Publication: Magyar Közlöny
Issue: MK-2008-177 (Year: 2008, Number: 177)
Era: 2004-2010
Section: 3. számú melléklet a 34/2008. (XII. 12.) OKM rendelethez
Paragraph Index: 1721

11. évfolyam Belépő tevékenységformák • A tanult halmazelméleti alapismeretek felhasználása a tanítandó anyag különböző területein: kapcsolódás más témakörökhöz: egyenletek, függvények, ponthalmazok. • A logikai szita formula használata. • Véges és végtelen halmazok ekvivalenciájának megismerése. • A megszámlálható és kontinuum számosság fogalmának kialakítása. • A logikai értékek Boole-algebrájának megismerése. Boole-algebrák • A matematikai logika elemeinek alkalmazása a feltételek, következtetések megfogalmazásánál, a bizonyítási módszereknél. • A negáció, az ekvivalencia, az implikáció, a konjunkció és diszjunkció szerepének megláttatása az egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldásakor. • A kvantorok fogalmának pontos kialakítása, szerepük felismerése a gondolkodásban (pl. az analízis fogalmainak kiépítésekor). • A logika nyelvének tudatosabb használata. • Törekvés az eddig megismert bizonyítási módszerek közös logikai elemeinek kifejtésére, a teljes indukció módszerének biztos alkalmazása. • Műveletek a logikai értékekkel – ismerkedés a matematikai logika nyelvével • A „nem” az „és”, a „vagy”, a „ha”, az „akkor és csak akkor” műveletek tudatos alkalmazása • A tétel és megfordítása logikai értékének vizsgálata. • A szükséges és elégséges feltétel tudatos alkalmazása. • A logaritmus fogalmának megismerése. • A logaritmikus kifejezések átalakítása. • A számkörbővítés egyik lehetséges módjának ismerete. • A komplex számok megismerése, alapműveletek végzése komplex számokkal. • Az egyenletekkel, egyenletrendszerekkel kapcsolatos ismeretek bővítése. • Exponenciális- és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek megoldása. • A polinom fogalmának fejlesztése. • Egész- és racionális együtthatós polinomok egész- és racionális gyökeinek kiszámítása, összefüggéseik megismerése. • A harmadfokú és negyedfokú egyenlet megoldási algoritmusa, a megoldások vizsgálata. • A függvényekkel kapcsolatos korábbi ismeretek, tapasztalatok rendszerezése, ennek kapcsán a függvényszemlélet fejlesztése. • Az exponenciális függvény és tulajdonságainak megismerése. • Tudja, hogy az azonos alapú exponenciális és logaritmusfüggvények egymás inverzei. • Az inverz pontpárok, az inverz alakzat és az inverz függvény fogalmának tudatosítása. • Az inverz függvény fogalmának elmélyítése. • A logaritmus függvény és tulajdonságainak megismerése. • Az összetett függvény fogalmának elmélyítése. • Az analízis fogalmainak előkészítése: korlátosság, monotonitás, szakadásos függvények. • A függvényekkel kapcsolatos korábbi ismeretek, tapasztalatok rendszerezése, ennek kapcsán a számtani és mértani sorozat általános tárgyalása, a sorozatok gyakorlati alkalmazása (pl. kamatoskamat-számítás, törlesztési feladatok, járadékszámítás). • Fibonacci típusú s egyéb rekurzióval megadható sorozatok megismertetése. 2008/177. szám • Sorozatokkal kapcsolatos fontos ismeretek (monotonitás, konvergencia, korlátosság) megismertetése, és feladatokon való alkalmazása. • Végtelen mértani sor összegképletének használata. Végtelen szakaszos tizedestörtek és a racionális számok kapcsolatának bizonyításával a számfogalom mélyítése. • A függvényhatárérték, a folytonosság, a differenciálhányados fogalmának megismertetése, alkalmazásuk. • Függvények teljes vizsgálata, ábrázolása. • Szélsőérték-vizsgálatok a differenciálszámítás eszközeivel. • Az elemi geometriai ismeretek rendszerezése, ismétlése. • A térbeli derékszögű koordinátarendszer megismerése, használata. • A vektorokról tanultak rendszerezése, ismétlése. • A vektorok skaláris- és vektoriális szorzatának megismerése, a trigonometriában és a koordinátageometriában való alkalmazása. • Ezen szorzatok fizikában való felhasználhatóságának megmutatása (pl. munka, forgatónyomaték). • A szinusz- és koszinusztétel alkalmazásával háromszöggel, négyszöggel kapcsolatos számítások és bizonyításos feladatok megoldása. • Gyakorlati problémák felvetése: a terepen távolság, magasság, szög kiszámítása. • Fizikai mennyiségek: sebesség, erő meghatározása. • Az összegzési tételek és felhasználásuk egyenletek, egyenletrendszerek megoldásában. • A zsebszámológép és a személyi számítógép célszerű használata. • A gyakorlati feladatokban megfelelő pontosságú értékek meghatározása. • Annak ismerete, hogy ponthalmazok jellemzése a koordináta-rendszerben egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenség-rendszerek segítségével történik. • Annak ismerete, használata, hogy ponthalmazok metszete egyenletrendszer, egyenlőtlenség-rendszer megoldásával határozható meg. (Az algebra és a geometria kapcsolata.) • A vektorokról tanultak átismétlése, rendszerezése. • Egyszerübb ponthalmazok a koordináta-rendszerben (ismétlés). • A kúpszeletek definiciója, pontjainak szerkesztése (ismétlés). • Az egyenes, a kör, a kúpszeletek egyenletének alkalmazása matematikai és gyakorlati jellegű feladatokban. • Térben az egyenes vektor-egyenlettel, egyenletrendszerrel, a sík lineáris egyenlettel adható meg. • A kúpszeletek: a kúp síkmetszetei. A kúpszeletek szerepének ismerete a fizikában és a tudománytörténetben (Pl. Kepler-törvények). • Annak átismétlése, hogy adatsokaságokat a számtani (illetve súlyozott) közép és a szórás miként jellemzi. Stasztikai adatokból levonható következtetések. • A valószínűségi feladatokban az érdekesség és a felhasználhatóság megmutatása. • A valószínűség fogalmának elmélyítése: a modellalkotás folytatása. • A binomiális-, a geometriai- és a hipergeometriai eloszlások felismerése, paramétereinek számítása. • Feltételes valószínűségre néhány feladat bemutatása. Témakörök Tartalom A halmazelmélet elemei. A matematikai logika alapjai. (20 óra) • Halmazelméleti ismeretek összefoglalása, műveletek tulajdonságai. • De Morgan azonosságok. A halmazműveletek Boole-algebrája. • Véges és végtelen halmaz ekvivalenciája, halmazok számossága. • Végtelen halmaz végtelen részhalmazának számossága. • A racionális és valós számok halmazának számossága. • A logikai szita formula • Paradoxonok a matematikában. A naiv halmazelmélet hiányosságai. A Russel paradoxon. • A logikai értékek algebrája. • Boole-algebra és a számtest összevetése. • A negáció, a konjunkció, a diszjunkció, az implikáció és az ekvivalencia. • Szükséges feltétel, elégséges feltétel, szükséges és elégséges feltétel. • Univerzális és egzisztenciális kvantor. 2008/177. szám A számfogalom bővítése, műveletek (10 óra) • Az eddig tanult nevezetes azonosságok átismétlése, a hatványozás fogalmának kiterjesztése. • Műveletek hatványokkal. Inverz műveletek • A logaritmus fogalma, azonosságai. • Kapcsolat különböző alapú logaritmusok között. • A természetes (e) alapú logaritmus. • A komplex számok fogalma, a kanonikus és a trigonometrikus alak. Komplex szám konjugáltja és abszolút értéke. • A Gauss-féle számsík. • A négy alapművelet elvégzése komplex számokkal. • Moivre-tétel. Hatványozás és gyökvonás komplex számokból. Egységgyökök, primitív egységgyökök. Egyenletek, egyenlőtlenségek (29 óra) • Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek. • Logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek. • Egész együtthatós polinom fogalma, gyökök és együtthatók összefüggése, Horner elrendezés. • Egész együtthatós polinomok racionális és egész gyökei. • Az egész együtthatós polinom és gyökei. A Viète-formulák. • Harmadfokú egyenletek megoldás, a Cardano-féle képlet. A negyedfokú egyenlet megoldási algoritmusa. • A komplex számok néhány alkalmazása az algebrában, a geometriában. Függvények és transzformációik (10 óra) • A valós kitevőre értelmezett hatványozás megfogalmazása. • Az exponenciális függvény és tulajdonságai. • Az exponenciális függvények egyszerű transzformáltjai. • Az inverz pontpárok, az inverz alakzat és az inverz függvény fogalma. • Az azonos alapú exponenciális- és logaritmusfüggvények egymás inverzei. • A logaritmusfüggvény , tulajdonságai, transzformációi. • A monotonitás, a szélső értékek, a korlátosság fogalma. • Az összetett függvény. • A geometriai és függvénytranszformációk kapcsolata. • Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Sorozatok (16 óra) • A számtani és mértani sorozat fogalma. Az n-edik tag és az összegképlet. • Fibonacci-sorozat, rekurzív sorozatok. • Számtani, mértani, harmonikus és négyzetes közép összehasonlítása. • Sorozatok korlátossága, monotonitása. • A sorozat határértékének fogalma. • A konvergens sorozatok tulajdonságai. Határértékszámítási módszerek. • Sorozatok konvergenciája. • A végtelen mértani sor. Analízis I. (30 óra) • A függvény folytonossága, a folytonos függvények tulajdonságai. • Függvény határértéke a véges helyen és a végtelenben. • Függvény határértéke jobbról és balról, a határérték tulajdonságai, kiszámítási módjai. • A differenciálhányados, a differenciálhatóság, a deriváltfüggvény. 2008/177. szám • Összeg, szorzat, hányados, polinomok, algebrai törtfüggvények, trigonometrikus függvények deriváltja. • Az összetett függvény deriválási szabálya. • Az inverz függvény deriváltja. Az exponenciális és logaritmusfüggvény deriváltja. • Konvexitás, konkavitás. Inflexiós pontok. • A függvénymenet vizsgálatára, a szélsőértékekre vonatkozó tételek. • Teljes függvényvizsgálat az analízis eszközeivel. • A L’Hospital-szabály. • Az analízis módszereinek fejlődése, a fogalmak tartalmának változása, tudománytörténeti vonatkozások. Vektorok, trigonometria (30 óra) • Különböző vonatkoztatási rendszerek. • A térbeli derékszögű koordinátarendszer. Térbeli vektorok. • A skaláris és vektoriális szorzat fogalma és tulajdonságai. • A vektorműveletek és a koordináták. • A vektorműveletek és a kétváltozós műveletek. • A szinusz- és koszinusztétel. • Összetett számítási feladatok síkban és térben. • A térelemek méretes vonatkozásai. • Összegzési tételek és következményeik. Koordinátageometria (35 óra) • Az egyenes irányvektoros egyenlete (síkban és térben). • Síkban az egyenes normálvektoros és általános egyenlete. • Adott ponton átmenő, adott iránytangensű egyenes egyenlete. • A párhuzamosság és merőlegesség feltétele. • A sík egyenlete. • Két pont távolsága, a kör középponti és általános egyenlete. • Kúpszeletek (parabola, ellipszis, hiperbola) elemi tulajdonságai és speciális egyenletei. • Kúpszeletek érintői és ezek tulajdonságai. Az érintők szerkesztése és egyenletük felírása. • A henger és a kúp síkmetszetei. • A tanult alakzatok egyenleteinek alkalmazása metszési és érintési feladatokban. Valószínűségszámítás, statisztika (20 óra) • Átlag, szórás, módus, medián a statisztikai adatsokaság jellemzői (ismétlés). Ezen fogalmak megfelelői a valószínűségek esetén. • Az egyenletes eloszlás. A binomiális eloszlás. • A geometriai eloszlás. • A hipergeometriai eloszlás. • Változatos feladatok valószínűségek megállapítására. • Valószínűségi változó, várható érték fogalma. • A várható érték kiszámítása egyszerübb eseményrendszereknél. 2008/177. szám A továbbhaladás feltételei A tanuló • tudatosan használja és alkalmazza a logika nyelvét • ismerje és használja a (logikai) ítélet fogalmát, a logikai értékeket • ismerje fel az eddig megismert és problémák megoldásában használt bizonyítási módszerek közös logikai elemeit, alkalmazza biztosan a megismert bizonyítási módokat (pl. a teljes indukciót) • tudjon műveleteket végezni a logikai értékekkel • ismerje a matematikai logika nyelvének alapjait • tudatosan használja a „nem”, az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor és csak akkor” logikai műveleteket • ismerje a negáció, a konjunkció, a diszjunkció, az implikáció és az ekvivalencia logikai műveletek alaptulajdonságait • tudjon „tétel” és „megfordítása” állításokat összegyűjteni a matematika különböző területeiről • tudatosan alkalmazza a problémák vizsgálatánál, a bizonyításoknál a „szükséges” és „elégséges” feltételt (pl. számelméleti, geometriai, kombinatorikus kérdések) • ismerjen (különböző szinten) megoldatlan matematikai problémákat (az iskolai matematikában, a matematika történetében) • biztosan tudja alkalmazni problémák megoldásában a logikai szita formulát két, három halmazra • értse és megfelelően használja a „minden” és „van, olyan” szavakat (kvantorokat) • tudjon összetett állításokat tagadni • értse a megszámlálható halmaz fogalmát, és tudja, hogy a valós számok halmaza nem megszámlálható • ismerje a logikai értékek Boole-algebráját, tudja azt egyszerűbb esetekben alkalmazni • tudja az egyszerübb matematikai állítások logikai vázát felépíteni, ismerje az egyszerübb bizonyítások logikai formuláját • ismerje a logaritmus fogalmát • ismerje a gyakran használt logaritmus alapszámok (10, e) gyakorlati és elméleti jelentőségét • ismerje a logaritmus azonosságait, és tudja azokat alkalmazni • ismerje a komplex számok fogalmát • ismerje a komplex számokon értelmezett alapműveleteket, a hatványozást és a gyökvonást mind a kanonikus, mind pedig a trigonometrikus alakban • ismerje az egységgyökök fogalmát. • tudjon megoldani exponenciális egyenleteket, egyenlőtlenségeket, egyenletrendszereket • tudjon megoldani logaritmikus egyenleteket, egyenlőtlenségeket, egyenletrendszereket • tudja, hogy az egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya és értékkészlete milyen szerepet játszik a megoldások vizsgálatakor • tudja, hogy az egyenlet megoldása során melyek az ekvivalens átalakítások • tudja, hogy a trigonometrikus egyenletnek végtelen sok megoldása is lehet, és tudja, hogy ilyen esetben hogyan állapítható meg a gyökök valódi vagy hamis volta • tudja a tanult azonosságokat az egyenletek megoldásában alkalmazni • ismerje az egész együtthatós polinomok gyökeinek összefüggéseit • ismerje és tudja alkalmazni a Horner-elrendezést • ismerje és tudja alkalmazni az egész együtthatós polinomok racionális és egész gyökeinek kiszámítási módját • ismerje a komplex számok felhasználásának néhány lehetőségét • ismerje a harmad- és negyedfokú egyenletek megoldási algoritmusát és a diszkussziót • ismerje a különböző alapú exponenciális függvényeket, grafikonjaikat, elemi tulajdonságaikat, tudja ábrázolni egyszerűbb transzformáltjaikat • ismerje a különböző alapú logaritmus függvényeket, grafikonjaikat, elemi tulajdonságaikat, tudja ábrázolni egyszerűbb transzformáltjaikat • tudja, hogyan változtatják meg a függvénytranszformációk az alapfüggvény tulajdonságait • ismerje az inverz függvény fogalmát • tudja a függvények ábrázolását alkalmazni kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldásában, egyenlőtlenségek megoldásában, egyszerűbb fizikai folyamatok, egyéb természeti jelenségek leírásában • ismerje és tudja alkalmazni a számtani és mértani sorozat n-edik tagjára és összegére vonatkozó képleteket • ismerjen néhány, rekurzióval megadott sorozatot • ismerje a számtani, mértani, négyzetes és harmonikus közép fogalmát, tudja nagyságrendjüket 2008/177. szám • értse a sorozat korlátosságának, monotonitásának, konvergenciájának fogalmát, tudja meghatározni sorozatok határértékét • ismerje a végtelen mértani sort, tudja az összegképletét • tudja, hogy a végtelen szakaszos tizedestört hogyan és miért írható fel két egész szám hányadosaként • ismerje a függvény határértékének és folytonosságának fogalmát • tudja a tanult függvények adott helyhez tartozó határértékét megállapítani • tudjon példákat adni folytonos és nem folytonos függvényekre • ismerje és értse a differenciálhányados fogalmát • ismerje az összeg, szorzat, hányados deriválási szabályát • tudjon polinomot, algebrai törtfüggvényeket és trigonometrikus függvényeket differenciálni • ismerje az összetett függvény deriválási szabályát • ismerje az inverz függvények deriváltjainak összefüggését • ismerje az exponenciális és a logaritmusfüggvény deriválási szabályát • tudja, hogy a deriváltfüggvény segítségével hogyan vizsgálható a függvény menete, hogyan lehet meghatározni a függvény lokális szélsőértékeit • ismerje meg a konvexitás és konkavitás fogalmát, és ezen tulajdonságok kapcsolatát a deriváltfüggvények menetével • ismerje, és tudja alkalmazni a L’Hospital-szabályt • tudja, hogyan változott a függvényfogalom, a függvények tulajdonságainak vizsgálati módszere a matematikatörténet során, és ismerjen néhány nagy hatású matematikust a témával kapcsolatban • ismerje a skaláris és vektoriális szorzat fogalmát, és a műveleti tulajdonságokat • tudja a vektorműveleteket koordinátákkal követni • tudja ezeket alkalmazni a bizonyításokban és problémamegoldásokban • tudja a szinusz- és koszinusztételt (levezetésüket is) • tudja a szinusz- és koszinusztételt alkalmazni a háromszög hiányzó alkotórészeinek kiszámításában • tudjon síkbeli és térbeli geometriai számításos feladatokat megoldani • ismerje az összegzési (addíciós) tételeket, és tudja ezen tételeket és következményeit felhasználni egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásában is • ismerje a koordináta-síkban lévő egyenes néhány egyenletét, a párhuzamosság és merőlegesség feltételét • tudja a kör origó középpontú és általános egyenletét • tudja egyenesek és körök metszéspontját kiszámítani • tudjon a kör és egyenes, valamint a kör és kör esetén az érintkezési feltételek ismertében problémákat megoldani • ismerje az egybevágósági transzformációk, bizonyos hasonlósági transzformációk és a merőleges affinitás hatását a pontokra, az alakzatokra • ismerve a kúpszeletek definícióját, szimmetria tulajdonságait le tudja vezetni a parabola tengelyponti egyenletét, az ellipszis és hiperbola kanonikus egyenletét • tudja a kúpszeletek egyenletét metszési és érintési feladatokban alkalmazni • ismerje a kúpszeletek érintőinek geometriai fogalmát, az érintők szerkesztésének és egyenletük kiszámításának módszereit • tudja a függvényeknél tanult érintőfogalmat összekötni a geometriai érintőfogalommal • ismerje, hogy a henger és a kúp síkmetszete mi lehet • tudja a térelemek méretes vonatkozásait megfelelő adatok segítségével kiszámítani • ismerje a térbeli egyenes és sík koordináta-geometriai megadási módját • ismerje az átlag és a szórás fogalmát és meghatározási módját • ismerje, hogy a számsokaság elemeinek eloszlását hogyan jellemzi az átlag és a szórás • ismerje meg a binomiális – a geometriai – és a hipergeometriai eloszlást valószínűségi kísérletek elemzése során • ismerje, hogy ha egy valószínűségi kísérletben véges sok elemi esemény lehetséges, és azok egyenlően valószínűek, akkor egy esemény valószínűsége kombinatorikus úton miként határozható meg • ismerje fel egyszerűbb esetekben a tanult valószínűségi változót. 2008/177. szám

Source: https://magyarkozlony.hu/hivatalos-lapok/afec8bc05c7aa5bab86c470fb66432583c3a43c8/dokumentumok/ac8461939444793e41b3f48d2a919c12b6366309/letoltes