리만 곡면

복소해석학에서 '''리만 곡면'''(Riemann曲面, )은 1차원 복소다양체이다. 
이러한 곡면은 베른하르트 리만이 처음 연구하였으며 리만의 이름을 따서 명명되었다. 리만 곡면은 복소 평면을 변형한 버전으로 생각할 수 있다. 모든 점의 이웃에서 국소적으로 복소 평면의 좌표 조각처럼 보이지만 전체 위상은 상당히 다를 수 있다. 예를 들어 구, 원환면 또는 복소평면 여러 장을 함께 붙인 것처럼 보일 수 있다.
리만 곡면의 주요 관심사는 정칙 함수가 그들 사이에 정의될 수 있다는 것이다. 리만 곡면은 오늘날 이러한 함수, 특히 제곱근 및 기타 대수 함수 또는 로그와 같은 다가 함수의 전역적 성질을 연구하기 위한 자연스러운 설정으로 본다.
모든 리만 곡면은 2차원 실해석 다양체 (즉, 곡면)이지만 정칙 함수의 명확한 정의에 필요한 더 많은 구조(특히 복소 구조)를 포함한다. 2차원 실수 다양체는 방향을 정할 수 있고 거리화 할 수 있는 경우에만 리만 곡면(보통 몇 가지 동치인 방식들로)으로 전환될 수 있다. 따라서 구와 원환면은 복소 구조를 줄 수 있지만 뫼비우스의 띠, 클라인 병, 실 사영 평면은 그렇지 않다.
'''리만 곡면'''은 복소 차원이 1차원인 복소다양체이다. 즉, 복소 구조가 주어진 2차원 매끄러운 다양체이다.
이와 동등하게, 리만 곡면을 2차원 유향 등각다양체()로 정의할 수 있다. '''등각 계량'''()은 바일 변환에 대한 리만 계량 텐서의 동치류이며, 등각다양체는 등각 계량을 갖춘 매끄러운 다양체이다. 2차원에서, 향이 주어진 등각 구조는 복소 구조와 동형이다. 그러나 이 동형은 고차원에서는 성립하지 않는다.
* 복소평면과 리만 구는 리만 곡면이다.
* 주어진 리만 곡면의 열린집합은 리만 곡면을 이룬다.
* 콤팩트 리만 곡면은 특이점이 없는 복소 사영 대수 곡선과 같다.
상수 함수가 아닌 유리형 함수의 존재는 임의의 콤팩트 리만 곡면이 사영 다형체임을 보여주기 위해 사용될 수 있다. 즉, 사영 공간 내부의 다항 방정식으로 주어질 수 있다. 실제로, 모든 콤팩트 리만 곡면은 복소 사영 3-공간에 몰입 될 수 있음을 보여줄 수 있다. 이것은 놀라운 정리이다. 리만 곡면은 국소적 좌표 조각에 의해 제공된다. 하나의 전역 조건, 즉 콤팩트 조건이 추가되면 곡면은 필연적으로 대수적이다. 리만 곡면의 이러한 특징을 통해 해석 또는 대수기하학의 방법으로 곡면을 연구할 수 있다. 고차원 대상에 대한 해당 설명은 거짓이다. 즉, 대수적이지 않은 콤팩트 복소수 2-다양체가 있다. 다른 한편으로 모든 사영 복소 다양체는 반드시 대수적이다.(저우 정리 참조)
예를 들어 원환면 를 고려하자'''.''' 격자 ''''''에 포함되는 바이어스트라스 함수 는 T 위에서 정의되는 유리형 함수이다. 이 함수와 그 미분 는 ''T''의 함수체를 생성한다. 또한 다음이 성립한다:
: 
여기서 계수 ''g''2와 ''g''3은 τ에 의존하므로 대수 기하학의 의미에서 타원 곡선 ''E''τ를 제공한다. 이를 뒤집는 것은 j-불변량 ''j''(''E'')에 의해 수행되며, 이는 ''τ''및 원환면를 결정하는 데 사용할 수 있다.
모든 리만 곡면 집합은 쌍곡선, 포물선 및 타원 리만 곡면의 세 부분 집합으로 나눌 수 있다. 기하학적으로 이들은 음수, 영 또는 양수 단면 곡률을 갖는 곡면에 해당한다. 즉, 연결된 모든 리만 곡면  일정한 곡률이 다음과 같은 독특한 완비 2차원 실수 리만 계량을 인정한다  또는  이는 리만 곡면으로서의 구조에 의해 결정되는 리만 계량의 등각 동치류에 속한다. 이것은 등온 좌표의 존재 결과로 볼 수 있다.
복소 해석 용어에서 푸앵카레–쾨베 균일화 정리(리만 사상 정리의 일반화)는 모든 단순 연결된 리만 곡면이 다음 중 하나와 등각적으로 동등하다고 말한다.
* 리만 구 , 이는 
* 복소 평면 
* 열린 원판  이것은 상반면과 동형이다. .
리만 곡면은 그것의 보편 덮개가  ,  또는 와 동형인지 여부에 따라 타원, 포물선 또는 쌍곡선이다. 각 종류의 원소는 더 정확한 설명을 허용한다.
=== 타원 리만 곡면 ===
리만 구 가 유일한 예인데, 자유롭고 적절하게 불연속적으로 쌍정칙 변환에 의해 그것에 작용하는 군이 없기 때문에, 보편 덮개가 과 동형인 리만 곡면 그 자체가 그것과 동형적이어야 한다.
=== 포물 리만 곡면 ===
만약에 가 복소 평면 에 대해 동형인 보편 덮개의 리만 곡면이면, 다음 곡면 중 하나와 동형이다.
* 
* 몫 
* 몫 . 여기서 , .
위상 수학적으로는 평면, 원통 및 원환면의 세 가지 유형만 있다. 그러나 전자의 두 경우에서 (포물) 리만 곡면 구조는 고유하지만 매개변수 를 변경한다. 세 번째 경우는 동형이 아닌 리만 곡면을 제공한다. 매개변수 에 의한 설명은 "표시된" 리만 곡면의 타이히뮐러 공간을 제공한다(리만 곡면 구조에 추가하여 원환면에 대한 고정된 동형으로 볼 수 있는 "표시"의 위상 데이터를 추가한다). 해석 모듈라이 공간을 얻으려면(마킹을 잊음) 사상류 군에 의해 타이히뮐러 공간의 몫을 취한다. 이 경우 모듈러 곡선이다.
=== 쌍곡 리만 곡면 ===
나머지 경우에는 가 푹스 군에 의한 상반면의 몫과 동형인 쌍곡 리만 곡면이다(이것은 곡면에 대한 푹스 모형이라고도 함). 의 위상수학적 유형은 원환면과 구를 제외한 모든 유향 곡면이 될 수 있다.
가 콤팩트인 경우 특히 흥미롭다. 그런 다음 위상 유형은 종수 으로 설명된다. 타이히뮐러 공간과 계수 공간은  -차원이다. 유한 유형의 리만 곡면(닫힌 곡면에서 유한한 수의 점을 뺀 동형)의 비슷한 분류가 주어질 수 있다. 그러나 일반적으로 무한 위상 유형의 리만 곡면의 모듈라이 공간은 너무 커서 그러한 설명을 허용할 수 없다.
모든 2차원 가향 매끄러운 다양체는 복소 구조를 가져 리만 곡면을 이룰 수 있고, 그 역도 성립한다. 예를 들어, 뫼비우스의 띠나 2차원 실수 사영 공간은 향을 줄 수 없으므로 복소 구조를 가질 수 없지만, 2차원 원환면이나 구, 평면은 복소 구조를 가진다.
주어진 2차원 매끄러운 다양체는 보통 여러가지의 복소 구조를 지닐 수 있다. 주어진 2차원 매끄러운 다양체가 가질 수 있는 복소 구조의 집합은 대수적인 구조를 지니고, 이를 '''모듈라이 공간'''이라고 한다. 예를 들어, 원환면의 모듈라이 공간은 이다. 종수가 인 경우, 모듈라이 공간의 차원은 이다.
=== 리만 곡면의 자기동형사상 ===
리만 곡면의 자기동형군은 다음과 같다.
* 종수() 0:
** 리만 구면의 자기 동형 사상은 뫼비우스 변환이다.
** 구멍을 뚫은 리만 구면의 자기 동형 사상은 구멍들을 보존하는 뫼비우스 변환이거나 아니면 구멍들을 서로 바꾸는 뫼비우스 변환이다.
** 열린 반평면(또는 열린 원판)의 자기 동형 사상은 실수 계수의 뫼비우스 변환 이다.
** 원환() 의 자기 동형 사상은 회전  또는 반전 이다. 이 사실은 프리드리히 쇼트키()가 1877년에 증명하였다.
* 종수 1:
** 대부분의 복소 원환면의 자기동형군은 평행이동 과 180° 회전으로 생성된다. 다만, 수직(90°) 격자에 의하여 생성되는 복소 원환면의 경우 90° 회전도 자기 동형 사상을 이루고, 정육각형(60°) 격자에 의하여 생성되는 원환면의 경우 60° 회전도 자기 동형 사상을 이룬다.
* 종수 인 경우, 자기동형군은 유한군이며, 그 크기는  이하이다. 이를 '''후르비츠 자기동형사상 정리'''라고 하며, 아돌프 후르비츠()가 증명하였다.
* 복소다양체
* 켈러 다양체
* 리만-로흐 정리
* 균일화 정리
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