类型论 類型論數學邏輯和電腦科學以下的一個分支是研究不同類型系統及其表達形式的學科某些類型系統適合用作數學基礎取代數學家一般使用的集合論其中最具影響力的有阿隆佐邱奇的有類型λ演算和佩爾馬丁洛夫的直覺類型論許多函式語言和電腦協助定理驗證英语Proof assistant工具都建立在類型論的基礎上如AgdaCoqIdrisLean等等 類型論的核心概念是每一條合乎語法規則的表達式或稱项都有其所屬的類型通過結合多個基礎類型可以定義更加複雜的類型如此得出的類型可以代表林林總總的數學結構如自然數群拓撲空間等等在集合論中這些結構都是含有元素或稱成員的集合它的定義純粹就是指定其所含的所有元素在類型論中這些結構的定義並不羅列屬於它的所有項而是指定如何建構它的項的一套規則 集合論建基於一階邏輯有集合和命題兩個主要概念任何一套集合論公理如策梅洛弗蘭克爾集合論和命題都是以一階邏輯的語言所表達類型論則只有類型的概念每一條邏輯命題都是一個類型要證明任何一條命題就需要建構屬於此類型的項是為命題為類型原理換言之證明定理的過程只不過是建構符合指定數學結構的數學物件的過程的一個特例