대수적 K이론

수학에서 대수적 K이론(代數的K理論, )은 환의 가군들을 다루는 K이론의 한 종류다.

정의 
대수적 K이론에서 다루는 중심 개념은 (대수적) K군() 이다. 이들은 주어진 환 에 대하여 주어지는 일련의 아벨 군들이다.

K군은 다양하게 정의할 수 있다.
 퀼런 플러스 구성()은 역사적으로 가장 최초의 정의이다. 이 정의는 주어진 환의 무한 일반선형군의 분류 공간에 그 기본군의 일부를 죽이는 연산을 가한 뒤, 호모토피 군을 취하는 것으로 구성된다. 대니얼 퀼런이 도입하였다.
 퀼런 Q-구성() 역시 대니얼 퀼런이 도입하였다. 이 정의는 퀼런 완전 범주라는 특정한 가법 범주에 대하여 적용되며, 퀼런 완전 범주에서 대상을 그대로 두고 사상을 다르게 정의한 뒤, 이에 대응하는 단체 집합을 취하고, 그 호모토피 군을 취한다. Q-구성을 환  위의 유한 생성 사영 가군 범주 에 적용할 경우, 이는 퀼런 플러스 구성과 일치한다.
 발트하우젠 S-구성()은 발트하우젠 범주()라는 구조가 주어진 범주에 대하여 적용된다. 퀼런 완전 범주 위의 유계 사슬 복합체의 범주 는 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이루며, 이에 따라 발트하우젠 S-구성은 퀼런 Q-구성을 일반화한다. 프리트헬름 발트하우젠()이 도입하였다.

퀼런 플러스 구성 
환 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (이산 공간으로 간주한) 그 일반선형군 들의 귀납적 극한

을 취하자. 이는 위상군을 이룬다. 이 위상군의 분류 공간 을 취하자.

위상 공간  위에 플러스 구성 을 가할 수 있다. 이 경우 그 호모토피 군들이 바뀌지만, 호몰로지 군은 바뀌지 않는다. 구체적으로, 의 정규 부분군 은 하나의 성분을 제외하고 다른 모든 성분이 모두 무한 단위 행렬을 이루는 원소들로부터 생성된다. 그렇다면, 기본군의 정규 부분군 를 죽이는 플러스 연산을 가하여 위상 공간 을 얻는다. 그렇다면, 에 대하여 차 K군 은 의 차 호모토피 군이다.

일 경우 위 공식은 성립하지 않는다. (는 항상 경로 연결 공간이다.) 환의 0차 K군 는 독립적으로 간단히 정의될 수 있으며, 이 경우

로 정의할 수 있다. (여기서 는 이산 위상을 준 위상군이다.)

퀼런 Q-구성 
퀼런 완전 범주 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주 는 다음과 같은 범주이다.
 의 대상은 의 대상과 같다.
 에서  사이의 사상은 에서의 그림 의 동치류이다. 여기서, 두 그림 ,  사이에 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 동형 사상 이 존재한다면 두 그림을 서로 동치로 간주한다.

 에서 항등 사상은 이다.
 에서 사상의 합성은 당김을 통해 정의된다. 즉, 그림 와 의 합성은 다음과 같은 당김 로서 정의된다.

이제, 의 신경 을 취하자. 이는 단체 집합이다. 의 차 K군()은 의 (기하학적 실현의) 차 호모토피 군이다.

발트하우젠 S-구성 
발트하우젠 범주(Waldhausen範疇, ) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
 는 영 대상을 갖는 범주이다.
 는 의 사상들의 모임이다. 그 원소를 약한 동치()라고 한다. 이를 로 나타내자.
 는 의 사상들의 모임이다. 그 원소를 쌍대올뭉치()라고 한다. 이를 로 나타내자.
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
 모든 동형 사상은 약한 동치이자 쌍대올뭉치이다.
 영 대상으로부터의 사상 는 쌍대올뭉치이다.
 쌍대올뭉치는 합성에 대하여 닫혀 있다.
 임의의 에 대하여, 밂 으로 가는 표준적 사상 는 쌍대올뭉치이다.
 다음 가환 그림이 주어졌을 때, 유도 사상 는 약한 동치이다.

발트하우젠 범주  및 자연수 이 주어졌을 때, 다음과 같은 범주 을 생각하자.
 의 대상은 다음 조건을 만족시키는 대상  () 및 이들 사이의 적절한 사상으로 구성된다.
 
 쌍대올뭉치의 열 이 존재한다.
 에 대하여, 는 의 밂이다.
 의 사상은 적절한 그림들을 가환 그림으로 만드는 -사상들의 열 로 구성된다.
그렇다면, 각  역시 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이룬다. 또한, 이들을 모두 모은 는 자연스럽게 단체 범주(, (작은) 범주의 범주에서의 단체 대상)를 이룬다.

이 연산 을 거듭해서 가하자. 그렇다면, 일련의 단체 범주 들을 얻는다. 이들은 자연스럽게 스펙트럼 을 이룬다.

의 K군들은 스펙트럼 의 안정 호모토피 군들이다.

낮은 차수의 K군

K0 

가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 0차 K군 는 의 유한 생성 사영 가군들의 그로텐디크 군이다. 이는 세르-스완 정리에 따라서, 벡터 다발의 그로텐디크 군인 위상 K군에 대응한다.

유사환에 대해서도 K군을 정의할 수 있다. 포함 함자 의 수반 함자를 사용해, 유사환 에 단위원을 추가해 환 으로 만들 수 있다. 이에 따라 짧은 완전열

이 존재한다. 그렇다면 의 K군 는 이에 의하여 유도되는 군 준동형

의 핵이다.

보다 일반적으로, 퀼런 완전 범주 의 0차 K군 는 의 대상의 동형류들로 생성되는 자유 아벨 군으로부터, 모든 허용 확대 에 대하여 로 생성되는 부분군에 대한 몫군을 취한 것이다.

K1 
가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 그렇다면, 무한 일반선형군을 다음과 같은 귀납적 극한으로 정의하자.

그렇다면, 1차 K군 는 무한 일반선형군의 아벨화이다.

K2 
가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 그렇다면, 일반선형군 의 교환자 부분군 을 생각하자. 이는 완전군이며, 따라서 보편 중심 확대를 갖는다. 이 보편 중심 확대를 의 스테인베르그 군(Steinberg群, ) 라고 한다. 이는 로베르트 스테인베르그가 도입하였다.

2차 K군 는 의 스테인베르그 군 의 중심이다.

예

유한체 
유한체 의 K군은 다음과 같다.

정수환 
정수환 의 K군의 계산은 매우 어려운 문제이다.

 = 0
이나 일반적인 경우에 대해서는 추측만 있다.

역사 
K이론의 시초는 알렉산더 그로텐디크에 의한 그로텐디크-리만-로흐 정리의 증명으로 여겨진다 (1956년). 곧 1950년대 말에 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐는 이를 위상 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 적용하여 위상 K이론을 개발하였다.

세르-스완 정리에 따라, 가환환 위의 "유한 차원 벡터 다발"은 유한 생성 사영 가군이다. 이를 사용하여, 1962년에 하이먼 배스와 스티븐 섀뉴얼이 환의 0차·1차 K군을 엄밀히 정의하였다. 2차 K군의 정의는 존 밀너가 1970년에 발견하였다. 밀너는 이 구성을 고차 에 대하여 일반화하였는데, 이를 밀너 K군이라고 한다. 그러나 고차 밀너 K군은 고차 K군과 일반적으로 다르다.

고차 K군의 올바른 정의는 대니얼 퀼런이 1970년대 초에 발견하였다. 퀼런은 플러스 구성과 Q-구성을 정의하였으며, 두 구성이 서로 일치함을 증명하였다.

이후 1985년에 프리트헬름 발트하우젠(, 1938~)이 퀼런 Q-구성을 호모토피 이론적으로 일반화한 S-구성을 발표하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

K이론
대수기하학