射影线性群 射影线性群是代数学里群论中的一类群的称呼射影线性群也叫射影一般线性群一般记作 PGL是某个系数域为 K displaystyle mathbb K  的向量空间V上的一般线性群在射影空间 PV 上诱导的群作用具体来说射影线性群是商群 P G L  V   G L  V   K  V  displaystyle mathbb P mathcal GLVmathcal GLVbigg mathbb K V 其中的 G L  V  displaystyle mathcal GLV 是V上的一般线性群而 K  V  displaystyle mathbb K V 是由V上的所有数乘变换构成的 G L  V  displaystyle mathcal GLV 的子群之所以在 G L  V  displaystyle mathcal GLV 中约去 K  V  displaystyle mathbb K V 是因为它们在射影空间上的作用是平凡的所以构成群作用的核 K  V  displaystyle mathbb K V 有时也被记作 Z  V  displaystyle mathcal ZV 因为它是一般线性群的中心 与射影线性群类似的还有射影特殊线性群一般记作PSL它的定义与射影线性群相似只不过不是在一般线性群而是在特殊线性群上 P S L  V   S L  V   S Z  V  displaystyle mathbb P mathcal SLVmathcal SLVbigg mathcal SZV 其中的 S L  V  displaystyle mathcal SLV 是V上的特殊线性群而 S Z  V  displaystyle mathcal SZV 是 K  V  displaystyle mathbb K V 在 S L  V  displaystyle mathcal SLV 中的子群即行列式等于的数乘变换构成的子群显然 S Z  V  displaystyle mathcal SZV 是 S L  V  displaystyle mathcal SLV 的中心若 V  K n displaystyle Vmathbb K n n 维空间则 S Z  V  displaystyle mathcal SZV 同构于由n 次单位根构成的群 射影线性群与射影特殊线性群都是群论和几何中最常研究的群即所谓的经典群射影线性群中的元素称为射影线性变换 V  K n displaystyle Vmathbb K n n 维空间那么这个射影线性群也记作 P G L  n  K  displaystyle mathbb P mathcal GLnmathbb K  或 P G L n  K  displaystyle mathbb P mathcal GLnmathbb K   当且仅当 K displaystyle mathbb K  中每一个元素的n 次根都在 K displaystyle mathbb K  中例如在 K displaystyle mathbb K  代数封闭比如是复数域 C displaystyle mathbb C  的时候射影线性群与射影特殊线性群等同 P G L    C   P S L    C  displaystyle mathbb P mathcal GLmathbb C mathbb P mathcal SLmathbb C  但是系数域为实数的时候就有 P G L    R   P S L    R  displaystyle mathbb P mathcal GLmathbb R mathbb P mathcal SLmathbb R  几何的解释是实射影直线是有向的而实射影特殊线性群只包括保持定向的变换 射影线性群与射影特殊线性群也可以在环上定义一个重要的例子是模群 P G L    Z  displaystyle mathbb P mathcal GLmathbb Z