二次互反律 在数论中特别是在同余理论里二次互反律Law of Quadratic Reciprocity是一个用于判别二次剩余即二次同余方程 x   p  mod q  displaystyle xequiv ppmod q 之整数解的存在性的定律二次互反律揭示了方程 x   p  mod q  displaystyle xequiv ppmod q 可解和 x   q  mod p  displaystyle xequiv qpmod p 可解的简单关系运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判别问题并最后归结为较少的几个情况从而在实际上解决了二次剩余的判别问题然而二次互反律只能提供二次剩余的存在性对于二次同余方程的具体求解并没有实际帮助 二次互反律常用勒让德符号表述对于两个奇素数 p displaystyle p 和 q displaystyle q   p q    q p        p     q     displaystyle leftfrac pqrightcdot leftfrac qprightfrac pq 其中  p q  displaystyle lefttfrac pqright 是勒让德符号但是对于更一般的雅可比符号和希尔伯特符号也有对应的二次互反律 欧拉和勒让德都曾经提出过二次互反律的猜想但第一个严格的证明是由高斯在年作出的随后他又发现了另外七个不同的证明在算数研究一书和相关论文中高斯将其称为基石 这个定理肯定属于最优雅的基本定理Art  私下里高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石是一个黄金定律 高斯之后雅可比柯西刘维尔克罗内克弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明至今二次互反律已有超过个不同的的证明二次互反律可以推广到更高次的情况如三次互反律等等