高斯积分 高斯积分英語Gaussian integral有时也被称为概率积分是高斯函数ex在整个實數線上的积分它得名于德国数学家兼物理学家卡爾弗里德里希高斯之姓氏     e  x  d x  π displaystyle int infty infty exdxsqrt pi  高斯积分用处很广例如利用换元积分法它可以用来计算正态分布的归一化常数在极限为有限值的时候高斯积分与正态分布的误差函数和累积分布函数密切相关在物理学中这种积分也经常出现例如在量子力学中谐振子基态的概率密度在路径积分公式中谐振子的传播子以及统计力学中的配分函数以上的计算都要用到这个积分 我们可以通过Risch算法证明误差函数不具有初等函数形式尽管如此高斯积分可以通过多元微积分方法分析求解虽然不定积分  e  x  d x displaystyle int exdx 无法用初等函数表示但定积分     e  x  d x displaystyle int infty infty exdx 是可以计算的 任意高斯函数的定积分为     e  a  x  b   d x  π a  displaystyle int infty infty eaxbdxsqrt frac pi a