三次平面曲线 三次平面曲线cubic plane curve是指用以下三次函數定義的平面代數曲線 C Fx y z   針對射影平面會使用齐次坐标xyz或是在仿射空间中的非齊次版本會令上述方程中的z  F是以下三次單項英语monomial的非零線性組合 x y z xy xz yx yz zx zy xyz 共有十個單項因此三次曲线會在給定的任意域K中形成九維的射影空間英语projective space若指定九個任意的點通過其上的三次曲线可能會退化也可能不唯一不過若這九個點是在一般位置上通過其上的三次曲线唯一且不會退化就像二點決定一直線以及五個點決定圓錐曲線英语Five points determine a conic一樣若二條圓錐曲線通過相同的九個點這些點會滿足一些特殊的條件可參考凱萊巴拉赫定理英语CayleyBacharach theorem 牛頓曾研究三次曲線中的實數點非奇異的投影三次曲線會落在一個或二個卵形內其中一個卵形會和每一個實數投影曲線相交因此若畫在二维空间中此部份是沒有上界的會有一個或三個一直延伸到無限大的分枝其中也會有三個實數的反曲點另一個卵形若存在不會包括任何的反曲點會是一個卵形或是有二個延伸到無限大分枝的圖形就像圆锥曲线一樣一條直線和這個卵形最多只會有二個交點 任意的域K上非奇異的投影三次曲線可定義椭圆曲线現今對椭圆曲线的研究主要是以魏爾斯特拉斯橢圓函數的變體的主可以定義一個有理函數域的二次擴展英语Quadratic extension做法是將三次曲線的平方根取出這也和是否存在K有理点英语rational point有關在魏爾斯特拉斯型式下是无穷远点有許多的三次曲線沒有這様的點例如像K是有理数域的情形 不可化簡三次曲線的奇異點只有幾種一個二重點或是一個尖點可化簡三次曲線可能是一個圓錐曲線和一條直線或是三條直線可能會有二個二重點或是一個互自切點英语tacnode一個圓錐曲線和一條直線的情形若是三條直線也可能有三個二重點或是一個三重點共点线英语concurrent line