特征函数 (概率论) 在概率论中任何随机变量的特征函数缩写chf复数形式chfs完全定义了它的概率分布在实直线上它由以下公式给出其中 X displaystyle X 是任何具有该分布的随机变量 φ X  t   E   e i t X  displaystyle varphi Xtoperatorname E lefteitXright  其中 t displaystyle t 是一个实数 i displaystyle i 是虚数单位 E displaystyle E 表示期望值 用矩母函数 M X  t  displaystyle MXt 来表示如果它存在特征函数就是 i X displaystyle iX 的矩母函数或 X displaystyle X 在虚数轴上求得的矩母函数 φ X  t   M i X  t   M X  i t  displaystyle varphi XtMiXtMXit 与矩母函数不同特征函数总是存在 如果 F X displaystyle FX 是累积分布函数那么特征函数由黎曼斯蒂尔杰斯积分给出 E   e i t X       e i t x d F X  x  displaystyle operatorname E lefteitXrightint infty infty eitxdFXx  在概率密度函数 f X displaystyle fX 存在的情况下该公式就变为 E   e i t X       e i t x f X  x  d x displaystyle operatorname E lefteitXrightint infty infty eitxfXxdx  如果 X displaystyle X 是一个向量值随机变量我们便取自变量 t displaystyle t 为向量 t X displaystyle tX 为数量积 R displaystyle R 或 R n displaystyle Rn 上的每一个概率分布都有特征函数因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行积分且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布 一个对称概率密度函数的特征函数也就是满足 f X  x   f X   x  displaystyle fXxfXx 是实数因为从 x   displaystyle x 所获得的虚数部分与从 x   displaystyle x 所获得的相互抵消