有界函数 在数学中如果在某个集合 X displaystyle X 上定义的具有实数或复数值的某个函数 f displaystyle f 的值域是有界集合则函数 f displaystyle f 被称为有界的或有界函数换句话说存在实数 M   displaystyle M 使得对于集合 X displaystyle X 中的所有 x displaystyle x 都有  f  x    M displaystyle fxleq M 有时如果对于集合 X displaystyle X 中的所有 x displaystyle x 都有 f  x   A displaystyle fxleq A 则函数 f displaystyle f 称为上有界的 A displaystyle A 就是它的一个上界如果对于集合 X displaystyle X 中的所有 x displaystyle x 都有 f  x   B displaystyle fxgeq B 则函数称为下有界的 B displaystyle B 就是它的一个下界 一个特例是有界数列其中 X displaystyle X 是所有自然数所组成的集合 N displaystyle mathbb N  所以一个数列 f   a   a   a     displaystyle faaaldots  是有界的如果存在一个数 M   displaystyle M 使得对于所有的自然数 n displaystyle n 都有  a n   M displaystyle leftvert anrightvert leq M