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미분방정식

미분 방정식(微分方程式, differential equation)은 미지의 함수와 그 도함수, 그리고 이 함수들의 함수값에 관계된 여러 개의 변수들에 대한 수학적 방정식이다. 미분방정식의 계수(order)는 미분 횟수가 가장 많은 독립 변수의 계수가 결정짓고, 차수(degree)는 계수를 결정 지은 독립 변수의 미분꼴이 거듭제곱된 횟수에 따라 결정된다.

응용 수학에서 한 매개 변수가 다른 매개 변수에 대한 의존성을 알 수 없는 문제가 종종 발생하지만 한 매개 변수가 다른 매개 변수 (미분)에 대한 변화율에 대한 표현을 작성할 수 있다. 이 경우 문제는 다른 표현과 관련된 도함수로 함수를 찾는 것으로 축소된다.

미분 방정식은 엔지니어링, 물리학, 경제학 등 수학 외의 학문에서도 중요한 역할을 차지하고, 유체역학, 천체역학 등의 물리적 현상의 수학적 모델을 만들 때에도 사용된다. 따라서 미분 방정식은 순수수학과 응용수학의 여러 분야에 걸쳐있는 넓은 학문이다.  물체의 운동이 물체의 위치와 시간값의 변화에 따른 속도로 표현되는 고전역학이 그 대표적인 예다. 뉴턴의 운동 법칙은 물체의 미지의 위치를 시간에 대한 함수로 표현하고, 물체의 위치·속도·가속도·그리고 물체에 작용하는 힘 등을 그 함수에 대한 미분 방정식으로 나타냄으로써 이 변량들을 역학적으로 표현할 수 있었다. 흔히 운동방정식이라고 부르는 이 미분 방정식은 아주 쉽게 풀리는 경우도 있다.

미분 방정식을 사용하여 실세계를 표현한 예로는, 중력과 공기저항만 고려하여 공중에서 떨어지는 공의 속도를 결정하는 것이 있다. 땅을 향한 공의 가속도는 중력에 의한 가속도 마이너스 공기저항에 의한 가속도이다. 중력은 일정하다고 치고, 공기저항은 공의 속도에 비례한다고 하자. 이것은 공의 가속도, 즉 공의 속도의 도함수가 공의 속도에 따라 결정된다는 것을 의미한다. 속도를 시간에 대한 함수로 나타내면 이 미분 방정식을 풀 수 있다.

수학에서 미분 방정식은 여러 가지 다른 관점에서 연구되고 있는데, 대개 그 해―방정식을 만족시키는 함수의 집합―에 대한 연구가 흔하다. 명쾌한 함수의 형태로 해가 구해지는 것은 가장 간단한 미분 방정식들 뿐으로, 어떤 미분 방정식은 명확한 해를 구하지 않고, 그 특징만 밝혀지는 경우도 있다. 만약 해를 독립적으로 구하는 것이 불가능하다면, 컴퓨터를 이용해 수적 근사값을 구할 수도 있다. 동역학계 이론에서는 미분 방정식으로 표현되는 계의 질적 분석을 중요하게 여기는데, 주어진 정확도 안에서 해를 구하기 위한 많은 수치 해석 방법이 개발되고 있다.

미분 방정식의 목표는 다음 세가지이다.
 특정한 상황을 표현하는 미분 방정식을 발견하는 것.
 그 미분 방정식의 정확한 해를 찾는 것.
 그 찾은 해를 해석하여 미래를 예측하는 것.

미분 방정식에 대해 해가 있어야만 하는지, 아니면 해가 유일한지 등의 문제도 중요한 관심사이다. 그러나 응용수학자, 물리학자, 엔지니어들은 대개 주어진 미분 방정식을 푸는 데에 관심을 두기 마련이고, 여기서 얻어진 해는 전기회로, 다리, 자동차, 비행기, 하수도 등을 만드는 데에 이용되고 있다.

미분 방정식의 종류 
미분 방정식 이론은 잘 발전되어 왔으며, 학습을 위해 방정식의 형태에 따라 그것을 의미있게 분류시키기도 한다.

상미분 방정식과 편미분 방정식 
 상미분 방정식
상미분 방정식은 미지 함수와 종속변수가 하나의 독립변수를 가지는 함수인 미분 방정식을 말한다. 간단한 형태로 미지함수가 실수 또는 복소수 함수 형태를 가진다.

 편미분 방정식
미지 함수의 독립 변수가 둘 이상인 미분 방정식이다.

선형과 비선형 
 선형 미분 방정식
선형 미분 방정식은 y도함수 앞의 계수가 변수가 아닌 경우이고 y도함수가 모두 1승인 것을 말한다.
 비선형 미분 방정식
비선형 미분 방정식은 선형 미분 방정식과 다르게 y도함수 앞의 계수가 변수이며, 대표적 예시인 나비에-스톡스 방정식에서는 y도함수 앞의 계수가 유체의 성질을 나타내는 매개변수이다. 비선형 미분 방정식은 매개변수의 테일러 급수로 근사해를 구하는 방식이 있다.

미분 방정식의 예

제1차 상미분 방정식 

1차 제차 상미분 방정식의 일반형은 다음과 같다.

 

여기서 는 우리가 알고 있는 함수이며, 이 방정식은 간단히 변수를 다음과 같이 양변으로 분리하여 놓아서 풀 수 있다.

 

위 식을 적분하여 다음의 결과를 얻는다.

양변에 e를 취하면 다음의 결과를 얻는다.

여기서

, 

는 임의의 상수이다. (이 결과가 맞는지 확인하려면, 이 식을 원래의 방정식에 대입해 보면 된다.)

가 상수가 아닌 함수이고, 어떤 함수의 경우에는 (우리가 잘 알고 있더라 하더라도) 그 적분이 불가능 할 수도 있기 때문에, 실제적인 풀이는 매우 어려울 수 있다.

1차 비제차 상미분 방정식 

1차 선형 상미분 방정식 중 일부는 위의 예처럼 분리가 불가능하다. 이와 같은 1차 비제차 상미분 방정식을 풀기 위해선 적분인자를 알아야 한다. 이 방법을 아래에 설명하고 있다.

1차 상미분 방정식의 일반적인 형태를 생각해 보자.

이 방정식을 푸는 방법은 특별한 "적분 인자",  에 달려있다.

위의 1차 상미분 방정식의 양변에 를 곱하자.

우리가 선택한 특별한 의 성질에 의해 위 식은 다음과 같이 간단한 모양으로 변형된다.

미분에 대한 곱의 법칙에 의해 위 식은 다시 다음과 같이 변형된다.

양변을 적분하면,

를 얻고, 마지막으로 에 대해 풀고, 로 양변을 나누면,

를 얻는다. 는 의 함수이므로 더 이상 간단히 할 수 없다.

관련 문서 
 상미분 방정식
 편미분 방정식
 그린 함수
 차분 방정식

각주 

 
미적분학
일리야 프리고진

일리야 로마노비치 프리고진(, , 1917년 1월 25일 - 2003년 3월 28일)은 러시아 모스크바 태생의 벨기에의 화학자이다.

벨기에 브뤼셀의 브뤼셀 자유대학(Université Libre de Bruxelles)에서 화학을 전공했으며 산일구조(散逸構造), 복잡계, 비가역성에 대한 연구로 유명하다. 1977년 비평형 열역학, 특히 소산 구조론의 연구에 공헌한 점을 인정받아 노벨 화학상을 수상했다. 1989년에는 벨기에의 보두앵 1세 국왕으로부터 자작 작위를 받았다.

저서 
 《확실성의 종말》(The End of Certainty)

외부 링크 

 https://web.archive.org/web/20031010111726/http://chaos.inje.ac.kr/Lec/chaos/96lec/ch2/prigogine/preg2.html
 https://web.archive.org/web/20030819125226/http://chemistry.sogang.ac.kr/~duckhwan/essay/essay-prigogine.htm

1917년 출생
2003년 사망
러시아의 화학자
벨기에의 화학자
노벨 화학상 수상자
벨기에의 노벨상 수상자
브뤼셀 자유대학교 동문
텍사스 대학교
이론화학자
모스크바 출신
열역학자
소련의 노벨상 수상자
텍사스 대학교 오스틴 교수
러시아의 망명자
유대계 러시아인
유대계 벨기에인
계산화학자
마틴 가드너

마틴 가드너(Martin Gardner, 1914년 10월 21일 ~ 2010년 5월 22일)는 미국의 과학 저술가이다. 특히 유희수학(recreational mathematics) 분야의 저술로 이름이 높다.

생애 
오클라호마주 털사 태생으로 시카고 대학에서 철학을 전공하였다. 그는 유희수학(recreational mathematics) 분야를 집대성하고 대중에게 널리 알려 수많은 과학자들에게 큰 영향을 끼쳤다. 수학을 비롯한 과학뿐 아니라 마술, 문학(그는 루이스 캐럴의 전문가이다), 유사과학, 종교 등 다방면에 걸쳐 관심을 가져 60권이 넘는 책을 저술하였으며, 제임스 랜디와 함께 회의주의 운동을 주창하기도 하였다. 미국 노스캐럴라이나 주의 헨더슨빌(Hendersonville)에 만년을 보내다가 2010년 5월 22일 미국 오클라호마주의 노먼(Norman)에서 95세를 일기로 사망하였다.

《사이언티픽 아메리칸》 
그는 미국의 대중 과학 잡지 사이언티픽 아메리칸지에 1956년부터 1981년까지 수학 게임(Mathematical Games) 컬럼을 연재하였다. 그가 연재를 그만둔 후 더글러스 호프스태터가 컬럼을 물려받았는데, 마틴 가드너에 대한 존경의 뜻에서 '수학 게임'의 애너그램인 Metamagical Themas를 자신의 컬럼 제목으로 정하였다. 1993년이래 그의 유희수학에 대해 관심을 같이하는 사람들이 부정기적으로 모여 Gathering for Gardner(G4G)란 콘퍼런스를 열기도 한다.

저술 
그는 자신의 컬럼을 통하여 다음과 같은 흥미있는 주제들을 대중에 소개하였다.
 플렉사곤(Flexagon): 마틴 가드너가 사이언티픽 어메리칸에 처음 쓴 글이다. (1956년 12월호)
 존 호턴 콘웨이의 라이프 게임
 폴리오미노
 소마 큐브
 에셔의 작품
 프랙털

65권의 책을 썼으며, 초정상주장의 과학적 연구를 위한 위원회(Committee for the Scientific Investigation of Claims of the Paranormal)의 일원으로 활동하며 사이비과학을 반박하는 책과 글을 다수 발표했다.

책 
 Mathematical Games
 The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems (2001; W.W. Norton & Company; )
 〈양손잡이 자연세계〉, 과학세대 옮김, 까치
 〈이야기 파라독스〉, 사계절
 〈아하〉, 사계절
 더 애너테이티드 앨리스, 루이스 캐럴이 지은 이상한 나라의 앨리스와 거울 나라의 앨리스의 주석판
 The Last Recreations
 〈아담과 이브에게는 배꼽이 있었을까?〉(원제 Did Adam and Eve Have Navels?: Debunking Pseudoscience)
 SCIENCE GOOD, BAD AND BOGUS
 Fads and Fallacies in the Name of Science
 Relativity Simply Explained

사이언티픽 아메리칸의 컬럼 모음집 
 Mathematical Puzzles and Diversions (1959; Pelican, UK )
 More Mathematical Puzzles and Diversions (1961; Pelican, UK )
 Further Mathematical Diversions (1969; Pelican, UK )
 Mathematical Carnival (1975; Pelican, UK )
 Mathematical Circus (1979; Pelican, UK )
 many others... please add them here...

관련 항목 
 피에트 하인
 더글러스 호프스태터
 지구공동설
 제임스 랜디
 초정상주장의 과학적 연구를 위한 위원회(Committee for the Scientific Investigation of Claims of the Paranormal)

참고

외부 링크 

  Notes on Martin Gardner
  An Interview with Martin Gardner
  Short Martin Gardner Bio
  About Gathering for Gardner

1914년 출생
2010년 사망
미국의 수학자
미국의 과학 저술가
미국의 문학 평론가
미국의 언론인
미국의 마술사
게임 이론가
퍼즐 디자이너
대체의학 비판자
이신론자
미국 해군 군인
오클라호마주 출신
시카고 대학교 동문
미국 예술과학 아카데미 석학회원
미국의 제2차 세계 대전 참전 군인
20세기 수학자
21세기 수학자
필명
노먼 (오클라호마주) 출신
20세기 미국 사람
21세기 미국 사람
GNU

GNU(, 그누)는 운영 체제의 하나이자
컴퓨터 소프트웨어의 모음집이다. GNU는 온전히 자유 소프트웨어로 이루어져 있으며, 그 중 대부분이 GNU 프로젝트의 GPL로 라이선스된다.

GNU는 "GNU's Not Unix!"(GNU는 유닉스가 아니다!)의 재귀 약자이며, 이렇게 선정된 이유는 GNU의 디자인이 유닉스 계열이지만 자유 소프트웨어인 점과 유닉스 코드를 포함하지 않는다는 점에서 차별을 두려는 것이다. GNU 프로젝트에는 운영 체제 커널인 GNU HURD가 들어있는데, 원래 자유 소프트웨어 재단(FSF)에서 거기에 중점을 두고 있었다.
그러나 허드(Hurd) 커널이 아직 산업용으로 사용 가능한 상태가 아니라서, 그 대신 GNU가 아닌 커널(리눅스가 가장 많이 사용된다)을 GNU 소프트웨어와 함께 사용할 수 있다. 현재 GNU와 LINUX를 결합하여 너무나 많이 사용되므로, 이 조합을 짧게 'LINUX'라고 말하는 경우가 많으며, GNU/LINUX라고 부르는 경우는 많지 않다. 삽화에 나와있는 GNU는 생물의 종 이름이다.

프로젝트의 창립자 리처드 스톨먼은 GNU를 "사회에 대한 기술적 수단'으로 보았다. 이와 관련해 Lawrence Lessig는 스톨먼의 책 《자유 소프트웨어, 자유 사회》 제2판에서 스톨먼은 소프트웨어의 사회적 관념과 어떻게 자유 소프트웨어가 공동체와 사회 정의를 조성할 수 있는지에 대해 썼다고 언급하였다.

구성 요소

GNU/리눅스 

오늘날 GNU의 안정판은 리눅스 커널이 포함된 GNU 패키지로 구성되어 동작하며 기능적인 유닉스 계열 시스템을 만들어준다. GNU 프로젝트는 이를 GNU/리눅스로 부르며, 제공되는 기능들은 다음과 같다:
 GNU 패키지 (GNU 허드 제외)
 리눅스 커널
 비 GNU 프로그램들

GNU 자유 시스템 배포 가이드라인 
GNU 자유 시스템 배포 가이드라인(GNU Free System Distribution Guidelines, GNU FSDG)은 GNU/리눅스 배포판과 같은 설치 가능한 시스템 배포판이 자유적인 특성이 있고 배포판 개발자들이 배포판들을 해당 특성에 맞출 수 있게 도와주는 시스템 배포 약속이다.

GNU 허드 

GNU 프로젝트가 GNU 운영 체제를 완성하는 것이라고 했을 때, 소프트웨어적인 면에서는 자유 소프트웨어의 결과물 카테고리인 자유 소프트웨어 디렉터리에서 보이는 것과 하드웨어적인 면에서는 추구하고 있는 바가 운영 체제의 핵심인 커널 즉, GNU 허드를 만들어 내는 것이라고 할 수 있겠다.

이러한 소프트웨어적인 면과 하드웨어적인 면을 통해 온전한 자유로운 운영 체제를 만드는 것이 GNU 프로젝트의 목표라고 한다면, GNU Hurd는 하드웨어를 통괄 제어하는 GNU 운영 체제의 커널이 되겠다.

같이 보기 
 GNU 프로젝트
 GNU/리눅스
 GPL
 자유 소프트웨어
 유닉스

각주

외부 링크 

  GNU 공식 홈페이지
 GNU Korea 홈페이지
  스톨먼의 최초 선언
 스톨먼 자신의 프로젝트와 그 역사에 대한 긴 설명
  The Free Universal Encyclopedia and Learning Resource, GNU 백과사전에 대한 스톨먼의 글

 
GNU 프로젝트 소프트웨어
유닉스 계열
자유 소프트웨어 운영 체제
콜라츠 추측

콜라츠 추측(Collatz conjecture)은 1937년에 처음으로 이 추측을 제기한 로타르 콜라츠의 이름을 딴 것으로 3n+1 추측, 울람 추측, 혹은 헤일스톤(우박) 수열 등 여러 이름으로 불린다. 콜라츠 추측은 임의의 자연수가 다음 조작을 거쳐 항상 1이 된다는 추측이다.

 짝수라면 2로 나눈다.
 홀수라면 3을 곱하고 1을 더한다.
 1이면 조작을 멈추고, 1이 아니면 첫 번째 단계로 돌아간다.

예를 들어, 6에서 시작한다면, 차례로 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 이 된다.

또, 27에서 시작하면 무려 111번을 거쳐야 1이 된다. 77번째에 이르면 9232를 정점으로 도달하다가 급격히 감소하여 34단계를 더 지나면 1이 된다.

이 추측은 컴퓨터로 268까지 모두 성립함이 확인되었다. 그러나, 아직 모든 자연수에 대한 증명은 발견되지 않고 있다. 이 문제의 해결에 500달러의 현상금을 걸었던 에르되시 팔은 "수학은 아직 이런 문제를 다룰 준비가 되어 있지 않다."는 말을 남겼다.

다음과 같은 통계적인 설명을 생각하면 이 추측은 참일 가능성이 높아 보인다. 그러나 이것이 콜라츠 추측을 증명하는 것은 아니다.

콜라츠 추측의 공식 표현 
콜라츠 추측의 함수표현 공식
가 원래 정석 표현이지만 n이 홀수라고 했기에 3n+1은 짝수가 된다. 이점에서
로 나타내기도 한다.
콜라츠 추측 공식의 합동산술(modular arithmetic) 표현식

콜라츠 추측의 일반화 공식

콜라츠 추측의 일반화 공식의 응용 

이면, 의 배수안에 존재하는 값만이 만들어지므로, 의 범주를 넘지 못한채로, 반복 수렴으로 에 귀결된다.

이면, 홀수에 가 곱해진 수는 짝수이므로 짝수에 을 더하면 계속해서 무한히 증가된 값의 홀수으로 만들게 된다. 그리고 콜라츠 추측의 단계 진행은 작동하지 않는다.

모든 자연수가 짝수에서도  그리고 홀수에서도 을 반복한다면, 반복 수렴으로 에 귀결된다.

콜라츠 그래프 

1부터 200까지 핸드링

콜라츠 그래프의 분기 
콜라츠 그래프에서 특정 짝수는 홀수에대한 의 수면서 동시에 짝수에 대한 수가 되는 분기점이 된다.

은 콜라츠 유향 그래프에서 최초의 분기점이다.
만약 콜라츠 추측이 성립한다면, 이것은 동시에 을 제외한 모든 자연수가 과 연결되기 위한 마지막 분기점이다.

따라서, 홀수에 대한 의 수 이면서 동시에 짝수에 대한 수가 되는 분기점 짝수 은 에서 의 수이다.

콜라츠 그래프 분기점 수열 
콜라츠 그래프의 분기점 짝수 은
에서
규칙적으로 출현한다.

최초 출현 수열은 다음과 같다.

이러한 콜라츠 그래프 분기점 수열은 6씩 증가하는 수열이다.

또한 십진수 30을 주기로 5개의 자리수 이 순환적으로 출현한다.

참고 문헌 
 
 매스월드

각주

외부 링크 
 Distributed computing (BOINC) project 콜라츠 추측에 대한 분산 컴퓨팅 프로젝트

추측
수론
정수열
정보

정보(情報, )는 컴퓨터공학에서 특정 목적을 위하여 광(光) 또는 전자적 방식으로 처리되어 부호, 문자, 음성, 음향 및 영상 등을 표현하는 모든 종류의 자료 또는 지식을 말한다.

정보는 일상 용어에서 전문 용어까지 다양한 뜻으로 사용된다. 이를테면, 언어, 화폐, 법률, 자연환경 속의 빛이나 소리, 신경, 호르몬 등의 생체 신호부터 비롯한 모든 것을 정보라고 할 수 있다.

개념 
요즘에는 컴퓨터의 정보 처리를 기반으로 한 정보(데이터)가 많이 대두된다. 정보의 원래 뜻에 따라, 정보와 자료(데이터)를 구별하고, 정보를 “뜻을 가지는 자료”라고 생각하는 의견도 있지만, 이러한 분야에서는 전체적으로 정보의 뜻을 가지고 문제 삼는 경우는 별로 없으므로, 특별히 정보와 자료는 구별하지 않는다. 구분하자면, 데이터를 모아 둔 것이 자료라면 자료를 특정한 목적의 의사결정을 위해 가공한 형태를 정보라고 할 수 있다. 따라서 훌륭한 정보는 목적 적합성과 신뢰성 및 적시성을 유지해야 한다. 적시성이 매우 중요한 정보를 첩보로 따로 분류하기도 하며 가공을 통해 비교적 장기간 활용이 가능한 정보를 지식으로 정의하기도 한다. 하지만 정보와 자료는 다른 의미이다.

정보는 항상 변화하고 있으며, 그 속도가 더욱 빠르게 진행된다. 개인이 하나의 정보를 선택하게 되면 변화에 의해서 불확실성이 커지게 되고, 정보의 가치가 적어질 수 있다는 이유 때문에 선택된 정보보다 선택되지 않은 정보가 더 가치가 있는 것으로 불안감을 갖게 한다. 맥도너(A.M.McDonough)는 '정보란 사실 내지 자료에 지적인 처리를 가하여 얻어진 지식이다.'라고 정의하고 있다. 정보는 자료에 특정 의미가 주어진 것으로서 직접 행동에 영향을 미치게 한다. 모든 정보는 자료이나, 모든 자료는 모든 정보라고 할 수 없다. 포레스터(J.W.Forrester)는 '경영은 정보를 행동으로 연결시키는 과정(Process)이다.'고 하였다. 이는 경영상의 의사결정에 정보가 중심이 된다는 것이다.

대체적으로 많은 사람들은 모든 자료가 정보가 될 수 있다고 생각한다. 그러나 상대적이기 때문에 모든 자료는 정보의 역할을 하기는 어렵다. 정보는 가치지향적이며 관심이 있는 사람들의 의사결정에 영향을 주고, 어느 정도의 이익을 제공할 수 있는 자료이어야 정보로서의 역할을 할 수 있다.

결국 정보란 일정한 의도를 가지고 정리해 놓은 자료의 집합이며, 정보가 되기 위해서는 이용자, 즉 어떤 목적을 갖는 사람이 있어야 하고 자료가 처리되어야 한다. 그리고 정보는 이용자를 위하여 일정한 규칙에 따라서 재배열, 요약, 삭제하는 행위를 거쳐야 한다.

어원 
프랑스어의 renseignement(안내, 정보)를 번역한 말로 사용된 것이 처음이다. 중국에서는 정보를 신식(信息)이라고 하는데 이 말에는 첩보라는 뜻도 있다.

수학적 정의 
정보는 상대방에게 사건을 알릴 때 전달되는 내용이다. 예를 들어 아들이 아버지에게 집에 불이 났는지 아닌지 알리는 것도 정보 전달의 한 예이다. 전달 형태가 불이 "났는지 또는 안 났는지"의 두 가지 방법만 존재한다면 1 비트로 전달이 가능하다. 동전도 마찬가지다. 던진 동전이 앞면인지 뒷면인지를 알려 주면 되기 때문에 1 비트로 표현된다. 16가지의 경우가 나오는 회전 룰렛을 사용하여 경기를 한다면, 그 결과를 위해 4 비트를 할당해야 한다. 앞서 말한 3가지 사건에서 사건 요소인 는 불이 났는지, 앞면이 d던져졌는지, 회전 룰렛에서 1번 칸이 선택되었는지에 해당한다. 각각의 확률을 생각해 보면, 각 사건의 경우의 수가 가지는 확률인 이 동일하다고 가정하면 순서대로 1/2, 1/2 그리고 1/16이 된다. 이때 비트 단위 정보량은

와 같이 구해지고 각각 값은 1, 1, 4가 된다. 물론 불이 날 확률이 불이 나지 않을 확률보다 높은 경우가 있다. 이 경우 불이 나지 않을 확률 이 되어, 이를 나타내는 정보량도 이 된다.

법학 

대한민국의 전자거래기본법에 따르면, “전자문서”라 함은 정보처리시스템에 의하여 전자적 형태로 작성, 송신ㆍ수신 또는 저장된 정보를 말한다(전자거래기본법 제2조 제1호).

신용정보는 신용정보의 이용 및 보호에 관한 법률에 따르면 금융거래 등 상거래에 있어서 거래 상대방에 대한 식별·신용도·신용거래능력 등의 판단을 위하여 필요로 하는 정보로서 대통령이 정하는 정보를 말한다. (동법 제2조 제1호)

같이 보기 

 자료
 지식
 정보 비대칭
 정보 이론
 정보 엔트로피
 정보 시스템
 정보 격차
 정보 과다
 결정장애 세대(Generation Maybe)
 올리버 예게스(Oliver Jeges)

각주 

 
지식
형이상학 개념
통신체

통신체(通信體)는 컴퓨터를 통해 발달한 한국어의 독특한 문체와 그 형태를 의미한다.

통신체의 역사 
1980년대 말에서 2000년대~2000년대 말까지 PC통신이 널리 쓰이던 때에는 자판을 한 번 치는 시간도 전화요금으로 청구되었다. 그래서, 시간과 돈, 노력을 절약하는 수단으로 통신체가 각광받으며 널리 퍼졌다. 당시 유행하던 '통신체'로는, '어솨요(어서오세요), 리하이(리하)(다시 만나서 반갑습니다), ^_^/^-^(재미있네요)', '방가방가(반가워요, 반가워요)'등이 있었다.

그 이후, 리니지 등의 게임이나, 디시인사이드같은 유저포탈의 생성으로 즐, 원츄, 아햏햏, 뷁 등의 새로운 단어가 생겨났다.

종류 
문화관광부 연구보고서인 “바람직한 통신 언어 확립을 위한 기초 연구”에 따르면, 통신 언어는 다음과 같이 분류된다.
 운영자 언어: 사이트 등의 운영자들이 공지글 등에서 쓰는 언어.
 게시판 언어: 인터넷·통신 이용자들이 게시글에서 쓰는 언어.
 대화방 언어: 대화방이나 게시글에서 보이는, 구어체에 가까운 언어.
 휴대전화 문자 전송 언어: 휴대전화 문자에서 쓰이는 언어.

기타 
 이모티콘

참고 문헌 
 이정복(2000), “바람직한 통신 언어 확립을 위한 기초 연구”, 문화관광부 연구보고서.

같이 보기 
 비슷한 표기법
 외계어
 리트
 볼라퓌크 인코딩
 속어
 대한민국의 인터넷 신조어 목록

컴퓨터 통신
인터넷 문화
대한민국의 인터넷
한국의 속어
네트워크

네트워크(network), 망(網)은 다음을 가리킨다.

통신망 
 통신 네트워크(telecommunications network)
 컴퓨터 네트워크(computer network)
 무선 네트워크(wireless network)

방송망, 중계망 
 방송 네트워크(broadcasting network)
 라디오 네트워크(radio network)
 텔레비전 네트워크(television network)

그래프 이론 
 네트워크 과학

경제 
 네트워크 효과

기술, 컴퓨터 과학 
 뉴럴 네트워크(neural network)
 소셜 네트워크(social network)
 전기 회로(electrical network)

영화 
 《네트워크》(network) - 1976년 미국 영화
 《네트워크》(network) - 2013년 영화

기타 
 네트워크 뮤직 그룹(Nettwerk Music Group)
 영업망, 교통망
 네트워크 (신문)

같이 보기
햄버거

햄버거(, )는 샌드위치 패스트 푸드의 일종인 음식이다. 또한 햄버거는 양념, 빵가루 등에 고기를 갈아 넣고 버무린 뒤 구워낸 햄버그 스테이크(패티), 채소, 양념 등을 두 장 이상의 동그랗거나 길쭉한 빵 사이에 넣어 만들며, 보통 손으로 쥐면서 들고 먹는다. 가정에서 직접 만들어 먹기도 하지만, 일반적으로 패스트푸드 식당에서 사먹는다. 수많은 패스트푸드 식당들은 햄버거, 감자 튀김, 콜라 등을 하나로 묶어서 세트로 판매하기도 한다.

유래 
독일의 함부르크를 중심으로 활동하던 상인들이 지난날 몽골에서 독일로 가져온 음식이었던 타르타르 스테이크를 모방하여 그 지역 요리사가 다진 육회를 재료로 반죽하여 뭉친 것을 불에 구운 것으로 햄버그 스테이크 또는 '함부르크 스테이크'라 한다. 18세기 초 미국으로 이민온 독일 출신 이민자들에게서 이 스테이크가 미국에서 널리 알려지면서 함부르크에서 온 스테이크라는 이름인 햄버그 스테이크(Hamburg steak)로 불리게 된다.

이후 미국 각지에서 햄버그 스테이크를 사용하여 햄버거라는 요리가 유행하게 되었는데 시초에 대해서는 많은 주장이 있을 뿐 정확히 누가 어디서 시작했는지는 알 수 없다. 다만 미국에서 만들어졌다는 것에 대해서만큼은 큰 이견이 없다. 햄버거의 시초를 둘러싼 주장 중 가장 유명한 것으로는 1904년 세인트루이스 박람회 때 한 요리사가 샌드위치를 만들던 중 너무 바쁜 나머지 함부르크 스테이크를 일반 고기 대신 샌드위치 빵에 넣어 판매한 것이 오늘날 햄버거의 시초라는 설이 있다.

종류 
들어가는 패티의 원료나 양념에 따라서 치킨버거, 불고기버거, 비프버거 등으로 구별해 불리기도 한다. 또 패티 이외의 소에 따라 치즈버거로도 불린다. 채식주의자들을 위해 채소만 넣어 만들거나 콩을 원료로 한 패티로 만든 샌드위치(베지 버거)역시 햄버거로 불릴 때가 많다. 대한민국에서는 김치의 맛을 낸 김치 버거와 밥을 뭉쳐 모양을 낸 것을 빵 대신 사용한 라이스 버거도 존재한다.

안전 
익히지 않은 햄버거에는 초기에 종종 부적절한 고기 준비로 인해 O-157과 같은 식품 매개 질병을 유발할 수 있는 해로운 세균이 포함될 수 있는데, 이로 인해 관리와 조리 중에 주의가 필요하다. 이러한 식품 매개 질병의 잠재성으로 인해 미국 농무부(USDA)는 햄버거의 내부 온도를 71°C(160°F)로 조리할 것을 권고한다. 이 온도로 조리할 경우 웰 던(well-done)으로 간주된다.

같이 보기 

 독일 요리
 샌드위치
 베지 버거
 밥버거

 브랜드
 KFC
 맥도날드
 버거킹
 롯데리아
 맘스터치
 노브랜드 버거
 뉴욕버거
 쉑쉑버거
 패티
 햄버그 스테이크

각주 

독일 요리
쇠고기
함부르크의 문화
 
국민 음식
비디오 게임

비디오 게임(, )은 컴퓨터가 게임 사용자의 입력을 받아 정해진 규칙에 따라 처리하고, 그 과정이나 결과를 출력하는 컴퓨터 프로그램을 이용한 전자게임(electronic game)이다. 비디오 게임은 글자나 그림, 소리만으로 출력될 수도 있지만, 많은 비디오 게임이 영상표시장치를 이용한 시각적 출력을 수반하는 경우가 더 많다. 21세기 들어 급성장하고 있는 엔터테인먼트 산업으로 2016년에는 영화와 음악 
시장을 합한 규모보다 더 크게 성장했다.

역사

개요

플랫폼 

"플랫폼"(platform)이라는 용어는 전자 부품의 특정한 조합이나 컴퓨터 하드웨어를 가리키는데, 여기에 소프트웨어와 결합하여 비디오 게임이 동작할 수 있게 한다. "시스템"(system)이라는 용어 또한 흔히 사용된다. 아래의 구별은 명확하지 않으며 하나 이상의 플랫폼을 연결하는 게임이 있을 수 있다. 개인용 컴퓨터뿐 아니라, 게임을 즐길 수 있으나 전용 비디오 게임 머신이 아닌 다른 장치들도 존재한다. (스마트폰, PDA, 공학용 계산기)
 PC
 콘솔
 핸드헬드 (휴대용 기기)
 아케이드 (전자오락)
 웹 브라우저

장르 

 롤플레잉 게임 (RPG)
 액션 게임
 대전 격투 게임
 슈팅 게임
 어드벤처 게임
 시뮬레이션 게임
 스포츠 게임
 레이스 게임
 퍼즐 게임
 테이블 게임
 퀴즈 게임
 온라인 게임
 소셜 게임
 예술 형식으로서의 비디오 게임
 아트 게임

분류

캐주얼 게임

시리어스 게임

교육용 게임

컨트롤러 

비디오 게임은 여러 종류의 입력 장치를 사용하여 사람의 행위를 게임에 번역, 전달할 수 있으며, 가장 흔한 게임 컨트롤러는 PC 게임의 경우 키보드, 마우스이며, 콘솔의 경우 게임패드, 휴대용 콘솔의 경우 버튼이 포함되어 있다. 그 밖의 게임 컨트롤러는 일반적으로 레이싱 휠, 라이트 건, 댄스 패드가 있다. 디지털 카메라 또한 플레이어의 신체 움직임을 포착하기 위한 게임 컨트롤러로 사용할 수 있다.

개발

다운로드 가능 콘텐츠

모드

치팅

글리치

이스터 에그 
이스터 에그는 개발자들의 메인 게임의 일부가 아닌 곳에 남겨둔 숨겨진 메시지나 농담이다.

에뮬레이션

사회적 양상

혼자서 하는 게임 

비디오 게임은 게임으로서는 드물게 혼자서 하는 게임(1인용 게임)이 많았다. 그것은 컴퓨터 자체가 여러 사람이 함께하기 어려우며, 함께 하는 사람이 없어도 컴퓨터가 알아서 적절한 상대를 만들어 주기 때문이다.

혼자서 하는 게임은 컴퓨터가 모든 것을 처리하고 제공한다는 점 때문에 서사적 특징을 띠기도 한다. 다른 참여자와의 상호 작용에 크게 의지했던 기존의 게임과는 달리, 다른 참여자가 없는 비디오 게임에서는 게임이 제공하는 내용이 그 경험 수준을 크게 좌우하기 때문이다.

그러한 서사적 특징의 하나는 주인공의 존재인데, 보통의 게임은 여러 인간 참여자가 이루어내기 때문에 특별한 주인공이 없던 반면, 혼자 하는 비디오 게임에서는 유일한 인간 참여자에 그 비중이 맞추어진다. 그래서 모든 게임 환경과 컴퓨터 참여자들이 주인공인 인간 참여자의 행동에 맞추어 작용함으로써 의도된 경험을 제공하기도 한다. 나아가 컴퓨터가 더는 참여자로서 존재하지 않고 모든 것이 인간 참여자 개인에 맞추어지는 환경으로서 제공되는 게임도 많다. 그를 위해 비디오 게임은 영화와 소설 등의 다른 서사 매체의 문법을 빌려와 게임 참여자에게 높은 수준의 경험을 제공하려 하기도 한다.

그러나 통신 기술의 발달로 멀리 떨어져 있는 사람과도 함께 게임을 할 수 있게 되면서 온라인 게임이 대두하게 되었다. 나아가 이전의 게임에서는 상상도 할 수 없을 정도로 대규모의 사람들이 동시에 게임에 참여할 수 있게 되었다. 《재미 이론》의 저자인 라프 코스터는 2007년 게임 개발자 회의에서 과거 1인용 게임들의 성행은 놀이의 기형적인 변화였고, 온라인 게임의 시대가 오면서 진정한 놀이로서의 모습을 되찾았다고 주장했다.

반면 비디오 게임을 새로운 서사 형태의 출현으로 보는 사람들은 혼자서 하는 비디오 게임에도 큰 의미를 두고 있다.

멀티미디어 

비디오 게임은 종종 다양한 전자 매체가 결합한 멀티미디어의 궁극적 형태로 언급된다. 현대의 비디오 게임은 영화, 문학, 음악 등 여러 표현이 모두 결합하여 상호 작용의 형태로 제공되는 경험 매체라고 할 수 있다.

하지만, 게임의 본질은 그 구조이며 영상과 음악, 문학 등의 표현은 그것을 돕기 위한 수단에 지나지 않는다는 시각도 있다.

가상 세계 

비디오 게임은 플레이어가 상호작용할 수 있는 임의로 연산된 세계를 제공하기 때문에 가상 세계의 일종으로 분류되기도 한다.

교육/선전 도구 

비디오 게임은 일반적으로 재미를 제공하며 일련의 학습 과정으로 이루어졌다는 점, 디지털의 특성상 널리 배포될 수 있다는 점 때문에 교육이나 선전의 도구로서 사용되기도 한다.

게임의 효과 
과도한 비디오 게임은 심각한 게임 중독 문제로 이어진다. 한편 게임의 효과에 대한 연구결과들도 있다. 2013년 발표된 논문에 따르면 2개월 이상 하루 30분 이상 슈퍼 마리오 64 게임을 한 그룹이 그렇지 않은 그룹에 비하여 일부 뇌 부위가 커졌다. 물론 모든 게임이 이런 효과를 가진 것은 아니고 논문에서 제시하는 한계점들도 있다. 

2013년 또다른 논문에 따르면 실시간 전략 게임이 인지 유연성을 향상시킨다고 한다.

그러나 폭력적인 게임을 한 사람이 그렇지 않은 게임을 한 사람보다 폭력성을 가질 가능성이 크다는 연구결과, 게임을 많이 하는 아이일수록 문제 행동을 일으킬 가능성이 크다는 연구결과 등 비디오 게임의 부정적 효과에 주목하는 연구결과들도 많이 있는 상태다.

알고리즘 
비디오 게임은 원시 인공지능 기술이 들어간다. 그 이유인 즉 비디오 게임에 등장하는 적들은 가만히 냅둬도 자기들이 알이서 움직이며 플레이어의 유닛을 공격하기 때문이다. 플레이어의 위치와 스킬을 파악하고 그에 대응해서 움직이는 것이 원시적인 인공지능이다.

비디오 게임 목록

같이 보기 

 게임
 콘솔 게임
 게임학
 컴퓨터 게임
 비디오 게임 목록
 카드 게임
 보드 게임
 스포츠 게임
 인공지능

각주 

 
미국의 발명품
전자제품
유리수

수학에서 유리수(有理數, )는 두 정수의 비율 또는 분수의 형식으로 나타낼 수 있는 수이다. 단, 분모가 0이 아니어야 한다. 특히, 분모가 1일 수 있으므로 모든 정수는 유리수이다. 유리수체의 기호는 이며, 몫을 뜻하는 영어 quotient에서 따왔다.

정의 

유리수체 는 정수환 의 분수체이다. 이는 다음과 같은 집합으로 생각할 수 있다.

추상적 정의 
엄밀히 말해, 유리수체 는 다음과 같은 공리를 만족시키는 (동형 아래 유일한) 체이다.
 의 표수는 0이다.
 만약 환 의 표수가 0이라면, 유일한 환 준동형 이 존재한다.

구체적 정의 
유리수체 는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 집합  위에 다음과 같은 동치 관계 를 줄 수 있다.

유리수체 는 집합으로서 몫집합 이며, 그 위의 덧셈과 곱셈은 다음과 같다.

체가 만족시켜야 하는 조건인 각종 연산 법칙과 덧셈 항등원  및 각 유리수 의 덧셈 역원  및 곱셈 항등원  및 0이 아닌 각 유리수 의 곱셈 역원 의 존재가 성립하므로, 이는 체를 이룬다.
정수환과 유리수체 사이의 표준적인 단사 환 준동형은 다음과 같다.

각 유리수 를 분수 꼴 으로 나타내면, 유리수를 마치 두 정수의 비율인 것처럼 다룰 수 있다.

표현

분수 표현 
유리수는 두 정수의 비율이므로, 나눗셈 기호와 의미가 같은 분수 기호를 통해 나타낼 수 있다. 예를 들어, 1과 3의 비를 분수로 나타내면 이다. 분자와 분모를 동시에 그 공약수로 나누어 원래와 값이 같지만 꼴이 더 단순한 분수를 얻는 과정을 약분이라고 한다. 분자와 분모가 서로소이어서 더 이상 약분할 수 없는 분{sfrac|12|18}}을 최대 공약수 6으로 나눠 약분하면 기약 분수 을 얻는다. 분자가 분모보다 작은 분수를 진분수, 작지 않은 분수를 가분수라고 한다. 가분수는 정수와 진분수의 합으로 표현한 것을 대분수라고 한다. 예를 들어, 의 대분수 표현은 1이다.

무리수는 두 정수의 비율로 나타낼 수 없으므로 분수 표현이 불가능하다.

십진법 표현 
유리수의 진법 전개는 유한 소수이거나 순환 소수이다. 십진법 전개가 가장 흔하며, 그 예는 다음과 같다.

분수를 소수로 전환하려면 나머지 있는 나눗셈을 통해 순환 마디를 구하면 된다. 유한 소수나 순환 소수를 분수로 전환하려면  = 0.1,  = 0.01,  = 0.001 및  = 0.111...,  = 0.010101...,  = 0.001001001... 따위를 이용하면 된다.

반면 무리수의 진법 전개는 비순환 소수이다.

연분수 표현 
유리수는 유한 연분수 표현이 가능하다. 예를 들어, 다음과 같다.

분수를 연분수로 나타내려면, 분자와 분모에 유클리드 호제법을 응용하면 된다.

무리수의 경우, 연분수 표현은 항상 무한 연분수이다.

연산

등식과 부등식 
두 유리수가 같을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

어떤 유리수가 다른 어떤 유리수보다 작을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

덧셈과 뺄셈 
두 유리수의 덧셈에는 통분 기법이 쓰이며, 이는 다음과 같다.

유리수의 반수를 구하는 공식은 다음과 같다.

두 유리수의 뺄셈은 반수를 더하는 것과 같다.

분모의 최소 공배수를 공분모로 취하여 통분하면 더 간단히 구할 수 있다.

곱셈과 나눗셈 
두 유리수의 곱셈은 다음과 같다.

0이 아닌 유리수의 역수는 다음과 같다.

두 유리수의 나눗셈은 역수를 곱하는 것과 같다.

성질 
집합 는 정수의 집합 으로 만든 분수체이며, 따라서 는 사칙연산이 자유로운 체이다.

집합 는 표수가 0인 가장 작은 체이다. 즉, 표수가 0인 체는 와 동형인 체를 반드시 포함한다.

서로 다른 어떤 두 유리수 사이에도 또다른 유리수가 존재하므로 집합 는 조밀 집합이다. 그러나 와  사이에는 일대일 대응이 가능하므로, 는 가산 무한 집합이다.

유리수체에는 표준적인 절댓값과 p진 절댓값을 줄 수 있으며, 이들에 의한 완비화는 각각 실수체와 p진수체이다.

같이 보기 
 무리수

외부 링크 

 
 
 
 
 

유리수
분수
초등 수학
체론
수 체계
자유 소프트웨어 재단

자유 소프트웨어 재단( 줄여서 FSF)은 미국의 자유 소프트웨어 관련 재단이다. 자유 소프트웨어의 생산과 보급을 장려하기 위해 리처드 스톨만이 세운 재단으로, 주로 컴퓨터 소프트웨어를 만들어 배포하고 수정하는 보편적인 자유를 제고한다. 설립 이후부터 1990년대 중반까지 자유 소프트웨어 재단 기금은 GNU 프로젝트의 자유 소프트웨어를 작성하기 위해 소프트웨어 개발자를 고용하는데 대부분 사용되었다. 1990년대 중반 이후로 이 재단의 직원들과 자발적인 기여자들은 대개 자유 소프트웨어 운동과 자유 소프트웨어 커뮤니티를 위한 법적, 구조적 문제에 대한 작업을 처리하고 있다. 2002년 11월 25일, 자유 소프트웨어 재단은 자유 소프트웨어 재단 연합 멤버십 프로그램을 시작했다. 목표를 지속하기 위해 오직 자유 소프트웨어만이 FSF의 컴퓨터에 사용된다.

현재 진행 중인 활동 
 GNU 프로젝트
 GNU 라이선스
 GNU 프레스
 자유 소프트웨어 디렉터리
 자유 소프트웨어의 정의 관리
 프로젝트 호스팅
 정치 운동-자유 소프트웨어 운동
 한 해의 상 (FSF 자유 소프트웨어 상)

같이 보기 
 GNU
 리처드 스톨만
 자유 소프트웨어
 자유 소프트웨어 운동
 자유 문화 운동
 OSDL

각주

외부 링크 

 자유 소프트웨어 재단
 자유 소프트웨어 재단 한국어 페이지

 
1985년 설립
재단법인
국제 비정부 기구
보스턴의 단체
허수

허수(虛數, imaginary number)는  실수가 아닌 복소수를 뜻한다.

실수의 특성상, 제곱하면 무조건 0 또는 양수가 되기 때문에 이차방정식 에서는 실수의 범위에서 해를 전혀 구할 수가 없다. 또한 수직선에 모든 실수를 하나하나 대응시키면, 수직선은 빈틈없이 채워지는 것으로 볼 때, 우리가 존재한다고 느낄 수 있는 수는 실수밖에 없다는 것은 필연코 부정할 수 없는 사실이다.

여기서  꼴과 같이 실수 범위에서 전혀 구할 수 없는 해를 구하기 위해 무엇인가를 만들어야 할 필요성을 느낀다. 실수의 성질로는 불가능한 제곱해서 음수가 되는 수를 만들어내기 위해 제곱하여 -1이 되는 수 를 만들어내면, 위의 이차방정식의 해는 또는이 되므로 이 수는 우리가 존재한다고 느끼는 수가 아님에도 불구하고, 이차방정식의 해가 되기 때문에 수학자들은 이 수가 수학적 가치가 있음을 인정하고 허수로 정의했고, 만 있으면 모든 허수들을 나타낼 수 있으므로 이 수를 imaginary number의 앞글자를 따서 허수 단위 라고 정의했다.

복소수는 실수와 허수를 포괄하는 수이며,  (단, a, b는 실수)로 나타낼 수 있고, 이때 a를 실수부, b를 허수부라고 한다.

또한, 허수는 기존에 있었던 수직선, 실수축(가로)에 허수축(세로)를 덧붙여 복소수평면을 만든 결정적인 계기가 되었다.

허수가 정의되기 전까지만 해도, 수의 개념은 1차원적이었다. 즉, 수의 개념은 오직 수직선으로만 표현되었다. 그러나 허수가 정의된 후, 수의 개념은 2차원으로 확장되었다. 즉, 수의 개념은 복소평면으로 표현된 것이다. 수의 틀을 직선에서 평면으로 확장시킨 것은 모두 허수의 덕택임을 알 수 있다.

역사 
고대 그리스의 수학자 헤론은 거듭제곱하여 음수가 되는 수에 대한 개념을 기록한 바 있다. 1572년 이탈리아의 수학자 라파엘 봄벨리가 허수 단위를 정의하였다. 이후 르네 데카르트가 《방법서설》의 부록 〈기하〉()에서 상상의 수(imaginary numbers)라고 부른 데에서 허수라는 이름이 정착되었다. 허수라는 이름은 레온하르트 오일러와 카를 프리드리히 가우스에 의해 널리 알려졌으며, 오일러는 허수 단위 기호로 를 도입하였다. 또한 오일러는 이것을 방정식 일 때 이 방정식을 만족하는 정수해는 없다는 것을 증명할 때 사용하였다. 1799년 카스파르 베셀이 복소수의 기하학적 표현을 완성하였다.

1843년 윌리엄 로언 해밀턴은 복소수를 확장하여 사원수 체계를 만들었다.

미국 수학에서 허수란  형태, 즉 순허수이다. 즉 실수에 허수단위 가 곱해진 형식을 가지고 있고, 따라서 제곱하면 음수가 된다.

기하학적 해석 

한 평면상에 직교 좌표계를 정하고 이에 대한 한 점 Z의 위치 (x, y)를 로 정하여 복소수를 평면상의 점으로 표시할 수 있다. 이 때, 좌표와 복소수는 일대일 대응을 이룬다. 또한, 이렇게 나타낸 점 Z(x,y)는 극좌표를 사용하여 원점에서부터 점 Z 사이의 반지름과 각도로서도 나타낼 수 있다. 즉,

가 된다.

한편, 왼쪽의 그림과 같이 실수부는 같고 허수부의 부호만 반대인  와 를 생각할 수 있다. 이를 켤레복소수(복소켤레)라고 한다. 켤레 복소수는 극좌표에서 반지름이 같고 x축에 대해 대칭인 점이 된다.

복소평면에서 허수의 위치를 극좌표를 사용하여 나타낼 수 있으므로, 임의의 단위 원을 그려 복소수와 삼각함수의 관계를 생각할 수 있다. 1714년 영국의 수학자 로저 코츠는 자연로그가 다음과 같은 삼각함수의 관계식으로 표현될 수 있다는 것을 발견하였다.

1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 지수함수로 변형하여 다음과 같이 나타내었다.
 
이를 오일러의 공식이라 한다.

수 체계 
수 체계에서 허수는 복소수와 함께 다루어지는 것이 보통이다. 이를 복소수체라고 하며  로 나타낸다.

같이 보기 
 데카르트
 허수 단위
 복소수
 이항방정식
 드무아브르의 공식

각주 

수
수 체계
IBM

국제 사무기기 회사(國際事務機器會社, )는 미국의 다국적 기술 및 컨설팅 회사이다. 천공 카드 시스템을 고안한 허먼 홀러리스가 1896년 창설한 제표기기회사가 1911년에 국제시간기록회사, 컴퓨팅 스케일 컴퍼니, 번디 제조회사와 합병해 세운 전산제표기록회사(CTR)가 이 회사의 전신이다. 터뷰레이팅 머신의 자동 표작성기는 1890년의 미국 국세 조사(國勢調査)에 사용되어 대단한 위력을 발휘하였다. CTR은 한때 경영 부진에 빠졌으나 1914년 토머스 J. 왓슨을 사장으로 영입해 급성장의 계기를 이룩했다.

이후 1924년 지금의 이름으로 변경하고 토머스 왓슨의 아들 토머스 J. 왓슨 주니어의 노력으로 PC를 개발했다. IBM이 PC를 개발한 뒤 내부를 공개하였으며 수많은 업체들은 PC의 주변기기를 개발하였고 IBM은 로열티를 받지 않았기 때문에 PC의 기술은 빠르게 성장하였다. 그래서 전 세계 대부분의 사람들은 PC를 사용하고 있다. IBM은 PC의 기능을 보강하여 PS/2라는 새로운 컴퓨터를 만들기도 하였다. PS/2에서는 로열티를 받으려 하였고 그로 인해 수많은 업체들과 사용자들은 PS/2를 외면하였다. 결국 PS/2는 세상에서 자취를 감추고 만다. IBM은 주로 메인프레임을 위주로 한 하드웨어 업체였으나, 1990년대부터 소프트웨어, 서비스 등으로 분야를 넓혀왔다.

2000년대부터는 매출액 중 서비스/컨설팅 비중이 가장 큰 몫을 차지하게 되었다. 몇 년 전부터 리눅스를 강력히 지원하기 시작했다. 2002년 루이 거스너로부터 경영탑을 인수한 후 IBM를 크게 발전시킨 새뮤얼 팔미사노는 이 회사를 파멸에서 건져냈다는 평가를 받았다. 언론에서는 IBM사를 ‘빅 블루’(Big Blue)라고도 부르는데, 이 회사의 로고 마크가 푸른 색으로 그려졌고, 또한 주식도 우량 주식(블루 칩) 가운데서도 뛰어난 최우량주(블루)이기 때문이다. 제4차 산업 혁명에 중요한 회사이다.

IBM 소프트웨어 그룹 
이 그룹은 IBM의 주된 부서 가운데 하나이다. 다음과 같은 다양한 브랜드가 존재한다:
 Information Management — 데이터베이스, 서버, 데이터웨어하우스, 데이터 스트리밍, 데이터 보안 및 데이터 라이프 사이클 관리
 Business Analytics — 데이터 분석, 모델링, 고급 분석
 인더스트리 솔루션 — 산업 특성을 고려한 산업용 인프라 소프트웨어.
 로터스 소프트웨어 — 그룹웨어, 협동, 비즈니스 소프트웨어. 1995년에 인수.
 레셔널 소프트웨어 — 소프트웨어 개발 및 응용 프로그램 수명 관리. 2002년에 인수.
 티볼리 소프트웨어 — 시스템 관리. 1996년에 인수.
 웹스피어 — 통합 및 응용 프로그램 인프라 소프트웨어.

지배 구조 
이사회는 10인~14인이 최적인 것으로 보고 있다. 이런 관점은 상황 및 추천된 후보의 자질에 따라 융통성 있게 조정될 수 있다. 현재는 이사 12인(사내 1, 사외 11)이며, 2010년도 주총 이후에는 13인으로 구성될 예정이다.

사무엘 팔미사노(Samuel J. Palmisano)가 이사회 의장(Chairman of the Board)과 대표이사(President), CEO를 겸하고 있다. CEO의 성과는 집행 평가 및 경영자원 위원회(Executive Compensation and Management Resources Committee)에서 정기적으로 검토하고 이사회의 집행 부분(executive session)에서 매년 검토하며, 이사회 의장은 정기적으로 승계 계획 및 경영진 계발에 대해 보고한다.

같이 보기 
 한국IBM
 IBM AIX
 IBM OS/2
 IBM PS/2
 IBM PC-DOS
 IBM PC
 IBM 시스템/360
 IBM 시스템/370
 IBM ESA/390
 IBM 시스템 z9, IBM 시스템 z10
 IBM 시스템 p, POWER6
 IBM 시스템 i
 IBM PC 호환기종
 DB2

각주

외부 링크 

 IBM 한국어 공식 홈페이지
  공식 홈페이지

 
1911년 설립된 기업
미국의 기업
미국의 전자 기업
반도체 기업
컴퓨터 하드웨어 기업
미국의 브랜드
클라우드 컴퓨팅 제공자
미국의 다국적 기업
디스플레이 기술 기업
국립 기술혁신 메달 수상자
미국의 소프트웨어 기업
합병으로 설립된 기업