전순서 집합

순서론에서 '''전순서 집합'''(全順序集合, )는 임의의 두 원소를 비교할 수 있는 부분 순서 집합이다. 실수에서는 순서를 줄 수 있지만 허수와 복소수에서는 순서를 줄 수 없다.
원순서 집합 이 다음 조건을 만족시킨다면, '''원전순서 집합'''(原全順序集合, , , )이라고 한다.
* 임의의 에 대하여, 이거나 이다.
즉, 두 원소가 항상 비교 가능한 원순서 집합이다.
'''전순서 집합'''(全順序集合, , )은 원전순서 집합인 부분 순서 집합 이다. 즉, 이항 관계 는 다음 세 조건을 만족시킨다.
* (추이성) 만약 라면 
* (반대칭성)  임의의 에 대하여, 만약 이며 라면 
* (완전성) 항상 이거나 
=== 도약 ===
전순서 집합 의 '''도약'''(跳躍, ) 은 다음 두 조건을 만족시키는 순서쌍이다.
* 이다.
* 인 가 존재하지 않는다.
도약이 없는 전순서를 조밀 순서라고 한다.
=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:
 전순서 집합 
 ⇒ 
 원전순서 집합
 ⇓ 
 
 ⇓
 부분 순서 집합 
 ⇒ 
 원순서 집합
=== 연산 ===
원순서 집합들의 족 가 주어졌으며, 에 역시 원순서 가 부여되었다고 하자. 그렇다면, 분리합집합  위에 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다.
:
이를 들의 '''순서합'''()이라고 한다. (여기서 는 를 뜻하며, 는 를 뜻한다.)
이에 대하여 다음이 성립한다.
* 만약 가 전순서 집합이며, 모든 가 원전순서 집합이라면, 그 순서합  역시 원전순서 집합이다.
* 만약 가 전순서 집합이며, 모든 가 전순서 집합이라면, 그 순서합  역시 전순서 집합이다.
* 만약 모든 가 부분 순서 집합이라면, 그 순서합  역시 부분 순서 집합이다.
==== 사전식 순서 ====
전순서 집합들의 족 이 주어졌으며,  위에 정렬 순서가 주어졌을 때, 곱집합  위에 '''사전식 순서'''라는 전순서를 부여할 수 있다.
=== 위상수학적 성질 ===
원전순서 집합에는 순서 위상을 부여하여 위상 공간으로 취급할 수 있다.
모든 원전순서 집합은 (순서 위상 아래) 완비 정규 공간이며, 모든 전순서 집합은 하우스도르프 완비 정규 공간이다.
전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 선형 연속체이다.
* 순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다.
완비 전순서 집합은 항상 콤팩트 공간이다.
모든 분해 가능 전순서 집합은 항상 사전식 순서를 준 의 부분 집합과 순서 동형이다.
=== 범주론적 성질 ===
전순서 집합과 증가 함수는 구체적 범주 를 이룬다. 이는 작은 범주의 범주 의 충만한 부분 범주이다.
공집합이 아닌 유한 전순서 집합들의 범주 는 '''단체 범주'''(單體範疇, )라고 하며, 그 위의 준층 범주 는 '''단체 집합'''이라고 한다. 이는 호모토피 이론에서 매우 중요하게 사용된다.
모든 전순서 집합의 분류는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 속에서는 불가능하다. 예를 들어, 비교적 간단한 분류 문제인 수슬린 가설조차 증명하거나 반증할 수 없다. 그러나 특수한 경우에는 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.
=== 가산 조밀 전순서 집합 ===
조밀 가산 전순서 집합 은 다음 여섯 전순서 집합 가운데 정확히 하나와 순서 동형이다.
* 공집합
* 한원소 집합
*  (유리수의 전순서 집합)
* . 이는 과 순서 동형이다.
* . 이는 과 순서 동형이다.
* . 이는 과 순서 동형이다.
특히, 최대 원소와 최소 원소를 갖지 않는 분해 가능 조밀 가산 전순서 집합 은 항상 와 순서 동형이다.
=== 완비 분해 가능 조밀 전순서 집합 ===
전순서 집합 가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
* 는 조밀 순서이다.
* 에 순서 위상을 가하면, 는 분해 가능 공간이다.
* (완비성) 상계와 하계를 갖는 임의의 부분 집합 는 (만약 이라면) 상한과 하한을 갖는다.
그렇다면, 는 다음 여섯 전순서 집합 가운데 정확히 하나와 순서 동형이다.
* 공집합
* 한원소 집합
*  (실수의 전순서 집합). 이는 과 순서 동형이다.
* . 이는 과 순서 동형이다.
* . 이는 과 순서 동형이다.
*  (확장된 실수). 이는 과 순서 동형이다.
특히, 완비 분해 가능 조밀 무한 전순서 집합은 (순서 동형 아래) 확장된 실수의 전순서 집합  밖에 없다.
'''증명:'''
가 위 성질들을 만족시킨다고 하자. 분해 가능 공간의 정의에 의하여, 가산 조밀 집합 을 찾을 수 있으며,  위의 순서는 조밀 순서임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 는 위와 같이 6개의 순서형 가운데 하나와 동형이며, 는 의 데데킨트 완비화와 순서 동형이다.
마지막 조건을 약화시킬 경우, 이들의 분류는 수슬린 가설에 의하여 좌우되는데, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적인 명제이다.
어떤 전순서 집합 에 대하여, 다음 네 조건이 동치이다.
* 는 분해 가능 공간이며, 가산 개의 도약을 갖는다.
* 다음 조건을 만족시키는 가산 집합 가 존재한다.
** 임의의 에 대하여, 
* 다음 조건을 만족시키는 가산 집합 가 존재한다.
** 임의의 에 대하여, 
* 는 의 부분 집합과 순서 동형이다. 즉, 단사 단조 함수 가 존재한다.
=== 유한 집합 위의 (원)전순서 ===
파일:13-Weak-Orders.svg|섬네일|right|크기 3의 집합  위에 존재할 수 있는 13개의 원전순서. 여기서 는 를 뜻한다. 이 가운데 맨 밖의, 검은 색 글씨의 6개는 전순서이다. 중간의, 푸른 색 글씨의 6개는 2개의 동치류들을 갖는 원전순서이다. 가운데의, 붉은 색 글씨의 1개는 1개의 동치류를 갖는 비이산 원순서이다.
유한 전순서 집합은 항상 정렬 집합이며, 따라서 그 크기에 따라 완전히 분류된다.
크기 의 유한 집합 위의 원전순서들의 수는 '''푸비니 수'''() 이라고 한다. 크기 의 유한 집합 위의 전순서들의 수는 계승 이다. 이들의 값은 다음과 같다. (, ).
 
 0 
 1 
 2 
 3 
 4 
 5 
 6 
 7
 
  1 
 1 
 3 
 13 
 75 
 541 
 4683 
 47293
 
 1 
 1 
 2 
 6 
 24 
 120 
 720 
 5040
모든 순서체는 전순서 집합이다. 예를 들어, 실수체 , 유리수체  등은 표준적인 순서를 부여하면 전순서 집합을 이룬다. 정수환 나 자연수의 모노이드  역시 전순서 집합이다. 이들 집합 가운데, 자연수의 집합을 제외한 나머지는 정렬 집합이 아니다.
=== 아론샤인 직선 ===
'''아론샤인 직선'''()은 다음 조건들을 만족시키는 전순서 집합이다.
* 크기가 이다.
*  (최소 비가산 순서수)과 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.
*  (의 반대 순서)와 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.
* 의 비가산 부분 집합과 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.
아론샤인 직선의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론만으로 보일 수 있다. 아론샤인 직선은 나흐만 아론샤인(, 1907~1980)이 도입하였다.
=== 컨트리먼 직선 ===
원순서 집합들의 족 이 주어졌을 때, 곱집합  위에 원순서
:
를 줄 수 있다. 마찬가지로, 분리합집합  위에 원순서
:
를 줄 수 있다.
'''컨트리먼 직선'''()은 다음 조건을 만족시키는 전순서 집합 이다.
* 의 집합의 크기는 이다.
* 임의의 양의 정수 에 대하여, 은 개의 전순서 집합들의 분리합집합과 순서 동형이다.
컨트리먼 직선의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론만으로 보일 수 있으며, 이는 사하론 셸라흐가 증명하였다.
가산 조밀 전순서 집합의 분류 정리
와 분해 가능 완비 전순서 집합의 분류 정리는 게오르크 칸토어가 1895년에 증명하였다.
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분류:순서론