丟番圖逼近 丢番图分析英語Diophantine approximation是数论的一个分支最经典的丢番图逼近主要用於有理数逼近实数亦即实数的有理逼近相关问题其中有理数一般用分数形式表达且一律要求分子为整数分母为正整数通常要求是既约分数 丢番图逼近的名称源于古希腊数学家丢番图这是因为有理逼近可以归结为求不等式整数解的问题而求方程整数解的问题一般称为丢番图方程或不定方程故而得名事实上丢番图逼近与不定方程的研究确有颇多相关 丢番图逼近的首要问题是寻求实数的最佳有理丢番图逼近简称最佳逼近具体来说对于一个实数 α displaystyle alpha  希望找到一个最优的有理数 p  q displaystyle pq 作为 α displaystyle alpha  的近似使在分母不超过 q displaystyle q 的所有有理数中 p  q displaystyle pq 与 α displaystyle alpha  的距离最小这里的距离可以是欧氏距离即两数之差的绝对值也可以用  q α  p  displaystyle qalpha p 等方式度量满足此类要求的有理数 p  q displaystyle pq 称为实数 α displaystyle alpha  的一个最佳逼近关于如何寻找实数的最佳逼近及相关论题已于世纪随着连分数理论的发展得到基本解决 其后该领域的主要注意力转向对有理逼近的误差进行估计度量以给出尽可能精确的上下界一般用分母的函数表示作为分母的函数 这种上下界的阶与 α displaystyle alpha  的性质密切相关当 α displaystyle alpha  分别为有理数代数数超越数时其最佳逼近误差下界的阶是不同的基于这种思想刘维尔在年建立了有关代数数逼近的一个基本结论并由此具体地构造出了一个超越数参见刘维尔数证明了它的超越性这在人类历史上尚属首次由此可见丢番图逼近与数论的另一分支超越数论紧密相关 除了上述最经典的单个实数的有理逼近问题该领域还包括多个实数的联立逼近非齐次逼近实数的代数数逼近一致分布均匀分布等方面甚至连p进数上的丢番图逼近也有颇多研究