凸函数 凸函数英文Convex function是指函数图形上任意兩點連成的線段皆位於圖形的上方的实值函数如單變數的二次函数和指数函数二階可導的一元函數 f displaystyle f 為凸当且仅当其定義域為凸集且函數的二階導數 f  displaystyle f 在整個定義域上非負直觀理解凸函數的圖像形如開口向上的杯  displaystyle cup  而相反凹函数則形如開口向下的帽  displaystyle cap   在最优化研究中凸函數的最小化問題有唯一性即凸開集上的嚴格凸函數至多只有一個極小值 概率论中凸函數 f displaystyle f 作用在某随机变量期望值 E  X  displaystyle mathbb E X 所得的結果總不大於對隨機變量先取函數值再取期望即 f  E  X    E  f  X    displaystyle fmathbb E Xleq mathbb E fX 稱為延森不等式該不等式可以推導出均值不等式及赫尔德不等式等結果 注意中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数Concave Function指凸函数但在中国大陆涉及经济学的很多书中凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的也就是和数学教材是反的举个例子同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集两者定义正好相反