牛顿分形 牛顿分形英語Newton fractal是将牛顿法应用于一给定多项式pZ  ℂZ或超越函数而得到的复平面上的一个边界集它是由牛顿法所定义的亚纯函数z  z  pzpz的朱利亚集当不存在吸引循环阶数大于时它将复平面划分为不同的区域Gk每个区域与多项式的根ζk相关联其中k    degp此时牛顿分形类似于曼德博集合并且与其他分形一样它将简单的数学描述变成了非常繁复的图像从数值分析的角度而言牛顿分形表现出牛顿法在二次收敛区域之外对于初始点的选择非常敏感 将复平面上的某一点作为牛顿法迭代zn    zn  pznpzn的初始点z可以通过迭代得到一个点序列z z 如果这一序列收敛于根ζk则将z划入区域Gk如此便能将复平面上的这一点与多项式的某一个根相对应不过值得注意的是对于二次以上的多项式都存在一些点会使得牛顿迭代无法收敛到任何根上例如不同根的吸引域的边界甚至存在一些多项式某些开集中的任意初始点都无法收敛到任何根上一个简单的例子是z  z  某些点会被吸引到循环中而不被任何根所吸引 如果以一个开集中的任意点为初始点迭代最终都收敛于某一根或循环则该集合是这一牛顿迭代的法图集一个法图集对应于一个根或循环所有这些法图集的并集与朱利亚集为互补集这一朱利亚集即是法图集的共同边界因此朱利亚集中的每个点都是每个法图集的一个聚点正是由于这一性质导致了朱利亚集的分形结构当多项式的次数大于时 为了绘制一个牛顿分形图像可以首先选择指定数量d的复点ζ  ζd并计算多项式的系数p  pd p  z   z d  p  z d      p d   z  p d   z  ζ    z  ζ     z  ζ d  displaystyle pzzdpzdcdots pdzpdzzeta zzeta cdots zzeta d  于是对于复平面上的一个矩形网格 z m n  z   m Δ x  i n Δ y  m      M    n      N   displaystyle zmnzmDelta xinDelta yquad mldots Mquad nldots N 找到每个点mn对应的根ζkmn的编号kmn并通过为每一点分配一个颜色fkmn来填充这一M  N网格另外颜色可以取决于距离Dmn对于某一固定的小ε  距离D可以定义为第一个使得zD  ζkmn  ε成立的D值