Diskussion:Erwartungswert

message: Die allgemeine Definition ist nicht mit den engeren Definitionen zuvor konsistent. Wenn die Zufallsvariable quasiintegrierbar ist, so existiert der Erwartungswert nicht im Sinn der sonst im Artikel angegebenen Definitionen. Man kann allerdings den Erwartungswert, z. B. Billingsley folgend, auch allgemeiner auffassen. Er kann dann auch \infty oder -\infty sein, falls die entsprechenden Integrale uneigentlich als \infty oder -\infty existieren. Es ist dann zu unterscheiden zwischen (a) der Erwartungswert existiert und (b) der Erwartungswert (existiert und) ist endlich. (nicht signierter Beitrag von 141.30.93.98 (Diskussion) 18:20, 8. Mär. 2006 (CET)
thread_title:  Zur Definition des Erwartungswertes (2006) 

message: Die ersten beiden Definition sind ungenau und  unvollständig, weil mit der Formulierung „im Falle der Existenz“ in Unklares ausgewichen wird. Ist die Existenz als reelle Zahl oder die Existenz als erweiterte reelle Zahl gemeint? Dies hat auch nichts mit der Integraldefinition zu tun, da sich das Problem analog auch im diskreten Fall stellt: Konvergenz einer Reihe (im engeren Sinn gegen eine Zahl in \R) oder Konvergenz im weiteren Sinn, d. h. Konvergenz ergänzt durch uneigentliche Konvergenz (gegen eine Zahl in \bar\R). In der wahrscheinlichkeitstheoretischen Literatur sind beide Positionen zur Existenz des Erwartungswertes zu finden (z. B.  versus ). In anwendungsnahen Darstellungen wurde häufig ausschließlich mit endlichen Erwartungswerten gearbeitet. Im Bereich der Finanzmarktstochastik gewannen bei der Modellierung von Renditeverteilungen zunehmend Verteilungen mit 'unendlicher Varianz', aber endlichen Erwartungswerten Bedeutung. Seitdem ist auch z. B. in den Wirtschaftswissenschaften eine klare Terminologie bei Erwartungswerten erforderlich, die unendliche Erwartungswerte umfasst.       
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--Sigma^2 (Diskussion) 09:29, 21. Sep. 2022 (CEST)
thread_title:  Definition (2022) 

message: Sehe ich das richtig : im ganzen Artikel kommt an keiner Stelle µ vor ? 
Im Artikel My wird auf 'Erwartungswert' verwiesen; Mathebücher der gymnasialen Oberstufe nennen / verwenden µ ... warum ist es im Artikel nicht genannt ? --Neun-x (Diskussion) 11:13, 18. Jan. 2017 (CET)
replies: text: Inzwischen ist es eingefügt, aber nicht richtig. Das Symbol µ ist keine allgemeine Abkürzung für E[X], sondern wird nur dann verwendet, wenn der Erwartungswert E[X] als reelle Zahl existiert. Dann wird diese Zahl häufig mit µ bezeichnet. In Fällen, in denen E[X] = \infty oder E[X] = -\infty ist, wird µ nicht verwendet. Auch im weiteren Fall, falls  E[X] nicht existiert, sagt niemand „µ existiert nicht“. Wenn beispielsweise X eine Cauchy-verteilte Zufallsvariable ist, dann existiert E[X] nicht. In dieser Beziehung muss der Artikel noch überarbeitet werden.--Sigma^2 (Diskussion) 23:37, 9. Sep. 2022 (CEST)
thread_title:  µ 

message: Hallo . Danke für deine Einfügung zum Erwartungswert einer nichtnegativen Zufallsvariablen. Mir fehlt da noch etwas ein Verweis zu einer Definition einer nichtnegativen Zufallsvariablen...Ist hier damit einfach gemeint, dass der Träger positiv ist, also \mathcal T_X =[0,\infty)?--Jonski (Diskussion)  14:06, 19. Nov. 2019 (CET)
replies: text: Hallo , mit X nicht-negativ meine ich P(X<0)=0. Ich bin mir ziemlich sicher, dass das zu \mathcal T_X\subseteq [0,\infty[ äquivalent ist. Vielleicht sollte dies aber schon früher im Artikel eingebaut werden, da nichtnegative Zufallsvariablen bereits im Abschnitt 3.1 vorkommen. LG, --Maximilian Janisch (Diskussion) 11:47, 20. Nov. 2019 (CET)
replies: text:  Hm, meiner Meinung nach ist die übliche Definition meist so: Eine Zufallsvariable X \colon \Omega \to \R ist nichtnegativ, wenn X(\omega) \geq 0 für alle \omega \in \Omega gilt, so wie bei „nichtnegativen reellwertigen Funktionen“. Wenn nur P(X<0)=0 gilt, wird das i. Allg.  „fast sicher nichtnegativ“ genannt. -- HilberTraum (d, m) 22:43, 20. Nov. 2019 (CET)
replies: text:  Hallo , das wurde hier von mir in der Diskussion ungenau formuliert, aber im Artikel habe ich auch fast sicher nicht-negativ geschrieben. Siehe meinen Edit. Gerne kann ich (oder du 😄) den Halbsatz hinzufügen, dass damit P(X<0)=0 gemeint ist. --Maximilian Janisch (Diskussion) 00:29, 21. Nov. 2019 (CET)
replies: text: @Maximilian Janisch: Deinen Vorschlag das früher einzuführen finde ich gut. Da wir gerade über nichnegative Ungleichungen reden und du dich laut deiner Benutzerseite viel mit stochastischen Ungleichungen beschäftigst. Ich hab mir da auch eine Ungleichung für nichtnegative Zufallsvariablen überlegt bzw. entdeckt die m.E. in der Literatur nicht vorhanden ist…allerdings bin ich mir nicht sicher, ob diese Trivial ist. Würde gerne deine Meinung dazu wissen:)--Jonski (Diskussion)  00:46, 21. Nov. 2019 (CET)
replies: text:   Gerne kannst Du mir Deine Ungleichung nennen; Ich habe aber vermutlich in näherer Zukunft leider keine Zeit mir sie anzuschauen, falls sie schwieriger sein sollte (ausserdem könnte mein Wissen bezüglich stochastischen Ungleichungen nicht ausreichend sein). Vielleicht lohnt es sich, sie in einer (oder mehrerer, je nach Schwierigkeitsgrad) der folgenden Frageseiten zu posten (bei denen ich auch manchmal tätig bin):  Statistik-Stackexchange, Mathematik-StackExchange und MathOverflow (Forschungsmathematik). LG, --Maximilian Janisch (Diskussion) 01:19, 22. Nov. 2019 (CET)
replies: text:  Dein Wissen ist auf jeden Fall ausreichend. Es ist eigentlich nichts großes bzw. sehr simpel und man benötigt nur einen Satz und zwar den Verschiebungssatz. Du wirst den Beweis wahrscheinlich in 5 min lesen können. Mir hat ein Statistik-Professor versichert das sie richtig ist, aber bin mir wie gesagt nicht sicher ob sie trivial ist (oder ob er sich irrt). Ich schicke dir bei Gelegenheit einfach eine Mail mit PDF. Beste Grüße.--Jonski (Diskussion)  01:34, 22. Nov. 2019 (CET)
replies: text:   Ich bin schonmal gespannt :D --Maximilian Janisch (Diskussion) 10:10, 22. Nov. 2019 (CET)
thread_title:  Nichtnegative Zufallsvariable 

message: … ist eine BKL die unter anderem auf diesen Artikel hier verweist. Somit sollte der Begriff hier auch irgendwo auftauchen.--Ciao • Bestoernesto • ✉ 16:39, 24. Jan. 2021 (CET)
thread_title:  [[Fehlerwahrscheinlichkeit]] … 

message: Berücksichtigung unterschiedlicher Definitionen (in \R, in \bar\R; für reelle, für erweiterte (numerische) Zufallsvariablen; basierend auf der Wahrscheinlichkeitsverteilung, maßtheoretisch). Daraus resultierend: 
* Der Begriff 'Existenz' wird in der Literatur meistens relativ zur jeweiligen Definition verwendet und ist ohne Bezug auf eine Definition unklar. 
* Die 'Regeln' gelten meistens nur für integrierbare Zufallsvariablen.
* Das Symbol \mu wird regelmäßig nur für reelle Erwartungswerte verwendet.
* Die maßtheoretische Terminologie sollte nicht vorrangig, sondern ergänzend verwendet werden (reelle Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert = maßtheoretisch: integrierbare Zufallsvariable, reelle Zufallsvariable mit Erwartungswert in \bar\R = maßtheoretisch: quasiintegrierbare Zufallsvariable)
* In der Statistik und anderen Anwendungsbereichen werden Erwartungswerte einer Zufallsvariablen mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen definiert. Für eine allgemeine Darstellung wird dann das Lebesgue-Stieltjes-Integral verwendet. Für eine reelle Zufallsvariable X mit der Verteilungsfunktion F_X wird definiert: 
:: E[X^+] := \int_\R \max(x,0)\mathrm{d}F_X(x) \in [0,\infty],\quad E[X^-] := \int_\R \max(-x,0)\mathrm{d}F_X(x) \in [0,\infty], 
::E[X] := E[X^+]-E[X^-], falls (Def. im engeren Sinn) beide Erwartungswerte E[X^+] und E[X^-] endlich sind, oder, falls (Def. im weiteren Sinn) mindestens einer der beiden Erwartungswerte endlich ist.  
* Wenn eine Regel, z. B. 'E[XY] = E[X]E[Y] gilt für zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen', nicht allgemein gilt, sind Gegenbeispiele nützlich.
* Damit die Regel E[E[X|Y]] = E[X] für Erwartungswerte im weiteren Sinn formuliert werden kann, wird der Erwartungswert einer erweiterten Zufallsvariablen (E[X|Y], falls E[X] = \infty) benötigt.   
Man könnte eine 'Definition im engeren Sinn' (Erwartungswert einer reellen Zufallsvariable als reelle Zahl) und eine 'Definition im weiteren Sinn' (Erwartungswert einer reellen Zufallsvariable als erweiterte reelle Zahl und Erwartungswert einer erweiterten Zufallsvariable als erweiterte reelle Zahl) unterscheiden. Für beide Definitionen gibt es reputable Quellen, siehe Benutzer:Sigma^2/Statistische Notation#Zur Definition des Erwartungswertes.
Viele der angesprochenen Probleme sind in den Abschnitten Diskussion:Erwartungswert#Definition und Diskussion:Erwartungswert#Integral angesprochen, aber nicht umgesetzt worden.--Sigma^2 (Diskussion) 14:31, 24. Sep. 2022 (CEST)
replies: text: Diesen Punkt habe ich heute korrigiert.--Sigma^2 (Diskussion) 21:55, 2. Okt. 2022 (CEST)
thread_title:  Erforderliche Überarbeitungen