11차원 초중력

이론물리학에서 '''11차원 초중력'''(十一次元超重力, )은 (10,1)차원에 정의되는 초중력 이론이다. 이 이상의 차원에서는 초대칭이 존재할 수 없으며, 11차원 초중력은 M이론의 무질량 입자 유효 이론이다.
11차원은 초대칭이 존재할 수 있는 (로런츠 계량 부호수) 최다(最多) 차원이다. 이는 12차원 이상인 경우에는 스핀이 2를 초과하는 입자들이 존재하게 되어, 상호작용하는 양자장론을 정의할 수 없기 때문이다. 11차원에서의 초대칭 이론은 (3차 이상 도함수항을 제외하면) 유일하며, 이 이론을 '''11차원 초중력'''이라고 한다.
=== 대칭 ===
이 이론은 32개의 초전하()를 가지며, 이는  초대칭에 해당한다. 그 초대칭은 리 초대수
:
에 의하여 주어진다. 그 가환 성분, 즉 R대칭군은 리 대수
:
이다. 11차원에서, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 갖는데, R대칭은 이 위에 회전군으로 작용한다.
특히, 이 경우 그래비티노 초대칭 변환은
:
의 꼴이다. 여기서
:
는 스핀 접속을 포함하는, 스피너 공변 미분이다.
은 일종의 킬링 스피너 방정식에 해당하며, 이 조건을 만족시키는 스피너장의 수는 초중력 배경이 보존하는 초대칭의 양이다.
=== 장 ===
11차원 초중력은 중력장 과 마요라나 그래비티노 , 또 3차 미분형식 게이지장 를 포함한다. 이들은 다음과 같다.
 이름 
 기호 
 푸앵카레 대칭 표현 
 게이지 대칭
 중력장 
  
 대칭 텐서 
 미분 동형
 그래비티노 
  
 벡터-마요라나 스피너 
 국소 초대칭 변환
 게이지장 
  
 3차 미분 형식
 
=== 작용 ===
11차원 초중력의 작용은 다음과 같다.
: 
여기서
* 는 11차원 굽은 공간 지표이다.
* 는 필바인(11차원 민코프스키 공간) 지표이다. 
* 는 리치 스칼라이다.
* 은 필바인이며, 이 11차원 계량 텐서이다.
** 은 부피 형식이다. 
** 는 필바인으로 정의되는 스핀 접속이다.
* 는 의 4차 미분 형식 장세기이다.
* 은 (천-사이먼스 꼴의 항을 적기 위한) 11차원 레비치비타 기호이다.
* 는 중력 상수의 8π배이다.
=== L∞-대수를 통한 구성 ===
다음과 같은 슈발레-에일렌베르크 대수를 갖는,  등급의 (즉, 초벡터 공간 범주에서 정의된) L∞-대수를 생각하자.
 이름 
 기호 
  등급 
 미분 
 필바인 
  
 (1,+) 
  
 스핀 접속 
  
 (1,+) 
 
 그래비티노 
  
 (1,−) 
 
 3차 미분 형식 (전기) 게이지 장 
  
 (3,+) 
 
 6차 미분 형식 (자기) 게이지 장 
  
 (6,+) 
 
이 L∞-대수 를 '''초중력 L∞-대수'''라고 한다. 이 가운데, 와 , 를 생략하면, 푸앵카레 리 대수 을 얻는다.
이제, 그 베유 대수()
:
를 정의할 수 있다. 이는 -등급 미분 등급 대수이다.
시공간이 매끄러운 다양체 이라고 할 때, 그 위의 초중력 장들은 다음과 같다.
:
이제, 베유 대수에서 다음과 같은 장세기들을 정의할 수 있다.
: (비틀림 텐서)
:
:
:
: (리치 곡률 텐서의 일반화)
11차원 초중력의 (고전적) 장방정식들이 만족시켜질 필요 충분 조건은
# 이 대상들이 와 로 생성되는 아이디얼에 속하며,
# 를 포함하는 항들의 (미분 형식) 계수는 만을 포함하는 항의 계수의 (쐐기곱에 대한) 다항식이어야 한다.
즉, 예를 들어, C_3의 경우, 다음과 같은 4차 미분 형식 이 존재하여야 한다.
:
이러한 꼴의 조건을 '''리오노미'''()라고 한다.
=== 차원 축소 ===
11차원 초중력을 낮은 차원으로 차원 축소를 가하면, 다음과 같은 이론들을 얻는다.
 차원 
 이론
 11 
 11차원 초중력
 10 
 ⅡA형 () 초중력
 9 
  초중력
 8 
  초중력
 7 
  초중력
 6 
  초중력
 5 
  초중력
 4 
  초중력
=== E₇과의 관계 ===
11차원 초중력을
:
:
위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장 (계량 텐서 와 게이지 장 )은 다음과 같이 분해된다.
:
:
이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.
 (10,1)차원 
 (3,1)+7차원 
 (3,1)차원 (유사)스칼라장의 수 
 (3,1)차원 벡터장의 수 
 (3,1)차원 텐서장의 수
  
  
 — 
 — 
 1
  
 — 
 7 
 —
  
 28 
 — 
 —
  
  
 — 
 — 
 —
  
 7 
 — 
 —
  
 — 
 21 
 —
  
 35 
 — 
 —
 계 
 70 
 28 
 1
이제, 위 장들 가운데, 38+35개의 스칼라장  및 
:
에 의하여 정의되는 7개의 스칼라장 을 생각하자. 이들은 총 70개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간
:
의 좌표를 이룬다. 여기서 은 리 군 E₇의 분할 형태이며, SU(8)은 특수 유니터리 군이다.
==== 스칼라장과 유사스칼라장 ====
28개의 스칼라장 과 를 쌍대화하여 얻는 7개의 스칼라장 을 생각하자.
이제, 다음과 같은 8×8 정사각 행렬을 정의하자.
:
:
이는 동차 공간 의 원소로 간주된다. (이 동차 공간은 차원이므로, 올바른 수의 성분을 갖는다.) 즉, 이는 게이지 변환
:
을 겪는다. 게이지 변환 가운데  부분은 7개의 내부 차원의 회전군이다.
이 35개의 스칼라장 말고도, 35개의 유사스칼라 가 존재한다. 군론에서, 다음과 같은 가환 그림이 주어진다.
:
:
이에 따라, 에 35개의 유사스칼라장 성분을 추가하여, 의 원소로 확장할 수 있다. 다만, 의 가장 작은 충실한 표현이 54차원이므로, 그 구체적 표기는 복잡하다.
==== 벡터장 ====
이 이론은 28개의 게이지 보손을 갖는다. 우선, 스칼라장의  대칭에 대하여, 이 보손들은  및 의 28차원 표현으로 변환한다. (이 표현은 8×8 반대칭 행렬로 구성된다.) 즉, 이는 8차원 실수 내적 공간 위의 쌍선형 형식을 이룬다.
4차원에서는 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 2차 미분 형식이다. 이에 따라, 28개의 게이지 보손 장세기와 그 28개의 쌍대 장세기들을 생각하자. 이들은 의 56차원 실수 기본 표현을 이룬다. 이는 의 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.
:
여기서 의 표현은 8×8 복소수 반대칭 행렬로 구성된다.
==== 페르미온 ====
11차원 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이는 4차원에서 4개의 디랙 스피너를 이룬다. 11차원 마요라나 그래비티노는 10×32 =320개의 실수 성분을 갖는다.
4차원에서, 이는 28개의 디랙 스피너 및 8개의 마요라나 그래비티노(즉, 4개의 디랙 그래비티노)를 이룬다.
:
:
28개의 디랙 스피너는 게이지 군 SU(8)의 복소수 28차원 (실수 56차원) 표현을 이룬다 (8×8 반대칭 행렬). 8개의 마요라나 그래비티노는 SU(8)의 8차원 복소수 표현을 이룬다.
페르미온들은 대역적 대칭 에 대하여 변환하지 않는다. 이는 일반 상대성 이론에서 페르미온이 필바인의 대칭 \operatorname{Spin}(1,3)의 표현을 이루지만 \operatorname{GL}(4)의 표현을 이루지 않는 것과 마찬가지다.
=== E₆과의 관계 ===
11차원 초중력을
:
:
위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장(계량 텐서 와 게이지 장 )은 다음과 같이 분해된다.
:
:
이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.
 (10,1)차원 
 (4,1)+6차원 
 (4,1)차원 (유사)스칼라장의 수 
 (4,1)차원 벡터장의 수 
 (4,1)차원 대칭 텐서장의 수
  
  
 — 
 — 
 1
  
 — 
 6 
 —
  
  
 — 
 —
  
  
 1 
 — 
 — 
  
 — 
 6 
 — 
  
 — 
  
 —
  
  
 — 
 —
 계 
 42 
 27 
 1
이제, 위 장들 가운데, 21+20개의 스칼라장  및 
:
에 의하여 정의되는 스칼라장 를 생각하자. 이들은 총 42개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간
:
의 좌표를 이룬다. 여기서 은 단순 리 군 E₆의 분할 형태이며, USp(8)은 콤팩트 심플렉틱 군이다.
마찬가지로, 27개의 벡터장들은 E6의 27차원 기본 표현을 이룬다.
끈 이론에서, 11차원 초중력은 M이론의 낮은 에너지 눈금 유효 이론이다.
11차원 초중력의 존재는 1978년에 외젠 크레메르()와 베르나르 쥘리아(), 조엘 셰르크가 증명하였다.
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분류:초대칭
분류:중력
분류:끈 이론