룽게-쿠타 방법

수치 해석에서 룽게-쿠타 방법(Runge-Kutta方法, )은 적분 방정식 중 초기값 문제를 푸는 방법 중 하나이다.

역사 
1900년 경 독일의 수학자 카를 다비트 톨메 룽게와 마르틴 빌헬름 쿠타가 개발하였다.

일반적인 4차 룽게-쿠타 방법 
일반적으로 사용하는 룽게-쿠타 방법은 4차 룽게-쿠타 방법으로 보통 "RK4" 라고 쓴다. 별다른 수식어 없이 룽게-쿠타 방법을 쓴다고 말한다면 대체로 4차 룽게-쿠타 방법을 쓴다는 뜻이다.

다음과 같이 정의된 초기값 문제를 두자:

y는 시간 t에 대한 미지의 함수이며, 우리가 근사하려는 것이다. y의 변화인 는 t와 y자신으로 이루어진 함수이고, 초기시간 에 대응하는 y의 초기값은 이며, 함수 f와 , 의 값은 주어져 있다.

이제 h > 0 인 단계 크기로 다음을 정의한다.

n = 0, 1, 2, 3, ... 에서, 다음을 사용한다.

여기서 이란  의 RK4 근사 항이며, 다음 단계의 값()은 현재 단계의 값()에 네 구간의 크기 h의 증분치들의 가중평균을 더한 값이다.
 은 구간의 시작부분의 기울기에 의한 증분값이며, 를 사용한다.(오일러 방법)
 는 구간의 중간의 기울기에 의한 증분값이며, 을 사용한다.
 는 마찬가지로 구간의 중간의 기울기에 의한 증분값이나, 를 사용한다.
 은 구간의 끝의 기울기에 의한 증분값이며, 를 사용한다.
네 증분을 평균을 낼 때, 중간 부분에서 더 많은 무게의 증분이 더해진다. 만약 함수 가 에 대하여 독립적이라면, 미분방정식은 단순한 적분이 되어  RK4는 심프슨 공식이 된다.

RK4 방법은 4차 해법이다. 이는 각 단계에서의 오류는 점근 표기법으로 , 총 누적 오류는 라는 것을 의미한다.

Explicit 룽게 - 쿠타 방법 
explicit 룽게-쿠타 방법은 위에서 설명된 RK4 방법의 일반화이다. 이것은 다음과 같이 주어진다.

이때 각 는 다음과 같다.

특정한 방법을 지정하기 위해서는, 정수 s (각 단계들의 수) 가 주어져야 하고, 각각의 계수들 aij (1 ≤ i < j ≤ s), bi (i = 1, 2, ..., s), ci (i=2, 3, ..., s) 가 필요하다. 행렬 [aij]는 룽게-쿠타 행렬이며, bi 와ci  는 알려져 있듯이 무게 와 마디이다.

이 값들은 Butcher 테이블이라는 기억장치 내에서 배열되어있다.

룽게-쿠타 방법은 다음을 만족할 때 일관성이 있다.

만약 하나가 특정 차수 p,즉 지역 절단 오차가 이 되도록 이 방법이 요구되면 거기에는 또한 부수적인 요구사항이 있다. 이것은 절단오차의 정의에 의해서 나타난다. 예를 들어 2차 방법은 , , 일 때 차수가 2이다.

일반적으로, s단계의 explicit 룽게-쿠타 방법이 p의 차수를 가진다면, 이고, 만약 일 때는 이다. s단계 explicit 룽게-쿠타 방법이 열린문제에서 p의 차수를 가지기 위해서는 최소한의 s가 필요하다. 몇 개의 알려진 값들은 다음과 같다.

예시
RK4는 이 방법에 맞아들어가며, 그 테이블은 다음과 같다.

이 룽게-쿠타 방법에서의 약간의 변형을 준 방법은 쿠타에 의해서 연구되었고 3/8법칙 이라고 불린다. 이 방법의 가장 큰 장점은 다른 일반적인 방법들보다 오차계수가 작은 것이나, 이 방법은 매 단계마다 조금 더 많은 FLOP(부동소수점 연산)들이 필요하다. 그 Butcher 테이블은 다음과 같다.

그러나, 가장 간단한 룽게-쿠타 방법은 (전방)오일러 방법이다. 공식은 이다. 이것은 오직 한 단계 뿐인 explicit 룽게-쿠타 방법이다. 대응되는 테이블은 다음과 같다.

두 단계의 이차 방법들
간단한 예로 두 단계의 2차 방법인 중간점 방법을 보면 다음과 같다.

대응되는 테이블은 다음과 같다.

두 단계의 2차 룽게-쿠타 방법은 중간점 방법 밖에 없는 것은 아니다. 이런 종류의 방법은 α에 의해 다음과 같이 매개변수화되어 있다.

그 Butcher 테이블은 다음과 같다.

이 때 일 때는 중간점 방법이 되며, 일 때는 호인의 방법이 된다.

활용 
예를 들어 α=2/3인 두 단계의 2차 룽게 쿠타 방법을 보자, 이것은 라슬톤 방법 이라고 알려져있다. 테이블은 다음과 같이 주어져 있다.

대응되는 등식은  다음과 같다.

다음의 초기치 문제를 풀기 위하여 이 방법을 사용한다.

h = 0.025의 크기로 구간을 잡으면 이 방법은 네 단계가 필요하다.

이 방법의 결과는 다음과 같다:

수치해석적 결과는 밑줄친 값들이다.

Adaptive 룽게 - 쿠타 방법 
Adaptive한 방법은 단일 룽게-쿠타 방법의 지역적인 절단 오차의 추정치를 찾기 위해 고안되었다. 이것은 테이블에서 차수가 와 인 두 방법들을 가져서 이루어졌다.

낮은 차수의 단계는 다음과 같이 주어진다.

가 높은 차원의 방법에서도 같다면 오차는 다음과 같다.

오차는 이다. 이런 종류의 Butcher 테이블은 의 값을 얻기 위하여 확장 되었다.

룽게 쿠타 펠버그 방법은 차수가 5와 4인 두 방법을 가지고 있다. 그 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

하지만 가장 간단한 adaptive 룽게-쿠타 방법은 2차인 호인의 방법과 1차인 오일러 방법과 결합되어 있다. 그 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:

오차 추정은 단계 크기를 제어하기 위해 사용된다.

다른 adaptive 룽게-쿠타 방법은 Bogacki–Shampine 방법(3과 2의 차수), Cash–Karp 방법과 Dormand–Prince 방법(둘 다 5,4의 차수)이 있다.

Implicit 룽게 - 쿠타 방법 
위에서 언급된 모든 룽게-쿠타 방법들은 모두 explict 방법들이다. explict 룽게-쿠타 방법은 일반적으로 stiff equation에는 맞지 않는다. 왜냐하면 그들의 절대적인 안정성의 범위가 작기 때문이다; 특히, 그 식들은 한정되어 있다. 이 문제는 편미분방정식의 솔루션에서 특히 중요하다.

explict 룽게-쿠타 방법의 불안정성은 implicit한 방법을 만들게 되었다. implicit 룽게-쿠타 방법은 다음의 형태를 가진다.

이 때,

explict 방법간의 차이는 explict 방법은 시그마의 위에 i - 1이 들어간다는 것이다. 이것은 Butcher 테이블에서도 나타난다: explict 방법의 계수들의 행렬은 하 삼각 행렬이다. implicit 방법은 시그마 위에 s가 올라가고 계수들의 행렬은 다음과 같이 삼각행렬이 아니다.

이 차이는 매 단계마다, 대수적인 방정식의 시스템을 풀어야 한다는 점이다. 이것은 계산비용을 상당히 증가시킨다. m개의 성분이 있는 미분방정식을 s단계의 방법을 사용하면 대수적인 방정식은 ms개의 성분이 있다.이것은 implict한 선형 다단계 방법(ODE들의 다른 방법)과 대조된다: implicit한 s단계의 선형 다단계 방법은 m개의 성분을 가진 방정식을 풀기 위해서 단계수가 늘어나도 시스템의 크기가 늘어나지 않는다

예시 
가장 간단한 implicit 룽게-쿠타 방법은 역 오일러 방법이다:

Butcher 테이블은 다음과 같다.

이 Butcher 테이블에 대응하는 식은 다음과 같다.

이것은 위에서 나온 역 오일러 방법의 형태로 바꿀 수 있다.

다른 implicit 룽게-쿠타 방법의 예는 사다리꼴 법칙이다. 그 Butcher 테이블은 다음과 같다.

사다리꼴 법칙은 배열 방법이다. 모든 배열 방법들은 모두 implicit 룽게-쿠타 방법이지만 모든 implicit룽게-쿠타 방법은 배열 방법이 아니다.
Gauss-Legendre 방법은 가우스 구적법에 기반한 배열 방법이다. s단계의 Gauss-Legendre 방법은 차수가 2s이다(따라서 임의의 높은 차수의 방법들이 구성될 수 있다).두 단계의 방법(차수는 4이다)의 Buther 테이블은 다음과 같다:

안정도
explicit한 룽게-쿠타 방법에 비교하여 implicit 방법의 장점은 안정도가 특히 딱딱한 방정식에서 높다는 것이다. 다음의 선형 방정식 y'''=λy를 고려해 보자. 룽게-쿠타 방법을 가용하면 이 식은 다음의 반복으로 줄며, r은 다음과 같다.

여기서 e는 1들의 벡터를 나타낸다. 함수 r은 안정도 함수라고 불린다. 만약 이 방법이 s단계라면 r은 차수 s의 두 다항식의 몫의 형태를 띈다. explicit 방법은 순상삼각행렬인 행렬 A를 가진다. 이것은 det(I-zA) = 1이라는 것을 의미하며 그 안정도 함수는 다항함수이다.

위의 선형방정식은 이고 일 때, 수치적 해법은 0이 된다. 이런z들의 집합은 절대 안정성의 영역''이라고 부른다. 특히 이 방법은 모든 실수부가 음인 z가 절대 안정성의 영역 안에 있을 때 A-안정하다고 불린다. explicit 룽게-쿠타 방법의 안정도 함수는 다항함수이기 때문에 explicit 룽게 쿠타 방법은 A-안정할 수 없다.

알고리즘

코드 
 C/C++ 코드//C/C++ code of 4th order Runge-Kutta method

# include<stdio.h>
# include<conio.h>
# include<math.h>

float f(float t,float y)
{
  return(t*y+1);
}
void main()
{
  float t0,y0,t1,y1,h,i,at,k1,k2,k3,k4;
  clrscr();
  printf("\n Enter Value Of t0 and y0");
  scanf("%f %f",&t0,&y0);
  printf("\n Enter Value of h");
  scanf("%f",&h);
  printf("\n Enter Final Value of t");
  scanf("%f",&at);
  printf("\nt\ty");
  printf("\n___\n");
  do
  {
    k1=h*f(t0,y0);
    k2=h*f(t0+h/2,y0+k1/2);
    k3=h*f(t0+h/2,y0+k2/2);
    k4=h*f(t0+h,y0+k3);
    y1=y0+h/6*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4);
    t1=t0+h;
    printf("\n%.4f\t%.4f",t1,y1);
    t0=t1;
    y0=y1;
  }while(t0<at);
  getch();
}
 Python#Program Of Runge-Kutta 4th Order
from math import *

def f(t,y):
    return sin(y**t)
def main():
    t0,y0=input("initial time:"),input("initial value:")
    h=input("interval size:")
    t=input("terminal time:")
    print"t\ty\n",'_'*16
    while t0<t:
        k1=f(t0,y0)
        k2=f(t0+h/2.,y0+(k1*h)/2.)
        k3=f(t0+h/2.,y0+(k2*h)/2.)
        k4=f(t0+h,y0+(k3*h))
        y1,t1=y0+h/6.*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4),t0+h
        print"%.4f\t%.4f"%(t1,y1)
        t0,y0=t1,y1
main()

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