积分 积分英語Integral是微积分学与数学分析裡的一个核心概念通常分为定积分和不定积分两种直观地说对于一个给定的正实值函数 f  x  displaystyle fx  f  x  displaystyle fx 在一个实数区间  a  b  displaystyle ab 上的定积分  a b f  x  d x displaystyle int abfxmathrm d x 可以在数值上理解为在 O x y displaystyle textstyle Oxy 坐标平面上由曲线  x  f  x   displaystyle xfx  x   a  b  displaystyle xin ab 直线 x  a displaystyle xa  x  b displaystyle xb 以及 x displaystyle x 轴围成的曲边梯形的面积值 f  x  displaystyle fx 的不定积分或原函数是指任何满足导数是函数 f  x  displaystyle fx 的函数 F  x  displaystyle Fx 一个函数 f  x  displaystyle fx 的不定积分不是唯一的只要 F  x  displaystyle Fx 是 f  x  displaystyle fx 的不定积分那么与之相差一个常数的函数 F  x   C displaystyle FxC 也是 f displaystyle f 的不定积分 微积分基本定理是微积分学中的一条重要定理由艾萨克牛顿和戈特弗里德威廉莱布尼茨在十七世纪分别独立发现微积分基本定理将积分与微分建立联系通过找出一个函数的原函数即可方便地计算它在一个区间上的积分积分和导数已成为高等数学中最基本的工具并在自然科学和工程学中得到广泛运用 积分的一个严格的数学定义由波恩哈德黎曼给出因此习惯上我们常见的积分也称为黎曼积分黎曼的定义运用了极限的概念把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限从十九世纪起更高级的积分定义逐渐出现有了对各种积分区间上的各种类型的函数的积分对微分形式的积分是微分几何中的基本概念 对积分概念的推广来自于物理学的需要并体现在许多重要的物理定律中尤其是电动力学现代的积分概念基于测度论主要是由昂利勒貝格建立的勒贝格积分