整函数 整函数英語Entire function是在整个复平面上全纯的函数典型的例子有多项式函数指数函数以及它们的和积及复合函数每一个整函数都可以表示为处处收敛的幂级数而对数函数和平方根都不是整函数 整函数 f  z  displaystyle fz 的阶可以用上极限定义如下 ρ  lim sup r   ln   ln   M  r    ln   r   displaystyle rho limsup rrightarrow infty frac lnlnMrlnr 其中 r displaystyle r 是到  displaystyle  的距离 M  r  displaystyle Mr 是  z   r displaystyle leftzrightr 时 f  z  displaystyle fz 的最大绝对值如果   ρ   displaystyle rho infty  我们也可以定义它的类型 σ  lim sup r   ln   M  r   r ρ  displaystyle sigma limsup rrightarrow infty frac lnMrrrho  整函数在无穷远处可能具有奇点甚至是本性奇点这时该函数便称为超越整函数根据刘维尔定理在整个黎曼球面复平面和无穷远处的点上的整函数是常数 刘维尔定理确立了整函数的一个重要的性质任何一个有界的整函数都是常数这个性质可以用来证明代数基本定理皮卡小定理强化了刘维尔定理它表明任何一个不是常数的整函数都取遍所有的复数值最多只有一个值例外例如指数函数永远不能是零