호모토피

대수적 위상수학에서 '''호모토피'''() 또는 '''연속 변형 함수'''(連續變形函數)는 어떤 위상 공간을 공역으로 하는 특정한 연속 함수이다. 직관적으로 말해서, 호모토피는 주어진 위상 공간 위에서 어떤 두 점을 잇는 수많은 가능한 경로가 연속적으로 변형되는 것을 나타낸다.
=== 고전적 정의 ===
두 경로  사이의 호모토피 . 이는 양끝점을 고정시키지 않으므로 경로 호모토피가 아니다.
위상 공간 ,  사이의 두 연속 함수
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사이의 '''호모토피'''는 다음과 같은 성질을 만족시키는 연속 함수 이다.
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두 연속 함수 사이에 호모토피가 존재할 경우, 두 함수가 서로 '''호모토픽'''() 또는 '''연속 변형적'''(連續變形的)이라 하며 와 같이 쓴다. 호모토픽 관계는 동치 관계를 이루며, 이에 대한 동치류를 '''호모토피류'''(homotopy類, )라고 한다. 연속 함수 의 호모토피류는 보통 라고 쓴다.
파일:P1S2all.jpg|섬네일|오른쪽|구 위의 대원은 널호모토픽하다.
상수 함수에 호모토픽한 함수를 '''널호모토픽'''(null-homotopic) 또는 '''영연속 변형적'''(零連續變形的)이라고 한다. 상수 함수로의 호모토피를 '''널호모토피'''(null-homotopy) 또는 '''영연속 변형 함수'''(零連續變形函數)라 한다.
모든 위상 공간의 범주 는 데카르트 닫힌 범주가 아니다. 그러나 흔히 사용되는 대부분의 위상 공간을 포함하는 데카르트 닫힌 범주를 정의할 수 있다. (예를 들어, 콤팩트 생성 공간의 범주 나 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간 가 있다.)
에서는 지수 대상의 법칙
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이 성립한다. 여기서 는 콤팩트 생성 공간의 범주론적 곱이다. 는 콤팩트 생성 공간에서의 지수 대상이며, 집합으로서 이는 연속 함수의 집합이다. 따라서, 에서는 호모토피를 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 서로 동치이다.
* 연속 함수 공간 에서의 경로 . 이는 가장 직관적인 정의이며, 위상 공간 위의 풍성한 범주에서 직접적으로 일반화할 수 있다.
* 에서 로 가는 연속 함수 . 이는 고전적인 정의이다. 이 정의는 임의의 모형 범주에서 '''왼쪽 호모토피'''()라는 이름으로 일반화된다.
** 일반적으로 에서의 곱은 곱공간보다 더 섬세한 위상을 가진다. 그러나 구간 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이므로, 만약 가 콤팩트 생성 공간이라면 의 위상은 곱공간 위상과 일치한다. 따라서, 콤팩트 생성 공간 사이의 연속 함수의 호모토피의 정의는 을 사용하든, 을 사용하든 상관이 없다.
* 에서 경로 공간 으로 가는 연속 함수 . 이는 임의의 모형 범주에서 '''오른쪽 호모토피'''()라는 이름으로 일반화된다.
=== 풍성한 범주에서의 정의 ===
위상 공간의 범주 는 데카르트 모노이드 범주를 이룬다. 그 위의 풍성한 범주 가 주어졌다고 하자. 즉, 임의의 두 대상 에 대하여, 그 사이의 사상 집합 는 사실 단순한 집합이 아니라, 위상 공간의 구조가 갖추어져 있다고 하자.
같은 정의역과 공역을 갖는 두 사상 이 주어졌다고 하자. 이는  속의 두 점
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을 이룬다. 이 경우, 와  사이의 '''호모토피'''는 와 를 잇는,  속의 경로이다. 이는  위의 동치 관계를 이룬다. '''호모토피류'''는 의 경로 연결 성분이다.
고전적으로, 모든 위상 공간의 범주 는 데카르트 닫힌 범주를 이루지 않는다. 그러나
 등 위상 공간으로 구성된 데카르트 닫힌 범주를 사용하면, 이는 스스로 위의 풍성한 범주를 이루며, 이 경우 고전적인 정의는 풍성한 범주에서의 정의의 특수한 경우가 된다.
보다 일반적으로, 위상 공간 대신 "연결 성분"의 개념을 정의할 수 있는 다른 범주, 예를 들어 단체 집합의 범주 를 사용할 수도 있다.
=== 모형 범주에서의 정의 ===
호모토피 이론은 추상적으로 임의의 모형 범주 위에서 전개될 수 있다. 위상 공간의 범주(또는 콤팩트 생성 공간의 범주 등)는 모형 범주의 구조를 가지며, 호모토피의 개념을 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우, '''왼쪽 호모토피'''()와 '''오른쪽 호모토피'''()라는, 서로 쌍대적인 두 개념이 존재하며, 이 두 개념은 적절한 경우 (정의역이 쌍대올대상이며 공역이 올대상인 경우) 서로 동치이다.
편의상, 올뭉치는 로, 쌍대올뭉치는 로, 약한 동치는 로 표기하자.
==== 왼쪽 호모토피 ====
임의의 유한 쌍대 완비 범주에서, 다음과 같은 쌍대 대각 사상이 존재한다.
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여기서 은 쌍대곱이다 (즉, 위상 공간의 경우 분리합집합이다).
모형 범주 에서, 대상 의 '''기둥 대상'''() 는 쌍대 대각 사상 의 다음과 같은 분해이다.
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이는 위상 공간의 범주에서의 "기둥" 의 일반화이다. 기둥 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.
* 만약 가 쌍대올뭉치라면, 이를 '''좋은 기둥 대상'''()이라고 한다.
* 만약 가 쌍대올뭉치이며, 가 올뭉치이자 약한 동치라면, 이를 '''매우 좋은 기둥 대상'''()이라고 한다.
모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 기둥 대상이 항상 존재하지만, 실제로 위상 공간에 퀼런 모형 구조()를 준 경우 는 일반적으로 좋지 않다. 하지만 후레비치 모형 구조()에서 는 매우 좋은 기둥 대상이다.
두 사상  사이의 '''왼쪽 호모토피'''()는 어떤 기둥 대상 에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 이다.
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이 기둥 대상을 (매우) 좋은 기둥 대상으로 잡을 수 있다면, 이를 '''(매우) 좋은 왼쪽 호모토피'''()라고 한다.
같은 정의역과 공역을 갖는 임의의 두 사상 에 대하여, 다음이 성립한다.
* 와  사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 와  사이에 좋은 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다.
* 만약 가 올대상이라면, 와  사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 와  사이에 매우 좋은 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다.
왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 일반적으로 동치 관계를 이루지 않는다. 그러나 만약 정의역 가 쌍대올대상일 경우, 사상 에 대하여 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 동치 관계를 이루며, 이 경우 두 사상이 서로 '''왼쪽 호모토픽'''()하다고 한다.
==== 오른쪽 호모토피 ====
임의의 유한 완비 범주에서, 다음과 같은 대각 사상이 존재한다.
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여기서 은 범주론적 곱이다 (즉, 위상 공간의 경우 곱공간이며, 콤팩트 생성 공간의 경우 곱공간의 콤팩트 생성화이다). 모형 범주 에서, 대상 의 '''경로 공간 대상'''() 는 대각 사상 의 다음과 같은 분해이다.
:
이는 위상 공간의 범주에서의 경로 공간 의 일반화이다. 경로 공간 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.
* 만약 가 쌍대올뭉치라면, 이를 '''좋은 경로 공간 대상'''()이라고 한다.
* 만약 가 쌍대올뭉치이며, 가 올뭉치이자 약한 동치라면, 이를 '''매우 좋은 경로 공간 대상'''()이라고 한다.
모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 경로 공간 대상이 항상 존재한다.
두 사상  사이의 '''오른쪽 호모토피'''()는 어떤 경로 공간 대상 에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 이다.
:
이 경로 공간 대상을 (매우) 좋은 경로 공간 대상으로 잡을 수 있다면, 이를 '''(매우) 좋은 오른쪽 호모토피'''()라고 한다.
같은 정의역과 공역을 갖는 임의의 두 사상 에 대하여, 다음이 성립한다.
* 와  사이에 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 와  사이에 좋은 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다.
* 만약 가 쌍대올대상이라면, 와  사이에 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 와  사이에 매우 좋은 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부와 동치이다.
마찬가지로, 오른쪽 호모토피의 존재는 일반적으로 동치 관계를 이루지 않는다. 그러나 만약 공역 가 올대상이라면, 오른쪽 호모토피의 존재는 동치 관계를 이루며, 이 경우 두 사상이 서로 '''오른쪽 호모토픽'''()하다고 한다.
==== 왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피의 관계 ====
왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피는 다음과 같이 호환된다. 임의의 두 사상 에 대하여, 다음이 성립한다.
* 만약 가 쌍대올대상이며, 왼쪽 호모토피 가 존재한다면, 오른쪽 호모토피  역시 존재한다.
* 만약 가 올대상이며, 오른쪽 호모토피 가 존재한다면, 왼쪽 호모토피  역시 존재한다.
따라서, 정의역이 쌍대올대상이고 공역이 올대상인 경우, 왼쪽 호모토피 · 좋은 왼쪽 호모토피 · 매우 좋은 왼쪽 호모토피 · 오른쪽 호모토피 · 좋은 오른쪽 호모토피 · 매우 좋은 오른쪽 호모토피는 서로 동일한 동치 관계를 정의한다. 이 경우 두 사상이 단순히 서로 '''호모토픽'''하다고 한다.
또한, 주어진 쌍대올대상 에 대하여, 임의의 올대상 으로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, 에 의존하지 않는) 좋은 기둥 대상에 대한 왼쪽 호모토피로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, 주어진 올대상 에 대하여, 임의의 쌍대올대상 에서 로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, 에 의존하지 않는) 좋은 경로 공간 대상 에 대한 오른쪽 호모토피로 나타낼 수 있다.
==== 고전적 정의와의 관계 ====
위상 공간의 범주 또는 콤팩트 생성 공간의 범주에 퀼런 모형 구조를 주자. 이 경우, 모든 위상 공간은 올대상이며, 모든 CW 복합체는 쌍대올대상이다.
또한, 이 경우 고전적 기둥 은 (만약 가 쌍대올대상이라면) 좋은 기둥 대상을 이루며, 만약 콤팩트 생성 공간을 사용한다면 고전적 경로 공간 은 (모든 공간이 올대상이므로) 좋은 경로 공간 대상을 이룬다. 따라서, 공역이 CW 복합체인 경우 모형 범주 이론에서의 호모토피류는 고전적 호모토피류와 일치한다.
다음과 같은 특별한 호모토피(류)의 개념이 존재한다.
=== 부분 공간을 고정한 호모토피 ===
경로 호모토피의 예
위상 공간 ,  및 의 부분 공간 이 주어졌을 때, 두 연속 함수  사이의 호모토피 가 다음 조건을 만족시킨다면, 를 '''에서 고정된 호모토피'''()라고 한다.
* 임의의 에 대하여, 
와 가 을 고정하여 호모토픽하다는 것은 기호로 다음과 같이 적는다.
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부분 공간을 고정한 호모토피 역시 동치 관계를 이루며, 이에 대한 동치류 역시 정의할 수 있다.
이 정의의 특수한 경우로, 위상 공간  위의 경로 에 대하여, 을 고정한 호모토피를 '''경로 호모토피'''()라고 한다. 경로 호모토픽 관계는 보통 로 쓴다.
=== 아이소토피 ===
파일:Mug_and_Torus_morph.gif|섬네일|오른쪽|커피잔의 표면과 원환면은 둘 다 3차원 유클리드 공간으로 매장할 수 있으며, 이 두 매장 사이에는 그림과 같이 아이소토피가 존재한다.
두 위상 공간 ,  사이의 두 매장  사이의 호모토피 가 다음 조건을 만족시킬 경우, 를 '''아이소토피'''() 또는 '''동위'''(同位)라고 한다.
* 모든 에 대하여, 는 매장이다.
* 축약 가능 공간
* 기본군
* 호모토피 동치
* 호모토피 군
* 푸앵카레 추측
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분류:호모토피 이론
분류:연속 함수