朗伯W函数 朗伯W函数英語Lambert W function又称为欧米加函数或乘积对数是 f  w   w e w displaystyle fwwew 的反函数其中 e w displaystyle ew 是指数函数 w displaystyle w 是任意复数对于任何复数 z displaystyle z 都有 z  W  z  e W  z   displaystyle zWzeWz 由于函数 f displaystyle f 不是单射因此函数 W displaystyle W 是多值的除了以外如果我们把 x displaystyle x 限制为实数并要求 w displaystyle w 是实数那么函数仅对于 x   e displaystyle xgeq frac e 有定义在    e    displaystyle frac e 内是多值的如果加上 w    displaystyle wgeq  的限制则定义了一个单值函数 W   x  displaystyle Wx 见图我们有 W       displaystyle W  W     e     displaystyle Wfrac e 而在    e    displaystyle frac e 内的 w    displaystyle wleq  分支则记为 W    x  displaystyle Wx 从 W      e     displaystyle Wfrac e 递减为 W          displaystyle Winfty   朗伯 W displaystyle W 函数不能用初等函数来表示它在组合数学中有许多用途例如树的计算它可以用来解许多含有指数的方程也出现在某些微分方程的解中例如 y  t   a y  t    displaystyle ytayt