Diskussion:Cantor-Menge

message: Ein Professor von mir meinte einmal:
2^{Cantor-Dust} ist isomporph zur Prädikatenlogik.
Was halten Sie davon? (Der vorstehende, unsignierte Beitrag wurde um 13:44, 11. Mai 2004 (CEST)
replies: text: Da die Cantor-Menge überabzählbar ist, würde das für alle überabzählbaren Mengen gelten. Außerdem glaube ich nicht, dass 2^Cantor-Menge isomoproh zur Prädikatenlogik ist, zumindest die erste Stufe ist doch nur abzählbar, oder? --84.160.254.46 01:30, 28. Feb. 2008 (CET)
thread_title: Mächtigkeit

message: Ein paar Sachfragen:
* (1) Sind die zu entfernenden Streckenstücke offen oder geschlossen oder ist das egal? Ich vermute letzteres.
* (2) "Derartige Konstrukte sind in Mengen mit überabzählbar vielen Elementen konstruierbar." - soll das heißen, dass sie es immer sind? Falls nicht wäre diese Aussage ja trivial, da die Cantor-Menge selbst ja schon überabzählbar ist.
* (3) "Cantor-Mengen sind Beispiele für Fraktale." - heißt das, dass sie es immer sind? Wie steht's mit der Selbstähnlichkeit? Was wäre, wenn ich z. B. die Vorschrift für die Position bzw. Länge der zu entfernenden Streckenstücke irgendwie aus der Dezimaldarstellung von π ableite? Oder gibt es den Satz, dass ihre Haussdorff-Dimension stets keine ganze Zahl ist?
Das sollte man alles eindeutiger formulieren. --Wolfgangbeyer 15:05, 12. Jul 2004 (CEST)
replies: text: Meine Informationen stammen aus "Chaos and Fractals: New Frontiers of Science" von Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe. (1) Ich erinnere mich nicht mehr, aber es war nicht egal, ob das entfernte Stück offen oder abgeschlossen war. (2) Die Aussage soll ein notwendiges Kriterium darstellen (Um eine Kantormenge zu konstruieren, beginne mit einer überabzählbaren Menge, mit gewissen (welchen?) Eigenschaften). (3) Ich vermute stark, dass alle 'regulären' Entfernungsvorschriften zu einer nicht-ganzzahligen Haussdorf-Dimension führen. Ich kenne keinen Beweis. -- Schewek 23:23, 12. Jul 2004 (CEST)
replies: text: (1) offene Teile, vgl. die Beschreibung ueber die Ternaerentwicklung--Gunther 12:33, 24. Feb 2005 (CET)
thread_title: Sachfragen

message: Findet die Cantor-Menge eine nützliche Anwendung? --Abdull 13:39, 7. Jan 2006 (CET)
replies: text: Wenn Du so fragst: nein. Sie ist didaktisch sinnvoll als ein Beispiel, an dem man verschiedene anschaulich einleuchtende Aussagen falsifizieren kann; sie ist gewissermaßen das einfachste Beispiel für ein Prinzip, das auch zum Sierpinski-Dreieck oder zur Koch-Kurve führt, und diese wiederum waren wohl die motivierenden Beispiele für die Definition einer nicht-ganzzahligen Dimension. Die Frage, ob dieser ganze Fraktal-Rummel mehr gebracht hat als hübsche Bildchen, muss jemand beantworten...--Gunther 14:33, 7. Jan 2006 (CET)

text: Ja, Benoit Mandelbrot hat festgestellt, dass das Rauschen bei einem Telefon der Cantor-Menge ähnlich war. Das hab ich bei einem der Klassiker über Fraktale gelesen, Peitgen und Konsorten. Und das Sierpinski-Dreieck wird z.B. als Antenne in manchen Handys benutzt, da die fraktalen Eigenschaften wie theoretisch unendlicher Rand als Antenne ganz sind. --84.160.254.46 01:30, 28. Feb. 2008 (CET)

text: Eine weitere Anwendung als Beispiel ist, dass die Cantormenge aus unendlich vielen Elementen das Lebesguemaß Null hat.(Der vorstehende, unsignierte Beitrag wurde um 13:28, 31. Mär. 2008 (CEST)
thread_title:  Anwendung 

message: Den Satz Die Cantor-Menge diente oft als Gegenbeispiel für mengentheoretische Vermutungen. habe ich gelöscht bzw auskommentiert.  Die Cantormenge ist ein schönes Beispiel für eine überabzählbare Nullmenge, aber das würde ich noch nicht "Gegenbeispiel" nennen; oder hat jemals jemand vermutet, dass alle Nullmengen abzählbar sind?    Und was gibt oder gab es sonst für Vermutungen, die durch die Cantormenge widerlegt wurden? --Wuzel 14:44, 14. Nov. 2006 (CET)
replies: text: Man kann aus ihr leicht eine Funktion basteln, die fast überall differenzierbar mit Ableitung null ist, die also den Hauptsatz der D&I-Rechnung nicht erfüllen kann.--Gunther 14:53, 14. Nov. 2006 (CET)
thread_title:  Gegenbeispiel 

message: Die Definition einer Cantormenge, die ich damals im Studium gelernt habe war „total unzusammenhängende perfekte Menge“, was allgemeiner ist als die hier gegebene Definition. Literatur kann ich dazu momentan allerdings keine angeben. (Mit dieser Definition sind Cantormengen nicht notwendigerweise fraktal.)
--ChristopherCreutzig 08:55, 14. Jun. 2007 (CEST)
thread_title:  Allgemeiner 

message: Hallo Leute! Ich war gerade dabei, mich so richtig schön von der Cantormenge verwirren zu lassen, und dieser Artikel hier verwirrt mich sogar noch mehr. Hier steht, die Cantormenge sei „die Menge aller Zahlen im Intervall [0,1], die eine Darstellung als Kommazahl zur Basis 3 besitzen, in der nur die Ziffern 0 und 2 vorkommen“. Ich denke, ein Drittel gehört zur Cantormenge und wird zur Basis 3 als „0,1“ dargestellt, es kommen also auch andere Ziffern als nur 0 und 2 vor. Wo liegt der Fehler? (hoffentlich im Artikel...) MfG Stefan Knauf 18:11, 17. Okt. 2007 (CEST)
replies: text: 1/3 = 0,1, aber auch 1/3 = 0,22222....    Ebenso wie 1 = 1,0000... = 0,22222... --Wuzel 13:44, 18. Okt. 2007 (CEST)
replies: text: Hallo Wuzel! Ach, so, da stimme ich dir zu. Ich wäre vorher vermutlich selbst im Traum niemals auf die Idee gekommen, dass man bei einer Stellenwertdarstellung zur Basis b eine Periode von b-1 zulassen könnte... Aber du hast das im Artikel jetzt ja verdeutlicht. MfG Stefan Knauf 23:46, 19. Okt. 2007 (CEST)

text: Nachtrag: Oh, nein, dir war da wohl ein Tippfehler unterlaufen, dem man nicht zustimmen sollte... 0,1 ist im Dreiersystem höchstens 0,02. Das hatte ich beim ersten Lesen ganz übersehen. MfG Stefan Knauf 19:53, 20. Okt. 2007 (CEST)

text: Hallo Hermann! Nein, das ist kein Problem (falls du die Bijektion von der Cantormenge in die Menge der 0-1-Folgen meinst). Denn die 0-1-Folgen sind hier nicht als Zahlen zu verstehen. Zwei 0-1-Folgen sind genau dann gleich, wenn alle ihre Folgenglieder gleich sind, also unterscheidet sich die 1-periodische Folge von der 0-periodischen, die davor eine 1 hat. MfG Stefan Knauf 15:43, 9. Mär. 2009 (CET)

text: Hallo! Das ist bei Verwendung eines Stellenwertsystemes zur Basis 3 tatsächlich so (dort gibt es nur die Ziffern 0, 1 und 2; drei wird dort als 10 dargestellt). Ich habe es selber mal nachgerechnet, du kannst es im Bild rechts nachvollziehen. :-) MfG Stefan Knauf 23:46, 19. Okt. 2007 (CEST)
replies: text: Oder auch über die geometrische Reihe: Summe 1/9^k ist 1/8, hier haben wir das doppelte, denn 2\cdot 0,\overline{01}=\overline{02}, daher 2/8=1/4. --Jobu0101 (Diskussion) 17:21, 1. Feb. 2013 (CET)
thread_title:  Basis 3 

message: Seit wann ist 1/4 = 0,020202 und nicht =0,25? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 22:37, 17. Okt. 2007 (Diskussion • Beiträge) 77.118.56.135)
:Hallo! Das ist bei Verwendung eines Stellenwertsystemes zur Basis 3 tatsächlich so (dort gibt es nur die Ziffern 0, 1 und 2; drei wird dort als 10 dargestellt). Ich habe es selber mal nachgerechnet, du kannst es im Bild rechts nachvollziehen. :-) MfG Stefan Knauf 23:46, 19. Okt. 2007 (CEST)
replies: text: Oder auch über die geometrische Reihe: Summe 1/9^k ist 1/8, hier haben wir das doppelte, denn 2\cdot 0,\overline{01}=\overline{02}, daher 2/8=1/4. --Jobu0101 (Diskussion) 17:21, 1. Feb. 2013 (CET)
thread_title:  Blöde Frage: 

message: Ich denke, man sollte da unterscheiden:
1. Es gibt die Cantormenge, nämlich die Menge, die durch die aus dem Intervall [0,1] durch iterierte Wegnahme von jeweils dem mittleren Drittel entsteht.
Diese Menge hat gewisse topologische (kompakt, perfekt, total unzusammenhängend, nirgendsdicht), maßtheoretische (Lebesgue-Nullmenge, nichtganzzahlige Hausdorffdimension), geometrische (selbstähnlich) und mengentheoretische (gleichmächtig zum Kontinuum) Eigenschaften. Davon ausgehend nennt man 
2. allgemeiner gewisse Mengen (oder topologische Räume) Cantor-Mengen, wenn sie einen Teil dieser Eigenschaften besitzen. Welche Auswahl der Eigenschaften man dabei fordert, das hängt von dem Teilgebiet der Mathematik, in dem man sich befindet ab. Z.B. interessiert sich der (mengentheoretische) Topologe nicht für Selbstähnlichkeit, der Mengentheoretiker auch nicht dafür, wie die Menge in \R drinliegt (z.B. nicht für "nirgendsdicht"). Beide auch nicht für Hausdorffdimension oder Lebesguemaß. --Digamma 18:15, 11. Dez. 2007 (CET)
thread_title:  ''Die'' vs. ''eine'' Cantormenge 

message: Ich beginne mit dem offenen Intervall ]0,1[.
Ich verfahre weiter wie bei der Konstruktion der Cantor Menge mit dem kleinen Unterschied, dass ich abgeschlossene Intervalle entferne.
Es bleiben daher nicht wie bei der Cantor - Menge die Endpunkte bestehen.
Jeder Schritt liefert eine offene Restmenge. Da das Konstruktionsverfahren ansonsten identisch mit dem Original ist, unterscheidet sich die neue Menge von der Cantor-Menge nur durch die fehlenden Endpunkte. Die Menge der Endpunkte ist abzählbar, die Menge der Punkte der Cantor - Menge ist es nicht. Daher ist auch die Menge der Punkte, die bei meiner Konstruktion erzeugt wird überabzählbar. Es ist eine nicht leere, offene Menge. Und eigentlich sollte auch die neue Menge das Maß 0 haben, weil sie von der Cantor - Menge majorisiert wird.
Aber eigentlich sollte es keine Mengen vom Maß 0 geben, die nicht leere offene Mengen enthalten. Ich bin kein Mathematiker, ich finde es unheimlich. (nicht signierter Beitrag von 88.78.152.79 (Diskussion | Beiträge) 00:15, 3. Jun. 2009 (CEST)
replies: text: Hallo! Die auf deine Weise konstruierte Menge ist zum Glück nicht offen. :) Aber du hast Recht, dass deine Menge überabzählbar ist und das Lebesguemaß 0 hat. Du hast auch Recht, dass du nach jedem Schritt eine offene Restmenge hast. Aber nach unendlich vielen Schritten hast du irgendein absurdes Ding, das schon deshalb nicht offen sein kann, weil es nicht leer ist und das Lebesguemaß 0 hat. MfG Stefan Knauf 15:11, 5. Aug. 2009 (CEST)
replies: text: Die übliche Cantormenge entsteht als Durchschnitt ihrer Approximationen.  Der Durchschnitt von abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen. Aber Deine Menge ist ein unendlicher Durchschnitt von offenen Mengen, der ist im Allgemeinen weder offen noch abgeschlossen. --Wuzel 17:04, 5. Aug. 2009 (CEST)
thread_title:  "Offene" Cantor Menge 

message: Ich habe im Zusammenhang mit der Konstruktion von dem Begriff "triadische Entwicklung" gehört. Vielleicht könnte das noch jemand der ein bißchen mehr darüber weiß in den Artikel einfließen lassen,
134.106.106.34 14:19, 19. Jun. 2012 (CEST)
replies: text: Unter der Bezeichnung "Darstellung als Kommazahl zur Basis 3" ist das im Artikel schon enthalten. --Digamma (Diskussion) 18:44, 19. Jun. 2012 (CEST)
thread_title:  triadische Entwicklung 

message: Die dort beschriebene Konstruktion liefert nicht immer eine zur "eigentlichen" Cantormenge homöomorphe Menge, so ist es zum Beispiel möglich mit der dort angegebenen Konstruktion die Menge C':=C\cup[1,2] zu erhalten, wobei ich mit C die eigentliche Cantormenge meine. C' ist jedoch sicherlich nicht homöomorph zu C. --Jobu0101 (Diskussion) 17:29, 1. Feb. 2013 (CET)
replies: text: Da hast du Recht. Man muss beim Wegstreichen die Größen „regulieren“. Das muss behoben werden, am besten anhand einer Quelle. --Chricho ¹ ² ³ 17:16, 14. Feb. 2013 (CET)
thread_title:  Schwerer Fehler in "Andere Cantormengen" 

message: Hallo Benutzer:NikelsenH,
ich halte deine aktuelle Änderung für falsch, deshalb habe ich sie revertiert. Die Menge A_2 in deiner Konstruktion enthält z.B. auch das Intervall \left[\frac49, \frac59\right], das aber im zweiten Schritt der Iteration nicht enthalten ist, da es im Intervall \left(\frac13,\frac23\right) liegt, das schon im ersten Schritt entfernt wurde. 
Entsprechend ist auch deine Version der triadischen Darstellung falsch. Nicht nur an der letzten Stelle darf keine 1 stehen, sondern an keiner Stelle. --Digamma (Diskussion) 10:44, 24. Jan. 2015 (CET)
replies: text: Das ist mir bewusst. Schneidet man aber alle diese Mengen, so erhält man wieder die "ursprüngliche" Cantormenge. ich hatte diese art der Konstruktion gewählt, weil sie ohne das unpräzise " mittleres drittel wegstreichen" auskommt, sondern in jedem schritt klar fassbar ist. allerdings stimmen beide konstruktionenn nur im grenzfall überein. Die wegstreich-konstruktion hat halt den vorteil, dass alle mengen inenander enthalten sindund demnach eingenschaften wiedas lebesgue-maß leichter zu zeigen sind --NikelsenH (Diskussion) 10:51, 24. Jan. 2015 (CET)
replies: text: Ich verstehe. Wäre es dann nicht sinnvoller, sukzessive die Mengen B_n = A_1 \cap \dots \cap A_n zu bilden und am Schluss den Schnitt der B_n? Auf jeden Fall wurde bei deiner Konstruktion nicht deutlich, dass die A_n nicht mit den oben durch Wegstreichen des mittleren Drittels gefundenen Mengen übereinstimmen. --Digamma (Diskussion) 12:18, 24. Jan. 2015 (CET)
replies: text:  Ich hab jetzt nochmal eine leichtere Herleitung geschrieben, die klarmacht, dass es sich um mehrfaches anwenden einer Operation (wegwischen) handelt, aus der sich die Hausdorff-dimension leicht ablesen lässt (kommt noch) und die triadischen entwicklung überarbeitet. Deine änderung hab ich deshalb revertiert, da ich von meiner änderung aus weiterarbeiten wollte, das spart schreibarbeit. mehr schaffe ich heute abend leider nicht, LG--NikelsenH (Diskussion) 20:31, 24. Jan. 2015 (CET)
thread_title:  "Mathematische Präzisierung" 

message: Zwei Dinge:
* Die Cantor-Menge ist abgeschlossen (3. Punkt), damit ist sie trivialerweise eine Borel-Menge und damit messbar.
* In der Analysis wird für eine Nullmenge üblicherweise nicht verlangt, dass sie Borel-messbar ist, sondern nur, dass sie in einer Borel-Menge vom Maß 0 enthalten ist (bzw. dass sie Lebesgue-messbar ist). --Digamma (Diskussion) 23:07, 24. Jan. 2015 (CET)
replies: text: Hab die redundanzen in der argumentation zu 1. mal entfernt, bei der zweiten Info weiß ich nicht wie ich das sinnvoll einbetten könnte. vielleicht hast du ja ne idee. Schönen abend noch  --NikelsenH (Diskussion) 23:19, 24. Jan. 2015 (CET)
thread_title:  Messbarkeit