费曼-卡茨公式 费曼卡茨公式是一个数学公式与定理得名于理查德费曼和马克卡茨将随机过程和抛物型偏微分方程结合在一起使用费曼卡茨公式可以通过将某些抛物型偏微分方程的解写成随机过程的条件期望的方式从而将求此类微分方程的数值解转化为模拟随机过程的路径反过来此一类随机过程的期望可以通过确定性的计算偏微分方程求解得到考虑偏微分方程  u  t  μ  x  t   u  x    σ   x  t    u  x   V  x  t  u  f  x  t   t     T   x  R displaystyle frac partial upartial tmu xtfrac partial upartial xfrac sigma xtfrac partial upartial xVxtufxtqquad qquad tin Txin mathbb R  满足边界条件 u  x  T   ψ  x   displaystyle uxTpsi x 其中的 μ    σ    ψ  V displaystyle mu  sigma  psi V 是已知的函数   T displaystyle  T 是给定的参数 u  R     T   R displaystyle umathbb R times Tto mathbb R  是所求的解函数费曼卡茨公式声明这个偏微分方程的解函数可以写成某个随机过程的条件期望 u  x  t   E   t T e   t s V  X τ     d τ f  X s  s  d s  e   t T V  X τ  d τ ψ  X T   X t  x  displaystyle uxtEleftint tTeint tsVXtau  dtau fXssdseint tTVXtau dtau psi XTXtxright 其中   X   X t  t    displaystyle  XleftXttgeqslant right 是由以下的随机动力方程 d X t  μ  X t  t  d t  σ  X t  t  d W t  displaystyle dXtmu Xttdtsigma XttdWt 决定的伊藤随机过程其中的   W t displaystyle  Wt 是维纳过程Wiener过程又称为布朗过程   X t displaystyle  Xt 满足初始条件   X   x displaystyle  Xx