Diskussion:Dedekind-unendlich

message: weshalb heisst der Artikel Dedekind-unendlich und im Text wird als Fettsatzlemma
Dedekind-Unendlichkeit genannt--217 19:38, 26. Mär 2005 (CET)
replies: text: Der Artikel heißt "Dedekind-unendlich", weil meiner Meinung nach in diesem Fall das Adjektiv den grundlegenden Begriff beschreibt, und das Substantiv nur davon abgeleitet ist.   Der erste Satz verwendet das Substantiv, weil es sprachlich besser passt. Aber du kannst das gerne ändern.  "In der Mathematik nennen wir eine Menge Dedekind-unendlich..."   Gefällt mir aber nicht.  -- Wuzel 18:58, 11. Apr 2005 (CEST)
thread_title:  Lemma? 

message: Die Aussagen sollten der Klarheit wegen mit Quantoren belegt werden, wie etwa, "Es gibt eine echte Obermenge, so dass ...". Es gibt nämlich auch echte Obermengen, die nicht gleich mächtig sind, z.B. die reellen Zahlen als Obermenge der natürlichen Zahlen.
:Ich sehe nicht, wie man das missverstehen kann.  "A ist zu einer echten Obermenge gleichmächtig" heißt "es gibt eine echte Obermenge von A, zu der A gleichmächtig ist".  Es steht ja "zu EINER" und nicht "zu JEDER". 
:Man könnte natürlich deutlicher "zu mindestens einer" statt "zu einer" schreiben, aber das wäre meiner Meinung nach schwerer lesbar.   Man spricht  ja auch den Quantor \exists x üblicherweise als "es gibt ein x" aus, und nur in seltenen Fällen als "es gibt mindestens ein x". 
:Wuzel 18:23, 16. Mär. 2008 (CET)
thread_title:  Quantoren? 

message: Jedenfalls hab ich das mal wieder ausm Artikel entfernt:
von IP 88.77.60...
Mmn hat das hier im Artikel und in dieser Form nix verloren und ist weit entfernt von WP:Q und WP:NPOV . --χario 03:11, 15. Jul. 2008 (CEST)
thread_title:  Eigene Meinung? 

message: Soweit ich weiß, bedeutet "paradox" "scheinbar widersprüchlich", dann ist aber "scheinbar paradox" doppelt-gemoppelt. Wie wär's mit "scheinbar widersprüchlich"? DrLemming 00:31, 6. Mär. 2009 (CET)
thread_title:  Scheinbar paradox 

message: Dedekind-Unendlichkeit ist ein Begriff aus der Mathematik, der eine scheinbar paradoxe Eigenschaft unendlicher Mengen einfängt. 
Eine endliche Menge M, etwa mit n Elementen, ist niemals zu einer echten Teilmenge gleichmächtig, d. h. es kann keine bijektive Abbildung von M auf eine echte Untermenge U von M geben. Unendliche Mengen haben diese Eigenschaft sehr wohl, so gibt es etwa von der  unendlichen Menge {\mathbb N} = \{0,1,2,3\ldots\} der natürlichen Zahlen eine Bijektion f auf die echte Teilmenge der positiven natürlichen Zahlen, nämlich die Abbildung f(n) = n + 1. Dabei bezeichnet n +1 den Nachfolger der Zahl n; die Addition braucht noch nicht erklärt zu sein. 
Richard Dedekind nahm diese Eigenschaft als Grundlage einer Definition des Begriffs Unendliche Menge. In moderner Terminologie definiert man: 
* Eine Menge M heißt Dedekind-unendlich, wenn sie gleichmächtig mit einer echten Teilmenge ist. 
* M heißt Dedekind-endlich, wenn M zu keiner echten Teilmenge gleichmächtig ist. 
Man kann (mit den ZF-Axiomen, ohne Auswahlaxiom) beweisen, dass die folgenden Aussagen für jede Menge M äquivalent sind:
# M ist zu einer echten Teilmenge gleichmächtig (also Dedekind-unendlich).
# M ist zu einer Menge der Form M \ {m} (mit m in M) gleichmächtig. 
# M ist zu einer echten Obermenge gleichmächtig.
# M enthält eine Kopie der natürlichen Zahlen, das heißt: es gibt eine injektive Funktion von \mathbb N nach M. 
Insbesondere ist also die Menge {\mathbb N} selbst Dedekind-unendlich, ebenso auch jede Menge, die die natürlichen Zahlen als Teilmenge enthält. 
Man kann mit Hilfe des Auswahlaxioms zeigen, dass jede unendliche Menge auch Dedekind-unendlich ist.  (Die Tatsache, dass jede Dedekind-unendliche Menge auch unendlich ist – oder äquivalent dazu: dass jede endliche Menge auch Dedekind-endlich ist – kann man mit Hilfe der vollständigen Induktion ohne Verwendung des Auswahlaxioms beweisen.)
Kategorie:Mengenlehre
en:Dedekind-infinite set
nl:Dedekind-oneindige verzameling
pt:Sistema infinito de Dedekind
--FerdiBf 22:22, 14. Feb. 2011 (CET)
thread_title:  Text vor REDIRECT