马尔可夫性质 马尔可夫性质英語Markov property是概率论中的一个概念因為俄國數學家安德雷馬可夫得名当一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态换句话说在给定现在状态时它与过去状态即该过程的历史路径是条件独立的那么此随机过程即具有马尔可夫性质具有马尔可夫性质的过程通常称之为马尔可夫过程 数学上如果 X  t   t   displaystyle Xtt 为一个随机过程则马尔可夫性质就是指 P r  X  t  h   y  X  s   x  s   s  t   P r  X  t  h   y  X  t   x  t     h   displaystyle mathrm Pr big XthyXsxssleq tbig mathrm Pr big XthyXtxtbig quad forall h 马尔可夫过程通常称其为时间齐次如果满足 P r  X  t  h   y  X  t   x  t    P r  X  h   y  X     x       t  h    displaystyle mathrm Pr big XthyXtxtbig mathrm Pr big XhyXxbig quad forall th 除此之外则被称为是时间非齐次的齐次马尔可夫过程通常比非齐次的简单构成了最重要的一类马尔可夫过程 某些情况下明显的非马尔可夫过程也可以通过扩展现在和未来状态的概念来构造一个马尔可夫表示设 X displaystyle X 为一个非马尔可夫过程我们就可以定义一个新的过程 Y displaystyle Y 使得每一个 Y displaystyle Y 的状态表示 X displaystyle X 的一个时间区间上的状态用数学方法来表示即 Y  t    X  s   s   a  t   b  t     displaystyle Ytbig Xssin atbtbig  如果 Y displaystyle Y 具有马尔可夫性质则它就是 X displaystyle X 的一个马尔可夫表示 在这个情况下 X displaystyle X 也可以被称为是二阶马尔可夫过程更高阶马尔可夫过程也可类似地来定义 具有马尔可夫表示的非马尔可夫过程的例子例如有移动平均时间序列 最有名的马尔可夫过程为马尔可夫链但不少其他的过程包括布朗运动也是马尔可夫过程