矩阵微分方程 微分方程是变量的未知函数的数学方程将函数值与不同阶导数联系起来矩阵微分方程包含多个函数以向量形式堆叠在一起并由一个矩阵将它们与导数联系起来 例如一阶矩阵常微分方程为 x   t   A  t  x  t  displaystyle mathbf dot x tmathbf A tmathbf x t 其中 x  t  displaystyle mathbf x t 是基变量 t displaystyle t 的函数的 n   displaystyle ntimes  向量 x   t  displaystyle mathbf dot x t 是函数的一阶导 A  t  displaystyle mathbf A t 是 n  n displaystyle ntimes n 系数矩阵 若 A displaystyle mathbf A  为常数且有n个线性无关的特征向量微分方程有如下一般解 x  t   c  e λ  t u   c  e λ  t u     c n e λ n t u n    displaystyle mathbf x tcelambda tmathbf u celambda tmathbf u cdots cnelambda ntmathbf u n 其中λ λ  λn是A的特征值u u  un是A相应的特征向量c c  cn为常数 更一般地说若 A  t  displaystyle mathbf A t 等于其积分  a t A  s  d s displaystyle int atmathbf A sds 则马格努斯展开降为前导阶微分方程的一般解是 x  t   e  a t A  s  d s c    displaystyle mathbf x teint atmathbf A sdsmathbf c  其中 c displaystyle mathbf c  是 n   displaystyle ntimes  常向量 通过使用哈密尔顿凯莱定理和类范德蒙矩阵这种形式化的矩阵指数解可简化为一种简单的形式下面我们将用普策算法Putzers algorithm来展示这一方法