작은 군의 목록

크기가 31 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다. 특정한 유한군이 아래에서 어떤 군과 동형인지 알고 싶으면, 먼저 그 크기를 계산한 뒤, 아래에서 그 크기의 군들과  군론적 성질들이 일치하는지를 하나씩 비교해보면 된다.
*Zn: 크기가 인 순환군. Cn이나 '''Z'''/n'''Z'''로 표기하기도 한다.
*Dihn: 크기가 인 정이면체군. Dn이나 D2n으로 표기하기도 한다.
*Sn: 크기가 인 대칭군.
*An: 크기가 인 교대군.
*Dicn: 크기가 4n의 쌍순환군.
G × H는 군 G와 H의 직접곱을 나타낸다. Gn은 G를 자기 자신과 n번 직접곱한 것이다. (예를 들어, G2 = G × G.) H가 G에 작용할 때 는 반직접곱을 나타낸다. (자명한 방법을 제외하고) 어떤 식으로 작용하든 반직접곱을 계산하면 같은 동형류에 속하는 경우에는 구체적인 작용 방법을 생략한다.
두 군이 서로 동형이라는 것은 등호(=)로 나타낸다. 마디 그래프에서 단위원은 검은색 원으로 나타낸다. 위수 16부터는 하나의 마디 그래프가 서로 동형이 아닌 여러 군에 대응되지 않는 경우가 발생한다. 부분군의 목록에서 자명군은 생략하며, 서로 동형인 부분군을 여러 개 포함한 경우에는 그 개수를 괄호 안에 표시한다.
유한 아벨 군은 전부 순환군의 직합이므로 간단히 분류할 수 있다. 크기가 31 이하인 아벨 군들의 목록은 다음과 같다.
 크기
 군
 부분군
 성질
 마디 그래프
 1
 자명군 = Z1 = ''S''1 = ''A''2
 -
 여러 가지 성질들이 자명하게 성립
 center
 2
 Z2 = ''S''2 = Dih1
 -
 단순군
 center
 3
 Z3 = ''A''3 
 -
 단순군
 center
 4
 Z4 
 Z2 
   
 center
 클라인 4원군 = Z2 2 = Dih2
 Z2 (3)
 가장 작은 비순환군
 center
 5
 Z5 
 - 
 단순군
 center
 6
 Z6 = Z3 × Z2
 Z3 , Z2 
  
 center
 7
 Z7 
 - 
 단순군
 center
 8
 Z8 
 Z4 , Z2
  
 center
 Z4 ×Z2
 Z22, Z4 (2), Z2 (3)
  
 center
 Z23
 Z22 (7) , Z2 (7)
 항등원이 아닌 원소들은 파노 평면의 점들에 대응되며, Z2 × Z2 부분군들은 직선에 대응
 center
 9
 Z9
 Z3
  
 center
 Z32
 Z3 (4)
  
 center
 10
 Z10 = Z5 × Z2
 Z5 , Z2 
  
 center
 11
 Z11 
 - 
 단순군
 center
 12
 Z12 = Z4 × Z3
 Z6 , Z4 , Z3 , Z2
  
 center
 Z6 × Z2 = Z3 × Z22
 Z6 (2), Z3, Z2 (3)
  
 center
 13
 Z13 
 - 
 단순군
 center
 14
 Z14 = Z7 × Z2
 Z7 , Z2 
  
 center
 15
 Z15 = Z5 × Z3
 Z5 , Z3 
  
 center
 16
 Z16
 Z8 , Z4 , Z2
  
 center
 Z24
 Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15)
  
 center
 Z4 × Z22
 Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 × Z2 (6)
  
 center
 Z8 × Z2
 Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2
  
 center
 Z42
 Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3)
  
 center
 17
 Z17
 순환군, 단순군
 center
 18
 Z18 = Z9 × Z2
 Z9, Z6, Z3, Z2
 순환군
 center
 Z6 × Z3 = Z32 × Z2
Z6, Z3, Z2
center
 19
 Z19
 순환군, 단순군
 center
 20
 Z20 = Z5 × Z4
 Z20, Z10, Z5, Z4, Z2
 순환군
 center
 Z10 × Z2 = Z5 × Z22 
Z5, Z2
 
 center
 21
 Z21 = Z7 × Z3
 Z7, Z3
 순환군
 center
 22
 Z22 = Z11 × Z2
 Z11, Z2
 순환군
 center
 23
 Z23
 –
 순환군, 단순군
 center
24
 Z24 = Z8 × Z3
 Z12, Z8, Z6, Z4, Z3, Z2
 순환군
 center
 Z12 × Z2 = Z6 × Z4= Z4 × Z3 × Z2
 Z12, Z6, Z4, Z3, Z2
  
 Z6 × Z22
 Z6, Z3, Z2
 
25
 Z25
 Z5
 순환군
 Z52
 Z5
 
 26
 Z26 = Z13 × Z2
 Z13, Z2
 순환군
27
 Z27
Z9, Z3
순환군
 Z9×Z3
 Z9, Z3
 Z33
 Z3
 
28
 Z28 = Z7 × Z4
Z14, Z7, Z4, Z2
 순환군
 Z14 × Z2 = Z7 × Z22
Z14, Z7, Z4, Z2
 29
 Z29
 –
 순환군, 단순군
 30
 Z30 = Z15 × Z2 = Z10 × Z3= Z6 × Z5 = Z5 × Z3 × Z2
 Z15, Z10, Z6, Z5, Z3, Z2
 순환군
 31
 Z31
 –
 순환군, 단순군
크기가 31 이하인 비아벨 군들의 목록은 다음과 같다.
 크기
 군
 부분군
 성질
 마디 그래프
 6
 ''S''3 = Dih3 
 Z3 , Z2 (3)
 가장 작은 비아벨 군
 center
 8
Dih4
 Z4, Z22 (2) , Z2 (5)
 center
 사원수군, ''Q''8 = Dic2
 Z4 (3), Z2 
 가장 작은 데데킨트 군
 center
 10
 D5 
  Z5 , Z2 (5)
 center
 12
 D6 = Dih3 × Z2
 Z6 , Dih3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7)
 center
 ''A''4
 Z22 , Z3 (4) , Z2 (3)
 군의 원소 개수의 약수를 위수로 갖는 부분군이 없는 가장 작은 군. 6개의 원소를 가진 부분군이 존재하지 않음.(라그랑주 정리 (군론), 쉴로브 정리 참조)
 center
 Dic3 = Z3 ⋊ Z4
 Z2, Z3, Z4 (3), Z6
 center
 14
 Dih7 
  Z7, Z2 (7)
 center
 16
 Dih8
 Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9)
 center
 Dih4 × Z2
 Dih4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (7), Z4 (2), Z2 (11)
 center
 ''Q''16 = Dic4
 
 
 center
 ''Q''8 × Z2
   
 데데킨트 군
 center
 준정이면체군(quasidihedral group) 
   
 center
 크기 16의 이와사와 군 
  
 center
 Z4 ⋊ Z4
 
 
 center
 파울리 행렬로 생성되는 군 
 
 
 center
 ''G''4,4 = Z22 ⋊ Z4
 
 
 center
 18
 Dih9 
 
 정이면체군 
 center
 S3×Z3 
 
 
 center
(Z3 × Z3)⋊ Z2 
 
 
 center
 20
 Q20 = Dic5 =  
 
 
 center
 Z5 ⋊ Z4 
 
 
 center
 Dih10 = Dih5 × Z2 
 
 
 center
21
 Z7 ⋊ Z3 
 
 홀수 크기의 가장 작은 비아벨군 
22
 Dih11 
 
 
 
 24
 Z3 ⋊ Z8 
 
 
 SL(2,3) = Q8 ⋊ Z3
 
 
 center
 Q24 = Dic6 =  = Z3 ⋊ Q8 
 
 
 center
 Z4 × S3 
 
 
 
 Dih12 
 
 
 
 Dic3 × Z2 = Z2 × (Z3 × Z4) 
 
 
 
 (Z6 × Z2)⋊ Z2 = Z3 ⋊ Dih4 
 
 
 
 Dih4 × Z3 
 
 멱영군 
 
 Q8 × Z3 
 
 멱영군 
 
 S4 
 
 쉴로브 부분군인 정규 부분군이 없음 
 center
 A4 × Z2 
 
 
 center
 D12× Z2  
 
  
 
26
 Dih13 
 
 
 
27
 Z32 ⋊ Z3 
 
 멱영군. 항등원이 아닌 모든 원소의 차수가 3 
 
 Z9 ⋊ Z3 
 
 멱영군 
 
28
 Dic7 = Z7 ⋊ Z4 
 
 
 
 Dih14 
 
 
 
30
 Z5 × S3 
 
 
 
 Dih15 
 
 
 
 Z3 × Dih5 
 
 
 
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분류:수학에 관한 목록
분류:유한군