킬링 벡터장

리만 기하학에서 '''킬링 벡터장'''(Killing vector場, )은 주어진 리만 다양체의 등거리 변환의 무한소 생성원인 벡터장이다. 즉, 리만 다양체의 대칭을 나타낸다. 킬링 벡터들은 리 대수를 이루며, 이는 다양체의 등거리 변환군의 리 대수로 생각할 수 있다.
=== 킬링 벡터장 ===
일반화 리만 다양체 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 벡터장 에 대하여, 리 미분
:
을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)-텐서장들의 벡터 공간 위의 선형 변환을 정의한다.
만약
:
이 성립한다면, 를 의 '''킬링 벡터장''' 이라고 한다. 보다 추상적으로, 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 선형 변환
:
의 핵이다. 즉, 두 킬링 벡터장들의 합은 킬링 벡터장이며, 킬링 벡터장들의 상수 스칼라와의 곱 역시 킬링 벡터장이다.
을 국소 좌표계로 쓰면 다음과 같다.
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여기서 는 공변 미분이다. 즉, 킬링 벡터장의 조건은 공변 상수 벡터장의 조건()을 약화시킨 것이다.
의 등거리 변환들은 (유한 차원) 리 군
:
을 이루며, 킬링 벡터장들은 등거리 변환군의 리 대수 를 이룬다.
=== 킬링 지평선 ===
일반화 리만 다양체 의 킬링 벡터장 가 주어졌을 때, 부분 집합 을 의 '''킬링 지평선'''(Killing地平線, )이라고 한다. 이는 일반적으로 특이점을 가져 다양체가 아닐 수 있다.
정의에 따라, 모든 킬링 벡터장은 등각 벡터장이다.
=== 리 대수 구조 ===
일반화 리만 다양체 의 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 리 대수를 이룬다. 즉, 두 킬링 벡터장의 리 괄호 역시 킬링 벡터장이다. 같은 차원과 부호수를 갖는 두 일반화 리만 다양체 , 에 대하여, 표준적으로
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이다.
개의 연결 성분을 갖는, 차원의 일반화 리만 다양체의 킬링 리 대수의 차원은  이하이다. (이 상한은 예를 들어 유클리드 공간·초구·쌍곡 공간·민코프스키 공간·더 시터르 공간·반 더 시터르 공간 및 이들의 분리합집합에 의하여 포화된다.)
=== 위상 수학적 성질 ===
콤팩트 리만 다양체 에 대하여, 다음이 성립한다.
* 만약 의 리치 곡률 텐서가 음의 정부호 이차 형식이라면, 킬링 벡터장은 0 밖에 없다.
* 만약 모든 단면 곡률이 양수이며, 의 차원이 짝수라면, 모든 킬링 벡터장은 항상 0을 갖는다. (즉, 임의의 킬링 벡터장 에 대하여, 인 이 존재한다.
=== 조화 함수와의 관계 ===
일반화 리만 다양체 의 킬링 벡터장 의 발산은 0이다.
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'''유도:'''
의 2차 공변 미분은 다음과 같이 리만 곡률 텐서에 비례한다.
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'''유도:'''
리만 곡률 텐서의 정의에 따라
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이다. 킬링 벡터장의 정의에 따라
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이다. 이제, 양변에 에 대한 순환에 대하여 대칭화하면,
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이다. 따라서,
:
이다.
특히, 의 라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같이 리치 곡률 텐서에 비례한다.
:
특히, 아인슈타인 방정식의 진공해의 경우 이며, 의 라플라스-벨트라미 연산자는 0이다. 물리학적으로, 이는 가 진공 맥스웰 방정식을 만족시키는 것을 의미하며, 또한 는 로렌츠 게이지 조건  역시 자동적으로 만족시킨다. 이 사실을 통해 아인슈타인-맥스웰 계의 일부 해를 구할 수 있다.
=== 측지선에 대한 물리량의 보존 ===
일반화 리만 다양체 의 킬링 벡터장 와 측지선
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:
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
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즉, 킬링 벡터장 가 주어졌을 때, 속력과 킬링 벡터장의 내적 는 측지선을 따라 변하지 않는 물리량이다.
'''유도:'''
벡터장 가
:
인 임의의 벡터장이라고 하자. (만약 가 단사 함수가 아니라면, 이는 조각별로 정의하면 된다.)
측지선은 측지선 방정식
:
을 만족시키므로, 킬링 벡터장의 정의에 의하여
:
이다.
마찬가지로, 일반 상대성 이론에서는 뇌터 정리에 따라 각 킬링 벡터장에 대응하는 보존 법칙이 존재한다. 구체적으로, 에너지-운동량 텐서 를 생각할 때,
:
:
이므로, 임의의 벡터장 에 대하여
:
이다. 따라서, 만약 가 킬링 벡터장이라면 는 공변 보존류이다.
=== 표면 중력 ===
킬링 지평선의 경우, 대응하는 표면 중력을 정의할 수 있다.
구체적으로, 일반화 리만 다양체 의 킬링 벡터장 가 주어졌을 때, 항상 다음 조건을 만족시키는 함수
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가 존재하며, 이 를 킬링 지평선 의 '''표면 중력'''이라고 한다.
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이 등식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.
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위 등식의 좌변은 일종의 "가속도"이므로, 를 일종의 "중력장"으로 해석할 수 있다.
일부 경우, 는 사실 킬링 지평선 위의 상수 함수임을 보일 수 있다.
* 킬링 지평선이 (민코프스키 공간의 와 같이) 서로 교차하는 두 잎으로 구성되어 있을 때
* 우세 에너지 조건이 성립할 경우
=== 킬링 지평선 근처의 기하 ===
차원 로런츠 다양체 의 킬링 벡터장 가 주어졌다고 하자. 또한, 가 에서 시간꼴 벡터장이라고 하자 (즉, ). 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 국소 좌표계 를 정의할 수 있다.
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여기서 는 양의 정부호 이차 형식이며, 이며, 또한 와 와 는 에만 의존하고, 에 의존하지 않는다. 이 경우, 를 '''궤도 공간 계량'''(軌道空間計量, )이라고 한다.
킬링 벡터장의 개념을, 접다발 대신 다른 벡터 다발의 단면에 대하여 일반화할 수 있다.
=== 킬링 텐서장과 킬링 스피너장 ===
유사하게 킬링 텐서 및 킬링 스피너장을 정의할 수 있다. 예를 들어, 킬링 2-텐서장 는 다음을 만족한다.
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=== 정칙 킬링 벡터장 ===
켈러 다양체는 리만 구조와 더불어 복소 구조를 갖춘다. 따라서, 켈러 다양체의 대칭은 복소 구조를 보존시키는 특수한 킬링 벡터장에 의하여 주어진다. 이를 '''정칙 킬링 벡터장'''(正則Killing vector場, )라고 한다. 켈러 다양체의 접다발 은 정칙적 부분 과 반정칙적 부분 으로 나뉜다. 정칙 킬링 벡터장은 의 단면이다.
가 켈러 다양체  위의 정칙 킬링 벡터장이라고 하자. 그렇다면 킬링 방정식은 다음과 같다.
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이에 따라, 는 국소적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
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여기서 는 '''킬링 퍼텐셜'''()이라고 불리는, 국소적으로 정의된 실수 함수다. 이는 운동량 사상의 한 예로 볼 수 있다.
공변 상수 벡터장 (즉, 인 벡터장 )은 정의에 따라 킬링 벡터장이다.
일반화 리만 다양체 의 킬링 벡터장  및 국소 좌표계 이 주어졌으며, 계량 텐서 의 성분이 에 의존하지 않는다고 하자.
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그렇다면, 벡터장
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은 킬링 벡터장이다.
'''유도:'''
벡터장
:
이 주어졌을 때,
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이다. 그렇다면,
:
이다.
=== 슈바르츠실트 계량 ===
차원 시공간의 슈바르츠실트 계량
:
에서, 는 킬링 벡터이며, 이는 시간 변화에 대한 대칭에 대응한다. 이에 대한 킬링 벡터는
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이 되는 곳, 즉 이며, 이는 (일반) 사건 지평선과 일치한다.
이 밖에도, 슈바르츠실트 계량은  대칭에 대응하는 킬링 벡터들을 갖는다.
=== 커 계량 ===
마찬가지로, 3+1차원 커 계량
:
:
은 두 킬링 벡터
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를 가지며, 이는 각각 시간 변화에 대한 대칭과 블랙홀의 회전에 대한 대칭에 대응한다.
전자에 대응하는 킬링 지평선은
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의 두 해에 위치한다. 이는 2차 방정식이므로 두 해를 갖는데, 더 안쪽의 킬링 지평선은 사건 지평선이며, 더 바깥쪽의 킬링 지평선은 작용권의 경계이다.
=== 민코프스키 공간 ===
2차원 민코프스키 공간
:
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에서, 킬링 벡터장
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를 생각하자. 이는
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이므로 킬링 벡터장을 이룬다. 이 경우, 킬링 지평선은
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인데, 이는 에서 매끄럽지 않다.
빌헬름 킬링이 1892년에 도입하였다.
킬링은 킬링 벡터장의 조건에 대하여 특별한 이름을 붙이지 않았으나, 이후 1926년 저서에서 루서 팔러 아이전하트(, 1876~1965)가 이 조건을 "킬링 방정식"()이라고 지칭하였다.
* 킬링 형식
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분류:리만 기하학