Diskussion:Definitheit

message: Diesen Ansatz habe ich sonst nirgends gesehen, finde Ihn aber sinnvoll im Zusammenhang einer Minimasuche mittels Newtonverfahren. Allerdings finde ich den Teil mit  Diagonalstrategie mit n positiven Pivotelementen verwirrend, vielleicht wäre eine etwas ausführlichere Erläuterung schön oder vielleicht einen passender Link?
Auf welcher Grundlage lässt sich diese Aussage denn treffen?
--Odysseus76 15:32, 21. Jan 2006 (CET)
thread_title:  Gaußsches Eliminationsverfahren als Definitheitskriterium? 

message: In der aktuellen Version steht:
: Da sich jede Bilinearform (bzw. Sesquilinearform) auf einem endlichdimensionalen Vektorraum durch eine quadratische Matrix beschreiben lässt, ...
Stimmt das wirklich so formuliert?
...jede Bilinearform ... durch eine quadratische Matrix...
Nach meinem bisherigen Verständnis (bin aber noch nicht völlig durchgestiegen ;) sollte sich die Dimension der Matrix aus der Dimension der beiden beteiligten Vektorräume bilden. ( \langle v,w\rangle \mapsto v^T A w )
Wenn von "jeder Bilinearform" die Rede ist, dann ist die Dimension der Matrix nicht einschränkbar.
Positiv bzw. negativ definite Matrizen, um die es dann eigentlich geht, müssten allerdings symmetrisch (nicht nur quadratisch) sein, da die Definitheit einer Bilinearform auch ihre Symmetrie impliziert - und damit auch die Symmetrie der zugehörigen Matrix.
Außerdem könnte für Laien (wie mich) an dieser Stelle auch ein Link auf den folgenden Abschnitt im Matrix-Artikel hilfreich sein: Eigenschaften von Matrizen bzgl. ihrer Linearformen
--(Tobi)134.109.148.27 17:17, 19. Mär 2006 (CET)
replies: text: Bei Bilinearformen ist nur ein Vektorraum beteiligt, daher ist die darstellende Matrix quadratisch. Ein Beispiel für eine positiv definite Bilinearform, die nicht symmetrisch ist, ist die durch A=\left(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{matrix}\right) beschriebene auf dem R2. Den Link darfst du gerne einfügen, wenn du ihn für hilfreich hältst. --Glotzfrosch 22:34, 19. Mär 2006 (CET)
replies: text: A=\left(\begin{matrix}1 & 1/2 \\ 1/2 & 1\end{matrix}\right) eine äquivalente bilinearform zu A--172.176.108.26 22:33, 2. Okt 2006 (CEST)
thread_title:  Definitheit von Matrizen 

message: Das „Eine beliebige (ggf. symmetrische bzw. hermitesche) (n\times n)-Matrix A [...]“ ist eine seltsame Definition. Entweder beliebig oder symmetrisch. Was soll man sich unter der Voraussetzung gegebenenfalls vorstellen. Wenn einige Autoren Symmetrie voraussetzen und andere nicht, sollte man das klar und deutlich schreiben.--Sigma^2 (Diskussion) 00:14, 22. Sep. 2023 (CEST)
thread_title:  Definitionen 

message: das hauptminorenkriterium, was oft auf sylvester-kriterium genannt wird, wird manchmal auch als hurwitz-kriterium bezeichnet. ist diese letzte bezeichnung ueberhaupt richtig? das hurwitz-kriterium kann man z.b. auf Hurwitz-Kriterium#Hurwitz-Kriterium nachlesen oder in dem dort weiter unten verlinkten original-paper. die matrizen, auf die dort ein hauptminorenkriterium angewendet wird, haben eine ganz bestimmte gestalt. insofern sollte man das allgemeine hauptminorenkriterium nicht als hurwitz-kriterium bezeichnen. liege ich da falsch? -- seth 12:07, 12. Aug 2006 (CEST)
thread_title:  hurwitz-kriterium 

message: (positive)Definitheit wird eigentlich viel allgemeiner Definiert: 
f(x)>0 für alle x außer x=0 
Zum Beispiel: f(x1,x2)=x1^4+abs(x2) ist positiv definit.
f(x)=cos(x)-1 ist negativ semidefinit 
Bei Quadratischen Formen(bilinearformen) sind die Eigenwerte entscheidend. x
Wenn alle Eigenwerte von A >(≥) 0 positiv sind ist die  x' * A * x (semi) definit 
negativ analog, aber wenn mindestens je ein Eigenwert größer Null und einer kleiner 0 ist ist die Matrix indefinit.
Symmetrie spielt insofern (k)eine Rolle da man jede quadratische Matrix in einen symmetrischen und einen Schiefsymmetrischen Teil spalten kann.
A= (1/2A+1/2A) + (1/2A'-1/2A')=(1/2A+1/2A')+(1/2A-1/2A') 
M=(1/2A+1/2A') ist symmetrisch. M=M'
S=(1/2A-1/2A') ist schiefsymmetrisch S=-S'.
es gilt x'*(M+S)*x=x'*M*x+x'*S*x (linearität!)
nur der symmetrische Teil spielt in einer quadratischen Form eine Rolle ( der schiefsymmetrische Teil hebt sich in einer quadratischen Form auf(beweis durch beispiel ;-) )
[' bedeutet transponiert]
(Wenn ich LATex könnte gäbe es hier noch schönere Beispiele:)
Matlab A=[1,0,0;0,-1,0;0,0,1] ist symmetrisch aber weder positiv noch negativ definit. B=[0,a,b;-a,0,c;-b,-c,0] ist eine allgemeine schiefsymmetrische 3x3 Matrix mit x=(x;y;z) geht aus x'*B*x hervor: (-ay-bz,ax-cz,bx+cy)*(x;y;z)=-ayx-bzx+axy-cyz+bxz+cyz=0
-- Alex 172.176.108.26 22:24, 2. Okt 2006 (CEST)
thread_title:  Algemeinere Definition der Definitheit (sic!) 

message: .. eine Bilinearform eine Bilinearform auf \R^n oder eine Sesquilinearform auf \mathbb C^n. 
Bitte erklärt im Artikel aus welchem Körper die Einträge der Matrix jeweils stammen. Denn, für Sesquilinearformen ist mir das im Moment nicht klar.
EDIT: Und was bezeichnet x^H? Bitte Standardnotation verwenden oder Notation erklären. (nicht signierter Beitrag von 132.230.75.111 (Diskussion | Beiträge) 12:11, 2. Mai 2009 (CEST)
thread_title:  Jede quadratische Matrix beschreibt.. 

message: :* Für nicht-hermitesche Matrizen gilt das Kriterium nicht. Ein Beispiel dafür ist die indefinite Matrix \left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 2 & -1\end{smallmatrix}\right), deren Hauptminoren alle positiv sind.
Für nicht-hermitesche Matrizen ist dieser Begriff gar nicht definiert (und in diesem Falle erhalte ich auch nicht zwangsweise eine reelle Zahl als Ergebnis)--84.60.117.242 18:31, 31. Mai 2010 (CEST)
thread_title:  Bemerkung zu Hurwitz-Kriterium 

message: Ich hab die Voraussetzung der Symmetrie hinzufügt, sonst ist die Aussage falsch.
Gegenbeispiel:
(1 2)
(0 1)
Mit der Symmetrie stimmt die Aussage, wie bei:
http://books.google.de/books?id=REcwk9DUpowC&pg=PA58&lpg=PA58&dq=gau%C3%9Fsche+Eliminationsprozess+diagonalstrategie&source=bl&ots=1jl1J5OTPL&sig=biogn2KeFpFAGAfYdzTUV3ypxgs&hl=de&ei=MDJrTIPPJo7KjAeLxL2JAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CB4Q6AEwAQ#v=onepage&q=gau%C3%9Fsche%20Eliminationsprozess%20diagonalstrategie&f=false
gezeigt wird.
Den Link auf Diagonalstrategie (dessen Ziel es auch nicht gibt) hab ich entfernt und kurz erklärt, was gemeint ist.
Die "Math"-Formatierung bei "n Pivotelemente" hab ich herausgenommen, weil man das n sonst kaum lesen kann und die Formatierungen ja auch sowieso (Matrix A) im Artikel nicht einheitlich sind. Wichtig ist das deshalb, weil die Definitionen für Pivotelemente nicht einheitlich sind. (Die Frage ist halt, ob das letzte Element wirklich ein Pivotelement ist.
-- Blerfog 03:34, 18. Aug. 2010 (CEST)
thread_title:  Gaußsches Eliminationsverfahren 

message: Derzeit ist 'Definitheit' wie folgt organisiert:
Definitheit ist das Lemma für den Begriff 'Definitheit (Mathematik)'.
Definitheit (Linguistik) ist das Lemma für den Begriff 'Definitheit (Linguistik)'.
Dazu ein Zitat aus 'Wikipedia: Begriffsklärung':
"Dementsprechend ist das Modell 2 (bzw. 3) nur bei einer deutlich erkennbar vorhandenen Tendenz für ein Thema angebracht, üblicherweise ab einem Verhältnis von ungefähr 10:1."
Das ist hier entfernt nicht der Fall. Folglich sollte eine Begriffsklärungsseite 'Definitheit' angelegt werden, die auf die beiden genannten Begriffe verweist, mit neuem Lemma für 'Definitheit (Mathematik)'.
Ich hätte das gemacht; aber ich weiß nicht, wie ich den Eintrag Definitheit sei es zu einer BKS umfunktioniere, sei es in Definitheit (Mathematik) umbenenne.
--Ch. Lehmann (Diskussion) 11:02, 10. Jan. 2014 (CET)
replies: text: Definitheit ist ein zentraler Begriff in der deskriptiven und induktiven Statistik als Eigenschaft jeder Kovarianzmatrix. Damit wird er in jeder empirisch arbeitenden Wissenschaft verwendet, zusätzlich in der Mathematik. Ich denke, dass dagegen eine linguistischer Fachbegriff erheblich weniger allgemeine Bedeutung hat. Das jetzige Modell mit Begriffsklärungshinweis scheint mir angemessen zu sein. --Sigma^2 (Diskussion) 19:26, 21. Sep. 2023 (CEST)
thread_title:  Zum Begriffsklärungshinweis