质量矩阵 在分析力学中质量矩阵是质量到廣義坐標概念上的推广它给出了系统广义坐标q的变化率和系统动能T的关系即 T    q  T M q  displaystyle Tfrac dot qmathrm T Mdot q 其中 q  T displaystyle dot qmathrm T  是向量 q  displaystyle dot q 的 转置 若粒子质量 m displaystyle m 速度v 那么单个粒子的动能T为 T    m  v      v  m v displaystyle Tfrac mvfrac vcdot mv 将系统中每个粒子的位置用q表示可推导出上述的一般关系式 例如在一维中讨论两体粒子系统这样一个系统的位置具有个自由度每个粒子的位置都可由广义位置矢量描述 x   x  x   T displaystyle mathbf x xxmathrm T  假设粒子具有质量 m  displaystyle m 和 m  displaystyle m 系统的动能为 E   i      m i x i   displaystyle Esum ifrac midot xi 将质量列写成矩阵 M   m    m   displaystyle Mbeginbmatrixmmendbmatrix 那么总动能由下列公式给出 E    x  T M x  displaystyle Efrac dot mathbf x mathrm T Mdot mathbf x  在多维情况下质量矩阵会变得更为复杂例如在二维情况下一个给定的粒子具有两个自由度因此如果第i 个粒子对应自由度j 和j那么 M j  j  M j    j    m i displaystyle MjjMjjmi 在如刚体动力学之类质量是分布式的情况下的应用中非对角线元素非零的情况也是存在的 一般地质量矩阵M依赖于位置矢量q且随时间变化拉格朗日力学中常微分方程组描述了在系统中由粒子的位置所定义的广义坐标矢量随时间的变化方程中的动能公式表示所有粒子的总动能