特征值和特征向量 在数学上特别是线性代数中对于一个给定的方阵 A displaystyle A 它的特征向量eigenvector也譯固有向量本征向量 v displaystyle v 经过这个线性变换之后得到的新向量仍然与原来的 v displaystyle v 保持在同一條直線上但其长度或方向也许會改变即 A v  λ v displaystyle Avlambda v  λ displaystyle lambda  為純量即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例称 λ displaystyle lambda  为其特征值eigenvalue也譯固有值本征值如果特徵值為正则表示 v displaystyle v 在经过线性变换的作用后方向也不变如果特徵值為負说明方向会反转如果特征值为则是表示缩回零点但无论怎样仍在同一条直线上图给出了一个以油画蒙娜丽莎为题材的例子在一定条件下如其矩阵形式为实对称矩阵的线性变换一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述也就是說所有的特徵向量組成了這向量空間的一組基底一个特征空间eigenspace是具有相同特征值的特征向量与一个同维数的零向量的集合可以证明该集合是一个线性子空间比如 E λ   u  V  A u  λ u  displaystyle textstyle Elambda uin Vmid Aulambda u 即為線性變換 A displaystyle A 中以 λ displaystyle lambda  為特徵值的特徵空間 这些概念在纯数学和应用数学的众多领域中都有重要的应用在线性代数和泛函分析之外甚至在一些非线性的情况下这些概念都是十分重要的 特征一詞譯自德语的eigen由希尔伯特在年首先在这个意义下使用赫尔曼冯亥姆霍兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念eigen一詞可翻译为自身的特定于的有特征的或者个体的这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的