压缩映射 度量空间Md上的压缩映射英語Contraction mapping或压缩是一个从M到它本身的函数f存在某个实数   k   displaystyle k 使得对于所有M内的x和y都有 d  f  x   f  y    k d  x  y   displaystyle dfxfyleq kdxy 满足以上条件的最小的k称为f的利普希茨常数压缩映射有时称为利普希茨映射如果以上的条件对于所有的   k   displaystyle kleq  都满足则该映射称为非膨胀的 更一般地压缩映射的想法可以定义于两个度量空间之间的映射如果Md和Nd是两个度量空间则我们寻找常数k使得 d   f  x   f  y    k d  x  y  displaystyle dfxfyleq kdxy 对于所有M内的x和y 每一个压缩映射都是利普希茨连续的因此是一致连续的 一个压缩映射最多有一个不动点另外巴拿赫不动点定理说明非空的完备度量空间上的每一个压缩映射都有唯一的不动点且对于M内的任何x迭代函数序列xf xf f xf f f x收敛于不动点这个概念在迭代函数系统中是非常有用的其中通常要利用压缩映射巴拿赫不动点定理也用来证明常微分方程的解的存在以及证明反函数定理