측지선

'''측지선'''(測地線, ) 또는 '''지름길'''이란 직선의 개념을 굽은 공간으로 일반화한 것이다.
로비어 공간 (X,d)과 닫힌구간 가 주어졌다고 하자.
만약 함수
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에 대하여, 다음 조건이 성립하게 하는 상수 가 존재한다면, 를 '''(대역적) 측지선'''((大域的)測地線, )이라고 한다.
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이는 항상 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 물론 이다. 를 측지선 의 '''속력'''(速力, )이라고 한다.
만약 닫힌구간  위에 정의된 함수
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가 다음 조건을 만족시킨다면, '''국소 측지선'''(局所測地線, )이라고 한다.
:임의의 에 대하여, 제한 가 대역적 측지선이 되는 닫힌 근방 가 존재한다.
사실 가 콤팩트 공간이므로, 위 조건은 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수  및 양의 실수 의 존재와 동치이다.
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이 역시 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 역시 이다.
로비어 공간 에 대하여, 다음 조건들을 정의하자.
* 만약 임의의 두 에 대하여, 이자 인 대역적 측지선 \gamma\colona,b\to X가 존재한다면, (X,d)를 '''측지선 로비어 공간'''(測地線Lawvere空間, )이라고 한다.
* 만약 임의의 두 에 대하여, 이자 인 대역적 측지선 가 유일하게 존재한다면, 를 '''유일 측지선 로비어 공간'''(唯一測地線Lawvere空間, )이라고 한다.
모든 측지선 로비어 공간은 길이 로비어 공간이다.
=== 다양체의 측지선 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 매끄러운 다양체 
*  위의 아핀 접속 
* 실수 닫힌구간 
이 경우,  위의 '''에너지 측지선'''은 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 곡선
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이다. 우선, 의 상을 포함하는 임의의 열린집합  위에, 다음 조건을 만족시키는 임의의 벡터장을 고르자.
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그렇다면, 는 다음 조건을 만족시켜야 하며, 이를 '''측지선 방정식'''(測地線方程式, )이라고 한다.
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측지선 방정식은 대략 접벡터가 측지선을 따라 이동할 때 평행을 유지한다는 것을 의미한다.
이 조건이 성립하는지 여부는 사실 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 사실, 위 조건은 국소 좌표계로 적으면 다음과 같다.
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여기서 는 의 크리스토펠 기호이다.
=== 기초적 성질 ===
임의의 로비어 공간  및 임의의 양의 실수 가 주어졌을 때, (X,Cd) 역시 로비어 공간을 이룬다. 이 경우, 의 (국소) 측지선은 다음과 같다.
* 임의의 함수 에 대하여, 가 측지선인 것은 , 가 측지선인 것과 동치이다.
* 임의의 함수 에 대하여, 가 국소 측지선인 것은 , 가 국소 측지선인 것과 동치이다.
마찬가지로, 반대 로비어 공간 X^{\operatorname{op}}=(X,d^{\operatorname{op}}) 위의 측지선은 다음과 같다.
* 임의의 함수 에 대하여, 일 때, 가 측지선인 것은 , 가 측지선인 것과 동치이다.
* 임의의 함수 에 대하여, 일 때, 가 국소 측지선인 것은 , 가 국소 측지선인 것과 동치이다.
임의의 매끄러운 다양체 및 아핀 접속 에 대하여, 그 위의 에너지 측지선은 매개 변수의 아핀 변환에 의존하지 않는다.
=== 위상수학적 성질 ===
임의 확장 유사 거리 공간(즉, 대칭 계량을 갖는 로비어 공간)에서, (상수 에 대하여 성립하는) 측지선은 항상 (같은 상수 v에 대한) 립시츠 연속 함수이며, 특히 균등 연속 함수이자 연속 함수이다.
일반적 로비어 공간의 경우 측지선이 (열린 공 위상에서) 연속 함수일 필요는 없다. 그러나 닫힌구간  위에 다음과 같은 기저를 갖는 조르겐프라이 위상
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을 부여할 때, 측지선 는 의 열린 공 위상에 대하여 연속 함수이다. (조르겐프라이 위상은 표준적 위상보다 더 섬세한 위상이다.)
=== 길이 공간 ===
길이 로비어 공간 의 경우, 함수 가 속력 1의 측지선이 될 필요 충분 조건은 가 두 점 a, 를 잇는 최단의 거리를 갖는 곡선인 것이다.
=== 리만 다양체 ===
준 리만 다양체  위의 매끄러운 함수
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에 대하여, 다음과 같은 두 범함수를 정의할 수 있다.
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이 둘은 에 대한 작용을 이루며, 이 둘에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 정의할 수 있다. 는 곡선의 길이이며, 는 단위 질량의 입자의 (비(非)상대론적) 운동 에너지이다. 길이 범함수는 매개 변수의 변환에 대하여 불변이지만, 에너지 범함수의 경우 그렇지 않다.
임의의 준 리만 다양체에서, 에너지 범함수 의 오일러-라그랑주 방정식은 측지선 방정식과 같다.
'''유도:'''
편의상 아인슈타인 표기법을 사용하자.
에너지 범함수는 다음과 같은 라그랑지언의 적분이다.
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일반화 운동량은 다음과 같다.
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마찬가지로, 일반화 힘은 다음과 같다.
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따라서 오일러-라그랑주 방정식은 다음에 , , 를 대입하여 얻는다.
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즉, 다음과 같다.
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즉, 이를 재정리하면 다음과 같다.
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리만 다양체 는 매끄러운 다양체이며, 또한 항상 길이 로비어 공간을 이룬다. 이에 따라, 측지선의 개념과 다양체 측지선의 개념을 동시에 적용할 수 있다. 리만 다양체 위의 에너지 측지선
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의 경우, 가 국소 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수 가 존재한다. 반대로, 매끄러운 국소 측지선 의 경우, 가 에너지 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수 이 존재한다.
임의의 로비어 공간 또는 매끄러운 다양체  위의 상수 곡선
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는 자명하게 측지선을 이룬다.
=== 이산 공간과 비이산 공간 ===
임의의 기수 에 대하여, 크기 의 집합  위에 유사 거리 함수
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를 부여하자. (이는 이산 공간에 해당한다.) 이 경우, 측지선은 상수 곡선 밖에 없다.
크기 의 집합  위에 로비어 공간 구조
:
를 주자. (이는 비이산 공간에 해당한다.) 이 경우, 임의의 곡선
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은 측지선이다.
=== 노름 공간 ===
노름 공간 가 주어졌다고 하자. 만약 거리 함수
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를 부여하였을 때, 이는 유일 측지선 공간이며, 임의의 서로 다른 두 벡터  사이의 측지선은 다음과 같은 꼴의 선분이다.
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특히, 유클리드 공간의 거리는 위와 같이 노름으로 주어지므로, 유클리드 공간의 측지선은 선분이다.
유클리드 공간을 리만 다양체로 여겼을 때, (직교좌표계에서) 크리스토펠 기호가 0이다.
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따라서 측지선 방정식은 단순히 가속도가 0인 것이 된다.
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=== 초구 ===
구면 위의, 세 개의 측지선을 ‘변’으로 하는 ‘삼각형’
초구 위의 측지선은 '''대원'''이라고 한다.
=== 직선 위의 리만 계량 ===
실수선  위에 다음과 같은 리만 계량을 주자.
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:
그렇다면, 이 경우 크리스토펠 기호는 다음과 같다.
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측지선 방정식은 다음과 같다.
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이는 2차 상미분 방정식이다. 이는 위치 및 속도 의존 힘
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의 영향을 받는 입자의 운동이다.
예를 들어, 크리스토펠 기호가 상수인 경우, 즉
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인 경우, 이 방정식은
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이며, 그 해는
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이다.
‘측지선’이라는 용어는 지구상의 두 점 사이의 최단 경로(대원의 일부) 따위를 연구하는 측지학에서 온 것이다. 한국어의 경우, 대한수학회 용어집에서는 "측지선", 한국물리학회 용어집에서는 "지름길"을 쓴다.
일반 상대성 이론에서, 시공간은 준 리만 다양체를 이룬다. 이 경우, 시험 입자((에너지와 운동량이 매우 작아, 시공간에 거의 영향을 끼치지 않는 입자)는 시공간의 측지선을 따라 움직인다.
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분류:물리학 개념
분류:미분기하학
분류:계량기하학