伊藤积分 伊藤微积分英語Itō calculus得名自日本數學家伊藤清是將微積分的概念擴展到隨機過程中像布朗运动維納過程就可以用伊藤微积分進行分析主要應用在金融數學及隨機微分方程中伊藤微积分的中心概念是伊藤积分是將傳統的黎曼斯蒂爾傑斯積分延伸到隨機過程中隨機過程一方面是一個隨機變數而且也是一個不可微分的函數 藉由伊藤积分可以將一個隨機過程被积分函数對另一個隨機過程積分變數進行積分積分變數一般會布朗运动從  displaystyle  到 t displaystyle t 的積分結果是一個隨機變數此隨機變數定義為一特定隨機變數序列的極限有許多等效的方式可建構上述的定義 伊藤积分是对半鞅X以及随机过程H的积分   t H d X  lim n    t i    t i  π n H t i    X t i  X t i     displaystyle int tHdXlim nrightarrow infty sum titiin pi nHtiXtiXti 这里X是布朗运动或者更广义地是一个半鞅H是一个适配于由X生成的筛选的本地平方可积分的过程Revuz  Yor Chapter IV布朗运动的路径无法满足应用于微积分标准技术的需求特别地其在任意点不可微并且在每一个时间间隔都有无限变差其结果是无法用普通的方法定义积分参考黎曼斯蒂尔杰斯积分主要的创新是只要调配被积函数就可以定义一个积分不严格的讲即t时刻它的值仅仅依靠此时刻之前的可用信息 伊藤过程的重要结果包括分部積分公式和伊藤引理即变量公式的变形这些由于二次方差项都与标准微积分公式不同 股票价格和其他可交易资产的价格可以通过随机过程进行建模例如布朗运动或者更经常的几何布朗运动参见布莱克舒尔斯模型然后伊藤随机积分代表在时间t持有一定数量Ht的股票对其进行连续交易的回报这种情况下调配H就相应于在任何时候只使用可用信息的交易策略限制这也阻止了通过高频交易获得无限收益的可能性市场中每个上涨之前买入股票每个下跌之前卖出股票相似地调配H的条件暗示当作为黎曼和极限进行计算的时候随机积分不会收敛Revuz  Yor Chapter IV