指标的上升和下降 在数学与数学物理中给定流形 M 上一个张量若在 M 已有一个非退化形式比如黎曼度量或闵可夫斯基度量我们可将指标上升或下降将一个  k  l  displaystyle kl 张量变成一个  k    l    displaystyle kl 张量上升或一个  k    l    displaystyle kl 张量下降 这里记号  k  l  displaystyle kl 用于表示张量的秩 k  l displaystyle kl 有 k displaystyle k 个上指标和 l displaystyle l 个下指标 可以这样做将张量乘以共变或反变度量张量然后做缩并下文在对重复指标 j displaystyle j 求和时使用爱因斯坦记号 乘以反变度量张量然后缩并上升指标 g i j A j  A i  displaystyle gijAjAi 而乘以共变度量张量然后缩并下降指标 g i j A j  A i  displaystyle gijAjAi 对同一个指标先上升然后下降或顺序相反得到原来的张量这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆 g i j g j i  g i j g j i  g i i  T r g  N  displaystyle gijgjigijgjigiiTrgN 这里 N 是流形的维数注意下降一个指标不要求形式非奇异但相反的过程需要非奇异条件