Diskussion:Numerische Integration

message: Woher kommen diese m und x_i Werte bei den verchiedenen Verfahren wie Simpson oder Trapezregel? Wie kommt man von denen zu den gegebenen Formeln?
:Bitte unterschreibe beim nächsten Mal Deinen Diskussionsbeitrag mit vier Tilden.
:m (oder m+1?) steht für die Anzahl der Stützstellen und die i sind ebendiese Stützstellen. Also zB m=1 (dh eine zusätzlich Stützstelle, zB in der Mitte und die beiden Intervallränder a und b) und diese Stützstelle wird dann c genannt.
:Hoffe das hilft, --Thire 09:18, 11. Feb. 2007 (CET)
thread_title:  m und x_i Werte? 

message: Die Monte-Carlo-Methode kommt nur als Link vor und als Bild mit einer mehr als dürren Erläuterung in der Bildunterschrift, nichts dazu im Text. Einerseits sollte dieses spezielle Beispiel also im Text etwas ausgeführt werden. Andererseits habe ich (Physiker, nur von ferne mal mit der Methode zu tun gehabt) von Monte Carlo immer eine andere Auffassung gehabt, wie sie im eigentlichen Monte-Carlo-Artikel auch nicht explizit vorkommt: Für mich heißt Monte-Carlo-Integration, dass man zufällig in ein Rechteck (Hyper-Quader im n-Dimensionalen) mit zufälliger x- und y-Koordinate zielt und dann zählt, mit wievielen dieser Versuche man unterhalb der zu integrierenden Funktion landet. Dieses Trefferverhältnis mal der bekannten Rechteckfläche (Quadervolumen) liefert den Integrationswert. Das wird erst bei hohen Dimensionen n so richtig sinnvoll. Die Abbildung legt dagegen ein intelligenteres Verfahren mit zusätzlicher Schrittweitensteuerung oder so nahe. Ich hätte also gern eine nähere Erläuterung des Verfahrens im Bild und zweitens ein paar allgemeinere Worte zu Monte Carlo, ob ich da was falsch verstanden habe, oder ob es das offiziell auch gibt und wie das dann genau verwendet wird. --PeterFrankfurt 16:25, 30. Aug. 2007 (CEST)
replies: text: Jetzt hast Du ja zwei Jahre später einfach mal gemacht. Ich finde es ja sinnvoll, etwas dazu zu schreiben, aber die Überschrift "Rein numerische Verfahren" passt überhaupt nicht, der Hauptartikel zu auch einem anderen Thema und viele Deiner Aussagen glaube ich ohne Quelle nicht. Kannst Du letztere bitte angeben? --P. Birken 20:34, 31. Mär. 2010 (CEST)
replies: text: Nee, das waren nur Allgemeinplätze zum Thema, sorry, so als Stub. Die Fachleute sind herzlich eingeladen. Ich hätte auch nicht viel dagegen, wenn man es mehr oder weniger auf den Verweis zum Hauptartikel eindampft. Aber wie das so geht: Ich wollte dann doch einen dürren Satz Kurzfassung dazupacken, damit der Leser wenigstens eine Ahnung bekommt, und dann bin ich halt ins Labern gekommen, mea culpa. Auf der Überschrift bestehe ich auch nicht. --PeterFrankfurt 01:45, 1. Apr. 2010 (CEST)
replies: text: Dann massiere ich das einfach mal. --P. Birken 18:20, 2. Apr. 2010 (CEST)
replies: text: Ja, kommt gut. --PeterFrankfurt 02:32, 6. Apr. 2010 (CEST)
thread_title:  Monte Carlo 

message: Dieser Abschnitt ist zumindest missverständlich. Woher stammt er? Wohl nicht aus dem Buch von Schwarz, Köckler, denn dort wird alles sehr kurz abgehandelt.
Es muss wohl heißen 
: |E(f)| \le {(b-a)^{m+2} \over (m+1)!}\left| \int_{0}^{1}{(z-z_0)...(z-z_m)dz}\right|\ \max_{a\le x \le b} {\left| f^{(m+1)}(x) \right|} .
Falls dann alle (x-x_j) (für beliebiges x\in [a,b]!) die gleichen Vorzeichen hätten, dann folgt, dass 
 
: \left |\int_{0}^{1}{(z-z_0)...(z-z_m)dz}\right|\ =  \int_{0}^{1}{\left|(z-z_0)...(z-z_m)\right|dz} .
Alle (x-x_j) können aber für beliebiges x\in [a,b] nur dann die gleichen Vorzeichen haben, wenn alle x_j außerhalb von [a,b] liegen, im Widerspruch zur Forderung, dass sie alle in [a,b] liegen. Diese Forderung ist ohnedies zu stark. Es gibt auch Formeln, bei denen x_j außerhalb von [a,b] liegen.
Insgesamt ist aber diese Argumentation ohnedies überflüssig, da immer gilt:
: \left |\int_{0}^{1}{(z-z_0)...(z-z_m)dz}\right|\ \le  \int_{0}^{1}{\left|(z-z_0)...(z-z_m)\right|dz} .
Die Formel 
: E(f) = {(b-a)^{m+2} \over (m+1)!}{\beta_{m+1}}{f^{(m+1)}(\zeta)}
ist nicht immer richtig. Bei Newton-Cotes-Formeln mit geradem m muss m durch m+1, bei der Gauss-Quadratur durch 2m ersetzt werden.  
Der Begriff der Konvergenzordnung ist hier fehl am Platz, da es sich um kein Iterationsverfahren handelt. Gemeint ist die Ordnung oder der Exakktheitsgrad des Verfahrens. Dieser Begriff müsste aber noch erklärt werden.
Erwähnen würde ich noch, dass die Summe der \beta_j gleich 1 ist.
-- Fritz Bierbaum 19:11, 14. Aug. 2011 (CEST)
thread_title:  Fehlerabschätzung