lcw99/wikipedia-korean-20240501 huggingface dataset:
디리클레 합성곱

'''디리클레 합성곱'''(Dirichlet convolution) 혹은 '''디리클레 포갬'''은 수론적 함수(arithmetic function)의 집합에서 정의되는 이항연산(binary operation)으로, 수론에서 중요하게 다뤄진다. 독일 수학자 르죈 디리클레의 이름에서 유래하였다.
''f'', ''g''가 수론적 함수 (즉, 자연수에서 복소수로의 함수)일 때, ''f'', ''g''의 디리클레 포갬 ''f'' * ''g''는 다음과 같이 정의되는 수론적 함수이다.
:
여기서 덧셈은 ''n''의 모든 양의 약수 ''d''에 대해 이루어진다.
이 연산의 일반적인 성질을 몇가지 나열해 보면:
* 닫혀있다: f와 g가 모두 곱셈적이라면, f * g도 곱셈적이다. (주의: 그러나 두 완전 곱셈적인 함수의 포갬은 완전 곱셈적이 아닐 수 있다.)
* 교환법칙: ''f'' * ''g'' = ''g'' * ''f''
* 결합법칙: (''f'' * ''g'') * ''h'' = ''f'' * (''g'' * ''h'')
* 분배법칙: ''f'' * (''g'' + ''h'') = ''f'' * ''g'' + ''f'' * ''h''
* 항등원: ''f'' * ε = ε * ''f'' = ''f'', 여기서 ε은 n = 1에서 ε(''n'') = 1, n > 1에서 ε(''n'') = 0으로 정의되는 함수.
* 역원: 모든 곱셈적 함수 f에 대해, 어떤 곱셈적 함수 g가 존재하여 ''f'' * ''g'' = ε를 만족한다.
덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 ε을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 가환환(commutative ring)을 이루고, 이를 '''디리클레 환'''(dirichlet ring)이라 부른다. 이 환의 unit은 ''f''(1) ≠ 0 을 만족하는 f들이다.
나아가, 곱셈적 함수의 집합은 디리클레 포갬과 ε을 항등원으로 하는 가환군(abelian group)을 이룬다. 
곱셈적 함수에서 몇가지 중요한 곱셈적 함수들간의 포갬에의한 관계식의 예를 찾아볼 수 있다.
주어진 수론적 함수 에 대해 디리클레 합성곱을 연산으로 하는 역원 이 존재한다. 이 역원을 계산하는 계산식은 다음과 같다. 맨 첫 번째 항은 다음과 같다.
: 
그리고 일 경우는 다음과 같다.
:
예를 들어, 모든 에 대해 1 인 수론적 함수의 역원은 뫼비우스 함수가 된다. 더 일반적인 관계는 뫼비우스 반전 공식에 의해 유도된다.
''f''가 수론적 함수이면, '''L-급수'''(L-series)는 다음과 같이 정의된다.
급수가 수렴하는 복소수 s에 대해,
:
L-급수의 곱은 디리클레 포갬과 다음 관계가 있다.
좌변이 존재하는 모든 s에 대해,
:
위 관계식은 L-급수를 푸리에 변환과 비교해 보면, 포갬 정리(convolution theorem)과 긴밀하다.
물론 수론적 함수는 연속함수가 아니므로 통상적인 의미로서의 미분은 불가능하다. 그러나 산술함수에서 따로 미분을 정의하여 디리클레 합성과 연계하여 사용한다.
주어진 산술함수 의 미분은 다음과 같이 정의한다. 여기서 물론 는 망골트 함수(Mangoldt function)이다.
:
예를 들어, 모든 에 대해 1 인 수론적 함수 이 있다고 할 때, 관계식  때문에 다음이 성립한다
:
위와 같이 미분을 정의할 경우 다음과 같은 성질들이 성립한다.
*
*
*
분류:수론
분류:수론적 함수
동치 관계

수학에서 '''동치 관계'''(同値關係, )는 논리적 동치와 유사한 성질들을 만족시키는 이항 관계이다.
=== 동치 관계 ===
집합  위의 '''동치 관계'''는 다음 세 조건을 만족시키는,  위의 이항 관계 이다.
* (반사 관계) 임의의 에 대하여, 
* (대칭 관계) 임의의 에 대하여, 만약 라면, 
* (추이적 관계) 임의의 에 대하여, 만약 이고 라면 
=== 동치류와 몫집합 ===
집합  위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 원소 의, 에 대한 '''동치류'''(同値類, ) 는 와 동치인 원소들을 모은 집합이다.
:
집합  위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 의 에 대한 '''몫집합'''(-集合, ) 은 모든 동치류들을 모은 집합이다.
:
=== 모임의 경우 ===
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 모임은 하나의 자유 변수를 가지는 논리식으로 여길 수 있다. 어떤 집합이 이 논리식을 만족시킬 때, 집합은 이 논리식에 대응하는 모임의 원소가 된다. 자유 변수에 논리식을 대입하는 것은 합법적이지 않으므로, 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없다.
모임 위에서도 동치 관계·동치류·몫집합의 개념을 정의할 수 있다. 동치 관계의 정의는 집합 위에서의 정의를 옮겨 오면 충분하다. 다만, 모임  위의 동치 관계는 곱모임 의 부분 모임으로서, 더 이상 집합이 아닐 수 있다. 모임의 원소의 동치류를 이 원소와 동치인 원소들의 모임으로 정의할 경우, 동치류들을 개별적으로 다루는 데에는 문제가 없으나, 동치류들이 고유 모임일 수 있으므로 동치류들의 모임을 합법적으로 정의할 수 없다. 즉, 을 정의하려면 동치류가 집합이 되도록 동치류의 정의에 수정을 가하여야 한다.
모임  위에 동치 관계 가 주어졌다고 하자. 원소 에 대하여, 다음과 같이 정의한다.
:
즉, 는 와 동치인 원소 가운데, (폰 노이만 전체에서의) 계수가 가장 낮은 것들의 모임이다. (이러한 최소 계수의 원소가 존재하는 것은 순서수의 모임이 정렬 전순서 모임이기 때문이다.) 이러한 최소의 계수를 라고 할 때, 는 집합 의 부분 모임이므로, 집합이다. 따라서, 모임
:
을 정의할 수 있다.
집합  위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적인 전사 함수가 존재한다.
:
:
즉, 이 함수는 모든 원소를 이 원소가 속하는 동치류로 대응시킨다.
=== 집합의 분할과의 관계 ===
집합 가 주어졌을 때,  위의 동치 관계들과 의 분할들 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재하며, 이는 다음과 같다. 집합  위에 동치 관계 이 주어졌을 때, 몫집합 은 집합의 분할이다. 즉, 의 임의의 원소는 정확히 하나의 동치류에 속한다. 반대로, 집합 의 분할 가 주어졌다고 하자 (즉, 는 의 부분 집합들의 집합이며, 의 임의의 원소는 정확히 하나의 의 원소에 속한다).  위에 다음과 같은 이항 관계 를 정의하자.
:
그렇다면 는  위의 동치 관계이다. 과 는 서로 역함수이다. 즉,
:
:
이다. 따라서, 동치 관계와 집합의 분할의 개념은 동치이다.
=== 순서론적 성질 ===
집합 가 주어졌다고 하자. 임의의 이항 관계 에 대하여, 를 포함하는 최소의 동치 관계 가 존재한다. 구체적으로, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 
* 다음 조건을 만족시키는 열 가 존재한다.
** 
** 
** 에 대하여, 이거나 
집합  위의 동치 관계들의 (포함 관계에 의한) 부분 순서 집합 는 완비 격자이다. 의 최소 원소는 (로 국한된) 등호 이며, 최대 원소는 전체 관계 이다. 동치 관계들의 집합 의 만남 는 교집합
:
이다. 의 이음 은 합집합 을 포함하는 최소의 동치 관계
:
이다.
동치 관계 격자 는 항상 대수적 격자()이자 반모듈러 격자()이다. 유한 집합 의 경우, 는 단순 격자(, 합동 관계가 자명한 격자)이다.
임의의 집합  위에서, 등호 는 동치 관계를 이룬다.
평면 (또는 입체) 도형들의 집합 위에서, 닮음 관계는 동치 관계이다.
임의의 함수 에 대하여, 같은 함숫값을 갖는 관계
:
는 정의역  위의 동치 관계이다. 이를테면, 가 어떤 사람들의 집합이며, 가 사람의 생일을 찾는 함수라면, 는 같은 생일의 사람들을 한데 묶는 동치 관계로 생각할 수 있다.
=== 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계 ===
임의의 집합  위에서, 공관계
:
는 항상 대칭 관계이자 추이적 관계이다. 그러나, 만약 이라면 이는 반사 관계가 아니다. 반사 관계가 아닌 대칭 추이적 관계는 이러한 형태밖에 없다.
=== 대칭 관계가 아닌 반사 추이적 관계 ===
정수의 집합  위의 표준적인 순서
:
를 생각하자. 이는 전순서이며, 특히 반사 관계이자 추이적 관계이지만, 대칭 관계가 아니다. 예를 들어, 이지만, 이다.
=== 추이적 관계가 아닌 반사 대칭 관계 ===
정수 집합  위의 이항 관계
:
는 반사 관계이자 대칭 관계이지만, 추이적 관계가 아니다.
* 집합의 분할
* 
* 
* 
* 
* 
* 
분류:관계 (수학)
슈뢰딩거 방정식

파일:Erwin Schrödinger (1933).jpg|180px|섬네일|에르빈 슈뢰딩거
'''슈뢰딩거 방정식'''(-方程式, )은 비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 편미분 방정식이다. 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 도입하였고, 그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다.
파동 함수 에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
:
해밀토니언 연산자 는 고전적 해밀토니언에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다. 는 폴 디랙의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간의 상태 벡터이다. 이를 파동 함수 로 나타낼 수 있다. (파동 함수에 대한 해석은 코펜하겐 해석을 참조하라.)
해밀토니언 연산자 는 보통 미분 연산자이다. 예를 들어, 퍼텐셜  속에 있는, 질량이 인 비상대론적 입자의 경우 해밀토니언은 다음과 같은 2차 미분 연산자이다.
:
즉, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 2차 편미분 방정식이 된다.
:
슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 라그랑지언으로부터 유도할 수 있다.
:
예를 들어, 퍼텐셜  속에 있는, 질량이 인 비상대론적 입자의 경우 슈뢰딩거 라그랑지언은 다음과 같다.
:
여기서 두 번째 표현은 전미분항(total derivative)을 무시하고 쓴 것이다.
이 라그랑지언을 고전적 가환 또는 반가환 장의 라그랑지언으로 여겨, 양자장론으로 이차 양자화시킬 수 있다. 이 경우, 외부 배경장 속에서 움직이는, 임의의 수의 비상대론적 보손 또는 페르미온을 나타내는 양자장론을 얻는다. 또한, 이 경우 비선형 상호작용항을 추가할 수 있다. 예를 들어, 그로스-피타옙스키 방정식이 이러한 꼴이다.
1905년, 알베르트 아인슈타인은 광전 효과를 설명하기 위해서 광자의 에너지 E와 진동수 ν 및 플랑크 상수 h 사이의 관계를
::
로 나타내었다. 1924년 루이 드 브로이는 광자 뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 를 가진다는 드 브로이 가설을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해
::
의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수상대론 및 위의 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다. 즉, E = hν는 광자 뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다.
위 식들을 각진동수 와 파수  및 를 이용해 표현하면,
:: 및
'''p'''와 '''k'''를 벡터로 표현하면
::
에르빈 슈뢰딩거는 슈뢰딩거 방정식을 1925년 발표하였다. 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 나타내었다.
:
그리고 그는
:
이므로
:
이며, 마찬가지로
:
이므로
:
이고, 따라서
:
및 각 방향의 부분들을 더하면
:
이 성립함을 알았다. 이제 이를 총 에너지 E와 질량 m 및 위치에너지에 대한 고전역학적 공식
: (단순히 총 에너지를 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로 나타낸 것)
에 대입하여, 당시에 슈뢰딩거가 얻었던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상의 단일입자에 대한 공식에 도달한다.
:
슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로, 특수상대론과 불합한다. 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화하면 스핀에 따라 클라인 고든 방정식이나 디랙 방정식 따위를 얻는다. 이들은 비상대론적인 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다.
또한, 슈뢰딩거 방정식에 비인 항을 추가할 수도 있다. 예를 들어, 응집물질물리학에서 보스-아인슈타인 응축을 나타내기 위해 사용하는 그로스-피타옙스키 방정식은 슈뢰딩거 방정식에 사승 상호작용을 추가한 것이다.
* 파동 방정식
* 
* 
* 
* 
분류:편미분방정식
분류:양자역학
분류:사람 이름을 딴 낱말
분류:오스트리아의 발명품
분류:물리학 개념
분류:에르빈 슈뢰딩거
분류:물리학 방정식
라플라스 방정식

'''라플라스 방정식'''(Laplace's equation)은 2차 편미분 방정식의 하나로, 고윳값이 0인 라플라스 연산자의 고유함수가 만족시키는 방정식이다. 전자기학, 천문학 등에서 전위 및 중력 퍼텐셜을 다룰 때 쓰인다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 땄다. 라플라스 방정식의 해를 '''조화함수'''라고 한다.
차원 리만 다양체에서 가 라플라스-벨트라미 연산자라고 하자. 그렇다면 '''라플라스 방정식'''은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다.
:.
3차원 유클리드 공간에서는
:
이므로,
:
이 된다.
=== 관련된 편미분 방정식 ===
우변을 주어진 함수 로 바꾼 경우
:
는 푸아송 방정식이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은 인 푸아송 방정식의 특수한 경우다.
우변을 다음과 같이 바꾸면
:
헬름홀츠 방정식을 얻는다. 라플라스 방정식은 인 경우다.
코시-리만 방정식의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.)
라플라스 방정식의 디리클레 문제란 어떤 영역 의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다. 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.
라플라스 방정식의 노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수  자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다.
라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.
2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 의존변수
:
의 형태로 나타난다.
=== 2차원 라플라스 방정식의 차분방정식 ===
:
는 격하게 (mesh size)
푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.
:
=== 해석적 함수 ===
복소 범위의 해석적 함수 의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다.
이고
: 
라 하자. 가 해석적이려면
: 
를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서
: 
이다. 따라서 는 라플라스 방정식을 만족한다. 도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.
=== 2차원 라플라스 방정식과 푸리에 급수 ===
극좌표계 에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.
:.
따라서 그 일반해는 변수분리법으로 구할 수 있고, 다음과 같다.
:.
이는 함수 의 푸리에 급수임을 알 수 있다. 이는
:
으로 나타낼 수 있다. 즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수의 계수와 같다.
3차원 공간에서, 구면좌표계 에서 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.
:.
여기서 는 구면 조화 함수이고, 와 은 임의의 계수다. 물론, 가 원점에서 연속적이려면 이다.
분류:방정식
분류:조화해석학
분류:타원 편미분 방정식
분류:푸리에 해석학
분류:피에르시몽 라플라스
분류:조화 함수
적분표

적분은 미적분학의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 복잡한 함수를 보다 간단한 함수들로 분해하여 계산할 수는 없기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 '''적분표'''는 유용하게 사용된다.
아래의 식들에서 ''C''는 적분 상수이다.
:
:
:
:
:
:
아래 문서들에서 다양한 적분 공식들을 찾아볼 수 있다.
* 유리함수 적분표
* 무리함수 적분표
* 삼각함수 적분표
* 역삼각함수 적분표
* 쌍곡선함수 적분표
* 역쌍곡선함수 적분표
* 지수함수 적분표
* 로그함수 적분표
* 가우스함수 적분표
=== 유리함수 ===
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=== 무리함수 ===
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=== 로그함수 ===
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=== 지수함수 ===
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=== 삼각함수 ===
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=== 쌍곡선함수 ===
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어떤 함수의 적분은 원시 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.
*
*
*  Paul's Online Math Notes
* A. Dieckmann, Table of Integrals:  Indefinite Integrals  Definite Integrals
*  Math Major: A Table of Integrals
* 
*  Rule-based Integration
* 
*  Victor Hugo Moll, The Integrals in Gradshteyn and Ryzhik
*  울프럼 알파의 적분 예시
 
분류:적분
르장드르 다항식

'''르장드르 다항식'''() 는 '''르장드르 미분 방정식'''()이라고 불리는 다음 미분 방정식의 해가 되는 함수들이다.
:
스튀름-리우빌 형식으로 쓰면,
:
이다. 이 함수와 미분 방정식의 이름은 프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르의 이름을 따 명명되었다. 이 상미분 방정식은 물리와 공학의 여러 분야에서 자주 등장한다. 특히, 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 등장한다.
구체적인 몇몇 르장드르 다항식의 형태는 다음과 같다.
 
 
 0 
 
 1 
 
 2
 
 3
 
 4
 
 5
 
 6
 
 7
 
 8
 
 9
 
 10
인 경우의 구간 -1,1사이에서의 르장드르 다항식의 그래프는 다음과 같다.
가운데
=== 간단한 성질 ===
르장드르 다항식에는 다음과 같은 몇몇 간단한 성질이 있다.
* 
* 
* 
* 
* 이 홀수이면 
* 이 짝수이면 
=== 수직 관계 ===
르장드르 다항식 끼리 구간 -1,1에서  내적을 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
:.
여기서 은 크로네커 델타를 의미한다. 따라서, 르장드르 다항식은 구간 -1,1에서 서로 수직함을 알 수 있다. 이는 르장드르 방정식이 스튀름-리우빌 문제에 속하기 때문이다. 즉, 르장드르 미분 방정식을 다음과 같이 스튀름-리우빌 형식으로 놓을 수 있다.
:
여기서 고윳값 이다. 스튀름-리우빌 문제의 해의 집합은 일반적으로 함수 공간의 정규 직교 기저를 이루므로, 르장드르 다항식도 마찬가지로 직교 기저를 이룬다. (다만, 통상적으로 그 노름이 1이 아니게 정의한다.)
르장드르 다항식은 점화식이나 선적분, 생성 함수 등 여러 방법으로 표현할 수 있다.
=== 로드리게스 공식 ===
'''로드리게스 공식'''()은 르장드르 다항식의 일반식이며, 다음과 같다.
:
=== 점화식 ===
르장드르 다항식은 다음과 같은 점화식을 만족한다.
:
=== 생성 함수 ===
르장드르 다항식은 다음과 같은 생성 함수를 가진다.
:.
=== 선적분을 통한 표현 ===
르장드르 다항식은 유수적분을 통해 다음과 같은 적분 형태로 표현될 수 있다.
:
여기서 적분 경로는 원점을 중심으로 하는 임의의 반시계방향의 폐곡선이다.
분류:직교 다항식
분류:다항식
분류:특수 초기하함수
소수

'''소수'''에는 다음과 같은 뜻이 있다.
* '''소수'''(素數, 소쑤)는 수학에서 1과 그수 자신 이외의 자연수로는 나눌 수 없는, 1보다 큰 자연수이다.
* '''소수'''(小數, 소수) 수학에서 소수점을 찍어 나타낸 실수이다.
* '''소수'''(小數)는 수학에서 0보다 크고 1보다 작은 수이다.
* '''소수'''(少守)는 신라의 관직이다.
* '''소수'''(瀟水)는 중국의 강이다.
* '''소수'''(疏受, ?~?)는 전한 후기의 관료·유학자이다.
* '''소수'''(蕭秀, 475~518)는 양나라의 황족이다.
* '''소수'''(蘇遂, 1517~1592)는 조선 중기의 문신이다.
*
깊은 생각

'''깊은 생각'''()은 더글러스 애덤스의 과학소설 《은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서》에 등장하는 상상의 컴퓨터이다.
소설 속에서 깊은 생각은 '삶과 우주, 그리고 모든 것에 대한 궁극적인 답'을 찾기 위해 만들어졌다. 결국 컴퓨터는 750만 년 동안 계산을 한 결과 42라는 답을 계산해 내지만, 깊은 생각의 제작자들은 정작 이 답에 대한 질문이 무엇인지 모르고 있었다는 것을 깨닫는다. 깊은 생각 자신도 궁극의 질문이 무엇인지에 대한 대답은 내놓지 못한 채, 결국 42라는 답에 대한 질문이 무엇인지를 계산하기 위해 더욱 강력한 컴퓨터(지구)를 제작할 것을 제안한다. 천만 년 동안 계산을 하고 결과를 내어 놓기 5분을 남겨놓고 지구는 보곤 공병함대에 의해 파괴된다.
원작 라디오 시리즈에선, Geoffrey McGivern이 그 목소리를 담당했고, 후의 LP 녹음과 TV 시리즈에선 Valentine Dyall가 목소리를 연기했다.
체스 세계 챔피언 개리 카스파로프를 꺾었던 컴퓨터 딥 블루의 이전 모델도 이 소설 속의 컴퓨터의 이름을 따라 딥 소트(Deep Thought)라 명명되었다. 이후 세대 체스 컴퓨터들의 이름은 딥 프리츠, 딥 주니어 등으로 이어진다.
분류:은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서
쿼크

섬네일
'''쿼크'''()는 경입자와 더불어 물질을 이루는 가장 근본적인 입자다. 경입자가 아닌, 색전하를 띤 기본 페르미 입자이다. 중입자와 중간자를 이룬다. 이론 물리학자 머리 겔만은 자신이 발견한 우주의 기본 미립자를 '쿼크'(quark)로 명명했는데 이것은 제임스 조이스의 소설 《피네간의 경야》 12장 '신부선(新婦船)과 갈매기'에서 갈매기가 외치는 무의미한 조롱의 울음소리에서 따온 것이다. 우연의 일치로, 우주 속의 입자들을 구성하는 쿼크는 세 개씩 같이 다닌다.
쿼크는 총 6가지의 종류가 있으며, 다음과 같다.
:
 이름 
 영명 
 기호 
 전하량 
 정지 질량 (MeV/''c''2)
 위 쿼크 
  
 u 
 +⅔ 
 1.5 - 5
아래 쿼크
 
 d 
 −⅓ 
 17 - 25
 맵시 쿼크 
  
 c 
 +⅔ 
 1100 - 1400
 기묘 쿼크 
  
 s 
 −⅓ 
 60 - 170
 꼭대기 쿼크 
  
 t 
 +⅔ 
 165000 - 180000
 바닥 쿼크 
  
 b 
 −⅓ 
 4100 - 4400
각 쿼크에는 이에 대응되는 반입자인 '''반쿼크'''()가 존재한다. 반쿼크는 대응하는 쿼크와 질량이 같지만 전하와 색전하가 반대다. 각 쿼크는 빨강, 초록, 파랑 세 개의 색깔을 가질 수 있다. 쿼크는 3세대가 있는데 1세대는 위·아래(up·down) 쿼크, 2세대에 맵시·기묘(charm·strange) 쿼크, 3세대에 꼭대기·바닥(top·bottom) 쿼크로 나눈다.
쿼크는 기본 전하의 −⅓ 또는 +⅔의 전하를 갖는다. 기본 전하의 정수배가 아닌 전하를 가진 입자는 쿼크가 유일하다. 전하량 외에도 쿼크는 색전하(色電荷, )란 물리량을 갖는데, 이 양은 '빨강', '초록', 혹은 '파랑'으로 나타낸다. 이 물리량에 대한 보존법칙은 합쳐진 입자는 언제나 '무색'이어야 한다고 말한다. 반쿼크는 '반빨강', '반초록', '반파랑'의 색전하를 갖는다.(색전하는 가시광선의 색과는 아무런 관련이 없고, 단지 양자 색역학의 대칭군인 SU(3)의 3차원 표현의 기저를 나타내는 통상적인 용어일 뿐이다.)
양자 색역학의 색가둠 현상에 의하여, 일상적인 에너지에서 쿼크는 홀로 존재하지 않고 언제나 중간자나 중입자를 이룬다. 중간자는 쿼크와 반쿼크로 이루어진 입자이고, 중입자는 세 개의 쿼크로 이루어진 입자다. 중간자와 중입자를 통틀어 강입자라고 부른다. 이에 따라, 홑 쿼크는 관측할 수 없으며, 관측 가능한 강입자는 항상 기본 전하의 정수배의 전하를 가지고, 항상 무색이다. 쿼크를 따로 관측할 수 없으므로, 위 표의 쿼크 질량은 정확한 값이 아니라 참값이 놓여 있을 것으로 여겨지는 범위다.
"쿼크"라는 이름은 제임스 조이스의 소설 《피네간의 경야()》에 나오는 다음 구절에서 인용한 것이다.
:
 마크 왕을 위해 세 번 쿼크! 
 물론 그는 변변한 돛단배가 없고 
 
 물론 있긴 있는 것도 다 얼토당토않다네. 
 
여기서 "쿼크"()는 액체의 단위인 쿼트를 변형한 것으로, 등장 인물인 마크에게 술을 권하는 대목이다.
*  쿼크란 무엇인가? - 입자물리학자 이강영 교수. YTN 사이언스. 2014년 7월 2일.
*  CosmicVoyage 초은하단에서 쿼크까지. 2015년 7월 2일.
*  빛의 물리학 6부 빛과 끈 #003 쿼크와 랩톤 그리고 끈이론. 2015년 6월 10일.
 
분류:기본 입자
분류:페르미 입자
분류:양자색역학
분류:피네간의 경야
중력 상수

'''중력 상수'''(重力常數, , 기호 ''G''), '''만유인력 상수''' 또는 '''뉴턴 상수'''는 중력의 세기를 나타내는 기초 물리 상수다. 중력을 다루는 모든 이론, 예를 들어 뉴턴의 만유인력의 법칙과 아인슈타인의 일반 상대성 이론에 등장한다. 과학 기술 데이터 위원회 2010년 자료
에 따르면, 국제단위계에서의 값은 다음과 같다.
:
= (6.673 84 ± 0.000 0080)  N m2 kg−2
= (6.673 84 ± 0.000 0080)  m3 kg−1 s−2
그 밖에 국제 천문 연맹에서 제공하는 자료도 권위가 있다.
300px
만유인력의 법칙에 따르면, 두 물체 사이의 중력적 인력은 그 두 질량의 곱에 비례하며 거리의 제곱에 반비례한다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
:
이 식에서 비례 상수 를 '''중력 상수'''라고 일컫는다.
중력은 자연의 다른 세 상호작용보다 상대적으로 약하다. 예를 들어 두 대의 3000 kg의 자동차가 각각의 질량 중심에 대해 3 m 떨어져 있을 때 두 자동차에 작용하는 중력은 약 67 µN밖에 되지 않는다. 이는 모래 알갱이의 무게 정도의 힘에 해당한다.
중력 상수는 헨리 캐번디시가 캐번디시 실험을 통해 정교하게 처음으로 측정하였다. 실험을 위해 막대의 양 끝에 납으로 된 공을 매달고 이를 줄에 매달아 수평 방향으로만 회전하게 한다. 막대의 관성 모멘트는 막대가 복원력에 의해 진동하는 주기를 측정하여 알아낼 수 있다. 막대의 한쪽 끝에 다른 공을 가까이 대면 중력에 의해 서로 끌어당기게 되고 막대가 회전한 각도를 측정하여 이 힘을 알아낼 수 있다. (캐번디시의 실험의 본 목적은 중력 상수의 측정이 아니라, 지구의 질량을 측정하는 것이었다. 지구 표면의 중력장은 쉽게 측정할 수 있기 때문에, 지구의 크기와 중력 상수를 알면 지구의 질량을 계산할 수 있다.)
중력 상수의 측정은 캐번디시의 실험 이후로 점차 정확도가 향상되어 왔다. 중력이 다른 기본 상호 작용에 대해 매우 약하고, 다른 물체의 영향을 없애기 어렵기 때문에 중력 상수 를 측정하는 것은 여러 모로 어렵다. 게다가 중력과 다른 상호 작용 사이에 알려진 상관 관계가 없기 때문에 간접적으로 이를 측정할 수 없다. 최근의 리뷰(Gilles, 1997)에 따르면, 중력 상수의 측정값은 크게 변해 왔고, 최근의 몇몇 측정값은 실제로는 서로 배타적이라고 한다.
 곱 또는 표준 중력 변수는 여러 가지 중력과 관계된 수식을 간단히 표현하는 데 자주 활용된다. 특히 태양계에 대해 중력 법칙을 이용할 때 매우 높은 정확도로 측정할 수 있기 때문에 빈번하게 사용된다. 중력 상수의 정확도가 높지 않은 데 반해 행성의 위치나 중력 가속도와 같은 양은 매우 정확하게 측정할 수 있다. 따라서 중력 상수와 질량의 곱은 매우 정확하게 알아낼 수 있다(따라서 지구나 태양의 질량의 측정값의 정확도는 중력 상수의 정확도에 의존한다.). 태양계에서의 중력을 계산할 때 거의 대부분의 계산에서 GM 값이 함께 붙어서 나오며, 대부분의 계산에서 이 둘을 따로 대입할 필요가 없어 정확도를 높일 수 있다. 표준 중력 변수의 값은 로도 표시하며 국제단위계에서 다음과 같은 값을 갖는다.
: 
천체 역학에서는 주로 국제단위계의 킬로그램보다 태양 질량을 기준으로 한 단위계를 사용하는 것이 계산에 편하다. 이 단위계로 쓴 중력 상수를 '''가우스 중력 상수'''() 라 부르며,그 값은 다음과 같다.
:
여기서 는 천문 단위, 는 평균 태양일, 그리고 는 태양의 질량이다.
중력 상수를 플랑크 상수와 광속을 이용하여, 임의적인 기본 단위가 전혀 없는 단위계를 만들 수 있다. 이를 막스 플랑크의 이름을 따 플랑크 단위계라고 부른다. 플랑크 단위계에서 중력 상수는 플랑크 상수와 진공에서의 빛의 속도와 함께 모두 1로 맞추어진다.
* 중력 가속도
분류:중력
분류:물리 상수
변형력

응력의 일반적인 개념을 그림으로 나타낸 것. 오른쪽 직육면체는 응력 텐서를 표현한다.
'''변형력'''(變形力) 또는 '''스트레스'''()은 역학에서 단위면적당 작용하는 힘을 뜻한다. '''응력'''(應力)이라고도 한다. 오귀스탱 루이 코시가 1822년 처음 고안했다.
사실상 응력의 개념은 연속체(Continuum)라는 가정 아래 성립할 수 있다. 물체 내부의 경우, 가상의 단위부피를 설정해서 그 가상의 표면 바깥에 작용하는 힘을 계산하기 때문이다. 여기서 '가상의 힘'은 크게 두 종류가 있는데, 표면힘(Surface Force)과 몸체힘(Body Force)이다. 표면힘은 표면에 평행한 힘이며, 몸체힘은 표면에 대하여 수직 방향인 힘이다.
응력의 SI단위는 파스칼(Pa)이다. 압력과 같은 단위지만, 압력과 응력은 전혀 다른 개념이다.
일반적인 단면봉(Prismatic Bar)의 경우, 수직응력(Normal Stress)은 바깥쪽(Tension) 또는 안쪽(Compression)으로 작용한다. 변형률(Strain)과의 연관성 때문에, 보통 바깥쪽 응력을 양으로, 안쪽 응력을 음으로 본다. 이 경우, 보통은 계산의 편리성을 위해 ''모든 단면적에 고르게 힘이 작용한다''라고 가정하고 평균값을 사용하는 경우가 많다. 즉,
:
실제로는 모든 지점마다 작용하는 응력의 값이 다르다. 때문에 코시는 이를 표현하기 위해 텐서를 사용했다.
:
이 방식은 축이 변할 경우 값이 어떻게 바뀌는지 계산하는 것이 힘들다는 단점을 가지고 있다. 이를 보완하기 위해 Mohr's Circle을 사용한다. 또한 코시 텐서는 작은 변형에 맞는 방식이기 때문에, 큰 변형의 경우 다른 방식을 사용한다.
응력(應力)은 물체가 외부 힘의 작용에 저항하여 원형을 지키려는 힘을 말하며 전단응력과 깊은 관계를 가지있으며 고체역학, 유체역학과도 연관있다. 한편 응력(凝力)은 원자, 분자 또는 이온 사이에 작용하여 고체나 액체 따위의 물체를 이루게 하는 서로 끌어당기는 힘을 통틀어 이르는 말로 응력(應力)과 연관있다.
* 연속체 역학
분류:연속체역학
분류:고전역학
분류:텐서
대수학

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'''대수학'''(代數學, )은 일련의 공리들을 만족하는 수학적 구조들의 일반적인 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 이렇게 일련의 추상적인 성질들로 정의되는 구조들을 대수 구조라고 하며, 그 예시로 반군, 군, 환, 가군, 체, 벡터 공간, 격자 등이 있다. 대수학은 취급하는 구조에 따라서 반군론, 군론, 환론, 선형대수학, 격자론, 정수론 등으로 분류된다.
기하학, 해석학, 정수론과 함께 대수학은 수학의 대분야 중 하나로 볼 수 있다. 대수학이란 용어는 단순한 산술적 수학을 가리키기도 하나, 수학자들은 군, 환, 불변량 이론과 같이 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구에 대해서 "대수학"이라는 용어를 자주 사용한다.
algebra라는 명칭은 페르시아의 저명한 수학자인 콰리즈미(783~850)가 쓴 《》()에서 비롯되었다. 책의 원 제목에 있는 ‘자브르()’는 (흩어진 것을) 묶는다는 뜻으로, 이 책에서는 방정식에서 항들을 묶어서 소거하는 것을 부르는 말로 쓰였다.
‘대수(代數)’라는 말은 수를 대신한다는 뜻으로, 수 대신 문자를 쓴다는 점에 착안한 번역어이다. ‘대수’라는 번역어는 드 모르간의 《Elements of Algebra》(1835)를 1859년 와 이선란이 번역한 《대수학》에서 처음 쓰였다.
고대의 대수학에 대한 주요 저서로는 에우클레이데스의 원론(기원전 3세기)이나 구장산술(3세기), 디오판토스의 (3세기) 등이 있다. 9세기에 페르시아의 수학자 콰리즈미는 《》(820년)를 통해 대수학을 하나의 독립적인 분야로 정립했다. 이 책은 1145년 가 《알게브라와 알무카발라의 서(書)》()란 제목으로 라틴어로 번역한 뒤 다섯 세기에 걸쳐서 유럽의 대학에서 사용되었다. 여기서 "알게브라"()와 "알무카발라"()는 해당하는 아랍어 단어를 음역한 것이다. 또한 콰리즈미의 저서인 "인도 수의 계산법"이 라틴어로 번역되면서 2차 방정식, 사칙연산, 십진법, 0 등의 개념이 소개되었다.
19세기 이후에는 에바리스트 갈루아가 대수 방정식을 연구하기 위해서 군이라는 대수적 구조를 도입하였고, 조지 불은 논리학을 연구하기 위해서 불 대수라는 대수적 구조를 정의하였다. 이후 현대 수학에서는 다비트 힐베르트의 공리 주의나 니콜라 부르바키 스타일에서 찾아볼 수 있듯이, 고전적인 대수학에서 상당히 거리가 추상화되어 있으며, 방정식의 해법은 "방정식론"(대수방정식론)이라는 대수학의 일부분에 불과하다.
* 군론
* 환론
* 체론
* 정수론
* 대수기하학
* 추상대수학
* 선형대수학
* 대수 구조
* 대수학의 기본 정리
* 수학
*
군론

파일:Rubik's cube.svg|섬네일|유명한 퍼즐인 루빅스 큐브는 순열군 개념을 이용해 해결할 수 있다.
수학에서 '''군론'''(群論, )은 군에 대해 연구하는 추상대수학의 한 분야이다. 군은 추상대수학에서 중요하게 다루는 대수 구조로, 군에 특정 연산이나 공리를 추가하면 환, 체, 또는 벡터 공간이 된다. 군은 수학의 여러 분야에서 사용되며, 군론에서 사용하는 방법들은 대수학의 여러 분야에 영향을 주었다.
결정이나 수소 원자, 표준 모형에서의 세 가지 기본 상호작용과 같은 다양한 물리계를 군론에서 대칭군을 이용해 연구할 수 있다. 따라서 군론, 그리고 이와 밀접하게 연관된 표현론은 물리학과 화학, 재료과학, 공개 키 암호 방식 등의 응용 분야에서 중요하게 쓰인다.
군론은 약 19세기쯤부터 연구되었다. 20세기에는 1만 페이지 이상의 저널 논문에 걸쳐 유한 단순군의 분류에 대한 증명을 완성했는데, 이는 20세기의 가장 위대한 수학 업적 중 하나로 꼽힌다.
18세기까지 4차 방정식까지는 대수적인 풀이, 즉 근의 공식이 존재한다는 것이 알려져 있었지만(카르다노, 페라리), 5차 이상의 방정식의 근의 공식이 있는지는 밝혀지지 않고 있었다. 5차 방정식의 근의 공식이 존재하지 않는다는 것은 아벨에 의해 증명되었으나, 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지고 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지지 않는지를 일반적으로 연구하는 것은 극히 어려운 문제였다. 군론은 이 물음에 대한 답을 하려는 과정에서 갈루아(Galois)에 의해 도입된 접근방식이었다. 갈루아는 군론을 이용해서, 다항 방정식의 대수적 해법에 대한 일반적인 관계를 증명하였다. 갈루아 이론으로 불리는 이 이론은 수학의 여러 분야 가운데에서도 극히 아름다운 이론으로 손꼽힌다.
유한 순열군과 일반선형군, 그리고 생성원과 관계식으로 표현되는 추상군까지 다양한 종류의 군들이 연구되었다.
=== 순열군 ===
가장 먼저 체계적으로 연구된 군은 순열군이다. 임의의 집합 ''X''와, ''X''에서 ''X''로 가는 전단사 함수들의 모임 ''G''가 주어졌을 때(이때 ''G''는 함수들의 합성에 대해 닫혀 있어야 하고 임의의 함수에 대해 역함수가 존재해야 한다.), ''G''는 ''X''에 작용하는 군이 된다. 만약 ''X''가 ''n''개의 원소로 이루어져 있고 ''G''는 ''X''에서 ''X''로 가는 모든 전단사 함수들, 즉 ''n''에 대한 모든 순열을 포함할 때, ''G''는 대칭군이 되며 이를 ''Sn''이라 쓴다. 일반적으로 임의의 순열군 ''G''는 ''X''에 대한 대칭군의 부분군이다. 케일리의 정리에 의해 모든 군은 대칭군의 부분군과 동형인데, 초창기에는 임의의 군을 자기 자신에 작용하는(즉 ''X''=''G''인) 왼쪽 정칙표현으로 나타냈다.
=== 일반선형군 ===
몇몇 군은 일반선형군에 속한다. 일반선형군 ''G''는 체 ''K'' 위에서 행렬곱과 역원에 대해 닫혀 있는 ''n''×''n'' 가역행렬들의 집합이다. 일반선형군은 ''n''차원 벡터 공간 ''K''''n''에 대해 선형 변환으로서 작용한다.
=== 변환군 ===
변환군이란 어떤 공간 ''X''에 작용했을 때 그 고유 구조를 보존하는 군이다. 순열군과 일반선형군은 변환군의 특수한 예로, 순열군의 경우 ''X''는 집합, 일반선형군의 경우 ''X''는 벡터 공간이다.
변환군은 미분기하학에도 적용되는데, 다양체에의 군의 작용을 위상동형사상이나 미분동형사상으로 볼 수 있다. 이때 군은 이산적일 수도, 연속적일 수도 있다.
=== 추상군 ===
군론이 발전하기 시작할 무렵, 대부분의 군은 수나 순열, 행렬 등을 통해 명시적으로 표현되는 개념이었다. 19세기 말 이후부터는 추상군이라는 개념이 자리잡았는데, 여기서 '추상'이라는 말은 동형인 두 군은 같은 군으로 여기는 것에서 나타나듯이 군의 원소의 특성은 무시한다는 의미이다. 일반적으로 추상군은 ''생성원''과 ''관계식''을 이용해 표현된다.
: 
많은 종류의 추상군은 몫군으로부터 구성된다. 군 ''H''가 군 ''G''의 정규 부분군일 때, ''H''의 잉여류들이 이루는 군을 몫군이라 하며 ''G/H''로 쓴다. 대수적 수체가 몫군의 대표적인 예시이며, 정수론에서 주요하게 쓰인다.
=== 기타 군의 종류 ===
* 아벨 군
* 리 군
** 로런츠 군
* 공간군
* 갈루아 군
* 군 (수학)
* 환론
* 체론
* 벡터 공간
분류:군론
파동 방정식

양 끝이 고정된 줄을 따라 전달되는 파동
한 점으로 이루어진 파동원에서 퍼져나오는 파동
물리학과 수학에서 '''파동 방정식'''(波動方程式, )은 일반적인 파동을 다루는 2차 편미분 방정식이다. 음파와 전자기파, 수면파 등을 다루기 위하여 음향학, 전자기학, 유체역학 등 물리학의 여러 분야에 등장한다. 양자역학에서 위치 에너지가 없는 경우 파동 함수는 파동 방정식을 따른다.
파동 방정식은 에 대한 선형 쌍곡 편미분 방정식으로, 다음과 같다.
:
여기서 는 파동의 속도를 나타내는 매개변수다. 공기중을 진행하는 음파의 경우에는 대략 300 m/s이고, 이 속도를 음속(音速)이라 부른다. 현의 진동의 경우 는 다양한 값을 가질 수 있다.
는 시각 , 위치 에서의 파동의 진폭을 나타내는 함수다. 음파의 경우 진폭은 그곳에서의 공기의 압력이며, 진동하는 현의 경우엔 기준 위치에서부터의 변위를 나타낸다. 파동의 종류에 따라 는 스칼라 또는 벡터일 수 있다. 는 위치 에 대한 라플라스 연산자이다.
기본적인 파동 방정식은 선형 미분 방정식이다. 따라서 서로 다른 두 파동의 결합은 단순히 두 파의 더한 것과 같다. 또한 파동을 분석하기 위해 파를 성분별로 나누어도 된다. 푸리에 변환을 이용해 파동은 사인함수들로 쪼개어질 수 있고, 이 방법은 파동방정식을 분석하는 데 유용하다.
축 방향으로 늘어선 1차원 (현)의 경우, 위 식은 다음과 같다.
:
2차원에선 다음과 같다.
:
식의 상수를 주파수에 따른 변수로 생각해 더 복잡하고 실제적인 파동방정식을 만들 수 있다. 이때의 방정식은 비선형이 된다.
현악기의 떨리는 현의 파동의 문제를 연구하기 위해 장 르 롱 달랑베르, 레온하르트 오일러, 다니엘 베르누이, 조제프루이 라그랑주 등이 연구하였다.
분류:편미분방정식
분류:파동
분류:물리학 개념
비오-사바르 법칙

'''비오-사바르 법칙'''(Biot-Savart法則, )은 전자기학에서 주어진 전류가 생성하는 자기장이 전류에 수직이고 전류에서의 거리의 역제곱에 비례한다는 물리 법칙이다. 또한 자기장이 전류의 세기, 방향, 길이에 연관이 있음을 알려준다. 비오-사바르 법칙은 전자기학에서 유효하며 앙페르 회로 법칙과 가우스 자기 법칙과 일맥상통한다. 이 법칙의 이름은 이 법칙을 발견한 장바티스트 비오와 펠릭스 사바르()의 이름을 땄다.
원점 에 전류 가 무한소의 길이의 전선 을 따라 흐른다고 하자. 그렇다면 이 무한소의 전선에 흐르는 전류에 의하여 발생하는 무한소의 자기장 은 다음과 같다.
:.
여기서 은 의 방향의 단위벡터이고, 은 진공의 투자율이다.
유한한 길이의 전선을 따라 흐르는 전류의 경우, 양변을 적분하면 전류로 인하여 발생하는 총 자기장을 알 수 있다.
직선 전류에 의한 자기장과 솔레노이드 내부의 자기장은 앙페르 법칙을 이용해 구할 수 있고, 비오-사바르 법칙은 원형 전류 중심에서의 자기장의 세기를 구하는 데 이용된다.
원형 도선 중심에서의 자기장
453x453픽셀
원형 도선이 있을 때, 전류 요소 Idl은 지면 앞으로 나오는 방향이고, r에 수직이다. 또 dB의 방향도 r에 수직인 방향이 된다.
r2=x2+R2이므로 비오-사바르 법칙에서 다음과 같다.
파일:비오사바르 1번.PNG
원형 전류의 각 전류 요소 Idl에 의한 자기장 dB를 그 회로에 따라 모두 합하면 회로축에 수직인 dB의 y성분은 상쇄되므로 dB의 x성분만 계산하면 된다.
파일:비오사바르 3번.PNG이므로 x=0일 때  가 된다.
* 쿨롱 법칙
* 앙페르 회로 법칙
* 자기
* 소용돌이도
*  Science World - Biot-Savart Law
* 
분류:공기역학
분류:전자기학
분류:사람 이름을 딴 낱말
구골

섬네일
'''구골'''(googol)은 10의 100제곱을 가리키는 숫자이다. 즉 1 뒤에 0이 백 개 달린 수이다. 구골은 관측 가능한 우주의 모든 소립자의 개수(약 10^80개)보다 더 많다.
: =  = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 
이 수의 이름은 1920년 미국의 수학자 에드워드 캐스너(Edward Kasner)의 9살짜리 조카 밀턴 시로타(Milton Sirotta)에게서 지어졌다. 캐스너는 이 개념을 저서 《Mathematics and the Imagination》(수학과 상상)에 수록했다.
이 수의 학문적 중요성은 그리 크지 않고 주로 수학 수업에서 거론될 뿐이다. 캐스너는 이 수를 매우 큰 수와 무한대의 차이를 보이기 위해 고안했다. 칼 세이건은 그의 저서 '코스모스'에서 마치 무한대처럼 느껴지는 우주의 크기를 무한대와 비교하기 위하여 구골보다도 더 큰 수인 구골플렉스(역시 밀턴 시로타가 명명)를 활용하여 "구골플렉스와 1이 무한대보다 작은 정도는 서로 정확히 같다."라고 했다. 그리고 구골은 무량대수보다 더 큰 수이다. 구골은 1뒤에 0이 100개 있어서, 10의 100제곱이다.
; '''구골플렉스'''(googolplex): 10의 구골제곱이다.
: =  = 1010,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
;'''구골플렉시안'''(googolplexian): 10의 구골플렉스 제곱(10구골플렉스)이다. 1 다음에 0이 구골플렉스 개 붙는다.()
: =  = 101010,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
인터넷 검색엔진 업체 구글(Google)은 처음에 구골(Googol)로 등록하려다가 실수로 사명을 잘못 표기한 것에서 구글로 등록하여 지금까지 쓰이고 있다.
마운틴 뷰에 있는 구글 본사도 구골플렉스를 변형시켜 구글플렉스라고 부른다.
* 구골플렉스
* 그레이엄 수: 수학적 의미가 있는 수 중에서 가장 큰 수. 너무 거대해서 지수표기로 나타낼 수 없다.(커누스 표기법 참고.)
* 무한대
분류:큰 수
분류:1920년대 신조어
무리수

파일:Square root of 2 triangle.svg|섬네일|220px|제곱근 2는 무리수이다.
'''무리수'''(無理數, irrational number)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 즉 분수로 나타낼 수 없는 소수이다. 
이에 반해 두 정수의 비에 의해 나타낼 수 있는 수를 유리수(분수)라 한다. 이것도 소수이다. 
유리수의 집합은 로 정의하고,
무리수의 집합은 로 정의한다.
무리수는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다.
무리수는 다시 와 같은 대수적 수와  등의 초월수로 나뉜다.
무리수가 존재한다는 것을 처음 증명한 것은 고대 그리스 피타고라스 학파로 전해진다. 히파소스는 이등변 직각삼각형의 밑변과 빗변의 비는 정수의 비율로 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 이는 우주가 완벽하여 모든 것이 정수의 비로 표현될 수 있다고 믿었던 피타고라스 학파에 충격을 주었다. 전설에 따르면 피타고라스 학파의 동료들이 ‘우주의 섭리에 거스르는 요소를 만들어낸’ 히파소스를 살해했다고 하며, 죽이진 않고 추방했다는 이야기도 있다.
에우클레이데스의 원론 10권을 포함한 고대 그리스 수학책에서는 유리수를 비로 나타낼 수 있는 길이를 ‘말할 수 있는()’ 길이, 그렇지 못한 것을 ‘말할 수 없는()’ 길이라고 불렀다. 알로고스는 글자 그대로 로고스가 없다는 뜻의 단어로, 말 없음·이성 없음 등을 뜻한다. 이것이 라틴어 로 번역되어 지금에 이른다.
=== 특수한 로그 꼴의 수 ===
가장 간단히 무리수임이 증명되는 수는 과 같은 꼴의 수일 것이다. 증명은 귀류법을 사용하며, 다음과 같다:
* 을 유리수라 하자. 그러면 어떤 자연수 에 대해, 을 만족한다.
* 따라서 이 되고.
* 변형하면 이다.
* 그런데 은 짝수이고, 은 홀수이므로 위 등식은 성립할 수 없다.
* 따라서 가정이 틀렸다. 즉 은 무리수이다.
=== 2의 제곱근 ===
무리수를 최초로 발견한 것은 일반적으로, 2의 제곱근이 유리수가 아님을 발견한 피타고라스와 그 제자들로 알려져 있다.
이에 대한 증명의 한 가지 방법은 다음처럼 귀류법을 사용하는 것이다.
# 가 유리수라 하자.
# 그러면, 는 기약분수 로 쓸 수 있다. 다시 말해, 서로소인 정수 에 대해, .
# 위 식을 풀면
#: 
#: 이다.
# 따라서, 은 짝수이다.
# 짝수가 아닌 수, 즉 홀수의 제곱은 홀수이므로, 는 짝수여야 한다.
# 따라서, 는 4의 배수이다.(이것은 가 값에 상관없이 항상 가 되기 때문이다.)
# 즉, 는 짝수이다.
# (3)에서, 이다.
# (7)과 (8)로부터, 가 짝수임을 알 수 있다.
# (4), (5)과 같은 방법으로, 는 짝수이다.
# (5)와 (10)에 의해, 와 는 모두 짝수. 이는 가 기약분수라는 (2)의 가정에 위배된다. 모순에 의해 (1)의 가 유리수라는 가정이 틀렸다는 걸 알 수 있다.
이 방법을 일반화하여, 제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수임을 증명할 수 있다.
=== 원주율 ===
1761년 요한 람베르트는 탄젠트 함수를 다음과 같은 연분수로 나타낼 수 있음을 증명했다.
:
또한 가 0이 아닌 유리수일 때, 위 연분수는 무리수가 된다는 것도 증명했다. 그런데 tan(π/4) = 1 이므로, π/4는 무리수가 된다. 따라서 π는 무리수라는 것이 증명된다.
다른 수학자들의 증명은 이 문서에 나와 있다.
=== 무리수+유리수 ===
# 을 유리수라 가정하자.
# 위의 식이 유리수라면 를 만족하는 유리수 가 있을 것이다.
# 두 번째 식에서 3을 이항시키면 이 된다.
# 그런데 유리수는 뺄셈에 대하여 닫혀 있으므로 유리수 에서 3을 뺀 값은 유리수이다.
# 위의 소제목에서 가 유리수가 아니라는 것이 증명되었다. 이는 이 유리수라는 가정과 위배된다.
# 모순에 의해 이 유리수가 아니라는 것이 증명되었다.
# 따라서, 무리수와 유리수의 합은 무리수이다.
* 소수점 표기
* 분수 (수학)
* 유리수
* 실수
분류:무리수
분류:수 체계
플랑크 상수

thumb
'''플랑크 상수'''(Planck常數, , 기호 ''h'')는 입자의 에너지와 드브로이 진동수의 비 ()이다. 양자역학의 기본 상수 중 하나다. 이 상수를 도입한 물리학자 막스 플랑크의 이름을 땄다. 기호는 라틴 문자 ""이다. 유니코드 기호 ()가 있다.
2018년 11월 16일 제26차 국제도량형총회(CGPM)에서 아래의 값으로 정의되었다.
:
새로운 정의는 2019년 5월 20일 세계 측정의 날부터 발효되었다.
외에, 다음과 같이 정의되는 가 대신 쓰이기도 한다. (양자역학에서 보다 더 많이 사용되는 형태이다.)
:
식에서 는 원주율을 나타낸다. 이 기호는 영어에서는 '( 에이치 바)', 독일어에서는 '')(하 크베어)로 읽는다. 이 상수 는 폴 디랙의 이름을 따 '''디랙 상수'''(Dirac's constant)라고도 부른다. 유니코드 기호 가 있다.
는 각운동량의 양자이다. 계의 임의의 축에 대한 각운동량은 언제나 의 정수배의 값으로 양자화한다.
는 또 불확정성 원리를 기술하는 식에도 등장한다.
그래서 가 보다 더 기본적이라고 주장한다.
그 밖에 는 플랑크 단위의 정의에 사용된다.
처음에 고전물리는 뉴턴의 역학 이론에서 시작되었지만 재능있는 수많은 학자들이 물리에 뛰어들어 그 영역을 전자기까지 확장을 시켜 모든 영역에서 승승장구하였었다. 막스 플랑크가 물리를 하던 19세기 후반, 물리는 더 이상 발전이 없을 것이며 소소한 몇몇 문제만 해결되면 완벽한 학문이 될 것이라는 의견이 매우 팽배하였다. 하지만 고전물리는 흑체 복사와 관련된 부분에서 문제에 부딪히게 되었다. 그것은 고전물리가 예측하는 결과와 흑체 복사의 실험 결과가 일치하지 않는 문제가 발생한 것이다. 긴 파장에서는 잘 일치하지만 짧은 파장에서는 일치하지 않는 문제가 생긴 것이다. 이에 대한 사고 실험은 다음과 같다.
아주 잘 밀폐된(외부와 에너지 교류가 없는) 한 용기 안에 흑체와 한 줄기 빛을 집어넣고 용기를 다시 밀폐한다고 하자. 이 경우 흑체는 빛을 흡수하여 파장의 형태로 다시 방출을 하게 되는데 고전물리의 등분배법칙에 의하면 흑체가 방출하는 에너지는 모든 파장에 골고루 나뉘어야 한다. 이 말은 아주 작은 빛을 넣게 되더라도 상자를 열게 되면 엑스선이나 감마선이 나오게 되는 현실에서는 불가능한 모순이 생기게 된다.
이러한 문제를 해결하기 위해 몇몇의 물리학자들이 매달리게 되었다. 막스 플랑크는 이러한 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 혁명적인 착상을 하였다. 그것은 '에너지는 주파수에 비례한다'라는 가정이었다. 즉 에너지가 양자화되어 있다는 것이었다. 이 가정에서 에너지와 주파수를 연결해주는 비례상수가  인 것이다. 물론 플랑크는 가정을 통해서 흑체 복사에 관한 문제를 정리하였고 그 식은 실험과 잘 일치하는 결과를 가지고 왔다. 하지만 플랑크는 저 식에 대해서 큰 의미를 두기보다는 실험결과와 일치시키기 위해 어쩔 수 없이 도입시킨 것이라는 입장을 취하였다.
역사적으로, CODATA 플랑크 상수 권장값은 지수부를 제외하고 다음과 같다. CODATA 권장값은 새로운 측정 결과를 반영하여 몇 년마다 개정된다.
* 2002년에 6.626 069 3(11)로 발표되었다.
* 2006년에 6.626 068 96(33)로 정정되었다.
* 2010년에 6.626 069 57(29)로 정정되었다.
* 2014년에 6.626 070 040(81)로 정정되었다.
* 2018년에 6.626 070 15로 '''정의'''되었다.
* 슈뢰딩거 방정식
* 불확정성 원리
* 플랑크 단위
분류:양자역학
분류:물리 상수
분류:막스 플랑크
분류:플랑크 단위계
분류:1900년 과학
포인팅 벡터

thumb
'''포인팅 벡터'''()는 전자기장이 가진 에너지와 운동량을 나타내는 벡터로, 전기장과 자기장의 벡터곱이다.
영국의 존 헨리 포인팅()이 1883년에 유도하였다.
포인팅 벡터 '''S'''는 국제단위계에서 다음과 같다.
:
CGS 단위계에서는  대신 를 쓴다.
포인팅 벡터의 크기는 전자기장의 에너지 선속 밀도(, 단위 시간 및 단위 면적 당 에너지)의 크기와 같다. 포인팅 벡터의 방향은 에너지가 전달되는 방향과 같으며 항상 전기장 및 자기장과 수직이다.
=== 전자기장의 운동량과 각운동량 ===
포인팅 벡터는 전자기장의 에너지뿐만 아니라 운동량 와 각운동량 과도 다음과 같이 연관되어 있다.
:
:
'''포인팅 정리'''()는 전자기장을 포함한 계에서의 에너지 보존 법칙이다. 즉, 전자기장이 한 일의 양은 전자기장이 잃게 되는 에너지의 양과 같다는 정리다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
:
우변의 첫 번째 적분은 부피 안에 저장된 전자기장의 에너지이며, 두 번째 적분은 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지다. 즉, 포인팅 정리에 따르면, 전자기력에 의하여 전하가 받은 일의 양은 전자기장에 저장된 에너지의 양의 감소량과 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지량과 같다.
:
:
역학적 에너지 밀도, 전자기장의 에너지 밀도 식을 이용하여 포인팅 정리 식과 발산정리를 이용하면 포인팅 정리의 미분형을 얻을 수 있다.
:
분류:전자기학
분류:벡터
분류:광학
미세 구조 상수

'''미세 구조 상수'''(微細構造常數, , 기호 ''α'') 또는 '''조머펠트 미세 구조 상수'''(Sommerfeld -)는 전자기력의 세기를 나타내는 물리상수다. 원자물리학과 입자물리학에서 자주 나타난다. 1916년 아르놀트 조머펠트가 발견하였다. 원래 조머펠트가 원자 방출 스펙트럼의 미세 구조를 연구할 때 발견하였으므로 이런 이름이 붙었다.
2020년 4월에, 130억 광년 떨어진 곳에서 미세구조상수가 다른 곳이 관측되었다는 논문이 발표되었다. 이는 전자기법칙이 전 우주에서 같지는 않을 수 있다는 점을 시사한다.
미세 구조 상수 는 국제단위계에서는 다음과 같이 정의한다.
: 
여기서 는 기본 전하, 는 원주율, 는 디랙 상수, 는 빛의 속도, 은 진공의 유전율이다. 이 값은 두 전자가 (전자의 컴프턴 파장)의 거리를 두고 떨어져 있을 때, 그 전기적 위치 에너지와 전자의 정지 에너지 의 비로 해석할 수 있다.
CGS 단위계에서는  인자가 전하량에 포함되므로 식이 다음과 같이 바뀐다.
: 
는 차원이 없는 상수이기 때문에, 그 값은 단위계에 상관없이 같다. 여기에 들어가는 기본 상수값을 대입해보면
:  =0.007 292 31
:  = 137.131
이 나온다. 이 값은 실제 측정값과는 차이가 있다. 여기에 양자 전기역학에서 예견하는 전자들의 상호작용을 통한 보정을 고려할 수 있다. 이는 전자의 자기 모멘트와 미세 구조 상수와의 관계를 통해 구해진 것으로, 다음과 같다.
:  =0.007 297 352 5698(24)
:  = 137.035 999 074(44)
*   CODATA 미세 구조 상수 권장값
*   Eric Weisstein's World of Physics — Fine Structure Constant
분류:물리 상수
분류:물리학 개념
크라메르 법칙

선형대수학에서 '''크래머 법칙'''(Cramer法則, ) 또는 '''크래머 공식'''은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크래머 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.
연립 일차 방정식
:
에서, 가 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 '''크라메르 법칙'''이라고 한다.
:
여기서 는 의 번째 열을 로 대신하여 얻는 행렬이다.
연립 일차 방정식
:
:
:
:
의 계수 행렬 의 -여인자를 라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다.
:
:
이에 따라, 각 번째 방정식에 을 곱한 뒤 모두 합하면
:
를 얻는다. 이므로, 양변을 로 나누면
:
를 얻는다.
=== 2개의 방정식의 경우 ===
연립 일차 방정식
:
:
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.
:
=== 3개의 방정식의 경우 ===
연립 일차 방정식
:
:
:
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.
:
=== 미분기하학 ===
크라메르 법칙은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 , 이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, , 라 정의한다.
여기서 의 방정식을 찾는 것은 크라메르 법칙으로 해결할 수 있다.
먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.
:
:
:
:
dF, dG에 dx와 dy를 대입하면
:
:
u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
:
:
:
:
따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다.
:
이것은 두 개의 야코비안 항이다.
:
유사하게 , , 의 공식들도 유도할 수 있다.
스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.
* 사다리꼴 행렬
* 
* 
* 
분류:선형대수학 정리
분류:행렬식
분류:대수학 정리
분류:1750년 과학
리만 제타 함수

파일:Complex zeta.jpg|섬네일|오른쪽|복소평면에서의 리만 제타 함수. 색이 짙을수록 절댓값이 작으며, 옅을수록 절댓값이 크다. 색상은 편각을 나타내며, 적색은 양의 실수, 연두색은 양의 허수, 옥색은 음의 실수, 남색은 음의 허수를 나타낸다.
정수론에서 '''리만 제타 함수'''() 는 소수들의 정수론적 성질을 해석적으로 내포하는 유리형 함수이다. 해석적 수론에서 소수의 분포를 연구할 때 핵심적인 역할을 하며, 또한 L-함수 이론의 모태이다.
실수 ''s''>1에 대한 리만 제타 함수의 그래프
리만 제타 함수는 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 에 대해, 다음과 같은 디리클레 수열로 정의된다.
:
이 무한급수는 의 영역에서 수렴하고, 위 식은 정칙함수를 정의한다. 리만은 제타 함수가 ''s'' ≠ 1인 모든 점에서 정의된 유리형 함수로 유일하게 해석적 연속이 가능하다는 것을 알았으며, 리만 가설에 등장하는 제타 함수는 확장된 리만 제타 함수를 뜻한다.
=== 해석적 연속과 함수 방정식 ===
야코비 세타 함수
:
를 쓰자.
:
이므로,
:
자이 함수( function)를 얻을 수 있다.
오른쪽의 적분은 모든 복소수 에 대하여 수렴하지 않으나, 다음 식의 적분은 모든 에 대하여 수렴한다.
:
한편 여기서 세타 함수의 성질
:
를 사용하면,
:
를 보일 수 있다.
이로부터 제타 함수의 해석적 연속과 함수 방정식
:
를 얻는다.
=== 특수한 값들 ===
다음은 작은 수에 대한 제타 함수의 값이다.
:
:
: ; ()
: ; 이것은 조화급수이다.
: ; () 보스-아인슈타인 응축에서 임계 온도를 계산하는데 사용된다.
: ; () 이것은 원주율의 근사값을 구하기 위해 종종 사용된다.
: ; () 이것은 아페리 상수이다.
: () 이것은 플랑크 법칙으로부터 슈테판-볼츠만 법칙을 도출하는 적분 과정에서 사용된다.
:
:
:
:
:
:
현재 리만 제타 함수가 실수부가 짝수()인 실수에서는 의 유리수배, 즉 초월수임이 알려졌다. 홀수일 때에는 3의 제타 함수 값은 무리수이며, 5, 7, 9, 11의 제타 함수 값 중 적어도 하나가 무리수라는 것만이 알려져 있다.
=== 오일러 곱셈과 디리클레 덧셈 ===
레온하르트 오일러는 리만 제타 함수가 소수와 다음과 같은 관계가 있다는 것을 알아냈다.
:
:
위와 같은 절차를 거쳐서 우변의 모든 소수의 배수를 없애주면
특정 합성수는 항상 소수의 곱으로써 나타낼 수 있다는 산술의 기본 정리에 따라서 분모가 합성수 또는 소수인 수가 모두 사라지고
마지막에는 1만이 남는다. 즉
:
:
:
위에서 제시되는,
: 는,
:이다.
이것은 디리클레 급수(디리클레 덧셈)이다.
따라서,
:
리만 제타 함수는 규칙적으로 모든 자연수에 대한 무한급수로 정의되어 있기 때문에 많은 방법으로 성질을 탐구할 수 있다. 그리고 이 리만 제타 함수는 오일러 곱을 통해 소수와 연결된다. 따라서, 이 식을 이용하면 소수의 비밀을 수학적으로 파헤칠 수 있으며, 그렇기 때문에 이 식은 중요하게 이용된다.
즉 리만 제타 함수는 모든 소수 에 대해 위와 같은 무한 곱으로 나타낼 수 있다. 위 식은 오일러의 곱셈 공식이라 불리며, 등비급수의 식과 산술의 기본 정리로부터 유도해낼 수 있다. 그 간단한 증명은 다음과 같다.
: 
:  이고, 양변에 를 곱하고나서
: 
: 를 곱하기 전의 식과 곱하고 나서의 식을 서로  빼주면,
: 
: 과 같이
우변의 분모에서 2의 배수가 모두 사라지는 것을 관찰할 수 있다. 또한 계속해서 반복하면,
: 위와
동일한 절차로 우변의 분모에서 3의 배수가 모두 사라진다.
=== 영점 ===
함수 방정식에 따라, 리만 제타 함수는 음의 짝수 에서 영점을 가진다. 이 영점들을 '''자명한 영점'''()이라고 한다. 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들은 다음과 같은 '''임계 구역'''()에 존재한다.
:
임계 구역에서 다음과 같은 부분집합을 '''임계 직선'''()이라고 한다.
:
임계 직선 위에는 무한히 많은 영점들이 존재한다는 사실이 알려져 있다. 현재까지 계산된 모든 비자명 영점들은 임계 직선 위에 존재하고 있지만, 모든 영점들이 실제로 임계 직선 위에 있는지 여부는 아직 증명되거나 반증되지 못했다. 이는 '''리만 가설'''로 일컬어지는 문제로, 현대 수학의 주요 난제로 꼽힌다.
리만 제타 함수의 영점들은 해석적 수론에서 소수의 분포에 대한 연구에 대해 매우 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 소수 정리는 리만 제타 함수의 영점들에 대한 동치인 명제로 바뀌어 증명될 수 있다.
리만 제타 함수를 일반화한 몇 가지 제타 함수가 있다. 그중 가장 간단한 것은 후르비츠 제타 함수이며 다음과 같이 정의된다.
:
이 함수는 일 때 리만 제타 함수가 된다.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 리만 가설
* 소수 정리
* 베른하르트 리만
* 레온하르트 오일러
* 소수와 오일러의 곱셈공식
* 바젤 문제
* 니븐 상수
* 제타 함수
* L-함수
* 
* 
분류:해석적 수론
분류:유리형 함수
분류:베른하르트 리만
분류:제타 함수와 L-함수
좌표계

파일:3D Spherical.svg|섬네일|300px|right|구면좌표계는 물리학에서 흔히 사용된다.
'''좌표계'''(座標系, coordinate system) 혹은 '''자리표계'''는 유클리드 공간과 같은 다양체의 점이나 기타 기하학적 요소를 고유하게 결정하기 위해 하나 이상의 숫자인 '''좌표'''를 사용하는 체계이다. 스칼라 튜플을 이용해 n차원 공간의 각 지점을 표현하는 방법을 말한다. 여기서 '''스칼라'''는 보통 실수, 경우에 따라서는 복소수나 다른 일반적인 환(ring)의 원소를 말하기도 한다. 복잡한 우주에서 스칼라는 우주 전체에 대해 효과적인 좌표계를 산출하지 못하기도 한다. 좌표를 나타내는 방법 중 하나인 데카르트 좌표계는 프랑스의 철학자이자 수학자인 르네 데카르트가 발명했다. 그는 천장에 붙어 있는 파리의 위치를 나타내는 방법에 대해 고민하다가 데카르트 좌표계를 발명해 냈다고 한다.
* 수직선
* 데카르트 좌표계
* 복소평면
* 극좌표
** 원통 좌표계
** 구면 좌표계
*** 지리 좌표계
* 천구 좌표계
** 지평 좌표계
** 은하 좌표계
** 적도 좌표계
** 황도 좌표계
* 관성 좌표계
좌표계는 점의 위치를 지정하는 데 자주 사용되지만 선, 평면, 원 또는 구와 같은 더 복잡한 도형의 위치를 지정하는 데에도 사용될 수 있다. 예를 들어, 플러커 좌표는 공간에서 선의 위치를 결정하는 데 사용된다. 필요한 경우 설명되는 그림의 유형은 좌표계의 유형을 구별하는 데 사용된다. 예를 들어 선 좌표라는 용어는 선의 위치를 지정하는 모든 좌표계에 사용된다.
두 개의 서로 다른 기하학적 도형 세트에 대한 좌표계가 분석 측면에서 동일할 수 있다. 이에 대한 예는 투영 평면의 점과 선에 대한 동차 좌표계이다. 이와 같은 경우의 두 시스템은 이원적이라고 한다. 이원론적 시스템은 한 시스템의 결과가 다른 시스템으로 전달될 수 있는 특성을 가지고 있다. 왜냐하면 이러한 결과는 동일한 분석 결과에 대한 서로 다른 해석일 뿐이기 때문이다. 이것이 쌍대성의 원리로 알려져 있다.
* 갈릴레이 변환
* 기준틀
* 갈릴레이 군
* 
*   Hexagonal Coordinate Systems
 
분류:해석기하학
힐베르트 공간

함수해석학에서 '''힐베르트 공간'''(Hilbert空間, )은 완비 내적 공간이다. 유클리드 공간을 일반화한 개념이다.
가  또는 라고 하자. -'''힐베르트 공간''' 은 완비 거리 공간을 이루는 -내적 공간이다. 내적 공간으로서, 힐베르트 공간은 표준적인 위상 공간 및 거리 공간 및 벡터 공간 및 노름 공간의 구조를 갖는다.
이와 동치로, -힐베르트 공간을 다음과 같은 '''평행사변형 항등식'''(平行四邊形恒等式, )을 만족시키는 -바나흐 공간 으로 정의할 수 있다.
:
이 경우, 내적 구조는
:
가 된다.
힐베르트 공간 의 '''정규 직교 기저''' 는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는 부분집합이다.
* 모든 에 대하여,
* 다음 집합은  속의 조밀 집합이다.
초른 보조정리에 의하여, 모든 힐베르트 공간은 정규 직교 기저를 갖는다. 주어진 힐베르트 공간 의 모든 정규 직교 기저의 크기는 항상 같은 기수임을 보일 수 있으며, 이 기수를 힐베르트 공간의 '''차원''' 이라고 한다.
일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 벡터 공간의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 가 오직 조밀 집합임이 족하기 때문이다.
두 -힐베르트 공간 ,  사이에 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 
* 와  사이에 유니터리 변환 이 존재한다. 즉, 두 힐베르트 공간은 서로 동형이다.
따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, -힐베르트 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 는 분해 가능 공간이다.
* 이다.
즉, 분해 가능 힐베르트 공간의 차원은 음이 아닌 정수이거나 아니면 가산 무한 이다.
리스 표현 정리에 따라서, 힐베르트 공간 는 스스로의 연속 쌍대 공간 와 동형이며, 만약 일 경우 이는 표준적() 동형이다.
가  또는 라고 하고, 가 측도 공간이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 L2 공간 는 -힐베르트 공간을 이룬다.
만약 가 셈측도가 부여된 집합이라면
:
이며, 함수
:
:
는 의 정규 직교 기저를 이룬다.
만약 가 분해가능 시그마 대수(로 정의한 거리 공간이 분해 가능 공간인 경우)이며, 또한 가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, 는 분해 가능 공간이다.
힐베르트 공간은 해석학의 다양한 분야에 응용되며, 특히 편미분 방정식 이론에서 널리 쓰인다. 힐베르트 공간 중 하나인 소볼레프 공간이 편미분 방정식을 다룰 때 주로 등장한다.
푸리에 해석이 힐베르트 공간에서 이뤄진다.
양자역학에서, 양자계의 상태 공간은 분해 가능 사영 힐베르트 공간으로 나타내어진다.
1907년에 리스 프리제시와 에른스트 지그스문트 피셔가 독립적으로 힐베르트 공간 중 하나인 가 완비 거리 공간임을 증명하였다. 1907년에 힐베르트 공간론에서 핵심적 정리 중 하나인 리스 표현 정리가 증명되었다.
1908년에 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트가 발표한 적분방정식에 대한 논문에서 제곱 적분 가능한 두 함수의 내적 이 등장한다. 이 공간은 힐베르트 공간인 공간이 된다.
다비트 힐베르트가 1912년에 힐베르트 공간 을 정의하였다. 이는 유클리드 공간이 아닌 최초의 힐베르트 공간으로 여겨진다. 이후 1929년에 존 폰 노이만 이 힐베르트 공간을 추상적으로 정의하였다.
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분류:선형대수학
분류:양자역학
분류:연산자 이론
분류:다비트 힐베르트
양자역학의 수학 공식화

'''양자역학의 수학적 공식화'''()는 양자역학에 등장하는 개념들과 공식을 수학적으로 엄밀하게 서술하는 것이다. C* 대수 이론, 스튀름-리우빌 이론 등이 쓰일 수 있지만, 보통은 힐베르트 공간중 하나인 L2 공간에 작용하는 선형 연산자를 통해 기술한다. 이는 존 폰 노이만이 1930년대에 완성한 것으로, 20세기 이전에 개발된 물리학의 수학적 모형들과는 큰 차이를 보인다. 
여기에 나타나는 구조들 중 상당수는 함수해석학에서 나온 것이다. 에너지와 운동량 등의 물리적 관측량은 더 이상 위상 공간상의 함수의 값이 아닌 선형 연산자의 고윳값으로 다루어진다.
편의상 브라-켓 표기법과 슈뢰딩거 묘사를 쓰자. 양자역학의 공준은 다음과 같다.
# 계의 상태는 분해가능 복소 힐베르트 공간 의 1차원 부분공간 으로 나타낸다. 이 부분공간은 힐베르트 공간의 단위벡터 (정확하게 말하면, 단위벡터의 위상을 무시한 동치류)로 나타낼 수 있는데, 이를 계의 '''상태 벡터'''()라고 한다. 좀 더 일반적으로, 일련의 계의 앙상블은 양준정치이고, 대각합류 작용소이며, 대각합이 1인 에르미트 연산자 로 나타낸다. 이 연산자를 밀도 연산자라고 부른다.
# 관측가능량은 그 힐베르트 공간의 자기수반() 선형 연산자 로 나타낸다. 여기서  (의 정의역)는 힐베르트 공간 의 조밀 선형 부분공간이다.
# 계 와 관측가능량 가 주어지면, 그 기댓값은 이다. 대신 밀도 연산자 로는 이다.
# 계의 시간 변화를 나타내는 특별한 관측가능량 가 있다. 이를 해밀토니언이라고 부른다. 상태 벡터의 시간 변화는 다음과 같다.
:
여기서 는 플랑크 상수다. 이를 슈뢰딩거 방정식이라고 부른다. 대신 밀도 연산자 를 쓰면, 그 시간 변화는 다음과 같다.
:
이 수학적 틀에서 베르너 하이젠베르크의 불확정성 원리는 비가환 연산자에 대한 정리가 된다.
* 
분류:양자역학
분류:수리물리학
노벨 물리학상

'''노벨 물리학상'''( - 物理學賞, , )은 6개 분야의 노벨상 중 하나로, 1년에 한 번 스웨덴 왕립 과학원에 의해 수여된다. 첫 번째 노벨 물리학상은 1901년, 엑스선을 발견한 독일의 빌헬름 콘라트 뢴트겐에게 수여되었다. 이 상은 노벨 재단이 주관하며, 이 상을 수상하는 것은 물리학계에서 최고의 영예로 꼽힌다. 노벨 물리학상은 알프레드 노벨의 사망일인 12월 10일에 스톡홀름에서 수여된다. 2007년의 노벨 물리학상은 프랑스의 알베르 페르와 독일의 페터 그륀베르크가 거대 자기저항의 발견에 대한 공로로 공동 수상하였고, 상금인 1,000만 스웨덴 크로나를 나누어 가졌다.
노벨 물리학상은 사람들이 그 과학자의 업적의 중요성을 알기까지의 시간이 걸리기 때문에, 다른 한 편으로는 시간과의 싸움이라고 말할 수 있다. 예를 들어 1983년 노벨 물리학상 수상자인 수브라마니안 찬드라세카르의 경우 그 이론은 1930년에 발표하였지만 사람들에게 인정을 받지 못하여 50여년이 지나서야 상을 받았다. 또한 2013년 노벨 물리학상 수상자인 피터 힉스와 프랑수아 앙글레르의 경우 그의 이론을 검증할 수 있게 되는 과학기술이 발전하기까지 오랜 시간이 걸려, 49년 뒤 그의 업적이 사실로 확인되어 노벨상을 받게 되었다. 그래서 많은 이론과 발견이 사람들에게 중요성을 인정받았지만, 그 이론이나 발견을 발표한 과학자가 이미 죽어버렸기에 노벨 물리학상을 받지 못하는 안타까운 경우도 있다.
* 로런츠 메달
*   The Nobel Prize in Physics - 노벨 재단 홈페이지
 
분류:1901년 설립
분류:왕립 스웨덴 과학한림원
가속도

'''가속도'''(加速度, )는 시간에 따라 속도가 변하는 정도를 나타내는 물리량이다. 일반적으로 물체는 속력이나 운동방향이 바뀌면서 속도가 변하는데, 이와 같이 속도가 시간에 따라 변할 때는 가속도가 있다고 한다. 속도와 마찬가지로, 가속도는 크기와 방향을 갖는 벡터량으로 나타낸다. SI 단위로는 m/s2를 사용하며, 주로 '''a'''라는 문자를 사용하여 가속도를 표기한다
고전 물리학에서, 일정한 질량을 가지고 있는 물체는 뉴턴의 운동법칙에 의해 다음 식을 만족하게 된다.
:
여기서 '''F'''는 물체에 주어지는 힘을, '''m'''은 물체의 질량을, '''a'''는 물체의 가속도를 나타낸다.
속도와 마찬가지로 가속도는 시간간격 동안 속도가 변한 정도 의 비로 정의할 수 있다. 이렇게 정의한 가속도를 '''평균가속도''' 라 한다.
:
어떠한 순간의 가속도는 이 시간간격을 0으로 보내는 극한으로 생각할 수 있다. 이렇게 정의하는 가속도를 '''순간가속도''' 라 한다. 이렇게 정의한 가속도는 어느 순간의 속도를 시간으로 미분한 것으로도 정의된다.
:
=== 등속운동 ===
'''등속운동'''은 속도 혹은 속력이 일정한 운동을 말한다. 등속운동에서 변위(거리)는 시간에 비례한다. 이에 반하여 속도 혹은 속력이 시간에 따라 일정하게 증가하는 '''등가속운동'''에서는 변위(거리)는 시간의 제곱에 비례한다.
=== 가속운동 ===
'''가속운동'''은 어떤 물체의 속도 혹은 속력이 증가하는 운동을 의미한다. 이때 속도 혹은 속력이 일정하게 증가하는 운동을 등가속도운동 또는 등가속운동이라 한다.
=== 등가속운동 ===
'''등가속운동''' 또는 '''등가속도운동'''은 시간에 따른 속도의 변화 즉 가속도가 일정한 운동을 말한다. 등속운동에서 변위(거리)는 시간에 비례하지만 등가속운동에서 변위(거리)는 시간의 제곱에 비례한다.
뉴턴역학에서 힘은 질량과 가속도의 곱이므로, 힘과 질량이 일정하다면 물체는 가속도가 일정한 등가속운동을 한다. 지구 표면에서 물체는 일정한 가속도로 운동하며 이를 지구의 중력가속도라고 한다.
=== 감속 운동 ===
'''감속운동'''은 어떤 물체의 속도 혹은 속력이 감소하는 운동을 말한다. 속도 혹은 속력이 일정하게 증가하는 운동을 '''등가속도운동''' 혹은 '''등가속운동'''이라고 하는데, 속도 혹은 속력이 일정하게 감속하는 운동을 의미하는 용어로 '''등감속운동'''의 용어는 사용하지는 않고 음(−)의 '''등가속운동'''으로 취급하는 것이 일반적이다.
* 변위
* 속도
* 가가속도
* 가가가속도
* 각가속도
* 중력 가속도
속도

'''속도'''(速度, )는 어떠한 물체의 위치 변화를 뜻하는 변위를 변화가 일어난 시간 간격을 나눈 값이다. 변위는 방향과 크기를 갖는 벡터이기 때문에 속도 역시 벡터이다. 단위 시간당 변위의 비로 나타낼 수 있다. 국제단위계에서는 미터 매 초(m/s, 초속 미터)를 사용하며, 일상에서는 킬로미터 매 시간(km/h, 시속 킬로미터)도 자주 쓰인다. 기호로는 주로 '''v'''를 사용한다.
속도란 움직이는 물체의 위치가 변하는 정도를 나타내는 물리량이므로, 시간간격 동안 위치가 변한 정도 의 비로 정의할 수 있다. 이렇게 정의한 속도를 '''평균속도'''라고 한다. 평균속도 는 다음과 같이 수식으로 표현할 수 있다.
:
물리학에서 일반적으로 다루는 속도는 물체가 갖는 어떠한 순간의 속도, 즉 '''순간속도'''이다. 순간속도는 평균속도를 측정하는 시간간격을 매우 짧게 하여 0에 접근시킨 극한값이라고 생각할 수 있다. 순간속도를 라고 하면 다음과 같이 수식으로 나타낼 수 있다.
:
위와 같이 순간속도는 변위를 시간에 대하여 미분한 것으로 이해할 수 있다. 물리학에서 일반적으로 속도라고 할 때는 순간속도를 의미한다.
자동차가 커브를 돌며 움직일 때 변위와 경로의 전체 거리 사이에 차이가 생기게 된다.
속도가 방향과 크기를 갖는 벡터량인 반면, 속력은 크기만을 갖는 스칼라량이다. 속력은 물체가 움직인 경로의 전체 거리에 대하여 변화가 일어난 시간 간격으로 나눈 값이다. 예를 들어 자동차가 50초 동안 앞으로 30m 전진한 다음 80m를 후진하였다고 하자. 전진할 때의 위치 변화를 양으로 후진할 때의 위치 변화를 음으로 나타내면 변위는 가 되지만, 움직인 경로의 전체 거리는 가 된다. 따라서 이 자동차의 평균속도와 평균 속력은 다음과 같이 계산 할 수 있다.
:평균 속도 
:평균 속력 
순간속도는 변화가 일어나는 시간 변화가 0에 접근하기 때문에 변위와 전체 경로의 차이가 없다. 따라서 순간속도를 나타내는 벡터의 크기는 순간속력과 같다. 그러나 보다 큰 시간 간격을 고려하는 평균속도의 크기는 일반적으로 평균속력과 다르다.
상대속도는 한 좌표계 안의 두 물체의 속도를 비교한 것이다. 두 물체 A, B의 속도를 각각 , 라고 하면, 고전물리학에서는 A에 대한 B의 상대 속도를 다음과 같이 계산 한다.
:A에 대한 B의 상대속도 
예를 들어 두 자동차 A, B가 직선 상에서 마주 보며 달리고 있을 때 A의 속도가 3m/s 이고 B의 속도가 -5m/s 라면 A에 대한 B의 상대속도는 -8m/s 이고 B에 대한 A의 상대속도는 8m/s 가 된다. 일차원 운동만을 고려한다면 상대속도는 스칼라값을 갖는다고 생각할 수 있다.
한편 특수 상대성 이론에서는 물체의 속도가 매우 빠를 때 상대속도가 고전물리학과는 다른 양상을 보인다고 설명한다. 관성계가 다르더라도 빛의 속도는 일정하므로 특수 상대성 이론에서 매우 빠르게 움직이는 두 물체의 속도 관계는 다음과 같이 계산된다.
:A에 대한 B의 상대속도 
위 식에서 빛의 속도 c는 매우 큰 값이기 때문에 A와 B의 속도가 충분히 느릴 경우 는 0에 접근하게 되고 그 결과 상대속도는 고전물리학의 계산과 같아지게 된다.
* 미터 매 초
* 킬로미터 매 시간
* 변위
* 가속도
* 가가속도
* 가가가속도
; 내용주
; 참조주
 
분류:물리량
운동량

섬네일
'''운동량''' (運動量, )은 물리학 특히, 뉴턴 역학에서 물체의 질량과 속도의 곱으로 나타내는 물리량이다. 운동량의 국제 단위는 뉴턴 초 (N · s) 또는 킬로그램 미터 매 초 (kg · m/s)이고, 통상적인 기호는 라틴 소문자 ''p''이다. '''선형 운동량'''() 혹은 '''병진 운동량'''()이라고도 부른다.
예를 들어 빠르게 움직이는 무거운 트럭 같은 물체는 운동량이 크다. 무거운 트럭을 빠른 속도까지 가속시키기 위해서는 큰 힘을 한참 동안 가해야 하고, 반대로 그 트럭을 정지시키기 위해서도 큰 힘을 오랫동안 가해야 한다. 트럭이 더 가볍다거나 더 느리게 움직인다면 그만큼 운동량도 작아질 것이다. 또한 트럭을 정지시키는 값이 일정할때, 시간을 많이줘서 힘의 크기를 작게주거나 힘의 크기를 크게해서 시간을 짧게주거나 한다.
선형 운동량은 보존되는 양으로, 외부에서 가해지는 힘에 의한 영향이 없는 닫힌계의 선형 운동량의 총합은 바뀌지 않는다. 고전역학에서는 선형 운동량 보존법칙이 뉴턴의 운동 법칙에 포함되어 있다. 하지만 특수 상대성 이론에서도 공식을 약간 수정한 형태로 선형 운동량 보존 법칙을 충족시킬 수 있으며, (일반화된) 선형 운동량 보존 법칙은 적절한 정의를 이용하면 전자기학, 양자역학, 양자장론, 일반 상대성 이론에도 적용할 수 있는 보존 법칙이다.
고전역학에서, 운동량은 질량과 속도의 곱으로, 크기와 방향을 모두 갖는 벡터다. 즉, 운동량을 '''p''', 질량을 ''m'', 속도를 '''''v'''''라고 하면, 운동량은 다음과 같다.
:
=== 운동량 보존 법칙 ===
만약 어떤 계에 외부에서 힘이 가해지지 않는다면, 뉴턴의 운동법칙에 따라 계의 총 운동량은 바뀌지 않는다.
두 물체가 충돌할 때도, 두 물체의 운동량의 합은 일정하다. 즉, 두 물체의 질량을 , , 충돌 전의 속도를 , , 충돌 후의 속도를 , 라고 하면 다음의 식이 성립한다.
:
이 때 를 '''반발 계수'''라고 부르고, 0 이상 1 이하의 값을 가진다. 만약 e = 1인 경우의 충돌은 탄성 충돌이라고 부르고, 이 때에는 운동 에너지 보존 법칙, 즉
:
이 성립한다.
1차원 공간의 탄성 충돌에서, 두 물체의 속도는 다음과 같다.
:
:
반면, e < 1인 경우는 비탄성 충돌()이라고 하고, 특히 e = 0인 경우는 '''완전 비탄성 충돌'''이라고 부른다. 이 때에는 충돌한 두 물체의 속도차, 즉 입자 사이 상대 속도가 같다.
=== 충격량 ===
충격량은 어떤 시간 동안에 운동량의 변화이다. 이에 따라, 충격량의 단위는 운동량의 단위와 같다.
충돌 전후 두 물체가 주고받은 충격량의 합은 무조건 0이 된다. 힘은 뉴턴의 운동법칙에 따라 운동량의 시간에 따른 변화율이므로, 일정한 시간 ''t''에 대한 힘 '''F'''에 대한 충격량 '''I'''는
:
이다. 만약 힘의 세기나 방향이 시간에 따라 바뀌지 않으면, 다음과 같이 쓸 수 있다.
:
힘의 정의를 이 식에 다시 사용하면, 다음 식을 유도할 수 있다.
:
:
:
특수 상대성 이론에서, 3차원의 운동량은 에너지와 함께 사차원 벡터를 이루는데, 이를 사차원 운동량이라고 부른다. 즉, 그 정의는 다음과 같다.
:.
여기서 E는 계의 총 에너지이며, '''p'''는 계의 상대론적 (3차원) 운동량이다.
:E = γmc2.
상대론적 3차원 운동량은 정지 질량 과 로런츠 인자 , 속도 의 곱이다. 즉,
:'''p''' = ''γm''0'''v''' = ''m''0'''u''' .
여기서 는 신속도이다.
광자등과 같이 정지 질량이 0인 입자도 운동량을 가진다. 정지 질량이 0인 입자의 경우, 에너지 와 운동량 는 서로 비례한다. 즉
:.
양자역학에서, 운동량은 파동함수에 대한 연산자이다. 불확정성 원리에 의하여, 입자의 운동량은 (입자의 위치에 대한 정보가 어느 정도 있는 한) 항상 어느 정도의 불확정성을 갖는다.
전하와 스핀이 없는 입자의 운동량 연산자는 다음과 같다.
:.
여기서,
* 는 기울기 연산자이다.
* 는 디랙 상수이다.
* 은 허수 단위이다
* 각운동량
 
분류:물리량
분류:물리학 개념
분류:역학
분류:운동 (물리학)
분류:보존 법칙
분류:모멘트 (물리학)
도모나가 신이치로

'''도모나가 신이치로'''(, 1906년 3월 31일 ~ 1979년 7월 8일)는 일본의 물리학자이다.
양자전기역학의 발전에 큰 영향을 끼쳤으며 그 공로로 1965년 리처드 파인먼과 줄리언 슈윙거와 노벨 물리학상을 수상했다.
1906년 그는 도쿄도에서 도모나가 산주로(朝永三十郎)의 아들로 태어났다. 어릴 때는 병약하였으며 1913년 부친이 교토제국대학 교수로 취임하면서 교토로 이사갔다. 1937부터 1939년까지 독일 라이프치히에서 베르너 하이젠베르크 아래에서 연구 활동을 하였다. 제2차 세계 대전 이후 프린스턴 고등연구소 등에서 연구하였다. 니시나 요시오의 제자이다.
유카와 히데키와는 제삼고등학교, 교토제국대학 동창으로, 평생의 동료이자 라이벌로 지냈다. 권위적인 유카와 히데키와 달리 도모나가는 소탈한 성품이었으며, 유카와는 직관을 중시함에 비해 도모나가는 논리적인 전개를 선호했다. 학창시절에는 도모나가 신이치로가 성적이 더 좋았으나, 정작 노벨물리학상을 유카와 히데키가 먼저 받게 되자 그는 큰 충격을 받았다고 한다.
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*  한국어판: 
*  노벨상 전기
*  양자역학적 세계상
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분류:1906년 출생
분류:1979년 사망
분류:일본의 물리학자
분류:이론물리학자
분류:노벨 물리학상 수상자
분류:일본의 노벨상 수상자
분류:교토 대학 동문
분류:도쿄도 출신
분류:교토부 출신
분류:이화학연구소 사람
분류:훈1등 욱일대수장 수훈자
분류:도쿄 교육대학 교수
분류:교토시 출신
분류:도쿄도 구부 출신
분류:일본 학사원상 수상자
미분방정식

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'''미분 방정식'''(微分方程式, differential equation)은 미지의 함수와 그 도함수, 그리고 이 함수들의 함수값에 관계된 여러 개의 변수들에 대한 함수 방정식이다. 미분방정식의 계수(order)는 미분 횟수가 가장 많은 독립 변수의 계수가 결정짓고, 차수(degree)는 계수를 결정 지은 독립 변수의 미분꼴이 거듭제곱된 횟수에 따라 결정된다.
응용 수학에서 한 매개 변수가 다른 매개 변수에 대한 의존성을 알 수 없는 문제가 종종 발생하지만 한 매개 변수가 다른 매개 변수 (미분)에 대한 변화율에 대한 표현을 작성할 수 있다. 이 경우 문제는 다른 표현과 관련된 도함수로 함수를 찾는 것으로 축소된다.
미분 방정식은 엔지니어링, 물리학, 경제학 등 수학 외의 학문에서도 중요한 역할을 차지하고, 유체역학, 천체역학 등의 물리적 현상의 수학적 모델을 만들 때에도 사용된다. 따라서 미분 방정식은 순수수학과 응용수학의 여러 분야에 걸쳐있는 넓은 학문이다.  물체의 운동이 물체의 위치와 시간값의 변화에 따른 속도로 표현되는 고전역학이 그 대표적인 예다. 뉴턴의 운동 법칙은 물체의 미지의 위치를 시간에 대한 함수로 표현하고, 물체의 위치·속도·가속도·그리고 물체에 작용하는 힘 등을 그 함수에 대한 미분 방정식으로 나타냄으로써 이 변량들을 역학적으로 표현할 수 있었다. 흔히 운동방정식이라고 부르는 이 미분 방정식은 아주 쉽게 풀리는 경우도 있다.
미분 방정식을 사용하여 실세계를 표현한 예로는, 중력과 공기저항만 고려하여 공중에서 떨어지는 공의 속도를 결정하는 것이 있다. 땅을 향한 공의 가속도는 중력에 의한 가속도 마이너스 공기저항에 의한 가속도이다. 중력은 일정하다고 치고, 공기저항은 공의 속도에 비례한다고 하자. 이것은 공의 가속도, 즉 공의 속도의 도함수가 공의 속도에 따라 결정된다는 것을 의미한다. 속도를 시간에 대한 함수로 나타내면 이 미분 방정식을 풀 수 있다.
수학에서 미분 방정식은 여러 가지 다른 관점에서 연구되고 있는데, 대개 그 해―방정식을 만족시키는 함수의 집합―에 대한 연구가 흔하다. 명쾌한 함수의 형태로 해가 구해지는 것은 가장 간단한 미분 방정식들 뿐으로, 어떤 미분 방정식은 명확한 해를 구하지 않고, 그 특징만 밝혀지는 경우도 있다. 만약 해를 독립적으로 구하는 것이 불가능하다면, 컴퓨터를 이용해 수적 근사값을 구할 수도 있다. 동역학계 이론에서는 미분 방정식으로 표현되는 계의 질적 분석을 중요하게 여기는데, 주어진 정확도 안에서 해를 구하기 위한 많은 수치 해석 방법이 개발되고 있다.
미분 방정식의 목표는 다음 세가지이다.
# 특정한 상황을 표현하는 미분 방정식을 발견하는 것.
# 그 미분 방정식의 정확한 해를 찾는 것.
# 그 찾은 해를 해석하여 미래를 예측하는 것.
미분 방정식에 대해 해가 있어야만 하는지, 아니면 해가 유일한지 등의 문제도 중요한 관심사이다. 그러나 응용수학자, 물리학자, 엔지니어들은 대개 주어진 미분 방정식을 푸는 데에 관심을 두기 마련이고, 여기서 얻어진 해는 전기회로, 다리, 자동차, 비행기, 하수도 등을 만드는 데에 이용되고 있다.
미분 방정식 이론은 잘 발전되어 왔으며, 학습을 위해 방정식의 형태에 따라 그것을 의미있게 분류시키기도 한다.
=== 상미분 방정식과 편미분 방정식 ===
* 상미분 방정식
상미분 방정식은 미지 함수와 종속변수가 하나의 독립변수를 가지는 함수인 미분 방정식을 말한다. 간단한 형태로 미지함수가 실수 또는 복소수 함수 형태를 가진다.
* 편미분 방정식
미지 함수의 독립 변수가 둘 이상인 미분 방정식이다.
=== 선형과 비선형 ===
* 선형 미분 방정식
선형 미분 방정식은 y도함수 앞의 계수가 변수가 아닌 경우이고 y도함수가 모두 1승인 것을 말한다.
* 비선형 미분 방정식
비선형 미분 방정식은 선형 미분 방정식과 다르게 y도함수 앞의 계수가 변수이며, 대표적 예시인 나비에-스톡스 방정식에서는 y도함수 앞의 계수가 유체의 성질을 나타내는 매개변수이다. 비선형 미분 방정식은 매개변수의 테일러 급수로 근사해를 구하는 방식이 있다.
,  등 y 앞에 무언가 있을 때 비선형 이라 하며 상수나 는 가능하다.
=== 제1차 상미분 방정식 ===
1차 제차 상미분 방정식의 일반형은 다음과 같다.
: 
여기서 는 우리가 알고 있는 함수이며, 이 방정식은 간단히 변수를 다음과 같이 양변으로 분리하여 놓아서 풀 수 있다.
: 
위 식을 적분하여 다음의 결과를 얻는다.
양변에 e를 취하면 다음의 결과를 얻는다.
:
여기서
:, 
는 임의의 상수이다. (이 결과가 맞는지 확인하려면, 이 식을 원래의 방정식에 대입해 보면 된다.)
가 상수가 아닌 함수이고, 어떤 함수의 경우에는 (우리가 잘 알고 있더라 하더라도) 그 적분이 불가능 할 수도 있기 때문에, 실제적인 풀이는 매우 어려울 수 있다. 
=== 1차 비제차 상미분 방정식 ===
1차 선형 상미분 방정식 중 일부는 위의 예처럼 분리가 불가능하다. 이와 같은 1차 비제차 상미분 방정식을 풀기 위해선 적분인자를 알아야 한다. 이 방법을 아래에 설명하고 있다.
1차 상미분 방정식의 일반적인 형태를 생각해 보자.
:
이 방정식을 푸는 방법은 특별한 "적분 인자",  에 달려있다.
:
위의 1차 상미분 방정식의 양변에 를 곱하자.
:
우리가 선택한 특별한 의 성질에 의해 위 식은 다음과 같이 간단한 모양으로 변형된다.
:
미분에 대한 곱의 법칙에 의해 위 식은 다시 다음과 같이 변형된다.
:
양변을 적분하면,
:
를 얻고, 마지막으로 에 대해 풀고, 로 양변을 나누면,
:
를 얻는다. 는 의 함수이므로 더 이상 간단히 할 수 없다.
* 상미분 방정식
* 편미분 방정식
* 그린 함수
* 차분 방정식
 
분류:미적분학
각운동량

파일:Gyroskop.jpg|섬네일|오른쪽|200px|자이로스코프는 각운동량 때문에 회전하는 동안에 계속 위를 바라보게 된다.
'''각운동량'''(角運動量)은 물리학에서 어떤 원점에 대해 선운동량이 돌고 있는 정도를 나타내는 물리량이다. 각운동량은 좌표의 원점을 어떻게 잡느냐에 따라 달라지기 때문에, 여러 각운동량을 다룰 때에는 둘을 합하거나 그에 관련한 연산을 하는 것이 물리학적으로 올바른 것인지 신중히 고려하며 사용해야 한다.
각운동량은 물리학뿐만 아니라 여러 공학 분야에서도 매우 중요한 개념이고, 응용분야 또한 매우 다양하다. 이렇게 각운동량이 중요하게 다루어지는 이유는 돌림힘이 작용하지 않으면 각운동량은 보존되는 양이 되기 때문이다. 뇌터의 정리에 의하면 각운동량의 보존은 공간의 회전대칭성 때문이다. 이러한 각운동량의 보존은 공학뿐만 아니라 여러 자연현상을 기술하는 데에도 유용하게 사용된다.
파일:Torque animation.gif|프레임|오른쪽|회전계에서 힘 (F)과 돌림힘 (τ), 그리고 운동량 벡터들 (p 와 L)의 관계
어떤 원점에 대한 입자의 각운동량을 수학적으로 정의하면 다음과 같다.:
:
여기서
:*  : 입자의 질량
:*  : 입자의 각운동량
:*  : 입자의 선운동량
:*  : 원점에서부터 입자까지의 위치벡터
:*  : 입자의 속도
이다. 물리계가 여러 입자로 구성되어 있을 때에는, 한 원점에 대한 총 각운동량은 각각의 각운동량을 더해서 구하거나,
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좀 더 복잡한 부피를 가지는 물체의 각운동량은 미소질량에 대해 각운동량을 적분하여 얻을 수 있다.
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많은 경우, 고정된 특정한 한 축에 대한 각운동량만을 고려하기 때문에 각운동량을 3차원 벡터로 취급하지 않고 단순히 반시계방향의 회전은 양으로, 시계방향의 회전은 음으로 취급하여 스칼라로 놓기도 한다. 이렇게 할 때에는 벡터곱의 크기로 각운동량을 표기하게 된다.
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여기서 는 로부터 까지 재는 각도이다.
각운동량을 시간에 대해 미분하면 돌림힘 
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가 된다. 만약 어떤 원점을 기준으로 계에 돌림힘이 작용하지 않으면
:
:(상수벡터)
이 되어 각운동량이 보존되게 된다. 이를 '''각운동량 보존 법칙''' 또는 간단히 '''각운동량 보존'''()이라고 부른다.
각운동량 보존 법칙은 특히 중심력이 작용하는 운동을 분석하는 데 유용하게 쓰일 수 있다. 중심력이 작용하는 입자들의 운동에서 두 입자는 외부로부터의 영향에서 고립된 계를 이루고, 원점은 두 입자를 잇는 선 위의 한 점으로 잡는다. 서로 작용하는 힘의 방향이 언제나 원점에서 입자들까지의 위치벡터와 같은 방향이 되므로, 앞에서 잡은 원점을 기준으로 한 알짜 토크는 언제나 0이 된다. 따라서, 각운동량은 보존된다. 일정한 각운동량을 갖는 이와 같은 경우는 행성, 위성, 보어의 원자모형등의 분석에 유용하게 사용된다.
관성 모멘트와 각운동량 사이에는 질량과 운동량사이의 관계
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와 유사하게
:
꼴의 식이 있다. 경우에 따라 스칼라 관성모멘트 나 관성텐서 중 하나를 사용한다.
=== 회전축이 변하지 않는 경우 ===
회전축이 변하지 않는 경우에 각운동량은 간단히 스칼라 관성모멘트 와 각속도 의 곱으로 쓰일 수 있다.
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위 식은 스칼라 관성 모멘트의 정의
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와 각속도의 공식 (와 이 '''수직'''일 때만 성립.)
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을 사용하여 각운동량의 정의로부터 간단히 유도할 수 있다.
:
여기서는 입자 하나에 대해서만 유도를 하였지만, 일반적인 경우에도 관성모멘트와 각운동량 사이에는 이와 같은 관계가 성립한다.
=== 일반적인 경우 ===
회전축도 변하는 일반적인 회전의 경우, 각운동량과 각속도벡터는 평행하지 않다. 때문에 스칼라 관성모멘트를 사용한 식이 성립하지 않고, 좀 더 일반적인 식인 관성텐서 를 사용한 아래의 식을 사용한다.
:
관성텐서의 각 성분 은 다음과 같이 정의된다.
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이와 속도와 각속도의 일반적 관계
:
를 사용하면 각운동량과 관성텐서 사이의 관계를 유도할 수 있다. 각운동량의 정의에 이를 대입하면,
:
를 얻고, 여기서 삼중곱을 전개하면 아래와 같은 식을 얻는다.
:
이제, 을 성분 로 표현해 를 분리한다.
:
관성텐서의 정의를 대입하면,
:
가 되어 맨 처음 식이 성립함을 확인할 수 있다.
고전적인 각운동량에 대응하는 양자역학적 관측 가능량은 '''궤도 각운동량''' 이다. 다른 양자역학적 관측 가능량과 마찬가지로, 궤도 각운동량의 값은 디랙 상수 의 정수 또는 반정수()배로 양자화된다. 뿐만 아니라, 양자역학에는 고전적으로 존재할 수 없는 각운동량 항이 존재하는데, 이를 스핀 라고 한다.
* 관성 모멘트
* 운동량
* 일반화 운동량
* 스핀
* 각운동량 결합
* 
 
분류:물리량
분류:양자역학
분류:고전역학
분류:물리학 개념
분류:보존 법칙
분류:모멘트 (물리학)
일리야 프리고진

'''일리야 로마노비치 프리고진'''(, , 1917년 1월 25일~2003년 5월 28일)은 러시아 모스크바 태생의 벨기에의 화학자이다.
벨기에 브뤼셀의 브뤼셀 자유대학(Université Libre de Bruxelles)에서 화학을 전공했으며 산일구조(散逸構造), 복잡계, 비가역성에 대한 연구로 유명하다. 1977년 비평형 열역학, 특히 소산 구조론의 연구에 공헌한 점을 인정받아 노벨 화학상을 수상했다. 1989년에는 벨기에의 보두앵 1세 국왕으로부터 자작 작위를 받았다.
* 《확실성의 종말》(''The End of Certainty'') 
* 
* https://web.archive.org/web/20031010111726/http://chaos.inje.ac.kr/Lec/chaos/96lec/ch2/prigogine/preg2.html
* https://web.archive.org/web/20030819125226/http://chemistry.sogang.ac.kr/~duckhwan/essay/essay-prigogine.htm
분류:1917년 출생
분류:2003년 사망
분류:러시아의 화학자
분류:벨기에의 화학자
분류:노벨 화학상 수상자
분류:벨기에의 노벨상 수상자
분류:브뤼셀 자유 대학교 (1834년~1969년) 동문
분류:텍사스 대학교
분류:이론화학자
분류:모스크바 출신
분류:열역학자
분류:소련의 노벨상 수상자
분류:텍사스 대학교 오스틴 교수
분류:러시아의 망명자
분류:유대계 러시아인
분류:벨기에 유대인
분류:계산화학자
분류:브뤼셀 자유 대학교 (1834년~1969년) 교수
분류:소련에서 독일로 이민간 사람
분류:독일에서 벨기에로 이민간 사람
다양체

원은 모든 점에 대해서 국소적으로 직선과 같은 구조를 가지고 있다. 따라서, 원은 1차원 다양체이다.
위상수학과 기하학에서 '''다양체'''(多樣體, )는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상 공간이다. 즉, 국소적으로는 유클리드 공간과 구별할 수 없으나, 대역적으로 독특한 위상수학적 구조를 가질 수 있다.
음이 아닌 정수 에 대하여, 차원 '''국소 유클리드 공간'''(局所Euclid空間, ) 는 다음 성질을 만족시키는 위상 공간이다.
* 임의의 점 에 대하여, 과 위상동형인 근방 이 존재한다.
하우스도르프 국소 유클리드 공간 에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 하우스도르프 국소 유클리드 공간을 '''다양체'''라고 한다.
* 는 파라콤팩트 공간이다.
* 는 거리화 가능 공간이다.
* 의 각 연결 성분은 제2 가산 공간이다.
* 의 각 연결 성분은 시그마-콤팩트 공간이다.
만약 어떤 위상 공간 가 차원 다양체이자 차원 다양체이며, 이라면 는 공집합이다.
모든 국소 유클리드 공간은 다음 성질을 만족시킨다.
* 국소 콤팩트 공간이다.
* 제1 가산 공간이다.
* 국소 연결 공간이다.
모든 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 다음 성질을 만족시킨다.
* 티호노프 공간이다.
모든 콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 다양체이다.
국소 유클리드 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* 은 시그마-콤팩트 공간이다.
* 은 제2 가산 공간이다.
* 은 린델뢰프 공간이다.
모든 제2 가산 다양체는 다음 성질을 만족시킨다.
* 분해 가능 공간이다.
모든 파라콤팩트 분해 가능 국소 유클리드 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
* 시그마-콤팩트 공간이다.
* 린델뢰프 공간이다.
* 제2 가산 공간이다.
위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 는 이산 공간이다.
* 는 0차원 다양체이다.
위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 의 모든 연결 성분은 원  또는 실수선 와 위상동형이다.
* 는 1차원 다양체이다.
다양체의 대표적인 예로는 다음을 들 수 있다.
* 유클리드 공간 
* 초구 
* 열린 공 
* 실수 사영 공간 
* 이산 공간
* 공집합
다양체가 아닌 국소 유클리드 공간으로는 다음을 들 수 있다.
* 긴 직선()은 연결 하우스도르프 국소 유클리드 공간이지만, 파라콤팩트 공간이 아니다.
* '''두 개의 원점을 갖는 직선'''(): 에, 다음과 같은 동치 관계를 주자.이에 대한 몫공간은 연결 제2 가산 국소 유클리드 공간이지만, 하우스도르프 공간이 아니다.
비가산 개의 연결 성분을 갖는 다양체는 (정의에 따라 파라콤팩트 공간이지만) 제2 가산 공간이 아니다. 보다 일반적으로, 다양체에 대하여 제2 가산 공간인 것은 가산 개의 연결 성분을 갖는 것과 동치이다.
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* 매끄러운 다양체
* 조각적 선형 다양체
* 리만 다양체
 
분류:미분위상수학
분류:기하학적 위상수학
분류:미분기하학