Diskussion:Dualraum

message: Im einleitendem Abschnitt steht, man könne Wirkung dualer Basisvektoren übersichtlich mit dem Kroneker-Delta so schreiben:
\langle x_{i}^{*},x_{j}\rangle=\delta_{ij}
das sehe ich aber nicht so. Das ist doch nur für normierte Basisvektoren so, oder nicht?
Genau das gleiche bei der Definition der dualen Basis etwas weiter oben:
Sei X=\left\{x_i\right\}_{i=1,2,...,n} eine endliche Basis von V, dann heißt X^*=\left\{x^*_i\right\}_{i=1,2,...,n} mit
:
x^{*}_i:	V\,	\rightarrow	K\, linear und
        	x\,	\mapsto    	\begin{cases} 1, & \text{falls} \; x = x_i \\ 0, & \text{falls} \; x = x_j \text{ mit} \;  j\neq i \end{cases}
die duale Basis zur Basis X und ist eine Basis des Dualraumes V^*.
Auch hier sehe ich nicht, dass die Definition von x^*_i hier auch für nicht normierte Basisvektoren von V gelten soll.
Alles zusammen würde das nämlich bedeuten, dass das Skalarprodukt eines Basisvektors von V mit sich selber immer 1 ist, sprich dass auch nicht normierte Basen normiert sind und das ist ein offensichtlicher Widerspruch. Oder habe ich hier einen Denkfehler? --Senior hombre 16:55, 5. Nov. 2009 (CET)
replies: text: Die Normiertheitsbedingung \|x_i\|=\|x_i^*\|=1 ist nicht nötig. Es genügt die Bedingung \langle x_{i}^{*},x_{j}\rangle=\delta_{ij}, denn mit dieser allein zeigt man sofort, dass für jedes x die Summe x-\sum_i \langle x_{i}^{*},x\rangle x_i im Kern von x_j^* liegt, für alle j (um das zu sehen, wenn einfach x_j^* auf diesen Ausdruck an. Im endlich-dimensionalen Fall folgt daraus bereits x=\sum_i \langle x_{i}^{*},x\rangle x_i. Ist damit alles klar? --FerdiBf 19:47, 5. Nov. 2009 (CET)
replies: text:  Das ist klar, ich meine nur das man für \langle x_{i}^{*},x_{j}\rangle=\delta_{ij} schon die Normiertheitsbedingung braucht, bzw., dass diese Äquivalent sind --Senior hombre 22:38, 5. Nov. 2009 (CET)
replies: text: Zur Basis x_1=(\frac{1}{2},0), x_2=(0,1) des \R^2 lautet die duale Basis x_1^*=(2,0), x_2^*=(0,1). Dabei ist für x=(a,b) und  x^*=(c,d) wie üblich \langle x^*,x\rangle = ac+bd. Was soll Normierung in diesem Zusammenhang überhaupt bedeuten? --FerdiBf 14:35, 8. Nov. 2009 (CET)
thread_title:  normierte Basis oder Nicht? 

message: Der einleitende Satz zum Abschnitt bidual
 - Da der Dualraum V' eines Banachraums wieder ein Banachraum ist, kann man den Dualraum des Dualraums, den sogenannten Bidualraum V betrachten.
scheint mir nicht ganz glücklich zu sein, weil er zu zwei Mißverständnissen führen könnte.
# Für die Definition des (topologischen) Dualraums muss V kein Banachraum sein. Im Prinzip reicht ein topologischer Vektorraum, weil man nur den Begriff der Stetigkeit braucht.
# Der (topologische) Dualraum ist nicht deshalb ein Banachraum, weil V ein Banachraum ist, sondern, weil L(V,W) ein vollständiger normierter Raum ist, wenn W ein Banachraum ist. Dies ist für R oder C der Fall. D.h. auch wenn wir den Dualraum eines normierten, aber unvollständigen Vektorraums betrachten, so ist dieser vollständig. Natürlich steht das etwas anders formuliert bereits im Abschnitt zum topologischen Dualraum.
Siehe hierzu z.B. Dobrowolski, Angewandte Funktionalanalysis, Springer.
-- 141.84.9.25 11:53, 18. Dez. 2009 (CET)
replies: text: Einige Formulierungen waren tatsächlich unglücklich. Ich habe den Bidual-Abschnitt überarbeitet, im Abschnitt Topologischer Dualraum eines normierten Raums habe ich die von Dir angeregte Formel V'=L(V,K) eingefügt. --FerdiBf 13:31, 20. Dez. 2009 (CET)
thread_title:  Bidualraum 

message: Im Artikel hei"st es
Da jeder endlich-dimensionale Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen isomorph zu einem Hilbertraum ist, sind endlich-dimensionale Räume stets selbstdual.
Was soll selbstdual hier hei"sen? 92.225.33.4 11:57, 24. Feb. 2010 (CET)
replies: text: Soll heißen: zu sich selbst dual. Ich habe das genauso im Artikel umformuliert.--FerdiBf 19:07, 24. Feb. 2010 (CET)

text: Der im Satz von Frechét-Riesz genannte Isomorphismus, der das Skalarprodukt verwendet, ist tatsächlich nur konjugiert-linear. Da der Raum und sein Dualraum aber gleichmächtige Basen haben, gibt es nach dem Satz von Fischer-Riesz auch im komplexen Fall C-lineare Isomorphismen; die sind halt nicht mit der durch das Skalarprodukt gegebenen Dualitätsbeziehung verträglich. Es bleibt aber richtig, dass ein Hilbertraum (auf nicht-kanonische Weise) zu seinem Dualraum isomorph ist; zu jeder Orthonormalbasis kann ein Isomorphismus angegeben werden. Ist (e_i)_{i\in I} eine Orthonormalbasis von H, so bilden die durch f_i:=\langle\cdot,e_i\rangle definierten Funktionale eine Orthonormalbasis von H'. Dann folgt H\cong \ell^2(I)\cong H\,'.--FerdiBf 09:32, 27. Feb. 2010 (CET)
replies: text:  Oh ja, ein guter Punkt -- vielen Dank. 92.225.90.188 19:19, 8. Apr. 2010 (CEST)
thread_title:  selbstdual 

message: Ich habe mir erlaubt, den Abschnitt über topologische Dualräume für topologische Vektorräume zu verallgemeinern. Jetzt ist mir noch folgendes ins Auge gestochen. Im Artikel steht:
:Da jeder endlichdimensionale Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen isomorph zu einem Hilbertraum ist, sind endlichdimensionale Räume stets zu sich selbst dual.
Dass diese Isomorphie in der linearen Algebra gilt, ist klar. Aber gilt das auch noch für topologische Vektorräume? -- PatrickC (Diskussion) 11:20, 10. Okt. 2012 (CEST)
replies: text: OK, hab's eingesehen. Der algebraische Isomorphismus ist auch ein topologischer, da es ja eine Abbildung auf endlichdimensionalen Räumen ist und deswegen stetig (mit stetiger Inverser). -- PatrickC (Diskussion) 12:26, 11. Okt. 2012 (CEST)
thread_title:  Topologische Vektorräume