Publication: Magyar Közlöny
Issue: MK-2009-116 (Year: 2009, Number: 116)
Era: 2004-2010
Section: a 29/2009. (VIII. 19.) OKM rendelethez
Paragraph Index: 926

11. évfolyam Óraszám: 144 óra/év 4 óra/hét Ajánlás az éves óraszám felosztására Témakör sorszáma Témakör Óraszám 1. A hatvány, gyök, logaritmus fogalma 24 óra 2. Függvények 14 óra 3. A trigonometria alkalmazási 22 óra 4. Sorozatok 22 óra 5. Koordinátageometria 24 óra 6. Kombinatorika és gráfelmélet 14 óra 7. ValószínĦségszámítás, statisztika 18 óra 8. Év végi ismétlés 6 óra 2009/116. szám A hatvány, gyök, logaritmus fogalma (1. témakör) FejlesztendĘ kompetenciák, fejlesztési feladatok Témák, tartalmak Tanulói tevékenységek Kapcsolódási lehetĘségek Anyanyelvi kommunikáció (pontos szövegértés, szövegelemzés) Matematikai kompetencia: számolás, számlálás, számítás mennyiségi következtetés becslés, mérés, valószínĦségi szemlélet. A kombinatív gondolkodás fejlesztése összetett, több irányba is nyitott végĦ probléma megoldása során. Induktív, deduktív következtetés. Következtetés a speciális, konkrét megfigyelésektĘl az általános esetre. A matematikai fogalom célszerĦ kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. Rendszerezés. Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése. Az önellenĘrzés igényének fejlesztése. Digitális kompetencia. A hatékony önálló tanulás. A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevĘkre. A hatványozási azonosságok és ezek alkalmazásai. A logaritmus értelmezése. A logaritmus azonosságai. Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek. Egyéni, csoportos munkában azonosságok felfedezése, azok alkalmazása. A hatványozás definíciója, mĦveletek, azonosságok gyakorlása csoportmunkában egész kitevĘ esetén. A valós számok és a számegyenes pontjai közötti kölcsönösen egyértelmĦ megfeleltetés, a folytonosság érzékeltetése. A természet jelenségeinek értelmezése, azok matematikai modellezése, az exponenciális és logaritmikus folyamatok szövegben való alkalmazása. Az inverz viszony további elmélyítése az exponenciális és logaritmus kapcsán. Szöveges feladatok megoldása elĘtt a várható eredmények közös becslése, a megoldott egyenletek eredményének ellenĘrzése, értelmezése, szöveges válasz a felvetett problémára. A definíció és az azonosságok egyszerĦ alkalmazása exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenlet esetén. A földrajz, a biológia a kémia tudományban. Fizika, csillagászat. Kamatos kamat számítása. Exponenciális és logaritmikus folyamatok a valóságban, a természetben, a mĦvészetekben. Számítástechnika. Internet használata: exponenciális és logaritmikus jelenségek a természetben. 2009/116. szám Függvények (2. témakör) FejlesztendĘ kompetenciák, fejlesztési feladatok Témák, tartalmak Tanulói tevékenységek Kapcsolódási lehetĘségek A számfogalom elmélyítése, egy szám többféle felírása, hatványozás, nagyságrendi viszonyok, a valós számok „megszámlálhatatlansága”. A folytonosság érzékeltetése. Becslés, mérés, valószínĦségi szemlélet arányossági következtetési szemlélet fejlesztése a valós számkörben. Az arányossági feladatok eredményének becslése. A becsült eredmények valószínĦ, valószínĦtlen voltának eldöntése (szemléletfejlesztés). A mennyiségfogalom fejlesztése. A függvényfogalom fejlesztése. Összefüggések felismerése a matematika különbözĘ területei között. A bizonyításra való törekvés fejlesztése. Digitális kompetencia. A hatékony önálló tanulás. A 2x, a 10x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben. A logaritmus függvény, mint az exponenciális függvény inverze. A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsĘérték, monotonitás, periodicitás, paritás). A függvények transzformációi. Az adott helyhez tartozó függvényértékek kiszámítása, a függvények tulajdonságainak meghatározása. A folytonos, a szakaszos és a diszkrét változások elemzése. Tájékozódás a koordináta-rendszerben, pontok, tartományok keresése. A valóság folyamatait leíró grafikonok, és a matematikai függvények grafikonjainak különbözĘsége, hasonlósága, különös tekintettel a természetben exponenciális illetve logaritmikus tulajdonságú jelenségekre. Grafikon-ábrázolások: milliméterpapírra (egyéni), mágnestáblán, csomagolópapíron (csoportokban), írásvetítĘn, egymáson elmozgatható fóliákkal (tanári irányítással) függvényrajzoló programok használata (internet, grafikus kalkulátor) Alkalmazás fizikai, biológiai, kémiai földrajzi törvényszerĦségek leírására. Grafikonok alkalmazása a képzĘmĦvészetben. Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban. 2009/116. szám A trigonometria alkalmazási (3. témakör) FejlesztendĘ kompetenciák, fejlesztési feladatok Témák, tartalmak Tanulói tevékenységek Kapcsolódási lehetĘségek Anyanyelvi kommunikáció (pontos szövegértés, szövegelemzés), a szövegértelmezés továbbfejlesztése a lényegkiemelĘ képesség fejlesztése. Számolás, számlálás, számítás; a becslés, a mérés képességeinek fejlesztése. A mennyiségek folytonossága, fogalmának továbbfejlesztése. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek, a térlátás fejlesztése. A valóság tárgyainak jellemzése a geometriai fogalmak segítségével, absztrakciós képesség fejlesztése. Pontos fogalomalkotásra törekvés. Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése. TervszerĦ munkára nevelés. Az esztétikai érzék fejlesztése. Digitális kompetencia. A hatékony önálló tanulás. A vektorokról tanultak áttekintése. A vektormĦveletek tulajdonságai. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása. Szinusztétel, koszinusztétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerĦ trigonometrikus egyenletek. Távolság és szög meghatározása gyakorlati feladatokban. A vektorokkal végzett mĦveletek helyes végrehajtása (rendezett számpár szerepének tudatos alkalmazása). Háromszögek hiányzó adatainak kiszámolása (elĘzmény: derékszögĦ háromszögben való eligazodás). Zsebszámológép biztos használata. A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkezĘ hamis gyökök kiválasztása. EgyszerĦ trigonometrikus egyenletek megoldása; minden lehetséges megoldás megkeresése, a periodikusság értelmezése és használata (forgásszögek). Távolság és szög meghatározása a fizikában. A zsebszámológép és a számítógép alkalmazása. KépzĘmĦvészet, építészet, modellezés. Természeti környezet, csillagászat 2009/116. szám Sorozatok (4. témakör) FejlesztendĘ kompetenciák, fejlesztési feladatok Témák, tartalmak Tanulói tevékenységek Kapcsolódási lehetĘségek Anyanyelvi kommunikáció (pontos szövegértés, szövegelemzés), metakogníció. Matematikai kompetencia: számolás, számlálás, számítás mennyiségi következtetés becslés, mérés, valószínĦségi szemlélet. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás fejlesztése tárgyak, elemek, fogalmak adott szempont szerinti csoportosításával, rendezésével. A kombinatív gondolkodás fejlesztése összetett, több irányba is nyitott végĦ probléma megoldása során. A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése. A megfelelĘ modell megkeresése. Képletbe helyettesítés képességének fejlesztése-különösen a rekurzív definíció esetén. Digitális kompetencia. A hatékony önálló tanulás. A sorozat fogalma. Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az elsĘ n elem összege. Számtani és mértani sorozat esetén az n-edik tag, és az elsĘ n elem összegének kiszámítása feladatokban. Kamatoskamatszámítás. Példák egyéb sorozatokra (rekurzió). Konkrét dolgok csoportosítása adott, vagy a tanulók által javasolt szempontok szerint. Szituációs játék, barkochba játék egy-egy halmaz, vagy egy-egy elem kitalálására. Konkrét számokkal megadott sorozatok, átlépés az általános képletekkel megadottakra, illetve az általánosítás után azok konkrét alkalmazása. Játék: tájékozódás térben idĘben (csoportos). A sorozat elemeinek megfigyelése grafikonon, a képi megjelenés és a valós folyamat kapcsolata. A valóság változó jelenségeinek megfigyelése, az adatok lejegyzése, azok ábrázolása. Arányosságok megállapítása. Tanult összefüggések, képletek alkalmazása. A gazdasági matematikában a várható reális eredmények megbecsülése, és összevetése a kiszámolt értékekkel. Grafikonok készítése, bankok ajánlatainak összehasonlítása. Áremelések és árleszállítási katalógusok gyĦjtése, és a bennük található adatok feldolgozása. Halmazok, adatsokaságok, statisztika. Sorozatok a földrajz, a biológia a kémia tudományban. Formák, motívumok periodicitása, grafikonok alkalmazása a képzĘmĦvészetben és a zenében. Számítástechnika. Közgazdasági alapismeretek és fogalmak. Táblázatok, grafikonok olvasása (statisztika). 2009/116. szám Koordinátageometria (5. témakör) FejlesztendĘ kompetenciák, fejlesztési feladatok Témák, tartalmak Tanulói tevékenységek Kapcsolódási lehetĘségek Anyanyelvi kommunikáció (pontos szövegértés, szövegelemzés). Matematikai kompetencia: számolás, számlálás, számítás mennyiségi következtetés, becslés, mérés, valószínĦségi szemlélet. A tanulók biztos eligazodása a koordinátasíkon. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek, a térlátás fejlesztése. A valóság tárgyainak jellemzése a geometriai fogalmak segítségével, absztrakciós képesség fejlesztése. A hatékony önálló tanulás. Digitális kompetencia. Helyvektor. MĦveletek koordinátákkal adott vektorokkal. Szakasz felezĘpontja, harmadoló pontjai. A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, ezek kapcsolata. Az egyenes egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merĘlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja. A kör egyenlete. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör adott pontjához tartozó érintĘje. Alakzat pontjainak koordinátái közötti kapcsolatok kiszámolása. Zsebszámológép biztos használata. A jó vázlat elkészítése, melyen az ismert adatokat célszerĦ színessel kiemelni, de kerüljék a specialitások becsapós ábráit. A feladatok várható eredményének becslése. Az eredmények ellenĘrzése a koordinátarendszerben. ElĘadás, vetítés számítógéppel, interaktív programok az internetrĘl. KépzĘmĦvészet, építészet, modellezés. Természeti környezet. Fizika, csillagászat. Számítógép használata az alakzatok vizsgálatokban, grafikonok készítésében. Kombinatorika és gráfelmélet (6. témakör) FejlesztendĘ kompetenciák, fejlesztési feladatok Témák, tartalmak Tanulói tevékenységek Kapcsolódási lehetĘségek Szövegértelmezés továbbfejlesztése a lényegkiemelĘ képesség Vegyes kombinatorikai feladatok. A permutáció, az ismétlés nélküli és ismétléses variációk fogalma, ismétlés Kevés számú elem esetén az összes sorrend megszámlálása, egyéni illetve csoportos kísérletek elvégzése során, ismétlĘdĘ elemek A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, 2009/116. szám fejlesztése. Anyanyelvi kommunikáció (pontos szövegértés, szövegelemzés). Matematikai kompetencia: számolás, számlálás, számítás mennyiségi következtetés, becslés, mérés, valószínĦségi szemlélet. A kombinatív gondolkodás fejlesztése összetett, több irányba is nyitott végĦ probléma megoldása során. Becslés, a becslés összevetése a számításokkal. A véletlen és a bizonytalanság érzékletetése. Megfigyelés és mérés. Rendszerezés. A hatékony önálló tanulás. Modellalkotásra nevelés. Digitális kompetencia. nélküli kombináció. Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög. A gráf szemléletes fogalma, egyszerĦ alkalmazásai, pontok, élek, a fokszám fogalma. Feladatok megoldása gráfokkal. esetén is. Kiválasztási problémák konkrét bemutatása, megfigyelése. Kombinatorikai feladatok megoldása, sorbarendezés, kiválasztás, ismétlĘdĘ elemek esetén is. A többféle megoldási mód lehetĘségének keresése. Halmazok elemeinek különbözĘ tulajdonságok alapján való tudatos, tervszerĦ összeszámlálása. illetve véletlen jelenségek vizsgálatára. Az összes lehetĘség megkeresése egy valóságos probléma megoldásakor (Pl. egy elektromosságtan, építészet, gépészet). ValószínĦségszámítás, statisztika (7. témakör) FejlesztendĘ kompetenciák, fejlesztési feladatok Témák, tartalmak Tanulói tevékenységek Kapcsolódási lehetĘségek A hatékony önálló tanulás. Szövegértelmezés továbbfejlesztése a lényegkiemelĘ képesség fejlesztése. Anyanyelvi kommunikáció (pontos szövegértés, szövegelemzés). Matematikai kompetencia: Relatív gyakoriság. A valószínĦség klasszikus modellje. EgyszerĦ valószínĦség-számítási problémák. A binomiális eloszlás (visszatevéses mintavétel). Eseményekkel végzett mĦveletek egyszerĦ konkrét feladatokban (additivitás, szorzási szabály, komplementer esemény valószínĦgének Játék számkártyákkal, dobókockával, urnából kihúzott kísérletek elvégzése. A valószínĦség értékének becslése, majd a kapott eredmény értelmezése. Az eseménytér egyes eseteinél a közös elĘfordulás kizárása, illetve ennek korrigálása. Az adatsokaság elemeinek megszámlálása. EgyszerĦ számítások relatív gyakoriságokkal, A szerencsejátékok elemzése. ValószínĦségszámítás és statisztika az összes tudományokban. A mindennapi problémák 2009/116. szám számolás, számlálás, számítás mennyiségi következtetés becslés, mérés, valószínĦségi szemlélet. A kombinatív gondolkodás fejlesztése összetett, több irányba is nyitott végĦ probléma megoldása során. Induktív, deduktív következtetés. Következtetés a speciális, konkrét megfigyelésektĘl az általános esetre. A véletlen és a bizonytalanság érzékletetése. A valószínĦségi szemlélet tovább fejlesztése, a szerencsejátékok mĦködési elvének megismerésével közelíthetjük a matematikát és a valós életet egymáshoz. Ezzel fejlesztjük a tanulók döntési, és becslési képességét is. Rendszerezés. A metakogníció fejlesztése. Digitális kompetencia. meghatározása után következtetés levonása a keresett esemény valószínĦségére). A mindennapi életben lejátszódó folyamatok valószínĦsége. kombinatorikus módszerekkel megoldható valószínĦség-számítási feladatok. Statisztikai valószínĦség és a relatív gyakoriság kapcsolata, Az események valószínĦségének becslése. Adatok feldolgozása zsebszámológéppel, grafikus kalkulátorral és számítógéppel. Csoportmunka: a gyĦjtött adatok elemzése (statisztikai mutatók, grafikonok, táblázatok). Szerencsejátékok szabályrendszerének megértéséhez a megfelelĘ játékok bemutatása, esetleg kipróbálása (különbözĘ típusú lottószelvények kitöltése, totó, rulett, kaparós sorsjegyek…). értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. 2009/116. szám A továbbhaladás feltételei: A hatványozás definíciója racionális kitevĘre. A hatványozás azonosságainak alkalmazása racionális kitevĘ esetén. A logaritmus fogalmának ismerete, alkalmazása. A logaritmus azonosságainak ismerete, alkalmazása konkrét feladatokban. Más alapú logaritmusra történĘ áttérés képletének ismerete, alkalmazása. EgyszerĦ exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlĘtlenségek és egyenletrendszerek megoldása. Néhány konkrét gyakorlati példa ismerete a logaritmus alkalmazására. Az exponenciális és a logaritmus függvény ábrázolása, jellemzése konkrét alapok esetén. Inverz függvény fogalma; annak ismerete és szemléltetése, hogy adott alapú exponenciális és logaritmus függvények egymás inverzei. A függvénytranszformációk rendszerezett ismerete, alkalmazása a tanult függvényekre. A függvénytulajdonságok leolvasása a grafikonról konkrét függvények esetén. A sorozat fogalmának, különbözĘ megadási módjainak ismerete. A számtani és a mértani sorozat fogalmának ismerete, az n-edik tag és az elsĘ n elem összegének meghatározása, alkalmazása konkrét feladatokban. A kamatoskamat-számítás alkalmazása egyszerĦ gyakorlati feladatokban. A trigonometrikus függvények transzformációi (érték és változó) konkrét példák kapcsán. Az egyes függvénytulajdonságok alkalmazása egyenletek, egyenlĘtlenségek megoldása során egyszerĦ példákban. MĦveletek (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás) koordinátákkal adott vektorokkal, a mĦveletek tulajdonságai, alkalmazások. Két vektor skaláris szorzata definíciójának, tulajdonságainak ismerete alkalmazása konkrét feladatokban. A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezett alakjának ismerete, alkalmazása. A szinusztétel és a koszinusztétel ismerete, alkalmazása a háromszögek hiányzó adatainak meghatározására. Alkalmazások egyszerĦ gyakorlati problémákban. Végpontjainak koordinátáival adott szakasz felezĘpontja és harmadoló pontjai koordinátáinak kiszámítása. A háromszög súlypontja koordinátáinak kiszámítása a csúcsok koordinátáiból. Két pont távolságának meghatározása a koordináta-rendszerben. Irányvektor, normálvektor, irányszög, iránytangens fogalmának ismerete, alkalmazása az egyenes irányának meghatározására. Az egyenes egyenletének fogalma, különbözĘ alakjainak ismerete. Egyenes egyenletének felírása különbözĘ adatokból. Két egyenes párhuzamosságának és merĘlegességének feltétele. Két egyenes metszéspontjának meghatározása konkrét feladatokban. A kör egyenletének fogalma, adott középpontú és sugarú kör egyenletének felírása. MegfelelĘ kétismeretlenes másodfokú egyenletbĘl a kör középpontjának és sugarának meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata konkrét feladatokban, kör és egyenes közös pontjainak meghatározása. Véges halmaz permutációinak, variációinak, kombinációinak számát megadó képletek ismerete, alkalmazása egyszerĦ esetekben. A Pascal-háromszög ismerete, alkalmazása, a binomiális együtthatók meghatározása. Véges halmaz részhalmazai számának meghatározása. A gráf szemléletes fogalma, gráfelméleti alapfogalmak ismerete, egyszerĦ gyakorlati feladatok megoldása gráfok segítségével. A relatív gyakoriság és a valószínĦség közötti szemléletes kapcsolat ismerete. MĦveletek eseményekkel konkrét valószínĦségszámítási példák kapcsán. EgyszerĦ feladatok megoldása a valószínĦség klasszikus modelljében 2009/116. szám Értékelési szempontok: A pedagógus akkor járulhat hozzá leginkább a tanulók matematikai fejlĘdéséhez, ha nemcsak az ismereteket, hanem az ismeretszerzés eszközeit is átadja tanulóinak. Az önállóan elért siker a tanulás legjobb motiválója. Ezért adjon lehetĘséget tanítványainak, hogy Projekteket készítsenek matematika történeti érdekességekrĘl, vagy projektek készítése matematikával kapcsolatos érdekességekrĘl, pl. fraktálok, bĦvészmutatványok, stb. És értékelje pozitívan az erre vonatkozó vállalkozói kedvet. Szükség van természetesen külsĘ eszközökre is, mint dicséret, vagy elégedetlenség kinyilvánítása, mert csakis az állandó visszajelzés alapján láthatja el feladatait a tanuló. Az ellenĘrzés, értékelés folyamatosan történjék. A házi feladatokat rendszeresen ellenĘrizzük és javíttassuk ki. Az ellenĘrzés, a számonkérés, nem lehet csak írásbeli! A gondolkodás és a beszéd fejlesztésében fontos szerepe van a szóbeli számonkérésnek. Akár felelet alkalmával, akár csak ismétlĘ, ellenĘrzĘ kérdés-válasz formájában történik. Ezt az utóbbit nem kell feltétlenül osztályoznunk. Alkalmazzunk fejlesztĘ értékelést, amikor a tanuló önállóan ellenĘrzi teljesítményét. Meg kell tanulniuk, hogyan vizsgálhatják meg munkájuk helyességét Az értékelésben legyünk következetesek és lehetĘleg egységesek. A szakmai munkaközösség határozza meg az értékelési alapelveket. Itt semmi esetre sem arra kell gondolnunk, hogy valamilyen egységes %-os rendszert rögzítsen, hanem elsĘsorban a félévi, év végi osztályzatok kialakításában, az elégséges szint meghatározásában alakítson ki határozott álláspontot. Például az egyes érdemjegyek, amelyek feleletek, röpdolgozatok, témazárók alapján születtek, miként befolyásolják az év végi osztályzatot. Vagy az elsĘ illetve második féléves teljesítmények különbözĘsége mit eredményez az osztályzatokban. 2009/116. szám

Source: https://magyarkozlony.hu/hivatalos-lapok/5eb388d0280a0896dc2033b283335844b838281d/dokumentumok/eb3514e459959257fecef27b6037047987f20c37/letoltes