로비어 공간

기하학에서 '''로비어 공간'''(Lawvere空間) 또는 '''일반화 거리 공간'''(一般化距離空間, ) 또는 '''반거리 공간'''(半距離空間, ) 또는 '''확장 준 유사 거리 공간'''(擴張準類似距離空間, , 약자 ∞qp-거리 공간 )은 거리 공간 및 유사 거리 공간 및 확장 유사 거리 공간의 개념의 일반화이다. 위 경우와 달리, “거리 함수”가 대칭적이지 못할 수 있다.
'''로비어 공간'''의 개념은 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있다.
* 기초적으로, 일련의 공리를 만족시키는 거리 함수를 갖춘 집합으로 정의될 수 있다.
* 더 일반적인 개념은 '''접근 공간'''()의 특수한 경우로 정의될 수 있다.
* 풍성한 범주의 이론을 사용하여, 음이 아닌 확장된 실수의 닫힌 모노이드 범주 위의 풍성한 범주로 정의될 수 있다.
두 정의는 서로 동치이다. 그러나 범주론적 정의를 사용하면, 기초적 정의에서 일일이 정의해야 하는 개념들이 범주론적 구성들의 특별한 경우로 자동적으로 얻어진다.
=== 기초적 정의 ===
집합  위의 '''로비어 계량'''()은 다음 두 조건을 만족시키는, 확장된 실수 값 함수
:
이다.
* (삼각 부등식) 임의의 에 대하여, d(x,y)+d(y,z)\le d(x,z)
* 임의의 에 대하여, 
다만, 위 정의에서 일 필요는 없다. 이 조건을 추가로 만족시키는 로비어 공간을 '''확장 유사 거리 공간'''이라고 한다. 만약 의 값이 항상 추가로 유한하다면 이는 '''유사 거리 공간'''이 된다.
로비어 공간들과 상수 1의 립시츠 연속 함수들, 즉 함수 f\colon (X,d_X)\to (Y,d_Y) 가운데
:
를 만족시키는 것들은 구체적 범주를 이룬다. 이를 라고 표기하자.
=== 접근 구조를 통한 정의 ===
집합  위의 '''접근 구조'''(接近構造, ) 는 다음 네 조건을 만족시키는 함수
:
이다.
* 
* 
* 
* 
접근 구조를 갖춘 집합을 '''접근 공간'''(接近空間, )이라고 하자. 그렇다면, 접근 공간 (X,\delta)에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 임의의  및 부분 집합 에 대하여, 
* 임의의  및 집합족 에 대하여, 
* , 는 로비어 계량을 이룬다.
이에 따라, 서로 동치인 위 조건들을 만족시키는 접근 공간을 '''로비어 공간'''이라고 한다. 다시 말해, 로비어 공간은 그 접근 구조를 한원소 집합만으로부터 재구성할 수 있는 접근 공간이다.
반대로, 로비어 공간 이 주어졌을 때, 그 위의 접근 구조는
:
가 된다.
=== 범주론적 정의 ===
다음과 같은 작은 범주 를 생각하자.
* 의 대상은 음이 아닌 확장된 실수이다.
* 임의의 두 에 대하여, 만약 라면, 하나의 사상 가 존재한다.
이 범주는 완비 범주이며, 텐서곱
:
에 대하여 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. 이에 따라 에 대한 풍성한 범주의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, -풍성한 작은 범주 를 '''로비어 공간'''이라고 하며, 이 경우 풍성한 함자의 개념은 상수 1의 립시츠 연속 함수의 개념과 일치한다.
두 정의 사이의 관계는 다음과 같다.
 기초적 정의 
 범주론적 정의
 공간 속의 점 
 범주의 대상
 거리 함수  
 사상 집합 
 삼각 부등식  
 사상의 합성 
 스스로와의 거리  
 항등 사상
=== 위상 ===
유사 거리 공간의 경우와 달리, 로비어 공간  위에는 다양한 위상이 사용된다.
로비어 공간  위의, 중심 x\in X의, 반지름 r\in(0,\infty의 '''열린 공'''()은 다음과 같다.
:
열린 공들의 집합족
:
은 위상의 기저를 이루며, 이들로 생성되는 위상을 '''일반화 알렉산드로프 위상'''() 또는 '''열린 공 위상'''()이라고 한다.
'''증명:'''
다음 두 조건을 보이면 족하다.
* 임의의 에 대하여 이므로, 열린 공들은 의 덮개를 이룬다.
* 임의의  및  및 에 대하여, 를 정의하면, 삼각 부등식에 의하여 이다.
==== 일반화 스콧 위상 ====
로비어 공간  속의 점렬 이 다음 조건을 만족시키면 '''코시 열'''이라고 하자.
:
여기서 이어야 하는 것에 주의하자. (마찬가지로 그 반대 개념을 정의할 수 있다. 즉, 의 코시 열과 의 코시 열은 일반적으로 다르다.) 코시 열 에 대하여, 만약
:
이라면, 가 로 '''수렴'''한다고 하자.
로비어 공간  위의 '''일반화 스콧 위상'''()에서, 부분 집합 가 열린집합일 필요 충분 조건은 다음과 같다.
* 임의의 코시 열 가 x\in X로 수렴한다면,
*:
일반화 스콧 위상은 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상이며, 사실 이는 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상들 가운데 코시 열의 (위의 정의에 따른) 극한이 (일반위상수학의 정의에 따른) 극한이 되는 가장 엉성한 위상이다.
만약 가 확장 유사 거리 공간이라면, 일반화 알렉산드로프 위상과 일반화 스콧 위상은 의 일반적인 위상과 같다. 만약 가 원순서 집합이라면 (즉, 의 치역이 라면), 의 일반화 알렉산드로프 위상은 알렉산드로프 위상과 같다.
=== 반대 공간 ===
임의의 로비어 공간 에 대하여, 그 '''반대 로비어 공간'''(反對Lawvere空間, ) 을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:
이는 반대 범주의 개념의 특수한 경우이다.
=== 대칭화 ===
로비어 공간 (X,d)에 대하여, 그 거리 함수를 다음과 같이 두 가지로 대칭화할 수 있다.
:
:
그렇다면, (X,d^\max)와 (X,d^\text{avg}) 둘 다 확장 유사 거리 공간을 이룬다.
만약 가 이미 확장 유사 거리 공간이라면 이다.
=== 상수배 ===
로비어 공간  및 음이 아닌 확장된 실수 에 대하여,  역시 로비어 공간이다. (만약 일 경우, 이는 비이산 공간이다. 만약 일 경우, 으로 정의하며, 이는 원순서 집합이다.)
=== 로비어 계량의 합성 ===
집합  위에 로비어 계량들의 족
:
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:
:
역시 로비어 계량을 이룬다. 이는 사실 항등 함수에 대한 시작 구조의 특수한 경우이다.
마찬가지로, 가산 개의 로비어 계량의 족
:
:
이 주어졌을 때,
:
:
역시 로비어 계량을 이룬다. (특히, 만약 가 유한 집합이라면, 평균 계량  역시 로비어 계량이다.)
=== 주어진 함수를 상계로 하는 최대 로비어 계량 ===
임의의 집합  및 임의의 함수
:
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 집합
:
가
:
를 만족시키는 로비어 계량 들의 집합이라고 하자. (이 로비어 계량이므로, 이는 항상 공집합이 아니다.) 그렇다면, 이는 최대 원소
:
:
를 가지며, 이는 를 상계로 하는 최대의 로비어 계량이다.
구체적으로, 임의의 집합 X 및 함수
:
가 주어졌을 때, 다음을 정의하자.
:
:
:
그렇다면, 에 의하여 생성되는 로비어 계량은 다음과 같다.
:
=== 몫공간 ===
로비어 공간 에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
:
이에 대하여 몫집합
:
위에 자연스럽게 로비어 공간의 구조를 부여할 수 있다. 만약 가 유사 거리 공간이라면, 는 거리 공간을 이룬다.
마찬가지로, 로비어 공간 에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
:
이에 대한 몫집합
:
은 대략 의 “연결 성분”들의 집합으로 생각할 수 있다. X/\sim_\infty 위에는 자연스럽게 원순서
:
를 취할 수 있다. 만약 가 원순서 집합이라면, X/\sim_\infty=X이다.
=== 분리합 ===
임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 의 '''분리합'''()은 집합으로서 분리합집합
:
이다. 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.
:
이 연산은 로비어 공간의 범주 의 범주론적 쌍대곱을 이룬다.
=== 곱 ===
임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 의 '''곱'''은 집합으로서 곱집합
:
이며, 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.
:
이 연산은 로비어 공간의 범주 의 범주론적 곱을 이룬다.
=== 시작 계량과 끝 계량 ===
로비어 공간의 범주의 망각 함자 는 위상 함자이므로, 시작 구조와 끝 구조를 정의할 수 있다.
구체적으로, 임의의 집합  및 로비어 공간들의 족  및 함수의 족 가 주어졌을 때, 로 유도되는,  위의 '''시작 로비어 계량'''()은 다음과 같다.
:
마찬가지로, 임의의 집합  및 로비어 공간들의 족  및 함수의 족 가 주어졌을 때, 로 유도되는,  위의 '''끝 로비어 계량'''()은 함수
:
:
를 상계로 하는 최대 로비어 계량이다.
=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:길이 거리 공간 ⇒ 거리 공간 ⇒ 유사 거리 공간 ⇒ 확장 유사 거리 공간 ⇒ 로비어 공간
=== 범주론적 성질 ===
로비어 공간의 범주 가 주어졌을 때, 망각 함자
:
는 위상 함자이다. 특히, 만약 집합 X 위의 임의의 함수족
:
이 주어졌으며 들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 '''시작 로비어 계량'''()을 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 시작 위상과 유사하다. 마찬가지로, 집합 로 가는 임의의 함수족
:
이 주어졌으며 들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 '''끝 로비어 계량'''()을 항상 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 끝 위상과 유사하다.
또한, 위상 공간과 연속 함수의 범주로 가는 망각 함자
:
가 존재하며, 이는 로비어 공간에 열린 공 위상을 대응시킨다.
=== 위상 공간의 로비어 계량을 통한 표현 ===
임의의 위상은 일련의 로비어 계량들로 표현될 수 있다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는,  위의 로비어 계량들의 집합 이 존재한다.
* 는 항등 함수 들에 의하여 생성되는 시작 위상이다. (여기서 로비어 공간 에는 열린 공 위상을 부여한다.)
* 이다.
'''구성:'''
위상 공간 의 임의의 열린집합 에 대하여, 다음을 정의하자.
:
이는 로비어 계량을 이루며, 이 로비어 계량으로 생성되는 위상은 한원소 집합 를 기저로 하는 위상, 즉
:
이다.
이에 따라, 로비어 계량들의 집합 은 위 조건을 자명하게 만족시킨다.
프랜시스 윌리엄 로비어가 도입하였다.
이 개념은 거리 공간의 개념을 일반화하는데, 이에 대하여 로비어는 다음과 같이 적었다.
즉, 로비어 공간의 개념에서, 이 "거리" 는 사실 어떤 "상태" 또는 "위치" 에서 로 전이하는 데 드는 "에너지" 또는 "비용"이라고 여길 수 있다. 이 경우 로비어 공간의 공리들은 다음과 같이 해석된다.
* 에서 로 이동하는 데 드는 비용은 이 경로를 와 같이 분해했을 때 x\to y 비용과  비용의 합보다 같거나 적다. (예를 들어, 만약 를 거치지 않는 지름길이 있을 경우 부등식이 성립한다.)
* 상태 에서, 이동하지 않는 데 드는 비용은 0이다. 즉, 이다.
* 상태 에서 로 꼭 이동할 수 있을 필요는 없다. 만약  전이가 불가능하다면 이다.
간혹 사용되는 용어 ‘확장 준 유사 거리 공간’()에서, 각 성분은 고전적 거리 공간의 개념의 다음과 같은 일반화를 의미한다.
* 확장(擴張, ): 계량 함수의 값이 ∞일 수 있음을 뜻한다.
* 준(準, ): 계량 함수가 대칭적이지 못할 수 있음을 뜻한다. 즉, 일 수 있다.
* 유사(類似, ): 계량 함수가 분리공리를 만족시키지 못할 수 있음을 뜻한다. 즉, 이지만 일 수 있다.
모든 확장 유사 거리 공간은 로비어 공간이다.
=== 시작 대상과 끝 대상 ===
공집합  위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 시작 대상이다.
한원소 공간 \{\bullet\} 위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량()이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 끝 대상이다.
=== 원순서 집합 ===
임의의 원순서 집합 (X,\lesssim)에 대하여, 다음과 같은 거리 함수를 주자.
:
그렇다면 는 로비어 공간을 이룬다.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
분류:계량기하학