Diskussion:Pauli-Matrizen

message: Bei der Formel nach "Sie erfüllen die Algebra..." fehlt m.E. die Einheitsmatrix, und zwar nach dem Kroneckersymbol!
Ich kenne das so: Die Einheitsmatrix wird -in diesem Zusammenhang- als "4. Paulimatrix" eingeführt und mit sigma_0 bezeichnet ;)
:Warum wird das überhaupt mit alphahalbe definiert und nicht ganz normal mit alpha? 89.247.151.40 20:28, 19. Dez. 2011 (CET)
replies: text: In der praktischen Anwendung taucht es so auf, deshalb schreibt man es hier auch in dieser Form. (Man müsste es aber an dieser Stelle nicht unbedingt.) Siehe etwa  unten. --Grip99 04:59, 24. Dez. 2011 (CET)
thread_title:  Fehlende Einheitsmatrix (erl.) 

message: Bei der Formel nach "Sie erfüllen die Algebra..." steht jetzt ein Kroneckersymbol mit den Indizes "ij", die hier ja die Einträge der Einheitsmatrix bedeuten. Diese Indizes sind aber schon für die Nummerierung der Matrizen selbst vergeben. (javalin, 27.4.2009) (nicht signierter Beitrag von Javalinnn (Diskussion | Beiträge) 19:14, 27. Apr. 2009 (CEST)
thread_title:  Indizes irreführend (erl.) 

message: Physiker schreiben das zwar oft, aber es stimmt ja eigentlich in der üblichen mathematischen Definition nicht. Eigentlich ist der Zusammenhang so wie in  beschrieben, d.h. man muss die Pauli-Matrizen noch mit i multiplizieren, um Generatoren der Lie-Gruppe zu erhalten. Dass die Physiker Generatoren anders als die Mathematiker definieren, liegt nur daran, dass sie lieber mit hermiteschen als mit schiefhermiteschen Matrizen arbeiten. 
Im Übrigen kapiert wohl niemand, der es nicht eh schon weiß, den Zusammenhang der Formel für die Exponentialfunktion mit der Generatoreigenschaft, solange im Artikel Spezielle unitäre Gruppe die in  beschriebenen expliziten Darstellungen der Matrizen fehlen. 
Meinungen dazu? --Grip99 02:16, 31. Mär. 2012 (CEST)
thread_title:  Pauli-Matrizen Generatoren der SU(2)? 

message: @Meier99: "Die beiden Darstellungen gehen durch antizyklische Indexpermutation auseinander hervor, was auch den Vorzeichenwechsel der imaginären Einheit erklärt." Ist das irgendwas, was man gleich sieht oder aus einem bekannten Satz herleiten kann? So verwirrt das eher (jedenfalls mich, und wahrscheinlich auch die meisten Leser). Antizyklisch permutiert werden ja auch nicht die (vier) Indizes, sondern nur die von 1 bis 3. Dass das bloße antizyklische Vertauschen dieser 3 Matrizen etwas an der Isomorphie kaputt macht, was man reparieren muss, ist ja klar, weil bei den Quaternionen ijk=-1, aber kji=1 gilt. --Grip99 00:22, 2. Apr. 2012 (CEST)
thread_title:  Quaternionen 

message: ::Ich habe den ganzen Abschnitt rausgenommen. Er gehört m.E. (soweit nicht redundant zum Bestehenden) nicht in diesen Artikel und verwirrt mehr, als dass er hilft. --Grip99 23:47, 3. Apr. 2012 (CEST)
thread_title:  Die Gruppe SU(2) 

message: Wenn ich das richtig sehe, dann ist der von den Pauli-Matrizen aufgespannte (reelle!) Unterraum des Raums der komplexen 2×2-Matrizen weder abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation noch unter der Bildung des Kommutators, denn weder
:\sigma_1 \, \sigma_2 = \mathrm i \sigma_3 
noch 
:[\sigma_1, \sigma_2] = \sigma_1 \, \sigma_2 - \sigma_2 \, \sigma_1 = 2\mathrm i \sigma_3,
liegt in dem aufgespannten Unterraum (Multiplikation mit i führt aus dem Vektorraum hinaus und macht aus hermiteschen Matrizen schiefhermitesche).
Eine Lie-Algebra erhält man erst, wenn man von \sigma_a zu \mathrm i \sigma_a übergeht, also zur \mathfrak su(2). --Digamma (Diskussion) 14:06, 6. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Du hast Recht, ich hatte das i verschlampt, und keiner der anderen hatte es gemerkt. Peinlich aber auch für uns als WP, denn es stand (weiter oben) schon jahrelang falsch im Artikel. --Grip99 00:48, 7. Apr. 2012 (CEST)
thread_title:  (Lie-)Algebra 

message: Der Faktor 1/2 ist exakt begründbar. Nur mit dem zusätzlichen Faktor 1/2
ergibt sich die für Rotationen charakteristische Kommutatorelation ohne Zusatzfaktoren
(http://de.wikipedia.org/wiki/Drehimpulsoperator) und somit eine Isomorphie zur Gruppe SO(3).
:Aber das ändert ja nichts an der Richtigkeit der Gleichung in unserem Artikel hier. Man könnte genausogut auf beiden Seiten alpha durch pi, 17 oder 42 dividieren, die Gleichung behielte immer ihre Gültigkeit für alle alpha. --Grip99 02:42, 3. Jun. 2012 (CEST)
thread_title:  Faktor 1/2 in der Exponentialdarstellung im Abschnitt Zusammenhang mit der Drehgruppe 

message: Folgender Satz benötigt mMn Erläuterung oder sollte entfernt werden: Hier zeigt sich, dass die Eigenzustände der Spinoperatoren S_1 und S_2 Superpositionen der Eigenzustände von S_3 sind.--Petermahlzahn (Diskussion) 22:58, 11. Nov. 2013 (CET)
thread_title:  Eigenvektoren 

message: Es wird dargestellt, dass die Pauli Matrizen eine Basis des Vektorraums der komplexen 2x2 Matrizen sind (also mit komplexen Koeffizienten), in der Einleitung wird aber auf den VR der hermiteschen 2x2 Matrizen Bezug genommen, der hat 4 reelle Elemente. Die Behandlung braucht man dann nicht neu zu schreiben, nur sollte man dazuschreiben, dass man nach Berücksichtigung der Hermitizität nur noch 4 reelle Parameter hat (die beiden off-Diagonalelemente sind komplex konjugiert und die Diagonalelemente reell).--Claude J (Diskussion) 11:58, 10. Okt. 2014 (CEST)
replies: text: Danke und Entschuldigung, die Feinheit war mir nicht bewusst!--jbn (Diskussion) 15:00, 10. Okt. 2014 (CEST)
replies: text: Ich würde die Tatsache, dass die Pauli-Matrizen zusammen mit der Einheitsmatrix eine Basis des komplexen Vektorraums der komplexen 2×2-Matrizen bilden, nicht übermäßig betonen. Das scheint mir nicht so besonders zu sein. Wichtiger und bemerkenswerter dürfte sein, dass sie eine Basis des reellen Vektorraum der hermiteschen Matrizen bilden. Das hat Claude J inzwischen ergänzt, es sollte aber deutlicher hervorgehoben werden. --Digamma (Diskussion) 23:01, 10. Okt. 2014 (CEST)
thread_title: hermitesch

message: In der Einleitung heißen nur die Matrizen \sigma_1, \sigma_2 und \sigma_3 Paulimatrizen. In der Definition wird jedoch \sigma_0 auch aufgeführt. Was ist richtig? --Digamma (Diskussion) 22:56, 10. Okt. 2014 (CEST)
replies: text: Danke für die Antwort. So wie es jetzt im Artikel steht, widersprechen sich jedoch Einleitung und Definition. --Digamma (Diskussion) 11:29, 11. Okt. 2014 (CEST)
replies: text: Vielen Dank für die Überarbeitung. --Digamma (Diskussion) 15:08, 11. Okt. 2014 (CEST)
thread_title:  σ<sub>0</sub> 

message: Man könnte :en:Generalizations of Pauli matrices erwähnen.--Claude J (Diskussion) 12:26, 11. Dez. 2014 (CET)
thread_title: Verallgemeinerung

message: Aus der Einleitung: "...eine Basis des 4-dimensionalen reellen Vektorraums aller komplexen hermiteschen 2×2-Matrizen"
Irre ich mich oder ist der Raum aller komplexen hermiteschen 2×2-Matrizen nicht dreidimensional? (nicht signierter Beitrag von 2003:45:5D33:C088:25:916C:4A3C:1C21 (Diskussion | Beiträge) 19:09, 3. Jul 2016 (CEST)
replies: text: Nein, der Raum ist 4-dimensional. Das wird im Artikel auch erläutert. Allgemein hat der reelle Vektorraum der hermiteschen n × n -Matrizen die Dimension n2, siehe Hermitesche Matrix. --Digamma (Diskussion) 21:20, 3. Jul. 2016 (CEST)
thread_title:  Fehler? Dimension des Raums der komplexen hermiteschen 2×2-Matrizen ist 3-dimensional? 

message: Ich glaube, dass mit "welch letzteres" einfach das Frobenius-Skalarprodukt gemeint war, und nicht die Tatsache, dass die Pauli-Matrizen eine Orthonormalbasis bilden. --Digamma (Diskussion) 20:59, 7. Okt. 2020 (CEST)
replies: text: Meine Unterstützung! Aber vllt lässt sich das Missverständnis durch Entkopplung lösen, bspw.: "Vermöge des letzteren ist übrigens \Complex^{2\times 2} ein Hilbertraum." ?? –Nomen4Omen (Diskussion) 21:18, 7. Okt. 2020 (CEST)
replies: text: Ah, ok. Dann muss erstens (syntaktisch) klargestellt werden, dass sich das nur auf das Skalarprodukt bezieht und zweitens die Frage geklärt werden, inwiefern es im Zusammenhang mit den Pauli-Matrizen überhaupt relevant ist, dass der \Complex^{2\times 2} durch die Definition des Frobenius-Skalarprodukts auf ihm ein Hilbertraum ist. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 01:57, 8. Okt. 2020 (CEST)
replies: text: Mir ist nicht wichtig, dass der Halbsatz drin bleibt. Ich wollte nur das Missverständnis ausräumen. Ich sehe auch nicht, warum es wichtig sein soll, dass der Matrizenraum durch das Skalarprodukt zum Hilbertraum wird. Endlichdimensionale Skalarprodukt-Räume sind ja immer vollständig und damit automatisch Hilberträume. Möglicherweise ist die Aussage aber für die Quantenphysik von Bedeutung. --Digamma (Diskussion) 20:11, 8. Okt. 2020 (CEST)
replies: text: Aus Quantenmechanik-Sicht sage ich mal: Zustände leben im Hilbertraum, nicht Operatoren (also die können natürlich auch in einem Hilbertraum leben, aber das ist egal). --Blaues-Monsterle (Diskussion) 22:06, 8. Okt. 2020 (CEST)
thread_title:   welch letzteres <math>\Complex^{2\times 2}</math> zu einem [[Hilbertraum]] macht 

message: Gleich nach der Überschrift "3.2 Die Quaternionen als Unterring von C4" beginnt ein Satz, bei dem offensichtlich der Anfang verloren gegangen ist. --Baiogrammaticus (Diskussion) 16:26, 16. Dez. 2022 (CET)
replies: text: Ist behoben. War ein Editunfall AD 2014. --Bleckneuhaus  (Diskussion) 16:38, 16. Dez. 2022 (CET)
thread_title:  verstümmelter Satz