마방진

3×3 마방진
'''마방진'''(魔方陣, ) 또는 '''방진'''(方陣)은 n2개의 수를 가로, 세로, 두 대각선 방향의 수를 더하면 모두 마법 상수가 나오도록 n × n 행렬에 배열한 것이다. 마법진(魔法陣) 중 하나이다. 일반적인 마방진(pure/normal magic square)의 각 칸에는 1부터 n2까지의 수가 모두 들어간다. 마방진은 n이 2일 때를 제외하고 항상 존재한다.
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최초의 마방진으로 여겨지는 낙서
중국 하나라의 우 임금 시절 (약 4000년 전) 우왕은 매년 범람하는 황하의 물길을 정비할 때 이상한 그림이 새겨진 거북의 등 껍데기를 발견했다. 1부터 9까지의 숫자가 배열된 3차 마방진이었고, 가로, 세로, 대각선의 어느 방향으로 더해도 그 합(마방진 합)이 15였다. 이를 낙서라고 한다.
=== 마법 상수 ===
마방진에서 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합은 같은데, 그 값을 마법 상수라고 한다. 1부터 n2까지의 수가 한 개씩 들어가는 '일반적인'(normal) 마방진에서 모든 수의 합은 1부터 n2까지의 자연수 합으로 삼각수 이다. n개의 가로·세로줄이 있으니 마법 상수는 이를 n으로 나눈 것과 같다.
:
=== 자명한 1차 마방진 ===
1차 마방진(1×1 마방진)은 수가 '1' 한 개밖에 없다. 따라서 자명하다.
=== 불가능한 2차 마방진 ===
일반적인 마방진은 2차 마방진 외에는 모두 가능하다.
다음과 같은 2차 마방진이 있다고 하면, 
 +  =  +  이고,
 =  로 두 수가 중복된다.
파일:4x4_magic_square_hierarchy.svg|섬네일|upright|4×4 마방진의 종류를 벤 다이어그램으로 표시한 것이다. 같은 색으로 표시된 부분에서 합이 마법 상수로 같다.
n×n 마방진은 어떤 수들의 합이 마법 상수로 같은지에 따라 다음과 같이 분류될 수 있다.
*'''준마방진'''(semi-magic square)은 가로줄과 세로줄만의 합이 마법 상수로 같다.
*'''단순 마방진'''(simple magic square)은 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합이 마법 상수로 같다. '''일반적인 마방진'''(ordinary magic square) 또는 '''평범한 마방진'''(normal magic square)이라고도 불리고, 일반적으로 마방진은 단순 마방진을 말한다.
*'''범마방진'''(汎魔方陣, pandiagonal magic square) 또는 범대각선 마방진(汎對角線 魔方陣)은 범대각선(깨진 대각선)의 합도 마법 상수로 같은 마방진을 말한다.
*'''가장 완벽한 마방진'''(most-perfect magic squrare)은 두 조건을 만족하는 범마방진이다.
몇천 년 동안, 마방진을 만드는 다양한 방법이 발견되었다.
=== 홀수 차수의 마방진 ===
홀수 차수의 마방진을 만드는 방법은 프랑스 외교관 '시몬 드 라 루베르'(Simon de la Loubère)가 그의 저서 《시암 왕국의 역사적 관계(Du Royaume de Siam, 1693)》의 〈원주민들에 따른 마방진 문제(The problem of the magical square according to the Indians)〉에 나와 있다. 그 방법은 다음과 같다.
첫 번째 행의 가운데 칸에 1을 넣는다. 그 다음 자연수를 대각선 방향으로 오른쪽 위 칸에 넣는 것을 모든 칸이 채워질 때까지 반복한다. 이때 해당하는 칸이 마방진의 위쪽으로 벗어난 경우에는 반대로 가장 아래쪽의 칸으로, 마방진의 오른쪽으로 벗어나는 경우는 가장 왼쪽의 칸으로 각자 한번 더 이동한다. 또 이때 칸을 채울 자리에 이미 숫자가 있다면 아래에 수를 넣는다.
+ 1단계
 
1 
   
 
   
 
+ 2단계
 
1 
   
 
 
 
2
+ 3단계
 
1 
3 
 
 
 
 2
+ 4단계
 
 1 
 3 
 
4 
 
 2
+ 5단계
 
1 
 3 
5 
 4 
 
 2
+ 6단계
 
 1 
6
 3 
 5 
 4 
 
 2
+ 7단계
 
 1 
 6
 3 
 5 
7
 4 
 
 2
+ 8단계
8 
 1 
 6
 3 
 5 
 7
 4 
 
 2
+ 9단계
 8 
 1 
 6
 3 
 5 
 7
 4 
9 
 2
맨 윗 줄에 가운데 칸이 아닌 칸에서 시작해도 가능하지만, 가로줄과 세로줄은 마법 상수으로 나오고 대각선의 합은 다르다. 따라서 준마방진(semimagic square)이 만들어지고, 진짜 마방진은 나올 수 없다. 또 대각선 오른쪽 위 방향이 아닌 방향으로 자연수를 계속 써도 마방진이 나올 수 있다.
+ Order 3
 8 
1 
 6
 3 
 5 
 7
 4 
9 
 2
+ Order 5
 17 
 24 
1 
 8 
 15
 23 
 5 
 7 
 14 
 16
 4 
 6 
 13 
 20 
 22
 10 
 12 
 19 
 21 
 3
 11 
 18 
25 
 2 
 9
+ Order 9
 47 
 58 
 69 
 80 
1 
 12 
 23 
 34 
 45
 57 
 68 
 79 
 9 
 11 
 22 
 33 
 44 
 46
 67 
 78 
 8 
 10 
 21 
 32 
 43 
 54 
 56
 77 
 7 
 18 
 20 
 31 
 42 
 53 
 55 
 66
 6 
 17 
 19 
 30 
 41 
 52 
 63 
 65 
 76
 16 
 27 
 29 
 40 
 51 
 62 
 64 
 75 
 5
 26 
 28 
 39 
 50 
 61 
 72 
 74 
 4 
 15
 36 
 38 
 49 
 60 
 71 
 73 
 3 
 14 
 25
 37 
 48 
 59 
 70 
81 
 2 
 13 
 24 
 35
=== 4차 마방진 ===
위와 같이 4칸씩 나누어 흑색 칸과 백색 칸으로 칠한 뒤에, 한 색 칸의 수들을 180도 뒤집어 옮기면 마방진이 된다.
+ ''M'' = Order 4
1 
2 
3 
4
5 
6 
7 
8
9 
10 
11 
12
13 
14 
15 
16
+ ''M'' = Order 4
1 
15 
14 
4
12 
6 
7 
9
 8 
10 
11 
5
13 
 3 
 2 
16
=== 2차원 ===
파일:Yang Hui magic circle.svg|원진
파일:Order 3 Magic Triangles.gif|다각진 중 하나인 삼각진
파일:MagicHexagon-Order3-a.svg|육각진
파일:Magic6star-sum26.svg|별진 중 하나인 육각별진
파일:hexagonal_tortoise_problem.svg|최석정의 지수귀문도
=== 다차원 ===
파일:Simple Magic Cube.svg|입체마방진
* 입체마방진: 3차원 형태의 마방진
*   매스월드의 마방진 문서
*   숫자놀이
 
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