안정 벡터 다발

대수기하학과 미분기하학에서 '''안정 벡터 다발'''(安定vector다발, )은 정칙 벡터 다발 가운데, 모듈라이 공간을 잘 정의할 수 있는 것들이다.
다음이 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 복소다양체 
* 고차원 복소수 사영 공간으로의 단사 정칙 함수 . 이에 따라,  위에는 표준적인 켈러 다양체 구조가 주어지며, 켈러 형식의 코호몰로지류 는 정수 계수 코호몰로지로 주어진다는 정수 계수이다. (고다이라 매장 정리에 의하여, 그 역 또한 성립한다.)
*  위의 정칙 벡터 다발 
=== 다발의 기울기 ===
이라고 할 때, 의 '''기울기'''()는 다음과 같은 유리수이다.
:
이 식에서, 분자가 정수인 것은 이 사영 대수다양체이기 때문이다.
=== 에르미트-아인슈타인 접속 ===
콤팩트 리 군
:
이 주어졌으며, 가  위의,  구조의 정칙 벡터 다발이라고 하고, 이에 대응되는 -주다발이
:
이라고 하자.
그렇다면,  위의 어떤 벡터 다발 접속 의 곡률
:
을 정의할 수 있다. 이는 (1,1)차 벡터 값 복소수 미분 형식이며, 이것이 값을 갖는 벡터 다발은 딸림표현 연관 벡터 다발
:\mathfrak{ad}(P) = P \times_G \mathfrak{lie}(G)
이다. 표현에 따라서
:
이다. 에서, 스칼라에 대한 곱셈으로 구성된 부분 선다발
:
을 생각하자. 이는 표준적 대역적 단면을 가지므로, 표준적으로 자명한 벡터 다발을 이룬다. 이 포함 사상을
:
이라고 하자. 이제, 만약
:
라면, 를 '''에르미트-아인슈타인 접속'''이라고 한다. 는 허수이므로, 이 경우  위에 임의의 에르미트 계량을 부여한다면, 는 자명하게 유니터리 접속을 이룬다 (모든 모노드로미가 에르미트 계량에 대하여 유니터리 행렬이다).
=== 안정 벡터 다발 ===
일 때, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정칙 벡터 다발을 '''안정 벡터 다발'''이라고 한다.
* 의 임의의 부분 정칙 벡터 다발 에 대하여, 이다.
* 는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 (에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 (하나 이상) 존재한다.
* 는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 (에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 유일하게 존재한다.
안정 벡터 다발의 첫 정의에서, 를 로 약화시키면, '''준안정 벡터 다발'''()의 개념을 얻는다.
=== 리만 곡면의 경우 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 리만 곡면 
* 정칙 벡터 다발 
이 경우, 가 1차원이므로,  위에 임의의 켈러 다양체 구조를 부여하더라도, 그 스칼라배를 취하여 이것이 사영 다양체가 되게 만들 수 있다. 구체적으로, 이 경우 항상 의 넓이가 1이 되게 규격화할 수 있다.
이 경우, 의 기울기는 켈러 구조에 의존하지 않으며, 따라서 안정성 여부 역시 켈러 구조에 의존하지 않는다.
다음이 주어졌다고 하자.
* 복소수 1차원 콤팩트 켈러 다양체 
* 정칙 벡터 다발 
*  위의 에르미트 구조 
만약  위에 벡터 다발 접속 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 폐곡선
:
:
에 대하여, 모노드로미
:
를 정의할 수 있다. 만약 이러한 모노드로미가 모두 유니터리 군
:
에 속한다면, 이러한 접속을 '''유니터리 접속'''()이라고 하자. 유니터리 접속 \nabla이 주어졌을 때, 그 곡률
:
를 생각하자. (는 E 위의 유니터리 리 대수들의 벡터 다발이다.) 이제, 부피 형식을 통한 호지 쌍대
:
를 생각하자.
'''나라심한-세샤드리 정리'''(நரசிம்மன்-சேஷாத்ரி定理, )에 따르면, 가 두 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없다고 가정하였을 때, 가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건은 인 유니터리 접속을 갖는 것이다. 이 경우, 곡률이 상수이므로, 모노드로미를 통하여 임의의 점 에 대하여 군 준동형
:
이 존재한다.
=== 리만 곡면 위의 안정 벡터 다발의 모듈러스 공간 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 종수 의 리만 곡면 
* 자연수  (정칙 벡터 다발의 차원)
* 정수  (정칙 벡터 다발의 차수)
그렇다면,  위의 차원 차 안정 정칙 벡터 다발들의 모듈라이 공간
:
을 정의할 수 있다. 이는 연결 공간인 복소수 사영 대수다양체이다. 에서, 그 접공간은 다음과 같다.
:
'''증명 개략''':
어떤 매개 변수  및 열린 덮개 에 대하여 전이 함수가 라면,
:
이며, 이러한 함수들의 족은 (에서) 층 코호몰로지 의 원소를 정의한다. 여기서 이다.
그 복소수 차원은 다음과 같다.
:
여기서 일 필요 충분 조건은 이거나, 이며 이거나, 이며 인 것이다.
여기서 정칙 벡터 다발 의 차수는 이며, 은 1차 천 특성류이다.
'''증명:'''
의 차원은 물론 어떤 임의의 에서의 접공간의 차원과 같다.
리만-로흐 정리에 따라서,
:
이다. 그런데 는 대역적 단면을 가지므로
:
이며, 가 안정 벡터 다발이므로
:
이다. (이는 올별 항등 함수의 스칼라배로 구성된다.)
물론
:
이다. 따라서
:
이다.
만약 일 경우 (), 리만 구 위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다.
:
여기서 는 보편 선다발의 차 텐서곱이다. 이 가운데 안정 벡터 다발인 것은 선다발  밖에 없으며, 준안정 벡터 다발인 것은 모든 에 대하여 인 것이다 (즉, \dim E \mid \deg E ). 즉,
:
이다.
만약 일 경우, 타원 곡선 위의 정칙 벡터 다발 가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건은 그 차수와 그 차원이 서로소인 것이다.
:
이 경우,
:
이다.
=== 하더-나라삼한 여과 ===
리만 곡면  위의 임의의 정칙 벡터 다발 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 여과
:
가 존재한다.
* 임의의 에 대하여, 는  위의 준안정 벡터 다발이다.
이를 '''하더-나라심한 여과'''()라고 한다.
데이비드 멈퍼드가 1963년에 도입하였다.
나라심한-세샤드리 정리는 무두바이 세샤차를루 나라심한(, )과 칸지바람 스리랑가차리 세샤드리(, )가 1965에 최초로 대수기하학을 사용하여 증명하였으며, 이후 1983년에 사이먼 도널드슨이 미분기하학을 사용하여 다른 정의를 발표하였으며, 1985년에 이 정리를 임의의 차원의 사영 켈러 다양체에 대하여 일반화하였다.
모든 정칙 선다발(1차원 정칙 벡터 다발)은 (자명하게) 안정 벡터 다발이다.
양의 차원의 두 정칙 선다발 , 의 직합 은 안정 벡터 다발이 될 수 없다. 이 경우,
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:
이므로,
:
이기 때문이다.
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분류:대수기하학
분류:미분기하학