表示论 表示論英語Representation theory是數學中抽象代數的一支旨在抽象代数结构中的元素表示成向量空間上的線性變換并研究这些代数结构上的模藉以研究結構的性質略言之表示論將一代數對象表作較具體的矩陣並使得原結構中的代数运算對應到矩陣加法和矩陣乘法此法可施於群結合代數及李代數等多種代數結構其中肇源最早用途也最廣的是群表示論設 G displaystyle G 為群其在域 F displaystyle F 常取複數域 F  C displaystyle Fmathbb C  表示是一 F displaystyle F 矢量空間 V displaystyle V 及映至一般線性群之群同態 ρ  G  G L  V  displaystyle rho Gto mathrm GL V 假設 V displaystyle V 有限維則上述同態即是將 G displaystyle G 的元素映成可逆矩陣並使得群運算對應到矩陣乘法 表示論的妙用在於能將抽象代数問題轉為较容易解决的線性代數问题此外群还可以表示在无穷维空间上例如若考慮無窮維希爾伯特空間上的表示並要求一些連續性條件此時表示論就牽涉到一些泛函分析的課題数学分析的方法就可以用于解决群论的问题表示論在自然科學中也有應用對稱性的問題離不開群而群的研究又有賴於其表示最明顯的例子便是李群及李代數表示論在量子力學中的關鍵角色 表示论的一大特点是它遍布数学各个领域这个特点有两个方面首先表示论的应用十分广泛除了在代数的影响之外表示论 通过调和分析阐明并推广了傅里叶分析 通过不變量理論和爱尔兰根纲领与几何学建立了联系 通过自守形式和朗蘭茲綱領对数论产生了影响 另一方面研究表示论的途径也相当多元化应用了代数几何模块理论英语Module theory解析数论微分几何算子理论代数组合学和拓扑学的思想和方法 表示的概念後來也得到進一步的推廣例如範疇的表示表示论所施的代数对象可被视为特定的范畴而表示本身则是从对象范畴到向量空间范畴的函子这个表述方式立即指向两种显然的推广其一代数对象可换成成更一般的范畴其二向量空间范畴也可换成其它较好理解的范畴 注意不要将表示与代数对象的展示混淆如群的展示