线性近似 在数学中线性近似就是用线性函数对普通函数进行近似这个线性函数称为仿射函数 例如有一个实数变量的可导函数 f根据 n 的泰勒公式 f  x   f  a   f     a   x  a   R  displaystyle fxfaf axaR 其中 R  displaystyle R 是余数舍去余数就是线性近似 f  x   f  a   f     a   x  a  displaystyle fxapprox faf axa 当 x 无限接近于 a 的时候这个等式成立右侧的表示是 f 在点 a fa 处的切线因此这个过程也叫作切线近似 我们也可以对以向量作为变量的向量函数作线性近似这时在该点的导数用雅可比矩阵代替例如一个有实数变量的可导函数 f  x  y  displaystyle fxy 可以用函数 f  x  y  displaystyle fxy 在接近  a  b  displaystyle ab 的  x  y  displaystyle xy 点处的值来近似 f  x  y   f  a  b    f  x  a  b   x  a    f  y  a  b   y  b   displaystyle fleftxyrightapprox fleftabrightfrac partial fpartial xleftabrightleftxarightfrac partial fpartial yleftabrightleftybright 方程右侧是 z  f  x  y  displaystyle zfxy 在点  a  b   displaystyle ab 处的平面切线 在更具普遍意义的巴拿赫空间上 f  x   f  a   D f  a   x  a  displaystyle fxapprox faDfaxa 其中 D f  a  displaystyle Dfa 是函数 f displaystyle f 在 a displaystyle a 处的 Fréchet 导数