正交变换 在線性代數中正交轉換是線性轉換的一種如果对于任意向量 u displaystyle mathbf u  和 v displaystyle mathbf v  其內積等於正交轉換後之向量 T  u  displaystyle Tdisplaystyle mathbf u  和 T  v  displaystyle Tdisplaystyle mathbf v  之內積则称之为正交变换  u  v    T  u   T  v   displaystyle langle mathbf u mathbf v rangle langle Tmathbf u Tmathbf v rangle  按照长度的定义可知正交轉換後的向量長度與轉換前的長度相同  T  x     x  displaystyle Tmathbf x mathbf x  其中  x  displaystyle mathbf x  在空間 R n displaystyle Rn 內 n displaystyle n 表示維度  u  v    T  u   T  v     n   N   u  n  v  n  displaystyle langle mathbf u mathbf v rangle langle Tmathbf u Tmathbf v rangle textstyle sum nNunvndisplaystyle  其中 N displaystyle N 為向量長度 u  n  displaystyle un 和 v  n  displaystyle vn 分別為 u displaystyle mathbf u  和 v displaystyle mathbf v  之元素正交變換不會影響轉換前後向量間的夾角和內積長度 在矩陣表示形式上如果 T  x   A x displaystyle Tmathbf x mathbf A mathbf x  為正交變換則為 A displaystyle mathbf A  正交矩陣對於正交變換之正交矩陣 A displaystyle mathbf A  其每個列互為正交令 A displaystyle mathbf A  為 M  N displaystyle Mtimes N 之矩陣取兩個不相同的列 ϕ k displaystyle phi k 和 ϕ h displaystyle phi h  k  h displaystyle kneq h 遵守下列關係  ϕ k  ϕ h    displaystyle langle phi kphi hrangle