군 코호몰로지

군론에서 '''군 코호몰로지'''(群cohomology, )와 '''군 호몰로지'''(群homology, )는 군 위에 정의되는 코호몰로지 · 호몰로지 이론이다.
다음이 주어졌다고 하자.
* 군 . 이로부터 군환 를 정의할 수 있다.
* -왼쪽 가군 
임의의 자연수 에 대하여, 의 계수 차 '''군 호몰로지'''  및 의 계수 차 '''군 코호몰로지''' 는 각각 아벨 군이다. 이들은 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.
* 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자 및 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수 있다.
* 군 코호몰로지와 군 호몰로지는 각각 특별한 Ext 함자 및 Tor 함자로서 정의될 수 있다.
* 군 (코)호몰로지는 구체적인 (공)사슬 복합체의 (코)호몰로지로서 정의될 수 있다.
=== 유도 함자를 통한 정의 ===
군 코호몰로지는 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자로, 군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의될 수 있다.
구체적으로, 군 가 주어졌다고 하자. 의 왼쪽 가군들의 범주 는 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주이다.
다음과 같은 함자를 정의하자.
:
:
즉, 이는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시킨다.
는 왼쪽 완전 함자이다. 그 번째 오른쪽 유도 함자를 의 차 '''군 코호몰로지'''라고 한다.
:
마찬가지로, 다음과 같은 함자를 정의하자.
:
:
여기서
:
이다. 즉, 는 의 '''쌍대 불변량'''()으로 구성된다.
는 오른쪽 완전 함자이다. 그 번째 왼쪽 유도 함자를 의 차 '''군 호몰로지'''라고 한다.
:
=== Ext와 Tor를 통한 정의 ===
군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다.
구체적으로, 군  및 -왼쪽 가군 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 를 자명한 -왼쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의  및 에 대하여 이다.) 그렇다면, -왼쪽 가군의 범주 에서 Ext 함자를 취할 수 있다. 의  계수의 '''군 코호몰로지'''는 다음과 같은 Ext 함자이다.
:
마찬가지로, 를 자명한 -오른쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의  및 에 대하여 이다.) 그렇다면, 오른쪽 가군 와 왼쪽 가군  사이의 Tor 함자를 취할 수 있다.
의  계수의 '''군 호몰로지'''는 다음과 같은 Tor 함자이다.
:
=== 군 코호몰로지의 구체적 정의 ===
가 군이고 이 -가군이라고 하자. 양의 정수 에 대하여, 차 '''공사슬'''(共사슬, )을  함수로 정의하고, 차 공사슬의 집합을 으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. (여기서 은 군의 직접곱 이다.)
'''공경계 준동형'''(共境界準同形, ) 을 다음과 같이 정의하자.
:
::
::
이렇게 정의하면
:
임을 알 수 있다. 따라서 은 공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라
:
과 같이 코호몰로지 군 을 정의할 수 있다. 이를 계수를 가진 의 차 '''군 코호몰로지'''라고 한다.
=== 군 호몰로지의 구체적 정의 ===
가 군이고 이 -왼쪽 가군이라고 하자.
양의 정수 에 대하여, 차 '''사슬'''()의 집합은
이다.
그 사이에 다음과 같은 '''경계 준동형'''(境界準同形, )을 정의하자.
:
그렇다면, 다음과 같은 사슬 복합체를 얻는다.
:
(이는 막대 복합체 과 같다.)
그 호몰로지 군
:
을 계수를 가진 의 차 '''군 호몰로지'''라고 한다.
=== 구체적 정의의 유도 ===
구체적 정의는 Ext · Tor를 사용한 정의로부터 다음과 같이 유도된다.
우선, 아벨 군의 아벨 범주 에서, \mathbb Z-결합 대수 (즉, 환) 의 왼쪽 가군  및
오른쪽 가군 를 생각하자. 그렇다면, 물론
:
이다. 이를 사용하여, 다음과 같은 막대 복합체를 생각하자.
:
그렇다면,
:
는 의 분해를 이룬다.
막대 복합체의 모든 성분들은 -사영 가군이므로, 막대 복합체 는 의 사영 분해를 정의한다. 이에 따라서, Ext 함자 은 다음과 같은 공사슬 복합체의 코호몰로지로 얻어진다.
:
그런데 은 -자유 가군이므로, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
:
여기서 은 모든 함수 의 집합이며, 이는 군 코호몰로지를 정의하는 차 공사슬의 집합과 같다.
마찬가지로, Tor 함자 은 의 사영 분해 를 사용하면 다음과 같은 사슬 복합체
:
의 호몰로지로 계산된다.
:
그런데
:
이다. 이는 군 호몰로지를 정의하는 차 사슬의 집합과 같다.
=== 낮은 차수의 군 (코)호몰로지 ===
군 코호몰로지의 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.
:
:
:
:
:
마찬가지로, 군 호몰로지의 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.
:
:
:
:
:
:
이에 따라, 낮은 차수의 군 (코)호몰로지는 다음과 같이 해석된다. (마지막 열은 의  위의 작용이 자명할 경우에 대한 특별한 해석이다.)
 공사슬 종류 
 기호 
 해석 
 자명한 작용일 경우의 해석
 0차 완전 공사슬
 
 
 0차 닫힌 사슬
 
 임의의 원소 
 0차 닫힌 공사슬
 
 '''불변량''':  가운데, 임의의 에 대하여 인 것
 임의의 원소 
 0차 완전 사슬
 
 1차 닫힌 공사슬
 
 '''교차 준동형'''(): 함수  가운데, 인 것
 군 준동형 
 1차 완전 공사슬
 
 '''주 교차 준동형'''(, 에 대하여,  꼴의 교차 준동형)들의 선형 결합
 상수 함수 
 1차 닫힌 사슬
 
 선형 결합  가운데, 인 것
 선형 결합 
 1차 완전 사슬
 
  꼴의 선형 결합들의 합 ()
 의 원소
특히, 만약 의  위의 작용이 자명할 때, 다음이 성립한다.
:
:
:
:2차 군 코호몰로지 는 군 의 아벨 군 에 대한 확대들을 분류한다.
=== 위상 코호몰로지와의 관계 ===
만약 의  위의 작용이 자명하다면, 군 호몰로지와 군 코호몰로지는 각각 (이산 위상을 부여한 위상군으로서의) 분류 공간 의 특이 호몰로지 및 특이 코호몰로지와 동형이다.
:
:
'''증명''':
의 분류 공간은 단체 집합 이다. 그 정수 계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체
:
로 주어지며, 계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체
:
으로 주어진다. 그런데 이는 군 호몰로지를 정의하는 사슬 복합체와 같다.
마찬가지로, 분류 공간 의 계수 단체 코호몰로지는 공사슬 복합체
:,
로 주어진다. 그런데 이는 의 계수 군 코호몰로지와 같다.
보다 일반적으로, 만약 의 작용이 자명하지 않다면, 은  위의 일종의 층 을 정의하며, 이 층의 층 (코)호몰로지는 의 계수 군 (코)호몰로지와 같다.
:
:
=== 자유군 ===
개의 원소로 생성되는 자유군 을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
:
=== 순환군 ===
차 순환군 을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
:
여기서 은 의 -꼬임 부분군이다.
이는 순환군의 분류 공간인 의 특이 호몰로지와 같다. 특히, 일 경우 이는 무한 차원 실수 사영 공간 의 특이 호몰로지이다.
=== 자유 아벨 군 ===
차 자유 아벨 군 을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
:
여기서 은 이항 계수이다. 이는 자유 아벨 군의 분류 공간인 원환면 의 특이 호몰로지와 같다.
* 포스트니코프 탑
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분류:군론
분류:호몰로지 대수학
분류:대수적 수론