子群 假設  G    displaystyle G 是一個 群group若 H displaystyle H 是 G displaystyle G 的一個非空子集subset且同時 H displaystyle H 與相同的二元運算  displaystyle  亦構成一個群則  H    displaystyle H 稱為  G    displaystyle G 的一個 子群subgroup參閱群論 更精確地來說若運算  displaystyle  在 H displaystyle H 的限制也是個在 H displaystyle H 上的群運算则称 H displaystyle H 為 G displaystyle G 的子群 一個群 G displaystyle G 的 純子群 是指一個子群 H displaystyle H 其為 G displaystyle G 的純子集即 H displaystyle H  G displaystyle G 任一個群總會有兩個子群 當然群為只包含單位元素的子群e以及 群本身若 H displaystyle H 為 G displaystyle G 的子群則 G displaystyle G 有時會被稱為 H displaystyle H 的母群 相同的定義可以應用在更廣義的範圍內當 G 為一任意的半群但此一條目中只處理群的子群而已群G 有時會被標記成有序對G通常用以強調其運算  displaystyle  當 G 帶有多重的代數或其他結構 在下面的文章中會使用省略掉  displaystyle  的常規並將乘積ab寫成 ab