布洛赫波 在固体物理学中布洛赫波Bloch wave是周期性势场如晶体中粒子一般为电子的波函数又名布洛赫态Bloch state 布洛赫波因其提出者美籍瑞士裔物理学家菲利克斯布洛赫而得名 布洛赫波由一个平面波和一个周期函数 u  r  displaystyle uboldsymbol r 布洛赫波包相乘得到其中 u  r  displaystyle uboldsymbol r 与势场具有相同周期性布洛赫波的具体形式为 ψ  r   e i k  r u  r   displaystyle psi boldsymbol rmathrm e mathrm i boldsymbol kcdot boldsymbol ruboldsymbol r 式中 k displaystyle boldsymbol k 为波向量上式表达的波函数称为布洛赫函数当势场具有离散的平移对称性其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质 ψ  r  R n   e i k  R n ψ  r  displaystyle psi boldsymbol rboldsymbol Rnmathrm e mathrm i boldsymbol kcdot boldsymbol Rnpsi boldsymbol r 这一结论称为布洛赫定理Blochs theorem其中 R n displaystyle boldsymbol Rn 为晶格周期向量可以看出具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式 平面波波向量 k displaystyle boldsymbol k 又称布洛赫波向量它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶格动量表征不同原胞间电子波函数的位相变化其大小只在一个倒易点阵向量之内才与波函数满足一一对应关系所以通常只考虑第一布里渊区内的波向量即所谓简约波向量对一个给定的波矢和势场分布电子运动的薛定谔方程具有一系列解称为电子的能带常用波函数的下标n 以区别这些能带的能量在 k displaystyle boldsymbol k 的各个单值区分界处存在有限大小的空隙称为能隙在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构在单电子近似的框架内如一个周期性势场具有离散的平移对称性电子的波函数可以由能带和晶格动量来共同标记电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数来可靠地预言 上述结果的一个推论为在确定的完整晶体结构中布洛赫波向量 k displaystyle boldsymbol k 是一个守恒量以倒易点阵向量为模即电子波的群速度为守恒量换言之在完整晶体中电子运动可以不被格点散射地传播所以该模型又称为近自由电子近似导体的电阻仅仅来自那些破坏了势场周期性的晶体缺陷以及电子与声子的相互作用 从薛定谔方程出发可以证明哈密顿算符与平移算符的作用次序满足交换律所以周期势场中粒子的本征波函数总是可以写成布洛赫函数的形式更广义地说本征函数满足的算符作用对称关系是群论中表示理论的一个特例 布洛赫波的概念由菲利克斯布洛赫在年研究晶态固体的导电性时首次提出的但其数学基础在历史上却曾由乔治威廉希尔年加斯东弗洛凯英语Gaston Floquet年和亚历山大李雅普诺夫年等独立地提出因此类似性质的概念在各个领域有着不同的名称常微分方程理论中称为弗洛凯理论也有人称李雅普诺夫弗洛凯定理一维周期性波动方程则有时被称为希尔方程