三角平方數 三角平方數是既是三角形數又是平方數的數三角平方數有無限個可以由以下公式求得 N k           k        k   displaystyle Nk over leftleftsqrt rightkleftsqrt rightkright 找尋三角平方數的問題可用以下方法簡化成佩爾方程每個平方數的形式為 m  displaystyle m 三角形數的則為 n  n     displaystyle frac nn 於是求n m使得 n  n      m  displaystyle frac nnm n  n      m  displaystyle nnm n   n      m     displaystyle nnfrac mfrac   n    n     m    displaystyle nnm   n       m    displaystyle nm 設 k   n   displaystyle kn  p   m displaystyle pm 代入之得方程 k    p    displaystyle kp  第 k displaystyle k 個三角平方數 N displaystyle N 等於第 s displaystyle s 個平方數及第 t displaystyle t 個三角形數它們的關係為 s  N   N displaystyle sNsqrt N t  N     N  displaystyle tNlfloor sqrt Nrfloor  t displaystyle t 可以由下面的方式得出 t  N k            k       k           k    displaystyle tNk over leftleftleftsqrt rightkleftsqrt rightkrightleftkrightright N displaystyle N 亦可用遞歸的方式求得 N    displaystyle N N    displaystyle N N k   N k    N k     displaystyle NkNkNk 當 k displaystyle k 越大 t s displaystyle tfrac ts 就會趨近  displaystyle sqrt   N   s   t   t s   N   s   t   t s   N   s   t   t s   N   s   t   t s   N       s   t   t s   N       s   t   t s   N         s   t   t s   displaystyle beginmatrixNstfrac tsNstfrac tsNstfrac tsNstfrac tsNstfrac tsNstfrac tsNstfrac tsendmatrix 它們實際上是為偶數的佩爾數的一半再平方的值