아딘크라 (물리학)

물리학에서 '''아딘크라'''()는 초대칭 대수의 표현을 나타내는 일종의 그래프이다.
자연수 에 대하여, '''차원 아딘크라'''()는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 는 유한 연결 차 정규 그래프이다. (특히, 같은 양끝을 갖는 변은 존재하지 않으며, 서로 다른 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 1개 또는 0개이다.)
*  위에는 두 개의 색의 그래프 색칠이 주어져 있다. 꼭짓점의 색을 라고 하자. (이는 보손과 페르미온의 머릿글자이다.) 특히, 는 이분 그래프이어야 한다.
* 또한, 의 각 꼭짓점에는 정수가 주어져 있다. 이를 꼭짓점의 '''계수'''()라고 하자.
*  위에는 에 대한 변 색칠이 주어져 있다.
* 또한, 의 각 변에는 부호 가 붙어 있다. (그러나 같은 부호의 변들이 맞닿을 수 있어, 이는 변 색칠을 이루지 않을 수 있다.)
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
*
* 각 변의 양끝은 서로 다른 색의 꼭짓점이며, 그 계수의 차는 1이다.
* 각 꼭짓점에 닿은  개의 변에 붙은 색들은 모두 서로 다르다.
* 임의의 두 정수 에 대하여,  또는 가 붙은 변들의 집합은 서로 교차하지 않는, 길이 4의 순환들의 분리 합집합을 이룬다. 또한, 이러한 길이 4의 순환 속에서, 부호가 인 변의 수는 홀수 개(즉, 1개 또는 3개)이다.
=== 아딘크라의 동형 ===
두 차원 아딘크라 , 가 주어졌다고 하자. 또한, 각  및 각 계수 에 대하여,  속의 -꼭짓점의 수는  속의 -꼭짓점의 수와 같다고 하자. 또한, 이러한 꼭짓점의 집합을  및 로 표기하자.
이 두 아딘크라 사이의  '''C-동형'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각  및 각 계수 에 대하여, 전단사 함수 
* 각 에 대하여, 부호 
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* (색의 보존) 각 변 에 대하여, 의 색 은 의 색과 같다.
* (부호의 보존) 임의의 변 의 부호가 이라고 할 때, 의 부호는 이다.
이 데이터는 성분이 에 속하는 가역 행렬로 나타낼 수 있다.
보다 일반적으로, 임의의 복소수 가역 행렬을 허용하면 아딘크라의 '''동형'''의 개념을 얻는다. 그러나 이 개념은 아딘크라의 그래프 자체를 그래프 동형이 아닌 다른 그래프로 변환할 수 있다.
아딘크라의 '''크로모토폴로지'''()는 아딘크라의 정의에서
* 꼭짓점에 칠해진 색깔 
* 변에 주어진 부호 
* 꼭짓점의 계수 (및 부분 순서)
를 잊고, 대신
* 그래프 구조
* 변의 색깔 \{1,\dotsc,n\}
만을 남긴 구조이다.
=== 초대칭 표현과의 관계 ===
생성원 (H,Q_1,\dotsc,Q_n)을 갖는 초대칭 대수
:
:
를 생각하자. 이는 리 초대수 을 이룬다. 여기서, 해밀토니언 연산자의 단위는 시간−1이며, 따라서 초대칭 연산자 의 단위는 시간−½이다.
이 경우, 아딘크라 가 주어졌을 때,
:
:
를 생각하자. 이 복소수 벡터 공간 위에 다음과 같은 의 표현을 생각하자.
:
:변
::
::
::
::
:에 대하여, 만약 가 보손이며 가 페르미온이라면,
::
::
:만약 가 페르미온이며 가 보손이라면,
::
::
이를 '''아딘크라 에 대응하는 초대칭 표현'''이라고 한다.
아딘크라와 이 아딘크라에 대응하는 초대칭 표현 (초다중항) 사이의 관계는 다음과 같다.
:
 아딘크라 
 초다중항
 가 붙은 꼭짓점 
 보손 장
 가 붙은 꼭짓점 
 페르미온 장
 변 
 초대칭의 작용
 변에 붙은 숫자  
 작용하는 초대칭 연산자 
 변에 붙은 부호  
 초대칭 연산자가 작용했을 때 붙는 부호 ()
 꼭짓점의 계수 
 장의 단위 (시간−''k''/2에서의 ''k'')
이와 같이 차원 아딘크라로 표시될 수 있는 의 표현을 '''아딘크라 표현'''(adinkra表現, )이라고 한다.
=== 리만 곡면 ===
모든 크로모토폴로지에는 표준적으로 어떤 리만 곡면을 대응시킬 수 있으며, 이 대응은 데생당팡을 사용한다.
구체적으로, 차원 아딘크라와, 이 N개 변 색깔들의 전순서가 주어졌다고 하자. (후자를 '''무지개'''()라고 하기도 한다.) 그렇다면,
* 아딘크라의 그래프에, 무지개의 정보를 추가하면, 띠그래프를 이룬다.
* 띠그래프의 각 변에 길이 1을 부여하면, 이는 계량 띠그래프이다.
* 계량 띠그래프에는 항상 벨리 사상 및 \bar{\mathbb Q}-대수 곡선 (리만 곡면)을 대응시킬 수 있다.
* 또한, 이 데이터에는 마찬가지로 데생당팡이 대응된다.
이에 따라, 아딘크라의 구조는 다음과 같은 데이터에 대응된다.
 아딘크라 
 기하학
 크로모토폴로지 (그래프 + 변 색칠) + 변의 색 위의 전순서 
 리만 곡면 및 리만 구 위의 분지 피복
 변에 붙은 부호 (의 동치류) 
 리만 곡면 위의 스핀 구조
 꼭짓점의 계수 
 리만 곡면 위의 인자
(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 크로모토폴로지의 분류는 다음과 같다.
-벡터 공간  속의 선형 부호 가운데, 만약 모든 원소 에 대하여 라면, 를 '''겹짝 선형 부호'''()라고 한다. (여기서 는 해밍 거리이다.)
(아딘크라를 이룰 수 있는) 모든 차원 크로모토폴로지는 의 꼴의 그래프로 나타내어진다. 여기서 은 초입방체 크로모토폴로지이며, 는 겹짝 선형 부호이다.
=== 간단한 예 ===
2차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.
 　　Ｂ
  ¹／　＼²
 Ｆ　　　Ｆ
  ₂＼　／₁
 　　Ｂ
여기서 변에 붙은 부호는 검은 색 또는 붉은 색으로 표시하였으며, 꼭짓점의 계수는 그림에서의 높이로 표시된다 (즉, 그림을 하세 도표로 생각한다).
이는 초다중항
:
:
:
:
:
:
:
을 나타낸다.
1차원 아딘크라의 예는 다음과 같다.
 Ｆ
 ｜1
 Ｂ
이는 초다중항
:
:
:
를 나타낸다.
=== 초입방체 크로모토폴로지 ===
보다 일반적으로, 임의의 자연수 에 대하여, 차원 초입방체의 꼭짓점과 변으로 이루어진 그래프를 생각하자. 그 꼭짓들의 집합을 유한체  위의 벡터 공간 으로 생각할 수 있다.
이 경우, 각 변에 색
:
를 부여하자. 그렇다면, 이는 크로모토폴로지를 이룬다. 이를 '''초입방체 크로모토폴로지'''(超立方體chromotopology, )라고 한다.
=== 초입방체가 아닌 크로모토폴로지 ===
초입방체가 아닌 가장 간단한 연결 크로모토폴로지는 4차원이며, 다음과 같은 이진 선형 부호에 대응한다.
:
즉, 다음과 같은 꼴이다. (편의상 변의 색칠을 생략하였다.)
 _ F, G, H _
/    / \    \
B   C   D   E
 \   \ /    /
  `-  A  -´
즉, 여기서 F, G, H는 각각 B, C, D, E와 모두 변으로 연결돼 있지만, F와 G와 H 사이에는 변이 존재하지 않는다.
파일:Adinkra Rattray.JPG|thumb|right|아샨티족의 아딘크라 문양
2004년에 마이클 폭스()와 실베스터 제임스 게이츠 2세()가 초대칭 양자장론을 분석하기 위하여 도입하였다. “아딘크라”라는 단어는 아샨티족의 문화에서 사용되는 일종의 문양인 아딘크라()에서 유래하였다.
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분류:초대칭
분류:그래프