闭值域定理 闭值域定理是数学中的巴拿赫空间理论中的一个定理给出了闭合稠定线性算子closed英语Closed graph propertyDensely defined operator英语Densely defined operator的值域为闭集的充要条件这一定理由斯特凡巴拿赫于年在线性算子理论Théorie des opérations linéaires一文中给出了证明 设X与Y为巴拿赫空间若T  DX  Y是一个闭合的线性算子它的定义域DX在X中稠密而 T  displaystyle scriptstyle T 是它的转置算子则定理指出如下四个结论等价 T displaystyle scriptstyle T 的值域像 Im   T  displaystyle scriptstyle operatorname Im T 是 Y displaystyle scriptstyle Y 中的闭集 T  displaystyle scriptstyle T 的值域 Im   T   displaystyle scriptstyle operatorname Im T 是 X displaystyle scriptstyle X 的对偶空间 X  displaystyle scriptstyle X 中的闭集 Im   T   Ker   T      y  Y   x   y     x   Ker   T    displaystyle operatorname Im Toperatorname Ker Tperp yin Ylangle xyrangle quad forall quad xin operatorname Ker T Im   T    Ker   T     x   X    x   y     y  Ker   T    displaystyle operatorname Im Toperatorname Ker Tperp xin Xlangle xyrangle quad forall quad yin operatorname Ker T 此定理有一些直接的推论比如当且仅当算子的转置存在连续的逆算子时continuous inverse存在一个稠定线性算子T使得ImT  Y相似地当且仅当T存在连续的逆算子时 Im   T    X  displaystyle scriptstyle operatorname Im TX