洛朗级数 在数学中复变函数fz的洛朗级数英語Laurent series是幂级数的一种它不仅包含了正数次数的项也包含了负数次数的项有时无法把函数表示为泰勒级数但可以表示为洛朗级数洛朗级数是由皮埃尔阿方斯洛朗在年首次发表并以他命名的卡尔魏尔斯特拉斯可能是更早发现这个级数的人但他年的论文在他死后才发表于世 函数fz关于点c的洛朗级数由下式给出 f  z    n     a n  z  c  n displaystyle fzsum ninfty infty anzcn 其中an是常数由以下的曲線積分定义它是柯西积分公式的推广 a n    π i  γ f  z  d z  z  c  n    displaystyle anfrac pi ioint gamma frac fzdzzcn 积分路径γ是位于圆环A内的一条逆时针方向的可求长曲线把c包围起来在这个圆环内 f  z  displaystyle fz 是全纯的解析的 f  z  displaystyle fz 的洛朗级数展开式在这个圆环内的任何地方都是正确的在右边的图中该环用红色显示其内有一合适的积分路径 γ displaystyle gamma  如果我们让 γ displaystyle gamma  是一个圆  z  c   ϱ displaystyle zcvarrho  其中 r  ϱ  R displaystyle rvarrho R 这就相当于要计算的限制到 γ displaystyle gamma  上 f displaystyle f 的複傅里叶系数这些积分不随轮廓 γ displaystyle gamma  的变形而改变是斯托克斯定理的直接结果 在实践中上述的积分公式可能不是计算给定的函数 f  z  displaystyle fz 系数 a n displaystyle an 最实用的方法相反人们常常通过拼凑已知的泰勒展开式来求出洛朗级数因为函数的洛朗展开式只要存在就是唯一的 实际上在圆环中任何与 f  z  displaystyle fz 相等的以上述形式表示的给定函数的表达式一定就是 f  z  displaystyle fz 的洛朗展开式