점류

집합론에서 '''점류'''(點類, )는 어떤 구체적 범주(예를 들어, 폴란드 공간들의 범주)의 각 대상에 대하여 그 부분 집합들의 집합족을 대응시키며, 특정 함수 아래의 원상에 대하여 닫혀 있는 구조이다.
구체적 범주 가 주어졌다고 하자. 집합과 함수의 범주  위에는 다음과 같은 멱집합 자기 함자가 존재한다.
:
:
:
그렇다면, 는  위의 준층을 이룬다. 의 부분 준층을  위의 '''점류'''라고 한다. 즉, 구체적으로 '''점류''' 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 임의의 대상 에 대하여, 집합족 
* 또한, 임의의 부분 집합  및 사상 에 대하여, 만약 라면 이다.
구체적 범주  위의 점류 에 대하여, 는 다음과 같은 점류이다.
:
이를 의 '''쌍대 점류'''(雙對點類, )라고 한다. 또한,  위의 점류들의 집합 에 대하여,
:
:
역시 점류이다. 특히, 를 의 '''모호 점류'''(模糊點類, )라고 한다.
흔히 가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주 이거나, 또는 표준 보렐 가측 공간과 보렐 가측 함수의 구체적 범주 를 사용한다.
임의의 기수  및 점류 에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, 가 ''' 미만 합집합에 대하여 닫혀 있다'''고 한다.
* 임의의 대상  및 에 대하여, 만약 라면 이다.
임의의 기수  및 점류 에 대하여, 다음 조건이 성립한다면, 가 ''' 미만 교집합에 대하여 닫혀 있다'''고 한다.
* 임의의 대상  및 에 대하여, 만약 라면 이다.
만약 라면, 가 '''여집합에 대하여 닫혀 있다'''고 한다.
=== 폴란드 공간의 점류 ===
가 폴란드 공간과 연속 함수의 구체적 범주 인 경우를 생각하자.
 위의 점류 에 대하여, 다음 성질들을 정의하자.
* 임의의 폴란드 공간  및 집합렬 에 대하여, 이라면, 가 '''합리적 점류'''(合理的點類, )라고 한다. (여기서 은 자연수 집합으로 여긴 가산 무한 이산 공간이다.)
 위의 점류  및 기수 가 다음 조건을 만족시킨다면, 가 '''-분리 성질'''()을 만족시킨다고 한다.
:임의의 폴란드 공간  및 임의의 집합족 에 대하여, 만약 이며 이라면, 이자 인 가 존재한다.
 위의 점류  및 기수 가 다음 조건을 만족시킨다면, '''-축소 성질'''()을 만족시킨다고 한다.
:임의의 폴란드 공간  및 임의의 집합족 에 대하여, 만약 이라면, 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 가 존재한다.
:* 
:* 
:* 
 위의 점류 가 만약 가산 합집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 축소 성질을 갖는다면, 는 가산 분리 성질을 갖는다.
=== 균등화 성질 ===
집합  (푸른색)의 균등화  (붉은색)
집합 ,  및 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 '''균등화 집합'''() 은 다음 조건들을 만족시키는 집합이다.
* 임의의 에 대하여, 인 가 유일하게 존재한다.
폴란드 공간 가 주어졌을 때,  위의 점류 가 다음 조건을 만족시킨다면, '''-균등화 성질'''(-均等化性質, )을 만족시킨다고 한다.
:임의의 폴란드 공간 과 부분 집합 에 대하여, 의 균등화 가 존재한다.
모든 폴란드 공간 에 대하여 -균등화 성질을 만족시키는 점류의 경우, '''균등화 성질'''을 만족시킨다고 한다.
그렇다면,  위의 점류 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 합리적이며, 가산 분리 성질을 갖는다.
* 합리적이며, -균등화 성질을 갖는다. (은 가산 무한 이산 공간이다.)
=== 계급 점류 ===
구체적 범주  위의 점류 와 폴란드 공간  및 그 부분 집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 에 대하여, 만약 다음 세 조건을 모두 만족시키는,  위의 두 이항 관계 , 가 존재한다면, 가  위의 '''-계급 함수'''(-階級函數, )라고 한다.
* 
* 
* 임의의  및 에 대하여, 이다.
 위의 점류 가 다음 조건을 만족시킨다면, '''계급 점류'''()라고 한다.
:임의의 폴란드 공간  및 에 대하여, -계급 함수가 존재한다.
계급 점류 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* 모든 열린닫힌집합들을 포함한다. 즉, 이다.
* 가산 교집합과 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.
그렇다면, 는 가산 축소 성질과 -균등화 성질과 가산 분리 성질을 만족시킨다.
=== 눈금 ===
폴란드 공간 의 부분 집합  위의 계급 함수의 열 이 다음 조건을 만족시킨다면, '''눈금'''()이라고 한다.
: 속의 임의의 점렬 에 대하여, 만약
:* 는  속에서 로 수렴하며,
:* 이 되는 와 가 존재한다면,
:이자 이다.
 위의 점류  및 폴란드 공간  및 그 부분 집합  및  위의 눈금 에 대하여, 만약 모든 에 대하여 가 -계급 함수라면, 를 '''-눈금'''이라고 한다.
 위의 점류 가 다음 조건을 만족시킨다면, '''눈금 점류'''()라고 한다.
:임의의 에 대하여,  위의 -눈금이 존재한다.
눈금 점류는 항상 계급 점류이다.
 위의 눈금 점류 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉, 이다.
* 가산 합집합에 대하여 닫혀 있다.
* 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
* (쌍대 사영에 대핟 닫힘) 임의의 에 대하여, 이다.
그렇다면, 는 균등화 성질을 갖는다.
즉, 만약 폴란드 공간의 점류 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* 모든 보렐 집합을 포함한다. 즉, 이다.
* 보렐 가측 함수의 원상에 대하여 닫혀 있다.
* 가산 합집합과 가산 교집합 및 쌍대 사영에 대하여 닫혀 있다.
* 합리적 점류이다.
그렇다면, 다음 함의 관계가 존재한다.
:
 눈금 점류 
 ⇒ 
 계급 점류 
 ⇒ 
 가산 축소 점류 
 ⇒ 
 가산 분리 점류의 쌍대 점류
 ⇓
 
 ⇳
 균등화 점류
 ⇒ 
 -균등화 점류
=== 주기성 정리 ===
 위의 점류 가 다음 성질들을 만족시킨다고 하자.
* 모든 보렐 집합을 포함한다.
* 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다.
* 유한 합집합에 대하여 닫혀 있다.
* 사영에 대하여 닫혀 있다.
* 임의의 에 대하여, 는 결정 집합이다.
* 눈금 점류이다.
그렇다면, '''주기성 정리'''()에 따르면,  역시 눈금 점류이다.
특히, 사영 위계의 집합들은 결정 집합·눈금 점류 성질을 제외한 나머지를 만족시킨다. 은 눈금 점류이므로, 따라서 만약 사영 결정 공리를 가정할 경우, 과 는 눈금 점류가 된다.
보렐 위계의 단계들 , , 은  위의 점류를 이룬다 (즉, 연속 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).
사영 위계의 단계들 , , 은  위의 점류를 이루며, 또한  위의 점류를 이룬다 (즉, 보렐 가측 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있다).
분류:집합론