豪斯多夫悖論 豪斯多夫悖論是數學上一個以費利克斯豪斯多夫命名的悖論這悖論牽涉了   S  displaystyle  S 上的三維球 R  displaystyle R 這悖論指出若將特定的可數子集從   S  displaystyle  S 上移除的話那剩下的部分可分成三個不相交的集合 A displaystyle A  B displaystyle B 與 C displaystyle C 其中 A displaystyle A  B displaystyle B  C displaystyle C 與 B  C displaystyle Bcup C 都彼此全等特別地這指出在   S  displaystyle  S 上不存在定義於所有子集上且具有有限可加性的測度使得所有全等子集的測度彼此相等而這是因為若有這樣的測度的話那麼 B  C displaystyle Bcup C 就會同時是整個球的非零測度的    displaystyle      displaystyle  及    displaystyle   這悖論最早於年出現於Mathematische Annalen英语Mathematische Annalen及豪斯多夫同年出版的著作集合論基礎英语Grundzüge der Mengenlehre當中而更加有名的巴拿赫塔斯基定理其證明基於豪斯多夫的想法而這悖論的證明基於選擇公理 這悖論指出沒有任何有定義於球面上的限可加的測度其值對所有彼此全等的子集相等豪斯多夫同時也證明了沒有可以定義於所有子集上的可數可加測度而球旋轉所構成的群的結構在此扮演了關鍵角色而這敘述在平面或線段上不成立事實上巴拿赫後來證明說對歐幾里得平面上的所有有界子集而言定義一個使得所有彼此全等的子集都有著相等的測度的面積是可能的這點對實數線上的長度一樣成立然而這個巴拿赫測度英语Banach measure僅具有有限可加性因此這不是完全意義上的測度但對於使得所有彼此全等的子集都有著相等的測度這性質而言這測度與勒貝格測度相等而這表示說兩個在平面或實數上等可分解的equidecomposable開集具有相同的面積