粘性解 数学中粘性解是世纪年代早期由皮埃爾路易利翁和Michael G Crandall作为对偏微分方程PDE经典解的扩展而引入的粘性解在PDE的许多应用中作为解是非常自然的例如优化控制中的一阶偏微分方程哈密顿雅可比贝尔曼方程微分对策中HamiltonJacobiIsaacs equation前端演化问题front evolution problem还有二阶方程例如在随机优化控制或随机微分博弈stochastic differential game中出现的 经典的概念是在域 x  Ω displaystyle xin Omega  中PDE H  x  u  D u    displaystyle HxuDu 有解如果能找到在整个域上连续且可微的函数ux使得x u和Duu的微分在每个点都满足上面的等式 在粘性解的意义下u不需要在每个点都可微可能在有些点上Du不存在即u中存在扭结kink但u在适当意义下满足等式虽然在某个点上Du可能不存在但可以使用下面定义的上微分superdifferential D  u displaystyle Du 和下微分subdifferential D  u displaystyle Du 代替 定义 D  u  x     p  lim sup x   x  u  x    u  x    p  x   x    x   x      displaystyle Duxleftplimsup xrightarrow xfrac uxuxpxxxxleq right 定义 D  u  x     p  lim inf x   x  u  x    u  x    p  x   x    x   x      displaystyle Duxleftpliminf xrightarrow xfrac uxuxpxxxxgeq right 一般地集合 D  u displaystyle Du 中的每个 p displaystyle p 是 u displaystyle u 在 x  displaystyle x 斜率slope的一个上界集合 D  u displaystyle Du 中每个 p displaystyle p 是 u displaystyle u 在 x  displaystyle x 斜率slope的一个下界 定义 连续函数u是上面PDE的一个粘性上解viscosity subsolution如果满足 H  x  u  x   p      x  Ω   p  D  u  x  displaystyle Hxuxpleq forall xin Omega forall pin Dux 定义 连续函数u是上面PDE的一个粘性下解viscosity supersolution如果满足 H  x  u  x   p      x  Ω   p  D  u  x  displaystyle Hxuxpgeq forall xin Omega forall pin Dux  定义连续函数u是PDE的一个粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解 粘性解存在不需引入上下微分概念的等价定义见Fleming与Soner书中的第II节