리 대수

'''리 대수'''(Lie代數, )는 리 군의 국소적 구조를 나타내는 대수 구조이다. 좀 더 엄밀히 말하면, 리 괄호라 부르는, 야코비 항등식을 만족하는 교대 쌍선형 이항 연산을 지닌 벡터 공간이다.
가환환  위에 정의된 '''리 대수''' 는 -가군 와 다음을 만족하는 선형 변환 로 이루어진다.
* (쌍선형성) 모든 와 에 대해 이다.
* (교대성) 모든 에 대하여 이다.
* (야코비 항등식) 모든 에 대해 이다.
이 이항 연산은 '''리 괄호'''(Lie括弧, )로 불린다. 리 대수의 '''준동형'''은 리 괄호를 보존하는 선형 변환이다.
만약 에서 2의 역원 이 존재한다면 (예를 들어, 가 표수가 2가 아닌 체라면), 교대성을 반대칭성, 즉 모든 에 대하여 인 성질로 대체할 수 있다. (2가 가역원이 아니라면, 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.)
통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자  등으로 나타낸다.
정수환  위의 리 대수를 '''리 환'''(Lie環, )이라고 부르기도 한다. 이름과 달리 리 환은 (곱셈 결합 법칙을 따르는) 환을 이루지 않는다.
=== 부분 대수와 아이디얼 ===
가환환  위의 리 대수 의 '''부분 리 대수'''() 는 리 괄호에 대하여 닫힌 -부분 가군이다. 즉, 이며 이다.
가환환  위의 리 대수 의 '''리 대수 아이디얼''' 는 를 만족하는 -부분 가군이다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수다. 이는 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념으로, 마찬가지로 '''몫 리 대수'''() 를 정의할 수 있다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
=== 등급 리 대수 ===
환의 개념에 등급을 붙여 등급환을 정의할 수 있는 것처럼, '''등급 리 대수'''(等級Lie代數, )의 개념을 정의할 수 있다.
가환 모노이드 가 주어졌다고 하자. 가환환  위의,  등급을 갖는 '''등급 리 대수''' 는 다음과 같이, 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉,
:
:
이다.
=== 리 군론적 성질 ===
리 군론에서, 실수체 또는 복소수체 위의 리 대수는 실수 또는 복소수 리 군과 밀접한 관계를 가진다. 모든 리 군에 대하여, 그 왼쪽 불변 벡터장들은 유한 차원 실수 리 대수를 이루며, 반대로 모든 유한 차원 실수 리 대수는 유일한 연결 단일 연결 리 군의 동형류에 표준적으로 대응한다.
통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 이다.
=== 보편 대수학적 성질 ===
리 군과 달리, 주어진 체  위의 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 이 대수 구조 다양체는 다음과 같은 연산을 갖는다.
* 0항 연산:
** 0 (덧셈 항등원)
* 1항 연산:
** − (덧셈 역원)
** 임의의 에 대하여, 스칼라곱 
* 2항 연산:
** + (덧셈)
**  (리 괄호)
이는  위의 벡터 공간의 대수 구조에 리 괄호를 추가한 것이다. 이에 따라 자유 리 대수의 개념이나 리 대수의 직접곱을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 직접곱은 직합과 같다.
이 밖에도, 다음과 같은 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.
* 아벨 리 대수. 이는 항등식 으로 정의된다.
* 형의 멱영 리 대수. 이는 내림 중심렬의 길이가  이하인 리 대수이다.
* 형의 가해 리 대수. 이는 유도열의 길이가  이하인 리 대수이다.
리 대수의 대수 구조 다양체들의 모임 위에는 다음과 같이 이항 연산을 정의할 수 있다. 리 대수의 대수 구조 다양체 , 가 주어졌을 때, 그 곱 는 의 원소들의, 에 속한 리 대수 아이디얼에 대한 리 대수 확대로 구성된다.
=== 범주론적 성질 ===
주어진 체  위의 리 대수와 리 대수 준동형의 범주 는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
리 대수의 범주에서, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하며, 이는 둘 다 직합이다. 리 대수의 범주는 영 대상을 가지며, 이는 유일한 0차원 리 대수이다. 리 대수의 범주는 또한 핵과 여핵을 갖는다. 리 대수 준동형 의 핵은 의 원상 이며, 이는 리 대수 아이디얼을 이룬다. 의 여핵은 그 치역 를 포함하는 가장 작은 리 대수 아이디얼에 대한 몫 리 대수이다. (이러한 리 대수 아이디얼은 유일하다.)
리 대수의 범주는 아벨 군의 범주  위의 풍성한 범주()이다. 그러나 아이디얼이 아닌 부분 리 대수가 존재하므로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 않는다.
체  위의 단위 결합 대수의 범주 에서 체  위의 리 대수의 범주 로 가는 망각 함자
:
가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 보편 포락 대수 함자
:
이다.
=== 오퍼라드 이론적 성질 ===
리 대수의 구조를 묘사하는 오퍼라드인 '''리 오퍼라드'''() 가 존재한다. 즉, 체  위의 리 대수는 -벡터 공간의 범주 위의 -대수이다. 마찬가지로, -초 벡터 공간의 범주 위의 -대수는 '''리 초대수'''라고 한다.
다른 오퍼라드와 마찬가지로, 리 오퍼라드의 호모토피화를 정의할 수 있다. 즉, 야코비 항등식이 "호모토피 동치 아래" 성립하는 대수를 정의할 수 있다. 이를 '''L∞-대수'''라고 한다.
=== 중심 ===
가환환  위의 리 대수 의 '''중심'''(中心, ) 은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.
:
이는 아벨 리 대수를 이루며, 또한 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.
=== 몫 리 대수 ===
가환환  위의 리 대수 의 리 대수 아이디얼 가 주어졌을 때, '''몫 리 대수'''() 를 정의할 수 있다. -가군으로서, 는 몫가군 이다. 이 위의 리 괄호는 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.
:
이는 아이디얼의 정의에 따라 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다.
=== 직합 ===
가환환  위의 두 리 대수 , 가 주어졌을 때, 그 '''직합''' 를 정의할 수 있다. 이는 가군으로서의 직합과 일치하며, 그 위의 리 괄호는 다음과 같이 성분별로 정의된다.
:
:
:
보다 일반적으로, -리 대수의 집합 이 주어졌을 때, 그 직합
:
를 정의할 수 있다. 마찬가지로, -리 대수의 집합 이 주어졌을 때, 그 '''직접곱'''
:
를 정의할 수 있다. 유한 직접곱은 유한 직합과 일치하지만, 무한 직접곱은 일반적으로 무한 직합보다 더 크다.
실수체 위의 리 대수의 직합·직접곱은 리 군의 직접곱에 대응한다. 반면, 리 대수의 텐서곱은 일반적으로 정의될 수 없다.
=== 리 대수의 확대 ===
군에 대하여 군의 확대를 정의할 수 있는 것처럼, 리 대수의 '''확대'''(擴大, )를 다음과 같이 정의할 수 있다. 리 대수의 범주에서는 영 대상과 핵 · 여핵이 존재하므로, 완전열의 개념을 정의할 수 있다. 리 대수의 짧은 완전열
:
이 주어졌다면, 를 의 로의 '''확대'''라고 한다. 만약 가 의 중심에 속한다면, 이를 (군의 경우와 마찬가지로) '''중심 확대'''(中心擴大, )라고 한다.
=== 반직접합 ===
군에 대하여 반직접곱을 정의할 수 있는 것처럼, 두 개의 리 대수의 '''반직접합'''()을 정의할 수 있다. 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.
=== 미분 ===
체  위의 리 대수  위의 '''미분'''(微分, )은 다음과 같은 -선형 변환이다.
:
이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.
:
리 대수  위의 미분들의 벡터 공간을 라고 쓰자. 이 위에 다음과 같은 리 괄호를 부여한다면 이 역시 리 대수를 이루며, 이를 '''미분 리 대수'''() 라고 한다.
:
이는 의 부분 리 대수를 이룬다. 만약 가 아벨 리 대수라면 이다.
일 경우, 는 리 대수의 (리 군인) 자기 동형군 의 리 대수와 같다. 즉, 리 대수의 미분은 무한소 자기 동형으로 생각할 수 있다.
임의의 원소 에 대하여, 딸림표현 는 미분을 이룬다. 이러한 미분을 '''내부 미분'''(內部微分, )이라고 한다.
우선 다음 성질을 정의하자.
* '''아벨 리 대수'''(Abel Lie代數, )는 임의의 에 대하여 인 대수다.
* '''멱영 리 대수'''는 다음을 만족한다. 이고, 로 정의하자. 그렇다면 인 이 존재한다.
* '''가해 리 대수'''는 다음을 만족한다. 이고, 로 정의하자. 그렇다면 인 이 존재한다.
* '''단순 리 대수'''는 자신이나 0이 아닌 리 대수 아이디얼을 가지지 않고, 가환하지 않는 리 대수다.
* '''반단순 리 대수'''는 0이 아닌 가환 리 대수 아이디얼을 지니지 않는 리 대수다.
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:아벨 리 대수 ⊊ 멱영 리 대수 ⊊ 가해 리 대수 ⊊ 리 대수
:단순 리 대수 ⊊ 반단순 리 대수 ⊊ 리 대수
다음을 보일 수 있다.
* 임의의 유한 차원 실수 또는 복소 리 대수는 행렬로 충실히 표현할 수 있다. ('''아도 정리''' )
* 임의의 유한 차원 실수 리 대수는 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접합으로 나타낼 수 있다. ('''레비 분해''' )
* (실수 또는 복소수) 콤팩트 리 군의 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다. (이를 간혹 '''콤팩트 리 대수'''라 부르기도 한다. 물론, 리 대수는 벡터 공간이므로 위상수학적으로 절대 콤팩트 공간이 아니다.)
* 모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.
아벨 리 대수는 자명하게 차원으로 분류된다. 실수와 복소수 단순 리 대수는 완전히 분류되었다. 복소수 단순 리 대수는 4개의 무한한 족과 5개의 예외적 대수로 분류되며, 주어진 복소수 단순 리 대수에 대응되는 (유한한 수의) 실수 단순 리 대수 역시 완전히 알려져 있다. 그러나 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다.
3차원 이하의 실수 리 대수에 대하여, '''비앙키 분류'''()라는 분류가 존재한다. 이는 루이지 비앙키가 도입하였다.
=== 2차원 이하 리 대수 ===
임의의 체 에 대하여, 2차원 이하의 리 대수는 다음 네 가지밖에 없다.
* 0차원 아벨 리 대수 
* 1차원 아벨 리 대수 
* 2차원 아벨 리 대수 
* 2차원 비아벨 가해 리 대수 . 여기서 는 곱셈 으로 잡을 수 있다.
2차원에서의 유일한 비아벨 실수 리 대수는 다음과 같이 생각할 수 있다.
* 특수 상삼각 행렬 대수 . 이는 2×2 상삼각 행렬 가운데, 대각합이 0인 것들로 구성된다.
* 1차원 아핀 대수 
=== 3차원 실수 리 대수 ===
모든 3차원 실수 리 대수는 단순 리 대수이거나 가해 리 대수이다. 3차원 단순 리 대수는
실수 반단순 리 대수는 와  두 개가 있다. 전통적으로 는 '''VIII형''', 는 '''IX형'''으로 불린다.
3차원 실수 가해 리 대수는 아벨 리 대수의 반직접합 으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 작용
:
:
는 2×2 실수 정사각 행렬 에 의하여 완전히 결정된다. 과  (, )는 동형인 반직접합을 결정하므로, 이러한 리 대수의 분류는 2×2 실수 정사각 행렬의 닮음 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같이 의 조르당 표준형으로 결정되며, 이들에는 전통적으로 '''I형'''~'''VII형'''으로의 이름이 붙어 있다.
:
이 가운데 '''I형'''은 아벨 리 대수이며, '''II형'''은 하이젠베르크 대수 이자 2차원 갈릴레이 대수 이다. 이 둘은 위 분류 가운데 유일한 멱영 리 대수들이다. '''III형'''은 직합 와 같다. '''V형'''은 평면의 닮음 변환군(, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 리 대수 이며, '''VI0형'''은 (1,1)차원 푸앵카레 대수 와 같으며, '''VII0형'''은 2차원 유클리드 대수 와 같다. II형과 VI0형은 3차원 다양체의 기하화 추측의 8가지 기하 가운데 각각 영기하와 해기하에 대응한다. '''VI형'''과 '''VII형'''은 무한한 족을 이루며, 나머지는 모두 (동형 아래) 하나의 리 대수에 대응한다.
즉,
:
일 경우, 로 잡으면 그 리 괄호는 구체적으로 다음과 같다.
:
:
 형 
 다른 이름 
 단일 연결 리 군의 중심 
 외부자기동형군 
 성질
 I형 
 아벨 리 대수 
  
  
 아벨 리 대수
 II형 
 하이젠베르크 대수 , 갈릴레이 대수 
  
  
 멱영 리 대수
 III형 
 
  
 
 가해 리 대수
 IV형 
 0
 
 V형 
 닮음 변환 대수 
 
 VI형 
 
 VI0형 
 푸앵카레 대수 
 
 VII형 
 
 VII0형 
 유클리드 대수 
  
 
 VIII형 
 특수 선형 대수
  
 
 단순 리 대수
 IX형 
 직교 대수/유니터리 대수 
  
 1
=== 3차원 복소수 리 대수 ===
3차원의 복소수 리 대수의 비앙키 분류는 실수의 경우와 유사하지만, 대수적으로 닫힌 체이므로 더 간단하다.
3차원 복소수 단순 리 대수의 경우,  하나밖에 없다. 이는 전통적으로 '''VIII/IX형'''으로 불린다.
3차원 복소수 가해 리 대수의 경우, 마찬가지로 2×2 복소수 행렬의 조르당 표준형의 분류로 귀결되는데, 이 경우 VI형과 VII형이 같아지며, VI0형과 VII0 형이 같아진다.
:
=== 4차원 이상 ===
레비 분해에 따라, 리 대수의 분해는 가해 리 대수의 분류로 귀결된다. 임의의 표수의 체 위의, 4차원 이하의 리 대수는 그뢰브너 기저를 사용하여 최근에 완전히 분류되었다.
=== 아벨 리 대수 ===
가환환  위의 자명한 가군  위에, 자명한 리 괄호 를 준다면 이는 리 대수를 이룬다. 이는 리 대수의 범주의 영 대상이다.
보다 일반적으로, 가환환  위의 가군  위에 자명한 리 괄호 을 준다면 이 역시 리 대수를 이룬다. 이를 '''아벨 리 대수'''()라고 한다. 만약 가 실수체이거나 복소수체라면, 이는 실수 또는 복소수 아벨 리 군의 리 대수이다.
=== 단위 결합 대수의 리 대수 구조 ===
가환환  위의 단위 결합 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  위에 다음과 같이 리 괄호를 환 교환자로 정의하면, 는 리 대수를 이룬다.
:
특히,  위의  정사각 행렬들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 리 대수는 일반 선형 대수 이다.
=== 미분 ===
가환환  위의 (결합 대수가 아닐 수 있는) 대수 가 주어졌다고 하자.  위의 미분들의 집합을 라고 쓰자.  위에 다음과 같은 리 괄호를 교환자로서 정의하자.
:
그렇다면  역시 미분을 이룸을 알 수 있다. 이 리 괄호에 대하여 는 -리 대수를 이룬다.
=== 자유 리 대수 ===
리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, '''자유 리 대수'''()를 정의할 수 있다. 집합  위의 자유 리 대수를 라고 하고,  위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 라고 하자. 그렇다면 는 자연스럽게 의 부분 집합을 이루며, 는 의 보편 포락 대수이다. 는  속의, 로 생성되는 부분 리 대수이다.
=== 벡터장 ===
매끄러운 다양체  위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간 은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.
리 군  위의, 왼쪽 불변 벡터장들은 리 대수 를 이룬다. 즉, 는 의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.
심플렉틱 다양체  위의 매끄러운 함수 에 대하여, 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하자.
:
그렇다면 이는 야코비 항등식을 만족시키며, 따라서 는 -리 대수를 이룬다. 의 꼴로 나타내어지는 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 리 미분은 푸아송 괄호와 일치한다. 즉, 는 해밀턴 벡터장들로 구성된 의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.
보다 일반적으로, 푸아송 다양체 가 주어졌을 때, 는 -리 대수를 이룬다.
=== 형식적 벡터장 ===
표수가 0인 체  위의 형식적 멱급수환 을 생각하자. 이 가환환 위의 미분은 차원 공간 위의 형식적 벡터장으로 생각할 수 있다. 이러한 모든 미분들의 집합 은 리 대수를 이룬다. 의 부분 리 대수를 '''형식적 벡터장 리 대수'''()라고 한다.
두 형식적 벡터장 리 대수 가 의 자기 동형을 통해 관련된다면, 서로 '''좌표 변환 아래 동치'''()라고 한다.
의 '''차수'''는 다음과 같다.
:
여기서 우변에서 이다. 이렇게 형식적 벡터장의 차수를 정의한다면, 가 된다. 따라서, 형식적 벡터장 리 대수  속에서, 차수가 0 이상인 원소들의 부분 벡터 공간 는 부분 리 대수를 이룬다. 의  속의 여차원은  이하이다. 만약 의 여차원이 이라면, 을 '''추이적 형식적 벡터장 리 대수'''()라고 한다.
1차원 공간 위의 유한 차원 형식적 벡터장 리 대수는 모두 분류되었으며, 다음과 같이 두 개의 무한 족과 하나의 예외가 있다.
* , . 이는 1차원 아벨 리 대수이다.
* , . 이는 2차원 비아벨 가해 리 대수이다.
* . 이는 3차원 단순 리 대수이며, 2차원 특수 선형 대수 와 동형이다.
이 가운데 추이적 형식적 벡터장 리 대수는 , ,  세 개이다.
대수적으로 닫힌 체 계수의 2차원 공간 위의 유한 차원 추이적 형식적 벡터장 리 대수들은 소푸스 리가 분류하였다. 실수체의 경우에도 마찬가지로 유사한 분류가 존재한다.
=== 반단순 리 대수 ===
표수 0인 대수적으로 닫힌 체  위의 반단순 리 대수는 모두 분류되었다. 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합이며, 단순 리 대수는 , , ,  4개의 무한 족과 , , , ,  5개의 예외 단순 리 대수로 분류된다.
표수 0인 대수적으로 닫힌 체  위의 반단순 리 대수  속에 카르탕 부분 대수 를 잡자. 그렇다면,  속의 의 근계 를 생각하자. 그렇다면, 단순 리 대수의 구조론에 따라 는 -등급 리 대수를 이룬다. 구체적으로, 의 등급은
:
이다.
=== 중심렬 ===
군  속의 한 중심렬
:
이 주어졌다고 하자. 즉, 모든 에 대하여
:
라고 하자. 그렇다면, 은 모두 아벨 군을 이룬다. 이 몫군들의 직합을 생각하자.
:
이는 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 위에 다음과 같이 리 괄호를 군 교환자로 정의하자.
:
그렇다면, 이는 자연수 등급이 붙은 등급 리 환을 이룬다.
=== 호모토피 군 ===
점을 가진 공간  위의 호모토피 군  위에는 화이트헤드 괄호라는 다음과 같은 쌍선형 이항 연산이 존재한다.
:
이는 야코비 항등식을 만족시키며, 반대칭이지만, 일반적으로 교대 형식을 이루지 않는다. 만약 여기서 꼬임 부분군에 대한 몫을 취하면 리 대수를 얻는다. 구체적으로, 유리수 호모토피 이론에서 유리수 계수의 호모토피 군
:
을 생각하면, 이는 화이트헤드 괄호 아래 유리수 계수 등급 리 대수를 이룬다.
=== 기타 예 ===
* 비라소로 대수는 물리학, 특히 2차원 등각 장론에 등장하는 무한 차원 리 대수이다.
* 아핀 리 대수와 그 일반화 카츠-무디 대수 역시 무한 차원 리 대수의 예이다.
* 하이젠베르크 대수는 멱영 리 대수의 대표적인 예이다.
소푸스 리가 리 군을 다루기 위하여 도입하였으며, "무한소군"()으로 일컬었다. 빌헬름 킬링은 1888년~1890년 동안 반단순 리 대수의 분류를 제창하였고, 1894년에 엘리 카르탕이 킬링의 분류를 엄밀하게 증명하였다. 1898년에 루이지 비앙키는 3차원 이하의 리 대수의 비앙키 분류를 제시하였다.
1930년대에 헤르만 바일이 "리 대수"라는 용어를 도입하였다. 아도 정리는 이고리 드미트리예비치 아도()가 1935년에 증명하였다. 레비 분해 정리는 1950년에 에우제니오 엘리아 레비()가 증명하였다.
* 리 군
* 리 대수의 표현
* 근계
* 리 대수 코호몰로지
* 리 초대수
* 거스틴해버 대수
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분류:리 군