Publication: Magyar Közlöny
Issue: MK-2006-20 (Year: 2006, Number: 20)
Era: 2004-2010
Section: 243/2003. (XII. 17.) Korm. rendelet a Nemzeti Alaptanterv kiadásáról, bevezetéséről és alkalmazásáról.)
Paragraph Index: 8963

9. évfolyam A Matematika tanulásának céljai a 9. évfolyamon Fejlesszék a tanulók a környezetükkel és önmagukkal való kommunikatív interakciójuk hatékonyságát és célszerűségét. Váljanak képessé újabb anyagi modellek megértésére, elemzésére, használatára, más modellekbe történő átkódolására, célszerű modellezési módszer kiválasztására. Ennek céljából ismerjenek meg életkoruknak megfelelő matematikai szakkönyveket. Fejlődjön a kreativitásuk. Tanulják meg feladatok szükséges és elégséges feltételeit meghatározni. Váljanak képessé gyakorlati jellegű számítási feladatok megoldására és alkotására. Ismerjenek meg és tanuljanak meg használni több fontos algebrai azonosságot. Ismerjenek meg további elemi függvényeket. Ismerjenek meg függvények tulajdonságainak jellemzésére alkalmas fogalmakat és tanuljanak meg azokkal konkrét függvényeket jellemezni. Tanulják meg függvények zérushelyeit közelítő iteratív módszerrel meghatározni. Tanuljanak meg elsőfokúra visszavezethető egyenleteket megoldani. Ismerjék meg elsőfokú egyenletrendszerek több megoldási módszerét. Ismerjenek meg fontos elemi geometriai tételeket és tanulják meg azokat alkalmazni. Ismerjék meg a szórás fogalmát. Váljanak képessé összetettebb, a matematika több területéhez kötődő ismeretek és készségek szintetizálását igénylő komplex feladatok megoldására. Lássák be, hogy a világban való eligazodáshoz és a mindennapi életben való érvényesüléshez nélkülözhetetlenek a más tudásterületeken eszközként használt matematikai ismeretek ugyanúgy, mint a matematika művelésével fejlődő általánosabb és matematikai képességek TEMATIKUS TANANYAG TANULÁSI PROGRAM TELJESÍTMÉNY MINIMÁLIS OPTIMÁLIS I. HALMAZOK, LOGIKA HALMAZELMÉLETI ÉS LOGIKAI KÉPESSÉG- ÉS TUDÁSFEJLESZTÉS 1. Halmazok Halmazok, halmazműveletek tanulása 1.1. Halmazok és halmazokkal végezhető műveletek (unió, metszet, különbség, szimmetrikus differencia), jelölésük; komplementerhalmaz Halmazok és részhalmazok jellemzése; Adott halmazok uniójának, metszetének, különbségének képzése és Venn-diagramon való ábrázolása; a műveletek tulajdonságainak vizsgálata Ismeri a tanult halmazműveteket és a Venn-diagram segítségével meg tud oldani egyszerűbb feladatokat. Definiálni tudja a tanult halmazműveleteket. Azokat biztonsággal alkalmazza a feladatmegoldásokban. II. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET KÉPESSÉG- ÉS TUDÁSFEJLESZTÉS AZ ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET KONTEXTUSÁBAN 1. Műveletek a valós számhalmazban Műveletek végzése a valós számhalmazban 2006/20/II. szám 1.1. A hatványozás és azonosságai egész kitevőjű hatványok esetén;a nevezetes azonosságok Egész kitevőjű hatványokat tartalmazó algebrai kifejezések azonosságainak (többek között az ún. nevezetes azonosságoknak) a megismerése és alkalmazásuk feladatok megoldásában; számolás normálalakkal Ismeri az egész kitevőjű hatvány azonosságait és ezek segítségével meg tud oldani egyszerűbb feladatokat. Biztosan ismeri a nevezetes azonosságokat. Biztosan ismeri a számok normálalakját. Alkalmazni tudja a feladatmegoldásokban az egész kitevőjű hatványok azonosságait. 1.2. A négyzetgyök és azonosságai: szorzat, hányados, hatvány négyzetgyöke Szorzat, hányados, hatvány négyzetgyökére vonatkozó azonosságok bizonyítása; Ezen azonosságok felhasználását megkívánó feladatok megoldása Ismeri a négyzetgyökvonás azonosságait és azokat egyszerűbb feladatokban alkalmazni tudja. Feladatmegoldásokban alkalmazni tudja a négyzetgyökvonás azonosságait, bizonyítani tud néhány azonosságot. 1.3. Algebrai egész és törtkifejezések; Irracionális algebrai kifejezések Azonos átalakítások algebrai kifejezésekkel: algebrai egész és törtkifejezésekkel, valamint irracionális kifejezésekkel; a szorzattá alakítás előnyeinek felismerése az egyszerűsítésben és egyenletmegoldásban, kifejezések szorzattá alakítása Meg tudja határozni algebrai törtkifejezések értelmezési tartományát. Kifejezéseket segítséggel tud szorzattá alakítani. Azonos átalakításokat tud végezni irracionális algebrai kifejezéseken. 2. Számelmélet Számelmélet tanulása 2.1. Számelméleti alapfogalmak, oszthatósági szabályok; prímszámok; prímszámok száma; relatív prímek; számrendszerek; releváns matematikatörténeti érdekességek A számelméleti alapfogalmak; oszthatósági szabályok feladatokon való gyakorlása; Példák számrendszerekre; matematikatörténeti érdekességek megismerése célzott könyvtári kereséssel és jegyzeteléssel Meg tudja oldani az egyszerűbb oszthatósági feladatokat. Ismeri a számelmélet alaptételét. Fel tudja írni több szám legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét. Több tényezőből álló prímtényezős felbontással megadott számok legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét is meg tudja határozni. 3. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek tanulása 3.1. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek; Elsőfokúra visszavezethető négyzetgyökös egyenletek Abszolútértékes egyenletek Megoldási módok gyakorlása feladatokon (algebrai, grafikus, stb.); elsőfokúra visszavezethető négyzetgyökös egyenletek megoldása; abszolútértékes egyenletek megoldása Megbízhatóan tudja megoldani az elsőfokú egyismeretlenes egyenleteket és egyenlőtlenségeket. Négyzetgyökös egyenletek értelmezési tartományát és az egyszerűbbek megoldását meg tudja határozni. Ismeri az egyenletek és az egyenlőtlenségek megoldhatóságának feltételét. Vizsgálni tudja a megoldások számát. Meg tud oldani elsőfokúra visszavezethető négyzetgyökös és abszolútértékes egyenleteket. 3.2. Az elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldási módszerei Az elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek fogalmának felidézése, utólagos definiálása; Az egyenletrendszerek megoldásának gyakorlása grafikus módszerrel; Az egyenletrendszerek megoldásának gyakorlása behelyettesítő módszerrel; Az egyenletrendszerek megoldásának gyakorlása egyenlő együtthatók módszerével; Az egyenletrendszerek megoldásának gyakorlása új változó bevezetésével Ismeri a kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer megoldási módjait és meg tud oldani egyszerűbb feladatokat. Meg tud oldani különböző módszerekkel elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszereket. 2006/20/II. szám . 3.3.. Fizikai számításokkal kapcsolatos szöveges feladatok megoldása; keveréses szöveges feladatok megoldása; százalékszámítási, kamatos kamat számítási szöveges feladatok megoldása fizikai számításokkal kapcsolatos feladatok megoldása egyenlettel, egyenlőtlenséggel, egyenletrendszerrel; a keveréses feladatok megoldása egyenlettel, egyenlőtlenséggel, egyenletrendszerrel; százalékszámítás, kamatos kamat számítása gyakorlati példákon Meg tud oldani egyszerűbb mozgási, keverési, százalékszámítási, munkavégzéses, stb. feladatokat. Pontos indoklással meg tud oldani vegyes szöveges feladatsorokat. 4. Az n-edik gyök Az n-edik gyök tanulása 4.1. Az n-edik gyök definíciója és azonosságai: a szorzat n-edik gyöke, a hányados n-edik gyöke, a hatvány n-edik gyöke, a gyök gyöke Az n-edik gyök műveletének definiálása a szorzat n-edik gyökérenek vonatkozó azonosság bizonyítása; a hányados n-edik gyökérenek vonatkozó azonosság bizonyítása; a hatvány n-edik gyökérenek vonatkozó azonosság bizonyítása; a gyök gyökérenek vonatkozó azonosság bizonyítása; feladatok megoldásának gyakorlása; műveletek végzése n-edik gyököt tartalmazó algebrai kifejezésekkel Ismerni az n-edik gyök definícióját és tudja az azonosságait. Egyszerű feladatokban tudja alkalmazni az nedik gyök azonosságait. Bizonyítani és a feladatmegoldásokban alkalmazni tudja az n-edik gyökre vonatkozó azonosságokat. 5.. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek tanulása 5.1. A másodfokú egyenletek megoldási módjai:grafikus megoldás, teljes négyzetté kiegészítéssel történő megoldás, más algebrai úton való megoldás; a másodfokú egyenletek megoldóképlete; a másodfokú egyenlet diszkriminánsa; a másodfokú egyenletek gyökei és együtthatói közötti összefüggések; a másodfokú egyenletek gyöktényezős alakja; szélsőérték feladatok A másodfokú egyenletek definiálása; Másodfokú egyenletek grafikus megoldásának gyakorlása; Másodfokú egyenletek megoldásának gyakorlása teljes négyzetté kiegészítéssel; a másodfokú egyenletek megoldóképletének meghatározása; a másodfokú egyenletek diszkriminánsának definiálása, vizsgálata a másodfokú egyenletek gyökei és együtthatói közötti összefüggések megkeresése; másodfokú egyenletek gyöktényezős alakjának felírása; a másodfokú egyenletek témaköréből vett számítási feladatok megoldásának gyakorlása; másodfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatok megoldásának gyakorlása; szélsőérték-feladatok megoldásának gyakorlása Tudja a másodfokú egyenlet megoldóképletét és azt egyszerű feladatokban biztonságosan alkalmazza. Feladatok megoldásában tudja a zsebszámológépet használni. Bizonyítani tudja a másodfokú egyenlet megoldóképletét és a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket. Vizsgálni tudja másodfokú egyenletek diszkriminánsát, s ebből következtetni tud a megoldások számára. Fel tudja írni másodfokú egyenletek gyöktényezős alakját. Biztonságosan meg tud oldani másodfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatokat (szélsőértékfeladatokat is). 5.2. Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek Magasabb fokú egyenletek megoldása másodfokúra való visszavezetéssel Egyszerű esetekben észreveszi magasabb fokú egyenletekben a másodfokúra való visszavezethetőségüket. Biztosan meg tud oldani másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenleteket. 2006/20/II. szám 5.3. Gyökös egyenletek Másodfokúra visszavezethető irracionális egyenletek megoldása Másodfokúra néhány lépésben visszavezethető irracionális egyenleteket meg tud oldani. Meg tud oldani másodfokúra visszavezethető irracionális egyenleteket. 5.4. Másodfokú egyenlőtlenségek (grafikus megoldás, a zérushelyek algebrai meghatározása); Nevezetes közepek: a számtani közép, a mértani közép, a harmonikus közép, a négyzetes közép Másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldásának gyakorlása; másodfokú egyenlőtlenségek megoldásának gyakorlása függvény zérushelyei algebrai meghatározásának segítségével; a másodfokú egyenlőtlenségek megoldáshalmazának ábrázolása számegyenesen és megadása logikai kvantorok használatával; nevezetes közepek értelmezése: a számtani közép és a mértani közép definíciójának ismétlése, a harmonikus közép és a négyzetes közép definiálása, összefüggések vizsgálata és bizonyítása a nevezetes közepesek között; nevezetes közepek azonosságainak felhasználását igénylő feladatok megoldása Egész együtthatós másodfokú egyenlőtlenségeket függvény ábrázolásával meg tud oldani. Ismeri a számtani és a mértani közép fogalmát. Biztosan meg tud oldani másodfokú egyenlőtlenséget függvény vizsgálatával. Ismeri és feladatmegoldásokban alkalmazni tudja a nevezetes közepeket. 5.5. A másodfokú paraméteres egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú paraméteres egyenletek paramétereire vonatkozó kritériumok meghatározása a gyökök előjelének függvényében; Meg tudja határozni a gyökök számát a diszkrimináns vizsgálatával. Meg tud oldani másodfokú paraméteres egyenleteket 5.6. Másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek Az elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszereknél és a másodfokú egyenleteknél tanult megoldási módszerek analogikus megfontolásokon alapuló szintetizáló alkalmazása a másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldásához; másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszerrel megoldható egyszerűbb szöveges feladatok megoldása Meg tud oldani a tanult megoldási módszerekkel egyszerű másodfokú egyenletrendszereket Meg tud oldani másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszerekkel megoldható összetettebb (paraméteres, szöveges) feladatokat. 5.7. Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletrendszerek Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletrendszerek megoldása Segítséggel meg tud oldani másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletrendszereket. Önállóan meg tud oldani másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletrendszereket. III. KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNŰSÉG KÉPESSÉG- ÉS TUDÁSFEJLESZTÉS A KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNŰSÉG KONTEXTUSÁBAN 1. Kombinatorika Kombinatorika tanulása 2006/20/II. szám . 1.1. Kombinatorikai feladatok Kombinatorikai feladatok megoldása az összes eset szisztematikus felírása és leszámolása által Meg tud oldani kombinatorikai feladatokat az összes eset szisztematikus felírásával, legfeljebb három elem esetén Meg tud oldani kombinatorikai feladatokat az összes eset szisztematikus felírásával. 2. Statisztika Statisztika tanulása 2.1. Statisztikai adatsokaság elemzése: átlag, medián, módusz, szórás: Statisztikai adatok vizuális modellezése diagramokkal; Diagramok kvalitatív elemzése; Statisztikai adatok számszerű összefoglaló jellemzése számértékekkel:átlag, medián, módusz kiszámolása, szórás szemléletes megismerése, definiálása és kiszámolása Számsokaság számtani közepét ki tudja számítani. Ismeri a leggyakoribb érték (módusz) és a középső érték (medián) fogalmát. Sejti a szórás szemléletes jelentését. Kördiagramokat, oszlopdiagramokat tud értelmezni. Meg tudja határozni számsokaság átlagát, móduszát, mediánját. Érti és ki tudja számolni számsokaság szórását. Grafikonokat tud értelmezni, létrehozni. IV ÁTFOGÓ MATEMATIKAI FELADATOK MATEMATIKAI ISMERET-, KÉPESSÉG ÉS MÓDSZER- SZINTETIZÁLÁS 1. Komplex, átfogó feladatok Matematikai ismeret- képességés módszer-szintetizálás feladatmegoldással 1.1. Komplex, több matematikai részterülethez egyszerre tartozó feladatok Matematikai ismeret- képességés módszerszintetizálás komplex, több matematikai részterület ismereteit igénylő feladatok megoldásával; Szükség esetén a komplex feladat célszerű részfeladatokra bontása, a részfeladatok szabatos megfogalmazása, megoldása, a részfeladat eredményének vizsgálata a komplex feladat szemszögéből; Kívülről strukturált retrospektív metakognitív önelemzés, megoldási módszerelemzés Emlékeztető segítséggel képes a komplex feladatokban több korábban elsajátított képesség- és tudáselem alkalmazására. Tud adekvát választ adni legalább egy konkrét retrospektív metakognitív kérdésre a feladatmegoldásáról. Önállóan képes komplex feladatokat ismeretek, módszerek és képességek megválasztásával és szintetizáló alkalmazásával megoldani, és a megoldásról adott strukturáló kérdések segítségével retrospektív metakognitív elemzést végezni. 2006/20/II. szám V. FÜGGVÉNYEK KÉPESSÉG- ÉS TUDÁSFEJLESZTÉS A FÜGGVÉNYEK KONTEXTUSÁBAN 1. Az n-edik gyökfüggvény Az n-edik gyökfüggvény tanulása 1.1. Az n-edik gyökfüggvény ábrázolása, tulajdonságai az n-edik gyökfüggvény ábrázolása derékszögű koordinátarendszerben; tulajdonságainak vizsgálata Ismeri az x ξ n x függvény képét és tulajdonságait. Jellemezni tudja az n-edik gyökfüggvényt és transzformáltjait. 2. A trigonometrikus függvények A trigonometrikus függvények tanulása 2.1. Trigonometrikus függvények ábrázolása, tulajdonságai (zérushelyek, szélsőértékhelyek és szélsőértékek, periodicitás, monotonitás, értelmezési tartomány, értékkészlet); Trigonometrikus függvények transzformálása Trigonometrikus függvények ábrázolása; Trigonometrikus függvények jellemzése (zérushelyek, szélsőértékhelyek és szélsőértékek, monotonitás, értelmezési tartomány, értékkészlet megállapítása); Függvények periodicitásának definiálása; Trigonometrikus függvények periodicitásának meghatározása; Trigonometrikus függvények transzformálása Ismeri az x ξ sinx, x ξ cosx, x ξ tgx, és x ξ ctgx függvény képét és legjellemzőbb tulajdonságait. Ábrázolni és jellemezni tudja a trigonometrikus függvényeket és azok transzformáltjait. VI. GEOMETRIA KÉPESSÉG- ÉS TUDÁSFEJLESZTÉS A GEOMETRIA KONTEXTUSÁBAN 1. Síkgeometria Síkgeometria tanulása 1.1. a kerületi és a középponti szögekre vonatkozó tételek; az érintőszárú kerületi szög; adott szögű látókörív; a húrnégyszögek tétele; az érintőnégyszögek tétele; Pitagorasz tételének egy másféle bizonyítása A kerületi és a középponti szögekre vonatkozó tételek bizonyítása; Az érintőszárú kerületi szög definiálása; Adott szögű látókörív szerkesztése; a húrnégyszögek tételének bizonyítása; az érintőnégyszögek tételének bizonyítása; húrnégyszögekre és érintőnégyszögekre vonatkozó tételek; körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tételének bizonyítása; e Pitagorasz tételének egy másféle bizonyítása, a bizonyítás korábban megismert bizonyítással való összevetése értékítélettel: szépség és egyszerűség szerint Ismeri a kerületi és középponti szögek fogalmát és kapcsolatukat, feladatokban azt alkalmazni tudja. Ismeri a látókörív szerkesztési menetének algoritmusát. Ki tudja mondani és érti a húrnégyszögekre és az érintőnégyszögekre vonatkozó tételeket. Bizonyítani tudja a kerületi és a középponti szögekre vonatkozó tételeket, a húrnégyszögek tételét, az érintőnégyszögek tételét, Pitagorasz tételét (kétféleképpen). A tételeket alkalmazni tudja a feladatmegoldások során. 2006/20/II. szám 1.2. Szögfüggvények geometriai értelmezése; Szögfüggvények geometriai értelmezésének kiterjesztése; Speciális szögek szögfüggvény-értékei Szögfüggvények értelmezése derékszögű háromszögben; Számítási feladatok derékszögű háromszögben; Speciális szögek szögfüggvényértékeinek megállapítása; a szögfüggvények közötti összefüggések vizsgálata; a szögfüggvények kiterjesztésének definiálása; a szögfüggvények meghatározásának gyakorlása zsebszámológép segítségével feladatmegoldások részeként Ismeri a hegyesszögek szögfüggvényeit és zsebszámológép segítségével azokat pontosan meg tudja határozni. Értelmezni és használni tudja a szögfüggvényeket a derékszögű háromszögben. A szögfüggvényeket alkalmazni is tudja összetett feladatok megoldása során. 1.3. A háromszögek területének kiszámítási módszerei a háromszög területének meghatározása egy oldal és a hozzátartozó magasság hosszának ismeretében; a háromszög területének meghatározása a két oldal hosszának és a közbezárt szög nagyságának ismeretében; a háromszög területének meghatározása az oldalak és a beírható kör sugarának hossza ismeretében; a háromszög területének meghatározása a Héron-képlet alkalmazásával Ismeri a háromszög területének egy kiszámítási módját. Többféleképpen ki tudja számolni a háromszögek területét. 2. Hasonlóság Hasonlóság tanulása 2.1. Egybevágósági transzformációk: tengelyre vonatkozó tükrözés, pontra vonatkozó tükrözés, eltolás, elforgatás; Egybevágósági transzformációk tulajdonságai; Szimmetrikus alakzatok tengelyre vonatkozó tükrözés, pontra vonatkozó tükrözés, eltolás, elforgatás tulajdonságainak vizsgálata; szimmetrikus alakzatok vizsgálata; szerkesztési feladatok megoldása; szerkesztési feladatok megoldásának részeként a talált szerkesztési lépések utólagos, időrendben történő verbális és képi tisztázása és megvalósíthatóságának, helyességének ellenőrzése; szerkesztés megoldhatóságának vizsgálata az adatok függvényében (diszkusszió) Ismeri az egybevágósági transzformációkat és tulajdonságaikat, azokat egyszerű szerkesztési feladatokban alkalmazni tudja. Példát tud mondani szimmetrikus alakzatokra. Feladatokat tud megoldani az egybevágósági transzformációk egymás utáni alkalmazásával. A szerkesztési feladatokat tiszán, lépések leírásával prezentálni tudja. Kritikai álláspontot tud kialakítani szerkesztési eljárásokról. Szerkesztési feladatokban azok megoldhatóságának diszkusszióját is elvégzi. 2006/20/II. szám 2.2 a párhuzamos szelők tétele és a tétel megfordítása; a párhuzamos szelőszakaszok tétele; a háromszögek, sokszögek, körök hasonlóságának elégséges feltételei; a magasságtétel; a befogótétel; a Pitagorasz-tétel bizonyítása befogótétellel; hasonló síkidomok területének és hasonló testek térfogatának arányára vonatkozó tétel a párhuzamos szelők tételének és a tétel megfordításának bizonyítása; a párhuzamos szelőszakaszok tételének bizonyítása; a háromszögek, sokszögek, körök hasonlóságai elégséges feltételeinek keresése és belátása; a magasságtétel bizonyítása; a befogótétel bizonyítása; a Pitagorasz-tétel bizonyítása befogótétellel; hasonló síkidomok területének és hasonló testek térfogatának arányára vonatkozó tétel bizonyítása; geometriai méretekre vonatkozó számítási feladatok megoldása a tanult tételek alkalmazásával A párhuzamos szelők tételét és megfordítását egyszerű feladatokban tudja alkalmazni. Ismeri és alkalmazni tudja a befogótételt és a magasságtételt. Ismeri a hasonló síkidomok ill. testek területének ill. térfogatának arányát. Bizonyítani tudja a párhuzamos szelők tételét , a párhuzamos szelőszakaszok tételét, a magasságtételt, a befogótételt, a Pitagorasz-tételt befogótétellel, valamint a hasonló síkidomok területének és hasonló testek térfogatának arányára vonatkozó tételt. Ismeri a háromszögek, sokszögek, körök hasonlóságának elégséges feltételeit, és be tudja látni, hogy ezek a hasonlósági feltételek valóban elégségesek. A tanult tételeket alkalmazni tudja összetett feladatmegoldásokban. VII. KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNŰSÉG KÉPESSÉG- ÉS TUDÁSFEJLESZTÉS A KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNŰSÉG KONTEXTUSÁBAN 1. Kombinatorika Kombinatorika tanulása 1.1. Kombinatorikus feladatok (permutációk, kombinációk, variációk); a faktoriális; bizonyítási módszerek: skatulya-elv, indirekt módszer permutáció, kombináció és variáció segítségével megoldható feladatok gyakorlása; a faktoriális definiálása, kombinatorikai értelme és kiszámításának gyakorlása; bizonyítási módszerek: skatulyaelv, indirekt módszer megismerése, gyakorlása konkrét példákon Permutáció, variáció, kombináció segítségével egyszerű kombinatorikai feladatokat meg tud oldani. Látja a különbséget kimondott, példával alátámasztott és bebizonyított állítások között. Meg tud oldani kombinatorikai feladatokat. Ismeri a faktoriális fogalmát. Ki tudja számítani és feladatmegoldásokban alkalmazni tudja a faktoriálist. Egyszerű kombinatorikai állításokat alkalmasan megválasztott módszer segítségével bizonyítani tud. 2. Valószínűség Valószínűségszámítás 2.1. Valószínűségszámítási alapfogalmak: elemi esemény, valószínűség az elemi esemény fogalmának pontosítása, definiálása; a valószínűség fogalmának pontosítása, definiálása Ismeri az elemi esemény és a valószínűség fogalmát. Definiálni tudja és érti a valószínűségszámítás tanult fogalmait. 2.2. a valószínűségszámítási alapfogalmak felhasználási, alkalmazási lehetőségei a valószínűségszámítás alapfogalmak felhasználásának, alkalmazási lehetőségeinek gyakorolása A valószínűség nagyságát konkrét feladat megoldásában meg tudja becsülni. Meg tud oldani egyszerű (nyilvánvalóan azonos valószínűségű elemi eseményekből álló eseménytérről szóló) valószínűségszámítási feladatokat. 2006/20/II. szám VIII. ÁTFOGÓ MATEMATIKAI PROJEKTEK MATEMATIKAI ISMERET-, KÉPESSÉG ÉS MÓDSZER- SZINTETIZÁLÁS 1. Komplex, átfogó projektek Matematikai ismeret- képességés módszer-szintetizálás projektekkel 1.1 komplex, több matematikai részterület alkalmazását egyszerre igénylő projektek matematikai ismeret- képességés módszerszintetizálás komplex, több matematikai részterület ismereteit igénylő, valós vagy elképzelt de valószerű problémahelyzeten alapuló projekt elvégzésével; a komplex problémahelyzet problémáinak azonosítása, megfogalmazása, szükség esetén azok részproblémákra bontása, a részproblémák megoldása célszerűen megválasztott sorrendben; a részproblémák megoldásának vizsgálata a probléma és a problémahelyzet szemszögéből; retrospektív metakognitív önelemzés, megoldási módszerelemzés Képes adott problémahelyzetben a problémák lényegét felismerni. Segítséggel képes projekteket több korábban elsajátított képesség- és tudáselem felidézésével és alkalmazásával megtervezni és véghezvinni. Strukturáló retrospektív metakognitív kérdésekre válaszolni tud a projekttel kapcsolatban. Önállóan képes komplex projekteket szükséges ismeretek, módszerek és képességek megválasztásával, adatok felkutatásával és szintetizáló alkalmazásával megtervezni és rugalmasan véghezvinni. Képes külső strukturáló támogatás nélkül is a megoldásról retrospektív metakognitív elemzést végezni. Teljesítménykövetelmények a 9. évfolyamon TUDÁS – Ismerje és célszerűen, helyesen alkalmazni tudja:  A halmazok uniójának, metszetének, különbségének, szimmetrikus differenciájának fogalmát, jelölését. Az üres halmaz fogalmát és jelölését. A részhalmaz fogalmát. A komplementer halmaz fogalmát.  A matematikai szaknyelv tanult logikai elemeit. A "szükséges", "elégséges" és a "szükséges és elégséges" kifejezéseket. A bizonyítás, cáfolás, sejtés, módszeres próbálkozás közötti intuitív különbséget.A tétel és az axióma fogalmát.  A legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó fogalmát. A prímszám és az összetett szám fogalmát. A prímszámok számának végtelenségét és annak bizonyítását. A relatív prímszám fogalmát.  A prímtényezős felbontást. A számelmélet alaptételét.  A százalék, százalékérték, alap, százalékláb fogalmát. A kamatos kamat intuitív fogalmát.  Az egész kitevőjű hatvány fogalmát. Az egész kitevőjű hatványok szorzására, osztására, hatványozására vonatkozó azonosságokat és azok bizonyítását.  A négyzetgyök fogalmát. A szorzat, hányados és hatvány négyzetgyökére vonatkozó azonosságokat és azok bizonyítását.  A törtrész és az egészrész fogalmát.  A n racionális mivoltának feltételét.  Az irracionális számokat mint a racionális számok halmazának kiterjesztését. A valós számhalmazt és annak részhalmazaiból való felépítését. A természetes, egész, pozitív egész, racionális, irracionális, valós számhalmazok konvencionális jelölését.  Számok normálalakját.  Az algebrai egész- és törtkifejezések értelmezési tartományának fogalmát.  Nevezetes algebrai azonosságokat (kéttagú és háromtagú összeg négyzete, kéttagú összeg köbe, azonos tényezők összegének és különbségének szorzata).  A számtani közép (átlag) és a mértani közép fogalmát. A számtani és mértani közép közötti azonos egyenlőtlenséget.  Az egyenletek és egyenlőtlenségek alaphalmazának és megoldáshalmazának (igazsághalmazának) fogalmát.  A paraméter intuitív fogalmát. 2006/20/II. szám  Egyenletek fokának intuitív fogalmát. Egyenletek gyökének fogalmát. Egyenletek gyöktényezős alakjának fogalmát.  A húrmódszert.  Az azonosság és azonos egyenlőtlenség fogalmát.  Az egyenletrendszerek fogalmát.  Az egyenes és a fordított arányosság fogalmát.  A függvény pontos fogalmát. Az értelmezési tartomány, a képhalmaz, az értékkészlet fogalmát. Az egyegyértelmű hozzárendelés fogalmát.  Függvény monotonitásának, szélsőértékének, zérushelyének, paritásának és korlátosságának fogalmát.  A függvény transzformáció fogalmát. A lineáris függvény transzformáció fogalmát. Az összetett függvény fogalmát. Az inverz függvény pontos fogalmát.  Az elsőfokú függvény fogalmát, képének kvalitatív jellemzőit, általános hozzárendelési szabályát, kapcsolatát az egyenes arányossággal. Az elsőfokú törtfüggvény fogalmát, képének kvalitatív jellemzőit, kapcsolatát a fordított arányossággal.  A másodfokú és harmadfokú függvény fogalmát, képének kvalitatív jellemzőit.  Egyes elemi függvényeket (abszolútérték-függvény, négyzetgyökfüggvény, egészrészfüggvény, törtrészfüggvény, szignumfüggvény), precíz értelmezésüket, képüket és annak kvalitatív jellemzőit.  Szög kiegészítő szögének és hegyesszög pótszögének fogalmát. Egyállású és váltószög fogalmát.  A szabályos sokszög fogalmát. A szabályos sokszög belső szögeinek nagyságát.  A háromszög szögösszegét. A háromszög-egyenlőtlenséget. A háromszög nevezetes vonalainak fogalmát (oldalfelező merőleges, szögfelező, súlyvonal, magasságvonal, középvonal). Az oldalfelező merőlegesek, a szögfelezők, a súlyvonalak, és a magasságvonalak egy pontban metszéséről szóló tételeket; ezek bizonyítását, következményeit a háromszög beírt és körülírt körének létezésére nézve; ezen metszéspontok elnevezését. A háromszög középvonalainak hosszára vonatkozó tételét. A háromszög területképletét. Pitagorasz tételét, annak megfordítását és mindkettő bizonyítását. Thalész tételét, megfordítását és mindkettő bizonyítását.  Konvex négyszögek belső szögeinek összegére és külső szögeinek összegére vonatkozó tételeket. A téglalap, a négyzet, a rombusz, a paralelogramma, a trapéz, az érintőnégyszög és a húrnégyszög fogalmát. A paralelogramma, az érintőnégyszög és a húrnégyszög egyes tulajdonságait. A négyzet, a téglalap, paralelogramma, a trapéz és a deltoid területképletét.  A kör, sugár, húr, körív, érintő fogalmát. A kör középponti és kerületi szögeinek fogalmát. A kör érintője és érintési pontból húzott sugara merőlegességét. A kör terület-és kerületképletét.  A párhuzamos szelők tételét és annak megfordítását. A párhuzamos szelőszakaszok tételét. Szakasz adott arányú felosztásának szerkesztési módját.  Az euklideszi szerkesztés alapelveit.  A geometriai transzformáció mint hozzárendelés fogalmát.  Az egybevágóság mint reláció definícióját, jelölését, szimmetricitását, tranzitivitását, reflexivitását. Az egybevágósági transzformáció pontos definícióját. A tengelyes tükrözés, a középpontos tükrözés, a pontra vonatkozó tükrözés, az elforgatás és az eltolás eljárását és tulajdonságait. Alakzatok tengelyes szimmetriájának, középpontos szimmetriájának, forgásszimetriájának fogalmát.  A középpontos hasonlósági transzformáció és az általános hasonlósági transzformáció definícióját. A hasonlósági definíció tulajdonságait. Alakzatok hasonlóságának fogalmát.  Háromszögek egybevágóságának elégséges feltételeit. Háromszögek, négyszögek, sokszögek és körök hasonlóságának elégséges feltételeit.  A vektor fogalmát, ábrázolásának módját a derékszögű koordináta-rendszerben, a helyvektor és koordinátáinak fogalmát. A vektor felbontásának egyértelműségére vonatkozó tételt. Vektorok összegének, különbségének fogalmát, szerkesztését, abszolútértékének (hosszának), számmal való szorzásának fogalmát és derékszögű koordinátákkal való kifejezését. Vektor 90°-os elforgatottja koordinátáinak az eredeti vektor derékszögű koordinátáiból való meghatározási módszerét. A skalárral szorzás vektorösszegre vonatkozó disztributivitását.  Derékszögűtől eltérő koordináta-rendszereket.  A permutáció, a kombináció, és a variáció fogalmát.  Adathalmaz átlagának, súlyozott átlagának, móduszának, mediánjának, terjedelmének, átlagos abszolút eltérésének, szórásának fogalmát. Két adathalmaz átlaga és egyesítésük átlaga közötti összefüggést. 2006/20/II. szám

Source: https://magyarkozlony.hu/hivatalos-lapok/181e01c47f39bd30e518c4a0489cc8bbbeffded6/dokumentumok/9f438c404641f852531e9f174ea6bd1cd948fbb0/letoltes