Diskussion:Gödelscher Unvollständigkeitssatz

message: Im Artikel steht unter Grundbegriffe:
"Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig."
Das "entweder" ist hier doch falsch !?
Es ist zwar richtig, dass ein hinreichend mächtiges System nicht zugleich vollständig und widerspruchsfrei sein kann, 
ABER:
Ein hinreichend mächtiges System könnte doch zugleich widersprüchlich und unvollständig sein?
(einfach weil ein widerprüchliches System potentiell jede Eigenschaft haben kann).
Ist es nicht besser stattdessen im Artikel die beiden Unvollständigkeitssätze aufzuführen:
1. Unvollständigkeitssatz
Jedes hinreichend mächtige (und widerspruchsfreie) System ist unvollständig.
2. Unvollständigkeitssatz
Kann aus einem System dessen Widerspruchsfreiheit abgeleitet werden, so ist es widersprüchlich.
--GG1958 21:46, 24. Jan. 2010 (CET)
replies: text: Im Endeffekt ist ein widersprüchliches formales System eigentlich gar kein formales System, weil es nicht funktioniert, oder? --stfn 21:14, 18. Jun. 2010 (CEST)
replies: text: "Funktionieren" ist keine Voraussetzung für ein formales System. Kurz gesagt ist ein formales Sytsem erstens ein System und zweitens formal. Wenn man Widerspruchsfreiheit in die Definition des Begriffs aufnehmen wollte, hätte man das Problem, dass man von viel zu wenigen Systemen wüsste, ob es sich um ein formles System handelt.--Hagman 21:41, 18. Jun. 2010 (CEST)
thread_title:  Abschnitt Satz: "entweder" widersprüchlich oder unvollständig - das ist doch falsch !? 

message: Bei alledem bleibt es doch ein Faktum, dass im System P der Principia Math. keine Formel ihre eigene Gödelnummer enthalten kann.
Die Gn einer Formel mit z.B. 100 Symbolen ist das Produkt der ersten 100 Primzahlen, die noch dazu mit diversen Exponenten versehen sind. Diese Zahl ist weit größer als 10 hoch 100.  Im System P und mit Gödels Forderung in seiner Fußnote 6, dass keine Definitionen oder Abkürzungen verwendet werden dürfen, ist dies eine fff. . .0 - Sequenz mit derart vielen f - Symbolen. Eine solche Sequenz kann nicht einmal in unserem ganzen Universum mit seinen ca 10 hoch 80 Elementarteilchen existieren, geschweige denn innerhalb der Formel mit ihren 100 Symbolen enthalten sein.  --Egibiedermann 14:40, 7. Jun. 2010 (CEST)
replies: text: Die Beschränkungen unseres kümmerlichen Universums sind irrelevant. Außerdem muss nicht die Gödelnummer als Literal enthalten sein, sondern eine eindeutige Beschreibung. So wäre ffff0*ffff0 statt fffffffffffffffffffffffff0 zulässig.--Hagman 21:03, 18. Jun. 2010 (CEST)
replies: text: Dieser Vorschlag steht aber im Gegensatz zu Gödels Anspruch (siehe seine Fußnote 6 ) daß keine Definitionen benutz werden dürfen, daß eine Formel im System P ausschließlich aus den Grundsymbolen besteht, und dass eine Zahl nie etwas anderes ist als eine fff-0 sequenz!  Freilich benutzt Gödel für die Konstruktion seiner Formel G dann selbst die Definitionen Sb(x,x,x) für die Substitutionsfunktion, und Z(x) für die Gödelzahl der Zahl x.  Für diese Definitionen hat er aber keine Gödelzahlen, und somit hängt seine ganze Formel G in der Luft.  E.Biedermann Egibiedermann 12:33, 29. Jun. 2010 (CEST)
replies: text: Ich füge noch hinzu:  Gödels Beweis ist dem Lügnerparadoxon nachempfunden.  Dieses "dieser satz ist falsch" beruht aber mathematisch gesehen auf der Gleichsetzung  von  2 = 4 . Und Gödels Beweis beruht daher zwangsläufig ebenfalls auf der Gleichsetzung zweier verschiedener "Dinge" !  Dies geschieht in der so hoch gelobten "Diagonalisierung", in der Gleicchsetzung  " x = Gödelzahl von A(x)"  , also einmal  x = freie Variable in A(x) und gleichzeitig =  Gödelzahl von A(x)  .  Wenn ich in dem Ansatz "x = Gödelzahl von A/x)" die freie Variable an beiden Stellen gleichzeitig durch eine Ziffer, z.B. die 1 einsetze, wie ich das bei jedem korrekt gebildeten mathematischen Ansatz immer darf, dann erhalte ich die unsinnige Gleichung  " 1 = Gödelzahl von A(1) " . Dabei sind die beiden Gödelzahlen völlig undefiniert, die Funktion A() ist nicht definiert, ebenso wie die zu wählende Art der Gödelisierung. Es kann also nicht behauptet werden, "Gödelzahl von A(x)" sei ganz einfach eine Zahl.  -- Egibiedermann 11:16, 12. Jul. 2010 (CEST)
thread_title:  Die Unmöglichkeit von Gödels selbsreferenter Formel 

message: Ich habe an dem Artikel einige Änderungen vorgenommen, die ich hier begründe:
1. Ändern der Passage "und in Gebieten, die sich mit dem Phänomen von bewussten Entscheidungen im Unterschied zu berechenbaren auseinandersetzen, sowie anderen philosophischen Disziplinen, die auf deren Erkenntnisse aufbauen " zu "und in anderen Gebieten der Philosophie" .
Der hier verlinkte Begriff der Berechenbarkeit bezieht sich, auch laut dem verlinkten Artikel, auf Funktionen von Teilmengen von \mathbb{N}^k nach \mathbb{N}. Es ist somit sinnlos, von berechenbaren Entscheidungen zu sprechen.
Auch ansonsten erscheint mir die Formulierung unglücklich. Ich gehe davon aus, dass das Verhältnis von in irgendeinem Sinne freien und vorausbestimmten Entscheidungen gemeint ist, wobei natürlich beide Arten bewusst sein könnten, wage das aber nicht mit Bestimmtheit zu beurteilen. Zur Löschung ist m.E. oben genanntes Problem schon Grund genug. Da später Beispiele genannt werden, die wohl diese Passage stützen sollen, habe ich sie durch den obigen vage gehaltenen Text ersetzt, statt sie zu löschen. Das kann ja durch jemanden präzisiert werden, der weiß, wo genau die im Artikel folgenden Beispiele einzuordnen sind.
2. Überarbeitung des Abschnitts "Grundbegriffe"
In diesem Abschnitt wurde ein missverständliches Konzept von Wahrheit von formalen Aussagen vermittelt: "Aussagen sind dabei Folgen von Zeichen, [...] die mittels einer Semantik  eine Bedeutung erhalten und sich dadurch in wahre und falsche Aussagen unterteilen lassen"
Für eine Aussage wird nicht allgemein festgelegt, ob sie wahr oder falsch ist. Vielmehr definiert man, wann eine Aussage in einer gegebenen Struktur(Struktur im Sinne der Modelltheorie) wahr ist. Im allgemeinen gibt es Aussagen, die in manchen Strukturen wahr, in anderen falsch sind. Die neue Version trägt dem nun Rechnung.
Im unteren Teil der alten Version wird der Begriff "allgemeingültig" falsch verwendet(Aussagen, die aus einem Axiomensystem wie etwa PA folgen, sind nicht automatisch allgemeingültig. Allgemeingültig sind nur die, die schon aus der leeren Theorie folgen).
Die Darstellung ist in meinen Augen auch nicht ganz neutral. "Im Idealfall wünscht man sich, dass aus der Menge der Grundaussagen und den Ableitungsregeln alle wahren Aussagen abgeleitet, also bewiesen werden können." Damit wird ein realistischer(im Sinne der Einteilung der verschiedenen Positionen in der Philosophie der Mathematik) Standpunkt bezogen, indem von Wahrheit unabhängig von einem zugrundeliegenden Axiomensystem gesprochen wird.
(Es sei denn, es wird nur der Versuch thematisiert, die Theorie einer Struktur wie etwa der der natürlichen Zahlen durch ein Axiomensystem zu beschreiben oder möglichst gut zu beschreiben. In dem Fall wären die Ausführungen an der Stelle wohl neutral, aber dass dieser Blickwinkel eingenommen würde, geht aus dem Text jedenfalls nicht klar hervor; der Auszug "aus bestimmten Grundaussagen (Axiome), die generell als wahr angenommen werden" legt sogar eher die Realismus-Deutung nahe.) (nicht signierter Beitrag von 79.216.153.118 (Diskussion) 22:45, 23. Jul 2010 (CEST)
replies: text: Hab ein paar Leerzeichen spendiert, einen Satz der Verständlichkeit halber leicht umgestellt und aus einem "formalen Beweisbegriff" einen "formalisierten Beweisbegriff" gemacht (in erster Linie um "Formalisierung" verlinken zu können, denke der Sinn bleibt bei dieser Umformulierung bewahrt). "Vollständig" und "korrekt" wollte ich eigentlich auch verlinken, allerdings ist mir nicht ganz klar ob der Artikel Vollständigkeit (Logik) richtig und gut ist (ich finde ihn trotz Kenntnis des Themas verwirrend). Freue mich über Feedback zu letztem Punkt. Gruß --stfn 22:52, 23. Jul. 2010 (CEST)
thread_title:  Einige Änderungen 

message: Soll es hier irgendeine Ordnung geben? (Alphabet/Erscheinungsjahr?)
--Hans-Jürgen Streicher 23:03, 29. Aug. 2010 (CEST)
thread_title:  Literaturverzeichnis 

message: Den Gödelschen Unvollständigkeitssatz gibt es nicht. Es gibt zwei Sätze, die beide Gödelscher Unvollständigkeitssatz heißen:
*Der erste Gödelschen Unvollständigkeitssatz sagt, grob gesprochen, dass jedes rekursvie Axiomensystem der Prädikatenlogik der ersten Stufe, das die Peano-Arithmetik umfasst, unvollständig ist.
*Der zweite Gödelsche Unvollständigkeitssatz folgt aus dem ersten, aber ohne ein einfaches Korollar zu sein. Er besagt, dass ein Axiomensystem, das so ausdrucksstark ist wie das der Peano-Arthmetik der ersten Stufe, nicht in der Lage ist, seine eigene Widerspruchsfreiheit zu beweisen. 
Der Artikel behandelt im Wesentlichen den ersten Satz. Es ist aber der zweite, der der Hilbertsche Programm scheitern lässt. -- Digamma 14:56, 29. Dez. 2010 (CET)
thread_title:  Lemma 

message: Ich habe in einer ersten Runde den aus Axiomensystem eingefügten Abschnitt und seine Umgebung so bearbeitet, dass sich innerhalb dieses Bereichs keine allzu starken Überschneidungen ergeben. Ich habe im Augenblick noch nichts unternommen, um Doubletten insgesamt zu entfernen. Die Tatsache, dass man innerhalb des Systems ... nicht die Widerspruchsfreiheit beweisen kann, wird auch im vorderen Teil des Artikels noch mehrfach erwähnt. Ich weiß nicht, wie oft „gut“ ist? Andererseits scheint mir eine „Sammlung“ der Fehlschlüsse auch sinnvoll.
@Schreiber: Ich finde einen Abschnitt zur Geschichte etc. sehr sinnvoll. Vielleicht kann man einen Teil der „Vorgeschichte“ bei Axiomensysteme sinnvoll unterbringen? Ich habe ja dort schon angemerkt, dass die Vorstellungen von Hilbert &Co dargestellt werden müssten.--Mini-floh (Diskussion) 22:24, 2. Mär. 2012 (CET)
replies: text: Hm, ich bin mir auch noch nicht ganz sicher, wie wir das mit den Doubletten machen sollen. Ich werd mal Teile des "Bedeutungs"-Abschnitts in die Fehlschlüsse einbauen. Um die Geschichte und einen Abschnitt für "Axiomensystem" werd ich mich auch demnächst kümmern.--Schreiber ✉ 10:36, 3. Mär. 2012 (CET)
thread_title:  Über „Fehlschlüsse“ und andere Doubletten 

message: „Das Buch Gödel, Escher, Bach und die Werke von John Randolph Lucas, der versuchte, eine Theorie der Menschenrechte mit der Aussage zu zeigen, werden in dem Zusammenhang, zusammen mit ihren ebenso zahlreichen Kritikern, gern exemplarisch herausgehoben.“
* der versuchte, eine Theorie der Menschenrechte mit der Aussage zu zeigen: Stimmt inhaltlich nicht; ist bestenfalls zu eng gefasste Interpretation seiner Thesen. Vgl. Lucas' Aufsatz The Godelian Arguments; der Begriff human rights kommt darin nicht vor.
* In dem Zusammenhang ist eine überflüssige Floskel. „In welchem sonst?“ schreibt Wolf Schneider in Deutsch für junge Profis
* zusammen mit ihren ebenso zahlreichen Kritikern: Ebenso zahlreich wie wer? Wie Lucas und Hofstadter? Also nur zwei Kritiker? Außerdem hat jedes philosophische Werk Kritiker; die braucht man dem Leser nicht in jedem Einzelfall unter die Nase zu reiben. „Das Geheimnis zu langweilen besteht darin, alles zu sagen“ (Voltaire). 
--Mussklprozz (Diskussion) 10:36, 9. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Stimmt!--Schreiber ✉ 11:17, 9. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Der Bezug sowohl von Gödel, Escher, Bach wie auch Lucas zum vorliegenden Lemma ist bestenfalls skuril-esoterisch. Ich würde den Satz komplett entfernen. --Boobarkee (Diskussion) 11:37, 9. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Weder Hofstadter noch Lucas halte ich für esoterisch oder skurril. --Mussklprozz (Diskussion) 11:52, 9. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Das habe ich auch nicht behauptet. Ich spreche von dem nicht bzw. nur mangelhaften Bezug zum Artikel. Ein derart vage angedeuteter Bezug zwischen Unvollständigkeitssatz und Menschenrechten ist mMn durchaus esoterisch-skuril. --Boobarkee (Diskussion) 11:54, 9. Apr. 2012 (CEST)
replies: text: Danke für die Klarstellung. Den Satz mit den Menschenrechten habe ich schon rausgeschmissen. Gruß, --Mussklprozz (Diskussion) 12:13, 9. Apr. 2012 (CEST)
thread_title:  Geklapper in der Einleitung 

message: Kurzes Googlen fördert zutage, dass viele Uni-Websites scheinbar die doppelte Großschreibung, d.h. „Gödelscher Unvollständigkeitssatz" bevorzugen. Ähnlich wird auch im Falle des Freud'schen Versprechers verfahren. Im Kontrast dazu empfiehlt der Duden die Kleinschreibung (siehe Regel 135), versehen mit der Einschränkung „im Allgemeinen". Wie soll weiter verfahren werden? Ich selbst bin mir nicht sicher. Vielleicht kann jemand weitere Beispiele oder gar eine Wikipediakonvention vorbringen. --Rubinsky (Diskussion) 22:09, 11. Mai 2012 (CEST)
replies: text: Wikipediakonvention ist: Man soll es so lassen, wie es ist, siehe WP:RS#Von Personennamen abgeleitete Adjektive ("Wenn die Argumentation über diese unklare Regelung möglich ist, sollte in bestehenden Artikeln die vorhandene Schreibweise nicht geändert werden."). --84.130.159.233 22:23, 11. Mai 2012 (CEST)
replies: text: Diskussionen über die Auslegung des § 62 der amtlichen Rechtsschreibung (Kleingeschrieben werden adjektivische Ableitungen von Eigennamen auf -(i)sch, außer wenn die Grundform eines Personennamens durch einen Apostroph verdeutlicht wird, ferner alle adjektivischen Ableitungen mit anderen Suffixen) sind in der WP schon genügend geführt worden. Ein Ergebnis war z. B., dass das Ohmsches Gesetz kein Eigenname ist und daher kleingeschrieben wird. Die analoge Anwendung auf den Gödelschen Unvollständigkeitssatz bedeutet eben: gödelscher Unvollständigkeitssatz. Aber irgendwie sieht es so, dass trotzdem keine Vereinheitlichung zu erzielen ist. Die Heisenbergsche Unschärferelation wird aktuell wieder mal groß geschrieben, bis Anfang Februar war sie kleingeschrieben. Einsteinsche Feldgleichungen befinden sich im Stadium der Kleinschreibung. Wer lustig ist, kann ja noch weitere Beispiele für die uneinheitliche Schreibung in der WP suchen und finden. Viel Spaß.--Horst Gräbner (Diskussion) 10:01, 12. Mai 2012 (CEST)
replies: text: Das Ergebnis steht in der von mir vielfach und auch von Dir selbst zitierten Regel WP:RS#Von Personennamen abgeleitete Adjektive und lautet "Wenn die Argumentation über diese unklare Regelung möglich ist, sollte in bestehenden Artikeln die vorhandene Schreibweise nicht geändert werden". Dies ist hier der Fall, also wird die bestehende Schreibweise, das ist in diesem Fall die Großschreibung (Version vor den Änderungen), beibehalten. --84.130.160.180 10:05, 12. Mai 2012 (CEST)
replies: text: In diesem Artikel wurde die Großschreibung Gödelscher Unvollständigkeitssatz vom ursprünglichen Autor verwendet. Am 16. August 2004 wurde die Kleinschreibung mit Verweis auf den Duden eingefügt und bis 28. Mai 2009 beibehalten; am 29. Mai 2009 wurde die Großschreibung ohne Begründung wieder eingefügt. Am 10. Mai diesen Jahres wurde diese wieder auf Kleinschreibung zurückgesetzt. Dass eine falsche Schreibung drei Jahre Bestand hatte, macht sie nicht zur „bestehenden“ und auch nicht zur richtigen. Siehe auch Beweise der gödelschen Unvollständigkeitssätze.--Horst Gräbner (Diskussion) 10:43, 12. Mai 2012 (CEST)
replies: text: Was soll "bestehende Schreibung" denn sonst bedeuten, wenn nicht die ursprüngliche?--Schreiber ✉ 11:29, 12. Mai 2012 (CEST)

text: (Beweise der gödelschen Unvollständigkeitssätze wurde auch erst jetzt auf Keinschreibung geändert, die "bestehende" wäre Großschreibung.--Schreiber ✉ 11:30, 12. Mai 2012 (CEST)

text: Nachvollziehen könnte ich auch noch die Handhabung, dass man die zitierte Regel in WP:RS#Von Personennamen abgeleitete Adjektive ab dem Zeitpunkt, an dem sie im Konsens eingetragen wurde, anwendet, also etwa ab Mitte Januar 2011 (bedeutet hier also ebenfalls Beibehaltung der Großschreibung). Da wäre dann freilich noch einiges von Ghdma, Mrig11 und Konsorten in Kleinschreibung Geändertes nachzuarbeiten. Mir ging es mehr darum, diese irgendwann einfach auf den Senkel gehenden Rechtschreibmissionen zu stoppen, dafür genügt die pragmatische Handhabung, beim Überhandnehmen dieser stets ohne inhaltliche Weiterentwicklung der Artikel (geschweige denn als Hauptautor) ausgeübten Tätigkeit einzugreifen, die entsprechenden Benutzer über die Regel zu belehren und in Bezug darauf zu konstruktiver Mitarbeit anzuhalten. Es sollte einleuchten, dass es dabei legitim ist, die regelwidrige Bearbeitung mit Hinweis auf die Regel rückgängig zu machen, aber nicht legitim, diese Rückgängigmachung ebenfalls mit Hinweis auf die Regel zu revertieren. --84.130.173.97 00:19, 13. Mai 2012 (CEST)
thread_title:  Schreibweise des Artikelnamens 

message: Am Ende des Abschnitts „Beispiele für Unbeweisbarkeit konkreter Sätze“ findet sich die Formulierung „... dass in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, Einschränkungen oder Erweiterungen Aussagen weder beweis- noch widerlegbar sind.“ Das ist kein Satz. Was soll das bedeuten? --Mosmas (Diskussion) 12:49, 26. Sep. 2015 (CEST)
replies: text: Das soll vermutlich so etwas heißen wie „…dass in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre oder in Einschränkungen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre oder in Erweiterungen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre Aussagen weder beweis- noch widerlegbar sind.“ Die Formulierung kommt jedenfalls aus einer Änderung vom 17. Oktober 2012, und vorher hieß es „…dass in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) oder Erweiterungen Aussagen unentscheidbar sind.“ – Tobias Bergemann (Diskussion) 19:33, 26. Sep. 2015 (CEST)
thread_title:  Kein Satz - was ist gemeint? 

message: Es gibt zwei Arten von Beweisen, in denen explizit eine Annahme getroffen wird:
#Bei Widerspruchsbeweisen trifft man eine Annahme, zeigt, dass diese Annahme zum Widerspruch führt. Damit beweist man, dass die Negation der Annahme richtig ist.
#Bei Fallunterscheidungen trifft man eine Annahme A und zeigt damit Aussage B. Anschließend trifft man als Annahme "Negation von A" und zeigt, dass dies ebenfalls zu Aussage B führt. Damit hat man gezeigt, dass unabhängig von der Annahme die Aussage B richtig ist.
Aus Gründen der Lesbarkeit sollte sobald explizite Annahmen getroffen werden, deutlich gemacht werden, ob es sich um einen Widerspruchsbeweis oder um eine Fallunterscheidung handelt. Ich mache daher die folgende Änderung rückgängig:  --Eulenspiegel1 (Diskussion) 21:04, 6. Jun. 2021 (CEST)
replies: text: Deine Erklärung leuchtet ein. Ich meine aber trotzdem (oder eigentlich: nun, nach meinem verunglückten ersten Versuch, der das nicht tat), dass man dazu sagen soll (muss?): "... Wir machen dazu einen Widerspruchsbeweis." Die Aussage "um einen Widerspruch zu erzeugen" ist meiner geringen Meinung nach NICHT die "Einleitung" eines Widerspruchsbeweises; das ist in mathematischen Texten ausreichend, wo Dein "Beweisartmuster" schon im Rückenmark der Leser einmassiert ist (und sein muss), aber nicht hier, in der WP ... ... ... meine ich. --Haraldmmueller (Diskussion) 21:12, 6. Jun. 2021 (CEST)
replies: text: Ja, das ist für Nicht-Mathematiker wahrscheinlich verständlicher, wenn man es explizit so hinschreibt. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 13:07, 7. Jun. 2021 (CEST)
thread_title:  Widerspruchsbeweis und Fallunterscheidung