随机分析 随机分析stochastic calculus是对随机过程进行运算的概率论分支主要内容有伊藤积分随机微分方程又包括随机偏微分方程和倒向随机微分方程等等 随机性模型是指含有随机成份的模型与确定性模型的不同可以很好地用以下例子解释在赌场里赌大小如果有人认为三次连开大第四次必然开小那么此人所用的既是确定性模型但是常识告诉我们第四次的结果并不一定与之前的结果相关联在世纪科学界深深地被黑天鹅效应和卡尔波普尔的批判理性主义所影响所以现代自然科学都以统计与归纳法作为理论基础大体说统计学是適用确定性模型与随机性模型作比较的一门学科 应用随机分析的最知名的随机过程是维纳过程得名于诺伯特维纳用于模拟Louis Bachelier和爱因斯坦描述的布朗运动及受随机力作用的粒子在空间的其他扩散过程年代以来维纳过程被广泛用于金融数学和经济学中以模拟股价和债券利率随时间演化的过程 随机分析的主要形式是伊藤积分及其变分法相对的马利阿温积分由于技术原因伊藤积分对一般过程最有用但相关的随机积分在问题的表述尤其是工科中也经常有用随机积分可以很容易地转化为伊藤积分反之亦然随机积分的主要优点是遵循通常的链式法则不需要伊藤引理使问题可以用不变坐标系表达这对于在Rn以外的流形上发展随机分析非常重要 但是随机积分不遵循控制收敛定理因此若不以伊藤形式重新表达积分就很难证明结果