正规数 数学上粗略来说正规数Normal Number指数字显示出随机分布且每个数字出现机会均等的实数数字指的是小数点前有限个数字整数部份以及小数点后无穷数字序列分数部份 设b是大于的整数x是实数考虑以b为底的位值记数法中x的数字序列若s是以b为底的有限数字序列我们以Nsn表示字串s在x的开首n个数字出现次数数x称为以b为底正规若对任意长度k的字串s lim n   N  s  n  n   b k displaystyle lim nto infty frac Nsnnfrac bk  即是说在x的数字中找到字串s的概率就像在完全随机生成的数字序列中的一样x称为正规数有时称为绝对正规数如果以任何b为底x都是正规 这个概念是由埃米尔博雷尔在年创造用波莱尔坎泰利引理他证明了正规数定理几乎所有实数是正规的意思是非正规数集合的勒贝格测度为这定理证明存在正规数但首先给出一个例子的是瓦茨瓦夫谢尔宾斯基Wacław Sierpiński 非正规数集合是不可数的这个结果容易得出想法是从每个实数中完全除去一个数字 钱珀瑙恩数Champernowne  是从连结所有自然数的数字而得出的数它以为底正规但可能在某些底不是正规 克柏蘭爾杜斯常數CopelandErdős  从连结所有质数的数字而得出的数也是以为底正规 无论在任何底下均没有为正规数的有理数因为它们的数字序列最终会循环出现瓦茨瓦夫谢尔品斯基在年给出第一个明确构造的一个正规数韋羅妮卡比彻Verónica Becher和桑蒂亞戈菲盖拉Santiago Figueira构造一个可计算英语Computable number正规数柴廷常數 Ω displaystyle Omega  给出一个不可计算的正规数例子 要证明一个不是明确构造为正规数的数的正规性非常困难例如的平方根  displaystyle sqrt  圆周率 π displaystyle pi  年時數學家证明了π的進數正规性可以由一个有关混沌理论的合理但尚未证明的猜想导出 的自然对数 ln   displaystyle ln  和e是否正规仍不知道但基于实验证据猜想它们很可能是正规数证明仍遥不可及就连哪些数字在这些常数的进表示法无穷次出现仍不知道大卫贝利David H Bailey和理查德克兰德尔Richard E Crandall在年猜想每个无理代数数是正规的雖没有找到反例卻還没有一个这样的数被证明在每个底都是正规的