代數數論 在數學中代數數論英語Algebraic number theory是數論的一支在这个数学分支中數的概念延伸到代数数上以解決具體的數論問題這類數是有理係數多項式的根與此相關的概念是數域這是有理數域的有限擴張依照同样的动机整數可以被推广为為代數整數然后研究一個數域裡的代數整數 代數整數在加法減法與乘法下構成一個環但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上其中一個例子是素因數分解的唯一性又稱算術基本定理這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙然而代數數論的應用不僅止於此數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數整數的性質包括伽羅瓦理論伽羅瓦上同調類域論群表示论與L函數的相關理論等等 數論中的許多問題可藉由模 p其中 p 為素數來研究這套技術導向p進數的建構而p進數是局部域的例子局部域的研究運用了一些研究數域時的相同方法但是通常更容易處理各個局部域上性质时常可以上升到整体數域上性质例如哈瑟原理 一個有理係數二次方程在有理數域上有解若且唯若它在實數上及在每個素數 p 之 p進數域上有解 這類結果往往被稱作局部整體原理其中局部意指局部域而整體意指數域