분수 푸리에 변환

분수 푸리에 변환()는 조화해석학 용어로, 푸리에 변환을 일반화한 선형 변환의 일종이다. 분수 푸리에 변환은 푸리에 변환의 n제곱(n은 정수뿐만이 아니라 임의의 실수 )으로 볼 수 있다. 즉, time domain과 frequency domain 사이의 임의의 domain으로 주어진 함수를 이동할 수 있는 것이다. 이 변환이 활용되는 곳은 필터 설계와 신호 분석, 패턴 인식 등으로 다양하다.

이 FRFT는 분수 합성곱, 상관관계, 그 밖에 다른 여러 가지의 분수 변환을 정의하는 데 쓰이며, 더 일반화한 것으로는 linear canonical transformation (LCT)이 있다. FRFT는 Condon, 에 의해 처음 도입되었으며, 이때의 목적은  그린 함수에 대한 phase-space 회전 방정식을 해결하기 위하여였다. 그후, Wiener의 에르미트 다항식에 대한 논문을 참조하여 Namias가 이를 더 확장하였다.
그러나, 신호 처리 학계에는 1993년까지 거의 알려지지 않았다가, 알려진 이후에는 Shannon interpolation theorem을 Fourier transform에서 Fractional Fourier transform으로 확장하는 학계의 노력이 계속되어왔다.

소개 
연속 푸리에 변환 ƒ: R → C는 L2 함수  ƒ 를 frequential 버전 ƒ̂로 매핑하는 unitary operator이다.(별도의 말이 없는 한, 모든 연산자는 pointwise 연산자가 아닌 L2 연산자로 간주한다.)

 

f는 다시   inverse transform {\mathcal {F}}^{-1}에 의해 결정된다.

 

 and  when n is a non-negative integer, and .

이 FrFT 는 이것을 n이 정수가 아닌 경우에도 성립하도록 (n = 2α/π) Fourier 변환을 확장시킨 선형 변환이다.

정의 
참고: 일부 저자들은 "각도 α" 대신 "a제곱"이라는 표현을 쓰며, 이 경우 α는 보통 π/2*a이다. 이 두 가지 형태는 서로 동치지만, 관련 문헌을 찾아볼 경우 해당 문헌의 저자가 어떤 정의를 사용하는지 주의해야 한다.

  임의의 실수 α에 대하여 α-angle fractional Fourier transform {\mathcal {F}}_{\alpha }(u)는 다음과 같이 정의된다:

엄밀히 말하자면, 이 식은 f가 충분히 nice한 함수 공간(예: L1 또는 Schwartz 공간)에 있을 때만 유효하며, 그 이외의 경우에는 Fourier transform 문서에서 설명되어 있는 것과 비슷한 방식으로 density argument를 통해 정의되어야 한다.

α가 pi의 정수배일 경우. 위 식의 코탄젠트와 코시컨트 함수는 정의되지 않으나, α에 대한 극한을 취하면, α가 pi의 짝수배일 때의 FRFT는 원래 함수와 같고, pi의 홀수배일 때의 FRFT는 원래 함수에 parity operator를 적용한 후의 함수가 된다는 것을 알 수 있다.

에 대한 α = π/2,이것이 정확하게 정의 지속적인 푸리에 변환, α = −π/2 그것의 정의 지속적인 역 푸리에 변환한다.

속성 

The -th order fractional Fourier transform operator, , has the properties:

 Additivity. For any real angles ,

 Linearity.

 Integer Orders. If  is an integer multiple of , then:

Moreover, it has following relation

 Inverse.

 Commutativity.

 Associativity

 Unitarity

 Time Reversal.

 Transform of a shifted function
Define the shift and the phase shift operators as follows:

Then

 Transform of a scaled function
Define the scaling and chirp multiplication operators as follows:

Then,

Notice that the fractional Fourier transform of  cannot be expressed as a scaled version of . Rather, the fractional Fourier transform of  turns out to be a scaled and chirp modulated version of  where  is a different order.

석 

일반적인 해석의 푸리에 변환로 변환 시간의 도메인의 신호 주파수 영역으로 신호이다. 다른 한편으로 해석의 역 푸리에 변환로 변환하의 주파수 도메인 신호로 시간을 도메인의 신호이다. 분명 분수 푸리에 변환을 변화시킬 수 있는 신호(시간 영역에서 또는 주파수 영역)도메인으로 시간 및 주파수: 회전 시간-주파수 도메인한다. 이러한 관점을 일반화하여 선형 정식 변화, 일반화 분, 푸리에 변환할 수 있다. 선형 변환의 시간-주파수 도메인 이외의 다른 회한다.

을 아래 그림으로 예이다. 는 경우 신호가 시간에는 도메인이 직사각형(아래),그것이 될 것이다 동기 기능에서 주파수 도메인이다. 그러나 우리는 적용 분수 푸리에 변환하여 직사각형 신호 변환 출력이에서 도메인 사이의 시간 및 주파수이다.

실제로, 분수 푸리에 변환의 회전 운영 시간에는 주파수 분포한다. 위의 정의에서, α = 0,없을 것입한 후에 변경을 적용하는 분수,푸리에 변환, α = π/2,분수,푸리에 변형이 됩 푸리에 변환,회전 시간을 주파수 분포 π/2이다. 다른 값의 α, 분수 푸리에 변환을 회전시간 주파수 분포에 따라 α이다. 다음 그림의 결과를 분수와 푸리에 변환의 서로 다른 값을 α이다.

활용 
분수,푸리에 변환에 사용할 수 있는 시간이 주파수 분석 및 DSP. 그것은 유용한 잡읍 필터링, 하지만 조건으로 그것이 중복되지 않으로 원하는 신호에서 시간–주파수 도메인이다. 다음 예제를 살펴보면 우리는 수 없는 필터 적용을 직접을 제거하는 소음은, 하나의 분수 푸리에 변환, 우리가 할 수 있다. 회전 신호(신호 및 잡음). 우리는 다음을 적용하의 특정 필터는 것이 허용만을 원하는 신호를 전달한다. 따라서 소음을 완전히 제거된다. 그런 다음 우리가 사용하는 분수 푸리에 변환을 다시 회전 신호를 다시고 우리는 얻을 수 있으며, 원하는 신호이다.

분수 푸리에 변환은 또한 사용을 디자인하는 광학 시스템을 최적화 홀로그램 스토리지 효율성이 매우 높다.

따라서,분수 푸리를 사용하여 잘라내기 시간에는 도메인, 또는 동등하게 낮은 패스 필터 주파수 영역에서,하나둘 수 있는 모든 볼록 설정에서 시간–주파수 공간,그냥을 사용하여 시간 영역 또는 주파수 도메인 방법이 없이 분수 푸리에 변형만 허용을 밖으로 절단하는 사각형 병렬로 축이다.

각주 

푸리에 해석학
적분 변환
시간-주파수 분석