초대칭 대수

'''초대칭 대수'''(超對稱代數, )는 푸앵카레 대칭과 초대칭을 나타내는 리 초대수다.
푸앵카레 대수는 시공에 대한 병진 와 로런츠 변환 로 이루어진다. 이들은 보손적 생성자다. 여기에 일련의 페르미온적 생성자 와 를 추가한다. (만약 개의 초대칭이 있으면 .) 이들은 초대칭을 나타낸다.
푸앵카레 대수는 차원의 시공에서 개의 병진 생성자와 개의 로런츠 변환으로 총 차원이다. (일 경우에는 물론 10차원.) 여기에 개의 초대칭이 있는 경우에는 (중심 전하를 무시하면) 초대칭 대수는 총 차원이 된다.
주어진 시공간 차원에서, 초전하()의 수는 그 차원에서의 최소 스피너 표현의 차원의 정수배이다. 이 정수를 통상적으로 이라고 쓴다. 가장 간단한 초대칭은 이며, 인 경우를 '''확장 초대칭'''()이라고 한다. 4차원 민코프스키 공간에서의 최소 스피너 표현은 4차원 바일 또는 마요라나 스피너이므로,  초대칭은 4개의 초전하를 가진다.
초대칭은 서로 다른 스핀의 입자들을 연관지으므로, 초대칭이 더 많을 수록 더 높은 스핀의 입자가 필요하다. 스핀이 2를 초과하는 경우는 (일반적으로) 상호작용하는 이론을 정의할 수 없다. 만약 초전하의 수가 32를 초과하는 경우 스핀이 2를 초과하는 입자가 필요하므로, 초전하는 최대 32개가 존재할 수 있다. 32개의 초전하의 경우 스핀이 2인 입자(중력자)가 필요하므로, 이는 초중력 이론을 이룬다. 11차원 초중력이나 10차원 IIA/B 초중력, 4차원  초중력 등이 그 예이다.
만약 중력을 포함하지 않으려면, 입자의 스핀은 최대 1이어야 한다. (스핀이 1½인 경우는 그래비티노로, 중력이 없이는 상호작용하는 그래비티노를 포함할 수 없다.) 이 경우에는 초전하의 수는 최대 16이다. 10차원  초대칭 양-밀스 이론이나 4차원  초대칭 양-밀스 이론 이 그 예이다.
다양한 시공간 차원에서 가능한 초대칭의 종류는 다음과 같다. (12차원 이상에서는 자명하지 않은 초대칭 이론이 존재할 수 없다고 여겨진다.)
 시공간의 차원 
 의 초전하수
+ 다양한 차원의 민코프스키 공간에서의 최소 초대칭 수
 11 
 32
 10, 9, 8, 7 
 16
 6, 5 
 8
 4 
 4
 3 
 2
 2,1 
 1
 시공간의 차원
 32개의 초전하
 16개의 초전하 
 8개의 초전하 
 4개의 초전하
 2개의 초전하
+ 차원 축소에 따른 초대칭. 주어진 칸의 초대칭을 차원 축소하면 그 밑에 있는 초대칭들을 얻는다.
 11 
 
 (불가능)
 10 
  (IIA종) 
  (IIB종) 
  (I종)
 (불가능)
 9
  
 
 8
  
 
 7
  
 
 6
  
  
  
 
 (불가능)
 5
 
  
 
 4
 
  
  
 
 (불가능)
 3
 
  
  
  
  
 (불가능)
 2
 
  
  
  
  
 
4차원에서,  초대칭은 (디랙 스피너이므로) 총 4개의 초전하를 가진다. 즉, 일반적으로는 개의 초전하가 존재한다. 이 경우, 흔히 볼 수 있는 것은 , ,  및  초중력이다. 중력을 포함하지 않는 경우, 인 경우는 와인버그-위튼 정리에 걸려 자명한 이론이 되고, 중력을 포함한다고 해도 까지만 가능하다.
주어진 에 대하여, 초대칭 대수의 생성원은 다음과 같다.
* 병진 변환 
* 회전 
* 초대칭 ,  (). 이는 R대칭군의 크기가 인 "벡터 표현"을 따른다. 이 표현을 라고 쓰자.
* R대칭 는 R대칭군 의 딸림표현을 따른다. 이 표현을 라고 쓰자.
* 중심 원소 
이들의 리 초괄호는 다음과 같다.
:
:
:
:
:
:
:
:
:
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:
:
:
즉, 초대칭 전하는 일종의 운동량의 제곱근으로 생각할 수 있다.
=== 위상 뒤틀림 ===
4차원에서는  또는 인 경우 위상 뒤틀림()을 가해 위상 양자장론으로 만들 수 있다. 이 경우, 인 경우는 SU(2) R대칭을  로런츠 대칭의 두 좌·우 성분 가운데 하나와 대각군을 취하며, 인 경우는 서로 동일하지 않는 3가지의 가능한 뒤틀림이 존재한다.
=== 초다중항 ===
4차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다.
* 
** '''손지기 초다중항'''(): 복소 스칼라장, 바일 스피너
** '''벡터 초다중항'''(): 바일 스피너, 게이지장
** '''중력자 초다중항'''(): 중력자, 바일 그래비티노
* 
** '''하이퍼 초다중항'''(): 복소 스칼라장(×2), 디랙 스피너
*** 서로 다른 나선도의 두  손지기 초다중항으로 구성된다. 게이지 대칭이 있는 경우, 하나는 표현 ''R'', 다른 하나는 그 복소 켤레 표현 을 따른다.
** '''벡터 초다중항''': 복소 스칼라장, 디랙 스피너, 게이지장
***  벡터 초다중항과 (게이지 딸림표현)  손지기 초다중항으로 구성된다.
** '''중력자 초다중항''': 중력자, 디랙 그래비티노, 중력광자
* 
** '''벡터 초다중항''': 실수 스칼라장 (×6), 바일 스피너 (×6), 게이지장
** '''중력자 초다중항'''
* 
** '''중력자 초다중항'''
3차원 민코프스키 공간에서의 초대칭은 다음과 같다. 이 경우  초대칭은 2개의 초대칭을 가지며, 마요라나 스피너가 된다.
:
여기서 중심 확대 는 반대각화하여 개의 실수 고윳값으로 나타낼 수 있다.  초대칭에서는 하나의 중심 전하 가 존재하며, 이 경우 모든 물리적 상태들의 질량 은 BPS 부등식
:
를 만족시킨다.
3차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다. 3차원에서는 게이지장을 로 실수 스칼라로 이중화할 수 있다. 즉, 3차원에서는 스칼라장 및 (마요라나) 페르미온만이 존재한다.
* : 실수 스칼라장 (×1), 마요라나 스피너 (×1). R대칭은 없다.
* : 실수 스칼라장 (×2), 마요라나 스피너 (×2). R대칭은 U(1). 이 경우는 4차원 을 축소화하여 얻는다. 이 경우 게이지 이론의 거울 대칭이 존재한다.
* 마찬가지로  등이 존재한다.
6차원 민코프스키 공간에서는 2차 미분형식 퍼텐셜 게이지장이 존재한다. 이 경우, 질량껍질 위에서, (1차 미분형식) 게이지장은 4개의 자유도를, 바일 스피너는 4개의 자유도를, 2차 미분형식 게이지장은 3개의 자유도를 가진다.
* . R대칭은 SU(2)이다.
** 하이퍼 초다중항: 실수 스칼라장 (×4), 바일 스피너 (×1)
** 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1)
** 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1), 실수 스칼라 (×1)
* . R대칭은 SO(4)이다.
** 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 디랙 스피너 (×1), 실수 스칼라장 (×4)
* . R대칭은 SO(5)이다.
** 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 왼쪽 바일 스피너 (×2), 실수 스칼라장 (×5)
* 
* 
분류:초대칭