Publication: Magyar Közlöny
Issue: MK-2007-114 (Year: 2007, Number: 114)
Era: 2004-2010
Section: a 15/2006. (IV. 3.) OM rendelethez]
Paragraph Index: 619

8. A mes ter fo ko zat és a szak kép zett ség szem pont já ból meg ha tá ro zó is me ret kö rök: 8.1. Az alap kép zés ben meg szer zett is me re te ket to vább bõ ví tõ, mes ter fo ko zat hoz szük sé ges ala po zó is me ret kö - rök: El mé le ti ala po zás: 15–25 kre dit al geb ra alap jai (Uni tér te rek, spekt rál té tel. Po li nom mát - ri xok ka no ni kus alak ja. Mát ri xok mi ni mál po li nom ja, Ca y - ley-Ha mil ton-té tel. Jor dan-fé le nor má la lak. Sa ját vek tor. Kvad ra ti kus ala kok, Syl ves ter té te le. Al geb rai struk tú rák. A cso port el mé let alap jai: per mu tá ció cso por tok, Lag ran - ge-té tel, nor mál osz tók és fak tor cso por tok. A vé ges Abel-cso por tok alap té te le. A gyû rû el mé let alap jai: In teg - ri tás tar to má nyok. Test konst ruk ci ók, vé ges tes tek), ana lí - zis alap jai (Mér ték el mé let. Le bes gue-in teg rál. Függ vény - te rek. Komp lex függ vény tan. Ca u chy-té tel és in teg rál for - mu la. Ana li ti kus függ vé nyek hat vány so ra. Izo lált szin gu - lá ris he lyek, re zi du um-té tel. Kö zön sé ges dif fe ren ci ál - egyen le tek. Eg zisz ten cia és uni ci tá si té te lek. Li ne á ris egyen le tek és rend sze rek. Hil bert-te rek, or to nor mált rend - sze rek), ge o met ria alap jai (Ne me uk li de szi ge o met ri ák: Pro jek tív te rek. Cso port el mé le ti vo nat ko zá sa ik, transz for - má ció-cso por tok ge o met ri á ja. Vek tor ana lí zis: Differen - ciálszámítás, vek tor kal ku lus 3-di men zi ó ban. To po ló gi kus és met ri kus tér fo gal ma. So ro za tok és kon ver gen cia. Kom - pakt ság és össze füg gõ ség), va ló szí nû ség szá mí tás és ma te - ma ti kai sta tisz ti ka alap jai (Ba y es-té tel, szto chasz ti kus füg - get len ség. Va ló szí nû sé gi vál to zók és az el osz lás függ vény. Vár ha tó ér ték, szó rás négy zet, ko va ri an cia mát rix. Nagy szá mok erõs és gyen ge tör vényei. Bo rel-Can tel li- lem ma. A fel té te les vár ha tó ér ték ál ta lá nos fo gal ma. Füg get len tagú so rok. Ka rak te risz ti kus függ vé nyek alap jai. Cent rá lis ha tár el osz lás-té tel. Sta tisz ti kai so ka ság, vé let len min ta, em pi ri kus el osz lás, Gli ven ko-Can tel li-té tel, ne ve ze tes sta - tisz ti kák. Ma xi mum-li ke li ho od-becs lés, mo men tum-mód - szer. Ne y man-Pe ar son-lem ma. Kon fi den cia in ter val lu - mok. Pa ra mé te res pró bák és nem pa ra mé te res pró bák). 8.2. A szak mai törzs anyag kö te le zõ is me ret kö rei: 20–40 kre dit Az aláb bi is me ret kö rök kö zül leg alább négy té ma kör is - me ret anya gá nak vá lasz tá sa: Al geb ra és szám el mé let (5–12 kre dit): Cso port el mé let. Per mu tá ció cso por tok. Cso port au to mor fiz mu sai, sze mi di - rekt szor zat. Kon ju gált ság, nor ma li zá tor, cent ra li zá tor, cent rum. Osz tály egyen let, Ca u chy-té tel, Sy low-té te lek. Vé ges p-cso por tok. Nil po tens, ill. fel old ha tó cso por tok. A vé ges nil po tens cso por tok jel lem zé se. Sza bad cso por - tok, de fi ni á ló re lá ci ók. Sza bad Abel-cso por tok. A vé ge sen ge ne rált Abel-cso por tok alap té te le. Li ne á ris cso por tok. Test el mé let. Test bõ ví tés. Vé ges fo kú bõ ví tés, fok szám té - tel. Fel bon tá si test, nor má lis test bõ ví tés. Vé ges tes tek. Tökéletes tes tek és vé ges fo kú bõ ví té se ik. Test al geb rai lezártja. Ga lo is-cso port, a Ga lo is-el mé let fõ té te le. Ra di - kál bõ ví tés. A gyök je lek kel való meg old ha tó ság jellem - zése. Ruf fi ni-Abel-té tel. Gyök je lek kel meg old ha tat lan racionális együtt ha tós al geb rai egyen let lé te zé se. Al geb rai fel té tel ge o met ri ai alak zat szer keszt he tõ sé gé re kör zõ vel és vo nal zó val. Az al geb rai kom bi na to ri ka ele mei. Kvad ra ti - kus kong ru en ci ák, Le gend re-szim bó lum. Diszk rét lo ga rit - mus (in dex). Egy ér tel mû prím fak to ri zá ció kér dé se bi zo - nyos má sod fo kú szám tes tek ben. Di o fan ti kus prob lé mák. Lánc tör tek és al kal ma zá sa ik. Ana lí zis (5–12 kre dit): Funk ci o nál ana lí zis ele mei. Stone-Weierstrass-tétel. Ba nach-te rek, kor lá tos li ne á ris transz for má ci ók. Az Lp-te rek du á li sai, foly to nos függ - vények te ré nek du á li sa, Hil bert-tér du á li sa, ref le xi vi tás. Hahn-Ba nach-té tel, Ba nach-Ste in ha us-té tel, nyílt le ké pe - zé sek té te le és kö vet kez mé nye ik. Par ci á lis dif fe ren ci ál - egyen le tek. A ma te ma ti kai fi zi ka mo dell egyen le te i re ki tû - zött kez de ti ér ték- és pe rem ér ték-prob lé mák eg zisz ten cia-, uni ci tás- és sta bi li tás vizs gá la tai (húr rez gé se, hõ ve ze tés, Lap la ce-egyen let). A ka rak te risz ti kák mód sze re. Fo u ri ermód szer. Ma xi mum-mi ni mum-elv li ne á ris egyen le tek re. Gre en-függ vény. A Di rich let-prob lé ma meg ol dá sa gömb - ben. Fo u ri er-so rok. Fej ér-té tel. A tri go no met ri kus rend - szer tel jes sé ge. Ri e mann-lem ma. Kon ver gen cia-kri té ri u - mok. Fo u ri er-transz for mált. In ver zi ós for mu la. Or to go ná - lis po li no mok. La gu er re-függ vé nyek tel jes sé ge. Lap la cetransz for má ció. 2007/114. szám Ge o met ria (5–12 kre dit): Dif fe ren ci ál ge o met ria és to - po ló gia. So ka sá gok, szimp li ci á lis fel bon tá sok. Kom pakt fe lü le tek osz tá lyo zá sa. Ho mo tó pia. Sima so ka sá gok, ten - zo rok és dif fe ren ci ál for mák. A d-ope rá tor és Sto kes té te le, be ve ze tés a de Rham-el mé let be. Ri e mann-met ri ka, gör bü - let és ge o de ti ku sok fe lü le te ken. Ga uss-Bon net-té tel. Vé - ges ge o met ri ák. Il lesz ke dé si struk tú rák. Pro jek tív és af fin sí kok. Ga lo is-ge o met ri ák. Kom bi na to ri kai és cso port el - mé le ti mód sze rek ge o met ri ai al kal ma zá sai. Vé ges al geb - rai ge o met ria. Kód el mé le ti al kal ma zá sok. Va ló szí nû ség szá mí tás és ma te ma ti kai sta tisz ti ka (5–12 kre dit): Mar tin gá lok. Mar tin gál, szub- és szu per - mar tin gál. Kon ver gen cia té tel, re gu lá ris mar tin gá lok. Doob-felbontás, négy ze te sen in teg rál ha tó mar tin gá lok kon ver gen cia hal ma za. Meg ál lá si idõk, Wald-azo nos ság. Mar kov-lán cok. Diszk rét pa ra mé te rû Mar kov-lán cok. Az ál la po tok osz tá lyo zá sa, pe ri ó dus, át me ne ti és vissza té rõ ál la po tok. Az át me net-va ló szí nû sé gek ha tár ér té ke. Po zi tív és null ál la po tok. Sta ci o ná ri us el osz lás, er go di kus Mar kovlán cok. Pont fo lya ma tok, Po is son-fo lya mat. Wi e ner-fo lya - mat konst ruk ci ó ja. Kvad ra ti kus va ri á ció. A tra jek tó ri ák ana li ti kus tu laj don sá gai (foly to nos ság, nem-dif fe ren ci ál - ha tó ság, Höl der-foly to nos ság). Fak tor ana lí zis. Több szem - pon tos szó rás ana lí zis, szó rás fel bon tó táb lá za tok. Fõ kom - po nens- és fak tor ana lí zis, a fõ kom po nen sek, fak to rok becs lé se, a fak tor szám meg ha tá ro zá sa, fak to rok for ga tá sa. Diszk rét ma te ma ti ka (5–12 kre dit): Tes tek al kal ma zá - sai. Pá ro sí tás el mé let, ál ta lá nos fak to rok. Grá fok be ágya - zá sai. Erõ sen re gu lá ris grá fok, az egész sé gi fel té tel és alkalmazásai. Le szám lá ló kom bi na to ri ka: ge ne rá tor függ - vé nyek, in ver zi ós for mu lák, re kur zi ók. Me cha ni kus összeg zés. Gráf el mé le ti al kal ma zá sok (fák, fe szí tõ fák, 1-fak to rok szá ma). Vé let len mód sze rek: vár ha tó ér ték és má so dik mo men tum mód szer, vé let len grá fok, kü szöb - függ vény. Ext re má lis kom bi na to ri ka: ext re má lis hal maz - rend sze rek rõl és grá fok ról szóló klasszi kus té te lek. Ren - de zés és ki vá lasz tás, ku pac. Di na mi kus prog ra mo zás. Gráf al go rit mu sok: szé les sé gi és mély sé gi ke re sés, fe szí tõ - fák, leg rö vi debb utak, pá ro sí tás pá ros gráf ban, ma gyar mód szer, fo lya mok. Ke re sõ fák, amor ti zá ci ós idõ, Fi bo - nac ci-ku pac. Huff mann-kód, Lem pel-Ziv-Welch el já rá sa. Ope rá ció ku ta tás (5–12 kre dit): Li ne á ris op ti ma li zá lás: klasszi kus ered mé nyek (pl. al ter na tí va té te lek, du a li tás, Min kows ky-We yl-té tel); Pi vot-al go rit mu sok (szimp lex, criss-cross); bel sõ pon tos al go rit mu sok (lo ga rit mi kus bar - ri er-mód szer, Kar mar kar-al go rit mus); el lip szo id-al go rit - mus. Nem li ne á ris op ti ma li zá lás: kon vex op ti ma li zá lás klasszi kus ered mé nyei (sze pa rá ci ós té te lek, kon vex Far - kas-té tel, Ka rush-Kuhn-Tuc ker-té tel, Lag ran ge-függ vény és nye reg pont-té tel); mód sze rek (New ton-mód szer, re du - kált gra di ens mód szer, bel sõ pon tos al go rit mus). Diszk rét op ti ma li zá lás: klasszi kus ered mé nyek (Max fo lyam min vá gás, Eger vá ry-du a li tás, Hoff man-té tel); po li é de res kom - bi na to ri ka (tel je sen uni mo du lá ris mát ri xok al kal ma zá sai, tel je sen du á lis egész ér té kû ség, pá ro sí tás po li é der); Gráf - algoritmusok (ma gyar-mód szer, Ed monds-Karp-al go rit - mus, elõ fo lyam-al go rit mus, költ sé ges áram); NP-tel jes prob lé mák al go rit mi kus meg kö ze lí té sei (di na mi kus prog - ra mo zás, Lag ran ge-re la xá ció, kor lá to zás és szét vá lasz tás, mohó al go rit mu sok). Szto chasz ti kus prog ra mo zás: alap - mo del lek (vár ha tó ér ték kel és va ló szí nû ség gel meg fo gal - ma zott, sta ti kus és di na mi kus); meg ol dó mód sze rek. Op ti - ma li zá lás ra ve ze tõ gya kor la ti prob lé mák (mo del lek). 8.3. A szak mai törzs anyag kö te le zõ en vá laszt ha tó is - me ret kö rei: Dif fe ren ci ált szak mai is me re tek 30–60 kre dit: A kö vet ke zõ is me ret kö rök kö zül leg alább há rom té ma - kör is me ret anya gá nak vá lasz tá sa úgy, hogy a vá lasz tott témakörök mind egyi ké bõl leg alább 10-10 kre di tet kell tel - je sí te ni. Al geb ra: (al geb rai kód el mé let, cso port el mé let, cso por - tok rep re zen tá ció el mé let, fél cso port el mé let, gyû rû el mé - let, há ló el mé let, ho mo lo gi kus al geb ra, kom mu ta tiv al geb - ra, uni ver zá lis al geb ra). Szám el mé let: (ad di tív szám el mé let, az al geb rai szám el - mé let ele mei, di o fan ti kus egyen le tek, kong ru en ci ák és alkalmazásaik, konst ruk tív szám el mé let). Ana lí zis: (di na mi kai mo del lek, komp lex függ vény tan, ope rá tor el mé let, rep re zen tá ció el mé let, va lós függ vény - tan). Ge o met ria: (al geb rai ge o met ria, al geb rai to po ló gia, dif - fe ren ci ál to po ló gia, diszk rét ge o met ria, ge o met ri ai mo del - le zés, hi per bo li kus ge o met ria, kon vex hal ma zok, Lie-cso - por tok). Szto chasz ti ka: (füg get len nö vek mé nyû fo lya ma tok, ha - tár el osz lás té te lek, idõ so rok elem zé se, in for má ció el mé le ti alap fo gal mak, pa ra mé te res és nem-pa ra mé te res pró bák, sta tisz ti kai prog ram cso ma gok). Diszk rét ma te ma ti ka: (ext re má lis kom bi na to ri ka, gráf - el mé let, kó dok és szim met ri kus struk tú rák). Ope rá ció ku ta tás: egész ér té kû prog ra mo zás, foly to nos op ti ma li zá lás, já ték el mé let, kom bi na to ri kus op ti ma li zá - lás, mat ro i del mé let, szto chasz ti kus op ti ma li zá lás, üte me - zés el mé let; dip lo ma mun ka: 20 kre dit.

Source: https://magyarkozlony.hu/hivatalos-lapok/a7096ef55702b848ac1933dcd593a5cd175d2649/dokumentumok/eb8658831a76763163f79e2dc976aedcf30cac02/letoltes