阶跃函数 在数学中如果实数域上的某个函数可以用半开区间上的指示函数的有限次线性组合来表示那么这个函数就是阶跃函数换一种不太正式的说法就是阶跃函数是有限段分段常数函数的组合 假设已知 一个系数序列  α     α n   R  n  N     displaystyle alpha dots alpha nsubset mathbb R nin mathbb N setminus  区间边界  x     x n   R displaystyle xdots xnsubset mathbb R  区间序列 A       x   displaystyle Ainfty x A i   x i  x i    displaystyle Aixixi 对于 i      n   displaystyle icdots n  A n   x n    displaystyle Anxninfty  尽管这个例子中的区间下边界包含在内而上边界不包含在内但是这并不是定义所要求的只要区间 An 互不相交并且它们的组合是实数就可以了 定义 函数 f  R  R displaystyle fmathbb R rightarrow mathbb R  是 阶跃函数的条件是当且仅当它可以表示为 对于所有 x  R displaystyle xin mathbb R  有 f  x    i   n α i   A i  x  displaystyle fxsum limits inalpha icdot Aix 其中  A displaystyle A 是 A displaystyle A 的指示函数  A  x      i f x  A   o t h e r w i s e displaystyle Axleftbeginmatrixmathrm if xin Amathrm otherwise endmatrixright 注意 对于所有的 i      n displaystyle icdots n 及 x  A i displaystyle xin Ai 满足 f  x   α i  displaystyle fxalpha i