四元群 在群論裡四元群 Q  displaystyle Q Quaternion Group 是指一個階為的非交換群常被簡寫為 Q displaystyle Q 且用乘法的形式表示包含下列個元素 Q     i  j  k      i   j   k  displaystyle Qijkijk 其中  displaystyle  代表單位元素且        displaystyle  對於每個元素 a  Q displaystyle ain Q 有     a   a  a     displaystyle aaa 的關係另外 i   j   k   i j k    displaystyle ijkijk Q displaystyle Q 的凱萊表如下 需要特別留意這個群不是交換群例如 i j   j i  j i displaystyle ijjineq ji  Q displaystyle Q 有著漢彌爾頓群較不常見的性質每一個 Q displaystyle Q 的子群都是其正規子群但這個群不是交換的每一個漢彌爾頓群都會含有一個或多個 Q displaystyle Q  在抽象代數裡可以造出一個其基底為    i  j  k  displaystyle ijk 的四維實向量空間並使用上面的乘法表和分配律來形成一個結合代數稱為一個四元數的除環需要注意的是這不是在 Q displaystyle Q 上的群代數其應該是維的相反地也可以先由四元數開始再定義出由八個元素    i  j  k      i   j   k  displaystyle ijkijk 所組成之乘法子群作為四元群 i  j  k displaystyle ijk 都是 Q displaystyle Q 中階為的元素任意選擇其中兩個就可以生成出整個群 Q displaystyle Q 有著下列的展現 presentation  x  y  x     x   y   y x y    x    displaystyle langle xymid xxyyxyxrangle  其中可以取 i  x displaystyle ix  j  y displaystyle jy 及 k  x y displaystyle kxy  Q displaystyle Q 的中心及交換子群為       displaystyle  其商群 Q        displaystyle Q 同構於克萊因四元群 Klein fourgroup V displaystyle V 而 Q displaystyle Q 的內自同構群 Inner Automorphism Group 同構於 Q displaystyle Q 同餘其中心且因此也會同構於克萊因四元群 Q displaystyle Q 的自同構群會同構於對稱群 S  displaystyle S  Q displaystyle Q 的外自同構群因此為 S   V  S  displaystyle SVcong S  四元群 Q displaystyle Q 亦可視為是作用於在有限體 G F    displaystyle mathbf GF  上之二維向量空間的八個非零元素關於其圖像請見圖像化GLp页面存档备份存于互联网档案馆