브로카르 점

제1 브로카르 점
기하학에서 '''브로카르 점'''()은 주어진 삼각형으로 결정되는 한 쌍의 등각 켤레점이다.
(유향) 평면 위의 삼각형 가 주어졌다고 하자. 편의상 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 다음 조건을 만족시키는 점 가 유일하게 존재하며, 이 점을 삼각형 의 '''제1 브로카르 점'''() 라고 한다.
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(유향) 평면 위의 삼각형 가 주어졌다고 하자. 편의상 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 다음 조건을 만족시키는 점 이 유일하게 존재하며, 이 점을 삼각형 의 '''제2 브로카르 점'''() 이라고 한다.
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제1·제2 브로카르 점을 통틀어 '''브로카르 점'''이라고 한다.
등식 는 가 점 를 지나며 점 에서 변 에 접하는 원 위의 (점  또는 가 아닌) 점인 것과 동치이며, 등식 는 가 점 를 지나며 점 에서 변 에 접하는 원 위의 (점  또는 가 아닌) 점인 것과 동치이다. 변 는 각각 두 원의 현과 접선이므로, 두 원은 교점 에서 접하지 않으며, 두 원은 다른 한 교점을 갖는다. 이는 제1 브로카르 점의 정의를 만족시키는 유일한 점이다.
이는 미켈 정리에 극한을 취한 경우와 같다.
=== 브로카르 각 ===
삼각형 의 제1·제2 브로카르 점 , 은 등각 켤레점이다. 즉, 위 6개의 각의 크기는 일치한다. 이 각의 크기를 삼각형 의 '''브로카르 각'''() 라고 한다. 삼각형 의 꼭짓점 , , 의 대변의 길이를 , , , 넓이를 라고 하자. 그렇다면 다음 항등식들이 성립한다.
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유향 선분 의 연장선과 점 를 지나며 점 에서 변 에 접하는 원의 교점을 라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라
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이므로 와 는 평행한다. 점 , 를 지나는 변 의 수선의 발을 , 라고 하자. 그렇다면 접현각의 성질에 따라
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이다. 따라서 다음이 성립한다.
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또한
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이므로
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이다.
그 밖의 항등식들은 이 두 항등식과 삼각법을 사용하여 증명할 수 있다.
모든 삼각형의 브로카르 각은  이하이며, 정확히 일 필요 충분 조건은 정삼각형이다 (바이첸뵈크 부등식).
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보다 일반적으로, 볼록 다각형  () 및 그 내부에 속하는 점 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 부등식이 성립하며, 등식이 성립할 필요 충분 조건은 정다각형과 그 중심이다.
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모든 에 대하여 이라고 가정하자. 그렇다면 모든 에 대하여, 인 선분  위의 점 가 존재한다. 사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.
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또한 산술-기하 평균 부등식과 옌센 부등식에 따라 다음이 성립한다.
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따라서 위 두 부등식에서 등식이 성립한다. 등식이 성립할 조건에 따라 모든 에 대하여 이며,
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이다. 또한
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이다. 따라서 볼록 다각형 은 정다각형이며 는 그 중심이다.
삼각형 의 제1·제2 브로카르 점을 , , 외심을 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
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유향 선분 , , 의 연장선과 외접원의 교점을 , , 이라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라
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이다. 따라서 삼각형 는 삼각형 을 외심 에 대하여 만큼 회전한 상이며, 는 삼각형 의 제2 브로카르 점이다. 따라서 점 를 외심 에 대하여 만큼 회전한 상은 원래 삼각형 의 제2 브로카르 점 과 같다.
삼각형 의 제1 브로카르 점 를 지나는 변 , , 의 수선의 발을 , , 라고 하고, 제2 브로카르 점 을 지나는 변 , , 의 수선의 발을 , , 라고 하자. 그렇다면 두 브로카르 점의 수족 삼각형 와 은 합동이며, 둘 모두 원래 삼각형 와 닮음이다.
사각형 , , 는 내접 사각형이므로 원주각의 성질에 따라
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이다. 따라서 는 삼각형 의 제1 브로카르 점이다. 또한
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이므로 삼각형 와 는 닮음이다. 닮음비는
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이며, 이는 제2 브로카르 점의 경우도 마찬가지다.
삼각형 의 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 한 꼭짓점 와 제1 브로카르 점 를 지나는 직선 , 시계 반대 방향에 대한 다음 꼭짓점 를 지나는 대칭 중선 , 남은 꼭짓점 를 지나는 중선 는 한 점에서 만난다. 반대로, 한 꼭짓점 와 제2 브로카르 점 을 지나는 직선 , 시계 방향에 대한 다음 꼭짓점 를 지나는 대칭 중선 , 남은 꼭짓점 를 지나는 중선 는 한 점에서 만난다.
각 꼭짓점을 지나는 직선 , , 의 발을 , , 라고 하자. 그렇다면 대칭 중선과 중선의 성질에 따라
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이다. 체바 정리에 따라 다음을 보이는 것으로 충분하다.
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제1 브로카르 점 의 정의에 따라
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이다. 사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.
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삼각형 와 가 닮음이므로
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이다.
=== 제1 브로카르 삼각형과 브로카르 원 ===
삼각형 의 각각 제1·제2 브로카르 점 와 을 지나는 두 체바 직선 와 , 와 , 와 의 교점 , , 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 의 '''제1 브로카르 삼각형'''() 라고 한다. 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 , , 는 각각 삼각형의 변 , , 의 수직 이등분선 위의 점이다.
이는 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 , , 가 각각 브로카르 각을 밑각으로 하는 이등변 삼각형 , , 의 꼭짓점이기 때문이다.
삼각형 의 대칭 중점 와 외심  사이의 선분 를 지름으로 하는 원을 삼각형 의 '''브로카르 원'''()이라고 한다. 브로카르 원은 제1 르무안 원과 동심원이다. 삼각형 의 제1·제2 브로카르 점 , 은 모두 브로카르 원 위의 점이다. 브로카르 원은 제1 브로카르 삼각형 의 외접원이다.
삼각형 의 변 , , 의 중점을 각각 , , 라고 하자. 그렇다면 와 변  사이의 거리는
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이다. 이는 대칭 중점 와 변  사이의 거리와 같으므로 와 는 평행한다. 는 의 수선이므로 의 수선이다. 즉, 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 는 브로카르 원 위의 점이다.
마찬가지로 와 변 는 평행하며 는 브로카르 원 위의 점이다. 따라서
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이다. 즉, 제1 브로카르 점 는 브로카르 원 위의 점이다.
제1 브로카르 삼각형 는 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 원래 삼각형 와 닮음이다.
이는 원주각의 성질을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
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제1 브로카르 삼각형 와 원래 삼각형 의 무게 중심은 일치한다. 이에 따라, 제1 브로카르 삼각형의 각 변 , , 의 중점 , , 를 지나는 원래 삼각형의 변 , , 의 수선은 원래 삼각형의 구점원의 중심 에서 만난다.
점 를 변 에 대하여 반사시킨 상을 이라고 하자. 그렇다면
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이므로 삼각형 와 은 닮음이다. 마찬가지로
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이므로 삼각형 와 는 닮음이다. 또한 이므로 삼각형 와 는 합동이다. 따라서
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이다. 선분 , 을 각각 점 , 에 대하여 시계 방향 만큼 회전시킨 상은 모두 변 와 평행하므로, 와 은 평행한다. 따라서 사각형 는 평행 사변형이며, 대각선 와 는 그 교점 에서 서로를 이등분한다. 선분 는 삼각형 와 의 공통 꼭짓점 를 지나는 공통 중선이므로, 삼각형 와 의 무게 중심은 일치한다. 선분 와 의 공통 중점을 라고 하자. 그렇다면 선분 는 삼각형 와 의 공통 꼭짓점 를 지나는 공통 중선이므로, 삼각형 와 의 무게 중심 역시 일치한다. 따라서 삼각형 와 의 무게 중심은 일치한다.
삼각형 의 외심 와 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 , , 에 무게 중심 를 닮음 중심으로 하고 을 닮음비로 하는 중심 닮음 변환을 가한 상은 각각 구점원의 중심 과 점 , , 이다. , , 는 각각 삼각형의 변 , , 의 수직 이등분선이다. 위 변환은 직선의 방향을 보존하므로 과 , 과 , 과 는 평행한다. 따라서 , , 은 각각 삼각형의 변 , , 의 수선이다.
=== 제2 브로카르 삼각형 ===
삼각형 의 꼭짓점  또는 를 지나며 꼭짓점 에서 각각 변  또는 에 접하는 두 원의 교점 , 꼭짓점  또는 를 지나며 꼭짓점 에서 각각 변  또는 에 접하는 두 원의 교점 , 꼭짓점  또는 를 지나며 꼭짓점 에서 각각 변  또는 에 접하는 두 원의 교점 를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 의 '''제2 브로카르 삼각형'''() 라고 한다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 , , 는 각각 대칭 중선 , ,  위의 점이다.
접현각의 성질에 따라
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이므로 삼각형 와 는 닮음이다. 따라서 와 삼각형의 두 변 ,  사이의 거리의 비는 이다. 즉, 는 대칭 중선  위의 점이다.
브로카르 원은 제2 브로카르 삼각형 의 외접원이다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 , , 는 각각 선분 , , 를 연장한 외접원의 현의 중점이다.
편의상 삼각형 가 예각 삼각형이며 대칭 중점 가 선분  위의 점이며 외심 가 삼각형 의 내부에 속한다고 가정하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면
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이므로 , , , 는 한 원 위의 점이다. 따라서 다음이 성립한다.
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즉, 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 는 브로카르 원 위의 점이다.
유향 선분 의 연장선과 외접원의 교점을 라고 하자. 그렇다면 가 현 의 수선이므로 는 현 의 중점이다.
=== 슈타이너 점과 타리 점 ===
삼각형 의 각 꼭짓점 , , 를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변 , , 의 평행선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 의 '''슈타이너 점'''() 라고 한다 (야코프 슈타이너). 삼각형 의 각 꼭짓점 , , 를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변 , , 의 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 의 '''타리 점'''() 라고 한다 (가스통 타리, ). 슈타이너 점과 타리 점은 외접원 위의 한 쌍의 대척점이다.
꼭짓점 , 를 지나는 변 , 의 평행선의 교점을 라고 하자. 그렇다면 삼각형 와 가 닮음이므로
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이다. 따라서 는 외접원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라
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이다. 와 가 평행하므로 는 와 평행한다.
점 의 대척점을 라고 하자. 그렇다면 선분 가 외접원의 지름이므로 , , 는 각각 , , 의 수선이다. 따라서 , , 는 , , 의 수선이다.
슈타이너 점은 삼각형의 각 꼭짓점에 외각의 크기를 질량으로 부여한 질점의 무게 중심이다.
삼각형 의 대칭 중점 는 제1 브로카르 삼각형 의 슈타이너 점이다.
우선, 제1 브로카르 삼각형 의 제1 브로카르 삼각형 의 각 변 , , 가 원래 삼각형 와 중심 닮음임을 증명하자. 대칭성에 따라 와 가 평행함을 증명하면 충분하다. 삼각형 와 제1 브로카르 삼각형 를 조합한 도형은 제1 브로카르 삼각형 와 그 제1 브로카르 삼각형 를 조합한 도형과 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다. 따라서 에서 로 회전한 각의 크기와 에서 로 회전한 각의 크기는 덧셈 역원이다. 에서 로 회전한 각의 크기는 에서 로 회전한 각의 크기와 같으므로 (절댓값은 ), 에서 로 회전한 각의 크기는 에서 로 회전한 각의 크기와 같다. 따라서 와 는 평행한다.
이제 대칭 중점 가 제1 브로카르 삼각형 의 슈타이너 점임을 증명하자. 삼각형 의 외심을 라고 하자. 대칭성에 따라 와 가 평행함을 증명하면 충분하다. 이는 와 가 수직이며 와 가 수직이며 또한 와 가 평행하므로 성립한다.
=== 노이베르크 원 ===
삼각형 의 브로카르 각을 라고 하자. 그렇다면 각각 선분 , , 를 한 변으로 하는 삼각형 , , 의 브로카르 각이 가 되게 만드는 점 , , 의 자취는 각각 꼭짓점 , , 를 지나는 원과 이를 각각 변 , , 에 대하여 반사한 상이다. 총 6개의 원 가운데 각각 꼭짓점 , , 를 지나는 3개의 원을 삼각형 의 '''노이베르크 원'''()이라고 한다 (요제프 노이베르크, ).
삼각형 와 음이 아닌 실수 이 주어졌다고 하자. 삼각형의 변 의 중점을 라고 하자. 변 의 수직 이등분선에서 변 에 대하여 와 같은 쪽이며
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인 점 를 취하자. 아폴로니오스 정리에 따라
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이다. 또한 삼각형 의 넓이는 다음과 같다.
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코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.
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만약 삼각형 의 브로카르 각이 라면,
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이다. 즉, 는 중심이 , 반지름이
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인 원 위의 점이다. 반대로, 만약
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이라면,
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이므로 삼각형 의 브로카르 각은 이다.
꼭짓점 , , 를 지나는 노이베르크 원의 중심 , , 는 각각 삼각형의 변 , , 의 수직 이등분선 위의 점이다. 노이베르크 원의 중심 , , 와 삼각형의 변 , ,  사이의 거리는 각각 다음과 같다.
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노이베르크 원의 반지름은 각각 다음과 같다.
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꼭짓점 를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 , 를 중심으로 하며 선분 를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 마찬가지로, 꼭짓점 를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 , 를 중심으로 하며 선분 를 반지름으로 하는 두 원과 직교하며, 꼭짓점 를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 , 를 중심으로 하며 선분 를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 이에 따라, 고정된 선분  및 변화하는 점 에 대한 (꼭짓점 를 지나는) 노이베르크 원들은 동축원 다발을 이루며, 그 두 극한점 , 과 선분 는 두 정삼각형 , 를 이룬다.
오늘날 브로카르 점이라고 불리는 개념은 아우구스트 레오폴트 크렐레()가 1816년에 도입하였다. 그 후 카를 프리드리히 안드레아스 야코비()를 비롯한 수학자들도 이를 연구하였다. 앙리 브로카르()가 1875년에 재발견하였다.
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분류:삼각 기하학