원 (기하학)

원
기하학에서 '''원'''(圓, )은 평면 위의 한 점에 이르는 거리가 일정한 평면 위의 점들의 집합으로 정의되는 도형이다. 이러한 점을 원의 중심이라고 하고, 중심과 원 위의 점을 잇는 선분 또는 이들의 공통된 길이를 원의 반지름이라고 한다.
원은 이차 곡선의 일종인 타원에서 이심률이 0인 경우이다.
현, 지름, 반지름, 할선, 접선
호, 활꼴, 부채꼴
원과 관련된 기본적인 용어들은 다음과 같다.
* '''단위원''': 반지름이 1인 원
* '''동심원''': 중심이 같은 두 원
* '''반원''': 중심각이 평각인 부채꼴(활꼴)
* '''반지름''': 원의 중심과 그 원 위의 점을 잇는 선분 또는 그 선분의 길이. 반지름의 길이는 지름의 2분의 1이다.
* '''부채꼴''': 두 개의 반지름과 하나의 호로 둘러싸인 영역
* '''사분원''': 중심각이 직각인 부채꼴
* '''원주''': 원의 둘레
* '''원주각''': 한 끝점을 공유하는 두 현이 원 내부에서 이루는 각. 크기는 이에 대응하는 중심각의 1/2이다.
* '''원판''': 원으로 둘러싸인 도형
* '''원환''': 두 동심원으로 둘러싸인 도형
* '''접선''': 원과 한 점에서 만나는 직선
* '''접현각''': 원의 현과 현의 한 끝점에서의 접선이 이루는 각
* '''중심''': 원 위의 임의의 점에 이르는 거리가 일정한 그 원을 포함하는 평면 위의 점
* '''중심각''': 호의 두 끝점을 지나는 반지름이 호와 같은 쪽에서 이루는 각. 크기는 이에 대응하는 원주각의 2배이다.
* '''지름''': 원의 중심을 지나는 현 또는 그 길이. 길이는 반지름의 2배이다.
* '''켤레호''': 원의 합하여 원주 전체를 이루는 두 호
* '''할선''': 원과 두 점에서 만나는 직선
* '''현''': 원 위의 두 점을 잇는 선분
* '''호''': 원의 일부가 되는 곡선
* '''활꼴''': 같은 끝점을 갖는 호와 현으로 둘러싸인 영역
* '''시''': 할선의 중점을 수선의 발로 하는 선
기원전 5세기경 안티폰은 정다각형의 변 수를 계속 늘려가면 결국엔 원이 된다고 생각했다. 이에 15세기 독일의 신학자 니콜라우스는 아무리 변을 늘려도 원이 될 수는 없다는 사상으로 반박했다.
=== 둘레와 넓이 ===
원의 넓이는 색칠된 정사각형의 넓이의 π배이다.
반지름의 길이가 인 원은 무한히 작은 부채꼴들로 쪼개어 가로 길이 , 세로 길이 의 직사각형으로 만들 수 있다.
어떤 원의 반지름의 길이를 라고 하고, 지름의 길이를 라고 하면, 원의 둘레는
:
이다. 여기서 는 원주율이다. 이는 약 3.1415…를 값으로 하는 초월수이다.
어떤 원의 반지름의 길이를 라고 하고, 지름의 길이를 라고 하고, 둘레를 라고 하면, 원(으로 둘러싸인 도형)의 넓이는
:
이다. 등주 부등식에 따르면, 이는 둘레가 인 닫힌 곡선으로 둘러싸인 도형이 가질 수 있는 최대 넓이이다.
=== 방정식 ===
==== 데카르트 좌표계 ====
중심이 이고 반지름이 3인 원
2차원 데카르트 좌표계 위의 중심이 이고 반지름이 인 원의 방정식은
:
이다. 이는 피타고라스 정리를 통해 유도된다.
2차원 데카르트 좌표계 위의 원의 방정식의 일반적인 꼴은
:
이다. 단, 는 실수이며,
:
이어야 한다. 좌변은 반지름의 4배에 대응하며, '=0'일 경우 한원소 집합이 되고, '<0'일 경우 공집합이 된다.
평면 위의 모든 원은 적절한 데카르트 좌표계를 취했을 때
:
와 같은 표준적인 방정식으로 표현된다. 단, 이어야 한다. 이러한 꼴의 방정식을 얻으려면 원의 중심을 좌표계의 원점으로 삼기만 하면 된다.
2차원 데카르트 좌표계 위의 중심이 이고 반지름이 인 원은 다음과 같은 매개변수 방정식을 갖는다.
:
여기서 은 각각 코사인 함수와 사인 함수이고, 는 매개 변수이다.
==== 극좌표계 ====
데카르트 좌표  대신 극좌표 를 사용할 수도 있다. 즉, 극좌표계 위의 중심이 이고 반지름이 인 원의 방정식은
:
이다.
==== 복소평면 ====
데카르트 좌표나 극좌표를 복소수 로 대신하면, 원과 직선의 통일된 방정식을 얻을 수 있다.
복소평면 위에서, 중심이 이고 반지름이 인 원의 방정식은
:
이다. 여기서 는 복소수의 절댓값이다.
또한 복소평면 위의 원의 방정식의 일반적인 꼴은
:
이다. 여기서 는 켤레 복소수이다. 단, 는 실수이고, 는 복소수이며,
:
:
이어야 한다. 또한,  대신 을 취하고 다른 조건을 그대로 두면 복소평면 위의 직선의 방정식의 일반적인 꼴을 얻는다. 즉, 이라는 조건을 제거하고 다른 조건을 그대로 두면 일반화 원의 방정식의 일반적인 꼴을 얻는다.
=== 접선의 방정식 ===
2차원 데카르트 좌표계 위에서, 원
:
의 을 접점으로 하는 접선의 방정식은
:
이다.
원
:
의 기울기가 인 접선의 방정식은
:
이다.
=== 대칭 ===
* 원은 지름에 대한 반사와 원의 중심에 대한 회전에 대하여 대칭이다.
** 즉, 원의 대칭군은 2차원 직교군 이다.
* 임의의 두 원은 서로 중심 닮음이며, 동심원이 아닐 경우 두 원의 중심을 잇는 선분의 반지름의 비에 따른 내분점 및 외분점을 닮음 중심으로 갖는다.
* 반지름의 길이가 같은 모든 원은 서로 합동이다.
* 공선점이 아닌 세 점을 지나는 원은 항상 유일하게 존재한다.
** 즉, 모든 삼각형의 외접원은 유일하게 존재한다.
** 즉, 임의의 세 점을 지나는 일반화 원은 항상 유일하게 존재한다.
=== 호와 현 ===
* 현의 수직 이등분선은 원의 중심을 지난다.
** 즉, 현에 수직인 지름은 현을 이등분한다.
** 즉, 지름이 아닌 현을 이등분하는 지름은 현에 수직이다.
* 지름은 원의 가장 긴 현이다.
* (방멱 정리) 원 위에 있지 않은 점 를 지나는 두 직선 가운데 하나는 원과 점 와 에서 만나고, 다른 하나는 원과 점 와 에서 만난다고 하면, 이다.
* 원 위의 점과 현 사이의 거리와 지름의 곱은 점과 현의 양 끝점 사이의 거리의 곱과 같다.
=== 원과 직선의 위치 관계 ===
평면 위의 원과 직선의 위치 관계는 원의 중심에서 직선까지의 거리 와 원의 반지름 의 대소 관계에 따라 다음과 같은 경우로 나뉜다.
* 만약 라면, 원과 직선은 만나지 않는다.
* 만약 라면, 원과 직선은 한 점에서 만난다. 즉, 직선은 원의 접선이다.
* 만약 라면, 원과 직선은 두 점에서 만난다. 즉, 직선은 원의 할선이다.
=== 두 원의 위치 관계 ===
두 원의 위치 관계는 두 원의 반지름 와 두 중심 사이의 거리 에 따라 다음과 같은 경우로 나뉜다.
* 만약 이거나 라면, 두 원은 만나지 않는다.
** 만약 라면, 두 원은 서로의 외부에 놓이며, 교점을 가지지 않는다.
** 만약 라면, 작은 원은 큰 원의 내부에 놓이며, 교점을 가지지 않는다.
* 만약 이거나 라면, 두 원은 한 점에서 만난다. 즉, 두 원은 서로 접한다.
** 만약 라면, 두 원은 서로의 외부에서 접한다. 즉, 두 원은 외접한다.
** 만약 라면, 작은 원이 큰 원의 내부에서 큰 원에 접한다. 즉, 두 원은 내접한다.
* 만약 라면, 두 원은 두 점에서 만난다.
=== 중심각과 원주각 ===
* 주어진 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 1/2이다.
* 같은 호에 대한 두 원주각의 크기는 서로 같다.
* 켤레호에 대한 두 중심각은 서로 보각이다.
** 즉, 내접 사각형의 두 대각은 서로 보각이다.
** 즉, 내접 사각형의 외각의 크기는 내대각과 같다.
* (탈레스 정리) 지름에 대한 원주각은 직각이다.
** 즉, 삼각형의 외심이 변 위에 있을 필요충분조건은 직각 삼각형이다.
* 원의 두 현이 원 내부에서 이루는 각의 크기는 이 각과 맞꼭지각의 내부에 포함되는 두 호에 대한 중심각의 합의 1/2이다.
* 원의 두 할선이 원 외부에서 이루는 각의 크기는 이 각의 내부에 포함되는 두 호에 대한 중심각의 차의 1/2이다.
=== 접선 ===
* 원 위의 한 점을 지나는 원의 접선은 유일하게 존재하고, 이는 이 점을 지나는 반지름에 수직이다.
** 즉, 반지름의 반지름 끝점에서의 수선은 원에 접한다.
** 즉, 원의 접선의 접점에서의 수선은 원의 중심을 지난다.
* 원 외부의 한 점을 지나는 원의 접선은 정확히 2개이고, 이 점과 두 접점 사이의 거리는 같으며, 두 접선이 이루는 각과 두 접점을 지나는 반지름이 이루는 각은 서로 보각이다.
* 원의 접현각의 크기는 현을 기준으로 이와 같은 쪽에 있는 호에 대한 중심각의 1/2이다.
* 원의 접선과 할선이 원 외부에서 이루는 각은 각의 내부에 포함된 두 호의 중심각의 차의 1/2이다.
* 외접하는 두 원의 교점을 지나는 두 공통 할선 사이의 두 현은 서로 평행한다.
* (접선에 대한 방멱 정리)원 외부의 점 를 지나는 두 직선 가운데 하나는 원과 와 에서 만나고, 하나는 원에 점 에서 접한다고 하면, 이다.
=== 원의 직교 ===
* 두 원의 교점에서의 두 접선이 서로 수직일 경우 두 원이 서로 직교한다고 한다.
* 두 원의 반지름이 이고, 두 중심 사이의 거리가 라고 할 때, 두 원이 서로 직교할 필요충분조건은 이다.
* 주어진 원에 직교하고 중심이 원 외부의 주어진 점인 원은 유일하게 존재한다.
* 주어진 원에 직교하고 원의 지름이 아닌 현의 두 끝점을 지나는 원은 유일하게 존재한다.
=== 공선점이 아닌 세 점을 지나는 원 ===
공선점이 아닌 세 점 를 지나는 원은 컴퍼스와 자를 사용하여 다음과 같이 작도할 수 있다.
* 선분 의 수직 이등분선을 그린다.
* 선분 의 수직 이등분선을 그린다.
* 선분 와 의 교점 를 취한다.
* 점 를 중심으로 하고 선분 를 반지름으로 하는 원을 그린다. 이 경우 원은 점 를 지난다.
=== 원의 중심 ===
주어진 원의 중심은 컴퍼스와 자를 사용하여 다음과 같이 작도할 수 있다.
* 원 위의 두 점 을 취한다.
* 선분 의 점 에서의 수선 를 그린다.
* 직선 와 원의 교점 를 취한다. 이 경우 선분 는 원의 지름이다.
* 또 다른 지름 을 작도한다.
* 선분 와 의 교점 를 취한다. 이 경우 점 는 원의 중심이다.
=== 원적 문제 ===
원적 문제는 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형을 컴퍼스와 자로 작도하는 문제를 일컫는다. 이는 원주율 가 초월수이므로 불가능하다.
=== 내접원, 외접원, 방접원 ===
모든 삼각형은 유일한 내접원 및 외접원과 정확히 3개의 방접원을 갖는다. 그러나, 일반적으로 다각형은 내접원이나 외접원을 가질 필요가 없다. 어떤 다각형이 모든 변에 접하는 원을 가질 경우, 이 다각형을 외접 다각형이라고 한다. 어떤 다각형이 모든 꼭짓점을 지나는 원을 가질 경우, 이 다각형을 내접 다각형이라고 한다. 동시에 외접 다각형이며 내접 다각형인 다각형을 이중중심 다각형이라고 한다. 예를 들어, 모든 삼각형과 모든 정다각형은 이중중심 다각형이다.
주어진 원의 내접 각형 가운데 넓이가 가장 큰 것은 정각형이다.
* 에드윈 A. 애보트의 공상 수학 소설 《플랫랜드》에서는 원이 성직자로 출현하며, 평면도형들 중 가장 고귀한 계급으로 여겨진다.
* 일각형
* 구
* 원기둥
* 부채꼴
* 컴퍼스
* 원주율
* 하위헌스 원리
 
분류:기하학
분류:원뿔 곡선