复射影平面 数学中复射影平面complex projective plane通常记作 C P  displaystyle mathbb CP  是二维复射影空间它是一个复流形由三个复坐标描述  z   z   z    C    z   z   z           displaystyle zzzin mathbb C qquad zzzneq  但这里差一个整体缩放的三元组是等同的  z   z   z     λ z   λ z   λ z    λ  C  λ   displaystyle zzzequiv lambda zlambda zlambda zquad lambda in mathbb C qquad lambda neq  这就是说它们是射影几何的传统意义下的齐次坐标 复射影平面是一个二维复流形作为一个四维实流形它的上同调群是 Z    Z    Z displaystyle mathbb Z mathbb Z mathbb Z  中间第二维的生成元由位于此平面中的复射影直线或称黎曼球面的上同调类 u displaystyle u 给出它的上同调环由 u   displaystyle u  C P   displaystyle mathbb CP  决定 在双有理几何中复有理曲面是任何双有理等价于复射影平面的代数曲面我们知道任何非奇异有理簇可由此平面通过曲线的拉开变换与其逆压平序列得到一定是非常特殊的一类特别的一种情形P 中一个非奇异复二次曲线是由此平面通过拉开两点为曲线然后将通过这两点的直线拉开得到这个变换的逆过程可视为取二次曲线 Q 中一点 P将其拉开通过作过 P 的直线将其投影到 P 中一个一般平面 复射影平面的双有理自同态群是克里摩拿群Cremona group英语Cremona group