순서쌍

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수학에서 '''순서쌍'''(順序雙, )이란 두 개의 수학적 대상을 순서를 정하여 짝지어 나타낸 쌍이다. 두 대상 ''a'', ''b''로부터 순서를 생각하여 만든 쌍을 흔히 (''a'', ''b'')로 적는다. 이는 ''a''와 ''b''가 같지 않는 한, (''b'', ''a'')와 다른 순서쌍이다.
순서쌍은 '''2-튜플''', 또는 '''두짝'''()이라고도 불린다. 순서쌍 (''a'', ''b'')에서의 ''a'', ''b''를 각각 '''첫 번째, 두 번째 성분'''()이라고 한다. 때로는 '''첫 번째, 두 번째 좌표'''()라고도 한다.
두 순서쌍이 같을 필요충분조건은, 두 순서쌍의 첫째와 둘째 성분이 각각 같은 것이다. 집합론에서는 이 성질을 구현하기 위해 (''a'', ''b'') := 와 같은 정의를 자주 사용한다.
순서쌍의 성분은 스칼라이거나(2 차원 벡터), 다른 순서쌍일 수 있다. 이로써, 순서쌍을 이용해 순서있는 n-튜플을 귀납적으로 정의하는 것이 가능하다. 예를 들어, 순서쌍 (''a'', ''b'', ''c'')는 (''a'', (''b'', ''c''))로 정의할 수 있다.
곱집합, 함수를 비롯한 이항관계와 같은 수학 개념은 순서쌍을 이용하여 정의되었다.
순서쌍의 가장 기본적인 성질은, 두 순서쌍이 같을 필요충분조건이 두 성분이 각각 같은 것이라는 것이다. 즉,
:
이러한 성질을 순서쌍을 정의내리는 데에 사용할 수 있다.
첫 번째 성분을 집합 , 두 번째 성분을 집합 에서 취한 모든 순서쌍의 집합을 곱집합이라고 하고 로 표기한다. 집합 와  사이의 관계는 의 부분집합이다.
순서쌍의 통상적인 표기법은  꼴이지만, 개구간 등의 표기와 혼동하지 않기 위해 로 나타내기도 한다.
순서쌍의 위 성질은 순서쌍의 본질을 보여주고 있다. 이 본질적인 성질을 공리로 두어 순서쌍을 무정의 용어로 취급할 수 있다. 이는 니콜라 부르바키 단체의 1954년 출간된 《집합론》에서 사용된 처리법이다. 1970년 출간된 2 판에서 쿠라토프스키의 정의가 추가되었다.
수학기초론의 일원인 공리적 집합론에서는 모든 개념을 집합으로서 정의한다. 순서쌍의 집합론적 정의의 예로는 다음의 것들이 있다.
=== 위너의 정의 ===
순서쌍의 최초 집합론적 정의는 1914년 노버트 위너에 의해 제안되었다.
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그에 의하면 이러한 정의는 《수학 원리》의 모든 유형을 집합으로 정의될 수 있게 한다. (《수학 원리》의 관계를 비롯한 유형들은 본래 모두 정의내리지 않는 원시 개념이다.)
그는 정의와 유형 이론이 양립하게 하기 위해(즉, 집합의 원소가 모두 같은 유형이어야 한다), 가 아닌 를 사용하였다, 이렇게 하면 는 와 같은 유형이 된다.
=== 하우스도르프의 정의 ===
위너와 비슷한 시기에(1914), 펠릭스 하우스도르프는 다른 정의를 제안하였다.
:
여기서 1, 2(1 ≠ 2)는 ''a'', ''b''와 다른 대상이다.
=== 쿠라토프스키의 정의 ===
오늘날에 쓰이는 정의는 카지미에시 쿠라토프스키가 1912년에 제시하였다.
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이 정의는 두 성분이 같은 경우에 쓰여도 무방하다.
:
임의의 순서쌍 의 첫 번째 성분은 다음 조건들의 동치성에 의해 추출할 수 있다.
* 는 순서쌍 의 첫 번째 성분이다.
* 
* 
비슷한 결론이 두 번째 성분에 대해서도 존재한다.
* 는 순서쌍 의 두 번째 성분이다.
* 
* 
==== 변형 정의 ====
위 정의는 순서쌍의 기본 성질을 반영하기에 충분하다, 즉 . 순서성을 반영하는 데에도 충분하다, 즉 . 아래의 비슷한 정의들도 순서쌍을 구성하기에 충분하다.
* 
* 
* 
reverse 정의는 쿠라토프스키의 정의의 자명한 변형이며, 따로 논할 가치가 없다. short 정의는 괄호를 두 쌍만 사용한다는 점에서 이름을 땄다. short 정의는 몇가지 결점을 가진다. 첫째, 기본 성질을 만족함을 증명하기 위해 체르멜로-프렝켈 집합론의 정칙성 공리를 사용해야 한다. 둘째, 자연수의 폰 노이만 정의를 채용했을 때, 와 같은 부자연스러운 결과를 낳는다. 셋째, short 순서쌍의 원소는 항상 유형이 다르다. 그러나 short 정의에서의 순서쌍은 모두 2를 기수로 한다는 점, 또 미자르 시스템의 기초인 타르스키-그로텐디크 집합론에서 사용된다는 점에 주의할 필요 있다.
==== 기본 성질 성립 증명 ====
다음은  성질의 증명이다.
* 쿠라토프스키
*# 먼저, 이면,
*#: 
*# 또한
*#: 
*# 그리고
*#: 
* reverse 정의도 위와 비슷하게 기본 성질을 만족한다는 것을 보일 수 있다.
* short 정의. 아래에서  표기를 한 과정은 정칙성 공리를 사용하였다.
*# 
*# 순서쌍의 같음 ⇒ ''a'' = ''c''
*#: 
*# 순서쌍의 같음 ⇒ ''b'' = ''d''
*#: 
=== 콰인-로서의 정의 ===
1953년 로서는 콰인의 정의를 확장하였다. 로서-콰인 정의는 자연수의 선결적 정의를 필요로 한다. 을 자연수의 집합으로 두고, 을 에 속하지 않는 의 원소들의 집합이라고 하자. 먼저 함수 를 정의한다.
:
이 변환은  안의 모든 자연수를 1 증가시킨다. 또한 는 0을 포함하지 않는다. 그러므로 모든 집합 , 에 대해 다음이 성립한다.
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이제 순서쌍 를 정의한다.
:
이렇게 정의된 순서쌍에서도 첫째, 둘째 성분을 추출할 수 있다. 첫째 성분 는 순서쌍의 원소 중, 0을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들에  변환을 벗겨서 이루어진 집합이다. 둘째 성분 는 순서쌍의 원소 중, 0을 원소로 포함하는 모든 집합들에 적당한 변환을 가하여 이루어진 집합이다. 아래는 이의 공식화이다.
:
:
유형 이론과 그의 갈래(새기초 집합론 등)에서, 콰인-로서 순서쌍은 두 성분과 유형이 같다. 그렇기에 이 정의는 (일정 조건을 만족하는 순서쌍들로 이루어진 집합으로 정의된) 함수가 변수보다 유형이 1 만큼만 크다는 장점이 있다. 이 정의는 자연수 집합이 무한할 때만 의미가 있다. NF는 그러하지만, 유형 이론이나 NFU는 그렇지 않다. 로서는 이러한 두 성분과 유형이 같은 순서쌍의 존재성으로부터 무한 공리를 유추할 수 있음을 증명하였다.
=== 모스의 정의 ===
모스-켈리 집합론에서는 고유 모임을 자유로이 사용할 수 있다. 모스의 정의는 순서쌍의 성분이 고유 모임일 수도 있게끔한다. 이는 쿠라토프스키 정의에서 허용되지 않는다. 그는 우선 집합을 성분으로 하는 순서쌍을 쿠라토프스키의 방식으로 정의한 뒤, 순서쌍을 다음과 같이 재정의하였다.
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여기서의 곱집합은 쿠라토프스키 순서쌍의 집합이고,
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이다.
이는 고유 모임을 성분으로 하는 순서쌍을 허용케 한다. 이는 위의 콰인-로서 정의도 마찬가지이다. 이와 비슷하게 세짝()을 다음과 같이 정의할 수 있다.
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한원소 집합으로 이루어진 집합 의 사용하여 정의한 튜플은 일종의 유일성을 부여받는다. 즉, 임의의 ''n''-튜플 ''a''와 ''m''-튜플 ''b''에 대해, 만약 ''a'' = ''b'' 이면, ''n'' = ''m''이다. 이는 순서쌍을 이용해 재귀적으로 정의한 튜플에게는 없는 성질이다, (''a'', ''b'', ''c'') = (''a'', (''b'', ''c''))는 2-튜플이기도, 3-튜플이기도 하다.
* 튜플
* 곱집합
* 이항관계
* 함수
분류:집합론의 기본 개념
분류:순서론
분류:유형 이론
분류:2