Publication: Magyar Közlöny
Issue: MK-2008-177 (Year: 2008, Number: 177)
Era: 2004-2010
Section: 4. számú melléklet a 34/2008. (XII. 12.) OKM rendelethez
Paragraph Index: 1849

5. ÉVFOLYAM Kövér betĦtípus jelzi a kulcsfontosságú részleteket, a normál betĦtípussal szedett részletek még mindig a törzsanyaghoz tartoznak, feltétlenül tanítandók, de kevésbé hangsúlyosak az elĘzĘeknél. IdĘhiány vagy gyenge képességĦ osztály esetén ezeken a részeken haladhatunk át gyorsabban. DĘlt szedéssel a kitekintések anyagát jelöljük. 2008/177. szám GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés szempontjai a témakörben Számlálás, számolás Fejszámolás fejlesztése, a mĦveleti tulajdonságok felfedezése, megértett alkalmazása, általánosítása más számkörökben. A számkörök közötti analógiák felismerése. Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés Szabályosságok felismerése. Szabályok alkalmazása, adott szabályokhoz halmazok, sorozatok képzése. Konkrét példák a biztos, a lehetséges és a lehetetlen bemutatására. Tervezés, ellenĘrzés igényének megalapozása. Becslés, mérés Megoldások megtervezése, eredmények ellenĘrzése Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició ÉrtĘ-elemzĘ olvasás fejlesztése, kapcsolatok felismerése, lejegyzése egyszerĦ szimbólumokkal. A nyelv logikai elemeinek helyes használata nem csak matematikai tartalmú állításokban. Változatos tartalmú szövegek értelmezése. Összehasonlításhoz szükséges kifejezések értelmezése, használata (pl.: egyenlĘ; kisebb; nagyobb; több; kevesebb; legalább, legfeljebb; nem; és; vagy; minden, van olyan). Rendszerezés, kombinativitás Halmazszemlélet fejlesztése. Konkrét dolgok adott szempont(ok) szerinti rendezése, rendszerezése. Néhány elem sorba rendezése. Deduktív következtetés, induktív következtetés Állítások igazságának eldöntése, egyszerĦ érvelések Az elsajátítás képességének fejlesztése. A matematika tanulási módszereinek megismerése. (olvasott tankönyvi szöveg feldolgozása, lényeg kiemelése, házi feladatok célszerĦ elkészítési módjai) Pozitív motiváció kialakítása. Kommunikációs készség fejlesztése. Játékos tevékenységek, rejtvények, kooperatív munkaforma. Könyvtárhasználat. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Valóság és aktuális tananyag összekapcsolása. Az absztrakt fogalmakhoz valóság-közeli interpretáció készítése, a környezĘ világból illusztrációk gyĦjtése. A fogalmak kialakulását segítĘ játékok és eszközök használata. Modellalkotás. Az ismeretek halmazokba rendezése, logikai kapcsolataik feltárása. Több feltételnek megfelelĘ halmazok elĘállítása az aktuális tananyagnak megfelelĘen. Sejtések megfogalmazása, érvelések, naiv indukció. Összetettebb szövegek közös feldolgozása, értelmezése. Szöveges feladat tartalmának eljátszása. FejtörĘ feladatok megoldása. A témakörökhöz kapcsolódó barkochba játékok. ISMERETEK, TARTALMAK Folyamatos, beépül a teljes tananyagba VÁRHATÓ EREDMÉNYEK A gondolkodási módszerek követelményei a többi témában konkretizálódnak 2008/177. szám SZÁMTAN, ALGEBRA TERMÉSZETES SZÁMOK, MĥVELETEK A TERMÉSZETES SZÁMOK KÖRÉBEN KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Számlálás, számolás. A számfogalom mélyítése, a számkör bĘvítése A természetes számok körének kiterjesztése millióig, számok írása, olvasása, mĦveletvégzés. A 0, valamint a 10, 100, 1000… számok szerepe a szorzás és osztás mĦveletekben. Osztó, többszörös fogalmak mélyítése. Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés MĦveleti tulajdonságok megfigyelése, biztos, lehetetlen, lehet, de nem biztos kifejezések használata, egyszerĦ arányossági következtetések, mértékváltások. Becslés, mérés ÖnellenĘrzés igényének és képességének a fejlesztése. KözelítĘ számlálás, közelítĘ mérés, mérés adott pontossággal, kerekítés. Összeadás, kivonás valamint szorzás, osztás eredményének becslése és közelítĘ illetve pontos kiszámítása. Az eredmény ellenĘrzése. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició ÉrtĘ-elemzĘ olvasás fejlesztése. Valós életbĘl vett problémák megoldása, szöveges feladatok megoldása, ellenĘrzés. Rendszerezés, kombinativitás Több megoldás keresése, lehetséges megoldások száma. Minimum, maximum és egyéb feladatok megoldása számjegyek változtatása mellett. Számok felírása sokféle alakban, tízes és esetleg más számrendszerekben. Deduktív következtetés, induktív következtetés A számrendszer kiterjesztése nagy számokra, mĦveleti tulajdonságok megfigyelése, azonosságok megfogalmazása. Egészséges életmódra, környezettudatosságra nevelés Ezekhez a témakörökhöz kapcsolódó szöveges és mérési feladatok. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Nagy számok írásának és olvasásának összekapcsolása a valóságos világból vett példákkal – kutató- gyĦjtĘmunka, játékos feladatok. Tízes és más számrendszereket modellezĘ játékok Játékok számjegykártyákkal, számkorongokkal. MĦveletek gyakorlása játékos fejtörĘfeladatok megoldásához kapcsolva. Fejszámolási játékok. Játékok osztókkal, többszörösökkel. Mérések végzése. Szöveges feladat tartalmának eljátszása. ISMERETEK, TARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK Tartalom részletezése A természetes számok írása olvasása ismétlĘ rész, közben kicsit tovább is fejleszti az alsóban tanultakat. Nagy természetes számok írása, olvasása (valóságból vett példák), Számlálás – mérés nagy számok körében, 2008/177. szám Itt kulcsfontosságú a helyiértékes írásmód értése, ezen belül is a kerek számokkal való szorzás-osztás. A mĦveletekkel és tulajdonságaikkal foglalkozó részben folytatjuk az alapmĦveletek mĦveleti tulajdonságairól a tapasztalat-szerzést. Elkezdjük ezeket megfogalmazni és általánosítani, elĘkészítve az algebrát. Kulcsfontosságú a mĦveleti sorrend ismerete összetett mĦveletsorok esetén. Nagyon fontos, hogy a mĦveleti tulajdonságok megismerése ne az algebra tanításakor kezdĘdjön el. Hangsúly van a csak összeadás-kivonást, illetve csak szorzásosztást tartalmazó mĦveletsorokban a sorrend felcserélhetĘségén. Továbbá, hogy ugyanezekben az esetekben tapasztalatot szerezzenek a zárójelek szerepérĘl, a mĦveletek csoportosíthatóságáról. A becslés, közelítés, mérés rendkívül fontos témakör, a teljes tananyagnak szinte minden területén szerepelnie kell. Konkrét mérési feladatok végzése, összekötése a kerekítés becsléssel kulcsfontosságú. Számok írása-olvasása tízes számrendszerben, Helyi érték és mértékegység táblázatok, át és beváltás, Szorzás – osztás tíz hatványaival. Hosszúság, idĘ, Ħrtartalom és tömeg mérése választott és szabvány egységekkel. Számrendszerek, tízes, kettes és egyéb alappal, számlálás, modellek használata (tökéletes pénztárgép, Dienes készlet, papírtépkedés...). Közelítések, mérések KözelítĘ számlálás, közelítĘ mérés, kerekítés, kerekített érték meghatározása, arányossági következtetések. Eredmény becslése és közelítĘ kiszámítása. AlapmĦveletek a természetes számok körében. Összeadás-kivonás, szóban és írásban. Szorzás-osztás szóban és írásban. A nulla a szorzásban és osztásban. Osztás kétjegyĦvel becsléssel-visszaszorzással, osztási algoritmussal. MĦveletek tulajdonságai, összeg, különbség, szorzat és hányados változásai. MĦveletek sorrendje az alapmĦveletek körében, összeg és különbség szorzása-osztása. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK, Frontális, differenciált csoportmunka, a tanulók egyéni megfigyelése, kooperatív munkaformák. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Helyiérték-táblázatok, Dienes-készlet, korongok, színes rúd készlet, fóliák, mĦvelet és relációsjel kártyák, játékpénzek, mérĘeszközök. Digitális tananyagok ÉRTÉKELÉS MÓDJA Folyamatos verbális, diagnosztizáló mérések, értékelĘ felmérések. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Folyamatos ismétlés, differenciálás, egyéni képességfejlesztés, interaktív számítógépes programok használata. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK A tanult számkörben számok írása, olvasása, a tízes számrendszer biztos ismerete. A számok számegyenesen való ábrázolása, nagyság szerinti rendezése, kerekítése. Írásbeli osztás kétjegyĦ osztóval. A négy alapmĦvelet és a mĦveleti sorrend helyes alkalmazása. EgyszerĦ feladatok megoldása a felsorolt témakörökben, milliós számkörben. EgyszerĦ szöveges feladatokhoz a megfelelĘ mĦveletek megkeresése, a feladatok megoldása. Kerekített érték megadása, adott pontosságú mérés végzése. Következtetés mérési eredménybĘl illetve kerekített értékbĘl a lehetséges pontos értékekre, egyszerĦ esetekben. Fejszámolás, becslés, közelítĘ számolás adott korosztálynak megfelelĘ szintĦ elvégzése. Számok sokféle alakban való felírása, használata a feladatok elvégzésekor. 2008/177. szám EGÉSZ SZÁMOK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés szempontjai a témakörben Számlálás, számolás. A számfogalom mélyítése, a számkör bĘvítése A természetes számok körének kiterjesztése az egész számokkal. Az alapmĦveletek – összeadás, kivonás, természetes számmal való szorzás, osztás – értelmezése az egész számok körében. Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés MĦveleti tulajdonságok megfigyelése. Biztos, lehetetlen, lehet, de nem biztos kifejezések használata. Becslés, mérés ÖnellenĘrzés igényének és képességének a fejlesztése. Kicsi abszolút-értékĦ számok esetén a mĦveletek eredményének kiszámolása fejben, majd ellenĘrzése eszközök használatával Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició ÉrtĘ-elemzĘ olvasás fejlesztése. A valóságos viszonyokat tükrözĘ modellek használata a fogalom kialakítására, ezeknek a viszonyoknak az átfogalmazása számok és mĦveletekre és fordítva. EgyszerĦ szöveges feladatok megoldása. Nyitott mondatok megoldásának vizsgálata különbözĘ számhalmazokon. Rendszerezés, kombinativitás Negatív számok elĘállítása többféleképpen. Rendezésük különbözĘ szempontok szerint, osztályozásuk. Deduktív következtetés, induktív következtetés Természetes számok és a negatív számok körében megismert mĦveleti tulajdonságok összehasonlítása, általánosítása. Környezettudatosság HĘmérsékletváltozással kapcsolatos forrásmunkák gyĦjtése, feldolgozása. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Negatív szám fogalmát megalapozó játékok hĘmérĘ modellel, adósság és készpénz cédulákkal stb. Negatív számok gyĦjtése a körülvevĘ világból. Egy szám elĘállítása sokféleképpen adósság és készpénz együtteseként. Történet készítése mĦveletsorhoz, nyitott mondathoz és fordítva, szöveg lefordítása a matematika nyelvére. Játékok számjegykártyákkal, betĦ-szám kártyákkal, számkorongokkal. MĦveletek gyakorlása játékos fejtörĘfeladatok megoldásához kapcsolva. Fejszámolási játékok. Szöveges feladat tartalmának eljátszása. Interneten, tudományos folyóiratokban fellelhetĘ, a globális hĘmérsékletváltozással kapcsolatos anyagok gyĦjtése, feldolgozása ISMERETEK, TARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Az alsótagozat elĘkészítette. A hatodik osztályban befejezĘdik, utána folyamatosan használják. Negatív számok fogalma és modelljei, ábrázolásuk számegyenesen, összehasonlításuk. Ellentett és abszolút érték fogalma. 2008/177. szám Hangsúlyos gondolatok: Kulcsfontosságú a negatív szám fogalmának megértése. Tudjon a negatív számokat értelmezni, negatív számhoz mennyiséget társítani és fordítva. Kis számokkal, modellel, értve tudjon összeadni és kivonni, természetes számmal szorozni és osztani. Tudja, hogy a hozzáadás és az elvétel mikor növeli, mikor csökkenti az eredeti számot. Lásson példákat arra, hogy a nyitott mondatok megoldáshalmaza mennyire függ az alaphalmaz megválasztásától, és hogy egy pici módosítás a nyitott mondatban mennyire tudja befolyásolni megoldáshalmazt. Ez az egyenletek módszeres tárgyalásához, az azonosság, azonos átalakítás, megoldáshalmaz… fogalmak elĘkészítéséhez nagyon fontos. MĦveletek egész számokkal, összeadás-kivonás eszközök segítségével, szorzás-osztás természetes számmal. Nyitott mondatok. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK, Beszélgetések. Közös, páros és egyéni tevékenykedtetés. Irányított játékok. Rajzok értelmezése és alkotása. Tudatos memorizáltatás. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Demonstrációs és egyéni készpénz- és adósságcédulák, hĘmérĘ modell, hegy – és vízrajz térkép, számegyenes, számolóléc. ÉRTÉKELÉS MÓDJA A mĦveletek tevékenységgel, eszközzel, rajzzal való megjeleníteni tudásának diagnosztizáló mérése. A mĦveletvégzés tudásának diagnosztizáló felmérése (eszközhasználat megengedett). AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE A tanulók munkájának egyéni megfigyelése. Társak bevonása a segítségadásba. Eszközhasználat idejének kitolása. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK A téma hatodikban újra elĘkerül, akkor kerül sor arra, hogy nagyobb számok körében is végezzünk mĦveleteket. Itt ebben a témakörben a követelmény annyi, hogy legyenek képesek egész számok helyét számegyenesen megtalálni, nagyság szerint sorba állítani. Értsék az ellentett és abszolút érték szavakat. Tudjanak mĦveleteket végezni eszközök segítségével, 30-nál nem nagyobb abszolút értékĦ egész számok körében. Tudjanak egyszerĦ negatív számokhoz is kapcsolódó szöveges feladatokat megoldani, és fordítva, mĦveletekhez szöveges értelmezést találni. TÖRTEK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés szempontjai a témakörben Számlálás, számolás. A számfogalom mélyítése, a számkör bĘvítése. Számkör bĘvítés, törtfogalom megalapozása. Törtek kétféle értelmezése. Törtek többféle alakja, összehasonlítása 2008/177. szám Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés. Mennyiségek törtrészének számítása. MĦveleti tulajdonságok megfigyelése, biztos, lehetetlen, lehet, de nem biztos kifejezések használata. EgyszerĦ események relatív gyakoriságának megfigyelése Becslés, mérés. ÖnellenĘrzés igényének és képességének a fejlesztése. KözelítĘ számlálás, közelítĘ mérés, mérés adott pontossággal, kerekítés. Eredmény becslése és közelítĘ kiszámítása. Eredmény becslése, számítása, majd a becslés, számítás ellenĘrzése eszköz használatával Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakogníció. ÉrtĘ-elemzĘ olvasás fejlesztése. Valós életbĘl vett problémák megoldása, szöveges feladatok megoldása, ellenĘrzés. Rendszerezés, kombinativitás. Több megoldás keresése, lehetséges megoldások száma. Számok felírása sokféle alakban. Adott feltételek mellett az összes megoldás keresése. Deduktív következtetés, induktív következtetés. MĦveletek kiterjesztése a törtek körére, analógiák keresése. Egészséges életre nevelés. Ritmusérzék fejlesztése, mozgás és tér-érzékelés fejlesztése. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Törtmennyiségek leolvasása a környezetünkben levĘ tárgyakról, rajzokról… Törtek elĘállítása vágással, hajtogatással, kirakással, összeméréssel Törtek megjelenítése különféle modellekkel, csoki, torta, szalag, színesrúd készlet, Dienes készlet stb. Közös játékok, társasjátékok, kártyajátékok a mĦveletek és az egyszerĦsített bĘvített alakok megértéséhez: Palacsintasütés és osztás. Mérések végzése különféle mértékegységekkel ISMERETEK, TARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE ALSÓ TAGOZATON ELKEZDėDÖTT A TAPASZTALATSZERZÉS, ITT EZEKET RENDSZEREZZÜK, MEGFOGALMAZZUK, TOVÁBBÉPÍTJÜK ÉS GYAKOROLJUK. HATODIKBAN BEFEJEZZÜK, UTÁNA MÁR CSAK FENN KELL TARTANI AZ ISMERETET. KULCSFONTOSSÁGÚ A TÖRT FOGALMÁNAK MEGÉRTÉSE, TÖBBFÉLE ÉRTELMEZÉSE, AZ EGYSÉGTÖRT POZITÍV EGÉSSZEL (KICSI) VALÓ OSZTÁSÁNAK ÁTLÁTÁSA, ANNAK MEGÉRTÉSE, HOGY EGY TÖRT SOKFÉLE ALAKBAN ÍRHATÓ, ELSėSORBAN AZ EGYSZERĥSÍTÉS-BėVÍTÉS TISZTA ÁTLÁTÁSA. A törtekrĘl tanultak felelevenítése: egységtörtek. A pozitív tört más értelmezései: közülük kiemelve a több egész egyenlĘ részekre osztását. EgyenlĘ nevezĘjĦ, egyenlĘ számlálójú törtek összehasonlítása. Egységtörtek egyenlĘ részekre osztása. EgyszerĦsítés-bĘvítés, különbözĘ nevezĘjĦ törtek összehasonlítása bĘvítéssel. Törtek ábrázolása számegyenesen. Ismerkedés a negatív törtekkel. MĦveletek törtekkel eszközzel vagy anélkül: összeadás-kivonás, szorzás természetes számmal, osztás pozitív egész számmal egyszerĦ esetekben (a számláló osztható az osztóval, vagy pedig kicsi a nevezĘ). EgyszerĦsítés-bĘvítés, különbözĘ nevezĘjĦ törtek összehasonlítása bĘvítéssel. 2008/177. szám A fentiek birtokában tudjon egyszerĦ modelleket találni, amelyek segítik kicsi nevezĘjĦ törtek összeadásában, kivonásában, pozitív egésszel való szorzás-osztásában. Törtek ábrázolása számegyenesen. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK, Irányított játékok. Tanulási eszközök használatának segítése. Egyéni rajzkészítés. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Színes rudak, Dienes-készlet, körcikkek, pontrácsok, mérĘedények, hosszúság-, területmérés-, tömeg- és térfogatmérés egységei. Óra. ÉRTÉKELÉS MÓDJA A mĦveletek tevékenységgel, eszközzel, rajzzal való megjeleníteni tudásának diagnosztikus mérése. A mĦveletvégzés tudásának diagnosztizáló mérése (eszközhasználat megengedett). AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE A tanulók munkájának egyéni megfigyelése. Az eszközhasználat kitolása. Interaktív gyakorlást segítĘ tanulói anyagok használata. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Legfontosabb követelmény, hogy minél rugalmasabb törtszám fogalmat alakítsunk ki. Legyenek képesek a gyerekek a törtszámokat elképzelni, – számhoz mennyiséget, mennyiséghez számot társítani, különbözĘ egységválasztás mellett is. Tudjanak egy törtet többféle különbözĘ alakban felírni, szerezzenek jártasságot az egyszerĦsítésben és a bĘvítésben. Tudjanak a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 50, 100 nevezĘjĦ törteket összeadni, kivonni, egész számmal szorozni illetve osztani. Tudják ezeket számegyenesen ábrázolni, nagyság szerint rendezni. TIZEDES TÖRTEK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés szempontjai a témakörben Számlálás, számolás. Törtek írása tízes számrendszerben, tizedes törtek írása, olvasása, alaki érték, helyi érték fogalmak értelmezése a tizedes törtek körében, mĦveletvégzés. Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés. Arányos következtetések. Mértékváltások. AdatgyĦjtés, esélyek latolgatása, kísérletek eredményének kiértékelése Becslés, mérés. KözelítĘ számlálás, közelítĘ mérés, mérés adott pontossággal, kerekítés. Eredmény becslése és közelítĘ és pontos kiszámítása. Az eredmény ellenĘrzése Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakogníció. Valós életbĘl vett problémák megoldása, szöveges feladatok megoldása, ellenĘrzés. Rendszerezés, kombinativitás. Több megoldás keresése, lehetséges megoldások száma. Minimum, maximum és egyéb feladatok megoldása számjegyek változtatása mellett. Számok felírása sokféle alakban. A természetes számok körében megismert szabályosságok és algoritmusok alkalmazása tizedes törtekre. 2008/177. szám AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Kis mennyiségek mérése nagyobb egységekkel. A természetes számokhoz kapcsolódó analógiák folyamatos felfedeztetése és tudatos felhasználása a számok összehasonlításában és a mĦveletvégzésben. Játékos fejszámolásos tevékenységek a 10-zel, 100-zal, 1000-rel való szorzás és osztás gyakorlására Tizedes törtek írásának és olvasásának összekapcsolása a valóságos világból vett példákkal – kutató- gyĦjtĘmunka, játékos feladatok. Tízes és más számrendszereket modellezĘ játékok. Számlálás, lépegetés tizedes tört lépésekkel. Játékok számjegykártyákkal, mĦveleti és relációjel kártyákkal, számkorongokkal. MĦveletek gyakorlása játékos fejtörĘ feladatok megoldásához kapcsolva. Fejszámolási játékok. Szöveges feladat tartalmának eljátszása. ISMERETEK, TARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE A TÖRTEKRėL ÉS A HELYI ÉRTÉKES SZÁMÍRÁSRÓL TANULTAKHOZ KAPCSOLÓDIK ELSėSORBAN. HETEDIKBEN FEJEZėDIK BE A HATVÁNYOZÁS ÉS NORMÁLALAK MEGISMERÉSÉVEL. Kulcsfontosságú hogy lássák a törtek és tizedes törtek kapcsolatát, át tudják törtalakba írni a tizedes törteket. Továbbá, hogy lássák az analógiát az egész számok helyi értékes írásával. Tudjanak biztonságosan szorozni, osztani10-zel, 100-zal, 1000-rel, és ezeket alkalmazni a mértékváltások során. A tizedestörtek bevezetése. A tizedes törtek értelmezése, ábrázolása a számegyenesen; A tizedes törtek egyszerĦsítése, bĘvítése, kerekítése A tizedes törtek összeadása, kivonása, az eredmény becslése A tizedes törtek szorzása, osztása, kerek tízesekkel, kicsi pozitív egészekkel, átlagszámítás KÖZELÍTė SZÁMÍTÁSOK, MÉRÉSEK, KEREKÍTÉSEK AdatgyĦjtés, esélylatolgatás MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK, Irányított játékok. Tanulási eszközök használatának segítése. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Dienes készlet, számjegykártyák, betĦ-szám kártyák, számkorongok, demonstrációs számegyenesek, játékpénzek, mértékegység-táblázatok Interaktív digitális tananyagok.. ÉRTÉKELÉS MÓDJA A tanulók munkájának egyéni megfigyelése. A tizedes törtekkel való számolás diagnosztizáló és értékelĘ felmérése. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE A tanulók munkájának egyéni megfigyelése. Társak bevonása a segítségadásba. Digitális tanulói gyakorló anyagok VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Legyen képes tizedes törteket helyiérték-táblázatban többféleképpen is megadni, nagyság szerint sorba állítani, tizedekkel, századokkal számlálni, tizedes törteket összeadni, kivonni, 10-zel, 100-zal, továbbá más természetes számokkal szorozni és osztani egyszerĦ tizedes törtek (legfeljebb 4 értékes jegyet tartalmazó számok) körében. Tudjon adott pontossággal mérni, szomszédos mértékek között mértékváltásokat végezni tizedes tört váltószámokkal is. 2008/177. szám GEOMETRIA, MÉRÉS ALAKZATOK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés szempontjai a témakörben Térszemlélet fejlesztése Térlátás, térbeli viszonyok észlelése, adott tulajdonságú ponthalmazok keresése, ábrázolás síkon és gömbön. Számlálás, számolás A hosszúság, és szög nagyságának meghatározása választott és szabvány egységekkel. 360 felosztása egész számú egyenlĘ részre. Szorzás-osztás 10, 100, …. és 60 számokkal. Távolságok mérése pontok és összetettebb alakzatok között is. Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés Szakaszok, szögek összehasonlítása, korlátos és korlátlanul kiterjedĘ alakzatok összehasonlítása. Becslés, mérés Szakaszok, szögek, összehasonlítása, hosszúság és szögmérés. (Mértékváltások, a tanult mĦveletek használata. KülönbözĘ beosztású skálákról való leolvasások.) Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició Sík és tér, sík és gömb összehasonlítása, kritikai gondolkodás. Szöveggel adott tulajdonságnak megfelelĘ ponthalmazok megkeresése a síkon. Rajzzal adott alakzat tulajdonságainak szöveges megfogalmazása. Rendszerezés, kombinativitás Alakzatok osztályozása, tulajdonságaik megfigyelése. Testek éleinek, csúcsainak, lapjainak leszámolása, egy adott készletbĘl (sokszögoldalak, tartományok) különbözĘ alakzatok elĘállítása. AlapvetĘ alakzatokból új összetett alakzatok képzése. Halmazok közös részének és uniójának megadása. Deduktív következtetés, induktív következtetés Alakzatokról szerzett tapasztalatok általánosítása. Analógiák megfigyelése a síkon és a gömbön. EgyszerĦ érvelések az eddig megismert alakzatokhoz kapcsolódva. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Használati tárgyak gyĦjtése, megfigyelése, osztályozása. Testek építése gyurmából, szívószálakból, kartonpapírból, sokszöglapokból. Testek csoportosítása adott tulajdonságok alapján Szögtartomány és sáv elĘállítása félsíkok színes fóliából készült modelljeinek metszeteként. Háromszögek és egyéb sokszögek elĘállítása pálcikából, szívószálból, papírhajtogatással, pontrácson, négyzetrácson, (véges ponthalmazon). Távolság meghatározása méréssel valóságos tárgyaktól, illetve gyerekekkel, korongokkal szemléltetett ponthalmazoktól. Adott tulajdonságú pontok keresése méréssel, a pontok szemléltetése gyerekekkel (udvaron, tornateremben adott tulajdonságú pontok helyére állnak), korongokkal. Tükrös alakzatok tengelyeinek meghajtogatása. Szögmérések. MérĘegységként használt szögek – derékszög, derékszög fele – elĘállítása hajtogatással. SzögmérĘ használata. 2008/177. szám SzerkesztĘ eszközök, körzĘ, vonalzó, szögmérĘ használata síkon és gömbön is. Sokszög szögeinek mérése. Kísérletek a Lénárt-féle gömbön kisebb és nagyobb csoportokban. Több feltételnek megfelelĘ ponthalmazok elĘállítása tartományok metszeteként, átlátszó papír, kartonból, vagy színes fóliából kivágott tartományok metszeteként. Kör és gömb alakú tárgyak megfigyelése, gyĦjtése a környezetükben. Mintázatok készítése körökbĘl és egyenesekbĘl. Háromszögek szerkesztése körzĘ segítségével elĘre adott szakaszokból. KellĘ tapasztalatszerzés a háromszög-egyenlĘtlenség megfogalmazásához. EgyenlĘ szárú és egyenlĘ oldalú háromszögek elĘállítása hajtogatással, szerkesztéssel. KörzĘ és egyélĦ vonalzó használata. DerékszögĦ vonalzó használata párhuzamos és merĘleges egyenesek elĘállításakor. ISMERETEK, TARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Az alsótagozaton megismerkedtek sokféle alakzattal, geometriai tulajdonsággal, ezeket most elkezdjük kicsit módszeresebben rendszerezni, meghatározni. Foglalkozunk a geometria alapalakzataival – pont, egyenes, félegyenes, szakasz, sík, félsík – és ezekbĘl metszetként vagy unióként építhetĘ, vagy ezek által határolt alakzatokkal. Megismerkedünk az alakzatok megadásának egy másik fontos módjával, adott tulajdonságú pontok halmazaként is elĘállítjuk a kört, a síksávot. Ezzel megalapozzuk azt a folyamatot, melynek során a gyerekek elkezdenek távolodni a szemlélettĘl és közeledni a deduktív gondolkodás felé. A mélyebb megértést segíti a sík és gömbi alakzatok analóg tárgyalása. A hangsúly az elnevezések felelevenítésén, használatán van, azon, hogy a gyerekek megbarátkozzanak a végtelenbe nyúló alakzatokkal is. Kulcsfontosságú a szögtartomány és a síksáv bevezetése két félsík közös részeként is. Nagyon fontos, hogy a szögmérĘ használatát jól megértsék és begyakorolják. Hangsúlyos, hogy a gyerekek megtapasztalják, hogy a pont és egyenes között a legrövidebb távolság a merĘleges szakasz, továbbá, hogy adott egyszerĦ tulajdonsághoz meg tudják a hozzátartozó ponthalmazt adni. Pont és egyenes a síkon, pont és gömbi egyenes, vagyis fĘkör a gömbön. Két egyenes kölcsönös helyzete a síkon; két fĘkör kölcsönös helyzete a gömbön. A síkbeli és gömbi távolságmérés. Egység választása síkon és gömbön. MérĘeszközök. Alkalmazás földrajzi távolságmérésre A szögtartomány és szögmérés. A szögek fajtái. Forgásszög fogalma. Síkbeli és gömbi szög mérése, síkbeli és gömbi szögmérĘ használata. MerĘlegesség és párhuzamosság a síkon és a gömbön. Konvexitás fogalma Ponthalmazok távolsága. Távolság segítségével adott ponthalmazok: kör és gömb, definíció elmélyítése. Körvonal, kör belsĘ és külsĘ tartománya, körlap, középpont, sugár, átmérĘ, húr és körcikk, körív, körszelet. Koncentrikus körök, körgyĦrĦ. Gömbi körök. Pont és egyenes távolsága, egyenesre merĘleges szakasz, rajzolása derékszögĦ vonalzóval. Pont és kör távolsága. EgyenestĘl adott távolságra levĘ pontok halmaza, Párhuzamos egyenesek távolsága, párhuzamos egyenesek rajzolása két vonalzóval. Több feltételnek megfelelĘ ponthalmazok. Két ponttól egyenlĘ távolságra levĘ pontok halmaza: szakaszfelezĘ merĘleges, felezĘ merĘleges elĘállítása, szerkesztése. Két egyenestĘl egyenlĘ távol levĘ pontok halmaza: szögfelezĘ, középpárhuzamos elĘállítása. Háromszögek, négyszögek, háromszög szerkesztése három oldalból, háromszögegyenlĘtlenség. 2008/177. szám Fontos, hogy három oldalából tudjanak háromszöget szerkeszteni, és hogy tapasztalatot szerezzenek a háromszögek oldalai és szögei közötti összefüggésekrĘl. Tapasztalatszerzés alakzatok egybevágóságáról. Ismerkedés párhuzamos oldalú négyszögekkel: trapéz, paralelogramma, rombusz. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK Közös, páros és egyéni tevékenykedtetés. Szabad és irányított játékok. Rajzok értelmezése, alkotása. Egyéni rajzkészítés. Tanulási eszközök használatának segítése. Tudatos memorizáltatás. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Sík és térmértani modellezĘ készlet. Táblai szerkesztési eszközök. Lyukas tábla. Fóliák. Használati eszközök, mértani testek. Lénárt-féle gömb, szívószálak, korongok, ÉRTÉKELÉS MÓDJA Hibajavítás segítése. Eszközhasználat diagnosztizáló mérése. A tanulók egyéni megfigyelése. Az eszközhasználat diagnosztizáló felmérése. Pont és egyenes távolságának, kör fogalmának, egy ponttól adott távolságnál közelebb… fogalmak ismeretének ellenĘrzése. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Tájékozódás a tanulók egyéni (testi, szellemi adottságairól). A tanulók munkájának egyéni megfigyelése. Társak bevonása a segítségadásba. A verbalitás segítése. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK A fejezet fĘ célja az ismétlés és alapozás. Ismerjék fel a gyerekek az egyszerĦ geometriai alakzatokat. Értsék a szakasz és egyenes, sík, félsík, él, csúcs, lap, tartomány, konvex, konkáv szavakat. Legyen fogalmuk a sík, a félsík, az egyenes, a félegyenes határtalanságáról. Tudjanak merĘlegest és párhuzamost, téglalapot, négyzetet elĘállítani vonalzóval és hajtogatással is. Értsék a szögtartomány fogalmát, származtatásait, ismerjék a szögek fajtáit, tudjanak szakaszt és szöget mérni. Tudják, hogy pont és egyenes között a legrövidebb szakasz a merĘleges és hogy ennek hossza a pont és egyenes távolsága. Ismerjék a gyerekek a ponttól és egyenestĘl adott távolságra, annál közelebb, illetve távolabb levĘ pontok által alkotott halmazokat, (kör, párhuzamos egyenes pár, sáv), legyenek képesek ezeket elĘállítani két vonalzó segítségével. Közös munkában, csoportban vagy tanár által vezetett foglalkozáson legyenek képesek összetettebb alakzatok távolságát is megtalálni, több feltételnek megfelelĘ ponthalmazokat elĘállítani, felezĘ merĘlegest szerkeszteni. Ismerjék az egyenlĘ szárú, illetve egyenlĘ oldalú háromszög kifejezéseket. Tudjanak három oldalból háromszöget szerkeszteni. Tudják a szerkesztéseknél alkalmazni a háromszög-egyenlĘtlenséget. Legyen tapasztalatuk arról, hogy egy háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van. MÉRÉSEK, TERÜLET, FELSZÍN, TÉRFOGAT KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés szempontjai a témakörben Térszemlélet fejlesztése Testekhez vetületi ábrák, alaprajzok, hálózatok készítése. Alakzatok elĘállítása adott feltételeknek megfelelĘen. Számlálás, számolás A számfogalom mélyítése a mérési feladatokon keresztül, számolás gyakorlása, 2008/177. szám Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés Mért, számított eredmények változásának megfigyelése az adatok, illetve a mérés egységének megváltozása esetén. Becslés, mérés KözelítĘ és pontos mérések, mértékváltás, becslés, közelítĘ számítások. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició Gyakorlati helyzetekhez, szöveggel leírt helyzetekhez matematikai interpretáció készítése és fordítva. Rendszerezés, kombinativitás Téglatest és kocka tulajdonságainak összefoglalása, rendszerezése. Sorbarendezés a hosszúság, kerület, terület, felszín illetve a térfogat nagysága szerint. EgységnégyzetekbĘl kirakható, adott területĦ téglalapok építése. Egységkockákból kirakható, adott térfogatú téglatestek építése. Deduktív következtetés, induktív következtetés Tapasztalati kerület-, terület-, felszín- és térfogatmérések általánosítása, egyszerĦ képletek alkotása. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Hosszúságmérések az iskolában és az iskola körül. Testhálók készítése, testek építése. KözelítĘ és pontos mérések választott és szabványmértékegységekkel. Mérések, idĘ, tömeg, hosszúság, kerület, terület, térfogat mérése szabadon választott és standard mértékegységekkel. Térfogat mérése egységkockákkal és Ħrtartalomként is. Téglatest építése egységkockákból és színes rudakból, testek térfogatának összehasonlítása. ISMERETEK, TARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Az iskolai geometria anyagnak két nagy, fĘ vonulata van. Az egyik az alakzatok, transzformációk, szerkesztések, a másik a mérések témaköre. Ez a két témakör persze nagyon sok ponton érintkezik, mégis két önálló résznek tekinthetĘ. A hosszúság- és területmérés alapozása az alsótagozat feladata. Ezen az évfolyamon ismételünk és az eddig szerzett ismereteket kiegészítjük a téglalap és négyzet területképletének, illetve a téglatest és a kocka térfogatképletének megfogalmazásával. A téglalap, négyzet területének, a téglatest, kocka térfogatának tanítása itt befejezĘdik, a továbbiakban fenntartjuk és használjuk az itt tanultakat. Erre építjük a késĘbbi osztályokban a háromszögek és négyszögek területének, a hasábok, gúlák térfogatának tanítását. A hangsúly itt a kerület, terület illetve a felszín, térfogat fogalmak megértésén van. A képletek mechanikus alkalmazása helyett kulcsfontosságú a megértett alkalmazás. Nem elsĘsorban a képletek ismeretén van a hangsúly, hanem mérésekben való tapasztalatszerzésen a gyerekek, és azon, hogy a számításokat ezekkel a mérési tapasztalatokkal kössék össze a gyerekek. Négyzet, téglalap tulajdonságai. Kerület fogalma, sokszögek kerülete. Terület fogalma, sokszögek területe téglalap, négyzet területképlete. Testek hálója. Hálók színezése. Téglatest felszínének mérése, számítása. Mértékváltások. Térfogat mérése, számítása téglatest, kocka térfogatképlete, gyakorlati életbĘl vett példák, mérések végzésére alapozott feladatok. Mérés eredményének becslése, kerekítése 2008/177. szám A terület-, illetve a térfogatképletek alkalmazását elĘzze meg az egységnégyzetek, illetve egységkockák leszámolása. Nagyon fontos, hogy téglalap területszámítása, és a téglatest térfogatának kiszámítása közötti analógia megtapasztalása. A téglatest rudakkal, rétegekkel történĘ kitöltése is segíti ezt a folyamatot. A képleteket ebben a témakörben csak akkor vezessük be, ha meggyĘzĘdtünk arról, hogy az már csak egy megértett tartalomnak a rövidített lejegyzési módja a gyerekek számára. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK, Rajzok értelmezése, alkotása. Egyéni rajzkészítések. Közös, páros és egyéni tevékenykedés. Játékok. Egyéni hibajavítások. Az absztrahálás és a konkretizálás útjainak sokszoros bejárása. Az eszközök használatában való gyakorlottság és a szóbeli kifejezĘkészség segítése. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Lyukas tábla. Élvázak. Szívószálak, Babilon-készlet. Sík- és térmértani modellezĘ készlet. Milliméterpapír. Demonstrációs síkidomok és testek, testhálók, építĘjátékok, összehúzható, fonalas testhálók, Interneten elérhetĘ térgeometriai programok. ÉRTÉKELÉS MÓDJA Szóbeli megerĘsítés, hibajavítás. Diagnosztizáló mérések. Téglalap kerület-, terület- és kerületszámítási, valamint téglatest felszín- és térfogat számítási feladatok megoldásának diagnosztizáló és értékelĘ felmérése. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Társak bevonása a segítségadásban. Értékes részvétel biztosítása mindenkinek a megfelelĘ részfeladat kiválasztásával. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Legyenek képesek kiválasztani azokat a mérĘeszközöket, mértékegységeket, melyek a kerület, a terület illetve a felszín és a térfogat mérésére alkalmasak. Legyenek képesek méréseket végezni a hosszúság, a területek és térfogat körében. Legyen egy jó, közelítĘ elképzelésük azoknak a mértékegységeknek a nagyságáról, amelyekkel rendszeresen találkoznak. Tudják ezek körében a szomszédos mértékegységek közötti viszonyokat mérĘeszközökrĘl leolvasni, és matematikai formulával leírni a. Ezek alapján legyenek képesek kicsit távolabbi egységek viszonyára következtetni. Tudják sokszögek kerületét körzĘ-vonalzó segítségével kielégítĘ pontossággal mérni. Ismerjék a négyzet és téglalap fogalmát, tulajdonságait. Legyenek képesek alakzatok területét kirakással megbecsülni. Ismerjék és értsék a téglalap kerület- és területképletét. Legyenek képesek testek térfogatát kirakással, átöntögetéssel megbecsülni, térfogatokat összehasonlítani. Ismerjék és képesek legyenek közelítĘleg felismerni a térfogat egyszerĦ, standard mértékegységeit. Tudják a szomszédos mértékegységek közötti viszonyokat mérĘeszközökrĘl leolvasni és matematikai formulával leírni. Ezek alapján legyenek képesek kicsit távolabbi egységek viszonyára következtetni. Ismerjék és értsék a téglatest térfogatképletét. 2008/177. szám ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK SZÁMEGYENES, DERÉKSZÖGĥ KOORDINÁTA-RENDSZER KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számlálás, számolás Számegyenesen, koordinátarendszerben való tájékozódás, mĦveletvégzés. Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés Összetartozó számpárok keresése, ábrázolása. Táblázatban, grafikonon összefüggések keresése. Becslés, mérés Helymeghatározás a környezetünkben, becsléssel, méréssel egybekötve. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició Annak ellenĘrzése próbálgatással, hogy a koordinátarendszer egy pontja rendelkezik-e egy adott tulajdonsággal vagy sem. Összefüggés felismerĘ képességfejlesztése. Rendszerezés, kombinativitás Adott tulajdonságú halmazok keresése, közös részük, uniójuk elĘállítása. Deduktív következtetés, induktív következtetés Kísérletezés önkényesen választott pontokkal, következtetés a teljes megoldáshalmazra. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Mozgásos játékok – „Fuss a megadott koordinátájú helyre…” Egyéb koordinátákat használó játékok – torpedó, sakk stb. Tájékozódás térképen, földgömbön. Kísérletek és játékok a földgömbön, tájékozódás a Lénárt-féle gömbön. Barkochba a jelzĘszámokkal. Szám párokkal adott képek megrajzolása. Szabályjátékok, sorozatok folytatása. Helymeghatározás konkrét, gyakorlati szituációkban. ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK A függvények témaköre teljesen átszövi az egész anyagot. Hozzárendelések, szabályjátékok… minden anyagrészben megjelennek. Ismert szabály alapján ismeretlen elemek meghatározása, illetve ismert elemek esetén szabály(ok) megfogalmazása, több megoldás keresése végig jelen van a tanítási folyamatban. A természetes számokkal foglalkozó anyagrészben részletesen foglalkozunk az összeg, különbség, szorzat, hányados változásaival, de erre visszatérünk minden új számkör bevezetésekor. Külön óraszámot kap a koordinátarendszerrel való ismerkedés. Ezért ezt részletesebben is taglaljuk. HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Az alsó tagozatból ismert a számegyenest, ennek fogalmát összefoglaljuk, mélyítjük, továbbépítjük a koordináta-rendszer bevezetésével. ElĘkészítjük a függvények ábrázolását. Hangsúlyos a biztos tájékozódás a számegyenesen és a koordináta-rendszerben. Fontos feladat ponthalmazok meghatározása jelzĘszámok közötti összefüggéseknek megfelelĘen. Ismerkedés a koordinátarendszerekkel. 2008/177. szám MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK, Irányított játékok. Közös, páros és egyéni tevékenykedés. Egyéni rajzkészítés. ÖnellenĘrzés segítése. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Lyukas tábla, koordináta-rendszer, 1 forintos érmék, sakktábla, térképek, földgömb. ÉRTÉKELÉS MÓDJA Szóbeli értékelés, megerĘsítés, hibajavítás. Diagnosztizáló mérés. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Egyéni megerĘsítés. Társak bevonása a segítségadásba. Interaktív számítógépes játékok. VÁHATÓ EREDMÉNYEK Értsék, hogy a jelzĘszámok rendezett számpárok, az elsĘ, második jelzĘszám – vagy x, y koordináta – szavakat. Legyenek képesek tájékozódni a derékszögĦ koordináta-rendszernek az origó közelében lévĘ részében (–10 és +10 közötti jelzĘszámok), ebben a tartományban adott pontok koordinátáit leolvasni illetve adott számpárokat ábrázolni. Csoportos munkában legyenek képesek egyszerĦ összefüggésekhez a hozzátartozó ponthalmazt megkeresni. EgyszerĦ utasítást értsenek meg és legyenek képesek azt végrehajtani: egyszerĦ szabály szerint egy elemhez hozzárendelt elemet (elemeket) megadni, egyszerĦ szabállyal megadott sorozatot folytatni. Tudjanak néhány elemmel (elempárral) megadott sorozathoz lehetséges szabályt keresni. VALÓSZÍNĥSÉG, STATISZTIKA KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számlálás, számolás. Tömegjelenségek elĘfordulási gyakoriságának megszámlálása. Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés. Események gyakoriságának megállapítása elvégzett kísérletekben. KülönbözĘ események gyakoriságának összehasonlítása. A biztos és a lehetetlen események felismerése egyszerĦ esetekben. Becslés, mérés. Egy-egy jelenség elĘfordulási gyakoriságából nagyságrendi következtetés levonása, esélylatolgatás Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakogníció. A kísérlet feltételeinek értelmezése, a feltételek teljesülésének megítélése, a megadott szabályok követése Egyéni vagy kiscsoportos eredmények megosztása, közös értelmezése. Rendszerezés, kombinativitás. Adatok gyĦjtése, rendszerezése. A kísérlet lehetséges kimeneteleinek összegyĦjtése, a megfigyelt események osztályba sorolása Deduktív következtetés, induktív következtetés. Kis elemszámú kísérlet megfigyelése alapján következtetés nagyobb elemszámú kísérlet lehetséges kimeneteleire, az események elĘfordulási gyakoriságából szabályosságok megállapítása. Egészséges életmód, környezettudatosság. Környezetvédelemhez kapcsolódó kérdésekkel, egészséges életmóddal kapcsolatos statisztikai adatok gyĦjtése, elemzése. 2008/177. szám AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK A környezĘ világból, újságokból, könyvekbĘl, InternetrĘl, adatsokaságok gyĦjtése és elemzése, grafikonon való megjelenítése. AdatgyĦjtés megtervezése, végrehajtása, értékelése, ábrázolása grafikonok segítségével. Poszter készítés ValószínĦségi játékok, kísérletek JegyzĘkönyvkészítés Egyéni vagy kiscsoportos kísérletezések eredményének közös összefoglalása, kiértékelése. ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE A téma folyamatosan jelen van elsĘ osztálytól kezdve a tananyagban. A hangsúly azonban mindvégig a tapasztalatszerzésen volt. ötödikben, a tapasztalatok további gazdagítása mellett, elkezdjük használni a gyakoriság, relatív gyakoriság fogalmakat, és összekötjük ezt a gyerekek intuitív valószínĦségfogalmával. Folyamatos, beépülhet a tananyagba Egyes témakörökben az összes eset összeszámlálása, fa-diagrammal, vagy más rendszerezéssel, egyes elemi események valószínĦségének becslése, legegyszerĦbb esetekben számítása is. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK Irányított játékok. Közös, páros és egyéni tevékenykedés. Egyéni vagy páros kísérletezés eredményeinek közös kiértékelése. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Statisztikai zsebkönyvek, újságok, Internet, ismeretterjesztĘ könyvek, játékkocka, pénzérmék…, nyereményjátékok. Koordináta-rendszer, jegyzĘkönyvek. Számítógépes valószínĦségi kísérletek ÉRTÉKELÉS MÓDJA Szóbeli értékelés megfigyelés alapján, diagnosztizáló mérés. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE A sok tapasztalatszerzés biztosítja, hogy mindenkinek fejlesszük a valószínĦségi gondolkodását. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Adatokat el tud rendezni sorozatba, táblázatba, ábrázolni tudja azokat grafikonon; Sorozatból, táblázatból, grafikonról adatokat visszaolvas; talál az egész adat-együttest jellemzĘ adatokat (pl. a nagyság szerinti középsĘt, a legnagyobb, legkisebb adatokat, ezek távolságát, a leggyakoribb adatot;) Ki tudja számítani az adatok átlagát. Képes megfogalmazni sejtést véletlen eseményekkel kapcsolatban, (melyik valószínĦbb, melyik kb. hányszor fog elĘfordulni a következĘ 30 próbában, melyik nem fog elĘfordulni egyszer sem...) sejtését össze tudja vetni a megfigyelt események gyakoriságával. 2008/177. szám 5. évfolyam GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számlálás, számolás A mĦveleti tulajdonságok felfedezése, alkalmazása, általánosítása más számkörökben. A számkörök közötti analógiák felismerése. Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés Szabályosságok felismerése. Szabályok alkalmazása. Összetett arányossági következtetések Konkrét példák a biztos, a lehetséges és a lehetetlen bemutatására. Tervezés, ellenĘrzés igényének megalapozása. Becslés, mérés Megoldások megtervezése, eredmények elĘre becslése, ellenĘrzése. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició ÉrtĘ-elemzĘ olvasás fejlesztése, kapcsolatok felismerése, lejegyzése egyszerĦ szimbólumokkal. Modellalkotás. A nyelv logikai elemeinek helyes használata. Változatos tartalmú szövegek értelmezése. Összehasonlításhoz szükséges kifejezések értelmezése, használata (pl.: egyenlĘ; kisebb; nagyobb; több; kevesebb; legalább, legfeljebb; nem; és; vagy; minden, van olyan). A nyelv logikai elemeinek helyes használata nem csak matematikai tartalmú állításokban. EgyszerĦ, matematikai módszerekkel is értelmezhetĘ szituációk megfogalmazása szóban és írásban. Rendszerezés, kombinativitás Halmazszemlélet fejlesztése. Összes lehetĘség rendszerezett felsorolása. Tervezés és ellenĘrzés képességének fejlesztése Rendszeres próbálgatás, összes eset számbavétele. Konkrét dolgok adott szempont(ok) szerinti rendezése, rendszerezése. Néhány elem sorba rendezése. Deduktív következtetés, induktív következtetés Állítások igazságának eldöntése, egyszerĦ érvelések. Általános módszer keresése, az eredmények általánosítása, különbözĘképpen megfogalmazott feladatokban a közös matematikai gondolat felfedezése. Az elsajátítás képességének fejlesztése. A matematika tanulási módszereinek továbbfejlesztése (olvasott tankönyvi szöveg feldolgozása, lényeg kiemelése, házi feladatok célszerĦ elkészítési módjai). Pozitív motiváció kialakítása. Kommunikációs készség fejlesztése. Játékos tevékenységek, rejtvények, kooperatív munkaforma. Matematikatörténeti érdekességek. Könyvtárhasználat. Informatikai eszközök használata. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK A fogalmak kialakulását segítĘ játékok és eszközök használata. Modellalkotás. Az ismeretek halmazokba rendezése, logikai kapcsolataik feltárása. Több feltételnek megfelelĘ halmazok elĘállítása az aktuális tananyagnak megfelelĘen. Sejtések megfogalmazása, érvelések, naiv indukció. Összetettebb szövegek közös feldolgozása, értelmezése. Szöveges feladat tartalmának eljátszása. A lehetséges esetek számának elĘzetes megbecsülése 2008/177. szám Kombinatorikai feladatok megoldása az összes esetek leszámolásával. kirakosgatással, eljátszással. Az összes esetek rendszerbe állítása, kitekintés az általánosítás felé. A megoldott feladatok átfogalmazása, hozzájuk hasonló kérdések gyĦjtése más mĦveltségterületekrĘl, a gyerekek életébĘl. A rokon feladatok összegyĦjtése, megjelenítése poszteren. ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK Folyamatos, beépül a teljes tananyagba. A gondolkodási módszereket változatos formákban, a tananyag minden területén fejlesztjük. Ezen belül néhány órát célzottan a kombinatorikus gondolkodás fejlesztésére használunk. HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Két órát teljes egészében a kombinatorikai gondolkodás fejlesztésére szánunk. Ez a folyamatos fejlesztésnek egy állomása, amelynek célja elsĘsorban a tudatosítás, a rendszerezés, az összefoglalás. Kulcsfontosságú, hogy egy-egy feladattípusnál a kirakosgatás vagy eljátszás összekapcsolódjon a rendszerezéssel, szabályosságok megfogalmazásával, és – az osztály képességeitĘl függĘ mértékben – az általánosítással. EgyszerĦ kombinatorikai feladatok megoldása tervszerĦ próbálgatással és következtetéssel. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK, Feladatok megjelenítése játékosan is, csoportos- vagy osztálymunkában. Kirakosgatás, leszámolás egyénileg vagy csoportban, általánosítás, ellenĘrzés csoportban és/vagy frontálisan MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Bármilyen eszköz a feladatok konkrét megjelenítésére – a feladatok eljátszása, korongok, számkártyák, gyöngyök, dobókockák…, elĘre elkészített fa-diagrammok ÉRTÉKELÉS MÓDJA A gyerekek munkájának megfigyelése. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Heterogén csoportmunka és játék. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK A gyerekek legyenek képesek arra, hogy egyszerĦ kombinatorikai kérdéseket módszeres próbálgatással megoldjanak. Legyenek képesek néhány elem összes lehetséges sorrendjének összeszámlálására fadiagram segítségével. Tudják az összes lehetĘséget leolvasni egyszerĦ fa- és út-diagrammokról. 2008/177. szám SZÁMTAN, ALGEBRA EGÉSZ SZÁMOK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számlálás, számolás. A számfogalom és mĦveletfogalom mélyítése, kiterjesztése. Szorzás kiterjesztése negatív szorzóra a szorzat változásának vizsgálatával. A negatív számmal osztás bevezetése a szorzás inverz mĦveleteként. A mĦveleti tulajdonságok tudatosítása, elszakadás a modellektĘl. Gyakorlati élethez kapcsolódó feladatok. Mennyiségi következtetés, MĦveleti tulajdonságok megfigyelése. EgyszerĦ arányossági következtetések az egész számok körében is. Becslés, mérés ÖnellenĘrzés igényének és képességének a fejlesztése. Az egész számok összeadása-kivonása nagyobb számok körében. Gyakorlottság fejlesztése az eredmény elĘjelének és az abszolút érték nagyságának elĘre-elképzelésében, többtényezĘs szorzás-osztás elĘjelének elĘzetes megállapításában. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició ÉrtĘ-elemzĘ olvasás fejlesztése. Negatív számok valóságtartalma, a modellek értelmezése, szöveges feladatok megoldása, ellenĘrzés. Rendszerezés, kombinativitás A szorzás és osztás mĦveletének megfigyelése mĦveletsorokban és a tapasztalatok, megfigyelt analógiák felhasználása a mĦveletek fogalmának kiterjesztésére. Számok elĘállítása sokféleképpen. Deduktív következtetés, induktív következtetés Negatív számmal való szorzás értelmezésekor a természetes számok körében megismert mĦveleti szabályok általánosítása. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK A mĦveletek értelmezése, eljátszása az adósság-vagyon modellben, a „számegyenesen sétálós” modellben és esetleg még más modellekben. A mĦveletvégzés gyakorlása játékos feladatokon is, fejben és írásban – dominó, memória láncszámolás… Negatív számok gyĦjtése a körülvevĘ világból. Egy szám elĘállítása sokféleképpen pozitív és negatív számok összegeként. Történet készítése mĦveletsorhoz, nyitott mondathoz és fordítva, szöveg lefordítása a matematika nyelvére. FogalomépítĘ játékok az összeadás és kivonás mĦveletek, valamint az elĘjelek kapcsolatának, a mĦveleti sorrend felcserélhetĘségének mélyebb megértése érdekében. Szöveges feladat tartalmának eljátszása. A szorzás és osztás mĦveletének megfigyelése különbözĘ sorozatokban és a tapasztalatok, megfigyelt analógiák felhasználása a mĦveletek fogalmának kiterjesztésére. 2008/177. szám ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE A negatív számok, a velük végzett alapmĦveletek tanítása itt befejezĘdik. A továbbiakban ezeket az ismereteket gyakoroljuk, fenntartjuk, használjuk. Nagyon fontos, hogy visszatérjünk a negatív számok értelmezésére, ne elégedjünk meg a mĦveleti szabályok felidézésével. Fontos, hogy a gyakorlás mellett minél több alkalmat adjunk arra, hogy megértsék, miért úgy végezzük a mĦveleteket negatív számokkal, ahogy bevezettük. Térjünk ki a mĦveletvégzés sorrendjére is! A nagyobb számokkal való mĦveletvégzés kevésbé fontos, gyenge osztályban megelégedhetünk azzal, hogy kis számokkal – százas számkörben – biztonsággal dolgoznak. Kulcsfontosságú az ellentett és abszolút érték fogalmának felelevenítése, elmélyítése a mĦveletvégzés ismétlése elĘtt, egész számok összehasonlítása, ábrázolása számegyenesen. Egész számokról tanultak ismétlése Negatív számok fogalma, modelljei, ellentett, abszolút érték, ábrázolás számegyenesen. Egész számok összeadása-kivonása nagyobb számok körében, egész számok szorzása, osztása negatív számmal is, többtényezĘs szorzat elĘjele. MĦveletek sorrendje. Nyitott mondatok megoldása. MÓDSZERTANI ORIENTÁCIÓ TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK Beszélgetések. Közös, páros és egyéni tevékenykedtetés. Irányított játékok. Az összeadás-kivonás eljátszása mozgással is. Felfedeztetés frontális osztálymunkában. Gyakorlás csoportmunkában és egyénileg. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Adósság és vagyon cédulák, demonstrációs számegyenesek, piros-kék korongok, számkártyák, mĦvelet és relációjel kártyák. Digitális tananyagok. ÉRTÉKELÉS MÓDJA A gyerekek munkájának folyamatos megfigyelése. Diagnosztizáló és értékelĘ felmérĘ. Témazáró dolgozat. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE A mérésnél mindenki számára megfelelĘ nehézségi szintĦ feladatok biztosítása. Eszközök használatának biztosítása a gyerek igénye szerint. Digitális tanulói anyagok felhasználása differenciált munkavégzéshez VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Legyenek képesek egész számok helyét számegyenesen megtalálni, nagyság szerint sorba állítani. Értsék az ellentett és abszolút érték szavak jelentését. Teljes biztonsággal tudják megállapítani kéttagú összeadás-kivonás, illetve akárhány tagú szorzás-osztás elĘjelét, szerezzenek jártasságot az eredmény abszolút értékének megbecslésében. Tudjanak mĦveleteket végezni – egész számokat összeadni, kivonni, szorozni és osztani – eszközök nélkül, viszonylag nagyobb számok körében is. EgyszerĦ nyitott mondatok megoldásait tudja megkeresni adott alaphalmazon tervszerĦ próbálgatással, a mĦveletetek tulajdonságai alapján, vagy lebontogatással. 2008/177. szám TÖRTEK, ARÁNY, ARÁNYOSSÁG, KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számlálás, számolás. A szám- és mĦveletfogalom mélyítése, kiterjesztése. A törtek körében szerzett számolási készség mélyítése és továbbfejlesztése. Szorzás, osztás mĦveletének kiterjesztése törttel való szorzásra és osztásra. A tízes számrendszerben végzett mĦveletek kiterjesztése a tizedes törtek körére. Az újonnan megismert mĦveletek – szorzása, osztás törttel, tizedes törttel – alkalmazása, elmélyítése. A tört, a százalék és az arány kapcsolata. Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés A szorzat-hányados változásai. Szorzás-osztás tizedes törtalakú számmal. A törtrész kiszámítása egészbĘl, az egészrész kiszámítása törtrészébĘl következtetéssel és törttel való szorzással-osztással. Arányossági következtetések egyenes és fordított arányosságok esetén, százalékszámításban, egyszerĦ és összetettebb feladatokban. Függvényszemlélet Az arányosságoknál az együtt változó mennyiségek megfigyelése. Becslés, mérés ÖnellenĘrzés igényének és képességének a fejlesztése. Tizedes törtek kerekítése, mérések tizedes tört pontossággal is, mértékváltási feladatok. A mérĘszámok és a mértékegységek közötti arányosságok vizsgálata. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició ÉrtĘ-elemzĘ olvasás fejlesztése. Valós életbĘl vett problémák megoldása, szöveges feladatok megoldása, ellenĘrzés. Arányossági következtetést kívánó szöveges feladatok. Rendszerezés, kombinativitás Számok felírása sokféle alakban. Adott feltételek mellett az összes megoldás keresése. Deduktív következtetés, induktív következtetés A törttel való osztás visszavezetése szorzásra. Tizedes törttel való szorzás-osztás visszavezetése tört számokkal, illetve egész számokkal végzett szorzásra, osztásra. Gazdasági élettel kapcsolatos kompetenciák Népszaporulat, átlagkereset, infláció, GDP fogalmak tárgyalása az arányosság témakörében AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Törtmennyiségek leolvasása a környezetünkben levĘ tárgyakról, rajzokról, stb. Törtek megjelenítése különféle modellekkel, csoki, torta, szalag, színesrúd-készlet, Dienes készlet stb. Törtek elĘállítása különféle alakban, tizedes tört alakban is. Csoportversenyek, egyenlĘ számok összepárosítása dominó vagy memóriajátékkal, kártyajátékokkal, egy szám sokféle kirakása szám és mĦveletkártyák segítségével, törtek elĘállítása szorzatalakban. Az osztás felírása különbözĘ módokon, törtvonallal, osztásjellel, és fordítva a tört felírása osztással. Érdekes periodikus tizedes törtek megfigyelése. Mérés különbözĘ egységekkel – mérĘszám változásának megfigyelése. 2008/177. szám Törteket tartalmazó szövegek gyĦjtése. A százalék szemléltetése eszközökkel: korongokkal, négyzethálón, stb. Az arányos osztás gyakorlati alkalmazásai: pl. egyszerĦ ételreceptek, osztozkodási feladatok. Összetartozó értékpárok, egyenesen, illetve fordítottan arányos mennyiségek gyĦjtése, csoportosítása. Grafikonok értelmezése, grafikus ábrázolás. Térképek, alaprajzok alapján arányossági következtetések. Százalékokat tartalmazó valóságos adatok gyĦjtése, értelmezése. ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE A törtek alsótagozaton megkezdett tanítása itt folytatódik és be is fejezzük a törtekrĘl, a velük végzett alapmĦveletekrĘl tanultakat. A továbbiakban ezeket az ismereteket gyakoroljuk, fenntartjuk, használjuk. ElkezdĘdik a törtek egy fontos alkalmazása – a százalékszámítás. Hangsúlyos a fejezetben a tört értelmezésének felelevenítése, a törtnek mint hányadosnak a jelentése. A tört sokféle alakban való felírása az algebra elĘkészítése szempontjából nagyon fontos. Kulcsfontosságú, hogy tudják, hogy a törttel való szorzás az megegyezik a törtrész kiszámításával. Ez itt még nem feltétlenül épül be a gyerekek gondolkodásába, ezt a gondolatot még sokszor végig kell járni a késĘbbi alkalmazások során. Legyenek a gyerekek tisztában a mĦveleti sorrendekkel! A százalékszámítás tanításakor ebben a fejezetben a legfĘbb hangsúly a fogalom többoldalú megértésén van. A gyerekeknek sok tapasztalata van mind az egyenes, mind a fordított arányossággal kapcsolatban. Ezeket rendszerezzük, pontosítjuk, a szabályokat matematikailag is megfogalmazzuk. A százalékszámítást arányossági feladatokként vezetjük be. A százalékszámítással kapcsolatos fogalmak tisztázása ebben az évfolyamban megtörténik, de a gyakorlás, elmélyítés, alkalmazás folytatódik a további évfolyamokon a matematikában is, a többi természettudományos tárgyaikban is. Az arányossági feladatokban kapott arányok megnevezése, pl: TörtekrĘl tanultak ismétlése: törtek értelmezése, különféle alakjai, egyszerĦsítés bĘvítés, ábrázolásuk számegyenesen. Az eddig megismert mĦveletek felelevenítése, elmélyítése, zárójeles feladatok is. Törtek felírása tizedes tört alakban. Törtek és tizedes törtek összehasonlítása. A végtelen tizedes törtek. Tizedes törtek bĘvítése, egyszerĦsítése. A törtek arányként való értelmezése. Törtek elĘállítása negatív és pozitív egészek hányadosaként. A racionális szám fogalma. A törttel való szorzás értelmezése területmodellel is. A törtrész kiszámítása, törttel való szorzással is. Szorzás negatív törttel A reciprok érték fogalma. Osztás törtalakú számmal. A négy alapmĦveletet és zárójeleket is tartalmazó összetett feladatok (kicsi tört számokkal) megoldása. Szorzás tizedes törtalakú számmal. Osztás tizedes törtalakú számmal. A négy alapmĦveletet és zárójeleket is tartalmazó összetett feladatok (kicsi tizedes törtalakú számokkal) megoldása. A százalék fogalma. Tört, arány, százalék kapcsolata. A százalékérték kiszámítása következtetéssel, szorzással. Szöveges feladatok, százalékérték kiszámítására is. Nyitott mondatok. Egymással összefüggĘ értékpárok vizsgálata. Egyenes arányosság fogalma és tulajdonságai, grafikonja. Egyenesen arányos mennyiségek ismeretlen értékeinek meghatározása következtetéssel. 2008/177. szám teljesítmény, sĦrĦség, sebesség, népsĦrĦség, átlagkereset, stb. Hangsúlyozottan fontos, hogy az együttváltozó mennyiségek közül ki tudják választani az egyenes és fordított arányosságokat, tudjanak ezekre maguk is példákat és ellenpéldákat keresni. Fontos, hogy a következĘket lássák a gyerekek: Az egyenes arányosság esetében ahányszorosára változik az egyik mennyiség, ugyanannyiszorosára változik a másik mennyiség is, ami ugyanazt jelenti, hogy az összetartozó értékek hányadosa állandó. A fordított arányosság esetében ahányszorosára változik az egyik mennyiség, reciprokszorosára változik a másik mennyiség, azaz az összetartozó értékek szorzata (0-tól különbözĘ) állandó. Arányos osztás szöveges feladatok megoldása. A százalékláb és százalékalap kiszámítása egyszerĦ esetekben, következtetéssel, nyitott mondattal is. Fordított arányosság fogalma, grafikonja és tulajdonságai. Fordítottan arányos mennyiségek ismeretlen értékeinek meghatározása következtetéssel. Összetett arányossági feladatok megoldása. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK Különféle kooperációs módszerek alkalmazása. A törtek és az arány szemléletes fogalmának felidézése, továbbfejlesztése. A mĦveletek kiterjesztésének közös megalkotása, megfogalmazása. Gyakorlás csoportmunkában és egyénileg. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Többféle modell használata, egyéni és csoportversenyek, irányított játékok. A százalék fogalmának sokféle szemléltetése. ÉRTÉKELÉS MÓDJA A gyerekek munkájának folyamatos megfigyelése. Diagnosztizáló és értékelĘ felmérĘ. Témazáró dolgozat. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Az új fogalmak sokféle modellel való megközelítése, a mérésnél mindenki számára megfelelĘ nehézségi szintĦ feladatok biztosítása. A gyerekek saját tapasztalatainak, élményeinek bevonása a tanítási-tanulási folyamatba, a segítségadás biztosítása VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Értsék a törtek, tizedes törtek jelentését, tudjanak hozzájuk konkrét tartalmat párosítani. Legyenek képesek egyszerĦ esetekben tört és tizedes tört alakban megadott számok helyét számegyenesen megtalálni, és a számokat nagyság szerint sorba állítani. Teljes biztonsággal tudjanak alapmĦveleteket végezni – összeadni, kivonni, szorozni és osztani „egyszerĦ törtekkel” – például, melyek nevezĘje vagy elĘáll két-három tíznél kisebb szám szorzataként, vagy kerek szám egyszerĦ többszöröse, vagy legfeljebb egy, két tizedes jegyet tartalmazó tizedes tört. Tudjanak mĦveleteket végezni – racionális számokat összeadni, kivonni, szorozni és osztani nagyobb számok körében is. Legyenek képesek egyenes és fordított arányosság felismerésére, hiányzó értékek kiszámítására egyszerĦ esetekben, összefüggĘ mennyiségek közötti kapcsolat ábrázolására, mennyiségek arányos szétosztására. Ismerjék a különbséget arány és arányosság között. Tudjanak egyszerĦ százalékszámítási feladatokat megoldani, bármelyik hiányzó szereplĘt – százalékértéket, százaléklábat, és százalékalapot is számítani. 2008/177. szám SZÁMELMÉLET KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számlálás, számolás. Természetes számok mĦveleti tulajdonságainak mélyebb megértése (elsĘsorban a szorzás-osztás és maradékos osztás esetében). Mennyiségi következtetés, valószínĦségi következtetés. Oszthatóság, maradékok felismerése változatos – szöveggel, rajzzal, egyéb módon megadott, vagy eljátszott – szituációkban. Becslés, mérés ÖnellenĘrzés igényének és képességének a fejlesztése. Feladatok többféle megoldása, a megoldások összevetése. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició. ÉrtĘ-elemzĘ olvasás fejlesztése. Szöveggel megadott számelméleti problémák megoldása. Rendszerezés, kombinativitás. EgyszerĦ kombinatorikai feladatok. PrímtényezĘs felbontás elĘállítása, prímtényezĘkbĘl az összes lehetséges kombináció kirakása, az összes osztó megkeresése. Deduktív következtetés, induktív következtetés. Összefüggések keresése, sejtések megfogalmazása, egyszerĦ számelméleti bizonyítások. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Gyakorlati példák a maradékok szerepére, játékok a maradékok megállapítására, számlálás Nagy számok osztási maradékának megállapítása összegre bontással, szorzótényezĘkre való bontással. Összeg, különbség, szorzat adott számmal való oszthatósága összegre bontással, szorzótényezĘkre való bontással. Pascal - háromszög színezései adott számmal való osztási maradékok szerint. Korongok, kisautók, egyéb tárgyak 10-es sorokba rendezése, ezzel párhuzamosan a 2-vel, 4-gyel, 5-tel, 25-tel, 10-zel, 100-zal való oszthatóság szabályának megállapítása. A 3-mal, 9-cel való oszthatósági szabály mĦködése hátterének bemutatása néhány konkrét példán. ValószínĦségi játékok. Oszthatóságon alapuló „bĦvész trükkök”. Prímszámok keresése: Eratoszthenészi „szita”. Szám építése prímtényezĘkbĘl, vagyis prímek szorzataként, osztók, közös osztók, legnagyobb közös osztó elĘállítása a prímtényezĘkbĘl, közös többszörösök, legkisebb közös többszörös elĘállítása a prímtényezĘkbĘl. PRÍMSZÁMOK ELOSZLÁSA, STATISZTIKUS VIZSGÁLÓDÁSOK. MATEMATIKA TÖRTÉNETI ÉRDEKESSÉGEK A SZÁMELMÉLET TÉMAKÖRÉBEN (IKERPRÍMEK, BARÁTSÁGOS SZÁMOK, STB.). Összes osztó megkeresése osztópárokkal. 2008/177. szám ISMERETEK, TANANYAG-TARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK Tartalom részletezése Az oszthatóságról, maradékos osztásról tanultakra alapoz. Bevezeti az oszthatósági szabályokat, alkalmat ad egyszerĦ érvelésekre. Tovább folytatódik hetedik osztályban, majd középiskolában. Kulcsfontosságú gondolatok: a maradékokkal való számolás, és ennek alkalmazása az oszthatóság megállapításában; annak megtapasztalása, hogy minden számot egyértelmĦen építhetünk fel prímekbĘl, és hogy az osztókat alkotó prímek az eredeti szám prímjei közül kerülnek ki, annak egy részhalmazát alkotják. Osztható, osztó, többszörös fogalma Számolás a maradékokkal: összeg, szorzat osztási maradéka Oszthatósági szabályok: az utolsó jegyek alapján: 2-vel, 5-tel, 8-cal, 125-tel, 1000-rel, a számjegyek összege alapján: 3-mal, 9-cel való oszthatóság. Összetett oszthatósági szabályok Prímszám és összetett szám, felbontás prímek szorzatára, építés prímek szorzataként Közös osztók és közös többszörösök, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös megkeresése kicsi számok körében, relatív prímek fogalma. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK, Frontális, Közös, páros és egyéni tevékenykedtetés. Irányított játékok. Felfedeztetés frontális osztálymunkában. Tanulói kiselĘadások, vetítések lehetĘségének biztosítása, támogatása. Gyakorlás csoportmunkában és egyénileg. Differenciált csoportmunka, a tanulók egyéni megfigyelése, kooperatív munkaformák. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Számkártyák, prímszámkorongok, gyakorlati példák megfigyelése, különféle tárgyakkal való manipuláció, specializálás és általánosítás. Interneten, vagy egyéb forrásból elérhetĘ matematikatörténeti érdekességek. beillesztése. ÉRTÉKELÉS MÓDJA A gyerekek munkájának megfigyelése, diagnosztizáló felmérĘ. A kiselĘadások értékelése. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Motiváció. Változatos absztrakciós szintet igénylĘ feladatok, heterogén és homogén csoportokban végzett munka váltogatása. KiselĘadások felajánlása. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Legyenek képesek egy szám osztási maradékának megállapítására különbözĘ módszerekkel, az osztás elvégzése nélkül is. Tudják mit jelent, hogy egy szám osztója-többszöröse egy másiknak. Ismerjék és tudják alkalmazni a tanult oszthatósági szabályokat. Tudjanak egy számot prímtényezĘk szorzataként felírni és ebbĘl az alakból osztókat keresni. Tudjanak két számhoz közös osztókat, közös többszörösöket keresni. Tudják ezt törtek egyszerĦsítésére, bĘvítésére használni. EGYENLETEK, EGYENLėTLENSÉGEK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számlálás, számolás Behelyettesítések, mellékszámítások, ellenĘrzési feladatok. Mennyiségi következtetés, Egyenes és fordított arányosság használata. 2008/177. szám Függvényszemlélet A behelyettesítéssel kapott értékek megfigyelése, az igazsághalmaz ábrázolása számegyenesen. Ábrázolás koordinátarendszerben is. Becslés, mérés Az eredmények becslése, ellenĘrzése. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició A valóságból vett problémák matematikai leírása, a megoldás értelmes ellenĘrzése, a megoldhatóság feltételeinek vizsgálata. Hiányos, felesleges feltételeket, ellentmondó adatokat tartalmazó feladatok. A megoldások ábrázolása számegyenesen, a feladatok megoldásának értelmezése, ellenĘrzése. Megoldási terv készítése. Rendszerezés, kombinativitás Az adatok és az összefüggések rendszerezése. EgyszerĦ egyenletek többféle úton történĘ megoldása. Indukció, dedukció Ekvivalens és nem ekvivalens átalakítások vizsgálata. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Nyitott mondatok igazsághalmazának megkeresése, Lebontogatás szemléltetése. Tevékenységek mérleggel. Mérleggel végzett mĦveletek árírása az algebra nyelvére és fordítva – egyenletek, megoldási lépések értelmezése mérleges szituációként. Becsléses versenyek. Szöveges feladat tartalmának eljátszása. ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Az általános iskola 1. osztályától kezdve a középiskola végéig folytonosan jelenlevĘ és gazdagodó témakör. Itt vezetjük be a mérlegelvet, ez az egyetlen teljesen új gondolat a fejezetben. Az alaphalmaz, igazsághalmaz és azonosság fogalmak tisztázása itt nagyon fontos, azért is, hogy világos legyen annak jelentĘsége, hogy a mérlegelv alkalmazása nem változtatja meg a nyitott mondat igazsághalmazát. Kulcsfontosságú, hogy a mérlegelvhez szemléletes képet társítsunk. A mérleg-modell ne csak egy bevezetĘ szemléltetés legyen, engedjük a gyerekeket, hogy ezt egy ideig felhasználhassák a feladatok megoldásában. Nyitott mondatok: alaphalmaz, igazsághalmaz, azonosság, azonos egyenlĘtlenség. Egyenletek, egyenlĘtlenségek megoldása tervszerĦ próbálgatással, lebontogatással. MĦvelet és fordított mĦvelet megfigyelése. Egyenletek, egyenlĘtlenségek megoldása mérlegelvvel. A két oldal egyenlĘ változtatásának tapasztalati megalapozása tárgyi tevékenységre épülĘ felfedeztetéssel (kétkarú mérleggel vagy mérlegmodellel). A mérlegmodell helyettesítése absztraktabb eszközökkel majd rajzokkal. Az egyenletmegoldás gyakorlása. Szöveges feladatok megoldása tervszerĦ próbálgatással, logikai úton, egyenlettel: a szöveg értelmezése, összefüggések megfogalmazása, megoldási terv készítése. Becslés. Az eredmény összevetése a becsült értékkel a szöveg alapján. 2008/177. szám MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK, Kísérletezés, a tapasztalatok frontális megbeszélése. Irányított játékok. Gyakorlás csoportos munkában. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Mérleg, demonstrációs számegyenesek, számkártyák, versenyfeladatok. Digitális tananyagok ÉRTÉKELÉS MÓDJA A tanulók munkájának egyéni megfigyelése. Az egyenlet és egyenlĘtlenség-megoldás diagnosztizáló és értékelĘ felmérése. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE A tanulók munkájának egyéni segítése szükség esetén. Társak bevonása a segítségadásba. Eszközhasználat biztosítása, digitális gyakorló tanulói anyagok hozzáférésének biztosítása. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Ismerjék és értsék az alaphalmaz, igazsághalmaz, azonosság fogalmakat. Tudjanak egyszerĦ egyenleteket megoldani lebontogatással vagy mérlegelvvel és ellenĘrizni a megoldás helyességét. Tudjanak egyszerĦ szöveges feladathoz egyenletet, vagy egyenlĘtlenséget készíteni, azt megoldani és az eredményt a szöveggel összevetni. GEOMETRIA, MÉRÉS SÍKIDOMOK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Térszemlélet fejlesztése Sík- és térbeli alakzatok megfigyelése. Térlátás, térbeli viszonyok észlelése, adott tulajdonságú ponthalmazok keresése, ábrázolás síkon és gömbön. Szimmetriák felismerése. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició Adott tulajdonságú ponthalmazok uniójának és metszetének megkeresése, szerkesztési eljárás megtervezése, a megoldhatóság feltételének megállapítása. Rendszerezés, kombinativitás Alakzatok csoportosítása különbözĘ szempontok szerint Tulajdonságaik megfigyelése. AlapvetĘ alakzatokból új összetett alakzatok képzése. Összetett alakzatok szimmetriáinak megfigyelése. Halmazok közös részének és uniójának megadása. Deduktív következtetés, induktív következtetés A háromszög belsĘ szögeinek összegére alapozva a külsĘ szögek összegének, és a négyszög külsĘ és belsĘ szögei összegének meghatározása következtetéssel. Szimmetriára alapozott, egyszerĦ bizonyítások. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Több feltételnek megfelelĘ ponthalmazok elĘállítása tartományok metszeteként, átlátszó papír, kartonból, vagy színes fóliából kivágott tartományok metszeteként. Átlátszó papírra rajzolt és egymásra helyezett összetett alakzatok megfigyelése. Szimmetrikus alakzatok együttes szimmetriáinak megfigyelése. EgyszerĦ szerkesztési feladatok párhuzamos vizsgálata a síkon és a gömbön. Szerkesztések körzĘvel, vonalzóval. Adott feltételeknek megfelelĘ pontok keresése osztálymunkában, játékos próbálgatással, a sík pontjainak színezésével. 2008/177. szám ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Ebben a részben az alakzatokról, szerkesztésrĘl eddig szerzett ismereteket fejlesztjük tovább. Átismételjük, mélyítjük, gyakoroljuk az adott tulajdonságú ponthalmazokról, kör és egyenes kölcsönös helyzetérĘl, tengelyesen szimmetrikus alakzatokról, szerkesztésekrĘl tanultakat. Bevezetjük a háromszög néhány nevezetes vonalát. Hangsúlyos: hogy értsék meg a szög nagysága és a bele rajzolt körív hossza közötti kapcsolatot, lássák ennek szerepét a szögek másolásában hogy ismerjék fel az alakzatokban a tengelyes szimmetriákat és tudják ezt felhasználni az alakzat tulajdonságainak megállapítására. hogy gyakorolják a megismert alapszerkesztéseket, miközben elkezdenek ismerkedni a háromszög nevezetes vonalaival. A szerkesztés fogalmának elmélyítése. A szögekrĘl tanultak ismétlése. A körrĘl szerzett ismeretek összefoglalása, rendszerezése: a kör definíciója, sugár, átmérĘ és húr fogalmának ismétlése. Középponti szög fogalma. Háromszög belsĘ és külsĘ szögeinek összege. A négyszög belsĘ és külsĘ szögeinek összege. A háromszög-egyenlĘtlenség ismétlése. A szelĘ és az érintĘ szemléletes fogalma. Az érintĘ és az érintési pontba húzott sugár merĘlegessége, szerkesztése. Szögekkel kapcsolatos szerkesztések, szögmásolás, szögfelezĘ és néhány speciális szög, a 60˚-os és a 180˚-os szögekbĘl szögfelezéssel kapható szögek szerkesztése. Összetett szerkesztési feladatok, háromszögek és négyszögek szerkesztése, több feltételnek megfelelĘ pontok szerkesztése Háromszögek nevezetes vonalai: oldalfelezĘ merĘlegesek, szögfelezĘk, magasságvonalak. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK Különféle kooperációs módszerek, csoportos, páros és egyéni kísérletezés, felfedeztetés, gyakoroltatás. Frontális munkában az alakzatok tulajdonságainak közös rendszerezése, megfogalmazása. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Másolópapír, körzĘ, vonalzó használata, próbálgatások, síkszínezések. Geometriai szerkesztĘprogramok használata, sík és térmértani modellezĘkészlet ÉRTÉKELÉS MÓDJA A gyerekek munkájának folyamatos megfigyelése. Diagnosztizáló felmérĘ. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Változatos, érdekes, motiváló feladatok és tevékenységek. A lassabban haladókkal való egyéni törĘdés VÁRHATÓ EREDMÉNYEK A fejezet tanításakor a hangsúly a körrĘl és a szögekrĘl tanultak rögzítésén van. A háromszögekrĘl és négyszögekrĘl szerzett ismereteket itt még érleljük és a szerkesztések tanításának pedig még az alapozása történik a fejezetben. Ennek megfelelĘen tudják a gyerekek meghatározni a kört, mint adott tulajdonságú pontok halmazát, ismerjék a húr és érintĘ szimmetriatulajdonságait. Tudjanak szakaszfelezĘ merĘlegest és szögfelezĘt szerkeszteni, szöget másolni, egyenes adott pontjában merĘlegest állítani. Oldalakból és szögekbĘl egyszerĦ esetekben háromszöget, tükrös négyszöget szerkeszteni. Tudják kiszámítani háromszögek és négyszögek ismeretlen szögeit. Tudják megszerkeszteni egy háromszög adott oldalhoz tartozó magasságát, ismerjék a szögfelezĘ és súlyvonal fogalmakat. 2008/177. szám TENGELYES TÜKRÖZÉS KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Térszemlélet fejlesztése Térlátás, térbeli viszonyok észlelése, sík- és tengelyes szimmetria felismerése. Testek merĘleges vetületeinek megrajzolása, merĘleges vetületekbĘl testek megépítése. Függvényszemlélet A tengelyes tükrözés, síkra vonatkozó tükrözés, mint pontokon értelmezett hozzárendelések. Rendszerezés, kombinativitás Egymásnak megfelelĘ részletek keresése. Egy alakzat többféle szimmetriájának a felismerése. Deduktív következtetés, induktív következtetés EgyszerĦ, a szimmetria tulajdonságokra alapozott deduktív érvelések. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Játékok a tükörrel, kép és tükörkép megfigyelése. Számok, betĦk, hétköznapi tárgyak, épületek összehasonlítása a tükörképükkel. Képek és tükörképek keresése a környezĘ világban. EgyszerĦ – gyufásdobozból, színes papírból, testépítĘ készletekbĘl, színes rúd készletbĘl készült – testek tükörképének megépítése. Szimmetrikus testek építése a színes rúdkészlet elemeibĘl, adott számú kockából. Adott testek közül a síkra szimmetrikusak kiválasztása Tükrözés hajtogatással, összehajtott lap átszúrásával, kivágásával és mozgatással, áttetszĘ papírral. Tengelyes tükörkép szerkesztése másolópapírral. Tengelyes tükrözés koordinátarendszerben, kockás papíron, illetve ennek eljátszása mozgással. Mozgatógépekkel megadott transzformációk. MegfelelĘ részletek keresése alakzaton és tengelyes tükörképén A tengelyes tükrözés tulajdonságainak összegyĦjtése képek segítségével. Pont tengelyes tükörképének szerkesztése körzĘvel-vonalzóval. Szimmetrikus alakzatok gyĦjtése, poszter készítése. A legegyszerĦbb alakzatok – pont, egyenes, félsík, sáv, szögtartomány, kör, körcikk -szimmetriáinak megállapítása a tengelyek meghajtogatásával. Szimmetrikus alakzatok építése két alakzat együtteseként. Tengelyesen szimmetrikus háromszögek és négyszögek építése, szimmetrikusan elhelyezkedĘ pontok segítségével illetve sávok és szögtartományok közös részeként. ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Ezt a témát az alsó tagozaton és 5. osztályban a transzformációkról szerzett tapasztalatok készítették elĘ, a késĘbbiekben folytatódik a középpontos tükrözés, eltolás és hasonlóság tanításával. A másolópapír használatával a transzformációkat, mint mozgásokat vezetjük be. Ez segítséget ad egy jól megalapozott egybevágóság fogalom kialakításában. Tengelyes tükrözés meghatározása, elĘállítása másolópapír segítségével, tulajdonságai. Tengelyes tükörkép szerkesztése, merĘleges egyenes szerkesztése. Tengelyes szimmetria fogalma. 2008/177. szám Kulcsfontosságú ebben a részben, hogy a gyerekek biztonsággal tudjanak képen és tükörképén, szimmetrikus alakzatokon egymásnak megfelelĘ részleteket keresni. A legfontosabb feladat a tengelyesen szimmetrikus háromszögek, négyszögek tanításakor, hogy lássák a gyerekek, milyen tengelyre szimmetrikus az alakzat, továbbá, hogy ebbĘl le tudják olvasni a megfelelĘ szimmetriatulajdonságokat. Az alapszerkesztések tanításában a megértett alkalmazáson van a hangsúly. Tengelyesen tükrös háromszögek és négyszögek. Kör és egyenes kölcsönös helyzete, érintĘ, szelĘ. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK Különféle kooperációs módszerek. A transzformációk eljátszása mozgással is. A transzformáció-tulajdonságok közös megfogalmazása. Gyakorlás csoportmunkában és egyénileg. Poszterek, diavetítések, kiselĘadások készítése. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Másolópapír, körzĘ, vonalzó használata, környezetükben szereplĘ tárgyak, képek megfigyelése, gyĦjtése, összevetése a geometriából tanultakkal. Párhuzamos megfigyelések a síkon és a Lénárt-féle gömbön. Digitális tananyagok felhasználása. ÉRTÉKELÉS MÓDJA A gyerekek munkájának folyamatos megfigyelése. Diagnosztizáló és értékelĘ felmérĘ. Témazáró dolgozat. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Változatos, érdekes, motiváló feladatok és tevékenységek, sokféle nem-verbális fogalomépítési módszer, a mérésnél mindenki számára megfelelĘ nehézségi szintĦ feladatok biztosítása. Segítségadás a kiselĘadások, diavetítések, poszterek elkészítésében. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Legyenek képesek a gyerekek tengelyesen szimmetrikus alakzatok felismerésére, a tükörkép elĘállítására másolópapírral, körzĘvel-vonalzóval egyszerĦ esetekben. Legyenek képesek egymásnak megfelelĘ részleteket – szakaszokat, pontokat, köríveket, szögeket… – találni szimmetrikus alakzatokon, képen és tükörképén. Ismerjék a tengelyes tükrözés legfontosabb tulajdonságait. Tudjanak egy egyenesre merĘleges egyenest szerkeszteni külsĘ pontból is, tudjanak szögfelezĘt szerkeszteni. Tudják, hogy kör és egyenes, valamint két kör hogyan helyezkedhet el egymáshoz képest. Ismerjék a szimmetrikus négyszögek elnevezéseit, tudjanak a szimmetria alapján a tulajdonságokra következtetni. Ezt a képességet itt kezdjük fejleszteni, fokozatosan érleljük a transzformációk tanítása során. Tudjanak szimmetrikus háromszögeket, négyszögeket szerkeszteni. GEOMETRIAI SZÁMÍTÁSOK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Térszemlélet fejlesztése Testekhez vetületi ábrák, alaprajzok, hálózatok készítése. Alakzatok elĘállítása adott feltételeknek megfelelĘen. Számlálás, számolás Terület-, térfogat-számítási feladatok, fejben, írásban és kalkulátor használatával. Becslés, mérés Méréssel, becsléssel egybekötött problémamegoldások, az ezekhez kapcsolódó mértékváltási feladatok. 2008/177. szám Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició Gyakorlati életbĘl vett feladatok átfogalmazása matematikai problémává, az ezekhez kapcsolódó számítási feladatok megoldása. Rendszerezés, kombinativitás Terület, térfogat meghatározása ismert területĦ, térfogatú alakzatok átdarabolásával, illetve összeillesztésével, többféleképpen. Deduktív következtetés, induktív következtetés Általános képletek alkotása a háromszögek, speciális négyszögek területének meghatározására. EgyszerĦ bizonyítások. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Parkettázás, háromszögekkel, négyszögekkel. Hajtogatások. Gömbi háromszögek megfigyelése. Speciális, tükrös négyszögek készítése, kivágása, hajtogatással, átdarabolása téglalappá. Területük számítása átdarabolással és téglalappá való kiegészítéssel. Testek építése téglatestekbĘl, kockákból. Az így nyert összetett alakzatok felszínének és térfogatának számítása. Éleinek, csúcsainak, lapjainak leszámolása. ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE Ennek a fejezetnek az anyaga a téglalap területérĘl és a téglatest térfogatának számításáról tanultakat gyakorolja, alkalmazza összetettebb helyzetekben, elĘkészítve a sokszögek területének, valamint a hasáb henger térfogatának módszeres tanítását. Ebben a résznek egyik legfontosabb, hogy a gyerekek a téglalap területérĘl tanultakat tudják alkalmazni összetettebb helyzetekben is, téglalapok összeépítésekor és szétvágásakor is, valamint ugyanezt tudják, téglatestekbĘl összetett testek felszínének, térfogatának számításakor is, egyszerĦbb feladatokban. Az alakzatokról tanultak rendszerezése (síkidom, sokszög, konvex, csúcsok, átlók). Terület és kerületszámítás gyakorlása Téglalap területére visszavezethetĘ területszámítási feladatok A derékszögĦ háromszög területe, a tükrös háromszög területe Konvex és konkáv deltoid, rombusz, négyzet területének számítása az átlójából. Térfogat és felszínszámítás gyakorlása TéglatestbĘl és kockából összeépített testek felszíne és térfogata. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK Összetett feladatok megoldása egyéni, páros és csoportos munkában. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Építések, kirakások szétvágások egységnégyzetekbĘl, egységkockákból, téglalapokból, téglatestekbĘl.. Demonstrációs síkidomok és testek, testhálók. ÉRTÉKELÉS MÓDJA Szóbeli megerĘsítés, hibajavítás. Terület- és kerületszámítási, térfogat számítási feladatok megoldásának diagnosztizáló és értékelĘ felmérése. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Társak bevonása a segítségadásban. Értékes részvétel biztosítása mindenkinek a megfelelĘ részfeladat kiválasztásával. 2008/177. szám VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Lássa, hogy egy derékszögĦ háromszög területe fele a befogói által alkotott téglalapénak. Tudja ennek területét kiszámolni. Tudja egyenlĘszárú háromszög területét a derékszögĦ háromszög, vagy közvetlenül a téglalap területére visszavezetni. A deltoid területét az egyenlĘszárú háromszögek, vagy közvetlenül téglalap területére visszavezetni. Legyen képes téglatestekbĘl épített testek felszínét és térfogatát kiszámolni. ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Függvényszemlélet A gyakorlati életbĘl vett egyszerĦ példákban a kapcsolatok felismerése, lejegyzése, ábrázolása. Geometriai transzformációk megismerése, arányosságok tulajdonságainak vizsgálata. Számlálás, számolás Számegyenesen, koordinátarendszerben való tájékozódás, mĦveletvégzés. Mennyiségi következtetés Összetartozó számpárok keresése, ábrázolása. Táblázatban, grafikonon összefüggések keresése. Becslés, mérés Helymeghatározás a környezetünkben, becsléssel, méréssel egybekötve. A mérés, mint hozzárendelés. Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició Összefüggés felismerĘ képesség fejlesztése. Indukció, dedukció Fordítottan arányos mennyiségek ismeretlen értékeinek meghatározása következtetéssel. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK Mozgásos játékok Barkochba a jelzĘszámokkal. Szabályjátékok, sorozatok folytatása. Helymeghatározás konkrét, gyakorlati szituációkban. Összetartozó értékpárokból adathalmazok gyĦjtése, megfigyelése, osztályozása. Transzformációs játék „mozgatógépekkel”, koordinátarendszer pontjain adott hozzárendelésekkel. Grafikonok készítése, értelmezése ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK A függvények témaköre teljesen átszövi az egész anyagot. Hozzárendelésekkel, szabályjátékokkal, együttváltozó mennyiségekkel szinte minden anyagrész tanulásakor találkoznak. Ismert szabály alapján ismeretlen elemek meghatározása, illetve ismert elemek esetén szabály(ok) megfogalmazása, több megoldás keresése végig jelen. van a tanítási folyamatban. Hatodik évben a függvényszemlélet fejlesztésének két kiemelkedĘen fontos területe az arányosságokkal foglalkozó téma és a geometriai transzformációk – a tengelyes tükrözés – módszeres vizsgálata. 2008/177. szám Az arányosságok bevezetésekor együttváltozó mennyiségekkel foglalkoznak, megfigyelik ezek tulajdonságait, kiemelik közülük az egyenes és a fordított arányosságot. Az egyenes arányosságok tanulmányozása közvetlenül elĘkészíti a lineáris függvény témakörét, a meredekség fogalmát. A tengelyes tükrözés példát ad pontokon értelmezett hozzárendelésekre. A késĘbbiekben ez hozzásegít néhány, a függvényekkel kapcsolatos alapfogalom mélyebb megértéséhez, mint pl. alaphalmaz, képhalmaz, invertálhatóság… MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK Irányított játékok. Közös, páros és egyéni tevékenykedés. Egyéni grafikon-készítés. AdatgyĦjtés csoportmunkában, egyéni és csoportos tapasztalatgyĦjtés, a tapasztalatok frontális kiértékelése MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Adatok, grafikonok, diagramok gyĦjtése, elemzése, letörölhetĘ koordináta-rendszer, mozgásos transzformációs játékok. ÉRTÉKELÉS MÓDJA Szóbeli értékelés, megerĘsítés, hibajavítás. Az aktuális témához kapcsolódó diagnosztizáló mérés. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE Egyéni megerĘsítés. Társak bevonása a segítségadásba. Csoportos, páros játékok, interaktív számítógépes játékok. ÖnellenĘrzés segítése VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Értsék, hogy a jelzĘszámok rendezett számpárok, az elsĘ, második jelzĘszám – vagy x, y koordináta – szavakat. Legyenek képesek tájékozódni a derékszögĦ koordináta-rendszernek az origó közelében lévĘ részében (–10 és +10 közötti jelzĘszámok), ebben a tartományban adott pontok koordinátáit leolvasni illetve adott számpárokat ábrázolni. Csoportos munkában legyenek képesek egyszerĦ összefüggésekhez a hozzátartozó ponthalmazt megkeresni. EgyszerĦ utasítást értsenek meg és legyenek képesek azt végrehajtani: egyszerĦ szabály szerint egy elemhez hozzárendelt elemet (elemeket) megadni, egyszerĦ szabállyal megadott sorozatot folytatni. Tudjanak néhány elemmel (elempárral) megadott sorozathoz lehetséges szabályt keresni. VALÓSZÍNĥSÉG, STATISZTIKA KÉPESSÉGFEJLESZTÉS Képességfejlesztési fókuszok A képességfejlesztés megvalósulási lehetĘségei a témakörben Számlálás, számolás Számolást is igénylĘ kísérletek végzése Függvényszemlélet Adatok értelmezése, jellemzése, ábrázolása (például a leggyakoribb adat, szélsĘ adatok), kördiagram, oszlopdiagram, vonaldiagram. Adathalmaz jellemzése – átlag, leggyakrabban elĘforduló elem… ValószínĦségi, statisztikai szemlélet ValószínĦségi játékok, kísérletek. Események gyakoriságának megállapítása elvégzett kísérletekben. KülönbözĘ események gyakoriságának összehasonlítása. Átlagszámítások Becslés, mérés Egy-egy jelenség elĘfordulási gyakoriságából nagyságrendi következtetés levonása, esélylatolgatás 2008/177. szám Szövegesfeladat-megoldás, problémamegoldás, metakognició A kísérlet feltételeinek értelmezése, a feltételek teljesülésének megítélése, a megadott szabályok követése. Egyéni vagy kiscsoportos eredmények megosztása, közös értelmezése. Rendszerezés, kombinativitás Adatok tervszerĦ gyĦjtése, rendszerezése. A kísérlet lehetséges kimeneteleinek összegyĦjtése, a megfigyelt események osztályba sorolása Deduktív következtetés, induktív következtetés Kis elemszámú kísérlet megfigyelése alapján következtetés nagyobb elemszámú kísérlet lehetséges kimeneteleire, az események elĘfordulási gyakoriságából szabályosságok megállapítása. AJÁNLOTT TEVÉKENYSÉGEK A környezĘ világból, újságokból, könyvekbĘl, InternetrĘl, adatsokaságok gyĦjtése és elemzése, grafikonon való megjelenítése. AdatgyĦjtés megtervezése, végrehajtása, értékelése, ábrázolása grafikonok segítségével. Poszter készítés ValószínĦségi játékok, kísérletek JegyzĘkönyvkészítés, Egyéni vagy kiscsoportos kísérletezések eredményének közös összefoglalása, kiértékelése. ISMERETEK, TANANYAGTARTALMAK HELYE A TANANYAGBAN, TARTALMI FÓKUSZOK TARTALOM RÉSZLETEZÉSE A téma folyamatosan jelen van elsĘ osztálytól kezdve a tananyagban. A hangsúly azonban mindvégig a tapasztalatszerzésen volt. Ötödik osztálytól, a tapasztalatok további gazdagítása mellett, elkezdjük használni a gyakoriság, relatív gyakoriság fogalmakat, és összekötjük ezt a gyerekek intuitív valószínĦségfogalmával. Ebben az évben a hangsúly elsĘsorban a statisztikai szemlélet fejlesztésén van. Adatok gyĦjtése, adathalmazok jellemzése diagramokkal: kördiagram, oszlopdiagram, vonaldiagram, adathalmazok jellemzése: átlag, leggyakrabban elĘforduló elem, az év során több helyen fontos szerepet kapnak. Statisztikai alapfogalmak elĘkészítése. Adathalmazok jellemzése diagramokkal: kördiagram (szög, tört, százalékszámítás); oszlopdiagram (területszámítás); vonaldiagram (derékszögĦ koordináta-rendszer). Az adathalmaz átlaga, módusza (leggyakrabban elĘforduló eleme). Folyamatos, beépül a tananyagba MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK TANÍTÁSI ELJÁRÁSOK, Irányított játékok. Közös, páros és egyéni tevékenykedés. Egyéni és csoportos adatgyĦjtés. Egyéni vagy páros kísérletezés eredményeinek közös kiértékelése.. MÓDSZERTANI ESZKÖZTÁR Statisztikai zsebkönyvek, újságok, NET ismeretterjesztĘ könyvek, játékkocka, pénzérmék …, nyereményjátékok. AdatgyĦjtés a környezĘ dolgokról, emberekrĘl. Koordináta-rendszer, jegyzĘkönyvek. Számítógépes valószínĦségi kísérletek ÉRTÉKELÉS MÓDJA Szóbeli értékelés megfigyelés alapján. AZ ESÉLYEGYENLėSÉG KEZELÉSE A sok játékon, egyéb tevékenységen alapuló tapasztalatszerzés biztosítja, hogy mindenkinek fejlesszük a valószínĦségi gondolkodását. VÁRHATÓ EREDMÉNYEK Adatokat el tud rendezni sorozatba, táblázatba, ábrázolni tudja azokat grafikonon; jellemezni tudja diagramokkal: kördiagrammal, oszlopdiagrammal, vonaldiagrammal. Sorozatból, táblázatból, grafikonról adatokat visszaolvas; talál az egész adat-együttest jellemzĘ adatokat (pl. a nagyság szerinti középsĘt, a legnagyobb, legkisebb adatokat, ezek távolságát, a leggyakoribb adatot;) 2008/177. szám Ki tudja számítani az adatok átlagát. Képes megfogalmazni sejtést véletlen eseményekkel kapcsolatban, (melyik valószínĦbb, melyik kb. hányszor fog elĘfordulni a következĘ 30 próbában, melyik nem fog elĘfordulni egyszer sem...) sejtését össze tudja vetni a megfigyelt események gyakoriságával. Konkrét helyzetekben felismeri a biztos illetve lehetetlen eseményeket.

Source: https://magyarkozlony.hu/hivatalos-lapok/afec8bc05c7aa5bab86c470fb66432583c3a43c8/dokumentumok/ac8461939444793e41b3f48d2a919c12b6366309/letoltes