高斯和 在數論中高斯和是一種單位根的有限和可抽象地表為 G  χ  ψ    r  R χ  r  ψ  r  displaystyle Gchi psi sum rin Rchi rpsi r 其中 R displaystyle R 為有限交換環 ψ   R     S  displaystyle psi Rto mathbb S  為同態 χ   R      S  displaystyle chi Rtimes to mathbb S  亦為同態對於 r  R  displaystyle rnotin Rtimes  可定義 χ  r    displaystyle chi r  這類有限和常見於代數數論與解析數論此時通常取 R  Z  n Z displaystyle Rmathbb Z nmathbb Z  特徵 ψ displaystyle psi  必為 ψ  x   e  π i α x  n displaystyle psi xepi ialpha xn 之形式 α  Z displaystyle alpha in mathbb Z  此處的 χ displaystyle chi  不外是一個狄利克雷特徵這類高斯和有時也記為 τ α  χ  displaystyle tau alpha chi  出現於狄利克雷L函數的函數方程中 高斯和的絕對值可透過抽象調和分析的方法導出其確切值則較難確定高斯首先算出了二次高斯和此時取 R  Z  p Z displaystyle Rmathbb Z pmathbb Z  其中 p displaystyle p 為素數並取 χ  x    x p  displaystyle chi xleftfrac xpright 為勒讓德符號高斯和遂化為下述指數和 τ α   x   p   e  π i α x   p displaystyle tau alpha sum xpepi ialpha xp 高斯得到的結果是 τ α    α p  p  p   mod   α p  i p  p   mod  displaystyle tau alpha begincasesleftfrac alpha prightsqrt ppequiv mod leftfrac alpha prightisqrt ppequiv mod endcases 由此可導出二次互反律的一種證明二次高斯和也與Theta 函數理論相關