複對數 複對數英語Complex logarithm為自然對數延伸到非零复数的函數是以下兩個定義中的一個這兩個定義彼此也密切相關 非零複數 z displaystyle z 的複對數定義為可以使 e w  z displaystyle ewz 的任意複數 w displaystyle w 此複數 w displaystyle w 可以表示為 log  z displaystyle log z 若 z displaystyle z 以極坐標表示為 z  r e i θ displaystyle zreitheta  其中 r displaystyle r 和 θ displaystyle theta  是實數 r   displaystyle r 則 ln  r  i θ displaystyle ln ritheta  是 z displaystyle z 的一個複對數 z displaystyle z 的所有複對數會是 ln  r  i  θ   π k  displaystyle ln rilefttheta pi kright 其中的 k displaystyle k 為整數對數會在複數平面上在一條垂直線上等距排列 複數值函數 log  U  C displaystyle log colon Uto mathbb C  定義在 C  displaystyle mathbb C  集合中非零複數中的一個子集合 U displaystyle U 滿足 e log  z  z displaystyle elog zz 針對 U displaystyle U 裡的所有 z displaystyle z 這樣的複數函數類似實數的自然對數函數 ln  R    R displaystyle ln colon mathbb R to mathbb R  後者是實數指數函數的反函數因此針對所有的正實數x可以滿足eln x  x複對數函數可以用有關實數值函數顯式公式來建立用   z displaystyle z 的積分或是用解析延拓的方式建立 沒有在整個複數域 C  displaystyle mathbb C  均有定義的連續複指數函數處理此問題的方式包括分支英语Branch point相關的黎曼曲面以及複數指數函數的部份反函數partial inverse主值principal value定義了特定的複指數函數 Log  C   C displaystyle operatorname Log colon mathbb C to mathbb C  除了在負實數軸之外都連續是不考慮負實數和的複平面這是實數自然對數的解析延拓