极向–环向分解 在向量分析中极向环向分解英文poloidaltoroidal decomposition是亥姆霍兹分解的一个受限制的形式常用于螺线向量场在球坐标系下的分析如磁场和不可压缩流体等考虑一个三维向量场F满足   F    displaystyle nabla cdot mathbf F  可以被表示为一个轴矢量场toroidal vector field和一个极矢量场poloidal vector field的和 F  T  P    Ψ r       Φ r   displaystyle mathbf F mathbf T mathbf P nabla times Psi mathbf r nabla times nabla times Phi mathbf r  其中 r displaystyle mathbf r  是球坐标  r  θ  ϕ  displaystyle rtheta phi  中的径向矢量纵场 T displaystyle mathbf T  为 T    Ψ r displaystyle mathbf T nabla times Psi mathbf r  Ψ  r  θ  ϕ  displaystyle Psi rtheta phi  为一标量场横场 P displaystyle mathbf P  为 P      Φ r displaystyle mathbf P nabla times nabla times Phi mathbf r  Φ  r  θ  ϕ  displaystyle Phi rtheta phi  为一标量场这一向量分解法是对称的因为纵场的旋度是横场而横场的旋度是纵场纵场与球心在原点的球面相切 r  T   displaystyle mathbf r cdot mathbf T   而横场的旋度同样地与这些球面相切 r     P    displaystyle mathbf r cdot nabla times mathbf P   若标量场 Ψ displaystyle Psi  和 Φ displaystyle Phi  的平均值在任意半径为 r displaystyle r 的球面上都等于零则这一分解方式是唯一的