4차원 회전군

리 군론에서 '''4차원 회전군'''(四次元回轉群, )은 4차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(4) 또는 이와 관련된 군들을 말한다.
4차원 특수 직교군  및 이를 2겹 몫군으로 갖는 스핀 군 이 있다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준
: (4차원 로런츠 군)
:
및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.
이 군에 대응하는 딘킨 도표는
:
이다. 딘킨 도표가 연결 그래프가 아닌 것은 이 군이 반단순 리 군이지만 단순 리 군이 아니기 때문이다.
이들은 다음과 같이 대응된다.
:
 킬링 형식의 부호수 
 실수 기반 기호 
 복소수 · 사원수 기반 기호 
 군의 중심 
 기본군 
 비고
 (0,4)
 Spin(4) 
  
  
 0 
 단일 연결 콤팩트 형태
 SO(4) 
  
  
  
 PSO(4) 
  
 0 
 0 
 무중심 콤팩트 형태
 (4,2)
 Spin(2,2) 
  
  
 0 
 단일 연결 분할 형태
 SO⁺(2,2) 
  
  
  
 PSO⁺(2,2) 
  
 0 
  무중심 분할 형태 
 (3,3)
 Spin(1,3) 
  
  
 0 
 단일 연결 로런츠 군
 SO⁺(1,3) 
  
 0 
  
 무중심 로런츠 군
 (2,4)
 SO*(4) 
 — 
  
  
=== 콤팩트 형태 ===
Spin(4)의 최소 스피너는 복소수 2차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 \operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현
:
:
에 해당한다.
마찬가지로, 의 4차원 실수 정의(定義) 표현은 의 쌍벡터 표현
:
에 해당한다.
부호수 (4,0)에서, 2차 미분 형식의 호지 쌍대는 대합을 이루며, 따라서 2차원 반대칭 텐서(2차 미분 형식)에 대하여 호지 쌍대에 대한 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 있다. 이들은 의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.
 차원 
 SO(4) 묘사 
 SU(2)² 묘사 (스핀)
 2 (복소수) 
 오른쪽 스피너 
 (0,½)
 2 (복소수) 
 왼쪽 스피너 
 (½,0)
 4 (실수) 
 벡터 
 (½,½)
 3 (실수) 
 자기 쌍대 반대칭 2-텐서 
 (0,1)
 3 (실수) 
 자기 반쌍대 반대칭 2-텐서 
 (1,0)
 6 (복소수) 
 오른쪽 라리타-슈윙거 장 
 (½,1)
 6 (복소수) 
 왼쪽 라리타-슈윙거 장 
 (1,½)
 9 (실수) 
 무대각합 대칭 2-텐서 
 (1,1)
4차원 유클리드 공간을 사원수의 공간
:
으로 생각하자. 그 위에는 양의 정부호 쌍선형 형식
:
가 주어져 있다. 여기서 우변의 는 사원수의 켤레이다.
사원수 공간 위에는 사원수 대수가 양쪽에서 다음과 같이 작용한다.
:
즉, 이는  위의, 가역 사원수의 리 군 의 2차 직접곱
:
의 표현을 정의한다. 이는 일반적으로 쌍선형 형식 을 보존하지 않지만, 노름 1의 순허수 사원수로 구성된 부분군
:
은 이 쌍선형 형식을 보존한다. 즉, 이는 군 준동형
:
를 정의하며, 그 핵은 다음과 같은 2차 순환군이다.
:
=== 분할 형태 ===
Spin(2,2)은 (1,1)차원 민코프스키 공간의 (대역적) 등각군이다. (국소적 등각군은 비트 대수로 주어진다.) 의 최소 스피너는 실수 2차원의 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현
:
:
에 해당한다.
부호수 (2,2)에서도, 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 대합을 이루어, 자기 (반)쌍대 조건을 정의할 수 있다. 이들은 마찬가지로 의 왼쪽·오른쪽 딸림표현에 대응한다.
 차원 
 SO(2,2) 묘사 
 SL(2)² 묘사 (스핀)
 2 (실수) 
 오른쪽 마요라나-바일 스피너 
 (0,½)
 2 (실수) 
 왼쪽 마요라나-바일 스피너 
 (½,0)
 4 (실수) 
 벡터 
 (½,½)
 3 (실수) 
 자기 쌍대 반대칭 2-텐서 
 (0,1)
 3 (실수) 
 자기 반쌍대 반대칭 2-텐서 
 (1,0)
 6 (실수) 
 오른쪽 라리타-슈윙거 장 
 (½,1)
 6 (실수) 
 왼쪽 라리타-슈윙거 장 
 (1,½)
 9 (실수) 
 무대각합 대칭 2-텐서 
 (1,1)
이 군의 중심은 크기 4의 아벨 군
:
이다. 이는 에서
:
에 해당하며, 에서 이 중심 부분군은 몫군
:
에 해당한다. 중심에 대한 몫군은
:
이다.
구체적으로, 실수 2×2 행렬의 공간  위에, 행렬식
:
은 실수 이차 형식을 이루며, 이에 대응하는 실수 쌍선형 형식
:\left\langle
\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
a'&b'\\c'&d'
\end{pmatrix}
\right\rangle = \frac12
\left(ad'-bc'+da'-cb'\right)
을 계산할 수 있다. 이는 부호수 (2,2)를 가지며, 그 정규 직교 기저는 다음과 같다.
:
 기저 벡터
 
 
 
 
 노름
 +1 
 −1 
 +1 
 −1
 위에는 가 다음과 같이 작용한다.
:
이는 일반적으로 쌍선형 형식 을 보존하지 않으나, 그  부분군은 이를 보존한다. 즉, 이는 군 준동형
:
을 정의한다. 이는 전사 함수이며, 그 핵은 2차 순환군
:
이다.
=== 로런츠 형태 ===
은 2차원 유클리드 공간의 (대역적) 등각군이다. 즉, 이는 사실 리만 구의 자기 동형군(뫼비우스 변환들의 군)
:
이다.
의 최소 스피너는 복소수 2차원의 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 의 정의 표현  및 그 복소수 켤레 에 대응한다. 의 4차원 실수 정의 표현 는 의 표현
:
에 대응한다.
이 부호수에서, 호지 쌍대는 2차 미분 형식의 대합이 되지 못한다. 즉, 2차 미분 형식 에 대하여
:
이다. 이에 따라 2차 미분 형식의 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 없다. 이는 이 두 군의 직접곱으로 분해되지 못하여, 그 딸림표현이 기약 표현이기 때문이다.
구체적으로, 다음과 같은 꼴의 2×2 행렬들의 4차원 실수 벡터 공간을 생각하자.
:
 위에는 다음과 같은 실수 쌍선형 형식이 존재한다.
:
이 쌍선형 형식의 부호수는 (3,1)이며, 이에 대한 정규 직교 기저는 다음과 같다.
:
 기저 벡터
 
 
 
 
 노름
 +1 
 +1 
 +1 
 −1
즉, 를 민코프스키 공간 으로 여길 수 있다.
이 위에는 다음과 같은 꼴의 의 작용이 존재한다.
:
이 작용은 위의 쌍선형 형식을 보존하며, 따라서 군 준동형
:
을 정의한다. 그 핵은 물론
:
이다.
=== SO*(4) ===
SO(4)는 SO*(4)라는 또다른 실수 형식을 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 군 준동형들을 생각하자.
:
여기서 첫째 화살표는 자명한 부분군 관계이며, 둘째 화살표 는 2겹 몫군 관계이다. 여기에 다음과 같은 실수 조건을 가할 수 있다.
:
:
:
:
:
즉, SO*(4)는 이에 따라 다음과 같이 표현될 수 있다.
:
다시 말해, 이는 (5,1)차원 민코프스키 공간의 4차원 (왼쪽 또는 오른쪽) 바일 스피너의 실수 선형 변환 가운데, (5,1)차원 로런츠 변환에 속하는 것들이다.
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분류:리 군
분류:특수 상대성이론
분류:4차원 기하학
분류:사원수