Diskussion:Lokalisierung (Algebra)

message: Aus dem alten Artikel "Quotientenring":
:Die Aufnahme zusätzlicher Einheiten zu einem nichtkommutativen Ring ist möglich; die Voraussetzung, die in diesem Fall der Nichtnullteilereigenschaft entspricht (Öre-Bedingung), ist jedoch ziemlich kompliziert. 
Kopiert von --Gunther 12:35, 14. Mär 2005 (CET)

message: Ich habe den Artikel jetzt endlich umgebaut. Die algebraische Konstruktion steht nun an erster Stelle, dann erst kommt die kategorientheoretische. In der Einleitung steht, dass es hier um kommutative Ringe geht (da gehören die Moduln irgendwie dazu, denn sie stellen ein wichtiges Hilfsmitel in der Ringtheorie dar). Im Siehe auch gibt es einen Verweis auf die Ore-Bedingungen für nicht-kommutative Ringe. Ferner gibt es einen Verweis auf die Grothedieck-Gruppe, was eine analoge Konstruktion für kommutative Halbgruppen ist. Die in frühreren Diskussionen angesprochenen Monoide gehören wohl eher dorthin. Ich habe diesen Umbau einfach deshalb ohne weitere Diskussion vorgenommen, weil diese seit über einem Jahr schläft. Sollte sie wieder aufwachen, würde ich das sehr begrüßen. Kommt in der nächsten Woche kein Widerspruch, werde ich den Ü-Baustein entfernen  --FerdiBf 11:58, 9. Jan. 2011 (CET)
replies: text: Wieso wird nur die Lokalisierung eines kommutativen Rings mit 1 nach einem maximalen Ideal erwähnt, obwohl das so auch schon nach einem Primideal geht? Die Maximalität des Primideals wird dabei nicht benötigt, ist also nur ein Spezialfall. --RPI 02:07, 10. Jan. 2011 (CET)

text: Die Grothedieck-Gruppe ist außerdem nicht so ganz die analoge Konstruktion für kommutative Halbgruppen, denn bei der Lokalisierung wird in der Regel nicht auf dem kartesischen Produkt der Halbgruppe mit sich selbst eine Äquivalenzrelation definiert, sondern auf dem kartesischen Produkt der Halbgruppe mit einer echten Unterhalbgruppe, und das Ergebnis muss keine Gruppe sein, weil nicht jedes Element der Lokalisierung invertierbar ist. Denn seien U \subseteq S wie oben gegeben mit U \neq S, dann gibt es ein s \in S für das gilt: s \notin U. Also gibt es kein Inverses für \frac su \in U^{-1}S mit u \in U, weil \left(\frac su\right)^{-1} = \frac us = [(u,s)] nicht definiert ist wegen (u,s) \notin S\times U. S darf außerdem eine Null (absorbierendes Element) und Nullteiler enthalten. --RPI 18:37, 10. Jan. 2011 (CET)
replies: text:  Aber ist es nicht so, dass die Grothendieck-Gruppe ein Spezialfall der Konstruktion für Halbgruppen ist, indem man jedes Element invertieren will? Da das wohl so ist, gehören die von Dir angeregten Verallgemeinerungen dahin oder, je nach Umfang, sogar in einen eigenen Artikel. Die Lokalisierung für kommutative Ringe verdient wegen ihrer Wichtigkeit in der algebraischen Geometrie sicher einen eigenen Artikel. Schließlich habe ich, wie von Dir angeregt, den Abschnitt Lokalisierung nach einem maximalen Ideal auf Primideale umgeschrieben. Meiner Meinung nach sollte nun alles gut sein. --FerdiBf 20:32, 10. Jan. 2011 (CET)
replies: text:  Ja, die Grothendieck-Gruppe ein Spezialfall. Ein eigener Artikel zur Lokalisierung von Halbgruppen wäre eine Alternative. Weil ich aber in absehbarer Zeit leider immer noch nicht dazu kommen werde, kann man das erst einmal so lassen. Die Bezeichnung „Lokalisierung“ an Stelle von „Quotientenbildung“ finde ich zwar nach wie vor nicht glücklich, aber egal. – Schön, dass du dir die Mühe der Überarbeitung gemacht hast. --RPI 21:43, 11. Jan. 2011 (CET)
replies: text:  Lokalisierung ist ein durchaus nicht unüblicher Begriff für den Inhalt des Artikels, Quotientenbildung kann doch eher mit der Bildung des Quotientringes nach einem Ideal verwechselt werden. Es freut mich, dass wir einen Kompromiss gefunden haben. Der Ü-Baustein wird gleich von mir entfernt.--FerdiBf 22:01, 11. Jan. 2011 (CET)
thread_title:  Umbau 

message: Gegenwaertig steht im Artikel, dass (nur) bei der Lokalisierung an einem maximalen Ideal ein lokaler Ring entsteht. Die Lokalisierung an jedem Primideal ist jedoch ein lokaler Ring.
Ich entferne den Satz erst mal, dann kann man sich noch immer ueberlegen, wo mana m besten erwaehnen sollte, dass ein lokaler Ring entsteht.
-- 141.20.6.76 16:09, 6. Okt. 2011 (CEST)
thread_title:  Lokaler Ring