Diskussion:Algebraische Zahl

message: Warum sind hier Algebraische Zahl im Gegensatz zu Transzendente Zahl beim Polynom rationale statt ganzzahlige Koeffizienten gefordert? Sollte die Definition nicht möglichst einfach sein? Bzw. wäre es nicht schön - auch als Laie - direkt zu sehen, daß dies natürlich die gleichen Polynome sind?
: Stimmt. Ich wär auch dafür, nur Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten zu nehmen. Ehe ich das nun aber ändere, warte ich noch mal ab, ob jemand, der für rationale Koeffizienten ist, dies vielleicht auch gut begründen kann. :-) --RokerHRO 10:53, 15. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Ich kann mich da nur anschließen. Alternativ ließe sich ein normiertes Polynom ( a(n)=1) mit rationalen Koeffizienten verwenden. Bei der Gelegenheit ist mir aufgefallen, dass die Bedingung n>0 fehlte um f(x) = 0 auszuschließen. Das habe ich aber bereits korrigiert. --labus 15:53, 1. März 2008 (CET)

text: Die Def. mit ganzzahligen Koeffizienten wäre auch in meinen Augen schöner. In der Literatur bin ich bis jetzt aber meistens auf die rationale Variante als erste Def. gestoßen, und sie wird nicht nur im Nachsatz als Alternative angeboten. Ich finde, die Wikipedia-Darstellung sollte damit einheitlich und auch intern konsistent mit den anderen Artikeln sein. Übrigens war der Artikel nicht an die ganzzahlige Definition angepasst worden: die Alternativdefinition lautete ebenfalls noch auf ganzzahlig, die Grad-Definition verwendete noch rationale Koeffizienten und die bisherige Def. der ganzalgebraischen Zahlen passte sprachlich auch besser zur alten Version. Wenn die endgültige Definition festliegt, sollte der gesamte Artikel entsprechend angepasst werden. Ich habe die Def. fürs erste auf rationale Koeffizienten zurückgestellt, um die Missverständnisse zu vermeiden. --ezdvf 14:11, 6. Juni 2008 (CET)
thread_title:  (Frage 1) 

message: Es ist etwas verwirrend, dass im Artikel geschrieben wird "ist eine komplexe Zahl", da viele Leute, die mathamtisch nicht ganz fit sind, denken werden, dass damit eine Zahl gemeint ist, deren komplexer Anteil unbedingt ungleich null ist - dass also eine algebraische Zahl keine relle sein darf. Und das ist falsch, wenn mich nicht alles täuscht - hat jemand eine Idee, wie man das umformulieren kann? Betrifft ebenfalls Transzendente Zahl--Liquidat 01:26, 1. Mai 2005 (CEST)
replies: text: Ist es so besser? Ausgesprochen hübsch ist es nicht.--Gunther 01:48, 1. Mai 2005 (CEST)
replies: text: Nicht hübsch, aber besser. --Liquidat 02:16, 1. Mai 2005 (CEST)
thread_title:  Komplexe Zahl? 

message: Eine kurze Frage. Im Artikel steht: "Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar und bildet einen Körper."
Wenn man nur  die algebraischen Zahlen n-ten Grades betrachtet: Bilden die irgendwas? Eine Gruppe oder so? (Vielleicht ist das ja gemeint und ich habe es nur falsch verstanden. Ich kann mich allerdings dunkel erinnnern, dass wir in einem Zahlentheorie-Seminar einmal genau diese Zahlen btrachtet haben.) --Yuuutsuna 16:59, 7. Jun 2006 (CEST)
replies: text: Betrachte die Zahlen \sqrt2 und 1+\sqrt3. Sie haben beide Grad 2, aber ihre Summe und ihr Produkt haben beide Grad 4. Ich sehe nicht, dass die Menge eine vernünftige Struktur besäße.--Gunther 17:10, 7. Jun 2006 (CEST)
thread_title: Algebraische Zahlen <math>n</math>-ten Grades

message: Am Anfang des Artikels definieren wir die algebraischen Zahlen als gewisse komplexe Zahlen,  Später steht dann 
Dieser Körper ist ein minimaler algebraisch abgeschlossener Oberkörper von \mathbb Q und ist damit ein algebraischer Abschluss von \mathbb Q. [....] Dieser Körper hat viele Automorphismen, und jeder davon liefert eine Einbettung in die komplexen Zahlen \mathbb C .  Das heißt, es gibt keine kanonische Einbettung, sondern man hat bei der Zuordnung von algebraischen Zahlen zu komplexen Zahlen gewisse Freiheiten. 
Das passt nicht ganz zusammen.  Wenn man die Menge der algebraischen Zahlen als Teilmenge der bereits definierten komplexen Zahlen auffasst, gibt es sehr wohl eine kanonische (oder jedenfalls ausgezeichnete) Einbettung, nämlich die Inklusion.   
Wenn hingegen K  ein beliebiger algebraischer Abschluss von \mathbb Q ist (also ein minimaler algebraisch abgeschlossener Erweiterungskörper von \mathbb Q; alle solchen Erweiterungskörper sind isomorph, aber im Allgemeinen ohne kanonische Isomorphismen), dann gibt es tatsächlich keine kanonische Einbettung in die komplexen Zahlen.   Da jede solche Einbettung als Wertebereich genau die algebraischen Zahlen hat, könnte ich den letzten Satz auch so formulieren: es gibt viele Einbettungen von K in die algebraischen Zahlen aber keine kanonische, bzw: es gibt viele  Isomorphismen zwischen K und den algebraischen Zahlen, aber keinen kanonischen. 
--Wuzel 11:32, 17. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Kanonische Einbettung 

message: In der Definition ist von rationalen Koeffizienten die Rede. Könnte man nicht auch ganze Zahlen nehmen, da jedes Polynom mit rationalen Koeffizienten durch Multiplikation  mit dem Hauptnenner auf eins mit ganzzahligen Koeffizienten gebracht werden kann, ohne dass sich die Nullstellen ändern? --Jobu0101 19:52, 29. Aug. 2008 (CEST)
thread_title:  rationale Koeffizienten 

message: ich zitiere mal:
"Ein Resultat der Galoistheorie ist, dass zwar jede komplexe Zahl, die man aus rationalen Zahlen durch Verwendung der Grundrechenarten +,-,*,/ und Ziehen n-ter Wurzeln (n eine natürliche Zahl) erhalten kann (man nennt solche Zahlen "durch Radikale darstellbar"), algebraisch ist, umgekehrt aber algebraische Zahlen existieren, die man nicht in dieser Weise darstellen kann; alle diese Zahlen sind Nullstellen von Polynomen des Grades ≥ 5."
Kann das mal bitte anhand eines Beispieles näher erklärt werden ? Das bedeutet, ich würde gerne mal eine algebraische Lösung eines Polynoms 5. oder höheren Grades sehen die NICHT wie voranstehend beschrieben darstellbar ist. Wie stellt man sie denn nun überhaupt dar ? 141.52.232.84 11:59, 18. Dez. 2008 (CET)
replies: text: Die Frage ist zwar schon sehr alt, aber der Vollständigkeit halber: Man stellt sie in Form des Polynoms dar, wie z.B. x\in\mathbb R_+\ \wedge\ x^{12}+3x-5=0. Das beschreibt genau ein x\in\mathbb R. Einen expliziten Ausdruck im Sinne von x=\dots gibt es dafür nicht. (Das Polynom ist jetzt mal so ins Blaue geraten, aber es wäre schon höchst erstaunlich, wenn ich ausgerechnet eines mit darstellbarer Nullstelle erwischt hab.) --DrPhimor (Diskussion) 15:14, 22. Aug. 2019 (CEST)
thread_title:  Galoistheorie 

message: Es ist widersprüchlich, oben zu sagen, dass die algebraischen Zahlen eine Teilmenge von C sind und unten dann zu behaupten es gäbe keine kanonische Einbettung. Als Teilmenge von C ist natürlich die Inklusion die kanonische Einbettung. Mir ist schon klar, was gesagt werden soll: dass sich der abstrakt gebildete algebraische Abschluss von Q nicht kanonisch einbetten läast, aber so ist das falsch.--Frogfol (Diskussion) 02:31, 8. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Sehe gerade, dass Wuzel dasselbe schon moniert hat, hat sich aber in den vier Jahren seitdem nix getan :-(--Frogfol (Diskussion) 03:06, 8. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Ich lösch den einen Absatz mal. Es gibt vorher einen Verweis auf algebraisch abgeschlossene Körper, da ist das alles genauer erklärt. Hier stiftet das mE eher Verwirrung. Wie Wuzel oben richtig schreibt, müsste man für die hier gemachte Aussage erst einen beliebigen Abschluss einführen, um von dem dann zu sagen, dass er keine kanonische Einbettung hat; und dann ist man wirklich bei einem anderen Thema, nämlich algebraisch abgeschlossen.--Frogfol (Diskussion) 14:57, 18. Aug. 2012 (CEST)
thread_title:  kanonische Einbettung 

message: Wie verhält es sich denn, wenn die Koeffizienten des Polynoms nicht rational, sondern Wurzel einer natürlichen Zahl sind? Gelten die daraus resultierenden NSt. nicht grundsätzlich als algebraisch?
:Das ist zwar nicht die Definition, man kann aber beweisen, dass die Nullstellen in diesem Fall auch wieder algebraisch sind. Das ist aber ein Satz und keine Definition.—Hoegiro (Diskussion) 09:49, 28. Jul. 2020 (CEST)
thread_title: Definition

message: beweist (mit Gauss), dass eine ganze algebraische Zahl entweder eine ganze Zahl oder irrational ist. --Ralf Preußen (Diskussion) 15:41, 30. Jul. 2020 (CEST)
thread_title:  entweder ganze Zahl oder irrational