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수학 상수

'''수학'''에서 '''상수'''란 그 값이 변하지 않는 불변량으로, 변수의 반대말이다. 물리 상수와는 달리, 수학 상수는 물리적 측정과는 상관없이 정의된다.
수학 상수는 대개 실수체나 복소수체의 원소이다. 우리가 이야기할 수 있는 상수는 (거의 대부분 계산 가능한) 정의가능한 수이다.
특정 수학 상수, 예를 들면 골롬-딕맨 상수, 프랑세즈-로빈슨 상수, , 레비 상수와 같은 상수는 다른 수학상수 또는 함수와 약한 상관관계 또는 강한 상관관계를 갖는다.
 기호
 값
 이름
 분류
 N
 알려진 때
 알려진 소수점 자릿수
 ''''''
 1
 일 , 하나
 '''일반'''
 ''정수.''
 고대
 ∞
 ''''''
 0
 영
 '''일반'''
 ''대수적 수''
 고대 BC 500년경
 ∞
 ''''''
 
  허수 단위 , 아이()
 '''일반'''
 ''복소수''
  1500년경
 ∞
 ''''''
 ≈ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288
  '''원주율'''
 '''일반'''
 ''초월수''
 고대
 1,241,177,300,000
 ''''''
 ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249
 네이피어 수, 자연로그의 밑
 '''일반'''
 ''초월수''
 1618년
 12,884,901,000
 
 ≈ 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807
 2의 제곱근, 닮음비
 '''일반'''
 ''대수적 수, 무리수''
 고대
 137,438,953,444
 
 ≈ 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243
 오일러-마스케로니 상수
 '''일반''', '''수론'''
 ?
 1735년
 108,000,000
 
 ≈ 1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811
 황금비
 '''일반''', 피보나치 수열
 ''대수적 수, 무리수''
 고대
 3,141,000,000
 
 ≈ 0.70258
 엠브리-트레페텐 상수
 '''수론'''
 ?
 ?
 ?
 
 ≈ 4.66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161
 파이겐바움 상수
 '''혼돈 이론'''
 ?
 1975년
 ?
 
 ≈ 2.50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578
 파이겐바움 상수
 '''혼돈 이론'''
 ?
 ?
 ?
 
 ≈ 0.66016 18158 46869 57392 78121 10014 55577
 쌍둥이 소수 상수
 '''수론'''
 ?
 ?
 5,020
 
 ≈ 0.26149 72128 47642 78375 54268 38608 69585
 메이쎌-메르텐스 상수 (Meissel-Mertens constant)
 '''수론'''
 ?
 1866년1874년
 8,010
 
 ≈ 1.90216 05782 4
 쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수 (Brun's constant)
 '''수론'''
 ?
 1919년
 11
 
 ≈ 0.87058 83800
 소수 쿼드러플릿 (prime quadruplet)에 대한 브룬상수 (Brun's constant)
 '''수론'''
 ?
 ?
 ?
 
 – 1.1·10-12
 드 브루인-뉴먼 상수 (de Bruijn-Newman constant)
 '''수론'''
 ?
 1950년?
 ?
 
 ≈ 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411
 카탈란 상수 (Catalan's constant)
 '''조합론'''
 ?
 ?
 15,510,000,000
 
 ≈ 0.76422 36535 89220 66
 란다우-라마누잔 상수
 '''수론'''
 ''무리수'' (''?'')
 ?
 30,010
 
 ≈ 1.13198 82487 943
 비슈바나트 상수(Viswanath's constant  '''1''' )
 '''수론'''
 ?
 ?
 13
 
 ≈0.54325 89653 42976 70695 27282 95300 61323
 란다우 상수 (Landau's constant)
 '''해석학'''
 ?
 ?
 >1,000
 
 ≈ 1.08366
 르장드르 상수 (Legendre's constant)
 '''수론'''
 ?
 ?
 ?
 
 ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 027
 라마누잔-솔드너 상수 (Ramanujan-Soldner's constant), 솔드너 상수(Soldner's constant)
 '''수론'''
 ?
 ?
 75,500
 
 ≈ 1.60669 51524 15291 763
 에르되시-보어와인 상수 (Erdös-Borwein's constant)
 '''수론'''
 ''무리수''
 ?
 ?
 
 ≈ 1.09868 58055
 렝겔 상수 (Lengyel's Constant)
 '''수론'''
 ?
 1992년
 ?
 
 ≈ 0.80939 40205
 알라디-그린스테드 상수 (Alladi–Grinstead constant)
 '''조합론'''
 ?
 ?
 ?
==== e 관련 ====
* 레비 상수
* 라플라스 극한
* 알라디-그린스테드 상수
* 뤼로스 상수
==== 감마함수 관련 ====
* 오일러-마스케로니 상수
* 프랑세즈-로빈슨 상수
* 번스타인 상수
* 아페리 상수
* 시에르핀스키 상수
* 가우스 상수
* 란다우 상수
==== 소수 관련 ====
* 브룬 상수
* 밀스 상수
* 골롬-딕맨 상수
* 빽하우스 상수
* 니븐 상수
* 로크스 상수
* 르장드르 상수
* 해프너-사낙크-맥컬리 상수
* 에르되시-보어와인 상수
* 마이셀-메르텐스 상수
* 쌍둥이 소수 상수
* 알틴 상수
==== 리만제타함수 관련====
* 드 브루인-뉴먼 상수
* 글레이셔-킨켈린 상수
* 포터 상수
* 가우스-쿠즈민-비어징 상수
* 킨친 상수
==== 피보나치 수 관련 ====
* 뤼카 수
* 역 피보나치 상수(Reciprocal Fibonacci constant)
* 비슈바나트 상수
* 엠브리-트레페텐 상수
==== 특정 대수방정식 관련 ====
* 플라스틱 수
* 콘웨이 상수
* 바르가 상수(Varga constant)
* 체비쇼프 상수
* 카앵 상수(Cahen's constant)
* 오메가 상수(Omega constant)
* 립의 4각 얼음 상수
* 유니버설 파라볼릭 상수(Universal parabolic constant)
* 함수
* 수학 기호
* 오일러의 곱셈 공식
음계

'''음계'''(音階)는 음악에서 음높이(pitch) 순서로 된 음의 집합을 말한다. 악곡을 주로 구성하는 음을 나타낸 것이며 음계의 종류에 따라 곡의 분위기가 달라진다.
음계의 각각의 음에는 위치에 따라 도수가 붙는다.
음계는, 음계가 포함하고 있는 음정(interval)에 따라서 이름을 붙일 수 있다.
* 예시: 온음계, 반음계, 온음음계
또는 음계가 포함하고 있는 서로 다른 피치 클래스의 수에 따라서 이름을 붙일 수 있다.
* 팔음 음계
* 칠음 음계
* 육음 음계와 오음 음계
* 사음 음계, 삼음 음계와 이음 음계
* 모노토닉 음계
"음계의 음정(interval) 뿐만 아니라 음계를 만드는 음(note)의 수가, 한 문화권의 음악에 독특한 음악적 특징을 지니게 한다" "어떤 음계의 음의 수보다, 음의 거리(interval, pitch distance)가 음악의 소리에 대해서 더 많은 것을 알려준다."
=== 온음계와 반음계 ===
온음계와 반음계(半音階)는 서양 음악에서 쓰이는 용어이다. 자체로는 음계에 관한 말이지만, 온음계적·반음계적인 선율, 화음, 화성 진행 등의 표현으로도 쓰인다. 대부분의 경우 온음계는 7개 음으로 이루어진 장음계를 말한다. 20세기 음악론에서는 반음계가 아닌 모든 음계(이를테면 팔음음계)를 말할 때 쓰이기도 한다.
반음계는 12개의 반음으로 이루어진 음계를 말한다.
계이름은 음계를 기준으로 한 음의 이름이다. 장음계를 이루는 음의 계이름은 으뜸음부터 위로 올라가면서 각각 도, 레, 미, 파, 솔(), 라, 시(), 도가 된다.
서양 음악에서는 도·레·미·파·솔·라·시로 된 7음계가 많이 쓰이지만 한국 전통 음악에는 황종(黃鍾)-미♭·태주(太蔟)-파·중려(仲呂)-라♭·임종(林鍾)-시♭·무역(無射)-레♭으로 된 5음계가 많이 쓰이고, 중국 전통 음악에는 궁-도·상-레·각-미·변치(變徵)-올림화(Fa )·치-솔·우-라·변궁(變宮)-시로 7음계를 많이 쓴다.
한국 전통 음악에서는 5음계 외에도 3음계 또는 악계통에서는 7음계 등이 쓰인다.
*
12월 19일

'''12월 19일'''은 그레고리력으로 353번째(윤년일 경우 354번째) 날에 해당한다.
* 1963년 - 잔지바르가 독립했다.
* 2002년 - 대한민국 제16대 대통령 선거에서 노무현 후보가 당선되다.
* 2007년 - 대한민국 제17대 대통령 선거에서 이명박 후보가 당선되다.
* 2011년 - 조선민주주의인민공화국의 김정일 국방위원장이 이틀 전(12월 17일) 사망했다는 소식이 보도되었다.
* 2012년 - 대한민국 제18대 대통령 선거에서 박근혜 후보가 당선되다.
* 2014년 - 헌법재판소가 법무부의 청구를 받아들여 통합진보당 해산을 선고했고, 통합진보당 소속 지역구 의원 3명과 비례대표 의원 2명의 의원직도 모두 박탈되었다.
* 1843년 - 영국의 소설가 찰스 디킨스, 《크리스마스 캐럴》 출간.
* 1909년 - 독일의 축구 클럽 보루시아 도르트문트 창단.
* 2009년 - 소녀시대가 《Into The New World》라는 타이틀로 첫 번째 단독 콘서트를 개최함.
* 2015년 - 서해안고속도로 서해대교 송악 나들목 ~ 서평택 나들목 구간이 개통되었다.
* 2022년 - 2022년 FIFA 월드컵이 에서 폐막하였고 가 를 3대 3으로 승부차기를 통해 4대 2로 꺾고 1986년 이후 36년만에 통산 3번째 우승을 달성하였다.
* 1683년 - 스페인 부르봉 왕가의 초대 국왕 펠리페 5세. (~1746년)
* 1742년 - 스웨덴의 화학자 칼 빌헬름 셸레. (~1786년)
* 1778년 - 루이 16세의 딸 마리 테레즈 샤를로트. (~1851년)
* 1899년 - 미국의 인권 운동가 마틴 루터 킹 주니어. (~1968년)
* 1906년 - 소련의 정치인 레오니트 브레즈네프. (~1982년)
* 1915년 - 프랑스의 작곡가이자 샹송가 에디트 피아프. (~1963년)
* 1922년 - 네덜란드의 정치인 크리스 판 베인. (~2009년)
* 1931년 - 대한민국의 경제학자, 대학교수, 윤석열 대통령의 부친 윤기중. (~2023년)
* 1935년 - 대한민국의 언론 출신 정치인 최영철.
* 1936년 - 대한민국의 기업인 김우중. (~2019년)
* 1941년 - 대한민국의 제17대 대통령 이명박.
* 1944년 - 미국의 수리물리학자 미첼 파이겐바움. (~2019년)
* 1952년 - 미국의 작가 린다 울버턴
* 1953년 - 대한민국의 축구인 허정무.
* 1958년 - 대한민국의 언론 출신 수필가 김상운.
* 1963년 - 대한민국의 정치인 우범기.
* 1965년 - 대한민국의 경찰 공무원, 제21대 경찰청장 민갑룡.
* 1967년 - 대한민국의 정치인 김민철.
* 1968년 - 대한민국의 정치인 이원택
* 1970년 - 일본의 소설가 타니가와 나가루.
* 1972년 - 미국의 배우 앨리사 밀라노.
* 1980년  
** 대한민국의 래퍼 버벌진트.
** 미국의 배우 제이크 질런홀.
* 1981년 - 대한민국의 배우 김윤성.
* 1985년 - 한국계 일본의 축구선수 이충성.
* 1987년 - 프랑스의 축구선수 카림 벤제마.
* 1988년
** 칠레의 축구 선수 알렉시스 산체스.
** 스웨덴의 축구 선수 엠마 베릴룬드.
** 대한민국의 레이싱 모델 이지민.
* 1989년 - 대한민국의 래퍼 용준형 (비스트, 하이라이트).
* 1990년 - 대한민국의 쇼트트랙선수 김성일.
* 1991년
** 대한민국의 아나운서 박철규.
** 일본의 여성 성우 우에사카 스미레.
* 1992년 - 스페인의 축구 선수 이케르 무니아인.
* 1993년 - 대한민국의 밴드 데이식스 멤버인 가수 Young K.
* 1994년 - 대한민국의 양궁 선수 최용희.
* 1996년 - 이탈리아 축구팀 AC밀란 리빙레전드 프랑크 케시에.
* 1997년 - 일본의 펜싱 선수 가노 고키.
* 2011년 - 대한민국의 아역배우 박규림.
* 1370년 - 교황 우르바노 5세, 200대 로마 교황. (1310년~)
* 1741년 - 덴마크 출신 러시아의 항해사이자 탐험가 비투스 베링. (1681년~)
* 1848년 - 영국의 소설가 에밀리 브론테. (1818년~)
* 1851년 - 영국의 화가 터너. (1775년~)
* 1932년 - 한국의 독립운동가 윤봉길. (1908년~)
* 2012년 - 맨발의 겐의 저자 나카자와 케이지. (1939년~)
* 2015년 - 독일의 지휘자 쿠르트 마주어. (1927년~)
* 2018년 - 대한민국의 가수 이성우. (1959년~)
* 2021년 - 대한민국의 법조인 김주수. (1928년)~
* 2021년 - 대한민국의 정치인 김문기. (1932년~)
* 2021년 - 스페인의 바리톤 카를로스 마린. (1968년~)
* 2021년 - 미국의 화학자 로버트 그럽스. (1942년~)
* 2021년 - 인도네시아의 정치인 프란스 르부 라야. (1960년~)
* 2023년 - 폴란드의 권투선수 야누시 고르타트. (1948년~)
* 남남 협력의 날
* 해방의 날(Liberation day): 인도 고아 주
* 성 니콜라스 데이(Saint Nicholas Day): 동방 기독교
* 
* 전날: 12월 18일 다음날: 12월 20일 - 전달: 11월 19일 다음달: 1월 19일
* 음력: 12월 19일
* 모두 보기
가위

'''가위'''()는 손으로 잡아 종이 등을 쉽게 자를 수 있게 하는 도구이다. 두 장의 얇은 금속 날을 결리지 않도록 엇갈리게 나사로 엮어, 그 두 날이 지레의 원리로 움직이면서 서로 부딪치면 절단력이 발생한다. 플라스틱 판, 얇은 철판, 머리카락, 끈, 종이, 옷감, 강삭 등을 자를 때 쓰인다.
=== 핑킹가위 ===
핑킹가위.
핑킹가위는 무늬를 내며 자를 때 사용하는 가위이다. 무늬의 종류는 여러가지이며 물결무늬 지그재그 톱니모양 등이 있다.
=== 쪽가위 ===
300x300픽셀
쪽가위는 실 따위를 자를 때 사용하는 가위이다. 발견된 가위 중 가장 오래된 가위가 쪽가위 형태로 제작되었다. 16세기까지 유럽에서 사용되었으며, 오늘날에도 쪽가위의 형태를 변형한 가위를 찾을 수 있다.
=== X자형 가위 ===
300x300픽셀
X자 형태의 날을 지닌 가위이다. 서기 100년경 고대 로마에서 쪽가위 디자인을 각색하면서 발명되었다.
=== 지렛대의 원리로 구분 ===
지렛대의 원리에 바탕을 둔 것으로 지레의 작용점 · 받침점 · 힘점의 상호관계에 의하여, 힘점이 작용점과 받침점 사이에 있는 원지점식(元支點式), 지레의 받침점이 힘점과 작용점의 사이에 있는 중간지점식, 작용점이 힘점과 받침점 사이에 있는 선(先)지점식의 3가지로 구별된다.
따라서 이것을 응용한 가위도 3종으로 대별된다. 원지점식에 속하는 것으로서 손자수용 가위 · 잎따기가위 · 망(綱)베기가위 등이 있고, 중간지점식에 속하는 것으로는 재단가위 · 꽃가위 · 전정가위 · 전지가위 · 잔디가위 · 양철가위 · 버튼홀가위 · 의료가위 · 이용(理容)가위 등이 있다. 선지점식에 속하는 것은 눌러서 자르는 가위와 과일따기 가위 등이 있다.
지금까지 발견된 세상에서 가장 오래된 가위는 기원전 1000년경 메소포타미아에서 만들어진 가위다. 특히 로마 시대의 유물로 가위가 많이 발견되었으며, 이 시대 가위는 라틴 문화 중기에 중부 및 북유럽 등으로 전해졌다. 라틴 문화의 가위는 남자의 무덤에 부장되어 있는 것으로 보아, 알려져있던 양모를 깎기 위한 것이 아니고 수염을 깎는 데 쓰인 것으로 추측된다. 그리고 로마 시대의 유물에서 발견된 날이 짧고 튼튼하게 만들어진 가위는 철사나 튼튼한 실, 얇은 철판등을 자르는 데 사용된 것으로 보인다.
한국에서 발견된 가장 오래된 가위는 경주 분황사 모전석탑에서 발견된 가위이며, 모양이나 쓰임새가 중국에서 발견된 것과 같은 걸로 보아 중국에서 건너왔을 것이라고 학자들은 말한다. 전 세계에서 발견된 유물을 비교해볼 때 가위는 서양에서 처음 만들어져 사용되다가 중국에 전해졌을 거라고 추측할 수 있다.
* 가위 바위 보
* 칼
분류:수공구
분류:공구
분류:도구
지구과학

'''지구과학'''(地球科學, )은 행성인 지구와 그 주위의 천체를 연구하는 학문들을 묶어 부르는 이름이다. 지구의 환경은 크게 육지, 바다, 대기로 나누어지며, 이러한 환경들은 각각 지구과학의 주요 분야라고 할 수 있는 지질과학, 수문과학, 대기과학 분야의 주요연구대상이 된다. 일반적으로 지구과학으로 불리는 학문들은 대기에서 일어나는 현상을 대상으로 하는 기상학, 지구 표면의 물질을 주로 대상으로 하는 지질학, 바다 현상을 대상으로 하는 해양학, 지구의 깊은 속에서 일어나는 현상을 대상으로 하는 지구물리학과 실용적인 응용분야로서 환경공학 등이 있다.
지구과학에는 많은 전문 분야가 포괄되지만 대체로 여섯 가지로 나뉜다.
# 지표면과 지표면 위에 있는 물과 공기 연구
# 고체로 구성된 지구의 조성에 대한 연구
# 지형에 대한 연구
# 지구의 역사에 관련된 연구
# 외계행성의 지질 연구
# 실용적인 응용 분야
* 자연지리학 (physical geography)
* 지형학 (geomorphology, topography)
* 수문학 (hydrology)
* 기후학 (climatology)
* 지역지리학
* 측지학 (geodesy)
* 토양학 (pedology, soil science)
* 지질학 (geology)
* 지사학 (historical geology)
* 고생물학 (paleontology)
* 층서학 (층위학, stratigraphy)
* 퇴적학 (sedimentology)
* 구조지질학 (structural geology)
* 암석학 (petrology)
* 광물학 (mineralogy)
* 광상학 (economic geology, science of mineral deposit)
* 지구화학 (geochemistry)
* 지구물리학 (geophysics)
* 지구전자기학
* 지진학 (seismology)
* 화산학 (volcanology)
* 해양학 (oceanography)
* 물리해양학 (physical oceanography)
* 해양화학 (chemical oceanography)
* 해양생물학 (biological oceanography, marine biology)
* 해양지질학 (marine geology)
* 기상학 (meteorology)
* 대기물리학
* 대기화학
* 설빙학 (glaciology)
* 지구환경과학
* 지구공학
* 행성과학 (planetology)
=== 관련 분야 ===
* 천문학 (astronomy) - 우주 물리학(천체 물리학, astrophysics) - 우주 과학 (space science)
* 토목공학 (civil engineering)
* 
*  한국지질자원연구원
*  자원용어사전
*  광물자원용어사전
 
분류:자연과학
분류:행성과학
아오조라 문고

아오조라 문고 로고
'''아오조라 문고'''()는 ‘일본어판 구텐베르크 프로젝트’로 불리는 일본의 인터넷 전자도서관으로, 저작권이 풀린 문학작품을 수집, 전자문서화해서 인터넷에 공개하고 있다. 저자 사후 50년이 지난 메이지, 쇼와 시대 초기의 일본 문학 작품이 그 대부분을 차지하고 있고, 일본어 외 문학 작품의 일본어 번역 작품도 다수 있다. 1997년 2월 도미타 미치오, 노구치 에이치, 야마키 미에, 란무로 사테이 등 4명이 창설하여 시작되었다. 2016년 연간 방문객수는 940만 건 이상이다.
아오조라 문고에 수록된 작품은 JIS X 0208에 해당되는 한자 범위 내에서 자원봉사자에 의해 아오조라 문고 형식 텍스트파일이나 HTML 파일로 전자화된다. 또 아오조라 문고 수록파일 취급기준에 따라 자유롭게 이용할 수 있기 때문에, 수록된 작품을 PC는 물론 PDA와 휴대전화로도 볼 수 있다. 텍스트 파일을 큰 글자로 인쇄하거나 전용 소프트웨어에 불러들여 시각장애인용으로 이용하는 방안도 기대되고 있다. 아오조라 문고의 열람 소프트웨어는 따로 개발 및 제공되고 있는 것은 없지만, 전자사전이나 아이폰용 어플리케이션 등은 타사에서 개발하여 출시되어 있다.
저자 사망 이후 50년이 지나 저작권이 소멸한 메이지 시대부터 쇼와 시대 초기까지의 서적 대부분이 존재한다. 외국 번역작품이나 저자가 무료보기를 인정한 현대작품도 포함된다. 장르는 정치부터 취미까지 다양하지만, 비교적 문학작품(시대소설, 추리소설등의 오락작품 포함)이 많다. 유명작가의 작품이 모두 갖춰져있진 않지만 그래도 일본어작품에 관련해서는 충실하게 갖춰진 편이다. (번역작품의 경우 번역저작권을 문제로 수가 많지 않다.)
잘 알려지지 않은 작품을 보존, 소개하는 장점도 있다. 작품 텍스트화는 지금도 현재진행형이며 2011년 3월 15일 현재 등록작품수가 1만권이 넘었다.
고전작가인 모리 오가이, 나츠메 소세키, 아쿠타가와 류노스케, 최근의 작가로는 나카지마 아츠시, 다자이 오사무, 하야시 후미코, 미야모토 유리코, 호리 다쓰오, 사카구치 안고, 다카무라 고타로, 나가이 가후, 요시카와 에이지 등 인물의 작품이 있다.
아오조라 문고는 자원봉사로 운영되며 열람 역시 무료이다. 서비스 개시 초반에는 보이저 사에서 서버를 제공하였다. 1998년부터 1999년까지는 토미타가 작업 수칙과 매뉴얼을 만들었다.
자원봉사로 운영되기 때문에 작품의 입력과 교정 역시 자원봉사자가 한다. 입력은 원본을 보면서 타자입력이나 스캐너로 입력하는 방법으로 이뤄진다. 또 작품을 입력하는 '입력자'와 입력된 작품을 교정하는 '교정자'는 별도의 자원봉사자가 담당한다. 따라서 작품이 공개되기 전까지는 작품을 입력한 뒤 교정자가 교정을 예약할 때까지 '교정대기' (校正待ち)가 되고, 작업을 멈추게 된다. 즉, 입력하는 자원봉사자가 작품을 입력해 교정을 맡은 자원봉사자가 교정예약을 해서, 교정작업을 완료하기 전까지는 작품을 공개할 수 없다. 때문에 입력이 완료되어도 작업 상태가 '교정대기' 상태인 작품이 증가하고
있다. 이는 입력에 비해 교정 작업이 부족하기 때문으로, 아오조라 문고 출범 당시부터 안고 있는 문제점이기도 하다. 이 문제에 대해서는 작품의 교정작업을 하지 않고 공개하는 방안과 입력자가 교정한 것도 인정하자는 방안이 제기된 적이 있지만 현재까지도 이 방안은 채택되지 못하고 있다. 대신 2011년 12월 16일 공개분부터는 기부금을 재원으로 삼은 '유상교정' 서비스가 진행되고 있다.
2013년 8월 아오조라 문고의 설립자인 토미타가 사망한 것을 계기로, 아오조라 문고에 지속적인 지원을 해줄 '책의 미래 기금' (本の未来基金)이 설립됐다. 하지만 2015년부터는 엔지니어가 없는 상태로 서버를 강제로 돌리고 있으며, 서버 자체도 노후화되고 있다는 점이 문제되고 있다. 이 때문에 2015년 5월 "'Code for 아오조라 문고' 아이디어 송"이 개최되어 향후 시스템 운용에 대한 의견 교환이 이뤄졌다. 그 이후에는 해당 모임을 바탕으로 시스템 관리와 코드수정 등을 맡는 'aozorahack' 프로젝트가 진행되고 있다.
텍스트 파일을 아오조라 문고에 수록할 때, 텍스트 파일이 갖추어야 할 서식을 '아오조라 문고' 형식이라 부른다.
아오조라 문고 형식은 텍스트 파일로서 많은 환경에서 읽을 수 있도록 규격화되어있다. 때문에 가능한 한 원본의 충실한 재현을 목표로 삼고 있지만, 줄 바꿈이나 삽화 등의 정보는 원칙적으로 포함되지 않는다.
아오조라 문고 형식에 대응하는 텍스트 뷰어와 텍스트 편집기도 존재하며, 올림문자와 방점 등도 재현할 수 있다. 또 이러한 텍스트 뷰어에서는 본래 아오조라 문고 형식에 포함되지 않았던 삽화 정보를 삽입하거나 세로쓰기로 표시할 수 있으며, 텍스트를 읽기 쉽도록 만드는 다양한 기능이 포함되어 있다. 이러한 소프트웨어는 유료와 무료를 불문하고 종류가 다양하다.
=== 올림문자 ===
일본어 표기에 많이 쓰이는 올림문자 (후리가나)는 그대로 올려쓰지 않고 '｜'나 '《》'로 표시한다. 올림문자를 《》 로 묶거나 ｜로 올릴 문자열을 특정하는 방식은 일본 시각장애인 독서지원협회 (BBA)의 원문입력 수칙에 따른 것이다.
이 같은 방식을 예시로 들자면 다음과 같다.
:青空｜文庫《ぶんこ》 
라고 표기했다면 'ぶんこ' (분코)라는 올림표기가 '文庫' 부분에 걸려 있는 것이다. 다만,
:本日は晴天《せいてん》なり。 
처럼 올림표기를 쓸 한자가 가나로 충분히 구분된다면 ｜를 써서 분리할 필요가 없으므로 쓰지 않는다. 또한,
:｜ブルースカイ《青空》 
처럼 가나에 올림표기를 강제로 쓰는 것도 가능하다.
* https://www.aozora.gr.jp/ ; https://web.archive.org/web/20180623141418/https://www.aozora.gr.jp/aozorablog/
분류:전자 도서관
프로젝트 구텐베르크

로고
'''프로젝트 구텐베르크'''(Project Gutenberg,PG)는 인류의 자료를 모아서 전자정보로 저장하고 배포하는 프로젝트로, 1971년 미국인 마이클 하트(Michael Hart)가 시작했다.
인쇄술을 통해 지식의 전달을 급속도로 확장시킨 요하네스 구텐베르크의 이름에서 따온 것으로, 인터넷에 전자화된 문서(e-text)를 저장해 놓고 누구나 무료로 책을 받아 읽을 수 있는 가상 도서관을 만드는 것을 목표로 한다. 수많은 자원봉사자들이 인터넷을 이용해 기여하여 만들어지는 프로젝트로 수많은 고전의 원문이 모여 있다.
2006년 3월 프로젝트 구텐베르크 발표에 따르면, 프로젝트는 18,000개 항목 이상의 전자문서를 보유하고 있으며, 매주 50여개의 새로운 전자책이 새롭게 등록되고 있다고 한다.
프로젝트에 등록된 전자책은 대부분이 서구의 문학작품으로 이루어져 있다. 소설, 시, 단편소설, 드라마 등의 문학작품 외에 요리책, 사전류, 정기간행물이 포함되어 있다. 또한 일부 오디오 파일과 음악 악보 파일도 갖고 있다.
대부분은 영문 서적이지만, 독일어, 프랑스어, 이탈리아어, 에스파냐어, 네덜란드어, 핀란드어, 중국어, 포르투갈어, 라틴어, 스웨덴어, 라틴어, 에스페란토로 된 책도 있으며, 여타 언어 문서도 꾸준히 증가하고 있다.
문서는 주로 아스키 문자 집합, 때때로 ISO-8859-1 문자 집합으로 인코딩된 텍스트문서를 언제나 내려받을 수 있으며, HTML등의 다른 형식의 문서도 받을 수 있다. 편집이 어려운 PDF 등의 문서형식은 프로젝트가 지향하는 바와 맞지 않는 것으로 여겨지지만, PDF형식을 이용할 수 있는 문서도 있다. 최근 수년동안 XML형식을 도입할지에 대한 토론이 있었지만, 토론은 지지부진하다.
1990년대 들어 스캐닝과 OCR기술에 힘입어 마이클 하트는 컴퓨터 제조회사에서 스캐닝장비를 기증받아 문서를 스캐닝한후 OCR소프트웨어로 이를 텍스트화하는 작업을 구축하였다. 이러한 형태의 발전된 프로세스는 현재 주요한 작업기술이다. 한편 PG는 다중원본제공을 지원하며 또한 사용자 제공 콘텐츠 절차를 지원한다. 이는 셀프 출판을 의미한다.
프로젝트 구텐베르크 라이선스(The Project Gutenberg License,PGL)는 아래와 같은 2개의 큰 맥락을 갖는다.
# 구텐베르크 프로젝트에 영구적, 전 세계적, 비 독점, 철회 불가능한 저작권 라이선스를 부여하고, 무제한적인 재배포를 허용함.
# 작품은 플레인 텍스트 또는 HTML버전, 또는 두 가지 버전으로 제공되어야 함.
이러한 프로젝트 구텐베르크 라이선스는 이후 몇몇 추가된 라이선스를 도입했으며 이전의 라이선스와 추가변형된 라이선스는 '프로젝트 구텐베르크'의 공식웹사이트에서 전문을 확인할 수 있다.
* 직지 프로젝트 - 대한민국에서 프로젝트 구텐베르크의 모티브를 얻어 진행되는 프로젝트.
* 아오조라 문고
* 
* 
분류:미국의 도서관
분류:미국의 웹사이트
분류:전자 도서관
분류:책 웹사이트
분류:미디어위키 웹사이트
분류:다언어 웹사이트
분류:오픈 액세스
분류:퍼블릭 도메인
분류:요하네스 구텐베르크
분류:1971년 설립된 단체
분류:교육 프로젝트
귄터 그라스

귄터 그라스
'''귄터 그라스'''(, 1927년 10월 16일 ~ 2015년 4월 13일)는 독일의 소설가이자 극작가다.
독일 단치히 자유시(오늘날 폴란드의 그단스크)에서 식료품 상인이었던 독일계 아버지와 슬라브계 어머니 사이에서 태어났다. 하버드 대학에서 명예박사학위를 받았다. 1999년에 노벨 문학상을 수상하였다.
=== 제2차 세계 대전과 그라스 ===
제2차 세계 대전 당시 독일 제국노동봉사대(RAD)에서 근무하던 중, 1944년에 무장친위대에 입대하여 10 SS기갑사단 프른즈베르크로 발령받아 참전했다. 징집당한 것이라는 얘기도 있으나, 당시 친위대의 독일인 대원들은 징집 대상이 아니라 자원 입대가 기본이었다(국방군 육군은 징병제였다). 종전후 부상당한 채 미군 포로로 잡혀 1946년까지 포로 수용소에 수감되었다. 이런 사실은 그라스 자신이 최근 발간한 자서전에서 인정했다.
=== 전쟁 후의 그라스 ===
전후 1947~48년에는 광산에서 일하며 석공 기술 과정을 마친다. 이어 1948년부터 1952년까지는 뒤셀도르프 미술대학에서 그래픽과 조각을, 1953년부터 1956년까지는 베를린 예술대학에서 조각을 배웠다.
1955년 슈투트가르트 방송국의 서정시 경연대회에 입상하고, 1956~57년에 예술 작품 전시와 별도로 작가 활동을 시작했다. 1958년까지 단문, 시, 희곡 등을 발표한다. 1954년에 결혼을 하고, 1960년부터 계속 베를린에 산다. 1959년에 매우 묘사적인 언어로 나중에 영화화 되기까지 한 《양철북》을 발표했다. 이 작품으로 그는 제2차 세계 대전 후 처음으로 세계 문학계에 이름을 날린 독일 작가가 된다. 이어  에서도 전쟁 전과 전쟁 후에 걸친 시대의 과오와 대결하고 있으며, 무대는 다같이 단치히이다. 이밖의 작품에   등이 있다. 1996년 유럽문화공로상을 받았다.
=== 희곡 ===
그는 소설가로 활약하는 한편, 부조리극적인 소품(小品)인    등을 발표한 바 있는데, 현대정치에도 직접 행동으로 참가하여 동·서 독일의 분열이라는 가장 현실적인 문제에 대담하게 도전한 (1965)을 발표했다. 1953년 동독의 폭동 당시 브레히트를 모델로 하여 예술과 정치의 관련을 추구한 작품으로 이 있다.
=== 주요 작품 ===
* 단치히 삼부작(Danziger Trilogie)
** 《양철북》(''Die Blechtrommel'', 1959년)
** 《고양이와 쥐》(''Katz und Maus'', 1961년)
** 《개들의 시절》(''Hundejahre'', 1963년)
* 《넙치》(''Der Butt'', 1979년)
* 《암쥐》(''Die Rättin'', 1986년)
* 《광야》(''Ein weites Feld'', 1995년)
* 《게 걸음으로 가다》(''Im Krebsgang'', 2002년)
그라스는 전후 독일 사회민주당의 주요 지지자가 되어 외국인 혐오증, 신나치주의 등에 반대하는 사회활동에 적극 참여하였다.
 
분류:1927년 출생
분류:2015년 사망
분류:노벨 문학상 수상자
분류:독일의 소설가
분류:독일의 극작가
분류:무장친위대원
분류:독일의 노벨상 수상자
분류:쿤스트아카데미 뒤셀도르프 동문
분류:독일의 자서전 작가
분류:독일의 회고록 작가
분류:독일의 사회주의자
분류:독일의 로마 가톨릭교도
분류:20세기 시인
분류:21세기 시인
분류:20세기 조각가
분류:독일의 수필가
분류:독일의 조각가
분류:게오르크 뷔히너상 수상자
분류:20세기 수필가
분류:21세기 수필가
데니스 리치

'''데니스 매캘리스터 리치'''(, 1941년 9월 9일~2011년 10월 12일)는 미국의 저명한 컴퓨터과학자이자 현대 컴퓨터과학의 선구자이다. C와 유닉스의 개발자로 알려져 있다.
미국의 뉴욕주 브롱크스빌(Bronxville)에서 태어났으며, 1968년 하버드 대학교에서 응용수학 박사학위를 얻었다. 1968년부터 벨 연구소 컴퓨터 연구 센터에서 일했다. 2007년 루슨트 테크놀로지의 시스템 소프트웨어 연구부장으로 은퇴했다. 홀로 살고 있던 그는 미국 시각으로 2011년 10월 12일 뉴저지주 버클리 헤이츠의 자택에서 사망한 채로 발견되었다 (향년 71세).
켄 톰슨(Ken Thompson) 등과 함께 최초의 유닉스(Unix) 시스템을 개발했고, 1971년 최초의 〈Unix Programmer's Manual〉을 썼다. 또한 C 언어를 개발한 후 브라이언 커니핸과 함께 〈C 프로그래밍 언어〉(The C Programming Language)를 기술했다. 커니핸과 〈C 프로그래밍 언어〉책을 썼기에 커니핸이 C 언어 개발에 참여한 것으로 종종 오해받으나 커니핸의 말에 따르면 자신은 C언어 개발에 참여하지 않았다고 한다.
ALTRAN, B언어, BCPL, Multics 등의 개발에도 영향을 끼친 것으로도 알려져 있다.
1983년에 켄 톰프슨과 "범용 운영체제 이론개발, 특히 유닉스 운영체제의 구현에 대한 공로"로 튜링상을 수상했다.
미국의 경제 전문지 '비즈니스 인사이더'에서는 '현재의 애플 컴퓨터는 거의 모두 데니스 리치의 업적에 기반하고 있다'이라며 그의 업적을 평가했다. 현재 애플 매킨토시의 macOS와 아이폰의 iOS는 모두 유닉스 운영체제를 기반으로 만들어져 있다.
* 〈C 프로그래밍 언어〉 (The C Programming Language) (1978년 브라이언 커니핸과 공저)
* 〈Unix Programmer's Manual〉 (1971년)
* 
분류:1941년 출생
분류:2011년 사망
분류:미국의 컴퓨터 과학자
분류:튜링상 수상자
분류:하버드 대학교 동문
분류:뉴욕주 출신
분류:컴퓨터 선구자
분류:프로그래밍 언어 설계자
분류:유닉스 관계자
분류:서밋 (뉴저지주) 출신
분류:국립 기술혁신 메달 수상자
히라가나

'''히라가나'''(, )는 일본어에서 사용하는 두 가지 가나 가운데 하나다. 가타카나는 주로 외래어 표기 등에 쓰고, 히라가나는 다음과 같은 용도로 쓴다.
* 동사의 활용 어미, 조사, 조동사
* 일본 고유어로서 해당 한자가 없는 단어, 또는 해당하는 한자가 잘 쓰지 않는 어려운 글자일 때.
* 어린이가 사용하는 일본어의 뉘앙스를 보여 주고 싶을 때
히라가나는 여성이 많이 썼다고 한다. 그래서 온나데()라고 불린 적도 있다. 이런 이유로 히라가나는 여자들만 쓰는 글이라 하여 오랫동안 일본 공용 문서에서 가타카나와 한자(칸지)만 사용했다. 현재 일본 철도 역명판에는 히라가나와 칸지가 적혀 있다. 히라가나는 헤이안 시대부터 썼다고 알려져 있다. 일본 유아들도 가나를 배울 때 히라가나를 먼저 배우고 가타카나를 나중에 배우기 때문에 유아용 그림책 등에는 가타카나로 쓴 단어 위에 히라가나를 후리가나로 덧붙이기도 한다. 음절문자다.
한영 자판 상태에서 히라가나를 입력할 경우 ㄸ+한자 키를 누르면 된다. 가타카나는 장음 등 일부 문자를 제외하면 꼭 ㅃ+한자 조합을 해야 한다.
50음도
요음
あ단
い단
う단
え단
お단
ゃ
ゅ
ょ
あ행
'''あ'''a 아
'''い'''i 이
'''う'''u 우
'''え'''e 에
'''お'''o 오|
か행
'''か'''ka 카
'''き'''ki 키
'''く'''ku 쿠
'''け'''ke 케
'''こ'''ko 코
'''きゃ'''kya 캬
'''きゅ'''kyu 큐
'''きょ'''kyo 쿄
さ행
'''さ'''sa 사
'''し'''shi 시
'''す'''su 스
'''せ'''se 세
'''そ'''so 소
'''しゃ'''sha 샤
'''しゅ'''shu 슈
'''しょ'''sho 쇼
た행
'''た'''ta 타
'''ち'''chi 치
'''つ'''tsu 츠
'''て'''te 테
'''と'''to 토
'''ちゃ'''cha 차
'''ちゅ'''chu 추
'''ちょ'''cho 초
な행
'''な'''na 나
'''に'''ni 니
'''ぬ'''nu 누
'''ね'''ne 네
'''の'''no 노
'''にゃ'''nya 냐
'''にゅ'''nyu 뉴
'''にょ'''nyo 뇨
は행
'''は'''ha 하
'''ひ'''hi 히
'''ふ'''fu 후
'''へ'''he 헤
'''ほ'''ho 호
'''ひゃ'''hya 햐
'''ひゅ'''hyu 휴
'''ひょ'''hyo 효
ま행
'''ま'''ma 마
'''み'''mi 미
'''む'''mu 무
'''め'''me 메
'''も'''mo 모
'''みゃ'''mya 먀
'''みゅ'''myu 뮤
'''みょ'''myo 묘
や행
'''や'''ya 야|
'''ゆ'''yu 유|
'''よ'''yo 요|
ら행
'''ら'''ra 라
'''り'''ri 리
'''る'''ru 루
'''れ'''re 레
'''ろ'''ro 로
'''りゃ'''rya 랴
'''りゅ'''ryu 류
'''りょ'''ryo 료
わ행
'''わ'''wa 와
'''ゐ'''wi 이|
'''ゑ'''we 에
'''を'''wo 오|
'''ん'''n -ㄴ|
===탁음===
탁음
요음
あ단
い단
う단
え단
お단
ゃ
ゅ
ょ
が행
'''が'''ga 가
'''ぎ'''gi 기
'''ぐ'''gu 구
'''げ'''ge 게
'''ご'''go 고
'''ぎゃ'''gya 갸
'''ぎゅ'''gyu 규
'''ぎょ'''gyo 교
ざ행
'''ざ'''za 자
'''じ'''ji 지
'''ず'''zu 즈
'''ぜ'''ze 제
'''ぞ'''zo 조
'''じゃ'''ja 자
'''じゅ'''ju 주
'''じょ'''jo 조
だ행
'''だ'''da 다
'''ぢ'''ji 지
'''づ'''zu 즈
'''で'''de 데
'''ど'''do 도
'''ぢゃ'''ja 자
'''ぢゅ'''ju 주
'''ぢょ'''jo 조
ば행
'''ば'''ba 바
'''び'''bi 비
'''ぶ'''bu 부
'''べ'''be 베
'''ぼ'''bo 보
'''びゃ'''bya 뱌
'''びゅ'''byu 뷰
'''びょ'''byo 뵤
===반탁음===
반탁음
요음
あ단
い단
う단
え단
お단
ゃ
ゅ
ょ
ぱ행
'''ぱ'''pa 파
'''ぴ'''pi 피
'''ぷ'''pu 푸
'''ぺ'''pe 페
'''ぽ'''po 포
'''ぴゃ'''pya 퍄
'''ぴゅ'''pyu 퓨
'''ぴょ'''pyo 표
*로마자 표기는 헵번 방식을, 한글 표기는 국립국어원 외래어 표기법의 어중/어말 표기법을 따랐다.
*회색으로 표시한 와 는 현대 일본어에서는 고유명사 등을 제외하면 사용되지 않는다.
*은 한글의 받침 ㅇ, ㅁ, ㄴ 등에 해당한다.
히라가나는 만요가나에서 왔다.
495px
메이지 시대 이전에는 히라가나의 모양이 확실히 정해지지 않고, 여러 형태의 문자가 사용되었다. 메이지 시대의 학제 시행 후에야 위와 같은 자형이 표준화되어 쓰이기 시작했다. 위 이외의 구식 자형은 헨타이가나(変体仮名)라고 부른다.
* 가타카나
* 초서
* 
*  히라가나 듣기 테스트
*  일본어 히라가나 - 50음도
*  히라가나 유니코드 차트
 히라가나
분류:한자파생문자
나라 이름순 수도 목록

*  - 아크라 
*  - 리브르빌
*  - 조지타운
*  - 반줄
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*  - 세인트조지스
*  - 아테네
*  - 코나크리
*  - 비사우
*  - 빈트후크
*  - 야렌
*  - 아부자
*  - 주바
*  - 프리토리아(행정), 블룸폰테인(사법), 케이프타운(입법)
*  - 츠힌발리
*  - 암스테르담(헌법 상), 헤이그(행정)
*  - 카트만두
*  - 오슬로
*  - 도네츠크
*  - 누메아
*  - 웰링턴
*  - 알로피
*  - 니아메
*  - 마나과
*  - 알파시르
*  - 서울특별시(사실상), 세종특별자치시(행정)
*  - 코펜하겐
*  - 도네츠크
*  - 로조
*  - 산토도밍고
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*  - 쿠알라룸푸르, 푸트라자야(행정)
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*  - 모나코
*  - 라바트(입법), 카사블랑카(행정)
*  - 포트루이스
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*  - 마푸투
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*  - 포르토노보
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* - 자카르타(현재), 누산타라(2024년 8월 이전 예정)
*  - 도쿄
*  - 런던
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*  - 도하
*  - 프놈펜
*  - 오타와
*  - 나이로비
*  - 조지타운
*  - 모로니
*  - 프리슈티나
*  - 산호세
*  - 야무수크로
*  - 보고타
*  - 브라자빌
*  - 킨샤사
*  - 아바나
*  - 쿠웨이트시티
*  - 아바루아
*  - 자그레브
*  - 비슈케크
*  - 타라와
*  - 니코시아
*  - 두샨베
*  - 도도마
*  - 방콕
*  - 코번타운
*  - 앙카라
*  - 로메
*  - 누쿠알로파
*  - 아슈하바트
*  - 푸나푸티
*  - 튀니스
*  - 티라스폴
*  - 포트오브스페인
*  - 에든버러오브더세븐시즈
*  - 라싸시
*  - 파나마시티
*  - 아순시온
*  - 이슬라마바드
*  - 포트모르즈비
*  - 응게룰무드
*  - 라말라(사실상) / 예루살렘(주장), 요르단강 서안 지구 / 가자 지구
*  - 리마
*  - 리스본
*  - 스탠리
*  - 바르샤바
*  - 산후안
*  - 파리
*  - 수바
*  - 헬싱키
*  - 마닐라
*  - 애덤스타운
*  - 호놀룰루
*  - 부다페스트
*  - 캔버라
*  - 없음(사실상 홍콩섬 내의 중사이구)
* 수도 이름순 수도 목록
분류:나라 목록
분류:수도 목록
하인리히 뵐

'''하인리히 뵐'''(Heinrich Böll , 쾰른, 1917년 12월 21일 - 랑엔브로이히(Langenbroich) 1985년 7월 16일)은 독일의 남성 소설가다.
1917년 쾰른에서 목공예 가문의 여섯 번째 아들로 태어났다. 전후 가장 먼저 두각을 나타낸 독일작가들 중 하나. 청소년기 나치 하에서 히틀러 유겐트의 유혹을 뿌리치고, 참여하지 않는다. 서점의 견습공으로 있다가, 카이저 빌헬름 김나지움을 졸업하고 1939년 쾰른대학교 독문학과에 입학하나 곧 제2차 세계대전에 징집되었다. 프랑스, 루마니아, 헝가리, 러시아 등지에서 복무한다. 4차례 부상당한 후 1945년 4월 미군에게 포로로 잡혀 2년이 지나 그의 나이 30에 전업작가가 된다. 전후 귀향하여 ‘전쟁에서 본 것’과 전후의 ‘폐허’에 대해서 쓰기 시작했다.
1949년 병사들의 절망적인 삶을 묘사한 『열차는 정확했다』를 시작으로, 참혹한 참전 경험과 전후 독일의 참상을 그린 작품들을 주로 발표했다. 1951년 '47그룹 문학상'을 받으면서 문인으로서의 위치를 다졌고, 1953년에 출간한 『그리고 아무 말도 하지 않았다』로 비평가와 독자들 모두로부터 찬사를 받으며 작가로서의 대성공을 거두었다. 이외에도 사회적으로 엄청난 반향을 일으킨 문제작 『카타리나 블룸의 잃어버린 명예』를 비롯해 『9시 반의 당구』, 『어느 광대의 견해』, 『신변 보호』 등의 작품을 집필했다. 1967년에는 독일 최고 권위의 문학상인 '게오르크 뷔흐너 상'을 수상했다.
1970년대에는 사회 참여가 더욱 적극적이 되었고 이에 따라 독일 사회와의 갈등도 심화되었다. 특히 1969년과 1972년 뵐은 귄터 그라스와 함께 사회민주당으로의 정권교체를 위해 선거 유세에 직접 참여하며 빌리 브란트를 적극 지지했다. 또한 1971년 독일인으로서는 최초로 국제 펜클럽 회장으로 선출되어 세계 곳곳에서 탄압받고 있는 작가와 지식인들의 석방을 위해 노력했다. 1971년에는 성취 지향 사회에 대한 저항을 담은 ≪여인과 군상≫을 발표하고 이듬해 노벨문학상을 수상했다. 1929년의 토마스 만 이후 독일이 이 상을 받은 것은 43년 만이었다. 그의 작품은 30개 이상의 언어로 번역되었고, 그는 아직까지 독일에서 가장 많이 읽히는 작가로 알려져 있다. 문학 작품뿐만 아니라 행동으로도 보다 나은 사회를 위한 활동에 진력했던 뵐은 1985년 동맥경화로 세상을 떠났다.
그의 죽음 이후 독일 녹색당은 그의 저항적 삶을 기리기 위하여 당의 정책 연구소 이름을 '하인리히 뵐 연구소'라고 짓기로 결정하였다.
* ''열차는 정확했다 (Der Zug war pünktlich)'' (1947)
* ''유언(Das Vermächtnis)'' (1948)
* ''방랑자여, 그대 스파르타로 가거든…… (Wanderer, kommst du nach Spa…)'' (1950)
* ''검은 양들 (Die schwarzen Schafe)'' (1951)
* ''아담, 너는 어디 있었는가? (Wo warst du, Adam?)'' (1951)
* ''천사는 말이 없었다 (Der Engel schwieg)'' (1952)
* ''성탄절 시기에는 안 된다 (Nicht zur Weihnachtszeit)'' (1952)
* ''그리고 아무 말도 하지 않았다 (Und sagte kein einziges Wort)'' (1953)
* ''문지기 없는 건물 (Haus ohne Hüter)'' (1954)
* ''어린시절의 빵 (Das Brot der frühen Jahre)'' (1955)
* ''아일랜드의 일기 (Irisches Tagebuch)'' (1957)
* ''흔적 없이 사라진 사람들 (Die Spurlosen)'' (1957)
* ''무르케 박사의 누적된 침묵과 기타 풍자적 이야기들 (Dr. Murke's gesammeltes Schweigen und andere Satire)'' (1958)
* ''9시 반의 당구 (Billard um halb zehn)'' (1959)
* ''한 움큼의 흙 (Ein Schluck Erde)'' (1962)
* ''어느 어릿 광대의 견해 (Ansichten eines Clowns)'' (1963)
* ''군대에서부터의 이탈 (Entfernung von der Truppe)'' (1964)
* ''어떤 공무여행의 끝 (Ende einer Dienstfahrt)'' (1966)
* ''여인과 군상 (Gruppenbild mit Dame)'' (1971)
* ''카타리나 블룸의 잃어버린 명예 (Die verlorene Ehre der Katharina Blum)'' (1974)
* ''사려깊은 포위 (Fürsorgliche Belagerung)'' (1979)
* ''그 소년이 어떻게 될 것인가?：책들과 관계 있는 어떤 것 (Was soll aus dem Jungen bloss werden? Oder: Irgendwas mit Büchern)'' (1981)
* ''지뢰밭 (Vermintes Gelände)'' (1982)
* ''치명적 부상 (Die Verwundung)'' (1983)
* ''강 풍경을 마주보고 있는 여인 (Frauen vor Flusslandschaft)'' 1985 (사후 출간) (1985)
*   하인리히 뵐 재단
*  한국 하인리히 뵐 학회
 
분류:1917년 출생
분류:1985년 사망
분류:독일의 소설가
분류:노벨 문학상 수상자
분류:쾰른 대학교 동문
분류:독일의 노벨상 수상자
분류:쾰른 출신
분류:독일의 로마 가톨릭교도
분류:게오르크 뷔히너상 수상자
분류:국제펜클럽
분류:폐허 문학
방정식

최초의 방정식
'''방정식'''(方程式, )은 미지수가 포함된 식에서 그 미지수에 특정한 값을 주었을 때만 성립하는 등식이다. 의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식을 '''에 관한 방정식'''이라고 한다.
이때, 방정식을 참이 되게 하는(성립하게 하는) 특정 문자의 값을 해 또는 근이라 한다. 방정식의 해는 없을 수도 있고, 여러 개일 수도 있고, 모든 값일 수도 있다. 첫번째의 경우는 불능이라고 하고, 두번째의 경우는 '''방정식''', 마지막 세번째의 경우는 항등식(부정)이라 한다. 
예를 들어
:
은 문자 가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하므로 항등식인 반면,
:
은 방정식이고, 그 해는 와 이다. 또한,
:은 가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하지 못하므로, 이 경우는 방정식 중에서도 불능의 경우이다.
방정식의 방정(方程)은 고대 중국의 산학서인 구장산술의 여덟 번째 장의 제목인 方程에서 유래하였다. 여기서 方은 연립방정식의 계수를 직사각형 모양으로 배열한다는 뜻이고, 程은 이렇게 배열한 계수를 조작하여 해를 구하는 과정을 뜻한다. 이 해법은 약 1500년 뒤에 등장하는 가우스 소거법에 해당한다. 고대 중국의 수학자들은 이 과정에서 음수의 계산도 자유자재로 할 수 있었다.
방정식에서 해를 구하려는 문자, 즉 미지수로는 보통 를 사용한다. 미지수로 알파벳의 뒤쪽 문자 를 사용하는 것은 프랑스의 수학자겸 철학자인 데카르트로부터 비롯되었다.
방정식은 다양한 종류가 존재한다.
=== 무리 방정식 ===
방정식의 항에 무리식(루트)을 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리 방정식이라 한다.
:
:
:
:
:
:
:
:
인수분해하면,
:
:
:
:주의: 무리 방정식에는 무연근이란 것이 있다. 분수방정식에서는 분모를 0으로 만드는 해 , 무리방정식에는 대입해봤을 때 성립하지 않는 근이다. 이 근들은 해집합에서  제외된다. 자세한 내용은 무연근  참조.
그러니, 무리방정식은 해에 대해서 무연근 검사로 마무리검산을 해야하므로,
위의 두 근인 을
원래의 식인 에 대입해보면,
우선 양변으로 놓으면, 
이어서, 일때,
:이므로 방정식이 성립되므로, 무연근이 아니고,
:일때,
:
:
:
:
:은 무연근이다.
따라서,  방정식의 근은 이다.
그러나, 무리방정식은 해에 대해서 무연근 검사로 마무리검산을 해야하므로,
:
:따라서 루트안의 는 보다 커야하므로,
:
: 이므로,
위의 두 근인 는 1보다 작지 않으므로 무연근이다.
* 연립 방정식
연립 방정식은 서로 다른 2개의 미지수가 주어진 방정식들에 모두 적합할 때 이 방정식의 쌍을 의미한다. 연립 방정식도 미지수의 차수에 따라 연립 일차 방정식, 연립 이차 방정식 등으로 나뉜다. 연립 일차 방정식에선 와 같이 한 미지수를 어떠한 값으로 나타내어 이 값을 그 미지수에 대입하는 방법인 대입법과 미지수의 계수를 같게 곱하여 둘을 더하거나 빼서 그 미지수를 없애는 가감법, 그리고 행렬을 이용한 가우스 소거법이 주로 사용된다.
방정식은 과 같이 (미지수)의 값에 따라 등식이 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 한다. 방정식은 중국의 구장산술이라는 산학서에서부터 유래되었다고 한다. 이 방정식에도 원 방정식, 직선의 방정식, 미분 방정식 등 여러가지가 있고, 또, 미지수의 차수에 따라 일차 방정식, 이차 방정식, 삼차 방정식, 고차 방정식... 등으로 나뉜다. 특히 이차 방정식에는 미지수의 값을 구하는 근의 공식이라는 식이 있다. 이차방정식 의 근의 공식은 -b±√b^2-4ac/2a 이고, ax^2+2b'x+c=0(a≠0)의 근의 공식은 -b'±√b'^2-ac/a이다. 삼차 방정식과 사차 방정식은 특수한 경우에 성립하는 근의 공식이 있다. 오차 방정식부턴 근의 공식이 존재하지 않는다. (아벨이 증명) 갈루아  이론을 이용하면 아벨과는 다른  방법으로 증명 이 가능하다.
* 디오판토스 방정식
* 다항식
* 수식
* 항등식
* 부등식
* 연립방정식
* 가우스 소거법
* 소거법
* 근 (수학)
* 무연근
 
분류:초등대수학
삼각함수 항등식

수학에서 '''삼각함수 항등식'''(三角函數恒等式, )은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.
참고로 아래에서 ,  등의 함수는 와 같이 정의된다.
: 
: 
: 
다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.
다음 식은 삼각함수의 주기성을 나타낸다.
: 
: 
다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다.
:
다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.
:
또한, 주기가 같지만, 상(phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다.
:
여기서
:
다음 식들은 삼각함수의 정의와 피타고라스 정리를 이용하면 쉽게 보일 수 있다.
: 
다음의 삼각함수의 덧셈정리를 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다.
:
:
::(좌변에 "+" 기호가 있는 경우, 우변에는 "−" 기호를 사용함. 복부호 동순임)
:
:
:
:
여기서
:
:
=== 두배각 공식 ===
다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식에서 로 놓아도 된다.
: 
: 
: 
: 
: 
=== 세배각 공식 ===
아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다.
: 
: 
: 
=== 네배각 공식 ===
아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다.
: 
: 
: 
=== 다섯배각 공식 ===
: 
: 
: 
=== 여섯배각 공식 ===
:
:
=== n배각 공식 ===
이 번째 체비쇼프 다항식일 때,
:
드무아브르의 공식:
:
디리클레 핵 은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. :
:
디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다.
n차 제곱한 삼각함수를 일차식의 삼각함수 식으로 바꾼다.
=== 이차식 공식 ===
두배각 공식의 코사인 공식을  과 으로 푼다.
: 
: 
: 
: 
=== 삼차식 공식 ===
: 
: 
=== 사차식 공식 ===
: 
: 
=== 오차식 공식 ===
: 
: 
=== 반각 공식 ===
차수 줄이기 이차식 공식에서 에 을 대입하고,  과 으로 푼다.
:
:
:
또한, 는 과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 이 되고, 분모는  이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면  이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다.
:
우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다.
: 
: 
: 
: 
위 식의 를 로, 를  로 바꾼다.
: 
: 
: 
: 
그리고 또 다른 식들로 다음과 같이 있다.
: 
: 
: 
: 
역삼각함수라고도 한다.
 이면
:
만약  이면, 등식 우변이 가 된다.
:
피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다.
:
리처드 파인만은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다.
:
그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. (을 넣고, 를 이용 우변을 정리한다.)
:
다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다.
:
:
21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자.
:
1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)
미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선:
:
과
:
을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다.
(참고 
: 
나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다.
: 
: 
: 
: 
: 
: 
: 
: 
: 
: 
: 
적분식은 적분표를 참고하라.
* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'', New York: Dover Publications, 
분류:미적분학
분류:기하학
분류:삼각법
분류:항등식
곱셈적 함수

수론에서 '''곱셈적 함수'''(-的函數, ) 또는 '''곱산술 함수'''(-算術函數)는 서로소인 두 정수의 곱셈을 보존하는 수론적 함수이다.
함수 가 다음 조건을 만족시키면, '''곱셈적 함수'''라고 한다.
* 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 이다.
함수 가 다음 조건을 만족시키면, '''완전 곱셈적 함수'''(完全-的函數, )라고 한다.
* 임의의 에 대하여, 이다.
(완전) 곱셈적 함수의 정의역은 의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.
=== 연산에 대한 닫힘 ===
곱셈적 함수 에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다.
* 
* 
=== 항등식 ===
곱셈적 함수 에 대하여, 만약 의 소인수 분해가
:
일 경우, 다음이 성립한다.
:
만약 추가로 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.
:
즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 상에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다.
곱셈적 함수 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:
:
:
:
여기서 는 뫼비우스 함수이다.
곱셈적 함수 의 정의역 이 를 만족한다면,
:
이다.
=== 디리클레 합성곱 ===
곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 의 디리클레 합성곱
:
와 디리클레 역원
:
은 곱셈적 함수이다.
곱셈적 함수 에 대하여, 만약 의 소인수 분해가
:
일 경우, 다음이 성립한다.
:
:
만약 추가로 가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.
:
:
다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다.
*  (는 음이 아닌 정수): 거듭제곱 함수
** : 1을 값으로 하는 상수 함수. 거듭제곱의 지수가 인 경우이다.
** : 항등 함수. 거듭제곱의 지수가 인 경우이다.
* : 이 1인지 여부에 따라 1 또는 0을 취한다.
*  (는 소수): 르장드르 기호. 이 에 대한 제곱 잉여일 경우 1을, 제곱 비잉여일 경우 −1을, 의 배수일 경우 0을 취한다.
다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다.
* : 오일러 피 함수. 보다 작고 과 서로소인 양의 정수의 개수
* : 뫼비우스 함수. 이 제곱 인수가 없는 정수일 경우, 의 소인수의 개수의 홀짝성에 따라 ∓1을 취한다. 이 제곱 인수가 없는 정수가 아닐 경우, 0을 취한다.
*  (는 음이 아닌 정수): 약수 함수. 의 모든 양의 약수의 제곱의 합
** : 의 모든 양의 약수의 개수. 약수 함수에서 인 경우이다.
** : 의 모든 양의 약수의 합. 약수 함수에서 인 경우이다.
양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수
:
는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다.
:
즉,
:
이다.
폰 망골트 함수
:
는 이 어떤 소수 의 양의 정수 제곱일 경우 를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다.
:
이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다.
* 
* 
분류:수론적 함수
체비쇼프 다항식

수학에서 '''체비쇼프 다항식'''(Чебышёв多項式, )은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.
(실수 차 일계수 다항식의 집합을 로 적자.)
실수 차 다항식 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 을 차 '''체비쇼프 다항식'''이라고 한다.
* (재귀적 정의) 이며, 이며, 이다.
* (삼각 함수 정의) 항등식 가 성립한다.
* 은 에서 서로 다른 개 실근을 가지며, 에서 절댓값이 서로 같은 개 극값을 갖는다.
* (최소 상한 노름)
드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 가 의 차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 , 우변의 실수부는, 와 의 다항식이다.
=== 직교성 ===
체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 에서 직교한다.
:
즉, 다음이 성립한다.
:
=== 대칭 ===
짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.
:
=== 근 ===
차 체비쇼프 다항식 은 닫힌구간  속에서 개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.
:
=== 분지점 ===
체비쇼프 다항식을 복소수 함수
:
로 여길 때, 의 경우 다음이 성립한다.
* 분지점에서의 값들은 모두  또는 이다.
* 값이 인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.)
* 의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무이다.)
예를 들어,
:
의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 를 가지며, 그 값은  및 이다. 마찬가지로,
:
의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점  및 분지 지표 3의 분지점 를 가지며, 그 값은 각각  및 이다.
이에 따라, 는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은 개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다.
:346px
낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. 
:
파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.
체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 T''n''는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 () 또는 독일어 표기 ()에서 딴 것이다.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
분류:직교 다항식
분류:특수 초기하함수
분류:근사 이론
파이의 날

파일:Pi pie2.jpg|섬네일|200px|오른쪽|파이의 날 기념 파이
'''파이의 날'''()은 원주율을 기념하는 날이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값이 3.14이어서 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다.
3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이면서 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 보통 파이를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율을 소수점 아래의 숫자를 얼마나 많이 외우는지 겨루는 대회가 열린다.
분수 3과 7분의 1을 가분수로 나타내면 7분의 22가 되는데, 이를 무한소수로 나타내면 3.142857...로 π의 근삿값이 되므로  7월 22일을 '''파이 근삿값의 날'''로 부르기도 한다.
* 몰의 날
* 
*   Exploratorium's Pi Day Web Site
*   Pi Day
*   Professor Lesser's Pi Day page
*   Pi Day in France
분류:원주율
분류:비공식 기념일
분류:3월의 기념일
분류:수학과 문화
분류:과학 기념일
사인 법칙

기하학에서 '''사인 법칙'''(-法則, ) 혹은 '''라미의 정리'''는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.
삼각형 의 각 을 마주보는 변을 라고 하자. '''사인 법칙'''에 따르면 다음이 성립한다.
:
여기서 은 삼각형 의 외접원의 반지름이다.
=== 삼각형의 넓이를 통한 증명 ===
사인 법칙의 증명
삼각형 의 변  위의 높이를 라고 하자. 삼각법에 따라 이므로, 삼각형 의 넓이 는 다음과 같다.
:
자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다.
:
양변에 를 나누면 사인 법칙을 얻는다.
:
=== 외접원을 통한 증명 ===
삼각형 의 외접원을 그리자. 를 지나는 지름을 라고 하자. 따라서 는 직각 삼각형이며, 빗변은 이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.
:
만약 가 예각일 경우, 와 는 같은 호의 원주각이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.
:
만약 가 직각일 경우, 와 는 같은 점이므로, 이며 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 가 둔각일 경우, 와 는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.
=== 코사인 법칙을 통한 증명 ===
코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.
:
결과가 에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.
단위 구면 위의 구면 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. '''구면 사인 법칙'''(球面-法則, )에 따르면 다음이 성립한다.
:
=== 순수 기하 증명 ===
구의 중심을 라고 하자. 에서 아무 점 를 취하자. 를 지나는 평면 의 수선을 라고 하자. 를 지나는 직선 의 수선을 각각 라고 하자. 삼수선 정리에 따라 는 각각 와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.
:
:
두 식에서 를 소거하면 다음을 얻는다.
:
남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.
=== 벡터를 통한 증명 ===
구의 중심과 세 꼭짓점 를 잇는 벡터를 각각 라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.
:
:
:
따라서 다음이 성립한다.
:
여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.
:
:
:
=== 구면 코사인 법칙을 통한 증명 ===
제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.
:
가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. '''쌍곡 사인 법칙'''(雙曲-法則, )에 따르면 다음이 성립한다.
:
여기서 는 쌍곡 사인이다.
=== 쌍곡 코사인 법칙을 통한 증명 ===
제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.
:
* 코사인 법칙
* 탄젠트 법칙
* 코탄젠트 법칙
* 
분류:삼각법
분류:각
분류:삼각형에 대한 정리
펜로즈 삼각형

펜로즈 삼각형
'''펜로즈 삼각형'''( 또는 )는 불가능한 물체의 일종이다. 1934년 스웨덴의 화가 오스카르 레우테르스베르드가 처음 쓰기 시작했고, 1950년대에 영국의 수학자 로저 펜로즈가 그와는 독자적으로 고안하여, 널리 알렸다. 그 후에도 펜로즈 삼각형은 마우리츠 코르넬리스 에셔의 판화에서 쓰이기 시작하여, 그의 작품 속에 등장하는 불가능한 물체에 영향을 주었다.
이 삼각형은 단면이 사각형인 입체인 것처럼 보이지만, 2차원 그림으로만 가능하다. 왜냐하면, 삼각형의 각 변을 이루는 평행한 면들은 각 꼭짓점에 이르면, 서로 다른 위치에서 본 직각의 모서리이기 때문이다. 각 변을 이루는 막대는 모두 서로 직각을 이루며, 그럼에도 불구하고 삼각형을 만든다.
이 방법을 일반화 시켜서 펜로즈 다각형으로 확대할 수 있다. 하지만 펜로즈 사각형은 그 시각적 효과가 삼각형만큼 충격적이진 않다.
파일:Penrose square.svg|펜로즈 사각형
파일:Penrose pentagon.svg|펜로즈 오각형
파일:Penrose hexagon.svg|펜로즈 육각형
파일:Penrose octagon.svg|펜로즈 팔각형
펜로즈 삼각형처럼 보이는 입체를 만들 수는 있다. 하지만 이 때에 각 변은 꼬이거나, 끊어져야 한다.
파일:Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 0005.JPG|베를린의 독일 기술 박물관에 설치된 펜로즈 삼각형
파일:Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 0004.JPG|다른 각도에서 본 모습
* 로저 펜로즈
* 착시
분류:착시
분류:위상수학
분류:기하학
분류:불가능한 물체
수론적 함수

정수론에서 '''수론적 함수'''(數論的函數, )는 모든 양의 정수에 대해 정의된 함수이며 복소수 함수값을 가질 수도 있다. 다시 말하면 수론적 함수는 복소수의 수열에 지나지 않는다.
중요한 수론적 함수로 덧셈적 함수와 곱셈적 함수가 있으며, 수론적 함수 사이의 연산으로는 디리클레 합성곱이 중요하다.
곱셈적 함수와 덧셈적 함수에 몇몇 수론적 함수의 예가 수록되어 있다. 아래 예들은 곱셈적이지도, 덧셈적이지도 않은 함수들이다.
* ''c''4(''n'') - ''n''을 음수가 아닌 정수로 표현하는 방법의 가지수. 덧셈의 순서도 구분한다. 예를 들어 다음과 같다.
::1 = 12+02+02+02 = 02+12+02+02 = 02+02+12+02 = 02+02+02+12,
:그러므로 ''c''4(1)=4.
* ''P''(''n''), 분할수 - ''n''을 양의 정수의 합으로 나타내는 방법의 수. 여기선 덧셈의 순서를 구분하지 않음. 예를 들어, ''P''(2 · 5) = ''P''(10) = 42 그리고 ''P''(2)''P''(5) = 2 · 7 = 14 ≠ 42 따 라서 곱셈적 함수가 아님.
* π (''n''), 소수 계량 함수 - 주어진 ''n''과 같거나 작은 소수의 개수. π(1) = 0 그리고 π(10) = 4 (10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7).
* ''a''0(''n'') - ''n''을 나누는 소수의 합. 또한 sopfr(''n'')('''S'''um '''o'''f the '''p'''rime '''f'''actors with '''r'''epetition)라고도 불림. ''a''0(20) = ''a''0(22 · 5) = 2 + 2+ 5 = 9. 
* ''a''1(''n'') - ''n''의 서로 다른 소인수의 합. sopf(''n'')라고도 불림. ''a''1(1) = 0, ''a''1(20) = 2 + 5 = 7.* 폰 망골트 함수* 
*
물리 상수

'''물리 상수'''(物理常數, )는 물리학에 나오는 값이 변하지 않는 물리량을 말한다. 물리 상수는 실제적인 물리적 측정과는 관계없이 고정된 값을 갖는 수학 상수와 대비되어, 대부분 그 값이 실험을 통한 측정을 통해 얻어진다.
물리 상수들 중에 특히 유명한 것으로는 플랑크 상수, 중력 상수, 아보가드로 상수 등이 있다.
물리 상수는 여러 가지 양을 의미한다. 플랑크 길이는 자연의 기본적인 거리, 광속은 가능한 최고 속력, 미세 구조 상수는 차원이 없는 양으로 전자와 광자 사이의 상호작용의 정도를 각각 의미한다.
유효자리는 '''굵게''' 표시했다.
 양
 기호
 값
 출처
 진공에서의 광속
 ''c''
 '''299 792 458''' m·s-1 (정의)
 a
 진공의 투자율 (磁 透過性, magnetic permeability)
 μ0
 '''1.256 637 062''' 12(19) × 10-6 N A-2
 a
 진공의 유전율 (誘電率, permittivity)
 ε0 = 1/(μ0c2)
 '''8.854 187 81'''28(13) ... × 10-12 F·m-1
 a
 진공의 온저항 (阻抗, impedance)
 ''Z''0 = μ0c
 '''376.730 313 6'''68(57) Ω
 a
 중력상수
 G
 '''6.674''' 30(15) × 10-11 m3·kg-1·s-2
?
 플랑크 상수
 ''h''
 '''6.626 070 15''' × 10-34 J·s (정의)
 a
 디랙 상수 (Dirac's constant)
  = ''h'' / (2π)
 '''1.054 571 817'''... × 10-34 J·s
 a
 플랑크 질량
 ''m''p = ( / ''G'')1/2
 '''2.17'''67(16) × 10-8 kg
 a
 플랑크 길이
 ''l''p= (''G'' / ''c''3)1/2
 '''1.61'''60(12) × 10-35 m
 a
 플랑크 시간
 ''t''p = (''G'' / ''c''5)1/2
 '''5.3'''906(40) × 10-44 s
 a
 기본 전하
 ''e''
 '''1.602 176 634''' × 10-19 C (정의)
 a
 전자의 불변 질량
 ''m''''e''
 '''9.109 383 70'''15(28) × 10-31 kg
 a
 양성자의 불변 질량
 ''m''''p''
 '''1.672 621 923''' 69(51) × 10-27 kg
 a
 중성자의 불변 질량
 ''m''''n''
 '''1.674 927 498''' 04(95) × 10-27 kg
 a
 원자 질량 상수
 ''m''''u'' = 1 u
 '''1.660 539 066''' 60(50) × 10-27 kg
 a
 아보가드로 상수
 ''L'', ''N''''A''
 '''6.022 140 76''' × 1023 mol-1 (정의)
 a
 볼츠만 상수
 ''k''
 '''1.380 649''' × 10-23 J·K-1 (정의)
 a
 패러데이 상수
 ''F''
 '''96 485.332 12'''... C·mol-1
 a
 기체 상수
 ''R''
 '''8.314 462 618'''... J·K-1·mol-1
 a
 섭씨 영점
 '''273.15''' K (정의)
?
 이상 기체의 몰부피, ''p'' = 1 bar, θ = 00C
 '''22.710''' 981(40) L·mol-1
 a
 표준 기압 (標準 氣壓, standard atmosphere)
 atm
 '''101 325''' Pa (정의)
 a
 미세 구조 상수
 α = μ0''e''2''c'' / (2''h'')
 '''7.297 352 56'''93(11) × 10-3
 a
 α-1
 '''137.035 999 0'''84(21)
 a
 보어 반지름
 ''a''0
 '''5.291 772 109''' 03(80) × 10-11 m
 a
 하트리 에너지
 ''E''h
 '''4.359 744 722 20'''71(85) × 10-18 J
 a
 뤼드베리 상수
 ''R''∞
 '''10 973 731.568''' 160(21) m-1
 a
 보어 자기자(Bohr magneton)
 μB
 '''9.274 010 07'''83(28) × 10-24 J·T-1
 a
 전자의 자기 모멘트 (electron magnetic moment)
 μe
 '''-9.284 763''' 62(37) × 10-24 J·T-1
 a
 자유 전자 상수
 ''g''e
 −'''2.002 319 304 362''' 56(35)
?
 핵 자기자(nuclear magneton)
 μN
 '''5.050 783 74'''61(15) × 10-27 J·T-1
?
 양성자 자기 모멘트 (proton magnetic moment)
 μp
 '''1.410 60'''7 61(47) × 10-26 J·T-1
?
 양성자의 자기회전비
 γp
 '''2.675 22'''1 28(81) × 108 s-1·T-1
?
 H20에서의 자기 극자 모멘트, μ'p
 μ'p / μB
 '''1.520 993 1'''29(17) × 10-3
?
 H20에서의 양성자 자기 공명 주파수
 γ'p / (2π)
 '''42.576 3'''75 (13) M·Hz·T-1
?
 슈테판-볼츠만 상수
 σ
 '''5.670 374 419'''... × 10-8 W·m-2·K-4
 a
 제1 복사 상수
 c1
 '''3.741 771 852'''... × 10-16 W·m2
?
 제2 복사 상수
 c2
 '''1.438 776 877'''... × 10-2 m·K
?
 표준 중력 가속도 (지구에서)
 ''g''n
 '''9.80665''' m·s-2 (정의)
?
aPeter J. Mohr and Barry N. Taylor, "CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 1998," ''Journal of Physical and Chemical Reference Data,'' Vol. 28, No. 6, 1999 and ''Reviews of Modern Physics,'' Vol. 72, No. 2, 2000. 
 
분류:과학 법칙
분류:측정
분류:경험적 법칙
정규 분포

확률론과 통계학에서 '''정규 분포'''(正規 分布, ) 또는 '''가우스 분포'''(Gauß 分布, )는 연속 확률 분포의 하나이다. 정규분포는 수집된 자료의 분포를 근사하는 데에 자주 사용되며, 이것은 중심극한정리에 의하여 독립적인 확률변수들의 평균은 정규분포에 가까워지는 성질이 있기 때문이다.
정규분포는 2개의 매개 변수 평균 과 표준편차 에 대해 모양이 결정되고, 이때의 분포를 로 표기한다. 특히, 평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포 을 '''표준 정규 분포'''(standard normal distribution)라고 한다.
정규분포는 아브라암 드무아브르가 1733년 쓴 글에서 특정 이항 분포의 이 클 때 그 분포의 근사치를 계산하는 것과 관련하여 처음 소개되었고 이 글은 그의 저서 《우연의 교의》(The Doctrine of Chances) 2판(1738년)에 다시 실렸다. 피에르시몽 라플라스는 그의 저서 《확률론의 해석이론》(Théorie analytique des probabilités)(1812년)에서 이 결과를 확장하였고 이는 오늘날 드무아브르-라플라스의 정리로 알려져있다.
라플라스는 실험 오차를 분석하면서 정규분포를 사용했다. 1805년에는 아드리앵마리 르장드르가 매우 중요한 방법인 최소제곱법을 도입했다. 카를 프리드리히 가우스는 이 방법을 1794년부터 사용해왔다고 주장했는데 1809년에는 실험 오차가 정규분포를 따른다는 가정하에 최소제곱법을 이론적으로 엄밀히 정당화했다.
* 정규분포에서는 기댓값, 최빈값, 중앙값이 모두 이다. 정규분포의 기댓값은 다음과 같이 계산할 수 있다.
:
위에서 첫 번째 적분은 홀함수의 적분으로 0이고 두 번째 적분은 가우스 적분으로 적분값이 로 잘 알려져 있다. 따라서 기댓값은 다.
* 정규분포는 절대근사한다.
* 정규분포는 평균과 표준편차가 주어져 있을 때 엔트로피를 최대화하는 분포이다.
* 정규분포곡선은 좌우 대칭이며 하나의 꼭지를 가진다.
* 정규분포는 중앙치에 사례 수가 모여있고, 양극단으로 갈수록 X축에 무한히 접근하지만 X축에 닿지는 않는다.
정규 분포 밀도 함수에서 를 통해 X(원점수)를 Z(Z점수)로 정규화함으로써 평균이 0, 표준편차가 1인 표준정규분포를 얻을 수 있다.
z-분포라고도 부른다. z-분포로 하는 검정(test)을 z검정(z-test)이라고 한다.
에서 k값이 변화함에 따라 구해지는 값을 '''불확실성'''(uncertainty)이라고 한다. 예를 들어 를 90% 불확실성, 는 95% 불확실성, 은 99% 불확실성이다. 특히, 를 50% 불확실성이라고 하며, '''확률오차'''(probable error)라고도 한다. 이는 관측값이 전체 관측값의 50%에 있을 확률을 의미한다.
* 가우스 함수
* 표본 크기
* F 분포
* 표준정규분포표
* 
* (구글북스, Pierre Simon marquis de Laplace, Théorie analytique des probabilités 1812)https://books.google.co.kr/books?id=nQwAAAAAMAAJ&printsec=frontcover&hl=ko&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false
* (구글북스,The Doctrine of Chances , 1st edition ,Abraham de Moivre 1718)https://books.google.com/books?id=3EPac6QpbuMC
* 
* 
* 
 
분류:연속분포
공각기동대

right
'''공각기동대'''(攻殻機動隊, Ghost in the Shell)는 시로 마사무네의 원작 만화로부터 파생된 포스트사이버펑크 작품군을 가리킨다. 극장판 영화, 텔레비전 애니메이션, 소설, 비디오 게임 등 다양한 매체로 만들어졌다.
=== 만화 ===
* 공각기동대: 최초의 작품.
* 공각기동대 1.5 Human Error Processor: 셋째 만화.
* 공각기동대 2 ManMachine Interface: 둘째 만화. 속편.
=== 애니메이션 영화 ===
* 공각기동대: 시로 마사무네의 만화를 바탕으로 1995년에 만들어진 영화.
* 이노센스: 2004년에 만들어진 영화.
* 공각기동대 ARISE
* 공각기동대 신극장판
=== 애니메이션 시리즈 ===
* 공각기동대 Stand Alone Complex (SAC): 첫 TV 시리즈.
* 공각기동대 S.A.C. 2nd GIG: SAC의 둘째 시즌.
* 공각기동대 S.A.C. Solid State Society: SAC의 셋째 작품. TV 시리즈가 아닌 OVA 한 편으로 제작되었다.
* 공각기동대 ARISE ALTERNATIVE ARCHITECTURE: ARISE를 TV 시리즈 형식으로 재편집한 것.
* 공각기동대: SAC 2045
=== 실사 영화 ===
* 공각기동대: 고스트 인 더 쉘
*  공각기동대 - 미만부
 
분류:미디어 프랜차이즈 
분류:포스트사이버펑크
뫼비우스 반전 공식

수론에서의 '''뫼비우스 반전 공식'''(Möbius inversion formula)은 19세기 수학자 아우구스트 페르디난트 뫼비우스의 이름을 딴 공식이다.
''g''(''n'') 과 ''f''(''n'')이 수론적 함수(arithmetic function)이며 1보다 큰 모든 에 대해 다음이 성립한다고 하자.
: 
이 때, 1보다 큰 모든 에 대해 다음이 성립한다.
:
여기서 는 뫼비우스 함수(Möbius function)이고, 덧셈은 ''n''의 양의 약수 ''d'' 전체에 대해 이루어진다.
수론적 함수 는 의 누적으로 이루어지는데, 역으로 를 통해 를 꺼내는 공식이므로 '''반전''' 공식이라 불린다.
''f''와 ''g''가 자연수에서 어떤 아벨 군으로의 함수일 때에도 공식은 성립한다.
디리클레 합성곱(Dirichlet convolution)을 사용하여 공식을 써 보면 다음과 같다.
:
여기서 * 는 디리클레 합성곱이고, 1은 모든 에 대해 항상 1인 수론적 함수이다. 이 경우,
:
가 성립한다. 즉, 뫼비우스 함수는 모든 함수값이 1인 수론적 함수의 역원이기 때문이다. 당연하게도
:
이 성립한다. 여기서 은 일 때만 1이고 나머지는 모두 0인 수론적 함수이다.
다양한 수론적 함수의 계산의 예는 Apostol의 책을 참조하면 좋다.
조합론(combinatorics)에서 자주 쓰이는 동치의 진술은 다음과 같다.
''F''(''x'')와 ''G''(''x'')가 구간 1,∞)에서 복소수로의 함수이고, 1보다 크거나 같은 모든 에 대해
: 
을 만족하면, 1보다 크거나 같은 모든 에 대해
: 
이 성립한다.
여기서 합은 ''x''보다 작거나 같은 모든 양의 정수 ''n''에 대해서 이루어진다.
분류:수론적 함수
분류:열거조합론
분류:수론 정리
분류:수학 정리
푸리에 급수

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수학에서 '''푸리에 급수'''(Fourier級數, )는 주기 함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 급수다. 대부분의 경우, 급수의 계수는 본래 함수와 일대일로 대응한다.
함수의 푸리에 계수는 본래 함수보다 다루기 쉽기 때문에 유용하게 쓰인다. 푸리에 급수는 전자 공학, 진동 해석, 음향학, 광학, 신호 처리와 영상 처리, 데이터 압축 등에 쓰인다. 천문학에서는 분광기를 통해 별빛의 진동수를 분해하여 별을 이루는 화학 물질을 알아내는 데 쓰이고, 통신 공학에서는 전송해야 하는 데이터 신호의 스펙트럼을 이용하여 통신 시스템 설계를 최적화하는 데 쓰인다.
프랑스의 과학자이자 수학자인 조제프 푸리에가 열 방정식을 풀기 위하여 도입하였다.
푸리에 급수는 주기함수를 기본적인 조화함수인 삼각함수 또는 복소 지수 함수의 급수로 나타낸 것이다. 주기함수 가 의 주기를 가진다고 하자. 즉,
:
라고 하자. 또한, 가 모든 유한 구간()에서 제곱적분 가능하다고 하자. 즉, 임의의 에 대하여,
:
가 유한한 값으로 존재한다고 하자. 그렇다면 의 '''푸리에 계수'''() 을 다음과 같이 정의한다.
:
그렇다면 다음이 성립한다. 임의의 에 대하여, 다음 식이 성립하지 않는 의 집합은 르베그 측도 0을 가진다.
:.
만약 가 연속미분가능 () 함수라면 (즉, 의 도함수가 존재하고 연속적인 경우) 의 푸리에 급수는 모든 에서 로 수렴한다.
* 
* 
** 재판: 
** 영역 (역자 Alexander Freeman): 
* 
* 
* Felix Klein, ''Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert'', Springer, Berlin, 1928.
** 영역: ''Development of mathematics in the 19th century''. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. (역자 M. Ackerman)
* 
* 
* 푸리에 변환
* 조화 해석학
* 장 밥티스트 조제프 푸리에
* 
* 
* 
* 
 
분류:푸리에 해석학
분류:급수
분류:디지털 신호 처리
가수

가수들
'''가수'''(歌手, )는 목소리를 이용해서 음악을 만들고 부르는 사람을 말한다. 고전음악이나 오페라에서 목소리는 악기와 동일한 용법으로 사용되었다.
가수의 급여와 근무 조건은 다양하다. 음악 교육 합창단 지휘자와 같은 다른 음악 분야의 직업은 정규직, 급여 직위를 기반으로 하는 경향이 있는 반면, 노래하는 직업은 개별 쇼나 공연 또는 일련의 쇼에 대한 계약을 기반으로 하는 경향이 있다. 
가수는 음악적 능력, 목소리, 사람들과 함께 일하는 능력, 쇼맨십과 드라마 감각을 갖추어야 한다. 전문 가수는 자신의 기술을 연마하고 범위를 확장하며 새로운 스타일을 배우기 위해 계속해서 보컬 코칭을 찾는다. 또한 가수 지망생은 노래를 해석하는 데 사용되는 성악 기술에 대한 전문적인 기술을 습득하고, 자신이 선택한 음악 스타일의 성악 문학에 대해 배우고, 합창 음악 기술, 시창 및 노래 암기, 성악 연습 기술을 익혀야 한다.
일부 가수는 작곡, 음악 제작 및 작곡과 같은 다른 음악 직업을 배운다. 일부 가수는 유튜브와 스트리밍 앱에 동영상을 올린다. 가수들은 음악 감독 앞에서 오디션을 통해 보컬 재능을 가진 구매자들에게 자신을 홍보한다. 개인이 훈련받은 성악 스타일에 따라 그들이 찾는 재능 구매자는 음반사, A&R 대표, 음악 감독, 합창단 지휘자, 나이트클럽 매니저 또는 콘서트 프로모터일 수 있다. 보컬 공연을 발췌한 CD나 DVD를 사용하여 가수의 실력을 보여준다. 일부 가수는 에이전트나 매니저를 고용하여 유급 계약 및 기타 공연 기회를 찾는 데 도움을 준다. 에이전트나 매니저는 가수가 무대에서 공연하면서 받는 수수료의 일부를 받아 급여를 받는 경우가 있다.
* 가수 목록
감마 함수

실수축 위에서 감마 함수의 그래프
수학에서 '''감마 함수'''(Γ函數, )는 계승 함수의 해석적 연속이다.
감마 함수의 기호는 감마(Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다.
양의 정수 n에 대하여 이 성립한다.
파일:Complex gamma.jpg|섬네일|300px|오른쪽|복소평면에서의 감마 함수
감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 동치임을 보일 수 있다.
=== 오일러 적분 ===
감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 '''오일러 적분'''이라고 한다.
:
오일러 적분은 상반평면  인 영역에서 절대수렴한다. 여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 '''감마 함수'''라 부른다.
=== 가우스 극한 ===
:
이 정의는 오일러의 이름을 따 '''오일러 극한 형태'''라고도 불리기도 한다.
=== 바이어슈트라스 무한곱 ===
:
여기서 는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 '''바이어슈트라스 무한곱 형태'''라고도 불리기도 한다.
=== 계승의 일반화에서 주의점 ===
만약 감마함수를 자연수 에 대해
:
을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어
:
또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 가 양의 실수축상에서 볼록함수이다.
감마 함수는 정의역에서 정칙 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.
:
=== 특이점 ===
파일:Gamma abs.png|섬네일|300px|감마 함수의 절댓값을 나타낸 그림. 양이 아닌 정수에서 극점을 갖는 것을 볼 수 있다.
감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수 에서 단순극을 가진다. 단순극 에서 유수의 값은 이다.
감마 함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 는 전해석 함수이다.
=== 함수 방정식 ===
감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다.
:
:
두 번째 공식은 '''오일러 반사 공식'''()이라고 불린다.
;곱의 정리
:
특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다.
:
=== 미분과 적분 ===
감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 로 주어진다.
:
특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다.
:
일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다.
:
감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다.
:
=== 특별한 값 ===
반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 ''n''에 대하여,
:
:
이 공식들은 로부터 수학적 귀납법으로 유도할 수 있다.
몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다.
:
: 가우스 상수
감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.
=== 초구의 부피 ===
반지름이 인 차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다.
:
=== 감마분포 ===
감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 는 다음과 같다.
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여기서 는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다.
큐-감마 함수는 감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.
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: 구간 예약
:
:
:
:
: 큐-포흐하머 기호
::::
* 불완전 감마 함수
* 베타 함수
* 가우스 적분
* 가우스 상수
* 블로흐 상수
* 란다우 상수
* 
* 
* 
* 
* 
분류:특수 함수
분류:유리형 함수
분류:특수 초기하함수
분류:감마 함수 및 관련 함수
광자

'''광자'''(光子, photon) 또는 '''빛알'''은 기본입자의 일종으로, 가시광선을 포함한 모든 전자기파를 구성하는 양자이자 전자기력의 매개입자이다. 기호는 그리스 문자 이다. 전자기력의 효과는 미시적, 거시적인 수준에서 쉽게 관찰할 수 있는데, 광자가 질량을 가지지 않기 때문에 장거리에서의 상호작용이 가능하다. 다른 기본입자들과 같이 광자는 양자역학과 입자-파동 이중성 이론을 통해 가장 잘 설명된다. 하나의 현상임에도 파동과 양자라는 두 가지 관측 가능한 모습을 가진 광자의 진짜 성질은 어떤 역학적 모델로도 설명할 수 없다. 이러한 빛의 이중성의 묘사, 전자기파에서의 에너지의 위상을 파악하는 것 또한 불가능하다. 전자기파의 양자의 위치는 공간적으로 국한되지 않기 때문이다.
광자 한 개의 에너지는 플랑크 상수()에 빛의 진동수()를 곱한 값, 즉  이고, 운동량은 (는 광속)이다.
아이작 뉴턴은 빛이 입자로 이뤄져 있다고 주장하였다. 그러나 고전적인 입자론은 빛의 파동적인 성질, 특히 간섭을 설명하지 못한다. 따라서 18세기에 와서는 이중 슬릿 실험을 설명할 수 있는 토머스 영의 파동설이 우세하였고, 제임스 맥스웰의 고전전자기학의 완성으로 파동설은 정설로 인정되었다. 그러나 20세기 초에 와서 고전적인 파동설로 설명할 수 없는 현상이 발견되기 시작하였다. 자외선 파탄이 그중 한 예인데, 이에 따르면 열적 평형에 있고 유한한 온도를 가진 고전적 흑체는 무한한 양의 전자기파를 방출하여야 한다. 이 문제를 해결하기 위해, 막스 플랑크는 전자기파가 양자화되었다는 가설을 도입하였다 (1901). 그러나 그는 실제로 빛이 입자로 구성되었다기보다는, 어떤 알 수 없는 현상에 의해 파동의 에너지가 양자화되었다고 해석하였다. 알베르트 아인슈타인은 힐베르트의 가설에서 시작하여, 빛이 실제로 입자로 구성되었다고 가정하면서 광전효과를 설명할 수 있다는 사실을 보였다 (1905). 이후 양자역학의 발전과 양자전기역학의 도입으로, 빛이 양자화되었다는 사실을 이론적으로 설명할 수 있게 되었다.
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빨간색의 광자에너지는 
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아보가드로 상수는
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이다. 따라서 단위물질량당 광자에너지는
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*  네이버 캐스트 - 광자는 홍길동
*  네이버 캐스트 - 빛의 이중성
분류:광학
분류:보손
분류:광자학
분류:물리학 개념
분류:게이지 보손
분류:기본 입자
분류:스핀이 1인 아원자 입자
보손

섬네일
'''보손'''()는 스핀이 정수고, 보스-아인슈타인 통계를 따르는 매개 입자다. 인도의 물리학자 사티엔드라 나트 보스의 이름을 땄다. 페르미온의 반대말이다. 모든 입자는 스핀이 정수이거나 반정수이다. 스핀-통계 법칙에 따라 (유령입자나 애니온 따위의 예외적 경우를 제외하고) 전자(前者)의 경우는 보스-아인슈타인 통계를 따르고, 후자는 페르미-디랙 통계를 따른다. 전자를 '''보손''', 후자를 "페르미온"이라고 부른다. 보손은 보스-아인슈타인 통계를 따르므로, 파울리 배타 원리를 따르지 않는다. 즉, 여러 입자가 동일한 상태에 있을 수 있다.
예를 들면, 광자는 스핀이 1인 보손이다. 따라서, 들어온 빛을 완전히 흡수하는 흑체가 복사하는 전자기파의 파장 분포는 보스 통계를 따른다. 또 응집물질물리에 나오는 준입자 포논도 보스 통계를 따른다.
=== 기본 보손 ===
현재 알려진 기본 입자 가운데 보손은 다음과 같다.
* 게이지 보손은 양-밀스 이론에 등장하는 스핀 1의 입자이다. 이들은 게이지 상호작용을 매개시킨다.
** 광자는 전자기파의 양자이다. 질량과 전하가 0이다.
** 글루온은 강한 핵력의 양자이다. 색가둠에 따라 독립적으로 존재하지 않고, 쿼크와 함께 강입자를 이루거나 아니면 글루볼로 존재한다. 다만 아직 글루볼은 실험적으로 관측되지 못하고 있다.
** W와 Z보손은 약한 핵력을 매개하는 게이지 보손이다. 힉스 메커니즘에 따라 이들은 매우 큰 질량을 가지며, 따라서 약한 핵력은 단거리에서만 작용한다.
* 힉스 보손은 힉스 메커니즘을 매개하는 스핀 0의 입자이다. 이는 최근에 발견되었다.
* 중력자는 중력자의 양자이며, 중력을 매개하는 스핀 2의 입자이다. 다만, 실험에서는 중력자의 존재는 중력파로 인한 효과로 간접적으로만 확인되었다.
초대칭이나 각종 대통일 이론 등, 표준 모형을 확장하는 모형들은 대부분 추가 보손을 예측하나, 이들은 아직 발견되지 않았다.
=== 합성 보손 ===
짝수개의 페르미온으로 구성된 합성 보손이 구성될 수 있다. 예를 들어, 중간자는 쿼크와 반쿼크로 구성된 합성 보손이다. 이 밖에도, 보손들로도 합성 보손이 구성될 수 있다.
=== 스핀 ===
양자장론의 스핀-통계 정리에 따라, 로런츠 대칭이 깨지지 않는 이상 모든 보손은 항상 정수의 스핀을 갖는다. 즉, 가능한 스핀은 0, 1, 2, … 따위다. 기본 보손의 경우, 와인버그-위튼 정리에 따라 보통 0, 1, 2만이 가능하다고 여겨지며, 스핀 2인 입자는 중력자, 스핀 1인 입자는 '''벡터 보손''', 스핀 0인 입자는 '''스칼라 보손'''으로 불린다.
=== 통계역학 ===
페르미온과 달리, 보손은 파울리 배타 원리를 따르지 않는다. 즉, 한 양자 상태에 임의의 수의 보손이 존재할 수 있다. 따라서 보손은 낮은 온도에서 보스-아인슈타인 응축 등의 특이한 성질을 보인다.
 
분류:물리학 개념
분류:양자장론
분류:원자물리학
분류:통계역학