경우의 수

경우의 수(境遇─數, )란, 어떤 사건(일)이 일어날 수 있는 경우의 가짓수(outcomes)를 수로 표현한 것이다.

개요 
1회의 시행에서 일어날 수 있는 사건의 가짓수를 n이라고 할 때 이 때의 경우의 수를 n이라고 한다. 경우의 수는 확률과 매우 밀접한 관계를 가지는데 이는 각 사건이 일어날 확률들의 관계를 알 수 있다면 경우의 수를 통해 각 확률을 구할 수 있기 때문이다.

합의 법칙·곱의 법칙 
독립사건 A 또는 B가 일어나는 경우의 수를 구할 때에는 합의 법칙이 이용된다. 예로, 주사위 2개를 던져서 나온 눈의 수의 합이 7 또는 8인 경우의 수를 구하기 위해서는 두 독립사건 '주사위의 합이 7이 될 경우의 수'와 '주사위의 합이 8이 될 경우의 수'의 경우의 수를 합하면 된다.

반면에 독립사건 A와 B가 동시에 일어나는 경우의 수를 구할 때에는 곱의 법칙이 이용된다. 예로, 주사위 3개를 동시에 던져서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 세 독립사건 '주사위를 던져서 1~6 중 하나의 숫자가 나옴'의 경우의 수를 곱하여 구할 수 있다.

스포츠 
여기서 경우의 수는 4가지가 존재한다. 첫째는 평소대로 승리하면 본선 진출, 패하면 본선 탈락. 그러나 여기서는 두 가지가 추가로 더 존재한다. 자력으로 진출이 어려워 최종전에서 아무리 이겨도 다른 경기 때문에 탈락, 반대로 최종전 전부터 이미 본선에 진출하기에 안정적으로 되어있어서 최종전에서 비록 져도 다른 경기가 재수없어서 그대로 본선에 진출하는 4가지가 존재한다.

축구 

 여기서는 도하의 기적을 대표적인 예시를 들 수 있다. 1994년 FIFA 월드컵 아시아 지역 예선에서 대한민국이 조선민주주의인민공화국을 무조건 이겨놓고 같은 시간에 일본이 이라크와 비기거나 져야 1994년 FIFA 월드컵에 진출할 수 있었다. 이렇게 되면 대한민국이 일본하고 승점은 같아지나, 골득실차에서 앞서기 때문이고, 일본이 지면 승점에서 앞서기 때문이다. 그러나, 대한민국이  조선민주주의인민공화국하고 비기거나 지면 일본과 승점에서 밀려 무조건 탈락이고, 설령 이기더라도 일본이 이라크를 이겨버리면 마찬가지로 승점에서 밀려 탈락해버린다. 다행히, 대한민국은 조선민주주의인민공화국을 3:0으로 이겼다, 그런데 일본은 이라크를 2:1로 앞서고 있었다. 이러면 대한민국은 탈락이었으나 후반 추가시간에 이라크가 동점골을 넣는 바람에 대한민국이 극적으로 1994년 FIFA 월드컵에 진출하였다.
 2002년 FIFA 월드컵의 B조의 파라과이에서도 그런 경우의 수가 발생하기도 했다. 파라과이는 스페인에게 지고, 남아공하고 비겨서 자력으로 16강 진출이 불가능했다. 최종전에서 슬로베니아를 무조건 이겨놓고, 같은 시간에 이미 확정지은 스페인이 남아공을 무조건 이겨놓아야 한다. 최종전에서 비기거나 지면 탈락이고, 이겨도 스페인이 비기거나 지면 역시 탈락이 된다. 파라과이는 최종전에서 비록 선제골을 내줘도 이후 3골을 넣어서 역전승을 하였다. 그러는 사이 스페인이 남아공을 3:2로 간신히 이겨서 3승을 거두면서 파라과이는 남아공과 승점 4점과 골득실차가 0점으로 모두 같았지만 다득점에서 1점차로 파라과이가 앞서 가까스로 조 2위로 16강에 진출하였다.

C조 

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H조 

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 2010년 FIFA 월드컵의 C조의 슬로베니아와 H조의 칠레도 그런 경험이 있었다.  H조의 칠레는 안정적으로 2승을 거둬 16강 진출 가능성이 확실해 보였으나 최종전에서 스페인에게 1:2로 패했다. 한편, 1승 1패를 달리던 스페인도 최종전에서 이겨 2승 1패가 되었고 칠레도 2승 1패로 승점이 같았으나 골득실차에서 스페인이 앞섰다. 그런데 확실하게 칠레가 16강 진출이 확정된 상황은 아니었다, 이는 같은 시간에 스위스가 온두라스를 1:0으로만 이기면 스위스도 일단 2승 1패가 되고 승점도 서로 같아진다. 하지만, 여전히 칠레가 스위스보다 다득점원칙에 앞서 그대로 조 2위를 유지할 수 있으나 스위스가 2점차 이상 이길 시에는 칠레가 스위스보다 골득실차에 밀려 조 3위로 탈락할 수밖에 없었는데, 다행히 스위스가 온두라스에게 선제골 넣었다는 소식도 전혀 없었고 0:0으로 그대로 끝나 1승 1무 1패로 떨어져 칠레가 조 2위로 16강에 진출하였다. 그러나, 16강에서 브라질을 만나 0:3으로 대패하고 탈락하였다. 
 한편, C조의 슬로베니아는 미국과 비기고, 알제리를 승리했지만 최종전에서 잉글랜드에게는 1골차로 패했다. 총 승점은 슬로베니아는 1승 1무 1패, 잉글랜드는 1승 2무가 되었지만, 조 1위와 조 2위가 아직까지 확정되지는 않았다. 이유는 같은 시간에 미국이 알제리 경기 결과에 따라서 달라지기 때문이다. 슬로베니아 입장에서는 미국이 이겨버리면 승점에서 조 3위까지 밀려 탈락하고 반대로 알제리가 미국을 2골차로 이기면 슬로베니아와 알제리가 승점에서 같아지지만, 골득실차에서 밀려 조 3위로 탈락하게 된다. 반대로 조금 우려해야 될 점은 알제리가 2점차 이상으로 미국을 이겨도 슬로베니아는 이번엔 알제리에게 16강을 빼앗겨 탈락하게 된다. 그런데, 미국이 알제리와 서로 동등하게 비기면 미국이 3무승부로 떨어져 최종전에서 슬로베니아가 비록 져도 조 2위로 16강에 진출할 수 있고, 반대로 알제리가 미국을 1점차만 이길 시에는 역시 슬로베니아와 알제리 승점이 모두 1승 1무 1패가 되고, 골득실차도 0점으로 서로 같아지지만, 슬로베니아가 다득점에서 앞서 슬로베니아가 조 2위로 16강에 진출할 수 있다. 하지만, 실제로  이럴 경우 슬로베니아가 16강에서 만나는 상대는 다름 아닌 전차군단 독일이었다. 슬로베니아가 조 2위로 16강에서 만나게 되는 독일과의 경기를 펼칠 시 당연히 슬로베니아가 벅찰 수밖에 없었기 때문에 아무래도 탈락을 우려할 수밖에 없다. 즉, 실제로 조 2위로 16강에 진출했던 칠레의 비슷한 운명을 피하지 못한다는 뜻이다. 더구나 실제로 미국이 0:0으로 알제리하고 비기고 있었고 이는 정규시간 90분까지 계속되었다. 그런데, 추가시간 58초 쯤에 랜던 도노번의 극적인 선제골이 터진 바람에 슬로베니아는 갑작스럽게 조 3위로 밀려 탈락하였다. 실제 C조의 최종 결과는 미국은 조 1위가 되고, 잉글랜드는 조 2위로 16강에 진출했다.

포스트시즌 경우의 수

2014년 
한국프로야구에서 가장 대표적으로 경우의 수가 최초로 존재하는 시기는 2014년부터 시작이였다. 그런데, 정확하게 말하면 최초로 한국프로야구에서 경우의 수를 따졌을 시기는 실은 1998년부터였으나 경우의 수를 따질 의미가 거의 없는 이유는 5위 OB 베어스와 
4위 해태 타이거즈가 서로 맞대결로 붙었기 때문이다.  즉, 해태 타이거즈 입장에는 이론적으로 2경기 중 최소 한 경기만 지지만 않으면 1998년 KBO 포스트시즌에 진출할 수 있었고, OB 베어스에게는 2승을 무조건 해야 1998년 KBO 포스트시즌에 진출할 수 있었다. 
이는 OB 베어스와 해태 타이거즈 맞대결 중 한 팀이 승리하면 반드시 다른 한 팀은 반드시 패하는 결과가 자연히 나오기 때문이다. 그런데, 2014년의 SK와 LG의 경우는 맞대결이 아닌 서로 제각각 다른 팀하고 붙기 때문에 자연히 경우의 수가 발생하기 때문이다. 다만, 우선 5위 SK가 무조건 최종전을 이겨야 한다는 전제하가 먼저 붙은 후에 따르는 경우의 수이고, 이후 4위 LG가 최종전을 패하는 과정도 함께 따른다. 그런데, 이론적으로 SK가 승리한다고 해도 4위 LG도 이론적으로 다른 팀에 꼭 패하지 않은 승리할 수도 있는 조건도 가능하기 때문에 이런 결과의 경우 SK가 오히려 탈락하기 때문이다. 반대로 LG가 최종전을 진다고 해도 SK도 꼭 이기지 않고 함께 진다는 결과도 함께 나올 수 있기 때문에 이럴 경우 LG가 2014년 KBO 포스트시즌에 진출하는 조건이 주어지기 때문에 경우의 수가 최초로 생기게 된 것이다. 그래도 이론적으로는 SK가 이기고 LG가 져야 한다는 이론적으로 결과는 따르는데 서로 별개의 팀하고 붙기 때문에 경우의 수가 나오는 것이다. 그러나, 실제로 SK가 최종전에서 이기지 못했기 때문에 LG도 최종전에서 비록 졌어도 2014년 KBO 포스트시즌 4위 주인공은 그대로 LG가 되었고 경우의 수를 따질 필요는 없었다.

2018년

실제 결과 

 이번 경기에서도 이미 한화 이글스와 넥센 히어로즈가 2018년 KBO 포스트시즌 진출이 확정지었다, 그리고 11년만에 한화 이글스가 2018년 KBO 포스트시즌 진출이 비로소 확정지었다.
 2018년 KBO 포스트시즌에는 이미 확정은 지었으나 한화 이글스와 넥센 히어로즈의 3,4위이 아직까지 확실하게 결정되지는 않았다. 단, 한화 이글스가 넥센 히어로즈보다 비교적 좀 유리한 편에 서 있었기 때문에 최종전에서 넥센 히어로즈가 무조건 이긴다는 전제가 붙는 상황에서 한화 이글스가 최종전에서 지는 경우의 수였다. 넥센 히어로즈가 무조건 최종전 삼성 라이온즈를 이기지 못하는 경우는 무조건 3위권은 한화 이글스의 몫이었다.
 넥센 히어로즈가 최종전에서 무조건 삼성 라이온즈를 이기고 난 후, 한화 이글스가 지는 경우에는 변수가 일어나는데 여기서는 2014년 KBO 포스트시즌보다 더 복잡하는 경우가 생긴다. 이는 넥센 히어로즈와 한화 이글스의 승점이 서로 같아지는데 이후 맞대결에서 넥센 히어로즈와 한화 이글스를 따져야 하는데 역시 맞대결 승패가 같아져서 결정짓지는 못한다. 여기서는 득실차를 겨루는데 넥센 히어로즈가 한화 이글스보다 엄청나게 득점을 냈기 때문에 이런 경우에는 유일하게 3위권은 넥센 히어로즈가 된다.
 넥센 히어로즈가 무조건 이기고 난 후의 일이지만, 한화 이글스가 비기거나 이기면 넥센 히어로즈가 이겨도 그대로 한화 이글스가 3위, 넥센 히어로즈가 4위가 된다. 승점에서 한화 이글스가 앞서기 때문이다. 

 하지만, 넥센 히어로즈는 초반부터 삼성 라이온즈에게 홈런을 연달아 맞더니 이후에도 계속된 삼성 라이온즈의 홈런과 대거 득점으로 인해서 5:12로 크게 패해서 그대로 4위를 유지했다. 그런데, 실제로 같은 시간에 한화 이글스가 NC 다이노스를 상대로 10:8로 승리했기 때문에 사실상 최종전 경기 결과 상관없이 4위를 그대로 유지해야 했다.
 한편, 한화 이글스는 초반부터 NC 다이노스에게 불안한 경기를 계속 펼쳤지만 다행히 아직 넥센 히어로즈가 지고 있어서 이대로 끝난다면 안정적으로 3위를 유지할 수 있는 상황인데도 NC 다이노스를 상대로 역전승을 거두어 10:8로 뒤집어버렸다. 이로써 한화 이글스는 11년만에 사상 최초의 3위권을 유지한 채 2018년 KBO 포스트시즌에 비로소 진출하게 되었다.

2021년 
 2021년 때에는 한국프로야구 사상 최초로 1~6위까지 경우의 수를 따지게 되었다. 즉, 최소 전체 경기 모두가 경우의 수를 따지게 된 것이다. 여기서도 KT 위즈와 삼성 라이온즈가 대표적인데 역시 맞대결이 아니라 KT 위즈는 SSG 랜더스, 삼성 라이온즈는 NC 다이노스하고 붙게 되기 때문에 단독 1위를 위해서는 자기가 무조건 최종전을 이기고 경쟁하는 다른 팀이 무조건 져야 단독 1위를 할 수 있다는 이론이다. 추가로 LG 트윈스도 여기에 해당되는데 역시 롯데 자이언츠라는 별개의 팀하고 붙는데 역시 자기가 최종전에서 무조건 이겨놓고 KT와 삼성이 무조건 패해야 된다는 전제하가 붙는다. 
 기타로 4~6위도 최종 순위가 진정하게 가려지지는 않았다. 우선 두산 베어스의 경우는 4위로 유리한 조건을 달리고 있으며 이기거나 무승부만 하면 자연히 4위 확정을 지을 수 있다, 그런데 두산 베어스가 최종전에서 혹시 패할 때부터 5위 SSG 랜더스의 승패에 따라 순위가 흔들리기 때문이다. 단, 여기서 SSG 랜더스가 최종전을 무조건 이기는 전제하 조건에서 두산 베어스가 패하는 이론도 함께 반드시 따라야 한다. 이럴 경우 이론적으로 유일하게 SSG 랜더스가 4위를 차지하고 두산 베어스는 5위로 떨어지게 된다. 즉, 두산 베어스의 경우 최종전을 패하는 경우에만 SSG 랜더스 경기를 지켜봐야 하는데 SSG 랜더스가 승리하면 4~5위가 흔들려도 SSG 랜더스가 반대로 이기지 못할 경우 두산 베어스는 그대로 4위를 유지하게 된다. 한편, 5위 SSG 랜더스의 경우는 이기거나 비기기만 해도 최소 5위는 유지할 수 있어 와일드카드로 일단 포스트시즌 진출은 가능하다. 그런데, 패할 때부터 또다른 경우의 수가 발생하는데 그건 키움 히어로즈가 최종전을 무조건 이기는 상황이 발생할 시, SSG 랜더스는 4위는 커녕 5위도 유지하지 못한 채 6위로 떨어져 탈락하기 때문이다. 그래서 SSG 랜더스는 최소 5위를 유지하기 위해서는 최소 이겨야 하고 운좋게 두산 베어스가 지면 4위까지 노릴 수 있는데 오히려 패하면 그냥 5위로 그치지 않고 키움 히어로즈가 혹시 최종전에서 이길 시에 탈락하기 때문이다. 물론 SSG 랜더스가 지더라도 키움 히어로즈가 이기지 못할 경우 SSG랜더스 5위는 그대로 유지된다.
 그리고, 4위는 자연히 포스트시즌에 진출이 되지만 1승을 먼저 가지고 있는 상태에서 5위 와일드카드 팀하고 두 경기를 갖게 된다. 반면 5위의 경우는 와일드카드로 즉시 탈락 확정은 아니나, 4위와 2경기를 모두 이겨야 하는 상태이기 때문에 좀 불리한 조건을 가지고 있다. 
 한편, 6위 키움 히어로즈의 경우는 무조건 최종전을 이기는 전제하에 SSG 랜더스가 져야 하는 경우의 수가 따른다. 비기거나 지면 경우의 수가 사라지고 자연히 탈락하기 때문이다. 2021년 KBO 포스트시즌에 탈락이냐? 와일드카드로 최소 진출이냐? 라는 결정적이고 대표적인 경우의 수가 7년만에 여기서 또 나타난 것이다.

1~3위 결정전 
KT 위즈와 삼성 라이온즈는 모두 제각각 자신의 최종전 경기를 무조건 승리해놓고 경쟁하는 다른 팀이 져야 되는 상황인데 KT 위즈와 삼성 라이온즈 모두 승리하는 바람에 10월 31일에 타이 브레이커를 치르게 되었다. 또, 사실상 3위로 포스트시즌이 확정된 LG 트윈스도 단독 1위를 노리기 위해서는 최종전을 무조건 이겨놓고 KT 위즈와 삼성 라이온즈가 모두 져야 어부지리로 우승을 거머쥘 수 있었으나 정작 롯데 자이언츠에게 패하여 2위으로 들어가는 목표는 물거품이 되었다.

4~6위 결정전 
무조건 이겨서 최소 와일드카드로 포스트시즌에 진출하는 키움 히어로즈는 최종전을 크게 이기고 같은 시간에 SSG 랜더스가 지는 결과가 나타나서 기적적으로 포스트시즌에 진출했다. 이렇게 SSG 랜더스가 실제로 졌기 때문에 두산 베어스의 경우는 최종전 결과 상관없이 4위가 확정되었음에도 불구하고 최종 경기를 승리로 기록하여 사실상 다른 팀 경우의 수를 유일하게 따질 필요 없이 최종 경기를 마쳤다. 그리고, 두산 베어스가 키움 히어로즈와 와일드카드 2경기를 벌이게 된다. 한편, 안정적으로 이겨야 최소 5위를 지킬 수 있었고, 또 운이 좋으면 두산 베어스가 패하여 최고 4위까지 노릴 수 있었던 SSG 랜더스는 안타깝게도 최종전 경기를 크게 참패하여 6위로 밀려 이번 해에 경우의 수를 따지는 다른 팀들 중에서 유일하게 탈락하는 신세가 되고 말았다.

예시 
 주사위를 던지는 경우 그 결과는 1 이상 6 이하의 자연수로 된 눈 숫자 중 1가지가 나오게 된다. 이때 경우의 수는 6이다.
 윷을 던지는 경우 그 결과는 도, 개, 걸, 윷, 모 의 5가지 중 1가지가 나오게 된다. 이때 경우의 수는 5이다.
 가위바위보를 하는 경우 그 결과는 가위, 바위, 보 의 3가지 중 1가지가 나오게 된다. 이때 경우의 수는 3이다.
 동전을 던지는 경우 그 결과는 앞면, 뒷면 2가지 중 하나가 나온다. 이때 경우의 수는 2이다.

확률과 통계