哈代-李特爾伍德圓法 在數學裡哈代勒特伍德圓法是在解析數論中最常被使用的技術之一其是以高德菲哈羅德哈代和約翰恩瑟李特爾伍德來命名的他們是在一連討論華林問題的論文中發展了此一技術這個觀念一開始的起源通常被歸功於哈代在年和年中和拉馬努金在整數分拆的漸進分析中之研究這被許多其他的研究者們所使用包括哈羅德達芬波特和維諾格拉多夫他們稍微地修改了其公式由複分析移至指數和但沒有改變大略的內容上千篇論文使用著此一方法且直到年這個方法仍然被使用來產生新的成果 問題中的圓一開始是在複數平面上的單位圓假定問題一開始是一連串的複數 an n       想要求得其中的一些可能的漸進類型 an  Fn 其中有一些啟發性的方法可以用來猜測F可能的類型先寫下 f  z    a n z n displaystyle fzsum anzn 一個冪級數生成函數其中有些有趣的例子在於f的收斂半徑等於的條件下故將問題假裝已調整至承現出滿足此一條件 經由此規劃之後便可以直接由留數定理得出對每個整數 n   I n   f  z  z   n    d z   π i a n displaystyle Inint fzzndzpi ian 其中這個積分是繞著圓心為且半徑為  r  之r的圓來積的 亦即這是一個閉軌積分其軌道是一個以逆時鐘方向繞了一圈的圓為了使其較易回答可以直接將r的值取即使用單位圓閉軌但在複變分析中卻有著一些問題因為f在單位圓上不一定總是會有定義 圓法在其問題上的做法是強迫將r值取以對f在單位圓上之奇點的性質有足夠的了解之方式對其基本的了解可以使用有理數的法里數列或是等價地使用單位根 ζ    exp    π i r s  displaystyle zeta  exp leftfrac pi irsright 這裡的分母s是在rs為最簡分數下之分母可以決定在ζ附近之f主要奇點的行為之相對的重要性 哈代勒特伍德圓法因此可以用複分析的方式來表現出來當r 趨近 時的In的值的分佈可以被分成兩個部份傳統上稱之為大弧和小弧可以將ζ分成兩部份分別是sN和sN兩部份其中的N是一個依方便選定之n的函數積分In可以將其積分範圍分成長度為s的長度一樣是依方便選定的和ζ相連的弧這些弧可以形成整個圓圈而其在大弧上積分的總和會是πiFn實際上會存在一個可掌控的剩餘項剩下在小弧上的積分總和則可以被一個上界所取代而且這個上界會數量級地小於Fn