Diskussion:Fünfzehneck/Archiv/001

message: Bitte überprüfe, ob meine Herleitung Fehler aufweist.
Wo ist der Unterschied zwischen Höhe und Diagonale?())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:46, 11. Apr. 2015 (CEST)
replies: text: Diagonale wurde irrtümlich von Fünfeck übernommen. --Petrus3743 (Diskussion) 00:37, 12. Apr. 2015 (CEST)
replies: text: Bezeichnungen der Funktionswerte: In Beispielen in Wikipedia, sind auch die Winkel innerhalb der Klammer mit " ° " bezeichnet. Siehe Sinus und Kosinus. --Petrus3743 (Diskussion) 13:35, 14. Apr. 2015 (CEST)
replies: text: Hab’s geändert.())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 21:34, 14. Apr. 2015 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 20:06, 29. Mai 2015 (CEST)

text: Aus der allgemeinen Formel für Polygone:  \alpha = \frac {n-2}{n} \cdot 180 ^ \circ = \frac {15-2}{15} \cdot 180 ^ \circ = \frac {13}{15} \cdot 180 ^ \circ = 156 ^ \circ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:38, 12. Apr. 2015 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 20:06, 29. Mai 2015 (CEST)

text: Vorschlag: Bezeichnung Umkreisradius ru  Petrus3743 (Diskussion) 00:47, 12. Apr. 2015 (CEST)
replies: text:  r_u = \frac {a \cdot \sin (78)}{ \sin (24)} \approx 2{,}405 a ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:27, 12. Apr. 2015 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 20:06, 29. Mai 2015 (CEST)

text: R = \frac {a \cdot \sin (78)}{ \sin (24)} \cdot sin (78) = a \cdot \frac {\sin ^2 (78)}{\sin (24)} \approx 2{,}3523 a())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:46, 11. Apr. 2015 (CEST)

text: Vorschlag: Bezeichnung Inkreisradius ri Petrus3743 (Diskussion) 00:49, 12. Apr. 2015 (CEST)
replies: text:  r_i = a \cdot \frac {\sin ^2 (78)}{\sin (24)} \approx 2{,}3523 a())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:28, 12. Apr. 2015 (CEST)

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text: A = \frac {1}{2} a \cdot \frac {a \cdot \sin (78)}{ \sin (24)} \cdot sin (78) = \frac {1}{2} a^2 \cdot \frac {\sin ^2 (78)}{\sin (24)} \approx 1{,}176 a^2 .())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:46, 11. Apr. 2015 (CEST)

text: Ich glaube, hier ist mir ein Fehler unterlaufen. Das (1,176-fache) Quadrat einer Seite kann niemals dem Flächeninhalt des Fünfzehnecks entsprechen.())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:05, 12. Apr. 2015 (CEST)
replies: text: Kopf→Tischplatte Natürlich! Ich habe nur die Fläche eines der Fünfzehn Teildreiecke berechnet!())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:09, 12. Apr. 2015 (CEST)

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text: h = R + r = \frac {a \cdot \sin (78)}{ \sin (24)} \cdot \sin (78) + \frac {a \cdot \sin (78)}{ \sin (24)} = \frac {a \cdot \sin (78)}{\sin (24)} \cdot (1 + \sin (78)) \approx 4{,}757a())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:46, 11. Apr. 2015 (CEST)
replies: text: Geändert: Höhe h als Kleinbuchstabe--Petrus3743 (Diskussion) 00:41, 12. Apr. 2015 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 20:06, 29. Mai 2015 (CEST)
thread_title: Herleitung der Größen des regelmäßigen Fünfzehneckes

message: Das Fünfzehneck lässt sich in fünfzehn gleich große Dreiecke (deren Seiten jeweils eine Seite des Fünfzehneckes  a  und zweimal die Verbindungsstrecke der Eckpunkte des Fünfzehnecks mit dessen Mittelpunkt ist) teilen. Die Summe der Winkel am Mittelpunkt ist 360°. Die beiden Radii jedes Teilstückes schließen also einen Winkel von  \frac {360 ^\circ} {15} = 24 ^\circ  ein.
Für die beiden anderen Winkel des Teilstückes bleiben daher  180 ^\circ - 24 ^\circ  = 156 ^\circ. Da das Teilstück symmetrisch zur Winkelhalbierenden des Innenwinkels ist, entfällt auf beide noch unbestimmte Winkel die Hälfte dieses Wertes. Die Radii schließen also mit den Seiten des Fünfzehneckes einen Winkel von \frac{156 ^\circ}{2} = 78 ^\circ ein.())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:46, 11. Apr. 2015 (CEST)
replies: text: Aus der allgemeinen Formel für Polygone:  \alpha = \frac {n-2}{n} \cdot 180 ^ \circ = \frac {15-2}{15} \cdot 180 ^ \circ = \frac {13}{15} \cdot 180 ^ \circ = 156 ^ \circ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:38, 12. Apr. 2015 (CEST)

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thread_title: Kantenwinkel

message: Der Sinussatz liefert nun: 
\frac { \sin (24)}{ \sin (78)} = \frac {a}{r} \Leftrightarrow
r = \frac {a \cdot \sin (78)}{ \sin (24)} \approx 2{,}405 a
.())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:46, 11. Apr. 2015 (CEST)
replies: text: Vorschlag: Bezeichnung Umkreisradius ru  Petrus3743 (Diskussion) 00:47, 12. Apr. 2015 (CEST)
replies: text:  r_u = \frac {a \cdot \sin (78)}{ \sin (24)} \approx 2{,}405 a ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:27, 12. Apr. 2015 (CEST)

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thread_title: Umkreisradius

message: Der Inkreisradius ist die Höhe der Seite eines Teilstückes R=h_a und berechnet sich allgemein nach  h_a = c \cdot sin ( \beta) . In unserem Falle gilt  R = r \cdot sin (78). Aus r = \frac {a \cdot \sin (78)}{ \sin (24)} folgt
: R = \frac {a \cdot \sin (78)}{ \sin (24)} \cdot sin (78) = a \cdot \frac {\sin ^2 (78)}{\sin (24)} \approx 2{,}3523 a())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:46, 11. Apr. 2015 (CEST)
replies: text: Vorschlag: Bezeichnung Inkreisradius ri Petrus3743 (Diskussion) 00:49, 12. Apr. 2015 (CEST)
replies: text:  r_i = a \cdot \frac {\sin ^2 (78)}{\sin (24)} \approx 2{,}3523 a())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:28, 12. Apr. 2015 (CEST)

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thread_title: Inkreisradius

message: Der Flächeninhalt eines Dreieckes berechnet sich mit  A = \frac {1}{2} a \cdot h_a . Weiter gilt  h_a = c \cdot sin ( \beta) , in unserem Falle also h_a = r \cdot sin (78) . In die erste Formel eingesetzt ergibt sich  A = \frac {1}{2} a \cdot r \cdot sin (78) . Aus r = \frac {a \cdot \sin (78)}{ \sin (24)} folgt
: A = \frac {1}{2} a \cdot \frac {a \cdot \sin (78)}{ \sin (24)} \cdot sin (78) = \frac {1}{2} a^2 \cdot \frac {\sin ^2 (78)}{\sin (24)} \approx 1{,}176 a^2 .())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:46, 11. Apr. 2015 (CEST)
replies: text: Ich glaube, hier ist mir ein Fehler unterlaufen. Das (1,176-fache) Quadrat einer Seite kann niemals dem Flächeninhalt des Fünfzehnecks entsprechen.())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:05, 12. Apr. 2015 (CEST)
replies: text: Kopf→Tischplatte Natürlich! Ich habe nur die Fläche eines der Fünfzehn Teildreiecke berechnet!())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 15:09, 12. Apr. 2015 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 20:06, 29. Mai 2015 (CEST)
thread_title: Flächeninhalt

message: Die Höhe h eines regelmäßigen Fünfzehneckes ist die Summe aus In- und Umkreisradius, da die Verlängerung der Höhe eines Teilstückes über den Mittelpunkt des Fünfzehnecks hinaus auf einen Eckpunkt trifft.
:h = R + r = \frac {a \cdot \sin (78)}{ \sin (24)} \cdot \sin (78) + \frac {a \cdot \sin (78)}{ \sin (24)} = \frac {a \cdot \sin (78)}{\sin (24)} \cdot (1 + \sin (78)) \approx 4{,}757a())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:46, 11. Apr. 2015 (CEST)
replies: text: Geändert: Höhe h als Kleinbuchstabe--Petrus3743 (Diskussion) 00:41, 12. Apr. 2015 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 20:06, 29. Mai 2015 (CEST)
thread_title: Höhe

message: Prüfe bitte, ob das die Konstruktion ist, nach der du das Fünfzehneck animiert hast:
Ist ein Kreis k1 (der Umkreis um das entstehende Fünfzehneck) um den Mittelpunkt M gegeben, lässt sich ein regelmäßiges Fünfzehneck konstruieren durch:
#Zeichnen eines Durchmessers; Schnittpunkte mit k1 sind A und B
#Konstruktion eines Radius, der orthogonal zu  steht; Schnittpunkt mit k1 ist C
#Konstruktion eines Kreisbogens um A mit dem Radius ; Schnittpunkte mit k1 sind E1 und E6
#Zeichnen von ; Schnittpunkt mit  ist F
#Zeichnen eines Kreisbogens um F mit dem Radius ; Schnittpunkt mit  ist G
#Zeichnen eines Kreisbogens um A mit dem Radius ; Schnittpunkte mit k1 sind E2 und E5
#dreizehnmaliges Abtragen der Sehne  von k1 auf k1; Schnittpunkte mit k1 sind die Eckpunkte E3–15 des Fünfzehnecks
#Verbinden der so gefundenen Punkte.
())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 14:01, 11. Apr. 2015 (CEST)
replies: text: Geändert: dreimal Kreises in Kreisbogens, fünzehnmaliges in dreizehnmaliges, da bereits durch die Konstruktion zwei Sehnenlängen ( und ) bestimmt sind. Bezeichnung k1 wird in den Konstruktionen aufgenommen. --Petrus3743 (Diskussion) 00:22, 12. Apr. 2015 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 20:06, 29. Mai 2015 (CEST)
thread_title:  Konstruktion mit gegebenem Umkreis 

message: „Das Fünfzehneck (Pentadecagon) ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon). Es ist bestimmt durch fünfzehn Punkte und deren fünfzehn Verbindungen, namens Strecken, Seiten oder Kanten.“
::Mein Fehler, richtig ist "Pentadekagon" --> griech. deka = zehn (auch österr. Gewichtseinheit Dekagramm [dag])--Petrus3743 (Diskussion) 19:51, 25. Mai 2015 (CEST)
replies: text: --Petrus3743 (Diskussion) 19:44, 26. Mai 2015 (CEST)

text: Ich erachte das Komma bei „fünfzehn Verbindungen, names Strecken” für falsch. Kannst du mir begründen, warum es da hingehört?())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:34, 25. Mai 2015 (CEST)
replies: text: Ja, ist falsch...--Petrus3743 (Diskussion) 19:44, 26. Mai 2015 (CEST)

text: Der Artikel zu Siebzehneck schreibt das Heptadekagon mit K statt C. Ich habe keine Ahnung von Griechisch, aber ich glaube, das C haben die Engländer da reingebracht. Bist du dir sicher, dass es mit C geschrieben wird?())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 17:34, 25. Mai 2015 (CEST)
replies: text:  Du hast recht, das "C" kommt von der engl. Wikipedia. --Petrus3743 (Diskussion) 19:51, 25. Mai 2015 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 20:06, 29. Mai 2015 (CEST)
thread_title: Einleitungssatz

message: Was hältst du davon, die Formeln für die Größen des Fünfzehnecks in der Tabelle auf das Nötigste zu beschränken? Mein Gedanke war, einen ungefähren Wert anzugeben – der sollte für Otto Normalverbraucher reichen (wenn überhaupt jemanden die Werte interessieren). Wer es genauer braucht, konnte einfach den letzten Schritt der Umformung ohne Großen Aufwand in einen Taschenrechner eingeben. Auf die Herleitung verzichtete ich, weil sie ohne Bemerkungen dazu ohnehin für die meisten undurchschaubar ist und ich die Tabelle dadurch nich unnötig aufblasen wollte.
:Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:12, 30. Mai 2015 (CEST)
thread_title:  Formeln in Größentabelle kürzen 

message: [In eigenen Ebene-2-Abschnitt verschoben]
:Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:12, 30. Mai 2015 (CEST)
thread_title: Berechnung zur Konstruktion

message: Da steht im Moment: „Das Fünfzehneck ist z.B. darstellbar als:”. „zum Beispiel” impliziert, dass es noch andere Möglichkeiten gibt, mir fallen aber keine weiteren ein. Gibt es noch welche? Wenn nicht, sollte das „z.B.” gestrichen werden, da die Liste vollständig ist.())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 16:36, 30. Mai 2015 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 18:41, 5. Jun. 2015 (CEST)
thread_title: Einleitungssatz Variationen

message: Wieso ergibt sich aus dem Namen, dass es konstruierbar ist? Das regelmäßige Siebeneck ist nicht konstruierbar, obwohl es regelmäßig ist.())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 19:11, 30. Mai 2015 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 18:48, 5. Jun. 2015 (CEST)
thread_title: „Worauf der Name schon hinweist“

message: *löschen Abschnitt Pentadekagramm
*Formatierung ändern Abschnitt Variationen, regelmäßiges Fünfzehneck: „auch Seiten oder Kanten genannt” → „auch Seiten oder Kanten genannt“
*ergänzen und bearbeiten „regelmäßiges überschlagenes Fünfzehneck (Pentadekagramm): Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünfzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer (maximal sechs) übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleichlang sind.“ ersetzen durch
**„regelmäßiges überschlagenes Fünfzehneck (Pentadekagramm): Es ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünfzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleichlang sind. Notiert werden solche regelmäßige Sterne mit Schläfli-Symbolen \left\{n/k\right\}, wobei n die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder k-te Punkt verbunden wird. Es gibt nur drei regelmäßige Fünfzehnstrahlsterne. Die Sterne mit den Symbolen {15/3} und {15/12} sind regelmäßige Fünfecke, {15/5} und {15/10} gleichschenklige Dreiecke und {15/6} und {15/9} regelmäßige Pentagramme.”
01-Fünfzehneck-Stern-15-2-1.svg |\left\{15/2\right\}{,}\ \left\{15/13\right\}
01-Fünfzehneck-Stern-15-4-1.svg |\left\{15/4\right\}{,}\ \left\{15/11\right\}
01-Fünfzehneck-Stern-15-7-1.svg |\left\{15/7\right\} {,}\ \left\{15/8\right\}
:Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 13:38, 7. Jun. 2015 (CEST)
thread_title: Pentadekagramm, Abschnitt Variationen 

message: *ersetzen der Größentabelle durch
:
 Größen eines regelmäßigen Fünfzehnecks

Innenwinkel  	\begin{align}
\alpha &= \frac {n-2}{n} \cdot 180 ^ \circ = \frac {13}{15} \cdot 180 ^ \circ \\
&= 156 ^ \circ
\end{align}	</br>
Seitenlänge  	\begin{align}
a & = R \cdot \frac{1}{2}\sqrt{7-\sqrt{5}-\sqrt{6\left(5-\sqrt{5} \right)}} \\
& = \frac {\sin (24^\circ)}{ \sin (78^\circ)} \cdot R \approx 0{,}416\cdot R
\end{align}	</br>
Umkreisradius	\begin{align}
R & = a \cdot \frac{1}{2}\left(\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}\right) \\
& = \frac {\sin (78^\circ)}{ \sin (24^\circ)} \cdot a \approx 2{,}405\cdot a
\end{align}	</br>
Inkreisradius	\begin{align}
r & = a \cdot \frac{1}{2}\sqrt{7+2\sqrt{5}+2\sqrt{3\left( 5+2\sqrt{5}\right)}}\\
& = \frac {\sin ^2 (78^\circ)}{\sin (24^\circ)} \cdot a\approx 2{,}352\cdot a
\end{align}	</br>
Flächeninhalt	\begin{align}
A & = a^2 \cdot \frac{15}{4}\sqrt{7+2\sqrt{5}+2\sqrt{3\left( 5+2\sqrt{5}\right)}}   \\
 & = 15 \cdot \frac {1}{2} \cdot \frac {\sin ^2 (78^\circ)}{\sin (24^\circ)}\cdot a^2 \approx 17{,}642\cdot a^2
\end{align}	</br>
Höhe         	\begin{align}
h & = r + R \approx 4{,}757\cdot a 
\end{align}	</br>

*ersetzen des Abschnittes Umkreisradius durch
:====Seitenlänge und Umkreisradius====
Wieder wird das Fünfzehneck in 15 kongruente Dreiecke zerlegt. Mit den aus der letzten Herleitung bekannten Winkeln liefert der Sinussatz die Länge einer Seite des Fünfzehnecks in Abhängigkeit von der Länge der Strecke zwischen dem Mittelpunkt und einem Eckpunkt und umgekehrt. Letzteres ist der Radius des Umkreises.
: \begin{align}
\frac{\sin \left (24^\circ \right )}{\sin \left (78 ^\circ \right )}
= \frac{a}{R}
&\Leftrightarrow a = \frac{R \cdot \sin \left (24^\circ \right )}{\sin \left ( 78^\circ \right )} \approx 0{,}416 \cdot R \\
&\Leftrightarrow R = \frac{a \cdot \sin \left (78 ^\circ \right )}{\sin \left ( 24 ^\circ \right )} \approx 2{,}405 \cdot a
\end{align}
:Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Petrus3743 (Diskussion) 20:45, 8. Sep. 2015 (CEST)
thread_title: To Do: Größen des Fünfzehnecks

message: :Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Petrus3743 (Diskussion) 18:05, 12. Sep. 2015 (CEST)
thread_title: To Do: „Pentadekagramm“ 

message: :Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: ())¯_¯_¯_¯_>2 (Diskussion) 11:25, 23. Sep. 2015 (CEST)
thread_title: To Do: Konstruktionsskizzenbildunterschriften