連續小波轉換 在数学中连续小波变换Continuous Wavelet Transform CWT是一种时频分析工具通过让小波函数Wavelet的平移参数和尺度参数连续变化提供信号的过完备表示 函数 x  t  displaystyle xt 在尺度 a  R   displaystyle ain mathbb R  和位置 b  R displaystyle bin mathbb R  的连续小波变换表示为积分 X w  a  b     a         x  t  ψ   t  b a  d t displaystyle Xwabfrac aint infty infty xtoverline psi leftfrac tbarightdt 其中 ψ  t  displaystyle psi t 称为母小波是在时间和频率域中的连续函数   displaystyle bar cdot  表示复共轭母小波的主要目的是为生成子小波即母小波的尺度伸缩和平移提供原函数逆连续小波变换Inverse continuous wavelet transform可以用于恢复信号 x  t  displaystyle xt  x  t   C ψ          X w  a  b    a     ψ   t  b a  d b   d a a  displaystyle xtCpsi int infty int infty infty Xwabfrac atilde psi leftfrac tbarightdb frac daa ψ   t  displaystyle tilde psi t 是 ψ  t  displaystyle psi t 的对偶函数且 C ψ      ψ    ω  ψ    ω   ω  d ω displaystyle Cpsi int infty infty frac overline hat psi omega hat tilde psi omega omega domega  为容许性常数式中   displaystyle hat cdot  表示傅里叶变换算子当母小波函数自对偶时即 ψ   t   ψ  t  displaystyle tilde psi tpsi t 容许性常数为 C ψ        ψ   ω     ω  d ω displaystyle Cpsi int infty infty frac lefthat psi omega rightleftomega rightdomega  一般来说该常数为小波的容许性常数Admissible constant满足   C ψ   displaystyle Cpsi infty  的小波称为容许小波Admissible wavelet容许小波满足 ψ       displaystyle hat psi  即积分为恢复信号 x  t  displaystyle xt 的另一种逆连续小波变换为 x  t     π ψ              a  X w  a  b  exp   i t  b a  d b   d a displaystyle xtfrac pi overline hat psi int infty int infty infty frac aXwabexp leftifrac tbarightdb da 该式说明小波可以定义为 ψ  t   w  t  exp   i t  displaystyle psi twtexpit 其中 w  t  displaystyle wt 是一个窗这种小波称为解析小波Analyzing wavelet因为它被用于时频分析Timefrequency analysis解析小波不一定是容许小波