四頂點定理 四頂點定理是微分幾何關於平面曲線的整體性質的定理這定理指出一條簡單閉曲線的曲率函數如果不是常值便有至少四個局部極值更確切地說這函數有至少兩個局部極大值和兩個局部極小值 年斯亞馬達斯穆科帕迪亞亞最先證明這定理對凸曲線即有嚴格正曲率成立他的證明用到了以下結果曲線上一點的曲率是極值當且僅當在該點的密切圓與曲線有點切觸密切圓與曲線一般只有點切觸年阿道夫克內澤爾證明了定理在一般情況成立 四頂點定理的逆定理指在圓上定義任意連續實值函數使得有兩個局部極大值和兩個局部極小值那麼這函數是一條簡單平面閉曲線的曲率函數年赫爾曼格盧克證出嚴格正函數的情形他證明在n維球面預先定義曲率的更一般定理以上結果是其特例比約恩達爾貝里在他年月去世前不久證明逆定理的完整版本他的證法用到卷繞數類似代數基本定理的拓撲證明 這定理的一個推論是任何在平面上滾動受重力作用的均勻板都有至少四個平衡點它的三維推廣並不容易實際上存在少於四個平衡點的三維凸均勻體見Gömböc