自伴算子 在数学尤其是泛函分析中向量空间 V displaystyle V 上的自伴算子是一类特殊的线性算子自同态其伴随算子是其自身根据不同的需要可以讨论 V displaystyle V 为拓扑向量空间赋范向量空间巴拿赫空间乃至希尔伯特空间的情况使得伴随算子自伴算子可以具有更丰富的性质一个重要的例子是希尔伯特空间上自伴算子的谱定理 若 V displaystyle V 是具有规范正交基的有限维复向量空间其上自伴算子在该基下的矩阵是埃尔米特矩阵该矩阵等于自身的共轭转置有限维的谱定理表明对于一个算子 A displaystyle A 总能找到 V displaystyle V 上的规范正交基使得 A displaystyle A 在该基下的矩阵是一个对角矩阵且这些对角元都是实数 无穷维希尔伯特空间上的自伴算子的谱定理与此类似一个算子是自伴的当且仅当其酉等价于一个实值乘法算子不过黑林格特普利茨定理表明了定义于全空间的自伴算子必然是有界的从而无界算子至多只能定义在全空间的一个稠密子空间上故对于无界算子须对定义域的问题多加注意定义域的问题造成了对称算子和自伴算子的区分而这区分对于谱定理等结论而言是至关重要的 自伴算子在量子力学中也有重要地位在量子力学公理的狄拉克冯诺伊曼表述英语Diracvon Neumann axioms中位置动量角动量和自旋等物理可观测量是由希尔伯特空间上的自伴算子表示在哈密顿算子的谱能级具有重要的物理意义的同时哈密顿算子中的动能项通常由导数算子构成而无穷维空间中的导数算子是典型的无界算子