룽게-쿠타 방법의 목록

'''룽게-쿠타 방법'''은 다음 상미분방정식의 수치해법이다
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이 수치해법은 다음의 형태를 가진다.
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이 문서에 있는 모든 방법은 다음과 같이 계수를 배열한 Butcher 테이블로 정의하였다:
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명시적 방법은 행렬 이 하삼각행렬인 방법이다.
=== 오일러 ===
오일러 방법은 일차이다. 안정성과 정확성이 부족하기 때문에 주로 수치 해석 방법의 간단한 예제로 사용한다.
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=== 명시적 중간점 방법 ===
(명시적) 중간점 방법은 두 단계의 이차 방법이다(아래의 암시적 중간점 방법을 보라):
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=== 호인의 방법 ===
호인의 방법은 두 단계의 이차 방법이다(또한 명시적 사다리꼴 공식으로도 알려져 있다):
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=== 랄스톤 방법 ===
랄스톤 방법은 두 단계 이차 방법이고 최소 지역오차 경계가 있다:
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=== 일반적인 이차 방법 ===
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=== 쿠타 삼차 방법 ===
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=== 고전적 사차 방법 ===
"원조" 룽게-쿠타 방법이다.
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=== 3/8-규칙 사차 방법 ===
이 방법은 "고전적" 방법만큼 악명높진 않지만 같은 논문에서 제시되었기 때문에 동일하게 고전적이다(Kutta, 1901).
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내장형 방법은 룽게-쿠타 한 단계의 지역 절단 오차를 계산하기 위해 설계되었고, 결과로 적응형 단계 크기로 오차를 조절할 수 있게 되었다. 이것은 테이블에 있는 p차와 p-1차의 두 방법을 사용한다.
낮은차수의 단계는 다음과 같다
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이때 는 고차 방법과 같다. 그러면 오차는 다음과 같다
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이 오차는 . 이런 종류의 방법의 Butcher 테이블은 
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=== 호인-오일러 ===
가장 간단한 적응형 룽게-쿠타 방법은 이차인 호인의 방법과 일차인 오일러 방법을 결합한 것이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
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추정 오차는 단계크기를 조절하는데 사용된다.
=== 펠베르크 RK1(2) ===
펠베르크 방법은 일차와 이차의 두 방법을 가진다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
 0
 1/2
 1/2
1
1/256
255/256
1/256
255/256
0
1/512
255/256
1/512
''b'' 계수의 첫 줄은 일차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.
=== 보가키–샴폐인 ===
보가키-샴폐인 방법은 이차와 삼차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
 0
 1/2
 1/2
 3/4
 0
 3/4
 1
 2/9
 1/3
 4/9
 2/9
 1/3
 4/9
 0
 7/24
 1/4
 1/3
 1/8
''b'' 계수의 첫 줄은 삼차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 이차이다.
=== 펠베르크 ===
룽게-쿠타-펠베르크 방법은 5차와 4차의 두 방법이다. 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
 0
 1/4
 1/4
 3/8
 3/32
 9/32
 12/13
 1932/2197
 −7200/2197
 7296/2197
 1
 439/216
 −8
 3680/513
 −845/4104
 1/2
 -8/27
 2
 −3544/2565
 1859/4104
 −11/40
 16/135
 0
 6656/12825
 28561/56430
 −9/50
 2/55
 25/216
 0
 1408/2565
 2197/4104
 −1/5
 0
''b'' 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.
=== 캐쉬-카프 ===
캐쉬와 카프는 펠버그의 원래 아이디어를 수정했다. 캐쉬-카프 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다:
 0
 1/5
 1/5
 3/10
 3/40
 9/40
 3/5
 3/10
 −9/10
 6/5
 1
 −11/54
 5/2
 −70/27
 35/27
 7/8
 1631/55296
 175/512
 575/13824
 44275/110592
 253/4096
 37/378
 0
 250/621
 125/594
 0
 512/1771
 2825/27648
 0
 18575/48384
 13525/55296
 277/14336
 1/4
''b'' 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.
=== 도르몬드–프린스 ===
도르몬드-프린스 방법의 확장된 테이블은 다음과 같다
 0
 1/5
 1/5
 3/10
 3/40
 9/40
 4/5
 44/45
 −56/15
 32/9
 8/9
 19372/6561
 −25360/2187
 64448/6561
 −212/729
 1
 9017/3168
 −355/33
 46732/5247
 49/176
 −5103/18656
 1
 35/384
 0
 500/1113
 125/192
 −2187/6784
 11/84
 35/384
 0
 500/1113
 125/192
 −2187/6784
 11/84
 0
 5179/57600
 0
 7571/16695
 393/640
 −92097/339200
 187/2100
 1/40
''b'' 계수의 첫 줄은 5차 정확한 해를 주고, 두 번째 줄은 4차이다.
=== 역 오일러 ===
역 오일러 방법은 일차이다. 선형 확장 문제에 대해서 조건적 안정하고 진동이 없다.
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=== 암시적 중간점 ===
암시적 중간점 방법은 이차이다. 이것은 배열 방법 중 가우스 방법이라는 그룹에서 가장 간단한 방법이다. 이는 사교 적분자이다.
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=== 가우스-르장드르 방법 ===
이 방법들은 가우스-르장드르 구적법에 기반하고 있다. 4차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:
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6차 가우스-르장드르 방법의 Butcher 테이블은 다음과 같다:
: 
=== 로바토 방법 ===
로바토 방법의 주요 세 방법은 IIIA, IIIB 그리고 IIIC로 불린다(고전 수학 문헌에서 기호 I과 II는 라다우 방법의 주 종류에 예약되어 있었다). 이것들은 리후엘 로바토(Rehuel Lobatto)의 이름을 따왔다. 모두 암시적 방법이고, 2''s-''2차 방법이며, 모두 ''c''1 = 0이고 ''c''''s'' = 1이다. 다른 어떤 명시적 방법과는 달리, 이 방법들은 더 큰 단계도 가능하다. 로바토는 룽게와 쿠타가 고전적인 사차 방법을 만들기 전에 살았었다.
==== 로바토 IIIA 방법 ====
로바토 IIIA 방법은 배열 방법이다. 이차 방법은 사다리꼴 공식으로 알려져있다:
: 
4차 방법은 다음과 같다
: 
이 방법은 A-안정하지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.
==== 로바토 IIIB 방법 ====
로바토 IIIB 방법은 배열 방법이 아니지만 불연속적 배열 방법으로 볼 수 있다. 이차 방법은 다음과 같다
: 
4차 방법은 다음과 같다
: 
로바토 IIIB 방법은 A-안정적이지만 L-안정하거나 B-안정하지는 않다.
==== 로바토 IIIC 방법 ====
로바토 IIIC 방법도 불연속적 배열 방법이다. 이차 방법은 다음과 같다
: 
4차 방법은 다음과 같다
: 
이것은 L-안정하다. 이것들은 게다가 대수적으로 안정하고, 따라서 B-안정하기 때문에 딱딱한 방정식에 적합하다.
==== 로바토 IIIC* 방법 ====
로바토 IIIC* 방법은 문헌에서 로바토 III 방법(Butcher, 2008), Butcher의 로바토 방법(Hairer et al, 1993), 그리고 로바토 IIIC 방법(Sun, 2000)이라고도 알려져 있다. 아차 방법은 다음과 같다
: 
4차 방법은 다음과 같다
: 
이 방법은 A-안정하지도, B-안정하지도, L-안정하지도 않다. .
==== 일반화된 로바토 방법 ====
다음의 형태를 가지는 로바토 계수를 고려함으로써 세 실수 변수
: ,
여기서,
: .
예를 들면, (Nørsett and Wanner, 1981)에 소개되었고 로바토 IIINW라고도 불리는 로바토 IIID는 다음의 형태를 가진다
: 
그리고
: 
이 방법은 , , , 그리고 . 이 방법은 L-안정적이다. 또한 대수적으로 안정적이기 때문에 B-안정적이다.
=== 라다우 방법 ===
라다우 방법은 완전히 암시적 방법이다(이런 방법의 행렬 ''A''는 어떤 구조도 가질 수 있다). 라다우 방법은 ''s'' 단계에 2''s''-1차이다. 라다우 방법은 A-안정적이지만 구현하는데 비용이 많이 든다. 게다가 차수의 감소로 어려움이 있을 수 있다.
일차 라다우 방법은 역 오일러 방법과 유사하다
==== 라다우 IA 방법 ====
삼차 방법은 다음과 같다
: 
5차 방법은 다음과 같다
: 
==== 라다우 IIA 방법 ====
이 방법의 ''c''i는 다음의 근이다
: 
. 삼차 방법은 다음과 같다
: 
5차 방법은 다음과 같다
: * 룽게-쿠타-펠베르크 방법
* .
* .
* .
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