本质上确界和本质下确界 本质上确界和本质下确界的概念与上确界和下确界有关但前者与测度论的关联性更大其中通常要涉及不是处处都成立的命题而是几乎处处也就是说除了在测度为零的集合以外 设X Σ μ为测度空间并设f  X  R为定义在X上的实函数它并不一定是可测的实数a称为f的上确界如果对于X内的所有x都有fx  a也就是说集合  x  X  f  x   a  displaystyle xin Xfxa 是空集而a称为本质上确界如果集合  x  X  f  x   a  displaystyle xin Xfxa 的测度为零也就是说对于X内的几乎所有x都有fx  a 更加正式地f的本质上确界ess sup f定义为 e s s sup f  inf  a  R  μ   x  f  x   a      displaystyle mathrm ess sup finfain mathbb R mu xfxa 如果本质上确界的集合  a  R  μ   x  f  x   a      displaystyle ain mathbb R mu xfxa 不是空集否则ess sup f   类似地我们也可以定义本质下确界 e s s inf f  sup  b  R  μ   x  f  x   b      displaystyle mathrm ess inf fsupbin mathbb R mu xfxb 如果本质下确界的集合不是空集否则为