Diskussion:C*-Algebra

message: Nach Diskussion auf der Portalseite Baustein entfernt. --El. 11:20, 21. Aug 2006 (CEST)
thread_title:  Unverständlich... raus 

message: Es wird nicht ganz klar, ob die Antimultiplikativität
*\forall a,b\in A:(ab)^*=b^* a^* (anti-multiplikativ)
dazu gehört. Vielleicht ist sie auch eine Folge? S.a. Diskussion:Banachalgebra. --Nomen4Omen (Diskussion) 15:48, 3. Dez. 2012 (CET)
replies: text: Also Dixmier und Arveson fordern sie explizit, die englische Wikipedia tut es auch. --Chricho ¹ ² ³ 16:56, 3. Dez. 2012 (CET)

text: PS: Also kategorisch ausschließen, dass die Bedingung nicht benötigt wird, möchte ich nicht, da kenn ich mich zu wenig aus. Aber mit der Erwähnung sind wir auf der sicheren Seite; selbst wenn es folgern sollte, müsste das explizit im Artikel gesagt werden. --Chricho ¹ ² ³ 20:39, 3. Dez. 2012 (CET)
thread_title:  Definition und Eigenschaften 

message: Im Artikel steht, dass direkte Summen, direkte Produkte und induktive Limites mit der richtigen Wahl der Norm wieder C*-Algebren sind. Das scheint mir problematisch bis falsch zu sein.
Bleiben wir mal bei den induktiven Limites. In welcher Kategorie nehmen wir den Limes? In der Kategorie der C*-Algebren macht die Aussage keinen Sinn, dein in der Kategorie der C*-Algebren ist natürlich jedes Objekt eine C*-Algebra. Deshalb vermute ich, dass die Aussage so gemeint ist: Wir nehmen in der Kategorie der Vektorräume den (gewöhnlichen) direkten Limes und können dann auf diesem Limes-Vektorraum Multiplikation, Norm und Involution so wählen, dass das wieder eine c*-Algebra wird. Wenn die Aussage so gemeint ist, ist sie falsch, denn ein direkter Limes einer aufsteigenden Folge von endlichdimensionalen C*-Algebren ist abzählbar dimensional und nach dem Satz von Baire kein Banachraum, also erst recht keine C*-Algebra...
Ich könnte mir vorstellen, dass so etwas gemeint ist: Auf dem direkten Limes von C*-Algebren kann man immer eine Norm finden, sodass die Vervollständigung bezüglich dieser Norm wieder eine C*-Algebra ist. Diese könnte dann sogar gleich dem direkten Limes in der Kategorie der C*-Algebren sein, allerdings kenne ich mich damit nicht aus.
Wenn das stimmt und das gemeint ist, vermute ich, dass die direkten Summen (als Spezialfall von direkten Limites) damit auch erledigt sind, die direkten Produkte machen mir aber auch dann noch Bauchschmerzen, weil das (Vektorraum-)Produkt von unendlich vielen eindimensionalen C*-Algebren vermutlich zu groß ist, um eine C*-Algebra zu sein, d.h. da reicht es nicht aus, eine Norm zu definieren und bezgl. dieser zu vervollständigen, sondern da müsste man einen Unterraum auswählen...
Weiß jemand, wie diese Aussagen gemeint sind? Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 10:46, 11. Jan. 2013 (CET)
replies: text: Also wenn wir in der Kategorie der unitalen C*-Algebren sind, was ja keine allzu große Einschränkung ist, mit Algebrahomomorphismen als Morphismen, sind Limites recht einfach, Kolimites etwas mehr Aufwand (Websuche half). Tipp: Betrachte schau dir die entsprechenden (Ko-)Limites in der Kategorie der Banachräume (mit linearen Kontraktionen als Morphismen) an. Zum Produkt: Wir bilden das übliche (im kategorientheoretischen Sinne) Produkt von Banachräumen (das ist die \ell^\infty-Summe, also der Teilraum des Produktes von Vektorräumen, bei dem die Normen der einzelnen Komponenten beschränkt sind mit dem Supremum der Normen der Komponenten als Norm), statten es mit komponentenweiser Multiplikation und komponentenweisem *. Da bei unitalen C*-Algebren jeder Homomorphismus eine Kontraktion ist, gibt das kein Problem mit der universellen Eigenschaft (bei nicht-unitalen hätten wir Probleme, da für eine Familie von Homomorphismen die Operatornormen keine gemeinsame obere Schranke haben müssten) (Dixmier S. 8). Kerne/Egalisatoren gibt es offenbar auch. Damit haben wir schonmal Abgeschlossenheit der Kategorie gezeigt (es existieren beliebige Limites). Fürs Koprodukt und Koegalisatoren geht das aber nicht so einfach. Wenn man da die für Banachräume nimmt, verletzt man i. A. die C*-Eigenschaft und verliert die Unitalität. Habe es gefunden: Man kann das freie Produkt der Algebren mit passender Norm ausstatten und vervollständigen. Weiß aber nicht, wie die Konstruktion genau läuft. Was manche eine direkte Summe nennen, ist jedenfalls kein Koprodukt und auch nicht die algebraische direkte Summe und auch nicht die direkte Summe von Banachräumen, das müsste umformuliert werden. Kokerne/Koegalisatoren sollten immerhin gehen: Für den Kokern eines C*-Homomorphismus nehme man das vom Bild erzeugte beidseitige Ideal und teile dadurch den Kobereich. Ich denk nochmal drüber nach. Hab aber keine Ahnung von C*-Algebren… --Chricho ¹ ² ³ 11:18, 11. Jan. 2013 (CET)
thread_title:  Direkte Summen, Direkte Produkte und induktive Limites 

message: Das ist doch nicht richtig? Die sind äquivalent zu kompakten Räumen, oder täusche ich mich?
:OK, ich antworte mr mal selbst: Ich hatte kommutative C*-Algebren mit Eins im Sinn. Ohne Eins sind sie wohl äquivalent zur Kategorie der lokal-kompakten Räume - falls man nur Funktionen darauf betrachtet, die im unendlichen verschwinden (was ich grade etwas unintuitiv finde, aber wird ja später auch erwähnt). (nicht signierter Beitrag von 88.217.105.43 (Diskussion) 13:37, 12. Sep. 2014 (CEST)
thread_title:  Äquivalenz zu lokal-kompakten Räumen 

message: Im Artikel steht: "Da die starke Operatortopologie schwächer als die Normtopologie ist, sind die von-Neumann-Algebren auch in der Normtopologie abgeschlossen und daher insbesondere C*-Algebren." Was soll damit ausgesagt werden? Die starke Operatortopologie ist gröber als die Normtopologie und daher kann man zum Beispiel sagen, dass die Folgen/Netze, die in der Normtopologie Konvergieren, auch in der starken Operatortopologie konvergieren. Aber Aussagen in der starken Operatortopologie, funktionieren nicht automatisch in der Normtopologie. Vielleicht verstehe ich den Satz auch falsch.
Bemerkung: schwache Op.topologie ≤ starke Op.topologie ≤ Normtopologie. Was also in einer "größeren"/stärkeren Topologie gilt (Konvergenz, Offenheit einer Menge,...), gilt in der Regel auch in der "kleineren"/schwächeren Topologie. 
--Lumbadu (Diskussion) 22:32, 20. Sep. 2016 (CEST)
thread_title:  von Neumann-Algebra