代数基本定理 代数基本定理说明任何一个一元複系数多项式方程都至少有一个複数根也就是说複數域是代数封闭的 有时这个定理表述为任何一个非零的一元n次複系数多项式都正好有n个複数根重根視為多個根这似乎是一个更强的命题但实际上是至少有一个根的直接结果因为不断把多项式除以它的线性因子即可从有一个根推出有n个根也就是说任何一个n次多项式都可以因式分解为n个复系数一次多项式的乘积 尽管这个定理被命名为代数基本定理但它还没有纯粹的代数证明许多数学家都相信这种证明不存在另外它也不是最基本的代数定理因为在那个时候代数基本上就是关于解实系数或複系数多项式方程所以才被命名为代数基本定理 高斯一生总共对这个定理给出了四个证明其中第一个是在他岁时年的博士论文中给出的高斯给出的证明既有几何的也有函数的还有积分的方法高斯关于这一命题的证明方法是去证明其根的存在性开创了关于研究存在性命题的新途径 同时高次代数方程的求解仍然是一大难题伽罗瓦理論指出对于一般五次以及五次以上的方程不存在一般的代数解