椭圆积分 在积分学中椭圆积分最初出现于椭圆的弧长有关的问题中朱利奥法尼亚诺英语Guilio Fagnano和欧拉是最早的研究者现代数学将椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数 f displaystyle f 的积分 f  x    c x R  t  P  t     d t displaystyle fxint cxRtsqrtPt dt 其中 R displaystyle R 是其两个参数的有理函数 P displaystyle P 是一个无重根的  displaystyle  或  displaystyle  阶多项式而 c displaystyle c 是一个常数 通常椭圆积分不能用基本函数表达这个一般规则的例外出现在 P displaystyle P 有重根的时候或者是 R displaystyle R   x  y  displaystyle leftxyright 没有 y displaystyle y 的奇数幂时但是通过适当的简化公式每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分也即第一第二和第三类的椭圆积分 除下面给出的形式之外椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式通过对施瓦茨克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解历史上椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的特别是这一个 F  sn  z  k   k   z displaystyle Ftextrm snleftzkrightkz 其中 sn displaystyle textrm sn 是雅可比正弦椭圆函数