奇异值 数学中特别是泛函分析中作用于希尔伯特空间XY之间的紧算子 T  X  Y displaystyle TXrightarrow Y 的奇异值是自伴算子 T  T displaystyle TT  T  displaystyle T 表示T的伴随的非负特征值的平方根 奇异值是非负实数一般按递减顺序排列 σ   T     σ   T    displaystyle sigma T sigma Tdots  最大的奇异值 σ   T  displaystyle sigma T 等于T的算子范数见极小极大定理 作用于欧氏空间 R n displaystyle mathbb R n 的T的奇异值有简单的几何解释单位n球在T变换下的像是椭球其半轴长度是T的奇异值图中提供了 R  displaystyle mathbb R  的例子 奇异值是正规矩阵A的特征值的绝对值由谱定理可得A的单位对角化 A  U Λ U  displaystyle AULambda U 因此有 A  A  U Λ  Λ U   U  Λ  U  displaystyle sqrt AAsqrt ULambda Lambda UUleftLambda rightU  研究的希尔伯特空间算子的大多数范数都是用奇异值定义的例如樊𰋀k范数是前k个奇异值的和迹范数是所有奇异值的和沙滕范数是奇异值的p次幂之和的p次根注意每种范数都只定义在一类特殊的算子上因此奇异值有助于算子的分类 有限维情形矩阵总可以分解为 U Σ V  displaystyle mathbf USigma V  其中 U displaystyle mathbf U   V  displaystyle mathbf V  是酉矩阵 Σ displaystyle mathbf Sigma   是矩形对角矩阵奇异值在对角线上这就是奇异值分解