이합체 모형

통계역학과 그래프 이론에서 '''이합체 모형'''(二合體模型, )은 어떤 그래프 위의 완벽 부합들의 공간 위에 정의되는 통계역학 모형이다.
=== 이합체 모형 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 유한 그래프 \Gamma
* 실수 값 함수 . 이를 각 변의 '''에너지'''라고 한다.
그렇다면, 의 완벽 부합들의 집합을
:
로 표기하자. 통계 역학에서, 완벽 부합은 보통 '''이합체 배치'''(二合體配置, )라고 하며, 그래프의 변은 '''이합체'''라고 한다. 즉, 흔히 사용되는 수학 용어 및 대응되는 물리학 용어는 다음과 같다.
 수학 
 물리학
 변 
 이합체()
 꼭짓점 
 단량체()
 완벽 부합 
 이합체 배치
 변의 무게() 
 이합체의 에너지
 꼭짓점의 무게() 
 단량체의 에너지
이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.
* 위상 공간은 완벽 부합의 집합 이다.
* 임의의 완벽 부합 의 '''에너지'''는 부합에 속하는 변들의 에너지들의 합 이다.
* 온도 에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 로 정의되는 기브스 측도이다.
*: 
*: 
여기서 값 는 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 '''이합체 모형'''이라고 한다.
=== 단량체-이합체 모형 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 유한 그래프 \Gamma
* 실수 값 함수 . 이를 '''이합체 에너지'''(二合體energy, )라고 한다.
* 실수 값 함수 . 이를 '''단량체 에너지'''(單量體energy, )라고 한다.
그렇다면, 의 부합들의 집합을
:
로 표기하자.
이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.
* 위상 공간은 부합의 집합 이다.
* 임의의 부합 의 '''에너지'''는 부합에 속하는 변들의 이합체 에너지들과, 부합에 인접하지 않는 꼭짓점들의 단량체 에너지들의 합이다.
*: 
* 온도 에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 로 정의되는 기브스 측도이다.
*: 
*: 
여기서 값 는 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 '''단량체-이합체 모형'''()이라고 한다.
=== 단량체-이합체 모형과 이합체 모형의 관계 ===
적어도 하나 이상의 완벽 부합을 갖는 유한 그래프 위에서, 만약 단량체 에너지를 무한대로 취할 경우,
:
단량체-이합체 모형은 이합체 모형으로 수렴한다.
=== 상관 함수 ===
유한 그래프  위의 이합체 모형이 주어졌다고 하자. 각 변 에 대하여, 관측 가능량 \sigma(e;M)을 지시 함수
:
로 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합
:
에 대하여, '''상관 함수'''
:
를 정의할 수 있다. 만약 가 서로 닿는 두 변을 포함한다면,
:
이다.
보다 일반적으로, 유한 그래프  위의 단량체-이합체 모형이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 변  및 각 꼭짓점 에 대하여 지시 함수 관측 가능량
:
:
을 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합
:
및 꼭짓점 집합
:
에 대하여, '''상관 함수'''
:
를 정의할 수 있다. 만약 가 서로 닿는 두 변을 포함하거나, 만약 의 원소가 의 원소와 인접한다면,
:
이다.
피셔 격자
2차원 이징 모형은 '''피셔 격자'''()라는 어떤 특별한 평면 삼차 그래프 위의 이합체 모형과 동치이다. 피셔 격자는 정12각형과 정삼각형으로 구성된 평면 테셀레이션의 그래프이다.
구체적으로, 평면의 정사각 격자 그래프에서, 각 꼭짓점
:╳
을 나비 모양의 삼차 그래프
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로 치환하여 얻는다. 즉, (45도 회전하여 그린) 사각형 격자의 부분
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╳ ╳
 ╳
은 피셔 격자의 부분
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에 대응한다.
이 경우, 각 꼭짓점에서 완벽 부합은 다음과 같은 8개의 가능한 꼴을 가진다.
 피셔 격자의 완벽 부합
 평면 이징 모형의 스핀 배열
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(굵게 표현된 변이 완벽 부합에 속하는 변이다.)
즉, 이는 2차원 이징 모형의 임의의 상태에서, 각 스핀 사이의 변을
* 서로 다른 스핀 사이의 변은 굵게,
* 서로 같은 스핀 사이의 변은 가늘게
칠한 뒤, 각 꼭짓점을 위와 같은 8개의 나비 그래프 가운데 하나로 치환하면, 이징 모형의 각 상태와 피셔 격자의 완벽 부합 사이의 2대 1 대응을 얻는다. (2대 1인 것은 이징 모형의 상태에서 모든 스핀을 뒤집어도 같은 완벽 부합에 대응하기 때문이다.)
예를 들어, (45도 기울여서 그린) 평면 이징 모형의 상태의 일부분이
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     −
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와 같은 꼴이라면, 이는 다음과 같은 피셔 격자 완벽 부합에 대응한다.
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분류:통계역학
분류:그래프 이론
분류:격자 모형