Diskussion:Newtonverfahren

message: === Aufhänger ist unplausibel ===
Eine Skizze am Anfang wäre zum Einstieg anschaulicher als eine
recht unplausible Fixpunktgleichung. Die Ableitung von f fällt vom Himmel.
Anhand der Skizze weiter unten hat man sofort und geometrisch anschaulich
für die Steigung an f in x_n:
(f(x_n) - 0)/(x_n-x_{n+1}) = f'(x_n),
und das ist einem Formelwirbel vorzuziehen, find ich.
Zumindest beim Einstieg.
--Georg-Johann 10:59, 1. Feb 2005 (CET)
replies: text: Korrekter ist, dass man eine Korrektur r zum Punkt x in Richtung Nullstelle bestimmen möchte und nur Wert und Ableitung in x zur Verfügung hat. Es soll also gelten f(x+r)=0, wir kennen das Taylorpolynom in x, d.h. wissen, dass f(x+r)≈f(x)+f'(x)r gilt und lösen nach r auf, r≈-f'(x)-1f(x). Also setzen wir als nächstbeste Näherung x+r=x-f'(x)-1f(x) an. Dabei kann f durchaus ein Vektor und f' die Jacobimatrix sein. Setzt man die Beschränktheit von f"(x) (das ist ein von x abhängiger Tensor 3. Stufe) auf einer Umgebung der Nullstelle voraus, dann kann man das Taylor-Restglied abschätzen und Fixpunkttheorie betreiben.--LutzL 12:53, 1. Feb 2005 (CET)

text: Ich habe - vor einiger Zeit schon - die geometrische Motivation an den Anfang gestellt, so dass für eine "mathematisch interessierte Oma mit Abitur-Kenntnissen" der Inhalt bis zu den historischen Bemerkungen ausreichend und verständlich sein sollte. Evtl. sollte in diesem Bereich noch was dazu stehen, dass für praktische Zwecke die Iteration mehrfach ausgeführt wird, mit jeweils einem anderen von genügend vielen Startpunkten im Suchbereich. --LutzL 16:06, 24. Feb 2005 (CET)
thread_title:  Struktur des Artikels 

message: Eine Skizze am Anfang wäre zum Einstieg anschaulicher als eine
recht unplausible Fixpunktgleichung. Die Ableitung von f fällt vom Himmel.
Anhand der Skizze weiter unten hat man sofort und geometrisch anschaulich
für die Steigung an f in x_n:
(f(x_n) - 0)/(x_n-x_{n+1}) = f'(x_n),
und das ist einem Formelwirbel vorzuziehen, find ich.
Zumindest beim Einstieg.
--Georg-Johann 10:59, 1. Feb 2005 (CET)
replies: text: Korrekter ist, dass man eine Korrektur r zum Punkt x in Richtung Nullstelle bestimmen möchte und nur Wert und Ableitung in x zur Verfügung hat. Es soll also gelten f(x+r)=0, wir kennen das Taylorpolynom in x, d.h. wissen, dass f(x+r)≈f(x)+f'(x)r gilt und lösen nach r auf, r≈-f'(x)-1f(x). Also setzen wir als nächstbeste Näherung x+r=x-f'(x)-1f(x) an. Dabei kann f durchaus ein Vektor und f' die Jacobimatrix sein. Setzt man die Beschränktheit von f"(x) (das ist ein von x abhängiger Tensor 3. Stufe) auf einer Umgebung der Nullstelle voraus, dann kann man das Taylor-Restglied abschätzen und Fixpunkttheorie betreiben.--LutzL 12:53, 1. Feb 2005 (CET)

text: Ich habe - vor einiger Zeit schon - die geometrische Motivation an den Anfang gestellt, so dass für eine "mathematisch interessierte Oma mit Abitur-Kenntnissen" der Inhalt bis zu den historischen Bemerkungen ausreichend und verständlich sein sollte. Evtl. sollte in diesem Bereich noch was dazu stehen, dass für praktische Zwecke die Iteration mehrfach ausgeführt wird, mit jeweils einem anderen von genügend vielen Startpunkten im Suchbereich. --LutzL 16:06, 24. Feb 2005 (CET)
thread_title:  Aufhänger ist unplausibel 

message: Hier eine Kritik zu den Anfangsbedingungen des Newton-Verfahrens, besser: Voraussetzungen.
Es muss nicht gelten, dass dass f'(x) überall stetig invertierbar ist. Aber wenn dies gilt,
dann kann keine Division durch Null, also kein Abbruch des Verfahrens aus diesem Umstand geschehen.
Auch gibt es Fälle, bei denen die Funktion bis zur anzunähernden Nullstelle Extrema oder auch Sattelpunkte besitzt, das Newton-Verfahren aber trotzdem konvergiert, das hat nichts damit zu tun, dass "dort" die Ableitung f'(x) gegen 0 ginge, wie bisher im Artikel steht.
Weiter zu bemängeln wäre: Wenn f streng monoton steigt, dann kann f trotzdem einen Sattelpunkt bzw, einen Punkt
mit f'(x) = 0 haben, wie das Beispiel f(x) = x3 - 3 zeigt.
Stattdessen sollte dort die Voraussetzung so stehen, dass bei einer in einem Intervall konvexen bzw. konkaven und streng monotonen Funktion f das Newton-Verfahren stets konvergiert, wenn man den Startpunkt geeignet wählt
(z.B. bei konvex und strengmonoton wachsendem f im Intervall bereich rechts von der Nullstelle).
Könnte zudem erklärt werden, was es mit dem Doppelpunkt in der Gleichung auf sich hat ?
(oder sollen alle im Regen stehen gelassen werden, die das nicht wissen ?) (nicht signierter Beitrag von 2A02:1205:5019:C900:1D3F:3BA4:61B6:30CC (Diskussion | Beiträge) 20:51, 11. Jul 2016 (CEST)
replies: text: Der Abschnitt "Anfangsbedingungen" ist immer noch etwas mysteriös. Es könnte etwas dazu gesagt werden, wann das Verfahren global, d.h. unabhängig vom Startpunkt, konvergiert. Darauf scheinen zumindest die Bemerkungen zur Konvexität und Monotonie hinzudeuten.--LutzL 16:06, 24. Feb 2005 (CET)
thread_title:  Anfangsbedingungen 

message: Ein Resultat von Jean-Claude Yakoubsohn (Toulouse): "A Universal Constant for the Convergence ...", Postscript besagt:
:Seien P(Z) ein univariantes Polynom, z eine komplexe Zahl und sei u>0 minimal mit |P(k)(z)/P'(z)| ≤ uk-1 für alle k≥2, setze h:=u*|P(z)/P'(z)|.
:Ist h<0.1624, so konvergiert das Newtonverfahren mit z als Startpunkt, für die Konvergenz gilt
::|zn+1-zn| ≤ an |z1-z0| (h/a²)^(2n-1)
:bei a≈0.4044, damit h/a²<0.9902
Der Bearbeiter Xavier Gourdon hat auf seiner Website genauer Postscript newton.ps auch einiges zum Thema zu bieten.--LutzL 15:34, 6. Jan 2005 (CET)
replies: text: Die Webseite ist wirklich interessant. Findest Du das Resultat nicht aber etwas sehr speziell? Viele Gruesse --DaTroll 15:40, 6. Jan 2005 (CET)
replies: text: Deshalb habe ich es ja nur in die Diskussion gesetzt. Aber es ist ja eine Erwähnung von Kantorowitsch geplant, dort ist eine Abschätzung über ein Intervall notwendig, hier nur die Bestimmung der Ableitungen in einem Punkt. Gruß zurück--LutzL 15:49, 6. Jan 2005 (CET)
replies: text: Ich hab keine Ahnung. Aber da ist jetzt ein Link auf die Sonderzeichentabelle, da kann man sich die kleinen Umlaute rauskopieren. Viele Gruesse --DaTroll 15:52, 6. Jan 2005 (CET)
replies: text: Kleine Umlaute wieder da.--LutzL 11:50, 4. Feb 2005 (CET)
thread_title:  Konvergenz für Polynome 

message: Moin, ich fände einen Verweis auf das Gauß-Newton-Verfahren ganz nett. Da zum einen der Artikel ja schon als möglicherweise exzellent gehandelt wird und ich zum anderen nicht so recht weiß, wo dieser Verweis angebracht wäre (Varianten des Newton-Verfahrens? Anwendungen?), stelle ich das mal hier einfach zur Diskussion. Gruß --Alex 21:27, 2. Mai 2005 (CEST)
thread_title:  [[Gauß-Newton-Verfahren]] 

message: Das Newtonsche Näherungsverfahren, auch Newton-Raphsonsche Methode, (benannt nach Sir Isaac Newton 1669 und Joseph Raphson 1690) ist in der Mathematik das Standardverfahren zur numerischen Lösung von nichtlinearen Gleichungen und Gleichungssystemen. Im Falle einer Gleichung mit einer Variablen lassen sich zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion  Näherungswerte zu Lösungen der Gleichung f(x) = 0, d.h. Näherungen der Nullstellen dieser Funktion finden. Die grundlegende Idee dieses Verfahrens ist, die Funktion in einem Ausgangspunkt zu linearisieren, d.h. ihre Tangente zu bestimmen, und die Nullstelle der Tangente als verbesserte Näherung der Nullstelle der Funktion zu verwenden. Die erhaltene Näherung kann wieder Ausgangspunkt für einen weiteren Verbesserungsschritt dienen. Diese Iteration wird so oft wiederholt, bis die Änderung in der Näherungslösung eine festgesetzte Schranke unterschreitet. Das unendlich oft fortgesetzte Iterations-Verfahren konvergiert im günstigsten Fall mit quadratischer Konvergenzordnung, die Zahl der korrekten Dezimalstellen verdoppelt sich dann in jedem Schritt.
 Antifaschist 666 00:26, 27. Sep 2005 (CEST)
thread_title: Lesenswert-Diskussion

message: Die Newton-Methode wird auch zur minimierung oder maximierung von Funktionen eingesetzt, indem eine Nullstelle der ersten Ableitung f' gesucht wird. Könnte das jemand in den einleitungstext schreiben? Ich formulier leider recht schlecht :)
14:11, 21. Sep 2006 (CEST)
replies: text: Ich halte das ehrlich gesagt nicht fuer erwaehnenswert. Das Newton-Verfahren findet Nullstellen, dass das Nullstellen der ersten Ableitung sein koennen, ist keine grosse Sache. --P. Birken 14:18, 21. Sep 2006 (CEST)
replies: text: Allerdings ist diese Nullstellensuche der Ableitung das zentrale Verfahren der nichtlinearen Optimierung. Wer den Begriff des Newton- oder Quasi-Newtonverfahrens dort aufgeschnappt hat und hier nachschlägt, wird evtl. nicht mit dem Verfahren hier klarkommen, bzw. nicht erkennen dass es überhaupt dasselbe ist, sondern annehmen das es zwei Verfahren mit diesem Namen gibt. Siehe auch die Englische Version des Artikels. 14:33, 21. Sep 2006 (CEST)
replies: text: OK, das stimmt. Das sollte unter "Varianten des Newton-Verfahrens" abhandelt werden. Unterschreiben kannst Du uebrigens mit ~~~~. --P. Birken 14:39, 21. Sep 2006 (CEST)
thread_title:  Newton Methode zur min- bzw. maximierung 

message: Ich finde Formeln im Wiki im Allgemeinen sehr beängstigend. Aus diesem Grunde wünschte ich mir, dass sie etwas intuitiver zu lesen wären. 
Verwirrend fand ich ohnehin, dass (a-x) durch (x-a) vertauscht wurde. Also, hier mein Ansatz zur Verbesserung:
Sei  f  eine zweimal stetig differenzierbare reelle Funktion und  a  eine Nullstelle von  f , in welcher die Ableitung keine Nullstelle hat. Das bedeutet, dass der Graph der Funktion transversal, d.h. nicht-berührend, die x-Achse schneidet. Sei x ein Punkt nahe bei a. Dann kann die Taylor-Formel zweiten Grades (mit Restglied)
	0=f(a)=f(x+(a-x))=f(x)+f'(x)(a-x)+\tfrac12 f(\xi)(a-x)^2                           	\xi \in [x, a]
	\Leftrightarrow a-x=\frac{f(x)}{f'(x)}+\frac{f(\xi)}{2\,f'(x)}(a-x)^2              	nach der Differenz (a-x) umgestellt werden,
	\Leftrightarrow a - N_f(x)=a - x-\frac{f(x)}{f'(x)}= \frac{f(\xi)}{2\,f'(x)}(a-x)^2	Nun so umstellen, dass der Newton-Operator auf der rechten Seite erscheint,
	N_f(x)-a\Bigr|\le\frac{M_2}{2m_1}|x-a|^2.                                          	f'(x)| sowie M_2=\max_{x\in I}|f(x)| Schranken der Ableitungen von f sind.
Falls jemand den Verbesserungsvorschlag für echt besser hält, dann kann diese Person ihn ja übernehmen.
Grüße Michael
:Ist etwas ungünstig, da die Formeln eh schon breit sind und nicht jeder einen hochauflösenden Monitor hat. Das aktuelle Format kann sicher noch verschönert werden, insbesondere, indem lange Zeilen vermieden werden. Wenn Du aus Deinem Vorschlag Teile zur Erhöhung der Lesbarkeit im Artikel einbauen möchtest, dann nur zu. Nur die Tabelle würde ich draußen lassen. Dass TeX hier häßlich aussieht (z.B. Serifen im Mathemodus, serifenlos außen, sollte wenn, dann andersherum sein), ist ein altes Problem.--LutzL 09:37, 29. Mai 2007 (CEST)
thread_title:  Verbesserungsvorschläge zum Absatz Lokale quadratische Konvergenz 

message: Das ist nicht wirklich sauber programmiert. Der Abbruch nach 99 iterationen und dann noch die Bedingung x==xold passen nicht zur Beschreibung. x==xold benutzt die ungenauigkeit in einem Rechner, ist aber nicht wie einstellbar, wie oben mit den epsilons angedacht. Die Genauigkeit ist somit Rechnerabhängig, was nicht sein sollte.
:Das ist kein Java-Programm, sondern eine Routine in ECMA-Skript, auch als Javaskript bekannt. Für eine Quick'n'Dirty-Implementation ist das OK.--LutzL 09:39, 29. Mai 2007 (CEST)
thread_title:  Java-Programm 

message: Im Artikel zur Optimierung wird kurz erwähnt, dass das Newton-Verfahren nicht robust ist.
Ebenso werden dort Lösungsansätze genannt (Globalisierungsstrategien).
Könnte ein (mathematisch) erfahrener Autor das bitte auch in diesem Artikel ergänzen und wenigstens so weit ausführen, dass man weiß, wo (oder unter welchen Begriffen) man mehr zu dem Thema findet?
:Die mangelnde Robustheit wird hier erklaert. Global kovergente Newton-Verfahren sind sicherlich ein Todo. --P. Birken 11:46, 21. Sep. 2007 (CEST)
thread_title:  Probleme des Newton-Verfahrens 

message: läuft etwas schnell die animation.
etwas sehr schnell --Micha81 06:08, 26. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  bild newton-iteration 

message: Ich kenne noch "Newton-Raphson" als Bezeichnung für den mehrdimensionalen normalen Newton .... in der Numerik, soweit ich das sehe, kommt "Newton-Raphson" sehr häufig als Begriff vor, daher sollte der Begriff auch auf dieser Seite erscheinen, oder nicht? Flynx 15:29, 5. Jun. 2008 (CEST)
replies: text: Tut es doch, steht im ersten Satz und unter Historisches. Newton hat konkrete Gleichungen 3. Grades bearbeitet, Raphson hat allgemeine Gleichungen 3. Grades behandelt, und erst Simpson hat das Verfahren in der heutigen Form formuliert. Das mehrdimensionale Verfahren wird oft Kantorowitsch zugeschrieben, mir erscheint aber 1940 als relativ spät dafür.--LutzL 08:37, 6. Jun. 2008 (CEST)
replies: text: Hm, ja, das hatte ich auch gelesen, aber als ich nach "Newton-Raphson" gesucht habe, war nichts zu finden. Außerdem, mit dem N-R ist, soweit ich weiß, konkret der mehrdimensionale Fall des allgemeinen Newton-Verfahrens gemeint. Ist so auch nicht zu finden, erwähnt wird nur Gauss-Newton, was m.E. aber was anderes ist. Flynx 10:11, 6. Jun. 2008 (CEST)
replies: text: Wäre wie gesagt unlogisch, da erst Simpson längere Zeit nach Newton und Raphson die allgemeine Form des eindimensionalen Verfahrens einführte. Dass die WP-Suchmaschine suboptimal ist, ist schon lange bekannt und leider unverändert. Newton-Raphson-Verfahren gibt es als Weiterleitung, warum das nicht als erstes gefunden wird, ist mir unklar. Und das mehrdimensionale Verfahren ist auch hier im Artikel beschrieben.--LutzL 14:35, 6. Jun. 2008 (CEST)
thread_title:  Newton-Raphson 

message: Man könnte bei Variantent des Newton-verfahren noch das Gedämpfte Newton-Verfahren und das Homotopie-Newton-Verfahren als zwei Methoden zur Erweiterung des Einzugbereiches erwähnen. Allerdings müsste man dann die Einleitung des Abschnitts erweitern. Wenn ich mal Zeit habe werde ich mich mal daran versuchen, allerdings wäre ich auch nicht böse wenn mir jemand mit mehr Fachwissen zuvorkommt :-) Schönen Gruß "Wohingenau" 23:39, 6. Apr. 2009 (CEST)
thread_title:  Varianten des Newton-Verfahren: Globalisierungsmethoden 

message: Es wäre gut, wenn in dem Artikel nicht nur die Varianten des NR-Verfahrens dargestellt werden würden, sondern auch auf Alternativen verwiesen werden würde (z.B. Bisection). Außerdem wäre es schön, wenn noch auf Verfahren verwiesen werden würde, welche Gebrauch von höheren Ableitungen machen (sofern es solche überhaupt gibt). --Sepp 18:24, 9. Mär. 2011 (CET)
thread_title:  Alternative Verfahren 

message: Im Absatz "Historisches über das Newtonverfahren" steht "Nach den binomischen Formeln gilt...".
Der darunter stehende Rechenvorgang ist allerdings an den trinomischen Formeln angelehnt. --Donoloam 22:41, 5. Jun. 2011 (CEST)
replies: text: Noe, es werden Potenzen von (x+h) entwickelt. Zwei Variablen, also Binom. Man könnte natürlich auch den binomischen Lehrsatz zitieren, was bei der dritten Potenz als höchster leicht übertrieben ist.--LutzL 12:07, 6. Jun. 2011 (CEST)

text: Ok, das sehe ich ein. --Donoloam 23:03, 6. Jun. 2011 (CEST)
thread_title:  binomische / trinomische Formel ? 

message: Der Satz "Die Quadratwurzel einer Zahl  a>0  ist die positive Nullstelle der Funktion  f(x)=1-a/x^2 ." ist zwar richtig, aber doch an den Haaren herbeigezogen. Es funktioniert doch auch mit   f(x)=x^2-a.  ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 23:08, 30. Okt. 2013 (CET)
replies: text: Da versucht man mal interessant zu sein... Und das Heronverfahren wird doch auch im Artikel behandelt, zugegebenermaßen nun ziemlich weit unten, könnte vielleicht umsortiert werden, die weiteren Beispiele vor den theoretischen Erörterungen. -- Und nein, es ist nicht an den Haaren herbei gezogen. Auf diesem Weg erhält man ein (fast) divisionsfreies Verfahren zur Quadratwurzelbestimmung, in der Computeralgebra wird das oft verwendet.--LutzL (Diskussion) 01:55, 31. Okt. 2013 (CET)
thread_title:  Erstes Beispiel 

message: Ich benutze ein reverses Newton-Verfahren zur Anzeige der komplexen Nullstellen einer reellen Funktion. Der Quotient ist dabei genau umgekehrt: Teile die Ableitung durch die Ursprungsfunktion. Bei einer quadratischen Funktion die erste Ableitung, bei einer kubischen Funktion die zweite, usw. Die Nullstellen des so enstehenden Graphen zeigen die komplexen Nullstellen im Reellen an. Gibt es dafür eigentlich einen Namen? (nicht signierter Beitrag von 79.247.201.110 (Diskussion) 10:36, 13. Jan. 2017 (CET)
thread_title:  Reverses Newton-Verfahren