伪黎曼流形 伪黎曼流形也称为半黎曼流形英語PseudoRiemannian manifold在微分几何中是指一光滑流形其上有一光滑对称点点非退化的      displaystyle  張量此張量稱為伪黎曼度量或伪度量張量 伪黎曼流形与黎曼流形的区别是它不需要正定通常要求非退化因为每個正定形式都是非退化的所以黎曼度量也是一个伪黎曼度量亦即黎曼流形是伪黎曼流形的一种特例 每一個非退化對稱雙線性形式有一個固定的度量符号  p  q  displaystyle pq 這裡 p displaystyle p 與 q displaystyle q 記作正特徵值及負特徵值的个数注意 p  q  n displaystyle pqn 是流形的维数黎曼流形就是以  n    displaystyle n 作為符号 伪黎曼流形的符号  p    displaystyle p 稱為洛伦兹度量擁有洛伦兹度量的流形都是洛伦兹流形除黎曼流形外洛伦兹流形是伪黎曼流形的最重要的子類因為它常被用於廣義相對論廣義相對論首要假設是時空可以轉為擁有      displaystyle  符号的洛伦兹流形的模型 和欧几里得空间 R n displaystyle mathbf R n 可以被认为是黎曼流形的模型一样有平坦闵可夫斯基度量的闵可夫斯基空间Minkowski space R p   displaystyle mathbf R p 是洛伦兹流形的模型空间特征数为  p  q  displaystyle pq 的伪黎曼流形的模型空间是有如下伪度量的 R p  q displaystyle mathbf R pq  g  d x      d x p   d x p       d x p  q  displaystyle gdxcdots dxpdxpcdots dxpq 有些黎曼度量的基本定理可以推广到伪黎曼的情形例如黎曼几何基本定理对伪黎曼流形也成立这使得我们能够在伪黎曼流形上能够使用列维奇维塔联络和相关的曲率张量另一方面黎曼几何的很多定理在推广到伪黎曼的情况下不成立例如并不是每个光滑流形都可以有一个给定符号的伪黎曼度量因为有一些特殊的拓扑阻碍存在