可积系统 数学中特定动力系统的可积性虽然有几种不同的正式定义但非正式地讲可积系统是指具有足量守恒量或首次积分的动力系统其运动被限制在维度小于相空间的子空间中 可积系统通常有个特征 存在守恒量的最大集合完全可积性的通常定义 存在代数不变量在代数几何中有基有时称作代数可积性 以明确的函数形式明确确定解不是内禀性质通常称作可解性 可积系统在性质上与更一般的动力系统有很大不同后者是更典型的混沌系统通常没有守恒量且渐进不可解因为初始条件任意小的扰动都可能导致其轨迹在足够长的时间内出现任意大的偏差 物理学中研究的许多系统都可积特别是哈密顿意义上的主要的例子是多维谐振子另一个例子是围绕固定中心的行星运动其他基本例子包括刚体绕质心Euler top的运动及轴对称刚体绕其轴上一点的运动Lagrange top 年代末人们认识到物理学中存在具有无限自由度的完全可积系统例如浅水波的某些模型KdV方程非线性薛定谔方程描述的光纤中的克尔效应托达格等见于多体系统的特定可积系统年Martin Kruskal和Norman Zabusky发现了孤波的数值方法并由此提出了逆散射变换法从而复兴了现代可积系统理论 在哈密顿系统的特殊情况下若有足够多的独立泊松对易commute首次积分流参数可作为不变级集拉格朗日叶上的坐标系且流完整能级集是紧集就意味着刘维尔阿诺德定理即作用量角度变量的存在一般动力系统没有这样的守恒量在自洽哈密顿系统中能量通常是唯一的守恒量而在能量级集上流通常是混沌的 弗罗贝尼乌斯定理是描述可积系统特征的关键指标若系统在局部具有最大积分流形的叶状结构则称其弗罗贝尼乌斯定可积即由可积分布生成但从动力系统的意义上讲可积性不是局部属性因为它要求叶规则地嵌入子流形 可积性并不一定意味着一般解能用已知的一组特殊函数表达而是系统的几何拓扑与动力性质的内禀属性