Diskussion:Pivotverfahren

message: Anwendungsgebiete wurden inzwischen angegeben. Obwohl die wichtigste Anwendung der Pivotverfahren in der Lineare Optimierung liegt, sind sie auch anderswo anwendbar (quadratische Optimierung und noch weitere). Ich habe allerdings nicht den Eindruck, dass diese fehlenden Anwendungen wesentliche Lücken sind.
--Heinrich Puschmann (Diskussion) 12:11, 10. Aug. 2012 (CEST)
replies: text: Nur eine kleine Anmerkung: Wenn man in seinen Einstellungen MathJax für die Darstellung gewählt hat, werden viele Formeln nicht angezeigt. Vielleicht könnte man anstelle der matrix-Umgebungen auch besser align- oder array-Umgebungen verwenden. -- HilberTraum (Diskussion) 08:54, 18. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Hallo HilberTraum, vielen Dank für deine Anmerkung mit dem Hinweis auf MathJax, ich war mir bisher gar nicht bewusst, dass es MathJax überhaupt gab! Mittlerweile habe ich auch den Bösewicht gefunden, der die Darstellung von einigen Formeln verhindert, und es ist (allem Anschein nach) nicht die matrix-Umgebung: genau diejenigen Formeln, welche das Makro \underline{...} enthalten, werden von MathJax nicht dargestellt. Diesen Befehl kann man natürlich umgehen. Es scheint mir aber, dass \underline{...} ein ganz normaler und standardgerechter LaTeX-Befehl ist, weshalb der Fehler wohl eher bei MathJax zu suchen ist und wir vielleicht nur abwarten müssen, bis MathJax aus dem Experimentierstadium heraus ist, damit sich das Problem von selbst erledigt. Falls eine Alternativdarstellung (z.B. verschiedenfarblicher Hintergrund für einige Zellen der Matix) besser aussieht als unterstreichen, dann wäre das natürlich etwas anderes und ernsthaft in Betracht zu ziehen. --Heinrich Puschmann (Diskussion) 09:34, 19. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Hallo Heinrich Puschmann, ich hab's mir auch nochmal angesehen: Die Formel sind in "echtem" LaTeX auch fehlerhaft, das liegt an der Stelle \underline\mathbf{...}. Da will LaTeX \underline{\mathbf{...}} haben. Ich hab's an einer Stelle mal exemplarisch repariert. -- HilberTraum (Diskussion) 11:24, 19. Sep. 2012 (CEST)

text: In der Tat! Ich hatte gestern denselben Verdacht, mich aber beim Austesten offenbar irgendwo geirrt. Jetzt wird alles richtig dargestellt. --Heinrich Puschmann (Diskussion) 20:03, 19. Sep. 2012 (CEST)

text: Zum ersten Punkt: Meiner Meinung nach sollte man die Summen zunächst ausgeschrieben lassen (also ohne Summenzeichen, im Sinne der Abiturienten), aber dann später zusätzlich noch die Matrix-Vektor-Schreibweise einführen. Das dürfte ja auch die Schreibweise sein, die einem dann bei Benutzung entsprechender Softwarepakete begegnet. -- HilberTraum (Diskussion) 21:31, 18. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Ich unterscheide dreierlei Notation: (1) ausgeschrieben (mit "\ldots"), (2) Summennotation (mit Ausdrücken wie \sum_{i\in I}G_{ij}x_j), (3) Matrixnotation (mit Ausdrücken wie B^{-1}[G\ -\!\!I]). Dass in der Einführung die Formeln erst einmal ausgeschrieben werden und dann erst in Summennotation, das tue ich ja bereits. Die Matrixnotation (3) wird in den meisten Büchern benutzt, aber ich halte diesen Angang für ganz veraltet und sehr ungeeignet (aber nicht nur ich, sondern auch namhafte Autoren wie Chvatal und Vanderbei, siehe Belege). Hauptgründe dafür sind (1) der Artikel soll das Verfahren erklären und nicht dessen Software-Implementierungen, (2) jede Software verwendet andere Datenstrukturen und andere Matrizen, und (3) Matrizenrechnung ist für Nicht-Mathematiker noch komplizierter als die Summennotation. Falls jemand einen getrennten Artikel über Pivotverfahren-Software schreiben möchte, darf er das natürlich tun, dann kann man darauf verweisen. Aber es wäre eine Sisyphusarbeit und meiner Ansicht nach nur für wenige interessant. --Heinrich Puschmann (Diskussion) 10:21, 19. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Mir ging's gar nicht so um Pivotverfahren-Software an sich, sondern nur um eine Begründung, warum ein Leser hier die Matrix-Notation vermissen könnte. Matrix-Notation soll "veraltet und ungeeignet" sein? Problemformulierungen wie Ax \leq b, x \geq 0, c^T x \to \max sind doch auch in der Anwender-Literatur (z.B. BWL) absolut üblich. Im Text von Vanderbei wird doch auch in Kap. 6 die Matrixformulierung eingeführt und dann duchgängig verwendet. Auch im Überblicksartikel Lineare Programmierung kommt sie vor. -- HilberTraum (Diskussion) 12:01, 19. Sep. 2012 (CEST)

text: Ja, eine Begründung könnte vielleicht deshalb am Platze sein, weil viele Bücher und leider auch Dozenten die Pivotverfahren über Matrizen einführen. Das hat meiner Ansicht nach nur historische Gründe, aber solange diese Bücher und Dozenten noch in Szene sind, ist "veraltet" wohl der falsche Ausdruck. Die Matrixnotation selber halte ich für diesen Artikel freilich weiterhin für sehr ungeeignet, auch wegen den Punkten (2) und (3). Dazu kommt, dass die Symmetrie zur dualen Aufgabe bei der Matrixnotation verloren geht. Auch sind die Zeilen und Spalten dieser "Matrizen" ab Iteration_2 nicht mehr durchgehend numeriert (Spalte von x_5 ist kann plötzlich die 3.Spalte sein oder überhaupt nicht mehr vorhanden); es ergibt sich ein Indexsalat, der für Matrizen sehr unüblich ist und von vielen Autoren einfach unter den Teppich gekehrt wird, indem sie ab Iteration_2 nur noch numerische Beispiele bringen. Und letztlich, wenn man keine Datenstrukturen für Software beschreiben will, wo ist der Mehrwert einer Matrizennotation? Dass Vanderbei Matrizen erst ab dem 6.Kapitel und nicht viel früher verwendet, bestätigt eigentlich das Ganze. Vielleicht renne ich bei dir nur offene Türen ein, aber diese Dinge werden einfach viel zu wenig gesagt: der Artikel Simplexverfahren zum Beispiel ist so verwurstet geraten, dass einem zum Heulen zumute sein kann. --Heinrich Puschmann (Diskussion) 20:03, 19. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Gut, was die Meinungen über die Matrixnotation angeht werden wir wohl nicht so schnell zusammenkommen ;) Ich fürchte nur (aus deiner Sicht), dass die Bücher und Dozenten, die sie verwenden, in Zukunft nicht weniger sondern eher noch mehr werden. Anderes Thema: Ich hänge gerade etwas dabei die, auf den ersten Blick ja recht hübschen, Animationen zu verstehen. Was bedeuten denn die farbigen Flächen, und was passiert eigentlich in den kontinuierlichen Zwischenschritten? Der Basiswechsel ist doch eigentlich ein diskreter Schritt. Ist das irgendwo im Text erklärt? -- HilberTraum (Diskussion) 21:38, 19. Sep. 2012 (CEST)

text: Ich habe die Erklärung der Bilder (und die Antwort darauf) in einen getrennten Abschnitt ausgelagert, um die Übersichtlichkeit zu wahren. --Heinrich Puschmann (Diskussion) 11:30, 22. Sep. 2012 (CEST)

text: Mir fällt gerade auf, dass du den Artikel Simplexverfahren einen "Überblicksartikel" nennst. Ist es wohl nicht eher umgekehrt? Der Artikel Pivotverfahren liefert einen knapper gefassten Überblick, während der Artikel Simplexverfahren ein besonderes Pivotverfahren herausgreift und in vielen Einzelheiten beschreibt. Oder kann man das auch anders sehen? --Heinrich Puschmann (Diskussion) 12:46, 22. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Nein, da hast du dich verguckt. Ich habe Lineare Optimierung als Überblicksartikel bezeichnet. -- HilberTraum (Diskussion) 16:08, 22. Sep. 2012 (CEST)

text: Aber natürlich, ich bitte um Verzeihung! Ich hatte mir die Matrizen in Lineare Optimierung einmal angeschaut. Solange man (wie für diesen Artikel durchaus passend) eine lineare Aufgabe nur definieren will und keinen Lösungsweg beschreiben möchte hat man auch keinerlei Schwierigkeiten mit der Matrixnotation. Ob sie dort für nicht-mathematische Leser leichter verständlich ist als eine ausgeschriebene Notation, ist mir freilich weniger klar ;-) --Heinrich Puschmann (Diskussion) 20:12, 22. Sep. 2012 (CEST)
thread_title:  Einige Verbesserungen 

message: Die animierten Bilder zu jedem Schritt in einigen Beispielen benötigen vielleicht zusätzliche Erklärungen:
*(1) Jeder Schritt ist ein diskreter Schritt und im ersten Ansatz hatte ich vor, die verschiedenen Bilder einfach nebeneinander zu setzen (in einigen Browsern sieht man die Animationen sowieso nicht). Nun sind aber die aufeinanderfolgenden Bilder alle topologisch gleich, sie beschreiben genau dieselben Schnittflächen und genau dasselbe Polyeder, nur eben in verschiedenen Koordinatensystemen. Das war aber für einige Leser, denen ich die Bilder zeigte, so von Anfang an gar nicht klar, erst nach längerer Betrachtung ließen sie sich davon überzeugen. Um nun diesen Tatbestand möglichst direkt und überzeugend darzustellen, biete ich die Möglichkeit an, jedes der Bilder kontinuierlich in das nächste zu überführen: die Zwischenschritte verdeutlichen, dass die Beziehung der verschiedenen Geraden, ihrer Schnittpunkte, und der dazwischenliegenden Flächen immer dieselbe ist.
*(2) Die n+m schwarzen Geraden entsprechen den Gleichungen x_k=0; dabei beschreiben die n Koordinatenachsen unabhängige Variablen (Variablen nicht in der Basis) und die restlichen m Geraden freigelegte Variablen (Basisvariablen).
*(3) Die grün umrandete Fläche ist der zulässige Bereich, also der Bereich in dem alle Variablen nichtnegative Werte haben. Für jede der Ungleichungen x_k\ge0 kann ja (um das Bild nicht unangenehm zu überladen) nur die Gerade x_k=0 aufgezeichnet werden. Anhand der grün umrandeten Fläche sieht man nun auf einen Blick, in welcher der beiden Halb-Ebenen die Variable x_k positive Werte annimmt und in welcher sie negative Werte annimmt.
*(4) Die rote Gerade (wenn eingezeichnet) ist die Zielgerade am Optimum, also die Gerade auf welcher die Zielfunktion z den größtmöglichen Wert annimmt. Ihr Schnitt mit dem zulässigen Bereich bildet die Menge der optimalen Punkte.
*(5) Alle zulässigen Pivots sind mit roten Punkten markiert, von welchen in jedem Schritt einer davon (der schwarzumrandet hervorgehobene) ausgewählt wird und den Ursprung des folgenden Koordinatensystems bildet. Definitionsgemäß liegt jeder der Pivotpunkte auf einer der Koordinatenachsen: er ist der Schnitt einer Koordinaten-Gerade mit einer Nichtkoordinaten-Gerade.
*(6) Die gelbe Fläche ist der Bereich, in dem die n künftig unabhängigen Variablen nichtnegative Werte haben, und somit der Bereich, der im kommenden Schritt in einen der Orthanten (Quadranten falls n=2) überführt wird. Diese gelbe Fläche wird immer durch genau n-1 Koordinatenachsen und 1 der anderen Ungleichungsgeraden bestimmt, was daran liegt, dass in jedem Schritt genau 1 unabhängige Variable ausgetauscht wird. Da in der grünumrandeten Fläche nicht nur die unabhängigen Variablen, sondern alle Variablen nichtnegative Werte annehmen müssen, liegt die grünumrandete Fläche innerhalb der gelben Fläche.
--Heinrich Puschmann (Diskussion) 08:57, 20. Sep. 2012 (CEST)
replies: text: Danke für die ausführliche Erklärung, das muss ich jetzt aber erstmal durchdenken, besonders die gelbe Fläche und die roten Punkte ... So eine Erklärung müsste aber unbedingt auch noch in den Text, sonst erkennt der Leser wahrscheinlich nur "bunte Bildchen, die sich bewegen". -- HilberTraum (Diskussion) 14:18, 20. Sep. 2012 (CEST)
thread_title: Erklärung der Bilder zu den Beispielen

message: Hallo Jaelle,
hin und wieder ersetze ich den Artikel durch eine überarbeitete Version und versuche dabei,
die Verbesserungen von anderen Benutzern hineinzumergen.
Aber bei deinen Änderungen konnte ich keinen sichtbaren Unterschied entdecken,
nur die Zeilenumbrüche im Quelltext waren verschieden.
Ist mir da etwas entgangen? --Heinrich Puschmann 14:48, 11. Dez. 2007 (CET)
replies: text: Immer wenn ein <Return> eingegeben wird, betrachtet die Wikipedia Software das beim Vergleichen von verschiedenen Versionen als eigenen Absatz. Die Anzeige im Artikel beeinträchtigt das nicht, aber beim Vergleichen finde ich das doch sehr störend. Deswegen habe ich die Zeilenumbrüche rausgenommen. --Jaelle 17:39, 11. Dez. 2007 (CET)
thread_title: Merging

message: In den bisherigen Versionen (also vor August 2012) hatte sich ein etwas subtiler Notationsfehler eingeschlichen, den ich berichtigt habe, und der bei späteren Abänderungen beachtet werden sollte.
(1)
Die Einträge der Gleichungssysteme hatte ich bisher G^B_{ij} anstelle von G^\pi_{ij} genannt, was mathematisch gesehen falsch ist. Es wurde ja \pi als Umstellung (Permutation) der Variablenindices definiert, also als Funktion mit
:\{\pi(1),\ldots, \pi(n+m)\} = \{1,\ldots, n+m\},
bei welcher die Reihenfolge der Variablen implizit festgelegt ist. Im Gegensatz dazu ist
:B=\{x_{\pi(n+1)},\ldots x_{\pi(n+m)}\}\subset\{x_1,\ldots x_{n+m}\}
oder auch
:B=\{\pi(n+1),\ldots,\pi(n+m)\}\subset\{1,\ldots,n+m\}
standardgemäß eine Teilmenge, bei welcher die Reihenfolge der Variablen beziehungsweise Indices unerheblich ist. Nun ist der Ort eines Eintrags im linearen Gleichungssystem aber ganz und gar von der Reihenfolge dieser Variablen abhängig, weshalb als Index der Einträge die Umstellung \pi gewählt werden muss, und nicht eine Variablenmenge oder Indexmenge:
:\begin{matrix}
z            & = & f^\pi    & + &  d^\pi_1\,x_{\pi(1)}      & + & \cdots & + &  d^\pi_n\,x_{\pi(n)}
\\
x_{\pi(n+1)} & = & b^\pi_1  & + &  G^\pi_{1,1}\,x_{\pi(1)}  & + & \cdots & + &  G^\pi_{1,n}\,x_{\pi(n)}
\\
\vdots       &   & \vdots   &   &  \vdots                   &   &        &   &  \vdots
\\
x_{\pi(n+m)} & = & b^\pi_m  & + &  G^\pi_{m,1}\,x_{\pi(1)}  & + & \cdots & + &  G^\pi_{m,n}\,x_{\pi(n)}
\end{matrix}
#
Alle Leser, welche durch diesen Fehler in die Irre geführt wurden, bitte ich um Verzeihung.
</br>
(2)
Der erwähnte Notationsfehler kann natürlich auch anders berichtigt werden. Was die Literatur anbetrifft, findet man hier alles mögliche; meist wird gar kein aussagekräftiger Systemindex benutzt und die richtige Abhängigkeit stillschweigend vorausgesetzt. Die hier in diesem Artikel empfohlene (und meiner Ansicht nach deutlich beste) Literatur verwendet die saloppe Schreibweise
:\begin{matrix}
& & z    & = &  \bar f    & + &  \sum_{j\not\in B}\, \bar d_j\, x_j
\\[6pt] \forall~ i\in B
& & x_i  & = &  \bar b_i  & + &  \sum_{j\not\in B}\, \bar G_{ij}\, x_j 
\end{matrix}
Hier liegen die Indices des Gleichungssystems in den unvorhersagbaren Zahlenmengen  \{0,\pi(1)\ldots\pi(n)\}  und  \{0,\pi(n+1)\ldots\pi(n+m)\} . Wenn wir aber das System ohne Summennotation aufschreiben wollen, welche offenbar einige Leser abschreckt, können wir auf die Umstellungsfunktion \pi(\cdot) wohl trotzdem nicht verzichten:
:\begin{matrix}
z            & = & f^B       & + & d^B_{\pi(1)}\,x_{\pi(1)}       & + & \cdots & + & d^B_{\pi(n)}\,x_{\pi(n)}
\\
x_{\pi(n+1)} & = & b^B_{\pi(n+1)} & + & G^B_{\pi(n+1)\,\pi(1)}\,x_{\pi(1)} & + & \cdots & + & G^B_{\pi(n+1)\,\pi(n)}\,x_{\pi(n)}
\\
\vdots       &   & \vdots    &   &  \vdots                 &   &        &   & \vdots
\\
x_{\pi(n+m)} & = & b^B_{\pi(n+m)} & + & G^B_{\pi(n+m)\,\pi(1)}\,x_{\pi(1)} & + & \cdots & + & G^B_{\pi(n+m)\,\pi(n)}\,x_{\pi(n)}
\end{matrix}
Die Unabhängigkeit der numerischen Werte der Einträge (deren Orte ja frei wählbar sind) wird in so einem Fall hervorgehoben, und die Pivotauswahlregeln würden sich sogar etwas vereinfachen; auf mich wirkt es irgendwie eleganter. Aber wie ein Leser damit zurechtkommt kann ich nicht einmal erahnen.
--Heinrich Puschmann (Diskussion) 17:14, 5. Aug. 2012 (CEST)
thread_title: Permutations-Notation vs Basis-Notation

message: Natürlich ist nichts so praktisch wie eine gute Theorie. Deshalb werden die Wörter theoretisch und praktisch wohl in einem etwas anderem Sinn verwendet, nämlich: „akademisch, aus der Uni stammend“ und „von Softwarefirmen entwickelt“. In diesem Zusammenhang glaube ich, dass die Suche nach guten Pivotverfahren (im Sinne von „welcher Pivot soll ausgewählt werden“) fast immer auf den Universitäten erfolgt, während die Suche nach guten Implementierungen („wie werden die Berechnungen möglichst schnell durchgeführt“) meist eine Sache von Softwarefirmen wie ILOG u.a. ist. – Damit will ich nicht unbedingt sagen, dass wir uns nach so einem Sprachgebrauch zu richten haben, wir sollten ihn aber im Auge behalten. --Heinrich Puschmann (Diskussion) 15:21, 18. Jun. 2013 (CEST)
replies: text: Ja, ich weiß. Du kannst gerne eine passendere Überschrift wählen, mit ist eben nur keine bessere eingefallen. „Aufgabenbereiche“ passte ja bereits auch schon nicht. Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:10, 18. Jun. 2013 (CEST)
thread_title:  Theorie und Praxis 

message: Seit einigen Tagen rendert der Firefox-Browser bei der MathJax-Einstellung nicht mehr die mathematischen Formeln in diesem Artikel, und zwar keine einzige der Formeln und auch nicht nach sehr langem Warten. Kurioserweise rendert er alle Formeln korrekt, wenn ich auf "Seite bearbeiten" gehe und unmittelbar darauf auf "Vorschau zeigen". Eine ähnliche Seite im Benutzer-Artikelraum mit denselben Formeln wird auch korrekt gerendert. Und bei der Einstellung mit "PNG-Bilder" ist ebenfalls alles korrekt zu sehen.
Woran kann das liegen? Wird die Vorschau etwa anders behandelt als die abgespeicherte Seite? Hört der Browser vielleicht auf mit dem Rendern, wenn ihm das Ganze nicht schnell genug geht? Oder ist MathJax noch mit unbekannten Fehlern behaftet und sollte nur für Testzwecke verwendet werden?
--Heinrich Puschmann (Diskussion) 16:54, 22. Feb. 2015 (CET)
thread_title: Hilfe, Probleme mit MathJax!

message: Ich hatte in meinen bisherigen Artikelversionen den Ausdruck "admissible pivot" bisher immer mit "zulässiger Pivot" übersetzt, was ungeeignet ist, da in den Ausdrücken "feasible problem" und "feasible solution" das "feasible" etablierterweise ebenfalls mit "zulässig" übersetzt wird, was Verwirrung stiftet, da der eine Begriff in keiner Beziehung zum anderen steht. Ich habe des hab vor, das zu ändern, und bin mir nicht sicher, ob ich für "admissible Pivot" am besten "erlaubter Pivot" oder vielleicht "gültiger Pivot" schreibe ("annehmbar" klingt einfach fürchterlich gespreizt). Gibt es besondere Gründe, das eine dem anderen vorzuziehen? --Heinrich Puschmann (Diskussion) 01:16, 26. Jan. 2017 (CET)
thread_title:  Pivots "erlaubt" statt "zulässig" nennen 

message: Meinungen auf dieser Seite sind erfragt, insbesondere zum Leseverständnis. Der Stoff sollte für jeden mathematisch interessierten Abiturienten zugänglich sein.
Mögliche (aber nicht zwingende) Verbesserungen:
* Ein Beispiel für das primale Simplexverfahren, obwohl dieses Verfahren einen eigenen Artikel hat (welcher freilich ziemlich grausam ausfällt).
* Geschichtliches zu den Personen, die die Pivotverfahren entwickelt haben, und deren Motivation. Anscheinend wurden Pivotverfahren schon ziemlich früh vorgeschlagen, aber erst während der 90er Jahre unabhängigerweise von 3 verschiedenen Autoren mathematisch aufgearbeitet. Eine wichtige Motivation war die (bisher gescheiterte) Suche nach einem Simplexverfahren, das mit einer polynom-beschränkten Anzahl von Basiswechseln ein Optimum erreicht.
* Ein Bild mit der grafischen Darstellung von zulässigen Basislösungen, beschränkten Basislösungen, und sonstigen Basislösungen (muss freilich erst entworfen bzw gefunden werden).
* Effizienzverlust bei Entartung näher erklären, und deren Vermeidung anhand des zufallsverteilt parametrischen Homotopieverfahrens aufzeigen (siehe Buch von Vanderbei).
Was meiner Ansicht nach mit Sicherheit nicht fehlt, sind Beschreibungen von Datenstrukturen (lese Tableaus). Diese sind diesselben wie bei den Simplexverfahren und gehören wahrscheinlich irgendwo ausgelagert, da der Artikel sonst viel zu lang würde und überlange Artikel niemals lesenswert sind.
--Heinrich Puschmann (Diskussion) 14:58, 28. Jul. 2017 (CEST)
thread_title:  Was fehlt diesem Artikel, um lesenswert zu sein&nbsp;?

message: In meinem unermüdlichen *smiley* Bestreben, diesen Artikel auf ein exzellentes Niveau zu heben, ziehe ich in Betracht, die Darstellung der Pivotsysteme demnächst anstelle ihrer bisherigen Darstellung,
:\begin{matrix}
z   & = &( &~~ ~9 &- ~3x_3 &+ ~~x_2 &)~/~2
\\[2pt]
x_1 & = &( &~~ ~3 &- ~~x_3 &- ~~x_2 &)~/~2
\\[2pt]
x_4 & = &( &~~ ~8 &+ ~2x_3 &- ~4x_2 &)~/~2
\\[2pt]
x_5 & = &( &-  ~1 &+ ~3x_3 &+ ~~x_2 &)~/~2
\end{matrix}
in folgende klammerlose Form zu bringen:
:\begin{matrix}
2\,z   & \!=\!\! &~~ ~9 &- ~3\,x_3 &+ ~~\,x_2
\\[2pt]
2\,x_1 & \!=\!\! &~~ ~3 &- ~~\,x_3 &- ~~\,x_2
\\[2pt]
2\,x_4 & \!=\!\! &~~ ~8 &+ ~2\,x_3 &- ~4\,x_2
\\[2pt]
2\,x_5 & \!=\!\! &-  ~1 &+ ~3\,x_3 &+ ~~\,x_2
\end{matrix}
Die klammerlose Form scheint mir einfacher und eleganter zu sein, obwohl man einwenden könnte, das die bisherigen Klammern ein wenig an die bei manchen ach so heißgeliebten Tableaus erinnern. Ich würde gerne eure Meinungen dazu hören.
Falls innerhalb eines Monats keine Meinung eintrifft  (was in solchen Umfragen meist der Fall ist) bzw keine negative Meinung eintrifft, dann führe ich diese Änderung durch und hoffe, dass keiner meckert.
--Heinrich Puschmann (Diskussion) 14:58, 28. Jul. 2017 (CEST)
thread_title:  '''Umfrage zur Darstellung''' 

message: Als nicht in die Thematik eingelesener Komplettlaie frage ich mal: Ist ein Interwikilink zu https://en.wikipedia.org/wiki/Criss-cross_algorithm angebracht? Ich selber bin auf diese Seite hier durch den Suchbegriff "Criss-Cross-Algorithmus" geleitet worden... Liebe Grüße, --Lesendes Okapi (Diskussion) 13:54, 14. Feb. 2019 (CET)
thread_title:  Interwikilink zu "Criss-cross algoritm"?