프리드만 방정식

프리드만 방정식()이란 일반 상대성의 틀에서 균일·등방한 우주의 공간 팽창을 지배하는 물리 우주론 방정식이다. 두 방정식은 1922년에 알렉산드르 프리드만이 질량 밀도 ρ와 압력 가 주어진 이상 유체와 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량에 대한 아인슈타인의 장 방정식으로부터 처음 유도하였다. 음의 곡률에 대한 방정식은 프리드만이 1924년에 유도하였다.

가정 

프리드만 방정식은 우주가 공간적으로 균일하고 등방하다는 단순 가정, 즉 우주 원리에서 시작한다. 경험적으로 이는 100 Mpc 수준보다 큰 규모에서 타당하다. 우주 원리는 우주의 계량이 다음과 같은 형태여야 함을 시사한다.

여기서 는 평탄한 공간이거나 일정한 양의 곡률을 가지는 구면 공간이거나 일정한 음의 곡률을 가지는 쌍곡 공간이어야 하는 3차원 계량이다. 이러한 계량을 프리드만-르메트르-로버트슨-워커(FLRW) 계량이라 일컫는다. 계수 는 후술하다시피 0, 1, -1의 값을 가지는 가우스 곡률로, 각 값은 전술한 세 경우를 나타낸다. 이로써 우리는 척도인자 를 합리적으로 기술할 수 있다.

이제 아인슈타인의 방정식은 척도인자의 진화를 우주의 압력과 에너지와 결부한다. FLRW 계량에서 크리스토펠 기호를 계산한 후, 리치 텐서를 계산한다. 그리고 이상 유체에 대한 응력-에너지 텐서를 아인슈타인의 장 방정식에 대입하면 프리드만 방정식을 얻을 수 있다.

방정식 
균일하고 등방한 우주를 기술하려면 독립된 두 프리드만 방정식이 필요하다. 처음의 것은

.

이는 아인슈타인의 장 방정식의 00 성분에서 유도된 것이다. 두 번째 것은

.

이는 처음 식과 아인슈타인의 장 방정식의 대각합에서 유도된다. 두 방정식의 차원은 이다.

는 척도인자, 와 과 는 각각 뉴턴의 중력상수,  차원의 우주상수, 진공에서 빛의 속도인 보편상수이다. 와 는 단위 체적당 질량 밀도와 압력을 나타내며, 는 이 해에서 상수이나, 다른 해에서는 가변적일 수 있다.

상기한 방정식에서 와 와 는 시간에 대한 함수이다. 는 주어진 시점마다 우주의 공간 곡률이다. 이는 공간 리치 곡률 스칼라 의 6분의 1과 같다. 그 이유는 프리드만 모형에서 이 다음처럼 쓰이기 때문이다.

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는 허블변수이다.

프리드만 방정식에서 는 주어진 공간에 대한 좌표계에 의존하지 않는다. 와 를 통해 동일한 물리적 결과를 기술하는 관점으로는 다음과 같은 두 가지가 흔히 적용된다.

이나 이나 은 각각 우주의 모양이 닫힌 3-스피어거나 평탄하거나 3-쌍곡면인지에 따라 결정된다. 인 경우, 는 우주의 곡률 반경이 된다. 인 경우는 풀어 말해서 를 우주의 곡률 반경이라 할 수 있다.

는 오늘날의 값이 1인 척도인자이다. 는 현재(일 때) 공간 곡률이다. 우주의 모양이 초구이고 가 곡률 반경(현재는 )일 경우, 이다. 가 양의 값을 가진다면 우주는 초구가 된다. 이라면 우주는 평탄하다. 가 음수라면 우주는 쌍곡면이다.

처음 방정식을 사용하면 두 번째 방정식은 를 소거하여 다음처럼 다시 쓸 수 있다.

,

이는 다음처럼 질량-에너지 보존을 나타낸다.

.

이따금은 우주상수를 포함하여

위처럼 대체한 후 다음과 같은 식을 내놓는다.

간단한 형태의 두 번째 방정식은 이러한 변환에 대해 불변이다.

허블변수는 질량 밀도나 진공에너지, 공간 곡률처럼 방정식의 다른 부분이 시간에 의존할 때 시간에 따라 변화한다. 오늘날의 허블변수는 허블의 법칙에서 비례상수에 해당하는 허블상수이다. 유체에 상태 방정식을 적용하면, 프리드만 방정식은 유체의 밀도에 대한 함수로서 우주의 시간적 진화와 모양을 내놓는다.

일부 우주론자는 프리드만의 방정식 중에서 두 번째 방정식을 프리드만 가속 방정식()으로 쓰고, 첫 번째 방정식만을 프리드만의 방정식으로 나타낸다.

밀도계수 

밀도계수() 란 관측된 실제 밀도 와 프리드만 우주의 임계밀도 의 비율로 정의된다. 예컨대 실제 밀도와 임계밀도의 관계는 우주의 전반적인 모양을 결정한다. 두 밀도가 같다면 우주의 모양은 평탄하다. 우주상수 항을 고려하지 않은 초기 모형에서는 임계밀도가 영원히 팽창하는 우주와 팽창하다가 수축하는 우주를 구분하는 분기점으로 정의되기도 하였다.

오늘날 우주의 임계밀도는 입방미터 당 수소 원자 다섯 개와 비슷한 값을 가지는 것으로 추산되며, 보통 물질의 평균 밀도는 입방미터 당 수소 원자 0.2~0.25개 수준으로 여겨진다.

상당 부분의 밀도는 규명된 바 없는 암흑물질에서 비롯된 것이다. 보통 물질과 암흑물질 모두 우주가 수축하게끔 하는 성질을 가지고 있다. 그러나 가장 많은 부분은 암흑에너지에서 비롯되며, 암흑에너지는 우주상수 항을 설명하는 역할을 한다. 총 밀도는 임계밀도와 (정확히는 측정 오차 범위 내에서) 동일하더라도 암흑에너지는 우주가 수축하게끔 하지 않고, 그 팽창을 가속한다. 그러므로, 우리 우주는 영원히 팽창할 가능성이 높다.

임계밀도는 기본 프리드만 우주에서와 같이 우주상수 가 0이고 규격화된 공간 곡률 가 0이라는 가정을 통해 구할 수 있다. 이를 첫 번째 프리드만 방정식에 대입하면 다음을 구할 수 있다.

여기서 이다. 즉, 일 경우 이며, 이다.

그러면 밀도계수를 다음처럼 정의하여 서로 다른 우주론 모형을 비교하는 데 유용하게 쓸 수 있다.

.

본래 이 항은 우주의 모양을 결정하는 도구로 쓰였다. 여기서 는 공간의 모양이 평탄할 때, 달리 말하면 유클리드적인 경우를 나타내는 임계밀도다. 진공에너지를 0으로 가정하면, 가 1보다 클 때 우주의 공간은 닫힌 형태이다. 이 경우에 우주는 어느 순간에 팽창을 멈추고 붕괴한다. 반대로 가 1보다 작다면 우주 공간은 열린 형태이며, 우주는 영원히 팽창한다. 그러나 공간 곡률과 진공에너지 항 역시 보다 일반적인 형태의 로 나타내는 것이 가능하다. 이 경우 밀도계수는 정확히 1과 같다. 그러면 각 성분은 아래첨자를 사용하여 나타내면 된다. ΛCDM 모형에서는 의 주성분으로 중입자 물질, 차가운 암흑물질, 암흑에너지가 있다. 우주의 모양은 WMAP 우주선이 측정한 바에 의하면 거의 평탄하다. 이는 우주를 공간 곡률 계수 가 0인 모형으로 잘 근사할 수 있음을 뜻한다. 그렇지만 이는 우주가 필연적으로 무한하리라는 의미를 내포하진 않는다. 이에 관한 단순한 시사점은 우주가 우리가 보는 부분보다 훨씬 클 수도 있다는 것이다. 비유컨대 수 킬로미터의 축척에서 지구는 거의 평탄하지만, 지구 전체의 축척에서는 평탄하지 않은 것처럼 말이다.

첫 번째 프리드만 방정식은 오늘날 밀도계수를 사용하여 다음처럼 나타내는 편이다.

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여기서 은 오늘날(일 때) 복사 밀도이며, 은 오늘날 물질(암흑물질과 중입자 물질의 합)의 밀도, 은 오늘날 "공간 곡률 밀도", 는 오늘날 우주상수 내지 진공에너지의 밀도를 나타낸다.

유용한 해 

프리드만 방정식은 다음처럼 상태 방정식을 가지는 이상 유체로 완전히 풀어낼 수 있다.

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여기서 는 압력, 는 동행 좌표계()에서 유체의 질량 밀도를 나타내며 는 상수이다.

공간적으로 평탄한 경우(), 척도인자에 관한 해는

.

여기서 는 초기 조건에 따라 고정되는 적분상수다. 이처럼 를 사용하는 해의 일반식은 우주론에서 매우 중요하다. 예컨대, 인 경우는 압력이 질량 밀도에 둔감한 물질 지배 우주를 기술한다. 일반적인 해에서는 물질 지배 우주의 척도인자가 시간 에 따라 다음처럼 좌우된다는 사실을 간단히 보일 수 있다.

.

다른 중요한 예시로는 인 복사 지배 우주의 경우가 있다. 이 경우 척도인자는

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인 우주상수 지배 우주에서는 이러한 해가 적용되지 않음을 유의하자. 이 경우는 에너지 밀도가 상수이며 척도인자는 시간에 따라 지수함수적으로 증가한다.

에 관한 다른 해는 Tersic, Balsa. "Lecture Notes on Astrophysics"를 참고하라.

혼합 

물질이 각기 다른 상태 방정식을 가지는 둘 이상의 비상호작용 유체로 혼합된 경우라면

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각 유체 에 대하여 위 식으로 분해하여 바라보는 것이 가능하다. 이 경우는

.

이를 통해 다음을 얻을 수 있다.

예컨대 이러한 항을 묶어서 다음처럼 선형적으로 나타낼 수 있다.

.

여기서 는 일 때 "티끌"(보통 물질, )의 밀도를 나타낸다. 는 일 때 복사()의 밀도, 는 "암흑에너지"()의 밀도이다. 이를 다음 식에 대입하면

척도인자 를 시간에 대한 함수로 풀어낼 수 있다.

상세한 유도 

해를 좀 더 명확히 하려면 첫 프리드만 방정식에서 완전한 관계식을 유도할 필요가 있다.

여기서

변수를 과 으로 바꿔 사용하여 적분하면

.

각 성분이 지배하는 우주에 관하여 시간에 의존하는 척도인자의 해를 찾을 수 있게 되었다. 각각 으로 가정하기도 한다. 이는 에너지 밀도를 지배하는 원천이 대략 1이라는 가정과 일맥상통한다.

, 즉 인 물질 지배 우주의 경우

전술한 을 확인할 수 있다.

, 즉 인 복사 지배 우주의 경우는

, 즉 인 Λ 지배 우주의 경우는, 시간과 척도인자에 대하여 0이 아닌 초기 조건 와 를 부여하면

Λ 지배 우주의 해는 이계도함수가 시간에 대해 양의 값을 가지기 때문에 특히 관심거리다. 이는 우주의 가속팽창과 암흑에너지 의 존재를 암시하기 때문이다.

여기서 형식상 이고 가정상 이며, 가 양수로 측정되었기 때문에 가속도는 0보다 크다.

재척도화 프리드만 방정식 

인자들을 다음처럼 둔다.

여기서 와 는 각각 오늘날 척도인자와 허블변수다. 그러면 다음을 취할 수 있다.

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여기서

어떤 형태의 유효 퍼텐셜 이든 퍼텐셜을 생성하는 상태 방정식은 의 꼴이다.

같이 보기 
 (Mathematics of general relativity)
 (Solutions of the Einstein field equations)
 (Warm inflation)

각주

추가 읽기 
 Liebscher, Dierck-Ekkehard (2005). "Expansion". Cosmology. Berlin: Springer. pp. 53–77.

일반 상대성이론
물리우주론
방정식