热核 热核英語heat kernel在数学中是指热方程的基本解其也是拉普拉斯算子谱分析中的重要工具之一对于固定边界的区域当边界温度给定并于t  时在其中某一点放置一单位热能时热核表示此后区域内温度的变化过程 最常见的热核为d维欧几里得空间Rd上的热核该热核为随时间变化的高斯函数其表达式为 K  t  x  y      π t  d   e   x  y     t displaystyle Ktxyfrac pi tdexyt 该热核是热方程  K  t  t  x  y   Δ x K  t  x  y  displaystyle frac partial Kpartial ttxyDelta xKtxy 的解其中t  xy  RdΔ则表示拉普拉斯算子方程的初始条件为 lim t   K  t  x  y   δ  x  y   δ x  y  displaystyle lim tto Ktxydelta xydelta xy 其中δ表示狄拉克δ函数对任一紧支撑的光滑函数φ有 lim t    R d K  t  x  y  ϕ  y  d y  ϕ  x   displaystyle lim tto int mathbf R dKtxyphi ydyphi x 对于Rd上的一般区域热核并没有显式的表达式当区域为圆盘或方形时热核则分别为贝塞尔函数与雅可比Θ函数可以证明对任意黎曼流形当边界条件充分正则时热核存在且在t时光滑