普拉托问题 普拉托问题英語Plateaus problem是数学中与极小曲面有关的一类问题旨在研究在边界固定时极小表面的存在性此问题最早由世纪的法国数学家拉格朗日在年提出而之后比利时人约瑟夫普拉托在世纪进行了大量关于皂液膜肥皂泡的实验并总结出了一些与极小曲面以及此问题有关的定律普拉托定律普拉托问题是变分法研究的一个分支普拉托问题中的极小曲面的存在性以及其正则性是否可微是否光滑等等是几何测度理论的研究对象 数学家们首先从解决普拉托问题的各种约束下的特殊情况开始年杰西道格拉斯和蒂波拉多得到了在映照浸入参照下的一般解两人的方法有很大差别拉多的方法建立在加尼尔的工作上只能证明边界为可求长的简单闭曲线的情况道格拉斯则运用了全新的思路对任意的简单闭曲线都适用两人的方法都包括了求解最小值问题不同之处为道格拉斯最小化的对象是现在称为道格拉斯积分的积分式而拉多最小化的对象是类似于保守场的能量道格拉斯因这方面的工作获得了年的菲尔兹奖 更高维度空间中的普拉托问题关于n维欧几里得空间 R n displaystyle mathbb R n 中的k维曲面上极小曲面的问题比三维空间中曲面的普拉托问题更为困难不仅如此与三维空间中曲面的普拉托问题的解总是正则的特性不同研究发现扩展到高维空间中的普拉托问题的解在 k  n   可能出现不规则的奇点当曲面是超平面的时候即曲面维度 k  n   的时候则只在空间维度 n   的时候解会出现不规则的奇点