離散正交轉換 數學上任一的 M  N displaystyle Mtimes N 離散線性轉換皆可表示成矩陣Matrix 的型式 Y  A X displaystyle boldsymbol YAX  y    y    y     y  M       a     a     a      a   N    a     a     a      a   N    a     a     a      a   N         a M      a M      a M       a M    N      x    x    x     x  N      displaystyle beginbmatrixyleftrightyleftrightyleftrightvdots yleftMrightendbmatrixbeginbmatrixaleftrightaleftrightaleftrightcdots aleftNrightaleftrightaleftrightaleftrightcdots aleftNrightaleftrightaleftrightaleftrightcdots aleftNrightvdots vdots vdots ddots vdots aMleftrightaMleftrightaMleftrightcdots aMleftNrightendbmatrixbeginbmatrixxleftrightxleftrightxleftrightvdots xleftNrightendbmatrix C A S E  displaystyle mathbf CASE  再進一步假設若矩陣 A displaystyle boldsymbol A by正交基底 Orthogonal basis 列向量Row vector 所組成  ϕ   ϕ   ϕ    ϕ M       ϕ      ϕ      ϕ       ϕ    N    ϕ      ϕ      ϕ       ϕ    N    ϕ      ϕ      ϕ       ϕ    N         ϕ M       ϕ M       ϕ M        ϕ M     N      A  displaystyle beginbmatrixboldsymbol phi boldsymbol phi boldsymbol phi vdots boldsymbol phi Mendbmatrixbeginbmatrixphi leftrightphi leftrightphi leftrightcdots phi leftNrightphi leftrightphi leftrightphi leftrightcdots phi leftNrightphi leftrightphi leftrightphi leftrightcdots phi leftNrightvdots vdots vdots vdots vdots phi Mleftrightphi Mleftrightphi Mleftrightcdots phi MleftNrightendbmatrixboldsymbol A 也可表示成級數和形式Summation form y  m    ϕ m   x  n     n   N   ϕ m   n  x  n   for  m        M   displaystyle yleftmrightleftlangle boldsymbol phi mxleftnrightrightrangle sum nNphi mleftnrightxleftnrightquad mboxfor mcdots M 其中      displaystyle leftlangle cdot cdot rightrangle  代表內積運算Inner product C A S E  displaystyle mathbf CASE  同理也可假設若矩陣 A displaystyle boldsymbol A by正交基底行向量Column vector 所組成  β   β   β    β N       β      β      β       β N       β      β      β       β N       β      β      β       β N            β    M    β    M    β    M     β N     M      A  displaystyle beginbmatrixboldsymbol beta boldsymbol beta boldsymbol beta cdots boldsymbol beta Nendbmatrixbeginbmatrixbeta leftrightbeta leftrightbeta leftrightcdots beta Nleftrightbeta leftrightbeta leftrightbeta leftrightcdots beta Nleftrightbeta leftrightbeta leftrightbeta leftrightcdots beta Nleftrightvdots vdots vdots vdots vdots beta leftMrightbeta leftMrightbeta leftMrightcdots beta NleftMrightendbmatrixboldsymbol A 也可表示成級數和 y  m    n   N   x  n  β n   m   for  m        M   displaystyle yleftmrightsum nNxleftnrightbeta nleftmrightquad mboxfor mcdots M 假若 M  N displaystyle MN 時則 d e t  A    displaystyle detAneq  可得  Y  A X  Forward transform  X  A   X  Inverse transform   displaystyle begincasesYAXmboxForward transformXAXmboxInverse transformendcases