Diskussion:Kompakter Operator

message: Ich habe den Zusatz in der Einleitung, dass kompakte Operatoren auch vollstetig genannt werden, rausgenommen, da heute Vollstetigkeit anders definiert wird. Im englischen Artikel über Kompaktheit kann man das hier sehen. Ich werde das gleich in den Artikel einbauen.
Dass manchmal die beiden Begriffe als äquivalent betrachtet werden, liegt daran, dass ursprünglich diese Begriffe auf Hilberträumen betrachtet wurden, wo sie tatsächlich zusammenfallen. UrsZH 19:32, 9. Nov. 2008 (CET)
thread_title:  Vollstetigkeit 

message: Die Aussage, dass relativkompakte Teilmengen unendlich-dimensionaler Banachräume nirgends dicht sind, ist falsch. Gegenbeispiel: der Durchschnitt der Einheitskugel mit einem endlich-dimensionalen Unterraum. Shimmyshakes, 20.2.09
:: Unsinn, endlichdimensionale Unterräume von unendlichdimensionalen Räumen sind stehts nirgends dicht! Und relativkompakte Mengen sind nirgends dicht, denn wären sie es nicht, so enthielte ihr kompakter Abschluss einen inneren Punkt, also eine kleine (abgeschlossene) \varepsilon-Kugel, und die wäre kompakt (normierte Räume sind Hausdorffsch!) und das kann nun wahrlich nicht sein in unendlich-dimensionalen Räumen. (Robert, 14.02.10)
:Hm, die wäre aber im Gesamtraum nirgends dicht, oder?
:Nehmen wir mal an, es gäbe eine relativkompakte Menge M, die nicht nirgends dicht ist. Dann ex. ja eine offenem Menge U mit cl(U)=cl(M) und somit cl(U) kompakt. 
:Dann gibt es aber eine Kugel in U, deren Abschluss als abg. Teilmenge einer kompakten Menge kompakt ist. Dies kann aber in unendl-dim Räumen nicht passieren.
Wer Fehler findet darf sie gerne anmerken --Controlling Disk 15:59, 27. Feb. 2009 (CET)
thread_title: Nirgends dicht

message: Hallo! Ich habe die Formulierung mit dem "dünnen Bild" geändert (siehe 1. Punkt hier). Außerdem habe ich die Kompaktheit des Fredholmschen Integraloperators hinzugefügt und einen Link zur Fredholmschen Alternative gesetzt. Die Bedeutung der kompakten Operatoren für die Theorie der Integralgleichungen könnte man wahrscheinlich noch besser darstellen. --martinhei 21:13, 13. Mär. 2011 (CET)
thread_title:  Dünnes Bild und Anwendung 

message: Im Artikel steht oben unter der sinnigen Überschrift "Beispiel", dass Identität minus kompakter Operator wieder ein kompakter Operator ist. Zumindest, wenn der Operator auf einer beschränkten Menge eines normierten Raumes definiert ist.
Das bezweifle ich. Beispiel:
Sei Omega die offene Einheitskugel in einem unendlichdimensionalen Banachraum X. Die ist beschränkt. Sei nun K_0 die Nullabbildung von Omega nach X. Die ist kompakt. Nun ist K=Id-K_0 eine Abbildung, die sicher nicht kompakt ist. Ich würde deshalb den Beispiel-Absatz einfach beseitigen, wenn niemand Einwände hat. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 13:31, 23. Mär. 2012 (CET)
thread_title:  Kompakte Störung der Identität 

message: Es wurde geschrieben, dass jeder separable Raum F eine Folge von finiten Operatoren besitzt, welche punktweise gegen die Identität konvergieren. Dies bezweifle ich. Mir fällt leider zur Zeit kein Gegenbeispiel ein.
Außerdem ist jeder Raum mit dieser Eigenschaft automatisch separabel, soviel ich weiß. Insbesondere kann dann nicht jeder Hilbertraum diese Eigenschaft erfüllen, da sonst jeder Hilbertraum separabel wäre. (nicht signierter Beitrag von Wotan.Odin (Diskussion | Beiträge) 18:55, 20. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Jeder separable Raum hat eine abzählbare (topologische) Basis. Die Folge der Projektoren auf die von den ersten n Basisvektoren aufgespannten Unterräume erfüllt die gewünschte Eigenschaft.--LutzL (Diskussion) 18:03, 22. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Es ist aber wichtig, dass die Folge beschränkt ist, und dies ist nicht bei jedem separablem Raum der Fall. Das Kriterium der Beschränktheit habe ich leider nicht in meiner Diskussion erwähnt, ist jedoch in dem entsprechenden Beitrag erwähnt auf den ich mich bezog. (nicht signierter Beitrag von Wotan.Odin (Diskussion | Beiträge) 10:18, 24. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Projektoren sind in ihrer Operatornorm immer durch 1 beschränkt. Jeder Projektor auf eine konvexe Menge ist Lipschitz-stetig mit Konstante 1, und Projektoren auf Unterräume sind auch noch linear.--LutzL (Diskussion) 11:01, 24. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Dies gilt meines Wissens aber nur für Hilberträume. Für einen Projektor vom einem Banachraum in einen endlichdimensionalen Raum, kann man nur die Aussage treffen, dass die Norm kleiner gleich der Dimension des endlich dimensionalen Raumes ist. (nicht signierter Beitrag von Wotan.Odin (Diskussion | Beiträge) 16:56, 26. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Richtig, das Argument über die Normschranke an Projektionen kann man so im Banachraumfall nicht generell machen. -- pberndt 18:54, 26. Apr. 2012 (CEST)

text: Noch ganz etwas anderes: Wo steht das eigentlich? Im Artikel nicht.. nach dem, was im Artikel steht, sollte diese Behauptung sogar falsch sein. -- pberndt 19:03, 26. Apr. 2012 (CEST)
replies: text:  Ich hab es im Artikel schon korrigiert, diese Diskussion ist jetzt nur noch der Restbestand (nicht signierter Beitrag von Wotan.Odin (Diskussion | Beiträge) 20:39, 26. Apr. 2012 (CEST)
replies: text:  Ok. -- pberndt 10:17, 27. Apr. 2012 (CEST)
thread_title:  Separabler Raum 

message: Ist die Eigenschaft wie formuliert belegbar? Ich würde eher die andere Richtung vermuten, dass jeder kompakte Operator fast-endlich, also endlich approximierbar ist. Denn das Bild der Einheitskugel ist eine kompakte Menge, diese hat ein endliches ε-Netz für jedes ε>0. Die Projektion auf den von den Mittelpunktsvektoren aufgespannten Unterraum ergibt dann eine endlichdimensionale ε-Approximation (in Operatornorm) des Operators.
Die umgekehrte Eigenschaft, dass jeder fast-endliche Operator auch kompakt ist, wäre dann mit Zusatzbedingungen zu versehen.--LutzL (Diskussion) 18:03, 22. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Ich habe mich das selbst gestern gefragt, mangels Ahnung vom Thema habe ich das dann aber so stehen lassen. Nur zur Sicherheit: Dir ist aufgefallen, dass es (dem Titel der Quelle nach) um nichtlineare Operatoren geht und der Operator nur auf einer beschränkten Menge definiert ist? -- pberndt 18:59, 22. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Nein, ist es nicht. Aber der Text spricht explizit und mehrfach von linearen Operatoren.--LutzL (Diskussion) 11:03, 24. Apr. 2012 (CEST)

text: Ah, ich meinte den zweiten Abschnitt, bzw. Unterabschnitt, mit diesem Titel.--LutzL (Diskussion) 11:05, 24. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Ach so. Nein, das ist so korrekt: Durch Operatoren mit endlichdimensionalem Bild approximierbare Operatoren sind kompakt. Die kompakten Operatoren sind ein abgeschlossener Teilraum der beschränkten (linearen) Operatoren. Also ist auch der Grenzwert einer Folge kompakter Operatoren kompakt. Jede Abbildung mit endlichdimensionalem Bild ist kompakt, also folgt die Behauptung. Andersherum gibt es ein Gegenbeispiel. (Quelle: Dirk Werner, Funktionalanalysis, 6. Auflage, p.67, Korollar II.3.3) -- pberndt 18:44, 26. Apr. 2012 (CEST)
thread_title:  Approximationseigenschaft 

message: Ich denke der Zusatz "Der lineare [...]" in "Der lineare Operator K \colon E \to F ist genau dann kompakt, wenn zu jeder beschränkten Folge (x_n) in E eine Teilfolge von (K(x_n)) existiert, die in F konvergiert." ist unnötig. Das gilt auch für nichtlineare Operatoren. (nicht signierter Beitrag von 88.67.154.139 (Diskussion) 19:34, 3. Aug. 2012 (CEST)
thread_title:  Eigenschaften