拉格朗日乘数 拉格朗日乘数法英語Lagrange multiplier以数学家约瑟夫拉格朗日命名在数学中的最优化问题中是一种寻找多元函数在其变量受到一个或多个条件的约束时的局部极值的方法这种方法可以将一个有n个变量与k个约束条件的最优化问题转换为一个解有n  k个变量的方程组的解的问题这种方法中引入了一个或一组新的未知数即拉格朗日乘数又称拉格朗日乘子或拉氏乘子它们是在转换后的方程即约束方程中作为梯度gradient的线性组合中各个向量的系数 比如要求 f  x  y  displaystyle fxy 在 g  x  y    displaystyle gxy 时的局部極值时我们可以引入新变量拉格朗日乘数 λ displaystyle lambda  这时我们只需要求下列拉格朗日函数的局部极值 L  x  y  λ   f  x  y   λ  g  x  y  displaystyle mathcal Lxylambda fxylambda cdot gxy 更一般地对含n个变量和k个约束的情况有 L  x     x n  λ     λ k   f  x     x n    i   k λ i g i  x     x n   displaystyle mathcal Lleftxldots xnlambda ldots lambda krightfleftxldots xnrightsum limits iklambda igileftxldots xnright 拉格朗日乘数法所得的臨界點会包含原问题的所有臨界點但并不保证每个拉格朗日乘數法所得的臨界點都是原问题的臨界點拉格朗日乘数法的正确性的证明牵涉到偏微分全微分或連鎖律