無效證明 在數學裡有著許多明顯矛盾的虛假證明存在即使其證明是有缺陷的其錯誤通常是經過設計的卻常是較難抓摸的這些謬誤一般都儘止於好奇而已但可以被用来顯示嚴謹在數學中的重要性 大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形 此一錯誤為採一非單射的函數 f displaystyle f 以觀察對某些 x displaystyle x 和 y displaystyle y 會有 f  x   f  y  displaystyle fxfy 來錯誤地做出 x  y displaystyle xy 的結論零除數是此類錯誤的一特例 f displaystyle f 為將 x displaystyle x 映射至 x   displaystyle xtimes  的函數而其錯誤的一步是起於將 x    y   displaystyle xtimes ytimes  的等式做成 x  y displaystyle xy 的結論相似地下面證明了    displaystyle  的句子也是以函數 f  x   x  displaystyle fxx 的同一種錯誤造成的其錯誤的一步始於有某個 x displaystyle x 和 y displaystyle y 會使得 x   y  displaystyle xy 的一正確申論然後做出了 x  y displaystyle xy 的一錯誤結論