Diskussion:Umtauschparadoxon/Archiv/2

message: Angenommen, Hr. Schmidt entschließt sich das Zwei-Zettel-Spiel anzuwenden. Enthalten die Briefumschläge die Beträge A und B, wobei A der kleinere Betrag sein soll, und öffnet Hr. Schmidt zuerst den Umschlag mit Inhalt A, so wechselt er, falls Z\geq A. Die bedingte Erwartung seines Gewinns beträgt dann
:E_{A;AB}= P(Z\geq A)\cdot B+P(Z<A)\cdot A.
Öffnet er zuerst den Umschlag mit Inhalt B, so wechselt er, falls  Z\geq B. Die bedingte Erwartung seines Gewinns beträgt dann
:E_{B;AB}= P(Z\geq B)\cdot A+P(Z<B)\cdot B.
Insgesamt beträgt die bedinge Erwartung bei fixen Inhalten, aber vor der Wahl des ersten Umschlags E_{AB}=\frac{E_{A;AB}+E_{B;AB}}{2}.
Für Z wählt Hr. Schmidt beispielsweise eine Zufallsvariable Z, die exponentialverteilt mit Erwartungswert 1000 ist, also P(Z\geq z)=\exp(-z/1000). Falls die Sekretärin wie im oben angegebem Beispiel das Geld in die Briefumschläge verteilt, ergibt sich insgesamt folgender Erwartungswert des Geldgeschenkes:
     	A  	B   	P(A,B)	P(Z\geq A)	E_{A;AB}	P(Z\geq B)	E_{B;BA}	E_{AB}  	P(A,B)\cdot E_{AB}
     	25 	50  	1/6   	0,975     	49,382  	0,951     	26,219  	37,801  	6,300
     	50 	100 	1/6   	0,951     	97,561  	0,904     	54,758  	76,160  	12,693
     	100	200 	1/6   	0,904     	190,484 	0,819     	118,127 	154,305 	25,718
     	200	400 	1/6   	0,819     	363,746 	0,670     	265,936 	314,841 	52,473
     	400	800 	1/6   	0,670     	688,128 	0,449     	620,268 	644,198 	107,366
     	800	1600	1/6   	0,449     	1159,463	0,202     	1438,483	1298,973	216,496
Summe	   	    	1     	          	        	          	        	        	421,046
Der Erwartungswert des Geldgeschenkes beträgt bei dieser Vorgangsweise also 421,046 Euro. Das ist zwar weniger als bei der optimalen Strategie (tausche bei weniger als 1000 EUR),  bei der der Erwartungswert 427,08 Euro beträgt; aber jedenfalls mehr als bei der "Tausche-nie" oder "Tausche-immer"-Vorgangsweise, bei der der Erwartungswert 393,75 beträgt. Der genaue Erwartungswert hängt natürlich stark von der Wahl der Verteilung von Z ab, ist aber immer höher als bei der "Tausche-nie" oder "Tausche-immer"-Vorgangsweise.
==== Diskussion ====
Meinungen dazu? Ist es hilfreich, dieses Beispiel im Artikel einzufügen? --NeoUrfahraner 02:57, 10. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Die Beispielrechnung mit Tabelle finde ich sehr gut. Damit können sich sowohl unvoreingenommene Leser als auch Zweifler am ZZS davon überzeugen daß es Sinn macht das ZZS anzuwenden. Dazu passt ja dann auch die Überschrift des Abschnitts "Anwendung des Zwei-Zettel-Spiels" hervorragend. Super!!! --89.51.59.124 11:25, 10. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Ich habe den Abschnitt jetzt leicht ergänzt und eingefügt. Mir persönlich gefällt er nicht, weil er für einen Mathematiker zu "banal" ist. Aber da den Wunsch nach einem konkreten Beispiel schon im Artikel über das ZZS hatten, ist so eine Tabelle anscheinend wirklichhilfreich, "Zweifler am ZZS davon überzeugen". --NeoUrfahraner 13:47, 10. Feb. 2008 (CET)
thread_title:  Textvorschlag 

message: Meinungen dazu? Ist es hilfreich, dieses Beispiel im Artikel einzufügen? --NeoUrfahraner 02:57, 10. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Die Beispielrechnung mit Tabelle finde ich sehr gut. Damit können sich sowohl unvoreingenommene Leser als auch Zweifler am ZZS davon überzeugen daß es Sinn macht das ZZS anzuwenden. Dazu passt ja dann auch die Überschrift des Abschnitts "Anwendung des Zwei-Zettel-Spiels" hervorragend. Super!!! --89.51.59.124 11:25, 10. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Ich habe den Abschnitt jetzt leicht ergänzt und eingefügt. Mir persönlich gefällt er nicht, weil er für einen Mathematiker zu "banal" ist. Aber da den Wunsch nach einem konkreten Beispiel schon im Artikel über das ZZS hatten, ist so eine Tabelle anscheinend wirklichhilfreich, "Zweifler am ZZS davon überzeugen". --NeoUrfahraner 13:47, 10. Feb. 2008 (CET)
thread_title:  Diskussion 

message: Erste:
:Wenn ich mich mal in den reinversetze, der das Ganze bezahlen muss, dann ergibt sich folgendes:
:Ich bereite eine genügend große Menge an Briefumschlägen vor, jeweils mit 2 und 4 $, und lasse 1000 Menschen wählen. Das wiederhole ich beliebig oft. Dann werden durchschnittlich jeweils 500 den besseren und 500 den schlechteren ziehen. 
:Wenn keiner tauscht, kostet mich das durchschnittlich jedesmal 500*2+500*4=3000 $.
:Wenn alle tauschen, kostet mich das durchschnittlich jedesmal 500*4+500*2=3000 $.
:Gehupft wie gesprungen. 
Zweite:
:Ich entscheide mich für Umschlag Nr. 1, sehe aber nicht rein, wieviel drin ist, sondern berechne nach der Methode 0,5 * 0,5 + 0,5 * 2 = 1,25, dass in Umschlag Nr. 2 durchschnittlich das 1,25-fache drin ist. 
:Den mache ich aber auch nicht auf, sondern überlege mir, wieviel in Umschlag Nr. 1 sein müsste, und komme auf das 1,25-fache von Nr. 2, also auf 1,25 * 1,25 = 1,5615. 
:Ich stelle fest, dass in Umschlag Nr. 1 durchschnittlich das 1,5615-fache von Umschlag Nr. 1 enthalten ist und erkenne da einen Widerspruch, woraus ich schließe, das da irgendwas mit der Berechnungsmethode nicht stimmen kann.
Dritte:
:Geldbeträge sind ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Währungseinheit, hier Cent genannt. Bevor ich irgendwas öffne, überlege ich mir folgendes:
:#ein und zwei Cent können nicht drin sein, denn wenn einer den Umschlag mit einem Cent öffnet, dann braucht er nicht zu raten, sondern weiß sicher, dass im anderen zwei Cent sind. 
:#zwei und vier Cent können auch nicht drin sein, denn wenn einer den mit zwei Cent öffnet, dann braucht er nicht zu raten, sondern weiß sicher, dass im anderen vier Cent sind, weil der Fall ein und zwei Cent bereits unter Nr. 1 ausgeschlossen wurde.
:#vier und acht Cent können auch nicht drin sein, denn wenn einer den mit vier Cent öffnet, dann braucht er nicht zu raten, sondern weiß sicher, dass im anderen acht Cent sind, weil der Fall zwei und vier Cent bereits unter Nr. 2 ausgeschlossen wurde.
:#Das setze ich beliebig weit fort.
:#Dann überlege ich mir den Fall drei und sechs Cent und schließe den aus mit den Argumenten aus Nr. 1
:#Ich fahre fort mit sechs und zwölf Cent, usw.
:#Ich mache das mit allen ungeraden Zahlen, und komme schließlich zur Erkenntnis, dass es für alle Zahlen größer Null keine Lösung gibt.
:#Hieraus schließe ich messerscharf, dass es nur eine Lösung geben kann: In beiden Umschlägen sind null Cent. Die Hälfte von null ist genausoviel wie das Doppelte von null. In diesem Fall ist klar, dass ich tausche. Bringt zwar nichts ein, macht das Spiel aber spannender. 
:-- Martin Vogel 06:45, 8. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Auch Gold lässt sich nicht beliebig zerteilen. Setze statt "Cent" eben "Goldatom" in meine Argumente ein, und nichts ändert sich. -- Martin Vogel 13:58, 10. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Darum steht bei mir auch "theoretisch". Und was spricht gegen einen Gutschein für ein halbes Goldatom? Wenn Du zwei davon hast, kannst Du damit dann ein Atom einkaufen gehen ;-) --NeoUrfahraner 01:27, 11. Feb. 2008 (CET)
thread_title:  Meine Lösungen 

message: Ich habe jetzt verstanden, worauf Du hinauswillst. Deine Variante wird natürlich sehr teuer für Hrn. Lemke, weil der Erwartungswert jetzt unendlich sein kann, vgl. Sankt-Petersburg-Paradoxon. Diese Variante findet sich auch in der Literatur, siehe z.B. die Literaturliste am Ende von :en:Two envelopes problem:
David J. Chalmers, The St. Petersburg Two-Envelope Paradox in Analysis, April 2002
Im Artikel ist diese Variante bisher nur kurz im Abschnitt "Die Lösung" erwähnt: Verteilungen, die diese Bedingung für alle n\in\N erfüllen, lassen sich zwar konstruieren, besitzen dann aber keinen endlichen Erwartungswert. Daher ist die oben angedeutete Argumentation, die zum Paradoxon führt, bereits aus formalen Gründen unzulässig. Die Gewinnerwartung von Hr. Schmidt beträgt also bereits unendlich, und durch tauschen wird sie dann unendlich plus 1 (oder plus 2 ;-)).  Ich habe solche Beispiele mit unendlicher Erwartung auch schon am Computer simuliert und Hernn Schmidt tauschen lassen, wenn der Betrag im Umschlag kleiner als L ist. Tatsächlich wird der Gewinn von Herrn Schmidt größer, wenn L größer ist, er braucht aber immer mehr Geldgeschenke, bis er in die Gewinnzone kommt. Setzt man L unendlich ("tausche immer"), so hat er zwar den größten Gewinn, aber kommt nie in de Gewinnzone. --NeoUrfahraner 14:06, 10. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Irgendwie erinnert mich das an die Vollständige Induktion. Lässt sich diese Beweisführung nicht auch anwenden? Da sagt doch auch niemand da n unendlich groß werden kann, darf man nicht mit n+1 rechnen? Viel mehr interessiert mich aber, was du zu meinem oben angeführten Beispiel mit einer begrenzten Auswahlliste denkst. --Rebiersch 15:20, 10. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Meinst Du jetzt begrenzte oder unbegrenzte Auswahlliste? Das "unbegrenzt" ist jedenfalls kein Problem, der wesentliche Punkt ist ja trotzdem, dass gewisse Werte (un)wahrscheinlicher als andere sind. Dass im gegebenen Beispiel Werte größer als 1600 völlig ausgeschlossen sind, ist nicht wesentlich. --NeoUrfahraner 19:23, 10. Feb. 2008 (CET)
replies: text:  Wieso 1600? Ich habe zur besseren Übersicht meinen Eintrag einfach mal nach hier unten gezogen. Ich frage mich ob das Paradoxon wirklich auf den beschriebenen Gründen beruht. Daher war meine Überlegung: Was passiert, wenn wir die Vorgaben dahingehend ändern, dass die Sekretärin eine Liste mit möglichen Briefumschlagkombinationen bekommt? Eine Liste A könnte lauten [(1;2),(3;6),(5;10)], eine Liste B [(10;20),(20;40),(40;80),(80;160),(160;320)]. Wird die Liste A zugrunde gelegt und ist sie Herrn Schmidt bekannt, so weiß er sofort nach dem Öffnen eines Umschlags ob ein Tausch sinnvoll ist. Es gibt kein Paradoxon. Bei der Liste B verhält es sich anders. Lediglich in 2 von 10 Fällen gibt es kein Paradoxon. Findet er 10 Euro im Umschlag, wird er auf jeden Fall tauschen. Findet er 320 Euro wird er nicht tauschen. In den übrigen 8 von 10 Fällen steht er vor dem gleichen Problem wie beschrieben. Vor dem Öffnen macht ein Tausch keinen Sinn. Findet er 40 Euro, so sind mit der gleichen (bedingten) Wahrscheinlichkeit 20 oder 80 Euro im zweiten Umschlag. Plötzlich ist es sinnvoll zu tauschen. Wo ist der Fehler? Im Beispiel B darf/muss doch wohl mit bedingter Wahrscheinlichkeit gerechnet werden. Es gibt auch keine "unendlich" großen Beträge. Ist es nur scheinbar das gleiche Paradoxon? Oder liegt der "Kern" für das Paradoxon doch an einer anderen Stelle? --Rebiersch 20:51, 10. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Die 1600 kommen vom Beispiel im Text, ist aber letzlich egal. Dass es in gewissen Fällen sinnvoll ist, zu tauschen, ist kein Paradox, sondern ganz normle Wahrscheinlichkeitsrechnung. Paradox bzw. widersprüchlich wird es erst, wenn es immer sinnvoll wäre zu tauschen, unabhängig vom konkreten Inhalt des Umschlags. --NeoUrfahraner 22:51, 10. Feb. 2008 (CET)
replies: text:  Stimmt, du hast mich überzeugt. So ist es völlig richtig. Vielen Dank für die Erklärungen. --Rebiersch 21:24, 11. Feb. 2008 (CET)
thread_title:  St. Petersburg 

message: Statement: Mein Beitrag vom 8. Februar (Wie groß ist der fiktive Wert des Umschlags solange das Spiel nicht beendet wurde?) bezieht sich auf das aktuelle Beispiel in der deutschen Wikipedia. Das Umschlagparadoxon wird üblicherweise anders geschildert. Die hier zugrunde liegende Schilderung im Text lässt einige Fragen offen. Andere Sachverhalte werden sehr präzise und genau geschildert. Es wird offen gelassen, ob Herr Lemke der Sekretärin irgendwelche Vorgaben gemacht hat. Wir wissen aber, dass die Sekretärin in den einen Umschlag einen Betrag hineingetan hat und in den anderen den doppelten Betrag. Wir wissen auch, dass die gleich aussehenden Umschläge durcheinander gebracht wurden. Wir wissen weder, ob dies nach einem bestimmten Muster geschehen ist, noch ob Herr Lemke den Umtausch beobachtet hat. Es ist auch offen, ob Herr Lemke den Inhalt ertasten kann. Es ist sogar möglich, dass Herr Lemke hineingeschaut hat. Die zeitliche Abfolge wird hingegen genau geschildert. Herr Lemke ergreift einen der beiden Briefumschläge und gibt ihn Herrn Schmidt mit den Worten: „In dem anderen, völlig gleich aussehendem Umschlag, der noch auf dem Tisch liegt, befindet sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% der doppelte Geldbetrag und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% der halbe Geldbetrag“. Herr Lemke trifft seine Aussage nach dem Ergreifen eines Umschlags. Er spricht von „dem anderen Umschlag“. Damit ist klar, dass es nur 2 Umschläge gibt. Aus dem Zusammenhang ist völlig klar, dass sich seine Aussage nicht auf den überreichten Umschlag, sondern nur auf den anderen, der auf dem Tisch liegt, bezieht.  
Herr Lemke braucht den überreichten Umschlag also nicht erst zu öffnen. Er kann gleich den auf den Tisch liegenden Umschlag nehmen. 
Ist überhaupt eine Situation mit dieser Konstellation denkbar, ohne im Widerspruch zu den genannten Prämissen zu stehen? Hierfür reicht ein einziges Beispiel, das sich aber leicht finden lässt. 
Lohnt sich ein Tausch immer? Nein, nur einmal.
Was ist an dem hier aufgeführten Beispiel paradox? Nichts, solange man nicht von weiteren ungenannten Annahmen ausgeht. --Rebiersch 18:59, 24. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Ich stimme zu, dass die Formulierung im Artikel zu viel Interpretationsspielraum lässt. Daher auch meine vorsichtigen Fragen von 02:00, 9. Feb. 2008 sowie mein Würfelbeispiel von 22:37, 17. Feb. 2008. Ich habe die Formulierung jetzt ein wenig verändert. Bist Du damit einverstanden? --NeoUrfahraner 06:52, 25. Feb. 2008 (CET)
replies: text:  Dass die Formulierung im Artikel zu viel Interpretationsspielraum ließe, habe ich doch überhaupt nicht geschrieben. Sportlicher wäre gewesen, nicht die ursprüngliche Geschichte der Erklärung im Text anzupassen, sondern den Irrtum einzugestehen und die Erklärung im Artikel zu ändern. Zudem bestand die alte Beschreibung seit mindestens 2005 in nahezu unveränderter Form. Sie hatte ja durchaus auch ihren Reiz. Nach der durchaus eingreifenden Änderung fehlt mir irgendwie der Witz. Herr Lemke weiß jetzt überhaupt nichts mehr und Herr Schmidt, der ja noch weniger wissen kann als Herr Lemke, postuliert eine 50% Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag. --Rebiersch 23:00, 25. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Welchen Irrtum meinst Du? --NeoUrfahraner 06:20, 26. Feb. 2008 (CET)
replies: text:  Das ist jetzt natürlich "Schnee von gestern". Da du nachfragst: Ein Irrtum war, anzunehmen, dass "falsch mit bedingter Wahrscheinlichkeit gerechnet wurde". Herr Lemke kann durchaus gewusst haben, dass die Wahrscheinlichkeit 50% war, weil er den Inhalt kannte. Und Herr Schmidt hat nur konsequent weitergerechnet --Rebiersch 21:42, 27. Feb. 2008 (CET)
replies: text: OK. Erwartest Du noch irgendeinen Kommentar von mir? --NeoUrfahraner 09:32, 28. Feb. 2008 (CET)
replies: text:  Nein --Rebiersch 20:31, 28. Feb. 2008 (CET)
thread_title:  Ungenaue Formulierung 

message: :Nach den vergangenen Umformulierungen ist nun endgültig die vollkommene Absurdität des Umschlagparadoxons offengelegt. Herr Schmidt braucht den von ihm zuerst gewählten Umschlag nicht einmal zu öffnen um zu wissen daß er tauschen wird. Wenn weder Herr Lemke noch Herr Schmidt irgendwelche weitergehenden Informationen über den möglichen Inhalt der Briefumschläge haben bzw. benötigen, dann fehlen alle Grundlagen für irgendwelche Wahrscheinlichkeitsberechnungen. Somit gilt: The two-envelope puzzle is busted! --172.158.221.48 19:18, 11. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Umgekehrt. Wenn man alle Informationen hat, braucht man keine Wahrscheinlichkeitsberechnungen, dann ist nämlich sowieso alles klar. Wahrscheinlichkeitsberechnungen braucht man eben, weil unvollkommene Information vorliegt. --NeoUrfahraner 21:01, 11. Mär. 2008 (CET)

text: Wie gesagt: Herr Schmidt bräuchte den von ihm zuerst gewählten Umschlag nicht einmal zu öffnen um zu wissen daß er nach seiner Rechenlogik tauschen wird. Selbst eine zusätzliche Information wie der Inhalt des Umschlags wird vollkommen gleichgültig für ihn, und das zeigt die Absurdität des "Paradoxons". Solch ein pseudomathematischer Hirnmüll gehört m.E. nicht in eine wissenschaftliche Diskussion. --172.173.65.163 02:03, 13. Mär. 2008 (CET)
replies: text: "Herr Schmidt bräuchte den von ihm zuerst gewählten Umschlag nicht einmal zu öffnen um zu wissen daß er nach seiner Rechenlogik tauschen wird". Genau deswegen ist es ein Paradox (ein scheinbarer Widerspruch, der sich bei genauerer Analyse auflöst). Irgendwas muss an der Rechenlogik falsch sein. Aber was? --NeoUrfahraner 08:18, 13. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Absurd 

message: Inzwischen wurde die Schilderung des Umtauschparadoxons umgeschrieben. Herr Schmidt ergreift jetzt zufällig einen der beiden Umschläge und findet 100 Euro. Mit der gleichen Wahrscheinlichkeit (50%) hätte er auch den anderen Umschlag ergreifen können. Das bedeutet nicht, dass die Wahrscheinlichkeit 200 Euro zu finden 50% ist. Aus der Tatsache, dass 100 Euro gefunden wurden, kann Herr Schmidt zunächst einmal nur ableiten, dass sich außer den Beträgen 50, 100 und 200 Euro kein anderer Betrag in einem der Umschläge befunden haben kann. 
Es müssen also 2 Fälle unterschieden werden. Fall A: In einem Umschlag sind 50(A) Euro und im anderen 100(A) Euro. Fall B: In einem Umschlag sind 100(B) Euro und im anderen 200(B) Euro. Es werden keinerlei Angaben gemacht mit welcher Wahrscheinlichkeit die Kombinationen 50(A)/100(A) bzw  100(B)/200(B) durch die Sekretärin wählbar waren. Hier unterscheiden sich die Schilderungen des Umtauschparadoxons! 
Version 1: Herr Schmidt vermutet, dass die Kombinationen 50(A)/100(A) und 100(B)/200(B) Euro mit der gleichen Wahrscheinlichkeit (50%) zur Verfügung standen. Unter dieser Annahme war seine Rechnung korrekt. Erwartungswert für den anderen Umschlag = 0,5 * 200 + 0,5 * 50 = 125 Euro. Er wird unter dieser Annahme tauschen. Damit ist nicht gesagt, dass er in jedem Fall, also auch bei anderen Beträgen, genauso gerechnet hätte.
Version 2: Herr Schmidt kann natürlich auch jede andere Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Beträge 50(A)/100(A) bzw  100(B)/200(B) annehmen. Vermutet er beispielsweise, dass 50 Euro doppelt so wahrscheinlich ausgewählt wurden wie 200 Euro, so erhält er als Erwartungswert für den anderen Umschlag: 1/3 * 200 + 2/3 * 50 = 100 Euro. Unter dieser Annahme macht ein Tausch keinen Sinn.
Version 3: Vermutet Herr Schmitt, dass die Kombination 50(A)/100(A) durch die Sekretärin mehr als doppelt so wahrscheinlich ausgewählt wurde wie die Kombination 200(B)/100(B). Unter dieser Annahme wird Herr Schmidt nicht tauschen, da seine gefundenen 100 Euro schon über dem Erwartungswert des anderen Umschlages liegen.
Paradox wird es erst, wenn Herr Schmidt nicht für einen beliebigen Betrag eine 50%-Wahrscheinlichkeit annimmt, sondern für jeden auffindbaren Betrag diese 50%-Wahrscheinlichkeit postuliert. --Rebiersch 22:05, 15. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Ja, genau so ist es.--NeoUrfahraner 22:21, 15. Mär. 2008 (CET)
replies: text:  Und nun? Können die Erklärungen unter Was ist paradox daran?  und Die Lösung noch aufrecht erhalten werden? Ich meine, dass nicht falsch mit Erwartungswerten gerechnet wurde. Die Rechnung ist schon korrekt. Die Annahme der Gleichverteilung von 50 und 200 Euro ist das Problem. Sie kann stimmen, muss aber nicht stimmen. Eine mehrfache Wiederholung des Experiments ist auch keine notwendige Voraussetzung. Die Rechnung mit drei Geldbeträgen ist nicht völlig unzutreffend, sondern beschreibt einen Sonderfall. Ich sehe es so, dass eine umfassende Erklärung nur gelingt, wenn das Problem ausgehend vom Sonderfall "100 Euro mit Gleichverteilung von 50/200 Euro" über "100 Euro mit Ungleichverteilung" bis "Gleichverteilung von allen Beträgen = paradox" erfolgte.   --Rebiersch 14:07, 16. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Der Punkt "Die Lösung" hat früher anders ausgesehen und wurde am 15. Sep. 2007 von ASM geändert: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Umtauschparadoxon&diff=next&oldid=36145322 Die Sache mit den bedingten Erwartungen hat ASM aber anscheinend nicht berücksichtigt, siehe sein Kommentar zu mehr als ihn zu Überfliegen hatte ich absolut keine Lust, denn eine noch so lange Rechnung nützt nichts, wenn der Ansatz schlicht falsch ist hier auf der Diskssionsseite. Gefällt Dir die frühere Fassung besser? Der Abschnitt "Was ist paradox daran" war früher ebenfalls anders: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Umtauschparadoxon&diff=prev&oldid=5043664 --NeoUrfahraner 20:58, 16. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Rechnung zur neuen Schilderung des Umtauschparadoxons 

message: Stellen wir uns vor, dass Herr Lemke eine Anzahl von gleich aussehenden Päckchen mit jeweils 2 fertigen Umschlägen für die Sekretärin vorbereitet hat. In einem Umschlag befindet sich ein beliebiger Betrag Z und im 2. Umschlag der doppelte Betrag 2*Z. Über die Anzahl möglicher Päckchen mit konkreten Inhalten (z.B. 50 Euro;100 Euro) ist Herrn Schmidt zunächst einmal nichts bekannt. Die Sekretärin habe per Zufallsprinzip eines der gleichaussehende Päckchen ausgewählt und die Briefumschläge entnommen. In jedem Fall ist vor dem Öffnen eines Umschlags die Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag im anderen Umschlag 50%.
Herr Schmidt findet 100 Euro.  Die angegebene Rechnung ist nur unter der Annahme, dass die Anzahl der Päckchen mit einem Gesamtbetrag von 150 Euro (50;100 Euro) genauso groß war wie die Anzahl mit einem Gesamtbetrag von 300 Euro (100;200 Euro) korrekt. Der Erwartungswert ist unter dieser Voraussetzung 125 Euro.
Es könnte auch jede andere Verteilung angenommen werden. Gab es doppelt so viele Päckchen mit (50;100 Euro) wie Päckchen mit (100;200 Euro) so wäre die Wahrscheinlichkeit für einen doppelten Betrag (200 Euro) im ungeöffneten Umschlag unter der Voraussetzung, dass 100 Euro gefunden wurden nur noch 1/3. Herr Schmidt käme unter dieser Voraussetzung auf den Erwartungswert 100 Euro.
Allgemein gilt: Wird ein beliebiger Betrag Z im geöffneten Umschlag gefunden, so lohnt sich ein Tausch unter der Voraussetzung, dass weniger als doppelt so viele Päckchen mit (1/2*Z; Z Euro) als Päckchen mit (Z;2Z Euro) zur Auswahl standen.  
Ein Trugschluss wäre jedoch anzunehmen, dass die Rechnung nicht nur für einen beliebigen Betrag, sondern für jeden Betrag von Z>0 gelte könne. Dies führt zu der paradoxen Situation, dass ein Tausch immer als lohnenswert beurteilt wird und unter dieser Voraussetzung der Umschlag noch nicht einmal geöffnet werden müsse. 
--Rebiersch 20:02, 17. Mär. 2008 (CET)
replies: text: In den Abschnitt "Was ist paradox daran?" gehört meiner Meinung nach nur der letzte Absatz; die ersten vier Absätze gehören eher in den Abschnitt "Die Lösung". --NeoUrfahraner 20:40, 17. Mär. 2008 (CET)

text: Mit deinem Vorschlag wäre ich sofort einverstanden, wenn im zugrunde liegenden Text stünde, dass Herr Schmidt nicht mehr Informationen hätte als ein unbeteiligter Leser. Zum Beispiel in der Form "Allein aufgrund dieser Information berechnet Herr Schmidt..." In der aktuellen Version muss zumindest die Möglichkeit, dass Herr Schmidt richtig gerechnet haben könnte, berücksichtigt werden. Momentan steht seine Rechnung nicht im Widerspruch zu seiner Überlegung. Weshalb er eine 50% Wahrscheinlichkeit vermutet, ist nicht angegeben. Aus dem Text geht aber hervor, dass er seinen Gönner, Herrn Lemke, kennt. Herr Schmidt wird also zu Recht Erfahrungen   einfließen lassen, die uns nicht bekannt sein müssen. --Rebiersch 00:34, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Ich hab's jetzt umformliert, oben steht jetzt die korrigierte neue Fassung. Die Möglichkeit, dass Herr Schnidt richtig gerechnet hat, steckt im Satz "Sie kann für manche Beträge 50% sein"; die Unterstellung, dass Herr Schmidt dem Trugschluss unerlegen wäre, ist verschwunden. Besser so? --NeoUrfahraner 06:19, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Ja, einverstanden --Rebiersch 20:11, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: OK, Artikel geändert. --NeoUrfahraner 20:25, 19. Mär. 2008 (CET)

text: Wie Dir möglicherweise aufgefallen ist, hat eine anonyme Person die Änderung zwei Mal zurückgesetzt. Ich möchte es nicht nochmals selber ändern, um mich nicht dem Verdacht eines WP:Edit-Wars auszusetzen. Falls Du weiterhin der Meinung bist, dass meine Version besser ist, möchte ich Dich bitten, dass Du auf die entsprechende Version zurückzusetzt. Wenn die anonyme Person dann wieder zurücksetzt, werde ich eine Halbsperre beantragen. --NeoUrfahraner 16:42, 20. Mär. 2008 (CET)

text: "Die Lösung" ist ja keine Lösung wie man im Artikel nachlesen kann:"Zu tauschen würde sich demnach genau dann auszahlen, wenn E > n gilt... Verteilungen, die diese Bedingung für alle möglichen n erfüllen, lassen sich zwar konstruieren, besitzen dann aber keinen endlichen Erwartungswert. Daher ist die oben angedeutete Argumentation, die zum Paradoxon führt, bereits aus formalen Gründen unzulässig." So dreht sich die Diskussion hier immer wieder im Kreis... --172.158.24.172 12:41, 18. Mär. 2008 (CET)

text: Mit deinem Vorschlag wäre ich sofort einverstanden, wenn im zugrunde liegenden Text stünde, dass Herr Schmidt nicht mehr Informationen hätte als ein unbeteiligter Leser. Zum Beispiel in der Form "Allein aufgrund dieser Information berechnet Herr Schmidt..." In der aktuellen Version muss zumindest die Möglichkeit, dass Herr Schmidt richtig gerechnet haben könnte, berücksichtigt werden. Momentan steht seine Rechnung nicht im Widerspruch zu seiner Überlegung. Weshalb er eine 50% Wahrscheinlichkeit vermutet, ist nicht angegeben. Aus dem Text geht aber hervor, dass er seinen Gönner, Herrn Lemke, kennt. Herr Schmidt wird also zu Recht Erfahrungen   einfließen lassen, die uns nicht bekannt sein müssen. --Rebiersch 00:34, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Ich hab's jetzt umformliert, oben steht jetzt die korrigierte neue Fassung. Die Möglichkeit, dass Herr Schnidt richtig gerechnet hat, steckt im Satz "Sie kann für manche Beträge 50% sein"; die Unterstellung, dass Herr Schmidt dem Trugschluss unerlegen wäre, ist verschwunden. Besser so? --NeoUrfahraner 06:19, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Ja, einverstanden --Rebiersch 20:11, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: OK, Artikel geändert. --NeoUrfahraner 20:25, 19. Mär. 2008 (CET)

text: Wie Dir möglicherweise aufgefallen ist, hat eine anonyme Person die Änderung zwei Mal zurückgesetzt. Ich möchte es nicht nochmals selber ändern, um mich nicht dem Verdacht eines WP:Edit-Wars auszusetzen. Falls Du weiterhin der Meinung bist, dass meine Version besser ist, möchte ich Dich bitten, dass Du auf die entsprechende Version zurückzusetzt. Wenn die anonyme Person dann wieder zurücksetzt, werde ich eine Halbsperre beantragen. --NeoUrfahraner 16:42, 20. Mär. 2008 (CET)

text: "Die Lösung" ist ja keine Lösung wie man im Artikel nachlesen kann:"Zu tauschen würde sich demnach genau dann auszahlen, wenn E > n gilt... Verteilungen, die diese Bedingung für alle möglichen n erfüllen, lassen sich zwar konstruieren, besitzen dann aber keinen endlichen Erwartungswert. Daher ist die oben angedeutete Argumentation, die zum Paradoxon führt, bereits aus formalen Gründen unzulässig." So dreht sich die Diskussion hier immer wieder im Kreis... --172.158.24.172 12:41, 18. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Textvorschlag für "Was ist paradox daran?" 

message: ==== Was ist paradox daran ====
Wenn die Rechnung von Herr Schmidt für jeden beliebigen Betrag das Ergebnis liefert, dass sich Tauschen lohnt, so braucht er den Umschlag gar nicht zu öffnen, sondern kann gleich den anderen Umschlag nehmen. Es kann aber nicht sein, dass der andere Umschlag immer besser ist, da ja beide Umschläge vor dem Öffnen offensichtlich gleichwertig sind.
==== Die Lösung ====
Es ist ein Trugschluss, den Inhalt des Umschlags nur in die Berechnung der Gewinnhöhe einzubeziehen, nicht aber in die Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeiten. Wird der Inhalt des Umschlags in der Berechnung der Gewinnerwartung verwendet, so muss für eine korrekte Rechnung auf bedingte Wahrscheinlichkeiten gewechselt werden. Die bedingte Wahrscheinlichkeit, den kleineren Umschlag gewählt zu haben, unter der Bedingung, dass im geöffneten Umschlag der Betrag n ist, hängt von n ab. Sie kann für manche Beträge 50% sein (dann lohnt sich das Tauschen tatsächlich); es gibt aber keine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die für jeden beliebigen Betrag im Umschlag konstant eine bedingte Wahrscheinlichkeit von 50% liefert. Tauschen abhängig vom Inhalt des Umschlags kann einen höhere Gewinnerwartung liefern. Tauschen unabhängig vom Inhalt liefert hingegen keine höheren Gewinnerwartung. Eine exakte Berechnung, ob ein Tausch abhängig vom Inhalt des Umschlags sinnvoll ist, sieht folgendermaßen aus: Bezeichnet man mit ... (weiter wie im Artikel)
==== Diskussion ====
Meinungen dazu? (bitte nur von angemeldeten Benutzern, nicht von IP-Adressen) --NeoUrfahraner 07:45, 18. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Mit deinem Vorschlag wäre ich sofort einverstanden, wenn im zugrunde liegenden Text stünde, dass Herr Schmidt nicht mehr Informationen hätte als ein unbeteiligter Leser. Zum Beispiel in der Form "Allein aufgrund dieser Information berechnet Herr Schmidt..." In der aktuellen Version muss zumindest die Möglichkeit, dass Herr Schmidt richtig gerechnet haben könnte, berücksichtigt werden. Momentan steht seine Rechnung nicht im Widerspruch zu seiner Überlegung. Weshalb er eine 50% Wahrscheinlichkeit vermutet, ist nicht angegeben. Aus dem Text geht aber hervor, dass er seinen Gönner, Herrn Lemke, kennt. Herr Schmidt wird also zu Recht Erfahrungen   einfließen lassen, die uns nicht bekannt sein müssen. --Rebiersch 00:34, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Ich hab's jetzt umformliert, oben steht jetzt die korrigierte neue Fassung. Die Möglichkeit, dass Herr Schnidt richtig gerechnet hat, steckt im Satz "Sie kann für manche Beträge 50% sein"; die Unterstellung, dass Herr Schmidt dem Trugschluss unerlegen wäre, ist verschwunden. Besser so? --NeoUrfahraner 06:19, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Ja, einverstanden --Rebiersch 20:11, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: OK, Artikel geändert. --NeoUrfahraner 20:25, 19. Mär. 2008 (CET)

text: Wie Dir möglicherweise aufgefallen ist, hat eine anonyme Person die Änderung zwei Mal zurückgesetzt. Ich möchte es nicht nochmals selber ändern, um mich nicht dem Verdacht eines WP:Edit-Wars auszusetzen. Falls Du weiterhin der Meinung bist, dass meine Version besser ist, möchte ich Dich bitten, dass Du auf die entsprechende Version zurückzusetzt. Wenn die anonyme Person dann wieder zurücksetzt, werde ich eine Halbsperre beantragen. --NeoUrfahraner 16:42, 20. Mär. 2008 (CET)

text: "Die Lösung" ist ja keine Lösung wie man im Artikel nachlesen kann:"Zu tauschen würde sich demnach genau dann auszahlen, wenn E > n gilt... Verteilungen, die diese Bedingung für alle möglichen n erfüllen, lassen sich zwar konstruieren, besitzen dann aber keinen endlichen Erwartungswert. Daher ist die oben angedeutete Argumentation, die zum Paradoxon führt, bereits aus formalen Gründen unzulässig." So dreht sich die Diskussion hier immer wieder im Kreis... --172.158.24.172 12:41, 18. Mär. 2008 (CET)

text: Mit deinem Vorschlag wäre ich sofort einverstanden, wenn im zugrunde liegenden Text stünde, dass Herr Schmidt nicht mehr Informationen hätte als ein unbeteiligter Leser. Zum Beispiel in der Form "Allein aufgrund dieser Information berechnet Herr Schmidt..." In der aktuellen Version muss zumindest die Möglichkeit, dass Herr Schmidt richtig gerechnet haben könnte, berücksichtigt werden. Momentan steht seine Rechnung nicht im Widerspruch zu seiner Überlegung. Weshalb er eine 50% Wahrscheinlichkeit vermutet, ist nicht angegeben. Aus dem Text geht aber hervor, dass er seinen Gönner, Herrn Lemke, kennt. Herr Schmidt wird also zu Recht Erfahrungen   einfließen lassen, die uns nicht bekannt sein müssen. --Rebiersch 00:34, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Ich hab's jetzt umformliert, oben steht jetzt die korrigierte neue Fassung. Die Möglichkeit, dass Herr Schnidt richtig gerechnet hat, steckt im Satz "Sie kann für manche Beträge 50% sein"; die Unterstellung, dass Herr Schmidt dem Trugschluss unerlegen wäre, ist verschwunden. Besser so? --NeoUrfahraner 06:19, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Ja, einverstanden --Rebiersch 20:11, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: OK, Artikel geändert. --NeoUrfahraner 20:25, 19. Mär. 2008 (CET)

text: Wie Dir möglicherweise aufgefallen ist, hat eine anonyme Person die Änderung zwei Mal zurückgesetzt. Ich möchte es nicht nochmals selber ändern, um mich nicht dem Verdacht eines WP:Edit-Wars auszusetzen. Falls Du weiterhin der Meinung bist, dass meine Version besser ist, möchte ich Dich bitten, dass Du auf die entsprechende Version zurückzusetzt. Wenn die anonyme Person dann wieder zurücksetzt, werde ich eine Halbsperre beantragen. --NeoUrfahraner 16:42, 20. Mär. 2008 (CET)

text: "Die Lösung" ist ja keine Lösung wie man im Artikel nachlesen kann:"Zu tauschen würde sich demnach genau dann auszahlen, wenn E > n gilt... Verteilungen, die diese Bedingung für alle möglichen n erfüllen, lassen sich zwar konstruieren, besitzen dann aber keinen endlichen Erwartungswert. Daher ist die oben angedeutete Argumentation, die zum Paradoxon führt, bereits aus formalen Gründen unzulässig." So dreht sich die Diskussion hier immer wieder im Kreis... --172.158.24.172 12:41, 18. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Alternativvorschlag 

message: Meinungen dazu? (bitte nur von angemeldeten Benutzern, nicht von IP-Adressen) --NeoUrfahraner 07:45, 18. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Mit deinem Vorschlag wäre ich sofort einverstanden, wenn im zugrunde liegenden Text stünde, dass Herr Schmidt nicht mehr Informationen hätte als ein unbeteiligter Leser. Zum Beispiel in der Form "Allein aufgrund dieser Information berechnet Herr Schmidt..." In der aktuellen Version muss zumindest die Möglichkeit, dass Herr Schmidt richtig gerechnet haben könnte, berücksichtigt werden. Momentan steht seine Rechnung nicht im Widerspruch zu seiner Überlegung. Weshalb er eine 50% Wahrscheinlichkeit vermutet, ist nicht angegeben. Aus dem Text geht aber hervor, dass er seinen Gönner, Herrn Lemke, kennt. Herr Schmidt wird also zu Recht Erfahrungen   einfließen lassen, die uns nicht bekannt sein müssen. --Rebiersch 00:34, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Ich hab's jetzt umformliert, oben steht jetzt die korrigierte neue Fassung. Die Möglichkeit, dass Herr Schnidt richtig gerechnet hat, steckt im Satz "Sie kann für manche Beträge 50% sein"; die Unterstellung, dass Herr Schmidt dem Trugschluss unerlegen wäre, ist verschwunden. Besser so? --NeoUrfahraner 06:19, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Ja, einverstanden --Rebiersch 20:11, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: OK, Artikel geändert. --NeoUrfahraner 20:25, 19. Mär. 2008 (CET)

text: Wie Dir möglicherweise aufgefallen ist, hat eine anonyme Person die Änderung zwei Mal zurückgesetzt. Ich möchte es nicht nochmals selber ändern, um mich nicht dem Verdacht eines WP:Edit-Wars auszusetzen. Falls Du weiterhin der Meinung bist, dass meine Version besser ist, möchte ich Dich bitten, dass Du auf die entsprechende Version zurückzusetzt. Wenn die anonyme Person dann wieder zurücksetzt, werde ich eine Halbsperre beantragen. --NeoUrfahraner 16:42, 20. Mär. 2008 (CET)

text: "Die Lösung" ist ja keine Lösung wie man im Artikel nachlesen kann:"Zu tauschen würde sich demnach genau dann auszahlen, wenn E > n gilt... Verteilungen, die diese Bedingung für alle möglichen n erfüllen, lassen sich zwar konstruieren, besitzen dann aber keinen endlichen Erwartungswert. Daher ist die oben angedeutete Argumentation, die zum Paradoxon führt, bereits aus formalen Gründen unzulässig." So dreht sich die Diskussion hier immer wieder im Kreis... --172.158.24.172 12:41, 18. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Diskussion 

message: :"Die Lösung" ist ja keine Lösung wie man im Artikel nachlesen kann:"Zu tauschen würde sich demnach genau dann auszahlen, wenn E > n gilt... Verteilungen, die diese Bedingung für alle möglichen n erfüllen, lassen sich zwar konstruieren, besitzen dann aber keinen endlichen Erwartungswert. Daher ist die oben angedeutete Argumentation, die zum Paradoxon führt, bereits aus formalen Gründen unzulässig." So dreht sich die Diskussion hier immer wieder im Kreis... --172.158.24.172 12:41, 18. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Anonyme Meinungen 

message: Meinungen dazu? (bitte nur von angemeldeten Benutzern, nicht von IP-Adressen) --NeoUrfahraner 07:45, 18. Mär. 2008 (CET)
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replies: text: Ich hab's jetzt umformliert, oben steht jetzt die korrigierte neue Fassung. Die Möglichkeit, dass Herr Schnidt richtig gerechnet hat, steckt im Satz "Sie kann für manche Beträge 50% sein"; die Unterstellung, dass Herr Schmidt dem Trugschluss unerlegen wäre, ist verschwunden. Besser so? --NeoUrfahraner 06:19, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Ja, einverstanden --Rebiersch 20:11, 19. Mär. 2008 (CET)
replies: text: OK, Artikel geändert. --NeoUrfahraner 20:25, 19. Mär. 2008 (CET)

text: Wie Dir möglicherweise aufgefallen ist, hat eine anonyme Person die Änderung zwei Mal zurückgesetzt. Ich möchte es nicht nochmals selber ändern, um mich nicht dem Verdacht eines WP:Edit-Wars auszusetzen. Falls Du weiterhin der Meinung bist, dass meine Version besser ist, möchte ich Dich bitten, dass Du auf die entsprechende Version zurückzusetzt. Wenn die anonyme Person dann wieder zurücksetzt, werde ich eine Halbsperre beantragen. --NeoUrfahraner 16:42, 20. Mär. 2008 (CET)

text: "Die Lösung" ist ja keine Lösung wie man im Artikel nachlesen kann:"Zu tauschen würde sich demnach genau dann auszahlen, wenn E > n gilt... Verteilungen, die diese Bedingung für alle möglichen n erfüllen, lassen sich zwar konstruieren, besitzen dann aber keinen endlichen Erwartungswert. Daher ist die oben angedeutete Argumentation, die zum Paradoxon führt, bereits aus formalen Gründen unzulässig." So dreht sich die Diskussion hier immer wieder im Kreis... --172.158.24.172 12:41, 18. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Diskussion 

message: :"Die Lösung" ist ja keine Lösung wie man im Artikel nachlesen kann:"Zu tauschen würde sich demnach genau dann auszahlen, wenn E > n gilt... Verteilungen, die diese Bedingung für alle möglichen n erfüllen, lassen sich zwar konstruieren, besitzen dann aber keinen endlichen Erwartungswert. Daher ist die oben angedeutete Argumentation, die zum Paradoxon führt, bereits aus formalen Gründen unzulässig." So dreht sich die Diskussion hier immer wieder im Kreis... --172.158.24.172 12:41, 18. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Anonyme Meinungen 

message: In Lehrbüchern lassen sich sinngemäß folgende Definitionen finden:
:Die Hauptaufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung besteht in der Voraussage des (idealisierten) Ablaufs von Massenvorgängen. Schon damit ist klar, daß die Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung über den Ausgang eines bestimmten einzelnen Vorgangs keine Aussagen liefern oder ermöglichen.
:Ein Zufallsexperiment liegt vor, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
::1. Das Experiment ist beliebig oft unter den gleichen Bedingungen durchführbar.
::2. Die möglichen Ausgänge können eindeutig angegeben werden.
::3. Es ist nicht voraussagbar, welcher der möglichen Ausgänge des Experiments eintritt.
:Demgegenüber versucht man in der beurteilenden Statistik, aus den Ergebnissen, die bei mehrmaliger Durchführung eines Zufallsexperiments auftreten, auf die (unbekannte) Wahrscheinlichkeitsverteilung zu schließen, die dem Experiment zugrundegelegen haben muss. Dazu vergleicht man jeweils die praktischen Ergebnisse mit denen eines (simulierten) idealen Experiments. --172.158.202.56 12:19, 22. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 

message: :Siehe Benutzer:ASM, Benutzer:Rebiersch und Benutzer:NeoUrfahraner --NeoUrfahraner 12:01, 22. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Siehe --172.158.202.56 12:38, 22. Mär. 2008 (CET)

text: Drei Pseudonyme (bzw. Nicknames), ein Anonymer. --NeoUrfahraner 14:33, 22. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Wie lange willst du eigentlich diesen Kinderkram fortsetzen? --172.179.245.166 21:11, 22. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Solange Du mitspielst. --NeoUrfahraner 06:37, 23. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Vorstellung der Diskussionsteilnehmer 

message: Falls sich jemand immer noch grundsätzlich an der Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechung stört, kann man das Problem auch folgendermaßen formulieren:
Gegeben sein ein paar positiver ganzzahliger Zufallsvariablen (A,B) mit symmetrischer Verteilung:
:P(A=m,B=n)=P(A=n,B=m) (* Symmetrieannahme *)
Zusätzlich sei bekannt, dass eine Zufallsvariable doppelt so groß wie die andere ist:
:Aus P(A=m,B=n)>0 folgt m=2n oder n=2m. (* Verhältnisannahme *)
Nun betrachte man die bedingte Erwartung von B bei gegebenem A: E(B|A). Aus der Lineartität der bedingten Erwartung folgt
:E(B|A)=E(A|A)+E(B-A|A)
Aus der Verhältnisannahme folgt, dass eine Variable ist doppelt so groß ist wie die andere, daher gilt:
:E(B-A|A=n)=(2n-n)P(B=2n|A=n)+(n/2-n)P(B=n/2|A=n)
Aus der Symmetrieannahme folgt P(B=2n|A=n)=P(B=n/2|A=n)=1/2, daher gilt
:E(B-A|A=n)=(2n-n)/2+(n/2-n)/2=n/4
Daher gilt E(B-A|A)>0 mit Wahrscheinlichkeit 1 und daher E(E(B-A|A))>0
Allerdings gilt laut Ash, Real Analysis and Probability, Theorem 6.5.4
:E(E(X|Y))=EX
Somit
:E(B)=E(E(B|A))=E(E(A|A))+E(E(B-A|A))=E(A)+E(E(B-A|A))>E(A)
Aus der Symmetrieannahme folgt jedoch E(A)=E(B), somit erhält man einen Widerspruch. Wo liegt der Fehler in der Rechnung?  
In dieser Form liest sich die Geschichte natürlich weniger unterhaltsam, aber diese Rechnung ist die mathematische Essenz, um die es geht. Die Geschichte von Herrn Lemke, Herrn Schmidt und der Sekretärin ist nur eine Veranschaulichung dieser Rechnung. Wenn die Geschichte im Widerspruch zur mathematischen Essenz steht, dann muss man eben die Geschichte in der Einleitung so anpassen, dass die mathematische Essenz stimmt. --NeoUrfahraner 10:52, 22. Mär. 2008 (CET)
replies: text: So einen Vorschlag habe ich mittlerweile schon erwartet: daß man solange an der Problemstellung herumformuliert bis sie zu den unsinnigen Annahmen und Berechnungen der "bedingten-Erwartungswert"-Fraktion passt. Das ist unseriös und spiegelt ein schlechtes Wissenschafts- und Erkenntnisverständnis wider. --172.158.24.250 11:41, 22. Mär. 2008 (CET)
replies: text: "Für das Ziegenproblem gibt es die Standardproblemstellung mit der Standardlösung von Marilyn vos Savant. Varianten könnten dort auch diskutiert werden, liefern aber nicht unbedingt die für viele überraschende Lösung" (172.158.144.115 um 18:39, 25. Mär. 2008). Es geht um die Variante mit der überraschenden Lösung, daher muss man notfalls eben die Problemstellung anpassen, so wie die Standardproblemstellung des Ziegenproblems normalerweiser auch nicht die Problemstellung von Marilyn vos Savant ist. --NeoUrfahraner 07:25, 26. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Die mathematische Essenz 

message: Es ist doch ganz klar, daß uns ein "bedingter Erwartungswert" hier nicht weiterhilft. Dazu gäbe es vielzuviele mögliche Annahmen mit vielzuvielen möglichen Umschlagpaaren, die ins Spiel gebracht werden könnten. Hier nur 4 Beispiele:
:1. Es gibt nur zwei Umschlagpaare mit (50|100) und (100|200) Euro, die jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p=1/2 dem Herrn Schmidt zur Auswahl angeboten werden. Was ist der bedingte Erwartungswert für ihn, wenn er einen Umschlag mit 100 Euro öffnet?
:2. Es gibt die sechs Umschlagpaare aus dem "Beispiel", von denen per Würfelentscheid für Herrn Schmidt ein Umschlagpaar ausgesucht wird. Was ist der bedingte Erwartungswert für ihn, wenn er einen Umschlag mit 100 Euro öffnet?
:3. Es gibt nur zwei Umschlagpaare mit (25|50) und (50|100) Euro, die jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p=1/2 dem Herrn Schmidt zur Auswahl angeboten werden. Was ist der bedingte Erwartungswert für ihn, wenn er einen Umschlag mit 100 Euro öffnet?
:4. Es gibt nur zwei Umschlagpaare mit (100|200) und (200|400) Euro, die jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p=1/2 dem Herrn Schmidt zur Auswahl angeboten werden. Was ist der bedingte Erwartungswert für ihn, wenn er einen Umschlag mit 100 Euro öffnet?
Dies ist natürlich nur ein Bruchteil möglicher Annahmen über die Auswahl von Umschlagpaaren, die Herrn Schmidt zur Verfügung gestellt werden könnten. Trotzdem haben wir es hier schon mit mindestens 3 verschiedenen bedingten Erwartungswerten zu tun, die Herr Schmidt berechnen dürfte. Es zeigt sich, daß man so keine bestimmte Lösung für das Umschlagspiel erhalten kann. Aber: Für die eindeutige Problemstellung in "Das Paradoxon" sollte es eine eindeutige Lösung geben! --172.158.71.98 18:08, 30. Mär. 2008 (CEST)
replies: text: Die Problemstellung ist nicht eindeutig in diesem Sinn. --NeoUrfahraner 19:43, 30. Mär. 2008 (CEST)
replies: text: Eindeutiger ginge es nur, wenn Herr Schmidt nach Öffnen des Umschlags mit 100 Euro sofort wüsste, wieviel Geld sich im anderen Umschlag befindet. Dann wäre es aber keine Problemstellung mehr. --172.173.164.5 21:04, 1. Apr. 2008 (CEST)
thread_title:  Eindeutige Problemstellung erfordert eindeutige Lösung 

message: Beim Lesen der Diskussionsbeiträge inklusive der Archivbeiträge wird offensichtlich, dass mehrere Denkfehler und Trugschlüsse beim Betrachten des Umtauschparadoxon eine Rolle spielen können. Fast alles ist hier auf den Diskussionsseiten schon einmal genannt worden, aber nicht alle Aspekte sind im Artikel aufgenommen worden. 
* möglicher Denkfehler: Die Folgerung von Herrn Schmidt ist zwingend (das ist falsch und im Artikel beschrieben)
* möglicher Denkfehler: Es ist eine Verteilung von Ausgangsbeträgen realisierbar, bei der für alle n gilt: pn = pn / 2 (im Text steht, dass es sie nicht gibt. Aber weshalb?)
* möglicher Denkfehler: Es ist kein Verfahren für ein Auswahlverfahren der Sekretärin realisierbar, dass rechnerisch für alle n einen Erwartungswert liefert, der größer ist als der aufgedeckte Betrag. (Ein solches Verfahren ist vorstellbar)
* möglicher Denkfehler: Das Problem ist gelöst, wenn ein kleinstmöglicher Betrag festgelegt wird (stimmt nicht)
* möglicher Denkfehler: Das Paradoxon besteht auch, wenn von einem Höchstbetrag ausgegangen wird, solange dieser Betrag nicht bekannt ist (stimmt nicht, das Paradoxon besteht nur wenn die Geldmenge unbegrenzt ist) 
* möglicher Denkfehler: Wenn ausgehend von einem beliebigen Betrag n im 1. Umschlag der berechnete oder mitgeteilte Erwartungswert des 2. Umschlags größer ist als n, so folgt hieraus, dass sich ein Tausch schon vor dem Öffnen lohnt. --Rebiersch 03:01, 24. Mai 2008 (CEST)
thread_title:  konkrete Denkfehler 

message: "dass das Paradox auch bei ungeöffnetem Umschlag auftritt ..." Ecto1 09:56, 25. Mai 2008. Was ist das Paradox bei ungeöffnetem Umschlag? --NeoUrfahraner 08:28, 26. Mai 2008 (CEST)
replies: text: Herr Schmidt kommt auch dann zum Ergebnis: Tausche immer.--Ecto1 12:26, 26. Mai 2008 (CEST)

text: Und genau dazu muss der Artikel als wichtigstes beschreiben, was Herr Schmidt falsch macht. Das korrekte (aber komplizierte) Gegenrechnen mit oder ohne Verteilungen kann in einem zusätzlichen Absatz erfolgen. Ich glaube das Hauptproblem bei Dir ist, dass Du denkst es geht im Artikel zuallererst um das Problem mit zwei Umschlägen - aber in Wirklichkeit geht es um den Ansatz von Herrn Schmidt zu diesem Problem. Dieser Ansatz enthält nämlich als Ergebnis das Paradoxon, und in einem Artikel mit dem Namen "Untauschparadoxon" sollte es genau darum gehen!--Ecto1 16:18, 26. Mai 2008 (CEST)

text: Die Antwort beschreibt in keinem der Fälle den Fehler in Herrn Schmidts Argumentation - und daher ist diese Antwort als "Lösung" ungenügend. Und daher übrigens auch diese Diskussion, da der Artikel derzeit "ungenügend" ist.--Ecto1 16:57, 26. Mai 2008 (CEST)

text: Absolut überhaupt nicht sind wir uns da einig.  Da Herrn Schmidts Ansatz auch für den ungeöffneten Umschlag funktioniert, muss die korrekte Lösung beide Varianten abdecken. Die bisherige Lösung ist immer noch am Thema vorbei.--Ecto1 19:06, 26. Mai 2008 (CEST)

text: Ich wiederhole: Der Ansatz von Herrn Schmidt ist falsch. Seine 50:50-Aufteilung auf die zwei möglichen Werte ist nicht erlaubt.--Ecto1 20:50, 26. Mai 2008 (CEST)

text: Ist für kein n erlaubt. Anders ausgedrückt: Es gibt keinen gefundenen Betrag, für den Herrn Schmidts Ansatz/Rechnung richtig ist.--Ecto1 09:26, 27. Mai 2008 (CEST)

text: Das Paradoxe wäre dann, dass wir die Diskussion im falschen Artikel führen. Die 50:50 Aufteilung ist in Experiment 2 (siehe gaaanz oben) sogar immer richtig und führt zum korrekten Ergebnis. Aber wir haben ja festgestellt, dass dies nichts mit dem Problem im Artikel gemein hat.--Ecto1 11:08, 27. Mai 2008 (CEST)

text: Woher sollte diese 50:50-Aufteilung kommen? Aus der naiven Sicht von Herrn Schmidt? Du kennst doch das Experiment, und nach der Auswahl der zwei Umschläge kann es keine 50:50 Aufteilung mehr geben.--Ecto1 14:00, 27. Mai 2008 (CEST)

text: Und wer soll das wissen? Herr Schmidt hat doch keine Ahnung. Und die Person, die die Umschläge füllt, würde sicherlich keine 50:50 sondern eine 100:0 Aufteilung durchführen. Oder weiß Herr Schmidt etwas mehr?--Ecto1 19:08, 27. Mai 2008 (CEST)
thread_title:  Paradox bei ungeöffnetem Umschlag