격자 (순서론)

순서론에서 '''격자'''(格子, )는 두 원소의 상한('''이음''', )과 하한('''만남''', )이 항상 존재하는 부분 순서 집합이다.
(유계) 격자의 개념은 추상대수학적으로, 순서론적으로, 또는 범주론적으로 정의할 수 있으며, 이 세 정의는 서로 동치이다.
=== 대수학적 정의 ===
'''유계 격자'''(有界格子, ) 는 두 개의 이항 연산  및 두 상수 가 주어지고, 다음 공리들을 만족시키는 대수 구조이다.
* 는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 임의의 에 대하여 이며 이며 이다.
* 는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 임의의 에 대하여 이며 이며 이다.
* (흡수성) 임의의 에 대하여, 
이로부터 다음 성질을 증명할 수 있다.
* (흡수성) 이며 
* (멱등성) 
흡수성:
:
:
멱등성:
:
:
여기서 이항 연산 를 '''이음''', 를 '''만남'''이라고 하며, 은 '''최대 원소''', 은 '''최소 원소'''라고 한다.
유계 격자의 정의에서 모노이드를 반군으로 약화시킨다면 (즉, 항등원의 존재를 생략한다면) '''격자'''의 개념을 얻는다. 즉, '''격자''' 는 다음 세 공리들을 만족시키는 이항 연산 이 주어진 대수 구조이다. 모든 에 대하여, 다음이 성립한다.
* 는 가환 반군을 이룬다. 즉, 임의의 에 대하여 이며 이다.
* 는 가환 반군을 이룬다. 즉, 임의의 에 대하여 이며 이다.
* (흡수성) 임의의 에 대하여, 
이로부터 다음을 증명할 수 있다.
격자 에 다음과 같은 부분 순서 를 줄 수 있다.
:
(이 두 성질은 흡수 법칙에 따라 동등하다.)
=== 순서론적 정의 ===
원순서 집합 이 다음 조건을 만족시킨다면, '''유계 원격자'''(有界原格子, )라고 한다.
* 모든 유한 집합은 상한을 갖는다. (특히, 공집합의 경우, 은 최대 원소를 갖는다.)
* 모든 유한 집합은 하한을 갖는다. (특히, 공집합의 경우, 은 최소 원소를 갖는다.)
원순서 집합 이 다음 조건을 만족시킨다면, '''원격자'''(原格子, )라고 한다.
* 공집합이 아닌 모든 유한 집합은 상한을 갖는다.
* 공집합이 아닌 모든 유한 집합은 하한을 갖는다.
(유계) 원격자에서 상한·하한은 일반적으로 유일하지 않지만, 만약 여럿이 존재한다면 이들은 서로 동치이다. 즉, 그 동치류를 취할 수 있다. 이 개념을 대수적으로 정의하려면 연산이 유일하게 정의되어야 하므로, 원순서 집합 대신 부분 순서 집합을 사용하면 '''(유계) 격자'''()의 개념을 얻는다. 즉, (유계) 원격자인 부분 순서 집합을 '''(유계) 격자'''라고 한다.
=== 범주론적 정의 ===
원순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있으며, 따라서 격자의 순서론적 정의를 범주론의 언어로 재해석할 수 있다.
원순서 집합(작은 얇은 범주) 가 다음 두 조건을 만족시키면, '''원격자'''(原格子, )라고 한다.
* 시작 대상을 제외한 모든 유한 곱을 갖는다.
* 끝 대상을 제외한 모든 유한 쌍대곱을 갖는다.
원순서 집합(작은 얇은 범주) 가 다음 두 조건을 만족시키면, '''유계 원격자'''(有界原格子, )라고 한다.
* 모든 유한 곱을 갖는다.
* 모든 유한 쌍대곱을 갖는다.
(유계) 원격자  속에서, 만약 서로 동형인 두 대상이 항상 같다면, 이를 '''(유계) 격자'''라고 한다.
이 경우, 세 정의들은 각각 다음과 같이 대응한다.
 대수적 정의 
 순서론적 정의 
 범주론적 정의
 원소 
 원소 
 대상
  두 원소의 이음  
 두 원소의 상한  
 두 대상의 쌍대곱 
  두 원소의 만남  
 두 원소의 하한  
 두 대상의 곱 
  또는  
 부분 순서  
 사상 의 존재
 이음의 항등원  
 최소 원소  
 시작 대상 
 만남의 항등원  
 최대 원소  
 끝 대상 
=== 격자 준동형 ===
파일:Monotonic but nonhomomorphic map between lattices.gif|섬네일|오른쪽|격자 준동형이 아닌 증가 함수. 이지만, 이다.
두 유계 격자  사이의 '''유계 격자 준동형'''()은 유한 이음과 만남을 보존하는 함수 이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 함수이다. 임의의 유한 부분 집합 에 대하여,
:
:
이 경우, 만약 라면 마찬가지로 임을 쉽게 보일 수 있다. 따라서, 유계 격자 준동형은 증가 함수이다. 반면, 증가 함수이지만 격자 준동형이 아닌 함수도 존재한다.
두 격자  사이의 '''격자 준동형'''()은 공집합이 아닌 유한 이음과 만남을 보존하는 함수 이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 함수이다. 임의의 유한 부분 집합 에 대하여, 만약 가 공집합이 아니라면,
:
:
모든 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
=== 반대 격자 ===
주어진 격자 에 대하여, 그 '''반대 격자'''() 는 집합 에 다음과 같은 격자 연산을 부여한 격자이다. 모든 에 대하여,
:
:
:
즉, 부분 순서가 반대 방향이 되고, 만남과 이음이 서로 치환된다.
=== 전순서 ===
전순서 집합 은 격자를 이룬다. 이 경우
:
:
이다.
=== 부분 집합 격자 ===
파일:Hasse diagram of powerset of 3.svg|섬네일|오른쪽|세 원소를 가진 집합의 부분 집합의 격자
집합 의 멱집합 은 부분 집합 관계 을 통해 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합은 격자를 이루며, 이 경우 집합 의 어떤 두 부분 집합의 이음과 만남은 각각 두 부분 집합의 합집합과 교집합이다.
:
:
:
마찬가지로, 의 유한 부분 집합들의 집합  또한 격자를 이룬다.
=== 약수의 격자 ===
60의 약수들의 격자
양의 정수 에 대하여, 의 (양의 정수인) 약수들은 격자를 이룬다. 마찬가지로, 모든 양의 정수의 격자  역시 격자를 이룬다. 이 경우, 격자 연산은 다음과 같다.
 정수론 
 격자
  (약수 관계) 
 
  (최소공배수) 
 
  (최대공약수) 
 
이는 환  또는 의 아이디얼들의 격자의 특수한 경우이다.
=== 분할 격자 ===
집합 의 분할 들의 집합은 격자를 이룬다.
 분할 
 격자
 분할의 세분  
 
 공통 세분  
 
 공통 역세분  
 
=== 열린집합의 격자 ===
위상 공간 의 열린집합들은 포함 관계에 대하여 격자를 이룬다. 이 격자는 완비 헤이팅 대수이다.
=== 대수학에서의 격자 ===
파일:Symmetric group S4; lattice of subgroups Hasse diagram; all 30 subgroups.svg|섬네일|오른쪽|대칭군 의 부분군의 격자
군 의 부분군들의 집합은 유계 완비 격자를 이룬다.
 부분군 
 격자
  
 
  
 
  (으로 생성되는 부분군) 
 
 1 (자명군) 
 
  
 
마찬가지로, 주어진 군의 정규 부분군들 역시 완비 모듈러 격자를 이룬다.
유사환 의 아이디얼들의 집합 은 유계 완비 격자를 이룬다.
 아이디얼 
 격자
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
벡터 공간 의 부분 벡터 공간들의 집합은 완비 격자를 이룬다. 이 격자는 양자 논리의 기반을 이룬다.
 벡터 공간 
 격자
  
 
  
 
  
 
  
 
  
 
19세기에 조지 불은 명제 논리의 분석을 위하여 1848년에 유계 격자의 일종인 불 대수를 도입하였다.
이와 독자적으로, 리하르트 데데킨트는 19세기 말에 대수적 수론에서 "쌍대군"()의 개념을 도입하였으며, 이는 오늘날의 격자의 개념과 유사하다. 그러나 데데킨트의 이 개념은 당시에 주목받지 못했다.
이후 1920년대에 격자 이론은 다시 연구되기 시작하였다. 프리츠 클라인바르멘(, 1892~1961)은 이 개념을 (조직, 기구, 군 부대)라고 명명하였고, 이 용어는 오늘날 독일어에서 사용되고 있다. 개릿 버코프(1911~1996)는 이를 추상대수학에 응용하였고, )(격자)라는 용어를 도입하였다. 프랑스어 용어 (창살, 전투복)는 1945년에 마르셀폴 쉬첸베르제(, 1920~1996)가 도입하였다.
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