Diskussion:Kategorientheorie

message: Ich habe die Beispiele 
* ein Beispiel aus der Informatik ist \mathbf{Data}, die Menge aller in einer vorgegebenen Programmiersprache verfügbaren Datentypen als Objekte und die Funktionen als Morphismen. Ein verwandtes Beispiel sind die XML-Dokumente als Objekte und XSL-Transformationen als Morphismen.
gelöscht. Das mit den Programmiersprachen und Funktionen ist völlig daneben, die XSL Transformationen sind nicht assoziativ !!!
===Bemerkungen===
# Statt »Die Grundbegriffe dieser Arbeit sind Kategorie, Funktor und natürliche Transformation. Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die anderen eingeführt.« muß es natürlich heißen: » Die Grundbegriffe (sc.  dieser Theorie) . . . «
# Es ist dann  weiter von einem »Jargon zum Ausdrücken verschiedener mathematischer Theorien« die Rede: das scheint mir nicht so glücklich, sowohl stilistisch wie inhaltlich. 
# Ein Aspekt der Kategorientheorie ist es, gewisse Sachverhalte wie etwa  universelle Konstruktionen in adäquaterer Form darzustellen, als dies mit den Mitteln der Mengenlehre und universellen Algebra möglich ist (man vergleiche  die umständlichen Konstruktionen Bourbakis im 4. Kapitel der Théorie des Ensembles). 
# In erster Linie aber dient sie dazu, wie schon im Ausgangsfall der algebraischen Topologie,   verschiedenartige Strukturen in einen  Zusammenhang zu stellen, in dem sie deutlicher gesehen und bearbeitet werden können. Hier wird nicht von Strukturen »abstrahiert«, vielmehr werden sie verdeutlicht.
# Was das folgende bedeuten soll, ist mir schleierhaft: »Da der Begriff Morphismus ohne die Notation der Mengenlehre verwendet wird, bietet die Kategorientheorie eine weitreichende Verallgemeinerung des Funktionenbegriffs, die sie auch für computerwissenschaftliche Disziplinen wie die Algorithmik interessant macht.« Es gibt informatische Anwendungen, aber wirklich deshalb, weil die Kategorientheorie »elementfrei« argumentiert? Nicht aus den o.a.  Gründen?
# Es ist schon richtig, daß man den Begriff des Morphismus als eine Verallgemeinerung des Abbildungsbegriffes ansehen kann, allerdings ist der Abbildungsbegriff auch schon sehr allgemein, insofern ist dies hier irreführend. Es werden ja nicht alle Abbildungen betrachtet, sondern nur solche, die für die betreffende Struktur irgendwie spezifisch sind; wenn man sich dies vor Augen führt, ist der Schritt zum kategorientheoretischen Morphismus nicht mehr so groß. Die Verallgemeinerung liegt m. E. eher darin, daß man den Transformationscharakter der Abb. vernachlässigt, ungefähr so, wie man in der Gruppentheorie von Transformationsgruppen zu abstrakten Gruppen gekommen ist.
# Aus dem Abschnitt »Begriffe« wurden die doch sehr wichtigen Begriffe Morphismus und natürliche Transformation entfernt um weiter  unten eine m. E. wenig hilfreiche Behandlung zu erfahren. 
# Die Definition ist mißlungen, es heißt z. B. »Eine Kategorie besteht aus zwei Teilen: zum einen eine Klasse von Objekten und zum anderen eine Klasse von Pfeilen (oder Morphismen) zwischen diesen Objekten.« Im Vordergrund sollten aber die Morphismen stehen (bekanntlich kann man auf die Objekte verzichten, sie dienen nur der sprachlichen Bequemlichkeit). Des weiteren: »Die Morphismen müssen verknüpfbar sein«, davon kann aber i.A. gar keine Rede sein. -- Grundsätzlich  glaube ich nicht, daß es gut ist, die Def., wie hier geschehen, einleitend erst noch zu paraphrasieren.
# Die Beispiele sind aus dem Inhaltsverzeichnis verschwunden, das Beispiel mit der Relation ist falsch (sie muß auch transitiv sein), ähnlich für Graphen (MacLane, II.7. spricht von einer »Präkategorie«). 
# Die folgenden Abschnitte sind mehr oder minder mißglückt, so ist mir neu, daß Isomorphie »[e]in Kernbegriff der Kategorientheorie« ist, im Gegensatz zu Funktor etwa, oder daß kleine Kategorien so zentral sind, daß es lohnt, ihnen einen langen Abschnitt zu widmen.
# Eine universelle Konstruktion heißt so, nicht weil sie »für eine Vielzahl von Kategorien verfügbar« ist, sondern weil sie Gegenstände (universelle Pfeile, universelle Elemente) liefert, die eine »universelle Eigenschaft« in dem Sinne haben, daß jeder geeignete Pfeil darüber faktorisiert, etc. Bsp. freie Gruppe, Tensorpodukt, u.v.a.m., vgl. MacLane (III.1).
Usw. . . Ptrs 23:34, 3. Jul 2004 (CEST)
replies: text: Ich würde schon zustimmen, dass Isomorphie von zentraler Bedeutung ist, aber dann sollte man wenigstens erwähnen, dass Funktoren Isomorphismen erhalten...--Gunther 21:45, 25. Feb 2005 (CET)
thread_title:  Kommentare zu einer alten Version 

message: # Statt »Die Grundbegriffe dieser Arbeit sind Kategorie, Funktor und natürliche Transformation. Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die anderen eingeführt.« muß es natürlich heißen: » Die Grundbegriffe (sc.  dieser Theorie) . . . «
# Es ist dann  weiter von einem »Jargon zum Ausdrücken verschiedener mathematischer Theorien« die Rede: das scheint mir nicht so glücklich, sowohl stilistisch wie inhaltlich. 
# Ein Aspekt der Kategorientheorie ist es, gewisse Sachverhalte wie etwa  universelle Konstruktionen in adäquaterer Form darzustellen, als dies mit den Mitteln der Mengenlehre und universellen Algebra möglich ist (man vergleiche  die umständlichen Konstruktionen Bourbakis im 4. Kapitel der Théorie des Ensembles). 
# In erster Linie aber dient sie dazu, wie schon im Ausgangsfall der algebraischen Topologie,   verschiedenartige Strukturen in einen  Zusammenhang zu stellen, in dem sie deutlicher gesehen und bearbeitet werden können. Hier wird nicht von Strukturen »abstrahiert«, vielmehr werden sie verdeutlicht.
# Was das folgende bedeuten soll, ist mir schleierhaft: »Da der Begriff Morphismus ohne die Notation der Mengenlehre verwendet wird, bietet die Kategorientheorie eine weitreichende Verallgemeinerung des Funktionenbegriffs, die sie auch für computerwissenschaftliche Disziplinen wie die Algorithmik interessant macht.« Es gibt informatische Anwendungen, aber wirklich deshalb, weil die Kategorientheorie »elementfrei« argumentiert? Nicht aus den o.a.  Gründen?
# Es ist schon richtig, daß man den Begriff des Morphismus als eine Verallgemeinerung des Abbildungsbegriffes ansehen kann, allerdings ist der Abbildungsbegriff auch schon sehr allgemein, insofern ist dies hier irreführend. Es werden ja nicht alle Abbildungen betrachtet, sondern nur solche, die für die betreffende Struktur irgendwie spezifisch sind; wenn man sich dies vor Augen führt, ist der Schritt zum kategorientheoretischen Morphismus nicht mehr so groß. Die Verallgemeinerung liegt m. E. eher darin, daß man den Transformationscharakter der Abb. vernachlässigt, ungefähr so, wie man in der Gruppentheorie von Transformationsgruppen zu abstrakten Gruppen gekommen ist.
# Aus dem Abschnitt »Begriffe« wurden die doch sehr wichtigen Begriffe Morphismus und natürliche Transformation entfernt um weiter  unten eine m. E. wenig hilfreiche Behandlung zu erfahren. 
# Die Definition ist mißlungen, es heißt z. B. »Eine Kategorie besteht aus zwei Teilen: zum einen eine Klasse von Objekten und zum anderen eine Klasse von Pfeilen (oder Morphismen) zwischen diesen Objekten.« Im Vordergrund sollten aber die Morphismen stehen (bekanntlich kann man auf die Objekte verzichten, sie dienen nur der sprachlichen Bequemlichkeit). Des weiteren: »Die Morphismen müssen verknüpfbar sein«, davon kann aber i.A. gar keine Rede sein. -- Grundsätzlich  glaube ich nicht, daß es gut ist, die Def., wie hier geschehen, einleitend erst noch zu paraphrasieren.
# Die Beispiele sind aus dem Inhaltsverzeichnis verschwunden, das Beispiel mit der Relation ist falsch (sie muß auch transitiv sein), ähnlich für Graphen (MacLane, II.7. spricht von einer »Präkategorie«). 
# Die folgenden Abschnitte sind mehr oder minder mißglückt, so ist mir neu, daß Isomorphie »[e]in Kernbegriff der Kategorientheorie« ist, im Gegensatz zu Funktor etwa, oder daß kleine Kategorien so zentral sind, daß es lohnt, ihnen einen langen Abschnitt zu widmen.
# Eine universelle Konstruktion heißt so, nicht weil sie »für eine Vielzahl von Kategorien verfügbar« ist, sondern weil sie Gegenstände (universelle Pfeile, universelle Elemente) liefert, die eine »universelle Eigenschaft« in dem Sinne haben, daß jeder geeignete Pfeil darüber faktorisiert, etc. Bsp. freie Gruppe, Tensorpodukt, u.v.a.m., vgl. MacLane (III.1).
Usw. . . Ptrs 23:34, 3. Jul 2004 (CEST)
replies: text: Ich würde schon zustimmen, dass Isomorphie von zentraler Bedeutung ist, aber dann sollte man wenigstens erwähnen, dass Funktoren Isomorphismen erhalten...--Gunther 21:45, 25. Feb 2005 (CET)
thread_title: Bemerkungen

message: Habe angefangen, den Artikel zu überarbeiten. Momentan ist der Artikel viel zu lang, und manches gibt es schon als separate Seite (Produkt (Mathematik), Morphismus). Adjunktion kann man problemlos abtrennen, auf die jeweiligen universellen Konstruktionen kann man verweisen. Kommentare soweit?--Gunther 21:45, 25. Feb 2005 (CET)
thread_title: Überarbeitung

message: Sammelstelle für Begriffe, die noch erklärt werden müssen.--Gunther 00:26, 26. Feb 2005 (CET)
thread_title:  To-Do-Liste 

message: Es müsste heißen: Je einer Klasse Morc(A,B) ... (vgl. z.B. engl. Artikel)
Eine Kategorie, in der alle Morc(A,B) Mengen sind, nennt man lokal klein.
: Ist das so verbreitet, dass man das in der Hauptdefinition sagen sollte? Die mir geläufige Definition ist wie im Artikel. Z.B. ist Hom dann auch ein Bifunktor in die Kategorie der Mengen, ansonsten müsste man da immer "lokal klein" dazusagen.--Gunther 3. Jul 2005 16:49 (CEST)
:: Für viele kategorientheoretische Begriffe ist es völlig unerheblich ob es sich um Klassen oder Mengen handelt. Deshalb ist die Einschränkung auf Mengen nicht notwendig. Es gibt sogar Autoren, die ganz allgemein von "Kollektionen" reden. Andererseits sind sehr viele Kategorien, die in der Mathematik so auftauchen, lokal klein, was wiederum die Erweiterung auf Klassen ein bisschen obsolet macht. Das Yoneda-Lemma ist ein sehr gutes Beispiel für eine zentrale Thematik bei der es wichtig ist, dass es sich um lokal kleine Kategorien handelt. Ich denke, die Frage ist eher: was will der Autor? Wenn man fast ausschließlich mit lokal kleinen Kategorien zu tun hat, ist es zweckmäßig, Kategorien so zu definieren, weil man wie oben gesagt, sonst immer "lokal klein" dazusagen müsste, oder so etwas wie "In diesem Kapitel betrachten wir nur lokal kleine Kategorien." Allerdings finde ich es durchaus wichtig, dass auf diese Einschränkung hingewiesen wird, da man sonst den Eindruck vermittelt, es sei für Kategorien allgemein wichtig, dass es sich bei Morc(A,B) um Mengen handelt.
::Desweiteren sollte man sich vielleicht überlegen, in wie weit man verschiedensprachige Artikel aufeinander abstimmen möchte.
::: Darf ich mal ganz blöd nach einem praktischen Beispiel für eine Kategorie fragen, die nicht lokal klein ist?--Gunther 17:25, 15. Jul 2005 (CEST)
replies: text: Ist das hier Mathematik oder Physik? Es kommt doch nicht darauf an, ob die meisten in der Praxis vorkommenden Kategorien lokal klein sind, und wir da von Mengen reden können, sondern ob es allgemein so ist, dass jede Morc(A,B) eine Menge ist, oder ob es möglicherweise mal eine echte Klasse sein kann. Die meisten Zusammenfassungen, die mir in der Praxis begegnet sind, sind Mengen, siehe Diskussion:Klasse (Mengenlehre)#Einleitung, trotzdem ist die Zusammenfassung aller Mengen eine Klasse und keine Menge.--Ernsts (Diskussion) 19:23, 29. Dez. 2017 (CET)

text: Woher kommt die obige Definition von "lokal klein"? Schubert (Kategorien I, S. 87) definiert "lokal klein" anders, nämlich so, daß die Unterobjekte eines Objekts eine Menge bilden. Das steht nicht im Widerspruch dazu, daß die Pfeile Mengen sind. --84.59.210.221 20:08, 29. Jul 2005 (CEST)
thread_title:  zur Definition 

message: Also das mit praktischen Beispielen ist immer so 'ne Sache, aber nachdem ich die amüsante Diskussion oben gelesen habe, mag ich auch ein bisschen Senf hinzugeben.
Nach sehr kurzer recherche bin ich auf ein Beispiel einer nicht lokal kleinen Kategorie gestoßen, allerdings würde ich dieses nicht praktisch nennen: Im Kontext der Mengenlehre betrachten wir Bijektionen auf Mangen, und setzen sie auf den Rest des Universums mit der Identität fort. Das Ganze bildet eine "Gruppe" mit ganz fürchterlich vielen Elementen, und somit eine nicht lokal kleine Kategorie. 
Zu einer Frage in der obigen Diskussion: lokal klein ist für "praktische" Zwecke nahezu gar keine Einschränkung, aber dennoch ein absolut gängiger Begriff. Aber bei "praktischen" Zwecken schert man sich eh nicht sonderlich um die Größen.
: Naja, die algebraischen Geometer wären schon ziemlich unglücklich, wenn sie jedesmal das Universum wechseln müssten, wenn sie einen Hom-Funktor hinschreiben...--Gunther 14:14, 29. Jul 2005 (CEST)
replies: text: Grothendiecks U-Kategorien sind genau die lokal kleinen Kategorien, wenn man sich U als Klasse aller Mengen vorstellt (was natürlich nicht erlaubt ist, weil U eine Menge ist).--Gunther 23:37, 10. Aug 2005 (CEST)

text: Ich verstehe leider nur noch Bahnhof. Alles, was ich sagen wollte, war: Wäre (Schemata) nicht lokal klein, wäre es nervig, weil dann Hom(–,X) nicht mehr einfach ein Funktor (Schemata) -> (Mengen) wäre, sondern man müsste anfangen, sich mit Universen herumzuschlagen. Dass das dann doch nötig wird, wenn man die Kategorie aller Funktoren (Schemata) -> (Mengen) betrachten will, steht auf einem anderen Blatt.--Gunther 00:12, 11. Aug 2005 (CEST)

text: Jaja, zu Topoi sollte ich eigentlich besser nichts schreiben, tu Dir keinen Zwang an und mach' einen vernünftigen Artikel daraus... Algebraische Geometrie "vor" Situs und Topoi sollte mengentheoretisch harmlos sein, also wenn es nur um die Darstellbarkeit eines einzelnen Hom-Funktors geht, denn dann konstruiert man ja in der Regel eine Bijektion F(T)\to\mathrm{Hom}(T,X) für jedes T, und diese Bijektionen erfüllen gewisse Kompatibilitäten. Die Funktoren werden also nicht als Objekte benötigt, sondern nur als Formeln. Oder?--Gunther 19:18, 11. Aug 2005 (CEST)

text: Wie gesagt: Es wäre schön, wenn jemand etwas zu Topoi schreiben könnte, und ich bin dafür definitiv nicht geeignet. Mithilfe der Beschreibung durch Kozykel kann man ziemlich leicht zeigen, dass es eine Menge von Vertretern für die Isoklassen von Geradenbündeln gibt.--Gunther 14:17, 20. Aug 2005 (CEST)
thread_title:  von großen, kleinen, winzigen und anderen Kategorien 

message: ...sondern auch in Haskell.
Funktionen, Monaden, Pfeile - die wichtigsten Konstrukte. --Chricho 23:24, 17. Aug. 2009 (CEST)
thread_title:  Nicht nur in der theoretischen Informatik... 

message: Man sollte noch ergänzen, dass eine natürliche Transformation auchn oft funktorieller Morphismus genannt wird.--Hesmucet 15:05, 22. Jul. 2011 (CEST)
replies: text: Nun das passt doch in den Abschnitt, in dem hier die natürliche Transformation definiert wird, oder? Ein eigener Artikel zum Thema natürliche Transformation wäre allerdings wünschenswert. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 15:45, 22. Jul. 2011 (CEST)
thread_title:  Natürliche Transformation 

message: Wäre es passend, Objekte als Schnittstelle zwischen Morphismen zu erklären?
Es wird ja häufig darauf hingewiesen, dass für Kategorien die Morphismen und die Komposition die bedeutenderen Bestandteile sind, und nicht etwa die Objekte. Schnittstelle deswegen, weil den Objekten einfach nur die Funktion zukommt, dass sie festlegen, welche Morphismen miteinander komponiert werden dürfen -- wie bei (elektronischen) Modulen: Solange die Schnittstelle passt, kann man sie zusammenstecken und sie funktionieren (zumindest in der Theorie ^^). 
-- Placekeeper 10:29, 20. Okt. 2011 (CEST)
thread_title:  Objekte als Schnittstelle zwischen Morphismen? 

message: Im Artikel steht:
* Die Fundamentalgruppe ist ein Funktor \mathbf{Top} \to \mathbf{Grp}
Das ist, glaube ich, nicht ganz richtig, denn wenn ein topologischer Raum nicht wegzusammenhängend ist, hängt die Fundamentalgruppe im Allgemeinen von der Wahl des Basispunktes ab (das steht auch so im Artikel dazu), ohne Angabe eines Basispunktes kann man nur ein Fundamentalgruppoid betrachten.
Man könnte sich natürlich auf wegzusammenhänge Räume einschränkend, aber es ist wohl üblicher und weniger restriktiv, die Fundamentalgruppe als einen Funktor von \mathbf{Top_*}, der Kategorie der punktierten topologischen Räume anzusehen. Ich kenne mich aber mit algebraischer Topologie kaum aus, deswegen zögere ich noch das zu ändern, vielleicht kann ja jemand, der sich besser auskennt das bestätigen.--Letkhfan (Diskussion) 20:41, 22. Apr. 2016 (CEST)
replies: text: Ich hab mal punktiert. --Chricho ¹ ² ³ 20:51, 22. Apr. 2016 (CEST)
thread_title:  Fundamentalgruppe und Basispunkt 

message: Hallo, die Definition, dass die Unterkategorie D von C voll sei, wenn die Morphismenmengen von D gleich denen von C sind, lasst sich klarer formulieren. Es lässt sonst die Fehlinterpretation zu, dass D genau dann eine volle Unterkategorie von C ist, wenn D gleich C. Ich schlage folgende Formulierung vor:"Eine Unterkategorie D von C heißt voll, wenn zu je zwei Objekten A,B aus Ob(D) gilt, dass Mor_D(A,B) = Mor_C(A,B)." Da ich aber kein Experte für Kategorientheorie oder auch nur Mathematik i.A. bin ändere ich das nicht selber, bzw. erst wenn mir da jemand zustimmt. Viele Grüße (nicht signierter Beitrag von 131.220.221.142 (Diskussion) 14:28, 19. Okt. 2016 (CEST)
thread_title:  Unterkategorie 

message: Ich hab gesehen, dass der Artikel den Begriff kontravarianter Funktor und Kofunktor gleichsetzt. Kofunktor als Begriff hab ich tatsächlich schon gesehen, aber nicht als kontravarianter Funktor.
Wenn man sich kovariante Funktoren, kontravariante und Kofunktoren anschaut, sieht man evtl. wo das "Ko" herkommt und hingeht:
Alle drei haben dieselbe Operation auf Objekten:
F : Cat(C, D)
Aber unterscheiden sich in ihrer Aktion auf Pfeile:
Ein kovariante Funktor liftet einen Pfeil C(x,y) in die Kategorie D.
F : Cat^{Cat}(C(x, y), D(F x, F y))
Ein kontravariante Funktor liftet den Pfeil C(y,x) in die Kategorie D, und dreht in dabei um.
F : Cat^{Cat}(C(y, x), D(F x, F y))
Ein Kofunktor extrahiert einen Pfeil aus der Kategorie D zurück in die Kategorie C.
F : Cat^{Cat}(D(F x, F y), C(x, y))
Ein Kofunctor besteht also aus einem Mapping auf Objekten der Kategorie C nach D und einem gegen-gerichteten Mapping auf den Pfeilen von D(F x, F y) zu C(x, y). Siehe https://ncatlab.org/nlab/show/cofunctor, aber Achtung: Sie benutzt eine kompliziertere Schreibweise, wo dieser Zusammenhang mit Gleichungen mittels 'dom' und 'cod' dargestellt wird; nur im Commuting Diagram auf der Seite kann man die einfachere Darstellung erkennen.
Naja, zu viel Informationen für diesen Artikel! Ich wollte nur anmerken Kofunktor != Kontravariant. --Alfredbutterbrot (Diskussion) 18:31, 2. Sep. 2021 (CEST)
thread_title:  Kofunktor != Kontravariant 

message: Ich denke, es ist ein wenig allgemeiner und praktischer (und in praktischen Formalisierungen, etwa Leans mathlib, bevorzugt), wenn die Disjunktheit der Hom-Mengen (bzw. -Klassen) nicht gefordert wird und man stattdessen (was aber eigentlich auch nicht unbedingt nötig ist) die entsprechende Frage für unsinnig erklärt: Die verschiedenen Hom-Mengen haben à priori sowas von gar nichts miteinander zu tun, dass sich die Frage, ob sie gemeinsame Elemente haben, gar nicht erst stellt. (Was dann dazu führt, dass man bei der konkreten Konstruktion von Kategorien doch wieder tatsächlich nicht-disjunkte Hom-Mengen verwenden kann, und nicht mit sinnlosen Anhängseln operieren muss, die die Disjunktheit sicherstellen.)
Man spricht eben niemals von "einem beliebigen Pfeil", den man dann danach befragen kann, von wo nach wo er geht, sondern immer nur von Pfeilen von A nach B.
Klar ist natürlich: mit genügend philosophischem Commitment sind beide Sichten identisch. Die Sicht, die von vornherein trennt (also so, dass man nicht mal sinnvoll von "Disjunktheit" sprechen kann!), kommt aber mit weniger Annahmen aus. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:37, 2. Mai 2022 (CEST)
thread_title:  Disjunktheit der Pfeilmengen