대수적 수체

대수적 수론에서 '''대수적 수체'''(代數的數體, ), 줄여서 '''수체'''(數體, )는 유리수체 의 유한 확대이다. 즉, 유리수체에, 어떤 유리수 계수 다항식의 근으로 적을 수 있는 유한 개의 원소들을 첨가하여 얻는 체이다.
'''대수적 수체''' 는 유리수체 의 유한 확대이다. 이는 대역체의 한 종류이다.
=== 자리 ===
'''오스트롭스키 정리'''(Островский定理, )에 따르면, 수체  위의 자명하지 않은 자리들은 다음과 같다.
* 실수로의 매장 에 대하여, . 여기서 는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 '''실수 무한 자리'''(實數無限-, )라고 한다.
* 복소수로의 매장 에 대하여 (), . 여기서 는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, 와 는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 '''복소수 무한 자리'''(複素數無限-, )라고 한다.
* 대수적 정수환 의 소 아이디얼 에 대하여, 진 절댓값의 자리. 이를 '''유한 자리'''(有限-, )라고 한다. 무한 자리와 마찬가지로, 이들은 p진수체의 대수적 폐포 로의 매장과 대응한다. 즉, 라면, 진 자리는 매장 을 정의하며, 절대 갈루아 군 의 작용에 의하여 관련되는 매장들은 같은 위치를 정의한다.
예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다.
* 자명 자리 
* 소수 에 대하여, 진 자리 
* 하나의 실 무한 자리 
수체 에서, 실수 자리의 수를 , 복소수 자리의 수를 라고 한다. 이 경우, 다음이 성립한다.
:
이는 에서 복소수체로 가는 체의 확대의 수와 같다. (각 복소수 자리는 복소켤레를 취할 수 있으므로, 두 번 중복해서 센다.)
대수적 수체 는 대역체이므로, 다음과 같은 '''곱 공식'''()이 성립한다.
:
여기서 는 의 모든 자리에 대한 곱이며, 는 주어진 자리에 대응하는 정규화 절댓값이다. 또한, 위 곱에서 오직 유한 개의 항을 제외한 나머지는 모두 1이어서 곱이 잘 정의된다. 예를 들어, 유리수
:
의 경우
:
:
이므로
:
이다.
=== 수체의 대수적 성질 ===
가산 무한 체의 유한 확대이므로, 모든 대수적 수체는 가산 무한 집합이다.
모든 대수적 수체는 유리수체의 확대로서 다음 조건을 만족시킨다.
* 정의에 따라 유한 확대이며, 따라서 대수적 확대이다. 그 차수는 와 같다 (은 실수 자리의 수, 는 복소수 자리의 수).
* 유리수체의 표수는 0이므로, 분해 가능 확대이다.
그러나 정규 확대(즉, 갈루아 확대)가 아닌 수체가 존재한다.
대수적 수체 에 이산 위상을 주면, 그 덧셈군은 위상군을 이룬다. 이 경우, 그 폰트랴긴 쌍대군 는 다음과 같은 아델 환의 몫이다.
:
대수적 수체 의 '''대수적 정수환'''(代數的整數環, ) 는 의,  속에서의 정수적 원소들의 환이다. 즉, 다음과 같다.
:
이는 의 부분환을 이룬다.
대수적 수체 의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환(절댓값이 1 이하인 원소들의 집합)들의 교집합과 같다.
모든 대수적 수체 의 대수적 정수환 은 크룰 차원이 1인 데데킨트 정역이다. 즉, 다음이 성립한다.
*는 정수적으로 닫힌 정역이다.
*는 뇌터 환이다.
* 0 이 아닌 모든 영이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 즉, 이 환의 크룰 차원은 1이다.
대수기하학적 관점에서는 그 스펙트럼을 취해 1차원 아핀 스킴으로 여길 수 있다.
모든 대수적 수체 에서, 다음이 성립한다.
:
:
여기서 은 분수체를 뜻한다.
=== 정수 기저 ===
대수적 수체의 대수적 정수환 의 덧셈군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 의 차수와 같다.
:
차수 ''n''의 수체 의 '''정수 기저'''()는 의 (자유 아벨 군으로서의) 기저 이다. 따라서 의 모든 대수적 정수들을
: ()
로 유일하게 나타낼 수 있고, 의 모든 원소들을
: ()
의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.
일부 수체의 경우, 정수 기저가
:
가 되게 잡을 수 있다. 이러한 정수 기저를 '''거듭제곱 정수 기저'''()라고 하고, 거듭제곱 정수 기저를 갖는 수체를 '''단일생성체'''()라고 한다. 모든 이차 수체와 원분체는 단일생성체이지만, 3차 수체 가운데는 단일생성체가 아닌 체가 존재한다.
=== 정칙 표현 ===
차 수체 의 정수 기저 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K의 임의의 원소 x를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:
따라서 x를 곱하는 연산을 유리수 계수 정사각 행렬
:
로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v1, ..., vn에 대한 '''정칙 표현'''(正則表現, )이라 한다. 행렬의 대각합이나 행렬식 및 고유 다항식 등의 불변량은 가 무엇인지에 따라 결정되며, 기저에는 의존하지 않는다.
의 고유 다항식
:
은 를 근으로 갖는 일계수 다항식이다. 이 경우, 의 대각합과 행렬식은 다음과 같다.
:
:
이 경우, 의 대각합은 로 쓰고, '''의 대각합'''이라고 한다. 마찬가지로, 의 행렬식은 로 쓰고, '''의 노름'''이라 한다.
대각합과 노름은 다음의 성질들을 따른다.
* (대각합의 선형성) 
* (노름의 승법성) 
=== 판별식 ===
수체의 '''판별식'''(判別式, )은 그 대수적 정수가 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 대수적 정수들을 갖는다. 구체적인 정의는 다음과 같다.
수체 의 대수적 정수환 의 정수 기저 를 고르자 (). 의 실수 자리와 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.
:
:
그렇다면 다음과 같은  정사각 행렬을 정의할 수 있다.
:
이 행렬의 행렬식의 제곱은 정수 기저나 자리들의 순서에 의존하지 않으며, 이를 의 '''판별식''' 라고 한다.
:
수체의 판별식 는 다음과 같은 성질을 가진다.
* '''브릴 정리'''(): 수체의 판별식의 부호는 이다. (판별식은 항상 0이 아니다.)
* '''슈티켈베르거 정리'''(): 수체의 판별식은 4에 대한 나머지가 항상 0이나 1이다.
*:
* '''민코프스키 하한'''(): 다음과 같은 부등식이 성립한다. 여기서 이다.
*:
* '''민코프스키 정리'''(): 유리수체가 아닌 수체의 판별식의 절댓값은 항상 2 이상이다. (유리수체의 판별식은 1이다.) 이는 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.
*:
* '''에르미트-민코프스키 정리'''(): 주어진 판별식을 가진 수체(의 동형류)의 수는 유한하다. 이 역시 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.
=== 디리클레 가역원 정리 ===
에 속한 1의 거듭제곱근들로 구성된 근은 대수적 정수환의 꼬임 부분군이며, 라고 하자. 이는 항상 유한 순환군이다. 즉, 에 속한 1의 거듭제곱근들의 수가 라고 하면
:이다.
'''디리클레 가역원 정리'''(Dirichlet可逆元定理, )에 따르면, 의 대수적 정수환 의 가역원군 은 유한 생성 아벨 군이며, 다음과 같은 꼴이다.
:
즉, 가역원군의 꼬임 부분군에 대한 몫군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 이다. 예를 들어, 다음과 같다.
 수체 
 가역원군 
 실수 자리 수  
 복소수 자리 수  
 가역원군의 크기 
 차수
  
  
 1 
 0 
 0 
 1
  (는 양의 무제곱 정수) 
 
 2 
 0 
 1 
 2
  (는 양의 무제곱 정수) 
 
 0 
 1 
 0 
 2
  (가우스 정수) 
   
 0 
 1 
 0 
 2
  (아이젠슈타인 정수) 
   
 0 
 1 
 0 
 2
=== 가역원 기준 ===
수체의 '''가역원 기준'''(可逆元基準, )은 수체의 가역원이 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 가역원들을 가진다. 가역원 기준은 유수 공식에 등장한다. 구체적인 정의는 다음과 같다.
대수적 정수환 의 가역원군 이 주어졌다고 하자. 에 속하는 1의 거듭제곱근들의 순환군 에 대한 몫군
:
을 생각하자. 이 군의 생성원
:
을 고르자. 디리클레 가역원 정리에 따라서, 이다 (은 실수 자리의 수, 는 복소수 자리의 수).
의 실수 자리 및 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.
:
:
그렇다면 다음과 같은 행렬을 생각하자.
:
의 임의의 행의 원소들의 합은 (가역원의 체 노름의 절댓값은 항상 1이므로) 0이다.
:
에서 임의의 한 열 을 제거한  정사각 행렬을 라고 하자. 각 행의 합이 0이므로, 행렬식 는 에 의존하지 않으며, 또한 이는 생성원 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이를 의 '''가역원 기준''' 라고 한다.
:
=== 유일 인수 분해의 실패 ===
대수적 수체의 정수환은 유일 인수 분해 정역이 아닐 수 있다. 대수적 수체는 데데킨트 정역이므로, 유일 인수 분해 정역인 수체는 항상 주 아이디얼 정역이다.
유일 인수 분해가 실패하는 수체의 경우, 아이디얼 유군  및 그 크기인 유수(類數) 를 정의할 수 있다. 대수적 수체의 아이디얼 유군은 항상 유한군이며, 유수는 데데킨트 제타 함수의 유수(留數)로부터 유수 공식을 통해 계산할 수 있다.
=== 분기화 ===
대수기하학적으로, 포함 관계 는 반대로 스킴 사상 을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, '''분기화'''()가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.
수체  및 소수 가 주어졌을 때, 로 생성되는 주 아이디얼은 에서 다음과 같이 소 아이디얼들의 곱으로 인수 분해된다.
:
여기서 를 의 에서의 '''분기 지표'''()라고 한다.
이 경우, 는 다음과 같이 세 가지로 분류된다.
* 만약 인 가 존재한다면, 는 '''분기화된다'''().
* 만약 모든 이라면, 는 '''분기화되지 않는다'''()
** 만약 이라면, 는 '''분해되지 않는다'''().
** 만약 이지만 이라면, 는 (다른 소수들의 곱으로) '''분해된다'''().
수체 에서, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 소수 는 분기화된다.
* 는 0이 아닌 멱영원을 갖는다. (중국인의 나머지 정리)
* . 여기서 는 의 판별식이다.
판별식의 소인수의 수는 유한하므로, 따라서 오직 유한 개의 소수만이 분기화된다.
대수기하학적으로, 포함 관계 는 반대로 스킴 사상 을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, '''분기화'''()가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.
위에 정의된 불변량 (차수, 실수 및 복소수 자리의 수, 판별식, 가역원 기준, 아이디얼 유군 등) 밖에도, 수체 에 대응되는 주요 불변량들은 다음이 있다.
* 의 '''종수체'''() . 이는 의 아벨 확대이다. 그 갈루아 군은 '''종수군'''()이라고 하며, 종수체의 차수는 '''종수'''() 라고 한다. 이는 양의 정수이며, 대수 곡선의 종수와 유사한 성질을 보인다.
* 의 '''힐베르트 유체'''() . 이 역시 의 아벨 확대이다. 의 갈루아 군은 의 아이디얼 유군과 같다.
* 의 '''데데킨트 제타 함수''' . 이는 유리형 함수이며, 다른 불변량들에 대한 다양한 정보를 담고 있다.
* '''아델 환''' . 이는 위상환을 이룬다. 그 가역원군은 '''이델 군'''이라고 한다. 이들은 유체론에 자주 등장한다.
다음과 같은 예들이 있다.
* 유리수체 
* 이차 수체
* 원분체
* 는 정규 확대가 아닌 수체이다. 이는 의 3개의 근 가운데 한 개만을 포함하기 때문이다.
* 의 한 근으로 생성되는 수체는 단일생성체가 아닌 3차 수체이다.
=== 유리수체 ===
유리수체 는 자명한 대수적 수체이다. 이는 차수가 1인 유일한 수체이다.
'''오스트롭스키 정리'''()에 따르면, 유리수체 는 다음과 같은 자리들을 가진다.
* 자명한 자리
*:
* 표준 자리 (통상적인 절댓값)
* 소수 ''p''에 대하여, ''p''진 자리
*:
*:(는 서로소)
특히, 는 실수 자리 1개와 복소수 자리 0개를 갖는다.
:
:
유리수체의 대수적 정수환은 정수환 이며, 이는 주 아이디얼 정역이다. 다시 말해, 유리수체의 대수적 정수환에서는 유일 인수 분해가 성립하며, 그 아이디얼 유군은 자명군이며, 그 유수는 1이다.
유리수체에서 체 대각합과 체 노름은 항등 함수이다.
:
유리수체의 대수적 정수환 의 정수 기저는 을 고를 수 있다. 이는 자명하게 거듭제곱 정수 기저를 이루며, 따라서 유리수체는 자명하게 단일생성체를 이룬다. 유리수체의 판별식은 다음과 같이 자명하게 1이며, 민코프스키 하한에 따라서 판별식이 1인 유일한 수체이다.
:
유리수체의 대수적 정수환의 가역원군은 이며, 이는 1의 거듭제곱근으로만 구성된다. 즉, 디리클레 가역원 정리가 자명하게 성립한다. 유리수체의 가역원 기준은 (0×0 행렬의 행렬식이므로) 1이다.
:
유리수체의 데데킨트 제타 함수는 리만 제타 함수 이다. 리만 제타 함수의 에서의 유수는 1이며, 이 경우 유수 공식은 다음과 같이 성립한다.
:
=== 이차 수체 ===
제곱 인수가 없는 정수 에 대하여, 이차 수체
:
를 정의할 수 있다. 이는 유리수체의 2차 확대이다. 이 경우, 가 양수일 경우 '''실수 이차 수체''', 음수일 경우 '''허수 이차 수체'''라고 한다. 특수한 예로, 가우스 유리수체 가 있다. 다른 예로, 는 그 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아닌 이차 수체이다. 예를 들어, 이다.
기저를 로 잡으면, 각 원소
:
는 다음과 같은 2×2 정사각 행렬로 적을 수 있다.
:
이 경우 대각합과 노름은 다음과 같다.
:
:
이차 수체의 판별식은 다음과 같다. 제곱 없는 정수 에 대하여,
:
이다. 이차 수체의 판별식과 같은 정수를 '''기본 판별식'''()이라고 한다. 양의 기본 판별식들은 다음과 같다.
:1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, … 
음의 기본 판별식들은 다음과 같다.
:−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, … 
=== 원분체 ===
원분체는 유리수체에 1의 거듭제곱근 을 추가하여 정의한다.
:
특수한 예로, 아이젠슈타인 유리수 가 있다.
일 때, 원분체 의 판별식은 다음과 같다.
:
여기서
* 은 오일러 피 함수이다.
* 은 의 소인수들에 대한 곱이다.
=== 대수적 수체가 아닌 확대 ===
다음과 같은 체의 확대들은 대수적 수체가 아니다.
* 는 초월 확대이므로 수체가 아니다.
* 나  역시 초월 확대이므로 수체가 아니다.
*  역시 초월 확대이므로 수체가 아니다.
* 대수적 수의 체를 라고 하자. 는 대수적 확대이지만, 무한 차수의 확대이므로 수체가 아니다.
* 는 유리수체의 확대가 아니므로 수체가 아니다.
*
* 
* 국소체
* 대역체
* 아델 환
* 하세-민코프스키 정리
* 버치-스위너턴다이어 추측
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분류:대수적 수론