戴德金η函數 戴德金η函數Dedekind eta function是定義在上半平面的全純函數這是權的模形式之一例 對每個屬於上半平面的複數 τ displaystyle tau  置 q  e  π i τ displaystyle qepi itau  則η函數表為 η  τ   q     n       q n  displaystyle eta tau qprod ninfty qn η函數滿足以下函數方程 η  τ     exp    π i   η  τ  displaystyle eta tau expfrac pi ieta tau  η     τ   τ i η  τ  displaystyle eta tau sqrt frac tau ieta tau  此處的根號是方根函數在右半平面的解析延拓 r e i θ  r    e i θ     θ   π   displaystyle reitheta mapsto reitheta quad theta pi   一般而言對 a  b  c  d  Z  a b  c d   displaystyle abcdin mathbb Z abcd 我們有 η  a τ  b c τ  d   ϵ  a  b  c  d    i  c τ  d      η  z  displaystyle eta leftfrac atau bctau drightepsilon abcdleftictau drighteta z 其中的自守因子 ϵ displaystyle epsilon  定為 ϵ  a  b  c  d   exp  i π  a  d  c  s   d  c   displaystyle epsilon abcdexp ipi leftfrac adcsdcright  而 s  h  k  displaystyle shk 為戴德金和 s  h  k    n   k   n k  h n k   h n k      displaystyle shksum nkfrac nkleftfrac hnkleftlfloor frac hnkrightrfloor frac right 由此函數方程可知η是權的模形式因此可由η構造更多的模形式例如魏爾施特拉斯的模判別式即可表為 Δ  τ     π   η  τ   displaystyle Delta tau pi eta tau   事實上由函數方程可知 η  displaystyle eta  是權的模形式而這類模形式構成複一維向量空間比較傅里葉展開的常數項上式立可得證 拉馬努金有一個著名的猜想在傅立葉展開式中對任一素數的係數的絕對值恆此猜想最後由德利涅證明 上述諸例點出了模形式與若干古典數論問題的聯繫例如以二次型表示整數以及整數分拆問題赫克算子英語Hecke operator理論闡釋了模形式與數論的關鍵聯繫同時也聯繫了模形式與表示理論