Diskussion:Nullmenge

message: ich glaube, dass da etwas nicht genau formuliert wurde. nicht die summe der längen der intervalle sondern die summe über das maß der teilintervalle muß < epsilon sein
:Der entsprechende Satz bezieht sich nun explizit auf das Lebesgue-Maß im R^p. Da ist das Maß eines Quaders genau das geometrische Volumen des Quaders = "Länge des Intervalls". --SirJective 14:07, 22. Mär 2005 (CET)

message: Ich glaube, dass die Aussage in dieser Form falsch ist. Korrekterweise müsste es wohl heißen: "Jede abzählbare Teilmenge des Rn bzgl. des Lesbesgue-Maßes ist eine Nullmenge".
Betrachte folgedes Beispiel: A := {0,1}, Ω := σ(A), P(x) = 0.5 für alle x aus A. Dann sind {0}, {1}, {0,1} alles abzählbare Mengen, aber P({0}) = P({1}) = 0.5 und P({0,1}) = 1.
:Dein Einwand ist völlig berechtigt. Ändere es ruhig in diesem Sinne ab (s. WP:SM).--JFKCom 20:01, 29. Apr 2006 (CEST)
replies: text: Die Betrachtung ist aber falsch. \Z ist wie jede abzählbare Teilmenge eine Nullmenge in \R (bzgl. des Lebesgue-Maßes). Dies folgt einfach aus der σ-Additivität. --Chricho ¹ ² ³ 15:43, 25. Feb. 2013 (CET)

text: Siehe hier, was σ-Additivität ist. Das Lebesgue-Maß ist wie jedes Maß σ-additiv. Und da jede der Mengen \left\{z\right\} für z\in\Z Maß 0 hat, ist das Maß von \Z gleich der Summe all dieser Maße gleich 0. Bist du die IP 92.58.21.54? In ihrem Widerlegungsversuch geht sie davon aus, dass es dafür, dass es sich um eine Nullmenge handelt, eine notwendige Bedingung wäre, dass man für jedes \epsilon solche endlichen (oder gleichmäßigen) Überdeckungen findet. Das ist jedoch falsch (wie soeben gezeigt). Genau weiß ich nicht, wo da die Verwechslung vorliegt und was sie genau meint, vermutlich bezog sie sich auf einen bestimmten Satz, bei der sie die Aussage nicht richtig gelesen hat. --Chricho ¹ ² ³ 17:49, 4. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Vielleicht sind Jordan-Nullmengen gemeint? Die werden mit endlichen Überdeckungen definiert, allerdings so weit ich weiß nur für beschränkte Mengen, darum klappt das nicht für die natürlichen Zahlen. -- HilberTraum (Diskussion) 12:55, 5. Mär. 2013 (CET)
thread_title:  Jede abzählbare Menge ist eine Nullmenge 

message: Die leere Menge \varnothing bildet eine Nullmenge in jedem Maßraum, in dem wenigstens eine Menge mit endlichem Maß existiert.
Laut Maßraum ist die leere Menge für jedes Maß eine Nullmenge, per definitionem.--Digamma 21:54, 14. Dez. 2006 (CET)
thread_title:  Leere Menge  

message: Hat das einen Sinn das ich von
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Fast_%C3%BCberall&redirect=no
Hier her komme?
:Ich denke ja: Von einer Eigenschaft, die für alle Elemente des Maßraums außerhalb einer Nullmenge gilt, sagt man, dass sie fast überall gilt. --Digamma 17:26, 16. Jan. 2008 (CET)
thread_title:  Weiterleitung 

message: Wie kann man am Besten im Einleitungssatz verpacken, dass man sich nicht für beliebige Mengen interessiert, sondern für Mengen, die Elemente einer Sigmaalgebra sind? Einfach meßbar hinzuschreiben wäre wohl die eleganteste Lösung, aber da bräuchte es eine  passendes Lemma dahinter. Die den Hinweis auf die Borel-messbaren Mengen hab ich rausgenommen, weil es ja durchaus nicht-borelsche Nullmengen gibt. (Ist die Cantormenge nicht sogar eine?) Der Zusammenhang zwischen Borelschen und Lebesgueschen Nullmengen sowie der Vervollständigung von Maßen erscheint mir in diesem Artikel sinnvoll.-- R. Möws 03:35, 9. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Die Cantormenge ist Borelsch. Zur Konstruktion nimmst du ja nur abzaehlbar oft abzaehlbar viele "Drittelintervalle" heraus -- das kann man also als abzaehlbaren Schnitt mit den Komplementen darstellen. 84.191.236.4 15:39, 21. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Einleitungssatz 

message: Das kann doch im Allgemeinen nicht richtig sein, die Überdeckung muss ja irgendwie beschränkt sein, sonst wäre nach dieser alternativen Definition jede Menge Nullmenge, insofern endliche Mengen Nullmengen bezüglich des Maßes sind (denn jede Menge wird von den Mengen, die jeweils eines ihrer Elemente enthalten, überdeckt). Die Überdeckung muss wohl eingeschränkt werden, etwa im ℝⁿ, dass es eine abzählbare Überdeckung ist. Könnte man sich das mit der Überdeckung nicht sparen, und einfach sagen, dass auch jede Teilmenge einer Nullmenge hinzugenommen wird? Das dürfte doch das gemeinte sein, oder nicht? --Chricho ¹ 23:25, 18. Sep. 2011 (CEST)
replies: text: Du beziehst dich wohl auf den Satz „Manche Autoren nehmen in der Definition von Nullmenge noch solche Mengen hinzu, die von Mengen mit Maß 0 überdeckt werden, aber nicht notwendigerweise Element der σ-Algebra sind und denen deswegen selbst aber eventuell kein Maß zugeordnet ist.“ Das ist mindestens missverständlich formuliert. Ich vermute in der Tat ebenfalls, dass es hier lediglich darum geht, auch die Teilmengen von (zur Sigma-Algebra gehörigen) Nullmengen als Nullmengen zu bezeichnen. In Maßtheorie#Vervollständigung bezeichnen „wir“ solche Mengen übrigens nicht als Null- sondern als vernachlässigbare Mengen – die allerdings in der Vervollständigung zu Nullmengen werden.--Hagman 23:55, 18. Sep. 2011 (CEST)
replies: text: Ja, das meinte ich. Deckt sich auch mit dem, was oben unter „Definition zu eng?“ steht. Im Falle der Borel-σ-Algebra über ℝⁿ passte das mit der Überdeckung jedenfalls, sofern man nur abzählbare wählt, zur Vervollständigung, wie sie beim Lebesgue-Maß geschieht, und die Vervollständigung war ja auch vorher verlinkt. So in Ordnung? Ist das „vernachlässigbar“ denn ein halbwegs gängiger Begriff? --Chricho ¹ 01:09, 19. Sep. 2011 (CEST)
thread_title:  Überdeckung von Nullmengen 

message: Im Text steht:
: Im Fall von pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten sind diese Lebesgue-Nullmengen identisch mit den Nullmengen bezüglich des Riemann-Lebesgueschen Volumenmaßes.
Funktioniert das tatsächlich mit pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten? Braucht man für ein Riemannsches Volumenmaß nicht eine echte Riemannsche Metrik? --Digamma (Diskussion) 19:12, 20. Nov. 2015 (CET)
replies: text: Man nimmt die Wurzel des Betrags der Determinante von g als Dichte, die ist immer positiv. Der Satz von Satz von Radon-Nikodým regelt den Rest. --Chricho ¹ ² ³ 20:34, 20. Nov. 2015 (CET)
replies: text: Danke, das klingt plausibel. --Digamma (Diskussion) 22:15, 20. Nov. 2015 (CET)
replies: text: Also man kann es ja für riemannschen und pseudo-riemannschen Fall bzgl. derselben Orientierung betrachten und dann ist der Unterschied tatsächlich nur Multiplikation mit einer Dichte. --Chricho ¹ ² ³ 13:53, 21. Nov. 2015 (CET)
replies: text: Ich merke gerade, dass ich mich sehr missverständlich ausgedrückt hatte und eigentlich etwas anderes gemeint habe, als das, was du beantwortet hast. Die Frage zielt nämlich darauf, ob eine nicht positiv definite pseudo-riemannsche Metrik überhaupt eine Volumenform definiert. --Digamma (Diskussion) 19:36, 22. Nov. 2015 (CET)
thread_title:  Pseudo-riemannsch vs. riemannsch