梯度定理 梯度定理英語gradient theorem也叫线积分基本定理是说标量场梯度沿曲线的积分可用标量场在该曲线两端的值之差来计算 设函数 φ  U  R n  R displaystyle varphi Usubseteq mathbb R nto mathbb R  则 φ  q   φ  p    γ  p  q   φ  r   d r  displaystyle varphi leftmathbf q rightvarphi leftmathbf p rightint gamma mathbf p mathbf q nabla varphi mathbf r cdot dmathbf r  梯度定理把微积分基本定理从直线数轴推广到平面空间乃至一般的 n displaystyle n 维空间中的曲线 梯度定理表明梯度场的曲线积分是路径无关的这是物理学中保守力的定义方式之一如果 φ displaystyle varphi  是位势则  φ displaystyle nabla varphi  就是保守向量场上面的公式表明保守力做功只和物体运动路径的端点有关而与路径本身无关 梯度定理有个逆定理是说任何路径无关的向量场都可以表示为某个标量场的梯度这个逆定理和原定理一样在纯粹和应用数学中有很多推论和应用