Diskussion:Kondition (Mathematik)

message: Wenn ich mir die Definitionen von absoluter und relativer Kondition anschaue:
Die absolute Kondition ist die kleinste Zahl \kappa_{abs} \geq 0, für die gilt:
\exists \delta > 0 :{{\Vert f(x)-f(x_0)\Vert} \over {\Vert x - x_0\Vert}} \leq \kappa_{abs}  \qquad \forall x \quad \text{ mit }\quad 0 < \Vert  x - x_0\Vert < \delta. 
und
Die relative Kondition ist die kleinste Zahl \kappa_{rel} \geq 0, für die gilt:
\exists \delta > 0:  \leq \kappa_{rel}  \qquad \forall \varepsilon \quad \text{ mit }\quad 0 < {\|\varepsilon\|} < \delta
so gilt doch auf jeden Fall \kappa_{rel}=\kappa_{abs} , falls \|x_0\| \ne 0 oder \|f(x_0)\| \ne 0 \qquad \text{ (also falls } x_0 \ne 0 \text{ oder } f(x_0) \ne 0 \text{) }
denn mit \varepsilon = x-x_0 gilt für die relative Kondition:
 \text{(o.B.d.A.: }x_0 \ne 0 \text{ und } f(x_0) \ne 0 \text{, sonst ist die Aussage trivial)}
Die relative Kondition ist die kleinste Zahl \kappa_{rel} \geq 0, für die gilt:
\exists \delta > 0:  \leq \kappa_{rel}  \qquad \forall x \quad \text{ mit }\quad 0 < \Vert x - x_0\Vert < \delta
und damit (umformen):
Die relative Kondition ist die kleinste Zahl \kappa_{rel} \geq 0, für die gilt:
\exists \delta > 0:   \leq \kappa_{rel}  \qquad \forall x \quad \text{ mit }\quad 0 < \Vert x - x_0\Vert < \delta
Also gilt:
\kappa_{abs}=\kappa_{rel} 
Meiner Meinung nach sollte dieser Zusammenhang dort stehen, denn einfacher geht es nicht! (nicht signierter Beitrag von 84.119.34.248 (Diskussion) 01:57, 20. Apr. 2011 (CEST)
thread_title:  Absolute und relative Kondition 

message: Kann es sein, dass bei der Berechnung der Kondition einer linearen Abbildung vergessen wurde zu fordern, dass A normal ist? Zum Beispiel erfolgt auch in der englischen Version des Artikels der Übergang auf den betragsgrößten/-kleinsten Eigenwert nur für normale Matrizen.
Also sollte man vielleicht \lambda_{\textrm{max}}(A) durch \sqrt{\lambda_{\textrm{max}}(A^TA)} ersetzen. Saraedum 16:48, 6. Feb 2006 (CET)
replies: text: Auf jeden Fall das kann man sich anhand 
A=
  \begin{pmatrix} 
    1 & 1000 \\
    0 & 1
  \end{pmatrix}
 klarmachen. Die Eigenwerte sind 1 die Kondition auf jeden Fall nicht --Mathemaduenn 11:02, 18. Aug 2006 (CEST)
thread_title:  Kondition einer linearen Abbildung 

message: Die Formeln aus den beiden Abschnitten sind unterschiedlich, wenn man mit einer mehrdimensionalen Funktion arbeitet.
Bei ersterer Formel sind die Betragsstriche anders verteilt.
Die Kondition einer mehrdimensionalen Funktion wurde z.B. im Abschnitt Beispiele->Multiplikation berechnet.
Dafür wurde die Formel aus "Herleitung der relativen Konditionszahl aus der Taylor-Reihe" benutzt.
Wenn man die andere Formel benutzen würde, käme heraus, dass die Multiplikation schlecht konditioniert ist, was sie aber aber bekanntermaßen nicht ist. (nicht signierter Beitrag von 217.229.225.120 (Diskussion | Beiträge) 17:25, 10. Mär. 2009 (CET)
thread_title:  Abschnitt "Relative Kondition" vs. Abschnitt "Herleitung der relativen Konditionszahl aus der Taylor-Reihe" 

message: Hallo Mathe-Freunde!
Ich hab mich grad hier über die Kondition informieren wollen und festgestellt, dass die Definitionen einerseits inkonsistent sind,andererseits die Definition von  \kappa_{abs}  womöglich falsch war.
Da ich letzteres aber nicht hundertprozentik behaupten will, stelle ich meine Modifikationen erst einmal zur Diskussion.
 Absolute Kondition 
Die absolute Kondition \kappa_{abs} ist als die kleinste Zahl definiert, welche die Eigenschaft hat, dass es ein \delta > 0 gibt, sodass
 \Vert f(x)-f(x+\varepsilon)\Vert \leq \kappa_{abs} \Vert \varepsilon \Vert \forall 0 < \varepsilon < \delta  
gilt.
Für eine in x differenzierbare Funktion f ist \kappa_{rel} gegeben durch
:\kappa_{abs} = \|f'(x)\|.
 Relative Kondition 
Die relative Kondition wird definiert als kleinste Zahl \kappa_{rel} \geq 0 mit der Eigenschaft: Es gibt ein \delta > 0, so dass für alle  0 < \varepsilon < \delta die Ungleichung 
: \leq \kappa_{rel} 
gilt.
Dabei ist  die relative Änderung des Funktionswertes und  die relative Änderung des Parameters.
Aus der Definition folgt durch Umstellen und die Bildung des Grenzwertes  \varepsilon \to 0  , dass für eine in x differenzierbare Funktion \kappa_{rel} gegeben ist durch
:\kappa_{rel} = .
Ich habe f' gewählt statt d/dx, da diese Notation auch im Abschnitt mit der Taylorentwicklung verwendet wird und eh jeder weiß, was gemeint ist.
-- Wedgecountry 23:16, 5. Jul. 2010 (CEST)
thread_title:  Vereinheitlichung und Ausbesserung der Definition des Konditionsbegriffes 

message: Hallo liebe Gemeinschaft,
den Betreff habe ich in Absatz "Interpretation und Ausblick" gefunden. Leider ist dies nicht richtig: Durch Zeilenvertauschen von Matrizen-Zeilen bleibt die Kondition der Matrix unverändert. Wohl aber durch Zeilenskalierung kann die Kondition verbessert werden. Für iterative Verfahren freilich spielt die Zeilenreihenfolge sehr wohl eine Rolle, deren Konvergenzverhalten ist ja aber auch nicht allein durch die Kondition festgelegt. VG. (nicht signierter Beitrag von 92.72.192.242 (Diskussion) 14:42, 24. Sep. 2015 (CEST)
thread_title:  Konditionsverbesserung durch Zeilenvertauschung 

message: Der Artikel ist unverständlich geschrieben. Wesentliche Begriffe werden weder erläutert oder mit erläuternden Artikeln verlinkt. Das betrifft z.B.
* Störung der Eingangsdaten: Was ist hier mit Störung, was mit der Eingangsdaten gemeint? Teils ist auch von Eingabedaten die Rede.
* Eingangsfehler?
* drei Größen eines Verfahrens: Was ist hier mit einem Verfahren gemeint?
* f: was ist mit f im Gegensatz zu f~ gemeint?
* Kn, Km: was ist mit K gemeint? warum das besondere Symbol? Was ist mit n und m gemeint?
* Eingabe x: Was ist hier mit Eingabe gemeint?
* numerischer Algorithmus?
* Was bedeutet die || ... || -Notation des Fehlers? --Zulu55 (Diskussion) Unwissen 14:27, 11. Dez. 2015 (CET)
thread_title:  Unverständlich 

message: Das Beispiel ist so falsch, die Multiplikation ist bekanntermaßen gut konditioniert, insbesondere unabhängig von x.
--134.61.128.233 19:15, 24. Feb. 2017 (CET)
replies: text: Naja, im Sinne der Definition der normweisen Kondition ist die Rechnung im Beispiel schon richtig. Die Frage ist vielleicht eher, inwiefern das ein praktisch sinnvolles Maß für die Kondition der Multiplikation ist. Grüße -- HilberTraum (d, m) 18:40, 25. Feb. 2017 (CET)
replies: text:  Ist sie nicht da nicht beachtet wurde dass die Multiplikation mehrdimensional ist und deshalb anders vorgegangen werden müsste. In seiner jetzigen Form ist das Beispiel eher verwirrend wie hilfreich. 137.226.231.236 22:27, 25. Feb. 2017 (CET)
replies: text:  Ich hab jetzt mal ein bisschen war dazu eingefügt. Aber der Artikel müsste insgesamt überarbeitet und erweitert werden. -- HilberTraum (d, m) 12:55, 28. Mai 2017 (CEST)
thread_title:  Beispiel Multiplikation 

message: In der Einleitung steht:
"Es sei  f \colon \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m  das mathematische Problem in Abhängigkeit von der Eingabe x".
Sorry, aber das ist doch Unfug. Eine Funktion bzw. Abbildung ist kein mathematisches Problem. Ich würde sagen, die Funktion f _resultiert_ aus einem Problem (etwa die Umkehrabbildung von g im inversen Problem g(x) = y). Ich finde, das sollte geändert werden. Mich hat das anfangs sehr verwirrt. Was denkt ihr?
:Ich teile die Meinung. In meiner Ansicht ist f die Funktion zu einem gegebenen Problem, welche einem entsprechende Lösungen liefert. So liefert f pro Input x ("Problem") eine Lösung f(x). Das kann man mit der "numerischen" Lösung \widetilde f(x) vergleichen.--MattPawelczyk (Diskussion) 20:33, 8. Jun. 2020 (CEST)
thread_title:  Eine Funktion ist kein mathematisches Problem