赫尔德不等式 赫爾德不等式是數學分析的一條不等式取名自德國數學家奧托赫爾德這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式 設 S displaystyle S 為測度空間   p  q   displaystyle leq pqleq infty  及  p   q   displaystyle  over p over q 設 f displaystyle f 在 L p  S  displaystyle LpS 內 g displaystyle g 在 L q  S  displaystyle LqS 內則 f   g displaystyle fmbox g 在 L   S  displaystyle LS 內且有  f g     f  p  g  q  displaystyle fgleq fpgq 等号当且仅当  f  p displaystyle fp 与  g  q displaystyle gq 幾乎處處线性相关时取得即有常數 α  β displaystyle alpha beta  使得 α  f  x   p  β  g  x   q displaystyle alpha fxpbeta gxq 對幾乎所有 x  S displaystyle xin S 成立 若 S displaystyle S 取作        n  displaystyle n 附計數測度便得赫爾德不等式的特殊情形對所有實數或複數 x           x n    y           y n displaystyle xmbox mbox xnmbox ymbox mbox yn 有  k   n  x k y k     k   n  x k  p    p   k   n  y k  q    q displaystyle sum knxkykleq leftsum knxkprightpleftsum knykqrightq  我们称p和q互为赫尔德共轭 若取 S displaystyle S 為自然數集附計數測度便得與上類似的無窮級數不等式 當 p  q   displaystyle pq 便得到柯西施瓦茨不等式 赫爾德不等式可以證明 L p displaystyle Lp 空間上一般化的三角不等式閔可夫斯基不等式和證明 L p displaystyle Lp 空間是 L q displaystyle Lq 空間的對偶