沙普利-福克曼引理 沙普利福克曼引理是凸幾何英语Convex geometry的一條引理其於数理经济学有應用引理描述向量空間子集的閔可夫斯基和有何性質若干個集合的閔可夫斯基和即從各集合分別取一個元素相加組成的集合例如將整數  displaystyle  和  displaystyle  組成的集合與自身相加得到由          displaystyle    組成的集合以符號可寫成                     displaystyle  許多個集合的閔氏和是否必定近似凸集沙普利福克曼引理和相關的結果表明問題的答案為肯定集合稱為凸意思是連接其中任意兩點的线段必為該集合的子集舉例實心圓盤   displaystyle bullet  為凸集但圓   displaystyle circ  則不然因為連接相異兩點的線段   displaystyle oslash  並不是圓的子集沙普利福克曼引理大致斷言若求和項的數目超出向量空間的維數則其閔氏和將近凸 沙普利福克曼引理引入時是作為證明沙普利福克曼定理的一步該定理斷言閔氏和與其凸包的距離不超過某個上界所謂集合 Q displaystyle Q 的凸包是包含 Q displaystyle Q 的最小凸集而當且僅當和為凸時上述距離為零定理中距離的上界取決於維數 D displaystyle D 及求和項的形狀但不取決於求和的項數 N displaystyle N 而只需 N  D displaystyle ND 只要其中 D displaystyle D 個求和項的形狀就足以確定 N displaystyle N 個集合的閔可夫斯基平均集  N  Q   Q     Q N  displaystyle frac NleftQQcdots QNright 與其凸包的距離的上界當 N displaystyle N 趨向無窮時該上界遞減至零需要各求和項的大小一致有界斯塔Starr的推论將沙普利福克曼定理的上界壓得更低故又稱為沙普利福克曼斯塔定理 劳埃德沙普利和強福克曼英语Jon Folkman的引理最先由經濟學家羅斯斯塔英语Ross Starr發表其時斯塔正在肯尼斯阿罗門下研究經濟均衡的存在性斯塔在論文中研究凸化convexified經濟體即將非凸集換成其凸包斯塔證明凸化之後有些均衡由原經濟體的準均衡quasiequilibria逼近還證明每個準均衡都具有真均衡的許多最優性質而凸經濟體中則必定存在真均衡斯塔年的論文發表後沙普利福克曼斯塔的結果得到廣泛應用用作證明凸經濟理論的若干核心結果儘管不適用於有非凸部分的大經濟體但在此等經濟體中仍是良好的近似羅歇蓋內里英语Roger Guesnerie評論這些結論的一般形式的推導是戰後經濟理論的重大成就許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集英语Nonconvexity economics除了前述的劳埃德沙普利年獲獎外還有阿羅罗伯特约翰奥曼傑拉德德布魯特亚林科普曼斯保羅克魯曼保羅薩繆爾森至於互補的主題經濟學中的凸集英语Convexity in economics除以上得主著重外還有里奥尼德赫维克兹列昂尼德维塔利耶维奇康托罗维奇罗伯特索洛都著重 沙普利福克曼引理在優化論和概率论皆有應用優化論中可以引理解釋在求多個函数之和的最小值時為何一些解法可以成功概率論中引理適用於證明隨機集英语Stochastic geometry的大數定律此定理先前僅在凸集的情況得證