Diskussion:Transzendente Zahl/Archiv/1

message: Aus dem Artikel:"Die mathematisch exakte Formulierung des Begriffs "mehr" war aber sicherlich das wichtigste Ergebnis von Cantors Arbeit, weil es das Wissen über das reelle Zahlensystem revolutionär vertiefte. Allerdings konnten sich seine neuartigen Ideen gegen einflussreiche konservative Kritiker wie Leopold Kronecker lange Zeit nicht durchsetzen. Er bewies, dass die Menge der algebraischen reellen Zahlen (in moderner Sprechweise) abzählbar ist..." Wer hat das nun bewiesen? Kantor oder Kronecker?
-- Gimbal 21:44, 4. Mai 2005 (CEST)
replies: text: Cantor, "erstes Diagonalargument".--Gunther 22:30, 4. Mai 2005 (CEST)
replies: text:  Jetzt im Artikel klarer formuliert. -- UKoch 22:38, 24. Feb. 2012 (CET)
thread_title: Mehrdeutige Formulierung

message: Ich halte es für angemessener, den Satz und Beweis inetwa wie folgt zu formulieren:
===Theorem===
Ist \alpha eine algebraische Zahl vom Grad n\geq1, so gibt es eine reelle Zahl c>0, so dass für alle von \alpha verschiedenen rationalen Zahlen \tfrac p q gilt (im Falle n>1 also für alle rationalen Zahlen):
:\left|\alpha-\frac p q\right| > \frac c {q^n}.
===Beweis===
Sei \alpha algebraisch vom Grad n und entsprechend Nullstelle des Polynoms f(X) vom Grad n mit ganzzahligen Koeffizienten, d.h.
:f(\alpha) = a_0 + a_1\alpha + \cdots a_n\alpha^n = 0
mit a_0, \ldots, a_n \in \Z und a_n\ne 0.
Da \alpha Nullstelle ist, lässt sich durch Polynomdivision der Linearfaktor X-\alpha abspalten:
:(1)\quad f(X) = (X-\alpha)\cdot g(X).
Hierbei hat das Polynom g(X) allerdings im allgemeinen keine ganzzahligen Koeffizienten, sondern lediglich algebraische.
Aber zumindest ist die Funktion x\mapsto g(x) stetig, so dass es positive reelle Zahlen c_1, c_2 gibt mit
:(2)\quad \left|g(x)\right| < c_1, falls |\alpha-x| \leq c_2.
Da das Polynom f(X) nur endlich viele Nullstellen hat, können wir oBdA. zusätzlich voraussetzen, dass keine weitere Nullstelle in der besagten Umgebung von \alpha liegt, d.h.
:(3)\quad f(x)\ne 0, falls |\alpha-x| \leq c_2 und x\ne \alpha.
Behauptung: Die Aussage des Satzes gilt, wenn man 
:c:=\min\{c_2, \frac 1{c_1}\} 
wählt.
Zum Beweis sei also \tfrac p q eine rationale Zahl (mit  p,q\in\Z und q>0), für die
:(4)\quad \left|\alpha-\frac pq\right | \leq \frac c{q^n}
gilt. Es ist zu zeigen, dass hieraus \alpha=\tfrac pq folgt.
Zunächst ergibt sich aus (4) sofort 
:(5)\quad \left|\alpha-\frac pq\right| \leq c \leq c_2,
wegen (2)  also \left| g(\tfrac pq) \right | < c_1.
Dann folgt weiter aus (1) und wiederum (4)
:\left|f\Bigl(\frac pq\Bigr) \right| = \left|\frac pq -\alpha\right|\cdot \left|g\Bigl(\frac pq\Bigr)\right| < \frac {c}{q^n} \cdot c_1 \leq \frac 1{q^n},
also
:\left|q^n \cdot f\Bigl(\frac pq\Bigr)\right| < 1.
Da beim Berechnen von f(\tfrac pq) jeder Summand a_k\cdot (\tfrac pq)^k einen Nenner hat, der q^n teilt, ist q^n \cdot f(\tfrac pq) eine ganze Zahl. Weil ihr Betrag kleiner als 1 ist, muss sie 0 sein, also gilt auch f(\tfrac pq) = 0 und wegen (3) und (5) schließlich \alpha=\tfrac pq, was zu zeigen war.
So, und warum finde ich das besser? Nun, der aktuelle Beweis im Artikel nutzt eigentlich gar keine Eigenschaften von Folgen aus, sondern es wird eine einzelne Approximante betrachtet, insofern bringen Folgen hier nur kompliziertere Formulierungen (wie auch an den durchgeschleppten Indizes m zu erkennen). Schön ist übrigens auch, dass der Satz in dieser Formulierung auch für rationale \alpha richtig ist. Schließlich: Im Artikeltext wird als Satz von Liouville die stärkere Abschätzung  > \frac c{q^n} statt  > \frac 1{q^{n+1}} benutzt – sollte man dann nicht auch eher diese beweisen?--Hagman 23:08, 26. Jan. 2009 (CET)
replies: text: Don't bother. Ich habe jetzt ohnehin den Beweis ungefragt ins Beweisarchiv ausgelagert, da er für hier wohl doch nicht ganz einfach genug sein dürfte.--Hagman 18:29, 1. Feb. 2009 (CET)
thread_title:  Vorschlag zum Satz von Liouville und Beweis  

message: Sei \alpha algebraisch vom Grad n und entsprechend Nullstelle des Polynoms f(X) vom Grad n mit ganzzahligen Koeffizienten, d.h.
:f(\alpha) = a_0 + a_1\alpha + \cdots a_n\alpha^n = 0
mit a_0, \ldots, a_n \in \Z und a_n\ne 0.
Da \alpha Nullstelle ist, lässt sich durch Polynomdivision der Linearfaktor X-\alpha abspalten:
:(1)\quad f(X) = (X-\alpha)\cdot g(X).
Hierbei hat das Polynom g(X) allerdings im allgemeinen keine ganzzahligen Koeffizienten, sondern lediglich algebraische.
Aber zumindest ist die Funktion x\mapsto g(x) stetig, so dass es positive reelle Zahlen c_1, c_2 gibt mit
:(2)\quad \left|g(x)\right| < c_1, falls |\alpha-x| \leq c_2.
Da das Polynom f(X) nur endlich viele Nullstellen hat, können wir oBdA. zusätzlich voraussetzen, dass keine weitere Nullstelle in der besagten Umgebung von \alpha liegt, d.h.
:(3)\quad f(x)\ne 0, falls |\alpha-x| \leq c_2 und x\ne \alpha.
Behauptung: Die Aussage des Satzes gilt, wenn man 
:c:=\min\{c_2, \frac 1{c_1}\} 
wählt.
Zum Beweis sei also \tfrac p q eine rationale Zahl (mit  p,q\in\Z und q>0), für die
:(4)\quad \left|\alpha-\frac pq\right | \leq \frac c{q^n}
gilt. Es ist zu zeigen, dass hieraus \alpha=\tfrac pq folgt.
Zunächst ergibt sich aus (4) sofort 
:(5)\quad \left|\alpha-\frac pq\right| \leq c \leq c_2,
wegen (2)  also \left| g(\tfrac pq) \right | < c_1.
Dann folgt weiter aus (1) und wiederum (4)
:\left|f\Bigl(\frac pq\Bigr) \right| = \left|\frac pq -\alpha\right|\cdot \left|g\Bigl(\frac pq\Bigr)\right| < \frac {c}{q^n} \cdot c_1 \leq \frac 1{q^n},
also
:\left|q^n \cdot f\Bigl(\frac pq\Bigr)\right| < 1.
Da beim Berechnen von f(\tfrac pq) jeder Summand a_k\cdot (\tfrac pq)^k einen Nenner hat, der q^n teilt, ist q^n \cdot f(\tfrac pq) eine ganze Zahl. Weil ihr Betrag kleiner als 1 ist, muss sie 0 sein, also gilt auch f(\tfrac pq) = 0 und wegen (3) und (5) schließlich \alpha=\tfrac pq, was zu zeigen war.
So, und warum finde ich das besser? Nun, der aktuelle Beweis im Artikel nutzt eigentlich gar keine Eigenschaften von Folgen aus, sondern es wird eine einzelne Approximante betrachtet, insofern bringen Folgen hier nur kompliziertere Formulierungen (wie auch an den durchgeschleppten Indizes m zu erkennen). Schön ist übrigens auch, dass der Satz in dieser Formulierung auch für rationale \alpha richtig ist. Schließlich: Im Artikeltext wird als Satz von Liouville die stärkere Abschätzung  > \frac c{q^n} statt  > \frac 1{q^{n+1}} benutzt – sollte man dann nicht auch eher diese beweisen?--Hagman 23:08, 26. Jan. 2009 (CET)
replies: text: Don't bother. Ich habe jetzt ohnehin den Beweis ungefragt ins Beweisarchiv ausgelagert, da er für hier wohl doch nicht ganz einfach genug sein dürfte.--Hagman 18:29, 1. Feb. 2009 (CET)
thread_title: Beweis

message: "Transzendente Zahl" klingt interessant... - aber weder in der Einleitung noch sonstwo in diesem Artiekel ist für Wikipedie-Leser verständlich beschrieben, was man darunter zu verstehen hat... Vielleicht kann das al jemand nachholen? Idealerweise an einem Alltagsbeispiel. Danke, --Markus (Diskussion) 06:50, 22. Jul. 2014 (CEST
:Welche Stellen im Artikel genau sind denn für dich unverständlich? Was eine transzendente Zahl ist, steht eigentlich gleich im ersten Satz der Einleitung (die Einleitung könnte allerdings ausführlicher sein, stimmt!). Wichtige Beispiele kommen weiter unten im Artikel ja vor. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 07:56, 22. Jul. 2014 (CEST)
thread_title:  "Transzendente Zahl" 

message: Es heißt: In der Mathematik heißt eine reelle Zahl (oder allgemeiner eine komplexe Zahl) transzendent, wenn sie nicht Nullstelle eines (vom Nullpolynom verschiedenen) Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist.
Die Aussage impliziert, dass eine solche reele Zahl aber sehr wohl Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten sein kann und damit dennoch transzendent ist. Ronny Michel (Diskussion) 00:32, 16. Jul. 2016 (CEST)
replies: text: Hallo Ronny Michel! Nein: Die von Dir behauptete Implikation ist (logisch) falsch. Vielleicht hilft Dir zur Einsicht der Hinweis, daß jede Nullstelle eines rationalen Polynoms auch Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms ist. Liebe Grüße, Franz 01:15, 16. Jul. 2016 (CEST)
thread_title: Irreführende Einleitung

message: habe eine neue ziemlich transzendente Zahl gefunden
siehe auch The Herkommer Number
h=2+\frac{3}
{5+\frac{7}
{11+\frac{13}
{17+\frac{19}
{23+\frac{29}
{31+\frac{37}
{41+\frac{43}
{47+\frac{53}
{59+\frac{61}
{67+\frac{71}
{73+\frac{p_{n}}
{p_{n+1}+\dots}
}}}}}}}}}} \qquad (p \in \mathbb{P})
h\approx2.53602 70816 89339 
--Akrostychon (Unterschrift nachgetragen SirJective 22:45, 13. Sep. 2004 (CEST)
replies: text: Was ist mit dieser Zahl? Ist sie wirklich transzendent (das folgt nicht allein aus der Nichtperiodizität des Kettenbruchs)? Laut dem Link ist sie "transzendenter" als pi, weil diese Zahl nicht in geschlossener Form (als Kettenbruch) darstellbar ist. Da stellt sich mir die Frage: Was ist eine "geschlossene Form" in diesem Kontext? Und ist die Folge der Primzahlen nicht in "geschlossener Form" darstellbar? --SirJective 22:45, 13. Sep. 2004 (CEST)
thread_title: Neue Zahl

message: Soweit ich weiß, sind die algebraischen reellen Zahlen auch nicht abzählbar, möchte mich darin aber nicht verbeißen, und überlasse das lieber jemanden, der sich damit auskennt. 
:Gute Idee, dich nicht zu verbeißen. Zu jeder algebraischen Zahl findet sich ein Minimalpolynom, im wesentlichen also eine endliche Folge ganzer Zahlen. Hiervon gibt es nur abzählbar viele.--Hagman 19:56, 26. Jan. 2009 (CET)
thread_title: Reelle Zahlen abzählbar?

message: Im Text "Hierbei ist  2^{\aleph_0}  das mengentheoretische Symbol für die Mächtigkeit von  \mathbb{R} ;  {\aleph_0}  (sprich „Aleph null“) ist das mengentheoretische Symbol für die Mächtigkeit einer abzählbar unendlichen Menge, insbesondere von  \mathbb{N} ." sind die Reelen und Natürlichen Zahlen in der Mathumgebung geschrieben. Kann jemand die Normal auschreiben lassen so dass man sie mit dann auch verlinken kann? Thx.--Sanandros (Diskussion) 21:21, 19. Nov. 2018 (CET)
replies: text: Kannst du helfen? Thx.--Sanandros (Diskussion) 14:41, 26. Feb. 2019 (CET)
replies: text:  Ich weiß nicht genau, was gemeint ist. Dass \R die Menge der reellen Zahlen bezeichnet, steht ja schon dabei. Einen Link auf Natürliche Zahl habe ich jetzt noch ergänzt. -- HilberTraum (d, m) 20:00, 26. Feb. 2019 (CET)
replies: text: Ja das ist ok. Hätte ich auch selbst drauf kommen können.--Sanandros (Diskussion) 21:45, 26. Feb. 2019 (CET)
thread_title:  Reele und Natürliche Zahlen 

message: 1.
Ein Satz lautet:
"Bei transzendenten Zahlen handelt es sich um Zahlen, die nach beliebig vielen elementaren algebraischen Manipulationen niemals zur Zahl Null gemacht werden können"
Hier sollte vielleicht noch ein "endlich" hinzugefügt werden?
"Bei transzendenten Zahlen handelt es sich um Zahlen, die nach beliebig, endlich vielen elementaren algebraischen Manipulationen niemals zur Zahl Null gemacht werden können"
Die transzendenten Zahlen können ja oft gerade über unendlichen Reihen dargestellt werden
2.
"Der Sinus sin(a) für a!=0"
Nun ja :-)
* sin(2n*π )          = 0
* sin(2n*π + π*1/6)   =1/2
* sin(2n*π + π*1/2)   =1
* sin(2n*π + π*5/6)   =1/2
* sin(2n*π + π)       =0
* sin(2n*π + π*7/6)   =1/2
* sin(2n*π + π*3/2)   =1
* sin(2n*π + π*11/6)  =1/2
Da gibt es unendlich,abzählbare viele Werte von sin(x) die nicht transzendent sind
Gruß Ingo -- Istiller (Diskussion) 20:34, 3. Sep. 2020 (CEST)
replies: text:  Mit SIN() hast du Rechte. Danke für das Korrigieren :-)Gruß Ingo -- Istiller (Diskussion) 14:17, 6. Sep. 2020 (CEST)
thread_title:  zwei Anmerkunegn 

message: Man kann auf diese Art zwar eine Folge von Zahlen 1, 12, 123, 1234 ... konstruieren. Nur ist diese nicht konvergent, sondern strebt gegen plus Unendlich. Konvergenz bekommt man dadurch, dass man "0." der Ziffernfolge voranstellt. 
:Korrigiert. 91.118.242.246 09:19, 24. Sep. 2020 (CEST)
thread_title:  Letztes Beispiel 123456789101112 ...