Diskussion:Grothendieck-Universum

message: Aus x in U folgt x ist echte Teilmenge von U? Mal ne blöde Frage: ist dieser Artikel ernstgemeint? Das widerspricht doch Russell, oder? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Marathi (Diskussion • Beiträge) ) 
: Ist die Frage ernst gemeint? Die Quellenlage ist ja wohl eindeutig. --Enlil2 21:43, 9. Jun. 2007 (CEST)
replies: text:  Zumal die Eigenschaft bereits für jede Ordinalzahl gilt... --Hagman 23:02, 27. Jul. 2010 (CEST)

text: Das ist so gemeint: [Für alle Elemente x von U] sind alle Elemente von x auch selbst Elemente von U, und das ist äquivalent zu deiner Teilmengenformulierung. Ich formuliere das mal im Artikel um. -- Paul E. 21:27, 26. Okt. 2010 (CEST)
thread_title:  Ernst gemeint? 

message: Ich fände es gut, wenn die Definitionen nicht nur in Formelsprache, sondern auch in gewöhnlicher mathematischer Umganssprache formuliert würden. Ich bin jedoch nicht kompetent genung, um den Artikel selbst in diesem Sinne zu ändern. --Hanfried.lenz 11:18, 5. Sep. 2007 (CEST)
replies: text: Ist es jetzt besser? Ich habe einen Einleitungssatz dazugeschrieben, und die Definitionen mit umgangssprachlichen Sätzen ergänzt ... ich bin mir nicht sicher, ob das so schön angeordnet ist, oder ob man die Erklärungen lieber extra sammeln sollte. -- Paul E. 22:43, 25. Feb. 2008 (CET)
thread_title:  Formel- versus Umgangssprache. 

message: In einem ersten Schritt betrachtet man nur Mengen mit einer Kardinalität echt kleiner als κ, wobei κ eine unerreichbare Kardinalzahl ist. Diese Mengen bilden dann ein Grothendieck-Universum U.
Das glaube ich so noch nicht. Das Singleton {κ} hat Kardinalität 1, 1 ist echt kleiner als κ, also müsste ja {κ} zu U gehören. Jetzt gilt aber nach den Universumsaxiomen, dass auch κ zu U gehören muss. Die Kardinalität von κ ist nun aber nicht mehr kleiner als κ. Also ist U kein Grothendieck-Universum.
Ich glaube zwar, dass es möglich ist, irgendwie einer unerreichbaren Kardinalzahl ein Grothendieck-Universum zuzuordnen, aber so einfach geht es nicht, würde ich sagen...
Nebenbei fällt mir gerade auf, dass die Mengen mit Kardinalität kleiner als κ nicht mal eine Menge bilden und ein Grothendieck-Universum ja nach Definition eine Menge sein soll... --131.234.106.197 17:11, 16. Sep. 2008 (CEST)
thread_title:  Fehler ? 

message: Hallo, laut Ersetzungsaxiom müsste doch \{x_i\}_{i\in I} eine Menge sein, da I ja eine Kardinalität hat und somit eine Menge ist. Habe das einmal spezifiziert, falls es Einwände gibt… --Chricho ¹ 12:22, 15. Feb. 2011 (CET)
thread_title:  {x_i} Menge 

message: Mir fiel gerade auf, dass das 3.Axiom aus den ersten beiden folgt, oder?
Sei x in U . Dann ist nach dem zweiten Axiom P(x) auch in U. Nochmaligen Anwenden liefert P(P(x)) in U. Nach dem ersten Axiom ist jedes Element von P(P(x)) wieder in U. Aber {x} ist ein Element in P(P(x)) und somit müsste auch {x} in U sein. Übersehe ich etwas oder sind die Axiome auf diese Weise voneinander abhängig? --Cosine (Diskussion) 11:42, 18. Okt. 2012 (CEST)
replies: text: Das dritte Axiom müsste x,y\in U\Rightarrow\{x,y\}\in U lauten. So steht's jedenfalls in allen anderssprachigen WP-Artikeln, aber auch z.B. in Colin McLarty: "Elementary Categories, Elementary Toposes". --Daniel5Ko (Diskussion) 19:14, 18. Okt. 2012 (CEST)
replies: text: Ist aber nicht minder redundant. In Categories for the working mathematician werden sogar noch mehr Operationen in der Definition genannt (kartesisches Produkt etwa), scheint üblich zu sein, da etwas redundant zu sein. Eine Kurzfassung findet man etwa hier. --Chricho ¹ ² ³ 19:47, 18. Okt. 2012 (CEST)
replies: text:  Stimmt, ist nicht minder redundant. Hab' zu kurz drüber nachgedacht, und kam vorschnell zu dem falschen Ergebnis, dass man für Paarmengen nicht mithilfe der anderen Axiome zeigen kann, dass sie in U sind. Hmpf. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:19, 18. Okt. 2012 (CEST)
thread_title:  Kleine Frage zum dritten Axiom 

message: 1. Ich vermisse im Artikel eine Angabe zur Originalliteratur von Grothendieck.
2. Hatte Grothendieck andere Axiome, weil im Aritkel Axiome eines anderen Autors zitiert werden?
3. Die Idee hatte doch wohl Zermelo selbst als erster. Man lese seine Einführung des ZF-Systems von 1930, wo er genau die inneren ZF-Modelle entwickelte. Er nannte dort auch das nötige Zusatzaxiom.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 20:15, 23. Feb. 2013 (CET)
replies: text: Wenn ich das richtig sehe, wurden solche Universen in der Tat in der Mengenlehre schon vorher betrachtet, insbesondere auch die unerreichbaren Kardinalzahlen, da hast du schon Recht (auch wenn ich jetzt nicht weiß, ob Zermelo der erste war, und das von dir angesprochene Werk nicht gelesen habe). Aber Grothendieck hat das mit dem SGA (Band 4) wohl erstmals in die Mathematik außerhalb der Mengenlehre getragen und popularisiert. Evtl. gab es vorher auch noch nicht das Axiom in der Form „jede Menge ist Element eines Grothendieck-Universums“, aber das weiß ich nicht. --Chricho ¹ ² ³ 20:44, 23. Feb. 2013 (CET)
thread_title:  Idee-Urheber?