Diskussion:Stichprobenverteilung

message: Dieser Artikel dient der Auslagerung des Abschnitts "Stichprobenverteilung" aus dem Artikel Schätzfunktion.--Sigma^2 (Diskussion) 00:41, 15. Mai 2024 (CEST)
replies: text: --biggerj1 (Diskussion) 20:02, 17. Mai 2024 (CEST)
thread_title:  Auslagerung 

message: Ich sehe leider keinen Abschnitt mehr, welcher die "Breite" der Stichprobenverteilung als Konstruktionsbegründung für ein Konfidenzintervall heranzieht. Für mich ist das eine wichtige Anwendung der Stichprobenverteilung.  Die Bayessche Erweiterung dieser Idee ist dann das Glaubwürdigkeitsintervall welches aus der A-posteriori Verteilung berechnet wird. Könnten wir das so wieder im Artikel wiederspiegeln? biggerj1 (Diskussion) 22:19, 19. Mai 2024 (CEST)
thread_title:  Anwendung Konfidenzintervall + Bayessche Erweiterung 

message: Der Abschnitt Stichprobenverteilung des Artikels Schätzfunktion enthielt drei Beispiele, die aus verschiedenen Gründen sehr problematisch sind und zur Diskussion hierher kopiert werden.
=== Beispiel 3  === 
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Ein Lebensmittelgroßmarkt bekommt eine Lieferung von 2000 Gläsern mit Pflaumenkompott. Problematisch sind in den Früchten verbliebene Kerne. Der Kunde toleriert einen Anteil von Gläsern mit Kernen von 5 %. Er möchte sich bei dieser Lieferung vergewissern, dass diese Quote nicht überschritten wird. Eine komplette Erhebung der Grundgesamtheit von 2000 Gläsern ist allerdings nicht durchführbar, denn 2000 Gläser zu kontrollieren ist zu aufwendig und außerdem zerstört das Öffnen eines Glases die Ware.
Allerdings könnte man eine kleine Zahl von Gläsern zufällig aussuchen, also eine Stichprobe nehmen, und die Zahl der zu beanstandenden Gläser zählen. Übersteigt diese Zahl eine bestimmte Grenze, den kritischen Wert der Prüfgröße, geht man davon aus, dass auch in der Lieferung zu viele zu beanstandende Gläser sind.
Eine mögliche Stichprobenfunktion ist \pi =\frac{1}{n} (X_1 + X_2 + \ldots + X_n), wobei X_i eine Zufallsvariable bezeichnet, die nur die Werte 1 (Glas enthält Pflaumen mit Kern) oder 0 (Glas enthält keine Pflaumen mit Kern) annimmt.
Wenn die Zufallsvariablen X_i Bernoulli-verteilt sind, dann ist aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes \pi approximativ normalverteilt.
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Diskussion von Beispiel 3:
Bei einer Zerstörung ist ein Ziehungsschema mit Zurücklegen nicht möglich. Die Stichprobenvariablen sind nicht stochastisch unabhängig, eine Berufung auf den zentralen Grenzwertsatz  ist nicht möglich ( n \to \infty gibt es nicht, bei n= 2000 sind alle Gläser geöffnet). Als Beispiel für Stichprobenverteilung ungeeignet. Es ist viel komplizierter (die Summenvariable ist hypergeometrisch verteilt).--Sigma^2 (Diskussion) 23:03, 15. Mai 2024 (CEST)
thread_title:  Beispiele 

message: ----
Ein Lebensmittelgroßmarkt bekommt eine Lieferung von 2000 Gläsern mit Pflaumenkompott. Problematisch sind in den Früchten verbliebene Kerne. Der Kunde toleriert einen Anteil von Gläsern mit Kernen von 5 %. Er möchte sich bei dieser Lieferung vergewissern, dass diese Quote nicht überschritten wird. Eine komplette Erhebung der Grundgesamtheit von 2000 Gläsern ist allerdings nicht durchführbar, denn 2000 Gläser zu kontrollieren ist zu aufwendig und außerdem zerstört das Öffnen eines Glases die Ware.
Allerdings könnte man eine kleine Zahl von Gläsern zufällig aussuchen, also eine Stichprobe nehmen, und die Zahl der zu beanstandenden Gläser zählen. Übersteigt diese Zahl eine bestimmte Grenze, den kritischen Wert der Prüfgröße, geht man davon aus, dass auch in der Lieferung zu viele zu beanstandende Gläser sind.
Eine mögliche Stichprobenfunktion ist \pi =\frac{1}{n} (X_1 + X_2 + \ldots + X_n), wobei X_i eine Zufallsvariable bezeichnet, die nur die Werte 1 (Glas enthält Pflaumen mit Kern) oder 0 (Glas enthält keine Pflaumen mit Kern) annimmt.
Wenn die Zufallsvariablen X_i Bernoulli-verteilt sind, dann ist aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes \pi approximativ normalverteilt.
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Diskussion von Beispiel 3:
Bei einer Zerstörung ist ein Ziehungsschema mit Zurücklegen nicht möglich. Die Stichprobenvariablen sind nicht stochastisch unabhängig, eine Berufung auf den zentralen Grenzwertsatz  ist nicht möglich ( n \to \infty gibt es nicht, bei n= 2000 sind alle Gläser geöffnet). Als Beispiel für Stichprobenverteilung ungeeignet. Es ist viel komplizierter (die Summenvariable ist hypergeometrisch verteilt).--Sigma^2 (Diskussion) 23:03, 15. Mai 2024 (CEST)
thread_title:  Beispiel 3  

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In einer Urne sind fünf rote und vier blaue Kugeln. Es werden drei Kugeln ohne Zurücklegen aus dieser Urne gezogen. Definiert man die Stichprobenfunktion X: Zahl der roten Kugeln unter den drei gezogenen, ist X hypergeometrisch verteilt mit M=5 als Zahl der roten Kugeln in der Urne, N=9 als Gesamtzahl der Kugeln in der Urne und n=3 als Zahl der Versuche. Hier können alle Informationen über die Verteilung von X gewonnen werden, weil sowohl das stochastische Modell (Ziehen aus einer Urne) als auch die zugehörigen Parameter (Anzahl der roten und blauen Kugeln) bekannt sind.
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Diskussion von Beispiel 2: Das Beispiel illustriert nicht den Inhalt des Artikels. Die Beziehung zwischen den Stichprobenvariablen (X_1,X_2,X_3) und der Stichprobenfunktion G wird durch das Beispiel nicht hergestellt. Die Notation verträgt sich nicht mit dem Artikel.--Sigma^2 (Diskussion) 23:08, 15. Mai 2024 (CEST)
thread_title:  Beispiel 2 

message: ----
Gegeben sei eine Urne mit sieben Kugeln mit den Aufschriften 10, 11, 11, 12, 12, 12 und 16. Wenn man zwei Kugeln mit Zurücklegen zieht, zeigt die folgende Tabelle alle möglichen Stichproben aus der Grundgesamtheit:
  	10   	11   	11   	12   	12   	12   	16
10	10;10	10;11	10;11	10;12	10;12	10;12	10;16
11	11;10	11;11	11;11	11;12	11;12	11;12	11;16
11	11;10	11;11	11;11	11;12	11;12	11;12	11;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12	12;12	12;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12	12;12	12;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12	12;12	12;16
16	16;10	16;11	16;11	16;12	16;12	16;12	16;16
Jede der möglichen Stichproben tritt mit der Wahrscheinlichkeit von 1/49 auf.
Berechnet man nun den Stichprobenmittelwert \overline{X}= (X_1+X_2)/2 aus den zwei Kugeln, so ergibt sich:
\overline{X}	10  	11  	11  	12  	12  	12  	16
10          	10,0	10,5	10,5	11,0	11,0	11,0	13,0
11          	10,5	11,0	11,0	11,5	11,5	11,5	13,5
11          	10,5	11,0	11,0	11,5	11,5	11,5	13,5
12          	11,0	11,5	11,5	12,0	12,0	12,0	14,0
12          	11,0	11,5	11,5	12,0	12,0	12,0	14,0
12          	11,0	11,5	11,5	12,0	12,0	12,0	14,0
16          	13,0	13,5	13,5	14,0	14,0	14,0	16,0
Fasst man die Ergebnisse von \overline{X} entsprechend der Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Stichprobe zusammen, so erhält man die Stichprobenverteilung von \overline{X}:
x                	10,0	10,5	11,0 	11,5 	12,0	13,0	13,5	14,0	16,0
P(\overline{X}=x)	1/49	4/49	10/49	12/49	9/49	2/49	4/49	6/49	1/49
Ändert man die Art der Ziehung, von einer Ziehung mit Zurücklegen in eine Ziehung ohne Zurücklegen, so ergibt sich eine andere Verteilung für \overline{X}. In den oberen Tabellen fällt dann die Hauptdiagonale weg, sodass es nur 42 mögliche Stichproben gibt. Daher ergibt sich dann folgende Verteilung für \overline{X}:
x                	10,0	10,5	11,0	11,5 	12,0	13,0	13,5	14,0	16,0
P(\overline{X}=x)	0   	4/42	8/42	12/42	6/42	2/42	4/42	6/42	0
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Diskussion von Beispiel 1: 
Das Beispiel illustriert nicht den Inhalt des Artikels. Die Beziehung zwischen den Stichprobenvariablen (X_1,X_2,X_3) und der Stichprobenfunktion G wird durch das Beispiel nicht hergestellt. Ein einfacheres Beispiel, z. B.  mit drei Kugeln, und einer klareren Beschriftung der Tabellen könnte helfen. --Sigma^2 (Diskussion) 23:23, 15. Mai 2024 (CEST)
thread_title:  Beispiel 1 

message: * Weitere WP-Links, EN
* Rolle der hypergeometrischen Verteilung beim Ziehen ohne Zurücklegen
* Verwendung des Begriffs sampling distribution bereits durch Fisher vor 100 Jahren (erledigt)
* Verweise auf die Stichprobenverteilungen von \max\{X_1,\dots,X_n\}, \min\{X_1,\dots,X_n\}
* Andere Approximationen der Stichprobenverteilung (Poisson-Verteilung, Extremwertverteilungen)
--Sigma^2 (Diskussion) 00:13, 17. Mai 2024 (CEST)
thread_title:  Mögliche Erweiterungen 

message: Es wäre sehr schön ein Beispielbild für die Stichprobenverteilung des Mittelwertschätzers \overline{X}_n=1/n \sum_{i=1}^n X_i zu haben. Man könnte wunderbar zeigen, wie für 3 immer größer werdende n die Stichprobenverteilung enger um den echten Mittelwert \mu wird, da Var(\overline{X}_n)=\sigma^2/n  (siehe Standardfehler). Wer könnte das Bild anfertigen? --biggerj1 (Diskussion) 09:34, 17. Mai 2024 (CEST)
replies: text: Ich fände so ein Bild auch gut, finde aber, dass es eindeutig in den Artikel Schätzfunktion gehört, da es ein Basisproblem der Schätztheorie ist. --Sigma^2 (Diskussion) 11:43, 17. Mai 2024 (CEST)
replies: text:  Ich habe mal ein Bild eingefügt. Ich denke man könnte den Text drum herum verbessern. biggerj1 (Diskussion) 16:41, 17. Mai 2024 (CEST)
replies: text:  Text angepasst.--Sigma^2 (Diskussion) 18:58, 17. Mai 2024 (CEST)
replies: text: Besten Dank! :) du kannst das Bild ja auch in anderen Artikeln an entsprechender Stelle einbinden. LG --biggerj1 (Diskussion) 19:21, 17. Mai 2024 (CEST)
thread_title:  Bild