특잇값

파일:Singular value decomposition.gif|섬네일|right|유클리드 공간 위의 선형 변환은 단위 공을 타원체로 대응시키며, 선형 변환의 특잇값들은 타원체의 주축 반지름들이다.
함수해석학에서 '''특잇값'''(特異값, )은 콤팩트 작용소와 그 에르미트 수반의 합성의 고윳값의 제곱근이다. 항상 양의 실수이다. 이를 통해, 임의의 콤팩트 작용소를 '''특잇값 분해'''(特異값分解, , 약자 SVD)라는 특별한 꼴로 표현할 수 있다.
고윳값과 달리, 특잇값은 서로 다른 (특히, 서로 다른 차원의) 힐베르트 공간 사이의 작용소(예를 들어, 정사각이 아닌 행렬)에 대해서도 정의된다. 고윳값에 고유 벡터가 대응되는 것과 마찬가지로, 각 특잇값에는 '''왼쪽 특이 벡터'''(왼쪽特異vector, ) 및 '''오른쪽 특이 벡터'''(오른쪽特異vector, )가 대응된다. 그러나 고유 벡터의 경우와 달리 특이 벡터는 좌우를 구별해야 한다.
가 실수체 또는 복소수체라고 하자. 두 -힐베르트 공간 ,  사이의 콤팩트 작용소
:
의 특잇값 및 왼쪽·오른쪽 특이 벡터의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
=== 고윳값을 통한 정의 ===
두 -힐베르트 공간 ,  사이의 콤팩트 작용소
:
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 에르미트 수반
:
을 사용하여, 작용소
:
및
:
를 정의할 수 있다. 이들은 자기 수반 작용소를 이루며, 따라서 이 둘의 실수 고윳값들을 정의할 수 있다. 이들은 항상 음이 아닌 실수이다.
와 의 고윳값들 가운데, 0이 아닌 것들은 서로 일치하며, 그 중복수 또한 일치한다. 0의 경우, 다음과 같은 세 가지가 가능하다.
* 경우 1:  와  둘 다 0을 고윳값으로 갖거나 둘 다 0을 고윳값으로 갖지 않는다. 전자의 경우, 0의 중복수 역시 같다.
* 경우 2: 와  둘 다 0을 고윳값으로 갖지만, 그 중복수가 서로 다르다.
* 경우 3: 와  가운데 하나는 0을 고윳값으로 갖지만 다른 하나는 0을 고윳값으로 갖지 않는다.
이 경우, 특잇값들과 그 중복수는 각각 다음과 같다.
* 경우 1: 의 특잇값은  또는 의 고윳값들의 제곱근들이며, 그 중복수는 고윳값들의 중복수와 같다.
* 경우 2: 의 특잇값은 (0을 포함하여)  또는 의 고윳값들의 제곱근들이다. 0이 아닌 고윳값의 경우, 그 중복수는 대응하는 고윳값의 중복수와 같다. 0의 경우, 그 중복수는 에서의 중복수와 에서의 중복수 가운데 더 작은 것과 같다.
* 경우 3: 의 특잇값은  또는 의 고윳값들 가운데 0이 아닌 것들의 제곱근이며, 그 중복수는 고윳값들의 중복수와 같다.
이 경우, 주어진 특잇값에 대응하는 '''왼쪽 특이 벡터'''는 에서의 고유 벡터이며, 주어진 특잇값에 대응하는 '''오른쪽 특이 벡터'''는 에서의 고유 벡터이다.
=== 특잇값 분해를 통한 정의 ===
라고 하자. 두 -힐베르트 공간 ,  사이의 콤팩트 작용소
:
는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있으며, 이를 '''슈미트 표현'''(Schmidt表現, ) 또는 '''특잇값 분해'''라고 한다.
:
여기서
* 이다.
* 는 양의 실수들의 수열이며, 감소수열이다. 즉, 이다.
* 은  속의 정규 직교 벡터열이다. (그러나 정규 직교 기저가 될 필요는 없다.)
* 은  속의 정규 직교 벡터열이다. (그러나 정규 직교 기저가 될 필요는 없다.)
이 경우, 를 의 '''특잇값'''이라고 하며, 를 의 '''왼쪽 특이 벡터''', 를 의 '''오른쪽 특이 벡터'''라고 한다.
이에 따라, (v_i)_{0\le i 및 에 다른 벡터들을 추가하여 각각 V 및 의 정규 직교 기저로 만들 수 있다. 그러나 이는 물론 일반적으로 유일하지 않다.
=== 유한 차원의 경우 ===
특히, 만약 , W=\mathbb K^n가 유한 차원 힐베르트 공간일 경우, 임의의 성분 n\times m 행렬 는 -선형 변환
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을 정의한다. 유한 차원에서는 모든 작용소가 콤팩트 작용소이다.
이 경우, 만약 벡터 과 과 음이 아닌 실수 에 대하여
:
:
가 성립한다면, 를 의 '''특잇값'''이라고 하며, 를 에 대응하는 '''왼쪽 특이 벡터''', 를 s에 대응하는 '''오른쪽 특이 벡터'''라고 한다.
유한 차원의 경우, 특잇값 분해는 다음과 같은 행렬 분해를 정의한다.
:
여기서
* 는  크기의 유니터리 행렬이다. (일 경우 이는 직교 행렬과 같다.)
* 는  크기의 대각 행렬이며, 그 성분들은 모두 음이 아닌 실수이다. 즉, 예를 들어 이라면 다음과 같은 꼴이다.
*:
* 는  크기의 유니터리 행렬이다. (일 경우 이는 직교 행렬과 같다.)
이 경우, 의 대각 성분들이 T의 특잇값들이며, 의 열벡터(=의 행벡터)들이 의 왼쪽 특이 벡터들이며, 의 행벡터들이 의 오른쪽 특이 벡터들이다.
특잇값 분해에서, 는 (특잇값들의 순열을 무시하면) 유일하게 결정되지만, 와 는 일반적으로 그렇지 않다.
=== 기하학적 정의 ===
같은 유한 차원의 두 실수 힐베르트 공간(=유클리드 공간) 사이의 실수 선형 변환의 특잇값들은 기하학적으로 해석될 수 있다.
구체적으로, 임의의 실수 선형 변환 은 (자명하게) 콤팩트 작용소이며, 이 경우 T는 단위 공을 타원체로 대응시킨다. 이 경우, 의 '''특잇값'''들은 이 타원체의 주축 반지름들과 같다.
두 힐베르트 공간 사이의 콤팩트 작용소 의 특잇값 가운데 최대인 것은 의 작용소 노름과 같다.
=== 특잇값의 수 ===
 행렬은 (중복수를 포함하여) 개의 특잇값들을 갖는다. 여기서, 특잇값들은 중복될 수 있다. 즉, 모든 개의 특잇값들이 죄다 같을 수 있다.
=== 고윳값과의 관계 ===
만약 가 -힐베르트 공간  전체에 정의된 콤팩트 자기 수반 작용소일 경우,  특잇값들은 의 고윳값들의 절댓값들이며, 각 특잇값에 대응하는 특이 벡터는 고유 벡터이다.
다음과 같은 실수 4×5 행렬을 생각하자.
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이 행렬의 특잇값 분해 는 다음과 같다.
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즉, 의 특잇값들은 가운데 행렬에서 붉게 표시된 성분들인 이다.
특잇값 분해는 유일하지 않다. 예를 들어, 위와 같은 분해에서, 마지막 인자 를
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로 교체할 수도 있다.
특잇값의 개념은 에르하르트 슈미트가 1907년에 도입하였다. 슈미트는 특잇값을 "고윳값"()이라고 일컬었으나, 이후 1937년에 프랭크 스미디스(, 1912~2002)가 "특잇값"()이라는 용어를 도입하였다.
행렬의 특잇값 분해는 신호 처리와 통계학 등의 분야에서 자주 사용된다. 특히, 통계학에서 특잇값 분해를 통한 분석은 '''주성분 분석'''이라고 불린다.
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분류:연산자 이론
분류:행렬 분해