Publication: Magyar Közlöny
Issue: MK-2000-114 (Year: 2000, Number: 114)
Era: 1990-2004
Section: A 166/1997. (X. 3.) Korm. rendelet 3. számú mellékletének 4. b) pontjára tekintettel legalább 6 szakmai tanulmányi munkaegység.
Paragraph Index: 356

c) Szakmai törzsanyag Algebra és Számelmélet Természetes számok, műveletek, rendezés. Egész számok gyűrűje, rendezés. A racionális számok teste. Komplex számok, egységgyökök. Egyértelmű prímfaktorizáció az egész számok gyűrűjében, a racionális, valós és komplex együtthatós polinomok gyűrűjében. Test feletti polinomgyűrűk, gyökök. Algebra alaptétele. Szimmetrikus polinomok. Többhatározatlanú polinomgyűrűk. Számelméleti függvények. Osztók száma, összege, a prímfaktorok száma. Az Euler- és Moebius-függvény és alkalmazásaik. Additív és multiplikatív függvények. Osztókra vonatkozó összegzési függvény. Kongruenciák. Lineáris kongruenciák és kongruencia rendszerek. Az Euler—Fermat-tétel. A kongruenciák alkalmazásai (az RSA algoritmus, kódolás kínai maradéktétellel, pszeudovéletlen sorozatok). Elemi prímszámelmélet, a prímek száma. Diophantikus egyenletek. Pythagoraszi számhármasok. Vektortér, bázis, dimenzió, alterek. Faktortér, direkt összeg. Duális tér. Lineáris leképezések, transzformációk, mátrixuk. Képtér, magtér. Mátrixok algebrája, invertálhatóság, rang. Determináns, kifejtési tétel, nyom, karakterisztikus polinom. Lineáris egyenletrendszerek. Megoldhatóság. Cramer-szabály. Sajátérték, sajátaltér, invariáns altér. Bilineáris formák és kvadratikus alakok. Ortogonalitás, altér ortogonális komplementuma, ortonormált bázis. Euklideszi terek. Önadjungált és ortogonális transzformációk, főtengely transzformáció. Euklideszi terek klasszikus transzformáció csoportjai. Csoport definíciói. Mellékosztályok, Lagrange-tétel. Homomorfizmusok, normálosztó, faktorcsoport, homomorfizmus-tétel, izomorfizmus-tételek. Szabad csoportok, definiáló relációk. Centrum, kommutátor, feloldható csoportok, egyszerű csoportok. Permutáció csoportok, permutációk felbontása, Cayley-tétel. Direkt szorzat, direkt felbontás. Véges Abel-csoportok alaptétele. Gyűrűk, részgyűrű, homomorfizmus ideál, faktorgyűrű, homomorfizmus-tétel, izomorfizmus-tételek. Hányadosgyűrű és hányadostest. Körosztási polinom. Egyértelmű prímfaktorizáció, főideálgyűrűk, euklideszi gyűrű. Gyűrű feletti polinomgyűrű. 2000/114. szám Testek, testbővítések, algebrai és transzcendens bővítések. Véges testek alkalmazásai: hibajavító kódok. BCH-kódok, kvadratikus maradék kódok, perfekt kódok. Részben rendezett halmazok, hálók. Moduláris és disztributív hálók. Boole-algebrák. Analízis Valós számok. Testaxiómák, rendezési axiómák, Archimedési és Cantor-féle axióma. Számsorozatok határértéke. Bolzano—Weierstrass-féle kiválasztási tétel, Cauchy konvergencia kritérium. n-dimenziós tér. Pontsorozat konvergenciája. Topológiai alapfogalmak. Függvények határértéke, folytonossága. Bolzano-tétel, Weierstrass-tétel, Heine-tétel. Egyváltozós függvények differenciálhatósága, differenciálási szabályok. Függvény diszkusszió. Középérték tételek. Elemi függvények. Egyváltozós függvény Riemann-integrálja. Integrálhatósági feltételek, integrálási szabályok. Primitív függvény, Newton—Leibnitz-szabály. Az integrálfüggvény, folytonossága, differenciálhatósága. Módszerek a primitív függvény kiszámítására, az integrál alkalmazásai, terület-, térfogat-, ívhosszúság-számítás; fizikai alkalmazások. Többváltozós függvények folytonossága, határértéke. Parciális deriváltak. Lokális szélsőértékhelyek. Inverz függvénytétel. Implicit függvénytétel. Végtelen sorok konvergenciája, divergenciája. Konvergencia kritériumok. Függvénysorozatok, és sorok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Hatványsorok. Taylorsor. Lebesgue-mérték és integrálelmélet absztrakt és euklidészi terekben. Komplex számtest. Komplex függvények. Analitikus függvények, Cauchy—Riemann egyenletek. Hatványsorok. Deriválhatóság, együttható-formula. Egyszerűbb egész függvények hatványsora. Pálya menti integrál. Cauchy integráltétel, Goursatlemma. Taylor-sor. Liouville-tétel. Laurent sorok, residuum-tétel és alkalmazásai. Funkcionálanalízis. Metrikus-terek, teljesség, Banachterek. Hahn—Banach-tétel, Banach—Steinhaus-tétel. Nyílt leképezés tétele. Duális terek, reflexív terek. Teljesen folytonos operátorok. Spektrum. Hilbert-terek. Riesz reprezentációs tétele. Fourier-sorfejtés Hilbert-téren. Parseval-egyenlőtlenség, Besselegyenlőtlenség. Differenciálegyenletek. Közönséges differenciálegyenletek. Egzisztencia és unicitás tételek. Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek. Paraméteres differenciálegyenletek. A kezdeti értéktől való függés. Karakterisztikus függvény. Lineáris differenciálegyenletek elmélete. Differenciálegyenletek stabilitása. Banach-féle fixpont tétel és alkalmazásai. Alkalmazott matematika Valószínűségi változók és vektorváltozók eloszlása, eloszlásfüggvénye. Abszolút folytonos eloszlás, sűrűségfüggvény. Függetlenség: események, valószínűségi változók. Függetlenség véges dimenzióban az együttes eloszlásfüggvény, illetve sűrűségfüggvény segítségével. A Kolmogorov-féle 0 vagy 1 törvény és következményei. Várható érték egy- és többdimenzióban, tulajdonságai. Szórás, kovarianciamátrix. Medián. 1 valószínűségű, sztochasztikus és Lp-konvergencia, kapcsolatuk. Nagy számok gyenge és erős törvényei. A mértékek gyenge konvergenciája. Cramer—Szluckijlemma. Karakterisztikus függvény és alapvető tulajdonságai. Inverziós formulák. Eloszlásbeli konvergencia, folytonossági tétel. A centrális határeloszlás-tétel: Lindeberg—Feller-tétel. Ljapunov tétele. A feltételes várható érték és feltételes valószínűség általános fogalma. Legegyszerűbb tulajdonságok, konvergencia-tételek. Jensen-egyenlőtlenség. Független valószínűségi változók összegének konvergenciája. Tapasztalati eloszlás, tapasztalati eloszlásfüggvény, tapasztalati becslések, Glivenko—Cantelli-tétel. Elégségesség, Neyman faktorizációs tétele. Fisher-féle információ, függetlenek együttes információja, statisztika információja, információ és átparaméterezés. Pontbecslések: torzítatlanság, hatásosság, megengedhetőség, minimaxitás. Rao—Blackwell-tétel. Teljesség. Cramér—Rao egyenlőtlenség. Becslési módszerek: momentum-módszer, maximumlikelihood becslés. A ML-becslés aszimptotikus tulajdonságai. Bayes-becslések, megengedhetőség, minimax tulajdonság, torzítatlanság. Hipotézisvizsgálati alapfogalmak. A Neyman—Pearson-lemma. Az erő aszimptotikája. A normális eloszlás paramétereire vonatkozó klasszikus próbák: u-, t- és F-próba, Fisher—Bartlett-tétel. Khi-négyzet próbák diszkrét illeszkedés-, homogenitásés függetlenségvizsgálatra. Becsléses illeszkedésvizsgálat, Fisher tétele. Nemparaméteres próbák: illeszkedés- és homogenitás vizsgálat folytonos esetben. Többdimenziós normális eloszlás. A paraméterek becslése és azok tulajdonságai. Regresszió, lineáris regresszió, korlátos rangú regresszió. Lineáris modell, becslés és hipotézisvizsgálat lineáris modellben. Szórásanalízis. Véges állapotú Markov folyamatok. Az állapotok osztályozása. Visszatérőség. Pozitív állapotok. Ergod tételek. Poisson folyamat. Elágazó folyamatok. A kihalás valószínűsége. 2000/114. szám Felújítási folyamatok. Elemi felújítási tétel. Invariancia elv, Wiener folyamat. Véges automaták, kontextus-mentes nyelvek. Ritkamátrix-technológiák (tárolás, feltöltődés, rendezések). Nevezetes mátrix transzformációk (lineáris rendszerek, illetve sajátérték feladatok megoldására). Gauss-elimináció és változatai (algoritmusai, műveletigénye, főelemválasztás; inkomplett Gauss-elimináció). Mátrixok felbontásai (Schur, LU, LDU, Cholesky, QR). Lineáris és nemlineáris rendszerek iteratív megoldása (Gauss—Seidel, konjugált gradiens; Newton-módszer, lokális és globális konvergencia, Broyden-módszer). Sajátérték feladatok (hatványmódszer, inverz iteráció, eltolás, QR). Interpolációs és approximációs feladatok (Lagrange, Hermite, spline; Csebisev-approximáció). Integrálok kiszámítása (Pólya—Sztyeklov-tétel, interpolációs és Gauss-típusú képletek). Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása (egy- és többlépéses módszerek; a numerikus stabilitás fogalma). Lineáris programozási feladatra vezető problémák; konvex poliéderek extremális pontjai; a szimplex módszer, a Bland szabály, a lexikografikus szimplex módszer, dualitás, Farkas-tétel, Minkowski—Weyl-tétel, Farkas-lemma és alternatíva-tételek. A szakmai törzsanyagot megalapozó tananyagból a tanórával megszerzendő szakmai tanulmányi munkaegységek száma legalább 53.

Source: https://magyarkozlony.hu/hivatalos-lapok/b74cb9b80038c0c5a763d9f81d0d5f74460d022d/dokumentumok/08d4e634477d94067de91d33cc3d2b090114738e/letoltes