瑞利-里兹法 瑞利里兹法是广泛应用于应用数学和机械工程领域的经典数值方法它可以用来计算结构的低阶自然频率瑞利里兹法也广泛应用于量子化学领域 它是直接变分法的一种其定义于赋范线性空间的函数最小值由其空间上的元素线性组成来估计该方法可以用于求解解析解难以得到的问题 在机械工程领域它被用于计算多自由度系统如弹簧质量系统变截面轴上的飞轮大致的共振频率还可以计算圆柱体的折断载荷瑞利里兹法是瑞利法的扩展 以下的讨论举一个最简单的例子个集中弹簧和个集中质量并只考虑个模态振型因此 M  m m 且 K  k k 为该系统假设一个由两项组成的模态振型其中一个用因数 B加权例如Y     B  简谐运动理论认为挠度等于时的速率为角频率 ω displaystyle omega  乘以最大挠度y本例中每个质量的动能KE等于   ω  Y   m  displaystyle frac omega Ym 等等而每个弹簧的势能PE等于   k  Y   displaystyle frac kY 等等对于连续系统该表达式要麻烦得多 因为引入了无阻尼假设因此整个系统当y时的KE等于v时的PE由于不存在阻尼系统各点同时达到v的状态 因此由KE  PE得  i       ω  Y i  M i    i       K i Y i   displaystyle sum ileftfrac omega YiMirightsum ileftfrac KiYiright 注意模态振型的实际振幅总会从两边消去也就是说假设挠度的真正数值并不重要我们在意的是振型 由于 ω displaystyle omega  与B有关为了找到最小的 ω displaystyle omega  我们令 d ω  d B   displaystyle domega dB 此时的B的取值可以使得 ω displaystyle omega  最小由于振型是假设的通过该方法得到的 ω displaystyle omega  是需要预测的基频的上界我们需要得到的是这个上界的最小值 该方法有很多技巧最重要的是试图找到尽量真实的假设振型例如在梁的挠曲问题中使用一个尽量接近真实解得变形模态是明智的对于大部分简单的梁连接问题即使振型的阶次很低一个四次的函数就足够了弹簧和质量并不必离散它们可以是连续的或者是杂糅的只要能够描述分布式的KE和PE或把连续的单元离散该方法可以很容易编程来找到复杂分布式系统的自然频率 该方法可以反复迭代使用把附加的模态振型叠加到先前的最佳解上也可以建立一个用许多参数B和振型组合的长表达式最后对它们求偏导