超实数 (非标准分析) 超實數系統是為了嚴格處理無窮量無窮大量和無窮小量而提出的自從微積分的發明以來數學家科學家和工程師等包括牛頓和萊布尼茲在內就一直廣泛地用無窮小量等概念超實數集或稱為非標準實數集記爲  R displaystyle mathbb R  是實數集  R displaystyle mathbb R   的一個擴張其中含有一種數它們大於所有如下形式的數        displaystyle cdots  有限個 這可以解釋為無窮大而它們的倒數就作為無窮小量  R displaystyle mathbb R   滿足如下性質任何關於  R displaystyle mathbb R   的一階命題如果成立則對   R displaystyle mathbb R   也成立這種性質稱為傳達原理英语Transfer principle舉例來說實數集的加法交換律  x  y  R  x  y  y  x displaystyle forall xyin mathbb R xyyx 是關於  R displaystyle mathbb R   的一階命題因此以下命題同樣成立  x  y   R  x  y  y  x displaystyle forall xyin mathbb R xyyx 也就是說超實數集同樣滿足加法交換律 無窮小量的概念是否嚴格呢此問題可以追溯到古希臘數學數學家們如歐幾里得阿基米德等為了在一些證明裡繞開無窮小量的爭議以保證嚴格性而采用了窮竭法等其它說明方式而亞伯拉罕魯濱遜在年代證明了 超實數系統是相容的當且僅當實數系統是相容的 換句話說如果對實數的使用没有懷疑那也可以放心使用超實數在處理數學分析的問題時對超實數尤其是傳達原理的使用通稱為非標準分析