狄利克雷η函数 在数学的解析数论领域狄利克雷η函数定义为 η  s         s  ζ  s  displaystyle eta sleftsrightzeta s 其中 ζ 是黎曼ζ函數但η函数也用常来定义黎曼ζ函數 对实部为正数的复数s也可定义为狄利克雷级数表达式形式 η  s    n        n   n s  displaystyle eta ssum ninfty n over ns 表达式仅当实部为正数时收敛对任意复数该表达式是一个阿贝尔和可定义为一个整函数并由此可知ζ函數是一个极点在s  的单极点亚纯函数 等价定义为 η  s    Γ  s     x s exp   x    d x x displaystyle eta sfrac Gamma sint infty frac xsexpxfrac dxx 定义在复平面上实部为正的区域该定义形式是一个Mellin变换 GH哈代给出一个函数方程的简单证明 η   s    π  s   s sin   π s   Γ  s  η  s     displaystyle eta spi sssin leftpi s over rightGamma seta s 因此能将其扩展到整个复数域