黎曼猜想 黎曼猜想英語Riemann hypothesisRH由德国數學家波恩哈德黎曼於年提出它是數學中一個重要而又著名的未解決的問題有猜想界皇冠之稱多年來它吸引了許多出色的數學家為之絞盡腦汁其猜想為 黎曼ζ函數 ζ  s     s    s    s    s   displaystyle zeta sfrac sfrac sfrac sfrac scdots   非平凡零點在此情況下是指 s displaystyle s 不為   displaystyle     displaystyle      displaystyle cdots  等點的值的實數部份是   displaystyle frac   未解決的數學問題黎曼ζ函數的每個非平凡零點的實部是否同為   displaystyle frac   黎曼猜想是關於黎曼ζ函數 ζ  s  displaystyle zeta s 的零點分佈的猜想黎曼ζ函數在任何複數 s   displaystyle sneq  上有定義它在負偶數上也有零點例如當 s     s     s      displaystyle ssscdots  這些零點是平凡零點黎曼猜想關心的是非平凡零點 黎曼猜想提出 黎曼ζ函數非平凡零點的實數部份是   displaystyle frac  即所有的非平凡零點都應該位於直線    i t displaystyle frac it 臨界綫上 t displaystyle t 為一實數而 i displaystyle i 為虛數單位沿臨界綫的黎曼ζ函數有時通過Z函數進行研究它的實零點對應於ζ函數在臨界綫上的零點 素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要素数在自然数中的分布並没有簡單的規律黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函數紧密相关 年Helge von Koch指出黎曼猜想與强条件的素數定理 π  x   Li   x   O  x ln  x  displaystyle pi leftxrightoperatorname Li xOleftsqrt xln xright 等價现在已经验证了最初的个素數對這個定理都成立但是是否所有的解對此定理都成立至今尚無人給出證明 黎曼猜想之所以被認爲是當代數學中一個重要的問題主要是因為很多深入和重要的數學甚至是部分物理結果都能在它成立的大前提下得到證明大部份數學家也相信黎曼猜想的正確性約翰恩瑟李特爾伍德與阿特勒塞爾伯格曾提出懷疑塞爾伯格于晚年部分改變了他的懷疑立場在年的一篇論文中他猜測黎曼猜想對更廣泛的一類函數也應當成立克雷數學研究所設立了美元的奬金給予第一個得出正確證明的人