射影表示 在表示论中群 G displaystyle G 在域 F displaystyle F 上的向量空間 V displaystyle V 上的射影表示指从 G displaystyle G 到射影线性群 P G L displaystyle PGL 的一個群同態 G  P G L  V   G L  V   F  displaystyle Gto mathrm PGL Vmathrm GL VF 其中 G L  V  displaystyle mathrm GL V 表示在域 F displaystyle F 上向量空間 V displaystyle V 的可逆线性变换构成的一般线性群而 F  displaystyle F 視為純量積映射 v  c v displaystyle vmapsto cv 其中 c  F  displaystyle cin F  若 V displaystyle V 維度有限選定基底後可將 P G L  V  displaystyle mathrm PGL V 理解為 P G L  n  F  displaystyle mathrm PGL nF 即 n  n displaystyle ntimes n 階可逆矩陣對正規子群 F   i d V displaystyle Fcdot mathrm id V 之商群 對於給定的群表示 ρ  G  G L  V  displaystyle rho Gto mathrm GL V 與商映射 p  G L  V   P G L  V  displaystyle pmathrm GL Vto mathrm PGL V 合成後可得到一個射影表示較常探討的是逆向的問題如何將一個射影表示 ρ   G  P G L  V  displaystyle bar rho Gto mathrm PGL V 提升至一個表示 ρ  G  G L  V  displaystyle rho Gto mathrm GL V 使得 p  ρ  ρ  displaystyle pcirc rho bar rho   對於提升問題通常採取如下進路取同態 ρ   G  P G L  V  displaystyle bar rho Gto mathrm PGL V 與 p  G L  V   P G L  V  displaystyle pmathrm GL Vto mathrm PGL V 的纖維積得到一個中心擴張   F   G   G L  V    displaystyle to Fto tilde Gto mathrm GL Vto  其中 G     g  M   G  G L  V   p  M   ρ  g   displaystyle tilde GgMin Gtimes mathrm GL VpMrho g  這類擴張由群上同調 H   G L  V   F   displaystyle Hmathrm GL VF 分類若此擴張是平凡的則 ρ  displaystyle bar rho  可提升至 G displaystyle G 的表示即使此表示無法提升仍可退而求其次藉群上同調研究擴張的性質例如擴張對應的上同調類 α  H   G L  V   F   displaystyle alpha in Hmathrm GL VF 滿足 n α   displaystyle nalpha  若且唯若 ρ  displaystyle bar rho  可提昇為某個中心擴張   μ n  G   G L  V    displaystyle to mathbf mu  nto hat Gto mathrm GL Vto  的 G  displaystyle hat G 的表示