Diskussion:Prädikatenlogik erster Stufe

message: Das ist jetzt wohl nicht euer Ernst. Hier fehlen Beispiele Motivationen etc. . Ansonsten bleibt der Artikel unbrauchbar. (nicht signierter Beitrag von 85.181.51.195 (Diskussion) 13:08, 3. Feb. 2013 (CET)
replies: text: Der Artikel beginnt doch mit einem motivierenden Beispiel, um die Sprache der Prädikatenlogik erster Stufe zu motivieren. Zu weiteren Begriffsbildungen sind ebenfalls Beispiele vorhanden. An welcher Stelle könnte ein weiteres Beispiel hilfreich sein?--FerdiBf (Diskussion) 15:23, 3. Feb. 2013 (CET)
thread_title:  Beispiele 

message: Im Kapitel "Satz von Lindström" erscheint mir der letzte Satz unvollständig: Will man beide Sätze beibehalten, so die Prädikatenlogik erster Stufe also „das beste“, was man erreichen kann. --Panter Rei Πφερδ 17:35, 4. Apr. 2011 (CEST)
replies: text: Das fehlende Verb ist eingefügt.--FerdiBf 13:51, 24. Jun. 2011 (CEST)
thread_title:  Unvollständig 

message: Im Abschnitt freie Variablen zum Schluss: \forall v_0v_1 +\!v_0v_1\equiv +v_1v_0 Das ist eigentlich kein Satz, der Allquantor geht nur auf v0! Oder seh ich da was komplett falsch?
--188.22.101.214 11:48, 21. Jun. 2011 (CEST)
replies: text: Das siehst Du ganz richtig. Da hatte ich offenbar von einer üblichen Abkürzung und daher metasprachlichen Mitteilung einer Formel Gebrauch gemacht. Danke für den Hinweis, ich habe das fehlende \forall eingefügt.--FerdiBf 13:49, 24. Jun. 2011 (CEST)
thread_title:  Fehlendes "für alle" 

message: Ich kann aus dem Abschnitt "Mathematisches Schließen" die klassische Schlussregel A, A -> B |- B nicht herauslesen. Würde mich freuen, wenn mir das jemand herleiten könnte und vielleicht auch den Artikel ergänzt, da das ja eine sehr oft benutzte Schlussregel ist. --141.89.46.19 15:18, 5. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Den Beweis, dass diese von dir genannte Schlussregel – sie nennt sich Schnittregel und entspricht dem Modus ponens – im Sequenzenkalkül gültig bzw. überflüssig ist, liefert der Gentzensche Hauptsatz. Das ist ein bedeutender früher Satz der Beweistheorie, für den Beweis verweise ich dich auf den Artikel bzw. die dort angegebene Literatur. Für den Fall, dass du den Vollständigkeitssatz für die Prädikatenlogik schon kennst, kannst du den Satz natürlich auch modelltheoretisch leicht einsehen (die Implikation gilt in allen Modellen, also ist sie beweisbar). --Chricho ¹ ² ³ 16:08, 5. Mär. 2013 (CET)
replies: text: OK, danke für die schnelle Antwort. Dazu noch eine Frage: Ich kenne den formalen Aufbau der Prädikatenlogik 1. Stufe nur im Zusammenhang mit entsprechenden Axiomen und dem Modus Ponens als einzige Schlussregel. Ich nehme an, dass sich diese Axiome beim Sequenzenkalkül ebenfalls in dessen Schlussregeln verbergen? --141.89.46.19 18:05, 5. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Vermutlich kennst du einen Hilbertkalkül. Ja, im Sequenzenkalkül lassen sich solche Axiome aus den Axiomen des Sequenzenkalküls (welche sich nur aus einem einzigen Schema ergeben) mit den Schlussregeln herleiten. --Chricho ¹ ² ³ 18:16, 5. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Wo genau steht dieses Schema im Artikel? --141.89.46.19 18:44, 5. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Das, was hier „Voraussetzungsregel“ genannt wird, kann man auch als Axiomenschema auffassen: Alle Sequenzen der Form \phi\phi sind Axiome. Kann man natürlich auch als Schlussregel (allerdings eine ohne Voraussetzungen, was nichts anderes als ein Axiomenschema der Logik ist) auffassen. Was unter Gleichheit steht, wäre in dem Sinne auch ein Axiomenschema, mir ist allerdings eine Formulierung geläufig, in der man auf dieses verzichtet, weiß nicht, ob das hier so einfach geht. --Chricho ¹ ² ³ 18:58, 5. Mär. 2013 (CET)
thread_title:  Wo versteckt sich die klassische Schlussregel? 

message: Wie ist die zweite der Regeln zu verstehen? In den anderen Regeln steht rechts eine Aussage, die definiert, wann die linke Seite zutrifft oder nicht (falls ich das richtig verstanden habe). In der zweiten Regel steht eine "echte" Relation die zB 3+5 = 8 ergeben kann, wie definiert das, ob I ein Modell für Rt1...tn ist? --141.89.46.19 18:05, 5. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Ich verstehe gerade dein Problem nicht, aber ich versuche mal die Situation zu erläutern: R ist ein Relationssymbol, das ist nur ein Symbol, von dem man die Stelligkeit kennt. R^{\mathcal{A}} ist dagegen eine Relation, d. h. eine Menge von n-Tupeln. R^{\mathcal A}({\mathcal I}(t_1),\ldots, {\mathcal I}(t_n)) ist nur eine andere Schreibweise dafür, dass ({\mathcal I}(t_1),\ldots, {\mathcal I}(t_n)) Element der Menge R^{\mathcal{A}} ist. --Chricho ¹ ² ³ 18:22, 5. Mär. 2013 (CET)
replies: text:  Mein Problem ist hier, dass dort keine logische Aussage steht, die die linke Seite definiert. Wann darf ich denn behaupten  {\mathcal I} \vDash Rt_1\ldots t_n  ? Vielleicht hab ich gerade nur einen Knoten im Kopf und sehe das Offensichtliche nicht?(nicht signierter Beitrag von 141.89.46.19 (Diskussion) 19:38, 5. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Doch, das ist eine Aussage auf der rechten Seite, das ist die metasprachliche, mengentheoretische Aussage, dass ({\mathcal I}(t_1),\ldots, {\mathcal I}(t_n)) Element der Menge R^{\mathcal{A}} ist. --Chricho ¹ ² ³ 19:00, 5. Mär. 2013 (CET)
replies: text: Sorry, du hast natürlich recht! Das war für mich wohl etwas zu viel Symbolik auf einmal ;)  Danke für die Klarstellung. --141.89.46.19 19:49, 5. Mär. 2013 (CET)
thread_title:  Modell 

message: Im Abschnitt "1. Stufe" wird gesagt:
'L_I^S sieht nicht vor, über alle Teilmengen einer Menge oder über alle Funktionen zu quantifizieren. So lassen sich die üblichen Peano-Axiome nicht in L_I^S ausdrücken, da das Induktionsaxiom eine Aussage über alle Teilmengen der natürlichen Zahlen macht. Das kann als Schwäche dieser Sprache angesehen werden, allerdings sind die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sämtlich in der ersten Stufe mit dem einzigen Symbol \in formulierbar, so dass die erste Stufe prinzipiell für die Mathematik ausreicht.'
Dies liest sich so, als ob die Peano-Axiome eben nicht als Prädikatenlogik erster Stufe realisierbar sind, die ZF-Mengenlehre aber schon. Das finde ich irreführend. Denn: Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre lässt sich nur als Prädikatenlogik erster Stufe schreiben, wenn man nicht nur endlich viele Axiome zulässt, sondern auch erlaubt, dass man Axiomenschemata verwendet. Wenn man das aber zulässt, ist es auch kein Problem, die Peano-Arithmetrik als Logik erster Stufe zu schreiben: Das Induktionsaxiom wird dann halt auch ein Axiomenschema mit einem Axiom pro Formel, die man per Induktion beweisen will.
Kurz gesagt: Sowohl die Mengenlehre, als auch die Peano-Axiome haben das gleiche Problem: Mit endlich vielen Axiomen ist es nicht zu machen, aber mit Axiomenschemata ist es kein Problem. Vielleicht kann man eine andere Formulierung finden. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 16:21, 28. Aug. 2013 (CEST)
replies: text: Peano-Axiome ≠ Peano-Arithmetik. Die Peano-Axiome im üblichen Sinne sind ein Axiomensystem in Prädikatenlogik zweiter Stufe. Die Peano-Arithmetik dagegen ist eine schwächere, erststufige Theorie. Das „so dass die erste Stufe prinzipiell für die Mathematik ausreicht“ halte ich aber für eine seltsame Formulierung. --Chricho ¹ ² ³ 17:27, 28. Aug. 2013 (CEST)
replies: text: Diese als seltsam empfundene Formulierung findet sich sehr ähnlich in "H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, VII, Seite 107 unten". Ich habe einen entsprechenden Beleg angefügt.--FerdiBf (Diskussion) 22:45, 28. Aug. 2013 (CEST)
replies: text: Der Grund dafür, dass sie mir seltsam erscheint, ist der, dass die Eignung der Prädikatenlogik zweiter Stufe für die Grundlagen der Mathematik fraglich ist. Von dieser Sichtweise ausgehend ist es „seltsam“ zu sagen, die Mathematik sei so einfach, dass die Prädikatenlogik erster Stufe ausreicht, wenn es eben gar nicht klar ist, was auf Prädikatenlogik zweiter Stufe basierende Grundlagen sein sollen. In dem Abschnitt bei Ebbinghaus-Flum-Thomas findet soweit ich das sehe im Gegensatz zu hier keine Gegenüberstellung mit Prädikatenlogik zweiter Stufe statt. Dass sich Mathematik alles in allem in ZF(+C+AU) betreiben lässt, möchte ich ja nicht in Abrede stellen (auch wenn ja einige Typentheorie oder Klassenlogik propagieren). --Chricho ¹ ² ³ 00:26, 29. Aug. 2013 (CEST)
replies: text: Oops, das mit der Peano-Arithmetik und den Peano-Axiomen hatte ich mir irgendwie anders gemerkt. Vielen Dank für die Aufklärung! Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 14:58, 29. Aug. 2013 (CEST)
thread_title:  Peano-Arithmetik vs ZF ? 

message: sind falsch, da weder die Mächtigkeit der Sprache noch endliche Strukturen beachtet werden, die sehr wohl bis auf Iso charakterisiert werden können.89.0.182.130 00:18, 15. Sep. 2013 (CEST)
replies: text: Das war tatsächlich ungenau formuliert. Ich habe das präzisiert und ich hoffe, dass es jetzt passt. Vielen Dank für Deine Kritik!--FerdiBf (Diskussion) 11:23, 15. Sep. 2013 (CEST)
replies: text: Danke auch, wäre mir eine gute Verbesserung eingefallen, hätte ich es selber gemacht.--89.0.181.184 23:17, 15. Sep. 2013 (CEST)
thread_title:  Die Abschnitte "Isomorphien und Löwenheim-Skolem" 

message: Hab den link von Kompaktheit (Logik) auf Kompaktheitssatz geändert. Wegen der Doppeltverlinkung bin ich nicht wirklich glücklich. Aber der ursprünlich verlinkte Artikel ist eher über syntaktische Ableitung als über semantische. Hier wird es für die Semantik gebraucht. Gerade die Ebenen Syntaktik und Semantik auseinander zu halten ist mE nach für Anfänger sehr schwierig, daher die Ändererung.--Frogfol (Diskussion) 22:54, 21. Sep. 2013 (CEST)
thread_title:  Kompaktheitssatz 

message: Heißt es "Prädikatenlogik erster Stufe" oder "Prädikatenlogik erster Ordnung"? - im Artikel kommt beides vor. Oder besteht gar ein Unterschied zwischen beiden Begriffen? --Heinrich Puschmann (Diskussion) 18:32, 17. Jan. 2014 (CET)
replies: text: „Stufe“ ist im deutschen üblicher. „Ordnung“ ist exotisch, vmtl. ans Englische angelehnt, meint aber dasselbe. --Chricho ¹ ² ³ 20:54, 17. Jan. 2014 (CET)
replies: text: Ich habe die Vorkommen von Ordnung durch Stufe ersetzt. Chricho hat völlig recht, im Englischen spricht man von first order logic. --FerdiBf (Diskussion) 09:18, 18. Jan. 2014 (CET)
thread_title:  Stufe oder Ordnung?  

message: Schon rein syntaktisch erwarte ich, daß die enzyklopaedische Beschreibung eines Begriffs, der mit "Praedikatenlogik erster Stufe" bezeichnet wird, mit der Phrase 'Eine Praedikatenlogik erster Stufe, ist eine <a href="...">Praedikatenlogik</a>, deren Stufigkeit eins betraegt.' anfaengt -- ok, die letzten vier Worte sind nicht ganz woertlich zu lesen, aber ich denke, Ihr ahnt, was ich erwarte.
Tatsaechlich ueberlappen sich die beiden de.wikipedia.org-Artikel zu Praedikatenlogik und Praedikatenlogik erster Stufe.
Dem Leser ist mit dieser Doppelgleisigkeit wenig gedient.
Ich erwarte als Ueberarbeitungs-Strategie, im hiesigen Artikel alle Bestandteile nach "Praedikatenlogik" zu transfieren, die auf alle Praedikaten-Logiken zutreffen und nur die Bestandteile hier zu lassen, die gegenueber einer allgemeinen Praedikatenlogik die Eigenschaften der ersten Stufe spezialisieren.
---  2016-05-10, Markus
: So einfach ist die Sache nicht gelagert. Üblicherweise führt man zuerst die Prädikatenlogik erster Stufe ein. Zu einem späteren Zeitpunkt erläutert man, wie man durch zusätzliche Quantifizierungen zu Prädikatenlogiken höherer Stufe kommt und wie sich dadurch die Theorie von der Prädikatenlogik erster Stufe unterscheidet. Die Prädikatenlogik erster Stufe ist aus diesem und anderen Gründen fundamental, ein wichtiger weiterer Grund besteht darin, dass man, wie in der Einleitung erwähnt, ZFC in der Prädikatenlogik erster Stufe beschreiben kann und daher Eigenschaften der Prädikatenlogik erster Stufe grundlegend für die gesamte Mathematik sind. Der vorliegende Artikel soll eine in sich geschlossene Einführung in das Themengebiet "Prädikatenlogik erster Stufe" leisten, er ist verständlich, ohne andere Prädikatenlogiken kennen zu müssen. 
: Deine Erwartung kann daher nicht erfüllt werden. Ein enzyklopädischer Artikel muss nicht immer vom Allgemeinen zum Speziellen gehen, insbesondere dann nicht, wenn das Allgemeinere schwerer verständlich ist. Das trifft man häufig an: Man kann über ganze Zahlen sprechen, ohne zu wissen was ein Ganzheitsring oder eine freie abelsche Gruppe ist, man kann über die newtonsche Mechanik sprechen, ohne sie als Grenzfall der Relativitätstheorie für kleine Geschwindigkeiten zu beschreiben, man kann über Säuren und Basen reden, ohne den Begriff der Lewissäure zu kennen, man kann Grammatiken gewisser Sprachen erläutern, ohne abstrakte grammatische Kategorien zu kennen. Für die meisten Menschen sieht ihre (Schul)bildung genau so aus, und den allermeisten Menschen ist bei einer Begriffsklärung mit einer Definition als Spezialisierung eines abstrakteren (und sehr wahrscheinlich noch weniger bekannten) Begriffs nicht geholfen.--FerdiBf (Diskussion) 22:15, 17. Jul. 2016 (CEST)
thread_title:  Redundanz zu https://de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4dikatenlogik bereinigen! 

message: Es fehlt ein Hinweis darauf, welche Mengenlehre den im Artikel verwendeten Begriffen "Menge", "Funktion", "Relation" zugrunde liegt. ZFC kann es nicht sein, denn diese hat die Prädikatenlogik erster Stufe als Grundlage. Folgt man dem Link im ZFC-Artikel hierher, kann der Eindruck eines Zirkelschlusses entstehen.--2003:6:5356:7E29:552E:20B1:58E2:231E 13:35, 22. Okt. 2020 (CEST)
thread_title:  Zugrunde liegende Mengenlehre