分裂四元数 在抽象代数中分裂四元数splitquaternions或反四元数coquaternions是一种四维的结合代数的元素由James Cockle英语James Cockle在年引入当时称为反四元数 类似于汉密尔顿年引入的四元数 它们组成了一个四维的实向量空间且有乘法运算 与四元数不同分裂四元数包含非平凡的零因子幂零元和幂等元英语Idempotentringtheory例如      j  displaystyle  over j 是幂等的零因子而 i  j displaystyle ij 是幂零元作为一种数学结构分裂四元数形成了域代数且与  的实矩阵同构 集合    i  j  k  displaystyle leftijkright 组成一个基 这些元素的积由 i j  k   j i displaystyle ijkji  j k   i   k j displaystyle jkikj  k i  j   i k displaystyle kijik  i     displaystyle i  j     displaystyle j  k     displaystyle k 给出因此 i j k   displaystyle ijk  由以上定义可得集合    i  j  k      i   j   k  displaystyle leftijkijkright 在分裂四元数乘法的定义下是一个群与二面体群 D  displaystyle D 同构称为正方形的对称群 分裂四元数 q  w  x i  y j  z k displaystyle qwxiyjzk 的共轭 q   w  x i  y j  z k displaystyle qwxiyjzk  由于其基向量的反交换性分裂四元数与其共轭的积由其迷向二次型 N  q   q q   w   x   y   z  displaystyle Nqqqwxyz 给出 给定两个反四元数 p displaystyle p 和 q displaystyle q 有 N  p q   N  p  N  q  displaystyle NpqNpNq 意味着 N displaystyle N 是可合成的二次型 其上的代数是一种合成代数 N displaystyle N 是其范数 任何满足 q   displaystyle qneq   N  q    displaystyle Nq 的反四元数q称为零向量Null vector而非Zero vector它的存在意味着反四元数形成分裂的合成代数因此反四元数也被称为分裂四元数 当范数非零时 q displaystyle q 有倒数即 q  N  q  displaystyle q over Nq  集合 U   q  q q     displaystyle Uleftqqqneq right 是单位元的集合 全体分裂四元数的集合 P displaystyle mathbb P  组成环  P      displaystyle mathbb P cdot  其单位群为  U    displaystyle Ucdot  全体 N  q    displaystyle Nq 的分裂四元数组成一个非紧致的拓扑群 S U      displaystyle SU 且与 S L    R  displaystyle SLmathbb R  同构见下 历史上讲分裂四元数早于凯莱的矩阵代数分裂四元数及四元数和双复数引发了对线性代数的深入研究