圓周摺積 兩個函數的圓周摺積是由他們的週期延伸所來定義的週期延伸意思是把原本的函數平移某個週期 T 的整數倍後再全部加起來所產生的新函數 x  t  displaystyle xt 的週期延伸可以寫成 x T  t     d e f    k     x  t  k T    k     x  t  k T   displaystyle xTt stackrel mathrm def  sum kinfty infty xtkTsum kinfty infty xtkT 兩個函數 x  t  displaystyle xt 與 h  t  displaystyle ht 的圓周摺積  x  h   t  displaystyle xotimes ht 可用兩種互相等價的方式來定義 y  t    t o t o  T h T  τ   x T  t  τ  d τ      h  τ   x T  t  τ  d τ   x T  h   t   displaystyle beginalignedytint totoThTtau cdot xTttau dtau int infty infty htau cdot xTttau dtau quad quad xThtendaligned 其中  displaystyle  表示原本的線性摺積 類似地對於離散信號數列可以定義週期 N 的圓周摺積  x  h   n  displaystyle xotimes hn 為  x N  h   n    m     h  m   x N  n  m    m      h  m    k     x  n  m  k N    displaystyle beginalignedxNhnsum minfty infty hmcdot xNnmsum minfty infty lefthmcdot sum kinfty infty xnmkNrightendaligned 如果引入循环矩阵那么两个长度都为 N 的离散信号长度不一致则可以通过补零来对齐两信号的循环卷积则可以写成矩阵的形式设有长度为 N 的离散信号 x   x  x   x N    T displaystyle boldsymbol xbeginbmatrixxxcdots xNendbmatrixrm T 则由该向量构建的循环矩阵有如下形式 C x   x  x N    x  x  x   x      x N   x N    x    displaystyle mathbf C xbeginbmatrixxxNcdots xxxcdots xvdots vdots ddots vdots xNxNcdots xendbmatrix 此时信号 x  R N   displaystyle boldsymbol xin mathbb R Ntimes  与信号 y  R N   displaystyle boldsymbol yin mathbb R Ntimes  的圆周卷积可以写为 x  y  C x y  displaystyle boldsymbol xotimes boldsymbol ymathbf C boldsymbol xboldsymbol y 離散信號的圓周摺積可以經由圓周摺積定理使用快速傅立葉變換FFT而有效率的計算因此若原本的線性摺積能轉換成圓周摺積來計算會遠比直接計算更快速考慮到長度 L displaystyle L 和長度 M displaystyle M 的有限長度離散信號做摺積之後會成為長度 L  M   displaystyle LM 的信號因此只要把兩離散信號補上適當數目的零zeropadding成為 N 點信號其中   N  L  M   displaystyle Ngeq LM   則它們的圓周摺積就與摺積相等即可接著用 N 點 FFT 作計算 用以上方法計算摺積時若兩個信號長度相差很多則較短者須補上相當多的零太不經濟而且在某些情況下例如較短的 h  n  displaystyle hn 是一個 FIR 濾波器而較長的 x  n  displaystyle xn 是未知長度的輸入像語音時直接用以上方法要等所有的輸入都收到後才能開始算輸出信號太不方便這時可以把 x  n  displaystyle xn 分割成許多適當長度的區塊稱為 block convolution然後一段一段的處理經過濾波後的段落再仔細的連接起來藉由輸入或輸出的重疊來處理區塊連接的部份這兩種做法分別稱為重疊儲存之摺積法和重疊相加之摺積法