扩散方程 扩散方程是一类偏微分方程用来描述扩散现象中的物质密度的变化通常也用来和扩散类似的现象例如在群体遗传学中等位基因在群体中的扩散 扩散方程通常写作  ϕ  r   t   t     D  ϕ  r    ϕ  r   t    displaystyle frac partial phi vec rtpartial tnabla cdot bigg Dphi vec rnabla phi vec rtbigg  其中 ϕ  r   t  displaystyle phi vec rt 是扩散中的物质在 t displaystyle t 时刻位于 r  displaystyle vec r 处的密度 D  ϕ  r   displaystyle Dphi vec r 是密度 ϕ displaystyle phi  在 r  displaystyle vec r 处的扩散系数 如果扩散系数依赖于密度那么方程是非线性的否则是线性的如果 D displaystyle D 是常数那么方程退化为下面的线性方程热传导方程  ϕ  r   t   t  D   ϕ  r   t   displaystyle frac partial phi vec rtpartial tDnabla phi vec rt 更一般的当D是对称正定矩阵时方程描述的是各向异性扩散此时方程的三维形式是  ϕ  r   t   t   i     j      x i  D i j  ϕ  r    ϕ  r   t   x j  displaystyle frac partial phi vec rtpartial tsum isum jfrac partial partial xileftDijphi vec rfrac partial phi vec rtpartial xjright