요르단 대수

추상대수학에서 '''요르단 대수'''(Jordan代數, )는 교환 법칙을 따르지만 결합 법칙을 따르지 않을 수 있는 쌍선형 이항 연산을 갖춘 대수 구조의 일종이다.
=== 쌍선형 형식을 통한 정의 ===
2가 가역원인 가환환  위의 '''요르단 대수''' 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* -가군 
* 교환 법칙을 만족시키는 쌍선형 이항 연산 
* 이 이항 연산의 항등원 
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* (요르단 항등식 ) 
(일부 문헌에서는 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)
=== 이차 형식을 통한 정의 ===
가환환 K 위의 '''요르단 대수''' 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* -가군 
* 원소 
* 함수 , 
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
* 
* 
* 
*  ()
또한, 이 공리들은 의 임의의 스칼라 확장 에 대하여 성립하여야 한다.
만약 2가 가역원일 때, 이 정의는 첫째 정의와 동치이다. 그러나 이 정의는 만약 2가 가역원이 아닐 경우에도 잘 정의된다. 이 경우, 두 정의는 다음과 같이 대응된다.
:
 첫째 정의 
 둘째 정의 
 가 결합 대수일 경우
  
  
 
  
  
 
  
  
 
그러나 이 두 정의가 서로 동치임을 증명하는 것은 전혀 자명하지 않다.
=== 직합 ===
같은 가환환  위의 두 요르단 대수 , 가 주어졌을 때, 그 '''직합''' 을 정의할 수 있다. -벡터 공간으로서 이는 벡터 공간의 직합이며, 그 위의 연산은 다음과 같이 성분별로 정의된다.
:
두 요르단 대수의 직합으로 표현될 수 없는 요르단 대수를 '''기약 요르단 대수'''()라고 한다. 모든 유한 차원 요르단 대수는 기약 요르단 대수의 직합으로 분해되며, 이러한 분해는 (순서를 제외하면) 유일하다.
=== 몫 ===
가환환  위의 요르단 대수 의 '''요르단 아이디얼'''()은 다음과 같은 -부분 가군 이다.
* 
로서, 이 조건은 마찬가지로 다음과 같다.
* 
요르단 아이디얼이 주어졌을 때, 요르단 대수의 '''몫 요르단 대수'''()
:
를 취할 수 있다. 반대로, 임의의 전사 요르단 대수 준동형 이 주어졌을 때, 그 핵 은 요르단 아이디얼을 이룬다.
요르단 아이디얼은 (라면) 1을 포함하지 않으므로, 부분 요르단 대수를 이루지 않는다.
정확하게 두 개의 아이디얼()을 갖는 요르단 대수를 '''단순 요르단 대수'''(單純Jordan代數, )라고 한다.
=== 동위 연산 ===
가환환  위의 요르단 대수 의 임의의 원소 에 대하여, 가 전단사 함수라고 하자 (즉, U_u\in\operatorname{GL}(A;K)). 그렇다면,  위에 다음과 같은 새 요르단 대수 구조를 정의할 수 있다.
:
만약 라면, 새 이항 연산 \bullet^{(u)}은 다음과 같다.
:
이 요르단 대수 구조를 라고 하며, 이를 의 '''동위'''(同位, )라고 한다. (가 가역원이라는 조건은 의 항등원이 존재하기 위해 필요하다.)
동위 연산은 다음 조건들을 만족시킨다.
:
:
이에 따라, 동위성은 동치 관계를 이룬다.
=== 피어스 분해 ===
요르단 대수 에서, 만약 어떤 원소 가 를 만족시킨다면, 다음 항등식이 성립한다.
:
이에 따라서, 만약 이며 가 유한 차원이라면, 에 의한 왼쪽 곱셈 사상 의 고윳값은 0, 1, 또는 ½이며, 는 다음과 같이 고유 공간으로 분해된다.
:
이를 '''피어스 분해'''()라고 한다.
=== 구조 리 대수 ===
가 2의 가역원이 존재하는 가환환이며, 가 그 위의 요르단 대수라고 하자. 이룬다고 하자. 그렇다면, 이 경우 요르단 항등식에 따라서
:
이 성립함을 보일 수 있다. 여기서
:
이며, 리 괄호는 \mathfrak{gl}(A;K)의 것이며, 은 의 미분 리 대수이다.
이에 따라서, -벡터 공간
:
위에 다음과 같은 리 괄호를 주어 -리 대수로 만들 수 있다.
:
:
:
이를 요르단 대수 의 '''구조 리 대수'''(構造Lie代數, )라고 한다.
물론, 의 항등원 은 자명하게 작용하므로, 이를 제거하여 1차원 더 작은 -리 대수
:
를 정의할 수 있다.
일반적으로, 요르단 대수는 결합 법칙을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라, 요르단 대수 에서 다음이 성립한다.
* (멱결합성 ) 임의의 원소 에 대하여, 로 생성되는 부분 요르단 대수는 결합 법칙을 따른다. 특히,  ()과 같은 표현이 잘 정의된다.
* 
'''두 명제의 증명:'''
편의상, 결합자
:
를 정의하자.
우선, 교환 법칙에 의하여, 다음이 항상 성립한다.
:
:
요르단 항등식에 의하여,
:
를 전개하고, 에 비례하는 항만을 추출하면, 다음을 얻는다.
:
수학적 귀납법을 사용하여, 에 대하여 이 잘 정의된다고 하자. 이제,
:
임을 보이면 족하다. 그런데 위 항등식을 통해
:
이므로, 이를 통해
:
이다. 그런데 로 놓으면
:
이 되어, 즉 이 된다.
=== 맥도널드 원리 ===
3개의 (비가환, 비결합) 변수에 대한 다항식 이 주어졌다고 하자. 만약
* 가 에 대하여 1차 이하이며,
* 가 결합 대수를 이루는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다면,
는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다. 이를 '''맥도널드 원리'''()라고 한다. 이는 자유 요르단 대수를 통해 증명될 수 있다.
=== 형식적 실수 요르단 대수 ===
'''형식적 실수 요르단 대수'''()는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수 다.
:임의의 에 대하여, 이다.
실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다. 이러한 요르단 대수들은 '''단순 요르단 대수'''()의 직합으로 나타낼 수 있다.
단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.
*  실수 정사각행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.
*  복소 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.
*  사원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다.
* 으로 생성되고 조건 을 만족시키는, 단위원을 갖춘 자유 요르단 대수. 이는 차원 요르단 대수이며, '''스핀 인자'''() 또는 '''클리퍼드형 대수'''()라고 한다. 이는 클리퍼드 대수와의 유사성 때문이다.
*  팔원수 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 이다. 이를 '''예외 요르단 대수'''() 또는 '''앨버트 대수'''()라고 한다. 이는 미국의 수학자 에이브러햄 에이드리언 앨버트의 이름을 딴 것이다.
 기호
 실수 차원 
 이름 
 정의
  
  
  실수 대칭 행렬 대수 
 
  
 
  복소 에르미트 행렬 대수 
 
  
  
  사원수 에르미트 행렬 대수 
 
  
  
 스핀 인자  
 
  또는  
 27 
 앨버트 대수 (3×3 팔원수 에르미트 행렬 대수) 
  
여기서, 다음과 같은 동형이 성립한다.
:
:
구체적으로,
:
:
:
로 잡으면,
:
임을 알 수 있다 (는 크로네커 델타).
=== 자명한 요르단 대수 ===
임의의 가환환 에 대하여, 0차원 또는 1차원 -자유 가군 위에는 유일한 (항등원을 갖는) 요르단 대수 구조가 존재한다. 이들은 물론 결합 법칙 및 교환 법칙을 따른다.
=== 결합 대수에 대응되는 요르단 대수 ===
표수가 2가 아닌 체  위의 임의의 결합 대수 가 주어졌을 때,
:
를 정의하면, 이는 요르단 대수를 이룬다.
'''증명''':
요르단 항등식을 증명하면 족하다.
:
:
이는 -결합 대수의 범주에서 -요르단 대수의 범주로 가는 함자
:
를 정의한다.
=== 자유 요르단 대수 ===
주어진 체 위의 요르단 대수의 개념은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 '''자유 요르단 대수'''()의 개념이 존재한다. 즉, 망각 함자
:
의 왼쪽 수반 함자가 존재한다.
0개의 원소로 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 요르단 대수는 1차원 -벡터 공간이다.
하나의 원소 로 생성되는 자유 요르단 대수는 단순히 다항식환 이다.
요르단 대수의 개념은 이론물리학에 사용된다.
파일:Pascual Jordan 1920s.jpg|섬네일|right|파스쿠알 요르단 (1920년대 사진)
파스쿠알 요르단이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학의 관측 가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다. 가 에르미트 관측 가능량이라면  또한 관측 가능량이고, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다.
이후 케빈 맥크리먼()이 표수 2에 대한 요르단 대수의 “올바른” 정의를 발견하였다. 이에 대하여 맥크리먼은 다음과 같이 적었다.
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분류:비결합대수