메르센 소수

'''메르센 수'''()는 2의 거듭제곱에서 1이 모자란 숫자를 가리킨다. 지수 에 대한 메르센 수는 로 나타내고 목록은 아래와 같다.
: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767... 
'''메르센 소수'''()는 '''메르센 수''' 중에서 소수인 수이다. 예를 들면 3과 7은 둘 다 소수이고 이므로 3과 7은 둘 다 메르센 소수이다. 반대로 은 합성수이다. 현대에 알려진 매우 큰 소수들 중에는 메르센 소수가 상당히 많다.
: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951... 
메르센 소수가 무한히 많이 존재하는지 아니면 그 개수가 정해져 있는지는 아직 알려져 있지 않다. 즉 이 말은 메르센 소수가 유한한지 무한한지에 대한 여부가 알려져있지 않았다는 것인데, n이 소수라고 해서 항상 해당 메르센 수가 소수가 되지는 않기 때문이다. 예를 들어 n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 일 땐 소수가 된다. 그러나 11은 소수긴 하나 n=11일 땐 2의 11제곱에서 1을 뺀 수인 2047은 23×89로 소인수분해 가능하다. 비슷한 이유로 23도 소수이나 n=23일 땐 2의 23제곱에서 1을 뺀 수인 8388607도 47×178481로 소인수분해 할 수 있기 때문이다. 마찬가지로 n=29일 때, 37일 때, 41일 때, 그리고 43, 47일 때 등등도 2의 거듭제곱 횟수는 소수이지만, 해당 메르센 수가 소수가 아닌 경우는 무수히 많다.
메르센 수는 다음의 몇 가지 속성을 지닌다. :
* ''''은 이항계수의 합에서 1을 뺀 값이다.
: 
* 메르센 수의 지수가 홀수소수 이면 소인수의 형태는 다음과 같음을 페르마가 증명하였다.
 (는 음이 아닌 정수)
이것은 메르센 수가 소수, 즉 메르센 소수일때도 성립한다.
또한 n이 홀수 소수인 메르센 수들의 약수들은 모두  꼴이다.
* 1) 만일 ''''이 하나의 양의 정수이면, 이항정리에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다:
:
또는
:
이다('''' = '''', '''' = 로, '''' = ''''로 놓았을 때).
증명
:
:
:
:
1644년 마랭 메르센은  형태가 소수가 되는 것은,  일 때  뿐이라고 발표하였다. 그러나 그 주장의 일부는 잘못임이 밝혀졌다. 목록에 포함되지 않은 , , 는 소수이며, 목록에 포함되어 있는 , 는 합성수이다.
리젤 수의 발견자이기도 한 스웨덴의 수학자인 한스 리젤이 1957년에 컴퓨터를 이용하여 18번째의 메르센 소수를 발견한 이래, 이후 컴퓨터를 활용하여 새로운 메르센 소수를 찾고 있다.
 다음 등식은 이 메르센 소수가 되기 위해서는  자신이 소수여야 한다는 것을 알려준다.
:
따라서, 메르센 소수를 찾기 위해서는 지수가 소수인 경우만 조사하면 되지만, 일반적으로 그 역은 참이 아니다. 즉 이 소수라고 하여  또한 소수인 것은 아니다. 예를 들어, 11은 소수지만 로 소인수분해된다.
=== 메르센 소수 목록 ===
현재까지 발견한 메르센 소수 표 :
 #
 
 
 의 자리수
 발견일
 발견자
 1
 2
 3
 1
 기원전 430년 경
 고대 그리스 수학자
 2
 3
 7
 1
 기원전 430년 경
 고대 그리스 수학자
 3
 5
 31
 2
 기원전 300년 경
 고대 그리스 수학자
 4
 7
 127
 3
 기원전 300년 경
 고대 그리스 수학자
 5
 13
 8191
 4
 1456년
 Unknown
 6
 17
 131071
 6
 1588년
 피에트로 카탈디
 7
 19
 524287
 6
 1588년
 피에트로 카탈디
 8
 31
 2147483647
 10
 1772년
 레온하르트 오일러
 9
 61
 2305843009213693951
 19
 1883년
 이반 미흐비치 페르부쉰
 10
 89
 618970019…449562111
 27
 1911년
 R. E. Powers
 11
 107
 162259276…010288127
 33
 1914년
 R. E. Powers
 12
 127
 170141183…884105727
 39
 1876년
 에두아르 뤼카
 13
 521
 686479766…115057151
 157
 1952년 1월 30일
 라파헬 로빈슨
 14
 607
 531137992…031728127
 183
 1952년 1월 30일
 라파헬 로빈슨
 15
 1,279
 104079321…168729087
 386
 1952년 6월 25일
 라파헬 로빈슨
 16
 2,203
 147597991…697771007
 664
 1952년 10월 7일
 라파헬 로빈슨
 17
 2,281
 446087557…132836351
 687
 1952년 10월 9일
 라파헬 로빈슨
 18
 3,217
 259117086…909315071
 969
 1957년 9월 8일
 한스 리젤
 19
 4,253
 190797007…350484991
 1,281
 1961년 11월 3일
 알렉산더 허비츠
 20
 4,423
 285542542…608580607
 1,332
 1961년 11월 3일
 알렉산더 허비츠
 21
 9,689
 478220278…225754111
 2,917
 1963년 5월 11일
 도널드 길리스
 22
 9,941
 346088282…789463551
 2,993
 1963년 5월 16일
 도널드 길리스
 23
 11,213
 281411201…696392191
 3,376
 1963년 6월 2일
 도널드 길리스
 24
 19,937
 431542479…968041471
 6,002
 1971년 3월 4일
 브리언트 터커맨
 25
 21,701
 448679166…511882751
 6,533
 1978년 10월 30일
 랜돈 커트 놀과 로라 니켈
 26
 23,209
 402874115…779264511
 6,987
 1979년 2월 9일
 랜돈 커트 놀
 27
 44,497
 854509824…011228671
 13,395
 1979년 4월 8일
 해리 넬슨과 데이빗 슬로빈스키
 28
 86,243
 536927995…433438207
 25,962
 1982년 9월 25일
 데이빗 슬로빈스키
 29
 110,503
 521928313…465515007
 33,265
 1988년 1월 28일
 월크 콜킷과 루크 웰시
 30
 132,049
 512740276…730061311
 39,751
 1983년 9월 19일
 데이빗 슬로빈스키
 31
 216,091
 746093103…815528447
 65,050
 1985년 9월 1일
 데이빗 슬로빈스키
 32
 756,839
 174135906…544677887
 227,832
 1992년 2월 19일
 데이빗 슬로빈스키와 폴 게이지
 33
 859,433
 129498125…500142591
 258,716
 1994년 1월 4일
 데이빗 슬로빈스키와 폴 게이지
 34
 1,257,787
 412245773…089366527
 378,632
 1996년 9월 3일
 데이빗 슬로빈스키와 폴 게이지 
 35
 1,398,269
 814717564…451315711
 420,921
 1996년 11월 13일
 GIMPS / 조엘 아르멩고 
 36
 2,976,221
 623340076…729201151
 895,932
 1997년 8월 24일
 GIMPS / 고든 스펜스 
 37
 3,021,377
 127411683…024694271
 909,526
 1998년 1월 27일
 GIMPS / 롤랜드 클락슨 
 38
 6,972,593
 437075744…924193791
 2,098,960
 1999년 6월 11일
 GIMPS / 난야 하이라트왈라 
 39
 13,466,917
 924947738…256259071
 4,053,946
 2001년 11월 14일
 GIMPS / 마이클 카메론 
 40
 20,996,011
 125976895…855682047
 6,320,430
 2003년 11월 17일
 GIMPS / 마이클 셰이퍼 
 41
 24,036,583
 299410429…733969407
 7,235,733
 2004년 5월 15일
 GIMPS / 조지 핀들리 
 42
 25,964,951
 122164630…577077247
 7,816,230
 2005년 2월 18일
 GIMPS / 마르틴 노바크 
 43*
 30,402,457
 315416475…652943871
 9,152,052
 2005년 9월 15일
 GIMPS / 커티스 쿠퍼와 스티븐 분 
 44*
 32,582,657
 124575026…053967871
 9,808,358
 2006년 9월 4일
 GIMPS / 커티스 쿠퍼와 스티븐 분 
 45*
 37,156,667
 202254406…308220927
 11,185,272
 2008년 9월 6일
 GIMPS / Hans-Michael Elvenich 
 46*
 42,643,801
 169873516…562314751
 12,837,064
 2009년 4월 12일**
 GIMPS / Odd Magnar Strindmo
 47*
 43,112,609
 316470269…697152511
 12,978,189
 2008년 8월 23일
 GIMPS / Edson Smith 
 48*
 57,885,161
 581887266…724285951
 17,425,170
 2013년 1월 25일
 GIMPS / Curtis Cooper 
 49*
 74,207,281
 300376418…086436351
 22,338,618
 2015년 9월 17일***
 GIMPS / Curtis Cooper 
 50
 77,232,917
 467333183…762179071
 23,249,425
 2017년 12월 26일
 GIMPS / Jon Pace
 51
 82,589,933
 110847779…217902591
 24,862,048
 2018년 12월 7일
 GIMPS / Patrick Laroche
44번째 알려진 메르센 소수를 시각적으로 보여 주기 위해서는 1페이지 당, 10진수 75개 자리수의 숫자를 50줄씩 쓴 2,616페이지가 필요하다.
*표의 43번째 수인 과 49번째 수인  사이에 아직 발견되지 않은 다른 메르센 소수가 있는지는 아직 알려져 있지 않다. 따라서 이 번호들은 바뀔 수도 있다. 소수가 작은 소수부터 순차적으로 발견되는 것은 아니다. 예를 들어, 29번째 메르센 소수는 30번째와 31번째 소수의 발견 '''이후'''에 발견되었다.
**''M''42,643,801는 2009년 4월 12일 컴퓨터에 의해 처음 발견되었다. 그러나 6월 4일까지 이 사실을 인지한 사람은 아무도 없었다. 그래서, 발견일을 4월 12일 또는 6월 4일로 간주한다. 발견자 스트린드모(Strindmo)는 alias Stig M. Valstad를 사용한 것으로 보인다.
***''M''74,207,281는 2015년 9월 17일 컴퓨터에 의해 처음 발견되었다. 그러나 2016년 1월 7일까지 이 사실을 인지한 사람은 아무도 없었다. 그래서, 발견일을 2015년 9월 17일 또는 2016년 1월 7일로 간주한다.
메르센 소수는 완전수와 여러 관련성이 있어 흥미롭다. 기원전 4세기에 유클리드는 이 메르센 소수이면 다음과 같이 짝수 완전수임을 보였다.
: 
18세기에 오일러는 모든 짝수 완전수는 이와 같은 형태를 갖는다는 것을 증명했다. 홀수 완전수는 아직 발견되지 않았으며 존재하지 않는 것으로 추측된다.
의 2진법 표현은 숫자 1이 번 반복된다. 예를 들면, 25 - 1 = 111112와 같이 표기된다. 그러므로 메르센 소수는 2를 밑으로 하는 단위 반복 소수이다.
* 페르마 소수
* 하노이의 탑 - n개의 원반을 모두 이동하기 위해서는 최소한 '''메르센 수'''(2n−1) 만큼 이동해야 한다.
* Mersenne prime section of the Prime Pages: http://www.utm.edu/research/primes/mersenne.shtml
* Mersenne Prime Search home page: http://www.mersenne.org
* GIMPS status page http://www.mersenne.org/status.htm gives various statistics on search progress, typically updated every week, including progress towards proving the ordering of primes 39-42
*  Discovery of the 42nd
*  Mersenne numbers
*  prime Mersenne numbers
*  Slashdot - Discovery of the 42nd
*   Proof
*   Thesis
*  알려진 메르센 소수의 모든 자릿수와 영어 이름
분류:수론
분류:소수
분류:완전수
분류:정수열
분류:사람 이름을 딴 낱말
분류:수론의 미해결 문제