芬斯拉不等式 芬斯拉不等式Finslers Inequality是一条反映了三角形三边与其面积之间的关系的几何不等式 设ABC的三边长分别为 a displaystyle a  b displaystyle b  c displaystyle c 面积为 S displaystyle S 则 a   b   c     S displaystyle abcgeq sqrt S 当且仅当 a  b  c displaystyle abc 时等号成立 证明一如图因任意ABC的三条高至少有一条在ABC内不妨设BC边上的高AD在ABC内设 A D  h displaystyle ADh  B D  m displaystyle BDm  D C  n displaystyle DCn 则有 a    m  n   displaystyle amn  b   h   n  displaystyle bhn  c   h   m  displaystyle chm  S   m  n  h  displaystyle Sfrac mnh    h    m  n  h       m  n  h      displaystyle htfrac sqrt mnhtfrac mnhgeq   等号当且仅当 h    m  n   displaystyle htfrac sqrt mn 且 m  n displaystyle mn 时即ABC为正三角形时成立展开式并整理可得  m  n    h   n   h   m      m  n  h displaystyle mnhnhmgeq sqrt mnh   a   b   c     S displaystyle abcgeq sqrt S 当 a  b  c displaystyle abc 时等号成立 注证明的关键是巧妙在构造不等式为此必须首先猜想到当 a  b  c displaystyle abc 时正三角形的面积最大此时有 m  n displaystyle mn  h    m  n   displaystyle htfrac sqrt mn 利用这两个公式就可造出不等式 证明二由余弦定理及三角形面积公式 a   b   c     S displaystyle abcsqrt S  a   b    a   b    a b cos  C     a b sin  C displaystyle abababcos Csqrt absin C    a   b    a b sin   C  π    displaystyle ababsinCfrac pi     a   b    a b     a  b     displaystyle geq abababgeq  当且仅当 a  b displaystyle ab C即 a  b  c displaystyle abc 时等号成立