E₈

파일:Dynkin diagram E8.svg|섬네일|right|E8의 딘킨 도표
리 군론에서 '''E8'''은 복소수 예외적 단순 리 군 가운데 가장 큰 것이다. 다른 모든 예외적 단순 복소 리 군을 부분군으로 포함한다. 세 개의 실수 형식(컴팩트, 분해(), 그리고 또다른 형식 하나)이 있다.
E8은 다양한 방법으로 정의할 수 있다.
=== SO(16)을 통한 정의 ===
E8의 리 대수 은 다음과 같이 정의될 수 있다. 의 고전적인 부분 리 대수 가운데 가장 큰 것은 이므로, 이를 써서 정의하자. 이 경우, 에 의하여, 의 248차원 딸림표현은 의 차원 딸림표현과 의 차원 마요라나-바일 스피너로 분해된다. 즉, 의 스피너 공간을 라고 할 때,
:
가 된다.
구체적으로, 의 생성원을 로 표현하자. 스핀 군 Spin(16)은 마요라나-바일 스피너  위에 다음과 같이 작용한다.
:
:
여기서 는 16차원 디랙 행렬이다.
이제, 스피너 사이의 교환자를 다음과 같이 정의한다.
:
이렇게 하면 교환자가 야코비 항등식을 만족함을 보일 수 있다. 리 대수가 정의되면, 그 리 군은 리 대수의 자기 동형군으로 정의할 수 있다.
콤팩트 형식 대신, 다른 실수 형식도 위와 같이 정의될 수 있다. SO(16)의 총 10개의 실수 형식 () 가운데, 128차원 마요라나-바일 스피너를 가질 필요 충분 조건은 부호수 에 대하여 인 것이다. 즉, 이 조건을 만족시키는 것은  밖에 없다. 로마자 부호로 이들은
: (콤팩트)
:
: (분할)
이며, 이들은 각각 E8의 세 실수 형식 E8(−248) (콤팩트), E8(−24), E8(8) (분할)에 대응한다.
=== 기타 정의 ===
E8은 팔원수를 사용하여 정의할 수 있다.
15차원 초구를 사용한 구성 또한 알려져 있다.
=== 실수 형식 ===
E8은 세 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).
 기호 
 다른 기호 
 설명 
 기본군 
 외부자기동형군 
 극대 콤팩트 리 부분군 
 사타케 도표 
 보건 도표
 E8(−248) 
 
 콤팩트 형식 
 1 
 1 
 E8(−248) 
  
 E8(8) 
 EⅧ 
 갈린(split) 형식 
  
 1 
 PSpin(16) 
   
 
 E8(−24) 
 EⅨ 
 
  
 1 
 (E7×SU(2)) / (−1,−1)
 
 
=== 대수적 성질 ===
E8의 주요 극대 부분군들은 다음을 들 수 있다.
*  . 이는 E8의  자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다.  이는 E8 딘킨 도표에서, 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 을 제거하여 얻는다.
*:
*  . 이는 E8의 또다른  자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 을 제거하여 얻는다.
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*  . 이는 E8의  자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 을 제거하여 얻는다.
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*  . 이는 E8의 또다른  자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 을 제거하여 얻는다.
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*  . 이는 E8의  자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E8 딘킨 도표에서, 로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 을 제거하여 얻는다.
*:
=== 위상수학적 성질 ===
E8의 콤팩트 형식은 248차원 매끄러운 다양체이다. 그 호모토피 군은 다음과 같다.
:
:
의 불변 다항식의 차수는 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30이다. 즉, E8의 콤팩트 형식의 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 15차 · 23차 · 27차 · 35차 · 39차 · 47차 · 59차 생성원으로 생성되는 외대수이다.
=== 근계 ===
파일:4_21_t0_E6.svg|섬네일|right|E8의 8차원 근계를 2차원으로 사영한 것. E8의 240개의 근들은 고른 폴리토프 421을 이룬다.
E8의 근계는 같은 길이의 240개의 근으로 구성된다. E8의 SO(16) 부분군을 사용하면, E8 근계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
* 다음과 같은 꼴의 개의 근 (이는 SO(16) 근계를 이룬다):
*:의 모든 순열 (복부호 동순일 필요 없음)
* 다음과 같은 꼴의 개의 근 (이는 SO(16)의 '''128''' 스피너 표현의 무게를 이룬다):
*: (복부호 동순일 필요 없음) 가운데, 음의 부호의 수가 짝수인 것들
E8의 240개의 근들은 8차원에 존재하는 고른 폴리토프 421의 꼭짓점을 이룬다.
E8의 바일 군은 크기가 214×35×52×7=696729600이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.
:
이는 2차 순환군 를 크기가 174182400인 유일한 단순군 로 확대한 뒤, 다시 2차 순환군 로 확대한 것이다.
E8의 딘킨 도표는 다음과 같이 8개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변이 1겹이다 (). 중앙의 꼭짓점에 붙은 3개의 "팔"의 길이는 각각 1, 2, 4이다.
:
E8의 아핀 딘킨 도표는 다음과 같이 9개의 꼭짓점으로 구성되며, 역시 모든 변이 1겹이다. 3개의 "팔" 가운데 가장 긴 팔에 로 표기한 꼭짓점이 추가된다.
:
=== 표현론 ===
E8의 기약 표현의 차원은 다음과 같다 .
:1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 1094951000, 2172667860, 2275896000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (두 개가 있음), 12692520960…
E8의 바일 군은 를 포함하므로, E8은 복소수 표현을 갖지 않으며, 또한 E8의 모든 표현은 실수 표현이다. 즉, E8은 사원수 표현을 갖지 않는다.
E8의 기본 표현은 '''248''', '''3875''', '''30380''' , '''147250''', '''6696000''', '''2450240''', '''146325270''', '''6899079264'''이다. 이 가운데 가장 작은 '''248'''은 딸림표현이다. 기본 표현들은 딘킨 도표의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.
:
E8의 표현들은 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.
:
:
:
:
:
=== 대수기하학적 성질 ===
슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수  및 군 을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 가환환 에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.
특히, 유한체 에 대한 계수의 슈발레 군 의 크기는 다음과 같다.
:
이는 모든 유한체에 대하여 유한 단순군을 이룬다. 이 가운데 가장 작은 것들의 크기는 다음과 같다. 
:
:
는 이미 괴물군보다 더 크며, 이는 에 수록된 마지막 군이다.
빌헬름 킬링이 1888년에 리 대수를 분류하는 도중 발견하였으나, 그 존재를 엄밀히 증명하지 않았다. 엘리 카르탕이 1894년 박사 학위 논문에서 그 존재를 엄밀히 증명하였으며, E8이 세 실수 형식을 지님을 보였다.
잡종 끈 이론은 변칙을 피하기 위하여 Spin(32) 또는 E8×E8의 게이지 군을 지닌다. 이 가운데 E8은 E6, 나아가 대통일군 SO(10)을 포함하므로 표준 모형 및 대통일 이론을 재현할 수 있다. 이를 축소화하면 두 E8 가운데 하나는 자연스럽게 E6로 깨지게 된다.
* E6
* E7
* 잡종 끈 이론
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분류:리 군