基数指派 在集合论中势的概念可以有相當的發展而無需借助于定义基数为理论自身内的对象这实际上是弗雷格采用的观点弗雷格基数基本上是指在等勢關係下由在全集中的集合所組成的各個等价类勢的概念可以依据函数的单射双射与满射概念來闡述比如透過單射可以给出在整个全集上通过大小比較的預序关系 A  c B    f   f  A  B displaystyle Aleq cBiff exists ffAto B 是单射  displaystyle   它不是真的排序因为三分律不一定成立如果 A  c B displaystyle Aleq cB 和 B  c A displaystyle Bleq cA 都为真则通过 康托尔伯恩斯坦施罗德定理 A  c B   displaystyle AcB  为真就是说 A 和 B 是等势的但作為集合它们可以不是相等的 A  c B  B  c B  A  c B displaystyle Aleq cBBleq cBAcB 三者至少一种情况成立這一陳述等价于选择公理 不过多数关于势和它的算术的有趣结果可以只通过 c 来表达 基数指派的目标是把每个集合 A 指派到特定的唯一的一个集合所指派的集合只取決於 A 的势这跟康托尔最初對基數的設想是一致的取一个集合并把它的元素抽象为规范单位再把这些单位收集到另一个集合中使得有关这个集合唯一特殊的事情是它的大小這類集合在  c displaystyle leq c 下會是全序的而c 會變成真正的等號不過如 Y N Moschovakis 所说这只是作為體現数学簡潔性的一个練習你不会得到更多东西除非你对下标过敏但是在集合论的各种模型中有真实基数的各种有价值的应用 在现代集合论中我们通常使用冯诺伊曼基数指派它使用序数的理论与选择公理和替代公理的全部能力基数指派需要完全的选择公理如果我们想要像样的基数算术和对所有集合的基數指派