实数 在數學中实数英語real number是有理數和無理數的总称前者如  displaystyle     displaystyle     displaystyle frac  后者如  displaystyle sqrt   π displaystyle pi  等实数可以直观地看作小數有限或無限的它們能把数轴填滿但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體实数和虚数共同构成复数 根据日常经验有理數集在數軸上似乎是稠密的于是古人一直认为用有理數即能滿足測量上的實際需要以邊長為  displaystyle  公分的正方形為例其對角線有多長在規定的精度下比如誤差小於  displaystyle  公分總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果比如  displaystyle  公分但是古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度這徹底地打擊了他們的數學理念他們原以為 任何兩條線段的長度的比可以用自然數的比來表示 正因如此畢達哥拉斯本人甚至有萬物皆數的信念這裡的數是指自然數        displaystyle ldots  而由自然數的比就得到所有正有理數而有理數集存在縫隙這一事實對當時很多數學家來說可謂極大的打擊見第一次數學危機 從古希臘一直到世紀數學家們才慢慢接受無理數的存在並把它和有理數平等地看作數後來有虚数概念的引入為加以區別而稱作實數意即實在的數在當時儘管虛數已經出現並廣為使用實數的嚴格定義卻仍然是個難題以至函數極限和收斂性的概念都被定義清楚之後才由十九世紀末的戴德金康托尔等人對實數進行了嚴格處理 所有实数的集合則可稱為实数系real number system或实数连续统任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系在保序同构意义下它是惟一的常用 R displaystyle mathbb R  表示由于 R displaystyle mathbb R  是定义了算数运算的运算系统故有实数系这个名称