微积分基本定理 微积分基本定理英語Fundamental theorem of calculus描述了微积分的两个主要运算微分和积分之间的关系 定理的第一部分称为微积分第一基本定理此定理表明給定任一連續函數可以利用積分構造出該函數的反導函數這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函數的反導函數的存在性 定理的第二部分称为微积分第二基本定理或牛顿莱布尼茨公式表明某函數的定积分可以用該函數的任意一個反導函數来计算这一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理因为它大大简化了定积分的计算 该定理的一个特殊形式首先由詹姆斯格里高利证明和出版定理的一般形式则由艾萨克巴罗完成证明 對微积分基本定理比較直觀的理解是把函數在一段區間的无穷小变化全部加起來會等于该函數的净变化這裡無窮小變化就是微分加起來就是積分淨變化就是該函數在區間兩端點的差 我们从一个例子开始假设有一个物体在直线上运动其位置为 x  t  displaystyle xt 其中 t displaystyle t 为时间 x  t  displaystyle xt 意味着 x displaystyle x 是 t displaystyle t 的函数这个函数的导数等于位置的无穷小变化 d x displaystyle dx 除以时间的无穷小变化 d t displaystyle dt 当然该导数本身也与时间有关我们把速度定义为位置的变化除以时间的变化用莱布尼兹记法 d x d t  v  t   displaystyle frac dxdtvt 整理得 d x  v  t  d t  displaystyle dxvtdt 根据以上的推理 x displaystyle x 的变化 Δ x displaystyle Delta x 是 d x displaystyle dx 的无穷小变化之和它也等于导数和时间的无穷小乘积之和这个无穷的和就是积分所以一个函数求导之后再积分得到的就是原来的函数我们可以合理地推断这个运算反过来也成立积分之后再求导得到的也是原来的函数