일반화 페테르센 그래프

그래프 이론에서 '''일반화 페테르센 그래프'''(一般化Petersen graph, )는 같은 수의 꼭짓점을 갖는 정다각형과 별 모양에서 대응하는 꼭짓점들을 이어 얻는 그래프이다. 특히, 오각형과 오각 별을 이어 얻는 그래프를 '''페테르센 그래프'''()라고 한다.
3 이상의 정수 과, 의 배수가 아닌 정수 , 가 주어졌다고 하자. 또한, 만약 이 짝수라면 라고 하자.
'''일반화 페테르센 그래프''' 는 다음과 같은 그래프이다.
:
:
여기서 첨자는 법 으로 계산한다. 즉,  및 로 간주한다.
일반화 페테르센 그래프의 변 가운데,  꼴의 변을 '''바큇살'''()이라고 한다.
당연히
:
이므로, 보통
:
를 가정한다.
=== 기초적 성질 ===
파일:Petersen-graph-factors.svg|섬네일|오른쪽|페테르센 그래프  속의 완벽 부합
일반화 페테르센 그래프 는 개의 꼭짓점과 개의 변을 가지는 삼차 그래프이며, 완벽 부합을 갖는다. 구체적으로, 위와 같은 표기에서, 은 완벽 부합을 이룬다.
=== 동형 ===
임의의 정수  및 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 
* 
예를 들어, 이다.
=== 안둘레 ===
일반화 페테르센 그래프 의 안둘레는 항상  이하이다.
'''증명:'''
일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은
:
:
이다. 그 속에서
:
는 길이 8의 순환이며,
:
는 길이 의 순환이며,
:
는 길이 의 순환이다.
또한, 다음이 성립한다.
:
'''증명:'''
일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은
:
:
이다. 그 속에서
:
은 길이 의 순환이다 (복부호 동순).
위 상계 가운데 적어도 하나가 포화된다. 즉, 만약 이며,
:
일 때, 일반화 페테르센 그래프 의 안둘레는 다음 표에서, 위에서부터 가장 먼저 해당하는 행에 의해 주어진다.
:
 조건 
 안둘레
  
 3
 
 4
 
 
 5
 
 
 
 6
 
 
 
 7
 
 
 
 
 
 그 밖의 경우 
 8
'''증명:'''
일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은
:
:
이다. 일반화 페테르센 그래프 속의 모든 순환은 당연히 짝수 개의 바큇살 을 포함한다.
모든 일반화 페테르센 그래프는 4개의 바큇살을 갖는 길이 8의 순환
:
을 가지며, 바큇살 6개 이상의 순환의 길이는 항상 12 이상이다. 따라서, 2개의 바큇살 및 0개의 바큇살을 갖는 순환들만 고려하면 된다.
2개의 바큇살을 갖는 순환은 (편의상 첫 변을 로 잡으면) 항상 다음과 같은 꼴이다.
:
이것이 존재하기 위해서는 이어야 하며, 이 경우 순환의 길이는 이다.
* 가 최솟값이어야 하므로,  및 인 경우만 고려해도 된다.
** 인 경우: 인 경우가 최적이며, 이 경우 순환의 길이는 이다.
** 인 경우:
*** 만약 인 경우, 이다. 따라서, 이 경우 는 최솟값을 갖지 못한다.
*** 만약 일 경우, 이 경우 0개의 바큇살을 갖는 길이 의 순환이 더 짧다.
*** 만약 일 경우, 이다.
*** 위 경우를 제외하면, 이러한 순환의 길이가 8 미만인 경우는 남는 것은 이다.
0개의 바큇살을 갖는 순환은  또는 v_i로만 구성된다. 만으로 구성되는 유일한 순환의 길이는 이며, 만으로 구성되는 순환의 길이는 이다.
* 후자의 길이가 7 이하가 되려면, 가능한 경우는 이다.
=== 케일리 그래프 ===
파일:Symmetric group 4; Cayley graph 1,5,21 (Nauru Petersen).svg|섬네일|오른쪽|나우루 그래프 는 대칭군 의 케일리 그래프이다.
일반화 페테르센 그래프 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 어떤 유한군의 케일리 그래프와 동형이다.
* 
예를 들어, 나우루 그래프 의 경우 이며, 이는 대칭군 의 케일리 그래프이다. 마찬가지로, 각기둥 그래프 는 크기 의 정이면체군 의 케일리 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프 는 케일리 그래프가 아니다.
=== 꼭짓점 색칠 ===
일반화 페테르센 그래프는 삼차 그래프이므로, 브룩스 정리()에 의하여 그 색칠수는 2 또는 3이다.
일반화 페테르센 그래프 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 이분 그래프이다. (즉, 색칠수가 2이다.)
* 이 짝수이며, k는 홀수이다.
다시 말해, 일반화 페테르센 그래프 의 색칠수는 다음과 같다.
:
여기서 는 논리곱(AND), 는 논리합(OR)이다. 예를 들어, 페테르센 그래프 의 색칠수는 3이다.
Petersen_graph_3-coloring.svg|페테르센 그래프 의 3색 그래프 색칠
Desargues graph 2COL.svg|데자르그 그래프 의 2색 그래프 색칠
Dürer graph 3COL.svg|뒤러 그래프 의 3색 그래프 색칠
=== 변 색칠 ===
페테르센 그래프의 변 색칠수는 4이다. 페테르센 그래프는 변 색칠수가 4 이상인 가장 작은 삼차 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프가 아닌 다른 모든 일반화 페테르센 그래프의 변 색칠수는 3이다.
일반화 페테르센 그래프 는 (색들의 순열을 무시하면) 유일한 3색 변 색칠을 갖는다.
PetersenBarveniHran.svg|페테르센 그래프 의 4색 변 색칠
Dürer graph 3color edge.svg|뒤러 그래프 의 3색 변 색칠
3-colored dodecahedron.svg|정십이면체 그래프 의 3색 변 색칠
Desargues graph 3color edge.svg|데자르그 그래프 의 3색 변 색칠
Symmetric group 4; Cayley graph 1,5,21 (Nauru Petersen); matrices.svg|나우루 그래프 의 3색 변 색칠
=== 해밀턴 경로 ===
임의의 일반화 페테르센 그래프  (, )에 대하여, 다음 두 가지 가운데 정확히 하나가 성립한다.
* (가) 해밀턴 순환을 갖는다.
* (나) 이며, 이다.
또한, (나)의 경우, 임의의 꼭짓점을 제거하면 이는 해밀턴 순환을 갖는다. (특히, 모든 일반화 페테르센 그래프는 항상 해밀턴 경로를 갖는다.)
예를 들어, 페테르센 그래프 는 해밀턴 경로를 가지지만, (나)의 경우에 해당하므로 해밀턴 순환을 가지지 못한다.
Dürer graph hamiltonicity.svg|뒤러 그래프  속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.
Möbius-kantor Graph hamiltonian.png|일반화 페테르센 그래프  속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.
Generalized_Petersen_9_2_Hamiltonicity.svg|일반화 페테르센 그래프  속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 굵게 칠해졌다.
Hamiltonian path.svg|정십이면체 그래프  속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 붉은 색으로 굵게 칠해졌다.
Nauru graph.svg|나우루 그래프  속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.
=== 교차수 ===
각기둥 그래프인 일반화 페테르센 그래프 은 평면 그래프이다. 즉, 그래프 교차수가 0이다.
페테르센 그래프 의 그래프 교차수는 2이다. 나우루 그래프 의 그래프 교차수는 8이다. 특히, 이 두 그래프 둘 다 평면 그래프가 아니다.
평면 그래프가 아닌 모든 그래프는 완전 그래프  또는 완전 이분 그래프 를 그래프 마이너로 가지는데, 페테르센 그래프 는 이 둘 다를 그래프 마이너로 갖는다.
Pentagonal prismatic graph.png|오각기둥 그래프 의 교차수는 0이다.
Petersen graph, two crossings.svg|페테르센 그래프 의 교차수는 2이다.
Nauru 1-planar 8-crossing.svg|나우루 그래프 의 교차수는 8이다.
일부 일반화 페테르센 그래프는 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.
* '''페테르센 그래프'''는 일반화 페테르센 그래프 이다. 이는 완전 그래프 의 선 그래프의 여 그래프와 동형이다.
* '''뒤러 그래프'''()는 일반화 페테르센 그래프 이다.
* 일반화 페테르센 그래프 는 정십이면체의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다.
* '''데자르그 그래프'''()는 일반화 페테르센 그래프 이다.
* 일반화 페테르센 그래프 는 각형 각기둥의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다.
Triangular prismatic graph.png|일반화 페테르센 그래프 
Cubical graph.png|일반화 페테르센 그래프 (정육면체 그래프) 
Pentagonal prismatic graph.png|일반화 페테르센 그래프 
Petersen graph.svg|페테르센 그래프 
Hexagonal prismatic graph.png|일반화 페테르센 그래프 
Dürer_graph.svg|뒤러 그래프 
Heptagonal prismatic graph.png|일반화 페테르센 그래프 
Octagonal prismatic graph.png|일반화 페테르센 그래프 
Dodecahedral graph.neato.svg|정십이면체 그래프 
DesarguesGraph.svg|데자르그 그래프 
Independent set graph.svg|일반화 페테르센 그래프 
파일:Symmetric group 4; Cayley graph 1,5,21 (Nauru Petersen); numbers.svg|나우루 그래프 
파일:Dürer_Melancholia_I.jpg|섬네일|오른쪽|알브레히트 뒤러의 판화 《멜란콜리아 1》
데자르그의 정리에 등장하는 작도. 10개의 점 와 10개의 직선 에 각각 어떤 그래프의 꼭짓점을 대응시키고, 인접하는 점과 직선에 대응하는 두 꼭짓점 사이를 변으로 이으면, 데자르그 그래프 \operatorname{GPG}(10,3)를 얻는다.
파일:Flag_of_Nauru.svg|섬네일|오른쪽|나우루의 국기
독일의 판화가 알브레히트 뒤러의 1514년 판화 《멜란콜리아 1》()에는 다면체가 등장하는데, 그 꼭짓점과 변으로 구성된 그래프는 뒤러 그래프이다.
1898년에 덴마크의 수학자 율리우스 페테르센이 이 그래프를 다룬 3쪽의 논문을 출판하였으며, 이로부터 명명되었다. 페테르센은 이 그래프를 다음과 같은 (잘못된) 추측에 대한 반례로 제시하였다.
:연결 삼차 그래프 가운데, 임의의 변을 제거하더라도 연결 그래프로 남는 것들의 경우, 모두 변 색칠수가 3 이하이다.
“데자르그 그래프”라는 이름은 프랑스의 수학자 지라르 데자르그의 이름을 딴 것이다. 데자르그가 연구한 사영기하학의 한 정리에서 등장하는 작도에서, 각 직선과 각 점에 그래프 꼭짓점을 대응시키며, 서로 인접하는 점과 직선(에 대응하는 두 꼭짓점) 사이를 변으로 이으면, 이는 데자르그 그래프가 된다.
해럴드 스콧 맥도널드 콕서터는 1950년에 일반화 페테르센 그래프를 도입하였다. 콕서터는 일반화 페테르센 그래프 를 로 표기하였으며, 이에 특별한 이름을 부여하지 않았다.
1969년에 마크 왓킨스()가 이 그래프 족을 “일반화 페테르센 그래프”()라고 명명하였다.
“나우루 그래프”()라는 이름은 데이비드 아서 엡스타인()이 도입하였으며, 이 그래프의 구성에 등장하는 12각 별 모양이 나우루의 국기에 등장하는 별과 흡사하기 때문에 붙여졌다.
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분류:그래프
분류:정규 그래프