调和函数 在数学数学物理学以及随机过程理论中都有调和函数的概念一个调和函数是一个二阶连续可导的函数f  U  R其中U是Rn里的一个开子集其满足拉普拉斯方程即在U上满足方程   f  x      f  x        f  x n    displaystyle frac partial fpartial xfrac partial fpartial xcdots frac partial fpartial xn 上式也经常写作   f   displaystyle nabla f 或   Δ f   displaystyle  Delta f 其中符号 Δ displaystyle Delta  是拉普拉斯算子 调和函数还用一个较为弱的定义但这个定义与上述的定义是等价的 运用拉普拉斯德拉姆算子 Δ displaystyle Delta  调和函数可以在任意的黎曼流形上定义在这种情况下调和函数直接定义为满足   Δ f   displaystyle  Delta f 一个 C  displaystyle C 的函数如果满足 Δ f   displaystyle Delta fgeq  则被称作次调和函数