비트 환

이차 형식 이론에서, '''비트 환'''(Witt環, )은 비퇴화 이차 형식의 동치류로 구성된 가환환이다.
=== 비트 분해 ===
'''비트 분해 정리'''(Witt分解定理, )에 따르면, 표수가 2가 아닌 체  위의 유한 차원 벡터 공간  위의 이차 형식 는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.
:
여기서 각 성분은 다음과 같다.
* 은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
* 은 이차 형식이 비퇴화 이차 형식인 이차 공간이다.
* 는 '''분할 이차 공간'''()이다. 즉, 는 짝수이며,  속에서 인 차원 부분 공간 이 존재한다.
이 경우 을 의 '''핵심'''(核心, )이라고 한다. 또한, 를 의 '''계수'''(階數, )라고 하며, 를 의 '''비트 지표'''()라고 한다. 비트 정리에 따라, 이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.
=== 비트 환 ===
같은 체 위의 두 이차 공간 , 의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간이 서로 '''비트 동치'''()라고 한다. 표수가 2가 아닌 체  위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 동치류들의 집합 을 생각하자. 여기에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 가환환을 이룬다.
* . 는 벡터 공간(및 그 위의 함수)의 직합이다.
* 
*  . 여기서 는  위의 0차원 벡터 공간이다.
*  는 벡터 공간 (및 그 위의 함수)의 텐서곱이다.
* 
이 가환환을 의 '''비트 환'''이라고 한다.
=== 계수와 행렬식 ===
같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 환 준동형
:
을 갖는다. (곱셈 항등원은 홀수 계수이므로, 이는 -등급환을 이루지 않는다.) 이 준동형의 핵 을 비트 환의 '''기본 아이디얼'''()이라고 한다.
표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식 의 '''행렬식'''() 또는 '''판별식'''() 은 를 나타내는 대칭 행렬 의 행렬식 의 에서의 동치류이다. 이 경우, 사용하는 기저를 가역 행렬 를 통해 바꾼다면
:
:
가 되므로, 비퇴화 이차 형식의 행렬식은 의 원소로서 잘 정의된다.
표수가 2가 아닌 체 에 대하여, 다음과 같은 가환환 를 정의하자.
:
:
:
즉, 의 원소는 의 -등급 이차 확대의 동치류로 구성된다고 생각할 수 있다.
그렇다면, 다음과 같은 자연스러운 환 준동형이 존재한다.
:
:
이는 전사 함수이며, 그 핵은 기본 아이디얼의 제곱이다.
=== 하세-비트 불변량 ===
표수가 2가 아닌 체  위의 차원 벡터 공간  위의 대각화된 비퇴화 이차 형식 가 주어졌을 때, 사원수형 대수 (2차원 벡터 공간 위의 클리퍼드 대수) 들은 (짝수 차원이므로) 중심 단순 대수를 이루며, 따라서 브라우어 군 의 원소들의 대표원들을 이룬다. 의 '''하세-비트 불변량'''()은 이 브라우어 군 원소들의 합이다.
:
이는 의 대각화에 의존하지 않으며, 따라서 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식의 불변량을 이룬다. 또한, 이는 비트 동치류 위의 유함수를 이루며, 따라서 비트 동치류의 불변량을 이룬다.
=== 밀너 환과의 관계 ===
표수가 2가 아닌 체 의 비트 환 의 기본 아이디얼 의 거듭제곱들은 하강 여과를 이룬다.
:
이에 대응되는 -등급환
:
:
을 정의할 수 있다.
체  위의 '''피스터 이차 형식'''()은 다음과 같은 꼴의, 차원 벡터 공간 위의 이차 형식이다.
:
의 원소들은 모두 유한 개의 차원 피스터 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.
체 의 밀너 환
:
의 원소를 로 표기하자. 그렇다면, 피스터 형식을 통해 밀너 환에서 위 등급환으로 가는 등급환 준동형을 정의할 수 있다.
:
:
'''이차 형식에 대한 밀너 추측'''()에 따르면, 이 준동형은 등급환의 동형을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며, 2007년에 드미트리 오를로프() · 알렉산드르 비시크() · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.
=== 복소수체 ===
가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, 가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간  위의 이차 형식은 그 계수 에 따라서 완전히 분류된다.
 위의 계수가 2 이상인 이차 형식은 항상 등방성 벡터를 갖는다. 따라서,  위의 이차 형식의 핵심은 항상 0차원이거나 1차원이다. 이에 따라, 의 비트 환은 이다.
대수적으로 닫힌 체의 브라우어 군은 자명하므로, 이 경우 하세-비트 불변량 역시 자명하다.
=== 실수체 ===
가 에우클레이데스 체(, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, 가 실수체 이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)
의 비트 환은 와 동형이다.
:
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
* 계수 의 양의 정부호 형식은 에 대응한다.
* 계수 의 음의 정부호 형식은 에 대응한다.
* 0차원의 벡터 공간 위의 형식은 에 대응한다.
실수체의 브라우어 군은 실수체와 사원수환 로 구성되며, 2차 순환군이다.
:
이 경우 힐베르트 기호가
:
이므로, 유한 차원 실수 벡터 공간 위의 부호수 의 비퇴화 이차 형식 의 하세-비트 불변량은
:
이다.
=== 국소체 ===
비아르키메데스 국소체 의 대수적 정수환의 잉여류체의 크기가 라고 하고, 가 홀수라고 하자. 그렇다면, 의 비트 환은 다음과 같다.
:
여기서 는 2차 순환군이며, 는 군환을 뜻한다.
=== 유리수체 ===
유리수체 의 비트 환의 크기는 32이며, 다음과 같다.
:
=== 홀수 표수의 유한체 ===
표수가 2가 아닌 유한체  위의 벡터 공간  위의 이차 형식의 동치류는 총 개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.
이들은 구체적으로 다음과 같다. 가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.
:
이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.
:
:
즉, 다음과 같은 꼴이다.
:
:
만약 이 홀수라면, 는 과 동치이다. 이 경우 비트 지표는 ,  둘 다 이다.
만약 이 짝수라면, 은 과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.
* 이며 인 경우, 의 비트 지표는 이며 의 비트 지표는 이다.
* 이거나 또는 인 경우, 의 비트 지표는 이며 의 비트 지표는 이다.
이 경우, 비트 지표가 인 경우를 '''플러스형'''(), 인 경우를 '''마이너스형'''()이라고 한다.
비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.
:
:
홀수 차수 유한체 의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 에 따라 구체적으로 다음과 같다.
:
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
:
+인 경우
 
 0 
 1 
 2 
 3
 
  
  
  
 
:
+인 경우
 
 0 
 1 
 ''x'' 
 1+''x''
 
  
  
  
 
에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였다.
* 
* 
* 
분류:이차 형식