Diskussion:Vollständige Induktion/Archiv/1

message: Zu http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vollst%C3%A4ndige_Induktion&diff=71888111&oldid=71008584 : Gibt es da auch ein passendes Beispiel? (Mir ist dieser Fall noch nicht untergekommen, und der Verzicht auf den Induktionsanfang ist wohl eher nur eine Ersparnis theoretischer Natur). --NeoUrfahraner 07:05, 15. Mär. 2010 (CET)
replies: text: Ich habe es vorläufig zurückgesetzt, wir können das aber gerne hier diskutieren. --NeoUrfahraner 07:03, 16. Mär. 2010 (CET)

text: Beachte WP:TF. Das klingt also sehr nach Theorieetablierung ("außerhalb der Wikipedia keine oder nur sehr geringe Resonanz "). Es ist zwar sicherlich eine ganz nette Verallgemeinerung, für den normalen Leser aber mehr verwirrend als hilfreich. --NeoUrfahraner 21:26, 2. Apr. 2010 (CEST)
replies: text: Es handelt sich bei der gelöschten Änderung ganz einfach um eine Transfinite Induktion auf der Menge der natürlichen Zahlen mit ihrer natürlichen Ordnung (die eine Wohlordnung ist). Praktisch wird dieser Fall wohl eher selten benutzt, er ist aber trotzdem interessant, da es sich hierbei um die "richtige" Formulierung der vollständigen Induktion handelt, so dass diese auf alle Wohlordnungen verallgemeinert werden kann. Man könnte daher diese Variante mit entsprechendem Querverweis auf die transfinite Induktion wieder einbauen? Gruss -- Godfatherofpolka 23:30, 2. Apr. 2010 (CEST)
replies: text: Wenn es ein passendes Beispiel oder einen weiterführenden Literaturverweis gibt, dann ja. Sonst (siehe oben) ist es mehr verwirrend als hilfreich. --NeoUrfahraner 10:13, 3. Apr. 2010 (CEST)
replies: text: Ein erster Literaturverweis, der mir in den Sinn kommt ist Deisers Einführung in die Mengenlehre, siehe gerade die erste Seite von , es gibt noch mehr, aber das kann ich erst liefern, wenn ich wieder in der Nähe meiner Bücher bin. Gruss -- Godfatherofpolka 10:47, 3. Apr. 2010 (CEST)
replies: text: OK. Ein Beleg wie dieser sollte reichen. --NeoUrfahraner 10:55, 3. Apr. 2010 (CEST)
thread_title:  Änderung 14. Mär. 2010 95.117.171.116 

message: Im Artikel steht: "Bis zum Jahr 1879 wurde sie jedoch nur für arithmetische Probleme benutzt. Erst als Gottlob Frege damit die Klasse der natürlichen Zahlen definierte, wurde sie zu einem allgemein gültigen Beweisverfahren in der Mathematik." Für solch eine präzise datierte Behauptung muss eine Quelle angegeben werden. Das Jahr 1879 bezieht sich offenbar auf Freges Begriffschrift. Sie enthält aber keine Arithmetik und Zahlendefinition. Freges Arithmetik von 1884 hat eine andere Zahlendefinition, die nichts mit der Induktion zu tun hat, sondern Zahlen als Klassen mit endlich vielen Elementen definiert. Dann kommt nur noch Freges Arithmetik-Kalkül von 1893 in Frage. Damals gab es aber längst die Arithmetik von Dedekind 1888 und Peano 1889 mit explizit formuliertem  Induktionsprinzip. Das ist meines Erachtens der historische Wendepunkt.--Wilfried Neumaier 08:25, 28. Jun. 2010 (CEST)
replies: text: Inzwischen habe ich mich mit Frege befasst und es ist mir klar geworden, was der Hintergrund für obige Aussage über Frege ist. Sie schießt weit über das hinaus, was bei Frege tatsächlich zu finden ist, aber hat eine eingeschränkte Berechtigung. Frege bemerkt in der Begriffsschrift 1879 S. 64 in einer Fußnotenzeile zu seinem Satz Nr. 81, dass auf ihm die Bernoullische Induktion beruht. Das ist alles. Hier liegt also eine knappste Ideenskizze zur Induktionsableitung vor, die aber nicht die historischen Folgen hatte, wie oben behauptet. In seinen Grundlagen der Arithmetik von 1884, die keine große historische Wirkung hatten, kommt er auf diese Idee zurück in §79 und §80 und führt sie langatmige philosophisch weiter aus. Sie ist hier Teil seiner Zahlendefinition, die er in seinem Kalkül von 1893 dann formalisierte; beides, die Defintion und der Kalkül ist mit Inkonsistenzen behaftet. Wenn man im Artikel etwas über Frege aussagen will, muss also der Stellenwert und die Problematik sachgemäß bewertet werden. Es ist die Frage, ob dazu hier der geeignete Raum ist.--Wilfried Neumaier 15:30, 5. Jul. 2010 (CEST)
thread_title:  Zur Geschichte 

message: # Induktionsanfang
# Induktionsvoraussetzung (-Behauptung)
# Induktionsschluss
In manchen Lehrbüchern wird nur in zwei Schritte eingeteilt. Doch die bloße Unterscheidung in Induktionsanfang und Induktionsschritt wird der Beweisführung nicht gerecht, da der sogenannte Induktionsschritt grundsätzlich die Induktionsvoraussetzung für n und (n+1) erfordert (was meist schnell behauptet werden kann) aber am mühevollen Induktionsschluss  scheitern kann.Kleine Enzyklopädie Mathematik; VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 9. gekürzte Auflage, 1974 .- S. 77
--Walmei (Diskussion) 12:50, 25. Aug. 2018 (CEST)
replies: text: Da es bei dieser Diskussion über die Vollständige Induktion um sprachliche Feinheiten geht, möchte ich Dich gerne bitten, die Literaturstelle, die Du anziehst, einzuscannen oder einzutippen.M.E. sicherlich falsch ist, dass »der sogenannte Induktionsschritt grundsätzlich die Induktionsvoraussetzung für n und (n+1) erfordert«, wie Du schreibst. Induktionsvoraussetzung ist immer nur die Aussage bezogen auf den oder die Vorgänger, hier also Aussage(n). Und Induktionsbehauptung die Aussage bezogen auf den Nachfolger, hier also Aussage(n+1). M.a.W.: geht es bei dem Beweis mittels Vollständiger Induktion um die zwei Zahlen n und (n+1), dann nimmt die Aussage(n) die Rolle der Voraussetzung ein und die Aussage(n+1) die Rolle der Behauptung. [Als lesbarer Text unterscheiden sich die beiden nur im n und (n+1), also aussagemäßig eigentlich überhaupt nicht, so dass man vielleicht sogar auf die Idee kommen könnte: Induktionsvoraussetzung = Induktionsbehauptung.]Über weitere Details gerne nach Deinem wörtlichen Zitat. --Nomen4Omen (Diskussion) 15:58, 25. Aug. 2018 (CEST)
replies: text:  Willst Du darauf hinaus, dass wir in der Schule die 3 Schritte:   1. Voraussetzung: H(k)   2. Behauptung: H(k+1)   3. Beweis: H(k) ==> X1 ==> X2 ==> ... ==> H(k+1)gelernt haben? Nun, da gibt es doch die vielen, vielen Stellen in der math. Literatur, wo einfach,     wenn Behauptung zutrifft,      dann gilt Aussage.hingeschrieben wird. Evtl mit einem Nachklapp, weil »==> X1 ==> X2 ==> ... ==>«. Dein zweiter Schritt, das »Bilden (oder Hinschreiben) von H(k+1) als Induktionsbehauptung« ist doch gar keine geistige Leistung, es ist doch ein pures Ersetzen von k durch (k+1) !Was meinst Du mit Letzteres genau: den »Nachweis, dass H(k+1) aus H(k) folgt (Induktionsbeweis)« oder »die Dreischritttigkeit des Induktionsschrittes« ? --Nomen4Omen (Diskussion) 22:48, 25. Aug. 2018 (CEST)

text: Dann is ja gut. --Nomen4Omen (Diskussion) 23:01, 25. Aug. 2018 (CEST)
thread_title:  Die Vollständige Induktion - zweischrittig, dreischrittig, vierschrittig? 

message: Bei "Häufige Fehler" wird eine schöne Formel gezeigt.
Durch mein "Vorwissen" habe ich in der rechten Formel "+7" erkannt.
Zitat:
Falls diese Behauptung für ein n gelten würde, dann würde sie auch für n + 1 gelten! Da sie aber für kein n gilt, ist sie falsch!
Zitat-Ende
Und woher WEIß ich das, das sie für kein n gilt?
Danke für die Erklärung. LG Lisa 
:Ich habe es ein wenig umformuliert. Der Induktionsbeweis ist falsch, wenn man kein n für den Induktionsanfang angibt. Die Aussage könnte trotzdem richtig sein, auch wenn der Beweis falsch ist. Dass die Aussage im konkreten Fall tatsächlich falsch ist, muss man aber tatsächlich mit anderen Mitteln zeigen (beispielsweise indem man die korrekte Formel angibt und zeigt, dass sie niemals gleich der angegebenen falschen Formel ist). --NeoUrfahraner 21:46, 2. Sep. 2006 (CEST)
thread_title:  Häufige Fehler 

message: Kann jemand einige schöne Beispiele zu den Verallgemeinerungen beitragen? So, wie es jetzt steht, wirkt es noch zu theoretisch. --NeoUrfahraner 05:16, 27. Feb. 2005 (CET)
thread_title:  Verallgemeinerungen 

message: Ich habe mir erlaubt die Einleitung dieses Abschnitts wiederherzustellen, da die ursprüngliche Textqualität weitaus besser ist und eine einfache, gut strukturierte Sichtweise bietet. Ich bitte weiters zu berücksichtigen, dass WP kein Lehrbuch ist und eine vereinfachte Textwahl auch zu Qualitätabstichen führen kann. Grüße Tom1200 12:15, 10. Jul. 2005 (CEST)
thread_title: ad ''Die Idee''

message: Kann mir mal jemand sagen wieso  laut artikel (k+1) \cdot \frac{k+2}{2} gleich \frac{(k+1)\cdot ((k+1)+1)}{2} ist??
Ich meine wenn man davon ausgeht dass k+2 = ((k+1)+1) ist, dann erscheint mit das heraufheben von (k+1) auf den bruch durch 2 doch als ungültig da (k+1) nicht gleich \frac{(k+1)}{2} ist. Oder?
-- Hurricane (212.100.47.161 02:30, 14. Okt. 2005 (CEST)
replies: text: Das Heraufheben auf den Bruch ist völlig korrekt. Beispiel: 5\cdot\frac 62=5\cdot 3=15=\frac{30}2=\frac{5\cdot 6}2.--Gunther 09:40, 14. Okt. 2005 (CEST)
thread_title:  Unlogisch...? 

message: Vollständige Induktion oder der "Schluss von n auf n + 1" ist eine Beweismethode, die üblicherweise eine Aussage für alle natürlichen Zahlen beweist. Sie funktioniert aber auch für allgemeinere Fälle (siehe unten).
* Antifaschist 666 16:41, 10. Okt 2005 (CEST)
thread_title: Lesenswert-Diskussion

message: In dem Artikel steht zu dem Beweis, dass alle Zahlen gleich sind:
"Beim Induktionsschritt beruft man sich auf einen Fall, der aber nicht explizit bewiesen wurde (z.B. den Fall n = 2)" und "Wir berufen uns also auf die Richtigkeit von n = 2, ohne es vorher bewiesen zu haben"
Damit kann ich mich gar nicht einfreunden:
Der Induktionsschluss hat ÜBERHAUPT NICHTS mit der tatsächlichen Richtigkeit der einzelnen Aussagen zu tun: Es wird nur gezeigt, dass die FOLGERUNG gilt.
(Die Folgerung von n auf n+1 kann sogar richtig sein, ohne das A(n) gilt!!)
Der EINZIGE Fehler in dem Beweis ist hier, dass der Induktionsschluss NUR FÜR n>=2 möglich ist, aber
für ausnahmslos ALLE n>=1 gültig sein müsste!!
Explizit bewiesen wird in diesem (Schein-)Beweis nur für n=1.
Würde man bei 2 anfangen wäre es ein anderer Beweis mit anderer Verankerung, das ist aber viel zu kompliziert gedacht!
Man beruft sich also höchstens im allerweitesten Sinne auf die Richtigkeit von n=2:
"Wenn A(2) gelten würde, wäre der Satz bewiesen."
Wenn ich kein gutes Gegenargument höre, ersetze ich diese seltsame Erklärung durch die meiner Meinung nach trefferende Festmachung des Fehlers:
"Der Induktionsschritt ist nicht für alle n>=n0 gültig!, d.h. es gibt mindestens ein n>=n0, für das er nicht anwendbar ist. (Hier n=1)"
: Zustimmung. Es ist aber unnötig, hier über irgendein n0 zu sprechen. Der Induktionsschritt von 1 auf 2 ist falsch, mehr muss man nicht sagen.--Gunther 20:58, 6. Nov. 2005 (CET)
replies: text: "Häufige Fehler" sind in einem Enzyklopädieartikel ohnehin fragwürdig (vgl. WP:WWNI Punkt 8), aber ich denke, das Beispiel hat eine gewisse eigenständige Berühmtheit erlangt und dient auch dem Verständnis der Induktion.--Gunther 15:48, 8. Nov. 2005 (CET)
thread_title:  "Man beruft sich auf den Fall n=2 ??" 

message: Im Artikel Franciscus Maurolicus findet sich ein Hinweis auf eine frühere Verwendung der Induktion. Ich kenn mich mit der Geschicht der Mathematik nicht so gut aus, dass ich sagen könnte, dass das stimmt. Vielleicht kann das jemand aufklären? Grüße --Trifi 23:46, 12. Apr. 2006 (CEST)
thread_title:  Geschichtlich: frühere Verwendung der Induktion? 

message: Schon andere Kommentatoren vor mir sind über den folgenden Satz gestolpert: "Obwohl auch bei der vollständigen Induktion vom Speziellen auf das Allgemeine geschlossen wird, ist sie jedoch kein induktives, sondern ein deduktives Prinzip." Was absurd klingt wird an anderer Stelle gerechtfertigt mit dem Hinweis, dass die gesamte Mathematik deduktiv ist, also auch ihr Induktionsprinzip.
Ich möchte vorschlagen einen Unterschied zwischen internen und externen Eigeschaften zu sehen. Das Induktionsprinzip ist induktiv, denn vom Speziellen wird auf das Allgemeine geschlossen -- eine interne Eigenschaft. In der mathematischen Praxis kenne ich es als Axiom. Dieses allgemeine Axiom wird auf den speziellen Fall angewendet -- eine externe Eigenschaft. 
Was man, diesen Gedanken folgend, anstelle des zitierten Satzes schreiben könnte, wäre meiner Meinung nach relativ uninteressant, etwa: "Das Induktionsprinzip erlaubt einen induktiven Schluss, d.h. einen Schluss vom Speziellen aufs Allgemeine. Es wird im deduktiven Argumentieren der Mathematik als allgemeines Axiom benutzt, das im speziellen Fall seine Anwendung findet." Wie gesagt, eher uninteressant. Sollte man den Satz vielleicht komplett weglassen?               Gr., Bastian 
:Der Satz ist wichtig und richtig; die Unterscheidung "intern" und "extern" ist unnötig und findet sich meines Wissens auch nicht in der Literatur. Zunächst solltest Du Dir klar machen, dass Axiome in der Mathematik nicht induktiv begründet werden; sie werden als "wahr" vorausgesetzt, ohne sich um die "Wirklichkeit" zu kümmern. Ausgehend von diesen Axiomen wird deduktiv weitergearbeitet, auch bei der vollständigen Induktion. Lies am besten Induktionsschluss durch, dann sollte Dir klar werden, dass vollständige Induktion mit dem Induktionsschluss der Logik nichts zu tun hat. --NeoUrfahraner 07:12, 4. Mai 2006 (CEST)
thread_title:  Ist das Induktionsprinzip deduktiv? 

message: Hallo zusammen,
hat jemand Quellen für scherzhafte Anwendungen der v.I., also aus völlig un-mathematischen Zusammenhängen oder witzige falsche Induktionen ? MfG Maex 15:39, 2. Jan. 2007 (CET)
thread_title:  Scherzhafte vollständige Induktion 

message: Es wäre m. E. besser, wenn für die auf k unmittelbar folgende Zahl ein anderes Symbol als k+1 verwendet würde. Denn das +-Zeichen erweckt den Anschein, als sei von Addition die Rede. Aber diese kommt in den Axiomen ja gar nicht vor, sondern wird erst später mit Hilfe der Axiome, insbesondere des Induktiosaxioms, eingeführt. --Hanfried.lenz 09:34, 3. Sep. 2007 (CEST)
replies: text: Bei den "normalen" Anwendungen der vollst. Induktion darf man meines Erachtens die Rechengesetze der natürlichen Zahlen und somit das "+" als bekannt/bereits bewiesen voraussetzen. Lediglich wenn man die Rechengesetze der natürlichen Zahlen aus den Peano-Axiomen ableitet  (also bei dem was z.B. Edmund Landau in seinen Grundlagen der Analysis ausführlich beschreibt), gibt es natürlich noch kein "+", sodass ein anderes Symbol erforderlich ist. Im Artikel Natürliche Zahl wird diese Unterscheidung auch gemacht; hier im Artikel "Vollständige Induktion" genügt allerdings eine kurze Bemerkung in der Art, wie Du sie bereits eingefügt hast. Ich würde allerdings die Formulierung "Weil in den Peano-Axiomen die Addition noch nicht definiert ist, wird dort ein anderes Symbol benützt." statt "Weil die Addition noch nicht definiert ist, wäre es besser, ein anderes Symbol zu benützen." bevorzugen. --NeoUrfahraner 10:18, 3. Sep. 2007 (CEST)
thread_title:  k+1 oder Nachfolger? 

message: Hi,
unter Idee heisst es:
Ist bekannt,
    * dass eine bestimmte von n abhängige Aussage für n = 1 gilt und...
Daraus wuerde ich schliessen, dass hier n = 1 fuer den Induktionsanfang verwendet wird.
Jedoch heisst es ein paar Zeilen weiter:
    * Die Aussage ist wahr für 0 (Induktionsanfang)
Koennte jemand mit mehr Fach- und Wikipediawissen als ich das bitte richten?
Danke
Florian
--72.140.47.102 03:05, 21. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Im Prinzip ist das egal. Fängt man mit 1 an, muss man gegebenenfalls den Fall n=0 extra behandeln; fängt man mit 0 an, kann man sich gegebenenfalls die Sonderbehandlung der 0 ersparen. Es ist aber sicher sinnvoll, im Artikel einheitlich zu sein, und da die meisten Beispiele mit n=1 anfangen, habe ich auf Induktionsanfang n=1 geändert. --NeoUrfahraner 08:16, 21. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Widerspruch bezueglich des Induktionsanfangs unter "Idee" 

message: Habe das bisher noch nicht gehört und kann mir nichts darunter vorstellen.
Was wäre dann der Unterschied einer unvollständigen Induktion und einer vollständigen Induktion? 
:Wo steht denn was von "unvollständiger" Induktion? --NeoUrfahraner 22:41, 23. Aug. 2006 (CEST)
replies: text: Hilft http://www.phillex.de/u-indukt.htm weiter? --NeoUrfahraner 21:50, 2. Sep. 2006 (CEST)
replies: text: Der Link ist leider nicht mehr erreichbar und unter http://web.archive.org nicht archiviert. Schade. ThomasPusch (Diskussion) 16:11, 15. Mai 2017 (CEST)
thread_title:  Was ist eine "unvollständige" Induktion? 

message: Hier wird angegeben:
   1. Induktionsanfang
   2. Induktionsvoraussetzung
   3. Induktionsschritt
In der Schule habe ich:
   1. Induktionsanfang
   2. Induktionsvoraussetzung
   3. Induktionsschluss
Im Duden-Schülerhilfe-Aufbau des Zahlensystems, vollständige Induktion finde ich:
   1. Induktionsanfang
   2. Induktionsschluss
   2a. Induktionsvoraussetzung
   2b. Induktionsbehauptung
   2c. Induktionsschritt
Der Beginn heißt normalerweise Induktionsverankerung, weil am ersten Schritt die ganze Sache wie an einem Anker hängt. Den Begriff der Induktionsvoraussetzung kenne ich nicht, wundert mich auch, da es keine Voraussetzung sondern eine Annahme ist. Wenn ich annehme, dass die Sache für n gilt, gilt sie dann auch für n+1? Voraussetzungen können wahr oder falsch sein, Annahmen werden als wahr unterstellt, mit dem Ziel den Wahrheitsgehalt später im Beweisverfahren zu verifizieren oder zu falsifizieren.
--Dompfaf 22:14, 6. Jun. 2006 (CEST)
replies: text: "Verankerung" klingt für mich nach Kuschelpädagogik.--Gunther 22:19, 6. Jun. 2006 (CEST)

text: Hallo Analyx! Diese Sprechweise habe ich so noch nie bewusst gesehen. Hast du eine Quelle dafür? Ich kenne das nur so, dass der 2. Schritt entweder Induktionsschritt genannt wird (z.B. Forster: Analysis I) oder Induktionsschluss (z.B. Königsberger: Analysis I). Aber beides zusammen für unterschiedlicher Schritte kenne ich nicht. Auch eine Google-Books-Suche  gibt Induktionsschluss nur als Bezeichnung für den 2. Schritt. Grüße -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 18:05, 30. Aug. 2014 (CEST)

text: Hallo HilberTraum, als Quelle kann ich Ihnen das exzellent geschriebene Buch Einführung in die mathematische Logik von Hans Hermes, B. G. Teubner Stuttgart, 2. Aufl. 1969, Verlags-Nr.2201, Seiten 13 u. 149, anbieten (ich habe bei H. Hermes Logik studiert), des Weiteren das Buch von Justus Diller / A. Breitkopf Differential- und Integralrechnung I , TR-Verlagsunion München 1972, ISBN 3-8058-0372-9, Seite 16 (J. Diller war einer der Nachfolger von H. Hermes an der Univ. Münster); dieses Buch übertrifft das von Ihnen erwähnte Forster-Buch bei Weitem, was Verständlichkeit, formale und logische Sauberkeit angeht. Analyx (Diskussion) 20:38, 30. Aug. 2014 (CEST)
replies: text: Danke für die genauen Literaturangaben, da schau ich morgen mal rein. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 09:39, 31. Aug. 2014 (CEST)
thread_title:  Was ist den nun die korrekte Form? 

message: Was ist der Unterschied? Gibt es einen?
--Christoph 17:31, 26. Sep. 2006 (CEST)
replies: text: Wie meinen??? *grübel* -- zOiDberg (δ·β) 17:54, 26. Sep. 2006 (CEST)
replies: text: Manchmal steht im Skript, dass eine Definition induktiv ist, manchmal rekursiv. Wie kann ich erkennen, wann was zutrifft. Werden rekursive Funktionen induktiv definiert? --Christoph 11:14, 27. Sep. 2006 (CEST)
replies: text: Hast Du Beispiele dazu? Was wird dort als induktiv, was als rekursiv bezeichnet? --NeoUrfahraner 11:33, 27. Sep. 2006 (CEST)
replies: text: Also ich habe den Begriff einer "induktiven Definition" bisher nocht nicht vernommen. Die Begriffe rekursiv und induktiv spielen jedoch zunächst einmal in einer ganz anderen Liga und bezeichnen unterschiedliche Dinge. Daher wären Beispiele zur Klärung Deiner Frage hilfrich. Gruß, -- zOiDberg (δ·β) 16:53, 27. Sep. 2006 (CEST)
replies: text: Also in der Algorithmik treten die zwei Begriffe durchaus (auch vergleichend) auf: Beispielsweise kann man die Fakultät induktiv, also von 1 bis n definieren, als auch rekursiv, von n bis 1. Ersteres ist eine einfache for-Schleife, wobei zweites als Fakultät(1)=1 und Fakultät(n)=n*Fakultät(n-1) definiert ist. --Felbion 20:49, 19. Mai 2009 (CEST)
thread_title:  Induktive vs. Rekursive Definition 

message: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Induktion_%28Mathematik%29&diff=22971718&oldid=22951141
*Aufgaben mit Beweisen zur Induktion (pdf)
spricht da irgendetwas gegen? Das erscheint mir doch eher hilfreich ... 
::Bei dem angegebenen Blatt wird auf Seite sind die natürlichen Zahlen ohne 0 definiert und auf Seite 7 wird mit n=0 verankert. Widersprüchlich, oder? (nicht signierter Beitrag von Felbion (Diskussion | Beiträge) 20:55, 19. Mai 2009 (CEST)
thread_title:  Was spricht gegen das PDF? 

message: Ich finde das Beispiel \sum^n_{k=1} k = 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2} zu beweisen recht ungeschickt gewählt. Diese Formel lässt sich viel einfacher beweisen:
1 + n = n + 1
1 + 1 + n - 1 = n + 1
1 + 2 + n - 2 = n + 1
1 + i + n - i = n + 1
Dies macht man n mal. Dann hat man n(n+1). Außerdem sollte klar sein, dass auf der linken Seite vom Pluszeichen die Zahlen 1, 2, 3, ... n unter einander stehen, rechts absteigend. Die Summe der linken Seite ist also genauso groß wie die der rechten Seite. Und da man eben diese Summe haben will, teilt man durch 2. (es gibt eben zwei Summen, die zusummengefasst n(n+1) ergeben). Ergo: \frac{n(n+1)}{2}.
So etwas sollte viel einfacher zu verstehen sein. Daher finde ich das zweite Beispiel viel passender. Ich wäre dafür, dass man die Reihenfolge tauscht, das Prinzip also an dem jetzigen zweiten Beispiel erklärt wird und diese Formel als weiteres Beispiel angeführt wird. --KEBA 20:31, 14. Aug. 2009 (CEST)
thread_title:  Beispiel 

message: Folgender Satz: Obwohl auch bei der vollständigen Induktion vom Speziellen auf das Allgemeine geschlossen wird, ist sie kein induktives, sondern ein deduktives Prinzip. sollte vllt. etwas genauer erklärt oder belegt werden. Wenn man das Prinzip verstanden hat, kann man den Satz nachvollziehen, aber da er gleich zu Beginn steht, finde ich es unkommentiert doch etwas komisch, dass die "Induktion" gar nicht induktiv sein soll. Grüße --WissensDürster 13:31, 13. Sep. 2009 (CEST)
thread_title:  [[Vollständige_Induktion#Begriff]] 

message: Zu http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vollst%C3%A4ndige_Induktion&diff=prev&oldid=49619666 : (Beweis für rationale Zahlen). Kennt da wer ein Beispiel oder ist das nur theoretische Spielerei? Sollen wir das behalten? --NeoUrfahraner 14:30, 16. Mär. 2010 (CET)
replies: text: Ich habe jetzt den "Beweis für rationale Zahlen" entfernt. Wenn jemand einen passenden Anwendungsfall dafür liefern kann, kann man es von mir aus wieder einfügen. --NeoUrfahraner 10:22, 19. Mär. 2010 (CET)
thread_title:  Beweis für rationale Zahlen 

message: "Schließlich der Induktionsschluss: Damit ist die Aussage A ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {A} (n)} {\displaystyle \operatorname {A} (n)} für alle n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} n\geq 1 bewiesen"
Wie? was?
Was ich bisher verstanden habe:
- ich habe eine Formel, deren Richtigkeit ich beweisen soll
- in der Formel gibt es nur 1 Unbekannte: n
- wenn ich beweise, daß die Formel bei n=1 stimmt, dann prüfe ich noch, ob sie auch bei n=2 stimmt
- wenn ja, stimmt sie auch für N=3, N04, usw. ...
Frage: warum kann man einfach so annehmen, daß die Formel auch bei N=3 stimmt? Gibt es keine Formeln, die irgendwann irgendwie  "unregelmäßig" werden ... hm... schwer zu beschrieben. 
Irgendwie stelle ich mir das so vor: eine Gerade hat eine kontinuierliche Steigung. Aber eine Exponentialfunktion nicht mehr. Eine Hyperbel / Parabel ist dann ganz sonderbar .... wieso kann ich aber bei dieser vollständigen Induktion quasi von einer Geraden ausgehen - davon ausgehen, daß wenn es bei N=1 und N=2 stimmt, auch bei N=3264455 stimmen wird..... ??? --91.48.77.50 00:09, 11. Jun. 2020 (CEST)
replies: text: Hallo! Die vollständige Induktion war mal ein Thema in der Oberstufe des Gymnasiums. Man hat sie wieder herausgenommen, weil sie doch ein tieferes Verständnis der Aussagenlogik voraussetzt. Ich erinnere mich noch gut an mein erstes oder zweites Semester des Studiums der Mathematik, wo ich zunächst das Prinzip nicht verstand (naja; die Aufgaben löste ich nach vorgegebenem Schema). Schau Dir mal den folgenden Aufsatz an: https://kilchb.de/vollstind.php. An einer Rückmeldung wäre ich interessiert. Gruß --Joachim Mohr (Diskussion) 08:40, 11. Jun. 2020 (CEST)
thread_title:  Kann das mal jemand verständlich für Hauptschüler erklären? 

message: Die Erklaerung natuerlich auch.
Mann! Mittels vollstaendiger Induktion kann ich (wenn es klappt!) meine Vermutung *beweisen*!! Das Thema ist dann endgueltig durch und geklaert! (nicht signierter Beitrag von 80.187.107.65 (Diskussion) 00:49, 5. Jun. 2010 (CEST)
replies: text: Ich habe mich des mehrfach in der Diskussion angesprochenen Problems angenommen. Das Diagramm stammt aus dem philosophischen Induktionsartikel. Ein Link dorthin genügt. Die Graphik hat nichts mit der vollständigen Induktion zu tun. --Wilfried Neumaier 08:48, 28. Jun. 2010 (CEST)
thread_title:  Das Diagramm "Der Gegensatz zwischen Deduktion und Induktion" stammt von einem Geisteswissenschaftler! 

message: (Vorab: Ich bediene mich hier einer etwas anderen Semantik als in der Mathematik üblich (kein Neologismus!) – ist hier eben pragmatisch:
Induktionsschritt	= "Beweis für n" + "Beweis für n+1"
Induktionsschluss	= "deshalb für alle n \in \mathbb{N}")
 
In diesem Kapitel wird der Versuch gestartet - durch die Reductio ad absurdum - die Richtigkeit des Induktionsschlusses zu beweisen. Es ist – wie du (Ich darf doch „du“ sagen?!) schon sagtest – so definiert worden, dass der Induktionsschluss ein Algorithmenschritt innerhalb der vollständigen Induktion ist. Nun dient aber der Induktionsschritt bei dir dazu, die Negation der Prämisse ad absurdum zu führen, damit die Prämisse, und somit die Conclusio – sprich: der zu beweisende Induktionsschluss –, bewahrheitet wird. Ich kann doch aber nicht die Induktion durch sich selbst rechtfertigen! Man unterteilt die voll. Induktion in Induktionsanfang, Induktionsschritt und Induktionsschluss; aber das heißt nicht, dass jeder Teil separat für sich steht und bewiesen, bzw. als Axiom angenommen werden kann; ohne den Kontext der voll. Induktion sagen diese Sätze nichts, sie sind keine Aussagen (Jede mathematische Methode kann wie ein Spiel verstanden werden. Wenn du ein Kind vor ein Schachbrett setzt und es lediglich die Regeln zum Ziehen eines Bauern kennt, dann spielt das Kind nicht Schach, denn es kennt den Sinn und die übrigen Regeln des Schachspiels nicht; es führt Bewegungen aus, dessen Zwecke (wenn denn welche existieren) außerhalb des Schachspiels liegen.). Du beweist den Induktionsschluss aber durch den Induktionsschritt, das ist aber ein Widerspruch in sich. Bevor du die Aussage, es gebe eine kleinste natürliche Zahl ungleich eins, für die der durch die voll. Induktion zu beweisende Satz nicht gültig ist, negierst, solltest du dir im Klaren sein, mit welcher Aussage du die Negation „gültig“ machst! Suche nach einem anderen, gültigen Beweis (PS: mit dem indirekten Beweis geht es oft am besten)! --Hanswurst VII. (10:08, 5. Jul 2009 (CEST)
thread_title:  Indirekte Sichtweise 

message: Liest man manche Beweise mit Induktion bzw. versucht diese selbstständig nachzubauen stößt man schnell auf das Problem "wann verlasse ich die Induktion und verirre mich in vollständiger 'Spekulation'"? 
Ein Beispiel ist bereits der Beweis des Lemmas der Ackermannfunktion: y<A(x,y). (nicht signierter Beitrag von 93.232.218.232 (Diskussion) 12:18, 10. Mai 2011 (CEST)
thread_title:  Wann verlasse ich die Induktion 

message: Das, was hier im Artikel als Definition beschrieben wird, ist alle mal eine Plausibilätsterklärung.
Die Definition der vollständigen Induktion, sollte doch anders aussehen. (nicht signierter Beitrag von 85.182.121.39 (Diskussion | Beiträge) 18:22, 16. Mai 2009 (CEST)
thread_title:  Definition, die keine ist... 

message: Wäre es nich besser ...
:A(m) \land \forall n \in \N ((n \geq m \land A(n))\Rightarrow A(n+1))\ \vdash \forall n \in \N \colon (n \geq m \Rightarrow A(n))
... zu schreiben statt:
:A(m) {,}\quad n \in \N\land n \geq m \land A(n)\Rightarrow A(n+1)\ \vdash \forall n \in \N \colon (n \geq m \Rightarrow A(n))
Das Komma nach "A(m)" bedeutet doch "und". --Joachim Mohr 09:23, 1. Jul. 2011 (CEST)
replies: text: Das wäre theoretisch gleichwertig, entspricht aber nicht der üblichen Beweisstrategie mit zwei separaten Beweisschritten. Beim Ableitungsoperator werden nämlich üblicherweise alle separat bewiesenen Aussagen in einer Liste aufgelistet. Sie beschreibt die Menge der zu zeigenden Voraussetzungen. In einem extra Beweisschritt könnte man dann die Verknüpfung mit "und" auch beweisen, aber das will man ja hier gerade nicht. Daher ist die jetzige Version adäquater.--Wilfried Neumaier 10:09, 1. Jul. 2011 (CEST)

text: Hallo zurück! In Sachen Formalisierung bin inzwischen bewandert, weil seit einigen Jahre intensiv Logik betreibe. Ich bin der Hauptautor des Artikels in jetziger Form und habe die Riesen-Überarbeitungswelle gemacht, die oben in der Diskussion um das Lesbarkeitsprädikat etwas kommentiert ist. Ich versuche den nicht ganz einfachen Spagat zwischen Logik mit Niveau und Didaktik und greife alle sinnvollen Anregungen auf und baue sie dann an der besten Stelle ein, so auch den didaktischen Formulierungsvorschlag.--Wilfried Neumaier 20:49, 1. Jul. 2011 (CEST)
thread_title:  Komma oder "und" 

message: Nur so eine kleine Frage am Rande. Vielleicht ist es nicht so wichtig. Aber wenn das mir als Mathe-Laien schon auffällt^^ Hat schon mal einer Dominoday gesehen und gezählt wieviele verdammte Steine da nicht umfallen??? Das ist ein Widerspruch in sich. Einen vollständigen Beweis mit einem fehlerhaften Beispiel zu beschreiben. Ziemlich unmathematisch. (nicht signierter Beitrag von 37.49.105.188 (Diskussion) 01:16, 24. Feb. 2013 (CET)
thread_title:  Wer hat sich dieses Domino-Beispiel ausgedacht? 

message: Ich habe diesen Abschnitt ersatzlos gelöscht. Es handelt sich keineswegs um eine 'konstruktive' Benutzung eines Beweisverfahrens, derart, dass eine wahre Aussage sozusagen 'errechnet' wird. 
Ich habe wirklich wunder was gedacht und deshalb den genannten Artikel aus den Semesterberichten  im Zeitschriftenmagazin aufgesucht und gelesen. Es wird dem Autor dieses Artikels sicher nicht recht sein, hier noch Jahrzehnte später so prominent an ziemlich unpassender Stelle erwähnt zu werden, zumal die Idee nicht einmal von ihm ist (wie im Artikel selbst angemerkt). Der Autor benutzt lediglich das Verfahren der vollständiger Induktion quasi in retrograder Weise (und genau genommen, selbst das nicht), um eine Aussageform A(k) geschickt zu erraten(!), die dann hoffentlich mit ('vorwärts' durchgeführter) vollständiger Induktion für alle natürlichen Zahlen bewiesen werden kann. Das Ganze gehört in den Bereich 'systematisches Raten', wie es wohl die meisten Theoretiker in ihren Arbeitsstuben machen, und ist in keinem Fall etwas 'Konstruktives'. --Stefan Neumeier (Diskussion) 20:06, 10. Feb. 2015 (CET)
thread_title:  Löschung des Abschnitts "Konstruktive Benutzung der vollständigen Induktion" 

message: Hallo! Bei der vollst. Induktion gibt es ja eine Reihe von Stolperfallen in die man treten kann. Hier ein lustiges Beispiel:
:Behauptung Alle Katzen haben die selbe Farbe.
:Beweis: 
# In einer einelementigen Menge (n = 1) von Katzen haben alle Katzen die selbe Farbe
# Angenommen, alle Katzen einer n-elementigen Menge haben die selbe Farbe.
# Gegeben sei nun eine n+1-elementige Menge von Katzen. Entfernt man eine Katze A aus dieser Menge, so haben alle Katzen der Restmenge die selbe Farbe (folgt aus Indunktionsannahme). Fügt man Katze A wieder hinzu und entfernt eine andere Katze B, so haben wieder alle Katzen der Restmenge die selbe Farbe
# Also haben A und B die selbe Farbe und damit alle Katzen der n+1-elementigen Menge
Wo liegt der Fehler? :-) Damit A und B überhaupt unterschiedliche Katzen sein können muss die Menge mindestens 2 Elemente haben. Die Behauptung müsste also für n = 2 statt für n = 1 explizit gezeigt werden, daher rührt der Fehler!
Ich glaube der Induktionsanfang ist ok. Ich hätte eher gesagt für den Spezialfall A(1)=>A(2) ist der Induktionsschritt nicht korrekt.
Sollte man an irgend einer Stelle des Artikels auf die typischen Stolperfallen hinweisen? Wenn ja, wo? Und was für Stolperfallen gibt es sonst noch? -- Prometeus 14:31, 9. Apr. 2005 (CEST)
replies: text: Aus meiner Sicht spricht nichts dagegen, möglicherweise sehen aber andere das kritischer. Einbauen kann man das beispielsweise als neues Kapitel ganz am Ende (nach Verallgemeinerungen). Andere Stolperfallen sind beispielsweise solche, die für "viele" n gelten (z.B. n*n + n + 41 ist prim) oder solche, wo der Induktionsschritt klappt, aber der Anfang nicht gilt (also irgendeine Summenformel, wo man einfach eine Konstante abzieht). --NeoUrfahraner 17:46, 9. Apr. 2005 (CEST)
replies: text: Hab den Spaß mal unter "Tipps zur Anwendung - Häufige Fehler" eingefügt. Ein ernsthafteres Beispiel ist mir für den 2. Fall auf die Schnelle nicht eingefallen. Andererseits bleien Kuriosa ja besser im Gedächtnis ;-) 
--Prometeus 18:43, 9. Apr. 2005 (CEST)
replies: text: Ist zwar schon zehn Jahre alt und längst aus dem Artikel verschwunden, aber falls sich jemand hierhin verirrt: Der Induktionsanfang n=2 ist deshalb erforderlich, weil Gleichfarbigkeit eine (mindestens) zweistellige Relation und in einer einelementigen Menge nicht definiert ist. Der Fehler liegt hier also nicht in einer falschen Anwendung des Induktionsverfahrens. (Die Begründung oben ist unzutreffend, denn A und B werden aus der n+1-elementigen Menge genommen, und die hat durchaus mindestens zwei Elemente.) -- 87.145.237.75 00:38, 7. Sep. 2015 (CEST)
thread_title:  Stolperfallen mit aufnehmen ?