对数正态分布 在概率论与统计学中任意随机变量的对数服从正态分布则这个随机变量服从的分布称为对数正态分布如果 Y displaystyle Y 是正态分布的随机变量则 exp   Y  displaystyle expY 指数函数为对数正态分布同样如果 X displaystyle X 是对数正态分布则 ln  X displaystyle ln X 为正态分布 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积则这个变量可以看作是对数正态分布一个典型的例子是股票投资的长期收益率它可以看作是每天收益率的乘积 对于 x   displaystyle x 对数正态分布的概率密度函数为 f  x  μ  σ    x σ  π e   ln  x  μ     σ  displaystyle fxmu sigma frac xsigma sqrt pi eln xmu sigma  其中 μ displaystyle mu  与 σ displaystyle sigma  分别是变量对数的平均值与標準差它的期望值是 E  X   e μ  σ    displaystyle mathrm E Xemu sigma  方差为 v a r  X    e σ     e  μ  σ   displaystyle mathrm var Xesigma emu sigma  给定期望值与方差也可以用这个关系求 μ displaystyle mu  与 σ displaystyle sigma  μ  ln   E  X      ln     v a r  X  E  X     displaystyle mu lnmathrm E Xfrac ln leftfrac mathrm var Xmathrm E Xright σ   ln     v a r  X  E  X     displaystyle sigma ln leftfrac mathrm var Xmathrm E Xright