索末菲恒等式 索末菲恒等式 是由阿诺德索末菲提出的一个数学恒等式该恒等式用于波传播理论中 e i k R R     I   λ r  e  μ  z  λ d λ μ displaystyle frac eikRRint limits infty Ilambda remu leftzrightfrac lambda dlambda mu  其中 μ  λ   k  displaystyle mu sqrt lambda k 取正实数部分以确保积分收敛和  z    displaystyle zrightarrow pm infty  R   r   z  displaystyle Rrz  R displaystyle R 表示到原点的距离同时 r displaystyle r 是  r  ϕ  z  displaystyle rphi z 柱坐标系统中到圆柱中心轴的距离 这里贝塞尔函数的符号遵循德国惯例与索末菲使用的原始符号一致 I   z  displaystyle Iz 第一类零阶贝塞尔函数在英文文献中通常标记为 I   z   J   i z  displaystyle IzJiz   索末菲恒等式可以更容易地看作是球面波特别是圆柱对称波的扩展 e i k  r r  i    d k ρ k ρ k z J   k ρ ρ  e i k z  z  displaystyle frac eikrriint limits infty dkrho frac krho kzJkrho rho eikzleftzright 其中 k z   k    k ρ      displaystyle kzkkrho   这里使用的符号不同于上面 这里的 r displaystyle r 是圆柱坐标系中的径向距离 其物理解释是球面波可以扩展成为 ρ displaystyle rho  方向上柱面波的总和乘以  z displaystyle z 方向上双面平面波参见 JacobiAnger expansion英语JacobiAnger expansion 必须对所有波数 k ρ displaystyle krho  求和 索末菲恒等式与柱对称的二维 傅里叶变换密切相关即汉克尔变换 它是通过改变沿面坐标 x displaystyle x  y displaystyle y  或 ρ displaystyle rho   ϕ displaystyle phi  的球面波但不改变沿高度坐标 z displaystyle z 得到的