C* 대수

함수해석학에서 '''C* 대수'''(시스타 대수, )는 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 수학 구조이다.
C* 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
* 추상적으로, 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조가 서로 호환되게 주어진 복소수 벡터 공간으로 여길 수 있다.
* 사실, 복소수 바나흐 공간 구조는 복소수 대합 대수 구조로부터 정의될 수 있다. 따라서, C* 대수를 순수하게 대수학적으로 특별한 꼴의 복소수 대합 대수로 정의할 수 있다.
* 구체적으로, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 표현될 수 있는 복소수 바나흐 대수로 여길 수 있다. 이 정의에서, 복소수 힐베르트 공간 위의 *-표현은 C* 대수의 정의에 포함되지 않는다.
이 정의들은 모두 서로 동치이다.
=== 추상적 정의 ===
복소수 벡터 공간  위에 다음과 같은 두 구조가 주어졌다고 하자.
* 는 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수이다. (즉, 임의의  및 에 대하여 이다.)
* 는 복소수 바나흐 대수이다.
그렇다면, 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 만약 가 이를 만족시킨다면 '''C* 대수'''라고 한다.
* ('''C* 항등식''' ) 
* ('''B* 항등식''' ) 
(C* 항등식이 B* 항등식을 함의하는 것은 자명하지만, 반대 방향의 함의를 증명하는 것은 자명하지 않다.)
일부 문헌에서는 C* 대수의 정의에서 항등원의 존재를 생략하기도 한다.
=== 대수적 정의 ===
(복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수 가 다음 조건을 만족시킨다면, '''C* 대수'''라고 한다.
* 는  위의 노름을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
** 임의의 에 대하여, 스펙트럼 는 유계 집합이다.
** 임의의 에 대하여, 가 가역원이 아니게 만드는 복소수 가 존재한다.
** (삼각 부등식) 임의의 에 대하여, 이다.
* 는 완비 노름을 이룬다.
이 대수적 정의는 위의 정의와 동치이다. 구체적으로, C* 항등식으로부터 노름이 항상 임을 보일 수 있으며, 반대로 임의의 복소수 바나흐 대수에서 이므로 이는 B* 항등식을 함의한다.
=== 구체적 정의 ===
복소수 대합 대수 의 '''*-표현'''()은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 복소수 힐베르트 공간 
* 유계 작용소들의 복소수 바나흐 대수 로 가는 단사 복소수 대합 대수 준동형 . 즉, 는 단사 함수이며, 복소수 선형 변환이며, (항등원을 보존하는) 환 준동형이며, 대합을 보존한다 (즉, \iota(a^*)=\iota(a)*\;\forall a\in A. 여기서 우변의 는 유계 작용소의 에르미트 수반이다.)
만약 복소수 대합 대수가 그 상이 (작용소 노름으로 정의되는 거리 위상에 대하여) 닫힌집합인 *-표현을 갖는다면, 이를 '''C* 대수'''라고 한다.
(마지막 조건을 노름 위상 대신 강한 작용소 위상 또는 약한 작용소 위상에 대한 닫힌집합인 것으로 강화시키면, 대신 폰 노이만 대수의 개념을 얻는다.)
'''겔판트-나이마르크 정리'''(Гельфанд-Наймарк定理, )에 따르면, 임의의 (추상적 정의에 따른) C* 대수 의 경우, 어떤 복소수 힐베르트 공간  위의 작용
:
가 존재하며, 또한 이는 단사 함수이자 복소수 선형 변환이자 등거리 변환이며, 또한 수반 연산 에 대한 준동형이며, 그 상은 C* 대수의 구체적 정의에 부합한다.
=== C* 대수의 원소 ===
가 C* 대수라고 하고, 라고 하자.
* 만약 가 존재하여 라면, 를 '''음이 아닌 원소'''(陰-元素, )라고 한다. 음이 아닌 원소들의 집합은 볼록 뿔(convex cone)을 이룬다.
* 만약 라면, 를 '''자기 수반 원소'''라고 한다. 자기 수반 원소의 스펙트럼은 모두 실수이다.
* 이라면, 를 '''유니터리 원소'''라고 한다. 유니터리 원소의 스펙트럼의 원소들의 절댓값은 항상 1이다.
* 의 '''스펙트럼''' 는 가 가역원이 아니게 되는 들의 집합이다. 일반적으로, 이다.
* 의 스펙트럼의 절댓값들의 상한 를 의 '''스펙트럼 반지름'''이라고 한다. 스펙트럼 반지름은 다음과 같이 정의할 수도 있다.
*:
=== 직합 ===
유한 또는 무한 개의 C* 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간
:
:
위에 균등 노름
:
및 성분별 곱셈
:
을 부여하면, 이는 C* 대수를 이룬다. 이 경우 항등원은
이다.
물론, 만약 가 유한 집합이라면, 이는 단순히 직합 과 같다.
=== 몫대수 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* C* 대수 
* 의 양쪽 아이디얼 . 또한, 가 닫힌집합이라고 하자.
그렇다면, 그 몫환  역시 C* 대수를 이룬다.
=== 행렬 대수 ===
C* 대수  및 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 행렬 대수 는  성분의  정사각 행렬들로 구성되며, 이 역시 C* 대수를 이룬다. 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 에 대하여 라면, 으로 여길 수 있다.
만약 일 경우, 이는 자명환이다.
=== C* 대수 사이의 사상 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* (항등원을 갖는) 두 C* 대수 , 
* (항등원을 보존하는) 복소수 대합 대수 준동형 . 즉, 는 복소수 선형 변환이자 환 준동형이며, 대합 연산을 보존한다 ().
그렇다면, 는 작용소 노름이 1 이하인 유계 작용소이다.
'''증명:'''
임의의 에 대하여, C* 항등식에 따라
:
이다. 는 음이 아닌 원소이므로, 그 노름은 스펙트럼 반지름과 같다.
:
의 가역원의 상은 의 가역원이므로 다음이 성립한다.
:
여기서 는 스펙트럼이다. 특히
:
이다. 이에 따라
:
이며, 즉 이다.
또한, 만약 가 추가로 단사 함수라면, 이는 등거리 변환이다. 즉, 이다.
이에 따라, C* 대수와 복소수 대합 대수 준동형들은 구체적 범주 를 이룬다.
=== 스펙트럼 ===
C* 대수의 원소의 스펙트럼은 항상 공집합이 아니다. 또한, 임의의 C* 대수 의 원소 에 대하여
:
이다.
C* 대수의 자기 수반 원소의 스펙트럼은 실수의 부분 집합이다. C* 대수의 유니터리 원소의 스펙트럼은 의 부분 집합이다.
모든 C* 대수는 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 복소수 힐베르트 공간 속의 유계 작용소 C* 대수의 부분 대수로 나타내어진다. 특히, 이 C* 대수를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수를 정의할 수 있으며, 원래 C* 대수는 이 폰 노이만 대수의 강한 연산자 위상에서의 조밀 집합을 이룬다. 폰 노이만 대수의 경우 자세한 구조 이론이 알려져 있다.
=== 자명한 C* 대수 ===
한원소 집합  위의 유일한 환 구조인 자명환은 C* 대수를 이룬다. 이는 유일한 0차원 C* 대수이다.
=== 유한 차원 C* 대수 ===
임의의 유한 차원 C* 대수 는 다음과 같은 꼴이다.
:
여기서 는 작용소 노름이 부여된,  복소수 정사각 행렬들의 C* 대수이다.
=== 가환 C* 대수 ===
(항등원을 갖는) 가환 C* 대수 의 '''스펙트럼'''()은 다음과 같은 집합이다. (이 개념은  C* 대수의 원소의 스펙트럼의 개념과 관계가 없다.)
:
즉,  *-준동형들의 집합이다. *-준동형의 작용소 노름은 1 이하이므로,
:
이다. (여기서 우변은 연속 쌍대 공간 의 닫힌 단위 공이다.)
우변에 약한-* 위상을 주고, 좌변을 그 부분 공간으로 간주하면, 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 이 연산은 함자
:
를 정의한다. 여기서
* 정의역은 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수와, *-준동형들의 구체적 범주이다.
* 공역은 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수들의 구체적 범주의 반대 범주이다.
반대로, 다음과 같은 함자
:
를 정의할 수 있다.
* 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 에 대하여,  는 복소수 값 연속 함수들의 공간이다. 이 위에 ∞-르베그 노름  및 점별 덧셈 · 곱셈 · 복소수 켤레를 부여하면, 이는 가환 C* 대수를 이룬다.
* 임의의 두 콤팩트 하우스도르프 공간 ,  사이의 연속 함수 의 에 대한 상은 다음과 같다.
*:
*:
'''겔판트 표현 정리'''(Гельфанд表現定理, )에 따르면, 와  함자는 사실 두 범주 와  사이의 범주의 동치를 정의한다.
특히, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 에 대하여
:
이며, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 는 위와 같은 꼴로 (유일하게) 표현된다.
=== 유계 작용소 대수 ===
임의의 복소수 힐베르트 공간  위의 모든 유계 작용소들의 집합 은 함수의 합성을 곱셈으로 삼을 때 C* 대수를 이룬다. (이는 특히 I종 인자 대수이다.) 특히, 만약 가 유한 차원이라면, 이는   복소수 행렬들로 구성된다.
=== 콤팩트 작용소 대수 ===
임의의 복소수 힐베르트 공간  위의 모든 콤팩트 작용소들의 집합 은 의 닫힌 양쪽 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫환
:
은 C* 대수를 이룬다. 이를 '''콜킨 대수'''()라고 한다.
C* 대수의 이론은 양자장론을 수학적으로 엄밀하게 정의하려는 시도에 사용된다.
겔판트 표현에 의하여, 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응되며, 만약 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다면, 이는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응된다. 이에 대하여, 일반적 (비가환일 수 있는) C* 대수 역시 일종의 ‘공간’으로 여길 수 있다. 이러한 수학적 분야를 비가환 기하학이라고 한다.
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분류:연산자 이론
분류:대수