對偶間隙 對偶間隙是應用數學中最佳化問題的詞語是指原始解和對偶解之間的差距若 d  displaystyle d 是對偶問題解對應的值而 p  displaystyle p 是原始問題最佳解對應的值則對偶間隙為 p   d  displaystyle pd 針對最小化的最佳化問題對偶間隙恆大於等於零對偶間隙為零若且唯若強對偶英语strong duality的條件成立不然對偶間隙為嚴格正值此時即為弱對偶英语weak duality 一般而言給定二個對偶對英语dual pair的分隔局部凸空間英语locally convex space  X  X   displaystyle leftXXright 及  Y  Y   displaystyle leftYYright 假定函數 f  X  R      displaystyle fXto mathbb R cup infty  可以定義原始問題為 inf x  X f  x   displaystyle inf xin Xfx 若有限制條件可以整合到函數 f displaystyle f 中方式是令 f  f  I constraints displaystyle ffItextconstraints 其中 I displaystyle I 是示性函数則令 F  X  Y  R      displaystyle FXtimes Yto mathbb R cup infty  是擾動函數英语perturbation function使得 F  x     f  x  displaystyle Fxfx 則對偶間隙即為以下的差值 inf x  X  F  x      sup y   Y    F     y    displaystyle inf xin XFxsup yin YFy 其中 F  displaystyle F 為二個變數的凸共轭 在計算最优化中會提到另一種對偶間隙是對偶解以及原始問題次最佳但是可行解之間的差距這種對偶間隙反映了目前可行但可能只是次最佳的迭代解和對偶問題解之間的差距對偶問題解是指規律性條件下等於原始問題凸鬆弛convex relaxation下的解凸鬆弛是指將問題中非凸可行集合改為閉凸包將非凸函數改為凸的閉集函數的上境圖英语epigraph mathematics是原始目標函數的閉凸包