卷积定理 卷积定理指出函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积即一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积例如时域中的卷积对应于频域中的乘积 F  f  g   F  f   F  g  displaystyle mathcal Ffgmathcal Ffcdot mathcal Fg 其中 F  f  displaystyle mathcal Ff 表示f 的傅里叶变换下面这种形式也成立 F  f  g   F  f   F  g  displaystyle mathcal Ffcdot gmathcal Ffmathcal Fg 借由傅里叶逆变换 F   displaystyle mathcal F 也可以写成 f  g  F    F  f   F  g   displaystyle fgmathcal Fbig mathcal Ffcdot mathcal Fgbig  注意以上的写法只对特定形式定义的变换正确变换可能由其它方式正规化使得上面的关系式中出现其它的常数因子 这一定理对拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换Z变换梅林变换和Hartley变换参见Mellin inversion theorem英语Mellin inversion theorem等各种傅里叶变换的变体同样成立在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换 利用卷积定理可以简化卷积的运算量对于长度为 n displaystyle n 的序列按照卷积的定义进行计算需要做  n   displaystyle n 组对位乘法其计算复杂度为 O  n   displaystyle mathcal On 而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后只需要一组对位乘法利用傅里叶变换的快速算法之后总的计算复杂度为 O  n log  n  displaystyle mathcal Onlog n 这一结果可以在快速乘法计算中得到应用