链复形 数学上同调代数领域中的一个链复形  A   d   displaystyle Abullet dbullet  是一个交换群或者模的序列A A A 通过一系列同态dn  AnAn相连使得每两个连接的映射的复合为零dn o dn  对于所有n它们常常写作如下形式   A n   d n    A n d n  A n   d n    A n      A  d   A  d   A  d    displaystyle ldots longrightarrow Anbeginmatrixdnlongrightarrow endmatrixAnbeginmatrixdnlongrightarrow endmatrixAnbeginmatrixdnlongrightarrow endmatrixAnlongrightarrow ldots longrightarrow Abeginmatrixdlongrightarrow endmatrixAbeginmatrixdlongrightarrow endmatrixAbeginmatrixdlongrightarrow endmatrix 定義鏈複形的同調群為 H n  A    K e r  d n   I m  d n    displaystyle HnAbullet mathrm Ker dnmathrm Im dn 當所有同調群為零時此鏈複形為正合的 链复形概念的一个变种是上链复形一个上链复形  A   d   displaystyle Abullet dbullet  是一个交换群或者模的序列A A A由一系列同态dn  AnAn相连使得任何两个接连的映射的复合为零dn o dn   对于所有的n   A  d   A  d   A     A n   d n    A n d n  A n      displaystyle longrightarrow Abeginmatrixdlongrightarrow endmatrixAbeginmatrixdlongrightarrow endmatrixAlongrightarrow ldots longrightarrow Anbeginmatrixdnlongrightarrow endmatrixAnbeginmatrixdnlongrightarrow endmatrixAnlongrightarrow ldots  定義上鏈複形的上同調群為 H n  A    K e r  d n   I m  d n    displaystyle HnAbullet mathrm Ker dnmathrm Im dn 當所有上同調群為零時此上鏈複形正合想法基本上是一样的 链复形的应用通常定义并应用它们的同调群对于上链复形是上同调群在更抽象的范围里很多等价关系被应用到复形上例如从链同伦的思想开始以下将解说链复形很容易在交换范畴中定义 一个有界复形是其中几乎所有的Ai为零这样一个有限的复形用来伸展到左边和右边一个例子是定义一个有限单纯复形的同调理论的复形