Diskussion:Belegung (Mathematik)

message: Tut mir leid, der Artikel war mein erster Versuch, das Festzuhalten. Ich habe den Begriff der Variablenbelegung für die Definition der Schaltfunktion gebraucht. Da noch nichts da stand, habe ich gedacht, irgendwas ist vermutlich besser als gar nichts. Nun ja, war wohl'n Griff ins Klo...
Ich versuch es erstmal hier, vielleicht kann man es ja Teile davon irgendwie verwerten. Ich sehe ein das es schwieriger ist, als ich zunächst angenommen habe, diese Dinge unabhängig von meinem persönlichen Background zu erklären. Aber versuchen wirs mal. 
In der theoretischen Informatik (das ist der Berreich mit dem ich mich ein bißchen auskenne, ich nehme aber an, das man den Begriffso oder ähnlich auch in der Logik verwendet) wird der Begriff der Variablenbelegung vor allem dann benutzt, wenn man Variablen selbst als Objekte zum Beispiel als Atome einer formalen Sprache betrachtet. 
Ein Blödes Beispiel: Angenommen wir wollen Syntax und Semantik der Aussagenlogischen Formeln definieren. Sei also AP=\{a_1,\ldots,a_n\} eine Menge atomarer Aussagen. Wir definieren Die Sprache der aussagenlogischen Formeln L als die Menge aller Formeln, die nach den folgenden Regeln gebildet werden können:
* true ist eine Formel
* jede atomare Aussage a_i ist eine Formel
* Wenn \Phi_1, \Phi_2 und \Phi Formeln sind, dann auch (\neg\Phi) und (\Phi_1\wedge\Phi_2)
* nichts sonst ist eine Formel.
Ok, damit hat man den Syntax festgenagelt (andere Operatoren wie \vee oder \leftrightarrowlassen sich abbleiten). Wir wissen damit, das ein Wort wie z.B. 
\Phi_{Ausgehen}=\neg (a_1\wedge(a_2\vee a_3)) eine aussagenlogische Formel über die atomaren Aussagen a_1,a_2,a_3 ist. Aber was ist die Semantik?
Hierfür kann man den Begriff der Variablenbelegung gut gebrauchen. Man kann ja die atomaren Aussagen als Variablen auffassen. Dann wäre z.B. Var=AP=\{a_1,a_2,a_3\} und 
Dom(Var)=\{0,1\}
Eine Belegung von Var ist dann eine Abbildung, die jeder der Atomaren Aussagen entweder 1 oder 0 zuweißt, jenachdem, ob diese zutreffend sind oder nicht.
z.B. könnte a_1 für die Aussage "Es regnet." stehen, a_2 für "Mein Schirm ist kapput." und a_3 für "Ich besitze keinen Schirm."
Eine Belegung für Var, die meinen augenblicklichen Status quo beschriebe, wäre
:\eta_{lu}:Var\to\{0,1\}, \eta_{lu}(a_1)=0,\eta_{lu}(a_2)=0,\eta_{lu}(a_3)=1
Für die oben formulierte Formelsprache läßt sich nun leicht eine Semantik bezüglich des Wahrheitsgehaltes der in der Sprache verwendeten, atomaren Aussagen festlegen.
Diese Semantik beschreiben wir durch eine "erfüllt"-Relation \models\subseteq Eval(Var)\times L. Wir schreiben \eta\models\Phi als Abkürzung für\langle\eta,\Phi\rangle\in\models und meinen damit, daß die Belegung \eta die Aussagenlogische Formel \Phi efüllt.
Genauer:
Sei a_i\in Var und seien \Phi_1,\Phi_2, \Phi Formeln wie oben, dann gilt für alle Belegungen \eta\in Eval(Var)
* \eta erfüllt true, in Zeichen: \eta\models true.
* \eta\models a_i gdw. \eta(a_i)=1
* \eta\models(\neg\Phi) gdw. \eta\not\models\Phi
* \eta\models(\Phi_1\wedge\Phi_2) gdw. \eta\models\Phi_1 und \eta\models\Phi_2
(Die Semantik für \vee, etc ließe sich analog herleiten.)
Man überzeugt sich leicht davon, daß diese Semantik genau mit unserer intuitiven Leseart übereinstimmt. Z.B. gilt \eta_{lu}\models\Phi_{Ausgehen}.
Steht also die Formel \Phi_{Ausgehen} für die Frage, ob man heute Abend noch etwas unternehmen sollte, und \eta_{lu} für die Augenblicklich geltenden Bedingungen, dann ist unmittelbar einsichtig, daß ich aufhören sollte, meine Zeit am Rechner zu vergeuden :-) 
So. Das wäre zumindest *ein* Beispiel, wofür man Belegungen braucht. Gibt es andere Vorschläge/Definitionen? --lu 22:21, 17. Feb 2006 (CET)
replies: text: Schreib das nicht auf die Diskussionsseite, sondern in den Artikel. --Mkill 03:44, 18. Mär 2006 (CET)

message: Wie aus der obigen Diskussion richtig hervorgeht, ist der Begriff "Belegung" nicht nur in der Mathematik wie beschrieben belegt (Achtung Regress ;-) sondern allgemein in der Logik (soweit ich weiß jedenfalls). Sollte man das nicht mal im Lemma ändern und im Artikel entsprechend vermerken? 
--Jazzman KuKa 20:04, 30. Jan. 2008 (CET)
thread_title:  Logik