柯西-黎曼方程 复分析中的柯西黎曼微分方程英語CauchyRiemann equations又称柯西黎曼条件是提供了可微函数在开集中為全纯函数的充要条件的两个偏微分方程以柯西和黎曼得名这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论黎曼关于此函数理论的论文于年问世 在一对实值函数 u  x  y  displaystyle uxy 和 v  x  y  displaystyle vxy 上的柯西黎曼方程组包括两个方程 a      u  x   v  y displaystyle partial u over partial xpartial v over partial y 和 b      u  y    v  x  displaystyle partial u over partial ypartial v over partial x 通常 u displaystyle u 和 v displaystyle v 取为一个复函数的实部和虚部 f  x  i y   u  x  y   i v  x  y  displaystyle fxiyuxyivxy 假设 u displaystyle u 和 v displaystyle v 在开集 C displaystyle C 上连续可微则当且仅当 u displaystyle u 和 v displaystyle v 的偏微分满足柯西黎曼方程组a和b f  u  i v displaystyle fuiv 是全纯的