质数 質數又称素数指在大於的自然数中除了和該数自身外無法被其他自然数整除的数也可定義為只有與該數本身两个正因数的数大於的自然數若不是質數則稱之為合数也稱為合成數例如是個質數因為其正因數只有與是個質數因為其正因數只有與而則是個合數因為除了與外也是其正因數也是個合數因為除了與外與也是其正因數算术基本定理確立了質數於数论裡的核心地位任何大於的整数均可被表示成一串唯一質數之乘積為了確保該定理的唯一性被定義為不是質數因為在因式分解中可以有任意多個如等都是的有效因數分解 古希臘數學家欧几里得於公元前年前後證明有無限多個質數存在欧几里得定理現時人們已發現多種驗證質數的方法其中试除法比較簡單但需時較長設被測試的自然數為 n displaystyle n 使用此方法者需逐一測試與 n displaystyle sqrt n 之間的質數確保它們無一能整除 n displaystyle n 對於較大或一些具特別形式如梅森數的自然數人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數例如是直至年月為止已知最大的梅森質數也是直至年月為止已知最大的質數雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式甚至研究質數分布時相當有力的篩法也會碰到奇偶性問題也就是多種篩法都無法區別質數跟兩個質數相乘的合數的問題但已建構了質數的分佈模式亦即質數在大數時的統計模式世紀晚期得到證明的質數定理指出一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位或 n displaystyle n 的对数 許多有關質數的問題依然未解如哥德巴赫猜想每個大於的偶數可表示成兩個素數之和及孿生質數猜想存在無窮多對相差的質數這些問題促進了數論各個分支的發展主要在於數字的解析或代數方面質數被用於資訊科技裡的幾個程序中如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念主要出現在代数裡如質元素及質理想