블록 설계

조합론에서 '''블록 설계'''(block設計, )는 같은 크기의 일련의 부분 집합들이 주어져 있는 유한 집합이다. 이 경우, 이러한 부분 집합을 '''블록'''()이라고 하며, 블록 설계는 (예를 들어) “개의 원소들을 포함하는 블록의 수는 원소의 선택에 상관없이 개”와 같은 꼴의 조건을 만족시켜야 한다.
=== 존슨 결합 도식 속의 블록 설계 ===
세 자연수 가 주어졌다고 하자. '''-블록 설계''' 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 크기 의 유한 집합 . 그 원소를 '''점'''(點, )이라고 한다.
* 의, 크기 의 부분 집합들의 족 . 그 원소를 '''블록'''()이라고 한다. (여기서 는 의 부분 집합들 가운데 크기가 k인 것들로 구성된, 멱집합의 부분 집합이다.)
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 개의 서로 다른 점들이 주어졌을 때, 이 점들을 모두 포함하는 블록의 개수는 선택한 점들에 상관없는 값 \lambda_t>0이다. (0을 제외하는 것은 피셔 부등식 등을 따르지 않는 를 배제하기 위함이다.)
두 -블록 설계 , 가 주어졌다고 하자. 만약 이 둘 사이에 전단사 함수
:
가 존재하여
:
라면, 와 가 서로 '''동형'''이라고 한다.
인 -블록 설계는 '''-슈타이너 계'''(Steiner系, )라고 한다. 보통, 인 -블록 설계 는 로 표기된다.
=== 일반적 결합 도식 속의 블록 설계 ===
위 정의는 결합 도식의 개념을 통해 일반화된다.
구체적으로, 결합 도식 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 복소수 계수 보스-메스너 대수
:
는 반단순 대수이며, 따라서 그 최소 멱등원들의 집합
:
:
:
를 정의할 수 있다. 특히,
:
는 항상 최소 멱등원이다. (는 모든 성분이 1인  정사각 행렬이다.)
이제, 계수
:
들을 정의할 수 있다. 의 부분 집합(즉,  속의 블록 부호) 가 주어졌을 때, 내부 분포
:
및 쌍대 내부 분포
:
를 정의할 수 있다.
만약 어떤 부분 집합 가 주어졌을 때, 만약 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시킬 경우, '''-블록 설계'''()라고 한다.
:임의의 에 대하여, 
만약 가 존슨 결합 대수일 때, 이는 첫째 정의로 귀결된다.
=== 유도 블록 설계 ===
임의의 -블록 설계  및 점 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:X'=X\setminus\{x\}
:
는 -블록 설계를 이루며,
:
이다. 이를 의 '''유도 블록 설계'''(誘導block設計, )이라고 한다. (서로 다른 점에서 취한 유도 블록 설계는 서로 동형이지 못할 수 있다.)
특히, 슈타이너 계의 유도 블록 설계는 항상 슈타이너 계이다.
=== 결합 행렬 ===
-블록 설계 에서, 와  위에 각각 임의로 전순서를 주자. 그렇다면, 의 '''결합 행렬'''()은 다음과 같은  행렬
:
이다.
:
정사각 블록 설계의 경우 결합 행렬은 정사각 행렬이다.
임의의 -블록 설계 가 주어졌을 때, 다음 정수들을 정의하자.
:
그렇다면, 다음이 성립한다.
* 가 주어졌을 때, 개의 점들을 모두 포함하는 블록의 개수는 정확히 이다.
특히, 일 경우,
* 블록의 수는 이다.
이에 따라, 모든 -블록 설계는 임의의 에 대하여 -블록 설계이다.
=== 존재의 필요 조건 ===
'''피셔 부등식'''(Fisher不等式, )에 따르면, 임의의 -블록 설계 에 대하여, 다음이 성립한다.
:
:
(이므로, 두 조건은 사실 동치이다.) 이 부등식을 포화시키는 블록 설계, 즉 점의 수가 블록의 수와 같은 2-블록 설계를 '''정사각 블록 설계'''(正四角block設計, ) 또는 '''대칭 블록 설계'''(對稱block設計, )라고 한다.
보다 일반적으로, 임의의 -블록 설계 에 대하여, 다음이 성립한다.
:
'''브룩-라이저-차울라 정리'''(Bruck-Ryser-चावला定理, )에 따르면, 임의의 -블록 설계 에 대하여, 만약 라면,
* 만약 가 짝수라면, 는 제곱수이다.
* 만약 가 홀수라면, 를 만족시키는 정수 가 존재한다.
=== 개수 ===
작은 크기의 -슈타이너 계의 동형류들의 수들은 다음과 같다. 
 
 1 
 3 
 7 
 9 
 13 
 15 
 19
 …
 -슈타이너 계의 동형류의 수
 1 
 1 
 1 
 1 
 2 
 80 
 11084874829
작은 크기의 -슈타이너 계의 동형류들의 수들은 다음과 같다. 
 
 1 
 2 
 4 
 8 
 10 
 14 
 16
 …
 -슈타이너 계의 동형류의 수
 1 
 1 
 1 
 1 
 1 
 4 
 1054163
다음과 같은 (2,4,8)-블록 설계를 생각하자.
:
:
그렇다면,
* 총 8개의 점이 있다 ().
* 모든 블록의 크기는 4이다 ().
* 블록의 수는 14이다 ().
* 임의의 한 점은 7개의 블록에 포함된다 ().
* 임의의 두 점은 3개의 블록에 포함된다 ().
=== 파노 평면 ===
파노 평면 (유한체  위의 사영 평면) 을 생각하자.
:300px
여기서, 각 선을 블록으로 생각하자. 즉, 다음과 같은 블록 설계를 생각하자.
:
:
이는 -슈타이너 계를 이룬다.
* 총 7개의 점이 있다 ().
* 모든 블록은 정확히 세 개의 점을 갖는다 ().
* 블록의 수는 7이다 ().
* 모든 점은 정확히 세 개의 블록에 포함된다 ().
* 임의의 서로 다른 두 점이 주어졌을 때, 이를 포함하는 블록은 정확히 한 개이다. ().
=== 이진 골레 부호 ===
이진 골레 부호 는 759개의 옥타드(값이 1인 성분이 8개인 벡터)를 가지며, 각 옥타드를 의, 크기 8의 부분 집합으로 여길 수 있다. 이에 따라, 이진 골레 부호의 옥타드의 집합은 (5,8,24)-슈타이너 계를 이룬다. 이는 '''비트 설계'''(Witt設計, )라고 불린다.
=== 아다마르 설계 ===
 아다마르 행렬이 주어졌으며, 그 첫 열과 첫 행이 모두 1로 구성돼 있다고 하자. 그렇다면, 첫 열과 첫 행을 제거하고, 나머지 성분 가운데 −1을 0으로 치환한 뒤, 이를 어떤 정사각 블록 설계의 결합 행렬로 해석할 수 있다. 이를 '''아다마르 설계'''라고 하며, 이는 인 -블록 설계이다.
=== 자명한 블록 설계 ===
임의의 유한 집합  및 에 대하여, 는 인 -블록 설계를 이룬다.
임의의 유한 집합  및 양의 정수 에 대하여, 는 -블록 설계를 이루며, 이 경우
:
이다. 이는 이므로 정사각 블록 설계이며, 이므로 슈타이너 계이다.
웨슬리 스토커 바커 울하우스
야코프 슈타이너
1844년에 영국의 보험계리인 웨슬리 스토커 바커 울하우스(, 1809~1893)가 자신이 편집자로 있던 잡지 《레이디즈 앤드 젠틀먼즈 다이어리》()에서 블록 설계에 대한 퍼즐을 제시하였다. 그 전문(全文)은 다음과 같다.
이는 현대적 용어로는 -슈타이너 계를 다루는 것이다.
이후 이 문제는 1847년에 영국의 잉글랜드 성공회 사제 토머스 페닝턴 커크먼(, 1806~1895)이 해결하였다. 그러나 이들의 논문은 크게 관심을 불러일으키지 못했다.
이후 울하우스와 커크먼과 독자적으로 야코프 슈타이너가 1853년에 블록 설계에 대한 논문을 출판하였다. 이후 그의 이름을 따 인 -블록 설계는 “슈타이너 계”로 불리게 되었다.
비트 설계는 1931년에 로버트 대니얼 카마이클이 최초로 발견하였으며, 에른스트 비트가 1938년에 마티외 군을 연구하던 도중 재발견하였다.
피셔 부등식은 로널드 피셔가 1940년에 증명하였다.
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분류:조합론
분류:실험 설계
분류:집합족