可解群 在數學的歷史中群論原本起源於對高于四次的一元多项式方程無一般的公式解之證明的找尋最終随着伽羅瓦理论的提出而确立可解群的概念產生於描述其根可以只用根式平方根立方根等等及其和與積表示的多項式所对应的自同構群所擁有的性質 一個群被稱為可解的若它擁有一個其商群皆為阿貝爾群的正規列或者等價地說若其降正規列 G  G     G       displaystyle Gtriangleright Gtriangleright Gtriangleright cdots  之中每一個子群都會是前一個的导群且最後一個為G的平凡子群上述兩個定義是等價的对一個群H及H的正規子群N其商群HN為可交換的若且唯若N包含著H 對於有限群有一個等價的定義為一可解群為一有著其商群皆為質數階的循環群之合成列的群此一定義會等價是因為每一個簡單阿貝爾群都是有質數階的循環群若爾當赫爾德定理表示若一個合成列有此性質則其循環群即會對應到某個體上的n個根但此一定義的等價性並不必然於無限群中亦會成立例如因為每一個在加法下的整數群Z的非當然子群皆同構於Z本身它不會有合成列但是其有著唯一同構於Z的商群之正規列Z證明了其確實是可解的 和喬治波里亞的格言若有一個你無法算出的問題則會有的你可以算出的較簡單的問題相一致的可解群通常在簡化有關一複雜的群的推測至一系列有著簡單結構阿貝爾群的群的推測有著很有用的功用