格罗滕迪克伽罗瓦理论 数学中格罗滕迪克伽罗瓦理论Grothendiecks Galois theory是域的伽罗瓦理论的一种抽象方法为代数几何背景下研究代数拓扑的基本群提供了一种方法大约发展于年前后格罗滕迪克伽罗瓦理论在经典域论背景下提供了一种不同于埃米尔阿廷的线性代数视角后者在年代成为标准 亚历山大格罗滕迪克的方法关注范畴论性质是定投射有限群profinite groupG的有限G集合范畴的特征例如G可能是表为 Z  displaystyle hat mathbb Z  的群是循环加性群 Z  n Z displaystyle mathbb Z nmathbb Z  的逆极限或等价于有限索引的子群拓扑的有限循环群Z的完备化因此有限G集是有限集X其上的G通过商有限循环群作用于X从而通过给出X的某种置换来指定它 在上面的例子中通过把 Z  displaystyle hat mathbb Z  看做任意有限域F在F上的代数闭包 F  displaystyle bar F 的投射有限伽罗瓦群 G a l  F   F  displaystyle rm Galbar FF 可以看出其与经典伽罗瓦理论的联系即当在F上取越来越大的有限分裂域时固定F的 F  displaystyle bar F 的自同构由逆极限描述观察去原点复平面的单位圆盘的覆叠空间时就会发现其与几何之间的联系通过复变量z考虑圆盘的 z n displaystyle zn 映射实现的有限覆盖对应去心圆盘基本群的子群nZ 格罗滕迪克理论发表于SGA展示了如何从纤维函子 Φ displaystyle Phi  重构G集范畴在几何情景中纤维函子 Φ displaystyle Phi  将覆盖的纤维置于固定基点上作为集合事实上已证明有同构类型 G  A u t  Φ   displaystyle Gcong rm AutPhi  后者是 Φ displaystyle Phi  的自同构群自自然等价我们给出范畴的抽象分类其中给出到集合范畴的函子这样就可以识别G投射有限的G集范畴 为了了解这如何应用于域的情形必须研究域的张量积拓扑斯理论中这是原子拓扑斯研究的一部分