wert als das p-Quantil auszuzeichnen. Beispielsweise wird vorgeschlagen, bei einem Intervall [x_{(i)},x_{(i+1)}] mit x_{(i)} < x_{(i+1)} die Intervallmitte (x_{(i)} + x_{(i+1)})/2 als  eindeutiges  p-Quantil zu bezeichnen.
--Sigma^2 (Diskussion) 12:27, 20. Sep. 2023 (CEST)
thread_title:  Definition