勾股容方 勾股容方是古代中国数学中的一个命题出自九章算术第九卷勾股章第十五题经三国时数学家刘徽论证其后又经中国历代数学家研究和扩充为股中容直勾中容横由此产生一套具有中国传统数学特色的求解直角三角形几何学问题的方法广泛用于在中国古代几何学和测量学中国古代没有古希腊欧几里得几何学的平行线概念采用容方容横容直概念收到异曲同工的效用 九章算术第九卷勾股章第十五题今有勾五步股十二步问勾中容方几何答曰三步十七分步之九术曰并勾股为法勾股相乘为实实如法而一得方一步如图直角三角形ABC中内接正方形DEFB直角三角形高股HAB底长勾LBC正方形边长为X答案以勾步股步之和为分母并勾股为法以勾步股步之积为分子勾股相乘为实得勾中容方之边长 x    　 刘徽为勾股容方的关系式提供了两个证明一个是利用出入相补原理即利用几何图形在移动转动时面积守恒将几何图形重新排列以求结果的方法先将三角形ABC复制倒置和原三角形合併成为一个高为H宽为L的长方形如图将两个邊長為X的正方形标以黄色两个大直角三角形标以红色两个小直角三角形标以青色再将左图的两个黄色正方形两个红色大直角三角形两个青色小直角三角形重新排列如右图从出入相补面积守恒原理左图的面积和右图的面积相等左图面积HL 右图面积XHL HL  XHL 由此得出勾股容方的关系式 邊长 X  HL  HL 刘徽的第二个证明利用相似三角形比率不变原理刘徽注曰幂图方在勾中则方之两廉各自成小勾股其相与之势不失本率也 即内接正方形DEFB的两边DEEF与直角三角形的三边各自形成小的直角三角形而这两个小直角三角形三边的比率和原来大直角三角形的三边比率相同刘徽从勾中容方中归纳出不失本率原理即三个相似三角形比率相同 AD  DE  AE  EF  FC  EC  AB  BC  AC 令股高为H勾长为L勾股容方的边长为X根据不失本率原理 HX  X  H  L HL  XL  HX HX  XL  HL 得勾股容方关系式　　　ＸＨＬＨＬ