G₂

파일:DynkinG2.svg|섬네일|G2의 딘킨 도표
리 군론에서 '''G2'''는 가장 작은 복소수 예외적 단순 리 군이다. 14차원이고, 두 개의 단순근을 지니고, 두 개의 실수 형식(콤팩트, 갈린)을 지닌다. 7차원 표현을 지닌다. 그 콤팩트 실수 형식은 팔원수의 자기 동형군이다.
G2는 여러 가지로 정의할 수 있다.
=== 팔원수를 통한 정의 ===
G2의 콤팩트 실수 형식은 팔원수의 자기 동형군이다. 팔원수 대수 의 자기 동형은 다음을 만족하는 -선형 변환 를 말한다.
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팔원수 자기 동형군 는 G2의 컴팩트 실수 형식과 동형이라는 사실을 보일 수 있다. 이로부터, (이고, 팔원수 노름을 보존하므로) G2의 컴팩트 형식은 SO(7)의 부분군임을 알 수 있고, 이에 따라 7차원 기본표현이 존재함을 알 수 있다.
=== SO(7) 스피너를 통한 정의 ===
7차원 공간  위의 8차원 마요라나 스피너를 생각하자. 이 경우, 0이 아닌 임의의 마요라나 스피너에 대한, Spin(7)의 안정자군은 G2와 동형이다.
이 경우, 7차원에서 마요라나 스피너가 존재하는 계량 부호수는 (7,0), (4,3) 두 개 밖에 없다. 이들은 각각 G2의 콤팩트 형식 및 분할 형식을 정의한다.
=== 구를 통한 정의 ===
반지름의 비가 1:3인 두 구가 주어졌고, 더 작은 구가 더 큰 구 위에서 미끄러짐 또는 회전 없이 구른다고 하자. 이 경우, 두 구로 구성된 계의 무한소 대칭은 실수 리 대수 를 이룬다.
=== 실수 형식 ===
G2는 두 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).
 기호 
 다른 기호 
 설명 
 기본군 
 외부자기동형군 
 사타케 도표 
 보건 도표
 G2(−14) 
 
 콤팩트 형식 
 1 
 1 
  
 
 G2(2) 
 GⅠ 
 갈린(split) 형식 
  
 1 
 
 
=== 군론적 성질 ===
콤팩트 실수 형식 의 중심은 자명하다.
==== G2를 포함하는 군 ====
콤팩트 실수 형식 는 의 부분군이다. 이에 대한 동차 공간은 7차원 초구이다.
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딘킨 도표로서, 이는 다음과 같이 Spin(7)=C3 딘킨 도표를 접어서 얻을 수 있다.
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G2는 SO(7)의 부분군이 아니지만, G2는 SO(8)의 부분군이다. SO(8)의 딘킨 도표는  대칭을 가지는데, 이를 대칭에 따라서 접으면 G2 딘킨 도표를 얻는다.
:
==== G2의 부분군 ====
는 SU(3)와 SO(4)를 부분군으로 갖는다. SU(3)에 대한 동차 공간은 6차원 초구이다.
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는 팔원수로서 다음과 같이 이해할 수 있다. 팔원수 대수 의 기저가 이라고 하자. 자기 동형 가 주어졌을 때, 단위 허수 원소 의 상 은  속의 6차원 초구 의 원소이다. 이 원소를 고르게 되면, 이는  위의 복소수 구조를 정의한다. 따라서, 나머지 6차원 공간 의 자기 동형군은 의 자기 동형군 가 된다. 즉, 다음과 같은 올다발을 얻는다.
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이는 딘킨 도표로도 이해할 수 있다. G2의 딘킨 도표에 꼭짓점 을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 로 표시한 꼭짓점을 제거하면 SU(3) 딘킨 도표를 얻는다.
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마찬가지로, G2의 SO(4) 부분군은 딘킨 도표로 이해할 수 있다. G2의 딘킨 도표에 꼭짓점 을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 로 표시한 꼭짓점을 제거하면  딘킨 도표를 얻는다.
:
갈린 실수 형식 의 극대 콤팩트 부분군은 이다. 그 2겹 범피복군은 행렬군으로 나타낼 수 없다.
=== 위상수학적 성질 ===
콤팩트 실수 형식 는 14차원 콤팩트 연결 단일 연결 매끄러운 다양체이다.
갈린 실수 형식 은 14차원 비콤팩트 연결 매끄러운 다양체이며, 기본군은 2차 순환군이다.
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콤팩트 형식의 15차 이하의 고차 호모토피 군은 다음과 같다.
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위에 수록되지 않은 15 이하의 차수의 호모토피 군은 자명군이다. 여기서 는 차 순환군이다.
콤팩트 형식의 특이 코호몰로지 환은 다음과 같다.
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여기서 은 비가환 다항식환을 뜻한다.
즉, 각 등급별로 코호몰로지 군은 다음과 같다. (호몰로지 군은 푸앵카레 쌍대성으로 주어진다.)
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리 대수 의 두 불변 다항식의 차수는 2와 6이다. 이들은 리 군의 코호몰로지 환의 생성원 과 에 대응된다. 2차 불변 다항식은 킬링 형식이며, 6차 불변 다항식 역시 구체적으로 알려져 있다.
=== 근계 ===
파일:Root system G2.svg|섬네일|G2의 근계.
의 근계는 6개의 긴 근과 6개의 짧은 근으로 구성된다. 긴 근의 길이는 (통상적으로) 이며, 짧은 근의 길이는 이다. 근계를 2차원 벡터로 쓰면 다음과 같다.
* 긴 근: , 
* 짧은 근: , 
는 의 부분군이므로, 의 3차원 근계의 부분 근계로도 나타낼 수 있다. 이 경우, 근은 다음과 같다.
:(1,−1,0), (−1,1,0)
:(1,0,−1), (−1,0,1)
:(0,1,−1), (0,−1,1)
:(2,−1,−1), (−2,1,1)
:(1,−2,1), (−1,2,−1)
:(1,1,−2), (−1,−1,2)
이 가운데 단순근은 여러가지로 잡을 수 있다. 한 가지 방법은 다음과 같다.
:(0,1,−1), (1,−2,1)
그 바일 군은 정이면체군 D6이다. 그 카르탕 행렬은 다음과 같다.
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G2의 딘킨 도표는 아래와 같이 두 개의 꼭짓점으로 구성되며, 그 사이에 3겹 변이 존재한다.
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G2의 아핀 딘킨 도표의 경우, 짧은 단순근 쪽에 새 근 이 추가된다.
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=== 표현론 ===
G2의 기약 표현의 차원은 다음과 같다 .
:1, 7, 14, 27, 64, 77 (두 개), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (두 개), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (두 개), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090….
이 가운데 기본 표현은 '''7'''과 '''14'''이다. '''7'''은 G2의 허수 팔원수 위의 작용과 같으며, '''14'''는 딸림표현이다. 기본 표현들은 딘킨 도표의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.
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'''7'''과 '''14'''는 둘 다 실수 표현이다. 보다 일반적으로, G2의 바일 군은 원소 를 포함하며, 따라서 모든 표현은 스스로의 켤레와 동형이다. (위 목록에서 77, 2079 따위가 중복되는 것은 복소수 켤레와 상관없다.) 는 사원수 표현을 갖지 않으며, 모든 표현은 실수 표현이다.
Spin(7)의 기본 표현 '''7''' 및 스피너 표현 '''8''' 및 딸림표현 '''21'''은 G2의 표현으로 분해하였을 때, 다음과 같다.
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G2의 표현을 부분군의 표현으로 분해하였을 때, 다음과 같다.
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=== 대수기하학적 성질 ===
슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수  및 군 을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 가환환 에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.
특히, 유한체 에 대한 계수의 슈발레 군 의 크기는 다음과 같다.
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이는 일 경우 유한 단순군을 이룬다. 일 경우, 는 단순군이 아니지만, 그 교환자 부분군은 지표 2의 정규 부분군이자 단순군이다.
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유한체 위의 G2 슈발레 군은 발견자 레너드 유진 딕슨 의 이름을 따 '''딕슨 군'''(Dickson群, )이라고 불리기도 한다.
처음 몇 개의 G2 슈발레 군들의 크기는 다음과 같다. 
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이 밖에도, G2는 표수 3의 체 위에서 추가 대칭을 갖는다. G2 딘킨 도표
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는 3겹 변에 화살표가 붙어 있어 대칭이 없지만, 표수 3의 체 위에서는 화살표의 방향이 사라져
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가 되어, 딘킨 도표가 추가  대칭을 갖기 때문이다. 특히 체의 크기가 의 꼴인 경우, 이 대칭을 체의 프로베니우스 자기 동형으로 뒤틀어 대수군 을 정의할 수 있다. 이 군들은 발견자 이임학 의 이름을 따 '''이임학 군'''(李林學群, )이라고 한다. 이 군들의 크기는 다음과 같다.
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이들은 인 경우를 제외하면 모두 유한 단순군을 이룬다. 일 경우 이는 단순군이 아니며, 다음과 같다.
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그 교환자 부분군은 다음과 같은 지표 3의 단순 부분군이다.
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G2는 리만 다양체의 홀로노미의 분류에 등장한다. 즉, G2를 홀로노미 군으로 가지는, 대칭 공간이 아닌 7차원 리만 다양체가 존대한다. 이는 위와 같이 G2가 SO(7)의 부분군인 사실과 관련이 있다.
리 대수 는 빌헬름 킬링이 복소수 단순 리 대수를 분류하면서 1887년 5월에 발견하였다. 의 콤팩트 형태는 프리드리히 엥겔()이 1900년 6월 11일 발표하였다.
유한체 위의 G2는 레너드 유진 딕슨이 1905년에 발견하였다. 표수가 3인 체 위의 뒤틀린 형태 2G2는 이임학이 1960년에 발견하였다.
* 팔원수
* F4
* E6
* E7
* E8
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분류:리 군