반 더시터르 공간

'''반 더시터르 공간'''(反 de Sitter 空間, , 기호 AdS)은 최대 대칭적()이고, 음의 스칼라 곡률을 갖는 로런츠 다양체다. 쌍곡공간을 임의의 부호수에 대하여 일반화한 것이다. (더시터르 공간은 최대대칭적이고 양의 스칼라 곡률을 갖는 다양체다.) 빌럼 더시터르의 이름을 땄다.
반 더시터르 공간은 음의 우주상수를 가지는 일반 상대성 이론의 진공해를 이루며, 또 끈 이론에서 AdS/CFT 대응성에 중요한 역할을 한다.
부호수가 인 반 더시터르 공간은 부호수가 인 민코프스키 공간에 국소적 등거리 묻기가 가능하다. -민코프스키 공간의 계량 형식은
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이다. 이 때, '''반 더시터르 공간'''은 다음 식을 만족하는 부분공간으로 정의할 수 있다.
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여기서 는 양의 실수로, '''반 더시터르 반지름'''()이라고 불린다. 즉, 반 더시터르 공간은 민코프스키 공간에서의 구이다. 이 때, 이면 이는 일반적인 쌍곡공간이 된다.
인 경우, 이 등거리묻기를 전역적으로 생각하여 정의한 부분공간은 시간꼴 폐곡선을 지닌다. 인 경우, 이는 범피복 공간을 취하여 시간꼴 폐곡선을 없앨 수 있다. (인 경우는 그렇지 않다.) 시간꼴 폐곡선은 물리학적으로 역설적이므로, 일반적으로 물리학에서 "반더시터르 공간"이라면 범피복 공간을 취한 경우를 일컫는다.
반 더시터르 공간은 범피복 공간을 취하지 않은 경우 등거리변환군이 이다. 범피복 공간을 취하였다면, 등거리변환군은 의 어떤 피복군이 된다.
차원 (로런츠 계량 부호수) 반 더시터르 공간의 리만 곡률은 다음과 같다. ( 부호수를 사용한다.)
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따라서 리치 곡률과 스칼라 곡률은 다음과 같다.
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이로부터 반 더시터르 공간은 우주 상수
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인 아인슈타인 방정식의 해임을 알 수 있다.
=== 등각 경계 ===
반 더시터르 공간은 시간꼴(timelike) '''등각 경계'''()를 가진다. ''n''차원 반 더시터르 공간의 등각 경계는 위상수학적으로 이고, 범피복 공간을 취하였을 경우 위상수학적으로 이다. 등각 경계가 시간꼴이므로, 반 더시터르 공간은 코시 곡면(Cauchy surface)을 가지지 않는다. 즉, 주어진 시간에 초기 조건을 부여하더라도, 등각 경계에 경계 조건을 부여하지 않으면 초기값 문제를 풀 수 없다.
특히, 빛의 속력의 입자는 반 더시터르 공간의 등각 경계에 유한 시간 안에 도달할 수 있다. 정적 좌표계를 사용하고, 입자의 궤적이 라고 하자. 입자가 빛의 속력으로 움직이므로
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이고, 따라서
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이다. 즉,
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이다. 원점 에서 등각 경계 에 도달하기 위해 필요한 시간은
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임을 알 수 있다.
반 더시터르 공간의 '''푸앵카레 조각'''()은 푸앵카레 좌표계로 나타낼 수 있는 부분공간이다. 푸앵카레 조각의 등각 경계는 ''n''−1차원 민코프스키 공간이며, AdS''n''의 등거리사상군 SO(''n''−1,2)는 이 민코프스키 공간의 등각변환군으로 작용한다. 이는 AdS/CFT 대응성에 핵심적인 역할을 한다.
반 더시터르 공간에는 여러 좌표계를 정의할 수 있다. 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.
=== 푸앵카레 좌표계 ===
파일:AdS A.PNG|섬네일|right|반 더시터르 공간(의 범피복 공간)의 형상화. 반 더시터르 공간은 원기둥의 내부에 해당하고, 그 등각 경계는 원기둥의 표면이다. 푸앵카레 조각은 녹색으로 칠해진 부분이다. 푸앵카레 조각의 표면은 마름모꼴인데, 이는 민코프스키 공간의 펜로즈 그림에 해당한다.
'''푸앵카레 좌표계'''()를 사용하면 AdS''n''의 계량 텐서는 다음과 같다.
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반 더시터르 공간의 경계는 에 위치해 있다.
푸앵카레 좌표계는 반 더시터르 공간의 전체를 덮지 않는다. 하나의 푸앵카레 좌표계로 나타낼 수 있는 부분공간을 '''푸앵카레 조각'''()이라고 한다. 범피복 공간을 취하지 않았을 경우 반 더시터르 공간은 두 개의 푸앵카레 조각으로 이루어진다.
=== 정적 좌표계 ===
'''정적 좌표계'''()를 사용하면 AdS''n''의 계량 텐서는 다음과 같다.
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반 더시터르 공간의 경계는 에 위치해 있다. 이 좌표계는 반 더시터르 공간 전체를 덮는다.
=== 동시 좌표계 ===
'''동시 좌표계'''()를 통해, 반 더시터르 공간 AdS''n''을 쌍곡공간 ''H''''n''−1로 엽층을 줄 수 있다. 이는 FLRW 계량의 특수한 경우다.
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이 좌표계는 반 더시터르 공간의 일부만을 덮는다.
반 더시터르 공간에서의 양자장론은 민코프스키 공간이나 더시터르 공간과 구별되는 여러 다른 특성을 가진다.
=== 초대칭 ===
더시터르 공간에서는 초대칭이 존재할 수 없다. 그러나 반 더시터르 공간과 민코프스키 공간에서는 초대칭이 존재할 수 있다. 반 더시터르 공간에서는 민코프스키 공간에서 존재하지 않는 초다중항이 있는데, 이들을 '''일중항'''() 표현이라고 한다.
특히, 다음과 같은 차원에서는 32개의 초전하를 가지는 초대칭이 존재하며, 이 경우 일중항 표현은 다음과 같다.
 공간 
 초군(supergroup) 
 초군의 보손 부분군 
 대응하는 막 
 일중항
 AdS4×S7 
4) 
 SO(3,2)×SO(8) 
 M2-막 
 스칼라 (×8), 스피너 (×8)
 AdS5×S5 
4) 
 SO(4,2)×SO(6) 
 D3-막 
 벡터 (×1), 스피너 (×4), 스칼라 (×6)
 AdS7×S4 
4) 
 SO(6,2)×SO(5) 
 M5-막 
 손지기(chiral) 2차 미분형식 (×2), 스피너 (×8), 스칼라 (×5)
이 기하학들은 끈 이론 또는 M이론에서 존재하는 막들의 사건 지평선 근처 기하학으로 얻을 수 있다. 위 표에서 "대응하는 막"은 이 막을 일컫는다. 이들은 AdS/CFT 대응성에서 중요한 역할을 한다.
=== 음수 제곱 질량 ===
민코프스키 공간에서는 불변 질량의 제곱 이 항상 음이 아닌 실수이어야 한다. 제곱 질량이 음수인 경우는 타키온이라고 하며, 이는 진공의 불안정성을 나타낸다. 즉, 이러한 경우는 진공이 더 안정한, 타키온을 포함하지 않는 진공으로 붕괴하게 된다. 반면 반 더시터르 공간에서는 제곱 질량이 음수인 경우가 가능하다. 즉, 차원 반 더시터르 공간에서는 제곱 질량이
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을 만족하면 일관적인 이론을 정의할 수 있다. 이 부등식을 브라이텐로너-프리드먼 하한()이라고 하고, 페터 브라이텐로너()와 대니얼 프리드먼()이 1982년에 발견하였다. 만약
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인 경우 자유 스칼라장을 경계 조건에 따라 서로 다른 두 가지 방법으로 양자화할 수 있다. (라면 양자화는 유일하다.)
반 더시터르 공간에서 음수 제곱 질량이 가능하다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 중요한 역할을 한다.
=== 블랙홀과 열역학 ===
반 더시터르 공간은 더시터르 공간과 달리 유한한 온도를 가지지 않는다.
반 더시터르 공간 속에 존재하는 블랙홀은 최소 온도를 가진다. 이 온도는 대략
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이다.
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* 더시터르 공간
* 등각 장론
* AdS/CFT 대응성
분류:일반 상대성 이론의 엄밀해
분류:미분기하학