Ext 함자

호몰로지 대수학에서 Ext 함자(Ext函子, )는 아벨 범주의 두 대상 사이를 잇는 완전열들을 분류하는 함자이다. 사상군 함자의 유도 함자와 같다.

정의 
Ext 함자는 세 가지로 정의할 수 있다.
 Ext 함자는 특정 완전열들의 동치류 집합으로 정의할 수 있다. 이는 가장 구체적이지만 복잡하며, 또 집합론적 문제가 발생할 수 있다 (즉, Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다). 이 정의는 요네다 노부오가 도입하였다.
 단사 대상을 충분히 가지는 범주 또는 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서, Ext 함자는 오른쪽 유도 함자 또는 왼쪽 유도 함자를 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않지만, 이는 단사 대상 또는 사영 대상이 부족한 아벨 범주에서는 사용할 수 없다.
 유도 범주의 개념을 사용하면 Ext 함자는 매우 간단하게 정의된다. 그러나 유도 함자의 존재 역시 여러 집합론적 문제를 야기한다.
대수학에서 가장 중요한 경우인 환 위의 가군 범주의 경우 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 유도 함자 정의를 사용할 수 있다.

완전열을 통한 정의

0차 Ext 
임의의 아벨 범주 에 대하여, 0차 Ext 함자는 다음과 같은 사상군 함자이다.

1차 Ext 
임의 아벨 범주 의 대상 에 대하여, 의 에 대한 확대()는 다음과 같은 짧은 완전열이다.

두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 이 존재한다면, 두 확대가 서로 동치라고 한다.

(이 사상 은 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다.) 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다.

확대의 동치류들은 베어 합()이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.
두 확대 , 가 주어졌을 때, 를 와 의 에 대한 당김이라고 하자. 미첼 매장 정리를 사용하면, 이는 다음과 같다.

즉, 는 를 두 번 부분 대상으로 포함한다.
대각 사상 사용하여, 의 몫대상

을 정의할 수 있다. 이는  속에 존재하는 두 개의 를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면

는 짧은 완전열을 이룬다. 의 동치류를  , 의 동치류의 베어 합()이라고 한다. 확대의 동치류들은 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다. 베어 합의 항등원은 분할 완전열 이며, 확대 의 베어 합에 대한 역원은  또는 이다. (이 둘은 서로 동치이다.)

 속의 대상 에 대하여, 1차 Ext 함자 는 의 에 대한 확대들의 동치류 집합이다. 이는 베어 합 아래 아벨 군을 이루며, 함자

를 정의한다. 또한, 각 에 대하여

는 둘 다 가법 함자를 이룬다.

위 정의에서, 집합론적 문제를 무시하였다. 사실, (국소적으로 작은) 아벨 범주의 경우 1차 Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다. 물론, 작은 아벨 범주에 대해서는 이러한 문제가 생기지 않는다. 또한, 단사 대상을 충분히 가지는 범주나 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서는 유도 함자를 통한 정의를 사용할 수 있으며, 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않는다.

고차 Ext 
2차 이상의 Ext 함자는 임의의 아벨 범주에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

아벨 범주 가 주어졌다고 하자.  속의 대상 , 에 대하여, 의 에 대한 차 확대()는 다음과 같은 완전열이다.

두 차 확대 ,  사이에 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, 가 의 닮은 확대()라고 한다.

닮음 관계를 로 표기하자.
닮음 관계는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아니다. 닮음 관계로 생성되는 동치 관계를 생각하자. 즉, 두 차 확대 ,  사이에 다음과 같은 차 확대들의 열

이 존재하며, 이 열이 다음 조건을 만족시킨다면, 와 가 서로 동치라고 하자.
모든 에 대하여, 이거나 또는 이다.
사실, 이 동치는 두 단계로 족하다. 즉, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
 와 가 서로 동치이다.
 인 차 확대 가 존재한다.
 인 차 확대 가 존재한다.

그렇다면, 차 Ext 함자 는 의 에 대한 차 확대들의 동치류 집합이다.

두 차 확대 , 가 주어졌을 때, 를 다음과 같이 정의하자.
 일 때, 은 과 의 에 대한 당김이다.
 일 때, 이다.
 일 때, 를 과 의 에 대한 밂이라고 하자. 그렇다면 대각 사상 를 사용하여, 를 정의할 수 있다. 그렇다면, 이다.
그렇다면 는 차 확대를 이룬다.
의 동치류와 의 동치류의 합을 의 동치류로 정의하자.

그렇다면, 이 합에 대하여 는 아벨 군을 이룬다. 또한, 이는 함자

를 이루며, 각 에 대하여

둘 다 가법 함자를 이룬다.

요네다 합성 
Ext는 가법 함자를 이루므로, 아벨 범주 의 대상 에 대하여 다음과 같은 두 군 준동형이 존재한다. (여기서 는 아벨 군의 텐서곱이다.)

이는 와 를 곱하는 것으로 볼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 자연수 에 대하여 다음과 같은, 요네다 합성()이라는 군 준동형들이 존재한다.

이는 구체적으로 다음과 같다. 두 완전열

이 주어졌을 때, 이들을 이어 다음과 같은 더 긴 완전열을 정의할 수 있다.

그렇다면 의 동치류와 의 동치류의 요네다 합성은 의 동치류이다.

요네다 합성을 사용하여, 자연수 등급 아벨 군의 범주  위의 풍성한 범주 를 다음과 같이 정의할 수 있다.
 의 대상은 의 대상과 같다.
 의 사상군은 다음과 같은 자연수 등급 아벨 군이다.

 에서 사상의 합성은 요네다 합성에 의하여 주어진다.
  에서 항등 사상은 에서의 항등 사상과 같다.
에서, 각 사상군에서 양의 정수 등급 성분을 망각한다면, 만 남으므로 원래 범주 를 얻는다.

특히, 대상 에 대하여, 에서의 자기 사상 등급 아벨 군

은 자연수 등급환을 이룬다.

유도 함자를 통한 정의 
아벨 범주  속의 대상 에 대하여,

는 왼쪽 완전 함자이며,

는 오른쪽 완전 함자이다. 따라서, 만약 가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면 의 오른쪽 유도 함자를 Ext 함자라고 한다.

만약 가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면 의 왼쪽 유도 함자를 Ext 함자라고 한다.

이 정의들은 (만약 존재한다면) 위의 일반적인 정의와 일치한다. 그러나 아벨 범주는 단사 대상이나 사영 대상을 충분히 가지지 않을 수 있으므로, 이 정의는 덜 일반적이다.

특히, 환  위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주 는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 이 경우 Ext 함자를 로 표기한다.

유도 범주를 통한 정의 
Ext 함자는 유도 범주의 개념을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다.
아벨 범주 가 주어졌다고 하자. 의 대상을 하나의 성분만이 영 대상이 아닌 사슬 복합체로 간주한다면, 는 사슬 복합체 범주 의 충만한 부분 범주를 이룬다.

 속의 사슬 복합체 에 대하여,

로 정의하자. (여기서 모든 사슬 복합체의 경계 사상의 차수는 이다.) 또한, 의 유도 범주가 국소적으로 작은 범주라고 하자. 그렇다면, 의 두 대상 에 대한 차 Ext 함자는 유도 범주 의 다음과 같은 사상군이다.

(이 경우, 집합론적 문제는 원래 아벨 범주가 국소적으로 작은 범주라고 해도, 그 유도 범주는 일반적으로 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있는 것이다.)

성질 
만약 이 사영 가군이거나 이 단사 가군이라면,

이다. 또한, 다음이 성립한다.

예

벡터 공간 
체  위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이자 단사 가군이다. 즉, 벡터 공간 의 단사 분해 및 사영 분해는 자명하다.

따라서,  위의 벡터 공간 , 가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다.

아벨 군 
정수환  위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이며, 단사 가군은 나눗셈군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 는 자유 아벨 군 의 몫군 으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.

마찬가지로, 임의의 아벨 군 는 나눗셈군 의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 나눗셈군의 모든 몫군은 나눗셈군이므로  다음은 단사 분해를 이룬다.

아벨 군 , 가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. 의 사영 분해가 이라면, Ext 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다.

여기서 은 포함 사상 으로부터 유도된다. 즉, 군 준동형을 부분군에 제약한 것이다.
따라서,

이며,

는 군의 확대

들의 동형류와 일대일 대응한다.

나머지 고차 Ext 함자는 모두 0이다.

또한, 임의의 나눗셈군 에 대하여

이다. 특히, 유리수의 군 나 그 몫군 은 나눗셈군이므로

이다.

리 대수 코호몰로지 

리 대수 코호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Ext 함자와 같다. 이를 통해 리 군의 드람 코호몰로지를 계산할 수 있다.

층 코호몰로지 
위상 공간  위의 아벨 군층 의 층 코호몰로지는 다음과 같이 Ext 함자의 특수한 경우이다.

여기서
 Ext 함자는  위의 아벨 군층의 아벨 범주에서 취한 것이다.
 는 정수환 값의 상수층이다.

스킴  위의 구조층의 코호몰로지에 대하여 다음이 성립한다.

어원 
‘Ext’는 (확대)의 약자다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련있기 때문이다. 아벨 군 를 다른 아벨 군 로 확대한다면, 가능한 확대들은 와 일대일 대응한다.

같이 보기 
 Tor 함자
 그로텐디크 군
 호몰로지 차원

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 

호몰로지 대수학
이항연산