选择函数 選擇函數是一個函數f其定義域X為一堆非空集合組成的集合且對每一個在X內的S均有fSS換句話說f會在X的每一集合中恰好選取一個元素 選擇公理AC斷言每一非空集合組成的集合都會有一選擇函數另一較弱的選擇公理可數選擇公理CC則斷言每一非空集合組成的可數集合都會有一選擇函數但無論如何即使沒有AC或CC某些集合還是可以有選擇函數 若X為一非空集合組成的有限集合則可以建立一選擇函數由每一個X的元素內選取一個元素這只需要做有限多次的選擇所以不需要用到AC或CC 若X的每一元素都是非空的良序集則可以由每一個X的元素中選取其極小元如此或許需要有無限多次的選擇但我們有明確的選擇規則所以也不需要AC或CC分辨良序和可良序是很重要的當X的元素都是可良序的那麼我們需要選取每一元素的一良序而這又可能需要無限多次隨意的選擇因此需要有AC或CC若X為可數無限 若X的每一元素都是非空集合且其聯集  X displaystyle bigcup X 為可良序的則有可能可以選擇一此聯集的良序且給X內每一元素誘導出相應的良序如此一個選擇函數就可以如前述例子一樣地存在在此一例子裡可以只做一次選擇便決定X內每一元素的良序故不需要AC或CC此一例子表示出若良序定理成立即每一集合若皆可良序的話則AC成立其逆命題亦為真但並不那麼顯然