결정학적 점군

수학과 결정학에서 '''결정학적 점군'''(結晶學的點群, ) 또는 '''결정급'''(結晶級, )이란 그 회전 변환이 60도, 90도, 120도, 또는 180도로 제한된 점군이다. 즉, 오직 특정 각의 회전 변환만을 포함하고, 원점을 보존하는 유클리드 공간의 등거리변환군의 유한 부분군이다. 결정학에서는 (준결정을 제외한) 결정 구조의 국소적인 대칭을 나타낸다. (국소적이지 않은 대칭은 공간군에 따라 분류한다.) 무기화학에서는 분자의 대칭을 나타낸다.
일반적인 점군은 그 개수가 무한하다. 그러나 준결정이 아닌 결정 구조에서는 '''결정학적 제한 정리'''()에 따라 점군이 포함할 수 있는 회전 변환이 제한된다.  라디안 회전의 경우, 오직 만이 가능하다. 이 조건을 만족하는 점군의 개수는 유한하며, 이들을 '''결정학적 점군'''이라고 한다. (다만, 준결정에서는   회전 대칭이 가능하다.)
흔히 쓰이는 점군의 표기법에는 크게 두 가지가 있다. 하나는 '''쇤플리스 표기법'''()이고, 다른 하나는 '''헤르만-모갱 표기법'''()이다. 이 밖에도 '''콕세터 표기법'''()이나 '''오비폴드 표기법'''() 등이 있다.
=== 쇤플리스 표기법 ===
'''쇤플리스 표기법'''()은 독일의 아르투어 모리츠 쇤플리스()가 도입하였다. 보통 화학에서 쓰인다. 쇤플리스 표기법은 아래에 문자나 숫자가 기입된 하나의 문자로 표현한다. 각 기호의 의미는 다음과 같다.
* O는 정육면체 또는 정팔면체의 대칭군이다. ( 정팔면체) 반사 대칭을 포함할 경우에는 Oh로, 포함하지 않는 경우에는 O로 쓴다.
* T는 정사면체의 대칭군이다. ( 정사면체) 모든 반사 대칭을 포함할 경우에는 Td로, 모든 반사 대칭을 포함하지는 않지만 반전() 대칭을 포함하는 경우는 Th로, 그 어떤 반사 및 반전 대칭도 포함하지 않는 경우에는 T로 쓴다.
* C''n'' ()은 순환군이다. ( 순환군) 첨자 은  라디안 회전 변환을 포함함을 뜻한다. 여기에 회전축에 수직인 반사 대칭을 포함하는 경우에는 C''n''h로, 회전축에 평행한 반사 대칭을 포함하는 경우에는 C''n''v로, 어떤 반사 대칭도 포함하지 않는 경우에는 C''n''으로 쓴다.
** C1은 아무 대칭을 포함하지 않는 자명군이다.
** C1h와 C1v는 같은 군이며, 하나의 반사 대칭만을 포함하는, 크기가 2인 군이다. 이 군은 간혹 Cs로 쓰기도 한다.
* S''n'' ()은  라디안 회전반사 대칭에 의하여 생성되는 순환군이다. ( 거울) 즉,  라디안 회전과 회전축에 대하여 수직인 반사면에 대한 반사 대칭의 합성에 의하여 생성된다.
** S2는 반전 대칭(= 180도 회전반사 대칭)만을 포함하는, 크기가 2인 군이다. 이는 간혹 Ci로 쓰기도 한다.
** S6은 60도 회전반사 대칭만을 포함하는, 크기가 6인 군이다. 이는 간혹 C3i로 쓰기도 한다.
* D''n'' ()은  라디안 회전 대칭을 포함하는 정이면체군이다. ( 정이면체군) 여기에 회전축에 수직한 반사 대칭을 포함하는 경우는 D''n''h로, 회전축에 평행한 반사 대칭을 포함하는 경우는 D''n''v로, 반사 대칭을 포함하지 않는 경우는 D''n''로 쓴다. 다만, D4d와 D6d는 불가능하다.
** D2는 클라인 4원군이며, 간혹 V로 쓰기도 한다. ( 4원군)
=== 헤르만-모갱 표기법 ===
'''헤르만-모갱 표기법'''()은 공간군의 표기법이지만, 점군의 표기에도 사용할 수 있다. 헤르만-모갱 표기법은 독일의 카를 헤르만()과 프랑스의 샤를빅토르 모갱()이 도입하였다. 헤르만-모갱 표기법은 보통 결정학에서 쓰인다.
이 표기법에 따른 각 점군의 표현은 각각
* 1, 1
* 2, m, 2⁄m
* 222, mm2, mmm
* 4,4, 4⁄m, 422, 4mm, 42m, 4⁄mmm
* 3, 3, 32, 3m, 3m
* 6, 6, 6⁄m, 622, 6mm, 62m, 6⁄mmm
* 23, m3, 432, 43m, m3m
이다.
3차원에서는 총 32개의 결정학적 점군이 존재한다. 이들은 다음과 같다.
 결정계
 점군 / 결정족
 쇤플리스
 헤르만-모갱
 오비폴드
 유형
 삼사정계
 triclinic-pedial
 C1
 1
 11
 enantiomorphic polar
 triclinic-pinacoidal
 Ci
 
 1x
 centrosymmetric
 단사정계
 monoclinic-sphenoidal
 C2
 2
 22
 enantiomorphic polar
 monoclinic-domatic
 Cs
 1*
 polar
 monoclinic-prismatic
 C2h
 
 2*
 centrosymmetric
 사방정계
 orthorhombic-sphenoidal
 D2
 222
 222
 enantiomorphic
 orthorhombic-pyramidal
 C2v
 
 *22
 polar
 orthorhombic-bipyramidal
 D2h
 
 *222
 centrosymmetric
 정방정계
 tetragonal-pyramidal
 C4
 4
 44
 enantiomorphic polar
 tetragonal-disphenoidial
 S4
 
 2x
 
 tetragonal-dipyramidal
 C4h
 
 4*
 centrosymmetric
 tetragonal-trapezoidal
 D4
 422
 422
 enantiomorphic
 ditetragonal-pyramidal
 C4v
 
 *44
 polar
 tetragonal-scalenoidal
 D2d
  or 
 2*2
 
 ditetragonal-dipyramidal
 D4h
 
 *422
 centrosymmetric
 삼방정계
 trigonal-pyramidal
 C3
 3
 33
 enantiomorphic polar
 rhombohedral
 S6 (C3i)
 
 3x
 centrosymmetric
 trigonal-trapezoidal
 D3
 32 or 321 or 312
 322
 enantiomorphic
 ditrigonal-pyramidal
 C3v
  or  or 
 *33
 polar
 ditrigonal-scalahedral
 D3d
  or  or 
 2*3
 centrosymmetric
 육방정계
 hexagonal-pyramidal
 C6
 6
 66
 enantiomorphic polar
 trigonal-dipyramidal
 C3h
 
 3*
 
 hexagonal-dipyramidal
 C6h
 
 6*
 centrosymmetric
 hexagonal-trapezoidal
 D6
 622
 622
 enantiomorphic
 dihexagonal-pyramidal
 C6v
 
 *66
 polar
 ditrigonal-dipyramidal
 D3h
  or 
 *322
 
 dihexagonal-dipyramidal
 D6h
 
 *622
 centrosymmetric
 입방정계
 tetartoidal
 T
 23
 332
 enantiomorphic
 diploidal
 Th
 
 3*2
 centrosymmetric
 gyroidal
 O
 432
 432
 enantiomorphic
 tetrahedral
 Td
 
 *332
 
 hexoctahedral
 Oh
 
 *432
 centrosymmetric
* 
* 결정계
* 공간군
* 점군
분류:결정학
분류:이산 군