累積量生成函數 隨機變數的累積量生成函數κnX是定義為對動差生成函數取自然對數的函數如果符合定義將如下所示 g  t   log   E  e t X     n    κ n t n n   μ t  σ  t     displaystyle gtlogEetXsum ninfty kappa nfrac tnnmu tsigma frac tcdots   將累積量生成函數gt對t等於零之處求導 κ   μ  g      κ   σ   g           κ n  g  n      displaystyle beginalignedkappa mu gkappa sigma g  vdots kappa ngnendaligned 累積量生成函數與機率分佈的動差值有很強的關聯性假如隨機變數X存在期望值μ  EX及變異數σ  EX  μ則累積量生成函數gt的一階與二階微分剛好是上述數值μ  κ及σ  κ第c階累積量表達的方式為 κ n   X n  c  displaystyle kappa nlangle Xnrangle c 使用累積量生成函數優於動差值的情況在於獨立變數X和Y g X  Y  t   log   E  e t   X  Y     log   E  e t X   E  e t Y    log   E  e t X    log   E  e t Y    g X  t   g Y  t   displaystyle beginalignedgXYtlogEetcdot XYlogEetXcdot EetYlogEetXlogEetYgXtgYtendaligned 如此一來隨機變量之和的累積量可表達成各自累積量的之和也就是具有可加性 一個具有各階累積量的分佈可以使用埃奇沃斯級數來近似 有些作者偏好定義累積量生成函數為對特徵函數取自然對數或者有人稱為第二特徵函數 h  t   log   E  e i t X     n    κ n  i t  n n   μ i t  σ  t      displaystyle htlogEeitXsum ninfty kappa nfrac itnnmu itsigma frac tcdots  使用此函數的好處在於即便可能隨機變數X是一大變量仍被完整定義儘管他的累積量生成函數或者是動差生成函數是存在的但在這種情況下通常不允許被展開成累積量生成函數或者是動差生成函數而表達成線性級數數列的模式生成函數無法被展開的兩個例子是柯西分佈和萊維分佈英语Lévy distribution它們是穩定分佈