점화식

수학에서 점화식(漸化式)은 수열에서 이웃하는 두개의 항 사이에 성립하는 관계를 나타낸 관계식이다. 즉, 수열  의 각 항  이 함수 f를 이용해서

처럼 귀납적으로 정해져 있을 때, 함수 f를 수열  의 점화식이라고 하며, 또한, 수열  은 점화식 f 로 정의된다고 한다.

점화식을 푼다는 것은 귀납적으로 주어진 수열  의 일반항  을 n 의 명시적인 식으로 나타내는 것을 말한다.

인접 2항간 점화식 
수열{an} 이 점화식에 의해서 정의되고 점화식이 변수가 하나인 함수 f에 의해서

 an+1 = f(an)

로 나타내지고 있을 때, 이 점화식은 인접 2항간의 점화식이라고 한다.

인접 2항간 선형 점화식 
인접 2항간 점화식중 f 가 일차식

 an+1 = p(n) · an + q(n) (p, q는 n 의 함수)

일 때, 선형이라고 한다.

계수가 모두 상수인 경우 
계수 p, q가 상수인 2항간 점화식, 즉,

 an+1 = p · an + q (p, q는 n 에 관계하지 않는 상수)

라면, 이 점화식은 다음과 같이 해서 등차수열 혹은 등비수열에 귀착되어 일반항 n 의 식으로 명시적으로 기술할 수 있다.：

p = 1 일 때, 점화식은 an+1 = an + q
이며, 이것은 등차수열을 나타낸다.

p ≠ 1 일 때, 점화식 an+1 = p · an + q 의 특성방정식이라 불리는 x = px + q 의 근을 α 라고 하면, 점화식은
an+1 - α = p (an - α)
으로 변형할 수 있다. 이것은 일반항이 bn = an - α 로 정의되는 수열{bn} 이 공비가 p 인 등비수열이 된다는 뜻이 되며, bn 을 n 의 식으로 쓸 수 있다. 다시, an = bn + α 이므로, 이것도 n 의 식으로 표현이 가능하다.

예 : 하노이의 탑 
유명한 하노이의 탑(Tower of Hanoi) 문제가 있다.  개의 원판을 이동하는 회수를 수열 으로 정의하자.  개의 원판을 이동시키기 위해서는 그 위쪽 개의 원판을 다른 막대로 이동한 후, 맨 아래쪽 원판을 이동하고 다시 개의 원판을 이동해야 하므로 다음과 같은 점화식이 성립함을 알 수 있다.

선형 점화식이므로 간단하게 일반항이 임을 알 수 있다.

등차수열·등비수열의 점화식 
등차수열이나 등비수열은 인접 2항간 점화식의 매우 특수한 형태이며, 그 정의에 의해 매우 단순한 점화식을 가진다. 즉,

 an+1 = an + d (d는 상수)

와 같이 된다. 이 등차수열의 점화식에서 상수 d가 공차(공통적인 차이)이다. 이 점화식을 풀면 일반항의 식은 an = a1 + (n - 1)d 이 된다. 마찬가지로

 an+1 = r · an (r는 상수)

이 등비수열의ff,상수 r 이 공비(공통적인 비율)이다. 이 점화식을 풀면 an = rn-1 · a1 이란 일반항을 얻을 수 있다.

계수가 상수가 아닌 경우 
이러한 경우 적절한 변형을 통해 해결이 가능한 형태로 변형해주는 작업이 필요하다. 몇몇 특수한 경우에 풀이법이 잘 알려져 있다.

p(n) = 1 인 경우 
이 경우 계차수열(인접한 두 항의 차로 이루어진 수열)이 이라는 일반항을 알고 있는 상태가 된다. 따라서 그 합을 구하면 즉시 일반항을 알 수 있게 된다. 점화식에 1부터 n까지 차례로 대입하여 다음 식들을 구성한다.

이므로 변변 모두 더하면 다음과 같은 일반항을 구할 수 있다.

q(n) = 0 인 경우 
이 경우 인 경우와 마찬가지로 점화식에 1부터 n까지 차례로 대입하여 변변 곱하면 다음과 같은 일반항을 구할 수 있다.

p(n)만 상수인 경우 

점화식이 위와 같은 경우 양변을 으로 나누면 다음과 같이 식을 바꿀 수 있다.

그러면 일반항이 인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다. 계차수열 의 합을 이용하여 일반항을 구한다.

p(n) = (n+1)/n 인 경우 

점화식이 위와 같은 경우 양변을 으로 나누면 일반항이 인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다.

p(n) = n 인 경우 

점화식이 위와 같은 경우 양변을 으로 나누면, 일반항이 인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다.

인접 3항간 점화식 
수열 {an} 이 점화식에 의해서 정해지며, 점화식이 2 변수 함수 f에 의해서

 an+2 = f(an+1, an)
로 표현될 때, 이 점화식은 인접3항간의 점화식이라고 한다.

인접 3항간 선형 점화식 
인접 3항간 점화식 중 f 가 일차식
（p, q, r 은 n 의 함수）

일 경우 선형이라고 한다.

r(n) = 0 이고 계수가 모두 상수인 경우 
상수 계수 선형 인접 3항간 점화식이 다음과 같다고 하자.
（p, q는 n에 무관한 상수）
이 경우, 특성 방정식(characteristic equation) x2 = px + q 의 근을 이용해 풀 수 있다.

즉, 특성 방정식 의 두 해를 라고 하면, 일반항이 인 수열은 주어진 점화식을 만족하게 된다. 따라서 초항의 값에 따라 미정계수 를 결정하면 된다.

이차 방정식의 두 해가 중근이 될 경우 일반항을 로 두면 마찬가지로 주어진 점화식을 만족하게 된다. 이는 마치 상수계수만을 가진 2계도 선형 제차 미분방정식의 풀이를 연상하게 한다. (본질적으로 동일한 매커니즘이다.)

예 : 피보나치 수열 
피보나치 수(Fibonacci numbers)의 경우 초기값 과 다음과 같은 선형 인접 3항간 점화식으로 정의되어 있다.

이차 방정식 의 두 해는 이므로 초항의 값을 대입하면 다음과 같은 일반항을 얻는다.

계수가 상수가 아닌 경우 
계수가 상수가 아닌 경우에는 각각의 점화식에 따라 다양한 기법을 적용해야 한다. 양변을 적절한 수로 나누는 등의 시도를 해 볼 수 있다.

예 : 완전순열 
완전순열 혹은 교란순열(Derangement)이라 불리는 수열의 점화식은 다음과 같다.

이 식은 다음과 같이 변형된다.

그러므로 을 새로운 수열 으로 정의하면, 다음과 같은 점화식이 된다.

의 일반항은 즉시 나오므로 다음과 같이 인접 3항간 점화식이 인접 2항간 점화식으로 변형된다.

이 경우 위에서 다룬 인접 2항간 점화식에서 p(n) = n인 꼴이 된다. 양변을 으로 나누면, 일반항이 인 수열의 일반항을 알 수 있고 이로써 의 일반항도 쉽게 유도된다.

p = - q - 1의 형태인 경우 
p = - q - 1인 경우는 특성방정식을 푸는 번거로운 과정없이 쉽게 답을 구할 수 있다. 점화식은 다음과 같이 변형된다.

그러므로 그 계차수열이 공비가 - q 인 등비수열임을 확인할 수 있다. 계차수열의 일반항을 구해 그것으로부터 즉시 의 일반항을 이끌어낼 수 있다.

상수계수의 선형 점화식 
점화식의 계수가 모두 상수인 선형 점화식

의 경우 다음과 같은 특성 방정식의 해를 구하여 일반항을 구한다.

선형대수학을 이용한 해법 
다항 방정식을 이용한 풀이법도 있지만 선형대수학을 이용할 수도 있다. 다음과 같이 수열의 초기항을 고유기저(eigenbasis)로 표현했다고 하자.

이 경우 조르당 표준형(Jordan normal form)을 이용하여 일반항을 구할 수 있다.

만약 행렬이 대각화(diagonalizable)되지 않으면 해법은 좀 더 복잡하게 된다.

예 : 피보나치 수의 선형대수학을 이용한 해법 
피보나치 수의 점화식을 행렬로 표현하면 다음과 같이 된다.

그러므로 일반항은 다음과 같이 된다.

이 행렬은 다음과 같이 대각화 된다. 특성방정식의 의 두 해를 라고 두면, 이 두 값이 고윳값이므로

그러므로 일반항은 다음과 같이 정리되며 다항방정식을 이용한 풀이와 동일한 일반항을 얻을 수 있다.

Z 변환을 이용한 해법 
Z 변환 페이지 참조.

수열의 합을 포함하는 경우 
점화식 내에 그 수열의 합이 들어있는 경우, 적절한 변형을 하여 인접한 몇 개의 항을 포함하는 점화식으로 바꾸어 준다. 예를 들어,

점화식이 위와 같이 주어진 경우, 다음과 같이 인접 2항간의 점화식으로 변형한다.

수열 의 째 항까지의 총합이 인 경우, 임을 활용하여 인접 2항간의 점화식으로 변형가능한 것도 있다.

몇몇 간단한 비선형의 경우 
비선형의 경우 일반적인 풀이법은 없다. 그러나 몇몇 간단하게 해결되는 경우가 알려져 있다.

예1 : 역수에 주목 

점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변을 으로 나누면 수열 {1/}이 선형 점화식이 됨을 알 수 있다. 이 선형 점화식의 일반항을 구하여 해결한다.

예2 : 로그를 취하여 해결가능한 경우 

점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 와 같이 변형되어 수열 이 선형 점화식을 가짐을 알 수 있다. 따라서 선형 점화식을 풀면 쉽게 해결할 수 있다.

예3 : 점화식의 역수를 취해 해결가능한 경우 

점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변의 역수를 취하면 수열 {1/}이 선형 점화식을 가짐을 알 수 있다. 이 점화식을 풀면 쉽게 일반항을 구할 수 있다.

예4 : 십진법에 기초한 점화식 
십진법에 기초하여 정의된 수열의 경우 쉽게 일반항을 구할 수 있는 경우가 있다. 예를 들어, 4가 이전의 항에서 하나씩 늘어가는 방법으로 정의된 수열이 있다고 하자. 즉,
4, 44, 444, 4444, 44444, .....
이 경우 일반항은 다음과 같다.

기수법이 다른 경우도 마찬가지 방법을 쓸 수 있다.

예5 : 주기형의 경우 

점화식이 위와 같이 주어진 경우, n에 대한 식으로 표현하기 어렵다. 그러나 몇몇 값을 대입해보면 이 수열은 주기적으로 같은 값이 반복됨을 알 수 있다. 즉,  이 세 수가 반복되어 나타난다.

생성함수를 이용한 해법 
생성함수(generating function)를 이용하여 수열의 일반항을 찾는 것이 가능한 경우가 있다.

예 1 
이고 점화식이 아래와 같이 주어진 수열을 생각해보자.

이 수열을 계수로 갖는 다항식 은 다음 등식을 만족해야 한다.

그러므로 를 구할 수 있고 이를 다시 부분분수로 분해하여 무한급수로 표현한다.

예 2 
이고 점화식이 아래와 같이 주어진 수열을 생각해보자.

그런데 이라는 사실을 이용하여 임을 알 수 있으므로, 이 수열을 계수로 갖는 다항식 은 다음 등식을 만족해야 함을 알 수 있다.

마찬가지로 부분분수로 분해하여 무한급수로 표현한다.

예 3 : 피보나치 수열의 생성함수를 이용한 해법 
번째 피보나치 수를 계수로 갖는 다항식 는 정의에 의해 다음을 만족해야 함을 즉시 알 수 있다.

그러므로 다음을 얻는다.

방정식 의 두 근을 라고 하면 다음과 같이 부분분수로 분해된다.

이것을 무한급수로 표현하면 일반항을 얻을 수 있다.

같이 보기 

 미분 방정식

참고 
 정보통신기술용어해설
 매스월드

 
재귀
대수학