麦克斯韦-玻尔兹曼统计 麦克斯韦玻尔兹曼统计是描述独立定域粒子体系分布状况的统计规律 所谓独立定域粒子体系指的是这样一个体系粒子间相互没有任何作用互不影响并且各个不同的粒子之间都是可以互相区别的在量子力学背景下只有定域分布粒子体系中的粒子是可以相互区分的因此这种体系被称为独立定域粒子体系而在经典力学背景下任何一个粒子的运动都是严格符合力学规律的有着可确定的运动轨迹可以相互区分因此所有经典粒子体系都是定域粒子体系在近独立假设下都符合麦克斯韦玻尔兹曼统计 因而符合麦克斯韦玻尔兹曼统计分布的粒子当他们处于某一分布  N j  displaystyle leftNjright 某一分布指这样一种状态即在能量为  ϵ j  displaystyle leftepsilon jright 的能级上同时有 N j displaystyle Nj 个粒子存在着不难想象当从宏观观察体系能量一定的时候从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态而且在这些不同的分布状态中总有一些状态出现的几率特别的大而其中出现几率最大的分布状态被称为最可几分布时体系总状态数为 W  N   j  g j N j N j   displaystyle WNprod jleftfrac gjNjNjright g j    N j    W j   displaystyle gjNjWj 我們想要求出數列 N i displaystyle Ni 在什麼條件之下 W displaystyle W 會得到極大值 但我們要注意的是數列 N i displaystyle Ni 必須滿足粒子總數固定且能量固定的條件利用 W displaystyle W 或 ln   W  displaystyle lnW 來求出粒子分配時最概然分佈的條件是等價的然而基於數學上的理由我們取後者的極大值會較為方便由於 N i displaystyle Ni 並非完全獨立因此我們採用拉格朗日乘数法以求出 ln   W  displaystyle lnW 的極值 令 f  N   N       N n   ln   W   α  N   N i   β  E   N i ϵ i  displaystyle fNNNnlnWalpha Nsum Nibeta Esum Niepsilon i 利用斯特靈公式作為階乘的近似 N   N N e  N displaystyle Napprox NNeN 我們得到 ln   N    N ln  N  N displaystyle lnNNln NN 代入 ln   W  displaystyle lnW 有 ln  W  ln   N   i   n g i N i N i    ln  N    i   n  N i ln  g i  N i ln  N i  N i  displaystyle ln Wln leftNprod limits infrac giNiNirightln Nsum limits inleftNiln giNiln NiNiright 最後我們得到 f  N   N       N n   N ln   N   N  α N  β E   i   n  N i ln  g i  N i ln  N i  N i   α  β ϵ i  N i  displaystyle fNNNnNlnNNalpha Nbeta Esum limits inleftNiln giNiln NiNialpha beta epsilon iNiright 根據拉氏乘法原則我們對 f  N   N       N n  displaystyle fNNNn 的每一項 N i displaystyle Ni 做偏微分並令其等於  f  N i  ln  g i  ln  N i   α  β ϵ i    displaystyle frac partial fpartial Niln giln Nialpha beta epsilon i 即 N i  g i e α  β ϵ i displaystyle Nifrac giealpha beta epsilon i 利用其他熱力學的方法可以證明 β  kT  k displaystyle k 是波茲曼常數T 是絕對溫標 并且 α  μkT  μ 是化學勢 最後我們得到 N i  g i e  ϵ i  μ   k T displaystyle Nifrac gieepsilon imu kT 由于量子统计在数学处理上非常困难因此在处理实际问题时经常引入一些近似条件使费米狄拉克统计和玻色爱因斯坦统计退化成为经典的麦克斯韦玻尔兹曼统计