黎曼-西格尔公式 在数学中黎曼西格尔公式是黎曼ζ函數的近似函数方程误差的渐近公式前者是ζ函數的近似值由两个有限狄利克雷级数的和来近似Siegel 在波恩哈德黎曼年代一篇未发表的手稿中发现这个公式西格尔从黎曼西格尔积分公式中推导出它这是一个涉及ζ函数围道积分的表达式该公式通常用于计算黎曼西格尔公式的值与欧德里兹科肖恩哈格算法相结合可以大大加快算法的速度当沿着临界线使用时通常将其变换为关于Z函数的公式比较有用 如果M和N是非负整数那么ζ函数等于 ζ  s    n   N  n s  γ    s   n   M  n   s  R  s  displaystyle zeta ssum nNfrac nsgamma ssum nMfrac nsRs 其中 γ  s   π    s Γ  s   Γ       s   displaystyle gamma spi tfrac sfrac Gamma lefttfrac srightGamma lefttfrac sright 是函数方程ζs  γs ζ  s中出现的因数且 R  s    Γ    s   π i    x  s   e  N x e x   d x displaystyle Rsfrac Gamma spi iint frac xseNxexdx 是一个围道积分围道的起点和终点在处并最多绕绝对值奇点πM圈近似函数方程给出了误差项大小的估计Siegel 和Edwards 通过将最速下降法应用于该积分推导出黎曼西格尔公式将误差项Rs渐近展开为Ims的负幂次级数在应用中s通常位于临界线上并且选择正整数M和N约为πImsGabcke 发现了一个黎曼西格尔公式误差的较好界限