柯西-比内公式 线性代数中柯西比内公式CauchyBinet formula将行列式的可乘性两个方块矩阵的行列式等于两个行列式的乘积推广到非方块矩阵 假设 A 是一个 mn 矩阵而 B 是一个 nm 矩阵如果 S 是    n  中具有 m 个元素的子集我们记 AS 为 A 中列指标位于 S 中的 mm 子矩阵类似地记 BS 为 B 中行指标位于 S 中的 m m 子矩阵柯西比内公式说 det  A B    S det  A S  det  B S  displaystyle detABsum SdetASdetBS 这里求遍    n  中 m 个元素的所有可能子集 S共有 Cnm 个 如果 m  n即 A 与 B 是同样大小的方块矩阵则只有一个容许集合 S柯西比内公式退化为通常行列式的可乘性如果 m   则有 n 容许集合 S这个公式退化为点积如果 m  n没有容许集合 S行列式 detAB 是零参见空和empty sum 这个公式对矩阵元素取值于任何交换环都成立证明可将 AB 的列写成系数来自 B 的 A 的列的线性组合利用行列式的可乘性将属于一个 detAS 的项收集起来并利用行列式的反对称性利用行列式的莱布尼兹公式得出 detAS 的系数是 detBS这个证明没有利用行列式的可乘性相反这个证明建立了它 如果 A 是一个实 mn 矩阵则 detA AT 等于由 A 中行向量在 Rn 中张成的平行多面体 m维体积的平方柯西比内公式说这等于该平行多面体在所有 m维坐标平面共有 Cnm 个的正交投影的平行多面体的 m维体积的平方之总和m 的情形是关于一条线段的长度这恰是毕达哥拉斯定理 柯西比内公式可直接推广到两个矩阵乘积的子式的一个一般公式该公式在子式一文给出 例 如果 A           displaystyle Abeginbmatrixendbmatrix 与 B          displaystyle Bbeginbmatrixendbmatrix 则柯西比内公式给出行列式 det  A B                                                 displaystyle detABleftbeginmatrixendmatrixrightcdot leftbeginmatrixendmatrixrightleftbeginmatrixendmatrixrightcdot leftbeginmatrixendmatrixrightleftbeginmatrixendmatrixrightcdot leftbeginmatrixendmatrixright