오비폴드

기하학에서, '''오비폴드'''()는 국소적으로 유한군의 선형작용에 대한 유클리드 공간의 몫공간과 동형인 위상 공간이다. 매끄러운 다양체의 개념의 일반화이며, 다양체와 달리 특정한 형태의 특이점을 가질 수 있다.
''n''차원의 오비폴드는 다음과 같이 정의한다. 하우스도르프 공간 ''X''와 그 열린 덮개 를 생각하자. (는 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다고 가정하자.)
각 에 대하여, 연속 함수 를 가정하자. 여기서 는 의 부분집합으로, 유한군 의 선형작용에 대하여 불변하다. 가 의 위상동형사상을 정의한다고 가정하자. 이들을 '''오비폴드 국소 좌표계'''라고 부른다.
일련의 오비폴드 국소 좌표계 의 집합은 다음과 같은 조건을 만족하면 '''오비폴드 좌표근방계'''()를 이룬다.
* 면 단사 준동형 사상 가 존재한다.
* 면  에 대하여 -위상 동형 사상 이 존재한다. (는 의 열린 부분 집합)
* 
* 다른 모든 추이 사상는 의 꼴이다 (여기서 ).
가 이산군이라고 하고, 이 매끄럽고 충실한 작용 이 주어진 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면 몫공간
:
은 자연스럽게 오비폴드 구조를 갖는다. 이런 꼴로 나타낼 수 있는 오비폴드를 '''축소 오비폴드'''()라고 한다. 하지만 축소 오비폴드가 아닌 오비폴드도 존재한다. 즉, 오비폴드는 항상 국소적으로 (유클리드 공간의) 군의 작용에 대한 몫공간이지만, 대역적으로 군의 작용에 대한 몫공간이 아닐 수 있다. 끈 이론에서는 보통 모든 오비폴드를 축소 오비폴드로 가정한다. 특히, 유클리드 공간의 몫공간  꼴의 공간을 오비폴드라고 부른다.
오비폴드의 경우, 문헌에는 두 가지의 "오비폴드 오일러 지표"에 대한 정의가 등장하며, 이 둘은 관계없는 개념이다. 이 밖에도, 오비폴드의 호모토피 군 역시 정의할 수 있다. 이들은 오비폴드를 단순히 위상 공간으로 여겨 정의한 오일러 지표 및 호모토피 군과 다르다.
=== 사타케-서스턴 오일러 지표 ===
오비폴드 에 세포 복합체의 구조를 주고, 각 세포 의 내부가 국소적 군 의 작용에 불변이라고 하자. 그렇다면 의 '''(사타케-서스턴) 오일러 지표'''는 다음과 같다.
:
만약 모든 가 자명군이라면, 이는 일반적인 오일러 지표와 같다. 이 정의는 사타케 이치로()와 윌리엄 서스턴이 사용하였다.
오비폴드의 사타케-서스턴 오일러 지표에 대하여 가우스-보네 정리가 성립한다.
=== 끈 오일러 지표와 천-롼 코호몰로지 ===
축소 오비폴드 가, 매끄러운 다양체  위의 어떤 이산군 의 매끄럽고 충실한 작용에 의한 몫공간이라고 하자. 이 경우, 의 '''(끈 이론) 오일러 지표'''는 다음과 같다.
:
여기서
* 는 의 중심화 부분군이다.
* 는 부분군 의 작용에 의한 고정점들로 구성된 부분 공간이다.
* 는 로 생성되는 의 부분군이다.
* 는 의 켤레류들의 집합이다.
이 정의는 랜스 딕슨(), 제프리 하비(), 캄란 바파, 에드워드 위튼이 끈 이론을 다루기 위하여 도입하였다.
딕슨-하비-바파-위튼 오일러 지표는 '''천-롼 코호몰로지'''()와 관계있다. 이는 오비폴드에 대한 양자 코호몰로지이다.
=== 기본군 ===
오비폴드 의 '''기본군''' 는 의 범피복 공간 의 피복 변환()들의 군이다. 이 정의는 윌리엄 서스턴이 도입하였다.
모든 매끄러운 다양체는 자명하게 (축소) 오비폴드를 이룬다. 또한, 경계다양체 또한 자연스럽게 축소 오비폴드를 이룬다. 경계다양체 이 주어지면, 그 '''이중 덮개'''()를 다음과 같이 정의하자.
:
즉, 의 두 개의 복사본의 각 경계를 이어붙여 얻는다. 의 이중 덮개는 (경계를 갖지 않는) 다양체이다. 이 경우, 은 다음과 같은 몫공간으로 나타낼 수 있다.
:
=== 1차원 오비폴드 ===
1차원 연결 콤팩트 오비폴드는 원 과 선분 밖에 없다. 원은 매끄러운 다양체이다. 선분은 경계다양체이자, 원
:
의 몫공간
:
으로서, 축소 오비폴드로 나타낼 수 있다.
=== 2차원 오비폴드 ===
2차원에서 가능한 오비폴드 특이점은 O(2)의 유한 부분군에 따라서 분류되며, 다음과 같다. 군의 작용을 나타낼 때, 편의상 평면의 점을 복소수로 표기하였다.
* 경계선 , .
* 에 대하여, 차 원뿔형 꼭짓점 , 
* 에 대하여, 각도 의 꼭짓점 , 
이 경우, 2차원 오비폴드 의 사타케-서스턴 오일러 지표는 다음과 같다.
:
여기서
* 는 의 위상 공간으로서의 오일러 지표이다.
* 첫 번째 합 는 원뿔형 꼭짓점들에 대한 합이며, 각 는 꼭짓점의 차수이다.
* 두 번째 합 는 다각형형 꼭짓점들에 대한 합이며, 각 는 꼭짓점의 차수이다.
2차원 연결 콤팩트 오비폴드는 곡면과 마찬가지로 오일러 지표의 부호에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.
* 오일러 지표가 음수인 2차원 오비폴드는 '''쌍곡선형 오비폴드'''()라고 한다. 이들은 쌍곡평면의 테셀레이션에 대응하며, 무한 개가 있다.
* 오일러 지표가 0인 2차원 오비폴드는 '''포물선형 오비폴드'''()라고 한다. 이들은 유클리드 평면의 테셀레이션에 대응한다. 총 17개가 있다.
* 오일러 지표가 양수인 2차원 오비폴드 가운데, 축소 오비폴드로 나타낼 수 있는 것들은 '''타원형 오비폴드'''()라고 한다. 이들은 구의 테셀레이션에 대응한다. 7개의 무한한 족 및 족에 속하지 않는 10개가 있다.
* 오일러 지표가 양수이며, 축소 오비폴드가 아닌 것들은 '''나쁜 오비폴드'''()라고 한다. 4개의 무한한 족들로 분류된다.
쌍곡선형이 아닌 2차원 연결 콤팩트 오비폴드들의 목록은 다음과 같다. (여기서 "오일러 지표"는 사타케-서스턴 오일러 지표를 말한다.)
 종류 
 오일러 지표 
 다양체 
 원뿔 꼭짓점의 차수 
 다각형 꼭짓점의 차수
 나쁜
 1 + 1/''n'' 
 구 
 ''n'' > 1 
 1/''m'' + 1/''n'' 
 구 
 ''n'' > ''m'' > 1 
 1/2 + 1/2''n'' 
 원판 
 
 ''n'' > 1
 1/2''m'' + 1/2''n'' 
 원판 
 
 ''n'' > ''m'' > 1
 타원형
 2 
 구 
 
 2/''n'' 
 구 
 ''n'',''n'' 
 1/''n'' 
 구 
 2, 2, ''n'' 
 1/6 
 구 
 2, 3, 3 
 1/12 
 구 
 2, 3, 4 
 1/30 
 구 
 2, 3, 5 
 1 
 원판 
 
 1/''n'' 
 원판 
 
 ''n'', ''n''
 1/2''n'' 
 원판 
 
 2, 2, ''n''
 1/12 
 원판 
 
 2, 3, 3
 1/24 
 원판 
 
 2, 3, 4
 1/60 
 원판 
 
 2, 3, 5
 1/''n'' 
 원판 
 ''n'' 
 1/2''n'' 
 원판 
 2 
 ''n''
 1/12 
 원판 
 3 
 2
 1 
 사영 평면 
 
 1/''n'' 
 사영 평면 
 ''n'' 
 포물선형
 0 
 구 
 2, 3, 6 
 0 
 구 
 2, 4, 4 
 0 
 구 
 3, 3, 3 
 0 
 구 
 2, 2, 2, 2 
 0 
 원판 
 
 2, 3, 6
 0 
 원판 
 
 2, 4, 4
 0 
 원판 
 
 3, 3, 3
 0 
 원판 
 
 2, 2, 2, 2
 0 
 원판 
 2 
 2, 2
 0 
 원판 
 3 
 3
 0 
 원판 
 4 
 2
 0 
 원판 
 2, 2 
 0 
 사영 평면 
 2, 2 
 0 
 원환면 
 
 0 
 클라인 병 
 
 0 
 원환 
 
 0 
 뫼비우스 띠 
 
사타케 이치로()가 automorphic form을 연구하면서 1956년에 ‘''V''-다양체’()라는 이름으로 정의하였다.  윌리엄 서스턴이 1980년 재발견하였고, ‘오비폴드’()라는 이름을 붙였다.
‘오비폴드’()라는 이름은  (궤도)과  (다양체)를 합친 혼성어이다. 이 이름에 대하여 서스턴은 다음과 같이 적었다.
* 
* 
* 
* 몫공간
* 2차원 등각 장론
* 테셀레이션
* 스택 (수학)
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
분류:다양체
분류:미분기하학
분류:위상수학