庞特里亚金最大化原理 庞特里亚金最大化原理Pontryagins maximum principle也根据使用条件稱為庞特里亚金最小化原理或最大值原理及最小值原理是最优控制中的理論是在狀態或是輸入控制項有限制條件的情形下可以找到將动力系统由一個狀態到另一個狀態的最優控制信號此理論是蘇俄數學家列夫庞特里亚金及他的學生在年提出的這是变分法中歐拉拉格朗日方程的特例 簡單來說此定理是指在所有可能的控制中需讓控制哈密頓量control Hamiltonian取極值極值是最大值或是最小值則依問題以及哈密頓量的符號定義而不同正式的用法也就是哈密頓量中所使用的符號會取到最大值但是此條目中使用的符號定義方式會讓極值取到最小值 若 U displaystyle mathcal U 是所有可能控制值的集合則此原理指出最優控制 u  displaystyle u 必須滿足以下條件 H  x   t   u   t   λ   t   t   H  x   t   u  λ   t   t    u  U  t   t   t f  displaystyle Hxtutlambda ttleq Hxtulambda ttquad forall uin mathcal Uquad tin ttf 其中 x   C   t   t f  displaystyle xin Cttf 是最佳狀態軌跡而 λ   B V  t   t f  displaystyle lambda in BVttf 是最佳 協態軌跡 此結果最早成功的應用在輸入控制有限制條件的最小時間問題中不過也可以用在狀態有限制條件的問題中 也可以推導控制哈密頓量的特殊條件若最終時間 t f displaystyle tf 固定且控制哈密頓量不是時間的顯函數   H  t    displaystyle lefttfrac partial Hpartial tequiv right 則 H  x   t   u   t   λ   t    c o n s t a n t displaystyle Hxtutlambda tequiv mathrm constant  若最終時間沒有限制則 H  x   t   u   t   λ   t     displaystyle Hxtutlambda tequiv  若在某一軌跡上滿足庞特里亚金最大化原理此原理是最佳解的必要条件哈密顿雅可比贝尔曼方程 提供了最佳解的充份必要條件但該條件須在整個狀態空間中都要成立