橢圓函數 在複分析中橢圓函數是複平面上的雙週期亞純函數歷史上橢圓函數起初被視作橢圓積分之逆 更明確地說固定 C displaystyle mathbb C  中的格 Λ  Z a  Z b  C displaystyle Lambda mathbb Z aoplus mathbb Z bsubset mathbb C   a  b  C displaystyle abin mathbb C  亞純函數 f displaystyle f 是 Λ displaystyle Lambda  的橢圓函數若且唯若對每個 z  C  ℓ  Λ displaystyle zin mathbb C ell in Lambda  皆有 f  z  ℓ   f  z  displaystyle fzell fz 此即雙週期的含義 全純橢圓函數的绝对值应恒小于某个正数因此该函数有界而根據複分析中的刘维尔定理有界的全纯函数只能是常數函數故非常數的橢圓函數必帶極點或者说椭圆函数是有理型复函数下文中讨论椭圆函数的性质时不将常函数视为椭圆函数 一般的椭圆函数的导数仍为椭圆函数 椭圆函数在单位平行四边形内的留数之和为零因此可以进一步得知椭圆函数的阶数至少为二否则该函数在单位胞腔内将只有一个一阶极点在该点上的函数展开式的无限部分将不为零导致矛盾標準的橢圓函數有兩種分別是只有留数之和为零的两个一阶极点的雅可比橢圓函數及只有一个留数为零的二阶极点的魏爾斯特拉斯橢圓函數雖然雅可比橢圓函數較為古老且與實際應用的關係更為直接大多數現代作者在介紹基本理論時多採用魏爾斯特拉斯橢圓函數因其函數形式更為簡單是准周期函数的Θ函數雖非雙週期函數但也能用來構造橢圓函數 出于周期性椭圆函数还具有一系列好的性质比如单位胞腔内椭圆函数零点的数目等同于极点的数目而取得任何有限或无限值的次数相同进一步地对于两个拥有相同周期的椭圆函数存在代数关系如果它们具有相同的的零点和极点及其阶数那么它们之比是非零的常数如果它们具有相同的极点和极点的无限部分那么它们之差为一常数所以任意椭圆函数都可以用魏爾斯特拉斯橢圓函數和雅可比橢圓函數来描述