Publication: Magyar Közlöny
Issue: MK-2008-177 (Year: 2008, Number: 177)
Era: 2004-2010
Section: 3. számú melléklet a 34/2008. (XII. 12.) OKM rendelethez
Paragraph Index: 1720

10. évfolyam Belépő tevékenységformák • A logika nyelvének tudatosabb használata. • Törekvés az eddig megismert bizonyítási módszerek közös logikai elemeinek kifejtésére, a teljes indukció módszerének elsajátítása. • Véges struktúrák szerkezetének átlátása. • A kombinatorika feladataival és módszereivel a problémafelismerő és -megoldó képesség fejlesztése. • A változatos feladatokon keresztül a matematika alkalmazhatóságának és érdekes voltának megmutatása. • A feladatok (problémák) megértésével s azok megoldásával logikus gondolkodásra, pontosságra, kreativitásra, konstruktivitásra nevelés. • A permutáció, variáció, kombináció fogalmainak átismétlése, alkalmazásuk összetettebb feladatokban is. • Változatos színezési feladatokkal a problémamegoldó gondolkodás fejlesztése. • A binomiális tétel szerepének megmutatása különböző alkalmazásokban. • Gráfokkal kapcsolatos alapismeretek kialakítása, s azok felhasználása modellalkotásra a matematika különböző területein. • A matematika szépségének, érdekességének hangsúlyozása. • A valós számok fogalmának pontosítása. • A gyökvonás általánosítása. • Törtkitevőjű hatvány fogalmának ismerete, bevezetésük matematikán belüli indoklása, a permanencia elv érvényesítése. • A különböző egyenletek és egyenletrendszerek megoldása. • Másodfokú egyenletek gyökeinek meghatározása, a gyökök összefüggéseinek ismerete, alkalmazása. • Szélsőérték problémák elemi megoldása. • Trigonometrikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek megoldása. • A függvényekkel kapcsolatos korábbi ismeretek, tapasztalatok rendszerezése, a függvényszemlélet fejlesztése. • A függvénytranszformációk és a geometriai transzformációk kapcsolatának rendszerezése. • A függvények alkalmazási lehetőségeinek bővítése. • A pozitív egész kitevőjű hatványfüggvények és gyökfüggvények ismerete, kapcsolatuk értelmezése. • Az alapfüggvényekből képzett összetett függvényeket képzésének és tulajdonságaiknak megismerése. • A függvények segítségével további egyenlettípusok grafikus megoldása. • A hasonlóságra vonatkozó ismeretek rendszerezése és az alkalmazások kiterjesztése. • A hasonlóság többféle alkalmazási lehetőségének megmutatása (szerkesztésben, bizonyításokban, számításos feladatokban). • A vektorok sokirányú felhasználása a geometriai problémák megoldásában. • A szögfüggvényekkel kapcsolatos ismeretek és Pitagorasz tételének összekapcsolása derékszögű háromszögekkel kapcsolatos számítási feladatokban. • Térgeometriai számítások • A trigonometrikus számítások a felhasználása a természettudományos tárgyakban. • Ponthalmazok koordinátákkal való jellemzésével a koordinátageometria módszeres tárgyalásának előkészítése. • A térelemekkel kapcsolatos ismeretek: távolság és szögfogalom a térben. Térgeometriai számítások • Az alapvető testek ismerete (kocka, téglatest, paralelepipedon, tetraéder, oktaéder, gúla, hasáb, henger, kúp, gömb). • A szabályos testek ismerete. • A térszemlélet fejlesztése. • A statisztikai és valószínűségre vonatkozó kísérletek és eredményeik átismétlése. 2008/177. szám • A kombinatorikus módszerek átismétlése. • A valószínűségi kísérletekhez tartozó események relatív gyakoriságának összevetése az elméleti számításokkal. • A valószínűség matematikai fogalmának megszilárdítása. • A kombinatorikus modell alkalmazhatósága. • Tapasztalatszerzés a geometriai modell alkalmazására. Témakörök Tartalom A logika elemei. Kombinatorika. A gráfelmélet alapjai (25 óra) • A skatulyaelv tudatosítása, alkalmazása feladatok megoldásában. • Az indirekt bizonyítás (a többi altémában beépítve jelenik meg). • Esetszétválasztások alkalmazása mint bizonyítási eljárás (a többi altémába beépítve jelenik meg). • A teljes indukció módszere, alkalmazása különböző témájú feladatok megoldásában (a többi altémában is megjelenik). • Ismétlés nélküli és ismétléses variációk, permutációk, kombinációk használata összetett feladatokban is. • A Pascal-háromszög képzési szabályából következő tulajdonságok, azonosságok. • A binomiális együtthatók tulajdonságai, szimmetriája. • Az n elemű halmaz összes részhalmazának összeszámolása, az eredmény képletbe foglalása. • Totózással, lottózással, számjegyek képzésével kapcsolatok kombinatorikus feladatok. • A teljes indukciós bizonyítási módszer alkalmazása (más altémákban is megjelenik). • Kombinatorikus problémák a síkban. • Négyzetszámok összege, köbszámok összege. • A Newton-féle binomiális tétel. • További kombinatorikai feladatok, ismétléses kombinációk, a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés módszere véges halmaz elemeinek megszámlálásához. • Gráfokkal kapcsolatos alapfogalmak (szögpont, él, fokszám, egyszerű gráf, összefüggő gráf, komplementer gráf, fagráf, kör, teljes gráf). • Gráfokra vonatkozó egyszerű tételek: fokszámok összege az élek számának kétszerese, a fa éleinek száma. • A számozott gráf és a számozatlan gráf szemléletes fogalma. A gráfok izomorfiájának vizsgálata egyszerű esetekben. A számfogalom bővítése, műveletek (15 óra) • Az eddig tanult nevezetes azonosságok átismétlése. • Irracionális számok, a valós szám fogalmának átismételése. Példák irracionális számokra. • Annak bizonyítása, hogy ha egy pozitív egész nem teljes négyzet, akkor a négyzetgyöke irracionális. • Az irracionális számok tizedestört alakja. A valós számok és a számegyenes. • A négyzetgyökökre vonatkozó azonosságok (ismétlése), bizonyításuk. • Az n-edik gyök fogalma, azonosságai. • Racionális kitevőjű hatványok fogalma, a hatványozás azonosságai. Az irracionális kitevőjű hatvány szemléletes fogalma. • A permanenciaelv a hatványozás fogalmának kiterjesztésénél. Monotonitási követelmény. Egyenletek, egyenlőtlenségek (45 óra) • Másodfokú egyenletek megoldása szorzattá alakítással, a megoldóképlet, a diszkrimináns. • Legfeljebb másodfokúra vezető szöveges egyenletek. 2008/177. szám • Egyenletekkel, egyenletrendszerekkel, egyenlőtlenséggel kapcsolatos ismeretek bővítése. • Másodfokúra visszavezethető egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módjainak megismerése, szöveges feladatokban való alkalmazása. • A Viète-formulák. Összefüggés a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között. • Másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egyenletek megoldása. • Másodfokú egyenletrendszerek. Szöveges feladatok. • Másodfokú egyenlőtlenség megoldása. • Másodfokúra vezető szélsőérték problémák. • Másodfokú függvényre visszavezethető gyakorlati és fizikai szélsőérték problémák megoldása. • A mértani közép fogalma, n db pozitív szám számtani és mértani közepének összehasonlítása. • Négyzetgyökös egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek. • Magasabb fokú egyenletek megoldása szorzattá alakítással • Trigonometrikus egyenletek, egyszerűbb trigonometrikus egyenlőtlenségek. Függvények és transzformációik (40 óra) • Pozitív egész kitevőjű hatványfüggvények. • Páros függvény, páratlan függvény fogalma. • Gyökfüggvények. • Az egységvektor koordinátái, a szinusz és koszinusz függvény. • A szinusz- és koszinuszfüggvény alapvető tulajdonságai (periodicitás, zérushelyek, helyi szélsőértékek, párosság, páratlanság, monotonitás, korlátosság), ábrázolása. • A tangens és a kotangens függvények definíciója, ábrázolása, tulajdonságai. • Összefüggés ugyanazon szög szögfüggvényei között. • Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása a definíciók alapján és grafikus úton. Az ellenőrzés lehetősége végtelen sok megoldás esetén. • Függvénytranszformációk. • Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. A hasonlóság és alkalmazásai (25 óra) • Párhuzamos szelők tétele és bizonyítása a kétoldali közelítés módszerével. • Párhuzamos szelők tételének megfordítása. A párhuzamos szelődarabok tétele. • A középpontos hasonlóság fogalma, tulajdonságai. • Szerkesztési feladatok. • A hasonlósági transzformáció fogalma, alakzatok hasonlósága. • Háromszögek hasonlóságának alapesetei. • Négyszögek, sokszögek, körök hasonlósága. • Testek hasonlósága. • A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, szögfelezőtétel, arányossági tételek a derékszögű háromszögben. • Euler-egyenes, Feuerbach-féle kör. • Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. • Vektorok számmal szorzása, ennek tulajdonságai. • Vektorok felbontása síkban és térben. A vektorfelbontás egyértelműségére vonatkozó tétel. • Bázisvektorok, vektor koordinátái. 2008/177. szám A trigonometria alapjai (30 óra) • Pitagorasz tétele és megfordítása síkban és térben. • Szögfüggvények a derékszögű háromszögben. • Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között. • A szögfüggvények alkalmazása síkbeli és térbeli geometriai, valamint fizikai feladatok megoldására. • Szakasz merőleges vetületének hossza, sokszög merőleges vetületének területére vonatkozó összefüggés megfogalmazása. • Sikbeli és térbeli vektor koordinátái. • Számolás vektorokkal. • Térelemek és méretes vonatkozások (távolság és szögfogalom). • A kocka, a téglatest és a paralelepipedon. • A tetraéder, a gúla és az oktaéder. • A hasáb és a poliéder. • A szabályos testek származtatása. • A szabályos testek tulajdonságai. • Gömb. • Beírásos, érintési feladatok a térben. • Mértani helyek a térben. Valószínűségszámítás, statisztika (30 óra) • A statisztikai adatsokaság jellemzésére használt fogalmak, eljárások átismétlése. • Az eseményalgebra fogalmainak, műveleteinek, műveleti tulajdonságainak átismétlése. • A valószínűség fogalmának megszilárdítása. • A kombinatorika módszereinek, fogalmainak, összefüggéseinek átismétlése. (Véges halmaz elemeinek osztálybasorolása, elemek számbavétele.) • A változatos valószínűségi kísérletek közös tulajdonságainak megkeresése, modellalkotás. • A teljes eseményrendszer fogalma. Események összegének valószínűsége. • A klasszikus valószínűségi modell. • Visszatevéses mintavétel. • Mintavétel visszatevés nélkül. • A valószínűség kombinatorikus meghatározási módja változatos valószínűségi problémák megoldásánál. • A lottó, a totó találatainak valószínűsége. • Találati valószínűség a céltáblán, járművek megállítása egy útvonal egyik szakaszán. • A geometriai valószínűségi modell bemutatása, egyszerű geometriai valószínűségek kiszámítása. Továbbhaladás feltételei A tanuló • ismerje a Pascal-háromszögben elrendezett számok tulajdonságait, ezeket bizonyítani is tudja. • módszeresen számolja össze halmazok összes részhalmazát. • ismerjen az n elemű halmaz összes részhalmazának a képletére vonatkozóan legalább kétféle bizonyítást. • ismerje a négyzetszámok összegének és a köbszámok összegének képletét bizonyítással együtt. • tudja a binomiális tételt. • ismerje és egyszerűbb feladatokban tudja alkalmazni a matematikai logika elemi összefüggéseit. • tudja alkalmazni feladatok, problémák megoldására a skatulyaelvet. 2008/177. szám • ismerje fel, és alkalmazza tudatosan a különböző bizonyítási módszereket (direkt és indirekt bizonyítás, teljes indukció). • ismerje a gráfokkal kapcsolatos alapfogalmakat és egyszerű tételeket, s ezek segítségével tudjon egyszerű feladatokat megoldani. • ismerje a valós szám fogalmát, az irracionális szám fogalmát. • ismerje a valós számhalmaz következő részhalmazait: a természetes számok halmazát, az egész számok halmazát, a racionális számok és irracionális számok halmazát. • tudja, hogy milyen az irracionális számok tizedestört alakja. • tudja igazolni, hogy létezik irracionális szám. • tudjon bizonyos irracionális mérőszámú szakaszt többféle úton is szerkeszteni. • tudja definiálni számok n-edik gyökét, ismerje és tudja alkalmazni a gyökökre vonatkozó azonosságokat. • tudja bizonyítani a négyzetgyökökre vonatkozó azonosságokat. • tudja definiálni pozitív számok racionális kitevőjű hatványát, ismerje és tudja alkalmazni az azonosságokat. • tudja alkalmazni a tanult algebrai azonosságokat gyökös kifejezések, valamint törtkitevős hatványokkal végzett műveletek során és feladatokban. • tudja alkalmazni a tanult azonosságokat feladatokban. • ismerje a másodfokú egyenlet megoldóképletét, és készségszinten tudja azt alkalmazni. • ismerje a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között lévő kapcsolatot. • ismerje fel, ha magasabbfokú egyenlet megoldását vissza lehet vezetni másodfokúra, és tudja az ilyen egyenleteket megoldani. • tudjon megoldani másodfokú egyenletrendszereket, másodfokú egyenlőtlenséget. • tudjon megoldani négyzetgyökös egyenletet, egyenlőtlenséget, egyenletrendszert. • tudjon szöveges feladatot leírni az egyenlet nyelvén, megoldását ellenőrizze. • tudja egyszerű szélsőérték problémákhoz a célszerű matematikai modellt megtalálni. • tudjon megoldani trigonometrikus egyenleteket, egyszerűbb egyenlőtlenségeket. • tudja megállapítani a vizsgált függvények tulajdonságait. • ismerje meg az összetett függvény fogalmát, és ismerje fel az alapfüggvényekből képzett összetett függvényeket. • ismerje a pozitív egész kitevőjű hatványfüggvényeket és gyökfüggvényeket, ezek kapcsolatát. • ismerje a definiált szögfüggvényeket és elemi tulajdonságaikat. • ismerje ugyanazon szög szögfüggvényei közötti kapcsolatokat. • tudja ábrázolni és tulajdonságaival jellemezni a szögfüggvények transzformáltjait. • a definíciók és a grafikonok segítségével tudjon megoldani trigonometrikus egyenletet. • legyen képes a függvénytranszformációkat elvégezni tetszőleges tanult függvényen. • tudja jellemezni a függvényeket. • legyen képes egyenleteket grafikusan megoldani, a megoldások számának vizsgálatát elvégezni. • ismerje a középpontos hasonlóság, a hasonlósági transzformáció fogalmát, a transzformáció tulajdonságait. • tudja megfogalmazni, bizonyítani és további feladatokban alkalmazni a hasonlóság alkalmazásaként megtanult tételeket. • legyen képes a hasonlóságot szerkesztési, bizonyítási, valamint számításos feladatokban alkalmazni. • legyen képes a hasonlóság tulajdonságait feladatokban alkalmazni. • tudja a geometriai transzformációkat kezelni a térben. • ismerje és alkalmazza a vektorokról és vektor-műveletekről tanultakat (összeadás, kivonás, számmal szorzás). • tudjon felbontani síkbeli vektorokat adott irányú összetevőkre. • ismerje a vektorfelbontás egyértelműségére vonatkozó tételt. • készség szinten tudja derékszögű háromszög hiányzó adatait kiszámolni Pitagorasz tételének vagy a szögfüggvényeknek a felhasználásával. • tudja ezeket a számításokat alkalmazni egyéb síkbeli és térbeli alakzatok hiányzó adatainak meghatározásához; számításainál használja célszerűen a zsebszámológépet. • ismerje a térelemeket és azok méretes vonatkozásait. • ismerje néhány sikgeometriai tétel térbeli megfelelőjét. • tudjon modellt készíteni a tanult testekből, ismerjen alapvető számolási eljárásokat. 2008/177. szám • ismerje a statisztikai adatsokaság jellemzésére használt legalapvetőbb mutatókat (módus, medián, átlag, szórás, gyakoriság, relatív gyakoriság, eloszlásfüggvény). • ismerje az eseményalgebra alapfogalmait: (biztos esemény, lehetetlen esemény, ellentett esemény, események összege és szorzata, kizáró esemény, függetlenség, teljes eseményrendszer). • ismerje meg az események valószínűségének matematikai fogalmát. • tudjon kísérleti úton meghatározni bizonyos teljes eseményrendszerekhez tartozó relatív gyakoriságokat. • tudja alkalmazni a kombinatorikát bizonyos események valószínűségének kiszámítására. • legyen tapasztalata arról, hogy egyes események valószínűsége geometriai mértékkel is jellemezhető.

Source: https://magyarkozlony.hu/hivatalos-lapok/afec8bc05c7aa5bab86c470fb66432583c3a43c8/dokumentumok/ac8461939444793e41b3f48d2a919c12b6366309/letoltes