不变子空间问题 数学领域泛函分析中最著名的悬而未决的问题之一就是不变子空间问题有时被乐观地称为不变子空间猜想这个问题就是如下命题是否成立 给定一个复希尔伯特空间H其维度以及一个有界线性算子T  H  H则H有一个非平凡闭T不变子空间也即存在一个H的闭线性子空间W而且它不同于和H且使得TW  W 该命题对于所有维以上有限维复向量空间是成立的一个线性算子矩阵的特征值是其特征多项式的零点根据代数基本定理这个多项式存在零点一个对应的特征向量可以张成一个不变子空间该命题也很容易成立如果W不必是闭的取任意H中非零向量x并考虑H的由T nx  n  线性张成的子空间W 虽然该猜想的一般情况未获证明但已经可以列出命题成立的一些特殊情况 在希尔伯特空间H可分的情况下该猜想相对比较容易证明也即如果它又一个不可数正交基 谱定理表明所有正则算子有不变子空间 每个紧算子有不变子空间由Aronszajn和Smith于年证明紧算子理论在很多方面和有限维空间算子理论相类似所以该结果并不令人惊讶 波恩斯坦和洛宾逊于年证明若T n对于某个正整数n是紧致的则T有不变子空间 V I 罗门诺所夫Lomonosov于年证明若T和某个非零紧算子可交换则T有不变子空间 近年来有些数学家试图采用随机矩阵理论来构造该猜想的反例 如果考虑巴拿赫空间而不是希尔伯特空间则该猜想不成立P Enflo于年给出了没有非平凡不变子空间的有界算子的显式例子Charles Read于年也给出一个反例但是该命题对于算子的特定类别是成立的 年Louis de Branges发表了不变子空间猜想的可能证明但后来被发现是错误的他最近在他的网站上发表了一个新的可能证明页面存档备份存于互联网档案馆但他的证明还未经过同行评审