主曲率 在微分几何中在曲面给定点的两个主曲率principal curvatures衡量了在给定点一个曲面在这一点的不同方向怎样不同弯曲的程度 在曲面上取一点E曲面在E点的法线为z轴过z轴可以有无限多个剖切平面每个剖切平面与曲面相交其交线为一条平面曲线每条平面曲线在E点有一个曲率半径不同的剖切平面上的平面曲线在E点的曲率半径一般是不相等的这些曲率半径中有一个最大和最小的曲率半径称之为主曲率半径记作 k 与 k这两个曲率半径所在的方向数学上可以证明是相互垂直的 这里一条曲线的曲率由定义是密切圆半径的倒数当曲线转向与平面给定法向量相同方向时曲率取正值否则取负值当曲率取最大与最小值的两个法平面方向总是垂直的这是欧拉在年的一个结论称之为主方向从现代的观点来看这个定理来自谱定理因为它们可以作为对应于高斯映射微分的一个对称矩阵的本征向量对主曲率和主方向的系统研究由达布使用达布标架完成 两个主曲率的乘积 kk 是高斯曲率 K而平均值 kk 是平均曲率 H 如果在每一点至少有一个主曲率是零则高斯曲率是零这种曲面是可展曲面对极小曲面平均曲率在每一点是零