우주의 모양

물리 우주론에서 우주의 모양(shape of the universe)은 우주의 국소적 및 대역적 기하학(local and global geometry)이다. 우주 기하학의 국소적 특징은 주로 곡률로 설명되는 반면, 우주의 시공간 위상(spacetime topology)은 연속적인 물체의 모양에 대한 일반적인 대역적 속성을 설명한다. 공간 곡률은 질량과 에너지에 의해 시공간이 어떻게 휘고 구부러지는지를 설명하는 일반 상대성이론과 관련이 있다. 위상 공간(topological space)은 다른 위상들을 가진 국소적으로 구별할 수 없는 공간이 (수학적으로) 존재하기 때문에 곡률에서 결정할 수 없다.

우주론자들은 관측 가능한 우주와 전체 우주(entire universe)를 구별하는데, 전자는 후자의 공 모양의 부분으로, 원칙적으로 천문 관측으로 접근할 수 있다. 우주론 원리를 가정하면 관측 가능한 우주는 모든 현대적 관점에서 유사하므로 우주론자들은 관측 가능한 우주를 연구한 정보만으로 전체 우주의 속성을 논의할 수 있다.

우주의 관심에 대한 몇 가지 잠재적인 위상수학적 또는 기하학적 속성이 논의될 수 있다. 이 중 일부는:

 경계(우주가 유한한지 무한한지)
 평평한(영의 곡률), 쌍곡면의(음의 곡률) 또는 구형의(양의 곡률)
 연결성: 우주가 어떻게 결합되는지, 즉 단일 연결 공간 또는 다중 연결 공간

이러한 속성 사이에는 특정 논리적 연결이 있다. 예를 들어, 양의 곡률을 가진 우주는 필연적으로 유한하다. 일반적으로 문헌에서 평평하거나 음으로 휘어진 우주는 무한하다고 가정하지만 그 위상이 자명한 것이 아닌 경우에는 그럴 필요가 없다. 예를 들어 3-원환면(3-torus)는 평평하지만 유한하다.

정확한 모양은 여전히 물리 우주론에서 논쟁의 여지가 있지만 다양한 독립 출처(예: WMAP, BOOMERanG 및 플랑크 위성)의 실험 데이터에 따르면 우주는 0.4%의 오차 한계로 평평하다는 것이 확인되었다. 반면에 충분히 큰 곡선 우주에서는 영이 아닌 곡률이 가능하다(구의 작은 부분이 평평하게 보일 수 있는 방식과 유사). 이론가들은 우주의 모양에 대한 형식적인 수학적 모형을 구성하려고 노력해 왔다. 공식적으로 이것은 우주의 4차원 시공간의 공간적 단면(공변 좌표에서)에 해당하는 3-다양체(3-manifold) 모형이다. 현재 대부분의 이론가들이 사용하는 모형은 프리드만-르메트르-로버트슨-워커(FLRW) 모형이다. 관측 데이터가 전지구 우주의 모양이 무한하고 평평하다는 결론에 가장 적합하지만, 그러나 그 데이터는 또한 소위 푸앵카레Poincaré 십이면체 공간과 소콜로프-스타로빈스키Sokolov–Starobinsky 공간(2차원 격자에 의한 쌍곡공간의 상반부 공간 모형의 몫)과 같은 가능한 다른 모양도 일치한다는 주장이 제기되었다.

관측 가능한 우주의 모양 

서론에서 언급했듯이 고려해야 할 두 가지 측면이 있으니:
 국소적(local) 기하학, 이것은 우주, 특히 관측 가능한 우주의 곡률과 주로 관련되며 또한
 대역적(global) 기하학, 이것은 전체 우주의 위상수학과 관련된다.

관측 가능한 우주는 465억 광년 동안 모든 관측점에서 바깥쪽으로 뻗어 있는 구체로 생각할 수 있다. 시간을 거슬러 올라가면 멀리 볼수록 더 큰 적색편이가 나타난다. 이상적으로는 대폭발까지 계속 뒤돌아볼 수 있는데; 그러나 실제로는 빛과 기타 전자기 복사를 사용하여 볼 수 있는 가장 멀리 있는 것은 과거의 모든 것과 마찬가지로 우주 마이크로파 배경(CMB)이다. 실험적 조사에 따르면 관측 가능한 우주는 등방성과 균질성에 매우 가깝다[인용 필요].

관측 가능한 우주가 전체 우주를 포함한다면 우리는 관찰을 통해 전체 우주의 구조를 결정할 수 있다. 그러나 관측 가능한 우주가 전체 우주보다 작다면 우리의 관측은 전체의 일부에만 국한되고 측정을 통해 전체 기하학을 결정하지 못할 수도 있다. 실험을 통해 전체 우주의 대역적 기하학에 대한 다양한 수학적 모형을 구성하는 것이 가능하며 모두 현재 관측 데이터와 일치하는데; 관측 가능한 우주가 지구 우주와 동일한지 아니면 훨씬 여러 크기의 차수로 작은 크기인지 여부는 현재 알려지지 않았다. 우주는 어떤 차원에서는 작을 수도 있고 다른 차원에서는 그렇지 않을 수도 있다(직육면체가 너비와 깊이 차원에서보다 길이 차원에서 더 긴 것과 유사). 주어진 수학적 모형이 우주를 정확하게 설명하는지 테스트하기 위해 과학자들은 모형의 새로운 의미(우리가 아직 관찰하지 않았지만 모형이 정확하다면 반드시 존재해야 하는 우주의 일부 현상이 무엇인지)를 찾고 테스트하기 위한 실험을 고안한다. 이러한 현상이 발생하는지 여부. 예를 들어, 우주가 작은 닫힌 고리라면, 반드시 같은 시대의 이미지는 아니지만, 하늘에 있는 한 물체의 다중 이미지를 볼 수 있을 것으로 예상할 수 있다.

우주론자들은 일반적으로 공변 좌표라고 하는 시공간의 주어진 공간꼴space-like 조각으로 작업하는데, 이는 오늘날 물리 우주론에서 가능하고 널리 받아들여지고 있는 선호되는 세트의 존재이다. 관측할 수 있는 시공간의 단면은 후방 광추(우주 광 지평선 내의 모든 지점, 주어진 관찰자에게 도달하는 데 주어진 시간)이며, 관련 용어인 허블 부피(Hubble volume)는 과거의 광추 또는 마지막 산란의 표면까지 공변하는 공간을 설명하는 데 사용할 수 있다. "우주의 모양(특정 시점에서)"에 대해 말하는 것은 특수 상대성이론의 관점에서만 보면 존재론적으로 순진하니naive: 동시성의 상대성 때문에 우리는 공간의 다른 지점을 "시점에 같은 점에" 또는 "시점에 같은 점의 우주의 모양"이라고 말할 수 없다. 특정 시점"도 아니고 "특정 시점에서의 우주의 모양"도 아니다. 그러나 공변하는 좌표(잘 정의된 경우)는 대폭발 이후의 시간(CMB 기준으로 측정됨)을 구별되는 보편적 시간(distinguished universal time)으로 사용함으로써 그들에게 엄밀한 의미를 제공한다.

우주의 곡률 
 
곡률은 공간의 기하학이 평면 공간의 기하학과 국소적으로 어떻게 다른지를 설명하는 양이다. 국소적 등방성 공간(따라서 국소적 등방성 우주)의 곡률은 다음 세 가지 경우 중 하나에 해당한다.

 영의 곡률(평면); 그려진 삼각형의 각의 합은 180°이고 피타고라스 정리가 성립한다. 이러한 3차원 공간은 유클리드 공간  에 의해 국소적으로 모델링된다.
 양의 곡률; 그려진 삼각형의 각의 합은 180°이상이다. 이러한 3차원 공간은 3차원 초구  의 영역에 의해 국소적으로 모델링된다.
 음의 곡률; 그려진 삼각형의 각의 합은 180°미만이다. 이러한 3차원 공간은 쌍곡공간  의 영역에 의해 국부적으로 모델링된다.

곡선 기하학은 비유클리드 기하학의 영역에 있다. 양의 곡선 공간의 예는 지구와 같은 구의 표면이다. 적도에서 극으로 그린 삼각형은 최소한 두 각이 90°이므로 세 각의 합이 180°보다 커진다. 음의 곡선 표면의 예는 안장이나 산길의 모양이다. 안장 표면에 그려진 삼각형은 각도의 합이 180°미만이 된다.

일반 상대성이론은 질량과 에너지가 시공간의 곡률을 휘게 하며 또한 오메가()로 표시되는 밀도 매개변수라는 값을 사용하여 우주의 곡률을 결정하는 데 사용된다고 설명한다. 밀도 매개변수는 우주의 평균 밀도를 임계 에너지 밀도, 즉 우주가 평평하기 위해 필요한 질량 에너지로 나눈 값이다. 다른 말로 하자면,

  이면 우주는 평평하다.
  이면 양의 곡률이 있다.
  이면 음의 곡률이 있다.

이  을 실험적으로 계산하여 곡률을 두 가지 방법으로 결정할 수 있다. 하나는 우주의 모든 질량 에너지를 세어 평균 밀도를 취한 다음 그 평균을 임계 에너지 밀도로 나누는 것이다. 윌킨슨 마이크로파 비등방성 탐색기(WMAP)와 플랑크 위성의 데이터는 우주의 모든 질량 에너지의 세 가지 구성 요소인 정상 질량(중입자 물질 및 암흑물질), 상대론적 입자(광자와 중성미자) 및 암흑 에너지 또는 우주 상수의 값을 주어서:

Ωmass ≈ 0.315±0.018

Ωrelativistic ≈ 9.24×10−5

ΩΛ ≈ 0.6817±0.0018

Ωtotal = Ωmass + Ωrelativistic + ΩΛ = 1.00±0.02

임계 밀도값의 실제 값은 ρcritical = 9.47×10−27 kg m−3으로 측정된다. 이 값으로부터 실험 오차 내에서 우주는 평평한 듯하다.

Ω 를 측정하는 또 다른 방법은 관측 가능한 우주의 각도를 측정하여 기하학적으로 측정하는 것이다. CMB를 사용하고 파워 스펙트럼과 온도 등방성을 측정하여 이를 수행할 수 있다. 예를 들어, 광속은 너무 커서 열 정보를 전달할 수 없기 때문에 열 평형 상태에 있지 않은 가스 구름을 찾는 것을 상상할 수 있다. 이 전파 속도를 알면 가스 구름의 크기와 가스 구름까지의 거리를 알 수 있다. 그러면 삼각형의 두 변이 있고 각도를 결정할 수 있다. 이와 유사한 방법을 사용하여 BOOMERanG 실험은 Ωtotal ≈ 1.00±0.12 에 해당하는 실험 오차 내에서 180° 각도의 합을 결정했다.

이들 및 기타 천문학적 측정은 공간 곡률을 영에 매우 가깝게 제한하지만 부호를 제한하지는 않습니다. 즉, 시공간의 국부기하학은 상대성 이론에 의해 시공간격에 기초하여 생성되지만, 친숙한 유클리드 기하학으로 3-공간을 근사화할 수 있음을 의미한다.

프리드만 방정식을 사용하는 프리드만-르메트르-로버트슨-워커(FLRW) 모형은 일반적으로 우주를 모델링하는 데 사용된다. FLRW 모형은 유체 역학의 수학, 즉 우주 내의 물질을 완전한 유체로 모델링하는 것을 기반으로 우주의 곡률을 제공한다. 별과 질량 구조를 "거의 FLRW" 모형에 도입할 수 있지만 관측 가능한 우주의 국소적 기하학을 근사화하기 위해 엄격한 FLRW 모형이 사용됩니다. 이것을 말하는 또 다른 방법은 모든 형태의 암흑 에너지가 무시된다면, 우주의 곡률은 (은하와 같은 '밀집한' 물체로 인한 왜곡보다는) 모든 물질이 고르게 분포되어 있다고 가정하고 그 안에 있는 물질의 평균 밀도를 측정하여 결정할 수 있다는 것이다. 이 가정은 우주가 "약하게" 불균질하고 비등방성인  반면(우주의 거대구조 참조) 평균적으로 균질하고 등방성이라는 관찰에 의해서 정당화된다.

대역적 우주 구조 
대역적 구조는 관측 가능한 우주와 그 너머의 전체 우주의 기하학과 위상을 다룬다. 국소적 기하학이 대역적 기하학를 완전히 결정하지는 않지만, 특히 일정한 곡률의 기하학과 같은 가능성을 제한한다. 우주는 종종 위상적 결함(topological defect)이 없는 측지선 다양체(geodesic manifold)로 간주된다. 이들 중 하나를 완화하면 분석이 상당히 복잡해진다. 대역적 기하학는 국소적 기하학에 위상을 더한 것이다. 따라서 위상만으로는 대역적 기하학을 제공하지 않으니: 예를 들어, 유클리드 3-공간과 쌍곡 3-공간은 동일한 위상을 갖지만 다른 대역적 기하학을 갖는다.

서론에서 언급한 바와 같이, 우주의 대역적 구조에 대한 연구 내 조사들은 포함하기를:

 우주가 무한하든 유한하든,
 우주의 대역적 기하학이 평평하든, 양의 곡선이든, 음의 곡선이든, 그리고
 위상수학이 구처럼 단일 연결되어 있거나 원환면처럼 다중 연결되어 있는지 여부.

무한한 또는 유한한 
현재 우주에 대한 답이 없는 질문 중 하나는 우주가 무한한지 유한한지 여부이다. 직관적으로, 유한한 우주는 유한한 부피를 가지고 있다는 것을 이해할 수 있다. 예를 들어 이론상으로는 유한한 양의 물질로 채워질 수 있는 반면, 무한한 우주는 무한하고 어떤 숫자의 부피로도 채울 수 없다는 것을 이해할 수 있다. 수학적으로 우주가 무한한가 유한한가에 대한 질문을 유계성(boundedness)이라고 한다. 무한한 우주-유계가 아닌 거리 공간(unbounded metric space)은 임의로 멀리 떨어져 있는 점이 있음을 의미하니: 거리  에 대해서, 적어도  만큼 떨어져 있는 점들이 있다. 유한 우주는 유계 거리 공간으로, 모든 점이 서로의 거리  내에 있도록 하는 거리  가 있다. 그러한 가장 작은  를 우주의 지름이라고 하며, 이 경우 우주에는 잘 정의된 "부피" 또는 "척도"를 갖는다.

경계가 있거나 없는 
유한한 우주를 가정할 때, 우주는 모서리edge를 가질 수도 있고 없을 수도 있다. 많은 유한 수학적 공간, 예를 들어 원판에는 모서리 또는 경계가 있다. 모서리가 있는 공간은 개념적으로나 수학적으로나 다루기 어렵다. 즉, 그러한 우주의 모서리에서 어떤 일이 일어날지 말하기는 매우 어렵다. 이러한 이유로 모서리가 있는 공간은 일반적으로 고려 대상에서 제외된다.

그러나 3차원 초구 및 3-원환면과 같이 모서리가 없는 유한한 공간이 많이 있다. 수학적으로 이러한 공간을 경계가 없이 콤팩트(compact)하다고 한다. 콤팩트라는 용어는 범위가 유한하고("유계") 또한 완비(complete)함을 의미한다. "경계가 없는(without boundary)"라는 용어는 공간에 모서리가 없음을 의미한다. 또한 미적분학을 적용할 수 있도록 일반적으로 우주는 미분 다양체로 가정합니다. 경계가 없고 미분할 수 있는 이러한 모든 속성을 가진 수학적 대상을 닫힌 다양체라고 한다. 3차원 초구 및 3-원환면는 모두 닫힌 다양체이다.

곡률 
우주의 곡률은 위상에 제약을 가한다. 구면기하학이 구형, 즉 양의 곡률을 갖는 경우 위상은 콤팩트하다. 평평한(영의 곡률) 또는 쌍곡선(음의 곡률) 공간 기하학의 경우 위상은 콤팩트하거나 무한할 수 있다. 많은 교과서에서는 평평한 우주가 무한한 우주를 의미한다고 잘못 기술한다. 그러나 올바른 설명은 단일 연결된 평평한 우주가 무한한 우주를 의미한다는 것이다. 예를 들어, 유클리드 공간은 평평하고 단일 연결되어 있으며 무한하지만 원환면은 평평하고 다중 연결되어 있으며 유한하고 콤팩트하다.

일반적으로 리만 기하학의 국소 대역 정리들(local to global theorems)은 국소적 기하학을 대역적 기하학과 관련시칸다. 국소적 기하학에 일정한 곡률이 있는 경우 기하화 추측(Thurston geometry)에 설명된 대로 대역적 기하학이 매우 제한된다.

최신 연구에 따르면 우주 곡률 매개변수의 실제 값이 10−4보다 작으면 가장 강력한 미래 실험(예: SKA)도 평면, 열린 우주 및 닫힌 우주를 구별할 수 없다. 우주 곡률 매개변수의 실제 값이 10-3보다 크면 지금도 이 세 가지 모델을 구별할 수 있다.

2018년에 발표된 플랑크 임무의 최종 결과에 따르면 우주론 곡률 매개변수 ΩK는 0.0007±0.0019로 평평한 우주와 일치한다.

곡률이 영인 우주 
곡률이 영인 우주에서 국소적 기하학은 평평하다. 가장 명백한 대역적 구조는 범위가 무한한 유클리드 공간의 구조이다. 범위가 유한한 평평한 우주에는 원환면과 클라인 병이 포함된다. 더욱이, 3차원에는 10개의 유한 닫힌 평면 3-다양체가 있으며 그 중 6개는 방향성이 있고 4개는 방향이 지정되지 않는다. 이것이 비버바흐 다양체(Bieberbach manifold)이다. 가장 친숙한 것은 앞서 언급한 3-원환면 우주이다.

암흑 에너지가 없는 상태에서 평평한 우주는 영원히 팽창하지만 계속해서 감속하는 속도로 팽창하며 팽창은 점근적으로 영에 가까워진다. 암흑 에너지가 있으면 우주의 팽창 속도는 중력의 영향으로 처음에는 느려지다가 결국에는 증가한다. 우주의 궁극적인 운명은 열린 우주의 운명과 같다.

평평한 우주는 총 에너지가 영이 될 수 있다.

곡률이 양인 우주 
양으로 휘어진 우주는 타원기하학으로 설명되며, 3차원 초구 또는 일부 다른 푸앵카레 12면체 공간(Poincaré dodecahedral space)과 같은 구형 3-다양체(spherical 3-manifold)로 생각할 수 있으며, 이들 모두는 3차원 초구의 몫이다.

푸앵카레 12면체 공간(Poincaré dodecahedral space)은 축구공의 대칭인 이십면체 대칭(Icosahedral symmetry)에 매우 가까운 이진 이십이십면체 그룹(binary icosahedral group)에 의한 3차원 초구의 몫이기 때문에 구어체로 "축구공 모양"으로 설명되는 양의 곡선 공간이다. 이것은 장 피에르 루미넷Jean-Pierre Luminet와 동료들에 의해 2003년에 제안되었으며 2008년에 그 모형의 하늘에서 최적의 방향이 추정되었다.

곡률이 음인 우주 
음의 공간 곡률 중 하나인 쌍곡선 우주는 쌍곡기하학으로 설명되며, 국소적으로는 무한히 확장된 안장 모양의 3차원 유사체로 생각할 수 있습니다. 쌍곡 3-다양체(hyperbolic 3-manifold)는 매우 다양하며 그 분류가 완전히 이해되지 않는다. 유한 체적은 모스토우 강성 정리(Mostow rigidity theorem)를 통해 이해할 수 있다. 쌍곡선 국소적 기하학의 경우 가능한 3차원 공간의 대부분은 쌍곡기하학의 정식 모형인 유사구의 모양 때문에 비공식적으로 "뿔 위상(horn topology)"이라고 불린다. 예를 들어 구어체로 "깔때기 모양"이라고 설명되는 음으로 구부러진 공간인 피카드 뿔(Picard horn)이 있다.

곡률: 열린 또는 닫힌 
우주론자들이 우주가 "열린"(open) 또는 "닫힌"(closed) 것으로 말할 때, 그들은 가장 일반적으로 곡률이 음수인지 양수인지를 언급한다. 이러한 열린과 닫힌의 의미는 위상 공간에서 집합에 사용되는 열린과 닫힌의 수학적 의미와 다르며, 열린 및 닫힌 다양체의 수학적 의미는 모호함과 혼란을 야기한다. 수학에는 닫힌 다양체(closed manifold)-경계가 없이 콤팩트한-와 열린 다양체(open manifold)-콤팩트하지 않고 또한 경계가 없는-에 대한 정의가 있다. "닫힌 우주"는 필연적으로 닫힌 다양체이다. "열린 우주"는 닫힌 또는 열린 다양체일 수 있다. 예를 들어  프리드만-르메트르-로버트슨-워커(FLRW) 모형에서 우주는 경계가 없는 것으로 간주되며 이 경우 "컴팩트 우주"(compact universe)는 닫힌 다양체인 우주를 설명할 수 있었다.

밀네 모형(쌍곡선 확장) 

구부러진 시공간(curved spacetime) 개념에 의존하지 않고 민코프스키 공간 기반의 특수 상대성이론을 우주 팽창에 적용하면 밀네 모형을 얻는다. 일정한 나이(빅뱅에서 경과한 고유시간)의 우주 공간은 음의 곡률을 갖으니; 이것은 평평한 유클리드 공간의 동심원 구가 그럼에도 불구하고 곡선이라는 것과 유사한 유사유클리드(pseudo-Euclidean) 기하학적 사실에 불과하다. 이 모형의 공간 기하학은 유계가 아닌 쌍곡공간이다. 이 모형의 전체 우주는 민코프스키 시공간에 매장하여imbedding 모델링할 수 있으며, 이 경우 우주는 민코프스키 시공간의 미래 광추 내부에 포함된다. 이 경우 밀네 모형은 광추의 미래 내부이며 광추 자체가 대폭발the Big Bang이다.

밀네 모형 내에서 좌표 시간의 주어진 순간  에 대해 (대폭발이  을 갖는다고 가정하면), 민코프스키 시공간에서 상수 에서 우주의 모든 단면은 반지름 {{math|c t  c t'''}} 인 구에 의해서 경계지어진다(bounded). 구 안에 "포함된" 무한 우주의 명백한 역설은 밀네 모형의 좌표계와 이것이 포함된 민코프스키 시공간 간의 불일치 효과이다.

이 모형은 본질적으로  에 대한 퇴화(degenerate) FLRW이다. 그것은 그렇게 큰 음의 공간 곡률을 확실히 배제하는 관측과는 양립할 수 없다. 그러나 중력장(또는 중력자)이 작동할 수 있는 배경으로서, 미분동형사상 불변(diffeomorphism invariance)으로 인해, 거시적 규모의 공간은 아인슈타인 방정식의 모든 다른 (열린) 해와 동일하다.

 같이 보기 
 더시터르 공간
 에크파이로틱 우주 – 5차원의 브레인(brane) 모양의 우주를 묘사하는 끈 이론 관련의 우주론적 모형; 5차원에서 두 개의 막이 충돌할 때 우주가 발생했다고 설명하는 대폭발 모형의 하나의 대안
 끈 이론의 추가 차원 - 모두 콤팩트 위상수학을 포함하는 6개 또는 7개의 추가 공간꼴space-like 차원들
 우주 중심의 역사(History of the center of the Universe) - 역사의 측면
 홀로그래피 원리 – 유계 영역 내부의 물리학은 영역 경계의 물리학에 의해 완전히 포착된다.
 우주론의 역설 목록(List of paradoxes of cosmology) – 위키백과 목록 기사
 가우스의 빼어난 정리(Theorema Egregium) – 미분기하학 정리 - 가우스가 발견한 "빼어난 정리"로 표면에 내재적 곡률 개념이 있음을 보여준다. 이것은 리만이 곡률의 (내재적) 개념을 고차원 공간으로 일반화하는 데 사용된다.
 우주의 3-원환면 모형
 제로-에너지 우주(Zero-energy universe) - 우주의 총 에너지량이 정확히 영이라는 가설

 각주 

 외부 링크 
 Geometry of the Universe at icosmos.co.uk
 Janna Levin, Evan Scannapieco & Joseph Silk (1998). "The topology of the universe: the biggest manifold of them all". Classical and Quantum Gravity. 15 (9): 2689–2697. arXiv:gr-qc/9803026.
 Lachièze-Rey, M., Luminet, J.P. (1995). "Cosmic Topology". Physics Reports. 254 (3): 135–214. arXiv:gr-qc/9605010.
 Luminet, J.P. (2016). "The Status of Cosmic Topology after Planck Data". Universe. 2 (1): 1–9.
 Universe is Finite, "Soccer Ball"-Shaped, Study Hints. Possible wrap-around dodecahedral shape of the universe
 Classification of possible universes in the Lambda-CDM model.
 Fagundes, Helio V. (2002). "Exploring the global topology of the universe". Brazilian Journal of Physics. 32 (4): 891–894. arXiv:gr-qc/0112078.
 Grime, James. "π39 (Pi and the size of the Universe)". Numberphile''. Brady Haran.
 What do you mean the universe is flat? Scientific American Blog explanation of a flat universe and the curved spacetime in the universe.
 현대 우주론 Modern Cosmology: The Study of the Universe (2017-) by Kwanseok Kim

물리우주론
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일반 상대성이론
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대폭발우주론