Diskussion:Prähilbertraum

message: Was meinst Du mit "manchmal ist es auch umgekehrt."? Dass der reelle Fall manchmal nicht eingeschlossen wird (das steht ja schon dort), oder dass umgekehrt der "euklidische" manchmal auch für den komplexen Fall verwendet wird?
: daß der komplexe Fall manchmal mit eingeschlossen ist. --Peter S 16:03, 10. Feb 2005 (CET)
replies: text: stimmt - ist mir auch aufgefallen. War mir aber (noch) nicht klar, wie man das am besten löst. Ich mache jetzt einen Versuch. --Peter S 16:03, 10. Feb 2005 (CET)
replies: text: OK, gefällt mir jetzt besser --NeoUrfahraner 17:15, 10. Feb 2005 (CET)
thread_title:  Zur Einleitung 

message: Momentan sind im Artikel alte ("daß", "läßt") und neue Rechtschreibug ("muss") vermischt. Spricht was dagegen, dass ich auf die neue vereinhteiliche? --NeoUrfahraner 17:49, 10. Feb 2005 (CET)
replies: text: Ich bin - wie man wohl merkt - ein bekennender Altschreiber. Wenn jemand meint, das dürfe hier nicht so stehenbleiben, dann kann ich's auch nicht ändern :-) Ich werde nicht wieder alles rückkorrigieren. Allerdings: bei manchen Neuschreibungen (bei sinnstörenden Getrennt- und Großschreibungen und bei einigen Fremdwörtern) gebe ich nicht wortlos nach. --Peter S 18:08, 14. Feb 2005 (CET)
replies: text: Dann lasse ich es so, wie es ist - es gibt jedenfalls wichtigere Dinge. --NeoUrfahraner 10:20, 15. Feb 2005 (CET)
thread_title:  Rechtschreibung 

message: Momentan wird im Artikel behauptet, das Skalarprodukt zweier Vektoren ließe sich immer schreiben als Norm(1.Vektor)*Norm(2.Vektor)*Cosinus(Winkel phi).
Ich würde gerne -sollte es keine Einsprüche geben- irgendwie einbauen, dass man dies für gewöhnlich nur tut, wenn der Körper = R ist.
Es ist mir auch nicht bewusst, dass man im komplexen Fall überhaupt von Winkeln zwischen Vektoren spricht. Vor allem, wenn diese Winkwl plötzlich nicht mehr reell würden, fände ich das ungewöhlnich...
Kompliziert wird diese Geschichte allerdings dadurch, dass Orthogonalität (also Skalarprodukt 0) durchaus auch im komplexen Fall anzutreffen ist... --Cosine 00:54, 23. Nov. 2006 (CET)
replies: text: Gut Frage. Natürlich kann man die Formel mit einem komplexen Winkel rechnen, aber ob das wirklich üblich ist? Ich habe jedenfalls ein "im reellen Fall" dazugeschrieben. Falls wer Information zum komplexen Fall auftreiben kann, müsste man das wohl sowieso in ein paar Sätzen ausführen. --NeoUrfahraner 09:22, 23. Nov. 2006 (CET)
thread_title:  Winkel im komplexen Fall 

message: Es wäre mathematisch gesehen völlig sinnlos diese Definition von euklidisch und unitär anzunehmen. Es ändern sich die Sätze für Prähilberträume und euklidische Räume sonst kaum. Aber eine andere Sache, wie Orthogonalbasen existieren nicht i.A.. Auch die Verwendung einschlägiger Literatur, wie: "Lehrbuch der Mathematik Band 2: Lineare Algebra" und andere bedienen sich dabei folgender Regelung:
euklidischer Vektorraum: endlichdimensionaler reeler Prähilbertraum
unitärer Vektorraum: endlichdimensionaler komplexer Prähilbertraum 
(die bezeichnung unitärer Vektorraum für beide Fälle ist dabei extra angeführt, als Abkürzung)
Prähilbertraum: Vektorraum mit Skalarprodukt (egal ob reel, oder komplex, und egal welche Dimension- auch überabzählbar, hier wankelt die Existenz der Orthogonalbasen)
Siehe auch die anderen Artikel zu dem Thema.
lg --Manu MM 00:34, 15. Jul. 2007 (CEST)
thread_title:  Begriffe "euklidisch" und "unitär" 

message: Wie ist das erste Axiom zu verstehen? (\langle x, x \rangle \ge 0) Die komplexen Zahlen sind doch kein geordneter Körper, außerdem erzwingt ja das zweite Axiom, dass \langle x,x \rangle = 0.
:Aus dem dritten Axiom folgt, dass \langle x, x \rangle reell ist. --NeoUrfahraner 21:47, 26. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  1. Axiom 

message: Nirgendwo in diesem Artikel wird der Begriff des Prähilbertraums definiert!  Nur die Definition eines Skalarprodukts wird gegeben!  Dies soll geändert werden. (nicht signierter Beitrag von 141.84.69.20 (Diskussion | Beiträge) 11:58, 16. Mai 2009 (CEST)
thread_title:  Definition 

message: Ich habe die Definition geändert, so dass sie mit der in den Artikel Skalarprodukt und Sesquilinearform übereinstimmt. Ich hoffe, dass ich damit niemanden verärgert habe. Außerdem habe ich die Schreibweisen auch angepasst und den Fettdruck entfernt. Das ist in der Mathematik üblicher. Da die Vektoren in den meisten Anwendungen abstrakt sind, sollte das auch für die Physiker kein Problem darstellen. -- Digamma 21:22, 12. Jul. 2010 (CEST)
thread_title:  Konvention für die Definition von Sesquilinear 

message: Ich finde, der Artikel muss zumindest einen kurzen Abschnitt über Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, enthalten. Im endlichdimensionalen reellen Fall heißen diese "lineare Isometrien", bei Selbstabbildungen "orthogonale Abbildungen". Beim (endlichdimensionalen?) komplexen Fall heißen die Selbstabbildungen "unitär". Kennt jemand die allgemeinen Bezeichnungen? -- Digamma 22:30, 5. Aug. 2010 (CEST)
thread_title:  Strukturerhaltende Abbildungen 

message: Meines Erachtens wäre es sinnvoll, das Skalarprodukt im reellen und im komplexen Fall getrennt zu definieren, wie im Artikel Skalarprodukt, damit ein Leser, der sich nur für den reellen Fall interessiert, sich nicht mit komplexer Konjugation und dem Begriff "semilinear" herumschlagen muss. Spricht etwas dagegen? -- Digamma 13:33, 11. Jan. 2011 (CET)
replies: text: Eigentlich schon. Für mich ist Mathematik ohne komplexe Zahlen so etwas wie deutsche Literatur ohne Göthe und Schiller. Dass die Kultusminister sie so weitgehend aus den Lehrplänen entfernt haben, ist ein bildungspolitischer Skandal. Tut bitte in mathematischen Artikeln nicht so, als wären komplexe Zahlen nur etwas für Spezialisten.– Binse (Diskussion) 17:13, 31. Dez. 2019 (CET)
replies: text:  Aber in vielen Kontexten werden nur reelle Vektorräume betrachtet. Da sind die komplexen Zahlen fehl am Platz. Und da man komplexe Zahlen in vielen Ländern nicht in der Schule lernt, wird das Verständnis unnötig erschwert. Meiner Meinung nach ist das reelle Skalarprodukt nicht einfach ein Spezialfall des komplexen, sondern umgekehrt ist das komplexe Skalarprodukt eine Erweiterung des reellen. --Digamma (Diskussion) 11:22, 1. Jan. 2020 (CET)
replies: text: Du hast ja recht, dass komplexe Zahlen und ihre Anwendung hier und auch sonst oft eine Verallgemeinerung des reellen Gegenstand sind. Anderseits ist bei mathematischen Gegenständen, die reell oder komplex betrachtet werden können, der reelle Fall meist komplizierter als der komplexe (Denk etwa an die Nullstellen von Polynomen). Und wer sich für Prähilberträume interessiert, hat doch wahrscheinlich etwas mehr mathematischen Hintergrund als nur den Schulstoff. Darum halte ich die Darstellung wie gegeben für sinnvoll. Obwohl es natürlich auch andersrum geht.– Binse (Diskussion) 15:49, 9. Jan. 2020 (CET)
replies: text: Aber gerade beim Skalarprodukt ist es andersherum, da ist der komplexe Fall komplizierter, weil das Skalarprodukt nur in einer Variablen linear, in der andern aber semi-linear ist. --Digamma (Diskussion) 17:30, 9. Jan. 2020 (CET)
thread_title:  Definition im reellen und im komplexen Fall 

message: Es wird dort gesagt, dass jeder Vektorraum K^n zusammen mit dem Standardskalarprodukt nicht nur ein Prähilbertraum sondern auch vollständig und somit ein Hilbertraum ist.
Aber ist nicht der Vektorraum Q^n über dem Körper der rationalen Zahlen ein Beipiel für einen Vektorraum, der mit dem Standardskalrprodukt zwar zum Prähilbertraum wird, nicht aber zum Hilbertraum? Da viele Cauchy-Folgen rationaler Zahlen einen nicht-rationalen Grenzwert haben.
(siehe als Beispiel die Folge unter dem Abschnitt "Vollständigkeit" in https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge, welche gegen Wurzel(2) konvergiert. 
:Bei Prähilberträumen setzt man voraus, dass der Körper \R oder \Complex ist. --Digamma (Diskussion) 10:32, 17. Mai 2020 (CEST)
thread_title:  Beispiele:Vektoren endlicher Dimension 

message: Zur Notation: Im besagten Abschnitt steht nur, wie das Innere Produkt selbst notiert wird, nicht aber, wie der Vektorraum mit innerem Produkt notiert wird.
Ich würde im Zweifelsfall sagen
\left(V,\langle ,\rangle\right),
aber ich bin mir nicht ganz sicher.--Slow Phil (Diskussion) 13:33, 17. Jul. 2021 (CEST)
thread_title:  Zur Notation