霍普夫-里诺定理 数学中霍普夫里诺定理HopfRinow theorem是关于黎曼流形的测地完备性的一套等价命题以海因茨霍普夫和他的学生维利里诺命名定理如下 设M是黎曼流形则下列命题等价 M displaystyle M 的有界闭子集是紧的 M displaystyle M 是完备度量空间 M displaystyle M 是测地完备对 M displaystyle M 中任意点 p displaystyle p 指數映射 exp p displaystyle exp p 可定义在整个切空间 T p M displaystyle TpM  而且以上任一条均可导出对于 M displaystyle M 中任何两点 p displaystyle p 和 q displaystyle q 存在连起两点的测地线使长度最短测地线一般是极值不一定是最小值