겔판드 표현

함수해석학에서 '''겔판드 표현'''(이즈라일 겔판드의 이름을 따서 명명됨)은 다음 두 가지 중 하나다.
* 가환 바나흐 대수를 연속 함수의 대수로 표현하는 방법;
* 가환 C*-대수학의 경우 이 표현은 등장 동형사상이라는 사실이다.
전자의 경우 겔판드 표현을 적분 가능한 함수의 푸리에 변환의 광범위한 일반화로 볼 수 있다. 후자의 경우 겔판드-나이마크 표현 정리는 정규 연산자에 대한 스펙트럼 이론을 만드는 한 가지 방법이며, 정규 행렬을 대각화하는 개념을 일반화한다.
겔판드의 원래 응용 중 하나(역사적으로 바나흐 대수 연구의 많은 동기를 부여한 응용)는 군 대수 와  각각의 대수에서 변환이 조밀 부분 공간을 생성하는 원소들을 특성화 함으로써 유명한 노베르트 위너의 보조정리를 더욱 짧고 개념적으로 증명을 하는데 있다.
임의의 국소 콤팩트 하우스도르프 위상 공간 ''''에 대해, ''''에서 정의된 무한대에서 영인 연속 복소 함수들의 공간 는 가환 -대수이다:
* 복소수들에 대한 대수 구조는 덧셈과 곱셈의 점별 연산을 고려하여 얻는다.
* 인볼루션은 점별 복소 켤레이다.
* 노름은 함수에 대한 고른 노름이다.
''''가 국소 콤팩트 하우스도르프인 것의 중요성은 이것이 ''''를 완비 정규 공간으로 바꾼다는 것이다. 그러한 공간에서 ''''의 모든 닫힌 부분 집합은 ''''에서 정의된 연속 복소 함수 족의 공통 영 집합이므로 에서 ''''의 위상를 복원할 수 있다.
는 ''''가 콤팩트인 경우에만 단위 대수이며, 이 경우 는 ''''에서 정의된 모든 연속 복소 함수들의 대수인 와 같다.
가 복소수 체 에 대해 정의된 가환 바나흐 대수라 하자. ''''이 아닌 대수 준동형사상 (곱셈적 선형 범함수) 는 의 특성이라고 한다; 의 모든 특성들의 집합은 로 표시된다.
위의 모든 특성이 표시될 수 있다.  자동으로 연속이므로 는 에서 정의된 연속 선형 범함수 공간 의 부분 집합이다; 게다가  약한-* 상대 위상을 부여했을 때, 는 국소 콤팩트 및 하우스도르프로 밝혀졌다. (이것은 바나흐–엘러오글루 정리에 따라 그렇다.) 공간 가 콤팩트함은(방금 정의된 위상에서) 대수 가 항등원을 가짐과 동치이다.
주어진 에 대해, 함수 를 로 정의한다. 의 정의와 이 위의 위상은 가 연속이며 무한대에서 ''''임을 보장한다. 사상 는 에서 로 가는 노름 감소 단위 보존 대수 동형 사상을 정의한다. 이 준동형사상은 ''''의 겔판드 표현이다''. ''그리고 는 원소 의 겔판드 변환이다. 일반적으로 표현은 단사도 전사도 아니다.
에 항등원이 있는 경우에 와  안의 극대 이데알들의 집합 사이에 전단사가 있고(이것은 겔판드-마주르 정리에 의존한다). 결과적으로 겔판드 표현 의 핵은 의 제이콥슨 라디칼과 동일시될 수 있다. 따라서 겔판드 표현은 가 (제이콥슨) 반단순인 경우에만 단사이다.
=== 예 ===
인 경우에, 의 군 대수, 그러면 는 과 위상동형이고 의 겔판드 변환은 푸리에 변환 이다.
, -실 반직선의 컨볼루션 대수인 경우에, 는 와 위상동형이고 의 원소의 겔판드 변환은 라플라스 변환 이다.
동기 부여로, 특별한 경우 를 고려하자. 주어진 ''''에 대해, 를 ''''에서 점별 계산이라 하자. 즉, . 그러면, 는 ''''의 특성이며 ''''의 모든 특성이 이 형식임을 보일 수 있다. 더 정확한 분석은 를 ''''와 함께 집합 뿐만 아니라 위상 공간으로 식별할 수 있음을 보여준다. 겔판드 표현은 다음 동형사상이다:
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=== 가환 C*-대수학의 스펙트럼 ===
''''로 표시되는 가환 -대수 ''''의 '''스펙트럼''' 또는 '''겔판드 공간'''은 에서 복소수 공간으로 가는 ''''이 아닌 ''*-'' 동형사상들의 집합으로 구성된다. 스펙트럼의 원소를 ''''의 '''특성'''이라고 한다.(''''에서 복소수 공간으로 가는 모든 대수 준동형사상은 자동으로 *-동형이므로 '특성'이라는 용어의 정의는 위의 것과 일치한다. )
특히, 가환적 -대수학의 스펙트럼은 국지적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간이다: 유니탈 경우, 즉 -대수가 곱셈 단위 원소 ''''을 갖는 경우, 모든 문자 ''''는 유니탈이어야 한다. 즉, ''''은 복소수 ''''이다. 이것은 제로 동형을 제외한다. 그래서 ''''는 약한-* 수렴에서 닫히고 스펙트럼은 실제로 콤팩트다. 단위가 아닌 경우에, ''''의 ''약한'' -*닫음은 ''''이며, 여기서 ''''은 제로 준동형이고 콤팩트 하우스도르프 공간에서 한 점을 제거하면 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 생성된다.
스펙트럼은 과중한 단어임을 주의하라. 또한 이는 단위가 ''''인 대수의 원소 ''''의 스펙트럼 , 즉 ''''에 대해 ''''이 에서 가역이 아닌 복소수 ''''의 집합도 나타낸다. 단위 -대수학의 경우 두 개념은 다음과 같은 방식으로 연결된다. 스펙트럼 반지름 공식과 함께 이것은 ''''가 ''''의 단위 공의 부분 집합이며, 약한-* 상대 위상이 주어질 수 있음을 보여준다. 이것이 점별 수렴의 위상이다.  스펙트럼의 원소의 그물 ''''는 ''의'' ''각'' ''''에 대해 복소수 그물 ''''가 ''''로 수렴하는 경우에만 ''''로 수렴한다.
가 분리 가능한 -대수인 경우 약한-* 위상은 제한된 부분 집합에서 가측이다. 따라서 분리 가능한 가환 -대수 의 스펙트럼은 거리 공간으로 볼 수 있다. 따라서 위상은 수열의 수렴을 통해 특성화할 수 있다.
동등하게, 는 의 치역이며, 여기서 는 겔판드 표현이다.
=== 가환 겔판드-나이마크 정리 ===
''''를 가환 -대수라고 하고 ''''를 의 스펙트럼이라고 한다.
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가 위에서 정의된 겔판드 표현이라 하자.
'''정리'''. 겔판드 사상 는 에서 로의 등장 *-동형사상이다.
아래의 아르베슨을 참조.
가환 -대수학의 스펙트럼은 또한 헐-커널 위상를 사용하여 ''''의 모든 극대 이데알 ''''의 집합으로 볼 수 있다. (일반적인 가환 바나흐 대수 예시에 대해서는 이전 설명 참조) 이러한 ''''에 대해 몫 대수 ''''은 ''''차원(겔판드-마주르 정리에 의해)이므로 ''의'' 모든 ''''는 ''''에 대한 복소 함수를 발생시킨다.
단위원이 있는 -대수의 경우, 스펙트럼 사상은 단위 및 단위 보존 연속 *-동형사상을 갖는 가환 -대수 범주에서 콤팩트 하우스도르프 공간 및 연속 사상 범주로 반변 함자를 발생시킨다. 이 함자는 이 두 범주 사이의 반변 동치의 절반이다(각 콤팩트 하우스도르프 공간 ''''에 -대수 를 할당하는 함자가 인접함). 특히, 콤팩트 하우스도르프 공간 ''''와 ''''가 주어지면 ''''가 ''''와 동형인 경우에만 는 와 동형이다(-대수).
'완전한' 겔판드–나이마크 정리는 겔판드 표현과 상당히 유사하지는 않지만 연산자의 대수학으로서 ''''의 구체적인 표현을 제공하는 임의의(추상적) 비가환  대수 ''''에 대한 결과이다.
가장 중요한 응용 중 하나는 -대수 ''의'' 정규 원소에 대한 연속 ''함수 미적분''의 존재이다. 원소 는 가 인접 원소 와 교환하는 경우에만 정규이다. 가환 -대수 에 적용된 겔판드 동형사상에 의해 이것은 국소 콤팩트 공간에서 연속 함수의 대수에 대해 *-동형이다. 이 관찰은 거의 즉시 다음으로 이어진다.
'''정리'''. ''''를 항등원을 갖는 -대수라고 하고 를 ''''의 정규 원소로 두자. 그러면, 스펙트럼 에서 ''''로의 연속 함수의 대수로부터 다음과 같은 *-사상 가 존재한다.
* ''''을 ''''의 곱셈 항등식에 사상한다.
* 스펙트럼의 항등 함수를 에 사상한다.
이를 통해 힐베르트 공간의 유계 정규 연산자에 연속 함수를 적용할 수 있다.
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분류:연산자 이론
분류:함수해석학