스피너

군 표현론과 양자역학에서 스피너()란 넓은 의미에서 로런츠 대수의 표현 가운데 텐서가 아닌 것들이다. 이들은 반홀수의 스핀을 지니고, (3차원 이상의시공에서) 페르미온을 나타낸다. 좁은 의미에선 이 가운데 스핀이 ½인 것을 지칭하는데, 이는 차원에 따라 디랙 스피너(), 바일 스피너(), 마요라나 스피너(), 마요라나-바일 스피너() 등이 있다.

텐서는 시공의 차원에 관계없이 비슷하나, 스피너의 종류와 성질은 시공의 차원에 따라 판이하게 다르다. 다만 8차원마다 같은 종류의 스피너가 반복되는데, 이를 보트 주기성()이라 한다. 또한 텐서는 다양한 차원을 지닐 수 있지만, 스피너는 꼴의 차원을 지닌다.

정의 
일반적으로, (체 에 대한) 벡터 공간 와 계량 형식 가 주어졌을 때, 스피너 표현은 회전 (로런츠) 대수 의 표현 가운데 텐서 표현이 아닌 것이다. 스피너는 스피너 표현의 원소다.

스피너 표현은 클리퍼드 대수를 통하여 나타낼 수 있다. 클리퍼드 대수 는 에 의하여 생성되고,

를 만족하는 대수다. 편의상 인 경우를 먼저 생각하자.  라고 놓자.
이 짝수일 경우, 는 복소 행렬 대수 와 동형이고, 이 홀수인 경우 과 동형이다. 즉  차원의 복소 표현 이 존재한다. 클리퍼드 대수 는 교환자 에 따라 리 대수를 이룬다. 리 대수 가 의 부분 리 대수를 이룸을 보일 수 있다. 따라서 는 의 표현을 이룬다. 이를 디랙 스피너 표현()이라고 부른다.

 복소표현으로서, 디랙 표현은 이 홀수면 기약(旣約, irreducible)표현이지만, 이 짝수면 가약(可約, reducible)표현으로서 차원의 표현 로 나뉜다. 짝수 차원에서 존재하는  표현을 (왼손 및 오른손) 바일 스피너 표현()이라고 부른다.

모든 실수 표현은 복소 표현에 실수 조건을 가하여 얻을 수 있다. 가능한 실수 조건은 차원과 부호수에 따라 다르나, 보트 주기성()을 따른다. 즉 이면 차원의 스피너와 차원의 스피너는 서로 유사하다. 실수 조건이 가능할 경우, 디랙 표현에 실수 조건을 가하면 마요라나 스피너 표현()을 얻고, 바일 표현에 실수 조건을 가하면 마요라나-바일 스피너 표현()을 얻는다. 자세한 사항은 아래 표를 참고하라.

다양한 차원에서의 스피너 
스피너의 성질은 보트 주기성을 따른다. 즉 차원의 스피너의 종류는 차원과 같으나, 그 크기는 16배 더 크다. 또한 다른 부호수의 경우, 부호수가 일 경우 복소 표현은  차원 유클리드 공간의 스피너와 같으나, 그 실수 조건은 차원 유클리드 공간과 유사하다. 예를 들어 (3,1) 차원 (민코프스키 공간)에서는 4차원과 같이 2차원 바일 스피너가 있으나, 2차원과 같이 마요라나 조건을 가할 수 있다. 따라서 1차원~8차원 유클리드 공간에서의 스피너의 종류를 알면 모든 차원에서의 스피너의 종류와 크기를 알 수 있다.

낮은 차원의 유클리드 공간의 가능한 스피너는 다음과 같다.
1차원에서는 자명한 1차원 실수 (마요라나) 표현이 존재한다.
 2차원에서는 Spin(2)=U(1)=SO(2)에 따라 1차원 (바일) 복소 표현과 2차원 실수 (마요라나) 표현이 존재한다.
 3차원에서는 Spin(3)=SU(2)에 따라 2차원의 디랙 스피너를 정의할 수 있다.
 4차원에서는 Spin(4)=SU(2)×SU(2)에 따라 두개의 2차원 바일 스피너를 정의할 수 있다.
 5차원에서는 Spin(5)=Sp(2)이므로 4차원 디랙 스피너를 정의할 수 있다.
 6차원에서는 Spin(6)=SU(4)이므로 4차원 바일 표현이 존재한다.
 7차원에서는 8차원 마요라나 표현이 존재한다. (7차원부터 위와 같은 리 군 동형사상은 존재하지 않는다.)
 8차원에서는 두 개의 8차원 바일 표현이 존재하며, 이는 8차원 벡터 표현과 함께 삼중성()을 이룬다.

따라서 스피너의 종류와 크기, 존재 여부는 다음과 같다. 부호수가 인 차원의 시공을 생각하자. 이에 따라, 를 정의하자. 이 경우 각종 스피너의 성질은 다음과 같다.
 디랙 스피너는 복소 표현으로,  복소 차원( 실수 차원)을 지닌다.
 바일 스피너는 복소 표현으로,  복소 차원( 실수 차원)을 지닌다.
 마요라나 스피너는 실수 표현으로,  실수 차원을 지닌다.
 마요라나-바일 스피너는 실수 표현으로,   실수 차원을 지닌다.
스피너의 존재 여부는 에 따라 결정된다.
 디랙 스피너는 모든 에 대하여 존재한다.
 바일 스피너는 인 경우만 (즉, 짝수 차원에서만) 존재한다.
 마요라나 스피너는 부호수 일 경우에만 존재한다.
 마요라나-바일 스피너는 인 경우에만 존재한다.
예를 들어,  차원의 민코프스키 공간은 이므로, 디랙 스피너, 바일 스피너, 마요라나 스피너가 존재하지만 마요라나-바일 스피너는 존재하지 않는다. 반면 끈 이론에서 등장하는 차원의 공간에서는 이므로 모든 종류의 스피너가 존재한다.

이를 표로 적으면 다음과 같다.

여기서 켤레변형이 m이면 켤레변형에 따라 왼손 바일 표현이 오른손으로 바뀌나, s이면 왼손 표현은 왼손으로, 오른손 표현은 오른손으로 변환한다. 즉, (1,3)차원 민코프스키 공간에서 왼쪽 바일 스피너는 ·오른쪽 바일 스피너의 복소수 켤레이나, 4차원 유클리드 공간에서는 오른쪽 바일 스피너의 복소수 켤레는 오른쪽 바일 스피너와 동형이며, 왼쪽 스피너의 복소수 켤레는 왼쪽 바일 스피너와 동형이다. m일 경우에는 왼쪽·오른쪽 바일 스피너를 통하여 마요라나 스피너를 정의할 수 있다. 반면, s일 경우, 마요라나 스피너가 존재하려면 마요라나-바일 스피너 역시 존재해야 한다.

민코프스키 공간의 스피너

바일 스피너 
좁은 의미에서 스피너는 로런츠  대수의 1/2표현으로부터 만들어지는 표현을 일컫는다. 로런츠 대수의 1/2표현은 헤르만 바일의 이름을 따 바일 스피너라 한다. 바일 스피너는 왼손과 오른손 두 종류가 있고, 바일 스피너로 나타내어지는 입자는 손지기 페르미온(chiral fermion)이라 부른다. 표준 모형의 중성미자가 이에 해당한다. 손지기 페르미온은 질량을 가질 수 없다. (실제 중성미자는 질량을 가지기 때문에 바일 스피너가 아니다.) 또한 바일 스피너는 손지기 대칭(chiral symmetry)을 깬다.

디랙 스피너 
왼손과 오른손 바일 스피너를 합치면 손지기가 없는 디랙 스피너를 얻는다 (폴 디랙). 디랙 스피너는 질량을 가질 수 있으며, 디랙 스피너로 나타내어지는 디랙 입자는 그 반입자와 다르다. 표준 모형의 쿼크와 전자, 뮤온, 타우온 등이 이에 해당한다.

디랙 스피너 중, 그 왼손과 오른손 부분이 서로 에르미트적으로 관련이 있는 것을 에토레 마요라나의 이름을 따 마요라나 스피너라고 한다. 마요라나 입자는 질량을 가질 수 있으며, 스스로의 반입자이다.

바일 스피너의 표기 
바일 스피너의 경우, 입자물리학에서는 다음과 같은 판데르바르던 표기법을 사용한다.

이 표기법에서, 그리스 소문자  및 점을 찍은 그리스 소문자  첨자는 1 또는 2의 값을 가지며, 바일 스피너의 두 성분을 나타낸다. 이 경우, 는 왼손 표현 (½,0), 는 오른손 표현 (0,½)를 나타낸다. 보통, 왼손 바일 스피너는 열벡터, 오른손 바일 스피너는 행벡터로 나타낸다.

크로네커 델타로 올리거나 내리는 4차원 벡터 지표와 달리, 스피너 지표는 레비치비타 기호 으로 올리거나 내린다. 구체적으로, 바일 스피너에서 아랫첨자와 윗첨자 사이를 변환하려면 다음과 같다.

여기서 은 레비치비타 기호로, 다음과 같다.

열벡터인 왼손 바일 스피너에 에르미트 수반을 취하면 다음과 같이 오른손 바일 스피너를 얻는다. 첨자에 점이 추가되지만, 그 위치가 변하지 않는 것을 알 수 있다.

이 표기법에서, 파울리 행렬의 지표는 다음과 같다.

로 정의하면, 이들에 부여되는 첨자는 다음과 같다.

즉, 는 둘째 첨자에 점이 있지만, 는 첫째 첨자에 점이 있다.

스피너 지표에 대하여 아인슈타인 표기법이 적용된다. 또한, 다음과 같은 쌍의 지표가 존재한다면, 생략할 수 있다.

즉, 점이 없는 지표는 하강하는 쌍을, 점이 있는 지표는 상승하는 쌍을 생략한다. 예를 들어,

이다.

현상론 
중성미자는 과거에 바일 입자(손지기 페르미온)로 생각되었으나, 중성미자 진동의 발견으로 인해 이 이론은 반증되었다. 아직까지 중성미자가 디랙 입자인지, 마요라나 입자인지는 확인되지 않았다.

참고 문헌 
 J. Polchinski, String Theory 제 2권, 부록 B (Spinors and SUSY in various dimensions).

각주

같이 보기 
 스핀 다양체
 스핀
 클리퍼드 대수
 디랙 행렬, 파울리 행렬

 
3차원 회전
양자역학
양자장론