几何代数 数学中几何代数也称作实克利福德代数是初等代数的推广用于处理向量等几何对象几何代数由加法与几何积两种基本运算组成向量的乘积是更高维对象称作多重向量与其他处理几何对象的形式相比几何代数在支持不同维度的对象的向量除法与加法方面具有优势 几何积最早由赫尔曼格拉斯曼简单提及他的兴趣主要在于发展与之紧密相关的外代数年威廉金顿克利福德大大扩展了格拉斯曼的工作形成现在所谓克利福德代数以纪念他虽然克利福德自己称之为几何代数克利福德将克利福德代数及其积定义为格拉斯曼代数和哈密顿的四元数代数的统一加上格拉斯曼外积的对偶相遇就可以使用格拉斯曼凯莱代数后者的共形版本与共形克利福德代数一起产生了共形几何代数CGA为经典几何提供了框架实践中这些运算和一些可派生运算可将代数的元素子空间运算同几种几何解释对应起来几十年来几何代数有些被忽视了因为当时为描述电磁学产生的向量分析挤占了几何代数的地盘年代几何代数由大卫黑斯廷斯重新发掘出来主张其对相对论物理学的重要性 标量和向量有其通常的解释并构成几何代数的不同子空间二重向量可更自然地表示向量分析中的伪向量如有向面积旋转的有向角度挠角动量与电磁场三重向量可表示有向体积等等称作刃的元素可用于表示V的子空间及其上的正交投影旋转与反射也可用元素表示不同于向量分析几何代数可自然地容纳任何维度和任何二次型如相对论中的二次型 几何代数在物理学中的应用有时空代数及不太常见的物理空间代数与共形几何代数几何微积分是几何代数的推广包含了微分和积分可用于形成其他理论如复分析和微分几何例如用克利福德代数代替微分形式大卫黑斯廷斯和Chris Doran等人一直主张将几何代数作为物理学的主要数学框架支持者声称几何代数为包括经典力学量子力学电磁学相对论等许多领域提供了紧凑而直观地描述几何代数还被用作计算机图形学和机器人学的计算工具