本徵函數 在数学中函数空间上定义的线性算子 A displaystyle A 的本征函数英語Eigenfunction又稱固有函数就是对该空间中任意一个非零函数 f displaystyle f 进行变换仍然是函数 f displaystyle f 或者其标量倍数的函数更加精确的描述就是 A f  λ f displaystyle mathcal Aflambda f 其中 λ 是标量它是对应的特徵值另外特徵值微分的解受到 f displaystyle f 边界条件的限制当考虑限制条件的时候只有特定的特徵值 λ  λ n displaystyle lambda lambda n  n           displaystyle n 对应于 f  f n displaystyle ffn 的解每个 f n displaystyle fn 对应于一个特徵值 λ n displaystyle lambda n 分析 A displaystyle A 的最有效的方法就是检查其特徵向量是否存在 例如 f k  x   e k x displaystyle fkxekx 是微分算子 A  d  d x   d d x  displaystyle mathcal Afrac ddxfrac ddx 的特征函数对于任意的 k displaystyle k 有对应的本征值 λ  k   k displaystyle lambda kk 如果在这个系统上加上限制条件如在空间中某两个物理位置 f   displaystyle f 那么只有特定的 k  k n displaystyle kkn 才能满足这个限制条件这样对应的离散本征值为 λ n  k n   k n displaystyle lambda nknkn  本徵函數在物理学的很多分支中都起着重要作用其中一个重要的例子就是量子力学中的薛丁格方程 i ℏ   t ψ  H ψ displaystyle ihbar frac partial partial tpsi mathcal Hpsi  的解的形式为 ψ  t    k e  i E k t  ℏ ϕ k  displaystyle psi tsum keiEkthbar phi k 其中 ϕ k displaystyle phi k 是特徵值为 E k displaystyle Ek 的算子 H displaystyle mathcal H 的特征函数只有特定的与特征函数 ϕ k displaystyle phi k 相关的特徵值 E k displaystyle Ek 满足薛丁格方程这样的事实引出了量子力学的自然基础以及元素周期表每个 E k displaystyle Ek 定义了一个允许存在系统能量状态这个方程成功地解释了氢原子的谱特性被认为是世纪物理学的一项巨大成就 根据 哈密顿算子 H displaystyle mathcal H 的特性可以知道它的特征函数是正交函数但是对于其它算子的特征函数可能并不是这样如上面提及的 A displaystyle A 正交函数 f i displaystyle fi  i        displaystyle idots  有以下特性    f i f j displaystyle int fifj 其中 i  j displaystyle ineq j 在这种情况下集合  f i  i  I  displaystyle fiiin I 是线性无关的