隨機微分方程 隨機微分方程英語SDE stochastic differential equation是常微分方程的擴展其项是随机过程解也是随机过程其形容一個隨機變數的變動過程也就是常微分方程加上一個白噪音項一般微分方程的對象為可導函數並以其建立等式然而隨機過程函數本身的導數不可定義所以一般解微分方程的概念不適用於隨機微分方程SDE在纯数学中有许多应用可用于模拟随机模型的各种行为如股价随机增长模型或受热涨落影响的物理系统 SDE具有随机的微分在最基本的情形下是以布朗运动导数计算的白噪声更一般地说是半鞅不过也可能存在其他随机行为如莱维过程等跳跃过程或有跳跃的半鞅随机微分方程还可扩展到微分流形 隨機微分方程的概念最早以布朗運動的形式由阿爾伯特愛因斯坦在热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动論文中提出这项研究隨後由保羅朗之萬继续此後伊藤清和鲁斯兰斯特拉托诺维奇英语Ruslan Stratonovich完善了隨機微分方程的數學基礎使得這門領域更加的科學嚴謹 一般而言隨機微分方程的解是一隨機過程函數但解方程需要先定義隨機過程函數的微分最常見的定義為根據伊藤清所創假設B為布朗運動則對於某函數H作以下定積分之定義   t H d B  lim n    t i    t i  π n H t i    B t i  B t i     displaystyle int tHdBlim nrightarrow infty sum titiin pi nHtiBtiBti 此稱為伊藤積分伊藤式的隨機微分方程常用於在金融數學中