函数演算 在数学中函数演算functional calculus是一种使得函数得以能作用于算子的理论它现在是泛函分析领域的一个分支更准确地说是几个相关领域并与谱理论相关 为使得函数作用于算子的需要得到满足须对于给定的算子和函数定义一个新的算子例如对于给定的向量空间 X displaystyle X 上的算子 T  L  X  displaystyle Tin LX 以及某一族寻常函数 F displaystyle F 如实数上的多项式函数所构成的集合寻找这样一个映射 Z T  F  L  X  displaystyle ZTFto LX 使得 Z T  f   f  T  displaystyle ZTftriangleq fT 注意这里重载了符号 f displaystyle f 的含义从而使得 f  T  displaystyle fT 这样的表达式变得有意义另外通常会希望它满足一定的要求如 Z T displaystyle ZT 是一个有单位元的代数之间的同态英语Algebra homomorphismUnital algebra homomorphisms 对于寻常的恒等函数 i d  F displaystyle mathrm id in F 满足 Z T  i d   T displaystyle ZTmathrm id T 这个要求实际上过强实际的函数演算会用到算子的谱来削弱这个要求 这些要求能使得我们关于函数的各种操作能够对这个新的映射仍然有效如 exp   T  exp   T   exp   T   displaystyle expTexpTexpT 以及确保对于 X  R displaystyle Xcong mathbb R  时 T  f  T  displaystyle Tmapsto fT 成为一个平凡映射从而回到熟悉的情况 从历史上看该术语也曾用作和变分法同义然而除了在泛函导数functional derivative那边这种用法现已废弃有些情况下这个术语是和函数方程的种类有关或者是谓词演算系统的逻辑中使用