Diskussion:Stetige Funktion/Archiv

message: Soll diese Seite nach Stetigkeit verschoben werden? Der Zusatz "(Mathematik)" macht ohne Begriffsklärungsseite keinen Sinn und mir fallen keine weiteren Bedeutungen von Stetigkeit ein, die einen Wikipedia-Artikel verdienen. --Caramdir 20:02, 3. Okt 2003 (CEST)
replies: text: Ich bin dafür. Mir fällt keine andere Bedeutung ein (übrigens auch nicht für den von mir unter überflüssig langem Namen erstellten Artikel Körpererweiterung (Mathematik)). Falls eine weitere Bedeutung auftaucht, kann man es wieder umbenennen. --SirJective 14:35, 4. Okt 2003 (CEST)
replies: text:  Ok, hab die zwei Artikel verschoben. --Caramdir 11:20, 11. Okt 2003 (CEST)
thread_title:  Verschiebung nach "Stetigkeit" 

message: Soweit ich mich erinnern kann, gilt die Äquivalenz zwischen Folgenstetigkeit (das ist das was im Kriterium steht) und der Stetigkeit nur wenn ein paar Zusatzbedingungen erfüllt sind. Stefanwege 18:48, 7. Jul 2004 (CEST)
replies: text: Üblicherweise gilt die Äquivalenz im metrischen Raum, man kann das noch etwas erweitern, aber kommt dabei auf Begrifflichkeiten, die kaum in einer Grundvorlesung zur Analysis behandelt werden. Es sollte ein Hinweis im Abschnitt über allgemeine topologische Räume rein.--LutzL 08:53, 13. Jun 2005 (CEST)

text: Da steht doch im Artikel direkt darüber, dass es sich um zwei äquivalente Definitionen handelt. Bei einer Definition ist ein genau dann nicht erforderlich. --188.100.230.79 17:09, 16. Feb. 2011 (CET)
thread_title:  Folgenkriterium 

message: Hallo
Ich habe eine Funktion von R nach R^n und die Funk. ist einmal stetig diff-bar,d.h. gehört zu C^1. Ist dann die Funktion Lipschitzstetig? (nicht signierter Beitrag von 84.128.161.127 (Diskussion | Beiträge) 23:14, 13. Jul. 2004 (CEST)
replies: text: Die Überschrift scheint mir eine andere Frage zu beinhalten, als die Frage "stetig diffb. => Lipschitz.stet.". Wenn die Abb. von einer abgeschlossenen Teilmenge von R nach R^n geht, dann bin ich mir ziemlich sicher, dass die Funktion dann auf diesem Intervall auch Lipschitz-stetig ist, da man einfach das supremum |f'(x)| als Lipschitz-Konstante wählen kann. Bei offenen Intervallen wäre ich da sehr vorsichtig, z.B. sqrt(x) auf (0,1) ist stetig diffbar, aber meines Wissens nicht Lipschitz-stetig. -- mkrohn 10:39, 14. Jul 2004 (CEST)
replies: text:  als ergaenzung: aus f stetig differenzierbar folgt f lokal Lipschitz-stetig. --seth 22:51, 12. Aug 2004 (CEST)

text: Inzwischen sind dazu unter dem Abschnitt Stetigkeit#Andere_Stetigkeitsbegriffe ja einige Beispiele. --Martin Thoma 11:14, 24. Sep. 2012 (CEST)
thread_title:  Folgt von Stetigkeit Lipschitzstetigkeit? 

message: Ich bitte darum, nicht gleich einen eigenen Artikel zum "Epsilon-Delta-Kriterium" zu schreiben, sondern es in diesem Artikel zu erklären - immerhin ist es die üblichste Definition der Stetigkeit, die man auch in der Schule lernt usw.
Etwas kurzes zur Lipschitz-Stetigkeit wäre natürlich auch toll ;-)
--zeno 15:03, 2. Mai 2003 (CEST)
replies: text: Lipschitz-Stetigkeit: erledigt… MikeTheGuru 18:50, 24. Mai 2004 (CEST)

text: Inzwischen unter Lipschitz-Stetigkeit. --Martin Thoma 11:02, 24. Sep. 2012 (CEST)

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thread_title:  Epsilon-Delta/Lipschitz 

message: Ich finde das Wort "Spezialfall" ungünstig gewählt, ich stelle mir darunter Beispiele vor, wie der Stetigkeitsbegriff in speziellen Fällen aussieht, nicht einen stärkeren Begriff. Wie wäre es mit "Andere Stetigkeitsbegriffe"?--Gunther 10:51, 2. Mär 2005 (CET)
replies: text: Verschärfung des Stetigkeitsbegriffes, oder einfach nur ein Verweis zur gleichmäßigen-, Lipschitz-,und alpha-Hölderstetigkeit. (nicht signierter Beitrag von 82.83.244.105 (Diskussion | Beiträge) 18:52, 3. Jan. 2006 (CET)
replies: text: und ich schlage noch sonderfaelle oder sonderfaelle der stetigkeit vor, wobei dagegen wohl immer noch Gunthers einwand spricht, oder? --seth 23:03, 3. Jan 2006 (CET)

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thread_title:  "Spezialfälle" der Stetigkeit 

message: Es mag ja sein, dass die vandalierte Definition korrekt ist, aber verständlich ist sie nicht. Zumindest die Quantoren sollte man ausschreiben.--Gunther 22:40, 14. Mai 2005 (CEST)
replies: text: Hast recht, - bin aber dafür, dass die Definition an sich erhalten bleibt und ein (d.h. eine Funktion ist stetig...) bekommt. Tom1200 23:22, 14. Mai 2005 (CEST)
replies: text:  Ich glaube mit den zusätzlichen Punkten kann man es nun so stehen lassen. Die erste Definition ist recht elegant wenn man verstanden hat wie der Limes von Funktionen definiert ist; leider habe ich aber in der Wikipedia keine saubere Definition gefunden (nur über Folgen). Tom1200 16:54, 15. Mai 2005 (CEST)

text: Im einfachsten Fall reeller Funktionen (f: \R\to\R) ist "Umgebung" ein "Intervall". z.B. y=f(x)=2x, p=1, f(p)=2. Eine Umgebung V von 2 ist z.B. das (offene) Intervall (1,8; 2,2). Nun sucht man eine Umgebung U von 1, dessen Bild ganz in V hineinpasst, also etwa das Intervall (0,95; 1.05). Gilt 0,95 \leq x \leq 1,05, so gilt  1,9 \leq  2x \leq 2,1, das Bild (1,9; 2,1) liegt also ganz innerhalb von V=(1,8; 2,2). Alles klar? --NeoUrfahraner 09:33, 15. Sep. 2008 (CEST)

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thread_title:  Definition 

message: bezueglich des weblinks  moechte ich auf die diskussion (aeh, sorry, dass ich es schon so nenne, obwohl es bisher eher ein monolog ist) Wikipedia_Diskussion:Weblinks/Archiv2#extremisten-seiten aufmerksam machen. --seth 00:05, 4. Jan 2006 (CET)
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thread_title:  weblinks 

message: Mir fehlen trennende Bespiele (eine Gegenüberstellung) für:
* nicht-reelle stetige Funktion
* nicht-reelle unstetige Funktion
* reelle stetige Funktion
* reelle unstetige Funktion
und sehe mich außer Stande. Gruß --Chrisqwq 18:10, 12. Jun 2006 (CEST)
replies: text: Mir ist nicht klar, was Du willst. Meinst Du mit "nicht-reelle Funktion" einfach irgendetwas, das halt nicht \R\to\R ist? Meinetwegen kannst Du das Signum auf \mathbb Q einschränken, genügt das schon? Oder soll es eine "sinnvolle" Funktion sein?--Gunther 18:13, 12. Jun 2006 (CEST)
replies: text:  achja, war das so: Alle stetigen Funktionen sind reell! ? Dann suche ich also nur beipsiele für die rellen unstetigen Fuktionen. Die fehlen im Artikel --Chrisqwq 18:31, 12. Jun 2006 (CEST)
replies: text: Die Signumfunktion ist drin. Eine Funktion, die überall unstetig ist, ist irgendwie nicht besonders spannend. --P. Birken 18:53, 12. Jun 2006 (CEST)

text: @Chris: das klingt nach einem Missverständnis. Nein, nicht jede stetige Funktion ist reell (und auch keine andere der Implikationen wäre richtig). Mir leuchtet nur die Unterteilung in reelle und "nicht-reelle" Funktionen nicht ein.--Gunther 10:54, 13. Jun 2006 (CEST)

text: Richtig, ich dachte vieleicht noch an ein Beispiel aus der Schulmathematik, y=1/x ? --Chrisqwq 19:01, 12. Jun 2006 (CEST)
replies: text: Die ist doch als Beispiel angegeben? --P. Birken 19:42, 12. Jun 2006 (CEST)
replies: text: Wir sollten uns auf reelle Funktionen beschränken. Ansonsten wäre die Funktion von {a,b,c} auf {x,y,z} versehen jeweils mit der diskreten Topologie, egal wie sie aussieht stetig, weil jede Funktion zweier diskreten Topologien stetig ist. Es reicht sogar, dass die  Urbildmenge mit der diskreten Topologie versehen ist. Aber das ist wohl nicht das was wir wollen. Ansonsten habe ich weiter oben schon einige interessante Beispiele angegeben:
* 1_\mathbb{Q} (x) := \begin{cases}1& falls \;x \in \mathbb{Q}\\ 0& sonst \end{cases} Ist an keiner Stelle stetig
* f(x) := \begin{cases}\frac{1}{q}& falls \;x = \frac{p}{q}\in \mathbb{Q}\setminus\{0\}, \operatorname{ggT} (p,q)=1\\ 0& sonst \end{cases} Ist an allen rationalen Stellen außer 0, unstetig, sonst überall stetig
* g(x) := \begin{cases}x\sin(\frac{1}{x})&falls\;x\ne0\\0&sonst\end{cases} ist überall stetig, auch in der 0, läßt sich aber in der Umgebung der 0 nicht mehr zeichnen, da es undendlich viele "Schwankungen" gibt
* h(x) := \begin{cases}\sin(\frac{1}{x})&falls\;x\ne0\\C&sonst\end{cases} ist stetig, bis auf die 0. Egal, wie C gesetzt wird, die Stelle ist nicht stetig zu machen.
@P.Birken: Richtig, die beiden oberen Funktionen sind für nichts nütze und weiter nicht zu gebrauchen. Aber sie zeigen auf, dass es auch Funktionen gibt, die nirgends stetig sind. Weiter oben haben ich dargelegt, dass sogar die meisten Funktionen so sind und dass sie überhaupt nicht definierbar sind. Als Beispiele taugen sie durchaus, wenn sie auch nicht so Omatauglich sind wie die Signumfunktion. Aber die will ja auch niemand aus den Beispielen streichen.
@Gunther: Stimmt, das Verhalten der Funktion h(x) in der Umgebung der 0, kann man nicht als springen bezeichnen. Es gibt halt Funktionen, die man nicht mit einem Bleistift zeichnen kann, und deshalb, und nur deshalb, stimmt die naive Definiton nicht. --Schnitte 11:56, 22. Aug 2006 (CEST)

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thread_title:  Beispiele 

message: ich finde die Äquivalenz der Stetigkeitsbegriffe würde hier noch schön dazu passen. Oder ist das zu offensichtlich? Wenn jemand mag kann er's ja schreiben :-) (nicht signierter Beitrag von 88.66.54.163 (Diskussion | Beiträge) 22:03, 3. Okt. 2007 (CEST)
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thread_title:  Beweis "Äquivalenz der Stetigkeitsbegriffe" 

message: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Stetigkeit&diff=40901157&oldid=39321531 Die Behauptung in Schul-Formelsammlungen, die reelle Kehrwert-Funktion f: x\mapsto 1/x sei im Punkt x=0 unstetig, ist falsch, da sie bei x=0 gar nicht definiert ist. Welche Schul-Formelsammlung behauptet das? --NeoUrfahraner 10:32, 8. Jan. 2008 (CET)
replies: text: Ich hab's jetzt auf den unstrittigen Teil gekürzt. --NeoUrfahraner 14:45, 8. Jan. 2008 (CET)

text: Hi, dies ist Wikipedia. Solche wohlbegründbaren Probleme darf man auch selbst sofort beheben. Sollte jetzt besser aussehen.--LutzL (Diskussion) 17:12, 9. Apr. 2013 (CEST)

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thread_title:  1/x 

message: Bei der Definition der Stetigkeit mit Folgen ist ein grober Fehler. Es fehlt der Zusatz, dass 2) für alle Folgen x_n auf D gelten muss. Sonst kann man z.B. mit dieser Definition ganz Leicht die Stetigkeit der Heavyside Fkt zeigen.. (nicht signierter Beitrag von 89.48.233.38 (Diskussion | Beiträge) 08:44, 19. Mai 2008 (CEST)
replies: text: Danke für den Hinweis, ich habs korrigiert. --P. Birken 09:15, 19. Mai 2008 (CEST)
replies: text: Hm, das gefällt mir so nicht. Es war vorher richtig. Es geht um den Grenzwert: \lim_{x\rightarrow x_0}f(x). Bei dieser Notation muss man nicht explizit betonnen, dass alle Folgen konvergieren müssen. Wenn man in der Folgenterminologie bleiben möchte, dann wäre die Notation für alle (x_n)_{n\in\mathbb{N}}:\ x_n\rightarrow x_0 angebracht. Welche Variante gefällt euch besser? --Alexandar.R. 09:42, 19. Mai 2008 (CEST)
replies: text: Man sollte vielleicht die Erläuterung noch ausführlicher machen, als sie jetzt nach meiner Änderung ist.--LutzL 10:00, 19. Mai 2008 (CEST)

text: Ist nicht sogar \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) eine allgemeine symbolische Notation für "Stetigkeit im Punkt x_0", die dann mittels eps-delta oder Folgen erklärt wird?--LutzL 10:08, 19. Mai 2008 (CEST)
replies: text: Ja. Grenzwert (Funktion) und Stetigkeit sind eng miteinander verwandt. Ich habe es nochmals umformuliert, vielleicht wird's jetzt klarer. --NeoUrfahraner 21:50, 19. Mai 2008 (CEST)

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thread_title:  Fehler in der Folgendefinition 

message: Die Stetigkeit ist ein Konzept der Mathematik? Wer hat denn diesen Unfug hier verfasst???
Es ist nicht zu fassen, auf welchem bodenlosen Wissenniveau dieser "Artikel" steht. Dieser Artikel ist nicht nur falsch, er lässt auch mindestens die Hälfte weg. Unglaublich! --79.212.188.157 03:13, 8. Jul. 2010 (CEST)
replies: text: Konzept ist evtl. aus dem Englischen herübergerutscht und sollte besser Begriff heißen. Konzept wird im Deutschen eher im Sinne von Entwurf benutzt. Bitte lösche den Rest Deines Diskussionsbeitrages oder unterfüttere Deine Beleidigungen mit konkreten Fehlern bzw. Auslassungen des Artikels.--LutzL 11:53, 8. Jul. 2010 (CEST)
replies: text: Falls der Autor des Diskussionsbeitrags darauf hinweisen will, dass "Stetigkeit" auch Außerhalb der Mathematik verwendet wird: Ich habe mal einen BKH mit einem Verweis auf Kontinuität angebracht. -- Digamma 13:23, 8. Jul. 2010 (CEST)

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thread_title:  "Die Stetigkeit ist ein Konzept der Mathematik" - Wie bitte????? 

message: Ich kenne den Sachverhalt nur unter der Bezeichnungen "stetige Fortsetzung". So steht es z.B. bei Querenburg  und bei Barner; Flohr Analysis I. --Digamma (Diskussion) 15:58, 15. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Mir kommt "stetige Fortsetzbarkeit" auch gebräuchlicher vor. Das mit dem roten Buchstaben halte ich für gut gemeint, aber ungewöhnlich. Natürlich identifiziert man gelegentlich verschiedene Funktionen, z.B. wenn sie sich nur auf einer Menge vom Maß 0 unterscheiden. Aber im Zusammenhang mit der Definition der Fortsetzbarkeit schreibt man es normalerweise schon sauber auf (so z.B. auch die englischsprachigen Kollegen). Den Satz mit der Regel von de L'Hôpital würde ich rausnehmen, der ist m.E. POV. --Grip99 00:31, 16. Apr. 2012 (CEST)

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thread_title:  "Stetige Ergänzung" 

message: Gleich zu Beginn des Artikels wird darauf aufmerksam gemacht, dass Stetigkeit "insbesondere heißt, dass in den Funktionswerten keine Sprünge auftreten". Es gibt aber stetige Funktionen, die Sprünge aufweisen. 
Beispiel: 
f: Q -> R, f(x) = 1 (falls x > wurzel von 2), f(x) = 0 (sonst) 
Dann kann man sich jeder reellen Zahl von beiden Seiten so nah nähern, dass die Näherung den selben Funktionswert hat. 
Nach Definition der Stetigkeit ist die Funktion dann stetig
lim x -> x0 f(x) = f(x0)
Diese Funktion hatte in der Mathevorlesung eine Diskussion ausgelöst. 
Die Lösung stammt mündlich von Prof. Dr. Rudolph (nicht signierter Beitrag von Ede1992 (Diskussion | Beiträge) 15:36, 2. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Hi, diese Funktion ist eine oft gebrauchte Übungsaufgabe. Die Sprungstelle gehört gar nicht zum Definitionsbereich, genausogut könnte man die Signumfunktion auf IR/{0} betrachten, diese ist auch auf ihrem Definitionsbereich stetig. In der Einleitung/Motivation wird aber von Funktionen ausgegangen, die auf ganz IR oder einem Intervall darin definiert sind.--LutzL (Diskussion) 15:48, 2. Aug. 2012 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 07:05, 31. Mär. 2019 (CEST)
thread_title:  Sprünge in stetigen Funktionen 

message: Hallo zusammen,
ich habe gerade mal wieder ein Bild mit LaTeX erstellt, das in diesen Artikel passen könnte:
Ich weiß gerade nicht, wo das im Artikel gut passen würde. 
Falls ihr Verbesserungsvorschläge habt, sind diese wie immer willkommen.
Ach ja: Ihr könnt mir übrigens auch Bildwünsche schreiben: Benutzer:MartinThoma/Visualisierungen
Vielleicht sollte ich das im Portal:Mathematik nochmals bekanntgeben.
Grüße, --Martin Thoma 10:19, 24. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Das Bild gefällt mir. Leider finde ich im Artikel keinen Abschnitt, wo es passen könnte. 
--Digamma (Diskussion) 16:50, 24. Sep. 2012 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 07:06, 31. Mär. 2019 (CEST)
thread_title:  Bilder 

message: Unter "Wichtige Sätze über stetige Funktionen" wäre interessant, wann/ wie von komponentenweiser Stetigkeit auf Stetigkeit geschlossen werden kann. --Van Tuile (Diskussion) 11:35, 7. Jan. 2013 (CET)
replies: text: Das steht jetzt bei Stetige Funktion#Stetigkeit für Funktionen mehrerer Variablen.—Godung Gwahag (Diskussion) 07:08, 31. Mär. 2019 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 07:08, 31. Mär. 2019 (CEST)
thread_title:  Komponentenweise Stetigkeit 

message: Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden: ... wenn der Graph der Funktion f ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Also ich habe dieses Beispiel noch nie gehört und streng genommen ist es zudem auch einfach irreführend. Als einfaches Beispiel f(x)=1/x, diese ist in 0 nicht unstetig, sondern nicht definiert, was im weiteren Text des Artikels ja auch erläutert wird. Die alltägliche Vorstellung von Stetigkeit stimmt mit der mathematischen halt nicht überein, das Stift-Beispiel sorgt meiner Meinung nach nur für mehr Verwirrung. Oder nicht?  --91.7.207.44 23:33, 9. Nov. 2013 (CET)
replies: text: Siehe oben, Diskussionen von April 2010 und Juni 2005. Das mit dem Stift funktioniert nur, genaugenommen, für Lipschitz-stetige Funktionen über einem Intervall. Es ist halt die einfachste, naive Anschauung, die auch eine intuitive Rechtfertigung des Zwischenwertsatzes liefert. Technische Spitzfindigkeiten gehören zur exakten, formalen Definition.--LutzL (Diskussion) 11:01, 10. Nov. 2013 (CET)

text: Und nach Kontrolle im Artikel steht und stand auch genau das da: Eine Funktion über einem Intervall, was Definitionslücken in diesem Intervall ausschließt.--LutzL (Diskussion) 11:04, 10. Nov. 2013 (CET)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 07:08, 31. Mär. 2019 (CEST)
thread_title:  Stift-Beispiel 

message: Ich weiß nicht, ob das Epsilon-Delta-Kriterium die optimale Wahl für die Stetigkeitsbestimmung ist, jedoch ist es mir ein Dorn im Auge, dass man dieses für alle Epsilon beweisen muss, und nicht nur für alle α ≥ ε > 0 bzw. α > ε > 0 (wobei α>0 frei wählbar ist)
Aus mathematischer Sicht wäre das derart abgeschwächte Epsilon-Delta ja immer noch äquivalent zum normalen Epsilon-Delta. (nicht signierter Beitrag von 132.187.253.33 (Diskussion) 00:42, 26. Okt. 2016 (CEST)
replies: text: Nun ja, da die beiden Versionen äquivalent sind, reicht es natürlich die anscheinend schwächere Version zu beweisen. Was gegen die "abgeschwächte" Version spricht, ist, dass ihre Formulierung komplizierter ist. --Digamma (Diskussion) 15:51, 26. Okt. 2016 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 07:09, 31. Mär. 2019 (CEST)
thread_title:  Einschränkung von Epsilon in Epsilon-Delta-Kriterium 

message: Der Ansatz, mit der Anschauung zu beginnen, ist an sich ja gut. Ersetzt man aber Definitionen durch die Anschauung, dann kommen Aussagen heraus, die bestenfalls nur einen Teil der Fälle abdecken und schlechtestenfalls falsch sind:
* Stetige Funktionen haben eine zusammenhängende Kurve als Graphen. Das dürfte auf einem abgeschlossenen Intervall richtig sein, ist aber insofern nicht so anschaulich, wie es klingt, als der Begriff einer zusammenhängenden Kurve auch definiert sein will, und die Definition ist deutlich schwieriger als die einer stetigen Funktion.
* Ihr Graph lässt sich ohne abzusetzen zeichnen. Zeichnen lassen sich aber nur rektifizierbare Kurven, sonst wird unendlich viel Bleistift verbraucht. Nicht jede stetige Funktion ist rektifizierbar.
* Der Graph verläuft an keiner x-Position absolut parallel zur y-Achse. Die dritte Wurzel ist ein Gegenbeispiel: sie verläuft bei x=0 absolut parallel zur y-Achse, die dort Tangente ist. Gemeint ist: an keiner x-Position ist ein Stück einer Länge >0 parallel zur y-Achse. Das hat aber mit Stetigkeit gar nichts zu tun: verliefe ein Stück parallel, so schlachtet das nicht nur die Stetigkeit, sondern auch die Eigenschaft, überhaupt eine Funktion zu sein (wird auch kurz darauf so erklärt).
Alle anschaulichen Erklärungen, die Unstetigkeitsstellen mit Sprüngen und Nicht-Differenzierbarkeitsstellen mit Knicken assoziieren, machen nur Sinn, wenn diese Stellen isoliert liegen, d.h. dass es in jedem Intervall nur endlich viele von ihnen gibt. Wenn die Sprünge aber dicht liegen, sieht man sie nicht mehr.
Die Definition unmittelbar unter der Überschrift „Stetigkeit einer Funktion“ ist Quatsch, selbst wenn sie so in den angeführten Büchern stehen sollte. Wenn x=a, dann ist für jede Funktion f(x) genau dann definiert, wenn f(a) definiert ist, und falls ja, ist f(x)=f(a). Also ist jede Funktion dort undefiniert oder stetig – das kanns nicht sein. Ein Grenzwert, von dem die Rede ist, kommt ja in der Definition überhaupt nicht vor.
Und nein, die „meisten“ Funktionen sind nicht stetig, wieso sollten sie? Die meisten Funktionen, die man als arithmetische Ausdrücke mit den Grundrechenarten, dem Absolutbetrag und den (meist fast überall stetigen) elementaren Funktionen zusammenbasteln kann, werden mindestens stückweise stetig sein, klar. Aber das sind nicht die meisten Funktionen. Hier hat vielleicht wieder die Anschauung einen Streich gespielt, indem als Funktion nur anerkannt wird, wovon sich der Graph zeichnen lässt und wofür es eine geschlossene Formel gibt. --Lantani (Diskussion) 23:45, 7. Mär. 2019 (CET)
replies: text: Zu ergänzen wäre noch: Sprungstellen sind nicht die einzigen Arten von Unstetigkeitsstellen. --Digamma (Diskussion) 14:51, 11. Mär. 2019 (CET)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 07:10, 31. Mär. 2019 (CEST)
thread_title:  Wenn die Anschauung die Definitionen ersetzt, wirds falsch. 

message: Was mir an der Seite nicht gefällt: Die "Mutter aller Stetigkeitsbegriffe", nämlich "Urbilder offener Mengen sind offen", wird per Link weggezoomt nach Stetigkeit (Topologie), wie wenn dies eine etwas schmutzige Art, Stetigkeit zu betrachten wäre. Stattdessen stehen hier "Wichtige Sätze über stetige Funktionen" (von denen es noch ca. 1.000 mehr als die hier genannten gäbe), die ich in dieser Seite allenfalls als Link-Liste anlegen würde. Wie seht Ihr das?--JFKCom 22:11, 22. Aug 2005 (CEST)
replies: text: Ich fühle mich noch nicht verstanden. Dies ist das Lemma Stetigkeit, und hier drin gehört für mich der fundamentalste Stetigkeitsbegriff überhaupt in jedem Falle rein (dass der Schüler nicht mit Topologie geplagt werden soll, sehe ich ja auch so. Das ist aber eine Frage des Seitenaufbaus hier). "Wichtige Sätze über stetige Funktionen" gehören stattdessen per Link weggezoomt, da dies eine (relativ willkürliche) Auswahl von weiter vom Thema wegführenden Aspekten ist.--JFKCom 12:45, 24. Aug 2005 (CEST)
replies: text:  Wie wäre es mit Stetigkeit und Stetigkeit reeller Funktionen?--Gunther 15:11, 24. Aug 2005 (CEST)

text: Antwort: Ich wollte gerade auch den gleichen Vorschlag wie Gunther machen. Stetigkeit (Topologie) mach Stetigkeit verschieben, in der Einleitung die anderen Stetigkeiten aufzählen und dann noch ein spezieller Artikel Stetigkeit reeller Funktionen. --Squizzz 15:15, 24. Aug 2005 (CEST)
replies: text: Hmm...aber der Artikel über die Stetigkeit reeller Funktionen würde dann ja fast aus den ganzen Sätzen bestehen. Ich mein so viele Sätze sinds ja eh nicht, ich fänds besser die einfach einzelne Artikel dazu zu machen, was ja teilweise schon der Fall ist. Allerdings sollten die Definitionen alle im Artikel Stetigkeit bleiben, da die topologische Defintion ja schon sehr abstrakt ist. Haize 18:07, 24. Aug 2005 (CEST)

text: Wie wär's mit folgendem Aufbau (Skizze, muss noch nicht vollständig sein):
*Intro: Die leicht verdauliche Einleitung f. "Oma"
*1. Einstieg: Stetigkeit bei reellen Funktionen
*1.1 Definitionen der Stetigkeit
*1.1.1 eps/delta
*1.1.2 Limes-Def
*1.2 Anschauliche Interpretation (evtl.)
*1.3 Eigenschaften (hier aber kurz erwähnen, da diese im Kap. 2 nochmals kommen; Beispiele: f+g,\,f\cdot g,\,f\circ g,\dots
*1.4 Beispiele
*2. Abstrakter Zugang: Stetigkeit in top. Räumen
*2.1 Definition (das berühmte "Urbilder off. Mengen sind offen")
*2.2 Erste Eigenschaften (z.B.: äquivalente Formulierungen zur Def wie "Urbilder abg. Mengen sind abgeschlossen", f\circ g ist stetig)
*3. Stetigkeitskriterien in speziellen Räumen (dabei jedes Unterkapitel evtl. mit Beispielen versehen)
*3.1 (spez. top. Räume T_i, z.B. "Urbilder v. Umgebungen sind Umgebungen", "Bilder konvergenter Filter sind konvergente Filter" etc.)
*3.2 Metrische u. normierte Räume, R^n (darin z.B.: Folgenkonvergenz, Stetigkeit von f+g)
*3.3 Gruppen, Ringe, Körper, angeordnete Körper, R, C: Mit Hinweis, dass die in 1.1 gegebenen Definitionen eigtl. Folgerungen aus 2.1 darstellen
*4. Wichtige Sätze über stetige Funktionen (dies mehr als lockere Link-Liste, in der jeder wichtige Satz hier so kurz wie möglich angerissen wird; Rest kann der Leser durch Linkverfolgung erreichen)
*5. Andere Stetigkeitsbegriffe: Lipschitz-Stetigkeit etc., d.h. alles, was kein "klassischer", sondern ein andersartiger spezieller Stetigkeitsbegriff ist.
*6. Weblinks etc.--JFKCom 18:56, 24. Aug 2005 (CEST)

text: gudn tach! ich persoenlich faend zwar die reihenfolge 2,3,1,4,5,6 "fliessender", aber im hinblick auf die vielen nicht-mathematiker, die sich wohl bei der von JFKCom vorgeschlagenen reihenfolge besser zurechtfinden wuerden, halte ich jenen vorschlag fuer sinnvoll. wenn der artikel dadurch aber gar zu lang wird, halte ich die schon vorgeschlagene aufteilung in mehrere artikel fuer noch vernuenftiger. also in etwa die teile 2 und 3 in Stetigkeit und der groesste teil des restes in Stetigkeit reeller Funktionen --seth 22:50, 24. Aug 2005 (CEST)
replies: text: Antwort: Angesichts der Länge der beiden jetzt schon bestehenden Artikel plädiere ich auch für eine Aufteilung. --Squizzz 10:31, 25. Aug 2005 (CEST)
replies: text:  Bei der Aufteilung sehe ich ein Abgrenzungsproblem: Beispielsweise funktioniert der ε-δ-Begriff für lineare Operatoren zwischen normierten Räumen noch problemlos, für allgemeinere Räume jedoch nicht mehr. Die Aufteilung sollte möglichst klar definiert sein und später nicht mehr geändert werden: Ständig irgendwelche Links umzubiegen ist Zeitverschwendung. Vielleicht ist es deshalb wirklich besser, bei "ein Begriff = ein Artikel" zu bleiben und Spezialthemen konsequent auszulagern, um den Umfang des Artikels in vernünftigen Grenzen zu halten.--Gunther 10:45, 25. Aug 2005 (CEST)
replies: text: da stimme (wohl nicht nur) ich dir voellig zu. allerdings bleibt noch zu klaeren, was "spezialthemen" sind. aus mathematischer sicht kann man die stetigkeit reeller funktionen durchaus als spezialthema bezeichnen, aber aus enzyklopaedischer (oder wie man es nennen mag) sicht koennte man die stetigkeit reeller funktionen vielleicht gerade als den hauptbestandteil der sache bezeichnen. (ich waehlte dieses beispiel absichtlich, da du diesen aufteilungsvorschlag selbst mal hervorbrachtest und ich ihn fuer sinnvoll erachte.)--seth 22:32, 3. Jan 2006 (CET)

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thread_title:  Fundamentalkritisches zum gesamten Seitenaufbau 

message: 1. der Abschnitt ist eher passend in einem Artikel 'differenzierbarkeit' 
2. der Raum der stetigen Funktionen ist C^0(D)  -- dschreiber 00:21, 14. Jan. 2010 (CET)
replies: text: C(D) bedeutet dasselbe wie C^0(D), oft wird die 0 weggelassen. --Tolentino 07:44, 14. Jan. 2010 (CET)
replies: text: Bei 1. würde ich dschreiber allerdings zustimmen.--Grip99 16:22, 14. Jan. 2010 (CET)
replies: text: Zumindest wäre so ein Abschnitt zu "Räumen differenzierbarer Funktionen" in Differentialrechnung gut aufgehoben. Weglassen würde ich die Definition von C(D) und C^1(D) hier aber nicht. Bei C^\infty kann man sich dann streiten. --P. Birken 17:07, 16. Jan. 2010 (CET)

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thread_title:  C(D) 

message: Es gilt ja |\{f\colon\R\to\R|f\text{ stetig}\}| = |\R| (jedenfalls wenn man CH für wahr hält), was ein wenig überraschend sein kann. (Ich persönlich hab' das erst vor ein paar Monaten mal bewusst wahrgenommen.) Sollte das vielleicht an prominenter Stelle erwähnt werden? Oder steht etwas in der Richtung schon irgendwo? Oder ist das langweilig?
(Interessant find' ich das auch deshalb, weil |\{f\colon\N\to\N | f\text{ berechenbar}\}| = |\N| und Scott-Topologie etwas mit Berechenbarkeit zu tun hat (wie genau, und selbst ob der Name Scott-Topologie überhaupt gerechtfertigt ist, habe ich noch nicht verstanden; müsste echt mal ein entspr. Buch im Detail durcharbeiten). Ob es da sinnvolle, also nicht nur formal-oberflächliche, Zusammenhänge gibt, würde mich interessieren. Dies gehört allerdings natürlich nicht in diesen Artikel. Meine Hauptfragen stehen vor dieser Klammer.) --Daniel5Ko 23:18, 19. Mai 2011 (CEST)
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thread_title:  Kardinalität 

message: Im Unterkapitel 'Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit' wurden kürzlich am Ende die folgenden Sätze aufgenommen:
Ein weiterer Grenzfall ist der Raum der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen (glatte Funktionen) auf einem reellen Intervall X. Dieser wird auch mit C^\infty(X) bezeichnet. In der Theorie der verallgemeinerten Funktionen (Distributionentheorie) sind alle gewöhnlichen Funktionen (auch nicht stetige) sowie auch alle verallgemeinerten Funktionen einschließlich der Diracschen Deltadistribution in einem verallgemeinerten Sinn beliebig oft differenzierbar.
In meinen Augen steht der letzte dieser Sätze in keinem logischen Zusammenhang zum vorherigen Inhalt des Absatzes. Wenn überhaupt, dann müsste dieser letzte Satz also in einen eigenen Absatz.
Allerdings stellt sich die Frage, was dieser Satz überhaupt in einem Lemma zum Thema 'Stetigkeit' zu suchen hat. Der Zusammenhang zur Stetigkeit ergibt sich ja nur dadurch, dass die vorher festgestellte Folgerung 'differenzierbar->steig' für einen bestimmten verallgemeinerten Differenzierbarkeitsbegriff nicht gilt. Diese Feststellung gehört aber in meinen Augen eher in den Artikel über Differenzierbarkeit als in den über Stetigkeit.
Tatsächlich werden im Artikel über Differenzierbarkeit ja diverse Verallgemeinerungen des Differenzierbarkeitsbegriffs erörtert. Distributionen tauchen aber selbst da nur als Link im letzten Abschnitt auf. Ich halte es daher für verfehlt, in diesem Artikel mit mehr Information darauf einzugehen als im Artikel zu Differenzierbarkeit. Aus diesem Grund lösche ich den Satz. --Stephan2802 (Diskussion) 16:21, 2. Nov. 2018 (CET)
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thread_title:  Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit 

message: Nach der Überschrift "Definition mittels Grenzwerten (Folgenkriterium)" würde man annehmen, dass der Inhalt des Kapitels das Folgenkriterium ist. Tatsächlich beschäftigt sich nur der zweite Teil mit dem Folgenkriterium. </br>
Der Satz "Sei f eine Funktion, die jeder Zahl x aus dem Definitionsbereich D_f eindeutig eine Zahl y zuordnet." ist unmathematisch.
Etwas besser wäre "Sei f eine Funktion, die jeder reellen Zahl x aus dem Definitionsbereich D_f \sub \R eindeutig eine reelle Zahl y zuordnet."
Allerdings ist die Verwendung der Variablennamen x und y hier offenbar völlig überflüssig. Und die Eindeutigkeit ergibt sich aus dem Funktionsbegriff. Sie hier nochmal anzugeben ist also ebenfalls überflüssig. </br>
Noch etwas besser wäre wohl "Sei f eine Funktion, die jeder reellen Zahl x aus dem Definitionsbereich D_f \sub \R eine reelle Zahl y = f(x) zuordnet." </br>
In einem Buch für Mathematikstudenten auch nur des ersten Semesters wäre aber jede dieser Formulierungen ein Missgriff. </br>
Ich finde es überflüssig, an dieser Stelle auch noch auf links- und rechtsseitige Grenzwerte einzugehen. Das tut das Lemma Grenzwert (Funktion) bereits. Ganz unschön ist, dass hier sogar die Verlinkung auf das Kapitel mit den einseitigen Grenzwerten vor der Verlinkung auf das Lemma kommt. </br>
Beim Übergang zum Folgenkriterium sollte man wenigstens einen Absatz spendieren.</br>
Die Formulierung des Epsilon-Delta-Kriteriums kann sich nicht entscheiden, ob sie die Stetigkeit in x_0 oder in \xi definieren will. </br>
Die Definition der Stetigkeit über die Oszillation ist mir noch nie untergekommen. Ist das ein in der Literatur verbreiteter Ansatz? </br>
Andernfalls sollte man das nach hinten verschieben. </br>
Dies umso mehr, als das hier ja plötzlich mit so abstrakten Begriffen, wie der Menge aller Umgebungen (Umgebung müsste man verlinken) hantiert wird. Das ist ein völliger Bruch zur Formulierung des ersten Abschnitts, der eine eher unmathematische Sprache benutzt, die sich offenbar an den mathematischen Laien wendet. </br>
Noch stärker gilt dies natürlich für den nächsten Punkt. "Nichtstandard-Analysis" ist ja selbst für die meisten Mathematik-Studenten eher unbekannt. Darauf einzugehen, bevor man auch nur das erste Beispiel gebracht hat, halte ich für völlig falsch. Der Teil gehört irgendwo ganz ans Ende. --Stephan2802 (Diskussion) 22:39, 14. Mär. 2019 (CET)
replies: text: Ich wäre auch dafür, die Nichtstandardanalysis wieder herauszunehmen. Die Oszillationen würde ich durchaus drinlassen als alternative Definition, statt der abstrakten Umgebungen sollte man die Intervalle von x-delta bis x+delta betrachten. ich werde mal bei Gelegenheit schauen, wieweit diese Definition in Lehrbüchern vorkommt.—Godung Gwahag (Diskussion) 00:17, 15. Mär. 2019 (CET)

text: Was die Formulierungen angeht, bin ich natürlich offen für andere Meinungen. Allerdings richtet sich der Abschnitt über reelle Funktionen nicht an Mathematikstudenten, nicht einmal „nur des ersten Semesters“. Mathematiker oder Mathematikstudenten werden diese Definition nicht in der Wikipedia nachschlagen müssen. Die Zielgruppe dieses Artikelteils sind Schüler. Mathematisch exakte Formulierungen, die die Sprache der Mengenlehre benutzen, sind da weder notwendig noch sinnvoll. Und der richtige Mathematiker geht sowieso zu den Abschnitten weiter hinten im Artikel.—Godung Gwahag (Diskussion) 00:24, 15. Mär. 2019 (CET)
replies: text:  Zur Definition der Stetigkeit über die Oszillation: Stetigkeit darüber einzuführen, ist zwar nicht der übliche Weg. Der Sachverhalt an sich ist aber schon bekannt. Siehe Oszillation (Topologie)#Resultate. --Schojoha (Diskussion) 23:02, 1. Apr. 2019 (CEST)

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thread_title:  Weitere Kritik bzw. offensichtliche Fehler zu dem Teil 

message: "Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden: Eine reellwertige Funktion f: I\to\mathbb{R} auf einem reellen Intervall I\subseteq\mathbb{R} ist stetig, wenn der Graph der Funktion f ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann."
Definitiv unwahr! Es gibt natürlich Funktionen, die ich mit Absetzen des Stiftes zeichnen kann (sogar muss), die aber trotzdem stetig sind. Sowas können sich nur Mathe-Lehrer ausgedacht haben ;-)
Bitte streichen! 1.12.2008 by anonymous (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 217.190.244.226 (Diskussion • Beiträge) 20:16, 1. Dez. 2008) 
:Der Fall, "wenn mit Absetzen gezeichnet werden kann" wird ja gar nicht behandelt. --NeoUrfahraner 21:46, 1. Dez. 2008 (CET)
replies: text: Tangens beispielsweise? Nulli 23:29, 2. Jan. 2010 (CET)
replies: text: Ja, Tangens beispielsweise. Aber über diese Funktionen wird ja, wie schon vom NeoUrfahraner angemerkt, überhaupt nichts ausgesagt.--Grip99 01:12, 3. Jan. 2010 (CET)

text: Das wurde oben doch ellenlang diskutiert. Das sollte man lesen bevor man das hier zum 20.mal ankreidet. Es ist eine naive Einführung für Nicht-Mathematiker die für "fast alle" Fälle korrekt ist. (nicht signierter Beitrag von 82.83.79.127 (Diskussion | Beiträge) 19:48, 5. Apr. 2010 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 17:44, 26. Mai 2019 (CEST)
thread_title:  Ohne Absetzen 

message: :Die Überschrift passt nicht zum Inhalt, da das Folgenkriterium hier nur als abgeleitetes Kriterium behandelt wird. </br>
:Meines Erachtens sollte man die beiden Varianten "Folgenkriterium" und "Funktionslimes" besser trennen. Die Definition über den Funktionslimes ist problematisch, da wir auch Definitionsbereiche mit isolierten Punkten zugelassen haben. Auch ist der Artikel Grenzwert (Funktion) eher schwer verdaulich. </br>
:Mein Vorschlag: Ein Abschnitt "Folgenkriterium", der dieses Kriterium als äquivalent zur vorher beschriebenen Epsilon-Delta-Definition einführt. Dann muss noch irgendwo die Information untergebracht werden, dass man das auch über den Funktionslimes beschreiben kann. Im einfachsten Fall käme ans Ende des Artikels "Folgenkriterium" noch ein Abschnitt: "Ist der Definitionsbereich D ein Intervall, so kann das Folgenkriterium auch als Bedingung an den Funktionslimes formuliert werden:</br>
:f ist stetig in x_0 \in D, wenn gilt: \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) </br>
:Den Verweis auf linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte sollte man weglassen. Bei abgeschlossenen beschränkten Intervallen stimmt das für die Intervallgrenzen nicht. --Stephan2802 (Diskussion) 10:07, 6. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: Das in Klammern gesetzte Folgenkriterium kann man aus der Überschrift natürlich herausnehmen. Das Folgenkriterium sollte aber schon vorkommen, schon weil man es gelegentlich als Verlinkungsziel brauchen könnte. Vielleicht sollte man das Folgenkriterium in einen separaten Abschnitt auslagern?—Godung Gwahag (Diskussion) 15:08, 6. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: Feinheiten wie isolierte Punkte oder Ränder von Intervallen sollte man m.M.n. in diesem Artikelteil nicht diskutieren, da sie den Nicht-Mathematiker eher verwirren und vom Wesentlichen ablenken. Aber dieser Punkt gehört eigentlich in die Grundsatzdiskussion über die Ausrichtung dieses Artikelteils, also wie formal man die Definitionen in diesem Teil halten will.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:08, 6. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: Ich will diese Feinheiten im Artikel auch gar nicht diskutieren. Ich möchte nur vermeiden, dass wir Definitionen angeben, die für diese Spezialfälle falsch sind. Und ja: Ich bin mir sicher, dass mir das als Schüler bereits aufgefallen wäre. --Stephan2802 (Diskussion) 22:31, 6. Apr. 2019 (CEST)

text: Neben dem zitierten bayrischen Schulbuch beginnen auch bspw. Heuser „Analysis I“ und Fischer-Kaul „Mathematik für Physiker I“ jeweils mit dem Folgenkriterium und bringen dann das epsilon-delta-Kriteirum als äquivalente Bedingung.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:27, 6. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: Diese Lehrbücher sind vermutlich so aufgebaut, dass sie sich zunächst ausführlich dem Thema Folgenkonvergenz widmen. Es ist nur legitim, dass sie dann im Kapitel zu Stetigkeit die Früchte dieser Vorbereitung ernten. Eine Enzyklopädie ist aber anders aufgebaut. Da kann man nicht erwarten, dass der Leser der durch ein Lehrbuch vorgegebenen Lernkurve folgt. Daher ist eine Definition, die sich nicht darauf verlassen muss, dass andere Konzepte bereits verstanden wurden, vorzuziehen. --Stephan2802 (Diskussion) 22:39, 6. Apr. 2019 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 17:40, 26. Mai 2019 (CEST)
thread_title:  Definition mittels Grenzwerten (Folgenkriterium) 

message: :Die Charakterisierung der Stetigkeit über die Oszillation ist in meinen Augen eher ungebräuchlich. Ich glaube auch nicht, dass der mathematische Laie einen geschachtelten Infimums-Supremums-Ausdruck besonders motivierend findet. </br>
:Meines Erachtens gehört der Abschnitt hier einfach entfernt. In einem späteren Abschnitt, wo man andere Stetigkeitsbegriffe und -kriterien sammelt, kann man diese Information ja aufnehmen. Dann für die allgemeine Situation (Definitionsbereich topologischer Raum, Zielmenge metrischer Raum). </br>
:Die Wiederholung der Definition der Oszillation an der Stelle halte ich für überflüssig. Dafür gibt es Verweise. --Stephan2802 (Diskussion) 13:02, 6. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: Es gibt ja schon einen Artikel Oszillation. Insofern können wir diesen Abschnitt vielleicht weglassen. Man könnte stattdessen am Ende des Abschnitts zum epsilon-delta-Kriterium in einem kurzen Satz erwähnen, dass dies äquivalent zu Oszillation = 0 ist. (Nur mit Verlinkung des Begriffs, ohne Erklärung, was Oszillation ist.)—Godung Gwahag (Diskussion) 15:11, 6. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: Bringt das den mathematischen Laien, an den wir uns hier ja richten, wirklich weiter? Wenn nicht, dann an dieser Stelle weglassen. --Stephan2802 (Diskussion) 21:44, 6. Apr. 2019 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 17:42, 26. Mai 2019 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 17:42, 26. Mai 2019 (CEST)
thread_title:  Definition über die Oszillation an einem Punkt 

message: Auf Basis der obigen Diskussion versuche ich dann mal einen Entwurf für diesen Abschnitt, der hoffentlich einen tragfähigen Kompromiss zwischen den hier geäußerten Kritiken darstellt.--Godung Gwahag (Diskussion) 19:22, 9. Mai 2019 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 17:42, 26. Mai 2019 (CEST)
thread_title: Entwurf 1

message: === Epsilon-Delta-Kriterium ===
Sei f eine reelle Funktion, also eine Funktion f\colon D_f \to \R, deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich D_f \subset \R ebenfalls aus reellen Zahlen besteht.
Die Funktion f ist stetig in x_0, wenn zu jedem \varepsilon>0 ein \delta > 0 existiert, so dass für alle x \in D_f mit 
:|x - x_0| < \delta 
gilt: 
:|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon .
An Stelle von Stetigkeit in x_0 spricht man oft auch von Stetigkeit im Punkt x_0 oder Stetigkeit an der Stelle x_0. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man f unstetig in (im Punkt/an der Stelle) x_0, bzw. bezeichnet x_0 als Unstetigkeitsstelle von f.
Intuitiv bedeutet die Bedingung der Stetigkeit, dass zu jeder Änderung \varepsilon des Funktionswertes, die man zu akzeptieren bereit ist, eine maximale Änderung \delta im Argument gefunden werden kann, die diese Vorgabe sicherstellt.
Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man f unstetig in x_0.
=== Definition mittels Grenzwerten ===
Eine Funktion f mit der Definitionsmenge D_f heißt stetig an der Stelle x_0\in D_f, wenn der Grenzwert \lim_{x\to x_0} f(x) existiert und mit dem Funktionswert f(x_0) übereinstimmt, wenn also gilt: 
:\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). 
Anders ausgedrückt: für jede gegen x_0 konvergente im Definitionsbereich liegende Folge (a_n) mit Elementen a_n\in D_f, konvergiert die Folge \bigl(f(a_n)\bigr) gegen f(x_0). Man kann also bei einer stetigen Funktion die Reihenfolge von Funktionsausführung und Grenzwertbildung vertauschen.
Man spricht von einer stetigen Funktion, wenn die Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.
 Ende des Vorschlags für diesen Abschnitt.--Godung Gwahag (Diskussion) 19:22, 9. Mai 2019 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 17:44, 26. Mai 2019 (CEST)
thread_title:  Stetigkeit reeller Funktionen 

message: Eine Funktion f mit der Definitionsmenge D_f heißt stetig an der Stelle x_0\in D_f, wenn der Grenzwert \lim_{x\to x_0} f(x) existiert und mit dem Funktionswert f(x_0) übereinstimmt, wenn also gilt: 
:\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). 
Anders ausgedrückt: für jede gegen x_0 konvergente im Definitionsbereich liegende Folge (a_n) mit Elementen a_n\in D_f, konvergiert die Folge \bigl(f(a_n)\bigr) gegen f(x_0). Man kann also bei einer stetigen Funktion die Reihenfolge von Funktionsausführung und Grenzwertbildung vertauschen.
Man spricht von einer stetigen Funktion, wenn die Funktion in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist.
 Ende des Vorschlags für diesen Abschnitt.--Godung Gwahag (Diskussion) 19:22, 9. Mai 2019 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 17:44, 26. Mai 2019 (CEST)
thread_title:  Definition mittels Grenzwerten 

message: Auf Basis von Entwurf 1 habe ich Entwurf 2 erstellt, da ich bei Entwurf 1 noch einige Schwächen sehe  --Stephan2802 (Diskussion) 21:12, 9. Mai 2019 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 17:44, 26. Mai 2019 (CEST)
thread_title: Entwurf 2

message: Ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Damit folgt insbesondere die Stetigkeit
 
* aller rationalen Funktionen (also etwa x \mapsto x^3 + 4x^2 - 6x +9 oder x \mapsto \frac{2x-1}{x+2})
* der Exponentialfunktionen x \mapsto a^x, für festes a > 0
* der trigonometrischen Funktionen (also Sinus, Kosinus, Tangens,...)
* der Logarithmusfunktionen
 Hier würde ich inzwischen noch den Satz "Die Stetigkeit dieser Funktionen lässt sich auch ohne Rückgriff auf den Begriff der Differenzierbarkeit direkt beweisen." einfügen wollen. --Stephan2802 (Diskussion) 09:28, 18. Mai 2019 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 17:47, 26. Mai 2019 (CEST)
thread_title:  Beispiele stetiger Funktionen 

message: Untersucht man, ob eine Funktion f in einem Punkt x_0 stetig ist, so ist es manchmal sinnvoll, ihren Definitionsbereich D_{f} in zwei (oder allgemeiner: endlich viele) Teilmengen aufzuteilen. Lässt sich nämlich D_{f} als Vereinigung zweier Mengen D_1 und D_2, die beide x_0 enthalten, darstellen (in Formeln: x_0 \in D_1 \cap D_2, D_1 \cup D_2 = D_{f}), so ist f genau dann stetig in x_0, wenn dies für die beiden Einschränkungen von f auf D_1 und D_2 gilt. </br>
Häufig betrachtet man die Mengen D_1 := D_{f} \cap (-\infty, x_0] und D_2 := D_{f} \cap [x_0, \infty), die die beschriebenen Voraussetzungen erfüllen. Man nennt f linksseitig bzw. rechtsseitig stetig in x_0, wenn die Einschränkung von f auf D_1 bzw. D_2 stetig in x_0 ist. </br>
Nach obiger Überlegung ist eine Funktion also genau dann stetig in einem Punkt, wenn sie dort sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig ist. Anschaulich gesprochen hat man die Eigenschaft einer stetigen Funktion, 'keine Sprünge' zu machen, aufgeteilt in die Eigenschaften, keine Sprünge zu machen, wenn man sich dem betrachten Punkt von links bzw. von rechts nähert. </br>
Man kann linksseitige und rechtsseitige Stetigkeit auch über eine Variante des Folgenkriteriums beschreiben: Die linksseitige bzw. rechtsseitige Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt x_0 ist äquivalent zum Folgenkriterium, wenn man sich auf die Betrachtung monoton steigender bzw. fallender (gegen x_0 konvergierender) Folgen beschränkt. </br>
Die Heaviside-Funktion ist ein Beispiel für eine Funktion, die überall rechtsseitig stetig und überall außer im Punkt 0 linksseitig stetig ist. Sie ist daher überall außer im Punkt 0 stetig. Die Vorzeichenfunktion ist dagegen im Punkt 0 weder linksseitig noch rechtsseitig stetig und daher dort natürlich auch unstetig. </br>
Die obigen Überlegungen zeigen auch: Ist D' eine Teilmenge von D_{f}, die x_0 enthält (x_0 \in D' \subset D_{f}), dann folgt aus der Stetigkeit von f in x_0 auch die Stetigkeit der Einschränkung von f auf D' in x_0. Die Umkehrung dieser Folgerung ist im Allgemeinen nicht richtig. </br>
Die Umkehrung gilt allerdings, wenn D' ein offenes Intervall (allgemeiner: der Durchschnitt von D_{f} und einem offenen Intervall) ist. Dies bedeutet, dass man bei der Untersuchung der Stetigkeit von f in x_0 nur einen beliebig kleinen Teil des Definitionsbereichs um x_0 herum betrachten muss (in der Mathematik spricht man von einer Umgebung von x_0 in D_{f}). Diese Tatsache wird auch dadurch beschrieben, dass man die Stetigkeit (in einem Punkt) als lokale Eigenschaft bezeichnet.
 Diesen ganzen Absatz finde ich, schon wegen seiner Ausführlichkeit, an dieser Stelle deplaziert. Ich nehme an, er soll den späteren Abschnitt "Unstetigkeit" und insbesondere die Diskussion links- und rechtsseitiger Stetigkeit ersetzen. Wie unten schon gesagt, fände ich es besser, einen Artikel Linksseitige Stetigkeit anzulegen, auf diesen sowie die weiteren schon existierenden Artikel zu verschiedenen Unstetigkeitsstellen zu verweisen und die Diskussion hier im Artikel auf maximal 1-2 Sätze zu beschränken.--Godung Gwahag (Diskussion) 10:17, 18. Mai 2019 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 17:49, 1. Jun. 2019 (CEST)
thread_title:  Einschränkung des Definitionsbereichs 

message: Ist eine Funktion f in einem Punkt x_0 stetig und ist D eine Teilmenge von D_{f}, die x_0 enthält, so ist auch die Einschränkung von f auf D stetig in x_0. </br>
Dass die Umkehrung im Allgemeinen nicht richtig ist, zeigt die Heaviside-Funktion. Deren Einschränkung auf [0, \infty) ist konstant also stetig. Insbesondere gilt dies im Punkt 0. Die uneingeschränkte Heaviside-Funktion ist aber unstetig im Punkt 0. </br>
Es gibt aber Situationen, in denen die Umkehrung doch gilt:
* Die Umkehrung gilt, wenn D ein offenes Intervall (allgemeiner: der Durchschnitt von D_{f} und einem offenen Intervall) ist. Dies bedeutet, dass man bei der Untersuchung der Stetigkeit von f in x_0 nur einen beliebig kleinen Teil des Definitionsbereichs um x_0 herum betrachten muss (in der Mathematik spricht man von einer Umgebung von x_0 in D_{f}). Diese Tatsache wird auch dadurch beschrieben, dass man die Stetigkeit (in einem Punkt) als lokale Eigenschaft bezeichnet.
* Sind D_1 und D_2 zwei Mengen, die beide x_0 enthalten und deren Vereinigung D_{f} ist, so ist f genau dann stetig in x_0, wenn dies für die Einschränkungen von f auf D_1 und D_2 gilt. Diese Tatsache wird zum Beispiel genutzt, um die Bedingung der Stetigkeit in eine linksseitige und eine rechtsseitige Stetigkeit aufzuteilen.
 Ende: Zweiter Versuch --Stephan2802 (Diskussion) 16:45, 19. Mai 2019 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 17:49, 1. Jun. 2019 (CEST)
thread_title:  Einschränkung des Definitionsbereichs 

message: Es gibt eine Reihe wichtiger Sätze, die für stetige reelle Funktionen f gelten. Diese lassen sich am einfachsten formulieren, wenn man annimmt, dass D_f = [a, b] mit a, b \in \R, a < b ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall ist: </br>
 
*Zwischenwertsatz: Die Funktion nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an. In Formeln: [min(f(a), f(b)), max(f(a), f(b))] \subset f([a, b])
 
*Nullstellensatz von Bolzano: Gilt f(a)f(b)\le 0, so besitzt f eine Nullstelle. Hierbei handelt es sich um eine triviale Folgerung aus dem Zwischenwertsatz.
 
*Satz vom Minimum und Maximum: f ist beschränkt und Infimum und Supremum seiner Funktionswerte kommen auch als Funktionswert vor. Es handelt sich also tatsächlich um Minimum und Maximum. Dieser von Weierstraß bewiesene Satz, bisweilen auch Extremwertsatz genannt, liefert nur die Existenz dieser Extremwerte. Für ihr praktisches Auffinden sind häufig Aussagen aus der Differentialrechnung nützlich.
 
*Fundamentalsatz der Analysis: f ist Riemann-integrierbar und die Integralfunktion
 
::F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,{\rm d}t
 
:ist eine Stammfunktion von f.
 
*Satz von Heine: f erfüllt eine strengere Version des Epsilon-Delta-Kriteriums. Die entsprechende Eigenschaft wird gleichmäßige Stetigkeit genannt.
 
Aus Zwischenwertsatz und Satz vom Minimum und Maximum zusammen folgt, dass der Wertebereich von f ebenfalls ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall ist. Dieses entartet allerdings im Fall einer konstanten Funktion f zur einpunktigen Menge [f(a), f(a)] = \{ f(a) \}.
 
 Ende Vorschlag --Stephan2802 (Diskussion) 16:14, 18. Mai 2019 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 16:17, 1. Jun. 2019 (CEST)
thread_title:  Hauptsätze über stetige reelle Funktionen I 

message: Die Überarbeitung des Kapitels "Stetigkeit reeller Funktionen" ist aus meiner Sicht gut vorangegangen. Allerdings wird die Diskussion langsam übersichtlich. </br>
 		
Meine Vorstellung ist, dass dieses Kapitel zuerst vollständig fertiggestellt wird. Danach würde ich gerne in mehreren Schritten zu allgemeineren Situationen vorstoßen und dabei immer die Durchgängigkeit des Prinzips betonen. Schließlich sind unser Zielpublikum nicht nur Schüler, deren Verständnishorizont bei reellen Funktionen aufhört, und Mathematiker, die es in aller Allgemeinheit wissen wollen, sondern auch Ingenieure, Physiker, Mathematikstudenten..., die irgendwo dazwischen stehen. </br>
 		
Da der Diskussionsteil zu den reellen Funktionen inzwischen ausgeufert ist und viele Beiträge dort inzwischen überholt sind ( hast du die Möglichkeit da mal großzügig ins Archiv zu verschieben?) , liste ich hier mal aus, wie ich mir das Kapitel vorstelle.
 		
=== Definition ===
 		
 kann so bleiben. Ich würde aber gerne am Ende noch den folgenden Absatz hinzufügen:
 	
Bemerkung: Der Index 0 bei der Variablen x_0 wird in der Literatur gerne hinzugefügt, um deutlich zu machen, dass dieser Punkt für die Stetigkeitsuntersuchung fest gewählt ist. Im Gegensatz dazu steht z.B. die Variable x im Epsilon-Delta-Kriterium für einen Wert, der noch (im Rahmen bestimmter Grenzen) schwanken kann. Diese intuitive Schreibweise kollidiert allerdings manchmal mit Situationen, in denen man einen Index für andere Zwecke (z.B. als Folgenindex) benutzen will. Bei der Formulierung des Folgenkriteiums wäre es z.B. natürlich gewesen, von einer Folge (x_n) zu sprechen. Wegen möglicher Missverständnisse wurde die Folge aber (a_n) genannt. </br>
 		
Um dieser möglichen Mehrdeutigkeit aus dem Wege zu gehen, wird der Punkt, an dem die Stetigkeit untersucht wird, in der Literatur auch manchmal mit einem Zeichen aus einem anderen Alphabet, z.B. \xi bezeichnet.
 Ich bin auch grundsätzlich nicht so überzeugt davon, solche Fragen hier auszuführen. Aber davon abgesehen, handelt es sich hier schlicht um Theoriefindung (:Wikipedia:Keine Theoriefindung), jedenfalls solange keine Quelle angegeben wird. Aber wie gesagt: selbst mit Quelle würde ich das hier nicht ausführen wollen.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:55, 1. Jun. 2019 (CEST)
replies: text: Danke für deine Mühe. Es scheint sich eine Tendenz für x_0 zu ergeben, was mir von den genannten Möglichkeiten auch die sympathischste ist. Am wichtigsten finde ich aber, dass sich alle Lehrbücher entschieden haben, den Punkt nicht x zu nennen, obwohl x ja für einen Punkt auf der x-Achse die naheliegendste Bezeichnung wäre. Und warum dies so ist, wollte ich mit meiner Bemerkung erklären. Sie ist für mich aber auch verzichtbar, wenn der Mehrwert nicht gesehen wird. --Stephan2802 (Diskussion) 17:39, 2. Jun. 2019 (CEST)

text: f(x) = \frac {2x-1} {x+2}
 		
durch
 		
Beispielsweise ist die Funktion x \mapsto \frac {2x-1} {x+2}
 		
Das ist konsistenter zur Notation der anderen Beispiele. Im weiteren Text sollte man dann einfach "Definitionsbereich D_f" duch "Definitionsbereich ersetzen. In der Graphik wird für die Funktion schon gar kein Name verwendet.
 		
 3. Änderung:
 		
Vor "Einfache Beispiele unstetiger Funktionen sind:" würde ich den folgenden Absatz einbauen:
 		
Die Betrags- und die Wurzelfunktion sind Beispiele stetiger Funktionen, die an einzelnen Stellen des Definitionsbereichs nicht differenzierbar sind. Die mathematische Fachwelt nahm noch Anfang des 19. Jahrhunderts an, dass eine stetige Funktion zumindest an "den meisten" Stellen differnzierbar sein müsse. Bernard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, die Bolzanofunktion. Er veröffentlichte sein Resultat allerdings nicht. Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige, als Weierstraß-Funktion bekannte Funktion, womit er in der mathematischen Fachwelt Aufsehen erregte. Der Graph der Weierstraß-Funktion kann effektiv nicht gezeichnet werden. Dies zeigt, dass die intuitive Erklärung, eine stetige Funktion sei eine Funktion, deren Graph sich ohne Absetzen des Stiftes zeichnen lässt, in die Irre führen kann. Letztlich muss man bei der Untersuchung der Eigenschaften stetiger Funktionen immer auf die exakte Definition zurückgreifen. </br>
 		
Mit Methoden der Mathematik des 20. Jahrhunderts konnte sogar gezeigt werden, dass die Funktionen, die nirgends differenzierbar sind, in gewissem Sinne "häufig" unter den stetigen Funktionen sind.
 		
 4. Änderung
 	
Der letzte Absatz passt formal nicht zur Überschrift "Beispiele stetiger Funktionen". Ein eigens Kapitel "Beispiele unstetiger Funktionen" auf gleicher Ebene fände ich aber übertrieben. Als Kompromiss schlage ich vor, hier ein Unterkapitel mit dieser Überschrift einzuführen. Das dient auch als Anker für Leser, denen die Ausführungen zur Weierstraß-Funktion zu abgehoben sind.
 		
 1. und 3. habe ich schon mal umgesetzt (und entsprechend den Abschnitt „Differenzierbarkeit stetiger Funktionen“ weiter unten herausgenommen). Bei 2. wäre es konsistent mit dem Definitionsabschnitt wenn wir überall x->... durch f(x)=... ersetzen. Ich nehme an, dass das auch in Schulbüchern so gemacht wird, aber das kann ich jetzt nicht prüfen, werde ich bei Gelegenheit in den nächsten Tagen mal nachschauen. Zu 4. schlage ich vor, den ganzen Abschnitt „Beispiele stetiger und unstetiger Funktionen“ zu nennen.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:05, 1. Jun. 2019 (CEST)

text: Auch hier denke ich nicht, dass wir solche technischen Aspekte so betonen sollten, zumal das ja wohl auch in keinem der gängigen Lehrbücher so getan wird.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:09, 1. Jun. 2019 (CEST)
replies: text: Können wir auch weglassen, wenn es keine Mehrheit findet. Ich habe mich an meine Schulzeit erinnert, wo wir mit großem Aufwand (in der 8.ten oder 9.ten Klasse haben wir im Prinzip Dedekindsche Schnitte behandelt) von \Q zu \R gewechselt sind. Ich hätte damals eine Bemerkung, die mir hilft, zu verstehen, wozu man das braucht, sicher sehr instruktiv gefunden. --Stephan2802 (Diskussion) 17:50, 1. Jun. 2019 (CEST)

text: Wie gesagt finde ich die Formulierungen des Zwischenwertsatzes und seiner Folgerung unnötig kompliziert. Das f(a)f(b)<0 äquivalent zu entgegengesetzten Vorzeichen ist, das weiß natürlich jeder Mathematikinteressierte, aber nicht jeder Anwender. Ich werde in den nächsten Tagen mal schauen, wie das in den gebräuchlichen Lehrbüchern formuliert wird.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:13, 1. Jun. 2019 (CEST)
replies: text: Danke für deine Mühe. Ich wurde übrigens durch dieses Lemma inspiriert. --Stephan2802 (Diskussion) 17:50, 1. Jun. 2019 (CEST)
thread_title:  Statusupdate 26.05 

message: kann so bleiben. Ich würde aber gerne am Ende noch den folgenden Absatz hinzufügen:
 	
Bemerkung: Der Index 0 bei der Variablen x_0 wird in der Literatur gerne hinzugefügt, um deutlich zu machen, dass dieser Punkt für die Stetigkeitsuntersuchung fest gewählt ist. Im Gegensatz dazu steht z.B. die Variable x im Epsilon-Delta-Kriterium für einen Wert, der noch (im Rahmen bestimmter Grenzen) schwanken kann. Diese intuitive Schreibweise kollidiert allerdings manchmal mit Situationen, in denen man einen Index für andere Zwecke (z.B. als Folgenindex) benutzen will. Bei der Formulierung des Folgenkriteiums wäre es z.B. natürlich gewesen, von einer Folge (x_n) zu sprechen. Wegen möglicher Missverständnisse wurde die Folge aber (a_n) genannt. </br>
 		
Um dieser möglichen Mehrdeutigkeit aus dem Wege zu gehen, wird der Punkt, an dem die Stetigkeit untersucht wird, in der Literatur auch manchmal mit einem Zeichen aus einem anderen Alphabet, z.B. \xi bezeichnet.
 Ich bin auch grundsätzlich nicht so überzeugt davon, solche Fragen hier auszuführen. Aber davon abgesehen, handelt es sich hier schlicht um Theoriefindung (:Wikipedia:Keine Theoriefindung), jedenfalls solange keine Quelle angegeben wird. Aber wie gesagt: selbst mit Quelle würde ich das hier nicht ausführen wollen.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:55, 1. Jun. 2019 (CEST)
replies: text: Danke für deine Mühe. Es scheint sich eine Tendenz für x_0 zu ergeben, was mir von den genannten Möglichkeiten auch die sympathischste ist. Am wichtigsten finde ich aber, dass sich alle Lehrbücher entschieden haben, den Punkt nicht x zu nennen, obwohl x ja für einen Punkt auf der x-Achse die naheliegendste Bezeichnung wäre. Und warum dies so ist, wollte ich mit meiner Bemerkung erklären. Sie ist für mich aber auch verzichtbar, wenn der Mehrwert nicht gesehen wird. --Stephan2802 (Diskussion) 17:39, 2. Jun. 2019 (CEST)
thread_title:  Definition 

message: Ich schlage vier Änderungen vor
 		
 1. Änderung:
 		
Der Abschnitt: </br>
 		
In diesen Fällen wird manchmal unpräzise formuliert, die Funktionen seien in den entsprechenden Definitionslücken unstetig. Dies ist allerdings nicht richtig, da sich die Frage nach der Stetigkeit nur für Punkte im Definitionsbereich stellt. Mathematisch sinnvoll ist allerdings die Frage nach einer stetigen Fortsetzung der Funktion an einer Definitionslücke.  
 		
ist in dem Kontext ungenau, da z.B. die negativen Zahlen keine Definitionslücken der Wurzelfunktion sind. Ich rege daher die folgende Ersetzung an:
 		
In diesen Fällen wird manchmal unpräzise formuliert, die Funktionen seien in den entsprechenden Stellen unstetig. Dies ist allerdings nicht richtig, da sich die Frage nach der Stetigkeit nur für Punkte im Definitionsbereich stellt. Mathematisch sinnvoll ist allerdings die Frage nach einer stetigen Fortsetzung der Funktion an einer Definitionslücke.
 		
 2. Änderung:
 		
Ersetze
 		
Beispielsweise ist die Funktion
 		
:f(x) = \frac {2x-1} {x+2}
 		
durch
 		
Beispielsweise ist die Funktion x \mapsto \frac {2x-1} {x+2}
 		
Das ist konsistenter zur Notation der anderen Beispiele. Im weiteren Text sollte man dann einfach "Definitionsbereich D_f" duch "Definitionsbereich ersetzen. In der Graphik wird für die Funktion schon gar kein Name verwendet.
 		
 3. Änderung:
 		
Vor "Einfache Beispiele unstetiger Funktionen sind:" würde ich den folgenden Absatz einbauen:
 		
Die Betrags- und die Wurzelfunktion sind Beispiele stetiger Funktionen, die an einzelnen Stellen des Definitionsbereichs nicht differenzierbar sind. Die mathematische Fachwelt nahm noch Anfang des 19. Jahrhunderts an, dass eine stetige Funktion zumindest an "den meisten" Stellen differnzierbar sein müsse. Bernard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, die Bolzanofunktion. Er veröffentlichte sein Resultat allerdings nicht. Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige, als Weierstraß-Funktion bekannte Funktion, womit er in der mathematischen Fachwelt Aufsehen erregte. Der Graph der Weierstraß-Funktion kann effektiv nicht gezeichnet werden. Dies zeigt, dass die intuitive Erklärung, eine stetige Funktion sei eine Funktion, deren Graph sich ohne Absetzen des Stiftes zeichnen lässt, in die Irre führen kann. Letztlich muss man bei der Untersuchung der Eigenschaften stetiger Funktionen immer auf die exakte Definition zurückgreifen. </br>
 		
Mit Methoden der Mathematik des 20. Jahrhunderts konnte sogar gezeigt werden, dass die Funktionen, die nirgends differenzierbar sind, in gewissem Sinne "häufig" unter den stetigen Funktionen sind.
 		
 4. Änderung
 	
Der letzte Absatz passt formal nicht zur Überschrift "Beispiele stetiger Funktionen". Ein eigens Kapitel "Beispiele unstetiger Funktionen" auf gleicher Ebene fände ich aber übertrieben. Als Kompromiss schlage ich vor, hier ein Unterkapitel mit dieser Überschrift einzuführen. Das dient auch als Anker für Leser, denen die Ausführungen zur Weierstraß-Funktion zu abgehoben sind.
 		
 1. und 3. habe ich schon mal umgesetzt (und entsprechend den Abschnitt „Differenzierbarkeit stetiger Funktionen“ weiter unten herausgenommen). Bei 2. wäre es konsistent mit dem Definitionsabschnitt wenn wir überall x->... durch f(x)=... ersetzen. Ich nehme an, dass das auch in Schulbüchern so gemacht wird, aber das kann ich jetzt nicht prüfen, werde ich bei Gelegenheit in den nächsten Tagen mal nachschauen. Zu 4. schlage ich vor, den ganzen Abschnitt „Beispiele stetiger und unstetiger Funktionen“ zu nennen.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:05, 1. Jun. 2019 (CEST)
thread_title:  Beispiele stetiger Funktionen 

message: kann so bleiben. Eventuell noch leichte Umformulierungen. Wäre das letzte Unterkapitel zu reellen Funktionen. Ich würde gerne ans Ende noch folgenden Abschnitt hinzufügen:
 		
Bemerkung: Die Gültigkeit dieser Sätze ist eng verknüpft mit der Natur der reellen Zahlen. Man könnte den Begriff der Stetigkeit mit gleicher Definition auch für Funktionen auf \Q einführen. Betrachtet man in diesem Kontext die durch f(x) = x^2 - 2 gegebene Funktion, so stellt man fest, dass f(0)f(2)=-4<0 gilt. f besitzt aber in \Q keine Nullstelle, da \sqrt{2} irrational ist. Der Satz von Bolzano ist also in diesem Szenario nicht erfüllt. Analoges gilt für die anderen angegebenen Sätze. --Stephan2802 (Diskussion) 17:23, 26. Mai 2019 (CEST)
replies: text: Auch hier denke ich nicht, dass wir solche technischen Aspekte so betonen sollten, zumal das ja wohl auch in keinem der gängigen Lehrbücher so getan wird.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:09, 1. Jun. 2019 (CEST)
replies: text: Können wir auch weglassen, wenn es keine Mehrheit findet. Ich habe mich an meine Schulzeit erinnert, wo wir mit großem Aufwand (in der 8.ten oder 9.ten Klasse haben wir im Prinzip Dedekindsche Schnitte behandelt) von \Q zu \R gewechselt sind. Ich hätte damals eine Bemerkung, die mir hilft, zu verstehen, wozu man das braucht, sicher sehr instruktiv gefunden. --Stephan2802 (Diskussion) 17:50, 1. Jun. 2019 (CEST)

text: Wie gesagt finde ich die Formulierungen des Zwischenwertsatzes und seiner Folgerung unnötig kompliziert. Das f(a)f(b)<0 äquivalent zu entgegengesetzten Vorzeichen ist, das weiß natürlich jeder Mathematikinteressierte, aber nicht jeder Anwender. Ich werde in den nächsten Tagen mal schauen, wie das in den gebräuchlichen Lehrbüchern formuliert wird.—Godung Gwahag (Diskussion) 16:13, 1. Jun. 2019 (CEST)
replies: text: Danke für deine Mühe. Ich wurde übrigens durch dieses Lemma inspiriert. --Stephan2802 (Diskussion) 17:50, 1. Jun. 2019 (CEST)
thread_title:  Hauptsätze über stetige reelle Funktionen 

message: An der Darstellung missfällt mir, dass hier für die Konvergenz eine andere Notation verwendet wird als bei der Formulierung des Folgenkriteriums. Das sollte konsistent gemacht werden. Ich schlage aber sowieso eine Überarbeitung wie folgt vor. Der Vorschlag deckt dann auch noch einige andere Punkte (Einschränkung des Definitionsbereichs, Stetigkeit als lokale Eigenschaft) mit ab. Die Überschrift wäre also noch anzupassen:
 	
Untersucht man, ob eine Funktion f in einem Punkt x_0 stetig ist, so ist es manchmal sinnvoll, ihren Definitionsbereich D in zwei (oder allgemeiner endlich viele) Teilmengen aufzuteilen. Lässt sich nämlich D als Vereinigung zweier Mengen D_1 und D_2, die beide x_0 enthalten (in Formeln: x_0 \in D_1 \cap D_2, D_1 \cup D_2 = D) darstellen, so ist f genau dann stetig in x_0, wenn die
 	
Einschränkungen von f auf D_1 und D_2 beide stetig in x_0 sind. </br>
 	
Häufig betrachtet man die Mengen D_1 := D \cap (-\infty, x_0] und D_2 := D \cap [x_0, \infty), die die beschriebenen Voraussetzungen erfüllen. Man nennt f linksseitig bzw. rechtsseitig stetig in x_0, wenn die Einschränkung von f auf D_1 bzw. D_2 stetig in x_0 ist. </br>
 	
Nach obiger Überlegung ist eine Funktion also genau dann stetig in einem Punkt, wenn sie dort sowohl linksseitig als auch rechtsseitig stetig ist. Anschaulich gesprochen hat man die Eigenschaft einer stetigen Funktion, 'keine Sprünge' zu machen, aufgeteilt in die Eigenschaften, keine Sprünge zu machen, wenn man sich dem betrachten Punkt von links bzw. von rechts nähert. </br>
 	
Man kann linksseitige und rechtsseitige Stetigkeit auch über eine Variante des Folgenkriteriums beschreiben: Die linksseitige bzw. rechtsseitige Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt x_0 ist äquivalent zum Folgenkriterium, wenn man sich auf die Betrachtung monoton steigender bzw. fallender (gegen x_0 konvergierender) Folgen beschränkt. </br> 
 	
Die Heaviside-Funktion ist ein Beispiel für eine Funktion, die überall rechtsseitig stetig und überall außer im Punkt 0 linksseitig stetig ist. Sie ist daher überall außer im Punkt 0 stetig. Die Vorzeichenfunktion ist dagegen im Punkt 0 weder linksseitig noch rechtsseitig stetig und daher dort natürlich auch unstetig. </br>
 	
Die obigen Überlegungen zeigen auch: Ist D' eine Teilmenge von D, die x_0 enthält (x_0 \in D' \subset D), dann folgt aus der Stetigkeit von f in x_0 auch die Stetigkeit der Einschränkung von f auf D' in x_0. Die Umkehrung dieser Folgerung ist im Allgemeinen nicht richtig. </br>
 	
Die Umkehrung gilt allerdings, wenn D' ein offenes Intervall (allgemeiner der Durchschnitt von D und einem offenen Intervall) ist. Dies bedeutet, dass man bei der Untersuchung der Stetigkeit von f in x_0 nur einen beliebig kleinen Teil des Definitionsbereichs um x_0 herum betrachten muss (in der Mathematik spricht man von einer Umgebung von x_0 in D). Diese Tatsache wird auch dadurch beschrieben, dass man die Stetigkeit (in einem Punkt) als lokale Eigenschaft bezeichnet. --Stephan2802 (Diskussion) 17:02, 13. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: Das wäre dann mit dem einen Satz im oben vorgeschlagenen Abschnitt erledigt. Ich habe jetzt aber einen Artikel Links- und rechtsseitige Stetigkeit angelegt, der gerne noch ausgebaut werden kann.—Godung Gwahag (Diskussion) 20:18, 25. Mai 2019 (CEST)
thread_title:  Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit 

message: Spricht man hier nicht eher von stetiger Fortsetzbarkeit?—Godung Gwahag (Diskussion) 14:03, 6. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: Auch das würde ich mit dem oben vorgeschlagenen Abschnitt als Erledigt ansehen. Es gibt bereits einen allgemeiner angelegten Artikel Stetige Fortsetzung.—Godung Gwahag (Diskussion) 20:19, 25. Mai 2019 (CEST)
replies: text: Dazu etwas Anderes: Ich vermute in dem Kapitel einen ziemlichen Unsinn. Ich meine gelernt zu haben, dass man den Grenzübergang  \lim_{x \to 0} \tfrac{\sin x}x kennen muss, um den Sinus differenzieren zu können. Hier wird mit L’Hospital argumentiert, also wird hier differenziert und die Voraussetzung mit sich selbst bewiesen. Dieses im Text von Mathematikern wundert mich. --der Saure  16:16, 3. Jun. 2019 (CEST)
replies: text: Du hast völlig recht. Aber dieser Abschnitt soll ja nach dem Vorschlag unten ohnehin wegfallen.—Godung Gwahag (Diskussion) 17:37, 3. Jun. 2019 (CEST)
thread_title:  Stetige Ergänzbarkeit 

message: Die Auswahl der hier besprochenen Stetigkeitsbegriffe erscheint willkürlich. Warum wird hier die geometrische Stetigkeit besprochen, während die ordnungstheoretische Stetigkeit an anderer Stelle vorkommt? Außerdem überschneidet sich das Kapitel stark mit dem Kapitel "Weitere Stetigkeitsbegriffe auf metrischen Räumen". </br>
 	
Die einfachste Lösung erscheint mir eine Streichung dieses Kapitels an dieser Stelle. --Stephan2802 (Diskussion) 11:09, 14. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: Vielleicht sollte man diesen Abschnitt in das Kapitel über metrische Räume verlagern, da seine Zielgruppe ja eher Studenten/Mathematiker als Schüler/Erstsemester sind? Dann könnte man auch auf das jetzige Kapitel 7 „Andere Stetigkeitsbegriffe“ verzichten. Ordnungstheoretische Stetigkeit muß mE nicht unbedingt in den Artikel.—Godung Gwahag (Diskussion) 20:16, 25. Mai 2019 (CEST)
replies: text: Wenn kein Widerspruch kommt, nehme ich diesen Abschnitt hier erstmal heraus. Wir können dann diskutieren, ob er stattdessen in einem späteren Kapitel "Stetigkeit in metrischen Räumen" oder "Stetigkeit vektorwertiger Funktionen" vorkommen soll.--Godung Gwahag (Diskussion) 09:53, 3. Jun. 2019 (CEST)
thread_title:  Andere Stetigkeitsbegriffe 

message: Da der Abschnitt nicht mehr Unterkapitel des Spezialkapitels über reelle Funktionen ist und die Überschrift auch keine Einschränkung macht, würde man erwarten, dass das Thema hier allgemein angegangen wird. Tatsächlich wird aber weiterhin nur der reelle Fall betrachtet. </br>
Da viele Anwender der Mathematik sich auch für komplexe Funktionen oder Funktionen von \R^n nach \R^m interessieren dürften, wäre ich für die Einführung eines Kapitels "Stetigkeit von Funktionen in \R^n und \Complex", in dem man noch weitere Informationen sammeln kann (z.B. auch das Beispiel mit der nicht stetig invertierbaren injektiven stetigen Funktion). Dieses Kapitel könnte dann als letztes Unterkapitel bei "Stetigkeit reeller Funktionen" aufgenommen werden oder aber ein eigenes Kapitel werden. Hängt auch vom Umfang ab. --Stephan2802 (Diskussion) 22:05, 14. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: Funktionen von C^n nach C^m sind ja genau dann stetig, wenn sie als Funktionen von R^2n nach R^2m stetig sind. Anders als bei der Differenzierbarkeit gibt es keine gesonderte Theorie von Stetigkeit für komplexe Funktionen. Allenfalls könnte man erwähnen, dass die Funktion stetig ist gdw. Real-und Imaginärteil komplex sind. Jedenfalls sollte man das sehr kurz halten.--21:25, 25. Mai 2019 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 11:13, 19. Sep. 2019 (CEST)
thread_title:  Stetigkeit für Funktionen mehrerer Variablen 

message: Hier wird zunächst über mehrere Zeilen die argumentweise Stetigkeit eingeführt. Dann in einer Zeile die "richtige" Stetigkeit. Das erweckt den Eindruck, dass die argumentweise Stetigkeit wichtiger ist. </br>
Die Reihenfolge sollte umgedreht werden und ein verbindender Satz sollte die richtige Einordung erklären. --Stephan2802 (Diskussion) 22:05, 14. Apr. 2019 (CEST)
thread_title:  Definition 

message: Dieses Kapitel enthält eine allgemeine Aussage und ein Beispiel. Die Überschrift ist also falsch gewählt. Ich denke aber sowieso, dass wir besser ein Unterkapitel "Argumentweise Stetigkeit" haben sollten. --Stephan2802 (Diskussion) 22:05, 14. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 11:13, 19. Sep. 2019 (CEST)
thread_title:  Beispiele 

message: In diesem Abschnitt fehlen Belege und Verweise auf weiterführende Literatur.—Godung Gwahag (Diskussion) 21:21, 3. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: Ich würde vorschlagen, diese Überschrift aufzulösen, stattdessen noch einen Abschnitt über „Algebren stetiger Funktionen“ und einen über „Stetigkeit und Homomorphie“ (oder eine ähnliche Überschrift) anzulegen. Die anderen Abschnitte lassen sich (wie im Einzelnen unten diskutiert) besser und kürzer an anderen Stellen im Artikel unterbringen.—Godung Gwahag (Diskussion) 10:45, 12. Okt. 2019 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 13:04, 19. Nov. 2019 (CET)
thread_title:  Bedeutung der Stetigkeit in der Mathematik 

message: Hier könnte man noch Hilberts fünftes Problem erwähnen und dass sich mit dem Auswahlaxiom unstetige Homomorphismen konstruieren lassen.—Godung Gwahag (Diskussion) 13:02, 11. Okt. 2019 (CEST)
thread_title:  Verknüpfung von algebraischen und topologischen Strukturen 

message: Das gehört m.E. nicht in diesen Artikel, sondern in die bereits existierenden Artikel Initialtopologie und Finaltopologie. Man könnte vielleicht an einer passenden Stelle einen Abschnitt über Familien stetiger Funktionen einstreuen und dort kurz erwähnen, dass man Stteigkeit zur Definition von Final- und Initialtopologien verwendet.—Godung Gwahag (Diskussion) 01:06, 12. Okt. 2019 (CEST)
thread_title:  Definition von Topologien 

message: Das ist ein sehr spezielles Thema, welches besser in einem Spezialartikel (Punktetrennende Menge?) diskutiert werden sollte.—Godung Gwahag (Diskussion) 10:49, 12. Okt. 2019 (CEST)
thread_title:  Existenz und Fortsetzung von stetigen Funktionen 

message: Diesen gesamten Abschnitt sollte man vielleicht eher in den Oberabschnitt „Stetigkeit in der Topologie“ (an sein Ende) einordnen.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:37, 6. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 13:04, 19. Nov. 2019 (CET)
thread_title:  Hinreichende Bedingungen für Stetigkeit 

message: es sollte ein Artikel Stetiger Operator angelegt und auf diesen als Hauptartikel für weiterführende Informatuonen verlinkt werden.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:37, 6. Apr. 2019 (CEST)
thread_title:  Stetigkeit linearer Operatoren 

message: Das hätte in den Abschnitt über stetige und unstetige Funktionen gehört; dort hatten wir aber ausdrücklich beschloßen, es draußen zu lassen. Wir haben auch bereits einen Artikel Hebbare Definitionslücke, der sehr viel ausführlicher ist. (Ich wäre eigentlich immer noch dafür, die existierenden Artikel zu verschiedenen Unstetigkeitsstellen aus dem Artikel zu verlinken; das sollte aber besser aus dem Abschnitt über unstetige Funktionen geschehen.)—Godung Gwahag (Diskussion) 00:59, 12. Okt. 2019 (CEST)
thread_title:  Stetige Fortsetzbarkeit 

message: Das würde ich eher schon früher in den Artikel einbauen, zumal der Begriff „lokal gleichmäßige Konvergenz“ wohl nur für metrische Räume definiert ist. (Oder?)—Godung Gwahag (Diskussion) 10:51, 12. Okt. 2019 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 13:04, 19. Nov. 2019 (CET)
thread_title:  Stetigkeit von Grenzwerten von Funktionenfolgen 

message: === Ordnungstheoretischer Stetigkeitsbegriff ===
Das würde ich eher in einen Abschnitt nach https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Vollst%C3%A4ndige_Halbordnung (vor den Abschnitt über Homomorphismen) verschieben.—Godung Gwahag (Diskussion) 10:41, 12. Okt. 2019 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 13:04, 19. Nov. 2019 (CET)
thread_title:  Andere Stetigkeitsbegriffe 

message: Das würde ich eher in einen Abschnitt nach https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Vollst%C3%A4ndige_Halbordnung (vor den Abschnitt über Homomorphismen) verschieben.—Godung Gwahag (Diskussion) 10:41, 12. Okt. 2019 (CEST)
thread_title:  Ordnungstheoretischer Stetigkeitsbegriff 

message: Die Inhalte hier stehen schon im Abschnitt über reelle Funktionen und müssen m.E. nicht nich einmal für metrische Räume aufgeführt werden, da sie ja alle eigene Artikel haben. Und der Satz von Heine gehört nicht in diesen Artikel, sondern in den über gleichmäßige Stetigkeit.—Godung Gwahag (Diskussion) 00:44, 12. Okt. 2019 (CEST)
thread_title:  Weitere Stetigkeitsbegriffe auf metrischen Räumen 

message: Die beiden Kriterien gehören in den Abschnitt über Funktionen auf R. Wenn wir sie dort nicht haben wollen, sollten wir sie ganz herauslassen.—Godung Gwahag (Diskussion) 08:59, 12. Okt. 2019 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 13:04, 19. Nov. 2019 (CET)
thread_title:  Weitere Stetigkeitskriterien 

message: === Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit ===
Vielleicht sollte man diesen Abschnitt stark kürzen und in einem anderen Artikel einbauen?—Godung Gwahag (Diskussion) 22:16, 6. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: M.E. wäre das auch etwas für einen sieheauch-Link auf Differenzierbarkeit#Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:58, 12. Okt. 2019 (CEST)

text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 13:05, 19. Nov. 2019 (CET)
thread_title:  Verschiedenes 

message: Vielleicht sollte man diesen Abschnitt stark kürzen und in einem anderen Artikel einbauen?—Godung Gwahag (Diskussion) 22:16, 6. Apr. 2019 (CEST)
replies: text: M.E. wäre das auch etwas für einen sieheauch-Link auf Differenzierbarkeit#Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen.—Godung Gwahag (Diskussion) 15:58, 12. Okt. 2019 (CEST)
thread_title:  Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit 

message: Das sollte an den Beginn des Abschnitts https://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Funktion#Definitionen_der_Stetigkeit (für die vorhergehenden Teile spielt es ja keine Rolle, da dort die Topologie durch die Metrik gegeben ist).—Godung Gwahag (Diskussion) 10:36, 12. Okt. 2019 (CEST)
replies: text: Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Godung Gwahag (Diskussion) 13:05, 19. Nov. 2019 (CET)
thread_title:  Anmerkung zur Darstellung in diesem Artikel