system: You are a trustworthy AI assistant. Your task is to answer the question honestly and not fabricate information.

user: Bạn có thể cung cấp thông tin về Dãy Lucas từ bách khoa toàn thư nha ?

assistant: Trong toán học, dãy Lucas formula_1 và formula_2 là các dãy số nguyên đệ quy không đổi thỏa mãn hệ thức truy hồi
với formula_4 và formula_5 là các số nguyên cho trước. Bất kỳ dãy số nào thỏa mãn hệ thức truy hồi này có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính các dãy Lucas formula_6 và formula_2 .
Nói chung, dãy Lucas formula_6 và formula_2 biểu diễn dãy đa thức hệ số nguyên với biến formula_4 và formula_5.
Các ví dụ nổi tiếng về dãy Lucas gồm dãy Fibonacci, số nguyên tố Mersenne, số Pell, số Lucas, số Jacobsthal và tập siêu số Fermat. Các dãy Lucas được đặt theo tên nhà toán học Pháp Édouard Lucas.
Hệ thức truy hồi.
Cho hai tham số nguyên "P" và "Q", dãy Lucas thứ nhất "U""n"("P","Q") và thứ hai "V""n"("P","Q") được xác định bằng hệ thức truy hồi :
và
Dễ thấy với formula_14 thì
Hệ thức trên có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:
Ví dụ.
Các phần tử ban đầu của dãy Lucas "U""n"("P","Q") và "V""n"("P","Q") được cho trong bảng:
Biểu thức tường minh.
Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi cho dãy Lucas formula_1 và formula_21 là:
Biệt thức delta formula_23 với:
thì:
Lưu ý rằng dãy formula_28 và dãy formula_29 cũng thỏa mãn hệ thức truy hồi nhưng không phải dãy số nguyên.
Nghiệm phân biệt.
Khi formula_30, "a" và "b" khác nhau thì có thể xác định:
Theo đó, dãy Lucas có thể được biểu diễn qua "a" và "b" như sau
Nghiệm trùng nhau.
Trường hợp formula_33 khi và chỉ khi formula_34 với formula_35 là số nguyên. Khi đó
Tính chất.
Hàm sinh.
Hàm sinh thông thường là
Phương trình Pell.
Khi formula_40, các dãy Lucas formula_6 và formula_2 sẽ thỏa mãn phương trình Pell:
Quan hệ khác.
Các phần tử của dãy Lucas thỏa mãn quan hệ tổng quát giữa dãy Fibonacci formula_55 và số Lucas formula_56. Ví dụ:
Tính chia hết.
formula_58 là bội số của formula_59, như vậyformula_60 là dãy chia hết. Cụ thể formula_1 chỉ có thể là số nguyên tố khi "n" là số nguyên tố. Hệ quả khác là thuật toán bình phương và nhân để tính nhanh formula_1 khi "n" có giá trị lớn. Hơn nữa, nếu formula_63 thì formula_60 là dãy số chia hết mạnh.
Các tính chia hết khác:
Mệnh đề cuối cùng khái quát Định lý nhỏ Fermat. Những tính chất này được dùng trong Kiểm tra tính nguyên tố Lucas-Lehmer. Mệnh đề đảo của mệnh đề cuối không đúng, vì đình lý đảo của định lý nhỏ Fermat cũng không đúng. Tồn tại hợp số "n" nguyên tố cùng nhau với "D" và chia hết formula_83, với formula_86. Hợp số này được gọi là số giả nguyên tố Lucas.
Thừa số nguyên tố của một phần tử trong dãy Lucas mà không chia hết bất kỳ phần tử nào trước đó trong dãy được gọi là primitive. Định lý Carmichael phát biểu rằng tất cả ngoại trừ rất nhiều số hạng trong dãy Lucas đều có thừa số nguyên tố. Thật vậy, Carmichael (1913) đã chỉ ra rằng nếu "D" dương và "n" khác 1, 2 hoặc 6 thì formula_68 có một thừa số nguyên tố primitive. Trong trường hợp "D" âm, Bilu, Hanrot, Voutier và Mignotte cho kết quả rằng nếu "n" &gt; 30, thì formula_68 có một thừa số nguyên tố primitive và xác định tất cả các trường hợp formula_68 không có thừa số nguyên tố primitive.
Một số trường hợp cụ thể.
Dãy Lucas cho một số giá trị cụ thể của "P" và "Q":
Một số dãy Lucas được ghi nhận trong Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến: