Diskussion:Kugle

message: Jeg er ikke rigtig glad for brugen af ordet kugleskal i betydningen "kugleflade". For mig er en kugleskal et legeme som begrænses af to koncentriske kugleflader.
Kan der gives noget belæg for denne brug af kugleskal? Ellers ville det nok være bedst at holde sig til den indarbejdede terminologi. -- Sebastjan 09. apr. 2006 kl. 14:40 (CEST)
replies: text: Hej Sebastian. Det tror jeg du har ret i. --Glenn 9. apr 2006 kl. 15:19 (CEST)
Kuglen på billedet er ikke computeranimeret, men derimod computer visualiseret. En animation er hvad de viser her http://da.wikipedia.org/wiki/Animation.

text: Har ændret computeranimeret til computergenereret --Fredelige 22. dec 2010, 14:53 (CET)

message: Cirklen S_1 parametriseres med azimutalvinklen u højst 2*PI.
 
x = cos(u), 
og y = sin(u).
Omkredsen er 2*PI. Arealet er PI.
Kuglen S_2 parametriseres med azimutalvinklen u højst 2*PI og polarvinklen v højst PI.
 
x = sin(v)*cos(u),
y = sin(v)*sin(u),
og z = cos(v).
Omkredsen givet u modulo PI er storcirkelomkreds, som er 2*PI.
Omkredsen givet v er lillecirkel-omkreds, som er 2*PI*sin(v).
Overfladen er fire gange storcirklens areal, det vil selvfølgelig sige 4*PI.
Hypersfæren S_3 parametriseres med azimutalvinklerne u1 og u2 højst 2*PI og semipolarvinklen w højst PI/2.
x1 = sin(w)*cos(u1),
x2 = sin(w)*sin(u1),
x3 = cos(w)*cos(u2),
x4 = cos(w)*sin(u2).
Hyperfladen er et volumen, som er 2*PI*2*PI*integralet fra 0 til PI/2 af sin(w)*cos(w)*dw = 2*PI*PI.
Hypofladen givet u1 eller u2 modulo PI er storkugleareal, som er 4*PI.
Hypofladen givet w er lilletorusareal, som er 2*PI*2*PI*cos(w)*sin(w), og som med w = PI/4, er 2*PI*PI.
Cirklen S_1 har en azimutalvinkel u, og omkredsen 2*PI, og kuglen S_2 har en azimutalvinkel u og en polarvinkel v, og overfladen 4*PI.
Hypersfærernes hyperflader findes nemt ved simpelthen at konstruere disse iterativt med lineær algebra, trigonometri og kalkulus, idet man indlejrer S_n-1 i R_n ved iterativt at konstruerere denne fra S_n-3 med en ekstra semipolarvinkel w og en ekstra azimutalvinkel u og til sidst integrerer hyperfladeelementet.
S_n-1 = 
(S_n-3*sin(w), cos(u)*cos(w), sin(u)*cos(w)),
og hyperfladeelementet
dS_n-1 = 
dS_n-3*sin(w)^(n-3)*cos(e)*du*dw,
som integreres over S_n-3 og over u og over w, hvilket giver faktorerne:
S_n-1 = 
S_n-3 *
integralet for u fra 0 til 2*PI af du *
integralet for w fra 0 til PI/2 af sin(w)^(n-3)*cos(w)*dw
aequat 
S_n-3 * 2*PI *
integralet for x fra 0 til 1 af x^(n-3)
aequat 
S_n-1 = (2*PI)/(n-2)*S_n-3.
I tilfældet n er lige, med S_1 = 2*PI,
S_n-1 
= PI^((n-2)/2)/((n-2)/2)! *2*PI
= 2 * PI^(n/2) / (n/2-1)!
= 2*PI^(n/2)/Gamma(n/2).
S_3 = 2*PI*PI,
S_5 = PI*PI*PI,
S_7 = 1/3*PI*PI*PI*PI,
S_9 = 1/12*PI*PI*PI*PI*PI.
I tilfældet n er ulige, med S_2 = 4*PI,
S_n-1 
= (2*PI)^((n-3)/2) / (n-2)!! * 4*PI
= 2 * PI^(n/2) / 
( sqrt(PI)*(2*(n/2-1))!!/2^((n-1)/2) )
= 2*PI^(n/2)/Gamma(n/2).
S_4 = 8/3*PI*PI,
S_6 = 16/15*PI*PI*PI,
S_8 = 32/105*PI*PI*PI*PI,
S_10 = 64/945*PI*PI*PI*PI*PI.
Hypersfærernes hyperflader ved hjælp af komplex funktionsteori skal her gengives, idet kommentarer på dansk også ville blive nødvendige!
Hypersfæren S_n-1 indlejres i R_n med ligningen R = sqrt(x1*x1 + ... + xn*xn). Med delta-funktionen findes hyperfladen med integration over R_n, idet n antages lige. Til sidst skal Gamma-funktionen udvides fra de naturlige tal til de positive tal.
Integralum pro x1, ..., xn ab minus ad plus infinitum de 
delta(R - sqrt(summa pro k ab 1 ad n de xk*xk))
aequat 
[med delta-funktion af kvadratisk funktion]
2*R* integralum pro x1, ..., xn ab minus ad plus infinitum de 
delta(R*R - summa pro k ab unum ad n de xk*xk)
aequat 
[med definition på delta-funktionen]
2*R* integralum pro x1, ..., xn ab minus ad plus infinitum de
integralum pro z ab minus ad plus infinitum de
exp(2*PI*sqrt(-1)*z*(R*R - summa pro k ab unum ad n de xk*xk))
aequat 
[med den distributive lov for exp(summa de)] 
2*R* integralum pro z ab minus ad plus infinitum de
exp(2*PI*sqrt(-1)*z*R*R)*
productum pro k ab 1 ad n de
integralum pro xk ab minus ad plus infinitum de
exp(-2*PI*sqrt(-1)*z*xk*xk)
aequat 
[med n gaussiske integrationer]
 2*R* integralum pro z ab minus ad plus infinitum de
exp(2*PI*sqrt(-1)*z*R*R) / (2*sqrt(-1)*z)^(n/2)
aequat 
[med variabelskiftet 2*PI*R*R*z = y]
R*(PI*R*R)^(n/2-1)* 
integralum pro y ab minus ad plus infinitum de
exp(sqrt(-1)*y) / (sqrt(-1)*y)^(n/2)
aequat 
[med n/2 - 1 partielle integrationer]
R^(n-1)*PI^(n/2-1)*
productum pro l ab 1 ad n/2-1 de (1/l) *
integralum pro y ab minus ad plus infinitum de
exp(sqrt(-1)*y)/(sqrt(-1)*y)
aequat 
[med realdelen idet imaginærdelen er nul]
R^(n-1)*PI^(n/2-1)/Gamma(n/2)*
integralum pro y ab minus ad plus infinitum de sin(y)/y
aequat 
[med residueregning, residuet var 1/sqrt(-1), og integralet var 2*PI]
R^(n-1) * 2 * PI^(n/2) / Gamma(n/2).
Robertsku (diskussion) 27. sep 2020, 00:01 (CEST)
Hvad blev der nu af alle mine linjeskifter? Robertsku (diskussion) 27. sep 2020, 00:06 (CEST)
replies: text: Jeg ved ikke om det vil hjælpe at sætte det hele eller noget af teksten inden for  ...  (:en:Blockquote element)

text: Der findes vejledning til formatering af matematik her: :en:Wikipedia:Manual of Style/Mathematics hvis du har tænkt dig at bidrage mere til matematiske emner.

text: Endelig kan du anmode om hjælp her : Hjælp:Nybegynderforum

text: -- Mvh PHansen (diskussion) 27. sep 2020, 10:30 (CEST)
thread_title:  Hypersfærerne S_n