Diskussion:Banach-Tarski-Paradoxon

message: '''Verständliche Version für den Laien:''' Habe den für den Laien verständliche Teil nach vorne geholt, von allen Fachbegriffen (Einheitskugel, '''R'''<sup>3</sup>) befreit und partiell umformuliert. Die Fachleute können sich weiter unten austoben ;-) [[Benutzer:Wolfgangbeyer|Wolfgangbeyer]] 23:36, 21. Jan 2004 (CET)

message: Habe hinsichtlich der erfoderlichen Mindestzahl von Teilen für die Kugelzerlegung unterschiedliche Werte in der Literatur gefunden. Manchmal wird 5 und manchmal 6 genannt. Habe hier 6 gewählt, um auf der sicheren Seite zu sein. Wer weiss die richtige Anzahl? Irgend jemand hat mir auch berichtet, dass in diesem Fall eine Teilmenge lediglich der Kugelmittelpunkt sei. Ist aber keine sehr verlässliche Information, da schon so lange her.Wolfgangbeyer 00:57, 30. Jan 2004 (CET)
replies: text: Bin wohl zu sehr Laie, habe aber eigentlich nicht so genau verstanden worum es geht. Eine Kugel lässt sich in zwei gleichgroße Kugeln aufteilen. Das ist paradox. Kann ich nachvollziehen. Mir ist aber weder der Beweis klar, noch wie man auf die Idee kommt. Vielleicht ist es zu viel verlangt, aber möglicherweise auch ein Ansporn an die Fachkundigen hier noch etwas anschaulicher zu werden. Auch das "scheinbar" habe ich nicht verstanden. Ist es nun paradox oder nicht. Mhh. Ahnungslos, 82.83.0.235 01:09, 30. Jan 2004 (CET)
replies: text: :Ich versteh das im Groben so, dass die Kugel ja aus unendlich vielen Punkten besteht. Diese unendlich Punkte kann ich ja in zwei Hälften teilen. Das sind dann aber zwei mal unendlich viele Punkte. Und die kann ich dann wieder beliebig zusammensetzen. Z.B. zu zwei neuen Kugeln. Scheinbar paradox ist das Ganze, denk ich, weil es einem anschaulich nicht in den Kopf will, aber mathematisch beweisbar ist. Ak
replies: text: ::Aber wieso muss ich dann in 5-6 Teile teilen. Laienhaft: Nehme ich halt einfach jeden zweiten Punkt und schon habe ich zwei Kugeln. Wie gesagt, etwas mehr Anschaulichkeit im Text wäre toll. 82.83.0.235 01:27, 30. Jan 2004 (CET)
replies: text: :::Würde man jeden zweiten Punkt nehmen, dann hätten die beiden neuen Kugeln an den entsprechenden Stellen Lücken. Im Text steht aber ausdrücklich " .. zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen .. ". Ganz abgesehen davon ist es nicht möglich jeden zweiten Punkt zu nehmen, denn das würde voraussetzen, dass jeder Punkt einen eindeutigen Nachbarn hat. Hat er aber nicht, denn zwischen zwei beliebig eng benachbarten Punkten liegt immer noch ein weiterer, genaugenommen sogar unendlich viele, wenn man dieses Argument wiederholt anwendet. Zur Frage weiter oben: Es liegt im Wesen der meisten Paradoxa, nur scheinbar zu sein, und sich bei genauerer Betrachtung als nicht paradox aufzulösen. Denn die Natur ist nun mal nicht in sich widerprüchlich. So auch hier. Habe aber diese vielleicht etwas irritierende Formulierung beseitigt Wolfgangbeyer 19:09, 31. Jan 2004 (CET)

message: Ich habe mal in der Uni mit 2 anderen Studenten zusammen den Beweis nachvollzogen (mit 30 Teilen) (um den Beweis einmal vollständig vorzuführen haben wir 6 Stunden gebraucht). Es sollte deutlicher gesagt werden, daß der Satz von Banach-Tarski ohne das Auswahlaxiom nicht auskommt. Banach und Tarski haben eine Zerlegung der Einheitskugel in mehr als 6 Teile gefunden, mit denen der Beweis möglich ist. Später dann wurde eine Zerlegung in 5 Teile gefunden, mit der das möglich ist (hab die Zerlegung auch gesehen, dh. ihre Beschreibung mittels Auswahlaxiom ;), hab mir den Beweis zu den 5 Teilen aber nicht angeschaut, weil der noch schwerer ist..). Im übrigen ist es nicht nur beweisbar, daß diese Zerlegung existiert, es ist auch beweisbar, daß sie nicht direkt angegeben werden kann. Ishka 05:41, 1. Mär 2004 (CET)
replies: text: So besser? Hab den Hinweis aufs Auswahlaxiom nach vorn geholt und die Nicht-Angebbarkeit der Teile genannt. Wenn du weiter Verbesserungsmöglichkeiten siehst, editiere den Artikel nach deinen Vorstellungen. --SirJective 11:13, 1. Mär 2004 (CET)
Achja, da kommt mir wieder eine Frage, die ich stellen wollte: Im Text steht " .. zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen .. ". Sind die Kugeln tatsächlich lückenlos - enthalten also jeden Punkt, den ich erwarten würde - oder ist die "Lückenmenge" bloss eine Nullmenge? --SirJective 11:16, 1. Mär 2004 (CET)

text: Habe alles noch mal etwas umgestellt und sprachlich überarbeitet. Ich finde bis zur Formulierung des Satzes selbst sollte auch der interessierte Laie folgen können. Die Erwähnung des Auswahlaxioms ohne Erläuterung hängt ihn aber ab. Habe daher diese Passage wieder hinter den Satz gestellt, aber oben schon mal den Begriff Messbarkeit eingeführt. Ferner hing die Erwähnung von Rd in der Luft, da d ja erst im Satz definiert wird. Ich bin nur Physiker und kenne die Details des Beweises selbst nicht. Benötigt man das Auswahlaxiom tatsächlich für den Beweis der Existenz nicht messbarer Mengen oder nur irgendwo anders im Verlauf der Beweisführung des Satzes von Banach-Tarski? Zu SirJective Frage: Ich bin eigentlich davon ausgegangen, dass da keine Lücken sind. Alles andere würde mich doch ziemlich enttäuschen ;-) Wenn ich mir den Wortlaut des Satzes ansehe, wäre doch bereits eine Lücke von nur einem einzigen Punkt ein Widerspruch zum Satz oder nicht? Aber ich bin wie gesagt kein Mathematiker. Wolfgangbeyer 00:23, 2. Mär 2004 (CET)

text: Hallo Ishka, wir sind uns alle einig, dass das Auswahlaxiom hier wichtig ist. Dem Umstand, dass Du schreibst Hinweis auf Auswahlaxiom wieder hinzugefügt  entnehme ich aber, dass Dir entgangen ist, dass ich es nicht entfernt  sondern nur verschoben hatte und zwar mit Begründung hier auf der Diskussionsseite, die sich inhaltlich mit dem deckt, was unter Wikipedia:Wie_schreibe_ich_einen_guten_Artikel im Abschnitt Verständlichkeit zu lesen ist. Ferner fand ich die Formulierung (wenn man nur in ZF arbeitet, ...  nicht gerade toll. Für welchen Leser schreiben wir hier? Ganz abgesehen davon, dass man Text in Klammern vermeiden sollte, wie in Wikipedia:Wie_schreibe_ich_einen_guten_Artikel Abschnitt Stil erwähnt. Wolfgangbeyer 20:39, 3. Mär 2004 (CET)

message: Darf ich vorschlagen, den Artikel in zwei Bereiche zu gliedern - einen "allgemeinverständlichen" und einen präzisen? Letzteren mitsamt der Beweisidee (s. den englischen Artikel). Im ersten Abschnitt kann dann das Auswahlaxiom von mir aus unerwähnt bleiben, es sollte dafür im zweiten umso deutlicher hervorgehoben werden. --SirJective 22:22, 3. Mär 2004 (CET)
replies: text: Gute Idee. Wäre im Prinzip auch gar nicht dagegen, relativ weit oben zu erwähnen, dass die ganze Angelegenheit auf einem in der Fachwelt umstrittenen Axiom beruht. Mir war dieser Umstand bisher nicht bekannt. Habe es erst eben unter Auswahlaxiom erfahren. Dachte immer, in der Mathematik gäbe's (so gut wie) keine Meinungsverschiedenheiten. Würde mich sehr interessieren, wie groß der Anteil der Mathematiker ist, die dieses Axiom ablehnen. Hat da jemand eine Vorstellung von? Wolfgangbeyer 22:52, 3. Mär 2004 (CET)

message: Habe den 3. Absatz, den 128.97.70.87 (01:19, 21. Apr 2004) eingefügt hatte, durch einen einzigen Satz im 2. Absatz ersetzt. Er enthielt viele Sätze aber kaum Informationen, die über das hinausgehen, was schon im 2. Absatz stand. Blähte den Artikel nur unnötig auf. Und Galileo-Transformation? Gemeint war wohl Galilei-Transformation, aber die enthält eine hier völlig irrelevante Geschwindigkeit und es fehlen ihr die Drehungen, so dass das hier nicht die angemessene Transformation sein kann. --Wolfgangbeyer 17:56, 28. Apr 2004 (CEST)
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Der Hinweis, das "In diesem Sinne die Quadratur des Kreises" möglich sei, halte ich für sachlich falsch. Zumindest muss deutlicher herauskommen, das das klassische Quadraturproblem mit Zirkel und Pi und Lineal so nicht gelöst werden kann. - ToD
replies: text: Ich bin davon ausgegangen, dass die Formulierung "in diesem Sinne" die Sache bereits ausreichend relativiert. Aber ich habe zur Sicherheit noch ein paar Worte hinzugefügt. --Wolfgangbeyer 17:44, 1. Mär 2005 (CET)
Das Problem der Quadratur des Kreises ist ein Quadrat zu finden, dass Inhaltsgleich zu einem gegebenen Kreis ist. Das führt zur Frage wie man Pi konstruieren kann, und Lindeman hat gezeigt, dass dies gar nicht geht, da Pi transzendent ist. 
Banach Tarski in der Ebene (habe ehrlich gesagt keine Ahnung von diesem Beweis) Zeigt, dass zwei beinahe beliebige Funktionen "deckungsgleich" sind. Das dadurch auch Quadrat und Kreis Deckungsgleich sind ist zwar korrekt, jedoch ist der Verweis auf Quadratur des Kreises hier mathematisch sehr irreführend. Es ist auch ohne diese Methode analytisch möglich den Kreis zu quadrieren. Der Punkt ist, dass Pi nicht algebraisch ist. (nicht signierter Beitrag von 93.232.211.234 (Diskussion | Beiträge) 19:53, 22. Nov. 2009 (CET)) 

text: Ist das an dieser Stelle nicht eh Blödsinn? Wenn ich das richtig verstanden habe, kriegt man über Banach-Tarski doch nur raus, daß es ein zum Kreis flächengleiches Quadrat gibt, aber die Zerlegung nicht konkret angegeben werden kann - was aber genau das ist, was man bei der Quadratur des Kreises eigentlich haben will. Hilft hier also kein Stück weiter. --MOW (Diskussion) 01:57, 30. Okt. 2012 (CET)
Ich habe den Begriff der Bewegung mit der Definition verlinkt. Ich gehe davon aus, dass die Kongruenzabbildung das sit, was hier gemeint ist. (?)

message: Man könnte doch das :en:Image:Tarski.png auf Commons stellen (wer hat einen account?) und hier dann einbinden? --Thire 15:51, 20. Jul 2005 (CEST)
replies: text: Ist das Bild denn wirklich sinnvoll? Das wesentliche ist doch für die Augen verborgen ;-) --Gunther 16:07, 20. Jul 2005 (CEST)
thread_title:  Bild 

message: === Banach-Tarski-Paradoxon 4. November 2005===
Hier eventuell eine ergänzende Vorbemerkung vom Vorschlagenden (Artikel aus dem Review, Artikel ist im Rahmen des Projektes XY ausgebaut worden ...) 192.53.103.105 12:27, 4. Nov 2005 (CET)
thread_title: Aus der beendeten "Exzellenz"-Kandidatur

message: Hier eventuell eine ergänzende Vorbemerkung vom Vorschlagenden (Artikel aus dem Review, Artikel ist im Rahmen des Projektes XY ausgebaut worden ...) 192.53.103.105 12:27, 4. Nov 2005 (CET)
thread_title:  [[Banach-Tarski-Paradoxon]] 4. November 2005

message: Das Banach-Tarski-Paradoxon oder auch Satz von Banach und Tarski ist eine Aussage der Mathematik, die auf verblüffende Weise demonstriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern lässt.
* Antifaschist 666 19:57, 1. Dez 2005 (CET)
replies: text: Naja, ich würde in diesem Falle mal nicht von blinder Kandidaturwut sprechen. Der Artikel ist sicherlich noch weit von einem Lesenswerten entfernt (auch wenn Oma-Verträglichkeit hier angeblich nur ein nice-to-have ist), aber er hat vor kurzem bei den Exzellenten Kandidiert, und ist dort durchgefallen. Zwar kann ich zugegebenermaßen das Pro von AF für diesen Artikel nicht nachvollziehen, und ich hätte den Artikel sicherlich nicht hier vorgeschlagen, aber die Kandidatur an sich halte ich für prinzipiell gerechtfertigt. (wenn man sich den Artikel nicht ansieht und nur die gescheiterten Exzellenten hier vorschlägt) Regnaron 20:20, 6. Dez 2005 (CET)
replies: text: Auch wenn das nicht das geeignete Diskussionspodium für diese Angelegenheit ist. Es ist eine Tatsache, dass AF fließbandartig Artikel nach etwas kruden Kriterien hier zur Kandidatur stellt. Bereits die Kandidatur für ExAr war ein Treppenwitz, der durch die Kandidatur bei den LeAr nicht besser wird. Und wenn man einen gescheiterten Exzellenten hier reinstellt, dann erwarte ich von demjenigen, dass er die Substanz prüft. -- Wladyslaw 14:42, 7. Dez 2005 (CET)
thread_title: Lesenswert-Diskussion Dez. 2005

message: "Eine Kugel kann in endlich viele Teile zerlegt werden, aus denen sich zwei Kugeln von der Größe des Originals zusammensetzen lassen." --- Ich denke, dass man an dieser Stelle mit dem begriff "Größe" nichts anfangen kann.  --888344
:Habe mal nachgebessert. War das der Grund für Dein Problem? Bei der Ausgangskugel und den beiden "Ergebniskugeln" handelt es sich um völlig normale Kugeln. "Größe" wäre lediglich bei den Teilmengen problematisch, in die man erstere zerlegt. --Wolfgangbeyer 00:12, 24. Jul. 2007 (CEST)
replies: text: Sind die Ausgangskugel und die Ergebniskugeln wirklich "gleich"? Das würde ja bedeuten, dass man aus einer Ausgangskugel beliebig viele Kugeln erzeugen kann, indem man das Verfahren auf die Ergebniskugeln anwendet. --Kucharek 10:01, 31. Aug. 2010 (CEST)
replies: text:  Genau so ist es. -- Digamma 11:46, 31. Aug. 2010 (CEST)
thread_title:  Größe 

message: Wir tun gut daran, die Ebenen sauber auseinanderzuhalten! Anfangs klappte das ja noch ganz gut; so wird zutreffend herausgearbeitet, dass es um Schwierigkeiten zwischen mathematischen Begriffen einerseits und gleichnamigen Begriffen in der Anschauung andererseits geht. Später heißt es dann aber: "...demonstriert, dass das mathematische Modell des Raumes als Punktmenge in der Mathematik Aspekte hat, die sich in der physischen Realität nicht wiederfinden."
Achtung: Es geht nicht um Züge der "physischen Realität", was immer das genau sein mag (es sei denn, ein reduktionistischer Materialist spricht, der die ganze Welt für eine Verhaltensform von reiner Physis hält)! Worum es geht, ist die Diskrepanz zum _Anschauungsraum_! Für den physischen Raum ist als Wissenschaft die Physik zuständig, die ihren Gegenstand empirisch untersucht; dabei kommt dann ein Gerüst heraus, von dem aus man Orte markiert, nach Regeln Messungen vorimmt, und die Ergebnisse dieser Messungen. Zu denen versucht man dann, eine mathematische Struktur zu finden, die möglichst gut dazu passt. Dabei wird dann auch schamlos interpoliert und extrapoliert. Geht es, wie hier, ums "ganz Kleine", müsste man physikalisch auch die entsprechenden Werkzeuge auspacken wie Lupen, Mikroskope,... Wenn man die aber einsetzt, muss sichergestellt sein, dass sie den Raumausschnitt auch wirklich widerspiegeln, sonst wird unsere Forschung fehlgehen. Wir müssen also eine Theorie unserer optischen Geräte zur Verfügung haben - und haben dabei eine Theorie des Raumes massiv verwendet. (Der Physiker hat eh schon seinen Knacks weg durch das empirische Ergebnis, dass der Raum lt. Allg. Relativitätstheorie vierdimensional ist, er aber nur dreie sehen kann.) Nein; hier geht es um das, was uns vorschwebt, wenn wir die Augen schließen und _direkt_ beurteilen, ohne einen Instrumentenkoffer auszupacken mit dem zugehörigen Manual. Und das wendet sich auch nicht an den Mathematiker. Der ist ebenfalls leidgeprüft und hat schon im ersten Semester gelernt, Elemente eines z. B. 25dimensionalen Raumes hinzuschreiben; der hat schon genug pathologische Mengen und Funktionen gesehen und erfahren, dass die Größe der Fläche unter der charakteristischen Funktion einer Menge davon abhängen kann, ob man gemäß Riemann, Lebesgue oder Stieltjes integriert; dem schwant schon, was das Zusammenspiel von Menge und Maß aus- bzw. anrichten kann.. Nein: wer hier gebeutelt wird, das ist nicht der Fachwissenschaftler, sondern der "naive" Privatmensch, der nur und unwillkürlich mit dem arbeitet, was ihn als Mensch spontan anwandelt: seine räumliche Vorstellung. SIE ist bei dem Paradonon(?) der Antipode der mathematischen Rechnerei. SIE müsste im obigen Satz stehen; oder "Anschauungsraum"! - Yog-S, 149.225.72.31 03:31, 22. Okt. 2009 (CEST)
thread_title:  Vorsicht mit den Ebenen! 

message: Gibt es da auch irgendeinen Beweis, dass kein endlich additives, nichttriviales Maß, das invariant unter Kongruenzen ist, existiert? Die Konstruktion über Vitali-Mengen zeigt ja nur, dass es kein richtiges (σ-additives) Maß gibt. --Chricho ¹ ² 18:10, 1. Jun. 2012 (CEST)
replies: text: Im ein- und und zweidimensionalen gibt es solche endlich additiven Maße (also Inhalte), ab Dimension 3 gibt es auch keine Inhalte mehr, siehe z. B. . -- HilberTraum (Diskussion) 09:15, 7. Jun. 2012 (CEST)
replies: text: Danke, könnt man vllt. gut hier irgendwo einbauen. --Chricho ¹ ² ³ 23:43, 6. Aug. 2012 (CEST)
thread_title:  Wie sieht es eigentlich im 1-dimensionalen aus? 

message: In dem Satz von Laczkovich – sind mit Flächen bestimmte Mannigfaltigkeiten gemeint? Offene, beschränkte Teilmengen des \R^2 mit hinreichend glattem Rand? --Chricho ¹ ² ³ 23:14, 11. Aug. 2012 (CEST)
thread_title:  Flächen 

message: Im Prinzip wird die Menge der Randpunkte einer Kugel in zwei Teile zerlegt, und dann Abbildungen angegeben, die jede der beiden "Hälften" auf eine vollständige Kugeloberfläche abbilden.
Das geht auch einfacher: Benutze ein Koordinatensystem wie z.B. die geographischen Koordinaten der Erde: (l,b), b als Winkelmaß für die Länge, b für die Breite (ich verzichte auf griechische Buchstaben, weil das leichter zu tippen ist). Mit der Abbildung (l,b) -> (2*l,b) kann sowohl die "östliche" (b>0) wie die "westliche" (b<0) Hälfte der Kugeloberfläche auf die vollständige Kugel projiziert werden, nur die Pole werden nicht verdoppelt. Soweit die "Beweisskizze", die Lücken in der Darstellung (z.B. b=0°) lassen sich leicht schließen.
Ist im Prinzip kein anderes Vorgehen als bei Banach-Tarski, nur ist das Verfahren bei meinem Beispiel so einfach, dass "jeder sieht, woher das zusätzliche Volumen kommt", während Banach/Tarski das so kompliziert machen, dass der "Trick" nicht mehr zu sehen ist.
Und mein Verfahren kommt sogar ohne Auswahlaxiom aus ;)
Punktmengen haben eben nur dann ein Volumen, wenn sie dreidimensional zusammenhängend sind. Auch eine Hilbertkurve hat zwar die Dimension 2, aber noch keinen Flächeninhalt.
-- 84.175.79.228 23:11, 8. Jul. 2015 (CEST)
replies: text: Der Punkt ist, dass nichts projiziert wird: Es wird nur verschoben. Wenn man beliebige Abbildungen zulässt, ist es trivial, dann erzeugt x -> 2x einfach eine doppelt so große Version der ursprünglichen Form. Aber dann ändert man eben Abstände zwischen Punkten. --mfb (Diskussion) 23:47, 8. Jul. 2015 (CEST)
replies: text:  Es wird nicht nur verschoben, sondern vor Allem rotiert. Nicht das Auswahlaxiom ist kontraintuitiv, sondern bereits die Tatsache, dass Rotationen die allgemein bekannte Aussage "unendliche Mengen sind zu einer echten Teilmenge bijektiv" räumlich nachbilden können - und zwar auf beschränktem Raum (Hilberts Hotel auf einem Kreis). (nicht signierter Beitrag von Damluk (Diskussion | Beiträge) 08:47, 13. Jul 2015 (CEST)
replies: text: Ja gut, rotiert natürlich auch, was streng genommen nicht unter verschieben fällt. Aber es wird eben nicht skaliert. --mfb (Diskussion) 11:40, 13. Jul. 2015 (CEST)

text: Außerdem: Es wird nicht nur die Kugeloberfläche verdoppelt, sondern die gesamte Kugel. --Digamma (Diskussion) 17:29, 9. Jul. 2015 (CEST)
thread_title:  Worin besteht das Paradoxon? 

message: …hat heute einen passenden Cartoon https://www.smbc-comics.com/comic/geometry-2 —MBq Disk 06:58, 29. Sep. 2023 (CEST)
replies: text: Das hat nichts mit dem Banach-Tarski-Paradoxon zu tun. --Digamma (Diskussion) 15:22, 30. Sep. 2023 (CEST)
thread_title:  Saturday Morning Breakfast Cereal