킬링 벡터장

리만 기하학에서 킬링 벡터장(Killing vector場, )은 주어진 리만 다양체의 등거리 변환의 무한소 생성원인 벡터장이다. 즉, 리만 다양체의 대칭을 나타낸다. 킬링 벡터들은 리 대수를 이루며, 이는 다양체의 등거리 변환군의 리 대수로 생각할 수 있다.

정의

킬링 벡터장 
일반화 리만 다양체 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 벡터장 에 대하여, 리 미분

을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)-텐서장들의 벡터 공간 위의 선형 변환을 정의한다.

만약

이 성립한다면, 를 의 킬링 벡터장 이라고 한다. 보다 추상적으로, 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 선형 변환

의 핵이다. 즉, 두 킬링 벡터장들의 합은 킬링 벡터장이며, 킬링 벡터장들의 상수 스칼라와의 곱 역시 킬링 벡터장이다.

을 국소 좌표계로 쓰면 다음과 같다.

여기서 는 공변 미분이다. 즉, 킬링 벡터장의 조건은 공변 상수 벡터장의 조건()을 약화시킨 것이다.

의 등거리 변환들은 (유한 차원) 리 군

을 이루며, 킬링 벡터장들은 등거리 변환군의 리 대수 를 이룬다.

킬링 지평선 
일반화 리만 다양체 의 킬링 벡터장 가 주어졌을 때, 부분 집합 을 의 킬링 지평선(Killing地平線, )이라고 한다. 이는 일반적으로 특이점을 가져 다양체가 아닐 수 있다.

성질 
정의에 따라, 모든 킬링 벡터장은 등각 벡터장이다.

리 대수 구조 
일반화 리만 다양체 의 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 리 대수를 이룬다. 즉, 두 킬링 벡터장의 리 괄호 역시 킬링 벡터장이다. 같은 차원과 부호수를 갖는 두 일반화 리만 다양체 , 에 대하여, 표준적으로

이다.

개의 연결 성분을 갖는, 차원의 일반화 리만 다양체의 킬링 리 대수의 차원은  이하이다. (이 상한은 예를 들어 유클리드 공간·초구·쌍곡 공간·민코프스키 공간·더 시터르 공간·반 더 시터르 공간 및 이들의 분리합집합에 의하여 포화된다.)

위상 수학적 성질 
콤팩트 리만 다양체 에 대하여, 다음이 성립한다.
 만약 의 리치 곡률 텐서가 음의 정부호 이차 형식이라면, 킬링 벡터장은 0 밖에 없다.
 만약 모든 단면 곡률이 양수이며, 의 차원이 짝수라면, 모든 킬링 벡터장은 항상 0을 갖는다. (즉, 임의의 킬링 벡터장 에 대하여, 인 이 존재한다.

조화 함수와의 관계 
일반화 리만 다양체 의 킬링 벡터장 의 발산은 0이다.

유도:

의 2차 공변 미분은 다음과 같이 리만 곡률 텐서에 비례한다.

유도:
리만 곡률 텐서의 정의에 따라

이다. 킬링 벡터장의 정의에 따라

이다. 이제, 양변에 에 대한 순환에 대하여 대칭화하면,

이다. 따라서,

이다.
특히, 의 라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같이 리치 곡률 텐서에 비례한다.

특히, 아인슈타인 방정식의 진공해의 경우 이며, 의 라플라스-벨트라미 연산자는 0이다. 물리학적으로, 이는 가 진공 맥스웰 방정식을 만족시키는 것을 의미하며, 또한 는 로렌츠 게이지 조건  역시 자동적으로 만족시킨다. 이 사실을 통해 아인슈타인-맥스웰 계의 일부 해를 구할 수 있다.

측지선에 대한 물리량의 보존 
일반화 리만 다양체 의 킬링 벡터장 와 측지선

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

즉, 킬링 벡터장 가 주어졌을 때, 속력과 킬링 벡터장의 내적 는 측지선을 따라 변하지 않는 물리량이다.

유도:
벡터장 가

인 임의의 벡터장이라고 하자. (만약 가 단사 함수가 아니라면, 이는 조각별로 정의하면 된다.)

측지선은 측지선 방정식

을 만족시키므로, 킬링 벡터장의 정의에 의하여

이다.

마찬가지로, 일반 상대성 이론에서는 뇌터 정리에 따라 각 킬링 벡터장에 대응하는 보존 법칙이 존재한다. 구체적으로, 에너지-운동량 텐서 를 생각할 때,

이므로, 임의의 벡터장 에 대하여

이다. 따라서, 만약 가 킬링 벡터장이라면 는 공변 보존류이다.

표면 중력 

킬링 지평선의 경우, 대응하는 표면 중력을 정의할 수 있다.

구체적으로, 일반화 리만 다양체 의 킬링 벡터장 가 주어졌을 때, 항상 다음 조건을 만족시키는 함수

가 존재하며, 이 를 킬링 지평선 의 표면 중력이라고 한다.

이 등식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

위 등식의 좌변은 일종의 "가속도"이므로, 를 일종의 "중력장"으로 해석할 수 있다.

일부 경우, 는 사실 킬링 지평선 위의 상수 함수임을 보일 수 있다.
 킬링 지평선이 (민코프스키 공간의 와 같이) 서로 교차하는 두 잎으로 구성되어 있을 때
 우세 에너지 조건이 성립할 경우

킬링 지평선 근처의 기하 
차원 로런츠 다양체 의 킬링 벡터장 가 주어졌다고 하자. 또한, 가 에서 시간꼴 벡터장이라고 하자 (즉, ). 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 국소 좌표계 를 정의할 수 있다.

여기서 는 양의 정부호 이차 형식이며, 이며, 또한 와 와 는 에만 의존하고, 에 의존하지 않는다. 이 경우, 를 궤도 공간 계량(軌道空間計量, )이라고 한다.

일반화 
킬링 벡터장의 개념을, 접다발 대신 다른 벡터 다발의 단면에 대하여 일반화할 수 있다.

킬링 텐서장과 킬링 스피너장 
유사하게 킬링 텐서 및 킬링 스피너장을 정의할 수 있다. 예를 들어, 킬링 2-텐서장 는 다음을 만족한다.

정칙 킬링 벡터장 
켈러 다양체는 리만 구조와 더불어 복소 구조를 갖춘다. 따라서, 켈러 다양체의 대칭은 복소 구조를 보존시키는 특수한 킬링 벡터장에 의하여 주어진다. 이를 정칙 킬링 벡터장(正則Killing vector場, )라고 한다. 켈러 다양체의 접다발 은 정칙적 부분 과 반정칙적 부분 으로 나뉜다. 정칙 킬링 벡터장은 의 단면이다.

가 켈러 다양체  위의 정칙 킬링 벡터장이라고 하자. 그렇다면 킬링 방정식은 다음과 같다.

이에 따라, 는 국소적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 는 킬링 퍼텐셜()이라고 불리는, 국소적으로 정의된 실수 함수다. 이는 운동량 사상의 한 예로 볼 수 있다.

예 
공변 상수 벡터장 (즉, 인 벡터장 )은 정의에 따라 킬링 벡터장이다.

일반화 리만 다양체 의 킬링 벡터장  및 국소 좌표계 이 주어졌으며, 계량 텐서 의 성분이 에 의존하지 않는다고 하자.

그렇다면, 벡터장

은 킬링 벡터장이다.
유도:
벡터장

이 주어졌을 때,

이다. 그렇다면,

이다.

슈바르츠실트 계량 

차원 시공간의 슈바르츠실트 계량

에서, 는 킬링 벡터이며, 이는 시간 변화에 대한 대칭에 대응한다. 이에 대한 킬링 벡터는

이 되는 곳, 즉 이며, 이는 (일반) 사건 지평선과 일치한다.

이 밖에도, 슈바르츠실트 계량은  대칭에 대응하는 킬링 벡터들을 갖는다.

커 계량 

마찬가지로, 3+1차원 커 계량

은 두 킬링 벡터

를 가지며, 이는 각각 시간 변화에 대한 대칭과 블랙홀의 회전에 대한 대칭에 대응한다.

전자에 대응하는 킬링 지평선은

의 두 해에 위치한다. 이는 2차 방정식이므로 두 해를 갖는데, 더 안쪽의 킬링 지평선은 사건 지평선이며, 더 바깥쪽의 킬링 지평선은 작용권의 경계이다.

민코프스키 공간 
2차원 민코프스키 공간

에서, 킬링 벡터장

를 생각하자. 이는

이므로 킬링 벡터장을 이룬다. 이 경우, 킬링 지평선은

인데, 이는 에서 매끄럽지 않다.

역사 
빌헬름 킬링이 1892년에 도입하였다.

킬링은 킬링 벡터장의 조건에 대하여 특별한 이름을 붙이지 않았으나, 이후 1926년 저서에서 루서 팔러 아이전하트(, 1876~1965)가 이 조건을 "킬링 방정식"()이라고 지칭하였다.

참고 문헌

관련 항목 
 킬링 형식

외부 링크 
 
 
 
 
 
 

리만 기하학