Publication: Magyar Közlöny
Issue: MK-2006-20 (Year: 2006, Number: 20)
Era: 2004-2010
Section: 243/2003. (XII. 17.) Korm. rendelet a Nemzeti Alaptanterv kiadásáról, bevezetéséről és alkalmazásáról.)
Paragraph Index: 8967

10. évfolyam A Matematika tanulásának céljai a 10. évfolyamon Fejlesszék a tanulók a környezetükkel és önmagukkal való kommunikatív interakciójuk hatékonyságát és célszerűségét. Váljanak képessé újabb anyagi modellek (pl. matematikai jelek) megértésére, elemzésére, használatára, más modellekbe történő átkódolására, célszerű modellezési módszer kiválasztására. Fejlődjön a kreativitásuk. Tanuljanak meg másodfokú egyenleteket, egyenletrendszereket és egyenlőtlenségeket, valamint ezekre visszavezethető egyenleteket és egyenletrendszereket megoldani. Ismerjék meg a harmonikus és négyzetes közép fogalmát, a nevezetes közepek közötti azonosságokat. Ismerjenek meg további elemi függvényeket (n-edik gyök, trigonometrikus függvények), azok bizonyos tulajdonságait. Tanulják meg a szögfüggvényeket a geometriában alkalmazni. Tanuljanak meg és tudjanak alkalmazni újabb elemi geometriai tételeket. Ismerjék meg háromszögek területe kiszámításának újabb módjait. Ismerjék meg pontosabban a hasonlósági geometriai transzformációkat és azok tulajdonságait. Ismerjék meg a faktoriális fogalmát, jelentését. Mélyítsék tovább a valószínűségről alkotott ismereteiket. Váljanak képessé összetettebb, a matematika több területéhez kötődő ismeretek és készségek szintetizálását igénylő projektek tervezésére és elvégzésére. TEMATIKUS TANANYAG TANULÁSI PROGRAM TELJESÍTMÉNYEK MINIMÁLIS OPTIMÁLIS I. ALGEBRA KÉPESSÉG- ÉS TUDÁSFEJLESZTÉS AZ ALGEBRA KONTEXTUSÁBAN 1. Műveletek a valós számhalmazban Műveletek végzése a valós számhalmazban 2006/20/II. szám 1.1. egyenletekre és egyenletrendszerekre vezető szöveges feladatok másodfokú, logaritmikus és trigonometrikus egyenletekre és egyenletrendszerekre vezető vegyes szöveges feladatok megoldása, szükség esetén a képletgyűjtemény használatával Egyszerűbb szöveges feladatból egyenletet vagy egyenletrendszert helyesen fel tud írni. Összetettebb szöveges feladatból egyenletet vagy egyenletrendszert helyesen fel tud írni és ahhoz ötleteket igénylő átalakításokat szükségessé tevő megoldást tud nyújtani. 1.2. egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletredszerek az első- és másodfokú, exponenciális, logaritmikus, abszolútértékes és irracionális egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletredszerek definiálása és megoldása; ilyen egyenletekre, egyenlőtlenségekre és egyenletrendszerekre vezető szöveges feladatok megoldása; az egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletredszerek megoldásánál többféle megoldási út keresése, saját és mások megoldási útjainak kritikai összehasonlítása, elemzése többféle szemszögből, az elemzésből stratégiai következtetések levonása Tudja az egyszerűbb egyenletek szabályszerű megoldási módszereit ésszerűen alkalmazni, az értelmezési tartományt megvizsgálni és a megoldás helyességét ellenőrizni. Tud szöveges feladatból megfelelő egyenletet, egyenlőtlenséget, vagy egyenletrendszert alkotni. Összetett, divergens gondolkodásról árulkodó ötletet igénylő egyenlet, egyenlőtlenség, egyenletrendszer vagy azokra vezető szöveges feladat megoldására is képes. 1.3. számelmélet számelméleti alapfogalmak definíciójának felidézése; osztó, többszörös meghatározása; a legnagyobb közös osztó keresése, felhasználása (pl. algebrai törtek egyszerűsítése); a legkisebb közös többszörös keresése, felhasználása (pl. algebrai törek közös nevezőre való hozása); oszthatósági állítások bizonyítását igénylő feladatok megoldása; a teljes indukció módszerének gyakorlása számelméleti bizonyítást igénylő feladatokban; az indirekt bizonyítás módszerének alkalmazása a számelméletben; bizonyításban szükség esetén köztes állítások (lemmák) felállítása és bizonyítása; vegyes számelméleti feladatsorok megoldása Ismeri a számelmélet alapvető fogalmait és az egyszerűbbszámelméleti feladatokban azokat alkalmazni tudja. Egyszerűbb oszthatósági állításokat bizonyítani tud. Köztes állítások (lemmák) felállítását is igénylő számelméleti bizonyítási feladatokat is meg tud oldani. II. FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK KÉPESSÉG- ÉS TUDÁSFEJLESZTÉS A FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK KONTEXTUSÁBAN 1. Függvények, sorozatok Függvények, sorozatok témaköreihez kapcsolható tudás és képességek fejlesztése és megerősítése 2006/20/II. szám 1.1. Függvények a függvény definíciójának felidézése; függvények jellemző tulajdonságainak (monotonitás, szélsőérték, zérushely, paritás, korlátosság) definíció szerinti számbavétele; függvénypéldák keresése adott jellemző tulajdonságra és azok kombinációira, a jellemző tulajdonságok bizonyítása; a tanult elemi függvények definícióinak felidézése, ábrázolásuk, jellemzésük; néhány nem elemi függvény meghatározása, ábrázolásuk, jellemzésük; a függvények ábrázolása transzformációval; a transzformált függvény jellemzése és az eredeti függvény jellemzőivel való összehasonlítása a transzformáció fényében; egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása függvények ábrázolása segítségével; algebrai kifejezések szélsőértékeinek meghatározása; Ábrázolni és jellemezni tudja az alapfüggvényeket és tudását egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása során hasznosítani tudja. Függvénytani tudását alkalmazni tudja 1.2. Sorozatok sorozatok definíciójának, a számtani és mértani sorozat definícióinak felidézése; a számtani és a mértani sorozatra vonatkozó tételek segítségével megoldható feladatok gyakorlása Egyszerű számtani vagy mértani sorozattal kapcsolatos feladatot meg tud oldani. Algebrai és geometriai összefüggések ismeretének és sorozatokra vonatkozó ismereteknek a szintetizálását igénylő feladatokat meg tud oldani. 1.3. számtani sorozatok A számtani sorozat definíciójának fölidézése, tulajdonságainak megállapítása és igazolása; a számtani sorozat n-edik elemének kiszámítására vonatkozó képletnek és bizonyításának fölidézése, a képlet alkalmazása feladatmegoldásokban; aszámtani sorozat első n eleme összegére vonatkozó képletnek a fölidézése bizonyítása a képlet alkalmazása feladatmegoldásokban;olyan feladatok megoldása, melyek a számtani sorozatokról szerzett tudásnak a matematika más területeiről származó tudással való szintetizálását kívánják meg Tudja a számtani sorozat definícióját, n-edik elemének és az első n eleme összegének kiszámítási módját. Meg tud oldani egyszerű feladatokat a számtani sorozatokról. Bizonyítani tudja a számtani sorozatra vonatkozó tételeket A számtani sorozatokról tanultakat összetettebb feladatokban alkalmazni tudja. 2006/20/II. szám 1.4. a mértani sorozat; kamatos kamat a mértani sorozat definíciójának fölidézése, tulajdonságainak megállapítása és igazolása a mértani sorozat n-edik elemének kiszámítására vonatkozó képletnek és igazolásánakfeladatmegoldásokban; a mértani sorozat első n eleme összegének kiszámítására vonatkozó képletnek a fölidézése és bizonyítása, olyan feladatok megoldása, melyek a mértani sorozatokról szerzett tudásnak a matematika más területeiről származó tudással való szintetizálását kívánják meg; mértani sorozatra vonatkozó ismeretek alkalmazása kamatos kamatról szóló gyakorlati feladatokban Tudja a mértani sorozat definícióját, n-edik elemének és az első n elem összegének kiszámítási módját. Meg tud oldani egyszerű feladatokat a mértani sorozatokról és a kamatos kamatról. Bizonyítani tudja a mértani sorozatra vonatkozó tételeket. A mértani sorozatokról és a kamatos kamatról tanultakat összetettebb feladatokban alkalmazni tudja. 1.5. a sorozatok megismerésének története a sorozatok megismerésének történeti áttekintése olvasott szövegből való lényegkiemelő jegyzeteléssel és rövid összefoglaló írott anyag elkészítésével A sorozatok megismerésének történetét röviden vázolni tudja. Pontos ismertetést tud adni a tanultak alapján a sorozatok megismerésének történetéről. III. GEOMETRIA A GEOMETRIÁHOZ KAPCSOLHATÓ TUDÁS ÉS KÉPESSÉGEK FEJLESZTÉSE ÉS MEGERŐSÍTÉSE 1.1. Térelemek, ponthalmazok térelemek (pont, egyenes, sík) kölcsönös helyzetének vizsgálata; térelemek hajlásszöge definícióinak felidézése, vizsgálata; térelemek távolsága definícióinak felidézése, távolságok megállapítása konkrét esetekben; adott tulajdonságú ponthalmazok keresése; nevezetes alakzatok (ponthalmazok) definícióinak felidézése (pl. szakaszfelező merőleges, szögfelező egyenes, kör, gömb, parabola, stb.), a tanult definíciók felidézése mellett új, az eredetikkel ekvivalens alakzat-definíciók kitalálása, az ekvivalencia bizonyítása Ismeri a térelemek fogalmát és kölcsönös helyzetüket. Képes egy-két feltétel esetén adott tulajdonságú pontok halmazát megkeresni. Biztosan használja a térelemeket és a nevezetes ponthalmazokat a feladatok megoldása során. Adott alakzatdefinícióhoz vele ekvivalens definíciót tud alkotni, s az ekvivalenciát igazolni is tudja. 2006/20/II. szám 1..2. Síkgeometria a síkgeometria axiomatikus megalapozásának szükségessége, egy lehetősége, az axiómarendszerből közvetlenül levezethető néhány állítás bizonyítása; Euklidész szerepének megismerése a geometriában; a sokszögek csoportosítása adott szempontok szerint; a körhöz kapcsolódó geometriai alakzatok definícióinak felidézése; a szögmérés fajtáinak alkalmazása, egymással való kapcsolatuk vizsgálata; a látószöggel, a kerületi és a középponti szögekkel kapcsolatos feladatok megoldása; a kör és a sokszögek kapcsolatának vizsgálata; szerkesztési, bizonyítási, számítási feladatok megoldása (kerület, terület, Pitagorasz tételének alkalmazása, a számtani és mértani közép közötti kapcsolat felhasználása, stb.), többféle megoldási út keresése, saját és mások megoldási útjainak kritikai összehasonlítása, elemzése többféle szemszögből, az elemzésből stratégiai következtetések levonása Különféle szempontok szerint ismeri a sokszögek csoportosítását és azok tulajdonságait. Pontosan ismeri a tanult tételeket és azokat feladatok megoldása során alkalmazni tudja. Érti az axiomatikus megalapozás lényegét, érti szükségességét és a szemléletes gondolkozás korlátait. Bizonyítani tudja a tanult tételeket és azokat biztonságosan használja összetett feladatok megoldása során. Önálló geometriai bizonyításokra képes. Feladat többféle megoldási útját összehasonlítva stratégiai következtetéseket tud levonni. 1.3. térgeometria testek tanult speciális osztályai (hengerszerű, kúpszerű) definícióinak felidézése, példák keresése; kúpszerű testekből származtatható testek egyes osztályainak felidézése (csonkagúla, csonkakúp); testek egyes eddig nem tanult speciális osztályainak (poliéder, szabályos test) definiálása, példák keresése, az 5 szabályos test megismerése és elnevezése; a testekfelszínével és térfogatával; kapcsolatos tételek és bizonyításaik; számítási és bizonyítási feladatok megoldása, többféle megoldási út keresése, saját és mások megoldási útjainak kritikai összehasonlítása, elemzése többféle szemszögből, az elemzésből stratégiai következtetések levonása Ismeri a testek felszínének és térfogatának kiszámítási módjait és azokat fel tudja használni a számítási feladatokban. Tud példákat mondani a testek megismert osztályaira és el tudja dönteni egy adott testről hogy egy adott testosztályba tartozik-e. Kreatívan oldja meg a térgeometriai problémákat tartalmazó feladatokat. 2006/20/II. szám 1.4 transzformációk a megismert geometriai transzformációk definíciói, tulajdonságai, osztályai (egybevágósági, hasonlósági) és az ezzel kapcsolatos szerkesztési feladatok megoldása transzformációkkal vagy azok nélkül; bizonyítási feladatok megoldása transzformációkkal vagy azok nélkül; Ismeri az egybevágósági és hasonlósági transzformációkat, és tulajdonságaik segítségével szerkesztési feladatokat tud megoldani. Bizonyítást igénylő feladatokban is alkalmazni tudja a geometriai transzformációkat. 1.5. vektorokra vonatkozó műveletek vektorok skaláris szorzatának definiálása; a fizikában tanult vektormennyiségek szorzatának kiszámítása fizikai feladatmegoldás részeként Ismeri a skaláris szorzat fogalmát. Vektorok skaláris és vektorális szorzatával kapcsolatos feladatokat meg tud oldani. Tudja alkalmazni a skaláris szorzatról tanultakat más tudományterület tárgykörébe tartozó feladatokban is. 1.6. összefüggések az általános háromszög oldalai és szögei között: szinusz- és koszinusztétel a szinusztétel kimondása és bizonyítása; a koszinusztétel kimondása és bizonyítása; a szinusz és koszinusztételre vonatkozó feladatok megoldásának gyakorlása; a szinusz- és koszinusztétel alkalmazása tetszőleges sokszögeken; megoldható feladatok gyakorlása szögfüggvények általánosításával Ismeri a szinusz és koszinusztétel bizonyítását és segítségükkel egy-két lépésből álló feladatokat meg tud oldani. Meg tud oldani több feltételes, összetett, szögek és oldalhosszak összefüggéseinek felhasználását igénylőgeometriai feladatokat. IV. VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA KÉPESSÉG- ÉS TUDÁSFEJLESZTÉS A VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA KONTEXTUSÁBAN 1. Valószínűség, statisztika Valószínűségszámítás, statisztika tanulása 2006/20/II. szám 1.1 relatív gyakoriság; a valószínűség klasszikus modellje; valószínűségi eloszlások; műveletek eseményekkel; statisztikai mintavételek a relatív gyakoriságról és a valószínűségről, annak klasszikus modelljéről tanultak felidézése, pontosítása, tisztázása; műveletek végzése eseményekkel: “és”, “vagy”, “nem” használata, műveletekkel megadott esemény valószínűségének vizsgálata független és nem független eredeti események valószínűségének függvényében; néhány konkrét valószínűségi eloszlás vizsgálata; egyszerű valószínűségszámítási problémák megoldása;statisztikai mintavételezés fogalmának megismerése számítógép alkalmazása véletlen jelenségek modellezésére, statisztikai adatok elemzésére, feldolgozására, szemléltetésére;mindennapi statisztikai problémák értelmezése, statisztikai zsebkönyvek, napi sajtó adatainak elemzése Ismeri a szemléletes kapcsolatot a relatív gyakoriság és a valószínűség között. Egyszerű valószínűségi feladatokat meg tud oldani. Ismeri és érti a valószínűség klasszikus modelljét. Eseményekkel tud műveleteket végezni, összetettebb valószínűségi feladatokat is meg tud oldani. V. TRIGONOMETRIA A TRIGONOMETRIÁHOZ KAPCSOLHATÓ TUDÁS ÉS KÉPESSÉGEK FEJLESZTÉSE 1.1. szögfüggvények szögfüggvények definícióinak felidézése; szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámolásához; nevezetes szögek és forgásszögek szögfüggvényeinek kiszámítása; a sinustétel és a cosinustétel felidézése; szögfüggvények alkalmazását megkívánó feladatok megoldása Pontosan ismeri a szögfüggvények fogalmát, ismeri és alkalmazni tudja a szögfüggvényekkel kapcsolatos tanult tételeket. Bizonyítani tudja a tanult tételeket és azokat összetett feladatok megoldása során alkalmazni képes. VI: KOORDINÁTA- GEOMETRIA A KOORDINÁTA- GEOMETRIÁHOZ KAPCSOLÓDÓ TUDÁS ÉS KÉPESSÉGEK FEJLESZTÉSE 1.1. vektorok vektorműveletek definícióinak felidézése, végzése; vektorműveletek végzése vektorkoordináták felhasználásával; vektorok hossza (abszolútértéke) definíciójának felidézése, adott vektor hosszának kiszámítása; vektorok felhasználása feladatmegoldásban Tud műveleteket végezni vektorokkal és ismeri felhasználási területeiket. Síkgeometriai, koordinátageometriai és fizikai feladatokat is meg tud oldani vektorok segítségével. 1.2. pont koordinátái szakasz adott arányú osztópontjának és háromszög súlypontjának vektorkoordinátáit megadó képletek felidézése; a képletek alkalmazása szakasz osztópontjának és súlypontjának kiszámítására derékszögű koordinátarendszerben; Konkrét esetekben tudja használni a felezőpontra, harmadolópontra, súlypontra vonatkozó összefüggéseket. alkalmazni tudja az osztópontra, súlypontra vonatkozó képleteket. 2006/20/II. szám Teljesítménykövetelmények a 10. évfolyamon TUDÁS – Ismerje és célszerűen, helyesen alkalmazni tudja:  A matematikai szaknyelv tanult logikai elemeit. A bizonyítás, cáfolás, sejtés, módszeres próbálkozás közötti intuitív különbséget. A tétel és az axióma fogalmát. Bizonyítási módszereket: skatulya-elv, indirekt módszer.  Az egész kitevőjű hatvány fogalmát. Az egész kitevőjű hatványok szorzására, osztására, hatványozására vonatkozó azonosságokat.  Az n-edik gyök fogalmát. A szorzat, hányados és hatvány és k-adik gyök n-edik gyökére vonatkozó azonosságokat és azok bizonyítását.  A törtrész és az egészrész fogalmát.  A valós számhalmazt és annak részhalmazaiból való felépítését. A természetes, egész, pozitív egész, racionális, irracionális, valós számhalmazok konvencionális jelölését.  Az algebrai kifejezések értelmezési tartományának fogalmát.  Egyváltozós polinomok, fokszámuk fogalmát.  Nevezetes algebrai azonosságokat (kéttagú és háromtagú összeg négyzete, kéttagú összeg köbe, azonos tényezők összegének és különbségének szorzata).  A számtani közép (átlag), a mértani közép, a harmonikus közép és a négyzetes közép fogalmát. A számtani, mértani, harmonikus és négyzetes közép közötti azonos egyenlőtlenséget.  Az egyenletek és egyenlőtlenségek alaphalmazának és megoldáshalmazának (igazsághalmazának) fogalmát.  A paraméter intuitív fogalmát.  Egyenletek fokának intuitív fogalmát. Másodfokú egyenletek általános alakját. Egyenletek gyökének fogalmát. Egyenletek gyöktényezős alakjának fogalmát.  Másodfokú egyenletek megoldóképletét, diszkriminánsát, gyökei és együtthatói közötti összefüggést. A megoldások számára vonatkozó, diszkrimináns előjelét érintő kritériumot.  A húrmódszert.  Az azonosság és azonos egyenlőtlenség fogalmát.  A függvény, értelmezési tartományának, a képhalmazának, az értékkészletének, monotonitásának, szélsőértékének, zérushelyének, paritásának, periodicitásának, korlátosságának, konvexitásának és konkávitásának fogalmát. Az egy-egyértelmű hozzárendelés fogalmát.  A függvénytranszformáció fogalmát. A lineáris függvénytranszformáció fogalmát. Az összetett függvény fogalmát. Az inverz függvény pontos fogalmát.  Az elsőfokú függvény fogalmát, képének jellemzőit, általános hozzárendelési szabályát, kapcsolatát az egyenes arányossággal. Az elsőfokú törtfüggvény fogalmát, képének jellemzőit, kapcsolatát a fordított arányossággal.  A másodfokú, a harmadfokú, az n-edik hatványfüggvény, n-edik gyökfüggvény fogalmát, jellemzőit n-től függően.  Az elemi trigonometrikus függvényeket, az abszolútérték-függvényt, az egészrészfüggvényt, a törtrészfüggvényt, a szignumfüggvényt, értelmezésüket, képüket és jellemzőiket.  Szög kiegészítő szögének és hegyesszög pótszögének fogalmát. Egyállású és váltószög fogalmát.  A szabályos sokszög fogalmát. A szabályos sokszög belső szögeinek nagyságát. Szabályos sokszög területét a körülírt kör sugarából és az oldalak számából levezető képletet.  A háromszög szögösszegét. A háromszög-egyenlőtlenséget. A háromszög nevezetes vonalainak fogalmát (oldalfelező merőleges, szögfelező, súlyvonal, magasságvonal, középvonal). Az oldalfelező merőlegesek, a szögfelezők, a súlyvonalak, és a magasságvonalak egy pontban metszéséről szóló tételeket, ezen metszéspontok elnevezését. A háromszög középvonalainak hosszára vonatkozó tételt. A háromszög területének kiszámítási módszereit (oldal és hozzá tartozó magasság, két oldal és a közbezárt szög, oldalak és a beírható kör sugara, az oldalak hossza ismeretében) és azok bizonyítását. Pitagorasz tételét, annak megfordítását és mindkettő bizonyítását. Thalész tételét. A magasságtételt, a befogótételt és bizonyítását.  Szögfüggvények értelmezését, használatát derékszögű háromszögben és az értelmezésük kiterjesztését tetszőleges nagyságú pozitív és negatív szögekre. Nevezetes szögek szögfüggvényértékeit. 2006/20/II. szám  Konvex négyszögek belső szögeinek összegére és külső szögeinek összegére vonatkozó tételeket. A téglalap, a négyzet, a rombusz, a paralelogramma, a trapéz, az érintőnégyszög és a húrnégyszög fogalmát. Az érintőnégyszögekre és a húrnégyszögekre vonatkozó tételeket és azok bizonyítását. A négyzet, a téglalap, paralelogramma, a trapéz és a deltoid területképletét.  A kör, sugár, húr, körív, érintő fogalmát. A kör középponti és kerületi szögeinek fogalmát. Az azonos körívhez tartozó kerületi és középponti szögek közötti összefüggést és annak bizonyítását. A látókör fogalmát. Az érintőszárú kerületi szög fogalmát, a kör érintője és érintési pontból húzott sugara merőlegességét. A körhöz húzott érintő- és szelőszakaszok tételét és azok bizonyítását. A kör terület-és kerületképletét.  A párhuzamos szelők tételét és annak megfordítását, mindkettő bizonyítását. A párhuzamos szelőszakaszok tételét és annak bizonyítását. Szakasz adott arányú felosztásának szerkesztési módját.  Az euklideszi szerkesztés alapelveit.  A geometriai transzformáció mint hozzárendelés fogalmát.  Az egybevágóság mint reláció definícióját, jelölését, szimmetricitását, tranzitivitását, reflexivitását. Az egybevágósági transzformáció pontos definícióját. A tengelyes tükrözés, a középpontos tükrözés, a pontra vonatkozó tükrözés, az elforgatás és az eltolás eljárását és tulajdonságait. Alakzatok tengelyes szimmetriájának, középpontos szimmetriájának, forgásszimetriájának fogalmát.  A középpontos hasonlósági transzformáció és az általános hasonlósági transzformáció definícióját. A hasonlósági definíció tulajdonságait. Alakzatok hasonlóságának fogalmát. Hasonló síkidomok területének aránya és a hasonlóság aránya összefüggését, ennek bizonyítását. Hasonló testek térfogatának aránya és a hasonlóság aránya összefüggését, ennek bizonyítását.  Háromszögek egybevágóságának elégséges feltételeit. Háromszögek, négyszögek, sokszögek és körök hasonlóságának elégséges feltételeit, ezek bizonyítását.  A permutáció, a kombináció, és a variáció fogalmát. A faktoriális fogalmát, kombinatorikai értelmét.  Az elemi esemény, az eseménytér, a relatív gyakoriság és a valószínűség fogalmát.

Source: https://magyarkozlony.hu/hivatalos-lapok/32a31ae8d2ae2c64e65238766067b1b93e48e40a/dokumentumok/34f20848a096688ac541654fd0eeed255f3fa4a2/letoltes