불 대수

순서론과 추상대수학, 논리학에서 '''불 대수'''(Boole代數, )는 고전 명제 논리의 명제의 격자와 같은 성질을 갖는 격자이다. 즉, 논리적 공리들을 만족시키는 논리합과 논리곱 및 부정의 연산이 정의된 대수 구조이다.
불 대수의 개념은 다양하게 정의할 수 있으며, 이 정의들은 서로 동치이다.
* 불 대수는 특정 조건을 만족시키는 유계 격자(또는 직교 여원 격자 또는 헤이팅 대수)로 여길 수 있다.
* 불 대수는 특정 조건을 만족시키는 가환환으로 여길 수 있다.
* 불 대수의 범주는 '''스톤 공간'''(Stone空間, )이라는 특정 위상 공간의 범주의 반대 범주이다. 이를 통해, 불 대수를 특정 위상 공간 속의 특정 집합족으로 여길 수 있다.
=== 직교 여원 격자를 통한 정의 ===
직교 여원 격자에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 '''불 대수'''라고 한다.
* 분배 격자이다.
* 임의의 원소 에 대하여, 이며 인 가 유일하게 존재한다. (이는 물론 이다.)
* (엘칸 법칙 ) 임의의 에 대하여, 
* 직교모듈러 격자이며, 임의의 원소 에 대하여, 다음 세 조건들을 만족시키는 함수 가 존재한다.
** 
** 임의의 에 대하여, 
** 임의의 에 대하여, 라면 
불 대수의 '''준동형'''은 여원과  및 을 보존시키는 격자 준동형이다. 불 대수의 정의는 대수적이므로, 불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.
=== 유계 격자를 통한 정의 ===
유계 격자 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 격자를 '''불 대수'''라고 한다.
* 모듈러 격자이며, 임의의 에 대하여, 이자 인 원소 가 유일하게 존재한다.
* 분배 격자이며, 임의의 에 대하여, 이자 인 원소 가 적어도 하나 이상 존재한다.
* 임의의 에 대하여, 이자 인 원소 가 유일하게 존재하며, 또한 인 가 존재한다.
여기서 는 부분 순서 집합 의 극소 원소들의 집합이다.
=== 헤이팅 대수를 통한 정의 ===
헤이팅 대수 에 대하여,
:
를 정의하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 헤이팅 대수를 '''불 대수'''라고 한다.
* (대합) 은 대합이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다.
* (배중률) 모든 원소 에 대하여, 이다.
이 경우, 은 직교 여원 격자를 이룬다.
=== 환론적 정의 ===
(단위원을 갖는) 환 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 '''불 대수'''라고 한다.
* 모든 원소가 멱등원이다. 즉, 모든 에 대하여, 이다.
* 는 유한체 의 직접곱 의 부분환과 동형이다 (는 임의의 기수).
특히, 자명환은 불 대수이다. (둘째 정의에서 이는 에 해당한다.)
'''불 대수 준동형'''은 두 불 대수 사이의 환 준동형이다.
=== 위상수학적 정의 ===
'''스톤 공간'''()은 콤팩트 완전 분리 하우스도르프 공간이다. 스톤 공간과 연속 함수의 범주를 이라고 쓰자.
스톤 공간의 열린닫힌집합들의 족은 유계 격자를 이룬다. 스톤 공간의  열린닫힌집합들의 족과 동형인 유계 격자를 '''불 대수'''라고 한다.
열린닫힌집합의 연속 함수 아래의 원상은 열린닫힌집합이다. 따라서, 두 불 대수 , 에 대응하는 스톤 공간 , 가 주어졌을 때, 연속 함수 는 함수
:
를 유도한다. 두 불 대수 사이의 '''불 대수 준동형'''은 이와 같이 스톤 공간 사이의 연속 함수로 유도될 수 있는 함수이다.
이에 따라, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.
:
이 정의가 불 대수의 다른 정의들과 동치라는 사실은 '''스톤 표현 정리'''()라고 한다.
특히, 이 정의는 환론적 정의와 다음과 같은 관계를 갖는다. 모든 가환환에 대하여, '''스펙트럼'''이라는 위상 공간을 대응시킬 수 있으며, 이는 가환환의 범주 의 반대 범주에서 위상 공간의 범주 로 가는 함자
:
를 정의한다. 만약 이 가환환이 불 대수를 이룬다면 그 스펙트럼은 스톤 공간을 이룸을 보일 수 있으며, 이는 열린닫힌집합족 함자의 역함자이다. 즉, 다음과 같은 두 함자가 존재하며, 이는 범주의 동치를 이룬다.
:
:
불 대수의 스펙트럼은 다음과 같이 직접적으로 묘사할 수 있다. 불 대수의 극대 아이디얼은 극대 순서 아이디얼과 일치하며, 불 대수의 쌍대성에 따라 이는 극대 필터와 일대일 대응한다. 따라서, 가 두 개의 원소의 불 대수라면, 극대 필터들의 집합은 이다. 이 위에 다음과 같은 기저로 생성되는 위상을 부여하면, 스톤 공간을 이룬다.
:
이는 에 이산 위상을 부여하고, 멱집합 에 곱위상을 부여한 뒤, 에 부분 공간 위상을 부여한 것과 같다.
=== 범주론적 정의 ===
모든 원순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있다. 이 경우, 부분 순서 집합은 서로 동형인 두 대상이 항상 같은 원순서 집합이며, 헤이팅 대수는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주인 부분 순서 집합이다.
'''불 대수'''는 다음 조건을 만족시키는 작은 얇은 범주이다.
* 서로 동형인 두 대상은 같다.
* 유한 완비 범주이며 유한 쌍대 완비 범주이다.
* 데카르트 닫힌 범주이다.
* 임의의 두 대상 에 대하여, 다음과 같은 동형이 존재한다. (이들은 드 모르간 법칙을 범주론적 용어로 번역한 것이다.)
*:
*:
여기서 는 범주론적 곱이며, 는 쌍대곱이며, 은 시작 대상이며, 는 지수 대상이다.
=== 서로 다른 정의들의 비교 ===
불 대수의 서로 다른 정의들은 다음과 같이 대응된다.
 해석 
 가환환 
 격자 
 직교 여원 격자 
 헤이팅 대수 
 스톤 공간 의 부분 집합 
 범주론적 정의
 논리곱 
 곱 
 만남  
 교집합  
 곱 
  배타적 논리합 
 합  
 , 라면,  
  
  
  
 
 논리합 
 
 이음  
 합집합  
  쌍대곱 
 거짓 
 덧셈 항등원 
 최소 원소  
 공집합  
 시작 대상 
 참 
 곱셈 항등원 
 최대 원소  
 전체 집합  
 끝 대상 
 부정 
 
 , 인 유일한  
 직교 여원  
  
 여집합  
 지수 대상 
 함의 
 
 , 라면,   
  
  
  
 지수 대상 
=== 순서론적 성질 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:
 
 완비 격자 
 ⇐ 
 완비 헤이팅 대수 
  ⇐ 
 완비 불 대수
 
 
 
 
 
 ⇓
 
 ⇓ 
 
 ⇓ 
 
 시그마 대수
 
 
 
 
 
 ⇓
 원순서 집합 ⇐ 부분 순서 집합 ⇐ 
 유계 격자 
 ⇐ 
 헤이팅 대수 
 ⇐ 
 불 대수
불 대수를 가환환으로 여겼을 때, 그 아이디얼은 순서 아이디얼과 일치한다.
=== 환론적 성질 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:가환환 ⇐ 가환 축소환 ⇐ 가환 반원시환 ⇐ 가환 폰 노이만 정칙환 ⇐ 불 대수
임의의 불 대수 는 가환환이고 표수가 2이며 (즉 모든 원소는 자신의 덧셈 역원이다) 따라서 유한체  위의 결합 대수이다.
'''증명:'''
'''가환성''': 임의의 에 대하여 이다.
'''표수 2''': 위에서 이라면 이다.
(그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 다항식환 는 이므로 불 대수가 아니다.)
==== 아이디얼 ====
불 대수의 임의의 몫환은 불 대수이다. 불 대수의 임의의 부분환은 불 대수이다.
불 대수의 스펙트럼은 스톤 공간이다. 특히, 불 대수의 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 불 대수 의 임의의 극대 아이디얼 에 대한 몫환은 크기 2의 유한체이다.
:
불 대수는 폰 노이만 정칙환이며, 따라서 그 위의 모든 가군은 평탄 가군이다.
불 대수의 모든 유한 생성 아이디얼은 주 아이디얼이다. 구체적으로
:
이다.
=== 범주론적 성질 ===
불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 그 범주는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 자유 대상을 갖는다.
=== 멱집합 ===
크기가 16=222인 불 대수. 이는 두 개의 생성원으로 생성되는 자유 불 대수이다.
임의의 집합 의 멱집합 은 크기가 인 불 대수를 이룬다. 반대로, 모든 유한 불 대수는 어떤 유한 집합의 멱집합의 불 대수와 동형이다. 특히, 공집합의 멱집합 은 가장 작은 불 대수이며, 또한 인 유일한 불 대수이다.
집합 에 대하여, 멱집합 에 대응하는 스톤 공간은 의 스톤-체흐 콤팩트화이다.
멱집합과 동형이 아닌 무한 불 대수 또한 존재한다. 예를 들어, 집합  및 기수 가 주어졌을 때,
:
로 정의하자. 만약 이거나 이라면, 이는 둘 다 불 대수를 이룬다. 예를 들어, 일 경우, 는 크기가 인 불 대수이며, 따라서 멱집합과 동형일 수 없다.
=== 자유 불 대수 ===
불 대수는 대수 구조 다양체를 이루므로, 임의의 생성원의 집합에 대응하는 자유 불 대수가 존재한다.
스톤 표현 정리에 따라서, 임의의 기수 에 대하여, 개의 생성원으로부터 생성되는 자유 불 대수에 대응하는 스톤 공간은
:
이다. 여기서 은 2개의 점을 가진 이산 공간이며, 에는 곱 위상을 준다. 이 경우, 번째 생성원은 튜플의 번째 성분이 1인 모든 원소들로 구성된 열린닫힌집합에 대응한다.
만약 가 유한할 경우, 자유 불 대수의 크기는 이며, 만약 가 무한할 경우 자유 불 대수의 크기는 이다.
=== 사유한군 ===
스톤 공간을 이루는 위상군은 '''사유한군'''이라고 한다.
=== 논리학 ===
논리학에서, 불 대수는 고전 명제 논리의 모형을 제공한다. 만약 고전 명제 논리를 직관 논리로 약화시키면, 불 대수 대신 헤이팅 대수를 사용하여야 한다.
=== 컴퓨터 과학 ===
불 대수는 디지털 회로 설계에 응용된다. 디지털 회로는 전압의 H(High), L(Low)만으로 정보를 연산하기 때문에, 기본적으로 조합 회로는 불 대수에 있는 논리식을 써서 나타낼 수 있다. (하지만, 플립플롭 등 순차 회로는 단순하게 하나의 논리식으로 나타낼 수 없다.) 높은 전압(H)를 1로, 낮은 전압(L)을 0으로 하는 논리 형식을 정논리, 낮은 전압 (L)을 1로, 높은 전압(H)를 0으로 하는 논리 형식을 부논리라고 한다.
불 대수의 개념은 1847년에 조지 불이 논리학을 형식화하기 위하여 도입하였다. 이후 불은 1854년의 저서에서 이 개념을 추가로 설명하였다. 불은 논리곱과 배타적 논리합을 기초적 연산으로 삼았는데, 이는 오늘날에 불 대수를 가환환의 일종으로 여기는 것과 같다.
이후 윌리엄 스탠리 제번스(, 1835~1882) · 찰스 샌더스 퍼스(1839~1914) · 에른스트 슈뢰더(, 1841~1902) 등이 불의 논리 대수의 연구를 계속하였다. 제번스는 1864년의 저서에서 불이 사용한 배타적 논리합 대신 (배타적이지 않은) 논리합을 최초로 사용하였다. 이 책에서 제번스는 다음과 같이 적었다.
1913년 논문에서 미국의 헨리 모리스 셰퍼(, 1882~1964)가 "불 대수"()라는 용어를 최초로 사용하였다. 이 논문에서 셰퍼는 불 대수의 모든 연산을 부정논리곱으로서 정의할 수 있음을 보였다.
스톤 표현 정리는 마셜 하비 스톤이 1936년에 증명하였다.
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