Diskussion:Rotationskörper

message: Für eine um die Achse im Radius \ r_k  rotierende kleine Teilfläche \ A_k gilt
\ V_k=2 \cdot \pi \cdot r_k \cdot \ A_k (Ringvolumen)
Durch Summierung ergibt sich das Rotationsvolumen \ V = 2 \cdot \pi\cdot\sum r_k \cdot \ A_k
Mit dem Flächenschwerpunkt \ r_S und der Rotationsfläche \ A gilt
\sum r_k \cdot\ A_k=r_S \cdot A (Flächenmoment)
Somit \ V = 2 \cdot\pi\cdot\ r_S\cdot A=\ u_S \cdot\ A
Beispiel:
1) Kreiskegel mit dem Radius \ r , der Höhe \ h  und der Grundkreisfläche \ G 
\ V=2 \cdot\pi\cdot\frac {r}{3}\cdot\frac {1}{2} \cdot\ r\cdot\ h =
\frac {\pi}{3}\cdot\ r^2\cdot\ h=\frac {1}{3} \cdot\ G\cdot\ h
2) Torus mit \ r_S=a und \ A = \pi\cdot\ r^2
\ V = 2\cdot\pi\cdot\ a\cdot\pi\cdot\ r^2=2\cdot\pi^2\cdot\ a\cdot\ r^2
3) Für die Kugel mit dem Radius \ r  gilt
\ V = \frac {4}{3}\cdot\pi\cdot\ r^3=2\cdot\pi\cdot\ r_S\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\ r^2
und somit \ r_S=\frac{4}{3} \cdot\frac{r}{\pi} 
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Man könnte hier auch die Formel V=\pi\int\rho(z)^2dz angeben. User:MFH 147.91.173.31 20:52, 10. Mai 2005 (CEST)
thread_title:  Beispiel 

message: Hallo,
M ist per Definition immer >= 0, die Integranden sind in beiden Ausdrücken auch immer positiv. Man wählt automatisch a < b, dann ist aber nicht notwendigerweise auch f(a) < f(b), deshalb gibt es manchmal 
für M negative Ergebnisse, nämlich immer dann, wenn f(a) > f(b). Soll man also vielleicht für das zweite Integral lieber folgendes schreiben ?
:M = 2\pi\int_{Min(f(a),f(b))}^{Max(f(a),f(b))} f^{-1}(y)\sqrt{1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^2}\mathrm{d}y.
Gruss --131.220.161.244 19:25, 3. Feb. 2009 (CET)
thread_title:  erste guldinsche Regel 

message: "Rotationskörper werden in der Geometrie Körper genannt, die durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Rotationsachse gebildet werden" Das ist eigentlich die Definiton der Rotationsfläche. Hier geht es aber um den Rotationskörper, der von der Rotationsfläche berandet wird. --Suhagja (Diskussion) 15:59, 5. Okt. 2012 (CEST)
thread_title:  Irreführende Definition 

message: Aus dem Artikel wird nicht deutlich, dass es sich bei den Schwerpunkten in der ersten und in der zweiten Guldinschen Regel um verschiedene Punkte handeln kann. 
Bei der ersten Guldinschen Regel, wo der Flächeninhalt der Rotationsfläche bestimmt werden soll und die Länge der Kurve, die rotiert, benutzt wird, handelt es sich um den Schwerpunkt der Kurve.
Bei der zweiten Guldinschen Regel, wo das Volumen des Rotationskörpers bestimmt werden soll und der Flächeninhalt der rotierenden Fläche benutzt wird, handelt es sich um den Schwerpunkt der Fläche. 
Beim Torus (rotierender Kreis) ist das dasselbe, aber im Allgemeinen sind die beiden Schwerpunkte verschieden, vgl. auch . --Digamma (Diskussion) 17:53, 13. Jan. 2013 (CET)
thread_title:  Guldinsche Regel 

message: Ich bin der Meinung, die erzeugende Kurve darf die Achse höchstens berühren. Beispiel: der Torus wird gebildet mithilfe eines Kreises mit Radius r, dessen Mittelpunkt um eine Rotationsachse im Abstand R rotiert. Der Torus ist vollständig, wenn R >= r. Wenn R < r, schneidet der Kreis die Rotationsachse, die erzeugende Kurve muss dann an der Drehachse abgeschnitten werden, der Teil auf der anderen Seite zählt sonst negativ. Die Figur sieht dann ähnlich aus wie ein Apfel und bei -r < R < 0 noch wie ein Zweispitz. Das Volumen dieses Objektes ist gegeben als Funktion von R und r mit der folgenden Formel: 
:V =2\pi * \text{Fläche} * \text{Flächenschwerpunkt} =4\pi \int_{0}^{R+r} x \sqrt{r^2-(x-R)^2}\mathrm{d}x=\frac{2\pi}{3}\sqrt{r^2-R^2}(2r^2+R^2)+\pi r^2 R(\pi+2\arctan(\frac{R}{\sqrt{r^2-R^2}})).
Das ergibt für R = 0 das Volumen der Kugel (nur der Halbkreis rotiert) und bei R = r das Volumen des kompletten Torus. Für R > r ist das Volumen daran anschliessend durch den bekannten Ausdruck V =2\pi^2 r^2 R bestimmt. Lässt man zu, dass die Drehachse geschnitten wird, wäre das Volumen für alle R (auch 0 < R < r) als V =2\pi^2 r^2 R gegeben, was zu klein ist (0 bei R = 0). Gruss --78.48.107.212 00:09, 14. Mai 2013 (CEST)
replies: text: Das zeigt doch nur, daß die Anwendbarkeit Deiner Formeln (die ich jetzt gar nicht überprüfen will, ich akzeptiere sie mal) gewissen Beschränkungen unterworfen ist. Darum ging es aber im hier von Dir (wieder) eingefügten Satz „Die Kurve schneidet die Achse nicht, berührt sie höchstens.“ der Einleitung (!) gar nicht. Denn dieser Satz wäre an dieser Stelle ein Teil der Definition des Begriffes „Rotationskörper“, indem er (implizit und fälschlicherweise) behauptet, eine die Drehachse schneidende Kurve könne nicht Erzeugende eines Rotationskörpers sein. Als Gegenbeispiel habe ich bereits einmal den Doppelkegel angegeben, der offenbar von einer die Achse schneidenden Geraden (oder Strecke) erzeugt wird. Liebe Grüße, Franz (Diskussion) 02:17, 14. Mai 2013 (CEST)
replies: text: Ich halte die Definition mit der erzeugenden Kurve sowieso nicht für die passende, sondern würde sagen, dass ein Rotationskörper durch die Rotation einer Fläche entsteht. So sagen es auch dir mir vorliegenden Schulbücher. Und dann macht auch die Guldinsche Regel Sinn. (Den Doppelkegel kenne ich eigentlich nur als Fläche, nicht als Körper.) --Digamma (Diskussion) 17:50, 14. Mai 2013 (CEST)
thread_title:  Darf die Erzeugende die Achse schneiden ?