위상 양자장론

물리학과 수학에서 '''위상 양자장론'''(位相量子場論, , 약자 TQFT)은 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론이다. 미분구조조차 고려하지 않는 위상다양체에서 하는 것은 아니고, 정확히는 리만 계량을 고려하지 않는 미분다양체위에서 하므로 위상 양자장론보다는 미분 위상 양자장론이 더 어울리는 이름이다.  입자 물리학과 끈 이론, 응집물질물리학과 대수적 위상수학, 매듭 이론에서 쓰인다.
대부분의 양자장론은 그 관측가능량(상관 함수 등)이 시공간의 계량 텐서(중력장)에 의존한다. 관측가능량이 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론을 '''위상 양자장론'''이라고 한다.
오늘날 알려진 위상 양자장론은 '''시바르츠형'''()과 '''코호몰로지형'''(,
또는 '''위튼형''' )) 크게 두 종류가 있다.
=== 시바르츠형 위상 양자장론 ===
'''시바르츠형 위상 양자장론'''은 계량 텐서를 포함하지 않는 작용으로 나타내어진다. 차원 시공간에서, 차 미분형식을 적분하려면 계량 텐서가 필요하지 않다. 따라서 미분 형식을 장으로 하는 이론을 적을 수 있다. 이런 모형에는 천-사이먼스 이론과 BF 모형 등이 있다.
알베르트 시바르츠가 1977년에 최초의 시바르츠형 위상 양자장론을 발표하였고, 다음과 같은 꼴이다.
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여기서 는 1차 미분형식이고, 은 3차원 시공간이다. 이 모형을 비아벨 게이지 대칭에 대하여 일반화하면 천-사이먼스 이론을 얻는다.
=== 코호몰로지형 위상 양자장론 ===
'''코호몰로지형 위상 양자장론''' 또는 '''위튼형 위상 양자장론'''은 일반적으로 계량 텐서를 포함하는 이론에 '''위상 뒤틂'''()을 가하여 만든다.
에드워드 위튼이 1988년 최초의 예를 발표하였다. 위튼은 4차원  초대칭 게이지 이론에 위상 뒤틂을 가하여, 이 이론이 도널드슨 불변량을 재현함을 보였다.
시바르츠형 위상 양자장론은 특성류를 기반으로 하여, 일반적인 (위상) 다양체 위에 정의할 수 있지만, 코호몰로지형 위상 양자장론은 그 매끄러운 다양체 구조를 필요로 한다. 즉, 서로 위상동형이지만 다른 미분 구조를 가진 두 매끄러운 다양체를 코호몰로지형 위상 양자장론으로 구별할 수 있다.
''d''차원 '''코호몰로지형 위상 양자장론'''은 푸앵카레 대칭의 표현을 갖춘 힐베르트 공간 와, 다음과 같은 두 연산자 로 구성된다.
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여기서 는 병진(translation) 대칭의 생성원이다. 이 두 연산자 는 스칼라/벡터 "초대칭"으로 생각할 수 있다. (일반적인 초대칭 연산자는 스칼라나 벡터가 아니라 스핀 ½의 스피너이다.) 또한, 진공 상태 가 에 대하여 불변이라고 하자 (즉, 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않는다).
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그렇다면 를 BRST 연산자로 생각하여, '''물리적 힐베르트 공간''' 을 에 대한 코호몰로지로 정의한다.
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또한,  위의 연산자들에 대해서도 에 대한 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우, 관측 가능량들의 공간은 에 대한 연산자 코호몰로지이다. 즉, 물리적인 관측 가능량은 에 대하여 닫혀 있다.
주어진 물리적 스칼라 연산자 에 대하여, 를 가해 다음과 같은 연산자들을 추가로 정의할 수 있다.
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는 차 미분형식을 이루며, 다음과 같은 '''내림 방정식'''()을 만족시킨다. 이는 야코비 항등식으로부터 유도할 수 있다.
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따라서 의 경우, 는 에 대하여 닫혀 있지 않고, 관측 가능량을 이루지 않는다. 다만, 시공간 의 임의의 차 호몰로지 에 대하여 모자곱을 취하면 이는 관측 가능량을 이루게 된다. 즉,
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은 관측 가능량이다. 따라서, 다음과 같은 꼴의 상관 함수들을 계산할 수 있다.
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예를 들어, 도널드슨 불변량을 이러한 형태의 상관 함수로 나타낼 수 있다.
마이클 아티야는 위상 양자장론을 수학적으로 정의하기 위하여 다음과 같은 공리계를 제안하였다. 이에 따라, 차원 '''위상 양자장론'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 모든 차원 콤팩트 (경계가 없는) 유향 다양체 에 대하여, 복소 벡터 공간인 '''상태 공간''' 
* 모든 차원 (경계를 가진) 유향 다양체 에 대하여, '''경로 적분''' 
이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다.
# (함자성)
## (공간 대칭의 작용) 임의의 방향을 보존시키는 미분 동형 에 대하여, 벡터 공간의 동형사상 가 존재한다.
## (시공간 대칭의 작용) 또한, 임의의 방향 및 경계를 보존시키는 미분 동형 에 대하여, 이다.
# (대합성) 를 에 반대 방향을 준 유향 다양체라고 한다면, 이다. 여기서 는 의 쌍대 공간이다.
# (승법성)
## (상태 공간의 승법성) 
## (짜깁기 법칙 ) , 이라면, 과 를 으로 이어붙여 , 를 만들 수 있다. 이 경우, 이다. 여기서 는 의 내적이다.
# (비자명성)
## (상태 공간의 비자명성) 이다.
## (경로 적분의 비자명성) 이다.
## (시간 변화) 이다. 여기서 은 닫힌 구간이고, 는 의 항등함수다.
일반적인 양자역학과 달리, 위상 양자장론의 상태 공간 에는 내적이 일반적으로 주어져 있지 않다. 일반적으로, 양자역학에서는 관측가능량 및 해밀토니언을 정의하기 위하여 에르미트 연산자의 개념이 필요하고, 이를 정의하려면 상태공간과 그 쌍대공간의 동형사상 이 필요하다. 그러나 위상 양자장론에서는 해밀토니언이 항상 0이므로 이 개념이 필요없다.
초대칭 이론의 위상 뒤틂은 2차원~4차원에서 가능하다.
=== 2차원 𝒩=(2,2) 위상 뒤틂 ===
2차원  초등각 장론의 R대칭은 U(1)2이며, 두 개의 위상 뒤틂이 존재한다. 이를 '''A-뒤틂'''() 및 '''B-뒤틂'''()라고 하며, 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형을 이렇게 뒤틀면 두 개의 위상 끈 이론을 얻는다. 이들 사이에는 거울 대칭이라는 관계가 존재한다.
=== 4차원 𝒩=2 위상 뒤틂 ===
4차원  초대칭은 SU(2) R대칭을 가지므로, 유일한 위상 뒤틂을 갖는다. SU(2) 초대칭 게이지 이론을 뒤틀면 도널드슨 이론을 얻는다.
=== 4차원 𝒩=4 위상 뒤틂 ===
코호몰로지형 위상 양자장론의 대표적인 예는 위상  초대칭 게이지 이론의 위상 뒤틂이다.  양-밀스 이론의 대칭군은
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이다. 여기서 SU(2)l×SU(2)r=Spin(4)는 (유클리드) 로런츠 대칭이며, SU(4)는 R대칭이다. 초전하 는 표현
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를 따른다. (SU(2) 표현은 스핀 으로 표기하였고, 다른 군의 표현은 그 차원을 굵은 글씨로 표기하였다.) 따라서, 위상 뒤틂은 군 준동형
:
에 의하여 정의되며, 이 가운데 초전하 의 성분 가운데 적어도 하나가 새 로런츠 군에 대하여 스칼라가 되어야 한다. 이러한  위상 뒤틂은 3가지가 있으며, 다음과 같다.
 이름 
 정의 
 성질 
 문헌
 도널드슨-위튼() 
 , 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 SU(2)와 대각선으로 섞음  
 자기 홀극.  이론을, 딸림표현의 물질을 갖는  이론으로 간주. 
 바파-위튼() 
 , 두 SO(3) 가운데 하나를 로런츠 SO(3)와 대각선으로 섞음 
 순간자 
 마커스() 또는 카푸스틴-위튼() 
 , 두 SU(2)의 대각 부분군을 로런츠 SU(2)와 대각선으로 섞음
 기하 랭글랜즈 프로그램과 관계 있음 
바파-위튼 뒤틂 · 마커스 뒤틂은 간혹 각각 '''A-뒤틂''' 및 '''B-뒤틂'''으로 불리기도 한다.
장들의 분해는 다음과 같다.
 장 
 설명 
 뒤틀기 전 표현SU(2)l×SU(2)r×SU(4)R 
 도널드슨-위튼 뒤틂  SU(2)l×SU(2)r′×SU(2)F×U(1)U 
 바파-위튼 뒤틂SU(2)l×SU(2)r′×SU(2)U 
 마커스 뒤틂SU(2)l′×SU(2)r′×U(1)U
  
 왼손 초전하 
 (½, 0, '''4''') 
 (½, ½, 0)+1 ⊕ (½, 0, ½)−1  
 (½, ½, ½)  
  (½, ½)+1 ⊕ (1, 0)−1 ⊕ (0, 0)−1
  
 오른손 초전하 
 (0, ½, ) 
  (0, 1, 0)−1 ⊕ (0, 0, 0)−1 ⊕ (0, ½, ½)+1 
 (0, 1, ½) ⊕ (0, 0, ½) 
 (½, ½)+1 ⊕  (0, 1)−1 ⊕ (0,  0)−1
  
 게이지 보손 
 (½, ½, '''1''') 
 (½, ½, 0)0 
 (½, ½, 0) 
 (½, ½, 0)0
  
 왼손 게이지노 
 (½, 0, '''4''') 
 (½, ½, 0)+1 ⊕ (½, 0, ½)−1  
 (½, ½, ½) 
 (½, ½)+1 ⊕ (1, 0)−1 ⊕ (0, 0)−1
  
 오른손 게이지노 
 (0, ½, ) 
 (0, 1, 0)−1 ⊕ (0, 0, 0)−1 ⊕ (0, ½, ½)+1 
 (0, 1, ½) ⊕ (0, 0, ½) 
 (½, ½)+1 ⊕  (0, 1)−1 ⊕ (0,  0)−1
  
 스게이지노 
 (0, 0, '''6''') 
 (0, ½, ½)0 ⊕ (0, 0, 0)±2 (복소 스칼라장) 
 (0, 0, 1) ⊕ (0, 1, 0) 
 (½, ½)0 (실수 벡터장) ⊕ (0, 0)±2 (복소 스칼라장)
'''도널드슨-위튼 뒤틂'''()에서는  대칭을
:
으로 깬 뒤, 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 군 와 섞어 얻는다. 이에 따라, 남은 는 맛깔 대칭, 는 유령수 대칭이 된다. 이 깨짐 아래, 의 표현들은 다음과 같이 깨진다.
:
:
'''바파-위튼 뒤틂'''() 또는 '''A-뒤틂'''()에서는  대칭군을 우선
:
로 깬 뒤, 두 SU(2) 성분 가운데 하나를 오른쪽 로런츠 군 와 섞는다. 따라서, 나머지 한 SU(2) 부분군은 SU(2) 유령수 대칭군 로 남게 된다. R대칭의 깨짐에 따라서, SU(4)의 표현들은 다음과 같은  표현으로 깨진다.
:
:
유령수 대칭이 SU(2) 단순군이므로, 바파-위튼 뒤틂에서는 (다른 뒤틂과 달리) 유령수가 변칙적이지 않다.
'''마커스 뒤틂'''() 또는 '''B-뒤틂'''()은 도널드슨-위튼 뒤틂에서 남아 있던 SU(2)F 맛깔 대칭을 왼쪽 로런츠 대칭 SU(2)l과 한 번 더 뒤틀어 얻는다. 이에 따라 U(1)U 유령수 대칭만이 남게 된다.
=== 3차원 𝒩=4 위상 뒤틂 ===
3차원에서는  초대칭은 2개의 초전하를 갖고, R대칭은 이 된다. 이 경우, 위상 뒤틂을 위해서는 이어야 한다.
3차원 에서, R대칭은 이다. 3차원 에서, 벡터 초장의  표현은 다음과 같다. (SU(2) 표현은 스핀으로 표현하였다.)
 초장 
 장 
 대칭군  표현
 
 초전하  
 (½, ½, ½)
 벡터 초장
 게이지 보손  
 (1, 0, 0)
 게이지노  
 (½, ½, ½)
 스게이지노  
 (0, 1, 0)
 하이퍼 초장
 페르미온  
 (½, ½, ½)
 스칼라  
 (0, 0, 0) + (0, 0, 1)
따라서, 뒤튼 후의 로런츠 군 을 의 대각선 부분군으로 잡거나, 의 대각선 부분군으로 잡을 수 있다. 2차원 위상 끈 이론과 유사하게, 전자는 '''A-뒤틂'''(), 후자는 '''B-뒤틂'''()이라고 한다.
초켈러 다양체 위의 3차원 시그마 모형의 경우, A-뒤틂은 '''카푸스틴-비아스 모형'''(),, B-뒤틂은 '''로잔스키-위튼 모형'''()이라고 한다. 3차원 초대칭 게이지 이론의 B-뒤틂은 '''블라우-톰프슨 모형'''()이라고 한다.
=== 3차원 𝒩=8 위상 뒤틂 ===
3차원  이론의 위상 뒤틂은 총 4가지가 있다.
* 하나는 4차원  이론의 바파-위튼 뒤틂 또는 마커스 뒤틂의 축소화이다. (이들은 축소화하면 서로 같아진다.) 뒤튼 뒤, 4개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
* 하나는 4차원  이론의 도널드슨-위튼 뒤틂의 축소화이다. 뒤튼 뒤, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
* 하나는 4개의 스칼라 초대칭을 갖는 뒤틂을 한 번 더 추가로 뒤틀어서 얻으며, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
* 하나는 1개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
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* 천-사이먼스 이론
* 위상 끈 이론
* BF 모형
분류:양자장론
분류:위상수학