上同调环 代数拓扑中拓扑空间X 的上同调环是由X的上同调群与上积组成的环此处上同调指奇异上同调不过环结构也存在于德拉姆上同调等其他理论中它也是函子式的对于空间中的连续映射可在上同调环上得到反变contravariant的环同态 具体来说给定X上的上同调群 H k  X    R  displaystyle HkX R 序列其系数在交换环R一般是ZnZ QRC中就可以定义上积 H k  X  R   H ℓ  X  R   H k  ℓ  X  R   displaystyle HkXRtimes Hell XRto Hkell XR 上积给出了上同调群 H   X  R    k  N H k  X  R   displaystyle Hbullet XRbigoplus kin mathbb N HkXR 的直和的乘法将 H   X  R  displaystyle Hbullet XR 变成了环实际上它自然是一个N次环非负整数k为次数上积保持分次不变 上同调环是分次交换的即上积与由分次定义的符号交换具体地对度为kℓ的纯元素有  α k  β ℓ       k ℓ  β ℓ  α k   displaystyle alpha ksmile beta ell kell beta ell smile alpha k 上同调环衍生出的一个数值不变量是上积长cuplength即度数 积不为零的分次元素的最大数目例如复射影空间的上积长等于其复维度