普朗歇爾定理 普朗歇爾定理又稱帕塞瓦爾普朗歇爾恒等式 是调和分析的重要定理由米歇爾普朗歇爾于年证明它指出函数平方的积分等于其频谱的平方的积分也就是说如果 f  x  displaystyle fx 是實數線上的函数并且 f   ξ  displaystyle widehat fxi  是它的频谱那么      f  x    d x       f   ξ    d ξ  displaystyle int infty infty fxdxint infty infty hat fxi dxi  或者寫成 L  displaystyle L 範數   f  x    L     f   ξ    L  displaystyle fxLhat fxi L 數學上更嚴格的描述是令函数 f displaystyle f 同时屬於两个L p空间 L   R  displaystyle Lmathbb R  和 L   R  displaystyle Lmathbb R  那么它的傅里叶变换 f  displaystyle hat f 屬於 L   R  displaystyle Lmathbb R   且為 L   R  displaystyle Lmathbb R  中的等距變換 這代表限制在 L   R   L   R  displaystyle Lmathbb R cap Lmathbb R  上的傅里叶变换有一個唯一的等距擴張 L   R   L   R  displaystyle Lmathbb R mapsto Lmathbb R  有時候這個擴張也被稱為普朗歇爾变换此變換同時也是幺正的透過此變換我們便可以好好的在平方可積函數上討論傅里叶变換 普朗歇爾定理可以被推廣到n维欧氏空间以及局部紧阿贝尔群上若是滿足一些其他的假設普朗歇爾定理有另一個版本在非交换局部紧緻群上成立更多細節可以參考非交换调和分析 由於在 L   R  displaystyle Lmathbb R  上內積與範數是相容的我們也可以把普朗歇爾定理应用到 L   R  displaystyle Lmathbb R  的内积上也就是說如果 f  x  displaystyle fx  g  x  displaystyle gx 是两个在 L   R  displaystyle Lmathbb R  內的函數 P displaystyle mathcal P 表示普朗歇爾变换则     f  x  g  x   d x       P f   ξ   P g   ξ   d ξ  displaystyle int infty infty fxoverline gxdxint infty infty mathcal Pfxi overline mathcal Pgxi dxi  而如果 f  x  displaystyle fx 和 g  x  displaystyle gx 屬於 L   R  displaystyle Lmathbb R  有  P f   ξ   f   ξ       f  x  e   π i ξ x d x  displaystyle mathcal Pfxi widehat fxi int infty infty fxepi ixi xdx 以及  P g   ξ   g   ξ       g  x  e   π i ξ x d x  displaystyle mathcal Pgxi widehat gxi int infty infty gxepi ixi xdx 所以     f  x  g  x   d x      f   ξ  g   ξ   d ξ  displaystyle int infty infty fxoverline gxdxint infty infty widehat fxi overline widehat gxi dxi