융합 규칙

이론물리학과 추상대수학에서 '''융합 규칙'''(融合規則, )은 2차원 등각 장론에 대응되는 특별한 대수 구조이다. 융합 규칙은 1차장 사이의 연산자 곱 전개에 어떤 1차장이 등장하는지를 기록하며, 그 계수는 모듈러 S변환과 '''페를린더 공식'''()이라는 공식으로 계산될 수 있다. 융합 규칙에는 항상 자연스럽게 '''융합환'''(融合環, ) 또는 '''페를린더 대수'''(Verlinde代數, )라는 가환환이 대응된다.
유한 집합  및 대합
:
:
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로 생성되는 자유 가환 모노이드
:
를 생각할 수 있다. 그 원소는 의 원소들로 구성된 중복집합으로 생각할 수 있다.
 위의 '''융합 규칙'''은 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수
:
이다.
* (규격화) 
* (대합에 대한 대칭) 
* (융합) 
* (부호) 
* (비퇴화성) 
=== 항등원과 3점 계수 ===
임의의 융합 규칙 가 주어졌을 때, 어떤 원소 에 대하여
:
:
이게 된다. 이를 융합 규칙의 '''항등원'''()이라고 하며, 보통 단순히 로 표기한다. (이는 2차원 등각 장론에서 항등 연산자에 해당한다.)
'''증명''':
공리로부터,
:
이다. 이므로, 이는 어떤 인 경우 이며 다른 나머지 에 대하여 임을 의미한다. 그런데 공리에 의하여 인 가 존재하여야 하므로, 이는 일 수 밖에 없으며, 이다. 이므로 이다.
이는 다음과 같이 항등원을 이룬다.
:
'''증명''':
공리로부터,
:
이다.
또한, 항상 다음이 성립한다.
:
'''증명''':
공리로부터,
:
이다. 를 만족시키는 정수 는 0 및 1 밖에 없다. 이 경우 이므로
:
이며, 따라서
:
이다.
만약 이라면, 임의의 에 대하여
:
인데, 이는 공리에 의하여 불가능하다. 따라서 항상 이다.
사실, 융합 규칙은 다음과 같은 데이터로만 완전히 결정된다.
* 항등원 
* 3점 계수 
'''증명''':
2점 이하의 계수는 로 완전히 결정된다. 또한,
:
이므로, 점의 계수는 3점 계수와 점 계수로 결정된다. 물론, 3점 계수 에서 만약  가운데 하나가 에 속한다면 그 값은 자명하다.
보통 3점 계수는
:
로 표기한다. 대칭에 의하여
:
:
가 된다. (는 크로네커 델타이다.) 즉, 융합 규칙은 다음 조건을 만족시킨다.
:s
만약 를 행렬 로 표기한다면, 이는 다음과 같다.
:
즉, 이 조건은 융합 행렬들이 서로 교환 법칙을 따르는 것으로 해석할 수 있다. 따라서, 복소수 계수에서 이들을 동시에 대각화하는 기저를 찾을 수 있다. 페를린더 공식에 따라서, 이 기저는 모듈러 변환의 S행렬에 의하여 주어진다.
=== 고차 종수 융합 규칙 ===
융합 규칙  및 자연수 에 대하여, 다음과 같은 함수들을 재귀적으로 정의할 수 있다.
:
:
이들은 2차원 등각 장론에서, 종수 의 콤팩트 리만 곡면 위에 정의된 상관 함수에 대응된다.
그렇다면, 이는 다음과 같은 성질을 따른다.
:
=== 융합환 ===
융합 규칙 이 주어졌을 때, 로 생성되는 자유 아벨 군  위에 다음과 같은 -쌍선형 곱셈 연산을 줄 수 있다.
:
이는 항등원 을 갖는 가환환을 이루며, '''융합환'''이라고 한다.
특히, 융합환 의 가환환으로서의 항등원은 0개의 원소의 곱이므로,
:
이다. 즉, 융합환의 항등원은 융합 규칙의 항등원과 같다. 물론 1개의 원소의 곱은
:
이므로 이 정의는 일관적이다. 이 정의가 결합 법칙을 따르는 이항 연산을 정의하는 것은 융합 규칙의 융합 공리에서 비롯된다.
융합환  위에는 항상 다음 조건을 만족시키는 덧셈 군 준동형
:
이 존재한다.
:
따라서 는 -가군의 동형 사상
:
:
을 정의한다. 따라서, 모든 융합환은 고런스틴 환이다. 이 가군 동형에서, 대각합
:
:
에 대응되는 의 원소는 카시미르 원소
:
이다.
=== 등각 장론의 융합환 ===
2차원 등각 장론 가운데 최소 모형이 주어졌다고 하자. 이 경우, 를 1차장의 집합으로 놓고, 를 항등 함수로 놓고,
:
로 놓자. (여기서 는 등각 장론의 3점 상관 함수의 계수이다.) 그렇다면, 이는 융합 규칙을 정의한다.
보다 일반적으로, 비라소로 대수 대신 초대칭 비라소로 대수나 아핀 리 대수(베스-추미노-위튼 모형)에 대한, 유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론에 대해서도 유사하게 융합환을 정의할 수 있다. 이 경우 대합 이 자명하지 않을 수 있다.
==== 페를린더 공식 ====
유한 개의 1차장을 갖는 2차원 등각 장론에서, 최고 무게 표현들의 지표가
:
라고 하자. 그렇다면, 원환면 위에서의 모듈러 불변성
:
에 의하여
:
가 되는 행렬
:
이 존재한다. (보다 일반적으로,  위에는 의 표현이 존재한다.) 는 항상 유니터리 행렬이며, 대칭 행렬이며 (※에르미트 행렬이 아니다), 이다.
이 경우, 다음과 같은 '''페를린더 공식'''()이 성립한다.
:
여기서 는 성분별 복소켤레이다 (즉, ).
=== 이징 모형 ===
임계 2차원 이징 모형에 해당하는 최소 모형 을 생각하자. 이 경우, 세 개의 일차장이 존재하며, 다음과 같다.
 기호 
 설명 
 비라소로 대수 표현 
 1 
 진공 
 (0,0)
  
 스핀 밀도 
 (1/16,1/16)
  
 에너지 밀도 
 (½,½)
이에 대응되는 융합 규칙은 다음과 같다.
:
:
:
:
:
:
:
:
이 경우, 페를린더 대수는 3차원이며, 다음과 같다.
:
즉, 곱셈이 다음과 같다.
 · 
 1 
 σ 
 ε
 1
 1 
 σ 
 ε
 σ
 σ 
 1+ε 
 σ
 ε
 ε 
 σ 
 1 
=== 베스-추미노-위튼 모형 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 복소수 단순 리 대수 
* 의 카르탕 부분 대수 
** 따라서, 근계 를 정의할 수 있다.
* 근계  위의 순서. 이에 따라서 최고(最高) 근 을 고를 수 있다.
* 양의 정수 
이제, 의 우세 무게  가운데 인 것들의 집합을 라고 하자. 이들은 아핀 리 대수 의 준위 의 표현들과 일대일로 대응한다. 에 대응하는 -표현을 라고 표기하자.
이제, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 콤팩트 연결 리만 곡면 
* 의 유한 부분 집합 
* 함수 
그렇다면, 의 표현
:
을 생각하자. 또한, 값 정칙 함수의 복소수 리 대수 는 이 표현 위에 표준적으로 작용한다. 따라서, 다음과 같은 복소수 벡터 공간을 정의할 수 있다.
:
여기서 는 의, -작용에 대한 쌍대불변량의 공간, 즉 에 불변인, 의 가장 큰 몫 벡터 공간이다. 
아핀 리 대수 의 표현을 갖는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형을 정의할 수 있다. 이 경우, 복소수 벡터 공간 는 각 점 에 에 해당하는 일차장을 삽입한 경우의 등각 블록이다.
두 유한 집합 ,  및 전단사 함수 가 주어졌을 때, 표준적인 벡터 공간 동형 사상
:
이 주어진다. 즉, 등각 블록의 차원은 선택한 점들의 수 및 대응되는 표현에만 의존하고, 점의 위치에 의존하지 않는다.
이 경우, 다음과 같은 융합 규칙을 생각하자.
:
즉, 이는 리만 구 위의 등각 블록의 차원이다. 이는 베스-추미노-위튼 모형에 대응되는 융합 규칙이다.
에릭 페를린더 (2009년 사진)
에릭 페를린더(, 1962〜)가 1988년에 2차원 등각 장론을 연구하기 위하여 도입하였다.
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분류:등각 장론