Diskussion:Lineare Optimierung

message: Hier noch die ausführliche Begründung für mein contra bei der Lesenswert-Diskussion, mit Vorschlägen zur Verbesserung:
* Wie oben schon bemerkt, fehlt die Dualität, die bei Linearen Programmen wichtig ist.
* Vieles, was im Simplexalgorithmus steht, gehört eigentlich hierher, insbesondere die Definition des Problems, das Bild und das Beispiel. Die beziehen sich allgemein auf Lineare Programmierung. Beim Simplexalgorithmus könnte man diese Teil dann nur nochmal kurz zusammenfassen, für Details auf die Lineare Optimierung verweisen und sich wirklich auf den Simplexalgorithmus konzentrieren. 
* Der Text ist zum großen Teil gar nicht schlecht, aber die Struktur ist noch suboptimal. Vorschlag für eine Umstrukturierung des Artikels:
** Einleitung (Begriffsdefinition, Einordnung, Bedeutung in der Praxis, Anwendungen erwähnen)
** Geschichte der Linearen Programmierung
** Anwendungen, (ausführlicher als jetzt, auch Bedeutung als Unterproblem beim Lösen ganzzahliger linearer Programme stärker herausstellen)
** Problemdefinition und geometrische Interpretation (aus dem Simplexalgorithmus, Bild eines Polyeders mit einer Zielfunktion, Verweis auf Polyeder und Polytop (Geometrie),die auch überarbeitet werden müssten... ;-))
** Lösbarkeit (auch aus algorithmischer Sicht oder nur aus theoretischer Sicht? Letztere kann man gut am Bild erklären.)
** Dualität (was ist das, wozu ist das gut, aber nicht beliebig detailliert)
** Lösungsverfahren (Simplexverfahren, Ellipsoidmethode, Innere-Punkte-Verfahren) kurz zusammenfassen (am Polyeder-Bild?) und auf die entsprechden Hauptartikel verweisen, dabei auch die Normalformen und algorithmische Komplexität unterbringen
** (gemischt-)ganzzahlige lineare Programmierung: auf jeden Fall kurze Erwähnung mit praktischem Beispiel zur Abgrenzung. Bei den Algorithmen bin ich mir nicht sicher, ob wir die hier abhandeln sollten oder ob ein eigener Artikel Ganzzahlige lineare Optimierung besser wäre. Im Moment tendiere ich zu letzterem; der Artikel könnte ein guter Knotenpunkt sein für die Artikel aus der Serie Branch and Bound, Schnittebenenverfahren, TSP, usw.
* Die Anwendungen und die Geschichte kann man dabei sicherlich noch hin- und herschieben; die könnten evtl. auch ans Ende. Die Dualität könnte auch hinter die Lösungsverfahren.
* Insgesamt kann der Artikel mehr Anwendung und Bilder gebrauchen (Stichwort Oma). Am Bild eines Polytops mit einer Zielfunktion lassen sich auch viele Dinge prima ohne viele Formeln, aber trotzdem exakt, erklären. Nur bei der Dualität hört es auf...
Soweit mein Vorschlag; was haltet ihr davon? Ich bin auch gerne bereit, bei der Überarbeitung mitzumachen. -- Sdo 02:06, 10. Okt 2005 (CEST)
thread_title:  Lesenswert-Diskussion vom 8. Oktober 

message: Mit der Zufallsartikelsuche entdeckt. Scheint mir als absolutem Mathe-Idioten gar nicht mal so schlecht: Alles ist klar dargestellt, auch grafisch, vollständig, Literatur drin... Jesusfreund 03:39, 8. Okt 2005 (CEST)
thread_title:  Lesenswert-Diskussion 

message: verschoben nach Diskussion:Simplex-Verfahren, Antwort siehe dort. -- Sdo 23:31, 1. Mär 2006 (CET)
thread_title:  Motivation für den dualen Simplex 

message: Wann ist ein lin. Optprob degeneriert? Meine letzte Vorlesung diesbezüglich liegt schon etwas her, weshalb ich jetzt keinen Käse schreiben möchte. :)
-- (Beitrag von 80.139.245.152) -- Sdo 01:10, 11. Apr 2006 (CEST)
replies: text: Hallo 80.139.245.152! Ein LP ist degeneriert, wenn das zugehörige Polytop eine Ecke besitzt, die durch mehrere Basen beschrieben werden kann. Anschaulich ist das der Fall, wenn die Ecke durch mehr Ungleichungen definiert wird als minimal nötig. Beispielsweise lässt sich im dreidimensionalen Raum die obere Ecke einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche auf vier verschiedene Arten als Schnitt von jeweils drei Facetten des Polytops darstellen. Zu der Ecke gehören also vier verschiedene Basen des zugehörigen LPs. So gut wie alle praktisch auftretenden LPs sind degeneriert. Ich hoffe, das hilft Dir weiter. Gruß, -- Sdo 01:10, 11. Apr 2006 (CEST)
thread_title:  Degeneriertes lin. OptProb.? 

message: Habe vor einiger Zeit den Artikel geschrieben. Die Definitionen habe ich aus online-literatur, die ich leider dort nicht verlinkt habe. Wenn meine Erinnerung, dass man das irgendwie für Optimierung braucht, stimmt, könnte das jemand mal Richtung Anwendungsbezug ausbauen und evtl. umkategorisieren? Mir fehlen da die Kenntnisse. --KleinKlio 22:45, 13. Nov. 2006 (CET)
replies: text: Na ja, brauchen ist zuviel gesagt... Optimallösungen linearer Programme werden an Randpunkten und nicht an inneren Punkten angenommen. Das Simplex-Verfahren hüpft von Ecke zu Ecke, Innere-Punkte-Verfahren schleichen sich durchs Innere eines Polytops an eine Optimallösung ran und springen dann am Ende drauf (im sog. Crossover-Schritt). Ansonsten wüsste ich auf Anhieb nicht, wozu man das braucht. -- Sdo 23:52, 14. Nov. 2006 (CET)
thread_title:  [[Relativ innerer Punkt]] 

message: Ein (LOS) (lineares Optimierungsproblem in Standardform) ist ein LP von der Form
\min \{c^Tx | Ax = b, x\geq0\} 
entscheidend ist vor allem die Gleichheitsbedingungen (aus denen Mann schließlich den Simplex ableitet)
ein (ALO) (allgemeines Lineares Optimierungsproblem) dagegen ist von der Form
\min / \max \{c^Tx | A_1x = b_1, A_2x \leq b_2\}
Ein (ALO) lässt sich in ein (LOS) übersetzen durch:
(1) \max c^Tx = \min -c^Tx 
(2) Einführen von Schlupfvariablen zur Entfernung der Ungleichungen
(3) Zerglegung der Variablen in Positiv- und Negativteil zur Gewinnung der Vorzeichenbeschränkung
(4) Entfernen von lineare abhängigen Zeilen
Des weiteren muss, wie der letzte Punkt zeigt, darauf geachtet werden, dass die Matrix maximalen Rang hat (hier nicht zu verwechseln mit det A \neq 0, da die Matrix nicht zwingend quadratisch ist). -- 
: Unter Standardform versteht jeder etwas anderes, je nachdem, was er gerade betrachtet. Das stört auch nicht, weil sich ja alle Formen ineinander überführen lassen (wie es auch im Artikel steht). Die Variante Ax = b und den vollen Zeilenrang der Matrix benötigt man nur für das Simplex-Verfahren. Natürlich kann man ein LP auch allgemein mit Gleichungen und Ungleichungen aufschreiben, wie du es gemacht hast. Aber oft kann man für polyedrische Untersuchungen die Gleichungen ignorieren, alles in der Dimension des Ungleichungspolyeders betrachten und ein volldimensionales Polyeder annehmen. Dann tut es auch die Variante Ax \leq b, die deshalb auch in der Literatur meistens für polyedrische Betrachtungen verwendet wird. -- Sdo 12:22, 23. Nov. 2006 (CET)
replies: text:  Ich frage mich, ob man im Artikel zur Sicherheit erwähnen sollte, dass es (vor allem in der englischsprachigen - siehe auch :en:Linear programming) in der Literatur auch die andere Definition gibt (so als Warnung). Oder ist dies als eine Selbstverständlichkeit zu betrachten, dass sowieso in jedem Buch eine andere Notation/Terminologie verwendet wird und dass es in der Verantwortung eines Lesers liegt die jeweiligen Definitionen zu überprüfen? Evotopid (Diskussion) 13:15, 14. Okt. 2016 (CEST)

text: Wie Sdo erwähnt,  versteht unter Standardform jeder etwas anderes, und genau das sollte im Artikel gesagt werden, ohne dass wir anfangen, jede der mehr als zwei Formen aufzuzählen. Didaktisch gesehen ist die Form \max\{dx ~|~ Ax\le b, x\ge0\} bzw \max\{dx ~|~ b+Gx\ge0, x\ge0\} die einfachste, und auch die Grundform für die Simplex- und andere Pivotverfahren, da sie sowohl die Existenz einer Ecke als auch den vollen Zeilenrang der Eintragsmatrix automatisch garantiert. (Es ist falsch, dass man für Simplex-Verfahren die Variante Ax=b gebraucht) --Heinrich Puschmann (Diskussion) 22:39, 15. Okt. 2016 (CEST)
thread_title:  Standardform 

message: Die Zielfunktion mit der Konstante 36.000 hat in der formalen Beschreibung des LP nichts verloren, da diese wie gesagt von der Form c^Tx ist. Auch wenn die Konstante zugegebendermaßen nichts ausmacht ist da ein formaler Fehler. -- 
: Ja, das stört mich auch schon seit längerem. Ich habe das bisher nur deshalb nicht geändert, damit die Beschreibung zum Bild passt. Ich bin bisher noch nicht dazu gekommen, mal ein schöneres Bild ohne Konstante zu basteln, das gleichzeitig auch für Laien den Anwendungsbezug klarmacht. -- Sdo 12:22, 23. Nov. 2006 (CET)
replies: text:  Erledigt. -- Sdo 02:40, 5. Mär. 2007 (CET)
thread_title:  Das Beispiel 

message: Bei den Bildern könnte deer Eindruck entstehen, dass 
* (0,0) immer Teil der zulässigen Menge ist.
* x1, x2 > 0 gelten muss was aber doch nur für x', x" in der Normalform der Fall ist.
Ersterem könnte man durch Darstellung eines Allgemeineren Falls abhelfen, letzterem vielleicht durch Beschriftung der Grafiken mit x', x" und Erwähnung in der Bildunterschrift, dass eine Normalform dargestellt wird. Könnte auch quatsch sein was ich erzähle. Fasziniend, wie schnell man so einen Kram vergisst :) --schizoschaf 17:40, 7. Mär. 2007 (CET)
replies: text: Du hast recht. Ich werde die Bilder bzw. den Begleittext entsprechend abändern. Gruß, -- Sdo 23:33, 7. Mär. 2007 (CET)
replies: text:  Zumindest teilweise erledigt. Ich muss aber nochmal genauer darüber nachdenken, welches Bild wo sinnvoll ist. -- Sdo 01:49, 10. Mär. 2007 (CET)
thread_title:  Review [[Benutzer:schizoschaf|Schizoschaf]] 

message: Mit der wörtlichen Übersetzung des englischen "program" als "Programm" habe ich ernste Probleme, 
denn gemeint ist ja hier immer "Optimierungsproblem". 
Um eine gedankliche Trennung von Problem und Lösungsverfahren zu behalten und zusätzlich die Gefahr des Missverständnisses 
("Computerprogramm" oder sogar "Algorithmus") zu vermeiden, 
plädiere ich dafür, im Deutschen hier immer von "(Optimierungs)Problem" oder bei der Übersetzung von "programming" von "Optimierung" 
und nie von "Programm" oder "Programmierung" zu sprechen. --Dringlich 15:53, 23. Okt. 2007 (CEST)
replies: text: Hallo Dringlich, im Prinzip gebe ich Dir recht, aber die Bezeichnung „Lineares Programm“ hat sich nun mal auch im Deutschen eingebürgert und sollte deshalb auch erklärt werden. -- Sdo 23:25, 23. Okt. 2007 (CEST)
replies: text:  Ja, einmal erklären, dass oft auch von "Programm" gesprochen wird, ist richtig und notwendig. Ich finde, man muss sich aber entscheiden, welches der bevorzugte Begriff ist und den dann konsequent verwenden. Das Lemma heißt schließlich aus gutem Grund "Lineare Optimierung", im Text sind die Begriffe aber bunt gemischt. --Dringlich 14:09, 24. Okt. 2007 (CEST)
thread_title:  "Optimierungsproblem" vs. "Programm" 

message: Es wird im Artikel zwar Literatur angegeben, aber es werden an keiner einzigen Stelle Publikationen referenziert. Insbesondere Textstellen wie
 Er wurde schon Mitte der 1940er Jahre von George Dantzig,
 einem der Begründer der Linearen Optimierung, geprägt,
 bevor Computer zur Lösung linearer Optimierungsprobleme
 eingesetzt wurden.
schreien förmlich nach der entsprechenden Erstveröffentlichung. Ich zweifle nicht an dieser oder anderen Aussagen des Artikels, aber allein schon für die Prüfbarkeit wären noch an vielen anderen Stellen Referenzen nötig. --Drizzd 17:39, 22. Nov. 2008 (CET)
replies: text: Speziell für diese Aussage habe ich mal eine Quelle eingefügt. --tsor 17:52, 22. Nov. 2008 (CET)
replies: text:  Hast Du vielleicht den Titel der Veröffentlichung? Ich nehme an sie wird in der Quelle referenziert? Danke. --Drizzd 18:55, 22. Nov. 2008 (CET)
replies: text: Das ist ein Buch mit 565 Seiten. Wurde seinerzeit in der Uni bei einer Vorlesung als Standardwerk empfohlen. --tsor 19:31, 22. Nov. 2008 (CET)

text: Verstehe. Da hast Du nicht ganz unrecht. Ich habe mal zwei weitere Referenzen für Kamarkar und den Klee-Minty-Würfel eingefügt; für den Rest muss ich nochmal nachforschen, wie die ursprünglichen Paper eigentlich hießen. Wird gelegentlich nachgereicht, sobald ich dazu komme. -- Sdo 18:56, 22. Nov. 2008 (CET)
replies: text:  Super, danke. --Drizzd 19:35, 22. Nov. 2008 (CET)
thread_title:  Belege 

message: Das Beispiel ist soweit gut, und verständlich, hat aber drei Punkte die mich stören.
-Ihr solltet die Achsen im Diagramm anschreiben
-Die Erklärung der Iso-Gewinnfunktion ist wenig verstendlich, eine Formel wie man so eine Berechnet oder Geometrisch ereicht wäre super. Habe doch etwas überlegen müssen bevor ich das gesehen habe.
-Zudem wäre schön ein Satz noch schön der Erklärt wesshalb diese Funktion den Gewinn optimiert(bzw. den Gewinn in jedem Punkt definiert).
Ich bin überzeugt mit diesen drei änderungen wird man die Funktionsweise viel schneller verstehen. --Wuestenschiff 19:42, 28. Nov. 2008 (CET)
thread_title: Beispiel2

message: "* Gleichheitsbedingungen statt Ungleichheitsbedingungen: Ersetzung von a_i x = b_i durch a_i x \leq b_i und  - a_i x \leq - b_i"
Diese Zeile ist unklar formuliert. Ich würde das allgemein so verstehen: nimm jede Gleichung, ersetze Istgleich durch Kleinergleich, und nimm dieselbe gleichung mal -1 und ersetze Istgleich durch Kleinergleich. Ist das so gemeint? 88.72.32.188 18:08, 16. Mär. 2009 (CET)
replies: text: Gemeint ist: Ersetze a_i x = b_i durch a_i x \leq b_i und a_i x \geq b_i. Die letzte Ungleichung wurde dann noch mit (-1) multipliziert, um sie in Kleiner-Gleich-Form zu bringen. -- Sdo 09:53, 23. Mär. 2009 (CET)
thread_title: Unklare Formulierung

message: In dem Beispiel wird als optimale Lösung die Ecke ganz rechts genannt mit dem Funktionswert 49.000. Nach meinen Rechnungen ist die Ecke 90/60 allerdings mit 57.000 optimaler. (nicht signierter Beitrag von 84.57.225.1 (Diskussion | Beiträge) 12:42, 18. Jul 2009 (CEST)
thread_title:  Beispiel - optimale Lösung? 

message: Dort findet sich: „lassen sich [...] geometrisch motivieren“. Wäre es nicht toll, solange es lediglich Motivation und nicht Motivation (Mathematik) gibt, das etwas allgemeinverständlicher auszudrücken? Mit „darstellen“ beispielsweise? --Geri, ✉ 13:17, 10. Nov. 2009 (CET)
thread_title:  Einleitung 

message: Ich habe mir erlaubt, "Buch" durch "Aufsatz" zu ersetzen (denn darum handelt es sich). Gleichzeitig habe ich den Web-Link zum Aufsatz (Volltext-Version) gesetzt.--Ökonomikus 14:42, 8. Sep. 2010 (CEST)
replies: text: Im Geschichtsteil wird von "LP-Matrizen" gesprochen, es fehlt eine Erklärung wofür LP steht (Lineares Programm), dies wird erst unter "Problemdefinition" erwähnt.--Harald321 (Diskussion) 17:32, 19. Jan. 2015 (CET)
thread_title:  Geschichte 

message: Ich habe den Eindruck, dass in diesem Artikel immer wieder Neues hinzugefügt wird und keiner den Mut hat, überflüssig wiedergekäutes zu entfernen. Und je mehr der Artikel wächst, desto weniger traut sich jemand, das Wichtige vom absolut Nebensächlichen zu trennen. Aber vielleicht ist das ein allgemeines Wikipedia-Problem; ich wollte nur darauf hinweisen und werde nicht böse, wenn jemand meine letzte Tilgung rückgängig macht :-)
Die Beschreibung leicht verschiedener Formulierungsvarianten halte ich deshalb für so öde, weil ihr jede Begründung fehlt (Vorkommen in Textbüchern ist keine stichhaltige Begründung). Ihren Sinn finden diese Formulierungen meistens nur für irgendeinen Algorithmus (zB Simplex), weshalb die Formulierung -soweit nötig- im Artikel mit dem Algorithmus stehen sollte und nicht hier. Und wieweit sind die Namen dazu Standard? Um zu belegen, das eine Benennung Standard ist, genügt nicht ein einzelnes Textbuch, die widersprechen sich manchmal.
Noch ein Fall ist das Kapitel "Anwendungen der Linearen Optimierung", es gehört voraussichtlich ausgelagert, da die möglichen Anwendungen so viele sind, dass sie den Artikel ganz überwuchern würden. Ein Einzelbeispiel genügt vollauf; schließlich werden im Artikel "Lineares Gleichungssystem" auch keine Anwendungen derselben aufgeführt.
--Heinrich Puschmann (Diskussion) 14:36, 29. Aug. 2013 (CEST)
thread_title:  Weniger ist Mehr 

message: Meiner Meinung nach stimmt es nicht, dass die Zielfunktion parallel zu einer beschränkenden Hyperebene sein muss, wenn es unendlich viele Lösungen gibt.
# Die Formulierung ist unglücklich: Was bedeutet Parallelität einer Funktion und einer Hyperebene. Fasst man die Zielfunktion als Vektor auf, was bedeutet dann Parallelität eines Vektors und einer Hyperebene. Gemeint ist wahrscheinlich Parallelität der Niveauhyperebenen und einer begrenzenden Hyperebene (oder äquivalent des Kerns der Zielfunktion und einer begrenzenden Hyperebene).
# Gegenbeispiel: Betrachte das lineare Programm im  \mathbb R^3 :
: \min \{x_1 + x_2 : x_1, x_2, x_3 \in [0,1]\} ,
in dem die Summe der ersten beiden Variablen in einem Würfel der Seitenlänge 1 minimiert werden soll. Die Menge der Optimallösung ist die Kante mit  x_1 = x_2 = 0, \ x_3 \in [0,1] , also insbesondere gibt es unendlich viele Optimallösungen, aber die Niveauebenen der Zielfunktion sind offenbar nicht parallel zu den Ebenen des Würfels.
--Maformatiker (Diskussion) 17:17, 23. Jan. 2016 (CET)
replies: text: Und wenn man mal andersherum fragt: Wenn es unendlich viele Lösungen gibt, was bedeutet das dann? Und wann kann das überhaupt vorkommen? --DWI (Diskussion) 17:35, 23. Jan. 2016 (CET)
replies: text: Anschaulich bedeutet das, dass eine Kante (und nicht eine Hyperebene) des zulässigen Bereichs parallel zu (dem Kern) der Zielfunktion ist (in dem Sinne, dass man die Kante so verschieben kann, dass sie im Kern der Zielfunktion liegt) oder anders ausgedrückt, dass eine Kante in der Niveauhyperebene der Zielfunktion liegt, wenn man als Niveau den optimalen Zielfunktionswert nimmt. Eine notwendige algebraische Bedingung hierfür ist meiner Meinung, dass es n-1 linear unabhängige Zeilen der Nebenbedingungsmatrix (in \le-Form) gibt, so dass die diese zusammen mit dem Zielfunktionsvektor linear abhängig sind (in dem Beispiel haben wir die Zeilen (1,0,0) und (0,1,0), die linear unabhängig sind, aber (1,0,0), (0,1,0) und (1,1,0) sind linear abhängig). Diese algebraische Bedingung ist aber wohl nicht hinreichend. --Maformatiker (Diskussion) 19:04, 23. Jan. 2016 (CET)
thread_title:  Unendlich viele Lösungen => Zielfunktion parallel 

message: dritter Stichpunkt: (Gleichheitsbedingungen statt Ungleichheitsbedingungen)
falschherum aufgeschrieben?
Müßte heißen: Ersetzung von a_i*x<=b_i bzw. a_i*x>=b_i durch a_i*x=b_i.
Aber ich frage mich, ob sich das Ganze dann noch in die Standardform überführen lässt. (nicht signierter Beitrag von 77.180.165.11 (Diskussion) 15:42, 30. Jan. 2016 (CET)
replies: text: Das sollte schon so passen. Im Artikel ist die Standardform mit \leq, also werden Gleichungen durch Ungleichungen mit \leq ersetzt. Grüße -- HilberTraum (d, m) 17:26, 30. Jan. 2016 (CET)
thread_title:  Problemdefinition - Mathematische Formulierung 

message: Es ist durchaus möglich, dass ich hier den Wald vor lauter Bäumen einfach nicht sehe... falls dem jedoch nicht der Fall sein sollte, so würde ich gerne folgendes anmerken:
Während der Artikel die theoretische Perspektive bereits äußerst umfassend abdeckt, fände ich einen einen Abschnitt wünschenswert, der sich mit linearen Programmen und LP-Solvern in der Praxis auseinandersetzt. 
So sind z.B. viele LP-Solver frei verfügbar, während dagegen die Hochleistungstiere so teuer sind, dass sie die Möglichkeit anbieten, sich auf Stundenpreisbasis/Rechner mieten zu lassen.
Da die lineare Optimierung bereits äußerst gründlich studiert wurde, können die LP-Solver für den Nutzer auch die meisten theoretischen Aspekte übernehmen.
Nichtsdestotrotz ist und bleibt die grundlegende Modellierung wohl für absehbare Zeit Aufgabe des Nutzers, so dass Faustregeln, Tricks und derartiges ebenfalls äußerst hilfreich wären, z.B.:
Was sind meine Variablen beim Optimieren?
Einführen von künstlichen Variablen, um komplexere, durch die Ungleichungen dargestellte Sachverhalte in die zu minimierende Funktion einzubringen (z.B. hier: Lineare Regression - Minimierung der maximalen Distanz)
Formulierung des LP mit Blick auf die Laufzeit 
Wie man (begrenzt) Funktionen in LP's verwenden kann, die eigentlich gar nicht linear sind (Die Betragsfunktion in LP's)
Sanitiy (Diskussion) 01:30, 27. Mai 2019 (CEST)
thread_title:  Fomulierung von Problemen als Lineare Programme