算术-几何平均值不等式 算术几何平均值不等式簡稱算几不等式是一个常见而基本的不等式表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系设 x   x     x n displaystyle xxldots xn 为 n displaystyle n 个正实数它们的算术平均数是 A n  x   x     x n n displaystyle mathbf A nfrac xxcdots xnn 它们的几何平均数是 G n  x   x   x n n displaystyle mathbf G nsqrtnxcdot xcdots xn 算术几何平均值不等式表明对任意的非负实数 x     x n displaystyle xldots xn  A n  G n displaystyle mathbf A ngeq mathbf G n 等号成立当且仅当 x   x     x n displaystyle xxcdots xn  通常用于两个数之间设这两个数为 a displaystyle a 和 b displaystyle b 也就是 a  b   a b displaystyle frac abgeqslant sqrt ab 算术几何平均值不等式仅适用于正实数是对数函数之凹性的体现在数学自然科学工程科学以及经济学等其它学科都有应用 算术几何平均值不等式有時被称为平均值不等式或均值不等式其實后者是一组更廣泛的不等式