奇異控制 最优控制中的奇異控制singular control是指一些不容易求解無法利用庞特里亚金最小化原理求出完整解的問題這類問題中只有少部份已有解答例如金融經濟學中的默頓的投資組合問題英语Mertons portfolio problem或是航空學中的軌跡最佳化問題英语trajectory optimization以下有進一步的技術說明 應用庞特里亚金最小化原理時最常見的困難點是當哈密頓量和控制 u displaystyle u 有線性關係時也就是 H  u   ϕ  x  λ  t  u   displaystyle Huphi xlambda tucdots  而且控制有其上下限 a  u  t   b displaystyle aleq utleq b 為了使 H  u  displaystyle Hu 有最小值需要儘可能的將 u displaystyle u 增加到最大或是減少到最小依 ϕ  x  λ  t  displaystyle phi xlambda t 的符號而異 u  t    b  ϕ  x  λ  t      ϕ  x  λ  t    a  ϕ  x  λ  t    displaystyle utbegincasesbphi xlambda tphi xlambda taphi xlambda tendcases 若 ϕ displaystyle phi  有時為正有時為負偶爾是則其解相當的直接即為起停式控制當 ϕ displaystyle phi  由負切到正時控制由 b displaystyle b 切換到 a displaystyle a  若 ϕ displaystyle phi  在一段有限時間 t   t  t  displaystyle tleq tleq t 內均為則稱為奇異控制在 t  displaystyle t 和 t  displaystyle t 之間哈密頓量對 u displaystyle u 的最大化無法提供有關解的資訊這段期間的解需要透過其他的資訊來求得 有一個作法是重複的將  H   u displaystyle partial Hpartial u 對時間微分直到有出現顯式控制項為止之後可以令該式為求解u因此在時間 t  displaystyle t 和 t  displaystyle t 之間的控制 u displaystyle u 會讓奇異條件繼續成立可以用此方式來計算控制 u displaystyle u 所得的奇異弧singular arc若滿足凱利條件Kelley condition奇異弧也會是最佳解     k   u   d d t   k H u     k       displaystyle kfrac partial partial uleftleftfrac ddtrightkHurightgeq kcdots  此條件也稱為廣義的LegendreClebsch條件英语LegendreClebsch condition bangsingular控制是指控制中有起停式控制的成份也有奇異控制的成份