海森堡模型 海森堡模型英語Heisenberg model是一個自旋系統的統計力學的模型常被用來研究磁性系統和強關聯電子系統中的相變與臨界點的現象临界现象在量子力學發展初期海森堡首先提出自旋與自旋之間可能存在交互作用其數學形式是兩個自旋角動量的內積 S  i  S  j displaystyle vec Sicdot vec Sj 海森堡模型的哈密頓算符是這些內積的總和 H   i j J i j S  i  S  j displaystyle Hsum ijJijvec Sicdot vec Sj 其中自旋角動量的 x displaystyle x  y displaystyle y  z displaystyle z 三個分量之間的互易關係為  S i α  S j β   i ℏ δ i j ϵ α β γ S j γ displaystyle Sialpha Sjbeta ihbar delta ijepsilon alpha beta gamma Sjgamma   ℏ displaystyle hbar  為普朗克常數除以  π displaystyle pi  為了方便以下討論假設 ℏ   displaystyle hbar  如果只考慮最近鄰的自旋才存在交互作用且交互作用的強度 J i j displaystyle Jij 都均等則哈密頓算符簡化為 H  J   i  j  S  i  S  j  J   i  j   S i x S j x  S i y S j y  S i z S j z  displaystyle HJsum langle ijrangle vec Sicdot vec SjJsum langle ijrangle leftSixSjxSiySjySizSjzright 可定義上昇算符 S  displaystyle S 和下降算符 S  displaystyle S  S   S x  i S y displaystyle Spm Sxpm iSy 則哈密頓算符可寫成 H  J   i  j      S i  S j   S i  S j    S i z S j z  displaystyle HJsum langle ijrangle leftfrac leftSiSjSiSjrightSizSjzright 相較於易辛模型海森堡模型除了考慮自旋 z displaystyle z 軸方向上的耦合以外還考慮了 x displaystyle x 和 y displaystyle y 軸方向上的耦合由於  S i α  S j β   i δ i j ϵ α β γ S j γ displaystyle Sialpha Sjbeta idelta ijepsilon alpha beta gamma Sjgamma  這使研究海森堡模型必須考慮量子力學