가측 공간

측도론에서, '''가측 공간'''(可測空間, )은 '''가측 집합'''(可測集合, )이라는 특별한 부분 집합들의 족이 부여된 집합이다. 가측 집합들은 가산 합집합 · 가산 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있다. 측도론에서는 모든 집합들에 적절한 측도를 부여하는 것이 불가능하므로 흔히 사용되는 특정 집합들을 골라야 하며, 가측 공간의 개념은 이러한 선택을 공리화하여 얻는다. 두 가측 공간 사이의 자연스러운 사상은 '''가측 함수'''라고 한다.
임의의 집합 에 대하여, 그 멱집합 는 완비 불 대수이며, 특히 시그마 대수이다.
'''가측 공간''' 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 는 집합이다.
* 는 시그마 대수 의 부분 시그마 대수이다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
** (여집합에 대한 닫힘) 모든 에 대하여, 이다.
** (가산 합집합에 대한 닫힘) 가산 부분 집합  ()에 대하여, 이다. (특히, 만약 일 경우 이다.)
의 원소를 의 '''가측 집합'''이라고 한다.
가측 공간들과 가측 함수들은 구체적 범주 를 이룬다.
=== 분리 가측 공간 ===
가측 공간 가 다음 조건을 만족시킨다면 '''분리 가측 공간'''(分離可測空間, )이라고 한다.
* , 는 단사 함수이다. 즉, 임의의 두 점 에 대하여, 만약 라면, 인 가 존재한다.
임의의 가측 공간 에서, 공집합 과 전체 집합 은 항상 가측 집합이다.
=== 연산에 대한 닫힘 ===
집합  위의 1개 이상의 (유한 또는 무한 개의) 임의의 가측 공간 구조들 이 주어졌을 때, 그 교집합
:
역시  위의 가측 공간 구조이다. (그러나 이는 합집합에 대하여 성립하지 않는다.)
따라서, 임의의 집합족 에 대해, 의 원소들을 가측 집합으로 하는 가장 엉성한 가측 공간 구조가 존재한다. 구체적으로, 이는 를 포함하는 가측 공간 구조들의 교집합이다. 이를 로 표기하자.
따라서, 주어진 집합  위의 가측 공간 구조들의 족은 완비 격자를 이룬다.
=== 크기 ===
가측 공간 의 가측 집합의 수는 항상  꼴의 양의 정수이거나, 아니면  이상이다. 특히, 가측 공간은 가산 무한 개의 가측 집합을 가질 수 없다.
'''증명:'''
가 무한 개의 가측 집합들을 갖는 가측 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 집합렬을 재귀적으로 고른다.
# 가 무한 개의 가측 부분 집합들을 갖는다고 가정한다.
# 에서, 공집합이나 전체 집합이 아닌 임의의 가측 부분 집합 을 고른다.
# 는 무한 개의 가측 부분 집합들을 가지므로,  또는  가운데 적어도 하나가 무한 집합이며, 다음과 같이 정의한다면  역시 무한 개의 가측 부분 집합들을 갖는다.
#: 
따라서, 는 가산 무한 개의 서로소 가측 집합들을 이루며,
:
는 크기 의, 의 부분 집합을 이룬다. 따라서 이다.
집합 의 집합족 에 대하여, 로부터 생성되는 가측 공간 구조 의 크기의 상계는 다음과 같다.
:
이는 를 초한 귀납법으로 구성할 때 번의 단계로 끝나기 때문이다. (여기서 은 최소의 비가산 순서수이다.)
=== 딘킨 π-λ 정리와 단조류 정리 ===
집합  속의 집합족 에 대하여 다음 조건들을 정의하자.
* (π) 는 2항 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다. 이를 만족시키는 집합족을 '''π계'''()라고 한다.
* (λ) 는 여집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 개의 서로소 집합들의 합집합에 대하여 닫혀 있다. (특히, 0개의 서로소 집합들의 합집합은 공집합이므로, 이다.) 이를 만족시키는 집합족을 '''λ계'''()라고 한다.
* (π′) 의 부분 불 대수를 이룬다. 즉, 여집합 · 유한 교집합 · 유한 합집합에 대하여 닫혀 있으며, 이다. 이를 만족시키는 집합족을 '''집합체'''()라고 한다.
* (λ′) 이며, 임의의 에 대하여, 라면, 이며, 임의의 에 대하여, 라면, 이다. 이를 만족시키는 집합족을 '''단조류'''()라고 한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
집합  속의 집합족 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 시그마 대수이다.
* (π) 조건과 (λ) 조건을 만족시킨다.
* (π′) 조건과 (λ′) 조건을 만족시킨다.
집합  속의 집합족 에 대하여, 다음이 성립한다.
* ('''딘킨 π-λ 정리''' ) 가 (π) 조건을 만족시킨다면, 로부터 생성되는, (λ) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.
* ('''단조류 정리''' ) 가 (π′) 조건을 만족시킨다면, 로부터 생성되는, (λ′) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.
로부터 생성되는, (λ) 조건을 만족시키는 최소의 집합족을 라고 하자. 그렇다면, 가 (π) 조건을 만족시킴을 보이면 된다.
:
라고 하자. 그렇다면, 가 (π) 조건을 만족시키므로 이다. 또한 는 (λ) 조건을 만족시킨다. 따라서, 이다.
:
라고 하자. 이므로 이며, 는 (λ) 조건을 만족시키므로, 이다. 즉, 는 (π) 조건을 만족시킨다.
위 증명을 (π′) 조건과 (λ′) 조건에 적용하면 단조류 정리의 증명을 얻는다.
=== 범주론적 성질 ===
가측 집합과 가측 함수의 범주 은 구체적 범주
:
:
를 이루며, 는 위상 함자이다. 따라서, 은 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다.
의 시작 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 공집합이며, 의 끝 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 한원소 집합이다.
를 임의의 집합이라고 할 때, 다음은 모두  위의 가측 공간 구조이다.
* 양의 정수가 아닌 임의의 기수 에 대하여, 는 시그마 대수를 이룬다. 즉, 이는 의 부분집합 가운데 크기가  이하이거나 그 여집합의 크기가  이하인 집합들의 족이다.
** 만약 이라면, 이는 이다. 이 집합족은 '''자명 가측 공간''' 구조이며,  위의 가장 엉성한 가측 공간 구조이다.
** 만약 라면, 이는 의 멱집합 이다. 이를 '''이산 가측 공간'''이라고 하며, 이는  위의 가장 섬세한 가측 공간 구조이다.
* 의 분할 이 주어진다면, 는  위의 가측 공간 구조를 이룬다.
=== 유한 집합 위의 시그마 대수 ===
유한 집합  위의 모든 가측 공간 구조는 의 분할로서 정의된다. 즉, 유한 집합 위의 가측 공간 구조들은 그 분할과 일대일 대응하며, 크기가 인 유한 집합 위의 가측 공간 구조의 수는 벨 수
:1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … 
이다.
예를 들어, 크기가 3인 유한 집합  위의 분할과 가측 공간 구조들은 다음과 같다.
 분할 
 가측 집합 
 비고
 {a, b, c} 
 {}, {a, b, c} 
 자명 가측 공간
 {a}, {b, c} 
 {}, {a}, {b, c}, {a, b, c} 
 {a, b}, {c} 
 {}, {a, b}, {c}, {a, b, c} 
 {a, c}, {b} 
 {}, {a, c}, {b}, {a, b, c} 
 {a}, {b}, {c} 
 {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c} 
 이산 가측 공간
=== 보렐 시그마 대수 ===
위상 공간 위의 보렐 집합들의 집합은 시그마 대수를 이루며, 이를 '''보렐 시그마 대수''' 라고 한다.
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 는 분리 가측 공간이다.
* 는 콜모고로프 공간이다.
유한 집합 위의 모든 가측 공간 구조는 적절한 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 있다. 그러나 무한 집합의 경우 임의의 위상의 보렐 시그마 대상으로 나타낼 수 없는 가측 공간 구조 또한 존재한다. 구체적으로, 가 크기 의 비가산 집합이라고 하자. 크기 2의 이산 공간 의 비가산 곱공간 을 생각하자. 이 곱위상은 기저
:
로 생성된다. 그렇다면, 로 생성되는 가측 공간 구조는  위의 임의의 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 없다.
'''증명:'''
우선, 이므로,
:
이다. 귀류법을 사용하여 가 되는 위상 가 존재한다고 하자. 그렇다면 가 분리 시그마 대수이므로 는 콜모고로프 위상이다. 그러므로
:
:
(한원소 집합의 -폐포)는 단사 함수이며,
:
인데, 이는 모순이다.
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분류:측도론
분류:집합족
분류:공간 (수학)