Diskussion:Nabla-Operator

message: Könnte jemand ein praktisches, einfaches Beispiel für den Nabla-Operator einfügen und/oder eine intuitive Erklärung hinschreiben wieso/wofür man den Operator benutzt?
Für mich erschließt sich der Sinn davon nicht, weil es evtl. zu formal gehalten wird bzw. es für die Autoren absolut klar war was es ist. Als ob man Sense mit 'Die Sense hat eine Klinge aus Eisen und einen Griff aus Holz.' beschreibt, ohne hinzuzufügen, dass es fürs Kornmähen gedacht war.
-- 84.177.187.205 15:59, 19. Feb. 2010 (CET)
replies: text: Intuitiv gehören zu den drei Schreibweisen \nabla \cdot x, \nabla x, \nabla \times x vollkommen unterschiedliche Vorstellungen, die in den drei im ersten Satz verlinkten Operationen mit Beispielen erklärt werden (sein sollten). Nabla selbst ist ein reiner Formalismus zwecks schönerer Notation, den man weder vereinfacht erklären noch sich sinnvoll bildlich vorstellen kann. Von daher sehe ich im Moment nicht, wie man den Artikel hier gut verbessern könnte. -- Pberndt (DS) 19:32, 22. Feb. 2010 (CET)
thread_title: Praktisches Beispiel/Intuitive Erklärung

message: Der Satz
: In der Tensoranalysis erweist sich der Nabla-Operator als wichtiges Beispiel für einen kovarianten Tensor.
kommt mir seltsam vor. Inwiefern ist denn der Nabla-Operator ein Tensor?
--Digamma 22:48, 3. Feb. 2007 (CET)
replies: text:  Nabla ist (formal) ein Vektor und damit ein Tensor erster Stufe. (Kovariant bedeutet, dass er bei einer Koordinatentransformation wie die Vektorraum-Basis transformiert wird.) --91.89.4.184 20:31, 20. Feb. 2008 (CET)
thread_title:  Tensoranalysis 

message: ist Nabla nicht ein Spaltenvektor? hier bei Wikipedia wird nicht zwischen grad und Nabla unterschieden
: Eigentlich schon. Aber wer eine Notation mit Nabla verwendet, unterscheidet normalerweise nicht zwischen Spalten- und Zeilenvektor (ist ja nur Konvention und physikalisch nicht relevant). Nabla wird zu grad, wenn man es auf einen Skalar anwendet; allerdings kann man mit Nabla auch andere Differentialoperatoren wie div und rot darstellen. --91.89.4.184 20:37, 20. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Ich finde es verwirrend, dass im Artikel von einem Spaltenvektor gesprochen wird und eine Zeile weiter unten steht es als Zeilenvektor. -- (nicht signierter Beitrag von 71.166.98.243 (Diskussion | Beiträge) 02:53, 21. Apr. 2009 (CEST)
replies: text:  Verwirrend direkt nicht, aber irgendwie blöd. Das "(Spalten-)" vielleicht weg? -- Pberndt (DS) 19:47, 20. Aug. 2009 (CEST)

text:  Ach ja: Es ist aus einem Grund sinnvoll, Nabla als Zeilenvektor einzuführen (bzw., wenn man normalerweise Zeilenvektoren verwendet, als Spaltenvektor): Dann ergibt der Operator nicht nur bei skalaren, sondern auch bei vektorwertigen Funktionen einen Sinn - denn dann kommt die Jakobimatrix bei raus. -- Pberndt (DS) 19:52, 20. Aug. 2009 (CEST)

text: Liebe Leute, ich weiß nicht, ob nach so langer Zeit eine zusätzliche Bemerkung an dieser Stelle überhaupt noch Sinn macht. Trotzdem: Ich finde, daß die ganze Diskussion Zeilenvektor vs. Spaltenvektor ein bißchen arg daneben geht (gegangen ist), und zwar prinzipiell! Wenn man einem Vektor als primär geometrisches (und deshalb grundsätzlich invariantes) "Ding" eine selbständige Existenz zuerkennt, erscheint jede von einer konkreten Vektor-Basis abhängige Darstellungsform in ihrer speziellen Gestalt (ob als Tupel oder "matrizisch") ziemlich sekundär! Im letzgenannten Fall können Zeilen-/Spaltenvektoren je nach Formel-Kontext in munterer Folge  einander abwechseln. Das Problem dabei ist, daß die Gesetze der beabsichtigten Multiplikation mit der Verkettungsregel des Matrizenkalküls in Übereinstimmung gehalten werden müssen. Freundliche Grüße! WMbrummochs.dresden ----89.199.202.58 01:55, 8. Jul. 2012 (CEST)
thread_title:  Zeilen oder Spaltenvektor? 

message: Nabla ist kein Zeilenvektor. Die Darstellung hier entbehrt jeder Grundlage. Am ehesten verständlich wäre es, wenn Nabla ein Spaltenvektor wäre, da dies die allgemeinübliche Schreibweise für nomale Vektoren wäre. Korrekt ist aber einzig und allein die Schreibweise mit Hilfe von Einheitsvektoren. Siehe dazu unter anderem Bronstein, Taschenbuch der Mathematik, Seite 675. Der englische Artikel nutzt ebenfalls die Methode. --141.35.185.149 00:36, 3. Dez. 2007 (CET)
replies: text: Das ist nichts anderes als Konvention, ohne jegliche mathematische Bedeutung. Dein Korrektheitsbegriff ist kaputt. --Ben g 01:07, 3. Dez. 2007 (CET)
replies: text:  Also diese Darstellung findet man zum Beispiel in Jänich-Vekroranalysis, entbehrt also nicht jeder Grundlage... Was den Bronstein angeht, wäre es sehr sinvoll, wenn du auch die Auflage angibst. Da ich aber auch in meinen Bronstein nichts finde, das der Notation hier widerspricht, lösch ich mal den Baustein. Da ich aber nicht alle Formeln die hier stehen in den zwei genannten Büchern finden kann, setz ich mal nen Quellenbaustein. Gruß Azrael. 22:17, 10. Dez. 2007 (CET)
replies: text: Im geometrischen Sinn (der auch in der Physik verwendet wird) sind Vektoren natürlich weder Zeilen noch Spalten. Identifiziert man sie mittels einer Orthonormalbasis mit Elementen der R^n (was in diesem Artikel geschieht), dann sind es zunächst einfach n-Tupel, die in der Regel als Zeile geschrieben werden, mit runden Klammern drumrum und die Einträge getrennt durch Kommas. Will man mit diesen Matrizenrechnung machen, dann ist es nützlich, sie als Spalte (also als n \times 1-Matrix) zu schreiben. Kovektoren (Elemente des Dualraums) schreibt man dann hingegen als Zeilen (1 \times n-Matrix). Vgl. Matrix (Mathematik)#Notation und erste Eigenschaften, letzter Absatz. --Digamma 23:37, 6. Feb. 2008 (CET)
replies: text: Ich finde der Baustein kann entfernt werden, da im Bronstein alle Formeln des Artikels nachzulesen sind. Außerdem hab ich mal die Darstellung des Nabla-Operators durch Einheitsvektoren ergänzt. Oder gabs sonst noch ein offenes Problem? gruß -- M0nsterxxl 03:06, 4. Apr. 2008 (CEST)
thread_title:  Überarbeiten-Baustein

message: Gibt es dafür einen Beleg? Wenn nicht, dann lösche ich die Passage. Im entsprechenden englischen Artikel finde ich die Aussage nicht. --Digamma 08:40, 22. Mai 2010 (CEST)
replies: text: Vektoren allgemein schreibt man im englischsprachigen Raum oft unterstrichen statt mit Pfeil drüber, das wirst Du so in sehr vielen Büchern finden. Und Operatoren, die auf vektorwertige Funktionen abbilden, zeichnen Physiker typischerweise als Vektoren aus. Kommt also schon hin. -- Pberndt (DS) 10:45, 22. Mai 2010 (CEST)
thread_title:  "im englischen Sprachraum <math>\underline \nabla</math>" 

message: Diese Formulierung suggerierte, dass der Nabla-Operator kein Vektor wäre, ihn als Element eines gewissen Vektorraums aufzufassen ist aber wirklich völlig unproblematisch, kritisch sind ja erst die „Multiplikationen“, die jedoch im Vektorbegriff nicht für jeden enthalten sind. Habe eine andere Formulierung eingeführt, die mir aber auch nicht recht gefällt, sie ist sehr schwammig und „Größe“ klingt zu physikalisch. Bessere Vorschläge? --Chricho ¹ ² 15:06, 13. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Ich denke, dass das dort vor allem so stand für die Physiker stand. Um ihnen klarzumachen, dass \nabla \not \in \mathbb{R}^3. Diese Information sollte auf jeden Fall erhalten bleiben und auch für jemanden verständlich rüberkommen, der mit formalen Vektorräumen nicht viel anfangen kann. Wenn „Größe“ Dir zu physikalisch ist, wie wäre es mit „die formale Ähnlichkeit zu Vektoren des ℝ³“? Ist aber auch nicht sonderlich toll.. -- pberndt 15:23, 13. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Wie wäre es mit "Vektoren des euklidischen Raums"? --Digamma (Diskussion) 14:22, 20. Apr. 2012 (CEST)
thread_title:  „ähnlichkeit zu einem [[Vektor]]“ 

message: Wenn ich das:
:
\operatorname{grad}\vec{V}
=\vec{V}\otimes\vec{\nabla}
=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial \vec{V}}{\partial x_j}\otimes\vec{e}_j
=\sum_{i,j=1}^3 \frac{\partial V_i}{\partial x_j}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j
=\begin{pmatrix}
\frac{\partial V_1}{\partial x} & \frac{\partial V_1}{\partial y} & \frac{\partial V_1}{\partial z}\\
\frac{\partial V_2}{\partial x} & \frac{\partial V_2}{\partial y} & \frac{\partial V_2}{\partial z}\\
\frac{\partial V_3}{\partial x} & \frac{\partial V_3}{\partial y} & \frac{\partial V_3}{\partial z}
\end{pmatrix}
 
lese, bekomme ich Bauchschmerzen. Ich kenne es nur so, dass ein Differentialoperator auf das wirkt, was rechts von ihm steht. Wenn der Nabla-Operator auf das Vektorfeld \vec V wirken soll, dann muss dieses also rechts von ihm stehen. Bei "\vec{V}\otimes\vec{\nabla}" steht das Vektorfeld aber links davon. Wird das wirklich in der Kontinuumsmechanik so verwendet? --Digamma (Diskussion) 17:17, 7. Jan. 2015 (CET)
replies: text: Einen entsprechenden Hinweis hatte ich dem Ersteller schon auf die Disk geschrieben. Einfachste Lösung wäre m.E. das \vec V\otimes\vec\nabla einfach aus der Gleichung zu streichen. --Dogbert66 (Diskussion) 21:20, 7. Jan. 2015 (CET)
replies: text: Ja. Aber dann hat es nichts mehr mit dem Nabla-Operator zu tun, dem Thema dieses Artikels. --Digamma (Diskussion) 10:25, 8. Jan. 2015 (CET)
replies: text: H. Altenbach (2012), S. 43 benutzt den Nabla-Operator in "Eurem" Sinn: \nabla\otimes\vec{v}=\vec{e}_i\otimes\partial/\partial x_i \vec{v} und nennt das Gradient. Bei ihm ist aber auch auf S. 30 das Frobenius-Skalarprodukt von Tensoren als \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = Spur(\mathbf{A\cdot B}) definiert, was mit Wikipedia kollidiert. Da muss man erstmal über den Divergenzsatz bis zum Prinzip von d'Alembert alle Gleichungen prüfen. Oder wie soll man damit umgehen? Skurrile Definitionen einfach übernehmen (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = Spur(\mathbf{A\cdot B}) oder grad(\vec{v})=\vec{v}\otimes\nabla) oder die Gleichungen anpassen, so dass sie konsistent mit Wikipedia sind? Wäre das Theoriefindung? Altenbach (2012) ist ein Standardwerk! Die Kontinuumsmechanik ist noch nicht so weit ausformuliert, wie ich jetzt erst feststelle :/ --Alva2004 (Diskussion) 11:06, 8. Jan. 2015 (CET)
replies: text: Also ich würde nicht behaupten wollen, dass die Kontinuumsmechanik eine andere Mathematik verwendet, als der Rest der Welt. Die Altenbach-Notation \nabla\otimes\vec{v} ist aber sicher der (gibts da eigentlich eine Quelle??) unkorrekten Notation \vec{v}\otimes\nabla vorzuziehen. Bei Deiner Formel zum Frobenius-Produkt muss es sich um zwei verschiedene Produkte \cdot handeln, sonst ergibt das keinen Sinn; und wenn das so ist, verstehe ich nicht, was das mit der hiesigen Frage zu tun hat. --Dogbert66 (Diskussion) 13:24, 8. Jan. 2015 (CET)
replies: text:  Als Quelle könnte ich Dir meine Dissertation anbieten ;) Die - Deiner Meinung nach - unkorrekte Notation wurde auch nur zur Definition der Differentialoperatoren Divergenz, Rotation und Gradienten von Skalaren, Vektoren und Tensoren bentuzt (das geht sehr elegant, wenn man zulässt, dass der Operator im Produkt auch nach links wirken kann) und nicht zum Rechnen. In  ist wie in den Euler-Gleichungen \operatorname{grad}(\vec{a})=\vec{a}\cdot\nabla=(\vec{a}\operatorname{grad}). Letzteres ließ mich vom Glauben abfallen! Bei der Divergenz gibt es ein ähnliches Kuddelmuddel, was mich zusammen mit den Ungereimtheiten beim Skalarprodukt zur Einsicht bringt, dass die Definitionen und Notationen der Operatoren nicht einheitlich sind. Jeder Autor muss da selbst für Konsistenz sorgen. Das sollte imho im Artikel auch erwähnt werden und nicht so getan werden, als gäbe es da nur die eine Notation.--Alva2004 (Diskussion) 18:19, 8. Jan. 2015 (CET)
thread_title:  Kontinuumsmechanik 

message: Hallo, nachdem HilberTraum den Gradienten des Vektorfelds durch die Jacobi-Matrix ersetzt hat, stellt sich mir die Frage, ob die Notation so bleiben kann? In der Vektorrechnung wird das Skalarprodukt mit einem Punkt wie in \vec u\cdot\vec v geschrieben und entsprechend steht im Produkt des Vektorgradienten und einem Vektor ebenfalls ein Punkt \operatorname{grad}(\vec v)\cdot\vec H, weil es eigentlich ein Tensorprodukt ist. In der Matrix-Schreibweise wird das aber normalerweise so geschrieben: \vec{u}^\top\vec v bzw. J_{\vec v}\vec H mit den übereinstimmenden Komponenten der Matrix bzw. Tensors J_{\vec{v}ij}=\operatorname{grad}(\vec v)_{ij},\; i,j=1,\ldots n. Diese Ungereimtheit zieht sich - nicht erst seit meinen Beiträgen - durch den ganzen Artikel. Auf der Seite Matrix (Mathematik) kommt sowohl v^\top A w als auch v^\top\cdot A\cdot w vor. Ist das also kein Problem oder sollte da aufgeräumt werden? --Alva2004 (Diskussion) 09:24, 5. Jan. 2016 (CET)
replies: text: Ja, dass es da ziemlich durcheinander geht, ist mir auch schon aufgefallen, auch wenn ich mir nicht alle Formeln genau angeschaut habe. Ich denke, das Problem geht schon viel früher los, nämlich bei „Er kann dabei sowohl als Spalten-Vektor […] als auch als Zeilen-Vektor […] auftreten.“ Könnte man sich nicht da darauf festlegen, dass alle Vektoren Spaltenvektoren sind, und dafür überall auf Matrixmultiplikationen (und damit auf das Transponieren) verzichten? Also so, dass \cdot immer das Skalarprodukt ist und \otimes immer das Tensorprodukt. -- HilberTraum (d, m) 13:59, 5. Jan. 2016 (CET)
replies: text:  Ok, ich sehe gerade, dass sich bereits der Einleitungssatz auf Vektor- und Tensoranalysis bezieht. Wenn man mit Vektoren aus einem euklidischen Vektorraum rechnet, dann gibt es für die gar keine Transposition sondern nur Punkt- und Strichrechnung. Das dyadische Produkt liefert dann Tensoren und nicht Matrizen, d.h. den Vektorgradient und nicht die Jacobi-Matrix... Aber wie ist das in der ART in nicht euklidischen Vektorräumen? Darauf ziehlt ja die Bemerkung mit den Zeilen- und Spaltenvektoren ab!? Ich hätte kein Problem damit, nicht euklidische Vektorräume in einen eigenen Abschnitt abzuhandeln und den ganzen Artikel, zwecks Anschaulichkeit und Lesbarkeit, auf drei dimensionale euklidische Vektorräume zu beziehen! Auch n-dimensionale Räume könnten in einem Abschnitt kurz und bündig abgefackelt werden, anstatt das umgekehrt wie bisher mit dem drei dimensonalen zu tun. Ich weiß: Mathematiker lieben n-dimensionale Verallgemeinerung, aber die Anschaulichkeit sinkt damit auf null, die Notation bläht sich auf, und WP soll doch anschaulich und leicht lesbar sein! --Alva2004 (Diskussion) 16:13, 6. Jan. 2016 (CET)
thread_title:  Vektor und Matrix-Schreibweise