Diskussion:Differenzengleichung (Differenzenverfahren)

message: zu deiner Äußerung: "Die Anzahl der Folgeglieder ist ein "Abfallprodukt". "Damit für die Genauigkeit nicht relevant".
Beweisführung zu einer falschen Ansicht:
Meine Behauptung:
Die Größe des Quotienten \frac {t_{max}}{h} bestimmt die Zahl der Ausgangsfolgen und damit die Güte der Approximation zur analytischen Funktion. t_max = Gewählter Zeitbereich:
*Beispiel: PT1-Glied mit T = 1, h =1, t_max =1, Verfahren: Vorwärts-Differenzenquotient.
:Bei \frac {t_{max}}{h}=\frac {1}{1} existiert nur ein Folgeglied. Das Ergebnis im Diagramm ist eine Gerade mit schlechter Anpassung an die analytische Funktion. 
*Beispiel: PT1-Glied mit T = 1, h =1, t_max = 4, Verfahren: Vorwärts-Differenzenquotient.
:Bei \frac {t_{max}}{h}=\frac {4}{1} existieren 4 Folgeglieder. Das Ergebnis im Diagramm ist eine angenäherte Funktion an die analytische Funktion.
Ich bitte um Kenntnisnahme und Zurückhaltung bei Äußerungen wie in der Versionsgeschichte „Rückgängig gemacht, bevor das noch jemand glaubt“. --HeinrichKü (Diskussion) 14:19, 2. Okt. 2021 (CEST)
replies: text: Wenn man h als Bruchteil von T-max wählt ist das so. Aber warum sollte man das tun. Die Schrittweite hat nichts mit der Endzeit zu tun. Beide können unabhängig voneinander gewählt werden. Der Bea-Kommentar war daher noch zurückhaltend formuliert.--Wruedt (Diskussion) 20:18, 2. Okt. 2021 (CEST)
replies: text:  Prof. Dr. Wandinger, HS München, zeigt in seinem Skript „Anfangswertprobleme 1. Ordnung“ in sämtlichen grafischen Darstellungen y(t) mit verschiedenen numerischen Berechnungsverfahren als Abhängigkeit nicht die Schrittweite h, sondern die Anzahl der Folgeglieder n. --HeinrichKü (Diskussion) 09:48, 21. Okt. 2021 (CEST)
thread_title:  Bedeutung der Anzahl der Ausgangsfolgeglieder 

message: Wruedt hat Kürzungen im Abschnitt „Anfangswertproblem“ vorgenommen, die keine Fehler enthielten und in der Fachliteratur nachgelesen werden können. Es kommt ihm offensichtlich darauf an, diesen Abschnitt, der etwa eine Bildschirmseite darstellt, um über 1000 Bytes zu kürzen, oder weil er grundsätzlich den Artikel kürzen möchte. 
Ich habe diesen Abschnitt wieder auf den auf den Stand vom 7.Okt.2021 zurückgeführt. Unabhängig davon, werde ich diesen Abschnitt von einem Mathematiker  überprüfen lassen. Das dauert etwas. --HeinrichKü (Diskussion) 12:33, 8. Okt. 2021 (CEST)
replies: text: Die Behauptung t_max hätte Einfluss auf die Genauigkeit entbehrt jeder Grundlage. t_max könnte beim Fallschirmspringer 2 s, 4 s, 10 s, 15 s, 20 s, 30 s ,... gewählt werden ohne dass das bei gegebener Schrittweite Einfluss auf die Genauigkeit hätte. Die Wahl von t_max richtet sich nach den Gegebenheiten, also z.B. nach der möglichen Fallstrecke. Die Behauptung (Je größer der Darstellungszeitraum t_{max} und je kleiner die Schrittweite h ist, umso genauer ist die Approximation an die analytische Funktion.) kann ernsthaft so nicht aufrecht erhalten werden. t_max taucht sogar an 1ter Stelle noch vor der Schrittweite auf.--Wruedt (Diskussion) 19:03, 9. Okt. 2021 (CEST)
thread_title:  Abschnitt Anfangswertproblem 

message: Hallo 
Der von mir angesprochene Mathematiker hat sich nur soweit geäußert, dass er mit Differenzengleichungen weniger Erfahrungen hat und das die Diskussionsseite des Artikels nach einer Editschlacht aussieht. Ich habe ihn gebeten, nur den Vorschlag über das Anfangswertproblem zu beurteilen. Falls sich kein befriedigendes Ergebnis ergibt, schlage ich folgenden Entwurf zum Anfangswertproblem vor, mit der Bitte um Einverständnis.
=== Anfangswertproblem ===
Die Lösung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung 1. Ordnung ergibt in der Regel eine allgemeine Lösung in Form einer Funktionenschar mit unendlich vielen Lösungen mit ähnlichem Verhalten. Kennt man den Anfangszustand der Differenzialgleichung mit dem Anfangswert y(x_0)=y_0 der unabhängigen Variablen für x=0, ergibt sich die spezielle Lösung der Differenzialgleichung.
*Der Anfangswert y_{0} für x=0 wird immer vorgegeben. 
*Analytische Lösung (falls zu Vergleichszwecken benötigt): 
:Nicht immer ist die analytische Lösung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung möglich, oder nur mit großem Aufwand gegeben.
:Siehe \to Artikel Anfangswertproblem
:Siehe \to Artikel Stammfunktion
:Siehe \to Artikel Gewöhnliche Differenzialgleichung
*Differenzengleichung
:Als historisch einfachstes Verfahren zur Herleitung der Differenzengleichungen wird meistens das explizite Euler-Streckenzugverfahren genannt.
:Wird die Ableitung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung y'(x)=f(x,y) durch den Vorwärts-Differenzenquotienten ersetzt,
::y'(x)= \lim_{x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x}\approx \frac {y(x+h)-y(x)}{(x+h)-x}:=\frac {y_{k+1}-y_{k}} h
:entsteht die explizite Differenzengleichung \frac {y_{k+1}-y_k} h=f(x_k,y_k).  Allgemeine Form der Differenzengleichung 1. O. nach dem Vorwärts-Differenzenquotienten (entspricht: "Euler-Vorwärts"):
{y_{k+1}=y_k}+f(x_k,y_k)\cdot h
* Numerische Lösung der Differenzialgleichung hoher Genauigkeit:
:Nicht immer ist es leicht oder möglich, die analytische Lösung einer Differenzialgleichung zu finden. In diesem Fall hilft die numerische Lösung mit einer hohen Anzahl der Folgeglieder. 
:Die Zahl der Folgeglieder ist durch den Quotient bestimmt:
: Anzahl \ der \ Folgen =\frac {t_{max}}{h}. \qquad t_{max} ist der Darstellungszeitraum, h= Schrittzeit. 
:Je kleiner die Schrittweite h ist, umso genauer ist die Approximation an die analytische Funktion.
*Aufwendigere numerische Verfahren: 
:Zur Reduzierung der numerischen Folgen bei gleicher Genauigkeit eignen sich andere Verfahren mit Differenzengleichungen z. B. das Trapezverfahren von Heun oder das Runge-Kutta-Verfahren. --HeinrichKü (Diskussion) 10:09, 14. Okt. 2021 (CEST)
thread_title:  Vorschlag Text für Anfangswertproblem 

message: Die Lösung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung 1. Ordnung ergibt in der Regel eine allgemeine Lösung in Form einer Funktionenschar mit unendlich vielen Lösungen mit ähnlichem Verhalten. Kennt man den Anfangszustand der Differenzialgleichung mit dem Anfangswert y(x_0)=y_0 der unabhängigen Variablen für x=0, ergibt sich die spezielle Lösung der Differenzialgleichung.
*Der Anfangswert y_{0} für x=0 wird immer vorgegeben. 
*Analytische Lösung (falls zu Vergleichszwecken benötigt): 
:Nicht immer ist die analytische Lösung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung möglich, oder nur mit großem Aufwand gegeben.
:Siehe \to Artikel Anfangswertproblem
:Siehe \to Artikel Stammfunktion
:Siehe \to Artikel Gewöhnliche Differenzialgleichung
*Differenzengleichung
:Als historisch einfachstes Verfahren zur Herleitung der Differenzengleichungen wird meistens das explizite Euler-Streckenzugverfahren genannt.
:Wird die Ableitung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung y'(x)=f(x,y) durch den Vorwärts-Differenzenquotienten ersetzt,
::y'(x)= \lim_{x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x}\approx \frac {y(x+h)-y(x)}{(x+h)-x}:=\frac {y_{k+1}-y_{k}} h
:entsteht die explizite Differenzengleichung \frac {y_{k+1}-y_k} h=f(x_k,y_k).  Allgemeine Form der Differenzengleichung 1. O. nach dem Vorwärts-Differenzenquotienten (entspricht: "Euler-Vorwärts"):
{y_{k+1}=y_k}+f(x_k,y_k)\cdot h
* Numerische Lösung der Differenzialgleichung hoher Genauigkeit:
:Nicht immer ist es leicht oder möglich, die analytische Lösung einer Differenzialgleichung zu finden. In diesem Fall hilft die numerische Lösung mit einer hohen Anzahl der Folgeglieder. 
:Die Zahl der Folgeglieder ist durch den Quotient bestimmt:
: Anzahl \ der \ Folgen =\frac {t_{max}}{h}. \qquad t_{max} ist der Darstellungszeitraum, h= Schrittzeit. 
:Je kleiner die Schrittweite h ist, umso genauer ist die Approximation an die analytische Funktion.
*Aufwendigere numerische Verfahren: 
:Zur Reduzierung der numerischen Folgen bei gleicher Genauigkeit eignen sich andere Verfahren mit Differenzengleichungen z. B. das Trapezverfahren von Heun oder das Runge-Kutta-Verfahren. --HeinrichKü (Diskussion) 10:09, 14. Okt. 2021 (CEST)
thread_title:  Anfangswertproblem 

message: Ich bin nicht an einer langen Diskussion interessiert, aber es hapert an der Verständigung der mathematischen Abschnitte bis zur Darstellung des Bildes.
* Die Differenzialgleichung des gedämpften Oszillators mit der Eingangserregung \widetilde w(t)entspricht nicht den nachfolgenden Darstellungen mit der Eingangserregung u(t).
* Bis zum Ende der mathematischen Abhandlung mit Substitution handelt es sich um ein gedämpft schwingendes System. Wie ist der logische Weg des Verständnisses zum Bild mit dem ungedämpft schwingenden mathematischen Pendel.
Bitte bring das in Ordnung. --HeinrichKü (Diskussion) 09:32, 23. Nov. 2021 (CET)
replies: text: Im Diagramm ist ein Spezialfall dargestellt, bei dem die äußere Anregung und die Dämpfung Null sind. Niemand würde ein Programm für jeden Spezialfall erstellen, sondern den jeweiligen Anwendungsfall entsprechend parametrieren. Der prinzipielle Rechengang ist knapp und verständlich formuliert. Vor allem wird deutlich, dass immer das Folgeelement k+1 berechnet wird.--Wruedt (Diskussion) 10:44, 23. Nov. 2021 (CET)
thread_title:  Abschnitt Oszillator mit der Gleichung des gedämpften Oszillators 

message: In WP gilt das Gebot der Neutralität (s. WP:NS). Eine "Empfehlung" für ein spezielles Produkt auszusprechen verbietet sich imo daher. Wenn du persönlich Excel bevorzugst ist das nicht zu beanstanden, aber das ist POW. Andere bevorzugen andere Produkte. Dass in Excel keine Fehler gemacht werden können ist ebenfalls POW. Man kann überall Fehler machen, blos andere.--Wruedt (Diskussion) 10:11, 11. Dez. 2021 (CET)
replies: text: 3 M: WP erwartet sicher keine juristische Prüfung, wann ein Verstoß gegen die Neutralität vorliegt. Der Artikel Tabellenkalkulation mit dem Abschnitt „Geschichte“ informiert recht gut über die bestehenden Varianten. --HeinrichKü (Diskussion) 09:36, 12. Dez. 2021 (CET)
thread_title:  Neutraler Standpunkt 

message: Wer soll das verstehen, bzw. Willens sein sich das anzutun? Falls doch sollte er gewarnt werden. In gnuplot ist das ein 2-Zeiler für 2 DGL'n 1ter Ordnung:
…
omega_0=sqrt(16.666); D=1.666/omega_0/2
do for [k=1:150] {
  x=k*h
# Integration
  y1=y1+(omega_0*omega_0*(1-y2)-2*D*omega_0*y1)*h
  y2=y2+y1*h
  print x, y1, y2
}
…
Omega_0 ist die ungedämpfte Kreiseigenfrequenz, D das Lehrsche Dämpfungsmaß. y1 die Geschwindigkeit, y2 die Auslenkung. Man muss die Leute auch nicht mit dem "k-Gewurschtel" bei Euler vorwärts oder rückwärts belästigen. Es wird ersichtlich, dass man einen alten Wert hat, der nach den entsprechenden Rechenvorschriften durch den neuen ersetzt wird.
Wieso man derart "krumme" Zahlenwerte für Eigenfrequenz und Dämpfung gewählt hat bleibt im Dunkeln. Der Artikel hat den Unverständlichkeits-Bäpper verdient. Wer was von der Sache versteht braucht in nicht, andere werden sich wohl kaum durch all diese zum Teil redundanten Beispiele mit den "Zahlenfriedhöfen" kämpfen.
IÜ gäb's auch inhaltlich noch einiges zu beheben. So gibt es in vielen praktischen Fällen keine "systembeschreibende DGL höherer Ordnung", sondern z.B. bei mechanischen Systemen fallen von vorn herein Systeme von DGL'n 1ter oder 2ter Ordnung an, die man wohl kaum zu einer einzigen umwandeln wird, ...
--Wruedt (Diskussion) 10:19, 22. Dez. 2021 (CET)
replies: text: Was soll dieses durcheinander Gewurschtel mit Differenzialgleichung 2 Ordnung ohne Nennung der DGL, Gefasel von krummen Zahlenwerten. Es geht um einen Ausweg aus „Einigung von Edit-War-kritischen Begriffen“ unserer gemeinsamen Sperrung des Artikels.  --HeinrichKü (Diskussion) 15:08, 22. Dez. 2021 (CET)
thread_title:  Beispiel der Berechnung einer Differenzengleichung 2. Ordnung 

message: * Das bestehende Beispiel im Artikel wurde ohne Not gelöscht und durch ein Fragment ohne Berechnungsangaben aber mit leicht geänderten Daten ersetzt. Wruedt bastelt an diesem Berechnungsbeispiel inzwischen mit ca. 15 Edits im Artikel herum. Es geht aber nur um die Lösung einer nichtlinearen DGL 1. O. 
* Keine Angabe der analytischen Funktion. Deckungsgleichheit der Referenz mit Berechnung v(t) (h = 0,05) wird angezweifelt. 
* Die Dimensionen der Daten ergeben laut Berechnung m/s und nicht km/h. Falsches Diagramm in km/h. Die Wruedt-Begründung „Autofahrer mögen km/h“ ist grotesk. Das Diagramm wurde in m/s und durch 2 unterschiedliche Schrittweiten h ersetzt. 
* Kein Berechnungsbeispiel der Folgewerte. Das geänderte Beispiel ohne Berechnungsangaben hat keinen Nutzen für lernende Interessenten. Die fehlenden Zahlenwert-Angaben wurden ergänzt. --HeinrichKü (Diskussion) 09:28, 17. Jan. 2022 (CET)
replies: text: OMG. Wenigstens ist kein sinnloses Beispiel mehr drin, bei der man eine Masse von 5 kg unbekannter Form aus dem Flugzeug werfen müsste, um Geschwindigkeit und Fallstrecke zu beobachten. Das allermeiste aus meinen "Basteleien" hast du ja übernommen, ergänzt um einen Zahlenfriedhof. Dass 50 m/s 180 km/h entsprechen, können "lernende Interessenten" selbst ausrechnen um eine Analogie zu praktischen Erfahrungen herzustellen. Was also an dem gelöschten Diagramm in km/h falsch sein soll, bleibt dein Geheimnis. Derart "groteske" Begründungen solltest du bleiben lassen.--Wruedt (Diskussion) 18:03, 1. Feb. 2022 (CET)
thread_title:  Löschung des bisherigen Berechnungsbeispiels Fallschirmspringer 

message: Der Satz: "Für die Berechnung linearer dynamischer Systeme 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen werden für den Austausch des Differenzialquotienten 2. Ordnung Differenzenquotienten 2. Ordnung benötigt." ist falsch, denn wie man viele Seiten später erfährt, macht man das ganz anders, nämlich als 2 DGL'n 1ter Ordnung (so auch nachzulesen in ). Das Beispiel mit dem Differenzenquotient 2ter Ordnung ist zur Nachahmung nicht geeignet. Warum schmeißt man das nicht gleich raus, sonst müsste man im Text explizit davor warnen. Ob Pole konjugiert komplex sind, ist bei der numerischen Lösung auch nicht von Bedeutung.--Wruedt (Diskussion) 18:24, 3. Feb. 2022 (CET)
thread_title:  Differenzialgleichungen 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen nach dem Differenzenverfahren 

message: so geht Prozentrechnen.--Wruedt (Diskussion) 10:07, 12. Feb. 2022 (CET)
replies: text: Danke, den Fehler habe ich auch ohne diesen Hinweis bemerkt. --HeinrichKü (Diskussion) 08:38, 13. Feb. 2022 (CET)
thread_title:  siehe Prozent