Diskussion:Heegner-Punkt

message: In der arithmetischen Geometrie bezeichnen Heegner-Punkte gewisse komplexe Zahlen, die eine Schnittstelle zwischen elliptischen Kurven, quadratischen Zahlkörpern und Modulformen bilden. Benannt sind sie nach dem deutschen Mathematiker Kurt Heegner, der sie verwendete, um das Gaußsche Klassenzahlproblem für imaginär-quadratische Zahlkörper zu lösen.
Hallo, ist harter Stoff, bin umso froher über Anmerkungen und Korrekturvorschläge. Danke! :) -- Googolplexian (Diskussion) 19:20, 14. Jun. 2020 (CEST)
replies: text: Die Einordnng von Heegners Beweis als "laienhaft" stört mich, davon ist bei Deuring und dem folgenden Aufsatz von Siegel nicht die Rede, nur von schwer verständlich und Lücke im Beweis, die möglicherweise auf seine Verwendung von Weber zurückgeht. Zumindest auf Mathematiker wie Siegel und Deuring gilt übrigens die pauschale Behauptung, die meisten Mathematiker hätten die Theorie der Modulfunktionen damals vergessen (zitiert wird Birch) nicht. Und den Peer Review hatte Heegner auch überstanden.--Claude J (Diskussion) 10:31, 1. Jul. 2020 (CEST)
replies: text:  Danke Claude J, ich werde es bei meinen Überarbeitungen berücksichtigen. Es ist in der Tat so, dass das Thema Modulformen über viele Jahre hinweg kaum Beachtung fand (diese Aussage findet sich auch bei Serge Lang in seiner Introduction to modular forms), aber Ausnahmen gab es natürlich trotzdem. Liebe Grüße.--Googolplexian (Diskussion) 19:15, 13. Jul. 2020 (CEST)
replies: text:   Den Artikel finde ich sehr interessant. Jetzt gibt es da auch einige Bilder. Wenn ich den Artikel Heegner-Punkt vor mir aber, würde es sehr hilfreich sein, wenn ich in den Abbildungen diesen auch erkennen würde. Kann man in den Abbildungen oder zumindest in der Bilderunterschrift beschreibend anbringen, wo dort jetzt der Heegner-Punkt tatsächlich zu finden ist? Liebe Grüße, – Doc Taxon • Disk. • 16:13, 5. Aug. 2020 (CEST)
replies: text:  Danke! Ja, da hast du recht, es sollte noch ein Bild herein, auf denen Heegner-Punkte „zu sehen“ sind. Diese liegen allerdings dicht auf der oberen Halbebene (bzw. den Modulkurven), aber es würde ja genügen, ein paar wenige Beispielpunkte aufzutragen. Ich hatte die letzten Wochen viel zu tun, wird Zeit, dass ich mal die ganzen Vorschläge umsetze ;) Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:21, 5. Aug. 2020 (CEST)
replies: text:  nee,  auch im Review hetzt Dich keiner. Wenn Du Zeit hast, wird's schon was werden, wenn nicht, dann eben später. Liebe Grüße, – Doc Taxon • Disk. • 14:33, 6. Aug. 2020 (CEST)
thread_title:  Review Juni – September 2020 

message: In Heegner-Punkt#Definition heißt es:
* Der Wert \tau ist ein CM-Punkt (CM = complex multiplication), d. h., er ist Lösung einer quadratischen Gleichung der Form A\tau^2 + B\tau + C = 0 mit B^2 - 4AC < 0
Hier fehlt mir die Aussage, dass A,B,C ganzzahlig sein sollen. Oder müssen sie das gar nicht?--Hfst (Diskussion) 17:05, 27. Okt. 2020 (CET)
replies: text: Doch, das ist ein wichtiger Punkt, danke für den Hinweis Hfst! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 19:32, 27. Okt. 2020 (CET)
thread_title:  Koeffizienten der quadratischen Gleichung müssen nicht ganzzahlig sein? 

message: === Über Kurven und rationale Punkte  ===
Eine algebraische Kurve ist im Prinzip eine große Familie von Punkten, die alle eine gemeinsame algebraische Relation erfüllen. Das bedeutet, dass es eine Gleichung zu Null gibt, in der ausschließlich addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert wird, die von allen Punkten gleichzeitig erfüllt wird. Ein Beispiel wäre die Gleichung x^2 - 1 = 0 (x wird lediglich mit sich selbst multipliziert und anschließend wird 1 vom Ergebnis subtrahiert), die genau von x = \pm1 gelöst wird. Somit bildet die Familie \{-1,1\} die „Vorstufe“ einer Kurve, obgleich zwei Punkte noch nicht eine „kurvige“ Anschauung hervorrufen.
Ein erstes nicht-triviales und häufig genanntes Beispiel einer Kurve ist der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt (0, 0) in der Zahlenebene, der genau durch die Punkte (x,y) gegeben ist, welche die Relation x^2 + y^2 = 1 erfüllen. Es können also auch Punkte mit mehr als einer Koordinate Kurven bilden, und tatsächlich wird es auch erst hier „reichhaltiger“. Dass die reellen Lösungen der Gleichung x^2 + y^2 = 1 einen Kreis bilden, kann mit dem Satz des Pythagoras bewiesen werden. Von Interesse ist, dass eine eigentlich geometrische Figur wie der Kreis von einer algebraischen Relation herrührt. Auch anderen Gebilden wie Geraden, Ebenen, Hyperbeln etc. liegen algebraische Gleichungen zugrunde.
Während der Kreis erst durch Betrachtung aller reellen Zahlen „lückenlos“ entstehen kann, so liegt etwa \textstyle \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) auf dem Kreis, da
: \left( \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left( \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \tfrac12 + \tfrac12 = 1,
ist es für die Zahlentheorie von Interesse, Punkte auf Kurven zu finden, die ganz besonders „einfach“ sind. Damit sind zum Beispiel rationale Punkte gemeint, die neben der ohnehin schon restriktiven Kurvenlage die Eigenschaft haben sollen, durch Quotienten ganzer Zahlen beschrieben werden zu können. So ist es eine klassische Frage der Zahlentheorie, welche rationalen Punkte auf dem Kreis x^2 + y^2 = 1 liegen. Zum Beispiel ist \textstyle \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) kein rationaler Punkt, da man weiß, dass die Quadratwurzel aus 2 keine rationale Zahl ist. Beispiele für rationale Punkte sind \textstyle \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right), da
: \left( \tfrac{3}{5}\right)^2 + \left( \tfrac{4}{5}\right)^2 = \tfrac{9}{25} + \tfrac{16}{25} = \tfrac{9+16}{25} = \tfrac{25}{25} = 1,
aber auch \textstyle \left(\frac{5}{13}, \frac{12}{13}\right) sowie \textstyle \left( \frac{20}{101}, \frac{99}{101} \right). Diese Punkte leiten sich aus den pythagoreischen Tripeln ab, also nicht-trivialen ganzen Zahlen (a,b,c) mit a^2+ b^2 = c^2. Es kann über elementare Methoden gezeigt werden, dass es unendlich viele primitive pythagoreische Tripel gibt, also solche, die nicht ganze Vielfache anderer Tripel sind, weshalb der Kreis tatsächlich „übersät“ mit rationalen Punkten ist.Joseph Silverman, John Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer, S. 11. Allgemein gelten quadratische Kurven hinsichtlich rationaler Punkte als weitgehend verstanden.Joseph Silverman, John Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer, S. 15.
Bereits durch dieses Beispiel wird eine Synthese aus Geometrie (Figuren, hier ein Kreis), Algebra (Gleichungen, die nur Grundrechenarten verwenden) und Zahlentheorie (rationale Zahlen) erkennbar.
===Elliptische Kurve und Heegner-Punkte ===
 
Bei Weitem nicht so zugänglich sind sog. elliptische Kurven,Joseph Silverman, John Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer, S. 17. die allgemein in der Form y^2 = x^3 + ax + b mit rationalen Zahlen a, b beschrieben werden können. Während der geometrischen Figur des Kreises eine quadratische Gleichung zugrunde lag, handelt es sich bei einer elliptischen Kurve um eine kubische Gleichung (also mit Termen hoch 3). Das Besondere an elliptischen Kurven ist, dass man aus zwei bereits bekannten (rationalen) Punkten P_1 und P_2 über eine Verknüpfung P_1 + P_2 einen neuen rationalen Punkt P_3 berechnen kann, genauso wie man aus zwei ganzen Zahlen mit der Addition eine neue ganze Zahl erzeugen kann.Joseph Silverman, John Tate: Rational Points on Elliptic Curves. Springer, S. 18. Bei der Addition eines rationalen Punktes zu sich selbst können zwei Situationen eintreten: Entweder der betrachtete Punkt ist von endlicher Ordnung und schließt einen endlichen Zyklus, d. h., irgendwann tritt die Situation P + P + P + \dotsb + P = P ein und es geht von vorne los, oder es entstehen bis ins Unendliche immer neue Punkte, was vergleichbar mit der Erzeugung aller natürlicher Zahlen durch 1 + 1 + 1 + 1 + \dotsb ist. In diesem Fall sagt man, dass P unendliche Ordnung hat.
Die Theorie der elliptischen Kurven ist äußerst umfangreich,Joseph H. Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves. 2nd Edition, Springer, S. xviii. zahlentheoretisch im Zusammenhang mit dem großen Satz von Fermat von BedeutungGary Cornell, Joseph H. Silverman, Glenn Stevens: Modular Forms and Fermat’s Last Theorem. Springer, S. 1. und wird von Mathematikern wie Henri Cohen auf den Umfang vieler tausend Seiten (in moderner mathematischer Sprache) geschätzt.Henri Cohen: Number theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations. Springer, 2007, S. 465. Trotz ihrer Strukturen sind manche ihrer Eigenschaften bis heute nicht geklärt. So kennt man bis heute keinen allgemeinen Algorithmus, der rationale Punkte liefert, mit deren Hilfe alle anderen rationalen Punkte auf der Kurve durch Verknüpfung gewonnen werden können (eine positive Antwort auf die starke Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde jedoch einen solchen Algorithmus liefern).Henri Darmon: Rational points on modular elliptic curves. Regional Conference Series in Mathematics, American Mathematical Society, Number 101, S. 8.Joseph H. Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves. 2nd Edition, Springer, S. 309. Jedoch können Heegner-Punkte dabei helfen, nicht-triviale rationale Punkte (solche, die durch Verknüpfung mit sich selbst unendlich viele verschiedene neue rationale Punkte erzeugen können) zu erzeugen. Ein Beispiel für einen durch Heegner-Punkte konstruierten rationalen Punkt ist
: \left( \frac{95732359354501581258364453}{277487787329244632169121}, \frac{834062764128948944072857085701103222940}{146172545791721526568155259438196081}\right)
auf der Kurve y^2 = x^3 + 157^2 x.Henri Cohen: Number theory. Volume I: Tools and Diophantine Equations. Springer, 2007, S. 599. Dieser rationale Punkt beweist nach einem Satz von Tunnell, dass es ein rechtwinkliges Dreieck gibt, das ausschließlich rationale Seitenlängen und den Flächeninhalt 157 hat.Neal Koblitz: Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Springer-Verlag New York, S. 221.
Was elliptische Kurven über den rationalen Zahlen, neben ihrer Fähigkeit einer Punktaddition, so in den Fokus des Interesses rückt, ist die Tatsache, dass sie die einzigen Kurven sind, die endlich, aber auch unendlich viele rationale Punkte haben können (Kurven mit Geschlecht g = 1). Nach der Vermutung von Mordell, bewiesen von Gerd Faltings, haben Kurven von Geschlecht g = 0 mit einem rationalen Punkt bereits unendlich viele rationale Punkte, während Kurven von Geschlecht g \geq 2 stets nur endlich viele rationale Punkte haben können.Gerd Faltings: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Inventiones Mathematicae 73, 349–366, 1983. Für seine Leistung wurde Faltings 1986 mit der Fields-Medaille geehrt.
=== Körper und Klassenzahlen ===
In der Mathematik ist man an Mengen interessiert, die bezüglich möglichst vieler Strukturen abgeschlossen sind. Eine Menge erhält dann zusätzliche Struktur, wenn ihre Elemente untereinander Dinge tun können. Betrachtet man zum Beispiel die Menge der ganzen Zahlen \mathbb{Z} = \{\dotsc, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dotsc\}, so fällt auf, dass diese unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist: Addiert oder multipliziert man zwei ganze Zahlen, wird das Ergebnis wieder eine ganze Zahl sein und man hat die ursprüngliche Menge nicht verlassen. Noch strukturierter ist es jedoch, wenn man auch dividieren darf. Dies wird in den ganzen Zahlen jedoch nicht immer möglich sein, da zum Beispiel \tfrac13 keine ganze Zahl ist. Daher muss hier der Bereich erweitert werden, um auch eine Abgeschlossenheit unter Division zu erhalten. Im Falle von \Z gelangt man damit zu den rationalen Zahlen \Q. Es muss noch gefordert werden, dass es eine „0“ und eine „1“ gibt (neutrale Elemente der Addition und Multiplikation), sodass man mit der Tatsache/Regel \textstyle \frac{a}{a} = 1 für alle Zahlen a \neq 0 eine algebraische Struktur erhält, die auch Körper genannt wird.
Natürlich ist \Q nicht der einzige Körper. So ist die Menge der reellen Zahlen \R ebenfalls ein Körper, da auch hier die oben beschriebenen Regeln gelten. Jedoch gibt es weit mehr reelle als rationale Zahlen, weshalb viele Fragestellungen der Zahlentheorie, gerade bezogen auf Zerlegung von Zahlen in „elementarere Zahlen“, hier nicht mehr sinnvoll sind. In der Zahlentheorie interessiert man sich daher besonders für Körper, die dem der rationalen Zahlen viel mehr ähneln als die reellen Zahlen. Denkbar ist es, sich einzelne nicht-rationale Zahlen hinzuzunehmen, und daraus durch Bilden aller möglichen Summen, Produkte und Quotienten einen neuen Körper zu konstruieren. So ist zum Beispiel die Menge \Q(\sqrt{2}), bestehend aus allen Zahlen der Form x + y\sqrt{2} mit rationalen Zahlen x,y \in \Q, wieder ein Körper. Man spricht bei einer solchen Erweiterung der rationalen Zahlen von einem Zahlkörper.
Die Klassenzahl und damit Heegner-Punkte kommen dort ins Spiel, wo es darum geht, die ganzen Zahlen \Z als Verwandten der rationalen Zahlen \Q zu sehen, da letztere gewissermaßen durch Quotientenbildung aus ihnen hervorgehen. Auch bei Zahlkörpern kann man solche zugehörigen „ganzen Zahlen“ finden, jedoch müssen diese nicht mehr nur \Z sein, sondern können weitere Elemente enthalten. Ganze Zahlen im Körper \Q(\sqrt{2}) wären in etwa
: 2, \quad 3, \quad 1 + \sqrt{2}, \quad 3 - 2\sqrt{2}
im Gegensatz zu allgemeinen Körperelementen wie
: \tfrac12, \quad \tfrac37, \quad \tfrac{2}{11} - \tfrac{5}{8}\sqrt{2}, \quad - \tfrac{11}{89}\sqrt{2}.
Auch bei Arten verallgemeinerter ganzer Zahlen kann untersucht werden, ob es eine (bis auf Elemente wie einfache Vorzeichen \pm1 und natürlich Reihenfolge) eindeutige Zerlegung in „Primzahlen“ gibt. In \Z ist dies bekanntermaßen der Fall, zum Beispiel ist -50 = -2 \cdot 5 \cdot 5 mit den Primzahlen 2 und 5, und es gibt keine anderen Zerlegungsmöglichkeiten, außer Vorzeichen- und Reihenfolgenwechsel wie zum Beispiel 5 \cdot (-2) \cdot 5. Also ist \Z gewissermaßen zahlentheoretisch „gutartig“ – es gibt nur eine Klasse von Zerlegungsmöglichkeiten. Im Falle beliebiger Zahlkörper kann es aber passieren, dass es in deren ganzen Zahlen keine eindeutige Zerlegbarkeit mehr in „Primzahlen“ (allgemeiner Primelemente genannt) gibt. Ein Beispiel für fehlende Eindeutigkeit ist
: 10 = 2 \cdot 5 = (4 + \sqrt{6}) \cdot (4 - \sqrt{6})
mit den vier Primelementen 2, 5, 4 \pm \sqrt{6} in den ganzen Zahlen von \Q(\sqrt{6}).Don Zagier: Zetafunktionen und quadratische Zahlkörper. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York, 1981, S. 90. Für die letzte Umformung kann 10 als Differenz 16 - 6 = 4^2 - \sqrt{6}^2 zweier Quadrate geschrieben werden, was sich dann zum Produkt aus Summe und Differenz der beiden Basen 4 und \sqrt{6} faktorisieren lässt. Es kann nun gemessen werden, wie stark die Situation vom „Idealfall“ einer eindeutigen Zerlegbarkeit abweicht. Dieser Fehler wird als Klassenzahl des Zahlkörpers bezeichnet und ist eine natürliche Zahl. Zum Beispiel hat der Körper der rationalen Zahlen die Klassenzahl 1.Don Zagier: Zetafunktionen und quadratische Zahlkörper. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York, 1981, S. 62.
Die Bestimmung der Klassenzahl eines Zahlkörpers ist im Allgemeinen ein sehr schwieriges Unterfangen und es gibt bis heute viele ungelöste Probleme in diesem Bereich.Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1992, S. 39. Heegner-Punkte können (indirekt) dazu verwendet werden, die Klassenzahl einiger Körper zu bestimmen. Es lässt sich zum Beispiel zeigen, dass die einzigen quadratischen Zahlkörper mit imaginären Zahlen, in denen eine eindeutige Zerlegung in Primelemente existiert, genau die Körper
: \Q(\sqrt{-1}), \, \Q(\sqrt{-2}), \, \Q(\sqrt{-3}), \, \Q(\sqrt{-7}), \, \Q(\sqrt{-11}), \, \Q(\sqrt{-19}), \, \Q(\sqrt{-43}), \, \Q(\sqrt{-67}), \, \Q(\sqrt{-163})
sind.Don Zagier: Zetafunktionen und quadratische Zahlkörper. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York, 1981, S. 83–84.
=== Parameterdarstellung von elliptische Kurven ===
Eine Parametrisierung ist eine Abbildung von einem „einfachen“ Parameterobjekt in ein „kompliziertes“ Zielobjekt, mit dessen Hilfe durch Einsetzen von beliebigen Eingaben (Parametern) des Parameterobjekts beliebige nicht-triviale Teile des Zielobjekts erzeugt werden können. Mit „einfach“ ist gemeint, dass das Parameterobjekt in erster Linie ein „bekanntes“ Objekt ist, über das genügend Wissen vorhanden ist und aus dessen Vorrat nun nacheinander Werte eingesetzt werden, um damit ein anderes (unbekanntes, komplizierteres oder strukturell anspruchsvolleres) Objekt aufzubauen. Oft handelt es sich sowohl bei den Ein- als auch bei den Ausgaben um Punkte, die in ihrer Kollektion ein geometrisches Objekt darstellen.
Ein Beispiel einer Parametrisierung ist die des Kreises: Das „einfache“ Parameterobjekt ist hierbei das Intervall [0,1], also alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1, über dessen Inhalt wir kanonisch verfügen, und das „komplizierte“ Zielobjekt der Kreis, wobei eine mögliche Abbildung
: t \mapsto (\cos(2\pi t), \sin(2\pi t))
ist. Nach dem Satz des Pythagoras ist \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 unabhängig von der Eingabe \theta, womit aufgrund der Periodizität von Sinus und Kosinus der gesamte Kreis erzeugt wird. Nutzt man die Veranschaulichung der komplexen Zahlen a + ib (mit reellen Zahlen a,b) als Punkte (a,b), vereinfacht sich die Parametrisierung zu
: t \mapsto e^{2\pi i t}.
Für den Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und der komplexen Exponentialfunktion siehe auch Eulersche Formel. Aus geometrischer bzw. topologischer Sicht wird das Intervall [0,1], ein „Faden“ mit einer Längeneinheit, an beiden Enden genommen und zu einem Kreis zusammengeschlossen.Neal Koblitz: Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Springer-Verlag New York, S. 14.
Das Besondere an der Kreisparametrisierung ist, dass sie von einer transzendenten Funktion generiert wird, nämlich f(t) = e^{2\pi i t}. Dabei bedeutet transzendent, dass es kein allgemeines Prinzip gibt, die Funktionswerte e^{2\pi i t} durch endlich viele Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen oder Divisionen aus den Eingaben t und festen Zahlen zu erzeugen. Unter diesen Umständen ist eigentlich zu erwarten, dass die Funktionswerte unter rationalen Eingaben t keine besondere Struktur haben (es ist \Q zwar ein Körper, aber es wird nicht gefordert, dass dieser unter unendlich vielen algebraischen Operationen immer noch abgeschlossen sein muss). Erschwerend machen die algebraischen Zahlen im asymptotischen Sinne 0 % aller komplexen Zahlen aus, weshalb ein „Zufall“ ausgeschlossen wäre. Tatsächlich aber kann mittels Potenzgesetzen gezeigt werden, dass jeder der Werte e^{2\pi i \frac{p}{q}} mit rationalen Zahlen \tfrac{p}{q} eine algebraische Zahl ist, nämlich der Gleichung x^q - 1 = 0 genügt. Die Algebraizität überträgt sich dann auf die einzelnen Komponenten \sin(2\pi t) und \cos(2\pi t). Demnach sind alle rationalen Zahlen \Q in gewisser Weise die „Heegner-Punkte des Kreises“, da diese unter der Parametrisierung algebraische Punkte auf dem Kreis erzeugen. Beispielsweise ist
: f\left( \tfrac{1}{8}\right) = \tfrac{\sqrt{2}}{2} + i\tfrac{\sqrt{2}}{2},
wobei \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) auf dem Einheitskreis liegt (siehe oben).
Bei der Parametrisierung einer Menge von Punkten (x,y), die alle gemeinsam eine Gleichung y^2 = x^3 + ax + b erfüllen, also einer elliptischen Kurve, wird im Prinzip genauso verfahren. Da diese mittels sog. elliptischer Funktionen erfolgt, wird dabei von den komplexen Zahlen ausgegangen. Gesucht ist auch hier ein Funktionenpaar f und g, ähnlich wie Sinus und Kosinus, sodass für jedes t aus einem Parametervorrat g(t)^2 = f(t)^3 + af(t) + b gilt. Nach Einsetzen eines Wertes t lassen sich auch dann Koordinaten (x,y) = (f(t), g(t)) der Kurve abschreiben. Auch hier bedient man sich periodischer Funktionen, die jedoch von vornherein auf den komplexen Zahlen definiert werden. Als solche ordnen sie jedem Punkt einer Ebene (= jeder komplexen Zahl) eine komplexe Zahl zu.
=== Veranschaulichung des Verfahrens zur Konstruktion rationaler Punkte mittels Heegner-Punkten auf elliptischen Kurven ===
Um gut rationale Punkte auf einer elliptischen Kurve konstruieren zu können, müssten einfache Punkte z bekannt sein, sodass die Koordinaten (f(t), g(t)) der elliptischen Kurve rational sind. Solche hypothetischen „Heegner-Punkte“ gibt es im Allgemeinen jedoch nicht, bzw. sie können nicht einfach erraten werden. Dank eines lange vermuteten Satzes, bewiesen von Andrew Wiles und anderen, weiß man aber, dass es noch eine geeignete Art gibt, elliptische Kurven y^2 = x^3 + ax +b, die über den rationalen Zahlen definiert sind (also a,b \in \Q), zu parametrisieren. In diesem Falle ist die Funktion, die bei der Abbildung eine Rolle spielt, periodisch und transzendent. Jedoch ist die Abbildung deutlich komplizierter als es bei der Version über p-Funktionen der Fall war. Diese Parameterobjekte haben höheres Geschlecht (also mind. 1),  im Gegensatz zur elliptischen Kurve.
Zwar wirkt das Parameterobjekt viel komplizierter, aber im Gegensatz zur elliptischen Kurve können auf diesem Objekt manche algebraischen Punkte (ggf. sogar rationale Punkte) direkt erraten werden – die sog. Heegner-Punkte. Das hat den Hintergrund, dass die Kurven des Parametervorrats stets sog. Modulkurven sind. Die von Wiles vorhergesagte sehr schwierige Parametrisierung kann damit in zwei einfachere Abbildungen zerlegt werden, von denen die erste eine Zwischenparametrisierung der Modulkurve vorsieht. Durch die Unterteilung geht die Abbildung von der oberen Halbebene in die Modulkurve und von der Modulkurve in die elliptische Kurve anstatt von der oberen Halbebene direkt in die elliptische Kurve:
* Parametrisierung der Modulkurve analog zur elliptischen Kurve: Über eine Funktion j(z), der j-Funktion, werden Punkte von der oberen Halbebene mittels z \mapsto (j(z), j(Nz)) = (x,y) abgebildet, die eine komplizierte Gleichung lösen, wie in etwa y^2 = x^7 - 16x^6 + 4x^3 - 2x + 87. Dabei ist N eine bestimmte natürliche Zahl, die auch Führer der späteren elliptischen Kurve genannt wird.
* Abbildung von Punkten (x,y) auf der Modulkurve, die also jene sehr komplizierte Gleichung lösen, auf Punkte der elliptischen Kurve mit Führer N, die die Gleichung y^2 = x^3 + ax + b lösen. Hier kommen keine Funktionen wie Sinus, Kosinus, p oder j ins Spiel, sondern es handelt sich um eine schlichte algebraische Koordinatentransformation.Fred Diamond, Jerry Shurman: A First Course in Modular Forms. Springer Science + Business Media New York, 4. Auflage, 2016, S. 296. Ein Beispiel für eine algebraische Abbildung wäre (x,0) \mapsto (x,x^2) von der Kurve y = 0 auf die Kurve y = x^2.
Das Besondere an Modulkurven ist, dass die Funktion j(z) wegen der Theorie der Modulformen (das sind Funktionen auf diesem einfachen Raum, die so symmetrisch sind, dass sie eine extreme Seltenheit haben) gut verstanden ist – so gut, dass algebraische Punkte (Heegner-Punkte) auf dem Multidonut quasi „direkt ausgerechnet“ werden können: Dies ist der analoge Teil zum Kreis – hier konnten mittels der transzendenten Funktion t \mapsto e^{2\pi i t} direkt algebraische Werte auf dem Kreis ausgerechnet werden (also spielt das Intervall [0,1] hier die Rolle der oberen Halbebene).
Heegner-Punkte sind also bestimmte Punkte auf dieser hochgeschlechtlichen Parameterfläche. Im Gegensatz zum Kreis stammen diese nicht aus den rationalen Zahlen, sondern liegen (wenn in der oberen Halbebene startend!) in einem quadratischen Körper \Q(\sqrt{D}) mit einer ganzen Zahl D < 0. Löst also eine komplexe Zahl \tau mit positivem Realteil eine quadratische Gleichung mit ganzen Koeffizienten, so ist \tau ein Heegner-Punkt und der korrespondierende Punkt (j(\tau), j(N\tau)) auf einer Modulkurve hat algebraische Koordinaten. Der Einfachheit der Notation geschuldet, wird der Bildpunkt (j(\tau), j(N\tau)) wieder als Heegner-Punkt bezeichnet, obgleich er nicht das gleiche wie \tau ist. Wird nun ein algebraischer Punkt (j(\tau), j(N\tau)) über eine algebraische Abbildung auf die elliptische Kurve transportiert, ist das Endergebnis wieder algebraisch: Vergleichbar ist die Abbildung (x,0) \mapsto (x, x^2) von der x-Achse auf die Normalparabel (eine Abbildung zwischen den Kurven y = 0 und y = x^2), die offenbar rationale Punkte auf rationale Punkte abbildet. Dies war eine der großen Leistungen von Andrew Wiles: zu erklären, dass die (parametrisierende) Abbildung zwischen den Donuts algebraisch ist. Dies ist bemerkenswert, weil die Funktion auf der oberen Halbebene transzendent war.
Durch einen einzelnen Heegner-Punkt wird zunächst noch kein rationaler Punkt auf der elliptischen Kurve geboren. Werden jedoch mehrere verwandte Heegner-Punkte geschickt miteinander verrechnet, kann in manchen Fällen gewährleistet werden, dass die damit erzeugten Punkte sogar rational sind. Die Anzahl der Heegner-Punkte, die benötigt wird, hängt dabei von der Klassenzahl des quadratischen Körpers ab, in dem sie liegen. Der Körper \Q(\sqrt{-163}) hat in seinen ganzen Zahlen eine eindeutige Primfaktorzerlegung, weshalb seine Klassenzahl einfach 1 ist. Also reicht hier ein Heegner-Punkt aus, wie \tau = \tfrac{1 + i\sqrt{163}}{2}, um einen rationalen Punkt auf der Modulkurve zu finden. Man hat tatsächlich
: j\left(\frac{1 + i\sqrt{163}}{2}\right) = -262\,537\,412\,640\,768\,000.
Die betrachtete Parametrisierung kann also, mitsamt diesem Prinzip, als eine verallgemeinerte Version von e^{2\pi i t} gesehen werden.
=== Der Modularitätssatz und Heegner-Punkte ===
Mittels der Parametrisierung f(\tau) von Wiles werden Heegner-Punkte, also Lösungen quadratischer Gleichungen mit positivem Imaginärteil, durch die Funktion f(\tau) auf ein Tupel (x(\tau),y(\tau)) gesendet, so dass y(\tau)^2 = x(\tau)^3 + ax(\tau) + b. Gleichzeitig haben diese ausgewählten x(\tau) und y(\tau) beide gute algebraische Eigenschaften, erfüllen für sich genommen also eine algebraische Gleichung. Im besten Falle handelt es sich bei (x(\tau), y(\tau)) um einen rationalen Punkt. 
Aus den Daten  E \ : y^2 = x^3 + ax + b kann, das konnte Wiles zeigen, mittels eines Algorithmus die Parametrisierung f(\tau) gewonnen werden. Für diesen ist es zunächst wichtig, dass a,b beide rational sind. Zum Beispiel trifft dies bei der Kurve y^2 = x^3 - 3x + 1 zu. Für die Konstruktion von f muss E über Primzahlen betrachtet werden. Das bedeutet, dass bei einer Primzahl p nur noch mit den Restklassen 0, 1, 2, ..., p-1 bei Teilung durch p gerechnet wird. Zum Beispiel ist 7 = 2 modulo 5, da 7-2 durch 5 teilbar ist, also sowohl 7 als auch 2 nach Division mit 5 den gleichen Rest haben. 
Bei der Konstruktion von f(\tau) muss die Gleichung y^2 = x^3 - 3x + 1 nur noch unter Aspekten der Restgleichheit betrachtet werden, aber theoretisch für alle Primzahlen nacheinander. Beispielsweise hätte man für p=2 nur zu prüfen, ob die vier Punkte (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) auf der modulo 2 reduzierten Kurve y^2 = x^3 - 3x + 1 liegen, da 0 und 1 die einzigen Reste modulo 2 sind. Durch Einsetzen in oberer Reihenfolge findet man 0 = 1, 0 = -1, 1 = 1, 1 = -1, wobei die Aussagen 1 = 1 und 1 = -1 modulo 2 beide wahr sind, da die Restklassen übereinstimmen. Also liegen hier 2 Punkte auf der Kurve. Ähnlich kann modulo beliebiger Primzahlen verfahren werden, und damit wird eine Folge ganzer Zahlen über die Lösungsanzahlen erzeugt. Aus dieser Folge kann wiederrum eine Folge a_1, a_2, a_3, ... ganzer Zahlen ermittelt werden, welche die Funktion f(\tau) kodiert. Sie entsteht durch Bilden der Fourierreihe
:f(\tau) := \sum_{n=1}^\infty a_n e^{2\pi i n \tau} = a_1e^{2\pi i \tau} + a_2 e^{4\pi i \tau} + \cdots 
und Wiles konnte beweisen, dass diese Funktion nicht nur, wegen der Fourierreihe, periodisch ist, sondern sogar noch weitere Transformationseigenschaften hat. Diese Transformationseigenschaften machen f(\tau) zu einer sog. Modulform und erlauben es, f(\tau) dafür zu benutzen, auf der oben beschriebenen Modulkurve Integrale auszurechnen. Setzt man in das Integral 
: 2\pi i\int_{i\infty}^\tau f(z)\mathrm{d}z
einen Heegner-Punkt ein, wobei i\infty der Punkt unendlich weit oben auf der oberen Halbebene ist, ist das Ergebnis zunächst eindeutig bestimmt. Da man jedoch nicht mehr die obere Halbebene, sondern die Modulkurve betrachten will, muss das Integral eigentlich unverändert bleiben, wenn statt \tau Heegner-Punkte einsetzt, die mit \tau nach Verbiegen und Falten zu einem Donut identifiziert werden. Durch mathematische Techniken kann man zeigen, dass die Eindeutigkeit als komplexe Zahl zwar verloren geht, jedoch wieder hergestellt wird, falls man das Ergebnis auf einer Periodenmasche sieht und es egal ist, welche Masche genau gewählt ist. Damit liegt das Ergebnis aber schon auf der betrachteten elliptischen Kurve und hat dort gute Eigenschaften. 
-- Googolplexian (Diskussion) 08:31, 31. Okt. 2020 (CET)
thread_title:  Einordnung anhand einfacher Grundlagen 

message: Mittels der Parametrisierung f(\tau) von Wiles werden Heegner-Punkte, also Lösungen quadratischer Gleichungen mit positivem Imaginärteil, durch die Funktion f(\tau) auf ein Tupel (x(\tau),y(\tau)) gesendet, so dass y(\tau)^2 = x(\tau)^3 + ax(\tau) + b. Gleichzeitig haben diese ausgewählten x(\tau) und y(\tau) beide gute algebraische Eigenschaften, erfüllen für sich genommen also eine algebraische Gleichung. Im besten Falle handelt es sich bei (x(\tau), y(\tau)) um einen rationalen Punkt. 
Aus den Daten  E \ : y^2 = x^3 + ax + b kann, das konnte Wiles zeigen, mittels eines Algorithmus die Parametrisierung f(\tau) gewonnen werden. Für diesen ist es zunächst wichtig, dass a,b beide rational sind. Zum Beispiel trifft dies bei der Kurve y^2 = x^3 - 3x + 1 zu. Für die Konstruktion von f muss E über Primzahlen betrachtet werden. Das bedeutet, dass bei einer Primzahl p nur noch mit den Restklassen 0, 1, 2, ..., p-1 bei Teilung durch p gerechnet wird. Zum Beispiel ist 7 = 2 modulo 5, da 7-2 durch 5 teilbar ist, also sowohl 7 als auch 2 nach Division mit 5 den gleichen Rest haben. 
Bei der Konstruktion von f(\tau) muss die Gleichung y^2 = x^3 - 3x + 1 nur noch unter Aspekten der Restgleichheit betrachtet werden, aber theoretisch für alle Primzahlen nacheinander. Beispielsweise hätte man für p=2 nur zu prüfen, ob die vier Punkte (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) auf der modulo 2 reduzierten Kurve y^2 = x^3 - 3x + 1 liegen, da 0 und 1 die einzigen Reste modulo 2 sind. Durch Einsetzen in oberer Reihenfolge findet man 0 = 1, 0 = -1, 1 = 1, 1 = -1, wobei die Aussagen 1 = 1 und 1 = -1 modulo 2 beide wahr sind, da die Restklassen übereinstimmen. Also liegen hier 2 Punkte auf der Kurve. Ähnlich kann modulo beliebiger Primzahlen verfahren werden, und damit wird eine Folge ganzer Zahlen über die Lösungsanzahlen erzeugt. Aus dieser Folge kann wiederrum eine Folge a_1, a_2, a_3, ... ganzer Zahlen ermittelt werden, welche die Funktion f(\tau) kodiert. Sie entsteht durch Bilden der Fourierreihe
:f(\tau) := \sum_{n=1}^\infty a_n e^{2\pi i n \tau} = a_1e^{2\pi i \tau} + a_2 e^{4\pi i \tau} + \cdots 
und Wiles konnte beweisen, dass diese Funktion nicht nur, wegen der Fourierreihe, periodisch ist, sondern sogar noch weitere Transformationseigenschaften hat. Diese Transformationseigenschaften machen f(\tau) zu einer sog. Modulform und erlauben es, f(\tau) dafür zu benutzen, auf der oben beschriebenen Modulkurve Integrale auszurechnen. Setzt man in das Integral 
: 2\pi i\int_{i\infty}^\tau f(z)\mathrm{d}z
einen Heegner-Punkt ein, wobei i\infty der Punkt unendlich weit oben auf der oberen Halbebene ist, ist das Ergebnis zunächst eindeutig bestimmt. Da man jedoch nicht mehr die obere Halbebene, sondern die Modulkurve betrachten will, muss das Integral eigentlich unverändert bleiben, wenn statt \tau Heegner-Punkte einsetzt, die mit \tau nach Verbiegen und Falten zu einem Donut identifiziert werden. Durch mathematische Techniken kann man zeigen, dass die Eindeutigkeit als komplexe Zahl zwar verloren geht, jedoch wieder hergestellt wird, falls man das Ergebnis auf einer Periodenmasche sieht und es egal ist, welche Masche genau gewählt ist. Damit liegt das Ergebnis aber schon auf der betrachteten elliptischen Kurve und hat dort gute Eigenschaften. 
-- Googolplexian (Diskussion) 08:31, 31. Okt. 2020 (CET)
thread_title:  Der Modularitätssatz und Heegner-Punkte 

message: Hallo,
beim Lesen des Artikels fragte ich mich zunächst, was ein rationaler Punkt ist. In diesem Artikel ist wohl ein Punkt mit rationalen Koordinaten gemeint. Wie ich heute lernen durfte, ist der Begriff heute präzise definiert und allgemeiner belegt, vgl. en:Rational_point. Das sollte man vielleicht in diesem Artikel noch etwas präzisieren. Ich probiere mich daran. Besonders schön wäre es, wenn es für den Begriff auch ein Linkziel gäbe, aber das ist natürlich kein Mangel an diesem Artikel.--Christian1985 (Disk) 20:54, 8. Nov. 2020 (CET)
replies: text: Hi Christian1985, schön, dass du nochmal drüber schaust, hatte ich gehofft ;-) Danke, das hilft sehr! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:44, 9. Nov. 2020 (CET)
replies: text: Sehr gerne. Da dies eine Thematik ist, von der ich kaum Ahnung habe, sie aber hoch interessant finde, erfreue ich mich sehr an dem Artikel.--Christian1985 (Disk) 22:26, 9. Nov. 2020 (CET)
thread_title:  [[Rationaler Punkt]] 

message: Hallo,
die Überschrift "Einordnung anhand einfacher Grundlagen" finde ich etwas unpassend. Trotz meiner mathematischen Vorbildung - jedoch abseits der Algebra - musste ich den Abschnitt "Körper und Klassenzahlen" schon zwei mal lesen. Ich würde daher eine Überschrift ohne das Wort "einfach" für den Abschnitt präferieren. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 18:20, 9. Nov. 2020 (CET)
replies: text: Habe es umbenannt, so besser? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:46, 9. Nov. 2020 (CET)
replies: text: Passt! Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 22:27, 9. Nov. 2020 (CET)
thread_title:  Einordnung anhand einfacher Grundlagen 

message: Hallo,
verstehe ich es richtig, dass überall im Artikel eigentlich doppeltperiodischen Funktionen gemeint sind, wo von periodischen Funktionen f \colon U \subset \Complex \to \Complex die Sprache ist. Das scheint noch ein Artikel zu sein, der noch nicht geschrieben ist. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 22:24, 9. Nov. 2020 (CET)
replies: text: Nur bei elliptischen Funktionen. Modulformen sind nicht doppelperiodisch, haben aber ähnlich starke Symmetrieeigenschaften. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:06, 10. Nov. 2020 (CET)
thread_title:  Periodische vs. doppelperiodische Funktionen 

message: Hallo,
was ist eine algebraische Koordinatentransformation? Ist das eine Polynomfunktion (in mehreren Variablen), die bijektiv ist? Ist die Umkehrfunktion dann auch eine Polynomfunktion? Oder bin ich völlig auf dem Holzweg? --Christian1985 (Disk) 22:40, 9. Nov. 2020 (CET)
replies: text: Ja, eine Abbildung (x_1, ..., x_n) \mapsto (f_1(x_1,..., x_n), ..., f_m(x_1, ..., x_n)) = (y_1, ..., y_m) zwischen Varietäten, wobei die f's Polynome sind. Diese muss aber nicht zwingend bijektiv sein. Eine Varietät ist ein Lösungsgebilde von (ggf. mehreren) Polynomgleichungungen. Ich mache mal noch den Link in den Artikel. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:11, 10. Nov. 2020 (CET)
thread_title:  [[Morphismus (Varietät)|Algebraische Koordinatentransformation]]