带余除法 带余除法也称为欧几里德除法英語Euclidean division是数学中的一种基本算术计算方式给定一个被除数 a displaystyle a 和一个除数 b displaystyle b 带余除法给出一个整数 q displaystyle q 和一个介于一定范围的余数 r displaystyle r 使得下面等式成立 a  b q  r displaystyle abqr 一般所称欧几里德除法限定余数的范围在与 b displaystyle b 之间还有叫做居中除法的变体限定余数在  b  displaystyle frac b 与 b  displaystyle frac b 之间这种余数称为居中余数这样的限定都是为了使得满足等式的 q displaystyle q 有且仅有一个这时候的 q displaystyle q 称为带余除法的商带余除法一般表示为 a  b  q  r displaystyle adiv bqdots r 表达为 a displaystyle a 除以 b displaystyle b 等于 q displaystyle q 余 r displaystyle r 最常见的带余除法是整数与整数的带余除法被除数a和除数b都是整数但实数与整数乃至实数与实数的带余除法也有应用对一般的抽象代数系统能够进行带余除法的都是具有欧几里德性质的系统如果余数为零则称 b displaystyle b 整除 a displaystyle a 一般约定除数 b displaystyle b 不能为 带余除法的计算有长久的历史有各种计算工具和计算方法最常用的是长除法竖式除法带余除法在数论中有不少用途比如说辗转相除法的基本步骤就是带余除法