초완전수

자연수 이  (단, 는 n의 양의 약수의 합)을 만족했을 때, 을 '''-초완전수'''(超完全數,hyperfect number)라 부른다. 어떤 수가 완전수인 것은 그 수가 1-초완전수인 것과 동치이다.
모든 -초완전수를 작은 순서대로 나열하면 다음과 같다.
:6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (OEIS의  A034897)
여기에서 각각의 수에 해당하는  값은 다음과 같다.
:1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (OEIS의  A034898)
완전수를 제외한 모든 -초완전수를 나열하면 다음과 같다.
:21, 301, 325, 697, 1333, ... (OEIS의  A007592)
다음 표는 값에 대한 알려진 -초완전수를 해당하는 OEIS 수열과 함께 나타내고 있다.
 
 OEIS
 알려진 -초완전수
 1 
  A000396 
 6, 28, 496, 8128, 33550336, ...
 2 
  A007593 
 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ...
 3 
 
 325, ...
 4 
 
 1950625, 1220640625, ...
 6 
  A028499 
 301, 16513, 60110701, 1977225901, ...
 10 
 
 159841, ...
 11 
 
 10693, ...
 12 
  A028500 
 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ...
 18 
  A028501 
 1333, 1909, 2469601, 893748277, ...
 19 
 
 51301, ...
 30 
 
 3901, 28600321, ...
 31 
 
 214273, ...
 35 
 
 306181, ...
 40 
 
 115788961, ...
 48 
 
 26977, 9560844577, ...
 59 
 
 1433701, ...
 60 
 
 24601, ...
 66 
 
 296341, ...
 75 
 
 2924101, ...
 78 
 
 486877, ...
 91 
 
 5199013, ...
 100 
 
 10509080401, ...
 108 
 
 275833, ...
 126 
 
 12161963773, ...
 132 
 
 96361, 130153, 495529, ...
 136 
 
 156276648817, ...
 138 
 
 46727970517, 51886178401, ...
 140 
 
 1118457481, ...
 168 
 
 250321, ...
 174 
 
 7744461466717, ...
 180 
 
 12211188308281, ...
 190 
 
 1167773821, ...
 192 
 
 163201, 137008036993, ...
 198 
 
 1564317613, ...
 206 
 
 626946794653, 54114833564509, ...
 222 
 
 348231627849277, ...
 228 
 
 391854937, 102744892633, 3710434289467, ...
 252 
 
 389593, 1218260233, ...
 276 
 
 72315968283289, ...
 282 
 
 8898807853477, ...
 296 
 
 444574821937, ...
 342 
 
 542413, 26199602893, ...
 348 
 
 66239465233897, ...
 350 
 
 140460782701, ...
 360 
 
 23911458481, ...
 366 
 
 808861, ...
 372 
 
 2469439417, ...
 396 
 
 8432772615433, ...
 402 
 
 8942902453, 813535908179653, ...
 408 
 
 1238906223697, ...
 414 
 
 8062678298557, ...
 430 
 
 124528653669661, ...
 438 
 
 6287557453, ...
 480 
 
 1324790832961, ...
 522 
 
 723378252872773, 106049331638192773, ...
 546 
 
 211125067071829, ...
 570 
 
 1345711391461, 5810517340434661, ...
 660 
 
 13786783637881, ...
 672 
 
 142718568339485377, ...
 684 
 
 154643791177, ...
 774 
 
 8695993590900027, ...
 810 
 
 5646270598021, ...
 814 
 
 31571188513, ...
 816 
 
 31571188513, ...
 820 
 
 1119337766869561, ...
 968 
 
 52335185632753, ...
 972 
 
 289085338292617, ...
 978 
 
 60246544949557, ...
 1050 
 
 64169172901, ...
 1410 
 
 80293806421, ...
 2772 
  A028502 
 95295817, 124035913, ...
 3918 
 
 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ...
 9222 
 
 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ...
 9828 
 
 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ...
 14280 
 
 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ...
 23730 
 
 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ...
 31752 
  A034916 
 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ...
 55848 
 
 15166641361, 44783952721, 67623550801, ...
 67782 
 
 18407557741, 18444431149, 34939858669, ...
 92568 
 
 50611924273, 64781493169, 84213367729, ...
 100932 
 
 50969246953, 53192980777, 82145123113, ...
=== 성질 ===
가 1보다 큰 홀수이고 가 모두 소수라면 가 -초완전수라는 것이 증명이 되어 있다. 2000년 Judson S. McCraine이 모든 1보다 큰 홀수 에 대해 모든 -초완전수가 이 꼴이라고 추측했지만 아직 증명이 되지 않았다. 서로 다른 홀수인 소수 와 가 존재하고 를 만족하는 자연수 가 있다면 는 -초완전수이다.
이고 이 소수일 때, 이 소수임을 성립시키는 모든 에 대해 가 -초완전수라는 사실도 알려졌다. 아래 테이블은 이를 만족시키는 와 의 목록을 나타내고 있다.
 
OEIS
 가능한 의 값
 16 
  A034922 
 11, 21, 127, 149, 469, ...
 22 
  
 17, 61, 445, ...
 28 
  
 33, 89, 101, ...
 36 
  
 67, 95, 341, ...
 42 
  A034923 
 4, 6, 42, 64, 65, ...
 46 
  A034924 
 5, 11, 13, 53, 115, ...
 52 
  
 21, 173, ...
 58 
  
 11, 117, ...
 72 
  
 21, 49, ...
 88 
  A034925 
 9, 41, 51, 109, 483, ...
 96 
  
 6, 11, 34, ...
 100 
  A034926 
 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ...
* 완전수
=== 논문 ===
* Daniel Minoli, Robert Bear, ''Hyperperfect Numbers'', PME (Pi Mu Epsilon) Journal, University Oklahoma, Fall 1975, pp. 153-157.
* Daniel Minoli, ''Sufficient Forms For Generalized Perfect Numbers'', Ann. Fac. Sciences, Univ. Nation. Zaire, Section Mathem; Vol. 4, No. 2, Dec 1978, pp. 277-302.
* Daniel Minoli, ''Structural Issues For Hyperperfect Numbers'', Fibonacci Quarterly, Feb. 1981, Vol. 19, No. 1, pp. 6-14.
* Daniel Minoli, ''Issues In Non-Linear Hyperperfect Numbers, Mathematics of Computation'', Vol. 34, No. 150, April 1980, pp. 639-645.
* Daniel Minoli, ''New Results For Hyperperfect Numbers'', Abstracts American Math. Soc., October 1980, Issue 6, Vol. 1, pp. 561.
* Daniel Minoli, W. Nakamine, ''Mersenne Numbers Rooted On 3 For Number Theoretic Transforms'', 1980 IEEE International Conf. on Acoust., Speech and Signal Processing.
* Judson S. McCranie, ''A Study of Hyperperfect Numbers'', Journal of Integer Sequences, Vol. 3 (2000), https://web.archive.org/web/20040405175234/http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL3/mccranie.html
=== 책 ===
* Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002,  (p.114-134)
*  MathWorld: 초완전수 (영문)
분류:수론
분류:정수열