元数学 元数学英語Metamathematics又译为超数学使用数学技术来研究数学本身的一门学科一般来说元数学是一种将数学作为人类意识和文化客体的科学思维或知识更进一步来说元数学是一种用来研究数学和数学哲学的数学数学的数学是于世纪初由通常的数学分离出来的它最初研究的对象是在所谓的数学危机将二者混为一谈会导致一些矛盾典型例子有理查德悖论 比如说元数学的主题之一就是分析某些数学要素是否在任意的数学系统中都是可证实或者证伪的 许多关于数学基础与数学哲学的论说都涉及元数学的概念它们往往不能被当作我们通常所说的问题来处理元数学的基本假设是数学的内容可以由一个形式系统获得比如一个序理论或一个公理化集合论 元数学与数理逻辑休戚相关因而这两者的发展也大同小异元数学的发端大概要追溯到弗雷格的工作概念文字大卫希尔伯特首先引进了带有正则性的元数学metamathematics with regularity这一说法见希尔伯特计划这也就是现在所说的证明论另一个重要的现代分支是模型论这一领域的其他重要人物有伯特兰罗素斯科尔姆Thoralf Skolem普斯特Emil Post邱奇克莱尼蒯因贝纳瑟拉夫Paul Benacerraf普特南柴汀Gregory Chaitin以及最著名的塔斯基和哥德尔特别地哥德尔证明了给定任意有限多条皮亚诺算术的公理都存在一些正确的命题无法用所给公理来证明即所谓的哥德尔不完备定理某种意义上来说这一结果是迄今为止元数学与数学哲学的最高成就