Diskussion:Geordneter Körper

message: Ich halte die Nennung der hyperreellen Zahlen und der surrealen Zahlen in diesem Zusammenhang nicht für glücklich:
* Das archimedische Axion hat bei den hyperreellen Zahlen eine "natürliche" Nonstandardfassung, in der die hyperreellen Zahlen via Transfer *archimedisch sind.
* Ähnliche Modifikationen dürften für die surrealen Zahlen nötig sein.
Vorschlag: Die Beispiele ausführen oder löschen. --KleinKlio 00:10, 12. Okt. 2006 (CEST)
thread_title:  Beispiele 

message: Hallo Wuzel, bin mir mit meiner Aussage (archimedisch nötig) und meinem Gegenbeispiel R(x) im Kommentar nicht 100%ig sicher. Aber prüfe deinen Edit nochmal, obe man archimedisch wirklich nicht zur vollständigen Charakterisierung von R braucht, vielleicht unterscheiden sich auch unsere Definitionen von Ordnungsvollständig(?) Danke, und nix für ungut. --KleinKlio 18:06, 12. Okt. 2006 (CEST)
replies: text: Ich glaube, das wurde schonmal diskutiert, und in Reelle Zahl sollte es richtig stehen. Ordnungsvollständigkeit im Sinne der Existenz von Suprema nach oben beschränkter Mengen sollte archimedisch implizieren: Es genügt offenbar, dass jedes Element irgendwo zwischen zwei ganzen Zahlen liegt. Ansonsten setze t=\sup\mathbb Z; dann ist t-1<t keine obere Schranke für \mathbb Z, also t-1<k für eine ganze Zahl k, also t<k+1, Widerspruch. Oder habe ich jetzt auf die Schnelle was übersehen?--Gunther 18:20, 12. Okt. 2006 (CEST)

text: Kleines P.S.: Wie schon auf Diskussion:Reelle Zahl gesagt, ist es etwas heikel, den Cauchy-Vollständigkeitsbegriff zur Charakterisierung der reellen Zahlen zu verwenden, weil der Begriff der Metrik ja schon die reellen Zahlen voraussetzt.--Gunther 20:23, 12. Okt. 2006 (CEST)
thread_title:  archimedisch 

message: Ist nicht "angeordneter Körper" die gängigere Bezeichnung? -- Digamma 20:20, 7. Okt. 2010 (CEST)
thread_title:  Lemma 

message: Im Artikel, insbesondere im Abschnitt "Eigenschaften", wird häufig das "echt kleiner"-Zeichen verwendet, ohne dass dies zuvor definiert worden wäre. Ich nehme an a< b\Leftrightarrow a\le b, a\not=b?--Kamsa Hapnida (Diskussion) 02:49, 14. Aug. 2015 (CEST)
thread_title:  Echt kleiner 

message: Laut Artikel heißt es: "Die komplexen Zahlen können nicht angeordnet werden, da die Eigenschaft 0 \leq a^2 durch die imaginäre Einheit \mathrm{i} wegen \mathrm{i}^2=-1 verletzt wird."
Ich denke aber, dass die Anordnung der komplexen Zahlen nicht an der zweiten Eigenschaft scheitert, sondern an der ersten:
z.B. gilt für die imaginäre Einheit \mathrm{i} weder, dass \mathrm{i} < 0  oder \mathrm{i} = 0  oder \mathrm{i} > 0 .
Und genau deswegen kann man das Arugment oben dann gar nicht anwenden, denn \mathrm{i} verletzt gar nicht 0 \leq a^2, die zweite Eigenschaft gilt nur für Elemente a > 0 . Mit a:= \mathrm{i}  wäre diese Voraussetzung nicht mal erfüll.t
An dieser Stelle: kennt jemand eigentlich einen Körper, der die erste Bedingung (also mit alle Elemente sind >, < oder = 0) erfüllt, aber nicht die zweite? 
: Ich sehe es so: Dass die komplexen Zahlen \C  nicht angeordnet werden können, ist die „Wirkung“. Deren „Ursache“ ist, dass es ein x\in\C  mit x^2 = -1  gibt. (Denn wäre \C  angeordnet, dann müsste 0 < 1  und -1 < 0  sein. Ferner x\cdot x > 0  für ein x > 0 , aber halt auch x\cdot x > 0  für ein x < 0 . Woraus x^2 \ge 0  folgen müsste für alle x \in \C .) Eine weitere Folge ist, dass für \mathrm{i} weder \mathrm{i} < 0  noch \mathrm{i} = 0  noch \mathrm{i} > 0  mit den anderen Erwartungen arithmetischer und ordnungstheoretischer Art zu schaffen ist. Zugegeben, das ist extrem ähnlich mit dem Endergebnis „\C  kann nicht angeordnet werden“. Und nimmt man es als Ursache, dann wäre die Wirkung trivial. Aber es fehlt halt total eine Herleitung dieser Ursache „weder \mathrm{i} < 0  noch \mathrm{i} = 0  noch \mathrm{i} > 0 .“ –Nomen4Omen (Diskussion) 20:55, 27. Nov. 2020 (CET)
replies: text: Die Aussage heißt "kann nicht angeordnet werden". Man könnte zum Beispiel festsetzen, dass a + b \mathrm i < c + d \mathrm i, wenn  b < d oder b=d und a < c gilt. Damit wäre eine totale Ordnung definiert (nsbesondere wäre 0 < \mathrm i), die die erste Eigenschaft erfüllt. Aber die zweite Eigenschaft wäre nicht erfüllt. --Digamma (Diskussion) 20:58, 27. Nov. 2020 (CET)
thread_title:  Beispiel Komplexe Zahlen nicht korrekt? 

message: In diesem Abschnitt ist isomorph weder definiert, noch erklärt, noch verlinkt. Außerdem muss wohl gesagt werden, auf welche Struktureigenschaften sich die Isomorphie bezieht.--Sigma^2 (Diskussion) 23:50, 20. Nov. 2023 (CET)
thread_title:  Strukturaussagen 

message: In der Einleitung wird zweimal "strukturverträglich angeordnet" verwendet, aber weder verlinkt, noch im Artikel verwendet oder erklärt.--Sigma^2 (Diskussion) 17:58, 7. Dez. 2023 (CET)
replies: text: Es meint natürlich genau das, was in der Definition steht. --Digamma (Diskussion) 18:40, 7. Dez. 2023 (CET)
thread_title:  Einleitung