自由阿贝尔群 数学中自由阿贝尔群是有基的阿贝尔群阿贝尔群是配备了符合结合律交换律且有逆的运算的集合若对群中每个元素可以唯一表示为有限多基元素的整数系数组合那么这些基元素就构成了基也称作整基是集合的子集例如维整格形成了一个自由阿贝尔群其中逐坐标加法是其运算两个点是基自由阿贝尔群的性质与向量空间相近可以叫做自由 Z displaystyle mathbb Z  模是整数上的自由模格理论研究实向量空间的自由阿贝尔子群代数拓扑中自由阿贝尔群用于定义链代数几何中则用于定义除子 自由阿贝尔群的元素有多种用基 B displaystyle B 描述的方式如 B displaystyle B 上的形式和是有限级数  a i b i textstyle sum aibi 的表示其中 a i displaystyle ai 为非零整数 b i displaystyle bi 为互异的基元素另外自由阿贝尔群的元素还可以视作由 B displaystyle B 的元素构成的有符有限多重集多重集元素的乘法等同于形式和中的系数 另一种表示方法是 B displaystyle B 到整数的函数其中有有限个非零值这种函数表示对应的群运算是函数的逐点加法 每个集合与自己的基 B displaystyle B 都有自由阿贝尔群在每两个基相同的自由阿贝尔群同构的意义上是唯一的自由阿贝尔群的构造不是通过描述每个元素而是用基 B displaystyle B 构造为多个整数加群的直和每个加群对应一个基元还可以描述为基元素及其生成元的展示元素对的交换子为其关系元自由阿贝尔群的秩就是基的势一个群的两个基秩相同秩相同的两个自由阿贝尔群同构自由阿贝尔群的每个子群也是自由阿贝尔群这使自由阿贝尔群可以视作是自由阿贝尔群按关系relation的商或自由阿贝尔群之间单射同态的余核属于自由阿贝尔群的自由群是平凡群和循环群