贝塞尔函数 贝塞尔函数Bessel functions是数学上的一类特殊函数的总称通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数Bessel function of the first kind一般贝塞尔函数是下列常微分方程一般称为贝塞尔方程的标准解函数 y  x  displaystyle yx  x  d  y d x   x d y d x   x   α   y   displaystyle xfrac dydxxfrac dydxxalpha y 该方程的通解无法用初等函数表示 由於贝塞尔微分方程是二階常微分方程需要由兩個獨立的函數來表示其标准解函数典型的是使用第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数來表示标准解函数 y  x   c  J α  x   c  Y α  x  displaystyle yxcJalpha xcYalpha x 注意由於 Y α  x  displaystyle Yalpha x 在 x 時候是發散的無窮當取 x 時相關係數 c  displaystyle c 必須為時才能獲得有物理意義的結果 贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数或複數α变化而变化相应地α被称为其对应贝塞尔函数的阶数实际应用中最常见的情形为α是整数n对应解称为n 阶贝塞尔函数 尽管在上述微分方程中α本身的正负号不改变方程的形式但实际应用中仍习惯针对α和α定义两种不同的贝塞尔函数这样做能带来好处比如消除了函数在α 点的不光滑性 贝塞尔函數也被稱為柱諧函數圓柱函數或圓柱諧波因為他們是於拉普拉斯方程在圓柱坐標上的求解過程中被發現的