切比雪夫方程 切比雪夫方程英語Chebyshev equation是指二阶线性常微分方程    x   d  y d x   x d y d x  p  y   displaystyle xdy over dxxdy over dxpy 其中p为一实常数该方程是以俄罗斯数学家巴夫尼提切比雪夫的名字命名的 方程的解为幂级数 y   n    a n x n displaystyle ysum ninfty anxn 其中系数可通过以下递推关系式计算 a n     n  p   n  p   n     n    a n  displaystyle annpnp over nnan 级数在 x        displaystyle xin  上收敛对递推关系式应用比值审敛法可得 递推关系的初值a与a可为任意值由此可得微分方程不同的特解通常初值可取为 a    a  可得解 F  x     p    x    p    p   p      x    p     p    p   p     p      x    displaystyle Fxfrac pxfrac pppxfrac pppppxcdots  以及 a    a  可得解 G  x   x   p     p      x    p     p     p     p      x     displaystyle Gxxfrac ppxfrac ppppxcdots  通解可表示为以上两特解的任意线性组合 当p为整数时两个函数中有一个为有限项p为偶数时F为有限项反之G为有限项此时那个为有限项的函数是一个p次多项式并与p次切比雪夫多项式成比例 T p  x       p     F  x  displaystyle Tpxp Fx p为偶数 T p  x        p        p   G  x  displaystyle Tpxp p Gx p为奇数