不變量理論 不變量理論是數學的一個分支它研究群在代數簇上的作用不變量理論的古典課題是研究在線性群作用下保持不變的多項式函數 對於有限群不變量理論與伽羅瓦理論有密切聯繫一個較早的結果涉及了對稱群 S n displaystyle Sn 在多項式環 F  X     X n  displaystyle FXldots Xn 上的作用 S n displaystyle Sn 作用下的不變量構成一個子環由基本對稱多項式生成由於基本對稱多項式彼此代數獨立此不變量環本身也同構於另一多項式環ChevalleyShephardTodd 定理刻劃了其不變量環同構於多項式環的有限群晚近的研究則更關切算法問題例如計算不變量環的生成元或給出其次數的上界 對於一般的代數群其不變量理論與線性代數二次型及行列式理論密切相關 大衛蒙福德在年代創建了幾何不變量理論這是構造模空間的有力工具此理論探討代數簇在群作用下的商空間並研究軌道的幾何性質幾何不變量理論與古典不變量理論的關聯如次考慮域 k displaystyle k 上的仿射代數簇 X  S p e c A displaystyle Xmathrm Spec A 群 G displaystyle G 作用其上則商空間 X  G displaystyle XG 也是仿射代數簇其坐標環即不變量環 A G displaystyle AG 希爾伯特證明若 G displaystyle G 是一般線性群則 A G displaystyle AG 是有限生成 k displaystyle k 代數此結果對一般的約化群依然成立然而 X  G displaystyle XG 可能有頗複雜的幾何性質也未必滿足商對象應滿足的範疇論性質