外代数 外代数英語Exterior algebra也稱為格拉斯曼代数Grassmann algebra以紀念数学家赫爾曼格拉斯曼 数学上向量空间 V displaystyle V 的外代數是一个特定有单位的结合代数其包含了 V displaystyle V 为其中一个子空间它记为   V  displaystyle land V 或    V  displaystyle land cdot V  而它的乘法称为楔积或外积记为  displaystyle land   楔积是结合的和雙線性的其基本性質是它在 V displaystyle V 上是交錯的也就是 v  v   displaystyle vwedge v 對於所有向量 v  V displaystyle vin V 这表示 u  v   v  u displaystyle uwedge vvwedge u 對於所有向量 u  v  V displaystyle uvin V 以及 v   v     v k   displaystyle vwedge vwedge cdots wedge vk 當 v     v k  V displaystyle vldots vkin V 线性相关时 值得注意的是以上三性质只对 V displaystyle V 中向量成立不是对代数   V  displaystyle land V 中所有向量成立 外代数事实上是最一般的满足这些属性的代数这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出   V  displaystyle land V 的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示请参看下文 形式为 v   v     v k displaystyle vland vland ldots land vk 的元素其中 v     v k displaystyle vldots vk 在 V displaystyle V 中称为 k displaystyle k 向量所有 k displaystyle k 向量生成的   V  displaystyle land V 的子空间称为 V displaystyle V 的 k displaystyle k 阶外幂记为  k  V  displaystyle land kV 外代数可以写作每个 k displaystyle k 阶幂的直和 Λ  V    k    Λ k V displaystyle Lambda Vbigoplus kinfty Lambda kV 该外积有一个重要性质就是 k displaystyle k 向量和 I displaystyle I 向量的积是一个 k  I displaystyle kI 向量这样外代数成为一个分次代数其中分级由 k displaystyle k 给出这些 k displaystyle k 向量有几何上的解释向量 u  v displaystyle uland v 代表以 u displaystyle u 和 v displaystyle v 为边的带方向的平行四边形而向量 u  v  w displaystyle uland vland w 代表带方向的平行六面体其边为 u displaystyle u  v displaystyle v  和 w displaystyle w  外幂的主要应用在于微分几何其中他们用来定义微分形式因而微分形式有一个自然的楔积所有这些概念由格拉斯曼提出