귀납적 차원

일반위상수학에서 '''귀납적 차원'''(歸納的次元, )은 어떤 기하학적 대상의 경계의 차원이 전체의 차원보다 1만큼 더 작다는 사실을 기반으로 하는, 위상 공간 위에 정의되는 두 개의 차원 개념이다. 대부분의 경우, 르베그 덮개 차원의 상한과 하한을 정의한다.
위상 공간 의 '''작은 귀납적 차원'''() 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 이다.
* 임의의  및 열린 근방 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 가 존재한다.
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위상 공간 의 '''큰 귀납적 차원'''() 는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 이다.
* 임의의 닫힌집합 의 열린 근방 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 가 존재한다.
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공집합의 경우, 아무런 점이 없으므로 자명하게 이다.
=== 서로 다른 차원들의 비교 ===
T1 공간  또는 정칙 공간 의 경우, 모든 점의 폐포가 점의 열린 근방에 다시 포함되므로,
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이다.
임의의 위상 공간 에 대하여,
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이다. 여기서 은 르베그 덮개 차원이다.
거리화 가능 공간 의 경우,
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이다.
린델뢰프 공간 의 경우,
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이다.
린델뢰프 완전 정규 공간  또는 완비 파라콤팩트() 완전 정규 공간 의 경우,
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이다.
'''우리손 정리'''에 따르면, 제2 가산 정칙 공간 의 경우
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이다.
=== 부분 집합 ===
위상 공간  및 부분 집합 에 대하여,
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이다. 만약 추가로 가 닫힌집합이거나, 가 완전 정규 공간이라면,
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이다.
=== 합집합 ===
완비 정규 공간  및 부분 집합 에 대하여, 만약 라면,
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이다. 이를 작은·큰 귀납적 차원에 대한 '''우리손 부등식'''이라고 한다.
위상 공간  및 닫힌집합 에 대하여, 만약 라면,
:
이다. 만약 추가로 가 정규 공간이라면,
:
이다.
=== 곱공간 ===
제2 가산 정칙 공간 의 경우, 귀납적 차원이 르베그 덮개 차원과 일치하므로
:
:
이다.
위상 공간 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* 임의의 닫힌집합 에 대하여, 
* 임의의 닫힌집합 에 대하여, 
그렇다면,
:
이다. 작은 귀납적 차원이 0 이하인 공간은 위 합집합 조건을 자명하게 만족시킨다. 그러나, 1차원 이상의 공간이 위 조건을 만족하기는 매우 ‘어렵다’. 예를 들어, 위 조건을 만족시키지 않는 거리화 가능 공간이 존재하며, 위 조건을 만족시키지 않는 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.
위상 공간 에 대하여, 만약 이라면,
:
이다.
콤팩트 하우스도르프 공간 에 대하여, 만약 이라면,
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이다.
위상 공간들의 집합  및 곱공간
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에 대하여, 만약 모든 에 대하여 이라면, 이다.
=== 스톤-체흐 콤팩트화 ===
정규 하우스도르프 공간  및 그 스톤-체흐 콤팩트화 에 대하여,
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이다.
=== 0차원 ===
경계가 공집합일 필요충분조건은 열린닫힌집합인 것이다. 따라서, 위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
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* 는 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 갖는다.
위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
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위상 공간 에 대하여, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다.
* 만약 이라면, 는 완비 정칙 공간이다.
* 만약 이며, 가 콜모고로프 공간이라면, 는 완전 분리 공간이자 티호노프 공간이다.
* 반대로, 만약 가 완전 분리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 이다.
* 만약 이라면, 는 정규 공간이다.
* 만약 이며, 가 T1 공간이거나 정칙 공간이라면, 이다.
* 반대로, 만약 이며, 가 린델뢰프 공간 이라면, 이다.
국소 콤팩트 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
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* 완전 분리 공간이다.
국소 콤팩트 파라콤팩트 하우스도르프 공간 이 주어졌을 때, 는 항상 서로소 린델뢰프 열린닫힌집합들의 합집합이다. 따라서, 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 완전 분리 공간이다.
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작은 귀납적 차원이 0인 위상 공간은 흔히 '''0차원 공간'''(零次元空間, )이라고 한다. 르베그 덮개 차원이 0인 위상 공간은 흔히 '''강한 0차원 공간'''(强-零次元空間, )이라고 부른다. 일부 문헌은 0차원 공간의 정의에서 T1 조건을 추가로 가정하고, 강한 0차원 공간의 정의에 티호노프 조건을 추가한다.
=== 매장 ===
T1 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
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* 두 점 이산 공간의 곱공간 의 부분 집합과 위상 동형이다. (여기서 는 열린닫힌집합들의 집합이다.)
이 경우, 곱공간으로의 매장은 다음과 같이 잡을 수 있다.
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모든 0차원 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 실수들의 집합과 위상 동형이다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간(=분해 가능 거리화 가능 공간) 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
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* 는 칸토어 집합 의 부분 집합과 위상 동형이다.
* 는 무리수 집합 의 부분 집합과 위상 동형이다.
실수들의 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 
* (둘 이상의 점을 갖는) 구간을 포함하지 않는다.
'''뇌벨링-폰트랴긴 정리'''에 따르면, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
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* 는 유클리드 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.
사실, 모든 차원 이하의 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 차원 유클리드 공간 에 매장할 수 있다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
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* 는 의 부분 집합과 위상 동형이다.
위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 동치이다.
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유클리드 공간, 단체, 초구의 작은·큰 귀납적 차원은 통상적인 차원과 일치한다.
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보다 일반적으로, 임의의 차원 다양체의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은 이다.
의 작은·큰 귀납적 차원은 이다.
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조르겐프라이 직선  및 조르겐프라이 평면 의 작은·큰 귀납적 차원은 0이다. 조르겐프라이 직선의 르베그 덮개 차원은 0이지만, 조르겐프라이 평면의 르베그 덮개 차원은 무한하다.
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이산 공간과 모든 비이산 공간의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은 0 이하이다. 시에르핀스키 공간의 르베그 덮개 차원과 큰 귀납적 차원은 0이지만, (정칙 공간이 아니므로) 작은 귀납적 차원은 무한하다.
거리화 가능 공간 에 대하여, 만약
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라면, 이다.
임의의 점  및 열린 근방 가 주어졌다고 하자.
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인 을 잡자. 이므로,
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인 이 존재한다. 따라서,
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이다.
순서 위상을 가한 전순서 집합 의 작은 귀납적 차원은 1 이하이다.
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* 르베그 덮개 차원
분류:위상 공간의 성질
분류:차원
분류:차원론