벨 수

파일:Set partitions 5; circles.svg|섬네일|right|5개의 원소의 집합의 분할. 총 52가지가 있으며, 따라서 이다.
파일:Set_partitions_4;_list.svg|섬네일|right|4개의 원소의 집합의 분할. 총 15가지가 있으며, 따라서 이다.
조합론에서 '''벨 수'''(Bell數, )는 주어진 크기의 집합의 분할의 수를 세는 정수열이다. 12정도의 해 가운데 하나이며, 또한 푸아송 분포의 모멘트이다.
''n''번째 '''벨 수'''() ''B''''n''은 n개의 원소들로 구성된 집합을 분할하는 방법의 가지수이다. 이는 ''n''개의 원소들 사이의 동치 관계의 수로 생각할 수 있으며, 또 행의 시에서 가능한 각운 패턴의 수로도 여길 수 있다.
제2종 스털링 수 는 개의 원소들로 구성된 집합을 개의 조각으로 분할하는 방법의 수이다. 따라서 벨 수는 제2종 스털링 수의 합이다.
:
=== 투샤르 다항식 ===
'''투샤르 다항식'''() 또는 벨 다항식()은 다음과 같은 다항식열이다.
:
이는 음계산법을 써 다음과 같이 표기할 수 있다. 하강 포흐하머 기호는 이항형 다항식열을 이루므로, 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자.
:
:
여기서 은 하강 포흐하머 기호이다. 이 범함수의 역범함수
:
:
를 생각하면,
:
가 된다.
벨 수는 투샤르 다항식의 인 값이다.
:
투샤르 다항식은 이항형 다항식열이다. 이에 대응하는 델타 작용소는 의 역함수인
:
이다.
벨 수열의 값은 다음과 같다. (''B''0 = ''B''1 = 1부터 시작한다.) 
:1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, …
투샤르 다항식열의 값은 다음과 같다.
:
:
:
:
:
:
:
=== 점화식 ===
투샤르 다항식과 벨 수는 다음과 같은 점화식을 만족시킨다.
:
:
이는 음계산법으로 표기하면 다음과 같다.
:
=== 도빈스키 공식 ===
다음 공식은 '''도빈스키 공식'''()라고 불린다.
:
이에 따라, 번째 벨 수는 기댓값이 1인 푸아송 분포
:
의 번째 모멘트이다.
이는 음계산법으로 다음과 같이 유도할 수 있다. 우선
:
이다. 따라서,
:
이므로,
:
이다. 즉,
:
가 된다.
=== 생성 함수 ===
투샤르 다항식 및 벨 수는 다음과 같은 지수 생성 함수를 갖는다.
:
:
이는 음계산법을 사용하여 쉽게 유도할 수 있다.  하강 포흐하머 기호의 델타 작용소는 전방 유한 차분
:
이며, 따라서
:
이다. 즉,
:
이다. 그런데
:
이므로
:
이다. 따라서
:
이다.
=== 적분 표현 ===
지수 생성 함수에 코시 적분 정리를 사용하여, 투샤르 다항식과 벨 수를 다음과 같이 선적분으로 나타낼 수 있다.
: 
: 
여기서 는 원점을 시계 반대 방향으로 한 번 도는 임의의 폐곡선이다.
파일:Set partitions 5; Genji symbols.svg|섬네일|52개의 겐지몬. 원래 겐지몬은 채색되어 있지 않으며, 색깔은 대응하는 집합의 분할을 구체적으로 보이기 위해 첨가하였다.
파일:Illustration Genji Monogatari Musée Saint-Remi 928 4.jpg|섬네일|right|19세기 《겐지모노가타리》 삽화. 왼쪽 상단에 6장 〈스에쓰무하나〉()에 대응하는 겐지몬이 표시돼 있다.
벨 수는 중세 일본 수학에서 최초로 등장한다. 《겐지모노가타리》에서의 한 일화로부터 겐지코()라는 놀이가 등장했는데, 이 놀이에서는 5개의 향 가운데 어떤 것들이 같은 냄새의 향인지 구별하는 것이 목표이다. 가능한 해의 수는 벨 수에 따라 총 가지다. 이 52가지의 벨 수는 겐지몬()이라는 문양으로 나타내어져, 겐지모노가타리의 54개의 장의 각 표지에 표시되었다. (이 가운데 54장 〈유메 노 우키하시〉()에는 벨 수와 관계없는 겐지몬이 붙어 있으며, 35장 〈와카나 노 게〉() 와 42장 〈니오노미야〉()의 겐지몬은 모양이 다르지만 같은 집합의 분할에 대응한다.)
 번호 
 제목 
 집합의 분할
 1 
 기리쓰보 
 13, 2, 45
 2 
 하하키기 
 1, 2, 3, 4, 5
 3 
 우쓰세미 
 1, 2, 3, 45
 4 
 유가오 
 1, 2, 34, 5
 5 
 와카무라사키 
 1, 23, 45
 6 
 스에쓰무하나 
 1234, 5
 7 
 모미지 노 가 
 1, 235, 4
 8 
 하나 노 엔 
 1, 2, 35, 4
 9 
 아오이 
 12, 3, 4, 5
 10 
 사사키 
 123, 45
 11 
 하나 치루 사토 
 1, 24, 35
 12 
 스마 
 134, 25
 13 
 아카시 
 1, 23, 4, 5
 14 
 미오쓰쿠시 
 1, 245, 3
 15 
 요모규 
 123, 4, 5
 16 
 세키야 
 1, 234, 5
 17 
 에아와세 
 13, 25, 4
 18 
 마쓰카제 
 12, 34, 5
 19 
 우스구모 
 1, 2345
 20 
 아사가오 
 134, 2, 5
 21 
 오토메 
 13, 2, 4, 5
 22 
 다마카즈라 
 12, 345
 23 
 하쓰네 
 13, 24, 5
 24 
 고초 
 14, 235
 25 
 호타루 
 124, 3, 5
 26 
 도코나쓰 
 1, 2, 345
 27 
 가가리비 
 1, 24, 3, 5
 28 
 노와키 
 12, 3, 45
 29 
 미유키 
 13, 245
 30 
 후지바카마 
  14, 2, 3, 5
 31 
 마키바시라 
 15, 24, 3
 32 
 우메가에 
 1235, 4
 33 
 후지 노 우라바 
 1, 25, 34
 34 
 와카나 노 조 
 125, 34
 35 
 와카나 노 게 
 124, 35 (분할은 42와 같지만, 겐지몬이 다름)
 36 
 가시와기 
 135, 2, 4
 37 
 요코부에 
 145, 2, 3
 38 
 스즈무시 
 15, 2, 34
 39 
 유기리 
 14, 2, 35
 40 
 미노리 
 14, 25, 3
 41 
 마보로시 
 15, 2, 3, 4
 42 
 니오노미야 
 124, 35 (분할은 35와 같지만, 겐지몬이 다름)
 43 
 고바이 
 1, 25, 3, 4
 44 
 다케가와 
 15, 234
45 
 하시히메 
 1345, 2
 46 
 시가모토 
 14, 23, 5
 47 
 아게마키 
 145, 23
 48 
 사와라비 
 12, 35, 4
 49 
 야도리기 
 1245, 3
 50 
 아즈마야 
 125, 3, 4
 51 
 우키후네 
 15, 23, 4
 52 
 가게로 
 135, 24
 53 
 데나라이 
 12345
 54 
 유메 노 우키하시 
 (물결 모양, 집합 분할과 관계없음)
1877년에 폴란드의 구스타브 도빈스키()가 오늘날 도빈스키 공식이라고 불리는, 벨 수에 대한 공식을 발표하였다. 벨 삼각형은 찰스 샌더스 퍼스가 1880년에, 알렉산더 에잇컨()이 1933년에 거론하였다.
스리니바사 라마누잔은 노트 2권 3장에서 투샤르 다항식과 벨 수에 대하여 연구하였으나, 출판하지 않았다.
에릭 템플 벨()은 이 수들에 대하여 1934년부터 다루기 시작하였다. 벨은 원래 이 수들을 "지수적 수"()라고 불렀으나, 이후 벨을 기려 "벨 수"라고 불리게 되었다. 자크 투샤르()는 투샤르 다항식을 1939년에 도입하였다.
* 집합의 분할
* 스털링 수
* 12정도
* 포흐하머 기호
* 음계산법
* 베르누이 수
* 
* 
* 
* 
* 
분류:조합론
분류:정수열