수슬린 수

일반위상수학에서 '''수슬린 수'''()는 위상 공간의 서로소 열린집합들의 집합족의 크기의 상한이다. 이 글에서는 수슬린 수를 비롯한 위상수학의 다양한 기수 값 불변량을 다룬다.
=== 무게 ===
위상 공간 의 '''무게'''() 는 의 기저의 최소 크기이다. '''제2 가산 공간'''은 인 위상 공간이다.
무게의 개념의 몇 가지 변형은 다음과 같다.
 집합족의 조건 
 최소 크기 
 기호
 기저 
 무게 
 
 유사 기저 
 유사 무게 
 
 π-기저 
 π-무게 
 
 망 
 망 무게 
 
==== 유사 무게 ====
위상 공간 의 '''유사 기저'''() 또는 '''ψ-기저'''()는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 이다.
* 임의의 에 대하여, 
위상 공간이 유사 기저를 가질 필요충분조건은 T1 공간인 것이다.
T1 공간 의 '''유사 무게'''() 또는 '''ψ-무게'''() 는 그 유사 기저의 최소 크기이다.
==== π-무게 ====
위상 공간 의 '''π-기저'''()는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 이다.
* 의 공시작 집합이다. 즉, 이며, 임의의 열린집합 에 대하여, 만약 라면, 인 가 존재한다.
위상 공간 의 '''π-무게'''() 는 그 π-기저의 최소 크기이다.
==== 망 무게 ====
위상 공간 의 '''망'''()은 다음 조건을 만족시키는 집합족 이다.
* 임의의 열린집합 에 대하여, 인 이 존재한다.
따라서, 기저는 열린집합들로 이루어진 망이다.
위상 공간 의 '''망 무게'''() 는 그 망의 최소 크기이다.
=== 밀도 ===
위상 공간 의 '''밀도'''() 는 의 조밀 집합의 최소 크기이다. '''분해 가능 공간'''은 인 위상 공간이다.
==== 유전적 밀도 ====
위상 공간 의 '''유전적 밀도'''()  또는 '''너비'''() 의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.
* 는 의 부분 집합의 밀도의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 을 취한다).
*:
* 는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 을 취한다).
** 모든 상집합이 열린집합이 되는  위의 정렬 전순서가 존재한다.
즉,
:
이다. 유한한 값을 허용할 경우 두 정의는 더 이상 동치가 아니다.
의 증명. 가 부분 집합이며, 가  위의 정렬 전순서이며, 의 모든 상집합이 의 열린집합이라고 하자. 를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 에 대하여, 임을 보이면 충분하다. 가 의 순서형이라고 하자. 이므로, 순서형이 인 부분 집합
:
가 존재한다. 임의의 상집합 는 의 에서의 상폐포와 의 교집합이므로, 의 열린집합이다. 는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, 만약 가 조밀 집합이라면, 는 의 공종 집합이며, 이다. 즉,
:
이다.
의 증명. 임의의 에 대하여, 임을 보이면 충분하다. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 을 만들 수 있다.
:
이제,
:
라고 하자.  위에 그 원소의 첨수에 따른 순서를 부여하면, 순서형이 인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, 임의의 상집합 에 대하여, 그 최소 원소가 라고 하면,
:
이므로, 는 열린집합이다. 따라서,
:
이다.
=== 수슬린 수 ===
위상 공간 이 주어졌을 때, 공집합이 아닌 열린집합들의 부분 순서 집합 의 강하향 반사슬들은 정확히 의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들로 이루어진 집합족들이다.
위상 공간 의 '''수슬린 수'''() 또는 '''세포도'''() 는 의 강하향 반사슬의 크기의 상한이다.
==== 유전적 수슬린 수 ====
위상 공간 의 '''유전적 수슬린 수'''()  또는 '''퍼짐'''() 의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이는 서로 동치이다.
* 는 의 부분 집합의 수슬린 수의 상한이다.
*:
* 는 의 이산 집합의 크기의 상한이다.
즉,
:
이다.
의 증명. 의 부분 집합  및 의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족 가 주어졌을 때, 임의의 에 대하여
:
를 고르면,
:
는 의 부분 집합이며, 또한 이산 공간이다.
의 증명. 의 이산 집합 가 주어졌을 때,
:
는 의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이다.
=== 린델뢰프 수 ===
위상 공간 의 임의의 열린 덮개 에 대하여, 가 그 부분 덮개의 최소 크기라고 하자.
위상 공간 의 '''린델뢰프 수'''() 는 다음과 같다.
:
'''린델뢰프 공간'''은 인 위상 공간이다.
==== 유전적 린델뢰프 수 ====
위상 공간 의 '''유전적 린델뢰프 수'''()  또는 '''높이'''() 의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.
* 는 의 부분 집합의 린델뢰프 수의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 을 취한다).
*:
* 는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 의 크기의 상한이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 을 취한다).
** 모든 하집합이 열린집합이 되는  위의 정렬 전순서가 존재한다.
즉,
:
이다. 유한한 상한을 허용할 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다. (반례로 시에르핀스키 공간이 있다.)
의 증명. 가 부분 집합이며, 가  위의 정렬 전순서이며, 의 모든 하집합이 의 열린집합이라고 하자. 를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 에 대하여 임을 보이면 충분하다. 가 의 순서형이라고 하자. 이므로, 순서형이 인 부분 집합
:
가 존재한다. 의 모든 하집합 역시 의 열린집합임을 쉽게 알 수 있다. 는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, 의 열린 덮개
:
의 모든 부분 덮개의 크기는 이다. 즉,
:
이다.
의 증명. 임의의 부분 집합  및 무한 기수 에 대하여, 임을 보이면 충분하다. 인 의 열린 덮개 를 고르자. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬  및 을 만들 수 있다.
:
이제,
:
라고 하자. 는 자연스럽게 순서형이 인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, 의 임의의 하집합
:
은 의 열린집합이다. 따라서,
:
이다.
=== 지표 ===
위상 공간 의 부분 집합 의 '''국소 지표'''() 는 의 국소 기저의 최소 크기이다.
위상 공간 의 '''지표'''() 는 모든 점의 국소 지표의 상한이다.
:
'''제1 가산 공간'''은 인 위상 공간이다.
마찬가지로, 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.
 집합족의 조건 
 개념 
 기호
 국소 기저 
 (국소) 지표 
 
 국소 유사 기저 
 (국소) 유사 지표 
 
 국소 π-기저 
 (국소) π-지표 
 
==== 유사 지표 ====
위상 공간 의 부분 집합 의 '''국소 유사 기저'''() 또는 '''국소 ψ-기저'''()는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 이다.
:
위상 공간 의 부분 집합 의 '''국소 유사 지표'''() 또는 '''국소 ψ-지표'''() 는 의 국소 유사 기저의 최소 크기이다.
T1 공간 의 '''유사 지표'''() 또는 '''ψ-지표'''() 는 모든 점의 국소 유사 지표의 상한이다.
:
==== π-지표 ====
위상 공간 의 점 의 '''국소 π-기저'''()는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합족 이다.
* 이며, 의 임의의 근방 에 대하여, 인 가 존재한다.
위상 공간 의 점 의 '''국소 π-지표'''() 는 의 국소 π-기저의 최소 크기이다.
위상 공간 의 '''π-지표'''()는 는 모든 점의 국소 π-지표의 상한이다.
:
=== 밀착도 ===
위상 공간 의 부분 집합  및 그 폐포의 점 에 대하여, 가 인 의 최소 크기라고 하자.
위상 공간 의 점 의 '''국소 밀착도'''()는 다음과 같다.
:
위상 공간 의 '''밀착도'''()는 는 모든 점의 국소 밀착도의 상한이다.
:
'''가산 생성 공간'''은 인 위상 공간이다.
위상 공간 이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) 
* (ㄴ) 
* (ㄷ) 
* (ㄹ) 
* (ㅁ) 
* (ㅂ) 
* (ㅅ) 
의 증명. 가 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이라고 하자. 가 조밀 집합이라고 하자. 임을 보이면 족하다. 조밀성에 따라, 임의의 에 대하여
:
를 고를 수 있다. 가 서로소이므로, 는  단사 함수이다. 따라서 이다.
의 증명. 가 의 π-기저라고 하자. 인 조밀 집합 를 찾으면 족하다. 임의의 에 대하여 를 고르자. 그렇다면,
:
는 조밀 집합이며, 이다.
의 증명. 모든 기저는 π-기저이므로 자명하다.
의 증명. 는 의 기저를 이루므로 자명하다.
의 증명. 이므로 자명하다.
의 증명. 이 의 망이라고 하자. 임을 보이면 족하다. 이는
:
:
가 전사 함수이므로 자명하다.
의 증명. 이 의 망이라고 하자. 인 조밀 집합 를 찾으면 족하다. 임의의 에 대하여 을 고르자. 그렇다면,
:
는 조밀 집합이며, 이다.
의 증명. 이 의 망이라고 하자. 가 의 열린 덮개라고 하자. 인 부분 덮개 를 찾으면 족하다.
:
라고 하자. 임의의 에 대하여
:
인 를 고르자. 그렇다면,
:
은 의 부분 덮개이며, 이다.
의 증명. 가 의 망이므로 자명하다.
의 증명. 모든 기저는 망을 이루므로 자명하다.
의 증명. 가 의 국소 기저라고 하자. 이며 라고 하자.
:
:
인 를 찾으면 족하다. 임의의 에 대하여, 를 고르자. 그렇다면,
:
는 위 조건들을 만족시킨다.
의 증명. 의 임의의 국소 기저 에 대하여,
:
는 열린 근방들로 이루어진 국소 기저이며, 특히 의 국소 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
의 증명. (ㄷ)에 의하여 자명하다.
의 증명. 의 임의의 기저  및 임의의 에 대하여,
:
는 의 국소 기저이므로 자명하다.
의 증명. 모든 에 대하여 국소 기저 가 주어졌을 때,
:
는 의 기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
의 증명. 모든 π-기저는 모든 점의 국소 π-기저이므로 자명하다.
의 증명. 모든 점 에 대하여 국소 π-기저 가 주어졌고, 임의의 조밀 집합 가 주어졌을 때,
:
는 의 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
임의의 에 대하여 이므로 자명하다.
의 증명. 의 임의의 π-기저 가 주어졌다고 하자. 의 크기  이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수
:
를 찾으면 족하다. 임의의 정칙 닫힌집합 에 대하여,
:
가 인  속의 서로소 열린집합 들로 구성된 집합족 가운데 극대 원소인 하나라고 하자. (이는 초른 보조정리에 따라 존재하며, 선택 공리에 따라 극대 원소들 가운데 하나를 고를 수 있다.) 이제, 함수
:
를 생각하자. 자명하게 이다. 만약 라면,
:
이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.
의 증명. 임의의 조밀 집합 가 주어졌다고 하자. 단사 함수
:
를 찾으면 족하다. 함수
:
를 생각하자. 만약 라면,
:
:
인 열린집합 를 골랐을 때,
:
이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.
콜모고로프 공간 에서, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) 
의 임의의 기저 가 주어졌다고 하자. 단사 함수
:
를 찾으면 족하다. 콜모고로프 조건에 따라, 함수
:
는 단사 함수이다.
T1 공간 에서, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) 
* (ㄴ) 
* (ㄷ) 
* (ㄹ) 
* (ㅁ) 
의 증명. T1 조건에 따라 가 의 유사 기저이므로 자명하다.
의 증명. T1 조건에 따라 모든 기저는 유사 기저이므로 자명하다.
의 증명. T1 조건에 따라 모든 은 의 열린집합이므로 자명하다.
T1 조건에 따라 의 모든 국소 기저는 국소 유사 기저이므로 자명하다.
의 증명. (ㄴ)에 의하여 자명하다.
의 증명. 의 임의의 유사 기저  및 임의의 에 대하여,
:
는 의 국소 유사 기저이므로 자명하다.
의 증명. 의 임의의 유사 기저 가 주어졌다고 하자. 단사 함수
:
를 찾으면 족하다. 함수
:
를 생각하자. 만약 라면,
:
이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.
의 증명. 의 임의의 망 이 주어졌다고 하자. 의 크기  이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수
:
를 찾으면 족하다. 임의의 에 대하여, 인 의 국소 유사 기저 를 고르자. 임의의  및 에 대하여, 인 을 고르자. 이제, 함수
:
생각하자. (이므로 이다.) 만약 라면,
:
이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.
의 임의의 유사 기저 에 대하여,
:
는 의 망을 이루며,
:
이다.
하우스도르프 공간 에서, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) 
* (ㄴ) 
의 증명. 임의의 조밀 집합 가 주어졌다고 하자. 단사 함수
:
를 찾으면 족하다. 함수
:
를 생각하자. 만약
:
라면, 하우스도르프 조건에 따라
:
이다. (두 번째 등식은 조밀성에 따라 이기 때문이다.) 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.
의 증명. 만약 이라면, 는 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, 이라고 하자. 임의의 조밀 집합 가 주어졌다고 하자. 단사 함수
:
를 찾으면 족하다. 임의의 에 대하여, 인 국소 기저 를 고르자. 임의의 에 대하여
:
를 고르고,
:
:
라고 하자. 이제, 함수
:
를 생각하자. 자명하게
:
:
이다. 하우스도르프 조건에 따라
:
이다. 따라서, 만약
:
라면,
:의 증명. 하우스도르프 공간에서, 정칙 닫힌집합들은 유사 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
의 증명. 만약 라면, 는 유한 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, 이라고 하자. 의 임의의 망 이 주어졌다고 하자. 인 유사 기저 를 찾으면 족하다.
:
라고 하자. 임의의 에 대하여,
:
:
:
인 열린집합 를 고르자. 그렇다면, 하우스도르프 조건에 따라,
:
는 유사 기저임을 알 수 있다. 또한, 자명하게
:
이다.
정칙 하우스도르프 공간 에서, 다음이 성립한다.
* 
정칙 하우스도르프 공간에서, 정칙 열린집합들은 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
콤팩트 T1 공간 에서, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) 
T1 공간에 대한 명제 (ㅁ)의 증명과 유사하다.
콤팩트 하우스도르프 공간 에서, 다음이 성립한다.
* 
위상 공간  및 부분 집합 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
* 
* 
* 가 T1 공간일 때, 
* 
* 가 T1 공간일 때, 
* 
만약 가 닫힌 연속 전사 함수라면, 다음이 성립한다.
* 
* 
* 
* 
분류:일반위상수학