Diskussion:Algebra (Mengensystem)

message: Hallo!
Beim Dritten Punkt im Abschnitt Eigenschaften kann etwas nicht ganz stimmen. Was soll damit gemeint sein?
: \bigcup\emptyset = \emptyset \in \mathcal A und \bigcap\emptyset = \Omega \in \mathcal A.
Meine Fragen:
* Die Vereinigung der leeren Menge ist immer die leere Menge und ist per Definition immer in \mathcal A enthalten (siehe Eigenschaft 1). Was soll also mit dem ersten Teil ausgesagt werden?
* Warum soll die Schnittmenge über (beliebig viele) leeren Mengen plötzlich \Omega sein? Das wäre nur der Fall, wenn \Omega=\emptyset wäre, und das wird nirgendwo behauptet oder vorausgesetzt und macht auch keinen Sinn. Dass \Omega wieder Element von \mathcal A ist, geht wieder aus Eigenschaft 1 hervor und braucht deshalb nicht hier wiederholt werden.
Was soll also damit ausgesagt werden?
-- Siegmaralber 09:51, 10. Dez. 2010 (CET)
replies: text: Eine endliche Vereinigung bzw. ein endlicher Durchschnitt von Elementen der Mengenalgebra kann auch aus 0 Elementen bestehen: \bigcup\emptyset bzw. \bigcap\emptyset. Und wegen Eigenschaft 1 – die eine (allerdings einfache) Folgerung aus der Definition ist, also nicht ausdrücklich in der Definiton steht – sind diese in \mathcal A enthalten. Hier werden also keine leeren Mengen vereinigt oder geschnitten, sondern jeweils ein leeres Mengensystem, dass eine endliche Teilmenge von \mathcal A ist. Du hast nämlich \bigcup\emptyset und \bigcap\emptyset als \bigcup\{\emptyset\} und \bigcap\{\emptyset\} interpretiert. Lies dir bitte die Definitionen der Vereinigung und des Durchschnitts durch, dann verstehst du auch die Bedeutung von \bigcup\emptyset und \bigcap\emptyset. --RPI 18:58, 12. Jan. 2011 (CET)
replies: text: So ist es noch nicht beantwortet. Es wird auf die Definition \bigcap U verwiesen, wobei U ausdrücklich als nichtleere Menge von Mengen vorausgesetzt ist.--Sigma^2 (Diskussion) 11:45, 26. Nov. 2023 (CET)
thread_title:  Frage zum 3. Punkt bei Eigenschaften 

message: Der Unterabschnitt enthält eine Unklarheit im Satz: „Definiert man das Produkt von zwei Mengensystemen jedoch als
: \mathcal M_1 \boxtimes \mathcal M_2:=\Biggl\{ \bigcup_{i=1}^nA_i \times B_i \, | \, A_i \in \mathcal M_1 , B_i \in \mathcal M_2 \Biggl\} ,
so ist das Produkt zweier Algebren wieder eine Algebra.“ Die Definition sagt nichts zu n. Für n =1 gilt \mathcal M_1 \boxtimes \mathcal M_2 = \mathcal M_1 \times \mathcal M_2. Was ist gemeint? Vielleicht dieses?
: \mathcal M_1 \boxtimes \mathcal M_2:=\Biggl\{ \bigcup_{i=1}^nA_i \times B_i  \mid n \in \N,  A_i \in \mathcal M_1 , B_i \in \mathcal M_2 \Biggl\} 
Oder dieses?
: \mathcal M_1 \boxtimes \mathcal M_2:=\Biggl\{ \bigcup_{i \in \N} A_i \times B_i  \mid  A_i \in \mathcal M_1 , B_i \in \mathcal M_2 \Biggl\} 
--Sigma^2 (Diskussion) 12:30, 15. Okt. 2022 (CEST)
replies: text: \mathcal M_1 \boxtimes \mathcal M_2:= \bigcup_{n \in \N}  \Biggl\{ \bigcup_{i=1}^n A_i \times B_i  \mid  A_i \in \mathcal M_1 , B_i \in \mathcal M_2 \Biggl\} 
Jedenfalls ist eine Klarstellung der Definition und ein Beleg erforderlich.
Im Artikel Produkt-σ-Algebra wird  \mathcal M_1 \boxtimes \mathcal M_2 unerklärt verwendet und auf diesen Artikel verwiesen. 
--Sigma^2 (Diskussion) 11:26, 26. Nov. 2023 (CET)
thread_title:  Produkte von Algebren