希尔伯特-施密特算子 在数学中一个希尔伯特施密特算子英語HilbertSchmidt operator得名于大卫希尔伯特和埃哈德施密特 是希尔伯特空间H上的有界算子A有有限的希尔伯特施密特范数  A  H S   T r  A  A    i  I  A e i   displaystyle AHSrm TrAAsum iin IAei  其中     displaystyle   是H上的范数  e i  i  I  displaystyle eiiin I 是H上的一组标准正交基Tr是非负自伴算子的迹这里指标集不一定可数这个定义不依赖于基底的选择所以有  A  H S    i  j  A i  j     A    displaystyle AHSsum ijAijA  其中 A i  j   e i  A e j  displaystyle Aijlangle eiAejrangle    A   displaystyle A 为 A displaystyle A 在p  时的Schatten范数英语Schatten norm在欧几里得空间中     H S displaystyle  HS 也被称为弗罗贝尼乌斯范数得名于费迪南德格奥尔格弗罗贝尼乌斯 两个希尔伯特施密特算子的乘积有有限的迹类范数因此如果A和B是两个希尔伯特施密特算子希尔伯特施密特内积可以如下定义  A  B  H S  Tr   A  B    i  A e i  B e i  displaystyle langle ABrangle mathrm HS operatorname Tr ABsum ilangle AeiBeirangle   希尔伯特施密特算子构成一个H上的有界算子的Banach代数英语Banach algebra的双边理想它们构成一个希尔伯特空间可以证明自然等距同构到希尔伯特空间的张量积英语Tensor product of Hilbert spaces H   H displaystyle Hotimes H  其中H是H的对偶空间 希尔伯特施密特算子的集合在范数拓扑下是闭集当且仅当H是有限维空间 一类重要的例子是希尔伯特施密特积分算子英语HilbertSchmidt integral operator 希尔伯特施密特算子是二阶核型算子英语Nuclear operator因此是紧的