뇌터 환

환론에서 '''뇌터 환'''(Noether環, )은 아이디얼들이 오름 사슬 조건을 만족하는 환이다. 대략, 체 위의 유한 개의 변수에 대한 다항식환처럼, "지나치게 크지 않은" 환을 뜻한다.
=== 뇌터 가군 ===
범주  속의 대상 의 부분 대상들의 부분 순서 집합 가 오름 사슬 조건을 만족시킨다면, 를 '''뇌터 대상'''()이라고 한다.
환  위의 왼쪽 가군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 '''왼쪽 뇌터 가군'''()이라고 한다.
* 은 왼쪽 가군 범주  속의 뇌터 대상이다. 즉, 의 부분 가군들의 격자 가 오름 사슬 조건을 만족시킨다.
* 의 모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다. 즉, 임의의 부분 가군 에 대하여 인 이 존재한다.
'''오른쪽 뇌터 가군'''() 역시 마찬가지 조건을 만족시키는 오른쪽 가군으로 정의할 수 있다.
가환환 위의 가군의 경우, 왼쪽·오른쪽 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.
=== 뇌터 환 ===
환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 '''왼쪽 뇌터 환'''()이라고 한다.
* 는 뇌터 왼쪽 가군이다. (즉, 왼쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다. 또는, 모든 왼쪽 아이디얼은 유한 생성 아이디얼이다.)
* 모든 -유한 생성 왼쪽 가군은 뇌터 가군이다.
* -왼쪽 아이디얼들로 구성된, 공집합이 아닌 임의의 집합은 (부분 집합 관계에 대하여) 적어도 하나 이상의 극대 원소를 갖는다.
* (배스-파프 정리 ) 의 단사 왼쪽 가군들의 귀납적 극한은 단사 왼쪽 가군이다.
* (배스-파프 정리) 의 단사 왼쪽 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) 직합은 단사 왼쪽 가군이다.
* (배스-파프 정리) 의 가산 개의 단사 왼쪽 가군들의 직합은 단사 왼쪽 가군이다.
마찬가지로 '''오른쪽 뇌터 환'''()을 정의할 수 있다. 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환인 환을 '''(양쪽) 뇌터 환'''()이라고 한다.
가환환의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 '''뇌터 가환환'''()이라고 한다.
* 왼쪽 뇌터 환이다.
* 오른쪽 뇌터 환이다.
* 양쪽 뇌터 환이다.
* 그 스펙트럼 는 뇌터 스킴이다.
* 그 스펙트럼 는 국소 뇌터 스킴이다.
* (코언 정리 ) 모든 소 아이디얼 이 유한 생성 아이디얼이다.
=== 뇌터 스킴 ===
스킴 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 '''국소 뇌터 스킴'''(局所-, )이라고 한다.
*  뇌터 가환환들의 스펙트럼들로 구성된 열린 덮개가 존재한다.
* 모든 아핀 열린집합은 뇌터 가환환의 스펙트럼이다.
스킴 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 '''뇌터 스킴'''()이라고 한다.
* 뇌터 가환환들의 스펙트럼으로 구성된 유한 열린 덮개가 존재한다.
* 국소 뇌터 스킴이며, (위상 공간으로서) 콤팩트 공간이다.
=== 뇌터 가군의 성질 ===
환  위의 왼쪽 가군  및 그 부분 가군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 이 뇌터 가군이다.
* 과  둘 다 뇌터 가군이다.
(아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)
환  위의 왼쪽 가군 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
* 은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉, 이 존재하며, 은 모두 단순 가군이다.
특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
=== 뇌터 환의 성질 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:유한환 ⊊ 왼쪽 아르틴 환 ⊊ 왼쪽 뇌터 환
:유한환 ⊊ 오른쪽 아르틴 환 ⊊ 오른쪽 뇌터 환
만약 가 왼쪽 뇌터 환이라면, 다음 환들 역시 왼쪽 뇌터 환이다.
* (힐베르트 기저 정리) 유한 개의 변수에 대한 다항식환 
* 임의의 양쪽 아이디얼 에 대하여, 몫환 
만약 가 뇌터 가환환이라면, 다음 가환환들 역시 뇌터 가환환이다.
* 형식적 멱급수환 
* 임의의 곱셈 모노이드 에 대하여, 국소화 
환 의 부분환 가 주어졌으며, 가 가환환이며, 가 -유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 가 왼쪽 뇌터 환이다.
* 가 뇌터 환이다.
그러나 만약 가 가환환이 아니라면 이는 성립하지 않을 수 있다.
뇌터 가환환의 경우, 크룰 높이 정리가 성립한다. 특히, 뇌터 가환환의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 내림 사슬 조건을 만족시킨다. (그러나 이는 비가환 왼쪽 뇌터 환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)
=== 뇌터 스킴의 성질 ===
국소 뇌터 스킴의 줄기는 모두 뇌터 국소환이다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.) 국소 뇌터 스킴의 구조층은 (스스로 위의 가군층으로서) 연접층이다. 국소 뇌터 스킴은 항상 준분리 스킴이다 (즉, 국소 뇌터 스킴 에 대하여, 유일한 스킴 사상 는 준분리 사상이다).
뇌터 스킴은 뇌터 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
가 국소 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 국소 뇌터 스킴이다.
*  위의 국소 유한형 스킴 
* 의 닫힌 부분 스킴
* 의 열린 부분 스킴
가 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 뇌터 스킴이다.
*  위의 유한형 스킴 
* 의 닫힌 부분 스킴
* 의 열린 부분 스킴
특히, 체 위의 대수다양체는 뇌터 스킴이다.
모든 데데킨트 정역은 뇌터 환이다. (따라서, 모든 주 아이디얼 정역, 유클리드 정역, 체, 이산 값매김환은 데데킨트 정역이므로 뇌터 가환환이다.) 모든 정칙 국소환은 뇌터 환이다.
반면, 뇌터 환이 아닌 유일 인수 분해 정역이나 뇌터 환이 아닌 값매김환이 존재한다.
=== 뇌터 벡터 공간 ===
체  위의 가군(벡터 공간)의 경우 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 뇌터 가군이다.
* 아르틴 가군이다.
* 유한 차원 벡터 공간이다.
=== 뇌터 군환 ===
임의의 군  및 환 에 대하여, 군환 를 생각하자. 이는 환을 이루며, 만약 가 가환환이라면 -결합 대수를 이룬다. 만약 가 가환환이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 는 왼쪽 뇌터 환이다.
* 는 오른쪽 뇌터 환이다.
이는 가환환 위의 군환의 경우, 왼쪽 아이디얼들과 오른쪽 아이디얼들이 -결합 대수 준동형
:
:
에 따라 일대일 대응하기 때문이다. 임의의 군  및 환 가 주어졌다고 하자. 만약 가 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이라면, 는 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이며, 는 뇌터 군이다. 반대로, 만약 가 뇌터 가환환이며, 가 뇌터 가해군의 유한군에 의한 확대라면, 는 양쪽 뇌터 환이다. 일반적인 뇌터 환과 뇌터 군 위의 군환은 뇌터 환이 아닐 수 있다. 사실, 다음 두 조건을 만족시키는 군 가 존재한다.
* 는 뇌터 군이다.
* 임의의 뇌터 가환환 에 대하여, 는 양쪽 뇌터 환이 아니다.
가 환, 가 군이며, 가 그 군환이라고 하자. 엄격하게 상승하는 의 왼쪽 아이디얼들의 열
:
이 주어졌을 때,
:
는 엄격하게 상승하는 의 왼쪽 아이디얼들의 열이다. 만약
:
가 엄격하게 상승하는 의 부분군들의 열이라면,
:
:
는 엄격하게 상승하는 의 왼쪽 아이디얼들의 열이다. 따라서, 만약 가 왼쪽 뇌터 환이라면, 는 엄격하게 상승하는 왼쪽 아이디얼들의 열을 갖지 않으며, 는 엄격하게 상승하는 부분군들의 열을 갖지 않는다. 즉, 는 왼쪽 뇌터 환이며, 는 뇌터 군이다.
=== 오른쪽 뇌터 환이 아닌 왼쪽 뇌터 환 ===
무한 차수의 체의 확대
:
:
가 주어졌다고 하자. (예를 들어, 를 잡을 수 있다.) 그렇다면 삼각환
:
를 생각하자. 이는 왼쪽 뇌터 환이자 왼쪽 아르틴 환이지만, 오른쪽 뇌터 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니다.
=== 뇌터 환의 부분환인 비뇌터 환 ===
가 뇌터 환이 아닌 임의의 정역이라고 하자. 그렇다면, 그 분수체 는 (체이므로) 뇌터 환이며, 는 그 부분환이다.
삼각환 은 오른쪽 뇌터 환이며, 양쪽 뇌터 환 의 부분환이지만, 왼쪽 뇌터 환이 아니다.)
=== 뇌터 조건의 비국소성 ===
임의의 무한 기수 에 대한 직접곱 을 생각하자. 이는 뇌터 환이 아니다. 반면, 임의의 소 아이디얼 에서의 국소화 는 뇌터 환이다.
에미 뇌터는 1921년 논문에서 환의 아이디얼의 오름 사슬 조건을 분석하였다. 훗날 뇌터를 기념하여 이 환들이 "뇌터 환"으로 불리게 되었다.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
분류:환론