拉格朗日恒等式 在代数中以约瑟夫拉格朗日命名的拉格朗日恒等式是   k   n a k     k   n b k      k   n a k b k     i   n    j  i   n  a i b j  a j b i        i   n  j    j  i n  a i b j  a j b i     displaystyle beginalignedbiggl sum knakbiggr biggl sum knbkbiggr biggl sum knakbkbiggr sum insum jinaibjajbibiggl frac sum insum jjneq inaibjajbibiggr endaligned 应用于任意两个实数或复数集合或者更一般地一个交换环的元素a a    an and b b    bn这个恒等式是婆罗摩笈多斐波那契恒等式的推广同时也是BinetCauchy恒等式的特殊形式 用一个更为简洁的向量形式表示Lagrange恒等式就是  a      b     a  b       i  j  n  a i b j  a j b i      displaystyle mathbf a  mathbf b mathbf acdot b sum leq ijleq nleftaibjajbiright  其中a和b是由实数构成的n维向量向复数的引申需要将点积理解为内积或者Hermitian点积准确的说对于复数Lagrange恒等式可以写成以下形式   k   n  a k      k   n  b k       k   n a k b k     i   n    j  i   n  a i b  j  a j b  i   displaystyle biggl sum knakbiggr biggl sum knbkbiggr biggl sum knakbkbiggr sum insum jinaioverline bjajoverline bi 用到复数的模