电磁四维势 电磁四维势英文Electromagnetic fourpotential是电磁理论中的一个协变四维矢量它在国际单位制中的单位是伏特秒米在厘米克秒制中的单位是馬克士威厘米它的定义为括号中表示在厘米克秒制中的形式下同 A α   ϕ c   A    A α   ϕ   A    displaystyle Aalpha leftfrac phi cvec Arightqquad leftAalpha phi vec Aright 其中 ϕ displaystyle phi  是电势 A  displaystyle vec A 是磁矢势 在本篇文章裏閔可夫斯基度規的形式被規定為 d i a g             displaystyle diag 這是参考了約翰傑克森John D Jackson的著作經典電動力學中所採用的形式並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定 电场与磁场和相应的标势与矢势的对应关系分别为 E      ϕ   A   t     ϕ   c  A   t  displaystyle vec Evec nabla phi frac partial vec Apartial tqquad leftvec nabla phi frac cfrac partial vec Apartial tright B      A  displaystyle vec Bvec nabla times vec A 将这两个势写在一起的原因是 A α displaystyle Aalpha  是协变的这意味着它在任意的曲面坐标变换下和一个标量的梯度变换方式相同即如  ψ  x α  displaystyle frac partial psi partial xalpha  的变换形式这样四维势的内积 A α g α β A β  ϕ  c    A     A α g α β A β  ϕ    A     displaystyle Aalpha galpha beta Abeta frac phi cvec Aqquad leftAalpha galpha beta Abeta phi vec Aright 在任意惯性系下都是一个不变量 不过电场与磁场和相应的标势与矢势的对应关系并不是唯一的通常可以对这两个势做如下的变换 ϕ  ϕ   λ  t displaystyle phi qquad rightarrow qquad phi frac partial lambda partial t A   A    λ displaystyle vec Aqquad rightarrow qquad vec Anabla lambda  这组变换称作规范变换在规范变换下电场和磁场仍然保持不变因此相应的电标势和磁矢势并没有确定下来 人们习惯在惯性参考系中采用洛伦茨规范条件  α A α   displaystyle partial alpha Aalpha  实际上加上这组规范条件也并不能完全确定四维势规范变换依然成立但这样做的好处是这组规范条件具有洛伦兹不变性 此时电磁场的麦克斯韦方程组可化简为下面的形式  A α  μ  η α β J β   A α   π c η α β J β  displaystyle Box Aalpha mu eta alpha beta Jbeta qquad leftBox Aalpha frac pi ceta alpha beta Jbeta right 其中 J β displaystyle Jbeta  是四维电流矢量 而    c     t     displaystyle Box frac cfrac partial partial tnabla  是达朗贝尔算符 如果写成电标势和磁矢势则有  ϕ  ρ ϵ    ϕ   π ρ  displaystyle Box phi frac rho epsilon qquad leftBox phi pi rho right  A   μ  j    A    π c j   displaystyle Box vec Amu vec jqquad leftBox vec Afrac pi cvec jright 对给定的分别为 ρ  x   t  displaystyle rho vec xt 和 j   x   t  displaystyle vec jvec xt 的电荷和电流分布方程在国际单位制中的解为 ϕ  x   t     π ϵ   d  x  ρ  x    τ   x   x    displaystyle phi vec xtfrac pi epsilon int mathrm d xprime frac rho vec xprime tau leftvec xvec xprime right A   x   t   μ   π  d  x  j   x    τ   x   x    displaystyle vec Avec xtfrac mu pi int mathrm d xprime frac vec jvec xprime tau leftvec xvec xprime right  其中 τ  t   x   x    c displaystyle tau tfrac leftvec xvec xrightc 是推迟时间有时方程也用 ρ  x    τ    ρ  x    t   displaystyle rho vec xtau rho vec xt 这样的形式表示对于时间变量应该用推迟时间来计算当然由于上面的方程是非齐次的微分方程相应的齐次方程解加上非齐次方程的任何特解都会满足边界条件一般来说对应的齐次方程解表征着远源传播的电磁波 对一些典型情形例如振荡电流或电荷进行上面的积分时积分会同时给出以 r   displaystyle r 形式变化的磁场感生磁场和以 r   displaystyle r 形式变化的电磁场辐射场