공간군

수학과 결정학에서 '''공간군'''()이란 결정 구조의 대칭성을 수학적으로 기술한 것이다.
3차원에서의 공간군은 (7 결정계에 속한) 14 브라베 격자와 32 결정학적 점군의 조합으로 이루어진다. 따라서 공간군은 lattice centering과 점군의 회전, 반사, 회전반전 대칭 조작을 갖는 단위 격자의 병진대칭(반복)으로 나타난다. 더욱이, 공간군에서는 점군과 달리 병진의 요소가 있기 때문에 점군에 없는 대칭 조작이 나타나는데, 회전 조작과 병진이 결합한 나사축과 반사 조작과 병진이 결합한 미끄럼면이 바로 그것이다. 이 대칭 조작들의 조합으로 결정이 가질 수 있는 230개의 공간군을 모두 표현할 수 있다.
=== 미끄럼면과 나사축 ===
공간군을 구성하는 대칭 조작들 중에 2가지는 브라베 격자나 점군의 대칭 조작과 대응하지 않는다. 이 2가지를 각각 미끄럼면과 나사축이라고 한다.
어떤 한 면에 대해 평행하게 병진하면서 반사 조작이 나타나는 경우 이 면을 '''미끄럼면'''이라고 한다. 이 면은 병진이 일어나는 축에 따라 ''a''나 ''b'', 혹은 ''c''로 나타낸다. ''n''과 ''d''미끄럼면도 있는데, ''n''은 대각선 방향으로 단위 격자의 대각선 길이의 1/2만큼 병진하는 미끄럼면을 나타내고, ''d''미끄럼면은 대각선 방향으로 1/4만큼 병진하는 미끄럼면을 나타낸다. ''d''미끄럼면은 '다이아몬드 미끄럼면'이라고도 하는데 그 이유는 다이아몬드의 결정구조에서 볼 수 있기 때문이다.
어떤 한 축을 따라 회전 조작과 병진이 함께 나타날 때 그 축을 '''나사축'''이라고 한다. 나사축은 회전의 정도를 나타내는 숫자와 병진을 나타내는 숫자로 표현한다. 앞의 숫자는 몇 번 회전 조작을 하였을 때 1회전이 되는가를 표현한다(즉, 3이라면 3번 회전 조작을 해야 360도 회전하게 된다는 것을 나타낸다.). 병진의 정도는 그 뒤에 작게 표시하는데, 한 번의 회전 조작을 할 때(반시계방향임을 유의) 얼마나 병진하는지 격자벡터에 대한 비율로 표현한다. 예를 들어 21은 한 번 회전 조작을 할 때 격자벡터의 1/2만큼 병진하는 2회전 나사축을 말하며, 65는 한 번에 격자 벡터의 5/6 만큼 병진하는 6회전 나사축을 나타낸다.
=== 표현 ===
공간군을 식별하는 방법에는 여러가지가 있다. 국제 결정학 연합은 모든 공간군에 각각 다른 번호를 붙인 표를 출판한 바 있다. 이와 다른 도식으로는 헤르만-모갱 표기법과 쇤플리스 표기법이 많이 쓰인다.
헤르만-모긴(혹은 국제) 표기법은 4개의 기호로 구성되어있으며 결정학에서 가장 일반적으로 쓰이는 표기법이다. 첫 번째 기호는 브라베 격자에서의 lattice centering을 나타내며 그 뒤에 있는 3개의 기호는 대칭성이 높은 방향을 따라 투영하였을 때 나타나는 (두드러진)대칭 조작을 표현한다. 뒤 3개의 기호는 점군의 표현과 동일한데, 나사축과 미끄럼면의 표현이 추가된 것이다. 예를 들어 석영의 공간군은 ''P''3121로 표현되는데, P는 격자종류(Primitive cell)를 나타내고, 3121에서 3회전 나사축과 2회전축을 갖고 있음을 알 수 있다. 여기서 이 공간군이 어느 결정계에 포함되는지 명백하게 나타나지는 않는다는 것을 주의한다. 그러나 뒤 3개의 점군을 나타내는 기호를 보면 쉽게 알 수 있다.(''P''3121의 경우 삼방정계에 포함된다.)
 결정족
 #
 삼사정계
 1
 1
 P1 
 
 
 2
 P 
 
  
  
 단사정계
 2
 3-5
 P2 
 P21 
 C2 
 
 m
 6-9
 Pm 
 Pc 
 Cm 
 Cc 
 
 2/m
 10-15
 P2/m 
 P21/m 
 C2/m 
 P2/c 
 P21/c 
 C2/c 
  
  
  
 사방정계
 222
 16-24
 P222 
 P2221 
 P21212 
 P212121 
 C2221 
 C222 
 F222 
 I222
 I212121 
  
 mm2
 25-46
 Pmm2 
 Pmc21 
 Pcc2 
 Pma2 
 Pca21 
 Pnc2 
 Pmn21 
 Pba2
 Pna21 
 Pnn2 
 Cmm2 
 Cmc21 
 Ccc2 
 Amm2 
 Abm2 
 Ama2
 Aba2 
 Fmm2 
 Fdd2 
 Imm2 
 Iba2 
 Ima2 
  
 mmm
 47-74
 Pmmm 
 Pnnn 
 Pccm 
 Pban 
 Pmma 
 Pnna 
 Pmna 
 Pcca
 Pbam 
 Pccn 
 Pbcm 
 Pnnm 
 Pmmn 
 Pbcn 
 Pbca 
 Pnma
 Cmcm 
 Cmca 
 Cmmm 
 Cccm 
 Cmma 
 Ccca 
 Fmmm 
 Fddd
 Immm 
 Ibam 
Ibca 
 Imma 
 
  
  
 정방정계
 4
 75-80
 P4 
 P41 
 P42 
 P43 
 I4 
 I41 
 
 
 81-82
 P 
 I 
 
 4/m
 83-88
 P4/m 
 P42/m 
 P4/n 
 P42/n 
 I4/m 
 I41/a 
  
 422
 89-98
 P422 
 P4212 
 P4122 
 P41212 
 P4222 
 P42212 
 P4322 
 P43212
 I422 
 I4122 
  
 4mm
 99-110
 P4mm 
 P4bm 
 P42cm 
 P42nm 
 P4cc 
 P4nc 
 P42mc 
 P42bc
 I4mm 
 I4cm 
 I41md 
 I41cd 
  
 2m
 111-122
 P2m 
 P2c 
 P21m 
 P21c 
 Pm2 
 Pc2 
 Pb2 
 Pn2
 Im2 
 Ic2 
 I2m 
 I2d 
  
 4/mmm
 123-142
 P4/mmm 
 P4/mmc 
 P4/nbm 
 P4/nnc 
 P4/mbm 
 P4/nnc 
 P4/nmm 
 P4/ncc
 P42/mmc 
 P42/mcm 
 P42/nbc 
 P42/nnm 
 P42/mbc 
 P42/mnm 
 P42/nmc 
 P42/ncm
 I4/mmm 
 I4/mcm 
 I41/amd 
 I41/acd
  
  
 삼방정계
 3
 143-146
 P3 
 P31 
 P32 
 R3 
 
 
 147-148
 P 
 R 
  
 32
 149-155
 P312 
 P321 
 P3112 
 P3121 
 P3212 
 P3221 
 R32 
  
 3m
 156-161
 P3m1 
 P31m 
 P3c1 
 P31c 
 R3m 
 R3c 
  
 m
 162-167
 P1m 
 P1c 
 Pm1 
 Pc1 
 Rm 
 Rc 
  
  
  
 육방정계
 6
 168-173
 P6 
 P61 
 P65 
 P62 
 P64 
 P63 
 
 
 174
 P 
 
 6/m
 175-176
 P6/m 
 P63/m 
 
 622
 177-182
 P622 
 P6122 
 P6522 
 P6222 
 P6422 
 P6322 
 
 6mm
 183-186
 P6mm 
 P6cc 
 P62cm 
 P63mc 
 
 m2
 187-190
 Pm2 
 Pc2 
 P2m 
 P2c 
 
 6/mmm
 191-194
 P6/mmm 
 P6/mcc 
 P63/mcm 
 P63/mmc 
 
  
  
 입방정계
 23
 195-199
 P23 
 F23 
 I23 
 P213 
 I213 
 
 m
 200-206
 Pm 
 Pn 
 Fm 
 Fd 
 I 
 Pa 
 Ia 
  
 432
 207-214
 P432 
 P4232 
 F432 
 F4132 
 I432 
 P4332 
 P4132 
 I4132
 3m
 215-220
 P3m 
 F3m 
 I3m 
 P3n 
 F3c 
 I3d 
 
 mm
 221-230
 Pmm 
 Pnn 
 Pmn 
 Pnm 
 Fmm 
 Fmc 
 Fdm 
 Fdc
 Imm 
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