巴拿赫代数 泛函分析中得名于斯特凡巴拿赫的巴拿赫代数是实数或复数或非阿基米德完备赋范域上的结合代数A同时也是巴拿赫空间即在范数导出的度量中完备的赋范空间范数要满足  x y      x   y   x  y  A  displaystyle xy leq xyquad forall xyin A 这确保了乘法运算连续 若巴拿赫代数对乘法有范数为的单位元则称其是含幺的unital若其乘法是可交换的则称其可交换任意巴拿赫代数A无论有无单位元都可等距同构地嵌入含幺巴拿赫代数 A e displaystyle Ae 从而形成 A e displaystyle Ae 的闭理想通常会先验地假设所考虑的代数是含幺的因为可以先考虑 A e displaystyle Ae 再在原始代数中应用结果来发展许多理论不过并非总如此例如无法在巴拿赫代数中定义不含单位元的三角函数 实巴拿赫代数的理论可能异于复巴拿赫代数例如非平凡复巴拿赫代数中元素的谱不会是空的而实巴拿赫代数中某些元素的谱可能是空的 巴拿赫代数也可以定义在P进数域上这是P进数分析的一部分