黎曼流形 黎曼流形Riemannian manifold是一個微分流形其中每點p的切空間都定義了點積而且其數值隨p平滑地改變它容許我們定義弧線長度角度面積體積曲率函數梯度及向量域的散度 每個Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量把Rn的點積都限制於切空間內實際上根据纳什嵌入定理所有黎曼流形都可以這樣产生 我們可以定義黎曼流形為和Rn的平滑子流形是等距同构的度量空間等距是指其内蕴度量intrinsic metric和上述从Rn导出的度量是相同的这對建立黎曼幾何是很有用的 黎曼流形可以定义为平滑流形其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面它可產生度量空間 如果γ  a b  M是黎曼流形M中一段連續可微分的弧線我們可以定義它的長度Lγ為 L  γ    a b  γ   t   d t displaystyle Lgamma int abgamma tdt 注意γt是切空間M在γt點的元素是切空間的內積所得出的範數 使用这个长度的定义每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空間甚至是長度度量空間在x與y兩點之間的距離dx y定義為 dxy  inf Lγ  γ是连接x和y的一条光滑曲线 虽然黎曼流形通常是弯曲的直線的概念依然存在那就是測地線 在黎曼流形中測地線完备的概念和拓撲完备及度量完备是等价的每个完备性都可以推出其他的完备性这就是HopfRinow定理的内容