쉴로브 정리

군론에서 '''쉴로브 정리'''() 또는 '''실로우 정리'''는 유한군의 특정한 크기의 부분군의 구조에 대한 일련의 정리들이다. 라그랑주 정리의 부분적 역이며, 코시 정리를 일반화한다. 유한군의 이론에서 중요한 역할을 한다.
소수 가 주어졌을 때, ''p''-군은 모든 원소의 위수가 의 거듭제곱인 군이다. '''쉴로브 ''p''-부분군'''()은 극대 ''p''-부분군이다. 즉, 군 의 ''p''-부분군 가 다음 조건을 만족시키면, 쉴로브 ''p''-부분군이라고 한다.
* 임의의 ''p''-부분군 에 대하여, 만약 라면,  또는 이다.
쉴로브 ''p''-부분군의 집합을 로 표기하자.
유한군 와 소수 가 주어졌고, 어떤 음이 아닌 정수 와 양의 정수 에 대하여
:
이며 와 이 서로소라고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여, 다음 세 개의 정리가 성립한다.
* '''제1 쉴로브 정리'''(): 크기가 인 의 부분군이 존재한다.
* '''제2 쉴로브 정리'''(): 임의의 쉴로브 ''p''-부분군  및 ''p''-부분군 에 대하여, 인 가 존재한다. 특히, 의 모든 쉴로브 ''p''-부분군은 서로 켤레이며, 모든 쉴로브 ''p''-부분군의 크기는 이다.
* '''제3 쉴로브 정리'''(): 크기가 인 의 부분군의 총수가 이며 (특히 ), 가 의 임의의 쉴로브 ''p''-부분군이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
** 
** 
** . (여기서 는 정규화 부분군이다.)
다음은 인 경우에 대한 증명들이며, 일부 증명은 임의의 에 대한 경우에도 적용 가능하다.
=== 제1 정리 ===
==== 켤레 작용을 통한 증명 ====
크기가 인 의 부분군을 찾는 것으로 족하다. 군의 크기 에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 가 한원소 집합이 아닌 의 켤레류들의 대표원이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 켤레류 방정식이 성립한다.
:
이 경우 각 에 대하여 는 의 진부분군이다.
만약 이 의 약수가 되는 가 존재한다면, 수학적 귀납법의 가정에 의하여 는 인 부분군 를 가지며, 이는 자명하게 의 부분군이다.
이제, 임의의 에 대하여, 이 의 약수가 아니라고 하자. 인 경우는 자명하다. 만약 이라면, 는 의 소인수다. 코시의 정리에 의하여 는 인 부분군 를 가지며, 이는 의 정규 부분군이다. 수학적 귀납법의 가정에 의하여, 몫군 는 크기가 인 쉴로브 ''p''-부분군 를 가지며, 이 경우 는 크기가 인 의 부분군이다.
==== 빌런트의 증명 ====
헬무트 빌런트()의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 이라고 하자. 다음과 같은 집합을 생각하자.
:
이 위에 는 왼쪽 곱셈을 통해 다음과 같이 작용한다.
:
:
이 작용의 궤도들의 대표원을 라고 하자. 그렇다면 이 작용에 대한 류의 방정식은 다음과 같다.
:
또한
:
은 와 서로소이므로 (이는 각 에 대하여 와 의 소인수 의 중복도가 의 소인수 의 중복도와 같기 때문이다), 궤도의 크기 가 와 서로소인 가 존재한다. 의 안정자군을 라고 하자. 그렇다면, 는 의 부분군이며, 궤도-안정자군 정리에 의하여 는 을 약수로 갖는다. 또한 에 대하여,
:
:
는 단사 함수이므로, 이다.
==== 정규화 부분군을 통한 증명 ====
임의의 쉴로브 ''p''-부분군(즉, 극대 ''p''-부분군) 에 대하여 임을 보이는 것으로 족하다. 의 정규화 부분군 를 생각하자. 그렇다면 는 의 정규 부분군이므로, 몫군 를 취할 수 있다.
우선, 가 의 소인수가 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여 가 의 소인수라고 가정하자. 그렇다면, 코시의 정리에 의하여 인 부분군 가 존재한다. 이 경우 부분군 는 의 부분군이며, 를 만족시킨다. 이는 가 쉴로브 ''p''-부분군인 데 모순이다.
이제, 가 의 소인수가 아님을 증명하자. 왼쪽 잉여류의 집합  위에서 가 다음과 같이 작용한다고 하자.
:
:
그렇다면, 이 작용에 대한 류의 방정식을 생각하면 다음과 같은 합동식을 얻는다.
:
따라서, 가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이면 된다. 만약 가 임의의 에 대하여
:
를 만족시킨다면, 이며, 는 ''p''-군이므로 의 위수는 의 거듭제곱이다. 따라서 의 (에서의) 위수 역시 의 거듭제곱이며, 또한 이는 의 약수이므로, 의 위수는 1이다. 즉, 이며, 이다. 즉, 가 성립한다.
이 두 가지 사실을 종합하면 을 얻는다. 이는
:
때문이다.
=== 제2 정리 ===
==== 왼쪽 곱셈 작용을 통한 증명 ====
크기가 인 쉴로브 ''p''-부분군 를 취하자. 임의의 ''p''-부분군 에 대하여, 인 의 존재를 보이면 된다. 왼쪽 잉여류의 집합  위에서 가 다음과 같이 작용한다고 하자.
:
:
또한, 의 크기는 와 서로소이므로, 궤도의 크기가 와 서로소인 원소 를 가지며, 이에 대한 안정자군은  전체와 같다. 즉, 다음이 성립한다.
:
==== 이중 잉여류를 통한 증명 ====
크기가 인 쉴로브 ''p''-부분군 를 취하자. 임의의 ''p''-부분군 에 대하여, 인 의 존재를 보이면 된다. 이중 잉여류들의 집합
:
는 의 분할을 이루므로, 다음이 성립한다.
:
즉,
:
이다. 또한 는 와 서로소이므로, 가 와 서로소가 되는 가 존재한다. 즉, 이 에 대하여
:
이다. 따라서,
:
이 성립한다.
=== 제3 정리 ===
==== 켤레 작용을 통한 증명 ====
쉴로브 ''p''-부분군의 집합을 라고 하고, 이 위의 켤레 작용
:
:
를 생각하자. 그렇다면, 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 추이적 작용이며, 임의의 에 대하여, 그 안정자군은 정규화 부분군 이다. 따라서
:
이며, 이는
:
의 약수이다.
이제, 임의의 에 제한된 켤레 작용
:
:
를 생각하자. 이에 대한 류의 방정식에 의하여 합동식
:
가 성립한다. 이제 가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 가 임의의 에 대하여 를 만족시킨다면, 이며, 제2 쉴로브 정리에 의하여 다음을 만족시키는 가 존재한다.
:
따라서, 합동식
:
가 성립한다.
==== 빌런트의 증명 ====
집합
:
을 생각하자. 그렇다면, 는 정확히 다음과 같은 집합이다.
:
여기서 는 의 오른쪽 잉여류들의 집합이다. (이는 모든 쉴로브 ''p''-부분군이 자신의 오른쪽 잉여류의 안정자군이기 때문이다.) 따라서,
:
이다.
임의의 의 안정자군 은 ''p''-부분군이다. 이는 임의의 에 대하여, 이므로, 가 의 일부 오른쪽 잉여류들로 분할되기 때문이다. 특히, 의 원소들의 안정자군은 ''p''-부분군이다. 또한, 는 의 작용에 대하여 닫혀있으므로,  속 궤도들의 대표원 를 취할 수 있으며, 이 경우
:
가 성립한다.
또한,
:
가 성립한다. 이는 임의의 에 대하여, 의 소인수 의 중복도가 라고 할 때,
:
이기 때문이다.
이들 결론을 종합하면
:
을 얻으며, 이므로
:
가 성립한다.
유한군 와 소수 가 주어졌다고 하자.
=== 연산에 대한 닫힘 ===
만약 가 의 쉴로브 ''p''-부분군이며, 이 의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다.
* 은 의 쉴로브 ''p''-부분군이다.
* 은 의 쉴로브 ''p''-부분군이다.
가 의 쉴로브 ''p''-부분군이라고 하자. 그렇다면 인 가 존재한다. 따라서
:
이며,
:
이다. 은 의 ''p''-부분군이므로,
:
이며, 은 의 쉴로브 ''p''-부분군이다.
두 번째 명제는 첫 번째 명제와
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으로부터 유도된다.
=== 충분 조건 ===
만약 가 의 ''p''-부분군이며, 라면, 는 의 쉴로브 ''p''-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
가 의 켤레 부분군의 집합
:
위에서 다음과 같이 작용한다고 하자.
:
:
그렇다면, 각 궤도의 크기는 의 약수이며, 특히 의 거듭제곱이다.
이제, 가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 가 임의의 에 대하여 를 만족시킨다면, 인 를 취하면
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이므로, 이다.
따라서, 류의 방정식과 궤도-안정자군 정리에 의하여
:
이며, 특히 는 의 쉴로브 ''p''-부분군이다.
=== 교집합 ===
만약 가 의 모든 쉴로브 ''p''-부분군의 교집합이라고 하면, 는 의 특성 부분군이자 유일한 극대 정규 ''p''-부분군이다. 만약 가 의 정규 쉴로브 ''p''-부분군이라면, 이며, 는 의 유일한 쉴로브 ''p''-부분군이다.
우선, 가 의 정규 부분군임을 보이자. 이는 쉴로브 ''p''-부분군 에 대하여,
:
가 의 정규핵이기 때문이다.
이제, 가 의 모든 정규 ''p''-부분군을 포함함을 보이자. 임의의 정규 ''p''-부분군  및 쉴로브 ''p''-부분군 에 대하여, 임을 보이면 된다. 이 의 부분군이며,
:
이므로 이는 ''p''-부분군이다. 따라서 이며, 특히 이다.
이에 따라 는 의 유일한 극대 정규 ''p''-부분군이다. 극대 정규 ''p''-부분군은 자기 동형 사상에 대하여 불변인 성질이다. 즉, 임의의 자기 동형 사상 에 대하여,  역시 의 극대 정규 ''p''-부분군이며, 따라서 이다. 즉, 는 의 특성 부분군이다.
만약 가 의 정규 쉴로브 ''p''-부분군이라면, 이므로,
:
이며, 따라서 이다.
다음과 같은 조건을 생각하자.
* 인 두 쉴로브 ''p''-부분군 가 존재한다.
이 조건의 일부 충분 조건들은 다음과 같다.
* 는 홀수 비(非)메르센 소수이다.
* 는 홀수이다.
* 이며, 는 페르마 소수나 메르센 소수를 소인수로 갖지 않는다.
=== 프라티니 논증 ===
만약 이 의 정규 부분군이며, 가 의 쉴로브 ''p''-부분군이라면, 이다. 이를 프라티니 논증이라고 한다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다. 만약 가 의 쉴로브 ''p''-부분군, 가 의 부분군이며, 라면, 이다. 특히, 가 성립한다.
실로우의 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 몇 가지 대표적인 것들은 다음과 같다. 와 가 소수이며, 라고 하자.
* 일 경우,  크기가 인 군은 순환군과 동형이다.
* 일 경우, 크기가 이며, 아벨 군이 아닌 군들은 모두 서로 동형이다.
* 크기가  ()인 군은 단순군이 아니다. 이는 번사이드 정리의 특수한 경우다.
노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.
* 쉴로브 기저
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