割圆术 (赵友钦) 赵友钦割圆术是元代数学家赵友钦在所著的革象新书卷五乾象周髀篇研究的割圆术与刘徽从内接正六角形开始不同赵氏割圆术从分割内接正方形开始 如图圆的半径为r 内接正方形的边长为 ℓ displaystyle ell  由圆心到正方形一边倒垂直距离为 d d  r    ℓ    displaystyle dsqrt rfrac ell  e  r  d  r  r    ℓ    displaystyle erdrsqrt rfrac ell  d 的延长线与圆周相交点将圆周等分为正八边形 令正八边形的边长为 ℓ  displaystyle ell  ℓ    ℓ      e  displaystyle ell sqrt ell e ℓ      ℓ      r       r   ℓ    displaystyle ell frac sqrt ell rfrac sqrt rell  设 ℓ  displaystyle ell  为分割圆成正边形之边长赵友钦正确地推断 ℓ  displaystyle ell  与 ℓ  displaystyle ell  的迭代关系 ℓ       ℓ        r       r    ℓ      displaystyle ell frac sqrt ell rfrac sqrt rell  推而广之 ℓ n        ℓ n       r       r    ℓ n     displaystyle ell nfrac sqrt ell nrfrac sqrt rell n 令 r ℓ      displaystyle ell sqrt  ℓ        displaystyle ell sqrt sqrt  ℓ          displaystyle ell sqrt sqrt sqrt  ℓ            displaystyle ell sqrt sqrt sqrt sqrt  ℓ              displaystyle ell sqrt sqrt sqrt sqrt sqrt