控制李亞普諾夫函數 控制李亞普諾夫函數controlLyapunov function是在控制理论中針對動態系統及控制輸入的李亞普諾夫函數 原始的李亞普諾夫函數是要判斷动力系统是否穩定更嚴格的要求是漸近穩定也就是說系統若啟始條件是在某一區域D中的狀態 x   displaystyle xneq  最後是否可以持續的維持在區域D內若要判斷漸近穩定則要判斷系統最後是否會回到 x   displaystyle x  控制李亞普諾夫函數是判斷系統是否可以回授穩定feedback stabilizable也就是針對每一個狀態x是否存在一控制輸入 u  x  t  displaystyle uxt 可以將系統帶回到原點 考慮以下的獨立控制系統 x   f  x  u  displaystyle dot xfxu 其中 x  R n displaystyle xin mathbf R n 為狀態向量 u  R m displaystyle uin mathbf R m 為控制向量 目標是可以在區域 D  R n displaystyle Dsubset mathbf R n 內將其回授穩定到 x   displaystyle x  控制李亞普諾夫函數是指函數 V  D  R displaystyle VDrightarrow mathbf R  具有連續可微正定也就是 V  x  displaystyle Vx 在 x   displaystyle x 位置為其餘位置都是正值的特性而且使下式成立  x     u V   x  u    V  x   f  x  u    displaystyle forall xneq exists uqquad dot Vxunabla Vxcdot fxu 最後一個條件是關鍵對於每一個狀態x可以找到可以降低能量V的控制項u直覺上若對於每一個狀態都可以找到方法降低能量就可以將能量降到零因此可以讓系統停止這是透過Artstein定理證明的 Artstein定理動態系統有可微分控制李亞普諾夫函數的充份必要條件是存在一個可以穩定系統的回授ux 特定系統的控制李亞普諾夫函數不一定好找不過若是找到了這種函數回授穩定化問題可以作相當的精簡可以簡化為靜態的非線性最优化問題 u   x     a r g m i n u  V  x   f  x  u  displaystyle uxoperatorname  argminunabla Vxcdot fxu 對於每一個狀態x都成立 有關控制李亞普諾夫函數是由Z Artstein和Eduardo D Sontag英语Eduardo D Sontag在年代及年代所提出的