Diskussion:Spur (Mathematik)

message: Bei theoretischen Physikbüchern findet sich eine Spurbildung über mehrere Teilsysteme, die (zumindest mir) nicht unmittelbar ersichtlich ist:
(vgl. z.B. Leseprobe, Formel (1.5.9) (S.20))
Sp_1 Sp_2{\rho A}=Sp_1[(Sp_2{\rho})A]
mit der Erklärung "Hier bedeutet Spi die Spurbildung über das Teilsystem i"
Kann jemand erklären, wie dies zu verstehen ist? Ich fände dies eine hilfreiche Ergänzung des Artikels
: Sp_1 bezeichnet die "partielle Spur" oder "Partialspur" der Matrix A. A ist auf einem Tensorprodukt von Hilberträumen H_i definiert: A:H_1\otimes H_2\otimes... H_N \to H_1\otimes H_2. Seien nun \{e_i\} eine Orthonormalbasis von H_1 und \{f_i\} von H_2, und sei |f_j\rangle\langle e_i f_j| die lineare Abbildung von H_1\otimes H_2 nach H_2 mit |f_j\rangle\langle e_i f_j|:e_k\otimes f_l\mapsto \delta_{ik}\delta_{lj}f_j (mit Kronecker-Delta \delta_{ij}), dann ist
:\text{Sp}_1(A) = \sum_{i,j,k} |f_j\rangle\langle e_i f_j|A |e_i f_k\rangle\langle f_k|
:eine Matrix auf H_2 (die "reduzierte Matrix"); in Physiker-Notation: \text{Sp}_1(A) = \sum_i {}_1\langle i|A|i\rangle_1. Bezeichnet man die Elemente von A in der Basis \{e_i\otimes f_j\} mit a_{ik,jl}, dann sind die Einträge der reduzierten Matrix (in der Basis \{f_j\}) durch 
:\left(\text{Sp}_1(A)\right)_{k,l} = \sum_i a_{ik,il}
:gegeben. 
:Es wäre mE nicht schlecht, wenn Partialspur kein Redlink wäre. Meint Ihr, dass ein entsprechender Abschnitt in Spur (Mathematik) hineinpasst oder wäre ein eigener Artikel besser?--Qcomp 22:29, 24. Mär. 2011 (CET)
replies: text: Gerne ein eigener Artikel--biggerj1 (Diskussion) 10:33, 27. Feb. 2014 (CET)
thread_title:  Spurbildung von Teilsystemen 

message: Ist die Spur auch für Tensoren höherer Stufe als 2 definiert?
Wenn ja: Wie?
:Als Tensorverjüngung ist sie dann definiert.--Christian1985 (Disk) 15:47, 15. Mär. 2013 (CET)
thread_title:  Tensoren 

message: Ich kenn aus der Maßtheorie noch folgende Definition für eine Spur:
 Sei \mathcal A\subseteq \mathcal P(X) \sigma-Algebra. Sei E\subseteq X mit E\neq \emptyset fix, dann ist \mathcal A_E:= \{A\subseteq E \  | A=A'\cap E,\ A'\in \mathcal A \} \quad =  Spur von \mathcal A auf E.
Auch wenn ich dafür keine Bücher angeben kann glaub ich nicht das sich mein Professor sich das nur ausgedacht hat... Gruß Azrael. 21:00, 23. Jul. 2007 (CEST)
replies: text: Ja, es gibt noch andere Begriffe von "Spur" in der Mathematik. Ganz entsprechend wie diese Spur-sigma-Algebra heißt in der Topologie die Unterraumtopologie auch Spurtopologie. Es gibt außerdem einen "Spuroperator" in der Theorie der Sobolevfunktionen. Wenn ich mich nicht täusche, dann heißt auch in der Differenzialgeometrie die Menge der Bildpunkte einer parametrisierten Kurve (Weg) die Spur der Kurve. --Digamma 22:49, 30. Nov. 2007 (CET)
thread_title:  Andere Definitionen 

message: Meine letzte Änderung an diesem Artikel wurde mit der Begründung
"(keine Verbesserung des Artikels; es gibt mehr als reelle und komplexe Matrizen)"
rückgängig gemacht.
Aus genau diesem Grund (dass es eben mehr als reelle und komplexe Matrizen gibt), bin ich aber dafür, bei Eigenschaften, die nicht für beliebige Körper gelten, dazuzusagen, dass man gerade nur über den reellen oder komplexen Zahlen ist:
Konkret:
1. Die Aussage "Die Spur einer idempotenten Matrix A ist gleich ihrem Rang:" ist falsch, sobald wir nicht Charakteristik Null haben, denn dann ist die Spur ein Element des Grundkörpers und der Rang ist eine natürliche Zahl. Die können schon reintypenmäßig nicht gleich sein.
2. Ich bin mir bewusst, dass man auch über einigen anderen Körpern, außer R oder C eine Matrix-Exponentialfunktion definieren kann. Da diese aber nicht soo weit verbreitet ist, würde ich vorschlagen, keine Matrizen über beliebigen Körpern in die Exponentialfunktion zu werfen.
3. Wenn wir das Skalarprodukt von A und B definieren wollen, indem wir die Spur von A mal B* bilden, dann sollte klar sein, was B* ist. Das ist im Kontext von reellen und komplexen Matrizen klar, im allgemeinen Kontext aber (mir) nicht. Außerdem ist mir nicht klar, wie die Cauchy-Schwartz-Ungleichung in Charakteristik p funktioniert.
Ich sehe grundsätzlich zwei Möglichkeiten:
Entweder man nimmt im ganzen Artikel an, dass der Grundkörper R oder C ist. Dann sind die meisten Besucher dieser Wikipedia-Seite zufrieden
oder
man lässt dies im allgemeinen Rahmen, also über beliebigem Körper K, aber dann muss man eigentlich dazusagen, wo dies nicht mehr über allgemeinem Körper K funktioniert. Viele Grüße, --Cosine 00:44, 31. Jul. 2008 (CEST)
replies: text: Mein Fehler. Ich habe deine Version wieder hergestellt. --Stefan Birkner 08:46, 31. Jul. 2008 (CEST)
replies: text:  Danke :-) --Cosine 09:41, 31. Jul. 2008 (CEST)
thread_title:  Meine letzte Ergänzung "reelle und komplexe Matrizen" 

message: In der Geometrie ist meinem Halbwissen nach der Begriff Spur noch für die Schnittlinie einer Fläche mit der Darstellungsebene üblich. Wenn das jemand mit fundierten Kenntnissen in dieser Richtung bestätigen kann, würde ich denjenigen bitten, das im Artikel zu ergänzen.
--TN 09:18, 16. Nov. 2009 (CET)
replies: text: Ja, man spricht zum Beispiel von Spurgeraden und Spurpunkten. Das Wort "Spur" hat in der Geometrie und in der Mathematik noch weitere Bedeutungen. Zum Beispiel nennt man die Menge der Punkte einer parametrisierten Kurve die "Spur" der Kurve. Bei Sobolevfunktionen nennt man die Einschränkung der Funktion auf ein niederdimensionales Gebilde (zum Beispiel den Rand eines Gebiets) "Spur" der Funktion. Vielleicht sollte man den Artikel umbenennen in "Spur (Lineare Algebra)"? Zumindest ein Begriffsklärungshinweis wäre nützlich. -- Digamma 19:36, 25. Mär. 2011 (CET)
thread_title:  <i>Spur</i> in der Geometrie 

message: Wäre es nicht sinnvoll diese Tatsache auch anzumerken? Damit wird auch sofort die Basisunabhängigkeit ersichtlich. -- Erazortt 12:13, 16. Nov. 2010 (CET)
replies: text: Das steht doch da. Gleich als erste unter "Eigenschaften". -- Digamma 13:57, 16. Nov. 2010 (CET)
thread_title:  Spur als Summe der Eigenwerte 

message: Punkt 8 unter Eigenschaften muss präzisiert werden. Das gilt nämlich nur, wenn A diagonalisierbar ist, also n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt. 141.3.212.119 15:55, 12. Jul. 2011 (CEST)
thread_title:  Fehler 

message: Was bedeuten hier die Symbole in (v \otimes \alpha)(w) = \alpha(w)v? --jbn (Diskussion) 12:23, 28. Mai 2014 (CEST)
replies: text: Es ist v \otimes \alpha \in V \otimes V^* gemeint. Also ist v ein Element eines endlichdimensionalen Vektorraums und \alpha ein Element aus seinem Dualraum. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 14:16, 28. Mai 2014 (CEST)
thread_title:  Abschn. Koordinatenfreie Definition der Spur: Def fehlen