非线性特征值问题 非线性特征值问题是特征值 非线性依赖于特征值的方程的特征值问题的推广 具体来说 非线性特征值问题指的是具以下形式的方程 A  λ  x    displaystyle Alambda mathbf x  其中 x 是向量非线性特征向量 A 是 λ displaystyle lambda  非线性特征根的函数矩阵更一般的 A  λ  displaystyle Alambda  可以是一个线性映射 但最常用的是有限维矩阵 通常为方阵 通常要求 A 为 λ displaystyle lambda  在某个定义域内的全纯函数 例如 特征值问题 B v  λ v displaystyle Bmathbf v lambda mathbf v   其中 B 为方阵 对应于 A  λ   B  λ I displaystyle Alambda Blambda I 的特征值问题 其中 I 是单位矩阵 常见的情况是多项式特征值问题 其中 A 为多项式矩阵 特别的 当多项式的次数为二时被称作二次特征值问题 此时 A 具有以下形式 A  λ  x   A  λ   A  λ  A   x    displaystyle Alambda mathbf x Alambda Alambda Amathbf x  其中 A 为常数矩阵 该问题可通过定义新的向量 y  λ x displaystyle mathbf y lambda mathbf x  转化为正常的特征值问题 即   A    I   x y   λ  A  A  I    x y   displaystyle beginpmatrixAIendpmatrixbeginpmatrixmathbf x mathbf y endpmatrixlambda beginpmatrixAAIendpmatrixbeginpmatrixmathbf x mathbf y endpmatrix 其中 I 为单位矩阵 更一般的 如果 A 是 d 次多项式矩阵那么多项式特征值问题可以转化为 d倍大小的广义线性特征值问题 由于将非线性特征值问题只能在 A 为多项式的情况下转化为正常的特征值问题 有许多其他的解决非线性特征问题的方法 这些方法基于雅可比戴维森算法或牛顿法反幂法