普朗歇尔定理 在数学中 普朗歇尔定理有时称为 ParsevalPlancherel 恒等式 是调和分析的一个结果它由米歇爾普朗歇爾于年证明它指出一个函数的模的平方的积分等于其频谱的模平方的积分也就是说如果 f  x  displaystyle fx 是实轴上的函数且有频谱 f   ξ  displaystyle widehat fxi  那么      f  x    d x       f   ξ    d ξ displaystyle int infty infty fxdxint infty infty widehat fxi dxi  更精确的表述是如果一个函数同时在 Lp 空间 L   R  displaystyle Lmathbb R  和 L   R  displaystyle Lmathbb R  中那么它的傅里叶变换也在 L   R  displaystyle Lmathbb R  中且傅里叶变换是关于 L  displaystyle L 范数的等距映射这意味着 L   R   L   R  displaystyle Lmathbb R cap Lmathbb R  上的傅里叶变换可以唯一地扩张为一个 L   R   L   R  displaystyle Lmathbb R mapsto Lmathbb R  的等距同构 后者有时称为普朗歇尔变换这个等距同构实际上是一个幺正映射实际上这使得平方可积函数的傅里叶变换成为可能 普朗歇尔定理在 n 维欧几里德空间 R n displaystyle mathbb R n 上仍然有效 更一般地该定理对局部紧阿贝尔群也成立对于满足某些技术上的假定的非交换局部紧群还有另一个版本的普朗歇尔定理这是非交换调和分析的主题 傅里叶变换的幺正性在科学和工程领域通常被称为帕塞瓦尔定理该定理基于一个用于证明傅里叶级数幺正性的早期结果但不那么具有一般性 借助极化恒等式我们还可以将普朗歇尔定理用于计算 L   R  displaystyle Lmathbb R  中两个函数的内积也就是说设 f  x  displaystyle fx 和 g  x  displaystyle gx 是两个 L   R  displaystyle Lmathbb R  中的函数而 P displaystyle mathcal P 表示普朗歇尔变换则     f  x  g  x   d x       P f   ξ   P g   ξ   d ξ  displaystyle int infty infty fxoverline gxdxint infty infty mathcal Pfxi overline mathcal Pgxi dxi  若 f  x  displaystyle fx 和 g  x  displaystyle gx 还是 L   R  displaystyle Lmathbb R  函数那么还有  P f   ξ   f   ξ       f  x  e   π i ξ x d x  displaystyle mathcal Pfxi widehat fxi int infty infty fxepi ixi xdx 和  P g   ξ   g   ξ       g  x  e   π i ξ x d x  displaystyle mathcal Pgxi widehat gxi int infty infty gxepi ixi xdx 于是有     f  x  g  x   d x      f   ξ  g   ξ   d ξ  displaystyle int infty infty fxoverline gxdxint infty infty widehat fxi overline widehat gxi dxi