위상 함자

범주론과 일반위상수학에서 '''위상 함자'''(位相函子, )는 위상 공간의 범주에서 집합 범주로 가는 망각 함자와 여러 유사한 성질을 보이는 함자이다. 구체적으로, 주어진 집합을 정의역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 엉성한 구조" 및 주어진 집합을 공역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 섬세한 구조"가 유일하게 존재한다. 올범주의 개념에서, 사상을 임의의 원천으로 일반화하여 강화시킨 개념이다.
=== 원천과 흡입 ===
범주 의 '''원천'''(源泉, ) 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 는 대상이다.
* 는 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
* 는 의 사상들의 모임이다.
마찬가지로, 의 '''흡입'''(吸入, ) 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 는 대상이다.
* 는 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
* 는 의 사상들의 모임이다.
만약 가 공집합이라면, 원천 은 단순히 대상 이며, 만약 가 한원소 집합이라면 원천은 단순히 사상 이다.
=== 시작 원천과 끝 흡입 ===
범주 의 원천  및 함자 가 주어졌다고 하자. 만약 가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, 를 '''-시작 원천'''(始作源泉, )이라고 한다.
* 임의의 대상  및 사상  및 사상족 에 대하여, 라면, 이자 인 가 유일하게 존재한다.
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마찬가지로, 그 쌍대 개념인 '''-끝 흡입'''(-吸入, )을 정의할 수 있다.
만약 가 한원소 집합이라면, 시작 원천은 '''데카르트 사상'''이라고 한다.
=== 올림 ===
두 범주 ,  사이의 함자 가 주어졌다고 하자. 의 원천 에서, 만약 인 가 존재한다면, 원천 를 '''-구조 원천'''(構造源泉, )이라고 한다. 마찬가지로 '''-구조 흡입'''(構造吸入, )을 정의한다.
-구조 원천 의 '''올림'''은 이자 인  -원천 이다.
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-구조 흡입의 '''올림''' 역시 마찬가지로 정의된다.
시작 올림 또는 끝 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.
임의의 -구조 원천 이 만약 시작 원천 을 갖는다면, 를 원천 에 대한 의 '''시작 -구조'''(始作構造, )라고 한다. 마찬가지로, -구조 흡입에 대한 '''끝 -구조'''(-構造, )를 정의할 수 있다.
=== 위상 함자 ===
함자 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 '''위상 함자'''()라고 한다.
* 모든 -구조 원천이 시작 올림을 갖는다. 즉, 시작 구조가 항상 존재한다.
* 모든 -구조 흡입이 끝 올림을 갖는다. 즉, 끝 구조가 항상 존재한다.
위와 같은 원천의 올림 대신, 풍성한 범주 이론을 사용하여 위상 함자의 개념을 다르게 정의할 수도 있다.
모든 위상 함자는 충실한 함자이다.
가 다음 네 성질 가운데 하나라고 하자.
* 완비 범주
* 쌍대 완비 범주
* 정멱 범주
* 쌍대 정멱 범주
위상 함자 에 대하여, 만약 가 라면,  역시 이다.
다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자이다.
* 집합과 함수의 범주 
* 위상 공간과 연속 함수의 범주 
* 콜모고로프 공간과 연속 함수의 범주 
* T1 공간과 연속 함수의 범주 
* 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 
* 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 
* 균등 공간과 균등 연속 함수의 범주 
* 가측 공간과 가측 함수의 범주 
* 원순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 
* 부분 순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 
* 확장 유사 거리 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 
* 로비어 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 
다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자가 아니다.
* 차분한 공간과 연속 함수의 범주 
* 정규 공간과 연속 함수의 범주 
* 정규 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 
* 장소와 장소 사상의 범주 
* 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주 
=== 위상 공간 ===
위상 공간의 경우, 시작 구조와 끝 구조는 각각 '''시작 위상'''(始作位相, )과 '''끝 위상'''(-位相, )이라고 불린다.
즉, 집합 와 위상 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면,  위의 '''시작 위상'''은 들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 구체적으로, 의 시작 위상은 다음과 같은 부분 기저로 정의된다.
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여기서 는 의 위상(열린집합들의 족)이다.
마찬가지로,  집합 와 위상 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면,  위의 '''끝 위상'''은 들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 구체적으로, 의 끝 위상은 다음과 같다.
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=== 가측 공간 ===
집합 와 가측 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 '''시작 시그마 대수'''()는 들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 엉성한 시그마 대수이다. 구체적으로, 의 시작 시그마 대수는
:
로 생성된다.
마찬가지로, 집합 와 가측 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 '''끝 시그마 대수'''()는 들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 섬세한 시그마 대수이다. 구체적으로, 의 끝 시그마 대수 는 다음과 같다.
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=== 균등 공간 ===
집합 와 균등 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 '''시작 균등 구조'''()는 들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, 의 시작 균등 구조는
:
로 생성된다.
마찬가지로, 집합 와 균등 공간들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 '''끝 균등 구조'''()는 들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, 의 끝 균등 구조 는 다음과 같다.
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=== 유계형 집합 ===
집합 와 유계형 집합들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 '''시작 유계형'''()은 들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 엉성한 유계형이다. 구체적으로, 의 시작 유계형은 다음과 같다.
:
마찬가지로, 집합 와 유계형 집합들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 '''끝 유계형'''()은 들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 섬세한 유계형이다. 구체적으로, 의 끝 유계형은
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로 생성된다.
=== 원순서 집합 ===
집합 와 원순서 집합들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 '''시작 원순서'''()는 들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 엉성한 원순서이다. 구체적으로, 의 시작 원순서는 다음과 같다.
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마찬가지로, 집합 와 원순서 집합들의 족  및 함수족 가 주어졌다고 하자. (는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면  위의 '''끝 원순서'''()는 들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 섬세한 원순서이다. 구체적으로, 의 끝 원순서 는
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로 생성된다.
1974년에 호르스트 헤를리히(, 1937~2015)가 도입하였다.
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분류:범주론
분류:일반위상수학