高次剩餘 數論中模正整數 m displaystyle m 的 n displaystyle n 次剩餘 n displaystyle n 為正整數即某整數 X displaystyle X 的 n displaystyle n 次方數 X n displaystyle Xn 除以 m displaystyle m 的餘數以下討論 m displaystyle m 是奇質數 p displaystyle p 且餘數 d displaystyle d 不為零的情況 給定 d displaystyle d 若對某個 X displaystyle X 有 X n  d  mod p  displaystyle Xnequiv dpmod p 成立時則稱 d displaystyle d 為模 p displaystyle p 的 n displaystyle n 次剩餘英語ntic residue mod p 否則對任意 X displaystyle X 都有 X n  d  mod p  displaystyle Xnnot equiv dpmod p 此時稱 d displaystyle d 為模 p displaystyle p 的 n displaystyle n 次非剩餘英語ntic nonresidue mod p n displaystyle n 次剩餘有類似於二次剩餘歐拉判別法的判別法如下 若 p displaystyle p 是奇質數 p displaystyle p 不能整除 d displaystyle d 且 n  p   displaystyle np 即 n displaystyle n 能整除 p   displaystyle p 則 d displaystyle d 是模 p displaystyle p 的 n displaystyle n 次剩餘的充要條件為 d p   n    mod p  displaystyle dfrac pnequiv pmod p  且若上式有解時解數為 n displaystyle n  若 n displaystyle n 不能整除 p   displaystyle p 則 d displaystyle d 是模 p displaystyle p 的 n displaystyle n 次剩餘的充要條件為 d p   k    mod p   displaystyle dfrac pkequiv pmod p 其中 k displaystyle k 為最大公因數  n  p    displaystyle np 同樣上式有解時解數為 k displaystyle k  兩個 n displaystyle n 次剩餘相乘仍然是 n displaystyle n 次剩餘 n displaystyle n 次剩餘和 n displaystyle n 次非剩餘相乘為 n displaystyle n 次非剩餘但是與二次剩餘不同當兩個 n displaystyle n 次非剩餘相乘時並不一定是 n displaystyle n 次剩餘 對於二次剩餘 n   displaystyle n 的狀況可以透過計算勒讓德符號來確定但是當高斯企圖對於任意 n   displaystyle ngeq  尋找類似算法時高斯考慮了 n   displaystyle n 和 n   displaystyle n 的情況卻找不到類似的算法高次剩餘在某些方面的不規則是一個極困難的問題