玻恩近似 玻恩近似是量子力学中散射理论英语Scattering theory中为求得李普曼施温格方程英语LippmannSchwinger equation得近似解而提出的近似方法由年诺贝尔奖得主玻恩提出 量子力学中散射理论的问题可表述为 已知  ϕ  displaystyle mid phi rangle  亦即入射波函数是哈密顿算符 H  displaystyle H 的薛定谔方程的解 H   ϕ   E  ϕ  displaystyle Hmid phi rangle Emid phi rangle  求 H   V displaystyle HV 的薛定谔方程解  ψ  displaystyle mid psi rangle   其中V是造成散射的势 这一问题可写作李普曼施温格方程  ψ       ϕ    E  H   i ϵ V  ψ      displaystyle psi pm rangle phi rangle frac EHpm iepsilon Vpsi pm rangle  其渐进形式渐近分析可写成  x  ψ       x  k     π  m ℏ  e i k r r  d  x  e  i k   x  V  x    x  ψ     displaystyle langle mathbf x mid psi rangle rightarrow langle mathbf x mid mathbf k rangle frac pi frac mhbar frac eikrrint dxeimathbf k cdot mathbf x Vmathbf x langle mathbf x mid psi rangle  其中  ψ     displaystyle mid psi rangle  为向外散射的波函数数学上另有一向内散射的波函数与之对应但在散射问题中不必考虑 然而此式为了求得散射的结果需要对散射结果本身进行积分即式子右侧积分中出现了未知量因而对于精确求解并无太大帮助 然而通过玻恩近似这一方程可以得到低能量下合理的近似解玻恩近似假定散射的波函数与入射波函数相差较小因而在积分中可以使用入射波  ϕ     displaystyle mid phi rangle  来进行积分这样就获得了阶玻恩近似阶玻恩近似即为入射波同样的做法可以递归进行将之前近似获得的结果带入积分即可算出下一步的近似这种方法是收敛的 然而多数情况下超过一阶的近似是没有物理意义的因为玻恩近似的低能量限制不允许其散射表现更加精细的结构请求补充说明 玻恩近似的一个较为巧合的完美应用出现在对卢瑟福散射公式的推导中卢瑟福散射公式在抛物线坐标系中可以直接求解薛定谔方程获得精确解也可在经典力学下求得经典近似解同时也可从玻恩近似一阶获得近似解巧合的是这三种解在库仑势下得出完全相同的微分截面 这种体现了玻恩近似在低能情况下相对于其他近似方法如Partial wave analysis英语Partial wave analysis而言在收敛速度上的优越性