단조 정규 공간

일반위상수학에서 '''단조 정규 공간'''()은 서로소 닫힌집합을 분리하는 서로소 열린집합을 단조함수를 통해 고를 수 있는 정규 공간이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 위상 공간 
* 의 부분 집합의 순서쌍들의 집합 
그렇다면, '''단조 정규성 연산자'''() 는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.
* 에 부분 순서 를 주었을 때, 는 단조함수이다.
* 
만약 다음 조건을 추가로 만족시키면, '''자기 서로소 단조 정규성 연산자'''()라고 한다.
:
단조 정규성 연산자 가 주어졌을 때, 만약 라면,
:
:
는 자기 서로소 단조 정규성 연산자를 이룬다.
다음과 같은 집합들을 정의하자.
:
:
:
그렇다면, 항상 이며, 가 T1 공간이라면 이다.
위상 공간 가 다음 조건을 만족시키면, '''단조 정규 공간'''이라고 한다.
* 단조 정규성 연산자 가 존재한다.
T1 공간 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 단조 정규성 연산자 가 존재한다.
* 단조 정규성 연산자 가 존재한다.
* 자기 서로소 단조 정규성 연산자 가 존재한다.
가 T1 공간이므로,
:
이다. 따라서, 만약 가 단조 정규성 연산자라면,  역시 단조 정규성 연산자이다. 만약 가 자기 서로소 단조 정규성 연산자라면,  역시 자기 서로소 단조 정규성 연산자이다. 즉, 첫 번째 조건은 두 번재 조건을 함의하며, 두 번째 조건은 세 번째 조건을 함의한다. 이제, 자기 서로소 단조 정규성 연산자
:
가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 함수를 정의하자.
:
:
만약
:
:
:
라면, 자명하게 이다. 또한, 임의의 에 대하여,
:
:
:
이다. 따라서, 는 단조 정규성 연산자이다.
=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:
 거리화 가능 공간 
 → 
 완전 정규 하우스도르프 공간 (T6) 
 → 
 완비 정규 하우스도르프 공간 (T5) 
 → 
 정규 하우스도르프 공간 (T4)
 
 ↘ 
 
 
 ↑ 
 
 ↑
 
 
 단조 정규 하우스도르프 공간 
 → 
 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간 
 → 
 집합족적 정규 하우스도르프 공간
모든 거리 공간 가 단조 정규 공간임을 보이면 충분하다. 다음과 같은 함수를 정의하자.
:
:
그렇다면,
:
가 연속 함수 이므로, 는 열린집합이다. 만약
:
:
:
라면,
:
이므로,
:
이다. 또한,
:
:
이다. 즉, 는 단조 정규성 연산자이다.
단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이므로, 모든 단조 정규 하우스도르프 공간이 집합족적 정규 공간임을 보이면 충분하다. 단조 정규 하우스도르프 공간  및 자기 서로소 단조 정규성 연산자
:
및 닫힌집합들의 이산 집합족
:
:
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 열린집합들의 서로소 집합족
:
:
:
을 찾으면 충분하다. 모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이므로, 폐포와 합집합 연산의 순서를 교환할 수 있다. 특히, 닫힌집합들의 이산 집합족의 합집합은 닫힌집합이다. 이제, 임의의 에 대하여,
:
라고 하자. 의 정의에 따라, 는 열린집합이며, 이다. 만약 이며 라면,
:
이다. 즉, 는 서로소 집합족이다.
순서 위상을 갖춘 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다.
임의의 전순서 집합  위에 순서 위상을 주자. 다음 두 조건을 보이면 충분하다.
* (T1) 모든 한원소 집합은 닫힌집합이다.
* (단조 정규성) 자기 서로소 단조 정규성 연산자 가 존재한다.
'''T1.''' 임의의 에 대하여,
:
이므로 한원소 집합 는 닫힌집합이다.
'''단조 정규성.''' 선택 공리와 동치인 정렬 정리에 따라,  위에 임의의 정렬 전순서 를 주자. 임의의 닫힌집합  및 점 에 대하여, 다음과 같이 정의하자.
* 는 를 포함하는 의 순서 볼록 성분이다.
* 만약 이라면, 
* 만약 이라면, 
이제,
:
라고 하자. 가 자기 서로소 단조 정규성 연산자임을 보이면 충분하다.
* 는 열린집합이다.
** 인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이며 가 열린집합이므로, 인 가 존재한다. 는 를 포함하는 순서 볼록 집합이므로, 이다. 이므로, 이다. 따라서, 이다.
* 
** 이는 자명하다.
* 
** 인 경우를 생각하자. 이 경우, 이다.
* 만약 가 닫힌집합이며, 라면, 
** 이며 인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, , 이다. 만약 라면, 이며, 특히 이다. 이제, 라고 가정하자. 이므로, 이다. 따라서, 이며, 이므로 이다. 의 정의에 따라, 는 의 원소일 수 없다. 따라서, 이며, 이다.
* 임의의 서로 다른 에 대하여, 
** 이며 인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, , 이다. 귀류법을 사용하여, 이라고 가정하자. , 이므로, 일 수밖에 없다. 따라서 이며, 이는 모순이다.
=== 연산에 대한 닫힘 ===
단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다. 반대로, 위상 공간 가 단조 정규 하우스도르프 닫힌집합들로 구성된 국소 유한 덮개를 갖는다면, 단조 정규 하우스도르프 공간이다.
단조 정규 하우스도르프 공간  및 단조 정규성 연산자
:
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여,
:
이며,
:
:
는 단조 정규성 연산자이다.
단조 정규 하우스도르프 공간  및 닫힌 연속 함수 에 대하여, 그 상 는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.
편의상 라고 하자. 단조 정규성 연산자
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가 주어졌을 때, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:
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이는 자명하게 단조함수이다.
:
:
이므로,
:
:
이다. 따라서, 는 단조 정규성 연산자이다.
단조 정규 하우스도르프 공간  및 닫힌집합  및 연속 함수 에 대하여, 붙임 공간 는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.
다음 두 조건을 보이는 것으로 충분하다.
* 는 T1 공간이다. 즉, 모든 한원소집합은 닫힌집합이다.
* 는 단조 정규 공간이다. 즉, 단조 정규성 연산자 가 존재한다.
'''T1.''' 표준적인 연속 함수
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를 생각하자. 그렇다면, 부분 집합 이 열린집합일 필요충분조건은 와 가 둘 다 열린집합인 것이다. 마찬가지로, 닫힌집합일 필요충분조건은 와 가 둘 다 닫힌집합인 것이다. 또한, 는 열린 위상수학적 매장이며, 는 닫힌 위상수학적 매장이며,
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:
이다. (그러나 는 두 상의 분리합공간일 필요가 없다.) 이제, 임의의  및 에 대하여,
:
:
:
:
이다. 따라서, 와 는 닫힌집합이며, 는 T1 공간이다.
'''단조 정규성.''' 단조 정규성 연산자
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가 주어졌다고 하자. 임의의 서로소 닫힌집합 에 대하여,
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이다. 이제,
:
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라고 하자. 그렇다면, 이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.
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:
:
:
이제,
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인 열린집합 을 잡고,
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라고 하자.
:
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는 모두 열린집합이므로, 는 열린집합이다. 또한,
:
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이며 (가 열린 매장이며 가 닫힌 매장이라는 사실을 사용하였다), 만약
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:
:
라면
:
:
이므로
:
이다. 따라서, 는 단조 정규성 연산자이다.
* 
분류:위상 공간의 성질