이중 사슬 복합체

호몰로지 대수학에서 '''이중 사슬 복합체'''(二重사슬複合體, )는 사슬 복합체와 유사하지만, 1차원 대신 2차원인 구조이다. 즉, 모든 항들은 두 개의 첨자를 달고 있으며, 각 항 위에는 수직 및 수평 방향의 두 개의 경계 사상이 정의되며, 이들은 서로 교환 법칙을 만족시켜야 한다. 이중 사슬 복합체 위에는 '''도롱뇽 정리'''(도롱龍定理, ) 및 그 특수한 경우인 '''3×3 정리'''(三×三定理, ) · '''뱀 정리'''와 같은 정리들이 성립한다.
아벨 범주  위의 사슬 복합체의 범주  역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 '''이중 사슬 복합체'''라고 한다.
구체적으로, 이중 사슬 복합체 는 다음과 같은 꼴이다.
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즉, 이는 '''수평 경계 사상'''(水平境界寫像, )
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및 '''수직 경계 사상'''(垂直境界寫像, )
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을 가지며, 이들은 다음과 같은 관계를 만족시킨다.
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=== 전체 사슬 복합체 ===
에서 가산 무한 직합이 존재한다고 할 때 (또는 정의에 등장하는 직합에서 오직 유한 개의 항들이 0이 아니라고 할 때),
이중 사슬 복합체 의 '''전체 사슬 복합체'''(全體사슬複合體, ) 는 다음과 같은 사슬 복합체이다.
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이는 사슬 복합체를 이루므로, 마찬가지로 호몰로지를 취할 수 있다. 이를 '''전체 호몰로지'''()라고 한다.
=== 이중 사슬 복합체의 다른 부호 규칙 ===
문헌에 따라서, 이중 사슬 복합체를 표기할 때 위와 다른 부호 규칙을 사용하는 경우가 있다. 이 부호 규칙으로 전환하려면, 다음과 같은 변환을 가하자.
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즉, 홀수 번째 열들의 수직 경계 사상에 음부호를 붙인다. (물론, 대신 홀수 번째 행들의 수평 경계 사상에 음부호를 붙여도 비슷하다.)
그렇다면, 이들은 다음을 만족시킨다.
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즉, 수평 경계 사상과 수직 경계 사상이 서로 교환 법칙 대신 반교환 법칙을 따르게 된다.
이렇게 하면, 전체 사슬 복합체의 정의가 다음과 같이 더 간단해진다.
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=== 수직 · 수평 호몰로지 ===
아벨 범주  위의 이중 사슬 복합체 가 주어졌다고 하자.
그렇다면, '''수평 호몰로지'''(垂直homology, )
:
및 '''수직 호몰로지'''(水平homology, )
:
를 정의할 수 있다.
=== 교내 사상과 교외 사상 ===
임의의 대상 에 대하여, 다음 사상들이 존재한다.
:
위 그림에서, \partial^{\operatorname{vh}}=\partial^{\operatorname h}\circ\partial^{\operatorname v} =\partial^{\operatorname v}\circ\partial^{\operatorname h}는 수직 경계 사상과 수평 경계 사상을 합성한 것이다. 편의상, 다음과 같은 기호들을 정의하자.
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 용어 
 기호 
 정의
 '''수평 호몰로지''' 
  
 
 '''수직 호몰로지''' 
  
 
 '''기증자'''(寄贈者, )
이들의 기호를 위와 같이 이상하게 정의하는 이유는 다음 때문이다. 우선,  ·  ·  · 는 모두 의 부분 대상들의 몫 대상이므로, 이들 사이에는 다음과 같은 사상들이 존재한다.
:
이는 다음과 같이 적을 수 있다.
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이 사상들을 '''교내 사상'''(校內寫像, )이라고 하자.
또한, 수평 경계 사상
:
이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.
:
이는 다음과 같이 그릴 수 있다.
:
마찬가지로, 수직 경계 사상
:
이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.
:
이는 다음과 같이 그릴 수 있다.
:
이 사상들을 '''교외 사상'''(校外寫像, )이라고 하자.
=== 도롱뇽 정리 ===
이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분
:
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, '''도롱뇽 정리'''에 따르면, 다음과 같은 6항 '''도롱뇽 완전열'''(도롱龍完全列, )이 존재한다.
:
여기서 삼각형들은 가환 삼각형이며, 위의 모든 사상들은 교내 사상 또는 교외 사상 또는 (완전열의 양끝의 경우) 교내 사상과 교외 사상의 합성이다.
이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.
:
특히, 만약 이라면, 교외 사상 는 동형 사상이다.
마찬가지로, 이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분
:
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 6항 '''도롱뇽 완전열'''이 존재한다.
:
이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.
:
특히, 만약 이라면, 교외 사상 는 동형 사상이다.
=== ''n''×''n'' 정리 ===
아벨 범주에서, 다음과 같은 이중 사슬 복합체가 주어졌다고 하자.
:
또한, 다음 조건들이 주어졌다고 하자.
* 첫째 · 둘째 · 셋째 열이 완전열이다.
* 둘째 · 셋째 행이 완전열이다.
'''3×3 정리'''에 따르면, 첫째 열 또한 완전열이다.
'''도롱뇽 완전열을 통한 증명''':
임을 보이면 족하다.
가정에 따라서, 모든 열이 완전열이므로
: X^\| \cong 0 \qquad (X\in \{A,B,D,E\})
이다. 또한, 둘째 · 셋째 행이 완전열이므로
: _=X \cong 0 \qquad (X\in\{D,E,G,H\})
이다. 도롱뇽 정리에 따라서, 다음과 같은 교외 사상들은 모두 동형 사상이다.
:
물론, 이므로, 이를 따라서 교외 사상의 지그재그로 연결된  등이 모두 0임을 알 수 있다.
이제, 이므로, 다음과 같은 도롱뇽 완전열으로부터 임을 알 수 있다.
:
'''뱀 완전열을 통한 증명:'''
처음 두 행에 대하여 뱀 정리를 적용한다. 모든 열이 짧은 완전열이므로, 핵들은 모두 0이 된다.
보다 일반적으로, ''' 정리'''에 따르면, 임의의 자연수 에 대하여, 개의 대상을 갖는 이중 사슬 복합체
:
가 주어졌을 때, 만약
* 모든 열이 완전열이며,
* 첫째 행을 제외한 나머지 행들이 완전열이라면,
첫째 행 또한 완전열이다.
'''증명''':
그 증명은 3×3의 경우와 동일하다. 즉, 대략
* 교외 사상들의 지그재그를 통해, 임을 보인다.
* 첫째 행의 각 수평 경계 사상에 대한 도롱뇽 완전열을 사용하여, 그 수평 호몰로지가 0임을 보인다.
(물론, 0×0 및 1×1 및 2×2인 경우는 자명하게 참이다.)
=== 사슬 복합체의 텐서곱 ===
가환환  위의 결합 대수  위의 -쌍가군들의 아벨 범주 
를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체
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가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 를 정의할 수 있다.
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이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체는 두 사슬 복합체의 텐서곱
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과 같다.
=== 순환 호몰로지 ===
순환 호몰로지는 어떤 특별한 이중 복합체의 전체 호몰로지로서 정의된다.
책을 장식하는 도롱뇽 그림 (1920년대, 미국)
3×3 정리는 9개의 대상이 3×3 행렬로 배열되어 있으므로 이러한 이름이 붙었다. 데이비드 북스바움은 1955년 논문에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 3×3 정리가 등장한다.
1971년에 칼 에릭 린더홀름()은 농으로 3×3 정리의 (올바른) 증명을 다음과 같이 묘사하였다.
도롱뇽 정리 및 “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 조지 마크 버그먼(, 1943~)이 1970년대에 도입하였다. “도롱뇽 정리”라는 이름은 이에 등장하는, S자 또는 갈지자 (之) 모양의 사상들의 열을 몸을 굽히며 움직이는 도룡뇽에 비유한 것이다. “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 이는 같은 기호 의 각 첨자 를 “학교”로 여길 경우, 교내 사상
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은 같은 “학교” 안의 대상들을 잇지만, 교외 사상
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은 서로 다른 “학교”에 속하는 대상들을 잇기 때문이다.
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분류:호몰로지 대수학
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