代数几何 代数几何英語algebraic geometry是数学的一个分支经典代数几何研究多项式方程的零点现代代数几何将抽象代数尤其是交换代数同几何学的语言和问题结合起来 代数几何的基本研究对象为代数簇代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集常见的例子有平面代数曲线比如直线圆椭圆抛物线双曲线三次曲线非奇异情形称作椭圆曲线四次曲线如双纽线以及卵形线以及一般n次曲线代数几何的基本问题涉及对代数簇的分类比如考虑在双有理等价意义下的分类即双有理几何以及模空间问题等等 代数几何在现代数学占中心地位与多复变函数论英语functions of several complex variables微分几何拓扑学和数论等不同领域均有交叉始于对代数方程组的研究代数几何延续解方程未竟之事与其求出方程实在的解代数几何尝试理解方程组的解的几何性质代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学的分支 进入世纪代数几何的研究又衍生出几个分支 研究代数簇中坐标在有理数域或代数数域里的点这一分支发展成算术几何更经典地丢番图几何属于代数数论的分支 研究代数簇的实点即实代数几何 奇点理论的一大部分致力于研究代数簇中的奇异点及关于奇异点的解消的存在性和方法 代数簇的上同调理论如晶体上同调平展上同调以及Motive页面存档备份存于互联网档案馆上同调 几何不变量理论起始于戴维芒福德在二十世纪六十年代的研究其思想起源于大卫希尔伯特的古典不变量理论 随着计算机的兴起计算代数几何作为代数几何与符号运算两支的交叉而崭露头角这一分支本质上包含开发算法和软件与寻找显代数簇的性质这两项工作 世纪以来代数几何主流的许多进展都在抽象代数的框架内进行越发强调代数簇内蕴的性质即那些不取决于代数簇在射影空间的具体嵌入方式的性质与拓扑学微分几何及复几何英语Complex geometry等学科的发展相应抽象代数几何的一大关键成就是格罗滕迪克的概形论概形论允许人们应用层论研究代数簇某种意义上与应用层论研究微分流形与解析流形是否相似概形论延伸了点的概念在经典代数几何中根据希尔伯特零点定理一个仿射代数簇的一点对应于坐标环上的一个极大理想仿射概形上的子簇则对应于坐标环的素理想而在概型论中概型的点集包含了经典情况代数簇的点集以及所有子簇的信息这种方法使得经典代数几何主要涉及闭点同时联系起了微分几何数论等主流分支的问题研究