평균값 정리

(''a'', ''f''(''a''))와 (''b'', ''f''(''b''))의 연결선을 아래로 평행 이동하여 어떤 점 ''c''에서의 접선을 얻을 수 있다.
미적분학에서 '''평균값 정리'''(平均-定理, )는 미분 가능 함수의 그래프의 할선과 평행하는 접선이 존재한다는 정리다. 롤의 정리로부터 유도되며, 테일러 정리를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본 정리를 증명하는 데 쓰이며, 극값 · 고계 도함수 · 볼록 함수 · 역함수의 취급에도 응용된다.
=== 롤의 정리 ===
연속 함수 가 에서 미분 가능 함수이며, 또한 라고 하자. 그렇다면, 인 가 존재한다. 이를 '''롤의 정리'''라고 한다.
=== 평균값 정리 ===
연속 함수 가 에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 가 적어도 하나 존재한다.
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이를 '''평균값 정리'''라고 한다. 평균값 정리에 따라, 충분히 매끄러운 함수의 그래프 에 대하여, 양 끝점을 잇는 직선과 평행하는 그래프의 접선이 존재한다. 롤의 정리는 평균값 정리에서 인 특수한 경우이다.
함수 를 다음과 같이 정의하자.
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(즉, 는 에서 의 양 끝점을 잇는 직선을 뺀 차와 같다.) 그렇다면, 는 연속 함수이며, 에서 미분 가능하며,
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이다. 롤의 정리에 따라, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
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=== 코시 평균값 정리 ===
곡선의 시작과 끝을 잇는 직선과 평행하는 접선을 찾을 수 있다.
연속 함수 가 에서 미분 가능 함수라고 하자. 또한, 라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
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이를 '''코시 평균값 정리'''() 또는 '''확장 평균값 정리'''()라고 한다. 기하학적으로, 코시 평균값 정리에 따르면, 충분히 매끄러운 단순 곡선 이 임계점을 갖지 않는다면, 두 끝점을 잇는 직선과 평행하는 접선을 갖는다. 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서 인 특수한 경우이다. 곡선이 임계점을 가질 수 있다면 반례가 존재한다. 예를 들어, 곡선
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의 양 끝점 , 을 지나는 직선은 수평선이지만, 수평 접선은 존재하지 않는다.
다르부 정리에 따라, 임의의 에 대하여 이거나, 임의의 에 대하여 이다. 함수 를 다음과 같이 정의하자.
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그렇다면, 는 연속 함수이며, 에서 미분 가능하며,
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이다. 롤의 정리에 따라, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
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=== 행렬식 평균값 정리 ===
함수 가 에서 연속 함수, 에서 미분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
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코시 평균값 정리는 여기서 을 취한 특수한 경우이다.
함수
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에 롤의 정리를 적용한다.
=== 다변수 함수의 경우 ===
임의의 볼록 열린집합  및 미분 가능 함수  및 점 에 대하여, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
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(일변수 함수에 대한) 평균값 정리는 여기서 을 취한 특수한 경우이다.
함수 를 다음과 같이 정의하자.
:
그렇다면, 는 미분 가능 함수이다. 평균값 정리에 따라, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
:
=== 제1 적분 평균값 정리 ===
임의의 연속 함수 에 대하여, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
:
이에 따라, 의 그래프와 x축 사이의 영역의 넓이는 그래프의 한 점을 지나는 직선과 x축 사이의 직사각형의 넓이와 같다. 보다 일반적으로, 임의의 연속 함수  및 리만 적분 가능 함수  (또는 )에 대하여, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
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이를 '''제1 적분 평균값 정리'''()라고 한다. 의 존재는 중간값 정리을 사용하여 쉽게 보일 수 있다. 가 연속 함수라고 가정하면 의 존재 역시 미적분학만으로 보일 수 있다. 이러한 가정이 없는 경우 약간의 실해석학이 필요하다.
편의상 라고 가정하자.
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라고 하자. 임의의 에 대하여
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이므로,
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이다. 만약
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이라면, 위 부등식에 따라
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이다. 이 경우 임의의 를 취한다. 만약
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:
이라면, 중간값 정리에 따라 다음을 만족시키는 가 존재한다.
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이제 나머지 경우를 증명하자. 편의상
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라고 가정하자. 항상 이므로, 가정에 따라 거의 모든 에 대하여 이다. 마찬가지로, 항상 이므로, 인 는 양의 르베그 측도의 집합을 이룬다. 마지막으로, 두 끝점 와 는 영집합을 이룬다. 따라서,
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인 의 집합은 양의 르베그 측도를 가지며, 특히 공집합이 아니다. 즉,
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인 가 존재한다.
=== 제2 적분 평균값 정리 ===
'''제2 적분 평균값 정리'''()에 따르면, 다음 세 명제가 성립한다.
* 임의의 증가함수  및 리만 적분 가능 함수 에 대하여, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
*:
* 임의의 감소함수  및 리만 적분 가능 함수 에 대하여, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
*:
* 임의의 단조함수  및 리만 적분 가능 함수 에 대하여, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
*:
첫 번째·두 번째 명제는 가 음이 아닌 값을 갖는다고 가정한다. 세 번째 명제에서, 는 부호가 변화하는 함수일 수 있으며, 증가함수일 수도 감소함수일 수도 있다. 세 명제 모두 에 대해서는 리만 적분 가능성밖에 가정하지 않는다. 제2 적분 평균값 정리의 증명 역시 중간값 정리를 사용한다. 이를 위해서는 적분 값의 상계와 하계를 주는 부등식을 증명해야 하는데, 만약 가 음이 아닌 실수 값을 갖는다면 이는 자명하다. 만약 의 연속성과 의 1차 연속 미분 가능성을 가정하면, 부분 적분을 사용할 수 있다. 일반적인 경우는 더 복잡하며, 리만 적분을 유한합의 극한으로 전개한 뒤 아벨 변환을 가한다.
임의의 감소함수 에 대하여, , 는 증가함수이다. 임의의 증가함수 에 대하여, , 는 증가함수이며, 음이 아닌 값을 갖는다. 임의의 감소함수 에 대하여, , 는 감소함수이며, 음이 아닌 값을 갖는다. 따라서, 첫 번째 명제를 증명하는 것으로 족하다.
증가함수  및 리만 적분 가능 함수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  역시 리만 적분 가능하며, 는 유계 함수이다. 따라서, 임의의 구간 분할
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에 대하여,
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이다. (여기서
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는 리만 상적분·리만 하적분이다. 는 리만 적분 가능하므로 상적분과 하적분이 같다.)
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라고 하자. 제1 미적분학의 기본 정리에 의하여, 는 연속 함수다.
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라고 하자. 이제, 아벨 변환을 통하여 적분의 상계와 하계를 다음과 같이 구할 수 있다.
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중간값 정리에 따라, 다음을 만족시키는 가 존재한다.
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=== 복소 적분 형태 ===
복소평면 상에서 어떤 점 을 중심으로 하는 반지름 인 원 내에서 정칙인 함수 에 대하여,
: 가 성립한다. 이것을 '''가우스의 평균값 정리'''라고 한다.
코시의 적분공식에서 폐곡선을 원으로 취하면 즉시 얻을 수 있다.
일 때, 양변에 실수부를 취한 다음 형태는 '''조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리'''라고 한다.
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다음은 평균값 정리로부터 간단히 유도되는 몇 가지 명제들이다.
* 구간 에 정의된 실수값함수 가 만약 에서 연속, 의 내부에서 미분 가능하며 항상 이라면, 는 에서 상수함수이다.
* 가 만약 에서 연속, 내부에선 항상 라면, 는 에서 상수 차이이다.
* 가 만약 에서 연속, 내부에선 항상 이라면, 는 에서 단조증가한다.
이들의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 첫 번째 명제의 증명이다.  내부의 임의의 두 점 에 대해, 는 에서 평균값 정리의 전제를 만족한다. 따라서 다음을 만족하는 가 존재한다.
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즉 . 이로써 는  내부에서 상수이다. 연속성에 의해  전체에서 상수다.
이 정리의 최초의 입안자는 인도의 바타세리 파라메슈바라(Vatasseri Parameshvara)로 기록되어 있으며 처음으로 공식화한 사람은 오귀스탱 루이 코시이다.
* 조화 함수
* 테일러 급수
* 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
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* Robert G. Bartle, 『실해석학개론(3판)』, 범한서적주식회사, 2006
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