切比雪夫函數 本文使用了數學技術上的對數表記在不另外說明的狀況下本文中所有的 log  x displaystyle log x 都應視為自然對數也就是一般常記為 ln  x displaystyle ln x 或 log e  x displaystyle log ex 的對數 在數學上切比雪夫函數Chebyshev Function可指一個標量化函數切比雪夫加權標量化函數或兩個彼此相關的函數的其中之一 切比雪夫第一函數First Chebyshev Function在文獻中一般記做 ϑ  x  displaystyle vartheta x 或 θ  x  displaystyle theta x 其形式如下 ϑ  x    p  x log  p displaystyle vartheta xsum pleq xlog p 其中 log displaystyle log  是自然對數而切比雪夫第一函數就是所有小於等於x的質數p的自然對數的總和 切比雪夫第二函數Second Chebyshev Function在文獻中一般記做 ψ  x  displaystyle psi x 其定義類似為所有小於等於x的質數p的冪的自然對數的總和而其形式如下 ψ  x    k  N  p k  x log  p   n  x Λ  n    p  x  log p  x  log  p  displaystyle psi xsum kin mathbb N sum pkleq xlog psum nleq xLambda nsum pleq xleftlfloor log pxrightrfloor log p 其中 Λ displaystyle Lambda  是馮曼戈爾特函數切比雪夫函數尤其切比雪夫第二函數 ψ  x  displaystyle psi x 經常出現於與質數相關的數學證明中而這是因為這些函數比質數計數函數 π  x  displaystyle pi x 還容易處理之故可見下等式一節說明 切比雪夫第一及第二函數都與x呈現非病態關係而這點等價於質數定理 除了上述的切比雪夫第一及第二函數外還有個與上述無關無關的切比雪夫加權標量化函數Tchebycheff function或weighted Tchebycheff scalarizing function或切比雪夫效用函數Chebyshev utility function其形式如下 f T c h b  x  w   max i w i f i  x   displaystyle fTchbxwmax iwifix 藉由最小化這方程式不同 w displaystyle w 的數值可得到帕累托前沿英语Pareto front的每個點甚至是非凸性的部分很多時候要最小化的不是 f i displaystyle fi 而是在給定標量 z i  displaystyle zi 的狀況下  f i  z i   displaystyle fizi 的數值而在這種狀況下有 f T c h b  x  w   max i w i  f i  x   z i    displaystyle fTchbxwmax iwifixzi  這三個函數皆以帕夫努季利沃维奇切比雪夫為名唯本文的主題是數論上的切比雪夫第一及第二函數切比雪夫加權標量化函數與這兩函數無關也不會出現在接下來的討論中