리의 정리

수학, 특히 리 대수론에서 '''리의 정리'''는 표수 0인 대수적으로 닫힌 체에 대해  가 가해 리 대수의 유한차원 표현이면, 인 의 불변 부분공간의 기 가 존재, 즉 과  각각에 대해 라는 정리이다.
달리 말하면, 이 정리는 안의 모든 선형 변환들이 상 삼각행렬로 표현되는 의 기저가 있다는 정리이다. 이는 가환 행렬쌍이 동시에 상 삼각화 가능하다는 프로베니우스의 결과를 일반화한 것이다. 이는 가환 행렬쌍이 fortiori solvable인 아벨 리 대수를 생성하기 때문이다.
리의 정리의 결과는 표수 0의 체에 대한 모든 유한 차원 가해 리 대수는 멱영 유도 대수를 갖는다는 것이다. 또한 유한차원 벡터 공간 ''V'' 의 각 기에는 보렐 부분대수 (기를 안정화하는 선형 변환으로 구성됨)가 대응된다. 따라서 정리는 가 의 어떤 보렐 부분대수에 포함되어 있다고 한다.
대수적으로 닫힌 표수 인 체의 경우 표현의 차원이 ''p'' 보다 작은 경우 리의 정리가 유지되지만(아래 증명 참조) 차원이 ''p''인 표현에서는 거짓일 수 있다. 예를 들어, 고유 벡터가 없는 ''p'' 차원 벡터 공간 에 작용하는 로 생성된 3차원 멱영 리 대수에서는 리의 정리가 성립하지 않는다. 이 3차원 리 대수의 반직접 곱을 ''p'' 차원 표현(아벨 리 대수로 여김)으로 취하면 유도 대수가 멱영이 아닌 가해 리 대수를 얻을 수 있다.
증명은 의 차원에 대한 귀납법으로 한다. 그리고 여러 단계로 구성된다. (참고: 증명의 구조는 엥겔의 정리와 아주 비슷하다.) 기본 예시는 자명하며, 차원을 양수라고 가정한다.  또한 ''V는'' 0이 아니라고 가정한다. 단순화를 위해 로 쓴다.
'''1단계''' : 정리가 다음 진술과 동일한지 확인한다.
* ''V''에는 안의 각 선형 변환에 대한 고유 벡터가 되는 벡터가 있다.
실제로, 정리는 특히 를 생성하는 0이 아닌 벡터는  안의 모든 선형 변환들에 대한 공통된 고유 벡터이다. 반대로, ''v가'' 공통된 고유벡터라면 그 생성공간을 잡으면 는 몫공간 에서 공통 고유벡터 가진다; 이 주장을 반복한다.
'''2단계''' :  여차원 1인  안의 이데알 를 찾는다.
를 그 유도 대수라 하자. 가 가해이고 양의 차원을 가지며, 이라서 몫 은 0이 아닌 아벨 리 대수인데, 이는 확실히 여차원 1인 이데알을 포함하고, 이데알 대응성에 의해  안에 있는 여차원 1인 이데알에 대응한다.
'''3단계''' :  안에
: 
0이 아닌 어떤 선형 범함수 가 존재한다. 이는 귀납적 가설(고유값이 선형 범함수를 결정하는지 확인하는 것은 쉽다)에서 따른다.
'''4단계''' : 는 -불변 부분공간이다. (이 단계는 일반적인 사실을 증명하며 가해성을 포함하지 않는다.)
, 라 하자. 그러면 를 증명해야 한다. 인 경우는 자명하므로, 를 가정한다. 그리고 재귀적으로 로 놓는다. 와 가  가 선형독립인 조건 하에 최대집합이라 하자. 그러면 이 원소들이 ''U를'' 생성하고 ''가 U''의 기저라는 것을 증명할 것이다. 실제로, 귀류법으로 증명하기 위해, 그것이 사실이 아니라고 가정하고 가 인 최소값이라 하자. 그러면 분명히 이다. 들은 선형 종속이며, 는 의 선형 결합이다. 사상 를 적용하면 가 의 선형 결합임을 알 수 있다. ''m''의 최소성으로 인해 이들 벡터 각각은 의 선형 결합이다. 따라서 도 그렇다. 이는 모순이다. 이제, 귀납법을 통해 모든 , 에 대해 이고
: 
인 기본 체의 원소들 이 존재한다는 것을 증명한다. 인 경우는 이므로 간단하다. 이제 어떤 과 의 모든 원소에 대해 명제를 증명했다고 가정하자.  그리고 라 하자. 가 이데알이므로, 이다. 따라서
: 
이며, 귀납 단계가 이어진다. 이는 모든 애 대해 부분공간 ''U''는 ''X''의 불변 부분공간이고 제한 사상 의 행렬은 기저에 대해 대각선 성분이 과 같은 상 삼각형 행렬이다. 따라서 . 이것을 ''X'' 대신에 와 적용하면   이다. 반면에 ''U는'' 분명히 ''Y''의 불변 부분공간이기도 하다.
: 
교환자에는 대각합이 0이므로 이다.  눈 (베이스 체의 표수에 대한 가정으로 인해) 가역적이므로, 이고
: 
이며, 따라서 .
'''5단계''' : 공통된 고유벡터를 찾아 증명을 마무리한다.
라 하자. 여기서 ''L''은 1차원 부분 벡터공간이다. 기본 체가 대수적으로 닫혀 있으므로 안에서 ''L'' 의 0이 아닌 어떤(따라서 모든) 원소에 대해 고유 벡터가 존재한다. 그 벡터는 또한 의 각 원소에 대한 고유 벡터이기 때문에, 증명이 완료되었다. 
정리는 특히 표수 0의 대수적으로 닫힌 체에 대한 (유한차원) 가해 리 대수 의 딸림 표현 에 적용된다. 따라서 이 상 삼각 행렬로 구성되도록 의 기저를 선택할 수 있다. 각각의 에 대해, 는 0으로 구성된 대각선이 있다. 즉, 은 순상삼각 행렬이다. 이는 가 멱영 리 대수임을 의미한다. 더욱이, 기본 체가 대수적으로 닫혀 있지 않으면 리 대수의 가해성과 멱영성은 기본 체를 대수적 폐포로 확장해도 영향을 받지 않는다. 따라서 다음 진술을 결론짓는다:
: ''표수 0의 체에 대한 유한차원 리 대수 가 가해임과 유도 대수 가 다음과 멱영임은 동치이다.''
리의 정리는 또한 카르탕의 가해성 판별법에서 한 가지 방향을 설정한다.
: V''가 표수 0인 체에 대한 유한 차원 벡터 공간이고'' ''는 리 부분 대수이면 ''가 ''가해임과 모든 '', ''''에 대해 ''''임이 동치이다''.''
실제로 위와 같이 기본 체를 확대한 후에는  는 쉽게 보일 수 있다. (역은 증명하기가 더 어렵다.)
리의 정리(다양한 ''V'' 에 대한)는 다음 진술과 동일하다:
: ''대수적으로 닫힌 표수 0 체 위에서 가해 리 대수 에 대해 각각의 유한차원 단순 -가군(즉, 표현으로서 기약)은 1차원이다.''
실제로 리의 정리는 이 진술을 분명히 암시한다. 반대로, 그 진술이 사실이라고 가정하자. 주어진 유한차원 -가군 ''V''에 대해, 가 극대 -부분 가군이라 하자(차원의 유한성에 의해 존재함). 그런 다음 극대성으로 인해, 는 단순하다; 따라서 1차원이다. 이제 귀납법으로 증명이 완료된다.
이 진술은 특히 아벨 리 대수에 대한 유한차원 단순 가군이 1차원이라고 말한다. 이 사실은 모든 기본 체에서 사실로 유지된다. 이 경우 모든 부분 벡터 공간은 리 부분대수이기 때문이다.
여기 또 다른 유용한 적용이 있다:
''''가 ''표수 0인 대수적으로 닫힌 체에 대한 유한차원 리 대수이고 그 근기를 ''라 하자''.'' ''그러면 각각의 유한차원 단순 표현 는 의 단순 표현과  의 1차원 표현의 텐서 곱이다.(즉, 리 괄호에서 선형 범함수는 사라지는 것이다).''
리의 정리에 의해 의 가중치 공간 가 존재하도록 의 선형 범함수 를 찾을 수 있다. 리의 정리 증명의 4단계에 의해, 는 또한  -가군이다; 그래서 . 특히, 각 에 대해, . 를 에서 영인  위의 선형 범함수로 확장하면, 는 의 1차원 표현이다. 이제,. 는  위의 와 일치하므로, 는  위에서 자명하다. 따라서 의 (단순한) 표현의 제한이다.
* 멱영 리 대수에 관한 엥겔의 정리 .
* (연결된) 가해 선형 대수군에 관한 리-콜친 정리.
* Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. . MR 1153249. OCLC 246650103.
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분류:리 대수