爱因斯坦-希尔伯特作用量 希尔伯特作用量或爱因斯坦希尔伯特作用量英文EinsteinHilbert action是广义相对论中能够导出爱因斯坦引力场方程通过取变分得到时空度规的运动方程的作用量它最早由希尔伯特在年提出从希尔伯特作用量导出爱因斯坦引力场方程的优点是多方面的首先它能够简单地将广义相对论理论和其他同样用作用量形式表示的经典场论如麦克斯韦理论 统一起来其次通过寻找这个作用量中包含的对称性可以轻易地根据诺特定理判别守恒量在广义相对论中作用量一般都被认为是度规以及物质场的一个泛函而其联络是列维奇维塔联络 能够导出真空中的爱因斯坦方程的作用量 S  g  displaystyle Sg 由下面的拉格朗日量的积分给出 S  g      κ R  g d  x displaystyle Sgint  over kappa Rsqrt gmathrm d x 其中 g   c  det  g α β  displaystyle g over cdet galpha beta  是时空的洛伦兹度规的行列式 R displaystyle R 是里奇标量 κ   π G c  displaystyle kappa frac pi Gc 是一个普适性常数拉格朗日量是   κ R  g displaystyle  over kappa Rsqrt g 积分范围是时空中的一块区域对于有物质存在的爱因斯坦方程在对应的拉格朗日量中还要添加物质本身的拉格朗日量注意这里所谓拉格朗日量都是指其标量密度在国际单位制中的单位是焦耳立方米而不是指其在空间或时空范围内的一个积分 注意到  g d  x displaystyle sqrt gmathrm d x 是一个形式不变的四维体元因此也可以将希尔伯特作用量写成可能更好看些的如下形式 S  g      κ R d V displaystyle Sgint  over kappa Rmathrm dV