弗罗贝尼乌斯定理 弗罗贝尼乌斯定理指出 C  displaystyle C 光滑的情况 U为Rn的开集F是ΩU的常数阶r阶的子模则F可积当且仅当对每个p  U茎stalkFp由r个恰当微分形式给出 几何上来看它说每个形式的r阶可积模和一个余维为r的层相同这是研究向量场和层理论的基本工具之一 这个结论在解析形式和和乐情况下也成立但要把R换成C它可以推广到高阶的微分形式在有些条件下也可以推广到有奇点的情况 也有用向量场表达的定理存在和如下向量场相切的V的子流形的充分条件 X X  Xr 可以表达为任意两个场的李括号 XiXj 包含在这些场撑成的空间中因为李括号可在子空间上取这个条件也是必要的定理的这两种表述是因为李括号和外微分是相关的 上面最后这个表述可以用来表明向量场在流形上的可积性定理的这个变种表明流形M上的任何光滑向量场X可以积分得到一个单参数族的曲线这个可积性是因为定义曲线的方程是一阶常微分方程所以可积性有皮卡林德洛夫定理保证