公理 在傳統邏輯中公理英語axiom是沒有經過證明但被當作不證自明的一個命題因此其真實性被視為是理所當然的且被當做演繹及推論其他理論相關事實的起點當不斷要求證明時因果關係毕竟不能無限地追溯而需停止於無需證明的公理通常公理都很簡單且符合直覺如abba 不同的系統會預計不同的公理例如非歐幾何的公理和歐氏幾何的公理就有一點不同另外集合論的選擇公理在許多系統的建構中也富有爭議有些系統堅持不預設選擇公理也有一些數學家在建構系統時刻意排除掉皮亞諾公理中的數學歸納法以確保所有的證明都可以直接演算 在數學中公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下邏輯公理和非邏輯公理在這兩種意義之下公理都是用来推導其他命题的起点和定理不同一個公理除非有冗餘的不能被其他公理推導出來否則它就不是起點本身而是能夠從起點得出的某種結果可以乾脆被歸為定理了 邏輯公理通常是被視為普遍為真的陳述如 A  B  A而非邏輯公理如a  b  b  a則實際上是在一特定數學理論如算術中的定義性的性質在後者的意思之下公理又可被稱為公設一般而言非邏輯公理並不是一個不證自明的事實而应该說是在建構一個數學理論的過程中被用來推導的一個形式邏輯表示式要公理化一個知識系統就是要去證明該系統的主張都可以由數目不多而又可明確理解的陳述公理推導出來一般來說都有多種方法來公理化一個給定的數學領域 然而邏輯公理系統也並非唯一直覺主義邏輯模糊邏輯等新的邏輯結構都建立在略有差異的公理上因此與其把公理看作不證自明的事實不如看作是在一個特定的數學或邏輯系統中先於一切證明的前設