Diskussion:Ordinalzahl

message: Der Artikel widmet sich gänzlich den mengentheoretischen Ordinalzahlen. Ein Absatz über die normalen Ordinalzahlen, die im täglichen Leben Verwendung finden und identisch mit der Ganzen Zahl, die das Element abschließt, sind, ist wünschenswert. Alleine die Einleitung beschreibt die normalen Ordinalzahlen, das ist ein bisschen zu wenig. -- Matthias Pester Disk. (Matze6587) 11:24, 11. Jan. 2008 (CET)
replies: text: Was ist der Unterschied zwischen natürlichen Zahlen und Ordinalzahlen? --Alexandar.R. 11:30, 11. Jan. 2008 (CET)
replies: text: Null ist nur sehr beschränkt als natürliche Zahl zu betrachten. Die kleinen Ordinalzahlen, die sicher ihren Sinn haben, sind um Eins kleiner als die natürliche Zahl. Das Erste Element, das 1 - 0 = 1 groß ist, wird mit Null indiziert. Deshalb gibt es verschiedene Ordinalzahlen, und der Artikel beschreibt nur eine Sorte - genaugenommen beschreibt er nur die Neumannschen Ordinalzahlen. -- Matthias Pester Disk. (Matze6587) 11:50, 11. Jan. 2008 (CET)
replies: text: Was könnte man tun - den Abschnitt Die natürlichen Zahlen als geordnete Mengen ausbauen? Vielleicht schlägst Du mal paar Sätze für einen Anfang vor? --Alexandar.R. 12:11, 11. Jan. 2008 (CET)
replies: text: Nicht ausbauen. Die Sache ist kompliziert. Ich dachte es gibt hier vielleicht einen Experten der das übernimmt. Mein diesbezüglicher Vorschlag wird noch eine Weile dauern. -- Matthias Pester Disk. (Matze6587) 12:20, 11. Jan. 2008 (CET)
thread_title:  Ordinalzahlen des Alltags 

message: sehr schön geschiebener Artikel 
*keine Ahnung, ob der mathematisch so toll ist, sprachwissenschaftlich ist das Thema nicht ganz uninteressant  (Ordinal zur 1 in fast allen sprachen unregelmäßig, oft auch die zwo, zweite wie auch second gibts beide erst seit 14irntwas, z.B.), vielleicht gehört das aber auch in Zahlwort, das mögen mal die Mathematiker entscheiden...--Janneman 20:34, 29. Jan. 2008 (CET)
replies: text: nu, dem Mathematiker si gesagt, dass es Ordinlzahlen sprachlicherseits schon gab, als es die Mathematik noch nicht gab. Aber wie gesagt, dass das u.U. auch gut in Zahlwort abgehendlet werden könnte. Könnte. --Janneman 20:07, 31. Jan. 2008 (CET)

text: Das kann ich nur unterstützen. Zumindest ich ging in meiner Bewertung davon aus, dass die gegenwärtige Version noch nicht als eine Endfassung (wenn es denn so etwas überhaupt gibt) anzusehen wäre. Eine erneute Lesenswert-Diskussion, wenn du (und wer auch immer mitarbeitet) das Werk für ausgereift genug hältst, würde ich für meinen Teil sehr begrüssen.--Hagman 09:25, 9. Feb. 2008 (CET)
thread_title:  Gescheiterte abgeschlossene Lesenswert-Wahl 

message: Der Artikel ist gut mit Quellen belegt. Warum fehlt jede Quellenangabe für die Zermelo-Definition der Ordinalzahlen? Wenn jemand schon so gut Bescheid weiß, dass er dies auf 1915 datieren kann, dann wäre doch die Angabe der Quelle sicher kein Problem. Wenn die Angabe korrekt ist, dann wäre das ja die erste Ordinalzahldefinition, die wirklich tauglich ist. Das wäre schon wert, abgesichert und vielleicht auch betont zu werden.--Wilfried Neumaier 15:29, 11. Apr. 2008 (CEST)
replies: text: Die Datierungen stammen alle von Bachmann. Ich glaube irgendwo gelesen zu haben, dass die Zermelosche Definition nicht veröffentlicht worden ist, sondern aus einem Brief ist. Daher wird es vermutlich nicht möglich sein einen Artikel z.B. zu zitieren. --Alexandar.R. 15:43, 11. Apr. 2008 (CEST)

text: Also, ich habe Bachmann jetzt aufgemacht. Zu der Zermeloschen Definition steht dort: Nicht veröffentlicht (vlg. Bernays, A system of axiomatic set theory II, Journal of symbolic logic 6, 1 1941). Die erste Bedingung scheint tatsächlich überflüssig. Allerdings muss man in der Mengelehre aufpassen. Man nehme ein Axiom raus und plötzlich gehen manche vorher triviale Beweise nicht mehr. In diesem Fall fehlt mir aber nicht auf, welches Axiom in die Suppe spucken könnte. Im Beweis der Äquivalenzen wird bewiesen, dass die Defintion von Bernays (1941) äquivalent zu der Zermeloschen ist, wobei eigentlich die erste Bedingung auf dem ersten Blick nur darin vorkommt, dass sie aus der Transitivität in der Defintion von Bernays folgt. Ich würde sagen, man lässt es erstmal so, weil es nicht falsch ist, und schaut sich den Artikel von Bernays an. --Alexandar.R. 08:50, 12. Apr. 2008 (CEST)

text: Hmmm... Früher hat man gerne Mengen mit anderem Fundament betrachtet (also mit Urlelementen). Ich werde die Frage, ob die Bedingung tatsächlich überflüssig ist, im Visier behalten. Möchte mir aber noch paar Artikel von Zermelo anschauen, damit ich nachvollziehen kann, was ihn dazu bewegt hat, die Definition so zu formulieren. --Alexandar.R. 08:25, 17. Apr. 2008 (CEST)

text: Hm, was ist mit u;\{ u \};\{u, \{ u \}\};\{u, \{ u \}, \{ u, \{ u \} \} \};.... (u-Urelement). Erfüllen sie nicht Bedingungen 2. und 3. (bei der Einnahme, dass man Vereinigungen von leeren Familien nicht kennt)? --Alexandar.R. 22:22, 17. Apr. 2008 (CEST)

text: Ja, es ist weit und breit kein Problem zu sehen. Die Bedingung 1. scheint tatsächlich überflüssig zu sein. Schon erstaunlich, dass Bachmann das nicht bemerkt hat. --Alexandar.R. 14:28, 18. Apr. 2008 (CEST)

text: Ich habe inzwischen den verbesserten Stand nach Hallett 1984 nachgetragen, nach dem Bernays erste Bedingung nicht original ist. Sondern die korrekte Bedingung. Es ist in der Fußnote vermerkt.--Wilfried Neumaier 12:39, 16. Aug. 2009 (CEST)

text: Ich muss mich korrigieren: Man kann das "entweder" tatsächlich weglassen und zum Original übergehen, die Fundiertheit ergibt sich. Siehe den Kommentar unten zu den äquivalenten Definitionen.--Wilfried Neumaier 00:43, 2. Jun. 2011 (CEST)
thread_title:  Quellenbeleg für Zermelo 

message: Mir ist aufgefallen, dass Cantor im Artikel ohne ausreichende Quellenangaben refiert wird. Dieser Mangel sollte unbedingt behoben werden, da der Artikel im Übrigen gut mit Quellen belegt ist.--Wilfried Neumaier 12:25, 22. Jan. 2009 (CET)
thread_title:  Quellenbelege 

message: "Die kleinste Ordinalzahl s(ξ) größer als alle Elemente der Ordinalzahl ξ heißt Nachfolger von ξ"
Das ist doch so nicht richtig, damit wäre doch s(ξ)=ξ , oder?
-- artis
:Stimmt, jede Ordinalzahl ist größer als alle ihre Elemente. Vergleiche Bachmann 1967 S. 21: Zu jeder Ornungszahl a existiert die nächstgrößte Ordnungszahl, die sog. Nachfolgerzahl von a. Ich korrigiere den Text.--Wilfried Neumaier 00:07, 9. Feb. 2009 (CET)
thread_title:  Nachfolger 

message: Der Ordnungstyp ist, wenn ich Cantors originale Definition in seinem Aufsatz von 1895 §7 S. 497 (2) lese, nicht die Äquivalenzklasse der ordnungsisomorphen Mengen! Zweifellos ist seine verbale Definition unklar, was dann wohl zu dieser Deutung, die im Artikel auch steht, geführt hat. Dass es eine Fehldeutung ist, sagt schon Cantors direkt anschließender Kommentar dazu, nachdem eine geordnetete Menge und ihr Ordnungstyp ordnungsisomorph sind. Der Ordnungstyp ist für ihn also ein Repräsentant dieser Äquivalenzklasse. Die Situation ist übrigens ganz analog bei den Kardinalzahlen §1 S.481, deren Definition zur Ordinalzahldefinition sehr ähnlich formuliert ist; in §1 483 (9) steht dann explizit der Satz M~|M|, das heißt, dass eine Menge und ihre Kardinalzahl gleichmächtig sind und die Kardinalzahl ein Repräsentant der Klasse der zu M gleichmächtigen Mengen ist. Dieser parallele Sachverhalt ist mir neulich aufgefallen, als ich mir Cantor vorknüpfte und versuchte, ihn ohne moderne Kommentare zu verstehen. In der Sekundärliteratur und Referenzen auf Cantor ist mir dieser, wie ich finde bemerkenswerte Sachverhalt, nicht begegnet.--Wilfried Neumaier 00:43, 29. Nov. 2009 (CET)
thread_title:  Cantors Ordnungstyp 

message: Da stehen zwei verschiedene Definitionen von Transitivität hintereinander, das kann so nicht bleiben.
--Chricho 17:50, 26. Mär. 2010 (CET)
replies: text: Der zweite Satz ist keine Definition, sondern eine beweisbare Äquivalenzausssage. Ein Einschub beugt jetzt dieser Verwechslung vor.--Wilfried Neumaier 23:22, 5. Jul. 2010 (CEST)
thread_title:  Transitivität 

message: Was soll dort die Gleichsetzung der jeweiligen Zahlenmenge mit der "binaer" geklammerten leeren Menge? \{\empty\} heisst die Komplentaermenge der leeren Menge? -- Room 608 13:31, 5. Jul. 2010 (CEST)
replies: text: Die Darstellung stimmt schon, enthält aber jeweils zwei unterschiedliche Informationen: die Definition (erstes Gleichheitszeichen) und die Umrechnung des Definiendums in die Menge, bei der alle definierten Zahlen wieder eliminiert sind (rechts vom zweiten Gleichheitszeichen). \{\empty\} ist die Menge, die nur die leere Menge enthält, also die einelementige Menge, die als Definiens für die 1 gewählt wurde. Mit Komplement hat das nichts zu tun.--Wilfried Neumaier 23:16, 5. Jul. 2010 (CEST)

text: Die Darstellung hier folgt nicht einer privaten Logik, sondern den belegbaren Veröffentlichungen zur Mengenlehre. Hier werden nur ganz wenige Eigenschaften verwendet, die in den verbreiteten und in der Mathematik nahezu einhellig akzeptierten Axiomensystemen der Mengenlehre (ZFC, NBG, ...) jeweils gültig sind, etwa das Paarmengenaxiom, um \{\emptyset\} aus \emptyset zu konstruieren. Ebensowenig sind hier 0 und 1 die Entsprechungen von aussagenlogischen Wahrheitswerten "falsch" und "wahr", sondern Ordinalzahlen. Wenn ich Petzinger S. 45f. richtig lese, entspricht der dort eingeführte Individualbegriff offenbar so etwas wie Urelementen im Sinne der Mengenlehre. Liest man weiter bis zum Ende von §5, findet man Hinweise zur Mengenlehre (ich frage mich, wieso der Autor das Wort umstritten auf S. 48 nicht für einen Beleg erforderlich machend hält), so auch die Schreibweise mit Mengenklammern und der Aufzählung aller Elemente im endlichen Fall. Es wird dort aber nirgends ausgeschlossen, dass die Elemente einer Menge ihrerseits Mengen sind. So etwas ähnliches, vor allem wohl der Verzicht(?) auf das Komprehensionsaxiomenschema aka. das Kind mit dem Bade ausschütten, wird wohl erst später (VI. §2) vorgeschlagen.--Hagman 20:46, 6. Jul. 2010 (CEST)

text: Dein Mengenbegriff umfasst nur Mengen erster Stufe, die nur Individuen im Sinn von Urelementen enthalten. Mengen sind aber üblicherweise Allgemeinbegriffe, die selbst Elemente sein können. Das ist seit Cantor üblich. Schau mal rein in: Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre 1., in: Mathematische Annalen 46 (1895), §5, 489 (online zu finden). Dieser §5 enthält bereits das Modell der endlichen Ordinalzahlen, nur nicht so formalistisch, aber der Idee nach.--Wilfried Neumaier 17:50, 11. Jul. 2010 (CEST)
thread_title:  Natuerliche Zahl als geordnete Menge 

message: Ich sehe nicht die Äquivalenz (ohne Nutzung des Fundierungsaxioms) von Definition V (Robinson), in der es wohl ohnhin "... für je zwei verschiedene Elemente ..." heißen muss, und der Definition IV (Gödel): Ein Quine-Atom x=\{x\} erfüllt V, aber nicht IV. (Mit Fundierungsaxiom wird aus IV ohnehin "transitiv mit transitiven Elementen", was (scheinbar) schwächer als V ist).--Hagman 08:15, 8. Sep. 2010 (CEST)
replies: text: Die Beobachtung ist völlig richtig. Die Wiedergabe der Robinson-Definition war gründlich daneben gegangen (, ) - mein Fehler. Wir können nur hoffen, dass diejenige, die es gelesen haben auch ins Buch geschaut haben, und wir niemanden reingelegt haben. --Alexandar.R. 09:40, 8. Sep. 2010 (CEST)

text: Vergleiche hierzu das Beweisarchiv, wo (hoffentlich korrekte) Beweise der Äquivalenzen angegeben sind.--Hagman 17:13, 28. Mär. 2011 (CEST)
thread_title:  Äquivalenz von Definitionen 

message: Hallo, die Ordinalzahlen wurden nicht von G. Cantor entdeckt, höchstens die moderne Theorie der Ordinalzahlen in der Mathematik. Der Artikel vermittelt insofern einen völlig falschen Eindruck.
Weiterhin frage ich mich, was diese ausufernde Erörterung trigonometrischer Reihen hier zu suchen hat. Cantor mag in diesem Zusammenhang seine Ideen entwickelt haben. Aber es lässt sich kein tatsächlichen, tiefergehenden Zusammenhang zwischen trigonometrischen Reihen und (transfiniten) Ordinalzahlen herstellen. Die Ordinalzahltheorie spielt in der Theorie trigonometrischer Reihen keine (zumindest keine wichtige) Rolle. 
Es hätte an dieser Stelle die Erwähnung Cantor's Beschäftigung mit trigonometrischer Reihen genügt. Jedes weitere Eingehen darauf ist irreführend und nicht sachgemäß. Gruß Albrecht -- 87.178.59.247 13:11, 27. Mär. 2011 (CEST)
replies: text: Hallo, habe einen Änderungsvorschlag eingebracht und dabei versucht, den Text weitgehend unangetastet zu lassen. Mir ging es vor allem darum dem Mißverständnis, dass die Ordinalzahltheorie für die Untersuchungen der trigonometrischen Reihen eine Rolle spielte, vorzubeugen. Gruß Albrecht -- 93.210.238.17 20:43, 7. Apr. 2011 (CEST)
thread_title:  Dieser Wiki-Artikel ist unausgegoren 

message: Ich füge mal die Verlinkung zum Artikel Häufungspunkt ein. Ich hoffe, das ist so in Ordnung. --Wikilaser 19:25, 23. Jun. 2011 (CEST)
thread_title:  Verlinkung zum Artikel "Häufungspunkt" 

message: Hallo allerseits. Grundsätzlich ist es ja so, dass das Wort "Ordinalzahl" zwei Bedeutungen hat, die selbstverständlich miteinander zu tun haben, aber eigentlich unterschieden werden sollten. Einerseits gibt es die Ordinalzahl als rein sprachliches Objekt, also "erstens", "zweitens", "drittens", usw. und andererseits gibt es die hier diskutierten Ordinalzahlen als rein mathematisches Objekt (Menge S heißt Ordinalzahl, wenn jedes Element von S auch Teilmenge von S ist und S bezüglich der Mengeninklusion total geordnet ist.)
Bei den Kardinalzahlen gibt es bereits eine Begriffsklärungsseite. Nun die Frage: Wäre das bei Ordinalzahlen nicht ebenso sinnvoll? Im Moment werden ja die sprachlichen Ordinalzahlen im ersten Absatz kurz angedeutet, aber ich könnte mir vorstellen, dass die momentane Version immer noch für Verwirrung bei Leuten sorgt, die die rein sprachlichen Ordinalzahlen (erstens, zweitens, drittens) erwarten und dann Aussagen finden wie "Null ist eine Ordinalzahl", "Jede natürliche Zahl ist eine Ordinalzahl" und "Kardinalzahlen sind spezielle Ordinalzahlen", die als Aussagen über "mathemtaische Ordinalzahlen" richtig sind, aber als Aussagen über sprachliche Ordinalzahlen falsch.
-- Cosine 13:34, 6. Dez. 2011 (CET)
replies: text: Da muß ich als Mathematiker widersprechen. Beides sind unterschiedlich benutzte natürliche Zahlen. Die Peanoaxiome definieren die natürlichen Zahlen; ob sie als Kardinalzahlen oder Ordinalzahlen eingesetzt werden ist eine Sache des sprachlichen Gebrauchs, der bei der Ordinalzahl aus der deklinierten Form, bei der Kardinalzahl durch die Grundform angegeben wird. --SonniWP✍ 13:59, 6. Dez. 2011 (CET)
replies: text:  Hallo SonniWP. Danke für deine schnelle Antwort. Leider ist mir nicht ganz klar geworden, was deine Meinung ist, d.h. wo du mir genau widersprichst. Mein Vorschlag war eben genau der, das sprachliche Konzept "Ordinalzahl" (eine spezielles Zahlwort) vom mathematischen Konzept "Ordinalzahl" (ein mathematisches Objekt) besser zu trennen. Vielleicht kannst du ja nochmal versuchen, mir zu erklären, welcher Aussage genau du wiedersprichst. Viele liebe Grüße, -- Cosine 12:24, 7. Dez. 2011 (CET)

text:  @SonniWP Das ist schlichtweg falsch. Ordinalzahlen und Kardinalzahlen sind nicht nur natürliche Zahlen, du warst dir dieser Konzepte wohl nicht bewusst. Zudem ist ganz klar zwischen dem sprachlichen Konzept von Ordinalzahlen als spezielles Numeral und mathematischen Objekten zu unterscheiden. --Chricho ¹ 12:52, 7. Dez. 2011 (CET)
replies: text:  Ich hoffe mal, die Einleitung ist so besser, klar trennend, und für eine BKL-Seite geeignet. --Chricho ¹ 16:13, 7. Dez. 2011 (CET)
thread_title:  Begriffsklärung erwünscht? 

message: Dass keine Folge kleinerer Ordinalzahlen gegen \omega_1 konvergiert, soll sich nicht ohne Auswahlaxiom zeigen lassen? Wieso das? Folge von abzählbaren Ordinalzahlen → Vereinigung: abzählbare Ordinalzahl, obere Schranke, somit nicht gegen \omega_1 konvergent. Problem? --Chricho ¹ ² ³ 00:21, 25. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Und warum ist die obere Schranke abzählbar und nicht \omega_1? Weil eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen abzählbar ist. Dazu braucht man aber i. A. das Auswahlaxiom. Laut Kunen, Set Theory, North Holland 1980, Bemerkung nach dem Beweis zu Lemma 10.37 (Seite 33): "Without AC, it ist consistent that \operatorname(cf)(\omega_1) = \omega." (Lemma 10.37 besagt gerade: "(AC). \kappa^+ is regular." Das vorangestellte "(AC)" bedeutet hier, dass die Aussage gilt, wenn man ZF mit AC voraussetzt.) Weiter vorne (Seite 30 ganz unten) schreibt er: "Lévy showed that is consistent with ZF that \mathcal P(\omega) and \omega_1 are countable unions of countable sets." --Digamma (Diskussion) 09:01, 25. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Okay, danke, alles klar. --Chricho ¹ ² ³ 11:02, 25. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: De nada. Ich ergänze die Literaturstelle im Artikel. --Digamma (Diskussion) 12:16, 25. Aug. 2012 (CEST)
thread_title:  Auswahlaxiom 

message: Geht es bitte auch etwas allgemeinverständlicher in der Einleitung. Wiktionary kann das doch auch: "eine Zahl, die den Platz, den Stellenwert eines Elements in einer Reihenfolge anzeigt, z.B. ersens, zweitens, drittens" --Thirunavukkarasye-Raveendran (Diskussion) 20:11, 11. Dez. 2015 (CET)
replies: text: Wiktionary meint die Zahlwörter. In diesem Artikel hier geht es aber um die mathematischen Objekte. Die Zahlwörter werden im Artikel Zahlwort im Abschnitt Ordnungszahlwörter (Ordinalia) behandelt. --Digamma (Diskussion) 18:15, 12. Dez. 2015 (CET)
replies: text: Ich möchte das, was Thirunavukkarasye-Raveendran geschrieben hat, noch einmal unterstreichen. Die Einleitung ist für normal begabte Menschen wie mich quasi nicht zu verstehen. Klar, ich kann mich jetzt tief reinnerden - aber ich hoffte, dass Wikipedia das Wissen der Welt erschließen und nicht verschleiern möchte. In so fern benötige ich eine kurze Erklärung, was eine Ordinalzahl ist, und kein Mathejägerlatein. --padeluun (Diskussion) 14:35, 24. Aug. 2020 (CEST)
thread_title:  Einleitungssatz 

message: Die interessanteste Frage über Orndinalzahlen ist für mich die Existenz von omega-1 als Menge. Das  gilt auch ohne Auswahlaxiom. Man könnte ja ein Gegenprinzip zum Wohlornungssatz vermuten, das bewirkt, dass überabzählbare Mengen sich grundsätzlich nich wohlordnen lassen. Dann wären Ordinalzahlen immer abzählbar und omega-1 identisch mit der Klasse aller Ordinalzahlen. --B-greift (Diskussion) 23:33, 21. Nov. 2020 (CET)
thread_title:  omega-1 

message: Da dieses Spiel anscheinend nicht mehr weiterentwickelt wird, möchte ich nur sagen, dass ich heute bei 18 Fractal Shifts (und somit 7 Energy Orbs) feststecke, wobei das höchste besetzte Fractal Engine Level bei 18 liegt, und derzeit 38.000 davon angeschafft habe. Die Incrementy werden heute Abend den Stand von 10{19}10.000 erreichen. Es wird noch einige Monate dauern, bis ich mit 10{20}10 Incrementy das letzte Fractal Upgrade (welches unter Gain a free Fractal Shift firmiert) anschaffen könnte. --2003:D2:4F16:6DE6:C9F7:F851:BADF:CA87 12:28, 18. Sep. 2021 (CEST)
thread_title:  ''Ordinal Markup'' 

message: Hier steht: "Entscheidend bei dieser Verallgemeinerung ist, dass wie bei Folgen eine kleinste Position (die Ordinalzahl Null) existiert und jedes Element (mit Ausnahme eines eventuell vorhandenen letzten Elements) einen eindeutigen Nachfolger hat. " Sollte das nicht die "Eins" sein, da nur diese existiert? -2.247.241.56 09:44, 20. Nov. 2022 (CET)
thread_title:  kleinste Position (die Ordinalzahl  Null)?