不变子空间 数学上一个从某个线性空间 V displaystyle V 到自身的线性变换 T  V  V displaystyle TVrightarrow V 的不变子空间是 V displaystyle V 的一个子空间 W displaystyle W 使得 T  W  displaystyle TW 包含于 W displaystyle W  T displaystyle T 的一个不变子空间也称为是 T displaystyle T 不变的 若 W displaystyle W 为 T displaystyle T 不变我们限制 T displaystyle T 到 W displaystyle W 上得到一个新的线性变换 T  W  W  W displaystyle TWWrightarrow W 不变子空间的存在使得对于 T displaystyle T 的研究变得更为简单 当然 V displaystyle V 本身和子空间  displaystyle  是每个线性算子 T  V  V displaystyle TVrightarrow V 的平凡不变子空间对于特定的线性算子可能没有非平凡的不变子空间譬如考虑二维实向量空间的旋转 另一个例子是令 v displaystyle textbf v 为 T displaystyle T 的一个特征向量也即 T v  λ v displaystyle Ttextbf vlambda textbf v 则 W  span  v  displaystyle Wtextspantextbf v 是 T displaystyle T 不变的 进一步扩展这个例子我们可以证明每个在一个至少两维的复有限维向量空间的每个线性算子有一个非平凡的不变子空间 T displaystyle T 的特征值是 T displaystyle T 的特征多项式的零点而该多项式根据代数基本定理总是有零点的然后我们可以取对应于该特征值的一个特征向量张成的空间这个证明在实数域上不成立因为不是所有实多项式都有一个实根