Diskussion:Quartische Gleichung

message: Sind die wirklich hier notwendig? --91.5.186.215 21:25, 19. Jan. 2008 (CET)
replies: text: nö... --Heimschützenverein 13:38, 8. Jun. 2008 (CEST)
thread_title:  Beispiele? 

message: Was ist der tiefere Sinn der Grenzwertberechnung im Artikel? Der Artikel behandelt ein algebraisches Thema, die Aussage der Richtigkeit läßt sich im wesentlichen durch Einsetzen nachweisen, was soll also die analytische Rechnung?--LutzL 15:27, 3. Mär. 2008 (CET)
replies: text: Weiß ich auch nicht. vllt mal in die englische Wikipedia schauen? --Snake707 22:25, 24. Mär. 2008 (CET)
replies: text:  der tiefere sinn ist ganz offenbar, zu zeigen, dass wenigstens die fallunterscheidung wegen U=0 korrekt ist... durch einsetzen lässt sich ne grenzwertberechnung wohl nich ersetzen... --Heimschützenverein 13:45, 8. Jun. 2008 (CEST)
replies: text: Nö, aber durch Einsetzen nach Umformen gemäß binomischer Formel. Das hier ist reine Algebra, da ist Analysis sowas von unnötig. Außer, um zu bemerken, dass die reellen Zahlen reell-algebraisch abgeschlossen sind. Bzw. für den Fundamentalsatz, obwohl der schon wieder als reine Algebra gewertet wird.--LutzL 15:16, 9. Jun. 2008 (CEST)
thread_title:  Grenzwertberechnung 

message: Bei dem Punkt "Lösungsformel und Beweis" unterpunkt "Fall der nur Geraden Exponente" ist in der letzten Umformung ein Fehler unterlaufen, es müsste:
(u² +sqrt(2 sqrt(r) - a)u + sqrt(r))((u² -sqrt(2 sqrt(r) - a)u + sqrt(r)) 
heißen anstatt : (u² +sqrt(2 sqrt(r) - a)u + sqrt(r))(u² +sqrt(2 sqrt(r) - a)u + sqrt(r))  14:56, 12 Okt. 2008 (CEST) --
: hm - ok - 3. biomische formel? oder hab ich's falsch verstanden? ich fixe es mal... --Heimschützenverein 20:37, 12. Okt. 2008 (CEST)
thread_title: fehler?

message: "In der Praxis verzichtet man meist auf diese mühsamen algebraischen Lösungen und begnügt sich mit angenäherten numerischen Lösungen..." Gibt es hierzu eine Quelle? Ich verwende selbst die algebraische Lösung (wenn auch nicht gerade in der Darstellung dieses Artikels) in einem Software-Projekt und bin sehr zufrieden damit. Sollten keine Hinweise hierzu kommen, werde ich den Abschnitt löschen. Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6sen_von_Gleichungen#Gleichungen_vom_Grad_4 --Deprecated 12:02, 9. Dez. 2008 (CET)
thread_title: Bemerkung

message: Im Ernst! Wie übersetzt sich nun die depressed quartic equation (ja die heißt so!), also die, bei der das kubische Glied nicht auftritt, ins Deutsche? normalisierte oder reduzierte Gleichung 4. Grades? Normalisierte klingt fast noch besser, da "reduziert" bei mir stets Division durch den an-Koeffizienten induziert. :) -andy 77.7.100.60 05:38, 16. Okt. 2010 (CEST)
thread_title:  "Niedergeschlagene" Gleichungen ;-) 

message: 1.) Der Text und die Formeln nach der Zwischenüberschrift "Zusammenfassung" im Abschnitt "Lösungsformel und Beweis" bezieht sich nur auf den Fall beta ungleich 0; werden die Formeln dort im Fall beta gleich 0 verwendet, stimmen die berechneten Nullstellen nicht! Anhand der Gliederung kann man das kaum erschließen, also wäre ein Hinweis angebracht. Auch die Zwischenüberschrift "Allgemeiner Fall" finde ich unglücklich, denn die Formeln schließen ja den Fall beta gleich 0 aus, sind also gerade nicht "allgemeingültig". Ich fände "Fall ohne linearen Term" und dann "Fall mit linearem Term" wesentlich besser. Vielleicht könnte ja auch ein Experte mal erläutern, warum die Formeln im "Fall mit linearem Term" falsche Ergebnisse liefern, wenn beta gleich 0 wird, denn ein offensichtlicher Fehler wie teilen durch 0 tritt ja nicht auf... 
2.) In der engl. Version dieses Artikels sind im Gegensatz zu dieser dt. Version die Formeln für die Nullstellen im Fall beta gleich 0 explizit und korrekt angegeben. Wenn einer sich mit dem Formelsatz auskennt, bitte die Formeln von dort übernehmen.
MfG -Drgst 09:38, 21. Feb. 2011 (CET)
replies: text: Ich beziehe mich auf den Satz "Vielleicht könnte ja auch ein Experte mal erläutern, warum die Formeln im "Fall mit linearem Term" falsche Ergebnisse liefern, wenn beta gleich 0 wird, denn ein offensichtlicher Fehler wie teilen durch 0 tritt ja nicht auf". Ich habe zwar auch erst gedacht, dass keinen Unterschied machen dürfte, aber nachdem ich die ganzen Formeln in Maple eingegeben habe, habe ich tatsächlich auch festgestellt, dass das Ergebnis nicht immer stimmt. Interessant ist die Zeile "ergeben sich w^2=\alpha+2y und z^2=(\alpha+y)^2-\gamma sowie \beta=2wz". Jedoch wird die zweite Gleichung in der Zusammenfassung gar nicht mehr berücksichtigt. Ist \beta=0, kann das zu einem Problem führen. Und zwar folgt aus der dritten Gleichung, dass w oder z Null sein muss. Darus folgen auch schon die drei Lösungen y=-\frac{\alpha}2, y=-\alpha +\sqrt\gamma und y=-\alpha -\sqrt\gamma. Jetzt kommt es darauf an, welche der drei Lösungen die Formeln in der Zusammenfassung liefern. Führen die Formeln auf die zweite oder dritte Lösung, ist alles gut.  Ergibt sich jedoch die erste Lösung y=-\frac{\alpha}2, dann ist w=0. Somit ist die Gleichung \beta=2wz für alle z erfüllt. In diesem Fall muss z über die Gleichung z^2=(\alpha+y)^2-\gamma=\frac{\alpha^2}4-\gamma bestimmt werden.  --Tobi (Diskussion) 11:09, 14. Feb. 2019 (CET)
thread_title:  Fallunterscheidung nach beta gleich 0 oder nicht 

message: Im Artikel, war NICHTS ueber x in dieser Gleichung 4ten Grades ausgesagt, die zur Begriffsdefinition dient! :-(
Dieser Koerper K, darf vermutlich(?) auch nur ein kommutativer Ring mit 1 sein  -- ich frage mich, ob man noch die  Nullteilerfreiheit des Ringes verlangen sollte? Die Frage ist natuerlich: in wieweit 
es in Wiki-DE noch Sinn macht, so einen allgemeiner Polynombegriff aufzuzeigen. Ferner sollte (*LACH*) es eigentlich nur Probleme im Fall Charakteristik 2 oder 3 geben. Achim1999 (Diskussion) 18:10, 4. Mai 2012 (CEST)
replies: text: Ich denke, das macht auch in der de-Wikipedia Sinn. Allerdings nicht zu Beginn des Artikels, sondern in einem späteren Abschnitt als "Verallgemeinerung" oder "allgemeiner Fall" o. Ä. Der übrige Teil des Artikels sollte auch für jemanden lesbar sein, der nur komplexe Zahlen kennt, aber nicht den allgemeinen Begriff eines Körpers oder gar die Begriffe Charakteristik und K-Algebra. --Digamma (Diskussion) 19:07, 4. Mai 2012 (CEST)
thread_title:  Polynom 4ten Grades. Definition 

message: Ich habe hier einen Rechenweg, den ich wesentlich eleganter finde, da ganz ohne Tschirnhaus-Transformation auskommt. Die Transformation des Polynoms 4. Grades wird geschickt umgangen. Gleichzeitig ist das zu lösende Polynom 3. Grades bereits auf reduzierter Form. Die kleinen Buchstaben a, b, c könnte man noch durch alpha, beta, gamma ersetzen. Ich habe nur a,b, c verwendet, um eventulle Verwechsungen mit den alpha, beta, gamma aus dem Artikel zu vermeiden.
=== Zerlegung in quadratische Faktoren ===
Zunächst versucht man, die Gleichung als Differenz zweier vollständiger Quadrate zu schreiben. Dazu wird die zweite Ableitung zur Hilfe genommen und es werden komplexe Parameter w, y, z eingeführt. Die Darstellung als Differenz führt dann direkt zu einer Faktorisierung in quadratische Faktoren mit komplexen Koeffizienten,
:\begin{array}{rcl}
p(x)
&=& Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E\\
&=& \frac{1}{144A}\left[(p(x)+y)^2-(wx-z)^2\right]\\
&=& \frac{1}{144A}(p(x)+y+wx-z)(p(x)+y-wx+z).
\end{array}
Mit a=36 B^2 -96 AC, b = 24 BC - 144 AD und c=4C^2 - 144 AE haben wir
:
144A p(x)
= (p(x)+y)^2 - [(a + 24 Ay)\,x^2 + (b + 12 By)\,x + c + 4Cy + y^2].
Durch Vergleich ergibt sich w^2 = a + 24 Ay und z^2 = c + 4Cy + y^2, sowie -2wz = b + 12 By .
Damit der zweite Teil der Differenz ein vollständiges Quadrat in x ist, muss die Diskriminante dieses quadratischen Terms verschwinden, das heißt
:0=4\,(a + 24 Ay)(c + 4Cy + y^2)-(b + 12 By)^2.
Dies ist eine kubische Gleichung in y. Da der Koeffizient von y^2 verschwindet, lässt sich die Gleichung zu
:\begin{array}{rcl}
0
&=& y^3 + \frac{12Ac + 2 aC - 3 bB}{12A} y + \frac{4ac-b^2}{96A}\\
&=& y^3 + (36BD-144AE-12C^2) y + \frac{4ac-b^2}{96A}.
\end{array}
vereinfachen.
Aus einer der Lösungen für y ergeben sich zwei quadratische Gleichungen in x, die zu insgesamt vier Lösungen für x führen.
=== Zusammenfassung ===
Zunächst wird geprüft, ob die erste Ableitung an der Stelle  x = -\frac B{4A} verschwindet, das heißt
: p'\!\left(-\frac B{4A}\right)=\frac{B^3}{8A^2}-\frac{BC}{2A}+D=0 .
====Spezialfall====
Gilt   p'\!\left(-\frac B{4A}\right)=0 , haben wir
: y = -\frac a{24A},
::mit    a=36 B^2 -96 AC
: w = 0 und  z = \sqrt{c + 4Cy + y^2}
::mit    c=4C^2 - 144 AE
====Allgemeiner Fall====
Im allgemeinen Fall werden folgende Rechenschritte durchgeführt:
: P = 36BD-144AE-12C^2,
: Q = \frac{4ac-b^2}{96A},
::mit    a=36 B^2 -96 AC, b = 24 BC - 144 AD und c=4C^2 - 144 AE
: y =  \begin{cases}-\sqrt[3]{Q}&\text{ falls } P=0\\
 U - \frac{P}{3U}&\text{ falls }P\ne 0\end{cases}
::mit    U = \sqrt[3]{-\frac{Q}{2} + \sqrt{\frac{Q^2}{4}+\frac{P^3}{27}}}
:w = \sqrt{36 B^2 -96 AC + 24 Ay} und z = -\tfrac{12 BC - 72 AD + 6 By}{w}.
====Lösen der quadratischen Gleichungen====
Aus den beiden quadratischen Gleichungen
: 
0 = p(x)+y\pm (wx-z)
können die Nullstellen wie folgt berechnet werden
: 
x_{1,2,3,4} = - \frac{B}{4 A} + \frac{s\cdot w}{24A}
 + \frac{r}{24A} \sqrt{ (6B-s\cdot w)^2 - 48A\,(2C+y+sz) }
.
Die Parameter r,s \in \{-1,1\} geben das in den zwei Quadratwurzeln zu wählende Vorzeichen an, alle vier Kombinationen von r und s sind nötig, um alle 4 Lösungen zu erhalten.
--Tobi (Diskussion) 18:34, 24. Feb. 2019 (CET)
thread_title: Alternativer Rechenweg

message: Zunächst wird geprüft, ob die erste Ableitung an der Stelle  x = -\frac B{4A} verschwindet, das heißt
: p'\!\left(-\frac B{4A}\right)=\frac{B^3}{8A^2}-\frac{BC}{2A}+D=0 .
====Spezialfall====
Gilt   p'\!\left(-\frac B{4A}\right)=0 , haben wir
: y = -\frac a{24A},
::mit    a=36 B^2 -96 AC
: w = 0 und  z = \sqrt{c + 4Cy + y^2}
::mit    c=4C^2 - 144 AE
====Allgemeiner Fall====
Im allgemeinen Fall werden folgende Rechenschritte durchgeführt:
: P = 36BD-144AE-12C^2,
: Q = \frac{4ac-b^2}{96A},
::mit    a=36 B^2 -96 AC, b = 24 BC - 144 AD und c=4C^2 - 144 AE
: y =  \begin{cases}-\sqrt[3]{Q}&\text{ falls } P=0\\
 U - \frac{P}{3U}&\text{ falls }P\ne 0\end{cases}
::mit    U = \sqrt[3]{-\frac{Q}{2} + \sqrt{\frac{Q^2}{4}+\frac{P^3}{27}}}
:w = \sqrt{36 B^2 -96 AC + 24 Ay} und z = -\tfrac{12 BC - 72 AD + 6 By}{w}.
====Lösen der quadratischen Gleichungen====
Aus den beiden quadratischen Gleichungen
: 
0 = p(x)+y\pm (wx-z)
können die Nullstellen wie folgt berechnet werden
: 
x_{1,2,3,4} = - \frac{B}{4 A} + \frac{s\cdot w}{24A}
 + \frac{r}{24A} \sqrt{ (6B-s\cdot w)^2 - 48A\,(2C+y+sz) }
.
Die Parameter r,s \in \{-1,1\} geben das in den zwei Quadratwurzeln zu wählende Vorzeichen an, alle vier Kombinationen von r und s sind nötig, um alle 4 Lösungen zu erhalten.
--Tobi (Diskussion) 18:34, 24. Feb. 2019 (CET)
thread_title:  Zusammenfassung 

message: Aus den beiden quadratischen Gleichungen
: 
0 = p(x)+y\pm (wx-z)
können die Nullstellen wie folgt berechnet werden
: 
x_{1,2,3,4} = - \frac{B}{4 A} + \frac{s\cdot w}{24A}
 + \frac{r}{24A} \sqrt{ (6B-s\cdot w)^2 - 48A\,(2C+y+sz) }
.
Die Parameter r,s \in \{-1,1\} geben das in den zwei Quadratwurzeln zu wählende Vorzeichen an, alle vier Kombinationen von r und s sind nötig, um alle 4 Lösungen zu erhalten.
--Tobi (Diskussion) 18:34, 24. Feb. 2019 (CET)
thread_title: Lösen der quadratischen Gleichungen

message: Ungesichert war die Änderung in ...
:\begin{array}{lcl}
y_1 &= &\sigma \tfrac{1}{2} \left( \sqrt{z_1} + \sqrt{z_2} - \sqrt{z_3}\right)\\[5pt]
y_2 &= &\sigma \tfrac{1}{2} \left( \sqrt{z_1} - \sqrt{z_2} + \sqrt{z_3}\right)\\[5pt]
y_3 &= &\sigma \tfrac{1}{2} \left(-\sqrt{z_1} + \sqrt{z_2} + \sqrt{z_3}\right)\\[5pt]
y_4 &= &\sigma \tfrac{1}{2} \left(-\sqrt{z_1} - \sqrt{z_2} - \sqrt{z_3}\right),
\end{array}
... indem sqrt(z1),sqrt(z2),sqrt(z3) und sqrt(z4) geändert wurde in sqrt(-z1),sqrt(-z2),sqrt(-z3) und sqrt(-z4)
Ich habe es an einem Beispiel nacherechnet und festgestellt, dass diese Änderung ein falsches Ergebnis liefert. Deshalb habe ich die Änderung rückgängig gemacht. --Joachim Mohr (Diskussion) 09:08, 7. Aug. 2022 (CEST)
thread_title:  Vorzeichen vor z1,z2,z3,z4 in sqrt(...)