Diskussion:Dreieckszahl

message: Unter "Eigenschaften, Punkt 4:"ungerade Quadratzahl"  ist falsch, Quadrat einer ungeraden Zahl wäre richtig.- 
Die 1111. Dreieckszahl, 617716, und die 111111. Dreieckszahl, 6172882716, sind palindromische Dreieckszahlen. Dies hat Charles Trigg herausgefunden. Dies gilt auch für die 11. Dreieckszahl 66 und die 11111111. Dreieckszahl 61728399382716, nicht aber für die 111., die 1111. und die 1111111. Dreieckszahl.
Gilt das für alle geradzaligen Zifferwiederholungen der 1? Gibt es einen Beweis oder eine augenscheinliche Erklärung dafür? --Mikue 11:50, 27. Feb 2004 (CET)
replies: text: Schon (halb) selbst gefunden: Dividiere ich 1111...12 mit n Ziffern durch 2, so erhalte ich 555...56 mit (n-1) Ziffern. Mit 11 multipliziert ergibt das 6111...16 mit n Ziffern, eine palindromische Zahl. Eine Multiplikation mit 1111...11 kann bei geradem gedacht werden als Summe von (n/2), jeweils um zwei Stellen versetzter solcher Zahlen. Da dabei niemals zwei 6en an der selben Zehnerstelle zu stehen kommen, bleibt das Ergebnis palindromisch zumindest solange, wie es nicht mehr als vier Summanden gibt (und dann?). Ist n ungerade, bleibt am Ende ein nicht palindromischer Summand 555...56 mit (n-1) Ziffern übrig. --Mikue 12:03, 27. Feb 2004 (CET)
thread_title:  palindromisch 

message: *Jede gerade vollkommene Zahl ist auch eine Dreieckszahl:
:Nach Leonhard Euler lässt sich eine gerade vollkommene Zahl durch die Formel (2^n-1)\cdot 2^{n-1} darstellen, wobei 2^n-1\  eine Primzahl sein muss. Wenn man die Formel (2^n-1)\cdot 2^{n-1} mit 2 multiplikativ erweitert, und 2^n\  durch m\  substituiert, kommt man auf die Formel, die Dreieckszahlen repräsentiert:
::(2^n-1)\cdot 2^{n-1} = \frac{(2^n-1)\cdot 2^{n-1}\cdot 2}{2} = \frac{(2^n-1)\cdot 2^n}{2} \Rightarrow \frac{(m-1)\cdot m}{2} 
--Helmut Rasinger 12:48, 26. Okt. 2006 (CEST)
thread_title:  Was hält P.Birken von diesem Abschnitt? 

message: Ich habe bei den alternierenden Quadratzahlen ein Problem:
Wenn man das angeführte Beispiel: (-1) + 4 + (-9) + 16 = 10 auf die dritte bzw. die fünfte oder jede andere Dreieckszahlen mit ungeradem Index anwendet, so bekommt man negative Zahlen:
* (-1) + 4 + (-9) = (-6)
* (-1) + 4 + (-9) + 16 + (-25) = (-15)
Es wäre also richtiger zu schreiben, das der Betrag der Summe der alternierenden Quadratzahlen den Dreieckszahlen entspricht. Andererseits,wenn man die Formel anpaßt, und bei geraden Dreieckszahlen mit geradem Index mit (-1) beginnt:
* (-1) + 4 = 3
* (-1) + 4 + (-9) + 16 = 10
* (-1) + 4 + (-9) + 16 + (-25) + 36 = 21
Und bei Dreieckszahlen mit ungeradem Index mit 1 beginnt:
* 1 = 1
* 1 + (-4) + 9 = 6
* 1 + (-4) + 9 + (-16) + 25 = 15
So wäre das Problem auch beseitigt (Zumindest für positive Dreieckszahlen). --Arbol01 17:50, 10. Mai 2008 (CEST)
replies: text: Die Formel ist richtig. Man muss allerdings den Exponenten n + i von -1 beachten. Aufgrund dieses Exponenten ist das erste Glied der Summe (i = 1) bei geradem n gleich -1 und bei ungeradem n gleich 1. --Stefan Birkner 22:37, 27. Jun. 2008 (CEST)
thread_title:  Alternierende Quadratzahlen 

message: - wie heißen noch mal die " pyramiden zahlen " "=n*(n+1)*(n+2)/6" richtig 
- sind sie in dem articke ewähnt
:Tetraederzahlen. Siehe Abschnitt Verallgemeinerungen. --Stefan Birkner 16:45, 14. Jul. 2008 (CEST)
thread_title:  2 Fragen : 

message: Die Behauptung, bei einer quadratischen Dreieckszahl \frac{n(n+1)}{2} sei immer n+1 eine ungerade Quadratzahl und n das Doppelte einer geraden Quadratzahl, ist falsch, wie schon die Beispiele 1=\frac{1\cdot 2}{2} und 1225=\frac{49\cdot 50}{2} zeigen. Bei jeder zweiten quadratischen Dreieckszahl ist es nämlich umgekehrt: n ist eine ungerade Quadratzahl und n+1 das Doppelte einer geraden Quadratzahl. -- Benedikt. 91.50.84.86 16:56, 23. Okt. 2009 (CEST)
thread_title:  Quadratische Dreieckszahlen 

message: Liebe IP, hier ist der erste Wert 1 und die Summe aller weiteren Werte nähert sich ebenfalls 1, hier ist das Ergebnis also ZWEI.Bei deiner Version wäre der erste Wert 1/2 und die Summe aller weiteren Werte hähert sich ebenfalls 1/2, das Ergebnis also EINS und nicht zwei.Deine Behauptung, dass "mehr als zwei herauskommt" ist unrichtig. Bitte kläre das erst einmal ab und benütze die Artikeldiskussion oder WP:AU. Liebe Grüße   Gerhardvalentin 16:19, 27. Okt. 2009 (CET)
thread_title:  An [[Benutzer:195.145.2.187|IP 195.145.2.187]] 

message: Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen geht meiner Ansicht nach gegen 1. Ist dies bekannt und wäre das für den Artikel relevant? (Oder steht es schon irgendwo und ich bin blind?) --W. Kronf *@* 15:01, 10. Mai 2011 (CEST)
replies: text: Einfach die Formel einsetzen: (n(n+1)/2) / ((n+1)(n+2)/2) = n/(n+2) → 1 für n → ∞. --91.32.85.106 23:44, 10. Mai 2011 (CEST)
thread_title:  Quotient aufeinanderfolgender Dreieckszahlen 

message: Ich denke, dass mein Bild "Dreieckzahlen", das von Kronf wieder gelöscht wurde, den Begriff schon noch sehr viel deutlicher erklären würde, auch wenn er "bereits visuell und im Text erklärt" ist. Eine Bild sagt mehr als Worte und die bisher vorhandene visuelle Erklärung bezieht sich nur auf eine einzige dieser Zahlen.
Was denken andere darüber?
Wolfgang Gutenbrunner (Diskussion) 17:29, 2. Sep. 2012 (CEST)
thread_title:  Bild "Dreieckzahlen" 

message: Ich hätte einen Vorschlag, um den Abschnitt Zahlenpalindrome unter den Dreieckszahlen zu erweitern. Ich weiß nicht, ob das vielleicht zu viel ist, aber man könnte auch eine gekürzte Version benutzen:
... Unter diesen sind die 11-te, die 1.111-te, die 111.111-te und die 11.111.111-te Dreieckszahl, nämlich 66, 617.716, 6.172.882.716 und 61.728.399.382.716. Für die 1.111-te und die 111.111-te Dreieckszahl hat dies Charles Trigg herausgefunden.
Dass ab der 1.111.111.111-ten Dreieckszahl keine Palindrome dieser Art mehr erscheinen, liegt daran, dass die Ziffern, die in der Mitte der Palindrome dazukommen, immer größer werden und irgendwann ein Übertrag entsteht, der andere Ziffern beeinflusst.
Da dieser Übertrag entsteht, weil es im Dezimalsystem keine einzelne Ziffer für 10 und größere Zahlen gibt, kann man größere palindromische Dreieckszahlen erzeugen, indem man die Basis des Stellenwertsystems erhöht und die Dreieckszahlen z.B. im Hexadezimalsystem, also zur Basis 16, ausdrückt.
Die 11_{16}-te Dreieckszahl im Hexadezimalsystem ist 99_{16}, die 1111_{16}-te ist 91.AA19_{16} und auch die 26-stellige 11.1111.1111.1111_{16}-te Zahl, 91.A2B3.C4D5.E6FF.6E5D.4C3B.2A19_{16}, ist noch ein Palindrom.
Mit diesem Verfahren kann man also eine Folge der Länge n mit n \in \mathbb{N} aus mehrstelligen palindromischen Dreieckszahlen erzeugen, indem man die 11_{2n+2}-te, 1111_{2n+2}-te, 111111_{2n+2}-te usw. Dreieckszahl im Stellenwertsystem zur Basis 2n darstellt. --130.180.67.182 20:19, 27. Okt. 2017 (CEST)
thread_title:  Palindromische Dreieckszahlen 

message: Was bedeutet, "die Summe zweier Dreieckzahlen ist nicht kongruent 5 mod 9" – die letzte Endziffer beim Addieren ist nie 5, und wenn ja, wer sagt das ? --2.247.253.30 04:55, 6. Mär. 2018 (CET)
thread_title:  nicht kongruent 5 

message: Leider wurde meine Bearbeitung zu den Dreieckszahlen 435 (US-Abgeordnetenhaus) und 42.195 (Marathonlauf) rückgängig gemacht. Weitere Beispiele wären z. B. 153 (Fische des Jesus) und 630 (Aufzugsbranche). --92.216.164.225 13:21, 24. Okt. 2018 (CEST)
thread_title:  Dreieckszahlen, die in Anwendungen auftreten 

message: Was ist die Bedeutung des Satzes: Diese Formel ist identisch mit dem Binomialkoeffizienten.? Madyno (Diskussion) 12:17, 11. Aug. 2020 (CEST)
replies: text: Habs verbessert, danke für den Hinweis! Gruß, Wolny1 (Diskussion) 13:01, 11. Aug. 2020 (CEST)
thread_title:  Binomialkoeffizient 

message: Man kann eine beliebige DZ1 als "Startwert" nehmen und daraus die DZ2 als Summe 1->DZ1 berechnen, allgemein DZ_i = Summe 1->DZ_(i-1). Haben solche Folgen  irgendeine Bedeutung? --77.0.45.26 22:17, 15. Aug. 2023 (CEST)
thread_title:  Folgen von DZ aus DZ