영 타블로

조합론과 표현론에서 '''영 타블로'''()는 대칭군과 일반선형군, 특수선형군, 특수 유니터리 군 등의 표현을 나타내는 조합론적인 대상이다.
'''페러스 그림'''()은 일련의 행들로 이루어진 도형이다. 열들은 왼쪽에 정렬돼 있으며, 아래로 내려갈 수록 그 길이들이 같거나 더 짧다.
페러스 그림의 예. 열의 길이는 5, 4, 1이다.
'''영 타블로'''()는 페러스 그림에, 각각의 칸에 숫자를 기입한 도형이다.
영 타블로의 예.
'''표준 영 타블로'''()는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.
* 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.
* 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.
'''준표준 영 타블로'''()는 다음 두 조건을 만족시키는 영 타블로다.
* 각 행에서 오른쪽으로 갈 수록 숫자가 항상 감소하지 않는다.
* 각 열에서 밑으로 갈 수록 숫자가 항상 증가한다.
주어진 페러스 그림에서, 번째 칸의 '''고리 길이'''() 는  또는 인 칸  (즉, 주어진 칸의 오른쪽 또는 밑에 있는 칸들. 주어진 칸 자체도 포함한다) 들의 개수다.
페러스 그림의 각 칸의 고리 길이들
=== 대칭군 ===
대칭군 의 복소수 기약 표현은 총 개의 칸을 가지는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 표준 영 타블로의 수와 같다.
* 각 칸의 숫자는  가운데 하나이고, 숫자가 중복되지 않는다.
이 경우,  기약 표현의 차원은 다음과 같다.
:
예를 들어, S4의 기약 표현들은 다음과 같다.
 페러스 그림 
 고리 길이 
 S4 표현 차원
 □□□□ 
 4321 
 1
 □□□□ 
 4211 
 3
 □□□□ 
 3221 
 2
 □□□□ 
 4121 
 3
 □□□□ 
 4321 
 1
=== 선형군과 유니터리 군 ===
일반선형군 의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.
* 각 열의 길이는  이하다.
이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 준표준 영 타블로의 수와 같다.
* 각 칸의 숫자는  가운데 하나다.
이 경우, 차원은 다음과 같이 계산할 수 있다.
:
특수선형군 의 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다.
* 각 열의 길이는  미만이다.
주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 일반선형군의 경우와 같다.
특수 유니터리 군 의 복소화는 특수선형군 이다. 따라서 특수 유니터리 군의 복소수 기약 표현도 특수선형군과 마찬가지로 분류할 수 있다.
 페러스 그림 
 고리 길이 
 SU(''n'') 표현 차원
 · 
 · 
 1
 □ 
 1 
 
 □□  
 21 
 
 □□  
 21 
 
 □□□ 
 321 
 
 □□□ 
 311 
 
 □□□ 
 321 
 
이들 표현들은 ''N''차원 기본 표현의 적절한 (반)대칭 곱들로 만들 수 있다. 이를 ''N''차원 기본 표현의 지표(index)로 나타내면
* 같은 행에 속한 지수들은 모두 완전 대칭화한다.
* 같은 열에 속한 지수들은 모두 완전 반대칭화한다.
예를 들어,
:i⃞ j⃞ k⃞l⃞ m⃞
의 꼴의 영 타블로는
:
꼴의 텐서에 대응한다. 이는
:
의 꼴의 (반)대칭성을 가진다.
=== 직교군 ===
SO(''n'')의 경우, 을 사용해 표현을 분류할 수 있다. 이 경우, SO(''n'')의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.
* 각 열의 길이가 
만약 이 짝수이고, 길이가 인 열이 존재한다면, 같은 영 타블로에 두 개의 기약 표현이 대응한다. 이는 각각 자기쌍대(, SD) 및 반자기쌍대(, ASD)로 일컬어진다.
주어진 페러스 그림에 대응하는 SO(''n'') 텐서 표현의 차원은 다음과 같다. 번째 열의 길이를 , 번째 행의 길이를 라고 하자 (). 만약 해당하는 행·열이 없으면 길이는 0으로 정의한다. 다음과 같은 '''내용 함수'''()을 정의하자.
:
그렇다면 SO(''n'') 텐서 표현의 차원은 다음과 같다.
:
만약 이 짝수이며 길이가 인 행이 있다면, (반)자기쌍대 조건을 가하면 차원은 위 공식의 ½이다.
영 타블로의 각 칸은 차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우
* 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화하며, 같은 행에 속한 임의의 한 쌍의 지표에 대하여 대각합이 0이다.
* 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화한다.
예를 들어,
:i⃞ j⃞ k⃞l⃞ m⃞
의 꼴의 영 타블로는
:
꼴의 텐서에 대응하며,
:
:
꼴의 (반)대칭성을 가진다.
SO(''n'')의 경우, SU(''n'')과는 달리 스피너 표현들이 존재한다. 스피너 표현의 경우 모든 가능한 감마 행렬 축약이 0이어야 한다. 스피너 표현은 간혹 텐서 표현의 영 타블로의 한 칸에 점을 찍어 표기된다. 여기서는 스피너 표현을 (s)로 표기하자.
 페러스 그림 
  고리 길이 
 내용 
 SO(''n'') 표현 차원 
 페러스 그림 
 Spin(''n'') 표현 차원 ()
 · 
 · 
 · 
 1 
 · (s) 
 
 □ 
 1 
 +0 
   
 □ (s) 
 
 □□  
 21 
 +2 −1 
  
 □□ (s) 
 
 □□  
 21 
 +0−1 
  
 □ (s)□ 
 
 □□□ 
 321 
 +4 −1 +0 
  
 □□□ (s) 
 
 □□□ 
 311 
 +2 −2+0 
 
 □□ (s)□ 
 
 □□□ 
 321 
 +0−1−2 
  
□ (s)□□ 
 
예를 들어, SU(2)=Spin(3)의 기약 표현들은 SU(2) 영 타블로 또는 SO(3) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
 스핀 
 0 
 ½ 
 1 
 1½ 
 2 
 2½ 
 3 
 3½
 차원
 1 
 2 
 3 
 4 
 5 
 6 
 7 
 8
 SU(2) 영 타블로
 · 
 □ 
 □□ 
 □□□ 
 □□□□ 
 □□□□□ 
  □□□□□□ 
 □□□□□□□□
 SO(3) 영 타블로
 · 
 · (s) 
 □ 
 □ (s) 
 □□ 
 □□ (s) 
 □□□ 
 □□□ (s)
마찬가지로, Spin(6)=SU(4)의 기약 표현들은 SO(6) 영 타블로 또는 SU(4) 영 타블로로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
 차원 
 1 
 4 
  
 6 
 10 
 
 SU(4) 영 타블로
 · 
 □ 
 □□□ 
 □□ 
 □□ 
 □□□□□□
 SO(6) 영 타블로
 · 
 · (s) 
 · () 
 □ 
  □ (SD)□□ 
 □ (ASD)□□
마찬가지로, Spin(4)=SU(2)×SU(2)의 기약 표현들은 다음과 같다.
 스핀 
 (0, 0) 
 (½, 0) 
 (0, ½) 
 (½, ½) 
 (1, 0) 
 (0, 1) 
 (1, ½) 
 (½, 1) 
 (1½, 0) 
 (0, 1½) 
 (1, 1) 
 (1½, ½) 
 (½, 1½) 
 (2, 0) 
 (0, 2)
 SU(2) 영 타블로
 (·, ·) 
 (□, ·) 
 (·, □) 
 (□, □) 
 (□□, ·) 
 (·, □□) 
 (□□, □) 
 (□, □□) 
 (□□□, ·) 
 (·, □□□) 
 (□□, □□) 
 (□□□, □) 
 (□, □□□) 
 (□□□□, ·) 
 (·, □□□□)
 SO(4) 영 타블로
 · 
 s 
  
 □ 
 □ (SD)□ 
 □ (ASD)□ 
 □ (s) 
 □ () 
 □ (s)□ 
 □ ()□ 
 □□
 □□ (SD)  □ 
 □□ (ASD)  □ 
 □□ (SD)  □□ 
 □□ (ASD)  □□
=== 심플렉틱 군 ===
짝수 에 대하여, USp(''n'')의 경우에도 영 타블로를 사용하여 표현을 분류할 수 있다. 이 경우
:
을 사용해, 특수 유니터리 군의 경우와 마찬가지로 표현들을 분류할 수 있다. 이 경우, USp(''n'')의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다.
* 각 열의 길이가  이하이다.
이 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 USp(''n'') 표현의 차원은 다음과 같다. 페러스 그림 의 행의 길이가 이며, 열의 길이가 라고 하자. 우선, 다음과 같은 '''내용 함수'''()를 정의하자.
:
그렇다면 USp(''n'') 표현의 차원은 다음과 같다.
:
영 타블로의 각 칸은 차원 벡터 지표에 대응한다. 이 경우
* 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화한다.
* 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화하며, 에 의한 축약이 모두 0이다.
예를 들어,
:i⃞ j⃞ k⃞l⃞ m⃞
의 꼴의 영 타블로는
:
꼴의 텐서에 대응하며,
:
:
꼴의 (반)대칭성을 가진다.
 페러스 그림 
 고리 길이 
 내용 
 USp(''n'') 표현 차원
 · 
 1
 □ 
 1 
 0 
 
 □□  
 21 
 +0 +1 
 
 □□  
 21 
 −2+1 
 □□□ 
 321 
 +0 +1 +2 
 
 □□□ 
 311 
 −2 +0+2 
  
 □□□ 
 321 
 −4+0+1 
 
예를 들어, SO(5)=USp(4)의 표현들은 다음과 같다.
 차원
 1 
 4 
 5 
 10 
 14 
 16
 SO(5) 영 타블로
 · 
  · (s) 
 □ 
 □□ 
 □□ 
 □ (s)
 USp(4) 영 타블로
 · 
 □ 
 □□ 
 □□ 
□□□□ 
 □□□
영국의 수학자 앨프리드 영()이 1900년에 도입하였다.
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분류:조합론
분류:표현론
분류:대칭함수