오일러-매클로린 공식

수학에서 '''오일러-매클로린 공식'''(Euler–Maclaurin formula)은 어떤 적분 값과 이와 밀접하게 관련된 합 사이의 차이에 대한 공식이다. 이 공식은 유한 합으로 적분을 근사화하거나 반대로 적분과 미적분학 방법을 사용하여 유한 합이나 무한 급수를 평가하는 데 사용할 수 있다. 예를 들어, 이 공식으로부터 다수의 점근적 확장식이 파생되고, 거듭제곱의 합에 대한 파울하버(Faulhaber)의 공식은 이로부터 곧바로 유도된다.
이 공식은 1735년경 레온하르트 오일러와 콜린 매클로린에 의해 독립적으로 발견되었다. 오일러는 천천히 수렴하는 무한급수를 계산하는 데 이 식이 필요했고 매클로린은 적분을 계산하는 데 이 식을 사용했다. 나중에 다르부(Darboux)의 공식으로 일반화되었다.
만일  과  이 자연수 이고  가 구간  에서 실수  에 대한 실수 또는 복소수 값 연속 함수 인 경우에 적분식는 아래의 합계로 근사할 수 있고, 그 역도 가능하다.( 사각형 방법 참조).
오일러-매클로린 공식은 구간의 끝점, 즉  및  에서 평가된 더 높은 도함수  값을 이용하여 합과 적분 값의 차이에 대한 식을 제공한다.
구체적으로, 양의 정수  와  구간에서  번 연속적으로 미분 할 수 있는 함수  에 대해 우리는 다음 식,을 갖는데, 여기서  는 번째 베르누이 수 (with 이고,  는 차이값으로 , , , 및 에 의돈하고 적당한  에 대하여 작은 값이다.
이 공식은 종종 짝수의 하첨자만을 취하면서 기술하는데, 이는  을 제외하고 홀수 베르누이 수가 0이기 때문이다.  이 경우에 식은,가 되고, 달리 표현하면,가 된다.
=== 나머지 항 ===
일반적으로 적분값이 합산값과 정확하게 같지 않기 때문에 나머지 항이 발생한다. 이 공식은  대해 연속적인 구간  에 대하여 부분적분을 반복적으로 적용하여 유도할 수 있다. 이러한 적분의 경계 항은 공식의 주요 항으로 유도되고 잔류 적분은 나머지 항을 형성한다.
나머지 항은 주기화된 베르누이 함수  로 정확하게 표현된다. 베르누이 다항식은  에 의해 재귀적으로 정의될 수 있고,  인 경우 아래와 같이 된다.주기화된 베르누이 함수는 다음 식,으로 정의되는데, 여기서  는 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 나타내므로  는 항상 구간  에 있다.
이 표기법에서 나머지 항  는 다음과 같다.이 식은  일 때 다음 식,으로 표기될 수 있는데, 여기서  는 리만 제타 함수를 나타낸다. 이 부등식을 증명하는 한 가지 방법은 다항식  에 대한 푸리에 급수를 얻는 것이다. 한계값은   가 0일 때 짝수  에 대하여 달성된다.  항은 홀수  에 대해 생략될 수 있지만 이 경우 증명은 더 복잡하다(레머 참조). 이 부등식을 사용하여 나머지 항의 크기는 다음과 같이 추정할 수 있다.
=== 저 차수 사례 ===
 부터  까지의 베르누이 수는,  이다. 따라서, 오일러-매클로린 공식의 저 차수 값은 아래와 같이 된다.
=== 바젤 문제 ===
Basel 문제는 아래 합을 결정하는 것이다.오일러는 1735년에 오일러-매클로린 공식의 겨우 몇개의 항을 계산하여 소수점 이하 20자리까지 계산하였다. 아마도 오일러는 이로써 이 값이 과 같을 것으로 확신하였고, 같은 해에 이를 증명하였다.
=== 다항식을 포함하는 합계 ===
만일  가 다항식이고  가 충분히 크면 나머지 항이 사라진다. 예를 들어  이면  를 선택하여 단순화 후 다음을 얻을 수 있다.
=== 적분의 근사 ===
이식에 의하면 정적분을 근사하는 수단이 제공된다.  이제  를 적분 구간의 끝점이라고 한다. 근사에서 사용하는 점의 숫자인  으로 고정하고, 이에 따른 스텝의 크기를  으로 표기한다.   으로 고정하면,  및 이 된다.  그렇다면 아래식으로 된다.이것은 수정 항을 포함하여 사다리꼴 공식을 확장하는 것으로 볼 수 있다. 이 점근적 확장은 일반적으로 수렴하지 않는다. 즉   와  에 따라 일부  가 있으므로 과거 순서  가 빠르게 증가한다. 따라서 나머지 항은 일반적으로 세심한 주의가 필요하다.
오일러-매클로린 공식은 수치 직교에서 상세한 오차 분석에도 사용된다. 이 식은 완만한 주기 함수에 대한 사다리꼴 규칙의 우수한 성능을 설명하고 특정한 외삽 방법에 사용된다. Clenshaw-Curtis 구적법 은 (특정한 경우 오일러-매클로린 공식은 이산 코사인 변환의 형태를 취한다는 점에서) 본질적으로 오일러-매클로린 접근법이 매우 정확하게 되는 주기 함수의 적분 항으로 임의의 적분을 캐스팅하기 위하여 변수를 변경한 것이다. 이 기법은 주기화 변환으로 알려져 있다.
=== 합의 점근적 확장 ===
합과 급수의 점근 전개를 계산하는 경우에 일반적으로 오일러-맥클로린 공식의 가장 유용한 형식은 다음과 같다.여기서  와  는 정수이다. 이 확장은 극한  또는  또는 둘 모두를 취한 후에도 종종 유효하다. 많은 경우에 우변의 적분은, 비록 좌변의 합은 할 수 없지만, 기본 함수의 항의 닫힌 형식 으로 평가할 수 있다. 그러면 점근적 급수의 모든 항은 기본 함수로 표현될 수 있다.
예를 들어,
와 같이 될 수 있다.
여기서 좌변은 , 즉 다음과 같이 정의된 1차 폴리감마 함수,
: 
와 같다.
감마 함수  는   가 양의 정수일 때. 그 결과  에 대한 점근적 확장이 발생한다. 반대로 이 확장은 스털링의 계승 함수 근사에 대한 정확한 오차 추정치의 도출 중 하나를 위한 시작점 역할을 한다.
==== 예 ====
만일  가 1보다 큰 정수이면 아래 식이 된다.상수를 리만 제타 함수의 값으로 수집하면 아래의 점근 전개를 작성할 수 있다.여기서  가 2인 경우 이는 다음과 같이 단순화된다.즉,여기서  일 때 해당 기술은 고조파 수에 대해 점근적 확장을 제공한다.여기서  는 오일러-마스케로니 상수이다.
=== 수학적 귀납법에 의한 유도 ===
우리는 Apostol에서 주어진 주장을 요약한다.
위에서  에 대한 베르누이 다항식  및 주기적 베르누이 함수  가 소개되었다.
처음 몇 개의 Bernoulli 다항식은 다음과 같다. 값은 베르누이 수 이다. 특히  경우되고, 그리고  인 경우,이 됨을 유의하라.
함수  은 간격 에서 베르누리 다항식과 일치하고 주기 1로 주기적이다. 또한  인 경우를 제외하고는 연속적이다. 따라서, 를 정수로 두고 아래 적분,여기서인 적분을 고려하자.
이 식은 부분 적분에 의하면 아래 식이 된다., , 를 이용하고, 위 식을  부터 까지 더하면, 위식은 아래와 같이 된다.양변에  을 더하고 항을 정리하면, 위 식은 아래와 같이 된다.이것은 합산 공식에서   경우이다. 유도를 계속하기 위해 오차 항에 부분적분을 아래와 같이 적용한다.여기서, 이다.
부분적분의 결과는 이다.
 에서  까지 합산하고 이를 하위 오차 항으로 대체하면 공식에서  경우가 된다.이러한 절차는 반복적으로 수행될 수 있다. 이러한 방식으로 수학적 귀납법에 의해 공식화 될 수 있는 오일러-맥클로린 합산 공식의 증명을 얻는다. 여기서 귀납법의 각 단계는 부분적분과 주기적인 베르누이 함수에 대한 항등식에 의존한다.
* Cesàro 합계
* 오일러 합계
* 가우스-크론로드 직교 공식
* Darboux의 공식
* 오일러–부울 합계
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