微分 函数的微分英語Differential of a function是指对函数的局部变化的一种线性描述微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时函数的值是怎样改变的 微分在数学中的定义由 y displaystyle y 是 x displaystyle x 的函数 y  f  x  displaystyle yfx 从简单的平面直角坐标系来看自变量 x displaystyle x 的变化量趋近于时 d d x displaystyle frac mathrm d mathrm d x 因变量 y displaystyle y 的变化量也趋近于但 x displaystyle x 和 y displaystyle y 的变化量都趋近于当 x displaystyle x 有极小的变化量时这称为 x displaystyle x 的微分 当某些函数 f displaystyle textstyle f 的自变量 x displaystyle textstyle x 有一个微小的改变 h displaystyle textstyle h 时函数的变化可以分解为两个部分 一个部分是线性部分在一维情况下它正比于自变量的变化量 h displaystyle textstyle h 可以表示成 h displaystyle textstyle h 和一个与 h displaystyle textstyle h 无关只与函数 f displaystyle textstyle f 及 x displaystyle textstyle x 有关的量的乘积在更广泛的情况下它是一个线性映射作用在 h displaystyle textstyle h 上的值 另一部分是比 h displaystyle textstyle h 更高阶的无穷小也就是说除以 h displaystyle textstyle h 后仍然会趋于零当改变量 h displaystyle textstyle h 很小时第二部分可以忽略不计函数的变化量约等于第一部分也就是函数在 x displaystyle textstyle x 处的微分记作 f   x  h displaystyle displaystyle fxh 或 d f x  h  displaystyle displaystyle textrm dfxh 如果一个函数在某处具有以上的性质就称此函数在该点可微 不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分若函数在某一点无法做到可微便称函数在该点不可微 在古典的微积分学中微分被定义为变化量的线性部分在现代的定义中微分被定义为将自变量的改变量 h displaystyle textstyle h 映射到变化量的线性部分的线性映射 d f x displaystyle displaystyle textrm dfx 这个映射也被称为切映射给定的函数在一点的微分如果存在就一定是唯一的