巴拿赫极限 在数学分析中巴拿赫极限英語Banach limit指的是定义在全体有界复序列组成的巴拿赫空间 ℓ  displaystyle ell infty  上对每个 ℓ  displaystyle ell infty  中的序列 x   x n  displaystyle xxn  y   y n  displaystyle yyn 和复数 α displaystyle alpha  满足 ϕ  α x  y   α ϕ  x   ϕ  y  displaystyle phi alpha xyalpha phi xphi y 线性 若对每个 n  N displaystyle nin mathbb N  有 x n   displaystyle xngeq  则 ϕ  x    displaystyle phi xgeq  正定性 ϕ  x   ϕ  S x  displaystyle phi xphi Sx 其中 S displaystyle S 是移位算子定义为  S x  n  x n   displaystyle Sxnxn 移位不变性 若 x displaystyle x 是收敛序列则 ϕ  x   lim x displaystyle phi xlim x 的连续线性泛函 ϕ  ℓ   C displaystyle phi ell infty to mathbb C   因此 ϕ displaystyle phi  是对连续线性泛函 lim  c  C displaystyle lim cto mathbb C  的延拓其中 c  ℓ  displaystyle csubset ell infty  是 C displaystyle mathbb C  中收敛到某个极限的全体序列组成的复向量空间进而可以视为发散级数论中的一个可和法 换句话说巴拿赫极限是对通常意义下极限概念的延拓并且是线性移位不变正定的可以对某个序列找到两个巴拿赫极限使得各自作用下得到两个不同的值我们称这类序列的巴拿赫极限不是唯一确定的 作为上述性质的一个推论每个实值巴拿赫极限也满足 lim inf n   x n  ϕ  x   lim sup n   x n displaystyle liminf nto infty xnleq phi xleq limsup nto infty xn 巴拿赫极限的存在性通常需要应用哈恩巴拿赫定理证明分析学方法也可以应用超滤子这种方法在集合论的讨论中出现得更频繁这些证明都一定会用到选择公理即所谓的非构造证明