雅可比旋转 在数值线性代数中雅可比旋转是 n 维内积空间的二维线性子空间的旋转 Qkℓ在用做相似变换的时候被选择来置零 nn 实数对称矩阵 A 的非对角元素的对称对 A  Q k ℓ T A Q k ℓ  A   displaystyle Amapsto Qkell TAQkell A      a k k  a k ℓ      a ℓ k  a ℓ ℓ            a k k           a ℓ ℓ       displaystyle beginbmatrixcdots ddots akkcdots akell vdots vdots ddots vdots vdots aell kcdots aell ell ddots cdots endbmatrixto beginbmatrixcdots ddots akkcdots vdots vdots ddots vdots vdots cdots aell ell ddots cdots endbmatrix 它是雅可比特征值算法的核心运算它是数值上稳定的并适合用并行计算实现 注意到只有 A 的行 k 和 ℓ 与列 k 和 ℓ 受到影响并且 A 将保持对称还有给 Qkℓ 的明显的矩阵很少被计算转而计算辅助值A 也有效率和数值上稳定的方式更新但是为了引用我们写矩阵为 Q k ℓ      c  s     s  c      displaystyle Qkell beginbmatrixddots ccdots svdots ddots vdots scdots cddots endbmatrix 就是说除了四个元素之外Qkℓ 是一个单位矩阵两个在对角线上qkk 和 qℓℓ 都等于 c 而两个位于远离对角的位置上qkℓ 和 Qℓk 分别等于 s 和 s这里的 c  cos ϑ 而 s  sin ϑ 对于某个角度 ϑ但是对于应用这种旋转这个角度自身是不需要的使用克罗内克δ符号矩阵元素可以写为 q i j  δ i j   δ i k δ j k  δ i ℓ δ j ℓ   c      δ i k δ j ℓ  δ i ℓ δ j k  s  displaystyle qijdelta ijdelta ikdelta jkdelta iell delta jell cdelta ikdelta jell delta iell delta jks 假设 h 是不为 k 或 ℓ 的索引它们自身必须是不同的类似的更改过程在代数上写为 a h k   a k h   c a h k  s a h ℓ displaystyle ahkakhcahksahell  a h ℓ   a ℓ h   c a h ℓ  s a h k displaystyle ahell aell hcahell sahk a k ℓ   a ℓ k    c   s   a k ℓ  s c  a k k  a ℓ ℓ    displaystyle akell aell kcsakell scakkaell ell  a k k   c  a k k  s  a ℓ ℓ   s c a k ℓ displaystyle akkcakksaell ell scakell  a ℓ ℓ   c  a k k  s  a ℓ ℓ   s c a k ℓ displaystyle aell ell cakksaell ell scakell