Diskussion:Riemannscher Umordnungssatz

message: Im angegeben Otto Forster, Analysis I ist diese Aussage als Aufgabe formuliert. Das sollte als Quelle genügen. Die bisher gar nicht belegte Verallgemeinerung auf den R^n habe ich in einen eigenen Artikel ausgelagert, dort gibt es die zugehörigen Quellenangaben. Die Auslagerung halte ich für geboten, da die Übergang von R zu R^n für viele Leser mit nur mäßigen Schulkenntnissen in Mathematik sicher eine Grenze darstellt. Den Quellenbaustein habe ich daher entfernt.
Ferner habe ich dem im vorangegangenen Diskussionspunkt geäußerten Erweiterungswunsch entsprochen.--FerdiBf 12:53, 29. Mai 2008 (CEST)
replies: text: Der Beweis steht bei Heuser, Teil I, S. 198-199 in der 15. Auflage. --Jckr 14:18, 23. Aug. 2008 (CEST)
thread_title:  Belege 

message: Es existiert genau eine Umordnung zu jeder reelen Zahl? --80.240.225.83 10:39, 14. Jan. 2011 (CET)
replies: text: Natürlich nicht, du kannst die ersten paar Summanden problemlos vertauschen. --Tolentino 07:27, 15. Jan. 2011 (CET)
thread_title:  Eindeutigkeit 

message: Die Reihe s_n := \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2(2k - 1)} - \frac{1}{4k}\right) hat für jedes n \in \N\setminus\{0\}\, positive und negative Summanden im Verhältnis 1 : 2 (statt 1 : 1 wie in der Ursprungsreihe \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}), wenn man ihre Glieder in einzelne Summanden auflöst. Für das n, für das s_n die gleiche Anzahl Summanden hat wie die Ursprungsreihe, kann s_n daher nicht mit der Ursprungsreihe übereinstimmen bzw. aus deren einfacher Umordnung entstanden sein.--Boris Haase 19:29, 25. Jan. 2012 (CET)
replies: text: Doch, bei einer Permutation von \N können sich die Verhältniszahlen der geraden zu den ungeraden Zahlen (also hier der positiven und negativen Summanden) unter den ersten n umgeordneten Zahlen durchaus ändern, wie ja das Beispiel im Artikel zeigt. -- HilberTraum 14:59, 28. Jan. 2012 (CET)

text: Nein, wie ich bereits oben geschrieben habe, wird dieses eben von einer Umordnung \sigma nicht gefordert, sondern nur, dass es zu jedem j \in\N_0 genau ein i\in\N_0 gibt mit \sigma(i)=j, also dass \sigma bijektiv ist. -- HilberTraum 16:40, 29. Jan. 2012 (CET)

text: Nein, mehr als dir sagen, wie es ist kann, ich auch nicht. Hast du dir das Beispiel überhaupt angesehen? Welche Summanden sollten da gegen andere ausgetauscht sein? Da kommt -\tfrac{1}{42} genauso wie \tfrac{1}{4711} in beiden Reihen genau einmal als Summand vor ;-) -- HilberTraum 18:24, 30. Jan. 2012 (CET)

text: Boah, diese fiesen transnatürlichen Zahlen haben die ganze Mathematik unterwandert! Vielleicht war aber auch dieser Riemann in Wirklichkeit Mitglied bei den Illuminaten und wollte mit seinem falschen Beweis heimlich darauf aufmerksam machen, dass deren Führung durch Aliens ausgetauscht worden ist ;-) -- HilberTraum 14:20, 31. Jan. 2012 (CET)
thread_title:  Widerlegung des Beispiels 

message: Momentan ist als wesentliche Voraussetzung bedingte Konvergenz der Reihe angegeben. Das leitet weiter auf Steinitzscher Umordnungssatz (warum ?), dort wird unbedingt konvergent so definiert, dass alle Umordnungen der Reihe den gleichen Grenzwert haben, und bedingt konvergent als konvergent, aber nicht unbedingt konvergent. Das ist bestenfalls verwirrend, wenn nicht sogar falsch. Wenn mich nicht alles täuscht, ist doch die übliche Voraussetzung für Riemannschen Umordnungssatz, dass die Reihe nicht absolut konvergiert, oder? -- HilberTraum 15:11, 28. Jan. 2012 (CET)
replies: text: Bedingte Konvergenz leitet dorthin weiter, weil es der einzige Artikel ist, der den Begriff überhaupt einführt. In endlichdimensionalen Banachräumen sind die Begriffe unbedingte Konvergenz und absolute Konvergenz äquivalent. Eigentlich ist das auch eine Aussage des Riemannschen Umordnungssatzes, die hier aber nicht zu finden ist. Entsprechend heißt bedingt konvergent hier auch, konvergent aber nicht absolut konvergent.--Christian1985 (Diskussion) 18:50, 28. Jan. 2012 (CET)
replies: text: Dann sollte man besser im Artikel "bedingt konvergent" durch "nicht absolut konvergent" ersetzen? -- HilberTraum 16:49, 29. Jan. 2012 (CET)
thread_title:  Bedingte Konvergenz?