단체 집합

호모토피 이론에서 '''단체 집합'''(單體集合, )은 위상 공간의 조합론적인 표현의 일종이다. 위상 공간이나 단체 복합체 등과 달리, 단체 집합의 범주는 토포스를 이루므로, 그 속에서 호모토피 이론을 전개하기가 용이하다.
'''단체 집합'''은 집합과 함수의 범주  속의 단체 대상, 즉 함자
:
이다. 마찬가지로, '''첨가 단체 집합'''(添加單體集合, )은  속의 첨가 단체 대상, 즉 함자
:
이다.
여기서 은 단체 범주이며, 는 첨가 단체 범주이다.
다시 말해, 인 첨가 단체 집합 은 조각 범주  위의 단체 대상과 같다.
=== 범주론적 연산 ===
단체 집합의 범주는 토포스이므로, 이 속에서 정의되는 모든 연산을 취할 수 있다. 특히, 곱 · 쌍대곱 · 밂 등이 모두 존재한다.
단체 집합의 범주에서, 시작 대상은 공집합
:
:
이며, 끝 대상은 한원소 공간
:
:
이다. (여기서 은 한원소 집합이다.) 즉, 이는 각 차원에서 하나의 단체만을 가지며, 모든 단체가 퇴화 단체인 단체 집합이다.
=== 기하학적 실현과 특이 단체 ===
단체 집합의 범주 와 위상 공간의 범주  사이에 다음과 같은 두 개의 함자들이 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다.
:
:
여기서 을 '''특이 단체 함자'''(特異單體函子, ), 을 '''기하학적 실현 함자'''(幾何學的實現函子, )라고 한다.
==== 특이 단체 ====
위상 공간 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 '''특이 단체 집합'''() 는 다음과 같다.
:
여기서 은 차원 단체이다. 즉, 함자 의 차 성분은 의 차원 특이 단체들의 집합이다. 이는 특이 호몰로지에서 사용되는 특이 단체와 같다.
==== 기하학적 실현 ====
단체 집합 에 대응하는 '''기하학적 실현''' 는 다음과 같은 위상 공간이다.
:
여기서 은 차원 표준 단체이며, 은
:
:
로부터 생성되는 동치 관계이다. 여기서
:
는 상이 인 유일한 증가 단사 함수이며,
:
는 를 제외하고는 단사 함수인 유일한 증가 전사 함수이다.  및 는 이와 유사하지만, 표준 단체에 작용하는 연속 함수들이다.
=== 단체 호몰로지 ===
단체 집합 이 주어졌을 때, 각 차수에 대하여 자유 아벨 군을 취하자.
:
그렇다면, 이 위에  및 를 선형으로 연장할 수 있다. 그렇다면, 은 단체 아벨 군을 이룬다. 그 표준 사슬 복합체
:
:
의 호몰로지를 단체 집합 의 '''단체 호몰로지'''(單體homology, )라고 한다. 이는 그 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 같다. (단체 호몰로지의 계산에서, 퇴화 사상은 사용되지 않는다.)
=== 유리수 계수 다항식 미분 형식 ===
표준 단체
:
위의 '''유리수 계수 다항식 미분 형식'''()은 다음과 같은 꼴의 항들의 (유한, 유리수 계수) 선형 결합이다.
:
이들의 유리수 벡터 공간을 으로 표기하자. 이는 외미분 및 쐐기곱을 통해 자연수 등급 가환 미분 등급 대수를 이룬다.
이제, 함자
:
를 다음과 같이 정의할 수 있다.
* 
* 임의의 증가 함수 에 대하여,
*: 
*: 
그렇다면, 이 함자의 왼쪽 칸 확대를 통해 함자
:
를 얻을 수 있다. 이를 단체 집합 위의 '''유리수 계수 다항식 미분 형식'''들의 유리수 계수 자연수 등급 가환 미분 등급 대수라고 한다.
이는 오른쪽 수반 함자
:
를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자
:
를 이룬다.
=== 범주론적 성질 ===
단체 집합의 범주 는 집합 값을 갖는 준층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.
=== 위상수학적 성질 ===
기하학적 실현 함자 는 오른쪽 수반 함자를 가지므로 쌍대 극한을 보존하지만 유한 극한은 보존하지 않는다. 이때, 기하학적 실현 함자의 공역을 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주  따위의 범주로 바꾸면 이 함자는 유한 극한을 보존하게 된다.
또한, 단체 집합 의 기하학적 실현 는 언제나 CW 복합체이며, 특히 하우스도르프 공간이다.
=== 모형 범주 구조 ===
단체 집합의 범주 는 표준적으로 모형 범주의 구조를 갖는다.
* 약한 호모토피 동치는 그 기하학적 실현들에 대한 약한 호모토피 동치와 같다.
* 올뭉치는 '''칸 올뭉치'''(Kan올뭉치, )이다.
* 올대상은 '''칸 복합체'''(Kan複合體, )이다.
==== 칸 올뭉치 ====
단체 집합 ,  사이의 사상 가 다음 조건을 만족시킨다면, '''칸 올뭉치'''()라고 한다.
:임의의 단체 의 뿔  및 사상  및 에 대하여, 만약 라면, 이고 인 가 존재한다. 즉, 다음 그림과 같다.
::
이는 (위상 공간의) 올뭉치의 정의와 매우 유사하다. 칸 올뭉치의 기하학적 실현은 항상 세르 올뭉치를 이룬다.
이 하나의 점만을 갖는 단체 집합일 경우, '''칸 복합체'''(Kan複合體, )는 으로 가는 유일한 사상이 칸 올뭉치를 이루는 단체 집합이다.
=== 표준 단체와 뿔 ===
자연수 에 대하여, 단체 집합의 범주에서 '''표준 차원 단체'''() 는 로 정의되며, 요네다 보조정리에 의해
:
가 성립한다.
표준 차원 단체 가 주어졌을 때, 에 대하여, 가 에서 번째 면들을 제거한 차원 단체라고 하자. 이러한 단체 집합을 '''뿔'''()이라고 한다.
=== 구체적 범주 속의 단체 대상 ===
만약 가 구체적 범주일 경우, \mathcal C 속의 모든 단체 대상은 망각 함자를 통해 단체 집합을 이룬다.
=== 단체 복합체 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* (추상적) 단체 복합체 . 여기서 은 꼭짓점들의 집합이며, 는 개의 서로 다른 꼭짓점들의 집합이다.
* 꼭짓점 집합  위의 전순서 
그렇다면, 다음을 정의하자.
* 양의 정수 에 대하여, 집합 의 원소 은 의 원소들로 구성된, 크기 의 중복집합  가운데, 중복 원소를 제거한 집합 이 에 속하는 것이다.
* 꼭짓점 중복집합 이 주어졌다고 하자. 에서, 번째로 작은 원소를 라고 하자 (). 그렇다면,  및 을 다음과 같이 정의하자.
** 
** 
그렇다면, 는 단체 집합을 이루며, 그 기하학적 실현은 원래 단체 복합체 의 기하학적 실현과 위상 동형이다. 위 구성에서 꼭짓점 집합의 전순서를 (임의로) 고른 이유는 단체 집합은 단체 복합체와 달리, 각 단체의 꼭짓점들의 순서를 기억하기 때문이다. 물론, 기하학적 실현은 이 전순서에 의존하지 않는다.
=== 신경 ===
작은 범주 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표준적인 단체 집합 가 존재하며, 이를 의 '''신경'''이라고 한다. 신경은 2-범주의 함자
:
를 정의한다.
단체 집합은 특이 코호몰로지 등을 정의하기 위하여 오랫동안 알려져 있었으나, 대니얼 퀼런이 이를 사용하여 대수적 K이론을 정의하면서 그 중요함이 알려졌다. 칸 올뭉치는 다니얼 칸이 도입하였다.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
분류:대수적 위상수학
분류:함자
분류:호모토피 이론