雷诺平均纳维-斯托克斯方程 雷诺平均纳维斯托克斯方程英語Reynoldsaveraged NavierStokes equations简称RANS是流体力学中一种用来描述湍流的时均纳维斯托克斯方程其思想是将湍流运动看作时间平均与瞬时脉动两种流动的叠加即任一物理量 ϕ displaystyle phi  满足 ϕ  ϕ   ϕ   displaystyle phi bar phi phi  其中 ϕ  displaystyle bar phi  为时均值 ϕ  displaystyle phi  为脉动值时均值可定义为 ϕ    Δ t  t t  Δ t ϕ  t  d t  displaystyle bar phi frac Delta tint ttDelta tphi tdt 如果不考虑密度脉动的影响对纳维斯托克斯方程中的物理量按上述方法取时间平均可得到可压缩流体平均流动的控制方程即雷诺平均方程  ρ  t  div   ρ u    displaystyle frac partial rho partial toperatorname div rho mathbf u    ρ u   t  div   ρ u u   div   μ   grad  u    p  x      ρ u      x    ρ u  v     y    ρ u  w     z   S u displaystyle frac partial rho upartial toperatorname div rho umathbf u operatorname div mu  operatorname grad ufrac partial ppartial xleftfrac partial rho overline upartial xfrac partial rho overline uvpartial yfrac partial rho overline uwpartial zrightSu   ρ v   t  div   ρ v u   div   μ   grad  v    p  y      ρ u  v     x    ρ v      y    ρ v  w     z   S v displaystyle frac partial rho vpartial toperatorname div rho vmathbf u operatorname div mu  operatorname grad vfrac partial ppartial yleftfrac partial rho overline uvpartial xfrac partial rho overline vpartial yfrac partial rho overline vwpartial zrightSv   ρ w   t  div   ρ w u   div   μ   grad  w    p  z      ρ u  w     x    ρ v  w     y    ρ w      z   S w displaystyle frac partial rho wpartial toperatorname div rho wmathbf u operatorname div mu  operatorname grad wfrac partial ppartial zleftfrac partial rho overline uwpartial xfrac partial rho overline vwpartial yfrac partial rho overline wpartial zrightSw 如果使用张量中的指标符号则又可表示为  ρ  t    x i  ρ u i    displaystyle frac partial rho partial tfrac partial partial xirho ui   t  ρ u i     x j  ρ u i u j     p  x i    x j  μ  u i  x j  ρ u i  u j     S i displaystyle frac partial partial trho uifrac partial partial xjrho uiujfrac partial ppartial xifrac partial partial xjmu frac partial uipartial xjrho overline uiujSi 上式中的  u i  u j   displaystyle overline uiuj 被称作雷诺应力即 τ i j   u i  u j   displaystyle tau ijoverline uiuj