数学基础 数学上数学基础英語foundations of mathematics一词有时候用于数学的特定领域例如数理逻辑公理化集合论证明论模型论和递归论可計算性理論但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题在什么终极基础上命题可以称为真 目前占统治地位的数学典範思想是基于公理化集合论和形式逻辑的實際上幾乎所有现在的数学定理都可以表述為集合论下的定理在这个观点下所謂数学命题的真实性不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来 这个形式化的方法英语Formalism philosophy of mathematics不能解释一些问题为什么我们應沿用现行的公理而不是別的为什么我们應沿用现行的逻辑规则而不是別的为什么真数学命题例如算術領域的皮亚诺公理在物理世界中似乎是真的这被尤金维格纳在年叫做数学在自然科学中无理由的有效性The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences 在數學實在論英语Mathematical realism有时也叫柏拉图主义中独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设这些对象的真实性由人类发现在这种观点下自然定律和数学定律有類似的地位因此有效性不再无理由不是我们的公理而是数学对象的真实世界构成了數學基础但显然的问题在于我们如何接触这个世界 一些数学哲学的现代理论不承认這種數學基础的存在性有些理论倾向于專注数学实践英语Mathematical practice並試圖把数学家的实際工作視為一種社會群體來作描述和分析也有理論试图创造一个数学认知科学英语Numerical cognition把数学在现实世界中的可靠性歸結為人類的認知这些理论建议只在人类的思考中找到基础