극점 (기하학)

파일:Extreme points.svg|섬네일|오른쪽|하늘색으로 칠해진 콤팩트 볼록 집합의 극점들은 붉게 칠해진 점들이다. 크레인-밀만 정리에 따라, 이 극점들의 볼록 폐포는 원래 볼록 집합과 같다.
기하학에서 '''극점'''(極點, )은 어떤 볼록 집합 속의 점 가운데, 다른 두 점의 볼록 선형 결합으로 나타낼 수 없는 것이다. 즉, 볼록 집합의 일종의 ‘귀퉁이’에 해당한다. '''크레인-밀만 정리'''(Крейн-Мильман定理, )에 따르면, 실수 국소 볼록 공간의 콤팩트 볼록 집합은 그 극점들의 볼록 폐포와 같다. '''쇼케 정리'''(Choquet定理, )에 따르면, 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 속의 임의의 점은 그 극점 집합 위에 정의된 확률 측도의 무게 중심으로 나타내어진다.
실수 벡터 공간  속의 볼록 집합 의 부분 집합 가 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''면'''(面, )이라고 한다.
* 공집합이 아니다.
* 임의의 두  및 에 대하여, 만약 라면, 이다.
실수 벡터 공간  속의 볼록 집합  속의 점 에 대하여, 만약 가 의 면이라면, 를 의 '''극점'''이라고 한다.
의 극점의 집합을 로 표기하자.
=== 극점 계수 ===
보다 일반적으로, 실수 벡터 공간  속의 볼록 집합  속의 점 의 '''극점 계수'''()는 다음과 같은 자연수이다.
:
여기서, 임의의 양의 정수 에 대하여
:
:
는 차원 단체의 내부이다. 특히, 이며, 임의의 는 로 나타내어지므로 항상 이다.
이 경우, 만약 이라면 를 '''-극점'''이라고 하자. 즉, 극점의 개념은 0-극점의 개념과 같다.
임의의 실수 벡터 공간 의 볼록 집합 의 면들의 족 에 대하여, 그 교집합 는 공집합이 아니라면 항상 면이다.
'''증명:'''
임의의  및 에 대하여,
:
라고 하자. 그렇다면, 면의 정의에 따라서 이며, 따라서 이다.
=== 존재 ===
임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V 속의, 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합 의 닫힌 면 에 대하여, 에 속하는 의 극점이 (적어도 하나 이상) 존재한다.
'''증명:'''
의 닫힌 면들의 (부분 집합 관계의 반대 관계에 대한) 부분 순서 집합 을 생각하자. 초른 보조정리를 사용할 경우, 다음 두 명제를 보이면 족하다.
* 는 닫힌 부분 순서 집합이다.
** 증명: 닫힌 면들의 사슬 의 경우, 는 (칸토어의 교점 정리에 의하여) 공집합이 아니며, (면들의 교집합은 공집합 또는 면이므로) 면이며, (닫힌집합의 교집합은 닫힌집합이므로) 닫힌집합이다.
* 의 최대 원소는 한원소 집합이다.
** 증명: 임의의 닫힌 면 F\subseteq K가 서로 다른 두 점 , x\ne y을 갖는다고 하자. 한-바나흐 정리에 따라, 인 실수 값 선형 범함수 가 존재한다. 가 콤팩트 집합이므로 는 최댓값을 갖는다. 따라서 는 공집합이 아니며, 닫힌집합이며, 또한 면을 이룬다. 또한, 이므로, 는 와 를 둘 다 포함할 수 없다. 즉, 이다. 이에 따라, 는 의 최대 원소가 될 수 없다.
=== 극점의 볼록 폐포 ===
임의의 실수 벡터 공간  속의 볼록 집합  속의 두 점  및 에 대하여, 다음이 성립한다.
:
'''크레인-밀만 정리'''에 따르면, 임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간  속의 콤팩트 볼록 집합 은 그 극점들의 볼록 폐포와 일치한다.
'''증명:'''
은 자명하므로 이라고 가정하자. 의 극점 집합 를 생각하자. 자명하게 이다. (여기서 는 볼록 폐포이다.) 따라서 를 보이면 족하다.
귀류법을 사용하여, 라고 하자. 한-바나흐 정리에 의하여, 와 를 분리하는, 즉
:
가 성립하는 실수 값 선형 범함수
:
가 존재한다. 가 콤팩트 볼록 집합이므로 그 상  역시 콤팩트 볼록 집합, 즉 닫힌구간 이며, s\le\phi(e)c\le t이다. 즉, 는 의 닫힌 면이며, 정의에 따라 이다. 그런데 에 속하는 의 극점이 존재한다. 즉, 이며, 이는 모순이다.
체르멜로-프렝켈 집합론과 불 대수 소 아이디얼 정리를 가정할 때, 하우스도르프 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 선택 공리와 동치이다.
또한, '''에드거 정리'''()에 따르면, 반사 바나흐 공간  속의 임의의 유계 볼록 닫힌집합 는 스스로의 극점의 볼록 폐포와 일치한다. (일반적으로, 유계 닫힌집합인 것은 콤팩트 집합인 것보다 더 약한 조건이다.)
'''밀만 정리'''()에 따르면, 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간  속의 콤팩트 볼록 집합 의 부분 집합 에 대하여, 만약 를 포함하는 최소의 볼록 닫힌집합이 라면, 의 모든 극점은 의 폐포에 속한다.
=== 극점 위의 측도 ===
임의의 실수 위상 벡터 공간  속의 콤팩트 집합  속의 베르 집합  및 측도  및 가 주어졌을 때, 만약
:
가 성립한다면, 를 의 '''무게 중심'''(-中心, )이라고 하자. (여기서 V^*는 연속 쌍대 공간이다.)
다음이 주어졌다고 하자.
* 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 
*  속의 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 
그렇다면, '''쇼케 정리'''()에 따르면 다음이 성립한다.
* 의 극점의 집합 는 의 보렐 집합이다.
* 임의의 에 대하여, 를 무게 중심으로 갖는 확률 측도 가 존재한다.
한원소 집합의 유일한 점은 0-극점이다.
유클리드 공간  속에서, 닫힌 공
:
의 0-극점들은 초구
:
이며, 나머지 모든 점(열린 공)은 1-극점이다.
=== 비(非)유계 집합에 대한 크레인-밀만 정리의 반례 ===
실수선  속의 닫힌 반직선
:
은 닫힌집합이며 볼록 집합이지만 유계 집합이 아니다. 그 속의 0-극점들은  밖에 없으며, 나머지 점들은 모두 1-극점들이다. 이 경우 의 볼록 폐포는 이므로, 크레인-밀만 정리가 실패한다.
보다 일반적으로, 차원 유클리드 공간 속의 닫힌 반공간
:
은 k\le n-2일 경우 -극점을 갖지 않는다. 구체적으로, 경계의 점
:
은 -극점이며, 나머지 점들은 -극점이다.
=== 비(非) 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리의 반례 ===
크레인-밀만 정리가 성립하지 않는 콤팩트 볼록 집합을 가지는, 완비 거리화 가능 실수 위상 벡터 공간이 존재한다.
유클리드 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 헤르만 민코프스키가 20세기 초에 증명하였다.
바나흐 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 마르크 크레인과 다비트 핀후소비치 밀만(, , 1912~1982)이 1940년에 증명하였다.
밀만 정리는 밀만이 1947년에 증명하였다.
쇼케 정리는 귀스타브 쇼케(, 1915~2006)가 증명하였다.
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