Diskussion:Problem der 100 Gefangenen

message: Die Strategie ist offenbar unvollständig. Was macht ein Gefangener, der entdeckt, dass der mit seiner Schublade beginnende Zyklus seine Zahl gar nicht enthält? (Er muss dazu ja nur den Zyklus ganz durchlaufen.) Offenbar muss er dann einen anderen willkürlichen Anfangspunkt außerhalb seines Zyklusses wählen (dessen Zahlen er sich tunlichst gemerkt haben sollte bzw. deren zugehörige Schubladen er bis zu seinem letzten Zug  tunlichst offenlassen sollte).
:Übertragen auf das ursprüngliche Problem der 100 Gefangenen werden diese mit ihrer Strategie genau dann erfolgreich sein, wenn der längste Zyklus der Permutation höchstens die Länge 50 besitzt. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Gefangenen überleben, ist somit gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Permutation der Zahlen von 1 bis 100 keinen Zyklus mit einer Länge größer als 50 enthält.
Bei 100 „Mitspielern” besteht die Möglichkeit, dass es einen Zyklus mit 33, einen zweiten mit 33 und einen dritten mit 34 gibt. Ein Spieler, der im Zuge seiner Schubladenöffnungen zunächst zweimal an fremde Zyklen gerät, hat dann immer verloren. Solche Permutationen haben auch nur Zyklen der Länge <= 50, aber offenbar kann man mit ihnen auch mit gewisser Wahrscheinlichkeit scheitern. Die Rechnung scheint also nicht zu stimmen, weil der Fall des manchmal nötigen „Zyklensprungs” nicht berücksichtigt wurde. Man kann auch an einem kurzen Zyklus mit der eigenen Nummer scheitern, indem derselbe gar nicht oder ohne ausreichend verbliebene Öffnungslizenzen erreicht wird. (33,33,34) ist natürlich nur ein Beispiel.
--Silvicola Disk 00:53, 1. Jul. 2014 (CEST)
replies: text:  Ein Spieler kann bei dieser Strategie nicht in einen fremden Zyklus geraten, da er auf jeden Fall mit der Schublade beginnt, die seine eigene Nummer trägt. Er kann nur verlieren, wenn sein Zyklus länger als 50% der Teilnehmerzahl ist. --Wikilaser (Diskussion) 13:07, 1. Jul. 2014 (CEST)
thread_title:  Strategie 

message: Kommt das nicht vor? Bedeutet das automatisch, das das Problem nicht erfolgreich lösbar ist? (nicht signierter Beitrag von 93.129.61.138 (Diskussion) 06:47, 1. Jul 2014 (CEST)
replies: text: Das kann nicht vorkommen. Jeder Gefangene findet solange neue Nummern bis er seine eigene gefunden hat (oder abbrechen muss). Um eine leere Schublade zu finden müssten zwei oder mehr Nummern auf diese Schublade verweisen, was aber laut Aufgabenstellung („Der Gefängnisleiter legt in jede Schublade die Nummer genau eines Gefangenen“) nicht zulässig ist. In der allgemeineren Problemstellung mit leeren Schubladen (siehe Abschnitt „Leere Kästen“) funktioniert die Zykelfolgestrategie dann auch nicht mehr. Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:59, 1. Jul. 2014 (CEST)
thread_title:  Was passiert in der hier als optimal vorgestellten Strategie, wenn eine Schublade bereits leer ist? 

message: Überlebenswahrscheinlichkeit von 30 Prozent ist erstaunlich?
Das ist aber weniger als 50 Prozent! Also schlechter als bei zufälliger Öffnung der Schubladen.
Warum sollte jemand dann diese erstaunlich schlechte Methode wählen?
Oder ist die Überlebenswahrscheinlichkeit 70 Prozent, und jemand hat sich nur verschrieben (evtl. falsch von der englischen Wikipedia kopiert)?
--Agatha Bauer (Diskussion) 08:33, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text: Siehe den Abschnitt "Problemstellung", vorletzter Satz. Im Übrigen ist der englische Artikel von diesem hier kopiert. Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:42, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text:  Die Überlebenswahrscheinlichkeit beträgt nicht konstant 31%, sondern offenbar gerade bei 100 Gefangenen und 100 Schubladen. Nehmen wir die kleinstmögliche Anzahl von Gefangenen und Schubladen, beträgt die ÜW genau 50% bei 2 Gefangenen und 2 Schubladen (1 G und 1 S ergibt für mich keinen Sinn). Bei 4 Gefangenen und 4 Schubladen beträgt die ÜW nur noch ca. 41,67%. Daraus schließe ich, daß sich die ÜW mit steigender Gefangenenanzahl langsam verringert und sich vermutlich einem Grenzwert annähert. Wie errechnet man diesen Grenzwert? --Wikilaser (Diskussion) 12:24, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text:  Bis zu welchem Abschnitt bist du denn beim Lesen des Artikels gekommen? Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:33, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text:  Ah, es steht ja doch da. Ich kannte den Begriff "Asymptotik" noch nicht und habe an der Stelle nicht mehr weitergelesen. Es wäre leichter verständlich, wenn man stattdessen vielleicht von der "Grenzwertbetrachtung" in der Abschnittsüberschrift sprechen würde. Allgemein wäre es auch leichter verständlich, wenn die jeweiligen Formeln nicht nur fix und fertig hingeschrieben würden, sondern auch erklärt würde, welche Rechenoperationen (und wie diese auszuführen sind) sich dahinter verbergen. Die Fakultät (z. B. 100!) kennen viele noch aus der Schule, aber zum Beispiel die 100 über dem l in Klammern oder das Summenzeichen kennt nicht jeder. Dies einmal so als Anregung, den Artikel zu verbessern. Das gilt übrigens für viele mathematische Artikel. --Wikilaser (Diskussion) 13:08, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text:  Das Summenzeichen und die Überschrift habe ich abgeändert, aber der Ausführlichkeit des mathematischen Inhalts sind irgendwo Grenzen gesetzt. Ich habe mich sehr bemüht, den Artikel verständlich und nachvollziehbar zu schreiben, aber ein paar Grundlagen braucht man einfach. Aus diesem Grund sind durchgehend Links auf weiterführende Artikel gesetzt, die die Notation erklären und genaue Definitionen geben. Aber dass Binomialkoeffizienten nicht mehr in der Schule durchgenommen werden erschreckt mich schon etwas. Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:59, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text:  Ich kenne den Fall eines Schülers, dem bis zum Abitur niemals Frau Exponentialfunktion vorgestellt wurde. There's room at the bottom. --Silvicola Disk 15:44, 2. Jul. 2014 (CEST)

text: Ich hab vorhin mal aus Interesse die Wahrscheinlichkeiten geplottet. Vielleicht kann man’s ja für den Artikel brauchen, darum hab ich es gleich mal hochgeladen. -- HilberTraum (Diskussion) 13:21, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text:  Danke, vielleicht könntest du die y-Achse noch etwas dynamischer skalieren, so ab 0.2 oder 0.25, damit sich in der Grafik mehr tut? Etwas problematisch ist natürlich, dass im Artikel an der passenden Stelle schon recht viele Bilder sind. Oder soll ich das Bild mit den harmonischen Zahlen rauswerfen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:02, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text:  Die Achse ist angepasst. Ja, da ist es ein bisschen eng, hab grad auch keine gute Idee, ob man was rauswerfen sollte. Du findest sicher ein hübsches Layout :-) Grüße -- HilberTraum (Diskussion) 14:50, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text:  Ich habe mich entschlossen, das Bild zu ersetzen. Deine Grafik habe ich noch etwas zugeschnitten und zur besseren Lesbarkeit die Schrift vergrößert. Eigentlich hätte ich gerne noch "Erfolgswahrscheinlichkeit" in "Überlebenswahrscheinlichkeit" und "n" in "Zahl der Gefangenen" abgeändert, aber ich kann leider die Texte nicht editieren, da die Fonts als Glyphen eingebunden sind. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:13, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text: Hab noch eine Version mit den neuen Beschriftungen und mit einer dickeren grauen Linie hochgeladen (undgrößerer Schrift). -- HilberTraum (Diskussion) 15:33, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text: Die graue Linie habe ich schwarz gestrichelt, so ist sie klarer als Asymptote erkennbar. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:29, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text: Im Laufe der Änderungen gestern ist die Grafik leider falsch geworden, denn es sind ja 2n Gefangene und nicht n. Ich habe also nochmal eine korrigierte Version hochgeladen. (Transparenter Hintergrund scheint mit R irgendwie nicht zu funktionieren). -- HilberTraum (Diskussion) 09:23, 3. Jul. 2014 (CEST)
replies: text: Danke, der Fehler in der Skalierung ist mir gerade eben auch aufgefallen :-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:27, 3. Jul. 2014 (CEST)
thread_title:  Überlebenswahrscheinlichkeit 30 Prozent? 

message: Im Abschnitt "Strategie" steht:
"Bei diesem Vorgehen ist sichergestellt, dass ein Gefangener jedes Mal, wenn er eine Schublade öffnet, entweder seine eigene Nummer oder eine noch nicht gesehene Nummer eines anderen Gefangenen vorfindet."
Was ist da mit "noch nicht gesehene Nummer" gemeint? Eine, die er noch nicht gesehen hat, oder die noch keiner gesehen hat? "Noch keiner" kann ja nicht sein, siehe das Beispiel, also muss "die er noch nicht gesehen hat" gemeint sein. Der Algorithmus gibt das aber nicht her, da das Abbruchkriterium bei 4. die 50. Schublade ist, wenn er seine Nummer nicht findet. Wenn der Gefangene mit der Nummer 33 also Schublade 33 aufmacht und da liegt die 14 drin, in der 14 liegt die 28 und in der 28 die 14, dann macht er lt. Algorithmus die Schubladen 14 und 28 mehrfach (49-mal) auf und findet sehr wohl Zahlen, die er schon gesehen hat.
Es ist aber ja trivial zu ergänzen und eigentlich selbstverständlich, dass jeder Gefangene 50 verschiedene Schubladen aufmacht. Wozu also der Hinweis, dass er eine noch nicht gesehen Zahl vorfindet?
::: Habe den missverständlichen und nutzlosen Hinweis auf die "noch nicht gesehene Nummer" ersetzt. --Ulrich Matthias (Diskussion) 21:17, 3. Jan. 2020 (CET)
replies: text:  Es gibt nur zwei grundlegende Möglichkeiten (mit entsprechend vielen Varianten), die dazu führen, daß jeder Gefangene 50 verschiedene Schubladen öffnet, nämlich dann, wenn die Nummernverteilung zwei 50er Zyklen oder einen 100er Zyklus verursacht. --Wikilaser (Diskussion) 01:41, 4. Jul. 2014 (CEST)
replies: text:  Dem zweiten Gefangenen kann das nur bekannt sein, wenn er denselben Zyklus durchläuft wie der erste Gefangene. Das Wissen um den Zyklus des ersten Gefangenen nützt ihm jedoch nichts, da hast Du Recht. --Wikilaser (Diskussion) 01:41, 4. Jul. 2014 (CEST)

text: In deinem Beispiel liegt die 14 zweimal drin, das ist so nicht vorgesehen. --Michael Schumacher (Diskussion) 17:13, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text: Da hast Du völlig recht. Sorry. --AchimP (Diskussion) 17:31, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text: Den Nachsatz habe ich umformuliert. Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:26, 2. Jul. 2014 (CEST)
replies: text: Danke. --AchimP (Diskussion) 18:48, 2. Jul. 2014 (CEST)
thread_title:  Strategie - noch nicht gesehene Nummer 

message: Das liest sich für mich immer so, als wäre der Fall “genau einer” damit gemeint - finden also zwei ihre Nummer nicht, passiert nichts/etwas anderes. --Michael Schumacher (Diskussion) 12:42, 3. Jul. 2014 (CEST)
replies: text: Gemeint ist natürlich mindestens einer, wobei man auch bereits nach dem ersten Unglücksraben Schluss machen kann. Ich habe den Punkt umformuliert. Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:17, 3. Jul. 2014 (CEST)
thread_title:  „Findet nur ein Gefangener seine Nummer nicht...“