푸아송 다양체

미분기하학에서 '''푸아송 다양체'''(Poisson多樣體, )는 푸아송 괄호를 정의할 수 있는 심플렉틱 다양체의 일반화이다. 심플렉틱 다양체와 달리 괄호가 일부 점에서 퇴화할 수 있다.
푸아송 다양체의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.
=== 푸아송 괄호를 통한 정의 ===
체  위의 가환 결합 대수  위의 '''푸아송 괄호'''(Poisson括弧, )는 다음 조건을 만족시키는 -리 대수 구조이다.
* 임의의 에 대하여, 는 -미분 대수이다. 즉, 다음 곱 규칙이 성립한다.
*: 
'''푸아송 다양체'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 매끄러운 다양체 
* 실수 가환 결합 대수  위의 푸아송 괄호 
푸아송 다양체  위에서, 임의의 에 대하여 는  위의 벡터장을 이루며, 이러한 꼴의 벡터장을 '''해밀턴 벡터장'''이라고 한다. 라면 를 의 '''해밀토니언'''()이라고 한다.
리 대수 의 중심의 원소, 즉 모든 함수와의 푸아송 괄호가 0인 함수를 '''카시미르 함수'''라고 한다. (이는 0차 푸아송 코호몰로지에 해당한다.)
=== 텐서장을 통한 정의 ===
매끄러운 다양체  위의 '''푸아송 텐서장'''(Poisson tensor場, ) 는 다음 조건을 만족시키는 (2,0)차 텐서장이다.
* (반대칭성) 
* (멱영성) . 여기서 는 스하우턴-네이엔하위스 괄호이다.
구체적으로, 이 경우 푸아송 괄호는
:
의 꼴로 주어진다.
여기서, 스하우턴-네이엔하위스 괄호가 0이 되는 것은 야코비 항등식에 해당하며, 구체적으로 다음과 같다.
:
여기서 는 지표 의 완전 반대칭화를 뜻한다. 즉,
:
이다.
=== 리 준대수를 통한 정의 ===
'''푸아송 다양체'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 매끄러운 다양체 
*  위의 리 준대수 구조 . 이 경우, 리 괄호는 다음과 같다.
*: 
여기서 은 1차 미분 형식의 리 미분이다.
이 정의에서의 는 음악 동형을 통해 푸아송 텐서장 와 같은 데이터를 정의한다.
:
:
이는 리만 다양체나 심플렉틱 다양체의 음악 동형과 유사하지만, 한 방향으로만 가며, 일반적으로 벡터 다발의 동형 사상이 아니다. (즉,  사상이 표준적으로 존재하지 않는다.)
=== 푸아송 사상 ===
두 푸아송 다양체 ,  사이의 '''푸아송 사상'''(Poisson寫像, ) 은 매끄러운 함수 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
:
푸아송 텐서장으로는
:
이어야 한다. 여기서 는 (2,0)차 텐서장의 밂이다.
푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주를 라고 표기하자.
푸아송 사상 가운데 미분 동형 사상을 이루는 것을 '''푸아송 미분 동형 사상'''(Poisson微分同形寫像, )이라고 한다. 이는 의 동형 사상이다.
푸아송 다양체 의 부분 다양체 (즉, 매끄러운 단사 몰입) 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 '''푸아송 부분 다양체'''()라고 한다.
* 를 푸아송 사상으로 만드는  위의 푸아송 구조가 하나 이상 존재한다.
* 를 푸아송 사상으로 만드는  위의 푸아송 구조가 유일하게 존재한다.
* 임의의 에 대하여, 만약 이라면, \{f,g\} \restriction C = 0이다. (즉, 는 의 리 대수 아이디얼을 이룬다.)
푸아송 다양체 의 모든 열린집합은 푸아송 다양체이다. 푸아송 다양체의 닫힌집합이 푸아송 다양체가 될 필요 충분 조건은 심플렉틱 잎들의 합집합인 것이다.
심플렉틱 다양체의 푸아송 부분 다양체는 열린집합 밖에 없다.
=== 공등방성 부분 다양체 ===
매끄러운 다양체 의 부분 다양체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 '''쌍대 법다발'''()은 다음과 같다.
:
이제, 이 푸아송 다양체의 구조를 지녔다고 하자. 그렇다면, 부분 다양체에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 '''공등방성 부분 다양체'''(共等方性部分多樣體, )라고 한다.
* 
* 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 이다. (다시 말해서, 는 의 부분 리 대수이다.)
정의에 따라서 (즉, 모든 리 대수 아이디얼이 부분 리 대수이므로), 모든 푸아송 부분 다양체는 공등방성 부분 다양체이지만, 그 역은 일반적으로 거짓이다.
=== 푸아송 사상 ===
세 푸아송 다양체 , ,  사이의 매끄러운 함수 , 가 주어졌다고 하자.
* 만약 와 가 푸아송 사상이라면  또한 푸아송 사상이다.
* 만약 가 전사 함수인 푸아송 사상이며 도 푸아송 사상이라면,  역시 푸아송 사상이다.
특히, 미분 동형인 푸아송 사상의 역함수는 푸아송 사상이다.
유한 차원 실수 리 대수 사이의 리 대수 준동형 이 주어졌을 때,
:
는 푸아송 사상이다. 여기서 는 쌍대 공간이며, 리 대수의 쌍대 공간은 선형 푸아송 다양체로 간주한다.
=== 곱공간 ===
임의의 두 푸아송 다양체 , 에 대하여, 곱공간  위에 다음과 같은 푸아송 구조를 줄 수 있다.
:
이는 푸아송 다양체의 범주의 곱이다. 특히, 사영 사상
:
:
역시 푸아송 사상을 이룬다.
=== 분리합집합 ===
임의의 푸아송 다양체들의 집합 에 대하여, 분리합집합  위에는 표준직언 푸아송 구조가 존재한다. 이는 푸아송 다양체의 범주의 쌍대곱이다.
=== 시작 대상과 끝 대상 ===
푸아송 다양체의 범주의 시작 대상은 공집합 이며, 푸아송 다양체의 범주의 끝 대상은 한원소 공간 이다. 즉, 임의의 푸아송 다양체 에 대하여 유일한 두 함수
:
:
는 각각 푸아송 사상을 이룬다.
=== 망각 함자 ===
푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주는 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주로 가는 망각 함자를 갖는다.
:
반대로, 매끄러운 다양체에 값이 0인 상수 함수 푸아송 괄호를 부여하는 다음과 같은 포함 함자 역시 존재한다.
:
:
그러나 이는 망각 함자와 수반 함자 관계를 갖지 않는다.
모든 심플렉틱 다양체는 푸아송 다양체로 간주될 수 있지만, 심플렉틱 다양체와 심플렉틱 사상의 범주 에서 푸아송 다양체의 범주로 가는 망각 함자는 존재하지 않는다. 예를 들어, 두 유클리드 공간 , 에 표준적인 심플렉틱 형식을 부여했을 때, 심플렉틱 사상 은 무한히 많이 존재하지만, 푸아송 사상 는 존재하지 않는다. 이는 심플렉틱 사상은 (0,2)차 텐서의 당김으로 정의되지만, 푸아송 사상은 (2,0)차 텐서의 밂으로 정의되기 때문이다.
=== 심플렉틱 다양체의 침몰로의 표현 ===
푸아송 다양체 의 '''심플렉틱 실현'''(symplectic實現, )은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 심플렉틱 다양체 
* 전사 함수이자 침몰인 푸아송 사상 
모든 푸아송 다양체는 하나 이상의 심플렉틱 실현을 갖는다.
=== 심플렉틱 잎 ===
푸아송 다양체  위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 두 점 ,  사이에 다음 조건을 만족시키는 조각별 매끄러운 곡선 이 존재한다면, 라고 하자.
* 
* 
* 의 각 매끄러운 조각은 해밀턴 벡터장의 궤적이다. 즉, 각 매끄러운 조각 에 대하여, 이 되는 매끄러운 함수 가 존재한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
* 은 동치 관계를 이룬다.
* 의 각 동치류는 의 부분 매끄러운 다양체를 이루며, 이는 연결 공간이다.
* 푸아송 구조 를 의 동치류 에 제한하여 얻어지는 푸아송 다양체는 사실 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 의 '''심플렉틱 잎'''()이라고 한다.
* 심플렉틱 잎 의 임의의 점 에 대하여, 이다. 특히, 는 각 심플렉틱 잎 위에서 상수 함수이다.
다시 말해, 푸아송 다양체를 서로 다른 차원일 수 있는 심플렉틱 다양체들을 짜깁기하여 얻는 공간으로 여길 수 있다. 심플렉틱 잎의 포함 사상은 항상 푸아송 사상이다.
=== 국소 구조 ===
차원 푸아송 다양체 의 임의의 점 이 주어졌을 때, 의 충분히 작은 근방에 다음과 같은 국소 좌표계
:
를 항상 찾을 수 있다.
:
:
:
즉, 이는 국소적으로 어떤 차원 심플렉틱 다양체 와 푸아송 다양체 의 곱공간으로 표현되며, 이 경우 의 푸아송 구조는 (의 상)에서 계수가 0이다. 또한, 이러한 은 국소 동형 아래 유일하다. (물론, 심플렉틱 다양체인 는 다르부 정리에 의하여 국소적으로 자명하다.) (다만 이러한 부분 다양체 는 표준적으로 주어지지 않는다.) 즉, 푸아송 다양체의 국소적 구조의 연구는 국소 계수 0의 푸아송 다양체의 연구로 귀결된다.
푸아송 다양체 의 점 에서, 푸아송 구조의 계수가 0이라고 하자. 그렇다면, 리 대수
:
의 부분 리 대수
:
의 다음과 같은 리 대수 아이디얼을 생각할 수 있다.
:
이에 따라, 공변접공간
:
위에 리 대수 구조가 주어진다. 이에 따라, 접공간  위에는 자연스럽게 리-푸아송 구조가 존재한다. 이를 의 에서의 '''선형 근사'''(線型近似, )라고 한다. 이는 대략  근처에서, 푸아송 괄호의 2차 이상 항들을 버린 것으로 여길 수 있다.
=== 자명한 푸아송 다양체 ===
임의의 매끄러운 다양체  위의 매끄러운 함수 공간에 아벨 리 대수의 구조를 주면 (), 이는 푸아송 구조를 이룬다. 이는 자명한 푸아송 텐서장 에 해당한다. 리 준대수로서, 이는 아벨 리 준대수(즉, 리 괄호가 모두 0인 것)에 해당한다.
이 경우, 심플렉틱 잎들은 한원소 공간들이다.
=== 2차원 이하 푸아송 다양체 ===
매끄러운 다양체 의 차원이 2 이하라고 하자. 이 경우,  위의 임의의 반대칭 (2,0)차 텐서는 푸아송 구조를 이룬다.
1차원 이하의 경우 반대칭 (2,0)차 텐서는 0 밖에 없으며, 이 경우 각 점이 0차원 심플렉틱 잎을 이룬다.
2차원 푸아송 다양체 의 심플렉틱 잎들은 다음과 같다.
* 2차원 잎들은 의 연결 성분이다. 이들은 2차원 심플렉틱 다양체를 이룬다.
* 0차원 잎들은 의 점들이다.
=== 심플렉틱 다양체 ===
심플렉틱 다양체 가 주어졌을 때, 푸아송 괄호
:
를 정의하면, 이는 푸아송 다양체를 이룬다.
이 경우, 심플렉틱 잎들은 의 연결 성분들이다.
=== 선형 푸아송 다양체 ===
유클리드 공간  및  위의 임의의 반대칭 쌍선형 형식 을 고르자. 그렇다면, 모든 점 에서 이므로, 는 푸아송 다양체를 이룬다.
실수 선형 변환 의 계수가 라고 하자. 그렇다면, 의 적절한 기저
:
및 그 쌍대 기저
:
에 대하여,
:
가 되게 할 수 있다. 이 경우, 에만 의존하는 임의의 함수는 카시미르 함수를 이룬다. 심플렉틱 잎들은 각
:
에 대하여
:
의 꼴이다. 특히, 만약 일 경우 이는 심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.
=== 리 대수의 쌍대 공간 ===
유한 차원 실수 리 대수 의 쌍대 공간  위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 정의하자. 임의의  및 에 대하여,
:
여기서
:
이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다. 이러한 푸아송 괄호를 '''리-푸아송 구조'''()라고 한다.
리 지수 사상에 따라 가 되는 단일 연결 리 군 를 정의하자. 그렇다면, 는 물론 리 군 의 표현을 이룬다. 의 심플렉틱 잎들은  속의, 에 대한 궤도에 해당한다. 이를 '''쌍대딸림표현 궤도'''()라고 한다.
예를 들어, (3차원 직교군의 리 대수)라고 하자. 이는 3차원 벡터 공간이다. (가 반단순 리 대수이므로, 킬링 형식 에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같은 꼴이다.
:
즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름 의 구이다. 일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, 일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다.
=== 리 대수의 족 ===
실수 에 의존하는, 다음과 같은 실수 리 대수의 족을 생각하자.
:
:
:
:
만약 일 때, 이는 의 재정의를 통해 3차원 회전군의 리 대수 를 이룬다. 만약 일 때, 이는 마찬가지로 3차원 로런츠 군의 리 대수 와 동형이다. 일 때, 이는 유클리드 평면의 등거리 변환군의 리 대수 와 같다.
이 족을 다음과 같이 푸아송 다양체로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간
:
위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 주자.
:
:
:
:
그렇다면, 이는 푸아송 구조를 이룬다.
이 위에는 다음과 같은 두 카시미르 함수가 존재한다.
:
:
이 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎들은 두 함수의 값의 원상으로 정의된다. 즉,
:
의 꼴이다. (다만 일부 경우 이는 연결 성분 또는 특이점으로 인해 추가로 분해될 수 있다.) 구체적으로 이들은 다음과 같다.
 카시미르 함수의 값 
 추가 조건 
 차원 
 설명 
 미분 동형인 다양체
 ,  
  
 0 
 한원소 공간 
 한원소 공간 
 ,  
 
 0 
 한원소 공간 
 ,  
 
 2 
 타원면 
 구 
 ,  
  
 2 
 쌍곡면
 평면 
 ,  
  
 2 
 쌍곡면
 ,  
 
  2 
 쌍곡면
 원기둥 
 ,  
  
 2 
 (꼭짓점이 없는) 원뿔 (3차원 민코프스키 공간의 미래 빛원뿔)
 ,  
  
 2 
 (꼭짓점이 없는) 원뿔 (3차원 민코프스키 공간의 과거 빛원뿔)
 ,  
 
 2 
 축에 대한 반지름 의 원기둥
=== 국소 선형 모형 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 심플렉틱 다양체 
* 매끄러운 주다발 
* 의 주접속 
그렇다면,
:
:
를 정의할 수 있다. 주접속의 정의에 따라, 이는 의  위의 오른쪽 군 작용에 대하여 불변이다. 따라서, 사영 사상
:
에 대한 당김을 통하여
:
를 정의할 수 있다. 이는 -불변인 닫힌 2차 미분 형식이며, 또한 의 어떤 -불변 근방
:
:
에서 비퇴화 이차 형식을 정의한다. 즉, 이는  위의 -불변 심플렉틱 다양체 구조를 정의한다. 따라서, 몫공간  위에는 푸아송 다양체 구조 가 존재한다. 이 구성은 주접속에 의존하지만, 서로 다른 주접속을 사용해도 서로 동형인 푸아송 구조들을 얻는다. (그러나 이 동형은 일반적으로 표준적이지 않다.)
이 푸아송 다양체를 주다발 의 '''국소 선형 모형'''(局所線型模型, )이라고 한다.
시메옹 드니 푸아송의 이름을 땄다. 이 개념은 물리학에서 비롯되었다. 고전 역학에서, 해밀턴 계를 정의하려면 사실 심플렉틱 다양체 대신 푸아송 다양체의 구조만으로 족하다. 즉, 어떤 해밀토니언 함수 가 주어졌을 때, 벡터장 은 다양체  위의 1차 상미분 방정식을 정의하며, 이는 고전 역학의 해밀턴 방정식(의 일반화)이다.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
분류:미분기하학
분류:다양체 상의 구조
분류:고전역학
분류:심플렉틱 기하학
분류:매끄러운 다양체