M이론

이론물리학에서 M이론(-理論, )은 11차원의 시공간에서 (즉 so(10,1)) 존재하는 물리 이론이다. 끈 이론과 달리, M이론은 기본적인 1차원 막을 포함하지 않으며, 대신 2차원 또는 5차원 막을 포함한다. 초끈 이론은 M이론의 축소화로 얻어질 수 있다.

정의 
아직 M이론을 일반적으로 어떻게 비섭동적으로 정의할 수 있는지는 알려져 있지 않지만, 다양한 극한을 취하면 이미 알려져 있는 이론들과 다음과 같이 연관돼 있다.
 M이론의 낮은 에너지 눈금의 고전적 이론은 11차원 초중력이다.
 M이론을 축소화하면 여러 끈 이론을 얻을 수 있다.
 11차원 민코프스키 공간에서의 M이론은 행렬 이론으로 비섭동적으로 정의할 수 있다.
  또는 에서의 M이론은 AdS/CFT 대응성을 통해 비섭동적으로 정의할 수 있다.
또한, M이론에 존재하는 M-막()이라는 개체들과 그 다양한 성질들이 알려져 있다.

성질 
M이론은 로런츠 계량 부호수를 가진 (10,1)차원 시공간에 존재하며,  초대칭(32개의 초전하)을 갖는다. 축소화하지 않은 M이론의 낮은 에너지 유효 작용은 11차원 초중력이다.

M이론에서 다루는 대상은 2차원의 막인 M2-막()과 5차원의 막인 M5-막()이다. M이론은 끈(1차원 막)을 포함하지 않으므로, 엄밀히 말해서 끈 이론이 아니다. (다만, M이론을 축소화하여 다양한 끈 이론을 얻을 수 있다.) 축소화하지 않은 M이론은 아무런 스칼라장을 포함하지 않으므로, 끈 이론과 달리 모듈라이를 갖지 않는다. 즉, 축소화하지 않고서는 어떤 결합 상수를 작게 만들어 섭동 이론을 전개할 수 없다. (물론, 축소화를 하면 축소화 공간의 모양에 따라서 모듈라이가 존재한다.)

축소화 
M이론을 축소화하여 ⅡA종 초끈 이론과 E8×E8 잡종 끈 이론을 얻을 수 있다. ⅡA종 초끈 이론과 E8×E8 잡종 끈 이론에서 닫힌 끈 결합 상수 가 매우 큰 극한을 취하면, 이는 축소화한 M이론에 대응되게 된다. 여기서 원래 결합 상수 는 대략 축소화한 차원의 크기에 비례하게 된다. 다른 초끈 이론들(ⅡB종, Ⅰ종, SO(32) 잡종)은 이들로부터 S-이중성과 T-이중성을 가하여 얻을 수 있다.

ⅡA종 끈 이론 
11차원 초중력을 원 () 위에 축소화하면 10차원 ⅡA형 초중력을 얻는다. 이에 따라, M이론을 원 위에 축소화하면 ⅡA형 초끈 이론을 얻을 것이라고 예상할 수 있다. ⅡA종 끈 이론과 M이론은 다음과 같이 대응한다. 특히, ⅡA종 초끈 이론에 존재하는 여러 안정한(BPS) 물체들은 M이론에서 M2-막과 M5-막으로 자연스럽게 설명된다.

여기서 은 끈 길이()이며, 는 닫힌 끈 결합 상수다. 위 표에서, 끈 이론에서의 장력들은 끈 틀()의 계량 텐서를 사용한다. 즉, 끈 틀로 계산한 단위 초부피당 작용이다.

여기서, D6-막에 해당하는 ‘칼루차-클라인 자기 홀극’이란 다음과 같다. M이론을  위에 축소화할 때, 의 등각 무한인  위에서 이 자명하지 않은 원다발을 이룬다고 하자. 이러한 원다발은 천 특성류의 적분인 정수에 따라서 분류되며, 이는 D6-막의 수와 같다. (하나의 D6-막이 존재할 때, 이는 토브-너트 공간에 해당한다. 일반적으로, 이러한 꼴의 공간은 점근 국소 평탄 공간이라고 한다.)

D8-막의 해석은 다음과 같다. D8-막은 여차원이 1인데, 이는 D9-막에 T-이중성을 가하여 얻을 수 있다. ⅡB종 초끈 이론에는 D9-막을 임의로 추가할 수 없으며, 가능한 경우는 (O9-평면과 함께) 32개의 ½ D9-막을 갖는 Ⅰ종 초끈 이론이다. 이에 T-이중성을 가하면, Ⅰ′ 초끈 이론을 얻는다. 이는 선분 위에 ⅡA를 축소화한 것으로, 선분의 양끝(O8-평면)에 각각 16개의 ½ D8-막이 존재한다 (즉,  게이지 대칭을 갖는다). 이는 M이론을 원기둥  위에 축소화한 것에 해당하며, 이때 D8-막 + O8-평면 위에 존재하는 SO(16) 양-밀스 이론은 M-이론의 경계 9-막에 존재하는 E₈ 양-밀스 이론의 게이지 군이 부분군

으로 깨진 것이다.

E8×E8 잡종 끈 이론 
M이론을 선분 () 위에 축소화하면  E8×E8 잡종 끈 이론을 얻는다. 이는 T-이중성과 S-이중성을 사용하여 다음과 같이 해석할 수 있다.
E8×E8 잡종 ⇔ (T-이중성) SO(32) 잡종 ⇔ (S-이중성) Ⅰ종 ⇐ (오리엔티폴드) ⅡB종 ⇔ (T-이중성) IIA종 ⇐ (축소화) M이론
따라서, E8×E8 잡종 끈 이론은 (T-이중 변환을 짝수번 가하였으므로) M이론을 축소화하여 얻을 수 있음을 알 수 있다.  오비폴드는 Ⅰ종 끈 이론을 얻기 위하여 가한 오리엔티폴드 사영에 의한 것이다. 즉, Ⅰ종 끈 이론의 T-이중 이론(Ⅰ′종 이론)은 ⅡA종 이론을  위에 축소화한 이론이기 때문이다.

오비폴드에 의하여, 선분 의 양끝에는 세계끝 9-막()이 존재하고, 각각 E8 게이지 전하를 가진다.

이 축소화는 페트르 호르자바()와 에드워드 위튼이 1996년 발견하였다. 따라서 이를 호르자바-위튼 이론()라고도 하고, 세계끈 9-막을 호르자바-위튼 벽()이라고 한다.

이 경우,
 11차원 초중력을 선분 위에 축소화하려면, 변칙을 피하기 위하여 선분의 양끝에 각각 E8 양-밀스 이론이 존재하여야 한다.
 M2-막은 BPS이려면 오비폴드의 양끝에 붙어 있어야 한다. 이에 따라서, 이는 10차원에서 1차원 막을 이룬다.
 M5-막은 오비폴드 양끝에 붙어 있으면 BPS일 수 없다. 따라서, 이는 10차원에서 5차원 막을 이룬다.

9차원으로의 축소화 
M이론을 2차원 원환면  위에 축소화시키자. 원환면의 두 반지름을 과 이라고 할 때, T-이중성으로 인하여 모듈라이 공간의 모양은 다음과 같다.

{|
| style="text-align: right" | ⅡA 끈 이론
| colspan=4 |
| M이론
|-
| rowspan=4 |
| style="font-size: smaller; vertical-align: top; text-align: right" | ∞
| rowspan=3 colspan=3 style="border-left: solid 1px; border-bottom: solid 1px; width: 5em; height: 5em" |
|-
| R10
|-
|  style="font-size: smaller; vertical-align: bottom; text-align: right" | 0
|-
|
| style="font-size: smaller; vertical-align: top;" | 0
| style="text-align: center; vertical-align: top;" | R11
| style="font-size: smaller; vertical-align: top; text-align: right;" | ∞
|-
| style="text-align: right" | ⅡB 끈 이론
| colspan=4 |
| ⅡA 끈 이론
|}

이는 대각선을 따른 반사 에 대하여 불변이다. 사실, 원환면의  사상류군이 이 모듈라이 공간 위에 작용하는데, 이는 ⅡB 끈 이론의 S-이중성에 해당한다.

마찬가지로, M이론을  위에 축소화하면, 다음과 같은 모듈라이 공간을 얻는다. (여기서 선분의 길이는 이며, 원의 반지름은 이다.)
{|
| style="text-align: right" | E8×E8 잡종 끈 이론
| colspan=4 |
| M이론
|-
| rowspan=4 |
| style="font-size: smaller; vertical-align: top; text-align: right" | ∞
| rowspan=3 colspan=3 style="border-left: solid 1px; border-bottom: solid 1px; width: 5em; height: 5em" |
|-
| R10
|-
|  style="font-size: smaller; vertical-align: bottom; text-align: right" | 0
|-
|
| style="font-size: smaller; vertical-align: top;" | 0
| style="text-align: center; vertical-align: top;" | R11
| style="font-size: smaller; vertical-align: top; text-align: right;" | ∞
|-
| style="text-align: right" | Spin(32) 잡종 / Ⅰ 끈 이론
| colspan=4 |
| Ⅰ′ 끈 이론
|}
여기서 “Ⅰ′ 끈 이론”이란 ⅠA 끈 이론을 선분 위에 축소화한 것으로, Ⅰ 끈 이론에 T-이중성을 가한 것이다. 이는 게이지 군 SO(16)×SO(16)을 갖는다.  극한에서는 결합 상수의 값에 따라 Spin(32)/(ℤ/2) 잡종 끈 이론 또는 Ⅰ 끈 이론을 얻는다.

유질량 ⅡA 끈 이론 
ⅡA종 초끈 이론에서, 0차 장세기 을 켜면, 유질량 ⅡA 초끈 이론() 또는 로만스 끈 이론()이라는 이론을 얻는다. 원 위에 축소화된 유질량 ⅡA 초끈 이론은 셰르크-슈워츠 메커니즘으로 원 위에 SL(2;ℤ) S-이중성을 사용하여 뒤틀리게 축소화된 ⅡB 초끈 이론과 T-이중성 아래 동치이다.

이는 M이론으로부터 다음과 같이 구성될 수 있다. 우선, 원 위의 원환면 올다발

을 생각하자. 이는 원환면의 사상류군 에 의하여 분류되는데, 여기에 T변환

을 사용하자. (이는 3차원 영다양체에 해당한다.) 이는 원의 반지름 와 원환면의 넓이  및 복소구조 에 의존하는데, 를 고정시키고  극한을 취하면 유질량 ⅡA 끈 이론을 얻는다.

K3 위의 축소화 
M이론을 K3 곡면 위에 축소화하여 7차원 이론을 얻을 수 있다. 이 경우, 이는 S-이중성 아래 3차원 원환면 위에 축소화된 잡종 끈 이론과 동치이다.

이 밖에도, M이론을 G2 홀로노미의 7차원 다양체 위에 축소화할 수 있다. 이 경우, 4차원에서  초대칭을 갖는 이론을 얻는다.

M-막 
11차원 초중력은 오직 3차 미분형식 게이지 퍼텐셜 만을 포함한다. 따라서, 에 대한 전기 홀극인 M2-막()과 자기 홀극인 M5-막()이 존재한다.

M2-막 
1995년 폴 킹즐리 타운젠드()가 M2-막이 ⅡA종 초끈 이론의 기본 끈과 관련되어 있다고 제안하였다.

2007년 조너선 배거()와 닐 램버트(), 안드레아스 구스타브손()이 M2-막 세계부피 이론의 작용을 발견하였다. 이를 발견자의 머릿글자를 따 BLG 모형()이라고 한다. 이 모형은 리 괄호를 일반화한 "3-대수" 라는 수학적 구조를 사용하는데, BLG 모형과 동등하지만 특수한 수학적 구조를 사용하지 않는 ABJM 모형 도 알려져 있다.

정적 게이지()에서, 하나의 M2-막에 존재하는 장들은  초등각 대칭에 따라 결정되며, 다음과 같다.

여기서 는 M2-막의 3차원 세계부피에 수직인 개의 방향들과 대응한다.

M2-막의 장력은

이다. 여기서 는 11차원 시공간의 플랑크 길이다.

M5-막 

M5-막은 M2-막보다 덜 알려져 있다. M5-막의 세계부피 이론은  초대칭을 가지는 등각 장론이다. M5-막이 겹치지 않은 경우에는 그 세계부피 작용이 일려져 있지만, 여러 M5-막이 겹친 경우에는 알려져 있지 않고, 아마 국소적인 라그랑지언이 존재하지 않는 이론일 것이라 추측된다.

정적 게이지()에서, 하나의 M5-막에 존재하는 장들은  초등각대칭에 따라 결정되며, 다음과 같다.

여기서 는 M5-막의 6차원 세계부피에 수직인 개의 방향들과 대응한다.

M5-막의 장력은 다음과 같다.

이는 ⅡA종 끈 이론으로 환산하면 NS5-막의 장력과 같은데, 이는 NS5-막이 감기지 않은 M5-막이기 때문이다.

M2-막의 1+1차원 경계는 M5-막에 붙어 있을 수 있다. 이는 ⅡA 끈 이론에서, D2-막(또는 기본 끈)이 D4-막에 붙어 있는 것에 해당한다. 사실, 끈 이론에서 기본 끈이 D-막에 붙어 있는 것은 사실 D-막이 깔때기 모양으로 늘어져 있는 것이라는 사실과 마찬가지로, 이는 M5-막이 깔때기 모양으로 늘어져 있는 것에 해당한다.

역사 
1990년대 초기에는 총 5개의 초끈 이론들이 알려져 있었다. 이들은 10차원에 존재하는, 끈을 포함하는 이론이며, 이들 사이에는 T-이중성과 S-이중성 등 여러 관계가 존재한다. 1995년에 에드워드 위튼은 이들 5개의 초끈 이론들을 끈을 포함하지 않고, 11차원에 존재하는 어떤 "M이론"을 통해 얻을 수 있다는 증거를 제시하였다. 즉, 5개의 초끈 이론은 하나의 M이론의 다양한 극한(모듈러스 공간의 귀퉁이)에 해당한다. 이 사건을 제2차 초끈 혁명()이라고 한다.

위튼에 따르면, M이론의 ‘M’은 , , 또는 의 머릿자라고 한다. 은 막을 뜻하는 단어인데, 이는 M이론이 끈을 포함하지 않고, 대신 2차원 및 5차원 막을 포함하기 때문이다.

1996년에 톰 뱅크스()와 빌리 피스흘러르(), 스티븐 하트 솅커()와 레너드 서스킨드가 축소화하지 않은 M이론을 행렬 변수에 대한 양자역학의 특정한 극한으로 정의하였다. 이를 행렬 이론()이라고 한다. 영어명 ""는 행렬을 뜻하는 의 머릿글자가 M이론과 같은 "M"임을 농으로 딴 것이다.

1997년에 후안 말다세나는 AdS/CFT 대응성을 발표하면서, AdS4×S7 또는 AdS7×S4에 축소화한 M이론을, 겹친 M2-막 또는 M5-막의 세계부피 이론으로 비섭동적으로 정의할 수 있음을 보였다. 그러나 보다 더 잘 알려진 D3-막의 경우와 달리 M-막의 세계부피 이론은 오랫동안 알려지지 않았다. M2-막의 세계부피 이론은 2008년에 발견되었으나, 아직 M5-막의 세계부피 이론은 알려지지 않고 있다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 

중력
끈 이론