超限数 超限数是大于所有有限数但不必為绝对无限的基数或序数分別叫做超穷基数英語transfinite cardinal number和超穷序数英語transfinite ordinal number术语超限transfinite是康托尔提出的他希望避免词语无限infinite和那些只不过不是有限finite的那些对象有关的某些暗含當時其他的作者少有这些疑惑现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的但是术语超限仍在使用 超穷序数可以確定超穷基数並導出阿列夫数序列 对于有限数有两种方式考虑超限数作为基数和作为序数不像有限基数和序数超限基数和超限序数定义了不同类别的数 最小超限序数是ω 第一个超限基数是aleph ℵ  displaystyle aleph  整数的无限集合的势如果选择公理成立下一个更高的基数是aleph ℵ  displaystyle aleph  如果不成立则有很多不可比较于aleph并大于aleph的其他基数但是在任何情况下没有基数大于aleph并小于aleph 连续统假设声称在aleph和连续统实数的集合的势之间没有中间基数就是说aleph是实数集合的势已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假由于不完备性的影响 某些作者比如SuppesRubin使用术语超限基数来称呼戴德金无限集合的势在可以不等于无限基数的上下文中就是说在不假定可数选择公理成立的上下文中给定这个定义下列是等价的 m displaystyle mathbf m  是超限基数就是说有一个戴德金无限集合A使得A的势是 m displaystyle mathbf m   m    m displaystyle mathbf m mathbf m   ℵ   m displaystyle aleph leq mathbf m   有一个基数 n displaystyle mathbf n  使得 ℵ   n  m displaystyle aleph mathbf n mathbf m