分形 分形英語fractal源自拉丁語frāctus有零碎破裂之意又稱碎形殘形通常被定義為一個粗糙或零碎的幾何形狀可以分成數個部分且每一部分都至少近似地是整體縮小後的形狀即具有自相似的性質分形在数学中是一种抽象的物体用于描述自然界中存在的事物人工分形通常在放大后能展现出相似的形状分形也被称为扩展对称或展开对称如果在每次放大后形状的重复是完全相同的这被称为自相似自相似的一个例子是门格海绵分形在不同的缩放级别上可以是近似相似的曼德博集合的放大图像中显示了这种模式分形也包有图像的细节重复自身的意味 分形与其他幾何圖形相似但又有所不同当缩放一个图形时就能看出分形和其他几何图形的区别将一个多边形的边长加倍它的面积变为原来的四倍新的边长与旧边长相比增加了倍而面积增加了倍即   displaystyle  倍平面内的多边形在二维空间中指数刚好是多边形所在的二维空间的维数类似的对于三维空间中的球如果它的半径加倍则它的体积变为原来的倍即   displaystyle  倍指数依旧是球所在空间的维数如果将分形的一维长度加倍如将康托三分集的初始线段长加倍分形空间的内容变为  n displaystyle n 倍此时n不一定是个整数幂指数n称为分形的维数它通常大于分形的拓撲維數 作为一个数学函数分形通常是处处不可微的无穷分形曲线可以理解为一条一维的曲线在空间中绕行它的拓撲維數仍然是但大于的分形维数暗示了它也有类似曲面的性质 我们可以从这些年来正式发表的文献中追踪分形概念的发展史从世纪有了递归的概念开始到世纪伯納德波爾查諾波恩哈德黎曼和卡尔魏尔斯特拉斯对连续不可微函数开创性的研究这些严谨的数学概念推动着分形的发展世纪时人们创造了分形这个词随之而来的是人们对分形和计算机建模和兴趣的迅速增长年本華曼德博首次提出分形fractal这个术语分形的拉丁文词源frāctus英语wiktfractusLatin有破坏破碎的意思曼德博将分形的概念从理论分形维数拓展到自然界中的几何图形 一個數學意義上碎形的生成是基於一個不斷迭代的方程式即一種基於遞歸的反饋系統碎形有幾種類型可以分別依據表現出的精確自相似性半自相似性和統計自相似性來定義权威学者们对分形的精确定义仍有争论曼德博自己将分形总结为美丽研究起来极其困难但又非常的有用这就是分形年曼德博提出了更正式的定义分形是一种其豪斯多夫维数严格大于拓撲維數的集合后来他认为这种定义过于严格于是简化并扩展了这个定义分形是由与整体在某些方面相似的部分构成的图形又过了一段时间曼德博决定使用以下方式来描述分形在研究和使用分形时不需要迂腐的定义用分形维数作为描述各种不同分形的通用术语 通常认为理论分形是无限迭代自相似的具有分形维数的详细数学结构人们创造了许多分形图形并进行了充分的研究分形并不限于几何图形它也可以描述时间序列雖然碎形是一個數學構造它們同樣可以在自然界中被找到這使得它們被劃入藝術作品的範疇碎形在醫學土力學地震学和技术分析中都有应用在自然技术艺术建筑和法律等领域人们对图形结构和音频中不同程度自相似的分形图形进行了研究并反过来利用分形理论取生成图形结构和音频分形和混沌理论密切相关因为混沌过程的图形大多数都是分形