군의 작용

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군론에서 '''군의 작용'''(群의作用, )은 어떤 군으로부터, 어떤 집합의 대칭군으로 가는 군 준동형이다. 대략, 어떤 공간 위에 대칭군의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.
모노이드 의, 집합  위의 '''왼쪽 작용'''()은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수 로 정의할 수 있으며, 또 특정한 모노이드 준동형으로, 또는 함자로도 생각할 수 있다. 모노이드 의 작용을 갖춘 집합을 '''-집합'''()이라고 한다. 두 -집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 '''등변 함수'''(等變函數, )라고 한다. -집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 범주가 존재하며, 이를  또는 으로 쓴다.
모든 군은 모노이드를 이루며, '''군의 작용'''()은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, 반군의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군과 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드 의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 항등 함수가 아니게 작용할 수 있다.)
=== 함수를 통한 정의 ===
모노이드 의, 집합  위의 '''왼쪽 작용'''()은 다음 조건들을 만족시키는 함수 이다.
* (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 에 대하여, . 여기서 은 의 항등원이다.
* (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의  및 에 대하여, 
모노이드 의, 집합  위의 '''오른쪽 작용'''()은 다음 조건들을 만족시키는 함수 이다.
* (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 에 대하여, . 여기서 은 의 항등원이다.
* (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의  및 에 대하여, 
모노이드 의 작용을 갖춘 두 집합 , 이 주어졌다고 하자. 그 사이의 '''등변 함수''' 는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
:
여기서 좌변은  위의 작용이고, 우변은  위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.
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=== 준동형을 통한 정의 ===
추상적으로, 모노이드 의, 집합  위의 '''왼쪽 작용'''은 에서  위의 자기 함수들의 모노이드 로 가는 모노이드 준동형
:
이며, 의  위의 '''오른쪽 작용'''은 반대 모노이드 에서 로 가는 모노이드 준동형
:
이다. 만약 가 군일 경우, 왼쪽 작용은 의 대칭군 (=자기 동형군) 으로 가는 군 준동형
:
을 이루며, 오른쪽 작용은 반대군에서의 군 준동형
:
을 이룬다.
모노이드 의 작용을 갖춘 두 집합
:
:
이 주어졌다고 하자. 그 사이의 '''등변 함수''' 는 다음 그림을 가환하게 만드는 함수 이다.
:
=== 범주론적 정의 ===
범주론적으로, 의 '''작용'''은 을 하나의 대상을 갖는 작은 범주로 간주하였을 때, 함자
:
와 동치이다. 이 경우, 이 작용하는 집합은 범주 의 유일한 대상 의 에 대한 상 이며, 의 작용은 에 대한 상 이다.
두 -집합
:
:
사이의 '''등변 함수''' 는 두 함자 사이의 자연 변환과 동치이다. 구체적으로, 자연 변환 에 대응하는 등변 함수는 의 성분
:
이다.
따라서, -집합의 범주 은 사실 (작은 범주로 간주한) 에서 로 가는 함자 범주와 동치이다.
=== 궤도와 안정자군 ===
군 가 집합 에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 의 '''궤도'''(軌道, ) 는 다음과 같다.
:
궤도는  위의 동치 관계
:
의 동치류와 같으며, 는 궤도들로 분할된다.
임의의 의 '''안정자군'''(安定子群, ) 는 다음과 같다.
:
즉, 안정자군 는 의 원소 중 를 고정점으로 가지는 모든 원소들의 집합이다.
=== 작용 준군 ===
모노이드 이 집합  위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 작은 범주 를 정의할 수 있다.
* 의 대상은 의 원소이다.
* 에 대하여, 이다.
*  위의 항등 사상은 이다.
이를 '''작용 범주'''(作用範疇, , )라고 한다. 만약 이 군이라면,  위의 작용 범주는 준군을 이룬다. 이를 '''작용 준군'''(作用準群, , )이라고 한다.
작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.
군의 왼쪽 작용 이 주어졌을 때,
* 에 대하여 는 전단사 함수이다.
* (역원은 역함수) 에 대하여 이다. 여기서 는 전단사 함수의 역함수이다.
=== 왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계 ===
임의의 모노이드 에 대하여, 왼쪽 -작용은 오른쪽 -작용과 같다. 여기서 은 의 반대 모노이드이다. 특히, 가환 모노이드는 스스로의 반대 모노이드와 표준적으로 동형이므로, 가환 모노이드의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.
모든 군 는 그 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형
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이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽 -작용을 왼쪽 -작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 -작용 에 대하여,
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로 정의한다면, 은 왼쪽 -작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 -작용 가 주어졌을 때
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:
는 오른쪽 -작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)
=== 궤도-안정자군 정리 ===
안정자군 는 G의 부분군이므로 그 왼쪽 잉여류를 생각할 수 있다. '''궤도-안정자군 정리'''(軌道-安定子群定理, )에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.
* 의 원소 를 왼쪽 잉여류 로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의 에 대하여, 라면 이다.
* 이 함수는 전단사 함수이다. 즉, 임의의 에 대하여, 라면 이다.
특히, 만약 가 유한군이면, 라그랑주 정리에 의해 다음이 성립한다.
:
=== 보편대수학적 성질 ===
모노이드 에 대하여, -집합은 의 각 원소 에 대하여 1항 연산 을 가지며, 대수적 관계
:
:
를 만족시키는 대수 구조이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로, -집합들은 대수 구조 다양체를 이룬다.
집합  위의 자유 -집합은 곱집합 이며, 그 위의 작용은
:
이다.
=== 범주론적 성질 ===
모노이드 에 대하여, -집합의 범주 은 (작은 범주에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.
의 시작 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합이다.
의 끝 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합이다. 의 의 부분 대상 분류자 은  위의 오른쪽 모노이드 아이디얼들의 집합
:
이다. 이 위의 의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.
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:
망각 함자
:
가 존재한다. 이는 왼쪽 수반 함자 와 오른쪽 수반 함자 를 갖는다.
:
왼쪽 수반 함자 는 자유 대수 함자이다. 즉, 집합 를 로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자 는 집합 를 함수들의 집합 으로 대응시킨다. 의  위의 작용은 다음과 같다.
:
군 가 집합  위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다.
=== 추이적 작용 ===
군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 '''''n''-추이적 작용'''(''n''-推移的作用, )이라 한다.
* 임의의 서로 다른 원소들  및 임의의 서로 다른 원소들 에 대하여,  ()인 가 존재한다.
만약 여기서 이러한 가 유일하다면, 이를 '''''n''-정추이적 작용'''(''n''-正推移的作用, )이라 한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 ''n''-정추이적 작용이라고 한다.
* 임의의 서로 다른 원소들  및 임의의 서로 다른 원소들 에 대하여,  ()인 유일한 가 존재한다.
1-추이적 작용은 단순히 '''추이적 작용'''(推移的作用, )이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 '''정추이적 작용'''(正推移的作用, ) 또는 '''정칙 작용'''(正則作用, )이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 동치이며, 아벨 군의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.
=== 충실한 작용과 자유 작용 ===
군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 '''충실한 작용'''(忠實-作用, ) 또는 '''효과적 작용'''(效果的作用, )이라고 한다.
* 임의의 에 대하여, 만약 임의의 에 대하여 라면, 
* 임의의 에 대하여, 만약 임의의 에 대하여 라면, 
* 단사 군 준동형이다.
군의 작용에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 '''자유 작용'''(自由作用, ) 또는 '''반정칙 작용'''(半正則作用, )이라고 한다.
* 임의의 에 대하여, 만약 인 가 존재한다면, 
* 임의의 에 대하여, 만약 인 가 존재한다면, 
* 군의 표현
* 가군
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분류:군론
분류:반군론
분류:표현론