스펙트럼 (함수해석학)

함수해석학에서, 유계 작용소 또는 바나흐 대수의 원소의 '''스펙트럼'''()은 그 고윳값의 집합을 일반화한 개념이다.
가환환  위의 (항등원을 갖는) 결합 대수 의 원소 의 '''분해 집합'''(分解集合, )은 다음과 같은 집합이다.
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여기서 는 의 가역원군이다. 즉, 가 가역원이 되는 스칼라 들의 집합이다. 분해 집합의 여집합을 의 '''스펙트럼''' 라고 한다.
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이 경우, 원소 를 의 에서의 '''분해식'''(分解式, )이라고 한다.
가 실수체 또는 복소수체이며, 가 -결합 대수라고 하자. 이 경우, 원소 의 '''스펙트럼 반지름'''(spectrum半지름, )은 그 스펙트럼의 절댓값의 상한이다.
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만약 가 -바나흐 대수라면, 그 원소의 스펙트럼은 항상 콤팩트 집합이므로, 이 경우 상한은 최댓값이 된다.
=== 유계 작용소의 스펙트럼 ===
가 실수체 또는 복소수체라고 하자. -바나흐 공간  위의 유계 작용소의 집합 는 -바나흐 대수를 이루며, 이에 대하여 분해 집합과 스펙트럼의 개념을 정의할 수 있다. 일반적으로, 열린 사상 정리에 따라서 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소의 역함수는 유계 작용소이다. 즉, 의 원소가 가역원인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다.
바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 추상적인 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼보다 더 구체적으로 분석될 수 있다. 즉, -바나흐 공간  위의 유계 작용소 의 스펙트럼 는 다음과 같은 분리합집합으로 분해된다.
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이 성분들은 각각
* '''점 스펙트럼'''(點spectrum, ) 
* '''잔여 스펙트럼'''(殘餘spectrum, ) 
* '''연속 스펙트럼'''(連續spectrum, ) 
이며, 다음과 같다.
어떤 수 에 대하여  이려면 가 전단사 함수이지 않아야 한다. 즉, 다음 "문제" 가운데 적어도 하나가 발생해야 한다.
* 가 단사 함수가 아니다. 이러한 들의 집합을 '''점 스펙트럼''' 라고 한다. 이 경우 는 의 '''고윳값'''이며, 인 '''고유 벡터''' 가 존재한다.
* 가 단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다.
** 는 단사 함수이지만 그 상이 조밀 집합이 아니다. 이러한 들의 집합을 '''잔여 스펙트럼''' 라고 한다.
** 는 단사 함수이며 그 상이 조밀 집합이지만 전사 함수가 아니다. 이러한 들의 집합을 '''연속 스펙트럼''' 라고 한다. 이 경우, 는 의 조밀 집합  위에 정의되는, 비유계 작용소이다.
복소수 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼은 공집합이 아니다.
'''증명:'''
복소수 바나흐 대수 의 원소 가 주어졌다고 하고, 귀류법을 사용하여 이라고 하자. 또한, 연속 쌍대 공간 의 임의의 원소 를 고르자.
그렇다면, 이제 함수
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를 정의하자. 그렇다면,
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이다. (이는 피적분 함수가 이므로 가능하다.) 즉, 는 상수 함수이며, 그 값은
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이다.
이제, 임의의 에 대하여
:
가 되므로, 사실 이어야만 한다. 즉, 임의의 에 대하여 이어야만 한다. 그런데 이므로 이는 참일 수 없으며, 모순이다.
복소수 바나흐 대수 의 원소 의 스펙트럼 반지름은 다음과 같은 '''겔판트 공식'''()에 의하여 주어진다.
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(반면, 유한 또는 무한 차원 실수 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 공집합일 수 있다.)
에 대하여, -바나흐 공간 위의 유계 작용소 의 스펙트럼은 항상  속의 콤팩트 집합이다. 특히
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이다. 여기서 는 작용소 노름이다.
=== 유한 차원 ===
가 유한 차원 -바나흐 공간이라고 하자. 그렇다면, -선형 변환 가 단사 함수이거나 전사 함수인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다 (차원 정리). 이에 따라, 유한 차원 -바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.
특히, 선형 변환 (즉, 행렬)의 스펙트럼 반지름은 그 고윳값들의 절댓값 가운데 가장 큰 것이다.
=== 콤팩트 작용소 ===
복소수 바나흐 공간  위의 콤팩트 작용소 의 경우, 다음이 성립한다.
* 연속 스펙트럼은 항상 공집합 또는 이다.
* 잔여 스펙트럼은 항상 공집합 또는 이다.
즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값)으로 구성된다.
=== 정규 작용소 ===
복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소의 잔여 스펙트럼은 공집합이다.
복소수 힐베르트 공간  위의 정규 작용소 의 스펙트럼 반지름은 다음과 같다.
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보다 일반적으로, 위 등식의 우변을 유계 작용소의 '''수치 반지름'''(數値半지름, )이라고 하며, 스펙트럼 반지름이 수치 반지름과 일치하는 유계 작용소를 '''스펙트럼형 작용소'''(spectrum型作用素, )라고 한다.
=== 분해식 ===
-바나흐 대수 의 원소  및 에 대하여, 만약 라면, 분해식의 다음과 같은 '''노이만 급수'''(Neumann級數, )가 (노름으로 정의되는 거리 위상에서) 수렴한다.
:
'''증명:'''
위 급수는 당연히 코시 열이며, 가 바나흐 대수(즉, 완비 거리 공간)이므로 이는 수렴한다.
=== 행렬 ===
실수 행렬
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는  위의 작용소로서 스펙트럼이 공집합이다. 그러나 이는 \mathbb C^2 위의 작용소로서 점 스펙트럼 를 갖는다.
=== 시프트 ===
복소수 힐베르트 공간 를 생각하자. 그렇다면 사상
:
은 유계 작용소이며, 사실 콤팩트 작용소이다. 는 고윳값을 가지지 않지만, 는 전사 함수가 아니므로 의 스펙트럼은 이다. 이 경우, 의 상은 사실 조밀 집합조차 아니므로, 이 0은 잔여 스펙트럼에 속한다.
=== 곱셈 ===
임의의 에 대하여, 측도 공간  위의 르베그 공간
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는 -바나흐 공간을 이룬다. 그 위의 가측 함수
:
의 상이 유계 집합이라고 하자. (물론, 어떤 영집합 에 대하여 의 상이 유계 집합인 것만으로도 족하다.) 여기서 는 보렐 시그마 대수이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소
:
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는 -유계 작용소이다.
이제, 집합
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를 다음과 같이 정의하자.
:
그렇다면, 이다.
'''증명 ():'''
임의의 가 주어졌다고 하자. 즉, 정의에 따라
:
인 양의 실수 이 존재한다.
그렇다면, 가측 함수
:
:
를 생각하자. 그렇다면,
:
이다. 따라서 이다.
'''증명 (, ):'''
임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열
:
을 정의하자. (여기서 는 지시 함수이다.)
그렇다면,
:
이므로, 특히
:
이다. 이에 따라, 의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.
'''증명 (, ):'''
임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열
:
을 정의하자. (여기서 는 지시 함수이다.)
그렇다면,
:
이므로, 특히
:
이다. 이에 따라, 의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.
그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.
:임의의 에 대하여, 만약 이라면, 이며, 만약 그렇지 않다면 이다. 특히, 는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다.
'''증명 ():'''
지시 함수 는 의 고유 벡터이다.
'''증명 ():'''
임의의
:
에 대하여, 다음과 같은 가측 함수의 열을 정의하자.
:
여기서 는 지시 함수이다.
그렇다면, 지배 수렴 정리에 따라
:
이다. 즉, 의 상은 항상 조밀 집합이다.
=== 결합 대수 ===
가환환 를 스스로 위의 결합 대수로 간주하였을 때, 원소 의 스펙트럼은
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이다. (여기서 는 가역원군이다.)
사원수 대수 \mathbb H는 실수 바나흐 대수를 이루며, 사원수 의 스펙트럼은 다음과 같다.
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(특히, 만약 이라면 이다.)
마찬가지로, 복소수체 \mathbb C를 실수 바나흐 대수로 간주하였을 때, z\in\mathbb C의 스펙트럼은 다음과 같다.
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(특히, 만약 이라면 이다.) 물론, 를 복소수 바나흐 대수로 간주하였을 때, 이다.
=== 연속 함수 대수 ===
콤팩트 하우스도르프 공간  위의 -바나흐 대수 \mathcal C^0(X,\mathbb K)의 원소 의 스펙트럼은 그 상이다.
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유계 작용소의 분해식의 노이만 급수는 에리크 이바르 프레드홀름이 1903년에 최초로 사용하였다.
"스펙트럼"()과 "분해식"()이라는 용어는 다비트 힐베르트가 도입하였다. "스펙트럼"이라는 용어는 작용소의 스펙트럼을 물리학의 원자 스펙트럼 등에 비유한 것이다.
양자역학에서, 복소수 힐베르트 공간
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위에 매끄러운 함수인 퍼텐셜
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이 주어졌으며,
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이라고 하자. 이 경우, 해밀토니언 연산자
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를 의 조밀 집합 위에 정의할 수 있으며, 이에 따라 임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수
:\alpha\in\mathbb C,\;\Re(\alpha)\le0
에 대하여 유계 작용소
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를 정의할 수 있다. 이는 정규 작용소이며, 따라서 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 또한, 그 스펙트럼은 항상
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의 꼴이다. 이에 따라, 를 의 스펙트럼으로 여길 수 있다.
의 경우, 의 점 스펙트럼은 대략 퍼텐셜에 대한 속박 상태를 나타내고, 연속 스펙트럼은 자유 상태를 나타낸다.
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분류:스펙트럼 이론