矩阵还原 矩阵还原是在只有部分观察值时填充矩阵缺失的条目的任务自然地各种数据集都以矩阵形式表示一个例子是电影评级矩阵如Netflix问题所示给定一个评级矩阵其中如果客户 i displaystyle i 看过电影 j displaystyle j 那么数据点  i  j  displaystyle ij 的值代表客户 i displaystyle i 给电影 j displaystyle j 的评分否则会该处没有值我们希望预测这种没有值的数据点以便就接下来要看什么向客户提出好的建议另一个示例是术语文档矩阵文档集合中使用的单词频率可以表示为矩阵其中每个数据点对应于相关术语出现在指定文档中的次数 对还原后矩阵中的自由度数没有任何限制这个问题是不确定的因为可以为隐藏的数据点分配任意值因此我们需要对矩阵进行一些假设来创建一个适定问题比如假设它具有最大行列式是正定的或者是低秩的 例如可以假设矩阵具有低秩结构接下来试图找到最低秩的矩阵或者如果还原后的矩阵的秩是已知的那么一个秩r的矩阵会与已知数据点匹配该图显示可以在零错误右侧的条件下还原部分显示的秩矩阵左侧因为所有缺少数据点的行都应与第三行相同在Netflix问题的情况下由于用户偏好通常可以通过少数因素来描述例如电影类型和发行时间因此评分矩阵会是低秩的其他应用包括计算机成像需要重建图像中丢失的像素从局部距离信息中检测传感器在网络中的全局位置以及多类学习矩阵完成问题通常是NP难问题但是在其他假设下有一些有效的算法可以以很高的概率实现精确的重构 从统计学习的角度来看矩阵还原问题是矩阵正则化的一种应用矩阵正则化是向量正则化的推广例如在低秩矩阵还原问题中可以应用核范数形式的正则化惩罚 R  X   λ  X   displaystyle RXlambda X