리만 곡면 자기 동형군

리만 곡면 이론에서, 리만 곡면의 '''자기 동형군'''(自己同型群, )은 정칙 함수이며 그 역함수 또한 정칙 함수가 되는 전단사 자기 함수들로 구성된 군이다. 종수 1 이하에서는 이는 복소수 리 군을 이루지만, 종수 2 이상에서는 이는 유한군이며, 그 크기의 상계는 '''후르비츠 자기 동형군 정리'''()에 의하여 주어진다. 이 상계를 포화시키는 리만 곡면을 '''후르비츠 곡면'''(Hurwitz曲面, )이라고 한다.
리만 곡면 의 '''자기 동형'''은 다음 조건을 만족시키는 자기 함수
:
이다.
* 전단사 함수이다.
* 정칙 함수이다.
* 그 역함수  역시 정칙 함수이다.
이들은 합성에 대하여 군을 이룬다. 이를 리만 곡면 의 '''자기 동형군'''이라고 한다.
'''후르비츠 자기 동형군 정리'''()에 따르면, 종수 의 연결 콤팩트 리만 곡면 의 자기 동형군의 크기는 다음과 같은 상계를 따른다.
:
'''증명 스케치''':
균등화 정리에 따라, 모든 쌍곡 리만 곡면 (즉, ) 는 쌍곡 평면의 몫으로 나타낼 수 있다. 가우스-보네 정리에 따라, (표준적 쌍곡 계량에 따른) 이 리만 곡면의 넓이는 다음과 같이, 종수에 의하여 결정된다.
:
리만 곡면의 넓이가 종수에 의해 고정되므로, 의 자기 동형군의 크기는 그 작용의 기본 영역()의 넓이에 의해 결정된다. 즉, 후자를 최소화해야 한다.
기본 영역이 (쌍곡) 삼각형이며, 꼭짓점 각이 각각 , , 라고 하자 (). 쌍곡기하학에서 삼각형의 넓이는 그 꼭짓점의 각들에 의하여 결정되며, 다음과 같다.
:
즉, 위의 우변이 가질 수 있는 최소의 양의 실수 값을 찾으면 된다. 이는
:
:
임을 쉽게 확인할 수 있다.
이에 따라, 방향을 보존하지 않을 수 있는 자기 사상들의 수는
:
이다. 방향을 보존해야 한다는 조건을 추가하면,
:
이 된다.
이 상계를 포화시키는 연결 콤팩트 리만 곡면을 '''후르비츠 곡면'''()이라고 하며, 그 자기 동형군을 '''후르비츠 군'''()이라고 한다.
=== 후르비츠 군 ===
모든 후르비츠 군은 (2,3,7)-폰 뒤크 군 의 몫군이며, 유한군이며, (정의에 따라) 그 크기는 84의 배수이다.
미분 기하학의 기본 주제 중 하나는 양의 곡률, 영의 곡률, 음의 곡률 ''K''의 리만 다양체 사이의 삼분법이다. 그것은 다양한 상황과 여러 수준에서 나타난다. 콤팩트한 리만 곡면 ''X'' 의 맥락에서 리만 균일화 정리를 통해 이는 서로 다른 위상의 곡면 간의 구별로 볼 수 있다.
* ''X는'' 구, ''K'' > 0가 있는 종수 0의 콤팩트 리만 곡면 ;
* ''X'' 편평한 원환체 또는 타원 곡선, ''K''  = 0가 있는 속 1의 리만 곡면;
* ''X는'' 1보다 크고 ''K''. < 0''를'' 갖는 쌍곡면이다.
처음 두 경우에서 곡면 ''X는'' 무한히 많은 등각 자기동형사상을 허용하지만(사실 등각 자동형 군은 구의 경우 3차원이고 원환체의 경우 1차원의 복소 리 군이다), 쌍곡선 리만 곡면은 이산형만 허용한다. 자동형 집합. 후르비츠의 정리는 실제로 더 많은 것이 사실이라고 주장한다. 이는 속의 함수로서 자기 동형 군의 차수에 대한 균일한 경계를 제공하고 경계가 날카로운 리만 곡면을 특성화한다.
각 종수 별로, 자기 동형군의 최대 크기는 다음과 같다.
 종수 ''g'' 
 자기 동형군의 최대 크기 
 후르비츠 상계 포화? 
 곡면의 이름 
 곡면의 자기 동형군
 0 
  
 N/A 
 리만 구 
  (뫼비우스 변환)
 1 
  
 N/A 
 타원 곡선  
 항등원의 연결 성분이 콤팩트 아벨 덧셈군인 콤팩트 복소수 리 군
 2 
 48 
  ❌ 
 볼차 곡선()  
 
 3 
 168 
 ⭕ 
 클라인 4차 곡선 
 
 4
120 
 ❌ 
 브링 곡선() 
  (5차 대칭군)
 5 
 192 
 ❌ 
 
 6 
 150 
 ❌ 
 
 7 
 504 
 ⭕ 
맥비스 곡선()
 
 8 
336  
 ❌ 
 
 9 
 320 
 ❌ 
 
 10
 432 
 ❌ 
 
 11 
240  
 ❌ 
 
후르비츠 상계가 포화되는 종수들의 값들은 무한히 많으며, 마찬가지로 후르비츠 상계가 포화되지 않는 종수들의 값 또한 무한히 많다. 후르비츠 상계가 포화되는 종수들 가운데 가장 작은 것들은 다음과 같다. 
:3, 7, 14, 17, 118, 129, 146, 385, 411, 474, 687, 769, 1009, 1025, 1459, 1537, 2091, 2131, 2185, 2663, 3404, 4369, 4375, 5433, 5489, 6553, 7201, 8065, 8193, 8589, 11626, 11665, …
종수 3과 7에서는 후르비츠 상계를 포화시키는 연결 콤팩트 리만 곡면이 유일하지만, 종수 14에서는 후르비츠 상계를 포화시키는, 세 개의 서로 다른 (서로 동형이 아닌) 연결 콤팩트 리만 곡면들이 존재한다.
=== 구성 ===
후르비츠 군과 곡면은 (2,3,7) 슈바르츠 삼각형에 의한 쌍곡선 평면의 쪽매맞춤을 기반으로 구성된다.
후르비츠 군의 예를 얻기 위해 쌍곡선 평면의 (2,3,7) 쪽매맞춤부터 시작하겠다. 전체 대칭 군은 각도 π/2, π/3 및 π/7을 갖는 하나의 기본 삼각형의 측면에 걸친 반사에 의해 생성된 전체 (2,3,7) 삼각형 군이다. 반사는 삼각형을 뒤집고 방향을 변경하므로 삼각형을 쌍으로 결합하여 방향을 유지하는 쪽매맞춤 다각형을 얻을 수 있다. 후르비츠 곡면은 쌍곡선 평면의 무한 쪽매맞춤 부분을 ''g'' 의 콤팩트한 리만 곡면으로 '닫음'으로써 얻는다. 이는 반드시 정확히 84( ''g'' − 1)개의 이중 삼각형 타일을 포함한다.
다음 두 개의 일반 쪽매맞춤에는 원하는 대칭 군이 있다. 회전 군은 모서리, 꼭지점 및 면에 대한 회전에 해당하는 반면, 전체 대칭 군에는 반사도 포함된다. 쪽매맞춤의 다각형은 기본 영역이 아니다. (2,3,7) 삼각형에 의한 쪽매맞춤은 이 두 가지를 모두 개선하며 규칙적이지 않다.
100x100픽셀위수 3 칠각형 쪽매맞춤
100x100픽셀위수 7 삼각형 쪽매맞춤
위토프 구성은 여기에 제공된 두 개의 일반 타일을 포함하여 8개의 균일한 쪽매맞춤을 생성하여 추가로 균일한 쪽매맞춤을 생성한다. 이것들은 모두 후르비츠 곡면으로 내려와 곡면의 쪽매맞춤(삼각형, 칠각형 쪽매맞춤 등)을 생성한다. ).
위의 주장으로부터 후르비츠 군 ''G는'' 두 개의 생성원 ''a'' 와 ''b'' 와 세 개의 관계를 갖는 군의 유한 몫이라는 속성을 특징으로 한다는 것을 추론할 수 있다.
: 
따라서 ''G''는 위수 2와 3인 두 원소에 의해 생성된 유한 군이며, 그 곱의 위수는 7이다. 보다 정확하게는 후르비츠 곡면, 즉 주어진 속의 곡면에 대한 자기 동형 군의 최대 위수를 실현하는 쌍곡면은 주어진 구성에 의해 얻을 수 있다. 이것이 허비츠 정리의 마지막 부분이다.
파일:Small_cubicuboctahedron.png|섬네일|작은 입방육팔면체는 24개의 꼭지점에서 만나는 56개의 삼각형으로 이루어진 클라인 사차 쪽매맞춤의 다면체 몰입이다.
가장 작은 후르비츠 군은 168차의 사영 특수 선형 군 PSL(2,7) 이고 해당 곡선은 클라인 4차 곡선이다. 이 군은 PSL(3,2) 와도 동형이다.
다음은 504차 자기동형 군 PSL(2,8)을 갖는 Macbeath 곡선이다. 더 많은 유한 단순 군은 후르비츠 군이다. 예를 들어 교대 군 중 64개를 제외한 모든 군은 후르비츠 군이며, 후르비츠가 아닌 가장 큰 예는 167차이다. 후르비츠 군인 가장 작은 교대 군은 A 15이다.
가장 큰 랭크의 사영 특수 선형군은 후르비츠 군이다 . 낮은 랭크의 경우 후르비츠와 같은 군이 더 적다.  7을 법으로 ''p''의 위수인 n_p에 대해 ''q'' =7 또는 ''q'' = ''p'' ''np'' 중 ''하나'' 인 경우에만 PSL(2, ''q'' )가 후르비츠라는 것을 알 수 있다. 실제로, PSL(3, ''q'' )는 ''q'' = 2인 경우에만 후르비츠이고, PSL(4, ''q'' )는 결코 후르비츠가 아니며, PSL(5, ''q'' )는 ''q'' = 7 4 또는 ''q'' = ''pnp'' 인 경우에만 후르비츠이다.    .
마찬가지로 리 유형의 많은 군이 후르비츠이다. 큰 랭크의 유한 고전 군은 후르비츠이다    . G2 유형의 예외적인 리 군과 2G2 유형의 이임학 군은 거의 항상 후르비츠 군이다. 낮은 랭크의 예외적이고 비틀린 리 군의 다른 계열은 후르비츠로 표시된다 .
후르비츠 군으로 생성될 수 있는 12개의 산재 군들 있다. 얀코 군 J 1, J 2 및 J 4, 피셔 군 Fi 22 및 Fi' 24, 루드발디스 군, Held 군, 톰슨 군, 하라다– 노턴 군, 세 번째 콘웨이 군 Co 3, 라이언스 군 및 괴물군, .
후르비츠 자기 동형군 정리는 아돌프 후르비츠가 1893년에 증명하였다.
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