Ext 함자

호몰로지 대수학에서 '''Ext 함자'''(Ext函子, )는 아벨 범주의 두 대상 사이를 잇는 완전열들을 분류하는 함자이다. 사상군 함자의 유도 함자와 같다.
Ext 함자는 세 가지로 정의할 수 있다.
* Ext 함자는 특정 완전열들의 동치류 집합으로 정의할 수 있다. 이는 가장 구체적이지만 복잡하며, 또 집합론적 문제가 발생할 수 있다 (즉, Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다). 이 정의는 요네다 노부오가 도입하였다.
* 단사 대상을 충분히 가지는 범주 또는 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서, Ext 함자는 오른쪽 유도 함자 또는 왼쪽 유도 함자를 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않지만, 이는 단사 대상 또는 사영 대상이 부족한 아벨 범주에서는 사용할 수 없다.
* 유도 범주의 개념을 사용하면 Ext 함자는 매우 간단하게 정의된다. 그러나 유도 함자의 존재 역시 여러 집합론적 문제를 야기한다.
대수학에서 가장 중요한 경우인 환 위의 가군 범주의 경우 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 유도 함자 정의를 사용할 수 있다.
=== 완전열을 통한 정의 ===
==== 0차 Ext ====
임의의 아벨 범주 에 대하여, '''0차 Ext 함자'''는 다음과 같은 사상군 함자이다.
:
==== 1차 Ext ====
임의 아벨 범주 의 대상 에 대하여, 의 에 대한 '''확대'''()는 다음과 같은 짧은 완전열이다.
:
두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 이 존재한다면, 두 확대가 서로 '''동치'''라고 한다.
:
(이 사상 은 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다.) 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다.
확대의 동치류들은 '''베어 합'''()이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.
두 확대 , 가 주어졌을 때, 를 와 의 에 대한 당김이라고 하자. 미첼 매장 정리를 사용하면, 이는 다음과 같다.
:
즉, 는 를 두 번 부분 대상으로 포함한다.
대각 사상 사용하여, 의 몫대상
:
을 정의할 수 있다. 이는  속에 존재하는 두 개의 를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면
:
는 짧은 완전열을 이룬다. 의 동치류를 , 의 동치류의 '''베어 합'''()이라고 한다. 확대의 동치류들은 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다. 베어 합의 항등원은 분할 완전열 이며, 확대 의 베어 합에 대한 역원은  또는 이다. (이 둘은 서로 동치이다.)
 속의 대상 에 대하여, '''1차 Ext 함자''' 는 의 에 대한 확대들의 동치류 집합이다. 이는 베어 합 아래 아벨 군을 이루며, 함자
:
를 정의한다. 또한, 각 에 대하여
:
:
는 둘 다 가법 함자를 이룬다.
위 정의에서, 집합론적 문제를 무시하였다. 사실, (국소적으로 작은) 아벨 범주의 경우 1차 Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다. 물론, 작은 아벨 범주에 대해서는 이러한 문제가 생기지 않는다. 또한, 단사 대상을 충분히 가지는 범주나 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서는 유도 함자를 통한 정의를 사용할 수 있으며, 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않는다.
==== 고차 Ext ====
2차 이상의 Ext 함자는 임의의 아벨 범주에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.
아벨 범주 가 주어졌다고 하자.  속의 대상 , 에 대하여, 의 에 대한 차 '''확대'''()는 다음과 같은 완전열이다.
:
두 차 확대 ,  사이에 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, 가 의 '''닮은 확대'''()라고 한다.
:
닮음 관계를 로 표기하자.
닮음 관계는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아니다. 닮음 관계로 생성되는 동치 관계를 생각하자. 즉, 두 차 확대 ,  사이에 다음과 같은 차 확대들의 열
:
이 존재하며, 이 열이 다음 조건을 만족시킨다면, 와 가 서로 '''동치'''라고 하자.
:모든 에 대하여, 이거나 또는 이다.
사실, 이 동치는 두 단계로 족하다. 즉, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 와 가 서로 동치이다.
* 인 차 확대 가 존재한다.
* 인 차 확대 가 존재한다.
그렇다면, 차 '''Ext 함자''' 는 의 에 대한 차 확대들의 동치류 집합이다.
두 차 확대 , 가 주어졌을 때, 를 다음과 같이 정의하자.
* 일 때, 은 과 의 에 대한 당김이다.
* 일 때, 이다.
* 일 때, 를 과 의 에 대한 밂이라고 하자. 그렇다면 대각 사상 를 사용하여, 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 이다.
그렇다면 는 차 확대를 이룬다.
의 동치류와 의 동치류의 합을 의 동치류로 정의하자.
:
그렇다면, 이 합에 대하여 는 아벨 군을 이룬다. 또한, 이는 함자
:
를 이루며, 각 에 대하여
:
:
둘 다 가법 함자를 이룬다.
==== 요네다 합성 ====
Ext는 가법 함자를 이루므로, 아벨 범주 의 대상 에 대하여 다음과 같은 두 군 준동형이 존재한다. (여기서 는 아벨 군의 텐서곱이다.)
:
:
이는 와 를 곱하는 것으로 볼 수 있다.
보다 일반적으로, 임의의 자연수 에 대하여 다음과 같은, '''요네다 합성'''()이라는 군 준동형들이 존재한다.
:
이는 구체적으로 다음과 같다. 두 완전열
:
:
이 주어졌을 때, 이들을 이어 다음과 같은 더 긴 완전열을 정의할 수 있다.
:
그렇다면 의 동치류와 의 동치류의 '''요네다 합성'''은 의 동치류이다.
요네다 합성을 사용하여, 자연수 등급 아벨 군의 범주  위의 풍성한 범주 를 다음과 같이 정의할 수 있다.
* 의 대상은 의 대상과 같다.
* 의 사상군은 다음과 같은 자연수 등급 아벨 군이다.
*:
* 에서 사상의 합성은 요네다 합성에 의하여 주어진다.
*  에서 항등 사상은 에서의 항등 사상과 같다.
에서, 각 사상군에서 양의 정수 등급 성분을 망각한다면, 만 남으므로 원래 범주 를 얻는다.
특히, 대상 에 대하여, 에서의 자기 사상 등급 아벨 군
:
은 자연수 등급환을 이룬다.
=== 유도 함자를 통한 정의 ===
아벨 범주  속의 대상 에 대하여,
:
는 왼쪽 완전 함자이며,
:
는 오른쪽 완전 함자이다. 따라서, 만약 가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면 의 오른쪽 유도 함자를 '''Ext 함자'''라고 한다.
:
만약 가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면 의 왼쪽 유도 함자를 '''Ext 함자'''라고 한다.
:
이 정의들은 (만약 존재한다면) 위의 일반적인 정의와 일치한다. 그러나 아벨 범주는 단사 대상이나 사영 대상을 충분히 가지지 않을 수 있으므로, 이 정의는 덜 일반적이다.
특히, 환 R 위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주 는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 이 경우 Ext 함자를 로 표기한다.
=== 유도 범주를 통한 정의 ===
Ext 함자는 유도 범주의 개념을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다.
아벨 범주 가 주어졌다고 하자. 의 대상을 하나의 성분만이 영 대상이 아닌 사슬 복합체로 간주한다면, 는 사슬 복합체 범주 의 충만한 부분 범주를 이룬다.
 속의 사슬 복합체 에 대하여,
:
:
로 정의하자. (여기서 모든 사슬 복합체의 경계 사상의 차수는 이다.) 또한, 의 유도 범주가 국소적으로 작은 범주라고 하자. 그렇다면, 의 두 대상 에 대한 차 '''Ext 함자'''는 유도 범주 의 다음과 같은 사상군이다.
:
(이 경우, 집합론적 문제는 원래 아벨 범주가 국소적으로 작은 범주라고 해도, 그 유도 범주는 일반적으로 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있는 것이다.)
만약 이 사영 가군이거나 이 단사 가군이라면,
:
이다. 또한, 다음이 성립한다.
:
=== 벡터 공간 ===
체  위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이자 단사 가군이다. 즉, 벡터 공간 의 단사 분해 및 사영 분해는 자명하다.
:
:
따라서,  위의 벡터 공간 , 가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다.
:
:
=== 아벨 군 ===
정수환  위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이며, 단사 가군은 나눗셈군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 는 자유 아벨 군 의 몫군 으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.
:
마찬가지로, 임의의 아벨 군 는 나눗셈군 의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 나눗셈군의 모든 몫군은 나눗셈군이므로  다음은 단사 분해를 이룬다.
:
아벨 군 , 가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. 의 사영 분해가 이라면, Ext 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다.
:
여기서 은 포함 사상 으로부터 유도된다. 즉, 군 준동형을 부분군에 제약한 것이다.
따라서,
:
이며,
:
는 군의 확대
:
들의 동형류와 일대일 대응한다.
나머지 고차 Ext 함자는 모두 0이다.
:
또한, 임의의 나눗셈군 에 대하여
:
이다. 특히, 유리수의 군 나 그 몫군 은 나눗셈군이므로
:
이다.
+ 
  
  
  
 
 
  
  
 
 
 0 
  
 0
 
 0 
 0 
 
+ 
  
  
  
 
 
 0 
 0 
 0
 
  
  
 0
 
  
 0 
 0
=== 리 대수 코호몰로지 ===
리 대수 코호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Ext 함자와 같다. 이를 통해 리 군의 드람 코호몰로지를 계산할 수 있다.
=== 층 코호몰로지 ===
위상 공간  위의 아벨 군층 의 층 코호몰로지는 다음과 같이 Ext 함자의 특수한 경우이다.
:
여기서
* Ext 함자는  위의 아벨 군층의 아벨 범주에서 취한 것이다.
* 는 정수환 값의 상수층이다.
스킴  위의 구조층의 코호몰로지에 대하여 다음이 성립한다.
:
‘Ext’는 (확대)의 약자다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련있기 때문이다. 아벨 군 를 다른 아벨 군 로 확대한다면, 가능한 확대들은 와 일대일 대응한다.
* Tor 함자
* 그로텐디크 군
* 호몰로지 차원
* 
* 
* 
* 
* 
* 
분류:호몰로지 대수학
분류:이항연산