黎曼ζ函數 黎曼泽塔函數 写作ζs 的定義如下 設一複數 s 使得 Res  則定義 ζ  s    n     n s displaystyle zeta ssum ninfty frac ns 它亦可以用积分定义 ζ  s    Γ  s     x s   e x   d x displaystyle zeta sfrac Gamma sint infty frac xsexmathrm d x 在区域 s  Res   上此无穷级数收敛并为一全纯函数欧拉在年考虑过 s 为正整数的情况后来切比雪夫拓展到 s  波恩哈德黎曼认识到ζ函数可以通过解析延拓把定義域扩展到幾乎整個复数域上的全纯函数 ζs这也是黎曼猜想所研究的函数 虽然黎曼的ζ函数被数学家认为主要和最纯的数学领域数论相关它也出现在应用统计学参看齊夫定律和齊夫曼德爾布羅特定律英语ZipfMandelbrot law物理以及调音的数学理论中