클리퍼드 대수

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환론에서 '''클리퍼드 대수'''(Clifford代數, )는 이차 형식에 의하여 정의되는 결합 대수의 한 종류이다. 복소수체와 사원수환의 일반화이며, 외대수의 양자화로 여길 수 있다.
클리퍼드 대수의 개념은 다양하게 정의될 수 있다.
* 추상적으로 어떤 보편 성질을 통해 정의될 수 있다.
* 구체적으로 텐서 대수의 몫대수로 정의될 수 있다.
=== 보편 성질을 통한 정의 ===
가환환  위의 가군  위의 이차 형식 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 '''클리퍼드 대수''' 는 다음 공리를 만족시키는, 를 포함하는 가장 일반적인 -단위 결합 대수다.
:
즉, 범주론적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.
 위의 단위 결합 대수들의 범주 에서, 를 만족시키는 임의의 대수 가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 준동형 가 존재한다.
:
여기서 는 보통 생략한다.
이는 이차 공간(이차 형식을 갖춘 가군)의 범주 \operatorname{QMod}_K에서 단위 결합 대수의 범주로 가는 함자를 정의한다.
:
(의 사상은 가군 준동형  가운데 인 것이다.)
=== 텐서 대수를 통한 구성 ===
클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다.
:
여기서 는 에 대한 -텐서 대수
:
이며,
:
는 에 의하여 생성되는 양쪽 아이디얼이다.
이 경우
:
이므로, 두 벡터 원소의 반교환자는 의 연관 쌍선형 형식과 같다.
=== 등급과 여과 ===
텐서 대수  는 자연스러운 자연수 등급을 갖는다.
:
클리퍼드 대수는 텐서 대수의 몫인데, 이 경우 몫을 취하는 아이디얼(로 정의되는 동치 관계)은 일반적으로 자연수 등급을 보존하지 않는다. 다만, 이 아이디얼은  등급을 보존한다. 즉,
:
:
을 정의했을 때, 클리퍼드 대수를 구성하는 아이디얼은 위 \mathbb Z/2 구조를 보존하며, 따라서 클리퍼드 대수는  위의 -등급 대수를 이룬다.
:
:
특히, 클리퍼드 대수 에서, 짝수 등급 부분 대수  역시 클리퍼드 대수를 이룬다. 만약
:
:
:
라면,
:
이다.
비록 텐서 대수의 자연수 등급은 등급으로서 살아남지 못하지만, 이는 클리퍼드 대수 위의  자연수 오름 여과를 정의한다. 구체적으로, 텐서 대수 의 등급으로 정의되는 오름 여과
:
를 생각하자. 그렇다면,
:
이다. 클리퍼드 대수를 정의하는 아이디얼 은 이 여과와 호환된다. 구체적으로,  는 의 아이디얼을 이룬다. 따라서, 자연스럽게 몫대수  위에도 여과
:
가 존재하며, 따라서 클리퍼드 대수는 자연수 오름 여과를 갖는다.
이 여과로부터 정의되는 자연수 등급 대수는 외대수와 표준적으로 동형이다.
:
=== 대합 ===
가환환  위의 클리퍼드 대수  위에, 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.
:
(만약 가환환 의 표수가 2라면 이는 항등 함수이다.) 는 항등 함수이므로 이는 대합을 이룬다.
마찬가지로,  위에 다음과 같은 반자기 동형()이 존재한다.
:
:
(여기서 는 반대환을 뜻한다.) 와 는 서로 가환하며, 이 둘을 합성하면 다음과 같은 '''클리퍼드 수반'''()을 얻는다.
:
와  역시 대합을 이룬다.
이 연산들은  등급이 인 원소 에 대하여 다음과 같다.
:
:
:
즉, 이는 에 대하여 다음과 같이 의존한다.
 연산 
  
  
  
 
  
  
  
  
 
  
  
  
  
 
  
  
  
  
 
=== 노름과 내적 ===
가환환  위의 클리퍼드 대수  위에 다음과 같은 쌍선형 형식 및 이차 형식을 정의할 수 있다.
:
:
여기서 은  등급에서, 등급 0의 성분으로의 사영을 뜻한다.
이는 다음 성질을 만족시킨다.
:
만약 가
:
:
라면 (즉, 라면),
:
가 된다. 따라서, 만약 가 반단순 가군이라면 이므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다. 따라서, 가 반단순 가군일 때 클리퍼드 대수의 분해는 가 비특이 이차 형식인 경우로 귀결된다. 특히, 가 체(또는 유한 개의 체들의 직접곱)라면, 모든 가군은 반단순 가군이 되므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다.
가 체이며, 가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이고, 그 차원이 이라고 하자. 그렇다면, 클리퍼드 대수 는 차원 벡터 공간이다. 이 의 기저라고 하자. 그렇다면 의 기저는 다음과 같이 주어진다.
:
=== 외대수와의 관계 ===
체  위의 클리퍼드 대수 는 -가군으로서 외대수 와 동형이다. 만약 일 경우 는 외대수 와 대수로서 동형이지만, 일 경우 외대수와 대수로서 다르다. 따라서, 클리퍼드 대수는 외대수의 일종의 양자화로 생각할 수 있다.
=== 환론적 성질 ===
가환환  위의 유한 생성 사영 가군  위의 비퇴화 이차 형식 의 클리퍼드 대수 는 등급 아즈마야 대수()이다. 또한, 만약 모든 소 아이디얼 에 대하여 가 짝수 계수 -자유 가군이라면, 는 짝수형 등급 아즈마야 대수이며, 반대로 만약 모든 소 아이디얼 에 대하여 가 홀수 계수 -자유 가군이라면, 는 홀수형 등급 아즈마야 대수이다. (여기서 는 국소화이다.)
특히, 만약 가 표수가 2가 아닌 체라면, 는 등급 중심 단순 대수()이다.
* 만약 가 짝수 차원이라면 는 짝수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, 이며, -등급 구조를 잊으면 중심 단순 대수를 이룬다.
* 만약 가 짝수 차원이라면 는 홀수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, -등급 구조를 잊으면 는 중심 단순 대수가 아니지만, 는 중심 단순 대수를 이룬다.
==== 반단순성 ====
표수가 2가 아닌 체  위의 유한 차원 벡터 공간  위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
:
이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 는 (유한 차원 -벡터 공간이므로) 항상 아르틴 환이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 는 반단순환이다. 즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱이다.
* 모든 에 대하여 이다.
또한, 는 2개 이하의 단순환의 직접곱이다.
==== 중심 ====
표수가 2가 아닌 체  위의 유한 차원 벡터 공간  위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
:
이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 의 중심은 다음과 같다.
:
==== 스칼라 확대 ====
가환환 , 과 환 준동형  및 -가군  및 그 위의 이차 형식 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 스칼라 확대 의 클리퍼드 대수는 다음과 같은 -등급 -대수이다.
:
=== 클리퍼드 군 ===
클리퍼드 대수의 특정 가역원들은 '''클리퍼드 군'''이라는 군을 이룬다. 핀 군과 스핀 군은 클리퍼드 군의 부분군을 이룬다.
=== 직합에 대한 분해 ===
가환환  및 임의의 두 -등급 -단위 결합 대수 , 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:
위에 다음과 같은 등급 -단위 결합 대수의 구조를 부여할 수 있다.
:
:
:
여기서  및 은 등급이 0 및 1인 성분들의 부분 집합이다. 이 등급 -단위 결합 대수를 으로 표기하자.
가환환  위의 두 이차 공간 , 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 직합  위의 클리퍼드 대수는 -등급 -단위 결합 대수로서 다음과 동형이다.
:
따라서, 클리퍼드 대수의 분류는 직합으로 분해할 수 없는 이차 공간 위의 클리퍼드 대수의 분류로 귀결된다.
=== 체 위의 클리퍼드 대수의 분류 ===
표수가 2가 아닌 체  위의 차원 벡터 공간  위의 비퇴화 이차 형식 로 정의되는 클리퍼드 대수 는 등급 중심 단순 대수()이며, 이에 대하여 완전한 분류가 존재한다. 이는 다음과 같다.
* 이 짝수일 때: 는  위의 중심 단순 대수이다.
**  ()의 꼴이라면, 는  위의 중심 단순 대수이다.
** 의 꼴이라면, 는  위의 어떤 중심 단순 대수 의 제곱과 동형이다.
* 이 홀수일 때: 는  위의 중심 단순 대수이다.
**  ()의 꼴이라면, 는 확대체  위의 중심 단순 대수이다.
** 의 꼴이라면, 은  위의 어떤 중심 단순 대수 의 제곱과 동형이다.
아르틴-웨더번 정리에 의하여, 체  위의 차원 중심 단순 대수는 어떤 -중심 단순 대수인 차원 나눗셈환  위의 행렬환 과 동형이다.
=== 복소수 클리퍼드 대수 ===
가 복소수체이며, 가 비퇴화 이차 형식이 주어진 유한 차원 복소수 벡터 공간이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직 만 고려하면 된다. 이에 대한 클리퍼드 대수를 로 쓰면, 이는 -단위 결합 대수로서 다음과 같다.
:
즉, 다음과 같은 주기 2의 보트 주기성이 존재한다.
:
특히, 낮은 차원의 경우 이는 다음과 같다.
:
: (테사린, tessarine)
: (2×2 복소 행렬)
=== 실수 클리퍼드 대수 ===
가 실수체이며, 가 유한 차원 실수 벡터 공간이고, 가 부호수가 인 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.
: (실수)
: (복소수)
: (분할복소수)
: (사원수)
: (2×2 실수 행렬)
또한, 다음과 같은 주기 8의 보트 주기성이 성립한다.
:
:
:
이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.
즉, 실수 클리퍼드 대수 들은 다음과 같은 '''클리퍼드 시계'''(Clifford時計, )로 나타낼 수 있다.
:
즉, 는 이 가리키는 방향에 적힌 대수 위의 행렬 대수이며, 행렬 대수의 크기는 으로부터 계산할 수 있다. 예를 들어, 일 때
:
이다.
=== 홀수 표수의 유한체 ===
홀수 표수의 유한체  위의 차원 벡터 공간 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식
:
이 주어졌다고 하자. 이 경우
:
을 정의하자.
이 경우, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.
  
  
   
   
 
 제곱수 (가 플러스형) 
 짝수 
  
  
 
 제곱수 
 홀수 
  
  
 
 제곱수가 아님  (가 마이너스형) 
 짝수 
 
  
 
 제곱수가 아님 
 홀수 
  
  
 
홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식(의 동형류)가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있다.
=== 표수 2의 유한체 ===
표수 2에서는 등급 텐서곱 이 일반 텐서곱 과 같다. 표수 2의 유한체  위의 차원 벡터 공간 위의 모든 비퇴화 이차 형식은 다음과 같은 두 2차원 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.
:
:
이 경우  및  둘 다  위의 중심 단순 대수를 이룬다. 따라서, 차원 벡터 공간 위의 임의의 비퇴화 이차 형식 의 클리퍼드 대수는 행렬환과 동형이다.
:
 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 임의의 이차 형식 는 다음과 같이 비퇴화 이차 형식 과 다음 두 퇴화 이차 형식 가운데 하나와의 직합으로 표현할 수 있다.
:
 및  둘 다 외대수와 동형이다. 후자의 경우, 구체적으로 클리퍼드 대수
:
에서 로 놓으면 이므로 이는 단위 결합 대수로서 외대수 와 동형이다.
가환환  위의 클리퍼드 대수 는 특수한 경우 다음과 같다.
* 만약 이라면 는 외대수이다.
* 만약 이 자명 가군이며, 이 그 위의 유일한 이차 형식이라면, 이다.
=== 1차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수 ===
만약 가 1차원 자유 가군이며, 라면, 이다. 따라서, 이 경우는 의 동치류 에 의하여 분류된다.
만약 추가로 가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체라면,
:
이다. 구체적으로, 일 경우
:
를 정의한다면,
:
이므로 가 된다.
=== 2차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수 ===
체  위의 2차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식에 의하여 정의되는 클리퍼드 대수는 '''사원수형 대수'''(, )라고 한다.
체 위의 사원수형 대수는 환으로서 항상 나눗셈환을 이루거나 또는 2×2  위의 행렬환 과 동형이다. 후자의 경우, '''분할 사원수형 대수'''(, )라고 한다.
가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 그 위의 사원수형 대수는 다음과 같이 표기한다.
:
보통 (사원수와 마찬가지로) 로 표기한다.
가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 가 분할 사원수형 대수이다.
* 힐베르트 기호 이다. 즉, 의 해가 에서 존재한다.
사원수의 환 는 실수체 위의 사원수형 대수 이다.
복소해석학의 여러 성질들을 클리퍼드 대수 값을 갖는 함수에 대하여 일반화할 수 있다.
=== 디랙 연산자 ===
유클리드 공간  속의 열린집합  위의  함수
:
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이러한 함수에 대하여 디랙 연산자
:
를 생각할 수 있다 (는 의 정규 직교 기저). 만약 가
:
를 만족시킨다면, 를 '''왼쪽 정칙 함수'''()라고 하며, 만약 가
:
를 만족시킨다면, 를 '''오른쪽 정칙 함수'''()라고 한다.
디랙 연산자의 제곱은
:
이므로, 는 라플라스 연산자 의 일종의 제곱근이다.
=== 코시 적분 공식 ===
클리퍼드 대수 값의 함수에 대하여 일종의 코시의 적분 정리가 성립한다. 즉,
* 두 열린집합 가 주어졌으며 (는 위상수학적 폐포)
* 는 유계 집합이자 단일 연결 공간이며,
* 경계 가 조각별  미분 가능 다양체를 이루며,
* 는  함수이며,
* 는 왼쪽 정칙 함수이며 는 오른쪽 정칙 함수라고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.
:
여기서
* 는  위의 바깥 방향 수직 단위 벡터이며,
* 는  위의 르베그 측도이다.
또한, 다음이 성립한다.
:
:
여기서
:
는 차원 단위 초구의 넓이이다.
=== 등각 변환 ===
리만 구  위의 등각 변환은 복소수 계수의 뫼비우스 변환
:
로 나타낼 수 있다. 마찬가지로,  위의 등각 변환은 클리퍼드 대수  계수의 뫼비우스 변환
:
으로 나타내어진다. 이 경우, 2×2 행렬
:
를 등각 변환의 '''알포르스-팔렌 행렬'''()이라고 한다. 2×2 행렬
:에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 은 알포르스-팔렌 행렬이다. 즉,  위의 등각 변환을 정의한다.
* 이며, 이다.
특히, 이 경우 뫼비우스 변환의 역원은 다음과 같다.
:
=== K이론 ===
위상 K이론은 클리퍼드 대수와 깊은 관련이 있다. 구체적으로, KO-이론의 주기 8의 보트 주기성은 실수 클리퍼드 대수의 주기 8의 보트 주기성과 관련되고, 마찬가지로 KU-이론의 주기 2의 보트 주기성은 복소수 클리퍼드 대수의 주기 2의 보트 주기성과 관련된다.
=== 물리학 ===
양자장론에서, 4차원 디랙 스피너를 다룰 때 등장하는 디랙 행렬  ()들의 곱은 복소수 클리퍼드 대수 를 생성한다. 마찬가지로, 3차원 스피너를 다룰 때 등장하는 파울리 행렬 들은 를 만족시키며, 클리퍼드 대수 를 이룬다. 스피너의 벡터 공간은 이와 같은 클리퍼드 대수 위의 가군을 이룬다.
영국의 기하학자 윌리엄 킹던 클리퍼드가 도입하였다. 클리퍼드는 1876년 3월 10일에 런던 수학회()에서 〈기하학적 대수의 분류에 대하여〉()라는 제목의 강의를 하였으며, 그 미출판 원고는 클리퍼드 사후에 발견되었다. 1878년에 클리퍼드는 미국의 수학 저널에 관련 논문을 출판하였다.
루돌프 립시츠는 클리퍼드와 독자적으로 1880년에 클리퍼드 대수를 발견하였고, 또 클리퍼드 군을 최초로 사용하였다.
알포르스-팔렌 행렬은 오스트리아의 카를 테오도어 팔렌()이 1902년에 도입하였고, 이후 핀란드의 라르스 알포르스가 재발견하였다.
1964년에 마이클 아티야 · 라울 보트 · 아놀드 새뮤얼 샤피로()는 클리퍼드 대수가 위상 K이론과 깊은 관련이 있음을 발견하였다.
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* 기하적 대수학
* 디랙 연산자
* 디랙 행렬
* 사원수
* 스피너
* 스핀 군
* 스핀 다양체
* 외대수
* 케일리-딕슨 구성
* 팔원수
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분류:대수
분류:이차 형식