变分法 变分法是处理泛函的数学领域和处理函数的普通微积分相对譬如这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造变分法最终寻求的是极值函数它们使得泛函取得极大或极小值有些曲线上的经典问题采用这种形式表达一个例子是最速降线在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式 变分法的关键定理是欧拉拉格朗日方程它对应于泛函的临界点在寻找函数的极大和极小值时在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似它不能分辨是找到了最大值或者最小值或者都不是 变分法在理论物理中非常重要在拉格朗日力学中以及在最小作用量原理在量子力学的应用中变分法提供了有限元方法的数学基础它是求解边界值问题的强力工具它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用而在纯数学中的例子有黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理 同样的材料可以出现在不同的标题中例如希尔伯特空间技术莫尔斯理论或者辛几何变分一词用于所有极值泛函问题微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域极小曲面肥皂泡上也有很多研究工作称为普拉托问题