Publication: Magyar Közlöny
Issue: MK-2008-177 (Year: 2008, Number: 177)
Era: 2004-2010
Section: 4. számú melléklet a 34/2008. (XII. 12.) OKM rendelethez
Paragraph Index: 1850

7. évfolyam GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számlálás, számolás Az eddig megismert számkörök és mĦveletek közötti összefüggések, analógiák felismerése. Mennyiségi következtetés Szabályosságok felismerése. Szabályok alkalmazása. Tervezés, ellenĘrzés igényének megalapozása. Becslés, mérés Megoldások megtervezése, eredmények elĘre becslése, ellenĘrzése Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició ÉrtĘ-elemzĘ olvasás fejlesztése, kapcsolatok felismerése, lejegyzése egyszerĦ szimbólumokkal. Modellalkotás. A nyelv logikai elemeinek helyes használata. Változatos tartalmú szövegek értelmezése. A nyelv logikai elemeinek helyes használata. Az “és”, “vagy”, “ha”, …akkor”, “nem”, “van olyan”, “minden” kifejezések jelentése A nyelv logikai elemeinek helyes használata nem csak matematikai tartalmú állításokban. Rendszerezés, kombinativitás Halmazszemlélet fejlesztése. Összes lehetĘség rendszerezett felsorolása. Tervezés és ellenĘrzés képességének fejlesztése Rendszeres próbálgatás, összes eset számbavétele Konkrét dolgok adott szempont(ok) szerinti rendezése, rendszerezése, néhány elem sorba rendezése. Kiválasztási lehetĘségek összeszámolása kicsi elemszám esetén Deduktív következtetés, induktív következtetés Szabályok keresése, a felismert szabályosságok általánosítása. Állítások igazságának eldöntése, egyszerĦ érvelések EgyszerĦ („minden”, „van olyan” típusú) állítások igazolása, cáfolata konkrét példák kapcsán. Az elsajátítás képességének fejlesztése. A matematika tanulási módszereinek továbbfejlesztése (olvasott tankönyvi szöveg feldolgozása, lényeg kiemelése, házi feladatok célszerĦ elkészítési módjai) 2008/177. szám Pozitív motiváció kialakítása. Kommunikációs készség fejlesztése. Játékos tevékenységek, rejtvények, kooperatív munkaforma. Matematikatörténeti érdekességek. Könyvtárhasználat. Informatikai eszközök használata, adatgyĦjtésre, információszerzésre AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK A fogalmak kialakulását segítĘ játékok és eszközök használata. Az ismeretek halmazokba rendezése, logikai kapcsolataik feltárása. Több feltételnek megfelelĘ halmazok elĘállítása az aktuális tananyagnak megfelelĘen. Sejtések megfogalmazása, érvelések, egyszerĦ bizonyítások. Összetettebb szövegek közös feldolgozása, értelmezése. Kombinatorikai kérdések megfogalmazása, a lehetséges esetek számának elĘzetes megbecsülése, szabályosságok felfedezése, általánosítása A megoldott feladatok átfogalmazása, hozzájuk hasonló kérdések gyĦjtése más mĦveltségterületekrĘl, a gyerekek életébĘl. A rokon feladatok összegyĦjtése, megjelenítése poszteren, vagy más egyéb módon. FejtörĘ feladatok megoldása Stratégiai játékok ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK Folyamatos, beépül a teljes tananyagba. A gondolkodást változatos formákban, a tananyag minden területén fejlesztjük. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK, Feladatok játékos megjelenítése csoportos-, vagy osztálymunkában, sejtések, általánosítások, érvelések alkotása egyénileg vagy csoportban, ellenĘrzés csoportban és/vagy frontálisan MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Bármilyen eszköz a feladatok konkrét megjelenítésére – a feladatok eljátszása, korongok, számkártyák, gyöngyök, dobókockák… ÉRTÉKELÉS MÓDJA A gyerekek munkájának megfigyelésével. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE KülönbözĘ képességĦ gyerekekbĘl összeállított csoportmunka és játék által. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK A gondolkodási módszerek követelményei a többi témában konkretizálódnak. 2008/177. szám SZÁMTAN, ALGEBRA HATVÁNYOZÁS KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számlálás, számolás. A mĦveletfogalom bĘvítése, a számfogalom mélyítése. A mĦveletek körének bĘvítése a hatványozással. Nagyon nagy és nagyon kicsi számok közötti tájékozottság fejlesztése a hatványozás, normálalak segítségével. Gyakorlati élethez kapcsolódó feladatok. Zsebszámológépek használata. Mennyiségi következtetés, MĦveleti tulajdonságok megfogalmazása, általánosítása. Azonosság, egyenlĘség megkülönböztetése, biztos, lehetetlen, lehet, de nem biztos kifejezések használata. Becslés, mérés ÖnellenĘrzés igényének és képességének a fejlesztése. A 10 hatványainak és a mértékváltásoknak a kapcsolata. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició ÉrtĘ-elemzĘ olvasás fejlesztése. Olvasmányok, InternetrĘl, egyéb forrásokból keresett, nagyon nagy és nagyon kicsi számokkal kapcsolatos szövegek egyéni és közös feldolgozása, ismertetése a társakkal. Rendszerezés, kombinativitás Számok felírása sokféle alakban. Deduktív következtetés, induktív következtetés Hatványozás azonosságainak generikus bizonyításai. Analógiák keresése, mĦveleti rokonságok megfigyelése, azonosságok megfogalmazása. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Játékok hatványtáblázatokkal, mĦveleti és számkártyákkal. Matematikatörténeti érdekességek gyĦjtése könyvekbĘl, vagy az InternetrĘl. Nagyon nagy és nagyon kicsi számok írásának és olvasásának összekapcsolása a valóságos világból vett példákkal – kutató- gyĦjtĘmunka, játékos feladatok. Játékok számjegykártyákkal, számkorongokkal. MĦveletek gyakorlása játékos fejtörĘfeladatok megoldásához kapcsolva – számlabirintusok, számkeresztrejtvények… Fejszámolási játékok. Hatványtáblázatok és mértékváltás táblázatok megfigyelése, összehasonlítása. 2008/177. szám ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Bevezetjük a hatványozást. Ezt a témát nyolcadikban továbbvisszük az azonosságok általánosításával, a középiskola pedig a negatív és tört, emelt szinten még az irracionális kitevĘs hatványozással. A normálalak ennek egy alkalmazása. A hatványozásról szóló fejezetben kulcsfontosságú, hogy az egész kitevĘs hatvány definícióját világosan értsék a gyerekek, hogy mindig vissza tudjanak térni hozzá. Fontos, hogy konkrét esetekben felismerjék a szabályosságokat, amelyeket késĘbb azonosságként általánosan is megfogalmazunk. Ezeket egyelĘre nem kell megjegyezniük, az a lényeg, hogy kis kitevĘk esetén fel tudják ezeket a szabályosságokat fedezni, tudják azokat alkalmazni és a definícióra visszavezetni. A normálalak tanításakor a helyi értékes írásmóddal való kapcsolaton a leglényegesebb, itt valójában a kerek számokkal való szorzás osztás szabályainak általános megfogalmazásáról van szó. Hatványozás, definíciója – 0 kitevĘs hatvány is – azonosságai konkrét számok esetén, negatív kitevĘs hatványok Számok normálalakja, mértékváltások Számkörök – matematikatörténeti áttekintés, A számok különféle alakjai, tízes számrendszerbeli alak, összeg-, szorzat-, (prímtényezĘs szorzat), hatvány-, normál- tört-, százalék-... alak. Más számrendszerek, irracionális számok. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK GyĦjtĘmunka, változatos forrásokból szedett adatok értelmezése, egyénileg és közösen. Irányított játékok. Felfedeztetés frontális osztálymunkában. Gyakorlás csoportmunkában és egyénileg. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Hatványtáblázatok, mértékegység-táblázatok, számkártyák, ismeretterjesztĘ szövegek, zsebszámológépek ÉRTÉKELÉS MÓDJA A gyerekek munkájának folyamatos megfigyelése. Diagnosztizáló felmérĘ. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE A gyerekek mindennapi tapasztalatainak bevonása, bĘséges tapasztalatszerzésre épített fogalomalkotás, vegyes képességĦ csoportok szervezése VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Tudják a természetes szám kitevĘjĦ hatvány jelentését. Tudják felírni ezeket azonos tényezĘk szorzataként. Tudjanak egyenlĘ tényezĘkbĘl álló szorzatot hatványalakban felírni. Tudjanak normálalakba írt számokat átírni tízes számrendszerbe és fordítva. 2008/177. szám SZÁMOKRÓL ÉS MĥVELETEKRėL TANULTAK ÖSSZEFOGLALÁSA KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számlálás, számolás. A mĦveletfogalom bĘvítése, a számfogalom mélyítése. A számkörök közötti összefüggések megvilágítása – matematikatörténeti háttérrel, kitekintés a valós számok felé. Biztos mĦveletvégzés a különbözĘ számkörökben. Számok felírása többféle alakban. Számolási képesség fejlesztése nagyon nagy és nagyon kicsi számok körében. ElĘretekintés az algebra felé. Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés Azonosság, egyenlĘség megkülönböztetése, biztos, lehetetlen, lehet, de nem biztos kifejezések használata. Becslés, mérés ÖnellenĘrzés igényének és képességének a fejlesztése. Eredmény becslése és közelítĘ kiszámítása különbözĘ számkörökben. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició ÉrtĘ-elemzĘ olvasás fejlesztése. Valós életbĘl vett problémák megoldása, szöveges feladatok megoldása, ellenĘrzés. Nagy számokról szóló szövegek értelmezése, ismertetése a társakkal. Rendszerezés, kombinativitás Több megoldás keresése, lehetséges megoldások száma. A lehetséges eredmények száma, ha rögzített értékeket tartalmazó mĦveletsorba zárójeleket helyezünk el, vagy változtatjuk a benne szereplĘ mĦveleteket, vagy cserélgetjük a mĦveletvégzés sorrendjét. Számok felírása sokféle alakban. Deduktív következtetés, induktív következtetés Analógiák keresése, mĦveleti rokonságok megfigyelése, azonosságok megfogalmazása. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Matematikatörténeti érdekességek gyĦjtése könyvekbĘl, vagy az InternetrĘl. Nagyon nagy és nagyon kicsi számok írásának és olvasásának összekapcsolása a valóságos világból vett példákkal – kutató- gyĦjtĘmunka, játékos feladatok. Játékok számjegykártyákkal, betĦ-szám kártyákkal, számkorongokkal. MĦveletek gyakorlása játékos fejtörĘfeladatok megoldásához kapcsolva Fejszámolási játékok. A különbözĘ mĦveletek tulajdonságainak általánosítása, ezek összehasonlítása, eltérések, hasonlóságok megfogalmazása. A számkörök felépülésének áttekintése, játékos, az irracionális számok felé vezetĘ feladatok Különféle számtáblázatok – hatványtáblázatok, Pitagoraszi számnégyzet, Pascal háromszög… – vizsgálata ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Összefoglaljuk a számokról, mĦveletekrĘl eddig tanultakat. Ezeket az ismereteket folyamatosan gyakoroljuk, alkalmazzuk továbbra is, majd továbbépítjük Ęket az algebráról szóló fejezetekben. Fontos, hogy lássák, milyen számköröket ismernek, és ezek hogyan viszonyulnak egymáshoz, továbbá hogy biztonságosan tudjanak (nem Számkörök – matematikatörténeti áttekintés A számok különféle alakjai, tízes számrendszerbeli alak, összeg-, szorzat-, (prímtényezĘs szorzat), hatvány-, normál- tört-, százalék-... alak, más számrendszerek, irracionális számok. MĦveletek ismétlése 2008/177. szám túl nagy számokkal) a megismert számkörökben alapmĦveleteket végezni. Nagyon lényeges, hogy ismerjék a mĦveletvégzés sorrendjét, a zárójelek szerepét a számolásban. Az algebra megértése szempontjából kulcsfontosságú, hogy minél gazdagabb tapasztalatanyaguk legyen a mĦveleti tulajdonságokról, a mĦveleti sorrendekrĘl, a zárójelek elhagyhatóságáról csak összeadástkivonást, illetve csak szorzás-osztást tartalmazó mĦveletsorokban. Összeadás és kivonás a különbözĘ számkörökben, szorzás és osztás a különbözĘ számkörökben, hatványozás, a mĦveletvégzés sorrendje, zárójeles kifejezések, mĦveleti azonosságok, mĦveleti rokonságok. Százalékszámítás. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK GyĦjtĘmunka, változatos forrásokból szedett szövegek értelmezése, egyénileg és közösen. KiselĘadások. Irányított játékok. Felfedeztetés frontális osztálymunkában. Gyakorlás csoportmunkában és egyénileg. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Hatványtáblázatok, mértékegység-táblázatok, számkártyák, ismeretterjesztĘ szövegek, zsebszámológépek ÉRTÉKELÉS MÓDJA A gyerekek munkájának folyamatos megfigyelése. Diagnosztizáló és értékelĘ felmérĘ. Témazáró dolgozat AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE A gyerekek mindennapi tapasztalatainak bevonása, bĘséges tapasztalatszerzésre épített fogalomalkotás, vegyes képességĦ csoportok szervezése A mérésnél mindenki számára megfelelĘ nehézségi szintĦ feladatok biztosítása.. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Ismerjék és értsék a természetes szám, negatív szám, egész szám, racionális szám fogalmakat. Ismerjék, és legyenek képesek halmazként ábrázolni a megismert számkörök egymáshoz való viszonyát. Tudjanak alapmĦveleteket végezni a hozzájuk tartozó számokkal fejben, írásban, egyszerĦ számokat tartalmazó mĦveletsorokban. Tudják a mĦveletvégzés sorrendjét, ismerjék a zárójelek szerepét. Ismerjék és alkalmazzák a tanult mĦveleti azonosságokat. Tudjanak becsléseket és közelítĘ számításokat végezni ezekben a számkörökben. ARÁNY, ARÁNYOSSÁG, SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számlálás, számolás, informatikai eszközök használata Arányossági következtetést, százalékszámítást kívánó számolási feladatok megoldása fejben, írásban, vagy kalkulátorral. Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés Arányossági következtetések, százalékszámítási feladatok, arányos osztások. Relatív gyakoriság számítása. Függvényszemlélet Arányosságok grafikus ábrázolása 2008/177. szám Becslés, mérés ÖnellenĘrzés igényének és képességének a fejlesztése. Méréssel egybekötött számítási feladatok megoldása, a számított eredmények elĘzetes becslése, utólagos nagyságrendi ellenĘrzése. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició ÉrtĘ-elemzĘ olvasás fejlesztése. Gyakorlati életbĘl gyĦjtött, illetve méréssel nyert adatokon alapuló problémák matematikai megfogalmazása, az eredmény egybevetése a valósággal. Százalékszámítási és egyszerĦ kamatszámítási feladatok Alkalmazás projektmunkában, pl. táborozásszervezéssel kapcsolatos feladatok megoldására. Rendszerezés, kombinativitás Táblázatok készítése. Deduktív következtetés, induktív következtetés A tapasztalt összefüggések általánosítása, matematikai formába öntése. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Gyakorlati példák gyĦjtése egyenes és fordított arányosságra, valamint más típusú kapcsolatokra összetartozó érték párok között. Az arányossági tényezĘ szemléletes jelentésének megfogalmazása a konkrét egyenes illetve fordított arányosságok esetén. Egyenes, illetve fordított arányosságok kiválasztása vegyes hozzárendelések közül. ValószínĦségi kísérletekhez kapcsolódóan relatív gyakoriságok számítása. Mérések és számítások végzése rögzített mérĘegységgel, illetve ugyanazon mennyiség mértékének a megállapítása méréssel illetve számítással. Mértékváltási feladatok. Mérések arányosan nagyított, vagy kicsinyített képek alapján, térképen, szabásmintákon, alaprajzokon… Projektmunkához, pl. táborozás tervezéséhez kapcsolódó gyakorlati alkalmazás Grafikonok készítése mért, vagy táblázatokban adott adatok alapján, grafikonok értelmezése, százalékosan adott adatok. ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Az arány, arányosság, százalékszámítás témakörét hatodikban bevezettük, itt tovább érleljük és be is fejezzük ezt a témakört, ami azonban folyamatosan jelen van továbbra is a matematikában is, a többi természettudományos tárgyaikban is. Hangsúlyos gondolatok: – az együttváltozó mennyiségek közül ki tudják választani az egyenes és fordított arányosságokat. – tudják az egyenes és a fordított arányosságot is kétféleképpen is leolvasni, lássák, hogy két-két összetartozó értékpár esetén két érték hányadosa egyenes arányosságnál megegyezik a megfelelĘ értékek hányadosával, fordított arányosságnál pedig a megfelelĘ értékek hányadosának reciprokával. Lássák azt is, hogy az egyenes Arány, arányos következtetés, aránypár fogalma, százalékszámítás. A tört, az arány és a százalék kapcsolata, az egység illetve a 100% szerepe, arányos osztás (kettĘ vagy több részre), kapcsolata a törttel való szorzással, illetve a százalékszámítással. Egyenes arányosság, kapcsolatok megfogalmazása többféleképpen is a változók között. Egyenes arányosság, grafikonja. Példák lineáris változásokra. Fordított arányosság, kapcsolatok megfogalmazása többféleképpen is a változók között. Fordított arányosság, grafikonja. Összetett arányossági következtetések. Mérés és arányosság, mérĘszám és mennyiség kapcsolata rögzített egység mellett 2008/177. szám arányosság esetében az összetartozó értékek hányadosa, fordított arányosság esetén ezek szorzata állandó Kulcsfontosságú, hogy ennek az állandónak a jelentését minden konkrét arányossági feladatban megfogalmazzuk. (ez lehet egységár, sebesség, százalékláb, munkatempó…terület, egyenes arányosság, mértékváltás, mérĘszám és mértékegység kapcsolata azonos mennyiség mérésekor fordított arányosság. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK, Különféle kooperációs módszerek alkalmazása. Gyakorlás csoportmunkában és egyénileg. Projektmunka csoportokban. Az elmélet és a gyakorlat összevetése. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Gyakorlati életbĘl vett példák gyĦjtése, a tanultak alkalmazása ilyen problémák megoldására ÉRTÉKELÉS MÓDJA A gyerekek munkájának folyamatos megfigyelése. Diagnosztizáló felmérĘ. A projektek eredményeinek közös megbeszélése, értékelése. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE A gyerekek saját tapasztalatainak, élményeinek bevonása a tanítási-tanulási folyamatba, a segítségadás biztosítása VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Legyen képes egy mennyiség törtrészét, illetve megadott százalékát kiszámítani lehetĘleg többféleképpen, következtetéssel, törttel való szorzással. Ismerje fel egyszerĦ esetekben az egyenes, illetve a fordított arányosságokat, és ezek esetében tudjon hiányzó adatokra helyesen következtetni. Tudja megrajzolni egyenes arányosság grafikonját! LehetĘleg lássa az összefüggést az egyenes arányosság állandója és a grafikon meredeksége között. Értse, hogy rögzített mérĘegységgel való mérésnél a mérendĘ mennyiség és a mérĘszám egyenesen arányosak; azonban amikor egy adott mennyiséget mérek meg (vagy számítok át mértékváltáskor) különféle egységekkel, akkor a mérĘegység és a mérĘszám fordítottan arányosak. SZÁMELMÉLET KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számlálás, számolás. Számolási feladatok a természetes számok (és a törtek körében), maradékos és maradék nélküli osztás, számolási „trükkök”. Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés MĦveleti tulajdonságok – elsĘsorban az osztás tulajdonságai -megfigyelése, felhasználása mennyiségi következtetésekre. Biztos, lehetetlen, lehet de nem biztos kérdések eldöntése. Becslés, mérés ÖnellenĘrzés igényének és képességének a fejlesztése. Legnagyobb közös osztó felhasználása közös mérték keresésére. 2008/177. szám Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició ÉrtĘ-elemzĘ olvasás fejlesztése. A jelenségek világában megfigyelhetĘ ritmikusság, periodikusság matematikai átfogalmazása, kapcsolódó problémák megoldása. Matematikatörténeti olvasmányok feldolgozása Rendszerezés, kombinativitás Oszthatósággal kapcsolatos leszámolási feladatok megoldása: osztók száma, adott tulajdonságú számok keresése…, adott területĦ, egész oldalú téglalapok száma…. Deduktív következtetés, induktív következtetés EgyszerĦ érvelések állítások igazságának eldöntésére, példák, ellenpéldák keresése, egyszerĦ bizonyítások. Függvényszemlélet EgyszerĦ számelméleti összefüggések ábrázolása koordinátarendszerben AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Nagy számok osztási maradékának megállapítása összegre bontással, szorzótényezĘkre való bontással. Összeg, különbség, szorzat adott számmal való oszthatósága összegre bontással, szorzótényezĘkre való bontással. Pascal -háromszög színezései adott számmal való osztási maradékok szerint. PRÍMSZÁMOK ELOSZLÁSA, STATISZTIKUS VIZSGÁLÓDÁSOK. MATEMATIKA TÖRTÉNETI ÉRDEKESSÉGEK A SZÁMELMÉLET TÉMAKÖRÉBEN (IKERPRÍMEK, BARÁTSÁGOS SZÁMOK, STB.). Szám építése prímek szorzataként, osztók elĘállítása a prímtényezĘkbĘl, közös osztók, legnagyobb közös osztó, közös többszörösök, legkisebb közös többszörös elĘállítása a prímtényezĘkbĘl. Összetett oszthatósági szabályok leolvasása, egyszerĦ számelméleti következtetések a számok prímtényezĘs felbontása alapján Játékos versenyek az oszthatóságról. Számelméleti tulajdonságokhoz kapcsolódó valószínĦségi játékok ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK Tartalom részletezése A hatodik osztályban elkezdett témát itt befejezzük. Az ott kimondott oszthatósági szabályokat bizonyítjuk, a maradékokról, prímfelbontásról tanultakat tovább mélyítjük. A továbbiakban ezt néhány témakörben használjuk, de majd csak a középiskolában építik tovább ezt a témát. Kulcsfontosságú gondolatok: – a maradékokkal való számolás, és ennek alkalmazása az oszthatóság megállapításában – annak megértése, megtapasztalása, hogy számok prímfelbontásából hogyan olvashatók ki az osztók, hogyan állapíthatók meg a közös osztók, közös többszörösök… Oszthatóság fogalma, megállapítása maradékokból, oszthatósági szabályok ismétlése, alkalmazása, összetett oszthatósági szabályok (2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 50, 100, 3, 9) a 3-mal és a 9-cel való oszthatósági szabály bizonyítása. Prímszámok, összetett számok fogalma, oszthatóság megállapítása szorzatalakból, szám felbontása prímek szorzatára, számok építése prímek szorzataként. Összes osztó, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös megkeresése a prímtényezĘs felbontásból. Összetett oszthatósági szabályok. 2008/177. szám – elsĘ tapasztalataikat szerzik a gyerekek a bizonyításról, fontos, hogy ez próbálgatással, az állítás induktív megsejtésével kezdĘdjön, de azt is tapasztaltassuk meg, hogy nem tudunk minden esetet kipróbálni, a bizonyossághoz más is kell, mint a próbálkozás. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK Kooperációs csoportmunka és frontális megbeszélések. Próbálkozás, módszeres kísérletezés, közös megbeszélés és egyéni gyakorlás. Viták, érvelések. ValószínĦségi játékok. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Prímszámkorongok, dobókocka, számelméleti TOTÓ, ÉRTÉKELÉS MÓDJA A tanulók egyéni megfigyelése, diagnosztizáló felmérés. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Segítségadás biztosítása vegyes heterogén csoportban, a társak részérĘl is, és egyénileg is. Játékos, motiváló feladatok és tevékenységek. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Ismerje az osztó, többszörös, prímszám, összetett szám fogalmakat. Ismerje és tudja alkalmazni a fent felsorolt oszthatósági szabályokat. Értse a közös osztó, közös többszörös kifejezéseket. Legyen képes számokat prímek szorzatára bontani, prímek szorzataként elĘállított számokról osztókra, számvégzĘdésre, egyéb egyszerĦ számelméleti tulajdonságokra következtetni. ALGEBRA KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számlálás, számolás Behelyettesítések az azonosságok kipróbálása és az egyenletek megoldásának ellenĘrzése során. Mennyiségi következtetés, Összetett mennyiségi következtetések alkalmazása a szöveges egyenletek megoldását megbecsültetĘ játékok során. Függvényszemlélet A behelyettesítéssel kapott értékek megfigyelése, ábrázolása számegyenesen, koordinátarendszerben Becslés, mérés Helyettesítési értékek elĘre becslése, szöveges feladat megoldásának nagyságrendi ellenĘrzése. Az eredmények becslése, ellenĘrzése. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició Valós gyakorlati, vagy elképzelt, szövegesen elmesélt helyzet lefordítása a matematika nyelvére, az eredmény elĘzetes elképzelése, utólagos egyeztetése a probléma kontextusával. 2008/177. szám Rendszerezés, kombinativitás Algebrai kifejezésekhez többféle alak keresése, mĦveleti sorrendek lehetséges változatai, kiinduló adatok változtatása szöveges feladatokban… Indukció, dedukció Azonosság fogalma, ekvivalens átalakítás fogalmának elĘkészítése. Azonos és ekvivalens átalakítások. A lépések megfordíthatósága. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Algebrai fogalmakat elĘkészítĘ játékok: Játékok betĦ és számkártyákkal, nyitott mondatokkal. Játékok algebrai kifejezések többféle alakban való megadására. Szabályjátékok, számegyenes színezések, fordítás a matematika nyelvére. Az egyenletmegoldás különbözĘ módszereihez kapcsolódó játékok: lebontogatás „leporelló-módszerrel”, mérlegelv szemléltetése mérleggel, vagy mérleget utánzó tevékenységekkel, módszeres próbálgatást fejlesztĘ játékok, egyenletkészítĘ játék. Szöveges feladat megoldásának elĘre becslése versenyszerĦen, egyes gyerekek, vagy csoportok között. Szöveges feladatok tartalmának eljátszása, vagy ahhoz illusztráció készítése, a megoldás megfigyelése a kiinduló adatok változtatása mellett. ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Ebben a fejezetben tovább folytatjuk az egyenlet-, egyenlĘtlenség-megoldás tanítását. Emellett elkezdjük az algebra alapjainak módszeres tárgyalását. A téma természetesen tovább bĘvül nyolcadikban, majd a középiskolában. Az itt tanultakat szinte minden témakörben, folyamatosan használjuk. Hangsúlyos gondolatok: – bár az algebrai kifejezésekkel való munka közben magától értetĘdĘnek vesszük, mégis rendkívül fontos, hogy ne kerüljön háttérbe, hogy a betĦk számokat helyettesítenek; – fontos, és nem egyszerĦ gondolat annak megértése, hogy melyek az egynemĦ kifejezések, mi az együttható, hogyan kell összevonni, (egyszerĦ kifejezéseket adjunk, de legyenek törtesek is közöttük); – kulcsfontosságú, hogy lássák a különbséget egytagú kifejezések szorzása, osztása és többtagú kifejezés szorzása, osztása között – az alaphalmaz, igazsághalmaz és azonosság fogalmának tovább érlelése; – azonos átalakítás, ekvivalens átalakítás fogalmak alapozása az egyenletmegoldás és az egyenlĘtlenség-megoldás összevetése, annak megtapasztalása, hogy (általában) az egyenlĘtlenségek megoldásai a számegyenesen tartományok, melyeket a megfelelĘ egyenletek megoldásaihoz tartozó pontok választanak el. Algebrai kifejezések, helyettesítési érték kiszámítása, képletbĘl változó kifejezése. MĦveleti azonosságok, azonosságok, összeg, szorzat fogalma, egynemĦ kifejezések, összevonás egyszerĦ esetekben, az együttható fogalma. Egyenlet megoldási módszerek átismétlése, módszeres próbálkozás, lebontogatás, mérlegelv. EgyenlĘtlenségek megoldása, a megoldások ábrázolása számegyenesen, a határpontok megkeresése. Szöveges feladatok megoldása, a szöveg lefordítása egyenletté vagy egyenlĘtlenséggé, ellenĘrzés 2008/177. szám MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK Kísérletezés, a tapasztalatok frontális megbeszélése. Irányított játékok. Gyakorlás csoportos munkában. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Mérleg, demonstrációs számegyenesek, számkártyák, versenyfeladatok. ÉRTÉKELÉS MÓDJA A tanulók munkájának egyéni megfigyelése. Az egyenlet és egyenlĘtlenség-megoldás diagnosztizáló és értékelĘ felmérése. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE A tanulók munkájának egyéni segítése szükség esetén. Társak bevonása a segítségadásba. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Értse az algebrai kifejezés jelentését egyszerĦ esetekben. Tudja, hogy az algebrai kifejezésekben a betĦk számokat jelentsenek, tudja a kifejezés helyettesítési értékét kiszámolni. Legyen tapasztalata az egynemĦ algebrai kifejezések felismerésében, tudjon ilyeneket összevonni. Tudja ezeket értelmezni, algebrai kifejezéshez szöveget, szöveghez algebrai kifejezést párosítani. Szerezzen tapasztalatot az azonosság és az egyenlet fogalmak különbségérĘl. Tudjon egyszerĦ egyenleteket lebontogatással vagy mérlegelvvel megoldani. Szerezzen tapasztalatot egyszerĦ egyenlĘtlenségek megoldásáról is. Tudja az algebrai ismereteit szöveges feladatok megoldására felhasználni. GEOMETRIA, MÉRÉS SOKSZÖGEK, HASÁBOK, HENGEREK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Térszemlélet fejlesztése Sík- és térbeli alakzatok megfigyelése. Térlátás, térbeli viszonyok észlelése, ismerkedés a tér alapvetĘ alakzataival, a hasábbal és a hengerrel, analógiák felfedezése sík- és térbeli alakzatok között. Szimmetriák felismerése Számlálás, számolás Számolási feladatok elsĘsorban a sokszögek külsĘ illetve belsĘ szögeivel kapcsolatban. Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés Szögekkel illetve szabályos sokszögek oldalszámával kapcsolatos következtetési feladatok megoldása. ValószínĦségi kísérletek különbözĘ alakú “dobókockákkal. Becslés, mérés Háromszög szögeinek összegérĘl szóló tétel megsejtése, alátámasztása mérésekkel. Rendszerezés, kombinativitás Alakzatok csoportosítása különbözĘ szempontok szerint Tulajdonságaik megfigyelése. Több megoldás keresése szerkesztési feladatok megoldása során, adott eszközökbĘl többféle sokszög megalkotása. A hasáb élei, csúcsai és lapjai számának meghatározása. 2008/177. szám Deduktív következtetés, induktív következtetés Állítások megfogalmazása, és igaz vagy hamis voltának eldöntése. EgyszerĦ következtetési feladatok megoldása, érvelés általánosan vagy ellenpéldával. Definíció és tulajdonság közötti különbség tételének fokozatos alapozása. Tapasztalatokon alapuló általánosítás és bizonyítás – induktiv illetve deduktiv következtetés – közötti különbség megállapítása, a háromszögek és négyszögek szögösszegérĘl szóló állításokhoz kapcsolódva. Szimmetriára alapozott, egyszerĦ bizonyítások. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Játékok a megismert sokszögeket tartalmazó kártyakészletekkel. Szimmetrikus sokszögekben megfelelĘ részletek keresése, ennek alapján oldalak és szögek egyenlĘségének leolvasása. Szimmetrikus négyszögek, szabályos sokszögek építése egybevágó háromszögekbĘl. Szögek összegének szemléltetése hajtogatással, tépéssel, parkettázással. Háromszögek nevezetes vonalainak és pontjainak elĘállítása hajtogatással. Szerkesztések körzĘvel, vonalzóval. Több megoldás keresése, megoldás feltételeinek keresése. Hasábok hengerek építése, gyĦjtése, hasonlóságaik és különbözĘségeik felfedezése, jellemzĘ tulajdonságaik összegyĦjtése, sokféle test közül a hasábok illetve hengerek kiválasztása. Összefüggések a hasáb alapsokszögének oldalszáma és a hasáb éleinek, lapjainak és csúcsainak száma között. A kocka és a téglatest tulajdonságainak összevetése a hasábok általános tulajdonságaival, a hasáb alapjával kapcsolatos problémák (melyik oldal a téglatest alapja?) Testépítések, kiterített háló megfigyelése, játékok hálók és testek összepárosítására, egyenes és ferde hasáb hálójának összehasonlítása. ValószínĦségi kísérletek különbözĘ alakú “dobókockákkal, az eredmények összevetése a felhasznált hasábok lapjainak területével. ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Ebben a részben a sokszögekrĘl eddig szerzett ismereteket fejlesztjük tovább. Átismételjük, mélyítjük, a tengelyesen és középpontosan szimmetrikus alakzatokról tanultakat. A háromszögek és négyszögek szögeinek összegérĘl tapasztalat alapján megállapított összefüggéseket itt bizonyítjuk is. Továbblépünk a szerkesztésekben is, a korábban megismert, alapszerkesztéseket elkezdjük összetettebb szerkesztési feladatokban is alkalmazni. Bevezetjük a hasáb és henger fogalmát, a téma a nyolcadikban folytatódik a kúp és gúla fogalmának bevezetésével. Megismert sokszögekrĘl – háromszögek, közöttük a speciális háromszögek, speciális négyszögek, szabályos sokszögek – tanultak átismétlése, különös tekintettel a szimmetriatulajdonságaikra. Háromszögek nevezetes vonalai, magasság, szögfelezĘ, súlyvonal. Háromszögek, négyszögek, sokszögek szögeinek összege bizonyítás. Háromszögek egybevágósága. Sokszögek szerkesztése. 2008/177. szám Hangsúlyos gondolatok: – ebben a részben egyik fĘ hangsúly az érveléseken van. Azon, hogy megéreztessük a gyerekekkel azt, hogy a geometria tele van összefüggésekkel, melyek alapján egy ismeretbĘl sok másik levezethetĘ. Szép példája ennek a háromszögek szögeinek összegérĘl szóló tétel bizonyítása, de a speciális négyszögek sok más egyszerĦ érvelésre is lehetĘséget adnak – nagyon fontos ismeretek itt a háromszögek egybevágóságának alapeseteirĘl szóló megállapítások, ezek a késĘbbiekben alapjául szolgálnak sok szerkesztésnek, és érvelésnek, bizonyításnak is. Ezeket itt a megfelelĘ szerkesztési feladatok egyértelmĦ megoldhatóságával kapcsoljuk össze. Fontos, hogy megértsék, hogy abból, hogy bizonyos adatokból a háromszög egyértelmĦen szerkeszthetĘ, az is következik, hogy ha ezek az adatok két háromszögben megegyeznek, akkor a két háromszög egybevágó. Hasáb és henger fogalma, jellemzése. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK, Különféle kooperációs módszerek, csoportos, páros és egyéni kísérletezés, felfedeztetés, gyakoroltatás. Frontális munkában az alakzatok tulajdonságainak közös rendszerezése, megfogalmazása. Vita, érvelés, bizonyítás. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Kísérletezés síkon és a Lénárt-féle gömbön, másolópapír, körzĘ, vonalzó használata, sík és térmértani modellek építése, használata, mindennapi tárgyak bevonása a tanításba. ÉRTÉKELÉS MÓDJA A gyerekek munkájának folyamatos megfigyelése. Diagnosztizáló felmérĘ. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Változatos, érdekes, motiváló feladatok és tevékenységek. A gyerekek tapasztalatanyagához közelálló tárgyak, tevékenységek bevonása a tanításba. A lassabban haladókkal való egyéni törĘdés. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Legyenek képesek a gyerekek a háromszögeket osztályozni szögeik és oldalaik nagysága szerint is, ismerjék a speciális háromszögek és négyszögek, valamint a szabályos sokszögek szimmetriatulajdonságait. Tudjanak ezekbĘl következtetni oldalak, illetve szögek egyenlĘségére. Tudják kiszámítani háromszögek és konvex négyszögek belsĘ szögeinek összegét. Tudják elvégezni a háromszögekkel kapcsolatos alapszerkesztéseket, ismerjék a háromszög-egyenlĘtlenséget Ismerjék fel, több test közül tudják kiválasztani az egyenes hasábot és körhengert. Tudják ezeken az alaplapokat és a magasságot megmutatni, akkor is, ha az nem standard, vagyis nem függĘleges helyzetben áll. 2008/177. szám GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Térszemlélet fejlesztése Középpontos és tengelyes tükrözés illetve szimmetria megfigyelése párhuzamosan síkon és gömbön Függvényszemlélet, transzformációs szemlélet Középpontos, tengelyes tükrözés, és egyéb pontokon értelmezett hozzárendelések, alaphalmaz, megfordíthatóság, transzformáció-tulajdonságok vizsgálata. Számlálás, számolás Számolási feladatok a koordinátarendszer pontjainak transzformációihoz kapcsolódva. Mennyiségi következtetés Transzformáció tulajdonságok megfigyelése, ezekre alapozott következtetések. Szögek, szakaszok nagyságáról szóló tulajdonságokra alapozott következtetések. Becslés, mérés Szögtartás, távolságtartás megállapítás mérésekkel. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició Önkényesen választott, vagy valós problémán alapuló szerkesztési problémák megoldása, a szerkesztés helyességének ellenĘrzése. Rendszerezés, kombinativitás Egymásnak megfelelĘ részletek keresése. Egy alakzat minél több szimmetriájának a felismerése. Transzformációk osztályozása, háromszögek, négyszögek osztályozása, halmazokba rendezése, játékok véletlenszerĦen összepárosított sokszögtulajdonságokkal. Deduktív következtetés, induktív következtetés Ha akkor állítások helyességének vizsgálata, ellenpéldák szerepe, fordított állítás megalkotása, helyességének vizsgálata. EgyszerĦ, szimmetria tulajdonságokra alapított bizonyítások. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Játékok ponttranszformációkkal: a transzformációk eljátszása iskolaudvaron, hiányos ábrák kiegészítése, szabályjátékok pontokkal. Mozgatógépes játékok koordinátarendszerben. Transzformációk végzése másolópapír segítségével. Szimmetriák, szimmetrikus ábrák, tárgyak keresése, gyĦjtése, megfigyelése a körülvevĘ világban. Poszter készítése. MegfelelĘ részletek keresése szimmetrikus ábrákon, mĦalkotásokon, szimmetrikus tárgyakon. Egy, két,… n pontból álló szimmetrikus (középpontosan, tengelyesen) alakzatok készítése színes korongokból, vagy mágnes-táblán színes mágnesekbĘl. Tengelyesen illetve középpontosan szimmetrikus négyszögek építése egybevágó háromszögekbĘl, négyszögekbĘl. Szimmetrikus négyszögek, szabályos sokszögek elĘállítása, szimmetrikus sorminták, tapétamintázatok készítése egybevágó alapelemekbĘl. ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE A hatodikos, tengelyes tükrözésrĘl szóló fejezet folytatása. Elmélyíti az egybevágósági transzformációkról tanultakat, alaposabban tárgyalja a parallelogrammát, annak szimmetriatulajdonságait, bevezeti a váltószögek fogalmát. Folytatódik az eltolás és hasonlóság tanításával. Vegyes ponttranszformációk vizsgálata, ismerkedés a legfontosabb transzformáció tulajdonságokkal, (távolságtartás, szögtartás, egyenestartás) Transzformációk osztályozása (torzító transzformációk, hasonlósági transzformációk, egybevágósági transzformációk). Egybevágósági transzformációk megadása mozgatásokkal. 2008/177. szám Hangsúlyos gondolatok – Kulcsfontosságú ebben a részben is, hogy a gyerekek biztonsággal tudjanak képen és (tengelyes vagy középpontos) tükörképén, szimmetrikus alakzatokban egymásnak megfelelĘ részleteket keresni. – Fontos, hogy a parallelogrammáról lássák, hogy középpontosan szimmetrikus, továbbá, hogy ebbĘl maguk tudják leolvasni a parallelogramma tulajdonságait – Fontos, hogy visszatérjünk a legalapvetĘbb alakzatokra, amelyekkel ötödikben foglalkoztunk részletesen, és megismertessük a gyerekekkel ezek szimmetriáit Fontos, hogy lássák azt, hogyan lehet tengelyesen, illetve középpontosan szimmetrikus alakzatokat építeni két szimmetrikus alakzat együtteseként, közös részeként, vagy pedig két egybevágó alakzat együtteseként. A középpontos tükrözés, középpontos és tengelyes tükrözés közötti párhuzam, a középpontos tükörkép elĘállítása többféleképpen, szerkesztéssel, körzĘvelvonalzóval, mozgatással, másolópapír segítségével. A középpontos tükrözés tulajdonságai, Párhuzamos szárú szögek. (egyállású szögek, váltószögek, fordított állású szögek, kiegészítĘ szögek) Szimmetriák, középpontosan szimmetrikus négyszögek, szabályos sokszögek, Parallelogramma, tulajdonságai, szerkesztése, párhuzamos egyenesek szerkesztése Középpontosan és tengelyesen is szimmetrikus négyszögek, rombusz és téglalap, négyzet. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK Különféle kooperációs módszerek. A feldolgozandó anyag egy részének szétosztása csoportok között, poszterek készítése, csoportbemutatók, az eredmények összehasonlítása, a transzformáció-tulajdonságok közös megfogalmazása. Gyakorlás csoportmunkában és egyénileg. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Másolópapír, körzĘ, vonalzó használata, környezetükben szereplĘ tárgyak, képek megfigyelése, gyĦjtése, összevetése a geometriából tanultakkal. Párhuzamos megfigyelések a síkon és a Lénárt-féle gömbön. ÉRTÉKELÉS MÓDJA A gyerekek munkájának folyamatos megfigyelése. Diagnosztizáló és értékelĘ felmérĘ. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Változatos, érdekes, motiváló feladatok és tevékenységek, játékok, a mérésnél mindenki számára megfelelĘ nehézségi szintĦ feladatok biztosítása. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Értse a távolságtartó, szögtartó transzformáció kifejezéseket és egyszerĦ esetekben képes legyen egy transzformációról, hogy rendelkezik-e ezekkel a tulajdonságokkal vagy sem. Képes legyen értelmesen használni az egybevágóság kifejezést, két – ismert típusú – alakzatról eldönteni, hogy egybevágóak-e, és ezt a döntést megindokolni. Ismerje a középpontos tükrözés szabályát. Tudja pontok középpontos tükörképét megszerkeszteni, tudjon adott ponton át egy egyeneshez párhuzamost és merĘlegest szerkeszteni. Ismerje a középpontos szimmetria fogalmát, tudjon középpontosan szimmetrikus ábrákon egymásnak megfelelĘ részleteket keresni. Ismerje a parallelogramma definícióját, értse, hogy a rombusz, téglalap és a négyzet speciális parallelogrammák és ismerje ezek fontosabb tulajdonságait. Tudjon példákat és ellenpéldákat keresni egyszerĦ, parallelogrammákról szóló állításokhoz. 2008/177. szám GEOMETRIAI SZÁMÍTÁSOK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Térszemlélet fejlesztése Testek síkbeli ábrázolása, hálójának kiterítése, testek és testhálók összepárosítása Számlálás, számolás Terület-, térfogat-számítási feladatok, fejben és kalkulátor használatával egybekötve. Mennyiségi következtetés, statisztikai szemlélet Méréseken alapuló adatgyĦjtés a kör kerületképletének megalkotásához. Annak felfedezése, hogy a kör alakú tárgyak kerületének és átmérĘjének aránya közelítĘleg egyenlĘ. Becslés, mérés Méréssel, becsléssel egybekötött problémamegoldások, mértékváltási feladatok a kibĘvült számkörben. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició Gyakorlati életbĘl vett feladatok átfogalmazása matematikai problémává, kapcsolódó számítási feladatok megoldása. Megoldási terv készítése kerület-, területszámítási feladatoknál. Rendszerezés, kombinativitás Terület, térfogat elĘállítása ismert területĦ alakzatok átdarabolásával, illetve összeillesztésével, többféleképpen. Analógiák megfigyelése a térbeli és síkbeli számítási feladatok között. Deduktív következtetés, induktív következtetés Általános képletek alkotása a háromszögek, speciális négyszögek területének meghatározására. EgyszerĦ bizonyítások. Általános képletek alkotása a hasábok és hengerek térfogatának, felszínének meghatározására AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Területek átdarabolása vágással, lefedéssel, hajtogatással, rajzban pontrácson -. Kör alakú tárgyak kerületének megmérése fonallal, adatok összevetése, közös kiértékelése, zsebszámológép használata. Kör alakú tárgyak területének megmérése lefedéssel, leszámolással milliméterpapíron… Gyakorlati életbĘl vett feladatok, számítások és mérések. Testépítések, kiterített háló megfigyelése, játékok hálók és testek összepárosítására, egyenes és ferde hasáb hálójának összehasonlítása. Valós életbĘl vett feladatok megoldása számítással. ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Ennek a fejezetnek az anyaga közvetlenül a téglalap területének számításáról tanultakra épül. Átismétli és továbbfejleszti derékszögĦ és egyenlĘszárú háromszög, valamint a deltoid területérĘl hatodikban tanult anyagot. Bevezeti a középvonal fogalmát ennek tulajdonságait, szerepét a terület kiszámításában. Mindezt a kör kerületének és területének számításával folytatjuk. Erre és a téglatest térfogatáról tanultakra épülnek a térgeometriai számítások, a hasábhenger felszíne és térfogata, valamint a nyolcadik osztályban a kúp-gúla felszínének és térfogatának számítása. Hangsúlyos gondolatok: A paralelogramma és területe. Háromszög területének meghatározása rácson – téglalappá kiegészítéssel – parallelogramma kettévágásával és számítással. EgyszerĦ bizonyítások. Deltoid és húrtrapéz területérĘl tanultak ismétlése. A háromszögek és a trapézok középvonala, tulajdonságai, felhasználásuk a területszámításban. Szabályos sokszögek átdarabolása parallelogrammává, kerületük és területük közötti összefüggés. Kör kerülete. Kör kerületének és átmérĘjének aránya, (méréssel, zsebszámológép használatával), pi bevezetése, a kör kerületének képlete. 2008/177. szám – Fontos, hogy a magasság fogalmát pontosan értsék, tompaszögĦ háromszögek, parallelogrammák esetén is. Általában tetszĘleges trapéznál lássák, hogy minden oldalhoz több (végtelen sok) magasság is tartozik, hogy ez a magasság annak a sávnak a szélességét jelenti, amelybe a trapéz belefoglalható. Hasonlóan fontos, hogy lássák azt is, hogy a hasáb-henger magassága sok helyen berajzolható, elképzelhetĘ, valójában a két alapsík távolságával egyenlĘ. – A sokszögek területének számításánál eddig is hangsúlyt helyeztünk arra, hogy lássák, hogyan lehet feldarabolni, vagy átdarabolni egy sokszöget, itt rendkívül fontos, hogy lássák, hogyan kapjuk meg a területképleteket a téglalap területének ismeretében. – A kör kerületének számításánál a legfĘbb hangsúly azon van, hogy lássák, hogy megtapasztalják, hogy a kör sugara és kerülete egyenesen arányosak. – Fontos, hogy lássák a rokonságot a hengerek és a gúlák között, hiszen a kétféle test – az egyenes hasáb és az egyenes körhenger – felszínének és a térfogatának számítása szinte teljesen azonos, ugyanakkor ezek a számítások a hasábok körében sokkal könnyebben érthetĘek. A kör területe. A kör területének becslése kirakással, következtetés a területre a kerületbĘl, szabályos sokszögek mintájára vagy heurisztikusan a kör átdarabolásával, a kör területének képlete. Egyenes hasáb, egyenes körhenger felszíne, kiterített hálójuk megfigyelése, felszínképlet megalkotása, felszínszámítások, gyakorlati példák, Térfogat, téglatest térfogatáról tanultak ismétlése, térfogat mérése egységkockákkal (egyéb, nem standard mérĘegységgel) való kitöltéssel, illetve Ħrtartalomként, fél-téglatest térfogata, az alapterület és a magasság szerepének megértése a térfogat számításában, az egyenes hasábok és hengerek térfogatképletének megalkotása, a ferde testek térfogatképletének szemléletes megindoklása. EgyszerĦ mértékváltások a terület-, térfogat- és hosszúságmértékegységek körében. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK, Manipulációs tevékenységek, területátdarabolások, más síkidom- és testépítések. Valóságos tárgyak adatainak mérése, számítása. Méréseken alapuló adatgyĦjtés a kör kerületképletének megalkotásához. A tapasztalatok elemzése, az általános szabályok megfogalmazása, képletté formálása frontális osztálymunkában. Összetett feladatok megoldása egyéni, páros és csoportos munkában.. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Építések, kirakások, területátdarabolások. Demonstrációs síkidomok és testek, testhálók. Olló, körzĘ, vonalzó ÉRTÉKELÉS MÓDJA Szóbeli megerĘsítés, hibajavítás. Terület- és kerületszámítási, térfogat számítási feladatok megoldásának diagnosztizáló és értékelĘ felmérése. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Társak bevonása a segítségadásban. Értékes részvétel biztosítása mindenkinek a megfelelĘ részfeladat kiválasztásával. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Ismerje a téglalap területképletét. Tudjon parallelogrammával egyenlĘ területĦ téglalapot elĘállítani. Tudja meghatározni a parallelogramma adott oldalhoz tartozó magasságát, kiszámítani a területét. Tudja meghatározni a háromszög területét parallelogrammává vagy téglalappá kiegészítéssel és számítással. Tudjon területképletet egyszerĦ érveléssel igazolni. Legyen képes kiszámítani adott sugarú kör területét és kerületét. Tudja egyszerĦ gyakorlati helyzetekben alkalmazni a tudását. 2008/177. szám Legyen tapasztalata arról, hogy az egyenes hasáb és körhenger palástja kiteríthetĘ egy téglalappá, melynek egyik oldala a magasság, másik az alaplap kerülete. Ismerje, értse a felszín és térfogat fogalmak jelentését. Szerezzen tapasztalatot egyszerĦ hasábok, hengerek felszínének, térfogatának számításában, a számításhoz szükséges adatok kiválasztásában, megmérésében. Tudja, hogy a téglatest is hasáb. Tudja teljes biztonsággal a téglatest felszínét és térfogatát számítani. ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Függvényszemlélet A gyakorlati életbĘl vett egyszerĦ példákban a kapcsolatok felismerése, lejegyzése, ábrázolása. Néhány fĘbb függvénytípus felismerése képletbĘl, grafikon alapján. A függvényfogalom többféle megközelítése. Számlálás, számolás Számolás gyakorlása, mĦveleti tulajdonságok megfigyelése, szabályjátékokkal való foglalkozás során, sorozatok elemeinek kiszámítása, függvényértékek kiszámolása. Mennyiségi következtetés Összetartozó számpárok keresése, ábrázolása. Mennyiségek együttes változásának megfigyelése Becslés, mérés Táblázatok, grafikonok, statisztikák vizsgálata. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició Gyakorlati életben talált hozzárendelések körében matematikai összefüggések keresése. Rendszerezés, kombinativitás Módszeres próbálgatás a függvényábrázolásnál a grafikus egyenletmegoldás elĘkészítésére. Indukció, dedukció Következtetés a sorozatképzési szabályból az n-dik elemre, esetenként „naiv indukció”-s bizonyítások. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Grafikonkészítés elképzelt, vagy valóságosan eljátszott vagy csak elképzelt folyamatokról (meggyújtott gyertya magasságváltozásának megfigyelése….). Valóságos folyamatokról készült grafikonok és a folyamatok leírásának összepárosítása Néhány egyszerĦ, nem lineáris függvény, pl. x +3, x-80 , …. „érdekes helyeinek” megkeresése módszeres próbálgatással. Sorozat szabályának kitalálása, folytatása, esetenként visszafelé is. Matematikatörténeti érdekességek keresése. Érdekes sorozatok gyĦjtése, kutatómunka. 2008/177. szám ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Szabályjátékokkal, sorozatokkal, hozzárendelésekkel, különféle grafikonokkal sok témakörben, sokféle formában találkoztak a gyerekek az elsĘ osztálytól kezdve. Itt most az eddig tanultakat rendszerbe foglaljuk, elkezdünk általánosabb megfogalmazásokat és jelöléseket használni. Szinte minden fogalmat érintünk, amivel a középiskolában tovább fognak dolgozni. A lineáris függvények témájának feldolgozását nyolcadik osztályban be is fejezzük. Hangsúlyos gondolatok: – A függvény sokarcú fogalom – egyértelmĦ reláció, eszköz a változások leírására, grafikon… – fontos, hogy megmutassuk mi a közös ezekben. – Kulcsfontosságú, hogy a függvényábrázolásról helyes képet adjunk a gyerekeknek. Itt nem az az elsĘdleges, hogy egy-egy alapfüggvény ábrázolására recepteket tanítsunk, hanem azt kell tisztáznunk, hogy egy tetszĘleges szabállyal adott függvény grafikonja egy mértani hely a koordinátarendszerben, azon pontok mértani helye, melyek az adott szabályt kielégítik. – A lineáris függvény grafikonjával ismerkednek részletesebben, itt a legfontosabb a meredekség fogalmának minél mélyebb megismertetése, az egyenes arányosság állandójával való kapcsolat bemutatása. – A sorozatelemek indexekkel ellátott jelölésének gondos bevezetése – A számtani sorozat sokoldalú bemutatása, a fogalom gondos megalapozása. Az nedik elem kiszámítására szolgáló képletet nem kell elvárni minden gyerektĘl, de arra törekedhetünk, hogy egy tetszĘleges, de konkrét sorszámhoz ki tudják számolni a megfelelĘ elemet egy adott számtani sorozat esetén. Grafikonkészítés táblázatok, mérési eredmények alapján, grafikonolvasás, mozgás és egyéb grafikonok készítése EgyértelmĦ hozzárendelések ábrázolása derékszögĦ koordinátarendszerben, lineáris, abszolút érték, másodfokú függvények képe, egyszerĦ esetekben táblázat alapján, Az elsĘfokú függvény definíciója, a lineáris függvény. A meredekség fogalma, értelmezése gyakorlati példák, egyenes arányosságok esetében. Valóságos folyamatokról készült grafikonok vizsgálata. Sorozatok vegyesen- többféle sorozat, többféle megadási mód – köztük számtani és mértani sorozatok is. Lehetséges szabályok megfogalmazása, jelölések, Különbség és hányados sorozat megfigyelése, észrevételek megfogalmazása. Számtani sorozat, tulajdonságai, elemek számtani közepének megfigyelése, n-edik elem képzési szabálya, összegsorozat megfigyelése, gyakorlati példák. EgyszerĦ mértani sorozatok megfigyelése, elsĘsorban a számtani sorozatokkal való összevetés szempontjából. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK Irányított játékok. Közös, páros és egyéni tevékenykedés. Csoportos tapasztalatgyĦjtés, frontális, kérdve kifejtĘ megbeszélések, egyéni grafikon-készítés. Poszterkészítés, csoportbemutatók. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Adatok, grafikonok, diagramok gyĦjtése, elemzése, letörölhetĘ koordináta-rendszer, mozgásos transzformációs játékok. Hozzárendelések megjelenítése változatos módszerekkel, rajzokkal, nyíldiagramokkal, a változók szerepének, a közöttük levĘ kapcsolatnak az eljátszásával. 2008/177. szám ÉRTÉKELÉS MÓDJA Szóbeli értékelés, megerĘsítés, hibajavítás. A csoportbemutatók közös értékelése. Az aktuális témához kapcsolódó diagnosztizáló mérés. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Egyéni megerĘsítés. Társak bevonása a segítségadásba. ÖnellenĘrzés segítése VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Legyen képes egyszerĦ szabályok esetén egy értékhez a hozzárendelt értéket megadni, grafikonról olvasni, táblázat alapján grafikont készíteni. Tudjon egyszerĦ – szám-szám – hozzárendelési szabályokat kielégítĘ pontokat derékszögĦ koordinátarendszerben ábrázolni. Ismerje az elsĘfokú algebrai kifejezés fogalmát, egyszerĦ esetekben ismerje fel azokat a hozzárendelési szabályokat, melyek grafikonja egyenes. Értse az egyenes meredekségének fogalmát, lehetĘleg tudja a meredekséget grafikonról leolvasni. Tudjon néhány taggal megadott sorozathoz lehetséges szabályt keresni, egyszerĦ esetekben, a sorozatot néhány elemmel folytatni mindkét irányban. Tudja a számtani sorozat definícióját, legyen képes adott kezdĘelem és adott differencia mellett folytatni, tetszĘleges, konkrét sorszámú elemet kiszámítani. VALÓSZÍNĥSÉG, STATISZTIKA KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számolás, számlálás Adatsokaságok statisztikai jellemzĘinek számolása: átlag kiszámítása, középsĘ elem keresése ValószínĦségi, statisztikai szemlélet Adatsokaságok elemzése Események gyakoriságának megállapítása elvégzett kísérletekben. KülönbözĘ események gyakoriságának összehasonlítása. Becslés, mérés Egy-egy jelenség elĘfordulási gyakoriságából nagyságrendi következtetés levonása, esélylatolgatás Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició Egyéni vagy kiscsoportos eredmények megosztása, közös értelmezése. Rendszerezés, kombinativitás Adatok tervszerĦ gyĦjtése, rendszerezése. A kísérlet lehetséges kimeneteleinek összegyĦjtése, a megfigyelt események osztályba sorolása Deduktív következtetés, induktív következtetés Kis elemszámú kísérlet megfigyelése alapján következtetés nagyobb elemszámú kísérlet lehetséges kimeneteleire, az események elĘfordulási gyakoriságából szabályosságok megállapítása. 2008/177. szám AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Adatsokaságok gyĦjtése és elemzése, grafikonon való megjelenítése. Mérési eredmények kiértékelése, elemzése AdatgyĦjtés megtervezése, végrehajtása, értékelése, ábrázolása grafikonok segítségével. Poszter készítés Számelméleti tulajdonságokhoz kapcsolódó valószínĦségi játékok kísérletek JegyzĘkönyvkészítés ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE A téma folyamatosan jelen van elsĘ osztálytól kezdve a tananyagban. A hangsúly azonban mindvégig a tapasztalatszerzésen volt. Ötödikben, a tapasztalatok további gazdagítása mellett, elkezdtük használni a gyakoriság, relatív gyakoriság fogalmakat, és összekötöttük ezt a gyerekek intuitív valószínĦségfogalmával. Ezt elsĘsorban különbözĘ valószínĦségi játékokkal továbbfejlesztjük. Folytatódik a statisztikai szemlélet fejlesztése is, fĘként a módszeres adatgyĦjtés, és kiértékelés területén. AdatgyĦjtés megtervezése, végrehajtása, értékelése, ábrázolása grafikonok segítségével. Az arányosság alkalmazása a mintavétel tervezésében és az adatok értékelésében. TapasztalatgyĦjtés a statisztika gazdasági alkalmazásáról. ValószínĦségi játékokhoz kapcsolódva a gyakoriság, relatív gyakoriság fogalmak mélyítése. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK Irányított játékok. Közös, páros és egyéni tevékenykedés. Egyéni és csoportos adatgyĦjtés. Egyéni vagy páros kísérletezés eredményeinek közös kiértékelése. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Statisztikai zsebkönyvek, újságok, NET ismeretterjesztĘ könyvek, játékkocka, pénzérmék…, nyereményjátékok. AdatgyĦjtés méréssel. Koordináta-rendszer, jegyzĘkönyvek. Számítógépes valószínĦségi kísérletek ÉRTÉKELÉS MÓDJA Szóbeli értékelés megfigyelés alapján. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE A sok játékon, egyéb tevékenységen alapuló tapasztalatszerzés biztosítja, hogy mindenkinek fejlesszük a valószínĦségi gondolkodását. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Sorozatból, táblázatból, grafikonról adatokat visszaolvas; talál az egész adat-együttest jellemzĘ adatokat (pl. a nagyság szerinti középsĘt, a legnagyobb, legkisebb adatokat, ezek távolságát, a leggyakoribb adatot; az átlagot), adatsokaságot változatos módokon ábrázolni képes. Ismeri a gyakoriság fogalmát. 2008/177. szám

Source: https://magyarkozlony.hu/hivatalos-lapok/afec8bc05c7aa5bab86c470fb66432583c3a43c8/dokumentumok/ac8461939444793e41b3f48d2a919c12b6366309/letoltes