長球波函數 在數學中長球波函數由一個限時限頻與第二個限時的函數相乘而成假定 Q T displaystyle QT 表示一個切截時間的運算器且 x  Q T x displaystyle xQTx 則x必為有限時間區間的函數當x在   T    T    displaystyle TT 的區間內同理假定 P W displaystyle PW 表示一個理想的低頻濾波器且 x  P W x displaystyle xPWx 則x必為有限頻寬區間的函數當x在   W  W  displaystyle WW 的區間內透過組合上述運算子使得 Q T P W Q T displaystyle QTPWQT 轉變成線性有界且自伴的運算式對於 n       displaystyle nldots  我們假設 ψ n displaystyle psi n 為第n項的本徵函數定義下列函式   Q T P W Q T ψ n  λ n ψ n  displaystyle  QTPWQTpsi nlambda npsi n 其中  λ n  n displaystyle lambda nn 為對應的本徵值此時限函數  ψ n  n displaystyle psi nn 即為長球波函數PSWFs在此領域中幾個非常重要的先驅文章由Slepian and Pollak Landau and Pollak and Slepian所提出 這些函數有些不同的意涵當在解亥姆霍兹方程 Δ Φ  k  Φ   displaystyle Delta Phi kPhi  透過在長球面坐標系做變數分離使得  ξ  η  ϕ  displaystyle xi eta phi  各代表   x   d    ξ η  displaystyle  xdxi eta    y   d     ξ        η   cos  ϕ  displaystyle  ydsqrt xi eta cos phi    z   d     ξ        η   sin  ϕ  displaystyle  zdsqrt xi eta sin phi    ξ   displaystyle  xi  and  η    displaystyle eta   得到解 Φ  ξ  η  ϕ  displaystyle Phi xi eta phi  為長球波函數 R m n  c  ξ  displaystyle Rmncxi  與角球波函數 S m n  c  η  displaystyle Smnceta  的成積乘上 e i m ϕ displaystyle eimphi   這裡的變數c可定義為 c  k d   displaystyle ckd  with d displaystyle d 為長球的橢圓截面的兩焦點的距離 徑向波The radial wave function R m n  c  ξ  displaystyle Rmncxi  滿足線性常微分方程    ξ     d  R m n  c  ξ  d ξ    ξ d R m n  c  ξ  d ξ   λ m n  c   c  ξ   m  ξ     R m n  c  ξ    displaystyle  xi frac dRmncxi dxi xi frac dRmncxi dxi leftlambda mnccxi frac mxi rightRmncxi  此本徵值 λ m n  c  displaystyle lambda mnc 在SturmLiouville 微分方程中已被固定透過設定 R m n  c  ξ  displaystyle Rmncxi  為有限函數當  ξ     displaystyle xi to   角波函數滿足下列微分方程    η     d  S m n  c  η  d η    η d S m n  c  η  d η   λ m n  c   c  η   m  η     S m n  c  η    displaystyle  eta frac dSmnceta deta eta frac dSmnceta deta leftlambda mncceta frac meta rightSmnceta  這跟徑向波函數式為同樣的微分方程然而這兩式的變數的範圍是不同的在徑向波函數中 ξ   displaystyle xi  在角波函數中  η    displaystyle eta   當給定 c   displaystyle c 這兩個微分方程可以簡化成滿足伴隨勒讓德多項式的式子當給定 c   displaystyle cneq  角波函數可被展開成勒讓德級數 注意如果我們將角波函數寫成 S m n  c  η      η   m   Y m n  c  η  displaystyle Smnceta eta mYmnceta  函數 Y m n  c  η  displaystyle Ymnceta  將滿足以下線性微分方程      η   d  Y m n  c  η  d η     m    η d Y m n  c  η  d η   c  η   m  m     λ m n  c   Y m n  c  η     displaystyle  eta frac dYmnceta deta meta frac dYmnceta deta leftceta mmlambda mncrightYmnceta  此函數為球波函數這個輔助方程式在Stratton 年的文章被當作例子 現存不少不同的球函數標準化的方法在Abramowitz and Stegun的文章中有整理的表格Abramowitz跟Stegun以及現在的相關文章都沿用Flammer當初提出來的符號 一開始球波函數是由C Niven提出他在球座標上引入Helmholtz方程式許多專題論文已經探討出球波函數的很多面向例如Strutt Stratton et al Meixner and Schafke and Flammer等人的作品 Flammer提供了一個完整的討論計算出長球與扁球的本徵值角波函數與徑函數許多電腦程式已經因應發展出來其中包含King與其團隊 Patz和Van Buren Baier與其團隊 Zhang和Jin ThompsonFalloon Van Buren和Boisvert最近發展出新的方法去計算出長球波函數延伸了數值解的能力能運算極廣的變數範圍Fortran原始碼結合了新的結果與傳統的方法可見於httpwwwmathieuandspheroidalwavefunctionscom 页面存档备份存于互联网档案馆 Flammer Hunter Hanish et al and Van Buren et al等人也提出了數值解的整理表格 NIST提供的DLMFDigital Library of Mathematical Functionshttpdlmfnistgov是個了解球波函數的良好資源永久失效連結 關於值域落在單位球的表面的長球波函數我們通稱為Slepian functions 另見頻譜集中問題這函數存在非常多的應用像是大地測量以及宇宙學