方块矩阵 方塊矩陣也称方阵方矩陣或正方矩陣是行數及列數皆相同的矩陣由 n  n displaystyle ntimes n 矩陣組成的集合連同矩陣加法和矩陣乘法构成環除了 n   displaystyle n 此環並不是交换環 Mn R即實方塊矩陣環是個實有单位的結合代數Mn C即複方塊矩陣環則是複結合代數 單位矩陣 I n displaystyle In 的對角線全是而其他位置全是對所有 m  n displaystyle mtimes n 矩陣 M displaystyle M 及 n  k displaystyle ntimes k 矩陣 N displaystyle N 都有 M I n  M displaystyle MInM 及 I n N  N displaystyle InNN  例如若 n   displaystyle n  I              displaystyle Ibeginbmatrixendbmatrix 單位矩陣是方塊矩陣環的單位元 方塊矩陣環的可逆元稱為可逆矩陣或非奇异方阵 n  n displaystyle ntimes n 矩陣 A displaystyle A 是可逆當且僅當存在矩陣 B displaystyle B 使得 A B  I n   B A  displaystyle ABInBA  此時 B displaystyle B 稱為 A displaystyle A 的逆矩陣並記作 A   displaystyle A  所有 n  n displaystyle ntimes n 矩陣在乘法上組成一個群亦是一個李群稱為一般線性群 若數字 λ displaystyle lambda  和非零向量 v  displaystyle vec v 满足 A v   λ v  displaystyle Avec vlambda vec v 則 v  displaystyle vec v 為 A displaystyle A 的一個特征向量 λ displaystyle lambda  是其對應的特征值數字 λ displaystyle lambda  為 A displaystyle A 的特征值當且僅當 A  λ I n displaystyle Alambda In 可逆又當且僅當 p A  λ    displaystyle pAlambda  這裏 p A  x  displaystyle pAx 是 A displaystyle A 的特征多項式特征多項式是一個 n displaystyle n 次多項式有 n displaystyle n 个复根考虑重根即 A displaystyle A 有 n displaystyle n 個特征值 方塊矩陣 A displaystyle A 的行列式是其 n displaystyle n 個特征值的積但亦可經由莱布尼茨公式計算出來可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣 高斯若爾當消元法非常重要可以用来計算矩阵的行列式秩逆矩陣并解決線性方程組 矩陣的迹是 n  n displaystyle ntimes n 矩陣的对角线元素之和也是其 n displaystyle n 個特征值之和 所有正交矩阵都是方块矩阵