麦克劳林不等式 数学中麦克劳林不等式Maclaurins inequality以科林麦克劳林冠名是算术几何平均不等式的加细 设 a a  an 是正实数对 k     n 定义平均 Sk 为 S k     i     i k  n a i  a i   a i k  n k   displaystyle Skfrac displaystyle sum leq icdots ikleq naiaicdots aikdisplaystyle n choose k 这个分式的分子是度数为 n 变元 a a  an 的 k 阶基本对称多项式即 a a  an 中指标递增的任意 k 个数乘积之和分母是分子的项数二项式系数  n k  displaystyle scriptstyle n choose k  麦克劳林不等式是如下不等式链 S   S   S      S n n displaystyle Sgeq sqrt Sgeq sqrtSgeq cdots geq sqrtnSn 等号成立当且仅当所有 ai 相等 对 n  这个给出两个数通常的几何算术平均不等式n   的情形很好地展示了麦克劳林不等式 a   a   a   a    a  a   a  a   a  a   a  a   a  a   a  a    a  a  a   a  a  a   a  a  a   a  a  a     a  a  a  a    displaystyle beginalignedquad frac aaaageq sqrt frac aaaaaaaaaaaageq sqrtfrac aaaaaaaaaaaageq sqrtaaaaendaligned