Diskussion:Peano-Axiome

message: In der ursprünglichen Formalisierung muss unter 5.
meiner Meinung '\forall n \in M' satt  '\forall n \in \mathbb{N}' stehen.
Dies bestätigt auch PlanetMath
http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html (nicht signierter Beitrag von 91.97.114.51 (Diskussion) 11:38, 19. Aug. 2011 (CEST)
replies: text: Eigentlich nicht, in der dortigen Formel ist der benannte Allquantor gar nicht explizit angegeben. Quantifikation über X (so heißt M hier) statt N wäre auch nicht gleichwertig, weil es ja bei der hier angegebenen Formalisierung Elemente geben kann, die in X - N sind. Grüße--Schreiber ✉ 15:49, 20. Aug. 2011 (CEST)

message: Hallo zusammen,
ich denke unter Punkt 5 in der ursprünglichen Formalisierung ist N sogar gleich X (damit ist der Ausdruck N Teilmenge von X zwar nicht falsch, aber irreführend).
Denn ist 0 Element von X (nach Voraussetzung), dann auch alle Nachfolger der Null und damit ganz N.
:In der urpsürnglichen (http://www.archive.org/details/arithmeticespri00peangoog, Seite 1 unter "Axiomata") und der hier angegebenen Formalisierung kann es in der Grundmenge Elemente geben, die nicht in N sind; diese können sich auch in X befinden (die Grundmenge erfüllt ja schon die Voraussetzung des Induktionsaxioms). Grüße--Schreiber ✉ 19:30, 29. Aug. 2011 (CEST)
thread_title:  Ursprüngliche Formalisierung Punkt 5 

message: Ich hätte Beweise, dass die Kommutativgestze, Assoziativgesetze und das Distributivgesetzt aus den Peano-Axiomen folgen.
Sollen die in den Artikel rein oder in das Beweisarchiv? (nicht signierter Beitrag von Letkhfan (Diskussion | Beiträge) 16:57, 1. Jun. 2012 (CEST)
replies: text: Gerne, besser ins Beweisarchiv. Gruß--Schreiber ✉ 18:40, 1. Jun. 2012 (CEST)
thread_title:  Beweise 

message: Woher stammen die in diesem Abschnitt gemachten Aussagen? In der angegebenen Literatur finde ich nichts dazu. --217.226.67.44 19:15, 6. Jun. 2016 (CEST)
replies: text: Welche Aussagen meinst du konkret? Bei Hermes müsste eigentlich etwas stehen. Sonst sehr wahrscheinlich in Ebbinghaus, Flum, Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Verlag (habe ich nicht da, aber meiner Erinnerung nach). --Digamma (Diskussion) 21:17, 6. Jun. 2016 (CEST)
thread_title:  Formalisierung in der Prädikatenlogik erster Stufe 

message: Es wäre sinnvoll, wenn die ursprüngliche Formalisierung von Giuseppe Peano zunächst unverändert angeführt würde. Immerhin ist dies ein Lexikon. Natürlich kann man im weiteren Verlauf des Artikels dann auch eine modernere Fassung erwähnen. Aber zuerst gehört meiner Meinung nach die Originalversion in den Artikel.--Wikilaser (Diskussion) 19:28, 31. Aug. 2017 (CEST)
replies: text: So funktioniert Mathematik aber nicht, genauso wenig wie die Naturwissenschaften. Du wirst in einem Physikbuch auch die Newtonsche Physik nicht in Newtons Originalversion finden. Das funktioniert schon deswegen nicht, weil sich die Sprache und der Formalismus geändert haben. --Digamma (Diskussion) 21:58, 31. Aug. 2017 (CEST)
replies: text:  Der Artikel hält sich an Peanos zweite Fassung aus dem Jahr 1898. In heutigen Logiklehrbüchern werden die Axiome auch anders formuliert (außer sie wollen gezielt die historische Form beibehalten, weiß nicht, ob das vorkommt – übrigens fangen heutige Physikbücher auch oft mit den Newton’schen Gesetzen an, auch wenn es aus moderner Sicht nicht sofort einsichtig ist, inwiefern diese eine in sich abgeschlossene Axiomatisierung der Mechanik bilden, und man sich wundert, dass doch das erste im zweiten enthalten ist, das dritte nur eine Symmetriesituation unter anderen ist, und außerdem mindestens auch etwas von den „Korollaren“ auch herbeigezogen werden muss), dass zum Beispiel die Wertebereiche von Funktionen in den Axiomen 1 und 2 festgelegt werden, aber der Definitionsbereich des Nachfolgers außerhalb der Axiome irgendwo en passant bestimmt wird, irritiert heute. Und in Prädikatenlogik zweiter Stufe würde man es noch anders schreiben. Wenn man schon erwähnt, dass die erste Fassung noch die 1 als kleinste natürliche Zahl ansetzte, dann sollte man ruhig auch die anderen Unterschiede erwähnen. Ich setze das demnächst mal um. --Chricho ¹ ² ³ 16:39, 8. Sep. 2017 (CEST)
thread_title:  Ursprüngliche Formalisierung allgemein 

message: Ich hätte da ja so eine Idee. Allerdings müssten dafür, soweit ich das überblicke, die Peano-Axiome neu formuliert oder at Acta gelegt werden.
# Zahlen definieren sich dadurch, dass, wenn man zwei unterschiedliche von ihnen addiert oder subtrahiert, man eine Zahl als Ergebnis erhält, welche sich von beiden Operanden unterscheidet (a±b≠a oder b). Die 0 wäre demnach keine Zahl.
# Indikatoren definieren sich dadurch, dass, wenn man eine Zahl oder einen Indikator mit einem Indikator multipliziert oder durch einen Indikator teilt, man im Ergebnis ganz sicher einen Indikator erhält. Die 0 wäre demnach ein Indikator.
# Subtrahiert man zwei gleiche Zahlen voneinander, erhält man als Ergebnis als initialen Indikator die 0 (a-a=0; -a-(-a)=0).
# Multipliziert oder dividiert man eine Zahl mit einem Indikator, so ist das Ergebnis ganz sicher ein Indikator. Alle Indikatoren lassen sich deswegen mit 0, 0/0, 1/0 und -1/0 definieren:
Bezeichnung	Definition	Vorzeichen	Auswirkung
0          	0=0       	neutral   	initial
NaN        	0/0=NaN   	neutral   	terminierend
+∞         	1/0=+∞    	positiv   	keine
-∞         	-1/0=-∞   	negativ   	keine
Aus diesen Definitionen lassen sich alle weiteren Rechenvorschriften für Indikatoren ableiten und aus den Ableitungen erschließt sich nur NaN als terminierender Indikator. Die Idee kam mir bei einer Diskussion Division_(Mathematik), in welcher 1/0=undefiniert gilt. Ein Argument für diese Handhabung ist, dass 0*unendlich im Umkehrschluss ja nicht 1, sondern 0 wäre. Aber mal ehrlich - nach welcher Definition ist 0*x=0? Müsste im Umkehrschluss dann nicht auch 0/0=x gelten? Tut es aber nicht, denn 0/0 ist undefiniert. 0*x=0 taucht, wie alle sehen können, ja auch in dem Beweis für 1/0=undefiniert auf, welcher natürlich angesichts meiner Argumentation von eben nicht mehr zieht, denn es gibt ein Element a≠0 für das 0*x=a gilt, nämlich NaN und das kommt zustande, wenn man für x einen der anderen Indikatoren einsetzt. x/0 lässt sich immerhin noch auf x*(1/0) bringen, also ganz konkret auf die Multiplikation einer beliebigen Zahl oder Indikator mit einem Indikator. Indikatoren sollten natürlich Teil aller reellen Zahlen sein, nur halt mit dem Unterschied, dass sie keinerlei Wert haben.
Was haltet ihr davon? Aber kommt nicht auf die Idee, nach Referenzen zu fragen, denn die z.zT. einzig existierende dürfte sich allein in meinem Kopf befinden. --217.81.68.108 11:49, 10. Nov. 2017 (CET)
replies: text: Dieser Artikel behandelt aber nun mal die Peano-Axiome und nicht Alternativen dazu. Wenn es solche Alternativen gibt, dann müssten sie in einem andern Artikel dargestellt werden. Wikipedia dient aber nicht dazu, neue Ideen zu veröffentlichen, sondern etabliertes Wissen. Also, ganz ohne inhaltlich zu deinen Gedanken Stellung zu nehmen: Wikipedia ist dafür nicht der richtige Ort. --Digamma (Diskussion) 20:32, 11. Nov. 2017 (CET)
replies: text: Nun, es ist mehr oder minder bereits etabliertes Wissen und findet in der IEEE 754 Anwendung, die bei manchen Mathematikern, bei denen das Argument 0*x≠0 weil 0/0≠x nicht zieht, während sie selbst gerne mit 1/0≠∞ weil 0*∞≠1 argumentieren, als Blödsinn abgetan wird und man solle sich doch dazu mal die Peano-Axiome ansehen, wenn man es nicht glauben möchte - aber es waren auch Mathematiker, die an der Formulierung dieser Norm beteiligt waren. Seis drum, dann bleibt Wikipedia halt rein Wissenschaftlich - was auch immer das bedeuten mag (z.B. Holzweg oder nicht). --217.81.74.151 14:31, 12. Nov. 2017 (CET)
thread_title:  Zahlengruppe für Indikatoren 

message: In Deutschland ist es Konvention, die natürlichen Zahlen ohne Nullelement und stattdessen das Einselement als erste natürliche Zahl zu definieren. Warum ist das hier nicht so? --131.188.6.21 08:48, 9. Feb. 2023 (CET)
replies: text: (im Wikipedia-Artikel „Natürliche Zahl“ beginnen die natürlichen Zahlen übrigens mit 1) --131.188.6.21 08:51, 9. Feb. 2023 (CET)
replies: text: Wie im Artikel Natürliche Zahl breits erwähnt, kann man das machen, wie es am besten gerade passt. Insofern ist nicht richtig, was du sagst. --Nomen4Omen (Diskussion) 09:45, 9. Feb. 2023 (CET)
thread_title:  Warum mit Nullelement?