톰-쿡 알고리즘

'''톰–쿡 알고리즘'''()은 안드레이 톰과 스테픈 쿡이 제안한 곱셈 알고리즘으로 큰 두 정수를 곱할 때 사용된다.
톰-쿡 알고리즘에서는 큰 정수 ''a''와 ''b''를 곱하기 위해, 두 수를 작은 조각으로 나눈다. 조각의 수를 ''k''라고 할때, ''k''가 커질수록 곱셈의 내부 연산법은 복잡해지지만, 전체 시간 복잡도는 낮아진다. 이 곱셈 방법은 나눠진 각각의 조각에 대해서도 다시 적용할 수 있기 때문에, 조각이 작아질때까지 재귀적으로 사용할 수 있다.
톰-3 알고리즘은 ''k''가 3일 경우를 가리키며, 9번의 곱셈을 5번으로 단축시켜, Θ(''n''log(5)/log(3)), 즉 Θ(''n''1.465) 시간 안에 곱셈을 완료한다. 일반적으로 톰-''k'' 알고리즘은 Θ(''c''(''k'') ''ne'') 시간에 수행될 수 있다. 여기서 ''e'' = log(2''k'' − 1) / log(''k''), ''ne''은 조각들 간의 곱셈에 걸리는 시간, ''c''는 덧셈이나 뺄셈, 혹은 작은 상수와의 곱셈에 걸리는 시간을 뜻한다. 카라슈바 알고리즘은 톰-쿡 알고리즘에서 ''k''가 2인 특별한 경우로, 4번의 곱셈을 3번으로 줄여 Θ(''n''log(3)/log(2)) 시간 안에 수행된다. ''k''가 1인 경우는 일반적인 곱셈 알고리즘과 동일해지며 시간 복잡도는 Θ(''n''2)가 된다.
''k''값을 증가시켜서 ''e''값을 거의 1에 가깝게 낮출수 있지만, 이 경우 ''c''의 값이 급속하게 커져 소용이 없다. 이런 부가적인 연산 때문에 톰-쿡 알고리즘은 작은 정수의 곱셈에 적용하면 일반 곱셈법보다 느려지기에 이 알고리즘은 적당히 큰 정수에 사용되며, 정수 크기가 훨씬 더 커질 경우는 시간복잡도가 Θ(''n'' log ''n'' log log ''n'')인 쇤하게-슈트라센 알고리즘이더빠 르게 된다.
톰은 1963년에 처음 이 알고리즘을 제시하였고, 쿡은 1966년에 그의 박사 논문에서 이 알고리즘을 개량시켰다.
이 단락은 톰-''k'' 알고리즘이 어떻게 작동하는지를 간략하게 설명한다. 알고리즘은 크게 5단계를 거쳐 완료된다.
# 분할
# 평가
# 점별 곱셈
# 보간
# 합성
큰 정수를 구현하는데 있어서, 대개 위치 기수법으로 각 자리의 정수를 표현하는 방법이 자주 사용된다. 이 때의 밑을 ''b''라고 하자. 이 예시에서는 ''b'' = 10000을 사용할 것이므로, 한 자리에는 4개의 10진 정수가 들어가게 된다. (실제 컴퓨터 구현에서는 연산의 효율성을 위해 ''b''값으로 2의 거듭제곱이 사용된다.) 두 큰 정수를 다음과 같다고 하자.
''m'' 
 = 
12
3456
7890
1234
5678
9012
''n'' 
 =
9
8765
4321
9876
5432
1098.
물론 이 정수들은 톰-쿡 알고리즘을 사용하기엔 작아서, 그냥 일반 곱셈법이 훨씬 빠르다. 하지만 설명을 위해 이 값을 사용하도록 한다.
=== 분할 ===
첫번째 단계는 정수를 ''k''개의 조각으로 자르기 위한 적절한 단위인 ''B'' = ''b''''i''를 찾는 것이다. 일반적으로 ''i''는 다음과 같이 구할 수 있다.
:
이 예제에서는 톰-3 알고리즘을 사용할 것이므로, ''B'' = ''b''2 = 108가 된다. 이 B값을 단위로 ''m''과 ''n''을 자르면 ''m''''i'', ''n''''i''는 다음과 같이 될 것이다.
:
우리는 이 수를 계수로 하는 ''k''−1차 다항식을 만들것이다.
:
:
다항식을 이렇게 정의하면 ''p''(''B'') = ''m'', ''q''(''B'') = ''n''이 된다. 이렇게 정의한 목적은 두 다항식의 곱인 ''r''(''x'') = ''p''(''x'')''q''(''x'')를 구하기 위해서이다. 즉 우리가 구하고자 하는 결과는 이 다항식에 ''B''를 대입함으로써 얻을 수 있다. ''r''(''B'') = ''m''×''n''
''m''과 ''n''을 일반적인 곱셈법으로 곱하면 (여기서는 3 조각으로 나누었으므로), 조각 간의 곱셈이 9번 필요하다. 하지만, ''r''(''x'')는 2(''k''−1)차 다항식(''k''가 3이므로 4차 다항식)이므로, 2''k''−1개의 미지 계수를 구하기 위해서는 2''k''-1개의 방정식만 있으면 된다. 이 방정식은 선형 대수를 이용하여 간단한 방법으로 풀어낼 수 있으므로, 결과적으로 일반 곱셈법보다 적은 수의 곱셈을 사용하여 결과를 얻을 수 있게 된다.
만약 곱하는 두 수의 자리수가 다를 경우 ''k''값을 ''m''과 ''n''에 따라 다르게 주는 것이 유용하다. ''톰-2.5'' 알고리즘에서는 ''k''''m'' = 3 and ''k''''n'' = 2 와 같은 값을 사용한다. 이 때의 ''i''는 다음과 같이 구할 수 있다.
:
=== 평가 ===
앞서 언급했듯, 톰-쿡 알고리즘에서는 ''r''(''B'')를 구하기 위해 ''r''(''x'')의 각 계수를 구한다. 이 계수를 구하기 위해 적당한 ''x''를 선정하여 ''p''(''x'')와 ''q''(''x'')의 값을 구한다. (''k''가 3인 경우 ''r''(''x'')는 4차식이 되고, 미지계수는 5개이므로 총 5개의 지점을 구해야한다.) 간단한 계산을 위해 대개 ''x''는 0이나 1, 2, &minus1, &minus2 등의 값을 넣는다.
특별한 지점으로 흔히 무한대로 표기하는 값이 있는데, 이는 극한 표기를 간단하게 적은 것으로 최고 차항의 계수를 뜻한다.
이 예제에서는 ''x''에 0, 1, −1, −2, ∞을 넣어 계산해볼 것이다:
:
''q''에 대해서도 마찬가지. 예시의 값을 실제로 대입하면 다음과 같다:
''p''(0) 
 = 
 ''m''0 
 = 
 56789012 
 = 
 56789012
''p''(1) 
 = 
 ''m''0 + ''m''1 + ''m''2 
 = 
 56789012 + 78901234 + 123456 
 = 
 135813702
''p''(−1) 
 = 
 ''m''0 − ''m''1 + ''m''2 
 = 
 56789012 − 78901234 + 123456 
 = 
 −21988766
''p''(−2) 
 = 
 ''m''0 − 2''m''1 + 4''m''2 
 = 
 56789012 − 2×78901234 + 4×123456 
 = 
 −100519632
''p''(∞) 
 = 
 ''m''2 
 = 
 123456 
 = 
 123456
''q''(0) 
 = 
 ''n''0 
 = 
 54321098 
 = 
 54321098
''q''(1) 
 = 
 ''n''0 + ''n''1 + ''n''2 
 = 
 54321098 + 43219876 + 98765 
 = 
 97639739
''q''(−1) 
 = 
 ''n''0 − ''n''1 + ''n''2 
 = 
 54321098 − 43219876 + 98765 
 = 
 11199987
''q''(−2) 
 = 
 ''n''0 − 2''n''1 + 4''n''2 
 = 
 54321098 − 2×43219876 + 4×98765 
 = 
 −31723594
''q''(∞) 
 = 
 ''n''2 
 = 
 98765 
 = 
 98765.
위에 보이는대로 결과값이 음수가 될 수도 있다.
다음과 같이 행렬로 간단하게 표현할 수 있다. 이 표현은 보간 과정에서도 유용하게 쓸 수 있다.
: 
==== 빠른 평가 ====
평가 시 각 지점에서 중복되는 연산을 줄여 더 빠르게 계산하는 방법이 있다. 이 방법을 사용할 경우 덧셈/뺄셈의 수를 줄일 수 있다. 여기에서는 톰-3의 경우만 제시한다.
''p''0 
 ← 
 ''m''0 + ''m''2 
 = 
 56789012 + 123456 
 = 
 56912468
''p''(0) 
 = 
 ''m''0 
 = 
 56789012 
 = 
 56789012
''p''(1) 
 = 
 ''p''0 + ''m''1 
 = 
 56912468 + 78901234 
 = 
 135813702
''p''(−1) 
 = 
 ''p''0 − ''m''1 
 = 
 56912468 − 78901234 
 = 
 −21988766
''p''(−2) 
 = 
 (''p''(−1) + ''m''2)×2 − ''m''0 
 = 
 (− 21988766 + 123456 )×2 − 56789012 
 = 
 − 100519632
''p''(∞) 
 = 
 ''m''2 
 = 
 123456 
 = 
 123456.
이 과정은 오직 5번의 덧셈/뺄셈이 필요하다. 이는 단순 계산보다 1회 적은 것이다.
=== 점별 곱셈 ===
두 다항식 ''p''(''x'')와 ''q''(''x'')를 통째로 곱하는 대신, 앞에서 구한 여러 개의 지점에 대해서 ''p''(''a'')''q''(''a'')를 구한다. 이는 원래 목표였던 큰 정수끼리의 곱셈보다 훨씬 작은 수끼리의 연산이 된다. 게다가 점별 곱셈 과정에 톰-쿡 알고리즘을 재귀적으로 사용하여 실제로 곱하게 되는 수를 일반 곱셈법으로도 충분히 빠르게 곱할 수 있는 크기로 줄일 수 있다. 이 예시의 결과물은 다음과 같을 것이다.
''r''(0) 
 = 
 ''p''(0)''q''(0) 
 = 
 56789012 × 54321098 
 = 
 3084841486175176
''r''(1) 
 = 
 ''p''(1)''q''(1) 
 = 
 135813702 × 97639739 
 = 
 13260814415903778
''r''(−1) 
 = 
 ''p''(−1)''q''(−1) 
 = 
 −21988766 × 11199987 
 = 
 −246273893346042
''r''(−2) 
 = 
 ''p''(−2)''q''(−2) 
 = 
 −100519632 × −31723594 
 = 
 3188843994597408
''r''(∞) 
 = 
 ''p''(∞)''q''(∞) 
 = 
 123456 × 98765 
 = 
 12193131840.
이 과정이 가장 시간을 오래 잡아먹는 부분이다. 나머지 과정은 ''m''과 ''n''의 크기와 선형의 시간복잡도를 갖기만, 오직 이 과정만 그보다 큰 시간복잡도를 갖는다.
=== 보간 ===
이 과정은 전체 과정 중 가장 복잡한 과정으로, 위에서 구한 점별 곱셈 결과를 이용하여 다항식 ''r''(''x'')의 미지계수를 구하는 과정이다.
: 
이 행렬은 평가 과정에서 만들었던 행렬과 같은 방식으로 만들어진 것이다. 가우스 소거법을 통해 이 행렬의 역행렬을 구할수도 있지만, 이는 너무 느리다. 하지만 우리가 앞서 고른 지점이 0, 1, &minus1, 2, &minus2 등으로 단순하므로 복잡한 계산과정 없이 행렬을 풀어낼 수 있다.
: 
이제 남은 과정들은 모두 행렬-벡터 간의 곱셈이다. 행렬에 분수가 들어있지만, 그 결과는 정수로 나온다. 그렇기에 이 과정은 정수 간의 덧셈/뺄셈과 작은 상수를 곱하고 나누는 연산만 가지고 수행할 수 있다. 하지만 이 과정을 효율적으로 짜는 것은 쉽지 않은 일이다. 여기에서는 톰-3 알고리즘의 효율적인 방법을 소개한다.
''r''0 
 ← 
 ''r''(0) 
 = 
 3084841486175176
''r''4 
 ← 
 ''r''(∞) 
 = 
 12193131840
''r''3  
 ← 
  (''r''(−2) − ''r''(1))/3 
 = 
 (3188843994597408 − 13260814415903778)/3
 
 
 
 = 
 −3357323473768790
''r''1  
 ← 
  (''r''(1) − ''r''(−1))/2 
 = 
 (13260814415903778 − (−246273893346042))/2
 
 
 
 = 
 6753544154624910
''r''2  
 ← 
  ''r''(−1) − ''r''(0) 
 = 
 −246273893346042 − 3084841486175176
 
 
 
 = 
 −3331115379521218
''r''3  
 ← 
  (''r''2 − ''r''3)/2 + 2''r''(∞) 
 = 
 (−3331115379521218 − (−3357323473768790))/2 + 2×12193131840
 
 
 
 = 
 13128433387466
''r''2  
 ← 
  ''r''2 + ''r''1 − ''r''4 
 = 
 −3331115379521218 + 6753544154624910 − 12193131840
 
 
 
 = 
 3422416581971852
''r''1  
 ← 
  ''r''1 − ''r''3 
 = 
 6753544154624910 − 13128433387466
 
 
 
 = 
 6740415721237444.
이제 다항식 ''r''(''x'')의 모든 계수를 알게 되었다:
: 
만약 두 정수의 크기가 다르거나, 평가 지점이 다르다면 이 행렬 계산식 역시 달라질 것이다. 하지만 이는 사전에 계산될 수 있는 부분이므로 미리 효율적으로 작성해 둘 수 있다.
=== 합성 ===
최종적으로 다항식 ''r''(''x'')에 ''B''를 대입하여 결과를 얻어낼 수 있다. 여기서 b = 104였으므로, B = b2 = 108이다.
   
   
    
    
    
    
    
    
3084
8414
8617
5176
   
   
    
    
    
    
6740
4157
2123
7444
    
   
   
    
    
3422
4165
8197
1852
    
    
    
   
   
  13
1284
3338
7466
    
    
    
    
    
 + 
121
9313
1840
    
    
    
    
    
    
    
   
121
9326
3124
6761
1632
4937
6009
5208
5858
8617
5176
위 결과가 1234567890123456789012와 987654321987654321098의 곱이다.
''k''값에 따른 보간 행렬을 몇 가지 정리해두었다.
=== 톰-1 ===
톰-1 (''k''''m'' = ''k''''n'' = 1)은 1개의 지점만을 필요로 한다. 여기서는 0을 잡았다. 사실 이는 일반 곱셈알고리즘과 동일하다:
: 
=== 톰-1.5 ===
톰-1.5 (''k''''m'' = 2, ''k''''n'' = 1)는 2개의 지점을 필요로 한다. 여기서는 0과 ∞를 잡았다. 보간 행렬은 단위행렬과 동일하다:
: 
=== 톰-2 ===
톰-2 (''k''''m'' = 2, ''k''''n'' = 2)은 3개의 지점을 필요로 하고, 대개 0, 1, ∞를 잡는다. 이는 카라슈바 알고리즘과 동일하다:
: 
=== 톰-2.5 ===
톰-2.5 (''k''''m'' = 3, ''k''''n'' = 2)는 4개의 평가지점을 필요로 한다. 여기에서는 0, 1, -1, ∞를 잡았다:
: 
* 커누스. ''컴퓨터 프로그래밍의 예술'', 제 2권. 1997. 섹션 4.3.3.A: Digital methods, 294쪽.
* R. Crandall & C. Pomerance. ''Prime Numbers – A Computational Perspective''. Second Edition, Springer, 2005. Section 9.5.1: Karatsuba and Toom–Cook methods, 473쪽.
* M. Bodrato. '' Toward Optimal Toom–Cook Multiplication...''. In WAIFI'07, Springer, 2007.
*   톰-쿡 알고리즘에 관한 GMP의 문서
*   톰-쿡 알고리즘에 대한 간략한 설명
분류:컴퓨터 산술 알고리즘
분류:곱셈