Diskussion:Körper (Algebra)

message: Werde die Teile über endliche Körper auslagern in den (bereits aus en übersetzten) Artikel endlicher Körper, da es zu endlichen Körpern mehr zu sagen gibt, als das was hier steht.
Sollte man nicht den Begriff Restklassenring in einen eigenen Artikel legen, denn es gibt ja genug solcher Ringe, die keine Körper sind. Alternativ könnte ich den Artikel Ideal (Ringtheorie) erweitern, um alle Faktorringe zu erfassen (wie im englischen Artikel).
--SirJective 15:00, 17. Aug 2003 (CEST)

message: Stimmt das mit den Schiefkörpern wirklich? Warum gibt es den Begriff Schiefkörper bzw Körper, wenn alle Körper Schiefkörper sein sollen?
:Nicht jeder Schiefkörper ist ein Körper.--MKI 18:14, 15. Feb 2005 (CET)
thread_title:  Schiefkörper 

message: Hiesigen Erachtens nennen manche (viele) Autoren ein  körperähnliches Gebilde auch schon dann Körper, wenn frei gestellt ist, ob die Multiplikation kommutativ ist. Diese Auffassung ist weit verbreitet - damit will ich aber nicht sagen: vorherrschend. Deswegen muss sie erwähnt werden. Falls die Sache jetzt eindeutig geklärt ist - z. B. durch Normung -, sollte dennoch auf die abweichende Bedeutung homngewiesen werden.
ich bitte, das einzuarbeiten -- 888344 15:53, 14. Nov 2005 (CET)
replies: text: Das ist definitiv die Bourbaki-Terminologie, aber sie scheint mir nicht ausgesprochen verbreitet, allerdings lebe ich in der kommutativen Welt. Wenn es nicht gerade um einen systematischen Aufbau geht, wird im jeweiligen Gebiet meist die effizienteste Terminologie gewählt (was ist eine Algebra?). Auf welches Gebiet bezieht sich Deine Aussage "Diese Auffassung ist weit verbreitet"?--Gunther 16:00, 14. Nov 2005 (CET)
replies: text:  " Auf welches Gebiet bezieht sich Deine Aussage "Diese Auffassung ist weit verbreitet?"   -- Auf mir bekante Leute der Gegenwart und jüngeren Vergangenheit, die mathematische Begriffe benutzen; ohne Spezialisierung auf ein Gebiet. Und auf eine Eintragung in Herbert Meschkowskis Mathematischem Begriffswörterbuch (BI 99/a/b), das ich trotz seines Alters und der angeblichen Oberflächlichkeit für einen ersten Eimnblick immer wieder gern zur Hand nehme.- Ich plädiere nur dafür, die abweichende (systematischere) Version mit zu erwähnen. -- 888344 16:20, 14. Nov 2005 (CET)
replies: text:  Mit erwähnen ja, aber ich bezweifle z.B., ob es irgendeine LA-Vorlesung in Deutschland gibt, die die Bourbaki-Terminologie verwendet.--Gunther 16:32, 14. Nov 2005 (CET)

text:  Für die Gegenwart habe ich keine Ahnung - vielleicht sind die bourbakistischen Denkweisen schon wieder unmodern geworden; sie leben aber fort im Namen "Quaternionenkörper" -  oder vermeidet man den heute?  -- 888344 09:48, 15. Nov 2005 (CET)

text:  Bei Schiefkörper - weiss nicht, ob du da mitgemacht hast - , fehlt die Unterscheidung zwischen Links- und Rechtsinversem. Begriffsfestlegungen sollen doch möglichst sparsam sein, nicht Folgerungen vorweg nehmen. -- 888344 16:20, 14. Nov 2005 (CET)
replies: text:  Nein, dem stimme ich nicht zu. Die Probleme dieser Sparsamkeit sind ja gerade einen Abschnitt weiter oben zu bewundern.--Gunther 16:32, 14. Nov 2005 (CET)
replies: text:  Überblicke ich gegenwärtig nicht. Ich habe sparsam aber vollständig gemeint. -- 888344 09:48, 15. Nov 2005 (CET)
replies: text:  Auch für Dich der Hinweis auf diese frühere Diskussion zum Thema Sparsamkeit.--Gunther 18:00, 15. Nov 2005 (CET)
thread_title:  schiefe und gerade Körper 

message: Die Anmerkung "... hat nichts damit zu tun, ob die Zahl selbst negativ ist" halte ich für wichtig; gern würde ich das aber so erweitert sehen, dass der Leser versteht: Beim Wort "Negativ" kann es sich um Begriffe unterschiedlicher Herkunft - algebraische Operation oder Ordnungsrelation - handeln.   -- 888344 16:19, 14. Nov 2005 (CET)
thread_title:  "negativ" 

message: muss nicht auch 1+0=1 und 1*0=0 gelten?
: a+0=a für alle a wird ja schon explizit gefordert, und 1\cdot0=0 folgt aus
:: 1\cdot0=1\cdot(0+0)=1\cdot0+1\cdot0
: durch Addition von -(1\cdot0).--Gunther 16:24, 8. Dez 2005 (CET)
thread_title: blöde frage

message: Hallo, wieso steht eigentlich "engl. field" in der Einleitung? Allgemein ist das doch nicht üblich, gleich die Übersetzung anzugeben (und wenn schon, dann bitte auch Französisch, Dänisch, etc.). Wer den engl. Begriff wissen will, braucht doch nur den englischen Artikel anschauen. Gruß von Wasseralm 09:26, 9. Dez 2005 (CET)
replies: text: Weil es sich um eine der wenigen Ausnahmen handelt, in denen sich englischer und deutscher Begriff wesentlich unterscheiden. Ich find's aber auch entbehrlich.--Gunther 10:44, 9. Dez 2005 (CET)
replies: text: Ich habs mal entfernt. Gruß von Wasseralm 21:58, 9. Dez 2005 (CET)
thread_title:  field (erledigt)

message: Gehören beim Distributivgesetz nicht auch Klammern gesetzt? Also  a \cdot (b+c)=(a \cdot  b)+(a \cdot c)  statt  a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c . Aus der Schulmathematik kennt man zwar die Punkt-vor-Strich Regel, aber hier würde ich sie doch explizit setzen.
--Drizzle 17:47, 2. Aug. 2007 (CEST)
thread_title:  Klammern 

message: In der formalen Definition werden an das Tripel (K,+,\cdot) keine Bedingungen gestellt, nur dass "für alle a,b,c \in K" die genannten Eigenschaften gelten. Allerdings ist das Tripel (\emptyset,+,\cdot) kein Körper, da es keine 0 und 1 enthält. Nach der Definition die zur Zeit auf der Seite steht wäre es ein Körper da "\forall a,b,c \in K: A" immer erfüllt ist, selbst wenn A falsch ist.
-- Kritzstapf 20:56, 19. Apr. 2009 (CEST)
thread_title:  Hervorhebung der Elemente 0 und 1 in der formalen Definition 

message: Dieser Link führt (z.Z.) zum Artikel "Corps (mathématiques)". In der frz. Wikipedia hat sich aber die Bourbaki-Terminologie in manchen Bezeichnungen durchgesetzt, insbesondere gilt das bei "corps", von dem die Kommutativität nicht vorausgesetzt wird; in diesem Fall ist das bei frz. Mathematikern vermutl. allgemein so. Ich wusste bisher nicht, dass das im Deutschen (meistens) anders ist (im Gegensatz zum Englischen, wo ja sowieso ein ganz anderes Wort benutzt wird) - und übrigens auch nicht, dass da Bourbaki etwas geändert haben soll.
So wie die Sachen nun sind, ist der Interwiki-Link evtl. irreführend, da das frz. Äquivalent "corps commutatif" ist. Dieser Begriff wird im Artikel "Corps (mathématiques)" beiläufig besprochen, ist aber dort keine Abschnittsüberschrift; einen eigenen Artikel mit ihm als Lemma ist auch nicht vorhanden - ein solcher wird ja nicht benötigt. Somit kann man den Interwiki-Link nicht korrigieren, höchstens löschen. Sicher sind viele Interwiki-Links nur approximativ, sei es aus Unkenntnis, sei es mangels Besserem, da solche Abweichungen im Allgemeinen nicht so wichtig sind. Was hält ihr aber von diesem Fall hier, wo schon wegen des Englischen bekannt ist, dass es da Probleme gibt, so dass ein solcher Link zu falschen Schlüssen führen oder Vorurteile (wie meine ;-) ) bestätigen könnte?--UKe-CH 17:11, 2. Okt. 2009 (CEST)
replies: text: Neue Antwort auf alten Beitrag: Ich halte im Gegenteil Interwikilinks für entbehrlich, wenn deutscher und (zum Beispiel) französischer Begriff absolut äquivalent sind. Dies ist ein Fall, der außerhalb der Mathematik und weniger anderer Strukturwissenschaften nur kurz nach der Erfindung/Übersetzung des Begriffes vorkommen kann, und er ist selbst in der Mathematik eher selten. ("River" und "Fluss" sind schon deshalb für jeweilige Muttersprachler unterschiedlich konnotiert, weil sie in jeweils unterschiedlichen Kinderliedern vorkommen). Wichtig sind Interwiki-Links vor allem dann, wenn die Begriffe nur "fast" äquivalent sind, vor allem dann, wenn rein sprachlich ein Falscher Freund vorliegen könnte. --KleinKlio (Diskussion) 23:42, 26. Jul. 2013 (CEST)
thread_title:  Interwiki Link ins Französische 

message: Meiner Meinung sind die ersten Beispiel für Körper im Artikel nicht wirklich korrekt. Dort stehen \R, \Q und \Complex als wichtige Beispiele für Körper, allerdings handelt es sich bei \R, \Q und \Complex ja eigentlich um Zahlenmengen. Nur durch die Verbindung mit einer Addition und einer Multiplikation entsteht dann ein Körper. Sollte dieser Satz mit den Beispielen vielleicht etwas präzisiert werden? Zum Beispiel:
: Die wichtigsten Körper, die in fast allen Gebieten der Mathematik benutzt werden, sind der Körper \left(\R, +, \cdot\right) über den reellen Zahlen, der Körper \left(\Q, +, \cdot\right) über den rationalen Zahlen und der Körper \left(\Complex, +, \cdot\right) über den komplexen Zahlen.
-- Gerol 22:22, 24. Mai 2011 (CEST)
replies: text: Die Sprechweise "Körper über ..." habe ich noch nie gehört. Man sagt üblicherweise "Körper der reellen Zahlen" usw. Die Verknüpfungen müssen zwar strenggenommen mitgenannt werden, verstehen sich aber in der Praxis von selbst. -- Digamma 22:41, 24. Mai 2011 (CEST)
replies: text: Ich bin zwar kein Mathematiker, daher weiß ich nicht, ob die Schreibweise ohne Verknüpfungen weit verbreitet ist. Beim Lesen fiel es mir jedenfalls unschön auf. Insbesondere für Laien könnte es doch sehr verwirrend sein, diese Mengen ohne weiteren Kommentar als Körper zu bezeichnen. Als Kompromiss kann die implizite Schreibweise ja beibehalten und diese Konvention kurz erwähnt werden…? 178.200.46.253 17:02, 24. Aug. 2012 (CEST)
thread_title:  Ungenaue Definition 

message: Die Menge der "natürlichen Zahlen" ist definitiv kein(!) Ring. Gemeint waren da wohl eher die ganzen Zahlen. (nicht signierter Beitrag von 2003:54:D07:5F00:411E:1D8A:8EE4:EB77 (Diskussion | Beiträge) 13:07, 2. Feb. 2013 (CET)
thread_title:  Fehler im Klassendiagramm 

message: In der Darstellung werden ohne große Erklärung 0 und 1 als neutrale Elemente, in einem Zug, sowohl vorgestellt als auch gleich benutzt. Spätestens mit den „bekannten Beispielen“ und den rationalen/reellen/komplexen Zahlen scheint mir die Gefahr gegeben zu sein, daß der Leser das Ganze endgültig als rein arithmetische Übung verbucht.
Ich würde also gerne den einen oder anderen Hinweis darauf sehen, daß hier die „Spielregeln“ (Verknüpfung aus Menge und Operatoren) und nicht so sehr die „Spielfiguren“ (die jeweils aktuelle Identitiät dieser „Neutralen“, die – man verzeihe mir die Sport-Analogie – nicht zwingend „in Schwarz“ auftreten müssen) im Vordergrund stehen.
Allerdings fehlt es mir am aktuell allgemein akzeptierten „Körper des mathematischen Vokabulars mit zugehöriger Syntax und Semantik“, um dies selbst irgendwo ohne größeres Kritikpotential unterzubringen. (nicht signierter Beitrag von 79.197.77.137 (Diskussion) 23:26, 3. Sep. 2013 (CEST)
thread_title:  „neutral poloarisierende Elemente“? 

message: erst wird erwähnt, dass „\cdot“ eine innere zweistellige Verknüpfung auf K ist, also \cdot \colon K \times K \to K. Und in der multiplikativen Gruppe ist „\cdot“ eine innere zweistellige Verknüpfung auf K\setminus 0, also \cdot \colon K\setminus 0\times K\setminus 0 \to K\setminus 0. Es gilt ja nicht, dass K = K\setminus 0 ist, deshalb bei der Gruppe lieber einschränken. (nicht signierter Beitrag von 77.21.235.82 (Diskussion) 23:07, 10. Mär. 2016 (CET)
replies: text: Ich verstehe nicht ganz, worauf du raus möchtest. Auch wenn nur K ohne die Null mit der Multiplikation eine Gruppe ist, ist die Multiplikation auch für die Null definiert. Genau so, wie man es von den rationalen und den reellen Zahlen kennt. Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz gelten auch für die Multiplikation mit 0. Der einzige Grund, warum die Null bei der Formulierung des Axioms ausgeschlossen wird, ist, dass es zur Null kein multiplikatives Inverses gibt. --Digamma (Diskussion) 21:51, 12. Mär. 2016 (CET)
replies: text: Das braucht nicht eigens gefordert zu werden, da die Distributivgesetze ohnehin für alle Körperelemente verlangt werden.  In den Distributionsgesetzen wird also die Multiplikation auch für 0 gefordert, nur nicht als Teil der abelschen Gruppe; und es kann bewiesen werden, daß a = 1a = (0+1)a = 0a + 1a = 0a + a für jedes a; damit erweist sich 0a als ein neutrales Element der Addition, das ist aber eindeutig, ( denn 0 + a = e + a => 0 + a - a = e + a -a => 0+0 = e+0 >= 0 = e), also ist 0a = 0, egal wie der Körper ausschaut. Daraus folt dann übrigens auch 0 = 0a = (1-1)a = 1a - 1a = a - 1a für jedes a, ergo ergibt sich das additive Inverse in jedem Körper durch Multiplikation mit -1. Usw. --2001:A61:20E9:2501:35C9:7BE0:8E06:36B4 23:10, 27. Jul. 2017 (CEST)
replies: text: Worauf bezieht sich "Das braucht nicht eigens gefordert zu werden"? --Digamma (Diskussion) 09:44, 28. Jul. 2017 (CEST)
replies: text: Ich hatte den ursprünglichen Fragesteller verstanden, daß er meinte, daß mit den Körperaxiomen die Multiplikation der 0 nicht definiert ist, und das sei fehlerhaft.--2001:A61:208D:2B01:65A4:7288:FFD4:A731 10:18, 28. Jul. 2017 (CEST)

text: Alles klar. Danke. Man könnte zusätzlich noch erwähnen, dass aus 0 \cdot a = 0 folgt, dass das Kommutativ- und das Assoziativgesetz auch für die Multiplikation mit 0 gilt. --Digamma (Diskussion) 10:29, 28. Jul. 2017 (CEST)
thread_title:  in der allgemeinen Definition die Verknüpfung in der multiplikativen Gruppe einschränken? und bei den Distrubitivgesetzen einen Verweis auf [[Operatorrangfolge]]?

message: Dieser Punkt bedarf meines Erachtens einer Überarbeitung, denn die beiden Unterabschnitte "Allgemeine Definition" und "Einzelaufzählung der Axiome" widersprechen sich, oder letzterer ist zumindest unklar gestaltet: es steht hier nicht, welchen Mengen die Elemente a,b,c, für die das Assoziativ- und das Kommutativgesetz gelten soll jeweils entnommen wurden. Geht man davon aus, dass, dort wo nichts notiert ist, a,b,c∈K gemeint ist, dann hat man, ohne darauf hinzuweisen, zusätzliche Axiome gefordert (was ja eigentlich einer Erklärung bedarf), da im vorherigen Abschnitt "Allgemeine Definition" die Assoziativität und Kommutativität der Multiplikation ja nicht axiomatisch auf der gesamten Menge K definiert wurden. Diese können natürlich aus der ersten Definition hergeleitet werden, doch sollte man dann auch angeben, dass es sich bei ihnen um Folgerungen handelt (und am besten auch wie man sie erhalten hat). Geht man andererseits, wie der der Einzelauflistung der Axiome vorangestellte Satz: "Ein Körper muss also folgende Einzelaxiome erfüllen:" nahelegt, davon aus, hier sei gemeint, dass Assoziativ- und Kommutativgesetz bezüglich der Multiplikation nur für a,b,c∈K\{0} gelten, so hat man noch nicht erfahren, dass sie in einem Körper auf ganz K gelten. 
Mein Vorschlag wäre:
1. Man lässt am besten den ersten Abschnitt stehen, denn dieser liefert nicht nur die sparsamste(*), sondern, wie ich finde, auch die übersichtlichste Charakterisierung dessen, was man (heutzutage) normalerweise unter einem Körper versteht.
(*) Man könnte auch statt: "(K,+) ist eine abelsche Gruppe" nur fordern: (K, +) ist eine Gruppe.
2. Man folgert aus den Axiomen die wichtigsten Eigenschaften eines Körpers, was recht einfach ist (wobei man aber immer genau angeben sollte, welche Axiome/ Regeln für welchen Schritt benutzt wurden):
(i) 1≠0:
1∈K\{0} ⇒ 1≠0
(ii) ∀a∈K: a*0=0*a=0
a*0=a*(0+0)=a*0+a*0 ⇒ a*0=0
Analog unter Zuhilfenahme des 2. Distributivgesetzes schließt man 0*a=0.
Folgerungen aus (ii): 
a) Kommutativität von "*" auf ganz K, wegen (ii) und K\{0} abelsche Gruppe 
b) Assoziativität von "*" auf ganz K (ein oder zwei Beispiele hierzu)
(iii) Kommutativität von "+" auf ganz K:
(1+1)(a+b)= 1(a+b)+1(a+b)=a+b+a+b (I)
                                                                             }
(1+1)(a+b)= (1+1)a +(1+1)b=a+a+b+b (II)
Zweimalige Anwendung der Kürzungsregeln (von links und rechts) ergibt  a+b=b+a ∀a,b∈K.
(iv) Evtl. noch die Nullteilerfreiheit von K
In der Reihenfolge und Art, habe ich die Beweise dem Buch "Arens und weiter Autoren: Grundwissen Mathematikstudium" 1. Auflage, S.80 entnommen (es gibt hier allerdings ein paar Fehler, z.B fehlt das 2. Distributivgesetz. Ohne dieses kann man z.B einen solchen "Körper" erhalten, wie er weiter oben im Diskussionsforum steht)
3. Evtl. eine Übersicht im Detail, wie in "Einzelaufzählung der Axiome" aber dann unter anderem Namen. Oder man bietet zwei Definitionen an und zeigt anschließend, dass diese äquivalent sind. 
4. Der Bezug zum Ring wie im Artikel bereits enthalten
Dann der Rest.--FChopin (Diskussion) 21:00, 24. Sep. 2017 (CEST)
thread_title:  (Kleine) Umgestaltung des Abschnitts "Formale Definition"