Diskussion:Lineare Abbildung

message: * "Man bezeichnet damit eine Funktion zwischen zwei Vektorräumen, bei der es ..." Klares Nein! Eine Funktion ist eine eindeutige Abbildung und eine lineare Abbildung muss nicht eindeutig sein.
::Der Artikel ist diesbezüglich richtig. Falls du jedoch anderer Meinung bist, dann liefere bitte ein Gegenbeispiel einer linearen Abbildung, die nicht eindeutig ist. --Stefan Birkner 15:04, 27. Apr. 2008 (CEST)
replies: text: Der Beutelspacher steht nicht in der Literaturliste weil er die Referenz ist, sondern weil er als Quelle für den Artikel diente. --Stefan Birkner 15:04, 27. Apr. 2008 (CEST)
thread_title:  voll ungenau 

message: Der Abschnitt zur Darstellungsmatrix überschneidet sich mittlerweile auch mit dem Artikel Abbildungsmatrix. Kann der Abschnitt Darstellungsmatrix daher nicht wegfallen und in Abbildungsmatrix eingearbeitet werden? --HeikoTheissen 18:11, 27. Sep 2006 (CEST)
replies: text: Ehrlich gesagt halte ich den Artikel Abbildungsmatrix für überflüssig. Der Begriff ist IMHO nicht so geläufig und der Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen muss einfach in beiden Artikeln reläutert werden. --P. Birken 09:38, 28. Sep 2006 (CEST)
thread_title:  Abbildungsmatrix 

message: Jeder LA Professor würde wahrscheinlich tot umkippen wenn er sieht das hier Pfeile über den V´s udn w´s stehen ;) Vektoren sind nunmal nicht nur Pfeile, sondern alles mögliche.
Ich empfehle daher die Pfeile zu entfernen.
--137.226.102.25 14:40, 14. Feb 2006 (CET)
replies: text: Nun ja, es gibt nun einmal Leute, die diese Pfeilchen lieben (z.B. Physiker), und ein bisschen Rücksicht kann man ja nehmen. Bei der "formalen Definition" wird ja dann auch auf Luftschlangen und Konfetti verzichtet.--Gunther 14:43, 14. Feb 2006 (CET)

text: In der Einleitung geht es doch gerade um die Anschauung und nicht um allgemeine Vektoren.--Gunther 15:03, 14. Feb 2006 (CET)

text: Ach das. Hm, ja, erscheint mir schon nicht ganz blöd, bei \sum x_iv_i deutlich zu machen, dass x_i Koordinaten eines Vektors und v_i für sich genommen schon Vektoren sind. Ob man die Unterscheidung nun mit griechischen Buchstaben oder mit Pfeilchen macht, wäre mir egal.--Gunther 16:41, 14. Feb 2006 (CET)

text: Wenn man die Pfeilchen konsequent nur für Zeilen- oder Spaltenvektoren verwenden würde, dann würde es ja auch zur Vorstellung aus der Schule passen. Aber wie Heiko oben schon anmerkte, gibt es bei dem fraglichen Abschnitt wesentlich gravierendere Probleme.--Gunther 16:59, 14. Feb 2006 (CET)
replies: text: Da ich dich Pfeilchen angebracht habe: damit wollte ich eine leichte Unterscheidung zwischen Vektoren und Skalaren ermöglichen. Das halte ich auch sinnvoll. Und ich weiß nicht, ob die erwähnte Schul-LA so einheitlich ist. Ich kannte in der Schule, soweit ich mich erinnern kann, nur Vektoren, die mit Pfeil geschrieben wurden. Aber im Moment mach ich mir erst mal Gedanken, wie ich die Einwände zur Darstellungsmatrix sprachlich verständlich ausmerzen kann. --Squizzz 17:05, 14. Feb 2006 (CET)
thread_title:  Pfeile über Vektoren 

message: Am Ende des Abschnitts "Formale Definition" steht:
"Eine andere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der Graph der Abbildung f ein Untervektorraum der Summe der Vektorräume V und W ist."
Wie ist das zu verstehen, enthält der Graph der linearen Abbildung doch nicht Elemente aus
V + W, sondern aus V x W.(?)
: Die direkte Summe und das direkte Produkt von zwei (oder allgemeiner endlich vielen) Vektorräumen sind dasselbe.--Gunther 17:52, 4. Apr 2006 (CEST)
thread_title:  Frage zum Abschnitt Formale Definition 

message: Endlichdimensionale Vektorräume tragen eine eindeutig bestimmte Topologie, deshalb ist die Angabe überflüssig. Ich finde jedoch den ganzen Halbsatz unklar: Bedeutet die Tatsache, dass im endlichdimensionalen Fall Stetigkeit automatisch gegeben ist, dass man dort alles auch Operator nennen darf, oder dass man deshalb dort nicht von Operatoren spricht? Ersteres ist schon durch die formale Synonymie abgedeckt, letzteres glaube ich nicht und fände es auch wenig logisch.--Gunther 09:20, 9. Jun 2006 (CEST)
replies: text: Endlich-dimensionale Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen haben bis auf Äquivalenz nur eine Norm und daher eine eindeutig bestimmte norminduzierte Topologie. Bezüglich dieser ist die Stetigkeit dann immer gegeben (und deshalb spricht man nicht extra von Operatoren). Allerdings sind ja noch andere Topologien denkbar, die nicht von einer Norm induziert werden, und dann ist nicht immer alles stetig. Die Identitätsabbildung von (R, euklidische Topologie) -> (R, diskrete Topologie) ist zwar linear, aber nicht stetig. --HeikoTheissen 09:32, 9. Jun 2006 (CEST)
replies: text:  :en:topological vector space#Topological structure, letzter Absatz. Z.B. :en:bounded operator#Examples oder  spricht auch im endlichdimensionalen Fall von Operatoren, da gibt es einfach keine strikte Trennung.--Gunther 09:37, 9. Jun 2006 (CEST)

text: […] während alle linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen reellen topologischen Vektorräumen stetig sind.
Denn der abstrakte Normbegriff tut auf dem \R^n nichts zur Sache, der Stetigkeitsbegriff ist auch so bekannt.--Gunther 11:04, 9. Jun 2006 (CEST)
replies: text:  Jetzt bin ich nicht sicher: Ist (R, diskrete Topologie) nicht auch ein topologischer Vektorraum? Dann wäre mein Beispiel oben eine lineare Abbildung zwischen topologischen Vektorräumen, die trotzdem nicht stetig ist, weil die beiden Topologien nicht zu einander passen. --HeikoTheissen 11:26, 9. Jun 2006 (CEST)
replies: text:  Nein, für einen TVR müssen die Abbildung \R\times V\to V und damit auch jede Abbildung \R\to V,\lambda\mapsto\lambda v stetig sein. Mit dem Argument "bijektiv stetig von kompakt nach Hausdorff ist Homöomorphismus" sollte man dann fertig sein.--Gunther 11:30, 9. Jun 2006 (CEST)
replies: text:  Das muss ich mal in Ruhe nachvollziehen... Was ist denn dabei kompakt? Ich habe aber, glaube ich, noch ein einfacheres Beispiel: (R, indiskrete Topologie) (nur die leere Menge und R sind offen) ist ein topologischer Vektorraum, weil alle Abbildungen in einen indiskreten Raum hinein stetig sind (also auch die Addition und Skalarmultiplikation R x R -> R). Und die Identitätsabbildung (R, indiskrete Topologie) -> (R, euklidische Topologie) ist linear, aber nicht stetig. Stimmt das? --HeikoTheissen 12:35, 9. Jun 2006 (CEST)
replies: text:  Ja, und deshalb sollte man eben noch fordern, dass TVR hausdorffsch sind. Kompakt ist das Einheitsintervall, und durch Translationen müsste man sich einen globalen Homöomorphismus basteln können.--Gunther 12:41, 9. Jun 2006 (CEST)

text:  Du hast Recht, (R, diskret) ist kein TVR, und (R, indiskret) ist nicht hausdorffsch. Ich habe also kein Gegenbeispiel mehr :-) --HeikoTheissen 12:57, 9. Jun 2006 (CEST)
thread_title:  Lineare Operatoren 

message: Zitat:"Ein Endomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung" Ich würde das Wort linear hier jeweils streichen da sonst der Eindruck entsteht ein Endomorphismus,Automorphismus etc. sei immer linear --Mathemaduenn 10:41, 18. Aug 2006 (CEST)
replies: text: In den einzelnen Sätzen steht doch jeweils, dass es ..morhpismen zwischen Vektorräumen sind. Wo soll der Fehler liegen? Wenn jemand das „zwischen Vektorräumen“ mutwillig überliest, ist ihm auch nicht mehr zu helfen. --Squizzz 11:34, 18. Aug 2006 (CEST)
replies: text: Ich dachte nur das -morphismen zw.Vektorräumen nicht unbedingt lineare Abbildungen  sind. Mag sein das ich hier irre  viele Grüße --Mathemaduenn 11:50, 18. Aug 2006 (CEST)
replies: text: Also in Gerd Fischer, Lineare Algebra steht ~ "eine Abbildung zwischen K-Vetorräumen V,W heißt linear (oder K-Homomorphismus), wenn" und dann kommen die zwei / das kombinierte Kriterium. Für mich heißt das ÄQUIVALENZ. Wenn man sich die abstrakt gehaltenen Definitionen bei Homomorphismus genauer anschaut, leuchtet das auch ziemlich ein. Werde das jetzt nochmal in beiden Artikeln schärfen.. --Cycyc 14:02, 20. Sep 2006 (CEST)
thread_title:  Spezialfälle 

message: Wenn ich das in der Schule richtig verstanden habe (wir behandeln das gerade), dann ist die Vektorabbildung dann gegebn, wenn sie reversibel ist und das ist nur der Fall, wenn sie eindeutig ist, d.h., dass jeder Punkt auf einen bestimmten Punkt abgebildet wird. Nun steht beim kern, dass es die Menge aller Punkte ist, die auf den Nullvektor von W abgebildet werden. Das ist doch dann trotzdem nur einer, oder? Es wäre vielleicht ganz gut - wenn das so ist - das deutlich zu machen, für verwirrte Schüler und andere, weil landläufig unter einer Menge ja mehr als eins verstanden wird. 
Kira
: Hallo Kira, bei einer Vektorabbildung muss zwar jeder Vektor eindeutig auf einen bestimmten Vektor abgebildet werden, aber das Ganze muss nicht reversibel sein. Z.B. kann man jeden Vektor auf den Nullvektor abbilden, dann besteht der Kern aus allen Vektoren. Wenn eine lineare Abbildung reversibel (man sagt auch injektiv oder ein Monomorphismus) ist, besteht der Kern allerdings nur aus dem Nullvektor. --HeikoTheissen 17:11, 10. Okt. 2006 (CEST)
replies: text: Im Übrigen kann eine Menge "jede" Menge Elemente beinhalten, also auch genau eins, oder sogar keins: {}. :) --87.180.51.75 17:49, 26. Jan. 2008 (CET)
thread_title:  Bild und Kern 

message: Ich versuche herauszufinden, was eine Lineare Abbildung ist. Im Allgemeinen, sowie im Spezialfall der IntegralRechnung. Im Artikel 'IntegralRechung' heißt es:
"Das Integral selbst ist eine lineare Abbildung, die einer Funktion einen Zahlwert oder eine Funktion zuordnet"
Dazu wird extra mit einem Link auf den Artikel 'Lineare Abbildung' verwiesen. Dieser Verweis ist offensichtlich falsch. Ich finde hier absolut keine Erklärung. Der Artikel bezieht sich offensichtlich auf VektorRäume. Was überhaupt nicht offensichtlich ist, ist der behauptete Zusammenhang mit der Integration. Dies fehlt hier völlig. Truchses 23:45, 14. Dez. 2009 (CET)
replies: text: Der Verweis ist richtig, denn die integrierbaren Funktionen bilden einen Vektorraum (wenn sie punktweise addiert und mit reellen Zahlen multipliziert werden), und auch die reellen Zahlen bilden einen Vektorraum. Und das Integral ist eine Abbildung zwischen diesen beiden Vektorräumen (Funktion -> Zahl), die der Definition einer linearen Abbildung gehorcht, also eine lineare Abbildung. --HeikoTheissen 08:19, 15. Dez. 2009 (CET)
thread_title:  Lineare Abbildung 

message: Meines Erachtens geht hier einiges bei den beiden Begriffen durcheinander. Bei der Eindeutigkeit der Abbildungsmatrix steht da beispielsweise
:f(x) =M_1x = M_2x,
was schon ziemlich daneben ist, da statt f(x) und x die jeweiligen Koordinatenvektoren stehen müssten. Wenn (v_1,\ldots,v_n) die Basis des Urbildraums und (w_1,\ldots,w_m) die Basis des Bildraums ist, bezüglich derer M_1, M_2 die Abbildungsmatrizen von f sind, so muss obige Gleichung nämlich
:z = M_1y = M_2y 
lauten, worin z_1w_1 + \cdots +z_mw_m = f(x) und y_1v_1+ \ldots + y_nv_n = x gilt. Ein Vektor und sein Koordinatenvektor sind verschiedene Dinge, insbesondere weil letzterer von einer gewählten Basis abhängt und ersterer nicht. --Tolentino 19:11, 27. Dez. 2009 (CET)
replies: text: Genauso daneben ist die Vorstellung, man könne in Ax einfach einen Basisvektor einsetzen, weil V nämlich als abstrakter Vektorraum nicht ein Element von \mathbb{R}^n sein muss, während man aber genau so einen Vektor zum Anmultiplizieren (von rechts) benötigt. --Tolentino 19:13, 27. Dez. 2009 (CET)
replies: text: Ein weiterer Gag ist, dass die Bilder f(v_i) angeblich gleich der i-ten Spalte der Darstellungsmatrix sein soll. Dabei sind Spalten Elemente von \mathbb{R}^m und nicht vom Bildvektorraum. --Tolentino 11:05, 28. Dez. 2009 (CET)
replies: text: Ja, sehr interessant, was man alles feststellt, wenn man den Beweis tatsächlich mal durchliest. Dein erster Absatz ist völlig korrekt. Bei Deinem zweiten und dritten Einwand verstehe ich allerdings nicht, wie Du auf \R^n und \R^m kommst. Das steht doch nirgendswo? Und was meinst Du damit, dass V (als Vektorraum) kein Element von \R^n sein kann. Meinst Du Unterraum? Und was ich auch nicht verstehe: Was sucht der Beweis überhaupt hier? --Sabata 14:41, 28. Dez. 2009 (CET)
thread_title:  Abbildungsmatrix <-> lineare Abbildung 

message: gibt es einen bestimmen Grund, weswegen Lineare Abbildungen in diesem Artikel auf Vektorräume eingeschränkt werden? Es wäre doch etwas kompletter, wenn man auch Moduln diskutieren würde. -- Patrick 2. Apr. 2010, 18:04 CET (ohne Benutzername signierter Beitrag von 79.211.54.69 (Diskussion | Beiträge) ) 
:Hallo, mitlerweile gibt es den Artikel ´Modulhomomorphismus, der dieses Thema abhandelt. Wird hier eine Leiste zur Begriffsklärung gebraucht? --Christian1985 (Diskussion) 18:29, 3. Okt. 2011 (CEST)
replies: text: Ich habe erstmal bei Verallgemeinerungen darauf hingewiesen.--Schönen Gruß "Wohingenau" (Diskussion) 12:25, 2. Aug. 2012 (CEST)
thread_title:  Lineare Abbildungen und Moduln 

message: Ist das nicht das Prinzip der linearen Fortsetzung? Es scheint, dass dies nicht erwähnt wird. (nicht signierter Beitrag von 141.20.6.200 (Diskussion) 16:09, 16. Dez. 2011 (CET)
replies: text: Nein, das war bisher nur die andere Richtung, von der Abbildung zur Vektorzuordnung. Die Fortsetzung hat nun auch einen Satz an dieser Stelle.--LutzL 17:37, 16. Dez. 2011 (CET)
thread_title:  Abschnitt: "Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen"; Unterabschnitt "Basis" 

message: Abgesehen vom Fehler im Bild (siehe unten): Da im Bild bezug zu Darstellungsmatrizen genommen wird (v.a. bei Injektivität/Surjektivität), die jedoch erst im nächsten Unterabschnitt erläutert werden: Sollte das Bild nicht weiter unten positioniert werden? Man könnte meinen, die beiden Sätze zu Surjektivität / Injektivität im Unterabschnitt "Basis" stünden im direkten Zusammenhang zu jenen aus dem Bild. --PaddyG 15:21, 20. Jan. 2012 (CET)
thread_title:  Abschnitt: "Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen"; Positionierung Bild

message: siehe Diskussion zur File: http://commons.wikimedia.org/wiki/File_talk:Injektivit%C3%A4t_und_Surjektivit%C3%A4t_linearer_Abbildungen.svg
--PaddyG 11:47, 20. Jan. 2012 (CET)
thread_title:  Fehler im Bild (Injekt. und Surjekt.) 

message: Hallo, ich hab ein Kapitel Tensoren hinzugefügt. Passt das dorthin? --Alva2004 (Diskussion) 11:16, 13. Sep. 2014 (CEST)
replies: text: Ich bin da etwas skeptisch. Und Tensor haben wir ja auch schon als Artikel. Die Kontinuumsmechanik passt jedenfalls nicht rein. --mfb (Diskussion) 15:47, 13. Sep. 2014 (CEST)

text: Es wird nicht deutlich, was der Zusammenhang zwischen Tensoren und linearen Abbildungen sein soll. Außerdem sollte hier nicht „plötzlich“ auf den dreidimensionalen Raum gewechselt werden. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 14:35, 14. Sep. 2014 (CEST)
thread_title:  Tensoren