횔더 부등식

해석학에서 '''횔더 부등식'''()은 르베그 적분과 L''p'' 공간을 연구하기 위해 사용하는 매우 중요한 부등식이다. 부등식의 이름은 오토 횔더의 이름을 따서 지은 것이다.
''S'',''Σ'',''μ''가 측도 공간이고, ''p'', ''q'' ∈ '''R'''가 1 ≤ ''p'', ''q'' ≤ ∞ 이고 1/''p'' + 1/''q'' = 1 을 만족한다고 하자. 이때 모든 실함수, 복소함수 가운데 ''S''에서 가측 함수 ''f'', ''g''에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다.
:
부등식은 
''fg''
1의 값이 무한일 때에도 성립하며, 우변의 값이 무한인 경우에도 성립한다. 또, 만약 ''f'' ∈ L''p''(''μ'') , ''g'' ∈ L''q''(''μ'')일 때, ''fg'' ∈ L1(''μ'')가 성립한다.
1 ''p''(''μ'') and ''g'' ∈ L''q''(''μ'')일 때, 횔더 부등식의 등호가 성립할 필요충분조건은 |''f''|''p'' 과 |''g''|''q''이 L1에서 일차 종속일 때 만족한다. 즉, ''α'', ''β'' ≥ 0 인 ''α'', ''β'' 가 존재하여, 측도가 0인 집합을 제외한 모든 점에서 ''α''|''f''|''p'' = ''β''|''g''|''q''가 성립할 때 필요충분조건이 성립한다.
(
''f''
''p'' = 0 인 경우, ''β'' = 0이다.
''g''
''q'' = 0 인 경우,''α'' = 0이다.)
이때 ''p''와 ''q''는 '''횔더 켤레'''('''Hölder conjugates''')이다. ''p'' = ''q'' = 2인 경우, 이 부등식은 코시-슈바르츠 부등식이 된다.
횔더 부등식은 L''p''(''μ'')에서 삼각 부등식과 민코프스키 부등식을 증명하기 위해 사용하며, L''p''(''μ'')의 쌍대공간 L''q''(''μ'')를 구성하기 위해 사용한다. (1 ≤ ''q'' ''p'' , 
''g''
''q''는 다음과 같이 정의한다.
::   and   
* 만약 ''p'' = ∞ 이면, 
''f''
의 본질적 상한으로 정의한다. 같은 방식으로 
''g''
∞도 정의한다.
* 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ 과 ∞ 곱하기 0는 0으로 약속한다.
=== 일반화 횔더 부등식 ===
''r'' ∈ (0,∞) 이고 ''p''1, …, ''pn'' ∈ (0,∞이고 다음의 부등식을 만족한다고 가정하자.
:
이때, ''S''에서 정의된 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 ''f''1, …, ''fn''에 대하여,
:
가 성립한다.
또한, 다음도 성립한다.
:
'''주의:''' ''r'' ∈ (0,1)에 대해, 
.
''r''는 일반적으로 삼각 부등식이 성립하지 않기 때문에 노름이 아니다.
=== 역 횔더 부등식 ===
''p'' ∈ (1,∞)이고, 측도 공간 (''S'',''Σ'',''μ'')이 ''μ''(''S'') > 0를 만족한다고 가정하자. 이때, ''S''에서 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 ''f'', ''g'' (이때, ''g''(''s'') ≠ 0 측도 ''μ''값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 ''s'' ∈ ''S'')에 대하여 다음이 성립한다.
:
만약, 
''fg''
1 −1/(''p''−1) > 0 이면, 역 횔더 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 ''α'' ≥ 0 에 대해
:    
이 측도 ''μ''값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 집합에서 성립할 때이다.
'''주의:''' 
''f''
1/''p'' 와 
''g''
−1/(''p''−1)는 노름이 아니고, 다음의 식을 간단히 나타낸다.
:   ,   
=== 조건부 횔더 부등식 ===
를 확률 공간이라 하고, 를 부분 시그마 대수라 하고, 횔더 켤레 ''p'', ''q'' ∈ (1,∞)라 하면, 모든 실수, 복소수 값을 갖는 Ω에서의 확률 변수 ''X'', ''Y''에 대하여 다음이 성립한다.
:
'''특이 사항:'''
* 만약 음이 아닌 확률변수 ''Z''가 기댓값이 무한이라면, 이때 ''Z''의 조건부 평균은 다음과 같이 정의한다.
::
* 조건부 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ , ∞ 곱하기 0 은 0으로 생각한다. ''a'' > 0 에 ∞를 곱해도  ∞으로 생각한다.
''p''와 ''q''가 (1,∞) 열린구간에 속한다고 가정하자.
* ''n''차원 유클리드 공간의 집합 ''S'' = {1, …, ''n''} 가 셈측도를 측도로 가질 때, 다음 부등식이 성립한다.
::
* 만약 이 셈측도를 측도로 가질 때, 수열 공간에서의 횔더 부등식을 얻을 수 있다.
::
* 만약 ''S''가 르베그 측도를 측도로 갖는 '''R'''''n''의 가측 집합일 때, '''f''', '''g'''는 '''S'''에서 가측 실함수, 복소함수이다. 이때, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.
::
* 확률 공간 에서 , 를 기댓값 연산으로 정의하자. Ω에서 실수, 복소수값을 갖는 확률 변수 ''X''와 ''Y''에 대해, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.
::
:0 ''r'' 과 1Ω에 대해 적용하면 다음식을 얻을 수 있다.
::
:''s''의 절대 모멘트가 유한할 때, ''r''의 절대 모멘트도 유한하다. (이 결과는 옌센 부등식을 통해서도 얻을 수 있다.)
=== 횔더 부등식의 증명 ===
횔더 부등식을 증명하는 방법에는 여러 개가 있으나, 영 부등식을 사용하여 증명하겠다.
만약 
''f''
''p'' = 0 이라면, ''f''는 측도 ''μ''값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이고, 따라서 ''fg''도 ''μ''값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이다. 즉, 횔더 부등식의 좌변의 값이 0이다. 
''g''
''q'' = 0일 때도 같은 결론을 얻을 수 있다. 따라서, 
''f''
''p'' > 0 , 
''g''
''q'' > 0 이라고 가정할 수 있다.
만약 
''f''
''p'' = ∞ 또는 
''g''
''q'' = ∞ 일 때, 횔더 부등식의 우변은 무한대가 된다. 따라서 
''f''
''p'' , 
''g''
''q'' 이 (0,∞) 사이의 값을 갖는다고 생각할 수 있다.
만약 ''p'' = ∞ , ''q'' = 1이면, 거의 모든 점에서 |''fg''| ≤ 
''f''
 가 성립한다. 르베그 적분의 단조성에 의해 횔더 부등식을 증명할 수 있다. 마찬가지로, ''p'' = 1 and ''q'' = ∞ 일 때도 이 방법으로 증명할 수 있다. 따라서 ''p'', ''q'' ∈ (1,∞)라고 가정할 수 있다.
아래의 영 부등식을 사용한다. 이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 모든 음이 아닌 수 ''a'', ''b''에 대하여 ''ap'' = ''bq''일 때이다.
:
이를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
를 대입하면
:
주어진 양변을 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 이때 
''f''
''p'' 와 
''g''
''q''는 상수 취급을 받는다.
:
이때, 가정에서 ''p'' ,''q''∈ (1,∞) 이라 가정했으므로 , 
''f''
''p'' and 
''g''
''q'' 의 정의에 의해,
이므로,
그리고, 양변에 
''f''
''p''
''g''
''q'' 을 곱하면 증명이 끝난다.
등호가 성립할 필요충분조건은 거의 모든 점에서 가 성립할 때이다.
=== 일반화된 횔더 부등식의 증명 ===
횔더 부등식과 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. ''n'' = 1일 때 성립한다는 사실을 쉽게 알 수 있다. ''n'' − 1에서 성립한다고 가정하자. 이때, 일반성을 잃지 않게 ''p''1 ≤ … ≤ ''pn라 가정할 수 있다.
1 : ''pn'' = ∞ 일 때,
:
가정과 |''fn''|의 본질적 상한을 사용하면,
:
을 얻을 수 있다.
2 : ''pn'' n''이고,
:
이므로, 가정을 사용하면 원하는 부등식을 얻어낼 수 있다.
=== 역 횔더 부등식의 증명 ===
''p''와
:
가 횔더 켤레라 하자. 횔더 부등식을 적용하면,
:
양변을 ''p''제곱하여, 
''fg''
1에 대해 식을 쓰면 역 횔더 부등식을 얻을 수 있다.
''g''가 거의 모든 점에서 0이 아니므로, 거의 모든 점에서 |''fg''| = ''α''|''g''|−''q''/''p''를 만족하는 상수 ''α'' ≥ 0가 존재할 때 등호가 성립하고 그 역도 성립한다.
=== 조건부 횔더 부등식의 증명 ===
확률변수를 다음과 같이 정의하자.
:
이때, 이들은 부분 시그마 대수에서 측정 가능하다. 이때
:
집합 {''U'' = 0}에서, 거의 확실하게(Almost Surely) |''X''| = 0이다. 마찬가지로, 집합 {''V'' = 0}에서 거의 확실하게 |''Y''| = 0이다. 따라서,
:
이고, 조건부 횔더 부등식은 이 집합에서 성립한다.
:
우변이 무한대라도 조건부 횔더 부등식은 성립한다. 양변을 우변의 값으로 나누면, 다음과 같이 된다.
: 집합 에서 거의 확실하게 성립.
이제 임의의 집합
:
에서 적분을 한 후에도 부등식이 성립하는지를 확인하면 된다.
''U'', ''V'', 1''G''가 부분 시그마 대수에서 측정 가능하므로, 조건부평균의 성질과 횔더 부등식을 이용하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
:
횔더 부등식은 L.J 로저스가 1888년에 처음 찾아내었고, 이와는 독립적으로 횔더가 1889년에 발견하였다.
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