闭形式和恰当形式 在数学特别是向量分析与微分拓扑中一个闭形式 α displaystyle alpha  是微分算子 d displaystyle d 的核即 d α   displaystyle dalpha  的微分形式而恰当形式恰当微分形式 α displaystyle alpha  是微分算子 d displaystyle d 的像即存在某个微分形式 β displaystyle beta  使得 α  d β displaystyle alpha dbeta   β displaystyle beta  称为关于 α displaystyle alpha  的一个本原 因为 d    displaystyle d 所以恰当形式一定是闭形式但閉形式是否為恰當形式並不顯然考虑一个闭形式是不是恰当的可由不同的条件检测拓扑信息來得知问一个 形式是否恰当没有意义因为 d displaystyle d 将阶数提高 不过可以规定恰当 形式就是零函数 当两个闭形式的差是一个恰当形式时称它们为相互上同调的这便是说如果 ζ displaystyle zeta  与 η displaystyle eta  是闭形式且存在某个 β displaystyle beta  使得 ζ  η  d β    displaystyle zeta eta dbeta   则我们说 ζ displaystyle zeta  与 η displaystyle eta  是互相上同调的恰当形式经常称为上同调于零相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素对这样的类作一般性研究称为上同调理论 R  displaystyle mathbb R  与 R  displaystyle mathbb R  上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知在平面上形式就是函数形式是函数乘以基本面积元 d x  d y displaystyle dxwedge dy 故只有 形式 α  f  x  y  d x  g  x  y  d y    displaystyle alpha fxydxgxydy  具有真正的意义其外导数 d displaystyle d 是 d α   g x  f y  d x  d y    displaystyle dalpha gxfydxwedge dy  这里下标表示偏导数从而 α displaystyle alpha  闭的条件是 f y  g x    displaystyle fygx  当 h  x  y  displaystyle hxy 是一个函数时则 d h  h x d x  h y d y    displaystyle dhhxdxhydy  恰当形式是闭形式便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性的一个推论这可以直接推广到高维情形 在 R  displaystyle mathbb R  上恰当 形式相当于有势场保守场闭 形式相当于无旋场故恰当形式是闭形式用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场