积分符号内取微分 积分符号内取微分英語Leibniz integral rule莱布尼茨积分法则是一个在数学的微积分领域中很有用的运算它是说给定如下积分 F  x  a  x   b  x     a  x  b  x  f  x  t  d t displaystyle Fxaxbxint axbxfxtdt  如果在 x   x  x  displaystyle xleq xleq x 时 f  x  t  displaystyle fxt 与   x f  x  t  displaystyle frac partial partial xfxt 对 t displaystyle t 和 x displaystyle x 在  t  x  displaystyle tx 平面连续 a  x   t  b  x  displaystyle axleq tleq bx  x   x  x  displaystyle xleq xleq x  且若对于 x   x  x  displaystyle xleq xleq x  a  x  displaystyle ax 与 b  x  displaystyle bx 及其导数连续 那么当 x   x  x  displaystyle xleq xleq x 时 根据全微分公式和微积分基本定理 该积分对 x displaystyle x 的导数为 d d x F  x  a  x   b  x      F  b  d b d x    F  a  d a d x   F  x  f  x  b  x   b   x   f  x  a  x   a   x    a  x  b  x    x f  x  t  d t displaystyle beginalignedfrac ddxFxaxbxleftfrac partial Fpartial brightfrac dbdxleftfrac partial Fpartial arightfrac dadxfrac partial Fpartial xfxbxbxfxaxaxint axbxfrac partial partial xfxtdtendaligned 注意  f  x  a  x   a   x  displaystyle fxaxax 项的负号来源于对积分下限求导 如果 a  x  displaystyle ax 和 b  x  displaystyle bx 是常数而不是 x displaystyle x 的 函数那么此时的特殊情况可看做交换积分和求导的顺序 d d x   a b f  x  t  d t    a b   x f  x  t  d t  displaystyle frac ddxleftint abfxtdtrightint abfrac partial partial xfxtdt