Diskussion:Methode der kleinsten Quadrate/Archiv/2009

message: Mmn. ware es besser im Allgemeinen die Methode dkK zu betrachten als annäherendes Losungsverfahren von überdeterminierte Systemen linearer Gleichungen. Nijdam 22:47, 31. Mai 2009 (CEST)
replies: text: Das ist sie meiner Meinung nach nicht, je nach Problem sind andere Arten der Regression sinnvoller. --P. Birken 16:05, 1. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Was hat es mit Regression zu tun? Zwar kan man die Meth.dkK in einige Regressionsproblemen anwenden, ansonsten gibt es keine Beziehung. Nijdam 18:55, 1. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Wenn ich mich mit meinem Lieblingsthema einmischen darf: Die kleinsten Quadrate haben von sich aus überhaupt nichts mit linearen Gleichungen zu tun. Man kann auch Kurvenfitten von Sinussen oder Exponentialkurven machen mit Hilfe der kleinsten Quadrate. Die Fälle mit linearen Gleichungen als Modellfunktion haben nur den Vorteil, dass sie sich bei der Verwendung der kleinsten Quadrate als Fehlerfunktion direkt in ein lineares Gleichungssystem überführen lassen, für das es dann sehr gut bekannte Lösungsverfahren gibt. Wenn die Modellfunktion aber nicht linear ist, dann klappt das nicht mit dem Gleichungssystem, es wird dann auch kein überbestimmtes, sondern man muss ganz andere Optimierungsverfahren anwenden, stets aber immer noch mit den kleinsten Quadraten als Fehlerfunktion, die es zu minimieren gilt. --PeterFrankfurt 23:54, 1. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Da hast du recht. Ich meinte eigentlich: überdeterminierte Systemen von Gleichungen. Ich wollte betonen, dass es nicht unbedingt Kurvenfitting betrifft, obwohl man es vielleicht immer als solches auffassen kann. 10:31, 2. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Ich hab schon verstanden was Du meinst. Lineare Gleichungssysteme kommen immer irgendwoher. Und je nach zugrundeliegendem Problem kann es sinnvoll sein, die Methode der kleinsten Quadrate anzuwenden oder eben eine andere Form der Fehlerbewertung, die einer anderen Form der Regression entspricht. --P. Birken 20:43, 2. Jun. 2009 (CEST)
thread_title:  Überdeterminiertes System linearen Gleichungen 

message: "In der mathematischen Statistik nennt man das Verfahren auch Kleinste-Quadrate-Schätzung, während in der Physik die Bezeichnung Fitting verwendet wird." - das stimmt so nicht. Fitting bezeichnet allgemein die Anpassung einer Kurve an eine Punktwolke, unabhängig davon, welches Verfahren zur Ermittlung der Fitkurve verwendet wird. --Zipferlak 10:06, 22. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Ist es nicht umgekehrt: Wenn von Fitting gesprochen wird, ist implizit die Methode der kleinsten Quadrate gemeint, wenn man anders fittet, erwaehnt man das explizit (etwa Interpolation)? --P. Birken 10:15, 22. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Leider kann ich nur mit meiner eigenen Erfahrung argumentieren. Demnach entspricht das "Fitting" eher der "Ausgleichungsrechnung" als der "Methode der kleinsten Quadrate". Der englische Artikel en:Curve fitting ist mit seinem Einschluss von Interpolation m.E. unzutreffend, da eigentlich nur überbestimmte Systeme "gefittet" werden, d.h. in der Physik werden aus naheliegenden Gründen mehr Messpunkte erhoben als dies mathematisch erforderlich wäre. --Zipferlak 10:48, 22. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Ausgleichsrechnung und Methode der kleinsten Quadrate werden in der Regel synonym verwendet, da die Methode der kleinsten Quadrate _das_ Standardverfahren zur Ausgleichsrechnung ist. --P. Birken 10:59, 22. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Warum gibt es dann zu den beiden Lemmata zwei verschiedene Artikel ? --Zipferlak 11:06, 22. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Weil die Methode der kleinsten Quadrate das Standardverfahren ist, es aber noch weitere Verfahren gibt, etwa die Minimierung der Summe der Beträge (ohne diese zu quadrieren). --P. Birken 19:54, 22. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Genau. Wie gesagt, kann ich nur mit meiner Erfahrung argumentieren, die besagt, dass unter "Fitting" jedes Verfahren der Anpassung einer Kurve an eine Punktwolke verstanden wird - nicht nur die Anpassung mit der Methode der kleinsten Quadrate (wenngleich diese auch das Standardverfahren des "Fittings" ist). --Zipferlak 22:41, 22. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Endlosschleife? --P. Birken 23:09, 22. Jun. 2009 (CEST)

text: Also ich als Physiker muss Zipferlak hier zustimmen: "Fitting" (oder Fitten) kenne ich als alles übergreifenden Begriff, identisch mit der Ausgleichungsrechnung, und die Kleinsten Quadrate sind dann schon ein Spezialfall davon. --PeterFrankfurt 01:48, 23. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Ja, das wissen alle hier. Ich wiederhole mich dann tatsächlich, wenn das hier nicht anders funktioniert: Wenn man von Fitting spricht, meint man implizit die Methode der kleinsten Quadrate, soweit ich das verstanden habe. Wenn man etwas anderes meint, erwähnt man das explizit. --P. Birken 09:03, 23. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Habs mal entschärft. Der Begriff Fitting müsste eigentlich auch in anderen Disziplinen bekannt sein. -- Philipendula 09:21, 23. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Ja, danke, so passt es. --Zipferlak 09:41, 23. Jun. 2009 (CEST)
thread_title:  Fitting 

message: Ist es in deutsche Literatur üblich die Punktenpaare mit (t,y) zu bezeichnen, statt (x,y)? Eine Gerade z.B. würde ich notieren wie: y=α+βx, mit Parametern α und β. Nijdam 20:59, 24. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Siehe Diskussion oben. --Lutz Hartmann 21:29, 24. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Habe sie gelesen, aber sie überzeugt nicht. Ich weiss leider nicht was man so in jedes Fachbereich schreibt, aber jedenfalls ist oft die Rede von eine Funktion y=f(x), wobei f zu einer parametrisierte Familie gehört. Das würden die Leser auch besser verstehen. Nijdam 23:57, 24. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Wenn ich das da oben richtig verstanden habe, wird P. Birken auch das Thema der Bezeichnungen angehen. Lutz Hartmann 07:53, 25. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Wenn mir auch die Notation x;β vertrauter ist, fände ich es trotzdem überlegenswert, es so zu belassen, wie es ist. Denn dieser Artikel beschreibt nur die numerische Vorgehensweise, wo die Lösung eines Gleichungssystems die "Regressionskoeffizienten" betrifft. Als Unbekannte müssten sie dann als x bezeichnet werden. Man hätte dann auch eine klare Abgrenzung zum statistischen Modell der Regressionsanalyse. -- Philipendula 08:45, 25. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Ein Problem bei t könnte sein, dass man da unwillkürlich an eine Zeitvariable denkt und dann (vielleicht auch unbewusst) verwirrt wird, wenn plötzlich t mehrdimensional ist. Andererseits ist natürlich x als Unbekannte schon irgendwie ideal. Noch eine Anmerkung: Aus rein numerischer Sicht spielt die Variable t doch so gut wie keine Rolle. Da kann man das Problem als Spezialfall der Minimierung von \|F(x)\|_2 mit einer vektorwertigen Funktion F auffassen. Im linearen Fall ist F(x) = Ax-b und wie die Matrix A entstanden ist, durch Einstzen von t in f oder irgendwie anders, ist eigentlich egal. Wahrscheinlich ist das etwas zu abstrakt, um den Artikel von Anfang an so aufzuziehen, aber erwähnen sollte man es in einem Artikel, der die numerische Sichtweise darstellen soll, wohl schon.--91.13.168.79 20:23, 25. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Also ich würde x für die unbekannten Parameter beibehalten. Überdenkenswert finde ich die Benennung der Modellfunktion als y_m und der allgemeine Ansatz sollte noch irgendwie rein. Den allgemeinen Fall des Minimierungsproblems habe ich unter Methode_der_kleinsten_Quadrate#Nichtlineare_Modellfunktionen als \min \|F(x)-b\|_2 formuliert. Dass das Problem diese Form mit einem Konstanten vektorwertigen Anteil hat, spielt in den Lösungsverfahren schon eine wesentliche Rolle. --P. Birken 20:31, 25. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Na ja, im nichtlinearen Fall ist es wohl nur Geschmacksache, ob man das b mitschleppt. Im Artikel Levenberg-Marquardt-Algorithmus ist z.B. kein b. Im Artikel Gauß-Newton-Verfahren anscheinend schon, aber der macht einen so chaotischen Eindruck, dass ich den gar nicht durchlesen mag.--91.13.210.252 22:36, 25. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Also ich für meinen Teil verwende gerne Messpunkte (Punktwolke) (x,y) und für die Theorie zusätzlich einen Parametersatz pi. Aber das ist jetzt nicht durch ein Buch autorisiert. --PeterFrankfurt 02:41, 26. Jun. 2009 (CEST)

text: Gene sagte gerne: Let's take our favourite combination of the three letters A, b and x. Dass dann so zu permutieren und auszutauschen, dass sich gar keiner mehr wiederfindet wäre zwar total lustig, aber vielleicht nicht so leserfreundlich ;-) --P. Birken 22:24, 26. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Och, was bist du humorlos. Nee, es müsste selbstverfreilich der ganze Artikel umgesymbolt werden. Das würde hier aber eine grundsätzliche Entscheidung erfordern. Die Arbeit selber ist dann schnell gemacht. -- Philipendula 10:42, 27. Jun. 2009 (CEST)
replies: text:  Das befürwortete ich, die Grundform y_m = x_0 + x_1 t empfinde ich als eine unnötige Klippe. --Erzbischof 11:14, 27. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Ich auch. Nijdam 11:58, 27. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Was befürwortet ihr? --P. Birken 20:51, 29. Jun. 2009 (CEST)

text: Klar, wenn man die Notation ändert, dann im ganzen Artikel. Was ich meinte ist: Beim linearen Ausgleichsproblem muss aus meiner Warte am Ende \|Ax-b\|_2 stehen. x für den Vektor der Parameter halte ich für absolut sinnvoll. Ich habe nochmal Bücher gewälzt, speziell im numerischen Kontext würde ich das als Standard bezeichnen. Abweichungen gibt es vor allem dabei, wie man die Komponenten von x nennt. Eine Möglichkeit wäre beispielsweise y_m = \alpha + \beta t und später zu sagen, dass x^T = (\alpha, \beta). Nur mal so als Beispiel. Das würde das gleichzeitige Auftauchen von x und t vermeiden und Variablen und Parameter stärker voneinander abgrenzen. --P. Birken 20:51, 29. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Wie schon oben erwähnt: Bronstein nennt es \min_b\|Xb-y\|_2. -- Philipendula 21:16, 29. Jun. 2009 (CEST)
replies: text:  Präziser: Ich denke, dass der Durchschnittsleser bei y = x_1 + x_2\cdot t  erstmal eine Funktion (x_1,x_2) \mapsto y mit Parameter t herauslesen würde. Wenn man x für die Parameter beibehält, dann vielleicht nicht y für die linke Seite nehmen. --Erzbischof 21:30, 29. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: @Phili: Ja, sieht aber trotzdem aus wie vom Praktikanten ausgedacht ;-) @Erzbischof: y_m ist auf jedenfall blöd, aber wenn ich so drüber nachdenke, finde ich y oder f ganz gut. y(t) = \alpha + \beta t magst Du nicht? --P. Birken 21:40, 29. Jun. 2009 (CEST)
replies: text:  Doch, y(t) = \alpha + \beta t wäre gut, weil man da intuitiv weiß, was die Parameter sein sollen.  --Erzbischof 21:47, 29. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Auch wenn das noch lang nichts heißt, aber die englische, französische und niederländische Wikipedia verwenden auch "meine" Symbolik. -- Philipendula 21:49, 29. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Für mich wäre y(t) = b_0 + b_1 t durchaus verständlich, weil b für mich einen Parameter beichnet. Bei y(t) = \alpha + \beta t gibts keinen Zähler für die Parameter. Lutz Hartmann 22:07, 29. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Das würde ich dann so lösen, dass hier die eben genannte Notation verwendet würde und dann dort ein allgemeiner linearer Ansatz gebracht werden würde, dann mit durchnummerierten Parametern. --P. Birken 22:40, 29. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: *quengel* Könnte man dann die Parameter wenigsten b statt \beta nennen? Im statistischen Modell ist Beta der unbekannte Parameter der Grundgesamtheit, der durch b geschätzt wird. -- Philipendula 09:37, 30. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Auch in der Ökonomie ist \beta etwas, was man schätzt, z.B. bei der Ermittlung des WACC spielt der Betafaktor im CAPM eine wichtige Rolle. Lutz Hartmann 20:07, 30. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Ach, das war eigentlich nicht das Problem. Aber amüsiert euch ruhig weiter ... -- Philipendula 21:04, 30. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Also: Ich würde gerne die Notation aus dem Björck weitestgehend übernehmen. Das ist das numerische Standardwerk zu den kleinsten Quadraten und da kommt man bei Ax-b raus. Da ich auch der Meinung bin, dass vieles am Ende Geschmackssache ist, würde ich vorschlagen, dass ich den Artikel an diese Notation anpasse und bei der Gelegenheit den Abschnitt zum allgemeinen linearen Ansatz neuschreibe. Insofern: wenn jemand bei dieser Notation tot umfällt, bitte schreien, denn ich würde jetzt einen Admin bitten, den Artikel zu entsperren und einfach mal mutig sein und loslegen, ich hätte nämlich heute und morgen Abend etwas Zeit, am Artikel zu arbeiten. Viele Grüße --P. Birken 20:34, 1. Jul. 2009 (CEST)
replies: text: Ich kann mit vielem leben, ohne tot umzufallen. Wichtig ist nur, daß die Notation am Anfang erkärt und dann einheitlich durchgezogen wird. Unschön bei Ax-b ist nur, daß der Beobachtungsvektor mit b und die einzelnen Beobachtungen (seine Elemente) mit y_i bezeichnet werden. 80.146.67.35 10:35, 2. Jul. 2009 (CEST)

text: Also hab das mal durchgezogen und den allgemeinen linearen Fall eingefügt. An mehreren Stellen habe ich den multivariaten Fall ignoriert. Die Namen der Parameter im Fall einer Ausgleichsgeraden habe ich jetzt erstmal doch nicht angepasst, passte IMHO irgendwie doch nicht. --P. Birken 21:23, 2. Jul. 2009 (CEST)
thread_title:  Symbole 

message: Basis war eine Idee von Pierre-Simon Laplace, die Beträge von Fehlern aufzusummieren, so dass sich die Fehler zu Null addieren. Soll das bedeuten, dass die Summe der Beträge minimiert wurde unter der Nebenbedingung, dass sich die Fehler saldieren, oder sollen sich nur die Fehler zu Null addieren ohne irgendwelche Beträge? -- Philipendula 15:30, 10. Jul. 2009 (CEST)
replies: text: Die Summe der Beträge wurde minimiert, unter der Nebenbedingung, dass sich die Summer der Fehler (ohne Beträge) zu Null addiert. --P. Birken 19:13, 10. Jul. 2009 (CEST)
thread_title:  ? 

message: Erst mal ein bisschen Ruhe bis zur Einigung über das weitere Vorgehen reingebracht. --Seewolf 09:58, 23. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: erl. 217.230.97.115 13:17, 10. Aug. 2011 (CEST)
thread_title:  Editwar 

message: Nachdem es um die Wiederwahl einige Diskussionen gab, habe ich als Auswerter den Autoren Zeit gegeben, die Mängel zu beheben. Belsazar und Zipferlak sehen aber ihre Kontra-Argumente nicht umgesetzt. Deshalb werde ich den Artikel wieder zur Wiederwahl/Abwahl stellen. --Kauk0r 23:35, 13. Aug. 2009 (CEST)
replies: text: erl. 217.230.97.115 13:17, 10. Aug. 2011 (CEST)
thread_title:  Neue Wiederwahl 

message: nur ein Kleinigkeit: Ceres ist ein Zwergplanet (laut Ceres Wikiseite)    (nicht signierter Beitrag von 85.179.238.56 (Diskussion | Beiträge) 21:01, 8. Okt. 2009 (CEST)
replies: text: geändert. 217.230.97.115 13:33, 10. Aug. 2011 (CEST)
thread_title:  Ceres 

message: Mir als Mathe-Laie wird beim Lesen des Artikels nicht klar, warum zur Bestimmung der Kurvenparameter die Summe der QUADRATE der Punktabweichungen minimiert wird - und nicht die Summe der Absolutabstände. Steh ich da auf der Leitung? Oder sollte das nicht schon in der Einleitung erklärt werden? Luuukas 20:01, 25. Dez. 2009 (CET)
replies: text: Könnte auch, würde dann aber nicht "kleinste Quadrate" heisen.Nijdam 09:42, 28. Dez. 2009 (CET)
replies: text:  Die Quadratfunktion x \mapsto x^2 kann man Differenzieren und deswegen einfach minimieren, x \mapsto |x| ist in 0 nicht differenzierbar. Mehr unter :en:Least_absolute_deviations (englisch) --Erzbischof 13:28, 28. Dez. 2009 (CET)
replies: text:  Das ist IMHO nicht der ausschlaggebende Punkt (mit der Begründung könnte man genausogut x \mapsto x^4 oder x \mapsto x^6 verwenden). Ich habe es so in Erinnerung, dass die Wahl einer quadratischen Fehlerfunktion ihren Hintergrund in der Messtheorie für fehlerbehaftete Messwerte hat. Die zugrundeliegenden Annahmen sind: 1.) die Modellfunktion hat keine systematischen Fehler, 2.) die Messfehler sind normalverteilt, und -im Falle mehrerer anzupassender Parameter- 3.) die anzupassenden Parameter sind statistisch unabhängig voneinander. Unter diesen Prämissen kann gezeigt werden, dass sich Messfehler (d.h. deren Standardabweichung) proportional zur Wurzel der Summe der Fehlerquadrate summieren. Die least-squares-angepasste Funktion ist dann diejenige Funktion, bei der die Wahrscheinlichkeit am größten ist, dass die beobachtenen Residuen auf Messfehler und nicht auf fehlerhafte Anpassung zurückzuführen sind.-- Belsazar 14:32, 28. Dez. 2009 (CET)
replies: text: Siehe auch Satz von Gauß-Markow und den vorletzten Absatz in "Geschichtliches". --Zipferlak 14:34, 28. Dez. 2009 (CET)

text: (BK) Jepp, der Satz von Gauß-Markow... ist ja auch im Artikel verlinkt. --Erzbischof 14:37, 28. Dez. 2009 (CET)
replies: text: Wobei der Vollständigkeit halber im Artikel evtl. noch ergänzt werden könnte, warum bzw. in welcher Hinsicht "minimalvariant = optimal" ist. --Zipferlak 14:42, 28. Dez. 2009 (CET)

text:  Also diese Bedingungen, die Belsazar da angibt, erklaeren nicht, warum man x^2 nimmt, das sind zwar die Annahmen, die man machen muss, aber sie erklaeren nicht, warum man nicht nx^2m (wobei n und m beliebige natuerliche Zahlen ausser 0 sind) nimmt. Ich habe da nicht lange drueber nachgedacht, aber ich tippe zumindest nx^2 koennte man genausogut nehmen, bloss setzt man n=1 wegen Occams Rasiermesser, oder? Fossa?! ± 15:18, 28. Dez. 2009 (CET)
replies: text:  Nein, es hat eben keine pragmatischen Gründe. Siehe oben: Die least-squares-angepasste Funktion ist diejenige Funktion, bei der die Wahrscheinlichkeit am größten ist, dass die verbleibenden Residuen auf Messfehler und nicht auf fehlerhafte Anpassung zurückzuführen sind. Das gilt nur für die least-squares-angepasste Funktion.-- Belsazar 15:37, 28. Dez. 2009 (CET)
replies: text: Hmm... "Wahrscheinlichkeit am größten" ist nicht genau die Aussage von Gauß-Markov. --Zipferlak 15:41, 28. Dez. 2009 (CET)

text:  Ich weiß gerade gar nichts mehr: in den Satz von Gauß Markow geht ja die Minimal-Varianz ein, kein Wunder, dass Fehlerquadrate rauskommen, ich muss mir das noch mal anschauen, am Ende läuft es vielleicht darauf hinaus, dass Varianz das geeignete Maß für Abweichungen ist :-) --Erzbischof 15:47, 28. Dez. 2009 (CET)

text: Das wird ja nicht nur in einem Nebensatz erwähnt, sondern es gibt sogar einen Abschnitt über Anforderungen an die Daten. Die Begründung für die Minimierung der Quadratsumme und die Voraussetzungen für das Verfahren in der Einleitung kurz und allgemeinverständliche zu behandeln, halte ich für schwierg. Denn ein Satz wie "Der Ansatz der Minimierung der Quadratsumme hat bestimmte Vorteile, ist aber nicht in allen Fällen geeignet." wirft auch eher Fragen auf als daß er weiterhilft. Das Verfahren ist ja nicht nur bei Ausreißern nicht optimal. Und ich hoffe, bei Deiner BA hast Du nicht nur diesen Artikel oder gar die Einleitung als theoretische Grundlage benutzt. 217.230.97.115 13:08, 10. Aug. 2011 (CEST)
replies: text: Ein sehr schwacher Absatz, der sich weniger mit den Annahmen und Voraussetzungen für Eignung, sowie Nachteilen auseinandersetzt als mit Wegen die Eignung herzustellen.--Moritzgedig 15:47, 21. Nov. 2011 (CET)

text: Es gibt einen weiteren mögliche Grund: Manches Mal möchte man die Fehlerleistung und nicht die Fehleramplitude minimieren. --Moritzgedig 21:32, 26. Nov. 2011 (CET)

text: Interessant, das war mir noch gar nicht aufgefallen. Aber es beantwortet die Frage eigentlich nicht. Es beantwortet die Frage "Warum nicht einfach die Beträge?" Die Argumentation schließt nur die 1-Norm aus, also nur genau die 1. Potenz, nicht aber ^1,000001 oder ^0,999999. --Moritzgedig 19:33, 28. Nov. 2011 (CET)
replies: text: Genau das war die urspr. Frage: "warum zur Bestimmung der Kurvenparameter die Summe der QUADRATE der Punktabweichungen minimiert wird - und nicht die Summe der Absolutabstände." --Boobarkee 20:28, 28. Nov. 2011 (CET)
replies: text: Für den Fall das die Fehler der Daten unabhängig und normalverteilt sind, ist die Minimierung der Summe der Quadrate gleich der Maximum-Likelihood-Methode und damit oft (aber zumindest asymptotisch) der beste Schätzer. Die Normalverteilung ist oft keine so schlechte Annahme für reale Messwerte, wenn auch nicht immer. Dazu kommt noch ein praktischer Grund: Bei linear auftretenden Parametern (z.B. Polynomkoeffizienten) führt die Minimierung der Quadrate zu einem lösbaren linearen Gleichungssystem, ist also vergleichsweise leicht auch ohne Computer zu lösen.--Ulrich67 (Diskussion) 22:45, 1. Apr. 2012 (CEST)

text: Es ginge bei den Beträgen der Abstände ganz einfach das Vorzeichen der Abweichung(Differenz) nach der Differenziation verloren. Diese Identität ist ja weiterhin eine notwendige Information. Ist zumindest meine persönliche Erklärung. (nicht signierter Beitrag von 128.131.194.69 (Diskussion) 12:27, 12. Mai 2012 (CEST)
thread_title:  Weshalb Quadratabweichungen?