施图姆-刘维尔理论 在数学及其应用中以雅克夏尔弗朗索瓦施图姆和约瑟夫刘维尔的名字命名的施图姆刘维尔方程是指二阶线性实微分方程 其中给定系数函数px qx 和wx均为已知函数和y是以x为自由变量的未知的待求解函数称为解 λ displaystyle lambda  是一个未定常数wx又记为rx称为权weight函数或密度density函数所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式 在一个正则的施图姆刘维尔SL本征值问题中在有界闭区间ab上三个系数函数 p  x   w  x   q  x  displaystyle pxwxqx 应满足以下性质 p  x     w  x    displaystyle pxwx  p  x   p   x   w  x   q  x  displaystyle pxpxwxqx 均连续 y  x  displaystyle yx 满足边界条件 α  y  a   α  y   a    displaystyle alpha yaalpha ya 及 β  y  b   β  y   b    displaystyle beta ybbeta yb  α    α      β    β     displaystyle alpha alpha beta beta   只有一些恰当的 λ displaystyle lambda  能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解非零解这些 λ displaystyle lambda  称为方程的特徵值对应的非平凡解称为特徵函数而特徵函数的集合则称为特徵函数族施刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中引入埃尔米特算子形成了施图姆刘维尔理论这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性以及特徵函数族的正交完备性这个理论在应用数学中十分重要尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候 施图姆刘维尔理论提出 施图姆刘维尔特徵值问题存在无限多个实数特徵值而且可以排序为 λ   λ   λ     λ n    lim n   λ n   displaystyle lambda lambda lambda cdots lambda ncdots lim nrightarrow infty lambda ninfty   对于每一个特徵值 λ n displaystyle lambda n 都有唯一的已被归一化的特徵函数 y n  x  displaystyle ynx 且 y n  x  displaystyle ynx 在开区间ab上有且仅有n个零点其中 y n  x  displaystyle ynx 称为满足上述施图姆刘维尔特徵值问题的第n个基本解 已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间 L    a  b   w  x  d x  displaystyle Labwxmathrm d x 上有正交性和完备性形成一组正交基  a b y n  x  y m  x  w  x  d x  δ m n displaystyle int abynxymxwxmathrm d xdelta mn 其中 δ m n displaystyle delta mn 是克罗内克函数